L' assioma di fondazione di Zermelo e Fraenkel stabilì che ogni set doveva essere costruito come?
doc-8499
L' assioma di fondazione stabiliva che ogni insieme poteva essere costruito dal basso verso l' alto in una successione ordinata di gradini secondo i principi di Zermelo e Fraenkel, in modo tale che se un insieme apparteneva ad un altro allora il primo doveva necessariamente venire prima del secondo nella successione, escludendo quindi la possibilità di un insieme appartenente a se stesso. Per dimostrare che l' aggiunta di questo nuovo assioma agli altri non produceva contraddizioni, von Neumann introdusse un metodo di dimostrazione, chiamato metodo dei modelli interiori, che in seguito divenne uno strumento essenziale nella teoria del set.
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doc-8498
L' assiomatizzazione della matematica, sul modello degli Elementi di Euclide, aveva raggiunto nuovi livelli di rigore e ampiezza alla fine del XIX secolo, in particolare nell' aritmetica, grazie allo schema assiomatico di Richard Dedekind e Charles Sanders Peirce, e alla geometria, grazie a David Hilbert. All' inizio del XX secolo, gli sforzi per basare la matematica su una teoria di serie ingenue subirono una battuta d' arresto a causa del paradosso di Russell (sull' insieme di tutti i set che non appartengono a se stessi). Il problema di un' adeguata assiomatizzazione della teoria del set è stato risolto implicitamente circa venti anni dopo da Ernst Zermelo e Abraham Fraenkel. Zermelo-Fraenkel set teoria ha fornito una serie di principi che hanno permesso la costruzione dei set utilizzati nella pratica quotidiana della matematica. Ma non escludevano esplicitamente la possibilità dell' esistenza di un insieme che appartiene a se stesso. Nella sua tesi di dottorato del 1925, von Neumann dimostrò due tecniche per escludere tali insiemi: l' assioma della fondazione e la nozione di classe.
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doc-8500
Il secondo approccio al problema ha preso come base la nozione di classe, e definisce un insieme come una classe che appartiene ad altre classi, mentre una classe propria è definita come una classe che non appartiene ad altre classi. Con l' approccio Zermelo-Fraenkel, gli assiomi impediscono la costruzione di un insieme di tutti i set che non appartengono a se stessi. Al contrario, secondo l' approccio von Neumann, la classe di tutti i set che non appartengono a se stessi può essere costruita, ma è una classe propria e non un set.
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doc-8506
Von Neumann è stato il primo a stabilire un quadro matematico rigoroso per la meccanica quantistica, noto come assiomi Dirac-von Neumann, con il suo lavoro del 1932 Matematica Fondamenti matematici della Meccanica Quantistica. Dopo aver completato l' assiomatizzazione della teoria del set, cominciò a confrontarsi con l' assiomatizzazione della meccanica quantistica. Si rese conto, nel 1926, che uno stato di un sistema quantistico poteva essere rappresentato da un punto in uno spazio (complesso) Hilbert che, in generale, poteva essere infinite-dimensionale anche per una singola particella. In questo formalismo della meccanica quantistica, le grandezze osservabili come la posizione o il momento sono rappresentate come operatori lineari che agiscono sullo spazio di Hilbert associato al sistema quantistico.
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doc-6837
In matematica, un gruppo è una struttura algebrica costituita da un insieme di elementi dotati di un' operazione che combina due elementi qualsiasi per formare un terzo elemento. L' operazione soddisfa quattro condizioni chiamate assiomi di gruppo, ossia chiusura, associatività, identità e invertibilità. Uno degli esempi più familiari di un gruppo è l' insieme degli interi insieme all' operazione di addizione, ma la formalizzazione astratta degli assiomi di gruppo, staccata com' è dalla natura concreta di ogni particolare gruppo e dal suo funzionamento, si applica molto più ampiamente. Permette alle entità con origini matematiche molto diverse in algebra astratta e oltre di essere gestite in modo flessibile pur conservando i loro aspetti strutturali essenziali. L' ubiquità dei gruppi in numerose aree all' interno e all' esterno della matematica li rende un principio organizzativo centrale della matematica contemporanea.
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doc-527
Da bambino, la giovane Bell mostrava una naturale curiosità per il suo mondo, con la conseguente raccolta di esemplari botanici e la sperimentazione anche in tenera età. Il suo migliore amico era Ben Herdman, un vicino di casa la cui famiglia gestiva un mulino di farina, teatro di molte incursioni. Young Bell ha chiesto cosa doveva essere fatto al mulino. Fu detto che il grano doveva essere decorticato attraverso un laborioso processo e all' età di 12 anni Bell costruì un dispositivo fatto in casa che combinò le palette rotanti con set di spazzole per unghie, creando una semplice macchina per la decorticatura che fu messa in funzione e utilizzata costantemente per un certo numero di anni. In cambio, John Herdman ha dato a entrambi i ragazzi la possibilità di gestire un piccolo laboratorio in cui "inventare".
