Vergleichssatz
Vergleichssätze (englisch: comparison principle) sind in der Theorie von Differentialgleichungen wichtige Hilfsmittel, um Aussagen über das Verhalten von Lösungen dieser Gleichungen treffen zu können. Diese sind insbesondere deshalb wichtig, da man für solche Gleichungen oftmals keine expliziten Lösungsformeln angeben kann.

Vergleichssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen 
In der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist der Vergleichssatz eines der wichtigsten Hilfsmittel, um Aussagen über Lösungen von (skalaren) Differentialgleichungen erster Ordnung zu treffen, welche man nicht explizit ausrechnen kann. 

Anschaulich bedeutet er, dass Lösungen derselben Differentialgleichung angeordnet bleiben, d. h., ist  für zwei Lösungen einer skalaren Differentialgleichung, so bleibt  auf dem gesamten gemeinsamen Definitionsbereich. Ist insbesondere eine Lösung der Differentialgleichung explizit bekannt, so gewinnt man daraus Abschätzungen für nicht explizit ausrechenbare Lösungen.

Da es jedoch nicht immer möglich ist, explizite Lösungen aufzufinden, ist es aus praktischen Gründen notwendig, auch mit Ober- bzw. Unterlösungen vergleichen zu können, da diese leichter zu konstruieren sind.

Formulierung 
Es sei ,  stetig und lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen. Weiter seien  eine Ober- bzw. Unterlösung von , d. h., es gelte  für alle  mit

für alle . Gilt zudem , so folgt

für alle .

Variante 
Analog gilt, wobei man  durch  ersetze: Falls , so folgt  für alle .

Beweis 
Sei  und . Angenommen, . Für  folgt  auf  und . Man fixiere ein . Es ist  eine kompakte Teilmenge von . Da  lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen, gibt es ein  mit

für alle  und . Es folgt

für alle , also  für alle . Integration liefert , also  für alle . Aus der Stetigkeit von  folgt der Widerspruch .

Beispiel 
Man betrachte das Anfangswertproblem

Es besitzt eine nicht-fortsetzbare Lösung . 
Die Differentialgleichung hat die trivialen Lösungen  und . Gemäß dem Vergleichssatz, jeweils angewandt auf  und , gilt  für alle . Insbesondere folgt aus dem Satz über das maximale Existenzintervall, dass , d. h., die Lösung existiert global. Zudem liefert die Abschätzung . Somit ist  streng monoton fallend.

Vergleichssätze für partielle Differentialgleichungen 
Auch für partielle Differentialgleichungen existieren Vergleichssätze, etwa für die nichtlineare parabolische Differentialgleichung. Als Verallgemeinerung des schwachen Maximumprinzips erlauben die Vergleichssätze Aussagen insbesondere über die Lösungen nichtlinearer partieller Differentialgleichungen.

Literatur 
 Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 6. Auflage. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg/New York 1996, ISBN 3-540-59038-2.

Einzelnachweise 

Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen
Theorie partieller Differentialgleichungen
Satz (Mathematik)