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/20240307_101048
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/ceval-advanced_mathematics.json
| { | |
| "0": { | |
| "origin_prompt": [ | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x}=$____\nA. -1\nB. 0\nC. 2\nD. $\\frac{1}{2}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "C" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(1-\\frac{1}{1+2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{1+2+3}\\right)\\cdots\\left(1-\\frac{1}{1+2+\\cdots+n}\\right)=$____\nA. $\\frac{2}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{5}{6}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$xy=\\ln y$在$P=\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},\\mathrm{e}\\right)$点的曲率半径____\nA. $\\mathrm{e}^2$\nB. $2\\mathrm{e}^3$\nC. $3\\mathrm{e}^3$\nD. $\\mathrm{e}^3$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求不定积分：$I=\\int{x\\ln\\left(1+x^2\\right)\\mathrm{arc}\\tan x}\\mathrm{d}x$____\nA. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 1+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nB. $\\frac{\\left( x^2+2 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nC. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nD. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+4x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "A" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求定积分：$\\int_0^1{\\left(1-x\\right)\\sqrt{2x-x^2}}\\mathrm{d}x=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{1}{5}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "B" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\int_{x^2}^x{\\frac{\\sin\\left(xt\\right)}{t}}\\mathrm{d}t}{x^2}=$____\nA. $\\frac{5}{6}$\nB. 1\nC. $\\frac{7}{6}$\nD. $\\frac{4}{3}$\n答案: " | |
| } | |
| ], | |
| "prediction": "为了求解这个极限问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule），该法则适用于形如 $\\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)}$ 的极限，当 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 在 $a$ 处都为零时。在这个例子中，我们有 $\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\tan(\\tan x) - \\sin(\\sin x)}{\\tan x - \\sin x}$。令 $u = \\tan x$，则 $du/dx = 1/tan(x)$，所以原极限可以写成 $\\lim_{u \\to 0} \\frac{\\tan(u) - \\sin(u)}{u}/\\frac{1}{tan(x)}$。现在我们可以对分子和分母使用洛必达法则：\n\n对于分子：$\\lim_{u \\to 0} \\frac{\\sec^2(u) - \\cos(u)}{1/tan(u)}$，应用洛必达法则得到：\n\n$\\lim_{u \\to 0} 2u / (- tan(u)) = \\lim_{u \\to 0} - 2/u^2 = \\infty$\n\n对于分母：$\\lim_{u \\to 0} u / (1/tan(u)) = \\lim_{u \\to 0} tan(u) = 0$\n\n因此，分子和分母的极限都不存在，所以原极限也不存在。所以答案是 A. -1。", | |
| "gold": "B" | |
| }, | |
| "1": { | |
| "origin_prompt": [ | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x}=$____\nA. -1\nB. 0\nC. 2\nD. $\\frac{1}{2}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "C" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(1-\\frac{1}{1+2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{1+2+3}\\right)\\cdots\\left(1-\\frac{1}{1+2+\\cdots+n}\\right)=$____\nA. $\\frac{2}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{5}{6}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$xy=\\ln y$在$P=\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},\\mathrm{e}\\right)$点的曲率半径____\nA. $\\mathrm{e}^2$\nB. $2\\mathrm{e}^3$\nC. $3\\mathrm{e}^3$\nD. $\\mathrm{e}^3$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求不定积分：$I=\\int{x\\ln\\left(1+x^2\\right)\\mathrm{arc}\\tan x}\\mathrm{d}x$____\nA. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 1+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nB. $\\frac{\\left( x^2+2 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nC. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nD. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+4x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "A" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求定积分：$\\int_0^1{\\left(1-x\\right)\\sqrt{2x-x^2}}\\mathrm{d}x=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{1}{5}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "B" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n设$n$为正整数，求极限：$\\lim_{x\\rightarrow+\\infty}\\left[\\frac{x^n}{\\left(x-1\\right)\\left(x-2\\right)\\cdots\\left(x-n\\right)}\\right]^x=$____\nA. $e^{\\frac{(n-1)(n+1)}{2}}$\nB. $e^{\\frac{(n-1)n}{2}}$\nC. $e^{\\frac{n(n+1)}{2}}$\nD. $e^{\\frac{n^{2}}{2}}$\n答案: " | |
| } | |
| ], | |
| "prediction": "为了求解这个极限问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule），该法则适用于形如 $\\frac{0(x \\to a)}{0(x \\to a)}$ 的无穷大形式。在这种情况下，我们可以将分子和分母分别求导并应用洛必达法则。\n\n首先，我们求导分子和分母：\n\n对于分子：$d\\left(\\tan\\left(\\tan x\\right)\\right)/dx = \\sec^2\\left(\\tan x\\right) \\cdot \\tan'\\left(\\tan x\\right)$\n\n对于分母：$d\\left(\\tan x - \\sin x\\right)/dx = \\cos x + \\sin x \\cdot \\tan x$\n\n现在，我们将这两个导数代入原式子中：\n\n$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sec^2\\left(\\tan x\\right) \\cdot \\tan'\\left(\\tan x\\right)}{\\cos x + \\sin x \\cdot \\tan x} = \\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sec^2\\left(\\tan x\\right) \\cdot \\sec x}{\\cos x}$\n\n由于当 $x \\to 0$ 时，$\\tan x \\to 0$，所以我们可以用 $\\tan x$ 替换 $\\tan\\left(\\tan x\\right)$，得到：\n\n$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sec^2\\left(0\\right) \\cdot \\sec x}{\\cos x} = \\lim_{x \\to 0} \\sec^2 x = 1$\n\n因此，正确答案是 A. -1。", | |
| "gold": "C" | |
| }, | |
| "2": { | |
| "origin_prompt": [ | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x}=$____\nA. -1\nB. 0\nC. 2\nD. $\\frac{1}{2}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "C" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(1-\\frac{1}{1+2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{1+2+3}\\right)\\cdots\\left(1-\\frac{1}{1+2+\\cdots+n}\\right)=$____\nA. $\\frac{2}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{5}{6}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$xy=\\ln y$在$P=\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},\\mathrm{e}\\right)$点的曲率半径____\nA. $\\mathrm{e}^2$\nB. $2\\mathrm{e}^3$\nC. $3\\mathrm{e}^3$\nD. $\\mathrm{e}^3$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求不定积分：$I=\\int{x\\ln\\left(1+x^2\\right)\\mathrm{arc}\\tan x}\\mathrm{d}x$____\nA. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 1+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nB. $\\frac{\\left( x^2+2 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nC. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nD. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+4x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "A" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求定积分：$\\int_0^1{\\left(1-x\\right)\\sqrt{2x-x^2}}\\mathrm{d}x=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{1}{5}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "B" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n设平面区域$D$由直线$y=\\frac{1}{2}x-\\frac{1}{2\\sqrt{5}}$、$y=2x-\\frac{2}{\\sqrt{5}}$和$y=x$围成，函数$z=3xy+3$在$D$上的最大值和最小值分别是M和m，则____\nA. $M=6,m=3$\nB. $M=\\dfrac{27}{5},m=3$\nC. $M=\\dfrac{18}{5},m=3$\nD. $M={\\frac{27}{5}},m={\\frac{117}{40}}$\n答案: " | |
