<jupyter_start><jupyter_text>线性回归的从零开始实现:label:`sec_linear_scratch`在了解线性回归的关键思想之后，我们可以开始通过代码来动手实现线性回归了。在这一节中，(**我们将从零开始实现整个方法，包括数据流水线、模型、损失函数和小批量随机梯度下降优化器**)。虽然现代的深度学习框架几乎可以自动化地进行所有这些工作，但从零开始实现可以确保你真正知道自己在做什么。同时，了解更细致的工作原理将方便我们自定义模型、自定义层或自定义损失函数。在这一节中，我们将只使用张量和自动求导。在之后的章节中，我们会充分利用深度学习框架的优势，介绍更简洁的实现方式。<jupyter_code>%matplotlib inline
import random
import tensorflow as tf
from d2l import tensorflow as d2l<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>生成数据集为了简单起见，我们将[**根据带有噪声的线性模型构造一个人造数据集。**]我们的任务是使用这个有限样本的数据集来恢复这个模型的参数。我们将使用低维数据，这样可以很容易地将其可视化。在下面的代码中，我们生成一个包含1000个样本的数据集，每个样本包含从标准正态分布中采样的2个特征。我们的合成数据集是一个矩阵$\mathbf{X}\in \mathbb{R}^{1000 \times 2}$。(**我们使用线性模型参数$\mathbf{w} = [2, -3.4]^\top$、$b = 4.2$和噪声项$\epsilon$生成数据集及其标签：$$\mathbf{y}= \mathbf{X} \mathbf{w} + b + \mathbf\epsilon.$$**)你可以将$\epsilon$视为模型预测和标签时的潜在观测误差。在这里我们认为标准假设成立，即$\epsilon$服从均值为0的正态分布。为了简化问题，我们将标准差设为0.01。下面的代码生成合成数据集。<jupyter_code>def synthetic_data(w, b, num_examples):  #@save
    """生成y=Xw+b+噪声"""
    X = tf.zeros((num_examples, w.shape[0]))
    X += tf.random.normal(shape=X.shape)
    y = tf.matmul(X, tf.reshape(w, (-1, 1))) + b
    y += tf.random.normal(shape=y.shape, stddev=0.01)
    y = tf.reshape(y, (-1, 1))
    return X, y
true_w = tf.constant([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>注意，[**`features`中的每一行都包含一个二维数据样本，`labels`中的每一行都包含一维标签值（一个标量）**]。<jupyter_code>print('features:', features[0],'\nlabel:', labels[0])<jupyter_output>features: tf.Tensor([ 0.43605384 -0.17063597], shape=(2,), dtype=float32) 
label: tf.Tensor([5.6437564], shape=(1,), dtype=float32)<jupyter_text>通过生成第二个特征`features[:, 1]`和`labels`的散点图，可以直观观察到两者之间的线性关系。<jupyter_code>d2l.set_figsize()
d2l.plt.scatter(features[:, (1)].numpy(), labels.numpy(), 1);<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>读取数据集回想一下，训练模型时要对数据集进行遍历，每次抽取一小批量样本，并使用它们来更新我们的模型。由于这个过程是训练机器学习算法的基础，所以有必要定义一个函数，该函数能打乱数据集中的样本并以小批量方式获取数据。在下面的代码中，我们[**定义一个`data_iter`函数，该函数接收批量大小、特征矩阵和标签向量作为输入，生成大小为`batch_size`的小批量**]。每个小批量包含一组特征和标签。<jupyter_code>def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
    # 这些样本是随机读取的，没有特定的顺序
    random.shuffle(indices)
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        j = tf.constant(indices[i: min(i + batch_size, num_examples)])
        yield tf.gather(features, j), tf.gather(labels, j)<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>通常，我们利用GPU并行运算的优势，处理合理大小的“小批量”。每个样本都可以并行地进行模型计算，且每个样本损失函数的梯度也可以被并行计算。GPU可以在处理几百个样本时，所花费的时间不比处理一个样本时多太多。我们直观感受一下小批量运算：读取第一个小批量数据样本并打印。每个批量的特征维度显示批量大小和输入特征数。同样的，批量的标签形状与`batch_size`相等。<jupyter_code>batch_size = 10

for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
    print(X, '\n', y)
    break<jupyter_output>tf.Tensor(
[[ 0.4418243   0.08269995]
 [-0.29488432 -0.9117238 ]
 [ 1.8557556   0.12954818]
 [-0.67596966  0.4866188 ]
 [ 0.73698884  0.18393272]
 [ 0.25872424  0.6126329 ]
 [-1.2714015  -0.25846413]
 [-0.12611711 -0.10892648]
 [-1.8780994   0.16516791]
 [ 0.4952206   0.19290453]], shape=(10, 2), dtype=float32) 
 tf.Tensor(
[[ 4.8030214 ]
 [ 6.6931515 ]
 [ 7.468368  ]
 [ 1.2048931 ]
 [ 5.0556545 ]
 [ 2.6364217 ]
 [ 2.5315483 ]
 [ 4.310709  ]
 [-0.11755893]
 [ 4.5415134 ]], shape=(10, 1), dtype=float32)<jupyter_text>当我们运行迭代时，我们会连续地获得不同的小批量，直至遍历完整个数据集。上面实现的迭代对于教学来说很好，但它的执行效率很低，可能会在实际问题上陷入麻烦。例如，它要求我们将所有数据加载到内存中，并执行大量的随机内存访问。在深度学习框架中实现的内置迭代器效率要高得多，它可以处理存储在文件中的数据和数据流提供的数据。 初始化模型参数[**在我们开始用小批量随机梯度下降优化我们的模型参数之前**]，(**我们需要先有一些参数**)。在下面的代码中，我们通过从均值为0、标准差为0.01的正态分布中采样随机数来初始化权重，并将偏置初始化为0。<jupyter_code>w = tf.Variable(tf.random.normal(shape=(2, 1), mean=0, stddev=0.01),
