Add files using upload-large-folder tool

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/6FDcUXR9Pqo_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1648 @@
+1
+00:00:20,870 --> 00:00:25,910
+المرة اللى فاتت او في المحاضرة للصادفة عرفنا ال
+
+2
+00:00:25,910 --> 00:00:31,410
+cluster point و أخدنا أمثلة كيف نجيب ال cluster
+
+3
+00:00:31,410 --> 00:00:39,710
+points لمجموعة معينة و وجفنا عند المثال التالت
+
+4
+00:00:59,030 --> 00:01:05,110
+المثال التالت show that
+
+5
+00:01:05,110 --> 00:01:12,070
+zero is the only cluster
+
+6
+00:01:12,070 --> 00:01:18,290
+point of
+
+7
+00:01:18,290 --> 00:01:23,570
+the set A7
+
+8
+00:01:26,690 --> 00:01:31,870
+كل واحد على N حيث و N that's a number دكتور هذا
+
+9
+00:01:31,870 --> 00:01:37,210
+مثال تاني أخدناها ده؟ لأ لأ اللي أخدناه اللي هو ال
+
+10
+00:01:37,210 --> 00:01:48,030
+.. هناخدها هناخدها هناخدها ف .. هنا هنا .. هنا
+
+11
+00:01:48,030 --> 00:01:55,250
+هنا اتنين
+
+12
+00:01:59,360 --> 00:02:11,580
+إن Zero is a cluster point تلت
+
+13
+00:02:11,580 --> 00:02:22,720
+Delta أكبر من السفل Be given by Archimedean
+
+14
+00:02:22,720 --> 00:02:25,880
+property
+
+15
+00:02:30,960 --> 00:02:40,920
+يوجد capital N ينتمي إلى N بحيث انه واحد على N
+
+16
+00:02:40,920 --> 00:02:54,340
+أصغر من نفسه hence
+
+17
+00:03:01,430 --> 00:03:09,270
+الدلتا نيبر هو zero لو
+
+18
+00:03:09,270 --> 00:03:25,690
+أخدت xN هو واحد على ن فهذا ينتمي إلى
+
+19
+00:03:25,690 --> 00:03:39,580
+المجموعة Aوانت ليه لا ال delta number هون ل ..
+
+20
+00:03:39,580 --> 00:03:44,040
+او ال x هذا المفروض delta ال delta number هو ده
+
+21
+00:03:44,040 --> 00:03:47,860
+اسمه
+
+22
+00:03:47,860 --> 00:03:56,940
+أسوأ؟ إذن
+
+23
+00:03:56,940 --> 00:03:58,460
+هذا لا أي سؤال خالد
+
+24
+00:04:06,200 --> 00:04:10,700
+الدلتا نبقى رهود للسفر اللي هي الفترة المفتوحة من
+
+25
+00:04:10,700 --> 00:04:16,100
+سالب دلتا إلى دلتا
+
+26
+00:04:16,100 --> 00:04:21,960
+فهي عندي واحد على N أصغر من دلتا وطبعا أكبر من سفر
+
+27
+00:04:24,160 --> 00:04:27,620
+فواحد على أن ينتمي للـDelta neighborhood للسفر
+
+28
+00:04:27,620 --> 00:04:32,400
+وواحد على أن ينتمي للمجموعة A وبالتالي يجب أن نكون
+
+29
+00:04:32,400 --> 00:04:38,580
+أثبتنا أنه لأي Delta أكبر من السفر أو أي Delta
+
+30
+00:04:38,580 --> 00:04:44,680
+neighborhood للسفر يتقاطع مع A في نقطة مختلفة عن
+
+31
+00:04:44,680 --> 00:04:49,000
+السفر ال
+
+32
+00:04:49,000 --> 00:04:56,810
+X انها جلدها تساوي سفرلاتسار السفر وبالتالي إذا
+
+33
+00:04:56,810 --> 00:05:05,470
+هذا بثبت السفر is a cluster point of
+
+34
+00:05:05,470 --> 00:05:12,310
+الست إذا هذا بثبت ال claim الآن ليه مايكون فيه
+
+35
+00:05:12,310 --> 00:05:14,130
+cluster points أخرى؟
+
+36
+00:05:30,490 --> 00:05:41,150
+إذا كانت X لا تساوي سفر، فهي ليست مجموعة من A
+
+37
+00:05:41,150 --> 00:05:46,390
+فحاسيبكم
+
+38
+00:05:46,390 --> 00:05:47,630
+أنتم تكتبوا البرهان
+
+39
+00:05:50,290 --> 00:06:02,390
+هي سفر وهي واحد وهي نص وهي تلت وهي واحد على N وهي
+
+40
+00:06:02,390 --> 00:06:05,390
+واحد على N زائد واحد وهكذا
+
+41
+00:06:16,430 --> 00:06:25,930
+فهنا تاندي two cases case one ان x تنتمي الى a و
+
+42
+00:06:25,930 --> 00:06:34,690
+الحلقة التانية case two ان x لا تنتمي الى a ال x
+
+43
+00:06:34,690 --> 00:06:39,530
+دي مستويش السفر احنا already اثبتنا ان السفر
+
+44
+00:06:39,530 --> 00:06:43,850
+cluster pointطيب افرض X مستويش سفر إذا X ممكن
+
+45
+00:06:43,850 --> 00:06:48,170
+تساوي واحد أو نص أو تلت أو واحد على N for some N
+
+46
+00:06:48,170 --> 00:06:53,250
+صح؟ ممكن ماتساويش ولا عنصر ممكن ماتكونش تم تمل أيه
+
+47
+00:06:53,250 --> 00:06:58,070
+فلو كانت ال X واحد من العناصر هدول واحد من العناصر
+
+48
+00:06:58,070 --> 00:07:04,630
+الست فبقدر ألاقي أن يوجد بقدر ألاقي delta
+
+49
+00:07:04,630 --> 00:07:08,990
+neighborhood للعنصر مثلا التلت بقدر ألاقي delta
+
+50
+00:07:08,990 --> 00:07:09,490
+neighborhood
+
+51
+00:07:13,860 --> 00:07:19,840
+الأنصر اللي بعد هذا هيكون ربع فباخد المسافة الأصغر
+
+52
+00:07:19,840 --> 00:07:26,560
+بين تلت ربع تلت و نص و باخد نص المسافة ديلتا فبصير
+
+53
+00:07:26,560 --> 00:07:30,920
+عند هنا ديلتا نبرهود للتلت و بتقاطعش مع المجموعة A
+
+54
+00:07:30,920 --> 00:07:38,120
+بالمرة أو في نقطة مختلفة عن التلتوبالتالي لو كانت
+
+55
+00:07:38,120 --> 00:07:44,880
+ال X موجودة في A زي التلت مثلا فال X ليست cluster
+
+56
+00:07:44,880 --> 00:07:49,860
+point الآن ال X لا تنتمي ل أيه؟ ال X لا تنتمي ل
+
+57
+00:07:49,860 --> 00:07:55,920
+أيه؟ معناته هي عنصر هنا زي هذا X أزرق من سفر أو X
+
+58
+00:07:55,920 --> 00:08:01,540
+ممكن تكون جاية بين عنصرين فباخد المسافة بين X و
+
+59
+00:08:01,540 --> 00:08:04,840
+أقرب عنصر إلها من اليمين و أقرب عنصر إلها من
+
+60
+00:08:04,840 --> 00:08:11,140
+اليسارو باخد نص المسافة ديلتا او ابسلان و بكوّن
+
+61
+00:08:11,140 --> 00:08:17,480
+دلتا نبرود ل X هذا دلتا نبرود مش هيتقاطع مع ال 6 و
+
+62
+00:08:17,480 --> 00:08:20,700
+بالتالي النقطة هذه عمرها ما بتكون cluster point
+
+63
+00:08:20,700 --> 00:08:26,020
+ممكن كمان النقطة هذه ال X مش موجودة فيها ممكن تكون
+
+64
+00:08:26,020 --> 00:08:31,260
+على شمال السفر او على يمين الواحدفلو كانت على يمين
+
+65
+00:08:31,260 --> 00:08:35,560
+الواحد خد نص المسافة هي دلتا إذا هي دلتا نبقى
+
+66
+00:08:35,560 --> 00:08:39,420
+روحود ل X مابتخطعش معاه بالمرة بالتالي X مابت
+
+67
+00:08:39,420 --> 00:08:44,440
+cluster هنا لو كانت X أصغر من سفر فخد نص المسافة
+
+68
+00:08:44,440 --> 00:08:48,960
+بين X و 0 على إنها دلتاوبالتالي كونة delta
+
+69
+00:08:48,960 --> 00:08:52,460
+neighborhood ل X هذا delta neighborhood بتقاطعش مع
+
+70
+00:08:52,460 --> 00:08:56,240
+A بالمرة وبالتالي X ليست cluster point إذا في كل
+
+71
+00:08:56,240 --> 00:09:01,860
+الأحوال X ليست cluster point سواء كانت في A أو مش
+
+72
+00:09:01,860 --> 00:09:05,420
+موجودة إذا كانت X مختلفة عن الصفر فليست cluster
