<jupyter_start><jupyter_text>Die Navier-Stokes-GleichungenDie Navier-Stokes-Gleichungen sind die Grundgleichungen zur Berechnung reibungsbehafteter Strömungen. Obwohl mit dem Begriff im strengen Sinne nur die Impulsgleichung gemeint ist, wird damit in der numerischen Strömungsmechanik gleich der ganze Gleichungssatz aus Kontinuitäts-, Impuls- und Energiegleichung gemeint.In diesem Abschnitt soll die aus der Strömungslehre bekannte Herleitung der Gleichungen kurz wiederholt werden. Wir wählen jedoch eine andere Herangehensweise und nutzen die zuvor eingeführte Substantielle Ableitung bzw. die Lagrangesche Betrachtungsweise.Ziel ist es am Ende ein Gleichungssystem für den 2D-Fall zu erhalten.  KontinuitätsgleichungAnhand der Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung) soll zunächst eine Herleitung mit Eulerscher Betrachtungsweise und anschließend mit Lagangrescher Betrachtung gezeigt werden.  Eulersche Betrachtungsweise:Betrachten wir ein ortsfestes Kontrollvolumen, so entspricht die zeitliche Änderung der Masse im Volumenelement $\text{d}V$ gerade der Differenz zwischen ein- und ausströmendem Massenstrom.Der ausströmende Massenstrom unterscheidet sich dabei gerade um die Änderung des Massenstroms über die Abmessung des Kontrollvolumens. Das folgende Bild zeigt das Kontrollvolumen und die ein- und austretenden Massenströme für den 1-D-Fall.Wenn wir die Taylorreihe nach dem ersten Glied abbrechen ergibt sich für die Massenerhaltung (1D):$$\frac{\partial \dot{m}}{\partial t} = \dot{m} - \left(\dot{m}+\frac{\partial \dot{m}}{\partial x}\text{d}x\right)$$oder mit $\text{d}\dot{m} = \rho \text{d}\dot{V}$ und $\dot{m} = \rho v_x \text{d}y\text{d}z$:$$\frac{\partial \rho}{\partial t} = - \frac{\partial \left(\rho v_x\right)}{\partial x}$$Im 3D-Fall müssen noch die 4 Massenströme in $y$- und $z$-Richtung berücksichtigt werden, so dass folgende Gleichung für die Kontinuitätsgleichung resultiert:$$\frac{\partial \rho}{\partial t} = - \left[\frac{\partial (\rho v_x)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v_y)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho v_z)}{\partial z}\right]$$oder in alternativer Schreibweise:$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho v_i)}{\partial x_i} = 0 \quad \text{bzw.} \quad \frac{\partial \rho}{\partial t} + \text{div}(\rho \overrightarrow{v}) = 0 \quad \text{bzw.} \quad \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho \overrightarrow{v}) = 0$$  Lagrangesche Betrachtungsweise:Ein mitbewegter Beobachter, der sich mit der Geschwindigkeit $\overrightarrow{v}$ durch ein Strömungsgebiet unterschiedlicher Dichte bewegt, registriert die folgende Dichteänderung mit der Zeit:$$\frac{\text{D}\rho}{\text{D} t} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \overrightarrow{v}\cdot\nabla \rho$$Mithilfe der oben hergeleiteten Kontinuitätsgleichung in Eulerscher Betrachtungsweise können wir die partielle Ableitung der Dichte nach der Zeit ersetzen:$$\frac{\text{D}\rho}{\text{D} t} = -\underbrace{\nabla\cdot(\rho \overrightarrow{v})}_{\text{Produktregel}\atop\text{anwenden}} + \overrightarrow{v}\cdot\nabla \rho$$Durch Anwendung der Produktregel auf den ersten Term nach dem Gleichheitszeichen folgt:$$\frac{\text{D}\rho}{\text{D} t} = -\left[\color{red}{\overrightarrow{v}\cdot\nabla \rho} + \rho\nabla\cdot\overrightarrow{v} \right] + \color{red}{\overrightarrow{v}\cdot\nabla \rho} = -\rho\nabla\cdot\overrightarrow{v} = -\rho \text{div}\overrightarrow{v}$$Für **inkompressible Strömungen** ($\rho = const$) vereinfacht sich die Konti-Gleichung zu: $$\text{div} \overrightarrow{v} = 0.$$D.h. inkompressible Strömungen sind *quellen- und senkenfrei*. Da sich die Dichte im Strömungsgebiet nicht ändern kann, kann sich auch an keiner Stelle Masse ansammeln. Alles was in ein Kontrollvolumen hineinfließt muss auch wieder herausfließen.  