Sur les repr\'esentations du groupe fondamental d'une vari\'et\'e
  priv\'ee d'un diviseur \`a croisements normaux simples
Sur les représentations du groupe fondamental
d'une variété privée d'un diviseur à 
roisements
normaux simples
Niels Borne
27 o
tobre 2021
1 Introdu
tion
1.1 Une des
ription alternative
En l'absen
e de la
ets, la re
her
he d'une des
ription alternative du groupe
fondamental étale (dé�ni dans [2℄ en termes de revêtements) est une question

lassique, motivée essentiellement par la volonté de déterminer algébriquement
des groupes fondamentaux qui ne sont 
onnus que par voie trans
endante.
L'étude systématique du lien entre revêtements de, disons, une variété algé-
brique proje
tive X , et 
ertain �brés sur X , 
ommen
e ave
 Weil ([41℄). Celui-
i
montre qu'un revêtement galoisien non rami�é de surfa
es de Riemann Y → X
permet d'asso
ier à toute représentation V 
omplexe du groupe de Galois G un
�bré sur X : on des
end le �bré trivial Y × V sur Y en E = Y × V/G. Weil
remarque que 
ette opération est 
ompatible ave
 le produit tensoriel, 
e qui

onfère des propriétés remarquables aux �brés asso
iés : ils sont en parti
ulier
�nis, au sens qu'il existe deux polyn�mes distin
ts f, g à 
oe�
ients entiers po-
sitifs tels que f(E) ≃ g(E). Il voit dans 
es �brés la généralisation des �brés en
droite de torsion, et 
ommen
e à les 
ara
tériser.
Ce travail trouve son aboutissement dans la formulation de Nori ([32℄) :
la 
atégorie des �brés �nis sur X est tannakienne, et le groupe de Tannaka
asso
iée est le groupe fondamental (pro�ni) de X . Ce
i a l'avantage d'être véri�é
pour un s
héma X propre, réduit, 
onnexe, sur un 
orps algébriquement 
los
de 
ara
téristique 0. En 
ara
téristique p, le groupe de Tannaka de la 
atégorie
des �brés essentiellement �nis (le s
héma en groupe fondamental de Nori) se
surje
te dans le groupe fondamental de X . Toutefois, 
omme le souligne Nori,

ette des
ription algébrique (les �brés �nis ne dépendant, en fait, que de la
topologie de Zariski de X) du groupe fondamental n'a que peu d'utilité, puisque
les �brés �nis de rang plus grand que 1 semblent très di�
iles à 
onstruire ex
nihilo (i.e. sans utiliser de revêtement).
Partant du problème de la détermination algébrique du groupe fondamen-
tal, l'étude des 
ourbes ouvertes (par exemple la droite proje
tive moins trois
http://arxiv.org/abs/0704.1236v2
points) apparaît plus abordable que 
elle des 
ourbes 
omplètes. En e�et Nori
montre dans [33℄ qu'il existe une équivalen
e de 
atégories tannakiennes entre
la 
atégorie des représentations du groupe fondamental de la 
ourbe ouverte et

elles des �brés paraboliques (au sens de Seshadri, [36℄) �nis. Il semble ardu,
mais peut-être pas impossible, de 
onstruire algébriquement de tels �brés.
Cependant, Nori ne fait qu'esquisser une preuve de 
ette équivalen
e. Cet
arti
le répond au sou
i d'en donner une démonstration 
omplète et indépen-
dante, su�samment générale pour être valable en toute dimension. Plus pré
i-
sément, on dé�nit, donné un s
héma X propre, normal, 
onnexe sur un 
orps
k, et D = (Di)i∈I une famille de diviseurs irrédu
tibles à 
roisements normaux
simples sur X , la 
atégorie FPar(X,D) (resp. EFPar(X,D)) des �brés para-
boliques (modérés) �nis (resp. essentiellement �nis), et notre résultat prin
ipal
(théorème 7) s'énon
e :
Théorème 1. Soit D = ∪i∈IDi, et x ∈ X(k) un point rationnel, x /∈ D.
(i) La paire (EFPar(X,D), x∗) est une 
atégorie tannakienne.
(ii) Si k est algébriquement 
los de 
ara
téristique 0, tout �bré parabolique
essentiellement �ni est �ni, et le groupe de Tannaka de (FPar(X,D), x∗)
est 
anoniquement isomorphe au groupe fondamental π1(X −D, x).
Le premier point permet de proposer, en 
ara
téristique positive, une dé�-
nition du s
héma en groupe fondamental modéré πD(X, x) 
omme groupe de
Tannaka de la 
atégorie (EFPar(X,D), x∗). Ce s
héma en groupe est un hybride
du s
héma en groupe fondamental de Nori ([32℄) et du groupe fondamental mo-
déré de Grothendie
k-Murre ([21℄).
Un fait marquant est l'omniprésen
e de 
ertains 
hamps de Deligne-Mumford,
les 
hamps des ra
ines, tout au long de 
et arti
le. Ils sont 
onstruits à partir
de la paire (X,D) en ajoutant une stru
ture d'orbifold le long des diviseurs, et
sont en 
e sens des �s
hémas tordus�. Bien qu'il soient absents de l'énon
é de
notre résultat prin
ipal, ils en sont absolument au 
oeur, leur présen
e é
lairant
d'un jour nouveau d'an
iens problèmes. Par exemple le 
urieux produit dans la

atégorie galoisienne des revêtements modérés de [21℄ s'avère être un produit
�bré usuel sur un tel 
hamp des ra
ines
Pour 
on
lure, on propose une méthode de 
onstru
tion des �brés (parabo-
liques) �nis, inspirée de la méthode des petits groupes de Wigner et Ma
key en
théorie des représentations.
1.2 Organisation de l'arti
le
Dans la partie 2, on dé�nit les �brés paraboliques sur un s
héma X le long
d'une famille régulière de diviseurs D = (Di)i∈I , à poids rationnels à dénomi-
nateurs dans une famille d'entiers �xée r = (ri)i∈I . Ce
i se fait en deux temps :
on dé�nit d'abord (partie 2.1.1) les fais
eaux paraboliques, puis (partie 2.2) la
notion de liberté lo
ale pour un tel fais
eau. On montre le 
ara
tère ré
ursif
voir lemme 15 (ii)
de 
ette 
ondition (proposition 1), qui se simpli�e 
onsidérablement lorsque la
famille est à 
roisements normaux simples (proposition 2). On rappelle ensuite
(partie 2.4.1) la notion de 
hamp des ra
ines asso
ié à la donnée de X , D, et
r, et la partie se poursuit par le théorème 2 qui identi�e les �brés paraboliques
aux �brés usuels sur le 
hamp des ra
ines.
Les deux parties suivantes sont de nature plus te
hnique.
Le résultat essentiel de la partie 3 est la proposition qui donne une inter-
prétation du groupe fondamental modéré 
omme limite proje
tive de groupes
fondamentaux de 
hamps des ra
ines. C'est une 
onséquen
e à peu près immé-
diate du lemme d'Abhyankar.
La partie 4 étudie le lien entre groupe fondamental d'un 
hamp de Deligne-
Mumford 
onvenable et �brés �nis. Ce lien s'exprime par une équivalen
e de

atégories tannakiennes entre systèmes lo
aux k-ve
toriels de rang �ni sur le

hamp et �brés �nis donné par un fon
teur �à la Riemann-Hilbert�, voir le

orollaire 7. Le point 
ru
ial (théorème 6) est le fait que les �brés essentiellement
�nis sur les 
hamps des ra
ines (et un peu plus généralement sur des s
hémas
tordus) propres et réduits sur un 
orps forment une 
atégorie tannakienne.
La partie suivante (partie 5) est une partie de synthèse où l'on assemble les
di�érents éléments pour aboutir au théorème 1.
En�n la dernière partie (partie 6) est 
onsa
rée à l'appli
ation du théorème 1
au 
al
ul expli
ite de �brés paraboliques �nis de groupe d'holonomie résoluble.
1.3 Origines et liens ave
 des travaux existants
La dé�nition des �brés paraboliques par rapport à une famille régulière de
diviseurs D dans la partie 2 est inspirée de 
elle de Maruyama-Yokogawa [28℄.
Une di�éren
e importante ave
 
es auteurs est l'emploi d'indi
es multiples (mo-
ralement, autant d'indi
es que de 
omposantes irrédu
tibles régulières de D) 
e
qui mène naturellement à la dé�nition 1, essentiellement équivalente à 
elle em-
ployée par Iyer et Simpson, voir [23℄. Ce
i 
omplique singulièrement la 
ondition
de liberté lo
ale pour un fais
eau parabolique : la dé�nition 4 en termes d'ho-
mologie de 
omplexes asso
iés à des fa
ettes est entièrement originale et semble
apporter un é
lairage nouveau sur la notion de �bré parabolique �lo
alement
abélien� employée dans [23℄ (voir la remarque 3).
Les 
hamps des ra
ines ont été introduits par Vistoli ([5℄) et Cadman ([14℄).
L'identi�
ation des �brés paraboliques ave
 les �brés sur les 
hamps des ra
ines
a été initiée dans [10℄ dans la situation à indi
e unique, sa généralisation à la
situation présente ne pose pas de problème parti
ulier. On peut trouver 
ertains
pré
urseurs de 
e résultat, en parti
ulier dans le travail de Biswas ([9℄, [8℄), mais

es auteurs n'employant que des �brés paraboliques à indi
e unique, 
es résultats
ne nous semblent 
orre
ts que dans le 
as d'un diviseur régulier.
La preuve donnée du théorème de Nori parabolique (théorème 7) est 
omplè-
tement indépendante de la preuve de Nori en dimension 1 (Nori n'utilisant pas
la dé�nition de Seshadri des �brés paraboliques), mais, grâ
e à l'utilisation des

hamps des ra
ines, suit d'assez près la démonstration de la version 
lassique
(non parabolique) du théorème : en parti
ulier la démonstration que les �brés
essentiellement �nis sur un �s
héma tordu� forment une 
atégorie tannakienne
(théorème 6) est une adaptation dire
te de la preuve que Nori donne pour un
s
héma usuel. Toutefois, l'emploi d'un fon
teur de type Riemann-Hilbert (voir
�4.4) pour faire le lien entre système lo
aux et �brés �nis, bien que naturelle,
semble nouvelle dans 
e 
ontexte. Les travaux de Grothendie
k-Murre ([21℄) sur
le groupe fondamental modéré, ainsi que 
eux de Noohi ([31℄) et Zoonekynd
([43℄) sur le groupe fondamental des 
hamps de Deligne-Mumford, sont d'autres
ingrédients importants de la preuve.
Élémentaire, mais à priori un peu surprenante, l'idée de 
onstruire des �brés
�nis par image dire
te (voir la proposition 12 et le lemme 20) ne semble pas
avoir été déjà employée.
En�n, pour 
on
lure sur les insu�san
es de 
et arti
le, il serait naturelle-
ment souhaitable d'avoir une version du théorème de Nori parabolique pour un
diviseur à 
roisements normaux généraux, ou sur un 
orps quel
onque.
1.4 Remer
iements
Ce travail doit beau
oup à Angelo Vistoli, ses 
ontours n'étant apparus net-
tement qu'à la suite d'une visite à Bologne en janvier 2006. Je l'en remer
ie

haleureusement. Je tiens également à remer
ier Alessandro Chiodo, Mi
hel
Emsalem, Boas Erez, Madhav Nori, Martin Olsson et Gabriele Vezzosi pour
d'intéressantes dis
ussions sur le sujet.
2 Fibrés paraboliques le long d'une famille régu-
lière de diviseurs
Dans 
ette partie, on notera X un 
hamp de Deligne-Mumford lo
alement
noethérien, I un ensemble �ni, D = (Di)i∈I une famille de diviseurs de Cartier
e�e
tifs sur X , r = (ri)i∈I une famille d'entiers ri ≥ 1.
2.1 Fais
eaux paraboliques
2.1.1 Dé�nition
Soient d'abord I, C deux 
atégories monoïdales, I étant supposée stri
te. Un
fon
teur monoïdal F : I → C permet de voir C 
omme un I-module (relâ
hé)
sur le monoïde I via l'opération
I × C // C
(I, C) // F (I)⊗ C
On 
onsidère à présent I = (ZI)op, C1 = (1rZ
I)op, où par dé�nition 1
ZI =∏
Z, et C2 = MODX , la 
atégorie des fais
eaux de OX -modules sur X .
I et C1 sont vues 
omme 
atégories asso
iées aux ensembles ordonnés 
orres-
pondants, et munies du produit tensoriel induit par l'addition, quant à C2, elle
est munie de sa stru
ture monoïdale 
anonique. En�n, on dispose du fon
teur
d'in
lusion F1 : I → C1 et du fon
teur
F2 : I // C2
l = (li)i∈I // OX(−lD) = OX(−
i∈I liDi)
qui permettent de voir C1 et C2 
omme des I-monoïdes.
Dé�nition 1. On dé�nit la 
atégorie des fais
eaux paraboliques sur X le long
de D à poids multiples de 1

omme la 
atégorie des morphismes de modules sur
le monoïde (ZI)op :
PAR 1
(X,D) = Hom(ZI )op((
I)op,MODX)
Plus en détail, un objet de PAR 1
(X,D) est un 
ouple (E·, j), où E· : (1rZ
I)op →
MODX est un fon
teur (non né
essairement monoïdal !), et j est un isomor-
phisme naturel (dit isomorphisme des pseudo-périodes) :
(ZI)op × (1
ZI)op
(ZI )op×E·
ZI)op
(ZI)op ×MODX
OX(−·D)⊗·
2:llllllllllllllll
llllllllllllllll
On omettra souvent j pour alléger les notations. Un morphisme (E·, j) →
(E ′· , j′) est une transformation naturelle :
ZI)op

ompatible ave
 j et j′, en un sens évident.
2.1.2 Opérations élémentaires sur les fais
eaux paraboliques
Pour l ∈ obj 1
ZI et E· ∈ obj PAR 1
(X,D) on dispose du dé
alage dé�ni de
la manière usuelle
E·[l] : (1rZ
+l // (1
ZI)op
E· // MODX
l'isomorphisme des pseudo-périodes étant induit par 
elui de E· de la manière
évidente.
Passons au produit tensoriel des fais
eaux paraboliques : donnés E·, E ′· ∈
objPAR 1
(X,D), on dispose, pour tout l ∈ obj 1
ZI , de l'objet El ⊗ E ′· [−l] de
PAR 1
(X,D) obtenu 
omme produit tensoriel externe de El ∈ objMODX par
E ′· [−l] ∈ objPAR 1
(X,D).
Cette quantité étant dinaturelle en l, on peut dé�nir (E· ⊗ E ′· )· 
omme la
du fon
teur de varian
e mixte 
orrespondant dans PAR 1
(X,D) (qui est

o
omplète vu que MODX l'est) :
pour des détails sur la notion de 
o�n (
oend), voir [27℄, ou bien [10℄, Appendi
e B
(E· ⊗ E ′· )· =
El ⊗ E ′· [−l]
Ce produit tensoriel est l'adjoint à gau
he (enri
hi) du fon
teurHom interne
naturel de PAR 1
(X,D) (dont nous n'aurons pas usage).
Passons au stru
tures spé
iales : l'in
lusion ZI → 1
ZI admet pour adjoint
à gau
he le fon
teur
ZI // ZI
l // −[−l]
où [l] = ([li])i∈I , [·] désignant la partie entière (on espère que 
ela n'entraî-
nera pas de 
onfusion ave
 la notation du dé
alage).
On en déduit que le fon
teur d'oubli (ou d'évaluation en zéro)
Hom(ZI )op((
ZI)op,MODX)→ Hom(ZI)op((ZI)op,MODX) ≃ MODX
admet un adjoint à gau
he, qu'on notera E → E ·, dé�ni par
E · = E ⊗ OX([−·]D) (1)
On appellera E · le fais
eau parabolique à stru
ture spé
iale induit par E .
Lorsque D = rE, on dispose d'un fais
eau parabolique parti
ulier, dé�ni

