Quale condizione essenziale deve essere soddisfatta perché un sottogruppo di un gruppo sia un sottogruppo?
doc-6845
Nell' esempio precedente, l' identità e le rotazioni costituiscono un sottogruppo R = {id, r1, r1, r2, r3}, evidenziato in rosso nella tabella di gruppo qui sopra: qualsiasi rotazione composta da due rotazioni è ancora una rotazione, e una rotazione può essere annullata da (ad es. è invertito) le rotazioni complementari 270° per 90°, 180° per 180° e 90° per 270° (si noti che la rotazione in senso opposto non è definita). Il test del sottogruppo è una condizione necessaria e sufficiente perché un sottoinsieme H di un gruppo G sia un sottogruppo: è sufficiente verificare che g-1h? H per tutti gli elementi g, h. H.
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doc-4416
Il nazionalismo moderno, sviluppatosi soprattutto a partire dalla Rivoluzione Francese, ha fatto della distinzione tra "lingua" e "dialetto" una questione di grande importanza politica. Un gruppo che parla una "lingua" separata è spesso visto come avente una maggiore pretesa di essere un "popolo"separato, e quindi più meritevole del proprio stato indipendente, mentre un gruppo che parla un "dialetto" tende ad essere visto non come un "popolo" di per sé, ma come un sottogruppo, parte di un popolo più grande, che deve accontentarsi dell' autonomia regionale.
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doc-6847
I gruppi e sottogruppi quozienti insieme formano un modo di descrivere ogni gruppo attraverso la sua presentazione: ogni gruppo è il quoziente del gruppo libero rispetto ai generatori del gruppo, citato dal sottogruppo delle relazioni. Il gruppo dihedral D4, ad esempio, può essere generato da due elementi r ed f (per esempio r = r1, la rotazione giusta e f = fv la riflessione verticale (o qualsiasi altro), il che significa che ogni simmetria del quadrato è una composizione finita di queste due simmetrie o dei loro inversi. Insieme alle relazioni è il quoziente del gruppo libero sui generatori del gruppo.
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doc-14710
Gli Slavi sono solitamente divisi lungo linee geografiche in tre sottogruppi principali: Slavi occidentali, Slavi orientali e Slavi meridionali, ciascuno con un background diverso e diversificato basato sulla storia, religione e cultura unica di particolari gruppi slavi al loro interno. Oltre alle culture archeologiche preistoriche, i sottogruppi hanno avuto un notevole contatto culturale con le civiltà del bronzo non slavo e dell' età del ferro.
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doc-6843
Per comprendere i gruppi al di là del livello delle semplici manipolazioni simboliche di cui sopra, devono essere utilizzati più concetti strutturali. c["] C' è un principio concettuale alla base di tutte le seguenti nozioni: per trarre vantaggio dalla struttura offerta dai gruppi (che i gruppi, essendo" senza struttura ", non hanno), le costruzioni relative ai gruppi devono essere compatibili con l' operazione di gruppo. Questa compatibilità si manifesta nelle seguenti nozioni in vari modi. Ad esempio, i gruppi possono essere collegati tra loro tramite funzioni chiamate omomorfismi di gruppo. In base al principio citato, essi sono tenuti a rispettare le strutture del gruppo in modo preciso. La struttura dei gruppi può anche essere compresa suddividendoli in sottogruppi e gruppi quozienti.
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doc-2618
Il patrimonio linguistico delle isole britanniche è ricco, con dodici lingue da sei gruppi attraverso quattro rami della famiglia indoeuropea. Le lingue celtiche insulari del sottogruppo Goidelico (irlandese, manx e gaelico scozzese) e del sottogruppo britannico (ornish, gallese e bretone, parlate nella Francia nordoccidentale) sono le uniche lingue celtiche rimanenti - l' ultima delle loro relazioni continentali si estinguono prima del VII secolo. Le lingue normanne di Guernésiais, Jèrriais e Sarkese parlate nelle Isole Normanne sono simili al francese. Una cant, detta Shelta, è parlata dai viaggiatori irlandesi, spesso come un mezzo per nascondere il significato a chi è fuori dal gruppo. Tuttavia, l' inglese, a volte sotto forma di scozzese, è la lingua dominante, con pochi monoglot rimasti nelle altre lingue della regione. La lingua norn di Orkney e Shetland si estinse intorno al 1880.
