<commit_before>{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "(EigValEigVec)="
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# 2.2 Eigenvalores y eigenvectores"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{admonition} Notas para contenedor de docker:\n",
    "\n",
    "Comando de docker para ejecución de la nota de forma local:\n",
    "\n",
    "nota: cambiar `<ruta a mi directorio>` por la ruta de directorio que se desea mapear a `/datos` dentro del contenedor de docker.\n",
    "\n",
    "`docker run --rm -v <ruta a mi directorio>:/datos --name jupyterlab_optimizacion -p 8888:8888 -d palmoreck/jupyterlab_optimizacion:2.1.4`\n",
    "\n",
    "password para jupyterlab: `<PASSWORD>`\n",
    "\n",
    "Detener el contenedor de docker:\n",
    "\n",
    "`docker stop jupyterlab_optimizacion`\n",
    "\n",
    "Documentación de la imagen de docker `palmoreck/jupyterlab_optimizacion:2.1.4` en [liga](https://github.com/palmoreck/dockerfiles/tree/master/jupyterlab/optimizacion).\n",
    "\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "---"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Nota generada a partir de [liga](https://www.dropbox.com/s/s4ch0ww1687pl76/3.2.2.Factorizaciones_matriciales_SVD_Cholesky_QR.pdf?dl=0)."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**En lo que sigue se asume que $A \\in \\mathbb{R}^{n \\times n}$.**"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Definiciones y resultados generales"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Eigenvalor (valor propio o característico)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "El número $\\lambda$ (real o complejo) se denomina *eigenvalor* de A si existe $v \\in \\mathbb{C}^n - \\{0\\}$ tal que $Av = \\lambda v$. El vector $v$ se nombra eigenvector (vector propio o característico) de $A$ correspondiente al eigenvalor $\\lambda$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "```{admonition} Comentarios\n",
    "\n",
    "* Una matriz con componentes reales puede tener eigenvalores y eigenvectores con valores en $\\mathbb{C}$ o $\\mathbb{C}^n$ respectivamente.\n",
    "* Si $Av=\\lambda v$ y $v \\in \\mathbb{C}^n-\\{0\\}$ entonces la matriz $A-\\lambda I_n$ es singular por lo que su determinante es cero.\n",
    "* El conjunto de eigenvalores se le llama **espectro de una matriz** y se denota como:\n",
    "\n",
    "$$\\lambda(A) = \\{ \\lambda | \\det(A-\\lambda I_n) = 0\\}.$$\n",
    "\n",
    "* El polinomio \n",
    "\n",
    "$$p(z) = \\det(A-zI_n) = (-1)^nz^n + a_{n-1}z^{n-1}+ \\dots + a_1z + a_0$$\n",
    "\n",
    "se le nombra **polinomio característico asociado a $A$** y sus raíces o ceros son los eigenvalores de $A$.\n",
    "\n",
    "* La multiplicación de $A$ por un eigenvector es un reescalamiento y posible cambio de dirección del eigenvector.\n",
    "* Si consideramos que nuestros espacios vectoriales sobre los que trabajamos son $\\mathbb{C}$ o $\\mathbb{C}^n$ entonces siempre podemos asegurar que $A$ tiene un eigenvalor con eigenvector asociado.\n",
    "* $A$ tiene $n$ eigenvalores y pueden o no repetirse.\n",
    "* Se puede probar que $\\det(A) = \\displaystyle \\prod_{i=1}^n \\lambda_i y  $tr(A) = \\displaystyle \\sum_{i=1}^n \\lambda_i$.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Ejemplo"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,<commit_msg>missing dollar symbol latex<commit_after>{
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    "# 2.2 Eigenvalores y eigenvectores"
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    "nota: cambiar `<ruta a mi directorio>` por la ruta de directorio que se desea mapear a `/datos` dentro del contenedor de docker.\n",
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    "`docker run --rm -v <ruta a mi directorio>:/datos --name jupyterlab_optimizacion -p 8888:8888 -d palmoreck/jupyterlab_optimizacion:2.1.4`\n",
    "\n",
    "password para jupyterlab: `<PASSWORD>`\n",
    "\n",
    "Detener el contenedor de docker:\n",
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    "\n",
    "Documentación de la imagen de docker `palmoreck/jupyterlab_optimizacion:2.1.4` en [liga](https://github.com/palmoreck/dockerfiles/tree/master/jupyterlab/optimizacion).\n",
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    "* Si $Av=\\lambda v$ y $v \\in \\mathbb{C}^n-\\{0\\}$ entonces la matriz $A-\\lambda I_n$ es singular por lo que su determinante es cero.\n",
    "* El conjunto de eigenvalores se le llama **espectro de una matriz** y se denota como:\n",
    "\n",
    "$$\\lambda(A) = \\{ \\lambda | \\det(A-\\lambda I_n) = 0\\}.$$\n",
    "\n",
    "* El polinomio \n",
    "\n",
    "$$p(z) = \\det(A-zI_n) = (-1)^nz^n + a_{n-1}z^{n-1}+ \\dots + a_1z + a_0$$\n",
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    "* $A$ tiene $n$ eigenvalores y pueden o no repetirse.\n",
    "* Se puede probar que $\\det(A) = \\displaystyle \\prod_{i=1}^n \\lambda_i$ y  $tr(A) = \\displaystyle \\sum_{i=1}^n \\lambda_i$.\n",
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