Zusammenziehbarer Raum
Zusammenziehbare Räume – auch als kontrahierbare bzw. kontraktible Räume bezeichnet – werden im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet. Aus Sicht der Homotopietheorie gelten zusammenziehbare Räume als trivial. Viele in der Algebraischen Topologie definierte Invarianten verschwinden für zusammenziehbare Räume.

Definition 
Ein topologischer Raum  heißt zusammenziehbar oder kontrahierbar oder kontraktibel, wenn er homotopieäquivalent zu einem einpunktigen Unterraum ist, das heißt, wenn es eine stetige Abbildung
 
und einen festen Punkt  gibt, sodass
  für alle  und
  für alle 
gilt.

Beispiel 
 Der euklidische Raum  ist zusammenziehbar: Setze
  für  und .
 Man beachte, dass der Raum nicht im anschaulichen Sinne „stetig zu einem Punkt deformiert wird“: Das Bild der Abbildung
 
 ist für  stets der gesamte Raum, erst für  ist das Bild nur noch der Ursprung.
 Allgemeiner sind sternförmige Mengen zusammenziehbar.

Schwach zusammenziehbare Räume 
Ein topologischer Raum  heißt schwach kontrahierbar oder schwach zusammenziehbar, wenn für alle  die Homotopiegruppen  trivial sind, d. h.
  und  für alle .

Wenn ein Raum  zusammenziehbar ist, dann ist er auch schwach zusammenziehbar.

Für CW-Komplexe gilt auch die Umkehrung: Aus  und  für alle  folgt, dass der CW-Komplex  zusammenziehbar ist. Für beliebige topologische Räume gilt die Umkehrung i. A. nicht.

Weitere Resultate 
Es liegen die folgenden Resultate vor:
 Eine nichtleere konvexe Teilmenge des euklidischen Raums ist stets zusammenziehbar.
 Jeder zusammenziehbare Raum ist wegzusammenhängend.
 Jeder Retrakt eines zusammenziehbaren Raums ist zusammenziehbar.
 Ein nichtleeres topologisches Produkt von nichtleeren zusammenziehbaren Räumen ist stets zusammenziehbar.(Vererbungssatz)

Gegenbeispiele 
 Die Einheitssphäre  (oder allgemeiner: eine entsprechende Sphäre mit festem Radius) ist nicht zusammenziehbar, obwohl sie für  einfach zusammenhängend ist.
 Der Raum, den man als Vereinigung von

 mit einem (0,-1) und (1,sin(1)) verbindenden Kreisbogen erhält, ist nicht zusammenziehbar, obwohl alle seine Homotopiegruppen trivial sind.
 Dies zeigt, dass der Satz von Whitehead für topologische Räume, die kein CW-Komplex sind, im Allgemeinen nicht gelten muss.

Literatur

Einzelnachweise 

Topologischer Raum
Algebraische Topologie