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doc-6858
I matematici spesso si sforzano di ottenere una classificazione completa (o lista) di una nozione matematica. Nel contesto di gruppi finiti, questo obiettivo porta ad una matematica difficile. Secondo il teorema di Lagrange, i gruppi finiti di ordine p, un primo numero, sono necessariamente gruppi ciclici (abeliani) Zp. Gruppi di ordine p2 può anche essere dimostrato di essere abeliano, una dichiarazione che non generalizzare all' ordine p3, come mostra il gruppo non-abeliano D4 di ordine 8 = 23 di cui sopra. I sistemi algebrici computerizzati possono essere usati per elencare piccoli gruppi, ma non c' è classificazione di tutti i gruppi finiti. q['] Un passo intermedio è la classificazione dei gruppi finiti semplici. r['] Un gruppo non banale è chiamato semplice se i suoi soli sottogruppi normali sono il gruppo banale e il gruppo stesso.
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doc-6856
I gruppi di matrice sono costituiti da matrici e dalla moltiplicazione della matrice. Il gruppo lineare generale GL (n, R) è costituito da tutte le matrici n-by-n invertibili con inserimenti reali. I suoi sottogruppi sono denominati gruppi di matrice o gruppi lineari. L' esempio di gruppo di Duomo sopra citato può essere visto come un (molto piccolo) gruppo a matrice. Un altro importante gruppo di matrice è lo speciale gruppo ortogonale SO (n). Descrive tutte le possibili rotazioni in n dimensioni. Attraverso gli angoli Euler, le matrici di rotazione sono utilizzate nella grafica computerizzata.
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doc-6839
Il concetto di gruppo nasce dallo studio delle equazioni polinomiali, a partire da Évariste Galois nel 1830. Dopo i contributi di altri campi come la teoria del numero e la geometria, la nozione di gruppo fu generalizzata e stabilì saldamente intorno al 1870. La teoria moderna del gruppo - una disciplina matematica attiva - studia i gruppi di studio propriamente detti. a['] Per esplorare i gruppi, i matematici hanno ideato varie nozioni per suddividere i gruppi in pezzi più piccoli e comprensibili, come sottogruppi, gruppi quozienti e gruppi semplici. Oltre alle loro proprietà astratte, i teorici di gruppo studiano anche i diversi modi in cui un gruppo può essere espresso concretamente (le sue rappresentazioni di gruppo), sia da un punto di vista teorico che computazionale.
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doc-6857
Un gruppo è chiamato finito se ha un numero finito di elementi. Il numero di elementi è chiamato l' ordine del gruppo. Un' importante classe è costituita dai gruppi simmetrici SN, i gruppi di permutazioni di lettere N. Ad esempio, il gruppo simmetrico su 3 lettere S3 è il gruppo costituito da tutti i possibili ordini delle tre lettere ABC, cioè contiene gli elementi ABC, ACB,, fino a CBA, in totale 6 (o 3) elementi fattoriali. Questa classe è fondamentale nella misura in cui ogni gruppo finito può essere espresso come sottogruppo di un gruppo simmetrico SN per un numero intero N adatto (il teorema di Cayley). Parallelamente al gruppo di simmetrie del quadrato sopra, S3 può anche essere interpretato come il gruppo di simmetrie di un triangolo equilatero. un numero finito di elementi.
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doc-942
Gli anellidi sono organismi simmetrici bilaterali, triploblastici, celomatici, invertebrati. Hanno anche parapogia per locomozione. La maggior parte dei libri di testo usano ancora la divisione tradizionale in policheti (quasi tutti marini), oligochete (che includono lombrichi) e specie simili ai liechi. La ricerca Cladistic dal 1997 ha cambiato radicalmente questo schema, considerando i leeches come un sottogruppo di oligochete e oligochete come un sottogruppo di policheti. Inoltre, la Pogonophora, l' Echiura e la Sipuncula, precedentemente considerate come phyla separate, sono ora considerate sottogruppi di polichete. Gli Annelidi sono considerati membri dei Lophotrochozoa, un "super-asilo" di protostomi che comprende anche molluschi, brachiopodi, lombrichidi e nemertei.
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