Relativeca Dopplera efekto \^ce unuforme akcelata movo -- II
Relativeca Dopplera efekto ĉe unuforme
akcelata movo – II
F.M. Paiva
Departamento de F́ısica, U.E. Humaitá II, Colégio Pedro II
Rua Humaitá 80, 22261-040 Rio de Janeiro-RJ, Brasil; fmpaiva@cbpf.br
A.F.F. Teixeira
Centro Brasileiro de Pesquisas F́ısicas
22290-180 Rio de Janeiro-RJ, Brasil; teixeira@cbpf.br
30–a de oktobro, 2018
Resumo
Daŭrigante [1], luma fonto de unukolora radiado ĉe rekta movo ĉe konstanta propra
akcelo pasas preter restanta observanto. Ĉe la special-relativeco, ni priskribas la obser-
vatan Doppleran efikon. Ni ankaŭ priskribas la interesan nekontinuan efikon se trapaso
okazas.
- - - - - - - - - - -
Extending [1], a light source of monochromatic radiation, in rectilinear motion under con-
stant proper acceleration, passes near an observer at rest. In the context of special relativ-
ity, we describe the observed Doppler effect. We describe also the interesting discontinuous
effect when riding through occurs. An English version of this article is available.
1 Enkonduko
Citâo [1] studis Doppleran efikon de lumo eligita el restanta fonto, vidata per akcelata observanto
kiu pasas preter aŭ tra la fonto. Ĉi tie ni inversas tiun sistemon. Nun, fonto de unukolora radiado
ĉe rekta movo ĉe konstanta propra akcelo pasas preter aŭ tra restanta observanto. La frekvenco
ν de la lumo eligata estas konstanta; tamen, la observata frekvenco (t.e., la koloro) estas νobs,
malsama ol ν. Tio estas nomata Dopplera efiko. La proporcio D = νobs/ν, nomata Dopplera
faktoro, estas studata ĉi tie.
Estiĝu inercia referenco sistemo S = {t, ~x}. El nefinia loko x = ∞, je nefinia estinta momento
t = −∞, luma fonto ekvenis al origino x = 0, per la akso x. Ĝia komenca rapido estis −c, kaj ĝi
estas malakcelata per konstanta propra akcelo g; tiel ĝi pasas la originon, poste momente restas
ĉe x = −a je t = 0, kaj tuj reiras al nefinio x = ∞ kun sama akcelo. En x = 0, distance b el
akso x, estas restanta observanto, kiel montras figuro (1.a). Ni konsideras la preterpason kun
b 6= 0 kaj la trapason kun b = 0. Krome ni komparas niajn rezultojn al tiujn de [1].
http://arxiv.org/abs/0704.1130v1
Figuro 1: La sistemo. 1.a) Observanto (nigra sfereto) estas fiksa distance b de akso x. Luma
fonto (blanka sfereto) estas iranta de x=−a al x=∞, kun konstanta propra akcelo g. Antaŭe
ĝi venis el x=∞ (t=−∞), kun konstanta propra malakcelo g, ĝis x=−a (t=0).
1.b) La moviĝanta fonto eligas signalon en la momento t de la inercia sistemo S, kaj la restanta
observanto ricevas tiun signalon en la momento τ , ekv. (6). Vidu la asimptotojn t=(τ + A)/2
kaj τ=−A. Vidu ankaŭ ke ne estas ricevo en tempo antaŭ τ=−A.
Ĉi tie x estas la loko de fonto je momento t, ambaŭ mezurataj per la inercia referenco
sistemo S. La tempo τ , ankaŭ en S, estas la propratempo de la restanta observanto kiam li
ricevas signalon el x je t. Kiel figuro (1.a) evidentigas, la intertempo τ − t inter eligo kaj enigo
de signalo estas
x2 + b2/c.
