Čech-Homologie
Die Čech-Homologie, benannt nach Eduard Čech, ist eine Homologietheorie und gehört daher zum mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie. Genauer wird einem topologischen Raum  und einem darin enthaltenen Unterraum  eine Folge von Gruppen zugeordnet. Diese mit ,  bezeichneten Gruppen spiegeln Eigenschaften der topologischen Räume wider.

Einleitende Bemerkungen 

Historisch wurden Homologiegruppen zunächst für Simplizialkomplexe definiert, genauer spricht man von der simplizialen Homologie. Simplizialkomplexe sind topologische Räume, die sich auf einfache Art und Weise aus Simplices zusammensetzen. Diese Überlegungen lassen sich dann auf topologische Räume, die zu solchen Simplizialkomplexen homöomorph sind, ausdehnen, solche Räume nennt man triangulierbar. In einem weiteren Schritt möchte man dann die Homologiegruppen für alle topologischen Räume definieren, auch für solche, die nicht triangulierbar sind. Die singuläre Homologie ist eine solche mögliche Verallgemeinerung auf alle topologischen Räume, die hier vorzustellende Čech-Homologie ist eine alternative Verallgemeinerung.

Im Unterschied zur singulären Homologie werden die Homologiegruppen nicht aus einem Kettenkomplex gewonnen, sondern sie werden direkt durch einen Limesprozess definiert. Genauer approximiert man den topologischen Raum mittels Überdeckungen durch Simplizialkomplexe und erhält aus den Homologiegruppen dieser Simplizialkomplexe mittels eines projektiven Limes neue Gruppen, die dann die gesuchten Čech-Homologiegruppen sind. Diese Konstruktion wird im Folgenden vorgestellt, anschließend werden Eigenschaften und Unterschiede zur singulären Homologie beleuchtet. Der Konstruktion liegt eine feste Gruppe , die sogenannte Koeffizientengruppe, zugrunde, deren Nennung wir aber weitestgehend unterdrücken.

Der Nerv einer Überdeckung 
Es sei  ein topologischer Raum. Ist  eine endliche Überdeckung, so konstruiere man wie folgt einen abstrakten Simplizialkomplex . Jedes  sei eine Ecke von . Eine Teilmenge  bilde genau dann einen Simplex von , wenn
.
Der Simplizialkomplex  heißt Nerv der Überdeckung . Geometrisch lassen sich solche Simplizialkomplexe in einem euklidischen Raum  hinreichend großer Dimension realisieren. Man lasse sich im Folgenden von der Vorstellung leiten, dass der topologische Raum durch die Nerven immer feinerer Überdeckungen immer besser approximiert wird. Die projektiven Limiten der simplizialen Homologiegruppen dieser Nerven werden dann die gesuchten Čech-Homologiegruppen sein.

Als Beispiel betrachten wir die Kugeloberfläche . Überdeckt man , wie in der Differenzialgeometrie üblich, durch  und , so erhält man als Nerv den abstrakten Simplizialkomplex , was in einer geometrischen Realisierung einer Strecke entspricht. Wählt man die feinere Überdeckung aus den 6 offenen Halbkugelschalen
,
so ist der Nerv gleich

und eine geometrische Realisierung ist homöomorph zur Oberfläche eines Oktaeders, die ihrerseits homöomorph zur Kugeloberfläche ist.

Konstruktion der Homologiegruppen 

Um eine Homologietheorie zu erhalten, müssen wir Paare  von topologischen Räumen  und Unterräumen  betrachten, wobei  erlaubt ist. Ist  eine endliche Überdeckung von , so sei  der Unterkomplex von , der aus allen Teilmengen  besteht, für die

ist.
Dann ist  ein simpliziales Paar und man kann die simplizialen Homologiegruppen  bilden. Wir definieren
 . 
Man beachte, dass diese simplizialen Homologiegruppen bzgl. einer oben erwähnten Koeffizientengruppe definiert sind, deren Nennung in dieser Beschreibung aber unterbleibt.

