<commit_before>\documentclass{article}
\usepackage{tekvideoexercises}

\begin{document}
\tableofcontents

\begin{exercise}{Opsplitning i partialbrøker 1-1}

Opdel udtrykket herunder i partialbrøker
\[
I = \frac{3 + x}{(x + 1) \cdot (x + 2)}
\]

$I$ = \answerbox{\frac{2}{1 + x} - \frac{1}{2+x}} \\

\hint
Udtrykket kan opdeles i partialbrøker med de ukendte konstanter $A$ og $B$.
\[
\frac{3 + x}{(x + 1) \cdot (x + 2)} = 
\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}
\]

\hint
Nu skal de ubekendte bestemmes.

\hint
Gang igennem med den fælles nævner.

\hint
\[
3 + x = A \cdot (x + 2) + B \cdot (x + 1)
\]

\hint
Opstil en ligning ud fra de konstante led i udtrykket.

\hint
\[
3 = 2A+B
\]

\hint
Opstil en ligning ud fra leddene med $x$ i udtrykket.

\hint
\[
1 = A + B
\]

\hint
Løs de to ligninger med de to ubekendte.

\hint
Træk de to ligninger fra hinanden og $A$ er bestemt.
\[
2 = A
\]

\hint
Bestem $B$ ved at indsætte værdien af $A$.
\[
1 = 2 + B \qquad B = -1
\]

\hint
Indsæt konstanterne i partialbrøkopsplitningen.
\[
I = \frac{2}{1 + x} - \frac{1}{2+x}
\]



\end{exercise}



\end{document}<commit_msg>Opgaver med partialbrøker<commit_after>\documentclass{article}
\usepackage{tekvideoexercises}

\begin{document}
\tableofcontents

\begin{exercise}{Opsplitning i partialbrøker 1-1}

Opdel udtrykket herunder i partialbrøker
\[
I = \frac{3 + x}{(x + 1) \cdot (x + 2)}
\]

$I$ = \answerbox{\frac{2}{1 + x} - \frac{1}{2+x}} \\

\hint
Udtrykket kan opdeles i partialbrøker med de ukendte konstanter $A$ og $B$.
\[
\frac{3 + x}{(x + 1) \cdot (x + 2)} = 
\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2}
\]

\hint
Nu skal de ubekendte bestemmes.

\hint
Gang igennem med den fælles nævner.

\hint
\[
3 + x = A \cdot (x + 2) + B \cdot (x + 1)
\]

\hint
Opstil en ligning ud fra de konstante led i udtrykket.

\hint
\[
3 = 2A+B
\]

\hint
Opstil en ligning ud fra leddene med $x$ i udtrykket.

\hint
\[
1 = A + B
\]

\hint
Løs de to ligninger med de to ubekendte.

\hint
Træk de to ligninger fra hinanden og $A$ er bestemt.
\[
2 = A
\]

\hint
Bestem $B$ ved at indsætte værdien af $A$.
\[
1 = 2 + B \qquad B = -1
\]

\hint
Indsæt konstanterne i partialbrøkopsplitningen.
\[
I = \frac{2}{1 + x} - \frac{1}{2+x}
\]



\end{exercise}

\begin{exercise}{Opsplitning i partialbrøker 1-2}
	
	Opdel udtrykket herunder i partialbrøker
	\[
	I = \frac{5 + 2x}{(x - 1) \cdot (x + 3)}
	\]
	
	$I$ = \answerbox{\frac{7}{4(x-1)} + \frac{1}{4(x+3)}} \\
	
	\hint
	Udtrykket kan opdeles i partialbrøker med de ukendte konstanter $A$ og $B$.
	\[
	\frac{5 + 2x}{(x - 1) \cdot (x + 3)} = 
	\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}
	\]
	
	\hint
	Nu skal de ubekendte bestemmes.
	
	\hint
	Gang igennem med den fælles nævner.
	
	\hint
	\[
	5 + 2x = A \cdot (x + 3) + B \cdot (x - 1)
	\]
	
	\hint
	Opstil en ligning ud fra de konstante led i udtrykket.
	
	\hint
	\[
	5 = 3A - B
	\]
	
	\hint
	Opstil en ligning ud fra leddene med $x$ i udtrykket.
	
	\hint
	\[
	2 = A + B
	\]
	
	\hint
	Løs de to ligninger med de to ubekendte.
	