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doc-6862
Nell' algebra astratta, le strutture più generali sono definite dal rilassamento di alcuni assiomi che definiscono un gruppo. Per esempio, se si elimina il requisito che ogni elemento abbia un elemento inverso, la struttura algebrica risultante viene chiamata monoide. I numeri naturali N (inclusi 0) in aggiunta formano un monoide, così come gli interi non zero in moltiplicazione (Z? {0}, -), vedi sopra. C' è un metodo generale per aggiungere formalmente gli inverses agli elementi a qualsiasi monoide (abeliano), quasi allo stesso modo come (Q? {0}, -) è derivato da (Z? {0}, -), noto come il gruppo Grothendieck. I Groupoidi sono simili ai gruppi, tranne che la composizione a - b non deve essere necessariamente definita per tutti i gruppi a e b. Si presentano nello studio di forme più complicate di simmetria, spesso in strutture topologiche e analitiche, come il gruppoide fondamentale o le pile. Infine, è possibile generalizzare uno qualsiasi di questi concetti sostituendo l' operazione binaria con una n-aria arbitraria (cioè un' operazione con n argomenti). Con la corretta generalizzazione degli assiomi di gruppo questo dà origine ad un gruppo n-ary. La tabella riporta un elenco di diverse strutture che generalizzano i gruppi. monoide.
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doc-1754
In seguito Ibn Sina si stabilì a Rey, nei pressi della moderna Teheran, la città natale di Rhazes; dove Majd Addaula, figlio dell' ultimo emiro Buwayhid, fu governante nominale sotto la reggenza della madre (Seyyedeh Khatun). Circa trenta delle opere più brevi di Ibn Sina sono state composte a Rey. Costantemente feudi che infuriavano tra il reggente e suo secondo figlio, Shams al-Daula, però, costrinse lo studioso a lasciare il posto. Dopo un breve soggiorno a Qazvin passò a sud verso Hamadãn, dove Shams al-Daula, un altro emiro di Buwayhid, si era stabilito. All' inizio Ibn Sina entrò al servizio di un' alta signora; ma l' emiro, sentendo parlare del suo arrivo, lo chiamò in qualità di guardiano medico e lo rimandò con regali alla sua abitazione. Ibn Sina è stato anche elevato all' ufficio di visir. L' emiro decretò che doveva essere bandito dal paese. Ibn Sina, tuttavia, rimase nascosto per quaranta giorni nella casa dello sceicco Ahmed Fadhel, fino a quando un nuovo attacco di malattia indusse l' emiro a riportarlo al suo posto. Anche durante questo tempo perturbato, Ibn Sina perseverò con i suoi studi e il suo insegnamento. Ogni sera, estratti delle sue grandi opere, il Canone e la Sanatio, venivano dettati e spiegati ai suoi allievi. Alla morte dell' emiro, Ibn Sina cessò di essere visir e si nascondeva nella casa di un farmacista, dove, con assiduità intensa, continuò la composizione delle sue opere.
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doc-12388
La riqualificazione della città è stata pianificata da Sir Patrick Abercrombie nel suo Piano per Plymouth del 1943, lavorando contemporaneamente al piano di ricostruzione per Londra. Tra il 1951 e il 1957 più di 1000 abitazioni sono state completate ogni anno per lo più con innovativi sistemi prefabbricati di soli tre tipi principali; nel 1964 sono state costruite oltre 20.000 nuove case, trasformando i fitti quartieri poveri e sovraffollati della città prebellica in una periferia a bassa densità e dispersa. La maggior parte delle botteghe del centro città era stata distrutta e quelle rimaste erano state liberate per consentire una ricostruzione zonizzata secondo il suo piano. Nel 1962 fu costruito l' alto rialzo modernista del Centro Civico, un esempio architettonicamente significativo della metà del ventesimo secolo, il set di lastre e torri civiche lasciò cadere in rovina dal suo proprietario Plymouth City Council, ma recentemente il grado II è stato inserito dall' English Heritage per impedirne la demolizione.
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doc-16494
La zecca statunitense produce set di prova specificamente per collezionisti e speculatori. Proofs argento tendono ad essere i disegni standard, ma con la dime, trimestre e mezzo dollaro contenente argento 90%. A partire dal 1983 e fino al 1997, la zecca ha anche prodotto serie di bozze contenenti le monete commemorative dell' anno accanto alle monete normali. Un altro tipo di prova è il Presidential Dollar Proof Set, in cui ogni anno vengono coniate quattro monete speciali da 1 dollaro con un presidente. A causa dei vincoli di bilancio e dell' aumento delle scorte di queste monete relativamente impopolari, il 13 dicembre 2011 il Segretario del Tesoro statunitense Timothy F. Geithner ha sospeso la produzione di nuove monete in dollari presidenziali destinate alla circolazione. Il futuro conio di tali monete sarà effettuato esclusivamente per i collezionisti. Set di prova.
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doc-15196
Poiché i premier non sono giunti a un accordo su questo punto, il Consiglio parlamentare avrebbe dovuto affrontare la questione. Le sue disposizioni sono riprese all' articolo 29. C' era una disposizione vincolante per una nuova delimitazione del territorio federale: il territorio federale deve essere rivisto (paragrafo 1). Inoltre, nei territori o parti di territori la cui affiliazione ad un Land era cambiata dopo l' 8 maggio 1945 senza referendum, la gente è stata autorizzata a chiedere una revisione dello status attuale entro un anno dalla promulgazione della Legge fondamentale (paragrafo 2). Se almeno un decimo degli aventi diritto al voto alle elezioni del Bundestag era a favore di una revisione, il governo federale avrebbe dovuto recepire la proposta nella sua legislazione. In seguito è stato richiesto un referendum in ogni territorio o parte di territorio la cui affiliazione doveva essere cambiata (paragrafo 3). La proposta non dovrebbe entrare in vigore se una maggioranza dei territori interessati respinge la modifica. In questo caso, il disegno di legge doveva essere ripresentato e, dopo l' approvazione, doveva essere confermato mediante referendum nella Repubblica federale nel suo complesso (paragrafo 4). La riorganizzazione dovrebbe essere completata entro tre anni dall' entrata in vigore della Legge fondamentale (paragrafo 6).
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