Nel 1930 chi ha dato una risposta fortemente negativa all' approccio di Von Neuman al sistema assiomatico della teoria dei set?
doc-8501
Con questo contributo di von Neumann, il sistema assiomatico della teoria dei set divenne pienamente soddisfacente, e la domanda successiva era se fosse o meno definitivo, e non soggetto a miglioramento. Una risposta fortemente negativa arrivò nel settembre 1930 al Congresso matematico storico di Königsberg, in cui Kurt Gödel annunciò il suo primo teorema di incompletezza: i soliti sistemi assiomatici sono incompleti, nel senso che non possono dimostrare ogni verità che è espressibile nella loro lingua. Questo risultato era sufficientemente innovativo da confondere la maggior parte dei matematici dell' epoca.
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doc-8498
L' assiomatizzazione della matematica, sul modello degli Elementi di Euclide, aveva raggiunto nuovi livelli di rigore e ampiezza alla fine del XIX secolo, in particolare nell' aritmetica, grazie allo schema assiomatico di Richard Dedekind e Charles Sanders Peirce, e alla geometria, grazie a David Hilbert. All' inizio del XX secolo, gli sforzi per basare la matematica su una teoria di serie ingenue subirono una battuta d' arresto a causa del paradosso di Russell (sull' insieme di tutti i set che non appartengono a se stessi). Il problema di un' adeguata assiomatizzazione della teoria del set è stato risolto implicitamente circa venti anni dopo da Ernst Zermelo e Abraham Fraenkel. Zermelo-Fraenkel set teoria ha fornito una serie di principi che hanno permesso la costruzione dei set utilizzati nella pratica quotidiana della matematica. Ma non escludevano esplicitamente la possibilità dell' esistenza di un insieme che appartiene a se stesso. Nella sua tesi di dottorato del 1925, von Neumann dimostrò due tecniche per escludere tali insiemi: l' assioma della fondazione e la nozione di classe.
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doc-8500
Il secondo approccio al problema ha preso come base la nozione di classe, e definisce un insieme come una classe che appartiene ad altre classi, mentre una classe propria è definita come una classe che non appartiene ad altre classi. Con l' approccio Zermelo-Fraenkel, gli assiomi impediscono la costruzione di un insieme di tutti i set che non appartengono a se stessi. Al contrario, secondo l' approccio von Neumann, la classe di tutti i set che non appartengono a se stessi può essere costruita, ma è una classe propria e non un set.
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doc-8502
Ma von Neumann, che aveva partecipato al Congresso, confermò la sua fama di pensatore istantaneo, e in meno di un mese riuscì a comunicare allo stesso Gödel un' interessante conseguenza del suo teorema: cioè che i soliti sistemi assiomatici non sono in grado di dimostrare la propria coerenza. Tuttavia, Gödel aveva già scoperto questa conseguenza, ora conosciuto come il suo secondo teorema di incompletezza e inviò a von Neumann una prestampa del suo articolo contenente entrambi i teoremi di incompletezza. Von Neumann ha riconosciuto la priorità di Gödel nella sua prossima lettera. Non ha mai pensato molto "al sistema americano di rivendicare la priorità personale per tutto".
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doc-7806
L' immunologia è fortemente sperimentale nella pratica quotidiana, ma è anche caratterizzata da un atteggiamento teorico continuo. Molte teorie sono state suggerite in immunologia dalla fine del XIX secolo fino ai giorni nostri. La fine del XIX secolo e l' inizio del XX secolo vide una battaglia tra le teorie "cellulari" e "umoristiche" dell' immunità. Secondo la teoria cellulare dell' immunità, rappresentata in particolare da Elie Metchnikoff, erano le cellule - più precisamente i fagociti - a essere responsabili delle risposte immunitarie. Al contrario, la teoria umorale dell' immunità, tenuto da Robert Koch ed Emil von Behring, tra gli altri, ha dichiarato che gli agenti immunitari attivi erano componenti solubili (molecole) trovati negli "umori" dell' organismo piuttosto che le sue cellule.
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doc-8506
Von Neumann è stato il primo a stabilire un quadro matematico rigoroso per la meccanica quantistica, noto come assiomi Dirac-von Neumann, con il suo lavoro del 1932 Matematica Fondamenti matematici della Meccanica Quantistica. Dopo aver completato l' assiomatizzazione della teoria del set, cominciò a confrontarsi con l' assiomatizzazione della meccanica quantistica. Si rese conto, nel 1926, che uno stato di un sistema quantistico poteva essere rappresentato da un punto in uno spazio (complesso) Hilbert che, in generale, poteva essere infinite-dimensionale anche per una singola particella. In questo formalismo della meccanica quantistica, le grandezze osservabili come la posizione o il momento sono rappresentate come operatori lineari che agiscono sullo spazio di Hilbert associato al sistema quantistico.
