<commit_before>﻿\section{Таблица интегралов}

Таблица интегралов:
\begin{align*}
\int 0\d x &= c \\
\int x^p\d x &= \frac{x^{p+1}}{p + 1} + c \\
\int \frac{\d x}{x} &= \ln |x| + c \\
\int a^x \d x &= \frac{a^x}{\ln a} + c \\
\int \sin x \d x &= -\cos x + c \\
\int \cos x \d x &= \sin x + c \\
\int \frac{\d x}{\cos^2 x} &= \tg x + c \\
\int \frac{\d x}{\sin^2 x} &= -\ctg x + c \\
\int \frac{\d x}{\sqrt{1 - x^2}} &= \arcsin x + c \\
\int \frac{\d x}{1 + x^2} &= \arccos x + c \\
\int \frac{\d x}{1 - x^2} &= \frac12 \ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right| + c\\
\int \frac{\d x}{\sqrt{x^2 \pm 1}} &= \ln \left|x + \sqrt{x^2 \pm 1}\right| + c
\end{align*}

\begin{Def}
Пусть $A, B$~--- множества. Тогда
$$A + B = \left\{a + b \mid a \in A \land b \in B\right\}$$
$$A - B = \left\{a - b \mid a \in A \land b \in B\right\}$$
$$\alpha A = \left\{\alpha a \mid a \in A\right\}$$
\end{Def}

\begin{theorem}{Об арифметических операциях с интегралами}
$$\int (f \pm g) \d x = \int f \d x \pm \int g \d x$$
$\alpha \ne 0$
$$\int \alpha f \d x = \alpha \int f \d x$$
\end{theorem}
\begin{Rem}
Именно из-за того, что константы в записи нет, мы исключаем ноль.
\end{Rem}<commit_msg>fix in 90<commit_after>﻿\section{Таблица интегралов}

Таблица интегралов:
\begin{align*}
\int 0\d x &= c \\
\int x^p\d x &= \frac{x^{p+1}}{p + 1} + c \\
\int \frac{\d x}{x} &= \ln |x| + c \\
\int a^x \d x &= \frac{a^x}{\ln a} + c \\
\int \sin x \d x &= -\cos x + c \\
\int \cos x \d x &= \sin x + c \\
\int \frac{\d x}{\cos^2 x} &= \tg x + c \\
\int \frac{\d x}{\sin^2 x} &= -\ctg x + c \\
\int \frac{\d x}{\sqrt{1 - x^2}} &= \arccos x + c \\
\int \frac{\d x}{1 + x^2} &= \arctg x + c \\
\int \frac{\d x}{1 - x^2} &= \frac12 \ln \left|\frac{1+x}{1-x}\right| + c\\
\int \frac{\d x}{\sqrt{x^2 \pm 1}} &= \ln \left|x + \sqrt{x^2 \pm 1}\right| + c
\end{align*}

\begin{Def}
Пусть $A, B$~--- множества. Тогда
$$A + B = \left\{a + b \mid a \in A \land b \in B\right\}$$
$$A - B = \left\{a - b \mid a \in A \land b \in B\right\}$$
$$\alpha A = \left\{\alpha a \mid a \in A\right\}$$
\end{Def}

\begin{theorem}{Об арифметических операциях с интегралами}
$$\int (f \pm g) \d x = \int f \d x \pm \int g \d x$$
$\alpha \ne 0$
$$\int \alpha f \d x = \alpha \int f \d x$$
\end{theorem}
\begin{Rem}
Именно из-за того, что константы в записи нет, мы исключаем ноль.
\end{Rem}
{'fraction_non_alphanumeric': 0.27268817204301077, 'fraction_numerical': 0.01806451612903226, 'mean_word_length': 2.1390013495276654, 'pattern_counts': {'":': 0, '<': 3, '<?xml version=': 0, '>': 3, 'https://': 0, 'lorem ipsum': 0, 'www.': 0, 'xml': 0}, 'pii_count': 0, 'substrings_counts': 0, 'word_list_counts': {'cursed_substrings.json': 0, 'profanity_word_list.json': 0, 'sexual_word_list.json': 0, 'zh_pornsignals.json': 0}}
{'dir': 'git-commits-cleaned', 'id': '7644125', 'n_tokens_mistral': 1139, 'n_tokens_neox': 1154, 'n_words': 357}