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title: Superfluidi da far girare la testa
date:   2019-10-01
author: Torino
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---

Un tuffo (simulato) nella piscina quantistica più misteriosa della fisica.

<!--more-->

_(A cura di [<NAME>](mailto:<EMAIL>), Università degli Studi di Torino)_

Nel 1925 in Germania, mentre la meccanica quantistica poneva le basi per una nuova definizione di Fisica, un giovane fisico indiano invia una lettera ad Einstein; in essa descrive una derivazione della legge di Planck senza alcun riferimento alla meccanica classica. Einstein rimane colpito dall’intuizione e decide di seguire la traccia di Satyendranath Bose per raggiungere un risultato teorico alquanto inaspettato: uno stato della materia in cui, a temperature molto basse, particelle a spin intero (bosoni) collassano in un identico stato fondamentale, il _Condensato di Bose-Einstein (BEC)_. 

<html>
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</html>

Una particolarità che distingue questo stato della materia da altri fenomeni quantistici è la possibilità di descrivere l’intero insieme di bosoni attraverso un’unica funzione d’onda macroscopica, la quale è soluzione dell’equazione di Gross-Pitaevskii. Mentre alle alte temperature ogni atomo (che occupa un certo stato quantistico) è descritto da una certa funzione d'onda, nel BEC tutti gli atomi condividono lo stesso stato e dunque la stessa funzione d'onda.

$$ i \partial_t \psi = \beta \nabla^2 \psi - \alpha \left| \psi \right|^2 \psi + \mu \psi - V \psi $$

Questa, a sua volta, è un’equazione di Schrödinger con l’aggiunta di un termine di interazione tra le particelle in gioco, modulato dal coefficiente alpha. 

## Arrivano i superfluidi

Non fu però prima del 1938 che il formalismo della condensazione di Bose-Einstein fu usato per spiegare la superfluidità dell’He-4, un insieme di comportamenti dell’elio liquido sotto i 2.17K che superavano le leggi dell’idrodinamica. Esempi di questi includono l’assenza di viscosità, che causa ad un volume di superfluido la risalita lungo le pareti del contenitore, o ancora il trasporto nullo di entropia, verificate da vari esperimenti in seguito alla realizzazione in laboratorio di un tale condensato nel 1995.


Ma la proprietà certamente più spettacolare appare quando si effettua un cambio di coordinate: in coordinate cilindriche, infatti, un’equazione di Gross-Pitaevskii bidimensionale mostra delle singolarità quando il sistema viene posto in rotazione: nel superfluido vengono spontaneamente generati _vortici_. Questo accade anche per fluidi tradizionali, in parte: tutti possiamo verificare, facendo ruotare un bicchiere d’acqua intorno al suo asse, che la superficie del fluido si incurva fino a generare un vortice centrale. Per i superfluidi, questo tratto assume un aspetto inconfondibilmente quantistico: i vortici infatti sono molteplici e quantizzati. Il loro numero e la loro disposizione segue la regola di Feynman, cercando sempre di disporsi in formazioni reticolari che massimizzino la simmetria del sistema.

<ul class="collapsible" data-collapsible="accordion">
    <li>
      <div class="collapsible-header"><i class="material-icons">live_help</i> Regola di Feynman </div>
      <div class="collapsible-body">
          <p>
           La Regola di Feynman è una legge che prevede il numero di vortici in un dato BEC rotante a partire dalle caratteristiche del sistema, come dimensioni, velocità di rotazione e coefficiente dispersivo beta:

$$ \# v = \frac{m R^2 \omega}{\hbar} \propto \frac{R^2 \omega}{\beta} $$

          </p>
      </div>
    </li>
</ul>

Realizzare sperimentalmente un sistema con queste caratteristiche è però altamente non banale: per porre il sistema in rotazione, infatti, è necessario fornire energia al superfluido (tramite la rotazione meccanica), la quale anche in piccole quantità è sufficiente ad innalzare la temperatura del superfluido sopra la temperatura critica di 2.17K, di fatto facendolo evaporare. Nonostante alcuni esperimenti di vortici superfluidi siano stati realizzati dal 2005 in avanti in vari laboratori, la tecnica più comune per visualizzare il fenomeno ed indagarne le proprietà è attraverso simulazioni numeriche: partendo da uno stato quantistico e facendolo evolvere nel tempo si può vedere la generazione spontanea dei vortici.

