Cantorsche Normalform
Die cantorsche Normalform wird im mathematischen Teilgebiet der Mengenlehre behandelt, sie verallgemeinert die Darstellung von Zahlen im Stellenwertsystem bzgl. einer festen Basis auf Ordinalzahlen.

Cantorsche Normalform zur Basis β 
Es sei  eine Ordinalzahl. Dann gibt es zu jeder Ordinalzahl  eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl  und eindeutig bestimmte Ordinalzahlen  und , so dass
  und
  und  für .

Zum Beweis 
Der Beweis wird mittels transfiniter Induktion geführt. Mittels einfacher Lemmata über Ordinalzahlenarithmetik verschafft man sich die kleinste Ordinalzahl  mit . Dann gibt es Ordinalzahlen  und  mit . Schließlich ist  oder man kann auf  die Induktionsvoraussetzung anwenden, was ebenfalls den Beweis beendet.

Bemerkungen

Stellung der Koeffizienten 
In obiger Darstellung der Ordinalzahl  bzgl. der Basis  stehen die Koeffizienten  rechts von den Potenzen . Das weicht von der üblichen Schreibweise beim Stellenwertsystem in der Zahlentheorie ab, dort schreibt man die Koeffizienten gerne vor die Potenzen. Das ist dort kein Problem, da die Multiplikation in den natürlichen Zahlen kommutativ ist, was aber für die Ordinalzahlenmultiplikation nicht der Fall ist. So ist zum Beispiel , wobei  die kleinste unendliche Ordinalzahl sei. Obiger Satz wird sogar falsch, wenn man die Koeffizienten vor die Potenzen setzt.

Basis ω 
Ist speziell , so nimmt obiger Satz folgende Form an:

Zu jeder Ordinalzahl  gibt es eindeutig bestimmte natürliche Zahlen  und Ordinalzahlen , so dass
 .

Dazu beachte man, dass Ordinalzahlen  natürliche Zahlen sein müssen, die in dieser Formulierung mit  bezeichnet sind. Diesen Satz nennt man auch den cantorschen Normalformsatz. Er wurde erstmals 1897 von Cantor für gewisse Ordinalzahlen bewiesen, der Beweis ließ sich aber auf beliebige Ordinalzahlen erweitern.

Basis 10 
Verwendet man die Basis , so erhält man für , also für natürliche Zahlen, genau die übliche Dezimaldarstellung im Stellenwertsystem zur Basis 10. Darüber hinaus liefert der Satz aber auch Darstellungen für größere Ordinalzahlen, zum Beispiel  oder .

Anwendungen 
Die Darstellungen von Ordinalzahlen zur Basis  werden zur Definition der sogenannten hessenbergschen natürlichen Operationen verwendet.

Des Weiteren ermöglichen sie einen Beweis des Satzes von Goodstein.

Einzelnachweise 

Mengenlehre
Normalform