Invarianter Schätzer
Ein invarianter Schätzer ist ein spezieller Punktschätzer in der Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Invariante Schätzer zeichnen sich dadurch aus, dass sich ihr Schätzwert nicht verändert, wenn man die Daten auf gewisse Weise transformiert. Häufig verwendete Transformationen sind beispielsweise Skalierungen oder Verschiebungen.

Anwendung finden invariante Schätzer beispielsweise bei der Untersuchung der Struktur von äquivarianten Schätzern.

Definition 
Gegeben sei , eine Menge von messbaren Funktionen von  nach , die eine Gruppe bezüglich der Verkettung von Funktionen  bildet.

Dann heißt eine messbare Funktion

ein invarianter Schätzer (bezüglich ), wenn für alle  gilt:

Beispiele 
Es sei jeweils .

Translationsinvariante Schätzer 
Wählt man als Gruppe die Translationen um  entlang dem Einsvektor , also
,

so ist ein Schätzer genau dann translationsinvariant, wenn

ist. Translationsinvarianz ist beispielsweise eine Forderung, die man von Varianzschätzern verlangt, da die Varianz als Streuungsmaß nicht von Verschiebungen abhängig sein sollte.

Skalierungsinvariante Schätzer 
Wählt man als Gruppe die Skalierungen, also

so ist ein Schätzer skalierungsinvariant, wenn

ist.

Weiterführende Begriffe

Maximalinvariante Schätzer 

Eine Verschärfung von invarianten Schätzern sind maximalinvariante Schätzer.

Ein Schätzer  heißt maximalinvariant, wenn er invariant ist, und für je zwei  gilt, dass genau dann

gilt, wenn es ein  gibt, so dass

ist.

Bei maximalinvarianten Schätzern liegen alle Argumente, die denselben Funktionswert annehmen, also auf einer Bahn der Gruppe . Maximalinvariante Schätzer finden sich beispielsweise bei der Definition von Pitman-Schätzern.

P-fast invariante Schätzer 
Gegeben sei eine Menge von Wahrscheinlichkeitsmaßen  und sei  die Menge aller -Nullmengen. Dann heißt  ein -fast invarianter Schätzer, wenn für alle  ein  existiert, so dass
.

-fast invariante Schätzer erlauben also eine Verletzung der Invarianzeigenschaft auf einer Nullmenge.

Literatur 

Mathematische Statistik