## Immagiriamo

Prima di entrare nel vivo della computazione, è necessario però compiere un ulteriore passo teorico, fondamentale per la realizzazione della simulazione: la famosa _rotazione di Wick_. Espediente comune nel settore della teoria dei campi, questo “trucchetto” consiste nel passare da un asse temporale reale ad uno immaginario, attraverso la trasformazione:

$$ t = -i \tau $$

Giustificare questo passaggio, a primo impatto artificioso, è molto intuitivo. Se un sistema hamiltoniano (come quello descritto dalla nostra equazione di Gross-Pitaevskii) conserva l’energia, scegliendo un qualsiasi stato NON fondamentale, questo manterrà la propria energia quando viene fatto evolvere nel tempo. La rotazione di Wick trasforma il sistema da conservativo a dissipativo: partendo da un qualsiasi stato, l’evoluzione in tempo immaginario mi porterà al minimo del potenziale, ovvero lo stato fondamentale. Sebbene sembri un risultato fine a se stesso, in analisi numerica partire da uno stato fondamentale è… fondamentale, appunto, per minimizzare la propagazione di errori indesiderati e ottenere meno rumore possibile negli esiti dell’evoluzione temporale.

## Ha cinque minuti per parlare di vortici?

Prima di mostrare la generazione spontanea dovuta alla rotazione, dobbiamo comprendere le proprietà di questi vortici. Essi possono essere approssimati da una funzione analitica della forma:

$$ \psi = e^{i \arctan\left( y/x \right )} \tanh \left( r/\xi \right ) $$

Composta da due termini: la tangente iperbolica, che descrive il profilo del vortice, e l’esponenziale dell’arcotangente, che invece determina la fase. Quest’ultima in particolare determina il senso di rotazione del _singolo vortice_ (orario o antiorario, da non confondere con la rotazione del sistema) ed è la proprietà che genera il vortice stesso: infatti il termine rotazionale nell’equazione di Gross-Pitaevskii introduce una differenza nella fase che causa l’apparizione del vortice.

Possiamo dunque esaminare il comportamento di un numero qualunque di vortici con sensi di rotazione arbitrari in un sistema non rotante: ad esempio, combinare due vortici con senso di rotazione opposti e far trascorrere il tempo immaginario porta ad un avvicinamento che si conclude con un’annichilazione. Il senso di rotazione, dunque, assume un significato simile alla carica di particelle e antiparticelle. Se fermiamo il tempo immaginario e lasciamo scorrere quello reale, questa coppia si comporta come un solitone (ovvero, la funzione d’onda è soluzione dell’equazione di Gross-Pitaevskii) e si muove indefinitamente in una direzione perpendicolare alla congiungente.

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</html>

*Simulazione di un dipolo di vortici. Il colore giallo indica le zone in cui la densità del condensato è massima, mentre i colori scuri indicano dove la densità è minima.*

Questa proprietà però supera l’analogia particellare, come possiamo mostrare ponendo due vortici di carica opposta in uno stato confinato (potenziale confinante V non nullo). Se in un primo momento, durante l’evoluzione temporale immaginaria, accade quello che ci aspettiamo (i due vortici tendono ad allontanarsi), quella in tempo reale mostra un comportamento imprevisto: i due vortici orbitano in coppia intorno al centro del condensato.

<html>
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*Simulazione di un dipolo di vortici dentro un potenziale.*

## You spin me right round baby, right round!

Capisco vi giri la testa, quindi prima di continuare facciamo un po’ di chiarezza: la rotazione di Wick non ha significato fisico vero e proprio, porta lo stato al minimo del potenziale. La rotazione del sistema, modulata dal coefficiente omega, introduce una differenza di fase nello stato fondamentale, la quale genera la rotazione del singolo vortice!

$$ i \partial_t \psi = \beta \nabla^2 \psi - \alpha \left| \psi \right|^2 \psi + \mu \psi - V \psi + i \omega \left(\vec{r} \times \vec{\nabla} \right ) \psi $$

Dunque ora possiamo combinare tutti gli ingredienti e far ruotare lo stato fondamentale confinato in tempo immaginario. Come menzionato sopra, la scelta dello stato fondamentale minimizza le fluttuazioni numeriche che la simulazione dell’evoluzione temporale comporta: mostrare la generazione spontanea di vortici richiederà dunque un tempo di simulazione molto lungo. Possiamo però accelerare questo processo introducendo una perturbazione specifica, moltiplicando la funzione d’onda del nostro stato fondamentale di partenza per una fase casuale. 


Questo semplifica l’intervento del termine rotazionale e il sistema genera spontaneamente vortici intorno alle perturbazioni. Ma la regola di Feynman prevede che il numero di vortici non possa essere arbitrario ma sia determinato dai coefficienti dell’equazione di Gross-Pitaevskii: i vortici in eccesso rispetto al numero previsto saranno “espulsi” dal condensato durante l’evoluzione in tempo immaginario, fino a raggiungere un pattern massimamente simmetrico: ecco emergere il _reticolo di Abrikosov_.

