| 1 | |
| 00:00:20,870 --> 00:00:25,910 | |
| المرة اللي فاتت أو في المحاضرة السابقة عرفنا ال | |
| 2 | |
| 00:00:25,910 --> 00:00:31,410 | |
| cluster point وأخذنا أمثلة كيف نجيب ال cluster | |
| 3 | |
| 00:00:31,410 --> 00:00:39,710 | |
| points لمجموعة معينة ووجدنا عند المثال الثالث | |
| 4 | |
| 00:00:59,030 --> 00:01:05,110 | |
| المثال الثالث show that | |
| 5 | |
| 00:01:05,110 --> 00:01:12,070 | |
| zero is the only cluster | |
| 6 | |
| 00:01:12,070 --> 00:01:18,290 | |
| point of | |
| 7 | |
| 00:01:18,290 --> 00:01:23,570 | |
| the set A | |
| 8 | |
| 00:01:26,690 --> 00:01:31,870 | |
| كل واحد على N حيث N that's a number دكتور هذا | |
| 9 | |
| 00:01:31,870 --> 00:01:37,210 | |
| مثال ثاني أخذناها ده؟ لأ لأ اللي أخذناه اللي هو ال | |
| 10 | |
| 00:01:37,210 --> 00:01:48,030 | |
| .. هناخدها هناخدها هناخدها في .. هنا هنا .. هنا | |
| 11 | |
| 00:01:48,030 --> 00:01:55,250 | |
| هنا اثنين | |
| 12 | |
| 00:01:59,360 --> 00:02:11,580 | |
| أن Zero is a cluster point ثلاثة | |
| 13 | |
| 00:02:11,580 --> 00:02:22,720 | |
| دلتا أكبر من الصفر Be given by Archimedean | |
| 14 | |
| 00:02:22,720 --> 00:02:25,880 | |
| property | |
| 15 | |
| 00:02:30,960 --> 00:02:40,920 | |
| يوجد N تنتمي إلى N بحيث أن واحد على N | |
| 16 | |
| 00:02:40,920 --> 00:02:54,340 | |
| أصغر من دلتا hence | |
| 17 | |
| 00:03:01,430 --> 00:03:09,270 | |
| الدلتا نيبر هو صفر لو | |
| 18 | |
| 00:03:09,270 --> 00:03:25,690 | |
| أخذت xN هو واحد على N فهذا ينتمي إلى | |
| 19 | |
| 00:03:25,690 --> 00:03:39,580 | |
| المجموعة A وانت ليه لا ال delta number هنا ل .. | |
| 20 | |
| 00:03:39,580 --> 00:03:44,040 | |
| أو ال x هذا المفروض دلتا ال delta number هو ده | |
| 21 | |
| 00:03:44,040 --> 00:03:47,860 | |
| اسمه | |
| 22 | |
| 00:03:47,860 --> 00:03:56,940 | |
| أسوأ؟ إذن | |
| 23 | |
| 00:03:56,940 --> 00:03:58,460 | |
| هذا لا أي سؤال خالد | |
| 24 | |
| 00:04:06,200 --> 00:04:10,700 | |
| الدلتا نبر هود للصفر اللي هي الفترة المفتوحة من | |
| 25 | |
| 00:04:10,700 --> 00:04:16,100 | |
| سالب دلتا إلى دلتا | |
| 26 | |
| 00:04:16,100 --> 00:04:21,960 | |
| فهي عندي واحد على N أصغر من دلتا وطبعا أكبر من صفر | |
| 27 | |
| 00:04:24,160 --> 00:04:27,620 | |
| فواحد على N ينتمي للـDelta neighborhood للصفر | |
| 28 | |
| 00:04:27,620 --> 00:04:32,400 | |
| وواحد على N ينتمي للمجموعة A وبالتالي يجب أن نكون | |
| 29 | |
| 00:04:32,400 --> 00:04:38,580 | |
| أثبتنا أنه لأي دلتا أكبر من الصفر أو أي دلتا | |
| 30 | |
| 00:04:38,580 --> 00:04:44,680 | |
| neighborhood للصفر يتقاطع مع A في نقطة مختلفة عن | |
| 31 | |
| 00:04:44,680 --> 00:04:49,000 | |
| الصفر ال | |
| 32 | |
| 00:04:49,000 --> 00:04:56,810 | |
| X إن جلدها تساوي صفر لاتصار الصفر وبالتالي إذا | |
| 33 | |
| 00:04:56,810 --> 00:05:05,470 | |
| هذا يثبت الصفر is a cluster point of | |
| 34 | |
| 00:05:05,470 --> 00:05:12,310 | |
| الست إذا هذا يثبت ال claim الآن ليه مايكون فيه | |
| 35 | |
| 00:05:12,310 --> 00:05:14,130 | |
| cluster points أخرى؟ | |
| 36 | |
| 00:05:30,490 --> 00:05:41,150 | |
| إذا كانت X لا تساوي صفر، فهي ليست مجموعة من A | |
| 37 | |
| 00:05:41,150 --> 00:05:46,390 | |
| فحاسبكم | |
| 38 | |
| 00:05:46,390 --> 00:05:47,630 | |
| أنتم تكتبوا البرهان | |
| 39 | |
| 00:05:50,290 --> 00:06:02,390 | |
| هي صفر وهي واحد وهي نصف وهي ثلث وهي واحد على N وهي | |
| 40 | |
| 00:06:02,390 --> 00:06:05,390 | |
| واحد على N زائد واحد وهكذا | |
| 41 | |
| 00:06:16,430 --> 00:06:25,930 | |
| فهنا ثاني two cases case one أن x تنتمي إلى a و | |
| 42 | |
| 00:06:25,930 --> 00:06:34,690 | |
| الحالة الثانية case two أن x لا تنتمي إلى a ال x | |
| 43 | |
| 00:06:34,690 --> 00:06:39,530 | |
| دي مش تساوي صفر احنا already اثبتنا أن الصفر | |
| 44 | |
| 00:06:39,530 --> 00:06:43,850 | |
| cluster point طيب افرض X مش تساوي صفر إذا X ممكن | |
| 45 | |
| 00:06:43,850 --> 00:06:48,170 | |
| تساوي واحد أو نصف أو ثلث أو واحد على N for some N | |
| 46 | |
| 00:06:48,170 --> 00:06:53,250 | |
| صح؟ ممكن ماتساويش ولا عنصر ممكن ماتكونش تمثل أي | |
| 47 | |
| 00:06:53,250 --> 00:06:58,070 | |
| فلو كانت ال X واحد من العناصر هدول واحد من العناصر | |
| 48 | |
| 00:06:58,070 --> 00:07:04,630 | |
| الست فبقدر ألاقي أن يوجد بقدر ألاقي دلتا | |
| 49 | |
| 00:07:04,630 --> 00:07:08,990 | |
| neighborhood للعنصر مثلًا الثلث بقدر ألاقي دلتا | |
| 50 | |
| 00:07:08,990 --> 00:07:09,490 | |
| neighborhood | |
| 51 | |
| 00:07:13,860 --> 00:07:19,840 | |
| العنصر اللي بعد هذا هيكون ربع فباخد المسافة الأصغر | |
| 52 | |
| 00:07:19,840 --> 00:07:26,560 | |
| بين ثلث ربع ثلث ونصف وباخد نصف المسافة دلتا فبيصير | |
| 53 | |
| 00:07:26,560 --> 00:07:30,920 | |
| عندي هنا دلتا نبر هود للثلث وبتقاطعش مع المجموعة A | |
| 54 | |
| 00:07:30,920 --> 00:07:38,120 | |
| بالمرة أو في نقطة مختلفة عن الثلث وبالتالي لو كانت | |
| 55 | |
| 00:07:38,120 --> 00:07:44,880 | |
| ال X موجودة في A زي الثلث مثلًا فال X ليست cluster | |
