<jupyter_start><jupyter_text>2. Princípio da Contagem e Probabilidade I--- ObjetivosO objetivo desta aula é introduzir a ideia de probabilidade, conceitos de variáveis aleatórias, probabilidade condicional e independência de eventos.  Probabilidade com combinação e permutação  Princípio Básico da ContagemÉ o princípio utilizado para encontrar o número de possibilidades para um evento constituído de $n$ etapas. Para isso, as etapas devem ser sucessivas e independentes. Se a primeira etapa do evento possui $x$ possibilidades e a segunda etapa é constituída de $y$ possibilidades, então existem $x \times y$ possibilidades. Portanto, o princípio fundamental da contagem é **a multiplicação das opções dadas para determinar o total de possibilidades**.   Exemplos- $Ex_1$.: O grêmio da faculdade é formado por 3 calouros, 4 estudantes do segundo ano, 5 estudantes do terceiro ano e 2 formandos. Quantos subcomitês podemos formar? (supondo que estes estarão sentados em ordem no comitê) **120 subcomitês**- $Ex_2$.: De quantos modos distintos eu posso ir a uma festa, se tenho: 5 camisas, 3 calças e dois pares de sapatos? **30 modos**- $Ex_3$.: Quantas diferentes placas de automóvel com  caracteres são possíveis se os 3 primeiros campos forem ocupados por letras e os 4 campos finais por números? **175.760.000 diferentes placas**- $Ex_4$.: No exemplo anterior quantas placas de automóvel seriam possíveis se a repetição entre letras ou número fosse proibida? **78.624.000 placas**- $Ex_5$.: Uma sala possui 3 portas. De quantas maneiras a sala pode **estar aberta**? **7 maneiras**- $Ex_6$.: A <NAME> possui dez livros que pretende colocar em sua prateleira. Destes, quatro são de matemática, três são de química, dois são de história e um é um livro de línguas. A S<NAME> deseja arranjá-los de forma que todos os livros que tratam do mesmo assunto permaneçam juntos na prateleira. Quantos diferentes arranjos são possíveis? **6.912 arranjos**<jupyter_code>26**3 * 10**4
(26*25*24)*(10*9*8*7)
26**4 * 10**3
from math import factorial
factorial(4)*factorial(4)*factorial(3)*factorial(2)*factorial(1)<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>1. Permutação---Nesta seção, discutiremos grupos de objetos exclusivos nos quais **a ordem é importante**. 1.1 Definição de permutaçãoConsiderando uma sequência ordenada qualquer com um número "n" de elementos distintos, qualquer outra sequência formada pelos mesmos “n” elementos reordenados é chamada de permutação.     1.2. Permutação simples:**Um arranjo de objetos sem repetição, onde a ordem é importante.**    Matematicamente, temos:    $$ P_n = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3) ... \, 3 \cdot 2 \cdot 1 = n! $$        - $Ex_1$.: Uma turma de teoria de probabilidade é formada por 6 homens e 4 mulheres. Aplica-se uma prova e os estudantes são classificados de acordo com seu desempenho. Suponha que nenhum tenha tirado a mesma nota. Se os homens forem classificados apenas entre si e as mulheres apenas entre si, quantas diferentes classificações são possíveis?- $Ex_2$.: Cinco amigos querem sentar em um sofá para tirar uma foto. De quantas formas diferentes eles podem aparecer na foto, a depender da posição em que eles se acomodem no sofá? 1.3. Permutação com repetição:**Vamos agora determinar o número de permutações de um conjunto de n objetos quando não for possível distinguir certos objetos de outros.**      **Exemplos**1. Quantos diferentes arranjos de letras podem ser formados a partir das letras AAB?2. Quantos diferentes arranjos de letras podem ser formados a partir da palavra MAPA?*Respostas*1. $P_{3}^{2} = \frac{3!}{2!} = \frac{6}{2} = 3$2. $P_{4}^{2} = \frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$**Outro Exemplo**: Um torneio de xadrez tem 10 competidores, dos quais 4 são russos, 3 estadunidenses, 2 ingleses e 1 brasileiro. Se o resultado listar apenas a nacionalidade são possiveis quantos resultados diferentes?      *Fórmula:*     $$P_{n}^{r,s,\dots} = \frac{n!}{r!s!\dots} $$<jupyter_code># Exemplo 01
