Tangentialkegel und Normalkegel
Der Tangential- beziehungsweise Normalkegel einer Teilmenge eines euklidischen Raumes ist in der Geometrie eine Verallgemeinerung des Begriffes des Tangentialraumes respektive des Normalenvektors einer Menge und ermöglicht dadurch die Anwendung algebraischer Methoden auch auf nicht-differenzierbare geometrische Objekte. Sowohl der Tangential- als auch der Normalkegel sind Kegel im Sinne der linearen Algebra, wodurch die Bezeichnung gerechtfertigt wird. Der Normalkegel wird auch als Polarkegel bezeichnet. Die erste einheitliche Fassung des Begriffs des Tangentialkegels stammt von dem US-amerikanischen Topologen Hassler Whitney aus dem Jahre 1965, allerdings beschrieb diese eher den Rand des Kegels im heutigen Sinne. Die modernen Definitionen entwickelten sich im Umfeld der Theorie der Mengen positiver Reichweite und ergänzten deren Programm, um Erkenntnisse aus der Differentialgeometrie auf eine größere Klasse von Mengen – als nur differenzierbare Mannigfaltigkeiten – übertragen zu können.

Definition 

Sei  eine Teilmenge eines euklidischen Raumes und  ein Punkt, der nicht notwendig selbst in  liegen muss, schließlich bezeichne  die Euklidische Norm.

Dann heißt die Menge

der Tangentialkegel von  an  und sein polarer Kegel

wird Normalkegel oder Polarkegel von  an  genannt.

Falls  im Rand  liegt, so besteht der Tangentialkegel anschaulich aus allen von  ausgehenden Strahlen die  noch in einem weiteren Punkt treffen. Der Normalkegel ist dann die Menge aller Vektoren, die mit allen diesen Strahlen einen Winkel von mindestens 90 ° einschließen.

Normaleneinheitsbündel 

Auf diesen Begriffen aufbauend, lässt sich – in Analogie zum Einheitstangentialbündel der Differentialgeometrie – das Normaleneinheitsbündel definieren:

Es ist also die disjunkte Vereinigung der äußeren Normalenvektoren der Länge 1 zu jedem Punkt von . Diese Definition ist sinnvoll, denn ein Kegel wird jeweils vollständig durch seine Einheitsvektoren beschrieben.

Dabei ist zu beachten, dass das Normaleneinheitsbündel – im Gegensatz zum Tangentialbündel – im Allgemeinen kein Vektorraumbündel im Sinne der Vektoranalysis darstellt, da die Normalkegel in der Regel keine Untervektorräume sind.

Eigenschaften 

 Sowohl Tangential- als auch Normalkegel sind abgeschlossene Kegel.
 Des Weiteren ist der Normalkegel stets konvex.
 Zwischen den Kegeln gilt die Beziehung .
 Hat  positive Reichweite, so gilt sogar .
 Insbesondere muss dann  ebenfalls konvex sein.
 Außerdem lässt sich zeigen, dass  in diesem Fall im  abgeschlossen ist.
 Falls  ein innerer Punkt ist, entarten die beiden Kegel zu  und 
 Ist andersherum  von  getrennt, dann gilt umgekehrt:  und 
 In der Optimierung (Mathematik) verwendet man Tangentialkegel zur Herleitung von Optimalitätskriterien. Meist wird aber der linearisierte Tangentialkegel verwendet, da dieser leichter zu handhaben ist.

Hinweis: Einige Autoren beschränken sich deshalb in der Definition von vornherein auf Punkte im Abschluss .

 Bildet der Rand des Tangentialkegels einen Untervektorraum im  – in diesem Fall liegt  notwendig im Rand  – so ist  im Punkt  differenzierbar und  stimmt mit dem klassischen Tangentialraum  überein.
 Ist  sogar eine Hyperebene, das heißt von Kodimension 1, so wird  vom entsprechenden Normalenvektor erzeugt.

Einzelnachweise 

Geometrie
Lineare Algebra