+
+73
+00:09:05,420 --> 00:09:14,930
+point okay إذا zero is the only نقطة الوحيدةمافيش
+
+74
+00:09:14,930 --> 00:09:18,990
+نقطة غيرها بتكون cluster point بالمثل ممكن نثبت
+
+75
+00:09:18,990 --> 00:09:29,650
+مثال أخر f
+
+76
+00:09:29,650 --> 00:09:35,710
+i بساوي ال
+
+77
+00:09:35,710 --> 00:09:39,830
+unit technological interval and
+
+78
+00:09:51,210 --> 00:10:02,710
+IQ بساوي I تقاطع ال rational numbers then
+
+79
+00:10:02,710 --> 00:10:13,170
+every x تنهي ل I is a cluster point a cluster
+
+80
+00:10:13,170 --> 00:10:15,250
+point of IQ
+
+81
+00:10:18,800 --> 00:10:26,900
+إذا I هي الفترة المغلقة من صفر لواحد IQ هي كل
+
+82
+00:10:26,900 --> 00:10:31,800
+الأعداد المسبية الموجودة في الفترة المغلقة من صفر
+
+83
+00:10:31,800 --> 00:10:38,340
+لواحد ممكن إثبات إن كل X في الفترة المغلقة I هي
+
+84
+00:10:38,340 --> 00:10:45,940
+cluster point للمجموعة IQ وذلك باستخدام ال density
+
+85
+00:10:45,940 --> 00:10:52,060
+theoremproof use
+
+86
+00:10:52,060 --> 00:11:06,500
+the density theorem فحاسيبكم
+
+87
+00:11:06,500 --> 00:11:15,920
+انتوا تكتبوا البرهان خدي أي x في I واخدتي انه أي
+
+88
+00:11:17,780 --> 00:11:22,140
+أعملكم برهان هكذا بدون أن أكتب أي شيء هذه الفترة I
+
+89
+00:11:22,140 --> 00:11:29,720
+من صفر إلى واحد هذه الفترة المغلقة من ملفة أن كل X
+
+90
+00:11:29,720 --> 00:11:35,800
+كل X فيها هو cluster point لمجموعة الأعداد المسمية
+
+91
+00:11:35,800 --> 00:11:42,520
+في I ففي عندي تلت حالات MX هتكون أكبر من صفر أصغر
+
+92
+00:11:42,520 --> 00:11:48,060
+من واحد يعني نقطة داخليها ليست نقطة طرفو طبعا هي
+
+93
+00:11:48,060 --> 00:11:52,460
+لو أخدت أي delta عدد موجب و كوّنت delta
+
+94
+00:11:52,460 --> 00:11:57,380
+neighborhood لل X فال delta neighborhood هذا
+
+95
+00:11:57,380 --> 00:12:05,920
+هيتقاطع مع المجموعة A IQ حسب نظرية الكثافة أي فترة
+
+96
+00:12:05,920 --> 00:12:11,520
+مفتوحة زي هذه تحتوي rational number صح؟وبالتالي اي
+
+97
+00:12:11,520 --> 00:12:16,600
+delta neighborhood ل ال X هيتقاطع مع المجموعة IQ
+
+98
+00:12:16,600 --> 00:12:24,160
+في نقطة R مختلفة عن ال X حسب نظرية الكثارة
+
+99
+00:12:24,160 --> 00:12:28,040
+وبالتالي حسب التعريف اذا ال X هذه اللي هي نقطة
+
+100
+00:12:28,040 --> 00:12:33,700
+داخلية is a cluster point لمن؟
+
+101
+00:12:33,700 --> 00:12:40,260
+للمجموعة IQلو كانت ال .. ال .. ال x هي نقطة الطرف
+
+102
+00:12:40,260 --> 00:12:46,960
+الحلقة التانية لما x تكون هي سفر لما x تكون بساوي
+
+103
+00:12:46,960 --> 00:12:52,160
+سفر وخدي أي delta neighborhood لأن هاي سالب delta
+
+104
+00:12:52,160 --> 00:12:56,560
+موجب delta فالفترة
+
+105
+00:12:56,560 --> 00:13:01,200
+هذه تتقطع يعني
+
+106
+00:13:01,200 --> 00:13:07,230
+هاي delta هادي delta و هادي نقطة سفرالان الفترة
+
+107
+00:13:07,230 --> 00:13:12,870
+هذه بقدر الاقي فيها rational number حسب مباريك
+
+108
+00:13:12,870 --> 00:13:16,970
+الكفافة موجود بين سفر و دلتا و ال rational number
+
+109
+00:13:16,970 --> 00:13:23,550
+هذا موجود في ال unit closed intervalوبالتالي كل
+
+110
+00:13:23,550 --> 00:13:28,450
+delta neighborhood للصفر يتقاطع
+
+111
+00:13:28,450 --> 00:13:33,670
+مع المجموع IQ في نقطة R مختلفة عن الصفر وبالتالي
+
+112
+00:13:33,670 --> 00:13:37,910
+الصفر هو cluster point بالمثل ممكن تباتل بالواحد
+
+113
+00:13:37,910 --> 00:13:41,970
+cluster point لأن اي delta neighborhood للواحد
+
+114
+00:13:43,720 --> 00:13:48,560
+هيحتوي حسب نظرية الكثافة لو هذا كان واحد ثالث دلتا
+
+115
+00:13:48,560 --> 00:13:54,510
+في النقطة هذه وهذه واحد فبنقدر نلاقي Rrational
+
+116
+00:13:54,510 --> 00:13:58,650
+number حسب مجرد كدفة بين واحد سالب دلتا وواحد
+
+117
+00:13:58,650 --> 00:14:03,710
+وبالتالي ال delta neighborhood هذا المركزه واحد و
+
+118
+00:14:03,710 --> 00:14:08,490
+نصف خطره دلتا هيتقاطع مع ال IQ في نقطة مختلفة عن
+
+119
+00:14:08,490 --> 00:14:13,250
+الواحد وبالتالي واحد cluster point الان لان هسيبكم
+
+120
+00:14:13,250 --> 00:14:15,650
+تكتبوا البرهان بالتفصيل
+
+121
+00:14:19,850 --> 00:14:25,250
+Okay إذاً هيك يعني عندنا عدة أمثلة على ال cluster
+
+122
+00:14:25,250 --> 00:14:32,490
+points نرجع لمفهوم ال limit ل ال function اللي هو
+
+123
+00:14:32,490 --> 00:14:47,650
+كان عنوان ال section تبعنا اذا
+
+124
+00:14:47,650 --> 00:14:48,750
+هنا definition
+
+125
+00:14:55,450 --> 00:15:07,150
+دع الـ f يكون مفعولًا من a إلى r مفعولًا
+
+126
+00:15:07,150 --> 00:15:19,710
+في أين a مجزرة من r و c مجزرة من الـ
+
+127
+00:15:19,710 --> 00:15:22,090
+set A
+
+128
+00:15:26,660 --> 00:15:35,260
+المعنى number L هو مقال
+
+129
+00:15:35,260 --> 00:15:39,440
+للمعنى
+
+130
+00:15:39,440 --> 00:15:44,440
+f at
+
+131
+00:15:44,440 --> 00:15:59,020
+xبس you see إذا تحقق الشرط التالي for any epsilon
+
+132
+00:15:59,020 --> 00:16:05,340
+أكبر من سفر يوجد delta تعتمد على epsilon عدد موجد
+
+133
+00:16:05,340 --> 00:16:14,690
+بحيث أنه لكل x ينتمي إلى aو المسافة بين .. و ال X
+
+134
+00:16:14,690 --> 00:16:23,090
+هذا يختلف عن ال C و المسافة بينها و بين ال C أصغر
+
+135
+00:16:23,090 --> 00:16:30,030
+من Delta لازم هذا يضمن أن absolute F of X minus L
+
+136
+00:16:30,030 --> 00:16:41,010
+أصغر من Delta إذن هذا شرط .. هذا شرط أو بسميهأنا
+
+137
+00:16:41,010 --> 00:16:49,470
+بسميه ابسلون دلتا definition ابسلون دلتا
+
+138
+00:16:49,470 --> 00:16:54,310
+definition of limit لل
+
+139
+00:16:54,310 --> 00:16:58,550
+limit of a functionالـ Limit لـ function f of x
+
+140
+00:16:58,550 --> 00:17:03,590
+بالساوي أو L هي عبارة عن Limit لـ function f of x
+
+141
+00:17:03,590 --> 00:17:09,970
+and x بالساوي C إذا لو أعطتوني أي إبسلون عدد موجب
+
+142
+00:17:09,970 --> 00:17:15,570
+لازم أنا أرد عليها Delta عدد موجب آخر يعتمد على
+
+143
+00:17:15,570 --> 00:17:20,750
+إبسلون بحيث أنه لكل X في المجموعة A اللي هو ال
+
+144
+00:17:20,750 --> 00:17:27,300
+domain تبع ال functionو X هذه مختلفة لا تساوي C
