Betti-Zahl
Im mathematischen Teilgebiet der Topologie sind die Betti-Zahlen eine Folge nichtnegativer ganzer Zahlen, die globale Eigenschaften eines topologischen Raumes beschreiben. Von Henri Poincaré wurde gezeigt, dass sie topologische Invarianten sind. Er benannte die Zahlen nach dem Mathematiker Enrico Betti, da sie eine Verallgemeinerung der von Betti in seiner Arbeit über komplexe algebraische Flächen eingeführten Flächenzahlen sind.

Definition 
Es sei  ein topologischer Raum. Dann ist die -te Betti-Zahl von 
  für 
Dabei bezeichnet  die -te singuläre Homologiegruppe mit Koeffizienten in den rationalen Zahlen.

Anschauung 

Obwohl die Definition der Betti-Zahlen sehr abstrakt ist, steckt hinter ihr eine Anschauung. Die Betti-Zahlen geben an, wie viele k-dimensionale nicht zusammenhängende Flächen der entsprechende topologische Raum hat. Die ersten drei Betti-Zahlen besagen anschaulich also:
  ist die Anzahl der Wegzusammenhangskomponenten.
  ist die Anzahl der „zweidimensionalen Löcher“.
  ist die Anzahl der dreidimensionalen Hohlräume.

Der rechts abgebildete Torus (gemeint ist die Oberfläche) besteht aus einer Zusammenhangskomponente, hat zwei „zweidimensionale Löcher“, zum einen das in der Mitte, zum andern das im Inneren des Torus, und hat einen dreidimensionalen Hohlraum. Die Betti-Zahlen des Torus sind daher 1, 2, 1, die weiteren Betti-Zahlen sind 0.

Ist der zu betrachtende topologische Raum jedoch keine orientierbare kompakte Mannigfaltigkeit, so versagt diese Anschauung allerdings schon.

Eigenschaften 
  ist die Anzahl der Wegzusammenhangskomponenten von .
  ist der Rang der abelisierten Fundamentalgruppe von .
 Für eine orientierbare geschlossene Fläche vom Geschlecht  ist , , .
 Allgemein gilt für jede -dimensionale orientierbare geschlossene Mannigfaltigkeit die Poincaré-Dualität: 
 Für jede -dimensionale Mannigfaltigkeit  gilt  für .
 Für zwei topologische Räume  und  giltDas ist eine direkte Folgerung aus dem Satz von Künneth.

Beispiele 
 Die Betti-Zahlen der -Sphäre sind  
 Die Betti-Zahlen der reellen projektiven Ebene sind , genau wie die eines einzelnen Punktes und jeder konvexen Menge im . Zwei sehr verschiedene Räume können also in allen Betti-Zahlen übereinstimmen.

Verwandte Begriffe 
Die Euler-Charakteristik ist die alternierende Summe der Betti-Zahlen, d. h.

Literatur 
 Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0.

Weblinks

Einzelnachweise 

Algebraische Topologie
Topologische Invariante