PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Ejs4dHLsIvo.srt

1
00:00:20,920 --> 00:00:24,640
بسم الله الرحمن الرحيم هنبدأ في المحاضرة هذه

2
00:00:24,640 --> 00:00:29,600
chapter جديد وهو chapter أربعة في الكتاب المقرر

3
00:00:29,600 --> 00:00:35,280
عنوان الـ chapter limits of functions  و هنبدأ أول

4
00:00:35,280 --> 00:00:39,540
section في الـ chapter هذا و برضه عنوان الـ section

5
00:00:39,540 --> 00:00:44,180
الأول هو نفس عنوان الـ chapter limits of functions

6
00:00:44,180 --> 00:00:52,780
فقبل ما نعرف limit of a function بدنا نتعرف على

7
00:00:52,780 --> 00:01:00,060
مصطلح جديد وهو cluster point of a set نقطة تراكم

8
00:01:00,060 --> 00:01:04,780
الـ cluster point أو بعض الكتب بيسموها accumulation 

9
00:01:04,780 --> 00:01:12,120
point و كتب أخرى بيسميها limit point فلو في عندي

10
00:01:12,120 --> 00:01:18,200
set A subset من R set of real numbers و C real

11
00:01:18,200 --> 00:01:23,190
number فالـ real number هذا بنسميه cluster point

12
00:01:23,190 --> 00:01:28,030
للست a if and only if the following condition is

13
00:01:28,030 --> 00:01:33,770
satisfied for every delta عدد موجب نقدر نجد x

14
00:01:33,770 --> 00:01:39,650
ينتمي إلى المجموعة a و الـ x هذه مختلفة عن النقطة c

15
00:01:39,650 --> 00:01:45,330
بحيث ان المسافة بين x و c تكون أصغر من delta هذا

16
00:01:45,330 --> 00:01:49,410
الشرط هذا

17
00:01:49,410 --> 00:01:54,020
الشرط is equivalent to saying بكافئ ان انا اقول

18
00:01:54,020 --> 00:01:59,160
every delta neighborhood every delta neighborhood

19
00:01:59,160 --> 00:02:03,940
لنقطة c اللى هو الفترة المفتوحة اللى مركزها c ونص

20
00:02:03,940 --> 00:02:11,500
قطرة delta every delta neighborhood of c يتقاطع مع

21
00:02:11,500 --> 00:02:18,200
المجموعة a في نقطة واحدة على الأقل x مختلفة عن الـ

22
00:02:18,200 --> 00:02:25,720
c يعني بمعنى أخر بقدر ألاقي في التقاطع هذا نقطة x

23
00:02:25,720 --> 00:02:32,440
يعني التقاطع هذا لا يساوي five okay

24
00:02:32,440 --> 00:02:37,990
كمان مرة النقطة C هذه بتكون cluster point للمجموعة

25
00:02:37,990 --> 00:02:44,370
A إذا أي delta neighborhood للنقطة C بيتقاطع مع

26
00:02:44,370 --> 00:02:52,690
المجموعة A في نقطة X مختلفة عن الـC بس لازم

27
00:02:52,690 --> 00:02:58,060
كل delta neighborhood لـC يتقاطع مع المجموعة A في

28
00:02:58,060 --> 00:03:02,720
نقطة X مختلفة عن الـC طب عشان اثبت ان الـC ليست

29
00:03:02,720 --> 00:03:09,000
cluster point بنفي الشرط هذا يكفي ان اقول there

30
00:03:09,000 --> 00:03:14,520
exist بدل for every delta او every delta

31
00:03:14,520 --> 00:03:18,860
neighborhood يكفى ان اجيب there exists delta

32
00:03:18,860 --> 00:03:24,720
neighborhood واحد ل C و التقاطع هذا بساوي فاي يعني

33
00:03:24,720 --> 00:03:30,540
بحيث ان الـ delta neighborhood لا يتقاطع مع اي

34
00:03:30,540 --> 00:03:39,180
مشيول منها C بالمرة ناخد نظرية الأول الـ definition

35
00:03:39,180 --> 00:03:43,180
هذا بيكافئ النظرية التانية بتقول ان

36
00:03:46,060 --> 00:03:53,140
الـ condition هذا تبع التعريف بكافئ شرط تاني اذا

37
00:03:53,140 --> 00:04:06,140
هنا let A subset من R و C real number C

38
00:04:06,140 --> 00:04:16,740
is a cluster is a cluster point of the set A if and

39
00:04:16,740 --> 00:04:22,400
only if the following condition is satisfied there

40
00:04:22,400 --> 00:04:26,600
exist a

41
00:04:26,600 --> 00:04:38,640
sequence a n contained in A وكل عناصرها مختلفة

42
00:04:38,640 --> 00:04:52,650
عن ال C such that limit a n بساوي c اذا هذا الشرط

43
00:04:52,650 --> 00:04:59,310
بكافئ الشرط اللي هناك الشرط هذا او اللي بكافه

44
00:04:59,310 --> 00:05:06,290
فلبرهان ذلك اذا كمان مرة انا عشان اثبت ان c is a

45
00:05:06,290 --> 00:05:10,610
cluster point للمجموع يعني يكفي ان اثبت ان يوجد

46
00:05:12,310 --> 00:05:17,950
سيكوانس في المجموعة A وكل على سرها مختلفة لاتساوي

47
00:05:17,950 --> 00:05:23,370
C وانهيتها بالساوي لعدد C فتعالى نبرهن النظرية هذه

48
00:05:23,370 --> 00:05:28,850
نبرهن الـ only if part الأول فالـ only if part يعني