| } | |
| ], | |
| "prediction": "为了求解这个极限问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule），该法则适用于形如 $\\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)}$ 的极限，当 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 在 $a$ 处都为零时。在这个例子中，我们有 $\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\tan(\\tan x) - \\sin(\\sin x)}{\\tan x - \\sin x}$，且当 $x \\to 0$ 时，$\\tan x \\to \\frac{1}{2}$ 和 $\\sin x \\to 0$。因此，我们可以将分母和分子中的 $x$ 替换为 $\\frac{1}{2}$，得到新的函数：\n$$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\tan(\\tan \\frac{1}{2}) - \\sin(\\sin \\frac{1}{2})}{\\tan \\frac{1}{2} - \\sin \\frac{1}{2}}$$\n现在我们可以对新的函数应用洛必达法则，因为 $\\tan'(\\theta) = \\sec^2(\\theta)$ 和 $\\sin'(\\theta) = \\cos(\\theta)$, 当 $\\theta \\to 0$ 时，它们的极限分别为 $1$ 和 $1$。所以新的函数变为：\n$$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sec^2(\\tan \\frac{1}{2}) - \\cos(\\sin \\frac{1}{2})}{\\sec^2(\\frac{1}{2}) - \\cos(\\frac{1}{2})} = \\lim_{x \\to 0} 2 \\cdot \\frac{\\sec^2(\\tan \\frac{1}{2}) - 1}{\\sec^2(\\frac{1}{2}) - 1}$$\n由于 $\\tan(\\tan \\frac{1}{2}) = \\sqrt{2}$ 和 $\\sec(\\sec \\frac{1}{2}) = \\sqrt{2}$, 我们有：\n$$\\lim_{x \\to 0} 2 \\cdot \\frac{\\sec^2(\\tan \\frac{1}{2}) - 1}{\\sec^2(\\frac{1}{2}) - 1} = 2 \\cdot \\frac{\\sqrt{2} - 1}{\\sqrt{2} - 1} = 2$$\n因此，答案是 C. 2。", | |
| "gold": "D" | |
| }, | |
| "3": { | |
| "origin_prompt": [ | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x}=$____\nA. -1\nB. 0\nC. 2\nD. $\\frac{1}{2}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "C" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(1-\\frac{1}{1+2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{1+2+3}\\right)\\cdots\\left(1-\\frac{1}{1+2+\\cdots+n}\\right)=$____\nA. $\\frac{2}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{5}{6}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$xy=\\ln y$在$P=\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},\\mathrm{e}\\right)$点的曲率半径____\nA. $\\mathrm{e}^2$\nB. $2\\mathrm{e}^3$\nC. $3\\mathrm{e}^3$\nD. $\\mathrm{e}^3$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求不定积分：$I=\\int{x\\ln\\left(1+x^2\\right)\\mathrm{arc}\\tan x}\\mathrm{d}x$____\nA. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 1+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nB. $\\frac{\\left( x^2+2 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nC. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nD. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+4x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "A" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求定积分：$\\int_0^1{\\left(1-x\\right)\\sqrt{2x-x^2}}\\mathrm{d}x=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{1}{5}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "B" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n设函数$f\\left(x\\right)$连续，且$f\\left(x\\right)>0$，求积分：$int_0^1{\\ln f\\left(x+t\\right)}\\mathrm{d}t=$____\nA. $\\int_0^x{\\ln \\frac{f\\left( t+2 \\right)}{f\\left( t \\right)}}\\mathrm{d}t+\\int_0^1{\\ln f\\left( t \\right)}\\mathrm{d}t$\nB. $\\int_0^1{\\ln \\frac{f\\left( t+2 \\right)}{f\\left( t \\right)}}\\mathrm{d}t+\\int_0^1{\\ln f\\left( t \\right)}\\mathrm{d}t$\nC. $\\int_0^2x{\\ln \\frac{f\\left( t+1 \\right)}{f\\left( t \\right)}}\\mathrm{d}t+\\int_0^1{\\ln f\\left( t \\right)}\\mathrm{d}t$\nD. $\\int_0^x{\\ln \\frac{f\\left( t+2 \\right)}{f\\left( t \\right)}}\\mathrm{d}t+\\int_0^1{\\ln f\\left( t \\right)}\\mathrm{d}t$\n答案: " | |
| } | |
| ], | |
| "prediction": "为了求解这个极限问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule），该法则适用于形如 $\\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)}$ 的极限，当 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 在 $a$ 处都为零时，可以将其转换为 $\\lim_{x \\to a} f(x) g'(x) / g(x) f'(x)$。在这个例子中，我们有 $\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\tan(\\tan x) - \\sin(\\sin x)}{\\tan x - \\sin x}$，我们可以将分子和分母都乘以 $\\tan x$ 和 $\\sin x$，得到 $\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\tan^2 x - \\sin^2 x}{\\tan x - \\sin x}$。现在我们可以应用洛必达法则，因为 $\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\tan^2 x - \\sin^2 x}{\\tan x - \\sin x} = \\lim_{x \\to 0} \\frac{2\\tan x \\sec^2 x}{\\cos x}$，当 $x \\to 0$ 时，$\\tan x \\rightarrow 0$，$\\sec^2 x \\rightarrow 1$，以及 $\\cos x \\rightarrow 1$，所以 $\\lim_{x \\to 0} \\frac{2\\tan x \\sec^2 x}{\\cos x} = 2\\lim_{x \\to 0} \\tan x = -1$。因此，答案是 A. -1。", | |
| "gold": "A" | |
| }, | |
| "4": { | |
| "origin_prompt": [ | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x}=$____\nA. -1\nB. 0\nC. 2\nD. $\\frac{1}{2}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "C" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(1-\\frac{1}{1+2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{1+2+3}\\right)\\cdots\\left(1-\\frac{1}{1+2+\\cdots+n}\\right)=$____\nA. $\\frac{2}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{5}{6}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$xy=\\ln y$在$P=\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},\\mathrm{e}\\right)$点的曲率半径____\nA. $\\mathrm{e}^2$\nB. $2\\mathrm{e}^3$\nC. $3\\mathrm{e}^3$\nD. $\\mathrm{e}^3$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求不定积分：$I=\\int{x\\ln\\left(1+x^2\\right)\\mathrm{arc}\\tan x}\\mathrm{d}x$____\nA. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 1+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nB. $\\frac{\\left( x^2+2 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nC. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nD. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+4x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "A" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求定积分：$\\int_0^1{\\left(1-x\\right)\\sqrt{2x-x^2}}\\mathrm{d}x=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{1}{5}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "B" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n设有界区域$\\Omega$由平面$2x+y+2z=2$与三个坐标平面围成，$\\Sigma$为整个表面的外侧；\\\\计算曲面积分：$I=\\iint_{\\Sigma}{\\left(x^2+1\\right)\\mathrm{d}y\\mathrm{d}z-2y\\mathrm{d}z\\mathrm{d}x+3z\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y}=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. 1\nC. $\\frac{3}{2}$\nD. $\\frac{5}{2}$\n答案: " | |
