Cartan-Matrix
Eine Cartan-Matrix, benannt nach Élie Cartan, ist eine Matrix, die in der mathematischen Theorie der Lie-Algebren zur Klassifikation dieser Algebren verwendet wird.

Cartan-Matrix einer Lie-Algebra 
Zur Definition der Cartan-Matrizen werden einige Begriffe und Tatsachen aus der Theorie der Lie-Algebren benötigt, die hier kurz zusammengestellt werden.
Es sei  eine endlichdimensionale halbeinfache Lie-Algebra über dem Körper der komplexen Zahlen .  sei eine darin enthaltene Cartan-Unteralgebra. Für  sei

die sogenannte Adjunktion mit . In der Theorie der Lie-Algebren zeigt man, dass durch

eine symmetrische, nicht-ausgeartete Bilinearform definiert ist, die sogenannte Killing-Form. Deren Einschränkung auf  ist ebenfalls nicht-ausgeartet, das heißt jedes Element des Dualraums  ist von der Form

für ein eindeutig bestimmtes . Mittels des Vektorraumisomorphismus  überträgt man die Killing-Form zu einer nicht-ausgearteten Bilinearform auf , das heißt man setzt .

Weiter zeigt man, dass es eine endliche Menge  linearer Funktionale  gibt, so dass

wobei

und  nicht der Nullraum ist. Aus dieser Menge  der sogenannten Wurzeln kann man eine Teilmenge  auswählen, so dass jedes  eindeutige Linearkombination der Elemente aus  ist, wobei die Koeffizienten entweder alle positiv oder alle negativ sind.  heißt eine Menge von Fundamentalwurzeln, sie ist eine Vektorraumbasis der Cartan-Unteralgebra .

Die Cartan-Matrix der Lie-Algebra ist definiert als die Matrix mit Koeffizienten
.

Zwei Cartan-Matrizen heißen äquivalent, wenn sie durch Änderung der Anordnung der Basis auseinander hervorgehen. Da die Basisvektoren  beliebig permutiert werden können, kann eine Cartan-Matrix natürlich nur bis auf Äquivalenz eindeutig bestimmt sein. Man kann zeigen, dass die Äquivalenzklasse der Cartan-Matrix nicht von den anderen Wahlmöglichkeiten in obiger Konstruktion abhängt, das heißt nicht von der Wahl der Cartan-Unteralgebra und auch nicht von der Wahl der Fundamentalwurzeln .

Beispiele 
  ist die einzige  -Matrix, die eine Cartan-Matrix ist.
  ist Cartan-Matrix der dreidimensionalen, speziellen linearen Lie-Algebra.
Da wir unten eine vollständige Klassifikation aller Cartan-Matrizen angeben, erübrigen sich an dieser Stelle weitere Beispiele.

Eigenschaften 
Sei  eine Cartan-Matrix. Dann gilt:
    für alle   .
    für alle   
 Wenn    so ist   
    genau dann, wenn   
  ist regulär, die inverse Matrix hat nur nicht-negative rationale Koeffizienten.
 Es gibt eine Diagonalmatrix  und eine symmetrische Matrix  mit .

Zerlegbarkeit der Cartan-Matrizen 
Ist die Cartan-Matrix einer Lie-Algebra  äquivalent zu einer Matrix der Form

mit Untermatrizen  und , so heißt die Cartan-Matrix zerlegbar. Man kann zeigen, dass  und  ihrerseits wieder Cartan-Matrizen sind. Zu dieser Zerlegung korrespondiert eine direkte Summenzerlegung

in Ideale  und , dabei ist  Cartan-Matrix von .
Es genügt daher alle unzerlegbaren Cartan-Matrizen zu kennen, diese gehören dann zu einfachen Lie-Algebren.

Bedeutung 
Die Zuordnung 
 Isomorphieklassen endlichdimensionaler einfacher Lie-Algebren      Äquivalenzklassen von Cartan-Matrizen
ist eine vollständige Isomorphie-Invariante, d. h.
 Isomorphe endlichdimensionale einfache Lie-Algebren haben äquivalente Cartan-Matrizen.
 Endlichdimensionale einfache Lie-Algebren mit äquivalenten Cartan-Matrizen sind isomorph.

Klassifikation der unzerlegbaren Cartan-Matrizen 
Man kann alle unzerlegbaren Cartan-Matrizen (bis auf Äquivalenz) angeben. Die Benennung in der folgenden Aufzählung korrespondiert zur üblichen Klassifikation endlichdimensionaler einfacher Lie-Algebren.

Existenzsatz 
In der Theorie der Lie-Algebren zeigt man mit einigem Aufwand, dass jede endlichdimensionale einfache Lie-Algebra eine Cartan-Matrix aus obiger Liste haben muss. Wesentlich schwieriger ist der Beweis, dass es zu jeder dieser Cartan-Matrizen  tatsächlich eine passende endlichdimensionale einfache Lie-Algebra gibt. Dass das in der Tat so ist, besagt der sogenannte Existenzsatz. Natürlich könnte man zu jeder der angegebenen Matrizen eine  endlichdimensionale einfache Lie-Algebra angeben und nachrechnen, dass deren Cartan-Matrix die vorgegebene Matrix ist. In einer allgemeinen Konstruktion betrachtet man die von Erzeugern
 frei erzeugte Lie-Algebra mit Relationen

   für   
   mit  und  Vorkommen von 
   mit  und  Vorkommen von .
Von dieser Lie-Algebra kann man zeigen, dass es sich um eine endlichdimensionale einfache Lie-Algebra mit passender Cartan-Matrix handelt. Eine besondere Schwierigkeit liegt im Nachweis der endlichen Dimension. Das ist der auf Jean-Pierre Serre zurückgehende Beweis des Existenzsatzes. Man beachte, dass diese allgemeine Konstruktion nur von den Daten der vorgelegten Cartan-Matrix abhängt. Das zeigt noch einmal, dass die Kenntnis der Cartan-Matrix die endlichdimensionale einfache Lie-Algebra bestimmt.

Beziehung zu Dynkin-Diagrammen 

Die Cartan-Matrizen stehen in enger, wechselseitiger Beziehung zu den Dynkin-Diagrammen. Zu jeder Cartan-Matrix  mit unterem Index  konstruiert man einen Graphen, den man dann das zugehörige Dynkin-Diagramm nennt, mit  Knoten  und verbindet je zwei verschiedene Knoten  und  durch  Kanten. Sind  und  durch mehr als eine Kante verbunden, so setzt man noch einen Winkel > durch diese Kanten, wobei das spitze Ende genau dann zu  zeigt, wenn .
Aus dem Dynkin-Diagramm kann man die Cartan-Matrix zurückgewinnen. Die Unzerlegbarkeit auf der Seite der Cartan-Matrizen korrespondiert genau zum Zusammenhang der Dynkin-Diagramme. In nebenstehender Zeichnung sind alle Dynkin-Diagramme zu den unzerlegbaren Cartan-Matrizen  angegeben.

Einzelnachweise 

Theorie der Lie-Algebren