<commit_before>\documentclass{article}
\usepackage{tekvideoexercises}

\begin{document}
\tableofcontents
\newpage

\begin{exercise}{LHopital 1 - Grænsen er ikke defineret}
Bestem grænseværdien.
\[
\lim_{x \to 1} \frac{e^x - 1}{(x - 1)^2}
\]

Er svaret $\infty$ skrives der \emph{uendelig} i svarboksen.

\answerbox{uendelig}

\hint
Først undersøges det om vi må anvende L'Hopital.

\hint
Grænserne af tælleren og nævneren bestemmes.
\begin{align*}
\lim_{x \to 1} (e^x - 1) = e^1 - 1 = e - 1 \neq 0 \\
\lim_{x \to 1} (x - 1)^2 = (1 - 1)^2 = 0
\end{align*}

\hint
Da de to grænser ikke begge er nul eller uendelig, må vi ikke anvende L'Hopitals regel. 

\hint
Vi ender i følgende situtation.
\[
\left[ \frac{e - 1}{0} \right]
\]

\hint
Hvor noget endeligt ($e - 1$) deles med noget der går mod nul.
Bemærk at $(x - 1)^2$ altid er større eller lig med nul. 

Derfor går hele værdien mod uendelig.
\[
\lim_{x \to 1} \frac{e^x - 1}{(x - 1)^2} = \infty
\]

\end{exercise}

\end{document}
<commit_msg>Opgaver med L'Hopitals regel<commit_after>\documentclass{article}
\usepackage{tekvideoexercises}

\begin{document}
\tableofcontents
\newpage

\begin{exercise}{LHopital 1 - Grænsen er ikke defineret}
Bestem grænseværdien.
\[
\lim_{x \to 1} \frac{e^x - 1}{(x - 1)^2}
\]

Er svaret $\infty$ skrives der \emph{uendelig} i svarboksen.

\answerbox{uendelig}

\hint
Først undersøges det om vi må anvende L'Hopital.

\hint
Grænserne af tælleren og nævneren bestemmes.
\begin{align*}
\lim_{x \to 1} (e^x - 1) = e^1 - 1 = e - 1 \neq 0 \\
\lim_{x \to 1} (x - 1)^2 = (1 - 1)^2 = 0
\end{align*}

\hint
Da de to grænser ikke begge er nul eller uendelig, må vi ikke anvende L'Hopitals regel. 

\hint
Vi ender i følgende situtation.
\[
\left[ \frac{e - 1}{0} \right]
\]

\hint
Hvor noget endeligt ($e - 1$) deles med noget der går mod nul.
Bemærk at $(x - 1)^2$ altid er større eller lig med nul. 

Derfor går hele værdien mod uendelig.
\[
\lim_{x \to 1} \frac{e^x - 1}{(x - 1)^2} = \infty
\]

\end{exercise}

\begin{exercise}{LHopital 2}
	Bestem grænseværdien.
	\[
	\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x^2 - 1}
	\] 
	\\
	Er svaret $\infty$ skrives der \emph{uendelig} i svarboksen.
	
	\answerbox{\frac{1}{2}}
	
	\hint
	Først undersøges det om vi må anvende L'Hopital.
	
	\hint
	Grænserne af tælleren og nævneren bestemmes.
	\begin{align*}
		&\lim_{x \to 1} (\ln(x)) = \ln(1) = 0 \\
		&\lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = (1^2 - 1) = 0
	\end{align*}
	
	\hint
	Da de to grænser begge går mod nul må vi  anvende L'Hopitals regel. 
	
	\hint
	L'Hopitals regel er givet ved
	\[
	\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 
	\]
	hvor $a$  er en konstant.
	
	\hint
	Sæt $f(x) = \ln(x)$ og $g(x) = x^2-1$. 
	
	\hint
	Bestem $f'(x)$ og $g'(x)$
	\begin{align*}
		f'(x) &= \frac{1}{x} \\
		g'(x) &= 2x
	\end{align*}
	
	\hint
	Indsæt i udtryk og reducer. 
	\[
	\lim_{x \to 1} \frac{1/x}{2x} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{2x^2} 
	\]
	
	\hint
	Indsæt grænseværdi i udtryk
	\[
	\lim_{x \to 1} \frac{1}{2 \cdot 1^2}  = \left[ \frac{1}{2}  \right] 
	\]
	Altså går udtrykket mod $\frac{1}{2}$, når $x$ går mod $1$. 
			