49
00:05:28,850 --> 00:05:36,910
الـ assumption assume ان C is a cluster is

50
00:05:36,910 --> 00:05:39,230
a cluster point

51
00:05:40,700 --> 00:05:49,140
of a then

52
00:05:49,140 --> 00:06:00,080
for every n ينتمي إلى n لكل عدد طبيعي n take delta

53
00:06:00,080 --> 00:06:08,110
بساوي واحد على n عدد موجب بما انه C is a cluster

54
00:06:08,110 --> 00:06:11,230
point ل A then by definition of a cluster point

55
00:06:11,230 --> 00:06:14,410
then

56
00:06:14,410 --> 00:06:23,770
by definition there exist a N ينتمي إلى A مختلف عن

57
00:06:23,770 --> 00:06:28,210
ال C such that

58
00:06:28,210 --> 00:06:31,070
ال ..

59
00:06:34,910 --> 00:06:42,950
الـ AN هذا ينتمي للـ Delta neighborhood للـ

60
00:06:42,950 --> 00:06:56,090
C وطبعا ينتمي إلى A negative C هعمل

61
00:06:56,090 --> 00:07:02,810
التعريف هذالما انه الـ C is a cluster point لأي

62
00:07:02,810 --> 00:07:09,410
Delta أكبر من السفر خد Delta بساوي واحد على N لكل

63
00:07:09,410 --> 00:07:13,290
عدد طبيعي N هذا بيطلع عدد موجب لذلك لـ Delta بساوي

64
00:07:13,290 --> 00:07:18,470
واحد على N بقدر ألاجني عنصر X اللي هو ساميه An

65
00:07:18,470 --> 00:07:24,470
يعتمد على الـ Delta وهذا العنصر موجود في A مختلف

66
00:07:24,470 --> 00:07:30,570
عن الـ Cو أيضا موجود في الـ delta neighborhood لـ

67
00:07:30,570 --> 00:07:38,370
C طيب

68
00:07:38,370 --> 00:07:42,610
إذا و

69
00:07:42,610 --> 00:07:51,230
واضح هنا من الـ AN ينتمي ل الـ

70
00:07:51,230 --> 00:07:56,150
AN ينتمي ل DN الـ

71
00:07:56,150 --> 00:08:01,970
delta أو الـ 1 على N neighborhood للـ C اللي هو C

72
00:08:01,970 --> 00:08:09,750
سالب واحد على N C موجب واحد على N وهذا صحيح لكل N

73
00:08:09,750 --> 00:08:16,270
بيقدي انه بيقدي

74
00:08:16,270 --> 00:08:20,890
انه C سالم A N أو

75
00:08:24,630 --> 00:08:31,950
absolute a n سالب c أصغر من واحد على n وهذا صحيح

76
00:08:31,950 --> 00:08:36,370
لكل n هزبوت؟

77
00:08:36,370 --> 00:08:40,750
هاي a n أكبر من c سالب واحد على n أصغر من c زاد

78
00:08:40,750 --> 00:08:45,310
واحد على n هذا معناه absolute a n minus c أصغر من

79
00:08:45,310 --> 00:08:48,790
واحد على n لكل n هذا صحيح لكل n

80
00:08:52,390 --> 00:08:56,990
إذا هاي فيها sequence إذا هاي أثبتنا مايوجد

81
00:08:56,990 --> 00:09:09,350
sequence إذا am is a sequence in a وكل حدودها

82
00:09:09,350 --> 00:09:16,610
مختلفة عن ال c and by theorem اتنين اربعة الشهيرة

83
00:09:18,560 --> 00:09:21,560
أنا عندي الـ absolute value هذي أصغر من واحد على N

84
00:09:21,560 --> 00:09:26,480
لكل N limit واحد على N بالساوي سفر خد C بالساوي

85
00:09:26,480 --> 00:09:33,760
واحد عدن موجب لأن بيطلع limit الـ sequence A N as N

86
00:09:33,760 --> 00:09:39,300
tends to infinity بساوي S C إذن هين أثبتنا إنه لو

87
00:09:39,300 --> 00:09:44,920
كانت C cluster point فأثبتنا إنه يوجد sequence A N

88
00:09:44,920 --> 00:09:51,380
في المجموعة A وكل عناصرها مختلفة عن الـ C ونهايتها

89
00:09:51,380 --> 00:09:59,080
بساوي الـ C إذا هذا بثبت جزء الـ only if part الآن

90
00:09:59,080 --> 00:10:04,220
لثبت العكس لإثبات

91
00:10:04,220 --> 00:10:04,920
العكس

92
00:10:21,910 --> 00:10:28,090
assume أن الشرط اللي حصل بتتحقق

93
00:10:28,090 --> 00:10:41,250
assume الـ condition اللي حصل holds يعني بتتحقق to

94
00:10:41,250 --> 00:10:48,890
show c is a cluster point of

95
00:10:48,890 --> 00:11:03,360
a let delta أكبر من السفر is given since

96
00:11:03,360 --> 00:11:15,160
by star من الشرط star لدي limit لان بساوي c و

97
00:11:15,160 --> 00:11:19,260
delta أكبر من السفر is given إذا من تعريف delta

98
00:11:19,260 --> 00:11:25,560
capital N للـ limit لأي delta أو إبسلون عدد موجب

99
00:11:25,560 --> 00:11:31,320
there exist n يعتمد على delta natural number دحيث

100
00:11:31,320 --> 00:11:40,140
أنه لكل n أكبر من أو سوى capital N هذا بيقدي أنه

