<commit_before>\chapter{Geladenes Teilchen im elektrischen Feld\label{chapter:efeld}}
\lhead{Teilchen im elektrischen Feld}
\begin{refsection}
\chapterauthor{<NAME> und <NAME>}

\index{Potentialkasten!Anwendung}


In diesem Kapitel erweitern wir das Beispiel des Potentialkastens 
(Kapitel \ref{subsection:potentialkasten}, Seite \pageref{subsection:potentialkasten})
um eine St\"orung so, dass wir ein Elektron mit einem elektrischen Feld st\"oren.
Im speziellen betrachten wir Symmetrien in den Wellenfunktionen.
Mit diese Betrachtungen halbieren wir den Aufwand der nummerischen Berechnung.

Die nummerische Berechnung wird in diesem Kapitel mit Matlab realisiert und dokumentiert. 
F\"ur die Simulation wurden empirisch realistische Werte gew\"ahlt.
Der gesammte Code ist auf der beiligenden CD enthalten.

Zum Schluss warten wir noch mit einem kleinen Vergleich zu den Aussagen von de Broglie auf...

% TODO Symmetrien, nummerische Berechnung der 1. N\"aherung, physikalischer Vergleich mit de Broglie


\section{Grundlagen St"orungstheorie}
Grunds"atzlich k"onnen wir mit der St\"orungstheorie ein einfaches Modell 
(Abbildung \ref{abb:efeld_psi_ungestoert} der ersten 5 Energieniveaus) 
mit einer St\"orung erg"anzen, statt von Anfang an mit einem komplexen Modell zu rechnen.

F"ur die erste N"aherung gilt:
\[
  f(x, \varepsilon) = f_0(x) + \varepsilon f_1(x)
\]
Dabei ist $f_0(x)$ die ungest"orte Funktion und $\varepsilon f_1(x)$ die St"orung.
$\varepsilon$ ist eine Variable, mit der wir den St"orungsterm $f_1(x)$ steuern.
Dabei sollte $\varepsilon$ nicht zu gross gew"ahlt werden,
da die N"aherung sonst ungenau wird.
Setzen wir hingegen $\varepsilon = 0$, k\"onnen wir die St"orung dynamisch abschalten.




In der Quantenmechanik k"onnen wir die St"orungstheorie anwenden,
indem wir den Hamilton-Operator der urspr"unglichen Funktion $H_0$
um $\varepsilon H_1$ erg"anzen:
\[
  H = H_0 + \varepsilon H_1.
\]

Indem wir die Energie und die Wellenfunktion der St"orung berechnen, k"onnen wir das gest"orte System ganz einfach beschreiben:
\begin{equation}
\begin{aligned}
E_k(\varepsilon)&=E_k^{(0)} + \varepsilon E_k^{(1)}
\\
\psi_k(\varepsilon)&=\psi_k^{(0)} + \varepsilon \psi_k^{(1)}
\end{aligned}
\end{equation}

Ein grosser Vorteil dabei ist,
dass wir die St"orungsterme $E_k^{(1)}$ und $\psi_k^{(1)}$
direkt aus dem ungest"ortem System berechnen k"onnen,
ohne nochmals die Schr"odingergleichung l"osen zu m"ussen.
Wir m"ussen also f"ur die erste N"aherung nur $E_k^{(0)}$,
$\psi_k^{(0)}$ und $\varepsilon$ kennen.




\section{Potentialkasten mit elektrischem Feld}

\subsection{Ausgangslage}

\begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=12cm,clip=true,trim=2cm 7cm 1cm 8cm]{efeld/Psi_ungestoert.pdf}
 \caption{$\psi_k^{(0)}$ - Die ersten f\"unf ungest\"orten Energieniveaus von $H_0$ }
 \label{abb:efeld_psi_ungestoert}
\end{figure}

Bei unserer Anwendung bauen wir auf dem Potentialkasten (Kapitel \ref{subsection:potentialkasten}, Seite \pageref{subsection:potentialkasten}) auf.
Dabei geht es um ein Elektron welches zwischen zwei Barrieren mit unendlich hohem Potential gefangen ist.
Zwischen den Barrieren kann sich das Teilchen mit den Wellenfunktionen
\begin{align}
\psi_k(x)
&=
\begin{cases}
\displaystyle
\frac{1}{\sqrt{l}}\cos\frac{k \pi x}{2l}&\qquad \text{$k$ ungerade}\\
\\
\displaystyle
\frac{1}{\sqrt{l}}\sin\frac{k \pi x}{2l}&\qquad \text{$k$ gerade}.
\end{cases}
\end{align}
bewegen.
Die Gleichung wird bei (\ref{skript:potentialkasten-psi-normiert}) Seite \pageref{skript:potentialkasten-psi-normiert} erkl"art.
Ausserhalb des Potentialkastens kommt das Elektron nicht vor.
Es hat die Energie
\[
E_k = \frac{h^2n^2}{32ml^2}
\]
welche bei (\ref{skript:potentialkasten-e})
Seite \pageref{skript:potentialkasten-e} erkl"art wird.

Wir legen jetzt eine Spannung "uber dem Potentialkasten an
und erweitern so das System mit einer St"orung.

Weil das Elektron eine negative Ladung besitzt ver"andert sich seine Wellenfunktion.
Als Grundlagen verwenden wir die Hamiltonfunktion und das Potential des Teilchens im Potentialkasten
\begin{equation}
\begin{aligned}
H_0&=\frac1{2m}p^2+V_0(x)
\\
V_0(x)&=
  \begin{cases}
    0       & \qquad |x|<l\\
    \infty  & \qquad\text{sonst}
  \end{cases}
\end{aligned}
\end{equation}
und erweitern sie mit der St"orung $H_1$ (Abbildung \ref{abb:efeld_H_1}), welche wir als lineares 
Potential definieren:
\begin{equation}
	\label{eq:efeld_H_1}
  H_1 = V_1(x) = a x + b
\end{equation}

\begin{figure}
  \centering
\begin{tikzpicture}
  \shade[top color=gray!20,bottom color=gray!20] 
      (0,0) (1,1) |- (0,0);
  \shade[top color=gray!20,bottom color=gray!20] 
      (-1,-1) |- (0,0) (-1,-1);
  \draw[->] (-1.4,0) -- (1.4,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-1.4) -- (0,1.4) node[above] {$V_1$};
  \draw[scale=0.5,domain=-2:2,smooth,variable=\x,red] plot ({\x},{\x});
\end{tikzpicture}
 \caption{St\"orung $H_1$}
 \label{abb:efeld_H_1}
\end{figure}

Da das Potential die Stammfunktion des elektrischen Feldes ist, entspricht der Parameter $b$ der Integrationskonstante.
F\"ur das Potential sind nur Unterschiede relevant, w\"ahrend das Niveau, solange es in der ganzen Anwendung ver\"andert wird,
beliebig gew\"ahlt werden kann. Somit k\"onnen wir mit $b=0$ die Formel nochmals vereinfachen.

