Exponential Decay of Correlations for Randomly Chosen Hyperbolic Toral
  Automorphisms
EXPONENTIAL DECAY OF CORRELATIONS FOR
RANDOMLY CHOSEN HYPERBOLIC TORAL
AUTOMORPHISMS
ARVIND AYYER1 AND MIKKO STENLUND2
Abstract. We consider pairs of toral automorphisms (A,B) sat-
isfying an invariant cone property. At each iteration, A acts with
probability p ∈ (0, 1) and B with probability 1 − p. We prove
exponential decay of correlations for a class of Hölder continuous
observables.
1. Introduction
1.1. Background. Toral automorphisms are the simplest examples of
Anosov maps. For deterministic Anosov maps, many ergodic and sta-
tistical properties such as ergodicity, existence of SRB measures and
exponential decay of correlations for Hölder continuous observables are
known.
Dynamical systems with randomness have been studied extensively
in recent years. A typical model has been an Anosov map with noise.
There are several good books on the subject [Ki, Ar].
Products of random matrices are used in physics to model mag-
netic systems with random interactions and localization of electronic
wave functions in random potentials. They also play a central role in
chaotic dynamical systems. In such applications, Lyapunov exponents
provide information on the thermodynamic properties, electronic trans-
port, and sensitivity for initial conditions. For more on the applications
of products of random matrices, see [CrPaVu].
We consider the action of two separate toral automorphisms A and
B, satisfying a cone condition, but which cannot be considered pertur-
bations of one another. At each iteration, the matrix A is picked with
a certain probability and the matrix B is picked if A is not picked and
applied on the torus.
Date: August 3, 2021.
2000 Mathematics Subject Classification. 37A25; 37H15, 37D20.
M. S. would like to thank the Finnish Cultural Foundation for funding. The work
was supported in part by NSF DMR-01-279-26 and AFOSR AF 49620-01-1-0154.
http://arxiv.org/abs/0704.1495v1
2 ARVIND AYYER AND MIKKO STENLUND
We are interested in the ergodic and statistical properties of the
model for fixed realizations of the sequence of A’s and B’s obtained in
this way. One might consider the “environment” (given by the sequence
of matrices) to be fixed and the randomness to be associated with
choosing the initial point on the torus. That is, our point of view is
quenched randomness; one rolls the dice and lives with the outcome.
Acknowledgements. We are grateful to Giovanni Gallavotti, Shel-
don Goldstein, Joel Lebowitz, Carlangelo Liverani, David Ruelle, and
Lai-Sang Young for useful discussions.
1.2. Toral automorphisms. Let T2 be the 2-torus R2/2πZ2.
Definition 1. A map A : T2 	 by the matrix action x 7→ Ax (mod 2π)
is called a toral automorphism if the matrix A has integer entries and
detA = ±1. It is a hyperbolic toral automorphism if, further, the
eigenvalues of the matrix A have modulus different from 1.
Since the eigenvalues of a 2× 2 matrix A are given by the formula
(trA)2 − 4 detA
, (1)
we see that a toral automorphism is hyperbolic precisely when the
eigenvalues are in R \ {1}. The hyperbolicity condition reduces to
|trA| > 2 if detA = +1,
trA 6= 0 if detA = −1.
Under the hyperbolicity assumption, the matrix has an eigenvalue
whose absolute value is greater than 1, which we call the unstable
eigenvalue and denote by λAu . Similarly, it has a stable eigenvalue,
λAs , with absolute value less than 1. The corresponding eigenvectors
eAu and e
s span linear subspaces E
u and E
s , respectively. These we
refer to as the unstable (eigen)direction and the stable (eigen)direction,
respectively.
From now on, we will always assume that our toral automorphisms
are hyperbolic and have determinant +1. This is necessary for the cone
property formulated below.
It is important to notice that the eigenvalues in (1) are irrational.