\end{exercise}

\begin{exercise}{LHopital 3}
	Bestem grænseværdien.
	\[
	\lim_{x \to 0+} \frac{e^x - 1}{x^2}
	\] 
	\\
	Er svaret $\infty$ skrives der \emph{uendelig} i svarboksen.
	
	\answerbox{uendelig}
	
	\hint
	Først undersøges det om vi må anvende L'Hopital.
	
	\hint
	Grænserne af tælleren og nævneren bestemmes.
	\begin{align*}
		&\lim_{x \to 0+} (e^x - 1) = e^0 - 1 = 0 \\
		&\lim_{x \to 0+} (x^2) = 0^2  = 0
	\end{align*}
	
	\hint
	Da de to grænser begge går mod nul må vi  anvende L'Hopitals regel. 
	
	\hint
	L'Hopitals regel er givet ved
	\[
	\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 
	\]
	hvor $a$ er en konstant.
	
	\hint
	Sæt $f(x) = e^x - 1$ og $g(x) = x^2$. 
	
	\hint
	Bestem $f'(x)$ og $g'(x)$
	\begin{align*}
		f'(x) &= e^x \\
		g'(x) &= 2x
	\end{align*}
	
	\hint
	Indsæt i udtryk 
	\[
	\lim_{x \to 0+} \frac{e^x}{2x} 
	\]
	
	\hint
	Indsæt grænseværdi i udtryk
	\[
	\lim_{x \to 0+} \frac{e^0}{2 \cdot 0}  = \left[ \frac{1}{0}  \right] 
	\]
	
	\hint
	Altså ender vi i en situation, hvor noget endeligt $(1)$ deles med noget, der går mod nul. Bemærk at $x^2$ altid er større eller lig med nul. Derfor går hele værdien mod uendelig, dvs
 	\[
	\lim_{x \to 0+} \frac{e^x-1}{x^2} = \infty
	\]
\end{exercise}

\begin{exercise}{LHopital 4}
	Bestem grænseværdien.
	\[
	\lim_{x \to 0+} \frac{x - \sin(x)}{x^3}
	\] 
	\\
	Er svaret $\infty$ skrives der \emph{uendelig} i svarboksen.
	
	\answerbox{\frac{1}{6}}
	
	\hint
	Først undersøges det om vi må anvende L'Hopital.
	
	\hint
	Grænserne af tælleren og nævneren bestemmes.
	\begin{align*}
		&\lim_{x \to 0+} (x - \sin(x)) = 0 - \sin(0) =  0 \\
		&\lim_{x \to 0+} (x^3) = 0^3 = 0
	\end{align*}
	
	\hint
	Da de to grænser begge går mod nul må vi  anvende L'Hopitals regel. 
	
	\hint
	L'Hopitals regel er givet ved
	\[
	\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 
	\]
	hvor $a$ er en konstant.
	
	\hint
	Sæt $f(x) = x - \sin(x)$ og $g(x) = x^3$. 
	
	\hint
	Bestem $f'(x)$ og $g'(x)$
	\begin{align*}
		f'(x) &= 1 - \cos(x) \\
		g'(x) &= 3x^2
	\end{align*}
	
	\hint
	Indsæt i udtryk
	\[
	\lim_{x \to 0+} \frac{1 - \cos(x)}{3x^2} 
	\]
	
	\hint
	Grænser af tæller og nævner bestemmes igen
	\begin{align*}
		&\lim_{x \to 0+} (1 - \cos(x)) = 1 - \cos(0) =  0 \\
		&\lim_{x \to 0+} (3x^2) = 3 \cdot 0^2 = 0
	\end{align*}
	
	\hint
	Da de to grænser begge går mod nul må vi  anvende L'Hopitals regel. 
	
	\hint
	Sæt $f(x) = 1 - \cos(x)$ og $g(x) = 3x^2$. 
	
