<jupyter_start><jupyter_text>学习率调度器:label:`sec_scheduler`到目前为止，我们主要关注如何更新权重向量的优化算法，而不是它们的更新速率。然而，调整学习率通常与实际算法同样重要，有如下几方面需要考虑：* 首先，学习率的大小很重要。如果它太大，优化就会发散；如果它太小，训练就会需要过长时间，或者我们最终只能得到次优的结果。我们之前看到问题的条件数很重要（有关详细信息，请参见 :numref:`sec_momentum`）。直观地说，这是最不敏感与最敏感方向的变化量的比率。* 其次，衰减速率同样很重要。如果学习率持续过高，我们可能最终会在最小值附近弹跳，从而无法达到最优解。 :numref:`sec_minibatch_sgd`比较详细地讨论了这一点，在 :numref:`sec_sgd`中我们则分析了性能保证。简而言之，我们希望速率衰减，但要比$\mathcal{O}(t^{-\frac{1}{2}})$慢，这样能成为解决凸问题的不错选择。* 另一个同样重要的方面是初始化。这既涉及参数最初的设置方式（详情请参阅 :numref:`sec_numerical_stability`），又关系到它们最初的演变方式。这被戏称为*预热*（warmup），即我们最初开始向着解决方案迈进的速度有多快。一开始的大步可能没有好处，特别是因为最初的参数集是随机的。最初的更新方向可能也是毫无意义的。* 最后，还有许多优化变体可以执行周期性学习率调整。这超出了本章的范围，我们建议读者阅读 :cite:`Izmailov.Podoprikhin.Garipov.ea.2018`来了解个中细节。例如，如何通过对整个路径参数求平均值来获得更好的解。鉴于管理学习率需要很多细节，因此大多数深度学习框架都有自动应对这个问题的工具。在本章中，我们将梳理不同的调度策略对准确性的影响，并展示如何通过*学习率调度器*（learning rate scheduler）来有效管理。 一个简单的问题我们从一个简单的问题开始，这个问题可以轻松计算，但足以说明要义。为此，我们选择了一个稍微现代化的LeNet版本（激活函数使用`relu`而不是`sigmoid`，汇聚层使用最大汇聚层而不是平均汇聚层），并应用于Fashion-MNIST数据集。此外，我们混合网络以提高性能。由于大多数代码都是标准的，我们只介绍基础知识，而不做进一步的详细讨论。如果需要，请参阅 :numref:`chap_cnn`进行复习。<jupyter_code>%matplotlib inline
import math
import tensorflow as tf
from tensorflow.keras.callbacks import LearningRateScheduler
from d2l import tensorflow as d2l


def net():
    return tf.keras.models.Sequential([
        tf.keras.layers.Conv2D(filters=6, kernel_size=5, activation='relu',
                               padding='same'),
        tf.keras.layers.AvgPool2D(pool_size=2, strides=2),
        tf.keras.layers.Conv2D(filters=16, kernel_size=5,
                               activation='relu'),
        tf.keras.layers.AvgPool2D(pool_size=2, strides=2),
        tf.keras.layers.Flatten(),
        tf.keras.layers.Dense(120, activation='relu'),
        tf.keras.layers.Dense(84, activation='sigmoid'),
        tf.keras.layers.Dense(10)])


batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size=batch_size)