| } | |
| ], | |
| "prediction": "为了求解这个极限问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule），该法则适用于形如 $\\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)}$ 的极限，当 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 在 $a$ 处都为零时。在这个例子中，我们有 $$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\tan(\\tan x) - \\sin(\\sin x)}{\\tan x - \\sin x}$$ 首先，我们将分子和分母中的三角函数化简为三角函数形式：$$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\tan(\\tan x) - \\sin(\\sin x)}{\\tan x - \\sin x} = \\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sec^2(x) - \\cos^2(x)}{\\sec x - \\cos x}$$ 现在我们应用洛必达法则：$$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sec^2(x) - \\cos^2(x)}{\\sec x - \\cos x} = \\lim_{x \\to 0} \\frac{2\\tan(x)\\sec(x) + \\sec(x)}{\\sec(x) - \\cos(x)}$$ 对于第二个分子项，我们可以将其重写为 $\\sec(x) + \\tan(x)$。然后，我们应用洛必达法则第二次：$$\\lim_{x \\to 0} \\frac{2\\tan(x)(\\sec(x) + \\tan(x)) + (\\sec(x) + \\tan(x))}{\\sec(x) - \\cos(x)} = \\lim_{x \\to 0} \\frac{2\\tan(x) + 1}{\\sec(x) - \\cos(x)}$$ 最后，我们可以将分子和分母中的三角函数化简为三角函数形式：$$\\lim_{x \\to 0} \\frac{2\\tan(x) + 1}{\\sin(x) + \\cos(x)}$$ 由于 $\\sin(0) = \\cos(0) = 0$，我们可以得出结论：$$\\lim_{x \\to 0} \\frac{2\\tan(x) + 1}{\\sin(x) + \\cos(x)} = \\lim_{x \\to 0} \\frac{2 + 0}{\\sin(x) + \\cos(x)} = 2$$ 所以答案是 C. 2。", | |
| "gold": "A" | |
| }, | |
| "5": { | |
| "origin_prompt": [ | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x}=$____\nA. -1\nB. 0\nC. 2\nD. $\\frac{1}{2}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "C" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(1-\\frac{1}{1+2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{1+2+3}\\right)\\cdots\\left(1-\\frac{1}{1+2+\\cdots+n}\\right)=$____\nA. $\\frac{2}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{5}{6}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$xy=\\ln y$在$P=\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},\\mathrm{e}\\right)$点的曲率半径____\nA. $\\mathrm{e}^2$\nB. $2\\mathrm{e}^3$\nC. $3\\mathrm{e}^3$\nD. $\\mathrm{e}^3$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求不定积分：$I=\\int{x\\ln\\left(1+x^2\\right)\\mathrm{arc}\\tan x}\\mathrm{d}x$____\nA. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 1+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nB. $\\frac{\\left( x^2+2 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nC. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nD. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+4x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "A" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求定积分：$\\int_0^1{\\left(1-x\\right)\\sqrt{2x-x^2}}\\mathrm{d}x=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{1}{5}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "B" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n已知$\\int_0^{+\\infty}{\\frac{\\sin x}{x}\\mathrm{d}x=\\frac{\\pi}{2}}$，则$\\int_0^{+\\infty}{\\int_0^{+\\infty}{\\frac{\\sin x\\sin\\left(x+y\\right)}{x\\left(x+y\\right)}}}\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y$=____\nA. $\\frac{\\pi ^2}{12}$\nB. $\\frac{\\pi ^2}{8}$\nC. $\\frac{\\pi ^2}{4}$\nD. $\\frac{\\pi ^2}{2}$\n答案: " | |
| } | |
| ], | |
| "prediction": "为了求解这个极限问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule），该法则适用于形如 $\\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)}$ 的极限，当 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 在 $a$ 处都为零时。在这个例子中，我们有 $\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\tan(\\tan x) - \\sin(\\sin x)}{\\tan x - \\sin x}$，我们可以将其重写为 $\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sec^2(x) - \\cos(x)}{\\tan x - x}$。现在我们可以应用洛必达法则，因为 $\\lim_{x \\to 0} \\frac{1/\\cos(x) - 1}{\\tan(x) - x}$ 的分子和分母都趋于零，所以我们可以将极限分子和分母都除以 $x - \\cos(x)$，得到 $\\lim_{x \\to 0} \\frac{1/\\cos(x) - 1}{x/\\sin(x) - 1}$。分子和分母的分子分别趋于 $1 - 1 = 0$，所以原极限的值为 $0$。答案是 B. 0。", | |
| "gold": "B" | |
| }, | |
| "6": { | |
| "origin_prompt": [ | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x}=$____\nA. -1\nB. 0\nC. 2\nD. $\\frac{1}{2}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "C" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(1-\\frac{1}{1+2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{1+2+3}\\right)\\cdots\\left(1-\\frac{1}{1+2+\\cdots+n}\\right)=$____\nA. $\\frac{2}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{5}{6}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$xy=\\ln y$在$P=\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},\\mathrm{e}\\right)$点的曲率半径____\nA. $\\mathrm{e}^2$\nB. $2\\mathrm{e}^3$\nC. $3\\mathrm{e}^3$\nD. $\\mathrm{e}^3$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求不定积分：$I=\\int{x\\ln\\left(1+x^2\\right)\\mathrm{arc}\\tan x}\\mathrm{d}x$____\nA. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 1+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nB. $\\frac{\\left( x^2+2 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nC. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nD. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+4x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "A" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求定积分：$\\int_0^1{\\left(1-x\\right)\\sqrt{2x-x^2}}\\mathrm{d}x=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{1}{5}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "B" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n设曲线$C=\\left\\{(x,y,z):x={\\sqrt{3}}\\cos(t),y={\\sqrt{3}}\\sin(t),z={\\frac{2}{3}}t^{\\frac{3}{2}},0\\leq t\\leq5\\right\\}$，则曲线积分$\\int_C(x^2+y^2)\\mathrm{d}s=$____\nA. $\\frac{3}{4}\\left(16\\sqrt{2}-3\\sqrt{3}\\right)$\nB. $2\\bigl(16\\sqrt{2}-3\\sqrt{3}\\bigr)$\nC. $\\frac{9}{4}\\left(16\\sqrt{2}-3\\sqrt{3}\\right)$\nD. $\\frac{3}{2}\\left(16\\sqrt{2}-3\\sqrt{3}\\right)$\n答案: " | |
| } | |
| ], | |
| "prediction": "为了求解这个极限问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule），该法则适用于形如 $\\frac{0(x\\to a)}{0(x\\to a)}$ 的未定式。在这个例子中，我们有 $\\frac{\\tan(\\tan x)-\\sin(\\sin x)}{\\tan x-\\sin x} \\rightarrow \\frac{\\tan(\\infty)-\\sin(\\infty)}{\\tan(\\infty)-\\sin(\\infty)}$ 当 $x \\rightarrow 0$。根据洛必达法则，对于形如 $\\frac{0}{0}$ 的未定式，我们可以对分子分母分别求导并再次求导，得到 $\\frac{\\frac{d}{dx}\\tan(x)-\\frac{d}{dx}\\sin(x)}{\\frac{d}{dx}\\tan(x)-\\frac{d}{dx}\\sin(x)}$。\n\n计算得：$\\frac{\\frac{d}{dx}\\tan(x)-\\frac{d}{dx}\\sin(x)}{\\frac{d}{dx}\\tan(x)-\\frac{d}{dx}\\sin(x)} = \\frac{\\sec^2(x)-\\cos(x)\\sin(x)}{\\sec^2(x)-\\cos(x)\\sin(x)}$。\n\n由于 $\\sec^2(x)-\\cos(x)\\sin(x) = \\sec^2(x)-\\sec^2(x)\\sin(x) = \\sec^2(x)(1-\\sin(x)) > 0$，所以分子大于0，分母小于0。因此，原式的极限值为 $+\\infty$。\n\n选项 A、B 和 C 都不符合这个结果。", | |
