<jupyter_start><jupyter_text>Производные функций нескольких переменных. 2 часть Исследовать на условный экстремум:1. $U = 3 -8x + 6y$, если $x^2 + y^2 = 36$$L(\lambda_1, x, y) = 3 - 8x + 6y + \lambda_1 \cdot (x^2 + y^2 - 36)$$\begin{cases}  L'_x = -8 + \lambda_1 \cdot 2x = 0\\  L'_y = 6 + \lambda_1 \cdot 2y = 0\\  L'_{\lambda_1} = x^2 + y^2 - 36\end{cases}$$\begin{cases}    x = \frac{4}{\lambda_1} \\    y = -\frac{3}{\lambda_1} \\    \frac{16}{\lambda_1^2} + \frac{9}{\lambda_1^2} = 36\end{cases}$$\begin{cases}  x = \frac{4}{\lambda_1} \\  y = -\frac{3}{\lambda_1} \\  \lambda_1 = \pm \frac{5}{6}\end{cases}$$\left(\frac{5}{6}, \frac{24}{5}, -\frac{18}{5}\right), \left(-\frac{5}{6}, -\frac{24}{5}, \frac{18}{5}\right)$$L''_{xx} = 2\lambda_1$$L''_{yy} = 2\lambda_1$$L''_{\lambda_1\lambda_1} = 0$$L''_{xy} = 0$$L''_{x\lambda_1} = 2x$$L''_{y\lambda_1} = 2y$$\begin{pmatrix}    L''_{\lambda_1\lambda_1} & L''_{\lambda_1 x} & L''_{\lambda_1 y} \\    L''_{x \lambda_1} & L''_{xx} & L''_{xy} \\    L''_{y \lambda_1} & L''{yx} & L''{yy}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}  0 & 2x & 2y\\  2x & 2\lambda_1 & 0\\  2y & 0 & 2\lambda_1\end{pmatrix} =-8 \lambda_1(x^2+y^2)$$\left(\frac{5}{6}, \frac{24}{5}, -\frac{18}{5}\right),\Delta_1 = -240, \Delta_1 < 0  \implies \text{точка минимума}$$\left(-\frac{5}{6}, -\frac{24}{5}, \frac{18}{5}\right), \Delta_2 = 240, \Delta_2 > 0  \implies \text{точка максимума}$ 2. $U =2x^2 + 12xy +32y^2 + 15$, если $x^2 + 16y^2 =64$$L(\lambda_1, x, y) = 2x^2 + 12xy +32y^2 + 15 + \lambda_1 \cdot (x^2 + 16y^2  - 64)$$\begin{cases}  L'_x = 4x + 12y + 2x \lambda_1 = 0 \\  L'_y = 12x + 64y + 32y\lambda_1 = 0 \\  L'_{\lambda_1} = x^2 + 16y^2  - 64 = 0\end{cases}$$\begin{cases}    \lambda_1 = - \frac{2x + 6y}{x} \\    \lambda_1 = - \frac{3x + 16y}{8y} \\    x^2 +16y^2 = 64\end{cases}$$\begin{cases}    \lambda_1 = - \frac{2x + 6y}{x} \\    16xy +48y^2 = 3x^2 + 16xy \\    x^2 +16y^2 = 64\end{cases}$$\begin{cases}    \lambda_1 = - \frac{2x + 6y}{x} \\    16y^2 = x^2 \\    x^2 + x^2 = 64\end{cases}$$\begin{array}{|l}    \left(- \frac{7}{2}, 4\sqrt{2}, \sqrt{2} \right) \\    \left(- \frac{1}{2}, 4\sqrt{2}, -\sqrt{2} \right) \\    \left(- \frac{1}{2}, -4\sqrt{2}, \sqrt{2} \right) \\    \left(- \frac{7}{2}, -4\sqrt{2}, -\sqrt{2} \right) \end{array}$$L''_{xx} = 2\lambda_1 + 4$$L''_{yy} =32\lambda_1 + 64$$L''_{\lambda_1\lambda_1} = 0$$L''_{xy} = 12$$L''_{x\lambda_1} = 2x$$L''_{y\lambda_1} = 32y$$\begin{pmatrix}    L''_{\lambda_1\lambda_1} & L''_{\lambda_1 x} & L''_{\lambda_1 y} \\    L''_{x \lambda_1} & L''_{xx} & L''_{xy} \\    L''_{y \lambda_1} & L''{yx} & L''{yy}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}  0 & 2x & 32y\\  2x & 2\lambda_1 + 4 & 12\\  32y & 12 & 32\lambda_1 + 64\end{pmatrix}$$\begin{vmatrix}  0 & 2x & 32y\\  2x & 2\lambda_1 + 4 & 12\\  32y & 12 & 32\lambda_1 + 64\end{vmatrix} =$$-128 x^2 \lambda_1-256x^2 + 1536xy - 2048y^2\lambda_1 -4096y^2 = -256(x^2 + 16y^2) - 128\lambda_1(x^2 + 16y^2) + 1536xy = -256 \cdot 64 - 128\lambda_1 \cdot 64 + 1536xy = -16384 - 8192\lambda_1 + 1536xy$$\left(- \frac{7}{2}, 4\sqrt{2}, \sqrt{2} \right),\Delta_1 = 24576, \Delta_1 > 0  \implies \text{точка максимума}$$\left(- \frac{1}{2}, 4\sqrt{2}, -\sqrt{2} \right),\Delta_1 = -24576, \Delta_1 < 0  \implies \text{точка минимума}$$\left(- \frac{1}{2}, -4\sqrt{2}, \sqrt{2} \right),\Delta_1 = -24576, \Delta_1 < 0  \implies \text{точка минимума}$$\left(- \frac{7}{2}, -4\sqrt{2}, -\sqrt{2} \right),\Delta_1 = 24576, \Delta_1 > 0  \implies \text{точка максимума}$ 3. Численно найти хотя бы один действительных корень системы нелинейных уравнений.$$\begin{cases}    x^2 - y^2 + 3xy^3 - 2x^2y^2 +2x -3y - 5 = 0 \\    3y^3 - 2x^2 + 2x^3y - 5x^2y^2 + 5 = 0\end{cases}$$<jupyter_code>from scipy.optimize import fsolve

