Add files using upload-large-folder tool

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/-3lwzxWH7r8_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1544 @@
+1
+00:00:21,600 --> 00:00:29,560
+ال .. في المحاضرة السابقة بدأنا التعرف على cushy
+
+2
+00:00:29,560 --> 00:00:35,020
+sequences فأخدنا تعريف ال cushy sequence و أثبتنا
+
+3
+00:00:35,020 --> 00:00:41,000
+أنه كل convergence sequence is cushy و أعتقد كمان
+
+4
+00:00:41,000 --> 00:00:48,510
+أثبتنا أنه كل cushy sequence is bounded صحيح؟اليوم
+
+5
+00:00:48,510 --> 00:00:54,970
+هنثبت العكس و هو ان كل كوشي sequence is convergent
+
+6
+00:00:54,970 --> 00:01:00,630
+فنستعيد بس نستذكر مع بعض تعريف الكوشي sequence
+
+7
+00:01:00,630 --> 00:01:07,450
+definition a
+
+8
+00:01:07,450 --> 00:01:14,010
+sequence of real numbers xn is
+
+9
+00:01:14,010 --> 00:01:14,710
+cauchy
+
+10
+00:01:18,570 --> 00:01:26,170
+إذا تحقق الشرط التالي لكل epsilon أكبر من الصفر
+
+11
+00:01:26,170 --> 00:01:32,270
+يوجد capital N depends on epsilon natural number
+
+12
+00:01:32,270 --> 00:01:41,660
+such that لو كان N و N bigger than or equal Nthis
+
+13
+00:01:41,660 --> 00:01:48,840
+implies أن absolute value ل xn minus xm أصغر من
+
+14
+00:01:48,840 --> 00:01:53,960
+إيصال وشوفنا
+
+15
+00:01:53,960 --> 00:02:03,260
+المرة اللي فاتت أو برهننا limit 2 و 21 every
+
+16
+00:02:03,260 --> 00:02:06,820
+convergent
+
+17
+00:02:11,450 --> 00:02:17,190
+sequence is cauchy
+
+18
+00:02:17,190 --> 00:02:27,510
+ثم برهنة another لمبة لمبة اتنين و عشرين بتقول
+
+19
+00:02:27,510 --> 00:02:34,250
+اللمبة هذه ان every cauchy
+
+20
+00:02:34,250 --> 00:02:35,010
+sequence
+
+21
+00:02:40,290 --> 00:02:49,630
+is bounded اليوم
+
+22
+00:02:49,630 --> 00:02:59,890
+هنثبت نظرية مهمة نظرية اتنين تلاتة وعشرين وهذه
+
+23
+00:02:59,890 --> 00:03:07,310
+النظرية هي كوشي كوشي
+
+24
+00:03:07,310 --> 00:03:08,150
+criterion
+
+25
+00:03:11,820 --> 00:03:18,680
+أو معيار كوشي معيار
+
+26
+00:03:18,680 --> 00:03:25,580
+كوشي للتقارب النظرية
+
+27
+00:03:25,580 --> 00:03:35,800
+بتنص على أن a sequence x in contained in R is
+
+28
+00:03:35,800 --> 00:03:36,700
+convergent
+
+29
+00:03:39,150 --> 00:03:55,130
+is convergent if and only if it is cauchy any
+
+30
+00:03:55,130 --> 00:04:00,610
+sequence of real numbers بتكون convergent if and
+
+31
+00:04:00,610 --> 00:04:04,750
+only if it is cauchy البرهان
+
+32
+00:04:09,110 --> 00:04:15,430
+this part اللي هو ال only if part هذا هو نفسه لمّة
+
+33
+00:04:15,430 --> 00:04:29,890
+واحدة عشرين if x in is convergent then
+
+34
+00:04:29,890 --> 00:04:32,990
+by
+
+35
+00:04:32,990 --> 00:04:37,210
+لمّة واحدة عشرين
+
+36
+00:04:40,710 --> 00:04:46,370
+it is cushy it is cushy
+
+37
+00:04:46,370 --> 00:04:51,850
+لأن هذا جزء برهناه في المحاضرة السابقة على صورة
+
+38
+00:04:51,850 --> 00:05:00,710
+لمة واحد وعشرين ال .. ال if part هنبرهنه اليوم
+
+39
+00:05:00,710 --> 00:05:09,520
+هنشوف مع بعض assume العكسassume أن الـ sequence x
+
+40
+00:05:09,520 --> 00:05:16,100
+in is Cauchy وبدنا
+
+41
+00:05:16,100 --> 00:05:25,280
+نثبت إنها convergent طيب بما إنها Cauchy then
+
+42
+00:05:25,280 --> 00:05:31,540
+by لمّا اتنين و عشرين تطلع bounded
+
+43
+00:05:36,760 --> 00:05:43,280
+إذا by لمبة إتنين و عشرين ال sequence x in is
+
+44
+00:05:43,280 --> 00:05:52,560
+bounded بستخدام
+
+45
+00:05:52,560 --> 00:05:55,600
+Bolzano-Weierstrass theorem
+
+46
+00:06:05,480 --> 00:06:09,240
+اللي أخدناها المحاضرة السابقة أو اللي قبلها هذا
+
+47
+00:06:09,240 --> 00:06:15,960
+اختصار بولزانو ويرشتراس بولزانو ويرشتراس هنا بتقول
+
+48
+00:06:15,960 --> 00:06:18,900
+انه كل bounded sequence has a convergent
+
+49
+00:06:18,900 --> 00:06:27,720
+subsequence فهي عندي bounded sequence sequence x
+
+50
+00:06:27,720 --> 00:06:33,480
+in has a
+
+51
+00:06:33,480 --> 00:06:34,560
+convergent
+
+52
+00:06:39,950 --> 00:06:44,370
+sub-sequence x
+
+53
+00:06:44,370 --> 00:06:57,970
+in k وها دي converges to x star تنتمي إلى R طبعا؟
+
+54
+00:06:57,970 --> 00:07:03,550
+إذن هذه sub-sequence من x in وconvergent to some x
+
+55
+00:07:03,550 --> 00:07:05,350
+star تنتمي إلى R
+
+56
+00:07:08,910 --> 00:07:14,610
+طيب احنا عايزين نثبت claim عايزين
+
+57
+00:07:14,610 --> 00:07:24,210
+احنا نثبت ان ال sequence xn converges الى العدد
+
+58
+00:07:24,210 --> 00:07:32,530
+x star وبالتالي هيك بنكمل برهان انظرية صح؟ فلبرهان
+
+59
+00:07:32,530 --> 00:07:33,090
+ذلك
+
+60
+00:07:36,470 --> 00:07:44,330
+نستخدم تعريف epsilon capital N للـ limit فبنبدأ بـ
+
+61
+00:07:44,330 --> 00:07:47,790
+epsilon أكبر من السفر عشوائية let epsilon أكبر من
+
+62
+00:07:47,790 --> 00:07:57,240
+السفر be givenنحتاج أن نشهر أن هناك كابتل N كمية
+
+63
+00:07:57,240 --> 00:07:59,060
+عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون
+
+64
+00:07:59,060 --> 00:08:00,120
+كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على
+
+65
+00:08:00,120 --> 00:08:02,780
+إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد
+
+66
+00:08:02,780 --> 00:08:05,280
+على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة
+
+67
+00:08:05,280 --> 00:08:08,080
+تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية
+
+68
+00:08:08,080 --> 00:08:09,960
+عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون
+
+69
+00:08:09,960 --> 00:08:14,020
+كمية عامة تعتمد على إبسلون
+
+70
+00:08:14,020 --> 00:08:21,080
+كمية عامة تعتمد على إبسلون
+
+71
+00:08:23,720 --> 00:08:27,960
+وهي إبسلون given، إذا by definition of Cauchy
+
+72
+00:08:27,960 --> 00:08:33,920
+sequence there exists capital N depends on إبسلون
+
+73
+00:08:33,920 --> 00:08:44,200
+natural number such that لكل N و M أكبر من أو ساوي
+
+74
+00:08:44,200 --> 00:08:50,400
+capital N، this implies an absolute X N minus X M
+
+75
+00:08:52,000 --> 00:09:00,760
+less than epsilon at null نسمي
+
+76
+00:09:00,760 --> 00:09:06,380
+ال implication هيا دي star طيب
+
+77
+00:09:06,380 --> 00:09:12,900
+احنا حصلنا على انه ال sequence x أو ال subsequence
+
+78
+00:09:12,900 --> 00:09:18,080
+x in k converges to x star
+
+79
+00:09:20,890 --> 00:09:25,870
+إذا لنفس الـ Epsilon و Epsilon هي نفس الـ Epsilon
+
+80
+00:09:25,870 --> 00:09:34,130
+given فمن تعريف ال convergence for
+
+81
+00:09:34,130 --> 00:09:39,950
+same Epsilon أكبر من الصفر نفس الـ Epsilon اللي
+
+82
+00:09:39,950 --> 00:09:47,070
+هناك نقدر نلاقي يوجد capital K عدد طبيعي capital K
+
+83
+00:09:49,980 --> 00:09:55,920
+وهذا العدد .. هذا عبارة عن عدد طبيعي وهذا العدد
+
+84
+00:09:55,920 --> 00:10:01,240
+الطبيعي هو واحد من مؤشرات الـ subsequence اللي هم
+
+85
+00:10:01,240 --> 00:10:10,300
+n واحد, n اتنين, n تلاتة و
+
+86
+00:10:10,300 --> 00:10:17,500
+هكذاإذا يوجد كابتل K اللي هو واحد عدد طبيعي وهذا
+
+87
+00:10:17,500 --> 00:10:23,080
+واحد من مؤشرات ال subsequence ممكن أختاره هذا
+
+88
+00:10:23,080 --> 00:10:32,400
+كابتل K أكبر من أو ساوي كابتل N بحيث
+
+89
+00:10:32,400 --> 00:10:41,800
+أن ال absolute value ل Xcapital K minus X star
+
+90
+00:10:41,800 --> 00:10:50,000
+أصغر من إبسلون على اتنين كمان
+
+91
+00:10:50,000 --> 00:10:54,280
+مرة السب سيكوينس هي هتconverge ل X star إذا في
+
+92
+00:10:54,280 --> 00:11:02,780
+capital K natural number و هو واحد من large واحد
+
+93
+00:11:02,780 --> 00:11:10,220
+من ال indices و طبعا كبيرهو ممكن نختاره أكبر من أو
+
+94
+00:11:10,220 --> 00:11:15,720
+ساوي capital N بحيث المسافة بين X كابتل K و X أصلا
+
+95
+00:11:15,720 --> 00:11:21,480
+أصغر من ي على 2 هو ممكن أن أنا يعني هذا أحط هنا K
+
+96
+00:11:21,480 --> 00:11:26,160
+و أقول أن هذا أصغر من ي على 2 لكل K أكبر من أو
+
+97
+00:11:26,160 --> 00:11:33,030
+ساوي كابتل Kصح؟ مش هيك تعريف ال convergence لكن
+
+98
+00:11:33,030 --> 00:11:39,730
+انا بدي اخد K بساوي كابتل K وبالتالي اخد بس X
+
+99
+00:11:39,730 --> 00:11:45,270
+كابتل K المسافة بينها و بين X star أصغر من Y على 2
+
+100
+00:11:45,270 --> 00:11:53,290
+نسمي المتباينة هذه double star الان
+
+101
+00:11:53,290 --> 00:11:53,950
+now
+
+102
+00:11:59,240 --> 00:12:08,140
+أنا عندي كابتل كأكبر من أو ساوي كابتل N so
+
+103
+00:12:08,140 --> 00:12:14,320
+by star by
+
+104
+00:12:14,320 --> 00:12:25,600
+star with M بساوي كابتل K we
+
+105
+00:12:25,600 --> 00:12:26,720
+have لدينا
+
+106
+00:12:30,820 --> 00:12:40,660
+absolute xn minus x capital k أصغر من y ع 2 نسمي
+
+107
+00:12:40,660 --> 00:12:49,900
+هذه المتباينة triple triple star كمان مرة ال k هذه
+
+108
+00:12:49,900 --> 00:12:59,980
+اختارناها أكبر منها و يساوي n و من starإذا كانت
+
+109
+00:12:59,980 --> 00:13:05,100
+الـ K .. إذا خدت M بساوي كابتال K و هذه أكبر من أو
+
+110
+00:13:05,100 --> 00:13:11,400
+ساوي N فبتصير المتباينة هذه absolute XN minus XK
+
+111
+00:13:11,400 --> 00:13:17,260
+أزرع من إبسط على اتنين و الـ N هذه لازم تكون أكبر
+
+112
+00:13:17,260 --> 00:13:22,780
+من أو ساوي M، إذن هذا صحيح لكل small M أكبر من أو
+
+113
+00:13:22,780 --> 00:13:24,260
+ساوي كابتال M
+
+114
+00:13:29,670 --> 00:13:35,670
+تمام hence by
+
+115
+00:13:35,670 --> 00:13:44,050
+double star الآن من double star and triple star
+
+116
+00:13:48,930 --> 00:13:57,270
+لدينا we have لو كان n أكبر من أو ساوي capital N
+
+117
+00:13:57,270 --> 00:14:11,330
+فهذا بيقدي أنه absolute xn minus x star طبعا
+
+118
+00:14:11,330 --> 00:14:18,530
+هنا هترح x capital K و هرجعها
+
+119
+00:14:28,690 --> 00:14:38,730
+إذا I subtracted XK and get it back باخد هدوع
+
+120
+00:14:38,730 --> 00:14:43,640
+الأثنين مع بعض و التحدين هدوع مع بعضالـ absolute
+
+121
+00:14:43,640 --> 00:14:49,100
+value بالترانجل inequality بالترانجل الانيقواليتي
+
+122
+00:14:49,100 --> 00:14:54,380
+هذا أصغر من أسابع absolute الحد الأول اللي هو xn
+
+123
+00:14:54,380 --> 00:15:01,400
+minus xk زائد absolute الحد التاني اللي هو xk
+
+124
+00:15:01,400 --> 00:15:08,500
+minus x star الآن
+
+125
+00:15:08,500 --> 00:15:16,750
+باستخدام triple starمن المتباينة هذه هاي عندي انا
+
+126
+00:15:16,750 --> 00:15:23,170
+x اول شي ال n small n أكبر من أو ساوي capital N
+
+127
+00:15:23,170 --> 00:15:28,590
+هاي small n أكبر من أو ساوي capital N وبالتالي ال
+
+128
+00:15:28,590 --> 00:15:34,870
+absolute value هذه أصغر من epsilon على اتنين زاد و
+
+129
+00:15:34,870 --> 00:15:42,360
+من double star من double starهي عندي absolute x K
+
+130
+00:15:42,360 --> 00:15:47,640
+minus x star أصغر من إبسمن على اتنين المجموع بتطلع
+
+131
+00:15:47,640 --> 00:15:53,460
+إبسمن since
+
+132
+00:15:53,460 --> 00:16:00,000
+إبسمن أكبر من السفر was arbitrarily
+
+133
+00:16:03,850 --> 00:16:09,870
+نحن لدينا من مفهوم الـ convergence أنه هيك منكون
+
+134
+00:16:09,870 --> 00:16:16,690
+أثبتنا أنه limit xn as n tends to infinity equals
+
+135
+00:16:16,690 --> 00:16:26,790
+x star وهذا بكمل برهان ال claim و النظرية تمام؟
+
+136
+00:16:26,790 --> 00:16:32,160
+هاي لاحظوا أن احنابنثبت أننا ندعي أن الـSequence
+
+137
+00:16:32,160 --> 00:16:35,660
+Xn هي الـConversion لـX الصار حسب تعريف epsilon
+
+138
+00:16:35,660 --> 00:16:40,360
+capital N للـLimits بدأنا بـepsilon given عشوائية
+
+139
+00:16:40,360 --> 00:16:46,360
+عدد موجب أثبتنا هي يوجد capital N يعتمد على
+
+140
+00:16:46,360 --> 00:16:51,660
+epsilon أشرر numberبحيث انه لكل N أكبر من او ساوي
+
+141
+00:16:51,660 --> 00:16:59,400
+capital N طلع absolute xn minus x star less than
+
+142
+00:16:59,400 --> 00:17:07,300
+epsilon لما ان هذا الكلام صحيح لكل epsilonإذا by
+
+143
+00:17:07,300 --> 00:17:10,880
+definition limit xn ساوي x أسطورة، إذا ال sequence
+
+144
+00:17:10,880 --> 00:17:14,240
+convergent إذا هذا بيكمل البرهان إن لو كانت ال
+
+145
+00:17:14,240 --> 00:17:18,800
+sequence كوشي then it is convergent تمام واضح
+
+146
+00:17:18,800 --> 00:17:23,960
+البرهان؟ okay حلو إذا نعم
+
+147
+00:17:28,410 --> 00:17:32,690
+مش احنا حاكينا ان x and is bounded؟ صحيح طيب الحين
+
+148
+00:17:32,690 --> 00:17:37,530
+في عند قلب بالنزام و بالسترس في عند x and في عند
+
+149
+00:17:37,530 --> 00:17:41,470
+conversion subsequence صح هدا هي صح conversion ل x
+
+150
+00:17:41,470 --> 00:17:46,590
+and to some x star احنا أخدنا نظرية إذا كانت ال
+
+151
+00:17:46,590 --> 00:17:51,110
+conversion subsequence converge to x و x to r ف x
+
+152
+00:17:51,110 --> 00:17:55,890
+and تكون converge ل x لا مااخدنا نظرية زيك انت مش
+
+153
+00:17:55,890 --> 00:17:57,050
+خارق النظرية صح
+
+154
+00:18:00,740 --> 00:18:05,020
+لأ النظرية مابتحكيش هيك معلش النظرية هذه بتقول لو
+
+155
+00:18:05,020 --> 00:18:09,700
+أنا في عندي bounded sequence و لو كل convergent
+
+156
+00:18:09,700 --> 00:18:13,940
+sequence من ال sequence هذه convergent لعدد X
+
+157
+00:18:13,940 --> 00:18:19,160
+فلازم ال sequence نفسها تكون convergent ل X أنا
+
+158
+00:18:19,160 --> 00:18:22,900
+عندي بس sequence sub sequence واحدة converged ل X
+
+159
+00:18:22,900 --> 00:18:26,860
+أصلا و ليس every convergent subsequence converged
+
+160
+00:18:26,860 --> 00:18:31,790
+ل X أصلافالفرض التاني تبع النظرية اللي بتحكي عنها
+
+161
+00:18:31,790 --> 00:18:38,270
+مش متحقق وبالتالي لا استطيع تطبيق النظرية تمام؟ في
+
+162
+00:18:38,270 --> 00:18:45,290
+اي سؤال تاني؟ okay ده سؤال كتير يعني مهم و .. و ..
+
+163
+00:18:45,290 --> 00:18:51,790
+و جيد و ياريت يعني اي حد عنده تساؤل زي هذا يعني
+
+164
+00:18:51,790 --> 00:18:58,410
+يسأله هل في اي شي في القرآن مش واضح؟ واضح اكتر من
+
+165
+00:18:58,410 --> 00:19:02,990
+هيك؟Okay أعتقد أن البرهان واضح يعني لو قرأته
+
+166
+00:19:02,990 --> 00:19:10,710
+بتماعه هتجد أنه يعني سهل و بسيط طيب ناخد أمثلة على
+
+167
+00:19:10,710 --> 00:19:17,430
+كيف نستخدم تعريف ال koshi sequence في إثبات أنه
+
+168
+00:19:17,430 --> 00:19:25,730
+given sequence is koshi باستخدام التعريف مباشرة و
+
+169
+00:19:25,730 --> 00:19:28,410
+ليس باستخدام اللي هو koshi criterion
+
+170
+00:19:31,950 --> 00:19:47,490
+إذا ناخد هنا بعض الأمثلة examples
+
+171
+00:19:47,490 --> 00:19:52,930
+الأمثلة
+
+172
+00:19:52,930 --> 00:20:00,250
+دي أنا أعطيها الرقم 224 أول مثال show
+
+173
+00:20:04,710 --> 00:20:13,310
+directly show direct that
+
+174
+00:20:13,310 --> 00:20:20,390
+ال sequence ال
+
+175
+00:20:20,390 --> 00:20:25,130
+sequence واحد على ان is Cauchy
+
+176
+00:20:35,150 --> 00:20:39,630
+لما اقول show directly ان ال sequence معينة is
+
+177
+00:20:39,630 --> 00:20:44,450
+Cauchy معناها ده بدي استخدم التعريف بدي استخدم
+
+178
+00:20:44,450 --> 00:20:50,450
+التعريف تبع Cauchy sequence فنشوف
+
+179
+00:20:50,450 --> 00:20:56,210
+مع بعض طبعا
+
+180
+00:20:56,210 --> 00:21:02,230
+البرهانباستخدام التعريف هنبدأ بأبسلون أكبر من
+
+181
+00:21:02,230 --> 00:21:07,510
+السفر ونرد عليها بcapital N بتخلي ال implication
+
+182
+00:21:07,510 --> 00:21:13,890
+هي دي تتحقق بالظبط زي .. يعني قريب يعني بالظبط زي
+
+183
+00:21:13,890 --> 00:21:18,370
+ما عملنا في اثبات ان ال sequence is convergent و
+
+184
+00:21:18,370 --> 00:21:27,670
+هنستخدم الarchimedean property نشوف مع بعض let
+
+185
+00:21:29,570 --> 00:21:37,110
+بالمناسبة .. بالمناسبة يعني احنا كيف نحدد ال
+
+186
+00:21:37,110 --> 00:21:40,010
+capital N for any given epsilon؟
+
+187
+00:21:48,010 --> 00:21:54,270
+أنا يعني هي عندي absolute xn minus xm لو في عندي
+
+188
+00:21:54,270 --> 00:21:59,310
+epsilon given epsilon موجة given فمن الآخر أنا
+
+189
+00:21:59,310 --> 00:22:05,190
+عايز أثبت أنه هذا أصغر من إمسنان، مظبوط؟ طب ما هذا
+
+190
+00:22:05,190 --> 00:22:11,530
+عبارة عن absolute واحد على n minus واحد على m وهذا
+
+191
+00:22:11,530 --> 00:22:16,250
+أصغر من أو ساوي absolute واحد على n زائد absolute
+
+192
+00:22:16,250 --> 00:22:23,490
+واحد على mبصبوط وهذه أعداد موجبة فهذا واحد على M
+
+193
+00:22:23,490 --> 00:22:28,290
+زائد واحد على M طيب
+
+194
+00:22:28,290 --> 00:22:33,950
+أنا عايز أجيب capital M بحيث
+
+195
+00:22:33,950 --> 00:22:39,050
+أنه لو كانت ال N و ال M أكبر من أو ساوي capital N
+
+196
+00:22:39,050 --> 00:22:44,670
+فبدنا هذا يؤدي إلى ال absolute value هذه أصغر من
+
+197
+00:22:44,670 --> 00:22:49,460
+إبسلونإذن ال N و ال M هدول لازم يكونوا أكبر من
+
+198
+00:22:49,460 --> 00:22:53,880
+capital N اللي أنا مش عارف إيش هي، بدي أجيبها، إذن
+
+199
+00:22:53,880 --> 00:23:02,480
+و بالتالي من هنا هذا بيقدي إن واحد على N و كذلك
+
+200
+00:23:02,480 --> 00:23:10,060
+واحد على M أصغر من أوسع واحد على capital N، صح؟إذا
+
+201
+00:23:10,060 --> 00:23:14,720
+كانت n أكبر من أو يساوي capital N ف1 على n هتصير
+
+202
+00:23:14,720 --> 00:23:19,100
+أصغر من أو يساوي 1 على capital N وكذلك بالنسبة ل
+
+203
+00:23:19,100 --> 00:23:25,620
+M، مظبوط؟ إذاً هذا هيصير أصغر من أو يساوي 1 على
+
+204
+00:23:25,620 --> 00:23:30,620
+capital N وهذا أصغر من 1 على capital N بساوي 2 على
+
+205
+00:23:30,620 --> 00:23:34,980
+capital M الآن بدي أخلي هذا، متى بيكون هذا أصغر من
+
+206
+00:23:34,980 --> 00:23:45,300
+epsilon؟أه، إذا هاخد n أصغر من epsilon على 2 أو 1
+
+207
+00:23:45,300 --> 00:23:51,080
+على n أصغر من epsilon على 2 إذا هذا أصغر من
+
+208
+00:23:51,080 --> 00:23:56,720
+epsilon عندما 1 على n أصغر من epsilon على 2 طيب،
+
+209
+00:23:56,720 --> 00:24:03,640
+أنا لو بدأت بepsilon عدد موجب فepsilon على 2 بطلع
+
+210
+00:24:03,640 --> 00:24:08,540
+عدد موجب و by Archimedean propertyلأي عدد موجب زي
+
+211
+00:24:08,540 --> 00:24:13,740
+هذا يوجد capital N عدد طبيعي بحيث مقلوب و أصغر من
+
+212
+00:24:13,740 --> 00:24:18,440
+epsilon ع اتنين اذا capital N اللي بتعتمد ع ال
+
+213
+00:24:18,440 --> 00:24:22,380
+given epsilon لازم تكون مقلوبها أصغر من epsilon ع
+
+214
+00:24:22,380 --> 00:24:26,800
+اتنين عشان يطلع هذا أصغر من epsilon شوفتوا كيف
+
+215
+00:24:26,800 --> 00:24:31,240
+منطلق ال capital N و ال Archimedean property طبعا
+
+216
+00:24:31,240 --> 00:24:38,930
+تضمنلي وجود مثل هالعدد capital Nتمام؟ إذا باجي
+
+217
+00:24:38,930 --> 00:24:42,790
+بقول هنا let epsilon الكلام هذا طبعا بعمله في
+
+218
+00:24:42,790 --> 00:24:47,690
+الهامش بعدين باجي برتبه بقول let epsilon أكبر من
+
+219
+00:24:47,690 --> 00:24:56,610
+السفر be given إذا
+
+220
+00:24:56,610 --> 00:25:00,930
+it choose by
+
+221
+00:25:00,930 --> 00:25:04,110
+Archimedean property
+
+222
+00:25:08,750 --> 00:25:19,250
+نختار capital N عدد طبيعي بحيث انه مقلوب ال N أصغر
+
+223
+00:25:19,250 --> 00:25:24,910
+من إبسلون على اتنين إذا هان أثبتت يوجد capital N
+
+224
+00:25:24,910 --> 00:25:29,190
+وهي اعتمد على إبسلون هي مرتبطة بإبسلون
+
+225
+00:25:35,760 --> 00:25:41,740
+هذا هيعطينا ال implication تبع الكوشي sequence
+
+226
+00:25:41,740 --> 00:25:46,240
+then
+
+227
+00:25:46,240 --> 00:25:54,280
+لو أخدت N و M أكبر من أوسع ال capital N هذه
+
+228
+00:25:54,280 --> 00:26:04,420
+فبالتأكيد هذا هيقدر ال 1 على N و كذلكواحد على M
+
+229
+00:26:04,420 --> 00:26:09,300
+كلهما أصغر من أو ساوي واحد على capital N وهذا
+
+230
+00:26:09,300 --> 00:26:15,120
+بدوره بيقدي أنه absolute واحد على M minus واحد على
+
+231
+00:26:15,120 --> 00:26:26,020
+M طبعا هذه XM وهذه XM فشوفنا أن هذا أصغر من أو
+
+232
+00:26:26,020 --> 00:26:29,940
+ساوي absolute واحد على Mباستخدام ال triangle
+
+233
+00:26:29,940 --> 00:26:36,140
+inequality زائد absolute سالب واحد على M اللي هو
+
+234
+00:26:36,140 --> 00:26:44,520
+absolute واحد على M طيب هذا بساوي واحد على M زائد
+
+235
+00:26:44,520 --> 00:26:49,800
+واحد على M لإن رد عداد موجبة وقول إن هذا أصغر من
+
+236
+00:26:49,800 --> 00:26:55,830
+أو يساوي واحد على Mزايد واحد على N وهذا بيساوي
+
+237
+00:26:55,830 --> 00:27:05,510
+اتنين على N وهذا من الاختيار تبعنا ل capital N by
+
+238
+00:27:05,510 --> 00:27:15,990
+star اتنين على N أصغر من epsilon طب
+
+239
+00:27:15,990 --> 00:27:22,830
+ما هذه .. هذا هو شرط Koshi صح؟ هذا هو شرط Koshiإذا
+
+240
+00:27:22,830 --> 00:27:28,310
+by definition بما أن هذا صحيح لكل epsilon since
+
+241
+00:27:28,310 --> 00:27:39,990
+epsilon أكبر من الصفر was arbitrary by
+
+242
+00:27:39,990 --> 00:27:45,830
+definition of Cauchy sequence ال sequence xn is
+
+243
+00:27:45,830 --> 00:27:50,990
+اللي هي واحد على n اللي الحد العام تبعها واحد على
+
+244
+00:27:50,990 --> 00:27:57,610
+nis Cauchy تمام
+
+245
+00:27:57,610 --> 00:28:04,230
+هنا أثبتنا إن ال sequence Cauchy مباشرة باستخدام
+
+246
+00:28:04,230 --> 00:28:12,050
+التعريف طبعا في برهان تاني ممكن نستخدم Cauchy
+
+247
+00:28:12,050 --> 00:28:18,290
+criterion احنا ممكن نثبت إن ال sequence هذي
+
+248
+00:28:18,290 --> 00:28:24,620
+convergentو أثبتنا هذا الكلام جبليك صح؟ و حسب
+
+249
+00:28:24,620 --> 00:28:28,640
+cushy criterion بما أنه ال sequence convergent
+
+250
+00:28:28,640 --> 00:28:32,760
+then it is cushy صح؟ هذا برهان تاني لكن إذا كنا
+
+251
+00:28:32,760 --> 00:28:38,260
+لكم برهنيها directly يعني استخدم التعريف لازم
+
+252
+00:28:38,260 --> 00:28:45,600
+البرهان هذا هو اللي إيه تكتبوه واضح تمام؟ في أي
+
+253
+00:28:45,600 --> 00:28:46,400
+استفسار؟
+
+254
+00:28:50,060 --> 00:28:51,700
+ناخد مثال تاني
+
+255
+00:29:18,730 --> 00:29:27,750
+مثال تقم اتنين consider .. consider
+
+256
+00:29:27,750 --> 00:29:36,370
+ال sequence defined
+
+257
+00:29:36,370 --> 00:29:38,710
+inductively
+
+258
+00:29:48,750 --> 00:29:52,770
+إذا في عن��ي sequence معرفة بطريقة استقرائية
+
+259
+00:29:52,770 --> 00:30:03,070
+كالتالي كما هي ليه هناخد x1 بساوي واحد و x2 بساوي
+
+260
+00:30:03,070 --> 00:30:12,710
+اتنين طب و xn-n أكبر من أو ساوي تلاتة هناخده بساوي
+
+261
+00:30:12,710 --> 00:30:24,340
+نص فيxn سالب اتنين زائد xn negative one طبعا هذا
+
+262
+00:30:24,340 --> 00:30:30,740
+لكل n أدب طبيعي أكبر من أو ساوى تلاتة اذا هنا في
+
+263
+00:30:30,740 --> 00:30:35,160
+اندي سيكوانس معرفة بطريقة استقرائية اول حدين اللي
+
+264
+00:30:35,160 --> 00:30:41,200
+هم قيم معينة الحد التالت وانت طالع معرف بدلالة
+
+265
+00:30:41,200 --> 00:30:47,520
+الحد اللي حدين اللي جابله مباشرةهذا طبعا بيعطينا
+
+266
+00:30:47,520 --> 00:30:53,720
+sequence المطلوب عايزين نثبت show ان ال sequence x
+
+267
+00:30:53,720 --> 00:31:04,020
+in is convergent و converges to the number 5 over
+
+268
+00:31:04,020 --> 00:31:12,220
+3 البرهان
+
+269
+00:31:17,020 --> 00:31:24,000
+هنثبت we first show
+
+270
+00:31:24,000 --> 00:31:37,700
+that sequence xn converges by
+
+271
+00:31:37,700 --> 00:31:41,700
+showing
+
+272
+00:31:41,700 --> 00:31:46,540
+بإثبات أنه
+
+273
+00:31:51,510 --> 00:32:00,170
+إنها كوشي thanks
+
+274
+00:32:00,170 --> 00:32:07,610
+to koshi criterion
+
+275
+00:32:07,610 --> 00:32:17,390
+طبعا هذا بفضل معيار كوشي أو كوشي criterion هنثبت
+
+276
+00:32:17,390 --> 00:32:23,510
+الأول أن ال sequence هي to convergentبإثبات إنه
+
+277
+00:32:23,510 --> 00:32:28,970
+كوشي وهذا طبعا حسب كوشي criterion إذا أثبتنا إن ال
+
+278
+00:32:28,970 --> 00:32:35,730
+sequence كوشي بتكون convergent تمام فنشوف كيف ممكن
+
+279
+00:32:35,730 --> 00:32:40,150
+نثبت الكلام هذا فأول شيء بدي أثبت إن ال sequence
+
+280
+00:32:40,150 --> 00:32:44,750
+bounded إذن هنا الإدعاء
+
+281
+00:32:44,750 --> 00:32:51,710
+الأول أو claim number oneالسيكونس xn الحد العام
+
+282
+00:32:51,710 --> 00:32:56,890
+تبعها أكبر من أو ساوي الواحد أصغر من أو ساوي اتنين
+
+283
+00:32:56,890 --> 00:33:05,050
+لكل n في n لبرهان
+
+284
+00:33:05,050 --> 00:33:11,810
+ذلك to see this use
+
+285
+00:33:11,810 --> 00:33:14,310
+induction
+
+286
+00:33:19,650 --> 00:33:27,010
+on n so I will leave it for you to prove claim one
+
+287
+00:33:27,010 --> 00:33:33,250
+by induction on n فالحالة
+
+288
+00:33:33,250 --> 00:33:38,010
+لو بنشوف بقرا ال statement هذا when n equals one
+
+289
+00:33:38,010 --> 00:33:44,090
+هذا معناه ان المتباين هذه هتكون x one أكبر من أو
+
+290
+00:33:44,090 --> 00:33:50,360
+ساوى الواحد أصغر من أو ساوى اتنين وهذا trueو هذه
+
+291
+00:33:50,360 --> 00:33:56,880
+صحيحة لأن هاي x واحد بساوي واحد و الواحد أكبر من
+
+292
+00:33:56,880 --> 00:34:01,620
+أو ساوي الواحد هو less than or equal to لذن ال
+
+293
+00:34:01,620 --> 00:34:06,000
+statement هذا is true for n بساوي one assume it is
+
+294
+00:34:06,000 --> 00:34:09,620
+true for n بساوي k و prove it for n بساوي k زاد
+
+295
+00:34:09,620 --> 00:34:13,500
+واحد فيعني
+
+296
+00:34:13,500 --> 00:34:16,200
+هسيبكم أنتم تكملوا البرهان البرهان سهل
+
+297
+00:34:19,520 --> 00:34:28,600
+So this is claim one الان by claim one
+
+298
+00:34:28,600 --> 00:34:36,400
+By claim one The
+
+299
+00:34:36,400 --> 00:34:43,020
+sequence x in is bounded حسب
+
+300
+00:34:43,020 --> 00:34:50,140
+claim one لأن claim oneأثبتنا فيه أو هتثبتوا فيه
+
+301
+00:34:50,140 --> 00:34:53,880
+ان الـ x in ال sequence x كل حدود ال sequence
+
+302
+00:34:53,880 --> 00:34:57,740
+محصورة بين واحد واتنين وبالتالي bounded below by
+
+303
+00:34:57,740 --> 00:35:02,680
+one bound above by two وبالتالي bounded okay إذا
+
+304
+00:35:02,680 --> 00:35:15,440
+ال sequence bounded الآن لو كتبنا writing
+
+305
+00:35:15,440 --> 00:35:16,220
+out
+
+306
+00:35:21,120 --> 00:35:29,260
+الأول مرات .. المرات
+
+307
+00:35:29,260 --> 00:35:32,100
+الأول مرات .. المرات الأول مرات .. المرات الأول
+
+308
+00:35:32,100 --> 00:35:32,120
+المرات الأول مرات .. المرات الأول مرات الأول مرات
+
+309
+00:35:32,120 --> 00:35:33,160
+مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات
+
+310
+00:35:33,160 --> 00:35:33,480
+الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول
+
+311
+00:35:33,480 --> 00:35:34,040
+مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات
+
+312
+00:35:34,040 --> 00:35:34,600
+الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول
+
+313
+00:35:34,600 --> 00:35:35,980
+مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات
+
+314
+00:35:35,980 --> 00:35:39,620
+الأول مرات الأول
+
+315
+00:35:39,620 --> 00:35:46,440
+مرات الأول
+
+316
+00:35:46,440 --> 00:35:47,720
+مرات
+
+317
+00:35:49,600 --> 00:35:56,440
+is not monotone لو
+
+318
+00:35:56,440 --> 00:36:02,300
+كتبنا أول أربع خمس ست حدود من ال sequence هذه
+
+319
+00:36:02,300 --> 00:36:08,060
+فبلاحظ أنها ليست monotone ليست increasing neither
+
+320
+00:36:08,060 --> 00:36:14,100
+increasing nor decreasingوبالتالي نقدر نستخدم الـ
+
+321
+00:36:14,100 --> 00:36:23,600
+monotone convergence theorem so we can't we can't
+
+322
+00:36:23,600 --> 00:36:31,120
+use ال monotone convergence theorem we
+
+323
+00:36:31,120 --> 00:36:31,940
+can't
+
+324
+00:36:35,030 --> 00:36:42,910
+we can't use monotone convergence theorem الـ
+
+325
+00:36:42,910 --> 00:36:46,570
+sequence bounded عشان استخدم الـ monotone
+
+326
+00:36:46,570 --> 00:36:49,530
+convergence theorem لازم تكون monotone increasing
+
+327
+00:36:49,530 --> 00:36:53,730
+او monotone decreasing ف it is not monotone
+
+328
+00:36:53,730 --> 00:36:56,610
+فماقدرش استخدم ال monotone convergence theorem
+
+329
+00:36:56,610 --> 00:37:03,210
+عشان افحص ال convergenceالـ sequence لازم ابحث عن
+
+330
+00:37:03,210 --> 00:37:09,890
+طريقه تانية غير الـ monotone convergence فيها طيب
+
+331
+00:37:09,890 --> 00:37:16,530
+هنثبت claim 2 claim
+
+332
+00:37:16,530 --> 00:37:24,230
+2 ادعاء تاني وهو ان ال sequence xn بتحقق المعادلة
+
+333
+00:37:24,230 --> 00:37:30,290
+absolute xn minus xn زيادة واحدبساوي واحد على
+
+334
+00:37:30,290 --> 00:37:37,450
+اتنين قص ان نجاتف وان وهذا الكلام صحيح for every n
+
+335
+00:37:37,450 --> 00:37:41,950
+في n to
+
+336
+00:37:41,950 --> 00:37:50,510
+see
+
+337
+00:37:50,510 --> 00:37:54,790
+this لبرهان ذلك use induction
+
+338
+00:37:57,680 --> 00:38:03,880
+use induction on n برضه ممكن برهان المعادلة هذه by
+
+339
+00:38:03,880 --> 00:38:09,460
+induction on n هينبرهن
+
+340
+00:38:09,460 --> 00:38:13,540
+البرهان if
+
+341
+00:38:13,540 --> 00:38:24,670
+n بسبب واحد ف absolute x واحد minus xأتنين بساوي
+
+342
+00:38:24,670 --> 00:38:30,010
+absolute واحد سالي اتنين بساوي absolute واحد بساوي
+
+343
+00:38:30,010 --> 00:38:35,810
+واحد هذا الطرف اليمين و الطرف اليسار واحد على
+
+344
+00:38:35,810 --> 00:38:41,370
+اتنين plus n minus واحد بساوي واحد على اتنين plus
+
+345
+00:38:41,370 --> 00:38:49,110
+سفر بساوي واحدة واحد بساوي واحد اذا
+
+346
+00:38:49,110 --> 00:38:54,930
+المعادلة true for n بساوي واحدطيب assume ال
+
+347
+00:38:54,930 --> 00:39:06,670
+induction hypothesis الفرض طبع ال induction assume
+
+348
+00:39:06,670 --> 00:39:12,710
+أنه ال ..
+
+349
+00:39:12,710 --> 00:39:25,640
+ال claim is true for n بساوة kو k طبعا أكبر من أول
+
+350
+00:39:25,640 --> 00:39:30,920
+سالة من واحد هذا
+
+351
+00:39:30,920 --> 00:39:37,460
+معناه أن absolute xk minus xk زيادة واحد بسالة
+
+352
+00:39:37,460 --> 00:39:44,020
+واحد على اتنين أس كسالب واحد، صح؟ هذه الأدارة
+
+353
+00:39:44,020 --> 00:39:45,600
+صحيحة and k
+
+354
+00:39:49,840 --> 00:39:54,580
+الان تعالى نثبت صحة العبارة عند n بساوي k زايد
+
+355
+00:39:54,580 --> 00:39:59,420
+واحد ناخد الطرف الشمال عندما n بساوي k زايد واحد
+
+356
+00:39:59,420 --> 00:40:06,600
+هذا عبارة عن x k زايد واحد سالد x k زايد اتنين
+
+357
+00:40:06,600 --> 00:40:14,020
+بدنا نثبت ان هذا بساوي واحد على اتنين اص k صح؟ طب
+
+358
+00:40:14,020 --> 00:40:21,460
+تعالى نشوفهي absolute xk plus one minus الان xk
+
+359
+00:40:21,460 --> 00:40:26,760
+زائد اتنين من ال definition تبع ال sequence بدل n
+
+360
+00:40:26,760 --> 00:40:38,320
+بدل n بk زائد اتنين فبطلع نص في xk زائد xk زائد
+
+361
+00:40:38,320 --> 00:40:38,760
+واحد
+
+362
+00:40:49,170 --> 00:41:04,590
+وهذا بيساوي و هذا بيساوي نص في absolute x x
+
+363
+00:41:04,590 --> 00:41:09,430
+k negative x k plus one
+
+364
+00:41:16,590 --> 00:41:19,730
+بعد ما نطرح بطلع عنده نص عامل مشترك و absolute
+
+365
+00:41:19,730 --> 00:41:26,890
+الان by induction hypothesis من الفرض تبع ال
+
+366
+00:41:26,890 --> 00:41:33,130
+induction ال absolute value هذه أيها ايش بيساوي
+
+367
+00:41:33,130 --> 00:41:39,210
+عوض عنها اي نص ضرب one over two to k negative one
+
+368
+00:41:39,210 --> 00:41:43,550
+ويساوي واحد على
+
+369
+00:42:09,140 --> 00:42:09,700
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+370
+00:42:09,700 --> 00:42:09,720
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+371
+00:42:09,720 --> 00:42:09,820
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+372
+00:42:09,820 --> 00:42:10,040
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+373
+00:42:10,040 --> 00:42:10,480
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+374
+00:42:10,480 --> 00:42:10,960
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+375
+00:42:15,820 --> 00:42:23,080
+الان باستخدام ال claim التاني ممكن نثبت شغلة مهمة
+
+376
+00:42:23,080 --> 00:42:36,380
+في البرهان اذا
+
+377
+00:42:36,380 --> 00:42:43,650
+خليها هادى للمرة الجاية بس بدى اكتبهاخليكم أنتوا
+
+378
+00:42:43,650 --> 00:42:53,390
+تفكروا فيها .. خليكم أنتوا تفكروا فيها Now
+
+379
+00:42:53,390 --> 00:43:11,210
+using a claim to verify .. verify that ..
+
+380
+00:43:14,770 --> 00:43:23,190
+F M أكبر من N فهذا
+
+381
+00:43:23,190 --> 00:43:33,530
+بيقدي أن absolute X N minus X M أصغر من واحد على
+
+382
+00:43:33,530 --> 00:43:39,170
+اتنين قص M نجاتي باتنين
+
+383
+00:43:45,950 --> 00:43:54,290
+إذاً هذا ممكن إثباته by ال triangle ال equality و
+
+384
+00:43:54,290 --> 00:44:06,850
+claim اثنين فبنوقف
+
+385
+00:44:06,850 --> 00:44:14,460
+هنا و بنكمل ال .. بنكمل ان شاء اللهالبرهان في
+
+386
+00:44:14,460 --> 00:44:19,680
+المحاضرة الجاية، في حد عنده أي سؤال أو استفسار؟
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/1Uemtyp4-IM_raw.srt

@@ -0,0 +1,1400 @@
+1
+00:00:23,230 --> 00:00:28,870
+بسم الله الرحمن الرحيم في الساعة هذه طبعا هيكون
+
+2
+00:00:28,870 --> 00:00:34,770
+فيانا مناقشة نشوف
+
+3
+00:00:34,770 --> 00:00:39,790
+ال section الأخيرة في chapter تلاتة نبدأ section
+
+4
+00:00:39,790 --> 00:00:43,610
+تلاتة ستة فيانكم أي سؤال في section تلاتة ستة؟
+
+5
+00:00:51,050 --> 00:00:56,790
+التالي هذا نقشناه المرة اللي فاتت طيب
+
+6
+00:00:56,790 --> 00:01:02,630
+في section تلاتة سبعة في عندكم أي أسئلة في section
+
+7
+00:01:02,630 --> 00:01:08,970
+تلاتة سبعة سؤال رقم احداشر نعم رقم احداشر
+
+8
+00:01:22,550 --> 00:01:35,490
+بس الرقم 11 تلاتة سابعة if
+
+9
+00:01:35,490 --> 00:01:42,950
+the series sigma a n with
+
+10
+00:01:42,950 --> 00:01:46,270
+a
+
+11
+00:01:46,270 --> 00:01:51,070
+n أكبر من الصفر is convergent
+
+12
+00:01:54,210 --> 00:02:01,230
+is convergent then
+
+13
+00:02:01,230 --> 00:02:14,890
+is the series sigma للجدر التربيهي ولا
+
+14
+00:02:14,890 --> 00:02:15,410
+لأ؟
+
+15
+00:02:24,900 --> 00:02:29,340
+is the series and
+
+16
+00:02:29,340 --> 00:02:39,240
+if and
+
+17
+00:02:39,240 --> 00:02:52,300
+if BN BN بساوي A واحد زائد إلى AN كل هذا مجسوم على
+
+18
+00:02:52,300 --> 00:02:52,720
+N
+
+19
+00:02:55,990 --> 00:03:03,350
+مع الـ n يشبه الـ n ثم
+
+20
+00:03:03,350 --> 00:03:08,310
+اظهر .. اظهر
+
+21
+00:03:08,310 --> 00:03:15,590
+ان السيريز سيجما bn دائما
+
+22
+00:03:15,590 --> 00:03:19,510
+.. دائما
+
+23
+00:03:19,510 --> 00:03:21,290
+متحرر
+
+24
+00:03:33,740 --> 00:03:34,160
+Okay
+
+25
+00:03:51,610 --> 00:03:56,550
+بنثبت ان لو كانت ال series هذه حدودها كلها موجبة و
+
+26
+00:03:56,550 --> 00:04:02,670
+convergent وعرفنا Pn على ان ال average لمجموعة او
+
+27
+00:04:02,670 --> 00:04:09,750
+ال average لأول n من حدود ال series An فبنثبت ان
+
+28
+00:04:09,750 --> 00:04:12,790
+ال series هذه بتطلع دائما divergent
+
+29
+00:04:18,290 --> 00:04:21,610
+وارجي ال unbounded ال series لما تكون unbounded
+
+30
+00:04:21,610 --> 00:04:25,710
+تتطير مين هي ال unbounded؟ الأسئلة ال sequence of
+
+31
+00:04:25,710 --> 00:04:36,990
+partial sums صحيح يعني
+
+32
+00:04:36,990 --> 00:04:42,710
+أنا عندي أول شي not
+
+33
+00:04:42,710 --> 00:04:43,290
+first
+
+34
+00:04:47,630 --> 00:05:00,050
+رحزي أولا أنه لكل K ينتمي إلى N EK
+
+35
+00:05:00,050 --> 00:05:12,590
+اللي هو بيساوي A1 زايد EK على N على K هذا
+
+36
+00:05:12,590 --> 00:05:15,870
+بيكون دايما أكبر من أو يساوي
+
+37
+00:05:20,590 --> 00:05:25,570
+A1 على K لأن
+
+38
+00:05:25,570 --> 00:05:32,410
+ال .. ال bus اللي هنا أكبر من A1 لأن الأعداد هنا
+
+39
+00:05:32,410 --> 00:05:37,150
+اللي في ال bus كل أعداد موجبة فال bus اللي هنا
+
+40
+00:05:37,150 --> 00:05:40,930
+أكبر من ال bus اللي هناك وبالتالي هذا دايما صحيح
+
+41
+00:05:40,930 --> 00:05:45,650
+لكل K في N hence
+
+42
+00:05:45,650 --> 00:05:46,790
+وبالتالي
+
+43
+00:05:48,890 --> 00:05:57,350
+لو أخدت الـ SIN الانف بارشيل سام للسيريز سيجما BN
+
+44
+00:06:05,920 --> 00:06:10,120
+إذن هذا عبارة عن ال F partial sum لل series sigma
+
+45
+00:06:10,120 --> 00:06:17,480
+bn الآن عندي bk أكبر من أو يساوي هاي summation من
+
+46
+00:06:17,480 --> 00:06:24,380
+k بساوي واحد إلى n و ال bk هادي أكبر من أو يساوي a
+
+47
+00:06:24,380 --> 00:06:29,640
+واحد على k ال a واحد ثابت بالنسبة ل k ده تمليش على
+
+48
+00:06:29,640 --> 00:06:36,860
+k فبطلّه برا هاي a واحد ضربSummation من K بيسار
+
+49
+00:06:36,860 --> 00:06:44,400
+واحد إلى N لواحد على K واحنا
+
+50
+00:06:44,400 --> 00:06:50,140
+أثبتنا قبل هيك أنه ال sequence of partial sums لل
+
+51
+00:06:50,140 --> 00:06:57,620
+harmonic series is unbounded
+
+52
+00:06:57,620 --> 00:07:03,380
+في كان مثال سابق بيقول إنه
+
+53
+00:07:07,390 --> 00:07:14,970
+إن الـ sequence هذه من n بساوي واحد to infinity is
+
+54
+00:07:14,970 --> 00:07:18,590
+unbounded
+
+55
+00:07:18,590 --> 00:07:25,010
+is unbounded حسب
+
+56
+00:07:25,010 --> 00:07:31,030
+مثال سألت إذا لما أضربها ال sequence هذه لما أضرب
+
+57
+00:07:31,030 --> 00:07:35,350
+حدودها أو أضربها في ثابت موجة تبقى unbounded
+
+58
+00:07:39,070 --> 00:07:48,770
+وبالتالي إذا SM هذا بيقدي ان ال sequence SM is
+
+59
+00:07:48,770 --> 00:07:52,610
+unbounded
+
+60
+00:07:52,610 --> 00:07:59,870
+therefore ال
+
+61
+00:07:59,870 --> 00:08:08,950
+limit ل SM لما انتقل ل infinity does not existand
+
+62
+00:08:08,950 --> 00:08:16,510
+therefore the series sigma dn diverges لان احنا
+
+63
+00:08:16,510 --> 00:08:19,970
+قلنا قبلك ان اي infinite series بتكون convergent
+
+64
+00:08:19,970 --> 00:08:24,570
+if and only if the sequence of partial sums is
+
+65
+00:08:24,570 --> 00:08:32,870
+convergent لان هذا هو الحل okay تمام في
+
+66
+00:08:32,870 --> 00:08:35,730
+أي أسئلة تانية في section تلاتة سبعة
+
+67
+00:08:53,340 --> 00:08:58,320
+مفهوم الحل؟ في
+
+68
+00:08:58,320 --> 00:09:03,800
+أسئلة تانية في ال section هذا أو أي section سابق؟
+
+69
+00:09:03,800 --> 00:09:11,180
+فسؤال سبعة هذا
+
+70
+00:09:11,180 --> 00:09:16,210
+المماثل بيشبه مثال تلاتة سبعة ستةفاقرأي المثال
+
+71
+00:09:16,210 --> 00:09:22,330
+حاولي تطبقي نفس الطريقة مشروحليك مثال فحاولي
+
+72
+00:09:22,330 --> 00:09:28,710
+اتجلدي المثال في اي اسئلة تانية؟
+
+73
+00:09:28,710 --> 00:09:35,950
+مان
+
+74
+00:09:35,950 --> 00:09:37,170
+لديها سؤال؟
+
+75
+00:09:56,850 --> 00:10:11,850
+في عندكم أسرة طيب
+
+76
+00:10:11,850 --> 00:10:14,790
+لما تفكروا في أسرة بدي أنا بارهنكم koshi
+
+77
+00:10:14,790 --> 00:10:21,390
+condensation set test لأن هذا في عليه أسرة ومهم
+
+78
+00:10:38,680 --> 00:10:56,660
+سؤال اتماشي section تلاتة .. سابعة قوشيز
+
+79
+00:10:56,660 --> 00:11:00,760
+condensation
+
+80
+00:11:00,760 --> 00:11:01,180
+test
+
+81
+00:11:13,290 --> 00:11:19,130
+فال test هذا بيقول let sigma
+
+82
+00:11:19,130 --> 00:11:29,970
+an be a series .. a series of
+
+83
+00:11:29,970 --> 00:11:42,270
+monotone .. of monotone decreasing positive
+
+84
+00:11:45,320 --> 00:11:54,260
+مجموعات اثنين اثنين
+
+85
+00:11:54,260 --> 00:11:54,260
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+86
+00:11:54,260 --> 00:11:54,340
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+87
+00:11:54,340 --> 00:11:58,160
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+88
+00:11:58,160 --> 00:11:59,760
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+89
+00:11:59,760 --> 00:12:03,980
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+90
+00:12:03,980 --> 00:12:05,320
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+91
+00:12:05,320 --> 00:12:08,420
+اثنين اثنين اثنين
+
+92
+00:12:08,420 --> 00:12:14,380
+اثنين
+
+93
+00:12:14,380 --> 00:12:14,820
+اثن
+
+94
+00:12:42,930 --> 00:12:48,630
+وهي البرهان اولا
+
+95
+00:12:48,630 --> 00:13:02,350
+خلّينا نلاحظnote that لاحظي انه لو أخدت نص في
+
+96
+00:13:02,350 --> 00:13:12,530
+summation من k بساوي zero to infinity ل two أُس k
+
+97
+00:13:12,530 --> 00:13:18,930
+في a two to k هذا
+
+98
+00:13:18,930 --> 00:13:20,830
+بيطلع بساوي نص
+
+99
+00:13:23,540 --> 00:13:33,720
+في A1 اول حد لما كدا ساوى سفر فبطلع نص A1 الحد
+
+100
+00:13:33,720 --> 00:13:43,940
+اللي بعده هيطلع A2 اللي بعده اتنين A4 واللي بعده
+
+101
+00:13:43,940 --> 00:13:52,020
+اربعة في A8 وهكذا نستمر على هذا النمط إلى
+
+102
+00:13:55,470 --> 00:14:00,650
+أتنين خلّينا ناخد المجموعة من K بساوي سفر إلى M
+
+103
+00:14:00,650 --> 00:14:08,290
+حيث M عدد طبيعي ما فأخر حد هيكون اتنين أس M سالب
+
+104
+00:14:08,290 --> 00:14:15,670
+واحد في A اتنين أس M الآن
+
+105
+00:14:15,670 --> 00:14:21,770
+هذا المجموع أصغر من A واحد نص A واحد بالتأكيد أصغر
+
+106
+00:14:21,770 --> 00:14:32,160
+من A واحدو طبعا ال .. ال .. الأعداد هذه كلها موجبة
+
+107
+00:14:32,160 --> 00:14:38,600
+و بتكون decrease in sequence فنص a1 أصغر من a1 و
+
+108
+00:14:38,600 --> 00:14:59,570
+a2 بساوي a2 و 2 a4 أصغر من a3 زائد a4 صح؟A4 أصغر
+
+109
+00:14:59,570 --> 00:15:07,110
+من A3 لأن ال sequence A N decreasing فعندي A4 زاد
+
+110
+00:15:07,110 --> 00:15:17,350
+A4 أصغر من A3 زاد A4 و هكذا برضه عندي A8 أصغر من
+
+111
+00:15:17,350 --> 00:15:25,190
+A5 و أصغر من A6 و أصغر من A7وبالتالي هدا هيكون
+
+112
+00:15:25,190 --> 00:15:30,470
+اربعة ا تمانية اصغر من مجموعة اربعة حدود اللي هم a
+
+113
+00:15:30,470 --> 00:15:42,270
+خمسة زائد a ستة زائد a سبعة زائد a تمانية و هكذا
+
+114
+00:15:42,270 --> 00:15:48,830
+استمر على هذا النمط الى ان نصل لاخر
+
+115
+00:15:51,230 --> 00:15:58,170
+هدول الحدود هيكون اصغر من .. او لحد هذا الأخير
+
+116
+00:15:58,170 --> 00:16:04,530
+اصغر من المجموعة اللي هو a اتنين اص ام سالب واحد
+
+117
+00:16:04,530 --> 00:16:11,430
+زائد واحد زائد a
+
+118
+00:16:11,430 --> 00:16:18,920
+اتنين اص ام سالب واحد زائد اتنين زائد و هكذابقت
+
+119
+00:16:18,920 --> 00:16:24,700
+أصغر من مجموعة كل ال series لأن هذه كلها حدود
+
+120
+00:16:24,700 --> 00:16:29,680
+موجبة، أعداد موجبة وهذا
+
+121
+00:16:29,680 --> 00:16:38,540
+الكلام صحيح لكل M، لكل M عدد طبيعي أكبر
+
+122
+00:16:38,540 --> 00:16:47,240
+من أو يساوي، يعني عدد طبيعي وبالتالي
+
+123
+00:16:47,240 --> 00:16:48,120
+and so
+
+124
+00:16:50,890 --> 00:17:01,690
+وبالتالي نضرب sum من k بساوي سفر إلى m لتو أس ك
+
+125
+00:17:01,690 --> 00:17:10,490
+بإتنين أس ك ده هيطلع أصغر من أو ساوي نضرب الطرفين
+
+126
+00:17:10,490 --> 00:17:15,470
+في اتنين عشان نتخلص من النصفبصير المجموع هذا أصغر
+
+127
+00:17:15,470 --> 00:17:21,410
+من أوسعه اتنين في summation من n equals zero to
+
+128
+00:17:21,410 --> 00:17:27,750
+infinity ل a n تمام؟
+
+129
+00:17:27,750 --> 00:17:34,330
+وهذا
+
+130
+00:17:34,330 --> 00:17:39,650
+صحيح لكل m belonging to N
+
+131
+00:17:44,360 --> 00:18:02,120
+بنسمي ال quality هذه واحد طيب
+
+132
+00:18:02,120 --> 00:18:05,680
+now next
+
+133
+00:18:09,650 --> 00:18:21,350
+given any m أكبر من أو سوى الواحد choose using
+
+134
+00:18:21,350 --> 00:18:34,050
+Archimedean property choose
+
+135
+00:18:34,050 --> 00:18:44,810
+k بحيث أنهtwo to K أكبر من M لأي عدد طبيعي ممكن
+
+136
+00:18:44,810 --> 00:18:58,530
+ألاقي عدد طبيعي بحياتي two to K أكبر من M then ال
+
+137
+00:18:58,530 --> 00:19:06,690
+summation from N equals zero to Mلان هذا بيطلع
+
+138
+00:19:06,690 --> 00:19:12,630
+أصغر من a0
+
+139
+00:19:12,630 --> 00:19:19,710
+زائد a1 زائد a2
+
+140
+00:19:19,710 --> 00:19:31,150
+زائد a3 زائد a4 زائد a5 زائد a6 زائد a7 زائد a8
+
+141
+00:19:35,390 --> 00:19:47,670
+مع بعض زائد و هكذا إلى اتنين
+
+142
+00:19:47,670 --> 00:19:55,190
+أسكت زائد اتنين أسكت زائد واحد زائد و هكذا إلى
+
+143
+00:19:55,190 --> 00:19:59,330
+اتنين
+
+144
+00:19:59,330 --> 00:20:03,950
+أسكت زائد واحد سالب واحد
+
+145
+00:20:12,500 --> 00:20:17,840
+أنا عند ال M هذا ال M أصغر من اتنين أس كي في آخر
+
+146
+00:20:17,840 --> 00:20:26,460
+حد اللي هو AM هيكون أصغر من A رقم اتنين أس كي أو
+
+147
+00:20:26,460 --> 00:20:34,180
+أصغر من أو ساوي اتنين رقم A أس اتنين كي زي واحد
+
+148
+00:20:34,180 --> 00:20:35,780
+minus واحد
+
+149
+00:20:43,450 --> 00:20:52,190
+والمجموع هذا .. هذا المجموع أصغر من او يساوي a0
+
+150
+00:20:52,190 --> 00:20:57,490
+زائد a1 زائد
+
+151
+00:20:57,490 --> 00:21:06,710
+2 a2 لأن a3 أصغر من a2 صح؟ عشان ال sequence an is
+
+152
+00:21:06,710 --> 00:21:13,030
+decreasing و هذا المجموع أصغر من 4 a
+
+153
+00:21:14,740 --> 00:21:26,420
+أربعة صح وهكذا إلى المجموع هذا هيكون أصغر من اتنين
+
+154
+00:21:26,420 --> 00:21:37,280
+أث كيه هذول عدد الحدود في a اتنين أث كيه يعني هذول
+
+155
+00:21:37,280 --> 00:21:41,860
+عدد الحدود عددهم اتنين أث كيه وكل واحد منهم
+
+156
+00:21:45,050 --> 00:21:55,350
+أصغر من ات اول واحد اللي هو ات نين اص كيه وهذا
+
+157
+00:21:55,350 --> 00:22:01,830
+بدوره أصغر من ات نين اص كيه زائد summation من كيه
+
+158
+00:22:01,830 --> 00:22:09,730
+بساوي zero to infinity لاتنين اص كيه في ات نين اص
+
+159
+00:22:09,730 --> 00:22:17,540
+كيه هاي أول حد ات نين اص كيهلما ك بيساوي سفر بيطلع
+
+160
+00:22:17,540 --> 00:22:25,640
+ا واحد و بعدين اللي بعده بيطلع اتنين اتنين لما ك
+
+161
+00:22:25,640 --> 00:22:33,480
+بيساوي واحد و اللي بعده اربعة اربعة و هكذا طبعا
+
+162
+00:22:33,480 --> 00:22:37,400
+هذا بوقف المجموعة هذا finite هذا أصغر من المجموعة
+
+163
+00:22:37,400 --> 00:22:41,400
+من ك بيساوي سفر إلى ملا نهاية هذا طبعا في حدود
+
+164
+00:22:41,400 --> 00:22:41,820
+أكتر
+
+165
+00:22:44,960 --> 00:22:53,040
+تمام؟ وبالتالي إذا نستنتج and so نستنتج
+
+166
+00:22:53,040 --> 00:23:02,980
+إنه المجموعة sigma from n equal zero to infinity ل
+
+167
+00:23:02,980 --> 00:23:12,050
+a nبطلع أصغر من أو ساوي a0 زاد sigma from k equals
+
+168
+00:23:12,050 --> 00:23:20,790
+zero to infinity ل 2 أُس k a2 أُس k لأن
+
+169
+00:23:20,790 --> 00:23:26,810
+هذا صحيح لكل m أكبر من أو ساوي الواحد لأن هذا
+
+170
+00:23:26,810 --> 00:23:33,330
+عبارة عن هذا عبارة عن upper bound هذا العددأو هذا
+
+171
+00:23:33,330 --> 00:23:39,530
+العدد upper bound لل sequence of partial sums هنا
+
+172
+00:23:39,530 --> 00:23:44,190
+فما
+
+173
+00:23:44,190 --> 00:23:47,210
+هذه ال sequence of partial sums is increasing
+
+174
+00:23:47,210 --> 00:23:50,750
+متزايدة
+
+175
+00:23:50,750 --> 00:23:55,110
+و bounded above by this number إذا ال limit تبعت
+
+176
+00:23:55,110 --> 00:23:58,650
+ال sequence of partial sums exist و بالساوية
+
+177
+00:23:58,650 --> 00:24:04,990
+supremumلـ sequence of partial sums الـ supremum
+
+178
+00:24:04,990 --> 00:24:11,150
+لـ sequence of partial sums أقل من ال upper bound
+
+179
+00:24:11,150 --> 00:24:13,670
+هذا upper bound لـ sequence of partial sums ال
+
+180
+00:24:13,670 --> 00:24:17,050
+supremum أصغر upper bound وبالتالي إذا ال supremum
+
+181
+00:24:17,050 --> 00:24:21,690
+لـ sequence of partial sums هو عبارة عن limit لـ
+
+182
+00:24:21,690 --> 00:24:23,730
+sequence of partial sums اللي هو مجموعة ال
+
+183
+00:24:23,730 --> 00:24:29,190
+infinite series أصغر من أو ساوي ال upper boundby
+
+184
+00:24:29,190 --> 00:24:34,290
+monotone convergence theorem السيريز
+
+185
+00:24:34,290 --> 00:24:39,610
+هذي convergence ومجموعة بساول limit ل sequence of
+
+186
+00:24:39,610 --> 00:24:44,710
+partial sums اللي هي أصغر من أو ساول عددها okay
+
+187
+00:24:44,710 --> 00:24:54,170
+إذا نسمي المتباينة هذه اتنين إذا من المتباينة واحد
+
+188
+00:24:54,170 --> 00:24:54,870
+واتنين
+
+189
+00:25:11,870 --> 00:25:19,130
+الان بمقارنة مباشرة الاختلافات
+
+190
+00:25:19,130 --> 00:25:30,640
+المتباينات واحدة و اتنين بيقدواالسيريز sigma a n
+
+191
+00:25:30,640 --> 00:25:39,720
+converges if and only if السيريز sigma اثنين اثنين
+
+192
+00:25:39,720 --> 00:25:47,820
+a اثنين اثنين converges تعالى
+
+193
+00:25:47,820 --> 00:25:54,680
+نشوف لو كانت السيريز هذه convergent فالسيريز
+
+194
+00:25:54,680 --> 00:25:55,780
+هذه convergent
+
+195
+00:25:58,080 --> 00:26:03,500
+وبالتالي طبعا أن هذا صحيح لكل M بالمناسبة بقدر أن
+
+196
+00:26:03,500 --> 00:26:08,880
+هذه أيضا sequence of partial sums هذه ال limit
+
+197
+00:26:08,880 --> 00:26:19,460
+تبعتها exist وبالتالي ال infinite series هذه إذا
+
+198
+00:26:19,460 --> 00:26:27,250
+أن ال ممكن نقول أن هذا الكلام صحيحالان لو كانت ال
+
+199
+00:26:27,250 --> 00:26:31,430
+series هادي convergent فنضربها في ثابت اتنين تطلع
+
+200
+00:26:31,430 --> 00:26:35,270
+convergent وبالتالي ال series هادي convergent by
+
+201
+00:26:35,270 --> 00:26:40,170
+direct comparison test العكس لو كانت ال series
+
+202
+00:26:40,170 --> 00:26:41,670
+هادي convergent
+
+203
+00:26:44,460 --> 00:26:50,840
+فلما أضفلها حد عدد موجب بيبقى conversion وبالتالي
+
+204
+00:26:50,840 --> 00:26:54,080
+by direct comparison test ال series الأصغر بتطلع
+
+205
+00:26:54,080 --> 00:26:58,160
+conversion okay تمام؟ لأن هذا بثبت koshi
+
+206
+00:26:58,160 --> 00:27:03,600
+condensation test هذا ال test قوي كتير ويله فوائد
+
+207
+00:27:03,600 --> 00:27:13,000
+كتيرة فمن الفوائد تبعته يعني
+
+208
+00:27:13,000 --> 00:27:13,800
+هذه مثال
+
+209
+00:27:22,170 --> 00:27:37,410
+ممكن نستنتج ال test P-series مثال،
+
+210
+00:27:37,410 --> 00:27:46,290
+أنا موجود في أحدى التمرين التمرين 13
+
+211
+00:27:53,040 --> 00:28:05,440
+تعملين تلتاش سيكشن تلاتة سبعة ايش بيقول هذا if if
+
+212
+00:28:05,440 --> 00:28:16,600
+P أكبر من السفر is a real number discuss
+
+213
+00:28:16,600 --> 00:28:20,940
+the
+
+214
+00:28:20,940 --> 00:28:21,680
+convergence
+
+215
+00:28:42,640 --> 00:28:44,720
+تعالوا نفحص
+
+216
+00:28:49,400 --> 00:28:58,120
+Summation from n equals one to infinity لإتنين أُس
+
+217
+00:28:58,120 --> 00:29:08,700
+n في واحد على هاي أو خلّيني أقول إتنين أُس n في a
+
+218
+00:29:08,700 --> 00:29:16,120
+and a إتنين أُس m إيش بيساوي هذا طبعا هاي عندي a n
+
+219
+00:29:16,120 --> 00:29:24,230
+هذا هو عبارة عن a mالحد العام لل series فان بساوي
+
+220
+00:29:24,230 --> 00:29:30,290
+1 على n to p فبتبحث هل ال series هذي convergent او
+
+221
+00:29:30,290 --> 00:29:33,990
+متى بتكون هذي ال series convergent وبالتالي بقدر
+
+222
+00:29:33,990 --> 00:29:37,890
+اطبق اللي هو cauchy condensation test فهذه عبارة
+
+223
+00:29:37,890 --> 00:29:43,970
+عن sigma from n equals one to infinityالان ايه
+
+224
+00:29:43,970 --> 00:29:53,550
+اتنين اص ان بطلع واحد على اتنين اص ان الكل اص P
+
+225
+00:29:53,550 --> 00:30:03,810
+تمام؟ وهذا بيساوي summation from n equals one to
+
+226
+00:30:03,810 --> 00:30:18,940
+infinity لاتنين اص واحد minus Pالكل أسئلة وهدي
+
+227
+00:30:18,940 --> 00:30:27,020
+is a geometric series is a geometric series
+
+228
+00:30:27,020 --> 00:30:33,680
+وبالتالي
+
+229
+00:30:33,680 --> 00:30:38,320
+مظبوط هذا عبارة عن geometric series لو بدى أكتب
+
+230
+00:30:38,320 --> 00:30:40,620
+حدود تبعتها
+
+231
+00:30:43,100 --> 00:30:52,660
+فاول حد عبارة عن اتنين اص واحد minus P الحد التاني
+
+232
+00:30:52,660 --> 00:31:00,940
+اتنين اص واحد minus P الكل تربية و هكذا فالحد
+
+233
+00:31:00,940 --> 00:31:05,480
+الاول اتنين اص واحد minus P الحد التاني اتنين اص
+
+234
+00:31:05,480 --> 00:31:09,980
+واحد minus P و هكذا with ratio
+
+235
+00:31:14,090 --> 00:31:28,710
+with ratio with
+
+236
+00:31:28,710 --> 00:31:34,830
+ratio R
+
+237
+00:31:34,830 --> 00:31:41,790
+بساوي اتنين اص واحد minus P
+
+238
+00:31:48,590 --> 00:31:58,790
+So by geometric series test it converges if
+
+239
+00:31:58,790 --> 00:32:06,450
+and all if absolute R بيساوي اتنين أس واحد minus P
+
+240
+00:32:06,450 --> 00:32:16,670
+أصغر من واحد وهذا بتحقق اتنين أس واحد minus P أصغر
+
+241
+00:32:16,670 --> 00:32:25,590
+من واحدفنقول if واحد minus P اذا
+
+242
+00:32:25,590 --> 00:32:36,910
+كان واحد minus P أصغر من السفر سالم لأن لو كان
+
+243
+00:32:36,910 --> 00:32:41,430
+واحد minus P موجب فاتنين أس أي عدد موجب عمره ما
+
+244
+00:32:41,430 --> 00:32:47,440
+بيكون أصغر من واحدنصبوت لكن لو كان الأس سالم فبصير
+
+245
+00:32:47,440 --> 00:32:52,620
+هذا واحد على اتنين أس وموجب فبصير أصغر من واحد اذا
+
+246
+00:32:52,620 --> 00:32:57,020
+هذا صحيح if and only if الأس تابع الأتنين اللي هو
+
+247
+00:32:57,020 --> 00:33:06,240
+واحد minus P أصغر من سفر if and only if واحد أصغر
+
+248
+00:33:06,240 --> 00:33:12,920
+من P أو P أكبر من واحد okay تماموهذا هو ال P
+
+249
+00:33:12,920 --> 00:33:19,120
+Series Test لان احنا استنتجنا ال P Series Test من
+
+250
+00:33:19,120 --> 00:33:26,200
+Koshi Condensation Test فاكرين ال P Series هذي او
+
+251
+00:33:26,200 --> 00:33:29,840
+ال P Series Test اثبتنا ان Convergent if and only
+
+252
+00:33:29,840 --> 00:33:35,200
+if P أكبر من 1 وDivergent اذا كانت P أصغر منها
+
+253
+00:33:35,200 --> 00:33:35,960
+وسائل 1
+
+254
+00:33:42,110 --> 00:33:51,730
+Okay إذا ال .. هذا المعنى So by Cauchy Cauchy's
+
+255
+00:33:51,730 --> 00:34:01,910
+Condensation Test The series Sigma
+
+256
+00:34:01,910 --> 00:34:07,830
+from N equals one to infinity ال one over N to P
+
+257
+00:34:08,830 --> 00:34:16,530
+convergence if and only if P أكبر من واحد وهذا هو
+
+258
+00:34:16,530 --> 00:34:23,030
+ال P-series test إذن هذا بورجينا قوة Koshi
+
+259
+00:34:23,030 --> 00:34:29,530
+Condensation Test okay تمام؟ في طبعا أسئلة أخرى
+
+260
+00:34:29,530 --> 00:34:33,430
+على Koshi Condensation Test وانا طالب منكم تحلوها
+
+261
+00:34:33,430 --> 00:34:41,340
+زي السؤال 14 و15 صح؟ففي أي شيء في الأسئلة دي أو
+
+262
+00:34:41,340 --> 00:34:47,160
+أسئلة تانية؟
+
+263
+00:34:47,160 --> 00:34:56,500
+في
+
+264
+00:34:56,500 --> 00:34:58,180
+عندكم أي أسئلة؟
+
+265
+00:35:13,000 --> 00:35:19,560
+إذا سيكشن واحد تلاتة سبعة في أي سؤال تاني عندكم في
+
+266
+00:35:19,560 --> 00:35:25,540
+الأسئلة هذه أو
+
+267
+00:35:25,540 --> 00:35:31,860
+السيكاشن السابقة أو سيكشن أربعة واحد إذا بتحبه
+
+268
+00:35:31,860 --> 00:35:35,560
+سيكشن أربعة واحد
+
+269
+00:36:06,090 --> 00:36:13,070
+مافيش أسئلة؟ طيب ال .. مدان مافيش أسئلة نواصل ..
+
+270
+00:36:13,070 --> 00:36:16,190
+نكمل
+
+271
+00:36:16,190 --> 00:36:17,490
+المحاضرة في السابقة
+
+272
+00:36:49,090 --> 00:36:53,250
+المرة الأخرى اتحدثنا عن ال two-sided limits و عن
+
+273
+00:36:53,250 --> 00:37:00,350
+ال one-sided limits و أخدنا بعض النظريات و قلنا إن
+
+274
+00:37:00,350 --> 00:37:05,090
+جميع النظريات اللي برهنناها هو one-sided limit
+
+275
+00:37:05,090 --> 00:37:12,990
+صحيحة لل two-sided limitsأو المباريات الصحيحة لـ
+
+276
+00:37:12,990 --> 00:37:17,070
+two-sided limits بتكون أيضا صحيحة لـ one-sided
+
+277
+00:37:17,070 --> 00:37:26,650
+limit فناخد
+
+278
+00:37:26,650 --> 00:37:31,350
+أنفلة show
+
+279
+00:37:31,350 --> 00:37:31,950
+that
+
+280
+00:37:35,020 --> 00:37:55,100
+Limit لـ Signum X لإن X تقول لسفر لا يوجد فنلاحظ
+
+281
+00:37:55,100 --> 00:37:59,600
+أن Limit لأول شئ Signum X
+
+282
+00:38:03,790 --> 00:38:11,230
+بساوي x على absolute x لكل x لا يساوي سفر لما
+
+283
+00:38:11,230 --> 00:38:15,010
+أعرفنا الدالة هذه قلت لها بس هي نفسها x على
+
+284
+00:38:15,010 --> 00:38:20,690
+absolute x لو كان x بساوي سفر الآن ال limit ل
+
+285
+00:38:20,690 --> 00:38:30,890
+sigma x لما x تقول إلى سفر من اليمين بساوي ال
+
+286
+00:38:30,890 --> 00:38:31,310
+limit
+
+287
+00:38:35,810 --> 00:38:41,530
+لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من
+
+288
+00:38:41,530 --> 00:38:50,190
+اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى
+
+289
+00:38:50,190 --> 00:38:55,650
+صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x
+
+290
+00:38:55,650 --> 00:38:57,330
+تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من
+
+291
+00:38:57,330 --> 00:39:02,560
+اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمينلما x تقول أصغر
+
+292
+00:39:02,560 --> 00:39:21,640
+من اليسار لما x أصغر من صفر لما
+
+293
+00:39:21,640 --> 00:39:28,560
+x أصغر من صفر لما x أصغر من صفر لما x أصغر من صفر
+
+294
+00:39:28,560 --> 00:39:33,950
+لما x أصغر من صفرالسالب واحد بيطلع السالب واحد ان
+
+295
+00:39:33,950 --> 00:39:37,670
+انا عندي ال limit من اليامين يساوي واحد ال limit
+
+296
+00:39:37,670 --> 00:39:44,230
+من اليسار يساوي سالب واحد مش متساوي اتين so by
+
+297
+00:39:44,230 --> 00:39:50,150
+theorem حسب النظرية اللي أخدناها theorem اربعة
+
+298
+00:39:50,150 --> 00:39:55,630
+تلاتة تلاتة بيطلع
+
+299
+00:39:55,630 --> 00:40:01,080
+عندي ال limit او ال two sided limitللـ signal
+
+300
+00:40:01,080 --> 00:40:09,560
+function لما x تقول السفر does not exist تمام؟
+
+301
+00:40:09,560 --> 00:40:22,280
+طيب خلّيني انا اخد show
+
+302
+00:40:22,280 --> 00:40:27,380
+that ال
+
+303
+00:40:27,380 --> 00:40:32,350
+limit لل function e والواحد على xلما x تقول إلى
+
+304
+00:40:32,350 --> 00:40:40,550
+سفر من اليمين does not exist and
+
+305
+00:40:40,550 --> 00:40:43,910
+من
+
+306
+00:40:43,910 --> 00:40:51,170
+ال limit لنفس ال function e to واحد على x لما x
+
+307
+00:40:51,170 --> 00:40:58,710
+تقول إلى سفر من اليسار تطلع موجودة و بساوي سفر
+
+308
+00:41:23,830 --> 00:41:31,010
+طيب ال ..
+
+309
+00:41:31,010 --> 00:41:34,050
+نحاول نبرهن الجزء الأول
+
+310
+00:41:56,420 --> 00:42:03,380
+بناخد الجزء الأول let
+
+311
+00:42:03,380 --> 00:42:13,540
+z of x بساوي e to 1 على x حفة x لا تساوي 0 وبدنا
+
+312
+00:42:13,540 --> 00:42:19,260
+نثبت to
+
+313
+00:42:19,260 --> 00:42:28,130
+show ان ال limitلـ g of x لما x تقول لصفر من
+
+314
+00:42:28,130 --> 00:42:38,750
+اليمين does not exist it suffices to
+
+315
+00:42:38,750 --> 00:42:42,710
+show يكفي
+
+316
+00:42:42,710 --> 00:42:52,650
+اثبات ان ال function g of x is not bounded on
+
+317
+00:42:56,170 --> 00:43:05,850
+on a right .. on a right neighborhood
+
+318
+00:43:05,850 --> 00:43:13,670
+.. on a right neighborhood اللي هو سفر دلتا of
+
+319
+00:43:13,670 --> 00:43:15,230
+zero
+
+320
+00:43:25,230 --> 00:43:28,670
+أخذنا قبل ذلك نظرية بتقول إيه ده عشان أثبت أنه ال
+
+321
+00:43:28,670 --> 00:43:35,710
+limit ل function عن نقطة معينة مش موجودة يكفي أثبت
+
+322
+00:43:35,710 --> 00:43:43,910
+أنه أنه الدالة unbounded عند أي unbounded
+
+323
+00:43:43,910 --> 00:43:48,650
+عند أي neighborhood
+
+324
+00:43:48,650 --> 00:43:56,210
+للنقطة الآن بالنسبة لل one-sided limitعشان أقول إن
+
+325
+00:43:56,210 --> 00:44:02,230
+ال limit ل function زي هذه g of x لما x تقول إلى
+
+326
+00:44:02,230 --> 00:44:09,430
+سفر من اليمين does not exist فهي
+
+327
+00:44:09,430 --> 00:44:16,390
+السفر و ال x تقول لسفر من اليمين فبدل ما أخد delta
+
+328
+00:44:16,390 --> 00:44:20,290
+neighborhood للسفر
+
+329
+00:44:20,290 --> 00:44:29,960
+فباخد right neighborhoodright neighborhood للسفر
+
+330
+00:44:29,960 --> 00:44:35,960
+فيكفي ان ال function هذه ماهياش bounded عن كل
+
+331
+00:44:35,960 --> 00:44:41,780
+right neighborhood يعني جوار من اليمين للسفر لان
+
+332
+00:44:41,780 --> 00:44:46,000
+انا بتعامل مع نهاية من اليمين لكن لما كنت اتعامل
+
+333
+00:44:46,000 --> 00:44:51,240
+مع نهاية من الطرفين فكنت ااخد delta neighborhood
+
+334
+00:44:51,240 --> 00:44:56,840
+كاملفلو أثبتت إن الـ function هذه ماهياش bounded
+
+335
+00:44:56,840 --> 00:45:01,280
+عند أي right neighborhood للصفر على الصورة هذه
+
+336
+00:45:01,280 --> 00:45:06,220
+فحسب نظرية سابقة الدالة مش ممكن يكون لها limit من
+
+337
+00:45:06,220 --> 00:45:09,960
+اليمين عند الصفر لأن لو كان لها limit عند الصفر من
+
+338
+00:45:09,960 --> 00:45:15,820
+اليمين فلازم تكون bounded على some neighborhood ..
+
+339
+00:45:15,820 --> 00:45:25,650
+right neighborhood للصفرOkay تمام و لإثبات ذلك to
+
+340
+00:45:25,650 --> 00:45:29,270
+see
+
+341
+00:45:29,270 --> 00:45:39,290
+this we use ال inequality التالية وهي T أكبر من
+
+342
+00:45:39,290 --> 00:45:47,010
+سفر دايما أصغر من E أس T for all T أكبر من سفر هذه
+
+343
+00:45:47,010 --> 00:45:54,200
+المتباينةهذه المتباينة موجودة
+
+344
+00:45:54,200 --> 00:46:01,780
+برهانة C Chapter 8 برهانة
+
+345
+00:46:01,780 --> 00:46:07,600
+موجودة في Chapter 8 اللي هتاخدوه لاحقا فهنستخدم
+
+346
+00:46:07,600 --> 00:46:11,460
+اللي هو المتباينة هذه في اثبات ان ال function
+
+347
+00:46:11,460 --> 00:46:17,420
+ماهياش bounded على neighborhood او right
+
+348
+00:46:17,420 --> 00:46:25,130
+neighborhood للصفرOkay عشان الوجد خلص بنوقف و
+
+349
+00:46:25,130 --> 00:46:29,590
+بناخد خمس دقايق break و بعدين بنكمل ان شاء الله
+
+350
+00:46:29,590 --> 00:46:35,550
+البرهانة فحنوقف و نكمل في الجزء التالي من المحاضرة
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/2qaKB7theEQ_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1608 @@
+1
+00:00:19,940 --> 00:00:25,840
+السلام عليكم هنكمل
+
+2
+00:00:25,840 --> 00:00:33,420
+اليوم section اربعة اتنين في ال section هذا كان
+
+3
+00:00:33,420 --> 00:00:38,780
+اتبقى بس ان احنا نثبت النظرية اللى كتبتها على
+
+4
+00:00:38,780 --> 00:00:44,700
+اللوحى النظرية هذه بتنص على ان لو كان في هندي
+
+5
+00:00:44,700 --> 00:00:53,020
+function من A لRو c cluster point للset a وإذا كان
+
+6
+00:00:53,020 --> 00:00:59,120
+limit ال function عن c exist وموجبة أو
+
+7
+00:00:59,120 --> 00:01:04,880
+على التوالي إذا كانت limit f of x عن c موجودة
+
+8
+00:01:04,880 --> 00:01:09,080
+وسالبة فيوجد
+
+9
+00:01:09,080 --> 00:01:14,990
+نقدر نلاقي delta neighborhood دي delta لل cبحيث إن
+
+10
+00:01:14,990 --> 00:01:19,510
+الدالة هتكون إذا كانت ال limit موجبة فالدالة هتكون
+
+11
+00:01:19,510 --> 00:01:26,670
+موجبة على ال delta never hood ل C وإذا
+
+12
+00:01:26,670 --> 00:01:31,950
+كانت ال limit سالبة فالدالة هتكون سالبة على جوار
+
+13
+00:01:31,950 --> 00:01:38,890
+delta ل C هذه
+
+14
+00:01:38,890 --> 00:01:43,210
+نظرية تشبه نظرية سابقة بخصوص limits of sequences
+
+15
+00:01:44,920 --> 00:01:48,400
+النظرية اللي فاتت بتاعة الـ sequences المشابهة
+
+16
+00:01:48,400 --> 00:01:52,640
+بتقول لو كانت ال sequence النهاية تبعتها limit x
+
+17
+00:01:52,640 --> 00:01:58,200
+in exist وموجبة فلازم ال sequence تكون حدودها من
+
+18
+00:01:58,200 --> 00:02:02,420
+capital N وانت طالع كلها موجبة و لو كانت ال limit
+
+19
+00:02:02,420 --> 00:02:06,640
+لل sequence exist و سالبة فلازم حدود ال sequence
+
+20
+00:02:06,640 --> 00:02:10,900
+من capital N وانت طالع كلها تكون سالبة فهذه شبيهة
+
+21
+00:02:10,900 --> 00:02:18,100
+فيهاوالبرهان سهل وشبيه بالبرهان تبع النظرية
+
+22
+00:02:18,100 --> 00:02:24,320
+المشابهة في حالة ال sequences فناخد الحالة assume
+
+23
+00:02:24,320 --> 00:02:27,360
+ناخد
+
+24
+00:02:27,360 --> 00:02:32,400
+الحالة اللي فيها ال limit ل
+
+25
+00:02:32,400 --> 00:02:40,060
+f of x at c exists and equals عدد l موجب
+
+26
+00:02:53,880 --> 00:03:00,200
+فإذا كانت ال limit موجبة بنا أثبت أن يوجد delta
+
+27
+00:03:00,200 --> 00:03:07,240
+neverhood إلى آخر A فخلّينا
+
+28
+00:03:07,240 --> 00:03:17,740
+ناخد let epsilon في الحالة دي let epsilon بساوي
+
+29
+00:03:17,740 --> 00:03:26,600
+L على 2 فهذا عدد موجبالان by definition of limit
+
+30
+00:03:26,600 --> 00:03:32,640
+of function by epsilon delta definition لأي
+
+31
+00:03:32,640 --> 00:03:38,140
+epsilon موجبة زي هذه يوجد delta تعتمد على L على 2
+
+32
+00:03:38,140 --> 00:03:43,280
+اللي هي ال epsilon عدد موجب بحيث انه لو كان X
+
+33
+00:03:45,890 --> 00:03:51,090
+ينتمي إلى a و absolute x minus c أصغر من delta
+
+34
+00:03:51,090 --> 00:03:59,790
+أكبر من 0 فهذا بتضمن أن absolute f of x minus L
+
+35
+00:03:59,790 --> 00:04:04,510
+أصغر من إبسلم اللي هي عبارة عن L ع 2
+
+36
+00:04:08,170 --> 00:04:15,990
+فحل المتباينة هذه في f of x فتصير f of x minus L
+
+37
+00:04:15,990 --> 00:04:24,930
+أصغر من L على 2 أكبر من سالب L على 2 وهذا
+
+38
+00:04:24,930 --> 00:04:29,210
+بيقدي أن
+
+39
+00:04:29,210 --> 00:04:30,350
+f of x
+
+40
+00:04:34,740 --> 00:04:45,980
+من هنا F of X تطلع أكبر من L على 2 لأنه لما أخد
+
+41
+00:04:45,980 --> 00:04:50,240
+سالب L أنجلها عن ناحية التانية فتصير F of X أكبر
+
+42
+00:04:50,240 --> 00:04:55,700
+من L سالب L على 2 تطلع L على 2 و ال L موجبة إذا L
+
+43
+00:04:55,700 --> 00:05:06,860
+على 2 موجبة إذا هيك بنكون أثبتناإن ال F of X طلعت
+
+44
+00:05:06,860 --> 00:05:18,580
+أكبر من سفر لمين لكل X تنتمي إلى A ومن
+
+45
+00:05:18,580 --> 00:05:28,080
+المتباينة هذه هذا معناه X لا تساوي Cإن الـ X ينتمي
+
+46
+00:05:28,080 --> 00:05:34,480
+إلى A و لا تساوي C يعني موجودة في A و مش موجودة في
+
+47
+00:05:34,480 --> 00:05:44,280
+singleton set C و المتباينة هذه هذي معناها إن X
+
+48
+00:05:44,280 --> 00:05:46,460
+ينتمي ل V Delta
+
+49
+00:05:56,010 --> 00:06:00,790
+x-c أصغر من دلتا بكافئ
+
+50
+00:06:10,030 --> 00:06:17,770
+إن X أصغر من C زائد Delta أكبر من C سارب Delta
+
+51
+00:06:17,770 --> 00:06:21,550
+فهذا
+
+52
+00:06:21,550 --> 00:06:27,890
+معناه X تمتني لفترة مفتوحة Delta-neighborhood ل-C
+
+53
+00:06:29,570 --> 00:06:34,830
+Okay تمام اذا f of x اللي اعطاها موجبة لكل x في a
+
+54
+00:06:34,830 --> 00:06:43,250
+ومختلفة عن c وايضا من هنا ال x أيضا تنتمي ل delta
+
+55
+00:06:43,250 --> 00:06:48,850
+neighborhood ل c وبالتالي تنتمي لتقاطع المجمعتين
+
+56
+00:06:48,850 --> 00:06:55,270
+اذا هذا بثبت المظرية في حالة لما يكون ال limit
+
+57
+00:06:55,270 --> 00:06:56,490
+تبعتي موجبة
+
+58
+00:07:00,240 --> 00:07:08,880
+لو كانت ال limit سالبة فالبرهان مشابه لأن ال
+
+59
+00:07:08,880 --> 00:07:18,680
+proof of the caseلما تكون ال limit ل f of x لما x
+
+60
+00:07:18,680 --> 00:07:30,600
+تقول ل c بساوي العدد سالب is similar to
+
+61
+00:07:30,600 --> 00:07:38,200
+above case مشابه
+
+62
+00:07:38,200 --> 00:07:50,120
+للبرهان السابق علىفي الحالة هذه take start with
+
+63
+00:07:50,120 --> 00:07:55,920
+epsilon بساوي سالب ال ع اتنين وهذا بطلع عدد موجب
+
+64
+00:07:55,920 --> 00:08:01,060
+يعني ابدوا البرهان بدل ما بدنا بepsilon بساوي ال ع
+
+65
+00:08:01,060 --> 00:08:04,340
+اتنين ابدوا ابسون .. ابسون بساوي
+
+66
+00:08:14,820 --> 00:08:20,320
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان
+
+67
+00:08:20,320 --> 00:08:20,800
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان
+
+68
+00:08:20,800 --> 00:08:20,860
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان
+
+69
+00:08:20,860 --> 00:08:24,600
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان
+
+70
+00:08:24,600 --> 00:08:24,640
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان
+
+71
+00:08:24,640 --> 00:08:25,080
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان
+
+72
+00:08:25,080 --> 00:08:33,380
+البرهان البرهان
+
+73
+00:08:34,550 --> 00:08:40,910
+لأن ال L سالمة و هذا صحيح لكل X في جوار Delta ل C
+
+74
+00:08:40,910 --> 00:08:46,530
+و في A minus single to C okay؟ لأن حاسبكم أنتم
+
+75
+00:08:46,530 --> 00:08:50,990
+تكتبوا البرهان تبع الحالة التانية تمام؟ واضح؟ في
+
+76
+00:08:50,990 --> 00:08:54,850
+أي سؤال أو سفسار؟ تمام؟
+
+77
+00:09:00,180 --> 00:09:08,120
+Okay إذا نبدأ section جديد
+
+78
+00:09:08,120 --> 00:09:26,200
+section
+
+79
+00:09:26,200 --> 00:09:29,460
+أربعة تلاتة
+
+80
+00:09:33,950 --> 00:09:47,190
+بعض التطبيقات .. بعض التطبيقات لـ
+
+81
+00:09:47,190 --> 00:09:53,590
+limit concept
+
+82
+00:10:04,410 --> 00:10:12,090
+بعض التعاملات أو توصية بعض مفاهيم النهايات احنا
+
+83
+00:10:12,090 --> 00:10:16,470
+قبل هيك درسنا في section 4.1 و 4.2 ال limit of
+
+84
+00:10:16,470 --> 00:10:20,450
+function او ال two sided limit لل function عن نقطة
+
+85
+00:10:20,450 --> 00:10:24,810
+معينة اليوم هندرس ال one sided limit ل function عن
+
+86
+00:10:24,810 --> 00:10:30,960
+نقطة and cluster point للمجال تبعهامقصود بال one
+
+87
+00:10:30,960 --> 00:10:34,040
+sided limit اللي هو limit من اليمين أو limit من
+
+88
+00:10:34,040 --> 00:10:38,740
+اليسار ونشوف ما هي علاقة ال one sided limit بال
+
+89
+00:10:38,740 --> 00:10:43,320
+two sided limit فنعرف
+
+90
+00:10:43,320 --> 00:10:47,880
+الأول definition نعرف ال one sided limit
+
+91
+00:10:47,880 --> 00:10:53,000
+definition let
+
+92
+00:10:55,520 --> 00:11:03,780
+fb function from a to r and c be a cluster point
+
+93
+00:11:03,780 --> 00:11:06,840
+cluster
+
+94
+00:11:06,840 --> 00:11:22,340
+point of a واحد او
+
+95
+00:11:22,340 --> 00:11:34,220
+خلّيالـ cluster point of المجموعة A
+
+96
+00:11:34,220 --> 00:11:40,880
+تقاطع الفترة المفتوحة من C إلى infinity اللي هي كل
+
+97
+00:11:40,880 --> 00:11:47,240
+ال X مجموعة كل العناصر X تنتبه إلى A حيث X أكبر من
+
+98
+00:11:47,240 --> 00:11:53,520
+C نقول
+
+99
+00:11:57,140 --> 00:12:03,280
+إن العدد alien 10 إلى R is
+
+100
+00:12:03,280 --> 00:12:14,600
+a right .. is a right hand limit .. right hand
+
+101
+00:12:14,600 --> 00:12:29,490
+limit of ال function F at ..x بساوي c if الشرط
+
+102
+00:12:29,490 --> 00:12:35,570
+التالي بتحقق لكل
+
+103
+00:12:35,570 --> 00:12:40,630
+إبسلون given
+
+104
+00:12:40,630 --> 00:12:43,970
+إبسلون
+
+105
+00:12:43,970 --> 00:12:51,040
+أكبر من السفر يوجد delta تعتمد علىepsilon عدد موجة
+
+106
+00:12:51,040 --> 00:13:01,180
+بهاث انه لو كان x ينتمي ل a و x minus c أكبر من
+
+107
+00:13:01,180 --> 00:13:07,760
+سفر أصغر من delta فهذا بتضمن ان absolute f of x
+
+108
+00:13:07,760 --> 00:13:13,540
+minus l أصغر من epsilon in
+
+109
+00:13:13,540 --> 00:13:17,720
+this case in
+
+110
+00:13:17,720 --> 00:13:28,480
+this casewe write نكتب أن ال limit لل function f
+
+111
+00:13:28,480 --> 00:13:37,920
+عندما x تقول إلى c من اليمين بساوي العدد ال ..
+
+112
+00:13:37,920 --> 00:13:44,920
+تمام؟ لأن هذا تعريف ال limit from the right أو ال
+
+113
+00:13:44,920 --> 00:13:49,460
+right hand limit لل function f عند النقطة c
+
+114
+00:14:05,180 --> 00:14:13,440
+إذا أنا عندي هذه خط الأعداد وهي النقطة C وانا عندي
+
+115
+00:14:13,440 --> 00:14:21,900
+ال C هي cluster point ل
+
+116
+00:14:21,900 --> 00:14:26,180
+A .. لكل ال X موجود في A و أكبر من C
+
+117
+00:14:32,710 --> 00:14:37,650
+فبنقول إن ال limit عند x بالساوية c أو ال function
+
+118
+00:14:37,650 --> 00:14:42,150
+في إلها right-hand limit و ال right-hand limit هي
+
+119
+00:14:42,150 --> 00:14:48,410
+العدد L إذا كان لأي إبسلون أكبر من السفر بتقدر
+
+120
+00:14:48,410 --> 00:14:53,390
+نلاقي delta عدد موجة بيعتمد على إبسلون بحيث لكل x
+
+121
+00:14:53,390 --> 00:15:01,510
+في المجموعة A إذا كانت ال X هذه على يمين ال C
+
+122
+00:15:05,140 --> 00:15:12,460
+والمسافة بينها وبين الـ C أصغر من Delta فبتطلع
+
+123
+00:15:12,460 --> 00:15:19,860
+المسافة بين F و XL أصغر من Y بالمثل
+
+124
+00:15:19,860 --> 00:15:24,100
+ممكن نعرف ال limit from the right يعني أنا بدي
+
+125
+00:15:24,100 --> 00:15:27,800
+أعرف ال limit from the right أو ال right hand
+
+126
+00:15:27,800 --> 00:15:34,750
+limitهي نفس let f be function from A to R و C
+
+127
+00:15:34,750 --> 00:15:41,010
+cluster point للمجموعة A تقاطع الفترة المفتوحة من
+
+128
+00:15:41,010 --> 00:15:50,850
+سالب مالة نهاية إلى C اللي هي كل ال X في A حيث X
+
+129
+00:15:50,850 --> 00:15:58,490
+هتكون أصغر من مرة هذه أصغر من Cفنقول إن الـ real
+
+130
+00:15:58,490 --> 00:16:06,070
+number L هو بدل right hand limit هيكون left hand
+
+131
+00:16:06,070 --> 00:16:10,550
+limit of f at c if given epsilon there exists
+
+132
+00:16:10,550 --> 00:16:15,310
+delta depends on epsilon بحيث أنه لكل x ينتمي إلى
+
+133
+00:16:15,310 --> 00:16:21,900
+aلكل X هنتمي إلى A وال X طبعا موجودة في الفترة هذه
+
+134
+00:16:21,900 --> 00:16:28,600
+يعني ال X المرة هذه على يسار المرة هذه ال X هتكون
+
+135
+00:16:31,420 --> 00:16:35,260
+موجودة في A وفي الفترة المفتوحة من سالب مالنهاية
+
+136
+00:16:35,260 --> 00:16:44,720
+إلى C يعني ال X هتكون على يسار ال C وبالتالي هنا
+
+137
+00:16:44,720 --> 00:16:51,240
+ال C minus المسافة بين X و C absolute X minus C
+
+138
+00:16:51,240 --> 00:16:57,640
+هتطلع بساوي C minus X فلو كانت المسافة هذه أصغر من
+
+139
+00:16:57,640 --> 00:16:59,660
+Delta وطبعا أكبر من سفر
+
+140
+00:17:09,550 --> 00:17:18,370
+هذا الشرط سيصبح c-x أصغر من دلتا أكبر من سفر فهذا
+
+141
+00:17:18,370 --> 00:17:22,910
+لازم يضمن أن absolute of f of x minus l أصغر من
+
+142
+00:17:22,910 --> 00:17:29,610
+إبسمن في الحالة هذه بيقول إن ال limit لf of x لما
+
+143
+00:17:29,610 --> 00:17:31,850
+x تقول لc من اليسار
+
+144
+00:17:34,230 --> 00:17:39,550
+بس n بساوي LL okay انها تعريف ال lift hand limit
+
+145
+00:17:39,550 --> 00:17:44,890
+او ال limit from the lift okay تعديل
+
+146
+00:17:44,890 --> 00:17:50,770
+بسيط بس طيب
+
+147
+00:17:50,770 --> 00:17:58,170
+ال limits هذه هنشوف يعني بعد شوية ان ال one sided
+
+148
+00:17:58,170 --> 00:18:03,210
+limits ده functional نقطةممكن يعني التنتين يكونوا
+
+149
+00:18:03,210 --> 00:18:09,750
+موجودين عند النقطة ويلهم نفس القيمة أو ممكن
+
+150
+00:18:09,750 --> 00:18:15,430
+التنتين يكونوا موجودين عند نقطة لكن قيمهم مختلفة
+
+151
+00:18:15,430 --> 00:18:20,270
+زي الـ Signum function عند الصفر شوفنا أن ال limit
+
+152
+00:18:20,270 --> 00:18:23,350
+تبعتها من اليمين واحد و ال limit تبعتها من اليسار
+
+153
+00:18:23,350 --> 00:18:27,850
+ثالث واحدإذا ممكن ال two sided limits يكونوا
+
+154
+00:18:27,850 --> 00:18:33,630
+موجودات لكن they are different مختلفات، ممكن برضه
+
+155
+00:18:33,630 --> 00:18:37,790
+one sided limit تكون موجودة and the other may not
+
+156
+00:18:37,790 --> 00:18:42,090
+exist، ممكن ما تكونش موجودة من أساسه
+
+157
+00:18:44,810 --> 00:18:54,930
+ممكن ال one sided limits ولا واحدة فيهم تكون
+
+158
+00:18:54,930 --> 00:19:03,250
+موجودة فكل الحلقات هذه هنشوفها في أمثلة لاحقة لكن
+
+159
+00:19:03,250 --> 00:19:08,030
+الأول خلّينا نبرهن النظرية التالية
+
+160
+00:19:13,670 --> 00:19:18,750
+طبعا هنا بنحب ال ..
+
+161
+00:19:18,750 --> 00:19:24,870
+النوّه أن كل نظريات اللي أثبتناها في section 4.1
+
+162
+00:19:24,870 --> 00:19:31,790
+أو 4.2 بخصوص ال two sided limit هتكون صحيحة بخصوص
+
+163
+00:19:31,790 --> 00:19:38,030
+ال right limit و كذلك صحيحة بخصوص ال left hand
+
+164
+00:19:38,030 --> 00:19:38,430
+limit
+
+165
+00:19:41,100 --> 00:19:46,240
+فعلى سبيل المثال وليس الحصر احنا أخدنا sequential
+
+166
+00:19:46,240 --> 00:19:51,240
+criterion sequential criterion for two sided limit
+
+167
+00:19:51,240 --> 00:19:56,580
+الآن هنكتب برضه sequential criterion for right
+
+168
+00:19:56,580 --> 00:20:09,420
+limit sequential criterion for right
+
+169
+00:20:09,420 --> 00:20:10,100
+hand
+
+170
+00:20:25,970 --> 00:20:35,670
+limits let f from a to r be function and c be
+
+171
+00:20:35,670 --> 00:20:37,330
+cluster
+
+172
+00:20:39,230 --> 00:20:47,910
+point of A then the following statements are
+
+173
+00:20:47,910 --> 00:20:54,190
+equivalent الأبارات التالية متكافئة واحد ال limit
+
+174
+00:20:54,190 --> 00:21:01,810
+ل F of X as X tends to C from the right exist
+
+175
+00:21:01,810 --> 00:21:06,030
+وبساوي عدد L اتنين
+
+176
+00:21:13,830 --> 00:21:20,370
+for for every sequence
+
+177
+00:21:20,370 --> 00:21:36,530
+x in contained in a تقاطع c و infinity such that
+
+178
+00:21:38,210 --> 00:21:47,290
+limit x in as n tends to infinity بيساوي c we have
+
+179
+00:21:47,290 --> 00:21:51,090
+limit
+
+180
+00:21:51,090 --> 00:21:59,170
+لل image of the sequence x in بيساوي العدد L
+
+181
+00:22:10,340 --> 00:22:17,060
+البرهان شبيه بالبرهان الخاص بالـ two-sided limit
+
+182
+00:22:17,060 --> 00:22:24,100
+فمثلا لو بدنا نبرهن proof لو بدى برهن الأبعار
+
+183
+00:22:24,100 --> 00:22:30,720
+الأولى بتأدي للتانية فبنقول assume .. نبدأ ب
+
+184
+00:22:30,720 --> 00:22:38,240
+assume أن ال limit ال right limitالـ F عند الـ C
+
+185
+00:22:38,240 --> 00:22:44,240
+exist بساوي L وبدنا
+
+186
+00:22:44,240 --> 00:22:48,680
+نثبت أن الـ two بيطلع العبارة تنين بتطلع صحيحة
+
+187
+00:22:48,680 --> 00:22:55,400
+لبرهان العبارة to prove two
+
+188
+00:22:55,400 --> 00:22:56,260
+holds
+
+189
+00:22:59,500 --> 00:23:08,320
+لت نبدأ لت xn contained in a تقاطع c إلى infinity
+
+190
+00:23:08,320 --> 00:23:12,360
+بsequence
+
+191
+00:23:12,360 --> 00:23:19,040
+such that ال limit تبعتها as n tends to infinity
+
+192
+00:23:19,040 --> 00:23:24,440
+بساوي c إذا أنا باخد sequence في المجموعة a
+
+193
+00:23:24,440 --> 00:23:30,410
+وحدودها كلهم أكبر من cو بفرض أن ال limit لل
+
+194
+00:23:30,410 --> 00:23:38,870
+sequence يادي بيساوي العدد c نحتاج أن نظهر عشان
+
+195
+00:23:38,870 --> 00:23:46,250
+نثبت اتنين باقي نثبت أن ال limit نحتاج أن نظهر أن
+
+196
+00:23:46,250 --> 00:23:53,530
+ال limit لل image of the sequence xn as n tends to
+
+197
+00:23:53,530 --> 00:24:01,630
+infinity بساوي Lهيك بنكون أثبتنا أن العبارة 2
+
+198
+00:24:01,630 --> 00:24:10,150
+صحيحة، مصبوط، صح؟ طيب لبرهان ذلك to
+
+199
+00:24:10,150 --> 00:24:11,130
+see this
+
+200
+00:24:16,090 --> 00:24:19,390
+بدأ اثبت ان ال limit لل sequence هذه بساوي عدد L
+
+201
+00:24:19,390 --> 00:24:23,890
+فبستخدم تعريف epsilon capital N لل limit فلازم
+
+202
+00:24:23,890 --> 00:24:31,510
+نبدأ with epsilon أكبر من السفر ب given طيب مش
+
+203
+00:24:31,510 --> 00:24:41,970
+احنا فرضينSince الـ right limit ل F and C موجود أو
+
+204
+00:24:41,970 --> 00:24:46,770
+بالساوي L من تعريف ال right limit there exists
+
+205
+00:24:46,770 --> 00:24:52,230
+delta depends on epsilon positive number بحيث إنه
+
+206
+00:24:52,230 --> 00:25:02,200
+لو كانت ال X تنتمي إلى A و X minus C أكبر من 0أصغر
+
+207
+00:25:02,200 --> 00:25:09,760
+من دلتا هذا معناه بيقدي أنه absolute f of x minus
+
+208
+00:25:09,760 --> 00:25:22,600
+L أصغر من إبسم نسمي ال implication هذي star now
+
+209
+00:25:22,600 --> 00:25:30,880
+for the aboveالدلتا أكبر من السفر لدلتا هذه
+
+210
+00:25:30,880 --> 00:25:34,720
+الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا
+
+211
+00:25:34,720 --> 00:25:36,800
+هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة
+
+212
+00:25:36,800 --> 00:25:38,440
+لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع
+
+213
+00:25:38,440 --> 00:25:41,400
+الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه
+
+214
+00:25:41,400 --> 00:25:41,660
+الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا
+
+215
+00:25:41,660 --> 00:25:42,040
+هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة
+
+216
+00:25:42,040 --> 00:25:43,160
+لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع
+
+217
+00:25:43,160 --> 00:25:51,140
+الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه
+
+218
+00:25:51,140 --> 00:25:57,180
+الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلت
+
+219
+00:25:57,830 --> 00:26:05,110
+natural number عدد طبيعي بحيث انه لو كان ال N أكبر
+
+220
+00:26:05,110 --> 00:26:12,510
+من أو ساوي capital N فهذا بتضمن ان absolute xn
+
+221
+00:26:12,510 --> 00:26:20,090
+minus c أصغر من delta نسمي ال implication هذه
+
+222
+00:26:20,090 --> 00:26:21,050
+double star
+
+223
+00:26:30,480 --> 00:26:44,680
+hence و بالتالي star and double star imply بيؤدوا
+
+224
+00:26:44,680 --> 00:26:51,860
+إلى ما يلي انه لو كانت ال N أكبر من أو ساوي
+
+225
+00:26:51,860 --> 00:26:56,360
+capital N فمن
+
+226
+00:26:56,360 --> 00:26:57,380
+double star
+
+227
+00:26:59,860 --> 00:27:04,940
+لو كانت n أكبر من أو ساوي capital N فمن double
+
+228
+00:27:04,940 --> 00:27:21,340
+star بطلع absolute xn minus c أصغر من delta هذا
+
+229
+00:27:21,340 --> 00:27:24,800
+بيقدّي أن xn
+
+230
+00:27:26,360 --> 00:27:35,400
+minus C أكبر من سفر أصغر من Delta ليه؟ لأن ال XM
+
+231
+00:27:35,400 --> 00:27:44,420
+موجودة تنتمي لإيه؟ هو أكبر من C، لذلك هذا لأن XM
+
+232
+00:27:44,420 --> 00:27:48,400
+أكبر
+
+233
+00:27:48,400 --> 00:27:58,050
+من Cفبالتالي absolute xn-c أكبر من 0 وبالتالي
+
+234
+00:27:58,050 --> 00:28:06,790
+absolute xn-c absolute عدد موجب بساوي نفسه لأن ال
+
+235
+00:28:06,790 --> 00:28:15,750
+absolute value هنا ل xn-c بساوي xn-c لأن xn أكبر
+
+236
+00:28:15,750 --> 00:28:18,110
+من c وطبعا
+
+237
+00:28:21,830 --> 00:28:32,590
+هذا أكبر من السفر لأن xn لا تساوي c أكبر من c الان
+
+238
+00:28:32,590 --> 00:28:39,310
+من ال star هذا بيقدي by starالـ star بتقول إذا
+
+239
+00:28:39,310 --> 00:28:45,330
+كانت ال X أو هنا في الحالة تبعتنا X in ال X in هذه
+
+240
+00:28:45,330 --> 00:28:49,990
+تنتمي لإيه؟ ال X in هي تنتمي لإيه؟ و بعدين هي عندي
+
+241
+00:28:49,990 --> 00:28:56,470
+X in سالب C أكبر من سفر أصغر من Delta إذا by star
+
+242
+00:28:56,470 --> 00:29:06,950
+بتطلع absolute F of X in minus L أصغر من Y تمام؟
+
+243
+00:29:10,290 --> 00:29:18,790
+الان نلاحظ ان ابسلون was arbitrary ابسلون
+
+244
+00:29:18,790 --> 00:29:28,230
+was arbitrary since
+
+245
+00:29:28,230 --> 00:29:36,890
+ابسلون أكبر من السفر was arbitrary اذا هيك بنكون
+
+246
+00:29:36,890 --> 00:29:43,470
+احنا أثبتناإنه لأي إبسلون أو لكل إبسلون يوجد Delta
+
+247
+00:29:43,470 --> 00:29:50,890
+لأ لكل إبسلون يوجد capital N يعتمد على ال Delta
+
+248
+00:29:50,890 --> 00:29:55,070
+وبالتالي تعتمد على إبسلون لأن ال Delta تعتمد على
+
+249
+00:29:55,070 --> 00:30:01,410
+إبسلون بحيث إنه لكل N أكبر من أو سوى capital N طلع
+
+250
+00:30:01,410 --> 00:30:06,190
+عندي absolute f of xn minus L أصغر من إبسلونإذاً
+
+251
+00:30:06,190 --> 00:30:12,750
+by epsilon capital N definition of limit بيطلع هيك
+
+252
+00:30:12,750 --> 00:30:18,710
+بيكون أثبتنا أنه limit ال sequence f of x n as n
+
+253
+00:30:18,710 --> 00:30:23,710
+tends to infinity بساوي L وهذا اللي بدنا يعني هذا
+
+254
+00:30:23,710 --> 00:30:26,570
+اللي احنا ايه اللي عايزين نثبته
+
+255
+00:30:29,870 --> 00:30:35,490
+إذاً هيك منكون أثبتنا أنه إيه اتنين holds وبالتالي
+
+256
+00:30:35,490 --> 00:30:41,670
+هيك هذا بيكمل برهان واحد implies two okay تمام؟
+
+257
+00:30:41,670 --> 00:30:46,490
+بالمثل ممكن انبرهن اتنين implies one
+
+258
+00:30:55,620 --> 00:31:03,360
+the proof of اتنين implies العبارة
+
+259
+00:31:03,360 --> 00:31:11,200
+التانية implies الأولى is similar is
+
+260
+00:31:11,200 --> 00:31:18,600
+similar to is
+
+261
+00:31:18,600 --> 00:31:22,000
+similar to proof of
+
+262
+00:31:24,130 --> 00:31:34,570
+the sequential criterion for two-sided limit
+
+263
+00:31:34,570 --> 00:31:45,850
+exercises
+
+264
+00:31:45,850 --> 00:31:50,980
+يعني اتمرنوا عليهاانا ارجع لبرهان ال sequential
+
+265
+00:31:50,980 --> 00:31:55,520
+criterion for two-sided limit وشوفوا اقرأوا
+
+266
+00:31:55,520 --> 00:31:59,600
+البرهان و اعملوا التعديلات البسيطة على البرهان لان
+
+267
+00:31:59,600 --> 00:32:03,920
+هنا احنا نتعامل مع right hand limit او limit from
+
+268
+00:32:03,920 --> 00:32:07,500
+the right rather than two-sided limit زي ما عملنا
+
+269
+00:32:07,500 --> 00:32:12,920
+في البرهان تبع واحد implies اتنين okay فحاسيبكم
+
+270
+00:32:12,920 --> 00:32:17,740
+انتوا تكتبوا البرهان تبع اتنين بيقدي لواحدبنفس
+
+271
+00:32:17,740 --> 00:32:21,700
+الطريقة اللى برهنها فى حالة ال two sided limit
+
+272
+00:32:21,700 --> 00:32:30,080
+okay تمام فى اى سؤال طبعا ممكن برضه ايضا يوجد
+
+273
+00:32:30,080 --> 00:32:35,500
+ممكننا نثبت sequential criterion for left hand
+
+274
+00:32:35,500 --> 00:32:42,620
+limit او limit from the left نفس الطريقةOkay فيعني
+
+275
+00:32:42,620 --> 00:32:47,080
+احنا مش هنكتب طبعا نظرية دي هنعتبرها نظرية قائمة و
+
+276
+00:32:47,080 --> 00:32:53,010
+صحيحة و مش بدون برهان okay تمام؟إذن هذه واحدة من
+
+277
+00:32:53,010 --> 00:32:58,650
+النظريات اللي برهناها في section 4.1 و 4.2 و
+
+278
+00:32:58,650 --> 00:33:04,470
+بالمثل كل نظريات اللي برهناهم لـ two sided limit
+
+279
+00:33:04,470 --> 00:33:10,590
+في section 4.1 و 4.2 هنعتبرهم قائمين أو نعتبر
+
+280
+00:33:10,590 --> 00:33:15,330
+نظريات هذه صحيحة لـ left limit و right limit
+
+281
+00:33:22,080 --> 00:33:37,560
+في نظرية أخرى مهمة وهي التعطيل
+
+282
+00:33:37,560 --> 00:33:43,000
+العلاقة بين ال two sided limits و ال one sided
+
+283
+00:33:43,000 --> 00:33:49,100
+limits ف
+
+284
+00:33:51,870 --> 00:34:01,250
+if b function from a to r and let c be a cluster
+
+285
+00:34:01,250 --> 00:34:05,450
+point
+
+286
+00:34:05,450 --> 00:34:08,690
+of
+
+287
+00:34:08,690 --> 00:34:15,310
+المجموعة a تقاطع الفترة المفتوحة from c to
+
+288
+00:34:15,310 --> 00:34:24,070
+infinity and of a تقاطعالـ open interval from
+
+289
+00:34:24,070 --> 00:34:32,250
+negative infinity to c then
+
+290
+00:34:32,250 --> 00:34:42,450
+الـ two-sided limit للـ function f and c بتكون
+
+291
+00:34:42,450 --> 00:34:47,730
+موجودة وبتساوي
+
+292
+00:34:47,730 --> 00:34:54,760
+عدد L if and only ifالـ one-sided limit أو الـ
+
+293
+00:34:54,760 --> 00:35:02,120
+limit from the right the limit at C from the right
+
+294
+00:35:02,120 --> 00:35:12,860
+exist و بساوي L and the limit of F at C from the
+
+295
+00:35:12,860 --> 00:35:19,360
+left exist و بتساوي نفس العدد L وهذه نظرية أخذناها
+
+296
+00:35:19,360 --> 00:35:21,520
+في تفاضل ألف إذا بتذكروا
+
+297
+00:35:24,420 --> 00:35:29,460
+متى ال limit عند نقطة في مجالها او cluster point
+
+298
+00:35:29,460 --> 00:35:34,940
+لمجالها بتكون exist بالساوية عدد اذا كانت ال limit
+
+299
+00:35:34,940 --> 00:35:37,980
+من اليمين موجودة و ال limit من اليسار موجودة و
+
+300
+00:35:37,980 --> 00:35:47,600
+التنتين متساويتين و بساوي نفس العدد هناك
+
+301
+00:35:47,600 --> 00:35:50,500
+بس ماكنش البرهان المطلوب منكم المرة دي احنا
+
+302
+00:35:50,500 --> 00:35:58,420
+مطالبينبالبرهان البرهان يعني كتير سهل ينتج من
+
+303
+00:35:58,420 --> 00:36:06,780
+التعريفات proof ف .. هحاول أبرهنلكم ال F part هذا
+
+304
+00:36:06,780 --> 00:36:16,520
+مسمى ال F part يعني هفرض أنه assume أنه
+
+305
+00:36:16,520 --> 00:36:17,780
+ال one sided limits
+
+306
+00:36:24,700 --> 00:36:29,160
+the limit from the right exist وبساوي L وكذلك
+
+307
+00:36:29,160 --> 00:36:36,000
+limit from the left موجودة
+
+308
+00:36:36,000 --> 00:36:41,840
+وبساوي العدد L وعايز اثبت ان ال limit from the two
+
+309
+00:36:41,840 --> 00:36:48,940
+sides exist اذا هنا هذا الفرض المطلوب
+
+310
+00:37:02,770 --> 00:37:09,030
+أكلم الـ two-sided limit لـ الـ function f at x
+
+311
+00:37:09,030 --> 00:37:14,530
+بساوي c exist و بساوي نفس القيمة أو نفس الأعداد L
+
+312
+00:37:14,530 --> 00:37:27,010
+لبرهان ذلك to see this لبرهان ذلك بنحاول نطبق
+
+313
+00:37:27,010 --> 00:37:33,000
+تعريف epsilon deltaلـ limit of function فبنبدأ
+
+314
+00:37:33,000 --> 00:37:41,140
+بنقول let epsilon أكبر من السفر be given طيب
+
+315
+00:37:41,140 --> 00:37:47,380
+أنا من الفرض أنا فارض تعالى نستفيد من الفرض للوصول
+
+316
+00:37:47,380 --> 00:37:51,720
+إلى المطلوب هذا برهان مباشر البرهان المباشر ده
+
+317
+00:37:51,720 --> 00:37:57,420
+ناخد الفرض بنشتغل عليه بنحط عليه شوية برات و بعدين
+
+318
+00:37:57,420 --> 00:38:05,060
+بنطلع منهالمطلوب فمن الفرض فرضين احنا ان ال limit
+
+319
+00:38:05,060 --> 00:38:14,060
+ل f of x as x tends to c positive لما انه ال limit
+
+320
+00:38:14,060 --> 00:38:20,020
+من اليمين عن c بساوي L y أكبر من سفر given by
+
+321
+00:38:20,020 --> 00:38:25,190
+definitionthere exists delta واحد بالساوي delta
+
+322
+00:38:25,190 --> 00:38:32,830
+واحد تعتمد على epsilon عدد موجب بحيث أنه لو كان x
+
+323
+00:38:32,830 --> 00:38:40,650
+ينتمي إلى a و x minus c أكبر من سفر أصغر من delta
+
+324
+00:38:40,650 --> 00:38:48,350
+واحد فهذا بتضمن أن absolute f of x minus l أصغر من
+
+325
+00:38:48,350 --> 00:38:48,810
+epsilon
+
+326
+00:38:52,780 --> 00:39:00,720
+نسمي الـ implication head star also كذلك بما أن
+
+327
+00:39:00,720 --> 00:39:08,420
+احنا فرضين ان ال limit ل f of x as x tends to c
+
+328
+00:39:08,420 --> 00:39:13,900
+from the left exist وequal نفس العدد L، اذا by
+
+329
+00:39:13,900 --> 00:39:18,980
+definition of left hand limitthere exists delta
+
+330
+00:39:18,980 --> 00:39:21,880
+تانية مش صارت الـ delta هذه تكون نفس الـ delta
+
+331
+00:39:21,880 --> 00:39:27,040
+اللي فوق ماحد بيقدر يجزم ذلك فنسميها delta تانية
+
+332
+00:39:27,040 --> 00:39:32,980
+there exists delta two depends طبعا بالتأكيد تعتمد
+
+333
+00:39:32,980 --> 00:39:38,560
+على إبسلون وعدد موجة بحيث أنه حسب التعريف لكل x
+
+334
+00:39:39,250 --> 00:39:46,270
+تنتمي إلى a و c minus x أكبر من سفر أصغر من delta
+
+335
+00:39:46,270 --> 00:39:54,290
+و 2 طبعا هذا بتضمن أن absolute f of x minus n less
+
+336
+00:39:54,290 --> 00:40:00,710
+than epsilon انسمي ال implication هذه double star
+
+337
+00:40:00,710 --> 00:40:05,390
+خلينا
+
+338
+00:40:05,390 --> 00:40:11,530
+ناخد كالعادة deltaنعرف delta على إنها minimum ال
+
+339
+00:40:11,530 --> 00:40:17,530
+minimum الأصغر بين delta واحد و delta اتنين طبعا
+
+340
+00:40:17,530 --> 00:40:21,890
+هذه بالتأكيد هيطلع الصغيرة بين الاتنين هتكون واحدة
+
+341
+00:40:21,890 --> 00:40:27,770
+منهم وبالتالي تطلع عدد موجب وتعتمد على epsilon إذن
+
+342
+00:40:27,770 --> 00:40:30,930
+هيثبت أن يوجد delta تعتمد على epsilon و ال delta
+
+343
+00:40:30,930 --> 00:40:36,110
+هي عدد موجب الان for this delta تعالى نشوف
+
+344
+00:40:40,450 --> 00:40:49,310
+لو كان x ينتمي ل a و absolute x minus c أكبر من
+
+345
+00:40:49,310 --> 00:40:54,510
+صفر أصغر من دلتا الان
+
+346
+00:40:54,510 --> 00:40:57,850
+بناخد delta بساوي ال minimum ل delta واحد و delta
+
+347
+00:40:57,850 --> 00:41:02,060
+اتنينطبعا بما ان دلتا واحد ودلتا اتنين اعداد موجب
+
+348
+00:41:02,060 --> 00:41:06,080
+اذا دلتا اعداد موجب وكذلك تعتمد على epsilon لان
+
+349
+00:41:06,080 --> 00:41:10,380
+دلتا واحد ودلتا اتنين تعتمد على epsilon الان لو
+
+350
+00:41:10,380 --> 00:41:16,720
+أخدت x تنتمي لمجموعة a و ال x صارت مختلفة عن ال c
+
+351
+00:41:16,720 --> 00:41:23,320
+و المسافة بينها و بين ال c أصغر من دلتا هذا معناه
+
+352
+00:41:23,320 --> 00:41:34,510
+هذا معناه انهال X لا تساوي C وبالتالي
+
+353
+00:41:34,510 --> 00:41:48,230
+ال X ممكن تكون اصغر من C او ال X اكبر من C فهذا
+
+354
+00:41:48,230 --> 00:41:55,630
+بيقدي انه ال .. ال
+
+355
+00:41:55,630 --> 00:42:04,400
+.. ال .. اذا كانت ال Xإذا كانت الـ X أكبر من C لو
+
+356
+00:42:04,400 --> 00:42:08,980
+كانت الـ X أكبر من C فهذا بقدّي أن absolute X
+
+357
+00:42:08,980 --> 00:42:15,200
+minus C بساوي X minus C بصير الـ absolute value
+
+358
+00:42:15,200 --> 00:42:20,560
+هذه عبارة عن X minus C هو أكبر من 0 أصغر من Delta
+
+359
+00:42:20,560 --> 00:42:29,800
+ولو كانتال X أصغر من C فال absolute value هذه
+
+360
+00:42:29,800 --> 00:42:37,360
+بيصير C minus X أكبر من سفر أصغر من Delta في
+
+361
+00:42:37,360 --> 00:42:41,460
+الحالة الأولى ال Delta تبعتي هذه أصغر من أو ساوي
+
+362
+00:42:41,460 --> 00:42:47,120
+Delta واحد صح؟ ال Delta هذه هي ال minimum ل Delta
+
+363
+00:42:47,120 --> 00:42:50,760
+واحد و Delta اتنين وبالتالي أصغر من أو ساوي Delta
+
+364
+00:42:50,760 --> 00:42:58,090
+واحد وبالتالي من ال starإذا كانت x تنتمي إلى a و x
+
+365
+00:42:58,090 --> 00:43:03,990
+minus c أكبر من سفر أصغر من دلتا واحد من ال star
+
+366
+00:43:03,990 --> 00:43:11,770
+بيطلع عندي absolute f of x minus L أصغر من يوإذا
+
+367
+00:43:11,770 --> 00:43:17,510
+كانت ال X أصغر من ال C فبطلع absolute X سالب C
+
+368
+00:43:17,510 --> 00:43:22,870
+بيطلع بيساوي C سالب X أصغر من Delta وطبعا X مستويش
+
+369
+00:43:22,870 --> 00:43:29,190
+C أكبر من 0 وال Delta هذه من تعريفها أصغر من أو
+
+370
+00:43:29,190 --> 00:43:35,300
+يساوي Delta 2باستخدام double star ال implication
+
+371
+00:43:35,300 --> 00:43:41,420
+double star لما يكون ال X تنتمي ل A و C minus X
+
+372
+00:43:41,420 --> 00:43:46,640
+أكبر من 0 أصغر من Delta 2 هذا بيقدر أن absolute F
+
+373
+00:43:46,640 --> 00:43:53,680
+of X minus L أصغر من إبسن إذن في كل الأحوال هذه
+
+374
+00:43:53,680 --> 00:43:58,180
+بتقدر أن absolute F of X minus L أصغر من إبسن
+
+375
+00:43:58,180 --> 00:43:59,400
+تمام؟
+
+376
+00:44:02,170 --> 00:44:06,090
+طب ما هذا هو تعريف epsilon delta لل limit of
+
+377
+00:44:06,090 --> 00:44:12,270
+function صح؟ إذا نيجي بنقول هنا since epsilon أكبر
+
+378
+00:44:12,270 --> 00:44:15,870
+من السفر was arbitrary
+
+379
+00:44:17,410 --> 00:44:22,850
+إذا احنا بنكون أثبتنا لكل إبسلون أكبر من سفر يوجد
+
+380
+00:44:22,850 --> 00:44:27,950
+Delta تعتمد على إبسلون عدد موجب بحيث لكل X تنتمي ل
+
+381
+00:44:27,950 --> 00:44:32,210
+A و Absolute X minus C أكبر من سفر أصغر من Delta
+
+382
+00:44:32,210 --> 00:44:37,810
+طلع عندي Absolute F of X في الحالتين minus L أصغر
+
+383
+00:44:37,810 --> 00:44:41,630
+من إبسلون وبالتالي إذا هذا صحيح لكل إبسلون
+
+384
+00:44:41,630 --> 00:44:45,620
+وبالتالي by إبسلون Delta definition of limitأو
+
+385
+00:44:45,620 --> 00:44:54,600
+function we have أثبتنا أن ال limit ل f of x as x
+
+386
+00:44:54,600 --> 00:45:01,380
+tends to c بساوي العدد L okay تمام، إذا هذا بثبت
+
+387
+00:45:01,380 --> 00:45:04,840
+اللي هو لو كان ال two sided limits موجودين
+
+388
+00:45:04,840 --> 00:45:10,730
+متساويتين، لأ لو كان ال one sided limitsكلا هما
+
+389
+00:45:10,730 --> 00:45:15,530
+موجودة و بساوة قيمة مشتركة L ف ال two sided limit
+
+390
+00:45:15,530 --> 00:45:20,130
+تطلع exist و قيمتها بساوة القيمة المشتركة الان
+
+391
+00:45:20,130 --> 00:45:28,210
+برهان العكس أسهل لذن هكتب هنا ال proof of
+
+392
+00:45:28,210 --> 00:45:36,650
+the canvas is easier أسهل
+
+393
+00:45:38,760 --> 00:45:44,180
+So exercise it يعني
+
+394
+00:45:44,180 --> 00:45:49,780
+اتمرّض عليها لو كانت ال two-sided limit exist فمن
+
+395
+00:45:49,780 --> 00:45:55,840
+السهل أن نثبت أن ال right hand limit exist و ال
+
+396
+00:45:55,840 --> 00:46:00,600
+left hand limit exist و كلهم لهم نفس القيمة okay
+
+397
+00:46:00,600 --> 00:46:05,170
+تمام؟إذا هنوقف هنا و في المحاضرة الجاية ان شاء
+
+398
+00:46:05,170 --> 00:46:09,710
+الله هناخد أمثلة على one-sided limits إما في اتين
+
+399
+00:46:09,710 --> 00:46:13,350
+موجودين و متساوياتين أو اتنين موجودين و مختلفتين
+
+400
+00:46:13,350 --> 00:46:18,190
+أو واحدة موجودة و اتنين مش موجودة و هكذا، هنشوف كل
+
+401
+00:46:18,190 --> 00:46:24,670
+الأنواع و كل ال situations، تمام؟ okay شكرا لكم و
+
+402
+00:46:24,670 --> 00:46:26,550
+نشوفكم ان شاء الله المرة القادمة
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/2qaKB7theEQ_raw.srt

@@ -0,0 +1,1620 @@
+1
+00:00:19,940 --> 00:00:25,840
+السلام عليكم هنكمل
+
+2
+00:00:25,840 --> 00:00:33,420
+اليوم section اربعة اتنين في ال section هذا كان
+
+3
+00:00:33,420 --> 00:00:38,780
+اتبقى بس ان احنا نثبت النظرية اللى كتبتها على
+
+4
+00:00:38,780 --> 00:00:44,700
+اللوحى النظرية هذه بتنص على ان لو كان في هندي
+
+5
+00:00:44,700 --> 00:00:53,020
+function من A لRو c cluster point للset a وإذا كان
+
+6
+00:00:53,020 --> 00:00:59,120
+limit ال function عن c exist وموجبة أو
+
+7
+00:00:59,120 --> 00:01:04,880
+على التوالي إذا كانت limit f of x عن c موجودة
+
+8
+00:01:04,880 --> 00:01:09,080
+وسالبة فيوجد
+
+9
+00:01:09,080 --> 00:01:14,990
+نقدر نلاقي delta neighborhood دي delta لل cبحيث إن
+
+10
+00:01:14,990 --> 00:01:19,510
+الدالة هتكون إذا كانت ال limit موجبة فالدالة هتكون
+
+11
+00:01:19,510 --> 00:01:26,670
+موجبة على ال delta never hood ل C وإذا
+
+12
+00:01:26,670 --> 00:01:31,950
+كانت ال limit سالبة فالدالة هتكون سالبة على جوار
+
+13
+00:01:31,950 --> 00:01:38,890
+delta ل C هذه
+
+14
+00:01:38,890 --> 00:01:43,210
+نظرية تشبه نظرية سابقة بخصوص limits of sequences
+
+15
+00:01:44,920 --> 00:01:48,400
+النظرية اللي فاتت بتاعة الـ sequences المشابهة
+
+16
+00:01:48,400 --> 00:01:52,640
+بتقول لو كانت ال sequence النهاية تبعتها limit x
+
+17
+00:01:52,640 --> 00:01:58,200
+in exist وموجبة فلازم ال sequence تكون حدودها من
+
+18
+00:01:58,200 --> 00:02:02,420
+capital N وانت طالع كلها موجبة و لو كانت ال limit
+
+19
+00:02:02,420 --> 00:02:06,640
+لل sequence exist و سالبة فلازم حدود ال sequence
+
+20
+00:02:06,640 --> 00:02:10,900
+من capital N وانت طالع كلها تكون سالبة فهذه شبيهة
+
+21
+00:02:10,900 --> 00:02:18,100
+فيهاوالبرهان سهل وشبيه بالبرهان تبع النظرية
+
+22
+00:02:18,100 --> 00:02:24,320
+المشابهة في حالة ال sequences فناخد الحالة assume
+
+23
+00:02:24,320 --> 00:02:27,360
+ناخد
+
+24
+00:02:27,360 --> 00:02:32,400
+الحالة اللي فيها ال limit ل
+
+25
+00:02:32,400 --> 00:02:40,060
+f of x at c exists and equals عدد l موجب
+
+26
+00:02:53,880 --> 00:03:00,200
+فإذا كانت ال limit موجبة بنا أثبت أن يوجد delta
+
+27
+00:03:00,200 --> 00:03:07,240
+neverhood إلى آخر A فخلّينا
+
+28
+00:03:07,240 --> 00:03:17,740
+ناخد let epsilon في الحالة دي let epsilon بساوي
+
+29
+00:03:17,740 --> 00:03:26,600
+L على 2 فهذا عدد موجبالان by definition of limit
+
+30
+00:03:26,600 --> 00:03:32,640
+of function by epsilon delta definition لأي
+
+31
+00:03:32,640 --> 00:03:38,140
+epsilon موجبة زي هذه يوجد delta تعتمد على L على 2
+
+32
+00:03:38,140 --> 00:03:43,280
+اللي هي ال epsilon عدد موجب بحيث انه لو كان X
+
+33
+00:03:45,890 --> 00:03:51,090
+ينتمي إلى a و absolute x minus c أصغر من delta
+
+34
+00:03:51,090 --> 00:03:59,790
+أكبر من 0 فهذا بتضمن أن absolute f of x minus L
+
+35
+00:03:59,790 --> 00:04:04,510
+أصغر من إبسلم اللي هي عبارة عن L ع 2
+
+36
+00:04:08,170 --> 00:04:15,990
+فحل المتباينة هذه في f of x فتصير f of x minus L
+
+37
+00:04:15,990 --> 00:04:24,930
+أصغر من L على 2 أكبر من سالب L على 2 وهذا
+
+38
+00:04:24,930 --> 00:04:29,210
+بيقدي أن
+
+39
+00:04:29,210 --> 00:04:30,350
+f of x
+
+40
+00:04:34,740 --> 00:04:45,980
+من هنا F of X تطلع أكبر من L على 2 لأنه لما أخد
+
+41
+00:04:45,980 --> 00:04:50,240
+سالب L أنجلها عن ناحية التانية فتصير F of X أكبر
+
+42
+00:04:50,240 --> 00:04:55,700
+من L سالب L على 2 تطلع L على 2 و ال L موجبة إذا L
+
+43
+00:04:55,700 --> 00:05:06,860
+على 2 موجبة إذا هيك بنكون أثبتناإن ال F of X طلعت
+
+44
+00:05:06,860 --> 00:05:18,580
+أكبر من سفر لمين لكل X تنتمي إلى A ومن
+
+45
+00:05:18,580 --> 00:05:28,080
+المتباينة هذه هذا معناه X لا تساوي Cإن الـ X ينتمي
+
+46
+00:05:28,080 --> 00:05:34,480
+إلى A و لا تساوي C يعني موجودة في A و مش موجودة في
+
+47
+00:05:34,480 --> 00:05:44,280
+singleton set C و المتباينة هذه هذي معناها إن X
+
+48
+00:05:44,280 --> 00:05:46,460
+ينتمي ل V Delta
+
+49
+00:05:56,010 --> 00:06:00,790
+x-c أصغر من دلتا بكافئ
+
+50
+00:06:10,030 --> 00:06:17,770
+إن X أصغر من C زائد Delta أكبر من C سارب Delta
+
+51
+00:06:17,770 --> 00:06:21,550
+فهذا
+
+52
+00:06:21,550 --> 00:06:27,890
+معناه X تمتني لفترة مفتوحة Delta-neighborhood ل-C
+
+53
+00:06:29,570 --> 00:06:34,830
+Okay تمام اذا f of x اللي اعطاها موجبة لكل x في a
+
+54
+00:06:34,830 --> 00:06:43,250
+ومختلفة عن c وايضا من هنا ال x أيضا تنتمي ل delta
+
+55
+00:06:43,250 --> 00:06:48,850
+neighborhood ل c وبالتالي تنتمي لتقاطع المجمعتين
+
+56
+00:06:48,850 --> 00:06:55,270
+اذا هذا بثبت المظرية في حالة لما يكون ال limit
+
+57
+00:06:55,270 --> 00:06:56,490
+تبعتي موجبة
+
+58
+00:07:00,240 --> 00:07:08,880
+لو كانت ال limit سالبة فالبرهان مشابه لأن ال
+
+59
+00:07:08,880 --> 00:07:18,680
+proof of the caseلما تكون ال limit ل f of x لما x
+
+60
+00:07:18,680 --> 00:07:30,600
+تقول ل c بساوي العدد سالب is similar to
+
+61
+00:07:30,600 --> 00:07:38,200
+above case مشابه
+
+62
+00:07:38,200 --> 00:07:50,120
+للبرهان السابق علىفي الحالة هذه take start with
+
+63
+00:07:50,120 --> 00:07:55,920
+epsilon بساوي سالب ال ع اتنين وهذا بطلع عدد موجب
+
+64
+00:07:55,920 --> 00:08:01,060
+يعني ابدوا البرهان بدل ما بدنا بepsilon بساوي ال ع
+
+65
+00:08:01,060 --> 00:08:04,340
+اتنين ابدوا ابسون .. ابسون بساوي
+
+66
+00:08:14,820 --> 00:08:20,320
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان
+
+67
+00:08:20,320 --> 00:08:20,800
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان
+
+68
+00:08:20,800 --> 00:08:20,800
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان
+
+69
+00:08:20,800 --> 00:08:20,800
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان
+
+70
+00:08:20,800 --> 00:08:20,800
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان
+
+71
+00:08:20,800 --> 00:08:20,860
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان
+
+72
+00:08:20,860 --> 00:08:24,600
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان
+
+73
+00:08:24,600 --> 00:08:24,640
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان
+
+74
+00:08:24,640 --> 00:08:25,080
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان
+
+75
+00:08:25,080 --> 00:08:33,380
+البرهان البرهان
+
+76
+00:08:34,550 --> 00:08:40,910
+لأن ال L سالمة و هذا صحيح لكل X في جوار Delta ل C
+
+77
+00:08:40,910 --> 00:08:46,530
+و في A minus single to C okay؟ لأن حاسبكم أنتم
+
+78
+00:08:46,530 --> 00:08:50,990
+تكتبوا البرهان تبع الحالة التانية تمام؟ واضح؟ في
+
+79
+00:08:50,990 --> 00:08:54,850
+أي سؤال أو سفسار؟ تمام؟
+
+80
+00:09:00,180 --> 00:09:08,120
+Okay إذا نبدأ section جديد
+
+81
+00:09:08,120 --> 00:09:26,200
+section
+
+82
+00:09:26,200 --> 00:09:29,460
+أربعة تلاتة
+
+83
+00:09:33,950 --> 00:09:47,190
+بعض التطبيقات .. بعض التطبيقات لـ
+
+84
+00:09:47,190 --> 00:09:53,590
+limit concept
+
+85
+00:10:04,410 --> 00:10:12,090
+بعض التعاملات أو توصية بعض مفاهيم النهايات احنا
+
+86
+00:10:12,090 --> 00:10:16,470
+قبل هيك درسنا في section 4.1 و 4.2 ال limit of
+
+87
+00:10:16,470 --> 00:10:20,450
+function او ال two sided limit لل function عن نقطة
+
+88
+00:10:20,450 --> 00:10:24,810
+معينة اليوم هندرس ال one sided limit ل function عن
+
+89
+00:10:24,810 --> 00:10:30,960
+نقطة and cluster point للمجال تبعهامقصود بال one
+
+90
+00:10:30,960 --> 00:10:34,040
+sided limit اللي هو limit من اليمين أو limit من
+
+91
+00:10:34,040 --> 00:10:38,740
+اليسار ونشوف ما هي علاقة ال one sided limit بال
+
+92
+00:10:38,740 --> 00:10:43,320
+two sided limit فنعرف
+
+93
+00:10:43,320 --> 00:10:47,880
+الأول definition نعرف ال one sided limit
+
+94
+00:10:47,880 --> 00:10:53,000
+definition let
+
+95
+00:10:55,520 --> 00:11:03,780
+fb function from a to r and c be a cluster point
+
+96
+00:11:03,780 --> 00:11:06,840
+cluster
+
+97
+00:11:06,840 --> 00:11:22,340
+point of a واحد او
+
+98
+00:11:22,340 --> 00:11:34,220
+خلّيالـ cluster point of المجموعة A
+
+99
+00:11:34,220 --> 00:11:40,880
+تقاطع الفترة المفتوحة من C إلى infinity اللي هي كل
+
+100
+00:11:40,880 --> 00:11:47,240
+ال X مجموعة كل العناصر X تنتبه إلى A حيث X أكبر من
+
+101
+00:11:47,240 --> 00:11:53,520
+C نقول
+
+102
+00:11:57,140 --> 00:12:03,280
+إن العدد alien 10 إلى R is
+
+103
+00:12:03,280 --> 00:12:14,600
+a right .. is a right hand limit .. right hand
+
+104
+00:12:14,600 --> 00:12:29,490
+limit of ال function F at ..x بساوي c if الشرط
+
+105
+00:12:29,490 --> 00:12:35,570
+التالي بتحقق لكل
+
+106
+00:12:35,570 --> 00:12:40,630
+إبسلون given
+
+107
+00:12:40,630 --> 00:12:43,970
+إبسلون
+
+108
+00:12:43,970 --> 00:12:51,040
+أكبر من السفر يوجد delta تعتمد علىepsilon عدد موجة
+
+109
+00:12:51,040 --> 00:13:01,180
+بهاث انه لو كان x ينتمي ل a و x minus c أكبر من
+
+110
+00:13:01,180 --> 00:13:07,760
+سفر أصغر من delta فهذا بتضمن ان absolute f of x
+
+111
+00:13:07,760 --> 00:13:13,540
+minus l أصغر من epsilon in
+
+112
+00:13:13,540 --> 00:13:17,720
+this case in
+
+113
+00:13:17,720 --> 00:13:28,480
+this casewe write نكتب أن ال limit لل function f
+
+114
+00:13:28,480 --> 00:13:37,920
+عندما x تقول إلى c من اليمين بساوي العدد ال ..
+
+115
+00:13:37,920 --> 00:13:44,920
+تمام؟ لأن هذا تعريف ال limit from the right أو ال
+
+116
+00:13:44,920 --> 00:13:49,460
+right hand limit لل function f عند النقطة c
+
+117
+00:14:05,180 --> 00:14:13,440
+إذا أنا عندي هذه خط الأعداد وهي النقطة C وانا عندي
+
+118
+00:14:13,440 --> 00:14:21,900
+ال C هي cluster point ل
+
+119
+00:14:21,900 --> 00:14:26,180
+A .. لكل ال X موجود في A و أكبر من C
+
+120
+00:14:32,710 --> 00:14:37,650
+فبنقول إن ال limit عند x بالساوية c أو ال function
+
+121
+00:14:37,650 --> 00:14:42,150
+في إلها right-hand limit و ال right-hand limit هي
+
+122
+00:14:42,150 --> 00:14:48,410
+العدد L إذا كان لأي إبسلون أكبر من السفر بتقدر
+
+123
+00:14:48,410 --> 00:14:53,390
+نلاقي delta عدد موجة بيعتمد على إبسلون بحيث لكل x
+
+124
+00:14:53,390 --> 00:15:01,510
+في المجموعة A إذا كانت ال X هذه على يمين ال C
+
+125
+00:15:05,140 --> 00:15:12,460
+والمسافة بينها وبين الـ C أصغر من Delta فبتطلع
+
+126
+00:15:12,460 --> 00:15:19,860
+المسافة بين F و XL أصغر من Y بالمثل
+
+127
+00:15:19,860 --> 00:15:24,100
+ممكن نعرف ال limit from the right يعني أنا بدي
+
+128
+00:15:24,100 --> 00:15:27,800
+أعرف ال limit from the right أو ال right hand
+
+129
+00:15:27,800 --> 00:15:34,750
+limitهي نفس let f be function from A to R و C
+
+130
+00:15:34,750 --> 00:15:41,010
+cluster point للمجموعة A تقاطع الفترة المفتوحة من
+
+131
+00:15:41,010 --> 00:15:50,850
+سالب مالة نهاية إلى C اللي هي كل ال X في A حيث X
+
+132
+00:15:50,850 --> 00:15:58,490
+هتكون أصغر من مرة هذه أصغر من Cفنقول إن الـ real
+
+133
+00:15:58,490 --> 00:16:06,070
+number L هو بدل right hand limit هيكون left hand
+
+134
+00:16:06,070 --> 00:16:10,550
+limit of f at c if given epsilon there exists
+
+135
+00:16:10,550 --> 00:16:15,310
+delta depends on epsilon بحيث أنه لكل x ينتمي إلى
+
+136
+00:16:15,310 --> 00:16:21,900
+aلكل X هنتمي إلى A وال X طبعا موجودة في الفترة هذه
+
+137
+00:16:21,900 --> 00:16:28,600
+يعني ال X المرة هذه على يسار المرة هذه ال X هتكون
+
+138
+00:16:31,420 --> 00:16:35,260
+موجودة في A وفي الفترة المفتوحة من سالب مالنهاية
+
+139
+00:16:35,260 --> 00:16:44,720
+إلى C يعني ال X هتكون على يسار ال C وبالتالي هنا
+
+140
+00:16:44,720 --> 00:16:51,240
+ال C minus المسافة بين X و C absolute X minus C
+
+141
+00:16:51,240 --> 00:16:57,640
+هتطلع بساوي C minus X فلو كانت المسافة هذه أصغر من
+
+142
+00:16:57,640 --> 00:16:59,660
+Delta وطبعا أكبر من سفر
+
+143
+00:17:09,550 --> 00:17:18,370
+هذا الشرط سيصبح c-x أصغر من دلتا أكبر من سفر فهذا
+
+144
+00:17:18,370 --> 00:17:22,910
+لازم يضمن أن absolute of f of x minus l أصغر من
+
+145
+00:17:22,910 --> 00:17:29,610
+إبسمن في الحالة هذه بيقول إن ال limit لf of x لما
+
+146
+00:17:29,610 --> 00:17:31,850
+x تقول لc من اليسار
+
+147
+00:17:34,230 --> 00:17:39,550
+بس n بساوي LL okay انها تعريف ال lift hand limit
+
+148
+00:17:39,550 --> 00:17:44,890
+او ال limit from the lift okay تعديل
+
+149
+00:17:44,890 --> 00:17:50,770
+بسيط بس طيب
+
+150
+00:17:50,770 --> 00:17:58,170
+ال limits هذه هنشوف يعني بعد شوية ان ال one sided
+
+151
+00:17:58,170 --> 00:18:03,210
+limits ده functional نقطةممكن يعني التنتين يكونوا
+
+152
+00:18:03,210 --> 00:18:09,750
+موجودين عند النقطة ويلهم نفس القيمة أو ممكن
+
+153
+00:18:09,750 --> 00:18:15,430
+التنتين يكونوا موجودين عند نقطة لكن قيم��م مختلفة
+
+154
+00:18:15,430 --> 00:18:20,270
+زي الـ Signum function عند الصفر شوفنا أن ال limit
+
+155
+00:18:20,270 --> 00:18:23,350
+تبعتها من اليمين واحد و ال limit تبعتها من اليسار
+
+156
+00:18:23,350 --> 00:18:27,850
+ثالث واحدإذا ممكن ال two sided limits يكونوا
+
+157
+00:18:27,850 --> 00:18:33,630
+موجودات لكن they are different مختلفات، ممكن برضه
+
+158
+00:18:33,630 --> 00:18:37,790
+one sided limit تكون موجودة and the other may not
+
+159
+00:18:37,790 --> 00:18:42,090
+exist، ممكن ما تكونش موجودة من أساسه
+
+160
+00:18:44,810 --> 00:18:54,930
+ممكن ال one sided limits ولا واحدة فيهم تكون
+
+161
+00:18:54,930 --> 00:19:03,250
+موجودة فكل الحلقات هذه هنشوفها في أمثلة لاحقة لكن
+
+162
+00:19:03,250 --> 00:19:08,030
+الأول خلّينا نبرهن النظرية التالية
+
+163
+00:19:13,670 --> 00:19:18,750
+طبعا هنا بنحب ال ..
+
+164
+00:19:18,750 --> 00:19:24,870
+النوّه أن كل نظريات اللي أثبتناها في section 4.1
+
+165
+00:19:24,870 --> 00:19:31,790
+أو 4.2 بخصوص ال two sided limit هتكون صحيحة بخصوص
+
+166
+00:19:31,790 --> 00:19:38,030
+ال right limit و كذلك صحيحة بخصوص ال left hand
+
+167
+00:19:38,030 --> 00:19:38,430
+limit
+
+168
+00:19:41,100 --> 00:19:46,240
+فعلى سبيل المثال وليس الحصر احنا أخدنا sequential
+
+169
+00:19:46,240 --> 00:19:51,240
+criterion sequential criterion for two sided limit
+
+170
+00:19:51,240 --> 00:19:56,580
+الآن هنكتب برضه sequential criterion for right
+
+171
+00:19:56,580 --> 00:20:09,420
+limit sequential criterion for right
+
+172
+00:20:09,420 --> 00:20:10,100
+hand
+
+173
+00:20:25,970 --> 00:20:35,670
+limits let f from a to r be function and c be
+
+174
+00:20:35,670 --> 00:20:37,330
+cluster
+
+175
+00:20:39,230 --> 00:20:47,910
+point of A then the following statements are
+
+176
+00:20:47,910 --> 00:20:54,190
+equivalent الأبارات التالية متكافئة واحد ال limit
+
+177
+00:20:54,190 --> 00:21:01,810
+ل F of X as X tends to C from the right exist
+
+178
+00:21:01,810 --> 00:21:06,030
+وبساوي عدد L اتنين
+
+179
+00:21:13,830 --> 00:21:20,370
+for for every sequence
+
+180
+00:21:20,370 --> 00:21:36,530
+x in contained in a تقاطع c و infinity such that
+
+181
+00:21:38,210 --> 00:21:47,290
+limit x in as n tends to infinity بيساوي c we have
+
+182
+00:21:47,290 --> 00:21:51,090
+limit
+
+183
+00:21:51,090 --> 00:21:59,170
+لل image of the sequence x in بيساوي العدد L
+
+184
+00:22:10,340 --> 00:22:17,060
+البرهان شبيه بالبرهان الخاص بالـ two-sided limit
+
+185
+00:22:17,060 --> 00:22:24,100
+فمثلا لو بدنا نبرهن proof لو بدى برهن الأبعار
+
+186
+00:22:24,100 --> 00:22:30,720
+الأولى بتأدي للتانية فبنقول assume .. نبدأ ب
+
+187
+00:22:30,720 --> 00:22:38,240
+assume أن ال limit ال right limitالـ F عند الـ C
+
+188
+00:22:38,240 --> 00:22:44,240
+exist بساوي L وبدنا
+
+189
+00:22:44,240 --> 00:22:48,680
+نثبت أن الـ two بيطلع العبارة تنين بتطلع صحيحة
+
+190
+00:22:48,680 --> 00:22:55,400
+لبرهان العبارة to prove two
+
+191
+00:22:55,400 --> 00:22:56,260
+holds
+
+192
+00:22:59,500 --> 00:23:08,320
+لت نبدأ لت xn contained in a تقاطع c إلى infinity
+
+193
+00:23:08,320 --> 00:23:12,360
+بsequence
+
+194
+00:23:12,360 --> 00:23:19,040
+such that ال limit تبعتها as n tends to infinity
+
+195
+00:23:19,040 --> 00:23:24,440
+بساوي c إذا أنا باخد sequence في المجموعة a
+
+196
+00:23:24,440 --> 00:23:30,410
+وحدودها كلهم أكبر من cو بفرض أن ال limit لل
+
+197
+00:23:30,410 --> 00:23:38,870
+sequence يادي بيساوي العدد c نحتاج أن نظهر عشان
+
+198
+00:23:38,870 --> 00:23:46,250
+نثبت اتنين باقي نثبت أن ال limit نحتاج أن نظهر أن
+
+199
+00:23:46,250 --> 00:23:53,530
+ال limit لل image of the sequence xn as n tends to
+
+200
+00:23:53,530 --> 00:24:01,630
+infinity بساوي Lهيك بنكون أثبتنا أن العبارة 2
+
+201
+00:24:01,630 --> 00:24:10,150
+صحيحة، مصبوط، صح؟ طيب لبرهان ذلك to
+
+202
+00:24:10,150 --> 00:24:11,130
+see this
+
+203
+00:24:16,090 --> 00:24:19,390
+بدأ اثبت ان ال limit لل sequence هذه بساوي عدد L
+
+204
+00:24:19,390 --> 00:24:23,890
+فبستخدم تعريف epsilon capital N لل limit فلازم
+
+205
+00:24:23,890 --> 00:24:31,510
+نبدأ with epsilon أكبر من السفر ب given طيب مش
+
+206
+00:24:31,510 --> 00:24:41,970
+احنا فرضينSince الـ right limit ل F and C موجود أو
+
+207
+00:24:41,970 --> 00:24:46,770
+بالساوي L من تعريف ال right limit there exists
+
+208
+00:24:46,770 --> 00:24:52,230
+delta depends on epsilon positive number بحيث إنه
+
+209
+00:24:52,230 --> 00:25:02,200
+لو كانت ال X تنتمي إلى A و X minus C أكبر من 0أصغر
+
+210
+00:25:02,200 --> 00:25:09,760
+من دلتا هذا معناه بيقدي أنه absolute f of x minus
+
+211
+00:25:09,760 --> 00:25:22,600
+L أصغر من إبسم نسمي ال implication هذي star now
+
+212
+00:25:22,600 --> 00:25:30,880
+for the aboveالدلتا أكبر من السفر لدلتا هذه
+
+213
+00:25:30,880 --> 00:25:34,720
+الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا
+
+214
+00:25:34,720 --> 00:25:36,800
+هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة
+
+215
+00:25:36,800 --> 00:25:38,440
+لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع
+
+216
+00:25:38,440 --> 00:25:41,400
+الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه
+
+217
+00:25:41,400 --> 00:25:41,660
+الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا
+
+218
+00:25:41,660 --> 00:25:42,040
+هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة
+
+219
+00:25:42,040 --> 00:25:43,160
+لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع
+
+220
+00:25:43,160 --> 00:25:51,140
+الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلتا هذه
+
+221
+00:25:51,140 --> 00:25:57,180
+الاتباع الموجبة لدلتا هذه الاتباع الموجبة لدلت
+
+222
+00:25:57,830 --> 00:26:05,110
+natural number عدد طبيعي بحيث انه لو كان ال N أكبر
+
+223
+00:26:05,110 --> 00:26:12,510
+من أو ساوي capital N فهذا بتضمن ان absolute xn
+
+224
+00:26:12,510 --> 00:26:20,090
+minus c أصغر من delta نسمي ال implication هذه
+
+225
+00:26:20,090 --> 00:26:21,050
+double star
+
+226
+00:26:30,480 --> 00:26:44,680
+hence و بالتالي star and double star imply بيؤدوا
+
+227
+00:26:44,680 --> 00:26:51,860
+إلى ما يلي انه لو كانت ال N أكبر من أو ساوي
+
+228
+00:26:51,860 --> 00:26:56,360
+capital N فمن
+
+229
+00:26:56,360 --> 00:26:57,380
+double star
+
+230
+00:26:59,860 --> 00:27:04,940
+لو كانت n أكبر من أو ساوي capital N فمن double
+
+231
+00:27:04,940 --> 00:27:21,340
+star بطلع absolute xn minus c أصغر من delta هذا
+
+232
+00:27:21,340 --> 00:27:24,800
+بيقدّي أن xn
+
+233
+00:27:26,360 --> 00:27:35,400
+minus C أكبر من سفر أصغر من Delta ليه؟ لأن ال XM
+
+234
+00:27:35,400 --> 00:27:44,420
+موجودة تنتمي لإيه؟ هو أكبر من C، لذلك هذا لأن XM
+
+235
+00:27:44,420 --> 00:27:48,400
+أكبر
+
+236
+00:27:48,400 --> 00:27:58,050
+من Cفبالتالي absolute xn-c أكبر من 0 وبالتالي
+
+237
+00:27:58,050 --> 00:28:06,790
+absolute xn-c absolute عدد موجب بساوي نفسه لأن ال
+
+238
+00:28:06,790 --> 00:28:15,750
+absolute value هنا ل xn-c بساوي xn-c لأن xn أكبر
+
+239
+00:28:15,750 --> 00:28:18,110
+من c وطبعا
+
+240
+00:28:21,830 --> 00:28:32,590
+هذا أكبر من السفر لأن xn لا تساوي c أكبر من c الان
+
+241
+00:28:32,590 --> 00:28:39,310
+من ال star هذا بيقدي by starالـ star بتقول إذا
+
+242
+00:28:39,310 --> 00:28:45,330
+كانت ال X أو هنا في الحالة تبعتنا X in ال X in هذه
+
+243
+00:28:45,330 --> 00:28:49,990
+تنتمي لإيه؟ ال X in هي تنتمي لإيه؟ و بعدين هي عندي
+
+244
+00:28:49,990 --> 00:28:56,470
+X in سالب C أكبر من سفر أصغر من Delta إذا by star
+
+245
+00:28:56,470 --> 00:29:06,950
+بتطلع absolute F of X in minus L أصغر من Y تمام؟
+
+246
+00:29:10,290 --> 00:29:18,790
+الان نلاحظ ان ابسلون was arbitrary ابسلون
+
+247
+00:29:18,790 --> 00:29:28,230
+was arbitrary since
+
+248
+00:29:28,230 --> 00:29:36,890
+ابسلون أكبر من السفر was arbitrary اذا هيك بنكون
+
+249
+00:29:36,890 --> 00:29:43,470
+احنا أثبتناإنه لأي إبسلون أو لكل إبسلون يوجد Delta
+
+250
+00:29:43,470 --> 00:29:50,890
+لأ لكل إبسلون يوجد capital N يعتمد على ال Delta
+
+251
+00:29:50,890 --> 00:29:55,070
+وبالتالي تعتمد على إبسلون لأن ال Delta تعتمد على
+
+252
+00:29:55,070 --> 00:30:01,410
+إبسلون بحيث إنه لكل N أكبر من أو سوى capital N طلع
+
+253
+00:30:01,410 --> 00:30:06,190
+عندي absolute f of xn minus L أصغر من إبسلونإذاً
+
+254
+00:30:06,190 --> 00:30:12,750
+by epsilon capital N definition of limit بيطلع هيك
+
+255
+00:30:12,750 --> 00:30:18,710
+بيكون أثبتنا أنه limit ال sequence f of x n as n
+
+256
+00:30:18,710 --> 00:30:23,710
+tends to infinity بساوي L وهذا اللي بدنا يعني هذا
+
+257
+00:30:23,710 --> 00:30:26,570
+اللي احنا ايه اللي عايزين نثبته
+
+258
+00:30:29,870 --> 00:30:35,490
+إذاً هيك منكون أثبتنا أنه إيه اتنين holds وبالتالي
+
+259
+00:30:35,490 --> 00:30:41,670
+هيك هذا بيكمل برهان واحد implies two okay تمام؟
+
+260
+00:30:41,670 --> 00:30:46,490
+بالمثل ممكن انبرهن اتنين implies one
+
+261
+00:30:55,620 --> 00:31:03,360
+the proof of اتنين implies العبارة
+
+262
+00:31:03,360 --> 00:31:11,200
+التانية implies الأولى is similar is
+
+263
+00:31:11,200 --> 00:31:18,600
+similar to is
+
+264
+00:31:18,600 --> 00:31:22,000
+similar to proof of
+
+265
+00:31:24,130 --> 00:31:34,570
+the sequential criterion for two-sided limit
+
+266
+00:31:34,570 --> 00:31:45,850
+exercises
+
+267
+00:31:45,850 --> 00:31:50,980
+يعني اتمرنوا عليهاانا ارجع لبرهان ال sequential
+
+268
+00:31:50,980 --> 00:31:55,520
+criterion for two-sided limit وشوفوا اقرأوا
+
+269
+00:31:55,520 --> 00:31:59,600
+البرهان و اعملوا التعديلات البسيطة على البرهان لان
+
+270
+00:31:59,600 --> 00:32:03,920
+هنا احنا نتعامل مع right hand limit او limit from
+
+271
+00:32:03,920 --> 00:32:07,500
+the right rather than two-sided limit زي ما عملنا
+
+272
+00:32:07,500 --> 00:32:12,920
+في البرهان تبع واحد implies اتنين okay فحاسيبكم
+
+273
+00:32:12,920 --> 00:32:17,740
+انتوا تكتبوا البرهان تبع اتنين بيقدي لواحدبنفس
+
+274
+00:32:17,740 --> 00:32:21,700
+الطريقة اللى برهنها فى حالة ال two sided limit
+
+275
+00:32:21,700 --> 00:32:30,080
+okay تمام فى اى سؤال طبعا ممكن برضه ايضا يوجد
+
+276
+00:32:30,080 --> 00:32:35,500
+ممكننا نثبت sequential criterion for left hand
+
+277
+00:32:35,500 --> 00:32:42,620
+limit او limit from the left نفس الطريقةOkay فيعني
+
+278
+00:32:42,620 --> 00:32:47,080
+احنا مش هنكتب طبعا نظرية دي هنعتبرها نظرية قائمة و
+
+279
+00:32:47,080 --> 00:32:53,010
+صحيحة و مش بدون برهان okay تمام؟إذن هذه واحدة من
+
+280
+00:32:53,010 --> 00:32:58,650
+النظريات اللي برهناها في section 4.1 و 4.2 و
+
+281
+00:32:58,650 --> 00:33:04,470
+بالمثل كل نظريات اللي برهناهم لـ two sided limit
+
+282
+00:33:04,470 --> 00:33:10,590
+في section 4.1 و 4.2 هنعتبرهم قائمين أو نعتبر
+
+283
+00:33:10,590 --> 00:33:15,330
+نظريات هذه صحيحة لـ left limit و right limit
+
+284
+00:33:22,080 --> 00:33:37,560
+في نظرية أخرى مهمة وهي التعطيل
+
+285
+00:33:37,560 --> 00:33:43,000
+العلاقة بين ال two sided limits و ال one sided
+
+286
+00:33:43,000 --> 00:33:49,100
+limits ف
+
+287
+00:33:51,870 --> 00:34:01,250
+if b function from a to r and let c be a cluster
+
+288
+00:34:01,250 --> 00:34:05,450
+point
+
+289
+00:34:05,450 --> 00:34:08,690
+of
+
+290
+00:34:08,690 --> 00:34:15,310
+المجموعة a تقاطع الفترة المفتوحة from c to
+
+291
+00:34:15,310 --> 00:34:24,070
+infinity and of a تقاطعالـ open interval from
+
+292
+00:34:24,070 --> 00:34:32,250
+negative infinity to c then
+
+293
+00:34:32,250 --> 00:34:42,450
+الـ two-sided limit للـ function f and c بتكون
+
+294
+00:34:42,450 --> 00:34:47,730
+موجودة وبتساوي
+
+295
+00:34:47,730 --> 00:34:54,760
+عدد L if and only ifالـ one-sided limit أو الـ
+
+296
+00:34:54,760 --> 00:35:02,120
+limit from the right the limit at C from the right
+
+297
+00:35:02,120 --> 00:35:12,860
+exist و بساوي L and the limit of F at C from the
+
+298
+00:35:12,860 --> 00:35:19,360
+left exist و بتساوي نفس العدد L وهذه نظرية أخذناها
+
+299
+00:35:19,360 --> 00:35:21,520
+في تفاضل ألف إذا بتذكروا
+
+300
+00:35:24,420 --> 00:35:29,460
+متى ال limit عند نقطة في مجالها او cluster point
+
+301
+00:35:29,460 --> 00:35:34,940
+لمجالها بتكون exist بالساوية عدد اذا كانت ال limit
+
+302
+00:35:34,940 --> 00:35:37,980
+من اليمين موجودة و ال limit من اليسار موجودة و
+
+303
+00:35:37,980 --> 00:35:47,600
+التنتين متساويتين و بساوي نفس العدد هناك
+
+304
+00:35:47,600 --> 00:35:50,500
+بس ماكنش البرهان المطلوب منكم المرة دي احنا
+
+305
+00:35:50,500 --> 00:35:58,420
+مطالبينبالبرهان البرهان يعني كتير سهل ينتج من
+
+306
+00:35:58,420 --> 00:36:06,780
+التعريفات proof ف .. هحاول أبرهنلكم ال F part هذا
+
+307
+00:36:06,780 --> 00:36:16,520
+مسمى ال F part يعني هفرض أنه assume أنه
+
+308
+00:36:16,520 --> 00:36:17,780
+ال one sided limits
+
+309
+00:36:24,700 --> 00:36:29,160
+the limit from the right exist وبساوي L وكذلك
+
+310
+00:36:29,160 --> 00:36:36,000
+limit from the left موجودة
+
+311
+00:36:36,000 --> 00:36:41,840
+وبساوي العدد L وعايز اثبت ان ال limit from the two
+
+312
+00:36:41,840 --> 00:36:48,940
+sides exist اذا هنا هذا الفرض المطلوب
+
+313
+00:37:02,770 --> 00:37:09,030
+أكلم الـ two-sided limit لـ الـ function f at x
+
+314
+00:37:09,030 --> 00:37:14,530
+بساوي c exist و بساوي نفس القيمة أو نفس الأعداد L
+
+315
+00:37:14,530 --> 00:37:27,010
+لبرهان ذلك to see this لبرهان ذلك بنحاول نطبق
+
+316
+00:37:27,010 --> 00:37:33,000
+تعريف epsilon deltaلـ limit of function فبنبدأ
+
+317
+00:37:33,000 --> 00:37:41,140
+بنقول let epsilon أكبر من السفر be given طيب
+
+318
+00:37:41,140 --> 00:37:47,380
+أنا من الفرض أنا فارض تعالى نستفيد من الفرض للوصول
+
+319
+00:37:47,380 --> 00:37:51,720
+إلى المطلوب هذا برهان مباشر البرهان المباشر ده
+
+320
+00:37:51,720 --> 00:37:57,420
+ناخد الفرض بنشتغل عليه بنحط عليه شوية برات و بعدين
+
+321
+00:37:57,420 --> 00:38:05,060
+بنطلع منهالمطلوب فمن الفرض فرضين احنا ان ال limit
+
+322
+00:38:05,060 --> 00:38:14,060
+ل f of x as x tends to c positive لما انه ال limit
+
+323
+00:38:14,060 --> 00:38:20,020
+من اليمين عن c بساوي L y أكبر من سفر given by
+
+324
+00:38:20,020 --> 00:38:25,190
+definitionthere exists delta واحد بالساوي delta
+
+325
+00:38:25,190 --> 00:38:32,830
+واحد تعتمد على epsilon عدد موجب بحيث أنه لو كان x
+
+326
+00:38:32,830 --> 00:38:40,650
+ينتمي إلى a و x minus c أكبر من سفر أصغر من delta
+
+327
+00:38:40,650 --> 00:38:48,350
+واحد فهذا بتضمن أن absolute f of x minus l أصغر من
+
+328
+00:38:48,350 --> 00:38:48,810
+epsilon
+
+329
+00:38:52,780 --> 00:39:00,720
+نسمي الـ implication head star also كذلك بما أن
+
+330
+00:39:00,720 --> 00:39:08,420
+احنا فرضين ان ال limit ل f of x as x tends to c
+
+331
+00:39:08,420 --> 00:39:13,900
+from the left exist وequal نفس العدد L، اذا by
+
+332
+00:39:13,900 --> 00:39:18,980
+definition of left hand limitthere exists delta
+
+333
+00:39:18,980 --> 00:39:21,880
+تانية مش صارت الـ delta هذه تكون نفس الـ delta
+
+334
+00:39:21,880 --> 00:39:27,040
+اللي فوق ماحد بيقدر يجزم ذلك فنسميها delta تانية
+
+335
+00:39:27,040 --> 00:39:32,980
+there exists delta two depends طبعا بالتأكيد تعتمد
+
+336
+00:39:32,980 --> 00:39:38,560
+على إبسلون وعدد موجة بحيث أنه حسب التعريف لكل x
+
+337
+00:39:39,250 --> 00:39:46,270
+تنتمي إلى a و c minus x أكبر من سفر أصغر من delta
+
+338
+00:39:46,270 --> 00:39:54,290
+و 2 طبعا هذا بتضمن أن absolute f of x minus n less
+
+339
+00:39:54,290 --> 00:40:00,710
+than epsilon انسمي ال implication هذه double star
+
+340
+00:40:00,710 --> 00:40:05,390
+خلينا
+
+341
+00:40:05,390 --> 00:40:11,530
+ناخد كالعادة deltaنعرف delta على إنها minimum ال
+
+342
+00:40:11,530 --> 00:40:17,530
+minimum الأصغر بين delta واحد و delta اتنين طبعا
+
+343
+00:40:17,530 --> 00:40:21,890
+هذه بالتأكيد هيطلع الصغيرة بين الاتنين هتكون واحدة
+
+344
+00:40:21,890 --> 00:40:27,770
+منهم وبالتالي تطلع عدد موجب وتعتمد على epsilon إذن
+
+345
+00:40:27,770 --> 00:40:30,930
+هيثبت أن يوجد delta تعتمد على epsilon و ال delta
+
+346
+00:40:30,930 --> 00:40:36,110
+هي عدد موجب الان for this delta تعالى نشوف
+
+347
+00:40:40,450 --> 00:40:49,310
+لو كان x ينتمي ل a و absolute x minus c أكبر من
+
+348
+00:40:49,310 --> 00:40:54,510
+صفر أصغر من دلتا الان
+
+349
+00:40:54,510 --> 00:40:57,850
+بناخد delta بساوي ال minimum ل delta واحد و delta
+
+350
+00:40:57,850 --> 00:41:02,060
+اتنينطبعا بما ان دلتا واحد ودلتا اتنين اعداد موجب
+
+351
+00:41:02,060 --> 00:41:06,080
+اذا دلتا اعداد موجب وكذلك تعتمد على epsilon لان
+
+352
+00:41:06,080 --> 00:41:10,380
+دلتا واحد ودلتا اتنين تعتمد على epsilon الان لو
+
+353
+00:41:10,380 --> 00:41:16,720
+أخدت x تنتمي لمجموعة a و ال x صارت مختلفة عن ال c
+
+354
+00:41:16,720 --> 00:41:23,320
+و المسافة بينها و بين ال c أصغر من دلتا هذا معناه
+
+355
+00:41:23,320 --> 00:41:34,510
+هذا معناه انهال X لا تساوي C وبالتالي
+
+356
+00:41:34,510 --> 00:41:48,230
+ال X ممكن تكون اصغر من C او ال X اكبر من C فهذا
+
+357
+00:41:48,230 --> 00:41:55,630
+بيقدي انه ال .. ال
+
+358
+00:41:55,630 --> 00:42:04,400
+.. ال .. اذا كانت ال Xإذا كانت الـ X أكبر من C لو
+
+359
+00:42:04,400 --> 00:42:08,980
+كانت الـ X أكبر من C فهذا بقدّي أن absolute X
+
+360
+00:42:08,980 --> 00:42:15,200
+minus C بساوي X minus C بصير الـ absolute value
+
+361
+00:42:15,200 --> 00:42:20,560
+هذه عبارة عن X minus C هو أكبر من 0 أصغر من Delta
+
+362
+00:42:20,560 --> 00:42:29,800
+ولو كانتال X أصغر من C فال absolute value هذه
+
+363
+00:42:29,800 --> 00:42:37,360
+بيصير C minus X أكبر من سفر أصغر من Delta في
+
+364
+00:42:37,360 --> 00:42:41,460
+الحالة الأولى ال Delta تبعتي هذه أصغر من أو ساوي
+
+365
+00:42:41,460 --> 00:42:47,120
+Delta واحد صح؟ ال Delta هذه هي ال minimum ل Delta
+
+366
+00:42:47,120 --> 00:42:50,760
+واحد و Delta اتنين وبالتالي أصغر من أو ساوي Delta
+
+367
+00:42:50,760 --> 00:42:58,090
+واحد وبالتالي من ال starإذا كانت x تنتمي إلى a و x
+
+368
+00:42:58,090 --> 00:43:03,990
+minus c أكبر من سفر أصغر من دلتا واحد من ال star
+
+369
+00:43:03,990 --> 00:43:11,770
+بيطلع عندي absolute f of x minus L أصغر من يوإذا
+
+370
+00:43:11,770 --> 00:43:17,510
+كانت ال X أصغر من ال C فبطلع absolute X سالب C
+
+371
+00:43:17,510 --> 00:43:22,870
+بيطلع بيساوي C سالب X أصغر من Delta وطبعا X مستويش
+
+372
+00:43:22,870 --> 00:43:29,190
+C أكبر من 0 وال Delta هذه من تعريفها أصغر من أو
+
+373
+00:43:29,190 --> 00:43:35,300
+يساوي Delta 2باستخدام double star ال implication
+
+374
+00:43:35,300 --> 00:43:41,420
+double star لما يكون ال X تنتمي ل A و C minus X
+
+375
+00:43:41,420 --> 00:43:46,640
+أكبر من 0 أصغر من Delta 2 هذا بيقدر أن absolute F
+
+376
+00:43:46,640 --> 00:43:53,680
+of X minus L أصغر من إبسن إذن في كل الأحوال هذه
+
+377
+00:43:53,680 --> 00:43:58,180
+بتقدر أن absolute F of X minus L أصغر من إبسن
+
+378
+00:43:58,180 --> 00:43:59,400
+تمام؟
+
+379
+00:44:02,170 --> 00:44:06,090
+طب ما هذا هو تعريف epsilon delta لل limit of
+
+380
+00:44:06,090 --> 00:44:12,270
+function صح؟ إذا نيجي بنقول هنا since epsilon أكبر
+
+381
+00:44:12,270 --> 00:44:15,870
+من السفر was arbitrary
+
+382
+00:44:17,410 --> 00:44:22,850
+إذا احنا بنكون أثبتنا لكل إبسلون أكبر من سفر يوجد
+
+383
+00:44:22,850 --> 00:44:27,950
+Delta تعتمد على إبسلون عدد موجب بحيث لكل X تنتمي ل
+
+384
+00:44:27,950 --> 00:44:32,210
+A و Absolute X minus C أكبر من سفر أصغر من Delta
+
+385
+00:44:32,210 --> 00:44:37,810
+طلع عندي Absolute F of X في الحالتين minus L أصغر
+
+386
+00:44:37,810 --> 00:44:41,630
+من إبسلون وبالتالي إذا هذا صحيح لكل إبسلون
+
+387
+00:44:41,630 --> 00:44:45,620
+وبالتالي by إبسلون Delta definition of limitأو
+
+388
+00:44:45,620 --> 00:44:54,600
+function we have أثبتنا أن ال limit ل f of x as x
+
+389
+00:44:54,600 --> 00:45:01,380
+tends to c بساوي العدد L okay تمام، إذا هذا بثبت
+
+390
+00:45:01,380 --> 00:45:04,840
+اللي هو لو كان ال two sided limits موجودين
+
+391
+00:45:04,840 --> 00:45:10,730
+متساويتين، لأ لو كان ال one sided limitsكلا هما
+
+392
+00:45:10,730 --> 00:45:15,530
+موجودة و بساوة قيمة مشتركة L ف ال two sided limit
+
+393
+00:45:15,530 --> 00:45:20,130
+تطلع exist و قيمتها بساوة القيمة المشتركة الان
+
+394
+00:45:20,130 --> 00:45:28,210
+برهان العكس أسهل لذن هكتب هنا ال proof of
+
+395
+00:45:28,210 --> 00:45:36,650
+the canvas is easier أسهل
+
+396
+00:45:38,760 --> 00:45:44,180
+So exercise it يعني
+
+397
+00:45:44,180 --> 00:45:49,780
+اتمرّض عليها لو كانت ال two-sided limit exist فمن
+
+398
+00:45:49,780 --> 00:45:55,840
+السهل أن نثبت أن ال right hand limit exist و ال
+
+399
+00:45:55,840 --> 00:46:00,600
+left hand limit exist و كلهم لهم نفس القيمة okay
+
+400
+00:46:00,600 --> 00:46:05,170
+تمام؟إذا هنوقف هنا و في المحاضرة الجاية ان شاء
+
+401
+00:46:05,170 --> 00:46:09,710
+الله هناخد أمثلة على one-sided limits إما في اتين
+
+402
+00:46:09,710 --> 00:46:13,350
+موجودين و متساوياتين أو اتنين موجودين و مختلفتين
+
+403
+00:46:13,350 --> 00:46:18,190
+أو واحدة موجودة و اتنين مش موجودة و هكذا، هنشوف كل
+
+404
+00:46:18,190 --> 00:46:24,670
+الأنواع و كل ال situations، تمام؟ okay شكرا لكم و
+
+405
+00:46:24,670 --> 00:46:26,550
+نشوفكم ان شاء الله المرة القادمة
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/6FDcUXR9Pqo.srt

@@ -0,0 +1,1647 @@
+1
+00:00:20,870 --> 00:00:25,910
+المرة اللي فاتت أو في المحاضرة السابقة عرفنا ال
+
+2
+00:00:25,910 --> 00:00:31,410
+cluster point  وأخذنا أمثلة كيف نجيب ال cluster 
+
+3
+00:00:31,410 --> 00:00:39,710
+points لمجموعة معينة ووجدنا عند المثال الثالث
+
+4
+00:00:59,030 --> 00:01:05,110
+المثال الثالث show that
+
+5
+00:01:05,110 --> 00:01:12,070
+zero is the only cluster
+
+6
+00:01:12,070 --> 00:01:18,290
+point of 
+
+7
+00:01:18,290 --> 00:01:23,570
+the set A 
+
+8
+00:01:26,690 --> 00:01:31,870
+كل واحد على N حيث N that's a number  دكتور هذا
+
+9
+00:01:31,870 --> 00:01:37,210
+مثال ثاني أخذناها ده؟ لأ لأ اللي أخذناه اللي هو ال
+
+10
+00:01:37,210 --> 00:01:48,030
+.. هناخدها هناخدها هناخدها في .. هنا هنا .. هنا
+
+11
+00:01:48,030 --> 00:01:55,250
+هنا اثنين
+
+12
+00:01:59,360 --> 00:02:11,580
+أن Zero is a cluster point  ثلاثة
+
+13
+00:02:11,580 --> 00:02:22,720
+دلتا أكبر من الصفر Be given by Archimedean 
+
+14
+00:02:22,720 --> 00:02:25,880
+property
+
+15
+00:02:30,960 --> 00:02:40,920
+يوجد N تنتمي إلى N بحيث أن واحد على N
+
+16
+00:02:40,920 --> 00:02:54,340
+أصغر من دلتا hence
+
+17
+00:03:01,430 --> 00:03:09,270
+الدلتا نيبر هو صفر لو
+
+18
+00:03:09,270 --> 00:03:25,690
+أخذت xN هو واحد على N فهذا ينتمي إلى
+
+19
+00:03:25,690 --> 00:03:39,580
+المجموعة A وانت ليه لا ال delta number هنا ل ..
+
+20
+00:03:39,580 --> 00:03:44,040
+أو ال x هذا المفروض دلتا ال delta number هو ده
+
+21
+00:03:44,040 --> 00:03:47,860
+اسمه
+
+22
+00:03:47,860 --> 00:03:56,940
+أسوأ؟ إذن
+
+23
+00:03:56,940 --> 00:03:58,460
+هذا لا أي سؤال خالد
+
+24
+00:04:06,200 --> 00:04:10,700
+الدلتا نبر هود للصفر اللي هي الفترة المفتوحة من 
+
+25
+00:04:10,700 --> 00:04:16,100
+سالب دلتا إلى دلتا
+
+26
+00:04:16,100 --> 00:04:21,960
+فهي عندي واحد على N أصغر من دلتا وطبعا أكبر من صفر
+
+27
+00:04:24,160 --> 00:04:27,620
+فواحد على N ينتمي للـDelta neighborhood للصفر
+
+28
+00:04:27,620 --> 00:04:32,400
+وواحد على N ينتمي للمجموعة A وبالتالي يجب أن نكون
+
+29
+00:04:32,400 --> 00:04:38,580
+أثبتنا أنه لأي دلتا أكبر من الصفر أو أي دلتا
+
+30
+00:04:38,580 --> 00:04:44,680
+neighborhood للصفر يتقاطع مع A في نقطة مختلفة عن 
+
+31
+00:04:44,680 --> 00:04:49,000
+الصفر ال
+
+32
+00:04:49,000 --> 00:04:56,810
+X إن جلدها تساوي صفر لاتصار الصفر وبالتالي إذا 
+
+33
+00:04:56,810 --> 00:05:05,470
+هذا يثبت الصفر is a cluster point of
+
+34
+00:05:05,470 --> 00:05:12,310
+الست إذا هذا يثبت ال claim الآن ليه مايكون فيه
+
+35
+00:05:12,310 --> 00:05:14,130
+cluster points أخرى؟
+
+36
+00:05:30,490 --> 00:05:41,150
+إذا كانت X لا تساوي صفر، فهي ليست مجموعة من A 
+
+37
+00:05:41,150 --> 00:05:46,390
+فحاسبكم
+
+38
+00:05:46,390 --> 00:05:47,630
+أنتم تكتبوا البرهان
+
+39
+00:05:50,290 --> 00:06:02,390
+هي صفر وهي واحد وهي نصف وهي ثلث وهي واحد على N وهي
+
+40
+00:06:02,390 --> 00:06:05,390
+واحد على N زائد واحد وهكذا
+
+41
+00:06:16,430 --> 00:06:25,930
+فهنا ثاني two cases case one أن x تنتمي إلى a و
+
+42
+00:06:25,930 --> 00:06:34,690
+الحالة الثانية case two أن x لا تنتمي إلى a ال x
+
+43
+00:06:34,690 --> 00:06:39,530
+دي مش تساوي صفر احنا already اثبتنا أن الصفر
+
+44
+00:06:39,530 --> 00:06:43,850
+cluster point طيب افرض X مش تساوي صفر إذا X ممكن
+
+45
+00:06:43,850 --> 00:06:48,170
+تساوي واحد أو نصف أو ثلث أو واحد على N for some N
+
+46
+00:06:48,170 --> 00:06:53,250
+صح؟ ممكن ماتساويش ولا عنصر ممكن ماتكونش تمثل أي 
+
+47
+00:06:53,250 --> 00:06:58,070
+فلو كانت ال X واحد من العناصر هدول واحد من العناصر
+
+48
+00:06:58,070 --> 00:07:04,630
+الست فبقدر ألاقي أن يوجد بقدر ألاقي دلتا
+
+49
+00:07:04,630 --> 00:07:08,990
+neighborhood للعنصر مثلًا الثلث بقدر ألاقي دلتا
+
+50
+00:07:08,990 --> 00:07:09,490
+neighborhood
+
+51
+00:07:13,860 --> 00:07:19,840
+العنصر اللي بعد هذا هيكون ربع فباخد المسافة الأصغر
+
+52
+00:07:19,840 --> 00:07:26,560
+بين ثلث ربع ثلث ونصف وباخد نصف المسافة دلتا فبيصير
+
+53
+00:07:26,560 --> 00:07:30,920
+عندي هنا دلتا نبر هود للثلث وبتقاطعش مع الم��موعة A
+
+54
+00:07:30,920 --> 00:07:38,120
+بالمرة أو في نقطة مختلفة عن الثلث وبالتالي لو كانت 
+
+55
+00:07:38,120 --> 00:07:44,880
+ال X موجودة في A زي الثلث مثلًا فال X ليست cluster
+
+56
+00:07:44,880 --> 00:07:49,860
+point الآن ال X لا تنتمي ل A؟ ال X لا تنتمي ل
+
+57
+00:07:49,860 --> 00:07:55,920
+A؟ معناته هي عنصر هنا زي هذا X أزرق من صفر أو X
+
+58
+00:07:55,920 --> 00:08:01,540
+ممكن تكون جاية بين عنصرين فباخد المسافة بين X و
+
+59
+00:08:01,540 --> 00:08:04,840
+أقرب عنصر لها من اليمين وأقرب عنصر لها من
+
+60
+00:08:04,840 --> 00:08:11,140
+اليسار وباخد نصف المسافة دلتا أو إبسيلون وبكون
+
+61
+00:08:11,140 --> 00:08:17,480
+دلتا نبر هود ل X هذا دلتا نبر هود مش هيتقاطع مع ال A و
+
+62
+00:08:17,480 --> 00:08:20,700
+بالتالي النقطة هذه عمرها ما بتكون cluster point
+
+63
+00:08:20,700 --> 00:08:26,020
+ممكن كمان النقطة هذه ال X مش موجودة فيها ممكن تكون
+
+64
+00:08:26,020 --> 00:08:31,260
+على شمال الصفر أو على يمين الواحد فلو كانت على يمين
+
+65
+00:08:31,260 --> 00:08:35,560
+الواحد خد نصف المسافة هي دلتا إذا هي دلتا نبر
+
+66
+00:08:35,560 --> 00:08:39,420
+هود ل X مابتقاطعش معاه بالمرة بالتالي X مابت
+
+67
+00:08:39,420 --> 00:08:44,440
+cluster هنا لو كانت X أصغر من صفر فخد نصف المسافة
+
+68
+00:08:44,440 --> 00:08:48,960
+بين X و 0 على إنها دلتا وبالتالي كون delta
+
+69
+00:08:48,960 --> 00:08:52,460
+neighborhood ل X هذا delta neighborhood بتقاطعش مع
+
+70
+00:08:52,460 --> 00:08:56,240
+A بالمرة وبالتالي X ليست cluster point إذا في كل
+
+71
+00:08:56,240 --> 00:09:01,860
+الأحوال X ليست cluster point سواء كانت في A أو مش
+
+72
+00:09:01,860 --> 00:09:05,420
+موجودة إذا كانت X مختلفة عن الصفر فليست cluster
+
+73
+00:09:05,420 --> 00:09:14,930
+point okay إذا zero is the only النقطة الوحيدة مافيش
+
+74
+00:09:14,930 --> 00:09:18,990
+نقطة غيرها بتكون cluster point بالمثل ممكن نثبت 
+
+75
+00:09:18,990 --> 00:09:29,650
+مثال آخر f
+
+76
+00:09:29,650 --> 00:09:35,710
+i بساوي ال
+
+77
+00:09:35,710 --> 00:09:39,830
+unit technological interval and
+
+78
+00:09:51,210 --> 00:10:02,710
+IQ بساوي I تقاطع ال rational numbers then 
+
+79
+00:10:02,710 --> 00:10:13,170
+every x تنتمي ل I is a cluster point a cluster 
+
+80
+00:10:13,170 --> 00:10:15,250
+point of IQ
+
+81
+00:10:18,800 --> 00:10:26,900
+إذا I هي الفترة المغلقة من صفر لواحد IQ هي كل
+
+82
+00:10:26,900 --> 00:10:31,800
+الأعداد النسبية الموجودة في الفترة المغلقة من صفر
+
+83
+00:10:31,800 --> 00:10:38,340
+لواحد ممكن إثبات إن كل X في الفترة المغلقة I هي 
+
+84
+00:10:38,340 --> 00:10:45,940
+cluster point للمجموعة IQ وذلك باستخدام ال density
+
+85
+00:10:45,940 --> 00:10:52,060
+theorem proof use
+
+86
+00:10:52,060 --> 00:11:06,500
+the density theorem فحاسبكم
+
+87
+00:11:06,500 --> 00:11:15,920
+انتوا تكتبوا البرهان خدي أي x في I واخذتي أن أي
+
+88
+00:11:17,780 --> 00:11:22,140
+أعملكم برهان هكذا بدون أن أكتب أي شيء هذه الفترة I
+
+89
+00:11:22,140 --> 00:11:29,720
+من صفر إلى واحد هذه الفترة المغلقة من ملفة أن كل X
+
+90
+00:11:29,720 --> 00:11:35,800
+كل X فيها هو cluster point لمجموعة الأعداد النسبية
+
+91
+00:11:35,800 --> 00:11:42,520
+في I ففي عندي ثلاثة حالات MX هتكون أكبر من صفر أصغر
+
+92
+00:11:42,520 --> 00:11:48,060
+من واحد يعني نقطة داخلية ليست نقطة طرفها طبعًا هي
+
+93
+00:11:48,060 --> 00:11:52,460
+لو أخذت أي دلتا عدد موجب وكونت دلتا
+
+94
+00:11:52,460 --> 00:11:57,380
+neighborhood لل X فال delta neighborhood هذا 
+
+95
+00:11:57,380 --> 00:12:05,920
+هيتقاطع مع المجموعة A IQ حسب نظرية الكثافة أي فترة
+
+96
+00:12:05,920 --> 00:12:11,520
+مفتوحة زي هذه تحتوي rational number صح؟ وبالتالي أي
+
+97
+00:12:11,520 --> 00:12:16,600
+دلتا neighborhood ل ال X هيتقاطع مع المجموعة IQ
+
+98
+00:12:16,600 --> 00:12:24,160
+في نقطة R مختلفة عن ال X حسب نظرية الكثافة
+
+99
+00:12:24,160 --> 00:12:28,040
+وبالتالي حسب التعريف إذا ال X هذه اللي هي نقطة
+
+100
+00:12:28,040 --> 00:12:33,700
+داخلية is a cluster point لمن؟
+
+101
+00:12:33,700 --> 00:12:40,260
+للمجموعة IQ لو كانت ال .. ال .. ال x هي نقطة الطرف
+
+102
+00:12:40,260 --> 00:12:46,960
+الحالة الثانية لما x تكون هي صفر لما x تكون بساوي
+
+103
+00:12:46,960 --> 00:12:52,160
+صفر وخدي أي دلتا neighborhood لأن هاي سالب دلتا
+
+104
+00:12:52,160 --> 00:12:56,560
+موجب دلتا فالفترة
+
+105
+00:12:56,560 --> 00:13:01,200
+هذه تتقطع يعني
+
+106
+00:13:01,200 --> 00:13:07,230
+هاي دلتا هادي دلتا و هادي نقطة صفر الآن الفترة 
+
+107
+00:13:07,230 --> 00:13:12,870
+هذه بقدر ألاقي فيها rational number حسب مباريك 
+
+108
+00:13:12,870 --> 00:13:16,970
+الكثافة موجود بين صفر و دلتا و ال rational number
+
+109
+00:13:16,970 --> 00:13:23,550
+هذا موجود في ال unit closed interval وبالتالي كل 
+
+110
+00:13:23,550 --> 00:13:28,450
+دلتا neighborhood للصفر يتقاطع 
+
+111
+00:13:28,450 --> 00:13:33,670
+مع المجموع IQ في نقطة R مختلفة عن الصفر وبالتالي
+
+112
+00:13:33,670 --> 00:13:37,910
+الصفر هو cluster point بالمثل ممكن تثبتوا بالواحد
+
+113
+00:13:37,910 --> 00:13:41,970
+cluster point لأن أي دلتا neighborhood للواحد
+
+114
+00:13:43,720 --> 00:13:48,560
+هيحتوي حسب نظرية الكثافة لو هذا كان واحد ثالث دلتا 
+
+115
+00:13:48,560 --> 00:13:54,510
+في النقطة هذه وهذه واحد فبنقدر نلاقي Rrational 
+
+116
+00:13:54,510 --> 00:13:58,650
+number حسب مجرد كدفة بين واحد سالب دلتا وواحد
+
+117
+00:13:58,650 --> 00:14:03,710
+وبالتالي ال دلتا neighborhood هذا مركزه واحد و
+
+118
+00:14:03,710 --> 00:14:08,490
+نصف قطره دلتا هيتقاطع مع ال IQ في نقطة مختلفة عن
+
+119
+00:14:08,490 --> 00:14:13,250
+الواحد وبالتالي واحد cluster point الآن لأن هسيبكم
+
+120
+00:14:13,250 --> 00:14:15,650
+تكتبوا البرهان بالتفصيل
+
+121
+00:14:19,850 --> 00:14:25,250
+Okay إذاً هيك يعني عندنا عدة أمثلة على ال cluster 
+
+122
+00:14:25,250 --> 00:14:32,490
+points نرجع لمفهوم ال limit ل ال function اللي هو
+
+123
+00:14:32,490 --> 00:14:47,650
+كان عنوان ال section تبعنا إذا
+
+124
+00:14:47,650 --> 00:14:48,750
+هنا definition
+
+125
+00:14:55,450 --> 00:15:07,150
+دع الـ f يكون دالة من a إلى r دالة 
+
+126
+00:15:07,150 --> 00:15:19,710
+في أين a مجموعة جزئية من r و c مجموعة جزئية من الـ
+
+127
+00:15:19,710 --> 00:15:22,090
+set A
+
+128
+00:15:26,660 --> 00:15:35,260
+العدد number L هو ليمت
+
+129
+00:15:35,260 --> 00:15:39,440
+للـ دالة 
+
+130
+00:15:39,440 --> 00:15:44,440
+f at 
+
+131
+00:15:44,440 --> 00:15:59,020
+x بس you see إذا تحقق الشرط التالي for any epsilon 
+
+132
+00:15:59,020 --> 00:16:05,340
+أكبر من صفر يوجد دلتا تعتمد على إبسيلون عدد موجب
+
+133
+00:16:05,340 --> 00:16:14,690
+بحيث أنه لكل x تنتمي إلى a والمسافة بين .. وال X
+
+134
+00:16:14,690 --> 00:16:23,090
+هذا يختلف عن ال C والمسافة بينها وبين ال C أصغر
+
+135
+00:16:23,090 --> 00:16:30,030
+من دلتا لازم هذا يضمن أن absolute F of X minus L
+
+136
+00:16:30,030 --> 00:16:41,010
+أصغر من دلتا إذن هذا شرط .. هذا شرط أو بسميه أنا
+
+137
+00:16:41,010 --> 00:16:49,470
+بسميه إبسيلون دلتا definition إبسيلون دلتا
+
+138
+00:16:49,470 --> 00:16:54,310
+definition of limit للـ
+
+139
+00:16:54,310 --> 00:16:58,550
+limit of a function الـ Limit لـ function f of x 
+
+140
+00:16:58,550 --> 00:17:03,590
+بالساوي أو L هي عبارة عن Limit لـ function f of x 
+
+141
+00:17:03,590 --> 00:17:09,970
+and x = C إذا لو أعطتوني أي إبسلون عدد موجب
+
+142
+00:17:09,970 --> 00:17:15,570
+لازم أنا أرد عليها Delta عدد موجب آخر يعتمد على
+
+143
+00:17:15,570 --> 00:17:20,750
+إبسلون بحيث أنه لكل X في المجموعة A اللي هو ال
+
+144
+00:17:20,750 --> 00:17:27,300
+domain  تبع ال function و X هذه مختلفة لا تساوي C
+
+145
+00:17:27,300 --> 00:17:33,360
+يعني المتباينة هذه معناها X لا تساوي C إذاً لكل x في
+
+146
+00:17:33,360 --> 00:17:38,200
+A مختلفة عن الـc والمسافة بينها وبين الـc أصغر من
+
+147
+00:17:38,200 --> 00:17:42,580
+دلتا لازم تطلع المسافة بين f of x و L أصغر من
+
+148
+00:17:42,580 --> 00:17:47,220
+إبسلون هذا الكلام اتحقق لكل إبسلون أكبر من الصفر
+
+149
+00:17:47,220 --> 00:17:51,640
+فبنقول إن العدد L is a limit of the function f عند
+
+150
+00:17:51,640 --> 00:17:52,360
+النقطة c
+
+151
+00:17:59,170 --> 00:18:07,710
+من هذا التعريف بينتج على طول اه طيب in this case
+
+152
+00:18:07,710 --> 00:18:13,930
+in this case we 
+
+153
+00:18:13,930 --> 00:18:26,600
+say انه if converges if converges to the number L
+
+154
+00:18:26,600 --> 00:18:39,520
+at X = C and we write ونكتب الحالة هذه limit ل
+
+155
+00:18:39,520 --> 00:18:46,940
+F of X لما X تقول إلى C = L أو ممكن نكتب limit
+
+156
+00:18:46,940 --> 00:18:54,260
+F as X tends to C = L أو ممكن نكتب
+
+157
+00:19:01,220 --> 00:19:11,260
+أو ممكن نكتب f of x tends to L as x tends to c كل
+
+158
+00:19:11,260 --> 00:19:16,360
+هدول معناهم أن العدد L limit لل function f and x
+
+159
+00:19:16,360 --> 00:19:17,360
+= c
+
+160
+00:19:22,850 --> 00:19:30,090
+ف limit f of x as x tends to c does not exist،
+
+161
+00:19:30,090 --> 00:19:37,430
+يعني مافيش عدد L زي هذا، we say ان ال function f
+
+162
+00:19:37,430 --> 00:19:45,590
+diverges، diverges at x = c
+
+163
+00:19:50,120 --> 00:19:55,320
+الآن نستطيع ان نثبت ان ال limit لل function هذه
+
+164
+00:19:55,320 --> 00:20:00,040
+النقطة لو كانت موجودة لو كان ال function لها limit
+
+165
+00:20:00,040 --> 00:20:07,120
+فlimit هذه لازم تكون unique ال
+
+166
+00:20:07,120 --> 00:20:19,320
+function if from A to R can have only
+
+167
+00:20:39,940 --> 00:20:44,760
+والبرهان شبه البرهان الـ uniqueness of the limit
+
+168
+00:20:44,760 --> 00:20:50,700
+of a sequence we use epsilon over two argument
+
+169
+00:20:51,860 --> 00:20:54,780
+استنتاج epsilon على اتنين او برهان epsilon على
+
+170
+00:20:54,780 --> 00:21:01,020
+اتنين هنشوف مع بعض هاي برهان تروح left epsilon
+
+171
+00:21:01,020 --> 00:21:04,300
+أكبر
+
+172
+00:21:04,300 --> 00:21:11,720
+من السفر ب given since
+
+173
+00:21:11,720 --> 00:21:19,120
+طب
+
+174
+00:21:19,120 --> 00:21:25,040
+خليني الأول أبرهان النظرية هذه بدي أفرض أنه فيه
+
+175
+00:21:25,040 --> 00:21:34,640
+two limits assume أن ال limit ل f of x as x tends
+
+176
+00:21:34,640 --> 00:21:44,340
+to c = عدد الواحد and limit أيضا ل f of x as x
+
+177
+00:21:44,340 --> 00:21:50,340
+tends to c = عدد تاني الاتنين وعشان أثبت
+
+178
+00:21:50,340 --> 00:21:57,860
+النظرية لازم أثبت الإدعاء التالي إن ال1 = ال4
+
+179
+00:21:57,860 --> 00:22:07,720
+فلبرهان ذلك let epsilon أكبر من السفر be given
+
+180
+00:22:07,720 --> 00:22:19,500
+since مما أننا فرضين أن ال limit لأف as x tends to
+
+181
+00:22:19,500 --> 00:22:28,420
+c = الواحد then by definition by epsilon
+
+182
+00:22:28,420 --> 00:22:33,180
+delta definition of limit there exists delta one
+
+183
+00:22:33,180 --> 00:22:39,830
+depends on epsilon positive number بحيث أنه لو كان
+
+184
+00:22:39,830 --> 00:22:46,150
+x ينتمي إلى a و |x - c| أصغر من delta
+
+185
+00:22:46,150 --> 00:22:54,850
+one أكبر من سفر فهذا بيقدي أن |f of x
+
+186
+00:22:54,850 --> 00:23:02,530
+- l one| أصغر من epsilon على 2 عشان الاستنتاج
+
+187
+00:23:02,530 --> 00:23:05,510
+هذا واحد
+
+188
+00:23:08,770 --> 00:23:13,810
+Also ايضا احنا
+
+189
+00:23:13,810 --> 00:23:20,610
+فرضين من ال limit لل function f of x as x tends to
+
+190
+00:23:20,610 --> 00:23:27,990
+c = عدد تاني ال اتنين then
+
+191
+00:23:27,990 --> 00:23:35,650
+for the same for same epsilon أكبر من ستة نفس ال
+
+192
+00:23:35,650 --> 00:23:43,140
+epsilon يعنيلنفس الـ Epsilon بما أن limit ل F of X
+
+193
+00:23:43,140 --> 00:23:48,940
+and X = C = L2 نجد Delta 2 تعتمد على
+
+194
+00:23:48,940 --> 00:23:53,940
+Epsilon على 2 وبالتالي على Epsilon عدد موجد بحيث
+
+195
+00:23:53,940 --> 00:24:00,300
+أنه لو كان X ينتمي إلى A و |X - C| أصغر
+
+196
+00:24:00,300 --> 00:24:07,350
+من Delta 2 أكبر من 0 فهذا أكيد بيقدّي أنه |
+
+197
+00:24:07,350 --> 00:24:14,510
+f of x - L2| أصغر من epsilon على 2 ال sum ال
+
+198
+00:24:14,510 --> 00:24:22,030
+implication هي D2 الآن بناخد .. بنعرف delta ل L
+
+199
+00:24:22,030 --> 00:24:31,230
+Delta = ال minimum ل delta واحد و delta اتنين
+
+200
+00:24:32,560 --> 00:24:37,340
+طبعا هذا بيطلع عدد
+
+201
+00:24:37,340 --> 00:24:43,200
+موجب لإن دلتا واحد ودلتا اتنين عدد موجب وكذلك دلتا
+
+202
+00:24:43,200 --> 00:24:46,200
+دي تعتمد على ابسلون لإن دلتا واحد ودلتا اتنين
+
+203
+00:24:46,200 --> 00:24:52,720
+يعتمدوا على ابسلون then
+
+204
+00:24:52,720 --> 00:24:55,860
+by
+
+205
+00:24:55,860 --> 00:25:07,520
+واحد and اتنين نحصل على التالي، لو كان x ينتقل إلى
+
+206
+00:25:07,520 --> 00:25:14,980
+a و |x - c| أصغر من delta أكبر من سفر
+
+207
+00:25:14,980 --> 00:25:26,590
+فهذا هيقدر أن |L1 - L2| = |
+
+208
+00:25:26,590 --> 00:25:39,610
+L1 - F of X + F of X - L2| إذا انطلعت
+
+209
+00:25:39,610 --> 00:25:46,590
+أنا F of X ورجعتها فكأني ما جيرتش حاجة وهذا بيطلع
+
+210
+00:25:46,590 --> 00:25:50,460
+باستخدام ال triangle inequality بالترائنجل الـ
+
+211
+00:25:50,460 --> 00:25:54,900
+equality لـ | مجموعة حاجتين أصغر من
+
+212
+00:25:54,900 --> 00:26:00,920
+لو يساوي |L1 - F of X| + |F
+
+213
+00:26:00,920 --> 00:26:07,980
+of X - L2| الآن
+
+214
+00:26:07,980 --> 00:26:13,340
+باستخدام ال implication واحد، اللحظة أن الـ delta
+
+215
+00:26:13,340 --> 00:26:17,960
+هي ال minimum لـ delta واحد و delta اتنين وبالتالي
+
+216
+00:26:17,960 --> 00:26:24,340
+الـ delta هذه أصغر من delta واحد فحسب ال
+
+217
+00:26:24,340 --> 00:26:28,600
+implication واحد لما يكون x ينتمي ل a و |x 
+
+218
+00:26:28,600 --> 00:26:33,800
+- c| أصغر من delta واحد فانا بقدم ال |
+
+219
+00:26:33,800 --> 00:26:40,460
+value هذه أصغر من epsilon على 2 كذلك باستخدام ال
+
+220
+00:26:40,460 --> 00:26:45,060
+implication 2 أنا عندي الـ delta هذه هي الـ minimum
+
+221
+00:26:45,060 --> 00:26:51,760
+لـ delta 1 و delta 2 وبالتالي أصغر من delta 2 فبال
+
+222
+00:26:51,760 --> 00:26:55,680
+implication 2 بتقول لو كان x ينتمي ل a و |
+
+223
+00:26:55,680 --> 00:27:00,320
+x - c| أصغر من delta 2 فال | ل f
+
+224
+00:27:00,320 --> 00:27:07,500
+of x - l2| < epsilon على 2 هذا بيساوي
+
+225
+00:27:07,500 --> 00:27:16,080
+epsilon إذا أنا طلع عندي أثبتت أن |L1 -
+
+226
+00:27:16,080 --> 00:27:22,540
+L2| < إبسلون طبعا أكيد أكبر من أو يساوي سفر و
+
+227
+00:27:22,540 --> 00:27:28,600
+الآن هذا صحيح لكل أبسلون أكبر من السفر لأن one
+
+228
+00:27:28,600 --> 00:27:34,500
+hand هنا ال epsilon was arbitrary given الإبسلون
+
+229
+00:27:34,500 --> 00:27:38,660
+was arbitrarily يعني نقول since this holds for
+
+230
+00:27:38,660 --> 00:27:43,160
+every إبسلون في لمّة أخدناها في بداية ال course
+
+231
+00:27:43,160 --> 00:27:48,820
+بتقول لو في عندي عدد حفيفي a أكبر من أو يساوي سفر و
+
+232
+00:27:48,820 --> 00:27:53,940
+أصغر من إبسلون فإن إبسلون أكبر من السفر فهذا بيقدي
+
+233
+00:27:53,940 --> 00:28:00,160
+أن a = سفر أخد ايه هنا الـ | ل L1
+
+234
+00:28:00,160 --> 00:28:09,140
+- L2| فحسب النمة هذه هيطلع عندى هذا بقدر اللي
+
+235
+00:28:09,140 --> 00:28:15,600
+قدر انه |L1 - L2| = سفر وبالتالي
+
+236
+00:28:15,600 --> 00:28:24,600
+بيطلع عندى L1 = L2 وهو المطلوب إذا أنا فرقت إن
+
+237
+00:28:24,600 --> 00:28:28,860
+الـ function إلها two limits عن نقطة فطلع الـ two
+
+238
+00:28:28,860 --> 00:28:32,680
+limits متساوياتين وبالتالي لو كانت الـ function
+
+239
+00:28:32,680 --> 00:28:37,240
+إلها limit عن نقطة فال limit تطلع وحيدة unique،
+
+240
+00:28:37,240 --> 00:28:43,200
+بقى ده؟ في أي سؤال أو أي سؤال على البرهانة؟
+
+241
+00:29:02,290 --> 00:29:15,590
+ناخد ملاحظة هنا الـ
+
+242
+00:29:15,590 --> 00:29:27,330
+epsilon delta definition of limit of a function f
+
+243
+00:29:27,330 --> 00:29:29,270
+from a to r
+
+244
+00:29:32,670 --> 00:29:40,250
+the inequality المتباينة
+
+245
+00:29:40,250 --> 00:29:48,030
+اللي هي |x - c| > 0 <
+
+246
+00:29:48,030 --> 00:29:58,470
+دولتان means حاجتين الجزء هذا معناه أن |x
+
+247
+00:29:58,470 --> 00:30:09,330
+- c| لا يساوى سفروبالتالي X لا يساوي C إذاً هذا
+
+248
+00:30:09,330 --> 00:30:17,870
+يعني أن X لا تساوي C المتباينة
+
+249
+00:30:17,870 --> 00:30:23,410
+التانية اللي هي |X - C| أصغر من Delta
+
+250
+00:30:23,410 --> 00:30:31,170
+هذه بتكافئ أن X - C < Delta > 0
+
+251
+00:30:31,170 --> 00:30:39,850
+Delta صح؟ وهذه بتكافئ أن X > C - Delta
+
+252
+00:30:39,850 --> 00:30:47,870
+< C + Delta وهذا معناه أن X تنتمي لـ
+
+253
+00:30:47,870 --> 00:30:56,450
+Delta Neverhood لـ C اللي هو الفترة اللي اتروها من
+
+254
+00:30:56,450 --> 00:30:59,410
+C - Delta ل C + Delta
+
+255
+00:31:06,690 --> 00:31:12,550
+إذا المتباينة دي معناها x لا تساوي c and x تنتمي
+
+256
+00:31:12,550 --> 00:31:18,190
+لل delta اللي برجود لل c اللي هو الفترة المفتوحة
+
+257
+00:31:18,190 --> 00:31:25,170
+من c - delta إلى c + delta كذلك
+
+258
+00:31:25,170 --> 00:31:29,570
+المتباينة also
+
+259
+00:31:33,070 --> 00:31:37,490
+الإي نكواليتي المتباينة
+
+260
+00:31:37,490 --> 00:31:43,450
+اللي هي |f of x - L| أصغر من إبسلون
+
+261
+00:31:43,450 --> 00:31:46,490
+means
+
+262
+00:31:46,490 --> 00:31:52,830
+لو جينا الحل المتباينة هذه في f of x
+
+263
+00:32:05,840 --> 00:32:11,920
+فهي عندي f of x - L < إبسلون >
+
+264
+00:32:11,920 --> 00:32:17,480
+0 حل المتباينة هذه في f of x اجمع L على
+
+265
+00:32:17,480 --> 00:32:24,880
+كل أطراف فبطلع f of x < L + إبسلون >
+
+266
+00:32:24,880 --> 00:32:33,940
+L - إبسلون فهذا معناه أن f of x belongs to
+
+267
+00:32:33,940 --> 00:32:38,520
+the epsilon neighborhood للعدد L اللي هو الفترة
+
+268
+00:32:38,520 --> 00:32:44,040
+المفتوحة from L - إبسلون إلى L +
+
+269
+00:32:44,040 --> 00:32:57,040
+إبسلون مظبوط؟ صحيح؟ وبالتالي إن هذا بيقود إلى
+
+270
+00:32:57,040 --> 00:32:59,780
+المتيجة التالية
+
+271
+00:33:06,460 --> 00:33:20,660
+دع الـ F تعمل من A إلى R وC مقاومة مقاومة من A
+
+272
+00:33:20,660 --> 00:33:32,220
+ثم التقالير ممتازة التقالير ممتازة
+
+273
+00:33:36,480 --> 00:33:43,660
+Limit f of x as x tends to c = عدد delta اللي
+
+274
+00:33:43,660 --> 00:33:51,460
+هو تعريف epsilon delta هذا معناه أنه لكل epsilon
+
+275
+00:33:51,460 --> 00:33:57,640
+أكبر من السفر يوجد delta تعتمد على epsilon عدد
+
+276
+00:33:57,640 --> 00:33:58,180
+موجد
+
+277
+00:34:03,020 --> 00:34:10,300
+Such that لو كان x ينتمي ل a و |x - c|
+
+278
+00:34:10,300 --> 00:34:16,340
+أصغر من delta أكبر من ستر فهذا لازم يتضمن أن
+
+279
+00:34:16,340 --> 00:34:23,580
+|f of x - L| أصغر من أصغر يعني معنى أخر
+
+280
+00:34:23,580 --> 00:34:29,200
+L هي limit لل function f of x هو بتالي تعريف 
+
+281
+00:34:29,200 --> 00:34:33,300
+epsilon delta  المتحفان هذا تعريف epsilon دلتا
+
+282
+00:34:33,300 --> 00:34:42,000
+بكاذب ال-neverhood definition ال
+
+283
+00:34:42,000 --> 00:34:54,940
+neverhood definition of limit وهو
+
+284
+00:34:54,940 --> 00:34:57,720
+أن for every
+
+285
+00:35:02,320 --> 00:35:06,700
+for every epsilon
+
+286
+00:35:06,700 --> 00:35:12,480
+neighborhood V
+
+287
+00:35:12,480 --> 00:35:22,920
+epsilon of L there exists delta neighborhood V
+
+288
+00:35:22,920 --> 00:35:30,280
+delta of C بحيث
+
+289
+00:35:32,120 --> 00:35:46,700
+إن لو كانت X تنتمي إلى A ومختلفة عن الـC وموجودة
+
+290
+00:35:46,700 --> 00:35:53,200
+أيضًا في الـDelta neighborhood لـC فلازم هذا يقدر إن
+
+291
+00:35:53,200 --> 00:36:01,600
+صورة X لازم تنتمي للـEpsilon neighborhood لـL
+
+292
+00:36:06,140 --> 00:36:13,440
+و هذا بالظبط عملنا آخر remark، prove it
+
+293
+00:36:13,440 --> 00:36:19,240
+follows from
+
+294
+00:36:19,240 --> 00:36:32,800
+above remark write
+
+295
+00:36:32,800 --> 00:36:33,380
+it down
+
+296
+00:36:40,630 --> 00:36:44,690
+حاولوا تكتبوا البرهان، البرهان فسرناها هنا
+
+297
+00:36:44,690 --> 00:37:00,590
+واضحناها من ال-remark خلينا نشوف خلينا
+
+298
+00:37:00,590 --> 00:37:10,530
+نرسم رسمها في المحور X نحو الـ y وهي ال-origin وخفض
+
+299
+00:37:10,530 --> 00:37:16,270
+أنه يوجد function مثل هذه فهذا بالحقيقة function y
+
+300
+00:37:16,270 --> 00:37:23,070
+بسهولة f of x وهي c نقطة في المجال تبع الدالة أو
+
+301
+00:37:23,070 --> 00:37:34,330
+حتى لو ما كانت موجودة c is the cluster point وهي
+
+302
+00:37:34,330 --> 00:37:35,870
+هذا عدد حقيقي
+
+303
+00:37:38,510 --> 00:37:44,570
+فده عدد حقيقي فمعنى
+
+304
+00:37:44,570 --> 00:37:50,770
+أن limit لل-F and X بالساوية C بالساوية L معناه
+
+305
+00:37:50,770 --> 00:37:57,210
+لأي أبسلون أكبر من الصفر أي لأي أبسلون أكبر من
+
+306
+00:37:57,210 --> 00:38:24,500
+الصفر ممكن أنا أقول epsilon neighborhood لأي
+
+307
+00:38:24,500 --> 00:38:33,180
+epsilon أكبر من 0 يعني بقدر أكون إبسلون نبرهود
+
+308
+00:38:33,180 --> 00:38:37,660
+بإبسلون
+
+309
+00:38:37,660 --> 00:38:44,180
+لإل فلو كان هذا given given إبسلون يعني given
+
+310
+00:38:44,180 --> 00:38:52,920
+إبسلون neighborhood لإل بقدر أجيل
+
+311
+00:38:52,920 --> 00:38:56,200
+أرد عليه
+
+312
+00:39:01,810 --> 00:39:07,770
+ال��لتا Delta neighborhood هذا عبارة عن Delta 
+
+313
+00:39:07,770 --> 00:39:15,250
+neighborhood لـ C إذا أنا أخدت أعطتوني إبسلون بقدر
+
+314
+00:39:15,250 --> 00:39:20,570
+أكون إبسلون neighborhood لـ L فبقدر أرد عليه ال
+
+315
+00:39:20,570 --> 00:39:24,110
+Delta neighborhood لـ C في الفترة المفتوحة هذه
+
+316
+00:39:25,810 --> 00:39:31,550
+بالتالي، إذا كان هناك مجتمع إبسلن لـL، فهناك مجتمع
+
+317
+00:39:31,550 --> 00:39:38,230
+Delta لـC أو هناك مجتمع Delta عدد موجب بحيث إن لو
+
+318
+00:39:38,230 --> 00:39:42,930
+كانت الـX موجودة في A، والمتباينة هذه تتحقق، طب X
+
+319
+00:39:42,930 --> 00:39:47,550
+موجودة في A، والمتباينة هذه تتحقق، معناته X موجودة
+
+320
+00:39:47,550 --> 00:39:51,990
+في A ومختلفة عن الـC، و X موجودة في الـDelta
+
+321
+00:39:51,990 --> 00:39:57,400
+neighborhood هذه معناته X تنتمي لـA ومختلفة عن الـC
+
+322
+00:39:57,400 --> 00:40:02,480
+و X موجودة في الـDelta neighborhood هذا الشرط هذا بيقدي
+
+323
+00:40:02,480 --> 00:40:08,760
+أن المتباينة هذه تتحقق المتباينة هذه تتحقق معناه أن
+
+324
+00:40:08,760 --> 00:40:14,840
+الـ F of X صورة X تنتمي للـEpsilon neighborhood لـL فهو واضح أن 
+
+325
+00:40:14,840 --> 00:40:20,020
+هذا التعريف بيقدي للتعريف هذا باستخدام تفسير ال
+
+326
+00:40:20,020 --> 00:40:31,340
+remark والعكس طبعًا صحيح .. صحيح okay تمام؟ إذا هذا
+
+327
+00:40:31,340 --> 00:40:36,270
+بنسميه الـ .. هذا التعريف بنسميه الـ neighborhood
+
+328
+00:40:36,270 --> 00:40:40,630
+definition للـ limit of a function والتعريف دا أو
+
+329
+00:40:40,630 --> 00:40:45,810
+هذا بنسميه الـ epsilon delta definition
+
+330
+00:40:45,810 --> 00:40:52,930
+of the limit of a function تمام؟ وهذا طبعًا زي ال
+
+331
+00:40:52,930 --> 00:40:57,490
+epsilon capital N definition للlimit of a sequence
+
+332
+00:40:57,490 --> 00:41:00,870
+وبعد هي فكرين عرفنا ال-neighborhood definition
+
+333
+00:41:00,870 --> 00:41:05,640
+للlimit of a sequence هذا يعني يكافئ الكلام اللي
+
+334
+00:41:05,640 --> 00:41:09,720
+هنا إذا الآن في عندي تعريفين لل-limit of a
+
+335
+00:41:09,720 --> 00:41:14,060
+function at a point أو at a cluster point الدارس
+
+336
+00:41:14,060 --> 00:41:17,080
+التعريف اللي هنستخدمه أكثر هو epsilon delta
+
+337
+00:41:17,080 --> 00:41:23,580
+definition of the limit أكثر من ال-neighborhood
+
+338
+00:41:23,580 --> 00:41:26,920
+definition لكن أنا ما منعش أن أنا في أوقات معينة
+
+339
+00:41:26,920 --> 00:41:30,560
+أستخدم ال-neighborhood definition طيب نأخذ بعض
+
+340
+00:41:30,560 --> 00:41:38,200
+الأمثلة على كيفية إثبات إن الـ limit لـ certain
+
+341
+00:41:38,200 --> 00:41:43,980
+function is a certain number by
+
+342
+00:41:43,980 --> 00:41:49,020
+using epsilon delta definition نشوف مع بعض، وهذا
+
+343
+00:41:49,020 --> 00:41:54,100
+يعني بوازي الكلام اللي عملناه بالنسبة لل-limits of
+
+344
+00:41:54,100 --> 00:42:00,240
+sequences فإذا هنا في الأمثلة في كل الأمثلة التالية
+
+345
+00:42:00,240 --> 00:42:04,500
+عايزين نستخدم ال-definition of أو epsilon delta
+
+346
+00:42:04,500 --> 00:42:07,520
+definition أو ال-neighborhood definition لل-limit
+
+347
+00:42:07,520 --> 00:42:10,720
+of a function to prove إنه limit عن نقطة محددة
+
+348
+00:42:10,720 --> 00:42:18,760
+بساوي عدد محدد فمثلًا إن نثبت إنه limit لدالة ثابت
+
+349
+00:42:18,760 --> 00:42:22,240
+B لما X تقول لها C بساوي B
+
+350
+00:42:25,710 --> 00:42:30,410
+فلت هنا عندي فان الـ function تبعتي f of x بالساوية
+
+351
+00:42:30,410 --> 00:42:38,130
+ثابت B لكل x تنتمي إلى R فان الـ function تبعتي
+
+352
+00:42:38,130 --> 00:42:43,130
+ده اللي ثابتة وبالتالي إذا هنا لثبات إن ال-limit
+
+353
+00:42:43,130 --> 00:42:45,290
+تبعتها بالساوية B
+
+354
+00:42:48,460 --> 00:42:50,340
+أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من
+
+355
+00:42:50,340 --> 00:42:50,500
+أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من
+
+356
+00:42:50,500 --> 00:42:51,200
+الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر
+
+357
+00:42:51,200 --> 00:42:52,980
+أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من
+
+358
+00:42:52,980 --> 00:42:53,500
+الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر
+
+359
+00:42:53,500 --> 00:42:54,560
+أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من
+
+360
+00:42:54,560 --> 00:42:55,760
+الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر
+
+361
+00:42:55,760 --> 00:43:05,680
+أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر من الصفر أكبر
+
+362
+00:43:05,680 --> 00:43:06,180
+من الصفر
+
+363
+00:43:18,680 --> 00:43:23,060
+تعال نشوف ال-implication ال-Delta هذه works ولا
+
+364
+00:43:23,060 --> 00:43:27,560
+لأ ف أنا عندي إن لو كانت الـ X تنتمي لـ A طبعًا الـ A
+
+365
+00:43:27,560 --> 00:43:31,700
+مجال الدالة هنا هو كل الأعداد الحقيقية و absolute
+
+366
+00:43:31,700 --> 00:43:38,610
+X minus C أكبر من 0 أصغر من Delta هل هذا بيقدر
+
+367
+00:43:38,610 --> 00:43:43,910
+لأبسليوت f of x minus b أصغر من إبسلون بالتأكيد
+
+368
+00:43:43,910 --> 00:43:48,910
+أنا عندي f of x بالساوية B سالب ال-limit اللي هي
+
+369
+00:43:48,910 --> 00:43:55,090
+B فهذا بيطلع أبسليوت الصفر بيطلع صفر والصفر هذا
+
+370
+00:43:55,090 --> 00:44:02,040
+أصغر من أي إبسلون موجبة إذا حصلت تعريف Epsilon Delta
+
+371
+00:44:02,040 --> 00:44:06,560
+يعني أثبتت أنه لأي Epsilon أي Delta موجبة works
+
+372
+00:44:06,560 --> 00:44:10,580
+تعمل تعطيل ال-implication وبالتالي by definition
+
+373
+00:44:10,580 --> 00:44:20,140
+limit F of X as X tends to C بساوي D طيب
+
+374
+00:44:20,140 --> 00:44:27,120
+نأخذ كمان مثال لو أخذت ال-identity function
+
+375
+00:44:34,810 --> 00:44:40,290
+بنثبت إن limit ده identity function لما x تقول إلى
+
+376
+00:44:40,290 --> 00:44:47,110
+أي عدد حقيقي c بساوي c نستخدم
+
+377
+00:44:47,110 --> 00:44:52,310
+تعريف epsilon delta let epsilon أكبر من الصفر be
+
+378
+00:44:52,310 --> 00:44:59,370
+given المرة هذه بدي أرد على ال-epsilon هذه ال
+
+379
+00:44:59,370 --> 00:45:05,230
+Delta تعتمد عليها هأختار ال-Delta بساوي epsilon
+
+380
+00:45:05,230 --> 00:45:10,430
+يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta بساوي epsilon
+
+381
+00:45:10,430 --> 00:45:10,530
+يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta بساوي epsilon
+
+382
+00:45:10,530 --> 00:45:12,470
+يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta بساوي epsilon
+
+383
+00:45:12,470 --> 00:45:17,090
+يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta بساوي epsilon
+
+384
+00:45:17,090 --> 00:45:19,890
+يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta بساوي epsilon
+
+385
+00:45:19,890 --> 00:45:23,450
+يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta بساوي epsilon
+
+386
+00:45:23,450 --> 00:45:29,320
+يختار Delta بساوي epsilon يختار Delta هي عبارة عن ال
+
+387
+00:45:29,320 --> 00:45:33,500
+identity function لكل X المجال تبعها كل الأعداد
+
+388
+00:45:33,500 --> 00:45:40,060
+الحقيقية فلو كانت X تنتمي لـ A اللي هي R و Absolute
+
+389
+00:45:40,060 --> 00:45:46,100
+X minus C أكبر من Zero أصغر من Delta فخلينا نشوف
+
+390
+00:45:46,100 --> 00:45:52,880
+هل بيطلع Absolute F of X minus ال-L اللي هو C أصغر
+
+391
+00:45:52,880 --> 00:45:56,240
+من Epsilon هنشوف
+
+392
+00:45:57,800 --> 00:46:04,860
+طيب نعوض عن F of X بالساوية X minus C طب أنا عند ال
+
+393
+00:46:04,860 --> 00:46:10,320
+X هذه موجودة في R و المسافة بينها ومختلفة عن الـ C
+
+394
+00:46:10,320 --> 00:46:13,880
+والمسافة بينهم أصغر من Delta اللي أنا باخدها
+
+395
+00:46:13,880 --> 00:46:19,420
+بالساوية epsilon إذا ال-absolute X minus C من هنا أصغر من
+
+396
+00:46:19,420 --> 00:46:27,090
+Delta اللي هي epsilon وبالتالي درهين أثبتت أنه لأي إبسلون
+
+397
+00:46:27,090 --> 00:46:32,990
+يوجد Delta اللي هي إبسلون نفسها بحيث لكل x في a إذا
+
+398
+00:46:32,990 --> 00:46:36,570
+كان absolute x minus c أكبر من صفر أصغر من Delta
+
+399
+00:46:36,570 --> 00:46:40,490
+هذا بيقدر أن absolute f of x minus l أصغر من
+
+400
+00:46:40,490 --> 00:46:47,650
+إبسلون since إبسلون أكبر من الصفر was arbitrary
+
+401
+00:46:52,350 --> 00:47:00,830
+we get from the definition هذا الكلام صحيح لكل
+
+402
+00:47:00,830 --> 00:47:06,690
+epsilon وبالتالي by definition بيطلع عندي limit ال
+
+403
+00:47:06,690 --> 00:47:10,430
+function f of x اللي هي ال-identity function لما x
+
+404
+00:47:10,430 --> 00:47:19,750
+تقوى لـ c ��ساوي c وهو المطلوب تمام okay إذا المرة
+
+405
+00:47:19,750 --> 00:47:27,480
+الجاية هنثبت إن limited ده لتربعية لما x أو لـ c
+
+406
+00:47:27,480 --> 00:47:33,280
+بساوي c تربيع وهذا موجود طبعًا في الكتاب وفي كمان
+
+407
+00:47:33,280 --> 00:47:37,780
+أمثلة أخرى فأرجو أنكم تقرأوا الأمثلة هذه من الكتاب
+
+408
+00:47:37,780 --> 00:47:44,350
+وتحضروها للمحاضرة الجاية وتشوفوا كيف تم استخدام
+
+409
+00:47:44,350 --> 00:47:49,410
+تعريف epsilon delta في إثبات إن ال-limit لدالة زهر
+
+410
+00:47:49,410 --> 00:47:53,530
+الدالة التربعية بساوي C تربيع عند أي نقطة C okay
+
+411
+00:47:53,530 --> 00:47:58,270
+تمام؟ في أي سؤال أو إيضاح؟ إذا نكتفي بهذا القدر
+
+412
+00:47:58,270 --> 00:48:02,410
+وإن شاء الله اللي أنا أكملّه في المحاضرة القادمة