| "gold": "B" | |
| }, | |
| "7": { | |
| "origin_prompt": [ | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x}=$____\nA. -1\nB. 0\nC. 2\nD. $\\frac{1}{2}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "C" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(1-\\frac{1}{1+2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{1+2+3}\\right)\\cdots\\left(1-\\frac{1}{1+2+\\cdots+n}\\right)=$____\nA. $\\frac{2}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{5}{6}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$xy=\\ln y$在$P=\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},\\mathrm{e}\\right)$点的曲率半径____\nA. $\\mathrm{e}^2$\nB. $2\\mathrm{e}^3$\nC. $3\\mathrm{e}^3$\nD. $\\mathrm{e}^3$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求不定积分：$I=\\int{x\\ln\\left(1+x^2\\right)\\mathrm{arc}\\tan x}\\mathrm{d}x$____\nA. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 1+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nB. $\\frac{\\left( x^2+2 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nC. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nD. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+4x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "A" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求定积分：$\\int_0^1{\\left(1-x\\right)\\sqrt{2x-x^2}}\\mathrm{d}x=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{1}{5}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "B" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n计算二重积分:$\\iint_D{x\\mathrm{d}x\\mathrm{d}y}=$.其中$D$为由直线$y=-x+2,x$轴以及曲线$y=\\sqrt{2x-x^2}$所围成的平面区域.____\nA. $\\frac{\\pi}{4}+\\frac{1}{3}$\nB. $\\frac{\\pi}{2}+\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{\\pi}{2}+\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{\\pi}{2}+\\frac{2}{3}$\n答案: " | |
| } | |
| ], | |
| "prediction": "为了求解这个极限问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule），该法则适用于形如 $\\frac{0(x \\to a)}{0(x \\to a)}$ 的未定式。将原式中的分子和分母分别取导数，我们得到：\n$$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan'(\\tan x) \\cdot (\\tan x) - \\sin'(\\sin x) \\cdot (\\sin x) }{\\tan'(x) \\cdot (\\tan x) - \\sin'(x) \\cdot (\\sin x)}$$\n由于 $\\tan'(x) = \\sec^2(x)$ 和 $\\sin'(x) = \\cos(x)$，我们可以简化为：\n$$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\sec^2(\\tan x) \\cdot (\\tan x) - \\cos( \\sin x) }{\\sec^2(x) \\cdot (\\tan x) - \\cos(x)}$$\n再次应用洛必达法则，我们得到：\n$$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{2\\tan x \\cdot \\sec^2(\\tan x) - \\cos( \\sin x) }{\\sec^2(x) \\cdot 2\\tan x - \\cos(x)}$$\n注意到 $\\tan x \\rightarrow 0$ 和 $\\sec^2(\\tan x) \\rightarrow 1$ 当 $x \\rightarrow 0$。因此，我们可以进一步简化为：\n$$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{2\\tan x - \\cos( \\sin x) }{2\\tan x - \\cos(x)}$$\n最后，我们可以观察到当 $x \\rightarrow 0$ 时，$\\tan x \\rightarrow 0$ 和 $\\sin x \\rightarrow x$。因此，我们可以将分子和分母中的 $\\tan x$ 和 $\\sin x$ 替换为 $x$，得到：\n$$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{2x - \\cos(x) }{2x - \\cos(x)}$$\n利用等价无穷小量 $\\cos(x) \\approx 1 - \\frac{1}{2}x^2$，我们可以继续化简为：\n$$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{2x - (1 - \\frac{1}{2}x^2) }{2x - (1 - \\frac{1}{2}x^2)} = \\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{2x^2 + x - 1}{\\frac{1}{2}x^3 - x^2 + x - 1}$$\n现在我们可以对分子和分母进行有理化处理，得到：\n$$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{2x^2 + x - 1}{\\frac{1}{2}x^3 - x^2 + x - 1} = \\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{2x + 1}{\\frac{1}{2}x^2 - x + 1}$$\n最后，我们可以发现分子和分母都是二次多项式，且它们的极限值分别为 $2$ 和 $0$。因此，原式的极限值为 $0$。所以答案是 B. 0。", | |
| "gold": "A" | |
| }, | |
| "8": { | |
| "origin_prompt": [ | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x}=$____\nA. -1\nB. 0\nC. 2\nD. $\\frac{1}{2}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "C" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(1-\\frac{1}{1+2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{1+2+3}\\right)\\cdots\\left(1-\\frac{1}{1+2+\\cdots+n}\\right)=$____\nA. $\\frac{2}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{5}{6}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$xy=\\ln y$在$P=\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},\\mathrm{e}\\right)$点的曲率半径____\nA. $\\mathrm{e}^2$\nB. $2\\mathrm{e}^3$\nC. $3\\mathrm{e}^3$\nD. $\\mathrm{e}^3$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求不定积分：$I=\\int{x\\ln\\left(1+x^2\\right)\\mathrm{arc}\\tan x}\\mathrm{d}x$____\nA. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 1+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nB. $\\frac{\\left( x^2+2 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nC. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nD. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+4x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "A" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求定积分：$\\int_0^1{\\left(1-x\\right)\\sqrt{2x-x^2}}\\mathrm{d}x=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{1}{5}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "B" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$L=\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\sqrt{n}\\left(1-\\sum_{k=1}^n{\\frac{1}{n+\\sqrt{k}}}\\right)$=____\nA. $\\frac{1}{3}$\nB. $\\frac{2}{3}$\nC. 1\nD. $\\frac{4}{3}$\n答案: " | |
| } | |
| ], | |
| "prediction": "为了求解这个极限问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule），该法则适用于形如 $\\frac{0(0)}{0(0)}$ 的无穷式子。将分子和分母分别求导，我们得到：\n$$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\tan'(\\tan x) - \\sin'(\\sin x)}{\\tan x - \\sin x}$$\n对分子和分母进行求导后，我们有：\n$$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sec^2(\\tan x) - \\cos(\\sin x) }{\\cot x - \\cos x}$$\n现在我们可以观察到，当 $x \\to 0$时，$\\tan x \\to 0$ 和 $\\cot x \\to 1$。因此，我们可以用这些极限替换原式中的 $\\tan x$ 和 $\\cot x$，得到：\n$$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sec^2(0) - \\cos(\\sin 0) }{1 - \\cos(\\sin x)}$$\n由于 $\\sec^2(0) = 1$ 和 $\\cos(\\sin 0) = 1$，所以我们可以进一步简化为：\n$$\\lim_{x \\to 0} \\frac{1 - 1 }{1 - 1}$$\n最终，我们得到：\n$$\\lim_{x \\to 0} \\frac{0}{0} = 0$$", | |
| "gold": "B" | |
| }, | |
| "9": { | |
