Gruppe vom Lie-Typ
Gruppen vom Lie-Typ sind im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie untersuchte Gruppen, die sich von gewissen Lie-Algebren herleiten, genauer handelt es sich um Gruppen von Automorphismen von Lie-Algebren. Mit den endlichen unter diesen erhält man 16 unendliche Serien endlicher einfacher Gruppen, die zusammen mit den zyklischen Gruppen von Primzahl-Ordnung und den alternierenden Gruppen die 18 Serien aus dem Klassifikationssatz endlicher einfacher Gruppen bilden.

Tabellarische Übersicht 

Wir beginnen mit einer tabellarischen Übersicht, die aus dem Lehrbuch „Finite Group Theory“ von Michael Aschbacher adaptiert ist.

Die Namen ergeben sich aus den Typen von Lie-Algebren, wie unten erläutert wird. In obiger Tabelle ist  stets eine Primzahlpotenz und  linear in  einer natürlichen Zahl inklusive 0. Die in den Nennern der Formeln für die Gruppenordnung vorkommenden Klammern  stehen für den größten gemeinsamen Teiler. Viele dieser Gruppen waren bereits vor Chevalleys Arbeiten als sogenannte klassische Gruppen bekannt, manche sind auch nach ihren Entdeckern benannt. Die daher rührenden Bezeichnungen sind als "Alternative Bezeichnung" angegeben. Die genannten Ausnahmen sind nicht-einfache Gruppen, ferner bestehen die in der Spalte "Isomorphie" genannten Isomorphien unter diesen Gruppen und zu den alternierenden Gruppen An (ist mit  der Lie-Typ gemeint, so folgt stets eine in Klammern gesetzte Primzahlpotenz).

Im Folgenden werden die zur Definition dieser Gruppen benötigten Begriffe entwickelt, wobei wir im Wesentlichen dem unten angegebenen Lehrbuch "Simple Groups of Lie-Type" von Roger Carter folgen, das ganz diesem Thema gewidmet ist, auch wenn dieses Buch bereits älter ist und aus der Zeit vor dem Klassifikationssatz stammt.
Ausgehend von der Klassifikation einfacher Lie-Algebren über  beschreiben wir die durchaus verwickelte Konstruktion dieser Gruppen und führen dabei gerade soviel Begriffe ein, wie für die Definition der Gruppen erforderlich ist.

Die Darstellung zerfällt in zwei große Blöcke. Zunächst konstruieren wir die sogenannten klassischen Chevalley-Gruppen, deren Theorie auf Claude Chevalley zurückgeht; es sind dies die Gruppen ohne einen linken oberen Index in ihrem Namen. Im zweiten Block werden Automorphismen auf gewissen klassischen Chevalley-Gruppen konstruiert, deren Ordnung ist gerade der linke obere Index. Aus gewissen Fixpunktmengen dieser Automorphismen konstruiert man die sogenannten getwisteten Chevalley-Gruppen als Untergruppen der klassischen Chevalley-Gruppen. Diese wurden unabhängig von Robert Steinberg, Jacques Tits und Ravi Hertzig entdeckt.

Einfache Lie-Algebren

Wurzelsysteme 
Es sei  eine einfache, endlichdimensionale  Lie-Algebra  über  und  die nicht-ausgeartete Killing-Form. Dann gibt es gemäß der Theorie der Lie-Algebren eine sogenannte Cartan-Zerlegung
, wobei
  eine Cartan-Unteralgebra ist, es gilt sogar ,
  ein sogenanntes Wurzelsystem in der -linearen Hülle  von ,
  für jedes  ein eindimensionaler Unterraum,  ist ein Vektor aus 
  für alle ,
  für alle .

 ist mit der Einschränkung der Killing-Form ein euklidischer Raum, in dem man daher Längen und Winkel zwischen Vektoren messen kann, und die Wurzelsystem-Eigenschaften führen zu starken Restriktionen für die relativen Längen der Vektoren aus  und den Winkeln zwischen ihnen. Wie bei jedem Wurzelsystem kann man eine Teilmenge  von sogenannten fundamentalen Wurzeln auswählen, so dass
  eine Vektorraumbasis von  ist
 alle Koeffizienten in der Entwicklung eines Vektors  nach der Basis  dasselbe Vorzeichen haben
  für alle .