+
+145
+00:17:27,300 --> 00:17:33,360
+يعني المتباين هذه معناها X لا تساوي Cإذاً لكل x في
+
+146
+00:17:33,360 --> 00:17:38,200
+a مختلفة عن الـc والمسافة بينها وبين الـc أصغر من
+
+147
+00:17:38,200 --> 00:17:42,580
+دلتا لازم تطلع المسافة بين f of x و L أصغر من
+
+148
+00:17:42,580 --> 00:17:47,220
+إبسلون هذا الكلام اتحقق لكل إبسلون أكبر من الصفر
+
+149
+00:17:47,220 --> 00:17:51,640
+فبنقول إن العدد L is a limit of the function f عند
+
+150
+00:17:51,640 --> 00:17:52,360
+النقطة c
+
+151
+00:17:59,170 --> 00:18:07,710
+من هذا التعريف بينتج على طول اه طيب in this case
+
+152
+00:18:07,710 --> 00:18:13,930
+in this case we
+
+153
+00:18:13,930 --> 00:18:26,600
+say انه if converges if convergesto the number L
+
+154
+00:18:26,600 --> 00:18:39,520
+at X بساوي C and we write ونكتب الحالة هذه limit ل
+
+155
+00:18:39,520 --> 00:18:46,940
+F of X لما X تقول إلى C بساوي L أو ممكن نكتب limit
+
+156
+00:18:46,940 --> 00:18:54,260
+F as X tends to C بساوي L أو ممكن نكتب
+
+157
+00:19:01,220 --> 00:19:11,260
+أو ممكن نكتب f of x tends to L as x tends to c كل
+
+158
+00:19:11,260 --> 00:19:16,360
+هدول معناهم أن العدد L limit لل function f and x
+
+159
+00:19:16,360 --> 00:19:17,360
+سوى c
+
+160
+00:19:22,850 --> 00:19:30,090
+ف limit f of x as x tends to c does not exist،
+
+161
+00:19:30,090 --> 00:19:37,430
+يعني مافيش عدد L زي هذا، we say ان ال function f
+
+162
+00:19:37,430 --> 00:19:45,590
+diverges، diverges at x less than c
+
+163
+00:19:50,120 --> 00:19:55,320
+الان نستطيع ان نثبت ان ال limit لل function هذه
+
+164
+00:19:55,320 --> 00:20:00,040
+النقطة لو كانت موجودة لو كان ال function لها limit
+
+165
+00:20:00,040 --> 00:20:07,120
+فlimit هذه لازم تكون unique ال
+
+166
+00:20:07,120 --> 00:20:19,320
+function if from A to R can have only
+
+167
+00:20:39,940 --> 00:20:44,760
+والبرهان شبه البرهان الـ uniqueness of the limit
+
+168
+00:20:44,760 --> 00:20:50,700
+of a sequence we use epsilon over two argument
+
+169
+00:20:51,860 --> 00:20:54,780
+استنتاج epsilon على اتنين او برهان epsilon على
+
+170
+00:20:54,780 --> 00:21:01,020
+اتنين هنشوف مع بعض هاي برهان تروح left epsilon
+
+171
+00:21:01,020 --> 00:21:04,300
+اكبر
+
+172
+00:21:04,300 --> 00:21:11,720
+من السفر ب given since
+
+173
+00:21:11,720 --> 00:21:19,120
+طب
+
+174
+00:21:19,120 --> 00:21:25,040
+خليني الأوللبرهانة النظرية هذه بدي أفرض أنه فيه
+
+175
+00:21:25,040 --> 00:21:34,640
+two limits assume أن ال limit ل f of x as x tends
+
+176
+00:21:34,640 --> 00:21:44,340
+to c بساوي عدد الواحد and limit أيضا ل f of x as x
+
+177
+00:21:44,340 --> 00:21:50,340
+tends to c بساوي عدد تاني الاتنينوعشان أثبت
+
+178
+00:21:50,340 --> 00:21:57,860
+النظرية لازم أثبت الإدعاء التالي إن ال1 بساوي ال4
+
+179
+00:21:57,860 --> 00:22:07,720
+فلبرهان ذلك let epsilon أكبر من السفر be given
+
+180
+00:22:07,720 --> 00:22:19,500
+since مما أننا فرضين أن ال limitلأف as x tends to
+
+181
+00:22:19,500 --> 00:22:28,420
+c بالساوي الواحد then by definition by epsilon
+
+182
+00:22:28,420 --> 00:22:33,180
+delta definition of limit there exists delta one
+
+183
+00:22:33,180 --> 00:22:39,830
+depends on epsilon positive numberبحيث أنه لو كان
+
+184
+00:22:39,830 --> 00:22:46,150
+x ينتمي إلى a و absolute x minus c أصغر من delta
+
+185
+00:22:46,150 --> 00:22:54,850
+one أكبر من سفر فهذا بيقدي أن absolute f of x
+
+186
+00:22:54,850 --> 00:23:02,530
+minus l one أصغر من epsilon عتنين عشان الاستنتاج
+
+187
+00:23:02,530 --> 00:23:05,510
+هذا واحد
+
+188
+00:23:08,770 --> 00:23:13,810
+Also ايضا احنا
+
+189
+00:23:13,810 --> 00:23:20,610
+فرضين من ال limit لل function f of x as x tends to
+
+190
+00:23:20,610 --> 00:23:27,990
+c بساوي عدد تاني ال اتنين then
+
+191
+00:23:27,990 --> 00:23:35,650
+for the same for same epsilon اكبر من ستة نفس ال
+
+192
+00:23:35,650 --> 00:23:43,140
+epsilon يعنيلنفس الـ Epsilon بما أن limit ل F of X
+
+193
+00:23:43,140 --> 00:23:48,940
+and X بساوية C بساوية L2 نجد Delta 2 تعتمد على
+
+194
+00:23:48,940 --> 00:23:53,940
+Epsilon على 2 وبالتالي على Epsilon عدد موجد بحيث
+
+195
+00:23:53,940 --> 00:24:00,300
+أنه لو كان X ينتمي إلى A و Absolute X minus C أصغر
+
+196
+00:24:00,300 --> 00:24:07,350
+من Delta 2 أكبر من 0فهذا أكيد بيقدّي أنه absolute
+
+197
+00:24:07,350 --> 00:24:14,510
+f of x minus L2 أصغر من epsilon على 2 ال sum ال
+
+198
+00:24:14,510 --> 00:24:22,030
+implication هي D2 الآن بناخد .. بنعرف delta ل L
+
+199
+00:24:22,030 --> 00:24:31,230
+Delta بتساوي ال minimum ل delta واحد و delta اتنين
+
+200
+00:24:32,560 --> 00:24:37,340
+طبعا هذا بيطلع عدد
+
+201
+00:24:37,340 --> 00:24:43,200
+موجب لإن دلتا واحد ودلتا اتنين عدد موجب وكذلك دلتا
+
+202
+00:24:43,200 --> 00:24:46,200
+دي تعتمد على ابسلون لإن دلتا واحد ودلتا اتنين
+
+203
+00:24:46,200 --> 00:24:52,720
+يعتمدوا على ابسلون then
+
+204
+00:24:52,720 --> 00:24:55,860
+by
+
+205
+00:24:55,860 --> 00:25:07,520
+واحد and اتنيننحصل على التالي، لو كان x ينتقل إلى
+
+206
+00:25:07,520 --> 00:25:14,980
+a و absolute x minus c أصغر من delta أكبر من سفر
+
+207
+00:25:14,980 --> 00:25:26,590
+فهذا هيقدر أن absolute L1 minus L2بساوي absolute
+
+208
+00:25:26,590 --> 00:25:39,610
+L1 minus F of X زائد F of X minus L2 إذا انطلعت
+
+209
+00:25:39,610 --> 00:25:46,590
+أنا F of X ورجعتها فكأني ما جيرتش حاجة وهذا بيطلع
+
+210
+00:25:46,590 --> 00:25:50,460
+باستخدام ال triangle inequalityبالترائنجل الـ
+
+211
+00:25:50,460 --> 00:25:54,900
+equality لـ absolute value لمجموعة حاجتين أصغر من
+
+212
+00:25:54,900 --> 00:26:00,920
+لو يساوي absolute L1 minus F of X ذات absolute F
+
+213
+00:26:00,920 --> 00:26:07,980
+of X minus L2 الآن
+
+214
+00:26:07,980 --> 00:26:13,340
+باستخدام ال implication واحد، اللحظة أن الـ delta
+
+215
+00:26:13,340 --> 00:26:17,960