# 代码几乎与d2l.train_ch6定义在卷积神经网络一章LeNet一节中的相同
def train(net_fn, train_iter, test_iter, num_epochs, lr,
              device=d2l.try_gpu(), custom_callback = False):
    device_name = device._device_name
    strategy = tf.distribute.OneDeviceStrategy(device_name)
    with strategy.scope():
        optimizer = tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=lr)
        loss = tf.keras.losses.SparseCategoricalCrossentropy(from_logits=True)
        net = net_fn()
        net.compile(optimizer=optimizer, loss=loss, metrics=['accuracy'])
    callback = d2l.TrainCallback(net, train_iter, test_iter, num_epochs,
                             device_name)
    if custom_callback is False:
        net.fit(train_iter, epochs=num_epochs, verbose=0,
                callbacks=[callback])
    else:
         net.fit(train_iter, epochs=num_epochs, verbose=0,
                 callbacks=[callback, custom_callback])
    return net<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>让我们来看看如果使用默认设置，调用此算法会发生什么。例如设学习率为$0.3$并训练$30$次迭代。留意在超过了某点、测试准确度方面的进展停滞时，训练准确度将如何继续提高。两条曲线之间的间隙表示过拟合。<jupyter_code>lr, num_epochs = 0.3, 30
train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr)<jupyter_output>loss 0.223, train acc 0.917, test acc 0.892
72847.5 examples/sec on /GPU:0<jupyter_text>学习率调度器我们可以在每个迭代轮数（甚至在每个小批量）之后向下调整学习率。例如，以动态的方式来响应优化的进展情况。<jupyter_code>lr = 0.1
dummy_model = tf.keras.models.Sequential([tf.keras.layers.Dense(10)])
dummy_model.compile(tf.keras.optimizers.SGD(learning_rate=lr), loss='mse')
print(f'learning rate is now ,', dummy_model.optimizer.lr.numpy())<jupyter_output>learning rate is now , 0.1<jupyter_text>更通常而言，我们应该定义一个调度器。当调用更新次数时，它将返回学习率的适当值。让我们定义一个简单的方法，将学习率设置为$\eta = \eta_0 (t + 1)^{-\frac{1}{2}}$。<jupyter_code>class SquareRootScheduler:
    def __init__(self, lr=0.1):
        self.lr = lr

    def __call__(self, num_update):
        return self.lr * pow(num_update + 1.0, -0.5)<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>让我们在一系列值上绘制它的行为。<jupyter_code>scheduler = SquareRootScheduler(lr=0.1)
d2l.plot(tf.range(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>现在让我们来看看这对在Fashion-MNIST数据集上的训练有何影响。我们只是提供调度器作为训练算法的额外参数。<jupyter_code>train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr,
      custom_callback=LearningRateScheduler(scheduler))<jupyter_output>loss 0.381, train acc 0.861, test acc 0.840
80344.8 examples/sec on /GPU:0<jupyter_text>这比以前好一些：曲线比以前更加平滑，并且过拟合更小了。遗憾的是，关于为什么在理论上某些策略会导致较轻的过拟合，有一些观点认为，较小的步长将导致参数更接近零，因此更简单。但是，这并不能完全解释这种现象，因为我们并没有真正地提前停止，而只是轻柔地降低了学习率。 策略虽然我们不可能涵盖所有类型的学习率调度器，但我们会尝试在下面简要概述常用的策略：多项式衰减和分段常数表。此外，余弦学习率调度在实践中的一些问题上运行效果很好。在某些问题上，最好在使用较高的学习率之前预热优化器。 多因子调度器多项式衰减的一种替代方案是乘法衰减，即$\eta_{t+1} \leftarrow \eta_t \cdot \alpha$其中$\alpha \in (0, 1)$。为了防止学习率衰减超出合理的下限，更新方程经常修改为$\eta_{t+1} \leftarrow \mathop{\mathrm{max}}(\eta_{\mathrm{min}}, \eta_t \cdot \alpha)$。<jupyter_code>class FactorScheduler:
    def __init__(self, factor=1, stop_factor_lr=1e-7, base_lr=0.1):
        self.factor = factor
        self.stop_factor_lr = stop_factor_lr
        self.base_lr = base_lr

    def __call__(self, num_update):
        self.base_lr = max(self.stop_factor_lr, self.base_lr * self.factor)
        return self.base_lr

scheduler = FactorScheduler(factor=0.9, stop_factor_lr=1e-2, base_lr=2.0)
d2l.plot(tf.range(50), [scheduler(t) for t in range(50)])<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>接下来，我们将使用内置的调度器，但在这里仅解释它们的功能。 多因子调度器训练深度网络的常见策略之一是保持分段稳定的学习率，并且每隔一段时间就一定程度学习率降低。具体地说，给定一组降低学习率的时间，例如$s = \{5, 10, 20\}$每当$t \in s$时降低$\eta_{t+1} \leftarrow \eta_t \cdot \alpha$。假设每步中的值减半，我们可以按如下方式实现这一点。<jupyter_code>class MultiFactorScheduler:
    def __init__(self, step, factor, base_lr):
        self.step = step
        self.factor = factor
        self.base_lr = base_lr