omme fon
teur par
l→ OX(−lrE) (2)
l'isomorphisme des pseudo-périodes étant dé�ni de la manière évidente. On
le notera simplement OX(− · rE).
En�n il est 
lair que si f : X ′ → X est un morphisme plat, la paire de
fon
teurs adjoints (f∗, f∗) entre les 
atégories MODX et MODX
induit une
adjon
tion similaire entre les 
atégories PAR 1
(X,D) et PAR 1
(X ′, f∗D).
2.2 Fibrés paraboliques
2.2.1 Fa
ette
On va dé�nir 
ertaines appli
ations dont le but est
Z, vu

omme ensemble ordonné.
Dé�nition 2. Soit J ⊂ I un sous-ensemble, et (ei)i∈I la base 
anonique de ZI .
On appelle fa
ette toute appli
ation 
roissante
F : {0 < 1}J → 1
qui est a�ne au sens suivant : il existe une famille d'entiers ǫ = (ǫi)i∈J véri�ant
∀i ∈ J 1 ≤ ǫi ≤ ri telle que :
∀µ = (µi)i∈J ∈ {0 < 1}J F (µ) = F (0) +
Par la suite, on identi�era une fa
ette entre deux ensembles ordonnés ave
le fon
teur entre les 
atégories 
orrespondantes.
La donnée d'une fa
ette équivaut bien entendu à 
elle de J , F (0), et de la
famille ǫ. Dans le 
as parti
ulier où F (0) = 0 et ǫ = r|J , on parlera de la fa
ette
spé
iale asso
iée à J , et on la notera FJ , il s'agit simplement de �l'in
lusion�
FJ : {0 < 1}J → 1rZ
. Plus généralement, lorsque F (0) = 0, on notera F ǫ
fa
ette 
orrespondante.
2.2.2 Complexe asso
ié à un fais
eau parabolique et une fa
ette
On 
ommen
er par pré
iser les 
onventions utilisées 
on
ernant les 
omplexes
multiples (essentiellement empruntées à [40℄). Soit J un ensemble �ni. Un 
om-
plexe (de 
haînes) multiple à valeurs dans une 
atégorie abélienne A est un
fon
teur C. = (NJ )op → A tel que si on note (ei)i∈J la base 
anonique de NJ ,
alors pour tout multi-indi
e α = (αi)i∈J , et pour tout j ∈ J , les morphismes
: Cα → Cα−ej véri�ent d
A un tel 
omplexe, on asso
ie de la manière son 
omplexe total Tot(C·)·
de la manière usuelle : on 
ommen
e par transformer C· en 
omplexe anti-

ommutatif en �xant un ordre total arbitraire sur l'ensemble J et en modi�ant
les di�érentielles de la manière suivante : on pose pour tout multi-indi
e α =
(αi)i∈J et pour tout j ∈ J :
= (−1)
L'appellation 
omplexe anti-
ommutatif est justi�ée par le fait qu'alors δjδj
−δj′δj , lorsque 
es expressions ont un sens, pour tout j, j′ dans J . Le 
omplexe
total est alors dé�ni par, pour n ≥ 0 :
Tot(C·)n = ⊕α,|α|=nCα
où |α| =
i∈J αi, et les di�érentielles étant dé�nies par δn = ⊕α,|α|=n
i∈J δ
Le fait qu'on parte d'un 
omplexe anti-
ommutatif assure qu'on obtient bien
ainsi un 
omplexe (simple).
Dé�nition 3. Soient E· ∈ obj PAR 1
(X,D) un fais
eau parabolique et F : {0 <
1}J → 1
ZI une fa
ette.
On appelle 
omplexe multiple asso
ié le prolongement par zéro du fon
teur

omposé E· ◦ F op à (NJ )op, 
omme dans le diagramme 
i-dessous :
(NJ )op // MODX
({0 < 1}J)op
66nnnnnnnnnn
Par abus, on notera en
ore 
e 
omplexe multiple E· ◦ F op.
Le sens de 
es dé�nitions apparaît dans le 
as parti
ulier où E· = OX ·, le
fais
eau stru
turel muni de la stru
ture parabolique spé
iale, et F = FJ , la
fa
ette spé
iale asso
iée à J .
Lemme 1. Pour i ∈ I on note (OX(−Di) → OX) le 
omplexe de 
haînes
(simple) 
on
entré en degrés 1 et 0. Pour tout J ⊂ I, il existe un isomorphisme
naturel de 
omplexes multiples :
OX · ◦ F
J ≃ ⊗i∈J(OX(−Di)→ OX)
Démonstration. Cela résulte simplement de l'expression de OX · donnée par
(1),�2.1.2.
Cet exemple est 
ru
ial pour dé�nir les �brés paraboliques, puisque 
eux-
i
seront lo
alement somme dire
te �nie de fais
eaux dé
alés du fais
eau stru
turel,
i.e. du type OX ·[l], pour l ∈ obj
ZI (voir remarque 3), 
e qui impose des

ontraintes fortes aux 
omplexes asso
iés à 
haque fa
ette.
De manière similaire, on a :
Lemme 2. Supposons D = rE. Pour tout J ⊂ I, et tout ǫ = (ǫj)j∈J 
omme
dans �2.2.1, il existe un isomorphisme naturel de 
omplexes multiples :
OX(− · rE) ◦ F opǫ
J ≃ ⊗i∈J(OX(−ǫiEi)→ OX)
Démonstration. Conséquen
e dire
te de la dé�nition 2.
2.2.3 Dé�nition des �brés paraboliques
Lemme 3. Soit E· ∈ objPAR 1
(X,D) un fais
eau parabolique, et F : {0 <
1}J → 1
ZI une fa
ette. Il existe un morphisme naturel de 
omplexes multiples
EF (0) ⊗ (OX · ◦ F
J )→ E· ◦ F
qui est un isomorphisme en (multi-)degré 0. Supposons de plus EF (0) lo
ale-
ment libre de rang �ni, alors si iJ : ∩i∈JDi → X désigne l'immersion fermée

anonique, il existe une surje
tion naturelle iJ∗i
JEF (0) ։ H0(Tot(E· ◦ F op)).
On repousse la preuve après la dé�nition suivante. La deuxième assertion
montre que, sous les hypothèses du lemme 3, H0(Tot(E· ◦ F op)) est à support
dans ∩i∈JDi, 
e qui donne un sens3 à la :
Dé�nition 4. Soit E· ∈ objPAR 1
(X,D) un fais
eau parabolique. On dit que

'est un fais
eau parabolique lo
alement libre ou en
ore un �bré parabolique
si pour toute fa
ette F : {0 < 1}J → 1
ZI , l'homologie Hl(Tot(E· ◦ F op)) du

omplexe multiple asso
ié est nulle pour l > 0, et est un fais
eau lo
alement
libre de rang �ni sur ∩i∈JDi pour l = 0. On notera Par 1
(X,D) la 
atégorie des
fais
eaux paraboliques lo
alement libres sur X le long de D à poids multiples de

ette dé�nition dépend a priori du 
hoix d'un ordre total sur I, mais la proposition 1 et
la remarque 1 qui s'ensuit montrent qu'il n'en est rien, au moins pour une famille régulière de
diviseurs (voir �2.3.1) qui est le seul 
as que nous 
onsidérerons
Démonstration du lemme 3. La deuxième assertion est une 
onséquen
e de la
première, puisque 
elle-
i entraîne l'existen
e d'un morphisme de 
omplexes
simples Tot(EF (0)⊗(OX ·◦F
J ))→ Tot(E·◦F op) qui est un isomorphisme en de-
gré 0, d'où un épimorphisme H0(Tot(EF (0)⊗(OX · ◦F
J ))) ։ H0(Tot(E· ◦F op)).
L'hypothèse sur EF (0) donne alors H0(Tot(EF (0) ⊗ (OX · ◦ F
J ))) ≃ EF (0) ⊗
H0(Tot((OX · ◦F
J ))). Le lemme 1 montre que Tot((OX · ◦F
J )) est le 
omplexe
de Koszul asso
ié à la famille (Di)i∈J , 
e qui permet de 
on
lure.
Reste à montrer la première assertion. L'hypothèse que F est une fa
ette
montre qu'on a en parti
ulier ∀µ = (µi)i∈J ∈ {0 < 1}J F (µ) ≤ F (0) +
FJ(µ). Cette inégalité entre appli
ations 
roissantes peut s'interpréter 
omme
l'existen
e d'une transformation naturelle ≤ entre les fon
teurs 
orrespondants :
{0 < 1}J
F (0)+FJ
En passant aux 
atégories opposées et en 
omposant ave
 E·
({0 < 1}J)op
(F (0)+FJ )
ZI)op
E· // MODX
on obtient une transformation naturelle : E· ◦ ≤op : E· ◦ (F (0) + FJ )op →
E· ◦ F op.
Le diagramme suivant
({0 < 1}J)op
op,F (0))
(F (0)+FJ )
op,EF (0))
(ZI)op × (1
ZI)op
(ZI)op×E·
ZI)op
(ZI)op ×MODX
OX(−·D)⊗·
2:llllllllllllllll
llllllllllllllll
montre que l'isomorphisme de pseudo-périodes j de E· permet d'identi�er
E· ◦ (F (0) + FJ )op ave
 EF (0)⊗ (OX · ◦F
J ), 
e qui 
on
lut la démonstration du
lemme.
2.3 Fibrés paraboliques et revêtements
Pour montrer la pertinen
e de la dé�nition 4, on doit montrer l'existen
e de
�brés paraboliques non triviaux, i.e. autre que les sommes dire
tes de dé
alés
de �brés à stru
ture spé
iale (bien qu'ils soient tous lo
alement de 
e type). La
manière la plus dire
te de produire de tels �brés paraboliques est d'utiliser des
revêtements de Kummer rami�és le long d'une famille régulière de diviseurs. On

ommen
e par pré
iser 
es notions.
2.3.1 Famille régulière de diviseurs
On rappelle le lemme folklorique suivant, ainsi qu'une preuve, repoussée
après la dé�nition 5, à laquelle il donne un sens.
Lemme 4. Soit X un s
héma lo
alement noethérien, I un ensemble �ni, D =
(Di)i∈I un ensemble de diviseurs de Cartier e�e
tifs sur X, et pour tout i ∈ I,
si : OX → OX(Di) la se
tion 
anonique. Les 
onditions suivantes sont équiva-
lentes :
(i) En tout point x de X, soit une des se
tions si est inversible, soit (si)i∈I
est une suite
régulière (au sens de Serre),
(ii) la se
tion (si)i∈I : OX → ⊕i∈IOX(Di) est régulière (i.e. le 
omplexe de
Koszul asso
ié au morphisme dual n'a pas d'homologie en degré supérieur
ou égal à 1),
(iii) ∩i∈IDi → X est une immersion fermée régulière, et si II est l'idéal en-
gendré par les (si)i∈I , alors en tout point x de ∩i∈IDi, les (si)i∈I forment
un système minimal (pour le 
ardinal) de générateurs de II,x.
Dé�nition 5. On dira que D = (Di)i∈I est une famille régulière de diviseurs
si pour tout sous-ensemble J ⊂ I, la sous-famille DJ = (Di)i∈J véri�e les

onditions équivalentes du lemme 4.
Démonstration du lemme 4. (i) =⇒ (ii) : 
e
i résulte du fait que le 
omplexe
de Koszul asso
ié soit à un morphisme surje
tif, soit à une suite régulière, sont
sans homologie en degré plus grand que 1.
(ii) =⇒ (iii) : le fait que II soit régulier résulte dire
tement de la dé�nition
([3℄, exposé VII, Dé�nition 1.4). De plus en notant EI = ⊕i∈IOX(Di), et iI :
∩i∈IDi → X l'immersion fermée 
anonique, la régularité de sI = (si)i∈I montre
que II/I2I ≃ i∗IE∨I , don
 en un point x de ∩i∈IDi, II,x/I2I,x est libre de rang
#I, par 
onséquent II,x ne saurait être engendré par moins de #I éléments.
(iii) =⇒ (i) ∩i∈IDi → X est une immersion fermée régulière don
 en parti-

ulier quasi-régulière ([3℄, exposé VII, Proposition 1.3). Autrement dit II/I2I est
lo
alement libre de rang �ni sur ∩i∈IDi et l'homomorphisme surje
tif 
anonique
SymOX/II (II/I
I ) ։ grII (OX)
est un isomorphisme. En un point x de ∩i∈IDi, le lemme de Nakayama
montre que le rang de II,x/I2I,x sur OX,x/II,x est le nombre minimal de généra-
teurs de II,x sur OX,x, à savoir#I. Don
 (si)i∈I est une base de II,x/I2I,x et par

onséquent les si dé�nissent un isomorphismeOX,x/II,x[(Si)i∈I ] ≃ SymOX,x/II,x(II,x/I
I,x),
où les Si sont des indéterminées. On en 
on
lut que l'homomorphisme surje
tif
OX,x/II,x[(Si)i∈I ] ։ grII,x(OX,x) dé�ni par les (si)i∈I est un isomorphisme,
autrement dit la famille (si)i∈I est quasi-régulière au sens de [19℄, 0 Dé�nition
15.1.7, don
 régulière ([19℄, 0 Corollaire 15.1.11).
dans un anneau lo
al noethérien, la régularité d'une suite ne dépend pas de l'ordre de ses
éléments, 
e qui permet de parler de famille régulière
Lemme 5. (i) Toute sous-famille d'une famille régulière l'est également.
(ii) Si (li)i∈I est un ensemble d'entiers li ≥ 1, alors la famille (Di)i∈I est
régulière si et seulement si la famille (liDi)i∈I l'est.
Démonstration. (i) est immédiat.
(ii) résulte, par ré
urren
e, de la 
ara
térisation (i) du lemme 4, puisque
qu'un élément est diviseur de zéro (resp. inversible) si et seulement une de ses
puissan
es l'est.
La notion de famille régulière de diviseurs s'étend aux 
hamps de Deligne-
Mumford lo
alement noethériens, et le lemme 4 est en
ore valide. On a de plus
le résultat utile suivant.
Proposition 1. Soit X un 
hamp de Deligne-Mumford lo
alement noethé-
rien, D une famille régulière de diviseurs. Alors le fais
eau parabolique E· ∈
objPAR 1
(X,D) est lo
alement libre si et seulement si :
(i) ∀l ∈ 1
Z le fais
eau El est lo
alement libre sur X.
(ii) ∀i ∈ I ∀li < l′i ≤ li + 1 ∈ 1riZ coker((El′i)· → (Eli)·) est lo
alement libre vu

omme objet de PAR( 1
)j 6=i
(Di, (Dj ∩Di)j 6=i).
Démonstration. Pour démontrer l'équivalen
e, on peut supposer que (i) est vrai.
Soit J 6= ∅, et i ∈ J . La donnée d'une fa
ette F : {0 < 1}J → 1
ZI équivaut à

elle d'un triplet (F̃ , li, l
i), où F̃ : {0 < 1}J−i →
j∈J−i
Z est une fa
ette, et
li < l
i ≤ li + 1 dans 1riZ, tels que le diagramme suivant (bi)
ommute.
{0 < 1}J F // 1
{0 < 1}J−i
F̃ //
j∈J−i
En notant F i0 et F
1 les deux fon
teurs {0 < 1}J−i → 1rZ

