Satz von Robbins
Der Satz von Robbins (nach Herbert Robbins) ist ein Satz aus der Graphentheorie der einen Zusammenhang zwischen dem Kantenzusammenhang eines ungerichteten Graphen und der Möglichkeit die Kanten so zu orientieren, dass ein stark zusammenhängender gerichteter Graph entsteht herstellt.

Der Satz besagt, dass die Kanten eines zusammenhängender ungerichteten Graphen genau dann so orientiert werden können, dass der entstehende gerichtete Graph stark zusammenhängend ist wenn der ursprüngliche Graph 2-fach kantenzusammenhängend ist (keine Brücken enthält).

Formulierung des Satzes

Graphen 
 Ein zusammenhängender ungerichteten Graphen hat genau dann eine stark zusammenhängende Orientierung wenn der ursprüngliche Graph 2-fach kantenzusammenhängend ist.

Unter einer Orientierung eines ungerichten Graphen  versteht man einen gerichteter Graph 
sodass für jede ungerichte Kante  genau eine der gerichteten Kanten  in  ist.

Multigraphen 
Der Satz kann auf Multigraphen verallgemeinert werden.

 Ein zusammenhängender Multigraph hat genau dann eine stark zusammenhängende Orientierung wenn der ursprüngliche Multigraph 2-fach kantenzusammenhängend ist.

Gemischte Graphen 
Boesch und Tindell haben den Satz von Robbins auf gemischte Graphen, Graphen die sowohl gerichtete als auch ungerichtete Kanten enthalten.

Ein solcher Graph ist zusammenhängend, wenn es für jedes Paar von Knoten  einen Pfad von  nach  gibt, wobei gerichtete Kanten nur in der gegebenen Richtung verwendet werden durften.

 Ein zusammenhängender gemischter Multigraph hat genau dann eine stark zusammenhängende Orientierung, wenn er 2-fach kantenzusammenhängend ist.

Algorithmus 
Der folgende Algorithmus berechnet für einen 2-fach kantenzusammenhängen Graphen  eine Orientierung  von  sodass  stark zusammenhängend ist. Er geht auf die Informatiker John E. Hopcroft und Robert Tarjan zurück.

Der Algorithmus geht in zwei Schritten vor: Zuerst werden die Kanten eines Gerüstes orientiert, das über Tiefensuche bestimmt wird, anschließend werden die restlichen Kanten orientiert.

Es sei

  die Menge der markierten Knoten,
  die Menge der nicht markierten Knoten,
  die Markierung der Knoten,
  die Menge der Bögen, die durch die Orientierung der Kanten von  entstanden sind.

1. Wähle einen beliebigen Knoten  von  aus, der markiert wird:
 Setze 

2. Suche jetzt einen Knoten  von , der eine maximale Markierung  und gleichfalls adjazent zu einem Knoten  aus  ist. Markiere jetzt  mit . Orientiere anschließend die Kante  von  zu , so dass der Bogen  entsteht.

Der markierte Knoten  wird aus  entfernt und zu  hinzugefügt, und der Bogen  wird zu  hinzugefügt:
 

Überprüfe, ob alle Knoten markiert wurden: Gilt , dann wiederhole Schritt 2.

3. Es gilt:
 Alle Knoten wurden markiert: ,
 ein Gerüst von  ist orientiert.

Es lässt sich beweisen, dass alle Kanten, die jetzt noch keine Richtung haben, immer zwei Knoten mit unterschiedlicher Markierung verbinden. Jede nicht orientierte Kante  mit  wird nun von  nach  orientiert, d. h. vom Knoten mit der größeren zum Knoten mit der kleineren Markierung, und zu  hinzugefügt.

Die auf diese Weise konstruierte Orientierung  des Graphen  ist stark zusammenhängend.

Literatur

Einzelnachweise 

Robbins