Por simpligi formulojn ni formale konsideros c = 1 kaj g = 1. Por aperigi la arbitrajn valorojn
sufiĉas substitui
a→ag/c2 , A→Ag/c2 , b→bg/c2 , x→gx/c2 , v→v/c , t →gt/c , τ→gτ/c , τ ′→gτ ′/c . (1)
Farinte tiun simpligon kaj uzante la kondiĉojn x(0) = −a kaj v(0) = 0, la rapido v kaj la loko x
de la fonto ĉe konstanta propra akcelo g estas [1]
v(t) =
1 + t2
, x(t) =
1 + t2 −A , A := a + 1 . (2)
Ĉar la fonto ne restas en S, tial la propratempo de eligo de signalo estas τ ′ 6= t. Vere dτ ′ =
dt/γ(t) =
1− v2(t)/c2dt. La integro de dτ ′ fiksante τ ′ = 0 kiam t = 0 estas
t=sinh τ ′ , (3)
do la rapido kaj la loko de la fonto kiel funkcioj de τ ′ estas
v(τ ′) = tanh τ ′ , x(τ ′) = cosh τ ′ −A . (4)
Vidu ke la preterpasoj (x = 0) okazas kun rapido v0 :=
A2 − 1/A je ∓t0 (aŭ ∓τ ′0), kie
t0 :=
A2 − 1 , τ ′
:= cosh−1A . (5)
Interesas kalkuli la rilaton inter la tempo t de eligo kaj la tempo τ de enigo. El figuro (1.a)
τ= t+
x2 + b2 = t+
1 + t2 −A)2 + b2 , (6)
Figuro 2: Doppleraj faktoroj. 2.a) D kiel funkcio (8) de la propratempo τ ′ de moviĝanta fonto.
Estas tri momentoj en kiuj la radiado ne havos kolor-ŝanĝon (D= 1); la unua (τ ′
) antaŭas al
momento −τ ′
de la unua preterpaso; la dua (τ ′=0) okazas kiam la fonto restas ĉe x=−a; kaj
la tria (τ ′
) antaŭas al momento τ ′
de la dua preterpaso. La radiadoj ĉe la momentoj ∓τ ′
preterpaso havas D=1/A, do ili estas ruĝ-delokigataj. La valoroj de τ ′
kaj τ ′
estas ĉe (9), kaj
estas ĉe (5).
2.b) D kiel funkcio de la momento τ de ricevo de la lumo. La unuaj signaloj estas ricevataj kiam
τ =−A, kvankam ili estis eligataj detempe de τ =−∞. Ne estas kolor-ŝanĝo je τ−,
a2 + b2,
kaj τ+. La radiado eligita en la preterpaso, ∓t0 en ekv. (5), estas observata je ∓t0 + b, ekv. (6),
kun D = 1/A.
uzante (2). Figuro (1.b) montras ke la enigo ne komencas kiam τ = −∞, sed jese kiam τ=−A.
La fonto eligis tiujn komencajn signalojn je t=−∞ el x=∞, kiam ĝia rapido estis −c. Observu
ankaŭ la asimptoton τ=2 t−A por t → ∞; la fonto eligos tiujn signalojn je t=∞, kaj ili enigos
poste ‘duoble’ nefinia tempo al observanto.
2 Dopplera efiko
Ĉar frekvenco estas la inverso de periodo, tial ni povas redifini la Doppleran faktoron kiel
D(τ) :=
1− v2(t)
. (7)
Ĉi tie dτ ′ estas la infinitezima propra intertempo per la fonto inter eligo de du lumaj signaloj,
kaj dτ estas la infinitezima propra intertempo per la observanto inter enigo de tiuj du lumaj
signaloj. La radiko rilatas al la tempa dilato pro la movado de la fonto. Kiam D < 1 la Dopplera
efiko estas nomata ‘ruĝ-delokigo’, kaj kiam D > 1 ĝi estas nomata ‘viol-delokigo’. Ni emfazas
ke estas aliaj difinoj de Dopplera faktoro [2].