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/6FDcUXR9Pqo_raw.srt

@@ -0,0 +1,1652 @@
+1
+00:00:20,870 --> 00:00:25,910
+المرة اللى فاتت او في المحاضرة للصادفة عرفنا ال
+
+2
+00:00:25,910 --> 00:00:31,410
+cluster point و أخدنا أمثلة كيف نجيب ال cluster
+
+3
+00:00:31,410 --> 00:00:39,710
+points لمجموعة معينة و وجفنا عند المثال التالت
+
+4
+00:00:59,030 --> 00:01:05,110
+المثال التالت show that
+
+5
+00:01:05,110 --> 00:01:12,070
+zero is the only cluster
+
+6
+00:01:12,070 --> 00:01:18,290
+point of
+
+7
+00:01:18,290 --> 00:01:23,570
+the set A7
+
+8
+00:01:26,690 --> 00:01:31,870
+كل واحد على N حيث و N that's a number دكتور هذا
+
+9
+00:01:31,870 --> 00:01:37,210
+مثال تاني أخدناها ده؟ لأ لأ اللي أخدناه اللي هو ال
+
+10
+00:01:37,210 --> 00:01:48,030
+.. هناخدها هناخدها هناخدها ف .. هنا هنا .. هنا
+
+11
+00:01:48,030 --> 00:01:55,250
+هنا اتنين
+
+12
+00:01:59,360 --> 00:02:11,580
+إن Zero is a cluster point تلت
+
+13
+00:02:11,580 --> 00:02:22,720
+Delta أكبر من السفل Be given by Archimedean
+
+14
+00:02:22,720 --> 00:02:25,880
+property
+
+15
+00:02:30,960 --> 00:02:40,920
+يوجد capital N ينتمي إلى N بحيث انه واحد على N
+
+16
+00:02:40,920 --> 00:02:54,340
+أصغر من نفسه hence
+
+17
+00:03:01,430 --> 00:03:09,270
+الدلتا نيبر هو zero لو
+
+18
+00:03:09,270 --> 00:03:25,690
+أخدت xN هو واحد على ن فهذا ينتمي إلى
+
+19
+00:03:25,690 --> 00:03:39,580
+المجموعة Aوانت ليه لا ال delta number هون ل ..
+
+20
+00:03:39,580 --> 00:03:44,040
+او ال x هذا المفروض delta ال delta number هو ده
+
+21
+00:03:44,040 --> 00:03:47,860
+اسمه
+
+22
+00:03:47,860 --> 00:03:56,940
+أسوأ؟ إذن
+
+23
+00:03:56,940 --> 00:03:58,460
+هذا لا أي سؤال خالد
+
+24
+00:04:06,200 --> 00:04:10,700
+الدلتا نبقى رهود للسفر اللي هي الفترة المفتوحة من
+
+25
+00:04:10,700 --> 00:04:16,100
+سالب دلتا إلى دلتا
+
+26
+00:04:16,100 --> 00:04:21,960
+فهي عندي واحد على N أصغر من دلتا وطبعا أكبر من سفر
+
+27
+00:04:24,160 --> 00:04:27,620
+فواحد على أن ينتمي للـDelta neighborhood للسفر
+
+28
+00:04:27,620 --> 00:04:32,400
+وواحد على أن ينتمي للمجموعة A وبالتالي يجب أن نكون
+
+29
+00:04:32,400 --> 00:04:38,580
+أثبتنا أنه لأي Delta أكبر من السفر أو أي Delta
+
+30
+00:04:38,580 --> 00:04:44,680
+neighborhood للسفر يتقاطع مع A في نقطة مختلفة عن
+
+31
+00:04:44,680 --> 00:04:49,000
+السفر ال
+
+32
+00:04:49,000 --> 00:04:56,810
+X انها جلدها تساوي سفرلاتسار السفر وبالتالي إذا
+
+33
+00:04:56,810 --> 00:05:05,470
+هذا بثبت السفر is a cluster point of
+
+34
+00:05:05,470 --> 00:05:12,310
+الست إذا هذا بثبت ال claim الآن ليه مايكون فيه
+
+35
+00:05:12,310 --> 00:05:14,130
+cluster points أخرى؟
+
+36
+00:05:30,490 --> 00:05:41,150
+إذا كانت X لا تساوي سفر، فهي ليست مجموعة من A
+
+37
+00:05:41,150 --> 00:05:46,390
+فحاسيبكم
+
+38
+00:05:46,390 --> 00:05:47,630
+أنتم تكتبوا البرهان
+
+39
+00:05:50,290 --> 00:06:02,390
+هي سفر وهي واحد وهي نص وهي تلت وهي واحد على N وهي
+
+40
+00:06:02,390 --> 00:06:05,390
+واحد على N زائد واحد وهكذا
+
+41
+00:06:16,430 --> 00:06:25,930
+فهنا تاندي two cases case one ان x تنتمي الى a و
+
+42
+00:06:25,930 --> 00:06:34,690
+الحلقة التانية case two ان x لا تنتمي الى a ال x
+
+43
+00:06:34,690 --> 00:06:39,530
+دي مستويش السفر احنا already اثبتنا ان السفر
+
+44
+00:06:39,530 --> 00:06:43,850
+cluster pointطيب افرض X مستويش سفر إذا X ممكن
+
+45
+00:06:43,850 --> 00:06:48,170
+تساوي واحد أو نص أو تلت أو واحد على N for some N
+
+46
+00:06:48,170 --> 00:06:53,250
+صح؟ ممكن ماتساويش ولا عنصر ممكن ماتكونش تم تمل أيه
+
+47
+00:06:53,250 --> 00:06:58,070
+فلو كانت ال X واحد من العناصر هدول واحد من العناصر
+
+48
+00:06:58,070 --> 00:07:04,630
+الست فبقدر ألاقي أن يوجد بقدر ألاقي delta
+
+49
+00:07:04,630 --> 00:07:08,990
+neighborhood للعنصر مثلا التلت بقدر ألاقي delta
+
+50
+00:07:08,990 --> 00:07:09,490
+neighborhood
+
+51
+00:07:13,860 --> 00:07:19,840
+الأنصر اللي بعد هذا هيكون ربع فباخد المسافة الأصغر
+
+52
+00:07:19,840 --> 00:07:26,560
+بين تلت ربع تلت و نص و باخد نص المسافة ديلتا فبصير
+
+53
+00:07:26,560 --> 00:07:30,920
+عند هنا ديلتا نبرهود للتلت و بتقاطعش مع المجموعة A
+
+54
+00:07:30,920 --> 00:07:38,120
+بالمرة أو في نقطة مختلفة عن التلتوبالتالي لو كانت
+
+55
+00:07:38,120 --> 00:07:44,880
+ال X موجودة في A زي التلت مثلا فال X ليست cluster
+
+56
+00:07:44,880 --> 00:07:49,860
+point الآن ال X لا تنتمي ل أيه؟ ال X لا تنتمي ل
+
+57
+00:07:49,860 --> 00:07:55,920
+أيه؟ معناته هي عنصر هنا زي هذا X أزرق من سفر أو X
+
+58
+00:07:55,920 --> 00:08:01,540
+ممكن تكون جاية بين عنصرين فباخد المسافة بين X و
+
+59
+00:08:01,540 --> 00:08:04,840
+أقرب عنصر إلها من اليمين و أقرب عنصر إلها من
+
+60
+00:08:04,840 --> 00:08:11,140
+اليسارو باخد نص المسافة ديلتا او ابسلان و بكوّن
+
+61
+00:08:11,140 --> 00:08:17,480
+دلتا نبرود ل X هذا دلتا نبرود مش هيتقاطع مع ال 6 و
+
+62
+00:08:17,480 --> 00:08:20,700
+بالتالي النقطة هذه عمرها ما بتكون cluster point
+
+63
+00:08:20,700 --> 00:08:26,020
+ممكن كمان النقطة هذه ال X مش موجودة فيها ممكن تكون
+
+64
+00:08:26,020 --> 00:08:31,260
+على شمال السفر او على يمين الواحدفلو كانت على يمين
+
+65
+00:08:31,260 --> 00:08:35,560
+الواحد خد نص المسافة هي دلتا إذا هي دلتا نبقى
+
+66
+00:08:35,560 --> 00:08:39,420
+روحود ل X مابتخطعش معاه بالمرة بالتالي X مابت
+
+67
+00:08:39,420 --> 00:08:44,440
+cluster هنا لو كانت X أصغر من سفر فخد نص المسافة
+
+68
+00:08:44,440 --> 00:08:48,960
+بين X و 0 على إنها دلتاوبالتالي كونة delta
+
+69
+00:08:48,960 --> 00:08:52,460
+neighborhood ل X هذا delta neighborhood بتقاطعش مع
+
+70
+00:08:52,460 --> 00:08:56,240
+A بالمرة وبالتالي X ليست cluster point إذا في كل
+
+71
+00:08:56,240 --> 00:09:01,860
+الأحوال X ليست cluster point سواء كانت في A أو مش
+
+72
+00:09:01,860 --> 00:09:05,420
+موجودة إذا كانت X مختلفة عن الصفر فليست cluster
+
+73
+00:09:05,420 --> 00:09:14,930
+point okay إذا zero is the only نقطة الوحيدةمافيش
+
+74
+00:09:14,930 --> 00:09:18,990
+نقطة غيرها بتكون cluster point بالمثل ممكن نثبت
+
+75
+00:09:18,990 --> 00:09:29,650
+مثال أخر f
+
+76
+00:09:29,650 --> 00:09:35,710
+i بساوي ال
+
+77
+00:09:35,710 --> 00:09:39,830
+unit technological interval and
+
+78
+00:09:51,210 --> 00:10:02,710
+IQ بساوي I تقاطع ال rational numbers then
+
+79
+00:10:02,710 --> 00:10:13,170
+every x تنهي ل I is a cluster point a cluster
+
+80
+00:10:13,170 --> 00:10:15,250
+point of IQ
+
+81
+00:10:18,800 --> 00:10:26,900
+إذا I هي الفترة المغلقة من صفر لواحد IQ هي كل
+
+82
+00:10:26,900 --> 00:10:31,800
+الأعداد المسبية الموجودة في الفترة المغلقة من صفر
+
+83
+00:10:31,800 --> 00:10:38,340
+لواحد ممكن إثبات إن كل X في الفترة المغلقة I هي
+
+84
+00:10:38,340 --> 00:10:45,940
+cluster point للمجموعة IQ وذلك باستخدام ال density
+
+85
+00:10:45,940 --> 00:10:52,060
+theoremproof use
+
+86
+00:10:52,060 --> 00:11:06,500
+the density theorem فحاسيبكم
+
+87
+00:11:06,500 --> 00:11:15,920
+انتوا تكتبوا البرهان خدي أي x في I واخدتي انه أي
+
+88
+00:11:17,780 --> 00:11:22,140
+أعملكم برهان هكذا بدون أن أكتب أي شيء هذه الفترة I
+
+89
+00:11:22,140 --> 00:11:29,720
+من صفر إلى واحد هذه الفترة المغلقة من ملفة أن كل X
+
+90
+00:11:29,720 --> 00:11:35,800
+كل X فيها هو cluster point لمجموعة الأعداد المسمية
+
+91
+00:11:35,800 --> 00:11:42,520
+في I ففي عندي تلت حالات MX هتكون أكبر من صفر أصغر
+
+92
+00:11:42,520 --> 00:11:48,060
+من واحد يعني نقطة داخليها ليست نقطة طرفو طبعا هي
+
+93
+00:11:48,060 --> 00:11:52,460
+لو أخدت أي delta عدد موجب و كوّنت delta
+
+94
+00:11:52,460 --> 00:11:57,380
+neighborhood لل X فال delta neighborhood هذا
+
+95
+00:11:57,380 --> 00:12:05,920
+هيتقاطع مع المجموعة A IQ حسب نظرية الكثافة أي فترة
+
+96
+00:12:05,920 --> 00:12:11,520
+مفتوحة زي هذه تحتوي rational number صح؟وبالتالي اي
+
+97
+00:12:11,520 --> 00:12:16,600
+delta neighborhood ل ال X هيتقاطع مع المجموعة IQ
+
+98
+00:12:16,600 --> 00:12:24,160
+في نقطة R مختلفة عن ال X حسب نظرية الكثارة
+
+99
+00:12:24,160 --> 00:12:28,040
+وبالتالي حسب التعريف اذا ال X هذه اللي هي نقطة
+
+100
+00:12:28,040 --> 00:12:33,700
+داخلية is a cluster point لمن؟
+
+101
+00:12:33,700 --> 00:12:40,260
+للمجموعة IQلو كانت ال .. ال .. ال x هي نقطة الطرف
+
+102
+00:12:40,260 --> 00:12:46,960
+الحلقة التانية لما x تكون هي سفر لما x تكون بساوي
+
+103
+00:12:46,960 --> 00:12:52,160
+سفر وخدي أي delta neighborhood لأن هاي سالب delta
+
+104
+00:12:52,160 --> 00:12:56,560
+موجب delta فالفترة
+
+105
+00:12:56,560 --> 00:13:01,200
+هذه تتقطع يعني
+
+106
+00:13:01,200 --> 00:13:07,230
+هاي delta هادي delta و هادي نقطة سفرالان الفترة
+
+107
+00:13:07,230 --> 00:13:12,870
+هذه بقدر الاقي فيها rational number حسب مباريك
+
+108
+00:13:12,870 --> 00:13:16,970
+الكفافة موجود بين سفر و دلتا و ال rational number
+
+109
+00:13:16,970 --> 00:13:23,550
+هذا موجود في ال unit closed intervalوبالتالي كل
+
+110
+00:13:23,550 --> 00:13:28,450
+delta neighborhood للصفر يتقاطع
+
+111
+00:13:28,450 --> 00:13:33,670
+مع المجموع IQ في نقطة R مختلفة عن الصفر وبالتالي
+
+112
+00:13:33,670 --> 00:13:37,910
+الصفر هو cluster point بالمثل ممكن تباتل بالواحد
+
+113
+00:13:37,910 --> 00:13:41,970
+cluster point لأن اي delta neighborhood للواحد
+
+114
+00:13:43,720 --> 00:13:48,560
+هيحتوي حسب نظرية الكثافة لو هذا كان واحد ثالث دلتا
+
+115
+00:13:48,560 --> 00:13:54,510
+في النقطة هذه وهذه واحد فبنقدر نلاقي Rrational
+
+116
+00:13:54,510 --> 00:13:58,650
+number حسب مجرد كدفة بين واحد سالب دلتا وواحد
+
+117
+00:13:58,650 --> 00:14:03,710
+وبالتالي ال delta neighborhood هذا المركزه واحد و
+
+118
+00:14:03,710 --> 00:14:08,490
+نصف خطره دلتا هيتقاطع مع ال IQ في نقطة مختلفة عن
+
+119
+00:14:08,490 --> 00:14:13,250
+الواحد وبالتالي واحد cluster point الان لان هسيبكم
+
+120
+00:14:13,250 --> 00:14:15,650
+تكتبوا البرهان بالتفصيل
+
+121
+00:14:19,850 --> 00:14:25,250
+Okay إذاً هيك يعني عندنا عدة أمثلة على ال cluster
+
+122
+00:14:25,250 --> 00:14:32,490
+points نرجع لمفهوم ال limit ل ال function اللي هو
+
+123
+00:14:32,490 --> 00:14:47,650
+كان عنوان ال section تبعنا اذا
+
+124
+00:14:47,650 --> 00:14:48,750
+هنا definition
+
+125
+00:14:55,450 --> 00:15:07,150
+دع الـ f يكون مفعولًا من a إلى r مفعولًا
+
+126
+00:15:07,150 --> 00:15:19,710
+في أين a مجزرة من r و c مجزرة من الـ
+
+127
+00:15:19,710 --> 00:15:22,090
+set A
+
+128
+00:15:26,660 --> 00:15:35,260
+المعنى number L هو مقال
+
+129
+00:15:35,260 --> 00:15:39,440
+للمعنى
+
+130
+00:15:39,440 --> 00:15:44,440
+f at
+
+131
+00:15:44,440 --> 00:15:59,020
+xبس you see إذا تحقق الشرط التالي for any epsilon
+
+132
+00:15:59,020 --> 00:16:05,340
+أكبر من سفر يوجد delta تعتمد على epsilon عدد موجد
+
+133
+00:16:05,340 --> 00:16:14,690
+بحيث أنه لكل x ينتمي إلى aو المسافة بين .. و ال X
+
+134
+00:16:14,690 --> 00:16:23,090
+هذا يختلف عن ال C و المسافة بينها و بين ال C أصغر
+
+135
+00:16:23,090 --> 00:16:30,030
+من Delta لازم هذا يضمن أن absolute F of X minus L
+
+136
+00:16:30,030 --> 00:16:41,010
+أصغر من Delta إذن هذا شرط .. هذا شرط أو بسميهأنا
+
+137
+00:16:41,010 --> 00:16:49,470
+بسميه ابسلون دلتا definition ابسلون دلتا
+
+138
+00:16:49,470 --> 00:16:54,310
+definition of limit لل
+
+139
+00:16:54,310 --> 00:16:58,550
+limit of a functionالـ Limit لـ function f of x
+
+140
+00:16:58,550 --> 00:17:03,590
+بالساوي أو L هي عبارة عن Limit لـ function f of x
+
+141
+00:17:03,590 --> 00:17:09,970
+and x بالساوي C إذا لو أعطتوني أي إبسلون عدد موجب
+
+142
+00:17:09,970 --> 00:17:15,570
+لازم أنا أرد عليها Delta عدد موجب آخر يعتمد على
+
+143
+00:17:15,570 --> 00:17:20,750
+إبسلون بحيث أنه لكل X في المجموعة A اللي هو ال
+
+144
+00:17:20,750 --> 00:17:27,300
+domain تبع ال functionو X هذه مختلفة لا تساوي C
+
+145
+00:17:27,300 --> 00:17:33,360
+يعني المتباين هذه معناها X لا تساوي Cإذاً لكل x في
+
+146
+00:17:33,360 --> 00:17:38,200
+a مختلفة عن الـc والمسافة بينها وبين الـc أصغر من
+
+147
+00:17:38,200 --> 00:17:42,580
+دلتا لازم تطلع المسافة بين f of x و L أصغر من
+
+148
+00:17:42,580 --> 00:17:47,220
+إبسلون هذا الكلام اتحقق لكل إبسلون أكبر من الصفر
+
+149
+00:17:47,220 --> 00:17:51,640
+فبنقول إن العدد L is a limit of the function f عند
+
+150
+00:17:51,640 --> 00:17:52,360
+النقطة c
+
+151
+00:17:59,170 --> 00:18:07,710
+من هذا التعريف بينتج على طول اه طيب in this case
+
+152
+00:18:07,710 --> 00:18:13,930
+in this case we
+
+153
+00:18:13,930 --> 00:18:26,600
+say انه if converges if convergesto the number L
+
+154
+00:18:26,600 --> 00:18:39,520
+at X بساوي C and we write ونكتب الحالة هذه limit ل
+
+155
+00:18:39,520 --> 00:18:46,940
+F of X لما X تقول إلى C بساوي L أو ممكن نكتب limit
+
+156
+00:18:46,940 --> 00:18:54,260
+F as X tends to C بساوي L أو ممكن نكتب
+
+157
+00:19:01,220 --> 00:19:11,260
+أو ممكن نكتب f of x tends to L as x tends to c كل
+
+158
+00:19:11,260 --> 00:19:16,360
+هدول معناهم أن العدد L limit لل function f and x
+
+159
+00:19:16,360 --> 00:19:17,360
+سوى c
+
+160
+00:19:22,850 --> 00:19:30,090
+ف limit f of x as x tends to c does not exist،
+
+161
+00:19:30,090 --> 00:19:37,430
+يعني مافيش عدد L زي هذا، we say ان ال function f
+
+162
+00:19:37,430 --> 00:19:45,590
+diverges، diverges at x less than c
+
+163
+00:19:50,120 --> 00:19:55,320
+الان نستطيع ان نثبت ان ال limit لل function هذه
+
+164
+00:19:55,320 --> 00:20:00,040
+النقطة لو كانت موجودة لو كان ال function لها limit
+
+165
+00:20:00,040 --> 00:20:07,120
+فlimit هذه لازم تكون unique ال
+
+166
+00:20:07,120 --> 00:20:19,320
+function if from A to R can have only
+
+167
+00:20:39,940 --> 00:20:44,760
+والبرهان شبه البرهان الـ uniqueness of the limit
+
+168
+00:20:44,760 --> 00:20:50,700
+of a sequence we use epsilon over two argument
+
+169
+00:20:51,860 --> 00:20:54,780
+استنتاج epsilon على اتنين او برهان epsilon على
+
+170
+00:20:54,780 --> 00:21:01,020
+اتنين هنشوف مع بعض هاي برهان تروح left epsilon
+
+171
+00:21:01,020 --> 00:21:04,300
+اكبر
+
+172
+00:21:04,300 --> 00:21:11,720
+من السفر ب given since
+
+173
+00:21:11,720 --> 00:21:19,120
+طب
+
+174
+00:21:19,120 --> 00:21:25,040
+خليني الأوللبرهانة النظرية هذه بدي أفرض أنه فيه
+
+175
+00:21:25,040 --> 00:21:34,640
+two limits assume أن ال limit ل f of x as x tends
+
+176
+00:21:34,640 --> 00:21:44,340
+to c بساوي عدد الواحد and limit أيضا ل f of x as x
+
+177
+00:21:44,340 --> 00:21:50,340
+tends to c بساوي عدد تاني الاتنينوعشان أثبت
+
+178
+00:21:50,340 --> 00:21:57,860
+النظرية لازم أثبت الإدعاء التالي إن ال1 بساوي ال4
+
+179
+00:21:57,860 --> 00:22:07,720
+فلبرهان ذلك let epsilon أكبر من السفر be given
+
+180
+00:22:07,720 --> 00:22:19,500
+since مما أننا فرضين أن ال limitلأف as x tends to
+
+181
+00:22:19,500 --> 00:22:28,420
+c بالساوي الواحد then by definition by epsilon
+
+182
+00:22:28,420 --> 00:22:33,180
+delta definition of limit there exists delta one
+
+183
+00:22:33,180 --> 00:22:39,830
+depends on epsilon positive numberبحيث أنه لو كان
+
+184
+00:22:39,830 --> 00:22:46,150
+x ينتمي إلى a و absolute x minus c أصغر من delta
+
+185
+00:22:46,150 --> 00:22:54,850
+one أكبر من سفر فهذا بيقدي أن absolute f of x
+
+186
+00:22:54,850 --> 00:23:02,530
+minus l one أصغر من epsilon عتنين عشان الاستنتاج
+
+187
+00:23:02,530 --> 00:23:05,510
+هذا واحد
+
+188
+00:23:08,770 --> 00:23:13,810
+Also ايضا احنا
+
+189
+00:23:13,810 --> 00:23:20,610
+فرضين من ال limit لل function f of x as x tends to
+
+190
+00:23:20,610 --> 00:23:27,990
+c بساوي عدد تاني ال اتنين then
+
+191
+00:23:27,990 --> 00:23:35,650
+for the same for same epsilon اكبر من ستة نفس ال
+
+192
+00:23:35,650 --> 00:23:43,140
+epsilon يعنيلنفس الـ Epsilon بما أن limit ل F of X
+
+193
+00:23:43,140 --> 00:23:48,940
+and X بساوية C بساوية L2 نجد Delta 2 تعتمد على
+
+194
+00:23:48,940 --> 00:23:53,940
+Epsilon على 2 وبالتالي على Epsilon عدد موجد بحيث
+
+195
+00:23:53,940 --> 00:24:00,300
+أنه لو كان X ينتمي إلى A و Absolute X minus C أصغر
+
+196
+00:24:00,300 --> 00:24:07,350
+من Delta 2 أكبر من 0فهذا أكيد بيقدّي أنه absolute
+
+197
+00:24:07,350 --> 00:24:14,510
+f of x minus L2 أصغر من epsilon على 2 ال sum ال
+
+198
+00:24:14,510 --> 00:24:22,030
+implication هي D2 الآن بناخد .. بنعرف delta ل L
+
+199
+00:24:22,030 --> 00:24:31,230
+Delta بتساوي ال minimum ل delta واحد و delta اتنين
+
+200
+00:24:32,560 --> 00:24:37,340
+طبعا هذا بيطلع عدد
+
+201
+00:24:37,340 --> 00:24:43,200
+موجب لإن دلتا واحد ودلتا اتنين عدد موجب وكذلك دلتا
+
+202
+00:24:43,200 --> 00:24:46,200
+دي تعتمد على ابسلون لإن دلتا واحد ودلتا اتنين
+
+203
+00:24:46,200 --> 00:24:52,720
+يعتمدوا على ابسلون then
+
+204
+00:24:52,720 --> 00:24:55,860
+by
+
+205
+00:24:55,860 --> 00:25:07,520
+واحد and اتنيننحصل على التالي، لو كان x ينتقل إلى
+
+206
+00:25:07,520 --> 00:25:14,980
+a و absolute x minus c أصغر من delta أكبر من سفر
+
+207
+00:25:14,980 --> 00:25:26,590
+فهذا هيقدر أن absolute L1 minus L2بساوي absolute
+
+208
+00:25:26,590 --> 00:25:39,610
+L1 minus F of X زائد F of X minus L2 إذا انطلعت
+
+209
+00:25:39,610 --> 00:25:46,590
+أنا F of X ورجعتها فكأني ما جيرتش حاجة وهذا بيطلع
+
+210
+00:25:46,590 --> 00:25:50,460
+باستخدام ال triangle inequalityبالترائنجل الـ
+
+211
+00:25:50,460 --> 00:25:54,900
+equality لـ absolute value لمجموعة حاجتين أصغر من
+
+212
+00:25:54,900 --> 00:26:00,920
+لو يساوي absolute L1 minus F of X ذات absolute F
+
+213
+00:26:00,920 --> 00:26:07,980
+of X minus L2 الآن
+
+214
+00:26:07,980 --> 00:26:13,340
+باستخدام ال implication واحد، اللحظة أن الـ delta
+
+215
+00:26:13,340 --> 00:26:17,960
+هي ال minimum لـ delta واحد و delta اتنينوبالتالي
+
+216
+00:26:17,960 --> 00:26:24,340
+الـ delta هذه أصغر من delta واحد فحسب ال
+
+217
+00:26:24,340 --> 00:26:28,600
+implication واحد لما يكون x ينتمي ل a و absolute x
+
+218
+00:26:28,600 --> 00:26:33,800
+minus c أصغر من delta واحد فانا بقدم ال absolute
+
+219
+00:26:33,800 --> 00:26:40,460
+value هذه أصغر من y على 2 كذلك باستخدام ال
+
+220
+00:26:40,460 --> 00:26:45,060
+implication 2أنا عندي الـ delta هذه هي الـ minimum
+
+221
+00:26:45,060 --> 00:26:51,760
+لـ delta 1 و delta 2 وبالتالي أصغر من delta 2 فبال
+
+222
+00:26:51,760 --> 00:26:55,680
+implication 2 بتقول لو كان x ينتمي ل a و absolute
+
+223
+00:26:55,680 --> 00:27:00,320
+x minus c أصغر من delta 2 فال absolute value ل f
+
+224
+00:27:00,320 --> 00:27:07,500
+of x minus l2 less than epsilon over 2 هذا بيساوي
+
+225
+00:27:07,500 --> 00:27:16,080
+epsilonإذا أنا طلع عندي أثبتت أن absolute L1 minus
+
+226
+00:27:16,080 --> 00:27:22,540
+L2 أكبر من أبسلون طبعا أكيد أكبر من أو ساوى سفر و
+
+227
+00:27:22,540 --> 00:27:28,600
+الأن هذا صحيح لكل أبسلون أكبر من السفر لأن one
+
+228
+00:27:28,600 --> 00:27:34,500
+hand هنا ال epsilon was arbitrary givenالإبسلون
+
+229
+00:27:34,500 --> 00:27:38,660
+was arbitrarily يعني نقول since this holds for
+
+230
+00:27:38,660 --> 00:27:43,160
+every إبسلون في لمّة أخدناها في بداية ال course
+
+231
+00:27:43,160 --> 00:27:48,820
+بتقول لو في عندي عدد حفيفي a أكبر من أو ساوي سفر و
+
+232
+00:27:48,820 --> 00:27:53,940
+أصغر من إبسلون فإن إبسلون أكبر من السفر فهذا بيقدي
+
+233
+00:27:53,940 --> 00:28:00,160
+أن a بيساوي سفرأخد ايه هنا الـ absolute value ل L1
+
+234
+00:28:00,160 --> 00:28:09,140
+minus L2 فحسب النمة هذه هيطلع عندى هذا بقدر اللي
+
+235
+00:28:09,140 --> 00:28:15,600
+قدر انه absolute L1 minus L2 بالساوية سفر وبالتالي
+
+236
+00:28:15,600 --> 00:28:24,600
+بطلع عندى L1 بساوية L2 وهو المطلوبإذا أنا فرقت إن
+
+237
+00:28:24,600 --> 00:28:28,860
+الـ function إلها two limits عن نقطة فطلع الـ two
+
+238
+00:28:28,860 --> 00:28:32,680
+limits متساوياتين وبالتالي لو كانت الـ function
+
+239
+00:28:32,680 --> 00:28:37,240
+إلها limit عن نقطة فال limit تطلع وحيدة unique،
+
+240
+00:28:37,240 --> 00:28:43,200
+بقى ده؟ في أي سؤال أو أي سؤال على البرهانة؟
+
+241
+00:29:02,290 --> 00:29:15,590
+ناخد ملاحظة هنا الـ
+
+242
+00:29:15,590 --> 00:29:27,330
+epsilon delta definition of limit of a function f
+
+243
+00:29:27,330 --> 00:29:29,270
+from a to r
+
+244
+00:29:32,670 --> 00:29:40,250
+the inequality المتباينة
+
+245
+00:29:40,250 --> 00:29:48,030
+اللي هي absolute x minus c أكبر من سفر أصغر من
+
+246
+00:29:48,030 --> 00:29:58,470
+دولتان means حاجتين الجزء هذا معناه أن absolute x
+
+247
+00:29:58,470 --> 00:30:09,330
+minus c لا يساوى سفروبالتالي X لا يساوي C إذاً هذا
+
+248
+00:30:09,330 --> 00:30:17,870
+يعني أن X لا تساوي C المتباينة
+
+249
+00:30:17,870 --> 00:30:23,410
+التانية اللي هي absolute X minus C أصغر من Delta
+
+250
+00:30:23,410 --> 00:30:31,170
+هذه بتكافئ أن X minus C أصغر من Delta أكبر من ثالث
+
+251
+00:30:31,170 --> 00:30:39,850
+Delta صح؟وهذه بتكافئ أن X أكبر من C Negative Delta
+
+252
+00:30:39,850 --> 00:30:47,870
+أصغر من C زائد Delta وهذا معناه أن X تنتمي لـ
+
+253
+00:30:47,870 --> 00:30:56,450
+Delta Neverhood لـ C اللي هو الفترة اللي اتروها من
+
+254
+00:30:56,450 --> 00:30:59,410
+C Minus Delta ل C Plus Delta
+
+255
+00:31:06,690 --> 00:31:12,550
+إذا المتباينة دي معناها x لا تساوي c and x تنتمي
+
+256
+00:31:12,550 --> 00:31:18,190
+لل delta اللي برجود لل c اللي هو الفترة المفتوحة
+
+257
+00:31:18,190 --> 00:31:25,170
+من c سالم negative delta إلى c plus delta كذلك
+
+258
+00:31:25,170 --> 00:31:29,570
+المتباينة also
+
+259
+00:31:33,070 --> 00:31:37,490
+الإي نكواليتي المتباينة
+
+260
+00:31:37,490 --> 00:31:43,450
+اللي هي absolute f of x minus L أصغر من إبسلون
+
+261
+00:31:43,450 --> 00:31:46,490
+means
+
+262
+00:31:46,490 --> 00:31:52,830
+لو جينا الحل المتباينة هذه في f of x
+
+263
+00:32:05,840 --> 00:32:11,920
+فهي عندي f of x minus L أصغر من إبسلون أكبر من
+
+264
+00:32:11,920 --> 00:32:17,480
+سالم إبسلون حل المتباينة هذه في f of x اجمع L على
+
+265
+00:32:17,480 --> 00:32:24,880
+كل أطراف فبطلع f of x أصغر من L زاد إبسلون أكبر من
+
+266
+00:32:24,880 --> 00:32:33,940
+L ميجا تل إبسلون فهذا معناه أن f of xbelongs to
+
+267
+00:32:33,940 --> 00:32:38,520
+the epsilon neighborhood للعدد L اللي هو الفترة
+
+268
+00:32:38,520 --> 00:32:44,040
+المفتوحة from L negative epsilon إلى L plus
+
+269
+00:32:44,040 --> 00:32:57,040
+epsilon مظبوط؟ صحيح؟ وبالتالي إن هذا بيقود إلى
+
+270
+00:32:57,040 --> 00:32:59,780
+المتيجة التالية
+
+271
+00:33:06,460 --> 00:33:20,660
+دع الـ F تعمل من A إلى R وC مقاومة مقاومة من A
+
+272
+00:33:20,660 --> 00:33:32,220
+ثم التقالير ممتازة التقالير ممتازة
+
+273
+00:33:36,480 --> 00:33:43,660
+Limit f of x as x tends to c بساوية عدد delta اللي
+
+274
+00:33:43,660 --> 00:33:51,460
+هو تعريف epsilon delta هذا معناه أنه لكل epsilon
+
+275
+00:33:51,460 --> 00:33:57,640
+أكبر من السفر يوجد delta تعتمد على epsilon عدد
+
+276
+00:33:57,640 --> 00:33:58,180
+موجد
+
+277
+00:34:03,020 --> 00:34:10,300
+Such that لو كان x ينتمي ل a و absolute x minus c
+
+278
+00:34:10,300 --> 00:34:16,340
+أصغر من delta أكبر من ستر فهذا لازم يتضمن أن
+
+279
+00:34:16,340 --> 00:34:23,580
+absolute f of x minus L أصغر من أصغر يعني معنى أخر
+
+280
+00:34:23,580 --> 00:34:29,200
+L هي limit لل function f of x هو بتالي تعريف
+
+281
+00:34:29,200 --> 00:34:33,300
+epsilon delta متحقفالان هذا تعريف epsilon دلتا
+
+282
+00:34:33,300 --> 00:34:42,000
+بكاذب ال neverhood definition ال
+
+283
+00:34:42,000 --> 00:34:54,940
+neverhood definition of limit وهو
+
+284
+00:34:54,940 --> 00:34:57,720
+ان for every
+
+285
+00:35:02,320 --> 00:35:06,700
+for every epsilon
+
+286
+00:35:06,700 --> 00:35:12,480
+neighborhood V
+
+287
+00:35:12,480 --> 00:35:22,920
+epsilon of L there exists delta neighborhood V
+
+288
+00:35:22,920 --> 00:35:30,280
+delta of C بحيث
+
+289
+00:35:32,120 --> 00:35:46,700
+إن لو كانت X تنتمي إلى A ومختلفة عن الـC وموجودة
+
+290
+00:35:46,700 --> 00:35:53,200
+أيضًا في الـDelta نبرهود لـC فلازم هذا يقدر إن
+
+291
+00:35:53,200 --> 00:36:01,600
+صورة X لازم تنتمي للـY نبرهود لـA
+
+292
+00:36:06,140 --> 00:36:13,440
+و هذا بالظبط عملنا اخر remark، prove it
+
+293
+00:36:13,440 --> 00:36:19,240
+follows from
+
+294
+00:36:19,240 --> 00:36:32,800
+above remark write
+
+295
+00:36:32,800 --> 00:36:33,380
+it down
+
+296
+00:36:40,630 --> 00:36:44,690
+حاولوا تكتبوا البرهان، البرهان فسرناها هنا
+
+297
+00:36:44,690 --> 00:37:00,590
+واضحناها من ال remark خلينا نشوف خلينا
+
+298
+00:37:00,590 --> 00:37:10,530
+نرسم رسمها في المحور Xنحو الـ y وهي ال origin وخفض
+
+299
+00:37:10,530 --> 00:37:16,270
+انه يوجد function مثل هذه فهذا بالحقيقة function y
+
+300
+00:37:16,270 --> 00:37:23,070
+بسهولة f of x وهي c نقطة في المجال تبع الدالة او
+
+301
+00:37:23,070 --> 00:37:34,330
+حتى لو ماكنتش موجودة c is the cluster point وهي
+
+302
+00:37:34,330 --> 00:37:35,870
+هذا عدد حقيقي
+
+303
+00:37:38,510 --> 00:37:44,570
+فده عدد حقيقي فمعنى
+
+304
+00:37:44,570 --> 00:37:50,770
+ان limit لل F and X بالساوية C بالساوية L معناه
+
+305
+00:37:50,770 --> 00:37:57,210
+لأي أبسلون أكبر من السفر أي لأي أبسلون أكبر من
+
+306
+00:37:57,210 --> 00:38:24,500
+السفر ممكن أناأكول epsilon neighborhood لأي
+
+307
+00:38:24,500 --> 00:38:33,180
+epsilon أكبر من 0 يعني بقدر أكوّنإبسلون نبرهود
+
+308
+00:38:33,180 --> 00:38:37,660
+بإبسلون
+
+309
+00:38:37,660 --> 00:38:44,180
+لإل فلو كان هذا given given إبسلون يعني given
+
+310
+00:38:44,180 --> 00:38:52,920
+إبسلون نبرهود لإل بقدر أجيل
+
+311
+00:38:52,920 --> 00:38:56,200
+أرد عليه
+
+312
+00:39:01,810 --> 00:39:07,770
+الدلتا دلتا neighborhood هذا عبارة عن delta
+
+313
+00:39:07,770 --> 00:39:15,250
+neighborhood ل C إذا انا أخدت اعطتوني إبسلون بقدر
+
+314
+00:39:15,250 --> 00:39:20,570
+أكون إبسلون neighborhood ل L فبقدر أرد عليه ال
+
+315
+00:39:20,570 --> 00:39:24,110
+delta neighborhood ل C في الفترة المفتوحة هذه
+
+316
+00:39:25,810 --> 00:39:31,550
+بالتالي، إذا كان هناك مجتمع إبسلن لـL، فهناك مجتمع
+
+317
+00:39:31,550 --> 00:39:38,230
+Delta لـC أو هناك مجتمع Delta عدد موجب بحيث إن لو
+
+318
+00:39:38,230 --> 00:39:42,930
+كانت الـX موجودة في A، و المتباين هذا تتحقق، طب X
+
+319
+00:39:42,930 --> 00:39:47,550
+موجودة في A، و المتباين هذا تتحقق، معناته X موجودة
+
+320
+00:39:47,550 --> 00:39:51,990
+في A و مختلفة عن الـC، و X موجودة في الـDelta
+
+321
+00:39:51,990 --> 00:39:57,400
+neighborhoodهذه معناته X تنتمي لـA ومختلفة عن الـC
+
+322
+00:39:57,400 --> 00:40:02,480
+و X موجودة في الـDelta نبرهود هذا الشرط هذا بيقدّي
+
+323
+00:40:02,480 --> 00:40:08,760
+أن المتباين هذا تتحقق المتباين هذا تتحقق معناه أن
+
+324
+00:40:08,760 --> 00:40:14,840
+ال F of X صورة X تنتمي للـY نبرهود لـB فهو واضح أن
+
+325
+00:40:14,840 --> 00:40:20,020
+هذا التعريف بيقدّي للتعريف هذا باستخدام تفسير ال
+
+326
+00:40:20,020 --> 00:40:31,340
+remarkو العكس طبعا صحيح .. صحيح okay تمام؟ اذا هذا
+
+327
+00:40:31,340 --> 00:40:36,270
+بنسميه ال .. هذا التعريفبنسمي الـ neighborhood
+
+328
+00:40:36,270 --> 00:40:40,630
+definition للـ limit of a function والتعريف دا أو
+
+329
+00:40:40,630 --> 00:40:45,810
+هذا بنسمي الـ epsilon delta definition
+
+330
+00:40:45,810 --> 00:40:52,930
+of the limit of a function تمام؟ وهذا طبعا زي ال
+
+331
+00:40:52,930 --> 00:40:57,490
+epsilon capital N definition للlimit of a sequence
+
+332
+00:40:57,490 --> 00:41:00,870
+وبعد هي فكرين أعرفنا ال neighborhood definition
+
+333
+00:41:00,870 --> 00:41:05,640
+للlimit of a sequenceهذا يعني يكافئ الكلام اللي
+
+334
+00:41:05,640 --> 00:41:09,720
+هنا إذا الأن في عندي تعريفين لل limit of a
+
+335
+00:41:09,720 --> 00:41:14,060
+function at a point أو at a cluster point الدارش
+
+336
+00:41:14,060 --> 00:41:17,080
+التعريف اللي هنستخدمه أكتر هو epsilon delta
+
+337
+00:41:17,080 --> 00:41:23,580
+definition of the limit أكتر من ال neighborhood
+
+338
+00:41:23,580 --> 00:41:26,920
+definition لكن أنا ممنعش أن أنا في أوقات معينة
+
+339
+00:41:26,920 --> 00:41:30,560
+أستخدم ال neighborhood definition طيب ناخد بعض
+
+340
+00:41:30,560 --> 00:41:38,200
+الأمثلةعلى كيفية إثبات إن الـ limit لـ certain
+
+341
+00:41:38,200 --> 00:41:43,980
+function is a certain number by
+
+342
+00:41:43,980 --> 00:41:49,020
+using epsilon delta definition نشوف مع بعض، وهذا
+
+343
+00:41:49,020 --> 00:41:54,100
+يعني بوازي الكلام اللي عملناه بالنسبة لل limits of
+
+344
+00:41:54,100 --> 00:42:00,240
+sequencesفإذا هنا في الامثلة في كل الامثلة التالية
+
+345
+00:42:00,240 --> 00:42:04,500
+عايزين نستخدم ال definition of أو epsilon delta
+
+346
+00:42:04,500 --> 00:42:07,520
+definition أو ال neighborhood definition لل limit
+
+347
+00:42:07,520 --> 00:42:10,720
+of a function to prove إنه limit عن نقطة محددة
+
+348
+00:42:10,720 --> 00:42:18,760
+بساوي عدد محدد فمثلا إن نثبت إنه limit لدالة ثابت
+
+349
+00:42:18,760 --> 00:42:22,240
+B لما X تقولها C بساوي B
+
+350
+00:42:25,710 --> 00:42:30,410
+فلت هنا عندي فان الـ function تبعتي f of x بالساوي
+
+351
+00:42:30,410 --> 00:42:38,130
+ثابت بي لكل x تنتمي إلى R فان الـ function تبعتي
+
+352
+00:42:38,130 --> 00:42:43,130
+ده اللي ثابتة وبالتالي اذا هنا لثبات ان ال limit
+
+353
+00:42:43,130 --> 00:42:45,290
+تبعتها بالساوي بي
+
+354
+00:42:48,460 --> 00:42:50,340
+أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من
+
+355
+00:42:50,340 --> 00:42:50,340
+السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر
+
+356
+00:42:50,340 --> 00:42:50,500
+أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من
+
+357
+00:42:50,500 --> 00:42:51,200
+السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر
+
+358
+00:42:51,200 --> 00:42:52,980
+أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من
+
+359
+00:42:52,980 --> 00:42:53,500
+السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر
+
+360
+00:42:53,500 --> 00:42:54,560
+أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من
+
+361
+00:42:54,560 --> 00:42:55,760
+السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر
+
+362
+00:42:55,760 --> 00:43:05,680
+أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر
+
+363
+00:43:05,680 --> 00:43:06,180
+من السفر
+
+364
+00:43:18,680 --> 00:43:23,060
+تعالى نشوف ال implication ال delta هذه works ولا
+
+365
+00:43:23,060 --> 00:43:27,560
+لأ فانا عندي ان لو كانت ال X تنتمي ل A طبعا ال A
+
+366
+00:43:27,560 --> 00:43:31,700
+مجال الدالة هنا هو كل العدالة الحقيقية و absolute
+
+367
+00:43:31,700 --> 00:43:38,610
+X minus C أكبر من 0 أصغر من Deltaهل هذا بيقدر
+
+368
+00:43:38,610 --> 00:43:43,910
+لأبسليوت f of x minus b أصغر من إبسلون بالتأكيد
+
+369
+00:43:43,910 --> 00:43:48,910
+أنا عندي f of x بالساوي بيه سالب ال limit اللي هي
+
+370
+00:43:48,910 --> 00:43:55,090
+بيه فهذا بيطلع أبسليوت السفر بيطلع سفر والسفر هذا
+
+371
+00:43:55,090 --> 00:44:02,040
+أصغر من أي إبسلون موجةإذا حصلت تعريف Epsilon Delta
+
+372
+00:44:02,040 --> 00:44:06,560
+يعني أثبتت أنه لأي Epsilon أي Delta موجبة works
+
+373
+00:44:06,560 --> 00:44:10,580
+تعمل تعطيل ال implication وبالتالي by definition
+
+374
+00:44:10,580 --> 00:44:20,140
+limit F of X as X tends to C بساوي D طيب
+
+375
+00:44:20,140 --> 00:44:27,120
+ناخد كمان مثال لو أخدت ال identity function
+
+376
+00:44:34,810 --> 00:44:40,290
+بنثبت ان limit ده identity function لما x تقول الى
+
+377
+00:44:40,290 --> 00:44:47,110
+اي عدد حقيقى c بساوي c نستخدم
+
+378
+00:44:47,110 --> 00:44:52,310
+تعريف epsilon delta let epsilon أكبر من السفر be
+
+379
+00:44:52,310 --> 00:44:59,370
+given المرة هذه بدي ارد على ال epsilon هذه ال
+
+380
+00:44:59,370 --> 00:45:05,230
+delta تعتمد عليها هختار ال deltaبساول ابسلون
+
+381
+00:45:05,230 --> 00:45:10,430
+بيختار دلتا بساول ابسلون بيختار دلتا بساول ابسلون
+
+382
+00:45:10,430 --> 00:45:10,530
+بيختار دلتا بساول ابسلون بيختار دلتا بساول ابسلون
+
+383
+00:45:10,530 --> 00:45:12,470
+بيختار دلتا بساول ابسلون بيختار دلتا بساول ابسلون
+
+384
+00:45:12,470 --> 00:45:17,090
+بيختار دلتا بساول ابسلون بيختار دلتا بساول ابسلون
+
+385
+00:45:17,090 --> 00:45:19,890
+بيختار دلتا بساول ابسلون بيختار دلتا بساول ابسلون
+
+386
+00:45:19,890 --> 00:45:23,450
+بيختار دلتا بساول ابسلون بيختار دلتا بساول ابسلون
+
+387
+00:45:23,450 --> 00:45:29,320
+بيختار دلتا بساول ابسلون بيختار دلتهي عبارة عن ال
+
+388
+00:45:29,320 --> 00:45:33,500
+identity function لكل X المجال تبعها كل الأعداد
+
+389
+00:45:33,500 --> 00:45:40,060
+الحقيقية فلو كانت X تنتمي ل A اللي هي R و Absolute
+
+390
+00:45:40,060 --> 00:45:46,100
+X minus C أكبر من Zero أصغر من Delta فخلينا نشوف
+
+391
+00:45:46,100 --> 00:45:52,880
+هل بيطلع Absolute F of X minus ال L اللي هو C أصغر
+
+392
+00:45:52,880 --> 00:45:56,240
+من Epsilon هنشوف
+
+393
+00:45:57,800 --> 00:46:04,860
+طيب نعوض عن F of X بالساوي X minus C طب أنا عند ال
+
+394
+00:46:04,860 --> 00:46:10,320
+X هذه موجودة في R و المسافة بينها و مختلفة عن ال C
+
+395
+00:46:10,320 --> 00:46:13,880
+و المسافة بينهم أصغر من Delta اللي أنا باخدها
+
+396
+00:46:13,880 --> 00:46:19,420
+بالساوي Y إذا ال absolute X minus C من هنا أصغر من
+
+397
+00:46:19,420 --> 00:46:27,090
+Delta اللي هي Yوبالتالي درهين أثبتت أنه لأي إبسلون
+
+398
+00:46:27,090 --> 00:46:32,990
+يوجد دلتا اللي هي إبسلون نفسها بحيث لكل x في a إذا
+
+399
+00:46:32,990 --> 00:46:36,570
+كان absolute x minus c أكبر من صفر أصغر من دلتا
+
+400
+00:46:36,570 --> 00:46:40,490
+هذا بيقدر أن absolute f of x minus l أصغر من
+
+401
+00:46:40,490 --> 00:46:47,650
+إبسلون since إبسلون أكبر من الصفر was arbitrary
+
+402
+00:46:52,350 --> 00:47:00,830
+we get from the definition هذا الكلام صحيح لكل
+
+403
+00:47:00,830 --> 00:47:06,690
+epsilon وبالتالي by definition بطلع عندي limit ال
+
+404
+00:47:06,690 --> 00:47:10,430
+function f of x اللي هي ال identity function لما x
+
+405
+00:47:10,430 --> 00:47:19,750
+تقوى ل c بساوي c وهو المطلوب تمام okay إذا المرة
+
+406
+00:47:19,750 --> 00:47:27,480
+الجايةهنثبت ان limited ده لتربعية لما x او ل c
+
+407
+00:47:27,480 --> 00:47:33,280
+بساوي c تربية وهذا موجود طبعا في الكتاب وفي كمان
+
+408
+00:47:33,280 --> 00:47:37,780
+أمثلة أخرى فارجو أنكم تقرؤوا الأمثلة هذه من الكتاب
+
+409
+00:47:37,780 --> 00:47:44,350
+و تحضروها للمحاضرة الجايةوتشوفوا كيف تم استخدام
+
+410
+00:47:44,350 --> 00:47:49,410
+تعريف epsilon delta في اثبات ان ال limit لدالة زهر
+
+411
+00:47:49,410 --> 00:47:53,530
+الدالة التربعية بساوي C تربية عند اي نقطة C okay
+
+412
+00:47:53,530 --> 00:47:58,270
+تمام؟ في اي سؤال او افسار؟ اذا نكتفي بهذا القدر
+
+413
+00:47:58,270 --> 00:48:02,410
+وان شاء الله اللي انا تكمله في المحاضرة القادمة
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/7KfEZYA9kIA_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1592 @@
+1
+00:00:21,840 --> 00:00:28,120
+المحاضرة اللى فاتت بدينا في عرض بعض ال
+
+2
+00:00:28,120 --> 00:00:32,760
+applications of the soprano property و بعتقد ان
+
+3
+00:00:32,760 --> 00:00:37,680
+احنا اخدنا اول مثال اللى هو المثال هذا مظبوط
+
+4
+00:00:37,680 --> 00:00:40,980
+فقولنا
+
+5
+00:00:40,980 --> 00:00:46,160
+انه المثال هذا لو اخدت اى bounded set bounded
+
+6
+00:00:46,160 --> 00:00:56,150
+above وعرفت المجموع a زاد sبالطريقة هذه فأثبتنا
+
+7
+00:00:56,150 --> 00:01:00,770
+وممكن بسهولة أثبات أن ال supremum للمجموعة الجديدة
+
+8
+00:01:00,770 --> 00:01:09,870
+A plus S بتساوي A plus ال supremum ل S وشوفنا
+
+9
+00:01:09,870 --> 00:01:15,630
+البرهان بالتفصيل المرة اللي فاتت وكان هنا البرهان
+
+10
+00:01:15,630 --> 00:01:18,390
+بعتمد على أن ال 6 اللي bounded above
+
+11
+00:01:32,250 --> 00:01:36,230
+الست اس هى dependent above لإن السوبرمان تباعها
+
+12
+00:01:36,230 --> 00:01:42,940
+exist by the superman propertyوشوفنا بعد هيك أنه
+
+13
+00:01:42,940 --> 00:01:49,660
+ال .. العدد a زائد u بيطلع upper bound للست هذه و
+
+14
+00:01:49,660 --> 00:01:53,500
+بعدين أثبتنا أن هذا العدد هو أصغر upper bound أو
+
+15
+00:01:53,500 --> 00:01:59,320
+supremum للست هذه وبالتالي هيك بنكون أثبتنا أن
+
+16
+00:01:59,320 --> 00:02:03,760
+supremum للست هذه موجود و بيساوي العدد a زائد u
+
+17
+00:02:03,760 --> 00:02:09,420
+اللي هو a زائد supremum S المثال التاني
+
+18
+00:02:16,520 --> 00:02:20,320
+لو أخدت two functions المجال ال domain تبعهم
+
+19
+00:02:20,320 --> 00:02:25,300
+مجموعة D subset من R وكتبت
+
+20
+00:02:25,300 --> 00:02:29,280
+F of D علي أنها مجموعة كل العناصر F of X حيث و X
+
+21
+00:02:29,280 --> 00:02:34,400
+متملة D فال set F of D هذه هي ال range تبع ال
+
+22
+00:02:34,400 --> 00:02:39,120
+function F صح؟ هي المدى تبع ال function F و كذلك
+
+23
+00:02:39,120 --> 00:02:46,000
+ال set G of D هي ال range تبع ال function G
+
+24
+00:02:48,510 --> 00:02:53,250
+فلو فرضنا ان ال set f of d و ال set g of d bounded
+
+25
+00:02:53,250 --> 00:03:01,530
+set R فطبعا حسب ال supremum property المجموعات دول
+
+26
+00:03:01,530 --> 00:03:06,430
+كل واحدة لها supremum كذلك حسب ال infimum property
+
+27
+00:03:07,290 --> 00:03:11,050
+المجمعتين هذول كل واحدة فيهم إلها infimum، الـ
+
+28
+00:03:11,050 --> 00:03:15,350
+infimum تبعهم exist إذا نفرض إن المجمعتين هذول
+
+29
+00:03:15,350 --> 00:03:18,570
+bounded عشان إيه نضمن وجود ال suprem والinfimum
+
+30
+00:03:18,570 --> 00:03:26,450
+لكل واحدة منهم الآن في عندي بدي أبرن حاجة تانية لو
+
+31
+00:03:26,450 --> 00:03:31,930
+كان الفرض f of x أصغر من أو ساوي g of x بتحقق لكل
+
+32
+00:03:31,930 --> 00:03:38,040
+x ديفبطلع ال supremum للمجموعة F of D بطلع أصغر من
+
+33
+00:03:38,040 --> 00:03:44,660
+لو ساوي ال supremum للمجموعة G of D وبرهان هذا
+
+34
+00:03:44,660 --> 00:03:54,220
+البرهان يعني سهل أنا كاتب انه easy exercise لكن
+
+35
+00:03:54,220 --> 00:04:02,780
+ممكن تبرهنه ممكن تبرهنه كل سهولة فهي نكتب ال proof
+
+36
+00:04:06,320 --> 00:04:14,320
+of part one للجزء الأول فخلّينا
+
+37
+00:04:14,320 --> 00:04:19,400
+نثبت fix x
+
+38
+00:04:19,400 --> 00:04:29,400
+ينتمي إلى d ناخد عنصر x ينتمي إلى d عشوائي by
+
+39
+00:04:29,400 --> 00:04:31,240
+hypothesis من الفرض
+
+40
+00:04:33,710 --> 00:04:40,970
+من الفرض أنا عندي f of x أصغر من أو يساوي g of x
+
+41
+00:04:40,970 --> 00:04:52,470
+لل x هذه و لأي x دي صح هذا من الفرض و g of x g of
+
+42
+00:04:52,470 --> 00:05:00,550
+x أصغر من أو يساوي ال supremum لل set g of d
+
+43
+00:05:04,610 --> 00:05:14,410
+طبعا هذا زي ما قلنا exist by supremum property
+
+44
+00:05:14,410 --> 00:05:20,970
+باستخدام خاصية التمام ال
+
+45
+00:05:20,970 --> 00:05:26,910
+supremum .. هذا .. هذا عنصر في set هذا g of x عنصر
+
+46
+00:05:26,910 --> 00:05:32,550
+في set g of d صح؟وهذا upper bound ال suprem ل g of
+
+47
+00:05:32,550 --> 00:05:38,690
+d و هذا عنصر في ال 6 g of d فهذا أكيد أزم أو ساوي
+
+48
+00:05:38,690 --> 00:05:43,610
+ال upper bound لل 6 اللي بينتمي إليها فهذا صحيح
+
+49
+00:05:43,610 --> 00:05:56,610
+الآن هذا صحيح لكل x since x belonged to D was
+
+50
+00:05:56,610 --> 00:05:57,610
+arbitrarily
+
+51
+00:06:03,450 --> 00:06:10,110
+arbitrary ان ان بطلع اندي F of X أصغر من أو ساوي
+
+52
+00:06:10,110 --> 00:06:20,490
+ال supremum ل G of D وهذا صحيح لكل X في D هذا
+
+53
+00:06:20,490 --> 00:06:29,900
+معناه انه العدد هذاهذا العدد أكبر من أو ساوي كل
+
+54
+00:06:29,900 --> 00:06:36,960
+عناصر ال set F of D صح؟ هاي هذا معناه أن ال
+
+55
+00:06:36,960 --> 00:06:47,600
+supremum ل set G of D is an upper bound an upper
+
+56
+00:06:47,600 --> 00:06:50,860
+bound
+
+57
+00:06:50,860 --> 00:06:53,780
+لمين؟
+
+58
+00:06:54,920 --> 00:07:01,100
+of set f of d بصح؟
+
+59
+00:07:01,100 --> 00:07:07,040
+لأن هيكل أنصر f of x في f of d أصغر من أول ساول
+
+60
+00:07:07,040 --> 00:07:18,980
+عدد هذا، صح؟ طيب since ال supremum لset f of d
+
+61
+00:07:18,980 --> 00:07:25,890
+existin r طبعا برضه by supremum property لأن احنا
+
+62
+00:07:25,890 --> 00:07:31,890
+فرضين ان ال set هذه bounded صح فال supremum تبعها
+
+63
+00:07:31,890 --> 00:07:37,110
+موجود الآن ال set هذه ال supremum تبعها موجود
+
+64
+00:07:37,110 --> 00:07:42,750
+والعدد هذا هذا العدد عبارة عن upper bound ل set
+
+65
+00:07:42,750 --> 00:07:46,850
+إذا ما العلاقة بين ال upper bound هذا لل set وال
+
+66
+00:07:46,850 --> 00:07:53,650
+supremum لل setفي واحد اكبر من او ساوى التاني لان
+
+67
+00:07:53,650 --> 00:07:59,770
+بما ان هذا الكلام صحيح نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن
+
+68
+00:07:59,770 --> 00:08:01,050
+نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن
+
+69
+00:08:01,050 --> 00:08:01,350
+نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن
+
+70
+00:08:01,350 --> 00:08:04,050
+نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن
+
+71
+00:08:04,050 --> 00:08:05,880
+نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحنهذا
+
+72
+00:08:05,880 --> 00:08:10,820
+أصغر upper bound للست f of d وهذا upper bound للست
+
+73
+00:08:10,820 --> 00:08:15,440
+f of d إذا ال supremum بيطلع أصغر من أو ساوي ال
+
+74
+00:08:15,440 --> 00:08:22,480
+upper bound اللي هو supremum g of d وهو المطلوب
+
+75
+00:08:22,480 --> 00:08:29,800
+وهذا بثبت الجزء الأول okay تمام إذا الجزء الأول مش
+
+76
+00:08:29,800 --> 00:08:33,680
+صعب وهنا أثبتنا واضح
+
+77
+00:08:37,050 --> 00:08:42,310
+برهان الجزء التاني برضه شبيه فيه الجزء التاني، إيش
+
+78
+00:08:42,310 --> 00:08:47,510
+بيقول ليه؟ الفرض، لاحظوا الفرق بين الفرض تبع الجزء
+
+79
+00:08:47,510 --> 00:08:54,910
+التاني والجزء الأول الفرض
+
+80
+00:08:54,910 --> 00:09:00,210
+هنا إن f of x أصغر من أو ساوي g of y لكل x و y في
+
+81
+00:09:00,210 --> 00:09:00,450
+D
+
+82
+00:09:04,010 --> 00:09:09,170
+هذا أشمل وهذا أعمل من هذا وهذا أقوى لتاعتي لاحظوا
+
+83
+00:09:09,170 --> 00:09:14,690
+إنه لو هذا صح فهذا بيطلع صح اللي فور لكن الأكس مش
+
+84
+00:09:14,690 --> 00:09:18,430
+صحيح طيب
+
+85
+00:09:18,430 --> 00:09:22,130
+إذا .. إذا هذا الكلام صحيح فهذا بيقدي إن ال
+
+86
+00:09:22,130 --> 00:09:26,410
+supremum ل F of D بيطلع أصغر من أو ساوى الinfimum
+
+87
+00:09:26,410 --> 00:09:31,110
+لست G of D نشوف
+
+88
+00:09:31,110 --> 00:09:32,710
+ال .. نبرهن الكلام هذا
+
+89
+00:09:50,270 --> 00:10:02,090
+البرهان الجزء التاني البرهان
+
+90
+00:10:02,090 --> 00:10:05,030
+الجزء التاني هذا conditional statement هاي الفرض
+
+91
+00:10:05,030 --> 00:10:11,370
+وهي النتيجة ال conclusion فبنفرض ان الفرض هذا صحيح
+
+92
+00:10:11,370 --> 00:10:23,770
+و بنثبت يثبت يثبت أنصر Y في Dمن الفرض بيطلع عندي f
+
+93
+00:10:23,770 --> 00:10:29,530
+of x أصغر من أو ساوي g of y وهذا صحيح لكل x في دي
+
+94
+00:10:29,530 --> 00:10:38,280
+و ال y ثابت يعني هذا من الفرض صحيح لكل x في ديطيب،
+
+95
+00:10:38,280 --> 00:10:45,040
+الان هذا معناه ان العدد هذا g of y هي في y أنصة
+
+96
+00:10:45,040 --> 00:10:49,600
+ثابت هي أكبر .. هذا العدد أكبر من او ساوي كل ال F
+
+97
+00:10:49,600 --> 00:10:54,100
+of X لكل X دي معناه هذا upper bound لل set F of D
+
+98
+00:10:54,100 --> 00:10:59,020
+الان g of y عبارة عن upper bound لل set F of D من
+
+99
+00:10:59,020 --> 00:11:01,860
+هنا، مظبوط؟ تمام؟
+
+100
+00:11:04,040 --> 00:11:07,840
+وبالتالي ال least upper bound ل F of D بيطلع أصلا
+
+101
+00:11:07,840 --> 00:11:12,080
+أو ساوي ال upper bound ل F of D اللي هو G of Y لأن
+
+102
+00:11:12,080 --> 00:11:13,620
+هذه المتباينة صحيحة
+
+103
+00:11:18,050 --> 00:11:22,770
+اخترناها was arbitrary fixed احنا اخترناها عشوائي
+
+104
+00:11:22,770 --> 00:11:27,470
+arbitrary وثبتناها ان الكلام المتبين هذه الآن صحيح
+
+105
+00:11:27,470 --> 00:11:33,110
+لكل y ان المتبين هذه صحيحة true for every y في D
+
+106
+00:11:33,110 --> 00:11:39,510
+هذا معناه من المتبين هذه ال percentage انه العدد
+
+107
+00:11:39,510 --> 00:11:45,350
+ال supremum ل F of Dهذا عبارة عن lower bound
+
+108
+00:11:45,350 --> 00:11:51,030
+لمجموعة العناصر g of y حيث y ينتمي ل d يعني العدد
+
+109
+00:11:51,030 --> 00:11:58,210
+هذا عبارة عن lower bound للست g of d عظيم صح؟ طيب
+
+110
+00:11:58,210 --> 00:12:04,230
+ال inform ل g of d existو هذا العدد lower bound
+
+111
+00:12:04,230 --> 00:12:08,950
+للست هذه و ال infimum هذا عبارة عن ال greatest
+
+112
+00:12:08,950 --> 00:12:12,970
+lower bound ل G و D إذا ال greatest lower bound
+
+113
+00:12:12,970 --> 00:12:18,810
+دايما بيكون أكبر من أو يساوي أي lower bound إذا ال
+
+114
+00:12:18,810 --> 00:12:23,090
+lower bound هذا أصغر من أو يساوي ال greatest lower
+
+115
+00:12:23,090 --> 00:12:28,610
+bound ل G و D و هذا اللي هو هذا النتيجة اللي احنا
+
+116
+00:12:28,610 --> 00:12:34,800
+عايزين نصل لها okay تمامواضح؟ إذن هذا برهاني جزء
+
+117
+00:12:34,800 --> 00:12:48,220
+التاني الآن في ملاحظة الملاحظة هذه بتقول إنه يعني
+
+118
+00:12:48,220 --> 00:12:56,120
+ممكن طالبة طلعت تسأل أو تستفسر أو تتساءل طب ما هذا
+
+119
+00:12:56,120 --> 00:13:01,400
+الشرط تبين زي هذا مافيش فرق بينهمفاحنا بنقول لأ
+
+120
+00:13:01,400 --> 00:13:05,480
+هذا الشرط التحت أقوى من اللي فوق اللي تحت لو كان
+
+121
+00:13:05,480 --> 00:13:09,160
+التحت صحيح بيقدي للي فوق لكن لو كان اللي فوق صحيح
+
+122
+00:13:09,160 --> 00:13:14,300
+هذا ما بيقدي للي تحت هذا الشرط أقوى من اللي فوق
+
+123
+00:13:14,300 --> 00:13:20,240
+فممكن واحدة فيكم تسأل تقول طب لو احنا أخدنا الفرض
+
+124
+00:13:20,240 --> 00:13:24,840
+هذا لو فرضنا أن هذا الكلام صح هل ممكن نحصل على
+
+125
+00:13:24,840 --> 00:13:30,580
+نتيجة اللي تحتفالإجابة لأ، الإجابة لأ، هذا مش
+
+126
+00:13:30,580 --> 00:13:36,900
+ممكن، إذا ال .. لو شيلنا الفرض هذا و بدلناه بالفرض
+
+127
+00:13:36,900 --> 00:13:41,820
+اللي فوق فالنتيجة هذه لا يمكن نحصل عليها، مش شرط
+
+128
+00:13:41,820 --> 00:13:53,110
+تكونصحيحة او مثال يوضح انه لا يمكن استبدال الفرض
+
+129
+00:13:53,110 --> 00:13:58,610
+تبع الجزء التاني بالفرض تبع الجزء الأول ونحصل نحصل
+
+130
+00:13:58,610 --> 00:14:00,630
+على نتيجة الجزء التاني
+
+131
+00:14:12,790 --> 00:14:16,530
+فناخد على سبيل المثال او counterexample بيسميه في
+
+132
+00:14:16,530 --> 00:14:22,910
+رياضيات لو أخدت f of x بالساوي x تربية دالة تربية
+
+133
+00:14:22,910 --> 00:14:26,830
+و g of x ال identity function و أخدت ال domain
+
+134
+00:14:26,830 --> 00:14:30,950
+المشترك لf و g ال closed unit interval
+
+135
+00:14:34,300 --> 00:14:40,040
+فطبعا بنلاحظ أن f of x اللي هي x تربية لكل x في ال
+
+136
+00:14:40,040 --> 00:14:45,220
+closed unit interval x تربية أصغر من أو ساوى x،
+
+137
+00:14:45,220 --> 00:14:51,180
+مظبوط؟و X بيساوي G of X فهي في عندي ال two
+
+138
+00:14:51,180 --> 00:14:54,460
+functions هدول بالمناسبة ال two functions هدول
+
+139
+00:14:54,460 --> 00:14:59,220
+كلاهم كلاهم bounded bounded below by zero bounded
+
+140
+00:14:59,220 --> 00:15:08,940
+above by ال range تبعهم ال range تبعهم F of D و G
+
+141
+00:15:08,940 --> 00:15:14,900
+of D ك sets كمجموعات بطلوا subset من المجموعة من
+
+142
+00:15:14,900 --> 00:15:20,520
+السفر لواحدوبالتالي كلا هما bounded above by واحد
+
+143
+00:15:20,520 --> 00:15:27,000
+و bounded below by سفره إذن
+
+144
+00:15:27,000 --> 00:15:32,420
+هذه المجموعات هي bounded وهي عند ال function f of
+
+145
+00:15:32,420 --> 00:15:36,860
+x أصغر من أو ساوي g of x لكل x دي هذا الفرض تبع
+
+146
+00:15:36,860 --> 00:15:41,600
+الجزء واحد اللي شوفناه قبل شوية لكن النتيجة تبع
+
+147
+00:15:41,600 --> 00:15:45,560
+الجزء التالي لا تتحقق تعالى نشوف هي ال supremum ل
+
+148
+00:15:45,560 --> 00:15:52,190
+f of dهي مجموعة f of d الواحد
+
+149
+00:15:52,190 --> 00:15:56,430
+أكبر
+
+150
+00:15:56,430 --> 00:16:00,090
+من السفر السفر
+
+151
+00:16:00,090 --> 00:16:05,650
+برضه عبارة عن greatest lower bound أو الانفم من
+
+152
+00:16:05,650 --> 00:16:09,950
+المجموعة هذه واضح ان السفر lower bound للسفر هذه
+
+153
+00:16:09,950 --> 00:16:15,580
+وهو greatest lower boundإذاً هي عند الـ supremum
+
+154
+00:16:15,580 --> 00:16:20,220
+لـ F of D أكبر من الـ infimum لـ G of D وهذا نفي
+
+155
+00:16:20,220 --> 00:16:23,700
+نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة
+
+156
+00:16:23,700 --> 00:16:24,240
+نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة
+
+157
+00:16:24,240 --> 00:16:26,120
+نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة
+
+158
+00:16:26,120 --> 00:16:26,240
+نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة
+
+159
+00:16:26,240 --> 00:16:26,440
+نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة
+
+160
+00:16:26,440 --> 00:16:32,560
+نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة
+
+161
+00:16:49,380 --> 00:16:56,900
+كنتيجة على الـ completeness property في عندي نتيجة
+
+162
+00:16:56,900 --> 00:17:05,420
+كتير مهمة و هنستخدمها كتير معناها اللي هو ال
+
+163
+00:17:05,420 --> 00:17:10,120
+material اللي هناخدها لاحقا اللي هو ال Archimedean
+
+164
+00:17:10,120 --> 00:17:16,220
+property او خاصية Archimedes ايه الخاصية هذه بتقول
+
+165
+00:17:17,950 --> 00:17:23,890
+لأي عدد حقيقي x في عدد طبيعي أكبر منه، أعطيني أي
+
+166
+00:17:23,890 --> 00:17:29,650
+عدد حقيقي x سواء كان سفر أو موجب أو سالب، بقدر
+
+167
+00:17:29,650 --> 00:17:36,970
+أعطيكي عدد طبيعي أكبر منه أو بقدر أوجدلك عدد طبيعي
+
+168
+00:17:36,970 --> 00:17:42,760
+يكون أكبر منهالبرهان تبع النظرية هذه بيعتمد على
+
+169
+00:17:42,760 --> 00:17:47,040
+الـ completeness property فلبرهان ذلك نبدأ بالـ
+
+170
+00:17:47,040 --> 00:17:54,320
+Fix X في R ونثبتها ونعمل برهان بالتناقل نحن عايزين
+
+171
+00:17:54,320 --> 00:17:58,840
+نثبت أنه للـ Fix X اللي احنا ثبتناها يوجد
+
+172
+00:18:01,850 --> 00:18:07,810
+عايزين نثبت العبارة أن العبارة هذه تكون صحيحة يوجد
+
+173
+00:18:07,810 --> 00:18:12,430
+عدد طبيعي أكبر من X فبدا أعمل برهان بالتناقض بدا
+
+174
+00:18:12,430 --> 00:18:17,610
+أفرض أن نفي العبارة هذه هو الصح إذا ن assume ال
+
+175
+00:18:17,610 --> 00:18:21,030
+contrary أن نفي العبارة هذه الصح طب نفي العبارة
+
+176
+00:18:21,030 --> 00:18:27,750
+هذه الصح there exist ما بصير لكل N في Nعكس
+
+177
+00:18:27,750 --> 00:18:32,730
+المتباينة هذه اللي هو n أصغر من أو ساوي x إذن هنا
+
+178
+00:18:32,730 --> 00:18:37,550
+ال contrary أو النفي، نفي النتيجة هذه معناها أن كل
+
+179
+00:18:37,550 --> 00:18:44,610
+الأعداد الطبيعية أصغر من أو ساوي x هذا معناه أن ال
+
+180
+00:18:44,610 --> 00:18:51,230
+x هذا upper bound لست nوبالتالي الـ sit-in إلها
+
+181
+00:18:51,230 --> 00:18:54,850
+upper bound أو bounded above، إذا by the supremum
+
+182
+00:18:54,850 --> 00:19:00,590
+أو completeness of property، الـ sit-in بطلع يوجد
+
+183
+00:19:00,590 --> 00:19:04,970
+إلها supremum، الـ supremum تبعها exist and are،
+
+184
+00:19:04,970 --> 00:19:12,410
+سميه، فلينا نسميه you، فلينا نسميه you، تمام؟ في
+
+185
+00:19:12,410 --> 00:19:19,340
+لمة واحد اتناشلما واحدة اثناء عاش كده بتقول لو كان
+
+186
+00:19:19,340 --> 00:19:28,300
+U أو U بساوي ال superman لست S if and only if لكل
+
+187
+00:19:28,300 --> 00:19:35,920
+epsilon أكبر من الصفر نقدر نلاقي S epsilon في الست
+
+188
+00:19:35,920 --> 00:19:42,460
+S بحيث انه U سالب epsilon أصغر من S epsilon
+
+189
+00:19:45,010 --> 00:19:50,110
+طب اقل انا عندى فيه U بساوية Supremum ل N S بساوية
+
+190
+00:19:50,110 --> 00:19:55,450
+6 N كل الاعداد الطبيعية هى عندى Supremum ل N اللى
+
+191
+00:19:55,450 --> 00:20:01,890
+هو U exist اذا حسب لمّة واحد اتناش لو اخدت ابسلون
+
+192
+00:20:01,890 --> 00:20:06,670
+لو اخدت ابسلون بالساوية واحد هذا عدد موجب اذا لهذا
+
+193
+00:20:06,670 --> 00:20:11,690
+الابسلون بقدر الاقي عدد S epsilon هسمي M هنا بدل S
+
+194
+00:20:11,690 --> 00:20:16,930
+epsilon فى اللمةعدد طبيعي بحيث أنه لما أخد U minus
+
+195
+00:20:16,930 --> 00:20:20,670
+epsilon اللي هو الواحد هذا بيطلع أصغر من S epsilon
+
+196
+00:20:20,670 --> 00:20:25,050
+اللي هو M إذاً هذا نحصل عليه من لمّة واحدة واثنين
+
+197
+00:20:25,050 --> 00:20:30,870
+عشر طيب المتباين هذه ودي واحد نجري واحد علي مين
+
+198
+00:20:30,870 --> 00:20:35,010
+فبيطلع U أصغر من M زياد واحد طيب ال M عدد طبيعي
+
+199
+00:20:35,010 --> 00:20:40,130
+إذاً M زياد واحد عدد طبيعي صح؟ إذاً هذا M زياد
+
+200
+00:20:40,130 --> 00:20:47,360
+واحد عدد طبيعي وأكبر من Uو U قلنا ال U هو ال
+
+201
+00:20:47,360 --> 00:20:50,520
+supremum ل N يعني upper bound بيطلع upper bound ل
+
+202
+00:20:50,520 --> 00:20:55,860
+N فكيف U upper bound ل set N للعداد الطبيعية و في
+
+203
+00:20:55,860 --> 00:20:59,620
+عنصر في العداد الطبيعية أكبر منه لأن هذا بيديني
+
+204
+00:20:59,620 --> 00:21:06,380
+تناقض لكون U هو upper bound ل set للعداد الطبيعية
+
+205
+00:21:06,380 --> 00:21:13,060
+إذا وصلنا إلى تناقض وبالتالي هذا بكمل البرهانةإذا
+
+206
+00:21:13,060 --> 00:21:16,980
+الفرض تبعنا التناقض هذا تقول إن ال assumption
+
+207
+00:21:16,980 --> 00:21:24,720
+تبعنا هذا إن الكلام هذا صح كان خطر إذا الصح نفيه
+
+208
+00:21:24,720 --> 00:21:29,480
+اللي هو المطلوب okay تمام إذا هذه ال Archimedean
+
+209
+00:21:29,480 --> 00:21:35,460
+property هذه ال Archimedean property الآن ال
+
+210
+00:21:35,460 --> 00:21:39,580
+Archimedean property هذه أو خاصية Archimedes إلها
+
+211
+00:21:39,580 --> 00:21:45,520
+صور أخرى متعددةو هذه الصور هي موجودة في كوريلري
+
+212
+00:21:45,520 --> 00:21:50,700
+واحد ستة عشر اذا
+
+213
+00:21:50,700 --> 00:21:58,060
+النتيجة هذه في ان صور اخرى ل ال Archimedean
+
+214
+00:21:58,060 --> 00:22:06,500
+property ف
+
+215
+00:22:07,840 --> 00:22:11,520
+Alternative forms يعني صور أخرى لـArchimedean
+
+216
+00:22:11,520 --> 00:22:16,520
+property، let YUZ be positive real numbers، إذن
+
+217
+00:22:16,520 --> 00:22:19,760
+YUZ تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية المهمة
+
+218
+00:22:22,550 --> 00:22:28,990
+أول نتيجة يوجد n عدد طبيعي بحيث ان الـ z أصغر من n
+
+219
+00:22:28,990 --> 00:22:35,410
+مضروب في y إذا لو فيندي عددين حقيقين موجبين z وy
+
+220
+00:22:35,410 --> 00:22:39,790
+بقدر ألاقي عدد طبيعي بحيث ان ال z أصغر من n مضروب
+
+221
+00:22:39,790 --> 00:22:49,740
+في y كذلك لأي عدد حقيقي موجب yبقدر ألاقي عدد طبيعي
+
+222
+00:22:49,740 --> 00:22:54,740
+مقلوبه أصغر من العدد الموجب Y طبعا مقلوب العدد
+
+223
+00:22:54,740 --> 00:22:59,220
+الطبيعي دائما موجب كذلك
+
+224
+00:22:59,220 --> 00:23:04,820
+لأي عدد حقيقي موجب Z بقدر ألاقي عدد طبيعي بحيث أن
+
+225
+00:23:04,820 --> 00:23:09,920
+العدد الموجب Z أكبر من أو ساوي N سالب واحد وأصغر
+
+226
+00:23:09,920 --> 00:23:16,770
+من N إذن التلات خواص هدولةكل واحدة منهم بنسميها
+
+227
+00:23:16,770 --> 00:23:20,730
+Archimedean property أو صورة أخرى من ال
+
+228
+00:23:20,730 --> 00:23:25,590
+Archimedean property الجزء
+
+229
+00:23:25,590 --> 00:23:30,250
+الأخير هذا هو عبارة عن مثال وليس ال Archimedean
+
+230
+00:23:30,250 --> 00:23:37,810
+يعني هذا استثناء يعني مجرد set بالساوي ال sequence
+
+231
+00:23:37,810 --> 00:23:44,140
+واحد على nمتتالية العداد الحقيقية 1 على N حيث N
+
+232
+00:23:44,140 --> 00:23:49,540
+عدد طبيعي فال set هذه هنثبت أن ال infimum إلها هو
+
+233
+00:23:49,540 --> 00:23:59,860
+السفر طيب إذا نشوف و نثبت العزاء الأولى الجزء
+
+234
+00:23:59,860 --> 00:24:00,780
+الأول
+
+235
+00:24:06,710 --> 00:24:15,270
+الجزء A لإثبات الجزء A خلّينا نعرف X بساوي Z على Y
+
+236
+00:24:15,270 --> 00:24:19,930
+طبعا Z وY أعداد حقيقية موجبة إذن خارج قسمتهم أعداد
+
+237
+00:24:19,930 --> 00:24:26,090
+موجب إذن هذا عبارة عن عدد حقيقي موجب يعني ال X هذا
+
+238
+00:24:26,090 --> 00:24:33,170
+عبارة عن real number وموجب فحسب ال Archimedean
+
+239
+00:24:33,170 --> 00:24:42,860
+propertyلأي x عدد حقيقي يوجد عدد طبيعي أكبر من الـ
+
+240
+00:24:42,860 --> 00:24:48,000
+x إذا الـ x اللي أنا أخده z على y بقدر ألاقي عدد
+
+241
+00:24:48,000 --> 00:24:53,440
+طبيعي n أكبر منه يعني z على y أصغر من n لو ضربت
+
+242
+00:24:53,440 --> 00:25:01,550
+المتباينة هذه في yy عدد موجب فهيصير عندي z أصغر من
+
+243
+00:25:01,550 --> 00:25:08,110
+n في y وهذه هي النتيجة تبع الجزء الأول okay إذا
+
+244
+00:25:08,110 --> 00:25:13,270
+هيك يكون أثبتنا الجزء الأول واضح لإثبات الجزء
+
+245
+00:25:13,270 --> 00:25:19,410
+التاني لو أخدنا في الجزء الأول لو أخدت z بساوي
+
+246
+00:25:19,410 --> 00:25:30,500
+واحد فهيصير عندي واحد1 أصغر من n في y ال z هذا عدد
+
+247
+00:25:30,500 --> 00:25:35,780
+موجب فلو أخد ال z بالساعة واحد هذا عدد موجب فحسب
+
+248
+00:25:35,780 --> 00:25:41,420
+النتيجة a بيطلع عند z أصغر من n يوجد عدد طبيعي n
+
+249
+00:25:41,420 --> 00:25:48,080
+بحيث ان z أصغر من ny يعني 1 أصغر من ny الآن نضرب
+
+250
+00:25:48,080 --> 00:25:53,910
+في 1 على n 1 على n عدد موجب لو ضربنا الطرفينبالعدد
+
+251
+00:25:53,910 --> 00:25:57,850
+الموجة بواحد علينا بيطلع واحد علينا أصغر من Y وهذا
+
+252
+00:25:57,850 --> 00:26:01,330
+اللي احنا عايزينه تمام ان هذا برهان الجزء التاني
+
+253
+00:26:01,330 --> 00:26:14,310
+لبرهان الجزء التالت الجزء
+
+254
+00:26:14,310 --> 00:26:14,730
+C
+
+255
+00:26:18,400 --> 00:26:23,700
+بنثبت أنه لأي عدد حقيقي موجب Z فيه عدد طبيعي بحيث
+
+256
+00:26:23,700 --> 00:26:30,940
+أن Z محصورة بين N سارب واحد و M تمام نعرف الست EZ
+
+257
+00:26:30,940 --> 00:26:36,380
+على إنها كل الأعداد الطبيعية M اللي بتكون أكبر من
+
+258
+00:26:36,380 --> 00:26:46,880
+Z الآن هذه المجموعة غير خالية لأنه
+
+259
+00:26:51,070 --> 00:26:57,610
+لأن الـ z هذا عدد موجب وبالتالي في الآخر هو عدد
+
+260
+00:26:57,610 --> 00:27:01,950
+حقيقي فby Archimedean property
+
+261
+00:27:10,880 --> 00:27:17,220
+اللي هي 115 رقمها نظرية 115 بتقول أي عدد حقيقي z
+
+262
+00:27:17,220 --> 00:27:26,880
+يوجد عدد .. يوجد عدد طبيعي يوجد m في n بحيث ان z
+
+263
+00:27:26,880 --> 00:27:32,820
+أصغر من n اذا
+
+264
+00:27:32,820 --> 00:27:42,120
+المجموعة هذهعلى الأقل فيها وانصر واحد اللي هو الـ
+
+265
+00:27:42,120 --> 00:27:49,100
+M هذا او خليني اسميه MZ تمام
+
+266
+00:27:49,100 --> 00:27:58,000
+الـ Archimedean property تضمن انه للعدد Z هذا اللي
+
+267
+00:27:58,000 --> 00:28:05,100
+هو يعني احنا فرضين ان العدد موجبالـ set هذه بقدر
+
+268
+00:28:05,100 --> 00:28:10,460
+ألاقي عدد طبيعي MZ أكبر من Z وبالتالي المجموعة هذه
+
+269
+00:28:10,460 --> 00:28:15,580
+تحتوي تحتوي على العنصر هذا على الأقل لأن هذه
+
+270
+00:28:15,580 --> 00:28:22,720
+مجموعة جار خالية واضحة النقطة هذه؟ الآن في خاصية
+
+271
+00:28:22,720 --> 00:28:29,920
+الترتيب أو بنسميها ال will ordering propertyوهذه
+
+272
+00:28:29,920 --> 00:28:34,400
+في الحقيقة بتدرسها في نهاية في أخر chapter في
+
+273
+00:28:34,400 --> 00:28:40,640
+مبادئ رياضيات ال will ordering property بتقول ان
+
+274
+00:28:40,640 --> 00:28:46,240
+every non-empty subset of N has a least element
+
+275
+00:28:46,240 --> 00:28:51,020
+يعني أي مجموعة غير خالية من مجموعة الأعداد
+
+276
+00:28:51,020 --> 00:28:55,880
+الطبيعية لازم اللي جي لها least element لازم يكون
+
+277
+00:28:55,880 --> 00:29:00,520
+لها أصغر عنصريعني خدي انت على الجربة حتى خدي اي
+
+278
+00:29:00,520 --> 00:29:04,060
+مجموعة جزئية من العدالة الطبيعية هتجد ان فيها أنصر
+
+279
+00:29:04,060 --> 00:29:08,620
+فيها هو أصغر أنصر فهذا طبعا حسب ال will ordering
+
+280
+00:29:08,620 --> 00:29:12,880
+property يعني درس المبادئ و انا شخصيا لما بدرس
+
+281
+00:29:12,880 --> 00:29:16,400
+مبادئ بحاول يعني امر عليها او اعطيها حتى لو يعني
+
+282
+00:29:16,400 --> 00:29:21,620
+بصورة مختصرة بقرابش الناس التانية لما بدرسوا
+
+283
+00:29:21,620 --> 00:29:25,340
+المبادئ بعتقد ممكن موصلوش اليها لكن مش مشكلة هاي
+
+284
+00:29:25,340 --> 00:29:26,400
+نحن بنحكيلكم عنها
+
+285
+00:29:29,700 --> 00:29:35,480
+إذا هي عندي هذه عبارة عن subset من مجموعة الأعداد
+
+286
+00:29:35,480 --> 00:29:40,060
+الطبيعية و non-empty إذا لازم يكون في إلها least
+
+287
+00:29:40,060 --> 00:29:45,640
+element إذا بقدر ألاقي NZ في مجموعة الأعداد
+
+288
+00:29:45,640 --> 00:29:49,300
+الطبيعية و هذا ال NZ هو least element لل set هذه
+
+289
+00:29:49,300 --> 00:29:56,530
+الغير خالية okay تمامإذا هنا يوجد أنصر nz عدد
+
+290
+00:29:56,530 --> 00:30:02,390
+طبيعي وهذا العدد الطبيعي هو ال least element ل
+
+291
+00:30:02,390 --> 00:30:09,530
+easy طيب
+
+292
+00:30:09,530 --> 00:30:17,350
+الآن هذا أصغر أنصر في الست هذه يعني معناه nz لو
+
+293
+00:30:17,350 --> 00:30:25,080
+طرحت من nzطرحت منها واحد فطبعا هذا أصغر من NZ هذا
+
+294
+00:30:25,080 --> 00:30:34,920
+أصغر من NZ صح؟ مظبوط؟ و هذا أصغر أنصر لل set easy
+
+295
+00:30:34,920 --> 00:30:41,700
+هذا أصغر أنصر و هذا أصغر منه إذا هذا الأنصر مش
+
+296
+00:30:41,700 --> 00:30:49,690
+ممكن يكون موجود بال set easy صح؟لأن هذا أصغر من
+
+297
+00:30:49,690 --> 00:30:53,370
+أصغر
+
+298
+00:30:53,370 --> 00:30:59,410
+عنصر في ال set طيب،
+
+299
+00:30:59,410 --> 00:31:04,290
+معناه أن هذا نز سالب واحد ما هوش في ez
+
+300
+00:31:09,210 --> 00:31:13,650
+مدين هذا الأنصار مش موجود في set easy هذا هي
+
+301
+00:31:13,650 --> 00:31:21,730
+معناته بيحققش الصفة المميزة لل set easy متى
+
+302
+00:31:21,730 --> 00:31:27,210
+الانصار بيكون موجود هنا إذا بيحقق الصفة هذه أو
+
+303
+00:31:27,210 --> 00:31:30,390
+المتبينة هذه طب إذا كان الأنصار لا ينتمي لل set
+
+304
+00:31:30,390 --> 00:31:36,240
+معناته بيحققشالمتبينة دي بحقق ما فيها إذا هي بحقق
+
+305
+00:31:36,240 --> 00:31:43,740
+ما فيها هاي NZ-1 بدل ما يكون أكبر بصير أصغر من أو
+
+306
+00:31:43,740 --> 00:31:47,900
+يساوي ال Z إذا كون العنصر هذا مش موجود في EZ
+
+307
+00:31:47,900 --> 00:31:56,560
+معناته بيطلع أصغر من أو يساوي ال Z وال Z هو أصغر
+
+308
+00:31:56,560 --> 00:31:59,440
+عنصر لل set EZ
+
+309
+00:32:06,800 --> 00:32:16,820
+ف ال z أصغر من n احنا قلنا انه ال ..
+
+310
+00:32:16,820 --> 00:32:18,760
+او أصغر من ال nz
+
+311
+00:32:44,130 --> 00:32:50,890
+الان زي هذا انصر يعني
+
+312
+00:32:50,890 --> 00:32:57,270
+هذا بينتمي الى الست easy لأنه أصغر عنصر فيها
+
+313
+00:32:57,270 --> 00:33:06,070
+فينتمي إليها فان زي ينتمي ل easy معناته الان زي
+
+314
+00:33:06,070 --> 00:33:11,050
+هذا أكبر من ال z الان زي أكبر من ال z ومن هنا ان
+
+315
+00:33:11,050 --> 00:33:17,910
+زي سلب واحد مش موجود في easyفهو أصغر من أو يساوي
+
+316
+00:33:17,910 --> 00:33:24,290
+ال Z وبالتالي هيك بنكون أثبتنا المتباينة هذه اللي
+
+317
+00:33:24,290 --> 00:33:29,090
+هو اللي احنا عايزينه في الجزء C لأن هيك بنكون
+
+318
+00:33:29,090 --> 00:33:34,420
+كملنا برهان الجزء Cالأقل بالنسبة للجزء الأخير هذا
+
+319
+00:33:34,420 --> 00:33:42,460
+يعني عبارة عن ليس مش alternative form لل
+
+320
+00:33:42,460 --> 00:33:46,180
+Archimedean property ليس صورة أخرى لخاصية
+
+321
+00:33:46,180 --> 00:33:51,500
+Archimedean بس مجرد مثال، مجرد مثال أندي ست و الست
+
+322
+00:33:51,500 --> 00:33:56,290
+هذي boundedbounded above by one bounded below by
+
+323
+00:33:56,290 --> 00:34:02,570
+zero لبرهان
+
+324
+00:34:02,570 --> 00:34:12,350
+ذلك البرهان سهل نشوف
+
+325
+00:34:12,350 --> 00:34:12,950
+البرهان
+
+326
+00:34:29,410 --> 00:34:34,370
+كمان مرة ال set هذه هي عبارة عن .. نكتبها إيش هي
+
+327
+00:34:34,370 --> 00:34:37,710
+ال
+
+328
+00:34:37,710 --> 00:34:44,490
+set is عبارة عن ال set of all واحد على n حيث n is
+
+329
+00:34:44,490 --> 00:34:45,650
+natural number
+
+330
+00:34:51,720 --> 00:34:59,580
+واضح أن السفر أصغر من أو ساوي واحد على N لكل N
+
+331
+00:34:59,580 --> 00:35:11,180
+ينتمي إلى N صح؟ وبالتالي إذا zero is lower lower
+
+332
+00:35:11,180 --> 00:35:22,090
+bound لمين of set S وبالتالي ال infimumإذا it has
+
+333
+00:35:22,090 --> 00:35:25,890
+an infimum by the infimum property الـ infimum
+
+334
+00:35:25,890 --> 00:35:30,630
+property بتقول كل set bounded below بيكون ال في
+
+335
+00:35:30,630 --> 00:35:37,070
+إلها infimum say w بيساوي infimum s إذا هنا say
+
+336
+00:35:37,070 --> 00:35:41,290
+دعنا نسمي ال infimum هذا اللي إحنا ضمنين وجوده
+
+337
+00:35:41,290 --> 00:35:48,760
+باستخدام ال infimum property دعنا نسميه wتمام؟ إذا
+
+338
+00:35:48,760 --> 00:35:55,540
+ال .. ال w هذا هو أكبر .. هو أكبر lower bound لست
+
+339
+00:35:55,540 --> 00:36:02,640
+S و السفر lower bound إذا أكيد ال w أكبر من أوسعه
+
+340
+00:36:02,640 --> 00:36:09,100
+و سفر صح؟ السفر قلنا هايه lower bound لست و ال w
+
+341
+00:36:09,100 --> 00:36:11,960
+هو ال infimum اللي هو أكبر lower bound إذا ال w
+
+342
+00:36:11,960 --> 00:36:16,830
+أكبر من او .. أكبر من أوسعه و سفرطب احنا عايزين
+
+343
+00:36:16,830 --> 00:36:22,630
+نثبت .. احنا عايزين في النهاية نثبت ان الـ W هذا
+
+344
+00:36:22,630 --> 00:36:27,490
+اللي هو الـ infimum بساوء سفر هذا اللي عايزين
+
+345
+00:36:27,490 --> 00:36:33,570
+نثبته انا عندي W أكبر من أو ساوء سفر لكن انا بدي
+
+346
+00:36:33,570 --> 00:36:39,750
+أثبت ان الـ W بساوء سفر، تمام؟
+
+347
+00:36:39,750 --> 00:36:41,510
+فلإثبات ذلك
+
+348
+00:36:47,400 --> 00:36:54,780
+خلّينا ناخد أي إبسلون أكبر من السفر فحسب
+
+349
+00:36:54,780 --> 00:36:59,600
+الـ Archimedean property اللي هو الجزء بي المكافلة
+
+350
+00:36:59,600 --> 00:37:04,640
+Archimedean property لأي عدد موجة بإبسلون بقدر
+
+351
+00:37:04,640 --> 00:37:08,880
+ألاقي عدد طبيعي مقلوب وأصغر من إبسلون، صح؟ هذا
+
+352
+00:37:08,880 --> 00:37:12,000
+الجزء بي من النتيجة
+
+353
+00:37:14,540 --> 00:37:18,960
+إن أنا في عيندي هي 1 على n أصغر من epsilon يوجد
+
+354
+00:37:18,960 --> 00:37:24,760
+انها ده الطبيعي بحيث 1 على n أصغر من epsilon و 1
+
+355
+00:37:24,760 --> 00:37:30,700
+على n هده عنصر ال 1 على n هده عبارة عن عنصر في ال
+
+356
+00:37:30,700 --> 00:37:37,180
+6S و ال W هده lower bound إلها ال W هده هو ال
+
+357
+00:37:37,180 --> 00:37:44,890
+minimum لل 6Sو 1 على N عنصر في S إذا ال W بطلع
+
+358
+00:37:44,890 --> 00:37:48,490
+أصغر من أو ساوي أي عنصر في ال set لأنه lower bound
+
+359
+00:37:48,490 --> 00:37:53,830
+صح؟ و قبل شوية قلنا إن ال W هي U بس نتجنا إن ال W
+
+360
+00:37:53,830 --> 00:37:57,990
+اللي هو ال infimum أكبر من أو ساوي السفر اللي هو
+
+361
+00:37:57,990 --> 00:38:02,190
+lower bound وهذا أكبر lower bound الآن هذه ال
+
+362
+00:38:02,190 --> 00:38:06,850
+epsilon عشوائية إن الكلام هذا صحيح لكل epsilon
+
+363
+00:38:06,850 --> 00:38:13,170
+أكبر من السفرإذا في عندي نظرية واحد تمانية بتقول
+
+364
+00:38:13,170 --> 00:38:19,630
+ليه؟ كانت بتقول إن لو كان ال a عدد غير سالب و أصغر
+
+365
+00:38:19,630 --> 00:38:24,810
+من epsilon لكل epsilon أكبر من السفر فهذا بيقدي إن
+
+366
+00:38:24,810 --> 00:38:33,630
+a بساوي سفر، صح؟ هذه نظرية واحد تمانية، صح؟هي الـ
+
+367
+00:38:33,630 --> 00:38:39,230
+W التي هي الـ A أكبر من أو يساوي سفر وأصغر من
+
+368
+00:38:39,230 --> 00:38:44,590
+إبسلون لكل إبسلون عدد موجة فحسب النظرية هذه بيطلع
+
+369
+00:38:44,590 --> 00:38:50,590
+W بساوي سفر وهذا اللي احنا عايزين نثبته، تمام؟ إذن
+
+370
+00:38:50,590 --> 00:38:56,050
+هذا بيثبت أن الـ infimum للست دي أو لل sequence
+
+371
+00:38:56,050 --> 00:39:03,650
+واحد على N هو السفر، تمام؟وهنا استخدمنا في البرهان
+
+372
+00:39:03,650 --> 00:39:09,010
+الـ Archimedean property الصورة بيه من ال
+
+373
+00:39:09,010 --> 00:39:24,610
+Archimedean property في
+
+374
+00:39:24,610 --> 00:39:27,390
+النظرية هذه احنا أثبتنا قبل هيك
+
+375
+00:39:32,670 --> 00:39:41,530
+احنا أثبتنا سابقا في
+
+376
+00:39:41,530 --> 00:39:51,490
+السابق أث��تنا أنه في كان نظرية أو مثال بتقول أن
+
+377
+00:39:51,490 --> 00:39:55,550
+جذر 2 is not a rational number
+
+378
+00:39:58,290 --> 00:40:04,470
+أو العدد جدر اتنين is irrational نعم مظبوط فطبعا
+
+379
+00:40:04,470 --> 00:40:08,730
+في البرهان هذا اعتمدنا في البرهان على انه جدر
+
+380
+00:40:08,730 --> 00:40:12,850
+اتنين هذا عدد حقيقي يعني exist هو احد العداد
+
+381
+00:40:12,850 --> 00:40:20,950
+الحقيقية وفرضنا عملنا برهان غير مباشر فرضنا انه
+
+382
+00:40:20,950 --> 00:40:26,450
+جدر اتنين ينتمي ل Q او عدد نسبي ووصلنا الى تنظيم
+
+383
+00:40:26,450 --> 00:40:32,380
+تماماليوم بنرجع للوراء شوية و بنقول احنا هنا في
+
+384
+00:40:32,380 --> 00:40:36,220
+النظرية هذه في البرهان او في النظرية هذه افترضنا
+
+385
+00:40:36,220 --> 00:40:42,140
+جدلا او افترضنا مسبقا ان جدر اتنين هذا عدد حقيقي
+
+386
+00:40:42,140 --> 00:40:47,600
+اليوم هنرجع و نثبت ان existence of جدر اتنين يعني
+
+387
+00:40:47,600 --> 00:40:51,720
+جدر اتنين هذا بنثبت ان هو فعلا عدد حقيقي مش عدد
+
+388
+00:40:51,720 --> 00:40:53,040
+اخر مش عدد تقيم
+
+389
+00:40:55,660 --> 00:41:02,360
+فهذا يعني البرهان او
+
+390
+00:41:02,360 --> 00:41:05,560
+نظريها دي بالظبط بتقول انه جذر اتنين وعدد حقيقي
+
+391
+00:41:05,560 --> 00:41:14,760
+يعني يوجد عدد حقيقي موجب x ومربعه هو اتنين okay
+
+392
+00:41:16,030 --> 00:41:20,890
+فبرهان النظرية هذه يعني ممكن شوية طويل لكن موجود
+
+393
+00:41:20,890 --> 00:41:29,250
+عندكم بالتفصيل ويعني انجزة إلى أعزاء ويعني مش صعب
+
+394
+00:41:29,250 --> 00:41:35,490
+أنكم يعني تقرؤوا بمجتمعهم و تفهموه فأرجو أنكم
+
+395
+00:41:35,490 --> 00:41:39,990
+تقرؤوا البرهان و تحاولوا تفهموه و ممكن يعني المرة
+
+396
+00:41:39,990 --> 00:41:45,510
+الجاية ان شاء اللهنسأل نحاول نمر عليه او نحاول
+
+397
+00:41:45,510 --> 00:41:52,090
+نبره نقصر عليه، طبعا؟ اذا نكتفي بهذا القدر و نكمل
+
+398
+00:41:52,090 --> 00:41:53,230
+ان شاء الله المرة الجاية
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/7KfEZYA9kIA_raw.srt

@@ -0,0 +1,1592 @@
+1
+00:00:21,840 --> 00:00:28,120
+المحاضرة اللى فاتت بدينا في عرض بعض ال
+
+2
+00:00:28,120 --> 00:00:32,760
+applications of the soprano property و بعتقد ان
+
+3
+00:00:32,760 --> 00:00:37,680
+احنا اخدنا اول مثال اللى هو المثال هذا مظبوط
+
+4
+00:00:37,680 --> 00:00:40,980
+فقولنا
+
+5
+00:00:40,980 --> 00:00:46,160
+انه المثال هذا لو اخدت اى bounded set bounded
+
+6
+00:00:46,160 --> 00:00:56,150
+above وعرفت المجموع a زاد sبالطريقة هذه فأثبتنا
+
+7
+00:00:56,150 --> 00:01:00,770
+وممكن بسهولة أثبات أن ال supremum للمجموعة الجديدة
+
+8
+00:01:00,770 --> 00:01:09,870
+A plus S بتساوي A plus ال supremum ل S وشوفنا
+
+9
+00:01:09,870 --> 00:01:15,630
+البرهان بالتفصيل المرة اللي فاتت وكان هنا البرهان
+
+10
+00:01:15,630 --> 00:01:18,390
+بعتمد على أن ال 6 اللي bounded above
+
+11
+00:01:32,250 --> 00:01:36,230
+الست اس هى dependent above لإن السوبرمان تباعها
+
+12
+00:01:36,230 --> 00:01:42,940
+exist by the superman propertyوشوفنا بعد هيك أنه
+
+13
+00:01:42,940 --> 00:01:49,660
+ال .. العدد a زائد u بيطلع upper bound للست هذه و
+
+14
+00:01:49,660 --> 00:01:53,500
+بعدين أثبتنا أن هذا العدد هو أصغر upper bound أو
+
+15
+00:01:53,500 --> 00:01:59,320
+supremum للست هذه وبالتالي هيك بنكون أثبتنا أن
+
+16
+00:01:59,320 --> 00:02:03,760
+supremum للست هذه موجود و بيساوي العدد a زائد u
+
+17
+00:02:03,760 --> 00:02:09,420
+اللي هو a زائد supremum S المثال التاني
+
+18
+00:02:16,520 --> 00:02:20,320
+لو أخدت two functions المجال ال domain تبعهم
+
+19
+00:02:20,320 --> 00:02:25,300
+مجموعة D subset من R وكتبت
+
+20
+00:02:25,300 --> 00:02:29,280
+F of D علي أنها مجموعة كل العناصر F of X حيث و X
+
+21
+00:02:29,280 --> 00:02:34,400
+متملة D فال set F of D هذه هي ال range تبع ال
+
+22
+00:02:34,400 --> 00:02:39,120
+function F صح؟ هي المدى تبع ال function F و كذلك
+
+23
+00:02:39,120 --> 00:02:46,000
+ال set G of D هي ال range تبع ال function G
+
+24
+00:02:48,510 --> 00:02:53,250
+فلو فرضنا ان ال set f of d و ال set g of d bounded
+
+25
+00:02:53,250 --> 00:03:01,530
+set R فطبعا حسب ال supremum property المجموعات دول
+
+26
+00:03:01,530 --> 00:03:06,430
+كل واحدة لها supremum كذلك حسب ال infimum property
+
+27
+00:03:07,290 --> 00:03:11,050
+المجمعتين هذول كل واحدة فيهم إلها infimum، الـ
+
+28
+00:03:11,050 --> 00:03:15,350
+infimum تبعهم exist إذا نفرض إن المجمعتين هذول
+
+29
+00:03:15,350 --> 00:03:18,570
+bounded عشان إيه نضمن وجود ال suprem والinfimum
+
+30
+00:03:18,570 --> 00:03:26,450
+لكل واحدة منهم الآن في عندي بدي أبرن حاجة تانية لو
+
+31
+00:03:26,450 --> 00:03:31,930
+كان الفرض f of x أصغر من أو ساوي g of x بتحقق لكل
+
+32
+00:03:31,930 --> 00:03:38,040
+x ديفبطلع ال supremum للمجموعة F of D بطلع أصغر من
+
+33
+00:03:38,040 --> 00:03:44,660
+لو ساوي ال supremum للمجموعة G of D وبرهان هذا
+
+34
+00:03:44,660 --> 00:03:54,220
+البرهان يعني سهل أنا كاتب انه easy exercise لكن
+
+35
+00:03:54,220 --> 00:04:02,780
+ممكن تبرهنه ممكن تبرهنه كل سهولة فهي نكتب ال proof
+
+36
+00:04:06,320 --> 00:04:14,320
+of part one للجزء الأول فخلّينا
+
+37
+00:04:14,320 --> 00:04:19,400
+نثبت fix x
+
+38
+00:04:19,400 --> 00:04:29,400
+ينتمي إلى d ناخد عنصر x ينتمي إلى d عشوائي by
+
+39
+00:04:29,400 --> 00:04:31,240
+hypothesis من الفرض
+
+40
+00:04:33,710 --> 00:04:40,970
+من الفرض أنا عندي f of x أصغر من أو يساوي g of x
+
+41
+00:04:40,970 --> 00:04:52,470
+لل x هذه و لأي x دي صح هذا من الفرض و g of x g of
+
+42
+00:04:52,470 --> 00:05:00,550
+x أصغر من أو يساوي ال supremum لل set g of d
+
+43
+00:05:04,610 --> 00:05:14,410
+طبعا هذا زي ما قلنا exist by supremum property
+
+44
+00:05:14,410 --> 00:05:20,970
+باستخدام خاصية التمام ال
+
+45
+00:05:20,970 --> 00:05:26,910
+supremum .. هذا .. هذا عنصر في set هذا g of x عنصر
+
+46
+00:05:26,910 --> 00:05:32,550
+في set g of d صح؟وهذا upper bound ال suprem ل g of
+
+47
+00:05:32,550 --> 00:05:38,690
+d و هذا عنصر في ال 6 g of d فهذا أكيد أزم أو ساوي
+
+48
+00:05:38,690 --> 00:05:43,610
+ال upper bound لل 6 اللي بينتمي إليها فهذا صحيح
+
+49
+00:05:43,610 --> 00:05:56,610
+الآن هذا صحيح لكل x since x belonged to D was
+
+50
+00:05:56,610 --> 00:05:57,610
+arbitrarily
+
+51
+00:06:03,450 --> 00:06:10,110
+arbitrary ان ان بطلع اندي F of X أصغر من أو ساوي
+
+52
+00:06:10,110 --> 00:06:20,490
+ال supremum ل G of D وهذا صحيح لكل X في D هذا
+
+53
+00:06:20,490 --> 00:06:29,900
+معناه انه العدد هذاهذا العدد أكبر من أو ساوي كل
+
+54
+00:06:29,900 --> 00:06:36,960
+عناصر ال set F of D صح؟ هاي هذا معناه أن ال
+
+55
+00:06:36,960 --> 00:06:47,600
+supremum ل set G of D is an upper bound an upper
+
+56
+00:06:47,600 --> 00:06:50,860
+bound
+
+57
+00:06:50,860 --> 00:06:53,780
+لمين؟
+
+58
+00:06:54,920 --> 00:07:01,100
+of set f of d بصح؟
+
+59
+00:07:01,100 --> 00:07:07,040
+لأن هيكل أنصر f of x في f of d أصغر من أول ساول
+
+60
+00:07:07,040 --> 00:07:18,980
+عدد هذا، صح؟ طيب since ال supremum لset f of d
+
+61
+00:07:18,980 --> 00:07:25,890
+existin r طبعا برضه by supremum property لأن احنا
+
+62
+00:07:25,890 --> 00:07:31,890
+فرضين ان ال set هذه bounded صح فال supremum تبعها
+
+63
+00:07:31,890 --> 00:07:37,110
+موجود الآن ال set هذه ال supremum تبعها موجود
+
+64
+00:07:37,110 --> 00:07:42,750
+والعدد هذا هذا العدد عبارة عن upper bound ل set
+
+65
+00:07:42,750 --> 00:07:46,850
+إذا ما العلاقة بين ال upper bound هذا لل set وال
+
+66
+00:07:46,850 --> 00:07:53,650
+supremum لل setفي واحد اكبر من او ساوى التاني لان
+
+67
+00:07:53,650 --> 00:07:59,770
+بما ان هذا الكلام صحيح نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن
+
+68
+00:07:59,770 --> 00:08:01,050
+نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن
+
+69
+00:08:01,050 --> 00:08:01,350
+نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن
+
+70
+00:08:01,350 --> 00:08:04,050
+نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن
+
+71
+00:08:04,050 --> 00:08:05,880
+نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحنهذا
+
+72
+00:08:05,880 --> 00:08:10,820
+أصغر upper bound للست f of d وهذا upper bound للست
+
+73
+00:08:10,820 --> 00:08:15,440
+f of d إذا ال supremum بيطلع أصغر من أو ساوي ال
+
+74
+00:08:15,440 --> 00:08:22,480
+upper bound اللي هو supremum g of d وهو المطلوب
+
+75
+00:08:22,480 --> 00:08:29,800
+وهذا بثبت الجزء الأول okay تمام إذا الجزء الأول مش
+
+76
+00:08:29,800 --> 00:08:33,680
+صعب وهنا أثبتنا واضح
+
+77
+00:08:37,050 --> 00:08:42,310
+برهان الجزء التاني برضه شبيه فيه الجزء التاني، إيش
+
+78
+00:08:42,310 --> 00:08:47,510
+بيقول ليه؟ الفرض، لاحظوا الفرق بين الفرض تبع الجزء
+
+79
+00:08:47,510 --> 00:08:54,910
+التاني والجزء الأول الفرض
+
+80
+00:08:54,910 --> 00:09:00,210
+هنا إن f of x أصغر من أو ساوي g of y لكل x و y في
+
+81
+00:09:00,210 --> 00:09:00,450
+D
+
+82
+00:09:04,010 --> 00:09:09,170
+هذا أشمل وهذا أعمل من هذا وهذا أقوى لتاعتي لاحظوا
+
+83
+00:09:09,170 --> 00:09:14,690
+إنه لو هذا صح فهذا بيطلع صح اللي فور لكن الأكس مش
+
+84
+00:09:14,690 --> 00:09:18,430
+صحيح طيب
+
+85
+00:09:18,430 --> 00:09:22,130
+إذا .. إذا هذا الكلام صحيح فهذا بيقدي إن ال
+
+86
+00:09:22,130 --> 00:09:26,410
+supremum ل F of D بيطلع أصغر من أو ساوى الinfimum
+
+87
+00:09:26,410 --> 00:09:31,110
+لست G of D نشوف
+
+88
+00:09:31,110 --> 00:09:32,710
+ال .. نبرهن الكلام هذا
+
+89
+00:09:50,270 --> 00:10:02,090
+البرهان الجزء التاني البرهان
+
+90
+00:10:02,090 --> 00:10:05,030
+الجزء التاني هذا conditional statement هاي الفرض
+
+91
+00:10:05,030 --> 00:10:11,370
+وهي النتيجة ال conclusion فبنفرض ان الفرض هذا صحيح
+
+92
+00:10:11,370 --> 00:10:23,770
+و بنثبت يثبت يثبت أنصر Y في Dمن الفرض بيطلع عندي f
+
+93
+00:10:23,770 --> 00:10:29,530
+of x أصغر من أو ساوي g of y وهذا صحيح لكل x في دي
+
+94
+00:10:29,530 --> 00:10:38,280
+و ال y ثابت يعني هذا من الفرض صحيح لكل x في ديطيب،
+
+95
+00:10:38,280 --> 00:10:45,040
+الان هذا معناه ان العدد هذا g of y هي في y أنصة
+
+96
+00:10:45,040 --> 00:10:49,600
+ثابت هي أكبر .. هذا العدد أكبر من او ساوي كل ال F
+
+97
+00:10:49,600 --> 00:10:54,100
+of X لكل X دي معناه هذا upper bound لل set F of D
+
+98
+00:10:54,100 --> 00:10:59,020
+الان g of y عبارة عن upper bound لل set F of D من
+
+99
+00:10:59,020 --> 00:11:01,860
+هنا، مظبوط؟ تمام؟
+
+100
+00:11:04,040 --> 00:11:07,840
+وبالتالي ال least upper bound ل F of D بيطلع أصلا
+
+101
+00:11:07,840 --> 00:11:12,080
+أو ساوي ال upper bound ل F of D اللي هو G of Y لأن
+
+102
+00:11:12,080 --> 00:11:13,620
+هذه المتباينة صحيحة
+
+103
+00:11:18,050 --> 00:11:22,770
+اخترناها was arbitrary fixed احنا اخترناها عشوائي
+
+104
+00:11:22,770 --> 00:11:27,470
+arbitrary وثبتناها ان الكلام المتبين هذه الآن صحيح
+
+105
+00:11:27,470 --> 00:11:33,110
+لكل y ان المتبين هذه صحيحة true for every y في D
+
+106
+00:11:33,110 --> 00:11:39,510
+هذا معناه من المتبين هذه ال percentage انه العدد
+
+107
+00:11:39,510 --> 00:11:45,350
+ال supremum ل F of Dهذا عبارة عن lower bound
+
+108
+00:11:45,350 --> 00:11:51,030
+لمجموعة العناصر g of y حيث y ينتمي ل d يعني العدد
+
+109
+00:11:51,030 --> 00:11:58,210
+هذا عبارة عن lower bound للست g of d عظيم صح؟ طيب
+
+110
+00:11:58,210 --> 00:12:04,230
+ال inform ل g of d existو هذا العدد lower bound
+
+111
+00:12:04,230 --> 00:12:08,950
+للست هذه و ال infimum هذا عبارة عن ال greatest
+
+112
+00:12:08,950 --> 00:12:12,970
+lower bound ل G و D إذا ال greatest lower bound
+
+113
+00:12:12,970 --> 00:12:18,810
+دايما بيكون أكبر من أو يساوي أي lower bound إذا ال
+
+114
+00:12:18,810 --> 00:12:23,090
+lower bound هذا أصغر من أو يساوي ال greatest lower
+
+115
+00:12:23,090 --> 00:12:28,610
+bound ل G و D و هذا اللي هو هذا النتيجة اللي احنا
+
+116
+00:12:28,610 --> 00:12:34,800
+عايزين نصل لها okay تمامواضح؟ إذن هذا برهاني جزء
+
+117
+00:12:34,800 --> 00:12:48,220
+التاني الآن في ملاحظة الملاحظة هذه بتقول إنه يعني
+
+118
+00:12:48,220 --> 00:12:56,120
+ممكن طالبة طلعت تسأل أو تستفسر أو تتساءل طب ما هذا
+
+119
+00:12:56,120 --> 00:13:01,400
+الشرط تبين زي هذا مافيش فرق بينهمفاحنا بنقول لأ
+
+120
+00:13:01,400 --> 00:13:05,480
+هذا الشرط التحت أقوى من اللي فوق اللي تحت لو كان
+
+121
+00:13:05,480 --> 00:13:09,160
+التحت صحيح بيقدي للي فوق لكن لو كان اللي فوق صحيح
+
+122
+00:13:09,160 --> 00:13:14,300
+هذا ما بيقدي للي تحت هذا الشرط أقوى من اللي فوق
+
+123
+00:13:14,300 --> 00:13:20,240
+فممكن واحدة فيكم تسأل تقول طب لو احنا أخدنا الفرض
+
+124
+00:13:20,240 --> 00:13:24,840
+هذا لو فرضنا أن هذا الكلام صح هل ممكن نحصل على
+
+125
+00:13:24,840 --> 00:13:30,580
+نتيجة اللي تحتفالإجابة لأ، الإجابة لأ، هذا مش
+
+126
+00:13:30,580 --> 00:13:36,900
+ممكن، إذا ال .. لو شيلنا الفرض هذا و بدلناه بالفرض
+
+127
+00:13:36,900 --> 00:13:41,820
+اللي فوق فالنتيجة هذه لا يمكن نحصل عليها، مش شرط
+
+128
+00:13:41,820 --> 00:13:53,110
+تكونصحيحة او مثال يوضح انه لا يمكن استبدال الفرض
+
+129
+00:13:53,110 --> 00:13:58,610
+تبع الجزء التاني بالفرض تبع الجزء الأول ونحصل نحصل
+
+130
+00:13:58,610 --> 00:14:00,630
+على نتيجة الجزء التاني
+
+131
+00:14:12,790 --> 00:14:16,530
+فناخد على سبيل المثال او counterexample بيسميه في
+
+132
+00:14:16,530 --> 00:14:22,910
+رياضيات لو أخدت f of x بالساوي x تربية دالة تربية
+
+133
+00:14:22,910 --> 00:14:26,830
+و g of x ال identity function و أخدت ال domain
+
+134
+00:14:26,830 --> 00:14:30,950
+المشترك لf و g ال closed unit interval
+
+135
+00:14:34,300 --> 00:14:40,040
+فطبعا بنلاحظ أن f of x اللي هي x تربية لكل x في ال
+
+136
+00:14:40,040 --> 00:14:45,220
+closed unit interval x تربية أصغر من أو ساوى x،
+
+137
+00:14:45,220 --> 00:14:51,180
+مظبوط؟و X بيساوي G of X فهي في عندي ال two
+
+138
+00:14:51,180 --> 00:14:54,460
+functions هدول بالمناسبة ال two functions هدول
+
+139
+00:14:54,460 --> 00:14:59,220
+كلاهم كلاهم bounded bounded below by zero bounded
+
+140
+00:14:59,220 --> 00:15:08,940
+above by ال range تبعهم ال range تبعهم F of D و G
+
+141
+00:15:08,940 --> 00:15:14,900
+of D ك sets كمجموعات بطلوا subset من المجموعة من
+
+142
+00:15:14,900 --> 00:15:20,520
+السفر لواحدوبالتالي كلا هما bounded above by واحد
+
+143
+00:15:20,520 --> 00:15:27,000
+و bounded below by سفره إذن
+
+144
+00:15:27,000 --> 00:15:32,420
+هذه المجموعات هي bounded وهي عند ال function f of
+
+145
+00:15:32,420 --> 00:15:36,860
+x أصغر من أو ساوي g of x لكل x دي هذا الفرض تبع
+
+146
+00:15:36,860 --> 00:15:41,600
+الجزء واحد اللي شوفناه قبل شوية لكن النتيجة تبع
+
+147
+00:15:41,600 --> 00:15:45,560
+الجزء التالي لا تتحقق تعالى نشوف هي ال supremum ل
+
+148
+00:15:45,560 --> 00:15:52,190
+f of dهي مجموعة f of d الواحد
+
+149
+00:15:52,190 --> 00:15:56,430
+أكبر
+
+150
+00:15:56,430 --> 00:16:00,090
+من السفر السفر
+
+151
+00:16:00,090 --> 00:16:05,650
+برضه عبارة عن greatest lower bound أو الانفم من
+
+152
+00:16:05,650 --> 00:16:09,950
+المجموعة هذه واضح ان السفر lower bound للسفر هذه
+
+153
+00:16:09,950 --> 00:16:15,580
+وهو greatest lower boundإذاً هي عند الـ supremum
+
+154
+00:16:15,580 --> 00:16:20,220
+لـ F of D أكبر من الـ infimum لـ G of D وهذا نفي
+
+155
+00:16:20,220 --> 00:16:23,700
+نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة
+
+156
+00:16:23,700 --> 00:16:24,240
+نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة
+
+157
+00:16:24,240 --> 00:16:26,120
+نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة
+
+158
+00:16:26,120 --> 00:16:26,240
+نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة
+
+159
+00:16:26,240 --> 00:16:26,440
+نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة
+
+160
+00:16:26,440 --> 00:16:32,560
+نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة
+
+161
+00:16:49,380 --> 00:16:56,900
+كنتيجة على الـ completeness property في عندي نتيجة
+
+162
+00:16:56,900 --> 00:17:05,420
+كتير مهمة و هنستخدمها كتير معناها اللي هو ال
+
+163
+00:17:05,420 --> 00:17:10,120
+material اللي هناخدها لاحقا اللي هو ال Archimedean
+
+164
+00:17:10,120 --> 00:17:16,220
+property او خاصية Archimedes ايه الخاصية هذه بتقول
+
+165
+00:17:17,950 --> 00:17:23,890
+لأي عدد حقيقي x في عدد طبيعي أكبر منه، أعطيني أي
+
+166
+00:17:23,890 --> 00:17:29,650
+عدد حقيقي x سواء كان سفر أو موجب أو سالب، بقدر
+
+167
+00:17:29,650 --> 00:17:36,970
+أعطيكي عدد طبيعي أكبر منه أو بقدر أوجدلك عدد طبيعي
+
+168
+00:17:36,970 --> 00:17:42,760
+يكون أكبر منهالبرهان تبع النظرية هذه بيعتمد على
+
+169
+00:17:42,760 --> 00:17:47,040
+الـ completeness property فلبرهان ذلك نبدأ بالـ
+
+170
+00:17:47,040 --> 00:17:54,320
+Fix X في R ونثبتها ونعمل برهان بالتناقل نحن عايزين
+
+171
+00:17:54,320 --> 00:17:58,840
+نثبت أنه للـ Fix X اللي احنا ثبتناها يوجد
+
+172
+00:18:01,850 --> 00:18:07,810
+عايزين نثبت العبارة أن العبارة هذه تكون صحيحة يوجد
+
+173
+00:18:07,810 --> 00:18:12,430
+عدد طبيعي أكبر من X فبدا أعمل برهان بالتناقض بدا
+
+174
+00:18:12,430 --> 00:18:17,610
+أفرض أن نفي العبارة هذه هو الصح إذا ن assume ال
+
+175
+00:18:17,610 --> 00:18:21,030
+contrary أن نفي العبارة هذه الصح طب نفي العبارة
+
+176
+00:18:21,030 --> 00:18:27,750
+هذه الصح there exist ما بصير لكل N في Nعكس
+
+177
+00:18:27,750 --> 00:18:32,730
+المتباينة هذه اللي هو n أصغر من أو ساوي x إذن هنا
+
+178
+00:18:32,730 --> 00:18:37,550
+ال contrary أو النفي، نفي النتيجة هذه معناها أن كل
+
+179
+00:18:37,550 --> 00:18:44,610
+الأعداد الطبيعية أصغر من أو ساوي x هذا معناه أن ال
+
+180
+00:18:44,610 --> 00:18:51,230
+x هذا upper bound لست nوبالتالي الـ sit-in إلها
+
+181
+00:18:51,230 --> 00:18:54,850
+upper bound أو bounded above، إذا by the supremum
+
+182
+00:18:54,850 --> 00:19:00,590
+أو completeness of property، الـ sit-in بطلع يوجد
+
+183
+00:19:00,590 --> 00:19:04,970
+إلها supremum، الـ supremum تبعها exist and are،
+
+184
+00:19:04,970 --> 00:19:12,410
+سميه، فلينا نسميه you، فلينا نسميه you، تمام؟ في
+
+185
+00:19:12,410 --> 00:19:19,340
+لمة واحد اتناشلما واحدة اثناء عاش كده بتقول لو كان
+
+186
+00:19:19,340 --> 00:19:28,300
+U أو U بساوي ال superman لست S if and only if لكل
+
+187
+00:19:28,300 --> 00:19:35,920
+epsilon أكبر من الصفر نقدر نلاقي S epsilon في الست
+
+188
+00:19:35,920 --> 00:19:42,460
+S بحيث انه U سالب epsilon أصغر من S epsilon
+
+189
+00:19:45,010 --> 00:19:50,110
+طب اقل انا عندى فيه U بساوية Supremum ل N S بساوية
+
+190
+00:19:50,110 --> 00:19:55,450
+6 N كل الاعداد الطبيعية هى عندى Supremum ل N اللى
+
+191
+00:19:55,450 --> 00:20:01,890
+هو U exist اذا حسب لمّة واحد اتناش لو اخدت ابسلون
+
+192
+00:20:01,890 --> 00:20:06,670
+لو اخدت ابسلون بالساوية واحد هذا عدد موجب اذا لهذا
+
+193
+00:20:06,670 --> 00:20:11,690
+الابسلون بقدر الاقي عدد S epsilon هسمي M هنا بدل S
+
+194
+00:20:11,690 --> 00:20:16,930
+epsilon فى اللمةعدد طبيعي بحيث أنه لما أخد U minus
+
+195
+00:20:16,930 --> 00:20:20,670
+epsilon اللي هو الواحد هذا بيطلع أصغر من S epsilon
+
+196
+00:20:20,670 --> 00:20:25,050
+اللي هو M إذاً هذا نحصل عليه من لمّة واحدة واثنين
+
+197
+00:20:25,050 --> 00:20:30,870
+عشر طيب المتباين هذه ودي واحد نجري واحد علي مين
+
+198
+00:20:30,870 --> 00:20:35,010
+فبيطلع U أصغر من M زياد واحد طيب ال M عدد طبيعي
+
+199
+00:20:35,010 --> 00:20:40,130
+إذاً M زياد واحد عدد طبيعي صح؟ إذاً هذا M زياد
+
+200
+00:20:40,130 --> 00:20:47,360
+واحد عدد طبيعي وأكبر من Uو U قلنا ال U هو ال
+
+201
+00:20:47,360 --> 00:20:50,520
+supremum ل N يعني upper bound بيطلع upper bound ل
+
+202
+00:20:50,520 --> 00:20:55,860
+N فكيف U upper bound ل set N للعداد الطبيعية و في
+
+203
+00:20:55,860 --> 00:20:59,620
+عنصر في العداد الطبيعية أكبر منه لأن هذا بيديني
+
+204
+00:20:59,620 --> 00:21:06,380
+تناقض لكون U هو upper bound ل set للعداد الطبيعية
+
+205
+00:21:06,380 --> 00:21:13,060
+إذا وصلنا إلى تناقض وبالتالي هذا بكمل البرهانةإذا
+
+206
+00:21:13,060 --> 00:21:16,980
+الفرض تبعنا التناقض هذا تقول إن ال assumption
+
+207
+00:21:16,980 --> 00:21:24,720
+تبعنا هذا إن الكلام هذا صح كان خطر إذا الصح نفيه
+
+208
+00:21:24,720 --> 00:21:29,480
+اللي هو المطلوب okay تمام إذا هذه ال Archimedean
+
+209
+00:21:29,480 --> 00:21:35,460
+property هذه ال Archimedean property الآن ال
+
+210
+00:21:35,460 --> 00:21:39,580
+Archimedean property هذه أو خاصية Archimedes إلها
+
+211
+00:21:39,580 --> 00:21:45,520
+صور أخرى متعددةو هذه الصور هي موجودة في كوريلري
+
+212
+00:21:45,520 --> 00:21:50,700
+واحد ستة عشر اذا
+
+213
+00:21:50,700 --> 00:21:58,060
+النتيجة هذه في ان صور اخرى ل ال Archimedean
+
+214
+00:21:58,060 --> 00:22:06,500
+property ف
+
+215
+00:22:07,840 --> 00:22:11,520
+Alternative forms يعني صور أخرى لـArchimedean
+
+216
+00:22:11,520 --> 00:22:16,520
+property، let YUZ be positive real numbers، إذن
+
+217
+00:22:16,520 --> 00:22:19,760
+YUZ تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية المهمة
+
+218
+00:22:22,550 --> 00:22:28,990
+أول نتيجة يوجد n عدد طبيعي بحيث ان الـ z أصغر من n
+
+219
+00:22:28,990 --> 00:22:35,410
+مضروب في y إذا لو فيندي عددين حقيقين موجبين z وy
+
+220
+00:22:35,410 --> 00:22:39,790
+بقدر ألاقي عدد طبيعي بحيث ان ال z أصغر من n مضروب
+
+221
+00:22:39,790 --> 00:22:49,740
+في y كذلك لأي عدد حقيقي موجب yبقدر ألاقي عدد طبيعي
+
+222
+00:22:49,740 --> 00:22:54,740
+مقلوبه أصغر من العدد الموجب Y طبعا مقلوب العدد
+
+223
+00:22:54,740 --> 00:22:59,220
+الطبيعي دائما موجب كذلك
+
+224
+00:22:59,220 --> 00:23:04,820
+لأي عدد حقيقي موجب Z بقدر ألاقي عدد طبيعي بحيث أن
+
+225
+00:23:04,820 --> 00:23:09,920
+العدد الموجب Z أكبر من أو ساوي N سالب واحد وأصغر
+
+226
+00:23:09,920 --> 00:23:16,770
+من N إذن التلات خواص هدولةكل واحدة منهم بنسميها
+
+227
+00:23:16,770 --> 00:23:20,730
+Archimedean property أو صورة أخرى من ال
+
+228
+00:23:20,730 --> 00:23:25,590
+Archimedean property الجزء
+
+229
+00:23:25,590 --> 00:23:30,250
+الأخير هذا هو عبارة عن مثال وليس ال Archimedean
+
+230
+00:23:30,250 --> 00:23:37,810
+يعني هذا استثناء يعني مجرد set بالساوي ال sequence
+
+231
+00:23:37,810 --> 00:23:44,140
+واحد على nمتتالية العداد الحقيقية 1 على N حيث N
+
+232
+00:23:44,140 --> 00:23:49,540
+عدد طبيعي فال set هذه هنثبت أن ال infimum إلها هو
+
+233
+00:23:49,540 --> 00:23:59,860
+السفر طيب إذا نشوف و نثبت العزاء الأولى الجزء
+
+234
+00:23:59,860 --> 00:24:00,780
+الأول
+
+235
+00:24:06,710 --> 00:24:15,270
+الجزء A لإثبات الجزء A خلّينا نعرف X بساوي Z على Y
+
+236
+00:24:15,270 --> 00:24:19,930
+طبعا Z وY أعداد حقيقية موجبة إذن خارج قسمتهم أعداد
+
+237
+00:24:19,930 --> 00:24:26,090
+موجب إذن هذا عبارة عن عدد حقيقي موجب يعني ال X هذا
+
+238
+00:24:26,090 --> 00:24:33,170
+عبارة عن real number وموجب فحسب ال Archimedean
+
+239
+00:24:33,170 --> 00:24:42,860
+propertyلأي x عدد حقيقي يوجد عدد طبيعي أكبر من الـ
+
+240
+00:24:42,860 --> 00:24:48,000
+x إذا الـ x اللي أنا أخده z على y بقدر ألاقي عدد
+
+241
+00:24:48,000 --> 00:24:53,440
+طبيعي n أكبر منه يعني z على y أصغر من n لو ضربت
+
+242
+00:24:53,440 --> 00:25:01,550
+المتباينة هذه في yy عدد موجب فهيصير عندي z أصغر من
+
+243
+00:25:01,550 --> 00:25:08,110
+n في y وهذه هي النتيجة تبع الجزء الأول okay إذا
+
+244
+00:25:08,110 --> 00:25:13,270
+هيك يكون أثبتنا الجزء الأول واضح لإثبات الجزء
+
+245
+00:25:13,270 --> 00:25:19,410
+التاني لو أخدنا في الجزء الأول لو أخدت z بساوي
+
+246
+00:25:19,410 --> 00:25:30,500
+واحد فهيصير عندي واحد1 أصغر من n في y ال z هذا عدد
+
+247
+00:25:30,500 --> 00:25:35,780
+موجب فلو أخد ال z بالساعة واحد هذا عدد موجب فحسب
+
+248
+00:25:35,780 --> 00:25:41,420
+النتيجة a بيطلع عند z أصغر من n يوجد عدد طبيعي n
+
+249
+00:25:41,420 --> 00:25:48,080
+بحيث ان z أصغر من ny يعني 1 أصغر من ny الآن نضرب
+
+250
+00:25:48,080 --> 00:25:53,910
+في 1 على n 1 على n عدد موجب لو ضربنا الطرفينبالعدد
+
+251
+00:25:53,910 --> 00:25:57,850
+الموجة بواحد علينا بيطلع واحد علينا أصغر من Y وهذا
+
+252
+00:25:57,850 --> 00:26:01,330
+اللي احنا عايزينه تمام ان هذا برهان الجزء التاني
+
+253
+00:26:01,330 --> 00:26:14,310
+لبرهان الجزء التالت الجزء
+
+254
+00:26:14,310 --> 00:26:14,730
+C
+
+255
+00:26:18,400 --> 00:26:23,700
+بنثبت أنه لأي عدد حقيقي موجب Z فيه عدد طبيعي بحيث
+
+256
+00:26:23,700 --> 00:26:30,940
+أن Z محصورة بين N سارب واحد و M تمام نعرف الست EZ
+
+257
+00:26:30,940 --> 00:26:36,380
+على إنها كل الأعداد الطبيعية M اللي بتكون أكبر من
+
+258
+00:26:36,380 --> 00:26:46,880
+Z الآن هذه المجموعة غير خالية لأنه
+
+259
+00:26:51,070 --> 00:26:57,610
+لأن الـ z هذا عدد موجب وبالتالي في الآخر هو عدد
+
+260
+00:26:57,610 --> 00:27:01,950
+حقيقي فby Archimedean property
+
+261
+00:27:10,880 --> 00:27:17,220
+اللي هي 115 رقمها نظرية 115 بتقول أي عدد حقيقي z
+
+262
+00:27:17,220 --> 00:27:26,880
+يوجد عدد .. يوجد عدد طبيعي يوجد m في n بحيث ان z
+
+263
+00:27:26,880 --> 00:27:32,820
+أصغر من n اذا
+
+264
+00:27:32,820 --> 00:27:42,120
+المجموعة هذهعلى الأقل فيها وانصر واحد اللي هو الـ
+
+265
+00:27:42,120 --> 00:27:49,100
+M هذا او خليني اسميه MZ تمام
+
+266
+00:27:49,100 --> 00:27:58,000
+الـ Archimedean property تضمن انه للعدد Z هذا اللي
+
+267
+00:27:58,000 --> 00:28:05,100
+هو يعني احنا فرضين ان العدد موجبالـ set هذه بقدر
+
+268
+00:28:05,100 --> 00:28:10,460
+ألاقي عدد طبيعي MZ أكبر من Z وبالتالي المجموعة هذه
+
+269
+00:28:10,460 --> 00:28:15,580
+تحتوي تحتوي على العنصر هذا على الأقل لأن هذه
+
+270
+00:28:15,580 --> 00:28:22,720
+مجموعة جار خالية واضحة النقطة هذه؟ الآن في خاصية
+
+271
+00:28:22,720 --> 00:28:29,920
+الترتيب أو بنسميها ال will ordering propertyوهذه
+
+272
+00:28:29,920 --> 00:28:34,400
+في الحقيقة بتدرسها في نهاية في أخر chapter في
+
+273
+00:28:34,400 --> 00:28:40,640
+مبادئ رياضيات ال will ordering property بتقول ان
+
+274
+00:28:40,640 --> 00:28:46,240
+every non-empty subset of N has a least element
+
+275
+00:28:46,240 --> 00:28:51,020
+يعني أي مجموعة غير خالية من مجموعة الأعداد
+
+276
+00:28:51,020 --> 00:28:55,880
+الطبيعية لازم اللي جي لها least element لازم يكون
+
+277
+00:28:55,880 --> 00:29:00,520
+لها أصغر عنصريعني خدي انت على الجربة حتى خدي اي
+
+278
+00:29:00,520 --> 00:29:04,060
+مجموعة جزئية من العدالة الطبيعية هتجد ان فيها أنصر
+
+279
+00:29:04,060 --> 00:29:08,620
+فيها هو أصغر أنصر فهذا طبعا حسب ال will ordering
+
+280
+00:29:08,620 --> 00:29:12,880
+property يعني درس المبادئ و انا شخصيا لما بدرس
+
+281
+00:29:12,880 --> 00:29:16,400
+مبادئ بحاول يعني امر عليها او اعطيها حتى لو يعني
+
+282
+00:29:16,400 --> 00:29:21,620
+بصورة مختصرة بقرابش الناس التانية لما بدرسوا
+
+283
+00:29:21,620 --> 00:29:25,340
+المبادئ بعتقد ممكن موصلوش اليها لكن مش مشكلة هاي
+
+284
+00:29:25,340 --> 00:29:26,400
+نحن بنحكيلكم عنها
+
+285
+00:29:29,700 --> 00:29:35,480
+إذا هي عندي هذه عبارة عن subset من مجموعة الأعداد
+
+286
+00:29:35,480 --> 00:29:40,060
+الطبيعية و non-empty إذا لازم يكون في إلها least
+
+287
+00:29:40,060 --> 00:29:45,640
+element إذا بقدر ألاقي NZ في مجموعة الأعداد
+
+288
+00:29:45,640 --> 00:29:49,300
+الطبيعية و هذا ال NZ هو least element لل set هذه
+
+289
+00:29:49,300 --> 00:29:56,530
+الغير خالية okay تمامإذا هنا يوجد أنصر nz عدد
+
+290
+00:29:56,530 --> 00:30:02,390
+طبيعي وهذا العدد الطبيعي هو ال least element ل
+
+291
+00:30:02,390 --> 00:30:09,530
+easy طيب
+
+292
+00:30:09,530 --> 00:30:17,350
+الآن هذا أصغر أنصر في الست هذه يعني معناه nz لو
+
+293
+00:30:17,350 --> 00:30:25,080
+طرحت من nzطرحت منها واحد فطبعا هذا أصغر من NZ هذا
+
+294
+00:30:25,080 --> 00:30:34,920
+أصغر من NZ صح؟ مظبوط؟ و هذا أصغر أنصر لل set easy
+
+295
+00:30:34,920 --> 00:30:41,700
+هذا أصغر أنصر و هذا أصغر منه إذا هذا الأنصر مش
+
+296
+00:30:41,700 --> 00:30:49,690
+ممكن يكون موجود بال set easy صح؟لأن هذا أصغر من
+
+297
+00:30:49,690 --> 00:30:53,370
+أصغر
+
+298
+00:30:53,370 --> 00:30:59,410
+عنصر في ال set طيب،
+
+299
+00:30:59,410 --> 00:31:04,290
+معناه أن هذا نز سالب واحد ما هوش في ez
+
+300
+00:31:09,210 --> 00:31:13,650
+مدين هذا الأنصار مش موجود في set easy هذا هي
+
+301
+00:31:13,650 --> 00:31:21,730
+معناته بيحققش الصفة المميزة لل set easy متى
+
+302
+00:31:21,730 --> 00:31:27,210
+الانصار بيكون موجود هنا إذا بيحقق الصفة هذه أو
+
+303
+00:31:27,210 --> 00:31:30,390
+المتبينة هذه طب إذا كان الأنصار لا ينتمي لل set
+
+304
+00:31:30,390 --> 00:31:36,240
+معناته بيحققشالمتبينة دي بحقق ما فيها إذا هي بحقق
+
+305
+00:31:36,240 --> 00:31:43,740
+ما فيها هاي NZ-1 بدل ما يكون أكبر بصير أصغر من أو
+
+306
+00:31:43,740 --> 00:31:47,900
+يساوي ال Z إذا كون العنصر هذا مش موجود في EZ
+
+307
+00:31:47,900 --> 00:31:56,560
+معناته بيطلع أصغر من أو يساوي ال Z وال Z هو أصغر
+
+308
+00:31:56,560 --> 00:31:59,440
+عنصر لل set EZ
+
+309
+00:32:06,800 --> 00:32:16,820
+ف ال z أصغر من n احنا قلنا انه ال ..
+
+310
+00:32:16,820 --> 00:32:18,760
+او أصغر من ال nz
+
+311
+00:32:44,130 --> 00:32:50,890
+الان زي هذا انصر يعني
+
+312
+00:32:50,890 --> 00:32:57,270
+هذا بينتمي الى الست easy لأنه أصغر عنصر فيها
+
+313
+00:32:57,270 --> 00:33:06,070
+فينتمي إليها فان زي ينتمي ل easy معناته الان زي
+
+314
+00:33:06,070 --> 00:33:11,050
+هذا أكبر من ال z الان زي أكبر من ال z ومن هنا ان
+
+315
+00:33:11,050 --> 00:33:17,910
+زي سلب واحد مش موجود في easyفهو أصغر من أو يساوي
+
+316
+00:33:17,910 --> 00:33:24,290
+ال Z وبالتالي هيك بنكون أثبتنا المتباينة هذه اللي
+
+317
+00:33:24,290 --> 00:33:29,090
+هو اللي احنا عايزينه في الجزء C لأن هيك بنكون
+
+318
+00:33:29,090 --> 00:33:34,420
+كملنا برهان الجزء Cالأقل بالنسبة للجزء الأخير هذا
+
+319
+00:33:34,420 --> 00:33:42,460
+يعني عبارة عن ليس مش alternative form لل
+
+320
+00:33:42,460 --> 00:33:46,180
+Archimedean property ليس صورة أخرى لخاصية
+
+321
+00:33:46,180 --> 00:33:51,500
+Archimedean بس مجرد مثال، مجرد مثال أندي ست و الست
+
+322
+00:33:51,500 --> 00:33:56,290
+هذي boundedbounded above by one bounded below by
+
+323
+00:33:56,290 --> 00:34:02,570
+zero لبرهان
+
+324
+00:34:02,570 --> 00:34:12,350
+ذلك البرهان سهل نشوف
+
+325
+00:34:12,350 --> 00:34:12,950
+البرهان
+
+326
+00:34:29,410 --> 00:34:34,370
+كمان مرة ال set هذه هي عبارة عن .. نكتبها إيش هي
+
+327
+00:34:34,370 --> 00:34:37,710
+ال
+
+328
+00:34:37,710 --> 00:34:44,490
+set is عبارة عن ال set of all واحد على n حيث n is
+
+329
+00:34:44,490 --> 00:34:45,650
+natural number
+
+330
+00:34:51,720 --> 00:34:59,580
+واضح أن السفر أصغر من أو ساوي واحد على N لكل N
+
+331
+00:34:59,580 --> 00:35:11,180
+ينتمي إلى N صح؟ وبالتالي إذا zero is lower lower
+
+332
+00:35:11,180 --> 00:35:22,090
+bound لمين of set S وبالتالي ال infimumإذا it has
+
+333
+00:35:22,090 --> 00:35:25,890
+an infimum by the infimum property الـ infimum
+
+334
+00:35:25,890 --> 00:35:30,630
+property بتقول كل set bounded below بيكون ال في
+
+335
+00:35:30,630 --> 00:35:37,070
+إلها infimum say w بيساوي infimum s إذا هنا say
+
+336
+00:35:37,070 --> 00:35:41,290
+دعنا نسمي ال infimum هذا اللي إحنا ضمنين وجوده
+
+337
+00:35:41,290 --> 00:35:48,760
+باستخدام ال infimum property دعنا نسميه wتمام؟ إذا
+
+338
+00:35:48,760 --> 00:35:55,540
+ال .. ال w هذا هو أكبر .. هو أكبر lower bound لست
+
+339
+00:35:55,540 --> 00:36:02,640
+S و السفر lower bound إذا أكيد ال w أكبر من أوسعه
+
+340
+00:36:02,640 --> 00:36:09,100
+و سفر صح؟ السفر قلنا هايه lower bound لست و ال w
+
+341
+00:36:09,100 --> 00:36:11,960
+هو ال infimum اللي هو أكبر lower bound إذا ال w
+
+342
+00:36:11,960 --> 00:36:16,830
+أكبر من او .. أكبر من أوسعه و سفرطب احنا عايزين
+
+343
+00:36:16,830 --> 00:36:22,630
+نثبت .. احنا عايزين في النهاية نثبت ان الـ W هذا
+
+344
+00:36:22,630 --> 00:36:27,490
+اللي هو الـ infimum بساوء سفر هذا اللي عايزين
+
+345
+00:36:27,490 --> 00:36:33,570
+نثبته انا عندي W أكبر من أو ساوء سفر لكن انا بدي
+
+346
+00:36:33,570 --> 00:36:39,750
+أثبت ان الـ W بساوء سفر، تمام؟
+
+347
+00:36:39,750 --> 00:36:41,510
+فلإثبات ذلك
+
+348
+00:36:47,400 --> 00:36:54,780
+خلّينا ناخد أي إبسلون أكبر من السفر فحسب
+
+349
+00:36:54,780 --> 00:36:59,600
+الـ Archimedean property اللي هو الجزء بي المكافلة
+
+350
+00:36:59,600 --> 00:37:04,640
+Archimedean property لأي عدد موجة بإبسلون بقدر
+
+351
+00:37:04,640 --> 00:37:08,880
+ألاقي عدد طبيعي مقلوب وأصغر من إبسلون، صح؟ هذا
+
+352
+00:37:08,880 --> 00:37:12,000
+الجزء بي من النتيجة
+
+353
+00:37:14,540 --> 00:37:18,960
+إن أنا في عيندي هي 1 على n أصغر من epsilon يوجد
+
+354
+00:37:18,960 --> 00:37:24,760
+انها ده الطبيعي بحيث 1 على n أصغر من epsilon و 1
+
+355
+00:37:24,760 --> 00:37:30,700
+على n هده عنصر ال 1 على n هده عبارة عن عنصر في ال
+
+356
+00:37:30,700 --> 00:37:37,180
+6S و ال W هده lower bound إلها ال W هده هو ال
+
+357
+00:37:37,180 --> 00:37:44,890
+minimum لل 6Sو 1 على N عنصر في S إذا ال W بطلع
+
+358
+00:37:44,890 --> 00:37:48,490
+أصغر من أو ساوي أي عنصر في ال set لأنه lower bound
+
+359
+00:37:48,490 --> 00:37:53,830
+صح؟ و قبل شوية قلنا إن ال W هي U بس نتجنا إن ال W
+
+360
+00:37:53,830 --> 00:37:57,990
+اللي هو ال infimum أكبر من أو ساوي السفر اللي هو
+
+361
+00:37:57,990 --> 00:38:02,190
+lower bound وهذا أكبر lower bound الآن هذه ال
+
+362
+00:38:02,190 --> 00:38:06,850
+epsilon عشوائية إن الكلام هذا صحيح لكل epsilon
+
+363
+00:38:06,850 --> 00:38:13,170
+أكبر من السفرإذا في عندي نظرية واحد تمانية بتقول
+
+364
+00:38:13,170 --> 00:38:19,630
+ليه؟ كانت بتقول إن لو كان ال a عدد غير سالب و أصغر
+
+365
+00:38:19,630 --> 00:38:24,810
+من epsilon لكل epsilon أكبر من السفر فهذا بيقدي إن
+
+366
+00:38:24,810 --> 00:38:33,630
+a بساوي سفر، صح؟ هذه نظرية واحد تمانية، صح؟هي الـ
+
+367
+00:38:33,630 --> 00:38:39,230
+W التي هي الـ A أكبر من أو يساوي سفر وأصغر من
+
+368
+00:38:39,230 --> 00:38:44,590
+إبسلون لكل إبسلون عدد موجة فحسب النظرية هذه بيطلع
+
+369
+00:38:44,590 --> 00:38:50,590
+W بساوي سفر وهذا اللي احنا عايزين نثبته، تمام؟ إذن
+
+370
+00:38:50,590 --> 00:38:56,050
+هذا بيثبت أن الـ infimum للست دي أو لل sequence
+
+371
+00:38:56,050 --> 00:39:03,650
+واحد على N هو السفر، تمام؟وهنا استخدمنا في البرهان
+
+372
+00:39:03,650 --> 00:39:09,010
+الـ Archimedean property الصورة بيه من ال
+
+373
+00:39:09,010 --> 00:39:24,610
+Archimedean property في
+
+374
+00:39:24,610 --> 00:39:27,390
+النظرية هذه احنا أثبتنا قبل هيك
+
+375
+00:39:32,670 --> 00:39:41,530
+احنا أثبتنا سابقا في
+
+376
+00:39:41,530 --> 00:39:51,490
+السابق أث��تنا أنه في كان نظرية أو مثال بتقول أن
+
+377
+00:39:51,490 --> 00:39:55,550
+جذر 2 is not a rational number
+
+378
+00:39:58,290 --> 00:40:04,470
+أو العدد جدر اتنين is irrational نعم مظبوط فطبعا
+
+379
+00:40:04,470 --> 00:40:08,730
+في البرهان هذا اعتمدنا في البرهان على انه جدر
+
+380
+00:40:08,730 --> 00:40:12,850
+اتنين هذا عدد حقيقي يعني exist هو احد العداد
+
+381
+00:40:12,850 --> 00:40:20,950
+الحقيقية وفرضنا عملنا برهان غير مباشر فرضنا انه
+
+382
+00:40:20,950 --> 00:40:26,450
+جدر اتنين ينتمي ل Q او عدد نسبي ووصلنا الى تنظيم
+
+383
+00:40:26,450 --> 00:40:32,380
+تماماليوم بنرجع للوراء شوية و بنقول احنا هنا في
+
+384
+00:40:32,380 --> 00:40:36,220
+النظرية هذه في البرهان او في النظرية هذه افترضنا
+
+385
+00:40:36,220 --> 00:40:42,140
+جدلا او افترضنا مسبقا ان جدر اتنين هذا عدد حقيقي
+
+386
+00:40:42,140 --> 00:40:47,600
+اليوم هنرجع و نثبت ان existence of جدر اتنين يعني
+
+387
+00:40:47,600 --> 00:40:51,720
+جدر اتنين هذا بنثبت ان هو فعلا عدد حقيقي مش عدد
+
+388
+00:40:51,720 --> 00:40:53,040
+اخر مش عدد تقيم
+
+389
+00:40:55,660 --> 00:41:02,360
+فهذا يعني البرهان او
+
+390
+00:41:02,360 --> 00:41:05,560
+نظريها دي بالظبط بتقول انه جذر اتنين وعدد حقيقي
+
+391
+00:41:05,560 --> 00:41:14,760
+يعني يوجد عدد حقيقي موجب x ومربعه هو اتنين okay
+
+392
+00:41:16,030 --> 00:41:20,890
+فبرهان النظرية هذه يعني ممكن شوية طويل لكن موجود
+
+393
+00:41:20,890 --> 00:41:29,250
+عندكم بالتفصيل ويعني انجزة إلى أعزاء ويعني مش صعب
+
+394
+00:41:29,250 --> 00:41:35,490
+أنكم يعني تقرؤوا بمجتمعهم و تفهموه فأرجو أنكم
+
+395
+00:41:35,490 --> 00:41:39,990
+تقرؤوا البرهان و تحاولوا تفهموه و ممكن يعني المرة
+
+396
+00:41:39,990 --> 00:41:45,510
+الجاية ان شاء اللهنسأل نحاول نمر عليه او نحاول
+
+397
+00:41:45,510 --> 00:41:52,090
+نبره نقصر عليه، طبعا؟ اذا نكتفي بهذا القدر و نكمل
+
+398
+00:41:52,090 --> 00:41:53,230
+ان شاء الله المرة الجاية
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/8N3n8lL04hg_raw.srt

@@ -0,0 +1,1960 @@
+1
+00:00:21,630 --> 00:00:28,730
+Okay ان شاء الله اليوم هنعمل مناقشة لبعض المسائل
+
+2
+00:00:28,730 --> 00:00:34,230
+في section اتنين تلاتة و اتنين اربعة زي ما وعدناكم
+
+3
+00:00:34,230 --> 00:00:44,690
+سابقا و نشوف بعض الحلول لبعض المسائل المهمة ففي
+
+4
+00:00:44,690 --> 00:00:52,530
+بسألةسؤال خامسة في section اتنين تلاتة بيقول لو في
+
+5
+00:00:52,530 --> 00:00:57,270
+عندي مجموعة غير خالية من الأعداد الحقيقية و
+
+6
+00:00:57,270 --> 00:01:03,550
+bounded below فال infimum ل ال set S هو سالب ال
+
+7
+00:01:03,550 --> 00:01:09,110
+supremum ل سالب S هذا
+
+8
+00:01:09,110 --> 00:01:13,870
+التمرين حالة خاصة من التمرين رقم أربعة في section
+
+9
+00:01:13,870 --> 00:01:21,120
+اتنين أربعةو بالتحديد هو حالة خاصة من الجزء بي من
+
+10
+00:01:21,120 --> 00:01:26,980
+التمرين هذا ففي الجزء بي لو كان بي .. إيش بقول هذا
+
+11
+00:01:26,980 --> 00:01:34,160
+الجزء؟ لو كان بي عدد سالب ف infimum بي S بساوي بي
+
+12
+00:01:34,160 --> 00:01:42,620
+في suprem S فلو أخدت بي بساوي سالب واحد و هذا عدد
+
+13
+00:01:42,620 --> 00:01:50,580
+سالبفبطل عندى infimum infimum
+
+14
+00:01:50,580 --> 00:01:58,780
+سالب s لأ هذا عبارة عن حالة خاصة من الجزء التانى
+
+15
+00:01:58,780 --> 00:02:05,560
+لو أخدنا بيه بساوي سالب واحد في الجزء هذا اللى هنا
+
+16
+00:02:07,490 --> 00:02:14,150
+فبطلع عندي supremum سالب S بيساوي
+
+17
+00:02:14,150 --> 00:02:19,390
+سالب infimum S هاي سالب اضربك سالب واحد سالب
+
+18
+00:02:19,390 --> 00:02:23,390
+infimum S لأن هذا التمرين حالة خاصة من الجزء هذا
+
+19
+00:02:23,390 --> 00:02:30,450
+التاني في الفرع B وبالتالي هذا التمرين تعميم لهذا
+
+20
+00:02:30,450 --> 00:02:37,140
+الجزء ولا جزء تانيو لجزء تاني اللي هو عبارة عن ال
+
+21
+00:02:37,140 --> 00:02:47,140
+supremum او ال infimum ل سالب S بساوي سالب ال
+
+22
+00:02:47,140 --> 00:02:54,240
+supremum ل S هذا تعميم لجزء اللي هان وهذا تعميم
+
+23
+00:02:54,240 --> 00:03:00,920
+لجزء اللي هان و ذلك باخذ by taking B equals سالب
+
+24
+00:03:00,920 --> 00:03:12,510
+واحدخلّينا نبرهن الجزء الأول من الفرع A و الجزء
+
+25
+00:03:12,510 --> 00:03:17,190
+الأول من الفرع B و بالمثل بإمكانكم تبرهن الجزء
+
+26
+00:03:17,190 --> 00:03:22,510
+التاني من ال part A و الجزء التاني من part B
+
+27
+00:03:22,510 --> 00:03:30,890
+فنبرهن الجزء A لبرهان الجزء A اللي
+
+28
+00:03:30,890 --> 00:03:37,490
+هو هذا الجزءفانا عندي a عدد موجب S is bounded
+
+29
+00:03:37,490 --> 00:03:42,390
+وبالتالي bounded below إذا ال info ل S exist سميه
+
+30
+00:03:42,390 --> 00:03:47,110
+W طبعا ال info عبارة عن lower bound ل 6S إذا ال W
+
+31
+00:03:47,110 --> 00:03:53,030
+أزرر من أو ساوي X لكل X S وبالتالي لو ضربت في عدد
+
+32
+00:03:53,030 --> 00:03:57,510
+موجب A فبطلع AW أزرر من أو ساوي A X لكل S هذا
+
+33
+00:03:57,510 --> 00:04:05,230
+معناه إن العدد هذا lower bound ل 6ASانا عايز اثبت
+
+34
+00:04:05,230 --> 00:04:10,670
+ان اي w هذا العدد مش بس lower bound هو اكبر lower
+
+35
+00:04:10,670 --> 00:04:19,690
+bound للست AS فباخد اي let V be any lower bound
+
+36
+00:04:19,690 --> 00:04:27,790
+any lower bound للست AS وبينا
+
+37
+00:04:27,790 --> 00:04:32,710
+نثبت ان هذا ال V أصغر من أو ساوي AW عشان يكون هو
+
+38
+00:04:32,710 --> 00:04:33,390
+ال infimum
+
+39
+00:04:35,910 --> 00:04:43,990
+طيب هذا معناه V lower bound للست AS معناه V أصغر
+
+40
+00:04:43,990 --> 00:04:52,010
+من أوي ساوي A X لكل X في S طيب أنا عندي واحد على A
+
+41
+00:04:52,010 --> 00:04:57,330
+عدد موجب إذا واحد على A عدد موجب فلو ضربت المتباني
+
+42
+00:04:57,330 --> 00:05:00,270
+هذه في العدد الموجب واحد على A اشتريت هنا
+
+43
+00:05:00,270 --> 00:05:07,900
+مابتتغيرش فبصير عندي V على Aأصغر من أو ساوي X لكل
+
+44
+00:05:07,900 --> 00:05:12,300
+XS طب
+
+45
+00:05:12,300 --> 00:05:20,540
+ما هذا معناه أنه العدد ال number V over A is a
+
+46
+00:05:20,540 --> 00:05:25,840
+lower bound لمن؟
+
+47
+00:05:25,840 --> 00:05:30,580
+لل 6S وبالتالي
+
+48
+00:05:30,580 --> 00:05:38,490
+إذا ال infimum .. إذا ال V على Aأصغر من أو ساوي ال
+
+49
+00:05:38,490 --> 00:05:48,090
+infimum للست S صح؟ طب اضربي في A عدد موجب بطلع
+
+50
+00:05:48,090 --> 00:05:58,990
+عندي V أصغر من أو ساوي A في infimum S طب
+
+51
+00:05:58,990 --> 00:06:07,730
+infimum S هذا سمنها W لأن هذا بساوي AWإذن هين
+
+52
+00:06:07,730 --> 00:06:13,790
+أثبتنا إنه العدد AW هذا أبارع ال lower bound للست
+
+53
+00:06:13,790 --> 00:06:20,390
+AS واخدنا أي lower bound للست AS فوجدنا إن ال
+
+54
+00:06:20,390 --> 00:06:27,770
+lower bound هذا أصغر من أو ساوي A في W فهذا معناه
+
+55
+00:06:27,770 --> 00:06:37,630
+إن AW هو ال infimum لمن؟ للست AS كما هوموضح في الـ
+
+56
+00:06:37,630 --> 00:06:44,290
+claim أو في الإدعاء تمام؟ وهذا بثبت الجزء الأول في
+
+57
+00:06:44,290 --> 00:06:51,650
+ال part A هاي infimum AS بساوي A في W اللي هو
+
+58
+00:06:51,650 --> 00:06:58,250
+infimum S إذن هذا بثبت الجزء الأول في الفرع A
+
+59
+00:06:58,250 --> 00:07:01,850
+Similarly بالمثل ممكن
+
+60
+00:07:05,820 --> 00:07:12,760
+بالمثل ممكن نثبت الفرع التاني او
+
+61
+00:07:12,760 --> 00:07:20,060
+الجزء التاني في الفرع A تمام؟ فهسيب هذا جزء لكم
+
+62
+00:07:20,060 --> 00:07:27,840
+لأن هذا مشابه الفرع اللي انا واضح؟ في اي سؤال؟ طيب
+
+63
+00:07:27,840 --> 00:07:30,780
+نحاول نثبت الجزء الأول في الفرع B
+
+64
+00:07:35,110 --> 00:07:42,150
+بنثبت الجزء هذا في الفرق دي لت
+
+65
+00:07:42,150 --> 00:07:53,770
+بأصغر من سفر، عدد حقيقي سالب وأنا عندي ال set ال
+
+66
+00:07:53,770 --> 00:07:58,230
+set since ال set S is bounded
+
+67
+00:08:01,660 --> 00:08:10,440
+إذا الـ infimum w بساوي ال infimum ل S exists in R
+
+68
+00:08:10,440 --> 00:08:13,460
+إذا
+
+69
+00:08:13,460 --> 00:08:18,240
+في عندي أنا ال .. ال infimum ل 6S .. 6S bounded
+
+70
+00:08:18,240 --> 00:08:21,180
+below bounded وبالتالي bounded below إذا by
+
+71
+00:08:21,180 --> 00:08:26,460
+infimum property ال infimum ل S مي W exist
+
+72
+00:08:30,860 --> 00:08:41,580
+هذا معناه .. او هذا بقد .. اذا
+
+73
+00:08:41,580 --> 00:08:46,180
+هذا معناه ان w lower bound ل S و W أصغر من أو ساوي
+
+74
+00:08:46,180 --> 00:08:49,880
+X لكل X في S
+
+75
+00:08:53,000 --> 00:08:58,980
+طيب و أندي أنا ال B عدد سالب فلو ضربنا المتباينة
+
+76
+00:08:58,980 --> 00:09:06,840
+هذه في B عدد سالب فبصير BX أصغر من أو ساوي BW لكل
+
+77
+00:09:06,840 --> 00:09:18,890
+XS صح؟ إذن هذا معناهإنه العدد بي دابليو is an
+
+78
+00:09:18,890 --> 00:09:28,750
+upper is an upper bound لمين للست بي في اس للست بي
+
+79
+00:09:28,750 --> 00:09:33,930
+في اس اللي هي مجموعة كل العناصر بي ضرب اكس بي ضرب
+
+80
+00:09:33,930 --> 00:09:38,570
+اكس حيث اكس ينتمي الاس هذا عبارة عن upper bound
+
+81
+00:09:38,570 --> 00:09:46,570
+طيب الست هذي الست هذي boundedلأن ال set S bounded
+
+82
+00:09:46,570 --> 00:09:51,270
+فضربها تعدد بتظلها bounded وبالتالي bounded above
+
+83
+00:09:51,270 --> 00:09:57,250
+إذا ال .. ال .. إلها superman by superman property
+
+84
+00:09:57,250 --> 00:10:08,990
+ودلتالي إذا ال BW هذا أو ال supermanللست BS هذا
+
+85
+00:10:08,990 --> 00:10:14,330
+عبارة عن ال least upper bound for the set BS هذا
+
+86
+00:10:14,330 --> 00:10:20,270
+بيطلع أصغر من أو ساوي أي upper bound و ليه هو أصغر
+
+87
+00:10:20,270 --> 00:10:28,150
+من أو ساوي ال upper bound BW للست BS طب
+
+88
+00:10:28,150 --> 00:10:29,610
+احنا عايزين نثبت
+
+89
+00:10:32,240 --> 00:10:38,840
+احنا عايزين نثبت ان بي دابليو هي ال supreme لست بي
+
+90
+00:10:38,840 --> 00:10:42,460
+في اس فهين
+
+91
+00:10:42,460 --> 00:10:47,020
+اثبتنا ان العدد بي دابليو هذا upper bound للست هذي
+
+92
+00:10:47,020 --> 00:10:51,240
+بي دابليو هو upper bound للست الاثبات ان هو ال
+
+93
+00:10:51,240 --> 00:10:55,240
+supreme باقي اثبات ان انا لو اخدت اي upper bound
+
+94
+00:10:55,240 --> 00:11:00,400
+للست هذه لازم يطلع اكبر من او يساوي بي دابليو
+
+95
+00:11:04,070 --> 00:11:11,310
+any upper bound
+
+96
+00:11:11,310 --> 00:11:18,490
+of except bs هذا
+
+97
+00:11:18,490 --> 00:11:28,090
+معناه أن b في x أصغر من أوي سوى b لكل xs تمام؟
+
+98
+00:11:29,920 --> 00:11:34,420
+طيب انا ع��دي بي عدل سالب اذا واحد على بي ايضا عدل
+
+99
+00:11:34,420 --> 00:11:38,960
+سالب فلو ضربت المتباينة هذه في عدل سالب اللي هو
+
+100
+00:11:38,960 --> 00:11:50,040
+واحد على بي فهيطلع عندي بي .. بي على بي أصغر من أو
+
+101
+00:11:50,040 --> 00:11:52,340
+ساوي X لكل X في S
+
+102
+00:11:55,350 --> 00:12:04,150
+هذا معناه ان العدد V على B is a lower bound لمن؟
+
+103
+00:12:04,150 --> 00:12:11,510
+لست S مصبوط صح؟ وبالتالي
+
+104
+00:12:11,510 --> 00:12:17,930
+اذا .. اذا
+
+105
+00:12:17,930 --> 00:12:23,970
+ال V على Bاللي هو lower bound للست S أصغر من أو
+
+106
+00:12:23,970 --> 00:12:28,370
+ساوي ال infimum للست S
+
+107
+00:12:54,340 --> 00:13:06,560
+احنا ايش قاعدين نثبت ال ..
+
+108
+00:13:06,560 --> 00:13:12,960
+يبدو ان انا يعني هنا بثبت الجزء التاني يعنى، يالا
+
+109
+00:13:12,960 --> 00:13:22,410
+من حظكمحاول نثبت الجزء التاني مش الأول فكمان مرة
+
+110
+00:13:22,410 --> 00:13:26,810
+نراجع بي عدد سالم S is bounded وبالتالي bounded
+
+111
+00:13:26,810 --> 00:13:33,650
+below إذن ال inform ل set S موجود وبالتالي
+
+112
+00:13:33,650 --> 00:13:37,630
+المتابعين هذا بتتحقق وبالتالي هذا بتتحقق بعد ما
+
+113
+00:13:37,630 --> 00:13:42,070
+ضربنا في بي عدد سالم إذن بي و طلع upper bound ل
+
+114
+00:13:42,070 --> 00:13:48,410
+set بي S وبالتالي ال supermanللست بي اس بيطلع أصغر
+
+115
+00:13:48,410 --> 00:13:52,510
+من أو ساوي بي دابليو الان بدنا نثبت ان ال بي
+
+116
+00:13:52,510 --> 00:14:00,810
+دابليو هذا هو ال supremum لست بي اس تمام فأخدنا اي
+
+117
+00:14:00,810 --> 00:14:05,550
+upper bound بي .. اي upper bound لست بي اس فوجدنا
+
+118
+00:14:05,550 --> 00:14:09,930
+ان v على بي is a lower bound لست اس وبالتالي v على
+
+119
+00:14:09,930 --> 00:14:14,290
+بي أصغر من أو ساوي ال greatest lower bound لست اس
+
+120
+00:14:17,060 --> 00:14:27,860
+طب لو ضربنا في بي و بي عدد سالب فهيطلع عندي .. إذا
+
+121
+00:14:27,860 --> 00:14:34,940
+لو ضربنا المتباينة هذه في بي عدد سالب فهيطلع عندي
+
+122
+00:14:34,940 --> 00:14:43,120
+اللي هو بي في infimum S هيطلع أصغر من أو ساوي ال
+
+123
+00:14:43,120 --> 00:14:45,120
+V، مظبوط هيك؟
+
+124
+00:14:48,920 --> 00:14:56,120
+طب هذا هذا سمنها w إذا بي في w أصغر من أو ساوي ال
+
+125
+00:14:56,120 --> 00:15:02,100
+b إذا البرهان هذا أثبتنا فيه حاجتين إنه أول شيء
+
+126
+00:15:02,100 --> 00:15:07,540
+العدد بي دابليو هذا upper bound للست بي اس و بعدين
+
+127
+00:15:07,540 --> 00:15:14,350
+أخدنا أي upper boundV أي upper bound لست بي اس طلع
+
+128
+00:15:14,350 --> 00:15:19,910
+ال V هذا أكبر من أو ساوي بي دابليو وبالتالي هذا
+
+129
+00:15:19,910 --> 00:15:29,650
+معناه إذا العدد بي دابليو هو عبارة عن ال supremum
+
+130
+00:15:29,650 --> 00:15:40,970
+ال supremum لست بي في اس لست بي في اسلأن هذا العدد
+
+131
+00:15:40,970 --> 00:15:45,570
+upper bound للست هذه وهو أصغر upper bound أخدنا أي
+
+132
+00:15:45,570 --> 00:15:51,390
+upper bound للست هذه طلع بي دابليو أصغر من أو ساوي
+
+133
+00:15:51,390 --> 00:15:56,050
+إذن بي دابليو هو أصغر upper bound للست هذه والأن
+
+134
+00:15:56,050 --> 00:16:03,410
+بنعود عن w إذن ال b في w اللي هو infimum of s
+
+135
+00:16:03,410 --> 00:16:12,590
+بتطلع بساوي supremum ل b في sوهذا برهين الجزء
+
+136
+00:16:12,590 --> 00:16:18,330
+التاني من الفرع B بالمثل الممكن برهان الجزء الأول
+
+137
+00:16:18,330 --> 00:16:24,850
+من الفرع B فأنا بدأكم إلى كتابة برهين الأجزاء
+
+138
+00:16:24,850 --> 00:16:30,330
+المشابهة هذه تمام؟ إذن هيك بنكون .. يعني أخدنا
+
+139
+00:16:30,330 --> 00:16:37,150
+حلول تقريبا شبه كاملة للتمرين 5 section 2 تلاتةفي
+
+140
+00:16:37,150 --> 00:16:41,530
+عندكم أي أسئلة تانية في ال section اتنين تلاتة او
+
+141
+00:16:41,530 --> 00:16:48,470
+اتنين اربعة؟ في
+
+142
+00:16:48,470 --> 00:16:54,190
+أي أسئلة تانية؟ السؤال عشرة في section اتنين تلاتة
+
+143
+00:17:28,800 --> 00:17:38,060
+سؤال عشرة section اتنين تلاتة ملخص السؤال بيقول S
+
+144
+00:17:38,060 --> 00:17:52,000
+is bounded bounded subset of R و Phi
+
+145
+00:17:52,000 --> 00:17:55,460
+لا يساوي S subset
+
+146
+00:18:00,440 --> 00:18:07,020
+ف ال S0 non-empty subset من S مجموعة جزئية غير
+
+147
+00:18:07,020 --> 00:18:17,280
+خالية من المجموعة S فبدنا نثبت شو برهني ان ال
+
+148
+00:18:17,280 --> 00:18:26,260
+infimum لست S أصغر من أو ساوي ال infimum لست S0
+
+149
+00:18:26,260 --> 00:18:32,540
+أصغر من أو ساوي ال supremumللست S Zero أصغر من لو
+
+150
+00:18:32,540 --> 00:18:41,940
+يساوي ال supremum للست S نشوف
+
+151
+00:18:41,940 --> 00:18:46,860
+البرهان مع بعض برهان سهل وبسيط يعتمد على تعريف ال
+
+152
+00:18:46,860 --> 00:18:52,760
+infimum وعلى تعريف ال supremum طيب
+
+153
+00:18:52,760 --> 00:18:57,900
+أنا عندي المجموعة S since
+
+154
+00:19:00,710 --> 00:19:08,790
+بما أن S مجموعة غير خالية و bounded is bounded
+
+155
+00:19:08,790 --> 00:19:12,990
+then ال
+
+156
+00:19:12,990 --> 00:19:28,810
+infimum لست S exist and supremum لست S both exist
+
+157
+00:19:36,050 --> 00:19:44,310
+بعد الـ infimum property ست اس لإنفمام وكذلك ست اس
+
+158
+00:19:44,310 --> 00:19:52,290
+لسوبرمام هدول موجودين في R طيب
+
+159
+00:19:52,290 --> 00:19:56,150
+أنا عندي السوبرمام
+
+160
+00:19:56,150 --> 00:20:15,640
+للست اس السوبرمام للست اسis an upper bound فهي
+
+161
+00:20:15,640 --> 00:20:25,520
+أيضا it is also an upper bound لأي
+
+162
+00:20:25,520 --> 00:20:31,060
+subset لأي subset S0 من ال 6S
+
+163
+00:20:36,460 --> 00:20:44,900
+و بالتالي and therefore and
+
+164
+00:20:44,900 --> 00:20:52,600
+therefore ال
+
+165
+00:20:52,600 --> 00:20:57,540
+supremum لست S0
+
+166
+00:20:57,540 --> 00:21:01,840
+أصغر من أو ساوي ال supremum لست S
+
+167
+00:21:07,110 --> 00:21:15,710
+كمان مرة ال .. ال 6S هذه ال S0 سبسط من S فأي upper
+
+168
+00:21:15,710 --> 00:21:20,070
+bound ل S هو أيضا upper bound لأي مجموعة جزئية
+
+169
+00:21:20,070 --> 00:21:26,410
+منها طيب ال supremum ل 6S upper bound ل 6S
+
+170
+00:21:26,410 --> 00:21:32,830
+وبالتالي هو upper bound ل 6S0 طيب ال supremum ل S0
+
+171
+00:21:32,830 --> 00:21:39,130
+هذا أصغر upper bound ل S0وهذا upper bound ل S0 إذا
+
+172
+00:21:39,130 --> 00:21:42,550
+أصغر upper bound أصغر من لو ساوي أي upper bound
+
+173
+00:21:42,550 --> 00:21:51,650
+وبالتالي المتباينة هذه صحيحة كذلك by
+
+174
+00:21:51,650 --> 00:21:57,950
+definition حسب التعريفات ال
+
+175
+00:21:57,950 --> 00:22:06,790
+infimumللست S0 أصغر من أو ساوي ال supremum للست S0
+
+176
+00:22:06,790 --> 00:22:10,750
+الست
+
+177
+00:22:10,750 --> 00:22:11,750
+S0 هذه
+
+178
+00:22:15,230 --> 00:22:21,930
+طبعا هذه ال set S0 subset من S و S bounded إلى S0
+
+179
+00:22:21,930 --> 00:22:26,710
+bounded ال infimum ل S0 exist و ال suprem ل S0
+
+180
+00:22:26,710 --> 00:22:32,770
+exist دائما لأي set S0 ال infimum دائما أصغر من أو
+
+181
+00:22:32,770 --> 00:22:39,250
+يساوي ال supremum نعمل رسمة نوضح الكلام هذا
+
+182
+00:22:44,850 --> 00:22:56,850
+نعتبر أن هذه هي الست اس وهي
+
+183
+00:22:56,850 --> 00:23:07,950
+ال .. ال .. ال supremum للست اس وهي ال infimum
+
+184
+00:23:11,090 --> 00:23:17,810
+للـ set S فدائما ال .. دائما
+
+185
+00:23:17,810 --> 00:23:24,050
+ال minimum لأي set هو lower bound لل set وبالتالي
+
+186
+00:23:24,050 --> 00:23:28,950
+أصغر من لو ساوي كل عناصرهاهو عبارة عن lower bound
+
+187
+00:23:28,950 --> 00:23:32,810
+للست ال supreme للست S هو عبارة عن upper bound
+
+188
+00:23:32,810 --> 00:23:37,650
+للست وبالتالي أكبر من أو ساوي كل عناصرها فواضح أن
+
+189
+00:23:37,650 --> 00:23:42,770
+ال infimum للست S لازم يكون أصغر من أو ساوي ال
+
+190
+00:23:42,770 --> 00:23:52,970
+supremum ونفس الشيء لو أخذنا أي مجموعة جزئية سمنها
+
+191
+00:23:52,970 --> 00:23:53,790
+S0
+
+192
+00:23:56,180 --> 00:24:02,200
+يعني هذه المجموعة اسمها S0 فبما أن ال set S
+
+193
+00:24:02,200 --> 00:24:10,400
+bounded إذن S0 bounded وبالتالي ال supremum ل S0
+
+194
+00:24:10,400 --> 00:24:16,220
+دايما أكبر من أو ساوي ال infimum ل S0 بنفس الطريقة
+
+195
+00:24:16,220 --> 00:24:23,710
+إذن هذا دايما .. هذا دايما صحيحعشان احنا نكمل
+
+196
+00:24:23,710 --> 00:24:30,150
+البرهان اذا احنا أثبتنا هذا واضح من التعريفات وهذا
+
+197
+00:24:30,150 --> 00:24:35,150
+الجزء أثبتناه باقي
+
+198
+00:24:35,150 --> 00:24:40,930
+إثبات الجزء الأخير هذا فإذا
+
+199
+00:24:40,930 --> 00:24:45,790
+بنقول finally أخيرا لإثبات الجزء الأخير هذا أنا
+
+200
+00:24:45,790 --> 00:24:49,570
+عندي ال inform ل S is lower bound ل 6S
+
+201
+00:24:52,070 --> 00:24:57,350
+وبالتالي هو lower bound لأي مجموعة جزئية S0 من S
+
+202
+00:24:57,350 --> 00:25:00,890
+وبالتالي
+
+203
+00:25:00,890 --> 00:25:11,770
+إذا ال influence ل S0 هذا
+
+204
+00:25:11,770 --> 00:25:19,180
+أكبر lower bound ل S0 هذا أكبر lower bound ل S0و
+
+205
+00:25:19,180 --> 00:25:25,960
+هذا lower bound ل S0 إذاً هذا بيطلع أكبر من أو
+
+206
+00:25:25,960 --> 00:25:33,500
+ساوي infimum ال 6S هذا lower bound ل 6S0 و هذا
+
+207
+00:25:33,500 --> 00:25:37,820
+أكبر lower bound ل 6S0 إذاً هذا أصغر من أو ساوي
+
+208
+00:25:37,820 --> 00:25:43,700
+هذا و هذا بيكملبرهان المتباينة اللى حاطين عليها
+
+209
+00:25:43,700 --> 00:25:48,380
+علامة استفهام إذا هيك بيكون برهاننا التمرين okay
+
+210
+00:25:48,380 --> 00:25:53,660
+تمام واضح؟
+
+211
+00:25:53,660 --> 00:26:03,660
+فى أسئلة تانية خلنا نحل كمان سؤال إذا بتحبه ممكن
+
+212
+00:26:03,660 --> 00:26:04,900
+نحل كمان سؤال
+
+213
+00:26:08,660 --> 00:26:16,040
+في section اتنين تلاتة برضه؟ اه في اي section؟
+
+214
+00:26:16,040 --> 00:26:21,840
+اتنين تلاتة ولا اتنين اربعة؟ اتنين تلاتة؟ طيب نحل
+
+215
+00:26:21,840 --> 00:26:24,020
+هذا السؤال و بعد هيك يعني نوجد
+
+216
+00:26:43,630 --> 00:26:57,410
+هي السؤال الأحداش سيكشن اتنين تلاتة بنشوف
+
+217
+00:26:57,410 --> 00:27:05,850
+السؤال شو بيقول S
+
+218
+00:27:05,850 --> 00:27:11,530
+subset من R و
+
+219
+00:27:11,530 --> 00:27:25,720
+SS star بساوي ال supremum ل 6S وهذا بينتمي لل 6S
+
+220
+00:27:25,720 --> 00:27:31,040
+belongs to S فإذا
+
+221
+00:27:31,040 --> 00:27:41,140
+كان U لا ينتمي لل 6S إذا كان U لا ينتمي لل 6S شو
+
+222
+00:27:42,390 --> 00:27:49,090
+عايزين نثبت ان ال superman لست
+
+223
+00:27:49,090 --> 00:28:05,890
+S union singleton U بيطلع بيساوي ال superman لست
+
+224
+00:28:05,890 --> 00:28:10,330
+اللي تتكون من أنصرين S star و U
+
+225
+00:28:13,540 --> 00:28:28,400
+where are you؟ طبعا في برهانين للسؤال هذا ال
+
+226
+00:28:28,400 --> 00:28:33,840
+proof one البرهان الأول we
+
+227
+00:28:33,840 --> 00:28:38,580
+use .. we use exercise
+
+228
+00:28:42,560 --> 00:28:51,600
+تسعة section اتنين تلاتة وهذا ال exercise بيقول
+
+229
+00:28:51,600 --> 00:28:59,340
+إذا كانت لو
+
+230
+00:28:59,340 --> 00:29:03,380
+كان a و b bounded
+
+231
+00:29:09,480 --> 00:29:18,660
+فهذا بيقدي ان a union b is bounded and
+
+232
+00:29:18,660 --> 00:29:32,360
+مش هيكوا بس و ال supremum .. ال supremum لإتحاد b
+
+233
+00:29:32,360 --> 00:29:36,980
+بساوي supremum
+
+234
+00:29:39,920 --> 00:29:44,900
+Supermom A وSupermom
+
+235
+00:29:44,900 --> 00:29:51,760
+B إذا
+
+236
+00:29:51,760 --> 00:29:57,440
+هذا تمرين رقم تسعة هناخده نستخدمه فلو استخدمنا هذا
+
+237
+00:29:57,440 --> 00:30:07,700
+التمرين فالنتيجة هذه بتطلع على طول مباشرة إذا
+
+238
+00:30:07,700 --> 00:30:08,540
+هنا take
+
+239
+00:30:11,570 --> 00:30:17,410
+A بساوي S و
+
+240
+00:30:17,410 --> 00:30:25,570
+طبعا هادي ال set bounded ال set هادي bounded و
+
+241
+00:30:25,570 --> 00:30:32,610
+عندي ال set B هاخدها singleton euro و هادي bounded
+
+242
+00:30:32,610 --> 00:30:41,790
+setإذا by exercise 9 a hat b اللي هي ال 6 هذه
+
+243
+00:30:41,790 --> 00:30:47,650
+بتطلع bounded by
+
+244
+00:30:47,650 --> 00:30:56,490
+exercise 9 section 2 3 ال 6 a union singleton u is
+
+245
+00:30:56,490 --> 00:31:00,750
+bounded and
+
+246
+00:31:00,750 --> 00:31:10,540
+مش هيكوا بس ال supremumلـ A اتحاد بالـ 6S union
+
+247
+00:31:10,540 --> 00:31:18,160
+هذا الـ A وهذا الـ Singleton U بتساوي الـ Supremum
+
+248
+00:31:18,160 --> 00:31:22,440
+لـ
+
+249
+00:31:22,440 --> 00:31:32,820
+Supremum A هذا عبارة عن S star و Supremum D هذا
+
+250
+00:31:32,820 --> 00:31:37,830
+عبارة عن Singleton Uأنا عندي set فيها عنصر واحد
+
+251
+00:31:37,830 --> 00:31:42,510
+فال Supreme تبعها هو ال info تبعها هو نفس ال
+
+252
+00:31:42,510 --> 00:31:46,850
+answer يعني هذا واضح من تعريف ال suprem
+
+253
+00:31:54,620 --> 00:31:59,580
+و هذا هو المطلوب اذا هذا تطبيق مباشر على تمرين 9
+
+254
+00:31:59,580 --> 00:32:03,860
+اذا المعناه ان انتوا لازم تحلوا تمرين 9 و هذا
+
+255
+00:32:03,860 --> 00:32:11,260
+التمرين موجود في يعني في رشاد له او hint لحله في
+
+256
+00:32:11,260 --> 00:32:16,680
+خلف .. خلف الكتاب في حل تمرين اللي .. اللي الكتاب
+
+257
+00:32:16,680 --> 00:32:21,280
+بيحاول يعرضها عشان يساعد الطالب نعم تفضلي
+
+258
+00:32:28,890 --> 00:32:37,250
+أه صحيح نعم و
+
+259
+00:32:37,250 --> 00:32:45,170
+في السؤال تسعة و في السؤال إحداش ال 6S
+
+260
+00:32:45,170 --> 00:32:51,010
+من المقطيات bounded صحيح لإنهاحنا فرضين ان S
+
+261
+00:32:51,010 --> 00:32:56,370
+subset من R و ال supremum لل 6S اللي هو S star عدد
+
+262
+00:32:56,370 --> 00:33:06,050
+ينتمي ل S و S subset من R هذا بيقدي ان ال 6S is
+
+263
+00:33:06,050 --> 00:33:12,750
+bounded above على الأقل bounded above تمام؟
+
+264
+00:33:16,370 --> 00:33:22,230
+تمام؟ فلو كانت ال A و ال B bounded above فهيطلع
+
+265
+00:33:22,230 --> 00:33:25,510
+الاتحاد تبعهم bounded above و هذا اللي احنا
+
+266
+00:33:25,510 --> 00:33:30,490
+عايزينه و ال supremum اللي لهم بساوي .. لاتحادهم
+
+267
+00:33:30,490 --> 00:33:37,540
+بساوي الكلام هذا فعلى الأقل .. اه؟و نفس الكلام
+
+268
+00:33:37,540 --> 00:33:41,860
+للانفمام ممكن نثبت حاجة مشابه بالنسبة للانفمام
+
+269
+00:33:41,860 --> 00:33:47,140
+يعني ممكن نثبت ان الانفمام هنا يعني ها and ممكن
+
+270
+00:33:47,140 --> 00:33:58,820
+نضيف انفمام ل a union b بساوي انفمام انف a و انف b
+
+271
+00:34:01,670 --> 00:34:06,630
+فاحنا بس أخدنا .. طبخنا الجزء هذا الجزء بيكون صحيح
+
+272
+00:34:06,630 --> 00:34:13,390
+إذا كانت a و b both are bounded above وبالتالي
+
+273
+00:34:13,390 --> 00:34:16,430
+اتحادهم بيطلع bounded below و ال infimum للاتحاد
+
+274
+00:34:16,430 --> 00:34:23,780
+بيطلع infimum لinfimum المجمعة التانيةفهذا متحقق
+
+275
+00:34:23,780 --> 00:34:28,640
+هنا متحقق ان هاي S star ينتمي ل S وبالتالي عدد
+
+276
+00:34:28,640 --> 00:34:32,420
+حقيقي انها S ال set هذه لها supremum وبالتالي
+
+277
+00:34:32,420 --> 00:34:37,360
+bounded above و single to new ما هي finite set و
+
+278
+00:34:37,360 --> 00:34:41,960
+كل finite set is bounded فهي bounded above و below
+
+279
+00:34:41,960 --> 00:34:47,530
+طبعا وبالتالي ممكن نطبق الجزء هذاهذا برهان برهان
+
+280
+00:34:47,530 --> 00:34:51,790
+تاني ممكن ان احنا نعمل برهان مباشر يعني بلاش
+
+281
+00:34:51,790 --> 00:35:00,970
+نستخدم exercise تسعة تاني
+
+282
+00:35:00,970 --> 00:35:09,310
+ممكن we
+
+283
+00:35:09,310 --> 00:35:13,450
+consider we
+
+284
+00:35:13,450 --> 00:35:15,230
+consider two cases
+
+285
+00:35:18,470 --> 00:35:24,390
+نعتبر حالتين ال S star هذا من المعطيات عدد حقيقي و
+
+286
+00:35:24,390 --> 00:35:31,790
+U عدد حقيقي آخر لا ينتمي ل S فممكن يكون عندي ال U
+
+287
+00:35:31,790 --> 00:35:40,850
+أكبر من أو يساوي S star or ال U أصغر من S star هذا
+
+288
+00:35:40,850 --> 00:35:46,750
+طبعا by trichotomy by trichotomy
+
+289
+00:35:50,710 --> 00:35:58,670
+property من الخاصية الثلاثية U S*) أعداد حقيقية
+
+290
+00:35:58,670 --> 00:36:04,850
+ففي عندي تلت حالات أما U أصغر من S*) أو U أكبر من
+
+291
+00:36:04,850 --> 00:36:10,450
+S*) أو U بساوي S*) هدول حالتين وهذه التالتة
+
+292
+00:36:10,450 --> 00:36:15,950
+فتعالوا في كل حالة نثبت هذا اللي هو المطلوب فإذا
+
+293
+00:36:15,950 --> 00:36:22,180
+في عندي في الحالة الأولىX أقل أو بيساوي من السقر
+
+294
+00:36:22,180 --> 00:36:27,400
+الموجود في ال U أو
+
+295
+00:36:27,400 --> 00:36:33,000
+إيش التانية؟ أو X أقل أو بيساوي ال U X أصغر من أو
+
+296
+00:36:33,000 --> 00:36:38,280
+بيساوي ال U، صح؟ بعدها أنا هقول أكيد إن ال X أقل
+
+297
+00:36:38,280 --> 00:36:45,360
+أو بيساوي من ال .. إن ال X lower bound is lower
+
+298
+00:36:45,360 --> 00:36:45,960
+bound
+
+299
+00:36:49,050 --> 00:37:03,630
+لل set اللي بتتكون من S star و U صح؟ وبالتالي لحظة
+
+300
+00:37:03,630 --> 00:37:09,490
+شوية لو سمحتني اذا
+
+301
+00:37:09,490 --> 00:37:14,830
+ال X lower bound لل set هذي اذا ال infimum
+
+302
+00:37:22,180 --> 00:37:27,840
+الـ X ��صغر
+
+303
+00:37:27,840 --> 00:37:36,400
+من أو ساوي الـ infimum ل Sلأ ما هو هذا lower bound
+
+304
+00:37:36,400 --> 00:37:41,960
+ل S star لسنا المجموعة هذه وبالتالي هو أصغر من أو
+
+305
+00:37:41,960 --> 00:37:45,700
+ساوي ال infimum و ال infimum دائما قولنا قبل شوية
+
+306
+00:37:45,700 --> 00:37:51,780
+أصغر من أو ساوي ال supremum لنفس المجموعة لسه
+
+307
+00:37:51,780 --> 00:37:58,160
+متبتيلوا قبل شوية في التمرين السابق صح؟ طيب هيك
+
+308
+00:37:58,160 --> 00:37:59,260
+منكون أثبتنا
+
+309
+00:38:06,750 --> 00:38:17,210
+إذا هذا صحيح since this holds لكل
+
+310
+00:38:17,210 --> 00:38:26,130
+x ينتمي احنا خدنا x عشوائية فهي fix x مظبوط؟ x
+
+311
+00:38:26,130 --> 00:38:33,700
+كانت عنصر عشوائي ف fix x ينتمي ل S unionSingleton
+
+312
+00:38:33,700 --> 00:38:39,260
+U فإذا هذه الأداء صحيح لكل X ينتمي للمجموعة هذه
+
+313
+00:38:39,260 --> 00:38:50,460
+وبالتالي إذا ال supreme ل S star و U is upper
+
+314
+00:38:50,460 --> 00:39:00,300
+bound Upper bound لمن؟ ل 6 S union singleton U
+
+315
+00:39:08,160 --> 00:39:23,180
+مظبوط؟ اذا ال supremum لست S union singleton U لأ
+
+316
+00:39:23,180 --> 00:39:28,280
+مش هيك لأ اذا هذا عبارة عن upper bound لست هذه
+
+317
+00:39:28,280 --> 00:39:34,830
+بنثبت ان هو ال supremumيعني هيك بيطلع هذا .. هذا
+
+318
+00:39:34,830 --> 00:39:40,610
+upper bound ل 6 هذه لأن هذا بيطلع أكبر من أو ساوي
+
+319
+00:39:40,610 --> 00:39:49,610
+.. هذا أصغر من أو ساوي ال supremum ل
+
+320
+00:39:49,610 --> 00:39:57,310
+S star و U احنا بدنا مساوية صح؟فبقدرش أستنتج
+
+321
+00:39:57,310 --> 00:40:03,070
+مساواة هنا تمام؟ أما شو ممكن أما زي ما عملنا في
+
+322
+00:40:03,070 --> 00:40:07,430
+البراهين السابقة ممكن نثبت ال claim ممكن نثبت
+
+323
+00:40:07,430 --> 00:40:13,070
+المساواة كما يليه أنا عندي هذا .. هذا العدد .. هذا
+
+324
+00:40:13,070 --> 00:40:19,270
+العدد عبارة عن upper bound لل set هذهأحنا عايزين
+
+325
+00:40:19,270 --> 00:40:22,970
+نثبت إن هذا مش upper bound هو ال least upper bound
+
+326
+00:40:22,970 --> 00:40:29,330
+إذا ن claim إن ال supremum
+
+327
+00:40:29,330 --> 00:40:36,590
+لست S union لست هذه هو العدد هذا
+
+328
+00:40:49,020 --> 00:41:02,440
+انشوف let V be any upper bound لست S union
+
+329
+00:41:02,440 --> 00:41:11,840
+singleton U هذا بيقدي ان X أصغر من أو بساوي او هذا
+
+330
+00:41:11,840 --> 00:41:12,640
+بيقدي ان
+
+331
+00:41:25,690 --> 00:41:38,530
+هذا بيقدي أن x أصغر من أو يساوي S لكل x في S and
+
+332
+00:41:38,530 --> 00:41:43,990
+x أصغر من أو يساوي لأ
+
+333
+00:41:46,040 --> 00:41:53,780
+عفوا إيش هذا؟ X أصغر من أو ساوي V لكل X في S and U
+
+334
+00:41:53,780 --> 00:41:57,120
+أصغر من أو ساوي V صح؟
+
+335
+00:42:02,420 --> 00:42:05,840
+طيب، معناته هذا upper bound، ال V upper bound للست
+
+336
+00:42:05,840 --> 00:42:13,880
+S إذن ال supremum للست S اللي هو S star بطلع أصغر
+
+337
+00:42:13,880 --> 00:42:22,600
+من أو ساوى V and U أصغر من أو ساوى V معناته إن ال
+
+338
+00:42:22,600 --> 00:42:30,660
+V is upper bound Upper bound لمين؟ للست
+
+339
+00:42:33,070 --> 00:42:39,670
+اللي هي S star و U صح؟ لأن هاي V أكبر من أو يساوي
+
+340
+00:42:39,670 --> 00:42:48,670
+S star و أكبر من أو يساوي ال U فهذا
+
+341
+00:42:48,670 --> 00:42:55,990
+بيقدي إذا ال supremum إذا كان ال V upper bound لل
+
+342
+00:42:55,990 --> 00:43:10,590
+6 هذه فال supremumللست هذي اللي هي S star و U أصغر
+
+343
+00:43:10,590 --> 00:43:17,270
+من أو ساوي ال V هذا أكبر upper bound للست وهذا
+
+344
+00:43:17,270 --> 00:43:21,490
+upper bound لنفس الست لأن أصغر upper bound أصغر من
+
+345
+00:43:21,490 --> 00:43:23,050
+أو ساوي أي upper bound
+
+346
+00:43:26,490 --> 00:43:33,690
+وبالتالي هين أثبتنا .. هين أثبتنا أنه ال .. العدد
+
+347
+00:43:33,690 --> 00:43:40,890
+هذا .. العدد هذا .. هذا العدد أثبتنا حاجتين هذا
+
+348
+00:43:40,890 --> 00:43:46,470
+العدد هيه upper bound لمين لل 6 هذه كذلك في ال
+
+349
+00:43:46,470 --> 00:43:51,410
+claim هذا أثبتنا أنه لو أخدت أي upper bound لل 6
+
+350
+00:43:51,410 --> 00:43:57,370
+هذه وسميته Vفهذا العدد أصغر من أو ساوى D، إذن
+
+351
+00:43:57,370 --> 00:44:04,550
+العدد هذا هو أصغر، إذن العدد هذا هو ال supreme لست
+
+352
+00:44:04,550 --> 00:44:10,750
+هذه، إذن هذا this proves
+
+353
+00:44:10,750 --> 00:44:14,110
+the
+
+354
+00:44:14,110 --> 00:44:21,070
+claim الادعاء اللي احنا حكينا عنه وبالتاليهذا
+
+355
+00:44:21,070 --> 00:44:27,310
+بيكون برهان تاني او برهان اخر وزي مزمرتكم اقترحت
+
+356
+00:44:27,310 --> 00:44:33,670
+مافيش داعي لل cases هنا البرهان التاني مبدأ ب X
+
+357
+00:44:33,670 --> 00:44:43,180
+تنتمي لل set هذه وهنا أثبتنا ان العدد هذاهو ال
+
+358
+00:44:43,180 --> 00:44:48,440
+supremum للست هذه او ال supremum للست هذه اللي هي
+
+359
+00:44:48,440 --> 00:44:52,400
+S إتحاد single to new ال supremum إليها exist
+
+360
+00:44:52,400 --> 00:45:00,900
+موجود و بساوي العدد supremum S star و Uهيو هذا
+
+361
+00:45:00,900 --> 00:45:05,240
+العدد upper bound للست هذه و أي upper bound أخر
+
+362
+00:45:05,240 --> 00:45:10,340
+للست طلع أصغر من .. أكبر من أو يساوي العدد هذا
+
+363
+00:45:10,340 --> 00:45:13,520
+وبالتالي هذا هو أصغر upper bound أو super bound
+
+364
+00:45:13,520 --> 00:45:19,780
+نعم هذي؟
+
+365
+00:45:19,780 --> 00:45:23,180
+اه
+
+366
+00:45:23,180 --> 00:45:24,260
+صح
+
+367
+00:45:32,010 --> 00:45:38,490
+عن؟ بينهم or مش end لأ من تعريف .. من تعريف
+
+368
+00:45:38,490 --> 00:45:43,710
+الاتحاد x ينتمي للاتحاد معناته x ينتمي لل .. او ..
+
+369
+00:45:43,710 --> 00:45:47,130
+مش هيك تعريف الاتحاد؟ اه sorry اه ف or مافيش end
+
+370
+00:45:47,130 --> 00:45:51,330
+ليش ال end؟ معرفة انها or بس احنا استنتجنا .. يعني
+
+371
+00:45:51,330 --> 00:45:54,730
+هنا مكان ال end استنتجنا انها upper bound لكن هنا
+
+372
+00:45:54,730 --> 00:45:57,490
+or يعني مش end عشان نستنتج انها x lower bound
+
+373
+00:46:05,960 --> 00:46:10,580
+صحيح يعني لو كانت x أقل من أم يساوي أس أسطر and x
+
+374
+00:46:10,580 --> 00:46:13,860
+أقل من أم يساوي u فإنت صحيح إحنا نستنتج إنه x
+
+375
+00:46:13,860 --> 00:46:18,340
+lower bound للمجموعة أه صحيح كلامك إذا عشان هيك
+
+376
+00:46:18,340 --> 00:46:25,920
+احنا لازم نحدد هل ال u هو بالتالي كان لازم عشان
+
+377
+00:46:25,920 --> 00:46:32,760
+البرهنة ده فعلا يكون صح كان لازم نفصل حالتين فلو
+
+378
+00:46:32,760 --> 00:46:41,400
+كانت هنا ال uلو كانت ال .. ال S star أصغر من أو
+
+379
+00:46:41,400 --> 00:46:45,420
+يساوي ال U دكتور؟
+
+380
+00:46:45,420 --> 00:46:51,540
+نعم مش X هي أصغر أو يساوي ال supremum لل S أو إن
+
+381
+00:46:51,540 --> 00:46:56,060
+ال X أصغر أو يساوي مجموعة ال U الحالة هي كأنا خبرت
+
+382
+00:46:56,060 --> 00:46:59,460
+إن ال X هتكون أصغر أو يساوي ال supremum يا إما
+
+383
+00:46:59,460 --> 00:47:06,300
+supremum لل S أو supremum لل مجموعة ال Uيعني المهم
+
+384
+00:47:06,300 --> 00:47:14,460
+هي هتطلع الـ Supremum لواحدة من المجموع التاني أنا
+
+385
+00:47:14,460 --> 00:47:19,900
+قبل جملة ال X أزيدور أنا قصدي إن أكتر X أصغر أو
+
+386
+00:47:19,900 --> 00:47:28,380
+بيساوي ال Supremum يعني بشكل مجموحة واحدة X أصغر
+
+387
+00:47:28,380 --> 00:47:35,770
+أو بيساوي ال Supremum لأسطر Star يعني هي اللي هولأ
+
+388
+00:47:35,770 --> 00:47:43,570
+هاد أبراهن S أنها أصغر أو نسبة مجموعة بستار كمه
+
+389
+00:47:43,570 --> 00:47:50,620
+قلو يعني لو حضرتيهم المهم هتطلع لل superأه صح لأن
+
+390
+00:47:50,620 --> 00:47:56,760
+ال suprem هذا أكبر من أو ساوي S star و أكبر من أو
+
+391
+00:47:56,760 --> 00:48:02,960
+ساوي ال U و X أصغر من أو ساوي .. لو كانت ال X أصغر
+
+392
+00:48:02,960 --> 00:48:05,980
+من أو ساوي هذا فهي أكيد أصغر من أو ساوي ال suprem
+
+393
+00:48:05,980 --> 00:48:10,780
+و لو كانت ال X أصغر من أو ساوي ال U فهي أكيد أصغر
+
+394
+00:48:10,780 --> 00:48:12,900
+من أو ساوي ال suprem
+
+395
+00:48:17,590 --> 00:48:26,170
+وبالتالي هذا معناه انه الصحيح
+
+396
+00:48:26,170 --> 00:48:34,450
+ففي الحالة هذه اذا ال supreman لست ال star و you
+
+397
+00:48:34,450 --> 00:48:41,610
+is upper bound upper bound للإتحاد
+
+398
+00:48:44,300 --> 00:48:54,800
+bound of S union single to new لأن
+
+399
+00:48:54,800 --> 00:49:03,260
+��ذا fixed ماشي الحال فهذا بحل إشكالية و بعديها
+
+400
+00:49:03,260 --> 00:49:07,380
+بنشطب كل الكلام هذا لأ ما هو هذا الكلام يعني هو
+
+401
+00:49:07,380 --> 00:49:15,430
+تقريبا تفسير ل .. بما أن ال ..هذا مالوش داعي صار
+
+402
+00:49:15,430 --> 00:49:23,350
+هذا مالوش داعي وهذه الخطوة بدل ما نكتبها هنا هذا
+
+403
+00:49:23,350 --> 00:49:27,430
+هي إذا مرة تانية إن أيد البرهان الآن يعني البرهان
+
+404
+00:49:27,430 --> 00:49:33,170
+مافي مشكلة ان شاء الله هاي بنثبت X في الاتحاد تبع
+
+405
+00:49:33,170 --> 00:49:38,990
+المجمعتين هذول الآن X تنتمي للست هذه أو تنتمي للست
+
+406
+00:49:38,990 --> 00:49:52,140
+هذه يعني بتساوي LUوبالتالي ال X تنتمي ل S فهي
+
+407
+00:49:52,140 --> 00:49:56,180
+أصغر من أو ساوي ال supremum ل 6S اللي هو S الصغير
+
+408
+00:49:57,460 --> 00:50:04,020
+أو X أصغر من أو يساوي ال U X بالساوي ال U بتقدي ان
+
+409
+00:50:04,020 --> 00:50:08,900
+X أصغر من أو يساوي ال U الان لو أخدت ال suprem ل S
+
+410
+00:50:08,900 --> 00:50:12,920
+أصغر و U طبعا هذه finite set of real numbers وفي
+
+411
+00:50:12,920 --> 00:50:16,780
+تمرين بيقول لو عندي finite set of real numbers فال
+
+412
+00:50:16,780 --> 00:50:21,390
+suprem تبعها موجودو ينتمي لل set و ال infimum
+
+413
+00:50:21,390 --> 00:50:24,630
+تبعها أيضا موجود و ينتمي ل .. يعني يكون عنصر في ال
+
+414
+00:50:24,630 --> 00:50:28,530
+set هذا أحد التمارين اللي طبعا ما عليناهوش لكن
+
+415
+00:50:28,530 --> 00:50:34,090
+بإمكانكم تثبتوه by induction فهذه finally ال set
+
+416
+00:50:34,090 --> 00:50:37,390
+إذا ال suprem تبعها exist إلا أن هذا ال suprem
+
+417
+00:50:37,390 --> 00:50:41,990
+أكبر من أو ساوي S star وبالتالي أكبر من أو ساوي X
+
+418
+00:50:41,990 --> 00:50:46,790
+و هذا ال suprem أكبر من أو ساوي U
+
+419
+00:50:50,610 --> 00:50:55,450
+وبالتالي أكبر من أو يساوي ال X اللي هي U أكبر من
+
+420
+00:50:55,450 --> 00:51:01,150
+أو ساوي، إذا الأن هذا الكلام صحيح لكل X ينتمي
+
+421
+00:51:01,150 --> 00:51:09,230
+للإتحادهذا العدد الان أكبر من أو ساوي كل عناصر ال
+
+422
+00:51:09,230 --> 00:51:13,350
+6 في الاتحاد فهو upper bound لل 6 هذه فهو upper ان
+
+423
+00:51:13,350 --> 00:51:18,770
+العدد هذا upper bound لل 6 هذه الان أثبتنا ان هذا
+
+424
+00:51:18,770 --> 00:51:23,380
+ال upper bound هو أصغر upper bound للاتحادو هي
+
+425
+00:51:23,380 --> 00:51:29,160
+أخدنا أي upper bound عشوائي للاتحاد طلع هذا ال
+
+426
+00:51:29,160 --> 00:51:33,140
+upper bound العشوائي أكبر من أو ساوي العدد هذا
+
+427
+00:51:33,140 --> 00:51:36,720
+اللي بدنا إياه هو ال supremum إذا هذا العدد هو ال
+
+428
+00:51:36,720 --> 00:51:42,940
+supremum للست هذه تمام؟ okay؟ في أي سؤال تاني؟
+
+429
+00:51:42,940 --> 00:51:51,480
+فخلينا نحللنا كمان سؤالينفي ال .. نحل مثلا خليني
+
+430
+00:51:51,480 --> 00:51:54,300
+انا اختارلكم بعض الأسئلة مدام انتوا يعني شاكلكم
+
+431
+00:51:54,300 --> 00:51:59,300
+الا طبعا اذا حد سائل خليني امسح اللوح الأول و نحل
+
+432
+00:51:59,300 --> 00:52:00,240
+كمان سؤالين
+
+433
+00:52:16,370 --> 00:52:21,990
+يعني قبل شوية ذكرنا التمرين
+
+434
+00:52:21,990 --> 00:52:34,770
+هذا التمرين 12 section 2 3 وهذا التمرين بيقول let
+
+435
+00:52:34,770 --> 00:52:51,380
+S بي .. let S بالساوي X1 إلى XNbe any non
+
+436
+00:52:51,380 --> 00:52:58,260
+-empty finite finite
+
+437
+00:52:58,260 --> 00:53:12,080
+set أو subset من R فبنثبت
+
+438
+00:53:12,080 --> 00:53:14,920
+ان ال show
+
+439
+00:53:17,460 --> 00:53:34,980
+in from S و supreme S ينتمي ل S وكذلك
+
+440
+00:53:34,980 --> 00:53:41,720
+ال supreme ل 6S موجود و هو عنصر في 6S
+
+441
+00:53:52,980 --> 00:53:59,400
+Okay إذا ال finite set تبعتي هذه فرضنا أن عناصرها
+
+442
+00:53:59,400 --> 00:54:06,300
+سمينا عناصرها x1, x2 إلى xn لأن هذه set فيها n
+
+443
+00:54:06,300 --> 00:54:18,540
+elements طيب ممكن نرتب العناصر هذهby rearranging
+
+444
+00:54:18,540 --> 00:54:23,200
+indices
+
+445
+00:54:23,200 --> 00:54:27,220
+if
+
+446
+00:54:27,220 --> 00:54:36,520
+necessary اذا كان ضروري we
+
+447
+00:54:36,520 --> 00:54:50,310
+may and dowe may and do assume that
+
+448
+00:54:50,310 --> 00:54:53,890
+x1
+
+449
+00:54:53,890 --> 00:55:04,950
+less than x2 less than less than xn أنا
+
+450
+00:55:04,950 --> 00:55:13,580
+عندي finite set call it x1 إلى xnممكن ان اعيد
+
+451
+00:55:13,580 --> 00:55:20,620
+ترتيب العناصر هذه هى طبعا عداد حقيقية فممكن ان
+
+452
+00:55:20,620 --> 00:55:26,880
+اعيد .. و طبعا كلهم عناصر مش متساوية فممكن
+
+453
+00:55:26,880 --> 00:55:32,200
+اعيد ترتيب او تسمية العناصر هذه المؤشرات تبعات هذه
+
+454
+00:55:32,200 --> 00:55:38,680
+ممكن اعيد ترتيبها بحيث انه يطلع x1 اصغر من x2 اصغر
+
+455
+00:55:38,680 --> 00:55:44,920
+من x3 او هكذا الاكثرهذا ممكن نعمله ولا لأ؟ ممكن
+
+456
+00:55:44,920 --> 00:55:48,380
+الان
+
+457
+00:55:48,380 --> 00:55:54,640
+تعالوا نثبت claim
+
+458
+00:55:54,640 --> 00:56:01,120
+انا بتدعي ان ال minimum لل set S هيطلع بساوي X
+
+459
+00:56:01,120 --> 00:56:08,200
+واحد وهذا ينتمي ل Sيعني بعد ما رتبت العناصر عملت
+
+460
+00:56:08,200 --> 00:56:12,740
+ordering لهم بالطريقة دي فحثبت أن الinfant plus
+
+461
+00:56:12,740 --> 00:56:18,820
+set S بساوي أصغر عنصر في ال set اللي هو X1 و هذا
+
+462
+00:56:18,820 --> 00:56:29,620
+طبعا ينتمي إلى S طيب لبرهان ذلك clearly واضح
+
+463
+00:56:29,620 --> 00:56:40,900
+أن X1 is a lower boundlower bound لست S نظبط لأن
+
+464
+00:56:40,900 --> 00:56:45,740
+X1 أصغر من أو ساوي كل العناصر اللي في الست فهو
+
+465
+00:56:45,740 --> 00:56:51,000
+واضح انه lower bound الان انا بتثبت انه مش بس
+
+466
+00:56:51,000 --> 00:56:54,400
+lower bound هو ال infimum هو ال greatest lower
+
+467
+00:56:54,400 --> 00:57:01,620
+bound اذا هنا now if W is
+
+468
+00:57:04,400 --> 00:57:16,580
+any lower bound .. any lower bound of S فهذا
+
+469
+00:57:16,580 --> 00:57:25,780
+معناه أن W أصغر من أو يساوي Xi لكل I بيساوي 1 2
+
+470
+00:57:25,780 --> 00:57:29,640
+إلى N صح؟
+
+471
+00:57:30,510 --> 00:57:38,370
+و أصغر من أو ساوي كل عناصرها و بالتالي therefore w
+
+472
+00:57:38,370 --> 00:57:44,970
+أصغر من أو ساوي x واحد لأن x واحد هو واحد من عناصر
+
+473
+00:57:44,970 --> 00:57:54,350
+الست إذا أنا عندي الان x واحد is lower bound للستو
+
+474
+00:57:54,350 --> 00:58:00,190
+أي lower bound للست بيطلع أصغر من أو يساوي x واحد
+
+475
+00:58:00,190 --> 00:58:08,770
+اذا by definition ال x واحد اه او ال infimum للست
+
+476
+00:58:08,770 --> 00:58:16,330
+s exist and بيساوي x واحد تمام؟
+
+477
+00:58:16,330 --> 00:58:22,610
+بالمثل ممكن نثبت ال .. اه هنا similarly
+
+478
+00:58:26,410 --> 00:58:33,190
+similarly show that ان انا هاسيبكم بطريقة مشابعة
+
+479
+00:58:34,440 --> 00:58:39,920
+تثبتوا ال claim التاني وهو ان ال supremum لل set S
+
+480
+00:58:39,920 --> 00:58:47,620
+exist و بساوي XN و طبعا هذا بينتمي لل set S و هو
+
+481
+00:58:47,620 --> 00:58:52,040
+المطلوب okay تمام ان هيك بنكون أثبتنا ان اي finite
+
+482
+00:58:52,040 --> 00:58:56,920
+set لها supremum لها infimum و هدولة بيطلعوا عناصر
+
+483
+00:58:56,920 --> 00:59:01,960
+فيها بالتحديد ال infimum هو ال least element اصغر
+
+484
+00:59:01,960 --> 00:59:07,600
+عنصرفي ال set و ال supremum هو ال greatest element
+
+485
+00:59:07,600 --> 00:59:12,480
+اللي هو أكبر أنصار في ال setهذا طبعا الكلام مش
+
+486
+00:59:12,480 --> 00:59:16,360
+صحيح إذا ال set S كانت infinite هذا بس صحيح في
+
+487
+00:59:16,360 --> 00:59:22,600
+حالة ال finite set إذا ال .. هذا بيكون بيكمل برهان
+
+488
+00:59:22,600 --> 00:59:30,220
+التمرين هذا و بالتالي بنكتفي بحل أو بهذا القدر من
+
+489
+00:59:30,220 --> 00:59:34,260
+حل التمرين و ان شاء الله أسبوع الجاي بنكمل حل
+
+490
+00:59:34,260 --> 00:59:35,400
+تمرين أخرى
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/8Xs3EWM1_9g.srt