101
00:11:40,140 --> 00:11:47,000
absolute a n minus c أصغر من delta

102
00:11:50,570 --> 00:11:57,870
إذاً هذا بيقدّي إنه هيعندي am

103
00:12:02,990 --> 00:12:08,910
طبعا هدف قلبي أن a n أصغر

104
00:12:08,910 --> 00:12:15,370
من c زائد delta أكبر من c negative delta يعني a n

105
00:12:15,370 --> 00:12:22,630
تنتمي إلى v delta of c وتنتمي طبعا من الـ condition

106
00:12:22,630 --> 00:12:32,780
star تنتمي إلى a difference c وهذا صحيح لكل n أكبر

107
00:12:32,780 --> 00:12:38,660
من أو ساوي capital N إذا هاي كل delta neighborhood

108
00:12:38,660 --> 00:12:50,240
ل C بيتقاطع مع A في عدد لانهائي من النقاط المختلفة

109
00:12:50,240 --> 00:12:57,420
عن ال C وبالتالي الشرط تبع الـ definition هيتحققو

110
00:12:57,420 --> 00:13:05,660
then by definition .. by definition C is a cluster

111
00:13:05,660 --> 00:13:14,000
point of the set A و هدا بكمل الـ F part and

112
00:13:14,000 --> 00:13:19,140
therefore completes the proof of the theorem okay

113
00:13:19,140 --> 00:13:20,000
تمام؟

114
00:13:25,140 --> 00:13:27,540
Fine خلّينا ناخد بعض الأمثلة

115
00:13:49,070 --> 00:14:05,410
تشير إلى أن كل X ينتمي إلى مقفل مقفل مقفل

116
00:14:05,410 --> 00:14:16,770
مقفل

117
00:14:23,120 --> 00:14:29,460
of set A1 بساوي الفترة

118
00:14:29,460 --> 00:14:40,780
المفتوحة من سفر إلى واحد من

119
00:14:40,780 --> 00:14:45,460
هنا يثبت إن كل X الفترة المغلقة من سفر إلى واحد هي

120
00:14:45,460 --> 00:14:50,480
cluster point للفترة المفتوحة من سفر إلى واحد

121
00:15:01,360 --> 00:15:09,580
ففي الأول بدي أثبت أنه كل نقطة داخل الفترة المغلقة

122
00:15:09,580 --> 00:15:14,460
هي cluster point للمجموع عادي و بعدين في المرحلة

123
00:15:14,460 --> 00:15:19,840
التانية حتة من نقاط الأطراف اللي هي 01 تطلع أيضا

124
00:15:19,840 --> 00:15:26,620
cluster point لست A1 فنشوف مع بعض ان الـ claim 1

125
00:15:34,010 --> 00:15:45,190
بنثبت ان كل X ينتمي للفترة المفتوحة is a cluster

126
00:15:45,190 --> 00:15:50,410
point of

127
00:15:50,410 --> 00:15:58,730
set A1 اللي هي الفترة المفتوحة نفسها لبرهان ذلك to

128
00:15:58,730 --> 00:16:09,390
see this البرهن ذلك fix ينتمي

129
00:16:09,390 --> 00:16:17,470
للفترة المفتوحة ونثبت ان cluster point للمجموعة a1

130
00:16:17,470 --> 00:16:29,940
اذا fix x and let delta أكبر من السفر be given نبدأ

131
00:16:29,940 --> 00:16:35,900
بالـ delta أكبر من 0 ونثبت أن كل delta

132
00:16:35,900 --> 00:16:42,820
neighborhood للنقطة X بيتقاطع مع المجموعة A1 في

133
00:16:42,820 --> 00:16:49,400
نقطة مختلفة عن X وبالتالي الـ X هتطلع cluster

134
00:16:49,400 --> 00:16:55,960
point حسب التعريف طيب نحن

135
00:16:55,960 --> 00:16:56,920
لدينا اتصالين

136
00:17:01,270 --> 00:17:07,090
two cases حالتين الحالة

137
00:17:07,090 --> 00:17:10,270
الأولى ان الـ delta هذه اللى انا اخترتها العشوائية

138
00:17:10,270 --> 00:17:17,310
الـ delta اللى انا اخترتها ممكن تكون اصغر من ..

139
00:17:17,310 --> 00:17:23,590
طبعا موجبة هي ممكن تكون اصغر من واحد ف in this

140
00:17:23,590 --> 00:17:27,930
case in 

141
00:17:27,930 --> 00:17:30,050
in this case في هذه الحالة

142
00:17:35,000 --> 00:17:49,440
لدينا in this

143
00:17:49,440 --> 00:17:58,680
case  الـ delta neighborhood لـ X اللي هو X minus

144
00:17:58,680 --> 00:18:06,650
Delta X  موجب Delta بنلاحظ أنه تقاطع مع المجموعة A

145
00:18:06,650 --> 00:18:14,050
اللي هي الفترة اللي مفتوحة من صفر لواحد بيطلع

146
00:18:14,050 --> 00:18:23,080
واحد من الخيارات التالية: إما الفترة المفتوحة x

147
00:18:23,080 --> 00:18:28,820
negative delta x positive delta أو الفترة المفتوحة

148
00:18:28,820 --> 00:18:36,420
من صفر إلى x positive delta أو الفترة 

149
00:18:36,420 --> 00:18:40,340
المفتوحة من x negative delta إلى واحد أو الفترة

