Gelfand-Transformation
Die Gelfand-Transformation (nach Israel Gelfand) ist das wichtigste Instrument in der Theorie der kommutativen Banach-Algebren. Sie bildet eine kommutative -Banachalgebra A in eine Algebra stetiger Funktionen ab. Jedem  aus  wird eine stetige Funktion  zugeordnet, wobei  ein geeigneter lokalkompakter Hausdorff-Raum ist. Die Zuordnung  ist dabei ein stetiger Algebren-Homomorphismus.

Motivation, Gelfand-Raum 
Betrachtet man eine kommutative -Banachalgebra  nur als normierten Raum mit Dualraum  und Bidualraum , so lassen sich die Elemente von  folgendermaßen auf stetige Funktionen abbilden: Man ordne jedem  die Funktion  zu. Dabei handelt es sich um die bekannte isometrische Einbettung von  in den Bidualraum, denn jedes  ist ein Element aus . Jedes  ist auch stetig. Dabei erweist sich die Normtopologie als unnötig stark. Aus diesem Grunde betrachtet man auf  die schwach-*-Topologie, diese ist gerade definiert als die gröbste Topologie, die alle Abbildungen  stetig macht.

Wenden wir uns wieder der Algebra  zu, so müssen wir feststellen, dass die Zuordnung  kein Homomorphismus ist; sie ist nicht multiplikativ, d. h. es gilt nicht . Dazu müsste nämlich  und damit  für alle  gelten, aber ein lineares Funktional ist in der Regel nicht multiplikativ. Diese Beobachtung gibt aber einen Hinweis, wie man einen Homomorphismus der gewünschten Art konstruieren kann. Man verwendet statt ganz  nur die multiplikativen Funktionale in , und genau das ist die Gelfand-Transformation.

Wir setzen daher . Diese Menge nennt man das Spektrum (Gelfand-Spektrum) von  oder auch den Gelfand-Raum von . Man beachte, dass der Nullhomomorphismus herausgenommen wurde. 
Es gibt Banach-Algebren mit leerem Spektrum, z. B. eine Banachalgebra  mit der Nullmultiplikation, d. h.  für alle . Ist aber , so kann man zeigen, dass  mit der relativen schwach-*-Topologie ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist. 
Nach obigen Ausführungen ist

ein stetiger Homomorphismus mit Norm .  ist dabei die Algebra der stetigen, komplexwertigen Funktionen auf , die im Unendlichen verschwinden. Dieser Homomorphismus heißt Gelfand-Transformation,  nennt man die Gelfand-Transformierte von .

Beispiel C0(Z) 
Sei Z ein lokalkompakter Hausdorffraum und , so ist A bereits eine Algebra von der Art, auf die die Gelfand-Transformation abbildet. Um die Gelfand-Transformation für diesen Fall zu bestimmen, müssen wir uns einen Überblick über die multiplikativen Funktionale auf  verschaffen. Ist , so ist die Punktauswertung  offenbar ein multiplikatives Funktional, und man kann zeigen, dass dies bereits alle sind, d. h., dass  gilt. Z kann also mittels der Abbildung  mit  identifiziert werden, zumindest als Menge. Man kann zeigen, dass diese Abbildung sogar ein Homöomorphismus ist, so dass man Z und  auch als topologische Räume identifizieren kann. In diesem Fall ist also  nichts weiter als die Identität. Für  bietet die Gelfand-Transformation nichts Neues.

Beispiel L1(ℝ) 
Der Banachraum  ist mit der Faltung als Multiplikation und der 1-Norm eine kommutative -Banachalgebra. Für  gilt dabei

Wie sehen die multiplikativen Funktionale auf  aus? Die Punktauswertungen des -Beispiels kommen nicht in Frage, denn für -Funktionen ist der Funktionswert an einer Stelle gar nicht definiert. Man kann zeigen, dass für  durch

ein multiplikatives Funktional auf  erklärt ist, und dass umgekehrt jedes multiplikative Funktional von dieser Form ist. Es gilt also  und man kann weiter zeigen, dass die Abbildung  ein Homöomorphismus von  auf  ist. Identifiziert man daher  und  mittels dieser Abbildung, so hat die Gelfand-Transformation die Gestalt:

.

Die Gelfand-Transformation erweist sich damit als eine Abstraktion der Fourier-Transformation.

Beispiel 'holomorphe Fortsetzung' 
Es sei  die Kreislinie . Dann ist  eine kommutative Banachalgebra mit 1.
Sei  die Diskalgebra, das heißt die Unteralgebra aller Funktionen, die eine holomorphe Fortsetzung ins Innere  besitzen. Mit ein wenig Funktionentheorie (Maximumprinzip) zeigt man, dass  eine Unter-Banachalgebra von  ist. Wie sehen die multiplikativen Funktionale auf  aus? Zunächst sind die Punktauswertungen , die ja schon multiplikative Funktionale auf  sind, natürlich auch multiplikative Funktionale auf . Es gibt aber weitere. Da die holomorphe Fortsetzung einer Funktion ins Innere eindeutig ist, sind auch alle Punktauswertungen , multiplikative Funktionale auf . Man zeigt, dass  und dass man  mittels  auch topologisch mit der Kreisfläche  identifizieren kann. In diesem Beispiel ist daher

 holomorphe Fortsetzung von ,

d. h. die Gelfand-Transformation spielt hier die Rolle eines Fortsetzungsoperators.

Bedeutung 
Ist  eine kommutative C*-Algebra, so ist die Gelfand-Transformation der isometrische Isomorphismus aus dem Satz von Gelfand-Neumark für kommutative C*-Algebren. 
Das ist der Ausgangspunkt der Spektraltheorie.

Das -Beispiel verallgemeinert sich auf lokalkompakte, abelsche Gruppen . Der Gelfand-Raum von  wird mit  bezeichnet und kann wieder mit einer Gruppenstruktur versehen werden. Man nennt  dann die Dualgruppe von . Das ist ein Ausgangspunkt der abstrakten harmonischen Analyse.

Die Stone-Čech-Kompaktifizierung eines vollständig regulären Hausdorffraums  kann als Anwendung der Gelfand-Transformation auf die kommutative C*-Algebra  der stetigen und beschränkten Funktionen auf  erhalten werden.

Der Kern der Gelfand-Transformation ist im Falle einer kommutativen Banachalgebra das Jacobson-Radikal, insbesondere ist das Jacobson-Radikal stets abgeschlossen. Hier zeigt sich wieder, wie algebraische und topologische Begriffe in der Theorie der Banachalgebren ineinandergreifen.

Literatur 
 R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983
 M. Takesaki: Theory of Operator Algebras I (Springer 1979, 2002)

Funktionalanalysis
Integraltransformation