@@ -0,0 +1,895 @@
+1
+00:00:21,620 --> 00:00:25,660
+طيب نأخذ أمثلة
+
+2
+00:00:25,660 --> 00:00:31,280
+كيف نجيب الـ supremum والـ infimum لمجموعات جزئية
+
+3
+00:00:31,280 --> 00:00:36,300
+من مجموعة الأعداد الحقيقية، فلو أخذت الفترة المغلقة
+
+4
+00:00:36,300 --> 00:00:42,660
+من صفر لواحد، فعايز أفت claim هنا، أدعي أن الـ
+
+5
+00:00:42,660 --> 00:00:48,540
+supremum للست هو واحد، البرهان لذلك حسب تعريف الـ
+
+6
+00:00:48,540 --> 00:00:53,320
+supremum اللي هو least upper bound لازم أثبت شرطين
+
+7
+00:00:53,320 --> 00:00:59,140
+أول شيء الواحد upper bound للـ S، وهذا صحيح، واضح، واحد 
+
+8
+00:00:59,140 --> 00:01:03,860
+is upper bound لمجموعة S لأن الواحد أكبر من أو 
+
+9
+00:01:03,860 --> 00:01:08,930
+يساوي كل العناصر اللي في الفترة، صح؟ إذًا واحد upper 
+
+10
+00:01:08,930 --> 00:01:13,170
+bound، الآن لإثبات أن واحد هو أصغر upper bound الـ
+
+11
+00:01:13,170 --> 00:01:16,950
+supremum، يعني لازم أثبت إنه واحد أصغر من أو يساوي
+
+12
+00:01:16,950 --> 00:01:25,170
+أي upper bound، فلو أخذنا V، V any upper bound، فالـ V
+
+13
+00:01:25,170 --> 00:01:28,310
+أكبر من أو يساوي كل العناصر اللي هنا، من ضمنها
+
+14
+00:01:28,310 --> 00:01:33,530
+الواحد، إذًا الـ V أكبر من أو يساوي الـ واحد، الآن واحد 
+
+15
+00:01:33,530 --> 00:01:38,230
+upper bound والواحد أصغر من أو يساوي أي upper bound
+
+16
+00:01:38,230 --> 00:01:43,910
+V، إذًا الـ واحد هو الـ supremum، إذًا هيك أثبتنا إن 
+
+17
+00:01:43,910 --> 00:01:49,390
+واحد هو الـ supremum، بالمثل ممكن إثبات إن العنصر أو 
+
+18
+00:01:49,390 --> 00:01:54,170
+العدد صفر هو الـ infimum للفترة المغلقة من صفر إلى 
+
+19
+00:01:54,170 --> 00:02:00,850
+واحد، طيب مثال ثاني لو أخذت T هي الفترة المفتوحة من
+
+20
+00:02:00,850 --> 00:02:11,950
+0 لـ 1، فبرضه كمان لو 
+
+21
+00:02:11,950 --> 00:02:18,030
+أخذت T هي الفترة المفتوحة من 0 لـ 1، فممكن إثبات أن
+
+22
+00:02:18,030 --> 00:02:23,970
+الـ supremum لـ T هو 1، واضح إن الواحد upper bound
+
+23
+00:02:23,970 --> 00:02:29,030
+للست، للفترة المفتوحة، لأن واحد أكبر من أو يساوي كل
+
+24
+00:02:29,030 --> 00:02:34,390
+الـ X اللي هنا، هذا واضح، الآن لإثبات أن الواحد هذا
+
+25
+00:02:34,390 --> 00:02:37,310
+هو الـ supremum، في لمّة واحد اتناش خدناها المرة
+
+26
+00:02:37,310 --> 00:02:42,070
+اللي فاتت، بتقول عشان الـ upper bound واحد يكون هو
+
+27
+00:02:42,070 --> 00:02:47,310
+الـ supremum لازم أثبت إنه في شرط لكل ابسلون أكبر 
+
+28
+00:02:47,310 --> 00:02:56,120
+من الصفر يوجد عنصر S، Y في الست S أو T هنا، بحيث إنه
+
+29
+00:02:56,120 --> 00:03:02,300
+واحد سالب الـ epsilon أصغر من S، epsilon، فهنثبت
+
+30
+00:03:02,300 --> 00:03:07,900
+الكلام هذا، إذًا هنا هينبدأ let epsilon أكبر من 
+
+31
+00:03:07,900 --> 00:03:11,940
+الصفر be given، لأن الـ epsilon هذا ممكن يكون أصغر
+
+32
+00:03:11,940 --> 00:03:17,980
+من أو يساوي الواحد أو أكبر من أو أكبر من الواحد
+
+33
+00:03:20,030 --> 00:03:22,970
+الإبسلون هذا عدد موجب، ممكن جدًا يكون أصغر من أو
+
+34
+00:03:22,970 --> 00:03:26,170
+يساوي الواحد أو أكبر من واحد، نأخذ الحالة الأولى، لو
+
+35
+00:03:26,170 --> 00:03:30,770
+إبسلون أصغر من أو يساوي الواحد، فحأخذ S إبسلون، أعرف
+
+36
+00:03:30,770 --> 00:03:36,330
+S إبسلون، واحد سالب إبسلون على اتنين، هذا العدد
+
+37
+00:03:36,330 --> 00:03:41,350
+بيطلع عدد أكبر من صفر وأصغر من واحد، وبالتالي ينتمي
+
+38
+00:03:41,350 --> 00:03:45,510
+للتين، الآن
+
+39
+00:03:45,510 --> 00:03:53,380
+لو أخذت واحد وطرحت منها إبسلون، فهذا بيطلع أصغر يعني
+
+40
+00:03:53,380 --> 00:03:59,840
+لو أخذت واحد وطرحت منها epsilon فهذا أصغر من واحد 
+
+41
+00:03:59,840 --> 00:04:06,500
+سالب epsilon على اتنين، هذا طرحت منه عدد أكبر من هذا
+
+42
+00:04:06,500 --> 00:04:17,080
+لذا هذا أصغر من الثاني، وبعدين ليش يقصر؟ طب 
+
+43
+00:04:17,080 --> 00:04:25,100
+ما هذا هو S إبسلون، هذا هو سإبسلون، إذا
+
+44
+00:04:25,100 --> 00:04:30,160
+في الحالة هذه لأي إبسلون أكبر من الصفر، هين أثبتت 
+
+45
+00:04:30,160 --> 00:04:36,740
+إن يوجد S إبسلون في T، وهذا الـ S إبسلون أكبر من 
+
+46
+00:04:36,740 --> 00:04:40,600
+واحد سالب إبسلون أو واحد سالب إبسلون أصغر من S
+
+47
+00:04:40,600 --> 00:04:47,480
+إبسلون، هذا هو الشرط اللي في لمّة واحد اتناش، هينتقل
+
+48
+00:04:48,090 --> 00:04:52,170
+الحالة الثانية، لو كان إمسنان أكبر من واحد فأكيد
+
+49
+00:04:52,170 --> 00:04:56,050
+واحد سالب إمسنان هيطلع عدد سالب، يعني أصغر من صفر،
+
+50
+00:04:56,050 --> 00:05:01,930
+والـ X هذا .. الـ X هذا لو أخذت أي X في T فأي X في T
+
+51
+00:05:01,930 --> 00:05:06,300
+موجب، أي X في T موجب، إذًا هين أثبتنا في الحالة
+
+52
+00:05:06,300 --> 00:05:13,160
+الثانية إنه لو كان epsilon أكبر من واحد فبطلع مش
+
+53
+00:05:13,160 --> 00:05:18,620
+يوجد S epsilon واحد في T، كل عناصر الـ T بتحقق إنه
+
+54
+00:05:18,620 --> 00:05:24,120
+واحد سالب epsilon أصغر من S أو S epsilon، وبالتالي
+
+55
+00:05:24,120 --> 00:05:28,420
+في كلتا الحالتين الـ both cases الشرط تبع لما واحد 
+
+56
+00:05:28,420 --> 00:05:33,490
+اتناشر تبع الـ supremum اللي بكافئ الـ supremum متحقق
+
+57
+00:05:33,490 --> 00:05:39,810
+وبالتالي واحد هو الـ supremum لـ T، مثال
+
+58
+00:05:39,810 --> 00:05:46,710
+ثالث، احنا شفنا قبل شوية في بداية المحاضرة إن كل
+
+59
+00:05:46,710 --> 00:05:51,510
+عدد حقيقي هو upper bound وكذلك lower bound
+
+60
+00:05:51,510 --> 00:05:57,070
+للمجموعة الخالية Φ، وبناء على ذلك Φ does not
+
+61
+00:05:57,070 --> 00:06:00,730
+have a supremum ولا infimum
+
+62
+00:06:03,600 --> 00:06:14,960
+هي برهان Φ has no .. Φ has no supremum، البرهان
+
+63
+00:06:14,960 --> 00:06:19,380
+proof، assume 
+
+64
+00:06:19,380 --> 00:06:24,240
+that
+
+65
+00:06:24,240 --> 00:06:32,620
+u belong to R is supremum Φ، الـ least upper bound
+
+66
+00:06:32,620 --> 00:06:33,120
+لـ Φ
+
+67
+00:06:40,890 --> 00:06:53,830
+then u سالب واحد أصغر من u، and u سالب واحد هاد عدد
+
+68
+00:06:53,830 --> 00:07:00,610
+حقيقي is upper bound
+
+69
+00:07:00,610 --> 00:07:13,110
+of الـ Φ، كمان مرة نفرض إن U جد U، نفرض
+
+70
+00:07:13,110 --> 00:07:21,590
+إن U جد U جد U بالنمط R وهو Supremum لـ Φ، طيب U
+
+71
+00:07:21,590 --> 00:07:27,000
+سالب واحد أصغر من U، وقبل شوية كنا ملاحظة إن أي عدد
+
+72
+00:07:27,000 --> 00:07:32,440
+حقيقي زي هذا عبارة عن upper bound لـ Φ، فـ K في الـ
+
+73
+00:07:32,440 --> 00:07:37,080
+U .. K في الـ U هو الـ supremum، K في الـ U هو الـ
+
+74
+00:07:37,080 --> 00:07:40,580
+supremum هو أصغر upper bound، وفي upper bound أصغر
+
+75
+00:07:40,580 --> 00:07:47,260
+منه، هذا بدّيني تناقض which
+
+76
+00:07:47,260 --> 00:07:52,340
+.. which is a contradiction
+
+77
+00:07:59,520 --> 00:08:04,320
+إن هذا بدّيني تناقض، وبالتالي هذا إثبات أن الـ Fi
+
+78
+00:08:04,320 --> 00:08:10,700
+مالهاش Supremum، بالمثل ممكن إثبات أن الـ Fi أو 
+
+79
+00:08:10,700 --> 00:08:20,420
+المجموعة الخالية ليس لها Supremum، طيب
+
+80
+00:08:20,420 --> 00:08:22,620
+نيجي للـ completeness property
+
+81
+00:08:29,610 --> 00:08:34,370
+الـ completeness property of R بتنص على إنه كل
+
+82
+00:08:34,370 --> 00:08:40,990
+مجموعة غير خالية .. كل مجموعة غير خالية S من R و
+
+83
+00:08:40,990 --> 00:08:45,010
+bounded above .. و bounded above محدودة من أعلى
+
+84
+00:08:45,010 --> 00:08:50,430
+has supremum، لازم يكون فيه لها supremum، يعني مثال
+
+85
+00:08:50,430 --> 00:08:57,580
+على ذلك لو أخذنا S بسبب الفترة المغلقة 0،1 أو الفترة
+
+86
+00:08:57,580 --> 00:09:04,960
+المفتوحة من صفر، واحد فهي هذي set و bounded above، إذا
+
+87
+00:09:04,960 --> 00:09:10,960
+الـ property بتقولي بتضمنلي، تضمن إن هذي الـ set لها
+
+88
+00:09:10,960 --> 00:09:15,840
+supremum اللي هو الواحد اللي اثبتناه قبل شوية، إذا 
+
+89
+00:09:15,840 --> 00:09:19,700
+الـ property بتضمن وجود supremum، لكن ما بتجيبليها
+
+90
+00:09:19,700 --> 00:09:26,050
+ولا بتقولي إيش هو؟ عشان نجيبه لازم نعمل برهان زي ما
+
+91
+00:09:26,050 --> 00:09:30,310
+شفنا في الأمثلة السابقة، هد هي الـ supremum أو الـ
+
+92
+00:09:30,310 --> 00:09:33,790
+completeness property، خاصية التمام للأعداد 
+
+93
+00:09:33,790 --> 00:09:38,510
+الحقيقية، الآن زي ما قلتلكم قبل هيك في توقع ما بين
+
+94
+00:09:38,510 --> 00:09:42,130
+الـ upper bounds والـ lower bounds، الـ supremums والـ
+
+95
+00:09:42,130 --> 00:09:52,510
+infimums، فالـ .. الـ .. أي خاصية صحيحة للـ supremum
+
+96
+00:09:52,510 --> 00:09:58,170
+بتكون في مقابلها خاصية صحيحة للـ infimum، ففي نتيجة 
+
+97
+00:09:58,170 --> 00:10:03,640
+هنا على completeness property، corollary بنسميها الـ
+
+98
+00:10:03,640 --> 00:10:07,580
+infimum property of R، لإن في supremum property of 
+
+99
+00:10:07,580 --> 00:10:12,260
+R وفي بقبلها infimum property of R، فالـ infimum
+
+100
+00:10:12,260 --> 00:10:16,160
+property of R بتقول إن every non-empty subset S of 
+
+101
+00:10:16,160 --> 00:10:21,160
+R which is bounded below has an infimum، يعني كل
+
+102
+00:10:21,160 --> 00:10:26,440
+مجموعة غير خالية من العداد الحقيقية ومحصورة من
+
+103
+00:10:26,440 --> 00:10:30,460
+أسفل لازم يكون لها infimum أو أكبر حد أدنى
+
+104
+00:10:38,820 --> 00:10:45,060
+وهي البرهان .. نشوف البرهان تبع الـ .. الـ corollary
+
+105
+00:10:45,060 --> 00:10:54,520
+أو النتيجة هذه، بنعرف set .. بنعرف الـ set E على 
+
+106
+00:10:54,520 --> 00:10:59,120
+أنها كل العناصر W اللي بتكون lower bound للمجموعة
+
+107
+00:10:59,120 --> 00:11:06,510
+S، طيب by hypothesis حسب الفرض الـ E مجموعة غير
+
+108
+00:11:06,510 --> 00:11:09,610
+خالية، يعني فيها على الأقل عنصر، ليه؟ لإن احنا
+
+109
+00:11:09,610 --> 00:11:16,090
+فرضين إن المجموعة S، المجموعة S هذه bounded below،
+
+110
+00:11:16,090 --> 00:11:19,710
+يعني إلها lower bound، وبالتالي إذا في على الأقل 
+
+111
+00:11:19,710 --> 00:11:24,350
+عنصر واحد، W في E، إذا الـ E مجموعة غير خالية، 
+
+112
+00:11:24,350 --> 00:11:25,990
+تمام؟ هذا من الفرض
+
+113
+00:11:29,380 --> 00:11:34,720
+كذلك من الفرض أي X في S ثبار عن upper bound لـ E
+
+114
+00:11:34,720 --> 00:11:49,760
+لو كان X ينتمي إلى S فهذا بيقدّي إنه W أصغر من أو 
+
+115
+00:11:49,760 --> 00:11:56,160
+يساوي X لكل W في E
+
+116
+00:12:04,760 --> 00:12:11,300
+ليه هذا الكلام صحيح؟ لأن كل W في E عبارة عن lower
+
+117
+00:12:11,300 --> 00:12:17,300
+bound لـ S، وبما أن W lower bound لـ S فأي عنصر في S
+
+118
+00:12:17,300 --> 00:12:23,480
+بيكون أكبر من أو يساوي الـ lower bound، صح؟ إذًا هذا
+
+119
+00:12:23,480 --> 00:12:28,360
+معناه إن X upper bound، هي X أكبر من أو يساوي كل
+
+120
+00:12:28,360 --> 00:12:33,820
+عناصر الـ E، وبالتالي أي X في S هو عبارة عن 
+
+121
+00:12:40,550 --> 00:12:45,910
+أي x في s هو upper bound للست
+
+122
+00:12:51,680 --> 00:12:57,900
+خاصية التمام، إذا الـ .. الـ set E هذه is bounded
+
+123
+00:12:57,900 --> 00:13:02,580
+above وبالتالي يوجد إلها supremum، الـ supremum تبعها 
+
+124
+00:13:02,580 --> 00:13:08,100
+لو سميته small s exists in R، هذا .. وجود الـ supremum 
+
+125
+00:13:08,100 --> 00:13:14,560
+مضمون باستخدام الـ supremum property، الآن بدنا نثبت إن
+
+126
+00:13:14,560 --> 00:13:21,000
+هذا العدد small s هو الـ infimum، هو الـ infimum
+
+127
+00:13:21,000 --> 00:13:27,100
+للست S، وهيك بنكون كملنا البرهان، إذا الإثبات 
+
+128
+00:13:27,100 --> 00:13:33,580
+للادعاء هذا إن عندي الـ S هنا بساوي supremum E
+
+129
+00:13:33,580 --> 00:13:40,780
+وبالتالي الـ S هذا upper bound لـ E، يعني S أكبر من 
+
+130
+00:13:40,780 --> 00:13:42,340
+أو يساوي كل الـ X في E
+
+131
+00:13:46,050 --> 00:13:52,070
+الآن بناء على المتباينة هذه أو الجملة هذه لإثبات
+
+132
+00:13:52,070 --> 00:13:58,610
+أن S هي الـ infimum لـ Capital S يبقى إثبات إن S
+
+133
+00:13:58,610 --> 00:14:06,830
+عبارة عن lower bound، S is a lower bound of S، ليش
+
+134
+00:14:06,830 --> 00:14:11,350
+هذا يكفي لإثبات إن S هو الـ infimum لـ S؟
+
+135
+00:14:15,610 --> 00:14:20,590
+تعال نشوف ليش هذا يكفي، يكفي
+
+136
+00:14:20,590 --> 00:14:28,850
+إثبات إن الـ S is a lower bound للـ Capital S، يعني بدنا
+
+137
+00:14:28,850 --> 00:14:34,830
+نثبت إن الـ X عفوا
+
+138
+00:14:34,830 --> 00:14:43,410
+الـ S أصغ�� من أو يساوي كل العناصر Y
+
+139
+00:14:58,200 --> 00:15:03,540
+يعني بدنا نثبت إن S ينتمي
+
+140
+00:15:03,540 --> 00:15:09,980
+للست E يعني 
+
+141
+00:15:09,980 --> 00:15:17,320
+لإثبات أن S is the lower bound of S معناه بدّ أثبت
+
+142
+00:15:17,320 --> 00:15:20,560
+أن S عنصر في E لأن E is the set of all lower
+
+143
+00:15:20,560 --> 00:15:25,380
+bounds of S صح؟ فلو أثبتت أن S تنتمي إلى E
+
+144
+00:15:34,100 --> 00:15:41,300
+فالمفروض هذا معناه أن الـ S .. آه هايه .. لو هذا الـ
+
+145
+00:15:41,300 --> 00:15:47,680
+S .. لو هذا الـ S أثبتت أنه .. لو أثبتت أن الـ S هذا
+
+146
+00:15:47,680 --> 00:15:49,380
+ينتمي إلى E؟
+
+147
+00:15:52,900 --> 00:15:58,420
+فمعناه أن كل العناصر اللي في E أصغر من أو يساوي الـ
+
+148
+00:15:58,420 --> 00:16:04,900
+S طيب كل العناصر X اللي في E هي عبارة عن lower
+
+149
+00:16:04,900 --> 00:16:11,330
+bounds لـ S وإذا كان S موجود في E بيكون أيضًا lower
+
+150
+00:16:11,330 --> 00:16:17,350
+bound لـ S لكن الـ S هذا يتمتع بالخاصية أنه أكبر من
+
+151
+00:16:17,350 --> 00:16:22,970
+أو يساوي كل عناصر الـ set A إذا هو أكبر lower bound
+
+152
+00:16:22,970 --> 00:16:29,560
+يعني هو الـ infimum صح؟ تمام؟ مرة ثانية احنا وصلنا
+
+153
+00:16:29,560 --> 00:16:35,780
+أن الـ X كل العناصر X في E أصغر من أو يساوي S الآن
+
+154
+00:16:35,780 --> 00:16:42,800
+لو أثبتت أن الـ S هذا ينتمي لـ E يعني lower bound لـ
+
+155
+00:16:42,800 --> 00:16:50,130
+S معناه أن الـ S هذا أكبر من أو يساوي كل عناصر الـ E
+
+156
+00:16:50,130 --> 00:16:54,890
+وبالتالي هو أكبر lower
+
+157
+00:16:54,890 --> 00:17:02,450
+bound يعني هو الـ infimum إذا فعلاً يكفي أو يبقى
+
+158
+00:17:02,450 --> 00:17:06,990
+إثبات أن الـ S اسمه الـ S lower bound للـ S فلبرهان
+
+159
+00:17:06,990 --> 00:17:11,770
+ذلك بنعمل برهان بالتناقض افترض أن اللي احنا
+
+160
+00:17:11,770 --> 00:17:18,960
+بنثبته خطأ يعني اسمه الـ S ليس lower bound للـ set S
+
+161
+00:17:18,960 --> 00:17:23,500
+هذا معناه بقدر ألاقي عنصر Y في S وهذا الـ Y أصغر
+
+162
+00:17:23,500 --> 00:17:30,600
+من S لأن S ليس lower bound فهذا بيؤدي .. لاحظوا أن
+
+163
+00:17:30,600 --> 00:17:35,400
+الـ S هو الـ supremum لـ E .. S هو الـ supremum لـ E و
+
+164
+00:17:35,400 --> 00:17:42,980
+Y أصغر منه إذن Y هذا مش ممكن يكون upper bound للـ set
+
+165
+00:17:42,980 --> 00:17:49,920
+E الـ Y أصغر من S و S يساوي supremum E إذا Y مش ممكن
+
+166
+00:17:49,920 --> 00:17:54,740
+يكون upper bound لـ E لأنه ما يجوز هذا يكون upper
+
+167
+00:17:54,740 --> 00:18:00,320
+bound لـ E وهذا أصغر upper bound لـ E صح؟ طيب إذا
+
+168
+00:18:00,320 --> 00:18:05,980
+الـ Y مش ممكن يكون upper bound لـ E إذا بقدر ألاقي X
+
+169
+00:18:05,980 --> 00:18:12,160
+في E وهذا الـ X أكبر من الـ Y هذه المتباينة بتعطيني 
+
+170
+00:18:12,160 --> 00:18:12,840
+تناقض
+
+171
+00:18:16,450 --> 00:18:23,870
+تتناقض مع تعريف الـ set E كيف X تنتمي لـ E كيف الـ X 
+
+172
+00:18:23,870 --> 00:18:29,510
+تنتمي لـ E وفي نفس الوقت X أكبر من عنصر ما اللي 
+
+173
+00:18:29,510 --> 00:18:35,010
+هو Y في S يعني الـ X هذا ليس lower bound هذا تناقض
+
+174
+00:18:35,010 --> 00:18:40,130
+okay إذا نصل إلى تناقض وبالتالي هذا التناقض بيقول
+
+175
+00:18:40,130 --> 00:18:42,990
+لي أن الفرض الفرض تبعنا هذا
+
+176
+00:18:45,580 --> 00:18:50,800
+أن s is not lower bound كان فرض خطأ إذا لازم
+
+177
+00:18:50,800 --> 00:19:01,520
+يكون s lower bound وهذا بيكمل برهان الـ claim تمام؟
+
+178
+00:19:01,520 --> 00:19:08,040
+في
+
+179
+00:19:08,040 --> 00:19:09,500
+الـ section القادم
+
+180
+00:19:12,270 --> 00:19:18,530
+هناخد تطبيقات على الـ supreme property والـ infimum
+
+181
+00:19:18,530 --> 00:19:24,410
+property فالتطبيقات
+
+182
+00:19:24,410 --> 00:19:35,230
+هذه هتكون على شكل أمثلة فمثلاً
+
+183
+00:19:35,230 --> 00:19:43,410
+أول تطبيق لو أخدت أي subset من R و bounded above و
+
+184
+00:19:43,410 --> 00:19:49,510
+A أي عدد حقيقي فبنعرف A زائد S على أنه
+
+185
+00:19:49,510 --> 00:19:54,110
+مجموعة كل العناصر على الصورة A plus X حيث X ينتمي
+
+186
+00:19:54,110 --> 00:20:00,890
+لـ S ��لآن ممكن أثبت أن الـ supremum للمجموعة هذه هو
+
+187
+00:20:00,890 --> 00:20:04,870
+عبارة عن A زائد الـ supremum لـ S
+
+188
+00:20:07,460 --> 00:20:16,840
+و هذا يعني البرهان مش صعب أيه بسيط وسهل نشوف مع
+
+189
+00:20:16,840 --> 00:20:22,540
+بعض نفترض أن U هو الـ supremum لـ S الـ set S is bounded
+
+190
+00:20:22,540 --> 00:20:28,980
+above، إذن لها supremum هذا مضمون حسب الـ supremum
+
+191
+00:20:28,980 --> 00:20:33,920
+property وبالتالي الـ U هذا اللي هو الـ supremum هو
+
+192
+00:20:33,920 --> 00:20:38,520
+upper bound لـ S إذا U أكبر من أو يساوي كل عناصر الـ
+
+193
+00:20:38,520 --> 00:20:45,800
+S إذا لو ضفت A على الطرفين فبيطلع A زائد X أصغر من
+
+194
+00:20:45,800 --> 00:20:54,270
+أو يساوي A زائد U لكل X في S وبالتالي العدد هذا عبارة
+
+195
+00:20:54,270 --> 00:20:59,830
+عن upper bound لمن؟ لـ set A زائد S اللي عرفناها قبل
+
+196
+00:20:59,830 --> 00:21:04,310
+شوية لأن هذا العدد أكبر من أو يساوي كل عناصر الـ set
+
+197
+00:21:04,310 --> 00:21:08,850
+هذه اللي على الصورة A زائد X لذلك هي اللي أثبتت أن
+
+198
+00:21:08,850 --> 00:21:13,110
+A زائد U is upper bound للـ set هذه لأن نريد أن نثبت
+
+199
+00:21:13,110 --> 00:21:18,510
+أن A زائد U هو أصغر upper bound للـ set هذه فبناخد أي
+
+200
+00:21:18,510 --> 00:21:24,550
+upper bound آخر للـ set A plus S فطبعًا الـ V Upper
+
+201
+00:21:24,550 --> 00:21:30,410
+Bound للـ set هي U أكبر من أو يساوي كل عناصرها الآن
+
+202
+00:21:30,410 --> 00:21:34,430
+انقل الـ A عن ناحية الثانية فبيصير X أصغر من أو يساوي
+
+203
+00:21:34,430 --> 00:21:40,710
+V ناقص A لكل X في S طيب
+
+204
+00:21:40,710 --> 00:21:47,410
+الآن احنا عندنا الـ U هو الـ supremum لـ S الـ U هو الـ
+
+205
+00:21:47,410 --> 00:21:52,800
+supremum لـ S والآن هذا العدد هذا عبارة عن upper
+
+206
+00:21:52,800 --> 00:22:00,200
+bound of S لأن U أكبر من أو يساوي كل عناصر الـ S
+
+207
+00:22:00,200 --> 00:22:07,400
+وهذا أصغر upper bound لـ S إذن الـ supremum بيطلع
+
+208
+00:22:07,400 --> 00:22:13,240
+أصغر من أو يساوي الـ upper bound V ناقص A لـ S إذن
+
+209
+00:22:13,240 --> 00:22:16,080
+بيطلع عندي U أصغر من أو يساوي
+
+210
+00:22:19,910 --> 00:22:26,350
+أن أنا بيطلع عندي U أصغر من أو يساوي V ناقص A ودي A
+
+211
+00:22:26,350 --> 00:22:30,290
+عن ناحية الثانية فبيصير A زائد U أصغر من أو يساوي V
+
+212
+00:22:30,290 --> 00:22:35,870
+إذا هنا أثبتنا حاجتين أول شيء إنه العدد هذا upper
+
+213
+00:22:35,870 --> 00:22:40,590
+bound للـ set هذه أخذنا أي upper bound عشوائي للـ set
+
+214
+00:22:40,590 --> 00:22:47,640
+هذه فبيطلع العدد A زائد U أصغر من أو يساوي أي upper
+
+215
+00:22:47,640 --> 00:22:52,880
+bound لـ set A زائد S إذا من تعريف الـ supremum بيطلع الـ
+
+216
+00:22:52,880 --> 00:23:00,520
+supremum لـ set A زائد S exist وبيساوى A زائد U أن الـ
+
+217
+00:23:00,520 --> 00:23:05,380
+supremum للـ set هذي هو A زائد U وبالتالي وهذا بيساوي
+
+218
+00:23:05,380 --> 00:23:08,720
+A والـ U هي الـ supremum لـ S أننا هيك بنكون أثبتنا
+
+219
+00:23:08,720 --> 00:23:15,900
+أن supremum الـ set A زائد S هو A زائد supremum S،
+
+220
+00:23:15,900 --> 00:23:21,540
+تمام؟ لو كانت الـ set هذي bounded below فممكن أيضًا
+
+221
+00:23:21,540 --> 00:23:26,960
+نثبت أن الـ infimum لـ A زائد S بيساوي A زائد infimum
+
+222
+00:23:26,960 --> 00:23:33,430
+S، تمام؟ طبعًا في أمثلة أخرى هنا ممكن تقرؤوها و
+
+223
+00:23:33,430 --> 00:23:39,650
+تحضروها ونوقف هنا نكتفي بهذا القدر وبنكمل إن شاء
+
+224
+00:23:39,650 --> 00:23:42,170
+الله يوم السبت المحاضرة القادمة

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Ehj01gka7EU_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1740 @@
+1
+00:00:19,740 --> 00:00:27,020
+بسم الله الرحمن الرحيم هنواصل اليوم تغطية section
+
+2
+00:00:27,020 --> 00:00:34,550
+5-3اللي بتعلق ب .. موضوع ال continuous functions
+
+3
+00:00:34,550 --> 00:00:40,590
+على ال intervals على الفترات احنا بدينا ال ..
+
+4
+00:00:40,590 --> 00:00:46,690
+بدينا الموضوع هذا المحاضرة السابقة و كان اخر نظرية
+
+5
+00:00:46,690 --> 00:00:50,890
+أخدناها اللي هي ال maximum .. maximum minimum
+
+6
+00:00:50,890 --> 00:00:56,870
+theorem نعود نستذكر بس نظرية الأخيرة هذه ال
+
+7
+00:00:56,870 --> 00:00:57,670
+maximum
+
+8
+00:01:12,090 --> 00:01:21,410
+ال maximum minimum minimum
+
+9
+00:01:21,410 --> 00:01:28,050
+theorem يقول
+
+10
+00:01:28,050 --> 00:01:36,050
+إذا كانت if I is a closed and bounded interval is
+
+11
+00:01:36,050 --> 00:01:40,290
+closed and bounded
+
+12
+00:01:46,350 --> 00:01:56,730
+وإذا كانت العملية من I إلى R مستمرة
+
+13
+00:01:56,730 --> 00:02:01,270
+على
+
+14
+00:02:01,270 --> 00:02:02,470
+الفترة I
+
+15
+00:02:07,590 --> 00:02:20,690
+there exist x lower star و x upper star عناصر في I
+
+16
+00:02:20,690 --> 00:02:22,070
+بحيث انه
+
+17
+00:02:24,550 --> 00:02:32,550
+f of x lower star بساوي ال minimum ل range ال
+
+18
+00:02:32,550 --> 00:02:41,450
+function f and f of x super star بساوي ال supremum
+
+19
+00:02:41,450 --> 00:02:49,410
+ل range ال function f وبالتالي هذه بسميها ال
+
+20
+00:02:49,410 --> 00:02:52,930
+absolute maximum
+
+21
+00:02:54,540 --> 00:03:03,820
+value و القيمة هتبسميها ال absolute minimum
+
+22
+00:03:03,820 --> 00:03:06,900
+value
+
+23
+00:03:06,900 --> 00:03:15,920
+لل function f على الفترة I طبعا okay okay في اليوم
+
+24
+00:03:15,920 --> 00:03:22,580
+هناخد نظريات برضه خاصة باتصال الدوال على الفترات
+
+25
+00:03:23,810 --> 00:03:30,090
+فأول نظرية هتكون location location
+
+26
+00:03:30,090 --> 00:03:36,970
+of roots theorem
+
+27
+00:03:36,970 --> 00:03:45,570
+نظرية تحديد ال roots فنفس
+
+28
+00:03:45,570 --> 00:03:46,790
+الحاجة let
+
+29
+00:03:49,750 --> 00:03:57,890
+I be closed and bounded interval على الصورة AB and
+
+30
+00:03:57,890 --> 00:04:06,190
+let f be function from I to R be continuous
+
+31
+00:04:06,190 --> 00:04:09,790
+function
+
+32
+00:04:09,790 --> 00:04:15,390
+على الفترة المغلقة والمحدودة I if
+
+33
+00:04:17,630 --> 00:04:29,370
+لو كان f of a أصغر من صفر أصغر من f of b او f of b
+
+34
+00:04:29,370 --> 00:04:38,610
+أصغر من صفر أصغر من f of a then
+
+35
+00:04:38,610 --> 00:04:48,980
+there exist c ينتميللفترة المفتوحة من a إلى b بحيث
+
+36
+00:04:48,980 --> 00:04:57,540
+أن f of c بيساوي سفر فالنظرية
+
+37
+00:04:57,540 --> 00:05:08,100
+هذه ممكن أنلخصها بالرسمة التالية محاور
+
+38
+00:05:08,100 --> 00:05:13,280
+الأحداثيات وممكن يكون في ending حاجة زي هذه
+
+39
+00:05:22,650 --> 00:05:28,930
+فهي function هذه عبارة عن ال graph y بساوي f of x
+
+40
+00:05:28,930 --> 00:05:37,750
+ال function هذه متصلة على الفترة المغلطة من a ل d
+
+41
+00:05:37,750 --> 00:05:42,890
+وهي
+
+42
+00:05:42,890 --> 00:05:51,450
+عندي f of a أصغر من سفر وهي عندي
+
+43
+00:05:59,190 --> 00:06:02,510
+النظرية بتقول لو كان في اندرالا متصلة زي هذه على
+
+44
+00:06:02,510 --> 00:06:07,830
+فترة مغلقة من a لb وكان f of a أصغر من الصفر و
+
+45
+00:06:07,830 --> 00:06:16,370
+الصفر أصغر من f of bلابد ان نجد نقطة C بين A وB
+
+46
+00:06:16,370 --> 00:06:21,030
+بحيث ان قيمة الـ function عندها بالساوي سفر و واضح
+
+47
+00:06:21,030 --> 00:06:26,270
+ان نقطة C هي قيمة الـ function عندها بالساوي سفر
+
+48
+00:06:26,270 --> 00:06:30,830
+ممكن برضه يكون العكس يعني الملحانة هذا يكون شكله
+
+49
+00:06:30,830 --> 00:06:31,430
+زي هيك
+
+50
+00:06:35,680 --> 00:06:41,700
+فيكون يعني عندي هنا ال F of B هي السالة بقى وهي
+
+51
+00:06:41,700 --> 00:06:46,580
+عند ال A فال F of B هي الموجة بقى برضه نفس النتيجة
+
+52
+00:06:46,580 --> 00:06:47,620
+okay تمام؟
+
+53
+00:06:55,410 --> 00:06:59,790
+البرهان النظرية هذه يعني it's زي ما بيقولوا it's
+
+54
+00:06:59,790 --> 00:07:06,630
+quite technical يعني فيه شوية تفاصيل تقنية زاد انه
+
+55
+00:07:06,630 --> 00:07:13,090
+طويل شوية فاحنا عشان بصدر نهاية الفصل مابناش ناخد
+
+56
+00:07:13,090 --> 00:07:16,330
+.. ناخد .. ناخد في البرهين الطويلة فحسيبكم تقراوا
+
+57
+00:07:16,330 --> 00:07:19,530
+البرهان اذا see the textbook
+
+58
+00:07:25,030 --> 00:07:32,130
+إذا الممكن بدؤوكم يمكن تقرؤوا البرهان من الكتاب و
+
+59
+00:07:32,130 --> 00:07:36,770
+تحاولوا تفهموه طبعا البرهان طويل مابنجوبش طبعا
+
+60
+00:07:36,770 --> 00:07:41,990
+البرهين طويلة جه هدف الامتحانات okay فهذا بالنسبة
+
+61
+00:07:41,990 --> 00:07:46,930
+للبرهان الآن هاي مثال مثلا مثال example
+
+62
+00:07:54,050 --> 00:07:58,270
+Show that the
+
+63
+00:07:58,270 --> 00:08:03,470
+equation f
+
+64
+00:08:03,470 --> 00:08:11,510
+of x بتساوي x في e أُس x سالب اتنين بتساوي سفر has
+
+65
+00:08:11,510 --> 00:08:14,210
+a root
+
+66
+00:08:20,420 --> 00:08:29,980
+in الـ interval من سفر لواحد لنثبت
+
+67
+00:08:29,980 --> 00:08:35,200
+ان المعادلة f of x بالساوي سفر عشان f of x بالساوي
+
+68
+00:08:35,200 --> 00:08:43,100
+الدالة هذه لها جدر يعني بنقدر اللاجم اي
+
+69
+00:08:43,100 --> 00:08:54,460
+هذا يعني showان يوجد C ينتمي للفترة المغلقة من سفر
+
+70
+00:08:54,460 --> 00:09:01,900
+لواحد بحيث انه اخه C مساره سفر ففي الحالة اللي
+
+71
+00:09:01,900 --> 00:09:07,360
+بنقول انه C root جدر للمعادلة او C zero لل
+
+72
+00:09:07,360 --> 00:09:14,900
+function F فبنرفبت الكلام هذا فحسب النظرية هذه
+
+73
+00:09:27,630 --> 00:09:35,370
+F of X بساوي X في E to X سالب اتنين is continuous
+
+74
+00:09:35,370 --> 00:09:40,650
+متصلة على الفترة المغلقة من سفر لواحد
+
+75
+00:09:47,890 --> 00:09:51,510
+لأن X في E to X هي دالة متصلة اتراحى منها ثابت
+
+76
+00:09:51,510 --> 00:09:56,750
+دالة متصلة على R كذلك
+
+77
+00:09:56,750 --> 00:10:06,460
+انا عندي F of سفر بساوي سالب اتنين اصغر من سفرو F
+
+78
+00:10:06,460 --> 00:10:15,300
+of واحد بالساوي E ثاند اتنين وال E معروف انه عدد
+
+79
+00:10:15,300 --> 00:10:21,100
+اكبر من اتنين فهذا اكبر من ساكنة اذا هاي شروط ال
+
+80
+00:10:21,100 --> 00:10:28,500
+location of roots ال theorem كلها متحققة hence by
+
+81
+00:10:28,500 --> 00:10:33,700
+location of roots theorem
+
+82
+00:10:36,360 --> 00:10:42,300
+يوجد C أنتمي للفترة المغلقة من ستة إلى واحد بحيث
+
+83
+00:10:42,300 --> 00:10:55,640
+انه F of C بساوي سفر اذا هنا اثبتنا ان C is a root
+
+84
+00:10:55,640 --> 00:11:01,400
+of equation F of X
+
+85
+00:11:04,080 --> 00:11:09,640
+بساوي X في E أس X minus اتنين بساوي سفر وهو
+
+86
+00:11:09,640 --> 00:11:16,360
+المطلوب اذا هنا اثبتنا ان فعلا المعادلة هذه لها
+
+87
+00:11:16,360 --> 00:11:22,720
+جذر في الفترة هذا الجذر يقع هو عدد C يقع في الفترة
+
+88
+00:11:22,720 --> 00:11:28,180
+من سفر لوحده عدد من سفر لوحده طبعا ممكن هذا العدد
+
+89
+00:11:28,180 --> 00:11:35,450
+C نعمله تقريب إلى أقرب يعنيبحيث يكون النسبة الخطأ
+
+90
+00:11:35,450 --> 00:11:41,470
+من القيمة الحقيقية تبقى تكون أقل من واحد على ألف
+
+91
+00:11:41,470 --> 00:11:46,210
+أو واحد على مية أو واحد على عشر ألف فالكتاب الموضح
+
+92
+00:11:46,210 --> 00:11:51,610
+لكم هي هنا في المثال كيف نجيب تقريب نحصل العدد
+
+93
+00:11:51,610 --> 00:11:55,730
+سيرة بحيث نطلع تقريبا قريب من القيمة الحقيقية
+
+94
+00:11:55,730 --> 00:11:59,030
+والفرق بينها ومن القيمة الحقيقية واللي هنجيبها في
+
+95
+00:11:59,030 --> 00:12:05,240
+المثال تكون أقل من واحد على ألف أوش زيهافممكن تقرأ
+
+96
+00:12:05,240 --> 00:12:09,960
+و تشوف الكلام هذا في الكتاب لكن احنا اللي بهمنا ان
+
+97
+00:12:09,960 --> 00:12:15,460
+ال equation هذه ضمننا انه في لها root في الفترة
+
+98
+00:12:15,460 --> 00:12:18,740
+هذه حسب ال location of roots في الفترة الباقية
+
+99
+00:12:18,740 --> 00:12:24,520
+كانت تخلي ال root هذا يعني تجيبله قيمة قريبة جدا
+
+100
+00:12:24,520 --> 00:12:30,020
+من القيمة الحقيقية هذه مجرد يعني تفاصيل حسابية
+
+101
+00:12:30,020 --> 00:12:36,320
+okay فحاولوا تقراوها من الكتاب لو سمحتالان هذه
+
+102
+00:12:36,320 --> 00:12:47,540
+النظرية بتقود الى نظرية تانية وهي
+
+103
+00:12:47,540 --> 00:12:55,380
+Bolzano's
+
+104
+00:12:55,380 --> 00:12:57,140
+intermediate
+
+105
+00:13:04,990 --> 00:13:25,730
+value theorem let
+
+106
+00:13:25,730 --> 00:13:29,210
+I be any interval
+
+107
+00:13:36,870 --> 00:13:50,310
+and if from I to R be continuous على
+
+108
+00:13:50,310 --> 00:14:00,830
+الفترة I إذا كان A و B أعداد في الفترة I and
+
+109
+00:14:03,830 --> 00:14:16,170
+K عدد حقيقي such that F of A أصغر من K أصغر من F
+
+110
+00:14:16,170 --> 00:14:20,150
+of B then
+
+111
+00:14:20,150 --> 00:14:31,610
+النتيجة أنه يوجد C ينتمي للفترة I وهذا العدد C يقع
+
+112
+00:14:31,610 --> 00:14:32,010
+بين
+
+113
+00:14:38,340 --> 00:14:48,280
+between a and b such that بحيث ان f and c تطلع
+
+114
+00:14:48,280 --> 00:14:56,720
+بالساوية قيمة k لنعمل
+
+115
+00:14:56,720 --> 00:14:58,740
+رسمة قبل أن أظهر المظهر
+
+116
+00:15:17,560 --> 00:15:37,280
+فممكن يكون في عندي function زي هذه مثلا فهي
+
+117
+00:15:37,280 --> 00:15:43,320
+في عندي فترة I ال dialer معرفة و متصل عليها
+
+118
+00:15:45,810 --> 00:15:52,110
+يعني هذه الفترة من هنا إلى هنا I وممكن يكون في
+
+119
+00:15:52,110 --> 00:15:59,510
+عندي أعداد A وB فممكن يكون مثلا هذه ال A وهذه ال B
+
+120
+00:15:59,510 --> 00:16:04,630
+فهذه
+
+121
+00:16:04,630 --> 00:16:10,450
+F of A فهذه
+
+122
+00:16:10,450 --> 00:16:11,430
+F of A
+
+123
+00:16:16,610 --> 00:16:22,070
+وهي F of B فلو
+
+124
+00:16:22,070 --> 00:16:25,290
+كان
+
+125
+00:16:25,290 --> 00:16:38,180
+K عدد بين F of A و F of B فهي F of B وهي F of Aف K
+
+126
+00:16:38,180 --> 00:16:45,220
+عدد بين F of A و F of B فلهذا العدد نقدر نلاقي C
+
+127
+00:16:45,220 --> 00:16:49,420
+عدد C عدد
+
+128
+00:16:49,420 --> 00:16:53,960
+C بين A و B وبالتالي ينتمي للفترة I
+
+129
+00:16:57,560 --> 00:17:06,760
+إذا C بين A وB وينتمي للفترة I بحيث إن صورة C
+
+130
+00:17:06,760 --> 00:17:12,380
+هي صورة الـ C بساوي العدد P هذا هو بولزانو
+
+131
+00:17:12,380 --> 00:17:16,560
+intermediate value theorem نظرية القيمة الوسيطية
+
+132
+00:17:16,560 --> 00:17:22,740
+نظرية القيمة الوسيطية لبولزانو مرهانة نظرية هذه مش
+
+133
+00:17:22,740 --> 00:17:23,880
+صعبة سهل
+
+134
+00:17:43,340 --> 00:17:48,440
+Proof البرهان بعتمد على ال maximum minimum theorem
+
+135
+00:17:48,440 --> 00:17:55,160
+وعلى اللي هو location of roads theorem ففي عندي
+
+136
+00:17:55,160 --> 00:17:58,740
+هنا حلتين لاحظوا أن a و b أعداد دراوي
+
+137
+00:18:19,180 --> 00:18:25,800
+النتيجة بتكون واضحة لو كان a بساوي b ف f of a
+
+138
+00:18:25,800 --> 00:18:31,470
+بتطلع بساوي f of bوبالتالي اي k بين f of a وf of b
+
+139
+00:18:31,470 --> 00:18:35,690
+هيساوي واحدة منهم وبالتالي ال k بيساوي f of a خد
+
+140
+00:18:35,690 --> 00:18:40,790
+ال c بيساوي a او b فالنتيجة ايه واضح بدهية يعني
+
+141
+00:18:40,790 --> 00:18:49,030
+متحققات القائمة so assume ان
+
+142
+00:18:49,030 --> 00:18:52,630
+a لايساوي b then
+
+143
+00:18:54,390 --> 00:18:58,750
+by tricotomy property إذا كان في عددين بيسويش بعض
+
+144
+00:18:58,750 --> 00:19:06,610
+فبطلع a أصغر من b or b أصغر من a فناخد الحالة
+
+145
+00:19:06,610 --> 00:19:14,850
+الأولى case one لو كان a أصغر من b ففي الحالة هذه
+
+146
+00:19:21,390 --> 00:19:29,810
+لو كان ال a أصغر من b فبدي أعرف define
+
+147
+00:19:29,810 --> 00:19:39,130
+في الحالة هذه define g of x علي أنها الدالة
+
+148
+00:19:39,130 --> 00:19:43,990
+اللي هي بالساوي f
+
+149
+00:19:43,990 --> 00:19:47,990
+of x minus
+
+150
+00:19:47,990 --> 00:19:48,470
+k
+
+151
+00:19:51,460 --> 00:19:56,340
+فطبعا الـ function g الـ function f متصل على
+
+152
+00:19:56,340 --> 00:20:01,680
+الفترة I هو متصل على الفترة المغلقة من a إلى b
+
+153
+00:20:01,680 --> 00:20:07,080
+اللي هي جزء من الفترة I فالـ function g اللي
+
+154
+00:20:07,080 --> 00:20:11,760
+بتساوي f ثالث ثابت مثلها متصل على نفس الفترة اذا g
+
+155
+00:20:11,760 --> 00:20:18,450
+is continuous على الفترة المغلقة من a إلى bاللي هي
+
+156
+00:20:18,450 --> 00:20:22,130
+بالمناسبة مجموعة جزئية من I لأن ال A و ال B
+
+157
+00:20:22,130 --> 00:20:26,530
+موجودين في I و
+
+158
+00:20:26,530 --> 00:20:35,210
+كذلك لاحظوا أن G of A بساوي F of A minus K وهذا ��ن
+
+159
+00:20:35,210 --> 00:20:44,570
+هنا من الفرض هذا بيطلع أصغر من سفروهذا أصغر من F
+
+160
+00:20:44,570 --> 00:20:52,070
+of B minus K F of B minus K بيطلع عموجة اللي هو
+
+161
+00:20:52,070 --> 00:20:58,110
+بساوي G of B اذا هاي شروط ال location of roots ال
+
+162
+00:20:58,110 --> 00:21:01,990
+theorem كلها متحققة هي اندي فانش جي متصلة على فترة
+
+163
+00:21:01,990 --> 00:21:06,560
+مغلقة ومحدودةوقيمة الـ G عند الـ left endpoint
+
+164
+00:21:06,560 --> 00:21:11,980
+سالبة وقيمة الـ G عند ال right endpoint موجبة and
+
+165
+00:21:11,980 --> 00:21:16,220
+then by then
+
+166
+00:21:16,220 --> 00:21:28,020
+by location of roots theorem يوجد
+
+167
+00:21:28,020 --> 00:21:37,570
+C ينتميللفترة I يعني ينتمي يوجد C ينتمي للفترة
+
+168
+00:21:37,570 --> 00:21:46,150
+المطوحة من A وB اللي هي subset من I بحيث انه صورة
+
+169
+00:21:46,150 --> 00:21:54,170
+الـ C عندها بساوي سفر لكن انا عندي G of C من تعريف
+
+170
+00:21:54,170 --> 00:22:02,490
+ال function GG of C بساوي F of C negative K حل
+
+171
+00:22:02,490 --> 00:22:09,850
+المعادلة هذه في F of C فبطلع F of C بساوي K كما هو
+
+172
+00:22:09,850 --> 00:22:15,270
+مطلوب زي ما هو مطلوب ان هيك بتكون برهانة نظرية بس
+
+173
+00:22:15,270 --> 00:22:20,540
+A في الحالة اللي فيها بتكون A أصغر من Bيبقى ندرين
+
+174
+00:22:20,540 --> 00:22:25,300
+النظرية في الحالة التالية case 2 اللي فيها ال b
+
+175
+00:22:25,300 --> 00:22:29,920
+أصغر من a ففي
+
+176
+00:22:29,920 --> 00:22:37,080
+الحالة هذه خلّيني أعرف المرة هذه function h على
+
+177
+00:22:37,080 --> 00:22:45,820
+أنها بتساوي k minus f of x فواضح clearly
+
+178
+00:22:48,290 --> 00:22:57,210
+واضح ان الـ H زيها زي ال F متصلة is continuous على
+
+179
+00:22:57,210 --> 00:23:06,690
+الفترة المغلقة والمحدودة من A ل B and H
+
+180
+00:23:06,690 --> 00:23:15,910
+of A بيساوي K minus K minus F of A بيطلع سالب K
+
+181
+00:23:15,910 --> 00:23:23,460
+minus F of Aومن الفرب هذا بيطلع سالب وهذا أصغر من
+
+182
+00:23:23,460 --> 00:23:36,300
+k minus f of b اللي هو بيطلع h of b كذلك كي لو
+
+183
+00:23:36,300 --> 00:23:41,600
+طرحت من ال k f of b فبيطلع سالب فرق إذا الأن في
+
+184
+00:23:41,600 --> 00:23:45,200
+اندي function h continuous على فترة مغلقة ومحدودة
+
+185
+00:23:45,970 --> 00:23:49,610
+وقيمتها عند الـ left endpoint سالبة وعند ال right
+
+186
+00:23:49,610 --> 00:23:58,170
+point موجبة اذا كل شروط ال location of roots في
+
+187
+00:23:58,170 --> 00:24:04,550
+المحققة so by
+
+188
+00:24:04,550 --> 00:24:12,790
+locationof roots theorem يوجد
+
+189
+00:24:12,790 --> 00:24:23,950
+C ينتمي الى الفترة مظبوط هيك؟ كده كده كده كده كده
+
+190
+00:24:23,950 --> 00:24:30,130
+كده كده كده كده
+
+191
+00:24:30,130 --> 00:24:31,150
+كده كده كده كده كده
+
+192
+00:24:36,660 --> 00:24:43,600
+هك صح K سالب F of B بطلع سالب و هنا هاد المفروض
+
+193
+00:24:43,600 --> 00:24:53,120
+تكون A و هاد A صحيح، بظبط، صح، اذا H of A اللي هي
+
+194
+00:24:53,120 --> 00:24:58,180
+K minus F of A هي K اطرح منها F of A بطلع موجة
+
+195
+00:24:58,940 --> 00:25:03,460
+بينما K سالم F of B بيطلع سالم، مظبوط هيك، إذا U
+
+196
+00:25:03,460 --> 00:25:10,920
+جان C بين B وA وهي طبعا فترة contained in R بحيث
+
+197
+00:25:10,920 --> 00:25:19,420
+انه H of C بيساوي سفر، لكن H of C من تعريفها هي
+
+198
+00:25:19,420 --> 00:25:24,400
+عبارة عن K minus F of C وبالتالي هذا بيقدر حل
+
+199
+00:25:24,400 --> 00:25:30,190
+المعادلة هذه في F of Cفبطلع F of C بساوي K وهو
+
+200
+00:25:30,190 --> 00:25:35,010
+المطلوب إذا في الحالتين أثبتنا أن يوجد C في الفترة
+
+201
+00:25:35,010 --> 00:25:43,510
+I بين A وB وقيمتها عند C بساوي LK إذا نليك بيكون
+
+202
+00:25:43,510 --> 00:25:47,930
+برهاننا Bolzano's Intermediate Value
+
+203
+00:25:55,030 --> 00:26:03,170
+الان هذه النظرية في عليها نتيجة مهمة
+
+204
+00:26:20,170 --> 00:26:26,910
+let I بساوي closed and bounded interval and if the
+
+205
+00:26:26,910 --> 00:26:37,070
+function from I to R be continuous واتصلة على
+
+206
+00:26:37,070 --> 00:26:42,590
+الفترة I تمام؟
+
+207
+00:26:42,590 --> 00:26:45,910
+لو كان
+
+208
+00:26:48,570 --> 00:27:01,130
+فك عدد حقيقي satisfies
+
+209
+00:27:01,130 --> 00:27:08,250
+بيحقق الشرط التالي انه ك .. العدد ك هذا أكبر من أو
+
+210
+00:27:08,250 --> 00:27:16,090
+ساوي ال infimum لست f of I اللي هو range ال Fاللي
+
+211
+00:27:16,090 --> 00:27:20,590
+هي القيمة الصغيرة المطلقة ل F على I وأصغر من أوسعه
+
+212
+00:27:20,590 --> 00:27:24,890
+ال supremum ل range ال F اللي هي ال absolute
+
+213
+00:27:24,890 --> 00:27:29,850
+maximum value ل ال function F على I ففي الحالة هذه
+
+214
+00:27:29,850 --> 00:27:42,260
+من نقدر نلاقي C there existC ينتمي للفترة I بحيث
+
+215
+00:27:42,260 --> 00:27:51,400
+ان F of C بيساوي العدد K وبرهان
+
+216
+00:27:51,400 --> 00:28:00,440
+النظرية هذه سهل By
+
+217
+00:28:00,440 --> 00:28:05,440
+maximum minimum theorem
+
+218
+00:28:11,040 --> 00:28:14,040
+الـ maximum minimum theorem بتقول لو كان في أندي
+
+219
+00:28:14,040 --> 00:28:18,640
+function مفتصلة على فترة مغلقة ومحدودة فال
+
+220
+00:28:18,640 --> 00:28:24,020
+function هذه بتأخذ قيمها العظمى المطلقة وقيمتها
+
+221
+00:28:24,020 --> 00:28:29,360
+العظمى المطلقة وقيمتها العظمى المطلقة على الفترة I
+
+222
+00:28:29,360 --> 00:28:34,920
+يعني في أعداد في الفترة I أندها ال function بتاخد
+
+223
+00:28:34,920 --> 00:28:37,760
+قيمتها العظمى المطلقة وقيمتها العظمى المطلقة
+
+224
+00:28:40,910 --> 00:28:51,330
+إذاً there exist x lower star و x super star عناصر
+
+225
+00:28:51,330 --> 00:29:00,870
+في I بحيث أن ال F of x lower star بساول infimum
+
+226
+00:29:01,750 --> 00:29:10,230
+لسيت f of i and f of x super star بيساوي ال
+
+227
+00:29:10,230 --> 00:29:15,050
+supremum لسيت
+
+228
+00:29:15,050 --> 00:29:26,270
+f of i تمام
+
+229
+00:29:26,270 --> 00:29:27,750
+hence
+
+230
+00:29:31,910 --> 00:29:41,670
+by حسب ال hypothesis ال hypothesis star من الفرض
+
+231
+00:29:41,670 --> 00:29:44,750
+ال star اللي هو احنا فرضين انه ال key عدد key هذا
+
+232
+00:29:44,750 --> 00:29:55,670
+بحق المتباينة يعني we have لديناالـ k أكبر من أو
+
+233
+00:29:55,670 --> 00:30:06,970
+ساوي f of x lower star أصغر من أو ساوي f
+
+234
+00:30:06,970 --> 00:30:15,370
+of upper star و
+
+235
+00:30:15,370 --> 00:30:21,630
+ال function and if is continuousعلى الفترة المغلقة
+
+236
+00:30:21,630 --> 00:30:33,690
+من x lower star ل x super star او
+
+237
+00:30:33,690 --> 00:30:41,650
+لعكس ممكن يكونوا متبادلة تانية او x super star x
+
+238
+00:30:41,650 --> 00:30:46,320
+lower starتعتمد على مين اللي أصغر من التانية إذا
+
+239
+00:30:46,320 --> 00:30:50,760
+كانت هذه أصغر من هذه فهذه تطلع فترة داخل I و F
+
+240
+00:30:50,760 --> 00:30:54,340
+continuous على I ايضا continuous على أي فترة جزئية
+
+241
+00:30:54,340 --> 00:30:58,060
+منها وإذا كان ال X Superstar أصغر من X Lower Star
+
+242
+00:30:58,060 --> 00:30:59,380
+فمناخد الفترة أيضا
+
+243
+00:31:03,410 --> 00:31:08,850
+شروط بولزانو فيروس تراسي فيرم هاي في عندي نقطتين A
+
+244
+00:31:08,850 --> 00:31:16,070
+و B بينتموا للفترة I و F continuous على I
+
+245
+00:31:28,770 --> 00:31:35,190
+وعندي a و b بينتموا للفترة I وعندي K أكبر من أو
+
+246
+00:31:35,190 --> 00:31:47,070
+ساوي F of A أصغر من أو ساوي F of B so by Bolzano's
+
+247
+00:31:57,180 --> 00:32:09,500
+يوجد C ينتمي للفترة I بين X
+
+248
+00:32:09,500 --> 00:32:21,000
+lower star و X super starبحيث ان f of c بساوي
+
+249
+00:32:21,000 --> 00:32:25,580
+العدد k وهذا
+
+250
+00:32:25,580 --> 00:32:30,820
+اللي بدنا نقيله يعني اثبتنا يوجد c ينتمي للفترة I
+
+251
+00:32:30,820 --> 00:32:38,800
+وصورة c بساوي العدد k وهو المطلوب اذا هذه النتيجة
+
+252
+00:32:38,800 --> 00:32:44,440
+على بلزانو intermediate valley theoremبرهنها بكل
+
+253
+00:32:44,440 --> 00:32:51,920
+بساطة وبكل أريحية واضح البرهان في أي استفسار أن
+
+254
+00:32:51,920 --> 00:32:55,420
+البرهان هنا تبع النظرية هذه بعتمد على maximum
+
+255
+00:32:55,420 --> 00:32:59,680
+minimum maximum minimum theorem نظرية القيام
+
+256
+00:32:59,680 --> 00:33:03,360
+القصوى نخدناها المحاضرة اللي فاتت وعلى Bolzano
+
+257
+00:33:03,360 --> 00:33:11,040
+intermediate value theorem okay
+
+258
+00:33:11,040 --> 00:33:11,480
+تمام
+
+259
+00:33:15,690 --> 00:33:23,230
+طيب ال ..
+
+260
+00:33:23,230 --> 00:33:29,290
+ناخد نظرية
+
+261
+00:33:29,290 --> 00:33:38,950
+يمكن
+
+262
+00:33:38,950 --> 00:33:43,350
+ما نحتاجش هدول نمسح
+
+263
+00:33:43,350 --> 00:33:44,010
+اللوح هذا
+
+264
+00:34:03,530 --> 00:34:11,490
+فيرم let I بساوي closed bounded interval be closed
+
+265
+00:34:11,490 --> 00:34:25,090
+and bounded closed and bounded interval and let f
+
+266
+00:34:25,090 --> 00:34:49,240
+from I to Rدي continuous متصلة على الفترة I then
+
+267
+00:34:49,240 --> 00:34:57,280
+النتيجة انه ال set او ال rangeالـ range للـ
+
+268
+00:34:57,280 --> 00:35:08,740
+function I is a closed and bounded closed and
+
+269
+00:35:08,740 --> 00:35:17,460
+bounded interval that
+
+270
+00:35:17,460 --> 00:35:18,920
+is هذا يعني
+
+271
+00:35:21,810 --> 00:35:26,930
+هذا يعني .. يعني النص او نتيجة النظرية دي من كلها
+
+272
+00:35:26,930 --> 00:35:33,850
+خصها في عبارة واحدة وهي انه a continuous function
+
+273
+00:35:33,850 --> 00:35:44,230
+a continuous function preserves .. preserves
+
+274
+00:35:44,230 --> 00:35:49,610
+بتحافظ closed
+
+275
+00:35:51,530 --> 00:35:56,510
+and bounded intervals
+
+276
+00:35:56,510 --> 00:36:00,870
+الدوال
+
+277
+00:36:00,870 --> 00:36:05,130
+المتصلة بتحافظ على ال closed و ال bounded interval
+
+278
+00:36:05,130 --> 00:36:10,350
+يعني ال function f بتاخد I اللي هي closed bounded
+
+279
+00:36:10,350 --> 00:36:13,610
+interval بتعطيني صلتها closed bounded interval
+
+280
+00:36:13,610 --> 00:36:19,410
+زيها من نفس الصنف من نفس النوع لبرهان ذلك
+
+281
+00:36:29,060 --> 00:36:44,440
+ف let M بساوي الالفمن ل range ال F و
+
+282
+00:36:44,440 --> 00:36:50,720
+capital M بساوي ال superman ل range ال F
+
+283
+00:36:56,430 --> 00:37:11,770
+بOTH M AND N EXIST IN R BY MAXIMUM
+
+284
+00:37:11,770 --> 00:37:15,290
+MINIMUM THEOREM
+
+285
+00:37:19,900 --> 00:37:25,120
+نظرية القيام القصوى بتقول إنه إذا كانت f function
+
+286
+00:37:25,120 --> 00:37:30,180
+متصة على closed bounded interval فال .. ال .. ال
+
+287
+00:37:30,180 --> 00:37:34,560
+function إلها قيمة صغيرة مطلقة و إلها قيمة أضمة
+
+288
+00:37:34,560 --> 00:37:39,300
+مطلقة سمها قيمة صغيرة المطلقة M و قيمة الأضمة
+
+289
+00:37:39,300 --> 00:37:44,760
+المطلقة capital M تمام؟
+
+290
+00:37:44,760 --> 00:37:47,580
+clearly
+
+291
+00:37:54,210 --> 00:38:02,370
+F of X أكبر من أو ساوي M أصغر من أو ساوي م لكل X
+
+292
+00:38:02,370 --> 00:38:10,630
+في I قيمة الدالة عند أي X في المجال تبعها أصغر من
+
+293
+00:38:10,630 --> 00:38:15,090
+أو ساوي قيمة العظمى المطلقة و أكبر في نفس المجال
+
+294
+00:38:15,090 --> 00:38:17,370
+أكبر من أو ساوي قيمة الصغر المطلقة
+
+295
+00:38:21,460 --> 00:38:26,040
+فهذا بيقدي which
+
+296
+00:38:26,040 --> 00:38:40,440
+implies هذا بيقدي انه ال .. انه f of I contained
+
+297
+00:38:40,440 --> 00:38:47,680
+في الفترة المغلقة من small m لcapital Mالمتبادلة
+
+298
+00:38:47,680 --> 00:38:53,400
+الأخيرة هذه تثبت أن ال set هذه subset من هذه لأنه
+
+299
+00:38:53,400 --> 00:38:59,880
+خدوا أي عنصر هنا فأي عنصر هنا عبارة عن f of x for
+
+300
+00:38:59,880 --> 00:39:07,100
+some x ينتمي ل I صح فأي f of x for some x ينتمي ل
+
+301
+00:39:07,100 --> 00:39:12,730
+I هيمحصور من small m وcapital M وبالتالي ينتمي
+
+302
+00:39:12,730 --> 00:39:16,610
+للفترة المغلقة هذه، لأن كل أنصر أنا هو أنصر في
+
+303
+00:39:16,610 --> 00:39:22,490
+الفترة المغلقة، لأن هذا الاحتواء صحيح، تمام؟ الان
+
+304
+00:39:22,490 --> 00:39:24,770
+احنا بنثبت المساواة
+
+305
+00:39:30,090 --> 00:39:36,190
+إن ال range لل function f بساوي كل الفترة المغلقة
+
+306
+00:39:36,190 --> 00:39:44,150
+من small m لcapital M فلإثبات
+
+307
+00:39:44,150 --> 00:39:55,350
+ذلك هي عندي أنا to prove this it
+
+308
+00:39:55,350 --> 00:39:56,090
+remains
+
+309
+00:39:59,390 --> 00:40:07,930
+it remains to show يبقى اثبات دا في اثبات ان احنا
+
+310
+00:40:07,930 --> 00:40:12,370
+لثبت الاحتواء المعاكس the reverse inclusion
+
+311
+00:40:18,550 --> 00:40:28,670
+إذا يبقى إثبات إن الفترة المغلقة من small m to
+
+312
+00:40:28,670 --> 00:40:35,970
+capital M contained in F of I فكيف نثبت إحنا set
+
+313
+00:40:35,970 --> 00:40:41,570
+subset من الأخرى نسميه
+
+314
+00:40:41,570 --> 00:40:45,950
+برهان بإيه بتتبع العناصر يعني بن��خد أنصر في
+
+315
+00:40:45,950 --> 00:40:49,540
+المجموعة الأولىنثبت العناصر في المجموعة التانية
+
+316
+00:40:49,540 --> 00:40:53,080
+هذا بيسموه في رياضيات الـ chasing of elements
+
+317
+00:40:53,080 --> 00:41:03,880
+argument برهان بتطبع العناصر فقالت why تنتمي
+
+318
+00:41:03,880 --> 00:41:12,580
+للفترة المغلقة من small m لcapital M طيب هذا
+
+319
+00:41:12,580 --> 00:41:19,540
+بيقدّيالـ y أكبر من أو ساوي small m أصغر من أو
+
+320
+00:41:19,540 --> 00:41:31,720
+ساوي capital M وهذا عبارة عن الـ infimum لـ range
+
+321
+00:41:31,720 --> 00:41:39,460
+الـ function f وهذا بساوي الـ supremum لـ range
+
+322
+00:41:39,460 --> 00:41:40,500
+الـ function f
+
+323
+00:41:47,540 --> 00:41:57,540
+وعندي ال .. إذا حسب ال .. ال corollary تبع النظرية
+
+324
+00:41:57,540 --> 00:42:04,060
+هذه فإن عندي ال function if continuous على الفترة
+
+325
+00:42:04,060 --> 00:42:10,520
+المغلقة a,b فعندي if continuous على الفترة المغلقة
+
+326
+00:42:10,520 --> 00:42:18,800
+a,bوعندي k اللي هو y عدد محصور بين ال infimum ل f
+
+327
+00:42:18,800 --> 00:42:28,520
+of i و ال suprem ل f of i by
+
+328
+00:42:28,520 --> 00:42:36,090
+above corollaryالقرن اللي لـ Bolzano Intermediate
+
+329
+00:42:36,090 --> 00:42:43,390
+Value Theorem يقول إن يوجد C ينتمي للفترة I بحيث
+
+330
+00:42:43,390 --> 00:42:50,090
+أن F of C بساوي
+
+331
+00:42:50,090 --> 00:42:58,170
+العدد Y اللي هو قابل الـK في نص النظريةالـ C ينتمي
+
+332
+00:42:58,170 --> 00:43:05,170
+لـ I إذاً F of C تنتمي لـ F للست F of I إذا هاني
+
+333
+00:43:05,170 --> 00:43:09,410
+بدأت بـ Y ينتمي للفترة المغلقة طلع Y ينتمي لـ F of
+
+334
+00:43:09,410 --> 00:43:17,570
+I Therefore Hence هيك
+
+335
+00:43:17,570 --> 00:43:20,750
+منكون أثباتنا أن الفترة المغلقة من small m
+
+336
+00:43:20,750 --> 00:43:31,990
+لcapital M is containedفي ال set f of i هذا
+
+337
+00:43:31,990 --> 00:43:37,490
+ببرهن ال claim و النظرية لأن هيك بيكون برهننا ال
+
+338
+00:43:37,490 --> 00:43:42,010
+claim وبالتالي برهننا النظرية لأن هيك هي اثبتت ان
+
+339
+00:43:42,010 --> 00:43:45,950
+ال image ل ال closed bounded interval I طلعت
+
+340
+00:43:45,950 --> 00:43:49,970
+closed bounded interval صح و هو المطلوب
+
+341
+00:43:53,870 --> 00:44:00,730
+Okay واضح البرهان؟ في أي استفسار على البرهان؟
+
+342
+00:44:00,730 --> 00:44:08,030
+في هنا تحذير warning تحذير
+
+343
+00:44:08,030 --> 00:44:15,070
+in
+
+344
+00:44:15,070 --> 00:44:30,000
+the above theorem we hadF of I التي هي F للفترة
+
+345
+00:44:30,000 --> 00:44:35,320
+المغلقة من A لB طلعت
+
+346
+00:44:35,320 --> 00:44:39,900
+بالساوي الفترة المغلقة من small m لcapital M حيث
+
+347
+00:44:39,900 --> 00:44:43,980
+small m is the absolute minimum value وcapital M
+
+348
+00:44:43,980 --> 00:44:47,140
+is the absolute maximum value of the function F on
+
+349
+00:44:47,140 --> 00:44:54,980
+the interval Iو هذا ليس بالضرورة مش شرط هذه الفترة
+
+350
+00:44:54,980 --> 00:45:03,750
+تكون الفترة من F of A ل F of Bهذه الفترة ماحدش جال
+
+351
+00:45:03,750 --> 00:45:08,370
+او مقدر يزم انها الفترة المغلقة من F of A لF of B
+
+352
+00:45:08,370 --> 00:45:13,750
+هذا مش صحيح okay النظرية ما بتقولي الكلام هذا
+
+353
+00:45:13,750 --> 00:45:18,490
+بتقولي الكلام هذا فقط هذا غلط مش شرط ال image
+
+354
+00:45:18,490 --> 00:45:23,050
+للفترة I بالساوي الفترة المغلقة من F of A لF of B
+
+355
+00:45:23,050 --> 00:45:30,640
+فاخدوا بالكم من ايه من التحذير هذاOkay إذا هين
+
+356
+00:45:30,640 --> 00:45:34,720
+أثبتنا إن لو كانت ال function تبعتي متصلة على فترة
+
+357
+00:45:34,720 --> 00:45:39,420
+مغلقة أو محدودة فصورتها بتطلع مغلقة أو محدودة
+
+358
+00:45:39,420 --> 00:45:45,280
+وبالتالي ال function preserves ال .. ال .. ال
+
+359
+00:45:45,280 --> 00:45:50,640
+intervals طيب
+
+360
+00:45:50,640 --> 00:45:53,940
+ال .. النظرية دي إلها تعميم
+
+361
+00:46:03,890 --> 00:46:10,730
+preservation of intervals
+
+362
+00:46:10,730 --> 00:46:14,770
+theorem لو
+
+363
+00:46:14,770 --> 00:46:21,050
+كانت الفترة let I be any interval مش شرط تكون ..
+
+364
+00:46:21,050 --> 00:46:28,070
+مش شرط تكون close about it .. be any interval and
+
+365
+00:46:28,070 --> 00:46:43,200
+letإذا من I إلى R يكون مستمر على الفترة I ثم
+
+366
+00:46:43,200 --> 00:46:49,260
+ستة F من I هي عرفة
+
+367
+00:46:53,620 --> 00:46:57,220
+النظرية هذه بتقول لو كانت f دالة متصلة المجال
+
+368
+00:46:57,220 --> 00:47:03,960
+تبعها أي فترة مغلقة، محدودة، مش محدودة، half-open،
+
+369
+00:47:03,960 --> 00:47:06,580
+open-half-open interval اللي لقاش، أي لوحة من ال
+
+370
+00:47:06,580 --> 00:47:11,820
+intervals اللي شفناهم في جبتر واحد فصورتها أيضا
+
+371
+00:47:11,820 --> 00:47:15,500
+لازم تطلع interval وبالتالي ال continuous function
+
+372
+00:47:15,500 --> 00:47:19,880
+بتحافظ على الفترة، على الفترات يعني بتاكن فترة في
+
+373
+00:47:19,880 --> 00:47:24,780
+مجالها بتعطيل صورتها فترةالفترة هذه ما بنعرفش كيف
+
+374
+00:47:24,780 --> 00:47:29,620
+نوعها لكن اللي بنقدر نزّمه في النظرية السابقة أنه
+
+375
+00:47:29,620 --> 00:47:33,300
+لو كانت الفترة I هذه closed bounded فصورتها هتطلع
+
+376
+00:47:33,300 --> 00:47:36,960
+closed bounded أما لو كانت من نوع أخر فصورتها مش
+
+377
+00:47:36,960 --> 00:47:42,200
+شرط تكون من نفس النوع ماحدش جال الكلام هذا فلبرهان
+
+378
+00:47:42,200 --> 00:47:47,780
+ذلك لبرهان
+
+379
+00:47:47,780 --> 00:47:48,260
+ذلك
+
+380
+00:47:53,440 --> 00:48:01,040
+خلّينا ناخد let alpha و beta belong to except f of
+
+381
+00:48:01,040 --> 00:48:14,580
+I with alpha أصغر من beta خلّينا
+
+382
+00:48:14,580 --> 00:48:15,640
+نستذكر بس
+
+383
+00:48:22,460 --> 00:48:27,560
+في نظرية أخدناها قبل هيك ال theorem اتنين خمسة
+
+384
+00:48:27,560 --> 00:48:44,300
+واحد بتقول if S subset of R contains at least two
+
+385
+00:48:44,300 --> 00:48:48,500
+elements and satisfies
+
+386
+00:48:52,530 --> 00:48:58,810
+Satisfies الخاصية واحد إن لو كان X و Y تلوي ل S و
+
+387
+00:48:58,810 --> 00:49:04,850
+X أصغر من Y هذا بيقدي إن الفترة من X إلى Y
+
+388
+00:49:04,850 --> 00:49:10,670
+contained in S then
+
+389
+00:49:10,670 --> 00:49:13,790
+set S is an interval
+
+390
+00:49:17,430 --> 00:49:19,470
+إن ان هذه النظرية أخدناها في ال chapter .. في ال
+
+391
+00:49:19,470 --> 00:49:23,830
+chapter الأولاري بتقول لو كان في عندي set subset
+
+392
+00:49:23,830 --> 00:49:29,520
+من R فيها على الأقل أنصر Lوبتحقق ال set هذه بتحقق
+
+393
+00:49:29,520 --> 00:49:33,580
+الخاصية واحد property one انه لأي x و y في ال set
+
+394
+00:49:33,580 --> 00:49:39,300
+و x أصغر من y الفترة من x ل y بتكون موجودة داخل ال
+
+395
+00:49:39,300 --> 00:49:43,880
+set في الحالة هذه ال set نفسها S تطلع interval اذا
+
+396
+00:49:43,880 --> 00:49:50,820
+انا بدي اثبت to show طيب
+
+397
+00:49:50,820 --> 00:49:51,780
+انا عندي
+
+398
+00:49:54,280 --> 00:50:00,060
+هذه أخدت نقطتين في ال set هذه هي ال set ال set S
+
+399
+00:50:00,060 --> 00:50:04,600
+هذه أخدت نقطتين و Alpha أصغر من Beta و بتثبت أنها
+
+400
+00:50:04,600 --> 00:50:08,700
+بتحقق الخاصية واحد عشان أثبت أنها interval أنا
+
+401
+00:50:08,700 --> 00:50:13,160
+عندي Alpha و Beta تنتمي ل F of I لأن Alpha بتساوي
+
+402
+00:50:13,160 --> 00:50:22,570
+F of Afor some a تنتمي إلى I و Beta بساوي F of B
+
+403
+00:50:22,570 --> 00:50:30,330
+for some B تنتمي إلى I وبالتالي
+
+404
+00:50:30,330 --> 00:50:36,950
+..
+
+405
+00:50:36,950 --> 00:50:39,790
+بالتالي ..
+
+406
+00:50:47,200 --> 00:50:59,180
+انا عندي ال bolzanova طيب طيب to show to
+
+407
+00:50:59,180 --> 00:51:09,420
+show f of I is an interval we
+
+408
+00:51:09,420 --> 00:51:20,550
+need to showان الset f of i satisfies property
+
+409
+00:51:20,550 --> 00:51:23,830
+واحد
+
+410
+00:51:23,830 --> 00:51:33,430
+of theorem اتنين خمسة واحد فهي
+
+411
+00:51:33,430 --> 00:51:36,830
+عندي alpha و beta تنتمي ل f of i و alpha أصغر من
+
+412
+00:51:36,830 --> 00:51:40,690
+beta ف
+
+413
+00:51:40,690 --> 00:51:42,290
+to show
+
+414
+00:51:44,880 --> 00:51:56,020
+الفترة من Alpha إلى Beta content in F of I let K
+
+415
+00:51:56,020 --> 00:52:00,300
+ينتمي إلى الفترة المغلقة من Alpha إلى Beta
+
+416
+00:52:04,220 --> 00:52:11,680
+أكبر من أو يساوي alpha هي بيساوي f of a وأصغر من
+
+417
+00:52:11,680 --> 00:52:21,460
+أو يساوي beta هي بيساوي f of b وبالتالي so by
+
+418
+00:52:21,460 --> 00:52:26,440
+Bolzano's
+
+419
+00:52:26,440 --> 00:52:31,120
+intermediate
+
+420
+00:52:31,120 --> 00:52:32,940
+value theorem
+
+421
+00:52:35,620 --> 00:52:48,960
+يوجد K عفوا يوجد C ينتمي إلى I between Alpha
+
+422
+00:52:48,960 --> 00:52:59,400
+و Beta بحيث ان F of C بساوي K او
+
+423
+00:52:59,400 --> 00:53:08,640
+K بساوي F of Cطبما ال C تنتمي ل I إذا F of C تنتمي
+
+424
+00:53:08,640 --> 00:53:13,380
+ل F of I إذا
+
+425
+00:53:13,380 --> 00:53:18,200
+هاني أثبتت إنه كل K في الفترة المغلقة من Alpha إلى
+
+426
+00:53:18,200 --> 00:53:25,850
+Beta طلع ينتمي لفترة F of I وبالتالي إذابطلع عند
+
+427
+00:53:25,850 --> 00:53:31,270
+الفترة المغلقة من Alpha إلى Beta ال subset من F of
+
+428
+00:53:31,270 --> 00:53:38,830
+I وبالتالي إذا ال set F of I بتحقق ال property
+
+429
+00:53:38,830 --> 00:53:46,810
+واحد إذا by theorem .. by theorem اتنين خمسة واحد
+
+430
+00:53:46,810 --> 00:53:53,650
+ال set F of I بتطلع interval is an interval
+
+431
+00:53:56,670 --> 00:54:03,570
+و هذا بيكمل النظرية اذا هذا بيكمل البرهان هيك
+
+432
+00:54:03,570 --> 00:54:10,630
+بنكون خلصنا ال section خمسة تلاتة و باقي عننا
+
+433
+00:54:10,630 --> 00:54:16,190
+section خمسة أربعة هناخده في المحاضرة الجاية نحاول
+
+434
+00:54:16,190 --> 00:54:24,130
+نشوف زمنا نخلصه ولا لأفال .. شكرا لحصن إصراعكم و
+
+435
+00:54:24,130 --> 00:54:26,910
+يعطيكم العافية و نشوفكم ان شاء الله المرة الجاية
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Ejs4dHLsIvo_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1548 @@
+1
+00:00:20,920 --> 00:00:24,640
+بسم الله الرحمن الرحيم هنبدأ في المحاضرة هذه
+
+2
+00:00:24,640 --> 00:00:29,600
+chapter جديد وهو chapter أربعة في الكتاب المقرر
+
+3
+00:00:29,600 --> 00:00:35,280
+عنوان ال chapter limits of functions و هنبدأ أول
+
+4
+00:00:35,280 --> 00:00:39,540
+section في ال chapter هذا و برضه عنوان ال section
+
+5
+00:00:39,540 --> 00:00:44,180
+الأول هو نفس عنوان ال chapter limits of functions
+
+6
+00:00:44,180 --> 00:00:52,780
+فقبل ما نعرف limit of a functionبدنا نتعرف على
+
+7
+00:00:52,780 --> 00:01:00,060
+مصطلح جديد وهو cluster point of a set نقطة تراكم
+
+8
+00:01:00,060 --> 00:01:04,780
+ال cluster point أو بعض الكتب بيسموها accumulation
+
+9
+00:01:04,780 --> 00:01:12,120
+point و كتب أخرى بيسميها limit point فلو في عندي
+
+10
+00:01:12,120 --> 00:01:18,200
+set A subset من R set of real numbers و C real
+
+11
+00:01:18,200 --> 00:01:23,190
+number فال real number هذابنسميه cluster point
+
+12
+00:01:23,190 --> 00:01:28,030
+للست a if and only if the following condition is
+
+13
+00:01:28,030 --> 00:01:33,770
+satisfied for every delta عدد موجب نقدر نجد x
+
+14
+00:01:33,770 --> 00:01:39,650
+ينتمي إلى المجموعة a و ال x هذه مختلفة عن النقطة c
+
+15
+00:01:39,650 --> 00:01:45,330
+بحيث ان المسافة بين x و c تكون أصغر من delta هذا
+
+16
+00:01:45,330 --> 00:01:49,410
+الشرط هذا
+
+17
+00:01:49,410 --> 00:01:54,020
+الشرطis equivalent to saying بكافئ ان انا اقول
+
+18
+00:01:54,020 --> 00:01:59,160
+every delta neighborhood every delta neighborhood
+
+19
+00:01:59,160 --> 00:02:03,940
+لنقطة c اللى هو الفترة المفتوحة اللى مركزها c ونص
+
+20
+00:02:03,940 --> 00:02:11,500
+قطرة delta every delta neighborhoodof c يتقاطع مع
+
+21
+00:02:11,500 --> 00:02:18,200
+المجموعة a في نقطة واحدة على الأقل x مختلفة عن ال
+
+22
+00:02:18,200 --> 00:02:25,720
+c يعني بمعنى أخر بقدر ألاقي في التقاطع هذا نقطة x
+
+23
+00:02:25,720 --> 00:02:32,440
+يعني التقاطع هذا لا يساوي five okay
+
+24
+00:02:32,440 --> 00:02:37,990
+كمان مرةالنقطة C هذه بتكون cluster point للمجموعة
+
+25
+00:02:37,990 --> 00:02:44,370
+A إذا أي delta neighborhood للنقطة C بيتخاطع مع
+
+26
+00:02:44,370 --> 00:02:52,690
+المجموعة A في نقطة X مختلفة عن الـC بس لازم
+
+27
+00:02:52,690 --> 00:02:58,060
+كل delta neighborhood لـCيتقاطع مع المجموعة A في
+
+28
+00:02:58,060 --> 00:03:02,720
+نقطة X مختلفة عن الـC طب عشان اثبت ان الـC ليست
+
+29
+00:03:02,720 --> 00:03:09,000
+cluster point بنفي الشرط هذا يكفي ان اقول there
+
+30
+00:03:09,000 --> 00:03:14,520
+exist بدل for every delta او every delta
+
+31
+00:03:14,520 --> 00:03:18,860
+neighborhoodيكفى ان اجيب there exists delta
+
+32
+00:03:18,860 --> 00:03:24,720
+neighborhood واحد ل C و التقاطع هذا بساوي فاي يعني
+
+33
+00:03:24,720 --> 00:03:30,540
+بحيث ان ال delta neighborhood لا يتقاطع مع اي
+
+34
+00:03:30,540 --> 00:03:39,180
+مشيول منها C بالمرة ناخد نظرية الأول ال definition
+
+35
+00:03:39,180 --> 00:03:43,180
+هذا بيكافئ النظرية التانية بتقول ان
+
+36
+00:03:46,060 --> 00:03:53,140
+الـ condition هذا تبع التعريف بكافئ شرط تاني اذا
+
+37
+00:03:53,140 --> 00:04:06,140
+هنا let A subset من R و C real number C
+
+38
+00:04:06,140 --> 00:04:16,740
+is a cluster is a cluster pointof the set A if and
+
+39
+00:04:16,740 --> 00:04:22,400
+only if the following condition is satisfied there
+
+40
+00:04:22,400 --> 00:04:26,600
+exist a
+
+41
+00:04:26,600 --> 00:04:38,640
+sequence a n contained in A وكل عناصرها مختلفة
+
+42
+00:04:38,640 --> 00:04:52,650
+عن ال Csuch that limit a n بساوي c اذا هذا الشرط
+
+43
+00:04:52,650 --> 00:04:59,310
+بكافئ الشرط اللي هناك الشرط هذا او اللي بكافه
+
+44
+00:04:59,310 --> 00:05:06,290
+فلبرهان ذلك اذا كمان مرة انا عشان اثبت ان c is a
+
+45
+00:05:06,290 --> 00:05:10,610
+cluster point للمجموع يعني يكفي ان اثبت ان يوجد
+
+46
+00:05:12,310 --> 00:05:17,950
+سيكوانس في المجموعة A وكل على سرها مختلفة لاتساوي
+
+47
+00:05:17,950 --> 00:05:23,370
+C وانهيتها بالساوي لعدد C فتعالى نبرهن النظرية هذه
+
+48
+00:05:23,370 --> 00:05:28,850
+نبرهن ال only if part الأول فال only if part يعني
+
+49
+00:05:28,850 --> 00:05:36,910
+ال assumption assume ان C is a cluster is
+
+50
+00:05:36,910 --> 00:05:39,230
+a cluster point
+
+51
+00:05:40,700 --> 00:05:49,140
+of a then
+
+52
+00:05:49,140 --> 00:06:00,080
+for every n ينتمي إلى n لكل عدد طبيعي n take delta
+
+53
+00:06:00,080 --> 00:06:08,110
+بساوي واحد على n عدد موجببما انه C is a cluster
+
+54
+00:06:08,110 --> 00:06:11,230
+point ل A then by definition of a cluster point
+
+55
+00:06:11,230 --> 00:06:14,410
+then
+
+56
+00:06:14,410 --> 00:06:23,770
+by definition there exist a N ينتمي إلى A مختلف عن
+
+57
+00:06:23,770 --> 00:06:28,210
+ال C such that
+
+58
+00:06:28,210 --> 00:06:31,070
+ال ..
+
+59
+00:06:34,910 --> 00:06:42,950
+الـ AN هذا ينتمي للـ Delta neighborhood للـ
+
+60
+00:06:42,950 --> 00:06:56,090
+C وطبعا ينتمي إلى A negative C هعمل
+
+61
+00:06:56,090 --> 00:07:02,810
+التعريف هذالما انه الـ C is a cluster point لأي
+
+62
+00:07:02,810 --> 00:07:09,410
+Delta أكبر من السفر خد Delta بساوي واحد على N لكل
+
+63
+00:07:09,410 --> 00:07:13,290
+عدد طبيعي N هذا بيطلع عدد موجب لذلك لـ Delta بساوي
+
+64
+00:07:13,290 --> 00:07:18,470
+واحد على N بقدر ألاجني عنصر X اللي هو ساميه An
+
+65
+00:07:18,470 --> 00:07:24,470
+يعتمد على الـ Delta وهذا العنصر موجود في A مختلف
+
+66
+00:07:24,470 --> 00:07:30,570
+عن الـ Cو أيضا موجود في الـ delta neighborhood لـ
+
+67
+00:07:30,570 --> 00:07:38,370
+C طيب
+
+68
+00:07:38,370 --> 00:07:42,610
+إذا و
+
+69
+00:07:42,610 --> 00:07:51,230
+واضح هنا من ال AN ينتمي ل ال
+
+70
+00:07:51,230 --> 00:07:56,150
+AN ينتمي ل DN ال
+
+71
+00:07:56,150 --> 00:08:01,970
+deltaأو الـ 1 على N neighborhood للـ C اللي هو C
+
+72
+00:08:01,970 --> 00:08:09,750
+سالب واحد على N C موجب واحد على N وهذا صحيح لكل N
+
+73
+00:08:09,750 --> 00:08:16,270
+بيقدي انه بيقدي
+
+74
+00:08:16,270 --> 00:08:20,890
+انه C سالم A N أو
+
+75
+00:08:24,630 --> 00:08:31,950
+absolute a n سالب c أصغر من واحد على n وهذا صحيح
+
+76
+00:08:31,950 --> 00:08:36,370
+لكل n هزبوت؟
+
+77
+00:08:36,370 --> 00:08:40,750
+هاي a n أكبر من c سالب واحد على n أصغر من c زاد
+
+78
+00:08:40,750 --> 00:08:45,310
+واحد على n هذا معناه absolute a n minus c أصغر من
+
+79
+00:08:45,310 --> 00:08:48,790
+واحد على n لكل n هذا صحيح لكل n
+
+80
+00:08:52,390 --> 00:08:56,990
+إذا هاي فيها sequence إذا هاي أثبتنا مايوجد
+
+81
+00:08:56,990 --> 00:09:09,350
+sequence إذا am is a sequence in a وكل حدودها
+
+82
+00:09:09,350 --> 00:09:16,610
+مختلفة عن ال c and by theorem اتنين اربعة الشهيرة
+
+83
+00:09:18,560 --> 00:09:21,560
+أنا عندي الـ absolute value هذي أصغر من واحد على N
+
+84
+00:09:21,560 --> 00:09:26,480
+لكل N limit واحد على N بالساوي سفر خد C بالساوي
+
+85
+00:09:26,480 --> 00:09:33,760
+واحد عدن موجب لأن بيطلع limit ال sequence A N as N
+
+86
+00:09:33,760 --> 00:09:39,300
+tends to infinity بساوي S C إذن هين أثبتنا إنه لو
+
+87
+00:09:39,300 --> 00:09:44,920
+كانت C cluster point فأثبتنا إنه يوجد sequence A N
+
+88
+00:09:44,920 --> 00:09:51,380
+في المجموعة Aوكل عناصرها مختلفة عن الـ C ونهايتها
+
+89
+00:09:51,380 --> 00:09:59,080
+بساوي الـ C إذا هذا بثبت جزء ال only if part الآن
+
+90
+00:09:59,080 --> 00:10:04,220
+لثبت العكس لإثبات
+
+91
+00:10:04,220 --> 00:10:04,920
+العكس
+
+92
+00:10:21,910 --> 00:10:28,090
+assume أن الشرط اللي حصل بتتحقق
+
+93
+00:10:28,090 --> 00:10:41,250
+assume ال condition اللي حصل holds يعني بتتحقق to
+
+94
+00:10:41,250 --> 00:10:48,890
+show c is a cluster point of
+
+95
+00:10:48,890 --> 00:11:03,360
+a letdelta أكبر من السفر is given since
+
+96
+00:11:03,360 --> 00:11:15,160
+by star من الشرط star لدي limit لان بساوي c و
+
+97
+00:11:15,160 --> 00:11:19,260
+delta أكبر من السفر is given إذا من تعريف delta
+
+98
+00:11:19,260 --> 00:11:25,560
+capital Nللـ limit لأي delta أو إبسلون عدد موجة
+
+99
+00:11:25,560 --> 00:11:31,320
+there exist n يعتمد على delta natural number دحيث
+
+100
+00:11:31,320 --> 00:11:40,140
+أنه لكل n أكبر من أو سوى capital N هذا بيقدي أنه
+
+101
+00:11:40,140 --> 00:11:47,000
+absolute a n minus c أصغر من delta
+
+102
+00:11:50,570 --> 00:11:57,870
+إذاً هذا بيقدّي إنه هيعندي am
+
+103
+00:12:02,990 --> 00:12:08,910
+طبعا هدف قلبي أن a n أصغر
+
+104
+00:12:08,910 --> 00:12:15,370
+من c زائد delta أكبر من c negative delta يعني a n
+
+105
+00:12:15,370 --> 00:12:22,630
+تنتمي إلى v delta of c وتنتمي طبعا من ال condition
+
+106
+00:12:22,630 --> 00:12:32,780
+star تنتمي إلى a difference cو هذا صحيح لكل n أكبر
+
+107
+00:12:32,780 --> 00:12:38,660
+من أو ساوي capital N إذا هاي كل delta neighborhood
+
+108
+00:12:38,660 --> 00:12:50,240
+ل C بيتقاطع مع A في عدد لانهائي من النقاط المختلفة
+
+109
+00:12:50,240 --> 00:12:57,420
+عن ال C وبالتالي الشرط تبع ال definition هيتحققو
+
+110
+00:12:57,420 --> 00:13:05,660
+then by definition .. by definition C is a cluster
+
+111
+00:13:05,660 --> 00:13:14,000
+point of the set A و هدا بكمل ال F part and
+
+112
+00:13:14,000 --> 00:13:19,140
+therefore completes the proof of the theorem okay
+
+113
+00:13:19,140 --> 00:13:20,000
+تمام؟
+
+114
+00:13:25,140 --> 00:13:27,540
+Fine خلّينا ناخد بعض الأمثلة
+
+115
+00:13:49,070 --> 00:14:05,410
+تشير إلى أن كل X ينتمي إلى مقفل مقفل مقفل
+
+116
+00:14:05,410 --> 00:14:16,770
+مقفل
+
+117
+00:14:23,120 --> 00:14:29,460
+of set A1 بساوي الفترة
+
+118
+00:14:29,460 --> 00:14:40,780
+المفتوحة من سفر إلى واحد من
+
+119
+00:14:40,780 --> 00:14:45,460
+هنا يثبت إن كل X الفترة المغلقة من سفر إلى واحد هي
+
+120
+00:14:45,460 --> 00:14:50,480
+cluster point للفترة المفتوحة من سفر إلى واحد
+
+121
+00:15:01,360 --> 00:15:09,580
+ففي الأول بدي أثبت أنه كل نقطة داخل الفترة المغلقة
+
+122
+00:15:09,580 --> 00:15:14,460
+هي cluster point للمجموع عادي و بعدين في المرحلة
+
+123
+00:15:14,460 --> 00:15:19,840
+التانية حتة من نقاط الأطراف اللي هي 01 تطلع أيضا
+
+124
+00:15:19,840 --> 00:15:26,620
+cluster point لست A1 فنشوف مع بعض ان ال claim 1
+
+125
+00:15:34,010 --> 00:15:45,190
+بنثبت ان كل X ينتمي للفترة المفتوحة is a cluster
+
+126
+00:15:45,190 --> 00:15:50,410
+point of
+
+127
+00:15:50,410 --> 00:15:58,730
+set A1 اللي هي الفترة المفتوحة نفسها لبرهان ذلك to
+
+128
+00:15:58,730 --> 00:16:09,390
+see thisالبرهن ذلك fix ينتمي
+
+129
+00:16:09,390 --> 00:16:17,470
+للفترة المفتوحة ونثبت ان cluster point للمجموعة a1
+
+130
+00:16:17,470 --> 00:16:29,940
+اذا fix x and let delta أكبر من السفر be givenنبدأ
+
+131
+00:16:29,940 --> 00:16:35,900
+بالـ delta أكبر من 0 ونثبت أن كل delta
+
+132
+00:16:35,900 --> 00:16:42,820
+neighborhood للنقطة X بيتقاطع مع المجموعة A1 في
+
+133
+00:16:42,820 --> 00:16:49,400
+نقطة مختلفة عن X وبالتالي الـ X هتطلع cluster
+
+134
+00:16:49,400 --> 00:16:55,960
+point حسب التعريف طيب نحن
+
+135
+00:16:55,960 --> 00:16:56,920
+لدينا اتصالين
+
+136
+00:17:01,270 --> 00:17:07,090
+two cases حالتين الحالة
+
+137
+00:17:07,090 --> 00:17:10,270
+الأولى ان ال delta هذه اللى انا اخترتها العشوائية
+
+138
+00:17:10,270 --> 00:17:17,310
+ال delta اللى انا اخترتها ممكن تكون اصغر من ..
+
+139
+00:17:17,310 --> 00:17:23,590
+طبعا موجبة هي ممكن تكون اصغر من واحد ف in this
+
+140
+00:17:23,590 --> 00:17:27,930
+case in
+
+141
+00:17:27,930 --> 00:17:30,050
+this case في هذه الحالة
+
+142
+00:17:35,000 --> 00:17:49,440
+لدينا in this
+
+143
+00:17:49,440 --> 00:17:58,680
+case الـ delta neighborhood ل X اللي هو X minus
+
+144
+00:17:58,680 --> 00:18:06,650
+Delta X موجة Deltaبنلاحظ انه تقاطع مع المجموعة ايه
+
+145
+00:18:06,650 --> 00:18:14,050
+اللي هي الفترة اللي مفتوحة من سفر لواحد بطلع
+
+146
+00:18:14,050 --> 00:18:23,080
+واحد من الخيارات التاليةاما الفترة المفتوحة x
+
+147
+00:18:23,080 --> 00:18:28,820
+negative delta x positive delta او الفترة المفتوحة
+
+148
+00:18:28,820 --> 00:18:36,420
+من صفر الى اكس positive delta او الفترة
+
+149
+00:18:36,420 --> 00:18:40,340
+المفتوحة من x negative delta الى واحد او الفترة
+
+150
+00:18:40,340 --> 00:18:42,920
+المفتوحة من صفر الى واحد
+
+151
+00:18:48,470 --> 00:18:55,310
+حسب قيمة الـ Delta يعني أنا
+
+152
+00:18:55,310 --> 00:19:03,030
+عندي الفترة المفتوحة من 0 إلى 1 هذه الفترة
+
+153
+00:19:03,030 --> 00:19:12,350
+المفتوحة تبعتي اللي هي A1 هذا ال set A1 و أنا عندي
+
+154
+00:19:12,350 --> 00:19:20,080
+ال Delta عدد موجب أصغر من 1والـ X هذه تنتمي .. الـ
+
+155
+00:19:20,080 --> 00:19:27,300
+X هذه نقطة ما في الفترة
+
+156
+00:19:27,300 --> 00:19:38,320
+fixed number بين 0 و 1 الآن
+
+157
+00:19:38,320 --> 00:19:41,160
+أنا عندي الـ delta neighborhood لـ X هذا هو ممكن
+
+158
+00:19:41,160 --> 00:19:46,510
+يكون زي هيك شكله وبالتالي تقاطعتقاطعه مع الفترة
+
+159
+00:19:46,510 --> 00:19:53,310
+المفتوحة هو نفسه، صح؟ إذا كان زي هيك أو ممكن يكون
+
+160
+00:19:53,310 --> 00:19:57,250
+الـ delta neighborhood لل X يكون شكله زي هيك
+
+161
+00:19:57,250 --> 00:20:01,430
+وبالتالي
+
+162
+00:20:01,430 --> 00:20:06,150
+تقاطعه مع الفترة .. مع الست واحد، هيكون الفترة
+
+163
+00:20:06,150 --> 00:20:10,830
+المفتوحة من صفر إلى X زي الـ delta اللي هي التانية
+
+164
+00:20:10,830 --> 00:20:17,310
+يعنيصح وممكن يكون ال
+
+165
+00:20:17,310 --> 00:20:21,810
+delta neighborhood ال x تكون جريبة من الواحد زي
+
+166
+00:20:21,810 --> 00:20:26,410
+هيك و ال delta neighborhood حوالين ال x يكون زي
+
+167
+00:20:26,410 --> 00:20:34,190
+هيك شكله هاي x negative delta x positive delta
+
+168
+00:20:35,200 --> 00:20:39,440
+وبالتالي تقاطع مع الفترة من صفر إلى واحد هيعطيني
+
+169
+00:20:39,440 --> 00:20:44,700
+الجزء هذا اللي هو فترة مفتوحة من X سالب Delta إلى
+
+170
+00:20:44,700 --> 00:20:48,360
+واحد وممكن
+
+171
+00:20:48,360 --> 00:20:56,170
+ال Delta لبرهود ال X تكون جريبة من المنتصفوالـ
+
+172
+00:20:56,170 --> 00:20:59,250
+Delta تكون قريبة من الواحد قيمتها أصغر من واحد لكن
+
+173
+00:20:59,250 --> 00:21:04,250
+قريبة من واحد وبالتالي الـ Delta neighborhood لل X
+
+174
+00:21:04,250 --> 00:21:09,150
+يكون زي هيك وبالتالي تقاطعه مع المجموعة A واحد
+
+175
+00:21:09,150 --> 00:21:12,970
+بيطلع المجموعة A واحد نفسها، صحيح؟ إن هذه كل
+
+176
+00:21:12,970 --> 00:21:20,590
+احتمالات وفي كل الأحوال التقاطع هذا بيطلع infinite
+
+177
+00:21:20,590 --> 00:21:22,090
+is infinite
+
+178
+00:21:25,670 --> 00:21:29,890
+تقاطع المجمعتين هذول بيطلع فترة و الفترة اي فترة
+
+179
+00:21:29,890 --> 00:21:33,330
+مفتوحة ال cardinal number تبعها بيساوي ال cardinal
+
+180
+00:21:33,330 --> 00:21:36,310
+number تبع ال real numbers اللي هي uncountable set
+
+181
+00:21:36,310 --> 00:21:41,270
+وبالتالي infinite إذا التقاطع هذا infinite وهذا
+
+182
+00:21:41,270 --> 00:21:46,410
+بيقدي ان ال V
+
+183
+00:21:46,410 --> 00:21:57,490
+Delta of X تقاطعالـ a1 منزوعة منها الـ x هيطلع
+
+184
+00:21:57,490 --> 00:22:03,390
+بالتأكيد لا يساوي في لأن التقاطة هذا بيطلع
+
+185
+00:22:03,390 --> 00:22:07,630
+infinite وبالتالي هيك بيكون أثبتنا أن كل delta
+
+186
+00:22:07,630 --> 00:22:13,370
+neighborhood ل x بيتقاطع مع a1 في نقطة مختلفة عن x
+
+187
+00:22:23,000 --> 00:22:31,840
+الحالة التانية case two ان ال delta هذه تكون اكبر
+
+188
+00:22:31,840 --> 00:22:36,670
+من اوسع واحدبرضه فى الحاله دى بنا نثبت انه كل
+
+189
+00:22:36,670 --> 00:22:41,170
+delta neighborhood ال X بتقاطع مع A واحد فى نقطه
+
+190
+00:22:41,170 --> 00:22:49,730
+مختلفه عن ال X نشوف مع بعض in this case in
+
+191
+00:22:49,730 --> 00:22:57,310
+this case ال X negative او ال negative delta X
+
+192
+00:22:57,310 --> 00:23:01,310
+موجب delta هذا اللى هو ال delta neighborhood ل X
+
+193
+00:23:01,310 --> 00:23:06,620
+تقاطعالمجموعة A1 اللي هي الفترة المفتوحة من 0 إلى
+
+194
+00:23:06,620 --> 00:23:17,040
+1 هيطلع بساوي الفترة المفتوحة من 0 إلى 1 لأن الـ
+
+195
+00:23:17,040 --> 00:23:24,780
+Delta هنا أكبر من أو ساوي الواحد يعني هي عندي S 0
+
+196
+00:23:24,780 --> 00:23:36,180
+إلى 1 هذه اللي هي المجموعة A وهي Xنقطة ما داخل
+
+197
+00:23:36,180 --> 00:23:42,300
+الفترة فلما يكون x زايد ال delta لما تكون ال delta
+
+198
+00:23:42,300 --> 00:23:49,160
+تبعتي أكبر من واحد فx زايد ال delta هتكون هنا و x
+
+199
+00:23:49,160 --> 00:23:55,880
+سالب ال delta بالتأكيد هتكون هنا وبالتالي ال delta
+
+200
+00:23:55,880 --> 00:24:01,640
+neighborhood ل x هيحتويالمجموعة a واحد وبالتالي
+
+201
+00:24:01,640 --> 00:24:06,760
+تقاطع معاها تطلع المجموعة a واحد وهذا is infinite
+
+202
+00:24:06,760 --> 00:24:11,680
+وبالتالي
+
+203
+00:24:11,680 --> 00:24:18,060
+اذا ال delta neighborhood هذا تقاطع الفترة
+
+204
+00:24:18,060 --> 00:24:20,460
+المفتوحة minus x
+
+205
+00:24:23,650 --> 00:24:29,910
+لا أكيد بتأكيد لا يساوي five okay تمام اذا في
+
+206
+00:24:29,910 --> 00:24:34,470
+الحالتين ال condition تبع ال cluster point تتحقق
+
+207
+00:24:34,470 --> 00:24:44,730
+therefore by definition x is cluster point is
+
+208
+00:24:44,730 --> 00:24:50,780
+cluster point ofالست ا واحد اللي هي الفترة
+
+209
+00:24:50,780 --> 00:24:56,280
+المفتوحة من صفر الى واحد طبعا إذا هذا بثبت ال
+
+210
+00:24:56,280 --> 00:25:09,140
+claim الأولاني طبعا الآن هثبت claim تاني ال claim
+
+211
+00:25:09,140 --> 00:25:09,880
+التاني
+
+212
+00:25:16,660 --> 00:25:25,180
+النقطة 0 is a cluster point
+
+213
+00:25:25,180 --> 00:25:36,460
+of set A1 الفترة مفتوحة من 0 إلى 1 لبرهان
+
+214
+00:25:36,460 --> 00:25:37,020
+ذلك
+
+215
+00:25:47,440 --> 00:25:55,860
+to see this let نبدأ let delta أكبر من السفر be
+
+216
+00:25:55,860 --> 00:26:03,120
+given فهنا
+
+217
+00:26:03,120 --> 00:26:11,380
+لأي delta ال delta
+
+218
+00:26:11,380 --> 00:26:16,140
+neighborhood للسفر اللي هو هيطلع
+
+219
+00:26:18,570 --> 00:26:28,630
+سالب دلتا زاد سفر وموجب دلتا زاد سفر فتقاطع هذا مع
+
+220
+00:26:28,630 --> 00:26:35,150
+الفترة المفتوحة من سفر إلى واحد بساوي
+
+221
+00:26:36,900 --> 00:26:44,360
+في خيارين إما الفترة المفتوحة من سفر إلى دلتا إذا
+
+222
+00:26:44,360 --> 00:26:52,680
+كانت ال delta أصغر من واحد طبعا أكبر من سفر وبساوي
+
+223
+00:26:52,680 --> 00:26:57,600
+الفترة المفتوحة من سفر إلى واحد إذا كان ال delta
+
+224
+00:26:57,600 --> 00:27:04,220
+أكبر من أو ساوي الواحد زي ما شوفنا في برهان الكلام
+
+225
+00:27:04,220 --> 00:27:12,240
+الأولانيمظبوط هاي الاندي الفترة من سفر إلى واحد
+
+226
+00:27:12,240 --> 00:27:19,520
+هذه المجموعة A1 وهي
+
+227
+00:27:19,520 --> 00:27:27,700
+X نقطة .. لأ هاي السفر بالدفتر أن السفر cluster
+
+228
+00:27:27,700 --> 00:27:34,660
+point للمجموعة A1فأخدت أي delta أكبر من السفر الان
+
+229
+00:27:34,660 --> 00:27:38,260
+ال delta هذه لو كانت ال delta هذه اذا هي سالب
+
+230
+00:27:38,260 --> 00:27:42,720
+delta موجب delta لو كانت ال delta هذه أصغر من واحد
+
+231
+00:27:42,720 --> 00:27:47,120
+فتقاطع ال delta neighborhood مع ال a واحد هيكون
+
+232
+00:27:47,120 --> 00:27:51,140
+الجزء هذا اللي هو الفترة المفتوحة من سفر ل delta
+
+233
+00:27:51,140 --> 00:27:57,100
+صح؟ و لو كانت ال delta هذه أكبر من واحد لو كانت ال
+
+234
+00:27:57,100 --> 00:27:58,940
+delta هذه أكبر من واحد
+
+235
+00:28:01,680 --> 00:28:11,060
+فال .. ف delta هتكون هاي delta أكبر من واحد و سالف
+
+236
+00:28:11,060 --> 00:28:15,120
+delta هتكون هان و بالتالي ال delta لبرهود هذا
+
+237
+00:28:15,120 --> 00:28:24,220
+تقاطع مع a واحد بيساوي a واحد مظبوط صح؟ تمام؟ و في
+
+238
+00:28:24,220 --> 00:28:27,840
+كل الأحوال التقاطع هذا بيطلع infinite is infinite
+
+239
+00:28:27,840 --> 00:28:31,000
+infinite set لأنه open interval
+
+240
+00:28:38,080 --> 00:28:46,040
+تقاطة a-a1 هو
+
+241
+00:28:46,040 --> 00:28:53,940
+نفس تقاطة a1
+
+242
+00:29:00,690 --> 00:29:03,830
+إذن هي اللي أثبتت إن كل delta neighborhood للسفر
+
+243
+00:29:03,830 --> 00:29:09,590
+يتقاطع مع المجموعة A1 في نقطة مختلفة عن السفر في
+
+244
+00:29:09,590 --> 00:29:14,070
+حقيقة الأمر في حقيقة الأمر كل delta neighborhood
+
+245
+00:29:14,070 --> 00:29:19,250
+للسفر بتقاطع مع A1 في عدد لانهائي من النقاط اللي
+
+246
+00:29:19,250 --> 00:29:24,350
+موجودة في A1 ومختلفة عن السفر إذن by definition
+
+247
+00:29:24,350 --> 00:29:27,610
+zero is a cluster
+
+248
+00:29:30,120 --> 00:29:36,540
+point of A1 اللي هي الفترة مفتوحة من صفر لواحد
+
+249
+00:29:36,540 --> 00:29:43,720
+يبقى لإكمال البرهان يمكن أن يظهر الكليل التالت
+
+250
+00:29:43,720 --> 00:29:55,560
+باقي أثبت أن الواحد is a cluster point of set A1
+
+251
+00:29:55,560 --> 00:30:02,300
+اللي هي الفترة مفتوحة من صفر لواحدوبرهان ال claim
+
+252
+00:30:02,300 --> 00:30:07,360
+التالت زي .. similar لبرهان ال claim التالت إذا
+
+253
+00:30:07,360 --> 00:30:19,280
+هنا the proof its proof is similar to
+
+254
+00:30:19,280 --> 00:30:20,260
+claim to
+
+255
+00:30:23,650 --> 00:30:27,990
+فحاسيبكم انتوا تكتبوا وبالتالي هيك بالكون أثبتنا
+
+256
+00:30:27,990 --> 00:30:32,250
+ان كل نقطة في الفترة المغلطة سواء كانت نقطة الطرف
+
+257
+00:30:32,250 --> 00:30:37,570
+اللي هي 0 او 1 او نقطة داخلية interior point نقطة
+
+258
+00:30:37,570 --> 00:30:41,290
+داخل الفترة المغلطة كل النقاط هذه بتطلع cluster
+
+259
+00:30:41,290 --> 00:30:47,970
+points لمجموعة A1 اللي هي الفترة المفتوحة تمام؟
+
+260
+00:30:52,450 --> 00:31:05,790
+بالمثل ممكن إثبات إن
+
+261
+00:31:05,790 --> 00:31:09,250
+كل نقطة في الفترة المغلقة is cluster point
+
+262
+00:31:09,250 --> 00:31:16,990
+للمجموعة A2 اللي هي الفترة المغلقة من 0 إلى 1
+
+263
+00:31:16,990 --> 00:31:20,390
+والبرهان
+
+264
+00:31:20,390 --> 00:31:28,770
+هو نفسهبنعمل three claims وفي كل برهان هيكون الفرق
+
+265
+00:31:28,770 --> 00:31:35,430
+انه عندي انا a بدل a 1 هيكون a 2 فهتكون اللي هو
+
+266
+00:31:35,430 --> 00:31:41,370
+الفترات هذه فترة مغلقة من سفر إلى واحد وبالتالي
+
+267
+00:31:41,370 --> 00:31:47,910
+بيصير هذه الفترة من هنا مغلقة عند السفر ومغلقة عند
+
+268
+00:31:47,910 --> 00:31:54,070
+السفر ومغلقة عند الواحدو هكذا نفس البرهان نسخ لسق
+
+269
+00:31:54,070 --> 00:31:59,790
+مع التعديلات البسيطة ان اي واحد الآن أصبحت بدل ما
+
+270
+00:31:59,790 --> 00:32:03,270
+كانت فترة مفتوحة من صفر لواحد أصبحت فترة مغلقة
+
+271
+00:32:03,270 --> 00:32:06,830
+وبالتالي في التقاطعات الحسابات نغلق اللي هو
+
+272
+00:32:06,830 --> 00:32:13,590
+الفترات and الحاجة المطلوبة okay وبالتالي نفس
+
+273
+00:32:13,590 --> 00:32:18,910
+البرهان will go through هيمشي بالتمام والكمالOkay
+
+274
+00:32:18,910 --> 00:32:24,270
+تمام؟ إذا هذا البرهان مشابه لبرهان المثال الأول
+
+275
+00:32:24,270 --> 00:32:34,010
+ناخد كمان مثال آخر مثال
+
+276
+00:32:34,010 --> 00:32:43,770
+تالت every every
+
+277
+00:32:43,770 --> 00:32:44,310
+finite
+
+278
+00:32:46,970 --> 00:32:59,350
+set A contained in R has no
+
+279
+00:32:59,350 --> 00:33:03,070
+cluster
+
+280
+00:33:03,070 --> 00:33:09,730
+points
+
+281
+00:33:09,730 --> 00:33:19,970
+كل finite set مالهاش ولا cluster pointوالبرهان سهل
+
+282
+00:33:19,970 --> 00:33:24,950
+proof say
+
+283
+00:33:24,950 --> 00:33:35,030
+دعنا ال set a نسمي عناصرها a1, a2 الى an هدف مش
+
+284
+00:33:35,030 --> 00:33:39,950
+هدف finite set اذا عناصرهم ممكن اعملهم list a1, a2
+
+285
+00:33:39,950 --> 00:33:47,530
+الى anو ممكن اعملهم order ارتبهم حسب المؤشر تبعهم
+
+286
+00:33:47,530 --> 00:33:57,450
+يعني a1 اصغر من a2 اصغر من a3 اصغر من اصغر من am
+
+287
+00:33:57,450 --> 00:34:03,570
+ممكن نعمل كلمة من هذا ولا لأ ممكن by the ordering
+
+288
+00:34:03,570 --> 00:34:04,370
+principle
+
+289
+00:34:11,360 --> 00:34:20,780
+أو باستخدام ال ordering تبع ال real numbers إذا
+
+290
+00:34:20,780 --> 00:34:30,880
+هي عندي ال 6A تبعتي هي خط العداد وهي A1 وهي A2 وهي
+
+291
+00:34:30,880 --> 00:34:36,160
+A3 مش شرط المسافة بين كل أنصار والتاني تكون
+
+292
+00:34:36,160 --> 00:34:46,230
+متساوية وهكذا إلىأخر عنصر AN ف
+
+293
+00:34:46,230 --> 00:34:49,910
+fix X
+
+294
+00:34:49,910 --> 00:35:01,190
+ينتمي إلى R و بد أثبت أن claim X is not a cluster
+
+295
+00:35:01,190 --> 00:35:01,910
+point
+
+296
+00:35:09,790 --> 00:35:12,850
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+297
+00:35:12,850 --> 00:35:16,770
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+298
+00:35:16,770 --> 00:35:16,790
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+299
+00:35:16,790 --> 00:35:17,530
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+300
+00:35:17,530 --> 00:35:17,750
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+301
+00:35:17,750 --> 00:35:18,430
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+302
+00:35:18,430 --> 00:35:19,070
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+303
+00:35:19,070 --> 00:35:19,690
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+304
+00:35:19,690 --> 00:35:25,170
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+305
+00:35:25,170 --> 00:35:28,870
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+306
+00:35:28,870 --> 00:35:33,950
+بالتالي المجم
+
+307
+00:35:37,690 --> 00:35:44,410
+إما X تنتمي إلى A أو X تنتمي إلى الـ complement
+
+308
+00:35:44,410 --> 00:35:50,530
+يعني لا تنتمي إلى A صح؟
+
+309
+00:35:50,530 --> 00:35:59,870
+ففي الحالة الأولى case واحد أثر من X تنتمي إلى A
+
+310
+00:35:59,870 --> 00:36:03,970
+وبالدفع تثبت إن X ليست cluster point
+
+311
+00:36:10,180 --> 00:36:18,560
+say x بساوي a m for some m أكبر من أو ساوي واحد
+
+312
+00:36:18,560 --> 00:36:24,180
+أصغر من أو ساوي مش هذا ال x موجود في a و a على
+
+313
+00:36:24,180 --> 00:36:29,460
+سرها a واحد إلى a n إذا هذا ال x هو a m for some m
+
+314
+00:36:29,460 --> 00:36:36,300
+بين واحد و n طيب let
+
+315
+00:36:37,980 --> 00:36:48,860
+delta بساوي نص المسافة ال minimum المسافة
+
+316
+00:36:48,860 --> 00:37:04,760
+بين am minus am minus واحد وam زائد واحد minus am
+
+317
+00:37:11,460 --> 00:37:21,160
+يعني هاي ال X هاي ال M هاي AM وهاي AM زاد واحد
+
+318
+00:37:21,160 --> 00:37:30,960
+والأنصر اللي جاب لها AM minus واحد احنا قلنا ال X
+
+319
+00:37:30,960 --> 00:37:39,850
+سبعتي ال X سبعتي هي ال AM الآن باخدالمسافة هذه
+
+320
+00:37:39,850 --> 00:37:46,030
+اللي هي بين a m زي دول اللي هي المسافة هذه و باخد
+
+321
+00:37:46,030 --> 00:37:51,150
+المسافة هذه بين a m و a m سالب واحد لازم واحدة
+
+322
+00:37:51,150 --> 00:37:55,730
+تكون أصغر من أو يساوي التانية باخدها ال minimum ال
+
+323
+00:37:55,730 --> 00:37:57,730
+minimum .. ال minimum بين المسافتين .. الأصغر بين
+
+324
+00:37:57,730 --> 00:38:02,650
+المسافتين هدول و باخد نصها و باخد نصها بسميها
+
+325
+00:38:02,650 --> 00:38:08,720
+delta فنص .. لو قلنا الأصغرلو قلنا مثلا الأصغر
+
+326
+00:38:08,720 --> 00:38:15,400
+اللي هي هذه فنص الدلتا هذا هي فإذا ال delta هتكون
+
+327
+00:38:15,400 --> 00:38:21,040
+المسافة هذه و بكوّن delta neighborhood حوالين ال X
+
+328
+00:38:21,040 --> 00:38:29,720
+الأن ال delta neighborhood هذا then verify
+
+329
+00:38:29,720 --> 00:38:34,860
+ممكنكم تتحققوا verify that
+
+330
+00:38:37,340 --> 00:38:43,600
+الـ Delta neighborhood V Delta ل A M اللي هي ال X
+
+331
+00:38:43,600 --> 00:38:46,760
+تقاطع
+
+332
+00:38:46,760 --> 00:38:55,280
+ال set A فاي منزوعة منها A M هيطلع بساوي الفاي
+
+333
+00:38:55,280 --> 00:39:01,980
+مافيش تقاطع بينهم وبالتالي therefore by definition
+
+334
+00:39:04,480 --> 00:39:13,200
+ام اكس بساوي ام is not a
+
+335
+00:39:13,200 --> 00:39:22,360
+cluster point of set A لأن عشان تكونما تكونيش
+
+336
+00:39:22,360 --> 00:39:28,040
+cluster point لمجموعة A لازم اثبت انه يوجد there
+
+337
+00:39:28,040 --> 00:39:35,840
+exist delta neighborhood لل X تبعت اللي هي AM بحيث
+
+338
+00:39:35,840 --> 00:39:42,980
+انه ال delta neighborhood هذا مايتقطعش مع ال 6A في
+
+339
+00:39:42,980 --> 00:39:50,440
+اي نقطة مختلفة عن النقطة X وهذا حصلOkay تمام اذا
+
+340
+00:39:50,440 --> 00:39:56,140
+هذا في حالة لما ال X تكون موجودة في A الحالة
+
+341
+00:39:56,140 --> 00:40:03,340
+التانية ان ال case 2 case
+
+342
+00:40:03,340 --> 00:40:13,040
+2 ان ال X لا تنتمي ال ال set A ففي الحالة هذه
+
+343
+00:40:14,910 --> 00:40:20,590
+معناته x مابستويش ولا واحد من العناصر هذه فالحالة
+
+344
+00:40:20,590 --> 00:40:26,690
+هذه ممكن اجزها الى تلت حالات الحالة
+
+345
+00:40:26,690 --> 00:40:32,750
+الأولى ان ال x تبعتي تكون اصغر من a واحدوبالتالي
+
+346
+00:40:32,750 --> 00:40:37,010
+واضح ان المسافة بين X و A واحد كبيرة وباخد نص
+
+347
+00:40:37,010 --> 00:40:43,930
+المسافة ديلتا إذا هيوجد دلتا نبرود ل X ومابتقطعش
+
+348
+00:40:43,930 --> 00:40:47,650
+مع المجموعة A بالمرة وبالتالي X is not cluster
+
+349
+00:40:47,650 --> 00:40:54,250
+point ممكن الحالة التانية أن X تكون أكبر منالـ AM
+
+350
+00:40:54,250 --> 00:40:59,470
+برضه باخد المسافة دي بجيسها و باخد نصها على انه
+
+351
+00:40:59,470 --> 00:41:03,670
+Delta و بكون Delta neighborhood حوالين ال X هذا ال
+
+352
+00:41:03,670 --> 00:41:06,530
+Delta neighborhood واضح انه مابتخطعش مع ال set A
+
+353
+00:41:06,530 --> 00:41:11,910
+بالمرة وبالتالي إذا X في الحالة دي ليست cluster
+
+354
+00:41:11,910 --> 00:41:20,190
+point الحالة التالتة ان X تكون واقعة بين عنصرين من
+
+355
+00:41:20,190 --> 00:41:25,170
+عناصر ال setفباخد اللي هو المسافة الأصغر من
+
+356
+00:41:25,170 --> 00:41:29,310
+المسافتين هدول و هي تكون هادى و باخد نصها delta و
+
+357
+00:41:29,310 --> 00:41:32,890
+بكون delta neighborhood حواليها هذا ال delta
+
+358
+00:41:32,890 --> 00:41:36,510
+neighborhood بتخطعش مع المجموعه هاد المرة وبالتالي
+
+359
+00:41:36,510 --> 00:41:38,990
+حسب التعريف x ليست cluster point
+
+360
+00:41:43,100 --> 00:41:46,360
+ما احنا قلنا اذا كانت X تنتمي لأيه هي برهانة MA لا
+
+361
+00:41:46,360 --> 00:41:52,640
+تنتمي لأ تنتمي اه ليش قدماها بين تنتمي و لا تنتمي
+
+362
+00:41:52,640 --> 00:41:58,420
+ما هي ال X ما تنتميش لأيه فممكن تكون بين عنصرين من
+
+363
+00:41:58,420 --> 00:42:03,360
+عنصرهم هي تنتمي ل R ما تنتميش لأيه فممكن تكون
+
+364
+00:42:03,360 --> 00:42:09,640
+موجودة بين A2 و A3 صح او بين A1 و A2 او بين A3 او
+
+365
+00:42:09,640 --> 00:42:16,530
+A و هكذاأو ممكن تكون ال X على يمين ال AN أو حالة
+
+366
+00:42:16,530 --> 00:42:20,190
+تالتة X تكون على يسار ال A واحد وشوفنا في كل
+
+367
+00:42:20,190 --> 00:42:24,310
+الحالات هذه التلاتة أنه بقدر ألاقي delta
+
+368
+00:42:24,310 --> 00:42:27,990
+neighborhood حوالين ال X لا يتقاطع مع المجموعة A
+
+369
+00:42:27,990 --> 00:42:32,330
+بالمرة وبالتالي X ليست cluster point إذا الكلام
+
+370
+00:42:32,330 --> 00:42:37,110
+هذا واضح حاولوا تكتبوه بطريقة يعني منطقية okay
+
+371
+00:42:37,110 --> 00:42:37,810
+تمام؟
+
+372
+00:42:42,120 --> 00:42:46,900
+أنا متخيلة ال A عبارة عن set دائر مثلا أنا هيك
+
+373
+00:42:46,900 --> 00:42:50,340
+متخيلة و أنه مثلا ال cluster point هي عبارة عن
+
+374
+00:42:50,340 --> 00:42:54,820
+نقطة .. لأ ال A ماتتخيليش ال A عند ال set ال A هي
+
+375
+00:42:54,820 --> 00:43:01,140
+جزء من الأعداد الحقيقية subset من R و R خطلازم
+
+376
+00:43:01,140 --> 00:43:04,200
+يعني تتخيل الحاجات زمان على ال interior point و ال
+
+377
+00:43:04,200 --> 00:43:08,260
+boundary هذا في ال topology حاجة تانية هي زي ات
+
+378
+00:43:08,260 --> 00:43:11,140
+شبهها يعني ممكن نفهمها بهذا الطريقة بس ممكن اه
+
+379
+00:43:11,140 --> 00:43:13,860
+ممكن بس احنا هنا على ال real line يعني خليني احنا
+
+380
+00:43:13,860 --> 00:43:18,820
+نتقيد بال sets اللي موجودة على ال real line اما هو
+
+381
+00:43:18,820 --> 00:43:24,080
+طبعا في تعني من الكلام هذا في حاجات اعم و فرغات
+
+382
+00:43:24,080 --> 00:43:28,550
+اعم من ال ..ال real number اللي هو ال topological
+
+383
+00:43:28,550 --> 00:43:36,030
+spaces و هذا موضوع طبعا متشعب و بده يعني تدرس ال
+
+384
+00:43:36,030 --> 00:43:40,530
+topology عشان تفهم كل شيء okay فى اي اسئلة تانى؟
+
+385
+00:43:40,530 --> 00:43:44,430
+okay لنكتفي بهذا القدر و ان شاء الله بنكمل
+
+386
+00:43:44,430 --> 00:43:52,670
+المحاضرة الجاية الموضوع و بنخش بتعريف ال limit لل
+
+387
+00:43:52,670 --> 00:43:53,110
+functions
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Ejs4dHLsIvo_raw.srt

@@ -0,0 +1,1556 @@
+1
+00:00:20,920 --> 00:00:24,640
+بسم الله الرحمن الرحيم هنبدأ في المحاضرة هذه
+
+2
+00:00:24,640 --> 00:00:29,600
+chapter جديد وهو chapter أربعة في الكتاب المقرر
+
+3
+00:00:29,600 --> 00:00:35,280
+عنوان ال chapter limits of functions و هنبدأ أول
+
+4
+00:00:35,280 --> 00:00:39,540
+section في ال chapter هذا و برضه عنوان ال section
+
+5
+00:00:39,540 --> 00:00:44,180
+الأول هو نفس عنوان ال chapter limits of functions
+
+6
+00:00:44,180 --> 00:00:52,780
+فقبل ما نعرف limit of a functionبدنا نتعرف على
+
+7
+00:00:52,780 --> 00:01:00,060
+مصطلح جديد وهو cluster point of a set نقطة تراكم
+
+8
+00:01:00,060 --> 00:01:04,780
+ال cluster point أو بعض الكتب بيسموها accumulation
+
+9
+00:01:04,780 --> 00:01:12,120
+point و كتب أخرى بيسميها limit point فلو في عندي
+
+10
+00:01:12,120 --> 00:01:18,200
+set A subset من R set of real numbers و C real
+
+11
+00:01:18,200 --> 00:01:23,190
+number فال real number هذابنسميه cluster point
+
+12
+00:01:23,190 --> 00:01:28,030
+للست a if and only if the following condition is
+
+13
+00:01:28,030 --> 00:01:33,770
+satisfied for every delta عدد موجب نقدر نجد x
+
+14
+00:01:33,770 --> 00:01:39,650
+ينتمي إلى المجموعة a و ال x هذه مختلفة عن النقطة c
+
+15
+00:01:39,650 --> 00:01:45,330
+بحيث ان المسافة بين x و c تكون أصغر من delta هذا
+
+16
+00:01:45,330 --> 00:01:49,410
+الشرط هذا
+
+17
+00:01:49,410 --> 00:01:54,020
+الشرطis equivalent to saying بكافئ ان انا اقول
+
+18
+00:01:54,020 --> 00:01:59,160
+every delta neighborhood every delta neighborhood
+
+19
+00:01:59,160 --> 00:02:03,940
+لنقطة c اللى هو الفترة المفتوحة اللى مركزها c ونص
+
+20
+00:02:03,940 --> 00:02:11,500
+قطرة delta every delta neighborhoodof c يتقاطع مع
+
+21
+00:02:11,500 --> 00:02:18,200
+المجموعة a في نقطة واحدة على الأقل x مختلفة عن ال
+
+22
+00:02:18,200 --> 00:02:25,720
+c يعني بمعنى أخر بقدر ألاقي في التقاطع هذا نقطة x
+
+23
+00:02:25,720 --> 00:02:32,440
+يعني التقاطع هذا لا يساوي five okay
+
+24
+00:02:32,440 --> 00:02:37,990
+كمان مرةالنقطة C هذه بتكون cluster point للمجموعة
+
+25
+00:02:37,990 --> 00:02:44,370
+A إذا أي delta neighborhood للنقطة C بيتخاطع مع
+
+26
+00:02:44,370 --> 00:02:52,690
+المجموعة A في نقطة X مختلفة عن الـC بس لازم
+
+27
+00:02:52,690 --> 00:02:58,060
+كل delta neighborhood لـCيتقاطع مع المجموعة A في
+
+28
+00:02:58,060 --> 00:03:02,720
+نقطة X مختلفة عن الـC طب عشان اثبت ان الـC ليست
+
+29
+00:03:02,720 --> 00:03:09,000
+cluster point بنفي الشرط هذا يكفي ان اقول there
+
+30
+00:03:09,000 --> 00:03:14,520
+exist بدل for every delta او every delta
+
+31
+00:03:14,520 --> 00:03:18,860
+neighborhoodيكفى ان اجيب there exists delta
+
+32
+00:03:18,860 --> 00:03:24,720
+neighborhood واحد ل C و التقاطع هذا بساوي فاي يعني
+
+33
+00:03:24,720 --> 00:03:30,540
+بحيث ان ال delta neighborhood لا يتقاطع مع اي
+
+34
+00:03:30,540 --> 00:03:39,180
+مشيول منها C بالمرة ناخد نظرية الأول ال definition
+
+35
+00:03:39,180 --> 00:03:43,180
+هذا بيكافئ النظرية التانية بتقول ان
+
+36
+00:03:46,060 --> 00:03:53,140
+الـ condition هذا تبع التعريف بكافئ شرط تاني اذا
+
+37
+00:03:53,140 --> 00:04:06,140
+هنا let A subset من R و C real number C
+
+38
+00:04:06,140 --> 00:04:16,740
+is a cluster is a cluster pointof the set A if and
+
+39
+00:04:16,740 --> 00:04:22,400
+only if the following condition is satisfied there
+
+40
+00:04:22,400 --> 00:04:26,600
+exist a
+
+41
+00:04:26,600 --> 00:04:38,640
+sequence a n contained in A وكل عناصرها مختلفة
+
+42
+00:04:38,640 --> 00:04:52,650
+عن ال Csuch that limit a n بساوي c اذا هذا الشرط
+
+43
+00:04:52,650 --> 00:04:59,310
+بكافئ الشرط اللي هناك الشرط هذا او اللي بكافه
+
+44
+00:04:59,310 --> 00:05:06,290
+فلبرهان ذلك اذا كمان مرة انا عشان اثبت ان c is a
+
+45
+00:05:06,290 --> 00:05:10,610
+cluster point للمجموع يعني يكفي ان اثبت ان يوجد
+
+46
+00:05:12,310 --> 00:05:17,950
+سيكوانس في المجموعة A وكل على سرها مختلفة لاتساوي
+
+47
+00:05:17,950 --> 00:05:23,370
+C وانهيتها بالساوي لعدد C فتعالى نبرهن النظرية هذه
+
+48
+00:05:23,370 --> 00:05:28,850
+نبرهن ال only if part الأول فال only if part يعني
+
+49
+00:05:28,850 --> 00:05:36,910
+ال assumption assume ان C is a cluster is
+
+50
+00:05:36,910 --> 00:05:39,230
+a cluster point
+
+51
+00:05:40,700 --> 00:05:49,140
+of a then
+
+52
+00:05:49,140 --> 00:06:00,080
+for every n ينتمي إلى n لكل عدد طبيعي n take delta
+
+53
+00:06:00,080 --> 00:06:08,110
+بساوي واحد على n عدد موجببما انه C is a cluster
+
+54
+00:06:08,110 --> 00:06:11,230
+point ل A then by definition of a cluster point
+
+55
+00:06:11,230 --> 00:06:14,410
+then
+
+56
+00:06:14,410 --> 00:06:23,770
+by definition there exist a N ينتمي إلى A مختلف عن
+
+57
+00:06:23,770 --> 00:06:28,210
+ال C such that
+
+58
+00:06:28,210 --> 00:06:31,070
+ال ..
+
+59
+00:06:34,910 --> 00:06:42,950
+الـ AN هذا ينتمي للـ Delta neighborhood للـ
+
+60
+00:06:42,950 --> 00:06:56,090
+C وطبعا ينتمي إلى A negative C هعمل
+
+61
+00:06:56,090 --> 00:07:02,810
+التعريف هذالما انه الـ C is a cluster point لأي
+
+62
+00:07:02,810 --> 00:07:09,410
+Delta أكبر من السفر خد Delta بساوي واحد على N لكل
+
+63
+00:07:09,410 --> 00:07:13,290
+عدد طبيعي N هذا بيطلع عدد موجب لذلك لـ Delta بساوي
+
+64
+00:07:13,290 --> 00:07:18,470
+واحد على N بقدر ألاجني عنصر X اللي هو ساميه An
+
+65
+00:07:18,470 --> 00:07:24,470
+يعتمد على الـ Delta وهذا العنصر موجود في A مختلف
+
+66
+00:07:24,470 --> 00:07:30,570
+عن الـ Cو أيضا موجود في الـ delta neighborhood لـ
+
+67
+00:07:30,570 --> 00:07:38,370
+C طيب
+
+68
+00:07:38,370 --> 00:07:42,610
+إذا و
+
+69
+00:07:42,610 --> 00:07:51,230
+واضح هنا من ال AN ينتمي ل ال
+
+70
+00:07:51,230 --> 00:07:56,150
+AN ينتمي ل DN ال
+
+71
+00:07:56,150 --> 00:08:01,970
+deltaأو الـ 1 على N neighborhood للـ C اللي هو C
+
+72
+00:08:01,970 --> 00:08:09,750
+سالب واحد على N C موجب واحد على N وهذا صحيح لكل N
+
+73
+00:08:09,750 --> 00:08:16,270
+بيقدي انه بيقدي
+
+74
+00:08:16,270 --> 00:08:20,890
+انه C سالم A N أو
+
+75
+00:08:24,630 --> 00:08:31,950
+absolute a n سالب c أصغر من واحد على n وهذا صحيح
+
+76
+00:08:31,950 --> 00:08:36,370
+لكل n هزبوت؟
+
+77
+00:08:36,370 --> 00:08:40,750
+هاي a n أكبر من c سالب واحد على n أصغر من c زاد
+
+78
+00:08:40,750 --> 00:08:45,310
+واحد على n هذا معناه absolute a n minus c أصغر من
+
+79
+00:08:45,310 --> 00:08:48,790
+واحد على n لكل n هذا صحيح لكل n
+
+80
+00:08:52,390 --> 00:08:56,990
+إذا هاي فيها sequence إذا هاي أثبتنا مايوجد
+
+81
+00:08:56,990 --> 00:09:09,350
+sequence إذا am is a sequence in a وكل حدودها
+
+82
+00:09:09,350 --> 00:09:16,610
+مختلفة عن ال c and by theorem اتنين اربعة الشهيرة
+
+83
+00:09:18,560 --> 00:09:21,560
+أنا عندي الـ absolute value هذي أصغر من واحد على N
+
+84
+00:09:21,560 --> 00:09:26,480
+لكل N limit واحد على N بالساوي سفر خد C بالساوي
+
+85
+00:09:26,480 --> 00:09:33,760
+واحد عدن موجب لأن بيطلع limit ال sequence A N as N
+
+86
+00:09:33,760 --> 00:09:39,300
+tends to infinity بساوي S C إذن هين أثبتنا إنه لو
+
+87
+00:09:39,300 --> 00:09:44,920
+كانت C cluster point فأثبتنا إنه يوجد sequence A N
+
+88
+00:09:44,920 --> 00:09:51,380
+في المجموعة Aوكل عناصرها مختلفة عن الـ C ونهايتها
+
+89
+00:09:51,380 --> 00:09:59,080
+بساوي الـ C إذا هذا بثبت جزء ال only if part الآن
+
+90
+00:09:59,080 --> 00:10:04,220
+لثبت العكس لإثبات
+
+91
+00:10:04,220 --> 00:10:04,920
+العكس
+
+92
+00:10:21,910 --> 00:10:28,090
+assume أن الشرط اللي حصل بتتحقق
+
+93
+00:10:28,090 --> 00:10:41,250
+assume ال condition اللي حصل holds يعني بتتحقق to
+
+94
+00:10:41,250 --> 00:10:48,890
+show c is a cluster point of
+
+95
+00:10:48,890 --> 00:11:03,360
+a letdelta أكبر من السفر is given since
+
+96
+00:11:03,360 --> 00:11:15,160
+by star من الشرط star لدي limit لان بساوي c و
+
+97
+00:11:15,160 --> 00:11:19,260
+delta أكبر من السفر is given إذا من تعريف delta
+
+98
+00:11:19,260 --> 00:11:25,560
+capital Nللـ limit لأي delta أو إبسلون عدد موجة
+
+99
+00:11:25,560 --> 00:11:31,320
+there exist n يعتمد على delta natural number دحيث
+
+100
+00:11:31,320 --> 00:11:40,140
+أنه لكل n أكبر من أو سوى capital N هذا بيقدي أنه
+
+101
+00:11:40,140 --> 00:11:47,000
+absolute a n minus c أصغر من delta
+
+102
+00:11:50,570 --> 00:11:57,870
+إذاً هذا بيقدّي إنه هيعندي am
+
+103
+00:12:02,990 --> 00:12:08,910
+طبعا هدف قلبي أن a n أصغر
+
+104
+00:12:08,910 --> 00:12:15,370
+من c زائد delta أكبر من c negative delta يعني a n
+
+105
+00:12:15,370 --> 00:12:22,630
+تنتمي إلى v delta of c وتنتمي طبعا من ال condition
+
+106
+00:12:22,630 --> 00:12:32,780
+star تنتمي إلى a difference cو هذا صحيح لكل n أكبر
+
+107
+00:12:32,780 --> 00:12:38,660
+من أو ساوي capital N إذا هاي كل delta neighborhood
+
+108
+00:12:38,660 --> 00:12:50,240
+ل C بيتقاطع مع A في عدد لانهائي من النقاط المختلفة
+
+109
+00:12:50,240 --> 00:12:57,420
+عن ال C وبالتالي الشرط تبع ال definition هيتحققو
+
+110
+00:12:57,420 --> 00:13:05,660
+then by definition .. by definition C is a cluster
+
+111
+00:13:05,660 --> 00:13:14,000
+point of the set A و هدا بكمل ال F part and
+
+112
+00:13:14,000 --> 00:13:19,140
+therefore completes the proof of the theorem okay
+
+113
+00:13:19,140 --> 00:13:20,000
+تمام؟
+
+114
+00:13:25,140 --> 00:13:27,540
+Fine خلّينا ناخد بعض الأمثلة
+
+115
+00:13:49,070 --> 00:14:05,410
+تشير إلى أن كل X ينتمي إلى مقفل مقفل مقفل
+
+116
+00:14:05,410 --> 00:14:16,770
+مقفل
+
+117
+00:14:23,120 --> 00:14:29,460
+of set A1 بساوي الفترة
+
+118
+00:14:29,460 --> 00:14:40,780
+المفتوحة من سفر إلى واحد من
+
+119
+00:14:40,780 --> 00:14:45,460
+هنا يثبت إن كل X الفترة المغلقة من سفر إلى واحد هي
+
+120
+00:14:45,460 --> 00:14:50,480
+cluster point للفترة المفتوحة من سفر إلى واحد
+
+121
+00:15:01,360 --> 00:15:09,580
+ففي الأول بدي أثبت أنه كل نقطة داخل الفترة المغلقة
+
+122
+00:15:09,580 --> 00:15:14,460
+هي cluster point للمجموع عادي و بعدين في المرحلة
+
+123
+00:15:14,460 --> 00:15:19,840
+التانية حتة من نقاط الأطراف اللي هي 01 تطلع أيضا
+
+124
+00:15:19,840 --> 00:15:26,620
+cluster point لست A1 فنشوف مع بعض ان ال claim 1
+
+125
+00:15:34,010 --> 00:15:45,190
+بنثبت ان كل X ينتمي للفترة المفتوحة is a cluster
+
+126
+00:15:45,190 --> 00:15:50,410
+point of
+
+127
+00:15:50,410 --> 00:15:58,730
+set A1 اللي هي الفترة المفتوحة نفسها لبرهان ذلك to
+
+128
+00:15:58,730 --> 00:16:09,390
+see thisالبرهن ذلك fix ينتمي
+
+129
+00:16:09,390 --> 00:16:17,470
+للفترة المفتوحة ونثبت ان cluster point للمجموعة a1
+
+130
+00:16:17,470 --> 00:16:29,940
+اذا fix x and let delta أكبر من السفر be givenنبدأ
+
+131
+00:16:29,940 --> 00:16:35,900
+بالـ delta أكبر من 0 ونثبت أن كل delta
+
+132
+00:16:35,900 --> 00:16:42,820
+neighborhood للنقطة X بيتقاطع مع المجموعة A1 في
+
+133
+00:16:42,820 --> 00:16:49,400
+نقطة مختلفة عن X وبالتالي الـ X هتطلع cluster
+
+134
+00:16:49,400 --> 00:16:55,960
+point حسب التعريف طيب نحن
+
+135
+00:16:55,960 --> 00:16:56,920
+لدينا اتصالين
+
+136
+00:17:01,270 --> 00:17:07,090
+two cases حالتين الحالة
+
+137
+00:17:07,090 --> 00:17:10,270
+الأولى ان ال delta هذه اللى انا اخترتها العشوائية
+
+138
+00:17:10,270 --> 00:17:17,310
+ال delta اللى انا اخترتها ممكن تكون اصغر من ..
+
+139
+00:17:17,310 --> 00:17:23,590
+طبعا موجبة هي ممكن تكون اصغر من واحد ف in this
+
+140
+00:17:23,590 --> 00:17:27,930
+case in
+
+141
+00:17:27,930 --> 00:17:30,050
+this case في هذه الحالة
+
+142
+00:17:35,000 --> 00:17:49,440
+لدينا in this
+
+143
+00:17:49,440 --> 00:17:58,680
+case الـ delta neighborhood ل X اللي هو X minus
+
+144
+00:17:58,680 --> 00:18:06,650
+Delta X موجة Deltaبنلاحظ انه تقاطع مع المجموعة ايه
+
+145
+00:18:06,650 --> 00:18:14,050
+اللي هي الفترة اللي مفتوحة من سفر لواحد بطلع
+
+146
+00:18:14,050 --> 00:18:23,080
+واحد من الخيارات التاليةاما الفترة المفتوحة x
+
+147
+00:18:23,080 --> 00:18:28,820
+negative delta x positive delta او الفترة المفتوحة
+
+148
+00:18:28,820 --> 00:18:36,420
+من صفر الى اكس positive delta او الفترة
+
+149
+00:18:36,420 --> 00:18:40,340
+المفتوحة من x negative delta الى واحد او الفترة
+
+150
+00:18:40,340 --> 00:18:42,920
+المفتوحة من صفر الى واحد
+
+151
+00:18:48,470 --> 00:18:55,310
+حسب قيمة الـ Delta يعني أنا
+
+152
+00:18:55,310 --> 00:19:03,030
+عندي الفترة المفتوحة من 0 إلى 1 هذه الفترة
+
+153
+00:19:03,030 --> 00:19:12,350
+المفتوحة تبعتي اللي هي A1 هذا ال set A1 و أنا عندي
+
+154
+00:19:12,350 --> 00:19:20,080
+ال Delta عدد موجب أصغر من 1والـ X هذه تنتمي .. الـ
+
+155
+00:19:20,080 --> 00:19:27,300
+X هذه نقطة ما في الفترة
+
+156
+00:19:27,300 --> 00:19:38,320
+fixed number بين 0 و 1 الآن
+
+157
+00:19:38,320 --> 00:19:41,160
+أنا عندي الـ delta neighborhood لـ X هذا هو ممكن
+
+158
+00:19:41,160 --> 00:19:46,510
+يكون زي هيك شكله وبالتالي تقاطعتقاطعه مع الفترة
+
+159
+00:19:46,510 --> 00:19:53,310
+المفتوحة هو نفسه، صح؟ إذا كان زي هيك أو ممكن يكون
+
+160
+00:19:53,310 --> 00:19:57,250
+الـ delta neighborhood لل X يكون شكله زي هيك
+
+161
+00:19:57,250 --> 00:20:01,430
+وبالتالي
+
+162
+00:20:01,430 --> 00:20:06,150
+تقاطعه مع الفترة .. مع الست واحد، هيكون الفترة
+
+163
+00:20:06,150 --> 00:20:10,830
+المفتوحة من صفر إلى X زي الـ delta اللي هي التانية
+
+164
+00:20:10,830 --> 00:20:17,310
+يعنيصح وممكن يكون ال
+
+165
+00:20:17,310 --> 00:20:21,810
+delta neighborhood ال x تكون جريبة من الواحد زي
+
+166
+00:20:21,810 --> 00:20:26,410
+هيك و ال delta neighborhood حوالين ال x يكون زي
+
+167
+00:20:26,410 --> 00:20:34,190
+هيك شكله هاي x negative delta x positive delta
+
+168
+00:20:35,200 --> 00:20:39,440
+وبالتالي تقاطع مع الفترة من صفر إلى واحد هيعطيني
+
+169
+00:20:39,440 --> 00:20:44,700
+الجزء هذا اللي هو فترة مفتوحة من X سالب Delta إلى
+
+170
+00:20:44,700 --> 00:20:48,360
+واحد وممكن
+
+171
+00:20:48,360 --> 00:20:56,170
+ال Delta لبرهود ال X تكون جريبة من المنتصفوالـ
+
+172
+00:20:56,170 --> 00:20:59,250
+Delta تكون قريبة من الواحد قيمتها أصغر من واحد لكن
+
+173
+00:20:59,250 --> 00:21:04,250
+قريبة من واحد وبالتالي الـ Delta neighborhood لل X
+
+174
+00:21:04,250 --> 00:21:09,150
+يكون زي هيك وبالتالي تقاطعه مع المجموعة A واحد
+
+175
+00:21:09,150 --> 00:21:12,970
+بيطلع المجموعة A واحد نفسها، صحيح؟ إن هذه كل
+
+176
+00:21:12,970 --> 00:21:20,590
+احتمالات وفي كل الأحوال التقاطع هذا بيطلع infinite
+
+177
+00:21:20,590 --> 00:21:22,090
+is infinite
+
+178
+00:21:25,670 --> 00:21:29,890
+تقاطع المجمعتين هذول بيطلع فترة و الفترة اي فترة
+
+179
+00:21:29,890 --> 00:21:33,330
+مفتوحة ال cardinal number تبعها بيساوي ال cardinal
+
+180
+00:21:33,330 --> 00:21:36,310
+number تبع ال real numbers اللي هي uncountable set
+
+181
+00:21:36,310 --> 00:21:41,270
+وبالتالي infinite إذا التقاطع هذا infinite وهذا
+
+182
+00:21:41,270 --> 00:21:46,410
+بيقدي ان ال V
+
+183
+00:21:46,410 --> 00:21:57,490
+Delta of X تقاطعالـ a1 منزوعة منها الـ x هيطلع
+
+184
+00:21:57,490 --> 00:22:03,390
+بالتأكيد لا يساوي في لأن التقاطة هذا بيطلع
+
+185
+00:22:03,390 --> 00:22:07,630
+infinite وبالتالي هيك بيكون أثبتنا أن كل delta
+
+186
+00:22:07,630 --> 00:22:13,370
+neighborhood ل x بيتقاطع مع a1 في نقطة مختلفة عن x
+
+187
+00:22:23,000 --> 00:22:31,840
+الحالة التانية case two ان ال delta هذه تكون اكبر
+
+188
+00:22:31,840 --> 00:22:36,670
+من اوسع واحدبرضه فى الحاله دى بنا نثبت انه كل
+
+189
+00:22:36,670 --> 00:22:41,170
+delta neighborhood ال X بتقاطع مع A واحد فى نقطه
+
+190
+00:22:41,170 --> 00:22:49,730
+مختلفه عن ال X نشوف مع بعض in this case in
+
+191
+00:22:49,730 --> 00:22:57,310
+this case ال X negative او ال negative delta X
+
+192
+00:22:57,310 --> 00:23:01,310
+موجب delta هذا اللى هو ال delta neighborhood ل X
+
+193
+00:23:01,310 --> 00:23:06,620
+تقاطعالمجموعة A1 اللي هي الفترة المفتوحة من 0 إلى
+
+194
+00:23:06,620 --> 00:23:17,040
+1 هيطلع بساوي الفترة المفتوحة من 0 إلى 1 لأن الـ
+
+195
+00:23:17,040 --> 00:23:24,780
+Delta هنا أكبر من أو ساوي الواحد يعني هي عندي S 0
+
+196
+00:23:24,780 --> 00:23:36,180
+إلى 1 هذه اللي هي المجموعة A وهي Xنقطة ما داخل
+
+197
+00:23:36,180 --> 00:23:42,300
+الفترة فلما يكون x زايد ال delta لما تكون ال delta
+
+198
+00:23:42,300 --> 00:23:49,160
+تبعتي أكبر من واحد فx زايد ال delta هتكون هنا و x
+
+199
+00:23:49,160 --> 00:23:55,880
+سالب ال delta بالتأكيد هتكون هنا وبالتالي ال delta
+
+200
+00:23:55,880 --> 00:24:01,640
+neighborhood ل x هيحتويالمجموعة a واحد وبالتالي
+
+201
+00:24:01,640 --> 00:24:06,760
+تقاطع معاها تطلع المجموعة a واحد وهذا is infinite
+
+202
+00:24:06,760 --> 00:24:11,680
+وبالتالي
+
+203
+00:24:11,680 --> 00:24:18,060
+اذا ال delta neighborhood هذا تقاطع الفترة
+
+204
+00:24:18,060 --> 00:24:20,460
+المفتوحة minus x
+
+205
+00:24:23,650 --> 00:24:29,910
+لا أكيد بتأكيد لا يساوي five okay تمام اذا في
+
+206
+00:24:29,910 --> 00:24:34,470
+الحالتين ال condition تبع ال cluster point تتحقق
+
+207
+00:24:34,470 --> 00:24:44,730
+therefore by definition x is cluster point is
+
+208
+00:24:44,730 --> 00:24:50,780
+cluster point ofالست ا واحد اللي هي الفترة
+
+209
+00:24:50,780 --> 00:24:56,280
+المفتوحة من صفر الى واحد طبعا إذا هذا بثبت ال
+
+210
+00:24:56,280 --> 00:25:09,140
+claim الأولاني طبعا الآن هثبت claim تاني ال claim
+
+211
+00:25:09,140 --> 00:25:09,880
+التاني
+
+212
+00:25:16,660 --> 00:25:25,180
+النقطة 0 is a cluster point
+
+213
+00:25:25,180 --> 00:25:36,460
+of set A1 الفترة مفتوحة من 0 إلى 1 لبرهان
+
+214
+00:25:36,460 --> 00:25:37,020
+ذلك
+
+215
+00:25:47,440 --> 00:25:55,860
+to see this let نبدأ let delta أكبر من السفر be
+
+216
+00:25:55,860 --> 00:26:03,120
+given فهنا
+
+217
+00:26:03,120 --> 00:26:11,380
+لأي delta ال delta
+
+218
+00:26:11,380 --> 00:26:16,140
+neighborhood للسفر اللي هو هيطلع
+
+219
+00:26:18,570 --> 00:26:28,630
+سالب دلتا زاد سفر وموجب دلتا زاد سفر فتقاطع هذا مع
+
+220
+00:26:28,630 --> 00:26:35,150
+الفترة المفتوحة من سفر إلى واحد بساوي
+
+221
+00:26:36,900 --> 00:26:44,360
+في خيارين إما الفترة المفتوحة من سفر إلى دلتا إذا
+
+222
+00:26:44,360 --> 00:26:52,680
+كانت ال delta أصغر من واحد طبعا أكبر من سفر وبساوي
+
+223
+00:26:52,680 --> 00:26:57,600
+الفترة المفتوحة من سفر إلى واحد إذا كان ال delta
+
+224
+00:26:57,600 --> 00:27:04,220
+أكبر من أو ساوي الواحد زي ما شوفنا في برهان الكلام
+
+225
+00:27:04,220 --> 00:27:12,240
+الأولانيمظبوط هاي الاندي الفترة من سفر إلى واحد
+
+226
+00:27:12,240 --> 00:27:19,520
+هذه المجموعة A1 وهي
+
+227
+00:27:19,520 --> 00:27:27,700
+X نقطة .. لأ هاي السفر بالدفتر أن السفر cluster
+
+228
+00:27:27,700 --> 00:27:34,660
+point للمجموعة A1فأخدت أي delta أكبر من السفر الان
+
+229
+00:27:34,660 --> 00:27:38,260
+ال delta هذه لو كانت ال delta هذه اذا هي سالب
+
+230
+00:27:38,260 --> 00:27:42,720
+delta موجب delta لو كانت ال delta هذه أصغر من واحد
+
+231
+00:27:42,720 --> 00:27:47,120
+فتقاطع ال delta neighborhood مع ال a واحد هيكون
+
+232
+00:27:47,120 --> 00:27:51,140
+الجزء هذا اللي هو الفترة المفتوحة من سفر ل delta
+
+233
+00:27:51,140 --> 00:27:57,100
+صح؟ و لو كانت ال delta هذه أكبر من واحد لو كانت ال
+
+234
+00:27:57,100 --> 00:27:58,940
+delta هذه أكبر من واحد
+
+235
+00:28:01,680 --> 00:28:11,060
+فال .. ف delta هتكون هاي delta أكبر من واحد و سالف
+
+236
+00:28:11,060 --> 00:28:15,120
+delta هتكون هان و بالتالي ال delta لبرهود هذا
+
+237
+00:28:15,120 --> 00:28:24,220
+تقاطع مع a واحد بيساوي a واحد مظبوط صح؟ تمام؟ و في
+
+238
+00:28:24,220 --> 00:28:27,840
+كل الأحوال التقاطع هذا بيطلع infinite is infinite
+
+239
+00:28:27,840 --> 00:28:31,000
+infinite set لأنه open interval
+
+240
+00:28:38,080 --> 00:28:46,040
+تقاطة a-a1 هو
+
+241
+00:28:46,040 --> 00:28:53,940
+نفس تقاطة a1
+
+242
+00:29:00,690 --> 00:29:03,830
+إذن هي اللي أثبتت إن كل delta neighborhood للسفر
+
+243
+00:29:03,830 --> 00:29:09,590
+يتقاطع مع المجموعة A1 في نقطة مختلفة عن السفر في
+
+244
+00:29:09,590 --> 00:29:14,070
+حقيقة الأمر في حقيقة الأمر كل delta neighborhood
+
+245
+00:29:14,070 --> 00:29:19,250
+للسفر بتقاطع مع A1 في عدد لانهائي من النقاط اللي
+
+246
+00:29:19,250 --> 00:29:24,350
+موجودة في A1 ومختلفة عن السفر إذن by definition
+
+247
+00:29:24,350 --> 00:29:27,610
+zero is a cluster
+
+248
+00:29:30,120 --> 00:29:36,540
+point of A1 اللي هي الفترة مفتوحة من صفر لواحد
+
+249
+00:29:36,540 --> 00:29:43,720
+يبقى لإكمال البرهان يمكن أن يظهر الكليل التالت
+
+250
+00:29:43,720 --> 00:29:55,560
+باقي أثبت أن الواحد is a cluster point of set A1
+
+251
+00:29:55,560 --> 00:30:02,300
+اللي هي الفترة مفتوحة من صفر لواحدوبرهان ال claim
+
+252
+00:30:02,300 --> 00:30:07,360
+التالت زي .. similar لبرهان ال claim التالت إذا
+
+253
+00:30:07,360 --> 00:30:19,280
+هنا the proof its proof is similar to
+
+254
+00:30:19,280 --> 00:30:20,260
+claim to
+
+255
+00:30:23,650 --> 00:30:27,990
+فحاسيبكم انتوا تكتبوا وبالتالي هيك بالكون أثبتنا
+
+256
+00:30:27,990 --> 00:30:32,250
+ان كل نقطة في الفترة المغلطة سواء كانت نقطة الطرف
+
+257
+00:30:32,250 --> 00:30:37,570
+اللي هي 0 او 1 او نقطة داخلية interior point نقطة
+
+258
+00:30:37,570 --> 00:30:41,290
+داخل الفترة المغلطة كل النقاط هذه بتطلع cluster
+
+259
+00:30:41,290 --> 00:30:47,970
+points لمجموعة A1 اللي هي الفترة المفتوحة تمام؟
+
+260
+00:30:52,450 --> 00:31:05,790
+بالمثل ممكن إثبات إن
+
+261
+00:31:05,790 --> 00:31:09,250
+كل نقطة في الفترة المغلقة is cluster point
+
+262
+00:31:09,250 --> 00:31:16,990
+للمجموعة A2 اللي هي الفترة المغلقة من 0 إلى 1
+
+263
+00:31:16,990 --> 00:31:20,390
+والبرهان
+
+264
+00:31:20,390 --> 00:31:28,770
+هو نفسهبنعمل three claims وفي كل برهان هيكون الفرق
+
+265
+00:31:28,770 --> 00:31:35,430
+انه عندي انا a بدل a 1 هيكون a 2 فهتكون اللي هو
+
+266
+00:31:35,430 --> 00:31:41,370
+الفترات هذه فترة مغلقة من سفر إلى واحد وبالتالي
+
+267
+00:31:41,370 --> 00:31:47,910
+بيصير هذه الفترة من هنا مغلقة عند السفر ومغلقة عند
+
+268
+00:31:47,910 --> 00:31:54,070
+السفر ومغلقة عند الواحدو هكذا نفس البرهان نسخ لسق
+
+269
+00:31:54,070 --> 00:31:59,790
+مع التعديلات البسيطة ان اي واحد الآن أصبحت بدل ما
+
+270
+00:31:59,790 --> 00:32:03,270
+كانت فترة مفتوحة من صفر لواحد أصبحت فترة مغلقة
+
+271
+00:32:03,270 --> 00:32:06,830
+وبالتالي في التقاطعات الحسابات نغلق اللي هو
+
+272
+00:32:06,830 --> 00:32:13,590
+الفترات and الحاجة المطلوبة okay وبالتالي نفس
+
+273
+00:32:13,590 --> 00:32:18,910
+البرهان will go through هيمشي بالتمام والكمالOkay
+
+274
+00:32:18,910 --> 00:32:24,270
+تمام؟ إذا هذا البرهان مشابه لبرهان المثال الأول
+
+275
+00:32:24,270 --> 00:32:34,010
+ناخد كمان مثال آخر مثال
+
+276
+00:32:34,010 --> 00:32:43,770
+تالت every every
+
+277
+00:32:43,770 --> 00:32:44,310
+finite
+
+278
+00:32:46,970 --> 00:32:59,350
+set A contained in R has no
+
+279
+00:32:59,350 --> 00:33:03,070
+cluster
+
+280
+00:33:03,070 --> 00:33:09,730
+points
+
+281
+00:33:09,730 --> 00:33:19,970
+كل finite set مالهاش ولا cluster pointوالبرهان سهل
+
+282
+00:33:19,970 --> 00:33:24,950
+proof say
+
+283
+00:33:24,950 --> 00:33:35,030
+دعنا ال set a نسمي عناصرها a1, a2 الى an هدف مش
+
+284
+00:33:35,030 --> 00:33:39,950
+هدف finite set اذا عناصرهم ممكن اعملهم list a1, a2
+
+285
+00:33:39,950 --> 00:33:47,530
+الى anو ممكن اعملهم order ارتبهم حسب المؤشر تبعهم
+
+286
+00:33:47,530 --> 00:33:57,450
+يعني a1 اصغر من a2 اصغر من a3 اصغر من اصغر من am
+
+287
+00:33:57,450 --> 00:34:03,570
+ممكن نعمل كلمة من هذا ولا لأ ممكن by the ordering
+
+288
+00:34:03,570 --> 00:34:04,370
+principle
+
+289
+00:34:11,360 --> 00:34:20,780
+أو باستخدام ال ordering تبع ال real numbers إذا
+
+290
+00:34:20,780 --> 00:34:30,880
+هي عندي ال 6A تبعتي هي خط العداد وهي A1 وهي A2 وهي
+
+291
+00:34:30,880 --> 00:34:36,160
+A3 مش شرط المسافة بين كل أنصار والتاني تكون
+
+292
+00:34:36,160 --> 00:34:46,230
+متساوية وهكذا إلىأخر عنصر AN ف
+
+293
+00:34:46,230 --> 00:34:49,910
+fix X
+
+294
+00:34:49,910 --> 00:35:01,190
+ينتمي إلى R و بد أثبت أن claim X is not a cluster
+
+295
+00:35:01,190 --> 00:35:01,910
+point
+
+296
+00:35:09,790 --> 00:35:12,850
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+297
+00:35:12,850 --> 00:35:16,770
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+298
+00:35:16,770 --> 00:35:16,790
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+299
+00:35:16,790 --> 00:35:16,790
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+300
+00:35:16,790 --> 00:35:17,530
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+301
+00:35:17,530 --> 00:35:17,750
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+302
+00:35:17,750 --> 00:35:17,750
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+303
+00:35:17,750 --> 00:35:18,430
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+304
+00:35:18,430 --> 00:35:19,070
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+305
+00:35:19,070 --> 00:35:19,690
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+306
+00:35:19,690 --> 00:35:25,170
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+307
+00:35:25,170 --> 00:35:28,870
+بالتالي المجموع A ليس لديه اي cluster point
+
+308
+00:35:28,870 --> 00:35:33,950
+بالتالي المجم
+
+309
+00:35:37,690 --> 00:35:44,410
+إما X تنتمي إلى A أو X تنتمي إلى الـ complement
+
+310
+00:35:44,410 --> 00:35:50,530
+يعني لا تنتمي إلى A صح؟
+
+311
+00:35:50,530 --> 00:35:59,870
+ففي الحالة الأولى case واحد أثر من X تنتمي إلى A
+
+312
+00:35:59,870 --> 00:36:03,970
+وبالدفع تثبت إن X ليست cluster point
+
+313
+00:36:10,180 --> 00:36:18,560
+say x بساوي a m for some m أكبر من أو ساوي واحد
+
+314
+00:36:18,560 --> 00:36:24,180
+أصغر من أو ساوي مش هذا ال x موجود في a و a على
+
+315
+00:36:24,180 --> 00:36:29,460
+سرها a واحد إلى a n إذا هذا ال x هو a m for some m
+
+316
+00:36:29,460 --> 00:36:36,300
+بين واحد و n طيب let
+
+317
+00:36:37,980 --> 00:36:48,860
+delta بساوي نص المسافة ال minimum المسافة
+
+318
+00:36:48,860 --> 00:37:04,760
+بين am minus am minus واحد وam زائد واحد minus am
+
+319
+00:37:11,460 --> 00:37:21,160
+يعني هاي ال X هاي ال M هاي AM وهاي AM زاد واحد
+
+320
+00:37:21,160 --> 00:37:30,960
+والأنصر اللي جاب لها AM minus واحد احنا قلنا ال X
+
+321
+00:37:30,960 --> 00:37:39,850
+سبعتي ال X سبعتي هي ال AM الآن باخدالمسافة هذه
+
+322
+00:37:39,850 --> 00:37:46,030
+اللي هي بين a m زي دول اللي هي المسافة هذه و باخد
+
+323
+00:37:46,030 --> 00:37:51,150
+المسافة هذه بين a m و a m سالب واحد لازم واحدة
+
+324
+00:37:51,150 --> 00:37:55,730
+تكون أصغر من أو يساوي التانية باخدها ال minimum ال
+
+325
+00:37:55,730 --> 00:37:57,730
+minimum .. ال minimum بين المسافتين .. الأصغر بين
+
+326
+00:37:57,730 --> 00:38:02,650
+المسافتين هدول و باخد نصها و باخد نصها بسميها
+
+327
+00:38:02,650 --> 00:38:08,720
+delta فنص .. لو قلنا الأصغرلو قلنا مثلا الأصغر
+
+328
+00:38:08,720 --> 00:38:15,400
+اللي هي هذه فنص الدلتا هذا هي فإذا ال delta هتكون
+
+329
+00:38:15,400 --> 00:38:21,040
+المسافة هذه و بكوّن delta neighborhood حوالين ال X
+
+330
+00:38:21,040 --> 00:38:29,720
+الأن ال delta neighborhood هذا then verify
+
+331
+00:38:29,720 --> 00:38:34,860
+ممكنكم تتحققوا verify that
+
+332
+00:38:37,340 --> 00:38:43,600
+الـ Delta neighborhood V Delta ل A M اللي هي ال X
+
+333
+00:38:43,600 --> 00:38:46,760
+تقاطع
+
+334
+00:38:46,760 --> 00:38:55,280
+ال set A فاي منزوعة منها A M هيطلع بساوي الفاي
+
+335
+00:38:55,280 --> 00:39:01,980
+مافيش تقاطع بينهم وبالتالي therefore by definition
+
+336
+00:39:04,480 --> 00:39:13,200
+ام اكس بساوي ام is not a
+
+337
+00:39:13,200 --> 00:39:22,360
+cluster point of set A لأن عشان تكونما تكونيش
+
+338
+00:39:22,360 --> 00:39:28,040
+cluster point لمجموعة A لازم اثبت انه يوجد there
+
+339
+00:39:28,040 --> 00:39:35,840
+exist delta neighborhood لل X تبعت اللي هي AM بحيث
+
+340
+00:39:35,840 --> 00:39:42,980
+انه ال delta neighborhood هذا مايتقطعش مع ال 6A في
+
+341
+00:39:42,980 --> 00:39:50,440
+اي نقطة مختلفة عن النقطة X وهذا حصلOkay تمام اذا
+
+342
+00:39:50,440 --> 00:39:56,140
+هذا في حالة لما ال X تكون موجودة في A الحالة
+
+343
+00:39:56,140 --> 00:40:03,340
+التانية ان ال case 2 case
+
+344
+00:40:03,340 --> 00:40:13,040
+2 ان ال X لا تنتمي ال ال set A ففي الحالة هذه
+
+345
+00:40:14,910 --> 00:40:20,590
+معناته x مابستويش ولا واحد من العناصر هذه فالحالة
+
+346
+00:40:20,590 --> 00:40:26,690
+هذه ممكن اجزها الى تلت حالات الحالة
+
+347
+00:40:26,690 --> 00:40:32,750
+الأولى ان ال x تبعتي تكون اصغر من a واحدوبالتالي
+
+348
+00:40:32,750 --> 00:40:37,010
+واضح ان المسافة بين X و A واحد كبيرة وباخد نص
+
+349
+00:40:37,010 --> 00:40:43,930
+المسافة ديلتا إذا هيوجد دلتا نبرود ل X ومابتقطعش
+
+350
+00:40:43,930 --> 00:40:47,650
+مع المجموعة A بالمرة وبالتالي X is not cluster
+
+351
+00:40:47,650 --> 00:40:54,250
+point ممكن الحالة التانية أن X تكون أكبر منالـ AM
+
+352
+00:40:54,250 --> 00:40:59,470
+برضه باخد المسافة دي بجيسها و باخد نصها على انه
+
+353
+00:40:59,470 --> 00:41:03,670
+Delta و بكون Delta neighborhood حوالين ال X هذا ال
+
+354
+00:41:03,670 --> 00:41:06,530
+Delta neighborhood واضح انه مابتخطعش مع ال set A
+
+355
+00:41:06,530 --> 00:41:11,910
+بالمرة وبالتالي إذا X في الحالة دي ليست cluster
+
+356
+00:41:11,910 --> 00:41:20,190
+point الحالة التالتة ان X تكون واقعة بين عنصرين من
+
+357
+00:41:20,190 --> 00:41:25,170
+عناصر ال setفباخد اللي هو المسافة الأصغر من
+
+358
+00:41:25,170 --> 00:41:29,310
+المسافتين هدول و هي تكون هادى و باخد نصها delta و
+
+359
+00:41:29,310 --> 00:41:32,890
+بكون delta neighborhood حواليها هذا ال delta
+
+360
+00:41:32,890 --> 00:41:36,510
+neighborhood بتخطعش مع المجموعه هاد المرة وبالتالي
+
+361
+00:41:36,510 --> 00:41:38,990
+حسب التعريف x ليست cluster point
+
+362
+00:41:43,100 --> 00:41:46,360
+ما احنا قلنا اذا كانت X تنتمي لأيه هي برهانة MA لا
+
+363
+00:41:46,360 --> 00:41:52,640
+تنتمي لأ تنتمي اه ليش قدماها بين تنتمي و لا تنتمي
+
+364
+00:41:52,640 --> 00:41:58,420
+ما هي ال X ما تنتميش لأيه فممكن تكون بين عنصرين من
+
+365
+00:41:58,420 --> 00:42:03,360
+عنصرهم هي تنتمي ل R ما تنتميش لأيه فممكن تكون
+
+366
+00:42:03,360 --> 00:42:09,640
+موجودة بين A2 و A3 صح او بين A1 و A2 او بين A3 او
+
+367
+00:42:09,640 --> 00:42:16,530
+A و هكذاأو ممكن تكون ال X على يمين ال AN أو حالة
+
+368
+00:42:16,530 --> 00:42:20,190
+تالتة X تكون على يسار ال A واحد وشوفنا في كل
+
+369
+00:42:20,190 --> 00:42:24,310
+الحالات هذه التلاتة أنه بقدر ألاقي delta
+
+370
+00:42:24,310 --> 00:42:27,990
+neighborhood حوالين ال X لا يتقاطع مع المجموعة A
+
+371
+00:42:27,990 --> 00:42:32,330
+بالمرة وبالتالي X ليست cluster point إذا الكلام
+
+372
+00:42:32,330 --> 00:42:37,110
+هذا واضح حاولوا تكتبوه بطريقة يعني منطقية okay
+
+373
+00:42:37,110 --> 00:42:37,810
+تمام؟
+
+374
+00:42:42,120 --> 00:42:46,900
+أنا متخيلة ال A عبارة عن set دائر مثلا أنا هيك
+
+375
+00:42:46,900 --> 00:42:50,340
+متخيلة و أنه مثلا ال cluster point هي عبارة عن
+
+376
+00:42:50,340 --> 00:42:54,820
+نقطة .. لأ ال A ماتتخيليش ال A عند ال set ال A هي
+
+377
+00:42:54,820 --> 00:43:01,140
+جزء من الأعداد الحقيقية subset من R و R خطلازم
+
+378
+00:43:01,140 --> 00:43:04,200
+يعني تتخيل الحاجات زمان على ال interior point و ال
+
+379
+00:43:04,200 --> 00:43:08,260
+boundary هذا في ال topology حاجة تانية هي زي ات
+
+380
+00:43:08,260 --> 00:43:11,140
+شبهها يعني ممكن نفهمها بهذا الطريقة بس ممكن اه
+
+381
+00:43:11,140 --> 00:43:13,860
+ممكن بس احنا هنا على ال real line يعني خليني احنا
+
+382
+00:43:13,860 --> 00:43:18,820
+نتقيد بال sets اللي موجودة على ال real line اما هو
+
+383
+00:43:18,820 --> 00:43:24,080
+طبعا في تعني من الكلام هذا في حاجات اعم و فرغات
+
+384
+00:43:24,080 --> 00:43:28,550
+اعم من ال ..ال real number اللي هو ال topological
+
+385
+00:43:28,550 --> 00:43:36,030
+spaces و هذا موضوع طبعا متشعب و بده يعني تدرس ال
+
+386
+00:43:36,030 --> 00:43:40,530
+topology عشان تفهم كل شيء okay فى اي اسئلة تانى؟
+
+387
+00:43:40,530 --> 00:43:44,430
+okay لنكتفي بهذا القدر و ان شاء الله بنكمل
+
+388
+00:43:44,430 --> 00:43:52,670
+المحاضرة الجاية الموضوع و بنخش بتعريف ال limit لل
+
+389
+00:43:52,670 --> 00:43:53,110
+functions
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Gx7j9GpXuiI_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1780 @@
+1
+00:00:21,580 --> 00:00:26,880
+بسم الله الرحمن الرحيم اليوم ان شاء الله هنبدأ
+
+2
+00:00:26,880 --> 00:00:34,000
+chapter خمسة و هذا اخر chapter هناخده في ال course
+
+3
+00:00:34,000 --> 00:00:50,080
+فانواع ال chapter هذا continuous
+
+4
+00:00:53,880 --> 00:01:01,820
+functions الدوالة المتصلة و
+
+5
+00:01:01,820 --> 00:01:08,460
+أول section برضه section خمسة واحد في هذا ال
+
+6
+00:01:08,460 --> 00:01:16,320
+chapter برضه عنوانه continuous functions
+
+7
+00:01:24,100 --> 00:01:29,280
+الدولة المتصلة فنعرف شو معنى الدولة تكون متصلة عن
+
+8
+00:01:29,280 --> 00:01:35,160
+نقطة definition let
+
+9
+00:01:35,160 --> 00:01:49,280
+f be function from a to r and c be element of a we
+
+10
+00:01:49,280 --> 00:02:00,630
+sayإنه ال function if is continuous if
+
+11
+00:02:00,630 --> 00:02:05,770
+is continuous at
+
+12
+00:02:05,770 --> 00:02:18,950
+x بساوي c if إذا تحقق الشرط التالي for
+
+13
+00:02:18,950 --> 00:02:20,470
+every
+
+14
+00:02:22,680 --> 00:02:29,400
+إبسلون أكبر من السفر نقدر نرد عليها delta تعتمد
+
+15
+00:02:29,400 --> 00:02:37,840
+على إبسلون positive number بحيث أنه لكل X لكل
+
+16
+00:02:37,840 --> 00:02:44,090
+X في Aو ال absolute value ل x minus c أصغر من
+
+17
+00:02:44,090 --> 00:02:52,170
+delta فهذا بتضمن ان absolute f of x minus f of c
+
+18
+00:02:52,170 --> 00:03:01,630
+أصغر من ال epsilon فهذا
+
+19
+00:03:01,630 --> 00:03:13,010
+بنسميه this is calledthis is called epsilon delta
+
+20
+00:03:13,010 --> 00:03:18,770
+definition of
+
+21
+00:03:18,770 --> 00:03:31,170
+continuity لأن
+
+22
+00:03:31,170 --> 00:03:36,790
+هذا تعريف epsilon delta للاتصال لحظو هذا التعريف
+
+23
+00:03:36,790 --> 00:03:44,530
+تقريبا هوهو تعريف انه limit ال function f of x لما
+
+24
+00:03:44,530 --> 00:03:52,310
+x تقوله c بساوي f of c هدد
+
+25
+00:03:52,310 --> 00:04:07,210
+كانت c is a cluster point طب
+
+26
+00:04:07,210 --> 00:04:13,930
+لحظة انتوالما عرفنا احنا ما معناه انه ال limit ل
+
+27
+00:04:13,930 --> 00:04:18,710
+function and x بيساوي C و C cluster point للمجموع
+
+28
+00:04:18,710 --> 00:04:24,570
+A بيساوي عدد L بدلنا L هنا ب F و C صح؟ معناه كان
+
+29
+00:04:24,570 --> 00:04:30,290
+لكل إبسلون فيه Delta بحيث لكل X في A و ال X هذه
+
+30
+00:04:30,290 --> 00:04:37,540
+كانت مختلفة لا تساوي C فكنا نحط هنا أكبر من 0فإذا
+
+31
+00:04:37,540 --> 00:04:41,480
+كانت المسافة هذه أصغر من دلتا تطلع المسافة من f of
+
+32
+00:04:41,480 --> 00:04:46,040
+x وال L اللي هي ال limit هنا طبعا احنا بدلنا ال L
+
+33
+00:04:46,040 --> 00:04:50,940
+ب F of C فبين هذا يطلع أصغر من X هنا تقريبا نفس
+
+34
+00:04:50,940 --> 00:04:56,480
+التعريف if
+
+35
+00:04:56,480 --> 00:05:00,460
+if
+
+36
+00:05:00,460 --> 00:05:09,090
+is not continuousلو كانت ال F ليست متصلة عند
+
+37
+00:05:09,090 --> 00:05:14,910
+النقطة C فبنقول if
+
+38
+00:05:14,910 --> 00:05:31,810
+F fails to be continuous at C we say ان F is
+
+39
+00:05:31,810 --> 00:05:32,990
+discontinuous
+
+40
+00:05:38,310 --> 00:05:46,350
+discontinuous at c إذا لو كانت الدالة مش متصلة عن
+
+41
+00:05:46,350 --> 00:05:52,710
+c يعني شرط الاتصال هذا مش متحقق فبنقول أن الدالة
+
+42
+00:05:52,710 --> 00:05:57,610
+discontinuous منفصلة عند النقطة c okay تمام
+
+43
+00:06:09,660 --> 00:06:17,360
+بنلاحظ انه ال .. زي ما شوفنا في section 4-1 تعريف
+
+44
+00:06:17,360 --> 00:06:21,840
+epsilon delta لل limits of functions في بكافة
+
+45
+00:06:21,840 --> 00:06:26,600
+neighborhood definition وهنا برضه تعريف ال epsilon
+
+46
+00:06:26,600 --> 00:06:31,760
+delta definition للاتصال عن النقطة في بكافة
+
+47
+00:06:31,760 --> 00:06:36,400
+neighborhood definition فنكتب ال neighborhood
+
+48
+00:06:36,400 --> 00:06:37,340
+definition هذا
+
+49
+00:06:46,200 --> 00:06:53,400
+لت if دي function from a to r و c belong to a then
+
+50
+00:06:53,400 --> 00:07:02,480
+the following statements are equivalent واحد
+
+51
+00:07:02,480 --> 00:07:11,180
+ال function if is continuous is continuous at x
+
+52
+00:07:11,180 --> 00:07:12,540
+بساوي z
+
+53
+00:07:20,900 --> 00:07:26,360
+إتنين هذا طبعا إتنين نسميه in labor hood
+
+54
+00:07:26,360 --> 00:07:31,940
+definition of continuity
+
+55
+00:07:45,120 --> 00:07:48,580
+الـ neighborhood definition للـ continuity ايش
+
+56
+00:07:48,580 --> 00:07:57,920
+بيقول لكل for every epsilon neighborhood v epsilon
+
+57
+00:07:57,920 --> 00:08:05,700
+لنقطة f of c there
+
+58
+00:08:05,700 --> 00:08:18,440
+exist delta neighborhood v deltaof C لنقطة C طبعا
+
+59
+00:08:18,440 --> 00:08:26,200
+هذا epsilon neighborhood ل F of C يوجد delta
+
+60
+00:08:26,200 --> 00:08:38,660
+neighborhood V Delta of C بحيث انه لكل X تنتمي إلى
+
+61
+00:08:38,660 --> 00:08:47,830
+A تقاطع الـ Deltaneighborhood ل C لازم هذا يضمن ان
+
+62
+00:08:47,830 --> 00:08:53,050
+صورة ال X تنتمي
+
+63
+00:08:53,050 --> 00:09:04,590
+الى D epsilon ل F of C that
+
+64
+00:09:04,590 --> 00:09:08,630
+is that
+
+65
+00:09:08,630 --> 00:09:11,910
+is هذا يعني ان ال
+
+66
+00:09:14,980 --> 00:09:23,060
+الـ image للست A تقاطع V Delta of C is contained
+
+67
+00:09:23,060 --> 00:09:34,140
+in الـ Epsilon neighbourhood لـ F of C
+
+68
+00:09:34,140 --> 00:09:40,100
+هاي
+
+69
+00:09:40,100 --> 00:09:47,330
+كان في عنديزي هيك مثلا يكون في اندي فانكشن زي هذه
+
+70
+00:09:47,330 --> 00:09:57,210
+y بساوي f of x وقلنا
+
+71
+00:09:57,210 --> 00:10:03,810
+انه لو كانت x او c c
+
+72
+00:10:03,810 --> 00:10:07,670
+نقطة ال dial عندها متصلة هي f of c
+
+73
+00:10:11,410 --> 00:10:17,830
+ما معناه ان الدالة متصلة عند X بساوي C معناه لو
+
+74
+00:10:17,830 --> 00:10:23,770
+أخدت لأي
+
+75
+00:10:23,770 --> 00:10:30,850
+إبسلون أكبر من سفر فيه Delta أو لو أخدت أي إبسلون
+
+76
+00:10:30,850 --> 00:10:31,290
+neighborhood
+
+77
+00:10:34,530 --> 00:10:38,270
+يعني النقطة هذه F of C زاد Epsilon النقطة هذه
+
+78
+00:10:38,270 --> 00:10:48,430
+المسافة هذه Epsilon فهذه F of C سالب Epsilon فهذه
+
+79
+00:10:48,430 --> 00:10:53,610
+الفترة المفتوحة عبارة عن Epsilon neighborhood ل F
+
+80
+00:10:53,610 --> 00:10:54,150
+of C
+
+81
+00:10:57,200 --> 00:11:01,620
+فلأي إبسلون أكبر من السفر ممكن أكوّن إبسلون
+
+82
+00:11:01,620 --> 00:11:06,420
+neighborhood ل F of C وبالتالي بقدر أرد على الـ
+
+83
+00:11:06,420 --> 00:11:14,580
+Epsilon neighborhood هذا بـ Delta يعني
+
+84
+00:11:14,580 --> 00:11:20,980
+أكوّن Delta neighborhood هنا C minus Delta C موجة
+
+85
+00:11:20,980 --> 00:11:21,460
+بDelta
+
+86
+00:11:26,200 --> 00:11:37,060
+إذاً هذا عبارة عن V Delta V Delta ل C إذاً
+
+87
+00:11:37,060 --> 00:11:43,200
+لأي إبسلون لأي إبسلون neighborhood ل F of C بقدر
+
+88
+00:11:43,200 --> 00:11:52,720
+ألاقي Delta neighborhood للمقطة C بحيث أنه لكل Xلو
+
+89
+00:11:52,720 --> 00:12:01,620
+أخدت x نقطة في الـ delta neighborhood فصورتها f of
+
+90
+00:12:01,620 --> 00:12:09,060
+x هتطلع تنتمي لل epsilon neighborhood لل F of C
+
+91
+00:12:09,060 --> 00:12:17,140
+okay تمام فهذا هو نفسه هذا بكافي التعريف هذا بكافي
+
+92
+00:12:17,140 --> 00:12:20,660
+التعريف ال epsilon delta definition لل continuity
+
+93
+00:12:24,390 --> 00:12:29,850
+هي لكل إبسلون لكل إبسلون أكبر من الصفر يعني كأني
+
+94
+00:12:29,850 --> 00:12:36,450
+بقول لكل إبسلون نبرهود ل F و C يوجد Delta عدد موجب
+
+95
+00:12:36,450 --> 00:12:44,290
+فهذا معناه يوجد Delta نبرهود لل C بحيث أنه لكل X
+
+96
+00:12:44,290 --> 00:12:50,560
+المسافر لكل X تنتمي لكل X في Aو X بالتحقق
+
+97
+00:12:50,560 --> 00:12:55,980
+المتباينة دي معناته X سنتمي المسافة بين X و C أصغر
+
+98
+00:12:55,980 --> 00:12:56,380
+من Delta
+
+99
+00:13:02,120 --> 00:13:07,000
+فهذا بيقدي ان المسافة بين F of X و F of C هي F of
+
+100
+00:13:07,000 --> 00:13:12,160
+X و F of C أصغر من Epsilon يعني ال F of X هذه
+
+101
+00:13:12,160 --> 00:13:17,900
+تنتمي لل Epsilon برهود ل F of C إذن التعريفين هذول
+
+102
+00:13:17,900 --> 00:13:24,800
+متكافئين وهذا واضح من الرسم وبالتالي البرهان جاهز
+
+103
+00:13:24,800 --> 00:13:32,000
+من .. بس ترجمتهالحاجات هذه الى لغة ال neighborhood
+
+104
+00:13:32,000 --> 00:13:39,600
+اذا في لان تعريفين للاتصال على النقطة واحد epsilon
+
+105
+00:13:39,600 --> 00:13:45,400
+delta definition والتاني اللي بكافه neighborhood
+
+106
+00:13:45,400 --> 00:13:50,360
+definition طيب
+
+107
+00:13:50,360 --> 00:13:55,260
+ناخد بعض الملاحظات على تعريف الاتصال
+
+108
+00:14:16,000 --> 00:14:22,640
+إذا C هو مقاومة مقاومة
+
+109
+00:14:22,640 --> 00:14:30,180
+A ثم
+
+110
+00:14:30,180 --> 00:14:38,200
+F مستمر في X بساوي
+
+111
+00:14:42,830 --> 00:14:47,530
+لو كانت الـ C هذه cluster point فالاتصال ان C
+
+112
+00:14:47,530 --> 00:14:55,730
+بكافئ بكافئ ان ال limit ل F of X من تعريف ال
+
+113
+00:14:55,730 --> 00:15:03,570
+limits ان C بساوي F of C وهذا
+
+114
+00:15:03,570 --> 00:15:06,790
+طبعاً
+
+115
+00:15:06,790 --> 00:15:09,090
+this condition
+
+116
+00:15:12,780 --> 00:15:19,680
+is three in
+
+117
+00:15:19,680 --> 00:15:24,800
+one ال
+
+118
+00:15:24,800 --> 00:15:30,480
+definition هذا بكافئ تلت او الشرط هذا بكافئ تلت
+
+119
+00:15:30,480 --> 00:15:37,600
+شروط او هو تلت شروط في واحد اول شرط ان ال function
+
+120
+00:15:37,600 --> 00:15:39,540
+f and c is defined
+
+121
+00:15:43,900 --> 00:15:49,540
+يعني هذا عبارة عن عدد حقيقي name ال limit ل f of x
+
+122
+00:15:49,540 --> 00:15:56,180
+لما x تقول إلى c exist يعني عدد حقيقي والشرط
+
+123
+00:15:56,180 --> 00:16:04,880
+التالت أنه لازم ال limit لل function f and c بساوة
+
+124
+00:16:04,880 --> 00:16:09,980
+قيمة الدالة and c يعني عشان الدالة تكون متصلة عند
+
+125
+00:16:09,980 --> 00:16:16,020
+النقطة c في مجالهاو لو كانت الـ C هي cluster point
+
+126
+00:16:16,020 --> 00:16:21,790
+طبعاأو حتى لو ماكنتش cluster point فلازم التلاتة
+
+127
+00:16:21,790 --> 00:16:25,250
+صوروطها تتحقق الدالة معرفة عن C طبعا هذا لأن C
+
+128
+00:16:25,250 --> 00:16:30,450
+نقطة في مجال الدالة فلازم تكون معرفة عن ده لازم ال
+
+129
+00:16:30,450 --> 00:16:34,830
+limit ل F عن C تكون موجودة وقيمة ال limit بساوي
+
+130
+00:16:34,830 --> 00:16:39,290
+قيمة الدالة عند النقطة C لو أي واحد ماليش صوروط
+
+131
+00:16:39,290 --> 00:16:43,830
+التلاتة هدول اختل فبنقول ان ال function مش متصلة
+
+132
+00:16:43,830 --> 00:16:49,410
+عند النقطة COkay تمام واضح اذا لو كانت ال C هي دي
+
+133
+00:16:49,410 --> 00:16:53,510
+cluster point فتعريف الاتصال النقطة هو بالظبط
+
+134
+00:16:53,510 --> 00:16:58,470
+تعريف ان limited دالة ان C تكون موجودة و بتساوي
+
+135
+00:16:58,470 --> 00:17:02,570
+قيمتها ان C وهذا الشرط هو تلات شروط و ال C في ال A
+
+136
+00:17:02,570 --> 00:17:09,510
+نعم ال C تنتمي ل A اه طبعا ال C تنتمي ل A ال C
+
+137
+00:17:09,510 --> 00:17:11,130
+دائما تنتمي ل A
+
+138
+00:17:17,100 --> 00:17:22,120
+طب لو ماكناش ال c cluster point الملاحظة التانية
+
+139
+00:17:22,120 --> 00:17:29,440
+if c is not يعني لو كان ال c تنتمي طبعا دايما ال c
+
+140
+00:17:29,440 --> 00:17:40,980
+تنتمي ل a is not a cluster point is
+
+141
+00:17:40,980 --> 00:17:44,100
+not cluster point of a
+
+142
+00:17:48,950 --> 00:17:54,070
+then من تعريف ال cluster point لازم نلاقي delta
+
+143
+00:17:54,070 --> 00:18:05,430
+أكبر من السفر such that a تقاطع v delta of c بساوي
+
+144
+00:18:05,430 --> 00:18:06,850
+singleton c
+
+145
+00:18:11,300 --> 00:18:14,580
+ما معناه ان النقطة C الموجودة في A مايعنياش
+
+146
+00:18:14,580 --> 00:18:18,460
+cluster point او ما معناه ان C تنتمي ل A cluster
+
+147
+00:18:18,460 --> 00:18:24,380
+point معناها ان كل delta neighborhood لل C بيتقاطع
+
+148
+00:18:24,380 --> 00:18:30,400
+مع A في نقطة مختلفة عن ال C على الأقلمعناه ان الـ
+
+149
+00:18:30,400 --> 00:18:34,040
+C ما تكونش cluster point معناه ان يوجد delta
+
+150
+00:18:34,040 --> 00:18:37,040
+neighborhood واحد يعني يوجد delta عدد موجب
+
+151
+00:18:37,040 --> 00:18:40,780
+وبالتالي يوجد على الأقل delta neighborhood للـ C
+
+152
+00:18:40,780 --> 00:18:46,620
+وهذا ال delta neighborhoodمابتقاطعش مع a في أي
+
+153
+00:18:46,620 --> 00:18:50,660
+نقطة مختلفة عن ال c يعني التقاطع هذا بس في نقطة
+
+154
+00:18:50,660 --> 00:18:55,300
+واحدة c لأن ال c هي مركز ال neighborhood و c تنتمي
+
+155
+00:18:55,300 --> 00:19:03,320
+ل a فالتقاطع هذا مافيش فيه أي x مختلفة عن ال c في
+
+156
+00:19:03,320 --> 00:19:09,740
+الحالة هذه in this case in
+
+157
+00:19:09,740 --> 00:19:10,580
+this case
+
+158
+00:19:14,230 --> 00:19:23,970
+if is automatically continuous
+
+159
+00:19:23,970 --> 00:19:34,940
+at cالدولة في الحالة هذه بتكون متصلة تلقائيًا عند
+
+160
+00:19:34,940 --> 00:19:39,360
+النقطة C أو التعريف متحقق تلقائيًا ليه؟ لأنه
+
+161
+00:19:39,360 --> 00:19:44,060
+تعالوا نرجع للتعريف ما معن��ه أن F تكون متصلة عند
+
+162
+00:19:44,060 --> 00:19:49,660
+النقطة C معناه لأي epsilon neighborhood ل F و C
+
+163
+00:19:49,660 --> 00:19:53,680
+نقدر
+
+164
+00:19:53,680 --> 00:19:57,020
+نلاقي يوجد delta neighborhood ل C فخد ال delta
+
+165
+00:19:57,020 --> 00:20:00,040
+neighborhoodفي التعريف هذا خد الـ delta
+
+166
+00:20:00,040 --> 00:20:07,900
+neighborhood هو هذا ففي الحالة هذه لكل x تنتمي إلى
+
+167
+00:20:07,900 --> 00:20:12,340
+a تقاطع v delta و c ما التقاطع هذا مافيش فيه إلا
+
+168
+00:20:12,340 --> 00:20:17,100
+نقطة واحدة اللي هي c صح فلكل x موجود في التقاطع
+
+169
+00:20:17,100 --> 00:20:21,950
+هذا مافيش إلا x بالساوية cفصورة ال X هذه هي صورة
+
+170
+00:20:21,950 --> 00:20:28,210
+ال C وبالتالي صورة ال X هذه هي صورة ال C فهذه أكيد
+
+171
+00:20:28,210 --> 00:20:33,310
+تنتمي لإمسلون برهود ل F of C لأن ال F of C هي
+
+172
+00:20:33,310 --> 00:20:38,850
+المركز تبع الفترة هذه صح فهذا شرط متحقق trivially
+
+173
+00:20:38,850 --> 00:20:44,870
+تلقايا وبالتالي إذا السواء
+
+174
+00:20:46,570 --> 00:20:49,730
+سواء الـ C هنا كانت cluster point أو ماكنتش
+
+175
+00:20:49,730 --> 00:20:55,630
+cluster point فممكن نعتبر أن التعريف لاتصال النقطة
+
+176
+00:20:55,630 --> 00:21:00,450
+هو التعريف هذا لأن لو كانت ال C cluster point
+
+177
+00:21:00,450 --> 00:21:04,190
+فتعريف لاتصال النقطة هو هذا التعريف لو كانت ال C
+
+178
+00:21:04,190 --> 00:21:07,750
+ماهياش cluster point فهذا التعريف متحقق ال trivia
+
+179
+00:21:07,750 --> 00:21:12,380
+اللي بدهيوبالتالي مافيش داعي ان احنا نقول .. لما
+
+180
+00:21:12,380 --> 00:21:14,840
+نيجي نفحص الاتصال على النقطة C نقول هل ال C
+
+181
+00:21:14,840 --> 00:21:18,840
+cluster point او مش cluster point سواء كانت
+
+182
+00:21:18,840 --> 00:21:24,380
+cluster point او ماكانتش cluster point فالاتصال
+
+183
+00:21:24,380 --> 00:21:33,020
+and ال C بيصير هو .. يعني هل هذا شرط بتحقق او لا
+
+184
+00:21:41,130 --> 00:21:44,890
+طبعا زي ما اخدنا احنا ايام ما خدنا دراسنا ال
+
+185
+00:21:44,890 --> 00:21:54,950
+limits لل functions فكان
+
+186
+00:21:54,950 --> 00:21:57,590
+في عندي sequential criterion for limits
+
+187
+00:22:02,270 --> 00:22:06,810
+بنفس الطريقة في هنا sequential criterion for
+
+188
+00:22:06,810 --> 00:22:15,990
+continuity للاتصال إذا في عندي هنا sequential
+
+189
+00:22:15,990 --> 00:22:21,130
+criterion
+
+190
+00:22:21,130 --> 00:22:24,150
+for
+
+191
+00:22:24,150 --> 00:22:25,110
+continuity
+
+192
+00:22:35,670 --> 00:22:44,430
+let f be function from a to r و c نقطة في a then
+
+193
+00:22:44,430 --> 00:22:56,170
+the following statements are equivalent واحد
+
+194
+00:22:56,170 --> 00:23:08,010
+if is continuousif is continuous at c for
+
+195
+00:23:08,010 --> 00:23:11,910
+every for
+
+196
+00:23:11,910 --> 00:23:22,050
+every sequence x in contained in a with
+
+197
+00:23:22,050 --> 00:23:25,370
+limit
+
+198
+00:23:25,370 --> 00:23:41,270
+x in بساوي cنحن لدينا ان ال limit ل f of x n as n
+
+199
+00:23:41,270 --> 00:23:45,790
+tensor infinity بسوي f of c
+
+200
+00:23:51,740 --> 00:23:54,940
+الان الـ sequential criterion for continuity بتقول
+
+201
+00:23:54,940 --> 00:24:00,380
+عشان اثبت ان الدالة F continuous عند نقطة يكفي ان
+
+202
+00:24:00,380 --> 00:24:04,900
+انا اثبت ان لو اخدت اي sequence نهايتها اي
+
+203
+00:24:04,900 --> 00:24:07,660
+sequence في مجال الدالة طبعا كنا في ال limits
+
+204
+00:24:07,660 --> 00:24:13,020
+نشترط ان X in كل انصر في ال sequence مختلف عن ال C
+
+205
+00:24:13,020 --> 00:24:17,200
+هنا لأ ممكن يساوي ال C مش مشكلة هاي الاختلاف بس
+
+206
+00:24:17,200 --> 00:24:21,430
+بين ال sequential criterion for limitsو Sequential
+
+207
+00:24:21,430 --> 00:24:26,030
+criterion for continuity إنه لكل sequence x in في
+
+208
+00:24:26,030 --> 00:24:32,550
+مجال الدالة و نهايتها بتساوي c لازم اطلع عندي
+
+209
+00:24:32,550 --> 00:24:37,990
+نهاية ال image تبعت ال sequence x in بتساوي العدد
+
+210
+00:24:37,990 --> 00:24:42,860
+f و cوبرهان النظرية هذه زي برهان sequential
+
+211
+00:24:42,860 --> 00:24:49,120
+criterion for limits مع تعديلات طفيفة مع التعديلات
+
+212
+00:24:49,120 --> 00:24:58,580
+الطفيفة في التعريفين او في التعريف تبع الات��ال اذا
+
+213
+00:24:58,580 --> 00:25:11,090
+ال proof similar to proof ofsequential criterion
+
+214
+00:25:11,090 --> 00:25:19,570
+for limits for limits sequential criterion for
+
+215
+00:25:19,570 --> 00:25:34,190
+limits of functions in section أربعة واحد with
+
+216
+00:25:34,190 --> 00:25:38,030
+slight modification
+
+217
+00:25:45,120 --> 00:25:51,780
+مع تعديل بسيط مع تعديل بسيط التعديل هنا انه ال هنا
+
+218
+00:25:51,780 --> 00:25:58,180
+كنا نطلب ال X لا تساوي C وكمان كنا هناك نطلب انه C
+
+219
+00:25:58,180 --> 00:26:02,740
+تكون cluster point لكن شوفنا حتى لو C ماكنتش
+
+220
+00:26:02,740 --> 00:26:10,940
+cluster point فهذا برضه متحقق تلقائيا برضه
+
+221
+00:26:10,940 --> 00:26:11,700
+أخدنا
+
+222
+00:26:14,550 --> 00:26:18,230
+بعد ما أخدنا الـ sequential criterion for limits
+
+223
+00:26:18,230 --> 00:26:22,410
+of functions في section 4-1 أخدنا بعدها على طول
+
+224
+00:26:22,410 --> 00:26:29,850
+مباشرة divergence criterion for limits فهنا بقابل
+
+225
+00:26:29,850 --> 00:26:38,190
+ال divergence criterion اللي هو
+
+226
+00:26:38,190 --> 00:26:39,910
+discontinuity criterion
+
+227
+00:26:46,180 --> 00:26:48,980
+discontinuity criterion
+
+228
+00:27:00,500 --> 00:27:10,940
+لت if بي function from a to r و c نقطة في a و d
+
+229
+00:27:10,940 --> 00:27:15,440
+then the
+
+230
+00:27:15,440 --> 00:27:23,000
+following statements are equivalent واحد if is
+
+231
+00:27:23,000 --> 00:27:24,160
+discontinuous
+
+232
+00:27:26,370 --> 00:27:36,730
+إذا كان الـ discontinuous at x بساوي c ثم يوجد
+
+233
+00:27:36,730 --> 00:27:49,070
+سيكوينس x in contained in a with limit x in بساوي
+
+234
+00:27:49,070 --> 00:27:49,610
+c
+
+235
+00:27:53,460 --> 00:28:01,180
+but limit الـ image للـ sequence x in لا يساوي f
+
+236
+00:28:01,180 --> 00:28:08,260
+of z وبرهان
+
+237
+00:28:08,260 --> 00:28:13,100
+النظرية هذه بيجي من النظرية الـ sequential
+
+238
+00:28:13,100 --> 00:28:16,980
+criterion أنا
+
+239
+00:28:16,980 --> 00:28:21,400
+عندي واحد one بكافي اتنين one if and only if two
+
+240
+00:28:24,600 --> 00:28:29,660
+وبالتالي not one نفي one بكافئ نفي two طيب تعالى
+
+241
+00:28:29,660 --> 00:28:35,400
+نشوف نفي one if is discontinuous at c نفي two for
+
+242
+00:28:35,400 --> 00:28:40,420
+every sequence بتحقق الشرط هذا نهايت صورتها بساوي
+
+243
+00:28:40,420 --> 00:28:45,160
+f of c ان في الشرط العبارة هذه فبصير there exist a
+
+244
+00:28:45,160 --> 00:28:50,380
+sequence x in contained in a ونهايتها c لكن نهايت
+
+245
+00:28:50,380 --> 00:28:56,550
+صورتها لا تساوي f of cOkay تمام إذا البرهان نظرية
+
+246
+00:28:56,550 --> 00:29:05,170
+هذه جاي من نفي أو ينتج من النظرية السابقة طب
+
+247
+00:29:05,170 --> 00:29:15,350
+نرجع ناخد قبل ما ناخد أمثلة بدنا ناخد بس تعريف
+
+248
+00:29:15,350 --> 00:29:20,170
+الاتصال على مجموعة definition
+
+249
+00:29:24,990 --> 00:29:32,690
+استخدم الفرصة let f be a function from a to r and
+
+250
+00:29:32,690 --> 00:29:38,050
+let
+
+251
+00:29:38,050 --> 00:29:47,090
+b be a subset of a نقول
+
+252
+00:29:47,090 --> 00:29:50,890
+ان الفرصة is continuous
+
+253
+00:29:54,760 --> 00:30:05,060
+if is continuous on الـ set B on the
+
+254
+00:30:05,060 --> 00:30:16,640
+set B if is continuous on the set B if if is
+
+255
+00:30:16,640 --> 00:30:32,720
+continuous at every at everyما ينتمي إلى دي إذا
+
+256
+00:30:32,720 --> 00:30:38,880
+الإتصال على مجموعة معناه إن الدالة تكون متصلة عند
+
+257
+00:30:38,880 --> 00:30:47,520
+كل نقطة في المجموعة، عند كل نقطة في المجموعة طيب
+
+258
+00:30:47,520 --> 00:30:49,080
+ناخد بعض الأمثلة
+
+259
+00:31:06,780 --> 00:31:17,520
+الـ function f of x بتساوي k و
+
+260
+00:31:17,520 --> 00:31:30,460
+x belong to R is continuous on R الدالة
+
+261
+00:31:30,460 --> 00:31:43,300
+ثابت k continuous على كل الـ Rاحنا شفنا proof fix
+
+262
+00:31:43,300 --> 00:31:46,240
+c أنتمي الار
+
+263
+00:31:51,650 --> 00:32:02,150
+Since limit ل F of X as X Sin C بساوي K احنا
+
+264
+00:32:02,150 --> 00:32:07,850
+اثمتنا قبلين ان limit اي ده لثابته بساوي ثابت K
+
+265
+00:32:07,850 --> 00:32:15,690
+وهذا بساوي F and C فال
+
+266
+00:32:15,690 --> 00:32:29,850
+F is continuousat every c ينتمي إلى r فاكرين
+
+267
+00:32:29,850 --> 00:32:34,430
+احنا هدف بقناه باستخدام تعريف epsilon delta قولنا
+
+268
+00:32:34,430 --> 00:32:39,930
+لأي epsilon أكبر م�� السفر choose أي delta أكبر من
+
+269
+00:32:39,930 --> 00:32:43,690
+السفر فتعريف
+
+270
+00:32:43,690 --> 00:32:47,670
+ال limit بتحقق
+
+271
+00:32:47,670 --> 00:32:48,790
+وهنا نفس الحاجة
+
+272
+00:33:16,050 --> 00:33:25,330
+طيب المثال تاني لو أخدت f of x بساوي x لكل x ينتمي
+
+273
+00:33:25,330 --> 00:33:31,570
+إلى R ال identity function فبرضه
+
+274
+00:33:31,570 --> 00:33:39,350
+أثبتنا احنا ان ال function هذه is continuous if is
+
+275
+00:33:39,350 --> 00:33:44,290
+continuousعلى مجموعة الأعداد الحقيقية
+
+276
+00:34:07,950 --> 00:34:17,850
+فممكن أن نثبت C ينتمي إلى R و أثبتنا احنا في
+
+277
+00:34:17,850 --> 00:34:24,390
+section أربعة واحد ان limit F of X لما X تقول C
+
+278
+00:34:24,390 --> 00:34:32,530
+طلعت بساوي C صح؟ وهذا عبارة عن F of C فالـ F is
+
+279
+00:34:32,530 --> 00:34:35,610
+continuous at C
+
+280
+00:34:39,860 --> 00:34:48,180
+و بما انه c arbitrary element اذا
+
+281
+00:34:48,180 --> 00:34:55,720
+ال F يكون continuous at every c ينتمي ال R
+
+282
+00:34:55,720 --> 00:35:03,220
+وبالتالي continuous على كل ال R ممكن
+
+283
+00:35:03,220 --> 00:35:08,760
+برضهنستخدم تعريف epsilon دلتا مباشرة بلاش نقول ان
+
+284
+00:35:08,760 --> 00:35:13,440
+احنا اثبتنا ان ال limit ل ال function f and c
+
+285
+00:35:13,440 --> 00:35:17,020
+بالساوية c في section اربعة واحدة انا ممكن اثبت
+
+286
+00:35:17,020 --> 00:35:22,520
+يعني استخدم تعريف epsilon دلتا مباشرة و اقول let
+
+287
+00:35:22,520 --> 00:35:32,180
+if fix اول حاجة fix c تنتمي ل R to showif is
+
+288
+00:35:32,180 --> 00:35:39,820
+continuous at c let epsilon أكبر من السفر be given
+
+289
+00:35:39,820 --> 00:35:44,720
+it
+
+290
+00:35:44,720 --> 00:35:49,540
+shows .. زي ما عملنا في ال limits it shows delta
+
+291
+00:35:49,540 --> 00:35:54,640
+بساوي epsilon لذن
+
+292
+00:35:54,640 --> 00:36:00,160
+هي يوجد delta تعتمد على epsilonThen لهذه الـ Delta
+
+293
+00:36:00,160 --> 00:36:06,600
+لو كان X ينتمي إلى A A هنا اللي هي R و Absolute X
+
+294
+00:36:06,600 --> 00:36:12,360
+minus C أصغر من Delta فهذا بتضمن أنه Absolute F of
+
+295
+00:36:12,360 --> 00:36:20,080
+X Absolute F of X minus F of C هذا بيطلع بساوي
+
+296
+00:36:20,080 --> 00:36:28,590
+Absolute X minus F of X بساويX و F of C بساوي C
+
+297
+00:36:28,590 --> 00:36:33,010
+وهذا أصغر من Delta ماخدين المسافة هذه أصغر من
+
+298
+00:36:33,010 --> 00:36:38,250
+Delta وأنا اختارت Delta بساوي Epsilon إذن هذه
+
+299
+00:36:38,250 --> 00:36:42,110
+أثبتت لكل Epsilon يوجد Delta تعتمد على Epsilon
+
+300
+00:36:42,110 --> 00:36:46,150
+بحيث لكل X في مجال الدالة المسافة بينها و بين C
+
+301
+00:36:46,150 --> 00:36:50,650
+أصغر من Delta طلع المسافة بين F of X و F of C أصغر
+
+302
+00:36:50,650 --> 00:36:58,390
+من Epsilon إذن هذا معناه أن F is continuousat C
+
+303
+00:36:58,390 --> 00:37:06,010
+since C تنتمي ل R was arbitrary اذا F is
+
+304
+00:37:06,010 --> 00:37:12,750
+continuous على كل الأعداد الحقيقية تمام؟ اذا هذا
+
+305
+00:37:12,750 --> 00:37:15,890
+ممكن استخدم تعريف Epsilon Delta مباشرة
+
+306
+00:37:19,990 --> 00:37:23,390
+دون الاعتماد على النتائج اللي عملناها تابعة
+
+307
+00:37:23,390 --> 00:37:28,390
+النهاية في section أربعة واحد بالمثل ممكن مثال زي
+
+308
+00:37:28,390 --> 00:37:35,290
+هذا برضه ال function f
+
+309
+00:37:35,290 --> 00:37:43,790
+of x بساوي x سربية is continuous على كل الأعداد
+
+310
+00:37:43,790 --> 00:37:44,570
+الحقيقية
+
+311
+00:38:05,350 --> 00:38:08,350
+الدالة متصلة عند النقطة C
+
+312
+00:38:13,110 --> 00:38:18,330
+نفس تعريف epsilon دلتا زي ما عملنا في اثبات ان ال
+
+313
+00:38:18,330 --> 00:38:24,490
+limit لل function f of x and x بساوي c بساوي c
+
+314
+00:38:24,490 --> 00:38:30,110
+تربيه اللي هو f of c وذلك
+
+315
+00:38:30,110 --> 00:38:35,710
+بياخد اي epsilon اكبر من صفر و بنجيب دلتا زي ما
+
+316
+00:38:35,710 --> 00:38:38,510
+عملنا في section اربعة واحد دلتا بساوي ال minimum
+
+317
+00:38:38,510 --> 00:38:45,380
+لقمتينو نثبت أنه لكل x المسافة بينها و بين الـC
+
+318
+00:38:45,380 --> 00:38:47,960
+أصغر من الـDelta بيطلع المسافة هذه أصغر من الـC
+
+319
+00:38:47,960 --> 00:38:53,120
+نعيد يعني إيش نفس البرمجة، إذن هذا لو طلب منكم
+
+320
+00:38:53,120 --> 00:38:56,460
+استخدام تعريف epsilon delta لإثبات أن الدالة هذه
+
+321
+00:38:56,460 --> 00:39:00,420
+مقتصرة على R فبتقول لأي epsilon أكبر من السفر
+
+322
+00:39:00,420 --> 00:39:05,060
+choose delta زي ما عملنا في section 4-1 في إثبات
+
+323
+00:39:05,060 --> 00:39:08,900
+أن limit للدالة هذه عن C بساوي C تربية
+
+324
+00:39:12,370 --> 00:39:18,470
+أو ممكن تقولي we should اذا ما طلبش منك استخدم
+
+325
+00:39:18,470 --> 00:39:23,590
+التعريف epsilon دلتا فبتقولي we should أثبتنا in
+
+326
+00:39:23,590 --> 00:39:33,970
+section أربع واحد that limit ل F of X لما X تقول
+
+327
+00:39:33,970 --> 00:39:42,230
+إلى C بساوي C تربية اللي هي F of Cحسب تعريف
+
+328
+00:39:42,230 --> 00:39:45,470
+الاتصال على النقطة بيطلع أي شرط تلاتة في واحد
+
+329
+00:39:45,470 --> 00:39:54,190
+متحقق وبالتاني if is continuous at c okay تمام
+
+330
+00:39:57,190 --> 00:40:00,230
+وطبعاً بما أن الـ C تنتمي الـ R was arbitrary إذن
+
+331
+00:40:00,230 --> 00:40:03,970
+الدالة F continuous على كل الـ R okay إذا دامت
+
+332
+00:40:03,970 --> 00:40:11,050
+ياندي إما نستخدم نتائج section 4-1 أو نعيد البرهان
+
+333
+00:40:11,050 --> 00:40:15,250
+باستخدام تعريف epsilon Delta زي ما عملنا في المثال
+
+334
+00:40:15,250 --> 00:40:22,770
+الأخير أو زي ما عملنا في section 4-1 الدالة كمان
+
+335
+00:40:22,770 --> 00:40:23,930
+عندي الدالة
+
+336
+00:40:32,140 --> 00:40:41,000
+لو أخدت five X بيساوي واحد على X فهذه الدالة is
+
+337
+00:40:41,000 --> 00:40:46,280
+continuous on ال set A
+
+338
+00:40:58,940 --> 00:41:04,860
+اللي هي كل ال X ينتمي إلى R حقيته X أكبر من السفر
+
+339
+00:41:04,860 --> 00:41:11,380
+فاحنا
+
+340
+00:41:11,380 --> 00:41:20,880
+أثبتنا في X C تنتمي إلى A هذا بقدر انه C أكبر من
+
+341
+00:41:20,880 --> 00:41:23,280
+سفر و أثبتنا
+
+342
+00:41:28,820 --> 00:41:35,560
+In section أربع
+
+343
+00:41:35,560 --> 00:41:44,320
+واحد ذات limit لـ function phi of x لما x تقول إلى
+
+344
+00:41:44,320 --> 00:41:52,240
+c بسوى واحد على c بسوى phi of c باستخدام تعريف
+
+345
+00:41:52,240 --> 00:41:58,070
+epsilon دلتا اما نعيدالبرهان هداك لأي epsilon في
+
+346
+00:41:58,070 --> 00:42:03,450
+ديلتا بساوي minimum لقمتين او نقول انه احنا اثبتنا
+
+347
+00:42:03,450 --> 00:42:06,890
+ان limit الدالة هدا عند اي عدد c موجد بساوي واحد
+
+348
+00:42:06,890 --> 00:42:12,590
+على c اللي هو قيمة الدالة عن c وبالتالي اذا الدالة
+
+349
+00:42:12,590 --> 00:42:19,830
+في is continuous at c بما ان ال c تنتمي ل a was
+
+350
+00:42:19,830 --> 00:42:26,450
+arbitrary اذا ال في continuousعلى المجموعة A
+
+351
+00:42:26,450 --> 00:42:30,370
+بالمثل
+
+352
+00:42:30,370 --> 00:42:35,050
+ممكن نثبت ان الدالة دي continuous كمان على
+
+353
+00:42:35,050 --> 00:42:44,530
+المجموعة B اللي هي كل ال X ينتمي ل R حيث X أصغر من
+
+354
+00:42:44,530 --> 00:42:48,990
+0 الدالة
+
+355
+00:42:48,990 --> 00:42:54,190
+دي متصلة عند كل الأعداد الحقيقية مع عدد 0فهي متصلة
+
+356
+00:42:54,190 --> 00:42:57,610
+عند الأعداد الحقيقية الموجبة وعند الأعداد الحقيقية
+
+357
+00:42:57,610 --> 00:43:07,950
+السالبة طيب
+
+358
+00:43:07,950 --> 00:43:13,370
+الدالة five
+
+359
+00:43:13,370 --> 00:43:19,950
+x نفسها برضه بساوي واحد على x is not is
+
+360
+00:43:19,950 --> 00:43:33,190
+discontinuousis discontinuous at c بساوي سفر proof
+
+361
+00:43:33,190 --> 00:43:39,090
+one الدالة
+
+362
+00:43:39,090 --> 00:43:44,530
+هذه ليست متصلة عند السفر فالبرهان ذلك ممكن نقول
+
+363
+00:43:44,530 --> 00:43:49,610
+أنه في في
+
+364
+00:43:52,850 --> 00:43:59,250
+is undefined is undefined is undefined is
+
+365
+00:43:59,250 --> 00:44:05,090
+undefined is undefined is undefined is undefined
+
+366
+00:44:05,090 --> 00:44:05,970
+undefined is undefined is undefined is undefined
+
+367
+00:44:05,970 --> 00:44:07,390
+is undefined is undefined is undefined is
+
+368
+00:44:07,390 --> 00:44:07,470
+undefined is undefined is undefined is undefined
+
+369
+00:44:07,470 --> 00:44:07,830
+is undefined is undefined is undefined is
+
+370
+00:44:07,830 --> 00:44:09,950
+is undefined is undefined is undefined is
+
+371
+00:44:09,950 --> 00:44:16,950
+undefined is undefined is undefined is undefined
+
+372
+00:44:18,990 --> 00:44:25,170
+can't be continuous at x بساوي سفر لأن عشان هي
+
+373
+00:44:25,170 --> 00:44:28,550
+تكون متصلة عند سفر لازم تلات شروط يتحققوا أنها
+
+374
+00:44:28,550 --> 00:44:32,790
+تكون أول chart معرفة عند السفر فده هي مش معرفة عند
+
+375
+00:44:32,790 --> 00:44:38,390
+السفر فكيف تلات شروط هيتحققوا هذا برهان تاني برهان
+
+376
+00:44:38,390 --> 00:44:45,850
+آخر ان ما احنا شوفنا we should
+
+377
+00:44:48,290 --> 00:44:52,870
+in section أربع
+
+378
+00:44:52,870 --> 00:44:57,990
+واحد أو أربع اتنين that
+
+379
+00:44:57,990 --> 00:45:08,290
+limit لفاي of x as x tends to zero does not exist
+
+380
+00:45:08,290 --> 00:45:12,850
+أثبتنا إن الـ function هذه ما لهاش limit عند السفر
+
+381
+00:45:15,830 --> 00:45:21,510
+فا استخدمنا ال divergence criterion ا شفنا ان هناك
+
+382
+00:45:21,510 --> 00:45:27,450
+sequence اللى هى واحد عال ان converge للسفر but
+
+383
+00:45:27,450 --> 00:45:34,690
+limit ال image لل sequence واحد على ان as n tends
+
+384
+00:45:34,690 --> 00:45:40,170
+to infinity بساوي limit in بساوي infinity does not
+
+385
+00:45:40,170 --> 00:45:47,950
+exist in Rوبالتالي by divergence criterion ال
+
+386
+00:45:47,950 --> 00:45:51,270
+function هذه مالهاش limit وبالتالي مش ممكن تكون
+
+387
+00:45:51,270 --> 00:46:02,990
+continuous so if I can't be continuous at x بساوي
+
+388
+00:46:02,990 --> 00:46:09,510
+سفر تمام؟ لأن واحد من الشروط التلاتة تبعت الاتصال
+
+389
+00:46:09,510 --> 00:46:12,650
+عن نقطة غير متحققة تمام؟
+
+390
+00:46:22,580 --> 00:46:28,520
+في كمان مثال أخدناه في section
+
+391
+00:46:28,520 --> 00:46:36,020
+4-1 الـ
+
+392
+00:46:36,020 --> 00:46:42,220
+signum function اللي
+
+393
+00:46:42,220 --> 00:46:52,050
+كان تعريفهابتساوي سفر if x بساوي سفر و x على
+
+394
+00:46:52,050 --> 00:47:00,370
+absolute x إذا كان x لا يساوي سفر is discontinuous
+
+395
+00:47:00,370 --> 00:47:09,170
+is discontinuous at x بساوي سفر why
+
+396
+00:47:18,170 --> 00:47:23,550
+لأنه اثبتنا احنا في section أربعة واحد انه limit ل
+
+397
+00:47:23,550 --> 00:47:31,490
+signum x لما x تقول إلى سفر does not exist
+
+398
+00:47:40,560 --> 00:47:43,240
+اللي هي ان ال limit لل signal function عند السفر
+
+399
+00:47:43,240 --> 00:47:46,580
+does not exist شوفنا ان ال limit من اليمين واحد
+
+400
+00:47:46,580 --> 00:47:50,020
+عند السفر و ال limit و ال limit عند السفر مليار
+
+401
+00:47:50,020 --> 00:47:53,340
+ساعة سالف واحد وبالتالي مش متساوي اتين اذا ال
+
+402
+00:47:53,340 --> 00:48:00,000
+limit عند السفر does not exist okay تمام اذا ال ال
+
+403
+00:48:00,000 --> 00:48:04,700
+function هذه ماهياش متصلة عند السفر لعدم نظرا لعدم
+
+404
+00:48:04,700 --> 00:48:10,970
+وجود ال limit عند السفررغم أن الدالة هذه معرفة عند
+
+405
+00:48:10,970 --> 00:48:17,310
+السفر، الـSignum للسفر هي معرفة عند السفر بساوي
+
+406
+00:48:17,310 --> 00:48:24,930
+سفر تمام؟
+
+407
+00:48:24,930 --> 00:48:30,710
+طيب، لكن ممكن اثبات أن الـSignum function متصلة
+
+408
+00:48:30,710 --> 00:48:32,850
+عند كل X لا يساوي سفر
+
+409
+00:48:45,100 --> 00:48:52,440
+However، الـ signum الـ signum function is
+
+410
+00:48:52,440 --> 00:48:59,280
+continuous at
+
+411
+00:48:59,280 --> 00:49:09,460
+every x لا يساوي سفر لأنه
+
+412
+00:49:22,230 --> 00:49:42,610
+proof fix c لا تنتمي لار وc لا يساوي ستة تمام then
+
+413
+00:49:42,610 --> 00:49:53,460
+absolute signum x minus signumالـ C بساوي absolute
+
+414
+00:49:53,460 --> 00:49:57,420
+X
+
+415
+00:49:57,420 --> 00:50:14,640
+على absolute X أو
+
+416
+00:50:14,640 --> 00:50:15,160
+بلاش
+
+417
+00:50:19,850 --> 00:50:26,730
+then ال limit ل sigma x
+
+418
+00:50:26,730 --> 00:50:34,390
+لما x تقول إلى c بساوي
+
+419
+00:50:34,390 --> 00:50:37,990
+لما
+
+420
+00:50:37,990 --> 00:50:43,670
+x تقول إلى c فهذا عبارة عن limit x على absolute x
+
+421
+00:50:43,670 --> 00:50:45,630
+لما x تقول إلى c
+
+422
+00:51:03,050 --> 00:51:08,750
+فده كانت ال X لا تساوي سفر فاما ال X موجة بقى أو
+
+423
+00:51:08,750 --> 00:51:12,890
+سالي بقى
+
+424
+00:51:12,890 --> 00:51:18,010
+then C أكبر من السفر or C أصغر من سفر
+
+425
+00:51:23,040 --> 00:51:27,120
+الـ C هتكون أكبر من السفر الـ C هنا لأ تساوي سفر
+
+426
+00:51:27,120 --> 00:51:33,240
+إذا أما C أكبر من السفر أو أصغر من السفر case one
+
+427
+00:51:33,240 --> 00:51:41,000
+لو كانت C أكبر من سفر فهذا بقد أنه limit signum X
+
+428
+00:51:41,000 --> 00:51:50,980
+as X tends to C بساوي limit X على absolute X
+
+429
+00:51:59,940 --> 00:52:05,660
+و طبعا ال X أكبر من ال
+
+430
+00:52:05,660 --> 00:52:11,860
+C أكبر من السفر ف absolute .. فهذا بيساوي واحد
+
+431
+00:52:11,860 --> 00:52:21,440
+بيساوي limit واحد as X tends to C بيساوي واحد
+
+432
+00:52:21,440 --> 00:52:32,490
+بيساوي F and Cأو signum C لأن
+
+433
+00:52:32,490 --> 00:52:40,050
+ال C موجبة فلما ال C تكون موجبة ف absolute ال C
+
+434
+00:52:40,050 --> 00:52:47,250
+بساوي ال C بطلع المخضر هذا بطلع واحدو بالتالي إذا
+
+435
+00:52:47,250 --> 00:52:57,970
+ال signal x is continuous at c case 2 إذا كانت ال
+
+436
+00:52:57,970 --> 00:53:11,210
+c أصغر من سفر ف similar to case 1 في
+
+437
+00:53:11,210 --> 00:53:17,600
+الحالة هذهقيمة ال function هتطلع سالب واحد عند c و
+
+438
+00:53:17,600 --> 00:53:22,820
+limit عند c هتطلع سالب واحد وبالتالي في اتصال عند
+
+439
+00:53:22,820 --> 00:53:26,320
+ال c إذا ال sign and function مش متصلة عند الصفر
+
+440
+00:53:26,320 --> 00:53:30,800
+لكنها متصلة عن كل الأعداد الحقيقية المختلفة عن
+
+441
+00:53:30,800 --> 00:53:37,910
+الصفرOkay بنكتفي بهذا القدر و بنكمل طبعا إن شاء
+
+442
+00:53:37,910 --> 00:53:44,390
+الله في المحاضرة القادمة هنعطيكم إن شاء الله break
+
+443
+00:53:44,390 --> 00:53:49,350
+خمس دقائق و بعدين نواصل المحاضرة التانية اللي
+
+444
+00:53:49,350 --> 00:53:56,090
+هناخد فيها discussion أو مناقشة لل chapter أربعة
+
+445
+00:53:56,090 --> 00:53:58,350
+section أربعة واحد و أربعة اتنين
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/JXFFuyzuuqA_raw.srt