factorial(6) * factorial(4)
factorial(10)
# Exemplo 02
factorial(5)
factorial(10)/(factorial(4)*factorial(3)*factorial(2))
# Utilizando o permutations para resolver exemplo de permutação com repetição
from itertools import permutations
for perm in permutations('123'):
    print(perm)
for perm in permutations([1, 2, 3]):
    print(perm)
c = 0
for perm in permutations('AAB'):
    print(perm)
    c = c + 1
print(c)
from scipy.special import perm
from scipy.special import perm
perm(10, [4, 3, 2])<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>2. Arranjo---Arranjos são agrupamentos formados com $p$ elementos de um conjunto de $n$ elementos. Arranjos são como permutações, trocas de posição entre os elementos. Mas no caso dos arranjos, são escolhidos $p$ elementos para ocupar as posições ordenadas. Os arranjos são um caso particular de permutações, já que $p \leq n$.- $Ex_1$.: Cinco amigos querem sentar em um sofá para tirar uma foto. De quantas formas diferentes eles podem aparecer na foto, considerando um sofá de 3 lugares, a depender da posição em que eles se acomodem no sofá?- $Ex_2$.: Você tem um site no qual os usuários podem se registrar. Eles precisam fornecer uma senha que precise ter exatamente 8 caracteres e os caracteres não podem ser repetidos. Primeiro, precisamos determinar quantos caracteres e dígitos existem no alfabeto inglês:    - o número de letras: 26    - o número de dígitos: 10Matematicamente, temos:$$A_{n}^{p} = \frac{n!}{(n - p)!}$$<jupyter_code>5 * 4 * 3
factorial(5) / factorial(5 - 3)
perm(5, 3)
perm(36, 8)
36 * 35 * 34 * 33 * 32 * 31 * 30 * 29
factorial(36) / factorial(36 - 8)
perm(36, 8)
perm(5, 5)<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>3. Combinação ---  Na combinação simples, **a ordem dos elementos no agrupamento não interfere**. São arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos será uma combinação, por exemplo quando temos 5 itens (A, B, C, D, E), quantos grupos de 3 conseguimos selecionar? Pense no caso que quando for selecionado ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA temos o mesmo grupo sendo contado 6 vezes.    Podemos pensar em:    $$5 * 4 * 3$$mas, como a permutação é limitada por r e dividir pela quantidade de vezes que um elemento se repete:    $$\frac{5 * 4 * 3}{3 * 2 * 1}$$<jupyter_code># itertools
from itertools import combinations, combinations_with_replacement
for comb in combinations(["pessoa1", "pessoa2", "pessoa3"], 2):
    print(comb)
for comb in combinations(range(3), 2):
    print(comb)
for comb in combinations_with_replacement(['Pessoa1', 'Pessoa2', 'Pessoa3'], 2):
    print(comb)
# Scipy
from scipy.special import comb
comb(3, 2, exact=True)
comb(3, 2, exact=True, repetition=True)<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Matematicamente, temos:$$C_{n}^{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}$$  Exercícios**1. Existem quantos arranjos lineares diferentes das letras A, B, C, D, E, F para os quais A e B estão uma do lado da outra.****2. João, Juliano, Jonas e Jackes formaram uma banda com quatro instrumentos. Se cada um é capaz de tocar todos instrumentos, quantas diferentes combinações é possivel se realizar?****3. Por muitos anos, os códigos telefônicos de área nos EUA e no Canadá eram formados por uma sequência de 3 algarismos. O primeiro algarismo era um inteiro entre 2 e 9, o segundo algarismo era entre 0 e 1, e o terceiro digito era um inteiro entre 1 e 9. Quantos códigos da área eram possíveis? Quantos códigos de área começando com um 4 eram possíveis?