Che cos' è una composizione finita di due simmetrie o il loro inverso?
doc-6847
I gruppi e sottogruppi quozienti insieme formano un modo di descrivere ogni gruppo attraverso la sua presentazione: ogni gruppo è il quoziente del gruppo libero rispetto ai generatori del gruppo, citato dal sottogruppo delle relazioni. Il gruppo dihedral D4, ad esempio, può essere generato da due elementi r ed f (per esempio r = r1, la rotazione giusta e f = fv la riflessione verticale (o qualsiasi altro), il che significa che ogni simmetria del quadrato è una composizione finita di queste due simmetrie o dei loro inversi. Insieme alle relazioni è il quoziente del gruppo libero sui generatori del gruppo.
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doc-6857
Un gruppo è chiamato finito se ha un numero finito di elementi. Il numero di elementi è chiamato l' ordine del gruppo. Un' importante classe è costituita dai gruppi simmetrici SN, i gruppi di permutazioni di lettere N. Ad esempio, il gruppo simmetrico su 3 lettere S3 è il gruppo costituito da tutti i possibili ordini delle tre lettere ABC, cioè contiene gli elementi ABC, ACB,, fino a CBA, in totale 6 (o 3) elementi fattoriali. Questa classe è fondamentale nella misura in cui ogni gruppo finito può essere espresso come sottogruppo di un gruppo simmetrico SN per un numero intero N adatto (il teorema di Cayley). Parallelamente al gruppo di simmetrie del quadrato sopra, S3 può anche essere interpretato come il gruppo di simmetrie di un triangolo equilatero. un numero finito di elementi.
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doc-6862
Nell' algebra astratta, le strutture più generali sono definite dal rilassamento di alcuni assiomi che definiscono un gruppo. Per esempio, se si elimina il requisito che ogni elemento abbia un elemento inverso, la struttura algebrica risultante viene chiamata monoide. I numeri naturali N (inclusi 0) in aggiunta formano un monoide, così come gli interi non zero in moltiplicazione (Z? {0}, -), vedi sopra. C' è un metodo generale per aggiungere formalmente gli inverses agli elementi a qualsiasi monoide (abeliano), quasi allo stesso modo come (Q? {0}, -) è derivato da (Z? {0}, -), noto come il gruppo Grothendieck. I Groupoidi sono simili ai gruppi, tranne che la composizione a - b non deve essere necessariamente definita per tutti i gruppi a e b. Si presentano nello studio di forme più complicate di simmetria, spesso in strutture topologiche e analitiche, come il gruppoide fondamentale o le pile. Infine, è possibile generalizzare uno qualsiasi di questi concetti sostituendo l' operazione binaria con una n-aria arbitraria (cioè un' operazione con n argomenti). Con la corretta generalizzazione degli assiomi di gruppo questo dà origine ad un gruppo n-ary. La tabella riporta un elenco di diverse strutture che generalizzano i gruppi. monoide.
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doc-6855
Gruppi di simmetria finita come i gruppi Mathieu sono utilizzati nella teoria della codifica, che a sua volta viene applicata nella correzione errore dei dati trasmessi, e nei lettori CD. Un' altra applicazione è la teoria differenziale di Galois, che caratterizza le funzioni aventi antiderivativi di una forma prescritta, dando criteri gruppo-teorici per quando le soluzioni di alcune equazioni differenziali sono ben gestite.
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doc-6838
I gruppi condividono una parentela fondamentale con la nozione di simmetria. Ad esempio, un gruppo di simmetria codifica le caratteristiche di simmetria di un oggetto geometrico: il gruppo è costituito dall' insieme di trasformazioni che lasciano invariato l' oggetto e dall' operazione di combinare due di queste trasformazioni eseguendo una dopo l' altra. I gruppi Lie sono i gruppi di simmetria utilizzati nel Modello Standard della fisica delle particelle; i gruppi Point sono utilizzati per aiutare a comprendere i fenomeni di simmetria nella chimica molecolare; e i gruppi Poincaré possono esprimere la simmetria fisica alla base della relatività speciale.
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doc-17150
Poiché il legno formato più tardivamente è di solito più scuro di quello giovane, è possibile valutare da questo la densità e quindi la durezza e la resistenza del materiale, in particolare per il legno di conifere. Nel legno con porosità ad anello i vasi del legno giovane spesso appaiono sulla superficie finita con un colore più scuro rispetto al legno più vecchio e denso, mentre nelle sezioni trasversali di durame è comune il fenomeno inverso. A differenza di questi casi il colore del legno non è indice di durezza.