@@ -0,0 +1,1864 @@
+1
+00:00:20,220 --> 00:00:25,360
+بسم الله الرحمن الرحيم هندرس اليوم ان شاء الله مع
+
+2
+00:00:25,360 --> 00:00:32,000
+بعض ال section خمسة أربعةاللي بيتحدث عن موضوع ال
+
+3
+00:00:32,000 --> 00:00:36,720
+uniform continuity أو الاتصال المنظم للدوال
+
+4
+00:00:36,720 --> 00:00:40,600
+هحنحاول ناخد أكبر جزء ممكن من ال section الجزء
+
+5
+00:00:40,600 --> 00:00:44,860
+المتبقي ممكن نكمله في المحاضرة الجاية يوم الأتنين
+
+6
+00:00:44,860 --> 00:00:49,820
+فال
+
+7
+00:00:49,820 --> 00:00:54,540
+.. خلّينا الأول نراجع .. نراجع تعريف الاتصال
+
+8
+00:00:54,540 --> 00:00:59,270
+العاديال continuity على مجموعة فلو كان في handy
+
+9
+00:00:59,270 --> 00:01:04,170
+function f من a ل r فالعبارات التالية بتكون
+
+10
+00:01:04,170 --> 00:01:13,410
+متكافئة if is continuous at at
+
+11
+00:01:13,410 --> 00:01:20,810
+every at every u ينتمي إلى a اللي هو مجال الدالة
+
+12
+00:01:20,810 --> 00:01:24,370
+العبارة التانية given
+
+13
+00:01:27,500 --> 00:01:36,300
+epsilon أكبر من السفر and given u ينتمي إلى a يوجد
+
+14
+00:01:36,300 --> 00:01:41,160
+.. بيقدر نلاقي delta و ال delta هذه تعتمد على ال
+
+15
+00:01:41,160 --> 00:01:51,590
+epsilon و على ال u عدد موجببحيث أنه لكل x ينتمي
+
+16
+00:01:51,590 --> 00:01:59,250
+إلى a و absolute x minus u أصغر من delta فهذا
+
+17
+00:01:59,250 --> 00:02:07,830
+بتضمن إلى absolute f of x minus f of u أصغر من
+
+18
+00:02:07,830 --> 00:02:08,310
+epsilon
+
+19
+00:02:19,690 --> 00:02:30,650
+خلّينا بس ناخد المثال التالي consider
+
+20
+00:02:30,650 --> 00:02:41,910
+ال function f of xبتساوي واحد على X و X ينتبه لايه
+
+21
+00:02:41,910 --> 00:02:45,890
+اللي هي الفترة
+
+22
+00:02:45,890 --> 00:02:56,270
+كل ال X في R حيث X أكبر من الصفر إذا ال function F
+
+23
+00:02:56,270 --> 00:03:02,770
+معرفة على كل الأعداد الموجبة احنا
+
+24
+00:03:02,770 --> 00:03:05,770
+أثبتنا قبل هيك و proved
+
+25
+00:03:10,640 --> 00:03:14,920
+earlier فيما سبق في دراساتنا السابقة في section
+
+26
+00:03:14,920 --> 00:03:21,540
+اربعة خمسة ثلاثة او خمسة اتنين اثبتنا ان ال
+
+27
+00:03:21,540 --> 00:03:30,700
+function f is continuous على المجموعة a وخلنا
+
+28
+00:03:30,700 --> 00:03:36,580
+نراجع مع بعض ان مع بعض نراجع البرهان fix
+
+29
+00:03:39,080 --> 00:03:46,920
+fix u ينتمي إلى a given إبصر
+
+30
+00:03:46,920 --> 00:03:49,760
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+31
+00:03:49,760 --> 00:03:50,560
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+32
+00:03:50,560 --> 00:03:53,060
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+33
+00:03:53,060 --> 00:03:56,600
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+34
+00:03:56,600 --> 00:03:57,260
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+35
+00:03:57,260 --> 00:03:57,360
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+36
+00:03:57,360 --> 00:04:00,020
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+37
+00:04:00,020 --> 00:04:06,790
+أكبر من صفر أكبر من صفربتطبيق تعريف epsilon delta
+
+38
+00:04:06,790 --> 00:04:12,110
+للاتصال ان نقطة given epsilon اذا بيطلع ارجعه we
+
+39
+00:04:12,110 --> 00:04:19,350
+found delta و ال delta هذه كانت ال minimum لقنتين
+
+40
+00:04:19,350 --> 00:04:24,470
+u ع اتنين او كانت هناك c ع اتنين بدل u كانت النقطة
+
+41
+00:04:24,470 --> 00:04:33,350
+بيسميها c فعندي u ع اتنين و u تربيه على اتنين في
+
+42
+00:04:33,350 --> 00:04:40,450
+epsilonطبعا هذا عدد موجب واضح ان ال delta هذه عدد
+
+43
+00:04:40,450 --> 00:04:44,530
+موجب لان هذا عدد موجب و هذا عدد موجب و بعدين ال
+
+44
+00:04:44,530 --> 00:04:50,530
+delta لاحظوا انها بتعتمد على ال epsilon و على ال U
+
+45
+00:04:52,480 --> 00:04:55,840
+الـ Delta بتعتمد على الـ Epsilon وعلى الـ U مش بس
+
+46
+00:04:55,840 --> 00:04:58,280
+على الـ Epsilon وعلى النقطة U اللى احنا بدنا نفحص
+
+47
+00:04:58,280 --> 00:05:05,020
+عندها الاتصال فشوفنا بعد هيك انه .. اذا for this
+
+48
+00:05:05,020 --> 00:05:11,880
+Delta اذا لو أخدنا X ��نتمي إلى A و Absolute X
+
+49
+00:05:11,880 --> 00:05:19,560
+minus U أصغر من Delta فطبعا هذا قدهذا أدى أن الـ
+
+50
+00:05:19,560 --> 00:05:26,240
+delta هنا أصغر من أو يساوي U ع 2 وبالتالي هذا
+
+51
+00:05:26,240 --> 00:05:35,600
+بيقدر أن X أصغر من 3U ع 2 أكبر من U ع 2 لما نحل
+
+52
+00:05:35,600 --> 00:05:42,720
+المعادلة المتبينة هذه في U وهذا
+
+53
+00:05:42,720 --> 00:05:44,520
+بيقدر بدوره
+
+54
+00:05:46,640 --> 00:05:59,580
+أبسلوت f of x minus f of u طالع بيساوي أبسلوت واحد
+
+55
+00:05:59,580 --> 00:06:06,580
+على x minus واحد على u هذا بيساوي أبسلوت u minus x
+
+56
+00:06:06,580 --> 00:06:13,390
+على x في u المفروض أحط هنا أبسلوتأكس في U لكن ال X
+
+57
+00:06:13,390 --> 00:06:17,290
+و ال U عناصر في A و A عناصرها كل أعداد موجبة فلا
+
+58
+00:06:17,290 --> 00:06:21,950
+داعي ال absolute value الأن absolute أنا عندي هنا
+
+59
+00:06:21,950 --> 00:06:31,390
+من المتباينة هذه بيطلع عندي المفروض أنه أنا عندي
+
+60
+00:06:31,390 --> 00:06:43,100
+بيطلع U على 2 أصغر من X صح فهذا بيقدي أنه X فيأضرب
+
+61
+00:06:43,100 --> 00:06:47,420
+في U، U عدد موجب فبطلع U تربيع اتنين اصغر من X
+
+62
+00:06:47,420 --> 00:06:55,520
+وبالتالي واحد مقلوب XU بطلع اصغر من اتنين على U
+
+63
+00:06:55,520 --> 00:07:02,200
+تربيع اذا مقلوب XU اصغر من اتنين على U تربيع في
+
+64
+00:07:02,200 --> 00:07:08,790
+absolute U minus Xو هذي أصغر من دلتا إذاً هذي أصغر
+
+65
+00:07:08,790 --> 00:07:13,830
+من اتنين على U تربية في دلتا طيب الدلتا أنا
+
+66
+00:07:13,830 --> 00:07:18,390
+اختارها ال minimum للقيمة هذه وهذه فبالتالي الدلتا
+
+67
+00:07:18,390 --> 00:07:22,890
+هذه تطلع أصغر من أو ساوي القيمة التانيةإذن اتنين
+
+68
+00:07:22,890 --> 00:07:28,850
+على U تربية ضرب U تربية على اتنين في Epsilon و
+
+69
+00:07:28,850 --> 00:07:33,490
+طبعا هذولا بيروحوا مع بعض و بيظل Epsilon وبالتالي
+
+70
+00:07:33,490 --> 00:07:38,290
+بما أن Epsilon was arbitrary إذا ال F is
+
+71
+00:07:38,290 --> 00:07:48,110
+continuous at U ولمّا كانت U arbitrary since U
+
+72
+00:07:48,110 --> 00:07:49,770
+belonged to A was
+
+73
+00:07:52,720 --> 00:08:00,980
+arbitrary if is continuous على كل المجموعة ايه هذا
+
+74
+00:08:00,980 --> 00:08:05,740
+كان برهانة خلناها قبل هيك طيب ما الغرض مش ايش
+
+75
+00:08:05,740 --> 00:08:10,200
+النقطة ان احنا نعيد البرهان النقطة هي عايزين نفكز
+
+76
+00:08:10,200 --> 00:08:16,160
+او نأكد انه في اثبات الاتصال عند النقطة U لاحظنا
+
+77
+00:08:16,160 --> 00:08:20,330
+ان ال delta بتعتمد على ال epsilon و على ال Uهذا
+
+78
+00:08:20,330 --> 00:08:24,510
+معناه ان الـ delta بتتغير قيمتها مع تغير ال U
+
+79
+00:08:24,510 --> 00:08:28,070
+فمثلا
+
+80
+00:08:28,070 --> 00:08:40,890
+لو جينا نعمل هاي الدالة دي لو جينا رسمناها هاي
+
+81
+00:08:40,890 --> 00:08:47,730
+الدالة واحد على X لو جيت اخدت انا X لو كان هذا
+
+82
+00:08:47,730 --> 00:08:59,250
+واحد هذا اتنينفو هذا نص لو كانت ال U تبعتي لو كانت
+
+83
+00:08:59,250 --> 00:09:07,750
+ال U بساوي نص ف
+
+84
+00:09:07,750 --> 00:09:17,810
+F لنص بساوي هيطلع اتنين هذا بساوي F لنص طب لو جيت
+
+85
+00:09:17,810 --> 00:09:25,470
+أخدتأبسلون نيبرهود لاتنين اذا هذا عبارة عن بي
+
+86
+00:09:25,470 --> 00:09:32,310
+ابسلون لاتنين اللي هو صورة النص فهذا الابسلون
+
+87
+00:09:32,310 --> 00:09:38,130
+نيبرهود هيقابله delta
+
+88
+00:09:38,130 --> 00:09:43,350
+neighborhood هيقابله
+
+89
+00:09:43,350 --> 00:09:44,150
+delta
+
+90
+00:09:50,400 --> 00:09:59,440
+هذا عبارة عن delta neighborhood للنص باللاحظ هنا
+
+91
+00:09:59,440 --> 00:10:02,680
+ان ال delta هي قيمتها
+
+92
+00:10:20,550 --> 00:10:25,830
+هذه اتنين لو اخدت U بساوة اتنين لو اخدت U بساوة
+
+93
+00:10:25,830 --> 00:10:30,230
+اتنين احنا اثبتنا ان الدالة متصلة على الاتنين وهذه
+
+94
+00:10:30,230 --> 00:10:37,730
+ال function شكلها هيكون زي هيك يعني
+
+95
+00:10:37,730 --> 00:10:41,770
+هون ف F لتنين
+
+96
+00:10:44,810 --> 00:10:49,990
+بساوي نص او صورة اتنين بطلع نص اللي هي صورة
+
+97
+00:10:49,990 --> 00:10:54,470
+الاتنين الان لو انا اخدت كوانة epsilon
+
+98
+00:10:54,470 --> 00:11:01,750
+neighborhood لنقطة نص هذه ال epsilon هنا نفس قيمة
+
+99
+00:11:01,750 --> 00:11:06,890
+ال epsilon اللي هنا نفس القيمة وبالتالي الان اذا
+
+100
+00:11:06,890 --> 00:11:13,680
+في عندي انا دي epsilon لن نصفطبعاً لكل epsilon
+
+101
+00:11:13,680 --> 00:11:16,480
+neighborhood للنص بما أن الدلة متصلة عند اتنين
+
+102
+00:11:16,480 --> 00:11:22,480
+هيوجد V Delta يوجد
+
+103
+00:11:22,480 --> 00:11:28,800
+V Delta okay
+
+104
+00:11:28,800 --> 00:11:32,960
+هذا هيكون V Delta
+
+105
+00:11:39,350 --> 00:11:43,010
+هذا عبارة عن V Delta او Delta neighborhood للإفنين
+
+106
+00:11:43,010 --> 00:11:48,190
+فبلاحظ انه رغم ان ال epsilon هنا نفس قيمة ال
+
+107
+00:11:48,190 --> 00:11:52,890
+epsilon هنا الا ان ال delta هنا شوف جدش صغيرة
+
+108
+00:11:52,890 --> 00:12:00,400
+بينما ال delta هنا شايفين ما اكبرها؟تغيرت مين اللي
+
+109
+00:12:00,400 --> 00:12:05,220
+غير ال delta ال U لما ال U كانت نص ال delta كانت
+
+110
+00:12:05,220 --> 00:12:11,340
+صغيرة لما ال U كانت اتنين ال U كبرت اذا ال delta
+
+111
+00:12:11,340 --> 00:12:15,600
+هنا او ال delta نبرهود بيعتمد على ال epsilon او ال
+
+112
+00:12:15,600 --> 00:12:19,200
+delta بتعتمد على ال مش بس على ال epsilon و على ال
+
+113
+00:12:19,200 --> 00:12:23,840
+U و على النقطة نفسها okay واضح اذا هنا ال delta
+
+114
+00:12:23,840 --> 00:12:31,210
+تغيرت مع تغير ال UOkay تمام وبالتالي ال delta لأي
+
+115
+00:12:31,210 --> 00:12:34,470
+epsilon ال delta ده بتعتمد على ال u على ال epsilon
+
+116
+00:12:34,470 --> 00:12:39,410
+أو على النقطة وعلى ال epsilon تمام واضحة النقطة
+
+117
+00:12:39,410 --> 00:12:45,370
+هذه طيب احنا خلينا نقبل ناشية ده المثال خلينا ناخد
+
+118
+00:12:45,370 --> 00:12:54,770
+مثال تاني example
+
+119
+00:12:54,770 --> 00:12:56,210
+2
+
+120
+00:12:59,420 --> 00:13:09,840
+خلّينا ناخد الـ function f of x بساوي 2x و x ينتمي
+
+121
+00:13:09,840 --> 00:13:13,780
+إلى R Note
+
+122
+00:13:13,780 --> 00:13:20,620
+that .. خلّينا نلاحظ أول أن absolute f of x minus
+
+123
+00:13:20,620 --> 00:13:29,440
+f of uبساوي absolute اتنين X minus اتنين U بساوي
+
+124
+00:13:29,440 --> 00:13:38,420
+اتنين في absolute X minus U لكل X و U ينتمي ال R
+
+125
+00:13:38,420 --> 00:13:44,880
+مظبوط هيك؟ طيب
+
+126
+00:13:44,880 --> 00:13:51,760
+الدالة هذه معروفة انها متصلة على R المجال تبعها
+
+127
+00:13:51,760 --> 00:13:52,200
+صح؟
+
+128
+00:14:03,920 --> 00:14:13,000
+على الـ set R فكيف بنعمل فكس بنثبت U في R بنثبت أن
+
+129
+00:14:13,000 --> 00:14:22,180
+F متصل عند الـ U صح؟ and let أكبر من السفر be
+
+130
+00:14:22,180 --> 00:14:22,780
+given
+
+131
+00:14:28,810 --> 00:14:36,250
+تختار دلتا نختار دلتا بساوي أبسلون ع اتنين أكبر من
+
+132
+00:14:36,250 --> 00:14:45,010
+السفر فلهذه الدلتا then لو كان x ينتمي إلى ال a
+
+133
+00:14:45,010 --> 00:14:51,490
+اللي هي r و absolute x minus u أصغر من الدلتا فهذا
+
+134
+00:14:51,490 --> 00:14:58,840
+هيديني absolute f of x minus f of uبتقول إن هذا
+
+135
+00:14:58,840 --> 00:15:03,440
+بيطلع بساوية أصغر من أو ساوية اتنين في absolute x
+
+136
+00:15:03,440 --> 00:15:09,940
+minus u أو بساوية بالأعلى، صح؟ طيب مانا ال X هذه
+
+137
+00:15:09,940 --> 00:15:14,660
+ماخدها بحيث أن absolute x minus u أصغر من ال
+
+138
+00:15:14,660 --> 00:15:20,160
+delta، صح؟عشان ذلك انا اخترت delta بساوي epsilon ع
+
+139
+00:15:20,160 --> 00:15:24,500
+اتنين اه شوفت ايش خدنا delta بساوي epsilon ع اتنين
+
+140
+00:15:24,500 --> 00:15:30,740
+طيب و هذا بساوي epsilon حسب اختيارنا لل delta
+
+141
+00:15:30,740 --> 00:15:37,460
+وبالتالي هيك اذا ال function بما انه epsilon was
+
+142
+00:15:37,460 --> 00:15:44,800
+arbitrarily اذا f is continuousat الـ U وبما أن U
+
+143
+00:15:44,800 --> 00:15:48,060
+belong to R وزر فبتره إذا if continuous على كل ال
+
+144
+00:15:48,060 --> 00:15:55,240
+R كمان مرة النقطة هنا اللي عايزين أن أكد عليها هو
+
+145
+00:15:55,240 --> 00:16:01,520
+إن ال Delta لأي إبسلون و لأي U و لأي إبسلون ال
+
+146
+00:16:01,520 --> 00:16:06,160
+Delta هنا تعتمد على إبسلون فقط مالهاش دعوة في ال U
+
+147
+00:16:06,160 --> 00:16:11,790
+بمعنى آخر لو أنا ال U هذه غيرتهاأخذت U تانية لو
+
+148
+00:16:11,790 --> 00:16:14,670
+كانت تانية مثلا U بالساعة و سفر او واحد او اتنين
+
+149
+00:16:14,670 --> 00:16:19,310
+او تلاتة او اي عدد حقيقي فكل مرة ال delta نفس ال
+
+150
+00:16:19,310 --> 00:16:25,800
+delta F2 will work لل U لكل Uلأي إبسن خدي نفس ال
+
+151
+00:16:25,800 --> 00:16:28,340
+delta إبسن على اتنين هتعطيهم إيه ال implication
+
+152
+00:16:28,340 --> 00:16:33,640
+هذه بغض النظر عن ال U okay؟ وبالتالي هنا في ال ..
+
+153
+00:16:33,640 --> 00:16:37,320
+في ال .. في الاتصال هذا ال delta هنا تعتمد على
+
+154
+00:16:37,320 --> 00:16:40,540
+إبسن فقط و لا تعتمد على U بينما في المثال السابق
+
+155
+00:16:40,540 --> 00:16:45,240
+شوفنا ال delta بتعتمد على Uهذا النوع من الاتصال
+
+156
+00:16:45,240 --> 00:16:48,860
+بنسميه اتصال منتظم اللي فيه ال delta تعتمد على
+
+157
+00:16:48,860 --> 00:16:52,760
+epsilon فقط اتصال منتظم او uniform continuity
+
+158
+00:16:52,760 --> 00:16:55,540
+اتصال اللي جابله اللي ال delta تعتمد على ال
+
+159
+00:16:55,540 --> 00:17:00,510
+epsilon و على النقطة Uهذا نسميه continuity عادية
+
+160
+00:17:00,510 --> 00:17:04,230
+او نقول continuity اتصال اما هذا uniform
+
+161
+00:17:04,230 --> 00:17:08,770
+continuity هنشوف ال gate من التعريف ان ال uniform
+
+162
+00:17:08,770 --> 00:17:13,990
+continuity اقوى و اشمل من ال continuity العادية
+
+163
+00:17:13,990 --> 00:17:22,670
+okay تمام اذا خليني اضع تعريف ال uniform
+
+164
+00:17:22,670 --> 00:17:25,590
+continuity definition
+
+165
+00:17:28,670 --> 00:17:40,970
+فنشطة f من a الى r هي عامة عامة
+
+166
+00:17:40,970 --> 00:17:49,130
+مستمرة عامة مستمرة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
+
+167
+00:17:49,130 --> 00:17:49,170
+عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
+
+168
+00:17:49,170 --> 00:17:49,170
+عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
+
+169
+00:17:49,170 --> 00:17:54,610
+عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
+
+170
+00:17:54,610 --> 00:17:55,930
+عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
+
+171
+00:17:55,930 --> 00:17:55,950
+عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
+
+172
+00:17:55,950 --> 00:17:56,070
+عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
+
+173
+00:18:00,400 --> 00:18:06,760
+إبسلون أكبر من السفر يوجد Delta تعتمد على إبسلون
+
+174
+00:18:06,760 --> 00:18:13,920
+فقط، عدد موجب بحيث أنه لكل X و U تنتمي إلى A
+
+175
+00:18:13,920 --> 00:18:20,620
+وأبسليوت X minus U أصغر من Delta هذا بتضمن أن
+
+176
+00:18:20,620 --> 00:18:29,420
+أبسليوت F of X minus F of U أصغر من الإبسلون
+
+177
+00:18:31,760 --> 00:18:35,660
+إذا هنا لأي أبسلون أكبر من السفر في دلتة واحدة
+
+178
+00:18:35,660 --> 00:18:40,100
+تعتمد على أبسلون فقط والدلتة هذه تلف على كل ال X
+
+179
+00:18:40,100 --> 00:18:44,620
+وكل ال U أو لكل ال U مرة واحدة فهنا لكل X و لأي U
+
+180
+00:18:44,620 --> 00:18:48,300
+إذا المسافة بينهم أصغر من الدلتة فالمسافة بين
+
+181
+00:18:48,300 --> 00:18:54,140
+أصغرهم أصغر من X تمام؟ الآن واضح من التعريفات
+
+182
+00:18:58,880 --> 00:19:05,820
+remarks المراحبة الأولى uniform
+
+183
+00:19:05,820 --> 00:19:13,760
+continuity
+
+184
+00:19:13,760 --> 00:19:23,440
+uniform continuity implies continuity
+
+185
+00:19:27,240 --> 00:19:35,720
+الاتصال المنتظر بيؤدي للاتصال العادى و البرهان
+
+186
+00:19:35,720 --> 00:19:39,960
+واضح يعني بمعنى اخر لو في عندي function f from a
+
+187
+00:19:39,960 --> 00:19:46,460
+to r و ال function كانت uniformly continuous فهذا
+
+188
+00:19:46,460 --> 00:19:54,350
+بيؤدي ان f continuous فالبرهان ذلكأفرضي أن F
+
+189
+00:19:54,350 --> 00:20:00,770
+uniformly continuous إذا اشترتها تتحقق تبع الـ
+
+190
+00:20:00,770 --> 00:20:05,750
+Uniform Continuous الآن لإثبات أن F continuous على
+
+191
+00:20:05,750 --> 00:20:11,210
+A بتثبت أن F continuous at every U ينتمي لـ A يعني
+
+192
+00:20:11,210 --> 00:20:17,090
+بتثبت أنه لأي epsilon و لأي U فـ let epsilon be
+
+193
+00:20:17,090 --> 00:20:20,030
+given و let U be fixed element في A
+
+194
+00:20:22,930 --> 00:20:26,390
+من هنا لهذه الـ Epsilon من هنا بما أن هذا الشرط
+
+195
+00:20:26,390 --> 00:20:32,670
+متحقق لأن خد ال Delta لأي ال Epsilon هادي given خد
+
+196
+00:20:32,670 --> 00:20:34,950
+ال Delta اللي هي هذه موجودة في ال uniform
+
+197
+00:20:34,950 --> 00:20:38,650
+continuous اللي بتعتمد على Epsilon فقط خديها هي ال
+
+198
+00:20:38,650 --> 00:20:43,730
+Delta هذه فطبعا هذه ال Delta بتخلي ال implication
+
+199
+00:20:43,730 --> 00:20:51,850
+هذه تتحقق نظرت؟ لو هذه متحققة فهذه متحققةإذن هيك
+
+200
+00:20:51,850 --> 00:20:55,270
+واضح إن ال uniform continuous إذا الواحدة بيقدر أن
+
+201
+00:20:55,270 --> 00:20:58,930
+f continuous and u لما أن u واظهر بترة إذا f
+
+202
+00:20:58,930 --> 00:21:05,310
+continuous and كل على كل المجموعية لكن
+
+203
+00:21:05,310 --> 00:21:11,690
+العكس مش صحيح إذا العكس المواحدة التانية العكس مش
+
+204
+00:21:11,690 --> 00:21:17,570
+صحيح but not conversely
+
+205
+00:21:22,160 --> 00:21:26,380
+العكس مش صحيح، يعني ال continuity لا تؤدي إلى ال
+
+206
+00:21:26,380 --> 00:21:37,360
+uniform continuity و على سبيل المثال for
+
+207
+00:21:37,360 --> 00:21:39,220
+example على سبيل المثال
+
+208
+00:21:46,610 --> 00:21:51,610
+أحنا شوفنا قبل شوية في بداية المحاضرة الـ function
+
+209
+00:21:51,610 --> 00:21:56,870
+f of x بساوي واحد على x و x ينتمي إلى a اللي هي
+
+210
+00:21:56,870 --> 00:22:03,870
+الفترة مفتوحة من سفر لماء لنهاية is continuous on
+
+211
+00:22:03,870 --> 00:22:11,550
+a أثبتت أنها continuous على المجموعة a but
+
+212
+00:22:15,440 --> 00:22:28,480
+but if is not uniformly continuous on a as we
+
+213
+00:22:28,480 --> 00:22:34,140
+shall see in
+
+214
+00:22:34,140 --> 00:22:39,100
+a few minutes
+
+215
+00:22:39,100 --> 00:22:46,160
+كما سنرى بعد لحظات الدالة هذه ليست متصلةإتصالا
+
+216
+00:22:46,160 --> 00:22:52,940
+منتظم هنأخر المرحلة ده شوية و هنبرهنه فلكن في
+
+217
+00:22:52,940 --> 00:22:59,560
+الأول خلينا من التعريف تبع ال uniform continuity
+
+218
+00:22:59,560 --> 00:23:09,720
+نستنتج non uniform continuity criterion من
+
+219
+00:23:09,720 --> 00:23:13,120
+هنا non uniform
+
+220
+00:23:15,380 --> 00:23:22,560
+non uniform continuity criteria
+
+221
+00:23:22,560 --> 00:23:33,940
+let
+
+222
+00:23:33,940 --> 00:23:41,240
+f from a to r be a function then
+
+223
+00:23:44,150 --> 00:23:53,730
+the following statements are equivalent واحد if is
+
+224
+00:23:53,730 --> 00:23:58,810
+not uniformly
+
+225
+00:23:58,810 --> 00:24:09,510
+continuous على المجال تبعها نين there exists
+
+226
+00:24:09,510 --> 00:24:17,380
+epsilon zero أكبر من السفرsuch that for every
+
+227
+00:24:17,380 --> 00:24:26,620
+delta أكبر من السفر يوجد x delta و u delta أناصر
+
+228
+00:24:26,620 --> 00:24:36,220
+في a such that absolute x delta minus u delta أصغر
+
+229
+00:24:36,220 --> 00:24:45,160
+من delta and absolute f of x delta-f of u دلتا
+
+230
+00:24:45,160 --> 00:24:53,160
+أكبر من أو يساوي epsilon zero الأبارع
+
+231
+00:24:53,160 --> 00:25:00,020
+التالتة there exist epsilon zero أكبر من الصفر and
+
+232
+00:25:00,020 --> 00:25:06,200
+two sequences متتاليتين xn
+
+233
+00:25:07,630 --> 00:25:14,930
+و un موجودين في مجال الدالة a such that بحيث ان
+
+234
+00:25:14,930 --> 00:25:23,910
+limit xn minus un بساوي سفر as n tends to infinity
+
+235
+00:25:23,910 --> 00:25:25,690
+and
+
+236
+00:25:27,050 --> 00:25:35,910
+absolute f of xn minus f of un أكبر من أو ساوي
+
+237
+00:25:35,910 --> 00:25:42,350
+epsilon zero هذا صحيح لكل n ينتبه للأعداد الطبيعية
+
+238
+00:25:42,350 --> 00:25:51,070
+okay تمام طيب نشوف البرهان تبع النظرية هذه البرهان
+
+239
+00:25:51,070 --> 00:25:55,440
+تبع النظرية هذه ينتج مباشرة منتعريف ال uniform
+
+240
+00:25:55,440 --> 00:26:01,980
+continuity تعالى نشوف واحد بكافئ اتنين طيب ما
+
+241
+00:26:01,980 --> 00:26:07,300
+معناه if uniform continuous على المجموعة ايه؟
+
+242
+00:26:07,300 --> 00:26:12,920
+معناه الشرط هذا بتحقق طيب ما معناه ان if not
+
+243
+00:26:12,920 --> 00:26:16,540
+uniform continuous على ايه؟ معناه ال negation تبع
+
+244
+00:26:16,540 --> 00:26:19,720
+العبارة دي بتحقق تعالى ن��فذ العبارة انفذ العبارة
+
+245
+00:26:20,730 --> 00:26:25,250
+بدل لكل epsilon يوجد epsilon zero بدل يوجد delta
+
+246
+00:26:25,250 --> 00:26:31,550
+لكل delta موجبة بدل لكل x و u يوجد x و u يعتمد كل
+
+247
+00:26:31,550 --> 00:26:36,730
+واحد منهم يعتمد على ال delta بحيث لو كان هذا أصغر
+
+248
+00:26:36,730 --> 00:26:41,950
+من delta فلازم هذا يقدر انه الأصغر هذا أكبر من أو
+
+249
+00:26:41,950 --> 00:26:45,910
+ساوى ال epsilon zeroلأن واضح أن العبارة الأولى
+
+250
+00:26:45,910 --> 00:26:50,330
+بتكافئ التانية لأنه نفي التعريف بكافئ العبارة
+
+251
+00:26:50,330 --> 00:26:55,570
+التانية طيب التانية بتكافئ التالتة وهذا برضه صح
+
+252
+00:26:55,570 --> 00:27:01,650
+افرض أن التانية صحيحة تعني نثبت أن التالتة صحيحة
+
+253
+00:27:01,650 --> 00:27:05,170
+طيب هي التانية يوجد epsilon zero يوجد و هكذا
+
+254
+00:27:12,050 --> 00:27:16,770
+بحيث لكل delta خدي delta بالساوية واحد على n يعني
+
+255
+00:27:16,770 --> 00:27:21,370
+معنى أخر لكل n يوجد delta بالساوية واحد على n عدد
+
+256
+00:27:21,370 --> 00:27:26,730
+موجةوبالتالي يوجد X يعتمد على الـ Delta اللي هي
+
+257
+00:27:26,730 --> 00:27:31,670
+واحد على N اللي بتعتمد على N إذا لكل N لكل N يوجد
+
+258
+00:27:31,670 --> 00:27:37,310
+XN و UN صح؟ وبالتالي يوجد two sequences و ال two
+
+259
+00:27:37,310 --> 00:27:41,470
+sequences هدول بيحققوا أن absolute X واحدة XN
+
+260
+00:27:41,470 --> 00:27:46,310
+minus UN أصغر من واحد على N اللي هي ال Delta و هذا
+
+261
+00:27:46,310 --> 00:27:52,660
+صحيح لكل N إذا ال limitإذا كان هذا أصغر من واحد
+
+262
+00:27:52,660 --> 00:27:55,900
+على xn minus un على absolute أصغر من واحد على n
+
+263
+00:27:55,900 --> 00:28:00,020
+حصّم نظرية اتنين أربعة هذا معناه limit xn minus un
+
+264
+00:28:00,020 --> 00:28:06,420
+بساوة سفر وهذا هي absolute f of xn minus f of un
+
+265
+00:28:06,420 --> 00:28:12,180
+أكبر من أوسع okay فهو واضح وطبعا العكس نفس الحاجة
+
+266
+00:28:12,180 --> 00:28:16,020
+إذن البرهانة النظرية هذه ينتج مباشرة من ال
+
+267
+00:28:16,020 --> 00:28:20,340
+definition تبع ال uniform continuity
+
+268
+00:28:22,600 --> 00:28:27,400
+الان دعونا نرجع للمثال
+
+269
+00:28:27,400 --> 00:28:38,560
+هذا اذا هنا example to
+
+270
+00:28:38,560 --> 00:28:46,710
+show ان ال functionf of x بالساوي واحد على x is
+
+271
+00:28:46,710 --> 00:28:51,190
+not uniformly
+
+272
+00:28:51,190 --> 00:28:58,750
+continuous على المجموعة a اللي هي الفافرة مفتوحة
+
+273
+00:28:58,750 --> 00:29:07,010
+من صفر لما لا نهاية we use non
+
+274
+00:29:07,010 --> 00:29:09,270
+uniform
+
+275
+00:29:11,050 --> 00:29:16,390
+Non-uniform continuity
+
+276
+00:29:16,390 --> 00:29:21,890
+criteria
+
+277
+00:29:37,150 --> 00:29:47,310
+يوجد أبسلون زيرو يوجد
+
+278
+00:29:47,310 --> 00:29:49,870
+عدد أبسلون زيرو موجد
+
+279
+00:30:07,550 --> 00:30:16,570
+تختار خيار Xm بساوي واحد على ان اكيد هذه ال
+
+280
+00:30:16,570 --> 00:30:19,630
+sequence contain في الفترة المفتوحة من سفر للملا
+
+281
+00:30:19,630 --> 00:30:28,210
+نهاية صح؟ and كمان تختار خيار ثاني UN بساوي واحد
+
+282
+00:30:28,210 --> 00:30:33,370
+على ان زايد واحدبرضه هذه ال sequence حدودها كلها
+
+283
+00:30:33,370 --> 00:30:37,730
+موزبة وبالتالي مجموعة جزئية من الفترة المفتوحة من
+
+284
+00:30:37,730 --> 00:30:41,830
+سفر لملنغا Clearly
+
+285
+00:30:41,830 --> 00:30:45,290
+واضح
+
+286
+00:30:45,290 --> 00:30:54,330
+ان ال limit ل xn minus un as n times infinity
+
+287
+00:30:54,330 --> 00:31:04,720
+بساوي limit1 على n minus 1 على n زاد 1 as n equals
+
+288
+00:31:04,720 --> 00:31:11,660
+infinity ف limit الأولى ساوي سفر limit ال sequence
+
+289
+00:31:11,660 --> 00:31:18,200
+التانية سفر وبالتالي بيطلع سفر لأن هنا حققت كل
+
+290
+00:31:18,200 --> 00:31:24,020
+شروط ضايل بس المتبينة هادية also
+
+291
+00:31:28,610 --> 00:31:38,510
+أنا عندي absolute f of x in minus f of u in هذا
+
+292
+00:31:38,510 --> 00:31:46,990
+المفروض بيطلع بيساوي absolute in minus in زد واحد،
+
+293
+00:31:46,990 --> 00:31:53,430
+أزبوتك؟ وهذا بيساوي واحد، واحد أصغر من أوي، بيساوي
+
+294
+00:31:53,430 --> 00:32:00,000
+واحد اللي هو epsilon zeroو هذا صحيح لكل n في n
+
+295
+00:32:00,000 --> 00:32:08,940
+أصبوت هنا هاني انا ايش عملت ال criterion رقم تلاتة
+
+296
+00:32:08,940 --> 00:32:15,660
+اتحققتها اتحققت انها متحققة ها يوجد epsilon zero
+
+297
+00:32:15,660 --> 00:32:21,600
+واحد لاحظوا الواحد علشان انا اختارت واحد ممكن اخد
+
+298
+00:32:21,600 --> 00:32:25,040
+برضه epsilon zero بساوة اتنين لان الواحد اصغر من
+
+299
+00:32:25,040 --> 00:32:29,380
+الاتنينمافي مشكلة بس مش أقل من واحد يعني نص من
+
+300
+00:32:29,380 --> 00:32:32,840
+فعشان لأن هي أثبتت يوجد epsilon zero عدد موجب
+
+301
+00:32:32,840 --> 00:32:36,280
+ويوجد two sequences انا اختارتهم انا اوجدتهم بنفسي
+
+302
+00:32:36,280 --> 00:32:39,780
+واحد على n واحد على n زيادة واحد كلهم موجودين في
+
+303
+00:32:39,780 --> 00:32:45,380
+مجال الدالة ايه و limit الفرق بينهم سفر لكن
+
+304
+00:32:45,380 --> 00:32:52,960
+absolute الفرق بين صورهممش أقوى هذا هيكون بساوي
+
+305
+00:32:52,960 --> 00:32:59,860
+واحد أكبر من أو ساوي .. مش أصغر من أو ساوي بدي
+
+306
+00:32:59,860 --> 00:33:06,140
+أكبر من أو ساوي واحد اللي هو epsilon خليني
+
+307
+00:33:06,140 --> 00:33:09,760
+أنا أسحب الكلام اللي حكيته سابقا و أقول هنا ممكن
+
+308
+00:33:09,760 --> 00:33:13,140
+أخد ال epsilon zero بساوي واحد أو أي حاجة أصغر
+
+309
+00:33:13,140 --> 00:33:19,750
+يعني نص بنفعيعني أبسلون زيرو بساوي نص منفع لكن أي
+
+310
+00:33:19,750 --> 00:33:23,630
+شيء أكبر من واحد منفعش لأن أنا بدي واحد يكون أكبر
+
+311
+00:33:23,630 --> 00:33:28,270
+من أو ساوي أبسلون زيرو تمام؟ إذا هذه أثبتنا
+
+312
+00:33:28,270 --> 00:33:31,750
+وبالتالي حسب ال non-uniform continuity criterion
+
+313
+00:33:31,750 --> 00:33:35,710
+ال .. ال function هذه is not uniform ل continuous
+
+314
+00:33:35,710 --> 00:33:42,250
+تمام؟ لكن أثبتنا سابق جابليك أنها is continuous
+
+315
+00:33:42,250 --> 00:33:48,150
+على المجال تبعهاإذا لو قلنا لكم prove or disprove
+
+316
+00:33:48,150 --> 00:33:51,330
+continuity
+
+317
+00:33:51,330 --> 00:33:55,010
+implies continuity .. ال uniform .. continuity
+
+318
+00:33:55,010 --> 00:33:58,970
+implies uniform continuity هتقولي هذا ال statement
+
+319
+00:33:58,970 --> 00:34:04,150
+false و ال counter example هو هذا هذا مثال على
+
+320
+00:34:04,150 --> 00:34:07,570
+function continuous لكن ليست uniformly continuous
+
+321
+00:34:07,570 --> 00:34:17,820
+تمام؟ طيب، كويسخلّينا الآن نثبت بعض النظريات
+
+322
+00:34:17,820 --> 00:34:24,300
+المهمة اللي بتخص uniform continuity ومن أهم
+
+323
+00:34:24,300 --> 00:34:32,680
+النظريات التي هي النظرية التالية theorem اسمها
+
+324
+00:34:32,680 --> 00:34:36,660
+uniform continuity
+
+325
+00:34:36,660 --> 00:34:40,160
+continuity theorem
+
+326
+00:34:49,430 --> 00:34:56,770
+let I بساوي be
+
+327
+00:34:56,770 --> 00:35:05,570
+a closed and bounded interval
+
+328
+00:35:05,570 --> 00:35:09,350
+اذا
+
+329
+00:35:09,350 --> 00:35:17,360
+I عبارة عن closed and bounded interval لو كانلو
+
+330
+00:35:17,360 --> 00:35:22,980
+كانت الـ function f continuous، if f from I to R
+
+331
+00:35:22,980 --> 00:35:34,040
+is continuous on I، then f is uniformly ..
+
+332
+00:35:34,040 --> 00:35:43,060
+uniformly continuous on
+
+333
+00:35:43,060 --> 00:35:43,620
+I
+
+334
+00:35:46,190 --> 00:35:51,870
+والبرهان السهل prove by contradiction اذا ان بكل
+
+335
+00:35:51,870 --> 00:35:57,070
+بساطة نظرية هذه رغم بساطة بساطة ال statement تبعها
+
+336
+00:35:57,070 --> 00:36:01,710
+اللي انا من اهم النظريات بكل بساطة النظرية اللي
+
+337
+00:36:01,710 --> 00:36:04,850
+بيقول لو كان في عندك function متصل على المجال
+
+338
+00:36:04,850 --> 00:36:08,550
+تبعها والمجال تبعها closed bounded interval اذا
+
+339
+00:36:08,550 --> 00:36:13,970
+الاتصال العادي يصبح اتصال منتظمإن ان هذه الحالة
+
+340
+00:36:13,970 --> 00:36:18,030
+الوحيدة اللي او يعني احد الحالات اللي فيها بيكون
+
+341
+00:36:18,030 --> 00:36:22,650
+الاتصال العادى بقدر الاتصال المنظم ان احنا اضافنا
+
+342
+00:36:22,650 --> 00:36:26,630
+شرط ان مجال تبع الدالة مايكونش اي set لازم يكون
+
+343
+00:36:26,630 --> 00:36:31,090
+closed bounded interval لبرهان ذلك بال
+
+344
+00:36:31,090 --> 00:36:39,670
+contradiction assume on contrary that
+
+345
+00:36:41,290 --> 00:36:55,010
+if is not uniformly continuous on I then by non
+
+346
+00:36:55,010 --> 00:37:03,550
+uniform continuity criteria النظرية
+
+347
+00:37:03,550 --> 00:37:10,620
+اللي فوقيوجد إبسلون زيرو أكبر من السفر و two
+
+348
+00:37:10,620 --> 00:37:15,620
+sequences and
+
+349
+00:37:15,620 --> 00:37:25,040
+two sequences واحدة نسميها x in والتانية un
+
+350
+00:37:25,040 --> 00:37:37,510
+contained in I بحيث أنهabsolute xn minus un أصغر
+
+351
+00:37:37,510 --> 00:37:46,390
+من واحد على n لكل n and absolute f of xn minus f
+
+352
+00:37:46,390 --> 00:37:56,420
+of unأكبر من أو ساوي epsilon zero لكل n في n كل
+
+353
+00:37:56,420 --> 00:38:01,300
+هذا ناخده من ال non uniform continuity criterion
+
+354
+00:38:01,300 --> 00:38:11,500
+الآن بدنا نصل لتناقض طيب
+
+355
+00:38:11,500 --> 00:38:15,980
+عشان نصل لتناقض since
+
+356
+00:38:18,370 --> 00:38:25,750
+I is bounded الفترة دي احنا فرضين انها bounded و
+
+357
+00:38:25,750 --> 00:38:32,550
+ال sequence x in contained in I then ال sequence x
+
+358
+00:38:32,550 --> 00:38:35,450
+in is bounded
+
+359
+00:38:41,210 --> 00:38:57,810
+هنا باستخدام حسب bolzano
+
+360
+00:38:57,810 --> 00:39:01,890
+weierstrass
+
+361
+00:39:01,890 --> 00:39:02,350
+firm
+
+362
+00:39:11,180 --> 00:39:23,360
+السيكوينس هناك سبسيكوينس سميها xnk of xn such that
+
+363
+00:39:23,360 --> 00:39:28,740
+السيكوينس had a convergence limit xnk as k tends
+
+364
+00:39:28,740 --> 00:39:33,840
+to infinity as
+
+365
+00:39:33,840 --> 00:39:40,030
+k tends to infinity بساوي z ينتمي إلى rبالنسبة لـ
+
+366
+00:39:40,030 --> 00:39:45,090
+some z and some r بلزانو فيروس عسكرية كل sequence
+
+367
+00:39:45,090 --> 00:39:48,570
+لها convergence subsequence سم السبسيكوينس هكذا
+
+368
+00:39:48,570 --> 00:39:50,330
+وسم ال limit تبعتها هكذا
+
+369
+00:39:54,530 --> 00:40:00,450
+الـ sub-sequence X in K contained in I التي هي
+
+370
+00:40:00,450 --> 00:40:05,450
+الفترة المغلقة من A إلى B فأحنا أخدنا نظرية تقول
+
+371
+00:40:05,450 --> 00:40:08,290
+أن لو كان هناك sequence حدودها محصورة بين A وB
+
+372
+00:40:08,290 --> 00:40:13,230
+ومتقاربة فنهايتها أيضًا محصورة بين A وB فهذا سيؤدي
+
+373
+00:40:13,230 --> 00:40:18,230
+إلى أن Z تنتمي إلى الفترة المغلقة من A إلى B التي
+
+374
+00:40:18,230 --> 00:40:18,890
+هي I
+
+375
+00:40:24,140 --> 00:40:28,340
+الذي يدفع الاتصال
+
+376
+00:40:28,340 --> 00:40:31,620
+الاتصال
+
+377
+00:40:31,620 --> 00:40:34,420
+الاتصال الاتصال الاتصال الاتصال الاتصال الاتصال
+
+378
+00:40:34,420 --> 00:40:44,240
+الاتصال الاتصال
+
+379
+00:40:51,890 --> 00:41:02,550
+موجودين في I موجودين في I موجودين
+
+380
+00:41:02,550 --> 00:41:12,990
+في I موجودين في Iالـ subsequence UN برضه لها
+
+381
+00:41:12,990 --> 00:41:16,970
+subsequence مشابهة وconvergent لنفس الـ Z هذا مش
+
+382
+00:41:16,970 --> 00:41:25,390
+واضح لثبته لثباته to see this to see this note
+
+383
+00:41:25,390 --> 00:41:28,250
+that
+
+384
+00:41:31,680 --> 00:41:37,040
+بنقدر اخل الفرق بين
+
+385
+00:41:37,040 --> 00:41:47,580
+unk و z أصغر من أي epsilon فهذا
+
+386
+00:41:47,580 --> 00:41:58,020
+أصغر من أو ساوي unk minus xnk زاد absolute xnk
+
+387
+00:41:58,020 --> 00:42:03,380
+minus zهو في الأصل أن أنا المفروض أكتب انا اشعر
+
+388
+00:42:03,380 --> 00:42:07,840
+بالإضطراحة x in k و رجعتها و استخدمت ال triangle
+
+389
+00:42:07,840 --> 00:42:18,420
+inequality طيب هذا صحيح لكل k ينتمي إلى n طيب أنا
+
+390
+00:42:18,420 --> 00:42:22,220
+عندي limit
+
+391
+00:42:22,220 --> 00:42:30,290
+x in minus u in بالساوية سفرلأن هذا صحيح لكل n ف
+
+392
+00:42:30,290 --> 00:42:36,130
+limit u in k minus x in k برضه بيساوي سفر فهذا
+
+393
+00:42:36,130 --> 00:42:43,750
+بيروح لسفر as k tends to infinity وعندي أنا برضه u
+
+394
+00:42:43,750 --> 00:42:50,290
+ال x in k جلنا تقول إلى z فبالتالي ال absolute
+
+395
+00:42:50,290 --> 00:42:56,630
+value هذه بتروح لسفر as k tends to infinityوهذا
+
+396
+00:42:56,630 --> 00:43:08,170
+أكبر من سفر، إذن by squeeze theorem ال sequence
+
+397
+00:43:08,170 --> 00:43:13,030
+هذه محصورة بين ال sequence هذه بالسفر ومجموعة two
+
+398
+00:43:13,030 --> 00:43:18,270
+sequences بيقولوا للسفرإذا من ال limit ل absolute
+
+399
+00:43:18,270 --> 00:43:25,570
+u in k minus z as k tends to infinity بساوي سفر و
+
+400
+00:43:25,570 --> 00:43:31,270
+منها بطلع ال limit u in k as k tends to infinity
+
+401
+00:43:31,270 --> 00:43:38,230
+بساوي z وبالتالي هذا بثبت ال claim تمام؟ إذا هنا
+
+402
+00:43:38,230 --> 00:43:43,830
+أثبتنا ال claim الآن بعد ما أثبتنا ال claim
+
+403
+00:43:57,160 --> 00:44:04,320
+طيب طيب now انا
+
+404
+00:44:04,320 --> 00:44:12,300
+اندي قولنا اثبتنا انه النقطة z تنتمي .. z تنتمي ل
+
+405
+00:44:12,300 --> 00:44:16,880
+I ال limit تبعت ال subsequence تنتمي ل I وال F
+
+406
+00:44:16,880 --> 00:44:17,460
+continuous
+
+407
+00:44:21,950 --> 00:44:25,850
+إن الهدف بقدم if is continuous لأن if continuous
+
+408
+00:44:25,850 --> 00:44:32,210
+على I وبالتالي continuous عند أي نقطة في ال I ولا
+
+409
+00:44:32,210 --> 00:44:36,990
+تكن ال Z hence
+
+410
+00:44:36,990 --> 00:44:40,730
+by
+
+411
+00:44:40,730 --> 00:44:46,510
+sequential criterion by sequential criterion for
+
+412
+00:44:46,510 --> 00:44:50,500
+continuous functionالـ function continuous عند
+
+413
+00:44:50,500 --> 00:44:54,640
+النقطة z وفي عندي sequence x in k converged ل z
+
+414
+00:44:54,640 --> 00:45:01,260
+اذا ال limit لصورة ال sequence او ال subsequence
+
+415
+00:45:01,260 --> 00:45:10,180
+لما كتره ل infinity بساوي f of z و كذلك ايضاAnd
+
+416
+00:45:10,180 --> 00:45:13,760
+برضه ال limit أنا عندي برضه ال sequence هذي
+
+417
+00:45:13,760 --> 00:45:20,220
+converge ل z فنهاية صورة ال subsequence u in k as
+
+418
+00:45:20,220 --> 00:45:27,260
+k tends to infinity برضه بيساوي f of z تمام
+
+419
+00:45:27,260 --> 00:45:31,520
+طيب
+
+420
+00:45:31,520 --> 00:45:35,000
+لكن
+
+421
+00:45:35,000 --> 00:45:43,090
+أنا عنديأنا عندي المتباينة الـ but أنا عندي
+
+422
+00:45:43,090 --> 00:45:47,170
+absolute f of x in
+
+423
+00:45:55,850 --> 00:46:01,570
+من الفرض هيها من الفرض ان ال function not
+
+424
+00:46:01,570 --> 00:46:07,070
+uniformly continuous انا عندي هذا اكبر من او يساوي
+
+425
+00:46:07,070 --> 00:46:10,050
+epsilon zero لكل n لكل حدود ال sequences
+
+426
+00:46:14,300 --> 00:46:20,060
+فهذا بيقدّي .. هذا بدوره بيقدّي انه epsilon zero
+
+427
+00:46:20,060 --> 00:46:27,180
+هي epsilon zero أصغر من أو ساوي absolute f of x in
+
+428
+00:46:27,180 --> 00:46:36,220
+k minus f of u in k تمام؟
+
+429
+00:46:37,840 --> 00:46:41,720
+هذا صحيح لـ sequence x in و لـ sequence u in إذا
+
+430
+00:46:41,720 --> 00:46:46,200
+صحيح للـ subsequence للـ subsequences إذا هذه جاية
+
+431
+00:46:46,200 --> 00:46:50,620
+من هنا طيب و by triangle inequality by triangle
+
+432
+00:46:50,620 --> 00:46:56,760
+inequality ممكن أخلي هذا أصغر لو ساوي f of x nk
+
+433
+00:46:56,760 --> 00:47:10,090
+minus f of z زاد absolute f of z-F of U in K انا
+
+434
+00:47:10,090 --> 00:47:14,610
+شو انا عاملة اتراحت من هنا F of Z و رجعتها اه و
+
+435
+00:47:14,610 --> 00:47:17,810
+استخدمت ال triangle equality فصار اندي اصلا مجموعة
+
+436
+00:47:17,810 --> 00:47:24,070
+two absolute values طيب
+
+437
+00:47:24,070 --> 00:47:30,660
+ما انا ممكن اخليأنا عندي limit ال sequence هذه
+
+438
+00:47:30,660 --> 00:47:36,800
+بساوي f of z فلأي given epsilon أكبر من الصفر ممكن
+
+439
+00:47:36,800 --> 00:47:42,300
+أخلي absolute الفرخ هذا أصغر من epsilon على 2 ونفس
+
+440
+00:47:42,300 --> 00:47:47,260
+الحاجة أنا عندي ال sequence f of u and k converged
+
+441
+00:47:47,260 --> 00:47:51,840
+ل f of z إذا ممكن أخلي ال absolute value للفرخ هذه
+
+442
+00:47:51,840 --> 00:47:59,540
+أصغر من epsilon على 2وبالتالي بيطلع المجموعة
+
+443
+00:47:59,540 --> 00:48:06,420
+epsilon هذا صحيح لكل K أكبر من أو ساوي كابتل K أو
+
+444
+00:48:06,420 --> 00:48:12,360
+كابتل N واضح تمام؟ يعني لا أي epsilon أكبر من صفر
+
+445
+00:48:12,360 --> 00:48:15,820
+أو لا عفو ان ال epsilon نفس ال epsilon zero هذه ال
+
+446
+00:48:15,820 --> 00:48:19,380
+epsilon هي نفس ال epsilon zeroهي عندي الـ Epsilon
+
+447
+00:48:19,380 --> 00:48:23,780
+Zero given لما ان ال sequence هي ال converge إذا
+
+448
+00:48:23,780 --> 00:48:28,400
+يوجد capital N واحد يعتمد على Epsilon Zero بحيث أن
+
+449
+00:48:28,400 --> 00:48:33,580
+أبسلوت الفرق هذا أصغر من أو ساوي Epsilon على اتنين
+
+450
+00:48:33,580 --> 00:48:37,140
+لكل K أكبر من أو ساوي capital K واحد او capital N
+
+451
+00:48:37,140 --> 00:48:42,560
+واحد ونفس الحاجة لنفس ال Epsilon Zero يوجد N اتنين
+
+452
+00:48:43,830 --> 00:48:47,730
+بحيث انه بما انه هذه ال sequence converge اذا
+
+453
+00:48:47,730 --> 00:48:52,310
+الفرخة ده بقدر اخليه لكل n اكبر من او لكل k اكبر
+
+454
+00:48:52,310 --> 00:48:56,630
+من او ساوي n اتنين اصغر من يبسلون اتنين الان خدي n
+
+455
+00:48:56,630 --> 00:49:05,410
+بساوي ال maximum ل n واحد و n اتنين فبقدر
+
+456
+00:49:05,410 --> 00:49:11,930
+اخلي هذا اصغر من يبسلون زيرو لكل k اكبر من او ساوي
+
+457
+00:49:11,930 --> 00:49:16,590
+nففي النهاية بيطلع عندى epsilon zero أقل من
+
+458
+00:49:16,590 --> 00:49:19,650
+epsilon أصغر من epsilon zero هذا مديني
+
+459
+00:49:19,650 --> 00:49:23,590
+contradiction لأن هذا التناقض بيقول لي أن ال
+
+460
+00:49:23,590 --> 00:49:28,150
+assumption تبعنا أن ال function not uniformly
+
+461
+00:49:28,150 --> 00:49:32,050
+continuous كان assumption خطأ لأن الصح أن ال F
+
+462
+00:49:32,050 --> 00:49:37,810
+تكون uniformly continuous okay تمام واضح؟Okay إذا
+
+463
+00:49:37,810 --> 00:49:44,230
+بنوقف ان شاء الله هنا عند نهاية البرهان هذا و
+
+464
+00:49:44,230 --> 00:49:51,690
+بيكون هيك احنا يعني خلصنا جزء مش بسيط في section
+
+465
+00:49:51,690 --> 00:49:56,730
+خمسة أربعة و نكتفي بهذا القدر و يعطيكم ألف عافية و
+
+466
+00:49:56,730 --> 00:49:58,590
+شكرا لحصن أصغائكم
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Kfhi1a_WpFk_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1616 @@
+1
+00:00:20,650 --> 00:00:26,490
+طبعا احنا زي ما اتفجنا معاكم هنعمل
+
+2
+00:00:26,490 --> 00:00:36,030
+مناقشة لل course و هنبدأ طبعا ب chapter اتنين اللي
+
+3
+00:00:36,030 --> 00:00:42,270
+هو اول chapter درسناه و هنبدأ ب section اتنين واحد
+
+4
+00:00:42,270 --> 00:00:46,270
+و اذا في وجب طبعا هنحاول نجاوب على أسئلة في
+
+5
+00:00:46,270 --> 00:00:47,190
+section اتنين اتنين
+
+6
+00:00:50,880 --> 00:00:55,480
+باطمن عليكم انه يعني طبعا الأسئلة عددها كبير و مش
+
+7
+00:00:55,480 --> 00:01:00,980
+هانلحج نحل كل المسائل لكن باطمن عليكم انكم تسألوا
+
+8
+00:01:00,980 --> 00:01:06,020
+الأسئلة اللي انتوا يعني وجدتوا فيها صعوبة في حالها
+
+9
+00:01:06,020 --> 00:01:10,000
+حتى
+
+10
+00:01:10,000 --> 00:01:17,240
+تكون يعني الفايدة تعمق أكتر فنبدأ ب section 2 1 هل
+
+11
+00:01:17,240 --> 00:01:23,860
+في أي سؤال في section 2 1حاولتوا تحلوه ماعرفتوش
+
+12
+00:01:23,860 --> 00:01:33,540
+تحلوه أو وجدته صعوبة في حاله ففي
+
+13
+00:01:33,540 --> 00:01:36,640
+أي سؤال من الأسئلة اللي احنا حددناها في ال
+
+14
+00:01:36,640 --> 00:01:42,080
+syllabus و قولنا لكم حلوها في أي سؤال في section 2
+
+15
+00:01:42,080 --> 00:01:49,810
+و 1 تحبوا تسألوا عنه؟ستاذ ممكن نسأل .. نشرح ..
+
+16
+00:01:49,810 --> 00:01:54,650
+نشرح .. نظرية ما .. ما نثبتش .. مش عارف كيف نثبت
+
+17
+00:01:54,650 --> 00:02:02,090
+ما هي عامة exercise اه إيش هي دي؟ X على Z زي Y على
+
+18
+00:02:02,090 --> 00:02:07,930
+W يوم ساوي X Z زي Z Y على Z W كيف نستخدم .. كيف
+
+19
+00:02:07,930 --> 00:02:09,430
+نبدأ فيها؟ مش عارف
+
+20
+00:02:17,430 --> 00:02:21,510
+يعني الخواص اللى .. مش هادى خاصيا من الخواص اللى
+
+21
+00:02:21,510 --> 00:02:27,210
+خدناها حاول تشوف يعني كيف احنا برهنا الخواص الأخرى
+
+22
+00:02:27,210 --> 00:02:37,050
+و تستفيدي منها و .. و تحاول تبرهنيها يعني ممكن
+
+23
+00:02:37,050 --> 00:02:41,310
+كمان تبص في الكتاب المقرر و تشوف يعني هل هو حلها
+
+24
+00:02:41,310 --> 00:02:47,940
+او محلاش لكن انا يعنيالخواص اللي احنا مابرهنهاش
+
+25
+00:02:47,940 --> 00:02:53,700
+يعني .. يعني كان برهانها سهل و ممكن تتبرهنيها بنفس
+
+26
+00:02:53,700 --> 00:03:00,280
+الأسلوب اللي احنا برهننا فيه الأزاية الأخرى فخليني
+
+27
+00:03:00,280 --> 00:03:03,900
+أترك الإجابة على السؤال هذا إليك تحاولي فيه مرة
+
+28
+00:03:03,900 --> 00:03:08,360
+تانية و إذا ماعرفتيش ممكن تجيلي على المكتب و ممكن
+
+29
+00:03:08,360 --> 00:03:09,280
+نتناقش
+
+30
+00:03:11,940 --> 00:03:16,180
+ياريت تسألوني أسئلة من التمرين من ال exercises إذا
+
+31
+00:03:16,180 --> 00:03:26,140
+سمحتوا، تفضلي السؤال الرابع في section السابع في
+
+32
+00:03:26,140 --> 00:03:30,360
+section اتنين واحد، حاضر
+
+33
+00:03:39,140 --> 00:03:50,140
+إذا حل السؤال سبعة section اتنين واحد modify
+
+34
+00:03:50,140 --> 00:03:53,360
+the proof of theorem اتنين واحد اربعة في الكتاب
+
+35
+00:03:53,360 --> 00:03:59,200
+المقرر to show that there
+
+36
+00:03:59,200 --> 00:04:05,640
+does not exist لا يوجد there does not exist
+
+37
+00:04:08,790 --> 00:04:19,170
+T ينتمي للـ Q بحيث أن T تربية بساوية تلاتة بمعنى
+
+38
+00:04:19,170 --> 00:04:23,770
+آخر يعني الجذر التلاتة بنا نثبت أنه جذر التلاتة
+
+39
+00:04:23,770 --> 00:04:28,730
+ليس عدد نسبي فالمفروض
+
+40
+00:04:28,730 --> 00:04:33,010
+أنكم يعني تفهموا و تحاولوا تفهموا البرهان تبع
+
+41
+00:04:33,010 --> 00:04:37,810
+اثبات أنه جذر اتنين ليس عدد نسبي وتحاولوا تعملوا
+
+42
+00:04:37,810 --> 00:04:45,910
+برهان مشابهفي أدة براهين للسؤال هذا فأحد البراهين
+
+43
+00:04:45,910 --> 00:04:52,590
+شبه البرهان اللي أخدنا بتابع جداد الأتنين ليس عدد
+
+44
+00:04:52,590 --> 00:04:59,330
+نسبي فخلينا نشوفه مع بعض خلينا نشوف إذن البرهان
+
+45
+00:04:59,330 --> 00:05:04,810
+prove طبعا البرهان بالتناقض assume
+
+46
+00:05:07,480 --> 00:05:18,180
+on contrary نفرض على النقيد there exist T بساوي A
+
+47
+00:05:18,180 --> 00:05:29,420
+على B عدد نسبي بحيث انه ال greatest common divisor
+
+48
+00:05:29,420 --> 00:05:34,760
+لل A والB بساوي واحد and
+
+49
+00:05:37,230 --> 00:05:43,970
+T تربيع اللي هو بساوي A على B لكل تربيع بساوي
+
+50
+00:05:43,970 --> 00:05:52,030
+تلاتة اذا هذا النقيض او النفي تبع يوجد عدد نسبي
+
+51
+00:05:52,030 --> 00:06:00,050
+مربعه بساوي تلاتة النفي تبعه يوجد عدد نسبي مربعه
+
+52
+00:06:00,050 --> 00:06:05,840
+بساوي تلاتة وطبعا ممكن نفرض انه العدد النسبيالـ
+
+53
+00:06:05,840 --> 00:06:10,160
+greatest common divisor للـ bus والمقام تبعه بساوي
+
+54
+00:06:10,160 --> 00:06:17,300
+واحد زي ما عملنا في حالة ال square root of two طيب
+
+55
+00:06:17,300 --> 00:06:22,740
+then في الحالة هذه لو ربع .. لو هنا من المعادلة
+
+56
+00:06:22,740 --> 00:06:32,820
+هذه بنحصل على a تربية بساوي تلاتة b تربية وهذا
+
+57
+00:06:32,820 --> 00:06:42,870
+بيقدّيإن ال B تقسم A تربية ال
+
+58
+00:06:42,870 --> 00:06:48,170
+B تقسم A تربية او A تربية اللي هي تلاتة B تربية
+
+59
+00:06:48,170 --> 00:06:54,810
+تقبل القسم على B بدون باطل طيب
+
+60
+00:06:54,810 --> 00:07:03,250
+ال و في الحالة هذه بقدر
+
+61
+00:07:04,790 --> 00:07:10,850
+أفصل حالتين العدد بي هذا ممكن .. هذا طبعا عدد ..
+
+62
+00:07:10,850 --> 00:07:20,430
+عدد صحيح ممكن يكون أكبر من الواحد و ممكن يكون
+
+63
+00:07:20,430 --> 00:07:28,990
+بساوي واحد فنفرض أن ال بي أكبر من واحد then في
+
+64
+00:07:28,990 --> 00:07:32,770
+الحالة هذه بي can be written
+
+65
+00:07:37,720 --> 00:07:45,000
+as product of
+
+66
+00:07:45,000 --> 00:07:49,640
+primes ال
+
+67
+00:07:49,640 --> 00:07:54,820
+بيه ده عدد صحيح أكبر من واحد فممكن نكتبه على صورة
+
+68
+00:07:55,540 --> 00:08:01,280
+حاصل ضرب أعداد أولية أي عدد صحيح أكبر من واحد ممكن
+
+69
+00:08:01,280 --> 00:08:06,180
+كتابته على صورة حاصل ضرب أعداد أولية product of
+
+70
+00:08:06,180 --> 00:08:12,100
+primes prime عدد أول هذا حقيقة معروفة في نظرية
+
+71
+00:08:12,100 --> 00:08:17,020
+الأعداد وبالتالي
+
+72
+00:08:17,020 --> 00:08:20,240
+hence وبالتالي
+
+73
+00:08:22,840 --> 00:08:33,180
+يوجد a prime يوجد عدد أولي a prime P بحيث أن هذا
+
+74
+00:08:33,180 --> 00:08:39,120
+ال P يقسم ال B يعني
+
+75
+00:08:39,120 --> 00:08:44,880
+أنا ال B هذا هي product of primes ممكن يكون بساوي
+
+76
+00:08:44,880 --> 00:08:50,840
+P1 ضرب P2 ضرب PN
+
+77
+00:08:52,290 --> 00:08:59,710
+حيث و P1 و P2 و PN كلهم Primes أعداد أولية فأكيد
+
+78
+00:08:59,710 --> 00:09:07,390
+لو أخدت أي واحد منهم فهذا بيقسم بي أو بيقبل قسم
+
+79
+00:09:07,390 --> 00:09:16,530
+عليه بس إذا يوجد يوجد Prime سمي P يقسم بي أو بيقبل
+
+80
+00:09:16,530 --> 00:09:20,710
+قسم عليه فهذا
+
+81
+00:09:20,710 --> 00:09:33,050
+بيؤديهذا بيقدي ان P يقسم ال A تربية لان انا عندي P
+
+82
+00:09:33,050 --> 00:09:40,570
+يقسم A تربية و P يقسم B اذا
+
+83
+00:09:40,570 --> 00:09:51,030
+ال P هذا يقسم A تربية okay تمام طيب و منهاهذا
+
+84
+00:09:51,030 --> 00:09:57,970
+بيدّي أن P يقسم A إذا P يقسم A تربية فممكن اثبات
+
+85
+00:09:57,970 --> 00:10:08,830
+أن P يقسم العدد الصحيح A وهكذا أثبتنا الـ
+
+86
+00:10:08,830 --> 00:10:20,170
+greatest common divisor لـ A وB أكبر من أو ساوي Pو
+
+87
+00:10:20,170 --> 00:10:27,090
+P هذا طبعا أكبر من واحد لأن
+
+88
+00:10:27,090 --> 00:10:39,430
+ال P يقسم ال A و P يقسم ال B فمعناته
+
+89
+00:10:39,430 --> 00:10:46,350
+في عامل مشترك في common divisor اللي هو Pبين a و b
+
+90
+00:10:46,350 --> 00:10:50,050
+لأن ال greatest common divisor سيكون على الأقل p
+
+91
+00:10:50,050 --> 00:10:53,770
+ويمكن أن يكون أكبر وبالتالي greatest common
+
+92
+00:10:53,770 --> 00:10:59,070
+divisor ل a و b أكبر من واحد وهذا بتناقض مع فرضنا
+
+93
+00:10:59,070 --> 00:11:02,650
+أن greatest common divisor ل a و b بساوي واحد
+
+94
+00:11:02,650 --> 00:11:07,850
+which is
+
+95
+00:11:07,850 --> 00:11:08,870
+a contradiction
+
+96
+00:11:15,680 --> 00:11:23,960
+وهذا التناقض بكمل البرهان يعني
+
+97
+00:11:23,960 --> 00:11:30,740
+فرضنا هذا أنه في عدد نسبي مربع بساوي تلاتة كان فرض
+
+98
+00:11:30,740 --> 00:11:36,780
+خطأ الصح أنه لا يوجد عدد نسبي مربع بساوي تلاتةOkay
+
+99
+00:11:36,780 --> 00:11:39,740
+تمام إذا هذا برهان وفيه طبعا براهين أخرى ممكن
+
+100
+00:11:39,740 --> 00:11:43,460
+تلاقوها تجدوها في كتب ال real analysis لكن هذا أحد
+
+101
+00:11:43,460 --> 00:11:52,580
+البراهين تمام؟ مين عنده سؤال تاني؟ في أي سؤال
+
+102
+00:11:52,580 --> 00:12:03,220
+تاني؟ في section 2.1 أو 2.2؟
+
+103
+00:12:03,220 --> 00:12:04,680
+نعم
+
+104
+00:12:06,770 --> 00:12:10,590
+لا نفس السؤال مش في اكتر من حالة ولا بس باخد ال D
+
+105
+00:12:10,590 --> 00:12:15,390
+أكتر من حالة؟ اه في كمان حالة صحيح ال case التانية
+
+106
+00:12:15,390 --> 00:12:23,290
+مظبوط ال case التانية خليني اكتبها هناك صحيح في
+
+107
+00:12:23,290 --> 00:12:24,030
+حالة تانية
+
+108
+00:12:42,990 --> 00:12:48,270
+كاس اتنين ال بي بالساوية واحد لو كانت ال بي
+
+109
+00:12:48,270 --> 00:12:55,330
+بالساوية واحد فهذا بيقدّي انا عندي ا تربية من هنا
+
+110
+00:12:55,330 --> 00:13:00,270
+في عندي ا تربية بالساوية تلاتة بي تربية فلو ال بي
+
+111
+00:13:00,270 --> 00:13:08,730
+بالساوية واحد معناه ا تربية تطلع بالساوية تلاتةو
+
+112
+00:13:08,730 --> 00:13:20,170
+هذا يعني مستحيل which is impossible هذا
+
+113
+00:13:20,170 --> 00:13:28,690
+مستحيل لأنه لأنه مافيش عدد صحيح عدد صحيح مربع
+
+114
+00:13:28,690 --> 00:13:34,130
+بساوي تلاتة since there does not exist integer
+
+115
+00:13:34,130 --> 00:13:36,950
+integer
+
+116
+00:13:38,790 --> 00:13:46,690
+a such that a تربية بساوي تلاتة اذا في الحالة هذه
+
+117
+00:13:46,690 --> 00:13:54,510
+حصلنا على حاجة impossible يعني تناقض وهنا
+
+118
+00:13:54,510 --> 00:14:01,510
+كمان حصلنا على تناقض ان ال assumption تبعنا انه
+
+119
+00:14:01,510 --> 00:14:06,550
+يوجد عدد نسبي مربع بساوي تلاتة كان فرض خاطئ وهذا
+
+120
+00:14:06,550 --> 00:14:08,090
+يكمل البرهان في الحالتين
+
+121
+00:14:10,890 --> 00:14:17,630
+في اي سؤال تانى؟ في
+
+122
+00:14:17,630 --> 00:14:25,890
+اسئلة تانية في ال section 2 1 او 2 2 انا
+
+123
+00:14:25,890 --> 00:14:30,190
+كنت متوقع ان يكون عندكم اسئلة كتيرة واضح جدا انكم
+
+124
+00:14:30,190 --> 00:14:35,150
+انتوا لا محاولين تحلوا الاسئلة وبالتالي ما عندكمش
+
+125
+00:14:35,150 --> 00:14:38,550
+يعني استفسارات
+
+126
+00:14:40,490 --> 00:14:42,690
+طبعا ست و عشرين
+
+127
+00:15:13,320 --> 00:15:20,080
+سؤال ستة وعشرين سكتشن اتنين واحد show
+
+128
+00:15:20,080 --> 00:15:28,560
+by induction that
+
+129
+00:15:28,560 --> 00:15:36,860
+لو
+
+130
+00:15:36,860 --> 00:15:46,900
+كان A ينتمي ل Rو M و N أعداد طبيعية فهذا بيقدي أن
+
+131
+00:15:46,900 --> 00:15:52,480
+A to M
+
+132
+00:15:52,480 --> 00:16:04,080
+plus N بيساوي A to M في A to N نريد
+
+133
+00:16:04,080 --> 00:16:10,300
+أن نثبت أن استخدام ال inductionإنه لأي عدد حقيقي A
+
+134
+00:16:10,300 --> 00:16:15,640
+و لأي عدد طبيعي M و N A to M زاد N بساوي A to M
+
+135
+00:16:15,640 --> 00:16:24,800
+ضرب A to N هذا أحد قوانين الأساس فطبعا
+
+136
+00:16:24,800 --> 00:16:29,420
+هنعمل induction أو بيسموه double induction على M و
+
+137
+00:16:29,420 --> 00:16:32,860
+N في نفس الواجت فالحالة الأولى
+
+138
+00:16:36,700 --> 00:16:40,780
+فم بيساوي ان بيساوي واحد لو كان الام والان كلها
+
+139
+00:16:40,780 --> 00:16:46,040
+بيساوي واحد then
+
+140
+00:16:46,040 --> 00:16:56,900
+a to m زي الان بيساوي a to واحد زي الواحد بيساوي a
+
+141
+00:16:56,900 --> 00:17:06,340
+ترمية andA to M ضرب A to N بيساوي A to 1 ضرب A to
+
+142
+00:17:06,340 --> 00:17:13,780
+1 بيساوي A تلبيه وبالتالي الطرفين المعادلة هذه
+
+143
+00:17:13,780 --> 00:17:21,200
+متحققة لأن الطرفين بيساوي نفس المقدار A تلبيه
+
+144
+00:17:21,200 --> 00:17:26,300
+اذا اذا
+
+145
+00:17:26,300 --> 00:17:27,680
+star holds
+
+146
+00:17:30,970 --> 00:17:39,310
+in case M بساوي M بساوي 1 المعادلة star متحققه في
+
+147
+00:17:39,310 --> 00:17:43,610
+حالة M بساوي M بساوي 1 الان ال induction
+
+148
+00:17:43,610 --> 00:17:48,370
+hypothesis ان هذا induction عادي بس يعني بدل من
+
+149
+00:17:48,370 --> 00:17:53,530
+قيان على M يكون على M و M ال induction hypothesis
+
+150
+00:17:53,530 --> 00:17:59,270
+الفرض تبع ال induction بنفرض assume
+
+151
+00:18:03,340 --> 00:18:09,860
+assume star holds المعادلة
+
+152
+00:18:09,860 --> 00:18:18,760
+star صحيحة for m بساوي k أكبر من واحد and n بساوي
+
+153
+00:18:18,760 --> 00:18:28,940
+j أكبر من واحد this
+
+154
+00:18:28,940 --> 00:18:42,170
+meansهذا معناه ان a to k plus j بساوي a to k ضرب a
+
+155
+00:18:42,170 --> 00:18:48,710
+to j اذا احنا فرضين صحة المعادلة هذه عندما m بساوي
+
+156
+00:18:48,710 --> 00:18:57,560
+k و عندما n بساوي jالان نريد اثبات صحتها عندما M
+
+157
+00:18:57,560 --> 00:19:01,440
+بيساوي K زايد واحد وعندما N بيساوي G زايد واحد
+
+158
+00:19:01,440 --> 00:19:08,840
+تعالى نثبت صحتها في الحالة يعني اذا now A ناخد A
+
+159
+00:19:08,840 --> 00:19:16,320
+to K زايد واحد زايد G زايد واحد
+
+160
+00:19:20,610 --> 00:19:25,150
+ان نتبع صحة المعادلة star عندما M بساوي K زايد
+
+161
+00:19:25,150 --> 00:19:29,370
+واحد و N بساوي G زايد واحد في الحالة هذه الطرف
+
+162
+00:19:29,370 --> 00:19:37,310
+اليسار لstar بساوي كلام هذا وهذا ممكن نجزئه إلى A
+
+163
+00:19:37,310 --> 00:19:49,290
+to K زايد G زايد واحد زايد واحدالأُس هذا ممكن نقعد
+
+164
+00:19:49,290 --> 00:19:53,450
+الكتابة على صورة ك زائد جي زائد واحد مع بعض زائد
+
+165
+00:19:53,450 --> 00:20:01,550
+واحد وهذا بيساوي a to ك زائد جي زائد واحد ضرب a
+
+166
+00:20:01,550 --> 00:20:06,090
+إذن
+
+167
+00:20:06,090 --> 00:20:13,630
+a أُس الكلام هذا ضرب a أُس واحد صح؟ وهذا بيساوي
+
+168
+00:20:15,990 --> 00:20:20,710
+A أُس K زائد J زائد واحد عبارة عن A أُس K زائد J
+
+169
+00:20:20,710 --> 00:20:30,370
+ضرب A إذن الجزء هذا A أُس K زائد J زائد واحد عبارة
+
+170
+00:20:30,370 --> 00:20:34,850
+عن A أُس K زائد J ضرب A وفي أندم الأول ضرب A
+
+171
+00:20:34,850 --> 00:20:39,410
+باستخدام
+
+172
+00:20:39,410 --> 00:20:44,690
+ال induction hypothesisالفرض طبع ال induction احنا
+
+173
+00:20:44,690 --> 00:20:52,950
+فرضين ان a to k زي j بساوي a to k ضرب a ضرب a to j
+
+174
+00:20:52,950 --> 00:21:03,390
+وفي عندي من الأول a في a اذا
+
+175
+00:21:03,390 --> 00:21:06,910
+هذا
+
+176
+00:21:06,910 --> 00:21:15,050
+بساوي a to kضرب a مع بعض ممكن أخدهم مع بعض ضرب a
+
+177
+00:21:15,050 --> 00:21:22,670
+to j في a مع بعض لأن هنا استخدمنا ال fact ان عملية
+
+178
+00:21:22,670 --> 00:21:30,430
+ضرب الأعداد الحقيقية associative الآن a to k ضرب a
+
+179
+00:21:30,430 --> 00:21:38,650
+بساوي a to k زائد واحد و a to j ضرب a بساوي a to j
+
+180
+00:21:38,650 --> 00:21:48,390
+زائد واحدوهذا هو المطلوب إذاً هذا بثبت إذاً
+
+181
+00:21:48,390 --> 00:21:54,090
+هنا أثبتنا صحة ال star هاي الطرف الشمال ل star
+
+182
+00:21:54,090 --> 00:22:00,110
+عندما M بساوي K زايد واحد و M بساوي K زايد واحد و
+
+183
+00:22:00,110 --> 00:22:04,010
+هذا هو الطرف اليمين ل star عندما M بساوي K زايد
+
+184
+00:22:04,010 --> 00:22:09,430
+واحد و M بساوي G زايد واحد إذاً star holds
+
+185
+00:22:12,700 --> 00:22:27,220
+ن بساوي كزايد واحد and ان بساوي جي زايد واحد this
+
+186
+00:22:27,220 --> 00:22:32,620
+completes the
+
+187
+00:22:32,620 --> 00:22:33,140
+induction
+
+188
+00:22:38,010 --> 00:22:43,590
+إن ان هذا بيكمل البرهان by induction تمام واضح؟ في
+
+189
+00:22:43,590 --> 00:22:51,510
+أي سؤال؟ مفهوم؟ في أسئلة تانية؟ أي أسئلة تانية؟
+
+190
+00:23:15,480 --> 00:23:20,400
+سؤال اربعتاش؟ بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب
+
+191
+00:23:20,400 --> 00:23:21,980
+example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس
+
+192
+00:23:21,980 --> 00:23:24,560
+نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها
+
+193
+00:23:24,560 --> 00:23:25,020
+بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا
+
+194
+00:23:25,020 --> 00:23:28,740
+اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example
+
+195
+00:23:28,740 --> 00:23:29,260
+لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب
+
+196
+00:23:29,260 --> 00:23:29,440
+example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس
+
+197
+00:23:29,440 --> 00:23:29,680
+نجي�� example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها
+
+198
+00:23:29,680 --> 00:23:29,900
+بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا
+
+199
+00:23:29,900 --> 00:23:33,360
+اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example
+
+200
+00:23:33,360 --> 00:23:37,520
+لنا
+
+201
+00:23:37,520 --> 00:23:37,620
+اسمها
+
+202
+00:23:42,390 --> 00:23:45,070
+جزء الأول ولا التاني؟ الأول
+
+203
+00:24:16,920 --> 00:24:25,800
+إذا الجزء الأول مسؤال أربعتاش F zero
+
+204
+00:24:25,800 --> 00:24:36,560
+less than or equal a less than b show أثبتي أنه a
+
+205
+00:24:36,560 --> 00:24:43,160
+تربية أصغر من أو ساوي a في b أصغر من b تربية
+
+206
+00:25:01,170 --> 00:25:07,290
+proof case واحد a بساوي واحد انتوا ان ال a أكبر من
+
+207
+00:25:07,290 --> 00:25:12,430
+أو ساوي سفر فناخد الأول a بساوي سفر و بعدين a أكبر
+
+208
+00:25:12,430 --> 00:25:21,050
+من سفر فلو كان a بساوي سفر هذا بيقدي انه
+
+209
+00:25:21,050 --> 00:25:32,740
+a تربية اللي هي بتساوي سفرأصغر من أوي ساوي A في B
+
+210
+00:25:32,740 --> 00:25:39,740
+اللي هو سفر و
+
+211
+00:25:39,740 --> 00:25:44,180
+طبعا ال B في الحالة هذه أكبر من A يعني أكبر من سفر
+
+212
+00:25:44,180 --> 00:25:47,760
+لأن هذا أصغر من B
+
+213
+00:25:56,410 --> 00:26:01,650
+و أصغر من B تربية لأن
+
+214
+00:26:01,650 --> 00:26:12,050
+هذا بيساوي سفر و B تربية و B أكبر من سفر B أكبر من
+
+215
+00:26:12,050 --> 00:26:17,190
+A اللي هو بيساوي سفر يعني B أكبر من سفر يعني B
+
+216
+00:26:17,190 --> 00:26:22,370
+تربية أكبر من سفر إذا المتبايلة متحققة
+
+217
+00:26:27,190 --> 00:26:38,030
+إذا المتباينة اللي احنا عايزين نثبتها نسميها
+
+218
+00:26:38,030 --> 00:26:48,770
+star إذا star holds in this case الحالة
+
+219
+00:26:48,770 --> 00:27:01,890
+التانية أن a أكبر من 7لو كانت a أكبر من صفر by
+
+220
+00:27:01,890 --> 00:27:08,270
+hypothesis من الفرض أنا عندي الآن a أكبر من صفر
+
+221
+00:27:08,270 --> 00:27:13,230
+أصغر من b فنضرب
+
+222
+00:27:13,230 --> 00:27:17,590
+multiply multiply
+
+223
+00:27:17,590 --> 00:27:18,970
+by
+
+224
+00:27:20,970 --> 00:27:28,150
+أو multiply by صحيح by a أكبر من سفر لما أضرب
+
+225
+00:27:28,150 --> 00:27:32,450
+متباينة في عدد موجة بشريفتها طابقة زي ما هي فهذا
+
+226
+00:27:32,450 --> 00:27:40,710
+بيقدّي فهذا بيقدّي أنه السفر في a بيطلع سفر أصغر
+
+227
+00:27:40,710 --> 00:27:47,550
+من a تربية أصغر من a في b وهذا اللي بدنا يعني
+
+228
+00:27:51,030 --> 00:28:02,650
+لأ هذا .. هاد حاجة كمان and then بعد هيك multiply
+
+229
+00:28:02,650 --> 00:28:08,890
+.. multiply by
+
+230
+00:28:08,890 --> 00:28:14,730
+B اللي هو أكبر من سفر أيضا لإن ال B أكبر من A أكبر
+
+231
+00:28:14,730 --> 00:28:20,340
+من سفر صح؟فلو ضربنا المتباينة هذه في بي اللي هو
+
+232
+00:28:20,340 --> 00:28:25,980
+عدد موجب برضه إشارتها هتبقى زي ما هي إذن هذا
+
+233
+00:28:25,980 --> 00:28:31,760
+بيقدّي لما أضرب المتباينة هذه في بي عدد موجب
+
+234
+00:28:31,760 --> 00:28:37,020
+فهيطلع عند سفر أصغر من a في بي أصغر من b تربية
+
+235
+00:28:37,020 --> 00:28:47,280
+نسمي هذه واحد والمتباينة هذه اتنين الأن واحدعندي
+
+236
+00:28:47,280 --> 00:28:51,760
+اتنين بيقدّوا يعني
+
+237
+00:28:51,760 --> 00:29:00,540
+عندي a تربية أكبر من سفر أصغر من a بيه وعندي a بيه
+
+238
+00:29:00,540 --> 00:29:05,120
+أصغر من b تربية وهذه هي ال star
+
+239
+00:29:16,200 --> 00:29:22,040
+إذا in both cases
+
+240
+00:29:22,040 --> 00:29:30,280
+في الحالة الأولى والتانية we have أثبتنا أن a
+
+241
+00:29:30,280 --> 00:29:34,680
+تربية أصغر
+
+242
+00:29:34,680 --> 00:29:40,760
+أو يساوي ab و
+
+243
+00:29:40,760 --> 00:29:47,120
+ab في الحالتين أصغر من b تربيةكمان مرة في الحالة
+
+244
+00:29:47,120 --> 00:29:53,080
+الأولى a تربية أصغر من أو يساوي a b في الحالة
+
+245
+00:29:53,080 --> 00:29:58,020
+التانية a تربية أصغر من a b إذا في الحالتين a
+
+246
+00:29:58,020 --> 00:30:02,420
+تربية أصغر من أو يساوي a b في الحالة الأولى a b
+
+247
+00:30:02,420 --> 00:30:05,680
+أصغر من b تربية وفي الحالة التانية a b أصغر من b
+
+248
+00:30:05,680 --> 00:30:10,300
+تربية إذا في الحالتين a b أصغر من b تربية و هذا
+
+249
+00:30:10,300 --> 00:30:13,820
+اللي أحنا عايزين نثبته تمام إذا هيك بتكون أثبتنا
+
+250
+00:30:13,820 --> 00:30:21,140
+جزءالأول من السؤال الجزء
+
+251
+00:30:21,140 --> 00:30:27,960
+التاني بيقول انه احنا مانقدرش المتباينة هذه star
+
+252
+00:30:27,960 --> 00:30:38,500
+نبدلها ال
+
+253
+00:30:38,500 --> 00:30:43,760
+star can't be replaced
+
+254
+00:30:46,040 --> 00:30:53,660
+replaced by a تربيع أصغر من a بي أصغر من بي تربيع
+
+255
+00:30:53,660 --> 00:31:01,140
+يعني هنا ال inequality هذه أصغر من أو ساوي مانقدرش
+
+256
+00:31:01,140 --> 00:31:08,260
+نبدلها بأصغر من strictly أصغر من فبنوضح ذلك بمثال
+
+257
+00:31:08,260 --> 00:31:15,280
+فاخدي a بساوي سفر و b أي عدد example
+
+258
+00:31:37,110 --> 00:31:39,170
+زي ما عملنا في الحلقة الأولى
+
+259
+00:31:43,550 --> 00:31:50,550
+فهيطلع عندى هذه مساوية و ليست .. و ليست اكبر من ..
+
+260
+00:31:50,550 --> 00:32:01,390
+اه؟ okay فى أسئلة تانية؟ مين عند السؤال التانى؟
+
+261
+00:32:01,390 --> 00:32:05,050
+section اتنين اتنين؟ فى اي أسئلة في section اتنين
+
+262
+00:32:05,050 --> 00:32:08,910
+اتنين؟ section اتنين واحد اتنين اتنين
+
+263
+00:32:12,890 --> 00:32:21,830
+في أسئلة كتيرة حلوة section
+
+264
+00:32:21,830 --> 00:32:37,450
+1122 فينا مجموعة كبيرة من الأسئلة الناس
+
+265
+00:32:37,450 --> 00:32:39,270
+بتدرس الناس بتحل مثال
+
+266
+00:32:42,490 --> 00:32:46,430
+حليتوا كل المسائل؟ مش عندكم أسئلة؟ ال section
+
+267
+00:32:46,430 --> 00:32:56,890
+اتنين واحد و اتنين اتنين؟
+
+268
+00:32:56,890 --> 00:33:03,850
+مان لديها سؤال؟ السؤال اتنين في section اتنين
+
+269
+00:33:03,850 --> 00:33:10,710
+اتنين حاضر اتنين اتنين اتنين نكتب النص تبع السؤال
+
+270
+00:33:14,400 --> 00:33:25,960
+if a و b are real numbers show ifpty أنه
+
+271
+00:33:25,960 --> 00:33:35,160
+absolute a زائد b بساوي absolute a زايد absolute b
+
+272
+00:33:35,160 --> 00:33:47,110
+if and only if a في b أكبر منأو يساوي سفر هيك
+
+273
+00:33:47,110 --> 00:33:59,610
+مكتوب طيب
+
+274
+00:33:59,610 --> 00:34:07,590
+البرهان ال proof راحظوا هذا if and only if
+
+275
+00:34:07,590 --> 00:34:11,730
+statement فخلينا
+
+276
+00:34:11,730 --> 00:34:21,730
+الأولنثبت ال claim الأول claim one للدعاء الأول أن
+
+277
+00:34:21,730 --> 00:34:28,350
+a ضرب b أكبر من أو ساوي سفر if and only if
+
+278
+00:34:28,350 --> 00:34:36,290
+absolute a ضرب b بساوي a في b
+
+279
+00:34:43,590 --> 00:34:47,970
+هل هذا واضح هذا
+
+280
+00:34:47,970 --> 00:35:01,250
+واضح من تعريف that this is clear by definition of
+
+281
+00:35:01,250 --> 00:35:09,370
+absolute value طيب
+
+282
+00:35:09,370 --> 00:35:10,490
+الكلام التاني
+
+283
+00:35:16,440 --> 00:35:24,700
+الكلام التاني absolute a plus absolute b الكل
+
+284
+00:35:24,700 --> 00:35:35,560
+تربية بساوي a زي b الكل تربية if
+
+285
+00:35:35,560 --> 00:35:43,500
+and only if absolute a ضرب b بساوي a في b
+
+286
+00:35:49,120 --> 00:35:56,920
+بروف للـ claim هذا هاي لو أخدت absolute a زاد
+
+287
+00:35:56,920 --> 00:36:04,520
+absolute b وربعت فهذا المفروض يساوي absolute a
+
+288
+00:36:04,520 --> 00:36:12,780
+الكتر بيها زاد absolute b الكتر بيها زاد اتنين
+
+289
+00:36:12,780 --> 00:36:19,600
+absolute a في absolute bو هذا بساوي absolute a
+
+290
+00:36:19,600 --> 00:36:26,080
+الكل
+
+291
+00:36:26,080 --> 00:36:33,480
+تربية زار
+
+292
+00:36:33,480 --> 00:36:44,050
+absolute b الكل تربية زاد 2 absolute a ضارب bلأن
+
+293
+00:36:44,050 --> 00:36:54,670
+absolute a ضرب absolute b بيطلع absolute a في b و
+
+294
+00:36:54,670 --> 00:36:59,210
+absolute absolute
+
+295
+00:36:59,210 --> 00:37:06,850
+a بساوي الجدر التربية a ل a تربية هذا
+
+296
+00:37:06,850 --> 00:37:18,950
+بكافئ أن a أو absoluteكل تربية بيساوي ا تربية لو
+
+297
+00:37:18,950 --> 00:37:25,030
+ربعت الطرفين فبطلع absolute a تربية بيساوي a تربية
+
+298
+00:37:25,030 --> 00:37:30,490
+وبالتالي ممكن استبدل absolute a تربية ممكن استبدل
+
+299
+00:37:30,490 --> 00:37:36,530
+absolute a تربية ب a تربية و
+
+300
+00:37:36,530 --> 00:37:41,450
+استبدل absolute b تربية ب b تربية
+
+301
+00:37:50,020 --> 00:37:57,000
+الان هذا بيساوي هذا بيساوي a تربية زائد b تربية
+
+302
+00:37:57,000 --> 00:38:06,460
+زائد اتنين a b if and only if if and only if
+
+303
+00:38:06,460 --> 00:38:10,940
+absolute a b بيساوي a في b
+
+304
+00:38:13,940 --> 00:38:17,600
+هذا المقدار اللي فوق متى بيساوي a تربية زايد بي
+
+305
+00:38:17,600 --> 00:38:22,500
+تربية زايد اتنين a ب a اذا absolute ب a في b هو
+
+306
+00:38:22,500 --> 00:38:33,140
+عبارة عن a في b صح؟ وهذا
+
+307
+00:38:33,140 --> 00:38:39,720
+الأخير بيساوي يعني
+
+308
+00:38:39,720 --> 00:38:50,460
+هذا السطر هذاهي تعالى نشوف بقدّه
+
+309
+00:38:50,460 --> 00:39:00,000
+ان absolute a زاد absolute b الكل تربية بساوي
+
+310
+00:39:03,190 --> 00:39:11,210
+A زائد B الكل ترمية if and only if absolute A B
+
+311
+00:39:11,210 --> 00:39:27,050
+بساوي A B absolute
+
+312
+00:39:27,050 --> 00:39:32,390
+A B بساوي A B ومن claim واحد
+
+313
+00:39:36,690 --> 00:39:43,890
+عمر ال claim واحد هذا بتحقق if and only if a ضربي
+
+314
+00:39:43,890 --> 00:39:49,610
+أكبر من أو ساوى 0 لأن هذا نتيجة أو بضم ال two
+
+315
+00:39:49,610 --> 00:39:54,070
+claims مع بعض طيب
+
+316
+00:39:54,070 --> 00:39:58,290
+لو أخلنا جدر التربية للطرفين فضي جدر التربية يعني
+
+317
+00:39:58,290 --> 00:40:02,290
+take square root
+
+318
+00:40:05,210 --> 00:40:14,850
+of both sides فهذا
+
+319
+00:40:14,850 --> 00:40:20,410
+بيقدّي أنه absolute a زائد absolute b الجدر
+
+320
+00:40:20,410 --> 00:40:23,030
+التربيعي هنا بعطيني ال absolute value ل a زائد
+
+321
+00:40:23,030 --> 00:40:28,570
+absolute b وهنا بعطيني الجدر التربيعي الجدر
+
+322
+00:40:28,570 --> 00:40:31,370
+التربيعي العدد التربيعي بعطيني القيمة المطلقة
+
+323
+00:40:31,370 --> 00:40:32,010
+تبعته
+
+324
+00:40:34,820 --> 00:40:41,180
+هذا بتحقق if and only if a ضرب b أكبر من أو ساوى 0
+
+325
+00:40:41,180 --> 00:40:48,200
+وهذا هو المطلوب وهذا هو المطلوب okay تمام فهذا هو
+
+326
+00:40:48,200 --> 00:40:53,140
+المطلوب في
+
+327
+00:40:53,140 --> 00:40:58,220
+أي أسئلة تانية في
+
+328
+00:40:58,220 --> 00:41:01,700
+عندكم أي سؤال تاني section 2 أو section 1
+
+329
+00:41:07,070 --> 00:41:12,510
+أن أسئلة كتيرة لو جيت بعدي و أنتوا مابتسألوش و مش
+
+330
+00:41:12,510 --> 00:41:17,650
+هيكون في راجعة بعد هيك لأ أساكاشنا دي المرة الجاية
+
+331
+00:41:17,650 --> 00:41:21,830
+هناخد مناقشة في section اتنين تلاتة و اتنين أربعة
+
+332
+00:41:21,830 --> 00:41:31,370
+في أي أسئلة أفندم في أي section اتنين اتنين
+
+333
+00:41:37,770 --> 00:41:38,370
+حاضر
+
+334
+00:42:02,930 --> 00:42:11,490
+السؤال خمستاش سيكشن اتنين نيلو نشوف ايه هو السؤال
+
+335
+00:42:11,490 --> 00:42:25,670
+show
+
+336
+00:42:25,670 --> 00:42:29,790
+if a و b are real numbers
+
+337
+00:42:32,160 --> 00:42:38,560
+و a لا يساوي b then
+
+338
+00:42:38,560 --> 00:42:49,100
+there exist epsilon neighborhoods u
+
+339
+00:42:49,100 --> 00:43:09,390
+of a and v of b such thatU تقاطع V بساوي five إذن
+
+340
+00:43:09,390 --> 00:43:24,630
+كمان مرة أنا
+
+341
+00:43:24,630 --> 00:43:25,090
+عندي
+
+342
+00:43:28,550 --> 00:43:35,990
+A وB أعداد حقيقية و A لا يساوي B هذا معناه أن
+
+343
+00:43:35,990 --> 00:43:43,970
+either A less than B ف
+
+344
+00:43:43,970 --> 00:43:52,310
+assume نأخد الحالة الأولى case one أن
+
+345
+00:43:52,310 --> 00:44:01,330
+A أصغر من B إذا هي خط الأعدادهذا خط الاعداد وهذه a
+
+346
+00:44:01,330 --> 00:44:12,670
+وهذه b و a أصغر من b بدي أثبت أنه في جوار ل a بعمق
+
+347
+00:44:12,670 --> 00:44:22,450
+epsilon اسمه u وفي جوار ل b بعمق epsilon والجوارين
+
+348
+00:44:22,450 --> 00:44:26,170
+هذول المبروهود سقطوهم بسوء في يعني منفصلين عن بعض
+
+349
+00:44:27,430 --> 00:44:35,570
+فبكل بساطة بجيس المسافة من a و b و باخد نص المسافة
+
+350
+00:44:35,570 --> 00:44:43,670
+يعني لأن هنا take epsilon
+
+351
+00:44:43,670 --> 00:44:48,770
+بساوي
+
+352
+00:44:48,770 --> 00:44:54,270
+نص المسافة نص ال b minus
+
+353
+00:44:57,480 --> 00:45:13,820
+أو نص او نص المسافة بين A وB فهي
+
+354
+00:45:13,820 --> 00:45:15,920
+نص المسافة لو كونت فترة
+
+355
+00:45:23,000 --> 00:45:28,520
+فهي منتصف المسافة هذه المسافة
+
+356
+00:45:28,520 --> 00:45:33,260
+هذه منتصف المسافة سمنها epsilon فهذه النقطة هتكون
+
+357
+00:45:33,260 --> 00:45:40,960
+a زاد epsilon وهي نفس المسافة a سالب epsilon وكون
+
+358
+00:45:40,960 --> 00:45:45,660
+فترة مفتوحة وسم
+
+359
+00:45:45,660 --> 00:45:48,960
+الفترة المفتوحة هذه new
+
+360
+00:46:02,460 --> 00:46:07,900
+فنسمي الفترة المفتوحة هذه U مركزها E و نصف قطرها E
+
+361
+00:46:07,900 --> 00:46:16,200
+و نكوّن فترة تانية برضه مركزها B و نصف قطرها E
+
+362
+00:46:16,200 --> 00:46:22,080
+يعني هذه النقطة هتصير B زاد E وهذه النقطة هتصير
+
+363
+00:46:25,910 --> 00:46:33,530
+بزائد ابسلون و النقطة هذه بسالب ابسلون و نكون فترة
+
+364
+00:46:33,530 --> 00:46:39,970
+مفتوحة تمام
+
+365
+00:46:39,970 --> 00:46:43,310
+اذا
+
+366
+00:46:43,310 --> 00:46:50,890
+انا في اندي و نسمي الفترة المفتوحة هذه نسميها
+
+367
+00:46:50,890 --> 00:46:51,030
+ب
+
+368
+00:46:57,180 --> 00:47:01,040
+أذن هذا عبارة عن الـ U الفترة المفتوحة اذا هنا led
+
+369
+00:47:01,040 --> 00:47:14,300
+take
+
+370
+00:47:14,300 --> 00:47:16,480
+u
+
+371
+00:47:18,050 --> 00:47:26,410
+by definition بتساوي a سالب إبسلون و a مجد إبسلون
+
+372
+00:47:26,410 --> 00:47:40,810
+و V بساوي B سالب إبسلون B plus إبسلون فواضح
+
+373
+00:47:40,810 --> 00:47:41,410
+nearly
+
+374
+00:47:46,910 --> 00:47:58,030
+Clearly U is an epsilon neighborhood of A and V is
+
+375
+00:47:58,030 --> 00:48:05,410
+an epsilon neighborhood of B ومش هيكوا بس and ممكن
+
+376
+00:48:05,410 --> 00:48:09,370
+اثبات ان U تقاطع B بساوي فاي
+
+377
+00:48:12,440 --> 00:48:21,120
+يعني لو أخدنا هاي واضح هاي جوار هذا مافيش ولا نقطة
+
+378
+00:48:21,120 --> 00:48:27,940
+فيه موجودة في الجوار التاني هذه الفترة المفتوحة
+
+379
+00:48:27,940 --> 00:48:35,540
+منفصلة عن الفترة المفتوحة يوم طبعا؟
+
+380
+00:48:39,190 --> 00:48:44,970
+إن هذا الكلام يعني واضح ان هذا عبارة عن epsilon
+
+381
+00:48:44,970 --> 00:48:50,150
+neighborhood ل a فترة مفتوحة مركزها a نصف قطرة
+
+382
+00:48:50,150 --> 00:48:53,590
+epsilon هذا نسميه epsilon neighborhood ل a و V
+
+383
+00:48:53,590 --> 00:48:57,510
+الفترة المفتوحة هذه بي سالب epsilon و V موجب
+
+384
+00:48:57,510 --> 00:49:04,310
+epsilon برضه عبارة عن epsilon neighborhood ل B و
+
+385
+00:49:04,310 --> 00:49:09,900
+اتنين حسب الرسم منفصلين و هذا ممكن اثباتهباستخدام
+
+386
+00:49:09,900 --> 00:49:14,380
+التناقض يعني افرض انه في عنصر يعني التقاطع هذا لا
+
+387
+00:49:14,380 --> 00:49:19,900
+يساوي فيه وبالتالي في عنصر موجود في U وموجود في V
+
+388
+00:49:19,900 --> 00:49:25,540
+في أن و واحد واصلي إليه تناقض okay هذا ممكن اثباته
+
+389
+00:49:25,540 --> 00:49:34,280
+بطريقة تحليلية طبعا في السؤال في الحل في حل السؤال
+
+390
+00:49:34,280 --> 00:49:41,370
+هذا يقول مافي عندنا حلتينالحالة الأولى a أصغر من b
+
+391
+00:49:41,370 --> 00:49:48,110
+والحالة الثانية b أصغر من a وشوفنا هنا أخدنا
+
+392
+00:49:48,110 --> 00:49:51,230
+الحالة اللي فيها a أصغر من b زي اللي هو النضال تحت
+
+393
+00:49:51,230 --> 00:49:57,090
+الاسم هاي a أصغر من b و أثبتنا في الحالة هذه أن u
+
+394
+00:49:57,090 --> 00:50:00,070
+جد epsilon never move u ل a
+
+395
+00:50:17,240 --> 00:50:24,820
+باقي الحالة التانية case 2 نثبت
+
+396
+00:50:24,820 --> 00:50:27,120
+برضه المطلوب
+
+397
+00:50:33,160 --> 00:50:38,320
+القرآن في الحلقة التانية مماثل للقرآن اللي عملناه
+
+398
+00:50:38,320 --> 00:50:38,880
+في الحلقة
+
+399
+00:50:50,040 --> 00:50:54,040
+و هذا طبعا يكمل الفرحة، إذا الحالة التانية اللي
+
+400
+00:50:54,040 --> 00:50:58,120
+فيها P أصفر من A، بس نضع P هنا و A هنا، و نفس
+
+401
+00:50:58,120 --> 00:51:05,440
+العادة، فتصير هذا الـP و هذا الـU، و يعطينا نفس
+
+402
+00:51:05,440 --> 00:51:13,020
+النتيجة، إت من كون كملنا المرهان اللي هو التمريد
+
+403
+00:51:14,530 --> 00:51:17,970
+وطبعا بعد ذلك ان شاء الله هنكمل حل ال تمارين لل
+
+404
+00:51:17,970 --> 00:51:20,870
+sport الخادم في نفس الموضوع
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Kfhi1a_WpFk_raw.srt

@@ -0,0 +1,1616 @@
+1
+00:00:20,650 --> 00:00:26,490
+طبعا احنا زي ما اتفجنا معاكم هنعمل
+
+2
+00:00:26,490 --> 00:00:36,030
+مناقشة لل course و هنبدأ طبعا ب chapter اتنين اللي
+
+3
+00:00:36,030 --> 00:00:42,270
+هو اول chapter درسناه و هنبدأ ب section اتنين واحد
+
+4
+00:00:42,270 --> 00:00:46,270
+و اذا في وجب طبعا هنحاول نجاوب على أسئلة في
+
+5
+00:00:46,270 --> 00:00:47,190
+section اتنين اتنين
+
+6
+00:00:50,880 --> 00:00:55,480
+باطمن عليكم انه يعني طبعا الأسئلة عددها كبير و مش
+
+7
+00:00:55,480 --> 00:01:00,980
+هانلحج نحل كل المسائل لكن باطمن عليكم انكم تسألوا
+
+8
+00:01:00,980 --> 00:01:06,020
+الأسئلة اللي انتوا يعني وجدتوا فيها صعوبة في حالها
+
+9
+00:01:06,020 --> 00:01:10,000
+حتى
+
+10
+00:01:10,000 --> 00:01:17,240
+تكون يعني الفايدة تعمق أكتر فنبدأ ب section 2 1 هل
+
+11
+00:01:17,240 --> 00:01:23,860
+في أي سؤال في section 2 1حاولتوا تحلوه ماعرفتوش
+
+12
+00:01:23,860 --> 00:01:33,540
+تحلوه أو وجدته صعوبة في حاله ففي
+
+13
+00:01:33,540 --> 00:01:36,640
+أي سؤال من الأسئلة اللي احنا حددناها في ال
+
+14
+00:01:36,640 --> 00:01:42,080
+syllabus و قولنا لكم حلوها في أي سؤال في section 2
+
+15
+00:01:42,080 --> 00:01:49,810
+و 1 تحبوا تسألوا عنه؟ستاذ ممكن نسأل .. نشرح ..
+
+16
+00:01:49,810 --> 00:01:54,650
+نشرح .. نظرية ما .. ما نثبتش .. مش عارف كيف نثبت
+
+17
+00:01:54,650 --> 00:02:02,090
+ما هي عامة exercise اه إيش هي دي؟ X على Z زي Y على
+
+18
+00:02:02,090 --> 00:02:07,930
+W يوم ساوي X Z زي Z Y على Z W كيف نستخدم .. كيف
+
+19
+00:02:07,930 --> 00:02:09,430
+نبدأ فيها؟ مش عارف
+
+20
+00:02:17,430 --> 00:02:21,510
+يعني الخواص اللى .. مش هادى خاصيا من الخواص اللى
+
+21
+00:02:21,510 --> 00:02:27,210
+خدناها حاول تشوف يعني كيف احنا برهنا الخواص الأخرى
+
+22
+00:02:27,210 --> 00:02:37,050
+و تستفيدي منها و .. و تحاول تبرهنيها يعني ممكن
+
+23
+00:02:37,050 --> 00:02:41,310
+كمان تبص في الكتاب المقرر و تشوف يعني هل هو حلها
+
+24
+00:02:41,310 --> 00:02:47,940
+او محلاش لكن انا يعنيالخواص اللي احنا مابرهنهاش
+
+25
+00:02:47,940 --> 00:02:53,700
+يعني .. يعني كان برهانها سهل و ممكن تتبرهنيها بنفس
+
+26
+00:02:53,700 --> 00:03:00,280
+الأسلوب اللي احنا برهننا فيه الأزاية الأخرى فخليني
+
+27
+00:03:00,280 --> 00:03:03,900
+أترك الإجابة على السؤال هذا إليك تحاولي فيه مرة
+
+28
+00:03:03,900 --> 00:03:08,360
+تانية و إذا ماعرفتيش ممكن تجيلي على المكتب و ممكن
+
+29
+00:03:08,360 --> 00:03:09,280
+نتناقش
+
+30
+00:03:11,940 --> 00:03:16,180
+ياريت تسألوني أسئلة من التمرين من ال exercises إذا
+
+31
+00:03:16,180 --> 00:03:26,140
+سمحتوا، تفضلي السؤال الرابع في section السابع في
+
+32
+00:03:26,140 --> 00:03:30,360
+section اتنين واحد، حاضر
+
+33
+00:03:39,140 --> 00:03:50,140
+إذا حل السؤال سبعة section اتنين واحد modify
+
+34
+00:03:50,140 --> 00:03:53,360
+the proof of theorem اتنين واحد اربعة في الكتاب
+
+35
+00:03:53,360 --> 00:03:59,200
+المقرر to show that there
+
+36
+00:03:59,200 --> 00:04:05,640
+does not exist لا يوجد there does not exist
+
+37
+00:04:08,790 --> 00:04:19,170
+T ينتمي للـ Q بحيث أن T تربية بساوية تلاتة بمعنى
+
+38
+00:04:19,170 --> 00:04:23,770
+آخر يعني الجذر التلاتة بنا نثبت أنه جذر التلاتة
+
+39
+00:04:23,770 --> 00:04:28,730
+ليس عدد نسبي فالمفروض
+
+40
+00:04:28,730 --> 00:04:33,010
+أنكم يعني تفهموا و تحاولوا تفهموا البرهان تبع
+
+41
+00:04:33,010 --> 00:04:37,810
+اثبات أنه جذر اتنين ليس عدد نسبي وتحاولوا تعملوا
+
+42
+00:04:37,810 --> 00:04:45,910
+برهان مشابهفي أدة براهين للسؤال هذا فأحد البراهين
+
+43
+00:04:45,910 --> 00:04:52,590
+شبه البرهان اللي أخدنا بتابع جداد الأتنين ليس عدد
+
+44
+00:04:52,590 --> 00:04:59,330
+نسبي فخلينا نشوفه مع بعض خلينا نشوف إذن البرهان
+
+45
+00:04:59,330 --> 00:05:04,810
+prove طبعا البرهان بالتناقض assume
+
+46
+00:05:07,480 --> 00:05:18,180
+on contrary نفرض على النقيد there exist T بساوي A
+
+47
+00:05:18,180 --> 00:05:29,420
+على B عدد نسبي بحيث انه ال greatest common divisor
+
+48
+00:05:29,420 --> 00:05:34,760
+لل A والB بساوي واحد and
+
+49
+00:05:37,230 --> 00:05:43,970
+T تربيع اللي هو بساوي A على B لكل تربيع بساوي
+
+50
+00:05:43,970 --> 00:05:52,030
+تلاتة اذا هذا النقيض او النفي تبع يوجد عدد نسبي
+
+51
+00:05:52,030 --> 00:06:00,050
+مربعه بساوي تلاتة النفي تبعه يوجد عدد نسبي مربعه
+
+52
+00:06:00,050 --> 00:06:05,840
+بساوي تلاتة وطبعا ممكن نفرض انه العدد النسبيالـ
+
+53
+00:06:05,840 --> 00:06:10,160
+greatest common divisor للـ bus والمقام تبعه بساوي
+
+54
+00:06:10,160 --> 00:06:17,300
+واحد زي ما عملنا في حالة ال square root of two طيب
+
+55
+00:06:17,300 --> 00:06:22,740
+then في الحالة هذه لو ربع .. لو هنا من المعادلة
+
+56
+00:06:22,740 --> 00:06:32,820
+هذه بنحصل على a تربية بساوي تلاتة b تربية وهذا
+
+57
+00:06:32,820 --> 00:06:42,870
+بيقدّيإن ال B تقسم A تربية ال
+
+58
+00:06:42,870 --> 00:06:48,170
+B تقسم A تربية او A تربية اللي هي تلاتة B تربية
+
+59
+00:06:48,170 --> 00:06:54,810
+تقبل القسم على B بدون باطل طيب
+
+60
+00:06:54,810 --> 00:07:03,250
+ال و في الحالة هذه بقدر
+
+61
+00:07:04,790 --> 00:07:10,850
+أفصل حالتين العدد بي هذا ممكن .. هذا طبعا عدد ..
+
+62
+00:07:10,850 --> 00:07:20,430
+عدد صحيح ممكن يكون أكبر من الواحد و ممكن يكون
+
+63
+00:07:20,430 --> 00:07:28,990
+بساوي واحد فنفرض أن ال بي أكبر من واحد then في
+
+64
+00:07:28,990 --> 00:07:32,770
+الحالة هذه بي can be written
+
+65
+00:07:37,720 --> 00:07:45,000
+as product of
+
+66
+00:07:45,000 --> 00:07:49,640
+primes ال
+
+67
+00:07:49,640 --> 00:07:54,820
+بيه ده عدد صحيح أكبر من واحد فممكن نكتبه على صورة
+
+68
+00:07:55,540 --> 00:08:01,280
+حاصل ضرب أعداد أولية أي عدد صحيح أكبر من واحد ممكن
+
+69
+00:08:01,280 --> 00:08:06,180
+كتابته على صورة حاصل ضرب أعداد أولية product of
+
+70
+00:08:06,180 --> 00:08:12,100
+primes prime عدد أول هذا حقيقة معروفة في نظرية
+
+71
+00:08:12,100 --> 00:08:17,020
+الأعداد وبالتالي
+
+72
+00:08:17,020 --> 00:08:20,240
+hence وبالتالي
+
+73
+00:08:22,840 --> 00:08:33,180
+يوجد a prime يوجد عدد أولي a prime P بحيث أن هذا
+
+74
+00:08:33,180 --> 00:08:39,120
+ال P يقسم ال B يعني
+
+75
+00:08:39,120 --> 00:08:44,880
+أنا ال B هذا هي product of primes ممكن يكون بساوي
+
+76
+00:08:44,880 --> 00:08:50,840
+P1 ضرب P2 ضرب PN
+
+77
+00:08:52,290 --> 00:08:59,710
+حيث و P1 و P2 و PN كلهم Primes أعداد أولية فأكيد
+
+78
+00:08:59,710 --> 00:09:07,390
+لو أخدت أي واحد منهم فهذا بيقسم بي أو بيقبل قسم
+
+79
+00:09:07,390 --> 00:09:16,530
+عليه بس إذا يوجد يوجد Prime سمي P يقسم بي أو بيقبل
+
+80
+00:09:16,530 --> 00:09:20,710
+قسم عليه فهذا
+
+81
+00:09:20,710 --> 00:09:33,050
+بيؤديهذا بيقدي ان P يقسم ال A تربية لان انا عندي P
+
+82
+00:09:33,050 --> 00:09:40,570
+يقسم A تربية و P يقسم B اذا
+
+83
+00:09:40,570 --> 00:09:51,030
+ال P هذا يقسم A تربية okay تمام طيب و منهاهذا
+
+84
+00:09:51,030 --> 00:09:57,970
+بيدّي أن P يقسم A إذا P يقسم A تربية فممكن اثبات
+
+85
+00:09:57,970 --> 00:10:08,830
+أن P يقسم العدد الصحيح A وهكذا أثبتنا الـ
+
+86
+00:10:08,830 --> 00:10:20,170
+greatest common divisor لـ A وB أكبر من أو ساوي Pو
+
+87
+00:10:20,170 --> 00:10:27,090
+P هذا طبعا أكبر من واحد لأن
+
+88
+00:10:27,090 --> 00:10:39,430
+ال P يقسم ال A و P يقسم ال B فمعناته
+
+89
+00:10:39,430 --> 00:10:46,350
+في عامل مشترك في common divisor اللي هو Pبين a و b
+
+90
+00:10:46,350 --> 00:10:50,050
+لأن ال greatest common divisor سيكون على الأقل p
+
+91
+00:10:50,050 --> 00:10:53,770
+ويمكن أن يكون أكبر وبالتالي greatest common
+
+92
+00:10:53,770 --> 00:10:59,070
+divisor ل a و b أكبر من واحد وهذا بتناقض مع فرضنا
+
+93
+00:10:59,070 --> 00:11:02,650
+أن greatest common divisor ل a و b بساوي واحد
+
+94
+00:11:02,650 --> 00:11:07,850
+which is
+
+95
+00:11:07,850 --> 00:11:08,870
+a contradiction
+
+96
+00:11:15,680 --> 00:11:23,960
+وهذا التناقض بكمل البرهان يعني
+
+97
+00:11:23,960 --> 00:11:30,740
+فرضنا هذا أنه في عدد نسبي مربع بساوي تلاتة كان فرض
+
+98
+00:11:30,740 --> 00:11:36,780
+خطأ الصح أنه لا يوجد عدد نسبي مربع بساوي تلاتةOkay
+
+99
+00:11:36,780 --> 00:11:39,740
+تمام إذا هذا برهان وفيه طبعا براهين أخرى ممكن
+
+100
+00:11:39,740 --> 00:11:43,460
+تلاقوها تجدوها في كتب ال real analysis لكن هذا أحد
+
+101
+00:11:43,460 --> 00:11:52,580
+البراهين تمام؟ مين عنده سؤال تاني؟ في أي سؤال
+
+102
+00:11:52,580 --> 00:12:03,220
+تاني؟ في section 2.1 أو 2.2؟
+
+103
+00:12:03,220 --> 00:12:04,680
+نعم
+
+104
+00:12:06,770 --> 00:12:10,590
+لا نفس السؤال مش في اكتر من حالة ولا بس باخد ال D
+
+105
+00:12:10,590 --> 00:12:15,390
+أكتر من حالة؟ اه في كمان حالة صحيح ال case التانية
+
+106
+00:12:15,390 --> 00:12:23,290
+مظبوط ال case التانية خليني اكتبها هناك صحيح في
+
+107
+00:12:23,290 --> 00:12:24,030
+حالة تانية
+
+108
+00:12:42,990 --> 00:12:48,270
+كاس اتنين ال بي بالساوية واحد لو كانت ال بي
+
+109
+00:12:48,270 --> 00:12:55,330
+بالساوية واحد فهذا بيقدّي انا عندي ا تربية من هنا
+
+110
+00:12:55,330 --> 00:13:00,270
+في عندي ا تربية بالساوية تلاتة بي تربية فلو ال بي
+
+111
+00:13:00,270 --> 00:13:08,730
+بالساوية واحد معناه ا تربية تطلع بالساوية تلاتةو
+
+112
+00:13:08,730 --> 00:13:20,170
+هذا يعني مستحيل which is impossible هذا
+
+113
+00:13:20,170 --> 00:13:28,690
+مستحيل لأنه لأنه مافيش عدد صحيح عدد صحيح مربع
+
+114
+00:13:28,690 --> 00:13:34,130
+بساوي تلاتة since there does not exist integer
+
+115
+00:13:34,130 --> 00:13:36,950
+integer
+
+116
+00:13:38,790 --> 00:13:46,690
+a such that a تربية بساوي تلاتة اذا في الحالة هذه
+
+117
+00:13:46,690 --> 00:13:54,510
+حصلنا على حاجة impossible يعني تناقض وهنا
+
+118
+00:13:54,510 --> 00:14:01,510
+كمان حصلنا على تناقض ان ال assumption تبعنا انه
+
+119
+00:14:01,510 --> 00:14:06,550
+يوجد عدد نسبي مربع بساوي تلاتة كان فرض خاطئ وهذا
+
+120
+00:14:06,550 --> 00:14:08,090
+يكمل البرهان في الحالتين
+
+121
+00:14:10,890 --> 00:14:17,630
+في اي سؤال تانى؟ في
+
+122
+00:14:17,630 --> 00:14:25,890
+اسئلة تانية في ال section 2 1 او 2 2 انا
+
+123
+00:14:25,890 --> 00:14:30,190
+كنت متوقع ان يكون عندكم اسئلة كتيرة واضح جدا انكم
+
+124
+00:14:30,190 --> 00:14:35,150
+انتوا لا محاولين تحلوا الاسئلة وبالتالي ما عندكمش
+
+125
+00:14:35,150 --> 00:14:38,550
+يعني استفسارات
+
+126
+00:14:40,490 --> 00:14:42,690
+طبعا ست و عشرين
+
+127
+00:15:13,320 --> 00:15:20,080
+سؤال ستة وعشرين سكتشن اتنين واحد show
+
+128
+00:15:20,080 --> 00:15:28,560
+by induction that
+
+129
+00:15:28,560 --> 00:15:36,860
+لو
+
+130
+00:15:36,860 --> 00:15:46,900
+كان A ينتمي ل Rو M و N أعداد طبيعية فهذا بيقدي أن
+
+131
+00:15:46,900 --> 00:15:52,480
+A to M
+
+132
+00:15:52,480 --> 00:16:04,080
+plus N بيساوي A to M في A to N نريد
+
+133
+00:16:04,080 --> 00:16:10,300
+أن نثبت أن استخدام ال inductionإنه لأي عدد حقيقي A
+
+134
+00:16:10,300 --> 00:16:15,640
+و لأي عدد طبيعي M و N A to M زاد N بساوي A to M
+
+135
+00:16:15,640 --> 00:16:24,800
+ضرب A to N هذا أحد قوانين الأساس فطبعا
+
+136
+00:16:24,800 --> 00:16:29,420
+هنعمل induction أو بيسموه double induction على M و
+
+137
+00:16:29,420 --> 00:16:32,860
+N في نفس الواجت فالحالة الأولى
+
+138
+00:16:36,700 --> 00:16:40,780
+فم بيساوي ان بيساوي واحد لو كان الام والان كلها
+
+139
+00:16:40,780 --> 00:16:46,040
+بيساوي واحد then
+
+140
+00:16:46,040 --> 00:16:56,900
+a to m زي الان بيساوي a to واحد زي الواحد بيساوي a
+
+141
+00:16:56,900 --> 00:17:06,340
+ترمية andA to M ضرب A to N بيساوي A to 1 ضرب A to
+
+142
+00:17:06,340 --> 00:17:13,780
+1 بيساوي A تلبيه وبالتالي الطرفين المعادلة هذه
+
+143
+00:17:13,780 --> 00:17:21,200
+متحققة لأن الطرفين بيساوي نفس المقدار A تلبيه
+
+144
+00:17:21,200 --> 00:17:26,300
+اذا اذا
+
+145
+00:17:26,300 --> 00:17:27,680
+star holds
+
+146
+00:17:30,970 --> 00:17:39,310
+in case M بساوي M بساوي 1 المعادلة star متحققه في
+
+147
+00:17:39,310 --> 00:17:43,610
+حالة M بساوي M بساوي 1 الان ال induction
+
+148
+00:17:43,610 --> 00:17:48,370
+hypothesis ان هذا induction عادي بس يعني بدل من
+
+149
+00:17:48,370 --> 00:17:53,530
+قيان على M يكون على M و M ال induction hypothesis
+
+150
+00:17:53,530 --> 00:17:59,270
+الفرض تبع ال induction بنفرض assume
+
+151
+00:18:03,340 --> 00:18:09,860
+assume star holds المعادلة
+
+152
+00:18:09,860 --> 00:18:18,760
+star صحيحة for m بساوي k أكبر من واحد and n بساوي
+
+153
+00:18:18,760 --> 00:18:28,940
+j أكبر من واحد this
+
+154
+00:18:28,940 --> 00:18:42,170
+meansهذا معناه ان a to k plus j بساوي a to k ضرب a
+
+155
+00:18:42,170 --> 00:18:48,710
+to j اذا احنا فرضين صحة المعادلة هذه عندما m بساوي
+
+156
+00:18:48,710 --> 00:18:57,560
+k و عندما n بساوي jالان نريد اثبات صحتها عندما M
+
+157
+00:18:57,560 --> 00:19:01,440
+بيساوي K زايد واحد وعندما N بيساوي G زايد واحد
+
+158
+00:19:01,440 --> 00:19:08,840
+تعالى نثبت صحتها في الحالة يعني اذا now A ناخد A
+
+159
+00:19:08,840 --> 00:19:16,320
+to K زايد واحد زايد G زايد واحد
+
+160
+00:19:20,610 --> 00:19:25,150
+ان نتبع صحة المعادلة star عندما M بساوي K زايد
+
+161
+00:19:25,150 --> 00:19:29,370
+واحد و N بساوي G زايد واحد في الحالة هذه الطرف
+
+162
+00:19:29,370 --> 00:19:37,310
+اليسار لstar بساوي كلام هذا وهذا ممكن نجزئه إلى A
+
+163
+00:19:37,310 --> 00:19:49,290
+to K زايد G زايد واحد زايد واحدالأُس هذا ممكن نقعد
+
+164
+00:19:49,290 --> 00:19:53,450
+الكتابة على صورة ك زائد جي زائد واحد مع بعض زائد
+
+165
+00:19:53,450 --> 00:20:01,550
+واحد وهذا بيساوي a to ك زائد جي زائد واحد ضرب a
+
+166
+00:20:01,550 --> 00:20:06,090
+إذن
+
+167
+00:20:06,090 --> 00:20:13,630
+a أُس الكلام هذا ضرب a أُس واحد صح؟ وهذا بيساوي
+
+168
+00:20:15,990 --> 00:20:20,710
+A أُس K زائد J زائد واحد عبارة عن A أُس K زائد J
+
+169
+00:20:20,710 --> 00:20:30,370
+ضرب A إذن الجزء هذا A أُس K زائد J زائد واحد عبارة
+
+170
+00:20:30,370 --> 00:20:34,850
+عن A أُس K زائد J ضرب A وفي أندم الأول ضرب A
+
+171
+00:20:34,850 --> 00:20:39,410
+باستخدام
+
+172
+00:20:39,410 --> 00:20:44,690
+ال induction hypothesisالفرض طبع ال induction احنا
+
+173
+00:20:44,690 --> 00:20:52,950
+فرضين ان a to k زي j بساوي a to k ضرب a ضرب a to j
+
+174
+00:20:52,950 --> 00:21:03,390
+وفي عندي من الأول a في a اذا
+
+175
+00:21:03,390 --> 00:21:06,910
+هذا
+
+176
+00:21:06,910 --> 00:21:15,050
+بساوي a to kضرب a مع بعض ممكن أخدهم مع بعض ضرب a
+
+177
+00:21:15,050 --> 00:21:22,670
+to j في a مع بعض لأن هنا استخدمنا ال fact ان عملية
+
+178
+00:21:22,670 --> 00:21:30,430
+ضرب الأعداد الحقيقية associative الآن a to k ضرب a
+
+179
+00:21:30,430 --> 00:21:38,650
+بساوي a to k زائد واحد و a to j ضرب a بساوي a to j
+
+180
+00:21:38,650 --> 00:21:48,390
+زائد واحدوهذا هو المطلوب إذاً هذا بثبت إذاً
+
+181
+00:21:48,390 --> 00:21:54,090
+هنا أثبتنا صحة ال star هاي الطرف الشمال ل star
+
+182
+00:21:54,090 --> 00:22:00,110
+عندما M بساوي K زايد واحد و M بساوي K زايد واحد و
+
+183
+00:22:00,110 --> 00:22:04,010
+هذا هو الطرف اليمين ل star عندما M بساوي K زايد
+
+184
+00:22:04,010 --> 00:22:09,430
+واحد و M بساوي G زايد واحد إذاً star holds
+
+185
+00:22:12,700 --> 00:22:27,220
+ن بساوي كزايد واحد and ان بساوي جي زايد واحد this
+
+186
+00:22:27,220 --> 00:22:32,620
+completes the
+
+187
+00:22:32,620 --> 00:22:33,140
+induction
+
+188
+00:22:38,010 --> 00:22:43,590
+إن ان هذا بيكمل البرهان by induction تمام واضح؟ في
+
+189
+00:22:43,590 --> 00:22:51,510
+أي سؤال؟ مفهوم؟ في أسئلة تانية؟ أي أسئلة تانية؟
+
+190
+00:23:15,480 --> 00:23:20,400
+سؤال اربعتاش؟ بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب
+
+191
+00:23:20,400 --> 00:23:21,980
+example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس
+
+192
+00:23:21,980 --> 00:23:24,560
+نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها
+
+193
+00:23:24,560 --> 00:23:25,020
+بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا
+
+194
+00:23:25,020 --> 00:23:28,740
+اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example
+
+195
+00:23:28,740 --> 00:23:29,260
+لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب
+
+196
+00:23:29,260 --> 00:23:29,440
+example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس
+
+197
+00:23:29,440 --> 00:23:29,680
+نجي�� example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها
+
+198
+00:23:29,680 --> 00:23:29,900
+بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا
+
+199
+00:23:29,900 --> 00:23:33,360
+اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example
+
+200
+00:23:33,360 --> 00:23:37,520
+لنا
+
+201
+00:23:37,520 --> 00:23:37,620
+اسمها
+
+202
+00:23:42,390 --> 00:23:45,070
+جزء الأول ولا التاني؟ الأول
+
+203
+00:24:16,920 --> 00:24:25,800
+إذا الجزء الأول مسؤال أربعتاش F zero
+
+204
+00:24:25,800 --> 00:24:36,560
+less than or equal a less than b show أثبتي أنه a
+
+205
+00:24:36,560 --> 00:24:43,160
+تربية أصغر من أو ساوي a في b أصغر من b تربية
+
+206
+00:25:01,170 --> 00:25:07,290
+proof case واحد a بساوي واحد انتوا ان ال a أكبر من
+
+207
+00:25:07,290 --> 00:25:12,430
+أو ساوي سفر فناخد الأول a بساوي سفر و بعدين a أكبر
+
+208
+00:25:12,430 --> 00:25:21,050
+من سفر فلو كان a بساوي سفر هذا بيقدي انه
+
+209
+00:25:21,050 --> 00:25:32,740
+a تربية اللي هي بتساوي سفرأصغر من أوي ساوي A في B
+
+210
+00:25:32,740 --> 00:25:39,740
+اللي هو سفر و
+
+211
+00:25:39,740 --> 00:25:44,180
+طبعا ال B في الحالة هذه أكبر من A يعني أكبر من سفر
+
+212
+00:25:44,180 --> 00:25:47,760
+لأن هذا أصغر من B
+
+213
+00:25:56,410 --> 00:26:01,650
+و أصغر من B تربية لأن
+
+214
+00:26:01,650 --> 00:26:12,050
+هذا بيساوي سفر و B تربية و B أكبر من سفر B أكبر من
+
+215
+00:26:12,050 --> 00:26:17,190
+A اللي هو بيساوي سفر يعني B أكبر من سفر يعني B
+
+216
+00:26:17,190 --> 00:26:22,370
+تربية أكبر من سفر إذا المتبايلة متحققة
+
+217
+00:26:27,190 --> 00:26:38,030
+إذا المتباينة اللي احنا عايزين نثبتها نسميها
+
+218
+00:26:38,030 --> 00:26:48,770
+star إذا star holds in this case الحالة
+
+219
+00:26:48,770 --> 00:27:01,890
+التانية أن a أكبر من 7لو كانت a أكبر من صفر by
+
+220
+00:27:01,890 --> 00:27:08,270
+hypothesis من الفرض أنا عندي الآن a أكبر من صفر
+
+221
+00:27:08,270 --> 00:27:13,230
+أصغر من b فنضرب
+
+222
+00:27:13,230 --> 00:27:17,590
+multiply multiply
+
+223
+00:27:17,590 --> 00:27:18,970
+by
+
+224
+00:27:20,970 --> 00:27:28,150
+أو multiply by صحيح by a أكبر من سفر لما أضرب
+
+225
+00:27:28,150 --> 00:27:32,450
+متباينة في عدد موجة بشريفتها طابقة زي ما هي فهذا
+
+226
+00:27:32,450 --> 00:27:40,710
+بيقدّي فهذا بيقدّي أنه السفر في a بيطلع سفر أصغر
+
+227
+00:27:40,710 --> 00:27:47,550
+من a تربية أصغر من a في b وهذا اللي بدنا يعني
+
+228
+00:27:51,030 --> 00:28:02,650
+لأ هذا .. هاد حاجة كمان and then بعد هيك multiply
+
+229
+00:28:02,650 --> 00:28:08,890
+.. multiply by
+
+230
+00:28:08,890 --> 00:28:14,730
+B اللي هو أكبر من سفر أيضا لإن ال B أكبر من A أكبر
+
+231
+00:28:14,730 --> 00:28:20,340
+من سفر صح؟فلو ضربنا المتباينة هذه في بي اللي هو
+
+232
+00:28:20,340 --> 00:28:25,980
+عدد موجب برضه إشارتها هتبقى زي ما هي إذن هذا
+
+233
+00:28:25,980 --> 00:28:31,760
+بيقدّي لما أضرب المتباينة هذه في بي عدد موجب
+
+234
+00:28:31,760 --> 00:28:37,020
+فهيطلع عند سفر أصغر من a في بي أصغر من b تربية
+
+235
+00:28:37,020 --> 00:28:47,280
+نسمي هذه واحد والمتباينة هذه اتنين الأن واحدعندي
+
+236
+00:28:47,280 --> 00:28:51,760
+اتنين بيقدّوا يعني
+
+237
+00:28:51,760 --> 00:29:00,540
+عندي a تربية أكبر من سفر أصغر من a بيه وعندي a بيه
+
+238
+00:29:00,540 --> 00:29:05,120
+أصغر من b تربية وهذه هي ال star
+
+239
+00:29:16,200 --> 00:29:22,040
+إذا in both cases
+
+240
+00:29:22,040 --> 00:29:30,280
+في الحالة الأولى والتانية we have أثبتنا أن a
+
+241
+00:29:30,280 --> 00:29:34,680
+تربية أصغر
+
+242
+00:29:34,680 --> 00:29:40,760
+أو يساوي ab و
+
+243
+00:29:40,760 --> 00:29:47,120
+ab في الحالتين أصغر من b تربيةكمان مرة في الحالة
+
+244
+00:29:47,120 --> 00:29:53,080
+الأولى a تربية أصغر من أو يساوي a b في الحالة
+
+245
+00:29:53,080 --> 00:29:58,020
+التانية a تربية أصغر من a b إذا في الحالتين a
+
+246
+00:29:58,020 --> 00:30:02,420
+تربية أصغر من أو يساوي a b في الحالة الأولى a b
+
+247
+00:30:02,420 --> 00:30:05,680
+أصغر من b تربية وفي الحالة التانية a b أصغر من b
+
+248
+00:30:05,680 --> 00:30:10,300
+تربية إذا في الحالتين a b أصغر من b تربية و هذا
+
+249
+00:30:10,300 --> 00:30:13,820
+اللي أحنا عايزين نثبته تمام إذا هيك بتكون أثبتنا
+
+250
+00:30:13,820 --> 00:30:21,140
+جزءالأول من السؤال الجزء
+
+251
+00:30:21,140 --> 00:30:27,960
+التاني بيقول انه احنا مانقدرش المتباينة هذه star
+
+252
+00:30:27,960 --> 00:30:38,500
+نبدلها ال
+
+253
+00:30:38,500 --> 00:30:43,760
+star can't be replaced
+
+254
+00:30:46,040 --> 00:30:53,660
+replaced by a تربيع أصغر من a بي أصغر من بي تربيع
+
+255
+00:30:53,660 --> 00:31:01,140
+يعني هنا ال inequality هذه أصغر من أو ساوي مانقدرش
+
+256
+00:31:01,140 --> 00:31:08,260
+نبدلها بأصغر من strictly أصغر من فبنوضح ذلك بمثال
+
+257
+00:31:08,260 --> 00:31:15,280
+فاخدي a بساوي سفر و b أي عدد example
+
+258
+00:31:37,110 --> 00:31:39,170
+زي ما عملنا في الحلقة الأولى
+
+259
+00:31:43,550 --> 00:31:50,550
+فهيطلع عندى هذه مساوية و ليست .. و ليست اكبر من ..
+
+260
+00:31:50,550 --> 00:32:01,390
+اه؟ okay فى أسئلة تانية؟ مين عند السؤال التانى؟
+
+261
+00:32:01,390 --> 00:32:05,050
+section اتنين اتنين؟ فى اي أسئلة في section اتنين
+
+262
+00:32:05,050 --> 00:32:08,910
+اتنين؟ section اتنين واحد اتنين اتنين
+
+263
+00:32:12,890 --> 00:32:21,830
+في أسئلة كتيرة حلوة section
+
+264
+00:32:21,830 --> 00:32:37,450
+1122 فينا مجموعة كبيرة من الأسئلة الناس
+
+265
+00:32:37,450 --> 00:32:39,270
+بتدرس الناس بتحل مثال
+
+266
+00:32:42,490 --> 00:32:46,430
+حليتوا كل المسائل؟ مش عندكم أسئلة؟ ال section
+
+267
+00:32:46,430 --> 00:32:56,890
+اتنين واحد و اتنين اتنين؟
+
+268
+00:32:56,890 --> 00:33:03,850
+مان لديها سؤال؟ السؤال اتنين في section اتنين
+
+269
+00:33:03,850 --> 00:33:10,710
+اتنين حاضر اتنين اتنين اتنين نكتب النص تبع السؤال
+
+270
+00:33:14,400 --> 00:33:25,960
+if a و b are real numbers show ifpty أنه
+
+271
+00:33:25,960 --> 00:33:35,160
+absolute a زائد b بساوي absolute a زايد absolute b
+
+272
+00:33:35,160 --> 00:33:47,110
+if and only if a في b أكبر منأو يساوي سفر هيك
+
+273
+00:33:47,110 --> 00:33:59,610
+مكتوب طيب
+
+274
+00:33:59,610 --> 00:34:07,590
+البرهان ال proof راحظوا هذا if and only if
+
+275
+00:34:07,590 --> 00:34:11,730
+statement فخلينا
+
+276
+00:34:11,730 --> 00:34:21,730
+الأولنثبت ال claim الأول claim one للدعاء الأول أن
+
+277
+00:34:21,730 --> 00:34:28,350
+a ضرب b أكبر من أو ساوي سفر if and only if
+
+278
+00:34:28,350 --> 00:34:36,290
+absolute a ضرب b بساوي a في b
+
+279
+00:34:43,590 --> 00:34:47,970
+هل هذا واضح هذا
+
+280
+00:34:47,970 --> 00:35:01,250
+واضح من تعريف that this is clear by definition of
+
+281
+00:35:01,250 --> 00:35:09,370
+absolute value طيب
+
+282
+00:35:09,370 --> 00:35:10,490
+الكلام التاني
+
+283
+00:35:16,440 --> 00:35:24,700
+الكلام التاني absolute a plus absolute b الكل
+
+284
+00:35:24,700 --> 00:35:35,560
+تربية بساوي a زي b الكل تربية if
+
+285
+00:35:35,560 --> 00:35:43,500
+and only if absolute a ضرب b بساوي a في b
+
+286
+00:35:49,120 --> 00:35:56,920
+بروف للـ claim هذا هاي لو أخدت absolute a زاد
+
+287
+00:35:56,920 --> 00:36:04,520
+absolute b وربعت فهذا المفروض يساوي absolute a
+
+288
+00:36:04,520 --> 00:36:12,780
+الكتر بيها زاد absolute b الكتر بيها زاد اتنين
+
+289
+00:36:12,780 --> 00:36:19,600
+absolute a في absolute bو هذا بساوي absolute a
+
+290
+00:36:19,600 --> 00:36:26,080
+الكل
+
+291
+00:36:26,080 --> 00:36:33,480
+تربية زار
+
+292
+00:36:33,480 --> 00:36:44,050
+absolute b الكل تربية زاد 2 absolute a ضارب bلأن
+
+293
+00:36:44,050 --> 00:36:54,670
+absolute a ضرب absolute b بيطلع absolute a في b و
+
+294
+00:36:54,670 --> 00:36:59,210
+absolute absolute
+
+295
+00:36:59,210 --> 00:37:06,850
+a بساوي الجدر التربية a ل a تربية هذا
+
+296
+00:37:06,850 --> 00:37:18,950
+بكافئ أن a أو absoluteكل تربية بيساوي ا تربية لو
+
+297
+00:37:18,950 --> 00:37:25,030
+ربعت الطرفين فبطلع absolute a تربية بيساوي a تربية
+
+298
+00:37:25,030 --> 00:37:30,490
+وبالتالي ممكن استبدل absolute a تربية ممكن استبدل
+
+299
+00:37:30,490 --> 00:37:36,530
+absolute a تربية ب a تربية و
+
+300
+00:37:36,530 --> 00:37:41,450
+استبدل absolute b تربية ب b تربية
+
+301
+00:37:50,020 --> 00:37:57,000
+الان هذا بيساوي هذا بيساوي a تربية زائد b تربية
+
+302
+00:37:57,000 --> 00:38:06,460
+زائد اتنين a b if and only if if and only if
+
+303
+00:38:06,460 --> 00:38:10,940
+absolute a b بيساوي a في b
+
+304
+00:38:13,940 --> 00:38:17,600
+هذا المقدار اللي فوق متى بيساوي a تربية زايد بي
+
+305
+00:38:17,600 --> 00:38:22,500
+تربية زايد اتنين a ب a اذا absolute ب a في b هو
+
+306
+00:38:22,500 --> 00:38:33,140
+عبارة عن a في b صح؟ وهذا
+
+307
+00:38:33,140 --> 00:38:39,720
+الأخير بيساوي يعني
+
+308
+00:38:39,720 --> 00:38:50,460
+هذا السطر هذاهي تعالى نشوف بقدّه
+
+309
+00:38:50,460 --> 00:39:00,000
+ان absolute a زاد absolute b الكل تربية بساوي
+
+310
+00:39:03,190 --> 00:39:11,210
+A زائد B الكل ترمية if and only if absolute A B
+
+311
+00:39:11,210 --> 00:39:27,050
+بساوي A B absolute
+
+312
+00:39:27,050 --> 00:39:32,390
+A B بساوي A B ومن claim واحد
+
+313
+00:39:36,690 --> 00:39:43,890
+عمر ال claim واحد هذا بتحقق if and only if a ضربي
+
+314
+00:39:43,890 --> 00:39:49,610
+أكبر من أو ساوى 0 لأن هذا نتيجة أو بضم ال two
+
+315
+00:39:49,610 --> 00:39:54,070
+claims مع بعض طيب
+
+316
+00:39:54,070 --> 00:39:58,290
+لو أخلنا جدر التربية للطرفين فضي جدر التربية يعني
+
+317
+00:39:58,290 --> 00:40:02,290
+take square root
+
+318
+00:40:05,210 --> 00:40:14,850
+of both sides فهذا
+
+319
+00:40:14,850 --> 00:40:20,410
+بيقدّي أنه absolute a زائد absolute b الجدر
+
+320
+00:40:20,410 --> 00:40:23,030
+التربيعي هنا بعطيني ال absolute value ل a زائد
+
+321
+00:40:23,030 --> 00:40:28,570
+absolute b وهنا بعطيني الجدر التربيعي الجدر
+
+322
+00:40:28,570 --> 00:40:31,370
+التربيعي العدد التربيعي بعطيني القيمة المطلقة
+
+323
+00:40:31,370 --> 00:40:32,010
+تبعته
+
+324
+00:40:34,820 --> 00:40:41,180
+هذا بتحقق if and only if a ضرب b أكبر من أو ساوى 0
+
+325
+00:40:41,180 --> 00:40:48,200
+وهذا هو المطلوب وهذا هو المطلوب okay تمام فهذا هو
+
+326
+00:40:48,200 --> 00:40:53,140
+المطلوب في
+
+327
+00:40:53,140 --> 00:40:58,220
+أي أسئلة تانية في
+
+328
+00:40:58,220 --> 00:41:01,700
+عندكم أي سؤال تاني section 2 أو section 1
+
+329
+00:41:07,070 --> 00:41:12,510
+أن أسئلة كتيرة لو جيت بعدي و أنتوا مابتسألوش و مش
+
+330
+00:41:12,510 --> 00:41:17,650
+هيكون في راجعة بعد هيك لأ أساكاشنا دي المرة الجاية
+
+331
+00:41:17,650 --> 00:41:21,830
+هناخد مناقشة في section اتنين تلاتة و اتنين أربعة
+
+332
+00:41:21,830 --> 00:41:31,370
+في أي أسئلة أفندم في أي section اتنين اتنين
+
+333
+00:41:37,770 --> 00:41:38,370
+حاضر
+
+334
+00:42:02,930 --> 00:42:11,490
+السؤال خمستاش سيكشن اتنين نيلو نشوف ايه هو السؤال
+
+335
+00:42:11,490 --> 00:42:25,670
+show
+
+336
+00:42:25,670 --> 00:42:29,790
+if a و b are real numbers
+
+337
+00:42:32,160 --> 00:42:38,560
+و a لا يساوي b then
+
+338
+00:42:38,560 --> 00:42:49,100
+there exist epsilon neighborhoods u
+
+339
+00:42:49,100 --> 00:43:09,390
+of a and v of b such thatU تقاطع V بساوي five إذن
+
+340
+00:43:09,390 --> 00:43:24,630
+كمان مرة أنا
+
+341
+00:43:24,630 --> 00:43:25,090
+عندي
+
+342
+00:43:28,550 --> 00:43:35,990
+A وB أعداد حقيقية و A لا يساوي B هذا معناه أن
+
+343
+00:43:35,990 --> 00:43:43,970
+either A less than B ف
+
+344
+00:43:43,970 --> 00:43:52,310
+assume نأخد الحالة الأولى case one أن
+
+345
+00:43:52,310 --> 00:44:01,330
+A أصغر من B إذا هي خط الأعدادهذا خط الاعداد وهذه a
+
+346
+00:44:01,330 --> 00:44:12,670
+وهذه b و a أصغر من b بدي أثبت أنه في جوار ل a بعمق
+
+347
+00:44:12,670 --> 00:44:22,450
+epsilon اسمه u وفي جوار ل b بعمق epsilon والجوارين
+
+348
+00:44:22,450 --> 00:44:26,170
+هذول المبروهود سقطوهم بسوء في يعني منفصلين عن بعض
+
+349
+00:44:27,430 --> 00:44:35,570
+فبكل بساطة بجيس المسافة من a و b و باخد نص المسافة
+
+350
+00:44:35,570 --> 00:44:43,670
+يعني لأن هنا take epsilon
+
+351
+00:44:43,670 --> 00:44:48,770
+بساوي
+
+352
+00:44:48,770 --> 00:44:54,270
+نص المسافة نص ال b minus
+
+353
+00:44:57,480 --> 00:45:13,820
+أو نص او نص المسافة بين A وB فهي
+
+354
+00:45:13,820 --> 00:45:15,920
+نص المسافة لو كونت فترة
+
+355
+00:45:23,000 --> 00:45:28,520
+فهي منتصف المسافة هذه المسافة
+
+356
+00:45:28,520 --> 00:45:33,260
+هذه منتصف المسافة سمنها epsilon فهذه النقطة هتكون
+
+357
+00:45:33,260 --> 00:45:40,960
+a زاد epsilon وهي نفس المسافة a سالب epsilon وكون
+
+358
+00:45:40,960 --> 00:45:45,660
+فترة مفتوحة وسم
+
+359
+00:45:45,660 --> 00:45:48,960
+الفترة المفتوحة هذه new
+
+360
+00:46:02,460 --> 00:46:07,900
+فنسمي الفترة المفتوحة هذه U مركزها E و نصف قطرها E
+
+361
+00:46:07,900 --> 00:46:16,200
+و نكوّن فترة تانية برضه مركزها B و نصف قطرها E
+
+362
+00:46:16,200 --> 00:46:22,080
+يعني هذه النقطة هتصير B زاد E وهذه النقطة هتصير
+
+363
+00:46:25,910 --> 00:46:33,530
+بزائد ابسلون و النقطة هذه بسالب ابسلون و نكون فترة
+
+364
+00:46:33,530 --> 00:46:39,970
+مفتوحة تمام
+
+365
+00:46:39,970 --> 00:46:43,310
+اذا
+
+366
+00:46:43,310 --> 00:46:50,890
+انا في اندي و نسمي الفترة المفتوحة هذه نسميها
+
+367
+00:46:50,890 --> 00:46:51,030
+ب
+
+368
+00:46:57,180 --> 00:47:01,040
+أذن هذا عبارة عن الـ U الفترة المفتوحة اذا هنا led
+
+369
+00:47:01,040 --> 00:47:14,300
+take
+
+370
+00:47:14,300 --> 00:47:16,480
+u
+
+371
+00:47:18,050 --> 00:47:26,410
+by definition بتساوي a سالب إبسلون و a مجد إبسلون
+
+372
+00:47:26,410 --> 00:47:40,810
+و V بساوي B سالب إبسلون B plus إبسلون فواضح
+
+373
+00:47:40,810 --> 00:47:41,410
+nearly
+
+374
+00:47:46,910 --> 00:47:58,030
+Clearly U is an epsilon neighborhood of A and V is
+
+375
+00:47:58,030 --> 00:48:05,410
+an epsilon neighborhood of B ومش هيكوا بس and ممكن
+
+376
+00:48:05,410 --> 00:48:09,370
+اثبات ان U تقاطع B بساوي فاي
+
+377
+00:48:12,440 --> 00:48:21,120
+يعني لو أخدنا هاي واضح هاي جوار هذا مافيش ولا نقطة
+
+378
+00:48:21,120 --> 00:48:27,940
+فيه موجودة في الجوار التاني هذه الفترة المفتوحة
+
+379
+00:48:27,940 --> 00:48:35,540
+منفصلة عن الفترة المفتوحة يوم طبعا؟
+
+380
+00:48:39,190 --> 00:48:44,970
+إن هذا الكلام يعني واضح ان هذا عبارة عن epsilon
+
+381
+00:48:44,970 --> 00:48:50,150
+neighborhood ل a فترة مفتوحة مركزها a نصف قطرة
+
+382
+00:48:50,150 --> 00:48:53,590
+epsilon هذا نسميه epsilon neighborhood ل a و V
+
+383
+00:48:53,590 --> 00:48:57,510
+الفترة المفتوحة هذه بي سالب epsilon و V موجب
+
+384
+00:48:57,510 --> 00:49:04,310
+epsilon برضه عبارة عن epsilon neighborhood ل B و
+
+385
+00:49:04,310 --> 00:49:09,900
+اتنين حسب الرسم منفصلين و هذا ممكن اثباتهباستخدام
+
+386
+00:49:09,900 --> 00:49:14,380
+التناقض يعني افرض انه في عنصر يعني التقاطع هذا لا
+
+387
+00:49:14,380 --> 00:49:19,900
+يساوي فيه وبالتالي في عنصر موجود في U وموجود في V
+
+388
+00:49:19,900 --> 00:49:25,540
+في أن و واحد واصلي إليه تناقض okay هذا ممكن اثباته
+
+389
+00:49:25,540 --> 00:49:34,280
+بطريقة تحليلية طبعا في السؤال في الحل في حل السؤال
+
+390
+00:49:34,280 --> 00:49:41,370
+هذا يقول مافي عندنا حلتينالحالة الأولى a أصغر من b
+
+391
+00:49:41,370 --> 00:49:48,110
+والحالة الثانية b أصغر من a وشوفنا هنا أخدنا
+
+392
+00:49:48,110 --> 00:49:51,230
+الحالة اللي فيها a أصغر من b زي اللي هو النضال تحت
+
+393
+00:49:51,230 --> 00:49:57,090
+الاسم هاي a أصغر من b و أثبتنا في الحالة هذه أن u
+
+394
+00:49:57,090 --> 00:50:00,070
+جد epsilon never move u ل a
+
+395
+00:50:17,240 --> 00:50:24,820
+باقي الحالة التانية case 2 نثبت
+
+396
+00:50:24,820 --> 00:50:27,120
+برضه المطلوب
+
+397
+00:50:33,160 --> 00:50:38,320
+القرآن في الحلقة التانية مماثل للقرآن اللي عملناه
+
+398
+00:50:38,320 --> 00:50:38,880
+في الحلقة
+
+399
+00:50:50,040 --> 00:50:54,040
+و هذا طبعا يكمل الفرحة، إذا الحالة التانية اللي
+
+400
+00:50:54,040 --> 00:50:58,120
+فيها P أصفر من A، بس نضع P هنا و A هنا، و نفس
+
+401
+00:50:58,120 --> 00:51:05,440
+العادة، فتصير هذا الـP و هذا الـU، و يعطينا نفس
+
+402
+00:51:05,440 --> 00:51:13,020
+النتيجة، إت من كون كملنا المرهان اللي هو التمريد
+
+403
+00:51:14,530 --> 00:51:17,970
+وطبعا بعد ذلك ان شاء الله هنكمل حل ال تمارين لل
+
+404
+00:51:17,970 --> 00:51:20,870
+sport الخادم في نفس الموضوع
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Lc2K-uxXK74.srt

@@ -0,0 +1,1779 @@
+1
+00:00:20,750 --> 00:00:26,090
+Okay إذا اليوم إن شاء الله هنكمل موضوع ال limit
+
+2
+00:00:26,090 --> 00:00:32,390
+theorems أو نظريات النهايات ومن النظريات المهمة 
+
+3
+00:00:32,390 --> 00:00:39,710
+هذه هي نظرية 12 بتقول لو في عندي sequence x<sub>n</sub> و
+
+4
+00:00:39,710 --> 00:00:44,570
+ال sequence هذي convergent لـ x فالـ sequence of
+
+5
+00:00:44,570 --> 00:00:49,350
+absolute values بتطلع convergent والـ limit تبعتها
+
+6
+00:00:49,350 --> 00:00:55,490
+تطلع absolute ... absolute limit تبعت الـ sequence
+
+7
+00:00:55,490 --> 00:01:00,750
+x فالبرهان 
+
+8
+00:01:00,750 --> 00:01:04,470
+بيعتمد على ال triangle inequality
+
+9
+00:01:07,360 --> 00:01:13,720
+أحد صور ال triangle inequality كانت المتباينة هذه 
+
+10
+00:01:13,720 --> 00:01:20,740
+|a| - |b| وأخد ال absolute value
+
+11
+00:01:20,740 --> 00:01:28,600
+هذا أصغر من أو يساوي |a - b| فلو أخدت هنا
+
+12
+00:01:28,600 --> 00:01:36,160
+a بساوي x<sub>n</sub> و b بساوي x فبطلع الكلام هذا صحيح لكل
+
+13
+00:01:36,160 --> 00:01:43,760
+الأعداد الطبيعية n الآن أنا عندي x<sub>n</sub> converges to x
+
+14
+00:01:43,760 --> 00:01:51,740
+فلو أخدت أي epsilon أكبر من الصفر given
+
+15
+00:01:55,040 --> 00:02:00,540
+وأنـا x<sub>n</sub> converge لـ x، إذا هذا بيدّي أنه
+
+16
+00:02:00,540 --> 00:02:03,580
+يوجد 
+
+17
+00:02:03,580 --> 00:02:13,660
+N عدد طبيعي يعتمد على epsilon بحيث أنه لو
+
+18
+00:02:13,660 --> 00:02:18,260
+كان n أكبر من أو يساوي N فهذا بيدّي ان
+
+19
+00:02:18,260 --> 00:02:22,080
+|x<sub>n</sub> - x| أصغر من epsilon
+
+20
+00:02:25,260 --> 00:02:30,300
+وبالتالي من هنا إذا الهدف بيطلع أصغر من epsilon
+
+21
+00:02:30,300 --> 00:02:34,260
+لكل
+
+22
+00:02:34,260 --> 00:02:41,180
+n أكبر من أو يساوي N إذا
+
+23
+00:02:41,180 --> 00:02:44,800
+أنا هيك بكون أثبتت إنه لأي epsilon أكبر من صفر
+
+24
+00:02:44,800 --> 00:02:50,760
+يوجد N يعتمد على epsilon عدد طبيعي بحيث
+
+25
+00:02:50,760 --> 00:02:57,040
+لكل n أكبر من أو يساوي N القيمة المطلقة لـ
+
+26
+00:02:57,040 --> 00:03:02,480
+|x<sub>n</sub>| - |x| أصغر من epsilon إذا
+
+27
+00:03:02,480 --> 00:03:07,900
+حسب تعريف epsilon N for limits هذا معناه
+
+28
+00:03:07,900 --> 00:03:14,260
+بالظبط أن limit |x<sub>n</sub>| as n tends to infinity
+
+29
+00:03:14,260 --> 00:03:21,790
+بساوي |x| وهو المطلوب Okay تمام إذا هذا
+
+30
+00:03:21,790 --> 00:03:32,890
+بيكمل برهان نظرية 12 تمام واضح النظرية
+
+31
+00:03:32,890 --> 00:03:39,270
+اللي بعدها نظرية 13 بتقول لو أنا في عندي
+
+32
+00:03:39,270 --> 00:03:45,490
+sequence حدودها كلها غير سالبة حدود الـ sequence x<sub>n</sub>
+
+33
+00:03:45,490 --> 00:03:50,750
+كلها غير سالبة أعداد غير سالبة والـ sequence لو
+
+34
+00:03:50,750 --> 00:03:57,730
+كانت الـ sequence x<sub>n</sub> convergent to some x فالـ
+
+35
+00:03:57,730 --> 00:04:02,730
+limit للـ sequence of square roots لـ x<sub>n</sub> تطلع
+
+36
+00:04:02,730 --> 00:04:08,470
+convergent والـ limit تبعتها بساوي square root للـ
+
+37
+00:04:08,470 --> 00:04:09,890
+limit للـ sequence x<sub>n</sub>
+
+38
+00:04:13,780 --> 00:04:19,760
+والبرهان تبع النظرية دي سهل أنا أول شيء عندي احنا
+
+39
+00:04:19,760 --> 00:04:25,060
+فرضين أن الـ limit لـ x<sub>n</sub> بساوي x في نظرية 8
+
+40
+00:04:25,060 --> 00:04:28,700
+قلنا أن لو كانت حدود الـ sequence x<sub>n</sub> كلها غير سالبة
+
+41
+00:04:28,700 --> 00:04:34,360
+فـ limit لـ sequence x<sub>n</sub> اللي هي x أيضا تطلع غير
+
+42
+00:04:34,360 --> 00:04:40,840
+سالبة إذا x أكبر من أو يساوي 0 الآن في عندي حالتين
+
+43
+00:04:40,840 --> 00:04:46,300
+الـ x هنا أكبر من أو يساوي صفر ففي عندي احتمالين اما
+
+44
+00:04:46,300 --> 00:04:54,260
+x بساوي صفر أو x أكبر من الصفر تمام وفي كل حالة
+
+45
+00:04:54,920 --> 00:04:59,540
+مطلوب مني أن أثبت أن limit الـ square root لـ x<sub>n</sub>
+
+46
+00:04:59,540 --> 00:05:03,960
+بساوي الـ square root of x تمام؟ نشوف في الحالة
+
+47
+00:05:03,960 --> 00:05:08,520
+الأولى لو كانت الـ x بساوي صفر وأنا عندي من الفرض
+
+48
+00:05:08,520 --> 00:05:15,550
+x<sub>n</sub> converges to x اللي هي صفر إذا لو أخدت أي epsilon
+
+49
+00:05:15,550 --> 00:05:20,250
+أكبر من الصفر من كون الـ sequence هذه converge
+
+50
+00:05:20,250 --> 00:05:24,270
+للسفر إذا لأي epsilon يوجد N يعتمد على
+
+51
+00:05:24,270 --> 00:05:30,150
+epsilon بحيث المسافة بين x<sub>n</sub> والصفر أصغر من epsilon
+
+52
+00:05:30,150 --> 00:05:33,470
+تربيع لكل n أكبر من أو يساوي N هذا من
+
+53
+00:05:33,470 --> 00:05:36,690
+تعريف الـ convergence ممكن أحط هنا epsilon أو epsilon
+
+54
+00:05:36,690 --> 00:05:42,940
+تربيع مافي مشكلة طيب أنا عندي x<sub>n</sub> من الفرض الـ x<sub>n</sub>
+
+55
+00:05:42,940 --> 00:05:48,840
+كلهم أكبر من أو يساوي صفر وبالتالي القيمة المطلقة
+
+56
+00:05:48,840 --> 00:05:53,800
+لـ x<sub>n</sub> بساوي نفسها ناخد 
+
+57
+00:05:53,800 --> 00:05:59,120
+الجذر التربيعي للحدود المتباينة هذه هي الـ square
+
+58
+00:05:59,120 --> 00:06:04,790
+root of x<sub>n</sub> بساوي الـ absolute value لـ square root لـ
+
+59
+00:06:04,790 --> 00:06:10,190
+x<sub>n</sub> - صفر وهذا أصغر من epsilon square root
+
+60
+00:06:10,190 --> 00:06:13,870
+لـ epsilon تربيع بيطلع epsilon هذا الكلام صحيح for
+
+61
+00:06:13,870 --> 00:06:18,830
+every n bigger than or equal N طب هذا
+
+62
+00:06:18,830 --> 00:06:23,050
+معناه بما أن epsilon was arbitrarily بما أن احنا
+
+63
+00:06:23,050 --> 00:06:29,850
+أثبتنا هذا الكلام لكل epsilon عدد موجب هذا من تعريف
+
+64
+00:06:29,850 --> 00:06:34,350
+epsilon N for limits للنهايات هذا معناه
+
+65
+00:06:34,350 --> 00:06:40,970
+limit الـ square root لـ x<sub>n</sub> بساوي الصفر لما n تؤول لـ
+
+66
+00:06:40,970 --> 00:06:47,140
+N وهذا ايه هذا اللي هو المطلوب طيب الصفر هنا احنا 
+
+67
+00:06:47,140 --> 00:06:50,780
+ماخدين x بالساوي صفر فالصفر هذا هو square root لـ
+
+68
+00:06:50,780 --> 00:06:54,360
+x إذا هيك اثبتت أن limit square root لـ x<sub>n</sub>
+
+69
+00:06:54,360 --> 00:06:58,820
+بالساوي square root لـ x في حالة لما x بالساوي
+
+70
+00:06:58,820 --> 00:07:07,280
+صفر تمام باقي نثبت النتيجة نفسها في حالة لما x أكبر
+
+71
+00:07:07,280 --> 00:07:11,740
+من 0 تفضلي قالت جيت حكيت أنه ممكن أخد epsilon مش 
+
+72
+00:07:11,740 --> 00:07:15,740
+epsilon تربيع لما أكمل خطوة بعد تطلع جذر الـ epsilon
+
+73
+00:07:15,740 --> 00:07:19,660
+يعني أقل من جذر الـ epsilon جذر الـ epsilon قلت أن احنا
+
+74
+00:07:19,660 --> 00:07:23,600
+خلينا epsilon تربيع عشان لما أخد الجذر يطلع epsilon
+
+75
+00:07:23,600 --> 00:07:29,520
+مافي مشكلة يعني اعتبر هذه هي الـ epsilon مش الـ epsilon
+
+76
+00:07:29,520 --> 00:07:34,300
+أكبر عدد أكبر من 0 given إذا epsilon تربيع برضه عدد
+
+77
+00:07:34,300 --> 00:07:39,880
+موجب بقى تقريبا هو الـ given وبالتالي يوجد N تعتمد
+
+78
+00:07:39,880 --> 00:07:44,320
+على epsilon تربيع بدل epsilon طب epsilon تربيع تعتمد
+
+79
+00:07:44,320 --> 00:07:48,420
+على epsilon إذا ليش ما نقول إذا يوجد N تعتمد على
+
+80
+00:07:48,420 --> 00:07:52,240
+epsilon وإعتبر الـ epsilon تربيع بدل epsilon في الـ
+
+81
+00:07:52,240 --> 00:07:55,920
+definition فمافي مشكلة بس خدناها الـ epsilon تربيع
+
+82
+00:07:55,920 --> 00:07:59,660
+عشان لما ناخد جذر التربيع يطلع عندي أصغر من epsilon
+
+83
+00:07:59,660 --> 00:08:03,760
+وبالتالي نقول حسب التعريف إذا limit جذر x<sub>n</sub> بساوي 
+
+84
+00:08:03,760 --> 00:08:11,840
+6 تمام اللي هي جذر x في أي سؤال ثاني؟ طيب، نشوف 
+
+85
+00:08:11,840 --> 00:08:16,800
+الحالة الثانية، لو كانت الـ x هذه أكبر من صفر، إذا 
+
+86
+00:08:16,800 --> 00:08:20,640
+جذر الـ x بالتأكيد أكبر من الصفر، وبالتالي جذر x<sub>n</sub>
+
+87
+00:08:20,640 --> 00:08:26,120
+زي جذر x أكبر من أو يساوي جذر الـ x، لأن هذا أكبر من
+
+88
+00:08:26,120 --> 00:08:35,430
+أو يساوي صفر، وهذا موجب، لأن الـ x موجبة طيب، الآن 
+
+89
+00:08:35,430 --> 00:08:40,630
+هذا المقدار أكبر من أو يساوي هذا واتنين موجبين، إذا 
+
+90
+00:08:40,630 --> 00:08:47,950
+المقلوب الكبير أصغر من أو يساوي المقلوب الصغير هذه
+
+91
+00:08:47,950 --> 00:08:53,010
+الخاصية أخذناها في chapter one وبناء عليه
+
+92
+00:09:01,430 --> 00:09:06,810
+بناء على ذلك أنا ممكن أحسب جذر x<sub>n</sub> - ��ذر الـ x
+
+93
+00:09:06,810 --> 00:09:12,870
+بضرب المقدار هذا في المرافق تبعه بسطه مقامه، هاي
+
+94
+00:09:12,870 --> 00:09:16,870
+المرافق تبعه بسطه مقام فكأني ضربت المقدار هذا في 
+
+95
+00:09:16,870 --> 00:09:23,030
+واحد، إذا هذا بساوي نفسه ضرب مرافقه على مرافقه، 
+
+96
+00:09:23,030 --> 00:09:27,870
+تمام؟ الآن الـ numerator تحليل الفرق بين المربعين فبطلع
+
+97
+00:09:27,870 --> 00:09:33,170
+مربع هذا سالب مربع هذا اللي هو x<sub>n</sub> - x و
+
+98
+00:09:33,170 --> 00:09:38,310
+بيبقى الـ denominator في المقام المقدار هذا الآن ناخد
+
+99
+00:09:38,310 --> 00:09:43,370
+القيمة المطلقة للكلام هذا بيساوي القيمة المطلقة
+
+100
+00:09:43,370 --> 00:09:48,230
+للطرف اليمين القيمة المطلقة للـ numerator على القيمة
+
+101
+00:09:48,230 --> 00:09:53,070
+المطلقة للمقام المقام هذا موجب فالقيمة المطلقة له
+
+102
+00:09:53,070 --> 00:09:58,770
+نفسه إذا الآن أنا في عندي sequence اللي هي الحد
+
+103
+00:09:58,770 --> 00:10:02,810
+العام تبعها square root of x<sub>n</sub> وفي عندي عدد square
+
+104
+00:10:02,810 --> 00:10:10,390
+root of x المسافة بينهم أصغر من أو يساوي أصغر من
+
+105
+00:10:10,390 --> 00:10:15,610
+أو يساوي هي المسافة هذه بالساوي 1 على square
+
+106
+00:10:15,610 --> 00:10:21,870
+root of x<sub>n</sub> + square root of x والكسر هذا من
+
+107
+00:10:21,870 --> 00:10:27,950
+المتباينة 9 هذا الكل أصغر من أو يساوي 1 على
+
+108
+00:10:27,950 --> 00:10:32,610
+square root of x ضرب |x<sub>n</sub> - x| الآن
+
+109
+00:10:32,610 --> 00:10:43,830
+ارجعوا لنظرية 2.4 with
+
+110
+00:10:43,830 --> 00:10:52,060
+c عدد موجب يساوي 1 على جذر الـ x هذا عدد موجب و a<sub>n</sub>
+
+111
+00:10:52,060 --> 00:10:59,780
+بساوي x<sub>n</sub> - x إذن
+
+112
+00:10:59,780 --> 00:11:03,940
+هي يوجد c عدد موجب اللي هو 1 على جذر الـ x وهي 
+
+113
+00:11:03,940 --> 00:11:08,820
+في عندي sequence a<sub>n</sub> الحد العام تبعها x<sub>n</sub> - x و
+
+114
+00:11:08,820 --> 00:11:14,680
+الـ sequence هذه تؤول إلى صفر as n tends to
+
+115
+00:11:14,680 --> 00:11:19,870
+infinity لأن أنا من المعطيات عندي x<sub>n</sub> تؤول لـ x أو
+
+116
+00:11:19,870 --> 00:11:24,490
+limit x<sub>n</sub> بساوي x، لذلك limit الفرق بساوي صفر، لذلك
+
+117
+00:11:24,490 --> 00:11:29,890
+حسب نظرية 2.4، كل شروطها متحققة، وبالتالي، لذلك حسب
+
+118
+00:11:29,890 --> 00:11:34,630
+النظرية هذه، by theorem 2.4، بيطلع عندي limit
+
+119
+00:11:34,630 --> 00:11:41,190
+square root لـ x<sub>n</sub> بساوي square root لـ x وهو المطلوب 
+
+120
+00:11:41,190 --> 00:11:46,690
+إثباته إذا هاي اثبتنا أن limit الـ square root لـ x
+
+121
+00:11:46,690 --> 00:11:50,410
+<sub>n</sub> بساوي الـ square root لـ x في حالة لما x تكون
+
+122
+00:11:50,410 --> 00:11:54,750
+موجبة والحالة الأولى في حالة لما x صفر برضه
+
+123
+00:11:54,750 --> 00:11:58,410
+اثبتنا نفس الحاجة لذلك بنكون كملنا برهان نظرية
+
+124
+00:11:58,410 --> 00:12:02,690
+تمام؟ في حد عنده أي سؤال أو استفسار واضح البرهان؟
+
+125
+00:12:05,660 --> 00:12:12,800
+في نظرية هنا ممكن نسميها نعتبرها ratio test اختبار 
+
+126
+00:12:12,800 --> 00:12:21,660
+الكسور أو النسبة أو ايش
+
+127
+00:12:21,660 --> 00:12:27,300
+الـ ratio test ماذا هذا الـ ratio test بيقول هذا الـ
+
+128
+00:12:27,300 --> 00:12:31,120
+ratio test بتعلق بـ sequences of positive numbers
+
+129
+00:12:32,030 --> 00:12:35,090
+يعني عشان أنا أطبق الـ ratio test لازم الـ sequence
+
+130
+00:12:35,090 --> 00:12:39,170
+تبعتي تكون حدودها كلها موجبة بقى فلو في عندي
+
+131
+00:12:39,170 --> 00:12:44,310
+sequence of positive real numbers such that limit
+
+132
+00:12:44,310 --> 00:12:49,050
+الـ ratio لـ x<sub>n+1</sub> على x<sub>n</sub> exists موجود أو 
+
+133
+00:12:49,050 --> 00:12:54,370
+بتساوي عدد حقيقي L ولو كان هذا العدد L أصغر من
+
+134
+00:12:54,370 --> 00:13:01,300
+واحد فـ limit الـ sequence x<sub>n</sub> بتساوي صفر هذا هو الـ
+
+135
+00:13:01,300 --> 00:13:07,380
+ratio test برهان الـ test أو النظرية هذه موجود في
+
+136
+00:13:07,380 --> 00:13:11,680
+الكتاب نظرية 3.2.11 فحاسبكم تقرأوا
+
+137
+00:13:11,680 --> 00:13:15,780
+البرهان برهان سهل مش صعب بيعتمد على الحاجات اللي
+
+138
+00:13:15,780 --> 00:13:20,340
+أخذناها فعايزينكم 
+
+139
+00:13:20,340 --> 00:13:23,660
+تفتحوا الكتاب وتقرأوا برهان وتفهموا لحالكم بعد
+
+140
+00:13:23,660 --> 00:13:28,800
+ما أخذنا كل هالبرهين بدنا إياكم تعتمدوا عن أنفسكم
+
+141
+00:13:28,800 --> 00:13:33,440
+شوية تمام؟ واللي عنده أي صعوبة في فهم البرهان
+
+142
+00:13:33,440 --> 00:13:38,840
+يرجع له إذا هسا كم تخرق البرهان من الكتاب طيب نهار 
+
+143
+00:13:38,840 --> 00:13:42,540
+.. الآن الكتاب للأسف مش فيه أمثلة في الـ section هذا
+
+144
+00:13:42,540 --> 00:13:49,000
+تلاتة اتنين فهعطيلكم أس .. examples أو أمثلة بحال
+
+145
+00:13:49,000 --> 00:13:52,100
+من التمرين بحال بعض التمرين فأول مثل
+
+146
+00:13:58,060 --> 00:14:02,820
+فأول مثال هو exercise ثمانية عشر الفرع c في section
+
+147
+00:14:02,820 --> 00:14:06,700
+تلاتة اتنين أو صفحة ثمانية وستين في الكتاب المقرر
+
+148
+00:14:06,700 --> 00:14:10,300
+السؤال هذا بيقول discuss the convergence of the
+
+149
+00:14:10,300 --> 00:14:15,820
+sequence xn اللي لحد العام الـ nth term تبعها b to 
+
+150
+00:14:15,820 --> 00:14:20,600
+n على n factorial حيث بيه عدد حقيقي أكبر من واحد
+
+151
+00:14:21,470 --> 00:14:24,070
+Discuss the Convergence يعني بين هل الـ sequence
+
+152
+00:14:24,070 --> 00:14:27,850
+هذي Convergent ولا Divergent وده كانت Convergent
+
+153
+00:14:27,850 --> 00:14:35,790
+عايزين نجيب الـ limit تبعتها طيب تعالوا أول شي احنا 
+
+154
+00:14:35,790 --> 00:14:41,150
+طبعا هنطبق الـ ratio test نظرية 2.14 اللي هو الرسم
+
+155
+00:14:41,150 --> 00:14:45,490
+منها الـ ratio test لتطبيق الـ ratio test بلزمني
+
+156
+00:14:45,490 --> 00:14:50,690
+أتأكد ان الـ sequence xn حدودها موجبة وهذا صحيح لأن
+
+157
+00:14:50,690 --> 00:14:54,970
+الـ b اكبر من واحد و b أكبر من واحد و n 
+
+158
+00:14:54,970 --> 00:14:57,830
+factorial عدد موجب لأن هذه sequence of positive
+
+159
+00:14:57,830 --> 00:15:07,550
+real numbers الآن الـ ratio لـ xn زيادة واحد و xn هي
+
+160
+00:15:07,550 --> 00:15:12,230
+عندي xn زيادة واحد عوض عنها بدل n بـ n زيادة واحد
+
+161
+00:15:13,160 --> 00:15:18,740
+وضربها في مقلوب xn هي مقلوب xn وطبعا احنا عارفين
+
+162
+00:15:18,740 --> 00:15:25,460
+ان n plus one factorial بتساوي n plus one في n 
+
+163
+00:15:25,460 --> 00:15:31,900
+factorial هذا بنفك حاصل ضرب زي هذا n factorial
+
+164
+00:15:31,900 --> 00:15:37,640
+بتروح مع n factorial وb to n بتروح مع b to n بضل b
+
+165
+00:15:38,750 --> 00:15:43,210
+بعد الاختصارات والتبسيط الكاسر هذا بيطلع ب على n 
+
+166
+00:15:43,210 --> 00:15:47,870
+زيادة واحد الآن لما انت تقول لـ infinity ان زيادة واحد
+
+167
+00:15:47,870 --> 00:15:54,050
+بتقول لـ infinity مقلوبة بتروح لصفر ضرب ب عدد موجب
+
+168
+00:15:54,050 --> 00:15:58,990
+بتروح لصفر إذا limit ب على ان زيادة واحد بساوي ب
+
+169
+00:15:58,990 --> 00:16:03,290
+في limit واحد على ان زيادة واحد اللي هي صفر ب في
+
+170
+00:16:03,290 --> 00:16:10,590
+صفر بساوي صفر تمام؟ إذا أنا عندي L اللي هو بمثل
+
+171
+00:16:10,590 --> 00:16:17,570
+limit الـ ratio هذا طلع بساوي صفر عدد حقيقي أصغر من
+
+172
+00:16:17,570 --> 00:16:23,910
+واحد إذا حسب الـ ratio test limit للـ sequence xn 
+
+173
+00:16:23,910 --> 00:16:28,030
+بساوي صفر إذا هنا أثبتنا إن الـ sequence convergent
+
+174
+00:16:28,030 --> 00:16:34,010
+ونهيتها بتطلع بالساوي صفر تمام؟ واضح؟ إذا تطبيق
+
+175
+00:16:34,010 --> 00:16:35,510
+مباشر على الـ ratio test
+
+176
+00:16:38,490 --> 00:16:42,730
+مثال تاني مثال
+
+177
+00:16:42,730 --> 00:16:46,330
+تاني عبارة عن exercise اتنين فرع a section تلاتة 
+
+178
+00:16:46,330 --> 00:16:54,610
+اتنين بنشوف ايه الـ exercise هذا بيقول give
+
+179
+00:16:54,610 --> 00:17:01,930
+an example of two divergent sequences two
+
+180
+00:17:01,930 --> 00:17:04,090
+divergent sequences
+
+181
+00:17:06,940 --> 00:17:12,840
+such that there are some مجموعهم there
+
+182
+00:17:12,840 --> 00:17:19,020
+are some converges نعطي
+
+183
+00:17:19,020 --> 00:17:24,060
+مثال لـ two divergent sequences تنتهي from two
+
+184
+00:17:24,060 --> 00:17:29,140
+divergent لكن مجموعهم convergent فأسهل مثال هو مثل
+
+185
+00:17:29,140 --> 00:17:36,270
+هذا الحلناخد الـ sequence xn للحد العام تبعها سالب 
+
+186
+00:17:36,270 --> 00:17:42,430
+واحد to n و n بتبدأ من واحد إلى ما نهاية طبعا الـ
+
+187
+00:17:42,430 --> 00:17:48,210
+sequence هذه لو بينا انفرفتها فحدودها هتكون هكذا
+
+188
+00:17:48,210 --> 00:17:53,670
+أول حد سالب واحد، تاني واحد، تالت سالب واحد، 
+
+189
+00:17:53,670 --> 00:18:00,040
+الرابع واحد، وهكذا وناخد الـ sequence yn الحد العام
+
+190
+00:18:00,040 --> 00:18:04,760
+تبعها سالب واحد قص ان زيادة واحد وان طبعا تبدأ من 
+
+191
+00:18:04,760 --> 00:18:12,080
+واحد فهذه الـ sequence حدودها هتكون أول حد واحد،
+
+192
+00:18:12,080 --> 00:18:17,160
+التاني سالب واحد، التالت واحد، الرابع سالب واحد و
+
+193
+00:18:17,160 --> 00:18:17,620
+هكذا
+
+194
+00:18:20,300 --> 00:18:25,720
+تمام احنا اثبتنا بالتفصيل ان الـ sequence xn هذي
+
+195
+00:18:25,720 --> 00:18:29,660
+divergent by contradiction فرضنا انها convergent
+
+196
+00:18:29,660 --> 00:18:35,960
+وصلنا الى تناقض صح؟ طب ما هذي هي هذي هي الـ
+
+197
+00:18:35,960 --> 00:18:43,750
+sequence الـ sequence yn هي سالب الـ sequence xn و Xn
+
+198
+00:18:43,750 --> 00:18:47,710
+is divergent و Yn is divergent أو بنفس البرهان
+
+199
+00:18:47,710 --> 00:18:51,530
+ممكن نعمل نفس البرهان إذا هي عندي مثال على two
+
+200
+00:18:51,530 --> 00:18:57,670
+sequences كلاهما both are divergent لكن لما نيجي
+
+201
+00:18:57,670 --> 00:19:04,750
+نجمعهم لو أخدت الـ sequence جديدة الـ nth term تبعها
+
+202
+00:19:04,750 --> 00:19:09,070
+أو الحد العام تبعها هو مجموع الـ nth term زي Xn
+
+203
+00:19:09,070 --> 00:19:15,280
+وYn هذه sequence تالتة جديدة ما هو الحد العام لهذه
+
+204
+00:19:15,280 --> 00:19:21,360
+الـ sequence؟ اجمع الحد الأول على الأول بيطلع صفر، 
+
+205
+00:19:21,360 --> 00:19:25,740
+التاني على التاني صفر، إذا هذه عبارة عن الـ
+
+206
+00:19:25,740 --> 00:19:30,300
+sequence constant zero ثابت صفر أو الـ sequence
+
+207
+00:19:30,300 --> 00:19:35,480
+الحد العام تبعها ثابت صفر وطبعا أي sequence ثابتة
+
+208
+00:19:35,480 --> 00:19:39,880
+بتكون convergent و limit تبعتها هي الحد الثابت
+
+209
+00:19:39,880 --> 00:19:45,000
+نفسه، لذلك limit لهذه الـ sequence ثابت صفر إذا هذا 
+
+210
+00:19:45,000 --> 00:19:50,700
+مثال على two divergent sequences their sum is
+
+211
+00:19:50,700 --> 00:19:55,900
+convergent okay تمام؟ في برضه حاجات زي هذه ممكن 
+
+212
+00:19:55,900 --> 00:20:00,200
+ينقلب منكم جيبي مثال على two sequences contain
+
+213
+00:20:00,200 --> 00:20:05,820
+مثلا convergent لكن حصل ضربهم divergent يعني حاجات
+
+214
+00:20:05,820 --> 00:20:11,880
+زي هيك وهكذا في الكتاب في تمارين على هذا السياق
+
+215
+00:20:11,880 --> 00:20:22,020
+هتشوفوها تمام؟ مفهوم؟ واضح المثال هذا؟ طيب مثال 
+
+216
+00:20:22,020 --> 00:20:29,440
+رقم تلاتة هذا
+
+217
+00:20:29,440 --> 00:20:32,900
+عبارة عن exercise أربعة عشر في section تلاتة اتنين
+
+218
+00:20:35,100 --> 00:20:41,360
+بيقول خد zn بساوي a to n plus b to n to the power
+
+219
+00:20:41,360 --> 00:20:47,240
+one over n where a و b are positive numbers and a
+
+220
+00:20:47,240 --> 00:20:56,260
+less than b prove أن limit zn بساوي العدد b تمام؟
+
+221
+00:20:56,260 --> 00:21:02,420
+لبرهان ذلك أنا عندي من الفرض a positive إذا a to n 
+
+222
+00:21:02,420 --> 00:21:09,520
+positive وكذلك وبالتالي b to n أصغر من a to n plus
+
+223
+00:21:09,520 --> 00:21:16,460
+b to n الآن ناخد الـ nth root لطرفي المتباينة هذه
+
+224
+00:21:16,460 --> 00:21:22,700
+فبيطلع b أصغر من الـ nth root للمجموعة ده اللي احنا 
+
+225
+00:21:22,700 --> 00:21:33,440
+سمناه zn إذا الآن أنا عندي zn بساوي a n زائد b n to
+
+226
+00:21:33,440 --> 00:21:39,580
+the power one over n والآن أنا عندي بما انه a أصغر 
+
+227
+00:21:39,580 --> 00:21:45,740
+من b a أصغر من b من الفرض هي فهذا بالتأكيد بيقودى
+
+228
+00:21:45,740 --> 00:21:52,200
+انه a to n أصغر من b to n إذا 
+
+229
+00:21:52,200 --> 00:21:59,680
+هشيل الـ a to n هذ�� و أضع خليها أصغر من b to n زائد
+
+230
+00:21:59,680 --> 00:22:07,730
+b to n الكل to one over n طب هذا بيطلع two ضرب b to
+
+231
+00:22:07,730 --> 00:22:14,450
+n الكل to power one over n وزع الـ power فبيطلع two
+
+232
+00:22:14,450 --> 00:22:22,290
+to one over n ضرب b صح؟ الآن الـ sequence إذا 
+
+233
+00:22:22,290 --> 00:22:28,470
+أنا أصبح عندي لو دمجت المتباينتين عشرة و أحد عشر مع
+
+234
+00:22:28,470 --> 00:22:35,870
+بعض فبيطلع عندي b من المتباينة عشرة الـ B هذا هي
+
+235
+00:22:35,870 --> 00:22:42,590
+أصغر من الـ ZN ومن المتباينة أحد عشر الـ ZN أصغر من
+
+236
+00:22:42,590 --> 00:22:47,610
+two to one over N times B for every N natural
+
+237
+00:22:47,610 --> 00:22:56,780
+number احنا اتوصلنا لالمتباينة هذه صحيحة لكل N أنا 
+
+238
+00:22:56,780 --> 00:23:01,660
+لأن عندي الـ sequence ZN هذه اللي أنا عايز أثبت ان
+
+239
+00:23:01,660 --> 00:23:07,120
+الـ limit تبعتها بالساوي بيه is squeezed between
+
+240
+00:23:07,120 --> 00:23:13,680
+two sequences محصورة من متتاليتين تنتين هاي
+
+241
+00:23:13,680 --> 00:23:20,620
+متتالية وهاي متتالية المتتالية هذه الحد العام
+
+242
+00:23:20,620 --> 00:23:27,340
+تبعها ثابت بيه وبالتالي الـ limit تبعت ب لما ب
+
+243
+00:23:27,340 --> 00:23:35,340
+تقول لـ infinity بتساوي ب و limit الـ sequence هذي 
+
+244
+00:23:35,340 --> 00:23:39,380
+two to واحد على n limit two to واحد على n بتساوي 
+
+245
+00:23:39,380 --> 00:23:44,760
+واحد اثبتنا احنا قبل هيك ان لو n دي c عدد موجب ف
+
+246
+00:23:44,760 --> 00:23:52,170
+limit c to 1 على n as n tends to infinity بساوي
+
+247
+00:23:52,170 --> 00:23:59,230
+واحد صح فان دي c هنا بساوي اتنين لان الـ limit لـ two
+
+248
+00:23:59,230 --> 00:24:02,450
+to one over n as n tends to infinity بساوي واحد 
+
+249
+00:24:02,450 --> 00:24:07,290
+وبالتالي limit two to one over n times constant b 
+
+250
+00:24:07,290 --> 00:24:12,170
+بساوي واحد في b أو b في واحد ف limit الـ sequence
+
+251
+00:24:12,170 --> 00:24:18,000
+هذه ايضا تطلع b لما تنتقل لـ infinity، إذا by
+
+252
+00:24:18,000 --> 00:24:23,000
+squeeze theorem بيطلع عندي limit الـ sequence zm 
+
+253
+00:24:23,000 --> 00:24:28,240
+المحصورة في النص بساوي بيه، okay؟ إذا هاي هنا
+
+254
+00:24:28,240 --> 00:24:34,120
+استخدامنا الـ sandwich أو الـ squeeze، تمام؟ واضح؟
+
+255
+00:24:36,340 --> 00:24:40,080
+Okay إذا هذه يعني بعض الأسئلة هي اللي حلناها،
+
+256
+00:24:40,080 --> 00:24:43,480
+حالها مش صعب إما تطبيق على الـ sandwich theorem أو 
+
+257
+00:24:43,480 --> 00:24:48,680
+على نظرية 2.4 أو الحاجات اللي أخذناها في الـ
+
+258
+00:24:48,680 --> 00:24:52,740
+section هذا أو في الـ succession السابق أو بالتالي
+
+259
+00:24:52,740 --> 00:24:58,760
+مافيش حاجة يعني غريبة أو تستدعي ان احنا نستخدم حاجة
+
+260
+00:24:58,760 --> 00:25:05,270
+مش موجودة في المناهج إذا ما يكون إلا من شطارتكم 
+
+261
+00:25:05,270 --> 00:25:10,210
+تحاولوا تحلوا باقي التمرين اللي في الـ section هذا
+
+262
+00:25:10,210 --> 00:25:15,550
+طبعا هنا لهنا الامتحان .. الامتحان داخل لحد
+
+263
+00:25:15,550 --> 00:25:21,590
+التمرين هذه الجزء اللي بعد هيك مش داخل في الامتحان
+
+264
+00:25:21,590 --> 00:25:22,310
+النصف الأول
+
+265
+00:25:26,220 --> 00:25:32,640
+تمام فإذا هنا الـ section جديد أو عنوان جديد الـ
+
+266
+00:25:32,640 --> 00:25:38,160
+monotone sequences المتتاليات اللي بيسموها
+
+267
+00:25:38,160 --> 00:25:42,380
+الواتيرية المتتاليات الواتيرية الـ monotone
+
+268
+00:25:42,380 --> 00:25:46,960
+sequence يعني متتالية واتيرية يعني إما متزايدة أو
+
+269
+00:25:46,960 --> 00:25:55,200
+متناقصة فناخد تعريف let x in be a sequence of real
+
+270
+00:25:55,200 --> 00:26:02,880
+numbers سنقول إن سيكوينس Xn increasing متزايدة إذا
+
+271
+00:26:02,880 --> 00:26:07,400
+كان Xn less
+
+272
+00:26:07,400 --> 00:26:11,800
+than or equal to Xn plus one for every n لو كان كل 
+
+273
+00:26:11,800 --> 00:26:17,260
+حد أصغر من أو يساوي اللي بعده فالسيكوينس في الحالة دي 
+
+274
+00:26:17,260 --> 00:26:23,860
+بنسميها increasing و بنسميها decreasing إذا كان كل 
+
+275
+00:26:23,860 --> 00:26:32,760
+حد أكبر من أو يساوي اللي بعده تمام؟ 
+
+276
+00:26:32,760 --> 00:26:40,000
+طيب بنسمي الـ sequence monotone الـ sequence بنسميها
+
+277
+00:26:40,000 --> 00:26:45,460
+monotone أو واتيرية if it is either increasing or
+
+278
+00:26:45,460 --> 00:26:46,040
+decreasing
+
+279
+00:26:48,950 --> 00:26:53,170
+إن المتتالية الوطرية هي متتالية إما increasing أو
+
+280
+00:26:53,170 --> 00:26:58,250
+decreasing معنى 
+
+281
+00:26:58,250 --> 00:27:01,490
+Every increasing sequence is a monotone sequence
+
+282
+00:27:01,490 --> 00:27:06,090
+and every decreasing sequence is a monotone sequence
+
+283
+00:27:06,090 --> 00:27:14,370
+طب هاي أمثلة على monotone sequences فندّي هنا
+
+284
+00:27:14,370 --> 00:27:21,540
+The sequence of natural numbers is increasing واضح أن
+
+285
+00:27:21,540 --> 00:27:26,440
+xn = n  أصغر من أو يساوي xn+1 اللي هو n+1
+
+286
+00:27:26,440 --> 00:27:31,440
+زاد واحد لأن هذا increasing وهذا increasing ال
+
+287
+00:27:31,440 --> 00:27:36,040
+sequence اللي ال nth term تبعها 2 to the power n اللي هي
+
+288
+00:27:36,040 --> 00:27:41,440
+هذه is increasing بينما
+
+289
+00:27:41,440 --> 00:27:46,720
+ال sequence 1 over n decreasing هي كل حد أكبر من
+
+290
+00:27:46,720 --> 00:27:52,140
+أو يساوي للبعده وكذلك ال sequence 1 over 2 to the power n
+
+291
+00:27:52,140 --> 00:27:57,580
+طيب، في سؤال هنا بطرح نفسه، هل كل sequence لازم
+
+292
+00:27:57,580 --> 00:28:01,720
+تكون monotone sequence؟ لا، مو لا، مش شرط، مش شرط،
+
+293
+00:28:01,720 --> 00:28:03,620
+مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش
+
+294
+00:28:03,620 --> 00:28:03,840
+شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش
+
+295
+00:28:03,840 --> 00:28:07,680
+شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش
+
+296
+00:28:07,680 --> 00:28:12,580
+شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش
+
+297
+00:28:12,580 --> 00:28:17,150
+شرط، مش شرط، مش شرط The following sequence is
+
+298
+00:28:17,150 --> 00:28:20,010
+a sequence the nth term of which is (-1) to the power n
+
+299
+00:28:20,010 --> 00:28:24,830
+or n+1  which is the alternating sequence
+
+300
+00:28:24,830 --> 00:28:29,750
+ال sequence هذه المتدبدبة alternating يعني
+
+301
+00:28:29,750 --> 00:28:34,930
+المتدبدبة في الإشارة 1، -1، 1، -1 
+
+302
+00:28:34,930 --> 00:28:40,450
+هذه ليست convergent ليست monotone is not
+
+303
+00:28:40,450 --> 00:28:46,980
+increasing and it is not decreasing نفس الشيء ال
+
+304
+00:28:46,980 --> 00:28:51,180
+sequence اللي حدها nth  تبعها (-1) to the power n اللي
+
+305
+00:28:51,180 --> 00:28:56,040
+هي -1، 2، -3، وهكذا ال
+
+306
+00:28:56,040 --> 00:29:00,560
+sequence هذه is not monotone لا increasing ولا
+
+307
+00:29:00,560 --> 00:29:05,590
+decreasing تمام واضح إذا ال sequence .. أي .. لو
+
+308
+00:29:05,590 --> 00:29:09,310
+أخذنا أي sequence عشوائية فممكن تكون increasing،
+
+309
+00:29:09,310 --> 00:29:14,070
+ممكن تكون decreasing، ممكن تكون neither، neither
+
+310
+00:29:14,070 --> 00:29:16,810
+increasing nor decreasing زي ال function ممكن تكون
+
+311
+00:29:16,810 --> 00:29:22,950
+odd أو even أو neither، لا odd ولا even، أه؟ تمام؟
+
+312
+00:29:22,950 --> 00:29:26,870
+طيب ال .. في نظرية مهمة هنا في هذا السياق
+
+313
+00:29:29,970 --> 00:29:34,290
+بتخص الـ monotone sequences وبالتالي بنسميها
+
+314
+00:29:34,290 --> 00:29:39,170
+monotone convergence theorem وبنستخدم اختصارات
+
+315
+00:29:39,170 --> 00:29:46,690
+MCT (monotone convergence theorem) النظرية
+
+316
+00:29:46,690 --> 00:29:52,550
+هذه بتقول خذي let x be a monotone
+
+317
+00:29:52,550 --> 00:29:57,650
+sequence خلينا نأخذ monotone sequence الآن هذه الـ
+
+318
+00:29:57,650 --> 00:30:01,130
+monotone sequence بتكون convergent if and only if
+
+319
+00:30:01,130 --> 00:30:05,830
+it is bounded تمام؟
+
+320
+00:30:05,830 --> 00:30:10,470
+Moreover إضافة إلى ذلك لو كانت ال sequence x 
+
+321
+00:30:10,470 --> 00:30:16,970
+هذه bounded and increasing فأكيد طبعًا convergent و
+
+322
+00:30:16,970 --> 00:30:22,370
+ال limit تبعتها يساوي ال supremum لها ك set كذلك
+
+323
+00:30:22,370 --> 00:30:25,170
+لو كانت ال sequence x bounded و decreasing
+
+324
+00:30:27,590 --> 00:30:31,190
+فبتكون طبعًا convergent و ال limit بتبعتها يساوي ال
+
+325
+00:30:31,190 --> 00:30:36,270
+infimum لها ك set طيب
+
+326
+00:30:36,270 --> 00:30:39,430
+أنا عندي هنا two statements أو ثلاثة
+
+327
+00:30:39,430 --> 00:30:47,010
+statements أنا عندي العبارة هذه أنا
+
+328
+00:30:47,010 --> 00:30:53,490
+عندي بتثبت العبارة هذه و العبارتين هدول فكيف
+
+329
+00:30:53,490 --> 00:31:00,150
+البرهان بيتم؟ أوّل شيء العبارة الأولى اللي في البرواز
+
+330
+00:31:00,150 --> 00:31:08,610
+هذه if and only if statement صح ففي two parts واحد
+
+331
+00:31:08,610 --> 00:31:15,750
+هذا ال part only if part و ال if part نشوف ال
+
+332
+00:31:15,750 --> 00:31:21,260
+only if part يعني لو كانت x convergent بينا نثبت
+
+333
+00:31:21,260 --> 00:31:25,680
+إنها it is bounded وهذا أثبتناه في نظرية سابقة
+
+334
+00:31:25,680 --> 00:31:31,120
+أثبتنا إن كل sequence convergent is bounded اختبار
+
+335
+00:31:31,120 --> 00:31:41,320
+الدم فاكرين؟ إذا هذا was proved
+
+336
+00:31:41,320 --> 00:31:49,530
+earlier تم إثباته سابقا في نظرية سابقة لو كانت
+
+337
+00:31:49,530 --> 00:31:54,830
+السيكونس تبقى convergent ضروري تكون bounded سواء
+
+338
+00:31:54,830 --> 00:31:58,690
+كانت السيكونس monotone ولا حتى مش monotone okay؟
+
+339
+00:31:58,690 --> 00:32:02,950
+تمام؟ إن هاي برهان الجزء لهذا موجود في نظرية سابقة
+
+340
+00:32:02,950 --> 00:32:08,970
+باقي نثبت الجزء هذا يعني بنا نثبت أنه لو كانت
+
+341
+00:32:08,970 --> 00:32:17,730
+السيكونس bounded السيكونس لو كانت bounded و
+
+342
+00:32:17,730 --> 00:32:18,510
+monotone
+
+343
+00:32:21,420 --> 00:32:25,800
+طبعًا احنا فرضنا انها monotone اه من البداية x
+
+344
+00:32:25,800 --> 00:32:32,020
+is monotone فالآن عشان نكمل برهان العبارة هذه ال
+
+345
+00:32:32,020 --> 00:32:35,060
+if and only if او ال bi-conditional statement هذا
+
+346
+00:32:35,060 --> 00:32:40,920
+فبدنا نثبت أن لو كانت ال sequence bounded و
+
+347
+00:32:40,920 --> 00:32:49,520
+monotone فبتطلع convergent طيب
+
+348
+00:32:49,520 --> 00:32:54,920
+monotone مونوتون لما ال sequence تكون مونوتون
+
+349
+00:32:54,920 --> 00:33:04,060
+معناها إما increasing أو decreasing أو decreasing
+
+350
+00:33:04,060 --> 00:33:08,260
+إذا
+
+351
+00:33:08,260 --> 00:33:16,500
+عشان اثبت الجزء هذا بده اثبت a و b هذا الجزء هذا
+
+352
+00:33:16,500 --> 00:33:25,750
+لبرهانه بده برهين a و b لأن جزء A بيقول لو كانت ال
+
+353
+00:33:25,750 --> 00:33:29,330
+sequence bounded و increasing فبتثبت أنها
+
+354
+00:33:29,330 --> 00:33:33,510
+convergent صح؟ فهي لو كانت ال sequence bounded و
+
+355
+00:33:33,510 --> 00:33:37,930
+increasing فبتثبت أنها convergent و ال limit
+
+356
+00:33:37,930 --> 00:33:43,530
+تبعتها هي ال supremum لها كمجموعة و الجزء B
+
+357
+00:33:43,530 --> 00:33:47,690
+بيثبت أن لو كانت ال sequence bounded و decreasing
+
+358
+00:33:47,690 --> 00:33:54,510
+فبتطلع convergent وإضافة لذلك إن ال limit تبعتها هي
+
+359
+00:33:54,510 --> 00:34:00,390
+ال infimum لها كسب إذا إكمال برهان الاتجاه هذا و
+
+360
+00:34:00,390 --> 00:34:05,690
+برهان a و b وبالتالي نكمل برهان النظرية يكفي إن
+
+361
+00:34:05,690 --> 00:34:11,290
+احنا نثبت a و b  يكفي إن اثبتنا العبارة من 
+
+362
+00:34:11,290 --> 00:34:16,750
+بروزة هذه و a و b يعني برهاننا للنظرية كاملة تمام؟
+
+363
+00:34:17,990 --> 00:34:39,030
+نثبت الآن باقي إثبات a و b نثبت الجزء a فخلينا
+
+364
+00:34:39,030 --> 00:34:43,130
+نفرض أن ال sequence x is bounded قلنا bounded
+
+365
+00:34:43,130 --> 00:34:48,700
+و increasing طيب من تعريف الـ bounded sequence
+
+366
+00:34:48,700 --> 00:34:54,840
+مدام ال sequence bounded إذا يوجد عدد حقيقي موجب M
+
+367
+00:34:54,840 --> 00:35:03,840
+بحيث أن |Xn| أصغر من أو يساوي M لكل n طيب
+
+368
+00:35:03,840 --> 00:35:07,540
+معروف أن أي عدد حقيقي Xn أصغر من أو يساوي القيمة
+
+369
+00:35:07,540 --> 00:35:14,200
+المطلقة له، مظبوط؟ إذا من ال boundedness من فرض أن
+
+370
+00:35:14,200 --> 00:35:18,260
+ال sequence bounded في عدد موجود بحيث أن xn أصغر
+
+371
+00:35:18,260 --> 00:35:23,640
+من أو يساوي M لكل n تمام واضح طيب الآن إذا ال
+
+372
+00:35:23,640 --> 00:35:27,800
+sequence xn bounded above وبالتالي by supremum ال
+
+373
+00:35:27,800 --> 00:35:33,120
+property ال supremum تبعها exist سميّه x*
+
+374
+00:35:35,800 --> 00:35:40,000
+الآن بيدّثبت الادعاء هذا ال claim الادعاء بيدّثبت
+
+375
+00:35:40,000 --> 00:35:45,260
+أن limit ال sequence xn يساوي ال x* اللي هو
+
+376
+00:35:45,260 --> 00:35:51,580
+ال supremum لـ {xn} فلو أثبتت هذا الادعاء معناته
+
+377
+00:35:51,580 --> 00:35:55,600
+أثبتت أنا أن ال sequence xn is convergent و ال
+
+378
+00:35:55,600 --> 00:36:00,650
+limit تبعتها يساوي ال supremum لها كست تعالوا نشوف
+
+379
+00:36:00,650 --> 00:36:04,930
+كيف نثبت ال claim to see this لبرهان ال claim أنا
+
+380
+00:36:04,930 --> 00:36:09,430
+ايش بتثبت؟ بتثبت أن ال sequence xn convergent و
+
+381
+00:36:09,430 --> 00:36:13,630
+ال limit تبعتها يساوي العدد x* فهستخدم تعريف
+
+382
+00:36:13,630 --> 00:36:17,830
+epsilon N لل limit فلازم ابدأ let epsilon
+
+383
+00:36:17,830 --> 00:36:25,090
+أكبر من الصفر be given الآن ال x* هذاهو ال
+
+384
+00:36:25,090 --> 00:36:28,430
+supremum لل set هذه لما نطرح من ال supremum عدد
+
+385
+00:36:28,430 --> 00:36:33,830
+موجب بيصبح ليس upper bound  بيصبح ليس upper bound لأن ال x
+
+386
+00:36:33,830 --> 00:36:37,690
+* هو أصغر upper bound اطرح منه عدد موجب بيصبح ليس
+
+387
+00:36:37,690 --> 00:36:41,590
+upper bound إذا هذا العدد x* - y is not an
+
+388
+00:36:41,590 --> 00:36:46,710
+upper bound معناته في عنصر في ال set هذه اللي هو xn
+
+389
+00:36:46,710 --> 00:36:51,450
+برقم N أكبر من العدد هذا اللي هو ما هو
+
+390
+00:36:51,450 --> 00:36:55,860
+upper bound وطبعًا العدد هذا المؤشر أو ال index
+
+391
+00:36:55,860 --> 00:37:00,040
+N ده يعتمد على ال epsilon مرتبط بال
+
+392
+00:37:00,040 --> 00:37:05,500
+epsilon اللي بنيت فيه طبعًا أنا فرضت أن ال sequence
+
+393
+00:37:05,500 --> 00:37:10,860
+xn increasing وبالتالي xn أصغر من أو يساوي xn
+
+394
+00:37:10,860 --> 00:37:14,880
+لكل n أكبر من أو يساوي N من تعريف ال
+
+395
+00:37:14,880 --> 00:37:20,500
+increasing sequence إذا أنا في عندي هنا هي عندي x
+
+396
+00:37:20,500 --> 00:37:28,280
+N هي xn أصغر من أو يساوي xn لكل n أكبر من أو
+
+397
+00:37:28,280 --> 00:37:36,360
+يساوي N طيب و x* هو ال supremum of ال sequence xn و
+
+398
+00:37:36,360 --> 00:37:42,440
+xn هذا عنصر في ال sequence و x* upper bound لل
+
+399
+00:37:42,440 --> 00:37:49,540
+sequence إذن xn أصغر من أو يساوي x* طيب و x* أصغر
+
+400
+00:37:49,540 --> 00:37:57,820
+من x* + y هذا مافي شك من هنا .. أيوه
+
+401
+00:37:57,820 --> 00:38:03,460
+.. من المتباينة هذه هي عندي xn أكبر من x
+
+402
+00:38:03,460 --> 00:38:11,420
+* - y إذا أنا طلع عندي الآن x* أكبر من
+
+403
+00:38:11,420 --> 00:38:13,160
+.. أو xn
+
+404
+00:38:15,810 --> 00:38:25,070
+أكبر من x* - y أصغر من x* + y لكل n
+
+405
+00:38:25,070 --> 00:38:30,910
+أكبر من أو يساوي N فظبطت صح؟ طيب مهاد
+
+406
+00:38:30,910 --> 00:38:37,890
+المتباينة هي نفسها xn - x* أصغر من y أكبر
+
+407
+00:38:37,890 --> 00:38:44,610
+من -y لكل n أكبر من أو يساوي N طب
+
+408
+00:38:44,610 --> 00:38:49,930
+المتباينة هذه هي .. صح؟ أظبط؟ إذن |xn
+
+409
+00:38:49,930 --> 00:38:53,210
+- x*| أصغر من epsilon لكل n أكبر من أو
+
+410
+00:38:53,210 --> 00:38:58,370
+يساوي N الآن since epsilon was arbitrary هذا
+
+411
+00:38:58,370 --> 00:39:03,810
+بالضبط تعريف epsilon N لل limit أه؟ بأن هذا
+
+412
+00:39:03,810 --> 00:39:08,470
+الكلام صحيح لكل epsilon أكبر من صفر إذن هذا معناه
+
+413
+00:39:08,470 --> 00:39:13,190
+حسب التعريف أن limit xn يساوي x*
+
+414
+00:39:18,780 --> 00:39:23,660
+إذا هذا بيثبت ال claim وبالتالي هكذا نكون أثبتنا
+
+415
+00:39:23,660 --> 00:39:30,560
+الجزء A من النظرية فالجزء
+
+416
+00:39:30,560 --> 00:39:35,300
+الثاني B ممكن نستخدم A في برهان ال B
+
+417
+00:39:38,510 --> 00:39:42,310
+ففي الجزء B الآن أنا عندي ال sequence تبعتي
+
+418
+00:39:42,310 --> 00:39:46,570
+bounded و decreasing إذا I assume xn is bounded
+
+419
+00:39:46,570 --> 00:39:50,770
+and decreasing فأيش 
+
+420
+00:39:50,770 --> 00:39:55,690
+عمل هعرف sequence جديدة yn اللي هي negative الحد
+
+421
+00:39:55,690 --> 00:40:01,530
+العام تبعها negative x in تمام؟ الآن بما أن x in
+
+422
+00:40:01,530 --> 00:40:05,170
+decreasing إذا الـ sequence سالب x in تطلع 
+
+423
+00:40:05,170 --> 00:40:10,610
+increasing وطبعا بما أن الـ sequence x in bounded
+
+424
+00:40:10,610 --> 00:40:15,670
+إذا الـ sequence سالب x in أيضا bounded إذا الآن
+
+425
+00:40:15,670 --> 00:40:18,790
+أنا في عندي sequence جديد اللي هي sequence yn
+
+426
+00:40:18,790 --> 00:40:26,310
+bounded و in crazy إذا حسب الجزء a by part a limit
+
+427
+00:40:26,310 --> 00:40:32,790
+الـ sequence yn تطلع exist و بتساوي الـ supremum لكل
+
+428
+00:40:32,790 --> 00:40:37,870
+الـ y in الـ supremum لعناصر الـ sequence اللي هي y
+
+429
+00:40:37,870 --> 00:40:41,510
+in تمام؟
+
+430
+00:40:41,510 --> 00:40:47,370
+إنها ده من إيه؟ من الجزء إيه من النظرية؟ طيب الـ
+
+431
+00:40:47,370 --> 00:40:51,450
+supremum لـ سالب xn هيفوق  العدد الطبيعي احنا خدنا قبل
+
+432
+00:40:51,450 --> 00:40:56,490
+هيك exercise بيقول supremum أو infimum سالب حاجة 
+
+433
+00:40:56,490 --> 00:41:02,190
+بساوي سالب الـ infimum فهنا بصير هذا سالب الـ
+
+434
+00:41:02,190 --> 00:41:07,530
+infimum تمام؟ إذا أنا عندي بيطلع عندي limit xn
+
+435
+00:41:07,530 --> 00:41:15,180
+بساوي سالب limit سالب xn تمام؟ أضربوا هنا هيندي
+
+436
+00:41:15,180 --> 00:41:18,940
+limit سالب xn أضربوا المعادلة هذه بالسالب واحد
+
+437
+00:41:18,940 --> 00:41:24,700
+فبطلع سالب limit سالب xn بيساوي سالب سالب موجب اللي
+
+438
+00:41:24,700 --> 00:41:29,000
+هو الـ infimum لـ xn وهذا اللي بدنا يعني لأن هي
+
+439
+00:41:29,000 --> 00:41:33,280
+أثبتنا أن limit xn موجودة exist يعني الـ sequence
+
+440
+00:41:33,280 --> 00:41:37,640
+xn convergent والـ limit تبعتها بتساوي الـ infimum
+
+441
+00:41:40,760 --> 00:41:44,680
+بنكمل برهان الـ monotone convergence theorem طبعا
+
+442
+00:41:44,680 --> 00:41:49,280
+الأمثلة هذه اللي هنا كلها أمثلة تطبيق على الـ
+
+443
+00:41:49,280 --> 00:41:53,180
+monotone convergence theorem فأرجو أنكم تحاولوا
+
+444
+00:41:53,180 --> 00:41:56,080
+تخرجوا الأمثلة هذه و تشوفوا كيف نستخدم الـ
+
+445
+00:41:56,080 --> 00:41:58,440
+monotone convergence theorem في 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Mk2487qcZF8_raw.srt