                trainable=True)
b = tf.Variable(tf.zeros(1), trainable=True)<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>在初始化参数之后，我们的任务是更新这些参数，直到这些参数足够拟合我们的数据。每次更新都需要计算损失函数关于模型参数的梯度。有了这个梯度，我们就可以向减小损失的方向更新每个参数。因为手动计算梯度很枯燥而且容易出错，所以没有人会手动计算梯度。我们使用 :numref:`sec_autograd`中引入的自动微分来计算梯度。 定义模型接下来，我们必须[**定义模型，将模型的输入和参数同模型的输出关联起来。**]回想一下，要计算线性模型的输出，我们只需计算输入特征$\mathbf{X}$和模型权重$\mathbf{w}$的矩阵-向量乘法后加上偏置$b$。注意，上面的$\mathbf{Xw}$是一个向量，而$b$是一个标量。回想一下 :numref:`subsec_broadcasting`中描述的广播机制：当我们用一个向量加一个标量时，标量会被加到向量的每个分量上。<jupyter_code>def linreg(X, w, b):  #@save
    """线性回归模型"""
    return tf.matmul(X, w) + b<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>[**定义损失函数**]因为需要计算损失函数的梯度，所以我们应该先定义损失函数。这里我们使用 :numref:`sec_linear_regression`中描述的平方损失函数。在实现中，我们需要将真实值`y`的形状转换为和预测值`y_hat`的形状相同。<jupyter_code>def squared_loss(y_hat, y):  #@save
    """均方损失"""
    return (y_hat - tf.reshape(y, y_hat.shape)) ** 2 / 2<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>(**定义优化算法**)正如我们在 :numref:`sec_linear_regression`中讨论的，线性回归有解析解。尽管线性回归有解析解，但本书中的其他模型却没有。这里我们介绍小批量随机梯度下降。在每一步中，使用从数据集中随机抽取的一个小批量，然后根据参数计算损失的梯度。接下来，朝着减少损失的方向更新我们的参数。下面的函数实现小批量随机梯度下降更新。该函数接受模型参数集合、学习速率和批量大小作为输入。每一步更新的大小由学习速率`lr`决定。因为我们计算的损失是一个批量样本的总和，所以我们用批量大小（`batch_size`）来规范化步长，这样步长大小就不会取决于我们对批量大小的选择。<jupyter_code>def sgd(params, grads, lr, batch_size):  #@save
    """小批量随机梯度下降"""
    for param, grad in zip(params, grads):
        param.assign_sub(lr*grad/batch_size)<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>训练现在我们已经准备好了模型训练所有需要的要素，可以实现主要的[**训练过程**]部分了。理解这段代码至关重要，因为从事深度学习后，你会一遍又一遍地看到几乎相同的训练过程。在每次迭代中，我们读取一小批量训练样本，并通过我们的模型来获得一组预测。计算完损失后，我们开始反向传播，存储每个参数的梯度。最后，我们调用优化算法`sgd`来更新模型参数。概括一下，我们将执行以下循环：* 初始化参数* 重复以下训练，直到完成    * 计算梯度$\mathbf{g} \leftarrow \partial_{(\mathbf{w},b)} \frac{1}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} l(\mathbf{x}^{(i)}, y^{(i)}, \mathbf{w}, b)$    * 更新参数$(\mathbf{w}, b) \leftarrow (\mathbf{w}, b) - \eta \mathbf{g}$在每个*迭代周期*（epoch）中，我们使用`data_iter`函数遍历整个数据集，并将训练数据集中所有样本都使用一次（假设样本数能够被批量大小整除）。这里的迭代周期个数`num_epochs`和学习率`lr`都是超参数，分别设为3和0.03。设置超参数很棘手，需要通过反复试验进行调整。我们现在忽略这些细节，以后会在 :numref:`chap_optimization`中详细介绍。<jupyter_code>lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss
for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
        with tf.GradientTape() as g:
            l = loss(net(X, w, b), y)  # X和y的小批量损失
        # 计算l关于[w,b]的梯度
        dw, db = g.gradient(l, [w, b])
        # 使用参数的梯度更新参数
        sgd([w, b], [dw, db], lr, batch_size)
    train_l = loss(net(features, w, b), labels)
    print(f'epoch {epoch + 1}, loss {float(tf.reduce_mean(train_l)):f}')<jupyter_output>epoch 1, loss 0.049359<jupyter_text>因为我们使用的是自己合成的数据集，所以我们知道真正的参数是什么。因此，我们可以通过[**比较真实参数和通过训练学到的参数来评估训练的成功程度**]。事实上，真实参数和通过训练学到的参数确实非常接近。<jupyter_code>print(f'w的估计误差: {true_w - tf.reshape(w, true_w.shape)}')
print(f'b的估计误差: {true_b - b}')<jupyter_output>w的估计误差: [ 9.429455e-05 -7.650852e-04]
b的估计误差: [0.00113916]
{'fraction_non_alphanumeric': 0.16299019607843138, 'fraction_numerical': 0.061274509803921566, 'mean_word_length': 7.993112947658402, 'pattern_counts': {'":': 0, '<': 45, '<?xml version=': 0, '>': 45, 'https://': 0, 'lorem ipsum': 0, 'www.': 0, 'xml': 0}, 'pii_count': 0, 'substrings_counts': 0, 'word_list_counts': {'cursed_substrings.json': 0, 'profanity_word_list.json': 0, 'sexual_word_list.json': 0, 'zh_pornsignals.json': 0}}
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