orrespondants, on
dispose d'un morphisme de 
omplexes multiples 1 > 0 : E·◦F i1
op → E·◦F i0
et le
fait qu'on suppose (i) vrai montre que 
e morphisme est inje
tif. Il en est don
 de
même pour le morphisme induit Tot(1 > 0) : Tot(E· ◦F i1
)→ Tot(E· ◦F i0
), et
on véri�e que Tot(E· ◦ F op) s'identi�e 
anoniquement au 
�ne cone(Tot(1 > 0))
de 
elui-
i. On dispose don
 d'un morphisme Tot(E· ◦ F op)→ cokerTot(1 > 0)
qui est un quasi-isomorphisme ([40℄ 1.5.8), 
e qui permet de 
on
lure.
Remarque 1. En parti
ulier, le fait, pour un fais
eau parabolique donné, d'être
lo
alement libre, ne dépend pas de l'ordre 
hoisi sur l'ensemble d'indi
es I.
2.3.2 Fibrés paraboliques relativement à une famille de diviseurs à

roisements normaux simples
Dé�nition 6. Une famille D = (Di)i∈I de diviseurs de Cartier e�e
tifs sur
un s
héma lo
alement noethérien X est dite à 
roisements normaux simples si
pour tout point x de ∪i∈IDi on a :
(i) l'anneau lo
al OX,x est régulier,
(ii) si Ix = {i ∈ I/x ∈ Di}, et si est une équation lo
ale de Di en x, alors
{si, i ∈ Ix} est une partie d'un système régulier de paramètres.
Remarque 2. 1. C'est une légère adaptation de [21℄, De�nition 1.8.2.
2. Il revient au même ([21℄, Lemme 8.1.4) de dire que la famille est à 
roi-
sements normaux et que 
ha
un des Di est régulier.
3. Comme un système régulier de paramètres est ([19℄, Dé�nition 17.1.6) une
famille régulière, une famille de diviseurs à 
roisements normaux simples
est en parti
ulier une famille régulière au sens de la dé�nition 5.
Comme 
ette dé�nition est invariante par un 
hangement de base étale, elle
a également un sens pour un 
hamp de Deligne-Mumford. On a de plus :
Proposition 2. Soit X un 
hamp de Deligne-Mumford lo
alement noethérien,
D une famille de diviseurs à 
roisements normaux simples. Alors le fais
eau
parabolique E· ∈ objPAR 1
(X,D) est lo
alement libre si et seulement si ∀l ∈ 1
le fais
eau El est lo
alement libre sur X.
Démonstration. Comme, pour tout i ∈ I, la famille (Dj ∩ Di)j 6=i est à 
roise-
ments normaux simples sur Di (voir [19℄, preuve de la Proposition 17.1.7), on
peut raisonner par ré
urren
e sur #I. On 
on
lut à l'aide de la proposition 1 et
du lemme suivant (je remer
ie Angelo Vistoli pour m'avoir fourni le prin
ipe de
la preuve) :
Lemme 6. Soit R un anneau lo
al noethérien régulier, d'idéal maximal m,
t ∈ m, t /∈ m2. Soient de plus M et N deux modules libres de rang �ni tel que
tM ⊂ N ⊂M . Alors M/N est libre 
omme R/t-module.
Démonstration. De [19℄, Corollaire 17.1.8, on déduit que l'anneau lo
al R/t est
régulier, et [19℄, Proposition 16.3.7 montre qu'il est de dimension dimR − 1.
La formule d'Auslander-Bu
hsbaum ([19℄, Proposition 17.3.4) montre que le
résultat à démontrer équivaut à profR/tM/N = dimR− 1. Or [19℄, proposition
16.4.8 montre que profR/tM/N = profRM/N . De plus, [19℄, Corollaire 16.4.4
donne pour tout R-module de type �ni P : si k = R/m est le 
orps résiduel,
profR P = inf{m ≥ 0/ExtmR (k, P ) 6= 0}. La suite exa
te longue de 
ohomologie
asso
iée au fon
teur HomR(k, ·) et à la suite exa
te 
ourte de R-modules 0 →
N → M → M/N → 0, et une nouvelle appli
ation de la formule d'Auslander-
Bu
hsbaum, permettent de 
on
lure.
2.3.3 Revêtements de Kummer
La dé�nition des revêtements de Kummer adoptée i
i est 
elle de [21℄, �1 :
donné un ensemble �ni I, r = (ri)i∈I un ensemble d'entiers ri ≥ 1, des s
hémas
lo
alement noethériens X et Y , s = (si)i∈I un ensemble de se
tions régulières
de OX , un morphisme p : Y → X est dit revêtement de Kummer si Y est
muni d'une a
tion du s
hémas en groupes µ
i∈I µri
tel qu'il existe un
X-isomorphisme µ
-équivariant de Y ave
Spec(OX [(ti)i∈I ]/(trii − si)i∈I)
Alors p : Y → X est l'appli
ation naturelle vers le quotient s
hématique.
Pour i ∈ I, on notera Di (resp. Ei) le diviseur de Cartier asso
ié à si (resp.
ti), et D = (Di)i∈I (resp. E = (Ei)i∈I) la famille 
orrespondante.
Lemme 7. On suppose que D = (Di)i∈I est une famille régulière de diviseurs
sur X. Alors la famille E = (Ei)i∈I est une famille régulière de diviseurs sur
Démonstration. Comme p est plat, la famille p∗D = (p∗Di)i∈I est régulière, par
exemple d'après le lemme 4 (ii). Or (p∗Di)i∈I = (riDi)i∈I , ave
 ri ≥ 1, et on
peut appliquer le lemme 5 (ii).
2.3.4 Fibrés paraboliques asso
iés à un revêtement de Kummer
Soit p : Y → X un revêtement de Kummer. On 
onserve les notations de
la partie 2.3.3. On appellera µ
-objet (ou objet µ
-équivariant) d'un 
ertain
type sur Y tout objet du même type sur le 
hamp quotient [Y |µ
]. On notera
MODY la 
atégorie des fais
eaux µ
-équivariants sur Y , p
∗ : µr MODY →
MODX l'image dire
te le long de [Y |µ
]→ X , et µ
PAR 1
(Y, p∗D) la 
atégorie
des µ
-fais
eaux paraboliques sur Y le long de p∗D à poids multiples de 1
p∗D = (p∗Di)i∈I est 
onsidérée 
omme une famille de diviseurs de Cartier
e�e
tifs µ
-équivariants sur Y de la manière 
anonique).
Vu la platitude de [Y |µ
] → X et la fon
torialité de PAR 1
(Y, p∗D) en X
(�2.1.2), on dispose d'un fon
teur 
anonique
∗ : µr PAR 1
(Y, p∗D)→ PAR 1
(X,D)
qu'on peut détailler ainsi : donné un objet (F·, k) de µr PAR 1
(Y, p∗D) (k
désignant l'isomorphisme des pseudo-périodes), on lui asso
ie (E·, j), où E· =
∗ ◦ F· (en
ore noté pµr∗ (F·)), et j est donné par la 2-
omposition :
(ZI)op × (1
ZI)op
(ZI)op×F·
ZI)op
(ZI)op × µ
OY (−·p
(ZI )op×p
19kkkkkkkkkkkkkkkkkk
kkkkkkkkkkkkkkkkkk
(ZI)op ×MODX
OX(−·D)⊗·
19kkkkkkkkkkkkkkkkkk
kkkkkkkkkkkkkkkkkk
la 2-�è
he proj étant donnée par la formule de proje
tion le long de [Y |µ
En 
omposant 
e fon
teur ave
 le fon
teur µ
MODY → µ
PAR 1
(Y, p∗D)
donné par F → F ⊗OY (− · rE) (voir �2.1.2) on obtient :
Dé�nition 7. On notera ·̂ le fon
teur µr MODY → PAR 1
(X,D) donné sur
les objets par F̂· = pµr∗ (F ⊗OY (− · rE)).
Proposition 3. On suppose que D = (Di)i∈I est une famille régulière de di-
viseurs sur X, et que F est un µ
-fais
eau lo
alement libre de rang �ni sur Y .
Alors le fais
eau parabolique sur X asso
ié F̂· est un �bré parabolique sur X (au
sens de la dé�nition 4).
Démonstration. Soit F : {0 < 1}J → 1
ZI une fa
ette 
orrespondant à la donnée
de J , F (0), et de la famille ǫ (voir dé�nition 2). Il s'agit de 
al
uler l'homologie
du 
omplexe
Tot(F̂·◦F op) ≃ pµr∗ (Tot(F⊗OX(−·rE)◦F op)) ≃ pµr∗ (F⊗Tot(OX(−·rE)◦F op))
vu que le fon
teur Tot 
ommute à tout fon
teur 
onservant les sommes di-
re
tes. Or il est 
lair d'après la dé�nition 2 que F = F (0) + F ǫ
J et don
 :
OX(− · rE) ◦ F op ≃ OY (−rF (0)E)⊗ (OX(− · rE) ◦ F opǫ
Le lemme 2 montre qu'on doit 
al
uler l'homologie du 
omplexe
∗ (F ⊗OY (−rF (0)E)⊗ Tot(⊗i∈J(OY (−ǫiEi)→ OY )))
Le fon
teur p
∗ (F ⊗ OY (−rF (0)E)) ⊗ ·) étant exa
t (en e�et p est a�ne
don
 p∗ est exa
t [[17℄ 1.3.2℄, et µr est diagonalisable), on trouve don
∗ (F ⊗OY (−rF (0)E)⊗Hl(Tot(⊗i∈J (OY (−ǫiEi)→ OY ))))
Comme D = (Di)i∈I est une famille régulière de diviseurs sur X , il en est
de même, d'après le lemme 7, pour E = (Ei)i∈I . La dé�nition 2 d'une fa
ette
impose que ∀i ∈ J , ǫi ≥ 1, et le lemme 5 montre que la famille ǫE|J = (ǫiEi)i∈J
est également une famille régulière de diviseurs.
On déduit du lemme 4 (ii) que Hl(Tot(⊗i∈J (OY (−ǫiEi) → OY ))) est nul
pour l > 0, et est isomorphe à O∩i∈JǫiEi pour l = 0. On peut 
on
lure à l'aide
du lemme suivant :
Lemme 8. Pour tout µ
-fais
eau F lo
alement libre de rang �ni sur Y , le
fais
eau p
∗ (F ⊗ O∩i∈JǫiEi) est lo
alement libre 
omme O∩i∈JDi-module.
Démonstration. Vu la 
ommutativité du diagramme
∩i∈J ǫiEi
jJ // Y
∩i∈JDi
on a p
∗ (F ⊗ O∩i∈J ǫiEi) ≃ p
∗ jJ∗jJ
∗F ≃ iJ∗q
∗F , et il s'agit don
de véri�er que q
∗F est lo
alement libre. Comme µ
est diagonalisable,

'est un fa
teur dire
t de q∗jJ
∗F , et vu que F lo
alement libre de rang �ni
sur Y , il su�t de prouver que q est �ni et plat. Il est 
lairement �ni 
omme

omposé de l'immersion fermée ∩i∈J ǫiEi → p∗(∩i∈JDi) (on rappelle que pour
tout i on a ǫi ≤ ri) et de p∗(∩i∈JDi) → ∩i∈JDi (�ni 
ar p l'est). Pour la
platitude on peut 
lairement supposer X a�ne, soit X = specR. Mais alors
∩i∈J ǫiEi = spec(⊗i∈J Rsi
⊗R ⊗i/∈J R[ti]tri
). Or pour i ∈ J (resp. i /∈ J) tǫii
(resp. trii − si) est unitaire, don
 Rsi
(resp.
R[ti]
) est plat sur
(resp. sur
R), don
 ⊗i∈J Rsi
⊗R⊗i/∈J R[ti]tri
est plat sur ⊗i∈J Rsi , qui est l'anneau dé�nis-
sant ∩i∈JDi.
2.4 Fibrés paraboliques et 
hamp des ra
ines
Soit S un s
héma, etX → S un 
hamp de Deligne-Mumford, qu'on supposera
toujours lo
alement noethérien.
2.4.1 Champ des ra
ines
Soit r un entier supérieur ou égal à 1, inversible dans S.
Dé�nition 8 ([5℄,[14℄). (i) Soit un 
ouple (L, s) 
onstitué d'un fais
eau in-
versible sur X et d'une se
tion de 
e fais
eau. Soit U = [A1|Gm] le 
hamp

lassi�ant les fais
eaux inversibles muni d'une se
tion. On appelle 
hamp
des ra
ines r-ièmes de (L, s) le 
hamp
(L, s)/X = X ×U U
où le produit �bré est pris par rapport aux morphismes (L, s) : X → U , et
l'élévation à la puissan
e r : ·⊗r : U → U .
(ii) Soit D un diviseur de Cartier e�e
tif sur X, sD la se
tion 
anonique de
OX(D). On note r
D/X le 
hamp r
(OX(D), sD)/X.
Soit I un ensemble �ni, r = (ri)i∈I un ensemble d'entiers ri ≥ 1, inversibles
dans S.
Dé�nition 9. 1. Soit (L, s) = (Li, si)i∈I un ensemble de fais
eaux inver-
sibles sur X muni 
ha
un d'une se
tion. On note r
(L, s)/X le 
hamp
×i∈I ri
(Li, si)/X.
2. Soit D = (Di)i∈I un ensemble de diviseurs de Cartier e�e
tifs sur X. On
D/X le 
hamp ×i∈I ri
Di/X.
Proposition 4. Soit (L, s) = (Li, si)i∈I un ensemble de fais
eaux inversibles
sur X munis de se
tions. Supposons qu'on dispose sur X de fais
eaux inversibles
Ni et d'isomorphismes ψi : N⊗rii ≃ Li. Il existe alors un isomorphisme naturel
de 
hamps sur X :
(L, s)/X ≃ [Spec( Sym(⊕i∈IN
(N⊗rii ≃ Li)i∈I
Démonstration. Le 
as où #I = 1 est traité dans [14℄, version 1, Proposition
3.2, (voir aussi [10℄, théorème 4), et le 
as général en résulte immédiatement.
Corollaire 1. Soit s = (si)i∈I un ensemble de se
tions régulières de OX , Di =
(si) les diviseurs de Cartier 
orrespondants. Alors il existe un isomorphisme
naturel de 
hamps sur X :
D/X ≃ [Spec(OX [(ti)i∈I ]/(trii − si)i∈I)|µr]
Démonstration. Dé
oule dire
tement de la proposition 4.
2.4.2 La 
orrespondan
e : énon
é
Soit (L, s) = (Li, si)i∈I un ensemble de fais
eaux inversibles sur X munis
de se
tions. Sur
(L, s)/X, on dispose d'une ra
ine r-ième 
anonique (N , t) =
(Ni, ti)i∈I de (L, s).
On note π : r
(L, s)/X → X le morphisme 
anonique.
Dans le 
as parti
ulier où les 
ouples (Li, si) sont asso
iés à des diviseurs
e�e
tifs Di sur X (i.e. (Li, si) = (OX(Di), sDi) pour tout i ∈ I), les relations
π∗si = t
i , et le fait que π est plat, montrent que les ti : O r√D/X → Ni sont des
monomorphismes (i.e. les ti sont des se
tions régulières), si bien que les 
ouples
(Ni, ti) sont asso
iés à des diviseurs de Cartier e�e
tifs Ei sur r
En imitant la 
onstru
tion du �2.3.4 on obtient un fon
teur :
·̂ : MOD(
D/X) // PAR 1
(X,D)
F // F̂· = π∗(F ⊗O r√D/X(− · rE))
Théorème 2. On suppose que D est une famille régulière de diviseurs sur le