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doc-6861
I gruppi Lie sono di fondamentale importanza nella fisica moderna: il teorema di Noether lega simmetrie continue a quantità conservate. La rotazione, così come le traduzioni nello spazio e nel tempo sono simmetrie di base delle leggi della meccanica. Essi possono, ad esempio, essere utilizzati per costruire modelli semplici - imponendo, ad esempio, simmetria assiale su una situazione porterà tipicamente a una significativa semplificazione delle equazioni che si deve risolvere per fornire una descrizione fisica. v['] Un altro esempio sono le trasformazioni Lorentz, che mettono in relazione le misurazioni del tempo e della velocità di due osservatori in movimento l' uno rispetto all' altro. Si possono dedurre in modo puramente gruppo-teorico, esprimendo le trasformazioni come simmetria rotazionale dello spazio Minkowski. Quest' ultimo serve - in assenza di gravitazione significativa - come modello di spazio-tempo in relatività speciale. Il gruppo completo di simmetria dello spazio Minkowski, cioè comprese le traduzioni, è noto come gruppo Poincaré. Da quanto sopra, svolge un ruolo centrale nella relatività speciale e, implicitamente, nelle teorie del campo quantistico. Simmetrie che variano con la posizione sono centrali per la moderna descrizione delle interazioni fisiche con l' aiuto della teoria del calibro.
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doc-6853
I gruppi di simmetria sono gruppi costituiti da simmetrie di determinati oggetti matematici, siano essi di natura geometrica, come il gruppo di simmetria introduttiva del quadrato, o di natura algebrica, come le equazioni polinomiali e le loro soluzioni. Concettualmente, la teoria di gruppo può essere pensata come lo studio della simmetria. t['] Le simmetrie in matematica semplificano notevolmente lo studio degli oggetti geometrici o analitici. Si dice che un gruppo agisca su un altro oggetto matematico X se ogni elemento di gruppo esegue un' operazione su X compatibilmente con la legge del gruppo. Nell' esempio più a destra in basso, un elemento dell' ordine 7 del gruppo di triangoli (2,3,7) agisce sulla piastrellatura, permutando i triangoli deformati evidenziati (e anche gli altri).
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doc-15998
Il tempo sembra avere una direzione: il passato è alle spalle, fisso e immutabile, mentre il futuro è avanti e non necessariamente fisso. Eppure, per la maggior parte, le leggi della fisica non specificano una freccia del tempo, e permettono a qualsiasi processo di procedere sia in avanti che all' indietro. Si tratta generalmente di una conseguenza del fatto che il tempo è modellato da un parametro del sistema in fase di analisi, dove non esiste un "tempo adeguato": la direzione della freccia del tempo è talvolta arbitraria. Esempi di ciò sono la Seconda legge della termodinamica, che afferma che l' entropia deve aumentare nel tempo (vedi entropia); la freccia cosmologica del tempo, che punta lontano dal Big Bang, la simmetria CPT e la freccia radiativa del tempo, causata dalla luce che viaggia solo in avanti nel tempo (vedi cono di luce). Nella fisica delle particelle, la violazione della simmetria CP implica che ci dovrebbe essere una piccola asimmetria nel tempo di bilanciamento per preservare la simmetria CPT come sopra indicato. La descrizione standard della misura nella meccanica quantistica è anche asimmetrica nel tempo (vedi Misura nella meccanica quantistica).
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doc-5288
Per esempio, si consideri l' annientamento elettrone-positrone, in cui la massa residua delle singole particelle viene distrutta, ma l' equivalente inerzia del sistema delle due particelle (la sua massa invariante) rimane (poiché tutta l' energia è associata alla massa), e questa inerzia e la massa invariante viene trasportata da fotoni che individualmente sono massless, ma come un sistema mantengono la loro massa. Si tratta di un processo reversibile - il processo inverso si chiama creazione di coppia - in cui la massa residua delle particelle è creata dall' energia di due (o più) fotoni che annientano. In questo sistema la materia (elettroni e positroni) viene distrutta e trasformata in energia non materiale (i fotoni). Tuttavia, la massa totale del sistema e l' energia non cambiano durante questa interazione.
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doc-5278
Il teorema di Noether (1918) afferma che qualsiasi simmetria differenziabile dell' azione di un sistema fisico ha una legge di conservazione corrispondente. Il teorema di Noether è diventato uno strumento fondamentale della fisica teorica moderna e del calcolo delle variazioni. Generalizzazione delle formulazioni seminali sulle costanti di moto nella meccanica di Lagrangian (1788 e Hamiltonian 1833, rispettivamente), non si applica a sistemi che non possono essere modellati con un Lagrangian; ad esempio, i sistemi dissipativi con simmetrie continue non devono necessariamente avere una legge di conservazione corrispondente.
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