Äquivalente Normen
Als äquivalente Normen bezeichnet man in der Mathematik ein Paar von abstrahierten Abstandsbegriffen, sogenannten Normen, die identische Konvergenzbegriffe erzeugen. Etwas detaillierter unterscheidet man in stärkere Normen (synonym auch feinere Normen genannt) und schwächere Normen (synonym auch gröbere Normen genannt) und nennt zwei Normen äquivalent, wenn sie sowohl stärker als auch schwächer als ihr Konterpart sind.

Definition 
Gegeben sei ein Vektorraum  über  (in den meisten Fällen  oder ), auf dem zwei Normen  und  definiert sind.

Dann heißt,  stärker oder feiner als , wenn eine positive Zahl  existiert, sodass

ist. Entsprechend wird dann auch  schwächer oder gröber als  genannt.

Die Normen  und  heißen äquivalent, wenn es positive Zahlen  gibt, sodass

gilt. Zwei Normen sind somit äquivalent, wenn  stärker ist als  und  stärker ist als .

Beispiele

Endlichdimensional 
Gegeben sei der , versehen mit der Maximumsnorm und der Summennorm
.

Dann ist wegen  auch immer
.

Somit ist
,

demnach ist die Maximumsnorm stärker als die Summennorm. Umgekehrt ist immer
,

da der betragsgrößte Eintrag eines Vektors nie größer ist als die Summe der Beträge aller Einträge des Vektors. Somit ist die Summennorm stärker als die Maximumsnorm. Insgesamt gilt dann
,

Maximumsnorm und Summennorm im  sind also äquivalent. Tatsächlich lässt sich zeigen, dass auf beliebigen endlichdimensionalen Vektorräumen alle Normen äquivalent sind.

Unendlichdimensional 
Betrachtet man den Vektorraum  der reellwertigen stetigen Funktionen auf dem abgeschlossenen Intervall von null bis eins, so lassen sich zwei Normen definieren:
 Einerseits die Supremumsnorm , die aufgrund der Beschränktheit stetiger Funktionen auf dem kompakten Intervall  wohldefiniert ist.
 Andererseits sind stetige Funktionen in diesem Kontext immer messbar und wegen ihrer Beschränktheit im Lp-Raum enthalten. Somit lässt sich auch die L1-Norm

 definieren.

Das Integral lässt sich nach oben aber immer durch den größtmöglichen Funktionswert abschätzen, es gilt hier also

und somit
.

Die Supremumsnorm ist also stärker als die L1-Norm.

Die beiden Normen sind jedoch nicht äquivalent: Beispielsweise gilt für die durch  mit  definierten Funktionen  und  . Es kann also keine Konstante  mit  für alle Funktionen  in  geben.

Interpretation 
Sind zwei Normen  und  gegeben und ist  stärker als , etwa , so gilt für Normkugeln
 die Beziehung
.

Damit ist auch geometrisch-anschaulich klar, dass eine Konvergenz  bzgl.  die Konvergenz bzgl.  nach sich zieht, denn wenn die Differenzen  in kleinen -Kugeln liegen, so liegen sie auch in (bis auf einen konstanten Faktor ) kleinen -Kugeln.

Die Äquivalenz der Normen bedeutet nun, dass sowohl  stärker als  ist als auch, dass  stärker als  ist. Nach dem obigen Argument konvergiert demnach eine Folge bezüglich  genau dann, wenn sie bezüglich  konvergiert.

Eigenschaften 
 Ist die Norm  stärker als , so gilt für die erzeugten Metriken
,
 dass dann auch  stärker als  ist.
 Analog gilt: Ist  stärker als , so ist die von  erzeugte Topologie feiner bzw. stärker als die von  erzeugte Topologie.
 In endlichdimensionalen Vektorräumen sind alle Normen äquivalent.

Literatur 
 
 

Norm (Mathematik)