hamp de Deligne-Mumford X. Alors le fon
teur ·̂ induit une équivalen
e de

atégories tensorielles entre Vect( r
D/X) et Par 1
(X,D).
2.4.3 Bonne dé�nition
Il s'agit de voir que si F ∈ objVect( r
D/X), alors le fais
eau parabolique
F̂· est lo
alement libre. Comme il s'agit d'une question lo
ale pour la topologie
étale sur X , on peut, quitte à prendre un atlas étale, supposer que X est un
s
héma. Quitte à lo
aliser en
ore de façon à trivialiser 
ha
un des diviseurs de
la famille D, le 
orollaire 1 montre qu'on peut supposer que r
D/X → X est
du type [Y |µ
]→ X , où Y → X est un revêtement de Kummer rami�é le long
de D. Mais alors la proposition 3 permet de 
on
lure.
2.4.4 Équivalen
e ré
iproque
Soit E· ∈ objPar 1
(X,D). On pose
Ê· =
π∗E· ⊗N⊗r·
désigne la 
o�n (
oend), voir [27℄. C'est à priori un élément de
MOD( r
D/X), mais on va voir que 
'est en fait un fais
eau lo
alement libre.
Lemme 9. On �xe i ∈ I. Soient les fon
teurs
PAR 1
(X,D) PAR( 1
)j 6=i
Di/X, (π
iDj)j 6=i)
Li : E· // LiE· =
∫ li∈ 1ri Z π∗i (Eli)· ⊗N
⊗rili
RiF· : (li → πi∗(F· ⊗N⊗−lirii )) F· : Rioo
où πi :
Di/X → X désigne la proje
tion 
anonique, Ni la ra
ine ri-ème

anonique de OX(Di) sur ri
Di/X, et (Eli)· la restri
tion de E· via le fon
teur∏
j 6=i
Z induit par li.
Ces fon
teurs sont adjoints, Li étant adjoint à gau
he et Ri adjoint à droite.
Démonstration. Cela résulte de la dé�nition des 
o�ns.
Lemme 10. Le fon
teur Li envoie Par 1
(X,D) sur Par( 1
)j 6=i
Di/X, (π
iDj)j 6=i).
Démonstration. On pro
ède par ré
urren
e sur #I. On 
ommen
e par le 
as
où #I = 1. Le 
as où X est un s
héma est traité dans [10℄. Le 
as général s'y
ramène grâ
e au lemme suivant :
Lemme 11. Soit X un 
hamp de Deligne-Mumford, E : K → VectX un dia-
gramme, p : X0 → X un atlas étale. Si lim →
p∗Ek existe dans VectX0, alors
lim →
Ek existe dans VectX.
Démonstration. C'est à peu près dire
t à partir de la des
ription suivante des
objets de VectX : soit X1 = X0 ×X X0, et s, b : X1 ⇒ X0 le groupoïde

orrespondant. La 
atégorie VectX est équivalente à la 
atégorie des 
ouples
(E0, α), où E0 ∈ objVectX0, et α : s∗E0 ≃ b∗E0 est une donnée de des
ente, i.e.
véri�e la 
ondition de des
ente : m∗α = pr∗1α ◦ pr∗2α, où pr1, pr2,m : X1 ×X0
X1 → X1 désignent respe
tivement, les proje
tions et la multipli
ation dans le
groupoïde.
On revient au 
as général (#I quel
onque) : pour montrer que
∫ li∈ 1riZ π∗i (Eli)·⊗
N⊗rilii est un fais
eau parabolique lo
alement libre, le plus simple est d'appli-
quer la proposition 1. La partie (i) du 
ritère résulte du 
as#I = 1. Pour véri�er
la partie (ii) de 
e 
ritère, on �xe j 6= i, et l′j < lj ≤ lj + 1 ∈ 1rj Z. Il s'agit de
voir que
coker(
∫ li∈ 1riZ
π∗i (Elil′j )· ⊗N
⊗rili
∫ li∈ 1riZ
π∗i (Elilj )· ⊗N
⊗rili
est un objet de Par( 1
)k 6=i,j
(π∗iDj, (π
i (Dk ∩Dj))k 6=i,j). Mais 
omme le fon
-
teur Li est adjoint à gau
he (lemme 9), don
 exa
t à droite, et π
iDj =
Dj ∩Di/Dj,

ela résulte de l'hypothèse de ré
urren
e.
2.4.5 Preuve de l'équivalen
e
Lemme 12. Le fon
teur Ri envoie Par( 1
)j 6=i
Di/X, (π
iDj)j 6=i) sur Par 1
(X,D),
et est une équivalen
e ré
iproque de la restri
tion de Li à Par 1
(X,D).
Démonstration. On 
ommen
e par remarquer que si la première assertion est
véri�ée, la se
onde à un sens, et est vraie : en e�et on peut se 
ontenter de
véri�er que Li et Ri sont des isomorphismes après évaluation des variables, et
on se ramène don
 au 
as où #I = 1. C'est de nouveau un problème lo
al pour
la topologie étale, et on peut don
 se ramener au 
as où X est un s
héma. Pour

e dernier 
as, on renvoie à [10℄.
On montre l'ensemble des deux assertions par ré
urren
e sur #I. Pour le

as où #I = 1 : la première assertion résulte de la partie 2.4.3, la se
onde
s'ensuit. Pour I quel
onque on applique l'hypothèse de ré
urren
e qui permet
de dire que Vect r
D/X ≃ Par( 1
)j 6=i
Di/X, (π
iDj)j 6=i), et à nouveau la
partie 2.4.3 permet de 
on
lure à la validité de la première assertion, et don
 de
la se
onde.
2.4.6 Preuve du 
ara
tère tensoriel
Vu l'expression du produit tensoriel donnée �2.1.2, le fait que l'équivalen
e
soit 
ompatible au produit tensoriel résulte de la formule de Fubini pour les

o�ns (voir [27℄, et [10℄ pour le détail dans le 
as où #I = 1).
2.4.7 Stru
ture lo
ale des �brés paraboliques
Corollaire 2. Ave
 les notations du théorème 2, pour tout �bré parabolique
E· ∈ obj(Par 1
(X,D)), et tout point x ∈ X, il existe un voisinage étale U → X
de x tel que E·|U soit une somme dire
te �nie de �brés paraboliques inversibles.
Démonstration. Vu le théorème 2, il su�t de montrer la propriété 
orrespon-
dante pour les �brés 
hampêtres, mais alors la preuve de [10℄, Proposition 3.2,
s'adapte immédiatement.
Remarque 3. 1. Si X est de plus un s
héma, on peut imposer à U → X
d'être un ouvert pour la topologie de Zariski.
2. La preuve montre qu'on peut 
hoisir les �brés paraboliques de la forme
OX ·[l], pour l ∈ obj
ZI . En termes 
hampêtres, si X = specR, où R est
un anneau lo
al, alors Pic( r
D|X) ≃
, voir �2.4.8.
3. On suppose de plus que D une famille de diviseurs à 
roisements nor-
maux simples. Alors la proposition 2 et le 
orollaire 2 montrent que si les

omposantes du fais
eau parabolique E· ∈ obj PAR 1
(X,D) sont lo
alement
libres, il est lo
alement abélien au sens de [23℄, De�nition 2.2.
2.4.8 Groupe de Pi
ard des 
hamps des ra
ines
Le 
orollaire suivant est énon
é, dans le 
as parti
ulier des 
ourbes tordues,
dans [13℄. Le théorème 2 n'est pas indispensable pour le démontrer (on peut
aussi utiliser [14℄, Corollary 3.1.2), mais en fournit une preuve 
ommode.
Corollaire 3. Ave
 les notations du théorème 2, on a une suite exa
te naturelle
0→ PicX → Pic( r
D|X)→
H0(Di,
Démonstration. On peut supposer les Di 
onnexes (en e�et si D et D
sont deux
diviseurs de Cartier e�e
tifs à supports disjoints, et r ≥ 1 est un entier, alors
D +D′|X ≃ r
D|X ×X r
D′|X).
On note Ni la ra
ine ri-ème 
anonique de OX(Di) sur r
D|X , et π :
D|X → X le morphisme naturel. On va montrer plus pré
isément : il existe
un unique morphisme surje
tif Pic( r
D|X)→
envoyant [Ni] sur le gé-
nérateur 
anonique de la i-ème 
omposante, et dont le noyau est π∗ : PicX →
Pic( r
D|X).
Il su�t de le montrer pour #I = 1. En e�et en supposant 
ette propriété
véri�ée dans 
e 
as, le morphisme naturel
Pic( r
(rj)j 6=i
(Dj)j 6=i|X
envoie [Ni] sur le générateur 
anonique de la i-ème 
omposante, et est don
surje
tif. Comme une ré
urren
e immédiate donne l'égalité des 
ardinaux, 
'est
un isomorphisme.
Reste à voir le 
as où #I = 1. Cela résulte immédiatement de l'assertion :
pour tout fais
eau inversible K sur r
D|X, il existe un unique entier l dans
{0, · · · , r − 1} tel qu'il existe M fais
eau inversible sur X tel que K ⊗ N⊗l ≃
π∗M. En traduisant en termes de �brés paraboliques grâ
e au théorème 25 on
voit qu'il faut montrer : pour tout fais
eau parabolique inversibleK· à poids dans
Z, il existe un unique entier l dans {0, · · · , r − 1} tel qu'il existe M fais
eau
inversible sur X tel que K·[ lr ] ≃M· (le fais
eau parabolique à stru
ture spé
iale
asso
ié àM, voir �2.1.2). La donnée de K· équivaut à 
elle d'une �ltration
K0 ⊃ K 1
⊃ · · · ⊃ K1− 1
⊃ K1 ≃ K0 ⊗OX OX(−D)
telle que pour l ≤ l′, le fais
eau K l
/K l′
est lo
alement libre sur OD. Ce
i
implique l'égalité des rangs :
rg(K0|D) =
K l+1
mais 
omme K0 est inversible et D est 
onnexe, il existe un unique entier l
dans {0, · · · , r − 1} tel que K l
6= K l+1
, et pour 
et entier K·[ lr ] ≃ K0·.
2.4.9 Image dire
te de �brés paraboliques
On se donne S un s
héma de base, X → S (respe
tivement Y → S) un
S-
hamp de Deligne-Mumford lo
alement noethérien, D = (Di)i∈I (respe
ti-
vement E = (Ej)j∈J ) une famille régulière de diviseurs sur X (respe
tivement
sur Y ), et r = (ri)i∈I (respe
tivement s = (sj)j∈J ) une famille d'entiers (su-
périeurs à 1, inversibles dans S). On �xe de plus p : Y → X un S-morphisme
représentable �ni et plat, α : J → I une appli
ation, véri�ant
1. ∀j ∈ J sj |rα(j)
2. ∀i ∈ I p∗Di =
j∈α−1(i)
En�n, on note q : s
E/Y → r
D/X le morphisme naturel.
Dé�nition 10. Sous les 
onditions 
i-dessus, on dé�nit l'image dire
te d'un
�bré parabolique par la formule :
p∗ : Par 1
(Y,E) // Par 1
(X,D)
E· // (p∗E·)· = ( lr → p∗(E l◦α
en fait la version à indi
e unique montrée dans [10℄.
Proposition 5. Les fon
teurs d'images dire
tes 
hampêtre et parabolique sont

ompatibles : on a un isomorphisme fon
toriel en E· ∈ objPar 1
(Y,E) : (̂p∗E·)· ≃
q∗(Ê·).
Démonstration. On note π : r
D/X → X et ̟ : s
E/Y → Y les morphismes

anoniques. On a un 2-isomorphisme naturel π ◦ q ≃ p ◦̟.
Pour tout i dans I (respe
tivement j dans J), soitMi (respe
tivementNj) la
ra
ine ri-ème (respe
tivement sj-ème) 
anonique de OX(Di) (respe
tivement de
OY (Ej)) sur r
D/X (respe
tivement sur s
E/Y ), elle est muni de sa se
tion

anonique. Le morphisme q est dé�ni par la 
ondition : pour tout i dans I,
q∗(Mi) = ⊗j∈α−1(i)Nj , et la 
ondition 
orrespondante évidente sur les se
tions.
On �xe E· ∈ obj Par 1
(Y,E) et ( l
) = ( li
)i∈I ∈ obj(1rZ), et on 
al
ule :
π∗(q∗(Ê·)⊗i∈IM⊗−lii ) ≃ π∗
((∫ 1
̟∗E· ⊗N⊗s·
⊗i∈I ⊗j∈α−1(i)N⊗−lij
̟∗E· ⊗N⊗s·−l◦α
̟∗E·[
l ◦ α]
]⊗N⊗s·
≃ p∗(E l◦α
d'où la 
on
lusion.
3 Groupe fondamental modéré 
omme groupe fon-
damental 
hampêtre
3.1 Groupe fondamental 
hampêtre
Noohi ([31℄) et Zoonekynd ([43℄) ont étendu la théorie 
lassique du groupe
fondamental pro�ni de [2℄ du 
as d'un s
héma à 
elui d'un 
hamp de Deligne-
Mumford. On rappelle brièvement leur dé�nition.
Dé�nition 11 ([2℄,[31℄,[43℄). Soit X un 
hamp de Deligne-Mumford. On note
RevX la 2-sous-
atégorie pleine de la 2-
atégorie ChampsX des 
hamps sur X
dont les objets sont les morphismes Y → X représentables étales �nis. On note
CatRevX la 
atégorie asso
iée (i.e. la 
atégorie dont les morphismes sont les

lasses de 2-isomorphisme de 1-morphismes dans RevX).
Théorème 3 ([31℄ Theorem 4.2, [43℄ �3). Si X est un 
hamp de Deligne-
Mumford 
onnexe, et x : specΩ→ X un point géométrique, la paire (CatRevX, x∗)
est une 
atégorie galoisienne au sens de [2℄.
Dé�nition 12. Ave
 les notations du théorème, on notera π1(X, x) le groupe
fondamental de la 
atégorie galoisienne (CatRevX, x∗).
3.2 Groupe fondamental modéré
On rappelle le résultat suivant :
Théorème 4 ([21℄ Theorem 2.4.2). Soit X un s
héma lo
alement noethérien,
normal, 
onnexe, D un diviseur à 
roisements normaux, et x : specΩ → X
un point géométrique, x /∈ D. La 
atégorie RevD(X) des revêtements de X
modérément rami�és le long de X est une 
atégorie galoisienne, dont on note
πD1 (X, x) le groupe fondamental.
On va se restreindre à étudier le 
as d'une famille de diviseurs à 
roisements
normaux simples (dé�nition 6). Le but de 
e paragraphe est de démontrer :
Proposition 6. Ave
 les hypothèses du théorème 4, si on suppose de plus X
dé�ni sur un 
orps k, et D est la réunion d'une famille D = (Di)i∈I de diviseurs
irrédu
tibles à 
roisements normaux simples, alors il existe un isomorphisme
naturel :
πD1 (X, x) ≃ lim←−
D/X, x)
où la limite est prise sur les multi-indi
es r = (ri)i∈I d'entiers non divisibles
par la 
ara
téristique p de k.
Dans le reste de 
e paragraphe 3, on 
onservera les hypothèses de la pro-
position 6. On va montrer que l'on a une équivalen
e naturelle de 
atégories
galoisiennes
RevD(X) ≃ lim−→
CatRev( r
La 
ompatibilité de 
et isomorphisme aux fon
teurs �bres induits par x
impliquera bien la proposition 6
3.3 Le fon
teur C
Lemme 13. Soit π : Y → X dans objRevD(X) galoisien de groupe G (au sens
de [21℄ 2.4.5), de multi-indi
e de rami�
ation r. Alors le morphisme naturel de

hamps [Y |G]→ r
D/X est un isomorphisme.
Démonstration. Cela résulte, essentiellement, de l'hypothèse que D est à 
roi-
sements normaux simples, et du lemme d'Abhyankar.
En détail : on pré
ise d'abord la dé�nition du morphisme naturel [Y |G] →
D/X. Soit E = (Ei)i∈I la famille de diviseurs sur Y dé�ni par ∀i ∈ I Ei =
(π∗Di)red, si bien que ∀i ∈ I π∗Di = riEi.
la notion de 2-limite �ltrée de 
atégories utilisée i
i et par la suite est pré
isée dans
l'appendi
e A
Comme
D/X admet X pour espa
e des modules, x dé�nit aussi un point géométrique
de 
e 
hamp
Soit S un s
héma, et (f, p) un objet de [Y |G](S), i.e. une paire 
onstituée
d'un G-torseur p : T → S et d'un morphisme G-équivariant f : T → Y . On a
les quotients s
hématiques S = T/G et X = Y/G, si bien qu'il existe un unique
morphisme g : S → X tel que g◦p = π◦f . Pour tout i ∈ I, le fais
eau OT (f∗Ei)
dé�nit une ra
ine ri-ème de Di sur T , 
omme 
e fais
eau est G-équivariant, on
peut le des
endre 
anoniquement le long du G-torseur p : T → S, et les ra
ines
ri-ièmes p
∗ (OT (f∗Ei)) de Di sur S dé�nissent un objet de r
D/X(S).
Pour montrer que 
e morphisme [Y |G] → r
D/X est un isomorphisme, il
su�t de le véri�er sur les �bres géométriques, et on peut don
 supposer que
X = specR, où R est un anneau lo
al noethérien stri
tement hensélien. Comme

