Satz von Bochner-Minlos
Der Satz von Bochner-Minlos, benannt nach Salomon Bochner und Robert Adolfowitsch Minlos, macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsmaßen und charakteristischen Funktionen auf nuklearen Räumen. Nach Aussage des Satzes existiert eine Eins-zu-eins-Verbindung zwischen beiden Konzepten, d. h. man kann zu jedem Wahrscheinlichkeitsmaß eine charakteristische Funktion berechnen, und umgekehrt erhält man aus jeder charakteristischen Funktion ein eindeutig bestimmtes Wahrscheinlichkeitsmaß. Beide Objekte sind durch eine Fouriertransformation miteinander verknüpft.

Der Satz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Bochner über charakteristische Funktionen auf .

Aussage des Satzes 

Für jede charakteristische Funktion  auf einem reellen nuklearen Raum  existiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß , so dass

 

ist. Umgekehrt ist die Fouriertransformierte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes  auf  immer eine charakteristische Funktion auf .

Hier sind  der starke Dualraum von  und  die duale Paarung.

Beispiel 
Betrachtet man im eindimensionalen Fall die Gaußfunktion

 

als charakteristische Funktion, so ist das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß  das Maß mit gaußscher Dichte

 .

Dieses Ergebnis lässt sich für den unendlichdimensionalen Fall verallgemeinern. Der Schwartzraum  ist ein Beispiel für einen (unendlichdimensionalen) nuklearen Raum. Dort kann man die charakteristische Funktion

 

definieren. Nach Aussage des Satzes gibt es dann ein Wahrscheinlichkeitsmaß  auf dem Raum der temperierten Distributionen mit den oben genannten Eigenschaften. Dieses Maß wird in der White Noise Analysis als White-Noise-Maß bezeichnet.

Einzelnachweis

Weblinks 
Jordan Bell: The Bochner-Minlos theorem

Stochastik
Lokalkonvexer Raum
Bochner Minlos, Satz von