<jupyter_start><jupyter_text>4. Зависимость. Условная вероятность. Теорема Баеса.  ![title](data/bayes.gif)  Содержание* [Теория](chapter1)* [Задачи на пару](chapter2)* [Домашнее задание](chapter3)* [Гробы](chapter4)  Теория  **Несовместные события**$$P(AB) = 0$$ **Независимые события**$$P(AB) = P(A)P(B)$$(Вообще говоря, привычная "независимость" и математическая "независисмость" - не одно и то же) **Совместная независимость**$$P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$$ **Попарная независимость A, B, C**$$P(AB) = P(A)P(B)$$ $$P(BC) = P(B)P(C)$$$$P(CA) = P(C)P(A)$$ **Формула Байеса**$$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$$  Задачи на пару  **1.** Бросили две шестигранные игральные кости. Какова вероятность,что на первой выпадет шестерка, если:* на второй выпала единица.* сумма выпавших чисел семь.* сумма выпавших чисел девять.* модуль разности выпавших чисел четыре. **2.** В средневековой деревне болеет поголовье скота. Оцените вероятность того, что в этой деревне живет ведьма, при условии что скот болен. Если в деревне есть ведьма, то скот болен с вероятностью $0.75$. Скот может заболеть в деревне без ведьмы с вероятностью $0.25$. А вероятность, что в этой деревне живет ведьма равна $0.001$. **3.** Существуют ли такие собития A, B, С, что:* A и B независимы, B и C независимы, но зависимы A и C; * A и B зависимы, B и C зависимы, но независимы A и C?  **4. (TED)** За закрытой дверью сидят два ребенка. Они могут быть равновероятно девочкой и мальчиком. Какова вероятность, что там 2 мальчика, если:* там точно есть один мальчик * мы слишали крик одного или двух детей за дверью* мы слышали крик одного ребенка за дверью, и этот крик точно принадлежал мальчику.* мы слишали крик одного или двух детей за дверью, и услышанный крик точно принадлежит мальчику (а как же иначе, девочки обычно не кричат).P.S. Любой ребенок может кричать или не кричать с равной вероятностью. **5.** Парадокс Монти-Холла  ДЗ  **1.** В результате медицинского обследования один из тестов выявил у человека серьезное заболевание. Данный тест имеет высокую точность 99% (вероятность позитивного ответа при наличии заболевания 99%, вероятность отрицательного ответа при отсутствии заболевания также 99%). Однако, выявленное заболевания является достаточно редким и встречается только у одного человека на $10000$. Вычислить вероятность того, что у обследуемого человека действительно есть выявленное заболевание. **2.** Показать, что$P(A|B) =P(A|BC)P(C|B)+P(A|B\overline{C})P(\overline{C}|B).$ **3.** Дано натуральное число $4 \le n \le 48$. Из тщательно перемешанной колоды в $52$ карты одновременно были взяты $n$ карт. На одну из этих $n$ карт посмотрели, она оказалась тузом. После этого она возвращается в набор взятых карт и эти $n$ карт перемешиваются. После этого из них выбирается одна карта и открывается. Найдите вероятность того, что открытая карта является тузом. **4.(1)** В семье есть 2 ребенка. Пол каждого ребенка - равновероятен. Какова вероятность того, что в семье есть девочка, если* В семье точно есть один мальчик* В семье есть мальчик, который родился во Вторник.P.S. Вероятность родиться мальчиком или девочкой равны, выроятность родиться в любой из дней недели - равновероятно. **5. (1)** В суде рассматривает дело об убийстве жены <NAME>. Прокурор указал, что <NAME> уже бил жену в прошлом. Адвокат ответил: "Убивают только одну из 2500 женщин, подвергающихся семейному насилию, так что это вообще нерелевантно". Суд согласился с адвокатом, верно ли это рассуждение?  