	\hint
	Bestem $f'(x)$ og $g'(x)$
	\begin{align*}
		f'(x) &=  \sin(x) \\
		g'(x) &= 6x
	\end{align*}
	
	\hint
	Indsæt i udtryk
	\[
	\lim_{x \to 0+} \frac{\sin(x)}{6x} 
	\]
	
	\hint
	Grænser af tæller og nævner bestemmes igen
	\begin{align*}
		&\lim_{x \to 0+} (\sin(x)) = \sin(0) =  0 \\
		&\lim_{x \to 0+} (6x) = 6 \cdot 0 = 0
	\end{align*}
	
	\hint
	Da de to grænser begge går mod nul må vi  anvende L'Hopitals regel. 
	
	\hint
	Sæt $f(x) = \sin(x)$ og $g(x) = 6x$. 
	
	\hint
	Bestem $f'(x)$ og $g'(x)$
	\begin{align*}
		f'(x) &=  \cos(x) \\
		g'(x) &= 6
	\end{align*}
	
	\hint
	Indsæt i udtryk
	\[
	\lim_{x \to 0+} \frac{\cos(x)}{6} 
	\]
	
	\hint
	Indsæt grænseværdi i udtryk
	\[
	\lim_{x \to 0+} \frac{\cos(0)}{6}  = \left[ \frac{1}{6}  \right] 
	\]
	Altså går udtrykket mod $\frac{1}{6}$, når $x$ går mod $0+$. 
	
\end{exercise}

\begin{exercise}{LHopital 5}
	Bestem grænseværdien.
	\[
	\lim_{x \to \pi} \frac{\sin(x)}{x - \pi}
	\] 
	\\
	Er svaret $\infty$ skrives der \emph{uendelig} i svarboksen.
	
	\answerbox{-1}
	
	\hint
	Først undersøges det om vi må anvende L'Hopital.
	
	\hint
	Grænserne af tælleren og nævneren bestemmes.
	\begin{align*}
		&\lim_{x \to \pi} (\sin(x)) = \sin(\pi) = 0 \\
		&\lim_{x \to \pi} (x - \pi) = (\pi - \pi) = 0
	\end{align*}
	
	\hint
	Da de to grænser begge går mod nul må vi  anvende L'Hopitals regel. 
	
	\hint
	L'Hopitals regel er givet ved
	\[
	\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 
	\]
	hvor $a$  er en konstant.
	
	\hint
	Sæt $f(x) = \sin(x)$ og $g(x) = x - \pi$. 
	
	\hint
	Bestem $f'(x)$ og $g'(x)$
	\begin{align*}
		f'(x) &= \cos(x) \\
		g'(x) &= 1
	\end{align*}
	
	\hint
	Indsæt i udtryk
	\[
	\lim_{x \to \pi} \frac{\cos(x)}{1}  = \lim_{x \to \pi} \cos(x)
	\]
	
	\hint
	Indsæt grænseværdi i udtryk
	\[
	\lim_{x \to \pi} \cos(\pi) = -1
	\]
	Altså går udtrykket mod $-1$, når $x$ går mod $\pi$. 
	
\end{exercise}

\begin{exercise}{LHopital 6}
	Bestem grænseværdien.
	\[
	\lim_{x \to 0+} \frac{e^x - e^{-x}}{x^2}
	\] 
	\\
	Er svaret $\infty$ skrives der \emph{uendelig} i svarboksen.
	
	\answerbox{uendelig}
	
	\hint
	Først undersøges det om vi må anvende L'Hopital.
	
	\hint
	Grænserne af tælleren og nævneren bestemmes.
	\begin{align*}
		&\lim_{x \to 0+} (e^x - e^{-x}) = e^0 - e^0 = 0 \\
		&\lim_{x \to 0+} (x^2)  = 0^2  = 0
	\end{align*}
	
	\hint
	Da de to grænser begge går mod nul må vi  anvende L'Hopitals regel. 
	
	\hint
	L'Hopitals regel er givet ved
	\[
	\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 
	\]
	hvor $a$  er en konstant.
	
	\hint
	Sæt $f(x) = e^x - e^{-x} $ og $g(x) = x^2$. 
	