Consequently, the corresponding eigendirections EAs,u have irrational
slopes; if A =
, the eigenvectors are given by the formula
eAs,u =
(λAs,u − a)/b
. (3)
RANDOMLY CHOSEN HYPERBOLIC TORAL AUTOMORPHISMS 3
Here b 6= 0 by hyperbolicity; see (2). Irrationality is equivalent to
EAu,s ∩ Z
2 = {0}. (4)
An alternative, “dynamical”, way of proving (4) starts with assuming
the opposite; suppose that 0 6= q ∈ EAs ∩Z
2. Then Anq → 0 as n → ∞,
which is a contradiction because A is an invertible integer matrix. The
case of EAu is similar using A
In fact, the slopes of EAs,u—call them α
s,u—are not only irrational but
satisfy a stronger arithmetic property called the Diophantine condition:
there exist ǫ > 0 and Kǫ > 0 such that
(q1, q2) ∈ Z
2, q1 6= 0 =⇒
∣∣∣αAs,u −
∣∣∣ ≥
|q1|2+ǫ
. (5)
This tells us that in order for EAu,s to come close to a point on the integer
lattice Z2 \ {0}, that point has to reside far away from the origin.
Finally, we point out that a toral automorphism is symplectic. That
is, setting
, (6)
any 2× 2 matrix A with determinant one satisfies
ATJA = J. (7)
For future reference, we define
Ã := (AT )−1 = JAJ−1. (8)
1.3. Invariant cones. A matrix on R2 maps lines running through the
origin into lines running through the origin. Therefore, it is natural to
consider cones, i.e., sets in R2 spanned by two lines intersecting at the
origin [Al, Wo]. Cones have also been used in the study of the spectrum
of the transfer operator. See, for example, [BlKeLi, GoLi, Ba].
Definition 2 (Cone property). A pair (A0, A1) of hyperbolic toral au-
tomorphisms has the cone property if the following cones exist (Fig. 1):
An expansion cone, E , is a cone such that
(1) AiE ⊂ E ,
(2) there exists λE > 1 such that |Aix| ≥ λE |x| for x ∈ E ,
(3) The EAiu do not lie along the boundary ∂E : E
u ∩ ∂E = {0}.
A contraction cone, C, is a cone such that E ∩ C = {0} and
(1) A−1i C ⊂ C,
(2) there exists λC < 1 such that |A
i x| ≥ λ
C |x| for x ∈ C,
(3) The EAis do not lie along the boundary ∂C: E
s ∩ ∂C = {0}.
4 ARVIND AYYER AND MIKKO STENLUND
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
����������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
��������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
������������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������������������������������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
���������������
PSfrag replacements
eAu eBu
eAseBs
Figure 1. An example of expansion and contraction cones.
Remark 1. A cone is a contraction cone with rate λC (respectively
expansion cone with rate λE) for (A,B) if and only if it is an expansion
cone with rate λ−1C (respectively contraction cone with rate λ
E ) for
(A−1, B−1). With the aid of (8), one checks that if one of the pairs
(A,B), (AT , BT ), (A−1, B−1), (Ã, B̃) has the cone property then all of
them do (with different cones). Moreover, the rates coincide for the
corresponding cones of (A,B) and (Ã, B̃).
The name “expansion cone” is obvious, whereas “contraction cone”
deserves some caution: |Aix| ≤ λC|x| holds in general only under the
assumption Aix ∈ C, as opposed to the weaker x ∈ C.
Given a line L passing through the origin transversely to EAis , it is
a consequence of hyperbolicity that the image line Ani L tends to E
as n → ∞. Therefore, an expansion cone has to contain the unstable
eigendirection, EAiu . Similarly, considering the backward iterates, a
contraction cone has to contain the stable eigendirection, EAis . In brief,
EAiu ⊂ E and E
s ⊂ C. (9)
RANDOMLY CHOSEN HYPERBOLIC TORAL AUTOMORPHISMS 5
The expansion and contraction rates in the cones are naturally bounded
by the eigenvalues of the matrices:
1 < λE < |λ
u | and 1 > λC > |λ
s |. (10)
In particular, our results will hold for any two toral automorphisms
with positive entries, as well as for any two toral automorphisms with
negative entries. This is because the union of the first and third quad-
rant is automatically an expansion cone and the complement a con-
traction cone, as can be easily checked. By inverting the matrices, our
results apply just as well to any two toral automorphisms whose diago-
nal elements are positive (respectively negative) and off-diagonal ones
negative (respectively positive).
1.4. Random toral automorphisms. For definiteness, let A be cho-
sen with probability p and B be chosen whenever A is not chosen.
In order to model randomness, we first set
A0 := A and A1 := B. (11)
On the space of sequences, Ω := {0, 1}N, we define the shift operator
τ : (ω(0), ω(1), . . . ) 7→ (ω(1), ω(2), . . . ), (12)
and independently for each index n ∈ N prescribe the probability p to
“ω(n) = 0” and the probability 1 − p to “ω(n) = 1”. The resulting
product measure, P, is a τ -invariant ergodic probability measure on Ω.