<html>
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</html>

*Simulazione di un condensato rotante. Notare l’effetto della perturbazione della fase nel primo frame, il quale da poi origine ai vortici man mano che la funzione d’onda evolve nel tempo. Più tempo passa e più lo stato raggiunto è ordinato; la formazione reticolare a cui si giunge è il cosiddetto reticolo di Abrikosov.*

## Cambiare le carte in tavola

Cambiare i coefficienti dell’equazione ha evidenti effetti sulla disposizione reticolare: ad esempio, aumentare la velocità di rotazione del sistema aumenta il numero di vortici generati.

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title: Superfluidi da far girare la testa
date:   2019-10-01
author: Torino
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Un tuffo (simulato) nella piscina quantistica più misteriosa della fisica.

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_(A cura di [<NAME>](mailto:<EMAIL>), Università degli Studi di Torino)_

Nel 1925 in Germania, mentre la meccanica quantistica poneva le basi per una nuova definizione di Fisica, un giovane fisico indiano invia una lettera ad Einstein; in essa descrive una derivazione della legge di Planck senza alcun riferimento alla meccanica classica. Einstein rimane colpito dall’intuizione e decide di seguire la traccia di Satyendranath Bose per raggiungere un risultato teorico alquanto inaspettato: uno stato della materia in cui, a temperature molto basse, particelle a spin intero (bosoni) collassano in un identico stato fondamentale, il _Condensato di Bose-Einstein (BEC)_. 

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Una particolarità che distingue questo stato della materia da altri fenomeni quantistici è la possibilità di descrivere l’intero insieme di bosoni attraverso un’unica funzione d’onda macroscopica, la quale è soluzione dell’equazione di Gross-Pitaevskii. Mentre alle alte temperature ogni atomo (che occupa un certo stato quantistico) è descritto da una certa funzione d'onda, nel BEC tutti gli atomi condividono lo stesso stato e dunque la stessa funzione d'onda.

$$ i \partial_t \psi = \beta \nabla^2 \psi - \alpha \left| \psi \right|^2 \psi + \mu \psi - V \psi $$

Questa, a sua volta, è un’equazione di Schrödinger con l’aggiunta di un termine di interazione tra le particelle in gioco, modulato dal coefficiente alpha. 

## Arrivano i superfluidi

Non fu però prima del 1938 che il formalismo della condensazione di Bose-Einstein fu usato per spiegare la superfluidità dell’He-4, un insieme di comportamenti dell’elio liquido sotto i 2.17K che superavano le leggi dell’idrodinamica. Esempi di questi includono l’assenza di viscosità, che causa ad un volume di superfluido la risalita lungo le pareti del contenitore, o ancora il trasporto nullo di entropia, verificate da vari esperimenti in seguito alla realizzazione in laboratorio di un tale condensato nel 1995.


Ma la proprietà certamente più spettacolare appare quando si effettua un cambio di coordinate: in coordinate cilindriche, infatti, un’equazione di Gross-Pitaevskii bidimensionale mostra delle singolarità quando il sistema viene posto in rotazione: nel superfluido vengono spontaneamente generati _vortici_. Questo accade anche per fluidi tradizionali, in parte: tutti possiamo verificare, facendo ruotare un bicchiere d’acqua intorno al suo asse, che la superficie del fluido si incurva fino a generare un vortice centrale. Per i superfluidi, questo tratto assume un aspetto inconfondibilmente quantistico: i vortici infatti sono molteplici e quantizzati. Il loro numero e la loro disposizione segue la regola di Feynman, cercando sempre di disporsi in formazioni reticolari che massimizzino la simmetria del sistema.

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           La Regola di Feynman è una legge che prevede il numero di vortici in un dato BEC rotante a partire dalle caratteristiche del sistema, come dimensioni, velocità di rotazione e coefficiente dispersivo beta:

$$ \# v = \frac{m R^2 \omega}{\hbar} \propto \frac{R^2 \omega}{\beta} $$

          </p>
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Realizzare sperimentalmente un sistema con queste caratteristiche è però altamente non banale: per porre il sistema in rotazione, infatti, è necessario fornire energia al superfluido (tramite la rotazione meccanica), la quale anche in piccole quantità è sufficiente ad innalzare la temperatura del superfluido sopra la temperatura critica di 2.17K, di fatto facendolo evaporare. Nonostante alcuni esperimenti di vortici superfluidi siano stati realizzati dal 2005 in avanti in vari laboratori, la tecnica più comune per visualizzare il fenomeno ed indagarne le proprietà è attraverso simulazioni numeriche: partendo da uno stato quantistico e facendolo evolvere nel tempo si può vedere la generazione spontanea dei vortici.