****4. De quantas maneiras diferentes 3 garotos e 3 garotas podem sentar-se em fila?****5. Um comitê de 7 pessoas, formado por 2 petistas, 2 democratas e 3 peemedebistas devem ser escolhidos de um grupo de 5 petistas, 6 democratas, e 4 peemedebistas. Quantas configurações diferentes podemos ter para o comitê?****6. Um torneio de xadrez tem dez competidores, dos quais quatro são russos, três são dos Estados Unidos, dois são da Grã-Bretanha e um é do Brasil. Se o resultado do torneio listar apenas a nacionalidade dos jogadores em sua ordem de colocação, quantos resultados serão possíveis?****7. Quantos arranjos diferentes podem ser feitos a partir de:**    a) sorte    b) mississipi    c) arranjo**8. Uma pessoa tem 8 amigos dos quais 5 serão convidados para uma festa.**    a) Quantas escolhas existem se dois dos amigos estiverem brigados e por esse motivo não puderem comparecer?    b) Quantas escolhas existem se dois amigos puderem ir apenas se forem juntos?    **9. De um grupo de cinco mulheres e sete homens, quantos comitês diferentes formados por duas mulheres e três homens podem ser formados? E se dois doshomens estiverem brigados e se recusarem a trabalhar juntos?**<jupyter_code># 1. Existem quantos arranjos lineares diferentes das letras A, B, C, D, E, F para os quais A e B estão uma do lado da outra.
from scipy.special import perm
perm(5, 5)* perm(2, 2)
(factorial(5)/factorial(5-5))*factorial(2)
# João, Juliano, Jonas e Jackes formaram uma banda com quatro instrumentos. 
#Se cada um é capaz de tocar todos instrumentos, quantas diferentes combinações é possivel se realizar?
factorial(4)
perm(4, 4)
#Por muitos anos, os códigos telefônicos de área nos EUA e no Canadá eram formados por uma sequência de 3 algarismos. 
#O primeiro algarismo era um inteiro entre 2 e 9, o segundo algarismo era entre 0 e 1, 
#e o terceiro digito era um inteiro entre 1 e 9. Quantos códigos da área eram possíveis? 
#Quantos códigos de área começando com um 4 eram possíveis?
8*2*9
1*2*9
# 4. De quantas maneiras diferentes 3 garotos e 3 garotas podem sentar-se em fila?
factorial(6)/(factorial(3)*factorial(3))
# 5. Um comitê de 7 pessoas, formado por 2 petistas, 2 democratas e 3 peemedebistas devem ser escolhidos 
#de um grupo de 5 petistas, 6 democratas, e 4 peemedebistas. 
((factorial(5)/(factorial(2)*(factorial(5-2))))) * ((factorial(6)/(factorial(2)*(factorial(6-2))))) * ((factorial(4)/(factorial(3)*(factorial(4-3)))))
from scipy.special import comb
comb(5, 2)*comb(6, 2)*comb(4, 3)<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Questão 07, letra b> mississipi$$    P_{10}^{4, 4} = \frac{10!}{4!\times4!}$$  2. Probabilidade: conceitos introdutórios  2.1 Espaço amostral**Definição**: Chamamos de espaço amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis de um certo fenômeno aleatório. Ele é muitas vezes representado pela letra grega $\Omega$. Os subconjuntos de $\Omega$ são denominados eventos e representados pelas letras latinas maiúsculas $A, B, \dots$ . O conjunto vazio é denotado por $\emptyset$.A união de dois eventos A e B, denotado por $A \cup B$ representa a ocorrência de pelo menos um dos eventos A ou B. A intersecção do evento A com B, denotado por $A \cap B$ é a ocorrência simultanea de A e B Dois eventos A e B são disjuntos ou mutualmente exclusivos quando não têm elemento em comum. Isto é, $A \cap B$ =  $\emptyset$.Caso dois eventos sejam disjuntos, mas a sua união seja igual à todo o Espaço Amostral, significa que eles são complementares. Ou seja, eles são os únicos eventos possíveis de ocorrer. Matematicamente, se $A \cap B = \emptyset$ e $A \cup B = \Omega$, então os eventos são complementares. O complementar de A será representado por $A^{c}$. Nesse caso, então, $A^{c} = B$ e $B^{c} = A$.