'est évident en dehors du support de D, on peut supposer de plus R régulier.
On 
hoisit pour tout i ∈ I une équation lo
ale si de Di. On pose R′ =
R[(Ti)i∈I ]
−si)i∈I
, où les (Ti)i∈I sont des indéterminées, etX
′ = specR′. Le morphisme
X ′ → X est modérément rami�é ([21℄ Example 2.2.4). Comme les si sont tous
dans l'idéal maximalm de R, R′ est un anneau lo
al. Vu que la famille (Di)i∈I est
à 
roisements normaux simples, R′ est même régulier ([21℄, Proposition 1.8.5).
On a en
ore Y = specS, où S est une R-algèbre �nie, don
 un produit �ni
d'anneaux lo
aux stri
tement henséliens (en e�et l'hypothèse de modération
impose que les extensions résiduelles sont séparables [[21℄ De�nition 2.1.2℄, don
i
i triviales). On réduit fa
ilement le problème au 
as où Y est irrédu
tible. Vu
que les ri sont non nuls résiduellement, on peut 
hoisir des équations ti des Ei
telles que trii = si dans S. Celles-
i dé�nissent un X-morphisme Y → X ′.
Soit Y ′ le produit �bré de Y et X sur X ′ dans RevD(X), 
'est à dire la nor-
malisation du produit �bré s
hématique Y ×XX ′. On a don
 Y = specS′, où S′
est la 
l�ture intégrale de R′ dans l'extension des anneaux de fra
tions totaux
R(Y )/R(X). Comme 
elle-
i est �nie étale d'après l'hypothèse de modération,
le morphisme Y ′ → X ′ est �ni. Comme Y ′ → X est modéré, toute 
ompo-
sante irrédu
tible de Y ′ domine X , et don
 toute 
omposante irrédu
tible de Y ′
domine X ′. On peut don
 appliquer le théorème de pureté de Zariski-Nagata
([2℄, X Théorème 3.1) pour voir que le lieu où Y ′ → X ′ est rami�é est de pure

odimension 1. Mais le lemme d'Abhyankar ([2℄, X Lemme 3.6) montre que 
e
morphisme n'est pas non plus rami�é en 
odimension 1. Il est don
 étale, et

omme X ′ est stri
tement lo
al, 
'est un revêtement trivial de X ′.
Comme Y ′ → Y est séparé (
ar a�ne), la se
tion dé�nie par le morphisme
Y → X ′ 
i-dessus est une immersion fermée. L'égalité des dimensions, et le fait
que Y et Y ′ sont réduits (
ar normaux), impliquent que 
ette se
tion identi�e
Y à une 
omposante irrédu
tible de Y ′. Don
 le morphisme Y → X ′ 
onstruit
au départ est en fait un isomorphisme au dessus de X . Le groupe G = AutX Y
s'identi�e 
anoniquement à AutX X
′ = µ
, et on 
on
lut grâ
e au 
orollaire 1
(ou plut�t, grâ
e à sa preuve, qui donne une version expli
ite de l'isomorphisme).
Lemme 14. Soit Y → X dans un objet de RevD(X), Z → X un objet galoisien
de RevD(X), de groupe G, dominant Y → X, r les indi
es de rami�
ation de
Z → X, H le groupe de Galois de Z → Y . Le morphisme de 
hamps [Z|H ] →
[Z|G] est étale, et 
omposé ave
 l'isomorphisme 
anonique [Z|G] ≃ r
dé�ni dans la proposition 13 il dé�nit un objet de lim−→r CatRev(
D/X), qui
est, à isomorphisme près, indépendant du 
hoix de Z.
Dé�nition 13. On notera C(Y → X) l'objet de lim−→r CatRev(
D/X) dé�ni
dans le lemme 14.
Il est 
lair qu'on a en fait dé�ni un fon
teur
C : RevD(X)→ lim−→
CatRev( r
3.4 Le fon
teur M
Lemme 15. Soit r = (ri)i∈I une famille d'entiers non divisibles par la 
ara
-
téristique p de k et T → r
D/X un revêtement étale. Soit N(T ) la fermeture
intégrale de X dans R(T )/R( r
D/X) = R(X).
(i) Il existe un unique morphisme de 
hamps T → N(T ) faisant 
ommuter le
diagramme
N(T )
D/X // X
et 
e morphisme est surje
tif.
(ii) Le morphisme 
anonique N(T ) → X est un revêtement modérément ra-
mi�é de X le long de D, et le fon
teur obtenu
Rev( r
D/X) // RevD(X)

ommute au produit �bré.
(iii) Si de plus T → r
D/X est galoisien de groupe G, N(T ) → X l'est
également, de multi-indi
e de rami�
ation r′ divisant r, et le morphisme
N(T ) → [N(T )|G] ≃ r′
D/X dé�ni dans le lemme 13 s'ins
rit dans un
diagramme 
artésien :
N(T )
D/X // r
Démonstration. (i) Pour l'existen
e et l'uni
ité du morphisme : soit T0 → T
un atlas étale, et s, b : T1 ⇒ T0 le groupoïde 
orrespondant. Il résulte
de [21℄ Proposition 1.8.5 et [2℄ Exposé I, Corollaire 9.10, que T1 et T0
sont normaux. L'a�rmation résulte alors de la propriété universelle de la
fermeture intégrale ([16℄ 6.3.9).
Pour montrer la surje
tivité, on peut supposer X = specR, où R est un
anneau. On pose R′ =
R[(Ti)i∈I ]
−si)i∈I
, où les (Ti)i∈I sont des indéterminées,
et X ′ = specR′ (quitte à renommer I, on peut supposer qu'au
un des si
n'est inversible). D'après le 
orollaire 1 il existe un isomorphisme naturel
de 
hamps sur X : r
D/X ≃ [X ′|µ
]. Posons T ′ = X ′ ×[X′|µ
] T , 
'est
un atlas étale de T . De plus T ′ → X est �ni (
ar T ′ → T et T → X le
sont) et N(T ) → X est séparé (
ar a�ne), et don
 T ′ → N(T ) est �ni,
et en parti
ulier entier. Comme 
e morphisme est de plus dominant (
ar
T ′ → T est surje
tif, et T → N(T ) est birationnel), il est surje
tif, d'après
le théorème de Cohen-Seidenberg.
(ii) N(T )→ X est modérément rami�é le long de D : il faut véri�er les 
inq

onditions de la Dé�nition 2.2.2 de [21℄.
1) N(T )→ X est �ni : ça résulte de la �nitude de la fermeture intégrale
d'un anneau noethérien normal dans une extension séparable �nie
([12℄, V, Proposition 18, Corollaire 1).
2) N(T ) → X est étale au dessus de U = X − D : posons V =
T × r√
U , 
'est un revêtement étale de U , et 
omme U est normal,
V s'identi�e d'après [20℄, Corollaire 18.10.12.à la fermeture intégrale
de U dans R(V ) = R(T ), qui n'est autre que N(T )×X U .
3) Toute 
omposante irrédu
tible de N(T ) domine X : les 
omposantes
irrédu
tibles de N(T ) sont les mêmes que 
elle de son ouvert dense
V , or V → U étant étale, toute 
omposante irrédu
tible de V domine
4) N(T ) est normal : 
lair d'après [16℄ Proposition 6.3.7, ou simplement
d'après la propriété universelle dé�nissant N(T ).
5) Pour tout point générique x de D, N(T ) est modérément rami�é
au dessus de OX,x : 
'est également 
lair d'après (i), qui permet
d'appliquer [21℄ Lemma 2.2.5, vu qu'un revêtement de Kummer est
modérément rami�é ([21℄ Example 2.2.4). On en tire également la
propriété sur les indi
es de rami�
ation du (iii).
Le fon
teur obtenu 
ommute au produit �bré : donnés T → r
T ′ → r
D/X deux revêtements étales, on a un morphisme 
anonique
N(T × r√
T ′)→ N(T )×X N(T ′) (produit �bré s
hématique), 
omme

e morphisme est entier et birationnel, et N(T × r√
T ′) est normal, il
identi�e N(T × r√
T ′) à la normalisation de N(T )×X N(T ′), qui par
dé�nition est le produit �bré de N(T ) et N(T ′) sur X dans RevD(X).
(iii) La première assertion résulte de la se
onde a�rmation de (ii). Pour la
se
onde assertion, il su�t de remarquer que le morphisme naturel T →
D/X× r′√
N(T ) est un morphisme birationnel de revêtements étales
D/X, 
'est don
 un isomorphisme d'après [20℄, Corollaire 18.10.12.
Le lemme 15 permet de poser :
Dé�nition 14. On dé�nit un fon
teur M : lim−→r CatRev(
D/X)→ RevD(X)
sur les objets en posant, pour une famille r = (ri)i∈I d'entiers non divisibles
par la 
ara
téristique p de k : M(T → r
D/X) = N(T )→ X.
3.5 Con
lusion
Preuve de la proposition 6. Il su�t de montrer que le fon
teur C est une équi-
valen
e.
Le fait qu'un revêtement modéré est par dé�nition normal permet de dé-
�nir une transformation naturelle 1 → MC, et la propriété universelle de la
normalisation montre que 
'est un isomorphisme.
Le lemme 15 (ii) permet à son tour de dé�nir une transformation naturelle
(T → r
D/X) → CM(T → r
D/X) dans lim−→r CatRev(
D/X), et le point
(iii) montre que 
'est un isomorphisme pour T → r
D/X galoisien, et on en
déduit que 
'est vrai pour tout objet. Don
 C et M sont des équivalen
es de

atégories ré
iproques.
4 Fais
eaux lo
alement 
onstants et �brés �nis
sur un 
hamp de Deligne-Mumford
Dans 
ette partie, on �xe à nouveau un 
hamp de Deligne-Mumford lo
ale-
ment noethérien X .
4.1 Topologies
La dé�nition suivante est une adaptation
de [43℄, Lemme 1.2.
Dé�nition 15. On dé�nit le site étale Xet (resp. le site étale �ni Xetf ) du

hamp X 
omme le site dont la 
atégorie sous-ja
ente a pour objets les mor-
phismes représentables étales f : T → X d'un 
hamp de Deligne-Mumford vers
X, a pour �è
hes les 
lasses d'isomorphismes de 
ouples (φ, α)
px iiii
f ′~~}}
où φ est un morphisme représentable, α un 2-isomorphisme, et dont les re-

ouvrements sont les familles épimorphiques (resp. les familles épimorphiques
(Ti → T )i∈I 
onstituée de morphismes �nis).
On parlera aussi de topologie étale pour Xet, et de topologie étale �nie
globale pour Xetf .
Remarque 4 ([43℄ Lemme 1.2). On obtient une topologie équivalente à Xet si
dans la dé�nition des objets, on impose à T d'être un s
héma.
je remer
ie l'auteur pour avoir fourni le �
hier sour
e de son texte, me permettant ainsi
de reproduire les diagrammes
4.2 Systèmes lo
aux ensemblistes et groupe fondamental
Zoonekynd ([43℄) a remarqué que l'on pouvait interpréter la dé�nition 12

omme un 
as parti
ulier du groupe fondamental d'un topos donnée par Leroy
([25℄).
4.2.1 Systèmes lo
aux ensemblistes
Dé�nition 16 ([25℄,[43℄). Donné un topos T , on dé�nit la sous-
atégorie LC(T )
(resp. LCF(T )) 
omme 
elle des objets lo
alement 
onstants (resp. lo
alement

onstants �nis) et SLC(T ) (resp. SLCF(T )) 
omme 
elle des unions disjointes
d'objets de LC(T ) (resp. de LCF(T )).
SLC(T ) (resp. SLCF(T )) est un topos galoisien (resp. un topos galoisien
�ni). Si on suppose T 
onnexe, et que l'on �xe un point géométrique x de
T , on asso
ie 
anoniquement à 
ette 
atégorie un progroupe stri
t π1(T , x)
(resp. un groupe pro�ni π̂1(T , x)), véri�ant SLC(T ) ≃ π1(T , x) − Ens (resp.
SLCF(T ) ≃ π̂1(T , x) − Ens), les ensembles étant munis d'a
tion 
ontinues des
pro-groupes 
onsidérés. De plus (LCF(T ), x∗) est une 
atégorie galoisienne dont
le groupe fondamental s'identi�e à π̂1(T , x)− Ens.
4.2.2 Systèmes lo
aux ensemblistes et revêtements
On dispose d'un fon
teur naturel CatRevX → LCF(X̃et) donné sur les
objets par (Y → X)→ HomX(·, Y ), où HomX(·, Y ) est donné 
omme fon
teur
sur les objets par (T → X)→ HomT (T, T ×Y X). Pour voir que 
ela dé�nit bien
un préfais
eau d'ensembles, on peut, en utilisant la remarque 4, supposer que T
est un s
héma, mais ça résulte alors du fait que Y → X est représentable, don
que T ×Y X est également un s
héma. Le fait que HomX(·, Y ) est e�e
tivement
un fais
eau sur Xet dé
oule immédiatement du fait que 
'est vrai lorsque X est
un s
héma ([4℄, VII.2, [38℄).
On dispose également d'un fon
teur naturel dans la dire
tion opposée LCF(X̃et)→
CatRevX . En e�et, soit p : X0 → X un atlas étale, X1 = X0 ×X X0, et
s, b : X1 ⇒ X0 le groupoïde 
orrespondant. Soit E ∈ objLCF(X̃et), on peut
l'interpréter ([38℄, Example 4.11) 
omme un fais
eau lo
alement 
onstant �ni
équivariant sur X0, 
'est à dire un 
ouple (F, ψ), où F ∈ objLCF(X̃0et), et
φ : s∗F→ b∗F est un isomorphisme véri�ant la 
ondition de 
o
y
le habituelle.
L'équivalen
e de 
atégories usuelle LCF(X̃iet) ≃ RevXi pour i ∈ {0, 1}, per-
met d'interpréter 
ette donnée 
omme un revêtement étale Y0 → X0, muni d'un
isomorphisme φ : X1ցs ×X0 Y0 ≃ X1ցb ×X0 Y0. En posant Y1 = X1ցs ×X0 Y0,
on obtient un nouveau groupoïde (pr2, pr2 ◦ φ : Y1 ⇒ Y0) et l'on obtient ainsi
un 
hamp Y = [Y1 ⇒ Y0] et même en fait un objet de CatRevX .
Théorème 5 ([43℄, Théorème 3.1). Les fon
teurs 
i-dessus dé�nissent des équi-
valen
e de 
atégories ré
iproques CatRevX ≃ LCF(X̃et).
Corollaire 4. Si X est un 
hamp de Deligne-Mumford 
onnexe, et x : specΩ→
X un point géométrique, on a un isomorphisme naturel
π̂1(X̃et, x) ≃ π1(X, x)
Remarque 5. π1(X̃et, x) porte le nom de groupe fondamental élargi de X (voir
[1℄ X 7.6 pour le 
as d'un s
héma).
4.2.3 Interprétation à l'aide de la topologie étale �nie globale
Proposition 7. Soit X 
hamp de Deligne-Mumford 
onnexe. Le fon
teur SLC(X̃etf )→
SLC(X̃et) induit un isomorphisme de SLC(X̃etf ) sur SLCF(X̃et). En parti
u-
lier, si x est un point géométrique, on a un isomorphisme naturel π̂1(X̃et, x) ≃
π1(X̃etf , x).
Démonstration. Le morphisme de sites f : Xetf → Xet induit un morphisme
de topos (f∗, f∗) : X̃et → X̃etf dont l'adjoint à gau
he f∗ induit un fon
teur
�dèlement plein SLC(X̃etf )→ SLC(X̃et), et dont on va montrer que l'image es-
sentielle est SLCF(X̃et). Via l'équivalen
e SLC(T ) ≃ π1(T , x)−Ens, 
e fon
teur
s'interprète 
omme la restri
tion le long du morphisme π1(X̃et, x)→ π1(X̃etf , x).
Soit d'abord E ∈ objLC(X̃etf ). Il existe une famille 
ouvrante (Ti → X)i∈I