| 56 | |
| 00:07:44,880 --> 00:07:49,860 | |
| point الآن ال X لا تنتمي ل A؟ ال X لا تنتمي ل | |
| 57 | |
| 00:07:49,860 --> 00:07:55,920 | |
| A؟ معناته هي عنصر هنا زي هذا X أزرق من صفر أو X | |
| 58 | |
| 00:07:55,920 --> 00:08:01,540 | |
| ممكن تكون جاية بين عنصرين فباخد المسافة بين X و | |
| 59 | |
| 00:08:01,540 --> 00:08:04,840 | |
| أقرب عنصر لها من اليمين وأقرب عنصر لها من | |
| 60 | |
| 00:08:04,840 --> 00:08:11,140 | |
| اليسار وباخد نصف المسافة دلتا أو إبسيلون وبكون | |
| 61 | |
| 00:08:11,140 --> 00:08:17,480 | |
| دلتا نبر هود ل X هذا دلتا نبر هود مش هيتقاطع مع ال A و | |
| 62 | |
| 00:08:17,480 --> 00:08:20,700 | |
| بالتالي النقطة هذه عمرها ما بتكون cluster point | |
| 63 | |
| 00:08:20,700 --> 00:08:26,020 | |
| ممكن كمان النقطة هذه ال X مش موجودة فيها ممكن تكون | |
| 64 | |
| 00:08:26,020 --> 00:08:31,260 | |
| على شمال الصفر أو على يمين الواحد فلو كانت على يمين | |
| 65 | |
| 00:08:31,260 --> 00:08:35,560 | |
| الواحد خد نصف المسافة هي دلتا إذا هي دلتا نبر | |
| 66 | |
| 00:08:35,560 --> 00:08:39,420 | |
| هود ل X مابتقاطعش معاه بالمرة بالتالي X مابت | |
| 67 | |
| 00:08:39,420 --> 00:08:44,440 | |
| cluster هنا لو كانت X أصغر من صفر فخد نصف المسافة | |
| 68 | |
| 00:08:44,440 --> 00:08:48,960 | |
| بين X و 0 على إنها دلتا وبالتالي كون delta | |
| 69 | |
| 00:08:48,960 --> 00:08:52,460 | |
| neighborhood ل X هذا delta neighborhood بتقاطعش مع | |
| 70 | |
| 00:08:52,460 --> 00:08:56,240 | |
| A بالمرة وبالتالي X ليست cluster point إذا في كل | |
| 71 | |
| 00:08:56,240 --> 00:09:01,860 | |
| الأحوال X ليست cluster point سواء كانت في A أو مش | |
| 72 | |
| 00:09:01,860 --> 00:09:05,420 | |
| موجودة إذا كانت X مختلفة عن الصفر فليست cluster | |
| 73 | |
| 00:09:05,420 --> 00:09:14,930 | |
| point okay إذا zero is the only النقطة الوحيدة مافيش | |
| 74 | |
| 00:09:14,930 --> 00:09:18,990 | |
| نقطة غيرها بتكون cluster point بالمثل ممكن نثبت | |
| 75 | |
| 00:09:18,990 --> 00:09:29,650 | |
| مثال آخر f | |
| 76 | |
| 00:09:29,650 --> 00:09:35,710 | |
| i بساوي ال | |
| 77 | |
| 00:09:35,710 --> 00:09:39,830 | |
| unit technological interval and | |
| 78 | |
| 00:09:51,210 --> 00:10:02,710 | |
| IQ بساوي I تقاطع ال rational numbers then | |
| 79 | |
| 00:10:02,710 --> 00:10:13,170 | |
| every x تنتمي ل I is a cluster point a cluster | |
| 80 | |
| 00:10:13,170 --> 00:10:15,250 | |
| point of IQ | |
| 81 | |
| 00:10:18,800 --> 00:10:26,900 | |
| إذا I هي الفترة المغلقة من صفر لواحد IQ هي كل | |
| 82 | |
| 00:10:26,900 --> 00:10:31,800 | |
| الأعداد النسبية الموجودة في الفترة المغلقة من صفر | |
| 83 | |
| 00:10:31,800 --> 00:10:38,340 | |
| لواحد ممكن إثبات إن كل X في الفترة المغلقة I هي | |
| 84 | |
| 00:10:38,340 --> 00:10:45,940 | |
| cluster point للمجموعة IQ وذلك باستخدام ال density | |
| 85 | |
| 00:10:45,940 --> 00:10:52,060 | |
| theorem proof use | |
| 86 | |
| 00:10:52,060 --> 00:11:06,500 | |
| the density theorem فحاسبكم | |
| 87 | |
| 00:11:06,500 --> 00:11:15,920 | |
| انتوا تكتبوا البرهان خدي أي x في I واخذتي أن أي | |
| 88 | |
| 00:11:17,780 --> 00:11:22,140 | |
| أعملكم برهان هكذا بدون أن أكتب أي شيء هذه الفترة I | |
| 89 | |
| 00:11:22,140 --> 00:11:29,720 | |
| من صفر إلى واحد هذه الفترة المغلقة من ملفة أن كل X | |
| 90 | |
| 00:11:29,720 --> 00:11:35,800 | |
| كل X فيها هو cluster point لمجموعة الأعداد النسبية | |
| 91 | |
| 00:11:35,800 --> 00:11:42,520 | |
| في I ففي عندي ثلاثة حالات MX هتكون أكبر من صفر أصغر | |
| 92 | |
| 00:11:42,520 --> 00:11:48,060 | |
| من واحد يعني نقطة داخلية ليست نقطة طرفها طبعًا هي | |
| 93 | |
| 00:11:48,060 --> 00:11:52,460 | |
| لو أخذت أي دلتا عدد موجب وكونت دلتا | |
| 94 | |
| 00:11:52,460 --> 00:11:57,380 | |
| neighborhood لل X فال delta neighborhood هذا | |
| 95 | |
| 00:11:57,380 --> 00:12:05,920 | |
| هيتقاطع مع المجموعة A IQ حسب نظرية الكثافة أي فترة | |
| 96 | |
| 00:12:05,920 --> 00:12:11,520 | |
| مفتوحة زي هذه تحتوي rational number صح؟ وبالتالي أي | |
| 97 | |
| 00:12:11,520 --> 00:12:16,600 | |
| دلتا neighborhood ل ال X هيتقاطع مع المجموعة IQ | |
| 98 | |
| 00:12:16,600 --> 00:12:24,160 | |
| في نقطة R مختلفة عن ال X حسب نظرية الكثافة | |
| 99 | |
| 00:12:24,160 --> 00:12:28,040 | |
| وبالتالي حسب التعريف إذا ال X هذه اللي هي نقطة | |
| 100 | |
| 00:12:28,040 --> 00:12:33,700 | |
| داخلية is a cluster point لمن؟ | |
| 101 | |
| 00:12:33,700 --> 00:12:40,260 | |
| للمجموعة IQ لو كانت ال .. ال .. ال x هي نقطة الطرف | |
| 102 | |
| 00:12:40,260 --> 00:12:46,960 | |
| الحالة الثانية لما x تكون هي صفر لما x تكون بساوي | |
| 103 | |
| 00:12:46,960 --> 00:12:52,160 | |
| صفر وخدي أي دلتا neighborhood لأن هاي سالب دلتا | |
| 104 | |
| 00:12:52,160 --> 00:12:56,560 | |
| موجب دلتا فالفترة | |
| 105 | |
| 00:12:56,560 --> 00:13:01,200 | |
| هذه تتقطع يعني | |
| 106 | |
| 00:13:01,200 --> 00:13:07,230 | |
| هاي دلتا هادي دلتا و هادي نقطة صفر الآن الفترة | |
| 107 | |