Die Feldst\"arke $a$ h\"angt von der Breite des Potentialkastens $2 l$ und der angelegten Spannung $U$ ab.
\[
  a = \frac{ U }{2 l}
\]
Diese Funktion dr\"uckt mit dem Parameter $U$ das eingeschaltete elektrische Feld \"uber dem Potentialkasten aus
und erf\"ullt damit die selbe Funktion wie das $\varepsilon$.
Wollen wir nun die Formeln mit $a=1$ vereinfachen, m\"ussen wir alle relevanten Terme  in $\varepsilon$ unterbringen

\begin{equation}
\begin{aligned}
  \varepsilon H_1(x) &= \varepsilon a e_{-} x +b  \\
                     &= \varepsilon \frac{ U }{2 l} e_{-} x + 0  \\ 
  \Longrightarrow \qquad \varepsilon &= \frac{ U }{2 l} e_{-} \, \text{ und } \, a = 1
\end{aligned}
\end{equation}
Wenn wir jetzt die St"orung einsetzen, bekommen wir die neue Hamilton-Funktion
\[
  H = H_0 + H_1 
    = \frac1{2m}p^2+V_0(x) + \varepsilon x
\]
aus welcher wir den Hamilton-Operator
\[
  \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V_0(x) + \varepsilon x
\]
berechnen k"onnen.

\subsection{Vorgehensweise}
Wir berechnen in unserem Beispiel die erste N"aherung.
Im Kapitel \ref{skript:stoerungsloesung1ordnung} St\"orungstheorie wird dies 
theoretisch ausgef\"uhrt.

Entscheidend ist hier ob die Zust"ande entartet sind oder nicht.
Entartung bedeutet, dass zwei Zust"ande die selbe Energie besitzen, 
wodurch bei der Berechnung der Nenner zu Null wird.
Wir sehen an der Gleichung
\[
  E_n^{(0)} = \frac{h^2n^2}{32ml^2}
\]
dass die Energie mit zunehmendem $n$ immer steigt. 
Zudem haben wir f\"ur jedes $n$ nur genau einen Zustand und dadurch keine Entartung. 
Deshalb k\"onnen wir die Gleichungen
\begin{equation}
\begin{aligned}
\label{eq:efeld_E_Skalarprodukt}
E_k^{(1)} &=
\langle \psi_k^{(0)}|\, H_1 \,|\psi_k^{(0)}\rangle
&&\Longrightarrow
& E_k(\varepsilon)&=E_k^{(0)} + \varepsilon E_k^{(1)}
\\
\langle\psi_l^{(0)}|\psi_k^{(1)}\rangle
&=
\frac{\langle \psi_l^{(0)}|\, H_1 \,|\psi_k^{(0)}\rangle}{E_k^{(0)}-E_l^{(0)}}
&&\Longrightarrow
& |\psi_k(\varepsilon)\rangle &=
(1+i\varepsilon \gamma)
\,|\psi_k^{(0)}\rangle
+
\varepsilon
\sum_{k\ne l}
\frac{\langle \psi_l^{(0)}|\, H_1 \,|\psi_k^{(0)}\rangle}{E_k^{(0)}-E_l^{(0)}}
\,
|\psi_l^{(0)}\rangle
\end{aligned}
\end{equation}
aus dem Kapitel \ref{section:nichtentartetezustaende}, Seite \pageref{section:nichtentartetezustaende} verwenden.

Mit $\gamma$ kann die Wellenfunktion normiert werden.
Das ist n"otig, wenn die St"orung Energie hinzuf"ugt
und so die Wahrscheinlichkeitsverteilung ($P \ne 1$) nicht mehr stimmen w\"urde.
Weil wir aber in der ersten N\"aherung keine 
Energiever\"anderung durch die St\"orung bekommen, m\"ussen wir
\begin{equation}
  \label{eq:efeld_gamma}
  \gamma = 0
\end{equation}
setzen.




\subsection{Symmetrie"uberlegung}
\index{Potentialkasten!Symmetrie}
\index{Symmetrien!Energie}
Mit der Gleichung \ref{eq:efeld_E_Skalarprodukt} k"onnen wir direkt die Energie der St"orung berechnen.
\begin{equation}
\begin{aligned}
  E_{k}^{(1)} 
 &= \langle \psi_k^{(0)}|\, H_1 \,|\psi_k^{(0)}\rangle 
  = \langle \psi_k^{(0)}|\, x \;|\psi_k^{(0)}\rangle                   \\
 &= \int_{-L}^{L} \overline{\psi_k^{(0)}} x \; \psi_k^{(0)} dx
  = \int_{-L}^{L} \psi_n(x) \, x \, \psi_n(x) dx
\end{aligned}
\end{equation}

Mit Symmetrie\"uberlegungen wollen wir nun das Resultat vorhersagen um allf\"allige Fehler erkennen zu k\"onnen.
Bei der Betrachtung von Symmetrien an Funktionen erkennen wir den Zustand an den Exponenten.
Betrachten wir einige Beispiele 
\footnote{Formeln aus den Gleichungen \ref{skript:potentialkasten-psi-normiert} und \ref{eq:efeld_H_1}}
\begin{equation}
\begin{aligned}
x^1 &\Rightarrow \text{ungerade Funktion}
\\
x^2 &\Rightarrow \text{gerade Funktion}
\\
\frac{1}{\sqrt{l}}\cos\left( \frac{n \pi x}{2l} \right)  &\Rightarrow \text{gerade Funktion}
\\
\frac{1}{\sqrt{l}}\sin\left( \frac{n \pi x}{2l} \right)  &\Rightarrow \text{ungerade Funktion}
\end{aligned}
\end{equation}
Betrachten wir unsere Funktionen in Abbildung \ref{abb:efeld_gerade_ungerade} so stellen wir fest, 
dass gerade Funktionen nur Terme mit geraden Exponenten besitzen und achsensymmetrisch sind.
Ungerade sind punktsymmetrisch.

\begin{figure}
  \centering
\begin{tikzpicture}
  \draw[->] (-3.2,0) -- (3.2,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-1.7) -- (0,3.5) node[above] {$y$};
  \draw[scale=1,domain=-1.9:1.9,smooth,variable=\x,blue] plot ({\x},{\x*\x});
  \draw[scale=1,domain=-3:3,smooth,variable=\x,blue]  plot ({\x},{cos(90*\x)});
  \draw[scale=1,domain=-1.8:2.2,smooth,variable=\x,red] plot ({\x},{\x});
  \draw[scale=1,domain=-3:3,smooth,variable=\x,red]  plot ({\x},{sin(90*\x)});
\end{tikzpicture}
 \caption{Gerade Funktionen $x^2$ und $\cos(x)$ in blau, ungerade Funktionen $x$ und $\sin(x)$ in rot}
 \label{abb:efeld_gerade_ungerade}
\end{figure}

Dass die Sinus-Funktion ungerade ist, spielt in diesem Fall keine Rolle, da wir mit 
\[
  \overline{\sin(x)} \sin(x) = |\sin(x)|^2
\]
wieder eine gerade Funktion erhalten.

Allerdings bekommen wir immer eine ungerade Funktion, wenn wir eine gerade Funktion mit einer ungeraden Funktion multiplizieren:
\[ 
  x \cdot \overline{\psi_k^{(0)}(x)} \psi_k^{(0)}(x) = x \cdot |\psi_k^{(0)}(x)|^2
\]

Wir k"onnen das Skalarprodukt auch als ein Integral verstehen.
Da ungerade Funktionen punktsymmetrisch sind, muss das Integral $0$ sein:
\[
  E_k^{(1)} = \int_{-L}^{+L} x |\psi_k^{(0)}|^2 dx = 0 .
\]

Wir k"onnen die Energie trotzdem in
$E_k(\varepsilon)=E_k^{(0)} + \varepsilon E_k^{(1)}$ einsetzen
und bekommen so die st"orungsabh"angige Energie.






