<commit_before>﻿\section{Достаточные условия экстремума}

\begin{theorem}{Достаточное условие экстремума}
$f\colon \left<a, b\right> \ra R$, $x_0 \in (a, b)$, $f$ непрерывна на $(x_0-\delta, x_0+\delta)$$f$ дифференцируема на $(x_0-\delta, x_0)\cup(x_0+\delta)$. Тогда
\begin{itemize}
\item $f'((x_0-\delta, x_0)) > 0 \land f'((x_0, x_0 + \delta)) < 0 \Ra x_0\text{~--- точка максимума}$
\item $f'((x_0-\delta, x_0)) < 0 \land f'((x_0, x_0 + \delta)) > 0 \Ra x_0\text{~--- точка минимума}$
\end{itemize}
\end{theorem}
\begin{proof}
$$f'((x_0-\delta, x_0)) > 0 \Ra f\text{ возрастает на } (x_0-\delta, x_0) \Ra f(x_0) > f((x_0-\delta, x_0))$$
$$f'((x_0, x_0+\delta)) < 0 \Ra f\text{ убывает на } (x_0, x_0+\delta) \Ra f(x_0) > f((x_0, x_0+\delta))$$
\end{proof}

\begin{theorem}{Достаточное условие экстремума через вторую производную}
$f\colon \left<a, b\right> \ra R$, $x_0 \in (a, b)$, $f$ дважды дифференцируема в $x_0$ и $f'(x_0) = 0$. Тогда
\begin{itemize}
\item $f''(x_0) < 0 \Ra x_0\text{~--- точка максимума}$
\item $f''(x_0) > 0 \Ra x_0\text{~--- точка минимума}$
\end{itemize}
\end{theorem}
\begin{theorem}{Достаточное условие экстремума через $n$-ую производную}
$f\colon \left<a, b\right> \ra R$, $x_0 \in (a, b)$, $f$ дифференцируема $n$ раз в $x_0$ и $f'(x_0) = f''(x_0) \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$. Тогда
\begin{itemize}
\item $2 \mid n \land f''(x_0) < 0 \Ra x_0\text{~--- точка максимума}$
\item $2 \mid n \land f''(x_0) > 0 \Ra x_0\text{~--- точка минимума}$
\item $2 \not \mid 2 \land f''(x_0) \ne 0 \Ra x_0\text{~--- не экстремум}$
\end{itemize}
\end{theorem}
\begin{proof}
$$f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \cdots + \frac{f^{(n-1)}}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1} + \frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0)^{n} + o((x-x_0)^n)$$
$$f(x) - f(x_0) = \frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0)^{n} + o((x-x_0)^n) = (x-x_0)^n \left(\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} + o(1)\right)$$
$2 \div n \land f^{(n)}(x_0) > 0 \Ra \exists \epsilon>0\colon \forall x\in(x_0-\epsilon,x_0)\cup(x_0, x_0+\epsilon)\; f(x) - f(x_0) > 0$
$2 \div n \land f^{(n)}(x_0) < 0 \Ra \exists \epsilon>0\colon \forall x\in(x_0-\epsilon,x_0)\cup(x_0, x_0+\epsilon)\; f(x) - f(x_0) < 0$
$2 \not\div n \land f^{(n)}(x_0) \ne 0 \Ra \exists \epsilon>0\colon \forall x\in(x_0-\epsilon,x_0)\cup(x_0, x_0+\epsilon)\; sign(f(x) - f(x_0)) = sign(x-x_0)$
\end{proof}<commit_msg>Typo fixes in 83<commit_after>﻿\section{Достаточные условия экстремума}