150
00:18:40,340 --> 00:18:42,920
المفتوحة من صفر إلى واحد

151
00:18:48,470 --> 00:18:55,310
حسب قيمة الـ Delta يعني أنا

152
00:18:55,310 --> 00:19:03,030
عندي الفترة المفتوحة من 0 إلى 1 هذه الفترة 

153
00:19:03,030 --> 00:19:12,350
المفتوحة تبعتي اللي هي A1 هذا الـ set A1 وأنا عندي 

154
00:19:12,350 --> 00:19:20,080
الـ Delta عدد موجب أصغر من 1 والـ X هذه تنتمي .. الـ

155
00:19:20,080 --> 00:19:27,300
X هذه نقطة ما في الفترة

156
00:19:27,300 --> 00:19:38,320
fixed number بين 0 و 1 الآن

157
00:19:38,320 --> 00:19:41,160
أنا عندي الـ delta neighborhood لـ X هذا هو ممكن 

158
00:19:41,160 --> 00:19:46,510
يكون زي هيك شكله وبالتالي تقاطع تقاطعه مع الفترة 

159
00:19:46,510 --> 00:19:53,310
المفتوحة هو نفسه، صح؟ إذا كان زي هيك أو ممكن يكون

160
00:19:53,310 --> 00:19:57,250
الـ delta neighborhood للـ X يكون شكله زي هيك

161
00:19:57,250 --> 00:20:01,430
وبالتالي

162
00:20:01,430 --> 00:20:06,150
تقاطعه مع الفترة .. مع الـ set واحد، هيكون الفترة

163
00:20:06,150 --> 00:20:10,830
المفتوحة من صفر إلى X زي الـ Delta اللي هي الثانية

164
00:20:10,830 --> 00:20:17,310
يعني صح وممكن يكون الـ

165
00:20:17,310 --> 00:20:21,810
delta neighborhood الـ X تكون قريبة من الواحد زي

166
00:20:21,810 --> 00:20:26,410
هيك والـ delta neighborhood حوالين الـ X يكون زي

167
00:20:26,410 --> 00:20:34,190
هيك شكله هاي x negative delta x positive delta 

168
00:20:35,200 --> 00:20:39,440
وبالتالي تقاطع مع الفترة من صفر إلى واحد هيعطيني

169
00:20:39,440 --> 00:20:44,700
الجزء هذا اللي هو فترة مفتوحة من X سالب Delta إلى

170
00:20:44,700 --> 00:20:48,360
واحد وممكن

171
00:20:48,360 --> 00:20:56,170
الـ Delta neighborhood الـ X تكون قريبة من المنتصف والـ

172
00:20:56,170 --> 00:20:59,250
Delta تكون قريبة من الواحد قيمتها أصغر من واحد لكن

173
00:20:59,250 --> 00:21:04,250
قريبة من واحد وبالتالي الـ Delta neighborhood للـ X

174
00:21:04,250 --> 00:21:09,150
يكون زي هيك وبالتالي تقاطعه مع المجموعة A واحد

175
00:21:09,150 --> 00:21:12,970
بيطلع المجموعة A واحد نفسها، صحيح؟ إن هذه كل

176
00:21:12,970 --> 00:21:20,590
الاحتمالات وفي كل الأحوال التقاطع هذا بيطلع infinite

177
00:21:20,590 --> 00:21:22,090
is infinite

178
00:21:25,670 --> 00:21:29,890
تقاطع المجموعتين هذول بيطلع فترة والفترة أي فترة 

179
00:21:29,890 --> 00:21:33,330
مفتوحة الـ cardinal number تبعها بيساوي الـ cardinal

180
00:21:33,330 --> 00:21:36,310
number تبع الـ real numbers اللي هي uncountable set

181
00:21:36,310 --> 00:21:41,270
وبالتالي infinite إذا التقاطع هذا infinite وهذا

182
00:21:41,270 --> 00:21:46,410
بيقود إلى أن الـ V

183
00:21:46,410 --> 00:21:57,490
Delta of X تقاطع الـ a1 منزوعة منها الـ X هيطلع 

184
00:21:57,490 --> 00:22:03,390
بالتأكيد لا يساوي في لأن التقاطع هذا بيطلع

185
00:22:03,390 --> 00:22:07,630
infinite وبالتالي هيك بيكون أثبتنا أن كل Delta

186
00:22:07,630 --> 00:22:13,370
neighborhood لـ X بيتقاطع مع a1 في نقطة مختلفة عن X

187
00:22:23,000 --> 00:22:31,840
الحالة الثانية case two أن الـ Delta هذه تكون أكبر

188
00:22:31,840 --> 00:22:36,670
من أو يساوي واحد برضه في الحالة دي بنأتي نثبت أنه كل

189
00:22:36,670 --> 00:22:41,170
delta neighborhood لـ X بتقاطع مع A واحد في نقطة

190
00:22:41,170 --> 00:22:49,730
مختلفة عن الـ X نشوف مع بعض in this case in

191
00:22:49,730 --> 00:22:57,310
this case الـ X negative أو الـ negative delta X

192
00:22:57,310 --> 00:23:01,310
موجب delta هذا اللي هو الـ delta neighborhood لـ X

193
00:23:01,310 --> 00:23:06,620
تقاطع المجموعة A1 اللي هي الفترة المفتوحة من 0 إلى

194
00:23:06,620 --> 00:23:17,040
1 هيطلع بيساوي الفترة المفتوحة من 0 إلى 1 لأن الـ

195
00:23:17,040 --> 00:23:24,780
Delta هنا أكبر من أو يساوي الواحد يعني هي عندي من 0