| 00:13:07,230 --> 00:13:12,870 | |
| هذه بقدر ألاقي فيها rational number حسب مباريك | |
| 108 | |
| 00:13:12,870 --> 00:13:16,970 | |
| الكثافة موجود بين صفر و دلتا و ال rational number | |
| 109 | |
| 00:13:16,970 --> 00:13:23,550 | |
| هذا موجود في ال unit closed interval وبالتالي كل | |
| 110 | |
| 00:13:23,550 --> 00:13:28,450 | |
| دلتا neighborhood للصفر يتقاطع | |
| 111 | |
| 00:13:28,450 --> 00:13:33,670 | |
| مع المجموع IQ في نقطة R مختلفة عن الصفر وبالتالي | |
| 112 | |
| 00:13:33,670 --> 00:13:37,910 | |
| الصفر هو cluster point بالمثل ممكن تثبتوا بالواحد | |
| 113 | |
| 00:13:37,910 --> 00:13:41,970 | |
| cluster point لأن أي دلتا neighborhood للواحد | |
| 114 | |
| 00:13:43,720 --> 00:13:48,560 | |
| هيحتوي حسب نظرية الكثافة لو هذا كان واحد ثالث دلتا | |
| 115 | |
| 00:13:48,560 --> 00:13:54,510 | |
| في النقطة هذه وهذه واحد فبنقدر نلاقي Rrational | |
| 116 | |
| 00:13:54,510 --> 00:13:58,650 | |
| number حسب مجرد كدفة بين واحد سالب دلتا وواحد | |
| 117 | |
| 00:13:58,650 --> 00:14:03,710 | |
| وبالتالي ال دلتا neighborhood هذا مركزه واحد و | |
| 118 | |
| 00:14:03,710 --> 00:14:08,490 | |
| نصف قطره دلتا هيتقاطع مع ال IQ في نقطة مختلفة عن | |
| 119 | |
| 00:14:08,490 --> 00:14:13,250 | |
| الواحد وبالتالي واحد cluster point الآن لأن هسيبكم | |
| 120 | |
| 00:14:13,250 --> 00:14:15,650 | |
| تكتبوا البرهان بالتفصيل | |
| 121 | |
| 00:14:19,850 --> 00:14:25,250 | |
| Okay إذاً هيك يعني عندنا عدة أمثلة على ال cluster | |
| 122 | |
| 00:14:25,250 --> 00:14:32,490 | |
| points نرجع لمفهوم ال limit ل ال function اللي هو | |
| 123 | |
| 00:14:32,490 --> 00:14:47,650 | |
| كان عنوان ال section تبعنا إذا | |
| 124 | |
| 00:14:47,650 --> 00:14:48,750 | |
| هنا definition | |
| 125 | |
| 00:14:55,450 --> 00:15:07,150 | |
| دع الـ f يكون دالة من a إلى r دالة | |
| 126 | |
| 00:15:07,150 --> 00:15:19,710 | |
| في أين a مجموعة جزئية من r و c مجموعة جزئية من الـ | |
| 127 | |
| 00:15:19,710 --> 00:15:22,090 | |
| set A | |
| 128 | |
| 00:15:26,660 --> 00:15:35,260 | |
| العدد number L هو ليمت | |
| 129 | |
| 00:15:35,260 --> 00:15:39,440 | |
| للـ دالة | |
| 130 | |
| 00:15:39,440 --> 00:15:44,440 | |
| f at | |
| 131 | |
| 00:15:44,440 --> 00:15:59,020 | |
| x بس you see إذا تحقق الشرط التالي for any epsilon | |
| 132 | |
| 00:15:59,020 --> 00:16:05,340 | |
| أكبر من صفر يوجد دلتا تعتمد على إبسيلون عدد موجب | |
| 133 | |
| 00:16:05,340 --> 00:16:14,690 | |
| بحيث أنه لكل x تنتمي إلى a والمسافة بين .. وال X | |
| 134 | |
| 00:16:14,690 --> 00:16:23,090 | |
| هذا يختلف عن ال C والمسافة بينها وبين ال C أصغر | |
| 135 | |
| 00:16:23,090 --> 00:16:30,030 | |
| من دلتا لازم هذا يضمن أن absolute F of X minus L | |
| 136 | |
| 00:16:30,030 --> 00:16:41,010 | |
| أصغر من دلتا إذن هذا شرط .. هذا شرط أو بسميه أنا | |
| 137 | |
| 00:16:41,010 --> 00:16:49,470 | |
| بسميه إبسيلون دلتا definition إبسيلون دلتا | |
| 138 | |
| 00:16:49,470 --> 00:16:54,310 | |
| definition of limit للـ | |
| 139 | |
| 00:16:54,310 --> 00:16:58,550 | |
| limit of a function الـ Limit لـ function f of x | |
| 140 | |
| 00:16:58,550 --> 00:17:03,590 | |
| بالساوي أو L هي عبارة عن Limit لـ function f of x | |
| 141 | |
| 00:17:03,590 --> 00:17:09,970 | |
| and x = C إذا لو أعطتوني أي إبسلون عدد موجب | |
| 142 | |
| 00:17:09,970 --> 00:17:15,570 | |
| لازم أنا أرد عليها Delta عدد موجب آخر يعتمد على | |
| 143 | |
| 00:17:15,570 --> 00:17:20,750 | |
| إبسلون بحيث أنه لكل X في المجموعة A اللي هو ال | |
| 144 | |
| 00:17:20,750 --> 00:17:27,300 | |
| domain تبع ال function و X هذه مختلفة لا تساوي C | |
| 145 | |
| 00:17:27,300 --> 00:17:33,360 | |
| يعني المتباينة هذه معناها X لا تساوي C إذاً لكل x في | |
| 146 | |
| 00:17:33,360 --> 00:17:38,200 | |
| A مختلفة عن الـc والمسافة بينها وبين الـc أصغر من | |
| 147 | |
| 00:17:38,200 --> 00:17:42,580 | |
| دلتا لازم تطلع المسافة بين f of x و L أصغر من | |
| 148 | |
| 00:17:42,580 --> 00:17:47,220 | |
| إبسلون هذا الكلام اتحقق لكل إبسلون أكبر من الصفر | |
| 149 | |
| 00:17:47,220 --> 00:17:51,640 | |
| فبنقول إن العدد L is a limit of the function f عند | |
| 150 | |
| 00:17:51,640 --> 00:17:52,360 | |
| النقطة c | |
| 151 | |
| 00:17:59,170 --> 00:18:07,710 | |
| من هذا التعريف بينتج على طول اه طيب in this case | |
| 152 | |
| 00:18:07,710 --> 00:18:13,930 | |
| in this case we | |
| 153 | |
| 00:18:13,930 --> 00:18:26,600 | |
| say انه if converges if converges to the number L | |
| 154 | |
| 00:18:26,600 --> 00:18:39,520 | |
| at X = C and we write ونكتب الحالة هذه limit ل | |
| 155 | |
| 00:18:39,520 --> 00:18:46,940 | |
| F of X لما X تقول إلى C = L أو ممكن نكتب limit | |
| 156 | |
| 00:18:46,940 --> 00:18:54,260 | |
| F as X tends to C = L أو ممكن نكتب | |
| 157 | |
| 00:19:01,220 --> 00:19:11,260 | |
| أو ممكن نكتب f of x tends to L as x tends to c كل | |
| 158 | |
| 00:19:11,260 --> 00:19:16,360 | |