\begin{theorem}{Достаточное условие экстремума}
$f\colon \left<a, b\right> \ra R$, $x_0 \in (a, b)$, $f$ непрерывна на $(x_0-\delta, x_0+\delta)$$f$ дифференцируема на $(x_0-\delta, x_0)\cup(x_0+\delta)$. Тогда
\begin{itemize}
\item $f'((x_0-\delta, x_0)) > 0 \land f'((x_0, x_0 + \delta)) < 0 \Ra x_0\text{~--- точка максимума}$
\item $f'((x_0-\delta, x_0)) < 0 \land f'((x_0, x_0 + \delta)) > 0 \Ra x_0\text{~--- точка минимума}$
\end{itemize}
\end{theorem}
\begin{proof}
$$f'((x_0-\delta, x_0)) > 0 \Ra f\text{ возрастает на } (x_0-\delta, x_0) \Ra f(x_0) > f((x_0-\delta, x_0))$$
$$f'((x_0, x_0+\delta)) < 0 \Ra f\text{ убывает на } (x_0, x_0+\delta) \Ra f(x_0) > f((x_0, x_0+\delta))$$
\end{proof}

\begin{theorem}{Достаточное условие экстремума через вторую производную}
$f\colon \left<a, b\right> \ra R$, $x_0 \in (a, b)$, $f$ дважды дифференцируема в $x_0$ и $f'(x_0) = 0$. Тогда
\begin{itemize}
\item $f''(x_0) < 0 \Ra x_0\text{~--- точка максимума}$
\item $f''(x_0) > 0 \Ra x_0\text{~--- точка минимума}$
\end{itemize}
\end{theorem}
\begin{theorem}{Достаточное условие экстремума через $n$-ую производную}
$f\colon \left<a, b\right> \ra R$, $x_0 \in (a, b)$, $f$ дифференцируема $n$ раз в $x_0$ и $f'(x_0) = f''(x_0) \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0$. Тогда
\begin{itemize}
\item $2 \mid n \land f''(x_0) < 0 \Ra x_0\text{~--- точка максимума}$
\item $2 \mid n \land f''(x_0) > 0 \Ra x_0\text{~--- точка минимума}$
\item $2 \nmid 2 \land f''(x_0) \ne 0 \Ra x_0\text{~--- не экстремум}$
\end{itemize}
\end{theorem}
\begin{proof}
$$f(x) = f(x_0) + \frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0) + \cdots + \frac{f^{(n-1)}}{(n-1)!}(x-x_0)^{n-1} + \frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0)^{n} + o((x-x_0)^n)$$
$$f(x) - f(x_0) = \frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0)^{n} + o((x-x_0)^n) = (x-x_0)^n \left(\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} + o(1)\right)$$
$2 \mid n \land f^{(n)}(x_0) > 0$:
$$\exists \epsilon>0\colon \forall x\in(x_0-\epsilon,x_0)\cup(x_0, x_0+\epsilon)\; f(x) - f(x_0) > 0$$
$2 \mid n \land f^{(n)}(x_0) < 0$:
$$\exists \epsilon>0\colon \forall x\in(x_0-\epsilon,x_0)\cup(x_0, x_0+\epsilon)\; f(x) - f(x_0) < 0$$
$2 \nmid n \land f^{(n)}(x_0) \ne 0$:
$$\exists \epsilon>0\colon \forall x\in(x_0-\epsilon,x_0)\cup(x_0, x_0+\epsilon)\; sign(f(x) - f(x_0)) = sign(x-x_0)$$
\end{proof}
{'fraction_non_alphanumeric': 0.2805273395288524, 'fraction_numerical': 0.04884374324616382, 'mean_word_length': 3.91817215727949, 'pattern_counts': {'":': 0, '<': 23, '<?xml version=': 0, '>': 33, 'https://': 0, 'lorem ipsum': 0, 'www.': 0, 'xml': 0}, 'pii_count': 0, 'substrings_counts': 0, 'word_list_counts': {'cursed_substrings.json': 0, 'profanity_word_list.json': 0, 'sexual_word_list.json': 0, 'zh_pornsignals.json': 0}}
{'dir': 'git-commits-cleaned', 'id': '915666', 'n_tokens_mistral': 2515, 'n_tokens_neox': 2513, 'n_words': 500}