The map
Φ : Ω× T2 	 : (ω, x) 7→ (τω, Aω(0)x) (13)
is called a skew product and defines a random dynamical system. If m
stands for the normalized Lebesgue measure on T2, i.e.,
(2π)2
, (14)
then P×m is a Φ-invariant probability measure, because m is Ai-
invariant for i = 0, 1. As usual, we will write µ(f) :=
dµf for the
integral of a function f over a measure space with some measure µ.
A basis of the space L2(Ω,P) of square integrable functions on Ω
can be constructed as follows. Set σi(ω) :=
p/(1− p) if ω(i) = 1,
and σi(ω) := −
(1− p)/p if ω(i) = 0. Then define σA :=
i∈A σi
for any finite subset A of N. The set {σA |A ⊂ N finite} is a countable
orthonormal basis of L2(Ω,P).
Let us denote Anω := Aω(n−1) · · ·Aω(0), such that A
ω = A
Akω for
1 ≤ k < n. Using the notation Ã := (AT )−1 for any matrix A, we get
Ãnω := Ãω(n−1) · · · Ãω(0) = ((A
T )−1. (15)
6 ARVIND AYYER AND MIKKO STENLUND
Moreover,
Ãnω = Ã
Ãkω for k = 1, . . . , n− 1. (16)
1.5. Sensitive dependence on initial conditions. As an ingredient
of chaos, we discuss how the iterates of a point on the torus depend
sensitively on the point chosen. By this we roughly mean that the
distance, |Anωx − A
ωy|, between iterates of two close by points, x and
y, typically diverges at an exponential rate as n grows.
To this end, we use the Multiplicative Ergodic Theorem (MET) that
is originally due to Oseledets in the context of differential equations
and smooth flows; see [Os] and also [Ru].
Theorem 2 (2 × 2 MET). Suppose that ω 7→ Aω(0) is a measurable
mapping from Ω to the space of real 2 × 2 matrices and the mapping
ω 7→ ln+‖Aω(0)‖ is in L
1(Ω,P). Here ln+ t ≡ max(ln t, 0) and ‖ · ‖ is
any matrix norm. Then there exists a set Γ ⊂ Ω with τΓ ⊂ Γ and
P(Γ) = 1 such that the following holds if ω ∈ Γ:
(1) The limit
(Anω)
)1/2n
= Λω (17)
exists.
(2) Let expχ
ω < · · · < expχ
ω be the eigenvalues of Λω with
ω , · · · , U
ω the corresponding eigenspaces. Further, denote
V (0)ω = {0} (18)
V (r)ω = U
ω ⊕ · · · ⊕ U
ω for r = 1, · · · , s (19)
Then s is either 1 or 2 and for r = 1, . . . , s we have
ln|Anωx| = χ
ω for x ∈ V
ω \ V
(r−1)
ω . (20)
The numbers χ
ω are called Lyapunov exponents. Both s and
ω generically depend on ω but are τ -invariant.
Notice that det Λω = 1, or
r=1 χ
ω = 0, yields two possibilities:
(1) s = 1 and χ
ω = 0,
(2) s = 2 and χ
ω = −χ
ω > 0.
The MET guarantees that the Lyapunov exponents are invariant under
the flow ω 7→ τω. By ergodicity of the τ -invariant measure P, they are
constant almost surely (P = 1).
RANDOMLY CHOSEN HYPERBOLIC TORAL AUTOMORPHISMS 7
Corollary 3. Replacing Anω by Ã
ω (see (15)) does not change the Lya-
punov exponents. In fact, setting J :=
(Ãnω)
T Ãnω
)1/2n
= JΛωJ
−1 = Λ̃ω = (Λω)
−1. (21)
Proof. By (8), Ãnω = JA
−1. Moreover, JT = J−1 and the symmet-
ric matrix (Anω)
TAnω is diagonalizable, such that
(Ãnω)
T Ãnω
)1/2n
reads
−1 = J
(Anω)
)1/2n
J−1 for some matrix On and di-
agonal matrix Λn. �
With respect to the Lebesgue measure on R2, almost all (a.a.) points
x belong to the set V
(s−1)
ω corresponding to the largest Lyapunov
exponent χ
ω . P-almost surely the latter equals a constant χ
(s). There-
fore, for a.a. ω, for a.a. x,
ln|Anωx| = χ
(s). (22)
A priori, there might not exist a positive Lyapunov exponent (s = 1).
