Freie Gruppe
In der Mathematik heißt eine Gruppe frei, wenn sie eine Teilmenge  enthält,
sodass jedes Gruppenelement auf genau eine Weise als (reduziertes) Wort von Elementen in  und deren Inversen geschrieben werden kann.
Hierbei ist die Reihenfolge der Faktoren wichtig: Wenn man verlangt, dass alle Elemente der Gruppe kommutieren sollen,
dann erhält man das verwandte, aber sehr verschiedene Konzept der freien abelschen Gruppe.

Freie Gruppen spielen in der Gruppentheorie eine universelle Rolle und erlauben, jede Gruppe durch Erzeuger und Relationen darzustellen.
Sie treten auch in der algebraischen Topologie auf, zum Beispiel als Fundamentalgruppe von Graphen (siehe Satz von Nielsen-Schreier) oder von Flächen wie der punktierten Ebene.

Definition 

Eine Gruppe  heißt frei über einer Teilmenge , wenn sich jedes Gruppenelement  auf genau eine Weise schreiben lässt als Produkt  mit Faktoren , wobei  für alle , und Exponenten , wobei  für alle .

Unter den genannten Bedingungen nennt man  ein reduziertes Wort über .
Demnach ist  frei über , wenn sich jedes Element von  eindeutig als reduziertes Wort über  schreiben lässt. Die Existenz einer solchen Schreibweise ist gleichbedeutend damit, dass  ein Erzeugendensystem von  ist. Die Eindeutigkeit ist gleichbedeutend damit, dass zwischen den Elementen von  keine algebraischen Relationen bestehen (außer der in jeder Gruppe gültigen Kürzungsrelation ) oder dass das neutrale Element der Gruppe sich mit den Elementen aus  in reduzierter Form ausschließlich als deren leeres Produkt darstellen lässt. Ist  frei über , so sagt man daher auch,  werde frei von  erzeugt. Man nennt dann  ein freies Erzeugendensystem oder auch Basis der Gruppe .

Universelle Eigenschaft 

Eine Gruppe  ist genau dann frei über einer Teilmenge , wenn sie folgende universelle Eigenschaft hat:
Ist  eine beliebige Abbildung der Menge  in eine Gruppe , dann gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus , der  fortsetzt, also  für alle  erfüllt.

Diese universelle Abbildungseigenschaft ist zu obiger Definition äquivalent. Jede der beiden Charakterisierungen kann also als Definition freier Gruppen verwendet werden, und in der Literatur finden sich beide Zugänge. Die jeweils andere Charakterisierung ist dann eine Folgerung.

Beispiele 

Die Gruppe  der ganzen Zahlen ist frei über .
Die universelle Abbildungseigenschaft besagt hier: Zu jeder Gruppe  und jedem beliebigen Element  gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus  mit . Dieser ist gegeben durch  für alle .

Die zyklische Gruppe  der Ordnung  ist keine freie Gruppe. Diese wird von einem Element  der Ordnung  erzeugt, und die Relation  verhindert, dass  frei ist. Man kann sich  vorstellen als die Rotationsgruppe des regelmäßigen -Ecks in der Ebene, erzeugt von einer Rotation  um den Winkel . Jedes Element lässt sich dann schreiben als  mit , aber diese Schreibweise ist nicht eindeutig, denn .

Das kartesische Produkt  mit der komponentenweisen Addition ist eine freie abelsche Gruppe über , aber keine freie Gruppe. Allgemein ist eine freie abelsche Gruppe über einer Menge  mit mehr als einem Element keine freie Gruppe.

Sei  die Drehung des  um die x-Achse  um den Winkel  und  die Drehung des  um die y-Achse  um den Winkel . Dann ist die von  und  erzeugte Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe  eine freie Gruppe über . Eine solche freie Drehgruppe über einem zweielementigen Erzeugendensystem tritt im Beweis des Banach-Tarski-Paradoxons auf.

Konstruktion 

Zu jeder Menge  gibt es eine freie Gruppe  über . Diese kann wie folgt konstruiert werden.

Um zunächst zu jedem Element  auch ein Inverses  zu haben, betrachten wir die Menge  und definieren hierauf eine Involution  durch . Wir identifizieren hierbei  mit  vermöge der Abbildung . Sei  die Menge aller Wörter über dem Alphabet  (vgl. Kleenesche Hülle). Die Verkettung von Wörtern definiert hierauf eine Verknüpfung . Damit wird  zum freien Monoid über .  Auf  betrachten wir die Äquivalenzrelation, die durch die elementaren Umformungen  erzeugt wird. Zwei Wörter in  sind also genau dann äquivalent, wenn sie durch eine endliche Folge von Einfügen oder Entfernen von Unterwörtern der Form  mit  ineinander übergehen. Die Menge  der Äquivalenzklassen bezeichnen wir mit . Die Verknüpfung auf  induziert auf der Quotientenmenge  eine wohldefinierte Verknüpfung . Nach Konstruktion wird  damit zur freien Gruppe über .