Dynkin-Diagramme 

Aus dem gerade vorgestellten Wurzelsystem konstruiert man das sogenannte Dynkin-Diagramm, das ist der Graph mit der Knotenmenge  und  Kanten zwischen . Die Eigenschaften eines Wurzelsystems sind derart restriktiv, dass es nur folgende in nebenstehender Übersicht wiedergegebene Möglichkeiten, sogenannte Typen, gibt:
.
Dabei steht ein "<" bzw. ">" über den Kanten zwischen zwei fundamentalen Wurzeln für eine entsprechende Größenrelation der Längen der fundamentalen Wurzeln.

Trotz der vielen Wahlmöglichkeiten in der grob umrissenen Konstruktion stellt dies eine vollständige Klassifikation aller einfachen, endlichdimensionalen -Lie-Algebren dar. Zwei einfache, endlichdimensionale -Lie-Algebren sind genau dann isomorph, wenn sie dasselbe Dynkin-Diagramm haben, und zu jedem der aufgelisteten Dynkin-Diagramme gibt es eine einfache, endlichdimensionale -Lie-Algebra. Diese Klassifikation geht im Wesentlichen auf Élie Cartan und Wilhelm Killing zurück. Oft bezeichnet man eine einfache, endlichdimensionale -Lie-Algebra einfach durch ihren Typ.

Chevalley-Gruppen

Chevalley-Basis 
Wir gehen von einer einfachen, endlichdimensionalen -Lie-Algebra aus  und verwenden die oben eingeführten Begriffe.
Für zwei Wurzeln  sei
 , dadurch werden die fundamentalen Wurzeln geeignet "normiert".
 , diese Zahlen sind stets aus .
 .
Die  bilden natürlich ebenfalls eine Basis der Cartan-Unteralgebra , weshalb 
eine Basis von  ist.

Claude Chevalley hat gezeigt, dass man die Wahlen so treffen kann, dass eine heute sogenannte Chevalley-Basis vorliegt, das heißt, dass Folgendes gilt:
  für alle 
  für alle 
  für alle  mit  
  für alle  mit  , wobei .

Bei den Vorzeichen der  bleiben gewisse Wahlmöglichkeiten.

Chevalley-Gruppen über ℂ 
Die oben genannten Relationen zwischen den Elementen einer Chevalley-Basis zeigen, dass für jedes  die Derivation

ein nilpotentes Element der Algebra der linearen Operatoren auf  ist, das heißt  für ein hinreichend großes . Das gilt dann auch für jedes skalare Vielfache , das heißt für jedes  ist

eine endliche Summe. Daher funktioniert der übliche Beweis, wonach die Exponentialfunktion einer Derivation ein Automorphismus ist. Die von den Automorphismen  erzeugte Gruppe heißt Chevalley-Gruppe und wird mit  bezeichnet. Dabei kann die Lie-Algebra  auch durch ihren Typ ersetzt werden, das heißt man schreibt .
Die Operation von  auf den Elementen einer Chevalley-Basis erhält man ebenfalls aus den oben genannten Relationen:
 
 
 
    für von r linear unabhängige 
 ,
wobei  dadurch bestimmt ist, dass alle  zu  gehören für  und

Chevalley-Gruppen über K 
Eine weitere einfache Folgerung aus obigen Relationen zwischen den Elementen einer Chevalley-Basis ist, dass die -lineare Hülle  bzgl. der Lie-Klammer abgeschlossen ist und daher einen Lie-Ring bildet, das heißt  erfüllt alle Axiome einer Lie-Algebra bis auf diejenigen, die die skalare Multiplikation betreffen.
Ist nun  ein beliebiger Körper, so kann man das Tensorprodukt  bilden, denn jeder Körper ist in natürlicher Weise ein ℤ-Modul.
Jedes Element von  hat die Form
,
wobei  das Einselement in  sei und die  Elemente aus  seien. Durch die Festlegung

erhalten wir eine -Lie-Algebra .
Die Menge  ist eine Basis von  und es gelten nach Definition der Lie-Klammer auf  dieselben Relationen wie zwischen den Elementen der Chevalley-Basis, wobei jede ganze Zahl , die in den Relationen vorkommt, als  zu verstehen ist, das heißt jede ganze Zahl wird wie üblich auf ein Element des Primkörpers von  abgebildet, das wird im Folgenden nicht mehr erwähnt.