This would rule out sensitive dependence on initial conditions in the
meaning of the notion described in the beginning of the subsection.
In particular, it does not follow from the classical works of Fursten-
berg [Fu], Kesten [FuKe], and Virtser [Vi] that the largest Lyapunov
exponent is positive, because the Bernoulli measure used to choose
a matrix at each step is concentrated at two points, A and B, on
SL(2,R).
Theorem 4 (The largest Lyapunov exponent is positive). Suppose that
(A,B) has the cone property. Then there are two distinct Lyapunov ex-
ponents, and χ(2) = −χ(1). In fact, 0 < lnλE ≤ χ
(2) ≤ maxi ln|λ
u | and
mini ln|λ
s | ≤ χ
(1) ≤ lnλC < 0. In particular, χ
(2) ≥ lnmax(λ−1C , λE).
Proof. The largest Lyapunov exponent is positive, because the expan-
sion cone has nonzero measure. We conclude that s = 2 in the MET.
Consider the intersection Eω :=
k≥0(A
−1C of preimages of the
contraction cone C. It is a line inside C whose forward iterates forever
remain in C. That is, if x ∈ Eω, then A
ωx ∈ C such that |A
ωx| ≤ λ
C |x|
for all n ≥ 0. We must have V
ω = Eω. The construction of Eω is
similar to that of random stable manifolds [Yo].
The bounds are now obvious. �
1.6. Observables and a Hölder continuity condition.
8 ARVIND AYYER AND MIKKO STENLUND
Definition 3. We say that a function (“observable”) f : Ω× T2 → C
satisfies the strong Hölder condition with exponent β ∈ [0, 1], if
‖f‖β := sup
|f̂(ω, q)||q|β < ∞. (23)
Here f̂ is the Fourier transform of f .
Observe that if f satisfies (23), then
|f̂(ω, q)| ≤ ‖f‖β |q|
−β, q ∈ Z2 \ {0}. (24)
Because 0 ≤ β ≤ 1, |eit − 1|/|t|β is uniformly bounded in t ∈ R, and
we see that (23) implies Hölder continuity of f(ω, ·) with exponent β:
|f(ω, x+ y)− f(ω, x)| ≤
q∈Z2\{0}
|f̂(ω, q)||q · y|β
|eiq·y − 1|
|q · y|β
≤ C|y|β (25)
for all x, y ∈ T2. The opposite is not true; hence the adjective “strong”.
1.7. Decay of correlations and mixing. We define the nth (time)
correlation function of two observables f and g as
Cf,g(ω, n) :=
dm(x) f(ω,Anωx)g(ω, x)−m(f(ω, ·))m(g(ω, ·)). (26)
We also need the related
CΦf,g(ω, n) :=
dm(x) (f ◦Φn ·g)(ω, x)−m(f(τnω, ·))m(g(ω, ·)) (27)
CΦf,g(n) :=
d(P×m) (f ◦ Φn · g)− (P×m)(f) (P×m)(g), (28)
where Φ refers to the skew product (13). Our result is the following:
Theorem 5 (Decay of Correlations). Let the pair (A,B) satisfy the
cone property (2); see Remark 1. There exist c > 0 and ρ > 0 such that,
if f and g are two observables satisfying the strong Hölder condition
with exponent β ∈ (0, 1], then for all ω ∈ Ω,
|Cf,g(ω, n)| ≤ c ‖f‖β‖g‖β e
−ρβn (29)
|CΦf,g(ω, n)| ≤ c ‖f‖β‖g‖β e
−ρβn (30)
hold for all n ∈ N. In fact, we can take ρ = lnmin(λ−1C , λE).
RANDOMLY CHOSEN HYPERBOLIC TORAL AUTOMORPHISMS 9
For all ǫ > 0, there exists a constant C(ǫ) such that, for almost all
ω, the upper bounds above can be replaced by
c ‖f‖β‖g‖β C(ǫ)
−β e−(χ
(2)−ǫ)βn, (31)
where χ(2) ≥ lnmax(λ−1C , λE) is the a.e. constant, positive, Lyapunov
exponent.