	\hint
	Læg de to ligninger sammen med hinanden og bestem $A$.
	\[
	7 = 4A \quad	\Rightarrow		\quad		A = \frac{7}{4}
	\]
	
	\hint
	Bestem $B$ ved at indsætte værdien af $A$.
	\[
	2 =  \frac{7}{4} + B \quad 	\Rightarrow		\quad B = -\frac{1}{4}
	\]
	
	\hint
	Indsæt konstanterne i partialbrøkopsplitningen.
	\[
	I = \frac{7}{4(x-1)} + \frac{1}{4(x+3)}
	\]
	
	
	
\end{exercise}

\begin{exercise}{Opsplitning i partialbrøker 1-3}
	
	Opdel udtrykket herunder i partialbrøker
	\[
	I = \frac{6 - 2x}{(x + 5) \cdot (x + 2)}
	\]
	
	$I$ = \answerbox{\frac{10}{3(x+2)} - \frac{16}{3(x+5)}} \\
	
	\hint
	Udtrykket kan opdeles i partialbrøker med de ukendte konstanter $A$ og $B$.
	\[
	\frac{6 - 2x}{(x + 5) \cdot (x + 2)} = 
	\frac{A}{x + 5} + \frac{B}{x + 2}
	\]
	
	\hint
	Nu skal de ubekendte bestemmes.
	
	\hint
	Gang igennem med den fælles nævner.
	
	\hint
	\[
	6 - 2x = A \cdot (x + 2) + B \cdot (x + 5)
	\]
	
	\hint
	Opstil en ligning ud fra de konstante led i udtrykket.
	
	\hint
	\[
	6 = 2A +  5B
	\]
	
	\hint
	Opstil en ligning ud fra leddene med $x$ i udtrykket.
	
	\hint
	\[
	-2 = A + B
	\]
	
	\hint
	Løs de to ligninger med de to ubekendte.
	
	\hint
	Træk to gange den anden ligning fra den første ligning og bestem $B$. 
	\[
	10 = 3B \quad	\Rightarrow		\quad		B = \frac{10}{3}
	\]
	
	\hint
	Bestem $A$ ved at indsætte værdien af $B$.
	\[
	-2 =  A + \frac{10}{3} \quad 	\Rightarrow		\quad A = -\frac{16}{3}
	\]
	
	\hint
	Indsæt konstanterne i partialbrøkopsplitningen.
	\[
	I = \frac{10}{3(x+2)} - \frac{16}{3(x+5)}
	\]
	
	
	
\end{exercise}

\begin{exercise}{Opsplitning i partialbrøker 1-4}
	
	Opdel udtrykket herunder i partialbrøker
	\[
	I = \frac{4 - 2x}{(x + 7) \cdot (x - 3)}
	\]
	
	$I$ = \answerbox{\frac{-9}{5(x+7)} + \frac{1}{5(x-3)}} \\
	
	\hint
	Udtrykket kan opdeles i partialbrøker med de ukendte konstanter $A$ og $B$.
	\[
	\frac{4 - 2x}{(x + 7) \cdot (x - 3)} = 
	\frac{A}{x + 7} + \frac{B}{x - 3}
	\]
	
	\hint
	Nu skal de ubekendte bestemmes.
	
	\hint
	Gang igennem med den fælles nævner.
	
	\hint
	\[
	4 - 2x = A \cdot (x - 3) + B \cdot (x + 7)
	\]
	
	\hint
	Opstil en ligning ud fra de konstante led i udtrykket.
	
	\hint
	\[
	4 = -3A + 7B
	\]
	
	\hint
	Opstil en ligning ud fra leddene med $x$ i udtrykket.
	
	\hint
	\[
	-2 = A + B
	\]
	
	\hint
	Løs de to ligninger med de to ubekendte.
	
	\hint
	Læg 3 gange den anden ligning til den første ligning og bestem $B$.
	\[
	-2 = 10B \quad	\Rightarrow		\quad		B = -\frac{1}{5}
	\]
	
	\hint
	Bestem $A$ ved at indsætte værdien af $B$.
	\[
	-2 =  A - \frac{1}{5} \quad 	\Rightarrow		\quad A = -\frac{9}{5}
	\]
	
	\hint
	Indsæt konstanterne i partialbrøkopsplitningen.
	\[
	I = \frac{-9}{5(x+7)} + \frac{1}{5(x-3)}
	\]
	
	
	
\end{exercise}

\begin{exercise}{Opsplitning i partialbrøker 1-5}
	
	Opdel udtrykket herunder i partialbrøker
	\[
	I = \frac{8 + 3x}{(x + 5) \cdot (x - 2)}
	\]
	
	$I$ = \answerbox{\frac{1}{(x+5)} + \frac{2}{(x-2)}} \\
	
	\hint
	Udtrykket kan opdeles i partialbrøker med de ukendte konstanter $A$ og $B$.
	\[
	\frac{8 + 3x}{(x + 5) \cdot (x - 2)} = 
	\frac{A}{x + 5} + \frac{B}{x - 2}
	\]
	
	\hint
	Nu skal de ubekendte bestemmes.
	
	\hint
	Gang igennem med den fælles nævner.
	
	\hint
	\[
	8 + 3x = A \cdot (x - 2) + B \cdot (x + 5)
	\]
	
	\hint
	Opstil en ligning ud fra de konstante led i udtrykket.
	
