Inkompressible Fläche
In der Mathematik sind inkompressible Flächen ein wichtiges Hilfsmittel der 3-dimensionalen Topologie. Durch Aufschneiden entlang inkompressibler Flächen können 3-dimensionale Mannigfaltigkeiten in einfachere Stücke zerlegt werden.

Definition 

Sei  eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit mit (evtl. leerem) Rand und  eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit, d. h. eine eigentlich eingebettete Fläche.

Inkompressible Fläche 

Eine Kompressionsscheibe für  ist eine eingebettete Kreisscheibe 
,
so dass  in  nicht homotop zu einer konstanten Abbildung ist.

Die Fläche  heißt inkompressibel wenn 
  und es keine Kompressionsscheibe für  gibt, oder
  und  ist in  nicht homotop zu einer konstanten Abbildung.

Rand-inkompressible Fläche 

Eine Rand-Kompressionsscheibe für  ist ein eingebettetes Tripel  mit , so dass  nicht (rel. ) isotop zu einer Einbettung mit Bild in  ist, deren Bild  und  jeweils in Kreisscheiben schneidet.

Die Fläche  heißt -inkompressibel wenn es keine Rand-Kompressionsscheibe für  gibt.

Bei Mannigfaltigkeiten mit nichtleerem Rand wird häufig auch von inkompressiblen Flächen gesprochen, wenn Flächen gemeint sind, die im Sinne obiger Definitionen inkompressibel und rand-inkompressibel sind.

Fundamentalgruppe 

Wenn  eine inkompressible Fläche in  ist, dann ist der von der Inklusion  induzierte Homomorphismus der Fundamentalgruppen 

injektiv. Für zweiseitige Flächen gilt auch die Umkehrung: eine zusammenhängende zweiseitige Fläche ist inkompressibel genau dann, wenn sie -injektiv ist.

Existenz 

Wenn  eine kompakte irreduzible 3-Mannigfaltigkeit ist, dann gibt es zu jeder Homologieklasse

eine (orientierbare, evtl. unzusammenhängende) inkompressible und -inkompressible Fläche , so dass 
.
Hierbei bezeichnet  die Inklusion und  die Fundamentalklasse von .

Satz von Haken 

Der Satz von Haken besagt, dass Aufschneiden einer 3-Mannigfaltigkeit entlang einer inkompressiblen, rand-inkompressiblen Fläche die Haken-Komplexität der 3-Mannigfaltigkeit verringert. Dies wird in der 3-dimensionalen Topologie häufig benutzt, um Beweise mittels Induktion nach der Haken-Komplexität zu führen.

Minimalflächen 

Nach einem Satz von Freedman, Hass und Scott ist jede inkompressible Fläche (in einer kompakten 3-Mannigfaltigkeit) isotop zu einer Minimalfläche vom Index 0.

Siehe auch 
Haken-Mannigfaltigkeit

Literatur  

William Jaco: Lectures on three-manifold topology. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 43. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1980. ISBN 0-8218-1693-4

Topologie von 3-Mannigfaltigkeiten
Knotentheorie