Remark 6. Without additional information concerning the conver-
gence rates of 1
ln|Ãnωx| to the corresponding Lyapunov exponents, we
have no control over C(ǫ) beyond the fact that it is an increasing func-
tion of ǫ.
The proof of Theorem 5 follows in Section 2.
If f, g are trigonometric polynomials (finite linear combination of
exponentials of the form eiq·x), they satisfy (23) trivially and thus, also
(29). Trigonometric polynomials form a countable basis of L2(T2,m).
This implies that limn→∞
dm(x)F (Anωx)G(x) = m(F )m(G) for any
functions F,G ∈ L2(T2,m). We say that every fixed realization of the
random sequence (Aω(0), Aω(1), . . . ) of maps is mixing on T
Similarly, one should interpret (30) as a mixing result for the skew
product, keeping ω fixed.
Remark 7. It is true that the positivity of the Lyapunov exponent
χ(2) is enough for mixing, even if the cone condition is not satisfied.
However, we need the cone condition to
(1) check that χ(2) actually is positive, and
(2) obtain estimates on correlation decay, i.e., on the mixing rate.
Corollary 8. If (A,B) satisfies the cone property, then the skew prod-
uct Φ, or the random dynamical system, is mixing. If, moreover, f and
g satisfy the strong Hölder condition and m(f(ω, ·)) ≡ m(g(ω, ·)) ≡ 0,
then |CΦf,g(n)| ≤ c ‖f‖β‖g‖β min
e−ρβn, C(ǫ)−βe−(χ
(2)−ǫ)βn
Proof. For f, g ∈ L2(Ω×T2,P×m), the difference CΦf,g(n)−P(C
f,g(·, n))
has the expression
dP(ω)m(f(τnω, ·))m(g(ω, ·))− (P×m)(f) (P×m)(g), (32)
and tends to zero, because τ is mixing. Since {σA |A ⊂ N finite} is
a countable basis of L2(Ω,P), we get L2(Ω × T2,P×m) ∼= L2(Ω,P) ⊗
L2(T2,m). The functions σA(ω)e
iq·x form a countable basis of the latter
and trivially satisfy (23) and an estimate corresponding to (30). Hence,
for any f, g ∈ L2(Ω × T2,P×m), limn→∞C
f,g(n) = 0, such that Φ is
10 ARVIND AYYER AND MIKKO STENLUND
mixing. The second claim follows from (30) and (31) because CΦf,g(n) =
P(CΦf,g(·, n)) when m(f(ω, ·)) ≡ m(g(ω, ·)) ≡ 0. �
The correlation function in (26) has the Fourier representation
Cf,g(ω, n) =
q∈Z2\{0}
f̂(ω,−Ãnωq) ĝ(ω, q). (33)
The proof of Theorem 5 is based on the decay (24) of f̂(q), ĝ(q) with
increasing |q| and on controlling |Ãnωq| with lower bounds that are in-
creasing in n but not too heavily decreasing in |q|, such that summa-
bility persists. Here we gain by working with the sequence (Ãnω)n∈N
instead of ((Anω)
T )n∈N, because the former has a Markov property—not
shared by the latter—due to the order in which the matrix factors are
multiplied. More precisely, if qn := Ãnωq, then q
n+1 is completely de-
termined by qn and ω(n) as opposed to the entire history (ω(k))0≤k≤n.
1.8. Comments. Notice that Theorem 5 is not needed for Theorem 4;
ergodicity of the shift τ alone is relevant for Theorem 4.
Without affecting the proofs much, the cone property can be weak-
ened by relaxing, for instance in the case of the expansion cone, the
assumption that every iteration results in expansion. Assuming instead
the existence of a number N such that |ANω x| ≥ λE |x| for all ω if x ∈ E
is equally sufficient.
In fact, it is true that the system is mixing even when the cones are
merely invariant without any contraction/expansion assumption. More
precisely, if Ai are hyperbolic toral automorphisms and there exist non-
overlapping cones E and C with the properties AiE ⊂ E and A
i C ⊂ C,
then mixing occurs. This is so, because all possible products Ãnω turn
out to be hyperbolic. However, we have no control over the mixing rate
(the speed at which correlations decay) in this case.
Our results remain valid for any number of automorphisms, if all of
the matrices have a mutual contraction cone and a mutual expansion
cone with contraction and expansion rates bounded away from 1.
