K-monotone Funktion
Eine K-monotone Funktion ist eine Verallgemeinerung einer reellen monotonen Funktion auf Funktionen, die vom  nach  abbilden. Dabei wird die Ordnung auf den reellen Zahlen mittels eines echten Kegels zu einer Halbordnung auf  verallgemeinert. K-monotone Funktionen lassen sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen.

Definition 
Gegeben sei eine Funktion  mit  und ein echter Kegel  im  sowie die von ihm definierte verallgemeinerte Ungleichung  und die strikte verallgemeinerte Ungleichung . Dann heißt die Funktion
 K-monoton wachsend oder K-monoton steigend, wenn für alle  mit   gilt, dass  ist.
 K-monoton fallend, wenn für alle  mit   gilt, dass  ist.
 strikt K-monoton wachsend oder strikt K-monoton steigend, wenn für alle  mit   gilt, dass  ist.
 strikt K-monoton fallend, wenn für alle  mit   gilt, dass  ist.
 strikt K-monoton, wenn sie entweder strikt K-monoton wachsend (strikt K-monoton steigend) oder strikt K-monoton fallend ist.
 K-monoton, wenn sie entweder K-monoton wachsend (K-monoton steigend) oder K-monoton fallend ist.

Beispiele 
 Jede monoton wachsende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels .
 Jede monoton fallende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels . Die Angabe des Kegels ist also essentiell, um Verwechslungen vorzubeugen.
 Sind die Funktionen  monoton wachsend, so ist die Funktion

K-monoton wachsend bezüglich des positiven Orthanten . Dies folgt direkt aus der Monotonie der .

Eigenschaften 
Sei  differenzierbar und  eine konvexe Menge sowie  der duale Kegel des Kegels . Dann gilt:
  ist K-monoton wachsend auf  genau dann, wenn  für alle .
  ist K-monoton fallend auf  genau dann, wenn  für alle .
 Wenn  für alle  gilt, dann ist  strikt K-monoton wachsend auf .
 Wenn  für alle  gilt, dann ist  strikt K-monoton fallend auf .

Matrix-monotone Funktionen 
Wählt man als Vektorraum anstelle des  den  (der Vektorraum aller reellen symmetrischen Matrizen), so nennt man die entsprechenden Funktionen  Matrix-monotone Funktionen. Als Kegel wählt man hier den Kegel der semidefiniten Matrizen , was äquivalent zur Verwendung der Loewner-Halbordnung ist. Die Benennung folgt dem obigen Schema. So ist die Determinante  strikt Matrix-monoton wachsend auf dem Kegel  der positiv definiten Matrizen.

Verwendung 
K-monotone Funktionen finden Verwendung in der Theorie der konvexen Funktionen. So ist zum Beispiel die Verkettung einer K-monoton wachsenden konvexen Funktion und einer K-konvexen Funktion wieder konvex.

Literatur 

Mathematische Funktion