<commit_before>﻿\begin{Def}
Закрытое множество --- множество, дополнение которого открыто.
\end{Def}

\begin{theorem}{О свойствах закмнутых множеств}
Пусть $(X, \rho)$ --- метрическое пространство.
\begin{enumerate}
\item $\varnothing$ и $X$ --- закмнуты.
\item Перечечение замкнутых --- замкнуто.
\item Объеднинение конечного числа замкнутых замкнуто.
\item Замкнутый шар замкнут.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Очевидно
\item По формулам де Моргана
$$X \setminus \bigcap_{\alpha \in I} F_\alpha = \bigcup_{\alpha \in I} \left(X \setminus F_\alpha \right)$$
\item По формуле де Моргана
$$$$
\item Докажем, что $X \setminus \bar B_r(a)$ открыт. Рассмотрим $x \in X \setminus \bar B_r(a)$. Тогда по определению $$\rho(a, x) > r$$
Покажем, что $$B_{\rho(a, x) - r}(x) \cap \bar B_r(a) = \varnothing$$
Пусть $\exists y \in B_{\rho(a, x) - r}(x) \cap \bar B_r(a)$. Тогда
$$y \in \bar B_r(a) \Ra \rho(a, y) \leqslant r$$
$$y \in B_{\rho(a, x) - r}(x) \Ra \rho(x, y) < \rho(a, x) - r$$
$$\rho(a, x) \leqslant \rho(a, y) + \rho (x, y) < r + (\rho(a, x) - r) = \rho(a, x) \text{ --- противоречие}$$
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{Rem}
$$\bigcup_{n=1}^\infty \left[\frac1n;1\right] = \left(0; 1\right]$$
\end{Rem}

\begin{Def}
$A \subset X$, $(X, \rho)$. Тогда замыкание множества $A$ --- перечесение всех замкнутых множеств, содержащих A.
$$\cl A = \bigcap_{\substack{F \text{ замкнуто}\\F \supset A}}F$$
\end{Def}

\begin{theorem}{О связи замыкания и внутренности}
$$X \setminus \cl A = \Int (X \setminus A)$$
$$X \setminus \Int A = \cl (X \setminus A)$$
\end{theorem}
\begin{proof}
$$X \setminus \cl A = X \setminus \bigcap_{\substack{F \text{ замкнуто}\\F \supset A}} = \bigcup_{\substack{F \text{ замкнуто}\\F \supset A}} (X \setminus F)$$
$$X \setminus F \text{ открыто}$$
$$X \setminus F \subset X \setminus A$$
То
$$\bigcup_{\substack{F \text{ замкнуто}\\F \supset A}} (X \setminus F) = \bigcup_{\substack{G \text{ открыто}\\G \subset X \setminus A}} G = \Int (X \setminus A)$$
Аналогично
\end{proof}
\begin{conseq}
$$ \Int A = \cl (X \setminus A)$$
$$ \cl A = \Int (X \setminus A)$$
\end{conseq}

Свойства замыкания:
\begin{enumerate}
\item $A \subset \cl A$
\item $cl A$ замкнуто.
\item $A \text{ замкнуто} \Lra A = \cl A$
\item $A \subset B \Ra \cl A \subset \cl B$
\item $\cl (A \cup B) = \cl A \cup \cl B$
\item $\cl \cl A = \cl A$
\end{enumerate}

\begin{theorem}{Замнкутость и открытость в подпространстве}
$(X; \rho)$ --- пространство, $(Y; \rho)$ --- подпространство.
\begin{enumerate}
\item $A \text{ открыто в } Y \Lra \exists G \subset X \text{ --- открытое в } X\colon A = G \cap Y$ 
\item $A \text{ замкнутыо в } Y \Lra \exists F \subset X \text{ --- замкнутое в } X\colon A = F \cap Y$ 
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $\Ra$:
$$A \text{ открыто в } Y \Lra \forall x \in A\: \exists r_x > 0\colon B_{r_x}^Y(x) \subset A$$
$$G \lrh \bigcup_{x \in A} B_{r_x}^X(x) \text{ --- открыто в } X$$
$$G \cap Y = \bigcup_{x \in A} \left(B_{r_x}^X(x) \cap Y\right) = \bigcup_{x \in A} B_{r_x}^Y(x) = A$$
$\La$:<commit_msg>03.11<commit_after>﻿\begin{Def}
Закрытое множество --- множество, дополнение которого открыто.
\end{Def}