	\hint
	\[
	8 = -2A + 5B
	\]
	
	\hint
	Opstil en ligning ud fra leddene med $x$ i udtrykket.
	
	\hint
	\[
	3 = A + B
	\]
	
	\hint
	Løs de to ligninger med de to ubekendte.
	
	\hint
	Læg to gange den anden ligning til den første ligning og bestem $B$.
	\[
	14 = 7B \quad	\Rightarrow		\quad		B = 2
	\]
	
	\hint
	Bestem $A$ ved at indsætte værdien af $B$.
	\[
	3 =  A + 2 \quad 	\Rightarrow		\quad A = 1
	\]
	
	\hint
	Indsæt konstanterne i partialbrøkopsplitningen.
	\[
	I = \frac{1}{(x+5)} + \frac{2}{(x-2)}
	\]
	
	
	
\end{exercise}

\begin{exercise}{Opsplitning i partialbrøker 1-6}
	
	Opdel udtrykket herunder i partialbrøker
	\[
	I = \frac{-3 - x}{(x + 2) \cdot (x + 4)}
	\]
	
	$I$ = \answerbox{\frac{-1}{2(x+1)} - \frac{1}{2(x+4)}} \\
	
	\hint
	Udtrykket kan opdeles i partialbrøker med de ukendte konstanter $A$ og $B$.
	\[
	\frac{-3 - x}{(x + 2) \cdot (x + 4)} = 
	\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x + 4}
	\]
	
	\hint
	Nu skal de ubekendte bestemmes.
	
	\hint
	Gang igennem med den fælles nævner.
	
	\hint
	\[
	-3 - x = A \cdot (x + 4) + B \cdot (x + 2)
	\]
	
	\hint
	Opstil en ligning ud fra de konstante led i udtrykket.
	
	\hint
	\[
	-3 = 4A+ 2B
	\]
	
	\hint
	Opstil en ligning ud fra leddene med $x$ i udtrykket.
	
	\hint
	\[
	-1 = A + B
	\]
	
	\hint
	Løs de to ligninger med de to ubekendte.
	
	\hint
	Træk to gange den anden ligning fra den første ligning og bestem $A$.
	\[
	-1 = 2A \quad	\Rightarrow		\quad		A = \frac{-1}{2}
	\]
	
	\hint
	Bestem $B$ ved at indsætte værdien af $A$.
	\[
	-1 =  -\frac{1}{2} + B \quad 	\Rightarrow		\quad B = -\frac{1}{2}
	\]
	
	\hint
	Indsæt konstanterne i partialbrøkopsplitningen.
	\[
	I = \frac{-1}{2(x+1)} - \frac{1}{2(x+4)}
	\]
	
	
	
\end{exercise}

\begin{exercise}{Opsplitning i partialbrøker 1-7}
	
	Opdel udtrykket herunder i partialbrøker
	\[
	I = \frac{6 + x}{(x + 1)^2 \cdot (x + 2)}
	\]
	
	$I$ = \answerbox{\frac{-4}{(x+1)} + \frac{5}{(x+1)^2} + \frac{4}{(x+2)}} \\
	
	\hint
	Udtrykket kan opdeles i partialbrøker med de ukendte konstanter $A$ og $B$.
	\[
	\frac{6 + x}{(x + 1)^2 \cdot (x + 2)} = 
	\frac{A_1}{x + 1} + \frac{A_2}{(x+1)^2} + \frac{B}{x + 2}
	\]
	
	\hint
	Nu skal de ubekendte bestemmes.
	
	\hint
	Gang igennem med den fælles nævner.
	
	\hint
	\[
	6 + x = A_1 \cdot (x + 1)(x+2) + A_2 \cdot (x+2)  + B \cdot (x + 1)^2
	\]
	
	\hint
	Gang parenteserne ud og reducer udtrykket
	
	\hint
	\[
	6 + x = A_1(x^2 + 3x + 2) + A_2(x+2) + B(x^2 + 2x + 1)
	\]
	
	\hint
	Opstil en ligning ud fra de konstante led i udtrykket.
	
	\hint
	\[
	6 = 2A_1 + 2A_2 + B
	\]
	
	\hint
	Opstil en ligning ud fra leddene med $x$ i udtrykket.
	
	\hint
	\[
	1 = 3A_1 + A_2 + 2B
	\]
		
	\hint
	Opstil en ligning ud fra leddene med $x^2$ i udtrykket.
	
	\hint
	\[
	0 = A_1 + B
	\]
	
	\hint
	Løs de 3 ligninger med de 3 ubekendte.
	
