Euklidische Relation
Eine euklidische Relation ist in der Mathematik eine binäre Relation, für die Euklids Axiom „Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich“ gilt.

Definition 

Eine binäre Relation R auf einer Menge X heißt euklidisch (oder auch rechts-euklidisch), wenn für beliebige Elemente a, b, c in X die folgende Bedingung erfüllt ist: steht a zu b und a zu c in gleicher Beziehung, so steht auch b zu c in dieser Beziehung. Dies lässt sich auch prädikatenlogisch ausdrücken mit .

Dual dazu heißt eine Relation R auf X links-euklidisch, wenn für beliebige a, b, c in X gilt: stehen sowohl b als auch c in Beziehung zu a, dann steht auch b in Beziehung zu c, formal .

Eigenschaften 

 
 Die Eigenschaft euklidisch zu sein unterscheidet sich von der Transitivität. Zum Beispiel ist die Relation ≤ auf den natürlichen Zahlen transitiv, doch nicht rechts-euklidisch, während die durch  definierte Relation  auf den natürlichen Zahlen nicht transitiv, jedoch rechts-euklidisch ist.

 Für eine symmetrische Relation sind die Eigenschaften Transitivität, rechts- und links-euklidisch koinzident. Doch kann auch eine nicht-symmetrische Relation sowohl transitiv als auch rechts-euklidisch sein, z. B. xRy definiert durch y=0.

 Eine Relation, die sowohl rechts-euklidisch als auch reflexiv ist, ist notwendig auch symmetrisch und damit eine Äquivalenzrelation. Ebenso ist jede links-euklidische und reflexive Relation notwendig eine Äquivalenz.

 Der Bildbereich einer rechts-euklidischen Relation ist stets eine Teilmenge ihres Urbildbereichs. Die Einschränkung einer rechts-euklidischen Relation auf ihren Bildbereich ist stets reflexiv und somit eine Äquivalenzrelation. Ebenso ist der Urbildbereich einer links-euklidischen Relation stets eine Teilmenge ihres Bildbereichs, und die Beschränkung einer links-euklidischen Relation auf ihren Urbildbereich eine Äquivalenz.

 Eine Relation R ist links- und rechts-euklidisch genau dann, wenn ihr Urbild- und ihr Bildbereich übereinstimmen und R auf dieser Menge eine Äquivalenzrelation ist.

 Eine rechts-euklidische Relation ist stets quasitransitiv, ebenso eine links-euklidische Relation.

 Eine konnexe rechts-euklidische Relation ist stets auch transitiv, ebenso eine konnexe links-euklidische Relation.

 Wenn X mindestens 3 Elemente hat, kann eine konnexe rechts-euklidische Relation R auf X nicht antisymmetrisch sein, gleiches gilt für eine konnexe links-euklidische Relation auf X. Auf der zweielementigen Menge X = { 0, 1 } ist z. B. die durch  definierte Relation konnex, rechts-euklidisch und antisymmetrisch;  ist auf dieser Menge konnex, links-euklidisch und antisymmetrisch.

Einzelnachweise und Anmerkungen 

Mathematischer Grundbegriff
Mengenlehre