Approximative Pivotstatistik
Eine approximative Pivotstatistik ist eine Folge von Funktionen in der mathematischen Statistik, die zur Konstruktion von approximativen Konfidenzbereichen verwendet wird. Sie bildet somit das asymptotische Pendant zur Pivotstatistik, welche zur Konstruktion von (nichtapproximativen) Konfidenzbereichen verwendet wird.

Definition

Rahmenbedingungen 
Für  seien  Messräume und  Familien von Wahrscheinlichkeitsmaßen auf .
Sei  ein weiterer Messraum sowie

die zu schätzende Funktion.

In den meisten Fällen handelt es sich bei den Messräumen und den Familien von Wahrscheinlichkeitsmaßen um -fache Produktmodelle. Typisches Beispiel hierfür wäre  und als Wahrscheinlichkeitsmaß ein entsprechendes Produktmaß  eines Wahrscheinlichkeitsmaßes  auf .

Formalisierung 
Eine Folge von Statistiken  mit

heißt eine approximative Pivotstatistik für , wenn gilt:
 Es existiert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung  auf , so dass die Verteilung von  für alle  gegen  konvergiert. Es ist also
 für  und für alle .
 Für alle Mengen  ist  in  enthalten.

Die zweite Bedingung garantiert, dass allen Mengen in  sinnvoll Wahrscheinlichkeiten durch die Wahrscheinlichkeitsmaße  zugeordnet werden können, das heißt die Verteilung von  für alle  wohldefiniert ist.

Beispiel 
Betrachte ein Bernoulli-Produktmodell, also

versehen mit der Bernoulli-Verteilung zum Parameter .

Das -fache Produktmodell ist dann . Geschätzt werden soll der Parameter der Bernoulli-Verteilung, also ist die zu schätzende Funktion
.

Sei  die Stichprobenvariable. Die  sind unabhängig identisch verteilt und es ist

eine approximative Pivotstatistik, da sie nach dem Satz von Moivre-Laplace gegen die Standardnormalverteilung konvergiert. Es ist also .

Quellen 
 
 

Mathematische Statistik