\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsverteilung}
\index{Symmetrien!Wahrscheinlichkeitsverteilung}

Um $\psi_k(\varepsilon)$ zu berechnen wird es etwas schwieriger,
weil sich in der Quantenmechanik die Energiezust"ande $k$ gegenseitig beeinflussen.
Wir setzen daher eine St"orung $\psi_k^{(1)}$ aus mehreren $\psi_k^{(0)}$ zusammen.
Mit der zweiten Formel k"onnen wir den Anteil der jeweiligen $\psi_k^{(1)}$ berechnen.
Wir berechnen 
\[
\psi_k^{(1)} =
\sum_{k\ne l}
\langle\psi_l^{(0)}|\psi_k^{(1)}\rangle |\psi_l^{(0)}\rangle + \gamma|\psi_k^{(0)}\rangle
=
\sum_{k\ne l}
\frac{\langle \psi_l^{(0)}|\, H_1 \,|\psi_k^{(0)}\rangle}{E_k^{(0)}-E_l^{(0)}} |\psi_l^{(0)}\rangle
\]
wobei wir den Term um $\gamma$ durch die Definition (\ref{eq:efeld_gamma}) weglassen k\"onnen.

Wir "uberlegen uns auch hier die Symmetrie.
$\psi_k^{(0)}$ und $\psi_l^{(0)}$ k"onnen sowohl gerade als auch ungerade sein,
$H_1$ ist hingegen immer ungerade.
Uns interessieren die Skalarprodukte die gerade sind, denn nur die ergeben einen Beitrag.
Das ist der Fall wenn $H_1$ und $\psi_k^{(0)} \psi_l^{(0)}$ ungerade sind.
$\langle \psi_l^{(0)}|\, H_1 \,|\psi_k^{(0)}\rangle$ ergibt nur einen Beitrag wenn die Bedingung
\begin{equation}
  \label{eq:efeld_summebedingung}
  k-l \equiv 1 \mod 2
\end{equation}
welche den Rechenaufwand halbiert und $k \ne l$ bereits enh\"alt.



\subsection{Matlab Umgebung}

Matlab\footnote{MATrix LABoratory} ist ein Programm welches sich gut zum Plotten von Funktionen
und zum Berechnen von Matrizen eignet.
Besonders das Berechnen von Matrizen und Vektoren wird durch die Syntax erleichtert.

Eine Auswahl der verwendeten Befehle zum besseren Verst"andnis:

\begin{center}
	\index{Matlab!Syntax}
	\begin{tabular}{lp{9cm}}
		\verb|vektor = n : m| & ein Vektor mit Elementen von $n$ bis $m$ mit Schrittweite $1$. \\
		\verb|vektor = n : delta : m| & ein Vektor mit Elementen von $n$ bis $m$, welche voneinander den Abstand $delta$ haben. \\
		\verb|vector(:)| & alle Werte aus dem Vektor $vektor$ werden ausgelesen. \\
		\verb|matrix * matrix| & Matrix-Multiplikation. \\
		\verb|vector .* vector| & multipliziere die Elemente der Vektoren. \\
		\verb|dot(a, b)| & bildet das Skalarprodukt von $a$ und $b$.
	\end{tabular}
\end{center}




\subsection{Berechnung des Modells mit Matlab}

Wir wollen jetzt die Wellen $\psi_k(\varepsilon)$ und die Energie auch tats"achlich berechnen.
Dazu verwenden wir das Programm Matlab.

Wie beginnen damit, dass wir Konstanten und das ungest"orte System bestimmen.
Wir definieren f"ur unseren Potentialkasten eine Breite von $10^{-9}$ (1nm links und rechts)
\begin{lstlisting}[style=Matlab]
L = 10^-9;                         # Entfernung der Grenzen der Simulation
n = 1000;                          # Anzahl aufsummierter Zustaende
xSteps = 500;                      # Anzahl Abtastwerte in x-Richtung
x = -L : 2*L/xSteps : +L;          # Vektor von -L bis +L mit xSteps Schritten
\end{lstlisting}
und bekommen so den Vektor $x$.

Um die ungest"orten Zust"ande $\psi_k^{(0)}$ zu bekommen, tasten wir die Sinus- und Kosinus-Funktion 
aus der Gleichung (\ref{skript:potentialkasten-psi-normiert}) Seite \pageref{skript:potentialkasten-psi-normiert} diskret ab.

Gleichzeitig bestimmen wir die Energien $E_k^{(0)}$.
\begin{lstlisting}[style=Matlab]
m = 9.10938291*10^-31;             # Elektronenmasse
h = 6062606957*10^-34;             # Planck-Konstante

for k = 1 : n
    E0(k) = h^2*k^2 / (32*m*L^2);
    
    if mod(k, 2) == 0              # Gerade k
        y = sin(k*pi*x/(2*L));
    else                           # Ungerade k
        y = cos(k*pi*x/(2*L));
    end
    Psi(k, x) = 1/sqrt(2*L) .* y;
end
\end{lstlisting}
und bekommen so einen Vektor mit den $n$ Werten f"ur $E_k^{(0)}$
sowie eine Matrix $\texttt{xSteps} \times \texttt{n}$ (konkret $500 \times 1000$) f"ur $\psi_k^{(0)}$.

\subsection{Berechnung von $E_k^{(1)}$}

Nun, da wir die Grundlagen berechnet haben, k"onnen wir $\psi_k(\varepsilon)$ und 
$E_k(\varepsilon)$ berechnen. Die Energie darf sich in der 1. N\"aherung nicht ver\"andern.
Dieses Resultat zeigt uns die Robustheit der Berechnungen auf.

Implementiert wurde der Test wie folgt:
\begin{lstlisting}[style=Matlab]
H1 = x;
for k = 1 : 5
  E1(k) = dot(Psi(k, :), H1.*Psi(k, :));
  plot(epsilon, E0(k) + epsilon*E1_k(k))
end
\end{lstlisting}
Das Resultat ist in diesem Fall mit Vorsicht zu geniessen.
Weil wir mit diskreten Werten arbeiten, entsteht beim Skalarprodukt ein Fehler von ca. $8 \cdot 10^{-15}$,
welches mit einem korrektem Wert verwechselt werden kann.
Den Plot sehen wir in der Abbildung \ref{abb:efeld_E_gestoert}.
Wir schliessen daraus, dass die Berechnung stabil ist und die Werte genau genug sind.





\subsection{Berechnung von $\psi_k^{(1)}$}

Die Implementierung von $\psi_k^{(1)}$ gestaltet sich durch die Summe etwas schwieriger.
Normalerweise k"onnte man mit \verb|sum(vektor)| alle Elemente zusammenz"ahlen lassen.
Wir ber\"ucksichtigen aber Bedingung aus (\ref{eq:efeld_summebedingung}) um den Rechenaufwand zu halbieren
und um Division durch $0$ zu vermeiden.

Um zum Beispiel den f"unften Zustand zu bestimmen, summieren wir alle Zust\"ande vom 
ersten bis $n$-ten ausser den ungeraden.
\begin{equation}
  \psi_5^{(1)} = \langle\psi_l^{(0)}|\psi_5^{(1)}\rangle|\psi_l^{(0)}\rangle = 
  \sum_{l=1 \, \text{wenn} \, 5-l \equiv 1 \mod 2}^{n}
    \frac{\langle \psi_l^{(0)}|\, H_1 \,|\psi_k^{(0)}\rangle}{E_k^{(0)}-E_l^{(0)}}
        \,
    |\psi_l^{(0)}\rangle
\end{equation}

In Matlab wird das wie folgt implementiert:
\begin{lstlisting}[style=Matlab]
H1 = x * -1;               # Die Stoerung des elektrische Feldes mit dem
                           #   Faktor -1, da das Elektron negativ geladen ist
n = 1000;                  # Anzahl aufsummierter Zustaende
k = 5;                     # Der Zustand den wir plotten
summe = 0;                 # Initialisierung des SummenVektors

for l = 1 : n
  if mod((l + k), 2) == 1  # Vergleich l ungleich k und Differenz ungerade
    Psi_lk = dot(Psi(l, :), H1.*Psi(k, :)) / (E0(k)-E0(l)) .* Psi(l, :);
    summe = summe + Psi_lk;
  end
end
\end{lstlisting}
Die Variable \verb|summe| ist nun ein Vektor mit den diskreten Abtastwerten von $\psi_k^{(1)}$.

