Che tipo di classe ha un gruppo finito che può essere espresso come sottogruppo di un gruppo simmetrico?
doc-6857
Un gruppo è chiamato finito se ha un numero finito di elementi. Il numero di elementi è chiamato l' ordine del gruppo. Un' importante classe è costituita dai gruppi simmetrici SN, i gruppi di permutazioni di lettere N. Ad esempio, il gruppo simmetrico su 3 lettere S3 è il gruppo costituito da tutti i possibili ordini delle tre lettere ABC, cioè contiene gli elementi ABC, ACB,, fino a CBA, in totale 6 (o 3) elementi fattoriali. Questa classe è fondamentale nella misura in cui ogni gruppo finito può essere espresso come sottogruppo di un gruppo simmetrico SN per un numero intero N adatto (il teorema di Cayley). Parallelamente al gruppo di simmetrie del quadrato sopra, S3 può anche essere interpretato come il gruppo di simmetrie di un triangolo equilatero. un numero finito di elementi.
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doc-6858
I matematici spesso si sforzano di ottenere una classificazione completa (o lista) di una nozione matematica. Nel contesto di gruppi finiti, questo obiettivo porta ad una matematica difficile. Secondo il teorema di Lagrange, i gruppi finiti di ordine p, un primo numero, sono necessariamente gruppi ciclici (abeliani) Zp. Gruppi di ordine p2 può anche essere dimostrato di essere abeliano, una dichiarazione che non generalizzare all' ordine p3, come mostra il gruppo non-abeliano D4 di ordine 8 = 23 di cui sopra. I sistemi algebrici computerizzati possono essere usati per elencare piccoli gruppi, ma non c' è classificazione di tutti i gruppi finiti. q['] Un passo intermedio è la classificazione dei gruppi finiti semplici. r['] Un gruppo non banale è chiamato semplice se i suoi soli sottogruppi normali sono il gruppo banale e il gruppo stesso.
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doc-6847
I gruppi e sottogruppi quozienti insieme formano un modo di descrivere ogni gruppo attraverso la sua presentazione: ogni gruppo è il quoziente del gruppo libero rispetto ai generatori del gruppo, citato dal sottogruppo delle relazioni. Il gruppo dihedral D4, ad esempio, può essere generato da due elementi r ed f (per esempio r = r1, la rotazione giusta e f = fv la riflessione verticale (o qualsiasi altro), il che significa che ogni simmetria del quadrato è una composizione finita di queste due simmetrie o dei loro inversi. Insieme alle relazioni è il quoziente del gruppo libero sui generatori del gruppo.
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doc-6839
Il concetto di gruppo nasce dallo studio delle equazioni polinomiali, a partire da Évariste Galois nel 1830. Dopo i contributi di altri campi come la teoria del numero e la geometria, la nozione di gruppo fu generalizzata e stabilì saldamente intorno al 1870. La teoria moderna del gruppo - una disciplina matematica attiva - studia i gruppi di studio propriamente detti. a['] Per esplorare i gruppi, i matematici hanno ideato varie nozioni per suddividere i gruppi in pezzi più piccoli e comprensibili, come sottogruppi, gruppi quozienti e gruppi semplici. Oltre alle loro proprietà astratte, i teorici di gruppo studiano anche i diversi modi in cui un gruppo può essere espresso concretamente (le sue rappresentazioni di gruppo), sia da un punto di vista teorico che computazionale.
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doc-6841
Il concetto moderno di un gruppo astratto sviluppato da diversi campi della matematica. La motivazione originale per la teoria del gruppo era la ricerca di soluzioni di equazioni polinomiali di grado superiore a 4. Il matematico francese Évariste Galois del XIX secolo, che estendeva il precedente lavoro di Paolo Ruffini e Joseph-Louis Lagrange, ha fornito un criterio per la solvabilità di una particolare equazione polinomiale in termini di gruppo simmetrico delle sue radici (soluzioni). Gli elementi di tale gruppo Galois corrispondono a certe permutazioni delle radici. All' inizio, le idee di Galois furono respinte dai suoi contemporanei e pubblicate solo postume. Gruppi di permutazione più generali sono stati studiati in particolare da Augustin Louis Cauchy. Arthur Cayley's Sulla teoria dei gruppi, come a seconda dell' equazione simbolica? n = 1 (1854) dà la prima definizione astratta di un gruppo finito.