onstituée de morphismes représentables étales �nis telle que pour tout i ∈ I,
E|Ti soit 
onstant. L'image de Ti → X est ouverte 
ar le morphisme est étale,
et fermé 
ar il est �ni, 
'est don
 ∅ ou X . On peut don
 se ramener à une
famille 
ouvrante à un élément T → X , revêtement qu'on peut supposer de plus
galoisien. Soit G son groupe de Galois. Alors E 
orrespond (via l'équivalen
e
π1(X̃etf , x) − Ens ≃ SLC(X̃etf )) à un G-ensemble E, qui se dé
ompose en
j∈J Ej , ses orbites sous G. Chaque ensemble Ej est �ni 
ar G l'est,
don
 
orrespond (via l'équivalen
e π1(X̃et, x) − Ens ≃ SLC(X̃et)) à un Ej ∈
objLCF(X̃et). Don
 E =
j∈J Ej s'envoie sur un objet de SLCF(X̃et).
Ré
iproquement si E ∈ obj LCF(X̃et), alors le théorème 5 montre que E
dé�nit un revêtement Y → X , dont une 
l�ture galoisienne trivialise E, don
 E
vient bien d'un objet de LC(X̃etf ).
Corollaire 5. Si X est un 
hamp de Deligne-Mumford 
onnexe, et x : specΩ→
X un point géométrique, on a un isomorphisme naturel
π1(X̃etf , x) ≃ π1(X, x)
4.3 La 
atégorie tannakienne des systèmes lo
aux de k-
ve
toriels
Dé�nition 17 ([34℄, 
hapitre VI, 1.1.2). Donné un topos T 
onnexe lo
alement

onnexe, et un 
orps k, on dé�nit la 
atégorie LC(T , k) des systèmes lo
aux de
k-ve
toriels de rang �ni.
Si on 
hoisit de plus un point géométrique x, 
'est une 
atégorie tannakienne.
Son groupe de Tannaka est alors l'enveloppe k-algébrique du progroupe stri
t
π1(T , x), au sens suivant.
Proposition 8 ([34℄, 
hapitre VI, 1.1.2.1). Si π1(T , x) = (Gi)i∈I et Hi est
l'enveloppe k-algébrique de Gi, alors le groupe de Tannaka de (LC(T , k), x∗) est

anoniquement isomorphe à lim←−i∈I Hi.
On déduit du 
orollaire 5 et de la proposition 8 :
Corollaire 6. Soit X un 
hamp de Deligne-Mumford 
onnexe, et x un point
géométrique. Le groupe de Tannaka de (LC(X̃etf , k), x
∗) est 
anoniquement iso-
morphe au groupe fondamental pro�ni π1(X, x).
Remarque 6. 1. Il vaudrait mieux i
i parler du k-groupe pro
onstant asso-

ié à π1(X, x).
2. Le groupe de Tannaka de (LC(X̃et, k), x
∗) est, d'après 
e qui pré
ède, iso-
morphe l'enveloppe k-algébrique du groupe fondamental élargi de X.
Lemme 16. Soit X 
hamp de Deligne-Mumford 
onnexe. SiV ∈ obj LC(X̃etf , k),
alors il existe un revêtement Y → X de X trivialisant V.
Démonstration. C'est immédiat à partir du 
orollaire 6.
4.4 Fon
teur à la Riemann-Hilbert
4.4.1 Dé�nition
Donné un 
hamp de Deligne-Mumford X , on peut dé�nir la 
atégorie VectX
des �brés ve
toriels sur X 
omme la 
atégorie [X,Vect] des morphismes de

hamps de X vers le 
hamp Vect des �brés ve
toriels, parfois appelés représen-
tations du 
hamp X , 
'est le point de vue que l'on a adopté jusqu'à présent.
La théorie de la des
ente des �brés ve
toriels (et plus généralement des
fais
eaux quasi-
ohérents [2℄) fournit un point de vue alternatif, en e�et les
fais
eaux de OX -modules F sur Xet, tels qu'il existe un atlas étale X ′ → X ,
tel que F|X′ est libre, forment une 
atégorie équivalente ([24℄, 
hapitre 13).
On utilisera librement 
ette équivalen
e par la suite. La dé�nition suivante est
inspirée de [34℄ VI 1.2.4.
Dé�nition 18. Soit X un 
hamp de Deligne-Mumford lo
alement noethérien
sur un 
orps k. On dé�nit le fon
teur à la Riemann-Hilbert
RH : LC(X̃etf , k)→ VectX

omme le fon
teur 
omposé du fon
teur 
anonique LC(X̃etf , k)→ LC(X̃et, k)
et du fon
teur LC(X̃et, k)→ VectX donné sur les objets par V→ OX ⊗k V.
4.4.2 Propriétés du fon
teur RH
Proposition 9. Soit X un 
hamp de Deligne-Mumford lo
alement noethérien
sur un 
orps k.
1. Le fon
teur RH est �dèle.
2. Si X est de plus 
omplet, réduit, et k est algébriquement 
los, il est �dè-
lement plein.
Démonstration. Pour V ∈ obj LC(X̃etf , k), on note φX,V : V → OX ⊗k V
le morphisme de fais
eaux sur Xetf dé�ni à partir du morphisme 
anonique
k→ OX . Quitte à rempla
er V par Hom(V,W), il su�t de voir :
1. H0(X,φX,V) est inje
tif.
2. Si X est 
omplet et réduit sur k algébriquement 
los, H0(X,φX,V) est
bije
tif.
Le premier point est évident 
ar k→ OX est inje
tif, et les fon
teurs · ⊗k V
et H0(X, ·) sont exa
ts à gau
he.
Pour le se
ond point, X étant lo
alement noethérien (
e qui assure que les

omposantes 
onnexes sont ouvertes), on peut supposerX 
onnexe. Le lemme 16
donne l'existen
e d'un revêtement π : Y → X trivialisant V. On peut supposer
π galoisien de groupe G.
On a alors un diagramme 
ommutatif :
0 // H0(X,V)
π−1 //
H0(X,φX,V)
H0(Y, π−1V)
H0(Y,φ
Y,π−1V
0(Y ×X Y, p−1V)
H0(Y×XY,φY,p−1V)
0 // H0(X,OX ⊗k V)
π∗ // H0(Y,OY ⊗k π−1V)
pr∗1//
0(Y ×X Y,OY×XY ⊗k p−1V)
où p désigne le morphisme 
anonique p : Y ×X Y → X .
Y étant en
ore propre (
ar �ni surX) et réduit ([2℄ I Proposition 9.2) on s'est
don
 ramené au 
as où V est trivial. On peut à nouveau supposer X 
onnexe,
et don
 V = s−1X V , où sX : X → spec k est le morphisme stru
turel, et V un
k-ve
toriel de rang �ni. On est alors immédiatement ramené à V = k, et il s'agit
de voir que le morphisme naturel k → H0(X,OX) est un isomorphisme, mais
ça résulte du fait que X est propre, réduit, 
onnexe, et k algébriquement 
los.
4.5 Fibrés �nis
Dé�nition 19. On appellera s
héma tordu un 
hamp de Deligne-Mumford X
admettant pour espa
e des modules un s
héma M , tel qu'il existe un ouvert
dense U de M , tel que X →M soit un isomorphisme en restri
tion à U .
On adapte les dé�nitions de [32℄, [33℄ au 
as d'un s
héma tordu X modéré
(au sens de [7℄, dé�nition 2.3.2) réduit sur un 
orps k, dont l'espa
e des modules
M est propre et 
onnexe sur k.
Dé�nition 20 ([32℄, [33℄). Un fais
eau lo
alement libre E sur X est dit �ni
s'il existe deux polyn�mes distin
ts P,Q à 
oe�
ients entiers positifs tels que
P (E) ≃ Q(E).
Pour identi�er l'image essentielle du fon
teur RH , on va suivre la stratégie
de Nori, qui 
onsiste à plonger la 
atégorie des �brés �nis dans la 
atégorie
abélienne des �brés semi-stables sur X .
Dé�nition 21. Une orbi
ourbe dans X est un morphisme birationnel sur son
image
D/C → X, où C est une 
ourbe proje
tive, 
onnexe, et lisse sur k,
D = (Di)i∈I un ensemble de diviseurs de Cartier e�e
tifs réduits sur C.
Dé�nition 22 ([32℄, [33℄). Un fais
eau lo
alement libre E sur X est dit semi-
stable s'il est semi-stable de degré 0 en restri
tion à toute orbi
ourbe dans X.
On notera SS0X la sous-
atégorie pleine de VectX des fais
eaux lo
alement
libres semi-stables sur X.
Proposition 10. La 
atégorie SS0X est une 
atégorie abélienne.
Démonstration. La preuve est identique à 
elle de [32℄, Lemma 3.6, (b) : étant
donné un morphisme f : E → E ′ dans SS0X , le point 
lé est de voir que ker f et
coker f sont lo
alement libres. Il est aisé de voir qu'ils sont sans torsion 9, et don
lo
alement libres si X est une orbi
ourbe. Dans le 
as général, X étant réduit

ela revient à voir que la fon
tion qui à un point géométrique x : spec k → X
asso
ie le rang de x∗f : x∗E → x∗E ′ est 
onstant sur X . Or, le 
as parti
ulier
envisagé 
i-dessus montre que 
ette fon
tion est 
onstante sur toute orbi
ourbe
dans X . On peut don
 
on
lure à l'aide du lemme suivant :
Lemme 17. La relation d'équivalen
e sur les points x : spec k → X engendrée
par x ∼ x′ s'il existe une orbi
ourbe dans X dont l'image 
ontient x et x′ admet
une unique orbite.
Démonstration. Dans le 
as où X est un s
héma, on se ramène au 
as où X est
proje
tif sur k grâ
e au lemme de Chow ([16℄, 5.6), où 
'est un fait 
lassique.
Dans le 
as général, on note U 
omme dans la dé�nition 19 un ouvert de
l'espa
e de modules M de X tel que la �è
he X → M de X vers son espa
e
de modules M soit un isomorphisme en restri
tion à U . Soit y, y′ les images
respe
tives de x, x′ dans M , on peut supposer que y ∈ U . D'après le 
as par-
ti
ulier 
i-dessus, il existe une 
ourbe C dans M (au sens de [32℄, ou de la
dé�nition 21) 
ontenant y et y′. Le 
hamp de Deligne-Mumford C ×M X ad-
met C pour espa
e des modules, et il en est de même de (C ×M X)red ([7℄
Lemma 2.3.3 ou [6℄ Corollary 3.3). D'après [14℄, Theorem 4.1, on a un isomor-
phisme (C ×M X)red ≃ r
D/C sur X pour un 
hoix 
onvenable d'une famille
D de diviseurs e�e
tifs et d'une famille d'entiers naturels r. Comme on dis-
pose d'un morphisme birationnel surje
tif
Dred/C → r
D/C, 
omme de plus
les arguments généraux de [37℄, �3 s'appliquent i
i, à l'aide de [10℄, �5 pour les adapter au

as des orbi
ourbes ; 
omme 
'est par ailleurs bien 
onnu dans le 
adre -équivalent- des �brés
paraboliques sur les 
ourbes (voir [36℄), nous ne rentrons pas dans les détails
(C ×M X)red est birationnel sur son image dans X et que 
elle-
i 
ontient x et
x′, on a terminé.
Proposition 11. Tout �bré �ni sur X est semi-stable.
Démonstration. Comme la restri
tion d'un �bré �ni l'est en
ore, il su�t de le
véri�er sur les orbi
ourbes. Mais on peut alors adapter la preuve de [32℄ au 
as
des orbi
ourbes : voir [10℄, Proposition 6.
Dé�nition 23 ([32℄, [33℄). Un fais
eau lo
alement libre E sur X est dit essen-
tiellement �ni si 
'est un quotient de deux sous-�brés semi-stables d'un �bré
�ni. On notera EFX la sous-
atégorie pleine de SS0X des fais
eaux lo
alement
libres essentiellement �nis sur X.
Théorème 6. Soit X un s
héma tordu modéré et réduit sur un 
orps k, dont
l'espa
e des modules M est propre et 
onnexe sur k, et x ∈ X(k) un point
rationnel. La paire (EFX, x∗) est une 
atégorie tannakienne.
Démonstration. Compte tenu de la proposition 10, la preuve est la même que

elle donnée dans [32℄, �3.
Corollaire 7. Si on suppose, en plus des hypothèses du théorème 6, que k est
algébriquement 
los de 
ara
téristique 0, alors tout �bré essentiellement �ni est
�ni, et le fon
teur RH induit une équivalen
e de 
atégories tensorielles entre
LC(X̃etf , k) et FX. En parti
ulier (FX, x
∗) est une 
atégorie tannakienne dont
le groupe est 
anoniquement isomorphe à π1(X, x).
Démonstration. SoitV ∈ objLC(X̃etf , k). Le fait que RH(V) soit �ni résulte du
lemme 16 : si π : Y → X est un revêtement galoisien de groupe G trivialisantV,
il existe une représentation V de G sur le 
orps k telle que π−1V = VY . On suit
alors l'argument de [32℄ Proposition 3.8 : 
ette représentation se plonge dans un
k[G]-module libre et est don
 essentiellement �nie, 
omme la 
ara
téristique de
k est 0, elle en en fait �nie. Or le morphisme naturel RH(V) → πG∗ (OY ⊗k V )
est un isomorphisme, et don
 RH(V) est lui-même �ni.
La proposition 9 montre que le fon
teur RH est �dèlement plein.
Soit à présent E un �bré essentiellement �ni. Soit < E > la sous-
atégorie
tannakienne engendrée, et G son groupe de Tannaka (i.e. le groupe d'holonomie
de E). Comme E est essentiellement �ni, G est un s
héma en groupe �ni sur
k ([32℄ Theorem 1.2), 
omme 
e 
orps est de 
ara
téristique 0, G est réduit
d'après un théorème de Cartier ([39℄, Chapter 11), don
 étale, et k étant de plus
algébriquement 
los, G est don
 
onstant.
Le fon
teur tensoriel GRep → VectX 
orrespond d'après [32℄ Proposition
à un G-revêtement π : Y → X , et E s'identi�e via l'équivalen
e < E >≃
qui, du fait de sa fon
torialité, vaut aussi pour les 
hamps de Deligne-Mumford, voir sur
le sujet [26℄
GRep à une représentation V de G. Si V est le système lo
al 
orrespondant, on
a vu 
i-dessus que RH(V) est isomorphe à πG∗ (OY ⊗k V ), lui-même isomorphe
à E . D'où les deux premières assertions.
La dernière résulte alors du 
orollaire 6.
5 Théorème de Weil-Nori
5.1 Fibrés paraboliques modérés
Soit X un s
héma lo
alement noethérien sur un 
orps k, D une famille de
diviseurs irrédu
tibles à 
roisements normaux simples sur X .
5.1.1 Fibrés paraboliques �nis
Dé�nition 24. 1. On dé�nit la 
atégorie Par(X,D) des �brés paraboliques
modérés sur (X,D) par :
Par(X,D) = lim−→
Par 1
(X,D)
où les multi-indi
es varient parmi les familles r = (ri)i∈I d'entiers non
divisibles par la 
ara
téristique p de k.
2. Par(X,D) est munie d'un produit tensoriel véri�ant, pour E·, E ′· ∈ obj Par 1
(X,D),
la formule de 
onvolution suivante :
(E· ⊗ E ′· )m =
El ⊗ E ′m−l
désigne la 
o�n (
oend), voir �2.1.2.
3. Un �bré parabolique modéré E· sur (X,D) est dit �ni s'il existe deux poly-
n�mes distin
ts P,Q à 
oe�
ients entiers positifs tels que P (E·) ≃ Q(E·).
On notera FPar(X,D) la 
atégorie des �brés paraboliques modérés sur
(X,D).
Remarque 7. Ces notions sont 
ompatibles, via l'équivalen
e Vect( r
D/X) ≃
Par 1
(X,D) du théorème 2, ave
 les notions 
hampêtres du �4.5, voir [10℄.
5.1.2 Fibrés paraboliques essentiellement �nis
Dé�nition 25. 1. Un �bré parabolique modéré E· sur (X,D) à poids mul-
tiples de
est dit semi-stable si le fais
eau lo
alement libre sur
D/X as-
so
ié par la 
orrespondan
e du théorème 2 est semi-stable au sens de la dé-
�nition 22. On notera SS0 Par(X,D) la sous-
atégorie pleine de Par(X,D)
dont les objets sont semi-stables.
2. Un �bré parabolique modéré semi-stable E· est dit essentiellement �ni si