ImpulsgleichungDie Herleitung der Impulsgleichung soll ebenfalls in Eulerscher und Lagrangescher Betrachtungsweise erfolgen. Der Impuls ist ein Vektor und entspricht dem Prdukt aus Masse und Geschwindigkeitsvektor:$$\overrightarrow{p} = m \overrightarrow{v} = \rho V \overrightarrow{v}$$Die Änderung des Impulses pro Zeit entspricht einer Kraft:$$\frac{\partial \overrightarrow{p}}{\partial t} = \overrightarrow{F}$$ Eulersche BetrachtungWir betrachten wieder ein im Raum fixiertes Kontrollvolumen. Da der Impuls ein Vektor ist, müssen wir für jede Raumrichtung eine Gleichung aufstellen (später werden wir diese drei Gleichungen zu einer Vektorgleichung zusammenfassen). Die Herleitung soll hier beispielhaft an der Gleichung für die $x$-Richtung erfolgen.Die Änderung des $x$-Impulses im Kontrollvolumen entspricht der Summe der am Kontrollvolumen angreifenden Volumenkräfte (Gravitation, elektrische Felder, Magnetfelder) und der Oberflächenkräfte (Trägheitskräfte = ein-/austretende Impulsströme, Reibungskräfte, Druckkräfte):$$\frac{\partial (\rho v_x)}{\partial t}\text{d}V = \scriptsize{ {{\text{Impulsströme}\atop\text{(Trägheitskräfte)}} + \text{Druckkräfte}} + \text{Reibungskräfte} + \text{Volumenkräfte}}$$Die rechte Seite der Gleichung werden wir nun schrittweise aufstellen.  Impulsströme (Trägheitskräfte)Durch alle sechs Seiten des Kontrollvolumens kann $x$-Impuls mit dem Volumenstrom transportiert werden. $x$-Impuls kann also auch in $y$- und $z$-Richtung mit der Strömung transportiert werden! Im folgenden Bild ist dies für 4 der Seiten dargestellt. Zusammengefasst ergibt sich für die Impulsströme (Trägheitskräfte):$$\text{Impulsströme} = -\left[\frac{\partial (\rho v_x v_x)}{\partial x} +\frac{\partial (\rho v_x v_y)}{\partial y} +\frac{\partial (\rho v_x v_z)}{\partial z} \right]\text{d}x\text{d}y\text{d}z$$ DruckkräfteDie Druckkräfte in $x$-Richtung wirken auf zwei Seitenflächen des Kontrollvolumens jeweils senkrecht auf die Fläche:Zusammengefasst ergeben die Druckkräfte in $x$-Richtung:$$\text{Druckkräfte} =-\frac{\partial p}{\partial x} \text{d}x\text{d}y\text{d}z$$ ReibungskräfteDie Reibungskräfte (Normal- und Schubkräfte) in $x$-Richtung greifen an allen 6-Seiten des Kontrollvolumens an:Sie ergeben in Summe:$$\text{Reibungskräfte} =\left[\frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} +\frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} +\frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} \right]\text{d}x\text{d}y\text{d}z$$ VolumenkräfteDie Volumenkräfte wirken homogen auf das gesamte Kontrollvolumen. Zu den wichtigsten zählt die Graviationskraft, die wir wie folgt in den Gleichungen berücksichtigen können:$$\scriptsize{\text{Volumenkräfte}} = \rho\cdot g_x\text{d}x\text{d}y\text{d}z$$ alles zusammengefasst:Alle Komponenten zusammenaddiert und durch das Kontrollvolumen $\text{d}V = \text{d}x\text{d}y\text{d}z$ geteilt ergeben die Impulsgleichung für die $x$-Richtung und analog dazu für die $y$- und $z$-Richtung:$$\small{\frac{\partial (\rho v_x)}{\partial t}+ \frac{\partial (\rho v_x v_x)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v_x v_y)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho v_x v_z)}{\partial z}=- \frac{\partial p}{\partial x} + \rho g_x+ \frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x}+ \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+ \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z}}$$$$\small{\frac{\partial (\rho v_y)}{\partial t}+ \frac{\partial (\rho v_y v_x)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v_y v_y)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho v_y v_z)}{\partial z}=- \frac{\partial p}{\partial y} + \rho g_y+ \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}+ \frac{\partial \tau_{yy}}{\partial y}+ \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z}}$$$$\small{\frac{\partial (\rho v_z)}{\partial t}+ \frac{\partial (\rho v_z v_x)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v_z v_y)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho v_z v_z)}{\partial z}=- \frac{\partial p}{\partial z} + \rho g_z+ \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x}+ \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}+ \frac{\partial \tau_{zz}}{\partial z}}$$Die Navier-Stokes-Gleichungen findet man in verschiedenen Darstellung. Eine weitere soll hier gezeigt werden. Wir betrachten dazu nur die linke Seite der $x$-Impulsgleichung und wenden die Produktregel auf die Ableitungen an:$$\small{\frac{\partial (\rho v_x)}{\partial t}+ \frac{\partial (\rho v_x v_x)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v_x v_y)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho v_x v_z)}{\partial z} = \color{red}{v_x\frac{\partial\rho}{\partial t}} + \rho\frac{\partial v_x}{\partial t} + \color{red}{v_x\frac{\partial(\rho v_x)}{\partial x}} + v_x\frac{\partial(\rho v_x)}{\partial x} + \color{red}{v_x\frac{\partial(\rho v_y)}{\partial y}} + v_y\frac{\partial(\rho v_x)}{\partial y} + \color{red}{v_x\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial z}} + v_z\frac{\partial(\rho v_x)}{\partial z}}$$Betrachten wir nur die rot markierten Terme, so wird klar, dass diese in Summe gerade der Kontinuitätsgleichung multipliziert mit $v_x$ und damit Null entsprechen. Wir bekommen also als weitere, gleichwertige Darstellung für die Navier-Stokes-Gleichungen:$$\small{\rho\frac{\partial v_x}{\partial t} + v_x\frac{\partial(\rho v_x)}{\partial x}  + v_y\frac{\partial(\rho v_x)}{\partial y} + v_z\frac{\partial(\rho v_x)}{\partial z}=- \frac{\partial p}{\partial x} + \rho g_x+ \frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x}+ \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y}+ \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z}}$$$$\small{\rho\frac{\partial v_y}{\partial t} + v_x\frac{\partial(\rho v_y)}{\partial x}  + v_y\frac{\partial(\rho v_y)}{\partial y} + v_z\frac{\partial(\rho v_y)}{\partial z}=- \frac{\partial p}{\partial x} + \rho g_y+ \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x}+ \frac{\partial \tau_{yy}}{\partial y}+ \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z}}$$$$\small{\underbrace{\vphantom{v_x\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial x}  + v_y\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial y} + v_z\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial z}}\rho\frac{\partial v_z}{\partial t}}_{\text{zeitl.}\atop\text{Änd.}} + \underbrace{v_x\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial x}  + v_y\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial y} + v_z\frac{\partial(\rho v_z)}{\partial z}}_{\text{konvektiver Impulstransport}\atop\text{durch Strömung}}=\underbrace{\vphantom{+ \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x}+ \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}+ \frac{\partial \tau_{zz}}{\partial z}}- \frac{\partial p}{\partial x} + \rho g_z}_{\text{Quell-}\atop\text{terme}}\underbrace{+ \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x}+ \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y}+ \frac{\partial \tau_{zz}}{\partial z}}_{\text{diffusiver Transport}\atop\text{durch räuml. Impulsunterschiede}}}$$Den einzelnen Termen der Impulsgleichung können zwei Transportmechanismen zugeordnet werden: den konvektiven Transport, der durch die Strömungsbewegung selbst zustandekommt und den diffusiven Transport, der aus einem räumlichen Gradienten der Transportgröße (hier der Impuls) resultiert (vgl. Ausbreitung eines Tintentropfens in einem Glas mit ruhender Flüssigkeit). Modellierung der Normal- und Schubspannungen $\tau_{ij}$Die Impulsgleichung in der obigen Form ist für beliebige Fluide gültig. Das Gleichungssystem aus den drei Impulsgleichungen und der Kontinuitätsgleichung enthält neben den uns interessierenden Unbekannten $v_x, v_y, v_z$ und $\rho$ auch noch den Druck $p$ sowie die 9 Normal- und Schubspannungen. Es ist so also noch nicht lösbar (nur 4 Gleichungen für 14 Unbekannte).Bei bekannter Temperatur kann der Druck z.B. über das ideale Gasgesetz $p/\rho = R T$ berechnet werden. Für die 9 Spannungen benötigen