Nielsen-Transformation
In der Mathematik sind Nielsen-Transformationen ein wichtiges Hilfsmittel der kombinatorischen Gruppentheorie, sie sind nach dem Mathematiker Jakob Nielsen benannt.

Definition 

Sei  eine Gruppe und  ein geordnetes n-Tupel von Elementen aus . Eine elementare Nielsen-Transformation ist eine der folgenden drei Typen von Ersetzungen:
 Für ein  ersetze  durch .
 Für zwei  vertausche  und .
 Für zwei  ersetze  durch .
Eine Nielsen-Transformation ist eine Folge endlich vieler elementarer Nielsen-Transformationen. Zwei geordnete Tupel heißen Nielsen-äquivalent, wenn sie durch eine Nielsen-Transformation auseinander hervorgehen.

Anwendungen

Erzeugendensysteme freier Gruppen 

Sei  die freie Gruppe mit  Erzeugern . Dann hat jedes minimale Erzeugendensystem  Elemente und ein -Tupel  ist genau dann ein Erzeugendensystem von , wenn die geordneten Tupel  und  Nielsen-äquivalent sind.

Erzeugendensysteme von Flächengruppen 

Sei  die Flächengruppe vom Geschlecht . Dann hat jedes minimale Erzeugendensystem  Elemente und ein -Tupel  ist genau dann ein Erzeugendensystem von , wenn die geordneten Tupel  und  Nielsen-äquivalent sind.

Literatur 

Kombinatorische Gruppentheorie