Mit der Abfrage \verb|mod((l + k), 2) == 1| werden die Summanden 
entsprechend der Symmetrie"uberlegung gefiltert.
Gleichzeitig wird der Term f"ur $l=k$ entfernt ($0 mod 2 \ne 1$).
Der Anteil der Summanden am Gesammtzustand nimmt dabei mit jedem Schritt weiter ab.
Der Grund ist die stetige Zunahme des Terms $E^{(0)}_k-E^{(0)}_l$ unter dem Bruchstrich.
In diesem Fall addieren wir beim 90-sten Schritt ($l=90$) nur $1\%$ der St"orung dazu.
Beim 280-sten Schritt ($l=280$) betr"agt der Anteil nur noch $0.1\%$.

Wir k"onnen jetzt die St"orung in 
\begin{equation}
|\psi_k(\varepsilon)\rangle
=
(1+i\varepsilon \gamma)
\,|\psi_k^{(0)}\rangle
+
\varepsilon|\psi_k^{(1)}\rangle
\end{equation}
einsetzen und bekommen so die neue Wellenfunktion dargestellt in Abbildung \ref{abb:efeld_psi_gestoert}.




\subsection{Auswertung Psi}

In der Grafik \ref{abb:efeld_psi_gestoert} sehen wir die Unterschiede zwischen den ungest"orten 
$\psi_k$ (schwarz) und der ersten N"aherung (rot).
Der \"Ubersicht halber haben wir die Amplituden von $\psi_k$ in einzelnen Graphen dargestellt.

Die einzelnen Grafiken zeigen sehr anschaulich wie der Unterschied zwischen dem ungest\"orten und dem gest\"orten $\psi$
immer kleiner wird.

\begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=12cm,clip=true,trim=2cm 6.6cm 1cm 8cm]{efeld/Psi_SubPlots_gestoert.pdf}
 \caption{einige Energieniveaus von $\psi$, ungest\"ort in blau und gest"ort in rot.}
 \label{abb:efeld_psi_gestoert}
\end{figure}

Die Funktion 
\[
  \psi \cdot \overline{\psi} = |\psi|^2
\]
entspricht der Wahrscheinlichkeitsdichte, 
dass sich das Elektron an dieser Stelle befindet.
Auf der Horizontalen sehen wir die $x$-Position vom Teilchen im eindimensionalen Potentialkasten.

Intuitiv nimmt man an, dass die Wellenfunktion durch die St\"orung $H_1$ in der Abbildung 
\ref{abb:efeld_H_1} nach links gedr"uckt werden wird, da das elektrische Feld 
im ersten Quadranten ein positives Potential bildet und deshalb das Elektron herunter rollen m\"ochte.
\[
  H_1(x) = x
\]

Allerdings wird durch die positive Spannung das Elektron angezogen und die
Wahrscheinlichkeit es weiter rechts anzutreffen steigt.

Durch das elektrische Feld haben wir entlang der $x$-Achse verschieden Energie-Potentiale.
Das Elektron hat allerdings immer die selbe Energie,
die Energie muss sich also irgendwie ausgleichen.
Wir k"onnen diesen Vorgang mit der Schr"odingergleichung einfach verstehen:
\[
-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi(x) + V(x)\Psi(x)
=
E \Psi(x)
\]
Weil $E \Psi(x)$ konstant ist, sinkt bei einem h"oherem Potential $-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi(x)$.
Das bedeutet bei einem Elektron eine Abnahme der kinetischen Energie bzw. der Frequenz.
Der Vorgang ist also "ahnlich einem mechanischem Pendel, 
welches mal kinetische Energie hat, mal potentielle.



\subsubsection{100-stes Energieniveau}
% FIXME Beschreibung zum 100-sten korrekt? Das Wort Welle kommt zu oft vor!
Betrachten wir nun das 100-ste Energieniveau etwas genauer.
In der Abbildung \ref{abb:efeld_psi_100_gestoert} sehen wir wie die St\"orung 
die Wellenl\"ange der Wellenfunktion $\psi$ ver\"andert.
Die gelben Balken geben an, wie stark die Periodendauer zwischen zwei Nulldurchg"angen
von der ungest"orten Funktion abweicht.
Wir k"onnen an den Balken gut die Form der St"orung $H_1$ wiedererkennen.

Die Kr"ummung in der Kurve entsteht durch Erh"ohung der Amplitude um den Nullpunkt.
Diese entsteht durch die Stauchung der Wellenfunktion und verursacht das wir mehr Energie
bei gleicher Wellenl\"ange haben.

Summiert man die Fl\"achen auf, so ergeben sie insgesamt wieder $0$, da die Energie sich nicht ver\"andert hat.


\begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=12cm,clip=true,trim=2cm 7cm 1cm 8cm]{efeld/Psi_100_gestoert.pdf}
 \caption{100-stes Energieniveau von $\psi$ ungest\"ort in blau und gest\"ort in rot, 
          mit der Visualisierung der Verschiebung der Periodendauer in gelb.}
 \label{abb:efeld_psi_100_gestoert}
\end{figure}




\subsection{Auswertung E}

Mit den Symmetrie\"uberlegungen haben wir vorausgesagt, dass sich der Energiezustand nicht \"andert.
Um dies m\"oglichst einfach zu \"uberpr\"ufen, w\"ahlen wir ein grosses $\varepsilon$ und sehen uns das Resultat in der 
Abbildung \ref{abb:efeld_E_gestoert} an.

\begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=12cm,clip=true,trim=2cm 7cm 1cm 8cm]{efeld/Energie_gestoert.pdf}
 \caption{$E_k^{(1)}$ gest\"ort, horizontale Achse ist $\varepsilon$, vertikale Achse ist die gesamte Energie des Systems}
 \label{abb:efeld_E_gestoert}
\end{figure}

Mit einem gr\"osseren $\varepsilon$ k\"onnten wir den Anteil des nummerischen Fehlers verringern. 
Verh\"alt sich das Modell bei einem starken $\varepsilon$ gut, so k\"onnen wir mit diesem sehr einfachen Test
auf die Robustheit der Berechnung von $E_k^{(1)}$ testen.

% FIXME evt. anders schreiben?



\section{L<NAME>}
Der franz"osische 

"With every particle of matter with mass m and velocity v a real wave must be 'associated'"
\[
  \lambda = \frac{h}{p} = \frac {h}{{m}{v}} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}
\]



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\end{refsection}<commit_msg>De Broglie angefangen.<commit_after>\chapter{Geladenes Teilchen im elektrischen Feld\label{chapter:efeld}}
\lhead{Teilchen im elektrischen Feld}
\begin{refsection}
\chapterauthor{<NAME> und <NAME>}

\index{Potentialkasten!Anwendung}


In diesem Kapitel erweitern wir das Beispiel des Potentialkastens 
(Kapitel \ref{subsection:potentialkasten}, Seite \pageref{subsection:potentialkasten})
um eine St\"orung so, dass wir ein Elektron mit einem elektrischen Feld st\"oren.
Im speziellen betrachten wir Symmetrien in den Wellenfunktionen.
Mit diese Betrachtungen halbieren wir den Aufwand der nummerischen Berechnung.

