Cauchyscher Grenzwertsatz
Der Cauchysche Grenzwertsatz wurde erstmals von dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy formuliert. Er ist ein Spezialfall des allgemeineren Satzes von Cesàro–Stolz und besagt:
Aus der Konvergenz einer Zahlenfolge folgt die Konvergenz der Cesàro-Mittel der Folge gegen denselben Grenzwert. Oder: aus    folgt   .

Verwandte Resultate und Erweiterungen 
Betrachtet man statt des gewöhnlichen arithmetischen Mittels ein gewichtetes Mittel, so folgt aus der Konvergenz der ursprünglichen Folge auch die Konvergenz der gewichteten Mittel, das heißt, es gilt der folgende Satz:

Sei  eine beliebige Folge mit  und  eine Folge positiver Zahlen mit , dann gilt auch:   .

Für das geometrische Mittel gilt ebenfalls ein analoger Satz:

Sei  eine Folge mit , dann gilt auch:    .

Beweis des Cauchyschen Grenzwertsatzes 

Sei  beliebig und  so gewählt, dass    für alle  gilt. Wegen    gibt es ein    mit      für   .

Für alle  folgt dann

Literatur 
Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 1, 6-te Auflage, Teubner 1989, ISBN 3-519-42221-2, S. 177

Weblinks 
Cesaro-Mittel und Cauchyscher Grenzwertsatz auf PlanetMath (engl.)
Cesaro-Mittel und Cauchyscher Grenzwertsatz auf SOS Math (engl.)

Folgen und Reihen
Satz (Mathematik)