	\hint
	Bestem $f'(x)$ og $g'(x)$
	\begin{align*}
		f'(x) &= e^x - \left(- e^{-x} \right) = e^x + e^{-x} \\
		g'(x) &= 2x
	\end{align*}
	
	\hint
	Indsæt i udtryk. 
	\[
	\lim_{x \to 0+} \frac{e^x + e^{-x}}{2x} 
	\]
	
	\hint
	Indsæt grænseværdi i udtryk
	\[
	\lim_{x \to 0+} \frac{e^0 + e^0}{2 \cdot 0}  = \left[ \frac{2}{0}  \right] 
	\]
	
	\hint 
	Altså ender vi i en situation, hvor noget endeligt $(2)$ deles med noget, der går mod nul. Bemærk at $x^2$ altid er større eller lig med nul. Derfor går hele værdien mod uendelig, dvs
	\[
	\lim_{x \to 0+} \frac{e^x - e^{-x}}{x^2} = \infty
	\]
	
\end{exercise}

\begin{exercise}{LHopital 7}
	Bestem grænseværdien.
	\[
	\lim_{x \to 0+} \frac{e^{2x} - 1}{\sin(x)}
	\] 
	\\
	Er svaret $\infty$ skrives der \emph{uendelig} i svarboksen.
	
	\answerbox{2}
	
	\hint
	Først undersøges det om vi må anvende L'Hopital.
	
	\hint
	Grænserne af tælleren og nævneren bestemmes.
	\begin{align*}
		&\lim_{x \to 0+} (e^{2x} - 1) = e^{0} - 1 = 0 \\
		&\lim_{x \to 0+} (\sin(x)) = \sin(0) = 0
	\end{align*}
	
	\hint
	Da de to grænser begge går mod nul må vi  anvende L'Hopitals regel. 
	
	\hint
	L'Hopitals regel er givet ved
	\[
	\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 
	\]
	hvor $a$  er en konstant.
	
	\hint
	Sæt $f(x) = e^{2x} - 1 $ og $g(x) = \sin(x)$. 
	
	\hint
	Bestem $f'(x)$ og $g'(x)$
	\begin{align*}
		f'(x) &= 2 e^{2x} \\
		g'(x) &= \cos(x)
	\end{align*}
	
	\hint
	Indsæt i udtryk.
	\[
	\lim_{x \to 0+} \frac{2 e^{2x}}{\cos(x)} 
	\]
	
	\hint
	Indsæt grænseværdi i udtryk
	\[
	\lim_{x \to 0+} \frac{2 e^{0}}{\cos(0)}  =  \frac{2}{1} = 2 
	\]
	Altså går udtrykket mod $2$, når $x$ går mod $0+$. 
	
\end{exercise}

\begin{exercise}{LHopital 8}
	Bestem grænseværdien.
	\[
	\lim_{x \to 2} \frac{4 - x^2}{\ln(x - 1)}
	\] 
	\\
	Er svaret $\infty$ skrives der \emph{uendelig} i svarboksen.
	
	\answerbox{-4}
	
	\hint
	Først undersøges det om vi må anvende L'Hopital.
	
	\hint
	Grænserne af tælleren og nævneren bestemmes.
	\begin{align*}
		&\lim_{x \to 2} (4 - x^2) = 4 - 2^2 = 0 \\
		&\lim_{x \to 2} \ln(x - 1) = \ln(2 - 1) = 0
	\end{align*}
	
	\hint
	Da de to grænser begge går mod nul må vi  anvende L'Hopitals regel. 
	
	\hint
	L'Hopitals regel er givet ved
	\[
	\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 
	\]
	hvor $a$  er en konstant.
	
	\hint
	Sæt $f(x) = 4 - x^2$ og $g(x) = \ln(x-1)$. 
	
	\hint
	Bestem $f'(x)$ og $g'(x)$
	\begin{align*}
		f'(x) &= -2 x \\
		g'(x) &= \frac{1}{x-1}
	\end{align*}
	
	\hint
	Indsæt i udtryk og reducer. 
	\[
	\lim_{x \to 2} \frac{-2x}{\frac{1}{x-1}} = \lim_{x \to 2} \frac{-2x \cdot (x-1)}{1} = \lim_{x \to 2} -2x^2 + 2x
	\]
	
	\hint
	Indsæt grænseværdi i udtryk
	\[
	\lim_{x \to 2} -2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 = -8 + 4 = -4
	\]
	Altså går udtrykket mod $-4$, når $x$ går mod $2$. 
	