	\hint
	Isoler $B$ i den 3. ligning.
	\[
	B  =  -A_1
	\]
	
	\hint
	Indsæt udtrykket for $B$ i den 2. ligning og isoler $A_2$.
	\[
	1 = 3A_1 + A_2 + 2(-A_1) = A_1 + A_2 \quad	\Rightarrow 	\quad A_2 = 1 - A_1
	\]
	
	\hint
	Indsæt udtrykket for $B$ og $A_2$ i den 1. ligning og bestem $A_1$.
	\[
	6 = 2 A_1 + 2(1-A_1) -A_1 = 2 - A_1		\quad 	\Rightarrow 		\quad A_1 = -4
	 \]
	
	\hint
	Bestem $B$ ved at indsætte værdien af $A_1$.
	\[
	B = - (-4) = 4 
	\]
	
	\hint
	Bestem $A_2$ ved at indsætte værdien af $A_1$.
	\[
	A_2 = 1 - (-4) = 5
	\]
	
	\hint
	Indsæt konstanterne i partialbrøkopsplitningen.
	\[
	I = \frac{-4}{(x+1)} + \frac{5}{(x+1)^2} + \frac{4}{(x+2)}
	\]
	
	
	
\end{exercise}

\begin{exercise}{Opsplitning i partialbrøker 1-8}
	
	Opdel udtrykket herunder i partialbrøker
	\[
	I = \frac{x - 1}{(x + 1)^2 \cdot (x + 3)}
	\]
	
	$I$ = \answerbox{\frac{1}{(x+1)} - \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{(x+3)}} \\
	
	\hint
	Udtrykket kan opdeles i partialbrøker med de ukendte konstanter $A$ og $B$.
	\[
	\frac{x - 1}{(x + 1)^2 \cdot (x + 3)} = 
	\frac{A_1}{x + 1} + \frac{A_2}{(x+1)^2} + \frac{B}{x + 3}
	\]
	
	\hint
	Nu skal de ubekendte bestemmes.
	
	\hint
	Gang igennem med den fælles nævner.
	
	\hint
	\[
	x-1 = A_1 \cdot (x + 1)(x+3) + A_2 \cdot (x+3)  + B \cdot (x + 1)^2
	\]
	
	\hint
	Gang parenteserne ud og reducer udtrykket
	
	\hint
	\[
	x - 1 = A_1(x^2 + 4x + 3) + A_2(x+3) + B(x^2 + 2x + 1)
	\]
	
	\hint
	Opstil en ligning ud fra de konstante led i udtrykket.
	
	\hint
	\[
	-1 = 3A_1 + 3A_2 + B
	\]
	
	\hint
	Opstil en ligning ud fra leddene med $x$ i udtrykket.
	
	\hint
	\[
	1 = 4A1 + A_2 + 2B
	\]
	
	\hint
	Opstil en ligning ud fra leddene med $x^2$ i udtrykket.
	
	\hint
	\[
	0 = A_1 + B
	\]
	
	\hint
	Løs de 3 ligninger med de 3 ubekendte.
	
	\hint
	Isoler $A_1$ i den 3. ligning.
	\[
	A_1  =  -B
	\]
	
	\hint
	Indsæt udtrykket for $A_1$ i den 2. ligning og isoler $A_2$.
	\[
	1 = 4(-B) + A_2 + 2B = -2B + A_2 \quad	\Rightarrow 	\quad A_2 = 1 + 2B
	\]
	
	\hint
	Indsæt udtrykket for $A_1$ og $A_2$ i den 1. ligning og bestem $B$.
	\[
	-1= 3(-B) + 3(2B+1) + B = 4B + 3	\quad 	\Rightarrow 		\quad B =  -1
	\]
	
	\hint
	Bestem $A_1$ ved at indsætte værdien af $B$.
	\[
	A_1 = - (-1) = 1 
	\]
	
	\hint
	Bestem $A_2$ ved at indsætte værdien af $B$.
	\[
	A_2 = 1 + 2(-1) = -1
	\]
	
	\hint
	Indsæt konstanterne i partialbrøkopsplitningen.
	\[
	I = \frac{1}{(x+1)} - \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{(x+3)}
	\]
	
	
	
\end{exercise}





\end{document}
{'fraction_non_alphanumeric': 0.1776539231908038, 'fraction_numerical': 0.04014630323086302, 'mean_word_length': 2.2830188679245285, 'pattern_counts': {'":': 0, '<': 3, '<?xml version=': 0, '>': 3, 'https://': 0, 'lorem ipsum': 0, 'www.': 0, 'xml': 0}, 'pii_count': 0, 'substrings_counts': 0, 'word_list_counts': {'cursed_substrings.json': 0, 'profanity_word_list.json': 0, 'sexual_word_list.json': 0, 'zh_pornsignals.json': 0}}
{'dir': 'git-commits-cleaned', 'id': '7201516', 'n_tokens_mistral': 6111, 'n_tokens_neox': 5549, 'n_words': 1528}