Bevor wir nun die Überdeckungen immer feiner werden lassen, müssen wir einige induzierte Abbildungen einführen. Es sei  eine stetige Abbildung zwischen Paaren topologischer Räume, das heißt  ist Unterraum von ,  Unterraum von ,  ist eine stetige Abbildung  und es ist .
Es sei nun  eine endliche Überdeckung von . Dann ist

eine offene Überdeckung von  und man kann neben dem simplizialen Paar auch  bilden.
Daraus konstruieren wir nun eine simpliziale Abbildung
,
indem wir  auf den Ecken von  wie folgt erklären:
Eine Ecke  von  ist eine Menge der Form  für eine im Allgemeinen nicht eindeutige Überdeckungsmenge . Man wähle ein solches  und definiere .
Man zeigt, dass dadurch eine simpliziale Abbildung definiert ist, die daher einen Gruppenhomomorphismus
 
zwischen den simplizialen Homologiegruppen induziert. Des Weiteren kann man zeigen, dass dieser Gruppenhomomorphismus nicht mehr von den getroffenen Wahlen der  abhängt, das heißt man erhält einen eindeutigen Gruppenhomomorphismus
 ,
der nur noch von  abhängt.

Nun betrachten wir ein Paar  topologischer Räume mit zwei endlichen Überdeckungen  und , wobei  eine feinere Überdeckung sei, das heißt zu jedem  gibt es ein  mit . Zu jedem  wähle ein solches  und definiere
.
Man kann zeigen, dass durch diese Zuordnung der Ecken tatsächlich eine simpliziale Abbildung zwischen den Simplizialkomplexen gegeben ist, die natürlich von den getroffenen Wahlen der  mit  abhängt. Wie im Falle der oben beschriebenen  verschwindet diese Abhängigkeit, wenn man zu den Homologiegruppen übergeht, das man erhält nur noch von  und  abhängige Abbildungen
.

Für die hier eingeführten Abbildungen können folgende Beziehungen nachgewiesen werden, wobei  eine stetige Abbildung zwischen Paaren topologischer Räume sei und ,  und  endliche Überdeckungen auf  seien, die in dieser Reihenfolge feiner werden:

 
 
 

Die ersten beiden Gleichungen zeigen, dass die Daten eines projektiven Limes vorliegen, das heißt man kann

bilden, wobei wir die leicht zu verifizierende Tatsache verwenden, dass die Menge der endlichen, offenen Überdeckungen bzgl. der "feiner"-Relation eine gerichtete Menge ist.
Die dritte Gleichung zeigt, dass die  einen Gruppenhomomorphismus

definieren. Das gilt für jedes , in der Schreibweise  ist die Abhängigkeit von  unterdrückt.

Damit bilden die Zuordnungen

, mit unterdrückter Abhängigkeit von 
Funktoren von der Kategorie der Paare topologischer Räume in die Kategorie der abelschen Gruppen. Die Funktoreigenschaften, das heißt, dass die identische Abbildung auf die identischen Gruppenhomomorphismen abgebildet werden und dass die Gruppenhomomorphismen einer Komposition mit den Kompositionen der Gruppenhomomorphismen übereinstimmen, ergeben sich geradewegs aus den entsprechenden Eigenschaften der simplizialen Homologie und der Konstruktion mittels des projektiven Limes. Diese Funktoren nennt man die Čech-Homologie des Paares, die Gruppen  heißen Čech-Homologiegruppen. Für  lässt man das  weg, das heißt man schreibt nur .

Eigenschaften 
Viele Eigenschaften der Čech-Homologie ergeben sich aus den Eigenschaften der singulären bzw. simplizialen Homologie, in dem man entsprechende Eigenschaften dieser Homologietheorien auf den projektiven Limes überträgt. Die oben genannten Funktoreigenschaften zeigen, dass homöomorphe Paare dieselbe Čech-Homologie haben, denn Homöomorphismen zwischen Paaren induzieren offenbar Isomorphismen zwischen den entsprechenden Čech-Homologiegruppen. Letztere sind also topologische Invarianten.

Vergleich mit singulärer Homologie 

Konstruktionsbedingt sind die Čech-Homologiegruppen simplizialer Paare zu den simplizialen und daher zu den singulären Homologiegruppen isomorph. 
Insbesondere gilt für den einpunktigen Raum

Dabei ist  die Koeffizientengruppe, die der Konstruktion zugrunde liegt, und 0 steht wie üblich für die triviale Gruppe.

Mittels Homöomorphie ergibt sich sofort, dass Čech-Homologie und singuläre Homologie auf Paaren triangulierbarer Räume übereinstimmen, was für allgemeinere Räume nicht mehr gilt, wie das nebenstehende Beispiel zeigt. Dieser Raum  ist Unterraum der Ebene  und besteht aus dem Funktionsgraphen von , , sowie dem Streckenzug von  über  und  bis . Für die singuläre Homologie gilt , aber für die Čech-Homologie erhält man  (Koeffizientengruppe ), siehe unten.