+هي ال minimum لـ delta واحد و delta اتنينوبالتالي
+
+216
+00:26:17,960 --> 00:26:24,340
+الـ delta هذه أصغر من delta واحد فحسب ال
+
+217
+00:26:24,340 --> 00:26:28,600
+implication واحد لما يكون x ينتمي ل a و absolute x
+
+218
+00:26:28,600 --> 00:26:33,800
+minus c أصغر من delta واحد فانا بقدم ال absolute
+
+219
+00:26:33,800 --> 00:26:40,460
+value هذه أصغر من y على 2 كذلك باستخدام ال
+
+220
+00:26:40,460 --> 00:26:45,060
+implication 2أنا عندي الـ delta هذه هي الـ minimum
+
+221
+00:26:45,060 --> 00:26:51,760
+لـ delta 1 و delta 2 وبالتالي أصغر من delta 2 فبال
+
+222
+00:26:51,760 --> 00:26:55,680
+implication 2 بتقول لو كان x ينتمي ل a و absolute
+
+223
+00:26:55,680 --> 00:27:00,320
+x minus c أصغر من delta 2 فال absolute value ل f
+
+224
+00:27:00,320 --> 00:27:07,500
+of x minus l2 less than epsilon over 2 هذا بيساوي
+
+225
+00:27:07,500 --> 00:27:16,080
+epsilonإذا أنا طلع عندي أثبتت أن absolute L1 minus
+
+226
+00:27:16,080 --> 00:27:22,540
+L2 أكبر من أبسلون طبعا أكيد أكبر من أو ساوى سفر و
+
+227
+00:27:22,540 --> 00:27:28,600
+الأن هذا صحيح لكل أبسلون أكبر من السفر لأن one
+
+228
+00:27:28,600 --> 00:27:34,500
+hand هنا ال epsilon was arbitrary givenالإبسلون
+
+229
+00:27:34,500 --> 00:27:38,660
+was arbitrarily يعني نقول since this holds for
+
+230
+00:27:38,660 --> 00:27:43,160
+every إبسلون في لمّة أخدناها في بداية ال course
+
+231
+00:27:43,160 --> 00:27:48,820
+بتقول لو في عندي عدد حفيفي a أكبر من أو ساوي سفر و
+
+232
+00:27:48,820 --> 00:27:53,940
+أصغر من إبسلون فإن إبسلون أكبر من السفر فهذا بيقدي
+
+233
+00:27:53,940 --> 00:28:00,160
+أن a بيساوي سفرأخد ايه هنا الـ absolute value ل L1
+
+234
+00:28:00,160 --> 00:28:09,140
+minus L2 فحسب النمة هذه هيطلع عندى هذا بقدر اللي
+
+235
+00:28:09,140 --> 00:28:15,600
+قدر انه absolute L1 minus L2 بالساوية سفر وبالتالي
+
+236
+00:28:15,600 --> 00:28:24,600
+بطلع عندى L1 بساوية L2 وهو المطلوبإذا أنا فرقت إن
+
+237
+00:28:24,600 --> 00:28:28,860
+الـ function إلها two limits عن نقطة فطلع الـ two
+
+238
+00:28:28,860 --> 00:28:32,680
+limits متساوياتين وبالتالي لو كانت الـ function
+
+239
+00:28:32,680 --> 00:28:37,240
+إلها limit عن نقطة فال limit تطلع وحيدة unique،
+
+240
+00:28:37,240 --> 00:28:43,200
+بقى ده؟ في أي سؤال أو أي سؤال على البرهانة؟
+
+241
+00:29:02,290 --> 00:29:15,590
+ناخد ملاحظة هنا الـ
+
+242
+00:29:15,590 --> 00:29:27,330
+epsilon delta definition of limit of a function f
+
+243
+00:29:27,330 --> 00:29:29,270
+from a to r
+
+244
+00:29:32,670 --> 00:29:40,250
+the inequality المتباينة
+
+245
+00:29:40,250 --> 00:29:48,030
+اللي هي absolute x minus c أكبر من سفر أصغر من
+
+246
+00:29:48,030 --> 00:29:58,470
+دولتان means حاجتين الجزء هذا معناه أن absolute x
+
+247
+00:29:58,470 --> 00:30:09,330
+minus c لا يساوى سفروبالتالي X لا يساوي C إذاً هذا
+
+248
+00:30:09,330 --> 00:30:17,870
+يعني أن X لا تساوي C المتباينة
+
+249
+00:30:17,870 --> 00:30:23,410
+التانية اللي هي absolute X minus C أصغر من Delta
+
+250
+00:30:23,410 --> 00:30:31,170
+هذه بتكافئ أن X minus C أصغر من Delta أكبر من ثالث
+
+251
+00:30:31,170 --> 00:30:39,850
+Delta صح؟وهذه بتكافئ أن X أكبر من C Negative Delta
+
+252
+00:30:39,850 --> 00:30:47,870
+أصغر من C زائد Delta وهذا معناه أن X تنتمي لـ
+
+253
+00:30:47,870 --> 00:30:56,450
+Delta Neverhood لـ C اللي هو الفترة اللي اتروها من
+
+254
+00:30:56,450 --> 00:30:59,410
+C Minus Delta ل C Plus Delta
+
+255
+00:31:06,690 --> 00:31:12,550
+إذا المتباينة دي معناها x لا تساوي c and x تنتمي
+
+256
+00:31:12,550 --> 00:31:18,190
+لل delta اللي برجود لل c اللي هو الفترة المفتوحة
+
+257
+00:31:18,190 --> 00:31:25,170
+من c سالم negative delta إلى c plus delta كذلك
+
+258
+00:31:25,170 --> 00:31:29,570
+المتباينة also
+
+259
+00:31:33,070 --> 00:31:37,490
+الإي نكواليتي المتباينة
+
+260
+00:31:37,490 --> 00:31:43,450
+اللي هي absolute f of x minus L أصغر من إبسلون
+
+261
+00:31:43,450 --> 00:31:46,490
+means
+
+262
+00:31:46,490 --> 00:31:52,830
+لو جينا الحل المتباينة هذه في f of x
+
+263
+00:32:05,840 --> 00:32:11,920
+فهي عندي f of x minus L أصغر من إبسلون أكبر من
+
+264
+00:32:11,920 --> 00:32:17,480
+سالم إبسلون حل المتباينة هذه في f of x اجمع L على
+
+265
+00:32:17,480 --> 00:32:24,880
+كل أطراف فبطلع f of x أصغر من L زاد إبسلون أكبر من
+
+266
+00:32:24,880 --> 00:32:33,940
+L ميجا تل إبسلون فهذا معناه أن f of xbelongs to
+
+267
+00:32:33,940 --> 00:32:38,520
+the epsilon neighborhood للعدد L اللي هو الفترة
+
+268
+00:32:38,520 --> 00:32:44,040
+المفتوحة from L negative epsilon إلى L plus
+
+269
+00:32:44,040 --> 00:32:57,040
+epsilon مظبوط؟ صحيح؟ وبالتالي إن هذا بيقود إلى
+
+270
+00:32:57,040 --> 00:32:59,780
+المتيجة التالية
+
+271
+00:33:06,460 --> 00:33:20,660
+دع الـ F تعمل من A إلى R وC مقاومة مقاومة من A
+
+272
+00:33:20,660 --> 00:33:32,220
+ثم التقالير ممتازة التقالير ممتازة
+
+273
+00:33:36,480 --> 00:33:43,660
+Limit f of x as x tends to c بساوية عدد delta اللي
+
+274
+00:33:43,660 --> 00:33:51,460
+هو تعريف epsilon delta هذا معناه أنه لكل epsilon
+
+275
+00:33:51,460 --> 00:33:57,640
+أكبر من السفر يوجد delta تعتمد على epsilon عدد
+
+276
+00:33:57,640 --> 00:33:58,180
+موجد
+
+277
+00:34:03,020 --> 00:34:10,300
+Such that لو كان x ينتمي ل a و absolute x minus c
+
+278
+00:34:10,300 --> 00:34:16,340
+أصغر من delta أكبر من ستر فهذا لازم يتضمن أن
+
+279
+00:34:16,340 --> 00:34:23,580
+absolute f of x minus L أصغر من أصغر يعني معنى أخر
+
+280
+00:34:23,580 --> 00:34:29,200
+L هي limit لل function f of x هو بتالي تعريف
+
+281
+00:34:29,200 --> 00:34:33,300
+epsilon delta متحقفالان هذا تعريف epsilon دلتا
+
+282
+00:34:33,300 --> 00:34:42,000
+بكاذب ال neverhood definition ال
+
+283
+00:34:42,000 --> 00:34:54,940
+neverhood definition of limit وهو
+
+284
+00:34:54,940 --> 00:34:57,720
+ان for every
+
+285
+00:35:02,320 --> 00:35:06,700
+for every epsilon
