<commit_before>\section{Auswertung}
Im Folgenden sollen die Messergebnisse analysiert werden und die relevanten Größen aus der Theorie berechnet werden. \\
Die Werte für die beiden Temperaturen $T_1$ und $T_2$ und die Drücke $p_a$ und $p_b$ sind in Tablle \ref{tab: tempdruck} aufgetragen.
\input{tabs/temppres.tex}
Der zeitliche Verlauf der Temperaturen ist in den Abbildungen (...) dargestellt. Hierbei wurde mittels der Python Bibliothek $Scipy$ eine
Regression an eine Funktion der Form $T_i = A t^2 + B t + C$ bestimmt. Um im späteren Verlauf eine präzisere Aussage über den Temperaturverlauf
von $T_2$ zu gewährleisten, wurde selbiges für den Zeitraum nach $t_0 = ...$ erneut durchgeführt. In der Diskussion wird hierauf näher eingegangen. Die entsprechenden
Parameter sind in Tabelle \ref{tab: regress} zu finden. \\
\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[width = 12cm]{tabs/plot1.pdf}
  \caption{Plot1}
  \label{fig: Plot1}
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[width = 12cm]{tabs/plot2_1.pdf}
  \caption{Plot2}
  \label{fig: Plot2}
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
  \includegraphics[width = 12cm]{tabs/plot2_2.pdf}
  \caption{Plot2*}
  \label{fig: Plot2*}
\end{figure}


Die gefundenen Regressionskurven erlauben es, die Differentialquotienten $\frac{dT_1}{dt}$ und $\frac{dT_2}{dt}$ zu berechnen. Die Werte für 4 verschiedene Zeiten sind
in Tabelle \ref{tab: dTdt} aufgetragen. Hierbei wurden die Zeiten $> t_0$ gewählt, sodass die Kurve aus (...) verwendet werden konnte.

\subsection{Güteziffer}

Mittels des Zusammenhangs
\begin{equation}
  \nu_real = (m_1 c_w + m_k c_k) \frac{dT_1}{dt} \frac{1}{P}
\end{equation}
wurde die reale Güteziffer $\nu_{real}$ berechnet. Hierbei entsprechen $m_k c_k = 660 J/K$ und $c_1 c_W$ den Wärmekapzitäten von Apparatur und Wasser. Die Masse $m_1 = V_1 \cdot \rho_w$ ergibt sich mit
der Dichte des Wassers $\rho_w \approx 1000 kg/m^3$ und der entsprechenden Füllmenge $V_1 = 3 l$. Der Wert $c_w = 4182 Jkg^{-1}K^{-1}$ wurde der Literatur entnommen. Die Ergebnisse
der Rechnung, sowie die ideale Güteziffer $\nu_{ideal}$
\begin{equation}
  \nu_{ideal} = \frac{T_1}{T_1 - T_2}
\end{equation}
sind in Tabelle xy aufgetragen.
\input{tabs/differenz.tex}

\subsection{Massendurchsatz und Mechanische Leistung}
Zur Bestimmung des Massendurchsatzes $\frac{dm}{dt}$ wird zunächst die Verdampfungswärme $L$ benötigt. Hierzu wird der aus $Vxxx$ bekannte Zusammenhang des Druckverlaufs für $p_b$ in Abhängigkeit von der Temperatur
\begin{equation}
  p_b = p_0 \exp{-\frac{L}{R T_1}}
\end{equation}
ausgenutzt. Durch einmaliges Anwenden des Logarithmus erhält man einen linearen Zusammenhang der Form:
\begin{equation}
  \log{p_b} = \log{p_0} -\frac{L}{R} \cdot \frac{1}{T_1}
\end{equation}
Durch halb-logarithmisches Auftragen der Werte für $p_b$ gegen die Reziproken der Temperatur $T_1$ (siehe Abb) kann also mit Hilfe einer lineare Regression der Wert $-\frac{L}{R}$ ermittelt werden.
Es ergibt sich:
\begin{equation}
  -\frac{L}{R} =  (-2228.58 \pm 111.63) \si{\kelvin}
\end{equation}
Mit der allgemeinen Gaskonstante $R = 8.314 J mol^{-1} K ^{-1}$ ergibt sich $L$ zu:
\begin{equation}
  L = (1.85 \pm 0.09)\cdot 10^{4} J mol^{-1}
\end{equation}
Der Massendurchsatz berechnet sich nun mit:
\begin{equation}
  \frac{dm}{dt} = (m_2 c_w + m_k c_k)\frac{dT_2}{dt} \frac{1}{L}
\end{equation}
Mit der Wärmekapazität des zweiten Reservoirs $m_2 c_w = ...$. Die berechneten Werte sind in Tabelle xx aufgetragen. \\
Abschließend soll nun noch die mechanische Leistung des Komprssors errechnet werden. In Formel (x) kann $\frac{1}{\rho}$
näherungsweise mit der idealen Gasgleichung bestimmt werden. 