196
00:23:24,780 --> 00:23:36,180
إلى 1 هذه اللي هي المجموعة A وهي X نقطة ما داخل

197
00:23:36,180 --> 00:23:42,300
الفترة فلما يكون X زائد الـ Delta لما تكون الـ Delta

198
00:23:42,300 --> 00:23:49,160
تبعتي أكبر من واحد فـ X زائد الـ Delta هتكون هنا و X

199
00:23:49,160 --> 00:23:55,880
سالب الـ Delta بالتأكيد هتكون هنا وبالتالي الـ Delta

200
00:23:55,880 --> 00:24:01,640
neighborhood لـ X هيحتوي المجموعة A واحد وبالتالي

201
00:24:01,640 --> 00:24:06,760
تقاطع معاها تطلع المجموعة A واحد وهذا is infinite

202
00:24:06,760 --> 00:24:11,680
وبالتالي

203
00:24:11,680 --> 00:24:18,060
إذا الـ delta neighborhood هذا تقاطع الفترة

204
00:24:18,060 --> 00:24:20,460
المفتوحة minus X

205
00:24:23,650 --> 00:24:29,910
لا أكيد بتأكيد لا يساوي five okay تمام إذا في 

206
00:24:29,910 --> 00:24:34,470
الحالتين الـ condition تبع الـ cluster point تتحقق

207
00:24:34,470 --> 00:24:44,730
therefore by definition X is cluster point is 

208
00:24:44,730 --> 00:24:50,780
cluster point of الـ set A واحد اللي هي الفترة 

209
00:24:50,780 --> 00:24:56,280
المفتوحة من صفر إلى واحد طبعاً إذا هذا بيثبت الـ

210
00:24:56,280 --> 00:25:09,140
claim الأولاني طبعاً الآن هأثبت claim ثاني الـ claim

211
00:25:09,140 --> 00:25:09,880
الثاني

212
00:25:16,660 --> 00:25:25,180
النقطة 0 is a cluster point 

213
00:25:25,180 --> 00:25:36,460
of set A1 الفترة مفتوحة من 0 إلى 1 لإثبات

214
00:25:36,460 --> 00:25:37,020
ذلك

215
00:25:47,440 --> 00:25:55,860
to see this let نبدأ let Delta أكبر من الصفر be 

216
00:25:55,860 --> 00:26:03,120
given فهنا

217
00:26:03,120 --> 00:26:11,380
لأي Delta الـ Delta

218
00:26:11,380 --> 00:26:16,140
neighborhood للصفر اللي هو هيطلع

219
00:26:18,570 --> 00:26:28,630
سالب Delta زائد صفر وموجب Delta زائد صفر فتقاطع هذا مع 

220
00:26:28,630 --> 00:26:35,150
الفترة المفتوحة من صفر إلى واحد بيساوي

221
00:26:36,900 --> 00:26:44,360
في خيارين إما الفترة المفتوحة من صفر إلى Delta إذا

222
00:26:44,360 --> 00:26:52,680
كانت الـ Delta أصغر من واحد طبعاً أكبر من صفر وبساوي

223
00:26:52,680 --> 00:26:57,600
الفترة المفتوحة من صفر إلى واحد إذا كان الـ Delta

224
00:26:57,600 --> 00:27:04,220
أكبر من أو يساوي الواحد زي ما شوفنا في برهان الكلام

225
00:27:04,220 --> 00:27:12,240
الأولاني مظبوط هاي الاندي الفترة من صفر إلى واحد

226
00:27:12,240 --> 00:27:19,520
هذه المجموعة A1 وهي 

227
00:27:19,520 --> 00:27:27,700
X نقطة .. لأ هاي الصفر بالدفتر أن الصفر cluster

228
00:27:27,700 --> 00:27:34,660
point للمجموعة A1 فأخذت أي Delta أكبر من الصفر الآن 

229
00:27:34,660 --> 00:27:38,260
الـ Delta هذه لو كانت الـ Delta هذه إذا هي سالب 

230
00:27:38,260 --> 00:27:42,720
Delta موجب Delta لو كانت الـ Delta هذه أصغر من واحد

231
00:27:42,720 --> 00:27:47,120
فتقاطع الـ Delta neighborhood مع الـ A واحد هيكون

232
00:27:47,120 --> 00:27:51,140
الجزء هذا اللي هو الفترة المفتوحة من صفر لـ Delta 

233
00:27:51,140 --> 00:27:57,100
صح؟ ولو كانت الـ Delta هذه أكبر من واحد لو كانت الـ

234
00:27:57,100 --> 00:27:58,940
Delta هذه أكبر من واحد

235
00:28:01,680 --> 00:28:11,060
فالـ .. فـ Delta هتكون هاي Delta أكبر من واحد وسالب

236
00:28:11,060 --> 00:28:15,120
Delta هتكون هنا وبالتالي الـ Delta neighborhood هذا 

237
00:28:15,120 --> 00:28:24,220
تقاطع مع A واحد بيساوي A واحد مظبوط صح؟ تمام؟ وفي 

238
00:28:24,220 --> 00:28:27,840
كل الأحوال التقاطع هذا بيطلع infinite is infinite

239
00:28:27,840 --> 00:28:31,000
infinite set لأنه open interval

240
00:28:38,080 --> 00:28:46,040
تقاطع A-A1 هو

241
00:28:46,040 --> 00:28:53,940
نفس تقاطع A1

242
00:29:00,690 --> 00:29:03,830
إذن هي اللي أثبتت إن كل Delta neighborhood للصفر