**Definição 2.1: Probabilidade**Podemos definir então uma função P(.) denominada probabilidade se satisfaz as seguintes condições:    1. A probabilidade de um evento é sempre um número entre 0 e 1. Ou seja, $0 \leq P(A) \leq 1$.2. A Probabilidade de ocorrer algo dentro do Espaço Amostral é 1. Ou seja, $ P(\Omega) = 1$.3. A Probabilidade de ocorrer a união de todos os Pontos Amostrais é igual à soma da Probabilidade de ocorrer cada um dos Pontos Amostrais. Ou seja:$$    \sum_{w\in \Omega} P{(w)} = P\left(\bigcup_{w\in \Omega} \{w\}\right)$$ 2.2 **Como definir probabilidade aos elementos do espaço amostral?**A primeira consiste na atribuição de probabilidades. Por exemplo, baseando-se em características teóricas da realização do fenômeno. Por exemplo, ao lançarmos um dado, temos o espaço amostral $\omega={1,2,3,4,5,6}$.Admitindo que o dado foi construído de forma homogênea e com medidas rigorosamente simétricas , não temos nenhuma razão para privilegiar essa ou aquela face. Assim consideramos $p(1)=p(2)=p(3)\dots$**Exemplos:** 1. Lançamos uma moeda duas vezes, se C indicar cara e K indicar coroa, então, temos um espaço amostral:    $$\Omega=[CC,CK,KC,KK]$$> Se designarmos por A o evento que consiste na obtenção de face iguais nos dois lançamentos, então: $$ P(A) = P(CC) + P(KK) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 $$ 2. Uma Fábrica produz um determinado artigo. Da linha de produção são retirados 3 artigos, e cada um é classificado como bom (B), ou defeituoso (D). Um espaço amostral do experimento é:    $$ \Omega = [BBB,BBD,BDB,DBB,DDB,DBD,BDD,DDD] $$> Se designarmos por A o evento que consiste em obter dois artigos defeituosos:$$ P(A) = P(DDB) + P(DBD) + P(BDD) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{3}{8} = 0.375 $$ 1.3 Considere o experimento que consiste em retirar uma lâmpada de um lote e medir seu tempo de vida antes de queimar. Um espaço amostral conveniente será:    $$ \Omega = [t], \quad \textrm{em que}, t \geq 0 $$  Exercícios**1. Lance um dados até que a face 5 apareça pela primeira vez. Enumere os possíveis resultados.****2. Uma urna contém 10 bolas azuis, 10 bolas vermelhas,com dimensões rigorosamente iguais. Três (3) bolas são selecionadas ao acaso com reposição e as cores são anotadas.****3. Uma moeda é lançada, consecutivamente, até o aparecimento da primeira cara.****4. Dois dados são lançados, simultâneamente, e estamos interessados na soma das faces obtidas.****4. Três jogadores $A < B < C$ disputam um torneio de tênis. Inicialmente, A joga com B e o vencedor joga com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganha 2 vez em seguida ou quando são disputadas, ao todo, quatro partidas. Quais são os resultados possíveis do torneio?****5. Em uma entrevista telefônica com 250 assinantes, anota-se o número se o proprietário tem ou não tem uma máquina de lavar roupa.****6. De um grupo de 5 pessoas (A, B, C, D, E) são sorteadas 2 pessoas, uma após a outra, com reposição; e anota-se a configuração formada.****7. Uma moeda e um dado são lançados. Dê o espaço amostral do experimento.****8. Escolhe-se ao acaso um número natural, de 1 a 20. Qual a probabilidade de que o número escolhido seja par?****9. Em um jogo há duas urnas com dez bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.**Cor | Urna 1 | Urna 2----|--------|------Amarela	|4	|0Azul	|3	|1Branca	|2	|2Verde	|1	|3Vermelha	|0	|4Uma jogada consiste em:1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2  2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão  3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2  4º) se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo  Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?a) Azul  b) Amarela  c) Branca  d) Verde  e) **Vermelha**<jupyter_code>import pandas as pd