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doc-6843
Per comprendere i gruppi al di là del livello delle semplici manipolazioni simboliche di cui sopra, devono essere utilizzati più concetti strutturali. c["] C' è un principio concettuale alla base di tutte le seguenti nozioni: per trarre vantaggio dalla struttura offerta dai gruppi (che i gruppi, essendo" senza struttura ", non hanno), le costruzioni relative ai gruppi devono essere compatibili con l' operazione di gruppo. Questa compatibilità si manifesta nelle seguenti nozioni in vari modi. Ad esempio, i gruppi possono essere collegati tra loro tramite funzioni chiamate omomorfismi di gruppo. In base al principio citato, essi sono tenuti a rispettare le strutture del gruppo in modo preciso. La struttura dei gruppi può anche essere compresa suddividendoli in sottogruppi e gruppi quozienti.
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doc-6845
Nell' esempio precedente, l' identità e le rotazioni costituiscono un sottogruppo R = {id, r1, r1, r2, r3}, evidenziato in rosso nella tabella di gruppo qui sopra: qualsiasi rotazione composta da due rotazioni è ancora una rotazione, e una rotazione può essere annullata da (ad es. è invertito) le rotazioni complementari 270° per 90°, 180° per 180° e 90° per 270° (si noti che la rotazione in senso opposto non è definita). Il test del sottogruppo è una condizione necessaria e sufficiente perché un sottoinsieme H di un gruppo G sia un sottogruppo: è sufficiente verificare che g-1h? H per tutti gli elementi g, h. H.
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doc-6856
I gruppi di matrice sono costituiti da matrici e dalla moltiplicazione della matrice. Il gruppo lineare generale GL (n, R) è costituito da tutte le matrici n-by-n invertibili con inserimenti reali. I suoi sottogruppi sono denominati gruppi di matrice o gruppi lineari. L' esempio di gruppo di Duomo sopra citato può essere visto come un (molto piccolo) gruppo a matrice. Un altro importante gruppo di matrice è lo speciale gruppo ortogonale SO (n). Descrive tutte le possibili rotazioni in n dimensioni. Attraverso gli angoli Euler, le matrici di rotazione sono utilizzate nella grafica computerizzata.
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doc-4403
Un uso - il più comune tra i linguisti - si riferisce a una varietà di una lingua che è una caratteristica di un particolare gruppo di linguisti. Il termine si applica più spesso ai modelli di discorso regionali, ma un dialetto può anche essere definito da altri fattori, come la classe sociale. Un dialetto che è associato ad una particolare classe sociale può essere definito un socioletto, un dialetto che è associato ad un particolare gruppo etnico può essere definito etnoletto, e un dialetto regionale può essere definito un regioletto. Secondo questa definizione, qualsiasi varietà di lingua costituisce un "dialetto", comprese le varietà standard.
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doc-6848
I gruppi di sotto e quozienti sono collegati nel seguente modo: un sottoinsieme H di G può essere visto come una mappa iniettiva H? ogni elemento del target ha al massimo un elemento che gli corrisponde. La controparte delle mappe iniettive sono le mappe surjective (ogni elemento del target è mappato su), come la mappa canonica G? G / N. y['] L' interpretazione del sottogruppo e dei quozienti alla luce di questi omomorfismi enfatizza il concetto strutturale inerente a queste definizioni cui si allude nell' introduzione. In generale, gli omomorfismi non sono né iniettivi né surjective. Il Kernel e l' immagine degli omomorfismi di gruppo e il primo teorema dell' isomorfismo affrontano questo fenomeno.
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doc-13765
Dal punto di vista etnico e linguistico la popolazione della Repubblica del Congo è eterogenea: l' Estologo riconosce 62 lingue parlate nel paese, ma può essere raggruppato in tre categorie. Il Kongo sono il gruppo etnico più grande e forma circa la metà della popolazione. I sottogruppi più significativi del Kongo sono Laari nelle regioni di Brazzaville e Pool e Vili intorno a Pointe-Noire e lungo la costa atlantica. Il secondo gruppo più grande è il Teke che vive a nord di Brazzaville con il 17% della popolazione. Boulangui (M' Boshi) vive nel nord-ovest e a Brazzaville e forma il 12% della popolazione. I pigmei costituiscono il 2% della popolazione del Congo.
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