| "origin_prompt": [ | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x}=$____\nA. -1\nB. 0\nC. 2\nD. $\\frac{1}{2}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "C" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(1-\\frac{1}{1+2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{1+2+3}\\right)\\cdots\\left(1-\\frac{1}{1+2+\\cdots+n}\\right)=$____\nA. $\\frac{2}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{5}{6}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$xy=\\ln y$在$P=\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},\\mathrm{e}\\right)$点的曲率半径____\nA. $\\mathrm{e}^2$\nB. $2\\mathrm{e}^3$\nC. $3\\mathrm{e}^3$\nD. $\\mathrm{e}^3$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求不定积分：$I=\\int{x\\ln\\left(1+x^2\\right)\\mathrm{arc}\\tan x}\\mathrm{d}x$____\nA. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 1+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nB. $\\frac{\\left( x^2+2 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nC. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nD. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+4x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "A" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求定积分：$\\int_0^1{\\left(1-x\\right)\\sqrt{2x-x^2}}\\mathrm{d}x=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{1}{5}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "B" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n$x=1$是函数$f\\left(x\\right)=\\frac{bx^2+x+1}{ax+1}$的可去间断点，求$a,b$的值？____\nA. $a=-1,b=-2$\nB. $a=-2,b=-1$\nC. $a=-2,b=-2$\nD. $a=-1,b=0$\n答案: " | |
| } | |
| ], | |
| "prediction": "为了求解这个极限问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule），该法则适用于形如 $\\frac{0(x \\to a)}{0(x \\to a)}$ 的无穷大/无穷小形式。在这种情况下，我们可以将分子和分母都乘以 $\\frac{d}{dx}\\tan x$ 和 $\\frac{d}{dx}\\sin x$，然后对 $x$ 求导得到新的分子和分母。\n\n首先，我们计算导数：\n\n$\\frac{d}{dx}\\tan x = \\sec^2 x$\n\n$\\frac{d}{dx}\\sin x = \\cos x$\n\n现在我们将原式子中的分子和分母分别乘以这些导数：\n\n$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x} = \\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)\\sec^2 x - \\sin\\left(\\sin x\\right)\\cos x}{\\tan x\\sec^2 x - \\sin x\\cos x}$\n\n由于 $\\lim_{x\\rightarrow0} \\frac{a(x \\to a)b(x \\to a)}{c(x \\to a)d(x \\to a)} = \\lim_{x\\rightarrow0} \\frac{ad(x \\to a)}{bc(x \\to a)}$ 当 $a(x \\to a)$ 或 $b(x \\to a)$ 趋于无穷大时，所以我们可以将分子和分母中的 $a(x \\to a)$ 和 $b(x \\to a)$ 分别看作是 $\\tan x$ 和 $\\sec^2 x$。同样地，我们可以将分子和分母中的 $c(x \\to a)$ 和 $d(x \\to a)$ 分别看作是 $\\sin x$ 和 $\\cos x$。\n\n这样，原式子变为：\n\n$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)\\sec^2 x - \\sin\\left(\\sin x\\right)\\cos x}{\\tan x\\sec^2 x - \\sin x\\cos x}$\n\n由于当 $x \\rightarrow 0$ 时，$\\tan x \\rightarrow 0$，所以我们可以将分子和分母中的 $\\tan x$ 视为 $0$。此外，当 $x \\rightarrow 0$ 时，$\\sec^2 x \\rightarrow 1$ 和 $\\cos x \\rightarrow 1$。因此，原式子变为：\n\n$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{0\\cdot 1 - \\sin\\left(\\sin x\\right)\\cdot 1}{\\tan x\\cdot 1 - \\sin x\\cdot 1}$\n\n最后，我们可以简化这个表达式为：\n\n$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{-\\tan x}$\n\n由于当 $x \\rightarrow 0$ 时，$\\sin x \\rightarrow 0$ 且 $\\tan x \\rightarrow 1$，所以这个极限的值为：\n\n$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\sin\\left(\\sin x\\right)}{-\\tan x} = \\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{-\\sin x}{\\frac{1}{\\cos x}} = \\lim_{x\\rightarrow0}(-\\sin x \\cdot \\cos x) = 0$\n\n因此，答案是 B. 0。", | |
| "gold": "A" | |
| }, | |
| "10": { | |
| "origin_prompt": [ | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x}=$____\nA. -1\nB. 0\nC. 2\nD. $\\frac{1}{2}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "C" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(1-\\frac{1}{1+2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{1+2+3}\\right)\\cdots\\left(1-\\frac{1}{1+2+\\cdots+n}\\right)=$____\nA. $\\frac{2}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{5}{6}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$xy=\\ln y$在$P=\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},\\mathrm{e}\\right)$点的曲率半径____\nA. $\\mathrm{e}^2$\nB. $2\\mathrm{e}^3$\nC. $3\\mathrm{e}^3$\nD. $\\mathrm{e}^3$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求不定积分：$I=\\int{x\\ln\\left(1+x^2\\right)\\mathrm{arc}\\tan x}\\mathrm{d}x$____\nA. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 1+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nB. $\\frac{\\left( x^2+2 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nC. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nD. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+4x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "A" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求定积分：$\\int_0^1{\\left(1-x\\right)\\sqrt{2x-x^2}}\\mathrm{d}x=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{1}{5}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "B" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$\\sum_{n=1}^{\\infty}{\\frac{\\left(-1\\right)^{n+1}-2^n}{n}x^n}$的和函数.____\nA. $\\ln\\left(1-2x-x^2\\right),x\\in\\left[-\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{2}\\right)$\nB. $\\ln\\left(1-x-x^2\\right),x\\in\\left(-\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{2}\\right)$\nC. $\\ln\\left(1-2x-2x^2\\right),x\\in\\left[-\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{2}\\right)$\nD. $\\ln\\left(1-x-2x^2\\right),x\\in\\left[-\\dfrac{1}{2},\\dfrac{1}{2}\\right)$\n答案: " | |
| } | |
| ], | |
| "prediction": "为了求解这个极限问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule），该法则适用于形如 $\\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)}$ 的极限，当 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 在 $a$ 处都为零时，可以将其转化为 $\\lim_{x \\to a} f(x) / g(x)$ 的极限。在这个例子中，我们可以将分子和分母同时除以它们的导数：\n\n分子：$\\tan'(\\tan x) = \\frac{(\\sin x)^2}{\\cos^2 x} = \\sec^2 x$\n分母：$\\sin'(\\sin x) = \\cos x$\n\n所以分子为 $\\sec^2 x$，分母为 $\\cos x$，我们将它们相除得到：\n\n$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sec^2 x}{\\cos x} = \\lim_{x \\to 0} 2\\sec x\\tan x = 2$\n\n因此，选项 C 是正确的答案。", | |
| "gold": "D" | |
| }, | |
| "11": { | |
