Zerfällungskörper
Ein Zerfällungskörper ist in der Algebra, genauer in der Körpertheorie, ein möglichst kleiner Körper, in dem ein gegebenes Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Ein Zerfällungskörper eines nichtkonstanten Polynoms existiert stets und ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Der Zerfällungskörper ist eine normale Körpererweiterung des Koeffizientenkörpers eines Polynoms und, falls das Polynom separabel ist, sogar eine Galoiserweiterung. Ihre Galoisgruppe wird dann die Galoisgruppe des Polynoms genannt. Diese Begriffe lassen sich auf beliebige Familien von Polynomen verallgemeinern.

Definition 

Es sei  ein Körper und  ein nichtkonstantes Polynom mit Koeffizienten aus . Ein Körper  heißt Zerfällungskörper von  (über ), wenn gilt:
 Das Polynom  zerfällt über  in Linearfaktoren, das heißt  lässt sich darstellen als
 mit , , und
 , das heißt  wird durch Adjunktion der Nullstellen  erzeugt.

Ist allgemeiner  eine Familie von nichtkonstanten Polynomen aus , dann heißt ein Körper  Zerfällungskörper von , wenn alle  über  in Linearfaktoren zerfallen und die Körpererweiterung  von den Nullstellen der  erzeugt wird.

Existenz und Eindeutigkeit 

Ist beispielsweise  ein Polynom mit rationalen Koeffizienten, dann ist die Existenz eines Zerfällungskörpers von  einfach zu zeigen: Nach dem Fundamentalsatz der Algebra zerfällt das Polynom im Körper  der komplexen Zahlen in Linearfaktoren. Durch Adjunktion aller komplexen Nullstellen  von  erhält man  als einen Zerfällungskörper von  über . Dieses Vorgehen lässt sich verallgemeinern: Mit Hilfe des Lemmas von Zorn kann gezeigt werden, dass es zu jedem beliebigen Körper  einen Erweiterungskörper  gibt, der algebraisch abgeschlossen ist, zum Beispiel den algebraischen Abschluss  von . Ist  eine beliebige Familie von Polynomen in , dann zerfällt jedes  über  in Linearfaktoren. Der Durchschnitt aller Teilkörper von , die  enthalten und in denen alle  in Linearfaktoren zerfallen, ist dann der kleinste Erweiterungskörper von , der alle Nullstellen der Polynome  enthält, also ein Zerfällungskörper der Familie .

Der Zerfällungskörper einer Familie  ist bis auf -Isomorphie eindeutig bestimmt. Das bedeutet: Sind  und  zwei Zerfällungskörper von  über , dann gibt es einen Körperisomorphismus  mit  für alle .

Konstruktion 

Die Existenz eines Zerfällungskörpers eines Polynoms lässt sich auch ohne das Lemma von Zorn durch eine direkte Konstruktion zeigen. Wesentlich ist dabei die Aussage, dass für jedes nichtkonstante Polynom  ein Körper existiert, in dem  eine Nullstelle hat. Nach einer Idee von Leopold Kronecker (Satz von Kronecker) kann ein solcher Körper auf folgende Weise konstruiert werden: Es sei  ein irreduzibler Faktor von . Dann ist das von  erzeugte Hauptideal  ein maximales Ideal in  und folglich ist der Faktorring  ein Körper. Für das Element

gilt
,
das heißt  ist eine Nullstelle von  und damit auch von .

Die Existenz eines Zerfällungskörpers von  lässt sich nun leicht mit vollständiger Induktion nach dem Grad  von  zeigen:
 Für den Induktionsanfang  ist  selbst ein Zerfällungskörper von .
 Für  gibt es nach dem oben Gezeigten einen Erweiterungskörper  von , in dem  eine Nullstelle  hat. In  lässt sich  zerlegen als  mit einem Polynom  vom Grad . Nach Induktionsvoraussetzung hat  die Nullstellen  in einem Zerfällungskörper. Damit ist  ein Zerfällungskörper von .

Eigenschaften 

 Der Zerfällungskörper  einer Familie  ist im folgenden Sinne minimal: Ist  ein Körper mit , so dass jedes Polynom  über  in Linearfaktoren zerfällt, dann gilt .

 Der Zerfällungskörper einer endlichen Menge  von Polynomen in  ist gleich dem Zerfällungskörper des Produktpolynoms .

 Der Erweiterungsgrad  des Zerfällungskörpers eines Polynoms  vom Grad  ist ein Teiler von , insbesondere gilt . Wenn  über  irreduzibel ist, dann gilt .

 Ist  Zerfällungskörper einer Familie , dann ist die Körpererweiterung  algebraisch und normal. Sind alle  separabel, dann ist  eine separable Erweiterung, also sogar eine Galoiserweiterung.

Beispiele 

 Zerfällt ein Polynom  bereits über  in Linearfaktoren, dann ist trivialerweise  der Zerfällungskörper von . Deshalb haben zum Beispiel die Polynome ,  oder  aus  alle  selbst als Zerfällungskörper.

 Das Polynom  zerfällt in  in Linearfaktoren: . Der Zerfällungskörper von  ist also .

 Analog ist der Zerfällungskörper von  mit den komplexen Nullstellen  und  der Körper .

 Der Zerfällungskörper von  ist demnach .

 Das Polynom  aufgefasst als Polynom mit reellen Koeffizienten, also als Element von , hat  als Zerfällungskörper. Das zeigt, dass die Angabe des Koeffizientenkörpers eines Polynoms für die Bestimmung seines Zerfällungskörpers wesentlich ist.

 Das Polynom  hat im Körper  eine Nullstelle, aber dieser Körper ist nicht der Zerfällungskörper von , denn die beiden anderen Nullstellen  und  in  sind nichtreell, können also nicht im reellen Teilkörper  liegen. Der Zerfällungskörper von  ist .

Anwendungen 

In der Galoistheorie werden die Nullstellen eines Polynoms  mit Hilfe seines Zerfällungskörpers  untersucht. Dazu wird der Körpererweiterung  eine Gruppe , die Galoisgruppe, zugeordnet. Die Gruppe heißt die Galoisgruppe des Polynoms . Nach dem Hauptsatz der Galoistheorie entsprechen die Untergruppen von  eindeutig den Zwischenkörpern  mit . Auf diese Weise lassen sich zahlreiche klassische Probleme der Algebra lösen, etwa die Frage, welche Zahlen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren lassen oder welche Polynomgleichungen sich durch Radikale auflösen lassen (siehe z. B. Satz von Abel-Ruffini).

Die Kreisteilungskörper sind spezielle Zerfällungskörper: Die komplexen Lösungen der Gleichung  mit  sind die -ten Einheitswurzeln  für . Der -te Kreisteilungskörper  ist also wegen  der Zerfällungskörper des Polynoms .

Auch die endlichen Körper lassen sich als Zerfällungskörper darstellen: Ist  eine Primzahl, dann ist der Restklassenring  ein Körper und wird mit  bezeichnet.
Für eine natürliche Zahl  hat das Polynom  in einem algebraischen Abschluss genau  verschiedene Nullstellen. Der Zerfällungskörper von  ist dann ein Körper  mit  Elementen. Man kann zeigen, dass sich auf diese Weise alle endlichen Körper erzeugen lassen.

Literatur 

 Siegfried Bosch: Algebra. 8. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, Abschnitt 3.5: Zerfällungskörper.
 Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. 3. Auflage. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-8274-3011-3, Abschnitt 24.2: Zerfällungskörper.
 Kurt Meyberg: Algebra, Teil 2: Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Abschnitt 6.5: Zerfällungskörper.

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