One can pursue a line of analysis different from ours by emphasizing
randomness in ω. For instance, fixing x ∈ T2, the sequence (Anωx)n∈N
of random variables on Ω is a Markov chain. Furthermore, with a more
probabilistic approach, it should be possible to do without the cone
property (excluding extreme cases such as B = A−1 with p = 1
) and
still obtain results for almost all ω.
RANDOMLY CHOSEN HYPERBOLIC TORAL AUTOMORPHISMS 11
2. Proof of Theorem 5
Before entering the actual proof, we explain our method for the sake
of motivation. Starting with (33), we have
|Cf,g(ω, n)| ≤
q∈Z2\{0}
|f̂(ω,−Ãnωq) ĝ(ω, q)|. (34)
The idea is to split Z2 \ {0} into suitable pieces using cones. By the
cone property and Remark 1, we have the following at our disposal:
Contraction cone, C. With some positive λC < 1,
|Ãiq| ≤ λC|q| if Ãiq ∈ C, i ∈ {0, 1}. (35)
Moreover, E
s ⊂ C. The complement C
c is invariant in the sense that
q ∈ Cc =⇒ Ãiq ∈ C
c. (36)
Expansion cone, E . With some λE > 1,
|Ãiq| ≥ λE |q| for q ∈ E , i ∈ {0, 1}. (37)
Moreover, E
u ⊂ E . The cone E itself is invariant in the sense that
q ∈ E =⇒ Ãiq ∈ E . (38)
The complement (C ∪ E)c and the number M . There exists a
positive integer M depending on only the choice of cones C, E such
that, for any “random” sequence ω,
q ∈ (C ∪ E)c =⇒ ÃMω q ∈ E . (39)
Let us define
λ := max (λC, λ
E ) < 1. (40)
It follows from the bound (35) in the definition of C that, if
q, · · · , Ãnωq ∈ C and q 6= 0, then
1 ≤ |Ãnωq| ≤ λ
n|q|, (41)
where the first inequality is due to the fact that Ãnωq is a nonzero integer
vector. But the right-hand side of (41) tends to zero as n → ∞, which
is a contradiction unless eventually Ãnωq /∈ C. We conclude that there
exists a unique integer Nω(q), called the contraction time, satisfying
q ∈ C \ {0} =⇒ ÃNω(q)ω q ∈ C and Ã
Nω(q)+1
ω q ∈ C
c. (42)
Let us list some bounds used in proving Theorem 5. The proof of
this lemma is given at the end of the section.
12 ARVIND AYYER AND MIKKO STENLUND
Lemma 9. The contraction time, Nω(q), obeys the ω-independent bound
Nω(q) ≤
ln|q|
lnλ−1
. (43)
The following complementary bounds hold:
1 ≤|Ãnωq| ≤ λ
n|q| for q ∈ C \ {0}, n ≤ Nω(q), (44)
|Ãnωq| ≥ Cλ
−n|q|−1 for q ∈ C \ {0}, n > Nω(q), (45)
|Ãnωq| ≥ Cλ
−n|q| for q ∈ Cc, n ∈ N. (46)
In fact, (43) is never used but we state it for the sake of completeness.
We now have a natural way of decomposing the sum in (34) for each
fixed value of n, by means of the disjoint partition
2 \ {0} = {q ∈ C |n ≤ Nω(q)} ∪ {q ∈ C |n > Nω(q)} ∪ C
c \ {0}. (47)
Namely, we can rearrange the series (of nonnegative terms) as
q∈Z2\{0}
q∈C\{0}:
n≤Nω(q)
q∈C\{0}:
n>Nω(q)
. (48)
In the first series on the right-hand side we use (44), i.e., the fact that
|q| is large for large n. In the second and the third series it is |Ãnωq|
that is large for large n, by (45) and (46), respectively.
Similarly, the last part of Theorem 5 is based on the following re-
finement of Lemma 9:
Lemma 10. For all ǫ > 0, there exists a constant C(ǫ) such that, for
almost all ω, the bounds
1 ≤|Ãnωq| ≤ C(ǫ)
−1e−n(χ
(2)−ǫ)|q| for q ∈ C \ {0}, n ≤ Nω(q), (49)
|Ãnωq| ≥ C(ǫ)e
n(χ(2)−ǫ)|q|−1 for q ∈ C \ {0}, n > Nω(q), (50)
|Ãnωq| ≥ C(ǫ)e
n(χ(2)−ǫ)|q| for q ∈ Cc, n ∈ N, (51)
hold true.
