<jupyter_start><jupyter_text>Общая физика. Механика. Лекция 6. Потенциальная энергия. Столкновения частиц. *(c) 2021 <NAME>. These lectures are licensed under a Creative Commons Attribution License CC-BY 4.0. All code contained herein is licensed under an MIT license. The lectures were generated from a Jupyter notebook.*  План лекции:* связь силы и потенциальной энергии* финитное и инфинитное движение* упругие столкновения частиц* неупругие столкновения частиц  Связь силы и потенциальной энергииДля потенциальной энергии как функции координат $U\left(x,y,z\right)$ говорят, что в пространстве задано потенциальное поле. Поле является особой формой материи, поэтому его можно рассматривать отдельно от тел, создающих это поле: например, гравитационное поле в каком-то объеме и массивных тел, создающих это поле. На любое пробное тело, помещенное в область ненулевого поля будет действовать потенциальная сила. Элементарную работу такой силы можно выразить с одной стороны, по определению, а с другой - через убыль потенциальной энергии:$$dA={\bf F}\cdot d{\bf r}=U\left({\bf r}\right)-U\left({\bf r}+d{\bf r}\right)=-dU$$Компоненту силы и соответствующее изменение потенциальной энергии можно рассмотреть отдельно вдоль каждой оси декартовой системы координат:$$F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dx=-dU\Rightarrow$$$$\Rightarrow F_{x}=-\left(\dfrac{dU}{dx}\right)_{y,z}=-\dfrac{\partial U}{\partial x},F_{y}=-\left(\dfrac{dU}{dy}\right)_{x,z}=-\dfrac{\partial U}{\partial y},F_{z}=-\left(\dfrac{dU}{dz}\right)_{x,y}=-\dfrac{\partial U}{\partial z}$$Производные функции нескольких аргументов по одному из аргументов при фиксированных остальных, например $\partial U/\partial x$, называются частными производными. Для векторного обозначения получившегося соотношения используют так называемый оператор градиента ($\mathrm{grad}$) или оператором набла $\nabla$:$${\bf F}=-\mathrm{grad}\left(U\right)\equiv -\nabla U=-\dfrac{\partial U}{\partial x}\hat{{\bf e}}_{x}-\dfrac{\partial U}{\partial y}\hat{{\bf e}}_{y}-\dfrac{\partial U}{\partial z}\hat{{\bf e}}_{z}$$Введенный таким образом оператор сопоставляет скалярной функции координат вектор. Например, $$U=\dfrac{1}{2}\alpha r^{2}, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.$$Тогда$$F_{x}=-\dfrac{\partial U}{\partial x}=-\alpha x,F_{y}=-\dfrac{\partial U}{\partial y}=-\alpha y,F_{z}=-\dfrac{\partial U}{\partial z}=-\alpha z\Rightarrow{\bf F}=-\alpha{\bf r}$$  Полная энергия в системе с потенцильными взаимодействиямиС помощью потенциальной энергии как функции координат можно дать некоторые характеристики движения материальной точки, не вычисляя точных тракторий. Для простоты и наглядности ограничимся одномерным движением и функцией $U(x)$. Во-первых, в состоянии равновесия сила, действующая на материальную точку, равна нулю. В соответствии с геометрической интерпретацией производной, потенциал должен иметь в этом положении экстремум - минимум или максимум. В соотвествии с формулой $F=-dU/dx$ видно, что в минимум потенциальной энергии соответствует устойчивому положению равновесия - в окрестности этого положения возникает сила, стремящаяся вернуть материальную точку обратно в равновесие, - а  максимум - неустойчивому (см Рисунок).                