Fixpunktsatz
Ein Fixpunktsatz ist in der Mathematik ein Satz, der unter gewissen Voraussetzungen die Existenz von Fixpunkten einer Abbildung  garantiert. Das heißt, der Satz garantiert die Existenz eines Punktes  mit .

Überblick 
In vielen Teilgebieten der Mathematik sucht man Aussagen über die Existenz von Fixpunkten. Einer der bekanntesten Fixpunktsätze ist der Fixpunktsatz von Banach. Mit dessen Hilfe kann der Satz von Picard-Lindelöf bewiesen werden, der eine eindeutige Lösung bestimmter gewöhnlicher Differentialgleichungen sichert. Im Gegensatz zu anderen Fixpunktsätzen ergibt der Fixpunktsatz von Banach auch die Eindeutigkeit des Fixpunktes.

Der Fixpunktsatz von Schauder ist ebenfalls im Bereich der Analysis wichtig. Eigentlich ist er ein Satz aus der Topologie und wird mithilfe des Fixpunktsatzes von Brouwer bewiesen. Jedoch kann man aus ihm beispielsweise den Satz von Peano herleiten, der ebenfalls die Existenz einer Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung sichert. Eine zentrale Rolle spielt dieser Satz auch in der nichtlinearen Funktionalanalysis. So lässt sich eine anwendungsreiche Version des Satzes für nichtlineare kompakte Operatoren formulieren.

Liste von Fixpunktsätzen 
Im Folgenden werden Fixpunktsätze unterteilt nach ihren Fachgebieten aufgelistet. Diese Liste ist natürlich unvollständig.

Analysis und Funktionalanalysis 
 Fixpunktsatz von Banach
 Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk
 Fixpunktsatz für ganze Funktionen
 Fixpunktsatz von Kakutani
 Fixpunktsatz von Krasnoselski
 Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski
 Fixpunktsatz von Schauder
 Fixpunktsatz von Weissinger

Differentialgeometrie 
 Atiyah-Bott-Fixpunktsatz

Gruppentheorie 
 Fixpunktsatz (Endliche Gruppen)
 Borelscher Fixpunktsatz

Verbandstheorie  
 Fixpunktsatz von Tarski und Knaster

Logik 
 Fixpunktsatz von Gödel

Topologie 
 Fixpunktsatz von Brouwer
 Fixpunktsatz von Lefschetz
 Leray-Schauder-Alternative

Informatik 
 Fixpunktsatz von Kleene

Kategorientheorie 
 Fixpunktsatz von Lawvere

Literatur 
 

Satz (Mathematik)