Proof of Theorem 5. We first prove (29) and leave it to the reader to
check that the upper bounds below apply just as well to the case of (30).
By the same token, we keep the first argument ω of the observables
implicit and just write ĝ(q) instead of ĝ(ω, q) etc. Let us proceed case
by case in the decomposition (48) of (34):
Case q ∈ C \ {0}, n ≤ Nω(q). By (24) and (44),
|ĝ(q)| ≤ ‖g‖β|q|
−β ≤ ‖g‖βλ
βn, (52)
RANDOMLY CHOSEN HYPERBOLIC TORAL AUTOMORPHISMS 13
such that
q∈C\{0}:
n≤Nω(q)
|f̂(−Ãnωq) ĝ(q)| ≤ ‖g‖βλ
q∈C\{0}:
n≤Nω(q)
|f̂(−Ãnωq)| ≤ ‖f‖β‖g‖βλ
Case q ∈ C \ {0}, n > Nω(q). By (24) and (45),
|f̂(−Ãnωq)| ≤ ‖f‖β|Ã
−β ≤ ‖f‖βC
−βλβn|q|β, (54)
and we have∑
q∈C\{0}:
n>Nω(q)
|f̂(−Ãnωq) ĝ(q)| ≤ ‖f‖βC
−βλβn
q∈C\{0}:
n>Nω(q)
|ĝ(q)||q|β
≤ ‖f‖β‖g‖βC
−βλβn.
Case q ∈ Cc. By (24) and (46),
|f̂(−Ãnωq)| ≤ ‖f‖β|Ã
−β ≤ ‖f‖βC
−βλβn|q|−β, (56)
which implies
|f̂(−Ãnωq) ĝ(q)| ≤ ‖f‖βC
−βλβn
|ĝ(q)||q|−β ≤ ‖f‖β‖g‖βC
−βλβn.
Choosing
c ≥ 1 + 2C−β and ρ := − lnλ, (58)
the bound (29) follows.
By the same argument, the fact that the upper bound (31) applies
is an immediate consequence of Lemma 10. �
Proof of Lemma 9. Equation (44) repeats (41) and the related dis-
cussion, whereas (43) is just another way of writing it in the case
n = Nω(q).
By the definition of E ,
|Ãnωq| ≥ λ
−n|q| when q ∈ E , n ∈ N. (59)
For each index i and any q ∈ Z2 \ {0}, we also have the a priori bound
|Ãiq| ≥ µi|q| with µi := ‖Ã
−1 = |λAis |. (60)
Therefore, if q ∈ (C ∪ E)c and m ≥ 1, (16) implies
|ÃM+mω q| ≥ λ
−m|ÃMω q| ≥ Cλ
−M−m|q|, (61)
where C := minω(λ
Mµω(0) . . . µω(M−1)). Observing C < 1 and sacrific-
ing (59), the latter bound extends to the whole of Cc, yielding (46).
14 ARVIND AYYER AND MIKKO STENLUND
We also need a lower bound on |Ãnωq|—one that grows exponentially
with n but does not decrease too much with |q|—assuming that q ∈ C
and n > Nω(q). To this end, we notice Ã
Nω(q)
ω q ∈ C
c and compute
|Ãnωq| = |Ã
n−Nω(q)
τNω(q)ω
ÃNω(q)ω q| ≥ Cλ
Nω(q)−n|ÃNω(q)ω q|. (62)
From (44) wee see |Ã
Nω(q)
ω q| ≥ λ
−Nω(q)|q|−1, so that (45) follows. �
Proof of Lemma 10. Modifying the constant, (50) follows from (49)
and (51), just like (45) follows from (44) and (46) in the proof of
Lemma 9.
ÃnωC
c becomes a thinner and thinner cone inside E as n increases.
If x ∈ ∂C (the worst case), then 1
ln(|Ãnωx|/|x|) tends to χ
(2). Thus,
for each ǫ > 0 and n ∈ N, we have |Ãnωx|/|x| > C(ǫ)e
n(χ(2)−ǫ) for some
choice of C(ǫ), and (51) follows.
Next, we prove (49). Let es(ω) be a unit vector spanning the random
stable line
k≥0(Ã
−1C (see the proof of Theorem 4). Then Ãnωes(ω) ∈
C for all n. Let us also pick an arbitrary unit vector v in E .
