Holomorpher Funktionalkalkül mehrerer Veränderlicher
Der holomorphe Funktionalkalkül mehrerer Veränderlicher wird in der Mathematik zur Untersuchung kommutativer -Banachalgebren eingesetzt. Dieser Funktionalkalkül erlaubt die Anwendung einer holomorphen Funktion mehrerer Veränderlicher auf ein Tupel bestehend aus Elementen der Banachalgebra. Dies verallgemeinert den holomorphen Funktionalkalkül, der sich auf holomorphe Funktionen einer Veränderlichen bezieht.

Motivation
Die einfachsten holomorphen Funktionen mehrerer Veränderlicher sind Polynome  mit . 

Ein Einsetzen von Elementen  einer -Algebra in ein solches Polynom führt zu . 

Um  sinnvoll definieren zu können, benötigt man zunächst ein Einselement 1 in der Banachalgebra. Ist  die Menge der Polynome in  Veränderlichen, so erhält man eine Abbildung 
.
Damit diese Abbildung ein Homomorphismus wird, müssen die Elemente  untereinander kommutieren, denn  ist ja ein kommutativer Ring und daher muss 

 

sein. Deshalb muss man sich auf kommutative -Banachalgebren mit Einselement beschränken. Hat man kein Einselement, so kann man eines adjungieren.

Der Kalkül 
Der holomorphe Funktionalkalkül einer Veränderlichen für ein Element  befasst sich mit holomorphen Funktionen, die in einer Umgebung des Spektrums  definiert sind. In der hier betrachteten Situation liegen  Elemente  einer kommutativen Banachalgebra mit 1 vor und man betrachtet holomorphe Funktionen in  Veränderlichen, die in einer Umgebung des gemeinsamen Spektrums  definiert sind. Ist  der Gelfand-Raum von , so ist

eine kompakte Teilmenge des  .
Mit Methoden der Funktionentheorie zeigt man
 Sei  eine kommutative -Banachalgebra mit 1,  und sei  eine in einer Umgebung von  definierte holomorphe Funktion. Dann gibt es ein Element  mit
  für alle 

Das Element  aus obigem Satz ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, denn es kann durchaus verschiedene Elemente  in  geben mit  für alle . Aber dann gilt  für alle . Da die Kerne der Homomorphismen aus  aber genau die maximalen Ideale von  sind (siehe Artikel Banachalgebra), liegt  im Durchschnitt aller maximalen Ideale, das heißt im Jacobson-Radikal von . Wenn also das Jacobson-Radikal  ist (das heißt, wenn die Banachalgebra halbeinfach ist), so kann man auf  schließen. In diesem Fall ist also das  aus obigem Satz eindeutig bestimmt. Man erhält dann folgenden Satz:
Sei  eine halbeinfache, kommutative -Banachalgebra mit 1,  und sei  eine offene Umgebung des gemeinsamen Spektrums . Ist  die Menge aller in  definierten holomorphen Funktionen, so gibt es zu jedem  genau ein Element  mit 
  für alle .

Dieses eindeutig bestimmte Element bezeichnet man mit . In der Situation obigen Satzes gilt dann weiter

 Die Abbildung  ist ein Homomorphismus, der die Einsetzung  fortsetzt.

In diesem Sinne kann man Elemente halbeinfacher, kommutativer -Banachalgebren mit 1 in holomorphe Funktionen, die in einer Umgebung des gemeinsamen Spektrums definiert sind, einsetzen.

Diese Sätze wurden unter der zusätzlichen Annahme, dass die Banachalgebra endlich erzeugt ist, von Schilow bewiesen. Der allgemeine Fall wurde dann von Arens und Calderón gezeigt; weitere Versionen finden sich im unten genannten Bourbaki-Band.

Der Schilowsche Idempotentensatz
Die bekannteste Anwendung dieser Methoden geht auf Schilow selbst zurück. Der Schilowsche Idempotentensatz macht eine Aussage über die Existenz von idempotenten Elementen in kommutativen Banachalgebren mit 1:

 Sei  eine kommutative -Banachalgebra mit Einselement und der Gelfand-Raum sei eine disjunkte Vereinigung  nicht-leerer kompakter Teilmengen  und . Dann gibt es ein idempotentes Element  mit  für alle  und  für alle 

Zum Beweis, der hier nur grob angedeutet werden kann, verschafft man sich geeignete Elemente , so dass deren gemeinsames Spektrum ebenfalls eine disjunkte Vereinigung kompakter Mengen  und  ist. Dann gibt es disjunkte offene Umgebungen  und  von  bzw. . Die Funktion , die auf  gleich 0 und auf  gleich 1 ist, ist holomorph in einer Umgebung des gemeinsamen Spektrums. Ist  zusätzlich halbeinfach, so ist  das gesuchte Element. In einem weiteren Beweisschritt befreit man sich von der zusätzlichen Voraussetzung der Halbeinfachheit.   

Eine weitere wichtige Anwendung ist 
 Eine halbeinfache, kommutative -Banachalgebra  hat genau dann ein Einselement, wenn der Gelfand-Raum  kompakt ist.

Literatur
 F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862
 Bourbaki: Élements de mathématique, XXXII, Theories spectrales, Paris: Hermann 1967
 Gunning-Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice-Hall 1965
 Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Mathematical Library 1973

Funktionalanalysis