| هدول معناهم أن العدد L limit لل function f and x | |
| 159 | |
| 00:19:16,360 --> 00:19:17,360 | |
| = c | |
| 160 | |
| 00:19:22,850 --> 00:19:30,090 | |
| ف limit f of x as x tends to c does not exist، | |
| 161 | |
| 00:19:30,090 --> 00:19:37,430 | |
| يعني مافيش عدد L زي هذا، we say ان ال function f | |
| 162 | |
| 00:19:37,430 --> 00:19:45,590 | |
| diverges، diverges at x = c | |
| 163 | |
| 00:19:50,120 --> 00:19:55,320 | |
| الآن نستطيع ان نثبت ان ال limit لل function هذه | |
| 164 | |
| 00:19:55,320 --> 00:20:00,040 | |
| النقطة لو كانت موجودة لو كان ال function لها limit | |
| 165 | |
| 00:20:00,040 --> 00:20:07,120 | |
| فlimit هذه لازم تكون unique ال | |
| 166 | |
| 00:20:07,120 --> 00:20:19,320 | |
| function if from A to R can have only | |
| 167 | |
| 00:20:39,940 --> 00:20:44,760 | |
| والبرهان شبه البرهان الـ uniqueness of the limit | |
| 168 | |
| 00:20:44,760 --> 00:20:50,700 | |
| of a sequence we use epsilon over two argument | |
| 169 | |
| 00:20:51,860 --> 00:20:54,780 | |
| استنتاج epsilon على اتنين او برهان epsilon على | |
| 170 | |
| 00:20:54,780 --> 00:21:01,020 | |
| اتنين هنشوف مع بعض هاي برهان تروح left epsilon | |
| 171 | |
| 00:21:01,020 --> 00:21:04,300 | |
| أكبر | |
| 172 | |
| 00:21:04,300 --> 00:21:11,720 | |
| من السفر ب given since | |
| 173 | |
| 00:21:11,720 --> 00:21:19,120 | |
| طب | |
| 174 | |
| 00:21:19,120 --> 00:21:25,040 | |
| خليني الأول أبرهان النظرية هذه بدي أفرض أنه فيه | |
| 175 | |
| 00:21:25,040 --> 00:21:34,640 | |
| two limits assume أن ال limit ل f of x as x tends | |
| 176 | |
| 00:21:34,640 --> 00:21:44,340 | |
| to c = عدد الواحد and limit أيضا ل f of x as x | |
| 177 | |
| 00:21:44,340 --> 00:21:50,340 | |
| tends to c = عدد تاني الاتنين وعشان أثبت | |
| 178 | |
| 00:21:50,340 --> 00:21:57,860 | |
| النظرية لازم أثبت الإدعاء التالي إن ال1 = ال4 | |
| 179 | |
| 00:21:57,860 --> 00:22:07,720 | |
| فلبرهان ذلك let epsilon أكبر من السفر be given | |
| 180 | |
| 00:22:07,720 --> 00:22:19,500 | |
| since مما أننا فرضين أن ال limit لأف as x tends to | |
| 181 | |
| 00:22:19,500 --> 00:22:28,420 | |
| c = الواحد then by definition by epsilon | |
| 182 | |
| 00:22:28,420 --> 00:22:33,180 | |
| delta definition of limit there exists delta one | |
| 183 | |
| 00:22:33,180 --> 00:22:39,830 | |
| depends on epsilon positive number بحيث أنه لو كان | |
| 184 | |
| 00:22:39,830 --> 00:22:46,150 | |
| x ينتمي إلى a و |x - c| أصغر من delta | |
| 185 | |
| 00:22:46,150 --> 00:22:54,850 | |
| one أكبر من سفر فهذا بيقدي أن |f of x | |
| 186 | |
| 00:22:54,850 --> 00:23:02,530 | |
| - l one| أصغر من epsilon على 2 عشان الاستنتاج | |
| 187 | |
| 00:23:02,530 --> 00:23:05,510 | |
| هذا واحد | |
| 188 | |
| 00:23:08,770 --> 00:23:13,810 | |
| Also ايضا احنا | |
| 189 | |
| 00:23:13,810 --> 00:23:20,610 | |
| فرضين من ال limit لل function f of x as x tends to | |
| 190 | |
| 00:23:20,610 --> 00:23:27,990 | |
| c = عدد تاني ال اتنين then | |
| 191 | |
| 00:23:27,990 --> 00:23:35,650 | |
| for the same for same epsilon أكبر من ستة نفس ال | |
| 192 | |
| 00:23:35,650 --> 00:23:43,140 | |
| epsilon يعنيلنفس الـ Epsilon بما أن limit ل F of X | |
| 193 | |
| 00:23:43,140 --> 00:23:48,940 | |
| and X = C = L2 نجد Delta 2 تعتمد على | |
| 194 | |
| 00:23:48,940 --> 00:23:53,940 | |
| Epsilon على 2 وبالتالي على Epsilon عدد موجد بحيث | |
| 195 | |
| 00:23:53,940 --> 00:24:00,300 | |
| أنه لو كان X ينتمي إلى A و |X - C| أصغر | |
| 196 | |
| 00:24:00,300 --> 00:24:07,350 | |
| من Delta 2 أكبر من 0 فهذا أكيد بيقدّي أنه | | |
| 197 | |
| 00:24:07,350 --> 00:24:14,510 | |
| f of x - L2| أصغر من epsilon على 2 ال sum ال | |
| 198 | |
| 00:24:14,510 --> 00:24:22,030 | |
| implication هي D2 الآن بناخد .. بنعرف delta ل L | |
| 199 | |
| 00:24:22,030 --> 00:24:31,230 | |
| Delta = ال minimum ل delta واحد و delta اتنين | |
| 200 | |
| 00:24:32,560 --> 00:24:37,340 | |
| طبعا هذا بيطلع عدد | |
| 201 | |
| 00:24:37,340 --> 00:24:43,200 | |
| موجب لإن دلتا واحد ودلتا اتنين عدد موجب وكذلك دلتا | |
| 202 | |
| 00:24:43,200 --> 00:24:46,200 | |
| دي تعتمد على ابسلون لإن دلتا واحد ودلتا اتنين | |
| 203 | |
| 00:24:46,200 --> 00:24:52,720 | |
| يعتمدوا على ابسلون then | |
| 204 | |
| 00:24:52,720 --> 00:24:55,860 | |
| by | |
| 205 | |
| 00:24:55,860 --> 00:25:07,520 | |
| واحد and اتنين نحصل على التالي، لو كان x ينتقل إلى | |
| 206 | |
| 00:25:07,520 --> 00:25:14,980 | |
| a و |x - c| أصغر من delta أكبر من سفر | |
| 207 | |
| 00:25:14,980 --> 00:25:26,590 | |
| فهذا هيقدر أن |L1 - L2| = | | |
| 208 | |
| 00:25:26,590 --> 00:25:39,610 | |
| L1 - F of X + F of X - L2| إذا انطلعت | |
| 209 | |
| 00:25:39,610 --> 00:25:46,590 | |
| أنا F of X ورجعتها فكأني ما جيرتش حاجة وهذا بيطلع | |
| 210 | |
| 00:25:46,590 --> 00:25:50,460 | |
| باستخدام ال triangle inequality بالترائنجل الـ | |
| 211 | |
| 00:25:50,460 --> 00:25:54,900 | |
