<jupyter_start><jupyter_text>Einblick in die Arbeit mit zufallvon <NAME> - <EMAIL>Diese Arbeit steht unter der freien Lizenz [CC BY-SA 4.0](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de)   Abitur Bayern 2019  Stochastik Teil A, Aufgabengruppe 1+2Quelle: serlo.org $\quad$ [Aufgabengruppe 1](https://de.serlo.org/mathe/deutschland/bayern/gymnasium/abiturpr%C3%BCfungen-l%C3%B6sung/mathematik-abitur-bayern-2019/stochastik,-teil-,-aufgabengruppe-1)$\quad$ [Aufgabengruppe 2](https://de.serlo.org/mathe/deutschland/bayern/gymnasium/abiturpr%C3%BCfungen-l%C3%B6sung/mathematik-abitur-bayern-2019/stochastik,-teil-,-aufgabengruppe-2)  Aufgabengruppe 1 1. Ein Glücksrad besteht aus fünf gleich großen Sektoren. Einer der Sektoren ist mit "0" beschriftet, einer mit "1" und einer mit "2"; die beiden anderen Sektoren sind mit "9" beschriftet.$\quad$a) Das Glücksrad wird viermal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, $\quad$dass die Zahlen 2, 0, 1 und 9 in der angegebenen Reihenfolge erzielt werden.$\quad$b) Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, $\quad$dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens $11$ beträgt.2.Die Zufallsgröße $X$ kann ausschließlich die Werte $1, 4, 9$ und $16$ annehmen. Bekannt sind $P(X=9)=0,2$ und $P(X=16)=0,1$ sowie der Erwartungswert$E(X)=5$. Bestimmen Sie mithilfe des Ansatzes für den Erwartungswert die Wahrscheinlichkeiten $P(X=1)$ und $P(X=4)$.3.Gegeben ist eine Bernoullikette mit der Länge $n$ und der Trefferwahrscheinlichkeit $p$. Erklären Sie, dass für alle $k \in \{0, 1, 2,...,n\}$ die Beziehung$B(n;p;k)=B(n;1−p;n−k)$ gilt.<jupyter_code>%run zufall/start<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Zu 1. Das Glücksrad (als Instanz der zufall-Klasse GlücksRad) wird über eine Schlüssel-Wert - Tabelle mit den Zuordnungen $objekt : anzahl$ erzeugt; die Objekte sind $0, 1, 2$ und $9$, anzahl ist die Anzahl des Auftretens auf dem Rad; $4$ ist die Anzahl der Stufen (Drehungen)<jupyter_code>gr4 = GlücksRad( { 0:1, 1:1, 2:1, 9:2 }, 4)<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>a) Die ersten $10$ Elemente des Ergebnisraums $\Omega%$ sind (unsortiert)insgesamt sind es $256$<jupyter_code>list(gr4.omega)[:10]
gr4.n_omega<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Zur Berechnung mit der $P$ - Methode sind die Ergebnisse als Zeichenketten anzugeben<jupyter_code>gr4.P('2019')
gr4.P('2019', p=1)   # in Prozent; Ergebnis zu a)<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>b)Es wird ein weiteres Glücksrad mit der Stufenanzahl $2$ erzeugt<jupyter_code>gr2 = GlücksRad( {0:1, 1:1, 2:1, 9:2 }, 2)
gr2.omega<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Die für das Ereignis "Die Summe der Zahlen ist mindestens 11" zutreffenden Elemente werden in einer Liste zusammengefaßt<jupyter_code>gr2.P(['99', '29', '92'])
gr2.P( ['99', '29', '92'], p=ja )   # Ergebnis zu b)<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Etwas mehr Python + SymPy kann bei längeren Listen das Schreiben erleichtern, wie z.B. beim Ereignis "Die Summe der Zahlen ist mindestens 9"<jupyter_code>gr2.P( [*symbols('09 90 19 91 99 29 92')] )<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Zu 2. Die vorgegebenen Informationen sind in folgender Tabelle enthalten$\{ \,1 : a, \:4 : b,\:  9 : 0.2,\: 16 : 0.1 \,\}$ Es werden zwei Gleichungen herangezogen, um die beiden Unbekannten zu berechnen$\quad$*nach der Formel berechneter Erwartungswert = 5*$\quad$*Summe der Wahrscheinlichkeiteen = 1*Beide Gleichungen werden so umgeformt, dass die rechte Seite 0 ist, dann werden die linken Seiten als (lineares) Gleichungssystem gelöst<jupyter_code>gl1 = 1*a + 4*b + 9*0.2 + 16*0.1 - 5
gl2 = a + b + 0.2 + 0.1 - 1
L = löse([gl1, gl2])
L<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Zu 3. Bei einer Bernoullikette mit der Länge $n$ und der Trefferwahrscheinlichkeit $p$ sind die Elemente des Ereignisraumes Folgen der Länge $n$ mit jeweils $k$ Treffern und (notwendigerweise) $n-k$ Nieten, $k \in \{0, 1, ..., n\}$ Ereignisse sind Mengen von solchen FolgenWenn jetzt Treffer und Nieten vertauscht werden (die Trefferwahrscheinlichkeit ist dann $1-p$), ist erkennbar, dass die Ereignisse "$k$ Treffer" und "$n-k$ Treffer" gleich sind und somit auch ihre Wahrscheinlichkeiten: $B(n;\;p;\;k) = B(n;\;1-p;\;n-k)$ Das soll am Beispiel $\:n=4,\:p=0.2$ (ist hier unwichtig) demonstriert werdenDie  Bernoullikette kann als $ZufallsExperiment$ erzeugt werden mit *$1$ - Treffer, $0$ - Niete*<jupyter_code>bk = BK(4, 0.2, ze=ja)<jupyter_output>Erzeugung eines BernoulliKette-ZufallsExperiment-Objektes<jupyter_text>Der Ereignisraum ist<jupyter_code>bk.omega
om = bk.Omega(l=1)   # Listendarstellung; hier sind die Elemente 
om                   # der Liste wieder Listen<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Es wird die Funktion $anzahl$ benutzt, die für eine Liste zählt, wie oft ein Element in ihr vorkommt; diese Liste wird ihr als Argument übergeben, z.B.<jupyter_code>anzahl(1)([1, 0, 1, 0, 0, ]), anzahl(0)([1, 0,  0, 1, 0])<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Es wird noch eine eigene Funktion bereitgestellt, die in einer $0\,/\,1$- Liste mit $4$ Elementen die Einsen und Nullen vertauscht<jupyter_code>def vertauschen(liste):
    liste1 = []
    for i in range(4):
        el = 1 if liste[i] is 0 else 0
        liste1.append(el)
    return liste1
vertauschen([0, 1, 1, 0])   # Test auf Funktionstüchtigkeit<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Das kleine Programm stellt für jeden möglichen $k$ - Wert 4 Listen bereit- die Listen mit Elementen, die $k$ Einsen ($E_1$), bzw. Nullen ($E_2$) haben- eine Liste, in der die Nullen und Einsen in der zweiten Liste vertauscht wurden ($E_3$)- eine Liste, die durch Umkehrung der dritten Liste entstanden ist<jupyter_code>for k in range(5):
    E1 = [e for e in om if anzahl(1)(e)==k]   # == steht für 
    E2 = [e for e in om if anzahl(0)(e)==k]   # 'mathematisch gleich'
    E3 = [vertauschen(e) for e in E2]
    print('k =', k, E1)
    print('     ', E2)
    print('     ', E3)
    E3.reverse()
    print('     ', E3)
    print(' ')<jupyter_output>k = 0 [[0, 0, 0, 0]]
      [[1, 1, 1, 1]]
      [[0, 0, 0, 0]]
      [[0, 0, 0, 0]]
 
