Homologiesphäre
Eine Homologiesphäre bezeichnet in der Mathematik eine -dimensionale Mannigfaltigkeit , deren  singuläre Homologiegruppen isomorph zu denen der gewöhnlichen -Sphäre sind.

Definition 
Explizit ausgedrückt heißt eine -dimensionale Mannigfaltigkeit , für deren singulären Homologiegruppen

für ein  und

für alle anderen  gelten.

Aus der Homologie kann man ablesen, dass  eine kompakte, zusammenhängende Mannigfaltigkeit ohne Rand ist.
Im Allgemeinen ist  jedoch nicht einfach zusammenhängend:
Teilt man die Fundamentalgruppe  durch ihre Kommutatorgruppe dann erhält man eine Gruppe, die isomorph zur ersten Homologiegruppe  ist.  Das bedeutet aus  kann man lediglich schließen, dass die Fundamentalgruppe eine perfekte Gruppe, also zu ihrer Kommutatorgruppe isomorph ist, nicht aber dass  trivial sein muss.

Geschichtliche Einordnung 
Historisch wurden Homologiesphären zuerst in der -dimensionalen Topologie betrachtet.

Poincaré glaubte anfangs, dass der Homologiering ausreichen müsste, um die -dimensionale Standardsphäre eindeutig zu charakterisieren.  Er entdeckte aber ein Gegenbeispiel (die sogenannte Poincaré-Homologiesphäre) und formulierte dann die schärfere Poincaré-Vermutung (bei der zusätzlich  gefordert wird), die erst ca. 100 Jahre später von Perelman bewiesen wurde.

Verbindung zur Homotopiesphäre 
Eine Anwendung des Satzes von Hurewicz und des Satzes von Whitehead zeigt, dass jede einfach zusammenhängende -dimensionale Homologiesphäre eine Homotopiesphäre, d. h. homotopieäquivalent zur Sphäre  sein muss. Aus der Poincaré-Vermutung beziehungsweise ihrem höherdimensionalen Analogon für  folgt dann, dass sie auch homöomorph zur  ist. Auch in höheren Dimensionen gibt es also Homologiesphären  nur für .

Weblinks 
 Classification of homology 3-spheres? (mathoverflow)

Geometrische Topologie