Die nummerische Berechnung wird in diesem Kapitel mit Matlab realisiert und dokumentiert. 
F\"ur die Simulation wurden empirisch realistische Werte gew\"ahlt.
Der gesammte Code ist auf der beiligenden CD enthalten.

Zum Schluss warten wir noch mit einem kleinen Vergleich zu den Aussagen von de Broglie auf...

% TODO Symmetrien, nummerische Berechnung der 1. N\"aherung, physikalischer Vergleich mit de Broglie


\section{Grundlagen St"orungstheorie}
Grunds"atzlich k"onnen wir mit der St\"orungstheorie ein einfaches Modell 
(Abbildung \ref{abb:efeld_psi_ungestoert} der ersten 5 Energieniveaus) 
mit einer St\"orung erg"anzen, statt von Anfang an mit einem komplexen Modell zu rechnen.

F"ur die erste N"aherung gilt:
\[
  f(x, \varepsilon) = f_0(x) + \varepsilon f_1(x)
\]
Dabei ist $f_0(x)$ die ungest"orte Funktion und $\varepsilon f_1(x)$ die St"orung.
$\varepsilon$ ist eine Variable, mit der wir den St"orungsterm $f_1(x)$ steuern.
Dabei sollte $\varepsilon$ nicht zu gross gew"ahlt werden,
da die N"aherung sonst ungenau wird.
Setzen wir hingegen $\varepsilon = 0$, k\"onnen wir die St"orung dynamisch abschalten.




In der Quantenmechanik k"onnen wir die St"orungstheorie anwenden,
indem wir den Hamilton-Operator der urspr"unglichen Funktion $H_0$
um $\varepsilon H_1$ erg"anzen:
\[
  H = H_0 + \varepsilon H_1.
\]

Indem wir die Energie und die Wellenfunktion der St"orung berechnen, k"onnen wir das gest"orte System ganz einfach beschreiben:
\begin{equation}
\begin{aligned}
E_k(\varepsilon)&=E_k^{(0)} + \varepsilon E_k^{(1)}
\\
\psi_k(\varepsilon)&=\psi_k^{(0)} + \varepsilon \psi_k^{(1)}
\end{aligned}
\end{equation}

Ein grosser Vorteil dabei ist,
dass wir die St"orungsterme $E_k^{(1)}$ und $\psi_k^{(1)}$
direkt aus dem ungest"ortem System berechnen k"onnen,
ohne nochmals die Schr"odingergleichung l"osen zu m"ussen.
Wir m"ussen also f"ur die erste N"aherung nur $E_k^{(0)}$,
$\psi_k^{(0)}$ und $\varepsilon$ kennen.




\section{Potentialkasten mit elektrischem Feld}

\subsection{Ausgangslage}

\begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=12cm,clip=true,trim=2cm 7cm 1cm 8cm]{efeld/Psi_ungestoert.pdf}
 \caption{$\psi_k^{(0)}$ - Die ersten f\"unf ungest\"orten Energieniveaus von $H_0$ }
 \label{abb:efeld_psi_ungestoert}
\end{figure}

Bei unserer Anwendung bauen wir auf dem Potentialkasten (Kapitel \ref{subsection:potentialkasten}, Seite \pageref{subsection:potentialkasten}) auf.
Dabei geht es um ein Elektron welches zwischen zwei Barrieren mit unendlich hohem Potential gefangen ist.
Zwischen den Barrieren kann sich das Teilchen mit den Wellenfunktionen
\begin{align}
\psi_k(x)
&=
\begin{cases}
\displaystyle
\frac{1}{\sqrt{l}}\cos\frac{k \pi x}{2l}&\qquad \text{$k$ ungerade}\\
\\
\displaystyle
\frac{1}{\sqrt{l}}\sin\frac{k \pi x}{2l}&\qquad \text{$k$ gerade}.
\end{cases}
\end{align}
bewegen.
Die Gleichung wird bei (\ref{skript:potentialkasten-psi-normiert}) Seite \pageref{skript:potentialkasten-psi-normiert} erkl"art.
Ausserhalb des Potentialkastens kommt das Elektron nicht vor.
Es hat die Energie
\[
E_k = \frac{h^2n^2}{32ml^2}
\]
welche bei (\ref{skript:potentialkasten-e})
Seite \pageref{skript:potentialkasten-e} erkl"art wird.

Wir legen jetzt eine Spannung "uber dem Potentialkasten an
und erweitern so das System mit einer St"orung.

Weil das Elektron eine negative Ladung besitzt ver"andert sich seine Wellenfunktion.
Als Grundlagen verwenden wir die Hamiltonfunktion und das Potential des Teilchens im Potentialkasten
\begin{equation}
\begin{aligned}
H_0&=\frac1{2m}p^2+V_0(x)
\\
V_0(x)&=
  \begin{cases}
    0       & \qquad |x|<l\\
    \infty  & \qquad\text{sonst}
  \end{cases}
\end{aligned}
\end{equation}
und erweitern sie mit der St"orung $H_1$ (Abbildung \ref{abb:efeld_H_1}), welche wir als lineares 
Potential definieren:
\begin{equation}
	\label{eq:efeld_H_1}
  H_1 = V_1(x) = a x + b
\end{equation}

\begin{figure}
  \centering
\begin{tikzpicture}
  \shade[top color=gray!20,bottom color=gray!20] 
      (0,0) (1,1) |- (0,0);
  \shade[top color=gray!20,bottom color=gray!20] 
      (-1,-1) |- (0,0) (-1,-1);
  \draw[->] (-1.4,0) -- (1.4,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-1.4) -- (0,1.4) node[above] {$V_1$};
  \draw[scale=0.5,domain=-2:2,smooth,variable=\x,red] plot ({\x},{\x});
\end{tikzpicture}
 \caption{St\"orung $H_1$}
 \label{abb:efeld_H_1}
\end{figure}

Da das Potential die Stammfunktion des elektrischen Feldes ist, entspricht der Parameter $b$ der Integrationskonstante.
F\"ur das Potential sind nur Unterschiede relevant, w\"ahrend das Niveau, solange es in der ganzen Anwendung ver\"andert wird,
beliebig gew\"ahlt werden kann. Somit k\"onnen wir mit $b=0$ die Formel nochmals vereinfachen.

Die Feldst\"arke $a$ h\"angt von der Breite des Potentialkastens $2 l$ und der angelegten Spannung $U$ ab.
\[
  a = \frac{ U }{2 l}
\]
Diese Funktion dr\"uckt mit dem Parameter $U$ das eingeschaltete elektrische Feld \"uber dem Potentialkasten aus
und erf\"ullt damit die selbe Funktion wie das $\varepsilon$.
Wollen wir nun die Formeln mit $a=1$ vereinfachen, m\"ussen wir alle relevanten Terme  in $\varepsilon$ unterbringen

\begin{equation}
\begin{aligned}
  \varepsilon H_1(x) &= \varepsilon a e_{-} x +b  \\
                     &= \varepsilon \frac{ U }{2 l} e_{-} x + 0  \\ 
  \Longrightarrow \qquad \varepsilon &= \frac{ U }{2 l} e_{-} \, \text{ und } \, a = 1
\end{aligned}
\end{equation}
Wenn wir jetzt die St"orung einsetzen, bekommen wir die neue Hamilton-Funktion
\[
  H = H_0 + H_1 
    = \frac1{2m}p^2+V_0(x) + \varepsilon x
\]
aus welcher wir den Hamilton-Operator
\[
  \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V_0(x) + \varepsilon x
\]
berechnen k"onnen.