@@ -0,0 +1,1760 @@
+1
+00:00:21,450 --> 00:00:27,950
+Okay إذا احنا في المحاضرة الأخيرة أخدنا الـ
+
+2
+00:00:27,950 --> 00:00:33,670
+monotone convergence theorem وشوفنا
+
+3
+00:00:33,670 --> 00:00:38,970
+أنه في النظرية هذه لو في عندي sequence و ال
+
+4
+00:00:38,970 --> 00:00:42,710
+sequence هذه monotone يعني increasing أو
+
+5
+00:00:42,710 --> 00:00:48,510
+decreasing فعشان فبتكون convergent if and only if
+
+6
+00:00:48,510 --> 00:00:53,060
+it is boundedإذا الـ monotone sequence converges
+
+7
+00:00:53,060 --> 00:01:01,360
+if and only if it is bounded طيب
+
+8
+00:01:01,360 --> 00:01:04,420
+ال monotone sequence نوعين إما increasing أو
+
+9
+00:01:04,420 --> 00:01:07,360
+decreasing فلو كانت ال sequence increasing و طبعا
+
+10
+00:01:07,360 --> 00:01:10,940
+bounded فشوفنا إنها بتكون convergent حسب ال
+
+11
+00:01:10,940 --> 00:01:14,040
+statement الأول و ال limit تبعتها بساوي ال
+
+12
+00:01:14,040 --> 00:01:17,280
+supremum اللي لها ك set و لو كانت ال sequence
+
+13
+00:01:17,280 --> 00:01:22,420
+decreasing و بالطبع boundedفحسب ال statement الأول
+
+14
+00:01:22,420 --> 00:01:28,720
+تطلع convergence ونهايتها هي ال infimum تبعها ك Z
+
+15
+00:01:28,720 --> 00:01:33,040
+وشوفنا
+
+16
+00:01:33,040 --> 00:01:35,560
+برهانة مغرية في المحاضرة السابقة
+
+17
+00:01:38,060 --> 00:01:43,060
+الان بنشوف كيف نطبق النظرية في إثبات إن certain
+
+18
+00:01:43,060 --> 00:01:47,200
+sequences are convergent أو divergent النظرية هذه
+
+19
+00:01:47,200 --> 00:01:51,180
+بالمناسبة ممكن نستخدمها في إثبات إنه monotone
+
+20
+00:01:51,180 --> 00:01:55,960
+sequence معينة إما convergent أو divergent عشان
+
+21
+00:01:55,960 --> 00:01:59,120
+أثبت إن ال monotone sequence إذا عندي أنا monotone
+
+22
+00:01:59,120 --> 00:02:02,760
+sequence عشان أثبت إنها convergent لازم أثبت إنها
+
+23
+00:02:02,760 --> 00:02:08,980
+bounded العكس لو في عنده monotone sequenceوبدي
+
+24
+00:02:08,980 --> 00:02:14,640
+اثبت انها divergent يكفي ان اثبت انها unbounded
+
+25
+00:02:14,640 --> 00:02:21,840
+not bounded فهي ان ال sequence xn بساوي واحد على n
+
+26
+00:02:21,840 --> 00:02:27,240
+هاد ال sequence معروف انه ال limit انها convergent
+
+27
+00:02:27,240 --> 00:02:34,630
+وits limit is zero زيها زي ال sequence واحد على nو
+
+28
+00:02:34,630 --> 00:02:38,270
+ممكن تبرهن أن الـ sequence هذه convergence و
+
+29
+00:02:38,270 --> 00:02:42,030
+نهايتها بالساعة و سفر باستخدام تعريف epsilon
+
+30
+00:02:42,030 --> 00:02:49,070
+capital N لل limit بالظبط زي ما عملنا في برهان ال
+
+31
+00:02:49,070 --> 00:02:52,830
+limit أن ال limit لل sequence واحد علي N بالساعة و
+
+32
+00:02:52,830 --> 00:02:57,810
+سفر باستخدام الarchimedean property فهذا برهان
+
+33
+00:02:57,810 --> 00:03:04,810
+ممكن أي واحدة فيكم تكتبهاللي هو باستخدام تعريف
+
+34
+00:03:04,810 --> 00:03:08,110
+epsilon capital N زائد الـarchimedean property
+
+35
+00:03:08,110 --> 00:03:13,290
+بالظبط زي ما أثبتنا limit 1 على N بساوية 0 اليوم
+
+36
+00:03:13,290 --> 00:03:16,550
+هنشوف برهان تاني باستخدام الـ monotone convergence
+
+37
+00:03:16,550 --> 00:03:16,990
+theorem
+
+38
+00:03:20,740 --> 00:03:25,460
+السيكوانس هي بالحد العام ال n term تبعها xn one
+
+39
+00:03:25,460 --> 00:03:28,960
+over square root of n طبعا square root of n أصغر
+
+40
+00:03:28,960 --> 00:03:32,720
+من square root of z واحد لأي عدد طبيعي وبالتالي
+
+41
+00:03:32,720 --> 00:03:37,680
+مقلوب لكبير أصغر من مقلوب لكبير هذا xn زاد واحد
+
+42
+00:03:37,680 --> 00:03:44,240
+وهذا xn أنا عندي sequence is such that xn زاد واحد
+
+43
+00:03:44,240 --> 00:03:48,560
+أصغر من xn هذا معناه أن ال sequence is increasing
+
+44
+00:03:49,820 --> 00:03:54,740
+كذلك الـ sequence هذه is bounded لأنه هي فيه عدد
+
+45
+00:03:54,740 --> 00:03:59,700
+موجب M بساوي واحد عدد موجب بحيث أنه absolute xn
+
+46
+00:03:59,700 --> 00:04:04,780
+أصغر من أو يساوي M لكل N لأن أنا فيها ال sequence
+
+47
+00:04:04,780 --> 00:04:12,000
+increasingdecreasing و bounded اذا by monotone
+
+48
+00:04:12,000 --> 00:04:16,620
+convergence theorem ال sequence هذه هتكون
+
+49
+00:04:16,620 --> 00:04:23,220
+convergent و ال limit تبعتها بساوي ال infimum طيب
+
+50
+00:04:23,220 --> 00:04:27,740
+ال infimum للمجموعة هذه بتساوي سفر
+
+51
+00:04:30,570 --> 00:04:35,710
+وبرهان ذلك شبيه ببرهان الـ infimum للـ sequence 1
+
+52
+00:04:35,710 --> 00:04:40,310
+على n بالساوي 0 باستخدام الـ Archimedean property
+
+53
+00:04:40,310 --> 00:04:44,350
+راجعوا برهان أن الـ infimum للـ sequence 1 على n
+
+54
+00:04:44,350 --> 00:04:48,610
+وهذا ثمتناه في المحاضرات السابقة راجعوا البرهان
+
+55
+00:04:48,610 --> 00:04:54,800
+وكتبوا برهان مشابه لهبنفس الطريقة نثبت ان الانثرام
+
+56
+00:04:54,800 --> 00:04:58,660
+لسيكوانس هادى او الست هادى سفر اذا حسب الـ
+
+57
+00:04:58,660 --> 00:05:01,400
+monotone convergence theorem ال sequence واحد على
+
+58
+00:05:01,400 --> 00:05:05,700
+جذر M is convergent و ال limit تبعتها بساوي
+
+59
+00:05:05,700 --> 00:05:10,240
+الانثرام تبعها اللى هو سفر اذا هى مثال على تطبيق
+
+60
+00:05:10,240 --> 00:05:15,570
+الـ monotone convergence theoremكذلك ممكن برضه زي
+
+61
+00:05:15,570 --> 00:05:18,810
+ما قلتلكم نستخدم الـ monotone convergence theorem
+
+62
+00:05:18,810 --> 00:05:26,750
+في أثبات أن سيكوانس زي هذه is divergent نشوف
+
+63
+00:05:26,750 --> 00:05:30,870
+مع بعض كيف .. إذا هنا هاي سيكوانس الحد العام تبعها
+
+64
+00:05:30,870 --> 00:05:37,490
+xn هذا الint partial sum بالمناسبة هذا الint
+
+65
+00:05:37,490 --> 00:05:43,330
+partial sum في ال harmonic seriesسيجما من K بساول
+
+66
+00:05:43,330 --> 00:05:50,210
+واحد to infinity لواحد على K وهد
+
+67
+00:05:50,210 --> 00:05:53,110
+ال harmonic series is divergent معروف في calculus
+
+68
+00:05:53,110 --> 00:06:00,190
+بقى ال series هد is divergent وهد الحد العام في ال
+
+69
+00:06:00,190 --> 00:06:04,730
+sequence of partial sums وفي calculus بقى درسنا
+
+70
+00:06:04,730 --> 00:06:10,330
+إذا بتذكروا إذا فاكرين حاجةمن الموضوع هذا انه a
+
+71
+00:06:10,330 --> 00:06:13,970
+series converges if and only if ال sequence of
+
+72
+00:06:13,970 --> 00:06:18,130
+partial sums is convergent فلو ال series is
+
+73
+00:06:18,130 --> 00:06:21,130
+divergent ال sequence of partial sums is divergent
+
+74
+00:06:21,130 --> 00:06:24,830
+هذه هي ال sequence of partial sums حدث بتنها
+
+75
+00:06:24,830 --> 00:06:31,150
+divergent بس مش باستخدام calculus بقى باستخدام ال
+
+76
+00:06:31,150 --> 00:06:37,300
+monotone convergence theoremطيب ال sequence هي
+
+77
+00:06:37,300 --> 00:06:43,920
+الحد العام xn إذا الحد رقم n زياد واحد هي بنضيف
+
+78
+00:06:43,920 --> 00:06:49,400
+زياد واحد على n زياد واحد للمجموع هذا اللي هو xn
+
+79
+00:06:49,400 --> 00:06:54,320
+صح؟ وبالتالي زي ما أنتوا شايفين الحد xn زياد واحد
+
+80
+00:06:54,320 --> 00:07:00,560
+هو الحد xn زائد حد موجب وبالتالي هذا أكبر من xn
+
+81
+00:07:02,310 --> 00:07:06,670
+الكلام هذا صحيح لكل n إذاً هذا معناه إن ال
+
+82
+00:07:06,670 --> 00:07:14,690
+sequence xn is increasing، متزايدة، الآن أنا في
+
+83
+00:07:14,690 --> 00:07:19,410
+ندي sequence xn، هذه الحد الآن تبعها، و ال
+
+84
+00:07:19,410 --> 00:07:25,600
+sequence هذه increasing، monotone يعنيالان الـ
+
+85
+00:07:25,600 --> 00:07:30,700
+monotone convergence بتقول لي عشان أثبت أن ال
+
+86
+00:07:30,700 --> 00:07:34,260
+sequence هذي convergent لازم أثبت أنها bounded
+
+87
+00:07:34,260 --> 00:07:39,860
+وعشان أثبت أنها divergent لازم أثبت أنها unbounded
+
+88
+00:07:39,860 --> 00:07:44,520
+فتعالوا نفحص هل هي bounded ولا لأ إذا طلعت bounded
+
+89
+00:07:44,520 --> 00:07:48,640
+بتكون convergent إذا طلعت unbounded بتكون
+
+90
+00:07:48,640 --> 00:07:49,360
+divergent
+
+91
+00:07:52,580 --> 00:07:57,960
+تعالوا نشوف الحد العام يعني هنا في حاخد ال
+
+92
+00:07:57,960 --> 00:08:04,200
+sequence بدل x in x اللي الحد العام تبعها two to n
+
+93
+00:08:04,200 --> 00:08:09,640
+هذه عبارة عن subsequence فهذه subsequence من ال
+
+94
+00:08:09,640 --> 00:08:10,820
+sequence x in
+
+95
+00:08:16,700 --> 00:08:21,480
+يعني هذه جزء من ال sequence هذه هذه أول حد فيها x
+
+96
+00:08:21,480 --> 00:08:27,400
+رقم مؤشر تبعه اتنين صح؟ يعني هذه حدود ال sequence
+
+97
+00:08:27,400 --> 00:08:32,620
+هذه x اتنين لما n بساوة واحد بعدين اللي بعده x
+
+98
+00:08:32,620 --> 00:08:40,100
+أربع بعدين x تمام يعني و هكذا طبعا هذه الحدود هذه
+
+99
+00:08:40,100 --> 00:08:44,980
+كلها موجودة هنا صح؟ فهذه بنسميها subsequence من ال
+
+100
+00:08:44,980 --> 00:08:49,090
+sequence الأصليالان انا بدي اخد الحد العام لل sub
+
+101
+00:08:49,090 --> 00:08:56,750
+sequence دي اللي المؤشر تبعه 2 أس n بدل n طيب
+
+102
+00:08:56,750 --> 00:09:01,170
+انا عند xn بساوي المجموعة هذا واحد زاد نص زاد تلت
+
+103
+00:09:01,170 --> 00:09:06,290
+اخر حد واحد على n طب لما بدي ال n ب 2 أس n هيطلع
+
+104
+00:09:06,290 --> 00:09:10,650
+عند المجموعة واحد زاد نص زاد تلت الى اخر حد واحد
+
+105
+00:09:10,650 --> 00:09:16,620
+على 2 أس n صح؟ هذا من تعريف ال sequenceالان الحدود
+
+106
+00:09:16,620 --> 00:09:25,340
+هذه تبع المجموع هعملها blocks، بلوكات فواحد لوحده
+
+107
+00:09:25,340 --> 00:09:31,320
+في block، نص لوحده، هاخد التلت والربع مع بعض،
+
+108
+00:09:31,320 --> 00:09:38,080
+بعدين ال block الرابع هتكون خمس و سدس و سبعة و
+
+109
+00:09:38,080 --> 00:09:44,840
+تمان، أربع حدود مع بعض، جمهم مع بعضو هكذا إلى ال
+
+110
+00:09:44,840 --> 00:09:51,220
+block الأخيرة اللي هي 1 على 2 أس N سالب 1 زاد 1
+
+111
+00:09:51,220 --> 00:09:56,660
+إلى 1 على 2 أس N طيب
+
+112
+00:09:56,660 --> 00:10:02,080
+هاي ال 1 نزل النص، الآن التلت هذا، التلت أكبر من
+
+113
+00:10:02,080 --> 00:10:06,820
+ربع إن علامة التساوي هذه صارت أكبر، يعني بدلت
+
+114
+00:10:06,820 --> 00:10:12,650
+التلت بربع، والتلت أكبر من ربعفصار مجموع ربعين
+
+115
+00:10:12,650 --> 00:10:16,090
+الان في ال block اللي بعديها في عندي خمس و سُدس و
+
+116
+00:10:16,090 --> 00:10:22,110
+سبعة تمن كل واحد منهم أكبر من أو يساوي التمن فعشان
+
+117
+00:10:22,110 --> 00:10:27,450
+يصير في عندي هنا تمن زي تمن زي تمن أربع مرات اللي
+
+118
+00:10:27,450 --> 00:10:34,390
+هو بطلع نص أربعة أتمان نص وهنا ربعين نص صح؟ وهنا
+
+119
+00:10:34,390 --> 00:10:39,910
+هذا الحد اللي هنا هذاأكبر من واحد على اتنين أسئن
+
+120
+00:10:39,910 --> 00:10:44,450
+لأنه اتنين أسئن أكبر من اتنين أسئن سالب واحد زائد
+
+121
+00:10:44,450 --> 00:10:49,050
+واحد لكل ان إذاً هذا أكبر من واحد على اتنين أسئن
+
+122
+00:10:49,050 --> 00:10:53,410
+والبعد أكبر من واحد على اتنين أسئن و هكذا إذاً هنا
+
+123
+00:10:53,410 --> 00:10:57,550
+عندي واحد على اتنين أسئن مجموعة على نفسه اتنين
+
+124
+00:10:57,550 --> 00:11:03,890
+أسئن سالب واحد من المراتفمجموهم بيساوي مجموها دول
+
+125
+00:11:03,890 --> 00:11:07,030
+بيساوي اتنين اص ان سالب واحد في واحد على اتنين اص
+
+126
+00:11:07,030 --> 00:11:11,650
+ان بيطلع نص اذا هذا المجموعة نص وهذا نص واللي بعده
+
+127
+00:11:11,650 --> 00:11:16,990
+نص كلهم نصارى ماعدا اول حد اذا واحد وهي نص وهذا نص
+
+128
+00:11:16,990 --> 00:11:23,670
+اللي بعده نص واخر واحد نص طب كام حد في هنا هاي حد
+
+129
+00:11:23,670 --> 00:11:29,950
+ودول عددهم nin من الحدود وهذا وعد هاي in زاد واحد
+
+130
+00:11:29,950 --> 00:11:34,870
+من الحدود طب هدول عددهم in لما أجمع عدد على نفسه
+
+131
+00:11:34,870 --> 00:11:38,810
+in من المرات بيطلع in في نص اللي هو in عتنين زاد
+
+132
+00:11:38,810 --> 00:11:42,770
+واحد طيب لما in تقول ل infinity in عتنين يقول ل
+
+133
+00:11:42,770 --> 00:11:46,570
+infinity وبالتالي واحد زاد in عتنين بيروح ل
+
+134
+00:11:46,570 --> 00:11:50,410
+infinity تمام؟
+
+135
+00:11:50,410 --> 00:11:54,690
+إذا أنا عندي الحد العام لل sequence هذه أو ال
+
+136
+00:11:54,690 --> 00:12:02,730
+subsequenceطولة أكبر من مقدار يقول لـ infinity هو
+
+137
+00:12:02,730 --> 00:12:14,510
+بالتالي إذا
+
+138
+00:12:14,510 --> 00:12:21,510
+أنا عندي x to two to n tends to infinity as n
+
+139
+00:12:21,510 --> 00:12:29,270
+tends to infinityوبالتالي هذا معناه أن X على 2 نص
+
+140
+00:12:29,270 --> 00:12:38,330
+M أكبر من M لكل M عدد موجب ما معناه أن ال limit
+
+141
+00:12:38,330 --> 00:12:42,730
+لحد
+
+142
+00:12:42,730 --> 00:12:47,650
+هذا أو ال sequence X المؤشرات تبقية 2 نص M تقول
+
+143
+00:12:47,650 --> 00:12:52,750
+infinity معناته هذا الحد العام لها أكبر من أي عدد
+
+144
+00:12:52,750 --> 00:12:58,800
+موجبوبالتالي إذا الـ subsequence هذه اللي هي الحد
+
+145
+00:12:58,800 --> 00:13:06,980
+العام تبعها X plus 2N is unbounded وبالتالي
+
+146
+00:13:06,980 --> 00:13:15,560
+فهذا بيقدي إن ال sequence XN نفسها is unbounded
+
+147
+00:13:15,560 --> 00:13:21,300
+لأنه لو كانت ال sequence boundedفأي sub-sequence
+
+148
+00:13:21,300 --> 00:13:25,420
+منها اللي هي جزء منها هتكون bounded صح هذا واضح
+
+149
+00:13:25,420 --> 00:13:30,740
+تمام الان by monotone convergence theorem ال
+
+150
+00:13:30,740 --> 00:13:37,340
+sequence x in unbounded وبالتالي it is divergent
+
+151
+00:13:37,340 --> 00:13:45,000
+لأن لو كانت convergent فلازم تكون bounded okay إذا
+
+152
+00:13:45,000 --> 00:13:49,600
+هاي استخدمنا ال monotone convergence theoremلإثبات
+
+153
+00:13:49,600 --> 00:13:52,140
+أن سيكوانس معينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة
+
+154
+00:13:52,140 --> 00:13:52,840
+مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة
+
+155
+00:13:52,840 --> 00:13:56,680
+مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة
+
+156
+00:13:56,680 --> 00:13:59,900
+مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة
+
+157
+00:13:59,900 --> 00:14:00,660
+مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة
+
+158
+00:14:00,660 --> 00:14:05,360
+مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة
+
+159
+00:14:05,360 --> 00:14:11,900
+مُعينة مُعينة مُعينة
+
+160
+00:14:11,900 --> 00:14:12,220
+مُعين
+
+161
+00:14:16,610 --> 00:14:21,230
+المثال التالت برضه هنستخدم .. هنطبق عليه اللي هو
+
+162
+00:14:21,230 --> 00:14:23,790
+الـ monotone convergence theorem
+
+163
+00:14:34,440 --> 00:14:40,520
+بس هذا المثال مختلف عن المثالين السابقين الان انا
+
+164
+00:14:40,520 --> 00:14:44,820
+بدي اعرف ال sequence x in inductively بطريقة
+
+165
+00:14:44,820 --> 00:14:52,860
+استقرائية شوفنا
+
+166
+00:14:52,860 --> 00:14:56,460
+احنا لما بدينا ال chapter هذا ان ال sequences can
+
+167
+00:14:56,460 --> 00:15:01,740
+be defined in two waysاما explicitly زي مثلا ال
+
+168
+00:15:01,740 --> 00:15:06,900
+sequence xn بالساوي واحد على n او recursively او
+
+169
+00:15:06,900 --> 00:15:11,520
+inductively بطريقة استقرائية بان انا اخد قيمة للحد
+
+170
+00:15:11,520 --> 00:15:16,440
+الاول او اول حدين اعطيهم قيم محددة و بعدين اعرف
+
+171
+00:15:16,440 --> 00:15:22,510
+الحد العام بدالة الحدود اللي قبلهفهي اندي الحد
+
+172
+00:15:22,510 --> 00:15:28,110
+الاول نفرض انه بساوي واحد الان بنعرف xn زياد واحد
+
+173
+00:15:28,110 --> 00:15:31,870
+على انه square root لاتنين ضرب الحد اللي جابناه
+
+174
+00:15:31,870 --> 00:15:35,970
+وهذا لكل n لان بالطريقة هذه ممكن اعرف ان هذا
+
+175
+00:15:35,970 --> 00:15:39,610
+بيعطينا sequence الان هذه ال sequence عايزين نثبت
+
+176
+00:15:39,610 --> 00:15:44,610
+انها convergent زائد ان ال limit تبقاتها بساوي
+
+177
+00:15:44,610 --> 00:15:45,350
+لعدد اتنين
+
+178
+00:15:48,640 --> 00:15:52,540
+لبرهان ذلك سنستخدم الـ monotone convergence
+
+179
+00:15:52,540 --> 00:15:57,940
+theorem عشان
+
+180
+00:15:57,940 --> 00:16:01,680
+أقدر استخدام الـ monotone convergence theorem ففي
+
+181
+00:16:01,680 --> 00:16:07,300
+عندي ال claim الأول يعني بدي أثبت في الإدعاء الأول
+
+182
+00:16:07,300 --> 00:16:14,260
+هذا ان ال sequence xn is increasing and bounded by
+
+183
+00:16:14,260 --> 00:16:14,640
+2
+
+184
+00:16:18,060 --> 00:16:24,180
+فلبرهان ذلك بنلاحظ
+
+185
+00:16:24,180 --> 00:16:31,920
+أن X1 من التعريف تبع ال sequence X1 بساوي 1 و X2
+
+186
+00:16:31,920 --> 00:16:34,660
+ممكن أجيبها من ال recursive formula أو ال
+
+187
+00:16:34,660 --> 00:16:39,500
+inductive formula إن أنا أاخد n بساوي 1 فبطلع X2
+
+188
+00:16:39,500 --> 00:16:49,840
+بساوي جدر 2 ل X1 و X1 1 إذا X2 بطلع جدر 2وبالتالي
+
+189
+00:16:49,840 --> 00:16:54,160
+من الحسابات هذه بيطلع اندي هاي X واحد X واحد
+
+190
+00:16:54,160 --> 00:16:59,080
+بيساوي واحد وبالتالي اكبر منها بيساوي واحد واسغر
+
+191
+00:16:59,080 --> 00:17:04,420
+من X اتنين لان X اتنين جدر اتن��ن الواحد اصغر من
+
+192
+00:17:04,420 --> 00:17:08,620
+جدر اتنين و
+
+193
+00:17:08,620 --> 00:17:12,960
+X اتنين اللي هو جدر اتنين اصغر من الاتنين لان كل
+
+194
+00:17:12,960 --> 00:17:13,760
+هذا صحيح
+
+195
+00:17:19,580 --> 00:17:25,920
+تمام؟ لسه ما خلصناهش لسه ما خلصناهش احنا ما فرضنا
+
+196
+00:17:25,920 --> 00:17:30,580
+انه صحيح احنا أثبتناه لسه
+
+197
+00:17:30,580 --> 00:17:35,220
+ما أثبتناش هذا ال claim لسه ما أثبتناه احنا لسه ده
+
+198
+00:17:35,220 --> 00:17:41,110
+بداية البرهانةالبرهان لـ claim بدأنا بما راحظنا ان
+
+199
+00:17:41,110 --> 00:17:47,150
+x1 من التعريف مقطع بساوي واحد و x2 حسبناها منها
+
+200
+00:17:47,150 --> 00:17:51,630
+بساوي جدر اتنين ل x1 اللي هو جدر اتنين وبالتالي
+
+201
+00:17:51,630 --> 00:17:58,270
+بطلع اندي هيك هاي x1 أكبر من أو ساوي واحد و أصغر
+
+202
+00:17:58,270 --> 00:18:03,850
+من جدر اتنين اللي هو x2 و x2 اللي هي جدر اتنين
+
+203
+00:18:03,850 --> 00:18:09,210
+أصغر من اتنينليش احنا عملنا هذا الكلام لان هيبين
+
+204
+00:18:09,210 --> 00:18:16,170
+الان now الان بدي اثبت بدي استخدم ال induction we
+
+205
+00:18:16,170 --> 00:18:28,150
+use induction لاثبات العبارة هذه وهي ان xn اصغر من
+
+206
+00:18:28,150 --> 00:18:32,970
+xn زائد واحد وهذا اصغر من اتنين وهذا اكبر من أوسع
+
+207
+00:18:32,970 --> 00:18:41,020
+الواحد لكلمن البرهن صحة العبارة هذه by induction
+
+208
+00:18:41,020 --> 00:18:47,240
+طيب الحالة اللي فيها خد n بساوية واحد الحالة اللي
+
+209
+00:18:47,240 --> 00:18:53,300
+فيها n بساوية واحد هي هاي x واحد أكبر من أو ساوية
+
+210
+00:18:53,300 --> 00:19:01,340
+واحد هدا هي و أصغر من x اتنين هدا هيو X2 أصغر من 2
+
+211
+00:19:01,340 --> 00:19:05,280
+إذا العبارة هذه صحيحة لما N بساوي 1 لأنه هنا
+
+212
+00:19:05,280 --> 00:19:10,280
+أثبتناها الآن
+
+213
+00:19:10,280 --> 00:19:18,920
+افرضي .. افرضي أن العبارة صحيحة عند N بساوي K يعني
+
+214
+00:19:18,920 --> 00:19:27,820
+عندك هنا XKاكبر من او ساول واحد اصغر من X K زايد
+
+215
+00:19:27,820 --> 00:19:34,100
+واحد اصغر من اتنين هنا فرضنا هذا ال induction high
+
+216
+00:19:34,100 --> 00:19:41,920
+precision وعايزين نثبت ان هذا بيقدي ان القبارة
+
+217
+00:19:41,920 --> 00:19:48,980
+صحيحة and N بيساوي K زايد واحد يعني بدي اثبت هذه
+
+218
+00:19:48,980 --> 00:19:50,660
+المتباينة
+
+219
+00:19:55,390 --> 00:20:02,590
+بدي أثبت المتباينة هذه طبعا فتعالى نشوف كيف نثبت
+
+220
+00:20:02,590 --> 00:20:21,690
+المتباينة هذه طيب
+
+221
+00:20:21,690 --> 00:20:29,980
+أنا عنديهي عندي المتباينة هذه احنا
+
+222
+00:20:29,980 --> 00:20:49,600
+فرضين ان المتباينة هذه صحيحة احنا
+
+223
+00:20:49,600 --> 00:20:52,640
+فرضين من induction hypothesis ان هذه المتباينة
+
+224
+00:20:52,640 --> 00:20:58,910
+صحيحةأضرب المتباينة هذه في اتنين هي اضرب كل
+
+225
+00:20:58,910 --> 00:21:02,710
+الأطراف في اتنين فبصير اتنين اصغر من اتنين XK اصغر
+
+226
+00:21:02,710 --> 00:21:09,290
+من اتنين XK زائد واحد اصغر من اربع وهذا بيقدي ان
+
+227
+00:21:09,290 --> 00:21:11,570
+واحد اصغر من جدر اتنين
+
+228
+00:21:15,730 --> 00:21:21,830
+و اذا انا الان باخد الجذر التربيعى لكل الأطراف هذه
+
+229
+00:21:21,830 --> 00:21:26,750
+اخد الجذر التربيعى فهي جذر اتنين طبعا اكبر من واحد
+
+230
+00:21:26,750 --> 00:21:34,350
+اصغر منه يساوي جذر اتنين XK اللى هو XK زاد واحد
+
+231
+00:21:34,350 --> 00:21:37,770
+هذا طبعا من التعريف تبع ال sequence من ال
+
+232
+00:21:37,770 --> 00:21:43,130
+inductive formula جذر اتنين XK حسب التعريف بساوي
+
+233
+00:21:43,130 --> 00:21:50,440
+XK زاد واحدوهذا أصغر من هنا جدر اتنين xk أصغر من
+
+234
+00:21:50,440 --> 00:21:56,840
+جدر اتنين xk زائد واحد وهذا أصغر من جدر الأربع
+
+235
+00:21:56,840 --> 00:22:01,180
+اللي هو الأتنين إذا هاي بيطلع عندي واحد أصغر من أو
+
+236
+00:22:01,180 --> 00:22:06,580
+يساوي xk زائد واحد وهذا برضه من ال inductive
+
+237
+00:22:06,580 --> 00:22:15,940
+formula الجدر التربيع هذا بيساوي xk زائد اتنينإذا
+
+238
+00:22:15,940 --> 00:22:21,620
+هي 1 أصغر من أو ساوي xk زاد 1 أصغر من xk زاد 2
+
+239
+00:22:21,620 --> 00:22:28,100
+أصغر من 2 وبالتالي إذا أثبتنا إحنا صحة العبارة هذه
+
+240
+00:22:28,100 --> 00:22:34,700
+عن k زاد 1 وبالتالي هيك بنكون كملنا ال induction
+
+241
+00:22:34,700 --> 00:22:43,060
+okay طبعا إذا ال claim تعالوا نشوف الآن ليش ال
+
+242
+00:22:43,060 --> 00:22:48,470
+sequenceأه ليه ال sequence تبعتنا بتطلع bounded
+
+243
+00:22:48,470 --> 00:22:55,530
+وincreasing فاكرين احنا أثبتنا by induction ان x
+
+244
+00:22:55,530 --> 00:23:01,810
+in أصغر من x in زايد واحد أصغر من اتنين أكبر من
+
+245
+00:23:01,810 --> 00:23:10,150
+أوي ساوي واحد لكل in من الجزء هذا نستنتج
+
+246
+00:23:10,150 --> 00:23:14,460
+ان ال sequence is increasing صح؟لأن هى عندى xn
+
+247
+00:23:14,460 --> 00:23:21,640
+أصغر من xn زاد واحد لكل n ومن المتباينة كلها يعني
+
+248
+00:23:21,640 --> 00:23:28,200
+اللى هى xn أصغر من اتنين أكبر من أوسع واحد لكل n
+
+249
+00:23:28,200 --> 00:23:32,080
+هذا معناته ال sequence bounded هى محصورة بين واحد
+
+250
+00:23:32,080 --> 00:23:37,160
+واتنين و bounded above by اتنين لذلك هذا يكمل
+
+251
+00:23:37,160 --> 00:23:42,800
+برهان ال claim الأول يعنيوهو انه sequence x in
+
+252
+00:23:42,800 --> 00:23:47,240
+increasing و bounded الان by monotone convergence
+
+253
+00:23:47,240 --> 00:23:53,140
+theorem ال sequence x in هتكون convergent دعينا
+
+254
+00:23:53,140 --> 00:23:56,840
+نسمي ال limit تبعتها x وطبعا حسب ال monotone
+
+255
+00:23:56,840 --> 00:23:59,480
+convergence theorem بما انه sequence increasing
+
+256
+00:23:59,480 --> 00:24:05,960
+اذا ال limit تبعتها بساوي ال suprem لها ك set اذا
+
+257
+00:24:05,960 --> 00:24:09,600
+انا في عندي الآن ال sequence تبعتي convergent هي
+
+258
+00:24:09,600 --> 00:24:17,620
+عندي limitx in convergent بيساوي x اللي هي طبعا
+
+259
+00:24:17,620 --> 00:24:21,580
+حسب النظرية بيساوي ال supremum الان بدي أجيب قيمة
+
+260
+00:24:21,580 --> 00:24:25,460
+ال x هذا طبعا
+
+261
+00:24:25,460 --> 00:24:30,560
+مش سهل أن أجيب ال supremum ل ال sequence فبجيبها
+
+262
+00:24:30,560 --> 00:24:35,600
+بطريقة تانية إذا
+
+263
+00:24:35,600 --> 00:24:38,560
+ال claim التاني بدي أثبت أن ال x ال limit ل ال
+
+264
+00:24:38,560 --> 00:24:40,720
+sequence اللي هي x بيساوي 2
+
+265
+00:24:43,730 --> 00:24:47,450
+طيب انا عندي من تعريف الـ sequence انا عندي xn زاد
+
+266
+00:24:47,450 --> 00:24:53,070
+واحد بساوي جدر اتنين xn و هذا الكلام صحيح for
+
+267
+00:24:53,070 --> 00:24:57,870
+every m ناخد ال limit لاتطرفين لما n تقول ل
+
+268
+00:24:57,870 --> 00:25:02,050
+infinity بتطلع limit xn زاد واحد بساوي limit جدر
+
+269
+00:25:02,050 --> 00:25:08,390
+اتنين ثابت في limit جدر ال xn مظبوط؟
+
+270
+00:25:09,940 --> 00:25:15,160
+طيب احنا فرضين او احنا استنتجنا احنا لسه مستنتجين
+
+271
+00:25:15,160 --> 00:25:19,340
+من ال monotone convergence ان limit xn بيساوي x
+
+272
+00:25:19,340 --> 00:25:25,400
+وبالتالي limit xn زاد واحد برضه بتساوي x وهي
+
+273
+00:25:25,400 --> 00:25:31,220
+بيساوي جذر اتنين و limit جذر xn بيساوي جذر ال x
+
+274
+00:25:31,220 --> 00:25:36,980
+حسب نظرية سابقة اذا ال limit هذه اذا هي x و جذر
+
+275
+00:25:36,980 --> 00:25:40,820
+اتنين في ال limit هذه بتطلع جذر ال xإذا أصبح أثيان
+
+276
+00:25:40,820 --> 00:25:46,380
+دي معادلة في مجهول واحد x ممكن أحلها و ذلك بتربيع
+
+277
+00:25:46,380 --> 00:25:53,740
+الطرفين فالمعادلة هذه بعد مربعها تصير هيك وهذه في
+
+278
+00:25:53,740 --> 00:25:59,340
+إلها حالين إما x بيطلع بساوي سفر أو x بساوي اتنين
+
+279
+00:25:59,340 --> 00:26:04,940
+احنا عايزين ال x ناخد x بساوي اتنين و نرفض x بساوي
+
+280
+00:26:04,940 --> 00:26:10,700
+سفر طب ليه نرفض x بساوي سفر؟لأن اثبتنا هنا by
+
+281
+00:26:10,700 --> 00:26:20,340
+induction أن xn أكبر من أوسع واحد أصغر من الأتنين
+
+282
+00:26:20,340 --> 00:26:25,960
+و أثبتنا أن ال sequence هذه convergent، إذا حسب
+
+283
+00:26:25,960 --> 00:26:27,200
+نظرية سابقة
+
+284
+00:26:30,490 --> 00:26:38,230
+إذن ال limit لل sequence xn هتطلع محصورة بين 2 و
+
+285
+00:26:38,230 --> 00:26:42,650
+بين 1 خدمة نظرية بتقول لو كانت ال sequence xn
+
+286
+00:26:42,650 --> 00:26:48,610
+convergent و xn أكبر من أو ساوي a أصغر من أو ساوي
+
+287
+00:26:48,610 --> 00:26:53,570
+b لكل n فال limit لل sequence xn بتطلع أيضا محصورة
+
+288
+00:26:53,570 --> 00:26:59,560
+بين a و bيعني طب هدى هى ال X فرضنا ان ال limit هدى
+
+289
+00:26:59,560 --> 00:27:04,060
+X اذا بطلع انا عندي X اكبر من او ساوي واحد اصغر من
+
+290
+00:27:04,060 --> 00:27:07,920
+الاتنين وبالتالي مش ممكن ال X اللى هى محصورة بين
+
+291
+00:27:07,920 --> 00:27:15,420
+واحد واتنين مش ممكن تساوي سفر مش ممكن تساوي سفر
+
+292
+00:27:15,420 --> 00:27:19,820
+اذا لازم الساوي .. وانا عندي سفر او اتنين اذا لازم
+
+293
+00:27:19,820 --> 00:27:25,570
+الساوي اتنينOkay إذا هين هيك استخدمنا الـ monotone
+
+294
+00:27:25,570 --> 00:27:31,030
+convergence بالمثل في أد التمرين زي هذه sequences
+
+295
+00:27:31,030 --> 00:27:36,290
+معرفة inductively و هتثبتوا أنها convergent و
+
+296
+00:27:36,290 --> 00:27:40,750
+تجيبوا قيمة ال limit بنفس الطريقة و بنفس الأسلوب
+
+297
+00:27:40,750 --> 00:27:46,250
+فحاولوا تستفيدوا من حل المثال الأخير هذا في حل مثل
+
+298
+00:27:46,250 --> 00:27:52,770
+هذه التمرين Okay تمام واضحإذن هنا أخدنا تطبيقات
+
+299
+00:27:52,770 --> 00:27:56,230
+متنوعة على الـ monotone convergence theorem وهي
+
+300
+00:27:56,230 --> 00:28:03,570
+التمرين ل section تلاتة تلاتة نبدأ
+
+301
+00:28:03,570 --> 00:28:09,230
+section أربعة أو تلاتة أربعة نعم بيقول إنه ممكن
+
+302
+00:28:09,230 --> 00:28:13,790
+نحل بحر ثاني و نثبت أنه الإثنان يصدرهم للإكسام
+
+303
+00:28:13,790 --> 00:28:17,770
+مظبوط صحيح الإثنان يتحركون على طريق اللملة اللي هي
+
+304
+00:28:17,770 --> 00:28:18,610
+الإكسام
+
+305
+00:28:21,690 --> 00:28:28,990
+والله انت فاكر فيه و بعدين قولي ليه هي
+
+306
+00:28:28,990 --> 00:28:34,050
+عندك sequence حدودها معروفة معرفة ممكن تكتب أول
+
+307
+00:28:34,050 --> 00:28:40,010
+اربع خمس عدود و تحاول تستنتجي ايه هي قيمة ال
+
+308
+00:28:40,010 --> 00:28:44,930
+supreme و تبرهنها طبعا فهذا متروك اليك
+
+309
+00:28:47,810 --> 00:28:52,030
+هذا يعني حل آخر فانا قلت ان ال suprem مش سهل ان
+
+310
+00:28:52,030 --> 00:28:56,070
+احنا نجيبه لمثل هذه ال sequences او ال sets
+
+311
+00:28:56,070 --> 00:28:59,230
+وبالتالي ال monotone convergence في الفيلم كان
+
+312
+00:28:59,230 --> 00:29:03,390
+ممكن يكون أسهل لأن هاي الكلام التاني هذا الأخير
+
+313
+00:29:03,390 --> 00:29:07,270
+مااخدش وجهة يعني أخدنا ال formula ال inductive
+
+314
+00:29:07,270 --> 00:29:11,570
+formula و أخدنا ال limit للطرفين و حلينا معادلة في
+
+315
+00:29:11,570 --> 00:29:16,800
+Xو ادركنا ان ال X ليس لازم تساوي سفر من هنا لان X
+
+316
+00:29:16,800 --> 00:29:20,820
+محصولة بين واحد و اتنين هذا أسهل من ان انا اجيب ال
+
+317
+00:29:20,820 --> 00:29:26,940
+suprem لكن هذا ممنعش ان ممكن حد معين يثبت ان ال
+
+318
+00:29:26,940 --> 00:29:33,060
+suprem هو اتنين اذا كان سهل فكان بيعني نستخدمه مش
+
+319
+00:29:33,060 --> 00:29:35,240
+سهل نستخدم ال monotone convergence
+
+320
+00:29:49,630 --> 00:29:56,070
+الـ sub-sequences and Bolzano-Weierstrass theorem،
+
+321
+00:29:56,070 --> 00:29:59,350
+ال sub-sequences شوفنا قبل شوية sub-sequence
+
+322
+00:30:11,180 --> 00:30:15,400
+شوفنا قبل لحظات في المثال التاني انه في عنده
+
+323
+00:30:15,400 --> 00:30:26,540
+sequence هي عنده sequence xn حدودها x1, x2, x3, x4
+
+324
+00:30:26,540 --> 00:30:34,160
+و هكذا و في كانت sequence تانية لحد الآن تبعها 2
+
+325
+00:30:34,160 --> 00:30:52,420
+أُس nالحدود هذي هتكون X2 X4 X8 و هكذا صح؟ لو سمنا
+
+326
+00:30:52,420 --> 00:31:01,340
+الاتنين هذي R1 والاربعة هذي سمنها R2 والتمانية R3
+
+327
+00:31:04,820 --> 00:31:10,940
+فبنلاحظ أن R1 أكبر من أو ساوء واحد، عدد طبيعي أكبر
+
+328
+00:31:10,940 --> 00:31:19,320
+من أو ساوء واحد وR2 أكبر من R1، الل�� هو أربعة أكبر
+
+329
+00:31:19,320 --> 00:31:29,050
+من اتنين وR3 اللي هو تمانية أكبر من R2و هكذا اذا
+
+330
+00:31:29,050 --> 00:31:34,810
+ال sub sequence المؤشرات تبعتها او ال indices انا
+
+331
+00:31:34,810 --> 00:31:40,330
+بسميه index مجموعة index indices ال indices او
+
+332
+00:31:40,330 --> 00:31:44,710
+المؤشرات لل sub sequence هي عداد طبيعية هذا هي
+
+333
+00:31:44,710 --> 00:31:49,890
+اتنين اربعة تمانية هي عداد طبيعية والعداد الطبيعية
+
+334
+00:31:49,890 --> 00:31:55,170
+هذه بتشكل sequence هذه عبارة عن sequence of
+
+335
+00:31:55,170 --> 00:32:01,880
+natural numbersصح؟ و ال sequence هذه is strictly
+
+336
+00:32:01,880 --> 00:32:08,200
+.. strictly increasing
+
+337
+00:32:08,200 --> 00:32:14,580
+.. strictly increasing يعني متزايدة زيادة صحيحة
+
+338
+00:32:14,580 --> 00:32:18,860
+يعني R واحد أصغر منه مش أصغر منه أو يساوي R اتنين
+
+339
+00:32:18,860 --> 00:32:23,280
+و R اتنين أصغر منه و لا تساوي R تلاتة و هكذا
+
+340
+00:32:23,280 --> 00:32:25,780
+مظبوط؟ صح؟
+
+341
+00:32:29,030 --> 00:32:33,430
+إذا السب سيكوانس السب سيكوانس من أي سيكوانس هي
+
+342
+00:32:33,430 --> 00:32:39,350
+مجموعة جزئية منها صح لأن حدودها هي حدود حدود السب
+
+343
+00:32:39,350 --> 00:32:46,130
+سيكوانس هي عناصر أو حدود من السيكوانس العصلية لكن
+
+344
+00:32:46,130 --> 00:32:52,170
+مش أي حدود لازم تكون مرتبة بحيث أن المؤشرات تبعتها
+
+345
+00:32:52,170 --> 00:32:56,890
+اتشكل strictly increasing sequence of natural
+
+346
+00:32:56,890 --> 00:33:03,480
+numbersتمام؟ زي هيك إذاً
+
+347
+00:33:03,480 --> 00:33:06,900
+هذا هو تعريف الـ subsequence إذا لو في أنا عندي
+
+348
+00:33:06,900 --> 00:33:12,060
+sequence XN واخدت strictly increasing sequence of
+
+349
+00:33:12,060 --> 00:33:17,620
+natural numbers فال sequence اللي المؤشرات تبعتها
+
+350
+00:33:17,620 --> 00:33:24,060
+هي ال sequence RN اللي هي هذه عناصرها بنسميها
+
+351
+00:33:24,060 --> 00:33:30,640
+subsequence من ال sequence XNو هاي أمثلة هتابر هذه
+
+352
+00:33:30,640 --> 00:33:33,900
+الـ sequence x in الـ sequence of natural numbers
+
+353
+00:33:33,900 --> 00:33:40,860
+فهذه subsequence منها اتنين in الـ sequence of
+
+354
+00:33:40,860 --> 00:33:44,940
+even numbers او even natural numbers ده هي على
+
+355
+00:33:44,940 --> 00:33:54,800
+سرعة اتنين اربعة ستة و هكذا وهذه عبارة عن sequence
+
+356
+00:33:56,170 --> 00:34:03,930
+of odd national numbers واحد تلاتة خمسة و هكذا
+
+357
+00:34:03,930 --> 00:34:11,550
+وحدود ال sequence هذه هي X R واحد هذا X اتنين هذا
+
+358
+00:34:11,550 --> 00:34:18,430
+رقمه هذا رقم اتنين يعني R واحد بساوة اتنين طيب X R
+
+359
+00:34:18,430 --> 00:34:25,450
+اتنين اربع X R اتنينر2 هذا حد رقم أربعة، ر2 بيساوي
+
+360
+00:34:25,450 --> 00:34:31,610
+أربعة و ر1 بيساوي اتنين، و اتنين أصغر من أربعة، XR
+
+361
+00:34:31,610 --> 00:34:39,130
+تلاتة ستة، ر تلاتة ستة نفس الحاجة، يعني هذه
+
+362
+00:34:39,130 --> 00:34:44,020
+subsequence وهذه subsequence من ال sequence Xلأن
+
+363
+00:34:44,020 --> 00:34:48,280
+مأشراتهم كلهم بشكل strictly increasing sequences
+
+364
+00:34:48,280 --> 00:34:53,000
+of natural numbers بالمثل ال sequence 1 على 2 n
+
+365
+00:34:53,000 --> 00:35:03,540
+سالب 1 و ال sequence 1 على n factorial هدول
+
+366
+00:35:03,540 --> 00:35:07,840
+برضه أيضا sub sequences من ال sequence 1 على n
+
+367
+00:35:11,850 --> 00:35:16,490
+لكن الـ sequence اللي لحد الآن تبقى الحدودها واحد
+
+368
+00:35:16,490 --> 00:35:24,370
+على واحد، سفر، تلت، سفر، خمس، سفر، و هكذا هذه ليست
+
+369
+00:35:24,370 --> 00:35:32,450
+subsequence من الـ sequence واحد على انه لأن السفر
+
+370
+00:35:32,450 --> 00:35:37,150
+هذا هايلها، مش موجودة، ليست ثلاثا تاني لل sequence
+
+371
+00:35:37,150 --> 00:35:43,480
+هذه ومؤشرات الحدوديعني لا تشكل strictly increasing
+
+372
+00:35:43,480 --> 00:35:47,640
+sequence طيب
+
+373
+00:35:47,640 --> 00:35:52,780
+لو أخدت أي tail أي tail M tail حيث M fixed natural
+
+374
+00:35:52,780 --> 00:35:58,740
+number ف X أي tail ده M tail of any sequence X in
+
+375
+00:35:58,740 --> 00:36:03,640
+طبعا ال M tail ده حدوده عبارة عن sequence الحد
+
+376
+00:36:03,640 --> 00:36:10,190
+الأول تبعهاx capital M زاد واحد الحد التاني x
+
+377
+00:36:10,190 --> 00:36:16,870
+capital M زاد اتنين التالت x capital M زاد تلاتة و
+
+378
+00:36:16,870 --> 00:36:21,170
+هكذا فطبعا
+
+379
+00:36:21,170 --> 00:36:26,510
+هذه عبارة عن sub sequence من ال sequence الام لأن
+
+380
+00:36:26,510 --> 00:36:32,430
+كل أنصر في ال sub sequence هذه هي موجودة هنا صح؟
+
+381
+00:36:33,790 --> 00:36:39,710
+والمؤشرات تبعات ال sub-sequence هي M زاد واحد اصغر
+
+382
+00:36:39,710 --> 00:36:45,830
+من R اتنين اللي هو M زاد اتنين وR اتنين اصغر من R
+
+383
+00:36:45,830 --> 00:36:50,130
+تلاتة اللي هو M زاد تلاتة وكده هذا sub-sequence
+
+384
+00:36:50,130 --> 00:36:54,950
+ولا مش sub-sequence؟ لو أخدت أي sequence X in فأي
+
+385
+00:36:54,950 --> 00:37:02,220
+M تل هو sub-sequence منهاكذلك لو أخدت أي sequence
+
+386
+00:37:02,220 --> 00:37:09,400
+xn فالـ sequence x اللي الحد اللي عم تبعها المؤشر
+
+387
+00:37:09,400 --> 00:37:16,020
+تبعه 2 أس n هذي برضه subsequence زي ما شوفنا و x2n
+
+388
+00:37:16,020 --> 00:37:21,340
+الحدود الزوجية لو أخدت الحدود الزوجية فقط فهذا
+
+389
+00:37:21,340 --> 00:37:25,840
+بعطيني subsequence و لو أخدت الحدود الفردية تعطيني
+
+390
+00:37:25,840 --> 00:37:38,470
+subsequence ثانية و لا كدهالان سؤال
+
+391
+00:37:38,470 --> 00:37:42,190
+اللى بهمنا احنا ما هي علاقة ال sequence بال
+
+392
+00:37:42,190 --> 00:37:46,990
+subsequence من حيث ال convergence و ال divergence؟
+
+393
+00:37:54,410 --> 00:37:56,950
+يعني لو كانت ال sequence convergent لو في اندي
+
+394
+00:37:56,950 --> 00:38:01,250
+سيكوانس xn convergent ل x واخدت أي sub sequence
+
+395
+00:38:01,250 --> 00:38:07,490
+منها هل هذه ال sequence لازم تكون convergent زيها
+
+396
+00:38:07,490 --> 00:38:11,890
+ولا divergent لازم تكون convergent و ال limit
+
+397
+00:38:11,890 --> 00:38:22,770
+تبعتها نفس ال limit و لها نفس ال limit ماشي
+
+398
+00:38:22,770 --> 00:38:23,170
+لحظة
+
+399
+00:38:29,060 --> 00:38:29,860
+كثير من الناس
+
+400
+00:38:39,930 --> 00:38:46,370
+إذا كمان مرة بهمني أنا أنه لو في عندي sequence
+
+401
+00:38:46,370 --> 00:38:51,030
+نظرية هذه بتقول لو في عندي sequence xn of real
+
+402
+00:38:51,030 --> 00:38:56,350
+numbers وكانت ال sequence هذه convergent ل x فأي
+
+403
+00:38:56,350 --> 00:39:00,170
+subsequence منها بتكون convergent و ال limit
+
+404
+00:39:00,170 --> 00:39:05,330
+تبعتها هي نفس ال limit لل sequence xn
+
+405
+00:39:08,450 --> 00:39:15,870
+وهذا يعني ممكن ان احنا نثبته بسهولة عشان اثبت ان
+
+406
+00:39:15,870 --> 00:39:22,590
+ال subsequence XRN converge ل X فبستخدم تعريف Y
+
+407
+00:39:22,590 --> 00:39:27,930
+capital N فلو أخدت أي Y أكبر من السفر أنا عندي ال
+
+408
+00:39:27,930 --> 00:39:32,560
+sequence الأصلية هي convergent ل Xوبالتالي من
+
+409
+00:39:32,560 --> 00:39:36,720
+تعريف ال convergence لما أن XM converged ل X إذا
+
+410
+00:39:36,720 --> 00:39:39,940
+يوجد عدد طبيعي يعتمد على إبسلون بحيث أن المسافة
+
+411
+00:39:39,940 --> 00:39:45,700
+بين XM و X أصغر من إبسلون لكل M أكبر من أو يساوي
+
+412
+00:39:45,700 --> 00:39:52,980
+capital M طيب أنا عندي المؤشرات
+
+413
+00:39:52,980 --> 00:39:58,160
+تبع السب سيكوينس بتشكل increasing
+
+414
+00:39:58,160 --> 00:40:03,420
+sequenceوأول واحد .. أول عدد فيها طبعا هذا عدد
+
+415
+00:40:03,420 --> 00:40:09,800
+طبيعي وبالتالي أكبر من أو ساوي الواحد فبالتالي ال
+
+416
+00:40:09,800 --> 00:40:15,160
+Rn هدولة ال Rn ممكن اثبات باستخدام ال induction أن
+
+417
+00:40:15,160 --> 00:40:22,220
+Rn أكبر من أو ساوي N لكل N وبالتالي
+
+418
+00:40:22,220 --> 00:40:28,970
+لو أخدت N أكبر من أو ساوي capital N فعندي أنا Rnمن
+
+419
+00:40:28,970 --> 00:40:34,590
+هنا أكبر من أو ساوي small n و ال n أنا ماخده أكبر
+
+420
+00:40:34,590 --> 00:40:38,750
+من أو ساوي capital N إذا بيطلع عندي RN هاي بيطلع
+
+421
+00:40:38,750 --> 00:40:43,150
+عندي RN أكبر من أو ساوي capital N وبالتالي من ال
+
+422
+00:40:43,150 --> 00:40:48,810
+implication 13 ال implication 13 بتقوللي لأي عدد
+
+423
+00:40:49,980 --> 00:40:55,300
+أكبر من أو ساوية capital N المسافة بين X للعدد هذا
+
+424
+00:40:55,300 --> 00:41:02,090
+للمؤشر هذا سالب X أصغر من Yإذا أنا هيك أثبتت ..
+
+425
+00:41:02,090 --> 00:41:07,550
+أنا هيك أثبتت أنه ال .. لأي epsilon أكبر من السفر
+
+426
+00:41:07,550 --> 00:41:12,190
+في capital N يعتمد على epsilon بحيث لكل N أكبر منه
+
+427
+00:41:12,190 --> 00:41:16,830
+ساوي capital N المسافة بين XRN و X أصغر من epsilon
+
+428
+00:41:16,830 --> 00:41:21,320
+وبالتالي من تعريف epsilon capital N للنهايةأنا هيك
+
+429
+00:41:21,320 --> 00:41:27,640
+بكون أثبتت أنه limit xr n لما n تقول ل infinity
+
+430
+00:41:27,640 --> 00:41:35,720
+بساوي x وهذا هو المطلوب طبعا
+
+431
+00:41:35,720 --> 00:41:40,780
+في هنا أمثلة باقي شوية أمثلةفهذه الأمثلة يعني
+
+432
+00:41:40,780 --> 00:41:46,000
+حاولوا أنكم تقرؤوها في مثلين كيف نطبق النظرية هذه
+
+433
+00:41:46,000 --> 00:41:50,660
+أو نوجد العلاقة بين كيف نثبت ال convergence لل
+
+434
+00:41:50,660 --> 00:41:55,900
+sequence من خلال إثبات
+
+435
+00:41:55,900 --> 00:42:00,290
+ال convergence لل subsequences أو العكسفحاولوا
+
+436
+00:42:00,290 --> 00:42:04,490
+تقرؤوها و هيك نكون يعني تقريبا .. هنكمل ان شاء
+
+437
+00:42:04,490 --> 00:42:10,290
+الله المرة الجاية و .. هن .. هنوقف استخدام ال
+
+438
+00:42:10,290 --> 00:42:14,290
+powerpoint ابتداء من المحاضرة الجاية و هنشره على
+
+439
+00:42:14,290 --> 00:42:19,850
+اللغة okay انتهت المحاضرة نشوفكم ان شاء الله يوم
+
+440
+00:42:19,850 --> 00:42:20,250
+اتنين
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Nztl0T85AIM_raw.srt

@@ -0,0 +1,1752 @@
+1
+00:00:21,210 --> 00:00:28,030
+انراجع مع بعض ال order properties of R او خواص
+
+2
+00:00:28,030 --> 00:00:33,790
+الترتيب للأعداد الحقيقية احنا من بداية ال chapter
+
+3
+00:00:33,790 --> 00:00:37,630
+قلنا انه ال real number system نظام الأعداد
+
+4
+00:00:37,630 --> 00:00:43,250
+الحقيقية نظام
+
+5
+00:00:43,250 --> 00:00:52,230
+الأعداد الحقيقية يتكون من مجموعة R boldface Rمع
+
+6
+00:00:52,230 --> 00:00:57,370
+عمليتين فنائيتين واحدة عملية الجامعة واحدة عملية
+
+7
+00:00:57,370 --> 00:01:04,390
+الضرب وافترضنا ان العمليات هذه بتحقق خمس خواص اللي
+
+8
+00:01:04,390 --> 00:01:08,910
+هي خواص ال field اللي هو ال commutative law,
+
+9
+00:01:09,050 --> 00:01:17,690
+associative law, distributive laws, existence of
+
+10
+00:01:17,690 --> 00:01:23,340
+identities, existence of inversesبعدين ضفنا على
+
+11
+00:01:23,340 --> 00:01:28,300
+ذلك انه افترضنا انه ال real number system R بتحقق
+
+12
+00:01:28,300 --> 00:01:33,020
+برضه خاصية الترتيب او خواص الترتيب اللي هي الخاصية
+
+13
+00:01:33,020 --> 00:01:38,440
+السادسة هذه الخاصية السادسة هذه تجزأت يعني تنص على
+
+14
+00:01:38,440 --> 00:01:43,560
+ما يليه نفترض انه يوجد مجموعة جزئية من R غير خالية
+
+15
+00:01:43,560 --> 00:01:49,360
+و المجموعة الجزئية هذه بنسميها P اللي هو اول حرف
+
+16
+00:01:49,360 --> 00:01:56,080
+في positiveعشان نسميها بعد هيك the set of positive
+
+17
+00:01:56,080 --> 00:02:02,020
+real numbers ف ال set P هذه closed under addition
+
+18
+00:02:02,020 --> 00:02:08,540
+and under multiplication كمان نفترض أن ال set P
+
+19
+00:02:08,540 --> 00:02:13,180
+هذه بتحقق الخاصية الثلاثية ال trichotomy property
+
+20
+00:02:14,240 --> 00:02:18,920
+which means that for any real number a exactly one
+
+21
+00:02:18,920 --> 00:02:27,060
+of the three possibilities holds either a belongs
+
+22
+00:02:27,060 --> 00:02:34,420
+to p or a equals zero or negative a belongs to p
+
+23
+00:02:34,420 --> 00:02:42,230
+بناء على هذه الخاصية شفنا أن الأعداد الحقيقيةgets
+
+24
+00:02:42,230 --> 00:02:47,350
+partitioned to three mutually disjoint sets يعني
+
+25
+00:02:47,350 --> 00:02:54,450
+الخاصية هذه بتجزق بتخليني أجزق العداد الحقيقية إلى
+
+26
+00:02:54,450 --> 00:03:00,110
+تلت مجموعات منفصلة مثنى مثنى pair-wise disjoint
+
+27
+00:03:00,110 --> 00:03:05,650
+يعني إن لو أخدت أي مجموعتين عشوائيتين من التلاتة
+
+28
+00:03:05,650 --> 00:03:09,310
+تقطعهم بساوي فايل مافيش بينهم عناصر و مش تلتين
+
+29
+00:03:10,410 --> 00:03:15,170
+واتحادهم بساوي ال R، لأن هذا بشكل تجزء على ال R،
+
+30
+00:03:15,170 --> 00:03:19,630
+تجزء على ال R أو بنسميها في الرياضيات partition of
+
+31
+00:03:19,630 --> 00:03:25,210
+R ال set P هذه سمنها set of positive real numbers
+
+32
+00:03:25,210 --> 00:03:35,210
+وعرفنا negative P على إنها negative عناصر ال set P
+
+33
+00:03:44,210 --> 00:03:49,430
+Okay فهي معرفة negative P هي كل ال elements
+
+34
+00:03:49,430 --> 00:03:56,850
+negative A such that A element in P بعدين
+
+35
+00:03:56,850 --> 00:04:02,430
+عرفنا علاقة الترتيب، الآن بنعرف اللي هو order
+
+36
+00:04:02,430 --> 00:04:08,340
+relation على Rما معنى أنه a لو في ending two real
+
+37
+00:04:08,340 --> 00:04:12,720
+numbers ما معنى a أصغر من b أو b أكبر من a قولنا
+
+38
+00:04:12,720 --> 00:04:19,820
+معناها أن الفرق بين b و a is positive real number
+
+39
+00:04:19,820 --> 00:04:24,480
+أو ينتمي لمجموعة الأعداد المجتمعةطب ما معناه a
+
+40
+00:04:24,480 --> 00:04:28,760
+أصغر من أو ساوي b أو b أكبر من أو ساوي a؟ معناته
+
+41
+00:04:28,760 --> 00:04:33,240
+الفرق بين b و a ينتمي للأعداد الموجبة، يعني الفرق
+
+42
+00:04:33,240 --> 00:04:40,120
+موجب أو يساوي سفر أو يساوي سفر، إذن معناه تاني طيب
+
+43
+00:04:40,120 --> 00:04:50,940
+و أعتقد إن احنا بعد هيك أثبتنا أه
+
+44
+00:04:50,940 --> 00:04:52,780
+وقفنا عند النظرية هذه
+
+45
+00:04:57,810 --> 00:05:02,310
+نظرية واحد خمسة قلنا إنه لأي لو أخدت أي تلت أعداد
+
+46
+00:05:02,310 --> 00:05:08,730
+حقيقية فعند الخواص التالية تتحقق نجموعة الخواص هذه
+
+47
+00:05:08,730 --> 00:05:17,210
+تتحق�� فالخواص
+
+48
+00:05:17,210 --> 00:05:21,630
+هذه هذا
+
+49
+00:05:21,630 --> 00:05:27,330
+هي أمامكم transitivity خاصية التعدىايه يعني
+
+50
+00:05:27,330 --> 00:05:35,310
+التعدى؟ يعني اذا انا في عندي تلت أعداد حقه في A و
+
+51
+00:05:35,310 --> 00:05:38,770
+B و C
+
+52
+00:05:43,970 --> 00:05:52,530
+وكان B هنا أكبر .. B أكبر من A and C أكبر من B
+
+53
+00:05:52,530 --> 00:05:55,790
+فهذا
+
+54
+00:05:55,790 --> 00:06:09,770
+بيؤدي أنه C أكبر من A خليني
+
+55
+00:06:09,770 --> 00:06:15,290
+أنا أكسهم عشان .. كليهم زي ..مهمة موجودة هناك هي a
+
+56
+00:06:15,290 --> 00:06:27,090
+أكبر من b هي a أكبر من b و b أكبر من c فبطلع
+
+57
+00:06:27,090 --> 00:06:38,470
+c أو a بطلع أكبر من cهذه a أكبر من b و b أكبر من c
+
+58
+00:06:38,470 --> 00:06:44,750
+إذا نقدر نتعدى و نقول a أكبر من c فهذه بيسموها في
+
+59
+00:06:44,750 --> 00:06:50,730
+الرياضيات transitivity أو خاصية التعدى الخاصية
+
+60
+00:06:50,730 --> 00:06:53,990
+التانية
+
+61
+00:06:53,990 --> 00:06:59,930
+بنسميها tricotomy برضه خاصية ثلاثية جاية من
+
+62
+00:06:59,930 --> 00:07:05,770
+الخاصية الثلاثية اللى شفناها قبل شويةفبتقول
+
+63
+00:07:05,770 --> 00:07:08,650
+exactly one of the following holds واحد من تلات
+
+64
+00:07:08,650 --> 00:07:19,190
+احتمالات بتحصل اما a اكبر من b او a بتساوي b او a
+
+65
+00:07:19,190 --> 00:07:28,260
+اصغر من bلأي عددين حقيقيين A وB واحد فقط من
+
+66
+00:07:28,260 --> 00:07:32,800
+الاحتمالات التلاتة بيكون صحيح وهو اما A أكبر من B
+
+67
+00:07:32,800 --> 00:07:38,860
+أو A بساوي B أو A أصغر من B الـ Antisymmetry
+
+68
+00:07:38,860 --> 00:07:43,640
+property علاقة أكبر من أو ساويها دي بنسميها
+
+69
+00:07:43,640 --> 00:07:48,400
+Antisymmetric يعني ايه؟ بتحقق خاصية تضاد التماثل
+
+70
+00:07:49,760 --> 00:07:54,960
+إيه يعني؟ مع أن لو كانت A على علاقة مع B و B على
+
+71
+00:07:54,960 --> 00:08:00,940
+علاقة مع A فلازم يطلع A بساوي B، A أكبر من أو ساوي
+
+72
+00:08:00,940 --> 00:08:05,300
+B و B أكبر من أو ساوي A فلازم A ساوي B، هذي
+
+73
+00:08:05,300 --> 00:08:11,640
+بنسميها Anti-symmetry propertyهنا الخاصية هذه لو
+
+74
+00:08:11,640 --> 00:08:18,140
+كان a أكبر من b وضفت للطرفين أي عدد c فالمتباينة
+
+75
+00:08:18,140 --> 00:08:22,040
+تبقى زي ما هي شريتها زي ما هي طيب لو في عندي
+
+76
+00:08:22,040 --> 00:08:26,100
+متباينة a أكبر من b لان نتحدث عن متباينات
+
+77
+00:08:26,100 --> 00:08:31,960
+inequalitiesلو كان a أكبر من b و c عدد موجب وضربت
+
+78
+00:08:31,960 --> 00:08:35,960
+الطرفين في عدد الموجب c فإشارة المتباينة تبقى كما
+
+79
+00:08:35,960 --> 00:08:40,380
+هي لكن لو ضربت المتباينة في عدد سالب إشارة
+
+80
+00:08:40,380 --> 00:08:46,900
+المتباينة تناكز الخاصية f بتقول أنه لأي عدد حقيقي
+
+81
+00:08:46,900 --> 00:08:51,300
+لا يساوي سفر مربع أي عدد حقيقي لا يساوي سفر دائما
+
+82
+00:08:51,300 --> 00:08:55,400
+بيكون عدد موجب الواحد
+
+83
+00:08:55,900 --> 00:08:59,780
+الـ Distinguished elements في R أو في الـ real
+
+84
+00:08:59,780 --> 00:09:02,940
+number system اللي هم السفر والواحد اللي هو ال
+
+85
+00:09:02,940 --> 00:09:07,280
+identity elements سمناهم بيحققوا ان واحد دايما
+
+86
+00:09:07,280 --> 00:09:13,400
+اكبر من السفر و سالب واحد اصغر من السفر كمان لأي
+
+87
+00:09:13,400 --> 00:09:16,840
+عدد طبيعي هذي the set of natural numbers اي عدد
+
+88
+00:09:16,840 --> 00:09:23,210
+طبيعي بيكون دايما موجب اي عدد طبيعي بيطلع موجبلو
+
+89
+00:09:23,210 --> 00:09:27,450
+كان a عدد حقيقي موجب فمقلوبه موجب لو كان a عدد
+
+90
+00:09:27,450 --> 00:09:38,990
+حقيقي سالب مقلوبه بيطلع سالب الخاصية
+
+91
+00:09:38,990 --> 00:09:45,610
+الأخيرة ال لو كان a أصغر من b و اتنين موجبين
+
+92
+00:09:45,610 --> 00:09:53,160
+فمقلوب لصغير أكبر من مقلوبالكبير أو مقلوب الكبير
+
+93
+00:09:53,160 --> 00:09:56,680
+أصغر من مقلوب الصغير بصرت اتنين اللي هم نفس
+
+94
+00:09:56,680 --> 00:10:00,980
+الإشارة لكن لو كان واحد موجة بواحد سالب فالكلام
+
+95
+00:10:00,980 --> 00:10:08,060
+هذا مش صحيح خدوا بالك طيب نشوف نمر بسرعة على
+
+96
+00:10:08,060 --> 00:10:15,500
+البرهين قرأته البرهين انتوا؟ طيب
+
+97
+00:10:30,910 --> 00:10:38,550
+خاصية التعدى خاصية التعدى انا كان عندي a أكبر من b
+
+98
+00:10:38,550 --> 00:10:44,710
+and b أكبر من c بدنا نثبت ان هذا يعدي ان a أكبر من
+
+99
+00:10:44,710 --> 00:10:52,250
+c فالبرهان ذلك يكفي نثبت ان الفرق بين c و a موجب
+
+100
+00:10:52,990 --> 00:10:56,990
+يعني ينتمي لل set P of positive real numbers
+
+101
+00:10:56,990 --> 00:11:02,450
+فتعالوا نثبت الكلام هذا أنا عندي من المعطيات او من
+
+102
+00:11:02,450 --> 00:11:08,370
+الفرض الفرق هذا موجب والفرق هذا موجب من المعطيات
+
+103
+00:11:09,240 --> 00:11:13,680
+طيب set P closed under addition مغلقة تحت عملية
+
+104
+00:11:13,680 --> 00:11:18,820
+الجمع إذا مجموعة أنصرين في P بيطلع أنصر تالت في P
+
+105
+00:11:18,820 --> 00:11:22,660
+هذا الأنصر التالت اللي بيقول المجموعة طلع A سالب C
+
+106
+00:11:22,660 --> 00:11:28,560
+هذا معناه مادام الفرخ هذا تملى P معناته الفرخ هذا
+
+107
+00:11:28,560 --> 00:11:33,900
+موجب أو A أكبر من C as required كما هو مطلوب،
+
+108
+00:11:33,900 --> 00:11:38,040
+مظبوط؟ واضح؟ طيب
+
+109
+00:11:42,860 --> 00:11:49,940
+أي عدد حقيقي له واحد من تلت احتمالات اما موجب او
+
+110
+00:11:49,940 --> 00:11:56,720
+سفر او سالب الان بناء على هذه الخاصية ممكن نثبت
+
+111
+00:11:56,720 --> 00:12:01,940
+الخاصية الثلاثية الخاصية
+
+112
+00:12:01,940 --> 00:12:05,600
+بي
+
+113
+00:12:09,230 --> 00:12:15,030
+قلنا إن لو كان لأي عددين حقيقيين لأي عددين حقيقيين
+
+114
+00:12:15,030 --> 00:12:19,750
+a و b، a أكبر من b أو a بساوي b أو a أصغر من b
+
+115
+00:12:19,750 --> 00:12:22,910
+فالبرهان
+
+116
+00:12:22,910 --> 00:12:27,350
+ذلك بيعتمد على ال try-cutting property اللي شفناها
+
+117
+00:12:27,350 --> 00:12:33,470
+قبل شوية فأنا
+
+118
+00:12:33,470 --> 00:12:33,870
+عندي
+
+119
+00:12:37,890 --> 00:12:41,310
+حسب الـ trichotomy property، لو أخدت الفرق هذا،
+
+120
+00:12:41,310 --> 00:12:46,850
+هذا real number فأي real number إما positive أو
+
+121
+00:12:46,850 --> 00:12:54,390
+بساوي سفر أو negative، صح؟ وهذا بكافئ، الكلام هذا
+
+122
+00:12:54,390 --> 00:13:01,210
+بكافئ A سالب B ينتمي ل B بكافئ أنه الـ A أكبر من B
+
+123
+00:13:02,260 --> 00:13:07,220
+طب وهذا ينتمي لـ 0 بكافة أن a بساوي b أو الفرق
+
+124
+00:13:07,220 --> 00:13:11,660
+بساوي 0 وبالتالي a بساوي b و الفرق هذا ينتمي ل
+
+125
+00:13:11,660 --> 00:13:16,180
+negative b معناته الفرق هذا سالب يعني معناه أن a
+
+126
+00:13:16,180 --> 00:13:21,760
+أصغر من b وهذا اللي بدنا إياه هذا اللي بدنا إياه
+
+127
+00:13:21,760 --> 00:13:25,620
+طيب
+
+128
+00:13:25,620 --> 00:13:32,390
+الجزء C قلنا اللي هو ال antisymmetry propertyالـ
+
+129
+00:13:32,390 --> 00:13:37,990
+Anti-symmetry property نفكركم فيها بتقول لو كان a
+
+130
+00:13:37,990 --> 00:13:46,590
+أكبر من أو يساوي b and b أكبر من أو يساوي a فهذا
+
+131
+00:13:46,590 --> 00:13:52,210
+بيعدي أن a بساوي b، بظبط؟ طيب
+
+132
+00:13:57,150 --> 00:14:02,570
+أنا بدأ أثبت أن A بساوي B، هذه النتيجة، فبدأ أعمل
+
+133
+00:14:02,570 --> 00:14:07,750
+برهان بالتناقض، فبرهان بالتناقض دائما نفرض مافيه
+
+134
+00:14:07,750 --> 00:14:12,670
+النتيجة هو الصح، وبنفسها إلى التناقض، ف assume أن
+
+135
+00:14:12,670 --> 00:14:21,500
+A لا تساوي Bإذا حسب الخاصية الفلاثية هذا بيقدّي ان
+
+136
+00:14:21,500 --> 00:14:30,800
+اما a أصغر من b or b أصغر من a، مظبوط؟ طيب إذا هنا
+
+137
+00:14:30,800 --> 00:14:39,720
+.. الآن لو أخدت .. لو أخدت ال a أكبر من b اللي هو
+
+138
+00:14:39,720 --> 00:14:46,880
+الاحتمال هذالو أخدت .. لو قلت أن a أكبر من b فهذا
+
+139
+00:14:46,880 --> 00:14:54,140
+بتناقض مع الفرض .. بتناقض مع الفرض أن a أصغر من ..
+
+140
+00:14:54,140 --> 00:15:01,160
+a أصغر من أوسع من b هدول اتنين بيعطون التناقض طيب
+
+141
+00:15:01,160 --> 00:15:06,400
+لو افترضت الاحتمال التاني أن a أصغر من b فهذا
+
+142
+00:15:06,400 --> 00:15:15,210
+بتناقض مع الفرض أن a أكبر منأو يساوي الـ B إذا في
+
+143
+00:15:15,210 --> 00:15:20,790
+الحالتين لو فرضت هذا صح بتناقض مع هذا الجزء لو
+
+144
+00:15:20,790 --> 00:15:25,410
+فرضت هذا صح بتناقض مع هذا الجزء اللي هو جزء من
+
+145
+00:15:25,410 --> 00:15:29,970
+الفرض وبالتالي في كلتا الحالتين الفرض أن A لا
+
+146
+00:15:29,970 --> 00:15:35,050
+يساوي B أدى إلى تناقض إذا الصح أن A لازم تساوي B
+
+147
+00:15:35,050 --> 00:15:40,600
+كما هو مطلوب okay هذا برهان بالتناقضواضح تمام
+
+148
+00:15:40,600 --> 00:15:47,740
+مفهوم فاهمين ولا هيك يعني أمور
+
+149
+00:15:47,740 --> 00:15:53,040
+سهلة وبسيطة وكلها يعني مبادئ رياضيات احنا هنا يعني
+
+150
+00:15:53,040 --> 00:15:58,840
+مراجعة لمبادئ رياضيات أو طرق البرهان في مبادئ
+
+151
+00:15:58,840 --> 00:16:03,680
+رياضيات طيب
+
+152
+00:16:03,680 --> 00:16:07,220
+الآن بنثبت القصية F
+
+153
+00:16:13,430 --> 00:16:18,050
+لأي عدد حقيقي لا يساوي سفر دائما مربع و بيطلع موجب
+
+154
+00:16:18,050 --> 00:16:22,330
+فعشان أثبت مربع ال a موجب لازم أثبت ان مربع ال a
+
+155
+00:16:22,330 --> 00:16:30,890
+ينتمي لفئة او مجموعة العداد الموجبة طيب احنا فرضين
+
+156
+00:16:30,890 --> 00:16:34,950
+a لايساوي سفر اذا by tricotomy property بالخاصية
+
+157
+00:16:34,950 --> 00:16:40,470
+التلاتية اما a موجب او سالب يعني معناه هذا او هذا
+
+158
+00:16:40,470 --> 00:16:51,220
+الانلو كانت ال A موجبة فمربع و ال P مغلقة تحت
+
+159
+00:16:51,220 --> 00:16:56,440
+عملية الضرب فحاصل ضرب A في A اللي هو A تربية بيطلع
+
+160
+00:16:56,440 --> 00:17:03,580
+ينتمي يعني هذا بيساوي A تربية ال
+
+161
+00:17:03,580 --> 00:17:07,660
+A ينتمي ل P إذا حاصل الضرب ينتمي ل P وبالتالي A
+
+162
+00:17:07,660 --> 00:17:12,080
+تربية موجبة okay وهذا اللي احنا عايزينهالحالة
+
+163
+00:17:12,080 --> 00:17:17,600
+التانية طب افرض انه negative A تنتمي ل P او A
+
+164
+00:17:17,600 --> 00:17:23,200
+تنتمي ل negative P يعني A سالم ففي الحالة هذه لو
+
+165
+00:17:23,200 --> 00:17:29,220
+ضربت هذا العنصر في نفسه بطلع ينتمي إلى ال P بطلع
+
+166
+00:17:29,220 --> 00:17:33,480
+ينتمي إلى ال P وهذا بطلع بساوي من الخواص اللي
+
+167
+00:17:33,480 --> 00:17:37,510
+أخدناها قبل هيكيعني هذا عبارة عن هذا سالب إيه
+
+168
+00:17:37,510 --> 00:17:40,970
+بكتبه سالب واحد في إيه و سالب إيه التاني نفس
+
+169
+00:17:40,970 --> 00:17:45,650
+الحاجة سالب واحد في إيه فبطلع سالب واحد في سالب
+
+170
+00:17:45,650 --> 00:17:50,170
+واحد في إيه تربية و هذا واحد فبطلع إيه تربية تنتمي
+
+171
+00:17:50,170 --> 00:17:54,830
+لدي وبالتالي إيه تربية موجبة إذا هنا أثبتنا إن أي
+
+172
+00:17:54,830 --> 00:17:59,690
+عدد حقيقي مختلف عن السفر دائما مربع موجب
+
+173
+00:18:13,230 --> 00:18:23,990
+خاصية جي الخاصية
+
+174
+00:18:23,990 --> 00:18:24,510
+جي
+
+175
+00:18:30,830 --> 00:18:36,810
+احنا بنفبط أن الواحد أكبر من السفر فبكل بساطة واحد
+
+176
+00:18:36,810 --> 00:18:42,710
+بساوي واحد ضرب نفسه وهذا بيطلع واحد تربية و قبل
+
+177
+00:18:42,710 --> 00:18:46,710
+شوية شوفنا و الواحد مختلف عن السفر إذا المربع
+
+178
+00:18:46,710 --> 00:18:54,870
+بيطلع موجب حسب الخاصية السابقة، أثبت؟هذا معناه إذا
+
+179
+00:18:54,870 --> 00:18:59,770
+هيثبتنا واحد أكبر من السفر وبالتالي واحد ينتمي لل
+
+180
+00:18:59,770 --> 00:19:04,670
+positive real numbers إذا سالب واحد ينتمي ل
+
+181
+00:19:04,670 --> 00:19:07,610
+negative two يعني negative واحد أصغر من السفر
+
+182
+00:19:07,610 --> 00:19:20,050
+عملية بسيطة طيب احنا الآن بدنا نثبت ان كل
+
+183
+00:19:22,970 --> 00:19:31,370
+عدد حقيقي موجب مقلوبه موجب اه فبنعمل برهان
+
+184
+00:19:31,370 --> 00:19:36,190
+بالتناقض اذا هنا هندي اللي عايز اثبته هنا بس هنذكر
+
+185
+00:19:36,190 --> 00:19:41,430
+ال statement اللي بدنا نثبته يعني ال statement
+
+186
+00:19:41,430 --> 00:19:46,710
+اللي عايز اثبته لو كان a موجب ف reciprocal تبعه
+
+187
+00:19:46,710 --> 00:19:51,920
+بطلع موجب او مقلوبه بطلع موجبلبرهان ذلك نعمل برهان
+
+188
+00:19:51,920 --> 00:20:01,560
+بالتناقض نفرض أن واحد على a أقل من السفر وطبعا
+
+189
+00:20:01,560 --> 00:20:06,380
+عندي انا من الفرض هذا الفرض لازال قائم a أكبر من
+
+190
+00:20:06,380 --> 00:20:13,520
+السفر عندي الفرابين هدول فعندي a أكبر من السفر و
+
+191
+00:20:13,520 --> 00:20:17,640
+واحد على a أصغر من السفر فهذا بيقدي
+
+192
+00:20:20,870 --> 00:20:28,190
+لو ضربت المتباينة هذه في a اللي هو عدد موجب فهيصير
+
+193
+00:20:28,190 --> 00:20:32,450
+اندي واحد على a في a أصغر من سفر في a اللي هو
+
+194
+00:20:32,450 --> 00:20:37,290
+بيساوي سفر طب هدف بيساوي واحد ان هك بيطلع واحد
+
+195
+00:20:37,290 --> 00:20:42,530
+أصغر من سفر وبالتالي هدف يعطيني تناقض لأن الواحد
+
+196
+00:20:42,530 --> 00:20:47,530
+أكبر من سفر لسه مثبتينه قبل شوية ان هدف بيأدي إلى
+
+197
+00:20:47,530 --> 00:20:54,640
+تناقض وبالتاليمقلوب الـ A لازم يكون موجب بالمثل لو
+
+198
+00:20:54,640 --> 00:21:00,980
+كان مقلوب الـ A سالب فممكن نثبت انه مقلوب و ايضا
+
+199
+00:21:00,980 --> 00:21:05,900
+بيطلع سالب فالبرهان مشابه حسيبكم انتوا تكتبوه
+
+200
+00:21:05,900 --> 00:21:07,720
+تمام؟
+
+201
+00:21:21,570 --> 00:21:23,670
+أنا مش عارف لسه أنا هيك بعمل
+
+202
+00:21:50,000 --> 00:21:59,840
+طيب ال .. الجزء هذا الأخير إيش كان هذا؟ إيش كنا
+
+203
+00:21:59,840 --> 00:22:14,980
+بدنا نثبت هناك؟
+
+204
+00:22:17,920 --> 00:22:26,800
+اه إذا كان a عدد موجب و أصغر من b فهذا بيقدّي أن
+
+205
+00:22:26,800 --> 00:22:34,100
+مقلوب الكبير أصغر من مقلوب الصغير بظبط
+
+206
+00:22:34,100 --> 00:22:39,080
+و طبعا هذا موجب فلإثبات
+
+207
+00:22:39,080 --> 00:22:43,360
+أن واحد على بي أصغر من واحد على ايه بتثبت أن الفرق
+
+208
+00:22:43,360 --> 00:22:52,860
+بين واحد على ايه واحد على ايهو 1 على D ينتمي إلى P
+
+209
+00:22:52,860 --> 00:22:59,900
+أو موجة طيب الان هاي ناخد 1 على A سلب 1 على B
+
+210
+00:22:59,900 --> 00:23:05,140
+فاخدنا خاصية ناخد مقام مشترك A B و بعدين بيصير
+
+211
+00:23:05,140 --> 00:23:11,160
+عندى هذا بتحول لحاصل ضرب الان هذا positive number
+
+212
+00:23:11,160 --> 00:23:15,420
+لان احنا فرضين ان ال B أكبر من A فالفرق هذا
+
+213
+00:23:15,420 --> 00:23:23,780
+positiveو A B فبطلع
+
+214
+00:23:23,780 --> 00:23:29,200
+هذا مقلوب ال positive بطلع positive فهذا
+
+215
+00:23:29,200 --> 00:23:33,120
+positive و هذا positive و ال 6 دي closed under
+
+216
+00:23:33,120 --> 00:23:36,400
+multiplication إذن حاصر الضربة ده بطلع positive
+
+217
+00:23:36,400 --> 00:23:45,000
+لكون حاصر الضرب هنا العناصر فيه موجبة وبالتالي
+
+218
+00:23:46,170 --> 00:23:53,450
+إذا .. إذا هذا بيطلع أكبر من الصفر هذا بيطلع الفرق
+
+219
+00:23:53,450 --> 00:23:58,030
+أكبر من أوم وجب وبالتالي واحد على أيه أكبر من واحد
+
+220
+00:23:58,030 --> 00:24:03,770
+على بيه okay الأجزاء المتبقية D وE وH ممكن برهانة
+
+221
+00:24:03,770 --> 00:24:10,030
+بالمثل فاحنا دايما بنسيب للطالب شوية حاجات يثبتها
+
+222
+00:24:11,300 --> 00:24:15,740
+يعني عشان ان الطالب يشارك شوية و إلا بيصير عملية
+
+223
+00:24:15,740 --> 00:24:20,020
+التدريس مملة لو احنا بدنا نشرحلكم كل حاجة و مانخلش
+
+224
+00:24:20,020 --> 00:24:25,880
+ولا إيش للطالب فبصير عملية مملة و بعدين الفهم بكون
+
+225
+00:24:25,880 --> 00:24:31,860
+ماخص كل ما انت شاركت أكتر كل ما شعرتي أو حسيتي
+
+226
+00:24:31,860 --> 00:24:36,900
+بالمعلومة أكتر و كل ما فهمتيها أكتر فالحاجات هذه
+
+227
+00:24:36,900 --> 00:24:40,500
+بالإضافة للتمارين اللي في نهاية كل section في
+
+228
+00:24:40,500 --> 00:24:47,560
+الكتابحالها كتير بساعد في فهم المادة بدون ذلك بظل
+
+229
+00:24:47,560 --> 00:24:57,420
+فهمكم نقص ننتقل إلى نظرية أخرى نظرية واحد ستة
+
+230
+00:24:57,420 --> 00:25:02,680
+نظرية هذه نظرية يعني بسيطة ومهمة
+
+231
+00:25:04,730 --> 00:25:09,830
+رغم بساطتها لكن مهمة إيش بتقول النظرية هذه بتقول
+
+232
+00:25:09,830 --> 00:25:16,250
+لو أخدت أي عددين حقيقين و a أكبر من b فلازم يكون a
+
+233
+00:25:16,250 --> 00:25:26,310
+أكبر من متوسط a و b و أكبر من b البرهان بسيط هي
+
+234
+00:25:26,310 --> 00:25:32,330
+عند الفرض أنا فارض أن a أكبر من bبتثبت أن a أكبر
+
+235
+00:25:32,330 --> 00:25:39,330
+من نص مجموعة a و b و نص مجموعة a و b أكبر من b طيب
+
+236
+00:25:39,330 --> 00:25:44,490
+نثبت المتباينة الأولى هذه نثبت المتباينة الأولى
+
+237
+00:25:44,490 --> 00:25:49,230
+الأول بعدين نثبت التانية
+
+238
+00:25:52,810 --> 00:25:59,530
+فالإثبات الجزء الأول فهي عندي a أكبر من b إذا لو
+
+239
+00:25:59,530 --> 00:26:07,110
+جمعت a على نفسها ده اتنين a لو جمعت على الطرفين a
+
+240
+00:26:07,110 --> 00:26:11,630
+فبطلع عندي a زائد a أكبر من b زاد a هذه خاصية
+
+241
+00:26:11,630 --> 00:26:15,810
+أخدناها قبل a إذا اتنين a بيطلع أكبر من a زائد b
+
+242
+00:26:16,680 --> 00:26:22,900
+كذلك لو جمعت على الطرفين هنا B فبطلع A زائد B أكبر
+
+243
+00:26:22,900 --> 00:26:26,320
+من B زائد B A زائد B أكبر من B زائد B اللي هو
+
+244
+00:26:26,320 --> 00:26:32,320
+اتنين B إذا أنا في عندي الآن متباينتين اتنين A
+
+245
+00:26:32,320 --> 00:26:39,960
+أكبر من A زائد B هيا اتنين A أكبر من A زائد B وA
+
+246
+00:26:39,960 --> 00:26:46,700
+زائد B أكبر من اتنين B إذا by transitivityخاصية
+
+247
+00:26:46,700 --> 00:26:52,740
+التعدى ممكن استنتج ان اتنين a اكبر من a زايد b
+
+248
+00:26:52,740 --> 00:26:59,440
+اكبر من اتنين b الان العدد اتنين عدد طبيعي وشوفنا
+
+249
+00:26:59,440 --> 00:27:03,360
+في الخاصية بتقول اي عدد طبيعي هو عدد موجب فى
+
+250
+00:27:03,360 --> 00:27:09,520
+النظرية اللى فاتت كذلك اي عدد موجب مقلوبه موجب اذا
+
+251
+00:27:09,520 --> 00:27:14,520
+النص عدد موجب الان لو ضربت المتباينة هذه فى النص
+
+252
+00:27:14,520 --> 00:27:19,340
+اللى هو عدد موجبإشاراتها تبقى زي ما هي هذه خاصية
+
+253
+00:27:19,340 --> 00:27:27,740
+خلناها في النظرية هذه تمام؟ إذا أنا حضرب الفنص هي
+
+254
+00:27:27,740 --> 00:27:33,960
+ضربت طبعا هذا بيساوي a وهذا بيساوي b وبالتالي نحصل
+
+255
+00:27:33,960 --> 00:27:40,520
+على المطلوب إذا يعني براهين سهلة وبسيطة النظرية
+
+256
+00:27:40,520 --> 00:27:46,960
+هذه مهمة لأن نتيجة اللي بعدهاأو أهميتها تظهر في
+
+257
+00:27:46,960 --> 00:27:53,580
+النتيجة اللي بعدها اللي هي corollary 171 corollary
+
+258
+00:27:53,580 --> 00:28:04,620
+171 بيقول أن
+
+259
+00:28:04,620 --> 00:28:12,040
+أي عدد موجب بيكون أكبر من نصه اللي هو موجب أي عدد
+
+260
+00:28:12,040 --> 00:28:18,520
+حقيقي موجب دايما أكبر من نصهوبالتالي هذا معناه في
+
+261
+00:28:18,520 --> 00:28:23,200
+رياضيات أن الأعداد الحقيقية الموجبة مالهاش
+
+262
+00:28:23,200 --> 00:28:27,960
+smallest element مافيش .. لو أخدت الأعداد الحقيقية
+
+263
+00:28:27,960 --> 00:28:35,200
+الموجبة اللي هي set P فهذا ال set ماقدرش أحط أصبعي
+
+264
+00:28:35,200 --> 00:28:42,360
+على أصغر عنصر فيها مالهاش أصغر عنصرhas no smallest
+
+265
+00:28:42,360 --> 00:28:48,580
+element لأن لو أخدت أي عنصر موجب و سميته a فبقدر
+
+266
+00:28:48,580 --> 00:28:54,200
+ألاقي عدد موجب أخر أصغر منه اللي هو نصف فبالتالي
+
+267
+00:28:54,200 --> 00:28:59,800
+ال set of positive numbers has no strictly
+
+268
+00:28:59,800 --> 00:29:04,500
+positive element تمام؟ البرهان تبع الكرولري هذا
+
+269
+00:29:04,500 --> 00:29:09,360
+بينتج من نظريةيعني خد بي بساوة سفر في النظرية اللى
+
+270
+00:29:09,360 --> 00:29:26,280
+فاتت نظرية واحد ستة هي تشوفها مع بعض نظرية
+
+271
+00:29:26,280 --> 00:29:30,860
+واحد ستة لو أخدت بي بساوة سفر فبطلع ا اكبر من نص ا
+
+272
+00:29:30,860 --> 00:29:37,970
+اكبر من سفر اذا هذه نتيجة سريعة مظبوطOkay إذا يعني
+
+273
+00:29:37,970 --> 00:29:45,050
+هذه بعض الحاجات السهلة والبسيطة، هنا في نظرية كتير
+
+274
+00:29:45,050 --> 00:29:49,950
+مهمة، هذه برضه نظرية هنستخدمها بكرا يعني في
+
+275
+00:29:49,950 --> 00:29:55,770
+المستقبل، نظرية واحد تمنع، نظرية كتير مهمة وأهمتها
+
+276
+00:29:55,770 --> 00:30:02,670
+هنشوفها في الشبات الرجايةإيش هذه النظرية بتقول؟ لو
+
+277
+00:30:02,670 --> 00:30:08,110
+في عندي عدد حقيقي غير سالب، غير سالب، و في نفس
+
+278
+00:30:08,110 --> 00:30:14,050
+الوقت أصغر من إبسلون لكل عدد موجب إبسلون، فهذا
+
+279
+00:30:14,050 --> 00:30:19,350
+العدد لازم يكون هو السفر، وهي برهان بالتناقض
+
+280
+00:30:22,990 --> 00:30:28,470
+كمان مرة العدد غير السالب اللى بيكون اي اصغر من اي
+
+281
+00:30:28,470 --> 00:30:33,590
+عدد موجب هو السفر مافيش غير السفر اللى بيحقق
+
+282
+00:30:33,590 --> 00:30:40,250
+لخاصية هذه لبرهان ذلك نعمل برهان بالتناقض افرض ان
+
+283
+00:30:40,250 --> 00:30:45,830
+ال a ان ال a هذا بيسويش السفر و في نفس الوجهة a
+
+284
+00:30:45,830 --> 00:30:48,850
+غير سالب اذا يعني a موجب صح؟
+
+285
+00:30:52,860 --> 00:30:57,980
+الان حسب نظرية الكورينة النتيجة واحد سبعة اذا a
+
+286
+00:30:57,980 --> 00:31:05,260
+بطلع اكبر من نص a فاخد epsilon zero هنا عدد موجب
+
+287
+00:31:05,260 --> 00:31:11,260
+بساوي a ع اتنين نص a هذا عدد موجب اذا هاني نجحت في
+
+288
+00:31:11,260 --> 00:31:18,670
+ايجاد عدد epsilon zero عدد موجب وال a اكبر منههذا
+
+289
+00:31:18,670 --> 00:31:22,570
+يتناقض مع الفرض أن a أصغر من إبسلون لكل إبسلون
+
+290
+00:31:22,570 --> 00:31:29,190
+أكبر من السفر أظبط؟ لأن هذا التناقض يثبت النظرية
+
+291
+00:31:29,190 --> 00:31:39,010
+واضح تمام؟ واضح البرهن؟ عيده طيب أنا عندي a عدد
+
+292
+00:31:39,010 --> 00:31:43,190
+حقيقي غير سالم وفي نفس الوجهة أصغر من كل الأعداد
+
+293
+00:31:43,190 --> 00:31:49,030
+الموجبة إبسلون بدا أثبت أن a بساوي سفربرهان
+
+294
+00:31:49,030 --> 00:31:53,630
+بالتناقض prove by contradiction assume or suppose
+
+295
+00:31:53,630 --> 00:31:58,910
+the contrary النقيض أو النفي تبع النتيجة يعني a ما
+
+296
+00:31:58,910 --> 00:32:03,390
+بيستويش صفر نفي a بيستوي صفر a لا تستوي صفر طب أنا
+
+297
+00:32:03,390 --> 00:32:07,470
+كاتب هنا ال contrary a أكبر من صفر هذا صح بناء على
+
+298
+00:32:07,470 --> 00:32:11,930
+أن الفرض a أكبر من أكبر من صفر وما بيستويش صفر إذن
+
+299
+00:32:11,930 --> 00:32:16,970
+أكبر من صفر صح طيب الآن
+
+300
+00:32:18,230 --> 00:32:23,270
+لو أخدت Epsilon Zero بساوي نص A و بما أنه A عدد
+
+301
+00:32:23,270 --> 00:32:27,650
+موجب فنتيجة واحدة السابعة بتقول لو كان A عدد موجب
+
+302
+00:32:27,650 --> 00:32:35,520
+فنص A بطلع عدد موجبإذا هيني و في نفس الوجد كمان ال
+
+303
+00:32:35,520 --> 00:32:40,820
+a أكبر من نص a ال a أكبر من نص a وبالتالي إذا هيني
+
+304
+00:32:40,820 --> 00:32:45,900
+لجحت في إيجاد epsilon zero عدد موجب و a أكبر منه
+
+305
+00:32:45,900 --> 00:32:54,700
+هذا بتناقض مع الفرض أنه بتناقض مع الفرض أنه a أصغر
+
+306
+00:32:54,700 --> 00:33:03,090
+من epsilon لكل epsilon موجبة صح؟ الإبارة هذه هينفي
+
+307
+00:33:03,090 --> 00:33:07,710
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+308
+00:33:07,710 --> 00:33:10,950
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+309
+00:33:10,950 --> 00:33:10,950
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+310
+00:33:10,950 --> 00:33:11,090
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+311
+00:33:11,090 --> 00:33:11,090
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+312
+00:33:11,090 --> 00:33:11,430
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+313
+00:33:11,430 --> 00:33:11,430
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+314
+00:33:11,430 --> 00:33:11,430
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+315
+00:33:11,430 --> 00:33:11,430
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+316
+00:33:11,430 --> 00:33:12,810
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+317
+00:33:12,810 --> 00:33:13,730
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+318
+00:33:13,730 --> 00:33:21,570
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+319
+00:33:21,570 --> 00:33:25,250
+هذه نفي هذه نفي
+
+320
+00:33:28,550 --> 00:33:32,050
+Okay، إذا إحنا لحد الآن يعني كل شغلنا مبادئ
+
+321
+00:33:32,050 --> 00:33:37,270
+رياضيات، صح؟ طيب، طب ما هي مبادئ رياضيات هي أساس
+
+322
+00:33:37,270 --> 00:33:46,390
+ال .. اسمها أساسية الرياضيات، فاسم على مسمة فبختل
+
+323
+00:33:46,390 --> 00:33:50,870
+فهمة المادة هذه، جابت علينا منيحة يعني، هترتاح في
+
+324
+00:33:50,870 --> 00:33:57,380
+المستجبل كتير Bernoulli inequalityبرنول
+
+325
+00:33:57,380 --> 00:34:01,760
+الانيقوليتي هذه يعني في شوية متباينات طبعا مهمة في
+
+326
+00:34:01,760 --> 00:34:06,860
+الكتاب انا اختارت واحدة منهم لكن في بعض المتباينات
+
+327
+00:34:06,860 --> 00:34:13,180
+الأخرى موجودة في الكتاب وارجو انكم تقراوها فبرنول
+
+328
+00:34:13,180 --> 00:34:15,960
+الانيقوليتي هذه واحدة منهم متباينة برنول يعني
+
+329
+00:34:15,960 --> 00:34:23,230
+بيقول لو كان X عدد حقيقي أكبر من سالب واحدفمجموعة
+
+330
+00:34:23,230 --> 00:34:28,750
+واحد و X to the power N دايما أكبر من أو ساوي واحد
+
+331
+00:34:28,750 --> 00:34:38,850
+زائد N ضرب X وهذا صحيح لكل الأعداد الطبيعية نعم
+
+332
+00:34:38,850 --> 00:34:46,290
+في نظرية جاب الهاجم ماخلنهاش شوف
+
+333
+00:34:46,290 --> 00:34:46,890
+مع بعض
+
+334
+00:34:50,730 --> 00:35:07,610
+أه صحيح نشوف النظرية واحد تسعة نظرية
+
+335
+00:35:07,610 --> 00:35:10,870
+واحد تسعة بتقول لو كان أندي عددين حقيقين حاصل
+
+336
+00:35:10,870 --> 00:35:15,610
+ضربهم موجب فيا إما اتنين موجبين يا إما اتنين
+
+337
+00:35:15,610 --> 00:35:20,450
+سالبين صح؟ممكن يكون الاتنين مختلفين في الإشارة و
+
+338
+00:35:20,450 --> 00:35:25,530
+حصل ضربهم موجب إذا حصل ضرب عددين موجب بيقدر انه
+
+339
+00:35:25,530 --> 00:35:33,670
+اما اتنين موجبين او اتنين سالبين فالبرهان نشوف كيف
+
+340
+00:35:33,670 --> 00:35:39,640
+افرض الفرض تبعنا ان حصل ضرب A وB موجبفهذا أكيد
+
+341
+00:35:39,640 --> 00:35:42,780
+بيقدّي ان لا ال a بيساوي سفر ولا ال b بيساوي سفر
+
+342
+00:35:42,780 --> 00:35:46,520
+لأن لو واحد منهم بيساوي سفر فحاصل الدرب هيطلع
+
+343
+00:35:46,520 --> 00:35:50,720
+بيساوي سفر contradiction تناقض صح؟ لأن هذا
+
+344
+00:35:50,720 --> 00:36:02,020
+الاستنتاج منطقي طيب الان احنا ال a ناخد ناخد الجزء
+
+345
+00:36:02,020 --> 00:36:09,250
+هذا الان انا عند a لا يساوي سفربقى اتراي كاتومي
+
+346
+00:36:09,250 --> 00:36:14,650
+property حسب الخلصية التي هي اما a أكبر من سفر أو
+
+347
+00:36:14,650 --> 00:36:23,650
+a أصغر من سفر صح؟ بقى في احتمالين طيب ناخد ال a لو
+
+348
+00:36:23,650 --> 00:36:30,370
+كان افرض ان a أكبر من سفر فهذا بيدى ان واحد على a
+
+349
+00:36:30,370 --> 00:36:42,620
+أكبر من سفرهذا يعني 1 على a أكبر من 0 بيؤدي
+
+350
+00:36:42,620 --> 00:36:48,700
+أيضًا إلى بي اللي هو بساوي ال
+
+351
+00:36:48,700 --> 00:36:53,720
+بي ممكن اكتبها واحد في بي والواحد ممكن ابدله بواحد
+
+352
+00:36:53,720 --> 00:36:57,800
+على a في a واستخدم ال associative law واكتب هذا
+
+353
+00:36:57,800 --> 00:37:04,910
+على صورة واحد على a في a بي الان هذا موجبوهذا موجب
+
+354
+00:37:04,910 --> 00:37:12,330
+إذا حصلت ضرب بيطلع موجب إذا هذه أثبتت أن ال a أكبر
+
+355
+00:37:12,330 --> 00:37:19,950
+من ال b أكبر من السفر لأ احنا أخدنا ال a أكبر من
+
+356
+00:37:19,950 --> 00:37:24,290
+السفر فأدت
+
+357
+00:37:24,290 --> 00:37:28,690
+إلى أن ال b
+
+358
+00:37:28,690 --> 00:37:32,430
+أكبر من السفر وبالتالي بيطلع ال a و ال b موجبين
+
+359
+00:37:34,090 --> 00:37:40,810
+بالمثل لو افترضت .. اخدت لو افترضت ان a سالب فطبعا
+
+360
+00:37:40,810 --> 00:37:46,410
+مقلوب العدد السالب بيطلع سالب وبالتالي ال b اللي
+
+361
+00:37:46,410 --> 00:37:52,830
+هي بتساوي واحد على a في a b زي ما عملنا هنا ال b
+
+362
+00:37:52,830 --> 00:37:56,810
+بتطلع بتساوي واحد على a في a b ف ..
+
+363
+00:38:00,670 --> 00:38:05,850
+فهذا بيطلع الحاصل بضرب سالب لأن عندي انا هي هذه
+
+364
+00:38:05,850 --> 00:38:12,290
+المتباينة هذه هي واحد على ا سالب لو ضربت المتباينة
+
+365
+00:38:12,290 --> 00:38:18,370
+هذه في العدد الموجب a,b اللي هو عدد موجب فبصير
+
+366
+00:38:18,370 --> 00:38:21,910
+المتباينة هذه عبارة عن واحد على a في a,b الطرف
+
+367
+00:38:21,910 --> 00:38:29,070
+الشمال وضربتها في عدد موجب فبطلع أصغر من سفر في a
+
+368
+00:38:29,070 --> 00:38:30,030
+,b اللي هو سفر
+
+369
+00:38:32,730 --> 00:38:38,730
+وبالتالي بيطلع عندي الـ B بيطلع عند الـ B التي هي
+
+370
+00:38:38,730 --> 00:38:46,390
+أصغر للسفرإذا مرة تانية لو فرضنا أن a,b أكبر من 0
+
+371
+00:38:46,390 --> 00:38:50,670
+فشوفنا أن لا ال a بالساوية 0 ولا ال b بالساوية 0
+
+372
+00:38:50,670 --> 00:38:56,670
+وبالتالي أما بطلع a أكبر من 0 أو a أصغر من 0 في
+
+373
+00:38:56,670 --> 00:39:01,010
+الحالة الأولى لو كان a أكبر من 0 بطلع b أكبر من 0
+
+374
+00:39:01,010 --> 00:39:05,170
+وبالتالي a وb موجبين في الاحتمال التاني أو الحالة
+
+375
+00:39:05,170 --> 00:39:09,940
+التانية لو كان a سالب فشوفنا أن بطلع b سالبو
+
+376
+00:39:09,940 --> 00:39:18,480
+بالتالي اتنين سالبين okay تمام نشوف
+
+377
+00:39:18,480 --> 00:39:27,240
+الان Bernoulli inequality اليوم
+
+378
+00:39:27,240 --> 00:39:32,620
+هناخد برهان by induction برضه مبادئ الرياضيات خلنا
+
+379
+00:39:32,620 --> 00:39:39,360
+برهان by contradiction و direct proofوهنشوف move
+
+380
+00:39:39,360 --> 00:39:44,880
+by induction نمسح
+
+381
+00:39:44,880 --> 00:39:49,300
+اللوح بيرنول
+
+382
+00:39:49,300 --> 00:39:52,420
+ال equality زي ما قلنا لو كان x عدد حقيقي أكبر من
+
+383
+00:39:52,420 --> 00:39:58,000
+سالب واحد فلمّا أضيف عليه واحد وارفع لقوة n هذا
+
+384
+00:39:58,000 --> 00:40:02,380
+بيطلع أكبر من أو سالب واحد زائد n في x وهذا صحيح
+
+385
+00:40:02,380 --> 00:40:07,290
+لكل الأعداد الطبيعيةالبرغم by induction لو كانت n
+
+386
+00:40:07,290 --> 00:40:12,690
+بساوي واحد بثبت صحة العبارة عند n بساوي واحد لأن
+
+387
+00:40:12,690 --> 00:40:20,350
+ان تبدأ من واحد فلو كان n بساوي واحد فالطرف
+
+388
+00:40:20,350 --> 00:40:23,530
+الشمال
+
+389
+00:40:23,530 --> 00:40:31,900
+بطلع واحد زاد x صح؟الطرف الشمال واحد زائد X والطرف
+
+390
+00:40:31,900 --> 00:40:37,240
+اليمين برضه واحد زائد X فبطلع مساواة وطبعا
+
+391
+00:40:37,240 --> 00:40:42,720
+المساواة بقدر بدلها بأكبر من أوسعه مافي مشكلة
+
+392
+00:40:42,720 --> 00:40:46,020
+تمام؟
+
+393
+00:40:46,020 --> 00:40:52,700
+إذا العبارة هذه صحيحة عند N بالساوي واحد الآن نفرض
+
+394
+00:40:52,700 --> 00:40:57,780
+أن العبارة صحيحة عند N بالساوي K حيث K أكبر من
+
+395
+00:40:57,780 --> 00:41:05,800
+واحدهذا ما نسميه induction hypothesis الفرض تبع ال
+
+396
+00:41:05,800 --> 00:41:12,740
+induction نفرض صحة العبارة عند N بساوة K حيث K
+
+397
+00:41:12,740 --> 00:41:18,080
+أكبر من 1 هذا معناه أن 1 زاد X to K bigger than or
+
+398
+00:41:18,080 --> 00:41:24,510
+equal to 1 plus K Xطيب الان نريد نكمل ال induction
+
+399
+00:41:24,510 --> 00:41:32,790
+عايزين نثبت صحة العبارة واحد اللي هي هذه العبارة
+
+400
+00:41:32,790 --> 00:41:38,730
+واحد مش عارف من الواحد رايح العبارة واحد هذه نثب
+
+401
+00:41:38,730 --> 00:41:45,650
+الصحة عندنا بساوة K زياد واحد طيب from اتنين هذه
+
+402
+00:41:45,650 --> 00:41:47,870
+العبارة اتنين اللي هي induction hypothesis
+
+403
+00:41:52,040 --> 00:41:59,640
+بتدفع في الـ type هاي العبارة هذه لما n ساوي k
+
+404
+00:41:59,640 --> 00:42:05,880
+زائد واحد هصير واحد زائد x الكل أس k زائد واحد
+
+405
+00:42:05,880 --> 00:42:12,410
+أكبر من أو ساوي واحد زائد k زائد واحدفي X هذه
+
+406
+00:42:12,410 --> 00:42:18,390
+العبارة and N بساوي K زي 1 نبدأ بالطرف الشمال و
+
+407
+00:42:18,390 --> 00:42:22,670
+نثبت أنه أكبر من أو يساوي الطرف اليمين هاي الطرف
+
+408
+00:42:22,670 --> 00:42:27,950
+الشمال بقدر أجزئه حسب قوانين الأسس ل1 plus K to K
+
+409
+00:42:27,950 --> 00:42:34,410
+و 1 زي X to K ضرب 1 زي X الآن من اتنين من العبارة
+
+410
+00:42:34,410 --> 00:42:38,070
+التانية one plus X to K اللي هو induction
+
+411
+00:42:38,070 --> 00:42:43,340
+hypothesisحسب اتنين هذا اكبر من او يساوي واحد زياد
+
+412
+00:42:43,340 --> 00:42:48,220
+ك اكس مضروب في واحد زياد اكس بنضرب هدول في بعض و
+
+413
+00:42:48,220 --> 00:42:55,440
+بنرتب فبطلع حاصل الضرب هذا هو واحد زياد ك زياد
+
+414
+00:42:55,440 --> 00:43:01,340
+واحد في اكس زياد ك في اكس تربيه الآن
+
+415
+00:43:01,340 --> 00:43:08,860
+هذا هذا عدد موجب هذا عدد موجبلأن K عدد طبيعي و X
+
+416
+00:43:08,860 --> 00:43:16,060
+تربيه عدد موجب لما أشيل هذا أشطبه فبصغر المقدار
+
+417
+00:43:16,060 --> 00:43:20,580
+لما أشيل عدد موجب من عدد أو أنقص من عدد عدد موجب
+
+418
+00:43:20,580 --> 00:43:27,580
+بصغر فبالتالي هذا أكبر من واحد زاد K زاد واحد في X
+
+419
+00:43:28,490 --> 00:43:33,310
+وهذا هو الطرف اليمين للمتباينة 1 اللي احنا عايزين
+
+420
+00:43:33,310 --> 00:43:38,050
+نثبت صحتها عند m بساوي k زيادة واحدة اذا this
+
+421
+00:43:38,050 --> 00:43:42,830
+completes the induction هذا بيكمل البرهان بال
+
+422
+00:43:42,830 --> 00:43:50,050
+induction مظبوط صح تمام واضح اذا هاي صار في ان
+
+423
+00:43:50,050 --> 00:43:54,170
+متباينة
+
+424
+00:43:54,170 --> 00:44:01,080
+Bernoulli زي ما قلنا لكم في في الفي ال section هذا
+
+425
+00:44:01,080 --> 00:44:08,240
+بعض المتباينات الأخرى فبإمكانكم تقرؤوها ال
+
+426
+00:44:08,240 --> 00:44:12,260
+homework الآن خلصنا احنا section اتنين واحد اعتقد
+
+427
+00:44:12,260 --> 00:44:20,040
+فالمسائل المطلوب انكم تحلوها اللي هي موجودة مرسوصة
+
+428
+00:44:20,040 --> 00:44:23,280
+هنا وبرضه
+
+429
+00:44:23,280 --> 00:44:26,500
+زي ما قلتلكم في syllabus موجود على الصفحه تبعتي
+
+430
+00:44:27,940 --> 00:44:32,720
+فبارضه في ال homework هذا موجود ل .. مش ل ال
+
+431
+00:44:32,720 --> 00:44:38,400
+section هذا لكل ال .. المنهج اذا نبدأ نحل المسائل
+
+432
+00:44:38,400 --> 00:44:44,180
+هذه و ان شاء الله لسبوع الجاي بنعمل مناقشة فانا
+
+433
+00:44:44,180 --> 00:44:49,200
+هعمل مناقشة .. انا اللي هكون مناقشة لكم اليوم لأ
+
+434
+00:44:49,200 --> 00:44:52,960
+مافيش مناقشة لأنه لسه احنا يعني ماخدناش material
+
+435
+00:44:52,960 --> 00:45:00,110
+كافيةاو اللي لسه يعني مش مهيئين او مش محضرين
+
+436
+00:45:00,110 --> 00:45:06,170
+فهنواصل ونحاول ان شاء الله أسبوع الجاى ناخد كل
+
+437
+00:45:06,170 --> 00:45:10,450
+ساعة هذه الساعة
+
+438
+00:45:10,450 --> 00:45:12,930
+الأخيرة هذه المتأخرة نعملها مناقشة
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/QCtISTGMQww_raw.srt

@@ -0,0 +1,1400 @@
+1
+00:00:20,770 --> 00:00:26,750
+السلام عليكم بسم الله الرحمن الرحيم اليوم طبعا
+
+2
+00:00:26,750 --> 00:00:33,950
+فينا لقائن اللقاء الأول هناخد فيه مناقشة زي ما ..
+
+3
+00:00:33,950 --> 00:00:40,390
+زي ما احنا متعودين هنناقش اليوم section تلاتة
+
+4
+00:00:40,390 --> 00:00:47,170
+أربعة و تلاتة خمسة فإذا في عندكم أي أسئلة معينة في
+
+5
+00:00:47,170 --> 00:00:53,870
+section تلاتة أربعةأو تلاتة خمسة فهذه فرصة عندكم
+
+6
+00:00:53,870 --> 00:01:01,690
+أنكم يعني تسألوا الأسئلة و نحاول نحلها مع بعض فمين
+
+7
+00:01:01,690 --> 00:01:04,470
+في عندك أي سؤال في ال section تلاتة أربعة الأول
+
+8
+00:01:04,470 --> 00:01:09,010
+السؤال الرابع حصل دار الجامعة التلانية كوشيسي بصرش
+
+9
+00:01:09,010 --> 00:01:13,190
+زيت كادر في ال section تلاتة أربعة
+
+10
+00:01:16,800 --> 00:01:22,480
+الأول في section تلاتة اربعة فيها أي أسئلة؟ سؤال
+
+11
+00:01:22,480 --> 00:01:23,020
+تمانية
+
+12
+00:01:45,600 --> 00:01:57,660
+هذه السؤال تمانية D section تلاتة أربعة determine
+
+13
+00:01:57,660 --> 00:02:05,760
+the following limits determine
+
+14
+00:02:05,760 --> 00:02:13,200
+يعني حد دي أو أوج دي ال limit لل sequence اللي
+
+15
+00:02:13,200 --> 00:02:25,120
+الحد العام تبعهاواحد زائد اتنين واحد زائد
+
+16
+00:02:25,120 --> 00:02:33,200
+واحد على اتنين N الكل أس تلاتة N لما
+
+17
+00:02:33,200 --> 00:02:40,640
+N تقول ل Infinity احنا
+
+18
+00:02:40,640 --> 00:02:42,040
+عندنا ال ..
+
+19
+00:02:48,210 --> 00:02:54,670
+We know احنا فيه ان ال limit المعروفة limit واحد
+
+20
+00:02:54,670 --> 00:03:04,010
+زايد X على M الكل أس M as M tends to infinity
+
+21
+00:03:04,010 --> 00:03:10,850
+بساوي E أس X ال limit هذه معروفة موجودة هنا
+
+22
+00:03:14,080 --> 00:03:26,660
+باستخدام ال limit هذه ممكن ان احنا وبالتالي
+
+23
+00:03:26,660 --> 00:03:29,900
+تعالى
+
+24
+00:03:29,900 --> 00:03:36,380
+نشوف واحد زائد واحد على اتنين in الكل اصلا تلاتة
+
+25
+00:03:36,380 --> 00:03:42,060
+inنحاول نكتب هذا على صورة واحد زائد X على M الكل
+
+26
+00:03:42,060 --> 00:03:48,280
+قص M فهذا ممكن كتابته على صورة المقدار هذا على
+
+27
+00:03:48,280 --> 00:03:57,120
+الصورة واحد زائد نص على M نص
+
+28
+00:03:57,120 --> 00:04:05,600
+على M الكل قص M الكل
+
+29
+00:04:05,600 --> 00:04:06,160
+تكيين
+
+30
+00:04:09,900 --> 00:04:19,240
+صحيح وبالتالي therefore limit لما انتقل ل infinity
+
+31
+00:04:19,240 --> 00:04:28,160
+ل ال sequence اللي لحد تبعها هذا بيساوي limit لما
+
+32
+00:04:28,160 --> 00:04:36,570
+انتقل ل infinity ل الكلام هذا للمفضار اللي هناو هي
+
+33
+00:04:36,570 --> 00:04:43,330
+عندي واحد زي ال X على M او M الكل اص M ف limit
+
+34
+00:04:43,330 --> 00:04:53,370
+المقدار اللي جوا بساوي E اص نص او E اص X الكل ده
+
+35
+00:04:53,370 --> 00:04:57,150
+كئيب انا مقدر ادخل ال limit جوا القصير المربعين
+
+36
+00:04:57,150 --> 00:05:02,830
+limit المقدار اللي جوا جوا القصير المربعينحسب
+
+37
+00:05:02,830 --> 00:05:08,030
+القاعدة او القانون هذا E أُس X اللي هو نص وبعدين 2
+
+38
+00:05:08,030 --> 00:05:15,610
+بالكلتك A فبطلع E أُس 3 على 2 إذا هذه هي قيمة ال
+
+39
+00:05:15,610 --> 00:05:19,990
+limit okay تمام في
+
+40
+00:05:19,990 --> 00:05:25,090
+أسلة تانية في ال section هذا تلاتة أربعة
+
+41
+00:05:32,810 --> 00:05:48,550
+PIS love section تلاتة أربعة طيب
+
+42
+00:05:48,550 --> 00:05:54,230
+section تلاتة خمسة أنا في السؤال الرابع الشخصي
+
+43
+00:05:54,230 --> 00:05:54,650
+التاني
+
+44
+00:06:02,810 --> 00:06:07,190
+سيكشن تلاتة خمسة الرابع ولا التالت قصدك؟ الرابع
+
+45
+00:06:07,190 --> 00:06:17,710
+سؤال
+
+46
+00:06:17,710 --> 00:06:23,810
+رقم أربعة سيكشن تلاتة خمسة طيب
+
+47
+00:06:23,810 --> 00:06:27,890
+سؤال
+
+48
+00:06:27,890 --> 00:06:33,710
+أربعة سيكشن تلاتة خمسةالسؤال هذا بتقول show
+
+49
+00:06:33,710 --> 00:06:37,750
+directly from the definition
+
+50
+00:07:01,910 --> 00:07:17,610
+إذا XIN و YIN هم سيكونات كوشي هم سيكونات
+
+51
+00:07:17,610 --> 00:07:21,070
+كوشي هم
+
+52
+00:07:21,070 --> 00:07:27,550
+سيكونات كوشي هم سيكونات كوشي
+
+53
+00:07:30,650 --> 00:07:34,270
+فبرهان هذه زي البرهان اللي أخدناها قبل هيك في
+
+54
+00:07:34,270 --> 00:07:41,290
+قوانين نهايات proof
+
+55
+00:07:41,290 --> 00:07:50,350
+similar to proof of
+
+56
+00:07:50,350 --> 00:07:53,470
+the fact أنه
+
+57
+00:08:18,370 --> 00:08:23,890
+بساوي limit xn ضرب limit yn
+
+58
+00:08:27,620 --> 00:08:31,000
+و أعتقد هذا برهنها بالتفصيل using epsilon over two
+
+59
+00:08:31,000 --> 00:08:40,220
+argument تذكره؟ أه فحاولي تكتبي برهان مشابه و إذا
+
+60
+00:08:40,220 --> 00:08:50,280
+كان ماقدرتيش ممكن بعديها أعطيكي برهان تفصيلي okay؟
+
+61
+00:08:50,280 --> 00:08:52,180
+في أي أسئلة تانية؟
+
+62
+00:08:58,920 --> 00:09:04,620
+section تلقيتها خمسة
+
+63
+00:09:04,620 --> 00:09:15,820
+سؤال
+
+64
+00:09:15,820 --> 00:09:23,200
+عشرة ناس
+
+65
+00:09:23,200 --> 00:09:24,000
+سؤال عشر
+
+66
+00:09:28,420 --> 00:09:38,620
+section تلاتة خمسة if
+
+67
+00:09:38,620 --> 00:09:46,600
+x one less than x two are
+
+68
+00:09:46,600 --> 00:09:51,660
+arbitrary
+
+69
+00:09:55,690 --> 00:10:09,210
+real numbers and
+
+70
+00:10:09,210 --> 00:10:14,530
+xn
+
+71
+00:10:14,530 --> 00:10:19,470
+بيساوي نص
+
+72
+00:10:21,890 --> 00:10:37,690
+xn-2 plus xn-1 for n أكبر من 2 show in the
+
+73
+00:10:37,690 --> 00:10:42,470
+sequence xn is convergent
+
+74
+00:10:50,120 --> 00:10:55,760
+what is its limit what is
+
+75
+00:10:55,760 --> 00:11:03,520
+its limit ده هي النهاية تبعتنا بدنا نوجد نهايتها
+
+76
+00:11:03,520 --> 00:11:15,440
+في
+
+77
+00:11:15,440 --> 00:11:25,450
+حد فيكم فكر فيحلل السؤال هذاأي حد يعني حاول
+
+78
+00:11:25,450 --> 00:11:37,510
+ال burn in clever في أي أفكار أي شيء مافيش عندكم
+
+79
+00:11:37,510 --> 00:11:45,650
+أي فكرة عن الحل نحلوا
+
+80
+00:11:45,650 --> 00:11:46,890
+مع بعض نشوف
+
+81
+00:11:49,810 --> 00:11:58,450
+أنا عندي من الفرض x1 أصغر من x2 أعداد حقيقية فهعرف
+
+82
+00:11:58,450 --> 00:12:07,890
+let L بساوي x2 negative x1 هذا بيطلع عدد موجب لأن
+
+83
+00:12:07,890 --> 00:12:16,770
+x2 أكبر من x1 الآن باستخدام ال induction use
+
+84
+00:12:16,770 --> 00:12:17,570
+induction
+
+85
+00:12:21,840 --> 00:12:29,220
+on n بيمكنكم
+
+86
+00:12:29,220 --> 00:12:35,820
+تثبته انه المعادلة
+
+87
+00:12:35,820 --> 00:12:44,080
+التالية absolute xn plus one negative xn بساوي L
+
+88
+00:12:44,080 --> 00:12:49,960
+over two to n negative one and this is true for
+
+89
+00:12:49,960 --> 00:12:50,820
+every L
+
+90
+00:12:59,660 --> 00:13:08,000
+إذا كان n بساوي لكل
+
+91
+00:13:08,000 --> 00:13:14,300
+n أكبر من أو يساوي اتنين عشان هنا يكون هذا المعنى
+
+92
+00:13:14,300 --> 00:13:21,290
+فابدى ب n بساوي اتنين و اثبت ان المعادلة هذه صحقفل
+
+93
+00:13:21,290 --> 00:13:24,910
+بصحيته عند n بساوي k حيث k أكبر من اتنين أعداد
+
+94
+00:13:24,910 --> 00:13:29,410
+طبيعي وثبت صحيته عند n بساوي k زاد واحد طبعا في
+
+95
+00:13:29,410 --> 00:13:35,070
+الإثباتات بدك تستخدم التعريف تبع xn بدلالة الحدود
+
+96
+00:13:35,070 --> 00:13:35,670
+اللي جابله
+
+97
+00:13:41,020 --> 00:13:45,480
+و التعريف اللي انا اخدته ان ال هو عبارة عن الفرط
+
+98
+00:13:45,480 --> 00:13:51,340
+بين X2 و X1 اذا هذا سهل ممكن تبعته by induction
+
+99
+00:13:51,340 --> 00:14:01,740
+الان بعد ما تتبت هذا by induction now use this to
+
+100
+00:14:01,740 --> 00:14:02,540
+show that
+
+101
+00:14:08,470 --> 00:14:20,450
+بنستخدم المعادلة هذه to show that if M أكبر من N
+
+102
+00:14:20,450 --> 00:14:33,250
+أعداد طبيعية then absolute XM negative XM ال
+
+103
+00:14:33,250 --> 00:14:40,070
+absolute value لفرق XM و XMطبعا هذا هنخليه اصغر من
+
+104
+00:14:40,070 --> 00:14:48,610
+او ساوي absolute xn minus xn plus one زي absolute
+
+105
+00:14:48,610 --> 00:14:57,510
+xn plus one minus xn plus two و هكذا
+
+106
+00:15:02,520 --> 00:15:09,560
+absolute xm negative one negative xm
+
+107
+00:15:09,560 --> 00:15:13,840
+okay
+
+108
+00:15:13,840 --> 00:15:24,240
+تمام انا ايش عملت طرحت xn زيادة واحد ورجعتها طرحت
+
+109
+00:15:24,240 --> 00:15:29,290
+xn زيادة اتنين ورجعتهاو بعدين أخدت الأزواج هذه مع
+
+110
+00:15:29,290 --> 00:15:34,530
+بعض و استخدمت ل triangle inequality ال absolute
+
+111
+00:15:34,530 --> 00:15:39,390
+value ل مجموعة كبيرة أصغر من أو��ع مجموعة absolute
+
+112
+00:15:39,390 --> 00:15:47,250
+values فالان
+
+113
+00:15:47,250 --> 00:15:54,530
+باستخدام لو سمينا المعادلة هاد ال star فباستخدام
+
+114
+00:15:54,530 --> 00:16:04,180
+ال starالـ absolute value هذه بساوي ال over two to
+
+115
+00:16:04,180 --> 00:16:12,840
+n minus واحد okay هذه نفسها دي و ال absolute value
+
+116
+00:16:12,840 --> 00:16:24,240
+اللي بعدها بساوي ال على two to n و هكذا و آخر حد
+
+117
+00:16:24,240 --> 00:16:33,390
+هيكون ال overtwo to m negative two لان
+
+118
+00:16:33,390 --> 00:16:39,170
+استخدام السارق مظبوط الان ممكن ناخد عامل مشترك
+
+119
+00:16:39,170 --> 00:16:52,230
+هاخد
+
+120
+00:16:52,230 --> 00:16:54,750
+عامل مشترك L over
+
+121
+00:17:16,500 --> 00:17:17,900
+تمام؟
+
+122
+00:17:20,140 --> 00:17:25,760
+الان هذا اصغر من واحد على اتنين قص ان نجاتف واحد
+
+123
+00:17:25,760 --> 00:17:34,980
+والمجموع هذا اصغر من اتنين
+
+124
+00:17:34,980 --> 00:17:41,660
+لان هذا جزء من الهارمونيك جيومتريكس سيريز اللي هي
+
+125
+00:17:41,660 --> 00:17:46,820
+واحد على اتنين قص ان من ان equal zero to infinity
+
+126
+00:17:46,820 --> 00:17:51,550
+هذه مجموعة اتنينفهذا جزء منها وبالتالي المجموعة
+
+127
+00:17:51,550 --> 00:17:55,650
+هذا أصغر من المجموعة الـ geometric series هذه
+
+128
+00:17:55,650 --> 00:18:01,490
+المجموعة بساوة اتنين okay فإذا هذا المجموعة أصغر
+
+129
+00:18:01,490 --> 00:18:06,030
+من اتنين إذا هذا أصغر من واحد على اتنين قص ان سالب
+
+130
+00:18:06,030 --> 00:18:14,990
+واحد في اتنين اللي هو عبارة عن واحد على اتنين قص
+
+131
+00:18:14,990 --> 00:18:17,410
+ان سالب اتنين
+
+132
+00:18:28,770 --> 00:18:35,790
+الان هذا بيروح للسفر as n tends to infinityهو
+
+133
+00:18:35,790 --> 00:18:40,770
+بالتالي ده بتطلع عندي أنا ال limit ل absolute xn
+
+134
+00:18:40,770 --> 00:18:49,670
+minus xm as m as n tenths of infinity و طبعاً m
+
+135
+00:18:49,670 --> 00:18:55,410
+تقول infinity تساوي سفر therefore ال sequence xn
+
+136
+00:18:55,410 --> 00:18:57,270
+is Cauchy
+
+137
+00:19:02,500 --> 00:19:09,620
+و بالتالي therefore by cauchy criterion by cauchy
+
+138
+00:19:09,620 --> 00:19:17,660
+criterion x in convergence صح؟ say
+
+139
+00:19:26,770 --> 00:19:35,110
+دعينا نسمي ال limit ل x in بساوي x حيث x is real
+
+140
+00:19:35,110 --> 00:19:41,110
+number الان مطلوب ان احنا نجد قيمة ال x قيمة ال
+
+141
+00:19:41,110 --> 00:19:48,470
+limit لل sequence اللى هى سمنها x فبنرجع للمعادلة
+
+142
+00:19:48,470 --> 00:19:49,730
+هناك
+
+143
+00:20:07,880 --> 00:20:13,020
+to find x
+
+144
+00:20:13,020 --> 00:20:18,980
+take limits
+
+145
+00:20:18,980 --> 00:20:23,960
+of
+
+146
+00:20:23,960 --> 00:20:26,940
+both sides
+
+147
+00:20:32,640 --> 00:20:49,540
+في المعادلة هذه اللي هنا and then
+
+148
+00:20:49,540 --> 00:20:56,480
+take limit of both sides in this equation to get
+
+149
+00:20:56,480 --> 00:21:09,330
+انه limitx in بساوي نص في limit x in negative two
+
+150
+00:21:09,330 --> 00:21:21,850
+زاد limit x in negative one as intensity هذا
+
+151
+00:21:21,850 --> 00:21:28,510
+بيقدي ان limit x in عبارة عن x بساوي نص هذه
+
+152
+00:21:28,510 --> 00:21:33,460
+subsequenceمن الـ xn، وبالتالي، الـ limit تبعتها
+
+153
+00:21:33,460 --> 00:21:37,880
+برضه x وهذا الـ subsequence من الـ xn والـ limit
+
+154
+00:21:37,880 --> 00:21:45,400
+تبعتها x لإن كانت الـ sequence convergent لـ x فأي
+
+155
+00:21:45,400 --> 00:21:50,080
+subsequence بتكون convergent لنفس الـ x وهذا بيطلع
+
+156
+00:21:50,080 --> 00:21:51,100
+بساوية
+
+157
+00:22:12,850 --> 00:22:18,570
+فاحنا هيك ماطلعش عندنا إش جديد طالع X بساوي X
+
+158
+00:22:18,570 --> 00:22:25,950
+فاحنا هيك مازمناش ال limit مازمناش
+
+159
+00:22:25,950 --> 00:22:26,570
+ال limit
+
+160
+00:22:50,820 --> 00:22:57,180
+فاحنا هيك ماجبناش ال limit وهدي مشكلة أو يعني ال
+
+161
+00:22:57,180 --> 00:22:57,600
+..
+
+162
+00:23:14,130 --> 00:23:21,570
+طب خلينا نرجع للمعادلة اللي اثبتناها اثبتناها
+
+163
+00:23:21,570 --> 00:23:22,410
+by induction
+
+164
+00:24:17,920 --> 00:24:22,600
+طيب خلّي موضوع ال limit هذا لمرة تانية
+
+165
+00:24:31,270 --> 00:24:33,370
+سي حد عنده أي فكرة؟
+
+166
+00:24:55,010 --> 00:25:03,350
+خلّي ال limit نجيبها المرة الجاية ي��دو
+
+167
+00:25:03,350 --> 00:25:09,630
+أن الطريقة تباعتنا ما .. ما زبطتش فنحاول نفكر فيها
+
+168
+00:25:09,630 --> 00:25:14,810
+مرة تانية و نجيبها، مين عنده سؤال تاني؟ و أنتوا
+
+169
+00:25:14,810 --> 00:25:17,830
+كمان طبعا فكروا في إيجاب قيمة ال limit
+
+170
+00:25:25,090 --> 00:25:33,030
+في أي أسئلة تانية في ال section تلاتة خمسة سؤال
+
+171
+00:25:33,030 --> 00:25:46,130
+تمانية سؤال تمانية سؤال
+
+172
+00:25:46,130 --> 00:25:54,030
+تمانية section تلاتة خمسة show directly
+
+173
+00:25:57,190 --> 00:26:05,590
+مش هو directly that
+
+174
+00:26:05,590 --> 00:26:12,550
+a bounded a
+
+175
+00:26:12,550 --> 00:26:24,370
+bounded a bounded monotone a bounded monotone
+
+176
+00:26:27,280 --> 00:26:36,500
+ماراتون ان كريزم ماراتون
+
+177
+00:26:36,500 --> 00:26:42,560
+ان كريزم الاختصار هو
+
+178
+00:26:42,560 --> 00:26:43,300
+كوشي
+
+179
+00:26:56,170 --> 00:27:01,310
+السيكوينس دي bounded و monotone increasing فاحنا
+
+180
+00:27:01,310 --> 00:27:10,100
+خدنا نظرية بتطلع لازم تكونby monotone convergence
+
+181
+00:27:10,100 --> 00:27:13,100
+theorem it is convergent عسب ال monotone
+
+182
+00:27:13,100 --> 00:27:17,380
+convergence و بالتالي ممكن نقول by Cauchy
+
+183
+00:27:17,380 --> 00:27:20,780
+criterion بما انها convergent اذا Cauchy هذا برهان
+
+184
+00:27:20,780 --> 00:27:26,180
+و صحيح بس الكتاب مش عايز هذا البرهان عايز برهان
+
+185
+00:27:26,180 --> 00:27:30,500
+مباشر باستخدام ال definition تبع ال Cauchy
+
+186
+00:27:30,500 --> 00:27:38,260
+sequenceOkay فالبرهان بسيط وسهل يعني ما هوش صعب
+
+187
+00:27:38,260 --> 00:27:44,060
+proof since
+
+188
+00:27:44,060 --> 00:27:49,820
+طبعا
+
+189
+00:27:49,820 --> 00:27:57,400
+ال sequence خليني أسميها x in since
+
+190
+00:27:57,400 --> 00:28:02,980
+ال sequence تبعتنا x inis bounded بما ان ال
+
+191
+00:28:02,980 --> 00:28:08,980
+sequence is bounded then
+
+192
+00:28:08,980 --> 00:28:25,680
+لو أخدت U بساوي Supremum ل XN-N ينتمي لإن Supremum
+
+193
+00:28:25,680 --> 00:28:28,060
+هذا exists in R
+
+194
+00:28:32,840 --> 00:28:39,620
+by supremum property او by completeness property
+
+195
+00:28:39,620 --> 00:28:48,520
+اي bounded set has supremum فخلينا نفرض ان ال U هو
+
+196
+00:28:48,520 --> 00:28:54,300
+supremum فهذا بيطلع عدد حقيقي exist يعني عدد حقيقي
+
+197
+00:28:54,300 --> 00:29:01,120
+الان من ال definition by
+
+198
+00:29:01,120 --> 00:29:08,250
+definitionof supremum
+
+199
+00:29:08,250 --> 00:29:16,030
+هو بالأحرى مش من التعريف من لمّة تأتي بعد التعريف
+
+200
+00:29:16,030 --> 00:29:19,630
+والمّة
+
+201
+00:29:19,630 --> 00:29:23,110
+من
+
+202
+00:29:23,110 --> 00:29:29,990
+هنا by Aprilius
+
+203
+00:29:40,440 --> 00:29:44,220
+النظرية هذه خلينا نرجعها أو نجمها او نجمها او
+
+204
+00:29:44,220 --> 00:29:48,460
+نجمها او نجمها U of a set
+
+205
+00:30:02,180 --> 00:30:07,180
+of a set S
+
+206
+00:30:07,180 --> 00:30:11,960
+is
+
+207
+00:30:11,960 --> 00:30:16,440
+the supremum is
+
+208
+00:30:16,440 --> 00:30:17,420
+the supremum
+
+209
+00:30:22,570 --> 00:30:32,010
+S F and only F لكل أبسلون أكبر من السفر يوجد عنصر
+
+210
+00:30:32,010 --> 00:30:39,950
+S يعتبد على أبسلون في S بحيث أنه لو ضفنا .. لو
+
+211
+00:30:39,950 --> 00:30:45,250
+طرحنا من ال supremum أبسلون فبيبطل أكبر دعوة بيصير
+
+212
+00:30:45,250 --> 00:30:55,520
+أصغر من Sباستخدام هذه النظرية السابقة لو أخدت
+
+213
+00:30:55,520 --> 00:31:01,500
+given
+
+214
+00:31:01,500 --> 00:31:04,880
+epsilon
+
+215
+00:31:04,880 --> 00:31:09,620
+أكبر من السفر لو أخدت epsilon عشوائية أكبر من
+
+216
+00:31:09,620 --> 00:31:17,320
+السفر يوجد capital N في N
+
+217
+00:31:22,170 --> 00:31:35,390
+عدد طبيعي بحيث ان ال .. ال .. ال
+
+218
+00:31:35,390 --> 00:31:43,690
+U نيجاتيب XN عرفوا ال U نيجاتيب إبسلون بيطلع أصغر
+
+219
+00:31:43,690 --> 00:31:50,270
+من S Y S Y حقول ده X اللي ال index سبقه capital N
+
+220
+00:31:51,310 --> 00:31:54,710
+إذا هذا العنصر اللي في الـ sequence أو في ال set
+
+221
+00:31:54,710 --> 00:32:01,950
+هذه اللي هو S Y يعتمد على إبسلون ما ال N هذه تعتمد
+
+222
+00:32:01,950 --> 00:32:09,310
+على إبسلون وهي U إترح منه إبسلون بيطلع أصغر من
+
+223
+00:32:09,310 --> 00:32:15,150
+عنصر S Y اللي هو موجود هنا إذا هذا حسب النظرية
+
+224
+00:32:15,150 --> 00:32:20,050
+تمام؟ الآن since
+
+225
+00:32:22,680 --> 00:32:29,060
+لاحظوا انتوا ان ال XIN هذا عنصر في الست وبالتالي و
+
+226
+00:32:29,060 --> 00:32:32,660
+ال U upper bound ال U اللي هو ال supreme دايما
+
+227
+00:32:32,660 --> 00:32:37,180
+بيكون upper bound فهذا بيطلع أصغر من أو ساوي ال U
+
+228
+00:32:37,180 --> 00:32:43,420
+since
+
+229
+00:32:43,420 --> 00:32:50,740
+ال sequence XIN is increasing متزايدة
+
+230
+00:32:55,230 --> 00:32:59,870
+we get نحصل
+
+231
+00:32:59,870 --> 00:33:08,330
+على التالي فنحصل
+
+232
+00:33:08,330 --> 00:33:17,590
+على التالي لو كان M أكبر من أو ساوي N أكبر من أو
+
+233
+00:33:17,590 --> 00:33:26,720
+ساوي capital Nفهذا هيقدّي إلى أن u negative
+
+234
+00:33:26,720 --> 00:33:35,200
+epsilon أصغر من x capital N من هنا و x capital N
+
+235
+00:33:35,200 --> 00:33:42,260
+أصغر من أو سوى x small n لأن ال sequence is
+
+236
+00:33:42,260 --> 00:33:46,730
+increasing و small n أكبر من أو سوى capital Nو هذا
+
+237
+00:33:46,730 --> 00:33:54,070
+أصغر من أوي ساوي xm لأن ال sequence increasing و
+
+238
+00:33:54,070 --> 00:33:59,690
+xm أصغر من أوي ساوي u لأن ال u upper bound لكل
+
+239
+00:33:59,690 --> 00:34:06,670
+عناصر ال sequence تمام؟ و ال u
+
+240
+00:34:15,980 --> 00:34:22,260
+فهذا بيقدّي .. هذا
+
+241
+00:34:22,260 --> 00:34:30,320
+بيقدّي ان xn minus
+
+242
+00:34:30,320 --> 00:34:37,000
+epsilon أصغر من xn لأن الepsilon عدد موجب فلما
+
+243
+00:34:37,000 --> 00:34:44,570
+اطلع عدد موجب العدد xn بصغروعندي xn أصغر من أو
+
+244
+00:34:44,570 --> 00:34:50,490
+ساوي xm لأن ال m أكبر من أو ساوي n و ال sequence
+
+245
+00:34:50,490 --> 00:34:57,110
+تبعتي increasing و xm أصغر من أو ساوي ال u
+
+246
+00:35:11,700 --> 00:35:21,020
+من هنا، من المتباينة هذه واضح ان انا عندي ال
+
+247
+00:35:21,020 --> 00:35:31,020
+U أصغر من XN زاد إبسلون، صح؟ هل عندي U negative
+
+248
+00:35:31,020 --> 00:35:39,160
+إبسلون أصغر من XN فاضيف إبسلون فبطلع U أصغر من XN
+
+249
+00:35:40,390 --> 00:35:49,470
+زايد ابسلون اذا انا بطلع عندى xn
+
+250
+00:35:49,470 --> 00:36:02,450
+او ال .. ال xm تطلع اكبر من xn minus ابسلون اصغر
+
+251
+00:36:02,450 --> 00:36:04,730
+من xn زايد ابسلون
+
+252
+00:36:08,370 --> 00:36:19,010
+وهذا معناه ان absolute xn او xn minus xn اصغر من
+
+253
+00:36:19,010 --> 00:36:28,730
+epsilon اصبت؟ صح؟ وهذا صحيح لكل M أكبر من أو ساوي
+
+254
+00:36:28,730 --> 00:36:34,030
+M أكبر من أو ساوي capital M تمام؟ اذا بنقول هنا
+
+255
+00:36:34,030 --> 00:36:46,340
+sinceepsilon أكبر من السفر was arbitrary it
+
+256
+00:36:46,340 --> 00:36:50,640
+follows بينتج
+
+257
+00:36:50,640 --> 00:36:58,820
+من تعريف الكوشي sequence that sequence xm is
+
+258
+00:36:58,820 --> 00:36:59,620
+cauchy
+
+259
+00:37:03,200 --> 00:37:11,000
+وهنا هيك طبقنا التعريف وهذا برهان مباشر okay تمام
+
+260
+00:37:11,000 --> 00:37:22,940
+واضح في
+
+261
+00:37:22,940 --> 00:37:26,520
+أي سؤال سؤال تانية واضح البرهان في أي سفصار
+
+262
+00:37:32,980 --> 00:37:38,320
+في أي سؤال تاني section تلاتة خمسة أو تلاتة ستة
+
+263
+00:37:38,320 --> 00:37:41,600
+لبعده
+
+264
+00:37:41,600 --> 00:37:50,060
+الناس
+
+265
+00:37:50,060 --> 00:37:50,920
+اللي بدرسوا
+
+266
+00:38:03,440 --> 00:38:10,060
+التلاتة ستة؟ سؤال أربعة في رياضينا.
+
+267
+00:38:23,080 --> 00:38:24,980
+هذا ما حللناه إزاي؟
+
+268
+00:38:44,990 --> 00:38:54,970
+السكتشن تلاتة ستة السؤال الرابع ترى بي establish
+
+269
+00:38:54,970 --> 00:38:58,370
+establish
+
+270
+00:38:58,370 --> 00:39:01,490
+the
+
+271
+00:39:01,490 --> 00:39:05,790
+proper divergence
+
+272
+00:39:05,790 --> 00:39:10,270
+of
+
+273
+00:39:10,270 --> 00:39:12,950
+sequence
+
+274
+00:39:16,730 --> 00:39:25,730
+يجيب الان زي الواحد ان الان اكوار الواحد تنتهي ان
+
+275
+00:39:25,730 --> 00:39:33,910
+انا اثبت ان انا اثبت
+
+276
+00:39:33,910 --> 00:39:39,250
+ان انا اثبت ان انا اثبت
+
+277
+00:39:39,250 --> 00:39:45,220
+ان انا اثبت ان انا اثبتلا ال sequence اللي ال inf
+
+278
+00:39:45,220 --> 00:39:49,820
+term تبعها و الحد العام تبعها جدر انزعي الواحد لما
+
+279
+00:39:49,820 --> 00:39:58,300
+M تقوى ل infinity بساوي infinity استاذ ماعرفش طلقة
+
+280
+00:39:58,300 --> 00:40:07,900
+D ماعرفش بيه بيه عرفت حلوة دي طلقة دي
+
+281
+00:40:07,900 --> 00:40:13,460
+استاذ بدك دي طرقة ديالفرقة دي
+
+282
+00:40:40,070 --> 00:40:46,330
+يعني هيطلع عندي هنا limit in على جدر in زي الواحد
+
+283
+00:40:46,330 --> 00:40:53,390
+لما in تقول infinity بساوي infinity ممكن تستخدم
+
+284
+00:40:53,390 --> 00:41:03,190
+limit comparison test او comparison test اه فال
+
+285
+00:41:07,800 --> 00:41:12,180
+فهل فكرتي انك تستخدمي comparison test او limit
+
+286
+00:41:12,180 --> 00:41:16,260
+comparison test؟ فكرت عن نظري يعني برنامج ده يفير
+
+287
+00:41:16,260 --> 00:41:20,140
+لأ و أنت عندك التعريف و عندك في limit comparison
+
+288
+00:41:20,140 --> 00:41:29,620
+test و comparison test لأ
+
+289
+00:41:29,620 --> 00:41:36,110
+هاي موجود في تلاتة ستة في ..مافيش limit comparison
+
+290
+00:41:36,110 --> 00:41:49,030
+test؟ فيك طيب هاي انا شايف في ..
+
+291
+00:41:49,030 --> 00:41:55,870
+انت
+
+292
+00:41:55,870 --> 00:42:01,970
+عندك .. ياعمل المقارنة انت
+
+293
+00:42:01,970 --> 00:42:03,010
+عندك ..
+
+294
+00:42:10,490 --> 00:42:19,450
+يعني قارنة ال .. جدر ال N بدك تقارن هذه مع
+
+295
+00:42:19,450 --> 00:42:26,430
+N على جدر ال N لما N تكون كبيرة ابنهم الواحد فهذه
+
+296
+00:42:26,430 --> 00:42:30,090
+بيصير زيها زي ال sequence اللي لحد الآن تبعها N
+
+297
+00:42:30,090 --> 00:42:34,390
+على جدر ال N وهذه بيساوي جدر ال N
+
+298
+00:42:39,240 --> 00:42:43,420
+فبتعمل limit comparison use limit comparison test
+
+299
+00:42:43,420 --> 00:42:51,280
+هاي عندي an ولا إيش مسميهم الكتاب نعم
+
+300
+00:42:51,280 --> 00:42:59,780
+يعني xn وهي yn وتعالى نحسب ال limit
+
+301
+00:43:08,200 --> 00:43:13,480
+تعالى نحسب ال limit ل
+
+302
+00:43:13,480 --> 00:43:21,100
+xn على yn as n tends to infinity بساوي ال limit ل
+
+303
+00:43:21,100 --> 00:43:31,820
+n على الجذر n زي الواحد تقسيم
+
+304
+00:43:37,120 --> 00:43:43,740
+في واحد على جدر ال N لما N تقول ال infinity بيساوي
+
+305
+00:43:43,740 --> 00:43:47,840
+limit لجدر
+
+306
+00:43:47,840 --> 00:43:55,000
+التربية A ل N على N زي واحد مظبوط؟
+
+307
+00:43:55,000 --> 00:44:02,380
+بندخل ال limit جوه فبقلع واحد اكبر من صفته الان
+
+308
+00:44:02,380 --> 00:44:09,580
+sinceاحنا اثبتنا ان ال series sigma او ال sequence
+
+309
+00:44:09,580 --> 00:44:16,700
+since ال sequence ان الحد العام تبعها جدر ال n او
+
+310
+00:44:16,700 --> 00:44:21,720
+since limit yn
+
+311
+00:44:21,720 --> 00:44:27,480
+as n tends to infinity بالساوية limit جدر ال n as
+
+312
+00:44:27,480 --> 00:44:31,500
+n tends to infinity بالساوية infinity we get
+
+313
+00:44:34,620 --> 00:44:41,340
+from limit comparison test from limit comparison
+
+314
+00:44:41,340 --> 00:44:47,100
+test from limit
+
+315
+00:44:47,100 --> 00:44:48,480
+comparison test from limit comparison test from
+
+316
+00:44:48,480 --> 00:44:48,480
+limit comparison test from limit comparison test
+
+317
+00:44:48,480 --> 00:44:48,480
+from limit comparison test from limit comparison
+
+318
+00:44:48,480 --> 00:44:48,480
+test from limit comparison test from limit
+
+319
+00:44:48,480 --> 00:44:48,480
+comparison test from limit comparison test from
+
+320
+00:44:48,480 --> 00:44:48,480
+limit comparison test from limit comparison test
+
+321
+00:44:48,480 --> 00:44:48,480
+from limit comparison test from limit comparison
+
+322
+00:44:48,480 --> 00:44:48,480
+test from limit comparison test from limit
+
+323
+00:44:48,480 --> 00:44:48,480
+comparison test from limit comparison test from
+
+324
+00:44:48,480 --> 00:44:48,480
+limit comparison test from limit comparison test
+
+325
+00:44:48,480 --> 00:44:48,480
+from limit comparison test from limit comparison
+
+326
+00:44:48,480 --> 00:44:48,480
+test from limit comparison test from limit
+
+327
+00:44:48,480 --> 00:44:48,480
+comparison test from limit comparison test from
+
+328
+00:44:48,480 --> 00:44:48,480
+limit comparison test from limit comparison test
+
+329
+00:44:48,480 --> 00:44:48,500
+from limit comparison test from limit comparison
+
+330
+00:44:48,500 --> 00:44:48,500
+test from limit comparison test from limit
+
+331
+00:44:48,500 --> 00:44:48,500
+comparison test from limit comparison test from
+
+332
+00:44:48,500 --> 00:44:48,500
+limit comparison test from limit comparison test
+
+333
+00:44:48,500 --> 00:44:48,500
+from limit comparison test from limit comparison
+
+334
+00:44:48,500 --> 00:44:48,500
+test from limit comparison test from limit
+
+335
+00:44:48,500 --> 00:44:48,500
+comparison test from limit comparison test from
+
+336
+00:44:48,500 --> 00:44:48,500
+limit comparison test from limit comparison test
+
+337
+00:44:48,500 --> 00:44:48,600
+from limit comparison test from limit comparison
+
+338
+00:44:48,600 --> 00:44:48,600
+test from limit comparison test from limit
+
+339
+00:44:48,600 --> 00:44:48,640
+comparison test from limit comparison test from
+
+340
+00:44:48,640 --> 00:44:48,640
+limit comparison test from limit comparison test
+
+341
+00:44:48,640 --> 00:44:48,640
+from limit comparison test from limit comparison
+
+342
+00:44:48,640 --> 00:44:48,640
+test from limit comparison test from limit
+
+343
+00:44:48,640 --> 00:44:50,520
+comparison test from limit comparison test from
+
+344
+00:44:50,520 --> 00:44:57,100
+limit comparison test from limit
+
+345
+00:44:57,100 --> 00:45:00,980
+comparison test from limit comparison test
+
+346
+00:45:13,250 --> 00:45:18,150
+تمام؟ okay اذا ممكن نستخدم ال limit comparison
+
+347
+00:45:18,150 --> 00:45:23,290
+test او ال diet comparison test اذا نفع و نحل باج
+
+348
+00:45:23,290 --> 00:45:28,010
+التمارين في .. او الأجزاء الأخرى في exercise أربعة
+
+349
+00:45:28,010 --> 00:45:33,430
+رقم .. section تلاتة ستة okay بنوقف هنا و بنكمل
+
+350
+00:45:33,430 --> 00:45:38,190
+المرة الجاية نكتفي بهذا القدر
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/SrQnjpF43P0_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1612 @@
+1
+00:00:22,080 --> 00:00:28,960
+بسم الله الرحمن الرحيم ال .. هنواصل اليوم ان شاء
+
+2
+00:00:28,960 --> 00:00:39,080
+الله ال .. ال .. الشئ اللي بدأناه بخصوص المقدمة عن
+
+3
+00:00:39,080 --> 00:00:46,520
+ال infinite series بعتقد كانت أخر نظرية أخدناها هي
+
+4
+00:00:46,520 --> 00:00:47,700
+Cauchy criterion
+
+5
+00:00:51,790 --> 00:00:56,710
+كوشي كريتيريا for
+
+6
+00:00:56,710 --> 00:01:10,250
+infinite series a
+
+7
+00:01:10,250 --> 00:01:10,810
+series
+
+8
+00:01:22,490 --> 00:01:31,530
+converges if and only if الشرط التالي بتحقق لكل
+
+9
+00:01:31,530 --> 00:01:38,430
+epsilon أكبر من 0 يوجد capital N يعتمد على epsilon
+
+10
+00:01:38,430 --> 00:01:46,200
+عدد طبيعي بحيث أنهلو كان M أكبر من N أكبر من أو
+
+11
+00:01:46,200 --> 00:01:56,560
+ساوي capital M فهذا بيقدي أنه absolute SM minus SN
+
+12
+00:01:56,560 --> 00:02:05,840
+بساوي absolute XN زاد واحد زاد XN زاد اتنين و هكذا
+
+13
+00:02:05,840 --> 00:02:07,300
+إلى XM
+
+14
+00:02:11,640 --> 00:02:15,100
+النظرية هذه تبعت كوشي أخدناها المرة اللي فاتت و
+
+15
+00:02:15,100 --> 00:02:22,080
+برهناها مظبوط اليوم هناخد نظرية تانية و مهمة و
+
+16
+00:02:22,080 --> 00:02:31,660
+النظرية هذه بتقول انه let x in be sequence of non
+
+17
+00:02:31,660 --> 00:02:39,620
+-negative real numbers then
+
+18
+00:02:39,620 --> 00:02:40,420
+series
+
+19
+00:02:43,080 --> 00:02:49,340
+xn converges if
+
+20
+00:02:49,340 --> 00:02:55,680
+and only if الsequence of partial sums its
+
+21
+00:02:55,680 --> 00:03:05,600
+sequence of partial sums اللي
+
+22
+00:03:05,600 --> 00:03:07,540
+هي sn is bounded
+
+23
+00:03:16,760 --> 00:03:24,080
+proof we have sn
+
+24
+00:03:24,080 --> 00:03:36,020
+بساوي او sn زايد واحد بساوي sn
+
+25
+00:03:36,020 --> 00:03:42,070
+زايد xn زايد واحدالان زاد فرص partial sum بيساوي
+
+26
+00:03:42,070 --> 00:03:46,150
+الانف partial sum وبنضيف عليه لحد رقم ان زاد واحد
+
+27
+00:03:58,050 --> 00:04:02,070
+و طبعا ال Xn زاد واحد هذا احنا فرضين ان حدود ال
+
+28
+00:04:02,070 --> 00:04:08,530
+sequence Xn كلها غير سالبة فهذا غير سالب وبالتالي
+
+29
+00:04:08,530 --> 00:04:14,790
+المجموع هذا بالتأكيد اكبر من او سوى Sn لكل N في N
+
+30
+00:04:14,790 --> 00:04:17,870
+فهذا
+
+31
+00:04:17,870 --> 00:04:24,530
+معناه ان ال sequence Sn is increasing متزايدة
+
+32
+00:04:26,960 --> 00:04:30,480
+بالتالي، من خلال الوضع الوضع الوضع الوضع الوضع
+
+33
+00:04:30,480 --> 00:04:36,420
+الوضع الوضع
+
+34
+00:04:36,420 --> 00:04:40,960
+الوضع
+
+35
+00:04:40,960 --> 00:04:48,560
+الوضع الوضع
+
+36
+00:05:21,390 --> 00:05:23,410
+وهو المطلوب
+
+37
+00:05:25,890 --> 00:05:29,190
+أحنا أخدنا قبل هيك أن أي infinite series بتكون
+
+38
+00:05:29,190 --> 00:05:32,890
+convergent if and only if the sequence of partial
+
+39
+00:05:32,890 --> 00:05:36,810
+sums is convergent، صح؟ طيب، ال sequence of
+
+40
+00:05:36,810 --> 00:05:42,650
+partial sums بمعنها increasing فهي convergent by
+
+41
+00:05:42,650 --> 00:05:48,050
+monotone convergence theorem بتكون convergent if
+
+42
+00:05:48,050 --> 00:05:52,130
+and only if it is boundedوبالتالي الـ series
+
+43
+00:05:52,130 --> 00:05:54,770
+converges if and only if the sequence of partial
+
+44
+00:05:54,770 --> 00:06:02,210
+sums is bounded وهذا يثبت النظرية تمام؟ إذن هذه
+
+45
+00:06:02,210 --> 00:06:09,410
+النظرية أهميتها في أننا يعني تطبيقها زي ما هنشوف
+
+46
+00:06:09,410 --> 00:06:12,650
+في
+
+47
+00:06:12,650 --> 00:06:14,590
+لما هنا صغيرة لما
+
+48
+00:06:22,840 --> 00:06:28,020
+إذا .. إذا
+
+49
+00:06:28,020 --> 00:06:35,460
+Sn هي عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+50
+00:06:35,460 --> 00:06:40,200
+عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+51
+00:06:40,200 --> 00:06:41,360
+عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+52
+00:06:41,360 --> 00:06:41,460
+عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+53
+00:06:41,460 --> 00:06:41,480
+عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+54
+00:06:41,480 --> 00:06:43,900
+عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+55
+00:06:43,900 --> 00:06:50,560
+عملية
+
+56
+00:06:50,560 --> 00:07:06,360
+عإذا كان هناك تجارب سكن
+
+57
+00:07:06,360 --> 00:07:15,180
+من سن التي مرتبطة
+
+58
+00:07:15,180 --> 00:07:22,480
+فالنتيجة
+
+59
+00:07:25,450 --> 00:07:34,870
+ثم سيكوانس SN نفسها مرتبط يعني
+
+60
+00:07:34,870 --> 00:07:37,450
+لو كان في عندي سيكوانس of non-negative real
+
+61
+00:07:37,450 --> 00:07:43,790
+numbers و السيكوانس هذه حدودها غير سالبة و
+
+62
+00:07:43,790 --> 00:07:50,030
+increase متزايدة و لو وجد subsequence من السيكوانس
+
+63
+00:07:50,030 --> 00:07:57,220
+SN و السيكوانس مرتبطالسيكوانس الأم أو السيكوانس
+
+64
+00:07:57,220 --> 00:08:02,260
+الأصلية بتكون أيضا bounded فالبرهان
+
+65
+00:08:02,260 --> 00:08:05,500
+تبع النظرية اللي هسيبكم هي أن تتبرهنوا ك exercise
+
+66
+00:08:05,500 --> 00:08:09,980
+for easy
+
+67
+00:08:09,980 --> 00:08:20,880
+exercise اذا انا هنسيبكم اتبرهنوا كتمرين في عندي
+
+68
+00:08:20,880 --> 00:08:21,580
+الآن
+
+69
+00:08:27,800 --> 00:08:44,940
+firm ال P series test let
+
+70
+00:08:44,940 --> 00:08:51,480
+P عدد موجب أصغر let P
+
+71
+00:08:55,440 --> 00:09:01,680
+هي عدد موجب اي عدد موجب ده
+
+72
+00:09:01,680 --> 00:09:09,640
+P series ده P series اللي هي سيجما from N equals
+
+73
+00:09:09,640 --> 00:09:17,100
+zero to infinity لواحد على N أُس P ال series هذه
+
+74
+00:09:17,100 --> 00:09:23,160
+بنسميها P series ال P series هذه ايش مالها؟ واحد
+
+75
+00:09:25,240 --> 00:09:37,540
+converges if P أكبر من واحد and name by virges if
+
+76
+00:09:37,540 --> 00:09:45,620
+P أصغر من أو يساوي واحد prove
+
+77
+00:09:45,620 --> 00:09:52,580
+نثبت الجزء الأول assume
+
+78
+00:09:54,990 --> 00:10:02,570
+إن P أكبر من 1 let
+
+79
+00:10:02,570 --> 00:10:07,510
+R بيساوي
+
+80
+00:10:07,510 --> 00:10:14,490
+واحد على اتنين أس P سالب واحد ال P أكبر من واحد
+
+81
+00:10:14,490 --> 00:10:21,330
+فالأس هذا موجب واحد على اتنين أس موجب طبعا هذا
+
+82
+00:10:21,330 --> 00:10:21,950
+بيطلع
+
+83
+00:10:24,540 --> 00:10:34,800
+عدد موجب و أصغر من واحد then ال R العدد R هذا أكبر
+
+84
+00:10:34,800 --> 00:10:44,300
+من سفر أصغر من واحد طيب four K بساوي اتنين اقصى
+
+85
+00:10:44,300 --> 00:10:52,860
+واحد سالب واحد اللي هو واحد MDS
+
+86
+00:10:58,390 --> 00:11:04,950
+عندي ال partial sum رقم
+
+87
+00:11:04,950 --> 00:11:10,130
+K اللي
+
+88
+00:11:10,130 --> 00:11:18,970
+هو بيساوي اتنين خليني اسمي هذا K واحد فال
+
+89
+00:11:18,970 --> 00:11:26,370
+partial sum S رقم K واحدبساوي طبعا k1 بساوي واحد
+
+90
+00:11:26,370 --> 00:11:36,190
+هنا هذا هو s1 بساوي واحد ال
+
+91
+00:11:36,190 --> 00:11:39,490
+first partial sum اللي هو مجموعة الحد الأول الحد
+
+92
+00:11:39,490 --> 00:11:47,470
+الأول هنا واحد صح طيب
+
+93
+00:11:47,470 --> 00:11:49,810
+four لو أخدت k2
+
+94
+00:11:52,090 --> 00:11:57,230
+لو أخدت K2 بيساوي اتنين اقصى اتنين سالب واحد هذا
+
+95
+00:11:57,230 --> 00:12:01,570
+بيطلع تلاتة ففي
+
+96
+00:12:01,570 --> 00:12:09,290
+الحالة هذه بيطلع عندي ال
+
+97
+00:12:09,290 --> 00:12:14,710
+partial sum رقم K2 هو نفس ال partial sum رقم تلاتة
+
+98
+00:12:14,710 --> 00:12:18,950
+فطبعا هذا هيساوي مجموع اول تلاتة حدود
+
+99
+00:12:22,250 --> 00:12:33,350
+فعندي هنا هيطلع أول حد واحد، التاني واحد على اتنين
+
+100
+00:12:33,350 --> 00:12:36,530
+أسقي
+
+101
+00:12:36,530 --> 00:12:42,670
+و الحد التالت واحد على تلاتة أسبيل
+
+102
+00:12:54,470 --> 00:12:58,710
+خلّينا هذه ال N مفروض تكون من واحد لان ات من واحد
+
+103
+00:12:58,710 --> 00:13:05,550
+لان ات ف S K2 هو S تلاتة S تلاتة بساوي واحد على
+
+104
+00:13:05,550 --> 00:13:10,110
+واحد أس P اللي هو واحد زائد واحد على اتنين أس P
+
+105
+00:13:10,110 --> 00:13:17,620
+زائد واحد على تلاتة أس Pطيب أنا عندي هذا أصغر من
+
+106
+00:13:17,620 --> 00:13:23,360
+واحد زايد واحد على اتنين أُس P زايد واحد على اتنين
+
+107
+00:13:23,360 --> 00:13:34,820
+أُس P since لأنه اتنين أُس P أصغر من تلاتة أُس P
+
+108
+00:13:34,820 --> 00:13:42,400
+فبتعني مقلوب تلاتة أُس P أصغر من مقلوب اتنين أُس P
+
+109
+00:13:42,400 --> 00:13:51,330
+صح؟و هذا بيساوي واحد زائد واحد على اتنين اصفى زائد
+
+110
+00:13:51,330 --> 00:13:58,850
+اتنين اتنين في واحد على اتنين اصفى هزبوت هدول حدين
+
+111
+00:13:58,850 --> 00:14:03,870
+متشابهين وهذا بيطلع بيساوي واحد زائد واحد على
+
+112
+00:14:03,870 --> 00:14:12,590
+اتنين اصفى سالب واحد وهذا بيساوي واحد زائد اربع
+
+113
+00:14:14,460 --> 00:14:20,460
+معرف ال R على إنها 1 على 2 أُس P سالب واحد
+
+114
+00:14:20,460 --> 00:14:24,420
+Similarly
+
+115
+00:14:24,420 --> 00:14:29,820
+بالمثل لو
+
+116
+00:14:29,820 --> 00:14:39,060
+كانت K تلاتة بساوي اتنين أس تلاتة سالب واحد يعني
+
+117
+00:14:39,060 --> 00:14:43,140
+سبعة then
+
+118
+00:14:44,850 --> 00:14:53,850
+هيكون SK3 هيطلع بساوي SK2
+
+119
+00:14:53,850 --> 00:14:58,350
+زائد
+
+120
+00:14:58,350 --> 00:15:05,210
+واحد على أربعة أس P زائد واحد على خمسة أس P زائد
+
+121
+00:15:05,210 --> 00:15:10,990
+واحد على ستة أس P زائد واحد على سبعة أس P مظبوط
+
+122
+00:15:10,990 --> 00:15:11,990
+هيك صح؟
+
+123
+00:15:14,290 --> 00:15:18,410
+لأن S K 2 هو واحد زاد واحد على اتنين أسفل زاد واحد
+
+124
+00:15:18,410 --> 00:15:23,430
+على تلاتة أسفل وهذا
+
+125
+00:15:23,430 --> 00:15:37,510
+أصغر من .. طبعا S K 2 أصغر من واحد قلنا زائد R
+
+126
+00:15:41,610 --> 00:15:46,750
+و بعدين الحدود هذه .. كل واحد من الحدود هذه أصغر
+
+127
+00:15:46,750 --> 00:15:52,250
+من أو يساوي واحد على أربعة أس P واحد على أربعة أس
+
+128
+00:15:52,250 --> 00:15:57,570
+P .. واحد على أربعة أس P .. واحد على أربعة أس P
+
+129
+00:15:57,570 --> 00:16:02,690
+لأن كل واحد من المقامات هذه أكبر من أو يساوي أربعة
+
+130
+00:16:02,690 --> 00:16:09,870
+أس Pطب أقول جديش عددهم أربعة هذا بيساوي واحد زايد
+
+131
+00:16:09,870 --> 00:16:17,730
+R زايد أربعة على أربعة أس P هو يساوي واحد زايد R
+
+132
+00:16:17,730 --> 00:16:27,810
+زايد واحد على أربعة أس P سالب واحد إذن بيطلع عندي
+
+133
+00:16:27,810 --> 00:16:38,880
+أنا S K تلاتة أصغر من واحد زايد Rزائد واحد على
+
+134
+00:16:38,880 --> 00:16:43,480
+اتنين اتنين
+
+135
+00:16:43,480 --> 00:16:49,820
+قص اتنين في P سالب واحد وهذا
+
+136
+00:16:49,820 --> 00:16:58,520
+هو R تربية هذا بيساوي واحد زائد R زائد R تربية لو
+
+137
+00:16:58,520 --> 00:17:04,120
+سمرنا في العملية هذه continuing
+
+138
+00:17:07,150 --> 00:17:16,370
+inductively بطريقة استقرائية continuing
+
+139
+00:17:16,370 --> 00:17:22,590
+inductively يعني by induction باستخدام
+
+140
+00:17:22,590 --> 00:17:28,350
+ال induction we
+
+141
+00:17:28,350 --> 00:17:32,570
+get نحصل على التالي for
+
+142
+00:17:40,680 --> 00:17:50,100
+for K J بيساوي اتنين اقصد J سالب واحد we
+
+143
+00:17:50,100 --> 00:17:55,340
+have S
+
+144
+00:17:55,340 --> 00:18:08,260
+K J هيطلع اصغر من واحد زائد R زائد R ترمية زائد
+
+145
+00:18:10,870 --> 00:18:22,010
+R أُس J سالب واحد و
+
+146
+00:18:22,010 --> 00:18:27,830
+هذا صحيح لكل J في N هزبط
+
+147
+00:18:27,830 --> 00:18:36,550
+هيك صح هيتعالى نشوف لما J كانت بالسلب واحد فطلع
+
+148
+00:18:36,550 --> 00:18:43,660
+عندي Sك واحد بيساوي واحد وأصغر من أو يساوي الواحد
+
+149
+00:18:43,660 --> 00:18:47,600
+لما
+
+150
+00:18:47,600 --> 00:18:54,920
+ك ج بيساوي اتنين لما
+
+151
+00:18:54,920 --> 00:19:02,980
+ج بيساوي اتنينفطلع SK2 أصغر من واحد زائد R واحد
+
+152
+00:19:02,980 --> 00:19:09,660
+زائد هاي اتنين سالب واحد الأسف لما J بساوية تلاتة
+
+153
+00:19:09,660 --> 00:19:15,800
+عندي طلع ال SK تلاتة أصغر من واحد زائد R زائد R أس
+
+154
+00:19:15,800 --> 00:19:21,280
+تلاتة سالب واحد إذا S sub KJ أصغر من واحد زائد R
+
+155
+00:19:21,280 --> 00:19:30,540
+إلى R أس J minus واحدالان هذا المجموع أصغر من
+
+156
+00:19:30,540 --> 00:19:39,280
+مجموع ال infinite series اللي هي summation من j
+
+157
+00:19:39,280 --> 00:19:48,980
+بساوي سفر إلى ملا نهاية لR أس J صح؟
+
+158
+00:19:50,160 --> 00:19:56,760
+هذا عبارة
+
+159
+00:19:56,760 --> 00:20:01,440
+عن finite sum أصغر من مجموعة infinite series هذه
+
+160
+00:20:01,440 --> 00:20:10,700
+عبارة عن geometric series with first term واحد وال
+
+161
+00:20:10,700 --> 00:20:18,140
+ratio تبعها R والـ R أكبر من صفر أصغر من واحدإذا
+
+162
+00:20:18,140 --> 00:20:23,080
+الـ geometric series هذه converges ومجموعة بساوي
+
+163
+00:20:23,080 --> 00:20:30,820
+واحد على واحد minus R الكلام
+
+164
+00:20:30,820 --> 00:20:37,320
+هذا صحيح for all j belong to M وطبعا ال SKJ هذا
+
+165
+00:20:37,320 --> 00:20:42,760
+عبارة عن مجموعة partial sum partial sum لأعداد
+
+166
+00:20:42,760 --> 00:20:44,560
+موجبة وبالتالي موجبة
+
+167
+00:20:47,700 --> 00:20:52,720
+إذا أنا هيك أثبتت إن ال sub
+
+168
+00:20:52,720 --> 00:20:58,700
+sequence SKJ bounded below by 0 و bounded above by
+
+169
+00:20:58,700 --> 00:21:05,420
+العدد الموجب 1 على 1 minus R وبالتالي،
+
+170
+00:21:05,420 --> 00:21:10,160
+إذا هيك نستنتج، therefore the subsequence
+
+171
+00:21:13,370 --> 00:21:18,210
+ده sub-sequence اللي هي SKJ هاد ال sub-sequence من
+
+172
+00:21:18,210 --> 00:21:24,370
+مين؟ من ال sequence of partial sums SN اشملها is
+
+173
+00:21:24,370 --> 00:21:31,490
+bounded أثبتنا أنها ايه؟ bounded، مصدقوط؟ طلعنا
+
+174
+00:21:31,490 --> 00:21:35,090
+احنا عملنا construction ل sub-sequenceمن الـ
+
+175
+00:21:35,090 --> 00:21:37,370
+sequence of partial sums وهي طلعت bounded هي
+
+176
+00:21:37,370 --> 00:21:41,670
+bounded below by 0 bounded above by 1 over 1 minus
+
+177
+00:21:41,670 --> 00:21:53,610
+r لأن حسب اللمّة اللي فاتت so by above لمّة ال
+
+178
+00:21:53,610 --> 00:21:56,730
+sequence of partial sums نفسها is bounded
+
+179
+00:22:02,950 --> 00:22:08,570
+وبالتالي إذا by above theorem مدام ال sequence of
+
+180
+00:22:08,570 --> 00:22:11,910
+partial sums is bounded إذا ال series converges
+
+181
+00:22:11,910 --> 00:22:15,710
+okay
+
+182
+00:22:15,710 --> 00:22:23,790
+إذا بعديكم نقول so
+
+183
+00:22:23,790 --> 00:22:29,930
+by above theorem ال
+
+184
+00:22:29,930 --> 00:22:46,080
+series sigma1 على N أكبر من 1 فهذا
+
+185
+00:22:46,080 --> 00:22:53,300
+يثبت الجزء الأول من النظرية خلّينا
+
+186
+00:22:53,300 --> 00:22:54,640
+نثبت الجزء التاني
+
+187
+00:23:10,080 --> 00:23:17,200
+using induction you
+
+188
+00:23:17,200 --> 00:23:21,660
+can show أنه
+
+189
+00:23:21,660 --> 00:23:26,800
+for P
+
+190
+00:23:26,800 --> 00:23:29,140
+أكبر من صفر أصغر من واحد
+
+191
+00:23:32,370 --> 00:23:37,970
+لو كانت ال P طبعا أكبر من صفر وأصغر من أو ساوي
+
+192
+00:23:37,970 --> 00:23:46,110
+الواحد ف N أوس P بطلع أصغر من أو ساوي N لكل N في N
+
+193
+00:23:46,110 --> 00:23:49,670
+صح؟
+
+194
+00:23:49,670 --> 00:23:57,430
+انا ممكن اثباته by inductionSo, 1 على n أصغر لو
+
+195
+00:23:57,430 --> 00:24:08,470
+ساقى 1 على n أُس في for all n ينتمي إلى n فإن
+
+196
+00:24:08,470 --> 00:24:12,710
+هذا بيقدّي هذا بيقدّي
+
+197
+00:24:30,450 --> 00:24:36,590
+this implies أن ال summation from k بساوي واحد to
+
+198
+00:24:36,590 --> 00:24:44,150
+n لواحد على k أصغر لو ساوي summation من k بساوي
+
+199
+00:24:44,150 --> 00:24:55,850
+واحد إلى n لواحد على n على k أوس Pطب ما هذا عبارة
+
+200
+00:24:55,850 --> 00:25:02,270
+عن ال partial sum لسمي S N لل harmonic series ..
+
+201
+00:25:02,270 --> 00:25:09,410
+لل .. لل harmonic series و هذا عبارة عن ال partial
+
+202
+00:25:09,410 --> 00:25:17,870
+sum سمي S N star لل P series صح؟ إن أنا أصبح عندي
+
+203
+00:25:17,870 --> 00:25:21,850
+أنا S N أصغر من أو ساوي S N star
+
+204
+00:25:24,550 --> 00:25:29,430
+where لكل n where
+
+205
+00:25:29,430 --> 00:25:36,530
+sn بساوي sigma واحد على k من k بساوي واحد إلى n و
+
+206
+00:25:36,530 --> 00:25:42,230
+sn star بساوي sigma من k بساوي واحد إلى n لواحد
+
+207
+00:25:42,230 --> 00:25:51,630
+على k أُس P طيب since أثبتنا احنا قبل هيك انه ال
+
+208
+00:25:51,630 --> 00:25:53,230
+sequence of partial sums
+
+209
+00:25:56,310 --> 00:26:01,790
+السيكوانس SN هذا عبارة عن السيكوانس of partial
+
+210
+00:26:01,790 --> 00:26:02,290
+sums
+
+211
+00:26:12,510 --> 00:26:17,510
+of the harmonic series sigma 1 على n ايش مالهم؟
+
+212
+00:26:17,510 --> 00:26:23,070
+اثبتنا انهم unbounded ال sequence هذه is unbounded
+
+213
+00:26:23,070 --> 00:26:30,670
+بنالنا ذلك في مثال سابق unbounded
+
+214
+00:26:30,670 --> 00:26:35,070
+فلو سمينا المتباين
+
+215
+00:26:35,070 --> 00:26:39,530
+هذا star then
+
+216
+00:26:39,530 --> 00:26:40,370
+it follows
+
+217
+00:26:44,900 --> 00:26:50,900
+from star ينتج من المتباينة star إذا كانت ال
+
+218
+00:26:50,900 --> 00:26:55,600
+sequence هذه unbounded
+
+219
+00:26:55,600 --> 00:27:00,620
+لصغيرة unbounded فالحدود أكبر is unbounded ال
+
+220
+00:27:00,620 --> 00:27:11,140
+sequence SM star is unbounded وبالتالي
+
+221
+00:27:11,140 --> 00:27:13,600
+حسب النظرية أعلى so by
+
+222
+00:27:20,890 --> 00:27:26,890
+السيريز هي سيكوينس باشا سمسا بايتالي P Series
+
+223
+00:27:26,890 --> 00:27:32,930
+سيجما من K بساوة واحد وإنفينيتي لواحد على K أوس P
+
+224
+00:27:32,930 --> 00:27:36,290
+is divergent
+
+225
+00:27:41,610 --> 00:27:48,170
+حسب النظرية اللى ذكرناها سابقًا، طيب، في عندي هاي
+
+226
+00:27:48,170 --> 00:27:51,750
+series of positive numbers أو non-negative real
+
+227
+00:27:51,750 --> 00:27:55,890
+numbers و ال sequence of partial sums أبعدتها
+
+228
+00:27:55,890 --> 00:28:00,250
+unbounded، إذا حسب النظرية ال series is not
+
+229
+00:28:00,250 --> 00:28:05,260
+convergent أو divergent، صح؟إذن هذا بتثبت الجزء
+
+230
+00:28:05,260 --> 00:28:09,880
+التاني وبالتاني هيك بيكون بارهاننا اختبار ال P
+
+231
+00:28:09,880 --> 00:28:15,200
+-series test او ال P-series test إذن
+
+232
+00:28:15,200 --> 00:28:20,960
+أي P-series بتكون convergent إذا ال P أكبر من واحد
+
+233
+00:28:20,960 --> 00:28:25,620
+و divergent إذا P أصغر من أول ساول واحد في أي
+
+234
+00:28:25,620 --> 00:28:26,220
+سؤال؟
+
+235
+00:28:52,320 --> 00:28:55,800
+زي ما أخرنا comparison و limit comparison test
+
+236
+00:28:55,800 --> 00:29:00,920
+للsequences في comparison test لل series
+
+237
+00:29:00,920 --> 00:29:08,900
+comparison
+
+238
+00:29:08,900 --> 00:29:13,960
+test
+
+239
+00:29:13,960 --> 00:29:17,020
+for series
+
+240
+00:29:33,680 --> 00:29:40,800
+لت XIN و YIN بـ sequences of non-negative real
+
+241
+00:29:40,800 --> 00:29:41,380
+numbers
+
+242
+00:29:49,780 --> 00:29:58,060
+يكون such that xn أصغر من أو ساوي yn أكبر من أو
+
+243
+00:29:58,060 --> 00:30:06,540
+ساوي سفر for all n أكبر من أو ساوي k for some k
+
+244
+00:30:06,540 --> 00:30:14,660
+ينتمي إلى n أنا
+
+245
+00:30:14,660 --> 00:30:19,950
+لدي two sequences of real numberالتنتين حدودهم غير
+
+246
+00:30:19,950 --> 00:30:26,790
+سالبة من capital .. من capital K و انت طالع ممكن
+
+247
+00:30:26,790 --> 00:30:30,350
+الحدود اللي جابل .. اللي رقمهم أصغر من K بتكون
+
+248
+00:30:30,350 --> 00:30:36,150
+سالبة مش مشكلة أو مايكونش xn أصغر .. ممكن يكون xn
+
+249
+00:30:36,150 --> 00:30:41,830
+أكبر من yn مش مشكلة لكن من عند capital Kلكل مؤشر
+
+250
+00:30:41,830 --> 00:30:45,810
+لكل index because on an equal key أنا بدي xn أصغر
+
+251
+00:30:45,810 --> 00:30:51,990
+من وسائر yn واتنين يكونوا غير سلبين الآن إذا كانت
+
+252
+00:30:51,990 --> 00:30:58,190
+ال series sigma
+
+253
+00:30:58,190 --> 00:31:06,970
+xn إذا كانت ال series الأولى convergent أو الكبيرة
+
+254
+00:31:09,920 --> 00:31:17,540
+convergent بتقدي ان ال series الأصغر converge and
+
+255
+00:31:17,540 --> 00:31:29,520
+لو كانت ال series الأكبر الأصغر diverge فبتقدي
+
+256
+00:31:29,520 --> 00:31:36,700
+أن ال series الأكبر بالتأكيد diverge وهي
+
+257
+00:31:36,700 --> 00:31:45,380
+البرهان البرهن الجزء الأولassume أنه ال series
+
+258
+00:31:45,380 --> 00:31:56,180
+sigma yn converges then
+
+259
+00:31:56,180 --> 00:32:00,000
+by cauchy
+
+260
+00:32:00,000 --> 00:32:10,000
+criterion for series given
+
+261
+00:32:12,200 --> 00:32:18,900
+epsilon أكبر من الصفر يوجد capital N يعتمد على
+
+262
+00:32:18,900 --> 00:32:26,920
+epsilon عدد طبيعي بحيث أنه لكل M أكبر من small n
+
+263
+00:32:26,920 --> 00:32:31,620
+أكبر من أو ساوي capital N هيطلع عندي absolute
+
+264
+00:32:39,200 --> 00:32:51,200
+YNZ1Z YNZ2 و هكذا الى YM أصغر من إبسن هذا من Koshi
+
+265
+00:32:51,200 --> 00:32:51,760
+criterion
+
+266
+00:33:15,050 --> 00:33:23,830
+طيب انا عندي let
+
+267
+00:33:23,830 --> 00:33:34,730
+M بساوي ال maximum الأكبر ب N العدد K هذا الطبيعي
+
+268
+00:33:34,730 --> 00:33:40,010
+K و العدد الطبيعي capital N اللي بيعتمد على
+
+269
+00:33:40,010 --> 00:33:40,330
+epsilon
+
+270
+00:33:43,140 --> 00:33:49,360
+فاكيد طبعا هذا عدد طبيعي وهذا عدد طبيعي فان ام
+
+271
+00:33:49,360 --> 00:33:54,200
+هيطلع عدد طبيعي وام يعتمد على ابسلون لأن الام
+
+272
+00:33:54,200 --> 00:34:01,500
+يعتمد على capital ان وcapital ان تعتمد على ابسلون
+
+273
+00:34:01,500 --> 00:34:09,900
+اذا لو اخدت انا ان اكبر من ام او ام اكبر من ان وان
+
+274
+00:34:09,900 --> 00:34:18,560
+اكبر من او ساوي capital انفهذا بالتأكيد هيقدّي انه
+
+275
+00:34:18,560 --> 00:34:23,480
+ال ..
+
+276
+00:34:23,480 --> 00:34:29,520
+ال .. من هنا من الفرض نسمي الفرض هذا star
+
+277
+00:34:34,930 --> 00:34:45,790
+فمن star هيطلع عندي مفروض xn زائد واحد زائد xn
+
+278
+00:34:45,790 --> 00:34:51,130
+زائد اتنين زائد و هكذا الى xm
+
+279
+00:35:01,640 --> 00:35:06,300
+الـ absolute هذا الان كله موجب هذه كل حدود موجبة
+
+280
+00:35:06,300 --> 00:35:12,160
+أو غير سالبة لأن ال N أكبر من أوي ساوي كابتل N
+
+281
+00:35:12,160 --> 00:35:17,380
+وبالتالي هذا بيقدي ان N أكبر من أوي ساوي كابتل K
+
+282
+00:35:17,380 --> 00:35:25,520
+صح؟ إذا باستخدام star كابتل
+
+283
+00:35:25,520 --> 00:35:28,260
+عفوا ان هذه المفروضة تكون M
+
+284
+00:35:31,530 --> 00:35:36,470
+الان لكل M أكبر من M أكبر من أو ساوي capital M
+
+285
+00:35:36,470 --> 00:35:41,110
+capital M هذه أكبر من أو ساوي K وبالتالي M أكبر من
+
+286
+00:35:41,110 --> 00:35:46,030
+أو ساوي K إذن الحدود هذه كلها موجبة أو غير سالبة
+
+287
+00:35:46,030 --> 00:35:58,830
+صح من star و أصغر من أو ساوي اللي هو YM زاد واحد
+
+288
+00:35:58,830 --> 00:36:10,810
+زاد YMزائد اتنين زائد و هكذا الى الى
+
+289
+00:36:10,810 --> 00:36:19,870
+YM برضه هذه كلها حدود غير سالبة وبالتالي هذه هي
+
+290
+00:36:19,870 --> 00:36:25,370
+نفس ال absolute YN زائد واحد زائد YN زائد اتنين
+
+291
+00:36:25,370 --> 00:36:25,910
+زائد
+
+292
+00:36:29,190 --> 00:36:37,590
+ym ومن هنا لاحظوا ال n أكبر من أو ساوي capital M و
+
+293
+00:36:37,590 --> 00:36:42,870
+ال M أكبر من أو ساوي capital N فبطلع عندي كمان هنا
+
+294
+00:36:42,870 --> 00:36:50,630
+ال N أكبر من أو ساوي capital M لأن ال M أكبر من أو
+
+295
+00:36:50,630 --> 00:36:56,650
+ساوي capital N وبالتالي من ال implication هذههذا
+
+296
+00:36:56,650 --> 00:37:04,470
+بيطلع أصغر من إبسلم إن أنا طلع عندي absolute xn
+
+297
+00:37:04,470 --> 00:37:11,050
+زائد واحد زائد xn زائد اتنين زائد إلى آخرى إلى xn
+
+298
+00:37:11,050 --> 00:37:17,380
+أصغر من إبسلمهذا عدد غير سالب المجموعة ده غير سالب
+
+299
+00:37:17,380 --> 00:37:20,800
+لإن كل ال X غير سالب وبالتالي ال absolute value هي
+
+300
+00:37:20,800 --> 00:37:24,680
+نفسها هذا هو ال absolute value العدد غير سالب نفسه
+
+301
+00:37:24,680 --> 00:37:31,060
+لإن هنا أثبتنا الكلام هذا صحيح لكل M أكبر من N
+
+302
+00:37:31,060 --> 00:37:36,880
+أكبر من أو يساوي capital M so بستخدم كوشي
+
+303
+00:37:36,880 --> 00:37:42,780
+criterion كمان مرة by koshi criterion
+
+304
+00:37:45,130 --> 00:37:50,250
+for series الـ
+
+305
+00:37:50,250 --> 00:37:57,310
+series sigma xn converges لأن
+
+306
+00:37:57,310 --> 00:38:02,130
+هاي شرط كوشي متحقق، صح؟
+
+307
+00:38:02,130 --> 00:38:07,390
+هاي لأي إبسلون given إبسلون أكبر من السفر أثناء أن
+
+308
+00:38:07,390 --> 00:38:13,490
+يوجد capital Mيعني يعتمد على إبسلون بحيث لكل M
+
+309
+00:38:13,490 --> 00:38:18,350
+أكبر من N أكبر من أو ساوي كابتال N فلاندي أبسليوت
+
+310
+00:38:18,350 --> 00:38:23,150
+XN زاد واحد زائد إلى XM أصغر من إبسلون إذا حسب
+
+311
+00:38:23,150 --> 00:38:27,050
+كوشي criterion ال series Sigma XN converges هذا
+
+312
+00:38:27,050 --> 00:38:36,790
+بكمل برهان الجزء الأول الجزء التاني بينتج
+
+313
+00:38:36,790 --> 00:38:37,890
+من الجزء الأول
+
+314
+00:38:42,270 --> 00:38:52,390
+this is the contrapositive .. the contrapositive
+
+315
+00:38:52,390 --> 00:39:00,330
+أو the contraposition .. this is the
+
+316
+00:39:00,330 --> 00:39:04,930
+contraposition of ال statement واحد
+
+317
+00:39:08,170 --> 00:39:12,270
+أنا في عندي قانون في ال logic بيقول إذا كان P فأدي
+
+318
+00:39:12,270 --> 00:39:19,370
+ل Q فال statement هذا بكافئ ال counter positive مش
+
+319
+00:39:19,370 --> 00:39:21,950
+النفي تبعه ال counter positive معناه المعاكس
+
+320
+00:39:21,950 --> 00:39:30,550
+الإيجابي فهذا بكافئ not Q implies not P فذا
+
+321
+00:39:30,550 --> 00:39:37,130
+أثبتنا إن هذا true فهذا بيكون trueطب تعالى ن��وف
+
+322
+00:39:37,130 --> 00:39:39,810
+هذا هذا اللى انا اثبتنا انه true اللى هو الجزء ا
+
+323
+00:39:39,810 --> 00:39:43,590
+او الجزء واحد الجزء التانى هو ال counter positive
+
+324
+00:39:44,960 --> 00:39:50,320
+هل هذا صحيح تعالوا نقرأ الجزء التاني او تعالوا
+
+325
+00:39:50,320 --> 00:39:55,420
+نجيب ال contrapositive للعبارة في الجزء الأول ال
+
+326
+00:39:55,420 --> 00:39:59,800
+contrapositive للعبارة في الجزء الأول نفي هذا اللي
+
+327
+00:39:59,800 --> 00:40:04,160
+هو ال series sigma x in by dirge بيقدي الى نفي هذا
+
+328
+00:40:04,160 --> 00:40:08,420
+اللي هو ال series y in by dirgeوبالتالي هيك بنكون
+
+329
+00:40:08,420 --> 00:40:17,700
+كملنا البرران تمام؟ واضح؟ في أي سؤال؟ أي استفسار؟
+
+330
+00:40:17,700 --> 00:40:25,180
+أحيانا بيكون صعب أن احنا نعملمقارنة بين حدود ال
+
+331
+00:40:25,180 --> 00:40:32,500
+series sigma xn و حدود ال series sigma yn بالطريقة
+
+332
+00:40:32,500 --> 00:40:37,480
+المباشرة زي ما في ال star أحيانا مش سهل نعمل
+
+333
+00:40:37,480 --> 00:40:43,020
+مقارنة زي هذه وبالتالي بنلجأ إلى اختبار اخر بنسميه
+
+334
+00:40:43,020 --> 00:40:49,320
+limit comparison testفنكتب ال test هذا دكتور؟ نعم
+
+335
+00:40:49,320 --> 00:40:53,560
+هلأ عبس النظرية برضه خطأ يعني نفس نحو اللي كنا
+
+336
+00:40:53,560 --> 00:40:58,360
+نعمله بال sequence نعمله بال series هى الفترة
+
+337
+00:40:58,360 --> 00:41:01,940
+التالية؟ اه طبعا يعني انت لو كان مثلا هذه الصحية
+
+338
+00:41:01,940 --> 00:41:08,160
+كلامك بالظبط يعني لو كانت ال series ال series مثلا
+
+339
+00:41:08,160 --> 00:41:14,190
+هذه ال sigma yn diverseهل هذا بيقعد ان sigma xn
+
+340
+00:41:14,190 --> 00:41:18,530
+diverge؟ مش بالضرورة ممكن diverge و ممكن converge
+
+341
+00:41:18,530 --> 00:41:25,510
+نفس الحاجة لو كانت ال series sigma xn converge هل
+
+342
+00:41:25,510 --> 00:41:31,030
+sigma yn converge؟ ممكن او ممكن لأ اكيد و ممكن
+
+343
+00:41:31,030 --> 00:41:34,690
+نجيب counter examples لازم تفكري في إيجاد counter
+
+344
+00:41:34,690 --> 00:41:36,850
+examples و انت بتدرسيه
+
+345
+00:41:40,810 --> 00:41:53,630
+نشوف ال limit comparison test limit
+
+346
+00:41:53,630 --> 00:42:02,030
+comparison test
+
+347
+00:42:18,300 --> 00:42:27,120
+لت Xn وYn بيكونوا سيكوانس من حدود حقيقية مفتوحة
+
+348
+00:42:27,120 --> 00:42:36,560
+بيكون حدود حقيقية مفتوحة بيكون حدود حقيقية مفتوحة
+
+349
+00:42:36,560 --> 00:42:38,340
+بيكون حدود حقيقية مفتوحة بيكون حدود حقيقية مفتوحة
+
+350
+00:42:38,340 --> 00:42:40,480
+بيكون حدود حقيقية مفتوحة بيكون حدود حقيقية مفتوحة
+
+351
+00:42:47,730 --> 00:42:56,850
+و ال R هذا يعني عدد حقيقي طبعا ينتمي إلى R ففي
+
+352
+00:42:56,850 --> 00:43:04,670
+عندي برضه نتيجتين النتيجة الأولى إذا كان ال R
+
+353
+00:43:04,670 --> 00:43:09,630
+بسويش سفر then
+
+354
+00:43:09,630 --> 00:43:15,330
+ال series sigma X M converges if and only if
+
+355
+00:43:24,150 --> 00:43:43,650
+الجزء التاني من النظرية لو
+
+356
+00:43:43,650 --> 00:43:52,220
+كان R بساوي سفربعد ذلك لو الار بيسوي سفر يعني ان
+
+357
+00:43:52,220 --> 00:44:01,220
+الار بيسويش سفر then ال series sigma y in دي درجز
+
+358
+00:44:01,220 --> 00:44:07,840
+بيقدي ان ال series sigma x in دي درجز
+
+359
+00:44:11,380 --> 00:44:19,300
+او لأ convergence افضل لو كانت series sigma yn
+
+360
+00:44:19,300 --> 00:44:24,480
+convergence بيقدي ان series sigma xn ايبان
+
+361
+00:44:24,480 --> 00:44:27,620
+convergence فقط اتجاه واحد لكن الاكس مش شرط تكون
+
+362
+00:44:27,620 --> 00:44:37,460
+صحيح okay تمام هو البرهان
+
+363
+00:44:37,460 --> 00:44:38,520
+يعني كتير سهل
+
+364
+00:44:49,520 --> 00:45:02,300
+بنسمي الشرط هذا star الجزء
+
+365
+00:45:02,300 --> 00:45:12,940
+الأول assume ان R لا يساوي سفر طبعا
+
+366
+00:45:12,940 --> 00:45:21,670
+في الحالة هذه ال R بطلع موجدلأن لحظة انتوا ان xn
+
+367
+00:45:21,670 --> 00:45:27,810
+على yn هذه كلها أعداد موجبة و ال limit ل sequence
+
+368
+00:45:27,810 --> 00:45:31,930
+أعداء كل حدودها موجبة بيطلع المفروض يطلع ال limit
+
+369
+00:45:31,930 --> 00:45:37,970
+تبعتها موجبة إذا كانت ال limit موجودة واضح؟ إذن
+
+370
+00:45:37,970 --> 00:45:42,090
+هذا من نظرية سابقة لما أن حدود ال sequence xn على
+
+371
+00:45:42,090 --> 00:45:45,930
+yn هذه ال sequence حدودها كلها موجبة إذا نهايتها
+
+372
+00:45:45,930 --> 00:45:58,820
+تطلع أيضا موجبةطيب وبالتالي take epsilon بساوي R ع
+
+373
+00:45:58,820 --> 00:46:09,180
+2 طبعا هذا بالتأكيد عدد موجب الان by star since
+
+374
+00:46:09,180 --> 00:46:18,240
+XN على YN converges to R as N tends to infinity
+
+375
+00:46:20,590 --> 00:46:26,850
+بقدر نلاقي capital N يعتمد على إبسلون عدد طبيعي
+
+376
+00:46:26,850 --> 00:46:32,830
+بحيث أنه absolute لكل N أكبر من أو يساوي capital N
+
+377
+00:46:32,830 --> 00:46:39,730
+بيطلع absolute xn على yn minus r أصغر من إبسلون
+
+378
+00:46:39,730 --> 00:46:49,430
+اللي هي بيساوي R ع 2 وهذا بيقديلو فكنا وعملنا ال
+
+379
+00:46:49,430 --> 00:46:56,730
+absolute value هيطلع عندي xn
+
+380
+00:46:56,730 --> 00:47:03,910
+على yn أكبر من أو ساوي R ع 2 أصغر من أو ساوي 3R ع
+
+381
+00:47:03,910 --> 00:47:11,530
+2 وبما أنه هذا صحيح لكل N أكبر من أو ساوي capital
+
+382
+00:47:11,530 --> 00:47:21,570
+Nالان اضرب في YN YN طبعا عدد موجب فبطلع XN أصغر من
+
+383
+00:47:21,570 --> 00:47:27,370
+أو ساوي تلاتة R ع اتنين في YN أكبر من أو ساوي R ع
+
+384
+00:47:27,370 --> 00:47:33,510
+اتنين في YN وهذا صحيح لكل N أكبر من أو ساوي
+
+385
+00:47:33,510 --> 00:47:37,330
+capital N تمام الان now
+
+386
+00:47:45,120 --> 00:47:53,940
+نسمي هذه double star فالان
+
+387
+00:47:53,940 --> 00:48:03,820
+if sigma x and converge then
+
+388
+00:48:03,820 --> 00:48:12,540
+by double star and comparison test and comparison
+
+389
+00:48:12,540 --> 00:48:22,450
+testواختبار المقارنة إذا كانت هذه convergent فبطلع
+
+390
+00:48:22,450 --> 00:48:31,810
+هذه ال series convergent صح وبالتالي بطلع sigma yn
+
+391
+00:48:31,810 --> 00:48:38,370
+convergence هذا ثابت موجة ممكن نضرب في مقلوب و
+
+392
+00:48:38,370 --> 00:48:42,490
+نتخلص منه إذا كانت هذه convergent فهذه convergent
+
+393
+00:48:46,950 --> 00:48:55,330
+Also إذا كانت ال series sigma y in converge then
+
+394
+00:48:55,330 --> 00:49:00,810
+برضه by المتباينة double star and ال comparison
+
+395
+00:49:00,810 --> 00:49:04,890
+test إذا
+
+396
+00:49:04,890 --> 00:49:06,070
+ناخد الجزء هذا
+
+397
+00:49:09,440 --> 00:49:12,720
+إذا كانت ال series هذي convergent و الكبيرة هذي
+
+398
+00:49:12,720 --> 00:49:17,840
+convergent ففي ثابت موجب convergent فهذه تطلع
+
+399
+00:49:19,770 --> 00:49:25,650
+بطلع sigma xn conversion وبالتالي هذا بكمل برهان
+
+400
+00:49:25,650 --> 00:49:30,110
+الجزء الأول طبعا برهان الجزء التاني هيكون يعني
+
+401
+00:49:30,110 --> 00:49:36,530
+مشابه فلأن الواجهة انتهى هنوقف و هسيبكم تقرؤ برهان
+
+402
+00:49:36,530 --> 00:49:41,890
+الجزء الأول من الكتاب فنكتفي بهذا القدر و ان شاء
+
+403
+00:49:41,890 --> 00:49:43,730
+الله نكمل المحاضرة الجاية
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Sym_17KvBqE_raw.srt

