Einsmatrix
Die Einsmatrix ist in der Mathematik eine Matrix, deren Elemente alle gleich der Zahl Eins (beziehungsweise dem Einselement des zugrunde liegenden Rings) sind. Eine Einsmatrix, die nur aus einer Zeile oder Spalte besteht, wird auch Einsvektor genannt. Jede Einsmatrix lässt sich als dyadisches Produkt von Einsvektoren darstellen. Im Matrizenring mit der Matrizenaddition und dem Hadamard-Produkt ist die Einsmatrix das neutrale Element. Wichtige Kennzahlen und Potenzen von Einsmatrizen lassen sich explizit berechnen. Die Einsmatrix und der Einsvektor dürfen nicht mit der Einheitsmatrix und dem Einheitsvektor verwechselt werden.

Definition 
Ist  ein Ring mit Einselement , dann ist die Einsmatrix  definiert als

.

Eine Einsmatrix bestehend aus nur einer Zeile oder Spalte wird auch Einsvektor genannt und mit  bezeichnet. Wird die Dimension der Einsmatrix aus dem Kontext klar und bestehen keine Verwechslungsmöglichkeiten, so werden die Indizes auch weggelassen und nur  geschrieben. In Anlehnung an Einheitsmatrizen, die häufig mit  bezeichnet werden, werden Einsmatrizen auch durch  notiert.

Beispiele 
Ist  der Körper der reellen Zahlen und bezeichnet  die Zahl Eins, so sind Beispiele für Einsvektoren und -matrizen:

Sei  der Nullring, dann sind auch folgende Matrizen Beispiele für Einsmatrizen:

Hinweis: Im Nullring fallen die Begriffe Nullmatrix und Einsmatrix zusammen. Tatsächlich ist sogar jede Matrix über dem Nullring eine Einsmatrix (und eine Nullmatrix).

Eigenschaften

Algebraische Eigenschaften 
Eine Einsmatrix lässt sich auch als dyadisches Produkt von Einsvektoren darstellen:

.

Die Transponierte einer Einsmatrix ist wieder eine Einsmatrix, also

.

Die Einsmatrix  ist zudem das neutrale Element in dem Matrizenring , wobei  die Matrizenaddition und  das Hadamard-Produkt sind. Damit gilt für alle Matrizen 

.

Rang, Determinante, Spur 

Ist nun  ein Körper, dann gilt für den Rang einer Einsmatrix

.

Die Determinante einer quadratischen Einsmatrix ist dann

Die Spur einer quadratischen Einsmatrix über den reellen oder komplexen Zahlen ist

.

Eigenwerte 

Das charakteristische Polynom einer reellen oder komplexen Einsmatrix  ergibt sich als

.

Die Eigenwerte sind entsprechend

   und   .

Zugehörige Eigenvektoren sind

   und   .

Produkte 

Für das Produkt zweier reeller oder komplexer Einsmatrizen passender Größe gilt

.

Damit berechnet sich die -te Potenz einer quadratischen Einsmatrix für  als

.

Daher ist die Matrix  idempotent, das heißt

.

Für das Matrixexponential der Einsmatrix gilt

,

wobei  die Einheitsmatrix der Größe  und  die Eulersche Zahl sind.

Programmierung 

In dem numerischen Softwarepaket MATLAB wird die Einsmatrix durch die Funktion ones(m,n) erzeugt.

Literatur

Einzelnachweise

Weblinks 
 

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