<jupyter_start><jupyter_text>상미분 방정식의 엄밀해An Exact Solution of an Ordinary Differential Equation 미분 방정식의 한 간단한 예는 다음과 같다.A simple example of a differential equation is as follows. $$\left\{    \begin{align}        a_0 \frac{d}{dt}x(t)+a_1 x(t)&=0 \\        x(0)&=x_0 \\    \end{align}\right.$$ 위 미분방정식의 해는 함수 $x(t)$ 이다.A solution for the differential equation above is the function $x(t)$. 어떤 미분방정식을 푼다는 것은, 해당 미분방정식을 만족하는 함수 $x(t)$를 찾는 것을 뜻한다.Solving for a differential equation means searching for a function $x(t)$ satisfying the differential equation. 처음에는 어떤 형태의 함수가 해당 미분 방정식을 만족시킬 것인지 잘 모를 수도 있겠지만 몇 가지 함수를 생각해 보자.At first, we may not be certain about which type of function may satisfy the equation above, but let's consider a few possible candiates.  다항식?A polynomial? 다음과 같은 다항식이 만족시킬 수 있을까?Is a polynomial as follows suitable? $$    x(t) = A_0 t^2 + A_1 t + A_2$$ 미분해 보자Let's differentiate. $$    \frac{d}{dt}x(t) = 2 A_0 t + A_1$$ 각각 계수로 곱해보자.Let's multiply with respective coefficients. $$\left\{    \begin{align}        a_0 \frac{d}{dt}x(t) &= a_0 \left(2 A_0 t + A_1 \right)\\        a_1 x(t)&=a_1 \left( A_0 t^2 + A_1 t + A_2 \right) \\    \end{align}\right.$$ 등호의 오른쪽은 오른쪽 끼리, 등호의 왼쪽은 왼쪽 끼리 더해 보자.Let's add each side respectively. $$\begin{align}    a_1 x(t) + a_0\frac{d}{dt}x(t) &= a_1 \left( A_0 t^2 + A_1 t + A_2 \right) + a_0 \left(2 A_0 t + A_1 \right) \\    & = a_1 A_0 t^2 + \left(2 a_0 A_0 + a_1 A_1\right) t + \left(a_0 A_1 + a_1 A_2\right)\end{align}$$ 위에서Remember $$a_0 \frac{d}{dt}x(t)+a_1 x(t)=0$$ 이었으므로 $t$가 어떤 값을 가지든  thus for all $t$ $$a_1 A_0 t^2 + \left(2 a_0 A_0 + a_1 A_1\right) t + \left(a_0 A_1 + a_1 A_2\right) = 0$$ 이어야 한다.  should be satisfied. 이러한 조건이 전혀 만족될 수 없는 것은 아닐 것이나, 일단은 좀 더 일반적으로 유용할 수 있어 보이는 경우를 살펴보도록 하자.Although this could be satisfied in some way or the other, however, for now let's take a look at a different case that seems more generally useful.  지수 함수?Exponential Function? 아래와 같은 지수함수를 생각해 보자.Let's think about an exponential function as follows. $$    x(t) = A_0 e^{\lambda t}$$ 전과 마찬가지로, 미분하고 계수를 곱해 더해보자.As before, let's differentiate and add after multiplying coefficients. $$    \frac{d}{dt}x(t) = A_0 \lambda e^{\lambda t}$$ $$\left\{    \begin{align}        a_0 \frac{d}{dt}x(t) &= a_0 \left(A_0 \lambda e^{\lambda t} \right)\\        a_1 x(t)&=a_1 \left( A_0 e^{\lambda t} \right) \\    \end{align}\right.