\subsection{Vorgehensweise}
Wir berechnen in unserem Beispiel die erste N"aherung.
Im Kapitel \ref{skript:stoerungsloesung1ordnung} St\"orungstheorie wird dies 
theoretisch ausgef\"uhrt.

Entscheidend ist hier ob die Zust"ande entartet sind oder nicht.
Entartung bedeutet, dass zwei Zust"ande die selbe Energie besitzen, 
wodurch bei der Berechnung der Nenner zu Null wird.
Wir sehen an der Gleichung
\[
  E_n^{(0)} = \frac{h^2n^2}{32ml^2}
\]
dass die Energie mit zunehmendem $n$ immer steigt. 
Zudem haben wir f\"ur jedes $n$ nur genau einen Zustand und dadurch keine Entartung. 
Deshalb k\"onnen wir die Gleichungen
\begin{equation}
\begin{aligned}
\label{eq:efeld_E_Skalarprodukt}
E_k^{(1)} &=
\langle \psi_k^{(0)}|\, H_1 \,|\psi_k^{(0)}\rangle
&&\Longrightarrow
& E_k(\varepsilon)&=E_k^{(0)} + \varepsilon E_k^{(1)}
\\
\langle\psi_l^{(0)}|\psi_k^{(1)}\rangle
&=
\frac{\langle \psi_l^{(0)}|\, H_1 \,|\psi_k^{(0)}\rangle}{E_k^{(0)}-E_l^{(0)}}
&&\Longrightarrow
& |\psi_k(\varepsilon)\rangle &=
(1+i\varepsilon \gamma)
\,|\psi_k^{(0)}\rangle
+
\varepsilon
\sum_{k\ne l}
\frac{\langle \psi_l^{(0)}|\, H_1 \,|\psi_k^{(0)}\rangle}{E_k^{(0)}-E_l^{(0)}}
\,
|\psi_l^{(0)}\rangle
\end{aligned}
\end{equation}
aus dem Kapitel \ref{section:nichtentartetezustaende}, Seite \pageref{section:nichtentartetezustaende} verwenden.

Mit $\gamma$ kann die Wellenfunktion normiert werden.
Das ist n"otig, wenn die St"orung Energie hinzuf"ugt
und so die Wahrscheinlichkeitsverteilung ($P \ne 1$) nicht mehr stimmen w\"urde.
Weil wir aber in der ersten N\"aherung keine 
Energiever\"anderung durch die St\"orung bekommen, m\"ussen wir
\begin{equation}
  \label{eq:efeld_gamma}
  \gamma = 0
\end{equation}
setzen.




\subsection{Symmetrie"uberlegung}
\index{Potentialkasten!Symmetrie}
\index{Symmetrien!Energie}
Mit der Gleichung \ref{eq:efeld_E_Skalarprodukt} k"onnen wir direkt die Energie der St"orung berechnen.
\begin{equation}
\begin{aligned}
  E_{k}^{(1)} 
 &= \langle \psi_k^{(0)}|\, H_1 \,|\psi_k^{(0)}\rangle 
  = \langle \psi_k^{(0)}|\, x \;|\psi_k^{(0)}\rangle                   \\
 &= \int_{-L}^{L} \overline{\psi_k^{(0)}} x \; \psi_k^{(0)} dx
  = \int_{-L}^{L} \psi_n(x) \, x \, \psi_n(x) dx
\end{aligned}
\end{equation}

Mit Symmetrie\"uberlegungen wollen wir nun das Resultat vorhersagen um allf\"allige Fehler erkennen zu k\"onnen.
Bei der Betrachtung von Symmetrien an Funktionen erkennen wir den Zustand an den Exponenten.
Betrachten wir einige Beispiele 
\footnote{Formeln aus den Gleichungen \ref{skript:potentialkasten-psi-normiert} und \ref{eq:efeld_H_1}}
\begin{equation}
\begin{aligned}
x^1 &\Rightarrow \text{ungerade Funktion}
\\
x^2 &\Rightarrow \text{gerade Funktion}
\\
\frac{1}{\sqrt{l}}\cos\left( \frac{n \pi x}{2l} \right)  &\Rightarrow \text{gerade Funktion}
\\
\frac{1}{\sqrt{l}}\sin\left( \frac{n \pi x}{2l} \right)  &\Rightarrow \text{ungerade Funktion}
\end{aligned}
\end{equation}
Betrachten wir unsere Funktionen in Abbildung \ref{abb:efeld_gerade_ungerade} so stellen wir fest, 
dass gerade Funktionen nur Terme mit geraden Exponenten besitzen und achsensymmetrisch sind.
Ungerade sind punktsymmetrisch.

\begin{figure}
  \centering
\begin{tikzpicture}
  \draw[->] (-3.2,0) -- (3.2,0) node[right] {$x$};
  \draw[->] (0,-1.7) -- (0,3.5) node[above] {$y$};
  \draw[scale=1,domain=-1.9:1.9,smooth,variable=\x,blue] plot ({\x},{\x*\x});
  \draw[scale=1,domain=-3:3,smooth,variable=\x,blue]  plot ({\x},{cos(90*\x)});
  \draw[scale=1,domain=-1.8:2.2,smooth,variable=\x,red] plot ({\x},{\x});
  \draw[scale=1,domain=-3:3,smooth,variable=\x,red]  plot ({\x},{sin(90*\x)});
\end{tikzpicture}
 \caption{Gerade Funktionen $x^2$ und $\cos(x)$ in blau, ungerade Funktionen $x$ und $\sin(x)$ in rot}
 \label{abb:efeld_gerade_ungerade}
\end{figure}

Dass die Sinus-Funktion ungerade ist, spielt in diesem Fall keine Rolle, da wir mit 
\[
  \overline{\sin(x)} \sin(x) = |\sin(x)|^2
\]
wieder eine gerade Funktion erhalten.

Allerdings bekommen wir immer eine ungerade Funktion, wenn wir eine gerade Funktion mit einer ungeraden Funktion multiplizieren:
\[ 
  x \cdot \overline{\psi_k^{(0)}(x)} \psi_k^{(0)}(x) = x \cdot |\psi_k^{(0)}(x)|^2
\]

Wir k"onnen das Skalarprodukt auch als ein Integral verstehen.
Da ungerade Funktionen punktsymmetrisch sind, muss das Integral $0$ sein:
\[
  E_k^{(1)} = \int_{-L}^{+L} x |\psi_k^{(0)}|^2 dx = 0 .
\]

Wir k"onnen die Energie trotzdem in
$E_k(\varepsilon)=E_k^{(0)} + \varepsilon E_k^{(1)}$ einsetzen
und bekommen so die st"orungsabh"angige Energie.






