Splitting-Verfahren
In der numerischen Mathematik sind Splitting-Verfahren iterative Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme  mit einer Matrix  und rechter Seite  Im Unterschied zu direkten Verfahren nähert man sich dabei ausgehend von einer Startnäherung schrittweise der gesuchten Lösung an und bricht ab, falls die Genauigkeit hoch genug ist.

Beschreibung 
Das Verfahren ergibt sich über ein Splitting der Systemmatrix  mit einer invertierbaren Matrix .

Daraus erhält man die Fixpunktgleichung 
.
Mit , wobei  die Einheitsmatrix bezeichnet, ergibt sich die Fixpunktiteration 
 Wähle einen Startvektor .
 Setze .

Man kann die Iteration abbrechen, falls die Norm des Residuums  eine vorgegebene Fehlerschranke unterschreitet. Das Verfahren konvergiert genau dann, wenn der Spektralradius der Matrix  kleiner 1 ist. Mit Hilfe des banachschen Fixpunktsatzes folgt ferner die lineare Konvergenzgeschwindigkeit der gesamten Verfahrensklasse. Je kleiner der Spektralradius ist, umso schneller konvergiert das Verfahren. Falls sich  und  nur wenig unterscheiden, kann man mit dem Störungslemma zeigen, dass auch der Spektralradius von  klein ist. Damit ergibt sich ein Gegensatz von schneller Konvergenz ( approximiert  sehr gut) zu geringen Kosten pro Iteration ( ist einfach invertierbar). Insgesamt sind diese Verfahren für viele praktische Probleme zu langsam. Allerdings stellen sie aufgrund ihrer einfachen Anwendbarkeit gute Vorkonditionierer dar. Darüber hinaus sind viele Splitting-Verfahren als Glätter in einem Mehrgitterverfahren geeignet.

Beispiele 
 Jacobi-Verfahren:  ist die Hauptdiagonale von .
 Richardson-Verfahren:  mit einem Parameter .
 Gauß-Seidel-Verfahren:  die untere linke Dreiecksmatrix + Hauptdiagonale.
 Weitere sind das SOR-Verfahren  und SSOR.
 eine Möglichkeit der Nachiteration für das gaußsche Eliminationsverfahren: .

Modifikationen 
Man unterscheidet zwischen stationären Verfahren mit konstanter Iterationsmatrix und instationären Verfahren, wo die Matrizen  vom Index  abhängen dürfen.

Literatur 
 A. Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, 2. Auflage, Vieweg 2005, ISBN 3528131357

Numerische lineare Algebra