$$ $$    a_0 \frac{d}{dt}x(t) + a_1 x(t) = a_0 \left(A_0 \lambda e^{\lambda t} \right) + a_1 \left( A_0 e^{\lambda t} \right) =0$$ $t$가 어떤 값을 가지든 상관 없이 위 관계는 만족되어야한다.For all $t$, the relationship above must be satisfied. $A_0 e^{\lambda t}$ 에 관해 묶어 보자.Let's factor out $A_0 e^{\lambda t}$. $$\begin{align}a_0 \left(A_0 \lambda e^{\lambda t} \right) + a_1 \left( A_0 e^{\lambda t} \right) &= A_0 e^{\lambda t} a_0 \lambda  + A_0 e^{\lambda t} a_1 \\&= A_0 e^{\lambda t} \left(a_0 \lambda  + a_1 \right)=0\end{align}$$ 모든 $t$ 에 대해 위 식이 $0$이 되려면, $A_0=0$ 이거나 $a_0 \lambda + a_1 = 0$ 이어야 한다.To make the equation above to be $0$ for all $t$, either $A_0=0$ or $a_0 \lambda + a_1 = 0$. $A_0=0$ 인 경우:If $A_0=0$: $$    x(t)=0 \cdot e^{\lambda t} = 0$$ $a_0 \lambda + a_1 = 0$ 인 경우:If $a_0 \lambda + a_1 = 0$: $$\begin{align}    a_0 \lambda + a_1 &= 0 \\    \lambda &= -\frac{a_1}{a_0} \\    x(t)&=A_0 e^{\lambda t}=A_0 e^{-\frac{a_1}{a_0} t}=A_0 exp\left(-\frac{a_1}{a_0} t\right)\end{align}$$ 다항식의 경우와 비교해 보면 지수함수쪽이 조금 더 흥미있어 보일 수 있다.Comparing with the polynomial, the exponential functions may seem somewhat more interesting.  초기 조건Initial condition 그런데 $A_0$는 어떻게 정하는 것이 좋을까? 처음의 식으로 돌아가 보자.However, what could be a good way to decide $A_0$? Let's go back to the first equation. $$\left\{    \begin{align}        a_0 \frac{d}{dt}x(t)+a_1 x(t)&=0 \\        x(0)&=x_0 \\    \end{align}\right.$$ 따라서 $x(0)=x_0$ 였음을 이용해 보자. 여기서 $x_0$는 어떤 알려진 상수이다.Thus let's use $x(0)=x_0$. Here, $x_0$ is a known constant. $$\begin{align}    x(t)&=A_0 e^{-\frac{a_1}{a_0} t} \\    x(0)&=A_0 e^{-\frac{a_1}{a_0}\cdot 0}=A_0 e^0=A_0 \cdot 1 = A_0=x_0 \\    x(t)&=x_0 e^{-\frac{a_1}{a_0} t}\end{align}$$ 이렇게 어떤 미분방정식의 엄밀해를 구할 수 있었다.This way, we could find an exact solution of a differential equation.  Final Bell마지막 종<jupyter_code># stackoverfow.com/a/24634221
import os
os.system("printf '\a'");<jupyter_output><empty_output>
{'fraction_non_alphanumeric': 0.1658867571361722, 'fraction_numerical': 0.0386055217594759, 'mean_word_length': 3.326923076923077, 'pattern_counts': {'":': 0, '<': 5, '<?xml version=': 0, '>': 5, 'https://': 0, 'lorem ipsum': 0, 'www.': 0, 'xml': 0}, 'pii_count': 0, 'substrings_counts': 0, 'word_list_counts': {'cursed_substrings.json': 0, 'profanity_word_list.json': 0, 'sexual_word_list.json': 0, 'zh_pornsignals.json': 0}}
{'chain_length': '1', 'dir': 'jupyter-structured-clean-dedup', 'id': '106150', 'license': 'BSD-3-Clause', 'n_tokens_mistral': 2216, 'n_tokens_neox': 2408, 'n_words': 606, 'path': '50_ode/00_Ordinary_Differential_Equation_Exact_Solution.ipynb', 'repo_name': 'cv2316eca19a/nmisp', 'size': '4274'}