+
+286
+00:35:06,700 --> 00:35:12,480
+neighborhood V
+
+287
+00:35:12,480 --> 00:35:22,920
+epsilon of L there exists delta neighborhood V
+
+288
+00:35:22,920 --> 00:35:30,280
+delta of C بحيث
+
+289
+00:35:32,120 --> 00:35:46,700
+إن لو كانت X تنتمي إلى A ومختلفة عن الـC وموجودة
+
+290
+00:35:46,700 --> 00:35:53,200
+أيضًا في الـDelta نبرهود لـC فلازم هذا يقدر إن
+
+291
+00:35:53,200 --> 00:36:01,600
+صورة X لازم تنتمي للـY نبرهود لـA
+
+292
+00:36:06,140 --> 00:36:13,440
+و هذا بالظبط عملنا اخر remark، prove it
+
+293
+00:36:13,440 --> 00:36:19,240
+follows from
+
+294
+00:36:19,240 --> 00:36:32,800
+above remark write
+
+295
+00:36:32,800 --> 00:36:33,380
+it down
+
+296
+00:36:40,630 --> 00:36:44,690
+حاولوا تكتبوا البرهان، البرهان فسرناها هنا
+
+297
+00:36:44,690 --> 00:37:00,590
+واضحناها من ال remark خلينا نشوف خلينا
+
+298
+00:37:00,590 --> 00:37:10,530
+نرسم رسمها في المحور Xنحو الـ y وهي ال origin وخفض
+
+299
+00:37:10,530 --> 00:37:16,270
+انه يوجد function مثل هذه فهذا بالحقيقة function y
+
+300
+00:37:16,270 --> 00:37:23,070
+بسهولة f of x وهي c نقطة في المجال تبع الدالة او
+
+301
+00:37:23,070 --> 00:37:34,330
+حتى لو ماكنتش موجودة c is the cluster point وهي
+
+302
+00:37:34,330 --> 00:37:35,870
+هذا عدد حقيقي
+
+303
+00:37:38,510 --> 00:37:44,570
+فده عدد حقيقي فمعنى
+
+304
+00:37:44,570 --> 00:37:50,770
+ان limit لل F and X بالساوية C بالساوية L معناه
+
+305
+00:37:50,770 --> 00:37:57,210
+لأي أبسلون أكبر من السفر أي لأي أبسلون أكبر من
+
+306
+00:37:57,210 --> 00:38:24,500
+السفر ممكن أناأكول epsilon neighborhood لأي
+
+307
+00:38:24,500 --> 00:38:33,180
+epsilon أكبر من 0 يعني بقدر أكوّنإبسلون نبرهود
+
+308
+00:38:33,180 --> 00:38:37,660
+بإبسلون
+
+309
+00:38:37,660 --> 00:38:44,180
+لإل فلو كان هذا given given إبسلون يعني given
+
+310
+00:38:44,180 --> 00:38:52,920
+إبسلون نبرهود لإل بقدر أجيل
+
+311
+00:38:52,920 --> 00:38:56,200
+أرد عليه
+
+312
+00:39:01,810 --> 00:39:07,770
+الدلتا دلتا neighborhood هذا عبارة عن delta
+
+313
+00:39:07,770 --> 00:39:15,250
+neighborhood ل C إذا انا أخدت اعطتوني إبسلون بقدر
+
+314
+00:39:15,250 --> 00:39:20,570
+أكون إبسلون neighborhood ل L فبقدر أرد عليه ال
+
+315
+00:39:20,570 --> 00:39:24,110
+delta neighborhood ل C في الفترة المفتوحة هذه
+
+316
+00:39:25,810 --> 00:39:31,550
+بالتالي، إذا كان هناك مجتمع إبسلن لـL، فهناك مجتمع
+
+317
+00:39:31,550 --> 00:39:38,230
+Delta لـC أو هناك مجتمع Delta عدد موجب بحيث إن لو
+
+318
+00:39:38,230 --> 00:39:42,930
+كانت الـX موجودة في A، و المتباين هذا تتحقق، طب X
+
+319
+00:39:42,930 --> 00:39:47,550
+موجودة في A، و المتباين هذا تتحقق، معناته X موجودة
+
+320
+00:39:47,550 --> 00:39:51,990
+في A و مختلفة عن الـC، و X موجودة في الـDelta
+
+321
+00:39:51,990 --> 00:39:57,400
+neighborhoodهذه معناته X تنتمي لـA ومختلفة عن الـC
+
+322
+00:39:57,400 --> 00:40:02,480
+و X موجودة في الـDelta نبرهود هذا الشرط هذا بيقدّي
+
+323
+00:40:02,480 --> 00:40:08,760
+أن المتباين هذا تتحقق المتباين هذا تتحقق معناه أن
+
+324
+00:40:08,760 --> 00:40:14,840
+ال F of X صورة X تنتمي للـY نبرهود لـB فهو واضح أن
+
+325
+00:40:14,840 --> 00:40:20,020
+هذا التعريف بيقدّي للتعريف هذا باستخدام تفسير ال
+
+326
+00:40:20,020 --> 00:40:31,340
+remarkو العكس طبعا صحيح .. صحيح okay تمام؟ اذا هذا
+
+327
+00:40:31,340 --> 00:40:36,270
+بنسميه ال .. هذا التعريفبنسمي الـ neighborhood
+
+328
+00:40:36,270 --> 00:40:40,630
+definition للـ limit of a function والتعريف دا أو
+
+329
+00:40:40,630 --> 00:40:45,810
+هذا بنسمي الـ epsilon delta definition
+
+330
+00:40:45,810 --> 00:40:52,930
+of the limit of a function تمام؟ وهذا طبعا زي ال
+
+331
+00:40:52,930 --> 00:40:57,490
+epsilon capital N definition للlimit of a sequence
+
+332
+00:40:57,490 --> 00:41:00,870
+وبعد هي فكرين أعرفنا ال neighborhood definition
+
+333
+00:41:00,870 --> 00:41:05,640
+للlimit of a sequenceهذا يعني يكافئ الكلام اللي
+
+334
+00:41:05,640 --> 00:41:09,720
+هنا إذا الأن في عندي تعريفين لل limit of a
+
+335
+00:41:09,720 --> 00:41:14,060
+function at a point أو at a cluster point الدارش
+
+336
+00:41:14,060 --> 00:41:17,080
+التعريف اللي هنستخدمه أكتر هو epsilon delta
+
+337
+00:41:17,080 --> 00:41:23,580
+definition of the limit أكتر من ال neighborhood
+
+338
+00:41:23,580 --> 00:41:26,920
+definition لكن أنا ممنعش أن أنا في أوقات معينة
+
+339
+00:41:26,920 --> 00:41:30,560
+أستخدم ال neighborhood definition طيب ناخد بعض
+
+340
+00:41:30,560 --> 00:41:38,200
+الأمثلةعلى كيفية إثبات إن الـ limit لـ certain
+
+341
+00:41:38,200 --> 00:41:43,980
+function is a certain number by
+
+342
+00:41:43,980 --> 00:41:49,020
+using epsilon delta definition نشوف مع بعض، وهذا
+
+343
+00:41:49,020 --> 00:41:54,100
+يعني بوازي الكلام اللي عملناه بالنسبة لل limits of
+
+344
+00:41:54,100 --> 00:42:00,240
+sequencesفإذا هنا في الامثلة في كل الامثلة التالية
+
+345
+00:42:00,240 --> 00:42:04,500
+عايزين نستخدم ال definition of أو epsilon delta
+
+346
+00:42:04,500 --> 00:42:07,520
+definition أو ال neighborhood definition لل limit
+
+347
+00:42:07,520 --> 00:42:10,720
+of a function to prove إنه limit عن نقطة محددة
+
+348
+00:42:10,720 --> 00:42:18,760
+بساوي عدد محدد فمثلا إن نثبت إنه limit لدالة ثابت
+
+349
+00:42:18,760 --> 00:42:22,240
+B لما X تقولها C بساوي B
+
+350
+00:42:25,710 --> 00:42:30,410
+فلت هنا عندي فان الـ function تبعتي f of x بالساوي
+
+351
+00:42:30,410 --> 00:42:38,130
+ثابت بي لكل x تنتمي إلى R فان الـ function تبعتي
+
+352
+00:42:38,130 --> 00:42:43,130
+ده اللي ثابتة وبالتالي اذا هنا لثبات ان ال limit
+
+353
+00:42:43,130 --> 00:42:45,290
+تبعتها بالساوي بي
+
+354
+00:42:48,460 --> 00:42:50,340
+أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من
+
+355
+00:42:50,340 --> 00:42:50,500
+أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من
+
+356
+00:42:50,500 --> 00:42:51,200
+السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر
+
+357
+00:42:51,200 --> 00:42:52,980
+أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من
+
+358
+00:42:52,980 --> 00:42:53,500
+السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر
+
+359
+00:42:53,500 --> 00:42:54,560
+أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من
+
+360
+00:42:54,560 --> 00:42:55,760
+السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر
+
+361
+00:42:55,760 --> 00:43:05,680
+أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر من السفر أكبر
+
+362
+00:43:05,680 --> 00:43:06,180
+من السفر
+
+363
+00:43:18,680 --> 00:43:23,060
+تعالى نشوف ال implication ال delta هذه works ولا
+
+364
+00:43:23,060 --> 00:43:27,560
+لأ فانا عندي ان لو كانت ال X تنتمي ل A طبعا ال A
+
+365
+00:43:27,560 --> 00:43:31,700
+مجال الدالة هنا هو كل العدالة الحقيقية و absolute
+
+366
+00:43:31,700 --> 00:43:38,610
+X minus C أكبر من 0 أصغر من Deltaهل هذا بيقدر
+
+367
+00:43:38,610 --> 00:43:43,910
+لأبسليوت f of x minus b أصغر من إبسلون بالتأكيد
+
+368
+00:43:43,910 --> 00:43:48,910
+أنا عندي f of x بالساوي بيه سالب ال limit اللي هي
+
+369
+00:43:48,910 --> 00:43:55,090
+بيه فهذا بيطلع أبسليوت السفر بيطلع سفر والسفر هذا
+
+370
+00:43:55,090 --> 00:44:02,040
+أصغر من أي إبسلون موجةإذا حصلت تعريف Epsilon Delta
+
+371
+00:44:02,040 --> 00:44:06,560
+يعني أثبتت أنه لأي Epsilon أي Delta موجبة works
+
+372
+00:44:06,560 --> 00:44:10,580
+تعمل تعطيل ال implication وبالتالي by definition
+
+373
+00:44:10,580 --> 00:44:20,140
+limit F of X as X tends to C بساوي D طيب
+
+374
+00:44:20,140 --> 00:44:27,120
+ناخد كمان مثال لو أخدت ال identity function
+
+375
+00:44:34,810 --> 00:44:40,290
+بنثبت ان limit ده identity function لما x تقول الى
+
+376
+00:44:40,290 --> 00:44:47,110
+اي عدد حقيقى c بساوي c نستخدم
+
+377
+00:44:47,110 --> 00:44:52,310
+تعريف epsilon delta let epsilon أكبر من السفر be
+
+378
+00:44:52,310 --> 00:44:59,370
+given المرة هذه بدي ارد على ال epsilon هذه ال
+
+379
+00:44:59,370 --> 00:45:05,230
+delta تعتمد عليها هختار ال deltaبساول ابسلون
+
+380
+00:45:05,230 --> 00:45:10,430
+بيختار دلتا بساول ابسلون بيختار دلتا بساول ابسلون
+
+381
+00:45:10,430 --> 00:45:10,530
+بيختار دلتا بساول ابسلون بيختار دلتا بساول ابسلون
+
+382
+00:45:10,530 --> 00:45:12,470
+بيختار دلتا بساول ابسلون بيختار دلتا بساول ابسلون
+
+383
+00:45:12,470 --> 00:45:17,090
+بيختار دلتا بساول ابسلون بيختار دلتا بساول ابسلون
+
+384
+00:45:17,090 --> 00:45:19,890
+بيختار دلتا بساول ابسلون بيختار دلتا بساول ابسلون
+
+385
+00:45:19,890 --> 00:45:23,450
+بيختار دلتا بساول ابسلون بيختار دلتا بساول ابسلون
+
+386
+00:45:23,450 --> 00:45:29,320
+بيختار دلتا بساول ابسلون بيختار دلتهي عبارة عن ال
+
+387
+00:45:29,320 --> 00:45:33,500
+identity function لكل X المجال تبعها كل الأعداد
+
+388
+00:45:33,500 --> 00:45:40,060
+الحقيقية فلو كانت X تنتمي ل A اللي هي R و Absolute
+
+389
+00:45:40,060 --> 00:45:46,100
+X minus C أكبر من Zero أصغر من Delta فخلينا نشوف
+
+390
+00:45:46,100 --> 00:45:52,880
+هل بيطلع Absolute F of X minus ال L اللي هو C أصغر
+
+391
+00:45:52,880 --> 00:45:56,240
+من Epsilon هنشوف
+
+392
+00:45:57,800 --> 00:46:04,860
+طيب نعوض عن F of X بالساوي X minus C طب أنا عند ال
+
+393
+00:46:04,860 --> 00:46:10,320
+X هذه موجودة في R و المسافة بينها و مختلفة عن ال C
+
+394
+00:46:10,320 --> 00:46:13,880
+و المسافة بينهم أصغر من Delta اللي أنا باخدها
+
+395
+00:46:13,880 --> 00:46:19,420
+بالساوي Y إذا ال absolute X minus C من هنا أصغر من
+
+396
+00:46:19,420 --> 00:46:27,090
+Delta اللي هي Yوبالتالي درهين أثبتت أنه لأي إبسلون
+
+397
+00:46:27,090 --> 00:46:32,990
+يوجد دلتا اللي هي إبسلون نفسها بحيث لكل x في a إذا
+
+398
+00:46:32,990 --> 00:46:36,570
+كان absolute x minus c أكبر من صفر أصغر من دلتا
+
+399
+00:46:36,570 --> 00:46:40,490
+هذا بيقدر أن absolute f of x minus l أصغر من
+
+400
+00:46:40,490 --> 00:46:47,650
+إبسلون since إبسلون أكبر من الصفر was arbitrary
+
+401
+00:46:52,350 --> 00:47:00,830
+we get from the definition هذا الكلام صحيح لكل
+
+402
+00:47:00,830 --> 00:47:06,690
+epsilon وبالتالي by definition بطلع عندي limit ال
+
+403
+00:47:06,690 --> 00:47:10,430
+function f of x اللي هي ال identity function لما x
+
+404
+00:47:10,430 --> 00:47:19,750
+تقوى ل c بساوي c وهو المطلوب تمام okay إذا المرة
+
+405
+00:47:19,750 --> 00:47:27,480
+الجايةهنثبت ان limited ده لتربعية لما x او ل c
+
+406
+00:47:27,480 --> 00:47:33,280
+بساوي c تربية وهذا موجود طبعا في الكتاب وفي كمان
+
+407
+00:47:33,280 --> 00:47:37,780
+أمثلة أخرى فارجو أنكم تقرؤوا الأمثلة هذه من الكتاب
+
+408
+00:47:37,780 --> 00:47:44,350
+و تحضروها للمحاضرة الجايةوتشوفوا كيف تم استخدام
+
+409
+00:47:44,350 --> 00:47:49,410
+تعريف epsilon delta في اثبات ان ال limit لدالة زهر
+
+410
+00:47:49,410 --> 00:47:53,530
+الدالة التربعية بساوي C تربية عند اي نقطة C okay
+
+411
+00:47:53,530 --> 00:47:58,270
+تمام؟ في اي سؤال او افسار؟ اذا نكتفي بهذا القدر
+
+412
+00:47:58,270 --> 00:48:02,410
+وان شاء الله اللي انا تكمله في المحاضرة القادمة
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/7K-d4aAzbLs.srt

@@ -0,0 +1,1443 @@
+1
+00:00:21,410 --> 00:00:29,070
+السلام عليكم، اليوم في اللقاء الأول هناخد مناقشة و
+
+2
+00:00:29,070 --> 00:00:36,710
+أعتقد أن احنا في المناقشة السابقة وصلنا لـ section 
+
+3
+00:00:36,710 --> 00:00:46,810
+ثلاثة خمسة، أصبع؟ فممكن
+
+4
+00:00:46,810 --> 00:01:07,930
+اليوم هنناقش section ثلاثة ستة أو ثلاثة سبعة في
+
+5
+00:01:07,930 --> 00:01:14,710
+أي أسئلة عندكم في section ثلاثة خمسة أو section
+
+6
+00:01:14,710 --> 00:01:25,230
+ثلاثة ستة، السؤال ستة، أي سؤال؟ سؤال ثلاثة ستة
+
+7
+00:01:25,230 --> 00:01:35,470
+سؤال 
+
+8
+00:01:35,470 --> 00:01:37,650
+ستة، section ثلاثة ستة
+
+9
+00:01:46,160 --> 00:01:58,020
+Let x<sub>n</sub>, let the sequence x<sub>n</sub> be properly divergent