df = pd.read_csv('https://s3-sa-east-1.amazonaws.com/lcpi/5729687e-ae14-4978-8cd7-7ef18277813d.csv')
df.head()
df["Survived"].value_counts(normalize=True)<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Propriedades da União e Intersecção---Vamos supor a tabela abaixo  para idades| idade | $n_{i}$ | $F_{i}$ | $f_{ac}$ ||-------|---------|---------|----------|| 17    | 9       |         |          || 18    | 22      |         |          || 19    | 7       |         |          || 20    | 4       |         |          || 21    | 3       |         |          || 22    | 0       |         |          || 23    | 2       |         |          || 24    | 1       |         |          || 25    | 2       |         |          ||-------|---------|---------|----------|| total |   n=50  |    1    |          ||-------|---------|---------|----------|Qual nosso espaço amostral ? quais são as probabilidades associadas ?P(17) ?  **Probabilidade de união de eventos**A probabilidade de união de eventos é calculada através da regra da adição de probabilidades apresentada abaixo :$$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P ( A \cap B) $$Temos também a definição de que um evento pode ser definido pela não ocorrência dele, ou seja, $$A^{c}$$ é a não ocorrência de A. Logo,$$P(A) = 1 - P(A^{c})$$Se isso é correto, então: $P(A) + P(A^{c}) = 1$.Podemos visualizar por:$$P (A \cup A^{c}) = P(A) + P(A^{c}) - P(A\cap A^{c}) $$  Probabilidade condicional e Independência--- Para eventos dependentes, o cálculo da Probabilidade muda. Vamos estabelecer que:$P(A|B)$ -> Probabilidade condicional de A dado B, ou seja, probabilidade do evento A ocorrer, dado que ocorreu o evento B$P(A \cap B)$ -> Como já vimos, é a probabilidade dos dois eventos ocorreremPara eventos dependentes, Temos a seguinte função:$$P(A|B)= \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$$$ P(A|B) = \frac{\frac{A \cap B}{\omega}}{\frac{B}{\omega}}$$E algumas vezes, passamos P(B) para o outro lado da igualdade, e a equação fica assim:$$P(A\cap B) = P(A|B) × P(B)$$ Exemplos$Ex_1$.: Uma moeda é lançada duas vezes, sucessivamente. Qual é a probabilidade de tirarmos cara no segundo lançamento, sabendo que foi obtido coroa no primeiro? **1/2**$Ex_2$.: De uma urna com 4 bolas brancas e 6 bolas pretas, retiram-se 2 bolas, sucessivamente, e sem reposição. Qual é a probabilidade de:1. Ambas serem brancas? **1/15**2. A segunda ser branca?**1/5**3. A 2ª ser branca, sabendo que a 1ª é branca?**1/15** ExercícioEm um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas, foram postados “Contos de Halloween”. Após a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando suas reações em: “Divertido”, “Assustador” ou “Chato”. Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem.O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete.![](https://static.todamateria.com.br/upload/en/em/enem_1_2_3.jpg)O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem “Contos de Halloween”.Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto “Contos de Halloween” é “Chato” é mais aproximada por:a) 0,09    b) 0,12   c) 0,14  d) **0,15**e) 0,18   Eventos independentes Quanto a ocorrência de um evento não intefere na ocorrência do outro, e vice-versa. Em outras palavras, quando a probabilidade de ocorrência de um evento A, não alterar a probabilidade de ocorrência de um evento B, e vice-versa.  