Riemannscher Krümmungstensor
Der riemannsche Krümmungstensor (kürzer auch Riemanntensor, riemannsche Krümmung oder Krümmungstensor) beschreibt die Krümmung von Räumen beliebiger Dimension, genauer gesagt riemannscher oder pseudo-riemannscher Mannigfaltigkeiten. Er wurde nach dem Mathematiker Bernhard Riemann benannt und ist eines der wichtigsten Hilfsmittel der riemannschen Geometrie. Eine andere wichtige Anwendung findet er im Zusammenhang mit der Krümmung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Der riemannsche Krümmungstensor ist ein Tensor der Stufe 4. Man kann seine Koeffizienten zum Beispiel in der Form  angeben. In diesem Artikel wird die einsteinsche Summenkonvention verwendet.

Motivation 
Diffeomorphismen sind die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und entsprechend sind (glatte) Isometrien die strukturerhaltenden Abbildungen zwischen riemannschen Mannigfaltigkeiten. Da differenzierbare Mannigfaltigkeiten per Definition lokal diffeomorph zum euklidischen Raum sind, kam die Frage auf, ob riemannsche Mannigfaltigkeiten auch lokal isometrisch zum  sind. Dies ist nicht der Fall. Daher wurde der riemannsche Krümmungstensor eingeführt, welcher, einfach ausgedrückt, angibt, wie lokal ähnlich eine riemannsche Mannigfaltigkeit dem  ist. Um die Definition des riemannschen Krümmungstensors besser zu verstehen, wird folgende Überlegung im  vorangestellt.

Sei  ein Vektorfeld. Im euklidischen  gilt für die Einheitsvektorfelder  entlang der Koordinatenachsen die Gleichheit

welche der Satz von Schwarz sichert. Für allgemeine Vektorfelder  gilt dies auch im  schon nicht mehr. Habe  in Koordinaten die Darstellung , so gilt

Der Ausdruck  bezeichnet die Richtungsableitung von  in Richtung . Untersucht man nun weiter die Nichtkommutativität von , so erhält man im euklidischen Raum

Auf allgemeinen Mannigfaltigkeiten ist dies falsch. Aus diesem Grund wird die folgende Definition gemacht.

Definition 
Sei  eine glatte Mannigfaltigkeit mit dem Zusammenhang . Dann ist der riemannsche Krümmungstensor  eine Abbildung

welche durch

definiert ist. Mit  ist der Raum der glatten Vektorfelder und mit  die Lie-Klammer gemeint.

In lokalen Koordinaten kann man den Krümmungstensor mit Hilfe der Christoffelsymbole darstellen:

Anmerkung 
Manche Autoren, wie zum Beispiel do Carmo oder Gallot, Hulin, Lafontaine, definieren den Riemannschen Krümmungstensor mit umgekehrtem Vorzeichen. In diesem Fall dreht sich auch das Vorzeichen bei der Definition der Schnittkrümmung und der Ricci-Krümmung, so dass bei allen Autoren die Vorzeichen von Schnittkrümmung, Ricci-Krümmung und Skalarkrümmung übereinstimmen.

Eigenschaften

Tensorfeld 
Der Krümmungstensor ist ein -Tensorfeld.
 Er ist also insbesondere in jeder Variablen linear.
 Der Wert von  am Punkt  der Mannigfaltigkeit hängt nur von den Werten der Vektorfelder ,  und  am Punkt  ab (und nicht etwa von den Werten in einer Umgebung von .)

Symmetrien des Krümmungstensors 
Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit  mit beliebigem Zusammenhang ist der Krümmungstensor schiefsymmetrisch in den ersten zwei Einträgen, das heißt, es gilt
 

Für riemannsche Mannigfaltigkeiten  mit dem Levi-Civita-Zusammenhang gilt außerdem
  und
  („Blockvertauschung“).

Bianchi-Identitäten 
Ist  eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Zusammenhang  und sind  Vektorfelder, dann gilt die erste Bianchi-Identität
 
mit dem Torsionstensor  und 

Die zweite Bianchi-Identität lautet
 
mit 

Ist  torsionsfrei, so vereinfachen sich diese Gleichungen zu
 
und
 

Ist  eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit dem Levi-Civita-Zusammenhang , dann gilt die erste Bianchi-Identität
 
und die zweite Bianchi-Identität lässt sich als
 
schreiben. Die erste Bianchi-Identität wird auch algebraische Bianchi-Identität und die zweite auch differentielle Bianchi-Identität genannt. Benannt sind diese Identitäten nach dem Mathematiker Luigi Bianchi.