Усточивое и неустойчивое положения равновесия    Теперь рассмотрим функцию $U(x)$ на всей оси. Полная механическая энергия в отсутствие диссипативных сил сохраняется, $K+U\left(x\right)=E=const$. Поэтому при заданной полной энергии движение материальной точки допустимо исключительно в областях с $U\left(x\right)\leq E$ (горизонтальные линии на рисунке). Вид этих областей показывает, может ли в процессе движения материальная точка уйти на бесконечность, или же она все время будет двигаться в ограниченной области пространства. В первом случае движение называется инфинитным, во втором - финитным. В рамках классической механики переход тела между двумя областями, где разрешено движение, разделенных областью, где потенциальная энергия $U(x)>E$, запрещен. Позднее при изучении квантовой механики мы увидим, что в рамках квантовой теории такой переход может осуществиться, и в физике такие эффекты называют туннелирование под потенциальным барьером.                Слева: область, соответствующая финитной траектории; в центре: область, соответствующая инфинитной траектории; справа: две области, разделенные потенциальным барьером - в рамках классической механики переход между областями невозможен (пунктирная стрелка), но в рамках квантовой - возможен.    С помощью закона сохранения энергии можно связать время движения в заданном потенциале с координатами, между которыми происходит перемещение материальной точки следующим образом:$$\dfrac{1}{2}m\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}+U\left(x\right)=E\Rightarrow\dfrac{dx}{dt}=\sqrt{\dfrac{2}{m}}\sqrt{E-U\left(x\right)}\Rightarrow t=\sqrt{\dfrac{m}{2}}\int\limits_{x_1}^{x_2}\dfrac{dx}{\sqrt{E-U\left(x\right)}}+const$$С помощью этого соотношения можно, например, посчитать период колебаний пружнного маятника. Потенциальня энергия груза на пружинке имеет вид параболы: $U=\frac{1}{2}kx^{2}$. Значит, движение всегда ограниченное - финитное. При заданной полной энергии груз совершает движение между двумя крайними точками, в которых кинетическая энергия равна нулю:$$U_{max}=E\Rightarrow \frac{1}{2}kx^{2}_{max}=E\Rightarrow x_{max}=\sqrt{2E/k}$$Время движения от одного крайнего положения к другому равняется половине периода колебаний:$$T=2\sqrt{\frac{m}{2}}\intop_{-x_{max}}^{x_{max}}\dfrac{dx}{\sqrt{E-\dfrac{1}{2}kx^{2}}} = \sqrt{2m}\sqrt{\dfrac{2}{k}}\intop_{-x_{max}}^{x_{max}} \dfrac{dx}{\sqrt{2E/k-x^{2}}} = 2\sqrt{\dfrac{m}{k}}\left.\arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{2E/k}}\right)\right|_{-x_{max}}^{x_{max}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$$                Движение груза на пружинке<jupyter_code># Пример: энергия парного взаимодействия двух сферических неполярных молекул (потенциал Леннарда-Джонса):
# U(r) = 4e(a/r^{12}-b/r^{6})
# Он описывает притяжение на больших расстояниях и отталкивание на малых.
# Движение может быть как финитным при E<0, так и инфинитным при E>0.
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(1,3,100)
y = x**(-12) - 0.5*(x**(-6))

fig = plt.figure()
plt.plot(x,y, 'r')
plt.show()<jupyter_output><empty_output>
{'fraction_non_alphanumeric': 0.12475822050290135, 'fraction_numerical': 0.008865248226950355, 'mean_word_length': 5.781420765027322, 'pattern_counts': {'":': 0, '<': 7, '<?xml version=': 0, '>': 8, 'https://': 0, 'lorem ipsum': 0, 'www.': 0, 'xml': 0}, 'pii_count': 0, 'substrings_counts': 0, 'word_list_counts': {'cursed_substrings.json': 0, 'profanity_word_list.json': 0, 'sexual_word_list.json': 0, 'zh_pornsignals.json': 0}}
{'chain_length': '1', 'dir': 'jupyter-structured-clean-dedup', 'id': '251320', 'license': 'MIT', 'n_tokens_mistral': 2473, 'n_tokens_neox': 2860, 'n_words': 612, 'path': 'lecture 06.ipynb', 'repo_name': 'aashcher/gephys_mechanics_fall_2021', 'size': '6216'}