wir noch eine Berechnungsvorschrift, die von der Art des Fluids abhängt. Für [Newtonsche Fluide](https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsches_Fluid) kann hierzu der *Newtonsche Schubspannungsansatz* verwendet werden:$$\tau_{ij} = \mu \left(\frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right) + \delta_{ij}\lambda\nabla \overrightarrow{v}$$Dieser besagt, dass die Schubspannungen proportional zu den Geschwindigkeitsgradienten (dem Verformungstensor) sind, wobei der Proportionalitätsfaktor gerade die [dynamische Viskosität](https://de.wikipedia.org/wiki/Viskosität) $\mu$ ist. Der letzte Term in der Gleichung berücksichtigt die sog. [Volumenviskosität](https://de.wikipedia.org/wiki/Volumenviskosität) $\lambda$. Diese ist im inkompressiblen Fall und bei 1-atomigen Gasen vernachlässigbar. Von Bedeutung ist sie dagegen bei verdünnten, mehratomigen Gasen (z.B. bei der Berechnung von Wiedereintrittsflugkörpern, etc.). Nach der Stokes-Hypothese (die jedoch nicht exakt ist) gilt: $\lambda+\frac{2}{3}\mu = 0$.> Hinweis: Das Symbol $\delta_{ij}$ ist das aus der Mathematik bekannte [Kronecker-Delta](https://de.wikipedia.org/wiki/Kronecker-Delta). Es nimmt für $i=j$ den Wert 1 an und für $i\ne j$ den Wert 0. Es wird immer dann verwendet, wenn in Indexschreibweise nur die Einträge auf der Matrix-Diagonalen angesprochen werden sollen. In der Gleichung oben spielt die Volumenviskosität also nur bei den drei Normalspannungen $\tau_{11}, \tau_{22}$ und $\tau_{33}$ eine Rolle.**Übung:** Schreiben Sie alle 9 Komponenten des Schubspannungstensors auf.  Lagrangesche BetrachtungDie Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen unter Lagrangescher Betrachtungsweise ähnelt der der Molekulardynamiksimulation, nur dass wir jetzt keine einzelnen Teilchen betrachten, sondern ein Volumenelement, das sich mit der Strömung mitbewegt. Nach dem 2. Newtonschen Gesetz gilt:*Masse mal Beschleunigung ist gleich Kraft*auf das Kontrollvolumen $V_{KV}$ bezogen gilt also:$$\frac{m\cdot a}{V_{KV}} = \frac{F}{V_{KV}}$$oder$$\rho \frac{\text{D}\overrightarrow{v}}{\text{D}t} = \text{Druckkräfte} + \text{Reibungskräfte} + \text{Volumenkräfte}$$Im Gegensatz zur Herleitung in Eulerscher Betrachtungsweise fehlen die Impulsströme, da das Kontrollvolumen ja mit der Strömung mitbewegt wird und nichts hindurchströmt. Die Navier-Stokes-Gleichungen in dieser Form können sehr kompakt geschrieben werden:$$\rho \frac{\text{D}\overrightarrow{v}}{\text{D}t} = \nabla \cdot \tau_{ij}^* + \rho\cdot\overrightarrow{g}$$mit$$\tau_{ij}^* = -p\cdot\delta_{ij} + \tau_{ij}$$Um auf die Darstellung in Eulerscher Betrachtung zu kommen, muss nur die Substantielle Ableitung ausgeschrieben werden. Dann treten auch die konvektiven Terme wieder in Erscheinung:$$\rho\cdot\left(\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}+\overrightarrow{v}\cdot\nabla\overrightarrow{v} \right) = \nabla \cdot \tau_{ij}^* + \rho\cdot\overrightarrow{g}$$**(Längere) Übung:** Schreiben Sie die Vektorgleichung auf und zeigen Sie, dass Sie mit dem Gleichungssystem aus der Eulerschen Betrachtungsweise übereinstimmt. Hinweis: Wenden Sie wieder die Produktregel auf die Ableitungen $\frac{\partial (\rho v_i)}{\partial x_j}$ an. Damit haben wir das notwendige Gleichungssystem, um isotherme Strömungen zu berechnen. Für nicht isotherme Strömungen benötigen wir noch die Energiegleichung, die an anderer Stelle hergeleitet wird.Im [nächsten Notebook](TFD - 3.3 Kontinuumsstroemungen - Navier-Stokes-Gleichungen-2D.ipynb) werden wir die Navier-Stokes-Gleichungen für 2-dimensionale, inkompressible Strömungen mit Newtonschen Fluiden vereinfachen und im weiteren Verlauf der Vorlesung mithilfe der Finite-Differenzen-Methode lösen. --- Copyright (c) 2017, <NAME>Der folgende Python-Code darf ignoriert werden. Er dient nur dazu, die richtige Formatvorlage für die Jupyter-Notebooks zu laden.<jupyter_code>from IPython.core.display import HTML
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