<commit_before>\newcommand{\qcste}{$-22.5^{\circ}$}
\newcommand{\qcstz}{$0^{\circ}$}
\newcommand{\qcstd}{$22.5^{\circ}$}
\newcommand{\qcstv}{$45^{\circ}$}

\section{E91}
  \index{E91}
  \rhead{E91}
  \subsection{Verschr"ankung}
  Durch Verschr"ankung lassen sich mehrere Photonen mit dem gleichen Zustand als ein System beschreiben.\\
  Nehmen wir an die beiden Teilsysteme $A$ und $B$ haben die Zust"ande $|0\rangle$ und $|0\rangle$. Daraus
  lassen sich "Uberlagerungszust"ande wie $\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|01\rangle + |10\rangle\big)$ bilden. Dies bedeutet, dass sich unsere
  Teilsysteme bis zur Messung in beiden Zust"anden befinden.
  Wird nun von Alice eine Messung durchgef"uhrt, erfolgt eine Projektion und
  das System kollabiert entweder zu $\lvert0\rangle_A|1\rangle_B$ und Alice misst $\psi_0$ oder
  das System kollabiert zu $\lvert1\rangle_A|0\rangle_B$ und Alice misst $\psi_1$.
  F"ur den ersten Fall erh"alt Bob bei jeder Messung,
  welche er durchf"uhrt $\psi_1$, f"ur den zweiten Fall immer $\psi_0$.
  Dank diesem Verhalten wird ein Abh"oren/Messen der "ubertragenen Photonen sofort bemerkt.

  Dieses Verhalten wurde von <NAME>chr"odinger mit seinem
  ber"uhmten Gedankenexperiment \ref{section:cat} veranschaulicht.

  \subsection{Das E91 Protokoll}
  Das E91 Protokoll wurde 1991 von Artur Ekert entworfen.
  Dabei werden verschr"ankte Photonen verwendet, welche von Alice, Bob oder sogar Eve erzeugt werden k"onnen.

  \subsection{Der Schl"usselaustausch mit E91}
  Das Protokoll beruht auf der Nutzung der Eigenschaften von verschr"ankten Quanten \cite{qc:verschraenkung}.
  Die beiden ausschlaggebenden Eigenschaften sind dabei:

  \begin{enumerate}
      \item Bei ``Singulett'' verschr"ankten Quanten ist der Zustand des zweiten Teilchens nach dem Messen des Ersten genau bestimmt.
        Das System nimmt dabei den Komplement"arzustand zum Gemessenen an.
        Siehe Abbildung \ref{crypto:tangtab}

        Da dabei vorallem der Spin die relevante Observable ist,
        bedeutet ``Singulett-Verschr"ankt'' hier,
        dass beim Verschr"anken ein System entsteht, f"ur welches bei einer Spinmultiplizit"at von Eins,
        der Gesammtspin bzw. die Gesammtspin-Quantenzahl gleich Null ist.
      \item Jegliche Manipulation an einem der verschr"ankten Quanten "andert den Zustand des Anderen.
        Dadurch kann eine Manipulation eines Eavesdropper festgestellt werden.
        Dies gilt auch, wenn mehr als zwei Quanten verschr"ankt wurden.
  \end{enumerate}

  \begin{figure}
	\centering
    \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    	\hline Anti-/Symmetrische Wellenfkt & A & A & A & A & S & S & S & S \\
    	\hline Von A genutzte Basen & \qcste & \qcstz & \qcstd & \qcstv & \qcste & \qcstz & \qcstd & \qcstv \\
    	\hline Von A gemessene Bits & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
    	\hline Von B genutzte Basen & \qcste & \qcstv & \qcstz & \qcste & \qcstd & \qcstd & \qcstd & \qcstd \\
    	\hline Von B gemessene Bits & 0 & ? & ? & ? & ? & ? & 0 & ? \\
      \hline Basendiskussion / Nutzen & \checkmark & $\times$ & CHSH & CHSH & $\times$ & CHSH & \checkmark & CHSH \\
    	\hline Basen Zwischenwinkel & \qcstz & \qcstv & \qcstd & $67.5^{\circ}$ & \qcstv & \qcstd & \qcstz & \qcstd \\
    	\hline Gemeinsame Schl"usselbits & 1 & $\times$ & $\times$ & $\times$ & $\times$ & $\times$ & 0 & $\times$ \\
    	\hline
    \end{tabular}
    \caption{Die Emittlung des Schl"ussels mit E91 \label{crypto:tangtab}}
  \end{figure}

  Dabei verwendet es ebenfalls einen konventionellen und einen Quantenkommunikationskanal.
  Dabei k"onnen ebenfalls beide unsicher sein, dabei darf der konventionelle auch unauthentisiert sein.