Die freie Gruppe über  ist in folgendem Sinne eindeutig: Sind  und  zwei freie Gruppen über , dann sind sie kanonisch isomorph, das heißt, es gibt genau einen Gruppenisomorphismus  mit der Eigenschaft  für alle . Diese Eindeutigkeit erlaubt es, von der freien Gruppe über  zu sprechen.

Ist  die leere Menge, dann ist  die einelementige Gruppe, die nur aus dem neutralen Element besteht.

Wortproblem 

Das Wortproblem lässt sich in einer freien Gruppe  sehr einfach lösen. Zu jedem gegebenen Wort  in den freien Erzeugern  findet man wie folgt ein äquivalentes reduziertes Wort: man fasst benachbarte gleiche Erzeuger zusammen, bis schließlich  für alle , und entfernt anschließend überflüssige Einträge um  für alle  sicherzustellen. Man gelangt somit zu einem reduzierten Wort, das dasselbe Gruppenelement darstellt, und diese Darstellung ist nach Definition eindeutig. Auf diese Weise lassen sich je zwei Elemente von  miteinander vergleichen und feststellen, ob sie gleich oder verschieden sind.

Dieses Vergleichsverfahren setzt wesentlich voraus, dass zwischen den Erzeugern keine Relationen bestehen. Im Gegensatz hierzu ist in einer durch Erzeuger und Relationen gegebenen Gruppe das Wortproblem oft schwierig und im Allgemeinen algorithmisch nicht lösbar (Satz von Novikov und Boone).

Rang 

Ist eine Gruppe  sowohl frei über  als auch frei über , dann haben die Mengen  und  dieselbe Mächtigkeit. Diese heißt Rang der freien Gruppe . Nach obiger Konstruktion gibt es für jede Mächtigkeit  bis auf Isomorphie genau eine freie Gruppe vom Rang .

In der Literatur hat es sich eingebürgert, freie Gruppen vom Rang  als nichtabelsche freie Gruppen zu bezeichnen, denn zum einen ist  die einzige abelsche freie Gruppe und zum anderen gelten viele für die anderen freien Gruppen beweisbare Lehrsätze nicht für die abelsche Gruppe .

Um zu beweisen, dass der Rang eindeutig bestimmt ist, kann man auf verschiedene Arten vorgehen. Für eine freie Gruppe  über einer Menge  endlicher Mächtigkeit  gelingt dies besonders einfach: Aufgrund der universellen Abbildungseigenschaft von  besteht die Menge  aller Gruppenhomomorphismen in die zyklische Gruppe  aus genau  Elementen. Damit ist  durch die Gruppe  eindeutig festgelegt.

Allgemein kann man die freie Gruppe  abelsch machen, und die so erhaltene Faktorgruppe  ist frei abelsch vom Rang . Dieser Rang entspricht der Dimension des Vektorraums  über einem Körper  (zum Beispiel ) und ist damit eindeutig durch die Gruppe  festgelegt.

Basiswechsel und Automorphismen 

Eine freie Gruppe  vom Rang  hat unendlich viele Basen. Jeder Automorphismus  bildet eine Basis  auf eine neue Basis  ab. Umgekehrt existiert zu je zwei solchen Basen  und  genau ein Automorphismus  mit . Das deutet bereits an, selbst wenn die freien Gruppen selbst recht leicht zu verstehen sind, so sind doch ihre Automorphismengruppen hochgradig kompliziert und interessant.

Untergruppen 

Jede Untergruppe einer freien Gruppe ist frei, nach dem Satz von Nielsen-Schreier (benannt nach Jakob Nielsen und Otto Schreier).

Eine freie Gruppe vom Rang  hat offenbar zu jeder Mächtigkeit  eine Untergruppe des Rangs .
Im Falle  existieren sogar Untergruppen von abzählbar unendlichem Rang (Satz von Nielsen-Schreier).
Diese erstaunliche Eigenschaft steht in Gegensatz zu freien abelschen Gruppen (wo der Rang einer Untergruppe höchstens so groß wie der Rang der ganzen Gruppe ist) oder Vektorräumen über einem Körper (wo die Dimension eines Unterraums nie größer als die Dimension des ganzen Raums ist).

Weitere Eigenschaften 

Die Eigenschaften freier Gruppen im nicht-abelschen Fall (für Rang ) unterscheiden sich stark vom abelschen Fall (für Rang  oder ).
Letztere sind gewissermaßen zwei Ausnahmen vom generischen Fall:
 Die freie Gruppe vom Rang  ist die triviale Gruppe, die nur aus dem neutralen Element besteht.
 Die freie Gruppe vom Rang  ist die unendlich zyklische Gruppe  und damit abelsch.
 Eine freie Gruppe vom Rang  ist nicht abelsch und ihr Zentrum besteht nur aus dem neutralen Element.