Sekve ni kalkulas la Doppleran faktoron kiel funkcio de τ ′, τ , x kaj de t. Ni komencas kun
D(τ ′). Uzante la difinon (7) en la formo D = (dτ/dτ ′)−1, derivante (6) kaj uzante t(τ ′) kaj x(τ ′)
el (3) kaj (4), la faktoro estiĝas
D(τ ′) =
cosh τ ′ +
(cosh τ ′ − A) sinh τ ′
(cosh τ ′ − A)2 + b2
. (8)
Figuro 3: Doppleraj faktoroj. 3.a) D− kaj D+ kiel funkcio (11) de loko x de lum-eligo el la
moviĝanta fonto. Sagoj montras la pozitivan fluon de tempo. Radiado el x−, −a, kaj x+ ne
kolor-ŝanĝos, D=1. La valoroj de x− kaj x+ estas en (12). Radiadoj el preterpasoj x=0 havos
D=1/A, do ili estos ruĝ-delokigataj.
3.b) D kiel funkcio (13) de tempo t de referenc-sistemo S. Vidu ke D = 1 kiam t− = sinh τ
t=0, kaj t+=sinh τ
, estante τ ′
kaj τ ′
prezentataj en (9). Vidu ankaŭ la asimptoton D=−t−A.
Figuro (2.a) montras ke ne estas Dopplera efiko (D = 1) trifoje:
:= −2 sinh−1
b2 + 8a+ b) , τ ′ = 0 , τ ′
:= 2 sinh−1
b2 + 8a− b) . (9)
Nun ni kalkulasD kiel funkcio de la propratempo τ de enigo de lumo al observanto. Uzante (3)
kaj (6) ni havigas
sinh τ ′ =
2(τ 2 −A2)
τ(τ 2 − C2) + A
(τ 2 − C2)2 + 4(τ 2 − A2)
, C2 := A2 + b2 + 1 ; (10)
substituante tiun kaj cosh τ ′ =
1 + sinh2 τ ′ en ekvacio (8) ni havigas la deziratan Doppleran
faktoron D(τ). Figuro (2.b) montras tiun funkcion.
Nun ni kalkulu la Doppleran faktoron kiel funkcio de la loko x de signal-eligo. Uzante (2),
(3) kaj (4) en (8), vidu ke
Dǫ(x) =
x+ A+
(x+ A)2 − 1
x2 + b2
, ǫ := |t|/t. (11)
Figuro (3.a) montras la du funkciojn D−(x) kaj D+(x). Observu la tri lokojn el kiuj la lumo
eligita ne kolor-ŝanĝos:
x− :=
b2 + 8a+ b) , x = −a , x+ := −
b2 + 8a− b) . (12)
Fine ni montras D kiel funkcio de la inercia tempo t de eligo:
D(t) =
1 + t2 +
x2 + b2
, x(t) =
1 + t2 − A . (13)
Figuro (3.b) montras tiun funkcion. Observu la asimptoton D= −t−A kiam t → −∞.
Figuro 4: Doppleraj faktoroj kun b = 0. 4.a) D kiel eksponencialaj funkcioj (14) de propratempo
τ ′ de moviĝanta fonto. Estas nekontinueco de D en momentoj ∓τ ′
, prezentataj en (5).
4.b) D kiel funkcio (15) de propratempo τ de observanto. Estas nekontinueco de D en momentoj
∓t0 de trapaso. Kiam τ =a ne estas kolor-ŝanĝo. Vidu la asimptoton τ =−A; do la observanto
ricevas la unuajn signalojn en ĉi tiu momento, nefinie viol-delokigataj. La valoro de t0 kaj de τ
estas en (5).
3 Trapaso
Nun ni studas la interesan okazon ĉe b=0. Anstataŭ preterpasi, la fonto pasas tra la observanto.
Tio generas nekontinuecon ∆D je la Dopplera faktoro. Por havigi D kiel funkcio de τ ′, τ , x kaj
t, ni faras b = 0 en ekvacioj (8), (10), (11), (13), respektive. Pri D(τ ′) ni havigas
D(τ ′) = exp(−ǫxτ ′) , (14)
kie ǫx estas la signumo de x. Estas ǫx =+1 kiam τ
′ <−τ ′
kaj τ ′ > τ ′
, kaj estas ǫx =−1 kiam
< τ ′<τ ′
. Vidu figuron (4.a).