Ganz analog kann man nun wie folgt Operatoren  auf  erklären. Jedes  hat bzgl. der Chevalley-Basis eine Matrix-Darstellung mit Matrixelementen , wie man an obigen Formeln für die Operation der  auf den Basiselementen ablesen kann. Für jedes  definiert dann die Matrix mit den entsprechenden Matrixelementen  einen mit  bezeichneten Automorphismus auf . Dieser operiert wie folgt auf den Basiselementen:
 
 
 
    für von r linear unabhängige 
    mit demselben  wie in obigen Formeln für 
Beachte, dass alle Koeffizienten in diesen Gleichungen ganzzahlig sind.

Die von den Automorphismen  erzeugte Gruppe heißt die Chevalley-Gruppe über  und wird mit  bezeichnet.

Die Gruppen  sind bis auf Isomorphie eindeutig durch die Isomorphieklassen der einfachen, endlichdimensionalen -Lie-Algebra  und des Körpers  bestimmt.
Ist  endlich, so ist  bereits durch die Anzahl seiner Elemente, die eine Primzahlpotenz  sein muss, bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt und man schreibt daher  statt . Statt  genügt die Angabe des Typs, und man schreibt daher . Für diese Gruppen gilt folgender Satz:

Ist  eine einfache, endlich-dimensionale -Lie-Algebra und  ein Körper, so ist die Chevalley-Gruppe  einfach bis auf die Ausnahmen .

Damit sind die ersten neun Serien einfacher Gruppen obiger tabellarischer Übersicht erklärt.

Getwistete Chevalley-Gruppen

Automorphismen auf Dynkin-Diagrammen 

Die getwisteten Chevalley-Gruppen sind Untergruppen der Chevalley-Gruppen, die aus gewissen Fixpunkt-Mengen eines geeigneten Automorphismus  der Chevalley-Gruppe gebildet werden. Ein solcher Automorphismus entsteht aus einem Graphenautomorphismus des Dynkin-Diagramms. Daher verschaffen wir uns zunächst einen Überblick über die möglichen Graphenautomorphismen.
Auf den Dynkin-Diagrammen  hat man für  den nicht-trivialen Automorphismus, der den Graphen am horizontalen Zentrum spiegelt, wie in nebenstehender Zeichnung angedeutet.

Auf den Dynkin-Diagrammen  mit  gibt es keine nicht-trivialen Graphenautomorphismen, denn jeder Graphenautomorphismus muss den einzigen Knoten mit nur einer Kante festlassen und ebenso die Abstände zu diesem Knoten. Für  gilt das natürlich nicht und hier gibt es einen nicht-trivialen Automorphismus, wie in der nebenstehenden Zeichnung angegeben. Dasselbe gilt für ,  ist nicht aufgeführt, da dieses mit  zusammenfällt.

Auf  hat man die Vertauschung der beiden rechten Enden als Graphenautomorphismus. Eine Besonderheit ergibt sich bei , hier ist die angegebene Rotation ebenfalls ein nicht-trivialer Graphenautomorphismus.

In den -Diagrammen gibt es genau einen Knoten mit drei Kanten, der daher unter jedem Graphenautomorphismus fix bleiben muss. Das bereits oben bei  gegebene Abstandsargument zeigt, dass  und  keine nicht-trivialen Graphenautomorphismen haben können,  hat den in der Zeichnung angedeuteten  Graphenautomorphismus. Für  und  liegt der Graphenautomorphismus auf der Hand.

Man beachte, dass fast alle angegebenen Graphenautomorphismen die Ordnung 2 haben. Die einzige Ausnahme ist das Dynkin-Diagramm , auf dem es einen Graphenautomorphismus der Ordnung 2 und einen der Ordnung 3 gibt.