\input{tabs/fitconst.tex}

\input{tabs/massendurchsatz.tex}<commit_msg>auswertung.tex bearbeitet<commit_after>\section{Auswertung}
Im Folgenden sollen die Messergebnisse analysiert werden und die relevanten Größen aus der Theorie berechnet werden. \\
Die Werte für die beiden Temperaturen $T_1$ und $T_2$ und die Drücke $p_a$ und $p_b$ sind in Tablle \ref{tab: tempdruck} aufgetragen.
\input{tabs/temppres.tex}
Der zeitliche Verlauf der Temperaturen ist in den Abbildungen (...) dargestellt. Hierbei wurde mittels der Python Bibliothek $Scipy$ eine
Regression an eine Funktion der Form $T_i = A t^2 + B t + C$ bestimmt. Um im späteren Verlauf eine präzisere Aussage über den Temperaturverlauf
von $T_2$ zu gewährleisten, wurde selbiges für den Zeitraum nach $t_0 = ...$ erneut durchgeführt. In der Diskussion wird hierauf näher eingegangen. Die entsprechenden
Parameter sind in Tabelle \ref{tab: regress} zu finden. \\
\begin{figure}[h]
  \centering
  \includegraphics[width = 12cm]{tabs/plot1.pdf}
  \caption{Plot1}
  \label{fig: Plot1}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
  \centering
  \includegraphics[width = 12cm]{tabs/plot2_1.pdf}
  \caption{Plot2}
  \label{fig: Plot2}
\end{figure}

\begin{figure}[h]
  \centering
  \includegraphics[width = 12cm]{tabs/plot2_2.pdf}
  \caption{Plot2*}
  \label{fig: Plot2*}
\end{figure}


Die gefundenen Regressionskurven erlauben es, die Differentialquotienten $\frac{dT_1}{dt}$ und $\frac{dT_2}{dt}$ zu berechnen. Die Werte für 4 verschiedene Zeiten sind
in Tabelle \ref{tab: dTdt} aufgetragen. Hierbei wurden die Zeiten $> t_0$ gewählt, sodass die Kurve aus (...) verwendet werden konnte.

\subsection{Güteziffer}

Mittels des Zusammenhangs
\begin{equation}
  \nu_{real} = (m_1 c_w + m_k c_k) \frac{dT_1}{dt} \frac{1}{P}
\end{equation}
wurde die reale Güteziffer $\nu_{real}$ berechnet. Hierbei entsprechen $m_k c_k = 660 J/K$ und $c_1 c_W$ den Wärmekapzitäten von Apparatur und Wasser. Die Masse $m_1 = V_1 \cdot \rho_w$ ergibt sich mit
der Dichte des Wassers $\rho_w \approx 1000 kg/m^3$ und der entsprechenden Füllmenge $V_1 = 3 l$. Der Wert $c_w = 4182 Jkg^{-1}K^{-1}$ wurde der Literatur entnommen. Die Ergebnisse
der Rechnung, sowie die ideale Güteziffer $\nu_{ideal}$
\begin{equation}
  \nu_{ideal} = \frac{T_1}{T_1 - T_2}
\end{equation}
sind in Tabelle xy aufgetragen.
\input{tabs/differenz.tex}

\subsection{Massendurchsatz und Mechanische Leistung}
Zur Bestimmung des Massendurchsatzes $\frac{dm}{dt}$ wird zunächst die Verdampfungswärme $L$ benötigt. Hierzu wird der aus $Vxxx$ bekannte Zusammenhang des Druckverlaufs für $p_b$ in Abhängigkeit von der Temperatur
\begin{equation}
  p_b = p_0 \exp{-\frac{L}{R T_1}}
\end{equation}
ausgenutzt. Durch einmaliges Anwenden des Logarithmus erhält man einen linearen Zusammenhang der Form:
\begin{equation}
  \log{p_b} = \log{p_0} -\frac{L}{R} \cdot \frac{1}{T_1}
\end{equation}
Durch halb-logarithmisches Auftragen der Werte für $p_b$ gegen die Reziproken der Temperatur $T_1$ (siehe Abb) kann also mit Hilfe einer lineare Regression der Wert $-\frac{L}{R}$ ermittelt werden.
Es ergibt sich:
\begin{equation}
  -\frac{L}{R} =  (-2228.58 \pm 111.63) \si{\kelvin}
\end{equation}
Mit der allgemeinen Gaskonstante $R = 8.314 J mol^{-1} K ^{-1}$ ergibt sich $L$ zu:
\begin{equation}
  L = (1.85 \pm 0.09)\cdot 10^{4} J mol^{-1}
\end{equation}
Der Massendurchsatz berechnet sich nun mit:
\begin{equation}
  \frac{dm}{dt} = (m_2 c_w + m_k c_k)\frac{dT_2}{dt} \frac{1}{L}
\end{equation}
Mit der Wärmekapazität des zweiten Reservoirs $m_2 c_w = ...$. Die berechneten Werte sind in Tabelle xx aufgetragen. \\
Abschließend soll nun noch die mechanische Leistung des Komprssors errechnet werden. In Formel (x) kann $\frac{1}{\rho}$
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