<commit_before>﻿\section{Неравенство о средних. Неравенства Гельдера и Минковского}

\begin{conseq}
Неравенство о средних~--- достаточно рассмотреть $$f(x) = -\ln x$$
\end{conseq}
\begin{conseq}
Неравенство Гельдера:
$$x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n \in \R \quad p,q > 1 \quad \frac1p + \frac1q = 1$$
$$\left|\sum_{i=1}^n x_iy_i\right| \leqslant \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{\frac1p} \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^q\right)^{\frac1q}$$
\end{conseq}
\begin{proof}
Если есть нули или отрицательные~--- перейдём к модулям.
$$f(x) = x^p$$
$$f\left(  \right) = $$
$$ \lambda_i a_i = \frac{x_iy_i}{(\sum_{i=1}^n y_i^p) ^ {\frac1q}}$$
\end{proof}

\begin{conseq}
Неравентсво Минковского
\end{conseq}<commit_msg>Tried adding proof in 88...<commit_after>﻿\section{Неравенство о средних. Неравенства Гельдера и Минковского}

\begin{conseq}
Неравенство о средних
$$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}n \geqslant \sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n}$$
\end{conseq}
\begin{proof}
$f(x) = -\ln x$~--- выпуклая убывающая функция. $\lambda_i = \frac1n$.
$$-\ln \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}n = f \left(\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}n\right) \leqslant \frac{f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)}n = -\ln \sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n}$$
$$-\ln \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}n \leqslant -\ln \sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n} \Ra \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}n \geqslant \sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n}$$
\end{proof}
\begin{conseq}
$$x_1^{\lambda_1} + x_2^{\lambda_2} + \cdots + x_n^{\lambda_n} \leqslant \lambda_1x_1 + \lambda_2x_2 + \cdots + \lambda_n x_n$$
\end{conseq}
\begin{conseq}
Неравенство Гельдера:
$$x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n \in \R \quad p,q > 1 \quad \frac1p + \frac1q = 1$$
$$\left|\sum_{i=1}^n x_iy_i\right| \leqslant \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{\frac1p} \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^q\right)^{\frac1q}$$
\end{conseq}
\begin{Rem}
Это неравенство БШ при $p=q=2$.
\end{Rem}
\begin{proof}
Если есть нули или отрицательные~--- перейдём к модулям.
$$f(x) = x^p$$
$$f\left( \lambda_1a_1 + \lambda_2a_2 + \cdots + \lambda_n a_n \right) \leqslant \lambda_1f(a_1) + \lambda_2f(a_2) + \cdots + \lambda_nf(a_n)$$
$$\left( \lambda_1a_1 + \lambda_2a_2 + \cdots + \lambda_n a_n \right)^p \leqslant \lambda_1 a_1^p + \lambda_2 a_2^p + \cdots + \lambda_n a_n^p$$
$$\lambda_1x_1 + \lambda_2x_2 + \cdots + \lambda_n x_n \leqslant \left(\lambda_1 x_1^p + \lambda_2 x_2^p + \cdots + \lambda_n x_n^p \right)^{\frac1p}$$
$$ \lambda_i a_i^p = x_i^p $$
$$ \lambda_i = \left(\frac{x_i}{a_i}\rihgt)^p$$
$$ \lambda_i a_i = \frac{x_iy_i}{(\sum_{i=1}^n y_i^p) ^ {\frac1q}}$$
\end{proof}

\begin{conseq}
Неравентсво Минковского
\end{conseq}
{'fraction_non_alphanumeric': 0.22260668973471742, 'fraction_numerical': 0.031910803537101115, 'mean_word_length': 4.132149901380671, 'pattern_counts': {'":': 0, '<': 3, '<?xml version=': 0, '>': 5, 'https://': 0, 'lorem ipsum': 0, 'www.': 0, 'xml': 0}, 'pii_count': 0, 'substrings_counts': 0, 'word_list_counts': {'cursed_substrings.json': 0, 'profanity_word_list.json': 0, 'sexual_word_list.json': 0, 'zh_pornsignals.json': 0}}
{'dir': 'git-commits-cleaned', 'id': '5548383', 'n_tokens_mistral': 1324, 'n_tokens_neox': 1331, 'n_words': 249}