Automorphismen auf den Chevalley-Gruppen 
Ist nun  ein Graphenautomorphismus auf einem Dynkin-Diagramm, so kann man tatsächlich einen Automorphismus  der zugehörigen Chevalley-Gruppe finden, der  für jedes  auf  abbildet, wobei der Körper  im Falle von  und  vollkommen und von der Charakteristik 2 und im Falle von  vollkommen und von der Charakteristik 3 sein muss.

Damit der Gruppenautomorphismus  dieselbe Ordnung wie der Graphenautomorphismus  hat, muss man noch gewisse Körperautomorphismen  ins Spiel bringen, was im Falle der uns interessierenden endlichen Körper zu weiteren Einschränkungen führt, die sich insgesamt wie folgt darstellen, wobei  stets für eine Primzahlpotenz steht:
 Typ :  muss ein Quadrat sein, also 
 Typ  (mit ):  muss eine dritte Potenz sein, also 
 Typ :    mit 
 Typ :    mit

Konstruktion der getwisteten Chevalley-Gruppen 
Für endliche Körper  mit  Elementen,  eine Primzahlpotenz, gibt es also unter den oben genannten Einschränkungen zum nicht-trivialen  Graphenautomorphismus  des Dynkin-Diagramms einen entsprechenden Gruppenautomorphismus  gleicher Ordnung auf der zugehörigen Chevalley-Gruppe, der jede Menge  nach  abbildet. Mit diesem Gruppenautomorphismus wird nun wie folgt eine Untergruppe gebildet, wobei man beachte, dass die Gesamtkonstruktion nach wie vor von einer einfachen, endlichdimensionalen -Lie-Algebra  ausgeht und daher alle oben eingeführten Begriffe zur Verfügung stehen. Man definiert
, die positiven Wurzeln
, die negativen Wurzeln
, die von  erzeugte Untergruppe von .

, die Menge der -Fixpunkte einer Teilmenge .
, die von  erzeugte Untergruppe von .

Da  definitionsgemäß von den  erzeugt wird, ist  und natürlich  und  und daher . Hier gilt im Allgemeinen keine Gleichheit, daher rührt die etwas kompliziert anmutende Definition.

Die Gruppen  heißen getwistete Chevalley-Gruppen. Da  nur die Werte 2 und 3 annehmen kann und  nur von bestimmten Typen mit den oben genannten Einschränkungen sein kann,  erhält man die restlichen Gruppen  obiger tabellarischer Übersicht, denn es gilt folgender Satz:

Die getwisteten Chevalley-Gruppen sind einfach mit Ausnahme von
, eine auflösbare Gruppe der Ordnung 72
, eine auflösbare Gruppe der Ordnung 20
, eine 1.512-elementige Gruppe mit einer zu  isomorphen Kommutatorgruppe von Index 3
, eine 35.942.400-elementige Gruppe mit einer Kommutatorgruppe vom Index 2.

Die Tits-Gruppe 
Die getwisteten Chevalley-Gruppen  sind alle einfach bis auf die Gruppe  mit  Einfach ist aber deren Kommutatorgruppe  die 17.971.200 Elemente hat und zu keiner der anderen bisher aufgeführten Gruppen isomorph ist. Man nennt sie nach Jacques Tits die Tits-Gruppe. Sie gehört zur Familie der -Gruppen von Kommutatorgruppen der ersten Familie, deren Mitglieder für  als einfache nicht-abelsche Gruppen mit ihren Kommutatorgruppen übereinstimmen. Die zweite Familie besteht also ausschließlich aus einfachen Gruppen, die alle bis auf die Gruppe  Gruppen vom Lie-Typ sind. Definitionsgemäß wird eine endliche einfache Gruppe sporadisch genannt, wenn sie nicht einer unendlichen Familie von endlichen einfachen Gruppen zugeordnet werden kann. Somit ist die Tits-Gruppe keine sporadische Gruppe – auch wenn sie keine Gruppe vom Lie-Typ ist.

Einzelnachweise 

Gruppentheorie