| equality لـ | مجموعة حاجتين أصغر من | |
| 212 | |
| 00:25:54,900 --> 00:26:00,920 | |
| لو يساوي |L1 - F of X| + |F | |
| 213 | |
| 00:26:00,920 --> 00:26:07,980 | |
| of X - L2| الآن | |
| 214 | |
| 00:26:07,980 --> 00:26:13,340 | |
| باستخدام ال implication واحد، اللحظة أن الـ delta | |
| 215 | |
| 00:26:13,340 --> 00:26:17,960 | |
| هي ال minimum لـ delta واحد و delta اتنين وبالتالي | |
| 216 | |
| 00:26:17,960 --> 00:26:24,340 | |
| الـ delta هذه أصغر من delta واحد فحسب ال | |
| 217 | |
| 00:26:24,340 --> 00:26:28,600 | |
| implication واحد لما يكون x ينتمي ل a و |x | |
| 218 | |
| 00:26:28,600 --> 00:26:33,800 | |
| - c| أصغر من delta واحد فانا بقدم ال | | |
| 219 | |
| 00:26:33,800 --> 00:26:40,460 | |
| value هذه أصغر من epsilon على 2 كذلك باستخدام ال | |
| 220 | |
| 00:26:40,460 --> 00:26:45,060 | |
| implication 2 أنا عندي الـ delta هذه هي الـ minimum | |
| 221 | |
| 00:26:45,060 --> 00:26:51,760 | |
| لـ delta 1 و delta 2 وبالتالي أصغر من delta 2 فبال | |
| 222 | |
| 00:26:51,760 --> 00:26:55,680 | |
| implication 2 بتقول لو كان x ينتمي ل a و | | |
| 223 | |
| 00:26:55,680 --> 00:27:00,320 | |
| x - c| أصغر من delta 2 فال | ل f | |
| 224 | |
| 00:27:00,320 --> 00:27:07,500 | |
| of x - l2| < epsilon على 2 هذا بيساوي | |
| 225 | |
| 00:27:07,500 --> 00:27:16,080 | |
| epsilon إذا أنا طلع عندي أثبتت أن |L1 - | |
| 226 | |
| 00:27:16,080 --> 00:27:22,540 | |
| L2| < إبسلون طبعا أكيد أكبر من أو يساوي سفر و | |
| 227 | |
| 00:27:22,540 --> 00:27:28,600 | |
| الآن هذا صحيح لكل أبسلون أكبر من السفر لأن one | |
| 228 | |
| 00:27:28,600 --> 00:27:34,500 | |
| hand هنا ال epsilon was arbitrary given الإبسلون | |
| 229 | |
| 00:27:34,500 --> 00:27:38,660 | |
| was arbitrarily يعني نقول since this holds for | |
| 230 | |
| 00:27:38,660 --> 00:27:43,160 | |
| every إبسلون في لمّة أخدناها في بداية ال course | |
| 231 | |
| 00:27:43,160 --> 00:27:48,820 | |
| بتقول لو في عندي عدد حفيفي a أكبر من أو يساوي سفر و | |
| 232 | |
| 00:27:48,820 --> 00:27:53,940 | |
| أصغر من إبسلون فإن إبسلون أكبر من السفر فهذا بيقدي | |
| 233 | |
| 00:27:53,940 --> 00:28:00,160 | |
| أن a = سفر أخد ايه هنا الـ | ل L1 | |
| 234 | |
| 00:28:00,160 --> 00:28:09,140 | |
| - L2| فحسب النمة هذه هيطلع عندى هذا بقدر اللي | |
| 235 | |
| 00:28:09,140 --> 00:28:15,600 | |
| قدر انه |L1 - L2| = سفر وبالتالي | |
| 236 | |
| 00:28:15,600 --> 00:28:24,600 | |
| بيطلع عندى L1 = L2 وهو المطلوب إذا أنا فرقت إن | |
| 237 | |
| 00:28:24,600 --> 00:28:28,860 | |
| الـ function إلها two limits عن نقطة فطلع الـ two | |
| 238 | |
| 00:28:28,860 --> 00:28:32,680 | |
| limits متساوياتين وبالتالي لو كانت الـ function | |
| 239 | |
| 00:28:32,680 --> 00:28:37,240 | |
| إلها limit عن نقطة فال limit تطلع وحيدة unique، | |
| 240 | |
| 00:28:37,240 --> 00:28:43,200 | |
| بقى ده؟ في أي سؤال أو أي سؤال على البرهانة؟ | |
| 241 | |
| 00:29:02,290 --> 00:29:15,590 | |
| ناخد ملاحظة هنا الـ | |
| 242 | |
| 00:29:15,590 --> 00:29:27,330 | |
| epsilon delta definition of limit of a function f | |
| 243 | |
| 00:29:27,330 --> 00:29:29,270 | |
| from a to r | |
| 244 | |
| 00:29:32,670 --> 00:29:40,250 | |
| the inequality المتباينة | |
| 245 | |
| 00:29:40,250 --> 00:29:48,030 | |
| اللي هي |x - c| > 0 < | |
| 246 | |
| 00:29:48,030 --> 00:29:58,470 | |
| دولتان means حاجتين الجزء هذا معناه أن |x | |
| 247 | |
| 00:29:58,470 --> 00:30:09,330 | |
| - c| لا يساوى سفروبالتالي X لا يساوي C إذاً هذا | |
| 248 | |
| 00:30:09,330 --> 00:30:17,870 | |
| يعني أن X لا تساوي C المتباينة | |
| 249 | |
| 00:30:17,870 --> 00:30:23,410 | |
| التانية اللي هي |X - C| أصغر من Delta | |
| 250 | |
| 00:30:23,410 --> 00:30:31,170 | |
| هذه بتكافئ أن X - C < Delta > 0 | |
| 251 | |
| 00:30:31,170 --> 00:30:39,850 | |
| Delta صح؟ وهذه بتكافئ أن X > C - Delta | |
| 252 | |
| 00:30:39,850 --> 00:30:47,870 | |
| < C + Delta وهذا معناه أن X تنتمي لـ | |
| 253 | |
| 00:30:47,870 --> 00:30:56,450 | |
| Delta Neverhood لـ C اللي هو الفترة اللي اتروها من | |
| 254 | |
| 00:30:56,450 --> 00:30:59,410 | |
| C - Delta ل C + Delta | |
| 255 | |
| 00:31:06,690 --> 00:31:12,550 | |
| إذا المتباينة دي معناها x لا تساوي c and x تنتمي | |
| 256 | |
| 00:31:12,550 --> 00:31:18,190 | |
| لل delta اللي برجود لل c اللي هو الفترة المفتوحة | |
| 257 | |
| 00:31:18,190 --> 00:31:25,170 | |
| من c - delta إلى c + delta كذلك | |
| 258 | |
| 00:31:25,170 --> 00:31:29,570 | |
| المتباينة also | |
| 259 | |
| 00:31:33,070 --> 00:31:37,490 | |
| الإي نكواليتي المتباينة | |
| 260 | |
| 00:31:37,490 --> 00:31:43,450 | |
| اللي هي |f of x - L| أصغر من إبسلون | |
| 261 | |
| 00:31:43,450 --> 00:31:46,490 | |
| means | |
| 262 | |
| 00:31:46,490 --> 00:31:52,830 | |
| لو جينا الحل المتباينة هذه في f of x | |
| 263 | |
| 00:32:05,840 --> 00:32:11,920 | |
| فهي عندي f of x - L < إبسلون > | |
| 264 | |
| 00:32:11,920 --> 00:32:17,480 | |
