<commit_before>---
layout: page
permalink: /2022/egzamin/1/
---

## 2022 Pierwszy termin

### Zadanie 1

<div>

<p>
Rozwiąż równanie rekurencyjne:
</p>
<p>
\( a_0 = 1 \)
</p>
<p>
\( a_n = \frac{1}{6}(n+1)(n+2) - \frac{1}{3} 
		\sum_{\substack{0 \leq i,j < n,\\1 \leq i+j \leq n}} a_i a_j a_{n-i-j} \)
</p>

</div>

### Zadanie 2

<div>

<p>
Podział liczby nazywamy <em>binarnym</em>, jeśli wszystkie jego składniki są potęgami dwójki, na przykład
liczba 5 ma 4 podziały binarne: \(1+1+1+1+1\), \(1+1+1+2\), \(1+2+2\), (\1+4\).
</p>
<p>
Udowodnij, że dokładnie połowa spośród podziałów binarnych \(n \geq 2\) ma parzystą liczbę składników.
</p>

</div>

### Zadanie 3

<div>

Udowodnij, że funkcja \(f: \mathbb{N}_{+} \rightarrow \mathbb{N}_{+}\) określona wzorem \(f(n) = n \cdot \phi(n)\)
(gdzie \(\phi(n)\) to funkcja Eulera jest różnowartościowa.
<commit_msg>Fixed formatting issue in 2022/egzamin/1/zadanie2<commit_after>---
layout: page
permalink: /2022/egzamin/1/
---

## 2022 Pierwszy termin

### Zadanie 1

<div>

<p>
Rozwiąż równanie rekurencyjne:
</p>
<p>
\( a_0 = 1 \)
</p>
<p>
\( a_n = \frac{1}{6}(n+1)(n+2) - \frac{1}{3} 
		\sum_{\substack{0 \leq i,j < n,\\1 \leq i+j \leq n}} a_i a_j a_{n-i-j} \)
</p>

</div>

### Zadanie 2

<div>

<p>
Podział liczby nazywamy <em>binarnym</em>, jeśli wszystkie jego składniki są potęgami dwójki, na przykład
liczba 5 ma 4 podziały binarne: \(1+1+1+1+1\), \(1+1+1+2\), \(1+2+2\), \(1+4\).
</p>
<p>
Udowodnij, że dokładnie połowa spośród podziałów binarnych \(n \geq 2\) ma parzystą liczbę składników.
</p>

</div>

### Zadanie 3

<div>

Udowodnij, że funkcja \(f: \mathbb{N}_{+} \rightarrow \mathbb{N}_{+}\) określona wzorem \(f(n) = n \cdot \phi(n)\)
(gdzie \(\phi(n)\) to funkcja Eulera jest różnowartościowa.

{'fraction_non_alphanumeric': 0.22215909090909092, 'fraction_numerical': 0.04772727272727273, 'mean_word_length': 3.446969696969697, 'pattern_counts': {'":': 0, '<': 39, '<?xml version=': 0, '>': 37, 'https://': 0, 'lorem ipsum': 0, 'www.': 0, 'xml': 0}, 'pii_count': 0, 'substrings_counts': 0, 'word_list_counts': {'cursed_substrings.json': 0, 'profanity_word_list.json': 0, 'sexual_word_list.json': 0, 'zh_pornsignals.json': 0}}
{'dir': 'git-commits-cleaned', 'id': '4101824', 'n_tokens_mistral': 949, 'n_tokens_neox': 928, 'n_words': 214}