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\section*{Zielsetzung}
In dem Versuch V27 soll der \emph{Zeeman-Effekt} experiementell beobachtet werden.
Hierzu wird die Aufspaltung der Energieniveaus einer Cadmium Spektrallampe
unter Einwirkung eines äußeren Magnetfeldes untersucht.

\section{Theorie}

\subsection{Magnetisches Moment und Energieaufspaltung}
\subsubsection{Magnetische Momente}
Aus der Quantenmechanik geht hervor das Elektronen neben ihrem Drehimpuls $\vec{l}$ auch einen
Eigendrehimpuls oder auch Spin gennant $\vec{s}$ besitzen. Charakterisiert werden diese beiden Größen durch die
Quantenzahlen $l$ und $s$ mit den aus den Eigenwertgleichung resultierenden Werten:
\begin{align*}
\be{\vec{l}}&=\sqrt{l(l+1)}\hbar & l&=0,1,2,\dots,n-1\\
\be{\vec{s}}&=\sqrt{s(s+1)}\hbar & s&=\frac{1}{2}.
\end{align*}
Auf Grund der Ladung des Elektrons $\map{e}_0$ entstehen magnetische Momente.
Die aus der Theorie resultierenden Momente sind proptotional zum Bohrschen Magneton $\map{\mu}_B$, welches durch
\begin{equation}
  \label{eq:bohrsche_magneton}
  \map{\mu_B}:=-\frac{1}{2}\map{e}\ua{0} \frac{\hbar}{\map{m}\ua{0}}
\end{equation}
definiert ist. Die in Gleichung \eqref{eq:bohrsche_magneton} auftretende Größe $\map{m}_0$ ist die Elektronenmasse.
Für die magnetischen Momente ergibt sich:
\begin{align}
  \vec{\mu}\ua{l}&=-\map{\mu_B}\frac{\vec{l}}{\hbar}=-\map{\mu_B}\sqrt{l(l+1)}\vec{e}\ua{\vec{l}} \\
  \vec{\mu}\ua{s}&=-\map{g_S}\map{\mu_B}\frac{\vec{s}}{\hbar}=-\map{g_S}\map{\mu_B}\sqrt{s(s+1)}\vec{e}\ua{\vec{s}}
\end{align}
Mit $\map{g_S}$ wird der Landé-Faktor des Elektrons bezeichnet und hat den Wert $\map{g_S}\approx 2$.
Es fällt auf, dass das magnetische Spinmoment $\vec{\mu}\ua{s}$ des Elektrons in etwa doppelt
so groß ist wie das magentische Bahnmoment $\vec{\mu}\ua{l}$.

\subsubsection{Wechselwirkung Magnetischer Momente}

Bei dem Übergang zu Mehrelektronatomen müssen die Wechselwirkungen der Momente und Drehimpulse untereinander und
deren der einzelnen Elektronen untereinander unterschieden werden. Die Wechselwirkungen hängen im wesentlichen
von der Kernladungszahl $Z$ ab.
Bei Atomen mit einer niedrigen Kernladungszahl ist die Wechselwirkung der Bahndrehimpulse $\vec{l}_i$ so groß das diese zu einem
Geasamtdrehimpuls $\vec{L}$ zusammengefasst werden können. Dieser wird definiert durch
\begin{equation*}
  \vec{L}=\sum_{i=1}^{Z} \vec{l}_i \qquad \be{\vec{L}}=\sqrt{L(L+1)}\hbar
\end{equation*}




\subsection{Auswahlregel und Polarisation}<commit_msg>first draft WW magnetische Momente<commit_after>\setcounter{page}{1}
\section*{Zielsetzung}
In dem Versuch V27 soll der \emph{Zeeman-Effekt} experiementell beobachtet werden.
Hierzu wird die Aufspaltung der Energieniveaus einer Cadmium Spektrallampe
unter Einwirkung eines äußeren Magnetfeldes untersucht.