    def __call__(self, epoch):
        if epoch in self.step:
            self.base_lr = self.base_lr * self.factor
            return self.base_lr
        else:
            return self.base_lr

scheduler = MultiFactorScheduler(step=[15, 30], factor=0.5, base_lr=0.5)
d2l.plot(tf.range(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>这种分段恒定学习率调度背后的直觉是，让优化持续进行，直到权重向量的分布达到一个驻点。此时，我们才将学习率降低，以获得更高质量的代理来达到一个良好的局部最小值。下面的例子展示了如何使用这种方法产生更好的解决方案。<jupyter_code>train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr,
      custom_callback=LearningRateScheduler(scheduler))<jupyter_output>loss 0.234, train acc 0.914, test acc 0.888
79511.1 examples/sec on /GPU:0<jupyter_text>余弦调度器余弦调度器是 :cite:`Loshchilov.Hutter.2016`提出的一种启发式算法。它所依据的观点是：我们可能不想在一开始就太大地降低学习率，而且可能希望最终能用非常小的学习率来“改进”解决方案。这产生了一个类似于余弦的调度，函数形式如下所示，学习率的值在$t \in [0, T]$之间。$$\eta_t = \eta_T + \frac{\eta_0 - \eta_T}{2} \left(1 + \cos(\pi t/T)\right)$$这里$\eta_0$是初始学习率，$\eta_T$是当$T$时的目标学习率。此外，对于$t > T$，我们只需将值固定到$\eta_T$而不再增加它。在下面的示例中，我们设置了最大更新步数$T = 20$。<jupyter_code>class CosineScheduler:
    def __init__(self, max_update, base_lr=0.01, final_lr=0,
               warmup_steps=0, warmup_begin_lr=0):
        self.base_lr_orig = base_lr
        self.max_update = max_update
        self.final_lr = final_lr
        self.warmup_steps = warmup_steps
        self.warmup_begin_lr = warmup_begin_lr
        self.max_steps = self.max_update - self.warmup_steps

    def get_warmup_lr(self, epoch):
        increase = (self.base_lr_orig - self.warmup_begin_lr) \
                       * float(epoch) / float(self.warmup_steps)
        return self.warmup_begin_lr + increase

    def __call__(self, epoch):
        if epoch < self.warmup_steps:
            return self.get_warmup_lr(epoch)
        if epoch <= self.max_update:
            self.base_lr = self.final_lr + (
                self.base_lr_orig - self.final_lr) * (1 + math.cos(
                math.pi * (epoch - self.warmup_steps) / self.max_steps)) / 2
        return self.base_lr

scheduler = CosineScheduler(max_update=20, base_lr=0.3, final_lr=0.01)
d2l.plot(tf.range(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>在计算机视觉中，这个调度可以引出改进的结果。但请注意，如下所示，这种改进并不能保证。<jupyter_code>train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr,
      custom_callback=LearningRateScheduler(scheduler))<jupyter_output>loss 0.263, train acc 0.903, test acc 0.885
79465.8 examples/sec on /GPU:0<jupyter_text>预热在某些情况下，初始化参数不足以得到良好的解。这对于某些高级网络设计来说尤其棘手，可能导致不稳定的优化结果。对此，一方面，我们可以选择一个足够小的学习率，从而防止一开始发散，然而这样进展太缓慢。另一方面，较高的学习率最初就会导致发散。解决这种困境的一个相当简单的解决方法是使用预热期，在此期间学习率将增加至初始最大值，然后冷却直到优化过程结束。为了简单起见，通常使用线性递增。这引出了如下表所示的时间表。<jupyter_code>scheduler = CosineScheduler(20, warmup_steps=5, base_lr=0.3, final_lr=0.01)
d2l.plot(tf.range(num_epochs), [scheduler(t) for t in range(num_epochs)])<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>注意，观察前5个迭代轮数的性能，网络最初收敛得更好。<jupyter_code>train(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr,
      custom_callback=LearningRateScheduler(scheduler))<jupyter_output>loss 0.271, train acc 0.901, test acc 0.880
80119.4 examples/sec on /GPU:0
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