\end{exercise}

\begin{exercise}{LHopital 9}
	Bestem grænseværdien.
	\[
	\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}
	\] 
	\\
	Er svaret $\infty$ skrives der \emph{uendelig} i svarboksen.
	
	\answerbox{0}
	
	\hint
	Først undersøges det om vi må anvende L'Hopital.
	
	\hint
	Grænserne af tælleren og nævneren bestemmes.
	\begin{align*}
		&\lim_{x \to \infty} (x^2) = \infty ^2 = \infty \\
		&\lim_{x \to \infty} (e^x) = e^\infty = \infty
	\end{align*}
	
	\hint
	Da de to grænser begge går mod $\infty$ må vi  anvende L'Hopitals regel. 
	
	\hint
	L'Hopitals regel er givet ved
	\[
	\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 
	\]
	hvor $a$  er en konstant.
	
	\hint
	Sæt $f(x) = x^2$ og $g(x) = e^x$. 
	
	\hint
	Bestem $f'(x)$ og $g'(x)$
	\begin{align*}
		f'(x) &= 2x \\
		g'(x) &= e^x
	\end{align*}
	
	\hint
	Indsæt i udtryk.
	\[
	\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}.
	\]
	
	\hint
	Grænserne af tælleren og nævneren bestemmes.
	\begin{align*}
		&\lim_{x \to \infty} (2x) = 2 \cdot \infty  = \infty \\
		&\lim_{x \to \infty} (e^x) = e^\infty = \infty
	\end{align*}
	
	\hint
	Da de to grænser begge går mod $\infty$ må vi  anvende L'Hopitals regel. 
	
		\hint
	Sæt $f(x) = 2x$ og $g(x) = e^x$. 
	
	\hint
	Bestem $f'(x)$ og $g'(x)$
	\begin{align*}
		f'(x) &= 2 \\
		g'(x) &= e^x
	\end{align*}
	
	\hint
	Indsæt i udtryk.
	\[
	\lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x}.
	\]
	
	
	\hint
	Indsæt grænseværdi i udtryk
	\[
	\lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^\infty}  = \left[ \frac{2}{\infty}  \right] 
	\]
	
	\hint
	Altså ender vi i en situation, hvor noget endeligt (2) deles med uendelig. Dette medfører at værdien går mod nul, når $x$ går mod $\infty$, dvs.
	\[
	\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = 0
	\]
	
\end{exercise}

\begin{exercise}{LHopital 10}
	Bestem grænseværdien.
	\[
	\lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{x^2-1}
	\] 
	\\
	Er svaret $\infty$ skrives der \emph{uendelig} i svarboksen.
	
	\answerbox{0}
	
	\hint
	Først undersøges det om vi må anvende L'Hopital.
	
	\hint
	Grænserne af tælleren og nævneren bestemmes.
	\begin{align*}
		&\lim_{x \to \infty} (\ln(x)) = \ln(\infty) = \infty \\
		&\lim_{x \to \infty} (x^2 - 1) = \infty^2 - 1 = \infty
	\end{align*}
	
	\hint
	Da de to grænser begge går mod uendelig må vi  anvende L'Hopitals regel. 
	
	\hint
	L'Hopitals regel er givet ved
	\[
	\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 
	\]
	hvor $a$  er en konstant.
	
	\hint
	Sæt $f(x) = \ln(x)$ og $g(x) = x^2-1$. 
	
	\hint
	Bestem $f'(x)$ og $g'(x)$
	\begin{align*}
		f'(x) &= \frac{1}{x} \\
		g'(x) &= 2x
	\end{align*}
	
	\hint
	Indsæt i udtryk og reducer. 
	\[
	\lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x^2} 
	\]
	
	\hint
	Indsæt grænseværdi i udtryk
	\[
	\lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \cdot \infty^2}  = \left[ \frac{1}{\infty}  \right] 
	\]
	
	\hint
	Altså ender vi i en situation, hvor noget endeligt (1) deles med uendelig. Dette medfører at værdien går mod nul, når $x$ går mod $\infty$, dvs.
	\[
	\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x^2 - 1} = 0
	\]

	
\end{exercise}

\begin{exercise}{LHopital 11}
	Bestem grænseværdien.
	\[
	\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)}
	\] 
	\\
	Er svaret $\infty$ skrives der \emph{uendelig} i svarboksen.
	