\section{Theorie}

\subsection{Magnetisches Moment und Energieaufspaltung}
\subsubsection{Magnetische Momente}
Aus der Quantenmechanik geht hervor das Elektronen neben ihrem Drehimpuls $\vec{l}$ auch einen
Eigendrehimpuls oder auch Spin gennant $\vec{s}$ besitzen. Charakterisiert werden diese beiden Größen durch die
Quantenzahlen $l$ und $s$ mit den aus den Eigenwertgleichung resultierenden Werten:
\begin{align*}
\be{\vec{l}}&=\sqrt{l(l+1)}\hbar & l&=0,1,2,\dots,n-1\\
\be{\vec{s}}&=\sqrt{s(s+1)}\hbar & s&=\frac{1}{2}.
\end{align*}
Auf Grund der Ladung des Elektrons $\map{e}_0$ entstehen magnetische Momente.
Die aus der Theorie resultierenden Momente sind proptotional zum Bohrschen Magneton $\map{\mu}_B$, welches durch
\begin{equation}
  \label{eq:bohrsche_magneton}
  \map{\mu_B}:=-\frac{1}{2}\map{e}\ua{0} \frac{\hbar}{\map{m}\ua{0}}
\end{equation}
definiert ist. Die in Gleichung \eqref{eq:bohrsche_magneton} auftretende Größe $\map{m}_0$ ist die Elektronenmasse.
Für die magnetischen Momente ergibt sich:
\begin{align*}
  \vec{\mu}\ua{l}&=-\map{\mu_B}\frac{\vec{l}}{\hbar}=-\map{\mu_B}\sqrt{l(l+1)}\vec{e}\ua{\vec{l}} \\
  \vec{\mu}\ua{s}&=-\map{g_S}\map{\mu_B}\frac{\vec{s}}{\hbar}=-\map{g_S}\map{\mu_B}\sqrt{s(s+1)}\vec{e}\ua{\vec{s}}
\end{align*}
Mit $\map{g_S}$ wird der Landé-Faktor des Elektrons bezeichnet und hat den Wert $\map{g_S}\approx 2$.
Es fällt auf, dass das magnetische Spinmoment $\vec{\mu}\ua{s}$ des Elektrons in etwa doppelt
so groß ist wie das magentische Bahnmoment $\vec{\mu}\ua{l}$.

\subsubsection{Wechselwirkung Magnetischer Momente}

Bei dem Übergang zu Mehrelektronatomen müssen die Wechselwirkungen der Momente und Drehimpulse untereinander und
deren der einzelnen Elektronen untereinander unterschieden werden. Die Wechselwirkungen hängen im wesentlichen
von der Kernladungszahl $Z$ ab.
Bei Atomen mit einer niedrigen Kernladungszahl ist die Wechselwirkung der Bahndrehimpulse $\vec{l}_i$ so groß das diese zu einem
Geasamtbahndrehimpuls $\vec{L}$ zusammengefasst werden können. Dieser wird definiert durch
\begin{equation*}
  \vec{L}=\sum_{i=1}^{Z} \vec{l}_i \qquad \be{\vec{L}}=\sqrt{L(L+1)}\hbar.
\end{equation*}
Genauso gilt für den Gesamtspin
\begin{equation*}
  \vec{S}=\sum_{i=1}^{Z} \vec{s}_i \qquad \be{\vec{S}}=\sqrt{S(S+1)}\hbar.
\end{equation*}
Da der einzelne Spin $\vec{s}_i$ halbzahlig ist, kann auch $\vec{S}$ halbzahlige Werte annehmen.
Die jeweiligen Impulsen legen wiederum auch ein magnetische Momente fest:
\begin{align*}
  \be{\vec{\mu}\ua{L}}&=\map{\mu_B}\frac{\vec{L}}\\
  \be{\vec{\mu}\ua{S}}&=\map{g_S}\map{\mu_B}\frac{\vec{s}}.
\end{align*}

Unter der Prämisse, dass sich die Atome in keinen großen Magnetfeld befinden ist es möglich einen Gesamtdrehimpuls $\vec{J}$ zu
definieren
\begin{align*}
  \vec{J}&=\vec{L}+\vec{S}\\
\shortintertext{mit}
\be{\vec{J}}&=\sqrt{J(J+1)}\hbar.
\end{align*}
In diesem Fall wird von \emph{LS-Kopplung} gesprochen.
Neben der LS-Kopplung gibt es noch die \emph{jj-Kopplung}, diese wird bei Atomen mit hoher Kernladungszahlen beobachtet.
Bei der jj-Kopplung ist die Wechselwirkung zwischen Spin und Bahndrehimpuls des Elektrons groß gegenüber der Wechselwirkung der $\vec{l}_i$ und
$\vec{s}_i$. Auf Grund dessen wird die Größe
\begin{equation*}
  \vec{j}_i=  \vec{l}_i+  \vec{s}_i
\end{equation*}
eingeführt, somit sind $\vec{L}$ und $\vec{S}$ nicht mehr definiert.
Stattdessen exestiert
\begin{equation*}
  \vec{J}=\sum_{i=1}^{Z} \vec{j}_i
\end{equation*}
der Gesamtdrehimpuls der Hülle.
Zwischen der LS-Kopplung und der jj-Kopplung gibt es einen kontinuirlichen Übergang. 






\subsection{Auswahlregel und Polarisation}
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