Гробы  **1. (1 балл)** Найти вероятность того, что станок, работающий в момент $t_0$, не остановится до момента $t_0+t$, если известно, что эта вероятность зависит только от величины промежутка времени $(t_0,t_0+t)$ и вероятность того, что станок остановится за промежуток времени $\Delta t$, пропорциональна $\Delta t$ с точностью до бесконечно малых высших порядков относительно $\Delta t$. **2. (1 балл)** С утра студент Иван не мог решить, идти ли ему на пары или сладко спать до двух. Тогда он решил подбрасывать монетку, пока впервые не выпадет орел. Иван решил, что если это случится на четном броске, то он пойдет в университет, иначе продолжит спать. Известно, что у Ивана две монетки: одна правильная, другая падает орлом вверх в трех случаях из четырех. Естественно, студенту хочется воспользоваться второй (кстати, почему?), но как их различить? Иван решил подбросить обе монетки по разу и взять любую из тех, на которых выпадет наибольшее количество орлов. С какой все-таки вероятностью Иван пойдет на пары? **3. (1 балл)**Последовательность событий $\{A_n\}$ такова, что при любом натуральном $n$ выполняется:* $P(A_{n+1}|A_n)=\frac{1}{2}$.* $\forall m<n: P(A_n|A_m)=\frac{1}{2}$.Найдите точную верхнюю грань множества вероятностей пересечений бесконечных подпоследовательностей данной последовательности. **4. (0.5 баллов)** В автобусе $n$ мест, и все билеты проданы $n$ пассажирам. Первым в автобус заходит Рассеянный Учёный и, не посмотрев на билет, занимает первое попавшееся место. Далее пассажиры входят по одному. Если вошедший видит, что его место свободно, он занимает свое место. Если же место занято, то вошедший занимает первое попавшееся свободное место. Найдите вероятность того, что пассажир, вошедший последним, займет место согласно своему билету. **5. (0.5 баллов)*** Существуют ли такие совместно зависимые события $A_1, \ldots, A_n$, что любые $n-1$ из них совместно независимы?* Может ли быть, что любые $k-1$ из $A_1, \ldots, A_n$ совместно независимы, но любые $k$ совместно зависимы? **6. (0.5 баллов)**Однажды Петр нашел абсолютно симметричную монетку. Он подбросил ее один раз, после чего делал броски до тех пор, пока суммарные количества выпавших орлов и решек не сравнялись. Оказалось, что всего Петр подбросил монетку $2n$ раз. Найдите вероятность того, что впервые орел был выброшен на четвертом броске. **7. (1 балл)** Необходимо построить N-Gram Language Model и обучить на основе старой доброй "Войне и мире" (Хмм.. Или как-то по другому тут склоняется). На вход модели подается текст "Война и мир". Вам необходимо его токенизировать(см. модуль в питоне nltk.tokenize) и посчитать следующие вероятности:$$ P(w | prefix) = { Count(prefix, w) \over \sum_{\hat w} Count(prefix, \hat w) } $$$$prefix = (w_1, w_2, ..., w_{n-1})$$<jupyter_code>import typing


class NGramLanguageModel:    
    def __init__(self, text: str, n: int):
        pass
        
    def get_next_tokens_probabilies(
        self, 
        prefix:typing.List[str]
    ) -> typing.Dict[str, float]:
        pass<jupyter_output><empty_output>
{'fraction_non_alphanumeric': 0.0981143645561858, 'fraction_numerical': 0.012877510347999386, 'mean_word_length': 4.9743589743589745, 'pattern_counts': {'":': 0, '<': 8, '<?xml version=': 0, '>': 8, 'https://': 0, 'lorem ipsum': 0, 'www.': 0, 'xml': 0}, 'pii_count': 0, 'substrings_counts': 0, 'word_list_counts': {'cursed_substrings.json': 0, 'profanity_word_list.json': 0, 'sexual_word_list.json': 0, 'zh_pornsignals.json': 0}}
{'chain_length': '1', 'dir': 'jupyter-structured-clean-dedup', 'id': '533724', 'license': 'Apache-2.0', 'n_tokens_mistral': 2746, 'n_tokens_neox': 3275, 'n_words': 875, 'path': 'prac04/prac.ipynb', 'repo_name': 'mathmechterver/terver2021', 'size': '6542'}