| "origin_prompt": [ | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x}=$____\nA. -1\nB. 0\nC. 2\nD. $\\frac{1}{2}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "C" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(1-\\frac{1}{1+2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{1+2+3}\\right)\\cdots\\left(1-\\frac{1}{1+2+\\cdots+n}\\right)=$____\nA. $\\frac{2}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{5}{6}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$xy=\\ln y$在$P=\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},\\mathrm{e}\\right)$点的曲率半径____\nA. $\\mathrm{e}^2$\nB. $2\\mathrm{e}^3$\nC. $3\\mathrm{e}^3$\nD. $\\mathrm{e}^3$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求不定积分：$I=\\int{x\\ln\\left(1+x^2\\right)\\mathrm{arc}\\tan x}\\mathrm{d}x$____\nA. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 1+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nB. $\\frac{\\left( x^2+2 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nC. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nD. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+4x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "A" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求定积分：$\\int_0^1{\\left(1-x\\right)\\sqrt{2x-x^2}}\\mathrm{d}x=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{1}{5}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "B" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\sqrt{1+x\\cos x}-\\sqrt{1+\\sin x}}{x^3}=$____\nA. $-\\dfrac{1}{3}$\nB. $-\\dfrac{1}{4}$\nC. $-\\dfrac{1}{5}$\nD. $-\\dfrac{1}{6}$\n答案: " | |
| } | |
| ], | |
| "prediction": "为了求解这个极限问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule），该法则适用于形如 $\\frac{0(0)}{0(0)}$ 的极限。在这种情况下，我们可以将分子和分母分别求导并代入 $x \\rightarrow 0$。\n\n首先，我们求分子和分母的导数：\n\n对于分子：\n$\\frac{d}{dx}\\tan(\\tan x) = \\frac{d}{dx}(\\tan x * \\tan x) = \\tan^2 x + \\tan^2 x = 2 \\tan^2 x$\n\n对于分母：\n$\\frac{d}{dx}\\tan x = \\frac{d}{dx}(\\sin x / \\cos x) = (\\cos x)(\\sin x) - (\\sin x) \\cdot 1 = \\sin x$\n\n同样地，对于分母：\n$\\frac{d}{dx}\\sin x = \\cos x$\n\n现在我们可以应用洛必达法则：\n\n$\\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{2 \\tan^2 x}{\\sin x} = \\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{2 \\tan^2 x}{\\tan x} = \\lim_{x \\rightarrow 0} \\frac{2(\\tan x)^2}{\\tan x} = \\lim_{x \\rightarrow 0} 2 \\tan x = 0$\n\n因此，选项 B 是正确的答案。", | |
| "gold": "D" | |
| }, | |
| "12": { | |
| "origin_prompt": [ | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x}=$____\nA. -1\nB. 0\nC. 2\nD. $\\frac{1}{2}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "C" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(1-\\frac{1}{1+2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{1+2+3}\\right)\\cdots\\left(1-\\frac{1}{1+2+\\cdots+n}\\right)=$____\nA. $\\frac{2}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{5}{6}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$xy=\\ln y$在$P=\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},\\mathrm{e}\\right)$点的曲率半径____\nA. $\\mathrm{e}^2$\nB. $2\\mathrm{e}^3$\nC. $3\\mathrm{e}^3$\nD. $\\mathrm{e}^3$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求不定积分：$I=\\int{x\\ln\\left(1+x^2\\right)\\mathrm{arc}\\tan x}\\mathrm{d}x$____\nA. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 1+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nB. $\\frac{\\left( x^2+2 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nC. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nD. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+4x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "A" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求定积分：$\\int_0^1{\\left(1-x\\right)\\sqrt{2x-x^2}}\\mathrm{d}x=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{1}{5}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "B" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\sum_{k=1}^n{\\frac{k}{\\left(k+1\\right)!}}=$____\nA. 1\nB. 0\nC. -1\nD. 2\n答案: " | |
| } | |
| ], | |
| "prediction": "为了求解这个极限问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule），该法则适用于形如 $\\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)}{g(x)}$ 的极限，当 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 在 $a$ 处都为零时，可以将其转换为 $\\lim_{x \\to a} f(x) g'(x) / g(x) f'(x)$。在这个问题中，我们有 $\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\tan(\\tan x) - \\sin(\\sin x)}{\\tan x - \\sin x}$，且当 $x \\to 0$ 时，$\\tan x \\to \\pi/2$，因此 $\\tan(\\tan x) \\to 1$；同样地，当 $x \\to 0$ 时，$\\sin x \\to 0$，所以 $\\sin(\\sin x) \\to 0$。这样，原极限可以简化为 $\\lim_{x \\to 0} \\frac{1 - 0}{1 - 0} = 1$。因此，正确答案是 A. -1。", | |
| "gold": "A" | |
| }, | |
| "13": { | |
| "origin_prompt": [ | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x}=$____\nA. -1\nB. 0\nC. 2\nD. $\\frac{1}{2}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "C" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(1-\\frac{1}{1+2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{1+2+3}\\right)\\cdots\\left(1-\\frac{1}{1+2+\\cdots+n}\\right)=$____\nA. $\\frac{2}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{5}{6}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$xy=\\ln y$在$P=\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},\\mathrm{e}\\right)$点的曲率半径____\nA. $\\mathrm{e}^2$\nB. $2\\mathrm{e}^3$\nC. $3\\mathrm{e}^3$\nD. $\\mathrm{e}^3$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求不定积分：$I=\\int{x\\ln\\left(1+x^2\\right)\\mathrm{arc}\\tan x}\\mathrm{d}x$____\nA. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 1+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nB. $\\frac{\\left( x^2+2 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nC. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nD. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+4x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "A" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求定积分：$\\int_0^1{\\left(1-x\\right)\\sqrt{2x-x^2}}\\mathrm{d}x=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{1}{5}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "B" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n已知曲线C是圆$(x-1)^{2}+(y-6)^{2}=25$上从点$A(1,1)$沿逆时针方向到$B(4,2)$的一段弧，则$\\oint_$102+3\\ln\\Bigl(\\frac{81}{2}\\Bigr)$(3\\ln(1+y)+5x^{2})\\mathrm{d}x+\\Bigl({\\frac{3x}{1+y}}-2y\\Bigr)\\mathrm{d}y=$____\nA. $108+3\\ln\\Bigl(\\frac{27}{2}\\Bigr)$\nB. $3\\ln\\left(\\dfrac{81}{2}\\right)-102$\nC. $102+3\\ln\\Bigl(\\frac{81}{2}\\Bigr)$\nD. $3\\ln\\left(\\dfrac{27}{2}\\right)-97$\n答案: " | |
| } | |
| ], | |