Die Abelschmachung der freien Gruppe vom Rang  ist die freie abelsche Gruppe vom Rang , isomorph zu .

Ist  eine freie Gruppe vom Rang , dann ist die Kommutator-Untergruppe  frei von abzählbar unendlichem Rang. Im einfachsten Fall, für die freie Gruppe  über den Erzeugern , wird  frei erzeugt von den Kommutatoren  mit .

Jede freie Gruppe ist torsionsfrei, das heißt, sie enthält keine nicht-trivialen Elemente endlicher Ordnung.

Der Cayley-Graph einer freien Gruppe  ist ein Baum, und  operiert hierauf frei und orientierungstreu. Umgekehrt gilt: Operiert eine Gruppe  frei und orientierungstreu auf einem Baum, dann ist  eine freie Gruppe.

Ist  eine freie Gruppe vom Rang , dann hat jedes Erzeugendensystem  mindestens  Elemente. Hat ein Erzeugendensystem  genau  Elemente, dann ist es frei.

Anwendungen

Gruppentheorie 

Freie Gruppen dienen in der Gruppentheorie dazu, eine gegebene Gruppe  durch Erzeuger und Relationen darzustellen. Sei hierzu  ein Erzeugendensystem der Gruppe . (Zum Beispiel kann man immer  nehmen. Meist wählt man  jedoch möglichst klein. Wenn  als endliche Menge gewählt werden kann, dann nennt man  eine endlich erzeugte Gruppe.) Der Gruppenhomomorphismus , der die Abbildung  auf  fortsetzt, ist dann surjektiv.  Der Kern  beschreibt die algebraischen Relationen, die zwischen den Erzeugern aus  in  gelten. Die Faktorgruppe  ist dann zur vorgegebenen Gruppe  isomorph.

Algebraische Topologie 

Freie Gruppen treten auch in der algebraischen Topologie auf, zum Beispiel als Fundamentalgruppen von Graphen oder Flächen wie der punktierten Ebene:

 Die Fundamentalgruppe jedes zusammenhängenden Graphen ist frei. Diese Tatsache kann zu einem topologischen Beweis des Satzes von Nielsen-Schreier benutzt werden.

 Die Fundamentalgruppe der -fach punktierten Ebene  ist eine freie Gruppe vom Rang . Eine Basis  kann hierbei geometrisch angegeben werden durch Homotopieklassen von Wegen, wobei  einmal um den Punkt  läuft. (Der Raum  ist homotopieäquivalent zu einem Graphen, siehe das vorhergehende Beispiel.)

 Ebenso ist die Fundamentalgruppe einer berandeten kompakten Fläche vom Geschlecht  mit  Randkomponenten frei, und zwar vom Rang . (Für unberandete Flächen vom Geschlecht  besteht allerdings eine Relation und die Fundamentalgruppe ist nicht frei.)

Logik erster Stufe und Tarskis Fragen 

Um 1945 stellte der Logiker Alfred Tarski zwei Fragen, die im Laufe der Jahre berühmt wurden und für ihre Schwierigkeit berüchtigt sind:

 Haben alle freien Gruppen vom Rang  dieselbe elementare Theorie? Das heißt, stimmen für diese Gruppen alle Sätze überein, die sich in der Logik erster Stufe formulieren lassen?

 Sind diese elementaren Theorien entscheidbar?

Beide Fragen wurden im Jahr 2006 gelöst: Zlil Sela hat gezeigt, dass alle freien Gruppen vom Rang  dieselbe elementare Theorie haben und Olga Kharlampovich und Alexei Myasnikov konnten zudem zeigen, dass diese Theorie entscheidbar ist.

Geschichte 

Bereits 1882 wies Walther von Dyck darauf hin, dass freie Gruppen die einfachst möglichen Präsentationen besitzen, nämlich solche ohne jede Relation. Die systematische Untersuchung freier Gruppen wurde jedoch erst in den 1920er Jahren von Jakob Nielsen begonnen, der freien Gruppen ihren heutigen Namen gab und viele ihrer grundlegenden Eigenschaften bewies, insbesondere den Satz von Nielsen-Schreier. Otto Schreier bewies diesen Satz in voller Allgemeinheit im Jahre 1927. Max Dehn erkannte die Beziehungen zur algebraischen Topologie und gab als erster einen topologischen Beweis des Satzes von Nielsen-Schreier. Kurt Reidemeister stellte diese Entwicklung 1932 in seinem Lehrbuch über kombinatorische Topologie dar. In den 1930er Jahren entwickelte dann Wilhelm Magnus die Beziehung zwischen der absteigenden Zentralreihe freier Gruppen und freier Lie-Algebren.

Einzelnachweise

Literatur 

 Roger C. Lyndon, Paul E. Schupp: Combinatorial Group Theory (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. A Series of modern Surveys in Mathematics. Bd. 89). Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-07642-5.

Gruppe (Mathematik)