Pri D(τ), figuro (4.b) montras la funkcion
D(τ) =
(A+ τ)−1 , −A < τ < −t0 , τ > t0 ,
(A− τ)−1 , −t0 < τ < t0 .
Pri D(x) ni havigas
Dǫ(x) = x+ A− ǫǫx
(x+ A)2 − 1 . (16)
Vidu figuron (5.a), observante la tempan sinsekvon i, ii, iii, iv, v, vi.
Fine, pri D(t),
Dx(t) =
1 + t2 − tǫx , (17)
kie ǫx estas la signumo de x. Estas ǫx = +1 kiam t < −t0 kaj t > t0, kaj estas ǫx = −1 kiam
−t0<t<t0. Vidu figuron (5.b).
La nekontinueco ∆D de Dopplera faktoro D estas facile kalkulata ekde la antaŭaj rezultoj:
1 + v0
1− v0
1− v0
1 + v0
1− v20
A2 − 1 = 2 sinh τ ′
= 2 t0 . (18)
Figuro 5: Doppleraj faktoroj kun b = 0. 5.a) D kiel funkcio (16) de la loko x de lum-eligo. Sagoj
montras la pozitivan fluon de la tempo. Vidu la asimptoton D=2(x+ A). Estas nekontinueco
de D en x=0. La valoro de τ ′
estas en (5).
5.b) D kiel funkcio (17) de t. Estos nekontinueco de D en lum-eligoj kiam ∓t0, (5). Vidu
asimptoton D=−2t. La valoro de τ ′
estas en (5).
4 Komentoj
Ni konsideris restantan observanton ĉe inercia sistemo S kaj moviĝantan fonton, kiel figuro (1.a).
Ni montris, vidu figuron (3.a), ke lumo eligita el x=0 (minimuma distanco al observanto, ĉe S)
estas enigota ruĝ-delokigate. Tamen, en la antaŭa artikolo [1] (vidu ĝian figuron 1), kie la fonto
restas ĉe inercia sistemo Σ kaj la observanto moviĝas, lumo enigita kiam la observanto estas en
x = 0 estas vidata kun viol-delokigo. Tio malsamo estas natura en special-relativeco, kaj ni
plieksplikos tion en estonta artikolo de revizio; vidu ankaŭ [3].
Ĉi tie ni vidis en figuroj (2.b) kaj (4.b), ke la observanto ricevas signalojn el la fonto nur poste
sia finia propratempo τ=−A. Ĉi tiu kontrastas kun ekvacioj (19) kaj (17) de [1], kiuj indikas ke
la observanto ricevas signalojn je ĉiuj momentoj −∞<τ <∞. La kialo de tiu malsameco estas,
ke ĉe [1] la tempo τ estas propratempo de moviĝanta observanto, kvankam en ĉi tiu artikolo la
tempo τ estas propratempo de restanta observanto. La fluoj de la du tempoj estas tre malsamaj.
En estonta artikolo ni prezentos sistemojn kies fonto kaj observanto ambaŭ estas akcelataj.
Kelkaj el ĝiaj rezultoj estas mirindaj.
Citâoj
[1] F.M. Paiva kaj A.F.F. Teixeira, Relativeca Dopplera efekto ĉe unuforme akcelata movo – I,
http://arxiv.org/abs/physics/0701092
[2] B. Rothenstein et al., Relativistic Doppler effect free of “plane wave” and “very high fre-
quency” assumptions, Apeiron 12 (2005) 122-135
[3] F. M. Paiva kaj A. F. F. Teixeira, La relativeca tempo - I, http://arxiv.org/abs/physics
/0603053
	Enkonduko
	Dopplera efiko
	Trapaso
	Komentoj
