Integrallogarithmus
Der Integrallogarithmus ist eine analytische Funktion auf den reellen Zahlen  (oder ) in die reellen Zahlen.
Sie hat praktische Relevanz in einigen Gebieten der Physik wie der Quantenfeldtheorie und bei der Lösung der Laplace-Gleichung in Halbleitern sowie in der Zahlentheorie, da sie eng mit der Dichte der Primzahlen verknüpft ist.

Definition 
Es sind zwei Definitionen üblich, die sich um eine Konstante unterscheiden. Für eine der wichtigsten Anwendungen – als asymptotische Vergleichsgröße für die Primzahlfunktion im Primzahlsatz – spielt der Unterschied zwischen den beiden Definitionen keine Rolle.

Eine Definition im Bereich  lautet
 
dabei muss  wegen der Singularität bei  für  über einen Grenzwert definiert werden (cauchyscher Hauptwert):
 

Eine andere Definition für  ist
 

Bei  liegt keine Polstelle, sondern eine logarithmische Singularität vor.

Eigenschaften 

Einige Werte:
 
 
 
  ()
Dabei ist  () die Ramanujan-Soldner-Konstante.

Es gilt  mit der Integralexponentialfunktion , daraus erhält man die Reihendarstellung
 
wobei  () die Euler-Mascheroni-Konstante ist.

Aus der Definition von  erhält man durch lineare Substitution
 
wobei für  wegen der Singularität bei  der cauchysche Hauptwert eingesetzt werden muss.
Ferner haben wir für 

 

Außerdem gilt für 
 
für  erhält man 
Im Grenzfall  ist 

Eine weitere Formel ist 

Die Golomb-Dickman-Konstante  () tritt in der Theorie zufälliger Permutationen bei der Abschätzung der Länge des längsten Zykels einer Permutation und in der Zahlentheorie bei der Abschätzung der Größe des größten Primfaktors einer Zahl auf.

Asymptotisches Verhalten 

Für große  lässt sich  durch

 

approximieren. Die Reihe ist eine asymptotische Entwicklung; sie konvergiert nicht, sondern nähert sich dem wahren Wert an, um sich dann wieder zu entfernen.
Die beste Approximation wird nach etwa  Gliedern erreicht, dann werden die Summanden größer durch die stärker werdende Wirkung der Fakultät.

Siehe auch 
 Integralsinus
 Integralcosinus

Literatur 
 Johann Georg Soldner: Théorie et tables d’une nouvelle fonction transcendante. Lindauer, München 1809 (französisch; bei Google Books)
 Niels Nielsen: Theorie des Integrallogarithmus und verwandter Transzendenten, B. G. Teubner, Leipzig 1906 ()

Weblinks 
 
 Logarithmic integral. bei The Wolfram Functions Site (englisch; mit Berechnungsmöglichkeit)

Analytische Funktion