By an elementary geometric argument, there exists a constant K
such that if x ∈ C, y ∈ E , and x + y ∈ C, then |y| ≤ K|x| and
|x| ≤ K|x + y| (the worst case: x, x + y ∈ ∂C and y ∈ ∂E). Recall
that we are assuming Ãnωq ∈ C for each n = 0, . . . , Nω(q). If we split
q = q1es(ω) + q2v, then Ã
ωq = q1Ã
ωes(ω) + q2Ã
ωv, where the first
term belongs to C and the second to E . We gather that |q2Ã
ωv| ≤
K|q1Ã
ωes(ω)|.
Because 1
ln(|Ãnωes(ω)|) tends to −χ
(2), for all ǫ > 0 there exists
a Cǫ such that, for all n, |Ã
ωes(ω)| ≤ Cǫe
−n(χ(2)−ǫ). In conclusion,
|Ãnωq| ≤ Cǫ(1+K)|q1|e
−n(χ(2)−ǫ), and (49) follows from |q1| ≤ K|q|. �
References
[Al] Alekseev, V. Quasirandom dynamical systems. I. Quasirandom diffeomor-
phisms, Math. USSR-Sb 5 (1968), no. 1, 73-128. II. One-dimensional nonlin-
ear vibrations in a periodically perturbed field, Math. USSR-Sb 6 (1968), no.
4, 505-560. III. Quasirandom vibrations of one-dimensional oscillators, Math.
USSR-Sb 7 (1969), no. 1, 1-43.
[Ar] Arnold, L. Random dynamical systems, Springer Monographs in Mathematics,
Springer-Verlag, Berlin, 1998.
[Ba] Baladi V. Positive Transfer Operators and Decay of Correlations Advanced
Series in Nonlinear Dynamics, vol 16, Singapore, World Scientific.
[BlKeLi] Blank, M., Keller, G., Liverani, C. Ruelle-Perron-Frobenius spectrum for
Anosov maps, Nonlinearity, 15 (2002), no. 6, 1905-1973.
RANDOMLY CHOSEN HYPERBOLIC TORAL AUTOMORPHISMS 15
[CrPaVu] Crisanti, A., Paladin, G., Vulpiani, A. Products of random matrices
in statistical physics, Springer Series in Solid-State Sciences, 104, Springer-
Verlag, Berlin, 1993.
[Fu] Furstenberg, H. Noncommuting random products, Trans. Amer. Math. Soc.,
108 (1963), 377-428.
[FuKe] Furstenberg, H., Kesten, H. Products of random matrices, Ann. Math.
Statist, 31 (1960), 457-469.
[GoLi] Gouëzel, S., Liverani, C. Banach spaces adapted to Anosov systems, Ergodic
Theory Dynam. Systems, 26 (2006), no. 1, 189-217.
[Ki] Kifer, Y. I. Ergodic theory of random transformations, Progress in Probability
and Statistics, 10, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1986.
[Os] Oseledets, V. I. A multiplicative ergodic theorem. Liapunov characteristic
numbers for dynamical systems, Transactions of the Moscow Mathematical
Society, 19 (1968), 197-221.
[Ru] Ruelle, D. Ergodic theory of differentiable dynamical systems, Inst. Hautes
Études Sci. Publ. Math 50 (1979), 27-58.
[Vi] Virtser, A. D. On Products of Random Matrices and Operators, Theory of
Probability and its Applications, 24 (1979), no. 2, 367-377.
[Wo] Wojtkowski, M. Invariant families of cones and Lyapunov exponents, Ergodic
Theory Dynam. Systems 5 (1985), 145-161.
[Yo] Young, L-S. Stochastic stability of hyperbolic attractors, Ergodic Theory Dy-
nam. Systems, 6 (1986), no. 2, 311-319.
1 Department of Physics, Rutgers University, 136 Frelinghuysen
Road, Piscataway, NJ 08854, USA
2 Department of Mathematics, Rutgers University, 110 Frelinghuy-
sen Road, Piscataway, NJ 08854, USA
E-mail address : {ayyer,mstenlun}@math.rutgers.edu
	1. Introduction
	1.1. Background
	Acknowledgements
	1.2. Toral automorphisms
	1.3. Invariant cones
	1.4. Random toral automorphisms
	1.5. Sensitive dependence on initial conditions
	1.6. Observables and a Hölder continuity condition
	1.7. Decay of correlations and mixing
	1.8. Comments
	2. Proof of Theorem ??
	References