Teorema de BayesO **Teorema de Bayes** é um conceito importantíssimo da probabilidade e uma das ferramentas mais importantes de serem aprendidas para um Cientista de Dados. Este já foi usado em diversas aplicações reais, como por exemplo a classificação de um email como spam ou não. O Teorema de Bayes é uma forma de calcular probabilidades condicionais de forma reversa.Vamos considerar o clássico exemplo para explicar o teorema. Temos uma determinada doença A, e um teste T utilizado para detectar esta doença. O teste não é 100% confiável, indicando pessoas que não tem a doença como doentes (falsos positivos) e não detectando a doença em pessoas que a possuem (falsos negativos), como ilustra a figura abaixo: Consideremos que 1% das pessoas possui esta doença e, logo, 99% das pessoas não a possui. O teste detecta a doença em pessoas efetivamente doentes 90% das vezes e, consequentemente, não detecta a doença em pessoas doentes em 10% dos casos. Em pessoas não doentes, o teste detecta a doença (erradamente) `em 5% dos casos` e não detecta em 95% dos casos. Podemos resumir desta forma:|                | Pessoa Doente | Pessoa Não Doente ||----------------|---------------|-------------------|| Teste positivo | 90 %          | 5 %               || Teste Negativo | 10 %          | 95 %              |Agora, vamos supor que você fez o teste e o resultado deu positivo. Como devemos interpretar este resultado? Obviamente, existe uma chance de você possuir a doença e uma chance de não possuir. A chance de você ter a doença e o teste detecta-la (verdadeiro positivo) é igual a chance de você ter a doença multiplicado pela chance do teste ter dado positivo corretamente. Analogamente, a chance de você não ter a doença e o teste detecta-la mesmo assim (falso positivo) é igual a chance de você não ter a doença multiplicado pela chance do teste ter dado positivo incorretamente, e assim por diante, para todos os resultados. Atualizamos então a tabela, que fica assim:|                | Pessoa Doente                            | Pessoa Não Doente                               ||----------------|------------------------------------------|-------------------------------------------------|| Teste positivo | Prob Doente e teste pos: 1% × 90% = 0,9% | Prob Não Doente e teste pos: 99% × 5% = 4,95%   || Teste Negativo | Prob Doente e teste neg: 1% × 10% = 0,1% | Prob Não Doente e teste neg: 99% × 95% = 94,05% |Estas então são nossas probabilidades para cada evento. Note que, se somadas, o resultado é 1, ou 100%. Mas agora temos uma dúvida. Se nosso teste deu positivo, qual a chance de termos a doença? Considerando o cálculo básico de probabilidade, temos que a chance de ter a doença é igual à chance do evento desejado dividido por todas as possibilidades. O evento desejado é um positivo verdadeiro, ou seja, teste positivo e a pessoa com doença. Para este caso, a probabilidade é de 0,9%. O total de possibilidades com relação ao teste positivo seria a soma da probabilidade de “Doente e teste pos” (verdadeiro positivo) com “Não Doente e teste pos” (falso positivo), que resultará em 0,9% + 4,95%, igual a 5,85%. Fazendo toda a conta então, nossa chance de ter a doença se temos um teste positivo é de 0,9%/5,85% = 0.1538, ou 15,38%. É uma chance bem mais baixa do que imaginamos apenas ao olhar para o problema e para a suposta precisão do teste. Considerando o seguinte:* P(D|A) = Probabilidade de ter a doença dado um teste positivo (este é a probabilidade que desejamos saber)* P(D) = Probabilidade da pessoa ter a doença = 1%* P(A|D) = Probabilidade de um teste positivo se a pessoa tem a doença = 0,9% (* P(A|¬D) = Probabilidade de um teste positivo se a pessoa não tem a doença = 4,95%    **O Teorema de bayes diz que :**        $$ P(D|A) = \frac{P(A|D) * P(D)}{P(A|D) * P(D)  + P(A|nao D) * P(nao D)}    $$<jupyter_code>p_positivo_doente = 0.9
p_doente = 0.01
p_positivo_nao_doente = 0.1
p_nao_doente = 0.99