\subsubsection{Wahrscheinlichkeitsverteilung}
\index{Symmetrien!Wahrscheinlichkeitsverteilung}

Um $\psi_k(\varepsilon)$ zu berechnen wird es etwas schwieriger,
weil sich in der Quantenmechanik die Energiezust"ande $k$ gegenseitig beeinflussen.
Wir setzen daher eine St"orung $\psi_k^{(1)}$ aus mehreren $\psi_k^{(0)}$ zusammen.
Mit der zweiten Formel k"onnen wir den Anteil der jeweiligen $\psi_k^{(1)}$ berechnen.
Wir berechnen 
\[
\psi_k^{(1)} =
\sum_{k\ne l}
\langle\psi_l^{(0)}|\psi_k^{(1)}\rangle |\psi_l^{(0)}\rangle + \gamma|\psi_k^{(0)}\rangle
=
\sum_{k\ne l}
\frac{\langle \psi_l^{(0)}|\, H_1 \,|\psi_k^{(0)}\rangle}{E_k^{(0)}-E_l^{(0)}} |\psi_l^{(0)}\rangle
\]
wobei wir den Term um $\gamma$ durch die Definition (\ref{eq:efeld_gamma}) weglassen k\"onnen.

Wir "uberlegen uns auch hier die Symmetrie.
$\psi_k^{(0)}$ und $\psi_l^{(0)}$ k"onnen sowohl gerade als auch ungerade sein,
$H_1$ ist hingegen immer ungerade.
Uns interessieren die Skalarprodukte die gerade sind, denn nur die ergeben einen Beitrag.
Das ist der Fall wenn $H_1$ und $\psi_k^{(0)} \psi_l^{(0)}$ ungerade sind.
$\langle \psi_l^{(0)}|\, H_1 \,|\psi_k^{(0)}\rangle$ ergibt nur einen Beitrag wenn die Bedingung
\begin{equation}
  \label{eq:efeld_summebedingung}
  k-l \equiv 1 \mod 2
\end{equation}
welche den Rechenaufwand halbiert und $k \ne l$ bereits enh\"alt.



\subsection{Matlab Umgebung}

Matlab\footnote{MATrix LABoratory} ist ein Programm welches sich gut zum Plotten von Funktionen
und zum Berechnen von Matrizen eignet.
Besonders das Berechnen von Matrizen und Vektoren wird durch die Syntax erleichtert.

Eine Auswahl der verwendeten Befehle zum besseren Verst"andnis:

\begin{center}
	\index{Matlab!Syntax}
	\begin{tabular}{lp{9cm}}
		\verb|vektor = n : m| & ein Vektor mit Elementen von $n$ bis $m$ mit Schrittweite $1$. \\
		\verb|vektor = n : delta : m| & ein Vektor mit Elementen von $n$ bis $m$, welche voneinander den Abstand $delta$ haben. \\
		\verb|vector(:)| & alle Werte aus dem Vektor $vektor$ werden ausgelesen. \\
		\verb|matrix * matrix| & Matrix-Multiplikation. \\
		\verb|vector .* vector| & multipliziere die Elemente der Vektoren. \\
		\verb|dot(a, b)| & bildet das Skalarprodukt von $a$ und $b$.
	\end{tabular}
\end{center}




\subsection{Berechnung des Modells mit Matlab}

Wir wollen jetzt die Wellen $\psi_k(\varepsilon)$ und die Energie auch tats"achlich berechnen.
Dazu verwenden wir das Programm Matlab.

Wie beginnen damit, dass wir Konstanten und das ungest"orte System bestimmen.
Wir definieren f"ur unseren Potentialkasten eine Breite von $10^{-9}$ (1nm links und rechts)
\begin{lstlisting}[style=Matlab]
L = 10^-9;                         # Entfernung der Grenzen der Simulation
n = 1000;                          # Anzahl aufsummierter Zustaende
xSteps = 500;                      # Anzahl Abtastwerte in x-Richtung
x = -L : 2*L/xSteps : +L;          # Vektor von -L bis +L mit xSteps Schritten
\end{lstlisting}
und bekommen so den Vektor $x$.

Um die ungest"orten Zust"ande $\psi_k^{(0)}$ zu bekommen, tasten wir die Sinus- und Kosinus-Funktion 
aus der Gleichung (\ref{skript:potentialkasten-psi-normiert}) Seite \pageref{skript:potentialkasten-psi-normiert} diskret ab.

Gleichzeitig bestimmen wir die Energien $E_k^{(0)}$.
\begin{lstlisting}[style=Matlab]
m = 9.10938291*10^-31;             # Elektronenmasse
h = 6062606957*10^-34;             # Planck-Konstante

for k = 1 : n
    E0(k) = h^2*k^2 / (32*m*L^2);
    
    if mod(k, 2) == 0              # Gerade k
        y = sin(k*pi*x/(2*L));
    else                           # Ungerade k
        y = cos(k*pi*x/(2*L));
    end
    Psi(k, x) = 1/sqrt(2*L) .* y;
end
\end{lstlisting}
und bekommen so einen Vektor mit den $n$ Werten f"ur $E_k^{(0)}$
sowie eine Matrix $\texttt{xSteps} \times \texttt{n}$ (konkret $500 \times 1000$) f"ur $\psi_k^{(0)}$.

\subsection{Berechnung von $E_k^{(1)}$}

Nun, da wir die Grundlagen berechnet haben, k"onnen wir $\psi_k(\varepsilon)$ und 
$E_k(\varepsilon)$ berechnen. Die Energie darf sich in der 1. N\"aherung nicht ver\"andern.
Dieses Resultat zeigt uns die Robustheit der Berechnungen auf.

Implementiert wurde der Test wie folgt:
\begin{lstlisting}[style=Matlab]
H1 = x;
for k = 1 : 5
  E1(k) = dot(Psi(k, :), H1.*Psi(k, :));
  plot(epsilon, E0(k) + epsilon*E1_k(k))
end
\end{lstlisting}
Das Resultat ist in diesem Fall mit Vorsicht zu geniessen.
Weil wir mit diskreten Werten arbeiten, entsteht beim Skalarprodukt ein Fehler von ca. $8 \cdot 10^{-15}$,
welches mit einem korrektem Wert verwechselt werden kann.
Den Plot sehen wir in der Abbildung \ref{abb:efeld_E_gestoert}.
Wir schliessen daraus, dass die Berechnung stabil ist und die Werte genau genug sind.





\subsection{Berechnung von $\psi_k^{(1)}$}

Die Implementierung von $\psi_k^{(1)}$ gestaltet sich durch die Summe etwas schwieriger.
Normalerweise k"onnte man mit \verb|sum(vektor)| alle Elemente zusammenz"ahlen lassen.
Wir ber\"ucksichtigen aber Bedingung aus (\ref{eq:efeld_summebedingung}) um den Rechenaufwand zu halbieren
und um Division durch $0$ zu vermeiden.

Um zum Beispiel den f"unften Zustand zu bestimmen, summieren wir alle Zust\"ande vom 
ersten bis $n$-ten ausser den ungeraden.
\begin{equation}
  \psi_5^{(1)} = \langle\psi_l^{(0)}|\psi_5^{(1)}\rangle|\psi_l^{(0)}\rangle = 
  \sum_{l=1 \, \text{wenn} \, 5-l \equiv 1 \mod 2}^{n}
    \frac{\langle \psi_l^{(0)}|\, H_1 \,|\psi_k^{(0)}\rangle}{E_k^{(0)}-E_l^{(0)}}
        \,
    |\psi_l^{(0)}\rangle
\end{equation}

In Matlab wird das wie folgt implementiert:
\begin{lstlisting}[style=Matlab]
H1 = x * -1;               # Die Stoerung des elektrische Feldes mit dem
                           #   Faktor -1, da das Elektron negativ geladen ist
n = 1000;                  # Anzahl aufsummierter Zustaende
k = 5;                     # Der Zustand den wir plotten
summe = 0;                 # Initialisierung des SummenVektors

for l = 1 : n
  if mod((l + k), 2) == 1  # Vergleich l ungleich k und Differenz ungerade
    Psi_lk = dot(Psi(l, :), H1.*Psi(k, :)) / (E0(k)-E0(l)) .* Psi(l, :);
    summe = summe + Psi_lk;
  end
end
\end{lstlisting}
Die Variable \verb|summe| ist nun ein Vektor mit den diskreten Abtastwerten von $\psi_k^{(1)}$.