Homotopieinvarianz 
Zwei stetige Funktionen  zwischen Paaren topologischer Räume heißen homotop, falls es eine stetige Abbildung
   gibt mit
   und       für alle . In diesem Fall gilt
  für alle .

Insbesondere haben homotopieäquivalente Raumpaare isomorphe Čech-Homologiegruppen.

Lange Homologiesequenz 
Zu jedem Paar  topologischer Räume und jedem  gibt es Homomorphismen
 
(die Abhängigkeit von  und  wird unterdrückt), so dass Folgendes gilt:

Ist  eine stetige Abbildung zwischen Paaren topologischer Räume, so ist das folgende Diagramm kommutativ:

Sind weiter  und  die Inklusionsabbildungen, so gilt für die lange Homologiesequenz

 ,

dass die Komposition aufeinanderfolgender Homomorphismen der Nullhomomorphismus ist, das heißt der Kern eines jeden Homomorphismus umfasst das Bild des vorhergehenden. Man beachte, dass diese Eigenschaft erheblich schwächer ist als die Entsprechung in der singulären Homologie, für die die lange Homologiesequenz sogar exakt ist. Schließlich soll noch erwähnt werden, dass die Homomorphismen  durch die Bildung des projektiven Limes aus den Verbindungshomomorphismen der simplizialen Homologie hervorgehen und die genannte Schwäche daher rührt, dass Exaktheit beim Übergang zum projektiven Limes im Allgemeinen nicht erhalten bleibt.

Ausschneidung 
Es sei  ein Paar topologischer Räume und es sei  eine offene Menge, deren abgeschlossene Hülle im Inneren von  enthalten ist. Dann induziert die Inklusionsabbildung  Isomorphismen
  für alle 

Dies nennt man die Ausschneidungseigenschaft, denn man stellt sich vor, man habe  aus dem Paar  herausgeschnitten. Man beachte, dass die entsprechende Eigenschaft der singulären Homologie ohne die Offenheit von  gilt. In der Čech-Homologie kann man auf diese Voraussetzung nicht verzichten

Stetigkeit 
Eine Besonderheit der Čech-Homologie, die bei der singulären Homologie fehlt, ist die sogenannte Stetigkeit, die auf der Konstruktion des projektiven Limes beruht. Es sei  eine gerichtete Menge. Zu jedem  sei   ein Paar kompakter Räume, das heißt  und  sind beide kompakt, und zu jedem  in  sei   eine stetige Abbildung, so dass folgende Beziehungen gelten:
    für alle 
    für alle  mit .
Mit diesen Daten kann man einerseits den projektiven Limes

der kompakten Paare konstruieren, andererseits erhält man durch Anwendung des Funktors der -ten Čech-Homologie die Daten  und   für  in , aus denen man den projektiven Limes der Čech-Homologiegruppen bilden kann. Die Stetigkeitseigenschaft besagt, dass die erwartete Beziehung gilt:
.

Beispiel 
Als Anwendung betrachte zum Raum , der oben mittels des -Graphen konstruiert worden war, die Räume , die aus  durch Hinzunahme des vollen Rechtecks mit den Ecken , ,  und  hervorgehen.
Lässt man die linke Seite der hinzugenommenen Rechtecke stetig auf die rechte zuwandern, so sieht man, dass  homotop zu einer einfach geschlossenen Linie und damit zu einem Kreis ist.

Also ist wegen der Homotopieinvarianz und Übereinstimmung von singulärer Homologie und Čech-Homologie für triangulierbare Räume , wobei wir wieder die Koeffizientengruppe  betrachten. Für  sei  die Inklusionsabbildung . Dann ist  die Identität und Stetigkeit liefert
.

Die singuläre Homologie  hingegen ist 0. Das liegt im Wesentlichen daran, ohne auf Einzelheiten einzugehen, dass keine einfach geschlossene Kurve den Raum "umlaufen" kann. Daher ist der Raum  ein Beispiel für einen nicht triangulierbaren Raum, denn im Falle der Triangulierbarkeit müssten singuläre Homologie und Čech-Homologie übereinstimmen, was hier ja nicht vorliegt.

Literatur 
Andrew Wallace: Algebraic Topology, Homology and Cohomology, W. A. Benjamin Inc. (1969)

Homologietheorie
Algebraische Topologie
Topologische Invariante