Plateau-Problem
In der Mathematik besteht das Plateau-Problem darin, eine Minimalfläche zu finden, die als Rand eine gegebene Kurve besitzt. Es ist benannt nach Joseph Plateau, der die Formen von Seifenhäuten in Drahtgestellen experimentell bestimmte. Erstmals mathematisch formuliert wurde das Problem 1760 durch Joseph-Louis Lagrange. Es gehört zum Gebiet der Variationsrechnung.

In allgemeinerem Sinn versteht man darunter einen ganzen Komplex von Problemen, die von folgender Form sind: man finde ein Element aus einer vorgegebenen Menge  von „Oberflächen“, die bestimmte Randbedingungen erfüllen, und die eine gegebene „Flächen“-Funktion  minimieren oder ein kritischer Punkt dieser Funktion sind. Außerdem sollten die Lösungen bestimmte Regularitätsbedingungen erfüllen. Das Plateauproblem hat seit seiner Formulierung im 19. Jahrhundert zu viel Forschungsarbeit und neuen Entwicklungen in der Mathematik Anstoß gegeben und stellt in seinen verschiedenen Verallgemeinerungen auch noch offene Probleme zum Beispiel bei Minimalflächen.

Lösung des Problems 
Im Laufe der Zeit wurden verschiedene spezielle Formen des Problems gelöst, beispielsweise von Schwarz im Jahre 1865. 1928 löste René Garnier das Plateau-Problem durch Lösung eines Riemann-Hilbert-Problems für polygonale Randkurven. Ein Approximationsprozess löst das Plateau-Problem dann für stetige Randkurven. Der Beweis der Existenz einer Lösung des Problems gelang jedoch erst Anfang der 1930er Jahre unabhängig voneinander Jesse Douglas und Tibor Radó mit Mitteln der direkten Methoden der Variationsrechnung (vgl. als Beispiel die Lösung des Dirichletprinzips). Douglas (der für die Lösung die erste Fields-Medaille erhielt) löste das Problem ursprünglich nur für Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum (mit einer Jordan-Kurve als Rand), die topologisch einer Scheibe entsprechen (Genus 0). Douglas und Richard Courant verallgemeinerten die Lösung auf beliebiges topologisches Geschlecht und mehrere disjunkte Kurven als Ränder. Während Douglas und Rado eine Art Energie-Funktional minimierten, gaben Herbert Federer und Wendell Fleming 1960 eine Lösung mit geometrischer Maßtheorie. Ernst Robert Reifenberg gab 1961 eine Lösung für beliebiges Geschlecht mit neuartigen Methoden.

Charles Morrey betrachtete das verallgemeinerte Problem auf Flächen in allgemeinen Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Eine Variante des Problems, in der die gesuchten Flächen physikalischen Seifenblasen besser angepasst sind, untersuchte Frederick Almgren, weiter verfolgt unter anderem von Jean Taylor und Jenny Harrison.

In mehr als drei Dimensionen und für Hyperflächen anderer Dimension  als  existieren nicht immer reguläre Lösungen (Ennio de Giorgi und andere ab 1961). Im Fall  treten singuläre Lösungen aber erst in  auf.

Parametrische Formulierung des Problems 

Es sei  eine Jordankurve mit drei fest gewählten Punkten  Gesucht ist eine Abbildung  auf dem Abschluss der offenen Kreisscheibe  mit der Eigenschaft  mit dem Rand  von  Von der Abbildung  werden folgende Eigenschaften verlangt:

 Harmonizität:  in 
 Konformität:  sowie  in 
 Topologische Randbedingung:  Homöomorphismus auf 
 3-Punktebedingung:  für

Erweitertes Problem in höheren Dimensionen 
Die Erweiterung des Problems auf höhere Dimensionen, also auf k-dimensionale Flächen im n-dimensionalen Raum, stellt sich dagegen als weitaus schwieriger dar. Insbesondere sind Lösungen des allgemeinen Problems nicht notwendig regulär, sondern können Singularitäten besitzen. Dies gilt stets für , aber auch für den Fall einer Hyperfläche, also , wenn .

Literatur 
Jenny Harrison, Harrison Pugh: Plateau's problem, in: John Forbes Nash jr., Michael Th. Rassias (Hrsg.), Open problems in mathematics, Springer 2016, S. 273–302

Originalarbeiten:
 Jesse Douglas: Solution of the problem of Plateau. In: Transactions of the American Mathematical Society. 33, 1, 1931, , S. 263–321, .
 Tibor Radó: On Plateau's problem. In: The Annals of Mathematics. 31, 3, 1930, , S. 457–469, .

A. T. Fomenko: The Plateau Problem. A Historical Survey, Gordon and Breach 1989
Michael Struwe: Plateau's Problem and the Calculus of Variations,  Princeton, NJ: Princeton University Press 1989

Weblinks 
 
 Brian Whites Webpage
 Springer Online Reference Works

Einzelnachweise 

Differentialgeometrie