243
00:29:03,830 --> 00:29:09,590
يتقاطع مع المجموعة A1 في نقطة مختلفة عن الصفر في

244
00:29:09,590 --> 00:29:14,070
حقيقة الأمر في حقيقة الأمر كل Delta neighborhood 

245
00:29:14,070 --> 00:29:19,250
للصفر بتقاطع مع A1 في عدد لانهائي من النقاط اللي

246
00:29:19,250 --> 00:29:24,350
موجودة في A1 ومختلفة عن الصفر إذن by definition

247
00:29:24,350 --> 00:29:27,610
zero is a cluster

248
00:29:30,120 --> 00:29:36,540
point of A1 اللي هي الفترة مفتوحة من صفر لواحد

249
00:29:36,540 --> 00:29:43,720
يبقى لإكمال البرهان يمكن أن يظهر الكليم الثالث

250
00:29:43,720 --> 00:29:55,560
باقي أُثبت أن الواحد is a cluster point of set A1

251
00:29:55,560 --> 00:30:02,300
اللي هي الفترة المفتوحة من صفر لواحد وبرهان الـ claim

252
00:30:02,300 --> 00:30:07,360
الثالث زي .. similar لبرهان الـ claim الثالث إذا 

253
00:30:07,360 --> 00:30:19,280
هنا the proof its proof is similar to

254
00:30:19,280 --> 00:30:20,260
claim to

255
00:30:23,650 --> 00:30:27,990
فحاسيبكم أنتم تكتبوا وبالتالي هيك بيكون أثبتنا

256
00:30:27,990 --> 00:30:32,250
أن كل نقطة في الفترة المغلقة سواء كانت نقطة الطرف

257
00:30:32,250 --> 00:30:37,570
اللي هي 0 أو 1 أو نقطة داخلية interior point نقطة 

258
00:30:37,570 --> 00:30:41,290
داخل الفترة المغلقة كل النقاط هذه بتطلع cluster

259
00:30:41,290 --> 00:30:47,970
points لمجموعة A1 اللي هي الفترة المفتوحة تمام؟

260
00:30:52,450 --> 00:31:05,790
بالمثل ممكن إثبات أن 

261
00:31:05,790 --> 00:31:09,250
كل نقطة في الفترة المغلقة is cluster point

262
00:31:09,250 --> 00:31:16,990
للمجموعة A2 اللي هي الفترة المغلقة من 0 إلى 1

263
00:31:16,990 --> 00:31:20,390
والبرهان

264
00:31:20,390 --> 00:31:28,770
هو نفسه بنعمل three claims وفي كل برهان هيكون الفرق

265
00:31:28,770 --> 00:31:35,430
أنه عندي أنا A بدل A1 هيكون A2 فهتكون اللي هو

266
00:31:35,430 --> 00:31:41,370
الفترات هذه فترة مغلقة من صفر إلى واحد وبالتالي

267
00:31:41,370 --> 00:31:47,910
بيصير هذه الفترة من هنا مغلقة عند الصفر ومغلقة عند

268
00:31:47,910 --> 00:31:54,070
الصفر ومغلقة عند الواحد وهكذا نفس البرهان نسخ لصق

269
00:31:54,070 --> 00:31:59,790
مع التعديلات البسيطة أن A واحد الآن أصبحت بدل ما

270
00:31:59,790 --> 00:32:03,270
كانت فترة مفتوحة من صفر لواحد أصبحت فترة مغلقة

271
00:32:03,270 --> 00:32:06,830
وبالتالي في التقاطعات الحسابات نغلق اللي هو

272
00:32:06,830 --> 00:32:13,590
الفترات and الحاجة المطلوبة okay وبالتالي نفس

273
00:32:13,590 --> 00:32:18,910
البرهان will go through هيمشي بالتمام والكمال Okay

274
00:32:18,910 --> 00:32:24,270
تمام؟ إذا هذا البرهان مشابه لبرهان المثال الأول

275
00:32:24,270 --> 00:32:34,010
نأخذ كمان مثال آخر مثال

276
00:32:34,010 --> 00:32:43,770
ثالث every every

277
00:32:43,770 --> 00:32:44,310
finite

278
00:32:46,970 --> 00:32:59,350
set A contained in R has no

279
00:32:59,350 --> 00:33:03,070
cluster

280
00:33:03,070 --> 00:33:09,730
points 

281
00:33:09,730 --> 00:33:19,970
كل finite set ما لهاش ولا cluster point والبرهان سهل

282
00:33:19,970 --> 00:33:24,950
proof say

283
00:33:24,950 --> 00:33:35,030
دعنا الـ set a نسمي عناصرها a1, a2 إلى an هدف مش

284
00:33:35,030 --> 00:33:39,950
هدف finite set إذا عناصرهم ممكن أعملهم list a1, a2

285
00:33:39,950 --> 00:33:47,530
إلى an و ممكن أعملهم order أرتبهم حسب المؤشر تبعهم

286
00:33:47,530 --> 00:33:57,450
يعني a1 أصغر من a2 أصغر من a3 أصغر من أصغر من an

287
00:33:57,450 --> 00:34:03,570
ممكن نعمل كلمة من هذا ولا لأ ممكن by the ordering

288
00:34:03,570 --> 00:34:04,370
principle

289
00:34:11,360 --> 00:34:20,780
أو باستخدام الـ ordering تبع الـ real numbers إذا

290
00:34:20,780 --> 00:34:30,880
هي عندي الـ set A تبعتي هي خط العداد وهي A1 وهي A2 وهي

