Fuzzy-Zufallsvariable
Eine Fuzzy-Zufallsvariable, engl. Fuzzy Random Variable, ist eine (scharfe) Zufallsvariable, die aber nur unscharf wahrgenommen werden kann. Fuzzy-Zufallsvariablen wurden erstmals 1978 von H. Kwakernaak und 1987 ausführlicher von R. Kruse und K.D. Meyer behandelt. Man betrachte z. B. einen Schwarm von Maifliegen (das Beispiel stammt aus). Das aktuelle Alter einer zufällig herausgegriffenen Fliege ist eine (positiv reellwertige) Zufallsgröße, allerdings ist diese nicht exakt beobachtbar, weil das genaue Geburtsdatum der Maifliege nicht bekannt ist. Man wird also das Alter nur unscharf z. B. als „jung“, „mittleres Alter“ oder „alt“ wahrnehmen können.

Definitionen 
Seien  ein Wahrscheinlichkeitsraum und  eine Menge von Zugehörigkeitsfunktionen auf einer Grundmenge , häufig ist . Eine Fuzzy-Zufallsvariable  ist nun eine Abbildung , wobei an  bzw. an die resultierenden Zugehörigkeitsfunktionen

noch (hier unterdrückte) Forderungen gestellt werden, die die Messbarkeit von  sichern, siehe aber. Sei weiter  die Menge aller scharfen Zufallsvariablen auf , hier Menge der Originale genannt. Eine wesentliche Rolle, insbesondere für die Grundlagen einer Statistik mit unscharfen Daten, spielt nun die Fuzzymenge  aller möglichen Originale der Fuzzy-Zufallsvariablen . Diese Fuzzymenge hat die Zugehörigkeitsfunktion
.
 beschreibt den Grad der Möglichkeit, dass  ein (nichtbeobachtbares) Original von  ist. Etwas salopper ausgedrückt: Welche (scharfen) Zufallsgrößen  sind möglich, wenn man nur das unscharfe  beobachten kann. Auf obiges Beispiel mit dem Schwarm von Maifliegen bezogen: Welche (scharfen) Alterskonstellationen sind möglich, wenn man nur Zufallsvariablen mit den Werten "jung", "mittleres Alter" und "alt" beobachten kann.

Erwartungswert einer Fuzzy-Zufallsvariablen 
Der Erwartungswert  einer Fuzzy-Zufallsvariablen  ist die Fuzzymenge auf , die gemäß dem sogenannten Erweiterungsprinzip  durch

erhalten wird. Dieser Erwartungswert stimmt mit dem Erwartungswert einer zufälligen Fuzzymenge überein. Im Spezialfall  kann  mittels der Alpha-Schnitte  konstruiert werden durch die Intervalle
.

Weiteres 
Für Fuzzy-Zufallsvariablen kann auch eine Varianz definiert werden. Sie ist eine Fuzzymenge. Im Unterschied dazu ist die Varianz einer zufälligen Fuzzymenge eine reelle Zahl.

Einzelnachweise

Literaturhinweise 
 I. Couso, D. Dubois and Sanchez, L. (2014). Random Sets and Random Fuzzy Sets as Ill-Perceived Random Variables. Springer
 I. Couso and Dubois, D. (2009). On the variability of the concept of variance for fuzzy random variables. IEEE Trans. Fuzzy Syst. 17, 1070–1080
 V. Krätschmer (2001). A unified approach to fuzzy random variables. Fuzzy Sets and Systems 123, 1–9
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