<jupyter_start><jupyter_text>![Astrofisica Computacional](logo.png) ---<NAME> (<EMAIL>)---  Propiedades de la Solución de Kerr--- ResumenEste cuaderno utiliza [SageMath](https://www.sagemath.org) y [SageManifolds](https://sagemanifolds.obspm.fr/index.html) para calcular algunas propiedades geométricas del espacio-tiempo de Kerr incluyendo  simbolos de Christoffel, el tensor de Riemann, el tensor de Ricci y el escalar de Kretschmann.  Nota: Este cuaderno fue creado utilizando SageMath >= 9.4<jupyter_code>version()<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Activamos la visualización matemática via LaTeX,<jupyter_code>%display latex<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Iniciamos un contador para estimar el tiempo de computo,<jupyter_code>import time
comput_time0 = time.perf_counter()<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Es posible paralelizar utilizando 8 hilos. (NO FUNCIONA CORRECTAMENTE EN APPLE SILLICON)<jupyter_code>#Parallelism().set(nproc=8)<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Definición del Espacio-TiempoSe declara el espacio-tiempo de Kerr (parche cubierto por las coordenadas de Boyer-Lindquist) como una variedad Lorentziana 4-dimensional $\mathcal{M}$:<jupyter_code>MU = Manifold(4, 'MU', latex_name=r'\mathcal{M}', structure='Lorentzian')
MU<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Ahora se introducen las coordenadas de Boyer-Lindquist coordinates como una carta con el nombre  `BL` en la variedad $\mathcal{M}$, utilizando el método `chart()`,<jupyter_code>BL.<t,r,th,ph> = MU.chart(r"t r th:(0,pi):\theta ph:(0,2*pi):\phi") 
BL<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Se puede acceder a las coordenadas en esta carta en la forma<jupyter_code>BL[0], BL[1]<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Tensor MétricoCon el fin de definir el tensor métrico, se declaran dos variables simbólicas<jupyter_code>var('M, a', domain='real')<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>A continuación se define la métrica de Kerr,<jupyter_code>g = MU.metric()

Sigma = r^2 + (a*cos(th))^2
Delta = r^2 -2*M*r + a^2
g[0,0] = -(1-2*M*r/Sigma)
g[0,3] = -2*a*M*r*sin(th)^2/Sigma
g[1,1] = Sigma/Delta 
g[2,2] = Sigma
g[3,3] = (r^2 + a^2 + 2*M*r*(a*sin(th))^2/Sigma)*sin(th)^2
g.display()
g[:]
g.display_comp()<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Connexiones Se introduce la conexión compatible con la métrica<jupyter_code>nabla = g.connection()
nabla<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Con esta conexión, y debido a la compatibilidad métrica, la derivada de $g_{\mu\nu}$ debe ser cero,<jupyter_code>nabla(g) == 0<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Esta propiedad también se puede ver directamente al calcular la derivada y mostrar el resultado,<jupyter_code>nabla(g).display()<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Los simbolos de Christoffel no-nulos son<jupyter_code>g.christoffel_symbols_display()<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>--- Tensores de CurvaturaEl tensor de curvatura de Riemann es<jupyter_code>Riemann = g.riemann()
Riemann
Riemann[0,1,0,1]<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>El tensor de Ricci es<jupyter_code>Ricci = g.ricci()
Ricci
Ricci[:]<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Este resultado muestra directamente que **la métrica de Kerr es una solución de las Ecuaciones de Einstein en el vacío**.  Vectores de Killing Utilizamos el sistema dado por las coordenadas de Boyer-Lindquist,<jupyter_code>BL.frame()<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>EL primero de los vectores en este sistema es<jupyter_code>xi = BL.frame()[0]
xi
print(xi)<jupyter_output>Vector field ∂/∂t on the 4-dimensional Lorentzian manifold MU<jupyter_text>La 1-forma asociada mediante la dualidad métrica será<jupyter_code>xi_form = xi.down(g)
xi_form.display()<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Calculamos la derviada covariante de la 1-forma para obtener<jupyter_code>nab_xi = nabla(xi_form)
print(nab_xi)
nab_xi.display()<jupyter_output>Tensor field of type (0,2) on the 4-dimensional Lorentzian manifold MU<jupyter_text>Con ello podemos comprobar que se satisface la ecuación de Killing,<jupyter_code>nab_xi.symmetrize() == 0<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>De forma similar se puede comprobar que $\frac{\partial}{\partial\phi}$ es un vector de Killing<jupyter_code>chi = BL.frame()[3]
chi
nabla(chi.down(g)).symmetrize() == 0<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Escalar de KretschmannAl igual que en el caso de la métrica de Schwarzschild, utilizaremos el escalar de Kretchamnn para estudiar la singularidad esencial. Para ello definimos primero el tesnor de Riemann con todos sus indices abajo,<jupyter_code>Riemann_dddd = Riemann.down(g)
Riemann_dddd<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>También el tensor de Riemann con todos sus indices arriba,<jupyter_code>Riemann_uuuu = Riemann.up(g)
Riemann_uuuu<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Y con ellos construimos el escalar de Kretschmann, $K := R^{abcd} R_{abcd}$:<jupyter_code>Kr_scalar = Riemann_uuuu['^{abcd}']*Riemann_dddd['_{abcd}']
Kr_scalar.display()<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Esta expresion se puede re-escribir utilizando el método `factor()` en la función coordenada que representa el campo escalar en la carta elegida para la variedad,<jupyter_code>Kr = Kr_scalar.coord_function()
Kr.factor()<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Se puede también comparar con el escalar de Kretchamnn reportado en la literatura por <NAME> Henry, Astrophys. J. 535, 350 (2000),<jupyter_code>Kr == 48*M^2*(r^6 - 15*r^4*(a*cos(th))^2 + 15*r^2*(a*cos(th))^4 
              - (a*cos(th))^6) / (r^2+(a*cos(th))^2)^6<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Como un caso particular, nótese que al tomar $a=0$ se recupera el escalar de Kretchamnn para la métrica de Schwarzschild,<jupyter_code>Kr.expr().subs(a=0)<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Tomando los valores $m=1$ y $a=0.9 podemos visualizar el comportamiento del escalar de Kretschmann scalar,<jupyter_code>K1 = Kr.expr().subs(M=1, a=0.9)
plot3d(K1, (r, 1, 3), (th, 0, pi), axes_labels=['r', 'theta', 'Kr'])
print("Total elapsed time: {} s".format(time.perf_counter() - comput_time0))<jupyter_output>Total elapsed time: 19852.149434666 s
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