<jupyter_start><jupyter_text>Lesson 05 Линейные преобразования<jupyter_code>import numpy as np<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>1. Найти собственные векторы и собственные значения для линейного оператора, заданного матрицей$$A=\begin{pmatrix}-1 & -6\\ 2 & 6\end{pmatrix}.$$ $$\begin{vmatrix}-1-\lambda & -6\\ 2 & 6-\lambda\end{vmatrix} = 0$$$$(-1-\lambda)(6-\lambda) - (-6)\cdot 2 = 0$$$$\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$$$$\begin{cases}     \lambda_1 = 2 \\     \lambda_2 = 3\end{cases}$$$$\begin{pmatrix}-1 & -6\\ 2 & 6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix}$$$$\begin{cases}    -x_1 -6x_2 = 2x_1 \\    2x_1 + 6x_2 = 2x_2\end{cases}$$$$x_1 = -2x_2$$$$x = \begin{pmatrix}2\\ -1\end{pmatrix}$$$$\begin{cases}    -x_1 -6x_2 = 3x_1 \\    2x_1 + 6x_2 = 3x_2\end{cases}$$$$x_1 = -\frac{3}{2}x_2$$$$x = \begin{pmatrix}3\\ -2\end{pmatrix}$$<jupyter_code>a = np.array([[-1, -6], [2, 6]])
w, v = np.linalg.eig(a)

print(f'Матрица A:\n{a}')
print(f'Собственные значения:\n{w}')
print(f'Собственные векторы:\n{v}')<jupyter_output>Матрица A:
[[-1 -6]
 [ 2  6]]
Собственные значения:
[2. 3.]
Собственные векторы:
[[-0.89442719  0.83205029]
 [ 0.4472136  -0.5547002 ]]<jupyter_text>2. Дан оператор поворота на 180 градусов, задаваемый матрицей $$A=\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}.$$Показать, что любой вектор является для него собственным. $$\begin{vmatrix}-1-\lambda & -0\\ 0 & -1-\lambda\end{vmatrix} = 0$$$$(-1-\lambda)(-1-\lambda) - 0 \cdot 0 = 0$$$$(-1 - \lambda)^2 = 0$$$$\begin{cases}     \lambda_1 = -1 \\     \lambda_2 = -1\end{cases}$$$$\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}x_{1}\\ x_{2}\end{pmatrix}$$$$\begin{cases}    -x_1 + 0 \cdot x_2 = -x_1 \\    0 \cdot x_1 + (-x_2) = -x_2\end{cases}$$$$\begin{cases}    x_1 - x_1 = 0 \\    x_2 - x_2 = 0 \end{cases}$$$$\begin{cases}    0 = 0 \\    0 = 0 \\\end{cases}$$<jupyter_code>a = np.array([[-1, 0], [0, -1]])
w, v = np.linalg.eig(a)

print(f'Матрица A:\n{a}')
print(f'Собственные значения:\n{w}')
print(f'Собственные векторы:\n{v}')<jupyter_output>Матрица A:
[[-1  0]
 [ 0 -1]]
Собственные значения:
[-1. -1.]
Собственные векторы:
[[1. 0.]
 [0. 1.]]
{'fraction_non_alphanumeric': 0.24966622162883845, 'fraction_numerical': 0.0778816199376947, 'mean_word_length': 3.6735966735966734, 'pattern_counts': {'":': 0, '<': 11, '<?xml version=': 0, '>': 11, 'https://': 0, 'lorem ipsum': 0, 'www.': 0, 'xml': 0}, 'pii_count': 0, 'substrings_counts': 0, 'word_list_counts': {'cursed_substrings.json': 0, 'profanity_word_list.json': 0, 'sexual_word_list.json': 0, 'zh_pornsignals.json': 0}}
{'chain_length': '3', 'dir': 'jupyter-structured-clean-dedup', 'id': '486962', 'license': 'MIT', 'n_tokens_mistral': 1102, 'n_tokens_neox': 1072, 'n_words': 177, 'path': 'Linear-Algebra/Lesson 03.ipynb', 'repo_name': 'dmitryrubtsov/Mathematics', 'size': '2247'}