Epsilontik
Die Epsilontik ist ein Begriff aus der Analysis. Sie wird verwendet, um Begriffe wie Grenzwert oder Stetigkeit mathematisch exakt zu formulieren.
Die Bezeichnung leitet sich von dem griechischen Buchstaben Epsilon  ab, der für eine (kleine) positive reelle Zahl steht. Zentraler Begriff in der Epsilontik ist die -Umgebung, also das offene Intervall  um eine reelle Zahl a.

Anwendungen 
Die Epsilontik wird zum Beispiel bei den folgenden Definitionen verwendet:
 Konvergenz einer Zahlenfolge gegen einen Grenzwert
 Cauchy-Folge
 Grenzwert von Funktionen
 Stetigkeit und gleichmäßige Stetigkeit einer Funktion

Historisches 
Die Epsilontik geht auf Karl Weierstraß  zurück, der erstmals die -Umgebungen zur Definition des Grenzwerts eingeführt hat. Hatte man vorher intuitiv mit Bewegungsvorstellungen argumentiert – "strebt gegen" oder "wird beliebig klein" – so stellte nun die Epsilontik den Grenzwertbegriff auf ein stabiles mathematisches Fundament, das exakte Definitionen und Beweisführungen ermöglicht. Dies war ein wichtiger Beitrag für die gesamte Analysis, für die der Grenzwertbegriff von zentraler Bedeutung ist.

Beispiel 
Das Vorgehen mit Hilfe der Epsilontik soll am Beispiel der Definition für die Konvergenz einer Zahlenfolge und einem entsprechenden Beweis für eine konkrete Folge gezeigt werden.

Definition 
Eine Folge reeller Zahlen  konvergiert gegen den Grenzwert , wenn es zu jeder Zahl  mit  eine Zahl  gibt, so dass für jeden Index  gilt: .

Oder in den beiden gebräuchlichen Quantoren-Schreibweisen:

Eine Folge reeller Zahlen  konvergiert genau dann gegen den Grenzwert , wenn

Das bedeutet, dass es für jede noch so kleine positive Zahl  einen Index  gibt – der im Allgemeinen von  abhängt – so dass alle weiteren Folgenglieder in der -Umgebung des Grenzwertes liegen.

Satz 
Die Folge  konvergiert gegen den Grenzwert .

Beweis 
Es sei  > 0, d. h. eine -Umgebung des Grenzwertes wird vorgegeben.
Der Ausdruck

soll nun für  kleiner als  werden. Dies wir erreicht, wenn man  so wählt, dass  ist.
Denn dann ist für alle 
.

Verallgemeinerungen 
Der Begriff der -Umgebung einer Zahl auf der Zahlengeraden, kann auf die kreisförmige offene Umgebung in der Ebene, die kugelförmige im Raum oder allgemein zum Begriff der -Umgebung in metrischen Räumen verallgemeiner werden.

Eine weitere Verallgemeinerung stellt der Begriff der offenen Menge in einem topologischen Raum dar.

Anmerkungen 
 Vereinzelt wird der Begriff Epsilontik auch leicht abwertend verwendet, etwa wenn der Routinecharakter von Beweisen betont werden soll.
 „Sei “ ist ein Witz, über den – wenn überhaupt – nur Mathematiker lachen können. Er beruht darauf, dass Beweise mit Hilfe der Epsilontik meist mit dem Satz „Sei “ beginnen.

Siehe auch 
 Filter
 Filterkonvergenz

Einzelnachweise

Literatur 
 
 
 

Analysis