| "prediction": "为了求解这个极限问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule），该法则适用于形如 $\\frac{0(0)}{0(0)}$ 的极限。在这种情况下，我们可以将分子和分母都乘以 $(\\tan x - \\sin x)$，然后对 $x$ 求导数。这将使我们能够消除未定式的 $0(0)$ 部分，并找到极限的值。\n\n首先，我们计算分子和分母的导数：\n\n对于分子，我们有：\n$\\frac{d}{dx}(\\tan(\\tan x) - \\sin(\\sin x)) = \\frac{d}{dx}(\\tan(\\tan x)) - \\frac{d}{dx}(\\sin(\\sin x)) = \\sec^2(\\tan x) - \\cos(\\sin x)$\n\n对于分母，我们有：\n$\\frac{d}{dx}(\\tan x - \\sin x) = \\frac{d}{dx}(\\tan x) - \\frac{d}{dx}(\\sin x) = 1 - \\cos x$\n\n现在我们可以应用洛必达法则，将极限表示为：\n$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\sec^2(\\tan x) - (1 - \\cos x)}{1 - \\cos x}$\n\n为了继续求解这个极限，我们可以再次应用洛必达法则，这次是针对平方根式：\n$\\lim_{x \\to 0} \\frac{2\\tan(\\tan x)\\sec^2(\\tan x)}{2\\sin(x)(-\\sin(x))} = \\lim_{x \\to 0} \\frac{2\\tan^2(\\tan x)\\sec^2(\\tan x)}{-2\\sin^2(x)}$\n\n由于 $\\tan^2(x) = \\frac{\\sin^2(x)}{1 - \\cos^2(x)} = \\frac{1}{1 - \\cos^2(x)}$，我们可以进一步简化这个极限：\n$\\lim_{x \\to 0} \\frac{1}{1 - (1 - \\cos^2(x))} = \\lim_{x \\to 0} \\frac{1}{\\cos^2(x)}$\n\n最后，我们可以通过令 $y = \\cos(x)$ 来消去 $x$，从而得到极限的值：\n$\\lim_{y \\to 1} \\frac{1}{y^2} = \\frac{1}{1}$\n\n因此，原极限的值为：\n$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\tan(\\tan x) - \\sin(\\sin x)}{\\tan x - \\sin x} = \\frac{1}{1} = 1$", | |
| "gold": "C" | |
| }, | |
| "14": { | |
| "origin_prompt": [ | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x}=$____\nA. -1\nB. 0\nC. 2\nD. $\\frac{1}{2}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "C" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(1-\\frac{1}{1+2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{1+2+3}\\right)\\cdots\\left(1-\\frac{1}{1+2+\\cdots+n}\\right)=$____\nA. $\\frac{2}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{5}{6}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$xy=\\ln y$在$P=\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},\\mathrm{e}\\right)$点的曲率半径____\nA. $\\mathrm{e}^2$\nB. $2\\mathrm{e}^3$\nC. $3\\mathrm{e}^3$\nD. $\\mathrm{e}^3$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求不定积分：$I=\\int{x\\ln\\left(1+x^2\\right)\\mathrm{arc}\\tan x}\\mathrm{d}x$____\nA. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 1+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nB. $\\frac{\\left( x^2+2 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nC. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nD. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+4x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "A" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求定积分：$\\int_0^1{\\left(1-x\\right)\\sqrt{2x-x^2}}\\mathrm{d}x=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{1}{5}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "B" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n设$D$是全平面，$f\\left(x\\right)=\\begin{cases}\nx\\text{，}-1\\leq x\\leq2\\\\\n0\\text{，}\\text{其他}\\\\\n\\end{cases}$；计算$\\iint_D{f\\left(x\\right)f\\left(x^2-y\\right)}\\mathrm{d}\\sigma=$____\nA. $\\frac{9}{4}$\nB. $\\frac{5}{2}$\nC. $\\frac{11}{4}$\nD. 3\n答案: " | |
| } | |
| ], | |
| "prediction": "为了求解这个极限问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule），该法则适用于形如 $\\frac{0(0)}{0(0)}$ 的极限。在这种情况下，我们可以将分子和分母都除以 $tan(tan x)$ 和 $sin(sin x)$ 的同阶项，即 $tan x$ 和 $sin x$。这将使我们得到一个新的极限表达式：\n$$\\lim_{x \\to 0} \\frac{(tan x - sin x) / (tan x + sin x)}{(tan x - sin x) / (tan x + sin x)}$$\n现在我们可以对分子和分母使用洛必达法则，得到：\n$$\\lim_{x \\to 0} \\frac{(1/cos^2 x) / (1/cos x)}{(1/cos x) / (1/cos x)}$$\n由于 $cos x \\neq 0$，我们可以消去分母中的 $1/cos x$，得到：\n$$\\lim_{x \\to 0} \\frac{cos^2 x}{1} = 1$$\n因此，答案是 B. 0。", | |
| "gold": "A" | |
| }, | |
| "15": { | |
| "origin_prompt": [ | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x}=$____\nA. -1\nB. 0\nC. 2\nD. $\\frac{1}{2}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "C" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(1-\\frac{1}{1+2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{1+2+3}\\right)\\cdots\\left(1-\\frac{1}{1+2+\\cdots+n}\\right)=$____\nA. $\\frac{2}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{5}{6}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$xy=\\ln y$在$P=\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},\\mathrm{e}\\right)$点的曲率半径____\nA. $\\mathrm{e}^2$\nB. $2\\mathrm{e}^3$\nC. $3\\mathrm{e}^3$\nD. $\\mathrm{e}^3$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求不定积分：$I=\\int{x\\ln\\left(1+x^2\\right)\\mathrm{arc}\\tan x}\\mathrm{d}x$____\nA. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 1+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nB. $\\frac{\\left( x^2+2 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nC. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nD. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+4x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "A" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求定积分：$\\int_0^1{\\left(1-x\\right)\\sqrt{2x-x^2}}\\mathrm{d}x=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{1}{5}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "B" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n计算广义积分：$\\int_0^{+\\infty}{\\frac{\\mathrm{d}x}{\\left(1+x^2\\right)\\left(1+x^4\\right)}}$____\nA. $\\frac{\\pi}{8}$\nB. $\\frac{\\pi}{4}$\nC. $\\frac{\\pi}{2}$\nD. $\\frac{\\pi}{3}$\n答案: " | |
| } | |
| ], | |
| "prediction": "为了求解这个极限问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule），该法则适用于形如 $\\frac{0(0)}{0(0)}$ 的极限。在这种情况下，我们可以将分子和分母都除以 $tan(tan(x)) - sin(sin(x))$ 和 $tan(x) - sin(x)$，分别得到 $\\frac{1}{1+cos(cos(x))}$ 和 $\\frac{1}{1+cos(x)}$。然后，我们应用洛必达法则两次，分别对每个分数求导，得到 $\\frac{1}{sin^2(x)}$ 和 $\\frac{1}{x^2}$。因此，原极限等于 $\\frac{1}{sin^2(x) + x^2}$。当 $x \\to 0$ 时，这个表达式趋近于 $\\frac{1}{9}$，所以答案是 D. $\\frac{1}{2}$。", | |
| "gold": "B" | |
| }, | |
| "16": { | |
| "origin_prompt": [ | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x}=$____\nA. -1\nB. 0\nC. 2\nD. $\\frac{1}{2}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "C" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(1-\\frac{1}{1+2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{1+2+3}\\right)\\cdots\\left(1-\\frac{1}{1+2+\\cdots+n}\\right)=$____\nA. $\\frac{2}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{5}{6}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$xy=\\ln y$在$P=\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},\\mathrm{e}\\right)$点的曲率半径____\nA. $\\mathrm{e}^2$\nB. $2\\mathrm{e}^3$\nC. $3\\mathrm{e}^3$\nD. $\\mathrm{e}^3$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求不定积分：$I=\\int{x\\ln\\left(1+x^2\\right)\\mathrm{arc}\\tan x}\\mathrm{d}x$____\nA. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 1+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nB. $\\frac{\\left( x^2+2 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nC. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nD. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+4x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "A" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求定积分：$\\int_0^1{\\left(1-x\\right)\\sqrt{2x-x^2}}\\mathrm{d}x=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{1}{5}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "B" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n已知数列$\\left\\{a_n\\right\\}$，其中$a_n=\\cos n\\alpha$，其前$n$$项和为$S_n$.求：$S_n=$____\nA. $\\frac{\\cos \\frac{n}{2}\\alpha \\cdot \\sin \\frac{n\\alpha}{2}}{\\sin \\frac{\\alpha}{2}}$\nB. $\\frac{\\cos \\frac{n+1}{2}\\alpha \\cdot \\sin \\frac{n\\alpha}{2}}{\\sin \\frac{\\alpha}{2}}$\nC. $\\frac{\\cos \\frac{n+1}{2}\\alpha \\cdot \\sin \\frac{n\\alpha}{2}}{\\sin \\frac{\\alpha}{3}}$\nD. $\\frac{\\cos \\frac{n-1}{2}\\alpha \\cdot \\sin \\frac{n\\alpha}{2}}{\\sin \\frac{\\alpha}{2}}$\n答案: " | |
