Normale Zahl
Als normale Zahl wird in der Mathematik eine reelle Zahl bezeichnet, unter deren Nachkommaziffern für jedes  alle möglichen -stelligen Ziffernblöcke mit gleichen asymptotischen relativen Häufigkeiten auftreten. 

Eine Zahl heißt also normal, wenn in ihrer Ziffernfolge jeder Ziffernblock vorkommt und Ziffernblöcke gleicher Länge gleich häufig auftreten.

Definition

Sequenzen über einem Alphabet 
Sei  ein endliches Alphabet und  bezeichne die Menge aller Folgen (= unendlichen Sequenzen) über diesem Alphabet.
Sei  eine solche Folge. Für jedes Zeichen  sei mit  die Anzahl bezeichnet, wie oft  in den ersten  Gliedern der Folge  auftritt. Die Folge  heißt einfach normal genau dann, wenn für jedes  folgende Grenzwertbeziehung erfüllt ist:

Sei  ein Wort (= endliche Sequenz) über diesem Alphabet, also aus , und sei  die Anzahl, wie oft das Wort  als Teilwort in den ersten  Zeichen  der Folge  auftritt. (Beispiel: Für  gilt .) Die Folge  heißt normal genau dann, wenn für alle endlichen Wörter  folgende Grenzwertbeziehung gilt:

wobei  die Länge des Worts  bezeichnet und  die Anzahl der Zeichen im Alphabet .

Mit anderen Worten ist die Folge  genau dann normal, wenn alle Wörter gleicher Länge  mit der gleichen asymptotischen Häufigkeit auftreten.
In einer normalen Binärfolge (= Folge über dem Alphabet ) kommen die Ziffern  und  im Grenzwert  mit der Häufigkeit  vor, außerdem die Paarungen , ,  und  mit der Häufigkeit , die Tripletts , , , , , ,  und  mit der Häufigkeit  usw.

Betrachten wir nun als Zeichenfolge eine Ziffernfolge  einer beliebigen reellen Zahl  in der Darstellung in einem Stellenwertsystem (als Zahlensystem) mit einer ganzzahligen Basis  (-adische Darstellung). Die Zeichen sind hier die Ziffern dieser Darstellung von  bis , das Alphabet ist also . Die Position des Dezimaltrenners (Komma) spielt keine Rolle.

Zu jedem -stelligen Ziffernblock  dieser Darstellung (d. h. aus Ziffern zur Basis  und mit Länge ) bezeichnet  die Anzahl, mit welcher der Ziffernblock  unter den ersten  Nachkommastellen von  auftritt.

Einfach normale Zahl 

Die Zahl  heißt einfach normal zur Basis , wenn jede Ziffernfolge  in der -adischen Darstellung eine einfach normale Folge über dem Alphabet  ist. (Wenn das der Fall ist, ist die Wahl für die Ziffernfolge eindeutig; allgemein ist diese Ziffernfolge nicht eindeutig, siehe 0,999...) Das ist genau dann der Fall, wenn für alle Ziffern  dieser Darstellung gilt:

 

Beispielsweise ist die Zahl  (periodischer Block von  in Basis ) einfach
normal in Basis , da die Ziffern  und  gleich häufig vorkommen.

Normale Zahl 

Die Zahl  heißt normal zur Basis  genau dann, wenn die Ziffernfolge  in der -adischen Darstellung eine normale Folge über dem Alphabet  ist. Das ist genau dann der Fall, wenn für jede endliche Sequenz  von Ziffern dieser Darstellung gilt:

 

(Die Sequenz  bezeichnet man auch als -stelligen Ziffernblock)

Es lässt sich zeigen, dass eine Zahl  genau dann normal zur Basis  ist, wenn die Folge

gleichverteilt modulo 1 ist.

Außerdem gilt folgende Äquivalenz: die Zahl  ist genau dann normal zur Basis , wenn sie einfach normal zu jeder der Basen  ist.

Absolut normale Zahl 

Die Zahl  heißt absolut normal, wenn sie zu jeder Basis  normal ist.

Anzahl normaler Zahlen 

Der Begriff normale Zahl wurde 1909 von Émile Borel eingeführt. Er bewies auch gleich mit Hilfe des Borel-Cantelli-Lemmas, dass fast alle (im Lebesgue-Sinn) reellen Zahlen normal bzw. sogar absolut normal sind.