\begin{theorem}{О свойствах закмнутых множеств}
Пусть $(X, \rho)$ --- метрическое пространство.
\begin{enumerate}
\item $\varnothing$ и $X$ --- закмнуты.
\item Перечечение замкнутых --- замкнуто.
\item Объеднинение конечного числа замкнутых замкнуто.
\item Замкнутый шар замкнут.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Очевидно
\item По формулам де Моргана
$$X \setminus \bigcap_{\alpha \in I} F_\alpha = \bigcup_{\alpha \in I} \left(X \setminus F_\alpha \right)$$
\item По формуле де Моргана
$$$$
\item Докажем, что $X \setminus \bar B_r(a)$ открыт. Рассмотрим $x \in X \setminus \bar B_r(a)$. Тогда по определению $$\rho(a, x) > r$$
Покажем, что $$B_{\rho(a, x) - r}(x) \cap \bar B_r(a) = \varnothing$$
Пусть $\exists y \in B_{\rho(a, x) - r}(x) \cap \bar B_r(a)$. Тогда
$$y \in \bar B_r(a) \Ra \rho(a, y) \leqslant r$$
$$y \in B_{\rho(a, x) - r}(x) \Ra \rho(x, y) < \rho(a, x) - r$$
$$\rho(a, x) \leqslant \rho(a, y) + \rho (x, y) < r + (\rho(a, x) - r) = \rho(a, x) \text{ --- противоречие}$$
\end{enumerate}
\end{proof}
\begin{Rem}
$$\bigcup_{n=1}^\infty \left[\frac1n;1\right] = \left(0; 1\right]$$
\end{Rem}

\begin{Def}
$A \subset X$, $(X, \rho)$. Тогда замыкание множества $A$ --- перечесение всех замкнутых множеств, содержащих A.
$$\cl A = \bigcap_{\substack{F \text{ замкнуто}\\F \supset A}}F$$
\end{Def}

\begin{theorem}{О связи замыкания и внутренности}
$$X \setminus \cl A = \Int (X \setminus A)$$
$$X \setminus \Int A = \cl (X \setminus A)$$
\end{theorem}
\begin{proof}
$$X \setminus \cl A = X \setminus \bigcap_{\substack{F \text{ замкнуто}\\F \supset A}} = \bigcup_{\substack{F \text{ замкнуто}\\F \supset A}} (X \setminus F)$$
$$X \setminus F \text{ открыто}$$
$$X \setminus F \subset X \setminus A$$
То
$$\bigcup_{\substack{F \text{ замкнуто}\\F \supset A}} (X \setminus F) = \bigcup_{\substack{G \text{ открыто}\\G \subset X \setminus A}} G = \Int (X \setminus A)$$
Аналогично
\end{proof}
\begin{conseq}
$$ \Int A = \cl (X \setminus A)$$
$$ \cl A = \Int (X \setminus A)$$
\end{conseq}

Свойства замыкания:
\begin{enumerate}
\item $A \subset \cl A$
\item $cl A$ замкнуто.
\item $A \text{ замкнуто} \Lra A = \cl A$
\item $A \subset B \Ra \cl A \subset \cl B$
\item $\cl (A \cup B) = \cl A \cup \cl B$
\item $\cl \cl A = \cl A$
\end{enumerate}

\begin{theorem}{Существование открытого/замкнутого надмножества в надпространстве}
$(X; \rho)$ --- пространство, $(Y; \rho)$ --- подпространство.
\begin{enumerate}
\item $A \text{ открыто в } Y \Lra \exists G \subset X \text{ --- открытое в } X\colon A = G \cap Y$ 
\item $A \text{ замкнутыо в } Y \Lra \exists F \subset X \text{ --- замкнутое в } X\colon A = F \cap Y$ 
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item $\Ra$:
$$A \text{ открыто в } Y \Lra \forall x \in A\: \exists r_x > 0\colon B_{r_x}^Y(x) \subset A$$
$$G \lrh \bigcup_{x \in A} B_{r_x}^X(x) \text{ --- открыто в } X$$
$$G \cap Y = \bigcup_{x \in A} \left(B_{r_x}^X(x) \cap Y\right) = \bigcup_{x \in A} B_{r_x}^Y(x) = A$$
$\La$:
{'fraction_non_alphanumeric': 0.215929203539823, 'fraction_numerical': 0.002574416733708769, 'mean_word_length': 3.23144996596324, 'pattern_counts': {'":': 0, '<': 7, '<?xml version=': 0, '>': 7, 'https://': 0, 'lorem ipsum': 0, 'www.': 0, 'xml': 0}, 'pii_count': 0, 'substrings_counts': 0, 'word_list_counts': {'cursed_substrings.json': 0, 'profanity_word_list.json': 0, 'sexual_word_list.json': 0, 'zh_pornsignals.json': 0}}
{'dir': 'git-commits-cleaned', 'id': '1319872', 'n_tokens_mistral': 2828, 'n_tokens_neox': 2918, 'n_words': 819}