## Immagiriamo

Prima di entrare nel vivo della computazione, è necessario però compiere un ulteriore passo teorico, fondamentale per la realizzazione della simulazione: la famosa _rotazione di Wick_. Espediente comune nel settore della teoria dei campi, questo “trucchetto” consiste nel passare da un asse temporale reale ad uno immaginario, attraverso la trasformazione:

$$ t = -i \tau $$

Giustificare questo passaggio, a primo impatto artificioso, è molto intuitivo. Se un sistema hamiltoniano (come quello descritto dalla nostra equazione di Gross-Pitaevskii) conserva l’energia, scegliendo un qualsiasi stato NON fondamentale, questo manterrà la propria energia quando viene fatto evolvere nel tempo. La rotazione di Wick trasforma il sistema da conservativo a dissipativo: partendo da un qualsiasi stato, l’evoluzione in tempo immaginario mi porterà al minimo del potenziale, ovvero lo stato fondamentale. Sebbene sembri un risultato fine a se stesso, in analisi numerica partire da uno stato fondamentale è… fondamentale, appunto, per minimizzare la propagazione di errori indesiderati e ottenere meno rumore possibile negli esiti dell’evoluzione temporale.

## Ha cinque minuti per parlare di vortici?

Prima di mostrare la generazione spontanea dovuta alla rotazione, dobbiamo comprendere le proprietà di questi vortici. Essi possono essere approssimati da una funzione analitica della forma:

$$ \psi = e^{i \arctan\left( y/x \right )} \tanh \left( r/\xi \right ) $$

Composta da due termini: la tangente iperbolica, che descrive il profilo del vortice, e l’esponenziale dell’arcotangente, che invece determina la fase. Quest’ultima in particolare determina il senso di rotazione del _singolo vortice_ (orario o antiorario, da non confondere con la rotazione del sistema) ed è la proprietà che genera il vortice stesso: infatti il termine rotazionale nell’equazione di Gross-Pitaevskii introduce una differenza nella fase che causa l’apparizione del vortice.

Possiamo dunque esaminare il comportamento di un numero qualunque di vortici con sensi di rotazione arbitrari in un sistema non rotante: ad esempio, combinare due vortici con senso di rotazione opposti e far trascorrere il tempo immaginario porta ad un avvicinamento che si conclude con un’annichilazione. Il senso di rotazione, dunque, assume un significato simile alla carica di particelle e antiparticelle. Se fermiamo il tempo immaginario e lasciamo scorrere quello reale, questa coppia si comporta come un solitone (ovvero, la funzione d’onda è soluzione dell’equazione di Gross-Pitaevskii) e si muove indefinitamente in una direzione perpendicolare alla congiungente.

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*Simulazione di un dipolo di vortici. Il colore giallo indica le zone in cui la densità del condensato è massima, mentre i colori scuri indicano dove la densità è minima.*

Questa proprietà però supera l’analogia particellare, come possiamo mostrare ponendo due vortici di carica opposta in uno stato confinato (potenziale confinante V non nullo). Se in un primo momento, durante l’evoluzione temporale immaginaria, accade quello che ci aspettiamo (i due vortici tendono ad allontanarsi), quella in tempo reale mostra un comportamento imprevisto: i due vortici orbitano in coppia intorno al centro del condensato.

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*Simulazione di un dipolo di vortici dentro un potenziale.*

## You spin me right round baby, right round!

Capisco vi giri la testa, quindi prima di continuare facciamo un po’ di chiarezza: la rotazione di Wick non ha significato fisico vero e proprio, porta lo stato al minimo del potenziale. La rotazione del sistema, modulata dal coefficiente omega, introduce una differenza di fase nello stato fondamentale, la quale genera la rotazione del singolo vortice!

$$ i \partial_t \psi = \beta \nabla^2 \psi - \alpha \left| \psi \right|^2 \psi + \mu \psi - V \psi + i \omega \left(\vec{r} \times \vec{\nabla} \right ) \psi $$

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Questo semplifica l’intervento del termine rotazionale e il sistema genera spontaneamente vortici intorno alle perturbazioni. Ma la regola di Feynman prevede che il numero di vortici non possa essere arbitrario ma sia determinato dai coefficienti dell’equazione di Gross-Pitaevskii: i vortici in eccesso rispetto al numero previsto saranno “espulsi” dal condensato durante l’evoluzione in tempo immaginario, fino a raggiungere un pattern massimamente simmetrico: ecco emergere il _reticolo di Abrikosov_.

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*Simulazione di un condensato rotante. Notare l’effetto della perturbazione della fase nel primo frame, il quale da poi origine ai vortici man mano che la funzione d’onda evolve nel tempo. Più tempo passa e più lo stato raggiunto è ordinato; la formazione reticolare a cui si giunge è il cosiddetto reticolo di Abrikosov.*

## Cambiare le carte in tavola

Cambiare i coefficienti dell’equazione ha evidenti effetti sulla disposizione reticolare: ad esempio, aumentare la velocità di rotazione del sistema aumenta il numero di vortici generati.

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