  % Nach der Basendiskussion.

  Die beiden Parteien w"ahlen jeweils drei aus vier Winkeln als Basis (f"ur Photonen \qcste, \qcstz, \qcstd, \qcstv), wobei genau 2 davon "ubereinstimmen m"ussen.
  Dann wird dem Ereignis ``Photon detektiert'' den Bitwert 0 oder 1 zugewiesen.
  F"ur den Schl"usselaustausch werden mit einer Quelle verschr"ankte Photonen erzeugt und
  jeweils eins davon an jeden Kommunikationspartner gesendet.

  Es werden zwei F"alle unterschieden:
  \begin{itemize}
      \item Die Photonen haben eine symmetrische Wellenfunktion, dann kann A sichergehen, dass B das gleiche Messresultat bekommen hat, wie sie, wenn B dieselbe Basis verwendet hat.
      \item  Die Photonen haben eine antisymmetrische Wellenfunktion, dann weiss A, dass B das invertierte Messresultat bekommen hat, wenn B dieselbe Basis verwendet hat.
  \end{itemize}

  Die F"alle, in denen die Basis um \qcstv verschieden sind, sind nutzlos, da das Resultat bei B nicht definiert ist.
  Die F"alle mit einem Zwischenwinkel von \qcstd oder $67.5^{\circ}$ werden verwendet um mit der CHSH Ungleichung (Eine verallgemeinerte Form der Bellschen Ungleichung \ref{chapter:bell}) die Sicherheit des Kommunikationkanals festzustellen.<commit_msg>Added declaration of wavefunctions<commit_after>\newcommand{\qcste}{$-22.5^{\circ}$}
\newcommand{\qcstz}{$0^{\circ}$}
\newcommand{\qcstd}{$22.5^{\circ}$}
\newcommand{\qcstv}{$45^{\circ}$}

\section{E91}
  \index{E91}
  \rhead{E91}
  \subsection{Verschr"ankung}
  Durch Verschr"ankung lassen sich mehrere Photonen mit dem gleichen Zustand als ein System beschreiben.\\
  Nehmen wir an die beiden Teilsysteme $A$ und $B$ haben die Zust"ande $|0\rangle$ und $|0\rangle$. Daraus
  lassen sich "Uberlagerungszust"ande wie $\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|01\rangle + |10\rangle\big)$ bilden. Dies bedeutet, dass sich unsere
  Teilsysteme bis zur Messung in beiden Zust"anden befinden.
  Wird nun von Alice eine Messung durchgef"uhrt, erfolgt eine Projektion und
  das System kollabiert entweder zu $\lvert0\rangle_A|1\rangle_B$ und Alice misst $\psi_0$ oder
  das System kollabiert zu $\lvert1\rangle_A|0\rangle_B$ und Alice misst $\psi_1$.
  F"ur den ersten Fall erh"alt Bob bei jeder Messung,
  welche er durchf"uhrt $\psi_1$, f"ur den zweiten Fall immer $\psi_0$.
  Dank diesem Verhalten wird ein Abh"oren/Messen der "ubertragenen Photonen sofort bemerkt.

  Dieses Verhalten wurde von <NAME> mit seinem
  ber"uhmten Gedankenexperiment \ref{section:cat} veranschaulicht.

  \subsection{Das E91 Protokoll}
  Das E91 Protokoll wurde 1991 von <NAME> entworfen.
  Dabei werden verschr"ankte Photonen verwendet, welche von Alice, Bob oder sogar Eve erzeugt werden k"onnen.

