BMO-Raum
Der BMO-Raum ist ein Objekt aus der harmonischen Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Die Abkürzung BMO steht für „“. Der Funktionenraum BMO wurde 1961 von Fritz John und Louis Nirenberg eingeführt. Dieser Raum ist ein Dualraum zum reellen Hardy-Raum  (Charles Fefferman, Elias Stein 1972).

Definitionen

Sharp-Funktion 
Sei  eine lokal integrierbare Funktion, so ist  definiert durch 

wobei das Supremum über alle Bälle , welche  enthalten, gebildet wird. Mit  wird das Mittelwertintegral 
 
bezeichnet.

BMO-Raum 
Eine lokal integrierbare Funktion  heißt BMO-Funktion, falls  beschränkt ist. 
Um eine Norm auf diesem Funktionenraum zu erhalten, identifiziert man alle konstanten Funktionen miteinander und setzt

Würde man die konstanten Funktionen nicht miteinander identifizieren, so wäre  nur eine Halbnorm, also nicht definit. Mit dieser Norm wird der BMO-Raum zu einem Banachraum. Beispiele für BMO-Funktionen sind alle beschränkten, messbaren Funktionen und  für ein Polynom P, welches nicht identisch null ist.

Dualität von H1 und BMO 
Charles Fefferman zeigte 1971, dass der BMO-Raum ein Dualraum von , dem reellen Hardy-Raum mit p = 1, ist. Die Paarung zwischen  und  ist gegeben durch

Dann ist die Abbildung  ein Banachraum-Isomorphismus (nicht isometrisch), in diesem Sinne ist  Dualraum von .

Obiger Integralausdruck muss jedoch sorgsam definiert werden, da dieses Integral im Allgemeinen nicht absolut konvergiert. Jedoch gibt es für  einen dichten Unterraum , auf dem das Integral absolut konvergiert. Mit Hilfe des Satzes von Hahn-Banach kann man dann das Funktional auf ganz  fortsetzen. Als Raum  kann man den Raum der H1-Funktionen mit kompaktem Träger und mit  wählen. Dies ist genau der Unterraum, welcher eine endliche atomare Zerlegung besitzt. Eine wichtige Konsequenz, welche sich aus dem Beweis zur Dualität ergibt, ist die folgende Ungleichung, die für  und  gilt:
.
Dabei ist  die nicht-tangentiale Maximalfunktion.

Literatur 
 Elias M. Stein: Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals, Princeton University Press 1993, ISBN 0-691-03216-5

Einzelnachweise

Normierter Raum
Funktionalanalysis