+
+10
+00:01:58,020 --> 00:02:05,920
+there, and let
+
+11
+00:02:05,920 --> 00:02:24,780
+and let y<sub>n</sub> be such that limit x<sub>n</sub> ضرب y<sub>n</sub> limit
+
+12
+00:02:24,780 --> 00:02:31,980
+حاصل الضرب لما n تؤول لـ infinity يساوي
+
+13
+00:02:31,980 --> 00:02:40,620
+L ينتمي إلى R، يعني exists in R، شو 
+
+14
+00:02:40,620 --> 00:02:54,410
+مطلوب ثم اثبت، أظهر أن سيكوينس y<sub>n</sub> يتعامل
+
+15
+00:02:54,410 --> 00:03:10,230
+بالصفر، حل
+
+16
+00:03:10,230 --> 00:03:17,950
+السؤال هذا بيعتمد على سؤال سابق، اللي هو سؤال ثلاثة
+
+17
+00:03:17,950 --> 00:03:27,190
+فالسؤال
+
+18
+00:03:27,190 --> 00:03:32,430
+هذا بيقول أن f
+
+19
+00:03:32,430 --> 00:03:50,310
+x<sub>n</sub> أكبر من صفر لكل n عدد طبيعي، then
+
+20
+00:03:50,310 --> 00:04:03,990
+limit x<sub>n</sub> بساوي zero if and only if limit واحد على
+
+21
+00:04:03,990 --> 00:04:10,350
+x<sub>n</sub> as n tends to infinity بساوي plus infinity
+
+22
+00:04:20,790 --> 00:04:27,670
+Okay، لأن في سؤال طلعتها إذا كانت x<sub>n</sub> حدود sequence 
+
+23
+00:04:27,670 --> 00:04:36,290
+حدودها موجبة، و ف limit ال sequence x<sub>n</sub> بساوي صفر
+
+24
+00:04:36,290 --> 00:04:41,350
+if and only if limit مقلوب ال sequence x<sub>n</sub> بساوي 
+
+25
+00:04:41,350 --> 00:04:42,190
+plus infinity
+
+26
+00:04:46,230 --> 00:04:52,690
+وطبعًا في كمان ممكن نثبت أن لو كانت الـ x<sub>n</sub> حدودها 
+
+27
+00:04:52,690 --> 00:05:00,950
+سالبة، ف limit x<sub>n</sub> بساوي صفر if and only if limit واحد 
+
+28
+00:05:00,950 --> 00:05:03,970
+على x<sub>n</sub> بساوي negative infinity
+
+29
+00:05:15,220 --> 00:05:24,480
+بما أن x<sub>n</sub> هو بشكل صحيح ديفرجينت
+
+30
+00:05:24,480 --> 00:05:39,580
+ثم قيمة x<sub>n</sub> بساوي إنفينتي أو قيمة x<sub>n</sub> بساوي نيجاتيف 
+
+31
+00:05:39,580 --> 00:05:40,180
+إنفينتي
+
+32
+00:05:45,460 --> 00:05:52,220
+case one، ناخد الحالة الأولى اللي فيها limit x<sub>m</sub>
+
+33
+00:05:52,220 --> 00:05:59,860
+بساوي infinity by 
+
+34
+00:05:59,860 --> 00:06:03,560
+exercise 
+
+35
+00:06:03,560 --> 00:06:15,020
+رقم ثلاثة، section ثلاثة ستة، والـ exercise اللي فوق 
+
+36
+00:06:15,020 --> 00:06:18,100
+هذا
+
+37
+00:06:18,100 --> 00:06:27,160
+معناه أنه we have هيطلع أنه limit المطلوب ال
+
+38
+00:06:27,160 --> 00:06:38,000
+sequence x<sub>n</sub> as n tends to infinity بيطلع صفر، يعني
+
+39
+00:06:38,000 --> 00:06:44,710
+اعتبري هذه هي x<sub>n</sub>، تعتبر الـ 1 على x<sub>n</sub> هي x<sub>n</sub>، فإذا كان
+
+40
+00:06:44,710 --> 00:06:49,510
+limit x<sub>n</sub> بساوي infinity، فlimit مقلوب الـ x<sub>n</sub> اللي
+
+41
+00:06:49,510 --> 00:06:57,530
+هنا، مقلوب اللي هو إيه؟ بتطلع صفر ولا عكس؟ يعني هنا
+
+42
+00:06:57,530 --> 00:07:03,850
+نفس الـ exercise بس بدل x<sub>n</sub> بـ 1 على x<sub>n</sub>، فهذه 
+
+43
+00:07:03,850 --> 00:07:08,690
+نتيجة صحيحة تمام، hence
+
+44
+00:07:13,030 --> 00:07:16,810
+الـ limit لـ
+
+45
+00:07:16,810 --> 00:07:29,290
+y<sub>n</sub> as n tends to infinity بساوي الـ limit الـ
+
+46
+00:07:29,290 --> 00:07:38,110
+y<sub>n</sub>، ممكن كتبتها على صورة على 
+
+47
+00:07:38,110 --> 00:07:39,310
+صورة
+
+48
+00:07:46,210 --> 00:07:55,770
+x<sub>n</sub> في y<sub>n</sub> ضرب 1 
+
+49
+00:07:55,770 --> 00:08:01,290
+على x<sub>n</sub> صح؟
+
+50
+00:08:01,290 --> 00:08:09,850
+نظبط هيك، الـ y<sub>n</sub> هي عبارة عن x<sub>n</sub> في y<sub>n</sub> في 1 على x<sub>n</sub>
+
+51
+00:08:12,880 --> 00:08:18,360
+الآن الـ limit هذه لحد الأول exist، و limit لـ 1 
+
+52
+00:08:18,360 --> 00:08:22,660
+على x<sub>n</sub> برضه exist، إذا الـ limit حاصل الضرب بساوي حاصل 
+
+53
+00:08:22,660 --> 00:08:27,540
+ضرب الـ limits، بقدر استخدم القانون هذا، هطبق أنه
+
+54
+00:08:27,540 --> 00:08:32,360
+limit حاصل ضرب two sequences بساوي limit الأولى
+
+55
+00:08:32,360 --> 00:08:41,100
+اللي هي حاصل ضرب x<sub>n</sub> y<sub>n</sub>، ضرب limit الـ sequence
+
+56
+00:08:41,100 --> 00:08:48,180
+التانية هي 1 على x<sub>n</sub> as n tends to infinity، و
+
+57
+00:08:48,180 --> 00:08:53,940
+الـ limit الأولى مش ساميناها عدد L لما exist ضرب الـ
+
+58
+00:08:53,940 --> 00:09:01,600
+limit التانية صفر، فبيطلع عندي صفر وهو المطلوب، فهنا
+
+59
+00:09:01,600 --> 00:09:05,920
+أثبتنا في الحالة التانية، case two
+
+60
+00:09:10,140 --> 00:09:24,200
+لو كانت الـ limit لـ x<sub>n</sub> بساوي negative infinity، ففي
+
+61
+00:09:24,200 --> 00:09:29,580
+الحالة هذه بيطلع عندي برضه by exercise ثلاثة
+
+62
+00:09:29,580 --> 00:09:36,020
+section ثلاثة ستة، بس هنا مع التعديل هيطلع أن الـ
+
+63
+00:09:36,020 --> 00:09:44,910
+limit لـ 1 على x<sub>n</sub> مثلًا صفر، وباقي البرهان
+
+64
+00:09:44,910 --> 00:09:58,730
+and the rest of the proof is similar to 
+
+65
+00:09:58,730 --> 00:09:59,450
+case one
+
+66
+00:10:03,650 --> 00:10:09,850
+Okay تمام، إذا هذا اللي هو البرهان أن الادعاء
+
+67
+00:10:09,850 --> 00:10:15,870
+يعتمد على exercise ثلاثة المهم وهو أن limit لـ
+
+68
+00:10:15,870 --> 00:10:19,750
+sequence بيساوي infinity if and only if limit 
+
+69
+00:10:19,750 --> 00:10:24,810
+مقلوب ال sequence بيساوي صفر أو العكس تمام، وهذا
+
+70
+00:10:34,460 --> 00:10:39,400
+في عنكم أسئلة ثانية؟
+
+71
+00:10:39,400 --> 00:10:45,260
+في
+
+72
+00:10:45,260 --> 00:10:49,220
+أسئلة ثانية، section ثلاثة ستة الفرق بيه من سؤال 
+
+73
+00:10:49,220 --> 00:10:49,680
+تسعة
+
+74
+00:11:33,220 --> 00:11:41,380
+نحاول نكتب السؤال وبعدين السؤال
+
+75
+00:11:41,380 --> 00:11:43,600
+تسعة، section ثلاثة ستة
+
+76
+00:11:53,320 --> 00:12:04,400
+لت x<sub>n</sub> و y<sub>n</sub> بيكونوا عاملين من عاملين من عاملين من
+
+77
+00:12:04,400 --> 00:12:06,860
+عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من
+
+78
+00:12:06,860 --> 00:12:09,100
+عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من
+
+79
+00:12:09,100 --> 00:12:22,440
+عاملين من عاملين