'est un quotient de deux sous-�brés paraboliques modérés semi-stables
d'un �bré parabolique modéré �ni. On notera EFPar(X,D) la sous-
atégorie
pleine de SS0 Par(X,D) dont les objets sont essentiellement �nis.
Remarque 8. 1. La dé�nition de semi-stabilité est indépendante du 
hoix
de r.
2. Il serait intéressant de donner une dé�nition de la semi-stabilité ne faisant
intervenir que la topologie de Zariski.
5.2 Lien ave
 le groupe fondamental
5.2.1 Énon
é
Théorème 7. Soit X un s
héma propre, normal, 
onnexe sur un 
orps k, D
une famille de diviseurs irrédu
tibles à 
roisements normaux simples sur X,
D = ∪i∈IDi, x ∈ X(k) un point rationnel, x /∈ D.
(i) La paire (EFPar(X,D), x∗) est une 
atégorie tannakienne.
(ii) Si k est algébriquement 
los de 
ara
téristique 0, tout �bré parabolique mo-
déré essentiellement �ni est �ni, et le groupe de Tannaka de (FPar(X,D), x∗)
est 
anoniquement isomorphe au groupe fondamental π1(X −D, x).
Démonstration. On 
ommen
e par remarquer que
D/X est normal ([21℄, Pro-
position 1.8.5).
(i) Ce
i résulte alors des théorèmes 2 et 6.
(ii) La première assertion dé
oule du théorème 2 et du 
orollaire 7. Pour la
se
onde, notons π 
e s
héma en groupe. Alors π ≃ lim←−r πr, où πr est le
groupe de Tannaka de la 
atégorie (FPar 1
(X,D), x∗), ave
 des notations
évidentes. D'après la proposition 6, il su�t de voir qu'on a des isomor-
phismes naturels πr ≃ π1( r
D/X, x), 
ompatibles ave
 les systèmes pro-
je
tifs (vu qu'on est en 
ara
téristique zéro, on a un isomorphisme naturel
π1(X−D, x) ≃ πD1 (X, x) donné, au niveau des revêtements, par le fon
teur
de normalisation). On 
on
lut don
 en appliquant à nouveau le théorème
2 et le 
orollaire 7.
5.2.2 S
héma en groupe fondamental modéré
On est naturellement 
onduit à poser :
Dé�nition 26. Ave
 les notations du théorème 7, on appellera s
héma en
groupe fondamental modéré de (X,D) le groupe fondamental πD(X, x) de la

atégorie tannakienne (EFPar(X,D), x∗).
Remarque 9. 1. Ce s
héma en groupe πD(X, x) est une limite inverse de
s
hémas en groupes �nis, se spé
ialise sur le s
héma en groupe fondamen-
tal de Nori ([32℄) lorsque D = ∅, et sur le groupe fondamental modéré de
Grothendie
k-Murre ([21℄) lorsque k est algébriquement 
los de 
ara
té-
ristique 0, d'où son nom.
2. Lorsque k est quel
onque, les arguments de 
orollaire 7 montrent qu'on a
un morphisme πD(X, x) → πD1 (X, x) qui est un épimorphisme lorsque k
est algébriquement 
los.
3. Toutefois, il 
onviendrait de pré
iser la nature des �torseurs modérément
rami�és� que πD(X, x) 
lassi�e.
6 Appli
ation au 
al
ul de �brés paraboliques �-
nis de groupe d'holonomie résoluble
6.1 Introdu
tion et notations
On reprend les hypothèses de la partie 5 : X est un s
héma propre, normal,

onnexe sur un 
orps k, qu'on suppose de plus algébriquement 
los de 
ara
-
téristique 0, D une famille de diviseurs irrédu
tibles à 
roisements normaux
simples sur X , D = ∪i∈IDi, x ∈ X(k) un point rationnel, x /∈ D. Le but de

ette partie est d'utiliser le théorème 7 pour 
onstruire expli
itement 
ertains
objets de FPar(X,D).
Puisqu'on est en fait intéressé par le groupe fondamental modéré deX−D, on
évite bien sûr de 
onstruire un tel �bré parabolique �ni à partir d'un revêtement
de Y → X modérément rami�é le long de D le trivialisant. L'idée de la méthode
présentée est de n'utiliser que des sous-revêtements d'un tel Y → X , et repose
essentiellement sur la proposition 12. Cette observation est inspirée par une
trans
ription dire
te de la méthode des petits groupes de Wigner et Ma
key de
la théorie des représentations à la théorie des revêtements, rendue possible grâ
e
au théorème 7.
Par la suite, on note X = r
D/X le 
hamp des ra
ines.
6.2 Compléments sur les �brés �nis
On 
ommen
e par quelques remarques générales 
on
ernant les �brés �nis.
Comme la stru
ture parabolique n'entre pas vraiment en jeu, 
e qui va être dit
est aussi valable dans la situation 
lassique où X est un s
héma, propre, réduit
et 
onnexe sur un 
orps k algébriquement 
los de 
ara
téristique 0. Dans 
ette
situation, il su�t de rempla
er l'utilisation du théorème 7 par le théorème de
Nori originel [32℄.
6.2.1 Image dire
te d'un �bré �ni
La base de la méthode pour 
onstruire des �brés �nis est la remarque élé-
mentaire suivante :
Proposition 12. Soit p : Y → X un revêtement étale. Si F ∈ objFY, alors
p∗F ∈ objFX .
Démonstration. On peut 
hoisir Y 
onnexe, et aussi un point y ∈ Y(k) au dessus
de x.
Soit G un groupe �ni, BkG = [spec k|G] le 
hamp 
lassi�ant, πet1 (X , x)→ G
un morphisme, Z → X le revêtement galoisien asso
ié, 
orrespondant aussi à un
morphisme m : X → BkG. Alors le fon
teur RH induit une équivalen
e entre la

atégorie GRep des représentations de G et la 
atégorie FZX des �brés �nis sur
X trivialisés par Z → X . Si V est une représentation de G, et V est le système
lo
al sur Xet asso
ié, alors 
ette 
orrespondan
e asso
ie à V le �bré OX ⊗k V,
qui est 
anoniquement isomorphe à m∗V .
On 
hoisit à présent un morphisme πet1 (Y, y) → A, tel que le revêtement
galoisien asso
ié Z → Y trivialise F , et tel que le revêtement 
omposé Z → X
soit galoisien, de groupe G. D'après 
e qui pré
ède, il existe une représentation
W du groupe A telle que F ≃ OY ⊗k W. La proposition résulte alors du
Lemme 18. p∗(OY ⊗k W) ≃ OX ⊗k V où V = IndGAW .
Démonstration. Il s'agit d'une formule de 
hangement de base dans le dia-
gramme 
artésien :
X // BkG
Dans la pratique, il est utile de savoir 
al
uler le produit tensoriel de deux
�brés �nis obtenus par la méthode de la proposition 12. Pour 
ela, il su�t
d'adapter à 
e 
ontexte les formules 
lassiques, dues à Ma
key, donnant le pro-
duit tensoriel de deux représentations induites 
omme somme dire
te de repré-
sentations induites (voir par exemple [15℄ �44). On obtient ainsi :
Lemme 19. Soit Z → X un revêtement galoisien 
onnexe, G le groupe de
Galois, H1, H2 deux sous-groupes. Pour i ∈ {1, 2}, on note pi : Yi → X le
revêtement intermédiaire 
orrespondant au sous-groupe Hi, et Fi ∈ objFZYi.
De plus pour g ∈ G, on note pg : Yg → X le revêtement 
orrespondant au
sous-groupe H1 ∩ gH2g−1 et qg,i : Yg → Yi le morphisme naturel. Alors
p1∗F1 ⊗OX p2∗F2 ≃ ⊕g∈H1\G/H2pg∗(q
g,1F1 ⊗OXg q
g,2F2)
Démonstration. On a un isomorphisme naturel de BkG-groupoïdes BkH1×BkG
BkH2 ≃
H1\G/H2
Bk(H1 ∩ gH2g−1). En le tirant par le morphisme X → BkG
dé�nissantZ → X , on obtient un X -isomorphisme Y1×XY2 ≃
H1\G/H2
Yg . De
plus si p : Y1×X Y2 → X est le morphisme 
anonique, la formule de 
hangement
de base donne p1∗F1 ⊗ p2∗F2 ≃ p∗(pr∗1 F1 ⊗ pr∗2 F2), d'où la formule annon
ée.
6.2.2 La méthode des petits groupes de Wigner et Ma
key
Comme appli
ation de la partie pré
édente, on dé
rit les �brés �nis asso
iés
à une extension triviale d'un revêtement galoisien par un groupe abélien.
On se donne don
 un revêtement galoisien 
onnexe Z → X de groupe G =
A⋉H , où H est quel
onque, et A est abélien, d'exposant n premier à l'ordre de
H . On note Y → X le revêtement intermédiaire 
orrespondant à A, et on �xe
un point z ∈ Z(k) au dessus de x, d'image y dans Y(k). D'après la dualité de
Tannaka, on a une équivalen
e naturelle FZ Y ≃ ARep. En parti
ulier le groupe
PicZ Y des 
lasses d'isomorphisme de �brés inversibles sur Y trivialisés par Z
est 
anoniquement isomorphe au groupe Â des 
ara
tères de A, et détermine

omplètement FZ Y.
Le but est de dé
rire 
omplètement la 
atégorie tannakienne FZ X en fon
-
tion de FY X ′ (pour les extensions X ′ intermédiaires entre Y et X ) et de PicZ Y.
On 
ommen
e par dé
rire la stru
ture additive.
On remarque qu'on a une a
tion naturelle de H sur Â ≃ PicZ Y. Alors
l'in
lusion PicZ Y ⊂ H1et(Y,µn) est H-équivariante. Soit L un �bré inversible
sur Y trivialisé par Z . On note HL le stabilisateur de sa 
lasse dans PicZ Y,
et πL : Y → Y/HL le morphisme quotient. Comme 
elui-
i est étale, on dispose
de la suite spe
trale de Ho
hs
hild-Serre, qui s'é
rit i
i :
Hp(HL, H
q(Y,µn)) =⇒ Hp+q(Y/HL,µn)
L'hypothèse que n est premier à l'ordre de H et la suite exa
te des termes
de bas degré asso
iée à la suite spe
trale montrent que H1et(Y/HL,µn) ≃
H1et(Y,µn)HL , et don
 il existe, à isomorphisme près, un unique �bré inversible
de n-torsion L̃ sur Y/HL tel que L ≃ π∗LL̃. On note de plus pL : Y/HL → X le
morphisme 
anonique.
Proposition 13. 1. Soit L un �bré inversible sur Y trivialisé par Z et E ∈
obj FY(Y/HL). Le �bré pL∗(L̃ ⊗ E) sur X est �ni.
2. Lorsque L varie dans un système de représentants de (PicZ Y)/H et E
varie dans une base de générateurs additifs de FY(Y/HL), 
es fais
eaux
forment une base de générateurs additifs de FZ X .
Démonstration. 1. C'est une appli
ation dire
te de la proposition 12.
2. C'est, en fait, via la 
orrespondan
e de Tannaka entre �brés �nis et repré-
sentations du groupe fondamental (
orollaire 7), un problème de théorie
des groupes, pour lequel on renvoie à [35℄, 8.2, Proposition 25.
La stru
ture tensorielle de FZ X est alors 
omplètement déterminée par le
lemme 19.
6.2.3 Fibrés �nis de groupe d'holonomie résoluble
En poursuivant la même idée, on voit que la méthode 
onduit au 
al
ul des
�brés �nis dont le groupe d'holonomie (i.e. le groupe de Tannaka de la 
atégorie
tannakienne engendrée) est résoluble.
En e�et, soit p : Y → X un revêtement 
onnexe, étale, galoisien de groupe
d'automorphismes H , et y ∈ Y(k) un point au dessus de x. On note Pic(Y)[n]
la sous-
atégorie pleine de FY dont les objets sont les �brés inversibles de n-
torsion, où n ≥ 1 est un entier.
Donné un groupe (abstrait, ou pro�ni) π, on note Dn(π) le noyau du mor-
phisme de groupe π → π
, 
'est un sous-groupe 
ara
téristique.
Lemme 20. Le groupe de Tannaka de la 
atégorie tannakienne engendrée par
l'image du fon
teur p∗ : Pic(Y)[n] → FX est 
anoniquement isomorphe à
π1(X ,x)
Dn(π1(Y,y))
Démonstration. Le morphisme 
anonique π1(X , x) → π1(X ,x)Dn(π1(Y,y)) 
orrespond
à un nouveau revêtement étale, galoisien, 
onnexe Y ′ → X , muni d'un point
géométrique y′ ∈ Y ′(k) au dessus de x, et dominant Y → X . Par dualité de
Tannaka, la 
atégorie Rep
π1(X ,x)
Dn(π1(Y,y))
est 
anoniquement isomorphe à la 
atégo-
rie FY′X des �brés �nis sur X trivialisés par Y ′. Or, soit E un tel �bré, p∗E est
un objet de FY′Y, dont le groupe de Tannaka est isomorphe à π1(Y,y)
, don
est abélien et de n-torsion. On peut don
 é
rire p∗E ≃ ⊕Ni=1Li, où les Li sont
dans Pic(Y)[n]. Mais 
omme k est supposé de 
ara
téristique 0, E ≃ pH∗ p∗E est
un fa
teur dire
t de p∗p
∗E ≃ ⊕Ni=1p∗Li.
On garde les notations de la preuve, en parti
ulier Y ′ est le plus grand revê-
tement abélien n-élémentaire de Y. Soit de plus A le dual de Cartier du groupe
Pic0(Y)[n]. La théorie de Kummer usuelle a�rme que π1(Y,y)
≃ A. L'avan-
tage de la méthode utilisée i
i, qui peut être vue 
omme une version relative
de la théorie de Kummer, est qu'elle donne une interprétation tannakienne du
groupe G =
π1(X ,x)
Dn(π1(Y,y))
: si l'on sait 
al
uler la 
atégorie tannakienne engendrée
par l'image du fon
teur p∗ : Pic(Y)[n] → FX , on sait déterminer G 
omme
extension de H par A.
On peut en parti
ulier itérer le pro
édé, en partant de (Y, y) = (X , x),
et en 
hoisissant une suite d'entiers n1, · · · , nm, 
e qui 
onduit au 
al
ul des
quotients
π1(X ,x)
Dnm ···Dn1(π1(X ,x))
. La limite naturelle de la méthode est bien le plus
grand quotient pro-résoluble πres1 (X , x) de π1(X , x), vu qu'on obtient ainsi un
sous-ensemble 
o�nal de l'ensemble de ses quotients �nis.
6.3 Fibrés paraboliques �nis de groupe d'holonomie réso-
luble
6.3.1 Fibrés paraboliques �nis obtenus 
omme image dire
te le long
d'un morphisme modérément rami�é
On 
onserve les notations de la partie 6.1.
Soit p : Y → X dans objRevD(X), ave
 Y 
onnexe. On note (Ej)j∈J la fa-
mille des 
omposantes irrédu
tibles (munies de la stru
ture réduite) de p−1(D).
Soit Z → X une 
l�ture galoisienne, (ri)i∈I (respe
tivement (sj)j∈J ) la famille
des indi
es de rami�
ation de la famille (Di)i∈I (respe
tivement (Ej)j∈J ) dans
Lemme 21. Le morphisme naturel q : s
E|Y → r
D|X est �ni étale.
Démonstration. Ce
i résulte du lemme d'Abhyankar. En e�et si G (respe
tive-
ment A) est le groupe de Galois de Z → X (respe
tivement Z → Y ) le lemme 13
montre que q s'identi�e au morphisme entre 
hamps quotients [Z|A] → [Z|G],
qui est �ni étale, 
ar obtenu par 
hangement de base à partir du morphisme des