Mit der Abfrage \verb|mod((l + k), 2) == 1| werden die Summanden 
entsprechend der Symmetrie"uberlegung gefiltert.
Gleichzeitig wird der Term f"ur $l=k$ entfernt ($0 mod 2 \ne 1$).
Der Anteil der Summanden am Gesammtzustand nimmt dabei mit jedem Schritt weiter ab.
Der Grund ist die stetige Zunahme des Terms $E^{(0)}_k-E^{(0)}_l$ unter dem Bruchstrich.
In diesem Fall addieren wir beim 90-sten Schritt ($l=90$) nur $1\%$ der St"orung dazu.
Beim 280-sten Schritt ($l=280$) betr"agt der Anteil nur noch $0.1\%$.

Wir k"onnen jetzt die St"orung in 
\begin{equation}
|\psi_k(\varepsilon)\rangle
=
(1+i\varepsilon \gamma)
\,|\psi_k^{(0)}\rangle
+
\varepsilon|\psi_k^{(1)}\rangle
\end{equation}
einsetzen und bekommen so die neue Wellenfunktion dargestellt in Abbildung \ref{abb:efeld_psi_gestoert}.




\subsection{Auswertung Psi}

In der Grafik \ref{abb:efeld_psi_gestoert} sehen wir die Unterschiede zwischen den ungest"orten 
$\psi_k$ (schwarz) und der ersten N"aherung (rot).
Der \"Ubersicht halber haben wir die Amplituden von $\psi_k$ in einzelnen Graphen dargestellt.

Die einzelnen Grafiken zeigen sehr anschaulich wie der Unterschied zwischen dem ungest\"orten und dem gest\"orten $\psi$
immer kleiner wird.

\begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=12cm,clip=true,trim=2cm 6.6cm 1cm 8cm]{efeld/Psi_SubPlots_gestoert.pdf}
 \caption{einige Energieniveaus von $\psi$, ungest\"ort in blau und gest"ort in rot.}
 \label{abb:efeld_psi_gestoert}
\end{figure}

Die Funktion 
\[
  \psi \cdot \overline{\psi} = |\psi|^2
\]
entspricht der Wahrscheinlichkeitsdichte, 
dass sich das Elektron an dieser Stelle befindet.
Auf der Horizontalen sehen wir die $x$-Position vom Teilchen im eindimensionalen Potentialkasten.

Intuitiv nimmt man an, dass die Wellenfunktion durch die St\"orung $H_1$ in der Abbildung 
\ref{abb:efeld_H_1} nach links gedr"uckt werden wird, da das elektrische Feld 
im ersten Quadranten ein positives Potential bildet und deshalb das Elektron herunter rollen m\"ochte.
\[
  H_1(x) = x
\]

Allerdings wird durch die positive Spannung das Elektron angezogen und die
Wahrscheinlichkeit es weiter rechts anzutreffen steigt.

Durch das elektrische Feld haben wir entlang der $x$-Achse verschieden Energie-Potentiale.
Das Elektron hat allerdings immer die selbe Energie,
die Energie muss sich also irgendwie ausgleichen.
Wir k"onnen diesen Vorgang mit der Schr"odingergleichung einfach verstehen:
\[
-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi(x) + V(x)\Psi(x)
=
E \Psi(x)
\]
Weil $E \Psi(x)$ konstant ist, sinkt bei einem h"oherem Potential $-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi(x)$.
Das bedeutet bei einem Elektron eine Abnahme der kinetischen Energie bzw. der Frequenz.
Der Vorgang ist also "ahnlich einem mechanischem Pendel, 
welches mal kinetische Energie hat, mal potentielle.



\subsubsection{100-stes Energieniveau}
% FIXME Beschreibung zum 100-sten korrekt? Das Wort Welle kommt zu oft vor!
Betrachten wir nun das 100-ste Energieniveau etwas genauer.
In der Abbildung \ref{abb:efeld_psi_100_gestoert} sehen wir wie die St\"orung 
die Wellenl\"ange der Wellenfunktion $\psi$ ver\"andert.
Die gelben Balken geben an, wie stark die Periodendauer zwischen zwei Nulldurchg"angen
von der ungest"orten Funktion abweicht.
Wir k"onnen an den Balken gut die Form der St"orung $H_1$ wiedererkennen.

Die Kr"ummung in der Kurve entsteht durch Erh"ohung der Amplitude um den Nullpunkt.
Diese entsteht durch die Stauchung der Wellenfunktion und verursacht das wir mehr Energie
bei gleicher Wellenl\"ange haben.

Summiert man die Fl\"achen auf, so ergeben sie insgesamt wieder $0$, da die Energie sich nicht ver\"andert hat.


\begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=12cm,clip=true,trim=2cm 7cm 1cm 8cm]{efeld/Psi_100_gestoert.pdf}
 \caption{100-stes Energieniveau von $\psi$ ungest\"ort in blau und gest\"ort in rot, 
          mit der Visualisierung der Verschiebung der Periodendauer in gelb.}
 \label{abb:efeld_psi_100_gestoert}
\end{figure}




\subsection{Auswertung E}

Mit den Symmetrie\"uberlegungen haben wir vorausgesagt, dass sich der Energiezustand nicht \"andert.
Um dies m\"oglichst einfach zu \"uberpr\"ufen, w\"ahlen wir ein grosses $\varepsilon$ und sehen uns das Resultat in der 
Abbildung \ref{abb:efeld_E_gestoert} an.

\begin{figure}
 \centering
 \includegraphics[width=12cm,clip=true,trim=2cm 7cm 1cm 8cm]{efeld/Energie_gestoert.pdf}
 \caption{$E_k^{(1)}$ gest\"ort, horizontale Achse ist $\varepsilon$, vertikale Achse ist die gesamte Energie des Systems}
 \label{abb:efeld_E_gestoert}
\end{figure}

Mit einem gr\"osseren $\varepsilon$ k\"onnten wir den Anteil des nummerischen Fehlers verringern. 
Verh\"alt sich das Modell bei einem starken $\varepsilon$ gut, so k\"onnen wir mit diesem sehr einfachen Test
auf die Robustheit der Berechnung von $E_k^{(1)}$ testen.

% FIXME evt. anders schreiben?



\section{<NAME>}
Der franz"osische Physiker <NAME> hat die These gebracht,
dass jedes Masseteilchen auch eine Quantenmechanische Welle haben muss.
Die Formel f"ur die Wellenl"ange ist
\[
  \lambda = \frac{h}{p} = \frac {h}{{m}{v}} \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}.
\]
Dabei ist $h$ die Planck-Konstante, $m$ die Masse, $v$ die Geschwindigkeit
und $c$ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.
In unserem Beispiel hat das Elektron eine konstante Masse $m$,
das $\lambda$ der Wellenfunktion $\psi$ ist also umgekehrt proportional zur Geschwindigkeit vom Elektron.




"With every particle of matter with mass m and velocity v a real wave must be 'associated'"

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