Die Menge der nicht-normalen Zahlen ist allerdings überabzählbar, wie sich leicht anhand einer dem Cantorschen Diskontinuum entsprechenden Konstruktion zeigen lässt.

Konstruktion normaler Zahlen 
Wacław Sierpiński lieferte im Jahr 1917 die erste Konstruktion einer normalen Zahl. Verónica Becher und Santiago Figueira gaben 2002 einen Algorithmus zur Berechnung der von Sierpiński konstruierten Zahl an. Die Chaitinsche Konstante ist ein Beispiel einer nicht berechenbaren normalen Zahl.

David Gawen Champernowne gab im Jahr 1933 die erste explizite Konstruktion einer normalen Zahl an, die als Champernowne-Zahl bekannt ist. Im Dezimalsystem lauten die ersten Stellen:

Sie ist  und wird gebildet durch Aneinanderreihen der natürlichen Zahlen zur Basis . Die Champernowne-Zahl ist nicht normal bezüglich einiger anderer Basen.

Die Copeland-Erdős-Zahl, benannt nach Arthur Herbert Copeland und Paul Erdős, ist ein weiteres Beispiel einer zur Basis  normalen Zahl, . Die ersten Dezimalstellen lauten:

Sie wird durch Aneinanderreihen aller Primzahlen zur Basis  gebildet.

Wolfgang Schmidt untersuchte 1960, unter welchen Bedingungen an  und  Zahlen, die zur Basis  normal sind, auch zur Basis  normal sind, und zeigte: Wenn  eine rationale Zahl ist (äquivalent: wenn es positive natürliche Zahlen  und  mit  gibt), dann ist jede zur Basis  normale Zahl auch zur Basis  normal. Die Umkehrung gilt ebenfalls, und sogar: Wenn  irrational ist, dann hat die Menge der Zahlen, die zur Basis  normal und zur Basis  nicht normal sind, die Mächtigkeit des Kontinuums.

Nicht normale Zahlen 
Eine rationale Zahl kann zu keiner Basis normal sein, da ihre Darstellung stets periodisch wird. Es gibt aber auch Konstruktionen irrationaler Zahlen, die zu keiner Basis normal sind (man nennt solche Zahlen absolut abnormal).

Kreiszahl π 
Es ist von vielen irrationalen Zahlen nicht bekannt, ob sie zu irgendeiner Basis normal sind oder nicht, unter ihnen sind die Kreiszahl , die Eulersche Konstante , der natürliche Logarithmus der Zahl 2 oder . Die meisten als normal erkannten Zahlen wurden mit dieser Eigenschaft als Ziel konstruiert.

Die Mathematiker David H. Bailey und Richard E. Crandall stellten 2001 die bis heute nicht bewiesene Vermutung auf, dass jede irrationale algebraische Zahl normal ist.

Einzelnachweise

Literatur 
 Ivan Niven: Irrational Numbers. Carus Math. Monographs, John Wiley and Sons Inc., 1956.
 Lauwerens Kuipers, Harald Niederreiter: Uniform distribution of sequences. Wiley-Interscience Publ., 1974. 
 David H. Bailey, Richard E. Crandall: On the Random Character of Fundamental Constant Expansions, in: Experimental Mathematics 10 (2001), S. 175–190 (Online; PDF-Datei; 279 kB)
 Émile Borel: Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques, in: Rend. Circ. Mat. Palermo 27 (1909), S. 247–271 
 David G. Champernowne: The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten, in: Journal of the London Mathematical Society, 8 (1933), S. 254–260 
 Waclaw Sierpinski: Démonstration élémentaire d'un théorème de M. Borel sur les nombres absolutment normaux et détermination effective d'un tel nombre, in: Bull. Soc. Math. France, 45 (1917), S. 125–144
 Verónica Becher, Santiago Figueira: An example of a computable absolutely normal number, in: Theoretical Computer Science, 270 (2002), S. 947–958 (www-2.dc.uba.ar/profesores/becher/becherTCS2002.pdf)
 Christoph Aistleitner: Normale Zahlen, Diplomarbeit, Technische Universität Wien, 2006, Online (PDF-Datei; 795 kB)

Weblinks 
 Fast alle Zahlen sind normal! – Erklärvideo von Edmund Weitz auf YouTube

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