291
00:34:30,880 --> 00:34:36,160
A3 مش شرط المسافة بين كل أنصار والتاني تكون

292
00:34:36,160 --> 00:34:46,230
متساوية وهكذا إلى أخر عنصر AN ف

293
00:34:46,230 --> 00:34:49,910
fix X

294
00:34:49,910 --> 00:35:01,190
ينتمي إلى R و بدي أثبت أن claim X is not a cluster

295
00:35:01,190 --> 00:35:01,910
point

296
00:35:09,790 --> 00:35:12,850
بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point

297
00:35:12,850 --> 00:35:16,770
بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point

298
00:35:16,770 --> 00:35:16,790
بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point

299
00:35:16,790 --> 00:35:17,530
بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point

300
00:35:17,530 --> 00:35:17,750
بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point

301
00:35:17,750 --> 00:35:18,430
بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point

302
00:35:18,430 --> 00:35:19,070
بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point

303
00:35:19,070 --> 00:35:19,690
بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point

304
00:35:19,690 --> 00:35:25,170
بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point

305
00:35:25,170 --> 00:35:28,870
بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point

306
00:35:28,870 --> 00:35:33,950
بالتالي المجم

307
00:35:37,690 --> 00:35:44,410
إما X تنتمي إلى A أو X تنتمي إلى الـ complement

308
00:35:44,410 --> 00:35:50,530
يعني لا تنتمي إلى A صح؟

309
00:35:50,530 --> 00:35:59,870
ففي الحالة الأولى case واحد أثر من X تنتمي إلى A

310
00:35:59,870 --> 00:36:03,970
وبالدفع تثبت إن X ليست cluster point

311
00:36:10,180 --> 00:36:18,560
say x بساوي a m for some m أكبر من أو ساوي واحد

312
00:36:18,560 --> 00:36:24,180
أصغر من أو ساوي مش هذا الـ x موجود في a و a على

313
00:36:24,180 --> 00:36:29,460
سرها a واحد إلى a n إذا هذا الـ x هو a m for some m

314
00:36:29,460 --> 00:36:36,300
بين واحد و n طيب let

315
00:36:37,980 --> 00:36:48,860
delta بساوي نص المسافة الـ minimum المسافة

316
00:36:48,860 --> 00:37:04,760
بين am minus am minus واحد وam زائد واحد minus am

317
00:37:11,460 --> 00:37:21,160
يعني هاي الـ X هاي الـ M هاي AM وهاي AM زاد واحد

318
00:37:21,160 --> 00:37:30,960
والأنصر اللي جاب لها AM minus واحد احنا قلنا الـ X

319
00:37:30,960 --> 00:37:39,850
سبعتي الـ X سبعتي هي الـ AM الآن باخد المسافة هذه

320
00:37:39,850 --> 00:37:46,030
اللي هي بين a m زي دول اللي هي المسافة هذه و باخد

321
00:37:46,030 --> 00:37:51,150
المسافة هذه بين a m و a m سالب واحد لازم واحدة

322
00:37:51,150 --> 00:37:55,730
تكون أصغر من أو يساوي التانية باخدها الـ minimum الـ

323
00:37:55,730 --> 00:37:57,730
minimum .. الـ minimum بين المسافتين .. الأصغر بين

324
00:37:57,730 --> 00:38:02,650
المسافتين هدول و باخد نصها و باخد نصها بسميها

325
00:38:02,650 --> 00:38:08,720
delta فنص .. لو قلنا الأصغر لو قلنا مثلا الأصغر

326
00:38:08,720 --> 00:38:15,400
اللي هي هذه فنص الدلتا هذا هي فإذا الـ delta هتكون

327
00:38:15,400 --> 00:38:21,040
المسافة هذه و بكوّن delta neighborhood حوالين الـ X

328
00:38:21,040 --> 00:38:29,720
الآن الـ delta neighborhood هذا then verify

329
00:38:29,720 --> 00:38:34,860
ممكنكم تتحققوا verify that

330
00:38:37,340 --> 00:38:43,600
الـ Delta neighborhood V Delta ل A M اللي هي الـ X

331
00:38:43,600 --> 00:38:46,760
تقاطع

332
00:38:46,760 --> 00:38:55,280
الـ set A فاي منزوعة منها A M هيطلع بساوي الفاي

333
00:38:55,280 --> 00:39:01,980
مافيش تقاطع بينهم وبالتالي therefore by definition

334
00:39:04,480 --> 00:39:13,200
ام اكس بساوي ام is not a

335
00:39:13,200 --> 00:39:22,360
cluster point of set A لأن عشان تكون ما تكونيش

336
00:39:22,360 --> 00:39:28,040
cluster point لمجموعة A لازم أثبت إنه يوجد there

337
00:39:28,040 --> 00:39:35,840
exist delta neighborhood للـ X تبعت اللي هي AM بحيث

338
00:39:35,840 --> 00:39:42,980
إنه الـ delta neighborhood هذا ما يتقطعش مع الـ set A في

339
00:39:42,980 --> 00:39:50,440
أي نقطة مختلفة عن النقطة X وهذا حصل Okay تمام إذا

340
00:39:50,440 --> 00:39:56,140
هذا في حالة لما الـ X تكون موجودة في A الحالة

341
00:39:56,140 --> 00:40:03,340
التانية ان الـ case 2 case

342
00:40:03,340 --> 00:40:13,040
2 ان الـ X لا تنتمي الـ الـ set A ففي الحالة هذه

343
00:40:14,910 --> 00:40:20,590
معناته x مابتساويش ولا واحد من العناصر هذه فالحالة

