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 프랙털의 차원을 살펴보기 전에 수학적 차원에 대해 정리해 보자. 수학에서의 차원은 공간 내에 어떤 것의 위치를 나타내기 위해 필요한 축의 개수를 말한다. 즉 점으로만 이루어진 직선은 1차원, 평면은 2차원, 입체는 3차원으로 정의한다. 또한 시간이나 오일러 각도 등을 추가한 3차원 이상의 n차원의 공간을 고려하기도 한다. 즉, 유클리드 기하학에서의 사물은 모두 정수로 표시되는 차원을 가지는데, 프랙털의 차원은 최초로 유클리드 기하학 차원을 확장하여 다른 차원으로 설명했다. 차원을 구하는 공식은 다음과 같다.
 여기서 축소율은 등분하여 줄어드는 길이가 되고, 복사본의 개수는 생겨난 닮은 도형의 개수를 뜻한다. 공식의 이해를 돕기 위해 차원의 공식을 이용하여 직선이 1차원임을 증명해 보도록 하자.
 길이가 1인 선분이 있다고 하자.
 이 선분을 위와 같이 3등분했다면 등분된 선분 하나의 길이는 ⅓이 되어 축소율(r)은 ⅓이 된다. 또한 1개의 선분이 3개의 선분이 되었으므로 복사본의 개수(N)는 3이 된다. 따라서 차원(D)=
=1이다. 
 직선이 1차원임이 증명되었다.
 한 모서리의 길이가 1인 정육면체로 한 번 더 증명해 보자.
 정육면체의 한 모서리의 길이를 3등분하면 역시나 모서리의 길이는 ⅓이 되어 축소율(r)은 ⅓이 된다. 또한 정육면체는 1개에서 27개로 늘었으므로 복사본의 개수(N)는 27이 된다. 따라서 차원(D)= 

수학에서의 차원은 공간 내에 어떤 것의 위치를 나타내기 위해 필요한 축의 개수를 말하며 직선은 1차원, 평면은 2차원, 입체는 3차원이라 한다.