@@ -0,0 +1,1728 @@
+1
+00:00:20,830 --> 00:00:26,410
+بسم الله الرحمن الرحيم احنا في المحاضرة اللى فاتت
+
+2
+00:00:26,410 --> 00:00:32,690
+اتحدثنا عن ال limit comparison test وبرهننا
+
+3
+00:00:32,690 --> 00:00:37,470
+الجزء الاول منه فنرجع مع بعض ال limit comparison
+
+4
+00:00:37,470 --> 00:00:43,190
+test for infinite series طبعا طبعا في limit
+
+5
+00:00:43,190 --> 00:00:47,450
+comparison test for sequences الان هذا الافتبار
+
+6
+00:00:47,450 --> 00:00:52,340
+قصد ال infinite seriesلو في عندي two sequences of
+
+7
+00:00:52,340 --> 00:00:57,760
+positive real numbers بحيث ان limit ال quotient
+
+8
+00:00:57,760 --> 00:01:05,700
+تبعهم exist بساوي عدد R ففي عندي نتيجتين، لو كان
+
+9
+00:01:05,700 --> 00:01:12,170
+العدد R أو limit R هذه لا تساوي 0ففي الحالة هذه
+
+10
+00:01:12,170 --> 00:01:18,130
+sigma x in series sigma x in convergence if and
+
+11
+00:01:18,130 --> 00:01:21,550
+only if ال series sigma y in convergence يعني
+
+12
+00:01:21,550 --> 00:01:24,910
+اتنين اما اتنين بيكونوا convergence زي بعض او
+
+13
+00:01:24,910 --> 00:01:28,630
+اتنين بيكونوا divergence زي بعض الجزء التاني بيقول
+
+14
+00:01:28,630 --> 00:01:32,010
+لو كانت ال R اللي هي limit لل quotient مساوة سفر
+
+15
+00:01:32,010 --> 00:01:37,110
+وإذا كانت ال series اللي الحد العام تبع Y in
+
+16
+00:01:37,110 --> 00:01:41,770
+convergenceفال series هذا بيقدر ال series اللي هي
+
+17
+00:01:41,770 --> 00:01:48,510
+sigma xn كلها يعني اعتقد ان احنا برهن الجزء الأول
+
+18
+00:01:48,510 --> 00:01:55,750
+برا اللي فاتت بظبط و خلينا نبرهن الجزء التاني طبعا
+
+19
+00:01:55,750 --> 00:02:06,370
+since اذا هنا let assume r
+
+20
+00:02:06,370 --> 00:02:07,650
+بساوي سفر
+
+21
+00:02:18,190 --> 00:02:24,490
+أما لو أخدت إبسلون أنا بساوي العدد واحد فهذا
+
+22
+00:02:24,490 --> 00:02:29,910
+إبسلون موجبة إحنا
+
+23
+00:02:29,910 --> 00:02:38,070
+لدينا من الفرض sense limit xn over yn as n tends
+
+24
+00:02:38,070 --> 00:02:45,640
+to infinityبساوي R اللي هو سفر الآن فمن تعريف by
+
+25
+00:02:45,640 --> 00:02:51,260
+definition of limit for epsilon positive زي هذه
+
+26
+00:02:51,260 --> 00:02:57,420
+يوجد capital N يعتمد على epsilon اللي هو الواحد
+
+27
+00:02:57,420 --> 00:03:03,900
+natural number بحيث انه لكل N أكبر من أو ساوي
+
+28
+00:03:03,900 --> 00:03:11,260
+capital Nهذا بيدّي أن ال absolute value ل xn على
+
+29
+00:03:11,260 --> 00:03:18,120
+yn minus zero بيطلع أصغر من ال epsilon اللي احنا
+
+30
+00:03:18,120 --> 00:03:26,660
+ماخدينها واحد طب xn عدد موجب و yn عدد موجبفال
+
+31
+00:03:26,660 --> 00:03:33,760
+quotient هذا كسر هذا موجب سالد سفر فهذا بيقدي ان
+
+32
+00:03:33,760 --> 00:03:42,880
+xn over yn أصغر من واحد لو ضربنا الطرفين العدد
+
+33
+00:03:42,880 --> 00:03:58,110
+الموجب yn فهذا هيقدي ان xn أصغر من ynوهذا صحيح لكل
+
+34
+00:03:58,110 --> 00:04:05,550
+N أكبر من أو يستوي capital N now
+
+35
+00:04:05,550 --> 00:04:09,090
+if
+
+36
+00:04:09,090 --> 00:04:20,550
+sigma yn converges then
+
+37
+00:04:21,920 --> 00:04:26,140
+by direct comparison test اللي أخدناها المرة اللي
+
+38
+00:04:26,140 --> 00:04:30,420
+فاتت إذا ال series الحد اللي عام تبعها أكبر
+
+39
+00:04:30,420 --> 00:04:34,480
+convergent فالأصغر
+
+40
+00:04:34,480 --> 00:04:42,920
+ال series الأصغر converges وهذا هو المطلوب هذا
+
+41
+00:04:42,920 --> 00:04:46,340
+اللي احنا عايزين نتبته إنه لو كانت ال series yn
+
+42
+00:04:46,340 --> 00:04:50,690
+convergent فلازم هذا يطلع convergent هذا صحيحby
+
+43
+00:04:50,690 --> 00:04:55,110
+direct comparison test لذلك هذا يكمل برهان الجزء
+
+44
+00:04:55,110 --> 00:05:02,230
+التالي نرجع الأن ناخد أمثلة على تطبيقات على ال
+
+45
+00:05:02,230 --> 00:05:08,590
+direct comparison test و على limit comparison test
+
+46
+00:05:11,980 --> 00:05:15,680
+كيف نستخدم ال comparison tests الاختبارين هدول
+
+47
+00:05:15,680 --> 00:05:27,780
+فيثبات ان ال series معينة is convergent discuss
+
+48
+00:05:27,780 --> 00:05:38,840
+.. discuss the convergence of
+
+49
+00:05:38,840 --> 00:05:40,360
+the following series
+
+50
+00:06:00,990 --> 00:06:07,110
+فناخد series sigma from n equals one to infinity ل
+
+51
+00:06:07,110 --> 00:06:17,370
+one over n squared plus n بالمناسبة
+
+52
+00:06:17,370 --> 00:06:18,450
+ال series هذه
+
+53
+00:06:23,110 --> 00:06:29,010
+ممكن نقارنها، الحد العام تبعها هذا، لما N تكون
+
+54
+00:06:29,010 --> 00:06:36,410
+large فممكن نهمل ال N بالنسبة ل N تربية و نعتبر أن
+
+55
+00:06:36,410 --> 00:06:42,730
+هذه ال series شبيهة أو behaves like تتصرف زي ال
+
+56
+00:06:42,730 --> 00:06:45,650
+series sigma 1 على N تربية
+
+57
+00:06:50,030 --> 00:06:54,610
+الان بنشوف إذا ممكن نطبق اختبار المقارنة المباشرة
+
+58
+00:06:54,610 --> 00:06:58,670
+ال direct comparison test بنطبقه وإذا ما اقدرناش
+
+59
+00:06:58,670 --> 00:07:06,950
+بنلجأ لاختبار تبع ال limit comparison test
+
+60
+00:07:24,400 --> 00:07:37,040
+فهنا ممكن يعني من السهل أن احنا نستخدم ال
+
+61
+00:07:37,040 --> 00:07:43,040
+direct comparison test لأنه انا عندي ال N تربيع
+
+62
+00:07:43,040 --> 00:07:50,400
+زائد N أكبر من أو يساوي Nأكبر من أو ساوي N تربية
+
+63
+00:07:50,400 --> 00:08:00,220
+لكل N ينتمي ل N هذا بيقدي أنه مقلوب N تربية زايد N
+
+64
+00:08:00,220 --> 00:08:08,680
+أصغر من أو ساوي مقلوب N تربية لكل N ك N الان
+
+65
+00:08:08,680 --> 00:08:13,020
+ال series
+
+66
+00:08:13,020 --> 00:08:15,360
+sigma واحد على N تربية
+
+67
+00:08:18,710 --> 00:08:29,730
+a P series is P series صح؟ with P
+
+68
+00:08:29,730 --> 00:08:40,270
+بيساوي اتنين اكبر من واحد so
+
+69
+00:08:40,270 --> 00:08:49,230
+it convergesby .. it is convergent by P series
+
+70
+00:08:49,230 --> 00:08:56,550
+test في ال P series test بيقوللي إذا كان أي P
+
+71
+00:08:56,550 --> 00:09:02,890
+series زي هذه بتكون convergent إذا كان P أكبر من
+
+72
+00:09:02,890 --> 00:09:08,530
+واحد و divergent إذا كان P أصغر من أوسع و أعلى و
+
+73
+00:09:08,530 --> 00:09:14,510
+برهننا الكلام هذا في المحاضرة السابقة أو الجبلةإذا
+
+74
+00:09:14,510 --> 00:09:20,250
+أنا في عندى two series واحدة الحد العام تبعها واحد
+
+75
+00:09:20,250 --> 00:09:23,790
+على انتر بيه وهذا الconversion وواحدة الحد العام
+
+76
+00:09:23,790 --> 00:09:28,090
+تبعها واحد على انتر بيه الزادة وهذا الحد العام
+
+77
+00:09:28,090 --> 00:09:31,250
+أصغر من أو ساوي الحد العام لهذه الconversion إذا
+
+78
+00:09:31,250 --> 00:09:35,630
+ممكن استخدم so
+
+79
+00:09:35,630 --> 00:09:38,550
+by direct comparison test
+
+80
+00:09:42,520 --> 00:09:46,740
+السيريز اللي هي sigma من n equals one to infinity
+
+81
+00:09:46,740 --> 00:09:56,860
+لواحد على n squared plus n converges
+
+82
+00:09:56,860 --> 00:10:03,340
+إذا السيريز هذه أتباعنا هي انها convergence by
+
+83
+00:10:03,340 --> 00:10:07,140
+direct comparison استخدمنا ال direct comparison
+
+84
+00:10:07,140 --> 00:10:09,160
+test مفهوم واضح؟
+
+85
+00:10:12,050 --> 00:10:13,950
+ناخد مثال تاني
+
+86
+00:10:36,080 --> 00:10:39,580
+بتاعة اتنين لو أخدنا series sigma from n equals
+
+87
+00:10:39,580 --> 00:10:47,780
+one to infinity لواحد على n تربية سالف n زائد
+
+88
+00:10:47,780 --> 00:10:54,180
+واحد بما نفحص هل ال series هذي convergent ولا
+
+89
+00:10:54,180 --> 00:10:57,520
+divergent طبعا
+
+90
+00:10:59,200 --> 00:11:04,280
+أول شيء بنفكر فيه، بنشوف كيف ال series هذه بتتصرف،
+
+91
+00:11:04,280 --> 00:11:07,740
+ما هي ال series القريبة منها، و اللي احنا عارفين
+
+92
+00:11:07,740 --> 00:11:12,600
+أنها أو ممكن نحكم عليها بسهولة، ن be convergent أو
+
+93
+00:11:12,600 --> 00:11:15,980
+divergent، يعني بدي أقارن ال series هذه ب series
+
+94
+00:11:15,980 --> 00:11:20,520
+تانيةمن السهل اني احكم عليها هل هي convergent او
+
+95
+00:11:20,520 --> 00:11:27,160
+divergent فلما N تكون كبيرة و ان N is sufficiently
+
+96
+00:11:27,160 --> 00:11:32,900
+large لما N تقول infinity ممكن اهمل N و اهمل 1
+
+97
+00:11:32,900 --> 00:11:41,080
+وبالتالي ال series هذه behaves تتصرف زي ال series
+
+98
+00:11:41,080 --> 00:11:42,880
+1 على N ترمية
+
+99
+00:11:45,470 --> 00:11:55,230
+اللي هي احنا عارفين which is كل بيت واحد طبعا by P
+
+100
+00:11:55,230 --> 00:12:01,270
+seriousness زي ما شرحنا في المثال الأول الآن
+
+101
+00:12:01,270 --> 00:12:10,120
+السؤال اللي بيطرح نفسه is it true هل واحد علىإن
+
+102
+00:12:10,120 --> 00:12:15,000
+تربية سالف إن زاد واحد أصغر من ��و يساوي واحد على
+
+103
+00:12:15,000 --> 00:12:20,640
+إن تربية عشان نستخدم .. هل هذا الكلام صحيح لكل إن؟
+
+104
+00:12:20,640 --> 00:12:25,920
+لأ مش فاكرش أنا فللأسف هذا مش صحيح وبالتالي
+
+105
+00:12:25,920 --> 00:12:29,940
+مابقدرش أستخدم إن هذا not true
+
+106
+00:12:34,430 --> 00:12:41,410
+for example على سبيل المثال take m بساوي اتنين
+
+107
+00:12:41,410 --> 00:12:50,310
+هنجد المتباين هذه مش صح اذا مقدرش انا استخدم ال
+
+108
+00:12:50,310 --> 00:12:54,310
+direct comparison test اذا في الحالة هذه لازم
+
+109
+00:12:54,310 --> 00:12:59,190
+استخدم ال limit comparison test او ابحث عن مقارنة
+
+110
+00:12:59,190 --> 00:13:01,310
+تانية however
+
+111
+00:13:06,140 --> 00:13:17,200
+you can show بإمكانكم تخبطه أنه الواحد على n تربية
+
+112
+00:13:17,200 --> 00:13:23,500
+negative n زائد واحد هذا أصغر من أو ساوي اتنين على
+
+113
+00:13:23,500 --> 00:13:31,280
+n تربية وهذا صحيح لكل n في n إذن هذه المتباينة
+
+114
+00:13:31,280 --> 00:13:34,420
+صحيحة وبالتالي ممكن الآن
+
+115
+00:13:39,990 --> 00:13:46,330
+الان بإمكانك استخدام
+
+116
+00:13:46,330 --> 00:13:53,030
+تجارة مقارنة مباشرة للتأكيد
+
+117
+00:13:53,030 --> 00:14:02,650
+عشان تستنتجوا ان سيريز سيجما واحد على إنتر بيه
+
+118
+00:14:02,650 --> 00:14:08,980
+نيجاتيب ن بلس واحدconvergent لأنه ال series هذه
+
+119
+00:14:08,980 --> 00:14:15,920
+لأنه since ال series اللي الحد العام تبعها اتنين
+
+120
+00:14:15,920 --> 00:14:20,740
+على انتر بيها هي نفسها اتنين ضارب ال series sigma
+
+121
+00:14:20,740 --> 00:14:26,600
+واحد على انتر بيها و ال series هذه قلنا convergent
+
+122
+00:14:26,600 --> 00:14:29,660
+لأنها في series نضربها في عدد موجب بتضلها
+
+123
+00:14:29,660 --> 00:14:31,700
+convergent
+
+124
+00:14:34,390 --> 00:14:38,990
+لازم نثبت على ذلك الكلام هذا الكلام لازم تثبتيه صح
+
+125
+00:14:38,990 --> 00:14:45,970
+المشكلة في الحل هذا ان انا او انتوا كيف نبيه يخطر
+
+126
+00:14:45,970 --> 00:14:53,170
+على بالكم ان المتباين هذا صح اه it is not easy to
+
+127
+00:14:53,170 --> 00:14:57,030
+figure out this inequality مش سهل ان يختر على
+
+128
+00:14:57,030 --> 00:15:04,110
+بالنا او نستنتج ال .. او يعني ..بنعرف إنه في
+
+129
+00:15:04,110 --> 00:15:09,870
+متباينة زي هذه صحيحة هذا مش سهل وبالتالي ممكن
+
+130
+00:15:09,870 --> 00:15:14,090
+نستخدم ال limit comparison test ونرايح رأسنا ال
+
+131
+00:15:14,090 --> 00:15:16,690
+limit comparison test في الحالة هذه أسهل من إن أنا
+
+132
+00:15:16,690 --> 00:15:21,550
+يعني أخمن
+
+133
+00:15:21,550 --> 00:15:25,950
+.. أخمن يعني حاجة زي هذه okay فتعالوا نشوف كيف
+
+134
+00:15:25,950 --> 00:15:28,070
+نستخدم ال limit comparison test
+
+135
+00:15:31,920 --> 00:15:40,220
+أذا هنا we use limit
+
+136
+00:15:40,220 --> 00:15:45,160
+comparison test with
+
+137
+00:15:45,160 --> 00:15:54,640
+a n بساوي واحد على n تربيع minus n زايد واحد أو xn
+
+138
+00:15:54,640 --> 00:15:55,720
+فالبسامينات
+
+139
+00:15:57,840 --> 00:16:07,600
+و Yn بساوية واحد على M تربية فاني
+
+140
+00:16:07,600 --> 00:16:13,340
+ايجي نحسب ال limit ل Xn over Yn as N tenths of
+
+141
+00:16:13,340 --> 00:16:21,720
+infinity بساوية limit هاي Xn تقسيم Yn بتطلع M
+
+142
+00:16:21,720 --> 00:16:28,990
+تربية على M تربية negative M plus oneو ال limit
+
+143
+00:16:28,990 --> 00:16:36,930
+هذا عشان نحسبها بالجسم bust مقام على n تربية ففي
+
+144
+00:16:36,930 --> 00:16:41,750
+ال bust واحد واحد سالب واحد على n موجب واحد على n
+
+145
+00:16:41,750 --> 00:16:47,210
+تربية لإن تقول ال infinity وهذا بطلع واحد على واحد
+
+146
+00:16:47,210 --> 00:16:54,410
+سالب صفر موجب صفر ويساوي واحد لايساوي صفر إذن ال R
+
+147
+00:16:55,770 --> 00:16:59,910
+الـ R في ال limit comparison test طلعت بالساوي
+
+148
+00:16:59,910 --> 00:17:07,630
+واحد لا يساوي سفر وانا عندى اذا since وانا عندى ال
+
+149
+00:17:07,630 --> 00:17:13,050
+series sigma yn اللى هى sigma واحد على انتر بيان
+
+150
+00:17:13,050 --> 00:17:17,830
+is convergent then
+
+151
+00:17:17,830 --> 00:17:26,700
+by limit comparison test ال series sigma xnاللي هو
+
+152
+00:17:26,700 --> 00:17:32,960
+الحد اللي عم تبعها واحد على انتر بيه minus ان زاد
+
+153
+00:17:32,960 --> 00:17:41,560
+واحد كون بيعجز وهو مطلوب okay إذا هنا استخدمنا ال
+
+154
+00:17:41,560 --> 00:17:46,020
+limit كون .. لما يعجز أو يفشل ال comparison أو ال
+
+155
+00:17:46,020 --> 00:17:49,920
+direct comparison test بنرجع إلى limit comparison
+
+156
+00:17:49,920 --> 00:17:57,220
+testهنا لازم يجب ملاحظة انه اي سؤال بنحل بال
+
+157
+00:17:57,220 --> 00:18:02,660
+comparison test ممكن حله او نطبق عليه ال limit
+
+158
+00:18:02,660 --> 00:18:07,800
+comparison test لكن العكس ليس صحيح وبالتالي ال
+
+159
+00:18:07,800 --> 00:18:12,240
+limit comparison test اشمل و اعام من ال direct
+
+160
+00:18:12,240 --> 00:18:17,460
+comparison test ناخد مثال تالت واضح الحل في اي
+
+161
+00:18:17,460 --> 00:18:22,470
+سؤال او استفسار؟إذا دائما في مخرج يعني إذا انت مش
+
+162
+00:18:22,470 --> 00:18:26,390
+عارف تعمل direct comparison فاستخدم ال limit
+
+163
+00:18:26,390 --> 00:18:30,670
+comparison test وهذا مش صعب تشوفي دائما ال series
+
+164
+00:18:30,670 --> 00:18:35,730
+اللي قدامك behaves like some familiar series تتصرف
+
+165
+00:18:35,730 --> 00:18:41,130
+زي series معروفة لدينا و احنا عارف نقدر من السهل
+
+166
+00:18:41,130 --> 00:18:43,530
+نحكم عليها هل convergent او divergent
+
+167
+00:18:49,830 --> 00:18:57,370
+فلو أخدنا مثلا ال series هذه summation from
+
+168
+00:18:57,370 --> 00:19:03,630
+n equals one to infinity ل one over square root of
+
+169
+00:19:03,630 --> 00:19:08,530
+n plus one ف
+
+170
+00:19:08,530 --> 00:19:11,910
+ال series .. this series behaves طبعا لما n ..
+
+171
+00:19:11,910 --> 00:19:19,330
+when n gets large we neglect الواحد نهم الواحدوهذه
+
+172
+00:19:19,330 --> 00:19:29,190
+السيريز تتصرف من حيث التقارب والتباعد مثل سيجما
+
+173
+00:19:29,190 --> 00:19:31,210
+واحد على جذر الان
+
+174
+00:19:38,390 --> 00:19:46,390
+طيب can we السؤال يتفرج نفسه can we use direct
+
+175
+00:19:46,390 --> 00:19:51,670
+comparison test للإجابة
+
+176
+00:19:51,670 --> 00:19:57,770
+على السؤال هذا بنلاحظ أن n زائد 1 أكبر منها ويساوي
+
+177
+00:19:57,770 --> 00:20:06,310
+n لكل n هذا بيقدر أن واحدوبالتالي الجدر التربيعي ل
+
+178
+00:20:06,310 --> 00:20:10,110
+N زائد واحد أكبر من أو ساوي جدر ال N لكل N
+
+179
+00:20:10,110 --> 00:20:17,910
+وبالتالي هذا بيقدي أن واحد على الجدر التربيعي ل N
+
+180
+00:20:17,910 --> 00:20:26,950
+زائد واحد أقل من أو ساوي واحد على جدر ال N لكل Nو
+
+181
+00:20:26,950 --> 00:20:31,850
+احنا عارفين ان ال series هذه divergent لأنها P
+
+182
+00:20:31,850 --> 00:20:36,850
+series و ال P بساوي نص أصغر من واحد و هاد ال
+
+183
+00:20:36,850 --> 00:20:42,770
+series أصغر منها أو أصغر منها و يساويهافال direct
+
+184
+00:20:42,770 --> 00:20:46,970
+comparison test بيعطينيش نتيجة، بيعطينيش نتيجة إذا
+
+185
+00:20:46,970 --> 00:20:50,550
+الكبيرة divergent فالصغيرة ممكن تكون convergent
+
+186
+00:20:50,550 --> 00:20:57,150
+وممكن تكون divergent إذا هنا ال direct comparison
+
+187
+00:20:57,150 --> 00:21:01,050
+test fails،
+
+188
+00:21:01,050 --> 00:21:09,290
+fails يعني يفشل، يفشل وبالتالي مافيش أمامنا خيار
+
+189
+00:21:09,290 --> 00:21:13,350
+اللي احنا .. اللي .. اللي هالنا نستعملأو نستخدم
+
+190
+00:21:13,350 --> 00:21:27,350
+limit comparison test نستخدم
+
+191
+00:21:27,350 --> 00:21:29,970
+limit comparison test
+
+192
+00:21:34,290 --> 00:21:39,970
+with xn بيساوي واحد على ال square root of n plus
+
+193
+00:21:39,970 --> 00:21:48,230
+one و yn بيساوي one over square root of n نحسم ال
+
+194
+00:21:48,230 --> 00:21:53,990
+limit ل xn over yn as n tends to infinity بيساوي
+
+195
+00:21:53,990 --> 00:21:57,770
+ال limit هاي
+
+196
+00:21:57,770 --> 00:22:06,100
+جسم xn على yn بيطلع الجدر التربيعيلان على ان plus
+
+197
+00:22:06,100 --> 00:22:11,500
+one لما ان تقول ال infinity دخل ال limit تحت الجدر
+
+198
+00:22:11,500 --> 00:22:15,740
+لأن ال square root function is continuous فاندخل
+
+199
+00:22:15,740 --> 00:22:21,660
+ال limit و limit المقدار تحت الجدر بطلع واحد
+
+200
+00:22:21,660 --> 00:22:28,920
+وبالتالي واحد لا يساوي سوى إذا ال R في limit
+
+201
+00:22:28,920 --> 00:22:34,540
+comparison first طلعتdifferent from zero لأ تساوي
+
+202
+00:22:34,540 --> 00:22:44,020
+سفر و since ال series sigma من n equals one to
+
+203
+00:22:44,020 --> 00:22:52,860
+infinity لواحد على جدر ال n يعبر عن sigma واحد على
+
+204
+00:22:52,860 --> 00:22:58,160
+n أصمص is a p-series with
+
+205
+00:23:03,240 --> 00:23:11,940
+P بساوي نص أصغر من واحد it diverges
+
+206
+00:23:11,940 --> 00:23:24,780
+يعني بتطلع divergent by P series test ال series
+
+207
+00:23:24,780 --> 00:23:28,560
+يعني divergent وبالتالي
+
+208
+00:23:31,020 --> 00:23:34,760
+by limit comparison test حسب ال limit comparison
+
+209
+00:23:34,760 --> 00:23:44,020
+test هيعندي sigma x in و sigma y in sigma y in ده
+
+210
+00:23:44,020 --> 00:23:51,200
+هي طلعت divergent و ال R limit لرئيسه لا يساوي سفر
+
+211
+00:23:51,200 --> 00:23:56,100
+لان التانية زيها divergent ده is sigma x in اللي
+
+212
+00:23:56,100 --> 00:24:02,990
+هو واحد على الجذر التربيهي ال N زي واحدby agents
+
+213
+00:24:02,990 --> 00:24:17,470
+حسب ال limit comparison test okay تمام واضح طيب
+
+214
+00:24:17,470 --> 00:24:18,790
+ناخد كمان مثال
+
+215
+00:24:30,910 --> 00:24:37,470
+مثال رقم أربعة خلّينا نفحص ال series اللي هي
+
+216
+00:24:37,470 --> 00:24:44,770
+summation from n equals one to infinity ل one over
+
+217
+00:24:44,770 --> 00:24:52,070
+n factorial طبعا
+
+218
+00:24:52,070 --> 00:25:00,050
+هذه مش واضحممكن تقارنها لأن N factorial N
+
+219
+00:25:00,050 --> 00:25:04,810
+factorial بالساوي N نقش واحد N negative واحد N
+
+220
+00:25:04,810 --> 00:25:11,890
+negative اتنين إلى تلاتة في اتنين في واحد فمش
+
+221
+00:25:11,890 --> 00:25:21,350
+عارفين ايش نقارنها اه فهذا مش واضح لكن by trial
+
+222
+00:25:21,350 --> 00:25:31,990
+انا بتقوله بالتجريبنقدر احنا نحاول يعني نقرر او
+
+223
+00:25:31,990 --> 00:25:37,330
+يعني نشوف ان هنا عند عشان n في n سالب واحد في n
+
+224
+00:25:37,330 --> 00:25:43,510
+سالب اتنين فممكن نقارن ال series هذه بواحد على n
+
+225
+00:25:43,510 --> 00:25:51,750
+ترمية نشوف كيف ممكن نعمل المقارنة اذا هنا في حالين
+
+226
+00:25:51,750 --> 00:26:01,200
+هناSolution واحد نحن نحاول نقارن بالإيه فال
+
+227
+00:26:01,200 --> 00:26:08,740
+solution الأول أو الحل الأول بيعتمد use
+
+228
+00:26:08,740 --> 00:26:17,460
+induction to show that ممكن
+
+229
+00:26:17,460 --> 00:26:24,210
+نثبت بال induction أنهN تربية أصغر من N factorial
+
+230
+00:26:24,210 --> 00:26:30,290
+لكل N أكبر من أو ساوي أربعة المتباينة هذه صحيحة
+
+231
+00:26:30,290 --> 00:26:34,050
+لكل الأعداد الطبيعية أكبر من أو ساوي أربعة هذا
+
+232
+00:26:34,050 --> 00:26:38,390
+ممكن نثبته by induction زي ما اتعلمته هذا سؤال في
+
+233
+00:26:38,390 --> 00:26:44,670
+مبادئ رياضياتنشوف مع بعض الهدى صح نشوف أول حالة
+
+234
+00:26:44,670 --> 00:26:48,990
+لحظة ال N بتبدأ من أربعة مش من واحد ف N بساوي واحد
+
+235
+00:26:48,990 --> 00:26:52,390
+هنا هصير N بساوي أربعة و الباقى ال induction زي ما
+
+236
+00:26:52,390 --> 00:26:57,210
+اتعلمنا فلو N بساوي أربعة أربعة تربيه ستة عشر أصغر
+
+237
+00:26:57,210 --> 00:27:01,070
+من أربعة فاكتوريا الأربعة و عشرين ستة عشر أصغر من
+
+238
+00:27:01,070 --> 00:27:05,050
+أربعة و عشرين صحيحإذا العبارة صحيحة عند n بالساوية
+
+239
+00:27:05,050 --> 00:27:09,410
+أربعة افرض صحيتها عند n بالساوية k حيث k أي عدد
+
+240
+00:27:09,410 --> 00:27:13,570
+طبيعي أكبر من أربعة وثبت صحيتها عند n بالساوية k
+
+241
+00:27:13,570 --> 00:27:18,830
+زادة، أعتقد هذه مثلة في أخدت زيها في مبادئ رياضية،
+
+242
+00:27:18,830 --> 00:27:23,050
+رح نسيب .. سيبقى لكم .. ليه؟ ايه شو بتهارفنا مثلا
+
+243
+00:27:23,050 --> 00:27:25,610
+نختار الأربعة؟ ليش ما هو مثلا تلاتة أو واحد، سيبقى
+
+244
+00:27:25,610 --> 00:27:29,150
+احنا متعودين في ال induction؟أه لأنه انت ال ..
+
+245
+00:27:29,150 --> 00:27:34,030
+يعني نضل نجرب لحد ما نصر نصر بره صح اه من أربعة و
+
+246
+00:27:34,030 --> 00:27:37,690
+انت طالع تصير صحيحة أما قبل أربعة بتكون خطأ
+
+247
+00:27:37,690 --> 00:27:42,210
+وبالتالي مالهاش معناه أما من أربعة و أنت طالع
+
+248
+00:27:42,210 --> 00:27:49,830
+هتكون صحيحة فبنهم الأول تلت قيم لهم okay اذا و
+
+249
+00:27:49,830 --> 00:27:58,220
+بالتاليهذا بيقدي ان واحد على n factorial أصغر من
+
+250
+00:27:58,220 --> 00:28:04,040
+واحد على n تردية لكل n أكبر من أو ساوية أربعة
+
+251
+00:28:04,040 --> 00:28:11,960
+وبالتالي و ال series طبعا وبالتالي ممكن نستخدم ال
+
+252
+00:28:11,960 --> 00:28:15,800
+direct comparison test يعني الحالة هذه
+
+253
+00:28:24,200 --> 00:28:28,020
+و نستخدم الاختصار الوحيد الوحيد الوحيد الوحيد
+
+254
+00:28:28,020 --> 00:28:43,880
+الوحيد الوحيد الوحيد الوحيد
+
+255
+00:28:45,400 --> 00:28:50,520
+هذه الـ series هي ال key series بس بتبدأ من أربعة
+
+256
+00:28:50,520 --> 00:28:55,240
+فكأني حدث يتأول تلات حدود منها فهذا بيأثرش على ال
+
+257
+00:28:55,240 --> 00:28:59,420
+divergence أو ال convergence لل series إذا حدث
+
+258
+00:28:59,420 --> 00:29:04,980
+omitting أو deleting finite number of terms from
+
+259
+00:29:04,980 --> 00:29:09,000
+an infinite series does not affect the convergence
+
+260
+00:29:09,000 --> 00:29:13,240
+or the divergence of the series حدث عدد منتهي من
+
+261
+00:29:13,240 --> 00:29:19,540
+حدود ال seriesأو إضافة عدد منتهي كمان إلى حدود ال
+
+262
+00:29:19,540 --> 00:29:24,180
+series لا يؤثر لا على التقارب ولا على التباعد تبع
+
+263
+00:29:24,180 --> 00:29:34,900
+ال series هذا حقيقة سهل لو يعني و بدهاش برهان لأن
+
+264
+00:29:34,900 --> 00:29:40,300
+الحدود المنتهية هذه مجموعة بيطلع عدد منتهي فما
+
+265
+00:29:40,300 --> 00:29:47,230
+بأثرش على التقاربمن series بفرش على التقارب او
+
+266
+00:29:47,230 --> 00:29:52,310
+التباعد او اضافة عدد لان بما ان ال series
+
+267
+00:29:52,310 --> 00:29:58,110
+converges then ال series sigma واحد على n
+
+268
+00:29:58,110 --> 00:30:03,990
+factorial converges
+
+269
+00:30:03,990 --> 00:30:11,160
+من n بالساوية اربعة الى ملامية طبعا هذا بقدرإن أنا
+
+270
+00:30:11,160 --> 00:30:15,360
+لو ضفت لل series الحدود المتبقية من n بالساعة واحد
+
+271
+00:30:15,360 --> 00:30:22,160
+إلى تلاتة وبتصير من infinity هنا لواحد
+
+272
+00:30:22,160 --> 00:30:28,160
+على n factorial تطلع
+
+273
+00:30:28,160 --> 00:30:33,280
+conversion وهذا اللي بدنا يعني، إذن هذا أحد
+
+274
+00:30:33,280 --> 00:30:38,100
+الحلولة، okay؟ زي ما زملتكم يعني اخترحت، بتقول طب
+
+275
+00:30:38,100 --> 00:30:44,050
+و أنا إيش بدي أختار على بالي؟إن هذا المتباينة
+
+276
+00:30:44,050 --> 00:30:47,890
+الصحيحة اللي اعتمد عليها الحل أو اعتمدت عليها
+
+277
+00:30:47,890 --> 00:30:53,430
+المقارنة فمعاكم حاجة ممكن أنك .. يعني ماحدش يقدر
+
+278
+00:30:53,430 --> 00:30:57,970
+يعني يصل إلى ال .. أو ال percentage المتباينة هذه
+
+279
+00:30:57,970 --> 00:31:03,710
+اللي عليها بيرتكز الحل ففي حل تاني آخر نشوف الحل
+
+280
+00:31:03,710 --> 00:31:05,930
+التاني ال direct limit
+
+281
+00:31:09,330 --> 00:31:14,150
+الحل التاني solution
+
+282
+00:31:14,150 --> 00:31:18,430
+2 احنا
+
+283
+00:31:18,430 --> 00:31:26,430
+عارفين انه لو جسمت ناخد
+
+284
+00:31:26,430 --> 00:31:35,130
+xn بسعر واحد على n factorialبساوي واحد على ال
+
+285
+00:31:35,130 --> 00:31:41,770
+تربية كويس؟ زي ما عملناه في الحل الأول و بده قارن
+
+286
+00:31:41,770 --> 00:31:47,320
+التنتين هدول بس المقارنة المرة هذه هتكونبطريقة
+
+287
+00:31:47,320 --> 00:31:53,760
+مختلفة فلو أخدت xn و جسمتها على yn فطبعا هذا أكبر
+
+288
+00:31:53,760 --> 00:32:00,140
+من السبب لأن xn عدد موجب دايما لكل n و yn عدد موجب
+
+289
+00:32:00,140 --> 00:32:06,640
+فقسمت على دين موجبين بطلعة موجب وهذا بساوي n تربية
+
+290
+00:32:06,640 --> 00:32:13,720
+على yn اللي هو n factorial على n factorial
+
+291
+00:32:18,080 --> 00:32:26,220
+و هدا بساوي تاي n تربية على n factorial عبارة عن
+
+292
+00:32:26,220 --> 00:32:34,160
+واحد في اتنين في تلاتة الى n سالب اتنين في n سالب
+
+293
+00:32:34,160 --> 00:32:45,700
+واحد في n مظبوط؟ ممكن اختصر n مع n و هيبقى عندي
+
+294
+00:32:54,210 --> 00:33:05,130
+فهيبقى عندي n على واحد في اتنين الى n سالب اتنين
+
+295
+00:33:05,130 --> 00:33:14,650
+في n سالب واحد الان ممكن اثبات ان المقام هذا اكبر
+
+296
+00:33:14,650 --> 00:33:17,570
+من اتنين
+
+297
+00:33:20,110 --> 00:33:28,310
+إثنين في N سالب إثنين في N سالب واحد وهذا أكبر من
+
+298
+00:33:28,310 --> 00:33:38,410
+إثنين في N سالب واحد في N وهذا صحيح ليس لكل الـ N
+
+299
+00:33:38,410 --> 00:33:48,270
+مش لكل الأعداد الطبيعية N هذا أكبر من N سالب إثنين
+
+300
+00:33:48,270 --> 00:33:56,730
+في Nو هذا صحيح فقط لكل n أكبر من أو يساوي خمسة
+
+301
+00:33:56,730 --> 00:34:01,990
+يعني عند الأربعة مش صح و عند التلاتة و اتنين و
+
+302
+00:34:01,990 --> 00:34:08,580
+الواحد مش صحOkay؟ إذن N تربية على N factorial
+
+303
+00:34:08,580 --> 00:34:14,940
+بتطلع .. الآن هذا المقام أكبر من العدد هذا
+
+304
+00:34:14,940 --> 00:34:23,280
+وبالتالي المقلوب بتطلع أصغر من N على N في N سالب 2
+
+305
+00:34:23,280 --> 00:34:32,100
+طبعا N بتروح مع Nبيبقى عندي واحد على n ساوى اتنين
+
+306
+00:34:32,100 --> 00:34:37,140
+ويقول الكلام هذا صحيح لكل n أكبر من أو ساوى خمسة
+
+307
+00:34:48,530 --> 00:34:55,770
+xn على yn أصغر من واحد على n ثالث اتنين طبعا أكبر
+
+308
+00:34:55,770 --> 00:35:01,690
+من سفر أو أكبر من أو يساوي سفر وهذا صحيح لكل n
+
+309
+00:35:01,690 --> 00:35:06,890
+أكبر من أو يساوي خمسة الان هذا لما انتقل ل
+
+310
+00:35:06,890 --> 00:35:11,950
+infinity هذا بيروح لسفر لما انتقل ل infinity هذا
+
+311
+00:35:11,950 --> 00:35:16,610
+بيروح لسفر اذا by sandwich theorem
+
+312
+00:35:23,770 --> 00:35:30,910
+بطل عند ال limit ل xn over yn as n tends to
+
+313
+00:35:30,910 --> 00:35:36,570
+infinity بساوي سفر هاد هى ال R في ال limit
+
+314
+00:35:36,570 --> 00:35:42,150
+comparison test طيب since
+
+315
+00:35:44,540 --> 00:35:49,640
+سيجما واي ان اللي هي سيجما واحد على ان تربيعي
+
+316
+00:35:49,640 --> 00:35:58,740
+converges حسب الجزء الثاني من limit comparison
+
+317
+00:35:58,740 --> 00:36:02,160
+test limit comparison test بيقول إذا كان limit ال
+
+318
+00:36:02,160 --> 00:36:07,600
+ratio بساوي سفر وكانت سيجما واي ان convergent إذا
+
+319
+00:36:07,600 --> 00:36:10,400
+هذا بيقدر
+
+320
+00:36:13,430 --> 00:36:19,310
+سيجما اكس ام اللي هي سيجما وان اوبر ام فاكتوريال
+
+321
+00:36:19,310 --> 00:36:23,490
+convergence رغم المفهوم
+
+322
+00:36:26,800 --> 00:36:29,680
+واحد استخدم ال direct comparison test، التاني
+
+323
+00:36:29,680 --> 00:36:33,660
+استخدم ال limit comparison test، اتنين كان فيهم
+
+324
+00:36:33,660 --> 00:36:39,940
+شوية شغل مش سهل، لكن هذا هو الموجود، مفيش أسهل من
+
+325
+00:36:39,940 --> 00:36:46,400
+هذا فعلى أي حال يعني ال .. الأسئلة في الكتاب هتكون
+
+326
+00:36:46,400 --> 00:36:50,780
+معظمها سهلة إما في الحل بال limit comparison test
+
+327
+00:36:50,780 --> 00:36:55,520
+أو بال direct comparison test، في أي سؤال أو
+
+328
+00:36:55,520 --> 00:37:00,800
+استفسار؟الامور واضحة الحل واضح انا عارف انه كيف
+
+329
+00:37:00,800 --> 00:37:05,580
+يخطر على بالنا نعمل المقارنات هذه وهذا كلامكم صحيح
+
+330
+00:37:05,580 --> 00:37:12,980
+هذا يعني شيء مش سهل لكن في بعض المسائل ال .. يعني
+
+331
+00:37:12,980 --> 00:37:21,740
+ال .. مش سهل ان احنا نعمل المقارنة لكن بنحاول ..
+
+332
+00:37:21,740 --> 00:37:33,030
+بنحاول اللي بيحاولبيصل إلى حل خليني يعني احنا مش
+
+333
+00:37:33,030 --> 00:37:37,710
+عايزين نبدأ section جديد الصحيح ان هيك يعني ال
+
+334
+00:37:37,710 --> 00:37:42,550
+chapter خلص فعشان مابداش يعني نبدأ المرة الجاية
+
+335
+00:37:42,550 --> 00:37:49,210
+chapter جديد فخليني اخد احل سؤال من ال homework
+
+336
+00:37:49,210 --> 00:37:53,590
+problems السؤال هنا question
+
+337
+00:37:57,590 --> 00:38:06,030
+exercise رقم خمسة section تلاتة سبعة لأن هذا تمرين
+
+338
+00:38:06,030 --> 00:38:10,190
+خمسة في section تلاتة سبعة اللي هو آخر section في
+
+339
+00:38:10,190 --> 00:38:17,010
+chapter تلاتة السؤال بيقول can
+
+340
+00:38:17,010 --> 00:38:24,030
+you السؤال كتير يعني مهم و interesting can you
+
+341
+00:38:24,030 --> 00:38:31,770
+giveيعني كتاب بخاطب الطالب بيقوله can you give an
+
+342
+00:38:31,770 --> 00:38:44,810
+example هل بإمكانك تعطي مثال of a convergent of a
+
+343
+00:38:44,810 --> 00:38:53,550
+convergent series sigma xn and a divergent
+
+344
+00:39:03,070 --> 00:39:11,470
+بحيث ان المجموعة تبع ال two series يكون
+
+345
+00:39:11,470 --> 00:39:20,010
+convergent is convergent explain
+
+346
+00:39:20,010 --> 00:39:29,830
+وضحي الإجابةهتكون يا yes يا no و في كل تلحالتين بن
+
+347
+00:39:29,830 --> 00:39:37,710
+.. نعطيك تفسر ال yes او انه تبعتك فانا بقول انه
+
+348
+00:39:37,710 --> 00:39:44,450
+خلينا نعطيلكم يعني تشوفكم تفكروا نعطيكم دقيقة
+
+349
+00:39:44,450 --> 00:39:53,230
+تفكروا و تحاولوا تجيبوا مثال زي ما هو مطلوب إذا
+
+350
+00:39:53,230 --> 00:39:53,990
+كده إذا أمكن
+
+351
+00:39:57,650 --> 00:40:04,570
+فمين عندها مثال؟ كمان مرة بنجيب مثال ل two series
+
+352
+00:40:04,570 --> 00:40:10,370
+واحدة convergent اللي هي هذه الأولى والتانية
+
+353
+00:40:10,370 --> 00:40:16,190
+divergent بحيث أن مجموعهم يكون convergent هل هذا
+
+354
+00:40:16,190 --> 00:40:23,190
+ممكن؟ إذا ممكن طيب ممكن تعطيني مثال على ذلك يعني
+
+355
+00:40:23,190 --> 00:40:27,890
+اعطيني مثاليوضح صحة ال .. الكلام هذه ال example
+
+356
+00:40:27,890 --> 00:40:30,930
+مثلا نخدها هي أسهل إيش الواحد على الأن أو الأول و
+
+357
+00:40:30,930 --> 00:40:36,130
+أنت الرابعين خليني لحظة شوية لو سمحت هاي أخبرتكم
+
+358
+00:40:36,130 --> 00:40:37,350
+طرح example
+
+359
+00:40:41,280 --> 00:40:47,500
+أيه وقتك؟ ال XN قبل عن الواحد على الان تربية واحد
+
+360
+00:40:47,500 --> 00:40:55,520
+على ان تربية فطبعا هذا بقدر سيجما XN كل ذات يسار
+
+361
+00:40:55,520 --> 00:41:02,740
+سيجما واحد على ان تربية كل بيرزلأن هذه P series و
+
+362
+00:41:02,740 --> 00:41:07,380
+ال P بيساوي اتنين اكبر من واحد، صح؟ والتانية
+
+363
+00:41:07,380 --> 00:41:13,120
+الواحدة الجدر الأن نخدها YM بيساوي واحد على الجدر
+
+364
+00:41:13,120 --> 00:41:19,860
+الأن بتصير أص نص، طيب، بتصير سماشة للواحدالان
+
+365
+00:41:19,860 --> 00:41:25,920
+sigma yn بيساوي sigma 1 على n اصلا اصلا بي سيريز
+
+366
+00:41:25,920 --> 00:41:30,100
+هادي divergent بي بي سيريز هادي بي بي بي بي بي بي
+
+367
+00:41:30,100 --> 00:41:30,100
+بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي
+
+368
+00:41:30,100 --> 00:41:30,400
+بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي
+
+369
+00:41:30,400 --> 00:41:34,760
+بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي
+
+370
+00:41:34,760 --> 00:41:34,800
+بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي
+
+371
+00:41:34,800 --> 00:41:35,040
+بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي
+
+372
+00:41:35,040 --> 00:41:44,900
+بي
+
+373
+00:41:44,900 --> 00:41:53,900
+بيهي sigma واحد على N تربية زائد واحد على N أص نص
+
+374
+00:41:53,900 --> 00:42:02,420
+صح؟ وهذا بيساوي summation ناخد مقام مشترك N تربية
+
+375
+00:42:02,420 --> 00:42:10,140
+فبطلع واحد زائد N أص .. أص تلاتة عشان .. أص تلاتة
+
+376
+00:42:10,140 --> 00:42:14,040
+عشان .. مظبوط؟
+
+377
+00:42:21,390 --> 00:42:30,430
+هل هذه convergent؟ لما n تكون كبيرة .. اه لما n
+
+378
+00:42:30,430 --> 00:42:37,790
+تكون كبيرة هذه بتكون behaves like sigma
+
+379
+00:42:39,040 --> 00:42:45,440
+واحد لأ مش واحد ع انتر بياني مهم للواحد وفضل
+
+380
+00:42:45,440 --> 00:42:50,420
+عندي N أس ثلاثة ع اتنين ع انتر بيان اللي بيساوي
+
+381
+00:42:50,420 --> 00:42:54,740
+سيجما واحد ع ن أس نص
+
+382
+00:42:58,550 --> 00:43:03,570
+و ممكن الأن نستخدم ال limit comparison test نثبت
+
+383
+00:43:03,570 --> 00:43:07,430
+أن هذه divergent لأن هذه divergent باستخدام ال
+
+384
+00:43:07,430 --> 00:43:11,630
+limit comparison testزيادة .. زيادة .. زيادة ..
+
+385
+00:43:11,630 --> 00:43:14,670
+زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة
+
+386
+00:43:14,670 --> 00:43:19,910
+.. زيادة
+
+387
+00:43:19,910 --> 00:43:30,990
+.. زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة
+
+388
+00:43:30,990 --> 00:43:31,310
+..
+
+389
+00:43:34,540 --> 00:43:43,240
+another example طيب xn بساوي سالب واحد و سالب ن
+
+390
+00:43:43,240 --> 00:43:51,160
+مثلا yn بساوي واحد yn بساوي واحداه ف ال series
+
+391
+00:43:51,160 --> 00:43:58,520
+sigma x n diverge و sigma y n diverge فتنتهي ال
+
+392
+00:43:58,520 --> 00:44:01,540
+diverge، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،
+
+393
+00:44:01,540 --> 00:44:01,880
+مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،
+
+394
+00:44:01,880 --> 00:44:02,160
+مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،
+
+395
+00:44:02,160 --> 00:44:03,340
+مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،
+
+396
+00:44:03,340 --> 00:44:08,340
+مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،
+
+397
+00:44:08,340 --> 00:44:14,220
+مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانعلى مدرسة الأرض
+
+398
+00:44:14,220 --> 00:44:18,380
+ان هو من من أنتوا ساوي أربع على مالة نهاية حكينا
+
+399
+00:44:18,380 --> 00:44:20,820
+انه من أنتوا ساوي أربع على مالة نهاية هذا converge
+
+400
+00:44:20,820 --> 00:44:25,300
+بس اللي جابل حكينا انه converge انه diverge اللي
+
+401
+00:44:25,300 --> 00:44:28,280
+جابلنا طيب احنا عشان بسم ان احنا بنحكي على السؤال
+
+402
+00:44:28,280 --> 00:44:33,860
+هذا خليني احنا في هذا المثال في عندك مثال؟ خلاص
+
+403
+00:44:33,860 --> 00:44:38,440
+طبعا ال .. ال .. السابق هذا بعدين بنتناقش فيه
+
+404
+00:44:38,440 --> 00:44:43,270
+خليني أجرب عشان أنا مافيش وجهة على السؤال هذالو
+
+405
+00:44:43,270 --> 00:44:46,950
+كلكم حاولتوا .. كل واحدة حاولت تجيب مثال، كل أمثلة
+
+406
+00:44:46,950 --> 00:44:51,370
+أبقاتكم هتكون غلطة أو هتفشل، ليه؟ لأن مافيش ولا
+
+407
+00:44:51,370 --> 00:44:56,890
+مثال، لأن مافيش مثال، فانت قاعدين بتجيبوا .. تعطوا
+
+408
+00:44:56,890 --> 00:45:01,790
+حاجة مستحيلة، مش موجودة، إذا الإجابة على هذا
+
+409
+00:45:01,790 --> 00:45:02,330
+السؤال
+
+410
+00:45:08,820 --> 00:45:19,880
+إن ال answer ال answer is no لا يمكن يعطى مثال على
+
+411
+00:45:19,880 --> 00:45:22,700
+two series واحدة convergent والتانية divergent
+
+412
+00:45:22,700 --> 00:45:26,020
+مجموعة بتطلع convergent مستحيل this is impossible
+
+413
+00:45:26,020 --> 00:45:34,660
+لبرهان أو لثبات ذلك if
+
+414
+00:45:34,660 --> 00:45:47,190
+if thisإذا كان هذا صحيح أو إذا كان هذا صحيح يعني
+
+415
+00:45:47,190 --> 00:45:52,230
+لو اقدرت النجيب series convergent و series
+
+416
+00:45:52,230 --> 00:45:57,710
+divergent و مجموعة convergent then
+
+417
+00:45:57,710 --> 00:46:01,610
+we would have
+
+418
+00:46:03,890 --> 00:46:08,590
+إنه الـ series sigma yn اللي احنا فرضين انها
+
+419
+00:46:08,590 --> 00:46:15,650
+divergent اللي هي بساوي sigma xn زائد yn minus
+
+420
+00:46:15,650 --> 00:46:23,290
+sigma xn احنا قلنا لو هذا كان true معناته ال
+
+421
+00:46:23,290 --> 00:46:27,690
+series هذه convergent معناته هذه convergent ومن
+
+422
+00:46:27,690 --> 00:46:32,610
+الفرض هذه convergentوالفرق بين two convergent
+
+423
+00:46:32,610 --> 00:46:38,330
+series is convergent، إذن هذا هتطلع .. إذن الفرق
+
+424
+00:46:38,330 --> 00:46:43,830
+هيكون convergent وبالتالي إذن ال series sigma yn
+
+425
+00:46:43,830 --> 00:46:48,930
+is convergent، وهذا contradiction لإن احنا فرضين
+
+426
+00:46:48,930 --> 00:46:56,040
+أنها divergentهذا مش ممكن يكون true عشان هي كانت
+
+427
+00:46:56,040 --> 00:47:01,600
+كتبت if it were true مستحيل ..مستحيل مش if it was
+
+428
+00:47:01,600 --> 00:47:08,280
+true okay طبعا اذا انا ساطيع اعطاء مثال يعطيني
+
+429
+00:47:08,280 --> 00:47:13,800
+المواصفات هذه بالمرةتمام؟ إذا بنوقف هنا و هيك
+
+430
+00:47:13,800 --> 00:47:17,120
+بنكون خلصنا ال chapter تلاتة المرة الجاية ان شاء
+
+431
+00:47:17,120 --> 00:47:22,620
+الله هنبقى في chapter أربعة فشكرا لكم و نشوفكم ان
+
+432
+00:47:22,620 --> 00:47:23,640
+شاء الله يوم السبت
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/VKBf-GBS8EU.srt

@@ -0,0 +1,1419 @@
+1
+00:00:21,140 --> 00:00:25,840
+احنا المرة اللي فاتت أخذنا موضوع الـ sub sequences و
+
+2
+00:00:25,840 --> 00:00:30,840
+آخر نظرية أخذناها في الموضوع هذا كان في نظرية 2.16
+
+3
+00:00:30,840 --> 00:00:36,380
+النظرية هذه بتنص على إنه لو كان في عندي sequence 
+
+4
+00:00:36,380 --> 00:00:41,340
+of real numbers وكانت convergent فأي subsequence 
+
+5
+00:00:41,340 --> 00:00:47,680
+منها بتكون convergent و ليها نفس الـ limit تمام؟
+
+6
+00:00:53,530 --> 00:00:59,850
+الآن بدنا نطبق النظرية هذه من خلال الأمثلة التالية
+
+7
+00:00:59,850 --> 00:01:06,250
+فالمثال
+
+8
+00:01:06,250 --> 00:01:13,510
+الأول لو كان 1 أصغر من أو لو كان صفر أصغر من B 
+
+9
+00:01:13,510 --> 00:01:19,410
+أصغر من 1 فبدنا نثبت أن هذا بيؤدي أن limit الـ
+
+10
+00:01:19,410 --> 00:01:30,240
+sequence bn بساوي صفر برهان ذلك بنعرف
+
+11
+00:01:30,240 --> 00:01:34,680
+الـ sequence Xn اللي الحد العام تبعها بساوي B أس 
+
+12
+00:01:34,680 --> 00:01:42,220
+N تمام؟ الآن من الفرض أنا عندي صفر أصغر من B أصغر
+
+13
+00:01:42,220 --> 00:01:50,360
+من 1 هذا بيؤدي أن Xn اللي هي بساوي B أس N  الـ B 
+
+14
+00:01:50,360 --> 00:01:54,360
+هذا عدد موجب أصغر من 1 فكل ما كبرت القوة تبعته كل 
+
+15
+00:01:54,360 --> 00:01:59,670
+ما بتصغر يعني هذا أكبر من B أس n زائد 1 اللي هو
+
+16
+00:01:59,670 --> 00:02:04,410
+Xn زائد 1 الكلام هذا صحيح لكل الأعداد الطبيعية
+
+17
+00:02:04,410 --> 00:02:11,350
+n فهذا بيؤدي ان الـ sequence xn is decreasing
+
+18
+00:02:11,350 --> 00:02:25,510
+متناقصة كذلك احنا في عندنا since بما أنه الـ Xn 
+
+19
+00:02:25,510 --> 00:02:31,790
+تبعتي اللي احنا عرفناها على عينها B أس N إذا كان B
+
+20
+00:02:31,790 --> 00:02:36,410
+أكبر من 0 أصغر من 1 فـ B أس N بيطلع أكبر من أو يساوي 
+
+21
+00:02:36,410 --> 00:02:44,210
+0 أصغر من أو يساوي 1 وهذا صحيح لكل N هذا معناه أن
+
+22
+00:02:44,210 --> 00:02:48,690
+الصفر حد أدنى للـ sequence BN والواحد حد أعلى
+
+23
+00:02:49,370 --> 00:02:53,530
+وبالتالي sequence bn is bounded من أسفل ومن أعلى
+
+24
+00:02:53,530 --> 00:02:59,450
+وبالتالي bounded إذا الـ sequence xn is bounded 
+
+25
+00:02:59,450 --> 00:03:03,170
+الآن
+
+26
+00:03:03,170 --> 00:03:06,370
+أنا في عندي sequence xn decreasing وبالتالي
+
+27
+00:03:06,370 --> 00:03:11,670
+monotone و bounded إذا by monotone convergence تطلع
+
+28
+00:03:11,670 --> 00:03:12,170
+convergent
+
+29
+00:03:15,900 --> 00:03:28,260
+by monotone convergence theorem xn converges say
+
+30
+00:03:28,260 --> 00:03:39,320
+دعنا خلّينا نسمي الـ limit تبعتها x say limit xn 
+
+31
+00:03:39,320 --> 00:03:40,880
+بساوي x
+
+32
+00:03:43,880 --> 00:03:50,460
+الآن بدنا نثبت انها هيثبت لنا أن الـ sequence xn اللي
+
+33
+00:03:50,460 --> 00:03:55,320
+الحد العام تبعها B أس N تطلع convergent إلى عدد x
+
+34
+00:03:55,320 --> 00:04:03,660
+الآن بدنا نثبت ان الـ x هذا هو صفر  أكلم الـ
+
+35
+00:04:03,660 --> 00:04:17,420
+x بساوي صفر طيب by الـ theorem اثنين ستة عشر الـ
+
+36
+00:04:17,420 --> 00:04:25,240
+subsequence لو أخدت الـ subsequence اللي حدودها
+
+37
+00:04:25,240 --> 00:04:31,280
+زوجية لو أخدت الحدود الزوجية من الـ sequence xn هذه
+
+38
+00:04:31,280 --> 00:04:38,620
+فهذه subsequence من xn فهذه أيضا converges لـ x
+
+39
+00:04:41,360 --> 00:04:47,460
+حسب نظرية 2.16 الـ sequence xn converge لـ x x2
+
+40
+00:04:47,460 --> 00:04:50,960
+in subsequence من xn وبالتالي convergent by 
+
+41
+00:04:50,960 --> 00:05:02,480
+theorem 16 إلى x طيب، الآن so as بما أنه 
+
+42
+00:05:06,320 --> 00:05:13,660
+x2n بيساوي B أس اتنين n x2n بدها باتنين n 
+
+43
+00:05:13,660 --> 00:05:18,700
+بيساوي B أس اتنين n وهذه ممكن كتبتها على صورة B 
+
+44
+00:05:18,700 --> 00:05:28,700
+أس n الكل تربيع وهذا عبارة عن xn تربيع الكلام هذا
+
+45
+00:05:28,700 --> 00:05:33,280
+صحيح لكل n خدوا الـ limit للطرفين لما n تؤول لـ
+
+46
+00:05:33,280 --> 00:05:43,650
+infinity إذا الـ limit لـ x2n لما n تؤول infinity
+
+47
+00:05:43,650 --> 00:05:52,630
+بساوي limit xn تربيع لما n تؤول infinity وهذا
+
+48
+00:05:52,630 --> 00:06:00,730
+بساوي limit xn الكل تربيع طيب limit .. أنا عندي
+
+49
+00:06:00,730 --> 00:06:04,270
+limit xn بساوي x إذا هذا x تربيع
+
+50
+00:06:07,550 --> 00:06:13,890
+و limit x2n بساوي x إن أنا أصبح في عندي معادلة x 
+
+51
+00:06:13,890 --> 00:06:19,730
+بساوي x تربيع حل المعادلة هذه في x فبطلع x بساوي
+
+52
+00:06:19,730 --> 00:06:29,830
+صفر أو x بساوي 1 تمام؟
+
+53
+00:06:36,360 --> 00:06:41,500
+طيب مين أخذ الصفر ولا الواحد؟
+
+54
+00:06:41,500 --> 00:06:46,620
+أنا عندي الـ sequence تبعتي decreasing متناقصة أنا 
+
+55
+00:06:46,620 --> 00:06:53,480
+عندي .. أنا عندي الـ X since 
+
+56
+00:06:53,480 --> 00:07:00,200
+Xn is decreasing متناقصة
+
+57
+00:07:04,980 --> 00:07:11,740
+و الـ limit تبعتها و x اللي هي بساوي limit xn 
+
+58
+00:07:11,740 --> 00:07:19,660
+من هنا limit xn هتطلع أكبر من أو يساوي صفر أصغر
+
+59
+00:07:19,660 --> 00:07:24,900
+من أو يساوي الواحد و الـ x إما بساوي صفر أو 1 و 
+
+60
+00:07:24,900 --> 00:07:32,020
+متناقصة فلازم الـ x الـ limit تبعتها x يساوي صفر
+
+61
+00:07:35,220 --> 00:07:40,360
+لأنها بتتناقص مش بتزايد okay إذا الـ X بساوي صفر
+
+62
+00:07:40,360 --> 00:07:44,120
+برضه
+
+63
+00:07:44,120 --> 00:07:50,740
+ممكن نحن نقول إن الـ sequence الـ X بساوي الـ infimum
+
+64
+00:07:50,740 --> 00:07:58,780
+لـ XN حيث N ينتمي لـ N حسب الـ monotone convergence 
+
+65
+00:07:58,780 --> 00:08:03,420
+theorem وهي الـ XN bounded below by صفر والصفر هو
+
+66
+00:08:03,420 --> 00:08:12,190
+الـ infimum لها إذاً هذا بيساوي الصفر لأن 
+
+67
+00:08:12,190 --> 00:08:18,290
+الصفر عبارة عن lower bound هو أكبر ممكن إثبات إنه
+
+68
+00:08:18,290 --> 00:08:25,090
+أكبر lower bound طيب واضح المثال هذا؟ كيف طبقنا 
+
+69
+00:08:25,090 --> 00:08:31,170
+نظرية 2.16 لإيجاد limit للـ convergent sequence لأن 
+
+70
+00:08:31,170 --> 00:08:35,250
+احنا أثبتنا إن الـ sequence convergent أخذنا sequence
+
+71
+00:08:35,250 --> 00:08:38,530
+الحد اللي عام تبعها B أس n أثبتنا إنها
+
+72
+00:08:38,530 --> 00:08:42,990
+convergent by monotone convergence theorem وجبنا 
+
+73
+00:08:42,990 --> 00:08:48,650
+قيمة الـ limit باستخدام نظرية 2.16 أو ممكن باستخدام
+
+74
+00:08:48,650 --> 00:08:52,790
+الـ monotone convergence theorem تمام؟ ناخد مثال
+
+75
+00:08:52,790 --> 00:08:53,250
+تاني
+
+76
+00:09:04,470 --> 00:09:09,990
+لو كان عندي c عدد حقيقي أكبر من 1 فهذا بيؤدي ان
+
+77
+00:09:09,990 --> 00:09:15,550
+الـ limit لـ c أس 1 على n لما n تؤول infinity
+
+78
+00:09:15,550 --> 00:09:21,030
+بيساوي 1 البرهان
+
+79
+00:09:21,030 --> 00:09:27,430
+بنفس الطريقة اللي برهننا فيها المثال الأول let
+
+80
+00:09:27,430 --> 00:09:33,610
+المرة هذه yn نعرّف sequence yn الـ nth term
+
+81
+00:09:33,610 --> 00:09:42,570
+تبقى yn بساوي c أس 1 على n لكل n عدد طبيعي then 
+
+82
+00:09:42,570 --> 00:09:49,230
+واضح أن yn زائد 1 بساوي c أس 1 على n زائد
+
+83
+00:09:49,230 --> 00:09:58,530
+1 و الـ c عدد أكبر من 1 وهذا الجذر رقم n زائد
+
+84
+00:09:58,530 --> 00:10:11,230
+1 له هذا بيطلع أكبر من أو أصغر من الجذر رقم n أو 
+
+85
+00:10:11,230 --> 00:10:17,690
+الجذر النوني لـ c كل ما كبر الجذر كل ما العدد
+
+86
+00:10:17,690 --> 00:10:23,720
+بيصغر إذا كان العدد أكبر من 1 وهذا بساوي yn وهذا 
+
+87
+00:10:23,720 --> 00:10:29,280
+صحيح لكل n هذا معناه yn زائد 1 أصغر من yn 
+
+88
+00:10:29,280 --> 00:10:39,160
+معناته الـ sequence yn is decreasing متناقصة also
+
+89
+00:10:39,160 --> 00:10:48,180
+أيضا أنا عندي في الـ sequence هذه y1 أكبر من أو
+
+90
+00:10:48,180 --> 00:10:56,200
+يساوي yn لأن الـ sequence متناقصة صح؟
+
+91
+00:10:56,200 --> 00:11:03,900
+و Yn من هنا Yn بساوي C أس N الـ C أكبر من 1 إذا 
+
+92
+00:11:03,900 --> 00:11:07,580
+الجذر النوني لـ C عدد أكبر من 1 بيبقى أكبر من 
+
+93
+00:11:07,580 --> 00:11:16,040
+1 إذا هذا أكبر من أو يساوي 1 تمام؟ وهذا
+
+94
+00:11:16,040 --> 00:11:22,810
+الكلام صحيح لكل N؟ إذن هي الـ sequence تبعتي yn
+
+95
+00:11:22,810 --> 00:11:28,230
+bounded below by one and bounded above by y1 y 
+
+96
+00:11:28,230 --> 00:11:36,370
+one عدد حقيقي موجب أكبر من 1 إذن
+
+97
+00:11:36,370 --> 00:11:43,550
+هذا معناه أن الـ sequence yn is bounded صح is
+
+98
+00:11:43,550 --> 00:11:52,170
+bounded so by monotone convergence theorem a
+
+99
+00:11:52,170 --> 00:12:04,010
+sequence yn converges converge say الـ limit تبعتها 
+
+100
+00:12:04,010 --> 00:12:11,970
+بساوي عدد y افترضوا ان الـ limit تبعتها بساوي
+
+101
+00:12:11,970 --> 00:12:21,450
+واحد الآن بنثبت ان الـ limit 
+
+102
+00:12:21,450 --> 00:12:30,950
+y بساوي واحد الـ claim ان الـ limit y بساوي
+
+103
+00:12:30,950 --> 00:12:34,550
+واحد كمان مرة نفس السلسلة اللي بستخدمها برنامج 
+
+104
+00:12:34,550 --> 00:12:41,680
+اتنين ستة عشر الـ subsequence اللي هي متتالية الحدود
+
+105
+00:12:41,680 --> 00:12:51,880
+الزوجية y2n هذي 
+
+106
+00:12:51,880 --> 00:12:56,260
+المفروض تكون convergent لنفس الـ limit تبعت الـ
+
+107
+00:12:56,260 --> 00:13:02,280
+sequence yn اللي هي y تمام طيب
+
+108
+00:13:02,280 --> 00:13:02,400
+but
+
+109
+00:13:08,660 --> 00:13:17,520
+Y2N شو بيساوي؟ C أس 1 على اتنين N وهذا بيساوي C
+
+110
+00:13:17,520 --> 00:13:24,680
+أس 1 على N الكل أس 1 على اتنين وهذا بيساوي C
+
+111
+00:13:24,680 --> 00:13:32,250
+أس 1 على N عبارة عن Yn الكل أس نصف الكلام هذا
+
+112
+00:13:32,250 --> 00:13:37,270
+صحيح لكل n إذا لو أخدت الـ limit للطرفين لما n تؤول 
+
+113
+00:13:37,270 --> 00:13:43,950
+infinity فبطلع عندي limit y2n as n times infinity
+
+114
+00:13:43,950 --> 00:13:48,330
+بساوي limit yn
+
+115
+00:13:48,330 --> 00:13:56,210
+لما n تؤول infinity الكل أس نصف وهذا بساوي limit الكل أس نصف 
+
+116
+00:14:00,780 --> 00:14:08,440
+طيب limit yn قلنا بتساوي y إذن هذا y أس نصف و
+
+117
+00:14:08,440 --> 00:14:14,920
+limit y2n قلنا بتساوي y إذن أنا أصبح في 
+
+118
+00:14:14,920 --> 00:14:20,700
+عندي معادلة y بساوي y أس نصف لو حلينا المعادلة هذه
+
+119
+00:14:20,700 --> 00:14:28,660
+في y فـ y تلبية بساوي 1 ومنها بطلع y بساوي صفر or y 
+
+120
+00:14:28,660 --> 00:14:29,940
+بساوي 1
+
+121
+00:14:32,490 --> 00:14:38,990
+احنا عايزين الـ y تساوي المثال التاني 1 عايزين
+
+122
+00:14:38,990 --> 00:14:49,090
+الـ y تساوي 1 تمام فأنا عندي since limit أنا 
+
+123
+00:14:49,090 --> 00:14:49,930
+عندي من هنا 
+
+124
+00:14:53,290 --> 00:15:01,650
+أنا عندي yn أكبر من أو يساوي 1 لكل n بيؤدي انه 
+
+125
+00:15:01,650 --> 00:15:10,350
+limit yn اللي هي y هي قاعدة نظرية بتقول لو y الـ 
+
+126
+00:15:10,350 --> 00:15:15,350
+sequence bounded below by a فـ limit yn تطلع أكبر 
+
+127
+00:15:15,350 --> 00:15:19,350
+من أو يساوي الواحد
+
+128
+00:15:24,190 --> 00:15:29,090
+طيب y أكبر من أو يساوي الواحد واحنا قلنا انه 
+
+129
+00:15:29,090 --> 00:15:33,430
+لازم تطلع إما صفر أو 1 فمين الـ .. الـ .. الإجابة
+
+130
+00:15:33,430 --> 00:15:40,090
+المنطقية إذا الـ y لازم يساوي 1 وبالتالي هيك 
+
+131
+00:15:40,090 --> 00:15:44,130
+ممكن اثبتنا ان الـ sequence اللي الـ instance تبعها 
+
+132
+00:15:44,130 --> 00:15:48,850
+c to one over n is convergent و الـ limit تبعتها
+
+133
+00:15:48,850 --> 00:15:51,430
+بساوي 1 تمام واضح؟
+
+134
+00:15:54,740 --> 00:15:59,300
+في أي سؤال؟ طيب
+
+135
+00:15:59,300 --> 00:16:01,360
+النظرية اللي بعد النظرية هذه
+
+136
+00:16:23,610 --> 00:16:28,650
+نظرية السبعة عشر divergence
+
+137
+00:16:28,650 --> 00:16:35,370
+criterion
+
+138
+00:16:51,000 --> 00:16:58,100
+let xn be sequence in R لو 
+
+139
+00:16:58,100 --> 00:17:02,200
+كانت xn sequence of real numbers then the
+
+140
+00:17:02,200 --> 00:17:07,700
+following statements are equivalent العبارات
+
+141
+00:17:07,700 --> 00:17:13,960
+التالية متكافئة xn does not converge to x ينتمي إلى 
+
+142
+00:17:13,960 --> 00:17:14,400
+R
+
+143
+00:17:18,590 --> 00:17:25,790
+ثنين يوجد ε₀ أكبر من صفر بحيث أنه such
+
+144
+00:17:25,790 --> 00:17:36,290
+that for any k عدد طبيعي يوجد
+
+145
+00:17:36,290 --> 00:17:44,790
+عدد طبيعي rk ينتمي إلى N with
+
+146
+00:17:46,090 --> 00:17:54,350
+rk أكبر من أو يساوي k and 
+
+147
+00:17:54,350 --> 00:18:00,930
+|x<sub>rk</sub> - x|
+
+148
+00:18:00,930 --> 00:18:07,550
+أكبر من أو يساوي ε₀
+
+149
+00:18:07,550 --> 00:18:10,870
+العبارة الثالثة
+
+150
+00:18:14,170 --> 00:18:21,010
+يوجد ε₀ أكبر من الصفر and a subsequence
+
+151
+00:18:21,010 --> 00:18:34,660
+... a subsequence x<sub>rk</sub> or x<sub>rn</sub> of the sequence x in
+
+152
+00:18:34,660 --> 00:18:42,080
+such that |x<sub>rn</sub>|
+
+153
+00:18:42,080 --> 00:18:54,540
+- x| أكبر من أو يساوي ε₀ لكل n تمام؟
+
+154
+00:18:56,650 --> 00:19:05,210
+لإثبات النظرية هذه عشان أثبت ثلاث عبارات متكافئة
+
+155
+00:19:05,210 --> 00:19:11,790
+حسب الlogic حسب المنطق أو مبادئ الرياضيات لازم
+
+156
+00:19:11,790 --> 00:19:17,490
+نثبت أن واحد بكافئ اثنين واثنين بكافئ ثلاثة وهذا
+
+157
+00:19:17,490 --> 00:19:22,330
+ممكن إثباته بأن احنا نثبت واحد بيؤدي لاثنين واثنين
+
+158
+00:19:22,330 --> 00:19:26,530
+بيؤدي لثلاثة وثلاثة بيؤدي لواحد هيك بنغلق الدائرة
+
+159
+00:19:26,530 --> 00:19:32,490
+فهذا اللي هنعمله فنبدأ بالبرهان نثبت الأول أن
+
+160
+00:19:32,490 --> 00:19:41,710
+العبارة الأولى implies الثانية بتؤدي للثانية ف
+
+161
+00:19:41,710 --> 00:19:42,390
+assume
+
+162
+00:19:45,130 --> 00:19:51,890
+العبارة الأولى صحيحة وهو x<sub>m</sub> does not converge to x
+
+163
+00:19:54,980 --> 00:20:00,680
+طيب ارجعوا لتعريف ε N definition of 
+
+164
+00:20:00,680 --> 00:20:04,200
+convergence ما معناه أن ال sequence x<sub>n</sub> converge ل
+
+165
+00:20:04,200 --> 00:20:08,560
+x معناه لكل ε أكبر من الصفر يوجد N
+
+166
+00:20:08,560 --> 00:20:12,280
+يعتمد على ε بحيث لكل n أكبر من أو يساوي
+
+167
+00:20:12,280 --> 00:20:17,040
+N المسافة بين x<sub>n</sub> و x أصغر من ε طب
+
+168
+00:20:17,040 --> 00:20:20,480
+مايعني x<sub>n</sub> لا تتقارب ل x معناه نفي كل الكلام هذا
+
+169
+00:20:20,480 --> 00:20:24,000
+اللي حكيناه بيحصل بدل لكل ε أكبر من الصفر
+
+170
+00:20:24,000 --> 00:20:29,780
+يوجد N بصير يوجد ε واحدة ε
+
+171
+00:20:29,780 --> 00:20:41,960
+₀ عدد موجب بحيث such that بحيث أنه لكل
+
+172
+00:20:43,760 --> 00:20:50,280
+k أو n عدد طبيعي the implication
+
+173
+00:20:57,890 --> 00:21:00,870
+ال implication تبع التعريف ε N ال
+
+174
+00:21:00,870 --> 00:21:06,070
+implication اللي هي لكل n أكبر من أو يساوي N
+
+175
+00:21:06,070 --> 00:21:13,970
+لازم يطلع المسافة بين x<sub>n</sub> و x أصغر من ε
+
+176
+00:21:13,970 --> 00:21:22,830
+₀ ال implication هذه is false ليست 
+
+177
+00:21:22,830 --> 00:21:27,430
+صحيحة طب ما هذا معناه هذا معناه
+
+178
+00:21:31,850 --> 00:21:41,490
+this means هذا يعني this means أنه لكل K
+
+179
+00:21:41,490 --> 00:21:48,590
+عدد طبيعي يوجد لكل
+
+180
+00:21:48,590 --> 00:21:54,630
+K عدد طبيعي مايعني أن هذا غلط معناه يوجد لكل K عدد
+
+181
+00:21:54,630 --> 00:21:59,250
+طبيعي K يوجد عدد واحد مش لكل ال N الأكبر
+
+182
+00:21:59,250 --> 00:22:06,030
+منه يوجد عدد طبيعي واحد أكبر من أو يساوي يوجد عدد
+
+183
+00:22:06,030 --> 00:22:13,690
+طبيعي سمه n أو r<sub>k</sub> يعتمد على K عدد
+
+184
+00:22:13,690 --> 00:22:17,750
+طبيعي بحيث أنه
+
+185
+00:22:21,710 --> 00:22:27,850
+بحيث أنه طبعا
+
+186
+00:22:27,850 --> 00:22:33,390
+ال r<sub>k</sub> هذا هيكون
+
+187
+00:22:33,390 --> 00:22:41,190
+أكبر من أو يساوي k and r<sub>k</sub>
+
+188
+00:22:41,190 --> 00:22:50,050
+أكبر من أو يساوي k and |x<sub>rk</sub>| or x<sub>r<sub>k</sub></sub>
+
+189
+00:22:50,050 --> 00:22:55,590
+- x| أكبر من أو يساوي بدل أصغر من ε₀
+
+190
+00:22:55,590 --> 00:23:05,410
+النفي تبعها أكبر من أو يساوي ε₀ now
+
+191
+00:23:05,410 --> 00:23:09,610
+replace
+
+192
+00:23:09,610 --> 00:23:18,450
+badly replace K by k
+
+193
+00:23:22,130 --> 00:23:25,970
+to get العبارة
+
+194
+00:23:25,970 --> 00:23:32,250
+اثنين صح؟
+
+195
+00:23:32,250 --> 00:23:38,950
+هاي بدلنا K بـ k فهنا أثبتنا أن يوجد يوجد
+
+196
+00:23:38,950 --> 00:23:46,350
+ε₀ أكبر من صفر بحيث لكل k يوجد
+
+197
+00:23:46,350 --> 00:23:53,150
+r<sub>k</sub> أكبر من أو يساوي k والمسافة بين x<sub>r<sub>k</sub></sub>
+
+198
+00:23:53,150 --> 00:23:56,750
+- x| أكبر من أو يساوي ε₀
+
+199
+00:24:04,730 --> 00:24:14,690
+الآن نثبت اثنين بيؤدي لثلاثة إذا two implies
+
+200
+00:24:14,690 --> 00:24:18,530
+three assume
+
+201
+00:24:18,530 --> 00:24:27,110
+two holds افترض أن العبارة الثانية صحيحة بني
+
+202
+00:24:27,110 --> 00:24:30,690
+نثبت أن العبارة الثالثة صحيحة طيب؟
+
+203
+00:24:37,940 --> 00:24:48,160
+then for k يساوي واحد يعني ينتمي إلى N الآن احنا
+
+204
+00:24:48,160 --> 00:24:53,320
+فترضين اثنين العبارة اثنين صحيحة إذا احنا فترضين أن 
+
+205
+00:24:53,320 --> 00:24:58,840
+يوجد ε₀ بحيث الكلام هذا بتحقق الآن لو
+
+206
+00:24:58,840 --> 00:25:04,420
+أخذت k هذه يساوي واحد فيوجد
+
+207
+00:25:06,750 --> 00:25:15,070
+r₁ عدد طبيعي وطبعا r₁ بالتأكيد أكبر من أو يساوي
+
+208
+00:25:15,070 --> 00:25:24,510
+واحد such that |x<sub>r₁</sub> - x| أكبر من أو
+
+209
+00:25:24,510 --> 00:25:33,250
+يساوي ε₀ صح؟ next for
+
+210
+00:25:34,680 --> 00:25:45,900
+k يساوي r₁ زائد واحد مش
+
+211
+00:25:45,900 --> 00:25:51,380
+هذا عدد طبيعي لو أخذت k يساوي r₁ زائد واحد r
+
+212
+00:25:51,380 --> 00:25:58,020
+واحد عدد طبيعي زائد واحد عدد طبيعي يوجد r₂ عدد
+
+213
+00:25:58,020 --> 00:26:08,800
+طبيعي و r₂ أكبر من أو يساوي r
+
+214
+00:26:08,800 --> 00:26:16,480
+واحد زائد واحد such that |x<sub>r₂</sub> - x|
+
+215
+00:26:16,480 --> 00:26:24,960
+أكبر من أو يساوي ε₀ صح طيب
+
+216
+00:26:24,960 --> 00:26:30,060
+كمان برضه لو استمرينا في العملية هذه now
+
+217
+00:26:32,620 --> 00:26:40,620
+for r₂ زائد واحد مش هذا عدد طبيعي لو أخذت k
+
+218
+00:26:40,620 --> 00:26:46,440
+يساوي اه لو أخذت k يساوي r₂ زائد واحد هذا
+
+219
+00:26:46,440 --> 00:26:51,680
+عدد طبيعي هنا اثنين اثنين لو أخذت k يساوي r₂
+
+220
+00:26:51,680 --> 00:27:01,160
+زائد واحد إذا حسب اثنين يوجد r₃ عدد طبيعي و r
+
+221
+00:27:01,160 --> 00:27:06,280
+₃ أكبر من أو يساوي ال k اللي هو r₂ زائد
+
+222
+00:27:06,280 --> 00:27:13,360
+واحد بحيث أن المسافة بين x<sub>r₃</sub> - x| أكبر
+
+223
+00:27:13,360 --> 00:27:18,400
+من أو يساوي ε₀ طب لو استمرينا في العملية
+
+224
+00:27:18,400 --> 00:27:27,040
+هذه شو هنحصل؟ ايه اللي هيحصل؟ continuing this
+
+225
+00:27:27,040 --> 00:27:27,860
+process
+
+226
+00:27:32,720 --> 00:27:35,460
+this process اللي هو استمرينا في العملية دي اللي
+
+227
+00:27:35,460 --> 00:27:49,200
+عملية تطبيق العبارة الثانية we obtain هنحصل على we
+
+228
+00:27:49,200 --> 00:27:54,960
+obtain strictly increasing
+
+229
+00:27:54,960 --> 00:28:01,700
+increasing sequence
+
+230
+00:28:06,220 --> 00:28:13,140
+r<sub>k</sub> من k يساوي واحد إلى ∞ هذه عبارة عن sequence
+
+231
+00:28:13,140 --> 00:28:20,620
+of natural numbers in N such
+
+232
+00:28:20,620 --> 00:28:28,940
+that and hence وبالتالي وبالتالي نحصل على a
+
+233
+00:28:28,940 --> 00:28:33,600
+subsequence x<sub>rk</sub>
+
+234
+00:28:34,700 --> 00:28:39,240
+من k يساوي واحد إلى ∞ هذه عبارة عن 
+
+235
+00:28:39,240 --> 00:28:45,980
+subsequence من ال sequence x<sub>n</sub> بحيث such that
+
+236
+00:28:45,980 --> 00:28:55,680
+|x<sub>rk</sub> - x| أكبر من أو يساوي ε₀
+
+237
+00:28:55,680 --> 00:29:01,160
+والكلام هذا صحيح لكل k ينتمي إلى N
+
+238
+00:29:03,880 --> 00:29:10,500
+هي في الخطوة الأولى حصلنا على r₁ وبالتالي على x<sub>r₁</sub>
+
+239
+00:29:10,500 --> 00:29:16,440
+بحيث |x<sub>r₁</sub> - x| أكبر من أو يساوي x نزيلة
+
+240
+00:29:16,440 --> 00:29:23,010
+في الخطوة الثانية حصلنا على r₂ وبالتالي x<sub>r₂</sub> لاحظوا
+
+241
+00:29:23,010 --> 00:29:30,030
+r₂ أكبر من r₁ و r₃ أكبر من r₂، إذن هذه sequence of
+
+242
+00:29:30,030 --> 00:29:33,830
+natural numbers strictly increasing، إذن ال
+
+243
+00:29:33,830 --> 00:29:39,030
+sequence، المؤشرات تبعها هي الأعداد الطبيعية، هذه
+
+244
+00:29:39,030 --> 00:29:44,110
+subsequence حسب التعريف من sequence x و بتحقق في
+
+245
+00:29:44,110 --> 00:29:49,510
+الخطوة الثانية |x<sub>r₂</sub> - x| أكبر من أو يساوي ε₀
+
+246
+00:29:49,510 --> 00:29:55,590
+الخطوة الثالثة لما k يساوي ثلاثة هي |x<sub>r₃</sub> - x|
+
+247
+00:29:55,590 --> 00:29:59,510
+أكبر من أو يساوي ε₀ وهكذا إذن هنا عملنا
+
+248
+00:29:59,510 --> 00:30:04,470
+construction عملنا بناء بنينا subsequence اللي هي
+
+249
+00:30:04,470 --> 00:30:09,650
+subsequence هذه من ال sequence x<sub>n</sub> بطريقة استقرائية
+
+250
+00:30:10,920 --> 00:30:15,420
+وهذه الـ subsequence بتحقق المتباينة هذه وهذه
+
+251
+00:30:15,420 --> 00:30:21,800
+بالضبط العبارة ثلاثة إذا three العبارة الثالثة whole
+
+252
+00:30:21,800 --> 00:30:24,960
+تمام؟
+
+253
+00:30:24,960 --> 00:30:30,460
+إذا هيك أثبتنا أن اثنين تؤدي لثلاثة باقي إثبات
+
+254
+00:30:30,460 --> 00:30:36,400
+أن العبارة الثالثة تعني واحدة
+
+255
+00:30:39,780 --> 00:30:48,460
+ف assume .. assume العبارة الثالثة صحيحة يعني يوجد
+
+256
+00:30:48,460 --> 00:30:57,260
+ε₀ أكبر من صفر and a subsequence x<sub>rk</sub>
+
+257
+00:30:57,260 --> 00:31:10,090
+of the sequence x in such that |x<sub>rk</sub> - x|
+
+258
+00:31:10,090 --> 00:31:18,510
+أكبر من أو يساوي ε₀ لكل k طيب
+
+259
+00:31:18,510 --> 00:31:29,170
+هذا معناه أو هذا بيؤدي أن x<sub>rk</sub>
+
+260
+00:31:29,170 --> 00:31:43,760
+أو x<sub>rn</sub> أو x<sub>rk</sub> لا تنتمي لـ (x - ε₀ , x + ε₀) x زائد ε₀ لا تنتمي
+
+261
+00:31:43,760 --> 00:31:45,220
+للفترة المفتوحة هذه
+
+262
+00:31:49,030 --> 00:31:53,890
+اللي هو هذه الفترة المفتوحة سميناها قبل هيك ε
+
+263
+00:31:53,890 --> 00:31:59,670
+₀ neighborhood لـ x صح؟ هذه فترة مفتوحة مركزها x
+
+264
+00:31:59,670 --> 00:32:04,330
+ونصف قطرها ε₀ المتباينة هذه بتقول إن هذا
+
+265
+00:32:04,330 --> 00:32:10,470
+الكلام لكل k لكل k لو حلت .. لو حلت المتباينة هذه
+
+266
+00:32:10,470 --> 00:32:14,990
+في x بيطلع في x لو حلت المتباينة هذه في x<sub>rk</sub> بيطلع
+
+267
+00:32:14,990 --> 00:32:23,320
+x<sub>rk</sub> لا ينتمي للفترة المفتوحة وبالتالي
+
+268
+00:32:23,320 --> 00:32:27,460
+hence by
+
+269
+00:32:27,460 --> 00:32:37,860
+definition by ال neighborhood definition of
+
+270
+00:32:37,860 --> 00:32:41,740
+limit
+
+271
+00:32:44,750 --> 00:32:49,850
+فاكرين احنا اخذنا تعريف ال limit لل sequence اول
+
+272
+00:32:49,850 --> 00:32:53,190
+تعريف كان neighborhood definition وبعدين اثبتنا
+
+273
+00:32:53,190 --> 00:32:58,470
+انه بكافئ في نظرية 2.2 اثبتنا انه بكافئ ال ε
+
+274
+00:32:58,470 --> 00:33:01,010
+N definition لل limit
+
+275
+00:33:10,150 --> 00:33:15,910
+x<sub>n</sub> converge to x معناه لأي
+
+276
+00:33:15,910 --> 00:33:21,390
+neighborhood لـ x زي هذا لازم
+
+277
+00:33:21,390 --> 00:33:29,210
+عشان
+
+278
+00:33:29,210 --> 00:33:32,550
+ال subsequence هذه converge لـ x لازم أي
+
+279
+00:33:32,550 --> 00:33:37,180
+neighborhood لـ x يحتوي كل حدود ال sequence من
+
+280
+00:33:37,180 --> 00:33:41,660
+N وانت طالع أو من K وانت طالع لكل 
+
+281
+00:33:41,660 --> 00:33:46,920
+small k أكبر من أو يساوي capital K هذا لازم يكون صحيح
+
+282
+00:33:46,920 --> 00:33:50,260
+لكل neighborhood طب أنا في .. لأن في عندي there
+
+283
+00:33:50,260 --> 00:33:55,740
+exists epsilon zero neighborhood لـ X وكل حدود الـ
+
+284
+00:33:55,740 --> 00:34:02,770
+subsequence مش موجودة فيه، هذا بالظبط نفي تعريف الـ
+
+285
+00:34:02,770 --> 00:34:05,230
+neighborhood definition للـ convergence وبالتالي
+
+286
+00:34:05,230 --> 00:34:09,350
+هذا معناه حسب تعريف الـ neighborhood definition أن
+
+287
+00:34:09,350 --> 00:34:15,550
+الـ subsequence هذه does not converge لـ X، طب احنا 
+
+288
+00:34:15,550 --> 00:34:19,970
+عايزين نثبت، عشان نثبت أن العبارة واحد صحيحة، عايزين
+
+289
+00:34:19,970 --> 00:34:23,810
+نثبت أن الـ sequence نفسها، مش الـ subsequence، الـ
+
+290
+00:34:23,810 --> 00:34:27,650
+sequence نفسها does not converge لـ X، إذا أنا بدي 
+
+291
+00:34:27,650 --> 00:34:38,290
+أكتب هنا claim لبرهان
+
+292
+00:34:38,290 --> 00:34:46,830
+العبارة الأولى، باقي اثبات الـ claim، وهو أن الـ
+
+293
+00:34:46,830 --> 00:34:55,150
+sequence x n نفسها does not converge لـ x، فنشوف 
+
+294
+00:34:55,150 --> 00:35:01,370
+مع بعض، assume ببرهان بالتناقض، assume on the contrary
+
+295
+00:35:01,370 --> 00:35:05,230
+أن
+
+296
+00:35:05,230 --> 00:35:10,990
+الـ sequence x n converge لـ x، okay، برهان بالتناقض
+
+297
+00:35:10,990 --> 00:35:22,050
+افرض أن الـ sequence converge لـ x، by a theorem اثنين 
+
+298
+00:35:22,050 --> 00:35:32,850
+بيقول the subsequence، the subsequence اللي هي X n k
+
+299
+00:35:32,850 --> 00:35:37,490
+الـ subsequence مش هاد الـ subsequence، هاد المفروض
+
+300
+00:35:37,490 --> 00:35:44,020
+تطلع convergent لـ X، وهدا ده ديني contradiction، لأن
+
+301
+00:35:44,020 --> 00:35:47,260
+أنا عندي sub sequence هنا استنتجنا أنها does not
+
+302
+00:35:47,260 --> 00:35:53,060
+converge لـ X، إذا في عندي تناقض، التناقض هذا سببه أن
+
+303
+00:35:53,060 --> 00:35:58,680
+احنا فرضنا أن X n converge لـ X، إذا بطلع عندي X n
+
+304
+00:35:58,680 --> 00:36:04,200
+does not converge لـ X، وبالتالي إذا one holds، إذا
+
+305
+00:36:04,200 --> 00:36:10,120
+one holds، وبالتالي هيك بنكون كملنا برهان النظرية
+
+306
+00:36:10,120 --> 00:36:15,580
+okay، تمام، إذا هيك اثبتنا أن التلاتة بيعد لواحد
+
+307
+00:36:15,580 --> 00:36:20,560
+وبالتالي العبارات التلاتة هذه متكافئة، احنا بهمنا
+
+308
+00:36:20,560 --> 00:36:26,140
+في التطبيق اللي هو الجزء الأخير، يعني عشان أنا اثبت
+
+309
+00:36:27,620 --> 00:36:32,400
+إنه sequence معينة does not converge to any real
+
+310
+00:36:32,400 --> 00:36:36,360
+number X، يكفي
+
+311
+00:36:36,360 --> 00:36:42,920
+إثبات أن يوجد Y0، يوجد subsequence بحيث أن المسافة
+
+312
+00:36:42,920 --> 00:36:47,780
+دي أكبر من أو يساوي Y0 لكل M، هنشوف الكلام هذا في
+
+313
+00:36:47,780 --> 00:36:58,230
+أمثلة لاحقة، لكن خلينا بس ناخد مثالا على النظرية هذه
+
+314
+00:36:58,230 --> 00:37:15,210
+إذا
+
+315
+00:37:15,210 --> 00:37:23,470
+ناخد examples هاي
+
+316
+00:37:23,470 --> 00:37:24,410
+مثال واحد
+
+317
+00:37:28,440 --> 00:37:32,300
+الـ sequence اللي الحد العام تبعها سالب واحد plus
+
+318
+00:37:32,300 --> 00:37:40,560
+n is divergent، طبعا
+
+319
+00:37:40,560 --> 00:37:43,620
+احنا اثبتنا قبل هيك أن الـ sequence هي divergent
+
+320
+00:37:43,620 --> 00:37:47,640
+عملنا proof by contradiction، فرضنا أن أنا 
+
+321
+00:37:47,640 --> 00:37:55,040
+convergent ووصلنا إلى تناقض، صح؟ اليوم هناخد برهان
+
+322
+00:37:55,040 --> 00:38:04,780
+ثاني، باستخدام نظرية 16 أو نظرية التانية، يعني نشوف
+
+323
+00:38:04,780 --> 00:38:12,820
+مع بعض، prove if
+
+324
+00:38:12,820 --> 00:38:25,060
+it were convergent، say
+
+325
+00:38:30,030 --> 00:38:38,350
+-1-N converges to X ينتمي إلى R، لو فرضنا إن
+
+326
+00:38:38,350 --> 00:38:44,970
+سيكوانس هذه convergent هنثبت إنها divergent ببرهان
+
+327
+00:38:44,970 --> 00:38:51,350
+بالتناقض، لو فرضنا إنها convergent to some X، إذا
+
+328
+00:38:51,350 --> 00:38:56,570
+كانت convergent، إن اسمها لمات، then
+
+329
+00:39:00,730 --> 00:39:07,130
+الـ sub sequences اللي
+
+330
+00:39:07,130 --> 00:39:18,390
+هم سالب واحد أس اثنين n and سالب واحد أس اثنين n plus واحد
+
+331
+00:39:18,390 --> 00:39:25,470
+سالب واحد، هذه الـ subsequence هي الحدود الزوجية من
+
+332
+00:39:25,470 --> 00:39:31,150
+هنا، وهذه الحدود الفردية، إذا كانت الـ sequence
+
+333
+00:39:31,150 --> 00:39:36,430
+نفسها converged لـ X، فالتنتين هذول both converged لـ
+
+334
+00:39:36,430 --> 00:39:45,110
+X، و
+
+335
+00:39:45,110 --> 00:39:48,670
+بالتالي، so X
+
+336
+00:39:51,100 --> 00:40:00,080
+بتساوي limit سالب واحد قو اثنين n، صح؟ وهذه بتساوي
+
+337
+00:40:00,080 --> 00:40:06,400
+limit سالب واحد قو اثنين n زائد واحد، الـ sequence هذه
+
+338
+00:40:06,400 --> 00:40:15,620
+ثابت واحد بتساوي واحد، صح؟ and برضه احنا قلنا أن الـ
+
+339
+00:40:15,620 --> 00:40:23,400
+X بتساوي limit الـ subsequence للحدود الفردية اللي
+
+340
+00:40:23,400 --> 00:40:28,580
+هي هذه، طيب
+
+341
+00:40:28,580 --> 00:40:36,140
+سالب واحد قو عدد فردي بطلع سالب واحد، إذن هذه الـ
+
+342
+00:40:36,140 --> 00:40:41,760
+sequence حدودها فردية، إذن هي عبارة عن sequence
+
+343
+00:40:41,760 --> 00:40:50,260
+ثابت سالب واحد، وبالتالي limit لثابت بطلع ثابت، إذا
+
+344
+00:40:50,260 --> 00:40:56,180
+أنا أطلع عندي واحد بتساوي x من المعادلة الأولى
+
+345
+00:40:56,180 --> 00:41:01,120
+وكذلك الـ x بتساوي سالب واحد، يعني معناه واحد بتساوي
+
+346
+00:41:01,120 --> 00:41:10,130
+سالب واحد، وهذا contradiction، تمام؟ إذا مستحيل أن الـ
+
+347
+00:41:10,130 --> 00:41:13,510
+sequence هذه تكون convergent لأنها لازم تكون
+
+348
+00:41:13,510 --> 00:41:21,050
+divergent، okay، تمام؟ إذا هنا كلمة were الدلالة
+
+349
+00:41:21,050 --> 00:41:26,470
+على الاستحالة، كان ممكن اسمها الـ sequence هذه مفرد
+
+350
+00:41:26,470 --> 00:41:32,400
+واحدة، مفروض أقول if it was convergent لكن أنا عارف
+
+351
+00:41:32,400 --> 00:41:35,400
+أنه مستحيل أنها تكون convergent فلدلالة على
+
+352
+00:41:35,400 --> 00:41:41,880
+استحالة بستخدم it were زي if I were a king مش if I
+
+353
+00:41:41,880 --> 00:41:47,140
+was a king، لكن أنا مش king، okay، تمام؟ إذا بنوقف
+
+354
+00:41:47,140 --> 00:41:50,880
+عند هذا المثال، المحاضرة هي انتهت، وبنكمل إن شاء
+
+355
+00:41:50,880 --> 00:41:51,720
+الله، سبوع جديد

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/VKBf-GBS8EU_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1420 @@
+1
+00:00:21,140 --> 00:00:25,840
+أحنا المرة اللي فات أخدنا موضوع ال sub sequences و
+
+2
+00:00:25,840 --> 00:00:30,840
+أخر نظرية أخدناها في الموضوع هذا كان في نظرية 2.16
+
+3
+00:00:30,840 --> 00:00:36,380
+النظرية هذه بتنص على إنه لو كان في عندي sequence
+
+4
+00:00:36,380 --> 00:00:41,340
+of real numbers و كانت convergent فأي subsequence
+
+5
+00:00:41,340 --> 00:00:47,680
+منها بتكون convergent ويلها نفس ال limit تمام؟
+
+6
+00:00:53,530 --> 00:00:59,850
+الان بدنا نطبق النظرية هذه من خلال الأمثلة التالية
+
+7
+00:00:59,850 --> 00:01:06,250
+فالمثال
+
+8
+00:01:06,250 --> 00:01:13,510
+الأول لو كان واحد أصغر من أو لو كان سفر أصغر من بي
+
+9
+00:01:13,510 --> 00:01:19,410
+أصغر من واحد فبدنا نثبت أن هذا بيقدي أن limit ال
+
+10
+00:01:19,410 --> 00:01:30,240
+sequence bn بساوي سفرفلبورحان ذلك بنعرف
+
+11
+00:01:30,240 --> 00:01:34,680
+الـ sequence Xn اللي الحد العام تبعها بساوي B أُس
+
+12
+00:01:34,680 --> 00:01:42,220
+N تمام؟ الآن من الفرض أنا عندي صفر أصغر من B أصغر
+
+13
+00:01:42,220 --> 00:01:50,360
+من 1 هذا بيقدّي أن Xn اللي هي بساوي B أُس N الـ B
+
+14
+00:01:50,360 --> 00:01:54,360
+هذا عدد موجب أصغر من 1 فكل ما كبرت القوة تبعته كل
+
+15
+00:01:54,360 --> 00:01:59,670
+ما زغريعني هذا أكبر من b أُس n زايد واحد اللي هو
+
+16
+00:01:59,670 --> 00:02:04,410
+xn زايد واحد الكلام هذا صحيح لكل الأعداد الطبيعية
+
+17
+00:02:04,410 --> 00:02:11,350
+n فهذا بيقدي ان ال sequence xn is decreasing
+
+18
+00:02:11,350 --> 00:02:25,510
+متناقصة كذلك احنا في عندنا since بما انهالـ Xn
+
+19
+00:02:25,510 --> 00:02:31,790
+تبعتي اللي احنا عرفناها على عينها B أس N إذا كان B
+
+20
+00:02:31,790 --> 00:02:36,410
+أكبر من 0 أصغر من 1 ف B أس N بيطلع أكبر من أو ساوي
+
+21
+00:02:36,410 --> 00:02:44,210
+0 أصغر من أو ساوي 1 وهذا صحيح لكل N هذا معناه أن
+
+22
+00:02:44,210 --> 00:02:48,690
+السفر حد أدنى لل sequence BN والواحد حد أعلى
+
+23
+00:02:49,370 --> 00:02:53,530
+وبالتالي سيكوانس b in is bounded من أسفل ومن أعلى
+
+24
+00:02:53,530 --> 00:02:59,450
+وبالتالي bounded إذا السيكوانس x in is bounded
+
+25
+00:02:59,450 --> 00:03:03,170
+الآن
+
+26
+00:03:03,170 --> 00:03:06,370
+أنا في اندي سيكوانس x in decreasing وبالتالي
+
+27
+00:03:06,370 --> 00:03:11,670
+monotone وbounded إذا by monotone convergence تطلع
+
+28
+00:03:11,670 --> 00:03:12,170
+conversion
+
+29
+00:03:15,900 --> 00:03:28,260
+by monotone convergence theorem xn converges say
+
+30
+00:03:28,260 --> 00:03:39,320
+دعنا خلّينا نسمي ال limit تبعتها x say limit xn
+
+31
+00:03:39,320 --> 00:03:40,880
+بساوي x
+
+32
+00:03:43,880 --> 00:03:50,460
+الان بدنا نثبت انها هيثبتنا ان ال sequence xn اللي
+
+33
+00:03:50,460 --> 00:03:55,320
+الحد العام تبعها بيوس ن تطلع convergent إلى عدد x
+
+34
+00:03:55,320 --> 00:04:03,660
+الان بدنا نثبت ان ال x هذا هو سفر اكلم ال
+
+35
+00:04:03,660 --> 00:04:17,420
+x بساوي سفر طيب by ال theoremاثنين ستة عشر ال
+
+36
+00:04:17,420 --> 00:04:25,240
+sub sequence لو أخدت ال sub sequence اللي حدودها
+
+37
+00:04:25,240 --> 00:04:31,280
+زوجية لو أخدت الحدود الزوجية من ال sequence xn هذه
+
+38
+00:04:31,280 --> 00:04:38,620
+فهذه sub sequence من xn فهذه أيضا converges ل x
+
+39
+00:04:41,360 --> 00:04:47,460
+حسب نظرية 2.16 الـ sequence x in converge ل x x 2
+
+40
+00:04:47,460 --> 00:04:50,960
+in subsequence من x in وبالتالي convergent by
+
+41
+00:04:50,960 --> 00:05:02,480
+theorem 16 إلى x طيب، الآن so as بما أنه
+
+42
+00:05:06,320 --> 00:05:13,660
+x2n بيساوي بي أس اتنين n x اتنين n بد ان باتنين n
+
+43
+00:05:13,660 --> 00:05:18,700
+بيساوي بي أس اتنين n وهذه ممكن كتبتها على صورة بي
+
+44
+00:05:18,700 --> 00:05:28,700
+أس ان لكل تربية وهذا عبارة عن xn تربية الكلام هذا
+
+45
+00:05:28,700 --> 00:05:33,280
+صحيح لكل n خدوا ال limit للطرفين لما n تقول ل
+
+46
+00:05:33,280 --> 00:05:43,650
+infinityإذا ال limit ل x2n لما n تقول infinity
+
+47
+00:05:43,650 --> 00:05:52,630
+بساوي limit xn تربيع لما n تقول infinity وهذا
+
+48
+00:05:52,630 --> 00:06:00,730
+بساوي limit xn لكل ت��بيع طيب limit .. أنا عندي
+
+49
+00:06:00,730 --> 00:06:04,270
+limit xn بساوي x إذا هذا x تربيع
+
+50
+00:06:07,550 --> 00:06:13,890
+و limit x2 in بساوي x إن أنا أصبح في عندي معادلة x
+
+51
+00:06:13,890 --> 00:06:19,730
+بساوي x تلبيا حل المعادلة هذه في x فبطلع x بساوي
+
+52
+00:06:19,730 --> 00:06:29,830
+سفر أو x بساوي واحد تمام؟
+
+53
+00:06:36,360 --> 00:06:41,500
+طيب مين أخد السفر و لا الواحد؟
+
+54
+00:06:41,500 --> 00:06:46,620
+أنا عندي ال sequence تبعتي decreasing متناقصة أنا
+
+55
+00:06:46,620 --> 00:06:53,480
+عندي .. أنا عندي ال X since
+
+56
+00:06:53,480 --> 00:07:00,200
+X in is decreasing متناقصة
+
+57
+00:07:04,980 --> 00:07:11,740
+و ال limit تبعتها و x اللي هي بالساوي limit x in
+
+58
+00:07:11,740 --> 00:07:19,660
+من هنا limit x in هتطلع أكبر من أو ساوي سفر أصغر
+
+59
+00:07:19,660 --> 00:07:24,900
+من أو ساوي الواحد و ال x إما بالساوي سفر أو واحد و
+
+60
+00:07:24,900 --> 00:07:32,020
+متناقصة فلازم ال x ال limit تبعتها x ساوي سفر
+
+61
+00:07:35,220 --> 00:07:40,360
+لأنها بتتناقص مش بتزايد okay إذا ال X بساوي سفر
+
+62
+00:07:40,360 --> 00:07:44,120
+برضه
+
+63
+00:07:44,120 --> 00:07:50,740
+ممكن نحن نقول إن ال sequence ال X بساوي ال infimum
+
+64
+00:07:50,740 --> 00:07:58,780
+ل XN حيث N ينتمي ل N حسب ال monotone convergence
+
+65
+00:07:58,780 --> 00:08:03,420
+theorem وهي ال XN bounded below by سفر والسفر هو
+
+66
+00:08:03,420 --> 00:08:12,190
+ال infimum لهاإذاً هذا بيساوي السفر لأن
+
+67
+00:08:12,190 --> 00:08:18,290
+السفر عبارة عن lower bound هو أكبر ممكن إثبات إنه
+
+68
+00:08:18,290 --> 00:08:25,090
+أكبر lower bound طيب واضح المثال هذا؟ كيف طبقنا
+
+69
+00:08:25,090 --> 00:08:31,170
+نظرية 2.16 لإيجاد limit لل-convergent sequence لأن
+
+70
+00:08:31,170 --> 00:08:35,250
+احنا أثبتنا إن ال sequence convergentأخذنا سيكوينس
+
+71
+00:08:35,250 --> 00:08:38,530
+الحد اللي عام تبعها بي أس ان أثبتنا إنها
+
+72
+00:08:38,530 --> 00:08:42,990
+convergence by monotone convergence theorem وجبنا
+
+73
+00:08:42,990 --> 00:08:48,650
+قيمة ال limit باستخدام نظرية 2.16 أو ممكن باستخدام
+
+74
+00:08:48,650 --> 00:08:52,790
+ال monotone convergence theorem تمام؟ ناخد مثال
+
+75
+00:08:52,790 --> 00:08:53,250
+تاني
+
+76
+00:09:04,470 --> 00:09:09,990
+لو كان عندي c عدد حقيقي أكبر من واحد فهذا بيؤدي ان
+
+77
+00:09:09,990 --> 00:09:15,550
+ال limit ل c أس واحد على n لما n تقول infinity
+
+78
+00:09:15,550 --> 00:09:21,030
+بيساوي واحد البرهان
+
+79
+00:09:21,030 --> 00:09:27,430
+بنفس الطريقة اللي برهننا فيها المثال الأول let
+
+80
+00:09:27,430 --> 00:09:33,610
+المرة هذه y in انعرف sequence y inالـ nth term
+
+81
+00:09:33,610 --> 00:09:42,570
+تبقى yn بساوي c أس واحد على n لكل n عدد طبيعي then
+
+82
+00:09:42,570 --> 00:09:49,230
+واضح أن yn زائد واحد بساوي c أس واحد على n زائد
+
+83
+00:09:49,230 --> 00:09:58,530
+واحد و ال c عدد أكبر من واحدوهذا الجذر رقم n زاد
+
+84
+00:09:58,530 --> 00:10:11,230
+واحد له هذا بطلع أكبر من أو أصغر من الجذر رقم n أو
+
+85
+00:10:11,230 --> 00:10:17,690
+الجذر اللوني ل ال c كل ما كبر الجذر كل ما العدد
+
+86
+00:10:17,690 --> 00:10:23,720
+زغر إذا كان العدد أكبر من واحد وهذا بساوي ynو هذا
+
+87
+00:10:23,720 --> 00:10:29,280
+صحيح لكل n هذا معناه yn زياد واحد أصغر من yn
+
+88
+00:10:29,280 --> 00:10:39,160
+معناته ال sequence yn is decreasing متناقصة also
+
+89
+00:10:39,160 --> 00:10:48,180
+أيضا أنا عندي في ال sequence هذه y واحد أكبر من أو
+
+90
+00:10:48,180 --> 00:10:56,200
+ساوي ynلأن الـ sequence متناقصة صح؟
+
+91
+00:10:56,200 --> 00:11:03,900
+و YN من هنا YN بساوي C أس N الـ C أكبر من واحد إذا
+
+92
+00:11:03,900 --> 00:11:07,580
+الجذر النوني لـ C عدد أكبر من واحد بيبقى أكبر من
+
+93
+00:11:07,580 --> 00:11:16,040
+واحد إذا هذا أكبر من أو ساوي واحد تمام؟ وهذا
+
+94
+00:11:16,040 --> 00:11:22,810
+الكلام صحيح لكل N؟إذن هي ال sequence تبعتي y in
+
+95
+00:11:22,810 --> 00:11:28,230
+bounded below by one and bounded above by y one y
+
+96
+00:11:28,230 --> 00:11:36,370
+one عدد حفيفي موجب أكبر من واحد إذن
+
+97
+00:11:36,370 --> 00:11:43,550
+هذا معناه أن ال sequence y inis bounded صح is
+
+98
+00:11:43,550 --> 00:11:52,170
+bounded so by monotone convergence theorem a
+
+99
+00:11:52,170 --> 00:12:04,010
+sequence yn converges converge say ال limit تبعتها
+
+100
+00:12:04,010 --> 00:12:11,970
+بساوي عدد yافترضوا ان ال limit تبعتها بالساعة
+
+101
+00:12:11,970 --> 00:12:21,450
+واحدة الان بنثبت ان ال limit
+
+102
+00:12:21,450 --> 00:12:30,950
+y بالساعة واحدة ال claim ان ال limit y بالساعة
+
+103
+00:12:30,950 --> 00:12:34,550
+واحدة كمان مرة نفس السلسلة اللي بستخدمها برنامج
+
+104
+00:12:34,550 --> 00:12:41,680
+اتنين ستاشر ال subsequence اللي هيمتتالية الحدود
+
+105
+00:12:41,680 --> 00:12:51,880
+الزوجية y2n هذي
+
+106
+00:12:51,880 --> 00:12:56,260
+المفروض تكون convergent لنفس ال limit تبعت ال
+
+107
+00:12:56,260 --> 00:13:02,280
+sequence yn اللي هي y تمام طيب
+
+108
+00:13:02,280 --> 00:13:02,400
+but
+
+109
+00:13:08,660 --> 00:13:17,520
+Y2N شو بيساوي؟ C أس واحد على اتنين N وهذا بيساوي C
+
+110
+00:13:17,520 --> 00:13:24,680
+أس واحد على N الكل أس واحد على اتنين وهذا بيساوي C
+
+111
+00:13:24,680 --> 00:13:32,250
+أس واحد على N عبارة عن YN الكل أس نصالكلام هذا
+
+112
+00:13:32,250 --> 00:13:37,270
+صحيح لكل n إذا لو أخدت ال limit للطرفين لما n تقول
+
+113
+00:13:37,270 --> 00:13:43,950
+infinity فبطلع عندي limit y2n as n times infinity
+
+114
+00:13:43,950 --> 00:13:48,330
+بساوي limit yn
+
+115
+00:13:48,330 --> 00:13:56,210
+لما n تقول infinity أص نص وهذا بساوي limit أص نص
+
+116
+00:14:00,780 --> 00:14:08,440
+طيب limit y in قلنا بتساوي y إذن هذا y أص نص و
+
+117
+00:14:08,440 --> 00:14:14,920
+limit y اتنين in قلنا بتساوي y إذن أنا أصبح في
+
+118
+00:14:14,920 --> 00:14:20,700
+عندي معادلة y بساوي y أص نص لو حلينا المعادلة هذه
+
+119
+00:14:20,700 --> 00:14:28,660
+في y فy تلبية بساوي y ومنها بطلع y بساوي سفر or y
+
+120
+00:14:28,660 --> 00:14:29,940
+بساوي واحدة
+
+121
+00:14:32,490 --> 00:14:38,990
+أحنا عايزين ال y تساوي المثال التاني واحد عايزين
+
+122
+00:14:38,990 --> 00:14:49,090
+ال y تساوي واحد تمام فأنا عندي since limit أنا
+
+123
+00:14:49,090 --> 00:14:49,930
+عندي من هنا
+
+124
+00:14:53,290 --> 00:15:01,650
+أنا عندي yn أكبر من أو ساوي واحد لكل n بيقدي انه
+
+125
+00:15:01,650 --> 00:15:10,350
+limit yn اللي هي y هي خانة نظرية بتقول لو y ال
+
+126
+00:15:10,350 --> 00:15:15,350
+sequence bounded below by a ف limit yn تطلع أكبر
+
+127
+00:15:15,350 --> 00:15:19,350
+من أو ساوي الواحد
+
+128
+00:15:24,190 --> 00:15:29,090
+طيب why أكبر من أو ساوي الواحد و احنا قلنا انه
+
+129
+00:15:29,090 --> 00:15:33,430
+لازم تطلع اما سفر او واحد فمين ال .. ال .. الإجابة
+
+130
+00:15:33,430 --> 00:15:40,090
+المنطقية اذا ال why لازم الساوي واحد وبالتالي هيك
+
+131
+00:15:40,090 --> 00:15:44,130
+ممكن اثبتنا ان ال sequence اللي ال instance تبعها
+
+132
+00:15:44,130 --> 00:15:48,850
+c to one over n is convergent و ال limit تبعتها
+
+133
+00:15:48,850 --> 00:15:51,430
+بالساوي واحد تمام واضح؟
+
+134
+00:15:54,740 --> 00:15:59,300
+في اي سؤال؟ طيب
+
+135
+00:15:59,300 --> 00:16:01,360
+النظرية اللي بعد النظرية هذه
+
+136
+00:16:23,610 --> 00:16:28,650
+نظرية السبعتاش divergence
+
+137
+00:16:28,650 --> 00:16:35,370
+criterion
+
+138
+00:16:51,000 --> 00:16:58,100
+let xn be sequence in R لو
+
+139
+00:16:58,100 --> 00:17:02,200
+كانت xn sequence of real numbers then the
+
+140
+00:17:02,200 --> 00:17:07,700
+following statements are equivalent الأبارات
+
+141
+00:17:07,700 --> 00:17:13,960
+التالية متكافئة xn does not converge ل x ينتمي إلى
+
+142
+00:17:13,960 --> 00:17:14,400
+R
+
+143
+00:17:18,590 --> 00:17:25,790
+تنين يوجد epsilon zero اكبر من سفر بحيث انه such
+
+144
+00:17:25,790 --> 00:17:36,290
+that for any k عدد طبيعي يوجد
+
+145
+00:17:36,290 --> 00:17:44,790
+عدد طبيعي rk ينتمي الى n with
+
+146
+00:17:46,090 --> 00:17:54,350
+rk أكبر من أو يساوي k and and
+
+147
+00:17:54,350 --> 00:18:00,930
+absolute x x
+
+148
+00:18:00,930 --> 00:18:07,550
+رقم rk minus x أكبر من أو يساوي epsilon zero
+
+149
+00:18:07,550 --> 00:18:10,870
+الأبارة التالتة
+
+150
+00:18:14,170 --> 00:18:21,010
+يوجد epsilon zero أكبر من الصفر and a subsequence
+
+151
+00:18:21,010 --> 00:18:34,660
+.. a subsequence xrk أو xrn of ال sequence x in
+
+152
+00:18:34,660 --> 00:18:42,080
+such that absolute xrn
+
+153
+00:18:42,080 --> 00:18:54,540
+minus x أكبر من أو يساوي epsilon zero لكل n تمام؟
+
+154
+00:18:56,650 --> 00:19:05,210
+لبرهان النظرية هذه عشان اثبت تلات عبارات متكافئة
+
+155
+00:19:05,210 --> 00:19:11,790
+حسب ال logic حسب المنطق أو مبادئ الرياضيات لازم
+
+156
+00:19:11,790 --> 00:19:17,490
+نثبت ان واحد بكافئ اتنين و اتنين بكافئ تلاتة وهذا
+
+157
+00:19:17,490 --> 00:19:22,330
+ممكن اثباتهبإن احنا نثبت واحد بيقدي لاتنين و اتنين
+
+158
+00:19:22,330 --> 00:19:26,530
+بيقدي لتلاتة و تلاتة بيقدي لواحد هيك بنغلق الدائرة
+
+159
+00:19:26,530 --> 00:19:32,490
+فهذا اللي هنعمله فنبدأ بالبرهان نثبت الأول ان
+
+160
+00:19:32,490 --> 00:19:41,710
+العبارة الأولى implies التانية بتقدي للتانية ف
+
+161
+00:19:41,710 --> 00:19:42,390
+assume
+
+162
+00:19:45,130 --> 00:19:51,890
+العبارة الأولى صحيحة وهو xm does not converge لx
+
+163
+00:19:54,980 --> 00:20:00,680
+طيب ارجعوا لتعريف epsilon capital N definition of
+
+164
+00:20:00,680 --> 00:20:04,200
+convergence ما معناه ان ال sequence xn converge ل
+
+165
+00:20:04,200 --> 00:20:08,560
+x معناه لكل epsilon أكبر من السفر يوجد capital N
+
+166
+00:20:08,560 --> 00:20:12,280
+يعتمد على epsilon بحيث لكل N أكبر من أو ساوي
+
+167
+00:20:12,280 --> 00:20:17,040
+capital N المسافة بين xn و x أصغر من epsilonطب
+
+168
+00:20:17,040 --> 00:20:20,480
+مايعنى x in لا تتقارب ل x معناه نفي كل الكلام هذا
+
+169
+00:20:20,480 --> 00:20:24,000
+اللي حاكيناه بيحصل بدل لكل epsilon أكبر من الصفر
+
+170
+00:20:24,000 --> 00:20:29,780
+يوجد capital N بصير يوجد epsilon واحدة epsilon
+
+171
+00:20:29,780 --> 00:20:41,960
+zero عدد موجب بحيث such that بحيث انه لكل
+
+172
+00:20:43,760 --> 00:20:50,280
+كبت أو n عدد طبيعي the implication
+
+173
+00:20:57,890 --> 00:21:00,870
+ال implication تبع التعريف epsilon capital n ال
+
+174
+00:21:00,870 --> 00:21:06,070
+implication اللي هي لكل n أكبر من أو ساوي capital
+
+175
+00:21:06,070 --> 00:21:13,970
+K لازم يطلع المسافة بين xn و x أصغر من epsilon
+
+176
+00:21:13,970 --> 00:21:22,830
+zero ال implication هذه is false is false ليست
+
+177
+00:21:22,830 --> 00:21:27,430
+صحيحة طب ما هذا معناه هذا معناه
+
+178
+00:21:31,850 --> 00:21:41,490
+this means هذا يعني this means أنه لكل capital K
+
+179
+00:21:41,490 --> 00:21:48,590
+عدد طبيعي يوجد لكل
+
+180
+00:21:48,590 --> 00:21:54,630
+K عدد طبيعي مايعني أن هذا غلطمعناه يوجد لكل K عدد
+
+181
+00:21:54,630 --> 00:21:59,250
+طبيعي capital K يوجد عدد واحد مش لكل ال N الأكبر
+
+182
+00:21:59,250 --> 00:22:06,030
+منه يوجد عدد طبيعي واحد أكبر من أو ساوي يوجد عدد
+
+183
+00:22:06,030 --> 00:22:13,690
+طبيعي سميه N أو R sub capital K يعتمد على K عدد
+
+184
+00:22:13,690 --> 00:22:17,750
+طبيعي بحيث أنه
+
+185
+00:22:21,710 --> 00:22:27,850
+بحيث أنه طبعا
+
+186
+00:22:27,850 --> 00:22:33,390
+ال RK هذا هيكون
+
+187
+00:22:33,390 --> 00:22:41,190
+أكبر من أو ساوي K and RK
+
+188
+00:22:41,190 --> 00:22:50,050
+أكبر من أو ساوي K and absolute XN أو XRcapital k
+
+189
+00:22:50,050 --> 00:22:55,590
+minus x أكبر من أو يساوي بدل أصغر من epsilon zero
+
+190
+00:22:55,590 --> 00:23:05,410
+النفي تبعها أكبر من أو يساوي epsilon zero now
+
+191
+00:23:05,410 --> 00:23:09,610
+replace
+
+192
+00:23:09,610 --> 00:23:18,450
+badly replace capital k by small k
+
+193
+00:23:22,130 --> 00:23:25,970
+to get الأبارع
+
+194
+00:23:25,970 --> 00:23:32,250
+اتنين holes صح؟
+
+195
+00:23:32,250 --> 00:23:38,950
+هاي بدلي كابتال K بsmall kفهنا أثبتنا أن يوجد يوجد
+
+196
+00:23:38,950 --> 00:23:46,350
+εمسلون زيرو أكبر من سفر بحيث لكل لكل small k يوجد
+
+197
+00:23:46,350 --> 00:23:53,150
+R small k أكبر من أو ساوي small k والمسافة بين X R
+
+198
+00:23:53,150 --> 00:23:56,750
+small k minus X أكبر من أو ساوي امسلون زيرو
+
+199
+00:24:04,730 --> 00:24:14,690
+الأن نثبت اتنين بيقدي لواحد لتلاتة اذا two implies
+
+200
+00:24:14,690 --> 00:24:18,530
+three assume
+
+201
+00:24:18,530 --> 00:24:27,110
+two holds افرضه ان العبارة التانية صحيحة بيبني
+
+202
+00:24:27,110 --> 00:24:30,690
+نثبت ان العبارة التالتة صحيحة طيب؟
+
+203
+00:24:37,940 --> 00:24:48,160
+then for k بساوي واحد يعني تم إلى n الان احنا
+
+204
+00:24:48,160 --> 00:24:53,320
+فرضين اتنين العبارة اتنين صحيحة اذا احنا فرضين ان
+
+205
+00:24:53,320 --> 00:24:58,840
+يوجد epsilon zero بحيث الكلام هذا بتحقق الان لو
+
+206
+00:24:58,840 --> 00:25:04,420
+اخدت k هذه بساوي واحد فيوجد
+
+207
+00:25:06,750 --> 00:25:15,070
+R1 عدد طبيعي وطبعا R1 بالتأكيد أكبر من أو ساوي
+
+208
+00:25:15,070 --> 00:25:24,510
+واحد such that absolute X R1 سالب X أكبر من أو
+
+209
+00:25:24,510 --> 00:25:33,250
+ساوي epsilon zero صح؟ next for
+
+210
+00:25:34,680 --> 00:25:45,900
+ك بساوي R واحد زاد واحد مش
+
+211
+00:25:45,900 --> 00:25:51,380
+هاد عدد طبيعي لو أخدت ك بساوي R واحد زاد واحد R
+
+212
+00:25:51,380 --> 00:25:58,020
+واحد عدد طبيعي زاد واحد عدد طبيعي يوجد R اتنين عدد
+
+213
+00:25:58,020 --> 00:26:08,800
+طبيعيو R اتنين اكبر من او يساوي R
+
+214
+00:26:08,800 --> 00:26:16,480
+واحد زاد واحد such that absolute X R اتنين minus X
+
+215
+00:26:16,480 --> 00:26:24,960
+اكبر من او يساوي epsilon zero صح طيب
+
+216
+00:26:24,960 --> 00:26:30,060
+كمان برضه لو سمرنا في العملية هذه now
+
+217
+00:26:32,620 --> 00:26:40,620
+for R اتنين زائد واحد مش هاد عدد طبيعي لو أخدت K
+
+218
+00:26:40,620 --> 00:26:46,440
+لان بساوي اه لو أخدت K بساوي R اتنين زائد واحد هاد
+
+219
+00:26:46,440 --> 00:26:51,680
+عدد طبيعي هنا اتنين اتنين لو أخدت K بساوي R اتنين
+
+220
+00:26:51,680 --> 00:27:01,160
+زائد واحد اذا حسب اتنين يوجد R تلاتة عدد طبيعيوR
+
+221
+00:27:01,160 --> 00:27:06,280
+تلاتة أكبر من أو ساوي ال K اللي هو R اتنين زائد
+
+222
+00:27:06,280 --> 00:27:13,360
+واحد بحيث انه المسافة بين X R تلاتة minus X أكبر
+
+223
+00:27:13,360 --> 00:27:18,400
+من أو ساوي epsilon zero طب لو استمرنا في العملية
+
+224
+00:27:18,400 --> 00:27:27,040
+هذه شو هنحصل؟ ايه اللي هيحصل؟ continuing this
+
+225
+00:27:27,040 --> 00:27:27,860
+process
+
+226
+00:27:32,720 --> 00:27:35,460
+this process اللي هو سمرنا في العملية دي اللي
+
+227
+00:27:35,460 --> 00:27:49,200
+عملية تطبيق العبارة التانية we obtain هنحصل على we
+
+228
+00:27:49,200 --> 00:27:54,960
+obtain strictly strictly
+
+229
+00:27:54,960 --> 00:28:01,700
+increasing increasing sequence
+
+230
+00:28:06,220 --> 00:28:13,140
+RK من K بساوة واحد لإنفينتي هذه عبارة عن sequence
+
+231
+00:28:13,140 --> 00:28:20,620
+of natural numbers in N such
+
+232
+00:28:20,620 --> 00:28:28,940
+that and hence وبالتالي وبالتالي نحصل على a
+
+233
+00:28:28,940 --> 00:28:33,600
+subsequence XRK
+
+234
+00:28:34,700 --> 00:28:39,240
+من k بساوي واحد في infinity هذه عبارة عن
+
+235
+00:28:39,240 --> 00:28:45,980
+subsequence من ال sequence xn بحيث such that
+
+236
+00:28:45,980 --> 00:28:55,680
+absolute xr k minus x أكبر من أو ساوي epsilon zero
+
+237
+00:28:55,680 --> 00:29:01,160
+والكلام هذا صحيح لكل k ينتمي إلى n
+
+238
+00:29:03,880 --> 00:29:10,500
+هي في الخطوة الأولى حصلنا على R1 وبالتالي على XR1
+
+239
+00:29:10,500 --> 00:29:16,440
+بحيث absolute XR1 minus X أكبر نوى ساوية X نزيلة
+
+240
+00:29:16,440 --> 00:29:23,010
+في الخطوة التانية حصلنا على R2 وبالتالي XR2لاحظوا
+
+241
+00:29:23,010 --> 00:29:30,030
+R2 أكبر من R1 وR3 أكبر من R2، إذن هذه sequence of
+
+242
+00:29:30,030 --> 00:29:33,830
+natural numbers strictly increasing، إذن ال
+
+243
+00:29:33,830 --> 00:29:39,030
+sequence، المؤشرات تبعتها هي الأعداد الطبيعية، هذه
+
+244
+00:29:39,030 --> 00:29:44,110
+subsequence حسب التعريف من sequence Xوبتحقق في
+
+245
+00:29:44,110 --> 00:29:49,510
+الخطوة التانية absolute XR2-X أكبر من أو ساوي Y0
+
+246
+00:29:49,510 --> 00:29:55,590
+خطوة التالتة لما K بساوي تلاتة هي absolute XR3-X
+
+247
+00:29:55,590 --> 00:29:59,510
+أكبر من أو ساوي Y0 وهكذا إذن هنا عملنا
+
+248
+00:29:59,510 --> 00:30:04,470
+construction عملنا بناء بنينا subsequence اللي هي
+
+249
+00:30:04,470 --> 00:30:09,650
+subsequence هذه من ال sequence XN بطريقة استقرائية
+
+250
+00:30:10,920 --> 00:30:15,420
+و هذه الـ subsequence بتحقق المتباينة هذه وهذه
+
+251
+00:30:15,420 --> 00:30:21,800
+بالضبط العبارة تلاتة اذا three العبارة تلاتة whole
+
+252
+00:30:21,800 --> 00:30:24,960
+تمام؟
+
+253
+00:30:24,960 --> 00:30:30,460
+إذا هيك أثبتنا أن اتنين يعدي إلى تلاتة باقي أثبات
+
+254
+00:30:30,460 --> 00:30:36,400
+أن العبارة تلاتة تعني واحدة
+
+255
+00:30:39,780 --> 00:30:48,460
+ف assume .. assume العبارة تلاتة صحيحة يعني يوجد
+
+256
+00:30:48,460 --> 00:30:57,260
+epsilon zero أكبر من صفر and a subsequence xrk
+
+257
+00:30:57,260 --> 00:31:10,090
+of a sequence x in such thatabsolute xrk minus x
+
+258
+00:31:10,090 --> 00:31:18,510
+أكبر من أو ساوي y0 لكل k طيب
+
+259
+00:31:18,510 --> 00:31:29,170
+هذا معناه أو هذا بيقدّي ان xrk
+
+260
+00:31:29,170 --> 00:31:43,760
+او xrn او xrkلا تنتمي لـ X-Y0 X زاد Y0 لا تنتمي
+
+261
+00:31:43,760 --> 00:31:45,220
+للفترة المفتوحة هذه
+
+262
+00:31:49,030 --> 00:31:53,890
+اللي هو هذه الفترة المفتوحة سمناها قبل هيك ابسلون
+
+263
+00:31:53,890 --> 00:31:59,670
+زيرو neighborhood ل X صح؟ هذه فترة مفتوحة مركزها X
+
+264
+00:31:59,670 --> 00:32:04,330
+و نص قطرها ابسلون زيرو المتباينة هذه بتقول إن هذا
+
+265
+00:32:04,330 --> 00:32:10,470
+الكلام لكل K لكل K لو حلت .. لو حلت المتباينة هذه
+
+266
+00:32:10,470 --> 00:32:14,990
+في X بيطلع في X لو حلت المتباينة هذه في XRK بيطلع
+
+267
+00:32:14,990 --> 00:32:23,320
+XRK لا ينتميلأ الفترة مفتوحة وبالتالي
+
+268
+00:32:23,320 --> 00:32:27,460
+hence by
+
+269
+00:32:27,460 --> 00:32:37,860
+definition by ال neighborhood definition of
+
+270
+00:32:37,860 --> 00:32:41,740
+limit
+
+271
+00:32:44,750 --> 00:32:49,850
+فاكرين احنا اخدنا تعريف ال limit لل sequence اول
+
+272
+00:32:49,850 --> 00:32:53,190
+تعريف كان neighborhood definition و بعدين اثبتنا
+
+273
+00:32:53,190 --> 00:32:58,470
+انه بكافئ في نظرية 2.2 اثبتنا انه بكافئ ال epsilon
+
+274
+00:32:58,470 --> 00:33:01,010
+capital N definition لل limit
+
+275
+00:33:10,150 --> 00:33:15,910
+X in converge ل X X in converge ل X معناه لأي
+
+276
+00:33:15,910 --> 00:33:21,390
+neighborhood ل X زي هذا لازم
+
+277
+00:33:21,390 --> 00:33:29,210
+عشان
+
+278
+00:33:29,210 --> 00:33:32,550
+ال subsequence هذه converge ل X لازم أي
+
+279
+00:33:32,550 --> 00:33:37,180
+neighborhood ل X يحتويكل حدود الـ sequence من
+
+280
+00:33:37,180 --> 00:33:41,660
+كابتل N وانت طالع أو من كابتل K وانت طالع لكل
+
+281
+00:33:41,660 --> 00:33:46,920
+small k أكبر من أو ساوي كابتل K هذا لازم يكون صحيح
+
+282
+00:33:46,920 --> 00:33:50,260
+لكل neighborhood طب أنا في .. لأن في عندي there
+
+283
+00:33:50,260 --> 00:33:55,740
+exists epsilon zero neighborhood ل X وكل حدود ال
+
+284
+00:33:55,740 --> 00:34:02,770
+subsequence مش موجودة فيههذا بالظبط نفي تعريف الـ
+
+285
+00:34:02,770 --> 00:34:05,230
+neighborhood definition للـ convergence وبالتالي
+
+286
+00:34:05,230 --> 00:34:09,350
+هذا معناه حسب تعريف الـ neighborhood definition أن
+
+287
+00:34:09,350 --> 00:34:15,550
+الـ subsequence هذه does not converge ل Xطب احنا
+
+288
+00:34:15,550 --> 00:34:19,970
+عايزين نثبت عشان نثبت ان العبارة واحد صحيحة عايزين
+
+289
+00:34:19,970 --> 00:34:23,810
+نثبت ان ال sequence نفسها مش ال subsequence ال
+
+290
+00:34:23,810 --> 00:34:27,650
+sequence نفسها does not converge لأكس اذا انا بدي
+
+291
+00:34:27,650 --> 00:34:38,290
+اكتب هنا claim لبرهان
+
+292
+00:34:38,290 --> 00:34:46,830
+العبارة الأولى باقي اثبات ال claimوهو ان ال
+
+293
+00:34:46,830 --> 00:34:55,150
+sequence x in نفسها does not converge ل x فنشوف
+
+294
+00:34:55,150 --> 00:35:01,370
+مع بعض assume بورهان بالتناقض assume on contrary
+
+295
+00:35:01,370 --> 00:35:05,230
+ان
+
+296
+00:35:05,230 --> 00:35:10,990
+ال sequence x in converge ل x okay بورهان بالتناقض
+
+297
+00:35:10,990 --> 00:35:22,050
+افرض ان ال sequence converge ل xby a theorem اتنين
+
+298
+00:35:22,050 --> 00:35:32,850
+ستاش the subsequence the subsequence اللي هي X R K
+
+299
+00:35:32,850 --> 00:35:37,490
+ال subsequence مش هاد ال subsequence هاد المفروض
+
+300
+00:35:37,490 --> 00:35:44,020
+تطلع convergent ل X وهدا ده ديني contradictionلأن
+
+301
+00:35:44,020 --> 00:35:47,260
+أنا عندي sub sequence هنا استنتجنا أنها does not
+
+302
+00:35:47,260 --> 00:35:53,060
+converge ل X إذا في عندي تناقض التناقض هذا سببه أن
+
+303
+00:35:53,060 --> 00:35:58,680
+احنا فرضنا أن X in converge ل X إذا بطلع عندي X in
+
+304
+00:35:58,680 --> 00:36:04,200
+does not converge ل X وبالتالي إذا one holds إذا
+
+305
+00:36:04,200 --> 00:36:10,120
+one holdsوبالتالي هيك بنكون كملنا برهان النظرية
+
+306
+00:36:10,120 --> 00:36:15,580
+okay تمام اذا هيك اثبتنا ان التلاتة بيعد لواحد
+
+307
+00:36:15,580 --> 00:36:20,560
+وبالتالي العبارات التلاتة هذه متكافئة احنا بهمنا
+
+308
+00:36:20,560 --> 00:36:26,140
+في التطبيق اللي هو الجزء الأخير يعني عشان انا اثبت
+
+309
+00:36:27,620 --> 00:36:32,400
+إنه sequence معينة does not converge to any real
+
+310
+00:36:32,400 --> 00:36:36,360
+number X يكفي
+
+311
+00:36:36,360 --> 00:36:42,920
+اثبات أن يوجد Y0 يوجد subsequence بحيث أن المسافة
+
+312
+00:36:42,920 --> 00:36:47,780
+دي أكبر من أو ساوى Y0 لكل M هنشوف الكلام هذا في
+
+313
+00:36:47,780 --> 00:36:58,230
+أمثلة لاحقة لكن خلينا بس ناخد مثالعلى النظرية هذه
+
+314
+00:36:58,230 --> 00:37:15,210
+إذا
+
+315
+00:37:15,210 --> 00:37:23,470
+ناخد examples هاي
+
+316
+00:37:23,470 --> 00:37:24,410
+مثال واحد
+
+317
+00:37:28,440 --> 00:37:32,300
+الـ sequence اللي الحد العام تبعها سالب واحد plus
+
+318
+00:37:32,300 --> 00:37:40,560
+n is divergent طبعا
+
+319
+00:37:40,560 --> 00:37:43,620
+احنا اثبتنا قبل هيك ان ال sequence هي divergent
+
+320
+00:37:43,620 --> 00:37:47,640
+عملنا proof by contradiction فرضنا ان انا
+
+321
+00:37:47,640 --> 00:37:55,040
+convergent ووصلنا إلى تناقض صح اليوم هناخد برهان
+
+322
+00:37:55,040 --> 00:38:04,780
+تانيباستخدام نظرية 16 أو نظرية التانية يعني نشوف
+
+323
+00:38:04,780 --> 00:38:12,820
+مع بعض prove if
+
+324
+00:38:12,820 --> 00:38:25,060
+it were convergent say
+
+325
+00:38:30,030 --> 00:38:38,350
+-1-N converges to X ينتمي إلى R لو فرضنا إن
+
+326
+00:38:38,350 --> 00:38:44,970
+سيكوانس هذه convergent هنثبت إنها divergent بورحان
+
+327
+00:38:44,970 --> 00:38:51,350
+بالتناقض لو فرضنا إنها convergent to some X إذا
+
+328
+00:38:51,350 --> 00:38:56,570
+كانت convergent إن اسمها لمات then
+
+329
+00:39:00,730 --> 00:39:07,130
+الـ sub sequences اللي
+
+330
+00:39:07,130 --> 00:39:18,390
+هم سالب واحد أس اتنين in and سالب واحد أس اتنين in
+
+331
+00:39:18,390 --> 00:39:25,470
+سالب واحدهذه الـ subsequence هي الحدود الزوجية من
+
+332
+00:39:25,470 --> 00:39:31,150
+هنا و هذه الحدود الفردية إذا كانت ال sequence
+
+333
+00:39:31,150 --> 00:39:36,430
+نفسها converged ل X فالتنتين هذول both converged ل
+
+334
+00:39:36,430 --> 00:39:45,110
+X و
+
+335
+00:39:45,110 --> 00:39:48,670
+بالتالي so X
+
+336
+00:39:51,100 --> 00:40:00,080
+بتساوي limit سالب واحد قص اتنين in صح؟ وهذه بساوي
+
+337
+00:40:00,080 --> 00:40:06,400
+limit سالب واحد قص اتنين in واحد ال sequence هذه
+
+338
+00:40:06,400 --> 00:40:15,620
+ثابت واحد بساوي واحد صح؟ and برضه احنا قلنا ان ال
+
+339
+00:40:15,620 --> 00:40:23,400
+Xبتساوي limit ال subsequence للحدود الفردية اللي
+
+340
+00:40:23,400 --> 00:40:28,580
+هي هذه طيب
+
+341
+00:40:28,580 --> 00:40:36,140
+سالب واحد قص عدد فردي بطلع سالب واحد إذن هذه ال
+
+342
+00:40:36,140 --> 00:40:41,760
+sequence حدودها فردية إذن هي عبارة عن sequence
+
+343
+00:40:41,760 --> 00:40:50,260
+ثابت سالب واحد وبالتالي limit لثابت بطلع ثابتإذا
+
+344
+00:40:50,260 --> 00:40:56,180
+أنا أطلع عندي واحد بساوي x من المعادلة الأولى
+
+345
+00:40:56,180 --> 00:41:01,120
+وكذلك ال x بساوي سالب واحد يعني معناه واحد بساوي
+
+346
+00:41:01,120 --> 00:41:10,130
+سالب واحد وهذا contradictionتمام؟ إذا مستحيل أن ال
+
+347
+00:41:10,130 --> 00:41:13,510
+sequence هذه تكون convergent لأنها لازم تكون
+
+348
+00:41:13,510 --> 00:41:21,050
+divergent okay تمام؟ إذا هنا كلمة where الدلالة
+
+349
+00:41:21,050 --> 00:41:26,470
+على الاستحالة كان ممكن اسمها ال sequence هذه مفرد
+
+350
+00:41:26,470 --> 00:41:32,400
+واحدةمفروض اقول if it was convergent لكن انا عارف
+
+351
+00:41:32,400 --> 00:41:35,400
+انه مستحيل انها تكون convergent فلدلالة على
+
+352
+00:41:35,400 --> 00:41:41,880
+استحالة بستخدم it were زي if I were a king مش if I
+
+353
+00:41:41,880 --> 00:41:47,140
+was a king لكن انا مش king okay تمام؟ اذا بنوقف
+
+354
+00:41:47,140 --> 00:41:50,880
+عند هذا المثال المحاضرة هي انتهت و بنكمل ان شاء
+
+355
+00:41:50,880 --> 00:41:51,720
+الله سبوع جديد
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/XhLWrN2SkOQ.srt

@@ -0,0 +1,1389 @@
+1
+00:00:20,890 --> 00:00:26,630
+أحنا هنكمل الموضوع لـ Properly Divergent Sequences
+
+2
+00:00:26,630 --> 00:00:31,690
+اللي بدأناه المحاضرة السابقة، فشوفنا في المحاضرة
+
+3
+00:00:31,690 --> 00:00:36,530
+السابقة تعريف ما معنى أنه limit لـ sequence xn 
+
+4
+00:00:36,530 --> 00:00:41,450
+بساوي infinity وما معنى أنه limit لـ sequence xn
+
+5
+00:00:41,450 --> 00:00:46,490
+بساوي negative infinity، طبعاً الـ sequence بتكون
+
+6
+00:00:46,490 --> 00:00:49,470
+properly divergent إذا كانت ال limit تبعتها
+
+7
+00:00:49,470 --> 00:00:54,030
+بساوي infinity أو سالب infinity، في عندي 
+
+8
+00:00:54,030 --> 00:00:58,550
+comparison test لـ .. لـ properly divergent
+
+9
+00:00:58,550 --> 00:01:01,790
+sequences، هذا ال test بيقول لي لو في عندي two
+
+10
+00:01:01,790 --> 00:01:06,330
+sequences xn و yn، two sequences of real numbers
+
+11
+00:01:06,330 --> 00:01:10,370
+بيحققوا الشرط star، satisfy the condition star، وهو
+
+12
+00:01:10,370 --> 00:01:15,400
+أن كل حد في xn أصغر من أو ساوي الحد اللي بنظره في
+
+13
+00:01:15,400 --> 00:01:22,080
+ال sequence التانية yn، هذا صحيح لكل n، فإذا كانت ال
+
+14
+00:01:22,080 --> 00:01:26,140
+limit of the bigger sequence or the smaller
+
+15
+00:01:26,140 --> 00:01:30,240
+sequence is infinity، then the limit of the bigger
+
+16
+00:01:30,240 --> 00:01:36,040
+sequence is infinity، and if the limit of the big
+
+17
+00:01:36,040 --> 00:01:39,580
+the bigger sequence is negative infinity، then the
+
+18
+00:01:39,580 --> 00:01:40,720
+limit of the smaller
+
+19
+00:01:50,070 --> 00:01:55,680
+الجزء بي هو نقاط نقاط نقاط نقاط نقاط نقاط an
+
+20
+00:01:55,680 --> 00:01:58,620
+application of the definition، طبقنا التعريف
+
+21
+00:01:58,620 --> 00:02:03,740
+بالبرهان زي ما أنتم شايفينه، برهان الجزء A similar
+
+22
+00:02:03,740 --> 00:02:09,840
+مشابه لجزء B، فحنسيبوا تمرين لكم، اتحاولوا يعني
+
+23
+00:02:09,840 --> 00:02:15,020
+اتبرهنوا بنفس الطريقة، okay تمام، فلو سمحتوا حاولوا
+
+24
+00:02:15,020 --> 00:02:21,720
+انكم اتبرهنوا الجزء A بنفس الطريقة، في عندنا شوية
+
+25
+00:02:21,720 --> 00:02:24,300
+ملاحظات على النظرية
+
+26
+00:02:31,050 --> 00:02:36,390
+نعطيلها رقم تسعة و ثلاثين، فالملاحظات 
+
+27
+00:02:36,390 --> 00:02:44,850
+في عندي تلت ملاحظات، الملاحظة الأولى أنه theorem
+
+28
+00:02:44,850 --> 00:02:47,910
+النظرية
+
+29
+00:02:47,910 --> 00:02:53,270
+السابقة، أعتقد أن هذا الرقم المفروض يكون ثلاثين
+
+30
+00:02:59,480 --> 00:03:15,440
+theorem 29 remains true، تبقى صحيحة، if condition if
+
+31
+00:03:15,440 --> 00:03:22,720
+condition star is replaced، إذا بدلنا الشرط star by
+
+32
+00:03:22,720 --> 00:03:34,060
+the weaker condition، by the weaker condition
+
+33
+00:03:34,060 --> 00:03:39,440
+اللي 
+
+34
+00:03:39,440 --> 00:03:46,080
+هو xn less than or equal yn، لكل
+
+35
+00:03:46,080 --> 00:03:55,540
+n أكبر من أو ساوي m، for some n natural number
+
+36
+00:03:58,530 --> 00:04:05,110
+يعني بدل ما Xn أصغر من أو ساوي Yn لكل الان، لكل
+
+37
+00:04:05,110 --> 00:04:09,910
+الأعداد الطبيعية N، فلنفرض أن يوجد M عدد طبيعي
+
+38
+00:04:09,910 --> 00:04:15,190
+نفرض أن يوجد some M عدد طبيعي بحيث أن المتباينة هذه
+
+39
+00:04:15,190 --> 00:04:21,590
+تتحقق لكل N أكبر من أو ساوي M، يعني مش شرط تتحقق
+
+40
+00:04:21,590 --> 00:04:26,270
+للأعداد الطبيعية اللي أصغر من M، فالنظرية برضه تبقى
+
+41
+00:04:26,270 --> 00:04:32,390
+صحيحة، ولو بدنا نبرهن النظرية اللي فاتت تحت الشرط
+
+42
+00:04:32,390 --> 00:04:37,150
+الأضعف، هذا الشرط أضعف من الشرط ال star، لكن برضه 
+
+43
+00:04:37,150 --> 00:04:44,970
+بيعطيني نفس النظرية، فال ..
+
+44
+00:04:44,970 --> 00:04:55,390
+ففي الحالة هذه، in fact، في حقيقة الأمر، in fact، in
+
+45
+00:04:55,390 --> 00:05:07,220
+the proofs، in the proofs of النظرية السابقة، take
+
+46
+00:05:07,220 --> 00:05:19,460
+the required، the required in to be that
+
+47
+00:05:19,460 --> 00:05:26,660
+corresponds، that corresponds
+
+48
+00:05:28,960 --> 00:05:34,420
+that corresponds to the given to
+
+49
+00:05:34,420 --> 00:05:38,880
+the given alpha or 
+
+50
+00:05:38,880 --> 00:05:45,360
+given beta to
+
+51
+00:05:45,360 --> 00:05:59,160
+be in عبارة عن ال maximum، the m و n of alpha أو n
+
+52
+00:05:59,160 --> 00:06:07,920
+بساوي ال maximum، الأكبر بين العدد الطبيعي m و n 
+
+53
+00:06:07,920 --> 00:06:17,920
+of beta، إذن
+
+54
+00:06:17,920 --> 00:06:22,480
+في البرهان مثلاً، هذه الجزء التالي برهاننا عادي هي
+
+55
+00:06:22,480 --> 00:06:29,810
+نقلت الكلام هذا صحيح، ويوجد capital N هتعتمد على
+
+56
+00:06:29,810 --> 00:06:34,910
+beta بحيث أن الكلام هذا يتحقق، الآن ال star ما قدرش
+
+57
+00:06:34,910 --> 00:06:38,850
+أ say bye star، هذه هتكون double star بدل ال star
+
+58
+00:06:38,850 --> 00:06:45,070
+فأنا سميها double star، فالآن
+
+59
+00:06:45,070 --> 00:06:51,590
+بأخد بعرف n، ال n هذه بعرفها على أنها الأكبر بين m
+
+60
+00:06:51,590 --> 00:06:59,720
+و n of beta، وبالتالي ال n هذه أكبر من أو ساوي M و
+
+61
+00:06:59,720 --> 00:07:05,920
+أكبر من أو ساوي N of beta، وبالتالي لما أجي أخد N
+
+62
+00:07:05,920 --> 00:07:10,640
+أكبر من أو ساوي capital N، بأضمن أن ال N تبعتي هذه
+
+63
+00:07:10,640 --> 00:07:17,820
+أكبر من أو ساوي M، وبالتالي XN أصغر من أو ساوي YN
+
+64
+00:07:17,820 --> 00:07:22,940
+وكذلك
+
+65
+00:07:22,940 --> 00:07:28,120
+ال N لما تكون ال N أكبر من أو ساوي N، الـ N هذه
+
+66
+00:07:28,120 --> 00:07:33,020
+فبأضمن أنها أكبر من أو ساوي N of beta، وبالتالي
+
+67
+00:07:33,020 --> 00:07:40,000
+الكلام هذا بيتحقق، ويعني هيك بيكون برهن الجزء B بال
+
+68
+00:07:40,000 --> 00:07:44,960
+.. باستخدام الشرط الأضعف double star، بالمثل طبعاً
+
+69
+00:07:44,960 --> 00:07:48,960
+ممكن نعطيه في حالة لما يكون بدي أبرهن الجزء A
+
+70
+00:07:48,960 --> 00:07:53,540
+فبأخد ال N المطلوبة هي ال maximum ل M وN of alpha
+
+71
+00:07:53,540 --> 00:08:00,680
+في برهان A تحت شرط star، هذه أول ملاحظة، الملاحظة
+
+72
+00:08:00,680 --> 00:08:15,360
+الثانية، الملاحظة 
+
+73
+00:08:15,360 --> 00:08:25,480
+الثانية، if condition star holds، إذا كان الشرط star
+
+74
+00:08:25,480 --> 00:08:27,660
+holds، then
+
+75
+00:08:37,130 --> 00:08:42,070
+النتيجة أن y in tends to infinity does not 
+
+76
+00:08:42,070 --> 00:08:46,650
+necessarily implies، أن x in tends to infinity
+
+77
+00:08:53,430 --> 00:09:00,270
+وكان limit ال yn بساوي infinity، فليس من الضروري أن
+
+78
+00:09:00,270 --> 00:09:06,090
+يكون limit xn بساوي infinity، وهي مثال يوضح ذلك، for
+
+79
+00:09:06,090 --> 00:09:13,550
+example، على سبيل المثال، consider، consider
+
+80
+00:09:13,550 --> 00:09:20,230
+ال sequence 1 على n، أصغر من أو بساوي n، لكل n في n
+
+81
+00:09:21,990 --> 00:09:27,890
+إذن هي، أنا عندي xn وهي عندي yn وهي xn أصغر من
+
+82
+00:09:27,890 --> 00:09:34,090
+يساوي yn، الشرط الصغير متحقق، لكن أنا عندي ال limit
+
+83
+00:09:34,090 --> 00:09:39,330
+لـ sequence yn، اللي الحد العام تبعها n، هذي بساوي
+
+84
+00:09:39,330 --> 00:09:51,440
+infinity، but ال limit ل xn اللي هي واحد على n، بساوي
+
+85
+00:09:51,440 --> 00:09:59,860
+صفر، لا تساوي infinity، الصفر لا يساوي infinity، okay
+
+86
+00:09:59,860 --> 00:10:06,440
+تمام، إذا الشرط star ما بيخلنيش أستنتج أنه limit x
+
+87
+00:10:06,440 --> 00:10:09,200
+in بساوي infinity، عندما limit y in بساوي
+
+88
+00:10:09,200 --> 00:10:19,280
+infinity، بالمثل، if condition star holds، إذا كان
+
+89
+00:10:19,280 --> 00:10:24,660
+الشرط الـ start متحقق، then x
+
+90
+00:10:24,660 --> 00:10:30,840
+in تقول إلى negative infinity، ليس بالضرورة بيؤدي
+
+91
+00:10:30,840 --> 00:10:36,620
+مش شرط يؤدي أن ال sequence y in تقول لـ negative
+
+92
+00:10:36,620 --> 00:10:44,360
+infinity، هذا مش شرط يكون صحيح، بنأ مثال على ذلك
+
+93
+00:10:44,360 --> 00:10:48,020
+ممكن نفس المثال بس
+
+94
+00:10:51,510 --> 00:10:57,370
+for example، بس نضرب في سالب، هي عندي negative n
+
+95
+00:10:57,370 --> 00:11:04,900
+أصغر من أو ساوي negative واحد على n، لكل n في n، هل
+
+96
+00:11:04,900 --> 00:11:09,780
+هذا كلام صح؟ أنا عندي واحد على n أصغر من أو ساوي n
+
+97
+00:11:09,780 --> 00:11:17,040
+لكل n، هذا صح، اضرب في سالب واحد، تناقص هاه؟ هي عندك 
+
+98
+00:11:17,040 --> 00:11:24,990
+xn بساوي سالب n، وهي عندنا yn بساوي negative واحد
+
+99
+00:11:24,990 --> 00:11:31,590
+على n، الآن أنا عندي limit xn اللي هو سالب n لما
+
+100
+00:11:31,590 --> 00:11:37,170
+طبعاً n تقول infinity بساوي negative infinity، but
+
+101
+00:11:37,170 --> 00:11:44,910
+لكن limit ال yn اللي هو واحد على n، ايش بتساوي؟
+
+102
+00:11:44,910 --> 00:11:49,950
+بساوي صفر، سالب واحد عفواً، سالب واحد على n، limit سالب
+
+103
+00:11:49,950 --> 00:11:56,630
+واحد على n بساوي صفر، وليست سالب infinity، okay
+
+104
+00:11:56,630 --> 00:12:02,430
+تمام؟ إذا النظرية ال comparison test لا يقبل .. لا
+
+105
+00:12:02,430 --> 00:12:07,010
+يقبل التأويل زي ما بيقولوا، بس النتائج تبعتها كما
+
+106
+00:12:07,010 --> 00:12:13,310
+هي في a و b، أي شيء آخر مش مظبوط، هو أمثلة بتوضح
+
+107
+00:12:13,310 --> 00:12:20,970
+الأشياء الأخرى، تمام؟ في كمان اختبار آخر زي هذا
+
+108
+00:12:20,970 --> 00:12:25,550
+بنسميه limit comparison
+
+109
+00:12:25,550 --> 00:12:34,250
+test، فال
+
+110
+00:12:34,250 --> 00:12:35,350
+.. نمسح
+
+111
+00:12:56,530 --> 00:13:11,090
+limit comparison test، خلّيني
+
+112
+00:13:11,090 --> 00:13:19,550
+آخد two sequences x in و y in، بـ sequences of 
+
+113
+00:13:19,550 --> 00:13:21,030
+positive real numbers
+
+114
+00:13:24,560 --> 00:13:28,760
+بالتالي سيكون الحدود
+
+115
+00:13:28,760 --> 00:13:33,660
+الموجبة، لكي يكونوا سالبة وبعضهم سالبة وبعضهم موجبة
+
+116
+00:13:33,660 --> 00:13:36,820
+بي
+
+117
+00:13:36,820 --> 00:13:41,240
+such that limit
+
+118
+00:13:41,240 --> 00:13:49,480
+لـ xn over yn، as n tends to infinity بساوي L، عدد
+
+119
+00:13:49,480 --> 00:13:50,200
+موجبة
+
+120
+00:13:55,720 --> 00:14:02,320
+بنسمي المعادلة add star، then
+
+121
+00:14:02,320 --> 00:14:12,380
+limit xn بساوي infinity، if and only if limit yn
+
+122
+00:14:12,380 --> 00:14:22,160
+بساوي infinity، إذا
+
+123
+00:14:22,160 --> 00:14:26,190
+هنا في عندي limit comparison test الذي يتم استخدامه
+
+124
+00:14:26,190 --> 00:14:28,110
+للسيقونسات، واحدة فقط من حدوث واحدة واحدة فقط من 
+
+125
+00:14:28,110 --> 00:14:29,250
+حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط
+
+126
+00:14:29,250 --> 00:14:33,210
+من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث
+
+127
+00:14:33,210 --> 00:14:35,150
+فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث
+
+128
+00:14:35,150 --> 00:14:35,310
+واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من
+
+129
+00:14:35,310 --> 00:14:37,070
+حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط
+
+130
+00:14:37,070 --> 00:14:43,510
+من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة
+
+131
+00:14:43,510 --> 00:14:51,010
+فقط من حدوث واحدة فقط من
+
+132
+00:14:51,010 --> 00:14:52,090
+حدوث واحدة، ف
+
+133
+00:14:59,920 --> 00:15:10,860
+let assume، ال أكبر من الصفر، satisfies
+
+134
+00:15:10,860 --> 00:15:15,300
+المعادلة
+
+135
+00:15:15,300 --> 00:15:21,390
+لسه نفرض أن في عدد حقيقي L وهو بحقق star، يعني هو
+
+136
+00:15:21,390 --> 00:15:30,890
+limit لـ ratio لـ xn على yn، تمام؟
+
+137
+00:15:30,890 --> 00:15:34,650
+take epsilon
+
+138
+00:15:34,650 --> 00:15:38,930
+بساوي
+
+139
+00:15:38,930 --> 00:15:46,920
+L على 2، Since L is positive، L over 2 is positive
+
+140
+00:15:46,920 --> 00:15:57,360
+لأن أنا جبت إبسلون which is positive، طيب since من
+
+
+
+141
+00:15:57,360 --> 00:16:08,300
+الفرض since the sequence XN over YN converges to Lوهي
+
+142
+00:16:08,300 --> 00:16:10,980
+عندي إبسلون أكبر من الصفر is given. إذا by
+
+143
+00:16:10,980 --> 00:16:15,400
+definition of convergence by epsilon capital N
+
+144
+00:16:15,400 --> 00:16:22,400
+definition لإبسلون هذه for this إبسلون, there exists
+
+145
+00:16:22,400 --> 00:16:29,600
+capital N يعتمد على إبسلون يعتمد
+
+146
+00:16:29,600 --> 00:16:34,780
+على الإبسلون اللي هي بتعتمد على العدد L natural
+
+147
+00:16:34,780 --> 00:16:41,620
+number بحيث أنه لكل N أكبر منه سوى capital N بيطلع
+
+148
+00:16:41,620 --> 00:16:48,220
+عندي absolute xn over yn negative L less than
+
+149
+00:16:48,220 --> 00:16:57,240
+إبسلون. هتبوت هيك؟ طيب الـ Y بساوي L over 2 خلينا
+
+150
+00:16:57,240 --> 00:17:02,560
+نشيل ال absolute value فبصير عندي Xn over Yn minus
+
+151
+00:17:02,560 --> 00:17:10,960
+L less than L over two bigger than negative L over اتنين و
+
+152
+00:17:10,960 --> 00:17:16,900
+هذا صحيح لكل N bigger than or equal N. اجمع L على 
+
+153
+00:17:16,900 --> 00:17:24,960
+كل الأطراف. إن أنا بطلع عندي xn over yn less than
+
+154
+00:17:24,960 --> 00:17:31,920
+three over two L bigger than L over two, and this
+
+155
+00:17:31,920 --> 00:17:36,620
+is true for every n bigger than or equal n. نسمي
+
+156
+00:17:36,620 --> 00:17:46,680
+المتباينة هذه double star now.
+
+157
+00:17:52,640 --> 00:18:02,400
+by double star, أنا عندي xn على yn أصغر من تلاتة ع
+
+158
+00:18:02,400 --> 00:18:09,020
+اتنين ال اللي هو الجزء هذا وهذا صحيح لكل n bigger
+
+159
+00:18:09,020 --> 00:18:15,820
+than or equal to n. بيقدي انه xn
+
+160
+00:18:24,520 --> 00:18:34,680
+في اتنين على التلاتة L less than YN وهذا صحيح لكل
+
+161
+00:18:34,680 --> 00:18:45,260
+N bigger than or equal N. تصبوت هيك صح؟ هذه
+
+162
+00:18:45,260 --> 00:18:49,720
+المتباينة بتقدر هذه هي نفس هذه
+
+163
+00:18:53,610 --> 00:19:05,290
+so as limit. احنا فرضنا... now now
+
+164
+00:19:05,290 --> 00:19:10,690
+أو .. أو so if 
+
+165
+00:19:12,930 --> 00:19:19,250
+limit xn بساوي infinity إذا كان limit xn بساوي
+
+166
+00:19:19,250 --> 00:19:23,490
+infinity و هذا ثابت موجب. this is positive constant
+
+167
+00:19:23,490 --> 00:19:31,650
+ف limit كل هذا برضه بساوي plus infinity و
+
+168
+00:19:31,650 --> 00:19:39,450
+بالتالي by comparison test then by comparison by
+
+169
+00:19:39,450 --> 00:19:40,170
+comparison
+
+170
+00:19:42,940 --> 00:19:47,480
+by comparison test. النظرية اللى فاتت مع الشرط
+
+171
+00:19:47,480 --> 00:19:51,640
+المخفف مع الشرط المخفف لأن في النظرية اللى فاتت
+
+172
+00:19:51,640 --> 00:19:56,940
+كان عندي xn أصغر من أو يسوى yn لكل n بعدين قلنا أن
+
+173
+00:19:56,940 --> 00:20:01,200
+هذا الشرط لو خففناه لكل n أكبر من أو يسوى عدد طبيعي
+
+174
+00:20:01,200 --> 00:20:06,440
+ما وليكن capital N هنا برضه بتظل صحيحة. فby
+
+175
+00:20:06,440 --> 00:20:12,620
+comparison test and limit ال sequence هذه بساوي
+
+176
+00:20:12,620 --> 00:20:20,700
+infinity إذا limit الأكبر limit yn بساوي infinity.
+
+177
+00:20:20,700 --> 00:20:31,220
+تمام؟ الآن بنثبت العكس نثبت الآن العكس. طيب
+
+178
+00:20:31,220 --> 00:20:32,380
+conversely
+
+179
+00:20:40,740 --> 00:20:51,080
+Conversely. Assume Assume المرهد أنه limit yn بساوي
+
+180
+00:20:51,080 --> 00:20:59,700
+infinity. من double star من double star لو أخدت
+
+181
+00:20:59,700 --> 00:21:06,520
+النص .. النص هذا من المتباينة النص الآخر. عندي أنا
+
+182
+00:21:06,520 --> 00:21:13,120
+L على 2 أصغر من XN على YN هذا صحيح for every N
+
+183
+00:21:13,120 --> 00:21:22,120
+أكبر من أو ساوية capital N. طيب هذا بيقدي ان ال L
+
+184
+00:21:22,120 --> 00:21:29,400
+over 2 في YN أصغر من XN لكل N bigger than or equal
+
+185
+00:21:29,400 --> 00:21:33,380
+to capital N. طيب
+
+186
+00:21:33,380 --> 00:21:34,900
+since
+
+187
+00:21:37,140 --> 00:21:44,200
+limit yn بساوي infinity بيقدي انه limit ثابت موجب
+
+188
+00:21:44,200 --> 00:21:51,060
+في yn لأن هذا بيقدي انه limit ثابت الا اتنين في yn
+
+189
+00:21:51,060 --> 00:21:57,760
+بساوي infinity. so by comparison
+
+190
+00:21:57,760 --> 00:22:01,700
+by comparison test
+
+191
+00:22:07,170 --> 00:22:11,210
+أنا عندي limit ال sequence لصغيرة infinity، إذا
+
+192
+00:22:11,210 --> 00:22:15,550
+limit ال sequence الأكبر بطلع infinity، إذا limit
+
+193
+00:22:15,550 --> 00:22:28,070
+xn equals infinity. وهذا بكمل البرهان، okay؟
+
+194
+00:22:28,070 --> 00:22:32,390
+تمام؟ إذا هذا بكمل ال limit comparison .. برهان ال
+
+195
+00:22:32,390 --> 00:22:36,780
+limit comparison test. طبعا ال test هذا و ال test
+
+196
+00:22:36,780 --> 00:22:40,100
+اللي جابله ال comparison test في عليهم هتجدوا فيه
+
+197
+00:22:40,100 --> 00:22:44,160
+بعض التمرين ممكن
+
+198
+00:22:44,160 --> 00:22:47,660
+تطبيقهم على بعض ال sequences موجودة في التمرين
+
+199
+00:22:47,660 --> 00:22:53,560
+فهنسيبكم طبعا تحلوا التمرين عشان تشوفوا كيف ممكن
+
+200
+00:22:53,560 --> 00:22:54,280
+تطبيقهم
+
+201
+00:22:58,500 --> 00:23:05,220
+باقي section واحد في ال chapter تلاتة
+
+202
+00:23:32,720 --> 00:23:37,660
+السيكشن الأخير سيكشن
+
+203
+00:23:37,660 --> 00:23:43,820
+تلاتة سبعة في شبكر 3 هذا هيكون أبراعا مقدمة
+
+204
+00:23:43,820 --> 00:23:47,860
+introduction to
+
+205
+00:23:47,860 --> 00:23:52,920
+infinite series
+
+206
+00:23:57,560 --> 00:24:02,380
+introduction to infinite series. مقدمة في
+
+207
+00:24:02,380 --> 00:24:06,940
+المتسلسلات اللانهائية
+
+208
+00:24:06,940 --> 00:24:19,460
+نعرف شو معناه متسلسلة لانهائية. let xn
+
+209
+00:24:19,460 --> 00:24:27,330
+contained in R be a sequence. sequence of real
+
+210
+00:24:27,330 --> 00:24:43,210
+numbers. sum
+
+211
+00:24:43,210 --> 00:24:47,010
+x1
+
+212
+00:24:47,010 --> 00:24:56,200
+plus x2 plus ..x3 plus و هكذا plus xn plus و هكذا
+
+213
+00:24:56,200 --> 00:25:03,400
+و ممكن نكتبه بالصورة using sigma notation نستخدم
+
+214
+00:25:03,400 --> 00:25:09,920
+رمز sigma. ممكن هذا نسميه summation from n equals
+
+215
+00:25:09,920 --> 00:25:17,280
+one to infinity إلى xn. فالصورة
+
+216
+00:25:17,280 --> 00:25:25,190
+المجموع هذاهذا expanded. هذا compact form of
+
+217
+00:25:25,190 --> 00:25:39,010
+summation is called an infinite series generated
+
+218
+00:25:39,010 --> 00:25:42,970
+by
+
+219
+00:25:46,320 --> 00:25:54,100
+متولدة من .. by the sequence x in. إذن
+
+220
+00:25:54,100 --> 00:26:00,280
+infinite series generated by the sequence x in. إذا
+
+221
+00:26:00,280 --> 00:26:04,680
+هذه عبارة عن infinite series بتسميها متولدة من الـ
+
+222
+00:26:04,680 --> 00:26:09,340
+sequence x in. طيب for every
+
+223
+00:26:12,430 --> 00:26:23,290
+for each n belong to N define خلينا نعرف S1 على
+
+224
+00:26:23,290 --> 00:26:37,950
+أنه X1. S2 على أنه S1 زاد X2 بساوي X1 زاد X2. S3
+
+225
+00:26:37,950 --> 00:26:50,000
+بساوي S2 زاد X3. يساوي X1 زايد X2 زايد X3 and
+
+226
+00:26:50,000 --> 00:26:58,380
+so on و هكذا. نعرف SN على انه SN negative one زايد
+
+227
+00:26:58,380 --> 00:27:07,060
+XN وطبعا ال SN negative one هيكون عبارة عن
+
+228
+00:27:07,060 --> 00:27:07,700
+summation
+
+229
+00:27:10,600 --> 00:27:19,140
+x1 زائد x2 زائد و هكذا إلى أخر حد xn-1. هذا عبارة
+
+230
+00:27:19,140 --> 00:27:25,620
+عن ايه؟ هذا عبارة عن s in negative one بنضيف لها xn
+
+231
+00:27:25,620 --> 00:27:34,340
+فهذا بيطلع بيساوي summation من k equals one to n
+
+232
+00:27:38,080 --> 00:27:43,700
+to for xk. إذا
+
+233
+00:27:43,700 --> 00:27:49,840
+sn هو مجموع الحدود من اول حد الى حد رقم n وهكذا
+
+234
+00:27:49,840 --> 00:27:55,960
+ممكن نستمر الى ملا نهاية and so on. الآن أنا كوّنت
+
+235
+00:27:55,960 --> 00:28:00,360
+sequence لاحظوا s1, s2, s3, sn هذا عبارة عن
+
+236
+00:28:00,360 --> 00:28:06,970
+sequence. ال sequence الجديدة هذه لها اسمو sequence
+
+237
+00:28:06,970 --> 00:28:12,210
+مهمة of partial sums. مظبوط؟ قعدت نسميها اذا طرست
+
+238
+00:28:12,210 --> 00:28:18,790
+تفاضل الف وفهمته الموضوع هذا هناك الموضوع ال
+
+239
+00:28:18,790 --> 00:28:23,110
+series قعدت نسميها the sequence of partial sums
+
+240
+00:28:23,110 --> 00:28:29,210
+إذا the sequence
+
+241
+00:28:30,940 --> 00:28:37,980
+SN from N equals one to infinity is called بنسميها
+
+242
+00:28:37,980 --> 00:28:51,180
+the sequence the sequence of partial sums
+
+243
+00:28:51,180 --> 00:29:03,040
+sequence of partial sums of the series اللي هي
+
+244
+00:29:03,040 --> 00:29:11,080
+sigma xn أو sigma من n بساعة واحد لانفينيتي. okay
+
+245
+00:29:11,080 --> 00:29:18,660
+الآن now if
+
+246
+00:29:18,660 --> 00:29:29,280
+the sequence sn converges, say
+
+247
+00:29:31,110 --> 00:29:42,090
+limit sn بالساوي عدد s ينتمي إلى r طبعا then
+
+248
+00:29:42,090 --> 00:29:51,390
+we say في الحالة هذه بنقول أنه the series اللي
+
+249
+00:29:51,390 --> 00:29:58,630
+هي summation xn from n equals one to infinity
+
+250
+00:29:58,630 --> 00:30:00,270
+converges
+
+251
+00:30:09,070 --> 00:30:18,290
+and its sum is summation from n equals one to
+
+252
+00:30:18,290 --> 00:30:23,530
+infinity ل x in. ال summation تبعها أو المجموعة
+
+253
+00:30:23,530 --> 00:30:28,450
+تبعها عبارة عن limit لل sequence of partial sums
+
+254
+00:30:28,450 --> 00:30:32,730
+اللي هو العدد S.
+
+255
+00:30:37,160 --> 00:30:43,180
+لو كانت ال sequence divergent
+
+256
+00:30:43,180 --> 00:30:50,740
+if the sequence is in diverges, we
+
+257
+00:30:50,740 --> 00:31:00,120
+say أنه ال series sigma
+
+258
+00:31:00,120 --> 00:31:05,880
+x in diverges
+
+259
+00:31:09,090 --> 00:31:13,410
+إذا ال convergence و ال divergence depends on the
+
+260
+00:31:13,410 --> 00:31:18,630
+divergence أو convergence of the infinite series
+
+261
+00:31:18,630 --> 00:31:23,910
+depends on the convergence or divergence of the
+
+262
+00:31:23,910 --> 00:31:30,690
+sequence of partial sums. مرتبط بيها ال sequence of
+
+263
+00:31:30,690 --> 00:31:34,350
+partial sums. convergent السيريز اللي تابع إليها
+
+264
+00:31:34,350 --> 00:31:38,360
+convergent. والعكس إذا كانت ال sequence of partial
+
+265
+00:31:38,360 --> 00:31:40,780
+sums divergent, ال series ال infinite series
+
+266
+00:31:40,780 --> 00:31:51,840
+التابعة إلى divergent. طيب
+
+267
+00:31:51,840 --> 00:31:58,180
+ناخد بعض الأمثلة طبعا
+
+268
+00:31:58,180 --> 00:32:01,720
+ال Sn هذا ال Sn
+
+269
+00:32:04,610 --> 00:32:15,810
+هذا بنسميه الانث partial sum. الانث partial sum
+
+270
+00:32:15,810 --> 00:32:25,690
+انث partial sum المجموع الجزئي أنوني. okay هو
+
+271
+00:32:25,690 --> 00:32:30,760
+الحد العام لل sequence و partial sums. إذا لما بدي
+
+272
+00:32:30,760 --> 00:32:34,760
+نخبر هل ال series convergent ولا divergent بجيب ال
+
+273
+00:32:34,760 --> 00:32:38,380
+sequence of partial sums وبجيب الحد العام لل
+
+274
+00:32:38,380 --> 00:32:41,780
+sequence of partial sums وبأفحص هل ال sequence هذي
+
+275
+00:32:41,780 --> 00:32:47,680
+convergent ولا divergent. ناخد
+
+276
+00:32:47,680 --> 00:32:48,620
+بعض الأمثلة
+
+277
+00:33:02,760 --> 00:33:14,560
+المثال الأول consider
+
+278
+00:33:14,560 --> 00:33:17,780
+sequence
+
+279
+00:33:17,780 --> 00:33:25,480
+R to N from N equals 0 to infinity. طبعا هذه
+
+280
+00:33:25,480 --> 00:33:33,650
+sequence of real numbers. Where R is a real number
+
+281
+00:33:33,650 --> 00:33:38,210
+which
+
+282
+00:33:38,210 --> 00:33:49,150
+generates هذه الsequence generates the geometric
+
+283
+00:33:49,150 --> 00:33:53,010
+.. the so-called geometric series .. geometric
+
+284
+00:33:53,010 --> 00:33:54,330
+series
+
+285
+00:33:57,050 --> 00:34:02,610
+اللي هي summation from n equals zero to infinity
+
+286
+00:34:02,610 --> 00:34:10,210
+from r to n okay إذا هي هذه الsequence of real
+
+287
+00:34:10,210 --> 00:34:15,650
+numbers بتولد infinite series أو generates this
+
+288
+00:34:15,650 --> 00:34:21,210
+infinite series اللي هي حدودها أول حد لما n بساوي
+
+289
+00:34:21,210 --> 00:34:33,620
+صفر واحد بعدين r بعدين r تربيعو R أس N و
+
+290
+00:34:33,620 --> 00:34:41,120
+هكذا ف such series is called geometric series هذه
+
+291
+00:34:41,120 --> 00:34:44,300
+الseries اللي على الصورة هذه بنسميها geometric
+
+292
+00:34:44,300 --> 00:34:49,820
+series الآن هذه الseries
+
+293
+00:34:58,170 --> 00:35:08,530
+this series واحد converges and
+
+294
+00:35:08,530 --> 00:35:15,910
+its sum اللي هو sigma from n equals zero to
+
+295
+00:35:15,910 --> 00:35:22,470
+infinity لRn بساوي واحد على واحد minus R إذا كان
+
+296
+00:35:22,470 --> 00:35:35,210
+absolute R أصغر من واحد and diverges and
+
+297
+00:35:35,210 --> 00:35:41,350
+اثنين diverges if
+
+298
+00:35:41,350 --> 00:35:48,830
+absolute R أكبر من أو يساوي واحد خلّينا
+
+299
+00:35:48,830 --> 00:35:50,050
+نثبت الجزء الأول
+
+300
+00:35:58,010 --> 00:36:04,110
+to prove one أنا
+
+301
+00:36:04,110 --> 00:36:12,410
+عندي ال SN بساوي سيجما
+
+302
+00:36:12,410 --> 00:36:21,050
+من K بساوي صفر إلى N ل R أس K اللي هو واحد زائد R
+
+303
+00:36:21,050 --> 00:36:34,640
+زائد R تربيع زائد R أس N وفي عندي .. في عندي ..
+
+304
+00:36:34,640 --> 00:36:37,780
+لو
+
+305
+00:36:37,780 --> 00:36:48,440
+ضربت SN في R فبضرب الطرف اليمين في R فبطلع R زائد R
+
+306
+00:36:48,440 --> 00:36:56,380
+تربيع زائد و هكذا زائد R أس N و آخر حد هيكون R أس N
+
+307
+00:36:56,380 --> 00:37:00,940
+زائد 1 تمام؟ الآن خلّينا نطرح ال subtract
+
+308
+00:37:05,370 --> 00:37:10,850
+subtract نطرح المعادلة اللي تحت من اللي فوق فبطلع عندي
+
+309
+00:37:10,850 --> 00:37:18,590
+SN في واحد minus R أخدت عامل مشترك SN ولمّا أطرح
+
+310
+00:37:18,590 --> 00:37:23,330
+هذا بروح مع هذا كل الحدود بتروح مع بعضها بظل عندي
+
+311
+00:37:23,330 --> 00:37:33,130
+واحد سالب R أس N زائد 1 تمام؟ ومن هنا إذا SN
+
+312
+00:37:36,050 --> 00:37:44,310
+بساوي واحد على واحد سالب R سالب R أس N زائد 1
+
+313
+00:37:44,310 --> 00:37:52,990
+على واحد سالب R ممكن
+
+314
+00:37:52,990 --> 00:37:59,070
+هذا نوديه على ناحية الثانية فبصير عندي هذا سالب
+
+315
+00:37:59,070 --> 00:38:01,350
+هذا بساوي
+
+316
+00:38:03,070 --> 00:38:08,930
+سالب R أس N زائد 1 على واحد سالب R الآن إذا
+
+317
+00:38:08,930 --> 00:38:13,590
+ناخد ال absolute value للطرفين SN سالب واحد على
+
+318
+00:38:13,590 --> 00:38:21,030
+واحد سالب R بيطلع بيساوي الكلام هذا وهذا أصغر من
+
+319
+00:38:21,030 --> 00:38:27,830
+أو يساوي absolute R أس N زائد 1 على absolute واحد
+
+320
+00:38:27,830 --> 00:38:30,870
+minus R تمام؟
+
+321
+00:38:34,940 --> 00:38:41,200
+إذا عندي أنا هاي واحد على absolute واحد سالب R ضرب
+
+322
+00:38:41,200 --> 00:38:51,360
+absolute R أس N زائد 1 الآن if absolute R أصغر
+
+323
+00:38:51,360 --> 00:39:00,870
+من واحد فهذا بيؤدي أن ال limit ل absolute R أس N زي
+
+324
+00:39:00,870 --> 00:39:05,790
+1 لما N تؤول ل infinity هذا بيساوي صفر أخذناها قبل
+
+325
+00:39:05,790 --> 00:39:10,430
+هيك وبالتالي
+
+326
+00:39:10,430 --> 00:39:14,950
+إذا ال ..
+
+327
+00:39:14,950 --> 00:39:18,290
+إذا أنا عندي ال absolute value هذه أكبر من أو يساوي
+
+328
+00:39:18,290 --> 00:39:24,270
+صفر و أصغر من أو يساوي ثابت موجب في هذه الsequence
+
+329
+00:39:24,270 --> 00:39:28,610
+هذه الsequence تؤول لـ 0 وهذه الـ sequence ثابتة
+
+330
+00:39:28,610 --> 00:39:32,330
+تؤول لـ 0 إذا by sandwich theorem
+
+331
+00:39:40,720 --> 00:39:47,760
+بتطلع عندي ال limit ل absolute SN سالب 1 على 1
+
+332
+00:39:47,760 --> 00:39:52,820
+minus R لما N تؤول ل infinity بساوي صفر وممكن
+
+333
+00:39:52,820 --> 00:39:58,600
+ندخل ال limit جوا فهذا بقدر أنه limit 1 على SN
+
+334
+00:39:58,600 --> 00:40:05,040
+عفوا limit SN لما N تؤول ل infinity بساوي 1 على 1
+
+335
+00:40:05,040 --> 00:40:11,560
+سالب R وبالتالي إذا الـ series sigma from N equal 0
+
+336
+00:40:11,560 --> 00:40:17,240
+to infinity لR أس N مجموعتها تطلع convergent
+
+337
+00:40:17,240 --> 00:40:23,180
+ومجموعها بساوي limit SN وهذا بساوي 1 على 1 minus R
+
+338
+00:40:24,110 --> 00:40:28,950
+إذن هذا بيثبت الجزء الأول الجزء الثاني ممكن إثباته
+
+339
+00:40:28,950 --> 00:40:34,190
+لو R بساوي واحد فبطلع عندي بجمع واحد على واحد عدد
+
+340
+00:40:34,190 --> 00:40:37,730
+لا نهائي من المرات وبالتالي ال sequence of partial
+
+341
+00:40:37,730 --> 00:40:40,170
+sums ممكن إثبات أنها unbounded وبالتالي not
+
+342
+00:40:40,170 --> 00:40:44,330
+convergent إذن الseries not convergent نفس الحاجة
+
+343
+00:40:44,330 --> 00:40:47,210
+لو كان absolute R أكبر من واحد فممكن إثبات أن ال
+
+344
+00:40:47,210 --> 00:40:50,550
+sequence of partial sums is divergent وبالتالي ال
+
+345
+00:40:50,550 --> 00:40:57,170
+series is divergent تمام؟ في أي سؤال؟ إذا بنوقف هنا
+
+346
+00:40:57,170 --> 00:41:02,830
+و بنكمل إن شاء الله الموضوع اللي جاي في المحاضرة
+
+347
+00:41:02,830 --> 00:41:04,630
+القادمة يوم السبت

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/XhLWrN2SkOQ_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1388 @@
+1
+00:00:20,890 --> 00:00:26,630
+أحنا هنكمل الموضوع لـ Properly Divergent Sequences
+
+2
+00:00:26,630 --> 00:00:31,690
+اللي بدأناه المحاضرة السابقة فشوفنا في المحاضرة
+
+3
+00:00:31,690 --> 00:00:36,530
+السابقة تعريف ما معنى أنه limit ل sequence xn
+
+4
+00:00:36,530 --> 00:00:41,450
+بساوي infinity وما معنى أنه limit ل sequence xn
+
+5
+00:00:41,450 --> 00:00:46,490
+بساوي negative infinityطبعاً الـ sequence بتكون
+
+6
+00:00:46,490 --> 00:00:49,470
+properly divergent إذا كانت ال limit تبعتها
+
+7
+00:00:49,470 --> 00:00:54,030
+بالساوي infinity أو سالب infinity في عندي
+
+8
+00:00:54,030 --> 00:00:58,550
+comparison test ل .. ل properly divergent
+
+9
+00:00:58,550 --> 00:01:01,790
+sequences هذا ال test بيقول لي لو في عندي two
+
+10
+00:01:01,790 --> 00:01:06,330
+sequences xn و yn two sequences of real numbers
+
+11
+00:01:06,330 --> 00:01:10,370
+بيحققوا الشرط star satisfy the condition star وهو
+
+12
+00:01:10,370 --> 00:01:15,400
+أن كل حدفي xn أصغر من أو ساوي الحد اللي بنظره في
+
+13
+00:01:15,400 --> 00:01:22,080
+ال sequence التانية yn هذا صحيح لكل n فإذا كانت ال
+
+14
+00:01:22,080 --> 00:01:26,140
+limit of the bigger sequence of the smaller
+
+15
+00:01:26,140 --> 00:01:30,240
+sequence is infinity then the limit of the bigger
+
+16
+00:01:30,240 --> 00:01:36,040
+sequence is infinity and if the limit of the big
+
+17
+00:01:36,040 --> 00:01:39,580
+the bigger sequence is negative infinity then the
+
+18
+00:01:39,580 --> 00:01:40,720
+limit of the smaller
+
+19
+00:01:50,070 --> 00:01:55,680
+الجزء بي هو نقاط نقاط نقاط نقاط نقاط نقاطan
+
+20
+00:01:55,680 --> 00:01:58,620
+application of the definition طبقنا التعريف
+
+21
+00:01:58,620 --> 00:02:03,740
+بالبرهان زي ما انتوا شايفينه برهان الجزء A similar
+
+22
+00:02:03,740 --> 00:02:09,840
+مشابه لجزء B فحنسيبوا تمرين لكم اتحاولوا يعني
+
+23
+00:02:09,840 --> 00:02:15,020
+اتبرهنوا بنفس الطريقة okay تمام فلو سمحتوا حاولوا
+
+24
+00:02:15,020 --> 00:02:21,720
+انكم اتبرهنوا الجزء A بنفس الطريقة في عندنا شوية
+
+25
+00:02:21,720 --> 00:02:24,300
+ملاحظات على النظرية
+
+26
+00:02:31,050 --> 00:02:36,390
+نعطيلها رقم تسعة و عشرين فالملاحظات
+
+27
+00:02:36,390 --> 00:02:44,850
+في عندي تلت ملاحظات الملاحظة الأولى انه theorem
+
+28
+00:02:44,850 --> 00:02:47,910
+النظرية
+
+29
+00:02:47,910 --> 00:02:53,270
+السابقة اعتقد ان هذا الرقم المفروض يكون تلاتين
+
+30
+00:02:59,480 --> 00:03:15,440
+theorem 29 remains true تبقى صحيحة if condition if
+
+31
+00:03:15,440 --> 00:03:22,720
+condition star is replaced إذا بدلنا الشرط star by
+
+32
+00:03:22,720 --> 00:03:34,060
+the weaker conditionby the weaker condition
+
+33
+00:03:34,060 --> 00:03:39,440
+اللي
+
+34
+00:03:39,440 --> 00:03:46,080
+هو xn less than or equal yn لكل
+
+35
+00:03:46,080 --> 00:03:55,540
+n أكبر من أو ساوي m for some n natural number
+
+36
+00:03:58,530 --> 00:04:05,110
+يعني بدل ما Xn أصغر من أو ساوي Yn لكل الان لكل
+
+37
+00:04:05,110 --> 00:04:09,910
+الأعداد الطبيعية N فلأ نفرض أن يوجد M عدد طبيعي
+
+38
+00:04:09,910 --> 00:04:15,190
+نفرض أن يوجد some M عدد طبيعي بحيث أن المتباين هذه
+
+39
+00:04:15,190 --> 00:04:21,590
+تتحقق لكل N أكبر من أو ساوي M يعني مش شرط تتحقق
+
+40
+00:04:21,590 --> 00:04:26,270
+للأعداد الطبيعية اللي أصغر من M فالنظرية برضه تبقى
+
+41
+00:04:26,270 --> 00:04:32,390
+صحيحةولو بدنا نبرهن النظرية اللى فاتت تحت الشرط
+
+42
+00:04:32,390 --> 00:04:37,150
+الأضعف هذا الشرط أضعف من الشرط ال star لكن برضه
+
+43
+00:04:37,150 --> 00:04:44,970
+بيعطينى نفس النظرية فال ..
+
+44
+00:04:44,970 --> 00:04:55,390
+ففي الحالة هذه in fact في حقيقة القمر in fact in
+
+45
+00:04:55,390 --> 00:05:07,220
+the proofsin the proofs of النظرية السابقة take
+
+46
+00:05:07,220 --> 00:05:19,460
+the required the required in to be that
+
+47
+00:05:19,460 --> 00:05:26,660
+corresponds that corresponds
+
+48
+00:05:28,960 --> 00:05:34,420
+that corresponds to the given to
+
+49
+00:05:34,420 --> 00:05:38,880
+the given alpha or
+
+50
+00:05:38,880 --> 00:05:45,360
+given beta to
+
+51
+00:05:45,360 --> 00:05:59,160
+be in ابارة عن ال maximum the m و n of alphaأو n
+
+52
+00:05:59,160 --> 00:06:07,920
+بالساوي ال maximum الأكبر بين العدد الطبيعي m و n
+
+53
+00:06:07,920 --> 00:06:17,920
+of beta إذن
+
+54
+00:06:17,920 --> 00:06:22,480
+في البرهان مثلا هذه الجزء التالي برهاننا عادي هي
+
+55
+00:06:22,480 --> 00:06:29,810
+نقلت الكلام هذا صحيح و يوجد capital Nهيعتمد على
+
+56
+00:06:29,810 --> 00:06:34,910
+beta بحيث ان الكلام هذا يتحقق الان ال star ماقدرش
+
+57
+00:06:34,910 --> 00:06:38,850
+ا say bye star هذه هتكون double star بدل ال star
+
+58
+00:06:38,850 --> 00:06:45,070
+فانا ساميها double star فالان
+
+59
+00:06:45,070 --> 00:06:51,590
+باخد بعرف n ال n هذه بعرفها على انها الأكبر بين m
+
+60
+00:06:51,590 --> 00:06:59,720
+و n of beta وبالتالي ال n هذهأكبر من أو ساوي M و
+
+61
+00:06:59,720 --> 00:07:05,920
+أكبر من أو ساوي N of beta وبالتالي لما أجي أخد N
+
+62
+00:07:05,920 --> 00:07:10,640
+أكبر من أو ساوي capital N بأضمن أن ال N تبعتي هذه
+
+63
+00:07:10,640 --> 00:07:17,820
+أكبر من أو ساوي M وبالتالي XN أصغر من أو ساوي YN
+
+64
+00:07:17,820 --> 00:07:22,940
+وكذلك
+
+65
+00:07:22,940 --> 00:07:28,120
+ال N لما تكون ال N أكبر من أو ساوي Nالـ N هذه
+
+66
+00:07:28,120 --> 00:07:33,020
+فبطمن أنها أكبر من أو ساوي N of beta وبالتالي
+
+67
+00:07:33,020 --> 00:07:40,000
+الكلام هذا بتحقق ويعني هيك بيكون برهن الجزء B بال
+
+68
+00:07:40,000 --> 00:07:44,960
+.. باستخدام الشرط الأضعف double star بالمثل طبعا
+
+69
+00:07:44,960 --> 00:07:48,960
+ممكن نعطيه في حالة لما يكون بدي أبرهن الجزء A
+
+70
+00:07:48,960 --> 00:07:53,540
+فباخد ال N المطلوبة هي ال maximum ل M وN of alpha
+
+71
+00:07:53,540 --> 00:08:00,680
+في برهان A تحت شرط starهذه أول ملاحظة الملاحظة
+
+72
+00:08:00,680 --> 00:08:15,360
+التانية الملاحظة
+
+73
+00:08:15,360 --> 00:08:25,480
+التانية if condition star holds إذا كان الشرط star
+
+74
+00:08:25,480 --> 00:08:27,660
+holds then
+
+75
+00:08:37,130 --> 00:08:42,070
+النتيجة ان y in tends to infinity does not
+
+76
+00:08:42,070 --> 00:08:46,650
+necessarily implies ان x in tends to infinity
+
+77
+00:08:53,430 --> 00:09:00,270
+وكان limit ال yn بساوي infinity فليس من الضروري ان
+
+78
+00:09:00,270 --> 00:09:06,090
+يكون limit xn بساوي infinity وهي مثال يوضح ذلك for
+
+79
+00:09:06,090 --> 00:09:13,550
+example على سبيل المثال consider consider
+
+80
+00:09:13,550 --> 00:09:20,230
+ال sequence 1 على n أصغر من أو بساوي n لكل n في n
+
+81
+00:09:21,990 --> 00:09:27,890
+إذن هى انا عندي xn وهى عندي yn وهى xn أصغر من
+
+82
+00:09:27,890 --> 00:09:34,090
+يساوي yn الشرط الصغير متحقق لكن أنا عندي ال limit
+
+83
+00:09:34,090 --> 00:09:39,330
+ل sequence yn اللى الحد العام تبعها n هدى بساوي
+
+84
+00:09:39,330 --> 00:09:51,440
+infinity but ال limit ل xn اللى هى واحد على nبساوي
+
+85
+00:09:51,440 --> 00:09:59,860
+سفر لا تساوي infinity السفر لا يساوي infinity okay
+
+86
+00:09:59,860 --> 00:10:06,440
+تمام إذا الشرط star ما بيخلنيش أستنتج أنه limit x
+
+87
+00:10:06,440 --> 00:10:09,200
+in بالساوية infinity عندما limit y in بالساوية
+
+88
+00:10:09,200 --> 00:10:19,280
+infinity بالمثل if condition star holdsإذا كان
+
+89
+00:10:19,280 --> 00:10:24,660
+الشرط الـ start متحقق then x
+
+90
+00:10:24,660 --> 00:10:30,840
+in تقول إلى negative infinity ليس بالضرورة بيؤدي
+
+91
+00:10:30,840 --> 00:10:36,620
+مش شرط يؤدي ان ال sequence y in تقول ل negative
+
+92
+00:10:36,620 --> 00:10:44,360
+infinity هذا مش شرط يكون صحيح بنا مثال على ذلك
+
+93
+00:10:44,360 --> 00:10:48,020
+ممكن نفس المثال بس
+
+94
+00:10:51,510 --> 00:10:57,370
+for example بس نضرب في سالب هي عندي negative n
+
+95
+00:10:57,370 --> 00:11:04,900
+أصغر من أو ساوي negative واحد على n لكل n في nهل
+
+96
+00:11:04,900 --> 00:11:09,780
+هذا كلام صح؟ انا عندي واحد على n أصغر من أو ساوي n
+
+97
+00:11:09,780 --> 00:11:17,040
+لكل n هذا صح اضرب في سالب واحد تناقص هاه؟ هاي عندك
+
+98
+00:11:17,040 --> 00:11:24,990
+xn بساوي سالب n وهي عندنا ynبساوي negative واحد
+
+99
+00:11:24,990 --> 00:11:31,590
+على n الان انا عندي limit xn اللي هو سالب n لما
+
+100
+00:11:31,590 --> 00:11:37,170
+طبعا n تقول infinity بساوي negative infinity but
+
+101
+00:11:37,170 --> 00:11:44,910
+لك�� limit ال yn اللي هو واحد على n ايش بتساوي؟
+
+102
+00:11:44,910 --> 00:11:49,950
+ساوي سفر سالب واحد عفوا سالب واحد على n limit سالب
+
+103
+00:11:49,950 --> 00:11:56,630
+واحد على n بساوي سفرو ليست سالب infinity okay
+
+104
+00:11:56,630 --> 00:12:02,430
+تمام؟ إذا النظرية ال comparison test لا يقبل .. لا
+
+105
+00:12:02,430 --> 00:12:07,010
+يقبل التأويل زي ما بيقولوا بس النتائج تبعتها كما
+
+106
+00:12:07,010 --> 00:12:13,310
+هي في a و b أي شيء آخر مش مظبوطهو أمثلة بتوضح
+
+107
+00:12:13,310 --> 00:12:20,970
+الأشياء الأخرى تمام؟ في كمان اختبار أخر زي هذا
+
+108
+00:12:20,970 --> 00:12:25,550
+بنسميه limit comparison
+
+109
+00:12:25,550 --> 00:12:34,250
+test فال
+
+110
+00:12:34,250 --> 00:12:35,350
+.. نمسح
+
+111
+00:12:56,530 --> 00:13:11,090
+limit comparison test خلّيني
+
+112
+00:13:11,090 --> 00:13:19,550
+أاخد two sequences x in و y in بsequences of
+
+113
+00:13:19,550 --> 00:13:21,030
+positive real numbers
+
+114
+00:13:24,560 --> 00:13:28,760
+بالتالي سيكون الحدود
+
+115
+00:13:28,760 --> 00:13:33,660
+الموجبة لكي يكونوا سالبة وبعضهم سالبة وبعضهم موجبة
+
+116
+00:13:33,660 --> 00:13:36,820
+بي
+
+117
+00:13:36,820 --> 00:13:41,240
+such that limit
+
+118
+00:13:41,240 --> 00:13:49,480
+ل xn over yn as n tends to infinity بساوي L عدد
+
+119
+00:13:49,480 --> 00:13:50,200
+موجبة
+
+120
+00:13:55,720 --> 00:14:02,320
+بنسمي المعادلة add star then
+
+121
+00:14:02,320 --> 00:14:12,380
+limit xn بساوي infinity if and only if limit yn
+
+122
+00:14:12,380 --> 00:14:22,160
+بساوي infinity إذا
+
+123
+00:14:22,160 --> 00:14:26,190
+هنا في عندي limit comparison testالذي يتم استخدامه
+
+124
+00:14:26,190 --> 00:14:28,110
+لسيقونسات واحدة فقط من حدوث واحدة واحدة فقط من
+
+125
+00:14:28,110 --> 00:14:29,250
+حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط
+
+126
+00:14:29,250 --> 00:14:33,210
+من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة
+
+127
+00:14:33,210 --> 00:14:35,150
+فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث
+
+128
+00:14:35,150 --> 00:14:35,310
+واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من
+
+129
+00:14:35,310 --> 00:14:37,070
+حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط
+
+130
+00:14:37,070 --> 00:14:43,510
+من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة
+
+131
+00:14:43,510 --> 00:14:51,010
+فقط من حدوث واحدة فقط من
+
+132
+00:14:51,010 --> 00:14:52,090
+حدوث واحدة ف
+
+133
+00:14:59,920 --> 00:15:10,860
+let assume ال أكبر من السفر satisfies
+
+134
+00:15:10,860 --> 00:15:15,300
+المعادلة
+
+135
+00:15:15,300 --> 00:15:21,390
+لسه نفرض ان في عدد حقيقي الوهو بحقق star يعني هو
+
+136
+00:15:21,390 --> 00:15:30,890
+limit ل ratio ل xn على yn تمام؟
+
+137
+00:15:30,890 --> 00:15:34,650
+take epsilon
+
+138
+00:15:34,650 --> 00:15:38,930
+بساوي
+
+139
+00:15:38,930 --> 00:15:46,920
+L على 2Since L is positive L over 2 is positive
+
+140
+00:15:46,920 --> 00:15:57,360
+لأن أنا جبت إبسلون which is positive طيب since من
+
+141
+00:15:57,360 --> 00:16:08,300
+الفرض since by star XN over YN converges to Lوهي
+
+142
+00:16:08,300 --> 00:16:10,980
+عندي إبسلون أكبر من الصفر is given إذا by
+
+143
+00:16:10,980 --> 00:16:15,400
+definition of convergence by epsilon capital N
+
+144
+00:16:15,400 --> 00:16:22,400
+definition لإبسلون هذه for this إبسلونthere exist
+
+145
+00:16:22,400 --> 00:16:29,600
+capital N يعتمد على إبسلون يعتمد
+
+146
+00:16:29,600 --> 00:16:34,780
+على الإبسلون اللي هي بتعتمد على العدد L natural
+
+147
+00:16:34,780 --> 00:16:41,620
+number بحيث أنه لكل N أكبر منه سوى capital N بيطلع
+
+148
+00:16:41,620 --> 00:16:48,220
+عندي absolute xn over yn negative L less than
+
+149
+00:16:48,220 --> 00:16:57,240
+إبسلونهزبوت هيك؟ طيب الـ Y بسوي L over 2 خلّينا
+
+150
+00:16:57,240 --> 00:17:02,560
+نشيل ال absolute value فبصير اندي Xn over Yn minus
+
+151
+00:17:02,560 --> 00:17:10,960
+L less than L two bigger than negative L ع اتنين و
+
+152
+00:17:10,960 --> 00:17:16,900
+هذا صحيح لكل N bigger than or equal N اجمع L على
+
+153
+00:17:16,900 --> 00:17:24,960
+كل الأطرافإن أنا بطلع عندي xn over yn less than
+
+154
+00:17:24,960 --> 00:17:31,920
+three over two L bigger than L over two and this
+
+155
+00:17:31,920 --> 00:17:36,620
+is true for every n bigger than or equal n نسمي
+
+156
+00:17:36,620 --> 00:17:46,680
+المتباينة هذه double star now
+
+157
+00:17:52,640 --> 00:18:02,400
+by double star انا عندي xn على yn اصغر من تلاتة ع
+
+158
+00:18:02,400 --> 00:18:09,020
+اتنين ال اللي هو الجزء هذا وهذا صحيح لكل n bigger
+
+159
+00:18:09,020 --> 00:18:15,820
+than or equal to n بيقدي انه xn
+
+160
+00:18:24,520 --> 00:18:34,680
+في اتنين على التلاتة L less than Y N وهذا صحيح لكل
+
+161
+00:18:34,680 --> 00:18:45,260
+N bigger than or equal N تصبوت هيك صح؟ هذه
+
+162
+00:18:45,260 --> 00:18:49,720
+المتباينة بتقدر هذه هي نفس هذه
+
+163
+00:18:53,610 --> 00:19:05,290
+so as limit احنا فرض .. now now
+
+164
+00:19:05,290 --> 00:19:10,690
+او .. او so if
+
+165
+00:19:12,930 --> 00:19:19,250
+limit xn بساوي infinity إذا كان limit xn بساوي
+
+166
+00:19:19,250 --> 00:19:23,490
+infinity و هذا ثابت موجب this is positive constant
+
+167
+00:19:23,490 --> 00:19:31,650
+ف limit كل هذا برضه بساوي plus infinity و
+
+168
+00:19:31,650 --> 00:19:39,450
+بالتالي by comparison test then by comparison by
+
+169
+00:19:39,450 --> 00:19:40,170
+comparison
+
+170
+00:19:42,940 --> 00:19:47,480
+by comparison test النظرية اللى فاتت مع الشرط
+
+171
+00:19:47,480 --> 00:19:51,640
+المخفف مع الشرط المخفف لأن فى النظرية اللى فاتت
+
+172
+00:19:51,640 --> 00:19:56,940
+كان عندي xn أصغر من أو يسوى yn لكل n بعدين قلنا أن
+
+173
+00:19:56,940 --> 00:20:01,200
+هذا الشرط لو خففناه لكل n أكبر من أو سوى عدد طبيعى
+
+174
+00:20:01,200 --> 00:20:06,440
+ما وليكن capital N هنا برضه بتظل صحيحةف by
+
+175
+00:20:06,440 --> 00:20:12,620
+comparison test and limit ال sequence هذه بساوي
+
+176
+00:20:12,620 --> 00:20:20,700
+infinity إذا limit الأكبر limit yn بساوي infinity
+
+177
+00:20:20,700 --> 00:20:31,220
+تمام؟ الآن بنثبت العكس نثبت الآن العكس طيب
+
+178
+00:20:31,220 --> 00:20:32,380
+conversely
+
+179
+00:20:40,740 --> 00:20:51,080
+Conversely Assume Assume المرهد أنه limit yn بساوي
+
+180
+00:20:51,080 --> 00:20:59,700
+infinity من double star من double star لو أخدت
+
+181
+00:20:59,700 --> 00:21:06,520
+النص .. النص هذا من المتباينة النص الآخرفعندي انا
+
+182
+00:21:06,520 --> 00:21:13,120
+L على 2 أصغر من XN على YN هذا صحيح for every N
+
+183
+00:21:13,120 --> 00:21:22,120
+أكبر من أو ساوية capital N طيب هذا بيقدي ان ال L
+
+184
+00:21:22,120 --> 00:21:29,400
+over 2 في YN أصغر من XN لكل N bigger than or equal
+
+185
+00:21:29,400 --> 00:21:33,380
+to capital N طيب
+
+186
+00:21:33,380 --> 00:21:34,900
+since
+
+187
+00:21:37,140 --> 00:21:44,200
+limit yn بساوي infinity بيقدي انه limit ثابت موجب
+
+188
+00:21:44,200 --> 00:21:51,060
+في yn لأن هذا بيقدي انه limit ثابت الا اتنين في yn
+
+189
+00:21:51,060 --> 00:21:57,760
+بساوي infinity so by comparison
+
+190
+00:21:57,760 --> 00:22:01,700
+by comparison test
+
+191
+00:22:07,170 --> 00:22:11,210
+أنا عندي limit ال sequence لصغيرة infinity، إذا
+
+192
+00:22:11,210 --> 00:22:15,550
+limit ال sequence الأكبر بطلع infinity، إذا limit
+
+193
+00:22:15,550 --> 00:22:28,070
+xn equals infinity وهذا بكمل البرهان، okay؟
+
+194
+00:22:28,070 --> 00:22:32,390
+تمام؟ إذا هذا بكمل ال limit comparison .. برهان ال
+
+195
+00:22:32,390 --> 00:22:36,780
+limit comparison testطبعا ال test هذا و ال test
+
+196
+00:22:36,780 --> 00:22:40,100
+اللي جابله ال comparison test في عليهم هتجدوا فيه
+
+197
+00:22:40,100 --> 00:22:44,160
+بعض التمرين ممكن
+
+198
+00:22:44,160 --> 00:22:47,660
+تطبيقهم على بعض ال sequences موجودة في التمرين
+
+199
+00:22:47,660 --> 00:22:53,560
+فهنسيبكم طبعا تحلوا التمرين عشان تشوفوا كيف ممكن
+
+200
+00:22:53,560 --> 00:22:54,280
+تطبيقهم
+
+201
+00:22:58,500 --> 00:23:05,220
+باقي section واحد في ال chapter تلاتة
+
+202
+00:23:32,720 --> 00:23:37,660
+السيكشن الأخير سيكشن
+
+203
+00:23:37,660 --> 00:23:43,820
+تلاتة سبعة في شبكر 3 هذا هيكون أبراعا مقدمة
+
+204
+00:23:43,820 --> 00:23:47,860
+introduction to
+
+205
+00:23:47,860 --> 00:23:52,920
+infinite series
+
+206
+00:23:57,560 --> 00:24:02,380
+introduction to infinite series مقدمة في
+
+207
+00:24:02,380 --> 00:24:06,940
+المتسلسلات اللانهائية
+
+208
+00:24:06,940 --> 00:24:19,460
+نعرف شو معناه متسلسلة لانهائية let xn
+
+209
+00:24:19,460 --> 00:24:27,330
+contained in R be a sequencesequence of real
+
+210
+00:24:27,330 --> 00:24:43,210
+numbers sum
+
+211
+00:24:43,210 --> 00:24:47,010
+x1
+
+212
+00:24:47,010 --> 00:24:56,200
+plus x2 plus ..x3 plus و هكذا plus xn plus و هكذا
+
+213
+00:24:56,200 --> 00:25:03,400
+و ممكن نكتبه بالصورة using sigma notation نستخدم
+
+214
+00:25:03,400 --> 00:25:09,920
+رمز sigma ممكن هذا نسميه summation from n equals
+
+215
+00:25:09,920 --> 00:25:17,280
+one to infinity إلى xn فالصن
+
+216
+00:25:17,280 --> 00:25:25,190
+المجموع هذاهذا expanded هذا compact form of
+
+217
+00:25:25,190 --> 00:25:39,010
+summation is called an infinite series generated
+
+218
+00:25:39,010 --> 00:25:42,970
+by
+
+219
+00:25:46,320 --> 00:25:54,100
+متولدة من .. by الـ sequence x in إذن
+
+220
+00:25:54,100 --> 00:26:00,280
+infinite series generated by الـ sequence x in إذا
+
+221
+00:26:00,280 --> 00:26:04,680
+هذه عبارة عن infinite series بتسميها متولدة من الـ
+
+222
+00:26:04,680 --> 00:26:09,340
+sequence x in طيب for every
+
+223
+00:26:12,430 --> 00:26:23,290
+for each n belong to N define خلّيني أعرف S1 على
+
+224
+00:26:23,290 --> 00:26:37,950
+أنه X1 S2 على أنه S1 زاد X2 بساوي X1 زاد X2 S3
+
+225
+00:26:37,950 --> 00:26:50,000
+بساوي S2 زاد X3Y ساوي X1 زايد X2 زايد X3 and
+
+226
+00:26:50,000 --> 00:26:58,380
+so on و هكذا نعرف SN على انه SN negative one زايد
+
+227
+00:26:58,380 --> 00:27:07,060
+XN و طبعا ال SN negative one هيكون عبارة عن
+
+228
+00:27:07,060 --> 00:27:07,700
+summation
+
+229
+00:27:10,600 --> 00:27:19,140
+x1 زائد x2 زائد و هكذا إلى أخر حد xn-1 هذا عبارة
+
+230
+00:27:19,140 --> 00:27:25,620
+عن ايه هذا عبارة عن s in negative one بنضيف لها xn
+
+231
+00:27:25,620 --> 00:27:34,340
+فهذا بيطلع بيساوي summation من k equals one to n
+
+232
+00:27:38,080 --> 00:27:43,700
+to for xk اذا
+
+233
+00:27:43,700 --> 00:27:49,840
+sn هو مجموع الحدود من اول حد الى حد رقم n وهكذا
+
+234
+00:27:49,840 --> 00:27:55,960
+ممكن نستمر الى ملا نهاية and so on الان انا كوّنت
+
+235
+00:27:55,960 --> 00:28:00,360
+sequence لاحظوا s1, s2, s3, sn هذا عبارة عن
+
+236
+00:28:00,360 --> 00:28:06,970
+sequence ال sequence الجديدة هذه لها اسمو sequence
+
+237
+00:28:06,970 --> 00:28:12,210
+مهمة of partial sums مظبوط قعدت نسميها اذا طرست
+
+238
+00:28:12,210 --> 00:28:18,790
+تفاضل الف وفهمته الموضوع هذا هناك الموضوع ال
+
+239
+00:28:18,790 --> 00:28:23,110
+series قعدت نسميها the sequence of partial sums
+
+240
+00:28:23,110 --> 00:28:29,210
+اذا the sequence
+
+241
+00:28:30,940 --> 00:28:37,980
+SN from N equals one to infinity is called بنسميها
+
+242
+00:28:37,980 --> 00:28:51,180
+the sequence the sequence of partial sums
+
+243
+00:28:51,180 --> 00:29:03,040
+sequence of partial sums of the seriesاللي هي
+
+244
+00:29:03,040 --> 00:29:11,080
+sigma xn او sigma من n بساعة واحد لانفينيتي okay
+
+245
+00:29:11,080 --> 00:29:18,660
+الان now if
+
+246
+00:29:18,660 --> 00:29:29,280
+ال sequence sn converges say
+
+247
+00:29:31,110 --> 00:29:42,090
+limit sn بالساوي عدد s ينتمي إلى r طبعا then
+
+248
+00:29:42,090 --> 00:29:51,390
+we say في الحالة هذه بنقول أنه the series اللي
+
+249
+00:29:51,390 --> 00:29:58,630
+هي summation xn from n equals one to infinity
+
+250
+00:29:58,630 --> 00:30:00,270
+converges
+
+251
+00:30:09,070 --> 00:30:18,290
+and its sum is summation from n equals one to
+
+252
+00:30:18,290 --> 00:30:23,530
+infinity ل x in ال summation تبعها أو المجموعة
+
+253
+00:30:23,530 --> 00:30:28,450
+تبعها عبارة عن limit لل sequence of partial sums
+
+254
+00:30:28,450 --> 00:30:32,730
+اللي هو العدد S
+
+255
+00:30:37,160 --> 00:30:43,180
+لو كانت الـ sequence divergent
+
+256
+00:30:43,180 --> 00:30:50,740
+if الـ sequence is in diverges we
+
+257
+00:30:50,740 --> 00:31:00,120
+say أنه الـ series sigma
+
+258
+00:31:00,120 --> 00:31:05,880
+x in diverges
+
+259
+00:31:09,090 --> 00:31:13,410
+إذا ال convergence و ال divergence depends on the
+
+260
+00:31:13,410 --> 00:31:18,630
+divergence أو convergence of the infinite series
+
+261
+00:31:18,630 --> 00:31:23,910
+depends on the convergence or divergence of the
+
+262
+00:31:23,910 --> 00:31:30,690
+sequence of partial sums مرتبط بيها ال sequence of
+
+263
+00:31:30,690 --> 00:31:34,350
+partial sums convergent السيريز اللي تابع إليها
+
+264
+00:31:34,350 --> 00:31:38,360
+convergentو العكس إذا كانت ال sequence of partial
+
+265
+00:31:38,360 --> 00:31:40,780
+sums divergent ال series ال infinite series
+
+266
+00:31:40,780 --> 00:31:51,840
+التابعة إلى divergent طيب
+
+267
+00:31:51,840 --> 00:31:58,180
+ناخد بعض الأمثلة طبعا
+
+268
+00:31:58,180 --> 00:32:01,720
+ال Sn هذا ال Sn
+
+269
+00:32:04,610 --> 00:32:15,810
+هذا بنسميه الانث partial sum الانث partial sum
+
+270
+00:32:15,810 --> 00:32:25,690
+انث partial sum المجموع الجزئي أنوني okay هو
+
+271
+00:32:25,690 --> 00:32:30,760
+الحد العام لل sequence و partial sumsأذا لما بدى
+
+272
+00:32:30,760 --> 00:32:34,760
+نخبر هل ال series convergent ولا divergent بجيب ال
+
+273
+00:32:34,760 --> 00:32:38,380
+sequence of partial sums وبجيب الحد العام لل
+
+274
+00:32:38,380 --> 00:32:41,780
+sequence of partial sums وبأفحص هل ال sequence هذي
+
+275
+00:32:41,780 --> 00:32:47,680
+convergent ولا divergent ناخد
+
+276
+00:32:47,680 --> 00:32:48,620
+بعض الأمثلة
+
+277
+00:33:02,760 --> 00:33:14,560
+المثال الأول consider
+
+278
+00:33:14,560 --> 00:33:17,780
+sequence
+
+279
+00:33:17,780 --> 00:33:25,480
+R to N from N equals 0 to infinity طبعا هذه
+
+280
+00:33:25,480 --> 00:33:33,650
+sequence of real numbersWhere R is a real number
+
+281
+00:33:33,650 --> 00:33:38,210
+which
+
+282
+00:33:38,210 --> 00:33:49,150
+generates الsequence هذه generates the geometric
+
+283
+00:33:49,150 --> 00:33:53,010
+.. the so-called geometric series .. geometric
+
+284
+00:33:53,010 --> 00:33:54,330
+series
+
+285
+00:33:57,050 --> 00:34:02,610
+اللي هي summation from n equals zero to infinity
+
+286
+00:34:02,610 --> 00:34:10,210
+from r to n okay اذا هي ال sequence هذه of real
+
+287
+00:34:10,210 --> 00:34:15,650
+numbers بتولد infinite series او generates this
+
+288
+00:34:15,650 --> 00:34:21,210
+infinite series اللي هي حدودها اول حد لما n بساوي
+
+289
+00:34:21,210 --> 00:34:33,620
+سفر واحد بعدين r بعدين r تربيهو R أس N و
+
+290
+00:34:33,620 --> 00:34:41,120
+هكذا ف such series is called geometric series هذه
+
+291
+00:34:41,120 --> 00:34:44,300
+ال series اللي على الصورة هذه بنسميها geometric
+
+292
+00:34:44,300 --> 00:34:49,820
+series الآن ال series هذه
+
+293
+00:34:58,170 --> 00:35:08,530
+this series واحد converges and
+
+294
+00:35:08,530 --> 00:35:15,910
+its sum اللي هو sigma from n equals zero to
+
+295
+00:35:15,910 --> 00:35:22,470
+infinity لRn بساوي واحد على واحد minus R إذا كان
+
+296
+00:35:22,470 --> 00:35:35,210
+absolute R أصغر من واحدand diverges and
+
+297
+00:35:35,210 --> 00:35:41,350
+اتنين diverges if
+
+298
+00:35:41,350 --> 00:35:48,830
+absolute are أكبر من أو يساوي واحد خلّينا
+
+299
+00:35:48,830 --> 00:35:50,050
+نثبت الجزء الأول
+
+300
+00:35:58,010 --> 00:36:04,110
+to prove one أنا
+
+301
+00:36:04,110 --> 00:36:12,410
+عندي ال S N بساوي سيجما
+
+302
+00:36:12,410 --> 00:36:21,050
+من K بساوي سفر إلى N ل R أس K اللي هو واحد زائد R
+
+303
+00:36:21,050 --> 00:36:34,640
+زائد R تلبية زائدR Sn وفي عندي .. في عندي ..
+
+304
+00:36:34,640 --> 00:36:37,780
+لو
+
+305
+00:36:37,780 --> 00:36:48,440
+ضربت Sn في Rفادرب الطرف اليمين في R فبطلع R زاد R
+
+306
+00:36:48,440 --> 00:36:56,380
+تربيه زاد و هكذا زاد R أس N و آخر حد هيكون R أس N
+
+307
+00:36:56,380 --> 00:37:00,940
+زاد 1 تمام؟ الآن خلّينا نطرح ال subtract
+
+308
+00:37:05,370 --> 00:37:10,850
+subtract نطرح المعادلة لتحت من اللي فوق فبطلع عندي
+
+309
+00:37:10,850 --> 00:37:18,590
+sn في واحد minus r أخدت عامل مشترك sn ولمّا أطرح
+
+310
+00:37:18,590 --> 00:37:23,330
+هذا بروح مع هذا كل الهدوء بتروح مع بعضها بظل عندي
+
+311
+00:37:23,330 --> 00:37:33,130
+واحد سالب r to n زاد واحد تمام ومن هنا اذا sn
+
+312
+00:37:36,050 --> 00:37:44,310
+بساوي واحد على واحد سالب R سالب R to N زايد واحد
+
+313
+00:37:44,310 --> 00:37:52,990
+على واحد سالب R ممكن
+
+314
+00:37:52,990 --> 00:37:59,070
+هذا نوديه على ناحية التانية فبصير عندى هذا سالب
+
+315
+00:37:59,070 --> 00:38:01,350
+هذا بساوي
+
+316
+00:38:03,070 --> 00:38:08,930
+سالب R to N زياد واحد على واحد سالب R الآن إذا
+
+317
+00:38:08,930 --> 00:38:13,590
+ناخد ال absolute value للطرفين Sn سالب واحد على
+
+318
+00:38:13,590 --> 00:38:21,030
+واحد سالب R بيطلع بيساوي الكلام هذا وهذا أصغر من
+
+319
+00:38:21,030 --> 00:38:27,830
+أو ساوي absolute R أسن زياد واحد على absolute واحد
+
+320
+00:38:27,830 --> 00:38:30,870
+minus R تمام؟
+
+321
+00:38:34,940 --> 00:38:41,200
+أذا عندي أنا هاي واحد على absolute واحد سالب R ضرب
+
+322
+00:38:41,200 --> 00:38:51,360
+absolute R أسن زائد واحد الان if absolute R أصغر
+
+323
+00:38:51,360 --> 00:39:00,870
+من واحدفهذا بيؤدي ان ال limit ل absolute R to N زي
+
+324
+00:39:00,870 --> 00:39:05,790
+1 لما N تقول ل infinity هذا بيساوي سفر أخدناها قبل
+
+325
+00:39:05,790 --> 00:39:10,430
+هيك وبالتالي
+
+326
+00:39:10,430 --> 00:39:14,950
+اذا ال ..
+
+327
+00:39:14,950 --> 00:39:18,290
+اذا انا عند ال absolute value هذه أكبر من أو ساوي
+
+328
+00:39:18,290 --> 00:39:24,270
+سفر و أصغر من أو ساوي ثابت موجب في sequenceالـ
+
+329
+00:39:24,270 --> 00:39:28,610
+sequence هذه تقول لـ 0 وهذه الـ sequence ثابتة
+
+330
+00:39:28,610 --> 00:39:32,330
+تقول لـ 0 اذا by sandwich theorem
+
+331
+00:39:40,720 --> 00:39:47,760
+بتطلع عند ال limit ل absolute sn minus 1 على 1
+
+332
+00:39:47,760 --> 00:39:52,820
+minus r لما n تقول ل infinity بساوي سفر و ممكن
+
+333
+00:39:52,820 --> 00:39:58,600
+ندخل ال limit جوا فهذا بقدر انه limit 1 على sn
+
+334
+00:39:58,600 --> 00:40:05,040
+عفوا limit sn لما n تقول ل infinity بساوي 1 على 1
+
+335
+00:40:05,040 --> 00:40:11,560
+سالب rوبالتالي إذا الـ series sigma from N equal 0
+
+336
+00:40:11,560 --> 00:40:17,240
+to infinity لR to N المجموعة تبعها تطلع convergent
+
+337
+00:40:17,240 --> 00:40:23,180
+ومجموعة بساوي limit SN وهذا بساوي 1 على 1 minus R
+
+338
+00:40:24,110 --> 00:40:28,950
+إذن هذا بثبت الجزء الأول الجزء التاني ممكن اثباته
+
+339
+00:40:28,950 --> 00:40:34,190
+لو R بساوي واحد فبطل عندي بجمع واحد على واحد عدد
+
+340
+00:40:34,190 --> 00:40:37,730
+لا نهائي من المرات وبالتالي ال sequence of partial
+
+341
+00:40:37,730 --> 00:40:40,170
+sums ممكن اثبات أنها unbounded وبالتالي not
+
+342
+00:40:40,170 --> 00:40:44,330
+convergent إذن ال series not convergent نفس الحاجة
+
+343
+00:40:44,330 --> 00:40:47,210
+لو كان absolute R أكبر من واحد فممكن اثبات أن ال
+
+344
+00:40:47,210 --> 00:40:50,550
+sequence of partial sums is divergent وبالتالي ال
+
+345
+00:40:50,550 --> 00:40:57,170
+series is divergentتمام؟ في أي سؤال؟ إذا بنوقف هنا
+
+346
+00:40:57,170 --> 00:41:02,830
+و بنكمل ان شاء الله الموضوع اللي جاي في المحاضرة
+
+347
+00:41:02,830 --> 00:41:04,630
+القادمة يوم السبت
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/XjWoXKhuE-o.srt