| 0 حل المتباينة هذه في f of x اجمع L على | |
| 265 | |
| 00:32:17,480 --> 00:32:24,880 | |
| كل أطراف فبطلع f of x < L + إبسلون > | |
| 266 | |
| 00:32:24,880 --> 00:32:33,940 | |
| L - إبسلون فهذا معناه أن f of x belongs to | |
| 267 | |
| 00:32:33,940 --> 00:32:38,520 | |
| the epsilon neighborhood للعدد L اللي هو الفترة | |
| 268 | |
| 00:32:38,520 --> 00:32:44,040 | |
| المفتوحة from L - إبسلون إلى L + | |
| 269 | |
| 00:32:44,040 --> 00:32:57,040 | |
| إبسلون مظبوط؟ صحيح؟ وبالتالي إن هذا بيقود إلى | |
| 270 | |
| 00:32:57,040 --> 00:32:59,780 | |
| المتيجة التالية | |
| 271 | |
| 00:33:06,460 --> 00:33:20,660 | |
| دع الـ F تعمل من A إلى R وC مقاومة مقاومة من A | |
| 272 | |
| 00:33:20,660 --> 00:33:32,220 | |
| ثم التقالير ممتازة التقالير ممتازة | |
| 273 | |
| 00:33:36,480 --> 00:33:43,660 | |
| Limit f of x as x tends to c = عدد delta اللي | |
| 274 | |
| 00:33:43,660 --> 00:33:51,460 | |
| هو تعريف epsilon delta هذا معناه أنه لكل epsilon | |
| 275 | |
| 00:33:51,460 --> 00:33:57,640 | |
| أكبر من السفر يوجد delta تعتمد على epsilon عدد | |
| 276 | |
| 00:33:57,640 --> 00:33:58,180 | |
| موجد | |
| 277 | |
| 00:34:03,020 --> 00:34:10,300 | |
| Such that لو كان x ينتمي ل a و |x - c| | |
| 278 | |
| 00:34:10,300 --> 00:34:16,340 | |
| أصغر من delta أكبر من ستر فهذا لازم يتضمن أن | |
| 279 | |
| 00:34:16,340 --> 00:34:23,580 | |
| |f of x - L| أصغر من أصغر يعني معنى أخر | |
| 280 | |
| 00:34:23,580 --> 00:34:29,200 | |
| L هي limit لل function f of x هو بتالي تعريف | |
| 281 | |
| 00:34:29,200 --> 00:34:33,300 | |
| epsilon delta المتحفان هذا تعريف epsilon دلتا | |
| 282 | |
| 00:34:33,300 --> 00:34:42,000 | |
| بكاذب ال-neverhood definition ال | |
| 283 | |
| 00:34:42,000 --> 00:34:54,940 | |
| neverhood definition of limit وهو | |
| 284 | |
| 00:34:54,940 --> 00:34:57,720 | |
| أن for every | |
| 285 | |
| 00:35:02,320 --> 00:35:06,700 | |
| for every epsilon | |
| 286 | |
| 00:35:06,700 --> 00:35:12,480 | |
| neighborhood V | |
| 287 | |
| 00:35:12,480 --> 00:35:22,920 | |
| epsilon of L there exists delta neighborhood V | |
| 288 | |
| 00:35:22,920 --> 00:35:30,280 | |
| delta of C بحيث | |
| 289 | |
| 00:35:32,120 --> 00:35:46,700 | |
| إن لو كانت X تنتمي إلى A ومختلفة عن الـC وموجودة | |
| 290 | |
| 00:35:46,700 --> 00:35:53,200 | |
| أيضًا في الـDelta neighborhood لـC فلازم هذا يقدر إن | |
| 291 | |
| 00:35:53,200 --> 00:36:01,600 | |
| صورة X لازم تنتمي للـEpsilon neighborhood لـL | |
| 292 | |
| 00:36:06,140 --> 00:36:13,440 | |
| و هذا بالظبط عملنا آخر remark، prove it | |
| 293 | |
| 00:36:13,440 --> 00:36:19,240 | |
| follows from | |
| 294 | |
| 00:36:19,240 --> 00:36:32,800 | |
| above remark write | |
| 295 | |
| 00:36:32,800 --> 00:36:33,380 | |
| it down | |
| 296 | |
| 00:36:40,630 --> 00:36:44,690 | |
| حاولوا تكتبوا البرهان، البرهان فسرناها هنا | |
| 297 | |
| 00:36:44,690 --> 00:37:00,590 | |
| واضحناها من ال-remark خلينا نشوف خلينا | |
| 298 | |
| 00:37:00,590 --> 00:37:10,530 | |
| نرسم رسمها في المحور X نحو الـ y وهي ال-origin وخفض | |
| 299 | |
| 00:37:10,530 --> 00:37:16,270 | |
| أنه يوجد function مثل هذه فهذا بالحقيقة function y | |
| 300 | |
| 00:37:16,270 --> 00:37:23,070 | |
| بسهولة f of x وهي c نقطة في المجال تبع الدالة أو | |
| 301 | |
| 00:37:23,070 --> 00:37:34,330 | |
| حتى لو ما كانت موجودة c is the cluster point وهي | |
| 302 | |
| 00:37:34,330 --> 00:37:35,870 | |
| هذا عدد حقيقي | |
| 303 | |
| 00:37:38,510 --> 00:37:44,570 | |
| فده عدد حقيقي فمعنى | |
| 304 | |
| 00:37:44,570 --> 00:37:50,770 | |
| أن limit لل-F and X بالساوية C بالساوية L معناه | |
| 305 | |
| 00:37:50,770 --> 00:37:57,210 | |
| لأي أبسلون أكبر من الصفر أي لأي أبسلون أكبر من | |
| 306 | |
| 00:37:57,210 --> 00:38:24,500 | |
| الصفر ممكن أنا أقول epsilon neighborhood لأي | |
| 307 | |
| 00:38:24,500 --> 00:38:33,180 | |
| epsilon أكبر من 0 يعني بقدر أكون إبسلون نبرهود | |
| 308 | |
| 00:38:33,180 --> 00:38:37,660 | |
| بإبسلون | |
| 309 | |
| 00:38:37,660 --> 00:38:44,180 | |
| لإل فلو كان هذا given given إبسلون يعني given | |
| 310 | |
| 00:38:44,180 --> 00:38:52,920 | |
| إبسلون neighborhood لإل بقدر أجيل | |
| 311 | |
| 00:38:52,920 --> 00:38:56,200 | |
| أرد عليه | |
| 312 | |
| 00:39:01,810 --> 00:39:07,770 | |
| الدلتا Delta neighborhood هذا عبارة عن Delta | |
| 313 | |
| 00:39:07,770 --> 00:39:15,250 | |
| neighborhood لـ C إذا أنا أخدت أعطتوني إبسلون بقدر | |
| 314 | |
| 00:39:15,250 --> 00:39:20,570 | |
| أكون إبسلون neighborhood لـ L فبقدر أرد عليه ال | |
| 315 | |
| 00:39:20,570 --> 00:39:24,110 | |
| Delta neighborhood لـ C في الفترة المفتوحة هذه | |
| 316 | |
| 00:39:25,810 --> 00:39:31,550 | |
| بالتالي، إذا كان هناك مجتمع إبسلن لـL، فهناك مجتمع | |
| 317 | |
| 00:39:31,550 --> 00:39:38,230 | |
| Delta لـC أو هناك مجتمع Delta عدد موجب بحيث إن لو | |
| 318 | |
| 00:39:38,230 --> 00:39:42,930 | |