def equations(p):
    x, y = p
    f1 = x**2 - y**2 + 3*x*y**3 - 2*x**2 * y**2 +2*x -3*y - 5
    f2 = 3*y*3 - 2*x*2 + 2*x*3*y - 5*x*2*y*2 + 5
    return(f1, f2)


solv, info, ier, mesg =  fsolve(equations, (-5, -1), full_output=True)
print (solv, ier)<jupyter_output>[-3.78730114 -0.32487076] 1<jupyter_text>4. \* Предложить алгоритм, который найдет все 5 действительных корней.<jupyter_code>import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve
import math

def equations(p):
    x, y = p
    return (x**2-y**2+3*x*y**3-2*x**2*y**2+2*x-3*y-5, 3*y**3-2*x**2+2*x**3*y-5*x**2*y**2+5)

solv = set()
length = 100
step = 4

for x in np.arange (-length, length, step):
    for y in np.arange (-length, length, step):
        (x, y), info, ier, mesg =  fsolve(equations, (x, y), full_output=True)
        if (ier == 1): solv.add((int(x*10**8)/10**8, int(y*10**8)/10**8))
            
print (*solv)<jupyter_output>(-3.65307996, -0.27476341) (2.21775363, 0.61019397) (2.49435653, 0.70831752) (1.37568714, -0.17475798) (1.27330206, 1.66203912)
{'fraction_non_alphanumeric': 0.26149968494013864, 'fraction_numerical': 0.13211510186935518, 'mean_word_length': 3.2104332449160036, 'pattern_counts': {'":': 0, '<': 10, '<?xml version=': 0, '>': 10, 'https://': 0, 'lorem ipsum': 0, 'www.': 0, 'xml': 0}, 'pii_count': 0, 'substrings_counts': 0, 'word_list_counts': {'cursed_substrings.json': 0, 'profanity_word_list.json': 0, 'sexual_word_list.json': 0, 'zh_pornsignals.json': 0}}
{'chain_length': '2', 'dir': 'jupyter-structured-clean-dedup', 'id': '423174', 'license': 'MIT', 'n_tokens_mistral': 2595, 'n_tokens_neox': 2310, 'n_words': 434, 'path': 'Introduction-to-Mathematical-Analysis/Lesson_09.ipynb', 'repo_name': 'dmitryrubtsov/Mathematics', 'size': '4761'}