@@ -0,0 +1,1767 @@
+1
+00:00:21,090 --> 00:00:26,570
+إذن في المحاضرة هذه إن شاء الله هنحل بعض التمارين
+
+2
+00:00:26,570 --> 00:00:35,250
+للـ homework اللي تابع لـ section ثلاثة واحد وثلاثة 
+
+3
+00:00:35,250 --> 00:00:44,390
+اثنين فأزملتكم سألوا عن ال .. نحن نحل السؤال 13
+
+4
+00:00:44,390 --> 00:00:46,030
+section ثلاثة واحد
+
+5
+00:00:49,430 --> 00:01:15,310
+نكتب السؤال على اللوحة section
+
+6
+00:01:15,310 --> 00:01:25,990
+السؤال 13 section ثلاثة واحد أنا 
+
+7
+00:01:25,990 --> 00:01:31,150
+عندي b is real number أكبر من صفر أصغر من واحد
+
+8
+00:01:31,150 --> 00:01:36,010
+وبينا 
+
+9
+00:01:36,010 --> 00:01:40,990
+نثبت show أن الـ limit
+
+10
+00:01:44,880 --> 00:01:53,020
+للـ sequence اللي الحد العام تبعها n في b to n لما 
+
+11
+00:01:53,020 --> 00:02:03,560
+n تؤول إلى infinity يساوي صفر والكتاب جايب لكم
+
+12
+00:02:03,560 --> 00:02:08,840
+use الـ binomial theorem كما في مثال 3-1-11 الجزء
+
+13
+00:02:08,840 --> 00:02:16,010
+develop حاولتم تستخدموا نفس أسلوب البرهان تبع
+
+14
+00:02:16,010 --> 00:02:20,350
+المثال اللي استخدمنا فيه الـ binomial theorem
+
+15
+00:02:20,350 --> 00:02:28,550
+فهتصلوا للنتيجة فهي البرهان نشوف
+
+16
+00:02:28,550 --> 00:02:32,170
+كيف نستخدم الـ binomial theorem في الوصول إلى 
+
+17
+00:02:32,170 --> 00:02:40,300
+المطلوب أنا عندي من الفرض صفر أصغر من b أصغر من
+
+18
+00:02:40,300 --> 00:02:48,300
+واحد هذا يؤدي أن واحد على b أكبر من واحد
+
+19
+00:02:48,300 --> 00:02:55,500
+وبالتالي هذا يؤدي أن واحد على b سالب واحد أكبر
+
+20
+00:02:55,500 --> 00:03:08,230
+من صفر إذا نأخذ let let a خليني أعرف عدد a على أنه 
+
+21
+00:03:08,230 --> 00:03:13,850
+العدد الموجب واحد على b سالب واحد طبعا هذا عدد
+
+22
+00:03:13,850 --> 00:03:20,110
+موجب حسب ما شفنا وهذا
+
+23
+00:03:20,110 --> 00:03:28,210
+يؤدي أن العدد لو حليت المعادلة هذه في b فهيطلع
+
+24
+00:03:28,210 --> 00:03:38,250
+b يساوي واحد على واحد زائد الـ a وبالتالي 
+
+25
+00:03:38,250 --> 00:03:49,150
+so by الـ binomial باستخدام
+
+26
+00:03:49,150 --> 00:03:59,120
+الـ binomial theorem أنا عندي واحد زائد a الكل أس n
+
+27
+00:03:59,120 --> 00:04:09,300
+يساوي واحد زائد n في a زائد نصف n في n سالب واحد
+
+28
+00:04:09,300 --> 00:04:17,800
+في a تربيع زائد وهكذا تمام
+
+29
+00:04:17,800 --> 00:04:24,890
+إلى آخر حد طبعا هيكون a to n هذا بالضبط زي ما عملنا 
+
+30
+00:04:24,890 --> 00:04:31,950
+في مثال ثلاثة وبالتالي
+
+31
+00:04:31,950 --> 00:04:42,090
+هذا يؤدي من هنا هذا
+
+32
+00:04:42,090 --> 00:04:51,620
+المجموعة بيطلع أكبر من أو يساوي نصف n في n سالب
+
+33
+00:04:51,620 --> 00:05:00,000
+واحد في a تربيع يعني أنا أخذت بس الحد الثالث من
+
+34
+00:05:00,000 --> 00:05:05,120
+المجموعة دي المجموعة طبعا مجموعة أعداد موجبة كلها 
+
+35
+00:05:05,120 --> 00:05:10,180
+فالمجموعة دي بالتأكيد أكبر من أو يساوي الحد الثالث
+
+36
+00:05:10,180 --> 00:05:14,740
+في a تربيع هذا صحيح مافيش مشكلة تمام
+
+37
+00:05:17,950 --> 00:05:33,450
+وبالتالي إذا n في b أس n إيش بيساوي؟ بيساوي n على
+
+38
+00:05:33,450 --> 00:05:43,480
+واحد زائد a الكل أس n صح؟ هذه b فـ b أس n يساوي واحد
+
+39
+00:05:43,480 --> 00:05:50,900
+على واحد زائد a to n وأضرب في n فبيصير هيك طيب
+
+40
+00:05:50,900 --> 00:05:58,560
+من هنا مقلوب واحد زائد a الكل أس n هيطلع أصغر من أو
+
+41
+00:05:58,560 --> 00:06:09,580
+يساوي مقلوب العدد هذا إذا هذا أصغر من أو يساوي n
+
+42
+00:06:14,820 --> 00:06:20,480
+على n في 
+
+43
+00:06:20,480 --> 00:06:28,380
+n سالب واحد في .. في n سالب واحد في a تربيع على
+
+44
+00:06:28,380 --> 00:06:38,980
+اثنين وفي عندنا كمان n العكس
+
+45
+00:06:38,980 --> 00:06:39,600
+العكس
+
+46
+00:06:46,180 --> 00:06:55,020
+هي عندي n ومقلوب هذا بيطلع اثنين n في n سالب واحد
+
+47
+00:06:55,020 --> 00:07:01,760
+في a تربيع تمام؟ إذا هذا إيجى من هنا الآن بختصر الـ
+
+48
+00:07:01,760 --> 00:07:12,620
+n مع الـ n فهدا بيطلع اثنين على n سالب واحد في a
+
+49
+00:07:12,620 --> 00:07:14,040
+تربيع تمام؟
+
+50
+00:07:16,500 --> 00:07:23,140
+الآن هذا الكلام صحيح لكل n أكبر من واحد طبعا ممنوع
+
+51
+00:07:23,140 --> 00:07:27,100
+نأخذ n يساوي واحد لأن في الحالة هذه بيصير في قسمة
+
+52
+00:07:27,100 --> 00:07:31,780
+على صفر لأن لكل الأعداد الطبيعية n أكبر من واحد n
+
+53
+00:07:31,780 --> 00:07:36,980
+في b to n بيطلع أصغر من أو يساوي اثنين على n سالب
+
+54
+00:07:36,980 --> 00:07:44,420
+واحد في a تربيع الآن تعالوا نثبت أن الـ limit للـ
+
+55
+00:07:44,420 --> 00:07:46,240
+sequence هذه يساوي صفر
+
+56
+00:07:50,790 --> 00:07:57,390
+هنستخدم تعريف epsilon capital N لـ limit إذن let 
+
+57
+00:07:57,390 --> 00:08:02,090
+epsilon let 
+
+58
+00:08:02,090 --> 00:08:12,830
+epsilon أكبر من صفر be given
+
+59
+00:08:12,830 --> 00:08:19,210
+Archimedean property by Archimedean property حسب
+
+60
+00:08:19,210 --> 00:08:25,750
+خاصية أرخميدس يوجد نقدر نلاقي عدد طبيعي capital
+
+61
+00:08:25,750 --> 00:08:34,530
+N ينتمي إلى N يعتمد طبعا على إبسلون بحيث أن مقلوب 
+
+62
+00:08:34,530 --> 00:08:41,590
+capital N أصغر من a تربيع في إبسلون على اثنين
+
+63
+00:08:49,130 --> 00:08:54,230
+الـ a تربيع عدد موجب إبسلون على اثنين عدد موجب إذا هذا 
+
+64
+00:08:54,230 --> 00:09:00,830
+عدد موجب الـ Archimedean property بتقول لأي عدد 
+
+65
+00:09:00,830 --> 00:09:05,450
+موجب زي هذا بقدر ألاقي عدد طبيعي capital N مقلوبه
+
+66
+00:09:05,450 --> 00:09:09,250
+وأصغر من العدد الموجب وبالتالي capital N هذا زي ما
+
+67
+00:09:09,250 --> 00:09:13,510
+أنتم شايفين مرتبط بإبسلون بالمتباينة هذه وبالتالي 
+
+68
+00:09:13,510 --> 00:09:18,970
+capital N هذا depends أو يعتمد على إبسلون okay إذا
+
+69
+00:09:18,970 --> 00:09:22,510
+هذا من الـ Archimedean Property طب ليش أنا اخترت
+
+70
+00:09:22,510 --> 00:09:29,930
+هذا العدد عشان نخلي المسافة بين xn و 0 أصغر من إبسلون
+
+71
+00:09:29,930 --> 00:09:38,290
+فركبناها أو ركبناها عشان نصل لإيه الهدف هذا تعالوا 
+
+72
+00:09:38,290 --> 00:09:46,950
+نشوف إذا hence وبالتالي hence بناء على ذلك لو أخذت 
+
+73
+00:09:46,950 --> 00:09:57,950
+n أكبر من capital N هذا يؤدي أن n سالب واحد أكبر
+
+74
+00:09:57,950 --> 00:10:08,270
+من أو يساوي capital N وهذا يؤدي أن absolute n في b
+
+75
+00:10:08,270 --> 00:10:16,690
+to n سالب صفر إيش هذا بيساوي؟ بيساوي n في b to n لأن
+
+76
+00:10:16,690 --> 00:10:26,710
+هذا عدد موجب ومن هنا من هنا n في b to n أصغر من أو
+
+77
+00:10:26,710 --> 00:10:33,690
+يساوي اثنين على n
+
+78
+00:10:33,690 --> 00:10:40,750
+سالب واحد في a تربيع وهذا 
+
+79
+00:10:40,750 --> 00:10:42,390
+أصغر من أو يساوي
+
+80
+00:10:50,580 --> 00:11:00,000
+هذا أصغر من أو يساوي واحد على capital N في اثنين
+
+81
+00:11:00,000 --> 00:11:11,660
+على a تربيع يعني
+
+82
+00:11:11,660 --> 00:11:19,140
+أنا من هنا من واحد على n سالب واحد مقلوب n سالب
+
+83
+00:11:19,140 --> 00:11:27,000
+واحد هيطلع أعظم أو يساوي مقلوب capital N وهذا
+
+84
+00:11:27,000 --> 00:11:33,400
+عبارة عن واحد على n سالب واحد اثنين على a تربيع
+
+85
+00:11:36,970 --> 00:11:42,010
+فمقلوب n سالب واحد أصغر من أو يساوي مقلوب capital N
+
+86
+00:11:42,010 --> 00:11:51,630
+في اثنين على a تربيع تمام؟ شفتم من أين أتيت؟
+
+87
+00:11:51,630 --> 00:11:58,690
+طيب أنا من هنا من هنا واحد مقلوب capital N أصغر من
+
+88
+00:11:58,690 --> 00:12:09,470
+a تربيع في إبسلون على اثنين ضربت اثنين على a تربيع
+
+89
+00:12:09,470 --> 00:12:13,630
+إذا شوفتم ليه أخذت n هنا a تربيع في إبسلون على 
+
+90
+00:12:13,630 --> 00:12:19,210
+اثنين عشان أختصر a تربيع مع a تربيع واثنين مع
+
+91
+00:12:19,210 --> 00:12:26,870
+اثنين ويبقى إبسلون إذا
+
+92
+00:12:26,870 --> 00:12:35,170
+ماذا أثبتنا؟ أثبتنا أن لأي given إبسلون عدد موجب
+
+93
+00:12:35,980 --> 00:12:42,520
+يوجد capital N تعتمد على epsilon بحيث لكل n أكبر
+
+94
+00:12:42,520 --> 00:12:48,260
+من capital N طلع عندي المسافة بين الحد العام للـ
+
+95
+00:12:48,260 --> 00:12:51,900
+sequence اللي هو n في b to n والـ limit المنشودة اللي 
+
+96
+00:12:51,900 --> 00:12:57,860
+هي صفر المسافة بينهم طلعت أصغر من epsilon إذا حسب 
+
+97
+00:12:57,860 --> 00:13:03,100
+تعريف epsilon capital N للـ limit هذا معناه أن الـ
+
+98
+00:13:03,100 --> 00:13:06,720
+limit بما أن هذا صحيح لأي epsilon، epsilon was
+
+99
+00:13:06,720 --> 00:13:11,540
+arbitrary إذاً هيك ممكن أثبتنا إن limit n في b to
+
+100
+00:13:11,540 --> 00:13:16,760
+n as n tends to infinity يساوي صفر وهو المطلوب
+
+101
+00:13:16,760 --> 00:13:22,640
+okay تمام؟ إذاً
+
+102
+00:13:22,640 --> 00:13:27,950
+هنا استخدمنا الـ binomial theorem ساعدتني في الوصول
+
+103
+00:13:27,950 --> 00:13:33,590
+للمتباينة هذه والوصول للمتباينة هذه اللي احنا 
+
+104
+00:13:33,590 --> 00:13:42,730
+استخدمناها في البرهان سهلة البرهان تمام بفهم 
+
+105
+00:13:42,730 --> 00:13:45,970
+الخطوة هذه أقول أن الـ limit يعني آخذ الـ limit 
+
+106
+00:13:45,970 --> 00:13:49,750
+للتربيع أقول أن واحد على n ناقص الواحد ماهي close
+
+107
+00:13:49,750 --> 00:13:55,840
+to zero إذا الـ limit المقدار من أين المتباينة؟ هذه؟
+
+108
+00:13:55,840 --> 00:14:02,160
+بنفع آه بنفع يعني أنت عندك هنا ممكن واحد يستخدم الـ
+
+109
+00:14:02,160 --> 00:14:08,980
+sandwich أو الـ squeeze theorem فبدل ما نستخدم
+
+110
+00:14:08,980 --> 00:14:15,680
+تعريف epsilon capital N نيجي نقول أن الآن أنا 
+
+111
+00:14:15,680 --> 00:14:25,150
+عندي هذه n في b to n طلعت أصغر من أو يساوي اثنين على
+
+112
+00:14:25,150 --> 00:14:31,450
+n سالب واحد في a تربيع وطبعا بالتأكيد هذا أكبر من 
+
+113
+00:14:31,450 --> 00:14:35,390
+أو يساوي صفر لأن الـ n عدد موجب والـ b to n عدد موجب
+
+114
+00:14:35,390 --> 00:14:43,530
+وهذا صحيح لكل n أكبر من واحد الآن هذا عبارة عن 
+
+115
+00:14:43,530 --> 00:14:47,410
+sequence هي الحد العام تبعها لما n تؤول إلى infinity
+
+116
+00:14:47,410 --> 00:14:52,230
+مقلوب n سالب واحد تؤول إلى infinity وبالتالي مقلوبها 
+
+117
+00:14:52,230 --> 00:14:55,990
+تؤول إلى infinity في ثابت موجب اثنين على a تربيع
+
+118
+00:14:55,990 --> 00:15:01,570
+عفوا لما n تؤول إلى infinity المقام بيروح لـ infinity
+
+119
+00:15:01,570 --> 00:15:07,110
+وبالتالي مقلوبه وبيروح لـ صفر تمام؟
+
+120
+00:15:16,990 --> 00:15:22,190
+إذن هذه الـ sequence تؤول إلى 0 نهايتها 0 وهذه الـ
+
+121
+00:15:22,190 --> 00:15:26,970
+constant sequence 0 نهايتها 0 إذن by squeeze 
+
+122
+00:15:26,970 --> 00:15:30,410
+theorem limit الـ sequence هذه يساوي 0 وبلاش 
+
+123
+00:15:30,410 --> 00:15:35,350
+نستخدم تعريف epsilon capital N لكن هذا السؤال في 
+
+124
+00:15:35,350 --> 00:15:39,750
+section 3-1 ما كناش واخدين الـ squeeze theorem فلازم
+
+125
+00:15:39,750 --> 00:15:43,770
+نحلها على طريقة باستخدام الـ definition لكن لو 
+
+126
+00:15:43,770 --> 00:15:48,910
+في الامتحان وممكن ما تفرقش أنت متعلم الـ definition 
+
+127
+00:15:48,910 --> 00:15:52,630
+ومتلم الـ squeeze theorem واستخدم أي طريقة 
+
+128
+00:15:52,630 --> 00:15:58,330
+تعجبك okay تمام في
+
+129
+00:15:58,330 --> 00:16:01,010
+أسئلة ثانية في حد عنده أي سؤال ثاني في section 
+
+130
+00:16:01,010 --> 00:16:07,890
+ثلاثة واحد وثلاثة اثنين تفضلي في أي section ثلاثة
+
+131
+00:16:07,890 --> 00:16:10,510
+واحد طيب ماشي الحال
+
+132
+00:16:50,410 --> 00:17:09,310
+السؤال عشرة section ثلاثة واحد السؤال هذا بيقول if
+
+133
+00:17:09,310 --> 00:17:20,060
+limit sequence xn يساوي x والـ x هذا أكبر من
+
+134
+00:17:20,060 --> 00:17:24,880
+الصفر then
+
+135
+00:17:24,880 --> 00:17:29,340
+then
+
+136
+00:17:29,340 --> 00:17:36,780
+there exist يوجد capital N عدد طبيعي أو capital M
+
+137
+00:17:36,780 --> 00:17:48,170
+natural number عدد طبيعي such that xn أكبر من الصفر
+
+138
+00:17:48,170 --> 00:18:08,950
+لكل n أكبر من أو يساوي m لت
+
+139
+00:18:08,950 --> 00:18:13,250
+y أكبر من الصفر be given
+
+140
+00:18:17,620 --> 00:18:23,600
+خذ أي إبسلون أكبر من الصفر إذن 
+
+141
+00:18:23,600 --> 00:18:30,900
+إبسيلون على اتنين برضه بيطلع عدد موجب طيب
+
+142
+00:18:30,900 --> 00:18:38,880
+احنا فرضنا ان limit xn بيساوي x إذن since xn 
+
+143
+00:18:38,880 --> 00:18:44,960
+converges to x وهي إبسيلون على اتنين عدد أكبر من 
+
+144
+00:18:44,960 --> 00:18:54,480
+الصفر إذا يوجد M عدد طبيعي يعتمد على 
+
+145
+00:18:54,480 --> 00:18:58,840
+إبسيلون عدد
+
+146
+00:18:58,840 --> 00:19:05,140
+طبيعي بحيث أنه لكل N أكبر من أو يساوي M
+
+147
+00:19:05,140 --> 00:19:33,800
+تطلع المسافة من xn إلى x أصغر من إبسيلون على اتنين طيب
+
+148
+00:19:33,800 --> 00:19:34,980
+أنا ال epsilon هذا
+
+149
+00:19:37,520 --> 00:19:44,200
+ممكن آخده أنا عندي من الفرض x أكبر من 0 فممكن آخد
+
+150
+00:19:44,200 --> 00:19:49,640
+ال epsilon هذا بيساوي x بيساوي
+
+151
+00:19:49,640 --> 00:19:56,480
+x أنا
+
+152
+00:19:56,480 --> 00:20:04,400
+ممكن آخد ال epsilon بيساوي x أو حتى x على 2 أو x على 2
+
+153
+00:20:04,400 --> 00:20:10,380
+هذا بالتأكيد الإبسيلون هذا هو عدد موجب اعتبره هو 
+
+154
+00:20:10,380 --> 00:20:15,660
+given وبالتالي
+
+155
+00:20:15,660 --> 00:20:20,580
+أنا أخذت الآن إبسيلون = x عدد موجب إذا x على اتنين عدد
+
+156
+00:20:20,580 --> 00:20:26,270
+موجب وأخذت إبسيلون عبارة عن x على اتنين فاعتبر هذا given
+
+157
+00:20:26,270 --> 00:20:31,070
+إبسيلون إبسيلون معطى مُسبقا فحسب التعريف بما أن x
+
+158
+00:20:31,070 --> 00:20:34,390
+in converges to x إذا يوجد عدد طبيعي يعتمد على
+
+159
+00:20:34,390 --> 00:20:38,710
+إبسيلون بحيث لكل n أكبر من أو يساوي M
+
+160
+00:20:38,710 --> 00:20:45,730
+المسافة هذه أصغر من إبسيلون الآن عوض عن إبسيلون
+
+161
+00:20:45,730 --> 00:20:54,490
+بيساوى x على 2 فهذا يؤدي الآن فك ال absolute value
+
+162
+00:20:54,490 --> 00:21:03,070
+فبيطلع عندي xn - x أصغر من x على 2 وأكبر من -x
+
+163
+00:21:03,070 --> 00:21:08,570
+على 2، مظبوط؟
+
+164
+00:21:08,570 --> 00:21:15,370
+طيب
+
+165
+00:21:15,370 --> 00:21:17,790
+لو أخذت هذا الجزء من المتباينة
+
+166
+00:21:20,790 --> 00:21:28,770
+فبيصير عندي xn أكبر من وادي x على الناحية التالية
+
+167
+00:21:28,770 --> 00:21:38,050
+أكبر من x - x على 2 وبالتالي
+
+168
+00:21:38,050 --> 00:21:46,710
+إذا أنا عندي هي xn أكبر من x على 2 وهذا أكبر من 
+
+169
+00:21:46,710 --> 00:21:57,210
+الصفر تمام؟ وهذا صحيح إذا طلع عندي xn أكبر من الصفر
+
+170
+00:21:57,210 --> 00:22:07,170
+وهذا صحيح لكل n أكبر من أو يساوي M وهو
+
+171
+00:22:07,170 --> 00:22:12,630
+المطلوب تمام إذا هنا استخدمنا تعريف epsilon M
+
+172
+00:22:12,630 --> 00:22:19,690
+وهنا استنتجنا إن لازم xn يطلع أكبر من الصفر لكل
+
+173
+00:22:19,690 --> 00:22:32,210
+n أكبر من أو يساوي M تمام واضح البرهان طيب
+
+174
+00:22:32,210 --> 00:22:34,110
+في أي أسئلة تانية؟
+
+175
+00:22:37,830 --> 00:22:48,330
+section ثلاثة اثنين مين
+
+176
+00:22:48,330 --> 00:22:54,390
+عنده سؤال أي سؤال في أي section ثلاثة اثنين ثلاثة
+
+177
+00:22:54,390 --> 00:23:03,070
+اثنين سبعة عشر
+
+178
+00:23:03,070 --> 00:23:05,150
+section ثلاثة اثنين
+
+179
+00:23:40,180 --> 00:23:44,200
+أنا في عندي هنا sequence of positive real numbers
+
+180
+00:23:44,200 --> 00:23:55,680
+إذا xn حدودها موجبة بقى لكل n such
+
+181
+00:23:55,680 --> 00:24:00,560
+that limit ل
+
+182
+00:24:00,560 --> 00:24:11,550
+xn زائد واحد على xn لما n تؤول إلى infinity بيساوي عددًا
+
+183
+00:24:11,550 --> 00:24:20,550
+أكبر من واحد والمقلوب show اثبت في الحالة هذه أن
+
+184
+00:24:20,550 --> 00:24:25,750
+ال sequence
+
+185
+00:24:25,750 --> 00:24:30,170
+xn is
+
+186
+00:24:30,170 --> 00:24:34,350
+unbounded is not bounded
+
+187
+00:24:38,480 --> 00:24:46,100
+and hence not
+
+188
+00:24:46,100 --> 00:24:53,460
+convergent لأن لو كانت convergent بتطلع bounded
+
+189
+00:25:13,370 --> 00:25:17,190
+يعني من الشرط هذا ممكن نثبت أن ال sequence
+
+190
+00:25:17,190 --> 00:25:21,290
+increasing متزايدة
+
+191
+00:26:05,950 --> 00:26:08,750
+أه ..
+
+192
+00:26:31,500 --> 00:26:38,240
+ممكن نعمل برهان بالـ ... بالتناقض نفترض
+
+193
+00:26:38,240 --> 00:26:48,640
+أنها bounded وممكن نصل لتناقض من تعريف الـ ... هنا
+
+194
+00:26:48,640 --> 00:26:56,680
+ال sequence هذه of quotient convergent لعدد L أكبر
+
+195
+00:26:56,680 --> 00:27:00,220
+من واحد ممكن باستخدامه
+
+196
+00:27:02,850 --> 00:27:14,250
+باستخدام تعريف ال convergence زائد أو
+
+197
+00:27:14,250 --> 00:27:18,390
+ممكن من الفرض هذا نثبت أنه ال sequence unbounded
+
+198
+00:27:18,390 --> 00:27:22,870
+أو ممكن بالتناقض إما باستخدام تعريف epsilon
+
+199
+00:27:22,870 --> 00:27:29,600
+N من ال convergence هذانعمل برهان بالتناقض
+
+200
+00:27:29,600 --> 00:27:35,560
+لنصل إلى حاجة يعني تتناقض مع الفرض اللي هنا على أي 
+
+201
+00:27:35,560 --> 00:27:40,540
+حال أنا هأسيب في حد يحل السؤال هذا طيب أنا هأسيبكم
+
+202
+00:27:40,540 --> 00:27:45,320
+تفكروا فيه وتقرؤوا برهان شوفوا برهان أنا في
+
+203
+00:27:45,320 --> 00:27:49,380
+البرهان النظرية هذه اللي كنت قلت لكم اقرؤوا
+
+204
+00:27:49,380 --> 00:27:54,650
+فحاولوا إنكم تستفيدوا من البرهان تبع النظرية اللي
+
+205
+00:27:54,650 --> 00:27:57,930
+كانت بتقول إن لو كانت ال limit هذه بيساوي L أصغر من
+
+206
+00:27:57,930 --> 00:28:03,370
+واحد فبتطلع ال sequence convergent للصفر فإقرأوا
+
+207
+00:28:03,370 --> 00:28:08,710
+البرهان تبع النظرية هذه وشوفوا كيف يعني النظرية
+
+208
+00:28:08,710 --> 00:28:12,750
+هذه أثبتت وشوفوا لو كان ال L أكبر من واحد كيف
+
+209
+00:28:12,750 --> 00:28:17,450
+بيطلع البرهان إيش اللي بيخلي البرهان هذا يبطل صحيح
+
+210
+00:28:18,870 --> 00:28:23,230
+أه فعيدوا قراءته وحاولكم تحلوه وإذا ما حلتوهوش
+
+211
+00:28:23,230 --> 00:28:27,290
+يعني المرة الجاية ممكن نحله مع بعض أه ماشي الحال
+
+212
+00:28:27,290 --> 00:28:30,470
+فإقرأوا
+
+213
+00:28:30,470 --> 00:28:35,150
+برهان النظرية اللي سيبنا قلنا لكم برهانها موجود
+
+214
+00:28:35,150 --> 00:28:38,030
+في الكتاب وبدي إنكم تقرأوا تفهموا هل قرأتوا 
+
+215
+00:28:38,030 --> 00:28:45,010
+البرهان؟ حاولوا تقرأوا إيه حاولوا تتعملوا إيه تشوفوا
+
+216
+00:28:45,010 --> 00:28:50,070
+وين في البرهان الـ L أكبر من واحد بتخلي البرهان
+
+217
+00:28:50,070 --> 00:28:55,050
+يبطل صح وين المشكلة وشوفوا 
+
+218
+00:28:55,050 --> 00:28:58,210
+إذا كانوا تقدروا تحلو ولا لأ إذا أنا هأسيبكم 
+
+219
+00:28:58,210 --> 00:29:02,610
+تفكروا فيه مرة تانية وتحاولوا تحلوه إذا ما عرفتووش
+
+220
+00:29:02,610 --> 00:29:09,110
+ممكن نحله مرة تانية أو في المرة القادمة نعم مين
+
+221
+00:29:09,110 --> 00:29:13,190
+اللي بتحكي هذه ما حدش لو سمحت تحكي إلا غير ترفع
+
+222
+00:29:13,190 --> 00:29:18,790
+يدها الأول وبعدين تكلم طيب إذا هذا السؤال 
+
+223
+00:29:18,790 --> 00:29:22,510
+هنسيبكم يتفكروا فيه مرة تانية في أي أسئلة تانية
+
+224
+00:29:22,510 --> 00:29:26,710
+section ثلاثة اثنين أو ثلاثة واحد
+
+225
+00:29:45,050 --> 00:29:50,450
+في حد عندها سؤال في نفس
+
+226
+00:29:50,450 --> 00:29:55,770
+ال section نعم فالقاعدة ما أعطينا sequence إنه احنا
+
+227
+00:29:55,770 --> 00:29:59,390
+نشوف إذا هي تتقارب ولا تتباعد استخدمت ال ratio test
+
+228
+00:29:59,390 --> 00:30:04,310
+نعم طلعت ال limit بتساوي واحد واحنا الشرط إن تكون
+
+229
+00:30:04,310 --> 00:30:09,790
+ال limit أقل من واحد صح فالقاعدة هذه بتطلع تطلع ال
+
+230
+00:30:09,790 --> 00:30:12,430
+limit ل sequence لو معطينيها تساوي صفر
+
+231
+00:30:15,730 --> 00:30:21,110
+لأ لازم يكون أصغر من واحد ما بتساويش الواحد معناته
+
+232
+00:30:21,110 --> 00:30:26,150
+ال test بيفشل لأ هي تساوي واحد إذا بالتساوي واحد
+
+233
+00:30:26,150 --> 00:30:33,430
+ارجعي لهي تمرين 16 بقول إذا كانت ال limit بالتساوي
+
+234
+00:30:33,430 --> 00:30:38,710
+واحد فممكن 
+
+235
+00:30:38,710 --> 00:30:41,650
+تكون ال sequence convergent أو divergent يعني هذا
+
+236
+00:30:41,650 --> 00:30:46,920
+ال test ال ratio test بيفشل هي في سؤال 16 هتجيب
+
+237
+00:30:46,920 --> 00:30:52,480
+بمثالين أول شيء إذا كانت ال limit هذه بالتساوي واحد 
+
+238
+00:30:52,480 --> 00:30:59,740
+فهتجيب بمثالين ال limit تبع ال quotient تبع كل 
+
+239
+00:30:59,740 --> 00:31:03,220
+واحدة بالتساوي واحد لكن واحدة convergent واحدة
+
+240
+00:31:03,220 --> 00:31:08,140
+divergent وبالتالي ال test هذا بيفشل إذا كانت ال L
+
+241
+00:31:08,140 --> 00:31:12,420
+بالتساوي واحد أما لو كانت ال L أصغر من واحد فال
+
+242
+00:31:12,420 --> 00:31:16,400
+sequence xn بتطلع convergent للصفر إذا كان ال L 
+
+243
+00:31:16,400 --> 00:31:21,740
+أكبر من 1 فال sequence بتطلع divergent okay تمام
+
+244
+00:31:21,740 --> 00:31:30,340
+هذا هو ال ratio test فهل جبت أمثلة؟ كويس ممتاز طيب
+
+245
+00:31:30,340 --> 00:31:36,220
+إيش دخل دي؟ دي معناته بدك تستخدم طريقة تانية غير
+
+246
+00:31:36,220 --> 00:31:43,260
+ال ratio test صحيح لأن حسب سؤال 16 ال test بيفشل
+
+247
+00:31:43,260 --> 00:31:48,320
+إذا كانت limit ال ratio ال ratio test بيفشل إذا
+
+248
+00:31:48,320 --> 00:31:53,020
+كانت limit لل ratio بتساوي واحد وبالتالي بدك تبحث
+
+249
+00:31:53,020 --> 00:31:54,300
+عن طريقة تانية
+
+250
+00:32:12,840 --> 00:32:31,940
+طيب في أسئلة تانية في
+
+251
+00:32:31,940 --> 00:32:35,300
+section ثلاثة واحد وثلاثة اثنين في عندكم أي سؤال
+
+252
+00:32:35,300 --> 00:32:42,490
+ما فيش أسئلة لسه مش دارسين مش محاضرين كانت واحدة بس
+
+253
+00:32:42,490 --> 00:32:51,430
+للدراسة وهم اللي بيسألوا الأسئلة والباقي مستمع طيب
+
+254
+00:32:51,430 --> 00:32:54,930
+بتحبوا نرجع لأسئلة chapter اثنين في أسئلة في
+
+255
+00:32:54,930 --> 00:33:01,130
+chapter اثنين إذا
+
+256
+00:33:01,130 --> 00:33:10,470
+في عندكم أسئلة في section اثنين
+
+257
+00:33:10,470 --> 00:33:11,010
+أربعة
+
+258
+00:33:26,250 --> 00:33:35,710
+السؤال هذا يعني في الكتاب أعطيكم hint كيف
+
+259
+00:33:35,710 --> 00:33:41,790
+يعني تحلوه موجود في نهاية الكتاب فحاولوا تقرأوا إيه
+
+260
+00:33:41,790 --> 00:33:46,530
+تقرا ال hint هذا وتستفيدي منه وتشوفي يعني هذا
+
+261
+00:33:46,530 --> 00:33:54,780
+أكيد هساعدك في حل السؤال شفتيه قبل هيك؟ طيب طلعي
+
+262
+00:33:54,780 --> 00:33:59,360
+خلف الكتاب فيه hint أو إرشادات لبعض التمارين
+
+263
+00:33:59,360 --> 00:34:06,680
+بيعطيكي يعني طريقة مقتضبة للحل أو بيحط رجلك على طريق 
+
+264
+00:34:06,680 --> 00:34:12,840
+الحل فحاولي تقرأي إيه وتستفيدي منه وإذا فهمتي
+
+265
+00:34:12,840 --> 00:34:19,640
+الإرشاد هذا ممكن تحلي السؤال أنتِ وزميلاتك تطلعوا 
+
+266
+00:34:19,640 --> 00:34:23,580
+على الإرشادات هذه تبعت التمرين أو بعض الحلول 
+
+267
+00:34:23,580 --> 00:34:28,240
+المختصرة وحاولوا تستفيدوا منها وتفصلوها وتكتبوا
+
+268
+00:34:28,240 --> 00:34:35,340
+الحل بطريقة واضحة وكاملة فهأسيبكم
+
+269
+00:34:35,340 --> 00:34:42,440
+تقرؤوا الإرشاد وتحاولوا تستفيدوا منه أي أسئلة
+
+270
+00:34:42,440 --> 00:34:49,980
+تانية في section 2 4 2 3 2 2 إن واحد الجزء اللي
+
+271
+00:34:49,980 --> 00:34:56,460
+داخل الامتحان، في عندكم أي سؤال فيه؟ منين في عندها
+
+272
+00:34:56,460 --> 00:35:00,260
+سؤال؟
+
+273
+00:35:00,260 --> 00:35:07,020
+في أسئلة كتير حلوة ومهمة ويا بدوا إنكم مش مدرسين
+
+274
+00:35:07,020 --> 00:35:08,680
+ولا حتى مستعدين للامتحان
+
+275
+00:35:16,700 --> 00:35:20,800
+في أي أسئلة في chapter 2 أو chapter 3 الجزء الداخل
+
+276
+00:35:20,800 --> 00:35:21,960
+في الامتحان
+
+277
+00:36:04,610 --> 00:36:11,090
+فيش أسئلة؟ طيب
+
+278
+00:36:11,090 --> 00:36:15,390
+أنا هأحل لكم يعني كمان سؤالين واحد من section ثلاثة 
+
+279
+00:36:15,390 --> 00:36:21,070
+واحد وواحد من ثلاثة اثنين
+
+280
+00:36:21,070 --> 00:36:28,670
+خليني 
+
+281
+00:36:28,670 --> 00:36:29,830
+أحل السؤال
+
+282
+00:36:46,350 --> 00:36:58,770
+يعني مثلا يعني
+
+283
+00:36:58,770 --> 00:37:04,090
+مثلا السؤال الخامسة
+
+284
+00:37:04,090 --> 00:37:10,530
+السؤال
+
+285
+00:37:10,530 --> 00:37:16,320
+الخامسة الفرع دي section تلاتة واحد use definition
+
+286
+00:37:16,320 --> 00:37:25,660
+use definition of limit to
+
+287
+00:37:25,660 --> 00:37:33,880
+establish أنه
+
+288
+00:37:33,880 --> 00:37:37,800
+ال limit لإن
+
+289
+00:37:37,800 --> 00:37:44,970
+تربية سالب واحد على اتنين انتر بيه زائد تلاتة ال
+
+290
+00:37:44,970 --> 00:37:52,850
+sequence اللي حد العم تبعها الكاسر هذا بيساوي نص و
+
+291
+00:37:52,850 --> 00:37:56,410
+بيثبت ان ال sequence هذي convergence و نهايتها نص
+
+292
+00:37:56,410 --> 00:38:00,390
+بيستخدم ال definition ماهو ال definition المقصود
+
+293
+00:38:00,390 --> 00:38:06,700
+في هنا اللي هو تعريف epsilon capital N لل limit أو
+
+294
+00:38:06,700 --> 00:38:21,360
+للنهاية تعريف epsilon capital N طيب أنا
+
+295
+00:38:21,360 --> 00:38:27,300
+في النهاية في نهاية المطاف تعريف epsilon capital N
+
+296
+00:38:31,470 --> 00:38:36,710
+عايزني أثبت أن المسافة بين xn اللي هو انتر بيها
+
+297
+00:38:36,710 --> 00:38:42,510
+سالب واحد على اتنين انتر بيها زائد تلاتة سالب نص
+
+298
+00:38:42,510 --> 00:38:47,270
+بدنا هذا يكون أصغر من أي given epsilon عدد موجب
+
+299
+00:38:47,270 --> 00:38:53,950
+لكل n أكبر من أو يساوي capital N حيث capital N عدد
+
+300
+00:38:53,950 --> 00:39:00,410
+طبيعي هنجيبه ويعتمد على ال epsilon فنشوف مع بعض هذا
+
+301
+00:39:00,410 --> 00:39:07,410
+إيه من الآخر طيب إذا هنا solution إذا بقول أنا
+
+302
+00:39:07,410 --> 00:39:12,490
+عايز في النهاية absolute value سالب واحد على
+
+303
+00:39:12,490 --> 00:39:17,970
+اتنين انتر بيه زائد تلاتة سالب نص بسأل نفسي متى
+
+304
+00:39:17,970 --> 00:39:24,570
+هذا بيكون أصغر من أي epsilon موجب هذا بكافئ
+
+305
+00:39:27,220 --> 00:39:34,160
+الـ absolute value بين واحد المقامات هي اتنين في
+
+306
+00:39:34,160 --> 00:39:40,260
+اتنين انتر بيه زائد تلاتة و بيصير عندنا اتنين
+
+307
+00:39:40,260 --> 00:39:46,720
+انتر بيه سالب اتنين تضرب هذا في اتنين سالب اتنين
+
+308
+00:39:46,720 --> 00:39:53,680
+انتر بيه موجبة بتلاتة لان هذا المقدار اللي فوق
+
+309
+00:39:53,680 --> 00:39:55,580
+بيبقى اصغر من epsilon
+
+310
+00:39:58,630 --> 00:40:02,730
+طيب أنا عندي اتنين in تربيع و هاي سالب اتنين in
+
+311
+00:40:02,730 --> 00:40:07,450
+تربيع بيروحوا مع بعض و عندي سالب اتنين و السالب
+
+312
+00:40:07,450 --> 00:40:10,630
+تلاتة بطلع خمسة يعني دلوقتي بصير absolute سالب
+
+313
+00:40:10,630 --> 00:40:16,330
+خمسة على اتنين في
+
+314
+00:40:16,330 --> 00:40:19,230
+اتنين in تربيع زائد تلاتة
+
+315
+00:40:24,890 --> 00:40:31,830
+بدي هذا يكون أصغر من epsilon طيب
+
+316
+00:40:31,830 --> 00:40:38,990
+هاد عبارة عن خمسة هاد
+
+317
+00:40:38,990 --> 00:40:48,570
+عبارة عن خمسة على اتنين اتنين انتر بيه زي
+
+318
+00:40:48,570 --> 00:40:49,370
+التلاتة
+
+319
+00:40:52,780 --> 00:41:02,080
+متى بيكون هذا أصغر من epsilon هذا
+
+320
+00:41:02,080 --> 00:41:09,220
+بكافئ هذا
+
+321
+00:41:09,220 --> 00:41:15,900
+بكافئ ان اقول واحد متى بيكون واحد على اتنين انتر
+
+322
+00:41:15,900 --> 00:41:30,390
+بيه زائد تلاتة أصغر من اتنين على خمسة إبسلون طيب
+
+323
+00:41:30,390 --> 00:41:35,550
+إذا
+
+324
+00:41:35,550 --> 00:41:42,470
+أنا ممكن أستخدم ال Archimedean property إذا هنا
+
+325
+00:41:42,470 --> 00:41:49,690
+let epsilon أكبر من الصفر
+
+326
+00:41:51,720 --> 00:41:57,880
+نبدأ بـ epsilon أكبر من الصفر تعريف epsilon capital N
+
+327
+00:41:57,880 --> 00:42:02,160
+بيقول ابدا بـ epsilon أكبر من الصفر و جيب capital N
+
+328
+00:42:03,440 --> 00:42:07,880
+بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من epsilon لكل N
+
+329
+00:42:07,880 --> 00:42:15,440
+أكبر من أو يساوي capital N بحيث أن المسافة بين XN
+
+330
+00:42:15,440 --> 00:42:17,600
+بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من epsilon لكل N
+
+331
+00:42:17,600 --> 00:42:17,940
+أكبر من أو يساوي capital N بحيث أن المسافة بين XN
+
+332
+00:42:17,940 --> 00:42:20,660
+و X أصغر من epsilon لكل N أكبر من أو يساوي capital N
+
+333
+00:42:20,660 --> 00:42:21,360
+بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من epsilon لكل N
+
+334
+00:42:21,360 --> 00:42:23,640
+أكبر من أو يساوي capital N بحيث أن المسافة بين XN
+
+335
+00:42:23,640 --> 00:42:28,200
+و X أصغر
+
+336
+00:42:28,200 --> 00:42:35,040
+من epsilon لكل N أكبر من أو يساوي capital N بحيث
+
+337
+00:42:35,040 --> 00:42:43,620
+choose it choose طبعا
+
+338
+00:42:43,620 --> 00:42:51,500
+by Archimedean property capital
+
+339
+00:42:51,500 --> 00:43:01,200
+N عدد طبيعي بحيث انه واحد على اتنين في capital N
+
+340
+00:43:01,200 --> 00:43:07,820
+تربيع زائد تلاتة أصغر من اتنين على خمسة epsilon
+
+341
+00:43:07,820 --> 00:43:20,180
+ممكن
+
+342
+00:43:20,180 --> 00:43:26,070
+ألاقي capital N عدد طبيعي ممكن 2 في n تربيع زائد
+
+343
+00:43:26,070 --> 00:43:32,170
+تلاتة طبعا تلاتة مش epsilon واحد على اتنين n
+
+344
+00:43:32,170 --> 00:43:41,290
+تربيع زائد تلاتة اصغر من اتنين على خمسة epsilon الان
+
+345
+00:43:41,290 --> 00:43:46,770
+اذا لو اخدت small n اكبر من او يساوي ال capital N هذا
+
+346
+00:43:46,770 --> 00:44:00,110
+بيقدي انه واحد على اتنين n تربيع زائد تلاتة او بلاش
+
+347
+00:44:00,110 --> 00:44:09,230
+absolute اه بيقدي ان absolute طيب
+
+348
+00:44:09,230 --> 00:44:16,750
+هذا بيقدي ان الكلام هذا اصغر من أو يساوي واحد على
+
+349
+00:44:16,750 --> 00:44:25,510
+اتنين capital N تربيع زائد تلاتة وبالتالي هذا
+
+350
+00:44:25,510 --> 00:44:31,390
+بيقدي ان ال absolute value ل n تربيع سالب واحد على
+
+351
+00:44:31,390 --> 00:44:42,670
+اتنين n تربيع زائد تلاتة سالب نص طلع هذا
+
+352
+00:45:09,580 --> 00:45:16,580
+خمسة على اتنين
+
+353
+00:45:16,580 --> 00:45:20,140
+في اتنين n تربيع زائد التلاتة
+
+354
+00:45:28,400 --> 00:45:34,680
+وهذا هيطلع أصغر من أو يساوي خمسة على اتنين في اتنين
+
+355
+00:45:34,680 --> 00:45:42,000
+capital N تربيع زائد تلاتة ومن هنا هذا أصغر من
+
+356
+00:45:42,000 --> 00:45:47,320
+خمسة
+
+357
+00:45:47,320 --> 00:45:54,280
+على اتنين ضرب اتنين على خمسة في epsilon اللي هو
+
+358
+00:45:54,280 --> 00:45:55,160
+بيطلع epsilon
+
+359
+00:45:59,840 --> 00:46:03,560
+إذن هذه لأي epsilon أكبر من صفر لجيت فيه capital N
+
+360
+00:46:03,560 --> 00:46:08,200
+مرتبطة لـ capital N هي في epsilon depends on epsilon
+
+361
+00:46:08,200 --> 00:46:12,280
+بتعتمد على epsilon بحيث لكل n أكبر من أو يساوي
+
+362
+00:46:12,280 --> 00:46:17,920
+capital N طلع absolute xn minus x أصغر من epsilon
+
+363
+00:46:19,350 --> 00:46:24,350
+طبعا إذا هذا حسب تعريف by definition of epsilon
+
+364
+00:46:24,350 --> 00:46:29,770
+capital N of limit بطلع عندي limit n تربيع سالب
+
+365
+00:46:29,770 --> 00:46:34,750
+واحد على اتنين n تربيع زائد تلاتة لما n تؤول
+
+366
+00:46:34,750 --> 00:46:37,830
+infinity بساوي نص
+
+367
+00:46:44,620 --> 00:46:48,560
+بالمثل ممكن نحل باقي التمرين اللي هي الفروع A وB
+
+368
+00:46:48,560 --> 00:46:54,940
+و C باستخدام التعريف فحاولوا تتدربوا على التمرين
+
+369
+00:46:54,940 --> 00:47:02,700
+هذه و تحلوا أسئلة زيها في حد عنده أي سؤال تاني في
+
+370
+00:47:02,700 --> 00:47:07,260
+هذا ال section طيب
+
+371
+00:47:07,260 --> 00:47:12,220
+نحل كمان سؤال في section تلاتة اتنين
+
+372
+00:47:27,570 --> 00:47:34,750
+في انكم أي سؤال في section تلاتة اتنين اخر
+
+373
+00:47:34,750 --> 00:47:35,250
+سؤال
+
+374
+00:47:57,080 --> 00:48:03,480
+هي سؤال واحد وعشرين section تلاتة
+
+375
+00:48:03,480 --> 00:48:13,760
+اتنين suppose
+
+376
+00:48:13,760 --> 00:48:24,980
+افترضي ان ال sequence xn converge إلى x و ال
+
+377
+00:48:24,980 --> 00:48:33,200
+sequence yn و yn is such that is a sequence
+
+378
+00:48:33,200 --> 00:48:40,900
+such that for any epsilon for
+
+379
+00:48:40,900 --> 00:48:46,240
+any epsilon أكبر من الصفر يوجد
+
+380
+00:48:46,240 --> 00:48:53,780
+m بحيث يوجد عدد m such that
+
+381
+00:48:56,580 --> 00:49:06,460
+absolute xn minus yn أصغر من epsilon لكل N أكبر من
+
+382
+00:49:06,460 --> 00:49:14,260
+أو يساوي capital N فالسؤال
+
+383
+00:49:14,260 --> 00:49:19,060
+does it
+
+384
+00:49:19,060 --> 00:49:22,820
+follow هل
+
+385
+00:49:22,820 --> 00:49:34,030
+ينتج من ذلك هل ال sequence yn تطلع
+
+386
+00:49:34,030 --> 00:49:44,210
+convergent فنشوف
+
+387
+00:49:44,210 --> 00:49:44,930
+مع بعض
+
+388
+00:49:53,440 --> 00:49:59,260
+كمان مرة اندي two sequences واحدة xn واحدة yn
+
+389
+00:49:59,260 --> 00:50:04,280
+ال sequence xn مُعطى انها convergent to some x
+
+390
+00:50:04,280 --> 00:50:08,880
+إلى عدد ما x ال limit تبقى تاكس و ال sequence yn
+
+391
+00:50:08,880 --> 00:50:14,600
+بتحقق الشرط هذا وهو
+
+392
+00:50:14,600 --> 00:50:19,600
+انه لأي epsilon أكبر من صفر في عدد طبيعي حتى هذا
+
+393
+00:50:19,600 --> 00:50:27,790
+عدد طبيعي المفروض يكون بنسميه capital N بحيث انه لكل
+
+394
+00:50:27,790 --> 00:50:31,810
+n أكبر من أو يساوي capital N المسافة بين xn و yn
+
+395
+00:50:31,810 --> 00:50:35,510
+أصغر من epsilon هل هذا بيقدم ال sequence yn
+
+396
+00:50:35,510 --> 00:50:40,870
+convergent؟ هنشوف الآن أن فعلا تطلع ال sequence yn
+
+397
+00:50:40,870 --> 00:50:46,130
+convergent ونهايتها هي نفس نهاية ال sequence xn
+
+398
+00:50:46,130 --> 00:50:51,270
+لأن هنا الإجابة yes
+
+399
+00:50:53,550 --> 00:51:01,270
+and yn converge to x لكن
+
+400
+00:51:01,270 --> 00:51:07,570
+هذا بيده برهان اذا
+
+401
+00:51:07,570 --> 00:51:11,370
+to see this
+
+402
+00:51:11,370 --> 00:51:16,610
+نبدأ
+
+403
+00:51:16,610 --> 00:51:18,610
+بـ epsilon أكبر من الصفر
+
+404
+00:51:36,810 --> 00:51:44,450
+let by hypothesis من الفرض من
+
+405
+00:51:44,450 --> 00:51:50,820
+الفرض من ال hypothesis أنا عندي absolute xn minus
+
+406
+00:51:50,820 --> 00:51:54,860
+yn أصغر
+
+407
+00:51:54,860 --> 00:52:03,700
+من epsilon أكبر من أو يساوي صفر وهذا صحيح لكل n أكبر
+
+408
+00:52:03,700 --> 00:52:10,440
+من أو يساوي capital M وهذا
+
+409
+00:52:10,440 --> 00:52:15,380
+الكلام صحيح لكل epsilon أكبر من الصفر
+
+410
+00:52:24,820 --> 00:52:36,980
+فمن هنا فمن
+
+411
+00:52:36,980 --> 00:52:45,680
+هنا بهدف بيقدي ان ال limit ل xn minus yn لما n
+
+412
+00:52:45,680 --> 00:52:49,420
+تؤول infinity بساوي صفر
+
+413
+00:52:54,150 --> 00:52:58,570
+مش شرط هذا أنا
+
+414
+00:52:58,570 --> 00:53:03,950
+عندي ال ..
+
+415
+00:53:03,950 --> 00:53:08,010
+ما معناه ان limit ال sequence هذه بساوة صفر؟ معناه
+
+416
+00:53:08,010 --> 00:53:16,620
+لأي epsilon أكبر من الصفر يوجد capital M عدد طبيعي
+
+417
+00:53:16,620 --> 00:53:21,840
+يعتمد على epsilon بحيث أنه لكل n أكبر من أو يساوي
+
+418
+00:53:21,840 --> 00:53:28,860
+capital N هذا بيقدي أن absolute xn minus yn minus
+
+419
+00:53:28,860 --> 00:53:34,700
+الصفر أصغر من epsilon هي معنى ان limit ال sequence
+
+420
+00:53:34,700 --> 00:53:40,740
+للفرق بساوي صفر ايش معنى هذا لأي epsilon أكبر من 
+
+421
+00:53:40,740 --> 00:53:46,660
+سفر يوجد  M يعتمد على N عدد طبيعي يعتمد على
+
+422
+00:53:46,660 --> 00:53:51,020
+ال epsilon بحيث لكل N أكبر من أو يساوي M
+
+423
+00:53:51,020 --> 00:53:55,540
+المسافة بين الحد العام لل sequence و limit اللي هي 
+
+424
+00:53:55,540 --> 00:54:00,140
+سفر أصغر من epsilon هذا الكلام هي متحقق هنا هي
+
+425
+00:54:00,140 --> 00:54:04,850
+متحققة تمام؟ إذا هذا بنحصل عليه وبالتالي limit xn
+
+426
+00:54:04,850 --> 00:54:14,070
+minus yn بساوي سفر ومنها الآن أنا عندي ال yn ممكن
+
+427
+00:54:14,070 --> 00:54:20,870
+كتبتها على صورة yn 
+
+428
+00:54:20,870 --> 00:54:32,610
+سالب xn موجب xn وهذا بيساوي سالب Xn سالب Yn زائد Xn
+
+429
+00:54:32,610 --> 00:54:40,630
+تمام؟ إذا ال limit ل Yn as n tends to infinity
+
+430
+00:54:40,630 --> 00:54:49,110
+بيساوي limit الطرف اليمين ف limit Xn سالب Yn 
+
+431
+00:54:49,110 --> 00:54:56,410
+مضروبة في سالب واحد بيطلع برا ال limit زائد limit
+
+432
+00:54:56,410 --> 00:55:03,770
+xn لما n تقول لإنفينيتي وهنا 
+
+433
+00:55:03,770 --> 00:55:08,770
+لسه احنا مثبتين هذا عبارة عن سالب limit sequence
+
+434
+00:55:08,770 --> 00:55:16,570
+xn minus yn بالساوية سفر، سالب واحد في سفر 
+
+435
+00:55:19,990 --> 00:55:26,850
+زائد limit xn اللي هي x تمام اذا limit ال sequence 
+
+436
+00:55:26,850 --> 00:55:32,370
+yn تطلع بالساوي x اذا 
+
+437
+00:55:32,370 --> 00:55:37,210
+هنا اثبتنا ان ال sequence yn تطلع convergent وال
+
+438
+00:55:37,210 --> 00:55:44,210
+limit تبعتها بالساوي x تمام البرهان هنا اعتمد على 
+
+439
+00:55:44,210 --> 00:55:49,890
+انه من الفرض انا عندي المثال لأي epsilon هذا الفرض
+
+440
+00:55:49,890 --> 00:55:57,390
+معناه ان limit ال sequence xn minus yn بالساوي
+
+441
+00:55:57,390 --> 00:56:04,290
+سفر وهذا اللي ساعدنا في الحل وهذا ناتج هي من تعريف 
+
+442
+00:56:04,290 --> 00:56:09,190
+epsilon N لل limit هذا هو البرهان

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/XjWoXKhuE-o_raw.srt

@@ -0,0 +1,1772 @@
+1
+00:00:21,090 --> 00:00:26,570
+إذن في المحاضرة هذه ان شاء الله هنحل بعض التمرين
+
+2
+00:00:26,570 --> 00:00:35,250
+لل homework اللي تابع ل section تلاتة واحد و تلاتة
+
+3
+00:00:35,250 --> 00:00:44,390
+اتنين فأزملتكم تسأل عن ال .. نحن نحل السؤال 13
+
+4
+00:00:44,390 --> 00:00:46,030
+section تلاتة واحد
+
+5
+00:00:49,430 --> 00:01:15,310
+نكتب السؤال على اللوحة سيكشن
+
+6
+00:01:15,310 --> 00:01:25,990
+السؤال 13section تلاتة واحد انا
+
+7
+00:01:25,990 --> 00:01:31,150
+عندي بي is real number اكبر من سفر اصغر من واحد
+
+8
+00:01:31,150 --> 00:01:36,010
+وبينا
+
+9
+00:01:36,010 --> 00:01:40,990
+نثبت show انه ال limit
+
+10
+00:01:44,880 --> 00:01:53,020
+للـ sequence اللي الحد العام تبعها n في d to n لما
+
+11
+00:01:53,020 --> 00:02:03,560
+n تقول infinity بساوي سفر والكتاب جايلكم
+
+12
+00:02:03,560 --> 00:02:08,840
+use ال binomial theorem كما في مثال 3 1 11 الجزء
+
+13
+00:02:08,840 --> 00:02:16,010
+ديفلو حاولتوا تستخدموا نفس أسلوب البرهان تبع
+
+14
+00:02:16,010 --> 00:02:20,350
+المثال اللي استخدمنا فيه ال binomial theorem
+
+15
+00:02:20,350 --> 00:02:28,550
+فهتصلوا للنتيجة فهي البرهان نشوف
+
+16
+00:02:28,550 --> 00:02:32,170
+كيف نستخدم ال binomial theorem في الوصول إلى
+
+17
+00:02:32,170 --> 00:02:40,300
+المطلوبأنا عندي من الفرض سفر أصغر من بي أصغر من
+
+18
+00:02:40,300 --> 00:02:48,300
+واحد هذا بيؤدي ان واحد على بي أكبر من واحد
+
+19
+00:02:48,300 --> 00:02:55,500
+وبالتالي هذا بيؤدي ان واحد على بي سالب واحد أكبر
+
+20
+00:02:55,500 --> 00:03:08,230
+من سفر اذا ناخد letlet a خلّيني اعرف عدد a على انه
+
+21
+00:03:08,230 --> 00:03:13,850
+العدد الموجب واحد على بي سالب واحد طبعا هذا عدد
+
+22
+00:03:13,850 --> 00:03:20,110
+موجب حسب ما شوفنا وهذا
+
+23
+00:03:20,110 --> 00:03:28,210
+بيقدّي انه العدد لو حليت المعادلة هذه في بي فهيطلع
+
+24
+00:03:28,210 --> 00:03:38,250
+بي بساوي واحدعلى واحد زائد ال a وبالتالي
+
+25
+00:03:38,250 --> 00:03:49,150
+so by ال binomial باستخدام
+
+26
+00:03:49,150 --> 00:03:59,120
+ال binomial theorem انا عنديواحد زائد a الكل قص n
+
+27
+00:03:59,120 --> 00:04:09,300
+بيساوي واحد زائد n في a زائد نص n في n سالب واحد
+
+28
+00:04:09,300 --> 00:04:17,800
+في a تردية زائد و هكذا تمام
+
+29
+00:04:17,800 --> 00:04:24,890
+إلى آخر حد طبعا هيكون a to nهذا بالظبط زي ما عملنا
+
+30
+00:04:24,890 --> 00:04:31,950
+في مثال سادة وبالتالي
+
+31
+00:04:31,950 --> 00:04:42,090
+هذا بيقدي من هنا هذا
+
+32
+00:04:42,090 --> 00:04:51,620
+المجموعة بيطلع أكبر من أو ساوي نصفي n في n زي سالب
+
+33
+00:04:51,620 --> 00:05:00,000
+واحد في ايه ترميها يعني أنا أخدت بس الحد التالت من
+
+34
+00:05:00,000 --> 00:05:05,120
+المجموعة ده المجموعة طبعا مجموعة أعداد موجة بكلها
+
+35
+00:05:05,120 --> 00:05:10,180
+فالمجموعة ده بالتأكيد أكبر من أو ساوي الحد التالت
+
+36
+00:05:10,180 --> 00:05:14,740
+في ايه هذا صحيح مافي مشكلة تمام
+
+37
+00:05:17,950 --> 00:05:33,450
+وبالتالي اذا n في b أس n ايش بيساوي بيساوي n على
+
+38
+00:05:33,450 --> 00:05:43,480
+واحد زائد a لكل أس n صح؟هذه B ف B أس N بساوي واحد
+
+39
+00:05:43,480 --> 00:05:50,900
+على واحد زاد A to N و أضرب في N فبصير هيك طيب
+
+40
+00:05:50,900 --> 00:05:58,560
+من هنا مقلوب واحد زاد A لكل أس N هيطلع أصغر من أوي
+
+41
+00:05:58,560 --> 00:06:09,580
+ساوي مقلوب العدد هذا اذا هذا أصغر من أوي ساوي N
+
+42
+00:06:14,820 --> 00:06:20,480
+على N في
+
+43
+00:06:20,480 --> 00:06:28,380
+N سالب واحد في .. في N سالب واحد في ايه تربية على
+
+44
+00:06:28,380 --> 00:06:38,980
+اتنين وفي عندنا كمان N العكس
+
+45
+00:06:38,980 --> 00:06:39,600
+العكس
+
+46
+00:06:46,180 --> 00:06:55,020
+هي عندى n ومقلوب هدا بطلع اتنين n في n سالب واحد
+
+47
+00:06:55,020 --> 00:07:01,760
+في a تربية تمام؟ إذا هدا إيجا من هنا الان بختصر ال
+
+48
+00:07:01,760 --> 00:07:12,620
+n مع ال n فهدا بطلع اتنين على n سالب واحد في a
+
+49
+00:07:12,620 --> 00:07:14,040
+تربية تمام؟
+
+50
+00:07:16,500 --> 00:07:23,140
+الان هذا الكلام صحيح لكل n أكبر من واحد طبعا ممنوع
+
+51
+00:07:23,140 --> 00:07:27,100
+أخد n بساوي واحد لأنه في الحالة هذه بيصير في قسم
+
+52
+00:07:27,100 --> 00:07:31,780
+على سفر لأن لكل الأعداد الطبيعية n أكبر من واحد n
+
+53
+00:07:31,780 --> 00:07:36,980
+في bios n بيطلع أصغر منه يساوي اثنين على n سالب
+
+54
+00:07:36,980 --> 00:07:44,420
+واحد في a تربية الان تعالوا نثبت ان ال limit لل
+
+55
+00:07:44,420 --> 00:07:46,240
+sequence هذه بساوي سفر
+
+56
+00:07:50,790 --> 00:07:57,390
+هنستخدم تعريف epsilon capital N لـ limit لذن let
+
+57
+00:07:57,390 --> 00:08:02,090
+epsilon let
+
+58
+00:08:02,090 --> 00:08:12,830
+epsilon أكبر من سبل be given by
+
+59
+00:08:12,830 --> 00:08:19,210
+Archimedean property by Archimedeanproperty حسب
+
+60
+00:08:19,210 --> 00:08:25,750
+خاصية Archimedes يوجد نقدر نلاقي عدد طبيعي capital
+
+61
+00:08:25,750 --> 00:08:34,530
+N ينتمي إلى N يعتمد طبعا على إبسلون بحيث أنه مقلوب
+
+62
+00:08:34,530 --> 00:08:41,590
+capital N أصغر من A تربية في إبسلون على 2
+
+63
+00:08:49,130 --> 00:08:54,230
+الـ A تربي عدد موجب إبسلون على 2 عدد موجب إذا هذا
+
+64
+00:08:54,230 --> 00:09:00,830
+عدد موجب الـ Archimedean property بتقول لأي عدد
+
+65
+00:09:00,830 --> 00:09:05,450
+موجب زي هذا بقدر ألاقي عدد طبيعي capital N مقلوب
+
+66
+00:09:05,450 --> 00:09:09,250
+وأصغر من العدد الموجب وبالتالي capital N هذا زي ما
+
+67
+00:09:09,250 --> 00:09:13,510
+أنتوا شايفين مرتبط بإبسلون بالمتباينة هذه وبالتالي
+
+68
+00:09:13,510 --> 00:09:18,970
+capital N هذا depends أو يعتمد على إبسلونOkay إذا
+
+69
+00:09:18,970 --> 00:09:22,510
+هذا من الـ Archimedean Property طب ليش أنا أختارت
+
+70
+00:09:22,510 --> 00:09:29,930
+هذا العدد عشان نخل المسافة بين Xm و 0 أصغر من Y
+
+71
+00:09:29,930 --> 00:09:38,290
+فرطبناها أو ركبناها عساس نصل لإيه الهدف هذا تعالى
+
+72
+00:09:38,290 --> 00:09:46,950
+نشوف إذا hence وبالتالي hence بناء على ذلكلو أخدت
+
+73
+00:09:46,950 --> 00:09:57,950
+n أكبر من capital N هذا بيقدي ان n سالب واحد أكبر
+
+74
+00:09:57,950 --> 00:10:08,270
+من أو ساوي capital N وهذا بيقدي ان absolute n في b
+
+75
+00:10:08,270 --> 00:10:16,690
+to n سالب صفرإيش هذا بيساوي بيساوي n في بيقص n لأن
+
+76
+00:10:16,690 --> 00:10:26,710
+هذا عدد موجب ومن هنا من هنا n في بيقص n أصغر من أو
+
+77
+00:10:26,710 --> 00:10:33,690
+يساوي اتنين على n
+
+78
+00:10:33,690 --> 00:10:40,750
+سالب واحد في a تربية وهذا
+
+79
+00:10:40,750 --> 00:10:42,390
+أصغر من أو يساوي
+
+80
+00:10:50,580 --> 00:11:00,000
+هذا أصغر من أوي ساوي واحد على capital M في اتنين
+
+81
+00:11:00,000 --> 00:11:11,660
+على A تربية يعني
+
+82
+00:11:11,660 --> 00:11:19,140
+أنا من هنا منواحد على N سالب واحد مقلوب N سالب
+
+83
+00:11:19,140 --> 00:11:27,000
+واحد هيطلع أعظم أسئلة مقلوب capital N وهذا
+
+84
+00:11:27,000 --> 00:11:33,400
+عبارة عن واحد على N سالب واحد اتنين على A تربية
+
+85
+00:11:36,970 --> 00:11:42,010
+فمقلوب n سالب واحد اصغر من او ساوي مقلوب capital N
+
+86
+00:11:42,010 --> 00:11:51,630
+في اتنين على ا تربية تمام؟ شفتوا من اين اتيت؟
+
+87
+00:11:51,630 --> 00:11:58,690
+طيب انا من هنا من هنا واحد مقلوب capital N اصغر من
+
+88
+00:11:58,690 --> 00:12:09,470
+ا تربية في ابسلون على اتنين ضربتنين على اي تربية
+
+89
+00:12:09,470 --> 00:12:13,630
+اذا شوفت ليه اخدت ان هنا اي تربية في ابسلون على
+
+90
+00:12:13,630 --> 00:12:19,210
+اتنين عشان اختصر اي تربية مع اي تربية واتنين مع
+
+91
+00:12:19,210 --> 00:12:26,870
+اتنين ويبقى ابسلون اذا
+
+92
+00:12:26,870 --> 00:12:35,170
+ماذا اثبتنا اثبتت انه لأي given ابسلون عدد موجب
+
+93
+00:12:35,980 --> 00:12:42,520
+يوجد capital N تعتمد على epsilon بحيث لكل N أكبر
+
+94
+00:12:42,520 --> 00:12:48,260
+من capital N طلع عندي المسافة بين الحد العام لل
+
+95
+00:12:48,260 --> 00:12:51,900
+sequence اللي هو N في BN وال limit المنشودة اللي
+
+96
+00:12:51,900 --> 00:12:57,860
+هي سفر المسافة بينهم طلعت أصغر من epsilonإذا حسب
+
+97
+00:12:57,860 --> 00:13:03,100
+تعريف epsilon capital N لل limit هذا معناه أنه ال
+
+98
+00:13:03,100 --> 00:13:06,720
+limit بما أن هذا صحيح لأي epsilon، epsilon was
+
+99
+00:13:06,720 --> 00:13:11,540
+arbitrary إذاً هيك ممكن أثبتنا إن limit N في B to
+
+100
+00:13:11,540 --> 00:13:16,760
+N as N tends to infinity بساوي سفر وهو المطلوب
+
+101
+00:13:16,760 --> 00:13:22,640
+okay تمام؟ إذاً
+
+102
+00:13:22,640 --> 00:13:27,950
+هنا استخدمنا ال binomial theorem ساعدتنيفي الوصول
+
+103
+00:13:27,950 --> 00:13:33,590
+للمتباينة هذه و الوصول للمتباينة هذه اللي احنا
+
+104
+00:13:33,590 --> 00:13:42,730
+استخدمناها في البرهان سهلة البرهان تمام بفهم
+
+105
+00:13:42,730 --> 00:13:45,970
+الخطوة هذه اقول ان ال limit يعني اخد ال limit
+
+106
+00:13:45,970 --> 00:13:49,750
+للترفين اقول ان واحد على n نقص الواحد ماهي cost
+
+107
+00:13:49,750 --> 00:13:55,840
+zero اذا ال limit المقدراتمن أنهي المتباينة؟ هذه؟
+
+108
+00:13:55,840 --> 00:14:02,160
+بنفع اه بنفع يعني انت عندك هنا ممكن واحد يستخدم ال
+
+109
+00:14:02,160 --> 00:14:08,980
+sandwich او ال squeeze theorem فبدل ما نستخدم
+
+110
+00:14:08,980 --> 00:14:15,680
+تعريف epsilon capital N نيجي نقول انه الان انا
+
+111
+00:14:15,680 --> 00:14:25,150
+عندي هاي Nفي b to n طلعت أصغر من أو ساوي اتنين على
+
+112
+00:14:25,150 --> 00:14:31,450
+n سالب واحد في a تردية وطبعا بالتأكيد هذا أكبر من
+
+113
+00:14:31,450 --> 00:14:35,390
+أو ساوي سفر لأن ال n عدد موجب و ال b to n عدد موجب
+
+114
+00:14:35,390 --> 00:14:43,530
+وهذا صحيح لكل n أكبر من واحدالان هذا عبارة عن
+
+115
+00:14:43,530 --> 00:14:47,410
+sequence هي الحد العام تبعها لما N تقول ل infinity
+
+116
+00:14:47,410 --> 00:14:52,230
+مقلوق N سالب واحد تقول ل infinity وبالتالي مقلوبها
+
+117
+00:14:52,230 --> 00:14:55,990
+يقول ل infinity فى ثابت موجة باتنين على A تربية
+
+118
+00:14:55,990 --> 00:15:01,570
+عفوا لما N تقول ل infinity المقام بيروح ل infinity
+
+119
+00:15:01,570 --> 00:15:07,110
+وبالتالي مقلوب وبروح ل سفر تمام؟
+
+120
+00:15:16,990 --> 00:15:22,190
+إذن هذه الـ sequence تقول لـ 0 نهايتها 0 وهذه ال
+
+121
+00:15:22,190 --> 00:15:26,970
+constant sequence 0 نهايتها 0 إذن by squeeze
+
+122
+00:15:26,970 --> 00:15:30,410
+theorem limit ال sequence هذه بيساوي 0 وبلاش
+
+123
+00:15:30,410 --> 00:15:35,350
+نستخدم تعريف epsilon capital N لكن هذا السؤال في
+
+124
+00:15:35,350 --> 00:15:39,750
+section 3-1 ماكناش ماخدين ال squeeze theorem فلازم
+
+125
+00:15:39,750 --> 00:15:43,770
+اتحاليها على طريقة باستخدام ال definition لكن لو
+
+126
+00:15:43,770 --> 00:15:48,910
+في الامتحانو ممكن ماتفرجش انت متعلم ال definition
+
+127
+00:15:48,910 --> 00:15:52,630
+و متعلم ال exquisite theorem و استخدم أي طريقة
+
+128
+00:15:52,630 --> 00:15:58,330
+تعجبك okay تمام في
+
+129
+00:15:58,330 --> 00:16:01,010
+أسئلة تانية في حد عنده أي سؤال تاني في section
+
+130
+00:16:01,010 --> 00:16:07,890
+تلاتة واحد و تلاتة اتنين تفضلي في أي section تلاتة
+
+131
+00:16:07,890 --> 00:16:10,510
+واحد طيب ماشي الحالة
+
+132
+00:16:50,410 --> 00:17:09,310
+السؤال عشرة section تلاتة واحد السؤال هذا بيقول if
+
+133
+00:17:09,310 --> 00:17:20,060
+limit sequence x in بساوي xوالـ X هذا أكبر من
+
+134
+00:17:20,060 --> 00:17:24,880
+السفر then
+
+135
+00:17:24,880 --> 00:17:29,340
+then
+
+136
+00:17:29,340 --> 00:17:36,780
+there exist يوجد capital N عدد طبيعي او capital M
+
+137
+00:17:36,780 --> 00:17:48,170
+natural number عدد طبيعي such thatxn أكبر من السفر
+
+138
+00:17:48,170 --> 00:18:08,950
+لكل n أكبر من أو ساوي م لت
+
+139
+00:18:08,950 --> 00:18:13,250
+y أكبر من السفر be given
+
+140
+00:18:17,620 --> 00:18:23,600
+خد أي إبسلون أكبر من الصفر إذن
+
+141
+00:18:23,600 --> 00:18:30,900
+إبسلون على اتنين برضه بيطلع عدد موجة طيب
+
+142
+00:18:30,900 --> 00:18:38,880
+احنا فرضين ان limit xn بيساوي x إذن since xn
+
+143
+00:18:38,880 --> 00:18:44,960
+converges to xوهي إبسلون على اتنين عدد أكبر من
+
+144
+00:18:44,960 --> 00:18:54,480
+السفر إذا يوجد capital M عدد طبيعي يعتمد على
+
+145
+00:18:54,480 --> 00:18:58,840
+إبسلون عدد
+
+146
+00:18:58,840 --> 00:19:05,140
+طبيعي بحيث أنه لكل N أكبر من أو ساوي capital M
+
+147
+00:19:05,140 --> 00:19:33,800
+تطلع المسافة من XNهو ال X أصغر من Y أتنين طيب
+
+148
+00:19:33,800 --> 00:19:34,980
+أنا ال epsilon هذا
+
+149
+00:19:37,520 --> 00:19:44,200
+ممكن اخده انا عندي من الفرض x اكبر من 0 فممكن اخد
+
+150
+00:19:44,200 --> 00:19:49,640
+ال epsilon هذا بساوي x بساوي
+
+151
+00:19:49,640 --> 00:19:56,480
+x انا
+
+152
+00:19:56,480 --> 00:20:04,400
+ممكن اخد ال epsilon بساوي x او حتى x ع 2 او x ع 2
+
+153
+00:20:04,400 --> 00:20:10,380
+هذا بالتأكيدالإبسلون هذا هي عدد موجب اعتبره هو
+
+154
+00:20:10,380 --> 00:20:15,660
+given وبالتالي
+
+155
+00:20:15,660 --> 00:20:20,580
+انا اخدت الأن إبسلون X عدد موجب إذا X عتنين عدد
+
+156
+00:20:20,580 --> 00:20:26,270
+موجب واخدت إبسلون عبارة عن X عتنينفاعتبر هذا given
+
+157
+00:20:26,270 --> 00:20:31,070
+إبسلون إبسلون مُعطى مُسبَخًا فحسب التعريف بما أن X
+
+158
+00:20:31,070 --> 00:20:34,390
+in converge ل X إذا يوجد عدد طبيعي يعتمد على
+
+159
+00:20:34,390 --> 00:20:38,710
+إبسلون بحيث لكل in أكبر من أو ساوي capital N
+
+160
+00:20:38,710 --> 00:20:45,730
+المسافة هذه أصغر من إبسلون الآن عوض عن إبسلون
+
+161
+00:20:45,730 --> 00:20:54,490
+بساوي X ع 2 فهذا بيؤديالان فك ال absolute value
+
+162
+00:20:54,490 --> 00:21:03,070
+فبطلع عندي xn سالب x أصغر من x ع 2 أكبر من سالب x
+
+163
+00:21:03,070 --> 00:21:08,570
+ع 2، مظبوط؟
+
+164
+00:21:08,570 --> 00:21:15,370
+طب
+
+165
+00:21:15,370 --> 00:21:17,790
+لو أخدت هذا الجزء من المتباينة
+
+166
+00:21:20,790 --> 00:21:28,770
+فبصير عندي xn أكبر من ودي x على الناحية التالية
+
+167
+00:21:28,770 --> 00:21:38,050
+أكبر من x سالب x على 2 وبالتالي
+
+168
+00:21:38,050 --> 00:21:46,710
+إذا أنا عندي هاي xn أكبر من x على 2 وهذا أكبر من
+
+169
+00:21:46,710 --> 00:21:57,210
+السفرتمام؟ وهذا صحيح إذا طلع عندي xn أكبر من السفر
+
+170
+00:21:57,210 --> 00:22:07,170
+وهذا صحيح لكل n أكبر من أو ساوي capital M وهو
+
+171
+00:22:07,170 --> 00:22:12,630
+المطلوبتمام إذا هنا استخدمنا تعريف epsilon capital
+
+172
+00:22:12,630 --> 00:22:19,690
+M وهنا استنتجنا إن لازم xn يطلع أكبر من السفر لكل
+
+173
+00:22:19,690 --> 00:22:32,210
+M أكبر من أو يساوي capital M تمام واضح البرهان طيب
+
+174
+00:22:32,210 --> 00:22:34,110
+في أي أسئلة تانية؟
+
+175
+00:22:37,830 --> 00:22:48,330
+section تلاتة اتنين مين
+
+176
+00:22:48,330 --> 00:22:54,390
+عنده سؤال اي سؤال في اي section تلاتة اتنين تلاتة
+
+177
+00:22:54,390 --> 00:23:03,070
+اتنين سبعتاش
+
+178
+00:23:03,070 --> 00:23:05,150
+section تلاتة اتنين
+
+179
+00:23:40,180 --> 00:23:44,200
+أنا في عندي هنا sequence of positive real numbers
+
+180
+00:23:44,200 --> 00:23:55,680
+إذا xn حدود عموجة بقى لكل n such
+
+181
+00:23:55,680 --> 00:24:00,560
+that limit ل
+
+182
+00:24:00,560 --> 00:24:11,550
+xn زاد واحد على xn لما n تقول infinityبساوي عدد ال
+
+183
+00:24:11,550 --> 00:24:20,550
+أكبر من واحد و المقلوب show اثبت في الحالة هذه ان
+
+184
+00:24:20,550 --> 00:24:25,750
+ال sequence
+
+185
+00:24:25,750 --> 00:24:30,170
+xm is
+
+186
+00:24:30,170 --> 00:24:34,350
+unbounded is not bounded
+
+187
+00:24:38,480 --> 00:24:46,100
+and hence not
+
+188
+00:24:46,100 --> 00:24:53,460
+convergent لأن لو كانت convergent تطلع bounded
+
+189
+00:25:13,370 --> 00:25:17,190
+يعني من الشرط هذا ممكن تباطم الـ sequence
+
+190
+00:25:17,190 --> 00:25:21,290
+increasing متزايدة
+
+191
+00:26:05,950 --> 00:26:08,750
+أه ..
+
+192
+00:26:31,500 --> 00:26:38,240
+ممكن نعمل برهان بال .. بالتناقض افرم
+
+193
+00:26:38,240 --> 00:26:48,640
+انها bounded وممكن نصل لتناقض من تعريف ال .. هنا
+
+194
+00:26:48,640 --> 00:26:56,680
+ال sequence هذه of quotient convergent لعدد L أكبر
+
+195
+00:26:56,680 --> 00:27:00,220
+من واحد ممكن باستخدامه
+
+196
+00:27:02,850 --> 00:27:14,250
+باستخدام تعريف الـ convergence زاد او
+
+197
+00:27:14,250 --> 00:27:18,390
+ممكن من الفرض هذا لثبت انه ال sequence unbounded
+
+198
+00:27:18,390 --> 00:27:22,870
+او ممكن بالتناقض اما باستخدام تعريف epsilon
+
+199
+00:27:22,870 --> 00:27:29,600
+capital N من ال convergence هذانعمل برهان بالتناقض
+
+200
+00:27:29,600 --> 00:27:35,560
+لنصل إلى هاجة يعني تتناقض مع الفرض اللي هنا على أي
+
+201
+00:27:35,560 --> 00:27:40,540
+حال انا هسيب في حد حل السؤال هذا طيب انا هسيبكم
+
+202
+00:27:40,540 --> 00:27:45,320
+تفكروا فيه و تقرؤوا برهان شوفوا برهان انا في
+
+203
+00:27:45,320 --> 00:27:49,380
+البرهان النظرية هذه اللي كانت قلتلكم اقرؤوا
+
+204
+00:27:49,380 --> 00:27:54,650
+فحاولوا انك تتسفيدوا من البرهان تبع النظريةاللي
+
+205
+00:27:54,650 --> 00:27:57,930
+كانت بتقول إن لو كانت ال limit هذه بساوي L أصغر من
+
+206
+00:27:57,930 --> 00:28:03,370
+واحد فبتطلع ال sequence convergent للصفر فإقرأوا
+
+207
+00:28:03,370 --> 00:28:08,710
+البرهان تبع النظرية هذه وشوفوا كيف يعني النظرية
+
+208
+00:28:08,710 --> 00:28:12,750
+هذه أثبتت وشوفوا لو كان ال L أكبر من واحد كيف
+
+209
+00:28:12,750 --> 00:28:17,450
+بيطلع البرهان إيش اللي بيخل البرهان هذا يبطل صحيح
+
+210
+00:28:18,870 --> 00:28:23,230
+أه فعيدوا قراءته و حالكم تحلوه و إذا ما حلتوهوش
+
+211
+00:28:23,230 --> 00:28:27,290
+يعني المرة الجاية ممكن تحلوا مع بعض أه ماشي الحال
+
+212
+00:28:27,290 --> 00:28:30,470
+فإقرأوا
+
+213
+00:28:30,470 --> 00:28:35,150
+برهان النظرية اللي سيبنا قولنالكم البرهانها موجود
+
+214
+00:28:35,150 --> 00:28:38,030
+في الكتاب و بدي أكم تقرأوا تفهموا هل قرأتوا
+
+215
+00:28:38,030 --> 00:28:45,010
+البرهان؟حاولوا تقرأ ايه حاولوا تتعملوا ايه تشوفوا
+
+216
+00:28:45,010 --> 00:28:50,070
+وين في البرهان ال ال اكبر من واحد بتخلي البرهان
+
+217
+00:28:50,070 --> 00:28:55,050
+يبطل صح وين المشكلة وشوفوا
+
+218
+00:28:55,050 --> 00:28:58,210
+اذا كانوا تقدروا تحلو ولا لأ اذا انا هاسيبكم
+
+219
+00:28:58,210 --> 00:29:02,610
+تفكروا فيه مرة تانية و تحاولوا تحلوه اذا ماعرفتهوش
+
+220
+00:29:02,610 --> 00:29:09,110
+ممكن نحله مرة تانية او في المرة القادمة نعم مين
+
+221
+00:29:09,110 --> 00:29:13,190
+اللي بتحكي هذهماحدش لو سمحته تحكي إلا غير ترفع
+
+222
+00:29:13,190 --> 00:29:18,790
+إيدها الأول و بعدين أقزمها طيب إذا هذا السؤال
+
+223
+00:29:18,790 --> 00:29:22,510
+هنسيبكم يتفكروا فيه مرة تانية في أي أسئلة تانية
+
+224
+00:29:22,510 --> 00:29:26,710
+section تلاتة اتنين أو تلاتة واحد
+
+225
+00:29:45,050 --> 00:29:50,450
+في حد عندها سؤال في نفس
+
+226
+00:29:50,450 --> 00:29:55,770
+ال section نعم فالقادة ماعطينا sequence انه احنا
+
+227
+00:29:55,770 --> 00:29:59,390
+نشوف اذا هي تتجوز و لا تتجوز استخدمت ال ratio test
+
+228
+00:29:59,390 --> 00:30:04,310
+نعم طلعت ال limit بتساوي واحد و احنا الشرط ان تكون
+
+229
+00:30:04,310 --> 00:30:09,790
+ال limit اقل من واحد صح فالقادة هذه بتطلع تطلع ال
+
+230
+00:30:09,790 --> 00:30:12,430
+limit ل sequence لو معطنيها تساوي zero
+
+231
+00:30:15,730 --> 00:30:21,110
+لأ لازم يكون أصغر من واحد مابتساويش الواحد معناته
+
+232
+00:30:21,110 --> 00:30:26,150
+ال test بيفشل لأ هي سوى واحد إذا بالساوية واحد
+
+233
+00:30:26,150 --> 00:30:33,430
+ارجعي لهي تمرين 16 بقول إذا كانت ال limit بالساوية
+
+234
+00:30:33,430 --> 00:30:38,710
+واحد فممكن
+
+235
+00:30:38,710 --> 00:30:41,650
+تكون ال sequence convergent أو divergent يعني هذا
+
+236
+00:30:41,650 --> 00:30:46,920
+ال test ال ratio test بيفشلهي في سؤال 16 هتجيب
+
+237
+00:30:46,920 --> 00:30:52,480
+بمثالين اول شي اذا كانت ال limit هذه بالساوي واحد
+
+238
+00:30:52,480 --> 00:30:59,740
+فهتجيب بمثالين ال limit تبع ال quotient تبع كل
+
+239
+00:30:59,740 --> 00:31:03,220
+واحدة بالساوي واحد لكن واحدة convergent واحدة
+
+240
+00:31:03,220 --> 00:31:08,140
+divergent وبالتالي ال test هذا بيفشل اذا كانت ال L
+
+241
+00:31:08,140 --> 00:31:12,420
+بالساوي واحد اما لو كانت ال L اصغر من واحدفال
+
+242
+00:31:12,420 --> 00:31:16,400
+sequence xn تطلع convergent للصفر إذا كان ال L
+
+243
+00:31:16,400 --> 00:31:21,740
+أكبر من 1 فال sequence تطلع divergent okay تمام
+
+244
+00:31:21,740 --> 00:31:30,340
+هذا هو ال ratio test فهل جبت أمثلة؟ كويس ممتاز طيب
+
+245
+00:31:30,340 --> 00:31:36,220
+إيش دخل دي؟ دي معناته بدك تستخدم طريقة تانية غير
+
+246
+00:31:36,220 --> 00:31:43,260
+ال ratio test صحيح لأن حسب سؤال 16الـ test بيفشل
+
+247
+00:31:43,260 --> 00:31:48,320
+إذا كانت limit ال ratio ال ratio test بيفشل إذا
+
+248
+00:31:48,320 --> 00:31:53,020
+كانت limit لل ratio بساوي واحد وبالتالي بدك تبحث
+
+249
+00:31:53,020 --> 00:31:54,300
+عن طريقة تانية
+
+250
+00:32:12,840 --> 00:32:31,940
+طيب في أسئلة تانية في
+
+251
+00:32:31,940 --> 00:32:35,300
+section تلاتة واحد و تلاتة اتنين في عندكم أي سؤال
+
+252
+00:32:35,300 --> 00:32:42,490
+مافيش أسئلة لسه مش دارسين مش محاضرينكان واحدة بس
+
+253
+00:32:42,490 --> 00:32:51,430
+لدرسة و هم اللي بيسألوا الأسئلة والباقي مستمع طيب
+
+254
+00:32:51,430 --> 00:32:54,930
+بتحبوا نرجع لأسئلة chapter اتنين في أسئلة في
+
+255
+00:32:54,930 --> 00:33:01,130
+chapter اتنين اذا
+
+256
+00:33:01,130 --> 00:33:10,470
+في عندكم أسئلة في section اتنين
+
+257
+00:33:10,470 --> 00:33:11,010
+اربعة
+
+258
+00:33:26,250 --> 00:33:35,710
+السؤال هذا يعني في الكتاب أعطيكم hint كيف
+
+259
+00:33:35,710 --> 00:33:41,790
+يعني تحلوه موجود في نهاية الكتاب فحاولوا تقرا أيه
+
+260
+00:33:41,790 --> 00:33:46,530
+تقرا ال hint هذا و تستفيدي منه و تشوفي يعني هذا
+
+261
+00:33:46,530 --> 00:33:54,780
+أكيد هساعدك في حل السؤال شفتيه قبل هيك؟طيب طلعي
+
+262
+00:33:54,780 --> 00:33:59,360
+خلف الكتاب فيه hint او ارشادات لبعض التمرين
+
+263
+00:33:59,360 --> 00:34:06,680
+بيعطيكي يعني طريقة مقتضبة لحل او بحط رجلك على طريق
+
+264
+00:34:06,680 --> 00:34:12,840
+الحل فحاولي تقرا ايه و تستفيدي منه و اذا فهمتي
+
+265
+00:34:12,840 --> 00:34:19,640
+الارشاد هذا ممكن تحل السؤال فانتي و زمايلكتطلعوا
+
+266
+00:34:19,640 --> 00:34:23,580
+على الإرشادات هذه تبعت التمرين أو بعض الحلول
+
+267
+00:34:23,580 --> 00:34:28,240
+المختصرة و حاولوا تستفيدوا منها و تفصلوها و تكتبوا
+
+268
+00:34:28,240 --> 00:34:35,340
+الحل بطريقة واضحة و كاملة فهسيبكم
+
+269
+00:34:35,340 --> 00:34:42,440
+تقرؤوا الإرشاد و تحاولوا تستفيدوا منه أي أسئلة
+
+270
+00:34:42,440 --> 00:34:49,980
+تانية في section 2 4 2 3 2 2إن واحد الجزء اللي
+
+271
+00:34:49,980 --> 00:34:56,460
+داخل الامتحان، في عندكم أي سؤال فيه؟ منين في عندها
+
+272
+00:34:56,460 --> 00:35:00,260
+سؤال؟
+
+273
+00:35:00,260 --> 00:35:07,020
+في أسئلة كتير حلوة ومهمة ويا بدوا أنكم مش مدرسين
+
+274
+00:35:07,020 --> 00:35:08,680
+ولا حتى مستعدين للامتحان
+
+275
+00:35:16,700 --> 00:35:20,800
+في اي اسلة في chapter 2 او chapter 3 الجزء الداخل
+
+276
+00:35:20,800 --> 00:35:21,960
+في الامتحان
+
+277
+00:36:04,610 --> 00:36:11,090
+فيش أسئلة؟ طيب
+
+278
+00:36:11,090 --> 00:36:15,390
+أنا هحللكم يعني كمان سؤالين واحد من section تلاتة
+
+279
+00:36:15,390 --> 00:36:21,070
+واحد وواحد من تلاتة اتنين
+
+280
+00:36:21,070 --> 00:36:28,670
+خليني
+
+281
+00:36:28,670 --> 00:36:29,830
+أحل السؤال
+
+282
+00:36:46,350 --> 00:36:58,770
+يعني مثلا يعني
+
+283
+00:36:58,770 --> 00:37:04,090
+مثلا السؤال الخامسة
+
+284
+00:37:04,090 --> 00:37:10,530
+السؤال
+
+285
+00:37:10,530 --> 00:37:16,320
+الخامسة الفرح دي section تلاتة واحدuse definition
+
+286
+00:37:16,320 --> 00:37:25,660
+use definition of limit to
+
+287
+00:37:25,660 --> 00:37:33,880
+establish انه
+
+288
+00:37:33,880 --> 00:37:37,800
+ال limit لإن
+
+289
+00:37:37,800 --> 00:37:44,970
+تربية سالب واحد علىتنين انتر بيه زائد تلاتة ال
+
+290
+00:37:44,970 --> 00:37:52,850
+sequence اللي حد العم تبعها الكاسر هذا بيساوي نص و
+
+291
+00:37:52,850 --> 00:37:56,410
+بيثبت ان ال sequence هذي convergence و نهايتها نص
+
+292
+00:37:56,410 --> 00:38:00,390
+بيستخدم ال definition ماهو ال definition المقصود
+
+293
+00:38:00,390 --> 00:38:06,700
+في هنااللي هو تعريف epsilon capital N لل limit أ��
+
+294
+00:38:06,700 --> 00:38:21,360
+للنهاية تعريف epsilon capital N طيب انا
+
+295
+00:38:21,360 --> 00:38:27,300
+في النهاية في نهاية المطاف تعريف epsilon capital N
+
+296
+00:38:31,470 --> 00:38:36,710
+عايزني أثبت أن المسافة بين xn اللي هو enter بيها
+
+297
+00:38:36,710 --> 00:38:42,510
+سالب واحد على اتنين enter بيها زائد تلاتة سالب نص
+
+298
+00:38:42,510 --> 00:38:47,270
+بدنا هذا يكون أصغر من أي given epsilon عدد موجه
+
+299
+00:38:47,270 --> 00:38:53,950
+لكل n أكبر من أو ساوي capital N حيث capital N عدد
+
+300
+00:38:53,950 --> 00:39:00,410
+طبيعي هنجيبه ويعتمد على ال epsilonفنشوف مع بعض هذا
+
+301
+00:39:00,410 --> 00:39:07,410
+إيه من الآخر طيب إذا هنا solution إذا بقول أنا
+
+302
+00:39:07,410 --> 00:39:12,490
+عايز في النهاية absolute interview سالب واحد على
+
+303
+00:39:12,490 --> 00:39:17,970
+اتنين interview زائد تلاتة سالب مصر بسأل نفسي متى
+
+304
+00:39:17,970 --> 00:39:24,570
+هذا بيكون أصغر من أي epsilon موجب هذا بكافئ
+
+305
+00:39:27,220 --> 00:39:34,160
+الـ absolute value بين واحد المقامات هي اتنين في
+
+306
+00:39:34,160 --> 00:39:40,260
+اتنين انت ربيع الزائد تلاتة و بيصير عندنا اتنين
+
+307
+00:39:40,260 --> 00:39:46,720
+انت ربيع سالب اتنين تضرب هذا في اتنين سالب اتنين
+
+308
+00:39:46,720 --> 00:39:53,680
+انت ربيع موجة بتلاتة لان هذا المقدار اللي فوق
+
+309
+00:39:53,680 --> 00:39:55,580
+بيبقى اصغر من epsilon
+
+310
+00:39:58,630 --> 00:40:02,730
+طيب أنا عندي اتنين in تربية و هاي سالب اتنين in
+
+311
+00:40:02,730 --> 00:40:07,450
+تربية بروحوا مع بعض و عندي سالب اتنين و السالب
+
+312
+00:40:07,450 --> 00:40:10,630
+تلاتة بطلع خمسة يعني دلوقتي بصير absolute سالب
+
+313
+00:40:10,630 --> 00:40:16,330
+خمسة على اتنين في
+
+314
+00:40:16,330 --> 00:40:19,230
+اتنين in تربية زائد تلاتة
+
+315
+00:40:24,890 --> 00:40:31,830
+بدي هذا يكون أصغر من ي طيب
+
+316
+00:40:31,830 --> 00:40:38,990
+هاد عبارة عن خمسة هاد
+
+317
+00:40:38,990 --> 00:40:48,570
+عبارة عن خمسة على اتنين اتنين enter بيها زي
+
+318
+00:40:48,570 --> 00:40:49,370
+التلاتة
+
+319
+00:40:52,780 --> 00:41:02,080
+متى بيكون هذا أصغر من epsilon هذا
+
+320
+00:41:02,080 --> 00:41:09,220
+بكافئ هذا
+
+321
+00:41:09,220 --> 00:41:15,900
+بكافئ ان اقول واحد متى بيكون واحد على اتنين انتر
+
+322
+00:41:15,900 --> 00:41:30,390
+بيه زائد تلاتة أصغر منإتنين على خمسة إبسلون طيب
+
+323
+00:41:30,390 --> 00:41:35,550
+إذا
+
+324
+00:41:35,550 --> 00:41:42,470
+أنا ممكن أستخدم ال Archimedean property إذا هنا
+
+325
+00:41:42,470 --> 00:41:49,690
+let إبسلون أكبر من السفر بجبل
+
+326
+00:41:51,720 --> 00:41:57,880
+نبدأ بأبسلون أكبر من السفر تعريف epsilon capital N
+
+327
+00:41:57,880 --> 00:42:02,160
+بيقول ابدا بأبسلون أكبر من السفر و جيب capital N
+
+328
+00:42:03,440 --> 00:42:07,880
+بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من إمسون لكل N
+
+329
+00:42:07,880 --> 00:42:15,440
+أكبر من ما يستوى capital N بحيث أن المسافة بين XN
+
+330
+00:42:15,440 --> 00:42:15,440
+و X أصغر من إمسون لكل N أكبر من ما يستوى capital N
+
+331
+00:42:15,440 --> 00:42:17,600
+بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من إمسون لكل N
+
+332
+00:42:17,600 --> 00:42:17,940
+أكبر من ما يستوى capital N بحيث أن المسافة بين XN
+
+333
+00:42:17,940 --> 00:42:20,660
+و X أصغر من إمسون لكل N أكبر من ما يستوى capital N
+
+334
+00:42:20,660 --> 00:42:21,360
+بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من إمسون لكل N
+
+335
+00:42:21,360 --> 00:42:23,640
+أكبر من ما يستوى capital N بحيث أن المسافة بين XN
+
+336
+00:42:23,640 --> 00:42:28,200
+و X أصغر
+
+337
+00:42:28,200 --> 00:42:35,040
+من إمسون لكل N أكبر من ما يستوى capital N بحit
+
+338
+00:42:35,040 --> 00:42:43,620
+choose it choose طبعا
+
+339
+00:42:43,620 --> 00:42:51,500
+by Archimedean property capital
+
+340
+00:42:51,500 --> 00:43:01,200
+N عدد طبيعي بحيث انه واحد علىإتنين في capital N
+
+341
+00:43:01,200 --> 00:43:07,820
+تربية زائد تلاتة أصغر من اتنين على خمسة epsilon
+
+342
+00:43:07,820 --> 00:43:20,180
+ممكن
+
+343
+00:43:20,180 --> 00:43:26,070
+ألاقي capital N عدد طبيعيمقنوب 2 في مربع زائد
+
+344
+00:43:26,070 --> 00:43:32,170
+تلاتة طبعا تلاتة مش epsilon واحد على اتنين enter
+
+345
+00:43:32,170 --> 00:43:41,290
+key زائد تلاتة اصغر من اتنين على خمسة epsilon الان
+
+346
+00:43:41,290 --> 00:43:46,770
+اذا لو اخدت small n اكبر من أوسع ال capital N هذا
+
+347
+00:43:46,770 --> 00:44:00,110
+بيقدي انه واحد علىتنين انت ربيع زائد تلاتة او بلاش
+
+348
+00:44:00,110 --> 00:44:09,230
+absolute اه بيقدي ان absolute طيب
+
+349
+00:44:09,230 --> 00:44:16,750
+هذا بيقدي ان الكلام هذا اصغر من او يساوي واحد على
+
+350
+00:44:16,750 --> 00:44:25,510
+اتنين capital enter بيه زائد تلاتةوبالتالي هذا
+
+351
+00:44:25,510 --> 00:44:31,390
+بيقدي ان ال absolute value لان تربية سالب واحد على
+
+352
+00:44:31,390 --> 00:44:42,670
+اتنين ان تربية سالب تلاتة سالب نص طلع هذا
+
+353
+00:45:09,580 --> 00:45:16,580
+خمسة على اتنين
+
+354
+00:45:16,580 --> 00:45:20,140
+في اتنين enter بي عزائى التلاتة
+
+355
+00:45:28,400 --> 00:45:34,680
+وهذا هيطلع أصغر منه ويسوي خمسة على اتنين في اتنين
+
+356
+00:45:34,680 --> 00:45:42,000
+capital Interbias زاد تلاتة ومن هنا هذا أصغر من
+
+357
+00:45:42,000 --> 00:45:47,320
+خمسة
+
+358
+00:45:47,320 --> 00:45:54,280
+على اتنين ضرب اتنين على خمسة في epsilon اللي هو
+
+359
+00:45:54,280 --> 00:45:55,160
+بيطلع epsilon
+
+360
+00:45:59,840 --> 00:46:03,560
+أذن هذه لأي epsilon أكبر من صفر لجيت فيه capital N
+
+361
+00:46:03,560 --> 00:46:08,200
+مرتبطة لcapital N هي في epsilon depends on epsilon
+
+362
+00:46:08,200 --> 00:46:12,280
+بتعتمد على epsilon بحيث لكل n أكبر من او سوى
+
+363
+00:46:12,280 --> 00:46:17,920
+capital N طلع absolute xn minus x أصغر من epsilon
+
+364
+00:46:19,350 --> 00:46:24,350
+طبعا إذا هذا حسب تعريف by definition of epsilon
+
+365
+00:46:24,350 --> 00:46:29,770
+capital N of limit بطلع عندي limit N تربيع سالب
+
+366
+00:46:29,770 --> 00:46:34,750
+واحد على اتنين N تربيع زائد تلاتة لما N تقول
+
+367
+00:46:34,750 --> 00:46:37,830
+infinity بساوي نص
+
+368
+00:46:44,620 --> 00:46:48,560
+بالمثل ممكن نحل باقى التمرين اللى هى الفروع A وB
+
+369
+00:46:48,560 --> 00:46:54,940
+وC باستخدام التعريف فحاولوا تتدربوا على التمرين
+
+370
+00:46:54,940 --> 00:47:02,700
+هادى و تحلوا أسئلة زيها فى حد عنده أي سؤال تانى فى
+
+371
+00:47:02,700 --> 00:47:07,260
+هذا ال section طيب
+
+372
+00:47:07,260 --> 00:47:12,220
+نحل كمان سؤال فى section تلاتة اتنين
+
+373
+00:47:27,570 --> 00:47:34,750
+في انكم أي سؤال بسكتشن تلاتة اتنين اخر
+
+374
+00:47:34,750 --> 00:47:35,250
+سؤال
+
+375
+00:47:57,080 --> 00:48:03,480
+هي سؤال واحد وعشرين section تلاتة
+
+376
+00:48:03,480 --> 00:48:13,760
+اتنين suppose
+
+377
+00:48:13,760 --> 00:48:24,980
+افترضي ان ال sequence x in converge ل x and ال
+
+378
+00:48:24,980 --> 00:48:33,200
+sequence y inand yn is such that is a sequence
+
+379
+00:48:33,200 --> 00:48:40,900
+such that for any epsilon for
+
+380
+00:48:40,900 --> 00:48:46,240
+any epsilon أكبر من السفر يوجد
+
+381
+00:48:46,240 --> 00:48:53,780
+m بحيث يوجد عدد m such that
+
+382
+00:48:56,580 --> 00:49:06,460
+absolute xn minus yn أصغر من إبسلون لكل N أكبر من
+
+383
+00:49:06,460 --> 00:49:14,260
+أو ساو كابتل N فالسؤال
+
+384
+00:49:14,260 --> 00:49:19,060
+does it
+
+385
+00:49:19,060 --> 00:49:22,820
+follow هل
+
+386
+00:49:22,820 --> 00:49:34,030
+ينتج من ذلكهل ال sequence yn تطلع
+
+387
+00:49:34,030 --> 00:49:44,210
+convergent فنشوف
+
+388
+00:49:44,210 --> 00:49:44,930
+مع بعض
+
+389
+00:49:53,440 --> 00:49:59,260
+كمان مرة اندي two sequences واحدة x in واحدة y in
+
+390
+00:49:59,260 --> 00:50:04,280
+ال sequence x in مُعطَى انها convergent to some x
+
+391
+00:50:04,280 --> 00:50:08,880
+إلى عدد ما x ال limit تبقى تاكس وال sequence y in
+
+392
+00:50:08,880 --> 00:50:14,600
+بتحقق الشرط هذا وهو
+
+393
+00:50:14,600 --> 00:50:19,600
+انه لأي epsilon أكبر من سفر في عدد طبيعي حتى هذا
+
+394
+00:50:19,600 --> 00:50:27,790
+عدد طبيعي المفروض يكونبنشر ال number بحيث انه لكل
+
+395
+00:50:27,790 --> 00:50:31,810
+n أكبر من ما يستوى capital N المسافة بين xn وyn
+
+396
+00:50:31,810 --> 00:50:35,510
+أصغر من نف��ها هل هذا بيقدم ال sequence yn
+
+397
+00:50:35,510 --> 00:50:40,870
+convergent؟ هنشوف الآن أن فعلا تطلع ال sequence yn
+
+398
+00:50:40,870 --> 00:50:46,130
+convergent ونهايتها هي نفس نهاية ال sequence xn
+
+399
+00:50:46,130 --> 00:50:51,270
+لأن هنا الإجابة yes
+
+400
+00:50:53,550 --> 00:51:01,270
+and y in converge to x لكن
+
+401
+00:51:01,270 --> 00:51:07,570
+هذا بيده برهان اذا
+
+402
+00:51:07,570 --> 00:51:11,370
+to see this
+
+403
+00:51:11,370 --> 00:51:16,610
+نبدأ
+
+404
+00:51:16,610 --> 00:51:18,610
+بإبسلون أكبر من السفر
+
+405
+00:51:36,810 --> 00:51:44,450
+let by hypothesis من الفرض من
+
+406
+00:51:44,450 --> 00:51:50,820
+الفرض من ال hypothesisأنا عندي absolute xn minus
+
+407
+00:51:50,820 --> 00:51:54,860
+yn أصغر
+
+408
+00:51:54,860 --> 00:52:03,700
+من إبسلون أكبر من أو ساوي سفر وهذا صحيح لكل n أكبر
+
+409
+00:52:03,700 --> 00:52:10,440
+من أو ساوي capital M وهذا
+
+410
+00:52:10,440 --> 00:52:15,380
+الكلام صحيح لكل إبسلون أكبر من السفر
+
+411
+00:52:24,820 --> 00:52:36,980
+فمن هنا فمن
+
+412
+00:52:36,980 --> 00:52:45,680
+هنا بهدف بيقدي ان ال limit ل xn minus yn لما n
+
+413
+00:52:45,680 --> 00:52:49,420
+تقول infinity بساوي سفر
+
+414
+00:52:54,150 --> 00:52:58,570
+مش شرط هذا انا
+
+415
+00:52:58,570 --> 00:53:03,950
+عندي ال ..
+
+416
+00:53:03,950 --> 00:53:08,010
+ما معناه ان limit ال sequence هذه بساوة سفر؟ معناه
+
+417
+00:53:08,010 --> 00:53:16,620
+لأي epsilon أكبر من السفر يوجد capital Mعدد طبيعي
+
+418
+00:53:16,620 --> 00:53:21,840
+يعتمد على إبسلن بحيث أنه لكل n أكبر من أو ساوي
+
+419
+00:53:21,840 --> 00:53:28,860
+capital N هذا بيقدي أن absolute xn minus yn minus
+
+420
+00:53:28,860 --> 00:53:34,700
+الصفر أصغر من إبسلنهي معنى ان limit ال sequence
+
+421
+00:53:34,700 --> 00:53:40,740
+للفرق بساوي سفر ايش معنى هذا لأي epsilon أكبر من
+
+422
+00:53:40,740 --> 00:53:46,660
+سفر يوجد capital M يعتمد على N عدد طبيعي يعتمد على
+
+423
+00:53:46,660 --> 00:53:51,020
+ال epsilon بحيث لكل N أكبر من أو ساوي capital N
+
+424
+00:53:51,020 --> 00:53:55,540
+المسافة بين الحد العام لل sequence و limit اللي هي
+
+425
+00:53:55,540 --> 00:54:00,140
+سفر أصغر من epsilon هذا الكلام هى متحقق هنا هى
+
+426
+00:54:00,140 --> 00:54:04,850
+متحققتامام؟ إذا هذا بنحصل عليه وبالتالي limit xn
+
+427
+00:54:04,850 --> 00:54:14,070
+minus yn بساوي سفر ومنها الآن أنا عندي ال yn ممكن
+
+428
+00:54:14,070 --> 00:54:20,870
+كتبتها على صورة yn
+
+429
+00:54:20,870 --> 00:54:32,610
+سالب xn موجب xnوهذا بيساوي سالب Xn سالب Yn زاد Xn
+
+430
+00:54:32,610 --> 00:54:40,630
+تمام؟ إذا ال limit ل Yn as n tends to infinity
+
+431
+00:54:40,630 --> 00:54:49,110
+بيساوي limit الطرف اليمين ف limit Xn سالب Yn
+
+432
+00:54:49,110 --> 00:54:56,410
+مضروبة في سالب واحد بيطلع برا ال limitزائد limit
+
+433
+00:54:56,410 --> 00:55:03,770
+xn لما n تقول لإنفينيتي وهنا
+
+434
+00:55:03,770 --> 00:55:08,770
+لسه احنا مثبتين هذا عبارة عن سالب limit sequence
+
+435
+00:55:08,770 --> 00:55:16,570
+xn minus yn بالساوية سفر، سالد واحد في سفر
+
+436
+00:55:19,990 --> 00:55:26,850
+زاد limit xn اللي هي x تمام اذا limit ال sequence
+
+437
+00:55:26,850 --> 00:55:32,370
+yn تطلع بالساوي x اذا
+
+438
+00:55:32,370 --> 00:55:37,210
+هنا اثبتنا ان ال sequence yn تطلع convergent وال
+
+439
+00:55:37,210 --> 00:55:44,210
+limit تبعتها بالساوي x تمامالبرهان هنا اعتمد على
+
+440
+00:55:44,210 --> 00:55:49,890
+انه من الفرض انا عندي المثال لأي epsilon هذا الفرض
+
+441
+00:55:49,890 --> 00:55:57,390
+معناه ان limit ال sequence x in minus y in بالساوي
+
+442
+00:55:57,390 --> 00:56:04,290
+سفر وهذا اللي ساعدنا في الحل وهذا ناتج هي من تعريف
+
+443
+00:56:04,290 --> 00:56:09,190
+epsilon capital N لل limit هذا هو البرهان
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/YiGM8L9BEY0_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1332 @@
+1
+00:00:20,920 --> 00:00:26,360
+بسم الله الرحمن الرحيم اليوم هناخد أخر لقاء في ال
+
+2
+00:00:26,360 --> 00:00:31,460
+course وهو تكملة section خمسة أربعة في الكتاب
+
+3
+00:00:31,460 --> 00:00:38,850
+المقرر اللي بتكلم عن ال uniform continuityفي
+
+4
+00:00:38,850 --> 00:00:45,330
+المحاضرة السابقة عرفنا الاتصال المنتظم وشوفنا
+
+5
+00:00:45,330 --> 00:00:49,930
+أثبتنا نظريات
+
+6
+00:00:49,930 --> 00:00:54,170
+مهمة عن الاتصال المنتظم أو عدم الاتصال المنتظم
+
+7
+00:00:54,170 --> 00:00:58,850
+فأخدنا ال non uniform continuity criterion اللي
+
+8
+00:00:58,850 --> 00:01:04,770
+حسبها أو ممكن نستخدمها في اثبات أن دالة محددة ليست
+
+9
+00:01:04,770 --> 00:01:09,750
+uniform ل continuous على مجموعةمحددة جزئية من
+
+10
+00:01:09,750 --> 00:01:13,330
+الأعداد الحقيقية فكان في عندي non uniform
+
+11
+00:01:13,330 --> 00:01:18,270
+continuity criterion و آخر نظرية أثبتنا نظرية مهمة
+
+12
+00:01:18,270 --> 00:01:22,490
+هو هي ال uniform continuity criterion اللي بتقول
+
+13
+00:01:22,490 --> 00:01:27,650
+أنه لو كانت ال function تبعتي متصلة
+
+14
+00:01:28,780 --> 00:01:31,940
+على المجال تبعها والمجال تبعها closed bounded
+
+15
+00:01:31,940 --> 00:01:38,760
+interval فالاتصال يتحول الى اتصال منتظم طبعا احنا
+
+16
+00:01:38,760 --> 00:01:43,120
+شفنا في المحاضرة السابقة انه دايما الاتصال المنتظم
+
+17
+00:01:43,120 --> 00:01:47,200
+اقوى من الاتصال العادى لو كانت الدالة uniform ل
+
+18
+00:01:47,200 --> 00:01:50,960
+continuous فبتكون continuous لكن العكس ليس صحيح
+
+19
+00:01:52,640 --> 00:02:00,080
+فخدنا مثال على دالة function دالة واحد على X شفنا
+
+20
+00:02:00,080 --> 00:02:04,920
+أنها متصلة continuous على الفترة المفتوحة من سفر
+
+21
+00:02:04,920 --> 00:02:09,620
+إلى ملا نهاية but it was not uniformly continuous
+
+22
+00:02:09,620 --> 00:02:15,780
+على نفس الفترة وبالتالي الاتصال العادي لا يؤدي
+
+23
+00:02:15,780 --> 00:02:22,820
+للاتصال المنطماليوم هنتعرف على نوع جديد من ال
+
+24
+00:02:22,820 --> 00:02:27,040
+functions وهو لبسش functions و ال functions هدول
+
+25
+00:02:27,040 --> 00:02:32,200
+هتكونوا دائما كلهم uniformly continuous فنعرف لبسش
+
+26
+00:02:32,200 --> 00:02:38,640
+function definition a
+
+27
+00:02:38,640 --> 00:02:42,680
+function f
+
+28
+00:02:42,680 --> 00:02:44,740
+from a to r
+
+29
+00:02:47,770 --> 00:02:58,050
+إذ لبسش .. بنسميها
+
+30
+00:02:58,050 --> 00:03:03,010
+لبسش on
+
+31
+00:03:03,010 --> 00:03:10,310
+a إذا وجد if there exists k positive number such
+
+32
+00:03:10,310 --> 00:03:13,510
+that absolute f of x
+
+33
+00:03:36,970 --> 00:03:40,090
+وطبعا ممكن اثبات بكل سهولة
+
+34
+00:03:49,120 --> 00:03:55,860
+الأن هنثبت و هنشوف أنه كل لبسش function أو كل
+
+35
+00:03:55,860 --> 00:04:00,320
+function بتحقق لبسش condition اللي هو الشرط هذا
+
+36
+00:04:07,690 --> 00:04:12,250
+كل function بتحقق لبسش condition أو .. أو سمنها
+
+37
+00:04:12,250 --> 00:04:17,910
+لبسش function بتكون uniformly continuous فنشوف
+
+38
+00:04:17,910 --> 00:04:23,390
+المرحلة دالك إذا هنا every أو
+
+39
+00:04:23,390 --> 00:04:33,270
+if .. if from a to r is لبسش is
+
+40
+00:04:33,270 --> 00:04:47,300
+لبشسon a then it is uniformly continuous
+
+41
+00:04:47,300 --> 00:04:56,080
+on a proof
+
+42
+00:04:56,080 --> 00:05:00,840
+assume
+
+43
+00:05:03,530 --> 00:05:10,310
+إذا كان لبسش على
+
+44
+00:05:10,310 --> 00:05:20,250
+a ثم حسب التعريف هناك كمية positive كمية كمية كامة
+
+45
+00:05:20,250 --> 00:05:20,470
+كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية
+
+46
+00:05:20,470 --> 00:05:20,690
+كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية
+
+47
+00:05:20,690 --> 00:05:21,490
+كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية
+
+48
+00:05:21,490 --> 00:05:21,530
+كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية
+
+49
+00:05:21,530 --> 00:05:21,690
+كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية
+
+50
+00:05:21,690 --> 00:05:28,390
+كمية كمية كمية
+
+51
+00:05:28,390 --> 00:05:38,840
+كمk times absolute x minus u for all x where u and
+
+52
+00:05:38,840 --> 00:05:52,180
+a طيب
+
+53
+00:05:52,180 --> 00:05:55,760
+لتسمي ال condition هذا star
+
+54
+00:05:58,650 --> 00:06:02,570
+let epsilon أكبر من السفر بيجبن let epsilon أكبر
+
+55
+00:06:02,570 --> 00:06:05,490
+من السفر بيجبن let epsilon أكبر من السفر بيجبن let
+
+56
+00:06:05,490 --> 00:06:06,290
+epsilon أكبر من السفر بيجبن let epsilon أكبر من
+
+57
+00:06:06,290 --> 00:06:06,550
+السفر بيجبن let epsilon أكبر من السفر بيجبن let
+
+58
+00:06:06,550 --> 00:06:06,570
+epsilon أكبر من السفر بيجبن let epsilon أكبر من
+
+59
+00:06:06,570 --> 00:06:07,810
+السفر بيجبن let epsilon أكبر من السفر بيجبن let
+
+60
+00:06:07,810 --> 00:06:09,990
+epsilon أكبر من السفر بيجبن
+
+61
+00:06:23,960 --> 00:06:29,040
+عدد موجة إبسلون على K بيطلع عدد موجة وبالتالي إذن
+
+62
+00:06:29,040 --> 00:06:35,920
+هنا أثبتت إن user Delta تعتمد على إبسلون فقط فلهذه
+
+63
+00:06:35,920 --> 00:06:42,280
+الإبسلون then لو كانت X و U موجودين في A و
+
+64
+00:06:42,280 --> 00:06:47,840
+Absolute X minus U أصغر من Delta فهذا هيقدّي إن
+
+65
+00:06:47,840 --> 00:07:01,000
+Absolute F of X-f of u باي ستار حسب المتباينة star
+
+66
+00:07:01,000 --> 00:07:06,600
+هذا بيطلع أصغر منه ساوي absolute x minus u
+
+67
+00:07:13,020 --> 00:07:18,320
+وانا عندي absolute x minus u أصغر من دلتا اذا هذا
+
+68
+00:07:18,320 --> 00:07:25,240
+أصغر عفوا by star في عندي هنا k ضرب absolute x
+
+69
+00:07:25,240 --> 00:07:31,780
+minus u الان انا عندي absolute x minus u أصغر من
+
+70
+00:07:31,780 --> 00:07:36,840
+دلتا لأن هذا أصغر من k في دلتا وانا عندي ماخد دلتا
+
+71
+00:07:36,840 --> 00:07:45,940
+بالساوي y على kأصبح هذا أصغر من إبسلون لأي
+
+72
+00:07:45,940 --> 00:07:52,500
+إبسلون أكبر من 0 يوجد delta تعتمد على إبسلون فقط
+
+73
+00:07:52,500 --> 00:07:59,340
+بحيث أنه لكل x و u في a المسافة بينهم أصغر من
+
+74
+00:07:59,340 --> 00:08:02,820
+delta طلع المسافة بين ال images أصغر من إبسلون
+
+75
+00:08:06,120 --> 00:08:11,800
+epsilon أكبر من السفر was arbitrary، إذن هذا صحيح
+
+76
+00:08:11,800 --> 00:08:15,580
+لكل epsilon وبالتالي by definition، إذن ال
+
+77
+00:08:15,580 --> 00:08:20,780
+function f is uniformly continuous
+
+78
+00:08:20,780 --> 00:08:30,340
+on E، وهو المطلوب إذن هناك أثبتنا إن كل لبسش
+
+79
+00:08:30,340 --> 00:08:34,120
+function is uniformly continuous
+
+80
+00:08:36,360 --> 00:08:45,020
+لكن العكس ليس صحيحا .. العكس ليس صحيحا remark ..
+
+81
+00:08:45,020 --> 00:08:55,400
+remark the
+
+82
+00:08:55,400 --> 00:09:00,740
+canvas .. the canvas of above theorem
+
+83
+00:09:05,350 --> 00:09:11,730
+is false for
+
+84
+00:09:11,730 --> 00:09:16,970
+example على سبيل المثال يعني معنى آخر لو كانت ال
+
+85
+00:09:16,970 --> 00:09:24,750
+function uniform ل continuous مش شرط تكون لبسش على
+
+86
+00:09:24,750 --> 00:09:31,370
+نفس ال function على نفس ال .. for example consider
+
+87
+00:09:35,170 --> 00:09:48,950
+Consider الـ function f of x بساوي جدر الـ x هو
+
+88
+00:09:48,950 --> 00:09:54,790
+x ينتمي ل I بساوي closed interval من صفر لاثنين
+
+89
+00:10:07,930 --> 00:10:14,030
+by exercise فى exercise أخدناه اللى هو جبنالكم
+
+90
+00:10:14,030 --> 00:10:23,090
+إياه سؤال فى الامتحان ال exercise هذا كان .. خلينا
+
+91
+00:10:23,090 --> 00:10:23,730
+نشوف
+
+92
+00:10:39,170 --> 00:10:45,750
+أو ممكن اثبات أن الدالة هذه is continuous طيب
+
+93
+00:10:45,750 --> 00:10:52,030
+اه
+
+94
+00:10:52,030 --> 00:10:55,910
+by exercise
+
+95
+00:10:55,910 --> 00:11:04,250
+في chapter اربعة اربعة واحد question تمام اه اربعة
+
+96
+00:11:04,250 --> 00:11:11,540
+واحد مظبوط صحيحby exercise تمامية section اربعة
+
+97
+00:11:11,540 --> 00:11:16,540
+واحد ال
+
+98
+00:11:16,540 --> 00:11:24,940
+function if is continuous على الفترة لأن في هداك
+
+99
+00:11:24,940 --> 00:11:32,480
+ال exercise هتتبتو انه limit جدر ال X لما X تقول ل
+
+100
+00:11:32,480 --> 00:11:42,910
+C بساوي جدر ال Cلكل C أكبر من أو ساوي السفر طبعا
+
+101
+00:11:42,910 --> 00:11:48,030
+في ال exercise ماخد C أكبر من السفر لكن لما C
+
+102
+00:11:48,030 --> 00:11:52,950
+بساوي السفر فهذا trivial وبالتالي هذا معناه أن
+
+103
+00:11:52,950 --> 00:11:59,890
+دالة F هذا
+
+104
+00:11:59,890 --> 00:12:05,330
+معناه شرط ا��اتصال عن C متحقق فهذا معناه أن F is
+
+105
+00:12:05,330 --> 00:12:12,720
+continuousAt C وده صحيح لكل C أكبر من أوسعها سفر
+
+106
+00:12:12,720 --> 00:12:20,520
+وبالتالي اذا F is continuous على الفترة من سفر إلى
+
+107
+00:12:20,520 --> 00:12:25,140
+ملا نهاية وبالتالي متصلة على الفترة من سفر إلى
+
+108
+00:12:25,140 --> 00:12:33,460
+اتنين اللي هي جزوة منها okay تمام طيب اذا
+
+109
+00:12:40,220 --> 00:12:48,440
+إذا by طيب since I بساو الفترة من الزفر لإتنين
+
+110
+00:12:48,440 --> 00:12:58,140
+الفترة هذه is closed and bounded و
+
+111
+00:12:58,140 --> 00:13:05,080
+if continuous عليها then by
+
+112
+00:13:05,080 --> 00:13:09,520
+uniform continuity theorem
+
+113
+00:13:11,440 --> 00:13:14,900
+نظرية الاتصال المنتظم بتقول إذا كان في عندي
+
+114
+00:13:14,900 --> 00:13:20,060
+function f متصلة على فترة مغلقة أو محدودة فالاتصال
+
+115
+00:13:20,060 --> 00:13:25,320
+هذا بيكون اتصال منتظم uniform continuity ففي عندي
+
+116
+00:13:25,320 --> 00:13:32,800
+by uniform continuity theorem تطلع f is uniformly
+
+117
+00:13:32,800 --> 00:13:39,840
+continuous
+
+118
+00:13:41,540 --> 00:13:48,120
+على الفترة I إذاً هي مثال على function uniform ل
+
+119
+00:13:48,120 --> 00:13:52,880
+continuous على المجال تبعها هنشوف الآن إن هذه ال
+
+120
+00:13:52,880 --> 00:14:07,060
+function ما هياش لبسش على نفس الفترة إذا
+
+121
+00:14:07,060 --> 00:14:07,640
+ال claim
+
+122
+00:14:13,370 --> 00:14:23,650
+if is not .. if is not لبسش على
+
+123
+00:14:23,650 --> 00:14:28,590
+الفترة I فلبرحان
+
+124
+00:14:28,590 --> 00:14:33,990
+ذلك assume
+
+125
+00:14:33,990 --> 00:14:37,950
+on
+
+126
+00:14:37,950 --> 00:14:38,670
+contrary
+
+127
+00:14:43,190 --> 00:14:48,550
+assume on contrary that
+
+128
+00:14:48,550 --> 00:15:01,650
+if is لبسش on
+
+129
+00:15:01,650 --> 00:15:04,090
+I then
+
+130
+00:15:06,570 --> 00:15:14,610
+there exists k أكبر من السفر بحيث أنه absolute f
+
+131
+00:15:14,610 --> 00:15:28,610
+of x minus f of u أصغر منها ساوي k في absolute x
+
+132
+00:15:28,610 --> 00:15:36,950
+minus u لكل xهو you تنتمي للفترة I اللى هى الفترة
+
+133
+00:15:36,950 --> 00:15:39,970
+المغلطة من سفر لاتنين
+
+134
+00:15:59,060 --> 00:16:04,840
+إذا ان هنا فرضنا ال contrary و يطلع ان بيطلع عندى
+
+135
+00:16:04,840 --> 00:16:09,160
+فيه huge العدد موجة بحيث كان أنا ادم اتحقق وهذا
+
+136
+00:16:09,160 --> 00:16:15,340
+بيقدر ان absolute f of x لو خدنا u بساوة سفر minus
+
+137
+00:16:15,340 --> 00:16:24,910
+f of 0 أصغر لو ساوة k فabsolute xوهذا صحيح لكل x
+
+138
+00:16:24,910 --> 00:16:32,150
+تنتمي للفترة I إذا أنا هنا أخدت U بساوي سفر و
+
+139
+00:16:32,150 --> 00:16:39,070
+السفر ينتمي للفترة I طيب أنا عندي F صفر بساوي سفر
+
+140
+00:16:39,070 --> 00:16:44,030
+إذا
+
+141
+00:16:44,030 --> 00:16:47,130
+بطلع عندي absolute
+
+142
+00:16:48,770 --> 00:16:58,510
+f of x أصغر من أو يساوي k في absolute ال X وهذا
+
+143
+00:16:58,510 --> 00:17:04,470
+صحيح لكل X تم تمي لفترة I هي الفترة المغلقة من
+
+144
+00:17:04,470 --> 00:17:09,690
+السفر لفترة بس
+
+145
+00:17:09,690 --> 00:17:14,810
+هذا هيدي لتناقل طيب
+
+146
+00:17:15,530 --> 00:17:28,330
+تاك لو أخدت x بساوي واحد على n تربيها فهذا
+
+147
+00:17:28,330 --> 00:17:33,990
+عبارة عن .. هذا ينتمي للفترة .. للفترة المغلفة من
+
+148
+00:17:33,990 --> 00:17:40,410
+سفر لإتنين اللي هي I لأن هذا عدد موجب لكل n ينتمي
+
+149
+00:17:40,410 --> 00:17:46,820
+ل N لكل عدد طبيعي هذا بطلعينتمي للفترة هذه
+
+150
+00:17:46,820 --> 00:17:54,300
+وبالتالي إذا المفروض يطلع absolute if لواحد على N
+
+151
+00:17:54,300 --> 00:18:02,060
+تربية أصغر من أو يساوي K في absolute واحد على N
+
+152
+00:18:02,060 --> 00:18:10,840
+تربية هذا صحيح لكل N في Nطيب if واحد على ان تربية
+
+153
+00:18:10,840 --> 00:18:16,760
+بيطلع بساوي الجدر التربية إلى واحد على ان تربية
+
+154
+00:18:16,760 --> 00:18:20,200
+اللي
+
+155
+00:18:20,200 --> 00:18:26,600
+هو عبارة عن واحد على ان ف absolute واحد على ان
+
+156
+00:18:26,600 --> 00:18:34,100
+بيطلع واحد على ان أصغر من أو ساوي كفي واحد على ان
+
+157
+00:18:34,100 --> 00:18:43,520
+تربية هذا صحيحلكل N في N اضرب
+
+158
+00:18:43,520 --> 00:18:50,880
+المتدينة هذه في N تربية فبطلع عندي N أصغر من أو
+
+159
+00:18:50,880 --> 00:18:59,320
+ساوي K for all N في N وهذا بتناقض مع ال
+
+160
+00:18:59,320 --> 00:19:06,040
+Archimedean property which contradicts
+
+161
+00:19:07,330 --> 00:19:11,130
+التي تتناقض
+
+162
+00:19:11,130 --> 00:19:19,250
+مع مين؟ التي تتناقض مع الـ Archimedean property
+
+163
+00:19:23,770 --> 00:19:28,110
+خاصية Archimedes لأن خاصية Archimedes بتقوللي لأي
+
+164
+00:19:28,110 --> 00:19:35,690
+عدد K عدد موجب أو أي عدد حقيقي K يوجد N0 عدد طبيعي
+
+165
+00:19:35,690 --> 00:19:45,660
+لحيث أن N0 أكبر من K صح؟و من هنا كل الأعداد
+
+166
+00:19:45,660 --> 00:19:53,360
+الطبيعية من ضمنها N0 أشملها أصغر من أو يساوي ال K
+
+167
+00:19:53,360 --> 00:20:00,740
+فبطلع N0 أكبر من N0 contradiction إذا السبب ال
+
+168
+00:20:00,740 --> 00:20:04,640
+contradiction هذا أنه إيه ال assumption الفرض
+
+169
+00:20:04,640 --> 00:20:12,440
+تبعنا ال assumption تبعنا أن F is لبسش on I okay
+
+170
+00:20:14,100 --> 00:20:19,120
+إذاً هذا بتثبت هذا ال contradiction بتثبت أن ال is
+
+171
+00:20:19,120 --> 00:20:29,820
+عفوًا if is not لبسش on
+
+172
+00:20:29,820 --> 00:20:37,120
+a أو i وهو المطلوب إذاً هذا مثال على function
+
+173
+00:20:37,120 --> 00:20:44,810
+uniformly continuous على set معينةلكنها ليست لبسش
+
+174
+00:20:44,810 --> 00:20:50,450
+لكن أثبتنا قبل ايه ان كل لبسش function is always
+
+175
+00:20:50,450 --> 00:20:57,750
+uniformly continuous ناخد
+
+176
+00:20:57,750 --> 00:20:58,770
+بعض الأمثلة
+
+177
+00:21:26,120 --> 00:21:35,220
+example led f of x بساوي x تربية و x ينتمي
+
+178
+00:21:35,220 --> 00:21:41,800
+للمجموعة a اللي هي الفترة المغلقة من سفر إلى بي
+
+179
+00:21:41,800 --> 00:21:50,410
+حيث بي أي عدد موجب بي أي عدد موجببنأثبت أن الـ
+
+180
+00:21:50,410 --> 00:21:59,950
+function هذه تطلع uniformly continuous show
+
+181
+00:21:59,950 --> 00:22:05,950
+that show
+
+182
+00:22:05,950 --> 00:22:11,670
+أن f is uniformly continuous
+
+183
+00:22:11,670 --> 00:22:23,720
+on a ففيه برهنيناو حالين proof one حال الأول since
+
+184
+00:22:23,720 --> 00:22:28,400
+if
+
+185
+00:22:28,400 --> 00:22:37,400
+is continuous on a being
+
+186
+00:22:37,400 --> 00:22:39,440
+a polynomial
+
+187
+00:22:44,780 --> 00:22:47,300
+لأنها polynomial و احنا قلنا كل polynomial
+
+188
+00:22:47,300 --> 00:22:51,800
+function متصل على R وبالتالي على أي مجموعة جزئية
+
+189
+00:22:51,800 --> 00:22:59,760
+من R زي المجموعة A اللي هي الفترة المغلقة من سفر
+
+190
+00:22:59,760 --> 00:23:05,620
+إلى الـ B ف
+
+191
+00:23:05,620 --> 00:23:10,920
+if is continuous على A كونها polynomial and بما
+
+192
+00:23:10,920 --> 00:23:19,480
+انه and sinceالـ set A هذه اللي هي عبارة عن الفترة
+
+193
+00:23:19,480 --> 00:23:29,320
+المغلقة من سفر لـ B is closed and bounded and
+
+194
+00:23:29,320 --> 00:23:34,500
+bounded interval
+
+195
+00:23:34,500 --> 00:23:44,980
+then by uniform continuity theorem
+
+196
+00:23:47,180 --> 00:23:53,380
+حسب نظرية الاتصال المنتظم اللى بتقول لو كان فيها
+
+197
+00:23:53,380 --> 00:23:57,140
+function مجالها closed bounded interval و ال
+
+198
+00:23:57,140 --> 00:24:03,120
+function متصل عليها فالاتصال بتحول الى اتصال منتظم
+
+199
+00:24:03,120 --> 00:24:08,040
+اذا ال function f is uniformly
+
+200
+00:24:10,270 --> 00:24:16,870
+continuous on a وهذا برهان لأنه ممكن نستخدم ال
+
+201
+00:24:16,870 --> 00:24:20,550
+uniform continuity theorem لإثبات أنه function
+
+202
+00:24:20,550 --> 00:24:24,970
+اللي زي هذه الدالة التربية uniform continuous على
+
+203
+00:24:24,970 --> 00:24:32,550
+أي فترة مغلقة زي الفترة هذه الحل
+
+204
+00:24:32,550 --> 00:24:37,830
+التاني ممكن نثبت أن الدالة هذه لمساش برضه و أستخدم
+
+205
+00:24:37,830 --> 00:24:38,710
+نظرية هذه
+
+206
+00:24:41,510 --> 00:24:48,950
+انشوف مع بعض، هنا البرهان تاني أو برهان رقم اتنين،
+
+207
+00:24:48,950 --> 00:24:58,810
+proof اتنين claim
+
+208
+00:24:58,810 --> 00:25:03,950
+انه F is لبسش
+
+209
+00:25:08,200 --> 00:25:18,740
+on a التي هي الفترة المغلفة من سفر إلى بى
+
+210
+00:25:18,740 --> 00:25:26,260
+فالإثبات هذا الكلام تعالى نشوف هي absolute f of x
+
+211
+00:25:26,260 --> 00:25:35,000
+minus f of u ايش بيساوي absolute x
+
+212
+00:25:35,820 --> 00:25:43,960
+تربية minus U تربية بساوي absolute X زائد U في
+
+213
+00:25:43,960 --> 00:25:51,860
+absolute X minus U وهذا بساوي absolute X زائد U في
+
+214
+00:25:51,860 --> 00:25:58,640
+absolute X negative U و by triangle inequality
+
+215
+00:25:58,640 --> 00:26:04,330
+absolute X زائد U أصغر من أو ساوي absolute Xزاد
+
+216
+00:26:04,330 --> 00:26:13,910
+absolute u كل هذا مضروف absolute x minus u الان
+
+217
+00:26:13,910 --> 00:26:19,970
+ال u و ال x ينتموا للمجال تبع الدولة وبالتالي
+
+218
+00:26:19,970 --> 00:26:29,990
+كلاهما عداد غير سالفة و كلاهما أصغر من أو يساوي ال
+
+219
+00:26:29,990 --> 00:26:37,320
+b صح؟إن هذا أصغر من أوي ساوي بي زائد بي في
+
+220
+00:26:37,320 --> 00:26:45,420
+absolute x minus u for all x و u ينتموا للمجموع
+
+221
+00:26:45,420 --> 00:26:52,520
+اللي هي الفترة المغلفة من سفر إلى بي طبعا هذا
+
+222
+00:26:52,520 --> 00:27:01,660
+بساوياتنين بي في absolute x minus u for all x و u
+
+223
+00:27:01,660 --> 00:27:08,820
+تنتمي الى a اذا هاي شرط لبسيش اتحقق with k بيساو
+
+224
+00:27:08,820 --> 00:27:17,340
+اتنين بيعدد موجب اذا هنا take k
+
+225
+00:27:17,340 --> 00:27:21,800
+بيساو اتنين بيعدد موجب
+
+226
+00:27:36,690 --> 00:27:38,510
+Okay طبعا
+
+227
+00:27:54,180 --> 00:28:09,940
+واضح البران في اي سؤال او استفسار في
+
+228
+00:28:09,940 --> 00:28:17,160
+عندي نظرية تتعلق بال uniform الها علاقة بال
+
+229
+00:28:17,160 --> 00:28:22,180
+uniform continuity وهي النظرية التالية
+
+230
+00:28:38,260 --> 00:28:49,440
+فيرم if if from a to r is uniformly is uniformly
+
+231
+00:28:49,440 --> 00:28:52,540
+continuous
+
+232
+00:28:52,540 --> 00:29:00,780
+on a then
+
+233
+00:29:03,000 --> 00:29:09,640
+For any Cauchy Sequence
+
+234
+00:29:09,640 --> 00:29:18,780
+xn contained in A The
+
+235
+00:29:18,780 --> 00:29:22,700
+sequence f
+
+236
+00:29:22,700 --> 00:29:31,580
+of xn اللي هي ال image لسيقونس xn is Cauchy
+
+237
+00:29:33,110 --> 00:29:40,090
+in R that
+
+238
+00:29:40,090 --> 00:29:45,950
+is that
+
+239
+00:29:45,950 --> 00:29:56,030
+is هذا يعني هذا يعني هذا يعني انه uniformly
+
+240
+00:29:56,030 --> 00:30:01,090
+uniformly continuous
+
+241
+00:30:04,960 --> 00:30:18,040
+functions preserve كوشي
+
+242
+00:30:18,040 --> 00:30:22,460
+sequences
+
+243
+00:30:27,960 --> 00:30:34,420
+يعني الدوال اللي بتكون متصل اتصال منتظم بتحافظ على
+
+244
+00:30:34,420 --> 00:30:39,960
+cushy sequences بمعنى انه لو كانت xn cushy
+
+245
+00:30:39,960 --> 00:30:46,260
+sequence في المجال تبع الدالة A فصورتها هتطلع
+
+246
+00:30:46,260 --> 00:30:52,080
+cushy sequence في المجال المقابل R والبرهان سهل
+
+247
+00:30:53,210 --> 00:30:57,390
+طبعا هذا بس صحيح لل uniform ل continuous functions
+
+248
+00:30:57,390 --> 00:31:02,350
+أما لو كانت ال function بس continuous فمش شرط
+
+249
+00:31:02,350 --> 00:31:07,510
+اتحافظ على كوشي sequences والبرهان
+
+250
+00:31:07,510 --> 00:31:18,670
+سهل بسيط prove let
+
+251
+00:31:18,670 --> 00:31:29,880
+if from A to Rب uniformly continuous on
+
+252
+00:31:29,880 --> 00:31:44,240
+a and let x in contained in a,b كوشي كوشي sequence
+
+253
+00:31:44,240 --> 00:31:50,420
+و بدنا نثبت ان ال image لل sequence x in بتطلع
+
+254
+00:31:50,420 --> 00:31:57,060
+كوشي طيبto show ان
+
+255
+00:31:57,060 --> 00:32:09,340
+ال image لسيكوينس XN is Cauchy لبرهان
+
+256
+00:32:09,340 --> 00:32:15,180
+ان ال sequence هذه ال image لسيكوينس XN is Cauchy
+
+257
+00:32:15,180 --> 00:32:24,130
+نحاول نطبق تعريف Cauchysequence او نحاول نحقق شرط
+
+258
+00:32:24,130 --> 00:32:31,290
+كوشي فكيف نحقق قولت epsilon أكبر من السفر بيه جبن
+
+259
+00:32:31,290 --> 00:32:39,210
+وبينا نرد عليها بcapital N تحققلي شرط كوشي طيب
+
+260
+00:32:39,210 --> 00:32:44,110
+since if
+
+261
+00:32:44,110 --> 00:32:45,390
+is uniformly
+
+262
+00:32:47,670 --> 00:32:55,510
+continuous on a إذا لأي إبسلون موجبة زي هذه يوجد
+
+263
+00:32:55,510 --> 00:33:02,650
+إذا
+
+264
+00:33:02,650 --> 00:33:09,410
+لأي إبسلون زي هذهمع ان if uniform continuous اذا
+
+265
+00:33:09,410 --> 00:33:13,670
+لأي epsilon حسب تعريف ال uniform continuity يوجد
+
+266
+00:33:13,670 --> 00:33:21,510
+delta تعتمد على epsilon عدد موجة بحيث انه لو كان x
+
+267
+00:33:24,390 --> 00:33:30,090
+و U مو��ودين في A و Absolute X minus U أصغر من
+
+268
+00:33:30,090 --> 00:33:37,570
+Delta فهذا بعدي أن Absolute F of X minus F of U
+
+269
+00:33:37,570 --> 00:33:47,250
+أصغر من Y نسمي ال implication head star الان
+
+270
+00:33:47,250 --> 00:33:53,610
+since ال sequence X in is Cauchy
+
+271
+00:33:58,410 --> 00:34:02,810
+then و delta and
+
+272
+00:34:02,810 --> 00:34:11,090
+delta أكبر من السفر طبعا هذه given is given ال
+
+273
+00:34:11,090 --> 00:34:13,850
+delta هذه قلنا يوجد delta عدد موجة بما أن هذه
+
+274
+00:34:13,850 --> 00:34:20,650
+تعتبر given delta فلل delta هذه اللي هنا عدد موجة
+
+275
+00:34:20,650 --> 00:34:27,960
+بما أن xn is Cauchyإذا there exist يوجد capital N
+
+276
+00:34:27,960 --> 00:34:37,220
+يعتمد على delta عدد طبيعي بحيث انه شرط كوشي يتحقق
+
+277
+00:34:37,220 --> 00:34:43,140
+وهو لكل N و M أكبر من أو ساوي capital N بطل عندي
+
+278
+00:34:43,140 --> 00:34:49,040
+absolute xn minus xm أصغر من delta
+
+279
+00:34:52,280 --> 00:35:01,060
+بنسمي هذه double star now star and double star
+
+280
+00:35:01,060 --> 00:35:14,240
+بيقدّوا أنه يوجد capital N يعتمد على epsilon لأن
+
+281
+00:35:14,240 --> 00:35:18,800
+ال delta بتعتمد على epsilonالـ delta بتعتمد على
+
+282
+00:35:18,800 --> 00:35:26,260
+إبسلون، ملاحظة الحال ف N هذه نفسها N of delta
+
+283
+00:35:26,260 --> 00:35:33,360
+بيساوي N of إبسلون بتتمي ل N بحيث أنه لو كان N و M
+
+284
+00:35:33,360 --> 00:35:40,480
+أكبر من أوي ساوي capital N فهذا بيقدّي أنه by
+
+285
+00:35:40,480 --> 00:35:48,270
+double starهذا بيقدم absolute xn minus xm أصغر من
+
+286
+00:35:48,270 --> 00:35:55,450
+دلتا وحسب ال star by star ال star بتقول لو كان
+
+287
+00:35:55,450 --> 00:36:01,030
+عندي x و u المسافة بينهم أصغر من دلتا فالمسافة بين
+
+288
+00:36:01,030 --> 00:36:08,790
+صورهم اللي هي xn هنا وصورة ال xm تطلع أصغر من إبسم
+
+289
+00:36:10,550 --> 00:36:16,550
+تمام؟ إذا هنا أثبتت لأي إبسلون أكبر من السفر يوجد
+
+290
+00:36:16,550 --> 00:36:20,830
+capital N يعتمد على إبسلون عدد طبيعي بحيث لكل M M
+
+291
+00:36:20,830 --> 00:36:25,510
+أكبر من أو ساوي capital N طلع المسافة بين F of X M
+
+292
+00:36:25,510 --> 00:36:31,650
+و F of X M أصغر من إبسلون إذا بما أنه since إبسلون
+
+293
+00:36:31,650 --> 00:36:39,100
+أكبر من السفر was arbitraryإذا الـ sequence f of x
+
+294
+00:36:39,100 --> 00:36:45,120
+in is Cauchy تطلع الـ sequence هذه Cauchy وهو
+
+295
+00:36:45,120 --> 00:36:54,080
+المطلوب okay تمام ممكن نستخدم النظرية هذه ممكن
+
+296
+00:36:54,080 --> 00:37:01,400
+نستخدم النظرية هذه في ال ..
+
+297
+00:37:01,400 --> 00:37:06,320
+ان نثبت ان function معينة ليستuniform and
+
+298
+00:37:06,320 --> 00:37:16,200
+continuous هاي example use
+
+299
+00:37:16,200 --> 00:37:20,100
+above theorem
+
+300
+00:37:20,100 --> 00:37:31,860
+to show ال function f of x بالسعر واحد على x is
+
+301
+00:37:31,860 --> 00:37:32,280
+not
+
+302
+00:37:35,480 --> 00:37:43,220
+uniformly continuous on a بساوي الفترة المفتوحة من
+
+303
+00:37:43,220 --> 00:37:44,680
+صفر إلى ملا نهار
+
+304
+00:37:57,800 --> 00:38:01,060
+لحظة ان النظرية دي ايش بتقول لو كانت ال function
+
+305
+00:38:01,060 --> 00:38:05,140
+uniform ل continuous فلازم تحافظ على كوشي sequence
+
+306
+00:38:05,140 --> 00:38:09,440
+طب لو محافظتش على كوشي sequence مش ممكن تكون
+
+307
+00:38:09,440 --> 00:38:17,260
+uniform ل continuous صح؟ مظبوط؟ اذا هنا proof
+
+308
+00:38:17,260 --> 00:38:25,680
+by above theorem حسب النظرية على it suffices
+
+309
+00:38:28,360 --> 00:38:36,220
+to show يكفي اثبات ان f is .. if does not .. if
+
+310
+00:38:36,220 --> 00:38:46,960
+does .. does not preserve .. preserve Cauchy
+
+311
+00:38:46,960 --> 00:38:52,860
+sequences ف
+
+312
+00:38:52,860 --> 00:38:53,500
+consider
+
+313
+00:38:56,930 --> 00:39:03,270
+consider ال sequence xn اللي هي بساوي واحد على ن
+
+314
+00:39:03,270 --> 00:39:11,470
+ال sequence هذه converge لصفر وبالتالي
+
+315
+00:39:11,470 --> 00:39:25,130
+اذا xn is Cauchy تمام but صورة ال xn
+
+316
+00:39:28,660 --> 00:39:37,460
+أيش بتطلع؟ صورة الواحد على ان تطلع ال sequence in
+
+317
+00:39:37,460 --> 00:39:43,620
+صح؟ و ال sequence هذه properly divergent to
+
+318
+00:39:43,620 --> 00:39:49,760
+infinity، اذا I'm divergent، اذا I'm not Cauchy
+
+319
+00:39:49,760 --> 00:39:54,220
+تمام؟
+
+320
+00:39:57,130 --> 00:40:01,450
+Okay؟ وبالتالي إذا هاي في عندي .. هاي في عندي ..
+
+321
+00:40:01,450 --> 00:40:08,790
+إذا if لا تحافظ على ال koshi sequences إذا if does
+
+322
+00:40:08,790 --> 00:40:13,210
+not preserve
+
+323
+00:40:13,210 --> 00:40:19,050
+.. preserve koshi
+
+324
+00:40:26,330 --> 00:40:31,610
+sequences وبالتالي حسب النظرية الأخيرة مابتكونش
+
+325
+00:40:31,610 --> 00:40:34,630
+uniformly continuous لأن لو كانت uniformly
+
+326
+00:40:34,630 --> 00:40:38,370
+continuous فالمفروض تاخد كوشي sequence زي هذه
+
+327
+00:40:38,370 --> 00:40:42,730
+تعطينا صورتها كوشي sequence وهذا مستحيل okay تمام
+
+328
+00:40:42,730 --> 00:40:47,970
+واضح في أي سؤال اي استفسار اذا هيك نكتفي بهذا
+
+329
+00:40:47,970 --> 00:40:52,540
+القدر من section خمسة اربعة وزي ما حكينا سابقاهذا
+
+330
+00:40:52,540 --> 00:40:57,260
+كان آخر section هناخده في المقرر و بالتالي هيكون
+
+331
+00:40:57,260 --> 00:41:03,400
+يعني .. يعني ان شاء الله أنهينا ال course كما هو
+
+332
+00:41:03,400 --> 00:41:10,600
+موضح على ال syllabus فشكرا لكم و شكرا لحسن إصداركم
+
+333
+00:41:10,600 --> 00:41:13,580
+و يعطيكم ألف عافية
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/ZfnDnf4RR5M.srt

@@ -0,0 +1,1931 @@
+1
+00:00:20,670 --> 00:00:26,650
+السلام عليكم اليوم إن شاء الله هنكمل section أربعة
+
+2
+00:00:26,650 --> 00:00:35,990
+اللي عرفنا فيه ال limits و ال functions أخذنا 
+
+3
+00:00:35,990 --> 00:00:40,650
+المرة الأولى التلاتة تعريف epsilon delta ل limit of
+
+4
+00:00:40,650 --> 00:00:45,990
+function وشوفنا أن هذا بكافة تعريف في neighborhood
+
+5
+00:00:45,990 --> 00:00:51,040
+definition ل limit of function على النقطة و بدنا
+
+6
+00:00:51,040 --> 00:00:57,500
+ناخد أمثلة كيف نستخدم تعريف epsilon delta في إثبات
+
+7
+00:00:57,500 --> 00:01:03,360
+أن ال limit لدالة معينة عن نقطة معينة بتساوي عدد
+
+8
+00:01:03,360 --> 00:01:08,310
+محدد، فخدنا بعض الأمثلة اليوم هنستمر، هنعطي مزيد من
+
+9
+00:01:08,310 --> 00:01:12,930
+الأمثلة و بندرس خواص ال limits لـ ال functions
+
+10
+00:01:12,930 --> 00:01:19,490
+فالمثال اللي وصلناه له رقم تلاتة عايزين نثبت إن ال
+
+11
+00:01:19,490 --> 00:01:25,730
+limit لدالة  x تربيع لما x تقول لـ c بساوي c
+
+12
+00:01:25,730 --> 00:01:29,330
+تربيع فـ solution
+
+13
+00:01:33,240 --> 00:01:40,260
+ناخد f of x بالساوي x تربيع هيفرض x ينتمي الى r
+
+14
+00:01:40,260 --> 00:01:43,880
+واحنا
+
+15
+00:01:43,880 --> 00:01:50,600
+عايزين من الآخر نثبت إن ال absolute value لـ f of x 
+
+16
+00:01:50,600 --> 00:01:58,400
+ناقص c تربيع أصغر من أي given epsilon عدد موجب
+
+17
+00:01:59,300 --> 00:02:04,780
+عندما الـ x تكون قريبة من النقطة c أو تقع في جوار
+
+18
+00:02:04,780 --> 00:02:13,600
+delta معينة للعدد c طيب هذا عبارة عن Absolute x 
+
+19
+00:02:13,600 --> 00:02:22,620
+تربيع ناقص c تربيع بتحلل إلى Absolute x ناقص c في
+
+20
+00:02:22,620 --> 00:02:24,620
+x زائد c
+
+21
+00:02:27,570 --> 00:02:33,430
+إذاً هذا عبارة عن absolute x زائد c في absolute x 
+
+22
+00:02:33,430 --> 00:02:37,830
+ناقص c الآن
+
+23
+00:02:37,830 --> 00:02:42,430
+بدي أحاول أخلي هذا أصغر من أو يساوي عدد موجب بـ
+
+24
+00:02:42,430 --> 00:02:47,290
+فبحاول
+
+25
+00:02:47,290 --> 00:02:52,830
+آخذ فيه قيمة delta، لتكن delta بالساوي واحد 
+
+26
+00:03:00,710 --> 00:03:12,430
+then أنا عندي absolute x زائد c هذا أصغر
+
+27
+00:03:12,430 --> 00:03:19,910
+من أو يساوي absolute x زائد absolute c في absolute x
+
+28
+00:03:19,910 --> 00:03:25,450
+ناقص c باستخدام ال triangle inequality، absolute x 
+
+29
+00:03:25,450 --> 00:03:30,430
+زائد c أصلاً لو ساوي absolute x زائد absolute c الآن
+
+30
+00:03:30,430 --> 00:03:39,530
+absolute x بيساوي absolute x ناقص c زائد زائد
+
+31
+00:03:39,530 --> 00:03:44,270
+c ممكن أطرح من الـ x c وأرجعها، وباستخدام الـ
+
+32
+00:03:44,270 --> 00:03:49,030
+triangular equality هذا أصغر لو يساوي absolute x 
+
+33
+00:03:49,030 --> 00:03:58,150
+زائد c زائد absolute c، فلو كان absolute x ناقص c 
+
+34
+00:03:58,150 --> 00:04:04,070
+أصغر من delta اللي هي بيساوي واحد، إذا كان خلّينا
+
+35
+00:04:04,070 --> 00:04:07,190
+ناخد delta بيساوي واحد، إذا كان absolute x ناقص c 
+
+36
+00:04:07,190 --> 00:04:13,370
+أصغر من delta اللي أنا ماخدها واحد، فهذا بيطلع أصغر
+
+37
+00:04:13,370 --> 00:04:21,490
+من واحد زائد absolute c وبالتالي 
+
+38
+00:04:21,490 --> 00:04:32,370
+absolute x تربيع ناقص c تربيع بيطلع أصغر من absolute 
+
+39
+00:04:32,370 --> 00:04:35,150
+x اللي هي واحد زائد
+
+40
+00:04:37,400 --> 00:04:43,720
+اتنين في absolute c في absolute x ناقص c
+
+41
+00:04:48,510 --> 00:04:51,770
+كمان مرة، احنا توصلنا إلى إن ال absolute value
+
+42
+00:04:51,770 --> 00:04:57,150
+للفرق هذا أصغر من أو يساوي absolute x زائد absolute
+
+43
+00:04:57,150 --> 00:05:01,290
+c في absolute x ناقص c، أخدنا delta بالساوي واحد
+
+44
+00:05:01,290 --> 00:05:05,190
+وقلنا لو كان absolute x ناقص c أصغر من delta اللي
+
+45
+00:05:05,190 --> 00:05:09,190
+هي واحد بتطلع absolute x أصغر من واحد زائد absolute
+
+46
+00:05:09,190 --> 00:05:13,830
+c وبالتالي absolute الفرق هذا هي أصغر من أو يساوي
+
+47
+00:05:14,180 --> 00:05:18,500
+absolute x هي أصغر من واحد زائد absolute c وانتي
+
+48
+00:05:18,500 --> 00:05:23,820
+absolute c فأصغر من واحد زائد اتنين فـ absolute c ضرب
+
+49
+00:05:23,820 --> 00:05:29,460
+absolute x ناقص c، الآن بدي أخلي هذا أصغر من
+
+50
+00:05:29,460 --> 00:05:39,160
+epsilon، هذا بدي أخليه أصغر من epsilon لما
+
+51
+00:05:39,160 --> 00:05:40,920
+يكون هذا أصغر من delta
+
+52
+00:05:48,400 --> 00:05:52,700
+فباخد إذا لما يكون هذا أصغر من delta فهذا بصير أصغر
+
+53
+00:05:52,700 --> 00:05:58,880
+من واحد زائد اتنين absolute c في delta لما يكون ال
+
+54
+00:05:58,880 --> 00:06:03,000
+absolute value لـ x ناقص c أصغر من delta فهذا بيطلع
+
+55
+00:06:03,000 --> 00:06:07,740
+أصغر من واحد زائد اتنين في absolute c في delta الآن
+
+56
+00:06:07,740 --> 00:06:16,040
+متى بيكون هذا أصغر من epsilon؟ لما delta إذا كانت delta 
+
+57
+00:06:16,040 --> 00:06:25,240
+هذه أصغر من أو يساوي epsilon على واحد زائد اتنين 
+
+58
+00:06:25,240 --> 00:06:29,960
+في absolute of c، إذا هاي قيمة تانية لـ delta، هاي
+
+59
+00:06:29,960 --> 00:06:35,660
+ندي delta بيساوي واحد و delta أصغر من أو يساوي
+
+60
+00:06:35,660 --> 00:06:39,760
+epsilon على واحد زائد اتنين في absolute of c، إذا
+
+61
+00:06:39,760 --> 00:06:49,590
+باجي بقول let epsilon أكبر من الصفر be given a
+
+62
+00:06:49,590 --> 00:06:57,690
+choose delta بيساوي ال minimum الأصغر بين القيمتين
+
+63
+00:06:57,690 --> 00:07:07,050
+واحد و epsilon على واحد زائد اتنين في absolute c، ال
+
+64
+00:07:07,050 --> 00:07:13,660
+delta هذه الآن عدد موجب ويعتمد على epsilon، إذا لهذه
+
+65
+00:07:13,660 --> 00:07:24,140
+الـ delta لو كان x ينتمي لـ r اللي هو مجال الدالة و
+
+66
+00:07:24,140 --> 00:07:31,780
+absolute x ناقص c أكبر من صفر أصغر من delta فهذا
+
+67
+00:07:31,780 --> 00:07:36,960
+بيؤدي طبعاً الـ delta هذه هي الأصغر من العددين هذوله
+
+68
+00:07:36,960 --> 00:07:40,920
+وبالتالي أصغر من أو يساوي واحد وأصغر من أو يساوي
+
+69
+00:07:40,920 --> 00:07:46,820
+كسر هذا، فالـ delta أكيد أصغر من أو يساوي الواحد،
+
+70
+00:07:46,820 --> 00:07:52,360
+لما الـ delta أصغر من أو يساوي الواحد، هذا بيقدر
+
+71
+00:07:52,360 --> 00:07:56,940
+أن absolute x
+
+72
+00:07:56,940 --> 00:08:04,800
+أصغر من واحد زائد absolute c وكمان هذا بيؤدي إنه
+
+73
+00:08:04,800 --> 00:08:11,000
+absolute x تربيع ناقص c تربيع أصغر من أو يساوي
+
+74
+00:08:11,000 --> 00:08:23,400
+absolute x زائد absolute c، absolute 
+
+75
+00:08:23,400 --> 00:08:28,640
+x ناقص c وبالتالي هذا أصغر من أو يساوي واحد زائد
+
+76
+00:08:28,640 --> 00:08:39,840
+اتنين absolute c وهذا أصغر من delta و
+
+77
+00:08:39,840 --> 00:08:49,520
+الآن الـ delta هذه طبعاً
+
+78
+00:08:49,520 --> 00:08:55,420
+هذا أصغر من delta والـ delta قلنا أصغر منها و
+
+79
+00:08:55,420 --> 00:08:58,600
+يساوي epsilon، هاي واحد زائد اتنين 
+
+80
+00:09:19,770 --> 00:09:26,670
+بشكل صحيح، بما أن epsilon أكبر من الصفر was
+
+81
+00:09:26,670 --> 00:09:27,550
+arbitrary
+
+82
+00:09:31,810 --> 00:09:35,410
+إذاً هيك بنكون أثباتنا، لكل epsilon أكبر من الصفر
+
+83
+00:09:35,410 --> 00:09:41,150
+يوجد delta تعتمد على epsilon عدد موجب، ب half لكل x
+
+84
+00:09:41,150 --> 00:09:46,710
+المسافة مختلفة عن الـ c والمسافة بينها وبين الـ c
+
+85
+00:09:46,710 --> 00:09:52,590
+أصغر من delta بتطلع المسافة بين f of x و c تربيع
+
+86
+00:09:52,590 --> 00:10:01,190
+أصغر من epsilon، إذاً we have By definition إن ال
+
+87
+00:10:01,190 --> 00:10:11,390
+limit لـ x تربيع لما x تقول إلى c بيساوي c تربيع وهو
+
+88
+00:10:11,390 --> 00:10:17,410
+المطلوب، okay؟ إذن هذا هو برهان إن ال limit للدالة
+
+89
+00:10:17,410 --> 00:10:23,300
+التربيعية عن c بيساوي c تربيع، استخدمنا تعريف epsilon
+
+90
+00:10:23,300 --> 00:10:28,260
+delta وشوفنا إن delta هنا لازم تكون الأصغر من
+
+91
+00:10:28,260 --> 00:10:34,520
+القيمتين اللي هو الواحد والكسر اللي هناك، هي أي
+
+92
+00:10:34,520 --> 00:10:41,020
+سؤال، خلينا ناخد كمان مثال مشابه لهذا وفيه
+
+93
+00:10:41,020 --> 00:10:44,560
+الـ delta برضه بتساوي ال minimum لكمتين
+
+94
+00:10:53,440 --> 00:11:02,620
+المثال رقم أربعة، show أنه ال limit لواحد على x
+
+95
+00:11:02,620 --> 00:11:14,020
+لما x تقول إلى zero، لأ
+
+96
+00:11:14,020 --> 00:11:20,340
+ال limit لواحد على x لما x تقول إلى أي عدد c بيساوي
+
+97
+00:11:20,340 --> 00:11:27,420
+واحد على c حيث c أكبر من 0، فهنا
+
+98
+00:11:27,420 --> 00:11:30,520
+بناخد ال function تبعتي الدالة اللي بتحدد ال
+
+99
+00:11:30,520 --> 00:11:36,800
+limit هي عبارة عن f of x بيساوي واحد على x حيث x
+
+100
+00:11:36,800 --> 00:11:41,720
+موجبة، إذا المجال تبع الدالة هذه الفترة المفتوحة من
+
+101
+00:11:41,720 --> 00:11:49,410
+صفر إلى ما لا نهاية، و c عدد موجب، طيب أنا عايز
+
+102
+00:11:49,410 --> 00:11:57,190
+أثبت إن absolute f of x ناقص واحد على c بدي هذا
+
+103
+00:11:57,190 --> 00:12:02,470
+يكون أصغر من أي given epsilon عندما x تكون قريبة
+
+104
+00:12:02,470 --> 00:12:12,230
+من ال c أو في جوار delta لل c فهذا طبعاً إيش بيساوي، هي
+
+105
+00:12:12,230 --> 00:12:17,790
+absolute واحد على x ناقص واحد على c وهذا بيساوي
+
+106
+00:12:17,790 --> 00:12:27,950
+absolute c ناقص x على x في c وهذا بيساوي واحد على 
+
+107
+00:12:27,950 --> 00:12:33,270
+x في c ضرب absolute x ناقص c
+
+108
+00:12:38,060 --> 00:12:45,780
+الآن بدي أحاول أجيب upper bound عدد 
+
+109
+00:12:45,780 --> 00:12:53,720
+موجب بـ m بحيث الـ 1 على x في c يكون أصغر من أو يساوي
+
+110
+00:12:53,720 --> 00:12:57,360
+الـ m تعالوا نشوف كيف نجيب ال upper bound هذا أو ال
+
+111
+00:12:57,360 --> 00:13:06,330
+bound، أنا عندي الـ take الأول، take أنا عندي الـ c عدد 
+
+112
+00:13:06,330 --> 00:13:12,190
+موجب، take delta بيساوي c على اتنين هذا عدد موجب
+
+113
+00:13:12,190 --> 00:13:16,050
+then
+
+114
+00:13:16,050 --> 00:13:23,510
+absolute x ناقص c أصغر من delta اللي هو بيساوي c ع
+
+115
+00:13:23,510 --> 00:13:32,030
+2 بيؤدي إن x أصغر من تلاتة c ع 2 أكبر من c ع 2
+
+116
+00:13:32,030 --> 00:13:43,430
+وهذا بيؤدي إن واحد على x في c أصغر من اتنين على c
+
+117
+00:13:43,430 --> 00:13:44,270
+تربيع
+
+118
+00:13:50,000 --> 00:13:54,920
+الـ x أكبر من c على 2، إذا مقلوب الـ x أصغر من 2 على
+
+119
+00:13:54,920 --> 00:14:01,220
+c، مقلوب الـ x وأضربها في 1 على c بيطلع أصغر من 2
+
+120
+00:14:01,220 --> 00:14:07,100
+على c تربيع وبالتالي 
+
+121
+00:14:07,100 --> 00:14:13,540
+هذا العدد هذا هو الـ m عدد
+
+122
+00:14:13,540 --> 00:14:16,320
+موجب إذاً
+
+123
+00:14:18,670 --> 00:14:28,290
+في الحالة هذه، في الحالة 
+
+124
+00:14:28,290 --> 00:14:34,910
+هذه بصير عندي هذا أصغر من اتنين على c تربيع وطبعاً
+
+125
+00:14:34,910 --> 00:14:39,430
+هذا أصغر من delta، absolute x ناقص c طبعاً بيكون
+
+126
+00:14:39,430 --> 00:14:44,690
+أصغر من delta الآن عشان يكون هذا أصغر من أو يساوي
+
+127
+00:14:44,690 --> 00:14:52,820
+epsilon فنختار choose الـ delta أصغر من أو يساوي حل 
+
+128
+00:14:52,820 --> 00:14:57,140
+المتباينة هذه في الـ delta فالـ delta ستصبح أصغر
+
+129
+00:14:57,140 --> 00:15:04,540
+من أو يساوي c تربيع على 2 epsilon فهي قيمة تانية لـ 
+
+130
+00:15:04,540 --> 00:15:09,440
+delta فبأخد الـ delta ال minimum للقيمة الأولى
+
+131
+00:15:10,560 --> 00:15:16,040
+والقيمة التانية، هذا هيخلي إنه لكل x المسافة بين أو
+
+132
+00:15:16,040 --> 00:15:20,320
+بين c أصغر من delta هتخلي المسافة بين f of x و واحد
+
+133
+00:15:20,320 --> 00:15:26,280
+على c أصغر من ال given epsilon، نكتب الكلام هذا، let 
+
+134
+00:15:26,280 --> 00:15:29,240
+epsilon be given، choose delta بالساوي ال minimum
+
+135
+00:15:29,240 --> 00:15:36,260
+نختار 
+
+136
+00:15:36,260 --> 00:15:42,030
+delta ال minimum للعدد الموجب بـ c ع 2، والعدد 
+
+137
+00:15:42,030 --> 00:15:49,000
+التاني ده هو c تربيع ع 2 في epsilon طبعاً هذا عدد 
+
+138
+00:15:49,000 --> 00:15:52,740
+أكيد عدد موجب لأن هذا موجب وهذا موجب والأصغر بينهم
+
+139
+00:15:52,740 --> 00:15:56,820
+هييطلع موجب واتنين بيعتمدوا على epsilon، إذن delta 
+
+140
+00:15:56,820 --> 00:16:00,620
+عدد موجب بيعتمد على epsilon، إذا لأي epsilon أكبر 
+
+141
+00:16:00,620 --> 00:16:04,360
+من سفر هين أثبتت يوجد delta تعتمد على epsilon عدد
+
+142
+00:16:04,360 --> 00:16:11,680
+موجب بحيث أنه لكل x ينتمي إلى المجال هنا اللي هو
+
+143
+00:16:11,680 --> 00:16:19,300
+الفترة المفتوحة من سفر إلى دالة نهاية و absolute x
+
+144
+00:16:19,300 --> 00:16:25,400
+minus c أكبر من سفر أصغر من ال delta هذا بيقود إلى أن
+
+145
+00:16:25,400 --> 00:16:33,260
+ال delta هذه أصغر من أو يساوي c ع 2 فلما ال delta
+
+146
+00:16:33,260 --> 00:16:39,280
+تكون أصغر من أو يساوي c ع 2 هذا بيقود إلى أنه واحد على
+
+147
+00:16:39,280 --> 00:16:42,460
+واحد
+
+148
+00:16:42,460 --> 00:16:52,060
+على x في c أصغر من اثنين على c تربيع وهذا بدوره
+
+149
+00:16:52,060 --> 00:17:00,940
+يقدم absolute واحد على x minus واحد على c يساوي
+
+150
+00:17:00,940 --> 00:17:06,480
+واحد على x في c في absolute x minus c أصغر من
+
+151
+00:17:06,480 --> 00:17:14,850
+اثنين على c تربيع في delta و ال delta هذه الآن أصغر
+
+152
+00:17:14,850 --> 00:17:19,310
+من أو يساوي ال delta هذه هي ال delta اللي فوق
+
+153
+00:17:19,310 --> 00:17:25,010
+أصغر من أو يساوي العدد هذا أيه والعدد الثاني لأنها
+
+154
+00:17:25,010 --> 00:17:31,130
+الأصغر بين اثنين لأن هي اثنين على c تربيع ضرب c
+
+155
+00:17:31,130 --> 00:17:36,390
+تربيع اثنين في epsilon هذا يروح مع هذا مخلوق بعض
+
+156
+00:17:36,390 --> 00:17:41,030
+يظل عندي epsilon since
+
+157
+00:17:43,190 --> 00:17:50,970
+Y أكبر من سفر was arbitrary إذا أنا لكل Y أكبر
+
+158
+00:17:50,970 --> 00:17:56,850
+من سفر جبت Delta تعتمد على Y بحيث لكل X مختلفة
+
+159
+00:17:56,850 --> 00:18:00,570
+عن ال C المسافة بينها وبين ال C أصغر من Delta كل
+
+160
+00:18:00,570 --> 00:18:05,450
+المسافة بين F of X و 1 على C أصغر من Y إذا by
+
+161
+00:18:05,450 --> 00:18:06,010
+definition
+
+162
+00:18:09,260 --> 00:18:14,820
+by definition of limit يطلع عندي ال limit لل
+
+163
+00:18:14,820 --> 00:18:20,740
+function واحد على X لما X تقول إلى C يساوي واحد
+
+164
+00:18:20,740 --> 00:18:24,240
+على C وهو المطلوب
+
+165
+00:18:26,860 --> 00:18:31,720
+واضح في أي سؤال؟ في كمان مثال آخر زي هدف الكتاب،
+
+166
+00:18:31,720 --> 00:18:37,860
+هسيبكم تقرؤوه لأن الفكرة شبيهة بالفكرة في المثال
+
+167
+00:18:37,860 --> 00:18:47,720
+الأخير وبالتالي ما فيش إشي جديد ننتقل إلى دراسة
+
+168
+00:18:52,750 --> 00:18:56,370
+ال sequential criterion هي حاجة اسمها sequential
+
+169
+00:18:56,370 --> 00:19:09,570
+criterion حاجة .. حاجة بتكافئ التعريف sequential
+
+170
+00:19:09,570 --> 00:19:12,750
+criterion
+
+171
+00:19:45,930 --> 00:19:53,970
+العبارات التالية متكافئة Limit f of x as x tends to
+
+172
+00:19:53,970 --> 00:20:03,290
+c يساوي عدد L بحيث عدد حقيقي اثنين for every
+
+173
+00:20:06,410 --> 00:20:14,330
+for every sequence xn contained in A حدودها
+
+174
+00:20:14,330 --> 00:20:25,090
+مختلفة عن ال C such that limit xn يساوي C we
+
+175
+00:20:25,090 --> 00:20:31,470
+have limit ال image لسيكوينس xn as n tends to
+
+176
+00:20:31,470 --> 00:20:34,410
+infinity يساوي العدد L
+
+177
+00:20:39,210 --> 00:20:42,690
+إن ال sequential criterion هذه بتقول إن عشان أثبت
+
+178
+00:20:42,690 --> 00:20:46,470
+إن ال limit لل function f and x يساوي c يساوي
+
+179
+00:20:46,470 --> 00:20:52,090
+العدد L  هدا بكافة إن أنا أثبت إنه لو أخدت أي
+
+180
+00:20:52,090 --> 00:20:59,010
+sequence نهايتها C فلازم يكون نهاية صورتها يساوي
+
+181
+00:20:59,010 --> 00:21:04,140
+العدد L لو قدرت أعمل هذا في الكلام فبقى هذا بيكافئ
+
+182
+00:21:04,140 --> 00:21:08,880
+أن نقول إن ال limit ل f of x يعني ال x يساوي
+
+183
+00:21:08,880 --> 00:21:15,060
+c يساوي العدد ال .. نثبت النظرية هذه تروف one
+
+184
+00:21:15,060 --> 00:21:23,020
+implies two assume one
+
+185
+00:21:23,020 --> 00:21:28,480
+i.e
+
+186
+00:21:30,950 --> 00:21:37,470
+ال limit ل F of X لما X تقول ل C يساوي العدد L
+
+187
+00:21:37,470 --> 00:21:44,070
+عايزين
+
+188
+00:21:44,070 --> 00:21:48,450
+نثبت عشان
+
+189
+00:21:48,450 --> 00:21:55,250
+نثبت اثنين عشان نثبت اثنين صحيح to
+
+190
+00:21:55,250 --> 00:21:58,190
+prove two holds
+
+191
+00:22:00,720 --> 00:22:05,500
+to prove two holds let
+
+192
+00:22:05,500 --> 00:22:17,380
+Xn be a sequence in A حدودها مختلفة عن ال C such
+
+193
+00:22:17,380 --> 00:22:26,960
+that limit Xn يساوي C we claim
+
+194
+00:22:30,360 --> 00:22:45,320
+أن ال limit ل f of x ل f of xn لما
+
+195
+00:22:45,320 --> 00:22:52,340
+n تقول ل infinity دي يساوي L لبرهان ذلك let epsilon
+
+196
+00:22:52,340 --> 00:22:55,400
+أكبر
+
+197
+00:22:55,400 --> 00:22:57,020
+من صفر be given
+
+198
+00:23:02,180 --> 00:23:08,440
+since xnxnxn
+
+199
+00:23:10,770 --> 00:23:16,490
+بما أننا فرضنا limit f of x لما x تقول ل c يساوي
+
+200
+00:23:16,490 --> 00:23:21,450
+L من تعريف epsilon دلتا لل limit إذا يوجد دلتا
+
+201
+00:23:21,450 --> 00:23:27,770
+تعتمد على epsilon عدد موجب بحيث أنه لكل x ينتمي
+
+202
+00:23:27,770 --> 00:23:33,730
+إلى a و absolute x minus c أكبر من صفر أصغر من دلتا
+
+203
+00:23:42,740 --> 00:23:52,080
+epsilon دلتا للنهايات نسمي
+
+204
+00:23:52,080 --> 00:23:53,760
+ال implication هذه star
+
+205
+00:24:01,580 --> 00:24:07,300
+and the limit xn يساوي c احنا فرضنا ان في انديو
+
+206
+00:24:07,300 --> 00:24:14,840
+سيكوينس xn ونهايتها c then
+
+207
+00:24:14,840 --> 00:24:26,910
+for the above دلتا الموجبة يوجد دلتا موجبة أخذت دلتا
+
+208
+00:24:26,910 --> 00:24:31,910
+هذه الموجبة وطبقت تعريف epsilon capital N ل limit of
+
+209
+00:24:31,910 --> 00:24:36,590
+sequence فبما أن ال sequence هذه نهايتها C إذا لأي
+
+210
+00:24:36,590 --> 00:24:42,070
+دلتا أو epsilon عدد موجب there exists capital N
+
+211
+00:24:42,070 --> 00:24:46,710
+يعتمد على ال Delta طبعا ال Delta تعتمد على
+
+212
+00:24:46,710 --> 00:24:51,370
+epsilon إذا ال N هذه يعتمد على epsilon عدد طبيعي،
+
+213
+00:24:51,370 --> 00:24:56,650
+بحيث أنه لكل N أكبر من أو يساوي capital N، تطلع
+
+214
+00:24:56,650 --> 00:25:02,130
+عندي absolute X N minus C أصغر من Delta، نسمي ال
+
+215
+00:25:02,130 --> 00:25:03,990
+implication هذه double star
+
+216
+00:25:07,580 --> 00:25:16,300
+now star and double star بيؤدوا إلى ما يلي لو كان
+
+217
+00:25:16,300 --> 00:25:23,340
+n أكبر من أو يساوي capital N هذا بيقود إلى أن absolute
+
+218
+00:25:23,340 --> 00:25:27,740
+Xn
+
+219
+00:25:27,740 --> 00:25:36,440
+minus C أصغر من Delta هذا باستخدام double star صح؟
+
+220
+00:25:39,750 --> 00:25:44,230
+لو كانت n أكبر من أو يساوي capital N فبيطلع absolute
+
+221
+00:25:44,230 --> 00:25:52,050
+xn minus c أصغر من delta و من ال star لو كان عندي
+
+222
+00:25:52,050 --> 00:25:59,130
+xn طبعا xn هذا موجود في a ال xn موجود في a مختلف
+
+223
+00:25:59,130 --> 00:25:59,810
+عن ال c
+
+224
+00:26:02,830 --> 00:26:07,750
+فلو كان absolute of xn minus c badly except xn
+
+225
+00:26:07,750 --> 00:26:13,850
+أصغر من delta فحسب ال star هذا بقدر absolute of f
+
+226
+00:26:13,850 --> 00:26:22,590
+of xn minus L أصغر من epsilon الآن بما أن هذا صحيح
+
+227
+00:26:22,590 --> 00:26:28,270
+بما أن since epsilon أكبر من صفر was arbitrary
+
+228
+00:26:30,740 --> 00:26:42,380
+إن إحنا أثبتنا هيك لكل epsilon يوجد
+
+229
+00:26:42,380 --> 00:26:50,250
+capital N يعتمد على epsilon عدد طبيعي لكل n أكبر من
+
+230
+00:26:50,250 --> 00:26:55,310
+أو يساوي capital N absolute f of xn minus L أصغر من
+
+231
+00:26:55,310 --> 00:27:00,150
+epsilon إذا by epsilon capital N definition لل limit
+
+232
+00:27:00,150 --> 00:27:06,050
+of sequence بيطلع عندي limit ل sequence
+
+233
+00:27:06,050 --> 00:27:12,910
+f of xn as n tends to infinity يساوي L وبالتالي
+
+234
+00:27:12,910 --> 00:27:21,850
+هيك بيكون إذا two holds هكذا أثبتنا أن واحد يؤدي
+
+235
+00:27:21,850 --> 00:27:26,610
+إلى اثنين اثنين
+
+236
+00:27:26,610 --> 00:27:30,270
+بيقول for every sequence فهي اللي أخدت arbitrary
+
+237
+00:27:30,270 --> 00:27:36,810
+sequence في a minus c وبشرط بحيث أن ال sequence هي
+
+238
+00:27:36,810 --> 00:27:37,710
+اللي نهايتها c
+
+239
+00:27:42,350 --> 00:27:46,210
+و أثبتنا أن ال limit لل image لل sequence يساوي L
+
+240
+00:27:46,210 --> 00:27:51,710
+هذا بالظبط اللي هو العبارة اثنين لأن هيك يكون
+
+241
+00:27:51,710 --> 00:27:58,270
+أثبتنا واحد بيقود إلى اثنين واضح مفهوم اللي هو نثبت
+
+242
+00:27:58,270 --> 00:28:02,510
+العكس نثبت أن اثنين بيقود لواحد
+
+243
+00:28:16,210 --> 00:28:22,870
+بالنسبة للعبارة اثنين بتقود إلى العبارة واحد فالاثنان
+
+244
+00:28:22,870 --> 00:28:27,270
+ذالف بالمناسبة الأخوات اللي قاعدات ورا دولة إيش
+
+245
+00:28:27,270 --> 00:28:31,510
+بتعملوا أنتو؟ معليش أوقف تصوير إيش مجاعتكم أنتو
+
+246
+00:28:31,510 --> 00:28:34,830
+أنا أول حاجة و ثاني حاجة؟ إيش بتتكلمون؟ دكتور معك
+
+247
+00:28:34,830 --> 00:28:38,070
+لأ لأ لما هم بتتكلم عامليننا أزعاج لأ باحكوا إذا
+
+248
+00:28:38,070 --> 00:28:40,550
+انتو بتتكلموا لأ باحكي على اندر ده ليش مصورة إن
+
+249
+00:28:40,550 --> 00:28:44,510
+الوضع هو وضع نفسه لأ بنتكلميش لأ باحكي عن البرادة
+
+250
+00:28:44,510 --> 00:28:49,530
+اللي ورا دولة في بنات بتتكلموا، أنتو اللي ورا
+
+251
+00:28:49,530 --> 00:28:55,390
+بتتكلموا ولا في ناس غيرك؟ في حد بتتكلم و أنا بشرح
+
+252
+00:28:55,390 --> 00:29:00,090
+تتكلم و هذا عمللي أزعاج كثير، فلو سمحتوا إذا أنتو
+
+253
+00:29:00,090 --> 00:29:04,890
+قاعدين تتكلموا ورا اطلعوا في حديقة اتكلموا فيها،
+
+254
+00:29:04,890 --> 00:29:10,670
+حتى لو باسم المحاضرة ممنوع تتكلموا، شوية أزعاج هو
+
+255
+00:29:10,670 --> 00:29:13,850
+مين اللي بتتكلم؟ إذا أنت اللي بتتكلم من قعدته
+
+256
+00:29:13,850 --> 00:29:20,350
+وراك بتتكلم ما تتكلمش لأن غير ترفع يدك، ارفع يدك و
+
+257
+00:29:20,350 --> 00:29:24,670
+تقعد لسانك، ما تتكلمي مع الجنب بدون اسم، لأن هذا
+
+258
+00:29:24,670 --> 00:29:28,150
+عندنا قاعدة في المحاضرة، ممنوع حد يتكلم مع الجنب و
+
+259
+00:29:28,150 --> 00:29:34,030
+تتحدث مع حد شخص آخر إلا إذا عندك سؤال، ترفع يدك،
+
+260
+00:29:34,030 --> 00:29:37,990
+تستنى لما أقول من عنده سؤال من عنده حاجة صار، ترفع
+
+261
+00:29:37,990 --> 00:29:41,790
+يدك و بجاوب كانك ما بتقدر أنت تعمليني قصة مع اللغة،
+
+262
+00:29:41,790 --> 00:29:48,330
+قوم أنت .. أنت .. قوم يقعد في مطعم، يبقوا عالم،
+
+263
+00:29:48,330 --> 00:29:51,190
+فلو سرحت أنك تتكلم مش مع بعض، هانديك السفسة
+
+264
+00:30:01,910 --> 00:30:04,950
+ممنوع حد يتكلم مع الجنب في المحاضرة، أنا بعمل
+
+265
+00:30:04,950 --> 00:30:08,850
+إزعاج، بدك أنت في السفسار، عندك أي إيش أنا بواجب،
+
+266
+00:30:08,850 --> 00:30:13,990
+بقول من عنده سؤال، من عنده حاجة، يتفضل يسأل
+
+267
+00:30:13,990 --> 00:30:21,850
+ساعتها، بس لا تتكلم وأنا ضايق طرابك،
+
+268
+00:30:21,850 --> 00:30:24,230
+يقولنا الكلام قدر مئة مرة في المحاضرة، ممنوع
+
+269
+00:30:24,230 --> 00:30:25,690
+الكلام الجامل
+
+270
+00:30:35,880 --> 00:30:40,860
+تفضل يا أبو حمزة إذا
+
+271
+00:30:40,860 --> 00:30:45,380
+الآن بدنا نكمل البرنامج بإثبات الاثنين بيقود لواحد
+
+272
+00:30:45,380 --> 00:30:51,740
+الإثبات الاثنين بيقود لواحد بدنا نثبت we prove ال
+
+273
+00:30:51,740 --> 00:30:59,120
+contrapositive we prove not واحد implies not two
+
+274
+00:31:01,070 --> 00:31:04,730
+هذا هو ال contrapositive للعبارة لل implication
+
+275
+00:31:04,730 --> 00:31:16,630
+هذه فإذا assume .. assume not واحد ف not واحد معناه
+
+276
+00:31:16,630 --> 00:31:27,190
+ال limit ل F of X لما X تقول ل C لا تساوي L
+
+277
+00:31:30,200 --> 00:31:32,020
+this means هذا يعني
+
+278
+00:31:35,090 --> 00:31:40,190
+الآن نرجع لتعريف ال limit أو ال function شفنا
+
+279
+00:31:40,190 --> 00:31:42,530
+المرة السادسة في تعريفين في epsilon delta
+
+280
+00:31:42,530 --> 00:31:46,270
+definition و في neighborhood definition ال 
+
+281
+00:31:46,270 --> 00:31:49,610
+neighborhood definition بيقول إذا كان عشان تكون
+
+282
+00:31:49,610 --> 00:31:53,770
+limit لـ f of x من x أو لـ c بالساوي عدد L هذا
+
+283
+00:31:53,770 --> 00:31:57,210
+بيكافئ أنه لكل epsilon neighborhood لـ L يوجد delta
+
+284
+00:31:57,210 --> 00:32:01,130
+neighborhood للـ C بحيث لكل x في ال delta
+
+285
+00:32:01,130 --> 00:32:04,630
+neighborhood صورته لازم تطلع في الـ epsilon
+
+286
+00:32:04,630 --> 00:32:08,290
+neighborhood الآن أن في الكلام هذا ما معنى أن ال
+
+287
+00:32:08,290 --> 00:32:13,570
+limit of x at c بيستويش لعدد L معناه بدل لكل epsilon
+
+288
+00:32:13,570 --> 00:32:17,930
+neighborhood لـ L there exists there exists epsilon
+
+289
+00:32:17,930 --> 00:32:25,330
+zero neighborhood of L بسميه
+
+290
+00:32:25,330 --> 00:32:32,110
+V epsilon zero neighborhood لـ L بحيث أنه لكل 
+
+291
+00:32:33,900 --> 00:32:43,060
+Delta neighborhood V Delta أو C يوجد X يعتمد على
+
+292
+00:32:43,060 --> 00:32:50,540
+Delta ينتمي إلى A ومختلف عن الـ C وموجود في الـ
+
+293
+00:32:50,540 --> 00:32:55,560
+Delta neighborhood بحيث
+
+294
+00:32:55,560 --> 00:33:01,100
+أن صورة الـ X Delta
+
+295
+00:33:05,360 --> 00:33:16,380
+لا تنتمي للإبسلون zero neighborhood لـ LL طيب
+
+296
+00:33:16,380 --> 00:33:26,140
+لو أخذنا take لكل N في N take delta بساوي واحد على
+
+297
+00:33:26,140 --> 00:33:31,600
+N then
+
+298
+00:33:31,600 --> 00:33:32,540
+there exists
+
+299
+00:33:37,520 --> 00:33:47,100
+دلتا تعتمد على n دلتا تعتمد على n دلتا تعتمد على n
+
+300
+00:33:47,100 --> 00:33:50,360
+دلتا 
+
+301
+00:33:50,360 --> 00:33:56,520
+تعتمد
+
+302
+00:33:56,520 --> 00:33:57,620
+على
+
+303
+00:34:00,880 --> 00:34:10,260
+و بحيث أن F لـ Xm لا ينتمي لإبسلون Zero
+
+304
+00:34:10,260 --> 00:34:18,300
+neighborhood لـ L طب ما هذا الأخير معناه أو بيقدّي
+
+305
+00:34:26,330 --> 00:34:34,390
+this implies هذا بيقدّي نكون أثبتنا أن لكل n يوجد
+
+306
+00:34:34,390 --> 00:34:42,490
+xn في a إذا يوجد sequence xn موجودة في ال set A
+
+307
+00:34:42,490 --> 00:34:47,170
+حدودها مختلفة عن ال C كل ال xn مختلفة عن ال C
+
+308
+00:34:47,170 --> 00:35:01,980
+وموجودة في v1 على n of c بحيث أن f ل xn لا تنتمي ل
+
+309
+00:35:01,980 --> 00:35:11,900
+v epsilon zero ل n لكل n هذا معناه أن يوجد
+
+310
+00:35:11,900 --> 00:35:20,580
+sequence xn contained in a minus c بحيث أن لاحظوا
+
+311
+00:35:20,580 --> 00:35:26,240
+الـ sequence Xn تنتمي لـ V 1 على N of C اللي هو
+
+312
+00:35:26,240 --> 00:35:30,960
+عبارة عن الفترة C سالب واحد على N C موجب واحد على
+
+313
+00:35:30,960 --> 00:35:37,360
+N لكل N هذا معناه أن absolute Xn minus C أصغر من
+
+314
+00:35:37,360 --> 00:35:42,420
+واحد على N أصغر
+
+315
+00:35:42,420 --> 00:35:47,020
+من واحد على N لكل N في N and
+
+316
+00:35:50,460 --> 00:35:55,500
+F of Xn لا تنتمي للـY0 neighborhood الـY0
+
+317
+00:35:55,500 --> 00:35:59,720
+neighborhood هذا عبارة عن الفترة المفتوحة L minus
+
+318
+00:35:59,720 --> 00:36:08,000
+Y0 L زائد Y0 فF of Xn لا تنتمي للفترة المفتوحة هذه
+
+319
+00:36:08,000 --> 00:36:15,720
+معناه absolute المسافة بين F of Xn وL أكبر من أو
+
+320
+00:36:15,720 --> 00:36:18,460
+ساوي Y0 لكل N
+
+321
+00:36:21,430 --> 00:36:26,750
+هذا الكلام معناه أن
+
+322
+00:36:26,750 --> 00:36:32,190
+يوجد sequence x in موجودة في a حدودها مختلفة عن ال
+
+323
+00:36:32,190 --> 00:36:41,030
+c وهذا الكلام معناه such that limit x in بساوي c
+
+324
+00:36:43,330 --> 00:36:51,410
+حسب نظرية 2.4.2
+
+325
+00:36:51,410 --> 00:36:54,970
+4.2 4.2 4.2 4.2
+
+326
+00:36:54,970 --> 00:36:55,590
+4.2 4.2 4.2 4.2 4
+
+327
+00:36:55,590 --> 00:36:55,730
+4.2 4.2 4.2 4.2 4
+
+328
+00:36:55,730 --> 00:36:56,990
+2.4.2 4.2 4.2 4.2 4.2
+
+329
+00:36:56,990 --> 00:36:59,130
+4.2 4.2 4.2 4.2 4
+
+330
+00:36:59,130 --> 00:37:08,450
+2.4.2 4.2 4.2 4
+
+331
+00:37:12,640 --> 00:37:16,920
+الـ limit لـ
+
+332
+00:37:16,920 --> 00:37:20,760
+sequence f of xn لما n تقول الـ infinity مش ممكن
+
+333
+00:37:20,760 --> 00:37:26,540
+تساوي العدد L لأن لو ال limit لـ f of xn بيساوي
+
+334
+00:37:26,540 --> 00:37:30,220
+العدد L، المفروض ال absolute value للفرق ده تكون
+
+335
+00:37:30,220 --> 00:37:36,660
+أصغر من أي epsilon zero لكل N من capital N و أنت
+
+336
+00:37:36,660 --> 00:37:40,930
+طالع، لكن هذا الكلام مش صحيح Okay إن هذا بالظبط
+
+337
+00:37:40,930 --> 00:37:48,210
+العبارة الأخيرة which which
+
+338
+00:37:48,210 --> 00:37:55,690
+is نفي العبارة 2 هذه
+
+339
+00:37:55,690 --> 00:37:58,450
+العبارة الأخيرة هي نفي العبارة 2 هذه العبارة
+
+340
+00:37:58,450 --> 00:38:06,320
+2 ال statement 2 بيقول لكل sequence بحيث أن
+
+341
+00:38:06,320 --> 00:38:09,100
+ال limit بتاعتها C، ال limit لل image بتاعتها
+
+342
+00:38:09,100 --> 00:38:13,660
+بالساولة L هنا اتوصلنا أن there exist بدل for all
+
+343
+00:38:13,660 --> 00:38:18,660
+there exists sequence نهايتها C لكن نهاية صورتها
+
+344
+00:38:18,660 --> 00:38:25,020
+لا تساول L إذا هيك بنكون أثبتنا أنه لا إذا we
+
+345
+00:38:25,020 --> 00:38:29,800
+proved not
+
+346
+00:38:31,130 --> 00:38:39,390
+not 1 implies not 2 therefore 2 implies 1
+
+347
+00:38:39,390 --> 00:38:46,610
+وهذا يكمل البرهان واضح؟ في أي سؤال؟ في أي استفسار؟
+
+348
+00:38:46,610 --> 00:38:53,590
+يبدو أننا كملنا برهان النظرية في أي استفسار؟
+
+349
+00:38:55,700 --> 00:39:03,780
+الآن من النظرية هذه ينتج مباشرة نظرية مهمة لتقل
+
+350
+00:39:03,780 --> 00:39:13,660
+عنها أهمية ويلها اسم divergence
+
+351
+00:39:13,660 --> 00:39:16,900
+criteria
+
+352
+00:39:25,650 --> 00:39:36,650
+لت if the function from A to R and see the cluster
+
+353
+00:39:36,650 --> 00:39:39,750
+point
+
+354
+00:39:39,750 --> 00:39:45,850
+of A then 1
+
+355
+00:39:47,360 --> 00:39:54,460
+الـ limit لـ f of x لما x تقول لـ c لا تساوي ال f
+
+356
+00:39:54,460 --> 00:40:01,440
+and only if there exists a sequence xm contained in
+
+357
+00:40:01,440 --> 00:40:10,180
+a حدودها مختلفة عن ال c such that limit xm بتساوي
+
+358
+00:40:10,180 --> 00:40:20,490
+c but limit f of x in لا تساوي n الكرتيريا
+
+359
+00:40:20,490 --> 00:40:25,750
+التانية اللي هي عشان
+
+360
+00:40:25,750 --> 00:40:31,930
+نقول limit f of x لما x تقولها c does not exist in
+
+361
+00:40:31,930 --> 00:40:43,690
+R هذا بكافئ أن هناك sequence Xn محتوى A حدودها
+
+362
+00:40:43,690 --> 00:40:50,870
+مختلفة عن C بحيث أن نهايتها بساوي
+
+363
+00:40:50,870 --> 00:41:00,310
+C ولكن نهاية صورتها لا
+
+364
+00:41:00,310 --> 00:41:02,670
+توجد في R
+
+365
+00:41:16,230 --> 00:41:21,250
+كمان النظرية هذه برهانها ينتج مباشرة من النظرية
+
+366
+00:41:21,250 --> 00:41:27,990
+اللي فوق مثلا هي عندي لإثبات ال band الأول عشان
+
+367
+00:41:27,990 --> 00:41:31,130
+أثبت limit f of x  مستويش L and C
+
+368
+00:41:34,380 --> 00:41:38,880
+يعني كإني بقول نفي العبارة 1 هذا هو نفي العبارة
+
+369
+00:41:38,880 --> 00:41:42,560
+1 طب احنا لسه بثبتين ان 1 بكافي 2
+
+370
+00:41:42,560 --> 00:41:46,560
+وبالتالي نفي العبارة 1 بكافي نفي الـ 2 فنفي
+
+371
+00:41:46,560 --> 00:41:51,100
+الـ 2 هذا هو يوجد a sequence تتقارب لـ C لكن صورة
+
+372
+00:41:51,100 --> 00:41:56,720
+تلاتة تتقارب لـ L إذا برهان الجزء الأول نتيجة مباشرة
+
+373
+00:41:56,720 --> 00:42:02,130
+على مضارية ال form والجزء الثاني زيه بدل هنا عشان
+
+374
+00:42:02,130 --> 00:42:06,070
+أقول أن ال limit هذه does not exist يعني لو أخدت
+
+375
+00:42:06,070 --> 00:42:12,650
+أي عدد L فال limit هنا لا تساوي L معناه أنه في
+
+376
+00:42:12,650 --> 00:42:18,050
+sequence والكلام هذا ال limit هذه ما تسويش أي L أي
+
+377
+00:42:18,050 --> 00:42:23,890
+عدد حقيقي إذا النظرية هذه نتيجة مباشرة على النظرية
+
+378
+00:42:23,890 --> 00:42:27,880
+sequential criterion النظرية التي سبقتها الآن هذه
+
+379
+00:42:27,880 --> 00:42:31,560
+النظرية هنستخدمها في إثبات إن ال limit لدالة
+
+380
+00:42:31,560 --> 00:42:36,000
+معينة، عن نقطة معينة غير موجودة، فهي بعض الأمثلة
+
+381
+00:42:36,000 --> 00:42:39,140
+كيف
+
+382
+00:42:39,140 --> 00:42:42,500
+نستخدم ال divergence كتير، كيف نثبت ال divergence
+
+383
+00:42:42,500 --> 00:42:48,020
+أو عدم وجود limit لدالة معينة عن نقطة معينة، فمثلا
+
+384
+00:42:48,020 --> 00:43:02,210
+ناخد أول مثال show that limit لـ 1 على x لما x تقول
+
+385
+00:43:02,210 --> 00:43:09,470
+إلى صفر does not exist in R فلبرهان
+
+386
+00:43:09,470 --> 00:43:16,870
+ذلك let
+
+387
+00:43:16,870 --> 00:43:24,050
+f of x بساوي 1 على x وده أخد الـ x موجبة يعني
+
+388
+00:43:24,050 --> 00:43:27,130
+نعتبر أن ال domain للدالة هذه اللي هو الفترة A
+
+389
+00:43:27,130 --> 00:43:31,270
+بساوي الفترة مفتوحة من صفر لما لا نهاية و نثبت
+
+390
+00:43:31,270 --> 00:43:34,750
+أن الدالة هذه ما ليهاش limit عند الصفر أو عند الصفر
+
+391
+00:43:34,750 --> 00:43:40,650
+من اليمين فلإثبات أن ال limit للدالة هذه عند الصفر
+
+392
+00:43:40,650 --> 00:43:44,470
+ماهياش موجودة حسب ال divergence criteria يعني بدي
+
+393
+00:43:44,470 --> 00:43:48,210
+أثبت أن يوجد .. بدي أجيب sequence نهايتها صفر لكن
+
+394
+00:43:48,210 --> 00:43:52,490
+نهاية صورتها مش موجودة فال sequence إذا هنا
+
+395
+00:43:52,490 --> 00:43:59,560
+consider الـ sequence التي تفي بهذا الغرض اللي هي
+
+396
+00:43:59,560 --> 00:44:06,400
+xn بساوي واحد على n لكل n في n فواضح أنه limit
+
+397
+00:44:06,400 --> 00:44:16,720
+xn بساوي limit واحد على n بتساوي صفر وواضح أنه
+
+398
+00:44:16,720 --> 00:44:22,800
+xn contained in a اللي هي الفترة هذه معدى الصفر
+
+399
+00:44:22,800 --> 00:44:31,310
+صح؟ وعندي ال limit لل image لل sequence xn بساوي ال
+
+400
+00:44:31,310 --> 00:44:38,250
+limit لـ 1 على xn لما n تقوى ل infinity بساوي ال
+
+401
+00:44:38,250 --> 00:44:43,410
+limit لـ n لما n تقوى ل infinity بساوي infinity
+
+402
+00:44:43,410 --> 00:44:49,730
+وهذه طبعا ال infinity does not exist in R ليست عدد
+
+403
+00:44:49,730 --> 00:44:55,980
+حقيقي النهاية نجحت في إيجاد sequence موجودة في A
+
+404
+00:44:55,980 --> 00:45:00,840
+وحدودها مختلفة عن الصفر ونهايتها صفر لكن نهاية
+
+405
+00:45:00,840 --> 00:45:06,960
+صورتها مش موجودة في R وبالتالي therefore by
+
+406
+00:45:06,960 --> 00:45:14,020
+divergence criterion limit
+
+407
+00:45:14,020 --> 00:45:23,240
+لـ F of X أو 1 على X لما x س تقول إلى 0 does not
+
+408
+00:45:23,240 --> 00:45:28,860
+exist in R وفي حقيقة الأمر أثبتنا أن limit 1 على x
+
+409
+00:45:28,860 --> 00:45:34,180
+لما x س تقول إلى 0 من اليمين غير موجودة لأن أخذنا
+
+410
+00:45:34,180 --> 00:45:42,620
+المجال كل الأعداد الموجودة بالمثل ممكن إثبات أن
+
+411
+00:45:42,620 --> 00:45:50,390
+limit لـ 1 على x لما X تقول إلى صفر من اليسار does
+
+412
+00:45:50,390 --> 00:45:55,540
+not exist أن أنا أخد المرة هذه ال X هنا في الدالة
+
+413
+00:45:55,540 --> 00:46:00,560
+هذه ال domain تبعها الفترة من سالب ما له نهاية إلى
+
+414
+00:46:00,560 --> 00:46:05,720
+صفر وأقول أن ال X هنا أصغر من صفر ونفس البرهان
+
+415
+00:46:05,720 --> 00:46:09,820
+هيطلع عندي ال limit لما X تقول صفر من اليسار does
+
+416
+00:46:09,820 --> 00:46:13,500
+not exist وبالتالي ال limit عند ال X من الجهتين
+
+417
+00:46:13,500 --> 00:46:19,820
+does not exist تمام okay هذا مثال مثال ثاني واضح
+
+418
+00:46:19,820 --> 00:46:21,440
+فيه أي سفصار فيه أي سؤال
+
+419
+00:46:25,390 --> 00:46:35,810
+ناخد مثال ثاني show
+
+420
+00:46:35,810 --> 00:46:42,590
+that limit للـ signum function signum x لما x تقول 
+
+421
+00:46:42,590 --> 00:46:48,930
+إلى صفر does not exist where حيث و ال signum
+
+422
+00:46:48,930 --> 00:46:52,450
+function where
+
+423
+00:46:57,580 --> 00:47:02,460
+where signum x هي عبارة عن function في x بنعرفها
+
+424
+00:47:02,460 --> 00:47:07,000
+على أنها واحد إذا كان x أكبر من صفر صفر إذا كان x
+
+425
+00:47:07,000 --> 00:47:12,300
+بساوى صفر سالب واحد إذا كان x أصغر من صفر وهي
+
+426
+00:47:12,300 --> 00:47:13,360
+الرسمة تبعتها
+
+427
+00:47:24,680 --> 00:47:28,920
+فالدالة لما x أكبر من صفر بيستوي ثابت واحد عند
+
+428
+00:47:28,920 --> 00:47:34,400
+الصفر بيستوي صفر و لما x أصغر من صفر بيستوي سالب
+
+429
+00:47:34,400 --> 00:47:38,040
+واحد طيب
+
+430
+00:47:38,040 --> 00:47:48,360
+note that لاحظوا أن الدالة هذه sigma of x بتساوي
+
+431
+00:47:48,360 --> 00:47:52,120
+x على absolute x fx
+
+432
+00:47:53,900 --> 00:47:59,820
+لا تساوي صفر إذا كان x بساوي صفر فدالة sigma بها
+
+433
+00:47:59,820 --> 00:48:07,900
+نفس x على absolute x نفس .. نفس الحاجة طيب الآن
+
+434
+00:48:07,900 --> 00:48:13,400
+إثبات أن ال limit لدالها عند صفر مش موجودة طبعا
+
+435
+00:48:13,400 --> 00:48:17,440
+في تفاضل ألف في برهان في تفاضل ألف بيقول أن هي
+
+436
+00:48:17,440 --> 00:48:21,380
+الدالة لما X تؤول إلى صفر من اليمين ال limit لها واحد
+
+437
+00:48:21,380 --> 00:48:25,500
+لما X تؤول إلى صفر من اليسار نهايتها سالب واحد ال limit
+
+438
+00:48:25,500 --> 00:48:28,040
+من اليمين ليستوي ال limit من اليسار إذا ال limit
+
+439
+00:48:28,040 --> 00:48:33,690
+لدالها عند صفر does not exist برهان accurate صحيح
+
+440
+00:48:33,690 --> 00:48:37,030
+مئة بالمئة ما في مشكلة لكن لو بدنا نعطي برهان
+
+441
+00:48:37,030 --> 00:48:41,810
+باستخدام ال divergence criterion فالبرهان هيكون
+
+442
+00:48:41,810 --> 00:48:46,270
+كالتالي consider
+
+443
+00:48:46,270 --> 00:48:51,410
+بدنا نجيب sequence xn
+
+444
+00:48:54,550 --> 00:48:58,490
+التي نهايتها مختلفة عن الصفر نهايتها صفر لكن نهايت
+
+445
+00:48:58,490 --> 00:49:03,950
+صورتها بساوي صفر ف consider ال sequence اللي هي Xn
+
+446
+00:49:03,950 --> 00:49:09,110
+الحد العام تبعها Xn بساوي سالب واحد أس ان على N
+
+447
+00:49:09,110 --> 00:49:19,190
+لكل N في N ال sequence هذه تنتمي إلى A اللي هو R
+
+448
+00:49:19,190 --> 00:49:21,890
+بعد الصفر
+
+449
+00:49:26,050 --> 00:49:29,530
+موجودة في المجال تبع الدالة المجال تبع الدالة دي
+
+450
+00:49:29,530 --> 00:49:37,570
+كل الأعداد اللي حصلت فيها معدد R صح؟ وعندي و ال
+
+451
+00:49:37,570 --> 00:49:44,610
+limit و ال limit ل XM as M tends to infinity بساوى
+
+452
+00:49:44,610 --> 00:49:50,150
+و ال limitلسالب واحد أس ان على ان لما ان تقول
+
+453
+00:49:50,150 --> 00:49:55,110
+infinity ال limit لل sequence دي ايش بيساوي بيساوي
+
+454
+00:49:55,110 --> 00:50:03,470
+صفر by squeeze theorem او
+
+455
+00:50:03,470 --> 00:50:08,050
+by sandwich theorem but
+
+456
+00:50:08,050 --> 00:50:15,650
+لكن تعالوا نشوف ال limitلـ f of xn as n tends to
+
+457
+00:50:15,650 --> 00:50:19,810
+infinity شو بيساوي؟ بيساوي الـ limit as n tends to
+
+458
+00:50:19,810 --> 00:50:25,750
+infinity احنا عندي الـ xn هنا بيستويش صفر وبالتالي
+
+459
+00:50:25,750 --> 00:50:30,250
+الـ f of x تبعتي اللي هي الـ signum function فهذا
+
+460
+00:50:30,250 --> 00:50:34,050
+بيساوي limit signum xn
+
+461
+00:50:36,620 --> 00:50:41,540
+مظبوط و ال x in قلنا هنا بساويش 0 وبالتالي هذا
+
+462
+00:50:41,540 --> 00:50:47,000
+عبارة عن limit as n tends to infinity ال signal ل
+
+463
+00:50:47,000 --> 00:50:55,420
+x in بساوي x in على absolute x in فهذا
+
+464
+00:50:55,420 --> 00:51:02,210
+بساوي ال limit as n tends to infinity لـ xn عبارة
+
+465
+00:51:02,210 --> 00:51:09,190
+عن سالب واحد أس n على n على absolute xn absolute
+
+466
+00:51:09,190 --> 00:51:16,530
+xn بساوي واحد على n أصحبت؟ الآن نجسم ونبسط ال limit
+
+467
+00:51:16,530 --> 00:51:23,750
+as n tends to infinity بطلع سالب واحد أس n وال
+
+468
+00:51:23,750 --> 00:51:27,210
+sequence هذه ال limit تبعتها أثبتنا قبل هيك
+
+469
+00:51:28,730 --> 00:51:33,410
+بطريقتين على الأقل أن ال limit هذه does not exist
+
+470
+00:51:33,410 --> 00:51:44,830
+does not exist وبالتالي إذا either by the
+
+471
+00:51:44,830 --> 00:51:47,630
+divergence criterion
+
+472
+00:51:50,230 --> 00:51:54,070
+هي أثبتت أن الـ use and sequence موجودة في المجال
+
+473
+00:51:54,070 --> 00:51:58,970
+تبع الدالة معدى الصفر نهايتها صفر لكن نهاية صورتها
+
+474
+00:51:58,970 --> 00:52:03,270
+does not exist إذا by ال band الثاني من ال
+
+475
+00:52:03,270 --> 00:52:11,590
+divergence criterion ال limit لل
+
+476
+00:52:11,590 --> 00:52:17,490
+signum function لما X تقول الصفر does not exist
+
+477
+00:52:17,490 --> 00:52:18,570
+غير موجودة
+
+478
+00:52:20,890 --> 00:52:26,890
+Okay تمام واضح واضح البرهان في أي استفسار في أي
+
+479
+00:52:26,890 --> 00:52:34,470
+سؤال Okay
+
+480
+00:52:34,470 --> 00:52:39,470
+نوقف هنا وإن شاء الله بنكمل المرة الجاية في بعض
+
+481
+00:52:39,470 --> 00:52:45,290
+مثالين الموجودة في الكتاب حاولوا تقرؤهم أو مثال
+
+482
+00:52:46,220 --> 00:52:50,740
+الشباب بالمثال هذا حاولوا تقرؤوا والمرة الجاية
+
+483
+00:52:50,740 --> 00:52:52,580
+هنبدأ section جديد 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/_28CmIWMuzY.srt