k = 1 [[0, 0, 0, 1], [0, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 0], [1, 0, 0, 0]]
      [[0, 1, 1, 1], [1, 0, 1, 1], [1, 1, 0, 1], [1, 1, 1, 0]]
      [[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]
      [[0, 0, 0, 1], [0, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 0], [1, 0, 0, 0]]
 
k = 2 [[0, 0, 1, 1], [0, 1, 0, 1], [0, 1, 1, 0], [1, 0, 0, 1], [1, 0, 1, 0], [1, 1, 0, 0]]
      [[0, 0, 1, 1], [0, 1, 0, 1], [0, 1, 1, 0], [1, 0, 0, 1], [1, 0, 1, 0], [1, 1, 0, 0]]
      [[1, 1, 0, 0], [1, 0, 1, 0], [1, 0, 0, 1], [0, 1, 1, 0], [0, 1, 0, 1], [0, 0, 1, 1]]
      [[0, 0, 1, 1], [0, 1, 0, 1], [0, 1, 1, 0], [1, 0, 0, 1], [1, 0, 1, 0], [1, 1, 0, 0]]
 
k = 3 [[0, 1, 1, 1], [1, 0, 1, 1], [1, 1, 0, 1], [1, 1, 1, 0]]
      [[0, 0, 0, 1], [0, 0, 1, 0], [0, 1, 0, 0], [1, 0, 0, 0]]
      [[1, 1, 1, 0], [1, 1, 0, 1], [1, 0, 1, 1], [0, 1, 1, 1]]
      [[0, 1, 1, 1], [1, 0, 1, 1], [1, 1, 0, 1], [1, 1, 1, 0]]
 
k = 4 [[1, 1, 1, 1]]
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