| كانت الـX موجودة في A، والمتباينة هذه تتحقق، طب X | |
| 319 | |
| 00:39:42,930 --> 00:39:47,550 | |
| موجودة في A، والمتباينة هذه تتحقق، معناته X موجودة | |
| 320 | |
| 00:39:47,550 --> 00:39:51,990 | |
| في A ومختلفة عن الـC، و X موجودة في الـDelta | |
| 321 | |
| 00:39:51,990 --> 00:39:57,400 | |
| neighborhood هذه معناته X تنتمي لـA ومختلفة عن الـC | |
| 322 | |
| 00:39:57,400 --> 00:40:02,480 | |
| و X موجودة في الـDelta neighborhood هذا الشرط هذا بيقدي | |
| 323 | |
| 00:40:02,480 --> 00:40:08,760 | |
| أن المتباينة هذه تتحقق المتباينة هذه تتحقق معناه أن | |
| 324 | |
| 00:40:08,760 --> 00:40:14,840 | |
| الـ F of X صورة X تنتمي للـEpsilon neighborhood لـL فهو واضح أن | |
| 325 | |
| 00:40:14,840 --> 00:40:20,020 | |
| هذا التعريف بيقدي للتعريف هذا باستخدام تفسير ال | |
| 326 | |
| 00:40:20,020 --> 00:40:31,340 | |
| remark والعكس طبعًا صحيح .. صحيح okay تمام؟ إذا هذا | |
| 327 | |
| 00:40:31,340 --> 00:40:36,270 | |
| بنسميه الـ .. هذا التعريف بنسميه الـ neighborhood | |
| 328 | |
| 00:40:36,270 --> 00:40:40,630 | |
| definition للـ limit of a function والتعريف دا أو | |
| 329 | |
| 00:40:40,630 --> 00:40:45,810 | |
| هذا بنسميه الـ epsilon delta definition | |
| 330 | |
| 00:40:45,810 --> 00:40:52,930 | |
| of the limit of a function تمام؟ وهذا طبعًا زي ال | |
| 331 | |
| 00:40:52,930 --> 00:40:57,490 | |
| epsilon capital N definition للlimit of a sequence | |
| 332 | |
| 00:40:57,490 --> 00:41:00,870 | |
| وبعد هي فكرين عرفنا ال-neighborhood definition | |
| 333 | |
| 00:41:00,870 --> 00:41:05,640 | |
| للlimit of a sequence هذا يعني يكافئ الكلام اللي | |
| 334 | |
| 00:41:05,640 --> 00:41:09,720 | |
| هنا إذا الآن في عندي تعريفين لل-limit of a | |
| 335 | |
| 00:41:09,720 --> 00:41:14,060 | |
| function at a point أو at a cluster point الدارس | |
| 336 | |
| 00:41:14,060 --> 00:41:17,080 | |
| التعريف اللي هنستخدمه أكثر هو epsilon delta | |
| 337 | |
| 00:41:17,080 --> 00:41:23,580 | |
| definition of the limit أكثر من ال-neighborhood | |
| 338 | |
| 00:41:23,580 --> 00:41:26,920 | |
| definition لكن أنا ما منعش أن أنا في أوقات معينة | |
| 339 | |
| 00:41:26,920 --> 00:41:30,560 | |
| أستخدم ال-neighborhood definition طيب نأخذ بعض | |
| 340 | |
| 00:41:30,560 --> 00:41:38,200 | |
| الأمثلة على كيفية إثبات إن الـ limit لـ certain | |
| 341 | |
| 00:41:38,200 --> 00:41:43,980 | |
| function is a certain number by | |
| 342 | |
| 00:41:43,980 --> 00:41:49,020 | |
| using epsilon delta definition نشوف مع بعض، وهذا | |
| 343 | |
| 00:41:49,020 --> 00:41:54,100 | |
| يعني بوازي الكلام اللي عملناه بالنسبة لل-limits of | |
| 344 | |
| 00:41:54,100 --> 00:42:00,240 | |
| sequences فإذا هنا في الأمثلة في كل الأمثلة التالية | |
| 345 | |
| 00:42:00,240 --> 00:42:04,500 | |
| عايزين نستخدم ال-definition of أو epsilon delta | |
| 346 | |
| 00:42:04,500 --> 00:42:07,520 | |
| definition أو ال-neighborhood definition لل-limit | |
| 347 | |
| 00:42:07,520 --> 00:42:10,720 | |
| of a function to prove إنه limit عن نقطة محددة | |
| 348 | |
| 00:42:10,720 --> 00:42:18,760 | |
| بساوي عدد محدد فمثلًا إن نثبت إنه limit لدالة ثابت | |
| 349 | |
| 00:42:18,760 --> 00:42:22,240 | |
| B لما X تقول لها C بساوي B | |
| 350 | |
| 00:42:25,710 --> 00:42:30,410 | |
| فلت هنا عندي فان الـ function تبعتي f of x بالساوية | |
| 351 | |
| 00:42:30,410 --> 00:42:38,130 | |
| ثابت B لكل x تنتمي إلى R فان الـ function تبعتي | |
| 352 | |
| 00:42:38,130 --> 00:42:43,130 | |
| ده اللي ثابتة وبالتالي إذا هنا لثبات إن ال-limit | |
| 353 | |
| 00:42:43,130 --> 00:42:45,290 | |
| تبعتها بالساوية B | |
| 354 | |
| 00:42:48,460 --> 00:42:50,340 | |
| أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من | |
| 355 | |
| 00:42:50,340 --> 00:42:50,500 | |
| أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من | |
| 356 | |
| 00:42:50,500 --> 00:42:51,200 | |
| الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر | |
| 357 | |
| 00:42:51,200 --> 00:42:52,980 | |
| أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من | |
| 358 | |
| 00:42:52,980 --> 00:42:53,500 | |
| الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر | |
| 359 | |
| 00:42:53,500 --> 00:42:54,560 | |
| أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من | |
| 360 | |
| 00:42:54,560 --> 00:42:55,760 | |
| الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر | |
| 361 | |
| 00:42:55,760 --> 00:43:05,680 | |
| أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر | |
| 362 | |
| 00:43:05,680 --> 00:43:06,180 | |
| من الصفر | |
| 363 | |
| 00:43:18,680 --> 00:43:23,060 | |
| تعال نشوف ال-implication ال-Delta هذه works ولا | |
| 364 | |
| 00:43:23,060 --> 00:43:27,560 | |
| لأ ف أنا عندي إن لو كانت الـ X تنتمي لـ A طبعًا الـ A | |
| 365 | |
| 00:43:27,560 --> 00:43:31,700 | |
| مجال الدالة هنا هو كل الأعداد الحقيقية و absolute | |
| 366 | |
| 00:43:31,700 --> 00:43:38,610 | |