@@ -0,0 +1,1615 @@
+1
+00:00:21,330 --> 00:00:27,290
+اليوم طبعا هنكمل الشرح
+
+2
+00:00:27,290 --> 00:00:30,650
+أو 
+
+3
+00:00:30,650 --> 00:00:35,610
+بعض الملاحظات على النظرية اللي أخذناها في المحاضرة 
+
+4
+00:00:35,610 --> 00:00:42,910
+السابقة النظرية هذه بتتحدث عن nested interval
+
+5
+00:00:42,910 --> 00:00:48,620
+property أو خاصية الفترات المتداخلة وشفنا في 
+
+6
+00:00:48,620 --> 00:00:54,720
+النظرية هذه أن لو في عندي sequence of nested
+
+7
+00:00:54,720 --> 00:00:58,660
+intervals الفترات هذه كلهم nested يعني كل واحدة 
+
+8
+00:00:58,660 --> 00:01:05,820
+تحتوي اللي بعدها مباشرة، زائد أن الفترات هذه كلهم 
+
+9
+00:01:05,820 --> 00:01:14,580
+closed كلهم closed و bounded ففي 
+
+10
+00:01:14,580 --> 00:01:20,210
+الحالة هذه التقاطع تبع الـ sequence of intervals لا 
+
+11
+00:01:20,210 --> 00:01:24,310
+يساوي  ∅ يعني في على الأقل عنصر واحد بالتقاطع 
+
+12
+00:01:24,310 --> 00:01:30,510
+شفنا برضه لو في الشرط الإضافي هذا اتحقق وهو 
+
+13
+00:01:30,510 --> 00:01:35,570
+لاحظوا أن هذه عبارة عن ℕ  فهذه sequence من 
+
+14
+00:01:35,570 --> 00:01:42,690
+العداد الطبيعية الغير سالبة، و بالمناسبة الـ infimum واضح 
+
+15
+00:01:42,690 --> 00:01:48,940
+أنه lower bound للمجموعة هذه، صح؟ لكن مش شرط أن 
+
+16
+00:01:48,940 --> 00:01:54,780
+الـ infimum يكون هو الـ infimum للمجموعة هذه، فإذا كان الـ
+
+17
+00:01:54,780 --> 00:01:57,960
+infimum للمجموعة هذه اللي هو أكبر lower bound هو 
+
+18
+00:01:57,960 --> 00:02:06,440
+الـ infimum فالتقاطع فيها عنصر واحد، okay تمام وشفنا 
+
+19
+00:02:06,440 --> 00:02:11,800
+مرتين على البرهان المرة اللي فاتت، و أعتقد أن 
+
+20
+00:02:11,800 --> 00:02:16,860
+البرهان مكتوب بالتفصيل واضح ومرينا عليه جزء جزء 
+
+21
+00:02:16,860 --> 00:02:22,000
+فأرجو أن تكونوا قرأتوها كمان مرة وفهمتوها، في حد 
+
+22
+00:02:22,000 --> 00:02:27,860
+عنده استفسار على البرهان أو النظرية هذه؟ طيب الآن 
+
+23
+00:02:27,860 --> 00:02:35,820
+النظرية هذه، نرجع للنظرية كمان مرة الآن 
+
+24
+00:02:35,820 --> 00:02:41,480
+في ملاحظة بتقول أن لو أنا في النظرية هذه الفترات 
+
+25
+00:02:41,480 --> 00:02:49,780
+هذه، الفرض أن الفترات in مغلقة closed، لو حذفت، شيلت 
+
+26
+00:02:49,780 --> 00:03:01,600
+الفرض هذا فالنظرية هذه بتبطل تكون صحيحة، فالنظرية 
+
+27
+00:03:01,600 --> 00:03:05,000
+هذه بتبطل تكون صحيحة، وحنشوف counter example يوضح 
+
+28
+00:03:05,000 --> 00:03:07,460
+عدم صحتها، كذلك 
+
+29
+00:03:09,100 --> 00:03:13,220
+طب افرض أن هذا الشرط متحقق في الفترات، لكن اللي مش 
+
+30
+00:03:13,220 --> 00:03:17,680
+متحقق اللي هو الـ boundedness، يعني الفترات هذه ليست 
+
+31
+00:03:17,680 --> 00:03:21,420
+محدودة، ليست bounded، برضه في الحالة هذه النظرية 
+
+32
+00:03:21,420 --> 00:03:26,620
+تفشل، و في counter example يوضح فشلها، okay إذا 
+
+33
+00:03:26,620 --> 00:03:30,640
+حنشوف two counter examples، خليني نشوفهم مع بعض 
+
+34
+00:03:36,610 --> 00:03:39,790
+إذا هذه الـ remark اللي أنا اتحدث عنها قلت أن it 
+
+35
+00:03:39,790 --> 00:03:44,090
+should be noted يجب ملاحظة أن generally بصورة عامة 
+
+36
+00:03:44,090 --> 00:03:48,030
+a nested sequence of intervals need not have a
+
+37
+00:03:48,030 --> 00:03:51,290
+common point يعني لو فيه nested sequence من 
+
+38
+00:03:51,290 --> 00:03:57,010
+الفترات المتداخلة مش شرط تقاطعهم يكون في  ∅ يعني 
+
+39
+00:03:57,010 --> 00:04:02,650
+أي نقطة أو نقطة مشاركة، يعني مش شرط أن التقاطع لها 
+
+40
+00:04:02,650 --> 00:04:11,000
+يساوي  ∅ فالآن  هذه هي اللي حكينا عنها أول 
+
+41
+00:04:11,000 --> 00:04:18,500
+مثال، هذه 
+
+42
+00:04:18,500 --> 00:04:23,080
+في المثال الأول الفرض the hypothesis الفرض أن الـ 
+
+43
+00:04:23,080 --> 00:04:28,940
+intervals I<sub>n</sub> في نظرية 22 be closed cannot be
+
+44
+00:04:28,940 --> 00:04:34,800
+dropped يعني لا يمكن حذفه، لا يمكن الاستغناء عنه 
+
+45
+00:04:34,800 --> 00:04:41,180
+وتبقى النظرية نظرية صحيحة، for example على سبيل 
+
+46
+00:04:41,180 --> 00:04:49,120
+المث��ل لو أخذت الفترات I<sub>n</sub>، الفترة I<sub>n</sub> هي الفترة 
+
+47
+00:04:49,120 --> 00:04:55,580
+المفتوحة من 0 لـ 1/n حيث n عدد طبيعي، فواضح أن 
+
+48
+00:04:55,580 --> 00:05:00,460
+الفترات هذه nested صح؟ لأن الفترة الأولى هتكون 
+
+49
+00:05:00,460 --> 00:05:04,820
+الفترة المفتوحة من 0 لـ 1، الفترة الثانية الفترة المفتوحة 
+
+50
+00:05:04,820 --> 00:05:12,180
+من 0 لـ 1/2، وهذه محتوى في I<sub>1</sub>، و I<sub>3</sub> الفترة 
+
+51
+00:05:12,180 --> 00:05:16,540
+المفتوحة من 0 لـ 1/3 محتوى داخل I<sub>2</sub>، و هكذا لذلك 
+
+52
+00:05:16,540 --> 00:05:21,720
+واضح أن الـ sequence of open intervals I<sub>n</sub> is nested
+
+53
+00:05:21,720 --> 00:05:27,560
+sequence كذلك عناصر الـ sequence هذه bounded، هذه 
+
+54
+00:05:27,560 --> 00:05:33,710
+فترات محصورة لكن الفترات هذه not closed مش closed
+
+55
+00:05:33,710 --> 00:05:38,630
+يعني عبارة عن مجموعات مفتوحة ليست مغلقة، إذن شرط 
+
+56
+00:05:38,630 --> 00:05:45,910
+الإغلاق هنا انحذف، وبالتالي نتيجة النظرية مش شرط 
+
+57
+00:05:45,910 --> 00:05:50,750
+تكون صحيحة، إذن التقاطع هنا لنفس الـ sequence هذه 
+
+58
+00:05:50,750 --> 00:05:54,410
+بيطلع بيساوي ∅ مافيش common point، مافيش نقطة 
+
+59
+00:05:54,410 --> 00:05:59,950
+مشتركة في هذه الفترات، طبعا هذا مش واضح 
+
+60
+00:06:04,230 --> 00:06:08,470
+هذا تقاطع الفترات المفتوحة هذه بيساوي ∅ هذا مش 
+
+61
+00:06:08,470 --> 00:06:14,310
+واضح يحتاج إلى برهان، هي البرهان بين قوسين مربعين
+
+62
+00:06:14,310 --> 00:06:21,470
+تعالوا نبرهن أن تقاطع الفترات هذه بيساوي ∅ to see 
+
+63
+00:06:21,470 --> 00:06:27,670
+this to see this معناه لبرهان ذلك مش لرأي ذلك، هذا 
+
+64
+00:06:27,670 --> 00:06:34,040
+تعبير مجازي استخدمه لبرهان الشيء، العبارة اللي احنا 
+
+65
+00:06:34,040 --> 00:06:38,400
+عايزينها، ف to see this suppose in the contrary
+
+66
+00:06:38,400 --> 00:06:43,320
+بنفترض على النقيض أن التقاطع هذا بيساويش ∅ يعني في 
+
+67
+00:06:43,320 --> 00:06:48,100
+على الأقل عنصر x في التقاطع بنصل لتناقض، طيب الـ x 
+
+68
+00:06:48,100 --> 00:06:53,360
+موجود في التقاطع معناته x موجود في I<sub>n</sub> لكل n، إذن x
+
+69
+00:06:53,360 --> 00:06:58,310
+موجود في كل واحدة من الفترات I<sub>n</sub>، طيب x موجود في 
+
+70
+00:06:58,310 --> 00:07:03,510
+الفترة I<sub>n</sub> معناته x أكبر من 0 أصغر من 1/n 
+
+71
+00:07:03,510 --> 00:07:09,970
+أصغر من 1/n، أصغر من 1/n تمام 
+
+72
+00:07:09,970 --> 00:07:13,970
+وبالتالي 
+
+73
+00:07:13,970 --> 00:07:20,430
+حسب الـ Archimedean property، هذا عبارة عن أحد صور 
+
+74
+00:07:20,430 --> 00:07:25,750
+الـ Archimedean property بتقول بما أن x هذا عدد 
+
+75
+00:07:25,750 --> 00:07:33,530
+موجب، الـ x هذا عدد موجب، إذا يوجد عدد طبيعي n<sub>0</sub> 
+
+76
+00:07:33,530 --> 00:07:39,150
+مقلوبه وأصغر من العدد الموجب وهذا بتديني تناقض،
+
+77
+00:07:39,150 --> 00:07:47,370
+هذا بتديني تناقض، هذا بتناقض مع كون الـ x أصغر من 1 
+
+78
+00:07:47,370 --> 00:07:53,170
+على n لكل n، يعني الـ x هذه أصغر من 1/n<sub>0</sub> وهي في 
+
+79
+00:07:53,170 --> 00:07:57,210
+نفس الوقت أكبر من 1/n<sub>0</sub>، لأن هذا بتديني تناقض
+
+80
+00:07:57,210 --> 00:08:04,250
+لأن التناقض هذا سبب الـ assumption تبعنا أن يوجد x 
+
+81
+00:08:04,250 --> 00:08:09,210
+في التقاطع، لأن الصح أن التقاطع هذا مافيش فيه ولا 
+
+82
+00:08:09,210 --> 00:08:16,140
+عنصر يعني is the empty set، إن هذا مثال بيورجي أو 
+
+83
+00:08:16,140 --> 00:08:21,900
+بيوضح أنه لو حذفنا شرط أن الفترات في نظرية 22 
+
+84
+00:08:21,900 --> 00:08:26,980
+closed فبتطلع النظرية، النظرية تفشل، بتبطل النظرية 
+
+85
+00:08:26,980 --> 00:08:32,720
+و هذا مثال بيوضح فشلها، الآن المثال الثاني نفس 
+
+86
+00:08:32,720 --> 00:08:38,480
+الحاجة، الفرض أن الفترات في نظرية 22 be bounded
+
+87
+00:08:40,090 --> 00:08:43,690
+بتكون محدودة cannot be dropped لا يمكن إسقاطه
+
+88
+00:08:43,690 --> 00:08:48,250
+لا يمكن إهماله، فعشان 
+
+89
+00:08:48,250 --> 00:08:52,750
+نوضح هذا الكلام بـ counter example، ف for example
+
+90
+00:08:52,750 --> 00:08:56,750
+على سبيل المثال هناخد الفترات المغلقة I<sub>n</sub>، فترة 
+
+91
+00:08:56,750 --> 00:09:03,190
+مغلقة من n إلى ما لا نهاية حيث n عدد طبيعي، هذه 
+
+92
+00:09:03,190 --> 00:09:10,150
+الفترات كل هذه فترة مغلقة، كل فترة على الصورة هذه 
+
+93
+00:09:10,150 --> 00:09:17,010
+مغلقة إذا شرط الإغلاق متحقق، بعدين الفترات هذه nested 
+
+94
+00:09:17,010 --> 00:09:20,430
+لحظة، أول فترة هي الفترة المغلقة من واحد لما لا 
+
+95
+00:09:20,430 --> 00:09:24,450
+نهاية، الثانية فترة مغلقة من اثنين لما لا نهاية
+
+96
+00:09:24,450 --> 00:09:30,110
+وهذه محتوى في I<sub>1</sub>، الفترة الثالثة الفترة المغلقة 
+
+97
+00:09:30,110 --> 00:09:33,410
+من ثلاثة لما لا نهاية وهذه محتوى في I<sub>2</sub> وهكذا 
+
+98
+00:09:33,410 --> 00:09:38,730
+فالفترات هذه nested and closed مغلقة لكن ماهي 
+
+99
+00:09:38,730 --> 00:09:42,190
+bounded مش محصورة، it's not bounded .. هذه كمجموعة 
+
+100
+00:09:42,190 --> 00:09:48,870
+is not bounded above، كمجموعة ليس لها supremum، is 
+
+101
+00:09:48,870 --> 00:09:52,390
+not bounded above، إذن شرط الـ boundedness اختل 
+
+102
+00:09:52,390 --> 00:09:57,970
+وبالتالي نتيجة النظرية هتختلف، إذا الفترات هذه 
+
+103
+00:09:57,970 --> 00:10:03,410
+closed but unbounded وإذا هنجد أن تقاطع الفترات 
+
+104
+00:10:03,410 --> 00:10:08,930
+هذه مافيش فيه ولا نقطة، تقاطع هذا بيساوي ∅ كمان 
+
+105
+00:10:08,930 --> 00:10:15,350
+مرة، المساواة هذه بدها مش واضحة ليست واضحة، فبدنا 
+
+106
+00:10:15,350 --> 00:10:20,730
+نثبت صحة المساواة هذه كمان مرة، نعمل برهان بالتناقض
+
+107
+00:10:20,730 --> 00:10:24,370
+نعمل برهان بالتناقض 
+
+108
+00:10:29,770 --> 00:10:34,830
+فافرض أن التقاطع هذا لا يساوي ∅، وبالتالي يوجد 
+
+109
+00:10:34,830 --> 00:10:40,670
+x في التقاطع، إذا x موجود في الفترة I<sub>n</sub> لكل n، هذا 
+
+110
+00:10:40,670 --> 00:10:46,950
+من تعريف التقاطع، x موجودة في I<sub>n</sub> معناته x أكبر من 
+
+111
+00:10:46,950 --> 00:10:53,870
+أو يساوي n وهذا صحيح لكل n، هذا بتناقض مع الـ 
+
+112
+00:10:53,870 --> 00:10:58,510
+Archimedean property نظرية الأساسية نظرية 15 
+
+113
+00:10:58,510 --> 00:11:05,450
+في الشبطرة، دي اللي بتقول لأي عدد حقيقي x ينتمي إلى 
+
+114
+00:11:05,450 --> 00:11:16,530
+ℝ بتؤدي أن يوجد n<sub>0</sub> ينتمي إلى ℕ بحيث أن x أصغر من 
+
+115
+00:11:16,530 --> 00:11:17,330
+n<sub>0</sub> 
+
+116
+00:11:21,190 --> 00:11:27,210
+هذه هي الـ Archimedean property الأساسية، طيب أنا 
+
+117
+00:11:27,210 --> 00:11:32,850
+عندي الآن من الـ Archimedean property عندي يوجد عدد 
+
+118
+00:11:32,850 --> 00:11:42,060
+طبيعي n<sub>0</sub> لـ  n<sub>0</sub> أكبر من x، وعندي هنا أن x أكبر من أو 
+
+119
+00:11:42,060 --> 00:11:47,340
+يساوي n لكل n في ℕ وبالتالي x أكبر من أو يساوي n 
+
+120
+00:11:47,340 --> 00:11:51,820
+<sub>0</sub> لأن n<sub>0</sub> ينتمي إلى ℕ، فإذا عندي هنا x أكبر 
+
+121
+00:11:51,820 --> 00:11:56,180
+من أو يساوي n<sub>0</sub> و x أصغر من n<sub>0</sub>، هذا بيديني 
+
+122
+00:11:56,180 --> 00:12:02,840
+تناقض، إذا في عندي contradiction، إذا هذا العنصر غير 
+
+123
+00:12:02,840 --> 00:12:07,870
+موجود such an x does not exist يعني التقاطع هذا 
+
+124
+00:12:07,870 --> 00:12:13,550
+بيساوى ∅ كما هو مطلوب، تمام؟ واضح البرهان؟ إذن هذه 
+
+125
+00:12:13,550 --> 00:12:17,690
+مثال ثاني بوضح أن شرط الـ boundedness لا يمكن 
+
+126
+00:12:17,690 --> 00:12:25,730
+إسقاطه وتبقى nested intervals theorem صحيحة، okay؟ 
+
+127
+00:12:25,730 --> 00:12:31,710
+في نظرية ثانية يمكن هذه مرت معاكم في المبادئ لكن 
+
+128
+00:12:31,710 --> 00:12:37,170
+اليوم هنعطيلها برهان يعتمد على الـ nested intervals 
+
+129
+00:12:37,170 --> 00:12:40,610
+theorem أو nested intervals property برهان جديد 
+
+130
+00:12:40,610 --> 00:12:48,730
+غير اللي أخذته في مبادئ الرياضيات، فالنظرية 
+
+131
+00:12:48,730 --> 00:12:54,590
+هذه 24 بتتحدث عن الـ uncountability of the real
+
+132
+00:12:54,590 --> 00:12:59,560
+numbers فبكل بساطة النظرية هذه بتقول أن مجموعة 
+
+133
+00:12:59,560 --> 00:13:04,340
+الاعداد الحقيقية is uncountable the set ℝ of all 
+
+134
+00:13:04,340 --> 00:13:09,460
+real numbers is uncountable طيب 
+
+135
+00:13:09,460 --> 00:13:15,460
+ماذا يعني أن الـ set تكون countable؟ في حد فيكم 
+
+136
+00:13:15,460 --> 00:13:21,380
+بيُعرف؟ الـ set A أو S، definition
+
+137
+00:13:24,240 --> 00:13:31,920
+definition تعريف S is countable if
+
+138
+00:13:31,920 --> 00:13:46,700
+and only if  كتّب في المبادئ either أما S is finite or
+
+139
+00:13:46,700 --> 00:13:50,040
+أو 
+
+140
+00:13:50,040 --> 00:13:58,450
+S is denumerable أو في بيجيكشن one to one 
+
+141
+00:13:58,450 --> 00:14:03,850
+correspondence بينها وبين الأعداد الطبيعية يعني
+
+142
+00:14:03,850 --> 00:14:16,970
+هذا معناه it is denumerable قابلة للترقيم طيب
+
+143
+00:14:16,970 --> 00:14:23,330
+إذا كانت ال set ليست 
+
+144
+00:14:23,330 --> 00:14:29,090
+finite وليست in one to one correspondence with
+
+145
+00:14:29,090 --> 00:14:33,550
+the natural numbers أو ليست denumerable فبنسميها
+
+146
+00:14:33,550 --> 00:14:38,410
+uncountable غير قابلة للعد countable قابلة للعد
+
+147
+00:14:38,410 --> 00:14:44,750
+uncountable غير قابلة للعد طيب
+
+148
+00:14:44,750 --> 00:14:52,150
+ال
+
+149
+00:14:52,150 --> 00:14:52,390
+..
+
+150
+00:14:55,180 --> 00:15:03,200
+معروف في مبادئ رياضيات درسنا أن ال interval هذه و
+
+151
+00:15:03,200 --> 00:15:08,220
+ال interval هذه كلاهما uncountable الفترة
+
+152
+00:15:08,220 --> 00:15:11,120
+المفتوحة من صفر لواحد infinite set أول حاجة
+
+153
+00:15:11,120 --> 00:15:15,800
+infinite set و
+
+154
+00:15:15,800 --> 00:15:18,900
+طبعًا ممكن تثبت أنها uncountable
+
+155
+00:15:21,370 --> 00:15:26,370
+و طبعًا هذه الفترة المغلقة تحتوي هذه الفترة
+
+156
+00:15:26,370 --> 00:15:29,110
+المفتوحة فإذا كانت هذه uncountable هذه تكون
+
+157
+00:15:29,110 --> 00:15:35,530
+uncountable وهذا البرهان موجود في نظرية في الكتاب
+
+158
+00:15:35,530 --> 00:15:42,010
+المقرر textbook الكتاب المقرر
+
+159
+00:15:42,010 --> 00:15:47,110
+طبعًا
+
+160
+00:15:47,110 --> 00:15:50,410
+طيب
+
+161
+00:15:57,430 --> 00:16:05,570
+الـ احنا عايزين نثبت عشان نثبت أن ال set هذه ال R
+
+162
+00:16:05,570 --> 00:16:14,770
+لاحظوا أن ال R is
+
+163
+00:16:14,770 --> 00:16:18,490
+in one to one correspondence مع الفترة المفتوحة أو
+
+164
+00:16:18,490 --> 00:16:22,630
+المغلقة حتى في
+
+165
+00:16:22,630 --> 00:16:28,250
+byjection بينها وبين الفترة المفتوحة المغلقة 01
+
+166
+00:16:28,250 --> 00:16:36,890
+وبرضه المفتوحة الآن لو أثبتنا أن الفترة هذه
+
+167
+00:16:36,890 --> 00:16:44,150
+uncountable فهذه
+
+168
+00:16:44,150 --> 00:16:50,530
+الـ R in one to one correspondence معها فال R هذه
+
+169
+00:16:50,530 --> 00:16:54,400
+تطلع uncountable هذه نظرية موجودة في مبادئ
+
+170
+00:16:54,400 --> 00:16:58,080
+الرياضيات إذا كانت هناك مجموعتين
+
+171
+00:16:58,080 --> 00:17:02,860
+equivalent to each other فهناك بيجيكشن بينهم إذا
+
+172
+00:17:02,860 --> 00:17:06,540
+كانت واحدة countable فال أخرى تظهر countable إذا
+
+173
+00:17:06,540 --> 00:17:10,380
+كانت واحدة countable فال أخرى تظهر countable إذا
+
+174
+00:17:10,380 --> 00:17:14,140
+كانت هذه finite تظهر هذه finite إذا كانت هذه
+
+175
+00:17:14,140 --> 00:17:19,440
+infinite تظهر هذه infinite كل هذه نظريات موجودة في
+
+176
+00:17:19,440 --> 00:17:24,350
+مبادئ الرياضيات إذا لو أثبتنا أن الفترة هادي
+
+177
+00:17:24,350 --> 00:17:31,010
+uncountable فبتطلع R uncountable طيب
+
+178
+00:17:31,010 --> 00:17:42,050
+لإثبات ذلك هنا عايزين نثبت أن الفترة هادي نثبت أن 
+
+179
+00:17:42,050 --> 00:17:47,030
+الفترة هادي uncountable لبرهان ذلك نعمل برهان
+
+180
+00:17:47,030 --> 00:17:47,770
+بالتناقض
+
+181
+00:17:57,100 --> 00:18:01,160
+بنثبت أن الفترة المغلقة هذه uncountable نفرض
+
+182
+00:18:01,160 --> 00:18:04,940
+المقيد
+
+183
+00:18:04,940 --> 00:18:08,780
+أن الفترة هذه countable لاحظوا أن الفترة هذه
+
+184
+00:18:08,780 --> 00:18:14,500
+infinite والآن countable إذا بتطلع equipotent أو
+
+185
+00:18:14,500 --> 00:18:17,640
+in one to one correspondence with natural numbers
+
+186
+00:18:22,850 --> 00:18:26,550
+الآن في الحالة هذه I in one to one correspondence
+
+187
+00:18:26,550 --> 00:18:31,570
+with real numbers أو بنسميها innumerable صح؟
+
+188
+00:18:33,280 --> 00:18:36,560
+الآن ال set I denumerable يعني ممكن ترقيمها
+
+189
+00:18:36,560 --> 00:18:41,840
+ بالأعداد الطبيعية إذا ممكن نسمي عناصرها xn حيث n عدد
+
+190
+00:18:41,840 --> 00:18:46,340
+طبيعي اللي هي x1, x2, x3  أي set denumerable
+
+191
+00:18:46,340 --> 00:18:49,900
+أو in one to one correspondence with natural
+
+192
+00:18:49,900 --> 00:18:55,140
+numbers ممكن ترقيم عناصرها ك list by the natural
+
+193
+00:18:55,140 --> 00:18:59,200
+numbers إذا I هي كل عناصرها رقمناهم بالأعداد
+
+194
+00:18:59,200 --> 00:18:59,800
+الطبيعية
+
+195
+00:19:05,090 --> 00:19:08,350
+لحظة احنا بدنا نصل الى تناقض احنا بدنا القرآن
+
+196
+00:19:08,350 --> 00:19:15,650
+وفرضنا ال contrary هو Assume ال contrary ان I is
+
+197
+00:19:15,650 --> 00:19:19,870
+countable بدنا نصل الى تناقض طيب هي الفترة I هي
+
+198
+00:19:19,870 --> 00:19:26,890
+الفترة I هي الفترة I هذه
+
+199
+00:19:26,890 --> 00:19:31,550
+I  وفي اندكس اي هاد الفترة اي هاد يعني عناصرها هي
+
+200
+00:19:31,550 --> 00:19:37,390
+مرقمة اكس واحد اكس اتنين الى ما لا نهاية افرض ان اكس
+
+201
+00:19:37,390 --> 00:19:46,510
+واحد موجود هنا اول عنصر في الفترة موجود هنا فممكن
+
+202
+00:19:46,510 --> 00:19:54,530
+اختار فترة مغلقة اسميها اي واحد ممكن اختار فترة
+
+203
+00:19:54,530 --> 00:20:03,260
+مغلقة أسميها I1 بحيث أن ال X1 هذه لا تنتمي للفترة
+
+204
+00:20:03,260 --> 00:20:07,520
+I1 وممكن
+
+205
+00:20:07,520 --> 00:20:13,100
+اختار فترة مغلقة ثانية طب افرضي أن X2 موجودة هنا
+
+206
+00:20:13,100 --> 00:20:19,680
+العنصر الثاني في الفترة I ايه رقم X2 موجود هنا أو
+
+207
+00:20:19,680 --> 00:20:27,400
+هنا أو هنا فبقدر اختار فترة مغلقة ثانية نسميها I2
+
+208
+00:20:27,400 --> 00:20:36,120
+اللي هي الفترة هذه بحيث أن X2 لا تنتمي ل I2 و
+
+209
+00:20:36,120 --> 00:20:42,400
+الفترة I2 هي فترة جزئية من I1 طيب افرض أن X3
+
+210
+00:20:42,400 --> 00:20:50,120
+موجودة هنا أو هنا أو هنا أو أي مكان ثاني فبقدر
+
+211
+00:20:50,120 --> 00:20:58,310
+اختار فترة مغلقة تسميها I3 اللي هي الفترة هذه بحيث
+
+212
+00:20:58,310 --> 00:21:05,450
+أن X3 لا تنتمي للفترة I3 والفترة I3 جزئية من
+
+213
+00:21:05,450 --> 00:21:12,490
+الفترة I2 ممكن نستمر على هذا النمط هنحصل على
+
+214
+00:21:12,490 --> 00:21:21,110
+sequence of intervals اللي هي I1 تحتوي I2 تحتوي I3
+
+215
+00:21:22,570 --> 00:21:27,550
+و هكذا ممكن نستمر إلى ما لا نهاية و كل الفترات هذول
+
+216
+00:21:27,550 --> 00:21:32,570
+محتوى .. كل واحدة منهم محتوى داخل ال I و كل واحدة
+
+217
+00:21:32,570 --> 00:21:38,710
+من الفترات هذه صممناها بحيث أن XN لا ينتمي إلى IN
+
+218
+00:21:38,710 --> 00:21:47,190
+لكل N بيساوي واحد اثنين إلى ما لا نهاية صح؟ إذا لو
+
+219
+00:21:47,190 --> 00:21:53,130
+استمرنا في العملية هذه هنحصل على sequence of nested
+
+220
+00:21:53,130 --> 00:21:57,170
+intervals و ال intervals هدول كلهم closed و
+
+221
+00:21:57,170 --> 00:22:01,570
+bounded كلهم closed و bounded و كل الفترات هذه
+
+222
+00:22:01,570 --> 00:22:07,190
+محتوية داخل الفترة I و X in العنصر X in من ال
+
+223
+00:22:07,190 --> 00:22:14,470
+sequence هذه لا ينتمي ل I in لكل N الآن ممكن نطبق
+
+224
+00:22:14,470 --> 00:22:18,090
+nested interval property theorem اللي هي theorem
+
+225
+00:22:20,050 --> 00:22:23,550
+بتقول ده في عندي sequence of nested intervals و
+
+226
+00:22:23,550 --> 00:22:29,030
+كلهم closed و bounded فالتقاطع تبعهم لا يساوي في I
+
+227
+00:22:29,030 --> 00:22:34,650
+إذا التقاطع تبعهم موجود في نقطة واحدة دعنا نسميها
+
+228
+00:22:34,650 --> 00:22:43,030
+ساى و الفترات هذه كلها كل الفترات هذه موجودة داخل
+
+229
+00:22:43,030 --> 00:22:47,390
+الفترة I داخل الفترة I
+
+230
+00:22:53,490 --> 00:23:04,810
+ماشي هنا اه
+
+231
+00:23:04,810 --> 00:23:07,630
+ايش صار؟ هي فوق صار
+
+232
+00:23:12,680 --> 00:23:17,360
+إذا حسب نفس ال interval theorem يوجد نقطة psi في
+
+233
+00:23:17,360 --> 00:23:22,080
+تقاطع ال��ترات الفترات كلهم موجودين داخل I إذا
+
+234
+00:23:22,080 --> 00:23:29,540
+تقاطعهم موجود داخل I وبالتالي النقطة psi هذه
+
+235
+00:23:29,540 --> 00:23:37,060
+موجودة في كل الفترات I in لأن موجودة في تقاطعهم
+
+236
+00:23:37,060 --> 00:23:43,850
+كلهم صح إذا النقطة psi موجودة في I in لكل N و الفترة
+
+237
+00:23:43,850 --> 00:23:52,690
+I N هذه لا تحتوي من هنا الفترة I N لا تحتوي X N
+
+238
+00:23:52,690 --> 00:23:58,690
+والآن تحتوي psi إذا psi لا تساوي X N الكلام هذا
+
+239
+00:23:58,690 --> 00:24:04,430
+صحيح لكل N بظبط هذا عنصر في الفترة هذه و X N ليس
+
+240
+00:24:04,430 --> 00:24:07,970
+عنصر فيها إذا مش ممكن يكونوا متساويين صح؟
+
+241
+00:24:10,780 --> 00:24:19,120
+ال Psi قلنا هي تنتمي إلى I ال Psi موجودة في I و
+
+242
+00:24:19,120 --> 00:24:27,620
+الفترة I رقمنا عناصرها قبل شوية انا
+
+243
+00:24:27,620 --> 00:24:36,300
+في اندكس يوجد عدد حقيقي Psi ينتمي ل I و في نفس
+
+244
+00:24:36,300 --> 00:24:42,430
+الوجهة الفترة I هي كل عناصرها مُرقّمة بالعداد
+
+245
+00:24:42,430 --> 00:24:48,030
+الطبيعي عناصرها X1 و X2 إلى ما لا نهائي والآن في
+
+246
+00:24:48,030 --> 00:24:59,090
+عندي Psi مختلف عن كل عناصر الفترة I فهذا
+
+247
+00:24:59,090 --> 00:25:04,510
+بيدّي أن ال sequence أو ال set هذه is not a
+
+248
+00:25:04,510 --> 00:25:10,330
+complete enumeration of I ليست ترقيم كامل للفترة I
+
+249
+00:25:10,330 --> 00:25:15,750
+وهذا تناقض يعني
+
+250
+00:25:15,750 --> 00:25:20,530
+احنا قلنا الفترة I هذه تطلع countable و infinite
+
+251
+00:25:20,530 --> 00:25:26,830
+إذا ممكن نرقم إذا denumerable يعني ممكن نرقم عن
+
+252
+00:25:26,830 --> 00:25:31,770
+اصرها كلها بالأعداد الطبيعية وبالتالي كل عنصرها X
+
+253
+00:25:33,730 --> 00:25:43,170
+تمام؟ الآن في البرهان هذا وجدنا أن في صي عنصر جديد
+
+254
+00:25:43,170 --> 00:25:49,310
+في I مختلف عن كل عناصرها معناته هذه ال list ليست
+
+255
+00:25:49,310 --> 00:25:54,650
+ترقيم كامل ل I في عناصر أخرى زي صي مش مرقمة و هذا
+
+256
+00:25:54,650 --> 00:25:59,950
+تناقض لأن إحنا عندنا ال set I هذه countable و
+
+257
+00:25:59,950 --> 00:26:04,210
+infinite و denomable إذن هي list تبع كل عناصرها
+
+258
+00:26:04,210 --> 00:26:11,230
+فكيف طلع فيه عنصر جديد مختلف عن عناصرها فهذا تناقض
+
+259
+00:26:11,230 --> 00:26:18,140
+إذن هذا التناقض بيثبت أن فرضنا أن الفترة I كانت
+
+260
+00:26:18,140 --> 00:26:22,140
+countable كان فرض خاطئ وبالتالي الفترة I تطلع
+
+261
+00:26:22,140 --> 00:26:27,520
+uncountable إذا الآن الفترة I uncountable وأنا
+
+262
+00:26:27,520 --> 00:26:36,140
+عندي R equivalent لفترة مغلقة 01 ممكن نوجد
+
+263
+00:26:36,140 --> 00:26:40,860
+bijection بينهم إذا ال R تطلع uncountable كما هو
+
+264
+00:26:40,860 --> 00:26:45,080
+مطلوب إذا 
+
+265
+00:26:45,080 --> 00:26:50,750
+هذا هو برهان النظرية اللي أفادت هي طبعًا برهان بيعتمد
+
+266
+00:26:50,750 --> 00:26:55,430
+على شوفنا ال nested interval theorem وبالتالي هذا
+
+267
+00:26:55,430 --> 00:26:58,510
+برهان مختلف عن البرهان اللي بنعطيه في مبادئ
+
+268
+00:26:58,510 --> 00:27:05,270
+الرياضيات في برهان ثاني برضه لنظرية هذه يعطى في
+
+269
+00:27:05,270 --> 00:27:10,710
+مبادئ الرياضيات اللي هو باستخدام counter diagonal
+
+270
+00:27:10,710 --> 00:27:14,690
+argument مشهور
+
+271
+00:27:14,690 --> 00:27:20,990
+يعني البرهان يرجع إلى العالم الرياضي Cantor يسمى
+
+272
+00:27:20,990 --> 00:27:24,750
+Cantor دي أقنع ال argument بيثبت أن الفترة المفتوحة
+
+273
+00:27:24,750 --> 00:27:29,330
+من صفر لواحد is uncountable وبالتالي R is
+
+274
+00:27:29,330 --> 00:27:33,310
+uncountable لأن R في byjection بينها وبين ال open
+
+275
+00:27:33,310 --> 00:27:37,670
+interval من صفر لواحد الآن في نتيجة على نظرية
+
+276
+00:27:37,670 --> 00:27:42,490
+الأخيرة هذه ال set هذه ال R minus Q اللي هي ال 
+
+277
+00:27:42,490 --> 00:27:46,590
+set of all irrationals أيضًا is uncountable
+
+278
+00:27:46,590 --> 00:27:50,690
+والبرهان هنا نفس البرهان اللي بنعطيه في المبادئ
+
+279
+00:27:50,690 --> 00:27:55,470
+برهان by contradiction assume and contrary أن ال
+
+280
+00:27:55,470 --> 00:28:02,110
+set R minus Q is countable وإحنا عندنا نظرية في 
+
+281
+00:28:02,110 --> 00:28:07,640
+المبادئ أخذنا بتقول إن لو في عندي مجموعتين A وB وكل 
+
+282
+00:28:07,640 --> 00:28:14,140
+واحدة منهم countable فاتحادهم بيطلع countable الآن
+
+283
+00:28:14,140 --> 00:28:17,640
+أنا في عندي Q countable معروف أن Q is countable
+
+284
+00:28:17,640 --> 00:28:24,160
+والآن احنا فرضنا أن R-Q is countable إذا اتحاد
+
+285
+00:28:24,160 --> 00:28:28,420
+المجموعتين هدول اللي هو R بيطلع countable وهذا
+
+286
+00:28:28,420 --> 00:28:31,420
+بتناقض مع النتيجة اللي لسه مثبتينها في النظرية
+
+287
+00:28:31,420 --> 00:28:36,240
+السابقة Okay إذا في عندي contradiction إذا الفرض
+
+288
+00:28:36,240 --> 00:28:39,780
+أنه الست هذه countable كان خاطئ إذا الصح أنه الست
+
+289
+00:28:39,780 --> 00:28:45,280
+هذه اللي هي ال irrational number is uncountable
+
+290
+00:28:45,280 --> 00:28:57,120
+okay تمام إذا الـ مع
+
+291
+00:28:57,120 --> 00:29:01,620
+انتهاء النتيجة هذه هيك بنكون غطينا section 2
+
+292
+00:29:01,620 --> 00:29:08,660
+خمسة وهاي التمرين المطلوب تحلوها مش عايز أبدأ
+
+293
+00:29:08,660 --> 00:29:14,020
+section جديد عايز أن احنا نستغل الوقت المتبقي من
+
+294
+00:29:14,020 --> 00:29:19,160
+المحاضرة في حل أسئلة discussion يعني مناقشة فأي
+
+295
+00:29:19,160 --> 00:29:22,360
+واحدة فيكم عندها مناقشة احنا أنا عارف أن انتوا
+
+296
+00:29:22,360 --> 00:29:28,100
+هتحضروا حالكم ليوم السبت المناقشة لكن برضه أكيد
+
+297
+00:29:28,100 --> 00:29:32,040
+يعني في بينكم ناس محضرين فلو عندكم أسئلة في
+
+298
+00:29:32,040 --> 00:29:36,680
+section 2 3 أو 2 4 أو section
+
+299
+00:29:36,680 --> 00:29:41,160
+2 2 أو 2 1 فممكن نحاول نحلها في
+
+300
+00:29:41,160 --> 00:29:47,080
+الوقت المتبقي من المحاضرة ماشي الحال فإذا مين عندها
+
+301
+00:29:47,080 --> 00:29:53,540
+أي سؤال في الـ .. المحاضرات
+
+302
+00:29:53,540 --> 00:30:03,220
+السابقة أو تمارين المحاضرات السابقة من
+
+303
+00:30:03,220 --> 00:30:08,540
+لديها سؤال؟ في عندنا أسئلة كتيرة في المحاضرات
+
+304
+00:30:08,540 --> 00:30:15,470
+السابقة homework كتير مين لديها سؤال؟ مين عندها
+
+305
+00:30:15,470 --> 00:30:23,170
+سؤال؟ مين بتحلم السؤال؟ ولا
+
+306
+00:30:23,170 --> 00:30:29,690
+واحدة عندها سؤال؟ تفضل طيب
+
+307
+00:30:30,890 --> 00:30:35,570
+طبعا هذه إشارة غير يعني غير إيجابية أو إشارة سلبية
+
+308
+00:30:35,570 --> 00:30:42,530
+يعني لحد الآن أنتوا مش المادة ما بتدرسهاش دراسة
+
+309
+00:30:42,530 --> 00:30:49,530
+حقيقية وهذا معناه أن أنتوا مش ماخدينها بجد يعني
+
+310
+00:30:49,530 --> 00:30:59,690
+كما أجب وهذا دليل عليكم تحلوش مسألة ف أنا
+
+311
+00:30:59,690 --> 00:31:04,600
+هسأل عنكم خليني أحل لكم كام سؤال هاي section 2
+
+312
+00:31:04,600 --> 00:31:29,640
+3 هنا هاي
+
+313
+00:31:29,640 --> 00:31:31,000
+مثلا سؤال 4
+
+314
+00:31:35,030 --> 00:31:43,690
+هي السؤال 4 section 2 3 أنا
+
+315
+00:31:43,690 --> 00:31:51,850
+عندي set S 4 بيساوي كل الأعداد 1- -1-
+
+316
+00:31:51,850 --> 00:32:03,910
+1  /  N  حيث N عدد طبيعي والمطلوب
+
+317
+00:32:03,910 --> 00:32:04,490
+find
+
+318
+00:32:07,290 --> 00:32:17,550
+Find الـ Supremum أو الـ infimum ل S4  و أيضا الـ 
+
+319
+00:32:17,550 --> 00:32:29,950
+Supremum ل S4 طيب
+
+320
+00:32:29,950 --> 00:32:34,370
+احنا أخذنا في مثال في الـ section هذا
+
+321
+00:32:37,360 --> 00:32:39,940
+خلنا ننام هنا ولا لسه؟
+
+322
+00:33:14,820 --> 00:33:21,960
+Solution أخذنا احنا مثال بيقول أنه الـ .. لو كان في
+
+323
+00:33:21,960 --> 00:33:25,320
+.. في الـ section اللي بعد وممكن الحل باستخدام
+
+324
+00:33:25,320 --> 00:33:32,500
+المثال رقم A يعني by example
+
+325
+00:33:42,050 --> 00:33:52,450
+2 4 1 الجزء A أنا عندي الـ supremum ل A
+
+326
+00:33:52,450 --> 00:33:58,990
+زاد S A عدد حقيقي S مجموعة جزئية من R أثبتنا أن
+
+327
+00:33:58,990 --> 00:34:09,970
+هذا بيساوي A زائد supremum الـ S فلو
+
+328
+00:34:09,970 --> 00:34:24,340
+بدي أحل الجزء B �� let S بيساوي مجموعة ..
+
+329
+00:34:24,340 --> 00:34:29,740
+let
+
+330
+00:34:29,740 --> 00:34:36,560
+S بيساوي مجموعة الأعداد -1 
+
+331
+00:34:36,560 --> 00:34:42,140
+أس N على N حيث N عدد طبيعي
+
+332
+00:34:48,030 --> 00:34:54,310
+ممكن نحول السلب لموجة هاد عبارة عن -1 ..
+
+333
+00:34:54,310 --> 00:35:05,610
+-1 و نص و -1 تلت و -1 ربع و كده
+
+334
+00:35:17,860 --> 00:35:29,700
+فممكن اثبات أن الـ super mom تبع السيدتها دي
+
+335
+00:35:29,700 --> 00:35:33,820
+أستاذ
+
+336
+00:35:33,820 --> 00:35:40,840
+نعم هنحن لو سالب اللي برا دخلناه يصير -1
+
+337
+00:35:40,840 --> 00:35:45,980
+plus 1 plus 1 على أنا ممكن اه ممكن ناخد -
+
+338
+00:35:45,980 --> 00:35:50,560
+هذا فهذا أكبر أنصر هو الواحد صح هيك بتنحل الصح
+
+339
+00:35:50,560 --> 00:35:56,620
+برضه هذا ممكن فبيصير عندي هنا 1 - اول أنصر
+
+340
+00:35:56,620 --> 00:36:03,960
+1- نص فالصبر ممكن يكون 1 بعدين 1- تلت
+
+341
+00:36:03,960 --> 00:36:12,760
+ربع و هكذا فالـ supremum إذاً الـ supremum ل S بيساوي
+
+342
+00:36:12,760 --> 00:36:17,480
+هاي اللي .. لاحظ أن الأكبر عدد في الست هذه هو
+
+343
+00:36:17,480 --> 00:36:23,840
+الواحد 1 أكبر من أو يساوي كل الأعداد هذه وهو
+
+344
+00:36:23,840 --> 00:36:27,020
+أصغر upper bound إذاً الواحد upper bound للست هذه
+
+345
+00:36:27,020 --> 00:36:32,400
+هي أكبر من أو يساوي كل عناصرها وهو أصغر upper bound
+
+346
+00:36:32,400 --> 00:36:41,930
+إذاً هذا بيساوي 1 لـ س .. إيش بس يعني؟
+
+347
+00:36:41,930 --> 00:36:48,850
+ما
+
+348
+00:36:48,850 --> 00:36:54,370
+هو أصغر؟ طلع 2 2 أستاذ الـ super 2 مش
+
+349
+00:36:54,370 --> 00:37:00,770
+هي على حسب القاعدة نحن نحط أي واحد بيصير
+
+350
+00:37:00,770 --> 00:37:04,520
+2؟ لا لا احنا بنحكي عن الست هذه اللي هنا مش
+
+351
+00:37:04,520 --> 00:37:11,020
+اللي هناك هذه S وهذه S4 فبيختلفوا عن بعض الست هذه
+
+352
+00:37:11,020 --> 00:37:15,760
+هذا هي أنصرها فما
+
+353
+00:37:15,760 --> 00:37:21,700
+هو بيناجب lower bound أو أكبر lower bound أكبر 
+
+354
+00:37:21,700 --> 00:37:30,120
+lower bound طب نلاحظ -1/2 أصغر من -1/4 أصغر 
+
+355
+00:37:30,120 --> 00:37:47,710
+من بعد هيك -1/6 اه فاعتقد
+
+356
+00:37:47,710 --> 00:37:52,010
+أن هذا هيطلع -1/2 هذا أكبر lower bound
+
+357
+00:37:58,870 --> 00:38:04,470
+طيب لو طبقنا النظرية هذه أنا أخدت S بيساوي الكلام
+
+358
+00:38:04,470 --> 00:38:12,830
+هذا و A بيساوي 1 إذا
+
+359
+00:38:12,830 --> 00:38:24,470
+الـ supremum ل S 4 بيساوي A زائد الـ supremum ل S
+
+360
+00:38:24,470 --> 00:38:34,260
+صح؟ والـ a بيساوي 1 والـ suprem لـ s بيساوي 1
+
+361
+00:38:34,260 --> 00:38:43,460
+فبيطلع الـ suprem لـ S 4 بيساوي 2 تمام؟ الآن
+
+362
+00:38:43,460 --> 00:38:53,660
+بنجيب الـ infimum لـ S 4 بنفس الطريقة ممكن
+
+363
+00:38:53,660 --> 00:38:54,340
+إثبات
+
+364
+00:39:00,490 --> 00:39:10,070
+إذا هنا similar
+
+365
+00:39:10,070 --> 00:39:17,590
+example
+
+366
+00:39:17,590 --> 00:39:24,090
+similar
+
+367
+00:39:24,090 --> 00:39:32,030
+example 2 4 1 أي ممكن من خلاله نثبت أن
+
+368
+00:39:32,030 --> 00:39:38,330
+الـ infimum أن 
+
+369
+00:39:38,330 --> 00:39:44,490
+الـ infimum لـ set A زائد S بيساوي A زائد الـ infimum لـ S
+
+370
+00:39:44,490 --> 00:39:49,310
+وبالتالي
+
+371
+00:39:49,310 --> 00:39:53,390
+أن
+
+372
+00:39:53,390 --> 00:40:00,480
+أنا لو بدي أجرب على جزء A ف الـ infimum لـ S 4
+
+373
+00:40:00,480 --> 00:40:13,780
+بيساوي الـ infimum لـ A زائد S اللي هو الـ infimum لـ 
+
+374
+00:40:13,780 --> 00:40:22,630
+1 زائد S وهذا بيساوي 1 زائد infimum لـ S و
+
+375
+00:40:22,630 --> 00:40:28,770
+هذا بيساوي 1 زائد infimum الـ S -1/2 فبيطلع 1/2
+
+376
+00:40:28,770 --> 00:40:36,210
+okay أن الـ infimum لـ set S 4 بيطلع - بيطلع 1/2
+
+377
+00:40:36,210 --> 00:40:41,910
+هذا حل حل ثاني أن أنا يعني أحاول
+
+378
+00:40:47,360 --> 00:40:54,460
+اه يعني أكتب عناصر المجموعة هذه أفرطها وأحاول
+
+379
+00:40:54,460 --> 00:40:59,600
+أشوف وين أصغر عنصر ووين أكبر عنصر ووين هيكون في
+
+380
+00:40:59,600 --> 00:41:04,640
+عندي upper bounds و lower bounds ونحاول نثبت أنه
+
+381
+00:41:04,640 --> 00:41:12,060
+الـ .. يعني بالطريقة هذه يعني ممكن نحن نحل الأسئلة 
+
+382
+00:41:12,060 --> 00:41:20,320
+بطريقة ثانية فهذا حلو يعني
+
+383
+00:41:20,320 --> 00:41:25,900
+هذا الـ set ممكن نكتب عناصرها يعني أول عنصر لما N
+
+384
+00:41:25,900 --> 00:41:33,680
+بيساوي 1 1- -1-
+
+385
+00:41:33,680 --> 00:41:44,350
+-1 يعني 0 الانصر اللي بعده 1-1/2
+
+386
+00:41:44,350 --> 00:41:56,450
+بيطلع 1/2 اللي بعده بيطلع 1- -1/3 يعني
+
+387
+00:41:56,450 --> 00:42:03,270
+1/3 يعني قد ايه 4/3 اللي بعده 1
+
+388
+00:42:03,270 --> 00:42:07,210
+موجب 1/4 بيطلع قد ايه
+
+389
+00:42:09,700 --> 00:42:17,520
+5/4 و هكذا فهنلاحظ
+
+390
+00:42:17,520 --> 00:42:24,700
+أن الـ 2 2 upper bound لأن هو هيكون أكبر
+
+391
+00:42:24,700 --> 00:42:31,100
+عنصر و ننتبه للست لو في أي upper bound ثاني لو في
+
+392
+00:42:31,100 --> 00:42:33,320
+أي upper bound
+
+393
+00:42:37,830 --> 00:42:45,630
+of S4 فهذا بيقودى أن 2 أصغر من أو يساوي الـ V
+
+394
+00:42:45,630 --> 00:42:50,890
+لأنه 2 عنصر في الست S4 صح؟ إذا 2 upper
+
+395
+00:42:50,890 --> 00:42:54,810
+bound واضح أن 2 أكبر من أو يساوي كل عناصر S4
+
+396
+00:42:54,810 --> 00:43:04,320
+صح؟ ولو أخدت أي upper bound لـ S4 فبما أن V هو upper
+
+397
+00:43:04,320 --> 00:43:09,200
+bound لـ S4 و 2 عنصر في S4 إذن 2 أصغر من أو 
+
+398
+00:43:09,200 --> 00:43:14,640
+يساوي V إذن هنا أثبتنا أن 2 upper bound لـ S4
+
+399
+00:43:14,640 --> 00:43:19,500
+و 2 أصغر من أو يساوي أي upper bound لـ S4 إذن
+
+400
+00:43:19,500 --> 00:43:23,440
+2 هو الـ supremum بالمثل ممكن نثبت أن النص هو
+
+401
+00:43:23,440 --> 00:43:28,140
+الـ infimum إذن هذا برهان ثاني أنا اتعمدت أعطيكم البرهان
+
+402
+00:43:28,140 --> 00:43:32,260
+هذا عشان القوانين هذه نشوف كيف نطبقها برضه هذا
+
+403
+00:43:32,260 --> 00:43:38,520
+برهان صعب ناجح الحل؟ okay؟
+
+404
+00:43:38,520 --> 00:43:42,080
+في أي سؤال أو استفسار؟ إذا احنا هنكتفي بهذا القدر

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/_28CmIWMuzY_raw.srt

@@ -0,0 +1,1616 @@
+1
+00:00:21,330 --> 00:00:27,290
+اليوم طبعا هنكمل الشرح
+
+2
+00:00:27,290 --> 00:00:30,650
+أو
+
+3
+00:00:30,650 --> 00:00:35,610
+بعض الملاحظات على النظرية اللي أخدناها في المحاضرة
+
+4
+00:00:35,610 --> 00:00:42,910
+السابقة النظرية هذه بتتحدث عن nested interval
+
+5
+00:00:42,910 --> 00:00:48,620
+property أو خاصية الفترات المتداخلةوشوفنا في
+
+6
+00:00:48,620 --> 00:00:54,720
+النظرية هذه ان لو في عندي sequence of nested
+
+7
+00:00:54,720 --> 00:00:58,660
+intervals الفترات هذه كلهم nested يعني كل واحدة
+
+8
+00:00:58,660 --> 00:01:05,820
+تحتوي اللي بعدها مباشرة زائد ان الفترات هذه كلهم
+
+9
+00:01:05,820 --> 00:01:14,580
+closed كلهم closed و bounded ففي
+
+10
+00:01:14,580 --> 00:01:20,210
+الحالة هذه التقاطةتبع ال sequence of intervals لا
+
+11
+00:01:20,210 --> 00:01:24,310
+يساوي في يعني في على الأقل عنصر واحد بالتقاطة
+
+12
+00:01:24,310 --> 00:01:30,510
+شوفنا برضه لو في الشرط الإضافي هذا اتحقق وهو
+
+13
+00:01:30,510 --> 00:01:35,570
+لاحظوا أن هذه عبارة عن ساو بي ان فهذه sequence من
+
+14
+00:01:35,570 --> 00:01:42,690
+العداد السالمة الغير سالمة و بالمناسبة السفر واضح
+
+15
+00:01:42,690 --> 00:01:48,940
+أنه lower bound للمجموعة هذه صح؟لكن مش شرط أن
+
+16
+00:01:48,940 --> 00:01:54,780
+السفر يكون هو ال infimum للمجموعة هذه فإذا كان ال
+
+17
+00:01:54,780 --> 00:01:57,960
+infimum للمجموعة هذه اللي هو أكبر lower bound هو
+
+18
+00:01:57,960 --> 00:02:06,440
+السفر فالتقاط واحدة في أنصر واحد okay تمام وشوفنا
+
+19
+00:02:06,440 --> 00:02:11,800
+مرين على البرهان المرة اللي فاتت و أعتقد أن
+
+20
+00:02:11,800 --> 00:02:16,860
+البرهان مكتوب بالتفصيلواضح ومرنا عليه جزء جزء
+
+21
+00:02:16,860 --> 00:02:22,000
+فأرجعكم تكونوا قرأتهوا كمان مرة وفهمتهوا في حد
+
+22
+00:02:22,000 --> 00:02:27,860
+عنده استفسار على المرهانة النظرية هذه طيب الآن
+
+23
+00:02:27,860 --> 00:02:35,820
+النظرية هذه نرجع للنظرية كمان مرة الآن
+
+24
+00:02:35,820 --> 00:02:41,480
+في ملاحظة بتقول انه لو انا في النظرية هذه الفترات
+
+25
+00:02:41,480 --> 00:02:49,780
+هذهالفرض ان الفترات in مغلقة closed لو حذفت شيلت
+
+26
+00:02:49,780 --> 00:03:01,600
+الفرض هذا فالنظرية هذه بتبطل تكون صحيحة فالنظرية
+
+27
+00:03:01,600 --> 00:03:05,000
+هذه بتبطل تكون صحيحة وحنشوف counter example يوضح
+
+28
+00:03:05,000 --> 00:03:07,460
+عدم صحتها كذلك
+
+29
+00:03:09,100 --> 00:03:13,220
+طب افرضه ان هذا شرط متحقق في الفترات لكن اللي مش
+
+30
+00:03:13,220 --> 00:03:17,680
+متحقق اللي هو ال boundedness يعني الفترات هذه ليست
+
+31
+00:03:17,680 --> 00:03:21,420
+محدودة ليست bounded برضه في الحالة هذه المظهرية
+
+32
+00:03:21,420 --> 00:03:26,620
+تفشل و في counter example يوضح فشلها okay اذا
+
+33
+00:03:26,620 --> 00:03:30,640
+حنشوف two counter examples خليني نشوفهم مع بعض
+
+34
+00:03:36,610 --> 00:03:39,790
+إذا هدى ال remark اللى انا اتحدث عنها قلت انه it
+
+35
+00:03:39,790 --> 00:03:44,090
+should be noted يجب ملاحظة ان journal بصورة عامة
+
+36
+00:03:44,090 --> 00:03:48,030
+instant sequence of intervals need not have a
+
+37
+00:03:48,030 --> 00:03:51,290
+common point يعني لو فيه ending sequence من
+
+38
+00:03:51,290 --> 00:03:57,010
+الفترات المتداخلة مش شرط تقاطعهم يكون في في يعني
+
+39
+00:03:57,010 --> 00:04:02,650
+اى نقطة او نقطة مشاركة يعني مش شرط ان التقاطع لها
+
+40
+00:04:02,650 --> 00:04:11,000
+يساوي فيهفالأنثى لها دى هدا هى اللى حكينا عنها اول
+
+41
+00:04:11,000 --> 00:04:18,500
+مثال هاى
+
+42
+00:04:18,500 --> 00:04:23,080
+فى المثال الاول الفرض the hypothesis الفرض ان ال
+
+43
+00:04:23,080 --> 00:04:28,940
+intervals I in فى نظرية 22 be closed cannot be
+
+44
+00:04:28,940 --> 00:04:34,800
+dropped يعني لا يمكن حذفهلا يمكن الاستجناء عنه
+
+45
+00:04:34,800 --> 00:04:41,180
+وتبقى النظرية نظرية صحيحة for example على سبيل
+
+46
+00:04:41,180 --> 00:04:49,120
+المثال لو أخدت الفترات I N الفترة I N هي الفترة
+
+47
+00:04:49,120 --> 00:04:55,580
+المفتوحة من 0 ل 1 على N حيث N عدد طبيعي فواضح ان
+
+48
+00:04:55,580 --> 00:05:00,460
+الفترات هدي nested صح؟ لأن الفترة الأولى هتكون
+
+49
+00:05:00,460 --> 00:05:04,820
+الفترة مفتوحة من 0 ل 1الفترة التانية الفترة مفتوحة
+
+50
+00:05:04,820 --> 00:05:12,180
+من سفر لنص وهذه محتوى في I واحد و I تلاتة الفترة
+
+51
+00:05:12,180 --> 00:05:16,540
+مفتوحة من سفر لتلت محتوى داخل I اتنين و هكذا لذلك
+
+52
+00:05:16,540 --> 00:05:21,720
+واضح ان ال sequence of open intervals IN is nested
+
+53
+00:05:21,720 --> 00:05:27,560
+sequence كذلك عناصر ال sequence هذه bounded هذه
+
+54
+00:05:27,560 --> 00:05:33,710
+فترات محصورةلكن الفترات هذه not closed مش closed
+
+55
+00:05:33,710 --> 00:05:38,630
+يعني عبارة عن مجموعات مفتوحة ليست مغلقة، إذن شرط
+
+56
+00:05:38,630 --> 00:05:45,910
+الإغلاق هنا انحذف وبالتالي نتيجة النظرية مش شرط
+
+57
+00:05:45,910 --> 00:05:50,750
+تكون صحيحة، إذن التقاطع هنا لنفس ال sequence هذه
+
+58
+00:05:50,750 --> 00:05:54,410
+بيطلع بساوي fine مافيش common point مافيش نقطة
+
+59
+00:05:54,410 --> 00:05:59,950
+مشتركة في هذه الفترات طبعا هذا مش واضح
+
+60
+00:06:04,230 --> 00:06:08,470
+هذا تقاطع الفترات المفتوحة هذه بساوي في هذا مش
+
+61
+00:06:08,470 --> 00:06:14,310
+واضح يحتاج إلى برهان هي البرهان بين جثين مربعين
+
+62
+00:06:14,310 --> 00:06:21,470
+تعالوا نبره إن تقاطع الفترات هذه بساوي في to see
+
+63
+00:06:21,470 --> 00:06:27,670
+this to see this معناه لبرهان ذلك مش لرأي ذلك هذا
+
+64
+00:06:27,670 --> 00:06:34,040
+تعبير مجازم استخدمه لبرهانالشيء العبارة اللي احنا
+
+65
+00:06:34,040 --> 00:06:38,400
+عايزينها ف to see this suppose in the contrary
+
+66
+00:06:38,400 --> 00:06:43,320
+بنفترض على النقيد انه التقاطع هذا بسويش في يعني في
+
+67
+00:06:43,320 --> 00:06:48,100
+على الأقل عنصر X في التقاطع بنصل لتناقض طيب ال X
+
+68
+00:06:48,100 --> 00:06:53,360
+موجود في التقاطع معناته X موجود في I N لكل N إذن X
+
+69
+00:06:53,360 --> 00:06:58,310
+موجود في كل واحدة من الفترات I Nطيب X موجود في
+
+70
+00:06:58,310 --> 00:07:03,510
+الفترة I N معناته X أكبر من سفر أصغر من واحد على N
+
+71
+00:07:03,510 --> 00:07:09,970
+أصغر من واحد على N أصغر من واحد على N تمام
+
+72
+00:07:09,970 --> 00:07:13,970
+وبالتالي
+
+73
+00:07:13,970 --> 00:07:20,430
+حسب ال Archimedean property هذا عبارة عن أحد صور
+
+74
+00:07:20,430 --> 00:07:25,750
+ال Archimedean property بتقول ليبما ان X هد عدد
+
+75
+00:07:25,750 --> 00:07:33,530
+موجب، الـ X هد عدد موجب، إذا يوجد عدد طبيعي N0
+
+76
+00:07:33,530 --> 00:07:39,150
+مقلوب و أصغر من العدد الموجب وهذا بتديني تناقض،
+
+77
+00:07:39,150 --> 00:07:47,370
+هذا بتديني تناقض، هذا بتناقض مع كون ال X أصغر من 1
+
+78
+00:07:47,370 --> 00:07:53,170
+على N لكل Nيعني ال X هذه أصغر من 1 على N0 وهي في
+
+79
+00:07:53,170 --> 00:07:57,210
+نفس الواجهة أكبر من 1 على N0 لأن هذا بتديني تناقض
+
+80
+00:07:57,210 --> 00:08:04,250
+لأن التناقض هذا سبب ال assumption تبعنا أن يوجد X
+
+81
+00:08:04,250 --> 00:08:09,210
+في التقاطة لأن الصح أن التقاطع هذا مافيش فيه ولا
+
+82
+00:08:09,210 --> 00:08:16,140
+أنصر يعني is the empty setإن هذا مثال بورجي أو
+
+83
+00:08:16,140 --> 00:08:21,900
+بيوضح إنه لو حذفنا شرط إن الفترات في نظرية 22
+
+84
+00:08:21,900 --> 00:08:26,980
+closed فبتطلع الشفرة، النظرية تفشل، بتبطل النظرية
+
+85
+00:08:26,980 --> 00:08:32,720
+و هذا مثال بيوضح فشلها، الآن المثال التاني نفس
+
+86
+00:08:32,720 --> 00:08:38,480
+الحاجة، الفرض إن الفترات في نظرية 22 be bounded
+
+87
+00:08:40,090 --> 00:08:43,690
+بتكون محدودة cannot be dropped لايمكن إسخاطه
+
+88
+00:08:43,690 --> 00:08:48,250
+لايمكن إهماله فعشان
+
+89
+00:08:48,250 --> 00:08:52,750
+نوضح هذا الكلام ب counter example ف for example
+
+90
+00:08:52,750 --> 00:08:56,750
+على سبيل المثال هناخد الفترات المغلقة I N فترة
+
+91
+00:08:56,750 --> 00:09:03,190
+مغلقة من N إلى ملا نهاية حيث N عدد طبيعي هذه
+
+92
+00:09:03,190 --> 00:09:10,150
+الفتراتكل هذه فترة مغلقة كل فترة على الصورة هذه
+
+93
+00:09:10,150 --> 00:09:17,010
+مغلقة إذا شرط الإغلاق متحقق بعدين الفترات هذه نستد
+
+94
+00:09:17,010 --> 00:09:20,430
+لحظة أول فترة هي الفترة المغلقة من واحد لما لا
+
+95
+00:09:20,430 --> 00:09:24,450
+نهاية التانية فترة مغلقة من اتنين لما لا نهاية
+
+96
+00:09:24,450 --> 00:09:30,110
+وهذه محتوى في I واحد الفترة التالتة الفترة المغلقة
+
+97
+00:09:30,110 --> 00:09:33,410
+من تلاتة لما لا نهاية وهذه محتوى في I اتنين وهكذا
+
+98
+00:09:33,410 --> 00:09:38,730
+فالفترات هذه نستدand closed مغلقة لكن ماهياش
+
+99
+00:09:38,730 --> 00:09:42,190
+bounded مش محصورة it's not bounded .. هذه كمجموعة
+
+100
+00:09:42,190 --> 00:09:48,870
+is not bounded above، كمجموعة ليس لها supreme، is
+
+101
+00:09:48,870 --> 00:09:52,390
+not bounded above، اذا شرط ال boundedness اختل
+
+102
+00:09:52,390 --> 00:09:57,970
+وبالتالي نتيجة النظرية هتختلفإذا الفترات هذه
+
+103
+00:09:57,970 --> 00:10:03,410
+closed but unbounded وإذا هنجد إنه تقاطع الفترات
+
+104
+00:10:03,410 --> 00:10:08,930
+هذه مافيش فيه ولا نقطة تقاطع هذا بساوي five كمان
+
+105
+00:10:08,930 --> 00:10:15,350
+مرة المساواة هذه بدها مش واضحة ليست واضحة فبدنا
+
+106
+00:10:15,350 --> 00:10:20,730
+نثبت صحة المساواة هذه كمان مرة نعمل برهان بالتناقض
+
+107
+00:10:20,730 --> 00:10:24,370
+نعمل برهان بالتناقض
+
+108
+00:10:29,770 --> 00:10:34,830
+فافرضي أن التقاطع هذا لا يساوي في I وبالتالي يوجد
+
+109
+00:10:34,830 --> 00:10:40,670
+X في التقاطع إذا X موجود في الفترة I N لكل N هذا
+
+110
+00:10:40,670 --> 00:10:46,950
+من تعريف التقاطع X موجودة في I N معناته X أكبر من
+
+111
+00:10:46,950 --> 00:10:53,870
+أو يساوي N وهذا صحيح لكل Nهذا بتناقض مع الـ
+
+112
+00:10:53,870 --> 00:10:58,510
+Archimedean property نظرية الأساسية نظرية خمستاشر
+
+113
+00:10:58,510 --> 00:11:05,450
+في الشبطرة ده اللي بتقول لأي عدد حقيقي X ينتمي إلى
+
+114
+00:11:05,450 --> 00:11:16,530
+R بتأدي ان يوجد N0 ينتمي إلى N بحيث ان X أصغر من
+
+115
+00:11:16,530 --> 00:11:17,330
+N0
+
+116
+00:11:21,190 --> 00:11:27,210
+هذه هي الـ Archimedean property الأساسية طيب أنا
+
+117
+00:11:27,210 --> 00:11:32,850
+عندي الأن من ال Archimedean property عندي يوجد عدد
+
+118
+00:11:32,850 --> 00:11:42,060
+طبيعي N0 لصد أكبر من X وعندي هناإن X أكبر من أو
+
+119
+00:11:42,060 --> 00:11:47,340
+ساوي N لكل N في N وبالتالي X أكبر من أو ساوي N
+
+120
+00:11:47,340 --> 00:11:51,820
+Zero لأن N Zero ينتمي إلى N فإذا عندي هنا X أكبر
+
+121
+00:11:51,820 --> 00:11:56,180
+من أو ساوي N Zero و X أصغر من N Zero هذا بيديني
+
+122
+00:11:56,180 --> 00:12:02,840
+تناطق إذا في عندي contradiction إذا هذا العنصر غير
+
+123
+00:12:02,840 --> 00:12:07,870
+موجودsuch an x does not exist يعني التقاطة هذا
+
+124
+00:12:07,870 --> 00:12:13,550
+بساوي في كما هو مطلوب، تمام؟ واضح البرهن؟ إذن هذه
+
+125
+00:12:13,550 --> 00:12:17,690
+مثال تاني بوضح أن شرط ال boundedness لا يمكن
+
+126
+00:12:17,690 --> 00:12:25,730
+اسقاطه وتبقى nested intervals theorem صحيحة، okay؟
+
+127
+00:12:25,730 --> 00:12:31,710
+في نظرية تانيةيمكن هذه مرت معاكم في المبادئ لكن
+
+128
+00:12:31,710 --> 00:12:37,170
+اليوم هنعطيلها برهان يعتمد على ال nested intervals
+
+129
+00:12:37,170 --> 00:12:40,610
+theorem او nested intervals property برهان جديد
+
+130
+00:12:40,610 --> 00:12:48,730
+غير اللي أخدته في مبادئ الرياضيات فالنظرية
+
+131
+00:12:48,730 --> 00:12:54,590
+هذه 24 تتحدث عن ال uncountability of the real
+
+132
+00:12:54,590 --> 00:12:59,560
+numbersفبكل بساطة النظرية هذه بتقول أن مجموعة
+
+133
+00:12:59,560 --> 00:13:04,340
+العداد الحقيقية is uncountable the set R of all
+
+134
+00:13:04,340 --> 00:13:09,460
+real numbers is uncountable طيب
+
+135
+00:13:09,460 --> 00:13:15,460
+ما معنى أن ال set تكون countable؟ في حد فيكم
+
+136
+00:13:15,460 --> 00:13:21,380
+بتعرف؟ ال set A أو S definition
+
+137
+00:13:24,240 --> 00:13:31,920
+definition تعريف S is countable if
+
+138
+00:13:31,920 --> 00:13:46,700
+and only if كتوف المبادئ either اما S is finite or
+
+139
+00:13:46,700 --> 00:13:50,040
+او
+
+140
+00:13:50,040 --> 00:13:58,450
+S is denomableأو في بيجيكشن one to one
+
+141
+00:13:58,450 --> 00:14:03,850
+correspondence بينها وبين الأعداد الطبيعية يعني
+
+142
+00:14:03,850 --> 00:14:16,970
+هذا معناه is denumerable قابلة للترقيم طيب
+
+143
+00:14:16,970 --> 00:14:23,330
+إذا كانت ال set ماهياش
+
+144
+00:14:23,330 --> 00:14:29,090
+finiteوماهياش in one to one correspondence with
+
+145
+00:14:29,090 --> 00:14:33,550
+the natural numbers او ماهياش denumerable فبنسميها
+
+146
+00:14:33,550 --> 00:14:38,410
+uncountable غير قابلة للعد countable قابلة للعد
+
+147
+00:14:38,410 --> 00:14:44,750
+uncountable غير قابلة للعد طيب
+
+148
+00:14:44,750 --> 00:14:52,150
+ال
+
+149
+00:14:52,150 --> 00:14:52,390
+..
+
+150
+00:14:55,180 --> 00:15:03,200
+معروف في مبادئ رياضيات درسنا ان ال interval هذي و
+
+151
+00:15:03,200 --> 00:15:08,220
+ال interval هذي كلا هما uncountable الفترة
+
+152
+00:15:08,220 --> 00:15:11,120
+المفتوحة من سفر لواحد infinite set اول حاجة
+
+153
+00:15:11,120 --> 00:15:15,800
+infinite set و
+
+154
+00:15:15,800 --> 00:15:18,900
+طبعا ممكن تثبت انها uncountable
+
+155
+00:15:21,370 --> 00:15:26,370
+و طبعا هذه الفترة المغلقة تحتوي ال six هذه الفترة
+
+156
+00:15:26,370 --> 00:15:29,110
+المفتوحة فإذا كانت هذه uncountable هذه بتكون
+
+157
+00:15:29,110 --> 00:15:35,530
+uncountable وهذا البرهان موجود في نظرية في الكتاب
+
+158
+00:15:35,530 --> 00:15:42,010
+المقرر textbook الكتاب المقرر
+
+159
+00:15:42,010 --> 00:15:47,110
+طبعا
+
+160
+00:15:47,110 --> 00:15:50,410
+طيب
+
+161
+00:15:57,430 --> 00:16:05,570
+الـ احنا عايزين نثبت عشان نثبت ان ال set هذه ال R
+
+162
+00:16:05,570 --> 00:16:14,770
+لاحظوا ان ال R is
+
+163
+00:16:14,770 --> 00:16:18,490
+in one to one correspondence مع الفترة المفتوحة او
+
+164
+00:16:18,490 --> 00:16:22,630
+المغلقة حتى في
+
+165
+00:16:22,630 --> 00:16:28,250
+byjection بينه وبين الفترةالمفتوحة المغلقة 01
+
+166
+00:16:28,250 --> 00:16:36,890
+وبرضه المفتوحة الان لو أثبتنا ان الفترة هذه
+
+167
+00:16:36,890 --> 00:16:44,150
+uncountable فهذه
+
+168
+00:16:44,150 --> 00:16:50,530
+ال 6 in one to one correspondence معها فال 6 هذه R
+
+169
+00:16:50,530 --> 00:16:54,400
+تطلع uncountableهذه نظرية موجودة في مبادئ
+
+170
+00:16:54,400 --> 00:16:58,080
+الرياضيات إذا كانت هناك مجموعتين واثنتين
+
+171
+00:16:58,080 --> 00:17:02,860
+equivalent to each other فهناك بيجيكشن بينهم إذا
+
+172
+00:17:02,860 --> 00:17:06,540
+كانت واحدة countable فالتانية تظهر countable إذا
+
+173
+00:17:06,540 --> 00:17:10,380
+كانت واحدة countable فالتانية تظهر countable إذا
+
+174
+00:17:10,380 --> 00:17:14,140
+كانت هذه finite تظهر هذه finite إذا كانت هذه
+
+175
+00:17:14,140 --> 00:17:19,440
+infinite تظهر هذه infinite كل هذه نظريات موجودة في
+
+176
+00:17:19,440 --> 00:17:24,350
+مبادئ الرياضياتإذا لو أثبتنا إن الفترة هادى
+
+177
+00:17:24,350 --> 00:17:31,010
+uncountable فبطلع R uncountable طيب
+
+178
+00:17:31,010 --> 00:17:42,050
+لإثبات ذلك هنا عايزين نثبت إن الفترة هادى نثبت إن
+
+179
+00:17:42,050 --> 00:17:47,030
+الفترة هادى uncountable لبرهان ذلك نعمل برهان
+
+180
+00:17:47,030 --> 00:17:47,770
+بالتناقض
+
+181
+00:17:57,100 --> 00:18:01,160
+بنثبت ان الفترة المغلقة هذي uncountable نفرض
+
+182
+00:18:01,160 --> 00:18:04,940
+المقيد
+
+183
+00:18:04,940 --> 00:18:08,780
+ان الفترة هذي countable لاحظوا ان الفترة هذي
+
+184
+00:18:08,780 --> 00:18:14,500
+infinite والان countable اذا بتطلع equipotent او
+
+185
+00:18:14,500 --> 00:18:17,640
+in one to one correspondence with natural numbers
+
+186
+00:18:22,850 --> 00:18:26,550
+الأن في الحالة هذه I in one to one correspondence
+
+187
+00:18:26,550 --> 00:18:31,570
+within actual numbers أو بنسميها innumerable صح؟
+
+188
+00:18:33,280 --> 00:18:36,560
+الان ال set I denominable يعني ممكن ترقيمها
+
+189
+00:18:36,560 --> 00:18:41,840
+بالأعداد الطبيعية إذا ممكن نسمي عناصرها xn-n عدد
+
+190
+00:18:41,840 --> 00:18:46,340
+طبيعي اللي هي x1, x2, x3 الاخرى أي set denominable
+
+191
+00:18:46,340 --> 00:18:49,900
+أو in one to one correspondence with natural
+
+192
+00:18:49,900 --> 00:18:55,140
+numbers ممكن ترقيم عناصرها ك list by the natural
+
+193
+00:18:55,140 --> 00:18:59,200
+numbers إذا I هي كل عناصرها رقمناهم بالأعداد
+
+194
+00:18:59,200 --> 00:18:59,800
+الطبيعية
+
+195
+00:19:05,090 --> 00:19:08,350
+لحظة احنا بدنا نصل الى تناقض احنا بدنا القرآن
+
+196
+00:19:08,350 --> 00:19:15,650
+وفرضنا ال contrary هيو Assume ال contrary ان I is
+
+197
+00:19:15,650 --> 00:19:19,870
+countable بدنا نصل الى تناقض طيب هي الفترة I هي
+
+198
+00:19:19,870 --> 00:19:26,890
+الفترة I هي الفترة I هذه
+
+199
+00:19:26,890 --> 00:19:31,550
+Iو في اندس اي هاد الفترة اي هاد يعني عناصرها هي
+
+200
+00:19:31,550 --> 00:19:37,390
+مرقمة اكس واحد اكس اتنين الى ملا نهاية افرض ان اكس
+
+201
+00:19:37,390 --> 00:19:46,510
+واحد موجود هان اول عنصر في الفترة موجود هان فممكن
+
+202
+00:19:46,510 --> 00:19:54,530
+اختار فترة مغلقة اسميها اي واحد ممكن اختار فترة
+
+203
+00:19:54,530 --> 00:20:03,260
+مغلقةأسميها I1 بحيث ان ال X1 هذه لا تنتمي للفترة
+
+204
+00:20:03,260 --> 00:20:07,520
+I1 وممكن
+
+205
+00:20:07,520 --> 00:20:13,100
+اختار فترة مغلقة تانية طب افرضي ان X2 موجودة هنا
+
+206
+00:20:13,100 --> 00:20:19,680
+العنصر التاني في الفترة I ايه رقم X2 موجود هنا او
+
+207
+00:20:19,680 --> 00:20:27,400
+هنا او هنا فبقدر اختار فترة مغلقة تانيةنسميها I2
+
+208
+00:20:27,400 --> 00:20:36,120
+اللي هي الفترة هذه بحيث ان X2 لا تنتمي ل I2 و
+
+209
+00:20:36,120 --> 00:20:42,400
+الفترة I2 هي فترة جزئية من I1 طيب افرض ان X3
+
+210
+00:20:42,400 --> 00:20:50,120
+موجودة هنا او هنا او هنا او اي مكان تاني فبقدر
+
+211
+00:20:50,120 --> 00:20:58,310
+اختار فترة مغلقة تسميها I3اللي هي الفترة هذه بحيث
+
+212
+00:20:58,310 --> 00:21:05,450
+ان X3 لا تنتمي للفترة I3 والفترة I3 جزئية من
+
+213
+00:21:05,450 --> 00:21:12,490
+الفترة I2 ممكن نستمر على هذا النمط هنحصل على
+
+214
+00:21:12,490 --> 00:21:21,110
+sequence of intervals اللي هي I1 تحتوي I2 تحتوي I3
+
+215
+00:21:22,570 --> 00:21:27,550
+و هكذا ممكن نستمر إلى ملا نهاية و كل الفترات هذول
+
+216
+00:21:27,550 --> 00:21:32,570
+محتوى .. كل واحدة منهم محتوى داخل الـ I و كل واحدة
+
+217
+00:21:32,570 --> 00:21:38,710
+من الفترات هذه صممناها بحيث ان XN لا ينتمي إلى IN
+
+218
+00:21:38,710 --> 00:21:47,190
+لكل N بساوي واحد اتنين إلى ملا نهاية صح؟ إذا لو
+
+219
+00:21:47,190 --> 00:21:53,130
+استمرنا في العملية هذههنحصل على sequence of nested
+
+220
+00:21:53,130 --> 00:21:57,170
+intervals و ال intervals هدولة كلهم closed و
+
+221
+00:21:57,170 --> 00:22:01,570
+bounded كلهم closed و bounded و كل الفترات هذه
+
+222
+00:22:01,570 --> 00:22:07,190
+محتوية داخل الفترة I و X in العنصر X in من ال
+
+223
+00:22:07,190 --> 00:22:14,470
+sequence هذه لا ينتمي ل I in لكل N الان ممكن نطبق
+
+224
+00:22:14,470 --> 00:22:18,090
+nested interval property theorem اللي هي theorem
+
+225
+00:22:20,050 --> 00:22:23,550
+بتقول ده في عندي sequence of nested intervals و
+
+226
+00:22:23,550 --> 00:22:29,030
+كلهم closed و bounded فالتقاطع تبعهم لا يساوي في I
+
+227
+00:22:29,030 --> 00:22:34,650
+إذا التقاطع تبعهم موجود في نقطة واحدة دعنا نسميها
+
+228
+00:22:34,650 --> 00:22:43,030
+ساي و الفترات هذه كلها كل الفترات هذه موجودة داخل
+
+229
+00:22:43,030 --> 00:22:47,390
+الفترة I داخل الفترة I
+
+230
+00:22:53,490 --> 00:23:04,810
+ماشي هنا اه
+
+231
+00:23:04,810 --> 00:23:07,630
+ايش صار؟ هي فوق صار
+
+232
+00:23:12,680 --> 00:23:17,360
+إذا حسب نفس ال interval theorem يوجد نقطة psi في
+
+233
+00:23:17,360 --> 00:23:22,080
+تقاطة الفترات الفترات كلهم موجودين داخل I إذا
+
+234
+00:23:22,080 --> 00:23:29,540
+تقاطعهم موجود داخل I وبالتالي النقطة psi هذه
+
+235
+00:23:29,540 --> 00:23:37,060
+موجودة في كل الفترات I in لأن موجودة في تقاطعهم
+
+236
+00:23:37,060 --> 00:23:43,850
+كلهم صح إذا النقطة psi موجودة في I in لكل Nوالفترة
+
+237
+00:23:43,850 --> 00:23:52,690
+I N هذه لا تحتوي من هنا الفترة I N لا تحتوي X N
+
+238
+00:23:52,690 --> 00:23:58,690
+والان تحتوي ساي إذا ساي لا تساوي X N الكلام هذا
+
+239
+00:23:58,690 --> 00:24:04,430
+صحيح لكل N بظبط هذا عنصر في الفترة هذه و X N ليس
+
+240
+00:24:04,430 --> 00:24:07,970
+عنصر فيها إذا مش ممكن يكونوا متساويين صح؟
+
+241
+00:24:10,780 --> 00:24:19,120
+الـ Psi قلنا هي تنتمي إلى I الـ Psi موجودة في I و
+
+242
+00:24:19,120 --> 00:24:27,620
+الفترة I رقمنا عناصرها قبل شوية انا
+
+243
+00:24:27,620 --> 00:24:36,300
+في اندي يوجد عدد حقيقي Psi ينتمي ل I و في نفس
+
+244
+00:24:36,300 --> 00:24:42,430
+الوجهة الفترة I هي كل عناصرهامُرقّمة بالعداد
+
+245
+00:24:42,430 --> 00:24:48,030
+الطبيعي عناصرها X1 و X2 إلى ما لنهائي و الأن في
+
+246
+00:24:48,030 --> 00:24:59,090
+عندي Psi مختلف عن كل عناصر الفترة I فهذا
+
+247
+00:24:59,090 --> 00:25:04,510
+بيدّي أن ال sequence أو ال set هذهis not a
+
+248
+00:25:04,510 --> 00:25:10,330
+complete enumeration of I ليست ترقيم كامل للفترة I
+
+249
+00:25:10,330 --> 00:25:15,750
+وهذا تناقض يعني
+
+250
+00:25:15,750 --> 00:25:20,530
+احنا قلنا الفترة I هذه تطلع countable و infinite
+
+251
+00:25:20,530 --> 00:25:26,830
+اذا ممكن نرقم اذا denumerable يعني ممكن نرقم عن
+
+252
+00:25:26,830 --> 00:25:31,770
+صرها كلها بالاعداد الطبيعي وبالتالي كل عن صرها X
+
+253
+00:25:33,730 --> 00:25:43,170
+تمام؟ الآن في البرهان هذا وجدنا ان في صي أنصر جديد
+
+254
+00:25:43,170 --> 00:25:49,310
+في I مختلف عن كل عناصرها معناته هذه ال list ليست
+
+255
+00:25:49,310 --> 00:25:54,650
+ترقيم كامل ل I في عناصر أخرى زي صي مش مرقمة و هذا
+
+256
+00:25:54,650 --> 00:25:59,950
+تناقضلأن إحنا عندنا ال set I هذي countable و
+
+257
+00:25:59,950 --> 00:26:04,210
+infinite و denomable إذن هي list تبع كل عناصرها
+
+258
+00:26:04,210 --> 00:26:11,230
+فكيف طلع فيه أنصر جديد مختلف عن عناصرها فهذا تناقض
+
+259
+00:26:11,230 --> 00:26:18,140
+إذن هذا التناقض بثبت أن فرضنا أن الفترة Iكانت
+
+260
+00:26:18,140 --> 00:26:22,140
+countable كان فرض خاطر وبالتالي الفترة I تطلع
+
+261
+00:26:22,140 --> 00:26:27,520
+uncountable اذا الان الفترة I uncountable وانا
+
+262
+00:26:27,520 --> 00:26:36,140
+عندي R equivalent لفترة مغلقة 01 ممكن نوجد
+
+263
+00:26:36,140 --> 00:26:40,860
+bijection بينهم اذا ال R تطلع uncountable كما هو
+
+264
+00:26:40,860 --> 00:26:45,080
+مطلوب اذا
+
+265
+00:26:45,080 --> 00:26:50,750
+هذا هو برهانالنظرية اللي فادت هي طبعا برهان بيعتمد
+
+266
+00:26:50,750 --> 00:26:55,430
+على شوفنا ال nested interval theorem وبالتالي هذا
+
+267
+00:26:55,430 --> 00:26:58,510
+برهان مختلف عن البرهان اللي بنعطيه في مبادئ
+
+268
+00:26:58,510 --> 00:27:05,270
+الرياضيات في برهان تاني برضه لنظرية هذه يعطى في
+
+269
+00:27:05,270 --> 00:27:10,710
+مبادئ الرياضيات اللي هو باستخدام counter diagonal
+
+270
+00:27:10,710 --> 00:27:14,690
+argument مشهور
+
+271
+00:27:14,690 --> 00:27:20,990
+يعني البرهانيرجع إلى العالم الرياضي Cantor يسمى
+
+272
+00:27:20,990 --> 00:27:24,750
+Cantor دي اقنع ال argument بثبت ان الفترة المفتوحة
+
+273
+00:27:24,750 --> 00:27:29,330
+من سفر لواحد is uncountable وبالتالي R is
+
+274
+00:27:29,330 --> 00:27:33,310
+uncountable لأن R في byjection بينها وبين ال open
+
+275
+00:27:33,310 --> 00:27:37,670
+interval من سفر لواحد الآن في نتيجة على نظرية
+
+276
+00:27:37,670 --> 00:27:42,490
+الأخيرة هذهالـ set هذه الـ R minus Q اللي هي الـ
+
+277
+00:27:42,490 --> 00:27:46,590
+set of all irrationals أيضًا is uncountable
+
+278
+00:27:46,590 --> 00:27:50,690
+والبرهان هنا نفس البرهان اللي بنعطيه في المبادئ
+
+279
+00:27:50,690 --> 00:27:55,470
+برهان by contradiction assume and contrary إن ال
+
+280
+00:27:55,470 --> 00:28:02,110
+set R minus Q is countable وإحنا عندنا نظرية في
+
+281
+00:28:02,110 --> 00:28:07,640
+المبادئ أخدنا بتقول إن لو في عندي مجموعتين A وBوكل
+
+282
+00:28:07,640 --> 00:28:14,140
+واحدة منهم countable فاتحادهم بيطلع countable الان
+
+283
+00:28:14,140 --> 00:28:17,640
+انا في عند Q countable معروف ان Q is countable
+
+284
+00:28:17,640 --> 00:28:24,160
+والان احنا فرضين ان R-Q is countable اذا اتحاد
+
+285
+00:28:24,160 --> 00:28:28,420
+المجموعتين هدول اللي هو R بيطلع countable وهذا
+
+286
+00:28:28,420 --> 00:28:31,420
+بتناقض مع النتيجة اللي لسه مثبتينها في النظرية
+
+287
+00:28:31,420 --> 00:28:36,240
+السابقةOkay إذا في عندي contradiction إذا الفرض
+
+288
+00:28:36,240 --> 00:28:39,780
+إنه الست هذي countable كان خاطئ إذا الصح إنه الست
+
+289
+00:28:39,780 --> 00:28:45,280
+هذي اللي هي ال irrational number is is uncountable
+
+290
+00:28:45,280 --> 00:28:57,120
+okay تمام إذا ال مع
+
+291
+00:28:57,120 --> 00:29:01,620
+انتهاء النتيجة هذه هيك بنكون غطينا section اتنين
+
+292
+00:29:01,620 --> 00:29:08,660
+خمسةو هاي التمرين المطلوب تهلوها مش عايز ابدأ
+
+293
+00:29:08,660 --> 00:29:14,020
+section جديد عايز ان احنا نستغل الوقت المتبقى من
+
+294
+00:29:14,020 --> 00:29:19,160
+المحاضرة في حل اسئلة discussion يعنيمناقشة فأي
+
+295
+00:29:19,160 --> 00:29:22,360
+واحدة فيكم عندها مناقشة احنا انا عارف ان انتوا
+
+296
+00:29:22,360 --> 00:29:28,100
+هتحضروا حالكم ليوم السبت المناقشة لكن برضه اكيد
+
+297
+00:29:28,100 --> 00:29:32,040
+يعني في بينكم ناس محضرين فلو عندكم أسئلة في
+
+298
+00:29:32,040 --> 00:29:36,680
+section اتنين تلاتة او اتنين اربعة او section
+
+299
+00:29:36,680 --> 00:29:41,160
+اتنين اتنين او اتنين واحد فممكن نحاول نحلها في
+
+300
+00:29:41,160 --> 00:29:47,080
+الوقت المتبقى من المحاضرةماشي الحال فإذا مين عندها
+
+301
+00:29:47,080 --> 00:29:53,540
+أي سؤال في ال .. المحاضرات
+
+302
+00:29:53,540 --> 00:30:03,220
+السابقة أو تمارين المحاضرات السابقة من
+
+303
+00:30:03,220 --> 00:30:08,540
+لديها سؤال؟ في عندنا أسلة كتيرة في المحاضرات
+
+304
+00:30:08,540 --> 00:30:15,470
+السابقة homework كتيرمين لديها سؤال؟ مين عندها
+
+305
+00:30:15,470 --> 00:30:23,170
+سؤال؟ مين بتحلم السؤال؟ ولا
+
+306
+00:30:23,170 --> 00:30:29,690
+واحدة عندها سؤال؟ تفضل طيب
+
+307
+00:30:30,890 --> 00:30:35,570
+طبعا هذه إشارة غير يعني غير إيجابية أو إشارة سلبية
+
+308
+00:30:35,570 --> 00:30:42,530
+يعني لحد تلان أنتوا مش المادة مابتدرسهاش دراسة
+
+309
+00:30:42,530 --> 00:30:49,530
+حقيقية و هذا معناه أن أنتوا مش ماخدينها بجد يعني
+
+310
+00:30:49,530 --> 00:30:59,690
+كما أجب و هذا دليل عليكم تحلوش مسألة فانا
+
+311
+00:30:59,690 --> 00:31:04,600
+هسأل عنكمخليني أحللكم كام سؤال هاي section اتنين
+
+312
+00:31:04,600 --> 00:31:29,640
+تلاتة هنا هاي
+
+313
+00:31:29,640 --> 00:31:31,000
+مثلا سؤال أربعة
+
+314
+00:31:35,030 --> 00:31:43,690
+هي السؤال أربعة سكشن اتنين تلاتة انا
+
+315
+00:31:43,690 --> 00:31:51,850
+عندي set S أربعة بيساوي كل الأعداد واحد سالب سالب
+
+316
+00:31:51,850 --> 00:32:03,910
+واحد رصد N على N حيث N عدد طبيعي والمطلوب
+
+317
+00:32:03,910 --> 00:32:04,490
+find
+
+318
+00:32:07,290 --> 00:32:17,550
+Find الـ Supremum أو الانفمم ل S4 و ايضا ال
+
+319
+00:32:17,550 --> 00:32:29,950
+Supremum ل S4 طيب
+
+320
+00:32:29,950 --> 00:32:34,370
+احنا أخدنا في مثال في ال section هذا
+
+321
+00:32:37,360 --> 00:32:39,940
+خلنا نام هنا ولا لسه؟
+
+322
+00:33:14,820 --> 00:33:21,960
+Solution اخدنا احنا مثال بيقول انه ال .. لو كان في
+
+323
+00:33:21,960 --> 00:33:25,320
+.. في ال section اللي بعد و ممكن الحل باستخدام
+
+324
+00:33:25,320 --> 00:33:32,500
+المثال رقم A يعني by example
+
+325
+00:33:42,050 --> 00:33:52,450
+تنين اربع واحد الجزء A انا عندي ال supremum ل A
+
+326
+00:33:52,450 --> 00:33:58,990
+زاد S A عدد حقيقي S مجموعة جزئية من R اثبتنا ان
+
+327
+00:33:58,990 --> 00:34:09,970
+هذا بساوي A زاد supremum ال S فلو
+
+328
+00:34:09,970 --> 00:34:24,340
+بدى احل الجزء Bف let S بساوي مجموعة ..
+
+329
+00:34:24,340 --> 00:34:29,740
+let
+
+330
+00:34:29,740 --> 00:34:36,560
+S بساوي مجموعة الأعداد سالب
+
+331
+00:34:36,560 --> 00:34:42,140
+واحد أس N على N حيث N عدب طبيعي
+
+332
+00:34:48,030 --> 00:34:54,310
+ممكن نحول السلب لموجة هاد عبارة عن سالب واحد ..
+
+333
+00:34:54,310 --> 00:35:05,610
+سالب واحد و نص و سالب تلت و ربع و كده
+
+334
+00:35:17,860 --> 00:35:29,700
+فممكن اثبات انه ال super mom تبع السيدتها دى
+
+335
+00:35:29,700 --> 00:35:33,820
+أستاذ
+
+336
+00:35:33,820 --> 00:35:40,840
+نعم هنحن لو سالب اللي برا دخلناه يصير سالب واحد
+
+337
+00:35:40,840 --> 00:35:45,980
+plus one plus واحدعلى أنا ممكن اه ممكن ناخد سالب
+
+338
+00:35:45,980 --> 00:35:50,560
+هذا فهذا أكبر أنصر هو الواحد صح هيك بتنحل الصح
+
+339
+00:35:50,560 --> 00:35:56,620
+برضه هذا ممكن فبصير عندى هنا واحد سالب اول أنصر
+
+340
+00:35:56,620 --> 00:36:03,960
+واحد سالب نص فالصبر ممكن يكون واحد بعدين تلت سالب
+
+341
+00:36:03,960 --> 00:36:12,760
+ربع و هكذافال supremum إذاً ال supremum ل S بساوي
+
+342
+00:36:12,760 --> 00:36:17,480
+هاي اللي .. لاحظ ان الأكبر عدد في الست هذه هو
+
+343
+00:36:17,480 --> 00:36:23,840
+الواحد واحد أكبر من أو ساوي كل الأعداد هذه وهو
+
+344
+00:36:23,840 --> 00:36:27,020
+أصغر upper bound إذاً الواحد upper bound للست هذه
+
+345
+00:36:27,020 --> 00:36:32,400
+هي أكبر من أو ساوي كل عناصرها وهو أصغر upper bound
+
+346
+00:36:32,400 --> 00:36:41,930
+إذاً هذا بساوي واحدلأ س .. إيش بس يعني؟
+
+347
+00:36:41,930 --> 00:36:48,850
+ما
+
+348
+00:36:48,850 --> 00:36:54,370
+هو أصغر؟ طلع اتنين اتنين أستاذ ال super اتنين مش
+
+349
+00:36:54,370 --> 00:37:00,770
+هي على حسب القاعدة نحن نحط اي واحد بيصير
+
+350
+00:37:00,770 --> 00:37:04,520
+اتنين؟ لا لااحنا بنحكي عن ال 6 هذه اللي هانا مش
+
+351
+00:37:04,520 --> 00:37:11,020
+اللي هناك هذه S و هذه S4 فبيختلفوا عن بعض ال 6 هذه
+
+352
+00:37:11,020 --> 00:37:15,760
+هدا هي أنصرها فما
+
+353
+00:37:15,760 --> 00:37:21,700
+هو بيناجيب lower bound او اكبر lower bound اكبر
+
+354
+00:37:21,700 --> 00:37:30,120
+lower bound طب نلاحظ سالب نص اصغر من سالب ربع اصغر
+
+355
+00:37:30,120 --> 00:37:47,710
+منبعد هيك سالب سادس اه فاعتقد
+
+356
+00:37:47,710 --> 00:37:52,010
+ان هذا هيطلع سالب نص هذا اكبر lower bound
+
+357
+00:37:58,870 --> 00:38:04,470
+طيب لو طبقنا المضارية هذه أنا أخدت S بساوي الكلام
+
+358
+00:38:04,470 --> 00:38:12,830
+هذا و A بساوي واحد اذا
+
+359
+00:38:12,830 --> 00:38:24,470
+ال supremum ل S أربعة بساوي A زائد ال supremum ل S
+
+360
+00:38:24,470 --> 00:38:34,260
+صح؟و ال a بساوي واحد و ال suprem ل s بساوي واحد
+
+361
+00:38:34,260 --> 00:38:43,460
+فبطلع ال suprem ل s أربعة بساوي اتنين تمام؟ الان
+
+362
+00:38:43,460 --> 00:38:53,660
+بنجيب ال infimum ل s أربعة بنفس الطريقة ممكن
+
+363
+00:38:53,660 --> 00:38:54,340
+اثبات
+
+364
+00:39:00,490 --> 00:39:10,070
+إذا هنا similar
+
+365
+00:39:10,070 --> 00:39:17,590
+example
+
+366
+00:39:17,590 --> 00:39:24,090
+similar
+
+367
+00:39:24,090 --> 00:39:32,030
+example اتنين اربعة واحد ايهممكن من خلاله نثبت ان
+
+368
+00:39:32,030 --> 00:39:38,330
+الانفمام ان
+
+369
+00:39:38,330 --> 00:39:44,490
+الانفمام لست a زياد s بيساوي a زياد الانفمام ل s
+
+370
+00:39:44,490 --> 00:39:49,310
+وبالتالي
+
+371
+00:39:49,310 --> 00:39:53,390
+ان
+
+372
+00:39:53,390 --> 00:40:00,480
+انا لو بدي اجرب على جزء aف ال infimum ل S أربعة
+
+373
+00:40:00,480 --> 00:40:13,780
+بيساوي ال infimum ل A زائد S اللي هو ال infimum ل
+
+374
+00:40:13,780 --> 00:40:22,630
+واحد زائد S و هذا بيساوي واحد زائد infimum ل Sو
+
+375
+00:40:22,630 --> 00:40:28,770
+هذا بيساوي واحد زائد in from ال S سالب نص فبطلع نص
+
+376
+00:40:28,770 --> 00:40:36,210
+okay ان ال in from لست S أربعة بيطلع سالب بيطلع نص
+
+377
+00:40:36,210 --> 00:40:41,910
+هذا حل حل تاني ان انا يعني احاول
+
+378
+00:40:47,360 --> 00:40:54,460
+أه يعني أكتب عناصر المجموعة هذه أفرفتها و أحاول
+
+379
+00:40:54,460 --> 00:40:59,600
+أشوف وين أصغر عنصر و وين أكبر عنصر و وين هيكون في
+
+380
+00:40:59,600 --> 00:41:04,640
+عندي upper bounds و lower bounds و نحاول نثبت أنه
+
+381
+00:41:04,640 --> 00:41:12,060
+ال .. يعني بالطريقة هذه يعني ممكن نحن نحل الاسئلة
+
+382
+00:41:12,060 --> 00:41:20,320
+بطريقة تانيةفهذا حلو يعني
+
+383
+00:41:20,320 --> 00:41:25,900
+هذا ال set ممكن نكتب عناصرها يعني أول عنصر لما n
+
+384
+00:41:25,900 --> 00:41:33,680
+بساوي واحد واحد سالب سالب
+
+385
+00:41:33,680 --> 00:41:44,350
+سالب واحد يعني اتنين الانصر اللي بعدهواحد سالب نص
+
+386
+00:41:44,350 --> 00:41:56,450
+بيطلع نص اللي بعده بيطلع واحد سالب سالب تلت يعني
+
+387
+00:41:56,450 --> 00:42:03,270
+واحد تلت يعني جديش اربعة على تلاتة اللي بعده واحد
+
+388
+00:42:03,270 --> 00:42:07,210
+موجب ربع بيطلع جديش
+
+389
+00:42:09,700 --> 00:42:17,520
+خمس اربع و هكذا فهنلاحظ
+
+390
+00:42:17,520 --> 00:42:24,700
+ان الاتنين اتنين upper bound لان هو هيكون اكبر
+
+391
+00:42:24,700 --> 00:42:31,100
+عنصر و ينتبه للست لو في اي upper bound تاني لو في
+
+392
+00:42:31,100 --> 00:42:33,320
+any upper bound
+
+393
+00:42:37,830 --> 00:42:45,630
+of S4 فهذا بيقدي انه اتنين اصغر من او ساوي ال V
+
+394
+00:42:45,630 --> 00:42:50,890
+لانه اتنين عنصر في الست S4 صح؟ اذا اتنين upper
+
+395
+00:42:50,890 --> 00:42:54,810
+bound واضح انه اتنين اكبر من او ساوي كل عناصر S4
+
+396
+00:42:54,810 --> 00:43:04,320
+صح؟ولو أخدت أي upper bound ل S4 فبما أن V هو upper
+
+397
+00:43:04,320 --> 00:43:09,200
+bound ل S4 واتنين عنصر في S4 إذن اتنين أصغر من أو
+
+398
+00:43:09,200 --> 00:43:14,640
+يساوي V إذن هنا أثبتنا أن اتنين upper bound ل S4
+
+399
+00:43:14,640 --> 00:43:19,500
+واتنين أصغر من أو يساوي أي upper bound ل S4 إذن
+
+400
+00:43:19,500 --> 00:43:23,440
+اتنين هو ال supreme بالمثل ممكن نثبت أن النص هو
+
+401
+00:43:23,440 --> 00:43:28,140
+الانفع إذن هذا برهان تانيانا اتعمد تعطيكم البرهان
+
+402
+00:43:28,140 --> 00:43:32,260
+هذا عشان القوانين هذه نشوف كيف نطبقها برضه هذا
+
+403
+00:43:32,260 --> 00:43:38,520
+برهان صعيب ناجح الحل؟ okay؟
+
+404
+00:43:38,520 --> 00:43:42,080
+في اي سؤال او استفسار؟ اذا احنا هنكتفي بهذا القدر
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/aQ184E7DSME.srt

@@ -0,0 +1,1883 @@
+1
+00:00:20,960 --> 00:00:27,560
+Okay إذا هنواصل إن شاء الله اللي بدنا فيه المحاضرة
+
+2
+00:00:27,560 --> 00:00:33,340
+السابقة المرة اللي فاتت خلينا بسرعة بس هيك نمر على
+
+3
+00:00:33,340 --> 00:00:40,220
+الحاجات اللي أخذناها أخذنا اللي هو ال algebraic
+
+4
+00:00:40,220 --> 00:00:43,060
+properties of the real number system اللي هو
+
+5
+00:00:43,060 --> 00:00:48,970
+الخواص الجبرية و عرفنا اللي هو ال real number
+
+6
+00:00:48,970 --> 00:00:52,930
+system فقلنا إن ال real number system عبارة عن
+
+7
+00:00:52,930 --> 00:00:58,430
+المجموعة R مع عمليتين جبريتين أو ثنائيتين عملية
+
+8
+00:00:58,430 --> 00:01:03,110
+جمع و عملية ضرب و هذول العمليات بتحققوا خمس خواص
+
+9
+00:01:03,110 --> 00:01:08,290
+خاصية الإبدال commutative law خاصية الدمج ال
+
+10
+00:01:08,290 --> 00:01:14,180
+associative laws خواص التوزيع distributive laws
+
+11
+00:01:14,180 --> 00:01:19,120
+خاصية الرابعة وجود ال identity elements العناصر
+
+12
+00:01:19,120 --> 00:01:25,280
+المحايدة اللي هي 0 و 1 ووجود ال inverse
+
+13
+00:01:25,280 --> 00:01:38,580
+elements أو العناصر النظائر أو المعكسات فلكل عدد 
+
+14
+00:01:38,580 --> 00:01:48,850
+حقيقي فيه له معكوس جمعي اللي هو سالب x  و لكل عدد
+
+15
+00:01:48,850 --> 00:01:55,330
+حقيقي غير مختلف عن الصفر له نظير ضربي أو
+
+16
+00:01:55,330 --> 00:01:59,030
+multiplicative inverse يُرمز له بالرمز x<sup>-1</sup>
+
+17
+00:01:59,030 --> 00:02:03,050
+negative واحد بحيث لو ضربتهم في بعض بيعطوني ال
+
+18
+00:02:03,050 --> 00:02:10,890
+identity element واحد هذول الخمس خواص اللي بتحققهم 
+
+19
+00:02:10,890 --> 00:02:15,760
+مجموعة الأعداد الحقيقية مع العملياتين ضرب وجمع
+
+20
+00:02:15,760 --> 00:02:21,600
+اللي عرفناها سابقاً في أول خواص أخذناها اللي هي
+
+21
+00:02:21,600 --> 00:02:27,680
+cancellation laws موجودة في نظرية 1.1 فعملية 
+
+22
+00:02:27,680 --> 00:02:33,220
+الجمع بتحقق cancellation law يعني أنا لو كان عندي
+
+23
+00:02:33,220 --> 00:02:38,940
+x plus z بساوي y plus z فممكن أشطب z من الطرفين
+
+24
+00:02:38,940 --> 00:02:44,680
+بيطلع عندي x بساوي y كذلك عملية الضرب بتحقق ال
+
+25
+00:02:44,680 --> 00:02:51,000
+cancellation law فلو في عندي حاصل ضرب زي هذا بساوي
+
+26
+00:02:51,000 --> 00:02:56,140
+حاصل الضرب هذا و ال answer w هذا العدد w ما بيساوي صفر
+
+27
+00:02:56,140 --> 00:03:01,470
+فمقدر أقسم الطرفين على w  بيطلع عندي x بساوي y هذه
+
+28
+00:03:01,470 --> 00:03:05,430
+الخواص مهمة و برهنت لكم المرة اللي فاتت الجزء 
+
+29
+00:03:05,430 --> 00:03:11,810
+الثاني و برهان الجزء الأول مشابه و بالتالي قلنا 
+
+30
+00:03:11,810 --> 00:03:17,650
+لكم حاولوا تثبتوا بنفس الطريقة بالمثل كمان أخذنا
+
+31
+00:03:17,650 --> 00:03:22,810
+نظرية ثانية اللي هي النظرية هذه ذكرناها المرة اللي
+
+32
+00:03:22,810 --> 00:03:30,050
+فاتت فيها حوالي عشر خواص للأعداد الحقيقية فأول
+
+33
+00:03:30,050 --> 00:03:35,350
+خاصية لو ضربت أي عدد حقيقي بالصفر سواء من اليمين
+
+34
+00:03:35,350 --> 00:03:39,370
+أو اليسار فالنتيجة العدد الصفري اللي هو ال additive
+
+35
+00:03:39,370 --> 00:03:47,090
+identity صفر فبرهان هذا الجزء هو برهان الجزء الأول 
+
+36
+00:03:47,090 --> 00:03:55,210
+يعني باين واحد هنا فكيف يتم البرهان أنا عايز أثبت 
+
+37
+00:03:55,210 --> 00:04:02,370
+أن x ضرب صفر بساوي صفر طيب أنا عندي لو جمعت x ضارب 
+
+38
+00:04:02,370 --> 00:04:07,470
+0 زائد x ضارب 0 بقدر باستخدام ال distributive law
+
+39
+00:04:07,470 --> 00:04:13,430
+أخذ x عامل مشترك كأني بضرب x في 0 زائد 0 هذا صحيح 
+
+40
+00:04:13,430 --> 00:04:17,550
+باستخدام ال distributive law الآن لما أجمع الصفر
+
+41
+00:04:17,550 --> 00:04:22,450
+على أي عدد حقيقي حتى لو نفسه الناتج بيطلع 0 هذا من 
+
+42
+00:04:22,450 --> 00:04:33,170
+خواص المحايد الجمعي و ال X ضرب صفر هو نفسه لو جمعت 
+
+43
+00:04:33,170 --> 00:04:37,330
+على العدد هذا صفر فيبقى زي ما هو من خواص الصفر
+
+44
+00:04:37,330 --> 00:04:43,950
+الآن أنا ممكن أشطب باستخدام cancellation law ممكن
+
+45
+00:04:43,950 --> 00:04:49,590
+أشطب هذا و أشطب هذا فبيطلع عندي X ضرب صفر بساوي صفر 
+
+46
+00:04:49,590 --> 00:04:55,490
+okay تمام الخاصية الثانية الخاصية الثانية عايزين
+
+47
+00:04:55,490 --> 00:05:01,230
+نثبت أنه لو أخذت أي عدد حقيقي و أخذت سالبه مرتين 
+
+48
+00:05:01,230 --> 00:05:06,530
+فهذا هو نفس ال X البرهان برضه بتم كالتالي هاي ال X
+
+49
+00:05:06,530 --> 00:05:12,370
+و بجمع عليه negative X اللي هو المعكوس الجمعي
+
+50
+00:05:12,370 --> 00:05:20,390
+طبعاً فهذا بساوي صفر هذا بساوي صفر من خواص المعكوس
+
+51
+00:05:20,390 --> 00:05:26,570
+الجمعي و ممكن أن احنا نبدل هذول مع بعض أو لأ، الآن
+
+52
+00:05:26,570 --> 00:05:31,610
+برضه لو أخذت هذا، هذا عدد حقيقي، و هذا المعكوس 
+
+53
+00:05:31,610 --> 00:05:36,970
+الجمعي تبعه، عدد حقيقي و المعكوس الجمعي تبعه دائماً
+
+54
+00:05:36,970 --> 00:05:41,830
+بساوي صفر، الآن ممكن نبدل عملية الجمع إبدالية،
+
+55
+00:05:41,830 --> 00:05:46,970
+commutative، فنبدل الحاجات هذه مع بعض الآن عملية 
+
+56
+00:05:46,970 --> 00:05:50,970
+الجمع بتحقق قانون الحدث cancellation law إذا
+
+57
+00:05:50,970 --> 00:05:55,390
+ممكن أشطب أنا العنصر هذا مع هذا بيبقى عندي على 
+
+58
+00:05:55,390 --> 00:05:59,810
+الشمال X وعلى اليمين بيبقى negative negative X
+
+59
+00:05:59,810 --> 00:06:06,070
+فبالتالي هي كمان أثبتنا صحة الخاصية هذه تمام؟
+
+60
+00:06:07,410 --> 00:06:11,250
+الخاصية الثالثة في النظرية اللي شوفناها قبل شوية
+
+61
+00:06:11,250 --> 00:06:17,770
+برهانها مشابه لخاصية الثانية وبالتالي هأسيبه تمرين، 
+
+62
+00:06:17,770 --> 00:06:21,770
+إذا بعض الحاجات اللي برهانها مشابه دائماً هنسيبها
+
+63
+00:06:21,770 --> 00:06:26,030
+كتمرين للطالب لأن الفكرة نفسها و رياضيات مجرد أفكار
+
+64
+00:06:26,030 --> 00:06:33,620
+فإذا عرفنا الفكرة انتهى الحل اللغز الخاصية الرابعة،
+
+65
+00:06:33,620 --> 00:06:37,120
+في الخاصية الرابعة عايزين نثبت أنه لو ضربت سالب
+
+66
+00:06:37,120 --> 00:06:42,880
+واحد في x بيطلع عندي ال negative x أو المحايد
+
+67
+00:06:42,880 --> 00:06:48,640
+الجمعي ل x فلبرهان ذلك بأخذ negative واحد في x و
+
+68
+00:06:48,640 --> 00:06:53,820
+بجمعها على x فهذا هو نفسه هي negative واحد في x و
+
+69
+00:06:53,820 --> 00:06:59,970
+ال x هذه عبارة عن واحد في x الآن ممكن هنا أستخدم
+
+70
+00:06:59,970 --> 00:07:03,070
+ال distributive law عملية الضرب تتوزع على عملية 
+
+71
+00:07:03,070 --> 00:07:07,670
+الجمع فممكن أكتب هذا سالب واحد زائد واحد مضروب من
+
+72
+00:07:07,670 --> 00:07:13,370
+اليمين في X و عملية الضرب إبدالية فهي نفس كما لو 
+
+73
+00:07:13,370 --> 00:07:19,040
+ضربت X من اليمين في سالب واحد زائد واحد Okay تمام 
+
+74
+00:07:19,040 --> 00:07:24,700
+الآن لما أجمع سالب واحد هذا سالب واحد على واحد
+
+75
+00:07:24,700 --> 00:07:31,440
+عنصر و نظير الجمع تبعهم مجموعهم صفر و صفر في أي
+
+76
+00:07:31,440 --> 00:07:37,500
+عنصر أثبتنا أنه بيساوي صفر و الصفر هو نفسه سالب x
+
+77
+00:07:37,500 --> 00:07:42,450
+زائد x وبالتالي بقدر أستخدم ال cancellation اللي هو
+
+78
+00:07:42,450 --> 00:07:47,250
+عامل cancelling ل X على الطرف الشمال و cancelling
+
+79
+00:07:47,250 --> 00:07:50,990
+ل X على الطرف اليمين يبقى في الشمال سالب واحد في X
+
+80
+00:07:50,990 --> 00:07:55,850
+في اليمين سالب X وبالتالي هيك ممكن أثبتنا الخاصية
+
+81
+00:07:55,850 --> 00:08:01,850
+هذه واضحة؟ أي حد عنده أي استفسار؟ خواص سهلة و براهين 
+
+82
+00:08:01,850 --> 00:08:06,150
+سهلة جداً أنتم دارسين مبادئ و اللي دارسين مبادئ 
+
+83
+00:08:06,150 --> 00:08:11,530
+رياضيات و فاهمينها كويس هذه حاجات يعني براهين أمثلة 
+
+84
+00:08:11,530 --> 00:08:16,170
+كلها على برهان مباشر بسيط باستخدام خواص ذكرناها
+
+85
+00:08:16,170 --> 00:08:22,990
+سابقاً فهذا مجرد يعني مبادئ رياضيات الخاصية الخامسة
+
+86
+00:08:22,990 --> 00:08:29,590
+احنا عايزين نثبت لو ضربت x في negative y تطلع ..
+
+87
+00:08:29,590 --> 00:08:34,960
+هي نفسها كم لو ضربت negative x في y و هذه يعني
+
+88
+00:08:34,960 --> 00:08:39,800
+البرهان مش صعب هاي ال X وهي negative Y الخاصية 
+
+89
+00:08:39,800 --> 00:08:43,560
+الرابعة أثبتنا فيها إنه negative Y بيساوي negative
+
+90
+00:08:43,560 --> 00:08:48,780
+واحد في Y هذا من الخاصية أربعة ال associative law
+
+91
+00:08:48,780 --> 00:08:52,120
+بيسمح لإن أنا الأقواس هذه أرتبها بالطريقة هذه
+
+92
+00:08:52,120 --> 00:08:56,180
+عملية الضرب associative و كمان عملية الضرب
+
+93
+00:08:56,180 --> 00:09:00,620
+commutative إذا ممكن أبدل ال X مع ال negative واحد
+
+94
+00:09:04,010 --> 00:09:07,470
+الخاصية الرابعة بتقول سالب واحد ضرب X عبارة عن
+
+95
+00:09:07,470 --> 00:09:14,030
+negative X إذاً هذا هو إيه هذا جزء من الجزء الخامس
+
+96
+00:09:14,030 --> 00:09:20,750
+في كمان جزء ثاني اللي هو عايزين نثبت إن X ضرب
+
+97
+00:09:20,750 --> 00:09:24,990
+negative Y هو نفس الحاجة كما لو ضربت X في Y الأول
+
+98
+00:09:24,990 --> 00:09:30,950
+وضربت الكل في negative و لبرهان ذلك هي X في
+
+99
+00:09:30,950 --> 00:09:34,950
+negative Y X في negative Y أثبتنا إنها طلعت بتساوي
+
+100
+00:09:34,950 --> 00:09:41,090
+سالب واحد في X في Y هذا هو نزلناها من هنا الآن 
+
+101
+00:09:41,090 --> 00:09:44,470
+باستخدام ال associative law ممكن إيه أبدل الأقواس 
+
+102
+00:09:44,470 --> 00:09:50,450
+يعني أخد X و Y مع بعض و أضربهم في سالب واحد وطبعاً
+
+103
+00:09:50,450 --> 00:09:54,490
+الآن أثبتنا أن سالب واحد لما أضربه في حاجة زي هذه
+
+104
+00:09:54,490 --> 00:09:56,910
+بيطلع سالب X في Y
+
+105
+00:10:01,430 --> 00:10:08,850
+بالنسبة لخاصية رقم 6 ممكن نستخدم الخاصية رقم 4 و
+
+106
+00:10:08,850 --> 00:10:12,510
+ال distributive law في إثباتها فطبعاً أنا هنا كاتب
+
+107
+00:10:12,510 --> 00:10:18,030
+لكم use الخاصية أو الجزء الرابع و ال distributive
+
+108
+00:10:18,030 --> 00:10:23,210
+law لبرهان مين؟ الخاصية رقم 6 هذه، هذه أرقام 
+
+109
+00:10:23,210 --> 00:10:29,920
+لاتينية فبتشوفوها أنتم طبعاً و بتحاولوا تثبتوها و
+
+110
+00:10:29,920 --> 00:10:35,660
+إذا ما عرفتوهاش ممكن تتواصلوا معايا نحاول نثبتها لكم
+
+111
+00:10:35,660 --> 00:10:42,780
+بالنسبة لخاصية السابعة إيه هي الخاصية السابعة لو
+
+112
+00:10:42,780 --> 00:10:46,700
+ضربت negative x في negative y المفروض يطلع نفس
+
+113
+00:10:46,700 --> 00:10:54,530
+الحاجة x ضرب y و هي البرهان بسيط احنا أخذنا أن لو 
+
+114
+00:10:54,530 --> 00:10:59,830
+ضربت negative x في عنصر negative y هو نفسه كما لو
+
+115
+00:10:59,830 --> 00:11:07,130
+أنا ضربت x في العنصر الثاني و أخذت السالب برا و 
+
+116
+00:11:07,130 --> 00:11:07,750
+بعدين
+
+117
+00:11:10,830 --> 00:11:17,230
+نفس الحاجة هنا x في negative y هي
+
+118
+00:11:17,230 --> 00:11:24,890
+نفسها negative x في y بدل x في negative y ب 
+
+119
+00:11:24,890 --> 00:11:30,290
+negative ضرب x y و أثبتنا قبل هيك أن negative ضرب
+
+120
+00:11:30,290 --> 00:11:34,930
+negative العنصر بساوي العنصر إذا هذا برضه
+
+121
+00:11:34,930 --> 00:11:45,630
+برهان هذا الجزء الجزء الثامن أو التاسع are left as
+
+122
+00:11:45,630 --> 00:11:48,410
+exercises برضه أنا سايب لكم إياهم تمرين لأن مش
+
+123
+00:11:48,410 --> 00:11:52,310
+ما جون نبرهنه كل شيء أنتم يعني كبار لأن بدأتوا
+
+124
+00:11:52,310 --> 00:11:58,050
+تُساوبوُا بدأتوا تفهموا فلازم برضه تشاركوا شوية مش
+
+125
+00:11:58,050 --> 00:12:02,030
+معقول زي اللي .. احنا مش في مدرسة ثانوية، بنأشي
+
+126
+00:12:02,030 --> 00:12:06,310
+نقوُل، ابتدائية، لازم يشرح لكم كل شيء و لازم يبرهن لكم 
+
+127
+00:12:06,310 --> 00:12:10,050
+كل شيء، لازم الطالب يشارك شوية، خاصة الحاجات اللي
+
+128
+00:12:10,050 --> 00:12:14,290
+براهينها مشابهة فبتزعلوش و حالكم أنتم تاخدوا
+
+129
+00:12:14,290 --> 00:12:19,430
+الأمور هذه بصدر رحب و كمان مرة بكرر لو أي شيء من
+
+130
+00:12:19,430 --> 00:12:23,570
+الحاجات اللي بنسيبها ما عرفتوهاش تحلوها أو تبرهنوها
+
+131
+00:12:23,570 --> 00:12:28,350
+فأنا على استعداد أن أساعدكم في برهانها الجزء الآخر
+
+132
+00:12:28,350 --> 00:12:32,490
+جزء العاشر إيه هو الجزء العاشر؟ الجزء العاشر بيقول
+
+133
+00:12:32,490 --> 00:12:40,530
+دائماً بندرسها في مبادئ الرياضيات مثال على برهان غير
+
+134
+00:12:40,530 --> 00:12:44,490
+مباشر في مبادئ رياضيات، لو كان X ضرب Y أعداد
+
+135
+00:12:44,490 --> 00:12:50,990
+حقيقية، حاصل ضربهم صفر، فإيه بيطلع؟ إما X بساوي صفر
+
+136
+00:12:50,990 --> 00:12:55,650
+أو Y بساوي صفر، بظبط؟
+
+137
+00:13:01,000 --> 00:13:05,060
+فهذا نعطي مثال في المبادئ الرياضية طيب البرهان هو 
+
+138
+00:13:05,060 --> 00:13:12,880
+نفسه البرهان هو نفسه عشان أثبت إنه x لو كان x ضرب
+
+139
+00:13:12,880 --> 00:13:19,760
+y بساوي 0 فبيطلع x بساوي 0 أو y بساوي 0 فبأفرض أن x
+
+140
+00:13:19,760 --> 00:13:26,220
+ما يساويش 0 و بأثبت أن y بيساوي 0 أو by symmetry 
+
+141
+00:13:26,220 --> 00:13:32,080
+بالتماثل ممكن أفرض أن y بيساوي 0 وأصل إلى أن x 
+
+142
+00:13:32,080 --> 00:13:41,640
+بيساوي 0 okay تمام فاللي عملناه هنا هي لبرهان أن
+
+143
+00:13:41,640 --> 00:13:47,400
+x بيساوي 0 أو y بيساوي 0 it suffices يعني يكفي أن
+
+144
+00:13:47,400 --> 00:13:54,070
+أفرض to assume أن x لا يساوي 0 وأثبت وأثبت أن y
+
+145
+00:13:54,070 --> 00:14:07,690
+بيساوي 0 طيب أنا عندي من الفرض x y بيساوي 0 ف
+
+146
+00:14:07,690 --> 00:14:14,610
+ال x y بيساوي 0  تُهيّئ لي
+
+147
+00:14:14,610 --> 00:14:21,110
+فيه شيء هنا مش مبين ده هو خلينا نبينه نعم هاي أنا
+
+148
+00:14:21,110 --> 00:14:26,470
+عندي x y من الفرض x y بيساوي صفر والصفر هذا ممكن
+
+149
+00:14:26,470 --> 00:14:30,970
+أكتبه على صورة x ضرب صفر برضه هذا بيساوي صفر تمام
+
+150
+00:14:30,970 --> 00:14:36,470
+الآن أنا أفرض أن x لا يساوي صفر فعملية الضرب بتحقق
+
+151
+00:14:36,470 --> 00:14:40,210
+cancellation law إذا من cancellation law تبع عملية 
+
+152
+00:14:40,210 --> 00:14:44,470
+الضرب مدام x لا يساوي صفر فبقدر أجزم عليها فبيطلع
+
+153
+00:14:44,470 --> 00:14:50,590
+عندي y بيساوي صفر وهذا هو المطلوب Okay تمام إذا هيك
+
+154
+00:14:50,590 --> 00:15:01,290
+بنكون برهنا النظرية الثانية كويس
+
+155
+00:15:01,290 --> 00:15:07,770
+تمام هيك طيب
+
+156
+00:15:07,770 --> 00:15:11,690
+نأخذ تعريفات أو تعريف مهم
+
+157
+00:15:21,020 --> 00:15:27,480
+في تعريف هنا الخواص
+
+158
+00:15:27,480 --> 00:15:30,660
+الخامسة هذه اللي حكينا عنها ال commutative law ال
+
+159
+00:15:30,660 --> 00:15:37,140
+associative law وال distributive law existence of
+
+160
+00:15:37,140 --> 00:15:42,780
+identity elements الخاصية الخامسة existence of
+
+161
+00:15:42,780 --> 00:15:47,240
+inverses خمس خواص هذه اللي بتحققها عمليات الجمع و
+
+162
+00:15:47,240 --> 00:15:52,770
+الضرب على الأعداد الحقيقية هذه الخواص بتشكل تعريف
+
+163
+00:15:52,770 --> 00:15:57,750
+ما يسمى في الجبر في الجبر الحديث في تركيبة جبرية
+
+164
+00:15:57,750 --> 00:16:03,870
+اسمها field أو حقل فما
+
+165
+00:16:03,870 --> 00:16:09,130
+هو الحقل لو أنتم هتدرسوا جبر حديث واحد أو .. أو
+
+166
+00:16:09,130 --> 00:16:14,850
+درستموه فيمكن مر عليكم ال field أو الحقل هو عبارة
+
+167
+00:16:14,850 --> 00:16:23,080
+عن set مع عمليتين ثنائيتين عملية جمع وعملية ضرب
+
+168
+00:16:23,080 --> 00:16:29,300
+معرفين على ال set F بحيث أن العمليتين هدول بيحققوا
+
+169
+00:16:29,300 --> 00:16:33,640
+الخواص الخمسة اللي هي حققتها مجموعة الأعداد
+
+170
+00:16:33,640 --> 00:16:40,250
+الحقيقية، إذا أي مجموعة F مع عمليتين ثنائيتين بتحقق
+
+171
+00:16:40,250 --> 00:16:46,630
+الخواص الخمسة بنسميها في الجبر field إذا ال .. ال
+
+172
+00:16:46,630 --> 00:16:51,510
+.. ال R ال R أو الأعداد الحقيقية مع عمليات الجمع
+
+173
+00:16:51,510 --> 00:16:56,650
+والضرب اللي عرفناها سابقا شفنا أنها بتحقق الخواص
+
+174
+00:16:56,650 --> 00:17:01,570
+الخمسة وبالتالي بتشكل field فبنسميها it the field of
+
+175
+00:17:01,570 --> 00:17:08,790
+real numbers أو المجال الأعداد الحقيقية هي
+
+176
+00:17:08,790 --> 00:17:14,430
+مثال فيه أمثلة كثيرة على fields على حقول فهي لو
+
+177
+00:17:14,430 --> 00:17:18,030
+أخذت المجموعة هي أبسط field أصغر وأبسط field
+
+178
+00:17:18,030 --> 00:17:24,190
+موجود في الرياضيات هو ال 6F اللي بتتكون من عنصرين
+
+179
+00:17:24,190 --> 00:17:33,050
+عددين حقيقيين 0, 1 الآن عشان أكون field على المجموعة
+
+180
+00:17:33,050 --> 00:17:37,590
+F اللي بتكون من عنصرين لازم أعرف عملية جمع وضرب
+
+181
+00:17:37,590 --> 00:17:43,690
+فممكن أعرف عملية جمع وضرب على F كالتالي ها يعني
+
+182
+00:17:43,690 --> 00:17:50,570
+عرفت لو ضربت 0 في نفسه أو 1 في 0 أو 0 في 1 أو
+
+183
+00:17:50,570 --> 00:17:57,780
+جمعت 0 على 0 أو 1 على 1 هذا بأعرفه أنه بيساوي 0 إذا
+
+184
+00:17:57,780 --> 00:18:02,020
+أنا عرفت حاصل الضرب والجمع هذا بيساوي صفر كذلك
+
+185
+00:18:02,020 --> 00:18:05,800
+أنا بأعرف أنه لو جمعت الصفر على الواحد أو الواحد
+
+186
+00:18:05,800 --> 00:18:10,000
+على الصفر أو الواحد على الواحد بيطلع واحد الآن إذا
+
+187
+00:18:10,000 --> 00:18:16,410
+أنا عرفت عمليات جمع وضرب على كل عناصر المجموعة الآن
+
+188
+00:18:16,410 --> 00:18:23,610
+من السهل التحقق أن ال خواص الخمسة كلها بتتحقق تابعة
+
+189
+00:18:23,610 --> 00:18:28,530
+ال field وبالتالي هذا بيكون field وهذا ال field في
+
+190
+00:18:28,530 --> 00:18:36,770
+الجبر برمز له بالرمز Z2 وفي
+
+191
+00:18:36,770 --> 00:18:40,890
+نفس الوقت هو cyclic group of order two إذا في حد
+
+192
+00:18:40,890 --> 00:18:45,120
+فيكم درس الجبر الحديث على أي حال احنا هذا مش موضوعنا
+
+193
+00:18:45,120 --> 00:18:49,400
+هذا موضوع جبر فبس يعني هذا مجرد مثال بسيط على
+
+194
+00:18:49,400 --> 00:18:53,600
+field واحنا أهم حاجة أنه احنا يعني اللي بدنا احنا
+
+195
+00:18:53,600 --> 00:18:58,420
+نصله أنه مجموعة الأعداد الحقيقية تبعتنا مجموعة
+
+196
+00:18:58,420 --> 00:19:04,980
+الأعداد الحقيقية R مع عملية الجمع والضرب بتشكل
+
+197
+00:19:04,980 --> 00:19:10,360
+ما يسمى في الجبر بال field تمام؟ هذا اللي احنا
+
+198
+00:19:10,360 --> 00:19:11,980
+عايزين نصله، نعم فضل
+
+199
+00:19:15,080 --> 00:19:18,860
+هذا تعريف احنا .. احنا .. احنا بنعرف أنه لو جمع
+
+200
+00:19:18,860 --> 00:19:23,700
+واحد على واحد يطلع صفر هذا definition تعريف وليس
+
+201
+00:19:23,700 --> 00:19:27,320
+آه يعني هاي مجموعة آه بدي أعرف عليها عملية جمع
+
+202
+00:19:27,320 --> 00:19:31,060
+عملية .. عملية الجمع هانا بأعرفها لو جمعت واحد على
+
+203
+00:19:31,060 --> 00:19:39,480
+واحد بيطلع صفر لو جمعت واحد آه
+
+204
+00:19:43,240 --> 00:19:52,920
+آه في هنا شيء مش مظبوط هنا هذه المفروض ضرب هذه هذه
+
+205
+00:19:52,920 --> 00:19:58,760
+المفروض ضرب هذه فهذا في خطأ مطبعي صحيح هذا كله
+
+206
+00:19:58,760 --> 00:20:02,200
+تعريف الآن لما هيك أنا بكون عرفت عملية الجمع
+
+207
+00:20:02,200 --> 00:20:07,240
+والضرب هنا في خطأ مطبعي دي المفروض تكون ضرب لأن
+
+208
+00:20:07,240 --> 00:20:10,240
+واحد زائد واحد عرفناها تساوي صفر ف
+
+209
+00:20:13,680 --> 00:20:19,300
+حسب التعريف هذا ممكن التحقق أن خمس خواص تبعت ال
+
+210
+00:20:19,300 --> 00:20:22,760
+field بتتحقق فممكن تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا
+
+211
+00:20:22,760 --> 00:20:25,700
+بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها
+
+212
+00:20:25,700 --> 00:20:27,620
+إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم
+
+213
+00:20:27,620 --> 00:20:27,740
+تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا
+
+214
+00:20:27,740 --> 00:20:28,060
+بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها
+
+215
+00:20:28,060 --> 00:20:28,700
+إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم
+
+216
+00:20:28,700 --> 00:20:36,280
+تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا بدكم تحققوها إذا
+
+217
+00:20:36,280 --> 00:20:43,660
+بدكم تحققوها إذا بدكم توعملية القسمة هي عملية
+
+218
+00:20:43,660 --> 00:20:47,340
+ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+219
+00:20:47,340 --> 00:20:49,400
+ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+220
+00:20:49,400 --> 00:20:53,020
+ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+221
+00:20:53,020 --> 00:20:54,300
+ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+222
+00:20:54,300 --> 00:20:56,080
+ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+223
+00:20:56,080 --> 00:20:56,480
+ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+224
+00:20:56,480 --> 00:21:01,560
+ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+225
+00:21:01,560 --> 00:21:06,040
+ضرب، إذن عملية الطرح هي عملية جمع كذلك عملية
+
+226
+00:21:06,040 --> 00:21:10,320
+القسمة division on R is defined by  هاي X على Y
+
+227
+00:21:10,320 --> 00:21:16,740
+بيساوي عملية ضرب X في ال multiplicative inverse ل Y
+
+228
+00:21:16,740 --> 00:21:22,320
+أو 1 على Y كذلك بنعرف هذا definition دائما لما
+
+229
+00:21:22,320 --> 00:21:25,660
+يكون فيه نقطتين ووراهم علامة تساوي معناه إن طرف
+
+230
+00:21:25,660 --> 00:21:30,040
+الشمال by definition بيساوي الطرف اليمين إذن هذا
+
+231
+00:21:30,040 --> 00:21:36,630
+تعريف لأن أنا بأعرف هذا التعريف أن a أس negative one
+
+232
+00:21:36,630 --> 00:21:43,470
+معناها واحد على a a to zero بيساوي واحد حسب التعريف
+
+233
+00:21:43,470 --> 00:21:48,970
+a to negative n و n عدد طبيعي هي عبارة عن مقلوب ال
+
+234
+00:21:48,970 --> 00:21:54,630
+a الكل to n فكل هذه تعريفات بناء على التعريفات هذه
+
+235
+00:21:54,630 --> 00:21:58,730
+ممكن أن نبرهن خواص كثيرة
+
+236
+00:22:00,150 --> 00:22:03,810
+وهتشوفوا بعضها في التمرين اللي موجودة في نهاية ال
+
+237
+00:22:03,810 --> 00:22:09,970
+section نتطرق
+
+238
+00:22:09,970 --> 00:22:14,330
+لحاجة اسمها rational numbers الأعداد النسبية
+
+239
+00:22:14,330 --> 00:22:20,210
+الأعداد النسبية أو rational numbers بنعرفها على
+
+240
+00:22:20,210 --> 00:22:24,130
+أنها مجموعة من الأعداد الحقيقية أو هي مجموعة جزئية
+
+241
+00:22:24,130 --> 00:22:30,010
+من الأعداد الحقيقية نموذجها بالرمز boldface q هذه
+
+242
+00:22:30,010 --> 00:22:34,370
+الرموز الأحرف هذه أو ال letters هذه نسميها
+
+243
+00:22:34,370 --> 00:22:41,790
+boldface يعني حرف مغمق هذه طبعا بتدل على مجموعات
+
+244
+00:22:43,170 --> 00:22:47,190
+فال rational numbers هي كل الأعداد الحقيقية اللي
+
+245
+00:22:47,190 --> 00:22:52,210
+ممكن كتبتها على صورة rational a على b حيث a وb 
+
+246
+00:22:52,210 --> 00:22:56,370
+أعداد صحيحة هذه مجموعة الأعداد الصحيحة bold في ال
+
+247
+00:22:56,370 --> 00:23:00,650
+z والمقام لازم ما يساويش صفر لأن القسمة على صفر مش
+
+248
+00:23:00,650 --> 00:23:05,840
+معرفة الآن لو أخذت الأعداد الحقيقية وشلت منها
+
+249
+00:23:05,840 --> 00:23:09,720
+الأعداد النسبية طرحت منها الأعداد النسبية فالأعداد
+
+250
+00:23:09,720 --> 00:23:13,160
+الحقيقية المتبقية بنسميها irrational numbers
+
+251
+00:23:13,160 --> 00:23:18,480
+irrational numbers الأعداد غير النسبية إذا الأعداد
+
+252
+00:23:18,480 --> 00:23:21,960
+النسبية هي كل الأعداد الحقيقية التي لا يمكن
+
+253
+00:23:21,960 --> 00:23:26,740
+كتابتها على صورة rational a على b حيث a وb أعداد
+
+254
+00:23:26,740 --> 00:23:32,910
+صحيحة والمقام لا يساوي صفر تمام؟ طبعا لو أخذت اتحاد ال
+
+255
+00:23:32,910 --> 00:23:35,590
+rational numbers مع ال irrational numbers بيعطوني
+
+256
+00:23:35,590 --> 00:23:38,770
+كل الأعداد الحقيقية يعني المعنى الآخر الأعداد
+
+257
+00:23:38,770 --> 00:23:43,390
+الحقيقية احنا جزأناها إلى مجموعتين irrational
+
+258
+00:23:43,390 --> 00:23:53,270
+numbers اتحاد ال irrational numbers طبعا
+
+259
+00:23:53,270 --> 00:23:57,830
+المجموعتين هدول disjoint يعني منفصلتين ما فيش بينهم
+
+260
+00:23:57,830 --> 00:23:58,850
+عناصر مشتركة
+
+261
+00:24:01,750 --> 00:24:08,710
+طيب ال .. النظرية التالية ممكن من السهل أن احنا
+
+262
+00:24:08,710 --> 00:24:14,950
+نثبتها باستخدام خواص الأعداد الصحيحة يعني
+
+263
+00:24:14,950 --> 00:24:25,150
+معروف احنا عندنا أن ال ..
+
+264
+00:24:25,150 --> 00:24:30,090
+معروف أن ال ..
+
+265
+00:24:33,390 --> 00:24:37,450
+لو في عندي عددين صحيحين فمجموعهم بيطلع عدد صحيح
+
+266
+00:24:37,450 --> 00:24:42,570
+وحاصل ضربهم عدد صحيح بمعنى آخر عملية مجموعة
+
+267
+00:24:42,570 --> 00:24:49,220
+الأعداد الصحيحة مغلقة تحت عمليات الجمع والضرب بنفس
+
+268
+00:24:49,220 --> 00:24:53,860
+.. باستخدام الحقيقة هذه أو ال fact هذه ممكن إثبات
+
+269
+00:24:53,860 --> 00:24:58,900
+أن مجموعة الأعداد النسبية مغلقة تحت عمليات الضرب
+
+270
+00:24:58,900 --> 00:25:06,270
+والجمع وأخذ ال additive inverse يعني لو كان XY
+
+271
+00:25:06,270 --> 00:25:10,810
+أعداد نسبية فمجموعهم بيطلع عدد نسبي وحاصل ضربهم
+
+272
+00:25:10,810 --> 00:25:15,330
+عدد نسبي وسالب عدد نسبي بيطلع عدد نسبي ولو في
+
+273
+00:25:15,330 --> 00:25:21,330
+عندي عدد نسبي مختلف عن الصفر ف ال multiplicative
+
+274
+00:25:21,330 --> 00:25:28,550
+inverse بيطلع عدد نسبي بمعنى آخر، مجموعة الأعداد
+
+275
+00:25:28,550 --> 00:25:33,950
+النسبية مغلقة تحت عملية الجمع والضرب، وأخذ الـ
+
+276
+00:25:33,950 --> 00:25:39,950
+Additive Inverse وأخذ مغلقة تحت الـ Multiplicative
+
+277
+00:25:39,950 --> 00:25:44,470
+Inverse وبالتالي ممكن
+
+278
+00:25:46,690 --> 00:25:51,850
+نستنتج أن مجموعة الأعداد النسبية بتحقق الخواص
+
+279
+00:25:51,850 --> 00:25:56,430
+الخامسة تبع ال field وبالتالي هي بتشكل field بحد
+
+280
+00:25:56,430 --> 00:26:05,690
+ذاتها الآن ال Q subset من R وR field وQ subset من R
+
+281
+00:26:05,690 --> 00:26:11,830
+R وQ field فبنسمي Q sub field زي لما يكون في عندي
+
+282
+00:26:11,830 --> 00:26:19,160
+set وفي داخلها setفبنقول sub set لو في عندي group
+
+283
+00:26:19,160 --> 00:26:25,240
+وفي عندي مجموعة جزئية من ال group فبنسمي المجموعة
+
+284
+00:26:25,240 --> 00:26:31,940
+جزئية نفسها group أيضا فبنسميها sub group إذا ال Q
+
+285
+00:26:31,940 --> 00:26:38,340
+is a sub field of the field R بناء على النظرية هذه
+
+286
+00:26:38,340 --> 00:26:44,770
+إذا هذه كلها حقائق معروفة يعني وهتركزوا عليها 
+
+287
+00:26:44,770 --> 00:26:48,410
+أنتم في الجبر يعني ما حنخوض فيها كثير لأن هذا
+
+288
+00:26:48,410 --> 00:26:53,370
+مواضيع جبرية احنا هنركز على ال analysis في كمان
+
+289
+00:26:53,370 --> 00:26:57,990
+نظرية هنا مهمة بتخص الأعداد النسبية والغير نسبية
+
+290
+00:26:57,990 --> 00:27:03,570
+وهذه طبعا برضه بنعطيها دائما مثال في مبادئ
+
+291
+00:27:03,570 --> 00:27:04,430
+الرياضيات
+
+292
+00:27:07,090 --> 00:27:14,250
+برهان على مثال على برهان غير مباشر النظرية هذه
+
+293
+00:27:14,250 --> 00:27:17,930
+بتقول there does not exist R ينتمي ل Q بحيث R
+
+294
+00:27:17,930 --> 00:27:22,530
+تربيعه بيساوي 2 ما فيش لا يوجد عدد نسبي مربعه
+
+295
+00:27:22,530 --> 00:27:27,450
+بيساوي 2 يعني بمعنى آخر النظرية هذه باختصار
+
+296
+00:27:27,450 --> 00:27:36,590
+بتقول أن جذر الـ 2 ليس عدد نسبي ومالوش عدد غير
+
+297
+00:27:36,590 --> 00:27:41,830
+نسبي يعني جذر 2 عدد غير نسبي فهي برهان
+
+298
+00:27:41,830 --> 00:27:45,490
+بالتناقض برهان غير مباشر بالتناقض by contradiction
+
+299
+00:27:45,490 --> 00:27:53,510
+احنا عايزين نثبت أنه ما فيش عدد أو جذر 2 ليس
+
+300
+00:27:53,510 --> 00:28:01,010
+عدد نسبي فنفرض النقيض نفرض النفي هو الصح يعني نفرض
+
+301
+00:28:01,010 --> 00:28:11,490
+أن جذر الـ 2 عدد نسبي يعني بيساوي P على Q حيث P
+
+302
+00:28:11,490 --> 00:28:17,310
+وQ أعداد صحيحة و
+
+303
+00:28:17,310 --> 00:28:23,990
+Q لا يساوي صفر تمام؟ وبدنا نصل إلى تناقض إذا
+
+304
+00:28:23,990 --> 00:28:27,870
+وصلنا إلى تناقض معناته فرضنا هذا غلط والصح أن
+
+305
+00:28:27,870 --> 00:28:32,410
+النظرية تكون صحيحة، بصبوت؟ طيب نشوف مع بعض
+
+306
+00:28:36,080 --> 00:28:46,520
+��ي فرضنا أن الـ 2 عدد هي 2 بيساوي هي
+
+307
+00:28:46,520 --> 00:28:52,320
+فرضنا أن الـ 2 بيساوي P على Q أو جدر 2
+
+308
+00:28:52,320 --> 00:28:57,100
+بيساوي P على Q وبالتالي P على Q تربيع فبيطلع عندي P
+
+309
+00:28:57,100 --> 00:29:02,900
+على Q تربيع بيساوي 2 صح؟ هايطيب الآن لما يكون
+
+310
+00:29:02,900 --> 00:29:12,820
+في عندي أعداد هذا عدد نسبي فممكن نختصر ونفرض أنه
+
+311
+00:29:12,820 --> 00:29:19,480
+ما فيش عامل مشترك بين الـ P والـ Q إلا الـ 1 الصحيح
+
+312
+00:29:19,480 --> 00:29:26,660
+يعني مثلا هي عندي مثلا 4 على مثلا 10 هذا عدد
+
+313
+00:29:26,660 --> 00:29:32,130
+نسبي فممكن أكتبه أختصر أقسم على 2 وأقسم على
+
+314
+00:29:32,130 --> 00:29:36,530
+2 بيطلع 2 على 5 لاحظوا الآن ما فيش عامل
+
+315
+00:29:36,530 --> 00:29:40,370
+مشترك بين 2 والـ 5 إلا الـ 1 فهذا في الجبر
+
+316
+00:29:40,370 --> 00:29:44,410
+بيسموه الـ greatest common divisor لـ 2 و 5
+
+317
+00:29:44,410 --> 00:29:53,130
+بيساوي 1 هي مثلا سالب 10 على 30 هي هذا
+
+318
+00:29:53,130 --> 00:29:59,940
+عدد نسبي فممكن نختصر هذا بيصير 2 على والا ايش
+
+319
+00:29:59,940 --> 00:30:06,760
+هذا أو سالب 1 على 3 فالـ  bus سالب 1 عدد
+
+320
+00:30:06,760 --> 00:30:10,460
+صحيح والمقام 3 والـ greatest common divisor
+
+321
+00:30:10,460 --> 00:30:17,420
+لسالب 1 و3 بيساوي 1 إذا أي عدد نسبي ممكن
+
+322
+00:30:17,420 --> 00:30:23,260
+أختصره أو أبسط وأكتبه بأبسط صورة يعني أخلي الـ
+
+323
+00:30:23,260 --> 00:30:29,640
+greatest common divisor لـ P وQ هنا بيساوي 1 طيب
+
+324
+00:30:29,640 --> 00:30:35,580
+الآن تعالوا نربع هنا هذه المعادلة P على Q تربيع
+
+325
+00:30:35,580 --> 00:30:40,500
+بيساوي 2 فمنها بنستنتج أن P تربيع بيساوي 2 و
+
+326
+00:30:40,500 --> 00:30:47,040
+Q تربيع طيب هي عندي P تربيع بيساوي 2 في Q تربيع الـ Q
+
+327
+00:30:47,040 --> 00:30:50,820
+هذا عدد صحيح فمربع العدد الصحيح اللي هو Q تربيع
+
+328
+00:30:50,820 --> 00:30:54,720
+بيطلع عدد صحيح عدد صحيح مضروب في 2 بيطلع even
+
+329
+00:30:54,720 --> 00:30:59,400
+number عشان المبادئ صح؟ إذا P تربيع بيطلع even
+
+330
+00:30:59,400 --> 00:31:06,520
+number تمام؟ هذا بيؤدي أنه ممكن إثبات أن P بيطلع
+
+331
+00:31:06,520 --> 00:31:10,960
+even لو كان مربع عدد صحيح even فممكن إثبات أن
+
+332
+00:31:10,960 --> 00:31:14,860
+العدد الصحيح نفسه لازم يطلع even وهذا ممكن نعمل
+
+333
+00:31:14,860 --> 00:31:21,940
+برهان صغير بالتناقض افرضه أن P مش even يعني odd
+
+334
+00:31:21,940 --> 00:31:28,360
+تربيعه فبيطلع مربع odd تناقض هي البرهان إذا هذا ايه
+
+335
+00:31:28,360 --> 00:31:33,220
+الإجابة على الـ Y كمان مرة إذا كان عندي P تربيع أنا
+
+336
+00:31:33,220 --> 00:31:39,900
+عندي P تربيع even هذا بيعني أن P even كيف نبرهن هذا
+
+337
+00:31:39,900 --> 00:31:46,420
+برهان بالتناقض افرض أنه P odd ايه يعني P odd يعني
+
+338
+00:31:46,420 --> 00:31:51,600
+P هي
+
+339
+00:31:51,600 --> 00:31:58,500
+P بيساوي 2K زي 1 هذا معناه odd وطبعا الـ K هي عدد
+
+340
+00:31:58,500 --> 00:32:04,620
+صحيح تربيع إذا P تربيع بيساوي 4 K تربيع زائد 4
+
+341
+00:32:04,620 --> 00:32:14,080
+K زائد 1 وهذا بيساوي 2 في 2 K تربيع زائد
+
+342
+00:32:14,080 --> 00:32:19,900
+2 K مع بعض زائد 1 وهذا بيساوي 2 في M زائد
+
+343
+00:32:19,900 --> 00:32:26,350
+1 حيث M عدد صحيح إذاً P تربيع طلع بيساوي 2 في
+
+344
+00:32:26,350 --> 00:32:30,410
+عدد صحيح زائد 1 وبالتالي هذا  Contradiction
+
+345
+00:32:30,410 --> 00:32:35,590
+تناقض لأن احنا عندنا P تربيع P تربيع is even okay
+
+346
+00:32:35,590 --> 00:32:42,670
+إذاً هذا برهان الـ why طيب إذا احنا وصلنا إلى أن P
+
+347
+00:32:42,670 --> 00:32:48,750
+تربيع even بقدر أن P even الآن الـ P والـ Q have no
+
+348
+00:32:48,750 --> 00:32:51,410
+common factor other than 1 ما فيش بينهم عامل
+
+349
+00:32:51,410 --> 00:32:57,460
+مشترك إلا الـ 1 والـ P even إذا لازم الـ Q يكون odd
+
+350
+00:32:57,460 --> 00:33:03,320
+لأن لو كان الـ Q even والـ P even فيه عامل مشترك
+
+351
+00:33:03,320 --> 00:33:09,560
+بينهم 2 على ال��قل أو 4 وهذا بيتناقض مع ايه
+
+352
+00:33:09,560 --> 00:33:13,100
+أن احنا فرضنا أنه ما فيش common factor بين الـ P و
+
+353
+00:33:13,100 --> 00:33:18,560
+الـ Q إلا الـ 1 تمام إذا أنا عندي هنا نستنتج أن الـ
+
+354
+00:33:18,560 --> 00:33:25,030
+Q لازم يكون odd الآن أنا عندي P even يعني معناته
+
+355
+00:33:25,030 --> 00:33:33,020
+بيساوي 2M for some M عدد صحيح وبالتالي لو ربعت له
+
+356
+00:33:33,020 --> 00:33:37,780
+نرجع نعوض في المعادلة هذه P تربيع بيساوي 2Q تربيع
+
+357
+00:33:37,780 --> 00:33:43,120
+عوض عن P بيساوي 2M فبيصير 4M تربيع بيساوي 2Q تربيع
+
+358
+00:33:43,120 --> 00:33:48,760
+فبختصر 2 من الطرفين بيطلع 2M تربيع بيساوي Q تربيع
+
+359
+00:33:48,760 --> 00:33:54,620
+إذن Q تربيع بيساوي 2 ضرب عدد صحيح وبالتالي Q تربيع
+
+360
+00:33:54,620 --> 00:34:00,020
+is even وبالتالي منها بنستنتج أن الـ Q نفسها is
+
+361
+00:34:00,020 --> 00:34:08,720
+even إذا الآن أنا عندي الـ Q is even وهي نفس الـ Q
+
+362
+00:34:08,720 --> 00:34:14,260
+استنتجنا أنها odd فهذا
+
+363
+00:34:14,260 --> 00:34:20,680
+تناقض .. هذا تناقض صح؟ الـ Q هنا odd وهنا طلعت even
+
+364
+00:34:20,680 --> 00:34:24,240
+فهذا يعطيني contradiction which is a contradiction
+
+365
+00:34:24,240 --> 00:34:30,620
+فهذا التناقض أن احنا هنا وصلنا بدينا بالبرهان احنا
+
+366
+00:34:30,620 --> 00:34:35,860
+عايزين نثبت جدر 2 لا تنتمي لـ Q فرضنا النقيض الـ
+
+367
+00:34:35,860 --> 00:34:40,660
+contrary أن جدر 2 تنتمي لـ Q يعني ممكن كتبتها
+
+368
+00:34:40,660 --> 00:34:46,240
+على صورة P على Q P وQ أعداد صحيحة وصلنا لتناقض
+
+369
+00:34:46,240 --> 00:34:50,020
+معناته أن هذا فرضنا غلط الصح أن جدر 2 لاتن
+
+370
+00:34:50,020 --> 00:34:54,640
+تمي لـ Q as required كما هو مطلوب okay تمام هذا
+
+371
+00:34:54,640 --> 00:34:59,660
+برهان بالتناقض تمام إذا هنا شوية راجعنا شوية
+
+372
+00:34:59,660 --> 00:35:04,820
+براهين تعلمتوها في مبادئ رياضيات طبعا الناس اللي
+
+373
+00:35:04,820 --> 00:35:09,180
+اتعلموا مبادئ رياضيات وأخوياء الحاجات هذه
+
+374
+00:35:09,180 --> 00:35:14,870
+بالنسبة لهم يعني صارت مجرد تسلية والناس اللي عندهم
+
+375
+00:35:14,870 --> 00:35:20,790
+مشاكل في المبادئ نجحوا بالعافية فممكن يعني يجد أن
+
+376
+00:35:20,790 --> 00:35:28,670
+هذا مش كثير مثير طيب هيك بنكون خلصنا الـ
+
+377
+00:35:28,670 --> 00:35:33,410
+algebraic properties of R الخواص الجبرية لنظام
+
+378
+00:35:33,410 --> 00:35:37,650
+الأعداد الحقيقية أو الـ real number system ننتقل لـ
+
+379
+00:35:37,650 --> 00:35:40,550
+section ثاني داخل الـ chapter الأول هيك خلصنا
+
+380
+00:35:40,550 --> 00:35:46,110
+section الـ section الثاني عنوانه الـ order
+
+381
+00:35:46,110 --> 00:35:52,370
+properties of R خواص الترتيب على R order properties
+
+382
+00:35:52,370 --> 00:35:58,470
+خواص الترتيب احنا شفنا أو قلنا لما عرفنا نظام
+
+383
+00:35:58,470 --> 00:36:02,070
+الأعداد الحقيقية قلنا أن نظام الأعداد الحقيقية
+
+384
+00:36:02,070 --> 00:36:07,670
+مجرد مجموعة R boldface R مع عمليتين ثنائيتين two
+
+385
+00:36:07,670 --> 00:36:11,710
+binary operations بيحققوا الخمس خواص تبعت الـ field
+
+386
+00:36:11,710 --> 00:36:16,730
+اليوم هنفترض أيضا أن نظام الأعداد الحقيقية بيحقق
+
+387
+00:36:17,890 --> 00:36:24,850
+order properties الخاصية رقم 6 هذه الخاصية رقم
+
+388
+00:36:24,850 --> 00:36:30,710
+6 هذه الخاصية رقم 6 تتجزأ إلى 3 خواص 3
+
+389
+00:36:30,710 --> 00:36:41,410
+خواص نسميهم order properties أو أول خاصية نفترض
+
+390
+00:36:41,410 --> 00:36:48,400
+ماهي order property نفترض وجود مجموعة جزئية من R
+
+391
+00:36:48,400 --> 00:36:53,500
+وغير خالية، ليست خالية، non-empty subset of R
+
+392
+00:36:53,500 --> 00:36:58,220
+نفترض أن يوجد مجموعة P subset of R غير خالية
+
+393
+00:36:58,220 --> 00:37:04,620
+وبتحقق الثلاث خواص هذه الـ set P is closed under
+
+394
+00:37:04,620 --> 00:37:09,920
+addition يعني لو أخذت أي عنصرين في P فمجموعهم بيطلع
+
+395
+00:37:09,920 --> 00:37:15,040
+عنصر ثالث فيها كذلك الم��موعة P closed under
+
+396
+00:37:15,040 --> 00:37:20,620
+multiplication يعني لو أخذت أي عنصرين وحصل ضربهم
+
+397
+00:37:20,620 --> 00:37:26,980
+بيطلع عنصر ثالث الخاصية الثالثة من خاصية الترتيب
+
+398
+00:37:26,980 --> 00:37:32,340
+اللي لها اسم بنسميها trichotomy property الخاصية
+
+399
+00:37:32,340 --> 00:37:37,940
+الثلاثية الخاصية الثلاثية ايه هي؟ لو أخذت أي عدد
+
+400
+00:37:37,940 --> 00:37:39,180
+حقيقي R
+
+401
+00:37:41,750 --> 00:37:51,250
+فواحد من الثلاث احتمالات هذه لازم يكون صحيح وهو أن
+
+402
+00:37:51,250 --> 00:37:57,290
+إما a تنتمي للمجموعة P هذه أو a بيساوي صفر أو
+
+403
+00:37:57,290 --> 00:38:01,410
+negative a ينتمي للمجموعة P هذه هي الخاصية
+
+404
+00:38:01,410 --> 00:38:07,670
+الثالثة أي عدد حقيقي إما يكون عنصر في P أو بيساوي
+
+405
+00:38:07,670 --> 00:38:10,630
+صفر أو الـ negative تبقى عنصر في P
+
+406
+00:38:16,020 --> 00:38:21,780
+الآن بنعرف المجموعة remark ملاحظة بنعرف المجموعة
+
+407
+00:38:21,780 --> 00:38:25,820
+negative P المجموعة negative P هي مجموعة كل
+
+408
+00:38:25,820 --> 00:38:33,050
+العناصر negative A حيث A ينتمي لـ P الآن الخاصية C
+
+409
+00:38:33,050 --> 00:38:36,310
+من الـ order property اللي هي trichotomy property
+
+410
+00:38:36,310 --> 00:38:43,610
+الخاصية C says تقول أو بتقول أن الـ sets المجموعات
+
+411
+00:38:43,610 --> 00:38:52,110
+اللي هي المجموعة الأحادية صفر والمجموعة P و
+
+412
+00:38:52,110 --> 00:38:57,570
+المجموعة negative P الثلاث 
+
+413
+00:38:57,570 --> 00:39:02,860
+هدول are pairwise disjoint منفصلة مثنى مثنى
+
+414
+00:39:02,860 --> 00:39:06,840
+pairwise disjoint يعني منفصلة مثنى مثنى ايه يعني؟
+
+415
+00:39:06,840 --> 00:39:11,360
+لو أخذت أي اثنتين من الثلاث مجموعات هدول وقاطعتهم
+
+416
+00:39:11,360 --> 00:39:15,200
+مع بعض فبتقعوا اعتبارهم five ما فيش بينهم عناصر
+
+417
+00:39:15,200 --> 00:39:19,060
+مشتركة فبنقول إن المجموعات هذه pairwise disjoint
+
+418
+00:39:20,610 --> 00:39:26,410
+ومش هيكوا بس واتحادهم بيساوي كل الأعداد الحقيقية هذا
+
+419
+00:39:26,410 --> 00:39:33,430
+صحيح من الخاصية C لأن C بتقول لأي عدد حقيقي أي A
+
+420
+00:39:33,430 --> 00:39:41,310
+ينتمي إلى R أي A ينتمي إلى R إما ينتمي إلى P أو 
+
+421
+00:39:41,310 --> 00:39:45,370
+بساوي 0 وبالتالي ينتمي إلى المجموعة هذه أو ينتمي
+
+422
+00:39:45,370 --> 00:39:52,030
+إلى negative P صح؟ وبالتالي كل a هنا موجود في واحدة
+
+423
+00:39:52,030 --> 00:39:54,810
+من هذول التلاتة وبالتالي موجود في اتحادهم مش هيك
+
+424
+00:39:54,810 --> 00:39:59,990
+تعريف اتحاد؟ إذاً الـ R الآن أصبحت مجموعة جزئية من
+
+425
+00:39:59,990 --> 00:40:06,130
+الاتحاد، مظبوط؟ طب الـ P مجموعة جزئية من R و
+
+426
+00:40:06,130 --> 00:40:10,850
+negative P مجموعة جزئية من R و singleton 0 برضه 
+
+427
+00:40:10,850 --> 00:40:15,130
+مجموعة جزئية من R إذا اتحادهم بيطلع مجموعة جزئية
+
+428
+00:40:15,130 --> 00:40:20,060
+من R وبالتالي أنا عندي الاحتواء من الناحيتين
+
+429
+00:40:20,060 --> 00:40:24,280
+وبالتالي عندي تساوي إذاً هنا برهنت لكم أن الاتحاد
+
+430
+00:40:24,280 --> 00:40:26,740
+هذا بساوي R تمام؟
+
+431
+00:40:33,090 --> 00:40:37,470
+طب ليش هدول disjoint؟ لأنه لو .. لو فرضت أنه مثلاً
+
+432
+00:40:37,470 --> 00:40:42,130
+في عنصر بيقع ينتمي لتقاطع المجموعتين هدول، معناته 
+
+433
+00:40:42,130 --> 00:40:45,990
+هذا العنصر بيساوي صفر وفي نفس الوقت ينتمي لـ P
+
+434
+00:40:45,990 --> 00:40:49,830
+وهذا بتناقض مع الخاصية الثلاثية، الخاصية الثلاثية
+
+435
+00:40:49,830 --> 00:40:53,950
+بتقول لازم و exactly one، واحد من الاحتمالات
+
+436
+00:40:53,950 --> 00:41:00,090
+الثلاثة هذه صح، أما اثنين مش صح، تمام؟ okay
+
+437
+00:41:02,970 --> 00:41:07,390
+العنى المجموعة P هذه اللي عرفناها هنا بنسميها
+
+438
+00:41:07,390 --> 00:41:10,610
+مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة the set of
+
+439
+00:41:10,610 --> 00:41:15,830
+positive real number مجموعة الأعداد الحقيقية
+
+440
+00:41:15,830 --> 00:41:19,750
+الموجبة و الـ set negative P هذه بنسميها مجموعة
+
+441
+00:41:19,750 --> 00:41:24,560
+الأعداد الحقيقية السالبة، ولما نضيف عليهم الصفر هيك
+
+442
+00:41:24,560 --> 00:41:28,980
+بنكون غطينا كل الأعداد الحقيقية صح؟ okay تمام إذاً
+
+443
+00:41:28,980 --> 00:41:33,000
+P بنسميها مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة negative
+
+444
+00:41:33,000 --> 00:41:42,440
+P مجموعة الأعداد الحقيقية السالبة وهكذا طيب
+
+445
+00:41:42,440 --> 00:41:47,980
+لحد الآن احنا ما عرفناش علاقة أصغر أو أكبر أو أصغر
+
+446
+00:41:47,980 --> 00:41:52,380
+من أو يساوي أو أكبر من أو يساوي اللي هو الترتيب في
+
+447
+00:41:52,380 --> 00:41:56,100
+عندي definition هنا لو أخدت أي عددين حقيقيين a و b
+
+448
+00:41:56,100 --> 00:42:04,620
+فهنكتب أو هنعلن أن a أصغر من b أو ما يكافئها b
+
+449
+00:42:04,620 --> 00:42:12,640
+أكبر من a هذا معناه نقصد نقصد بذلك أن الفرق بين b
+
+450
+00:42:12,640 --> 00:42:18,920
+و a ينتمي لـ p يعني الفرق هذا موجب يعني هذا عدد
+
+451
+00:42:18,920 --> 00:42:26,080
+موجب، إذا لو كان الفرق بين b و a عدد موجب فبنكتب a
+
+452
+00:42:26,080 --> 00:42:32,780
+أصغر من b أو b أكبر من a طيب طب
+
+453
+00:42:32,780 --> 00:42:36,840
+متى بكتب a أصغر من أو يساوي b أو b أكبر من أو
+
+454
+00:42:36,840 --> 00:42:45,760
+يساوي a هذا معناه يعني هذا مثلاً معناه أن a أصغر من
+
+455
+00:42:45,760 --> 00:42:54,840
+b يعني الفرق بين B و A ينتمي لـ P أو A بيساوي B لما
+
+456
+00:42:54,840 --> 00:42:58,860
+يكون A بيساوي B لاحتمال الثاني هذا معناه أن الفرق
+
+457
+00:42:58,860 --> 00:43:03,620
+بيساوي صفر يعني ينتمي للمجموعة Singleton Zero okay
+
+458
+00:43:03,620 --> 00:43:07,500
+تمام؟ إذن أصغر من أو يساوي أو أكبر من أو يساوي
+
+459
+00:43:07,500 --> 00:43:13,410
+معناته الفرق ينتمي لـ P اتحاد Singleton Zero الآن في
+
+460
+00:43:13,410 --> 00:43:20,170
+عندي نظرية والنظرية هذه بتعطيني خواص لـ الـ
+
+461
+00:43:20,170 --> 00:43:28,450
+الـ خليني بس نبص عليها بسرعة النظرية
+
+462
+00:43:28,450 --> 00:43:33,410
+هذه بتعطيني خواص للـ order properties يعني خواص
+
+463
+00:43:33,410 --> 00:43:40,210
+أخرى نقدر نشتقها من الـ order properties وكل هذه
+
+464
+00:43:40,210 --> 00:43:44,990
+خواص معروفة وسهلة وبسيطة وكلها .. كلها عارفين لكن
+
+465
+00:43:44,990 --> 00:43:48,230
+بدها برهان .. بدها برهان ما حدش عمره برهان لنا إياها
+
+466
+00:43:49,460 --> 00:43:54,600
+Okay فحنوقف عند النظرية هذه وإن شاء الله المرة
+
+467
+00:43:54,600 --> 00:44:01,120
+الجاية بنحاول نبرهن النظرية okay حاولوا أنتم
+
+468
+00:44:01,120 --> 00:44:05,260
+meanwhile في نفس الوقت كتحضير للمحاضرة الجاية
+
+469
+00:44:05,260 --> 00:44:10,140
+حاولوا أنكم تقرأوا البرهان تبع النظرية وشوفوا هل
+
+470
+00:44:10,140 --> 00:44:16,360
+تفهموه ولا لأ okay تمام في أي سؤال okay شكراً لكم
+
+471
+00:44:16,360 --> 00:44:17,540
+ومبارك الله فيكم

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/dw89EvC63CE_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1236 @@
+1
+00:00:20,910 --> 00:00:26,430
+بسم الله الرحمن الرحيم في المحاضرة اليوم هناخد
+
+2
+00:00:26,430 --> 00:00:32,890
+انتباه المقدمة البسيطة عن ال infinite series اللي
+
+3
+00:00:32,890 --> 00:00:37,890
+بدأناها في المحاضرة السابقةففي المحاضرة السابقة
+
+4
+00:00:37,890 --> 00:00:41,610
+عرفنا ما معنى ان infinite series of real numbers
+
+5
+00:00:41,610 --> 00:00:46,050
+converge معناه هذا بكافئ ان ال sequence of partial
+
+6
+00:00:46,050 --> 00:00:51,970
+sums S اللي سمناها Sn حيث ال inf partial sum هو
+
+7
+00:00:51,970 --> 00:00:56,170
+مجموع أول n من حدود ال series إذا كانت ال sequence
+
+8
+00:00:56,170 --> 00:01:00,550
+هذه convergentإذا ال sequence of partial sums
+
+9
+00:01:00,550 --> 00:01:03,990
+convergent بتكون ال series convergent، إذا ال
+
+10
+00:01:03,990 --> 00:01:06,770
+sequence of partial sums divergent بتكون ال series
+
+11
+00:01:06,770 --> 00:01:11,760
+divergentطيب لو كانت ال sequence of partial sums
+
+12
+00:01:11,760 --> 00:01:15,920
+convergent و ال limit تبعتها عدد S ففي الحالة هذه
+
+13
+00:01:15,920 --> 00:01:19,420
+بتقول ان ال series converged طبعا و ال sum تبع ال
+
+14
+00:01:19,420 --> 00:01:22,680
+series مجموعة ال series بساوي ال limit لل sequence
+
+15
+00:01:22,680 --> 00:01:26,800
+of partial sums اللي هو S اذا في الحالة هذه S is
+
+16
+00:01:26,800 --> 00:01:32,860
+the sum of the infinite series الان في عنديالنظرية
+
+17
+00:01:32,860 --> 00:01:38,220
+بتعطيني test for divergence بتسميه الانث term test
+
+18
+00:01:38,220 --> 00:01:43,360
+زي ما درسته في calculus B فالنظرية هذه بتقول لو
+
+19
+00:01:43,360 --> 00:01:46,120
+كان في عندي series و ال series كانت convergent
+
+20
+00:01:46,120 --> 00:01:50,440
+فضروري it is necessary that the limit of the inf
+
+21
+00:01:50,440 --> 00:01:57,250
+term بساوي سفروالبرهان سهل هاي ال Nth partial sum
+
+22
+00:01:57,250 --> 00:02:01,830
+مجموعة أول N من حدود ال series وهي ال N minus
+
+23
+00:02:01,830 --> 00:02:06,110
+first partial sum اللي هو مجموعة N سالب واحد من
+
+24
+00:02:06,110 --> 00:02:12,310
+الحدود الأولانية لما نيجي نطرح لما نيجي نطرح فكل
+
+25
+00:02:12,310 --> 00:02:19,910
+الحدود هذه بتروح مع بعضها يبقى عندى الفرق XNأنا
+
+26
+00:02:19,910 --> 00:02:23,650
+فارض أن ال series converge إذا ال limit لل
+
+27
+00:02:23,650 --> 00:02:27,270
+sequence of partial sums exist و بالساوية sum real
+
+28
+00:02:27,270 --> 00:02:32,570
+number S الآن باخد ال limit للطرفين في ال star هنا
+
+29
+00:02:33,630 --> 00:02:38,130
+باخد limit of both sides we get انه limit x in
+
+30
+00:02:38,130 --> 00:02:43,590
+بيساوي limit s in minus limit s in minus واحد ال
+
+31
+00:02:43,590 --> 00:02:46,930
+limit ال sequence of partial sums s وهذه هي نفس ال
+
+32
+00:02:46,930 --> 00:02:51,070
+sequence of partial sums بس حدفنا أو زودنا حد برضه
+
+33
+00:02:51,070 --> 00:02:55,170
+ال limit تبعتها s إذا ال limit ل x in بيطلع بيساوي
+
+34
+00:02:55,170 --> 00:03:01,710
+سفر كما هو مظلوم تمام؟ واضح البرهان؟ الآن في عندي
+
+35
+00:03:01,710 --> 00:03:02,310
+remark
+
+36
+00:03:10,040 --> 00:03:15,900
+the converse of
+
+37
+00:03:15,900 --> 00:03:23,140
+above theorem is
+
+38
+00:03:23,140 --> 00:03:27,860
+false عكس
+
+39
+00:03:27,860 --> 00:03:36,120
+النظرية السابقة ليس صحيحا بمعنى لو كانت x in
+
+40
+00:03:38,350 --> 00:03:45,490
+converge to zero هذا لا يؤدي بالضرورة .. لا يؤدي
+
+41
+00:03:45,490 --> 00:03:56,310
+مش شرط يؤدي ان ال series sigma x in converge وهي
+
+42
+00:03:56,310 --> 00:03:58,310
+مثال على ذلك ناخد مثال
+
+43
+00:04:17,840 --> 00:04:25,520
+example the harmonic series satisfies
+
+44
+00:04:39,920 --> 00:04:48,080
+إن ال limit ل xn عبارة عن ال limit ل 1 على n يسوى
+
+45
+00:04:48,080 --> 00:04:59,420
+سفر لكن however .. however
+
+46
+00:04:59,420 --> 00:05:04,560
+ال series ال harmonic series diverges
+
+47
+00:05:09,690 --> 00:05:14,990
+ال harmonic series is divergent مش convergent ليش؟
+
+48
+00:05:14,990 --> 00:05:22,770
+why؟
+
+49
+00:05:22,770 --> 00:05:29,330
+احنا برهننا الكلام هذا في chapter تلاتة بس كش في
+
+50
+00:05:29,330 --> 00:05:31,410
+section تلاتة خمسة
+
+51
+00:05:36,620 --> 00:05:44,980
+فاكرين ان ال sequence هذه كانت طيب نجاوب ليه ال
+
+52
+00:05:44,980 --> 00:05:52,720
+harmonic series diverges في عندي جوابين answer one
+
+53
+00:05:52,720 --> 00:06:00,660
+الإجابة الأولى في
+
+54
+00:06:00,660 --> 00:06:03,740
+عندي مثال أخدنا
+
+55
+00:06:08,530 --> 00:06:14,430
+by example لسه ماخدينه اللي كان هذا الجزء اللي
+
+56
+00:06:14,430 --> 00:06:18,590
+بتعلق فيه اللي هو ال sequence of partial sums لل
+
+57
+00:06:18,590 --> 00:06:25,470
+series هذه اثبتنا انها not cauchy صح؟ وكان هذا جزء
+
+58
+00:06:25,470 --> 00:06:31,610
+من ايه؟ من تكملة البرهان صح؟ اذا نشوف الرقم تبعها
+
+59
+00:06:31,610 --> 00:06:34,830
+بالظبط section
+
+60
+00:06:37,490 --> 00:06:50,870
+مثال تلاتة خمسة ستة الجزء C by this example the
+
+61
+00:06:50,870 --> 00:07:02,430
+sequence of partial sums Sn
+
+62
+00:07:02,430 --> 00:07:03,370
+where
+
+63
+00:07:05,750 --> 00:07:13,890
+SN بيساوي سيجما من K بيساوي واحد إلى N لواحد على K
+
+64
+00:07:13,890 --> 00:07:21,150
+اللي هو واحد زاد نص زاد واحد على N أثبتنا إن ال
+
+65
+00:07:21,150 --> 00:07:30,630
+sequence هذه is not Cauchy is not Cauchy and
+
+66
+00:07:30,630 --> 00:07:34,850
+therefore not convergent
+
+67
+00:07:40,330 --> 00:07:49,510
+حسب by cushy by cushy criterion cushy criterion
+
+68
+00:07:49,510 --> 00:07:52,950
+بتقول أي sequence of real numbers is convergent if
+
+69
+00:07:52,950 --> 00:07:56,190
+and only if it is cushy اللي إحنا أثبتنا إن ال
+
+70
+00:07:56,190 --> 00:08:01,180
+sequence هذه في المثال هذاماهياش كوشي و بالتالي
+
+71
+00:08:01,180 --> 00:08:04,460
+not convergent طب ما هذه هي ال sequence of partial
+
+72
+00:08:04,460 --> 00:08:07,680
+.. هذه هي ال sequence of partial sums لل harmonic
+
+73
+00:08:07,680 --> 00:08:11,020
+series اذا by above definition
+
+74
+00:08:15,530 --> 00:08:19,870
+طبعا ال definition المسعة اللى كتبناها أول واحد
+
+75
+00:08:19,870 --> 00:08:23,830
+مادام ال series of partial sums is not convergent
+
+76
+00:08:23,830 --> 00:08:30,150
+اذا ال series نفسها is divergent
+
+77
+00:08:33,300 --> 00:08:38,940
+Okay إذا هذا كان إحدى الإجابات و ليه .. ليه ال
+
+78
+00:08:38,940 --> 00:08:42,960
+series هي divergent هاي الإثبات تبعها هنا جاي من
+
+79
+00:08:42,960 --> 00:08:47,360
+المثال هذا إن ال sequence of partial sums طلعت not
+
+80
+00:08:47,360 --> 00:08:51,340
+Cauchy وبالتالي not convergent هذا السبب في كمان
+
+81
+00:08:51,340 --> 00:09:02,140
+سبب تاني أو حل تاني أو إجابة أخرى answer
+
+82
+00:09:02,140 --> 00:09:13,540
+twoإنه by .. في مثال آخر أثبتنا فيه by example
+
+83
+00:09:13,540 --> 00:09:17,900
+تلاتة
+
+84
+00:09:17,900 --> 00:09:24,800
+تلاتة تلاتة بي .. إذا في section تلاتة تلاتة
+
+85
+00:09:24,800 --> 00:09:31,540
+المثال تلاتة بي أثبتنا فيه إن ال sequence و
+
+86
+00:09:31,540 --> 00:09:32,480
+partial sums
+
+87
+00:09:34,910 --> 00:09:40,910
+the sequence of partial sums
+
+88
+00:09:40,910 --> 00:09:44,190
+Sn
+
+89
+00:09:44,190 --> 00:09:50,370
+is unbounded
+
+90
+00:09:50,370 --> 00:09:55,910
+أثبتنا بالمثال هذا أن ال sequence Sn of partial
+
+91
+00:09:55,910 --> 00:10:04,760
+sums اللي هي هذه is unbounded and thereforeإذا
+
+92
+00:10:04,760 --> 00:10:08,380
+كانت الـ sequence unbounded إذا بتطلع divergent أو
+
+93
+00:10:08,380 --> 00:10:16,060
+not convergent لأن sn is divergent لأن لو كانت
+
+94
+00:10:16,060 --> 00:10:20,800
+convergent بتكون bounded وبالتالي therefore ال
+
+95
+00:10:20,800 --> 00:10:28,090
+series أو ال harmonic seriesdivergent إذا هذا برضه
+
+96
+00:10:28,090 --> 00:10:33,350
+إجابة تانية بتخلي ال harmonic series divergent
+
+97
+00:10:33,350 --> 00:10:40,830
+تمام طيب نرجع ناخد أمثلة أخرى
+
+98
+00:11:08,590 --> 00:11:18,590
+أول شيء الـ geometric series الـ
+
+99
+00:11:18,590 --> 00:11:26,210
+geometric series اللي هي summation من k بساوي سفر
+
+100
+00:11:26,210 --> 00:11:32,090
+to infinity لR to K اللي الحد الأول تبعها واحد
+
+101
+00:11:32,090 --> 00:11:37,250
+والأساس تبعها R اشمالها واحد
+
+102
+00:11:40,350 --> 00:11:49,570
+converges if absolute r أصغر من one and
+
+103
+00:11:49,570 --> 00:12:06,550
+diverges and its sum its sum بيساوي واحد على واحد
+
+104
+00:12:06,550 --> 00:12:08,250
+minus r
+
+105
+00:12:14,230 --> 00:12:20,410
+and diverges if
+
+106
+00:12:20,410 --> 00:12:27,790
+absolute are أكبر من أوسى واحد أثبتنا
+
+107
+00:12:27,790 --> 00:12:31,250
+هذا الجزء المرة اللي فاتت في الأول ولا ما أثبتناه
+
+108
+00:12:31,250 --> 00:12:34,350
+مش؟
+
+109
+00:12:34,350 --> 00:12:38,010
+أثبتنا صحيح؟ okay إذا
+
+110
+00:12:44,740 --> 00:12:52,060
+proof part one was
+
+111
+00:12:52,060 --> 00:12:55,940
+proved last
+
+112
+00:12:55,940 --> 00:13:01,400
+time .. last time
+
+113
+00:13:01,400 --> 00:13:09,160
+to
+
+114
+00:13:09,160 --> 00:13:12,760
+prove two assume
+
+115
+00:13:15,240 --> 00:13:29,520
+absolute are أكبر من أو ساوي الواحد افترض
+
+116
+00:13:29,520 --> 00:13:36,400
+ان absolute are أكبر من أو ساوي الواحد طيب then
+
+117
+00:13:44,600 --> 00:13:53,300
+limit xn as n tends to infinity بيساوي limit r to
+
+118
+00:13:53,300 --> 00:13:59,220
+n as n tends to infinity لحظة
+
+119
+00:13:59,220 --> 00:14:06,940
+n to absolute r أكبر من واحد بيقدر ان ر أكبر من ..
+
+120
+00:14:06,940 --> 00:14:08,580
+أصغر من واحد
+
+121
+00:14:11,700 --> 00:14:22,700
+or R أكبر من سالب واحد او
+
+122
+00:14:22,700 --> 00:14:30,200
+R أكبر من واحد او R أصغر من سالب
+
+123
+00:14:30,200 --> 00:14:34,640
+واحد وبالتالي
+
+124
+00:14:34,640 --> 00:14:42,080
+limit R أُس N مش ممكن تساوي سفرlimit ل R أسن شفنا
+
+125
+00:14:42,080 --> 00:14:50,420
+أن هذه بساوية سفر فقط لما ال R يكون أصغر من واحد و
+
+126
+00:14:50,420 --> 00:14:57,940
+أكبر من أو بساوية سفر وبالتالي اذا by .. اذا by
+
+127
+00:14:57,940 --> 00:15:08,300
+nth by nth term test اذا الحد العام الحد النوني لل
+
+128
+00:15:08,300 --> 00:15:12,700
+series هذهلا يقول لا سفر ال limit تبعته ما بيسويش
+
+129
+00:15:12,700 --> 00:15:20,400
+سفر وبالتالي by the nth term test المسح اه اذا كان
+
+130
+00:15:20,400 --> 00:15:25,480
+limit الحد النوني بيسويش سفر فال test بتقول لي ان
+
+131
+00:15:25,480 --> 00:15:31,500
+ال series is
+
+132
+00:15:31,500 --> 00:15:37,480
+divergent ال series sigma ل R to N من N equal 0 to
+
+133
+00:15:37,480 --> 00:15:39,000
+infinity diverges
+
+134
+00:15:45,290 --> 00:15:48,990
+لأنه لو كانت convergent فالمفروض limit الحد اللوني
+
+135
+00:15:48,990 --> 00:15:55,090
+يساوي سفر وهذا مش موجود تمام؟ ان انا شوفت هنا كيف
+
+136
+00:15:55,090 --> 00:16:00,710
+أخدنا ال .. او استخدمنا ال in term test لإثبات ال
+
+137
+00:16:00,710 --> 00:16:05,150
+divergence مثال
+
+138
+00:16:05,150 --> 00:16:05,630
+تاني
+
+139
+00:16:14,400 --> 00:16:23,600
+show that ال series اللي متولدة من ال sequence
+
+140
+00:16:23,600 --> 00:16:29,840
+سالب واحد to end اللي
+
+141
+00:16:29,840 --> 00:16:37,100
+هي أول حد هيكون واحد بعدين سالب واحد بعدين واحد
+
+142
+00:16:37,100 --> 00:16:43,030
+بعدين سالب واحد و هكذاshow that this series
+
+143
+00:16:43,030 --> 00:16:55,610
+diverges تعالى
+
+144
+00:16:55,610 --> 00:16:59,510
+نشوف ال sequence of partial sums ناخد ال sequence
+
+145
+00:16:59,510 --> 00:17:03,070
+of partial sums والله ده طلعت ال sequence of
+
+146
+00:17:03,070 --> 00:17:06,810
+partial sums convergent بيكون ال series convergent
+
+147
+00:17:06,810 --> 00:17:10,730
+وال sum تبعها بيساوي ال limitللـ sequence of
+
+148
+00:17:10,730 --> 00:17:14,290
+partial sums مظبوط وإذا طلعت ال sequence of
+
+149
+00:17:14,290 --> 00:17:19,570
+partial sums divergent فال series اللي تابعة إلىها
+
+150
+00:17:19,570 --> 00:17:24,650
+بتكون divergent لذا هنا هنفحص هل ال sequence of
+
+151
+00:17:24,650 --> 00:17:29,410
+partial sums divergent ولا convergent طيب تعالوا
+
+152
+00:17:29,410 --> 00:17:34,750
+نفحص Sn ال N في partial sums هذا summation من K
+
+153
+00:17:34,750 --> 00:17:47,900
+equal 0 to Nلا سالب واحد plus k هذا xk فهذا هيطلع
+
+154
+00:17:47,900 --> 00:17:57,300
+الو قيمتين الو هيطلع قيمتين
+
+155
+00:17:57,300 --> 00:18:05,300
+لو
+
+156
+00:18:05,300 --> 00:18:14,590
+كان in evenأو n odd لو كانت n even يعني نفر بأن n
+
+157
+00:18:14,590 --> 00:18:22,470
+بساوي سفر إذن هيطلع واحد، n بساوي اتنين، هيطلع
+
+158
+00:18:22,470 --> 00:18:29,470
+اندي تلت حدود، مجموعهم برضه واحد، و هكذا، إذن
+
+159
+00:18:29,470 --> 00:18:35,160
+المجموع هذا هيطلع واحدإذا كانت ال in even أما لو
+
+160
+00:18:35,160 --> 00:18:40,680
+كانت ال in odd يعني لو أخدت in بالساوية واحدلو
+
+161
+00:18:40,680 --> 00:18:46,040
+أخدت in بالساوية واحد فهيطلع عندي حدين مجموعهم سفر
+
+162
+00:18:46,040 --> 00:18:50,960
+لو أخدت in بالساوية تلاتة هيطلع مجموع أول أربع
+
+163
+00:18:50,960 --> 00:18:56,220
+حدود برضه بيطلع مجموعهم سفر و هكذا اذا سفر ال in
+
+164
+00:18:56,220 --> 00:19:00,160
+partial sums بساوية سفر اذا كانت in odd واحد اذا
+
+165
+00:19:00,160 --> 00:19:05,650
+كانت in even وبالتالي thereforetherefore a
+
+166
+00:19:05,650 --> 00:19:11,110
+sequence of partial sums is an alternating series
+
+167
+00:19:11,110 --> 00:19:16,170
+يعني حدودها متدبدة بين صفر و واحد أو أول حد واحد
+
+168
+00:19:16,170 --> 00:19:23,710
+التاني صفر واحد صفر و هكذا which
+
+169
+00:19:23,710 --> 00:19:29,710
+is divergent هذه أمرها ما كانت convergent
+
+170
+00:19:33,470 --> 00:19:39,270
+الـ sequence هذه divergent عارفين ليه؟ لأن هي ال
+
+171
+00:19:39,270 --> 00:19:54,130
+proof الـ subsequence الحدود
+
+172
+00:19:54,130 --> 00:19:58,330
+مثلا الزوجية S2K
+
+173
+00:20:03,520 --> 00:20:08,760
+هي أول حد وهي التاني لإن الحدود الزوجية أصفار كلهم
+
+174
+00:20:08,760 --> 00:20:17,120
+صح؟ تكون بيرجل سفر and ال subsequence التانية اللي
+
+175
+00:20:17,120 --> 00:20:23,400
+حدودها فردية كلهم
+
+176
+00:20:23,400 --> 00:20:30,960
+واحد، ثابت واحد وهدي تكون بيرجل واحد نعم؟
+
+177
+00:20:31,600 --> 00:20:36,180
+وبالتالي إذا مادام في عندي two subsequences واحدة
+
+178
+00:20:36,180 --> 00:20:40,120
+converge لصفر وواحدة converge لواحد وصفر بيسويش
+
+179
+00:20:40,120 --> 00:20:46,380
+الواحد وصفر لا يساوي الواحد معناته by the
+
+180
+00:20:46,380 --> 00:20:50,400
+divergence criterion ال sequence هذه is divergent
+
+181
+00:20:51,890 --> 00:20:56,830
+لأن لو كانت ال sequence هذي convergent فمفروض أي
+
+182
+00:20:56,830 --> 00:21:00,250
+subsequence تكون convergent لنفس ال limit يعني
+
+183
+00:21:00,250 --> 00:21:03,630
+المفروض دول ال limits تكون متساويين و هذا مستحيل
+
+184
+00:21:03,630 --> 00:21:07,130
+إذا
+
+185
+00:21:07,130 --> 00:21:11,490
+ال sequence of partial sums هنا divergent وبالتالي
+
+186
+00:21:11,490 --> 00:21:17,130
+نكمل الحل هنا و بالتالي therefore the series
+
+187
+00:21:21,790 --> 00:21:27,290
+المتولدة من الـ sequence سالب واحد أس N اللي هي ال
+
+188
+00:21:27,290 --> 00:21:31,970
+series هذه is
+
+189
+00:21:31,970 --> 00:21:38,510
+divergent okay
+
+190
+00:21:38,510 --> 00:21:43,210
+تمام وبالتالي هيك ممكن أثبتنا هذا مثال على
+
+191
+00:21:43,210 --> 00:21:46,430
+divergence series إذن عشان أثبت ال series
+
+192
+00:21:46,430 --> 00:21:51,260
+divergent أو convergent بحاول أفحصالـ sequence of
+
+193
+00:21:51,260 --> 00:21:55,120
+partial sums و أفحص هل الـ sequence of partial
+
+194
+00:21:55,120 --> 00:22:01,880
+sums convergent ولا divergent ناخد
+
+195
+00:22:01,880 --> 00:22:06,760
+كمان مثال مختلف من نوع آخر مثال رقم 3
+
+196
+00:22:21,550 --> 00:22:29,550
+Discuss the convergence of
+
+197
+00:22:29,550 --> 00:22:33,110
+the
+
+198
+00:22:33,110 --> 00:22:43,010
+series sigma from N equals one to infinity لواحد
+
+199
+00:22:43,010 --> 00:22:45,130
+على N في N زايد واحد
+
+200
+00:22:53,320 --> 00:22:59,340
+لما يكون الحد العام لل series xn عبارة عن كسر زي
+
+201
+00:22:59,340 --> 00:23:04,260
+هذا و الكسر اللي زي هذا ممكن تجزئته إلى كسور جزئية
+
+202
+00:23:04,260 --> 00:23:10,220
+فبنعمل كسور جزئية الأول و بنجزئ الكسر هذا إلى
+
+203
+00:23:10,220 --> 00:23:16,600
+مجموع كسرين جزئيين اذا by partial fractions او use
+
+204
+00:23:16,600 --> 00:23:22,280
+partial fractions و هذا اتعلمته في تفاضل بقى
+
+205
+00:23:25,060 --> 00:23:30,740
+by partial fractions هي
+
+206
+00:23:30,740 --> 00:23:40,560
+عندي واحد على k في k زائد واحد بساوي a على k زائد
+
+207
+00:23:40,560 --> 00:23:42,920
+b over k plus one
+
+208
+00:23:48,420 --> 00:23:53,360
+الان لتحديد ثوابت A وB نتخلص من الكسور في المعادلة
+
+209
+00:23:53,360 --> 00:23:58,940
+هذه و ذلك بضرب طرفي المعادلة في المقام تبع الطرف
+
+210
+00:23:58,940 --> 00:24:08,530
+اليسار اذا بضرب في K في K زائد واحديطلع عندي واحد
+
+211
+00:24:08,530 --> 00:24:16,450
+بساوي a في k plus one زايد b في k الآن خد k بساوي
+
+212
+00:24:16,450 --> 00:24:22,610
+سفر هذا بيقدر ان a بساوي واحد وخد k بساوي سالب
+
+213
+00:24:22,610 --> 00:24:29,650
+واحد بيقدر ان السالب b بساوي واحد بيقدر ان b ��ساوي
+
+214
+00:24:29,650 --> 00:24:38,450
+سالب واحدإذا طلع أنا عندي واحد على ك في ك زائد
+
+215
+00:24:38,450 --> 00:24:45,170
+واحد بساوي واحد على ك سالب واحد على ك زائد واحد
+
+216
+00:24:45,170 --> 00:24:51,550
+الان now تعالوا نشوف ال inf partial sum أو نبحث ال
+
+217
+00:24:51,550 --> 00:24:55,430
+sequence of partial sums ونبحث هل هي convergent
+
+218
+00:24:55,430 --> 00:25:03,610
+ولا divergentفهي عندي sm بساوي summation من k
+
+219
+00:25:03,610 --> 00:25:13,170
+بساوي واحد إلى n ل xk اللي
+
+220
+00:25:13,170 --> 00:25:19,670
+هو summation من k بساوي واحد إلى n لواحد على k في
+
+221
+00:25:19,670 --> 00:25:27,210
+k زايد واحدوهذا الان باستخدام ال partial fractions
+
+222
+00:25:27,210 --> 00:25:33,810
+summation من k بساوي واحد الى n الى واحد على k
+
+223
+00:25:33,810 --> 00:25:42,790
+سالب واحد على k موجب واحد الان
+
+224
+00:25:42,790 --> 00:25:47,450
+هذا المجموع تعالوا نفرد تعالوا نفرفته let's expand
+
+225
+00:25:47,450 --> 00:25:49,490
+it يعني نفرفته
+
+226
+00:25:53,610 --> 00:25:58,830
+هذا مجموع منتهي في n من الحدود خد k بالساوي واحد
+
+227
+00:25:58,830 --> 00:26:06,930
+بطلع أول حد واحد سالب نص خد k بساوي اتنين بطلع
+
+228
+00:26:06,930 --> 00:26:16,010
+الحد البعد و نص سالب تلت و هكذا إلى الحد الأخير
+
+229
+00:26:16,010 --> 00:26:23,560
+هيكون واحد على n minus واحد على n زاد واحدبنلاحظ
+
+230
+00:26:23,560 --> 00:26:28,920
+أن المجموع هذا telescoping يعني في حدود فيها إزاي
+
+231
+00:26:28,920 --> 00:26:33,280
+تتلاشى مع الحدود اللي بعديها يعني سالب نص لاحظوا
+
+232
+00:26:33,280 --> 00:26:38,640
+بيروح مع موجب نص وسالب تلت هيروح مع موجب تلت في
+
+233
+00:26:38,640 --> 00:26:43,340
+الحد اللي يليه مباشرة وواحد على ان هذا بيروح مع
+
+234
+00:26:43,340 --> 00:26:50,510
+سالب واحد على ان في الحد اللي يصدقه مباشرةفيبقى كل
+
+235
+00:26:50,510 --> 00:26:55,650
+شي بيروح بيظل يبقى عندي واحد negative one over n
+
+236
+00:26:55,650 --> 00:27:01,410
+زايد واحد اذا انا طلع عيني اثبتت ان sn بساوي واحد
+
+237
+00:27:01,410 --> 00:27:06,410
+negative واحد على n زايد واحد الكلام هذا صحيح for
+
+238
+00:27:06,410 --> 00:27:10,480
+every natural number nأخذ قيمة كما نسميها limit of
+
+239
+00:27:10,480 --> 00:27:16,580
+both sides as n tends to infinity نحصل على قيمة Sn
+
+240
+00:27:16,580 --> 00:27:17,980
+كما نسميها limit of both sides as n tends to
+
+241
+00:27:17,980 --> 00:27:18,500
+infinity نحصل على قيمة Sn كما نسميها limit of both
+
+242
+00:27:18,500 --> 00:27:19,140
+sides as n tends to infinity نحصل على قيمة Sn كما
+
+243
+00:27:19,140 --> 00:27:20,040
+نحصل على قيمة Sn كما نسميها limit of both sides as
+
+244
+00:27:20,040 --> 00:27:20,180
+n tends to infinity نحصل على قيمة Sn كما نسميها
+
+245
+00:27:20,180 --> 00:27:22,340
+limit of both sides as n tends to infinity نحصل
+
+246
+00:27:22,340 --> 00:27:24,580
+على قيمة Sn كما نسميها limit of both sides as n
+
+247
+00:27:24,580 --> 00:27:29,920
+tends to infinity نحصل على قيمة Sn كما نسميها
+
+248
+00:27:29,920 --> 00:27:36,040
+limit of both sides as
+
+249
+00:27:36,380 --> 00:27:41,720
+is convergent و ال limit تبعتها بساوي واحد تمام
+
+250
+00:27:41,720 --> 00:27:46,480
+وبالتالي حسب التعريف تبع ال convergence لل
+
+251
+00:27:46,480 --> 00:27:49,680
+infinite series the infinite series اللي احنا
+
+252
+00:27:49,680 --> 00:27:54,320
+عايزين نفحصها اللي هي summation from n equals one
+
+253
+00:27:54,320 --> 00:28:00,200
+to infinity ل one over n في n plus one اشملها
+
+254
+00:28:00,200 --> 00:28:02,260
+converges
+
+255
+00:28:03,720 --> 00:28:10,920
+and ال sum تبعها يعني مجموعها بساوي واحد اللي هو
+
+256
+00:28:10,920 --> 00:28:17,360
+limit لل sequence of partial sums تمام؟
+
+257
+00:28:17,360 --> 00:28:20,800
+إذا هذا النوع من ال series بنسميه telescoping ..
+
+258
+00:28:20,800 --> 00:28:28,140
+telescoping .. telescoping series
+
+259
+00:28:31,710 --> 00:28:36,990
+such type of series is called telescoping series
+
+260
+00:28:36,990 --> 00:28:41,110
+okay تمام واضح
+
+261
+00:28:54,430 --> 00:29:00,810
+طيب هناخد بس نظرية سريعة و يعني مش .. البرهانة مش
+
+262
+00:29:00,810 --> 00:29:10,810
+هياخد الا دقي��ة واحدة theorem Cauchy
+
+263
+00:29:10,810 --> 00:29:17,930
+.. Cauchy criterion for
+
+264
+00:29:17,930 --> 00:29:20,950
+series
+
+265
+00:29:25,660 --> 00:29:31,060
+أحنا أخدنا قبلها كوشي كريتيريا for sequences لأن
+
+266
+00:29:31,060 --> 00:29:37,560
+في كوشي كريتيريا for series فال .. الكوشي كريتيريا
+
+267
+00:29:37,560 --> 00:29:45,840
+for series بتنص على أنه ال series sigma
+
+268
+00:29:45,840 --> 00:29:53,100
+x in converges if
+
+269
+00:29:53,100 --> 00:29:54,500
+and only if
+
+270
+00:29:58,620 --> 00:30:05,760
+لكل ابسلون اكبر من صفر يوجد capital N يعتمد على
+
+271
+00:30:05,760 --> 00:30:13,500
+ابسلون عدد طبيعي بحيث انه لكل M اكبر من N اكبر من
+
+272
+00:30:13,500 --> 00:30:21,360
+او ساوي capital N بطلع absolute SM minus SN اللي
+
+273
+00:30:21,360 --> 00:30:28,830
+هو عبارة عن absolute Xm زائد واحد زائد xn زائد
+
+274
+00:30:28,830 --> 00:30:35,030
+اتنين زائد xm اصغر من اكسمن
+
+275
+00:30:49,160 --> 00:30:55,400
+كمان مرة ال series هذه converges if and only if
+
+276
+00:30:55,400 --> 00:31:00,440
+for every epsilon فيه capital N بحيث لكل M و N
+
+277
+00:31:00,440 --> 00:31:05,140
+أكبر من أو ساوي capital N و M بتكون أكبر من N ال
+
+278
+00:31:05,140 --> 00:31:10,520
+absolute value للفرق هذا أصغر من epsilon طب هذا هو
+
+279
+00:31:10,520 --> 00:31:11,440
+شرط كوشي
+
+280
+00:31:17,000 --> 00:31:24,920
+that is .. that is .. يعني هذا يعني أنه sigma x in
+
+281
+00:31:24,920 --> 00:31:30,640
+converges if and only if ال sequence of partial
+
+282
+00:31:30,640 --> 00:31:34,860
+sums is Cauchy
+
+283
+00:31:34,860 --> 00:31:39,880
+إذا كانت ال sequence of partial sums is Cauchy هذا
+
+284
+00:31:39,880 --> 00:31:45,280
+شرط Cauchy البرهان ينتج من Cauchy criterion for
+
+285
+00:31:45,280 --> 00:31:51,890
+sequencesطيب احنا أخدنا by definition من ال
+
+286
+00:31:51,890 --> 00:31:56,050
+definition تبع ال convergence لل series by
+
+287
+00:31:56,050 --> 00:32:00,910
+definition the series sigma
+
+288
+00:32:00,910 --> 00:32:07,510
+xn converges if and only if the sequence of
+
+289
+00:32:07,510 --> 00:32:13,870
+partial sums اللي
+
+290
+00:32:13,870 --> 00:32:14,950
+هي Sn
+
+291
+00:32:22,440 --> 00:32:33,300
+converges مظبوط؟ by Cauchy criterion
+
+292
+00:32:33,300 --> 00:32:41,990
+for sequences .. for sequences من المتالياتالـ
+
+293
+00:32:41,990 --> 00:32:52,750
+sequence sn converges if and only if sn is cauchy
+
+294
+00:32:56,430 --> 00:33:02,310
+هو بالتالي ال series sigma xn converges if and
+
+295
+00:33:02,310 --> 00:33:06,150
+only if ال sequence Sn converges طيب ما هذي
+
+296
+00:33:06,150 --> 00:33:09,690
+converges if and only if it is Cauchy، إذا ال
+
+297
+00:33:09,690 --> 00:33:14,870
+series sigma xn converges if and only if ال
+
+298
+00:33:14,870 --> 00:33:20,590
+sequence of partial sums is Cauchy، و هذا هو
+
+299
+00:33:20,590 --> 00:33:21,150
+المطلوب
+
+300
+00:33:24,120 --> 00:33:28,920
+طبعا هذا هو شرط كوشي لحظوا SM ال M هنا أكبر من N
+
+301
+00:33:28,920 --> 00:33:39,020
+فلو اتكتبت الحدود فتبعت SM هيكون X1 إلى XM SN ال N
+
+302
+00:33:39,020 --> 00:33:45,740
+أصغر من M فالحدود من X1 إلى XN لما أطرح بيضل عندي
+
+303
+00:33:45,740 --> 00:33:50,260
+كل الحدود المتشابهة بيضل عندي XN زياد واحد XN زياد
+
+304
+00:33:50,260 --> 00:33:51,840
+اتنين إلى XM
+
+305
+00:33:55,430 --> 00:34:02,690
+تمام؟ اذا بنوقف هنا ال .. هذا برهان كوشي criterion
+
+306
+00:34:02,690 --> 00:34:07,190
+for series بنوقف عند النظرية هذه و المرة الجاية ان
+
+307
+00:34:07,190 --> 00:34:14,310
+شاء الله بنكمل هناخد limit comparison test
+
+308
+00:34:21,040 --> 00:34:25,600
+هناك تجارب تجارب تجارب تجارب تجارب تجارب تجارب
+
+309
+00:34:25,600 --> 00:34:27,540
+تجارب تجارب تجارب
+