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doc-2462
L' invenzione di computer elettronici negli anni Quaranta, insieme allo sviluppo della teoria dell' informazione matematica, ha portato ad una realizzazione che il cervello può essere potenzialmente inteso come sistemi di elaborazione dell' informazione. Questo concetto ha costituito la base del campo della cibernetica, e alla fine ha dato origine al campo ora noto come neuroscienze computazionali. I primi tentativi di cibernetica furono un po' grezzi in quanto trattavano il cervello essenzialmente come un computer digitale travestito, come per esempio nel libro di John von Neumann del 1958, The Computer and the Brain. Nel corso degli anni, tuttavia, l' accumulazione di informazioni sulle risposte elettriche delle cellule cerebrali registrate dagli animali che si comportano ha spostato costantemente i concetti teorici nella direzione di un crescente realismo.
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doc-8514
Von Neumann famosa carta di 9 pagine di Von Neumann ha iniziato la vita come un discorso a Princeton e poi è diventato un documento in Germania, che alla fine è stato tradotto in inglese. Il suo interesse per l' economia che ha portato a quell' articolo è iniziato come segue: quando tenne lezioni a Berlino nel 1928 e nel 1929 trascorse le estati a Budapest, e così fece l' economista Nicholas Kaldor, e lo colpirono. Kaldor consigliò a von Neumann di leggere un libro dell' economista matematico Léon Walras. Von Neumann ha trovato alcuni difetti in quel libro e li ha corretti, ad esempio sostituendo le equazioni con le disuguaglianze. Egli notò che la Teoria dell' Equilibrio Generale di Walras e la Legge di Walras, che portava a sistemi di equazioni lineari simultanee, potevano produrre l' assurdo risultato che il profitto poteva essere massimizzato producendo e vendendo una quantità negativa di un prodotto. Ha sostituito le equazioni con le disuguaglianze, introdotto equilibri dinamici, tra le altre cose, e alla fine ha prodotto la carta.
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doc-7804
I fattori materno gioca anche un ruolo nella risposta immunitaria del corpo. Alla nascita, la maggior parte dell' immunoglobulina presente è costituita da IgG materna. Poiché le IgM, IgD, IgE e IgA non attraversano la placenta, sono quasi impercettibili alla nascita. Alcune IgA sono fornite dal latte materno. Questi anticorpi acquisiti passivamente possono proteggere il neonato fino a 18 mesi, ma la loro risposta è solitamente di breve durata e di bassa affinità. Questi anticorpi possono anche produrre una risposta negativa. Se un bambino viene esposto all' anticorpo per un particolare antigene prima di essere esposto all' antigene stesso, il bambino produce una risposta inumidita. Gli anticorpi materni acquisiti passivamente possono sopprimere la risposta anticorpale all' immunizzazione attiva. Allo stesso modo la risposta delle cellule T alla vaccinazione differisce nei bambini rispetto agli adulti, e i vaccini che inducono risposte Th1 negli adulti non sollecitano prontamente queste stesse risposte nei neonati. Tra sei e nove mesi dopo la nascita, il sistema immunitario di un bambino inizia a rispondere più fortemente alle glicoproteine, ma di solito non c' è alcun miglioramento significativo nella loro risposta ai polisaccaridi fino a quando non hanno almeno un anno di età. Questo può essere il motivo per cui i calendari delle vaccinazioni sono distinti.
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doc-16061
Anche se i primi approcci alla traduzione sono meno comunemente utilizzati oggi, essi conservano l' importanza quando si tratta dei loro prodotti, come quando gli storici guardano ai documenti antichi o medievali per mettere insieme gli eventi che hanno avuto luogo in ambienti non occidentali o pre-occidentali. Inoltre, sebbene fortemente influenzato dalle tradizioni occidentali e praticato da traduttori insegnati nei sistemi educativi in stile occidentale, il cinese e le relative tradizioni di traduzione conservano alcune teorie e filosofie uniche della tradizione cinese.
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doc-6842
L'unificazione di tutti questi concetti sviluppati nei vari settori della matematica in un'unica teoria dei gruppi iniziò con il "Traité des substitutions et des équations algébriques" di Camille Jordan del 1870. Nel 1882 Walther von Dyck formulò per primo la definizione moderna di gruppo astratto. Nel XX secolo i gruppi ottennero un ampio riconoscimento grazie ai lavori di Ferdinand Georg Frobenius e di William Burnside, che si occupò di teoria delle rappresentazioni dei gruppi finiti, grazie alla teoria delle rappresentazioni modulari di Richard Brauer ed agli articoli di Issai Schur. La teoria dei gruppi di Lie e, più in generale dei gruppi localmente compatti fu portata avanti da Hermann Weyl, Elie Cartan e molti altri. La controparte algebrica, cioè la teoria dei gruppi algebrici fu sviluppata da Claude Chevalley (a partire dagli anni 1930) ed in seguito da Armand Borel e Jacques Tits.
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