	\answerbox{uendelig}
	
	\hint
	Først undersøges det om vi må anvende L'Hopital.
	
	\hint
	Grænserne af tælleren og nævneren bestemmes.
	\begin{align*}
		&\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x}) = \sqrt{\infty} = \infty \\
		&\lim_{x \to \infty} (\ln(x)) = \ln(\infty) = \infty
	\end{align*}
	
	\hint
	Da de to grænser begge går mod uendelig må vi  anvende L'Hopitals regel. 
	
	\hint
	L'Hopitals regel er givet ved
	\[
	\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 
	\]
	hvor $a$  er en konstant.
	
	\hint
	Sæt $f(x) = \sqrt{x}$ og $g(x) = \ln(x)$. 
	
	\hint
	Bestem $f'(x)$ og $g'(x)$
	\begin{align*}
		f'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \\
		g'(x) &= \frac{1}{x}
	\end{align*}
	
	\hint
	Indsæt i udtryk og reducer. 
	\[
	\lim_{x \to \infty} \frac{ \frac{1}{2 \sqrt{x}} }{ \frac{1}{x} } = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 \sqrt{x}} = 	\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2}
	\]
	
	\hint
	Indsæt grænseværdi i udtryk
	\[
	\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\infty}}{2}  = \left[ \frac{\infty}{2}  \right] 
	\]
	
	\hint
	Altså ender vi i en situation, hvor uendelig deles med noget endeligt (2). Dette medfører at værdien går mod uendelig, når $x$ går mod $\infty$, dvs.
	\[
	\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)} = \infty
	\]
	
\end{exercise}

\begin{exercise}{LHopital 12}
	Bestem grænseværdien.
	\[
	\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2}{x^3 - 3}
	\] 
	\\
	Er svaret $\infty$ skrives der \emph{uendelig} i svarboksen.
	
	\answerbox{0}
	
	\hint
	Først undersøges det om vi må anvende L'Hopital.
	
	\hint
	Grænserne af tælleren og nævneren bestemmes.
	\begin{align*}
		&\lim_{x \to \infty} (x^2 + 2) = \infty ^2 + 2 = \infty \\
		&\lim_{x \to \infty} (x^3 - 3) = \infty ^3 - 3 = \infty
	\end{align*}
	
	\hint
	Da de to grænser begge går mod uendelig må vi  anvende L'Hopitals regel. 
	
	\hint
	L'Hopitals regel er givet ved
	\[
	\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} 
	\]
	hvor $a$  er en konstant.
	
	\hint
	Sæt $f(x) = x^2 + 2$ og $g(x) = x^3 - 3$. 
	
	\hint
	Bestem $f'(x)$ og $g'(x)$
	\begin{align*}
		f'(x) &= 2x \\
		g'(x) &= 3x^2
	\end{align*}
	
	\hint
	Indsæt i udtryk.
	\[
	\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{3x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{3x} 
	\]
	
	\hint
	Indsæt grænseværdi i udtryk
	\[
	\lim_{x \to \infty} \frac{2}{3 \cdot \infty}  = \left[ \frac{2}{\infty}  \right] 
	\]
	
	\hint
	Altså ender vi i en situation, hvor noget endeligt (2) deles med uendelig. Dette medfører at værdien går mod nul, når $x$ går mod $\infty$, dvs.
	\[
	\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2}{x^3 - 3} = 0
	\]
	
\end{exercise}

\end{document}

{'fraction_non_alphanumeric': 0.20883845924156463, 'fraction_numerical': 0.023111376530307554, 'mean_word_length': 2.5099559840704253, 'pattern_counts': {'":': 0, '<': 3, '<?xml version=': 0, '>': 3, 'https://': 0, 'lorem ipsum': 0, 'www.': 0, 'xml': 0}, 'pii_count': 0, 'substrings_counts': 0, 'word_list_counts': {'cursed_substrings.json': 0, 'profanity_word_list.json': 0, 'sexual_word_list.json': 0, 'zh_pornsignals.json': 0}}
{'dir': 'git-commits-cleaned', 'id': '7566321', 'n_tokens_mistral': 9037, 'n_tokens_neox': 8284, 'n_words': 2145}