numerador = p_positivo_doente*p_doente
denominador = (p_positivo_doente*p_doente) + (p_positivo_nao_doente*p_nao_doente)
p_doente_positivo = numerador/denominador
p_doente_positivo
# A probabilidade de uma pessoa ter certa doença A é de 1%
# consequentemente, a probabilidade de não ter a doença é de 99%

probabilidade_doenca = 0.01
probabilidade_nao_doenca = 1 - probabilidade_doenca

# Um teste T para detectar a doença não é 100% confiável, detectando
# a doença em pessoas não doentes e não detectando em pessoas doentes

# O teste detecta a doença em pessoas doentes em 90% dos casos
# e não detecta a doença em pessoas doentes em 10% dos casos

prob_teste_pos_e_doenca = 0.9
prob_teste_neg_e_doenca = 0.1

# O teste detecta a doença em pessoas não doentes em 5% dos casos
# e não detecta a doença em pessoas não doentes em 95% dos casos

prob_teste_pos_e_nao_doenca = 0.05
prob_teste_neg_e_nao_doenca = 0.95


# Verdadeiro positivo: chance de ter a doença e o teste dar positivo
prob_verdadeiro_positivo = probabilidade_doenca * prob_teste_pos_e_doenca


# Verdadeiro negativo: chance de não ter a doença e o teste dar negativo
prob_verdadeiro_negativo = probabilidade_nao_doenca * prob_teste_neg_e_nao_doenca

# Falso positivo: chance de não ter a doença e o teste dar positivo
prob_falso_positivo = probabilidade_nao_doenca * prob_teste_pos_e_nao_doenca

# Falso negativo: chance de ter a doença e o teste dar negativo
prob_falso_negativo = probabilidade_doenca * prob_teste_neg_e_doenca


# Fizemos o teste e o resultado foi positivo. Qual a chance de eu ter a doença?
# Teorema de Bayes: P(D|A) = (P(A|D) * P(D)) / (P(A|D) * P(D) + P(A|¬D) * P(¬D))<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Exemplos1. Uma companhia multinacional tem três fábricas que produzem o mesmo tipo de produto. A fábrica I é responsável por 30% do total produzido, a fábrica II produz 45% do total, e o restante vem da fábrica III. Cada uma das fábricas, no entanto, produz uma proporção de produtos que não atendem aos padrões estabelecidos pelas normas internacionais. Tais produtos são considerados "defeituosos" e correspondem a 1%, 2% e 1,5%, respectivamente, dos totais produzidos por fábrica.    No centro de distribuição, é feito o controle de qualidade da produção combinada das fábricas.    a. Qual é a probabilidade de encontrar um produto defeituoso durante a inspeção de qualidade?      b. Se durante a inspeção encontrarmos um produto defeituoso, qual é a probabilidade de que ele tenha sido produzido na Fábrica II?    2. Vamos utilizar o dataset do Titanic para calcular a probabilidade de uma pessoa ter sobrevivido, dado que é do sexo masculino.<jupyter_code>import pandas as pd
import numpy as np
df = pd.read_csv('https://s3-sa-east-1.amazonaws.com/lcpi/5729687e-ae14-4978-8cd7-7ef18277813d.csv')
df.head()
df.shape<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Definição de eventos- S: ter sobrevivido- M: ser do sexo masculino$$P(S|M) = \, ?$$ Equação do Teorema de Bayes$$ P(S|M) = \frac{P(M|S) \times P(S)}{P(M|S) \times P(S)  + P(M|\bar S) \times P(\bar S)}    $$<jupyter_code># 𝑃(𝑀|𝑆) = 0.318713
df.query('Survived == 1')['Sex'].value_counts(normalize=True)

p_masculino_sobreviveu = 0.318713
# P(S) = 0.383838
df.Survived.value_counts(True)

p_sobreviveu = 0.383838
# 𝑃(𝑀|𝑆') = 0.852459
df.query('Survived == 0')['Sex'].value_counts(normalize=True)

p_masculino_nao_sobreviveu = 0.852459
# 𝑃(𝑆') = 0.616162
df.Survived.value_counts(True)

p_nao_sobreviveu = 1 - p_sobreviveu
p_sobreviver_masculino = (p_masculino_sobreviveu * p_sobreviveu) / ((p_masculino_sobreviveu * p_sobreviveu) + (p_masculino_nao_sobreviveu * p_nao_sobreviveu))
p_sobreviver_masculino
# Forma direta
df.query('Sex == "male"')['Survived'].value_counts(True)<jupyter_output><empty_output>
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