  \subsection{Der Schl"usselaustausch mit E91}
  Das Protokoll beruht auf der Nutzung der Eigenschaften von verschr"ankten Quanten \cite{qc:verschraenkung}.
  Die beiden ausschlaggebenden Eigenschaften sind dabei:

  \begin{enumerate}
      \item Bei ``Singulett'' verschr"ankten Quanten ist der Zustand des zweiten Teilchens nach dem Messen des Ersten genau bestimmt.
        Das System nimmt dabei den Komplement"arzustand zum Gemessenen an.
        Siehe Abbildung \ref{crypto:tangtab}

        Da dabei vorallem der Spin die relevante Observable ist,
        bedeutet ``Singulett-Verschr"ankt'' hier,
        dass beim Verschr"anken ein System entsteht, f"ur welches bei einer Spinmultiplizit"at von Eins,
        der Gesammtspin bzw. die Gesammtspin-Quantenzahl gleich Null ist.
      \item Jegliche Manipulation an einem der verschr"ankten Quanten "andert den Zustand des Anderen.
        Dadurch kann eine Manipulation eines Eavesdropper festgestellt werden.
        Dies gilt auch, wenn mehr als zwei Quanten verschr"ankt wurden.
  \end{enumerate}

  \begin{figure}
	\centering
    \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    	\hline Anti-/Symmetrische Wellenfkt & A & A & A & A & S & S & S & S \\
    	\hline Von A genutzte Basen & \qcste & \qcstz & \qcstd & \qcstv & \qcste & \qcstz & \qcstd & \qcstv \\
    	\hline Von A gemessene Bits & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
    	\hline Von B genutzte Basen & \qcste & \qcstv & \qcstz & \qcste & \qcstd & \qcstd & \qcstd & \qcstd \\
    	\hline Von B gemessene Bits & 0 & ? & ? & ? & ? & ? & 0 & ? \\
      \hline Basendiskussion / Nutzen & \checkmark & $\times$ & CHSH & CHSH & $\times$ & CHSH & \checkmark & CHSH \\
    	\hline Basen Zwischenwinkel & \qcstz & \qcstv & \qcstd & $67.5^{\circ}$ & \qcstv & \qcstd & \qcstz & \qcstd \\
    	\hline Gemeinsame Schl"usselbits & 1 & $\times$ & $\times$ & $\times$ & $\times$ & $\times$ & 0 & $\times$ \\
    	\hline
    \end{tabular}
    \caption{Die Emittlung des Schl"ussels mit E91 \label{crypto:tangtab}}
  \end{figure}

  Dabei verwendet es ebenfalls einen konventionellen und einen Quantenkommunikationskanal.
  Dabei k"onnen ebenfalls beide unsicher sein, dabei darf der konventionelle auch unauthentisiert sein.

  % Nach der Basendiskussion.

  Die beiden Parteien w"ahlen jeweils drei aus vier Winkeln als Basis (f"ur Photonen \qcste, \qcstz, \qcstd, \qcstv), wobei genau 2 davon "ubereinstimmen m"ussen.
  Dann wird dem Ereignis ``Photon detektiert'' den Bitwert 0 oder 1 zugewiesen.
  F"ur den Schl"usselaustausch werden mit einer Quelle verschr"ankte Photonen erzeugt und
  jeweils eins davon an jeden Kommunikationspartner gesendet.

  Es werden zwei F"alle unterschieden:
  \begin{itemize}
      \item Die Photonen haben eine symmetrische Wellenfunktion, dann kann A sichergehen, dass B das gleiche Messresultat bekommen hat, wie sie, wenn B dieselbe Basis verwendet hat.
      \item  Die Photonen haben eine antisymmetrische Wellenfunktion, dann weiss A, dass B das invertierte Messresultat bekommen hat, wenn B dieselbe Basis verwendet hat.
  \end{itemize}

  Dabei sind die symmetrischen Wellenfunktionen "Uberlagerungszust"ande von der Art:

  $\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|10\rangle+|01\rangle\big)$

  Und die antisymmetrischen Wellenfunktionen sind "Uberlagerungszust"ande von der Art:

  $\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|10\rangle-|01\rangle\big)$


  Die F"alle, in denen die Basis um \qcstv verschieden sind, sind nutzlos, da das Resultat bei B nicht definiert ist.
  Die F"alle mit einem Zwischenwinkel von \qcstd oder $67.5^{\circ}$ werden verwendet um mit der CHSH Ungleichung (Eine verallgemeinerte Form der Bellschen Ungleichung \ref{chapter:bell}) die Sicherheit des Kommunikationkanals festzustellen.
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