<jupyter_start><jupyter_text><jupyter_code>from sympy import symbols, diff, integrate, solve, factor, Sum, oo, \
  binomial, sqrt, limit, simplify<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Глава 1  Задача 1$f(a)=M(\zeta-a)^2, a=M\zeta$$M(\zeta^2-2\zeta a+a^2)=\\=M\zeta^2-2M (\zeta a) +Ma^2$$-2M(\zeta a)+Ma^2 \rightarrow min$$-2M\zeta+2Ma$$M\zeta = Ma$  Задача 2$M \bar \eta = M(\frac{1}{n}(\eta_1+...+\eta_n))=\\=\frac{1}{n}(M\eta_1+...+M\eta_n)=0.5$$D \bar \eta = D(\frac{1}{n}(\eta_1+...+\eta_n))=\\=M\eta^2-(M\eta)^2=0.5-0.25=0.25$$M\bar\eta=\int_0^1 dx=$  Задача 3$M\eta(n)=M max(\eta_1,...,\eta_n)=$$F_1(x)=P(\eta_1\leq x)$$F_{\eta(n)}(\eta_{(n)}\leq a)=\prod_{i=1}^{n}P(\eta_i \leq a) = a^n$$M\eta_{(n)}=\int_0^1 a^n da=\frac{1}{n+1}a^{n+1}\\=\frac{1}{n+1}1^{n+1}$$M\bar\eta\ = \int_0^1 a \cdot  F_{\eta} da = \\=\int_0^1 a^{n+1} da = \frac{1}{n+1}\cdot a$<jupyter_code>a, n = symbols('a n', positive =True)
F = a**n
F
f = diff(F, a)
f
M = integrate(a*f, (a, 0, 1))
M
D = integrate(a**2*f,(a,0,1)) - M**2
D
factor(D)
del a,n,F,f,M,D<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Задача 4$F(\mu =  a)=p\cdot \prod_{i=1}^a (1-p)=\\=p\cdot (1-p)^a$<jupyter_code># число неудач до появления первого успеха и вероятность успеха
p = symbols('p', positive=True)
mu, a = symbols('mu a', positive=True, Integer=True)
F = p*(1-p)**a 
F
s = Sum(F, (a,1,+oo)).doit()
print(s)
del p,mu,a,F,s<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Задача 5<jupyter_code># Кол-во тестируемых в группе
k = symbols('k', positive=True, Integer=True)
# Вероятность обнаружения заболевания
p = symbols('p', positive= True) 
# Вероятность отсутствия заболевания
q = 1 - p
# Вероястность что группа больна и НЕ больна
pk, qk = 1 - q**k, q**k
# Число всевозможных комбинации больных и здоровых в больной группе
i = symbols('i', positive=True, Integer=True)
npk =  Sum(binomial(k, i), (i, 1, k))
# Кол-во необходимых тестов для одной группы, с учётом того, что
# если в больной группе не выявился больной на k-1 тест, то тест делать не надо
z = 1*  qk + pk * ((k+1) * (npk-1)/npk + k * 1/npk)
z
# Кол-во необходимых тестов для группы из 2-х тестируемых
z2 = z.subs(k,2).doit()
z2
# Критерий по "p" при котором выгоднее тестировать группами чем по отдельности
crit = solve(z2<2,p).args[0]
crit.evalf()
del k,p,q,pk,qk,i,npk,z,z2,crit<jupyter_output><empty_output><jupyter_text>Задача 6<jupyter_code>x, p = symbols('x, p', positive=True)
H = 1+1/x-(1-p)**x
H
h = diff(H, x)*-1
h
# Для док-ва подставим значение предпологаемого кореня и возьмём предел
a = h.subs(x,1/sqrt(p))
limit(a,p,0)
simplify(H.subs(x, 1/sqrt(p)))
del x,p,H,h,a<jupyter_output><empty_output>
{'fraction_non_alphanumeric': 0.22281368821292777, 'fraction_numerical': 0.0349809885931559, 'mean_word_length': 5.076212471131639, 'pattern_counts': {'":': 0, '<': 22, '<?xml version=': 0, '>': 21, 'https://': 0, 'lorem ipsum': 0, 'www.': 0, 'xml': 0}, 'pii_count': 0, 'substrings_counts': 0, 'word_list_counts': {'cursed_substrings.json': 0, 'profanity_word_list.json': 0, 'sexual_word_list.json': 0, 'zh_pornsignals.json': 0}}
{'chain_length': '5', 'dir': 'jupyter-structured-clean-dedup', 'id': '185758', 'license': 'MIT', 'n_tokens_mistral': 1328, 'n_tokens_neox': 1375, 'n_words': 254, 'path': 'Chapter_1.ipynb', 'repo_name': 'HexQuant/math-stat-ex', 'size': '2630'}