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 유클리드 기하학에서 사용되는 다섯 가지 공리 중 다섯 번째 공리를 쉽게 얘기하면 ‘한 직선의 밖에 있는 한 점을 지나면서 그 직선과 평행인 직선은 오직 한 개 있다’는 의미이다. 이는 다른 공리와는 달리 너무 복잡해서 증명이 가능하다는 논란이 오랫동안 계속되었다. 그래서 다섯 번째 공리를 다른 공리와 달리 평행선 공준(公準)으로 불렀다. 하지만 그 누구도 증명에 성공하지 못했고 대신 증명을 시도하는 과정 중에 새로운 사실을 발견하게 된다. 19세기 초에 헝가리의 보여이(Janos Bolyai)와 러시아의 로바체프스키(Nikolai I. Lobachevsky)는 평행선 공준을 증명하려고 노력하다가 한 직선 밖에 있는 한 점을 지나는 평행선이 여러 개라고 해도 논리적으로 아무런 모순이 생기지 않는다는 것을 발견하였다. 모순이 생기기는커녕 그 과정에서 새로운 기하학의 리만법칙들을 발견하게 된다.
 한편 리만(Georg F. B. Riemann)은 한 직선 밖에 있는 한 점을 지나는 평행선이 하나도 없다는 공리를 바탕으로 새로운 기하학 체계를 만들었다. 다른 공리들은 만족하지만 오직 다섯 번째 공리만 모순된 기하학. 유클리드 원론을 흔드는 이 기하학을 오래전에 ‘비(非)유클리드 기하학’으로 분류하였고, 이제는 유클리드 기하학을 제외한 모든 기하학을 비유클리드 기하학이라 부르고 있다. 택시 거리는 비유클리드 기하학 중에서 가장 간단한 ‘택시기하학’에서 다루는 개념이다.

평행성 공준을 증명하려는 노력 가운데 19세기 초에 한 직선 밖에 있는 한 점을 지나는 평행선이 여러 개라고 해도 논리적으로 아무런 모순이 생기지 않는다는 것이 발견되었다.