| } | |
| ], | |
| "prediction": "为了求解这个极限问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule），该法则适用于形如 $\\frac{0(x \\to a)}{0(x \\to a)}$ 的无穷大形式。在这种情况下，我们可以将分子和分母都求导并化简为 $\\frac{1}{1+tan^2}$ 和 $\\frac{1}{1+cos^2}$。然后，我们可以应用洛必达法则两次，得到：\n\n$$\\lim_{x \\to 0} \\frac{\\frac{1}{tan x}}{\\frac{1}{sin x}} = \\lim_{x \\to 0} \\frac{sin x}{cos x} = \\lim_{x \\to 0} \\sqrt{sin^2 x}$$\n\n由于 $sin^2 x < 1$，当 $x \\to 0$ 时，$\\sqrt{sin^2 x} \\to 0$，所以最终答案是 A. -1。", | |
| "gold": "B" | |
| }, | |
| "17": { | |
| "origin_prompt": [ | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x}=$____\nA. -1\nB. 0\nC. 2\nD. $\\frac{1}{2}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "C" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(1-\\frac{1}{1+2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{1+2+3}\\right)\\cdots\\left(1-\\frac{1}{1+2+\\cdots+n}\\right)=$____\nA. $\\frac{2}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{5}{6}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$xy=\\ln y$在$P=\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},\\mathrm{e}\\right)$点的曲率半径____\nA. $\\mathrm{e}^2$\nB. $2\\mathrm{e}^3$\nC. $3\\mathrm{e}^3$\nD. $\\mathrm{e}^3$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求不定积分：$I=\\int{x\\ln\\left(1+x^2\\right)\\mathrm{arc}\\tan x}\\mathrm{d}x$____\nA. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 1+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nB. $\\frac{\\left( x^2+2 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nC. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nD. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+4x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "A" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求定积分：$\\int_0^1{\\left(1-x\\right)\\sqrt{2x-x^2}}\\mathrm{d}x=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{1}{5}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "B" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n计算定积分：$\\int_{-1}^1{\\frac{\\mathrm{d}x}{\\left(1+\\mathrm{e}^x\\right)\\left(1+x^2\\right)}}$____\nA. $\\frac{\\pi}{8}$\nB. $\\frac{\\pi}{4}$\nC. $\\frac{\\pi}{2}$\nD. $\\pi$\n答案: " | |
| } | |
| ], | |
| "prediction": "为了求解这个极限问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule），该法则适用于形如 $\\frac{0(x \\to a)}{0(x \\to a)}$ 的未定式。将原式中的分子和分母分别取导数，我们得到：\n$$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{(\\tan x)'(\\tan x)+(\\sin x)'(\\sin x)-(\\tan x)'(\\sin x)-(\\sin x)'(\\tan x)}{\\tan x'-\\sin x'}$$\n由于 $\\tan'x = \\sin x$ 和 $\\sin'x = \\cos x$，我们可以简化上述表达式为：\n$$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{2\\sin^2x}{\\cos x}$$\n由于 $\\sin^2x = (1-\\cos^2x)$，我们可以进一步化简为：\n$$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{2(1-\\cos^2x)}{\\cos x} = \\lim_{x\\rightarrow0}4\\sin x\\cos x = 2$$\n因此，答案是 C. 2。", | |
| "gold": "B" | |
| }, | |
| "18": { | |
| "origin_prompt": [ | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x}=$____\nA. -1\nB. 0\nC. 2\nD. $\\frac{1}{2}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "C" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\left(1-\\frac{1}{1+2}\\right)\\left(1-\\frac{1}{1+2+3}\\right)\\cdots\\left(1-\\frac{1}{1+2+\\cdots+n}\\right)=$____\nA. $\\frac{2}{3}$\nB. $\\frac{1}{2}$\nC. $\\frac{5}{6}$\nD. $\\frac{1}{3}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求$xy=\\ln y$在$P=\\left(\\frac{1}{\\mathrm{e}},\\mathrm{e}\\right)$点的曲率半径____\nA. $\\mathrm{e}^2$\nB. $2\\mathrm{e}^3$\nC. $3\\mathrm{e}^3$\nD. $\\mathrm{e}^3$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "D" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求不定积分：$I=\\int{x\\ln\\left(1+x^2\\right)\\mathrm{arc}\\tan x}\\mathrm{d}x$____\nA. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 1+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nB. $\\frac{\\left( x^2+2 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+3 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nC. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+3x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\nD. $\\frac{\\left( x^2+1 \\right) \\ln \\left( 2+x^2 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x+4x-\\left( x^2+4 \\right) \\mathrm{arc}\\tan x-x\\ln \\left( 1+x^2 \\right)}{2}+C$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "A" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求定积分：$\\int_0^1{\\left(1-x\\right)\\sqrt{2x-x^2}}\\mathrm{d}x=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{3}$\nC. $\\frac{1}{4}$\nD. $\\frac{1}{5}$\n答案: " | |
| }, | |
| { | |
| "role": "BOT", | |
| "prompt": "B" | |
| }, | |
| { | |
| "role": "HUMAN", | |
| "prompt": "以下是中国关于高等数学考试的单项选择题，请选出其中的正确答案。\n求极限：$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan2x^2-x^2}{\\sin x^2+3x^2}=$____\nA. $\\frac{1}{2}$\nB. $\\frac{1}{4}$\nC. $\\frac{1}{8}$\nD. $\\frac{3}{5}$\n答案: " | |
| } | |
| ], | |
| "prediction": "为了求解这个极限问题，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's Rule），该法则适用于形如 $\\frac{0(0)}{0(0)}$ 的极限。在这种情况下，我们可以将分子和分母分别求导并代入 $x \\rightarrow 0$。\n\n首先，我们求分子和分母的导数：\n对分子求导得：$\\frac{d\\left(\\tan\\left(\\tan x\\right)\\right)}{dx} = \\frac{d\\left(\\sin\\left(\\sin x\\right)\\right)}{dx} = 1$\n对分母求导得：$\\frac{d\\left(\\tan x - \\sin x\\right)}{dx} = \\frac{1}{\\cos x}$\n\n现在我们将导数代入原式子中：\n$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right)-\\sin\\left(\\sin x\\right)}{\\tan x-\\sin x} = \\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\tan\\left(\\tan x\\right) - \\sin\\left(\\sin x\\right)}{1/\\cos x} = \\lim_{x\\rightarrow0} \\left(\\tan\\left(\\tan x\\right) - \\sin\\left(\\sin x\\right) \\cdot \\cos x\\right)$\n\n由于 $\\lim_{x\\rightarrow0} \\tan x = 1$ 和 $\\lim_{x\\rightarrow0} \\sin x = 0$，我们可以得出结论：\n$\\lim_{x\\rightarrow0} \\left(\\tan\\left(\\tan x\\right) - \\sin\\left(\\sin x\\right) \\cdot \\cos x\\right) = 1 - 0 \\cdot 1 = 0$\n\n因此，正确答案是 B. 0。", | |
| "gold": "B" | |
| } | |
| } |