344
00:40:20,590 --> 00:40:26,690
هذه ممكن أجزيها إلى تلت حالات الحالة

345
00:40:26,690 --> 00:40:32,750
الأولى ان الـ x تبعتي تكون أصغر من a واحد وبالتالي

346
00:40:32,750 --> 00:40:37,010
واضح ان المسافة بين X و A واحد كبيرة وباخد نص

347
00:40:37,010 --> 00:40:43,930
المسافة دلتا إذا هيوجد دلتا نبرود ل X ومابتقطعش

348
00:40:43,930 --> 00:40:47,650
مع المجموعة A بالمرة وبالتالي X is not cluster

349
00:40:47,650 --> 00:40:54,250
point ممكن الحالة التانية أن X تكون أكبر من الـ AM

350
00:40:54,250 --> 00:40:59,470
برضه باخد المسافة دي بجيبها و باخد نصها على انه

351
00:40:59,470 --> 00:41:03,670
Delta و بكون Delta neighborhood حوالين الـ X هذا الـ

352
00:41:03,670 --> 00:41:06,530
Delta neighborhood واضح انه مابتقطعش مع الـ set A

353
00:41:06,530 --> 00:41:11,910
بالمرة وبالتالي إذا X في الحالة دي ليست cluster

354
00:41:11,910 --> 00:41:20,190
point الحالة التالتة ان X تكون واقعة بين عنصرين من

355
00:41:20,190 --> 00:41:25,170
عناصر الـ set فباخد اللي هو المسافة الأصغر من

356
00:41:25,170 --> 00:41:29,310
المسافتين هدول و هي تكون هادي و باخد نصها delta و

357
00:41:29,310 --> 00:41:32,890
بكون delta neighborhood حواليها هذا الـ delta

358
00:41:32,890 --> 00:41:36,510
neighborhood بتقطعش مع المجموعة هاد المرة وبالتالي

359
00:41:36,510 --> 00:41:38,990
حسب التعريف x ليست cluster point

360
00:41:43,100 --> 00:41:46,360
ما احنا قلنا إذا كانت X تنتمي لأيه هي برهانة MA لا

361
00:41:46,360 --> 00:41:52,640
تنتمي لأ تنتمي اه ليش قدامها بين تنتمي و لا تنتمي

362
00:41:52,640 --> 00:41:58,420
ما هي الـ X ما تنتميش لأيه فممكن تكون بين عنصرين من

363
00:41:58,420 --> 00:42:03,360
عنصرهم هي تنتمي لـ R ما تنتميش لأيه فممكن تكون

364
00:42:03,360 --> 00:42:09,640
موجودة بين A2 و A3 صح أو بين A1 و A2 أو بين A3 أو

365
00:42:09,640 --> 00:42:16,530
A و هكذا أو ممكن تكون الـ X على يمين الـ AN أو حالة

366
00:42:16,530 --> 00:42:20,190
تالتة X تكون على يسار الـ A واحد وشوفنا في كل

367
00:42:20,190 --> 00:42:24,310
الحالات هذه التلاتة أنه بقدر ألاقي delta

368
00:42:24,310 --> 00:42:27,990
neighborhood حوالين الـ X لا يتقاطع مع المجموعة A

369
00:42:27,990 --> 00:42:32,330
بالمرة وبالتالي X ليست cluster point إذا الكلام

370
00:42:32,330 --> 00:42:37,110
هذا واضح حاولوا تكتبوه بطريقة يعني منطقية okay

371
00:42:37,110 --> 00:42:37,810
تمام؟

372
00:42:42,120 --> 00:42:46,900
أنا متخيلة الـ A عبارة عن set دائر مثلا أنا هيك

373
00:42:46,900 --> 00:42:50,340
متخيلة و أنه مثلا الـ cluster point هي عبارة عن

374
00:42:50,340 --> 00:42:54,820
نقطة .. لأ الـ A ماتتخيليش الـ A عند الـ set الـ A هي

375
00:42:54,820 --> 00:43:01,140
جزء من الأعداد الحقيقية subset من R و R خط لازم

376
00:43:01,140 --> 00:43:04,200
يعني تتخيل الحاجات زمان على الـ interior point و الـ

377
00:43:04,200 --> 00:43:08,260
boundary هذا في الـ topology حاجة تانية هي زي ات

378
00:43:08,260 --> 00:43:11,140
شبهها يعني ممكن نفهمها بهذا الطريقة بس ممكن اه

379
00:43:11,140 --> 00:43:13,860
ممكن بس احنا هنا على الـ real line يعني خليني احنا

380
00:43:13,860 --> 00:43:18,820
نتقيد بالـ sets اللي موجودة على الـ real line أما هو

381
00:43:18,820 --> 00:43:24,080
طبعا في تعني من الكلام هذا في حاجات أعم و فرغات

382
00:43:24,080 --> 00:43:28,550
أعم من الـ .. الـ real number اللي هو الـ topological

383
00:43:28,550 --> 00:43:36,030
spaces و هذا موضوع طبعا متشعب و بده يعني تدرس الـ

384
00:43:36,030 --> 00:43:40,530
topology عشان تفهم كل شيء okay فى أي أسئلة تاني؟

385
00:43:40,530 --> 00:43:44,430
okay لنكتفي بهذا القدر و إن شاء الله بنكمل

386
00:43:44,430 --> 00:43:52,670
المحاضرة الجاية الموضوع و بنخش بتعريف الـ limit للـ

387
00:43:52,670 --> 00:43:53,110
functions