| X minus C أكبر من 0 أصغر من Delta هل هذا بيقدر | |
| 367 | |
| 00:43:38,610 --> 00:43:43,910 | |
| لأبسليوت f of x minus b أصغر من إبسلون بالتأكيد | |
| 368 | |
| 00:43:43,910 --> 00:43:48,910 | |
| أنا عندي f of x بالساوية B سالب ال-limit اللي هي | |
| 369 | |
| 00:43:48,910 --> 00:43:55,090 | |
| B فهذا بيطلع أبسليوت الصفر بيطلع صفر والصفر هذا | |
| 370 | |
| 00:43:55,090 --> 00:44:02,040 | |
| أصغر من أي إبسلون موجبة إذا حصلت تعريف Epsilon Delta | |
| 371 | |
| 00:44:02,040 --> 00:44:06,560 | |
| يعني أثبتت أنه لأي Epsilon أي Delta موجبة works | |
| 372 | |
| 00:44:06,560 --> 00:44:10,580 | |
| تعمل تعطيل ال-implication وبالتالي by definition | |
| 373 | |
| 00:44:10,580 --> 00:44:20,140 | |
| limit F of X as X tends to C بساوي D طيب | |
| 374 | |
| 00:44:20,140 --> 00:44:27,120 | |
| نأخذ كمان مثال لو أخذت ال-identity function | |
| 375 | |
| 00:44:34,810 --> 00:44:40,290 | |
| بنثبت إن limit ده identity function لما x تقول إلى | |
| 376 | |
| 00:44:40,290 --> 00:44:47,110 | |
| أي عدد حقيقي c بساوي c نستخدم | |
| 377 | |
| 00:44:47,110 --> 00:44:52,310 | |
| تعريف epsilon delta let epsilon أكبر من الصفر be | |
| 378 | |
| 00:44:52,310 --> 00:44:59,370 | |
| given المرة هذه بدي أرد على ال-epsilon هذه ال | |
| 379 | |
| 00:44:59,370 --> 00:45:05,230 | |
| Delta تعتمد عليها هأختار ال-Delta بساوي epsilon | |
| 380 | |
| 00:45:05,230 --> 00:45:10,430 | |
| يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta بساوي epsilon | |
| 381 | |
| 00:45:10,430 --> 00:45:10,530 | |
| يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta بساوي epsilon | |
| 382 | |
| 00:45:10,530 --> 00:45:12,470 | |
| يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta بساوي epsilon | |
| 383 | |
| 00:45:12,470 --> 00:45:17,090 | |
| يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta بساوي epsilon | |
| 384 | |
| 00:45:17,090 --> 00:45:19,890 | |
| يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta بساوي epsilon | |
| 385 | |
| 00:45:19,890 --> 00:45:23,450 | |
| يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta بساوي epsilon | |
| 386 | |
| 00:45:23,450 --> 00:45:29,320 | |
| يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta هي عبارة عن ال | |
| 387 | |
| 00:45:29,320 --> 00:45:33,500 | |
| identity function لكل X المجال تبعها كل الأعداد | |
| 388 | |
| 00:45:33,500 --> 00:45:40,060 | |
| الحقيقية فلو كانت X تنتمي لـ A اللي هي R و Absolute | |
| 389 | |
| 00:45:40,060 --> 00:45:46,100 | |
| X minus C أكبر من Zero أصغر من Delta فخلينا نشوف | |
| 390 | |
| 00:45:46,100 --> 00:45:52,880 | |
| هل بيطلع Absolute F of X minus ال-L اللي هو C أصغر | |
| 391 | |
| 00:45:52,880 --> 00:45:56,240 | |
| من Epsilon هنشوف | |
| 392 | |
| 00:45:57,800 --> 00:46:04,860 | |
| طيب نعوض عن F of X بالساوية X minus C طب أنا عند ال | |
| 393 | |
| 00:46:04,860 --> 00:46:10,320 | |
| X هذه موجودة في R و المسافة بينها ومختلفة عن الـ C | |
| 394 | |
| 00:46:10,320 --> 00:46:13,880 | |
| والمسافة بينهم أصغر من Delta اللي أنا باخدها | |
| 395 | |
| 00:46:13,880 --> 00:46:19,420 | |
| بالساوية epsilon إذا ال-absolute X minus C من هنا أصغر من | |
| 396 | |
| 00:46:19,420 --> 00:46:27,090 | |
| Delta اللي هي epsilon وبالتالي درهين أثبتت أنه لأي إبسلون | |
| 397 | |
| 00:46:27,090 --> 00:46:32,990 | |
| يوجد Delta اللي هي إبسلون نفسها بحيث لكل x في a إذا | |
| 398 | |
| 00:46:32,990 --> 00:46:36,570 | |
| كان absolute x minus c أكبر من صفر أصغر من Delta | |
| 399 | |
| 00:46:36,570 --> 00:46:40,490 | |
| هذا بيقدر أن absolute f of x minus l أصغر من | |
| 400 | |
| 00:46:40,490 --> 00:46:47,650 | |
| إبسلون since إبسلون أكبر من الصفر was arbitrary | |
| 401 | |
| 00:46:52,350 --> 00:47:00,830 | |
| we get from the definition هذا الكلام صحيح لكل | |
| 402 | |
| 00:47:00,830 --> 00:47:06,690 | |
| epsilon وبالتالي by definition بيطلع عندي limit ال | |
| 403 | |
| 00:47:06,690 --> 00:47:10,430 | |
| function f of x اللي هي ال-identity function لما x | |
| 404 | |
| 00:47:10,430 --> 00:47:19,750 | |
| تقوى لـ c بساوي c وهو المطلوب تمام okay إذا المرة | |
| 405 | |
| 00:47:19,750 --> 00:47:27,480 | |
| الجاية هنثبت إن limited ده لتربعية لما x أو لـ c | |
| 406 | |
| 00:47:27,480 --> 00:47:33,280 | |
| بساوي c تربيع وهذا موجود طبعًا في الكتاب وفي كمان | |
| 407 | |
| 00:47:33,280 --> 00:47:37,780 | |
| أمثلة أخرى فأرجو أنكم تقرأوا الأمثلة هذه من الكتاب | |
| 408 | |
| 00:47:37,780 --> 00:47:44,350 | |
| وتحضروها للمحاضرة الجاية وتشوفوا كيف تم استخدام | |
| 409 | |
| 00:47:44,350 --> 00:47:49,410 | |
| تعريف epsilon delta في إثبات إن ال-limit لدالة زهر | |
| 410 | |
| 00:47:49,410 --> 00:47:53,530 | |
| الدالة التربعية بساوي C تربيع عند أي نقطة C okay | |
| 411 | |
| 00:47:53,530 --> 00:47:58,270 | |
| تمام؟ في أي سؤال أو إيضاح؟ إذا نكتفي بهذا القدر | |
| 412 | |
| 00:47:58,270 --> 00:48:02,410 | |
| وإن شاء الله اللي أنا أكملّه في المحاضرة القادمة | |