Flache Mannigfaltigkeit

Definition 
Eine riemannsche Mannigfaltigkeit  heißt flach, falls sie lokal isometrisch zum euklidischen Raum ist. Das heißt, für jeden Punkt  gibt es eine Umgebung  und eine Abbildung , welche isometrisch ist, also für welche  gilt. Hier bezeichnet  das euklidische Skalarprodukt und  den Pushforward von .

Verbindung zum Krümmungstensor 
Eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit Levi-Civita-Zusammenhang  ist genau dann flach, wenn der riemannsche Krümmungstensor identisch null ist. Daher ist die abwickelbare Fläche das zweidimensionale Analogon zur flachen Mannigfaltigkeit.

Abgeleitete Größen

Schnittkrümmung 

Eine der wichtigsten Krümmungsgrößen in der riemannschen Geometrie ist die Schnittkrümmung. Sie verallgemeinert die Gaußsche Krümmung von regulären Flächen. Dabei wird jeder Ebene  im Tangentialraum an einem Punkt einer riemannschen Mannigfaltigkeit  eine Krümmung zugeordnet. Diese ist die Gaußkrümmung einer Fläche in , die  als Tangentialebene hat und innerhalb der Mannigfaltigkeit nicht gekrümmt ist, sozusagen ein „Schnitt“ durch die Mannigfaltigkeit in Richtung der Ebene . Die Definition erfolgt allerdings nicht mit Hilfe dieser Fläche, sondern mit Hilfe des riemannschen Krümmungstensors und von zwei Vektoren, die die Ebene  aufspannen.

Gegeben seien eine riemannsche Mannigfaltigkeit  mit riemannscher Metrik , ein Punkt  in  und ein zweidimensionaler Unterraum (Ebene)  des Tangentialraums  von  im Punkt . Seien  und  zwei Tangentialvektoren, die diese Ebene aufspannen. Mit

wird der Flächeninhalt des von  und  aufgespannten Parallelogramms bezeichnet.
Dann hängt die Größe

nur von der Ebene  ab, aber nicht von der Wahl der sie aufspannenden Vektoren  und . Man schreibt deshalb für  auch  und nennt dies die Schnittkrümmung von .

Ist  zweidimensional, dann gibt es in jedem Punkt  von  nur einen solchen zweidimensionalen Unterraum des Tangentialraums, nämlich den Tangentialraum selbst, und  ist dann gerade die Gaußkrümmung von  im Punkt

Ricci-Tensor 
In den Einsteinschen Feldgleichungen wird der Ricci-Tensor  (nach Gregorio Ricci-Curbastro) verwendet. Er ergibt sich aus dem Krümmungstensor durch Tensorverjüngung:

Gemäß der einsteinschen Summenkonvention wird über gleich vorkommende Indizes summiert, von denen der eine oben und der andere unten steht. Zur Bildung des Ricci-Tensors wird also über den Index  summiert. Das Vorzeichen wird dabei per Konvention festgelegt und ist prinzipiell frei wählbar.

Skalarkrümmung 
Die Tensorverjüngung beziehungsweise Kontraktion des Ricci-Tensors bezeichnet man als den Krümmungsskalar (auch Ricci-Skalar oder Skalarkrümmung). Um seine Form zu beschreiben, wird hier zunächst der Ausdruck  aus dem Ricci-Tensor abgeleitet:

Dabei ist  der kontravariante metrische Tensor. Der Krümmungsskalar ergibt sich durch Kontraktion, dabei wird über den Index  summiert.

Der Krümmungsskalar kann auch direkt aus dem Ricci-Tensor  gewonnen werden:

Dabei wird über die Indizes  und  summiert.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie hängt der Krümmungsskalar über den Einsteinfaktor  mit dem Laue-Skalar  zusammen, der durch Kontraktion aus dem Energie-Impuls-Tensor  gebildet wird:

Einzelnachweise

Literatur 
 Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8
 Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine: Riemannian Geometry. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1990, ISBN 3-540-52401-0
 John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer, New York 1997, ISBN 0387983228.
 Peter W. Michor: Topics in Differential Geometry. AMS, Providence, RI, 2008, ISBN 978-0-8218-2003-2

Weblinks 
 Riemannscher Krümmungstensor auf MathWorld
 

Riemannsche Geometrie
Bernhard Riemann als Namensgeber