수학적 체계가 근본적으로 불완전하고 몇몇 계산과정들이 결정 불가능하다는 것은 수학기초론에 대한 연구에 엄청난 충격을 주었으며 논쟁을 부채질하고 새로운 사상을 도입하게 했다. 1960년 이후 이 주제에 관한 연구는 주로 4개의 분야, 즉 재귀론/증명론/모형론/집합론으로 나뉘었다. 재귀론은 계산가능과 결정가능에 대한 이론과 관련이 있으며, 그 이름은 재귀함수를 바탕으로 한 논문으로부터 붙여졌다. 증명론은 초수학으로도 알려져 있다. 이것의 더 새로운 발전 중 하나는 집합들의 성질이 고려되는 단계에서 결정적인 선택을 취하는 기법들을 세운 것이다. 모형론은 주어진 형식적 체계의 공리들을 만족시키는 설명 또는 모형과 관련이 있으며, 집합론은 칸토어의 연구에 있는 몇몇의 역설과 모순들을 수정하고자 한다.
수학적 체계가 미비하고 일부 계산과정 결정이 불능하다는 것이 수학기초이론 연구에 새로운 사상을 불러일으켰다. 1960년 이후 이에 관한 연구 주제로 재귀론, 증명론, 모형론, 집합론이 등장했다.