hamps 
lassi�ants BkA→ BkG par le morphisme [Z|G]→ BkG 
orrespondant
au G-torseur Z → [Z|G].
On peut don
 utiliser la proposition 12 pour 
onstruire des �brés parabo-
liques �nis. De plus, 
es �brés �nis sont expli
itement 
al
ulables
grâ
e à la
proposition 2.4.9.
Plus pré
isément, si on veut 
al
uler des �brés paraboliques �nis de groupe
d'holonomie résoluble, on peut appliquer le lemme 20 aux 
hamps des ra
ines.
Ainsi, il est naturel d'essayer de déterminer la n-torsion Pic( r
D/X)[n] du
groupe de Pi
ard des 
hamp des ra
ines, pour n ≥ 1 entier, 
e qui est l'objet de
la partie suivante.
6.3.2 Fibrés inversibles de torsion sur les 
hamps des ra
ines
Le fon
teur de Pi
ard des 
hamps algébriques a été ré
emment étudié par
S.Bro
hard (voir [13℄). Il a en parti
ulier montré qu'on pouvait en étudier la

omposante neutre 
omme dans le 
as 
lassique des s
hémas. On rappelle briè-
vement les dé�nitions dont on aura besoin.
Dé�nition 27. 1. Deux fais
eaux inversibles L et L′ sur le 
hamp X sont
dits algébriquement équivalents s'ils sont équivalents pour la relation d'équi-
valen
e engendrée par la relation : L ∼ L′ s'il existe un k-s
héma 
onnexe
de type �ni T , des points géométriques t, t′ : specΩ → T , un fais
eau
inversible M sur X ×k T , et des isomorphismes (L ×k T )|Xt ≃ M|Xt ,
(L′ ×k T )|Xt′ ≃M|Xt′ .
2. On note Pic0 X le sous-groupe des éléments [L] de PicX tels que L est
algébriquement équivalent à OX .
3. On appelle groupe de Néron-Severi le groupe NS(X ) = PicX/Pic0 X .
4. Si T (A) désigne la torsion du groupe abélien A, on note
Picτ X = ker(PicX → NS(X )/T (NS(X ))
Lemme 22. 1. PicX ∩ Pic0 r
D|X = Pic0X
2. PicX ∩ Picτ r
D|X = Picτ X
dans la mesure où l'on sait déterminer l'image dire
te d'un �bré ve
toriel usuel par p,
mais 
e problème peut-être pris en 
harge par le théorème de Grothendie
k-Riemann-Ro
h.
Démonstration. 1. On note 
omme d'habitude π : r
D|X → X le mor-
phisme vers l'espa
e des modules, et X = r
D|X . Soient L, L′ deux
fais
eaux inversibles sur X tels que π∗L ∼ π∗L′, T un k-s
héma 
onnexe
de type �ni, t, t′ : specΩ → T des points géométriques, M un fais
eau
inversible sur X ×k T , et des isomorphismes (π∗L ×k T )|Xt ≃ M|Xt ,
(π∗L′ ×k T )|Xt′ ≃M|Xt′ . Alors (π×k T )∗M est un fais
eau inversible sur
X×k T : en e�et il est lo
alement libre 
omme image dire
te d'un fais
eau
lo
alement libre par un morphisme �ni et plat, et 
omme π est généri-
quement un isomorphisme, son rang est 1. En appliquant les formules de

hangement de base pour un morphisme a�ne ou le long d'un morphisme
plat on obtient des isomorphismes naturels (L×kT )|Xt ≃ ((π×kT )∗M)|Xt ,
(L′ ×k T )|Xt′ ≃ ((π ×k T )∗M)|Xt′ , 
e qui montre que L ∼ L
2. C'est une 
onséquen
e 
laire du premier point et des dé�nitions.
On a don
 des monomorphismes 
anoniques
Pic0 r
Pic0X
Picτ r
Picτ X
Pic r
On rappelle (
orollaire 3) qu'on a un isomorphisme 
anonique
Pic( r
On note (
les sous-groupes asso
iés aux images des monomorphismes 
i-dessus.
Comme X est propre sur le 
orps algébriquement 
los k, le groupe NS(X)
est de type �ni ([3℄, XIII, Théorème 5.1), 
e qui prouve qu'il en est de même
pour NS( r
D|X) et donne un sens à l'énon
é suivant.
Proposition 14. Soit n premier à #T (NS(X)). Il y a une suite exa
te natu-
relle :
0→ Pic(X)[n]→ Pic( r
D|X)[n]→
[n]→ 0
Démonstration. D'après les dé�nitions, on a 
lairement Picτ (X)[n] = Pic(X)[n]
et Picτ ( r
D|X)[n] = Pic( r
D|X)[n].
Pour 
on
lure, on doit justi�er que Ext1
(Z/n,Picτ (X)) = 0. Or (voir par
exemple [40℄ 3.3.2) Ext1
(Z/n,Picτ (X)) ≃ Picτ(X)/nPicτ(X), et on peut 
on
lure
en appliquant le fon
teur
⊗Z · à la suite exa
te :
0→ Pic0(X)→ Picτ (X)→ T (NS(X))→ 0
En e�et Pic0(X) est un groupe divisible : 
ommeX/k est 
omplet le fon
teur
de Pi
ard PicX/k est représentable par un s
héma ([30℄), 
omme X est de plus
normal (Pic0X/k)red est une variété abélienne sur k ([18℄, 236, Corollaire 3.2), et
on peut appliquer [29℄ II, �6, Appli
ation 2.
Remarque 10. On a une interprétation assez dire
te en termes de revête-
ments : si Y → X est le revêtement étale galoisien de groupe abélien n-élémentaire
maximal pour 
es propriétés, et de même Z → X en remplaçant étale par modé-
rément rami�é de multi-indi
e divisant r, alors par dualité de Tannaka on voit
que la suite exa
te duale (pour la dualité de Cartier) de la suite exa
te pré
édente
est isomorphe à la suite exa
te des groupes de Galois de la tour Z → Y → X.
6.3.3 Un exemple expli
ite
L'exemple le plus simple possible de 
onstru
tion de �bré parabolique �ni
indé
omposable de rang plus grand que 1 est le suivant.
On 
onsidère le morphisme p : Y = P1 → X = P1 donné par l'équation
y2 = x
, il est modérément rami�é le long du diviseur (0) + (1), ave
 indi
es
de rami�
ation 2. p induit un morphisme �ni étale q : Y → (2,2)
(0, 1)|X, et par

hangement de base on en déduit un morphisme �ni étale r : (3,3)
(1,−1)|Y →
(2,2,3)
(0, 1,∞)|X.
A présent la proposition 14 montre que Pic0( (3,3)
(1,−1)|Y ) ≃
et on voit fa
ilement que
= ker
où Σ désigne la somme, don
 Pic0( (3,3)
(1,−1)|Y ) est 
y
lique d'ordre 3. Pour
y ∈ {1,−1}, soit Ny une ra
ine 
ubique de OY ((y)) sur (3,3)
(1,−1)|Y , et soit
L = N∨1 ⊗N−1. Alors le �bré r∗(L) est un �bré �ni indé
omposable de rang 2
(2,2,3)
(0, 1,∞)|X.
Le �bré parabolique 
orrespondant a été 
onsidéré par L.Weng, voir [42℄,
Appendix, �6, dans le langage du à Seshadri. Il nous semble que la des
ription
fournie i
i en termes de 
hamps des ra
ines permet de pré
iser la des
ription
des drapeaux donnée par l'auteur, fa
ilite le 
al
ul de la stru
ture tensorielle
de la 
atégorie tannakienne engendrée (naturellement, dans 
e 
as pré
is, le
groupe fondamental est isomorphe au groupe symétrique S3), et en�n, donne
une méthode de 
onstru
tion des �brés paraboliques �nis de groupe d'holonomie
résoluble.
6.3.4 Problème ouvert
Dans [11℄ est donnée une preuve algébrique du théorème de stru
ture du
groupe fondamental pro-résoluble πres1 (X−D, x) pour X une 
ourbe proje
tive
et lisse sur un 
orps k algébriquement 
los de 
ara
téristique 0 , et D un diviseur
(non vide) sur 
elle-
i. Peut on utiliser le lemme 20 pour donner une preuve
alternative ?
A 2-limite indu
tive �ltrée de 
atégories
A.1 2-limite
On emprunte les dé�nitions de [22℄. On note Cat la 2-
atégorie dont les objets
sont les 
atégories, les 1-�è
hes les fon
teurs, les 2-�è
hes les transformations
naturelles.
Soit C une 2-
atégorie, I une 
atégorie usuelle.
Pour tout objet D de C, on note cD le fon
teur 
onstant I → C envoyant
tout objet de I sur D, et toute �è
he de I sur l'identité.
On note de plus (I,C) la 2-
atégorie des pseudo-fon
teurs de I dans C.
Si F ,F ′ : I → C sont deux pseudo-fon
teurs, on note (I,C)(F ,F ′) la 
até-
gorie des transformations naturelles de pseudo-fon
teurs entre F et F ′.
Dé�nition 28. Soit F : I → C un pseudo-fon
teur. On appelle 2-limite indu
-
tive de F le 2-fon
teur :
D // (I,C)(F , cD)
Si 
e fon
teur est 2-représentable, on appelle aussi 2-limite indu
tive et on
note lim−→I F(i) l'objet de C le représentant.
Plus pré
isément, un représentant est un 
ouple (C, λ), où C est un objet de
C, et λ : F → cC est une transformation naturelle entre pseudo-fon
teurs, qui est
2-universelle au sens suivant : pour tout objet D de C, et toute transformation
naturelle µ : F → cD, il existe un 
ouple (f, θ) formé d'un 1-morphisme f : C →
D de C et d'un 2-isomorphisme θ de (I,C) :
F λ //
px iiii
qui est unique à 2-isomorphisme unique près : si (f ′, θ′) est un autre tel

ouple, il existe un unique 2-isomorphisme ρ de C :
tel que θ ◦ (cρ ◦ λ) = θ′.
A.2 Cas des 
atégories
On suppose désormais que la 
atégorie I est �ltrante et que C = Cat. Dans

e 
as, on dispose d'une des
ription naturelle et probablement bien 
onnue de la
2-limite d'un pseudo-fon
teur F : I → Cat. Pour f : i→ j, on note f∗ : F(i)→
F(j), plut�t que C(f). Soit C la 
atégorie
1. dont les objets sont les 
ouples (i, C), où i est un objet de I, et C est un
objet de F(i),
2. dont les morphismes (i, C) → (j,D) sont les 
lasses d'équivalen
e12 de
triplets (f, g, α) :
k, f∗C
α // g∗D
66nnnnnn
pour la relation
QQ i f ′
k, f∗C
α // g∗D ∼ k′, f ′∗C
α′ // g′∗D
77nnnnnn
66nnnnnn
s'il existe
66mmmmmm
tel que h ◦ f = h′ ◦ f ′, h ◦ g = h′ ◦ g′ et h∗α = h′∗α′.
Proposition 15. La 
atégorie C, munie de la transformation naturelle 
ano-
nique F → cC, est une 2-limite pour F .
Démonstration. C'est une véri�
ation longue mais dire
te de la dé�nition 28
dans 
e 
as pré
is.
Référen
es
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atif, et stru
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orre
t, il faut probablement supposer la 
atégorie I petite
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http://arxiv.org/abs/math.AG/0412512
http://arxiv.org/abs/math.AG/0111073
	Introduction
	Une description alternative
	Organisation de l'article
	Origines et liens avec des travaux existants
	Remerciements
	Fibrés paraboliques le long d'une famille régulière de diviseurs
	Faisceaux paraboliques
	Définition
	Opérations élémentaires sur les faisceaux paraboliques
	Fibrés paraboliques
	Facette
	Complexe associé à un faisceau parabolique et une facette
	Définition des fibrés paraboliques
	Fibrés paraboliques et revêtements
	Famille régulière de diviseurs
	Fibrés paraboliques relativement à une famille de diviseurs à croisements normaux simples
	Revêtements de Kummer
	Fibrés paraboliques associés à un revêtement de Kummer
	Fibrés paraboliques et champ des racines
	Champ des racines
	La correspondance : énoncé
	Bonne définition
	Équivalence réciproque
	Preuve de l'équivalence
	Preuve du caractère tensoriel
	Structure locale des fibrés paraboliques
	Groupe de Picard des champs des racines
	Image directe de fibrés paraboliques
	Groupe fondamental modéré comme groupe fondamental champêtre
	Groupe fondamental champêtre
	Groupe fondamental modéré
	Le foncteur C
	Le foncteur M
	Conclusion
	Faisceaux localement constants et fibrés finis sur un champ de Deligne-Mumford
	Topologies
	Systèmes locaux ensemblistes et groupe fondamental
	Systèmes locaux ensemblistes
	Systèmes locaux ensemblistes et revêtements
	Interprétation à l'aide de la topologie étale finie globale
	La catégorie tannakienne des systèmes locaux de k-vectoriels 
	Foncteur à la Riemann-Hilbert
	Définition
	Propriétés du foncteur `39`42`"613A``45`47`"603ARH
	Fibrés finis
	Théorème de Weil-Nori
	Fibrés paraboliques modérés
	Fibrés paraboliques finis
	Fibrés paraboliques essentiellement finis
	Lien avec le groupe fondamental
	Énoncé
	Schéma en groupe fondamental modéré
	Application au calcul de fibrés paraboliques finis de groupe d'holonomie résoluble
	Introduction et notations
	Compléments sur les fibrés finis
	Image directe d'un fibré fini
	La méthode des petits groupes de Wigner et Mackey
	Fibrés finis de groupe d'holonomie résoluble
	Fibrés paraboliques finis de groupe d'holonomie résoluble
	Fibrés paraboliques finis obtenus comme image directe le long d'un morphisme modérément ramifié
	Fibrés inversibles de torsion sur les champs des racines
	Un exemple explicite
	Problème ouvert
	2-limite inductive filtrée de catégories
	2-limite
	Cas des catégories
	References