+
+80
+00:12:31,890 --> 00:12:44,270
+مطلوب الأول هو show if limit y<sub>n</sub> بساوي infinity 
+
+81
+00:12:44,270 --> 00:12:51,370
+then limit
+
+82
+00:12:51,370 --> 00:12:53,590
+x<sub>n</sub> بساوي infinity
+
+83
+00:12:56,820 --> 00:13:10,660
+والجزء الثاني show if x<sub>n</sub> is bounded then 
+
+84
+00:13:10,660 --> 00:13:15,680
+limit
+
+85
+00:13:15,680 --> 00:13:25,600
+y<sub>n</sub> is serviceable طبعًا
+
+86
+00:13:30,880 --> 00:13:39,520
+في برهانين للـ
+
+87
+00:13:39,520 --> 00:13:47,540
+للـ exercise هذا، البرهان الأول باستخدام
+
+88
+00:13:47,540 --> 00:13:55,580
+exercise 7 اللي جابله، يعني هنا since
+
+89
+00:13:55,580 --> 00:14:04,790
+من الفرض لما إنه limit x<sub>n</sub> على y<sub>n</sub> as n tends to 
+
+90
+00:14:04,790 --> 00:14:15,150
+infinity بساوي plus infinity then by exercise
+
+91
+00:14:15,150 --> 00:14:24,790
+ثلاثة، section ثلاثة ستة، if limit sequence بساوي
+
+92
+00:14:24,790 --> 00:14:30,780
+infinity بيطلع limit مقلوب الـ sequence اللي هو y<sub>n</sub> 
+
+93
+00:14:30,780 --> 00:14:40,920
+على x<sub>n</sub> as n tends to infinity بساوي صفر، now
+
+94
+00:14:40,920 --> 00:14:44,480
+apply
+
+95
+00:14:44,480 --> 00:14:47,900
+exercise
+
+96
+00:14:47,900 --> 00:14:55,940
+رقم سبعة، section ثلاثة ستة، to 
+
+97
+00:14:55,940 --> 00:14:56,340
+get
+
+98
+00:14:59,870 --> 00:15:13,950
+the results in a and b، وهذا بيعطيني المطلوب، لو بصيت ولا
+
+99
+00:15:13,950 --> 00:15:18,950
+لا الـ exercise
+
+100
+00:15:18,950 --> 00:15:25,070
+سبعة في الـ exercise سبعة بيقول ده كانت الـ limit للـ
+
+101
+00:15:25,070 --> 00:15:30,880
+quotient للـ quotient زي هذا بساوي صفر، و x<sub>n</sub> و y<sub>n</sub>
+
+102
+00:15:30,880 --> 00:15:37,200
+حدودهم موجبة، ففي الحالة هذه إذا كانت limit الـ
+
+103
+00:15:37,200 --> 00:15:47,200
+sequence اللي تحت convergent إذا
+
+104
+00:15:47,200 --> 00:15:50,240
+كانت limit الـ sequence اللي تحت 
+
+105
+00:15:56,100 --> 00:16:01,960
+لأ limit الـ sequence اللي فوق اللي هي y<sub>n</sub> هنا
+
+106
+00:16:01,960 --> 00:16:06,040
+infinity فبيطلع limit x<sub>n</sub> بالـ infinity اللي هو جزء
+
+107
+00:16:06,040 --> 00:16:12,980
+الاول، وكمان إذا كانت الـ sequence اللي في المقام
+
+108
+00:16:12,980 --> 00:16:16,520
+bounded اللي هي x<sub>n</sub> هنا طبعًا في المقام bounded 
+
+109
+00:16:16,520 --> 00:16:21,500
+فرقة الـ sequence اللي في الـ bust تطلع يساوي 0، وهذا
+
+110
+00:16:21,500 --> 00:16:25,740
+هو الجزء الثاني، هذا حسب هذا لو بدنا نستخدم
+
+111
+00:16:25,740 --> 00:16:33,610
+exercise رقم 7 وطبعًا لازم نبرهنه، لكن ممكن نعطي
+
+112
+00:16:33,610 --> 00:16:39,710
+برهان مباشر بدون ما يستخدم exercise السابعة
+
+113
+00:16:39,710 --> 00:16:49,670
+وبالتالي إذا في حال ثاني أو برهان ثاني باستخدام
+
+114
+00:16:49,670 --> 00:16:57,900
+التعريفات وال comparison tests، باستخدام التعريفات
+
+115
+00:16:57,900 --> 00:17:01,820
+زائد ال comparison tests، اختبارات المقارنة، الـ
+
+116
+00:17:01,820 --> 00:17:09,240
+proof رقم اثنين، since
+
+117
+00:17:09,240 --> 00:17:16,820
+إننا ننسى هذا القران، أنا عندي هذه الفرض since limit 
+
+118
+00:17:16,820 --> 00:17:24,630
+لـ x<sub>n</sub> over y<sub>n</sub> هذا عبارة عن sequence، لأن الـ limit
+
+119
+00:17:24,630 --> 00:17:33,410
+إلى بالصفر plus infinity، then given Alpha أي real
+
+120
+00:17:33,410 --> 00:17:41,610
+number Alpha من تعريف الـ improper convergence 
+
+121
+00:17:41,610 --> 00:17:50,030
+لأي Alpha there exists capital N يعتمد على Alpha 
+
+122
+00:17:50,030 --> 00:17:56,450
+عدد طبيعي بحيث إنه يكون M أكبر من أو يساوي الـ capital N
+
+123
+00:17:56,450 --> 00:18:12,950
+بيطلع عندي x<sub>m</sub> على y<sub>m</sub> أكبر من Alpha، طبعًا
+
+124
+00:18:12,950 --> 00:18:20,480
+وهذا بيقودِ أن x<sub>m</sub> أكبر من Alpha في y<sub>m</sub>، لما عندي y<sub>n</sub>
+
+125
+00:18:20,480 --> 00:18:26,120
+هنا موجبة، لما أضرب الطرفين في y<sub>n</sub>، التباين إشارتها 
+
+126
+00:18:26,120 --> 00:18:32,340
+تبقى كما هي، إذا
+
+127
+00:18:32,340 --> 00:18:40,880
+أنا عندي الآن الكلام هذا صحيح لكل n أكبر من أو يساوي 
+
+128
+00:18:40,880 --> 00:18:46,540
+كابتن، الآن الآن
+
+129
+00:18:46,540 --> 00:18:47,360
+by
+
+130
+00:18:49,930 --> 00:18:56,930
+بمعنى الـ Direct Comparison Test، بما
+
+131
+00:18:56,930 --> 00:19:02,970
+إنه limit y<sub>n</sub>
+
+132
+00:19:02,970 --> 00:19:04,130
+بساوي infinity
+
+133
+00:19:25,130 --> 00:19:33,010
+ناخد Alpha في 1 ممكن
+
+134
+00:19:33,010 --> 00:19:37,750
+آه ناخد Alpha في 1 صح، دي من الـ Alpha دي ثاني
+
+135
+00:19:37,750 --> 00:19:49,320
+واحد يعني ثاني الـ R مظبوط، فده واحد وثاني واحد، بما
+
+136
+00:19:49,320 --> 00:19:54,600
+أن الـ limit لـ y<sub>n</sub>
+
+137
+00:19:54,600 --> 00:20:02,180
+بساوي infinity، نحن نحصل على limit لـ x<sub>n</sub> بساوي 
+
+138
+00:20:02,180 --> 00:20:06,640
+infinity، لأن هذا بيثبت الجزء الأول، أنت بدك الجزء
+
+139
+00:20:06,640 --> 00:20:08,160
+الثاني صح؟ طيب
+
+140
+00:20:15,760 --> 00:20:19,840
+بنشوف الجزء الثاني، إذا كانت الـ sequence x<sub>n</sub> 
+
+141
+00:20:19,840 --> 00:20:27,400
+bounded فبالتالي y in بسرعة نصف طيب
+
+142
+00:20:27,400 --> 00:20:32,420
+الجزء
+
+143
+00:20:32,420 --> 00:20:43,340
+دي since x is bounded إذن
+
+144
+00:20:43,340 --> 00:20:48,760
+في عدد موجب There exists a positive number بحيث أنه
+
+145
+00:20:48,760 --> 00:20:57,360
+absolute value of x<sub>n</sub> أصغر من أو يساوي m لكل n في هذا من
+
+146
+00:20:57,360 --> 00:21:05,280
+تعريف الboundary نفسه طيب بالمنطلق بتاعنا إيه؟ أن
+
+147
+00:21:05,280 --> 00:21:16,480
+ال limit ل y<sub>n</sub>  عند صفر طيب to show limit y<sub>n</sub> يساوي
+
+148
+00:21:16,480 --> 00:21:23,260
+zero let epsilon بنستخدم تعريف epsilon و capital M
+
+149
+00:21:23,260 --> 00:21:32,060
+لإن هي let epsilon أكبر من الصفر be given من
+
+150
+00:21:32,060 --> 00:21:39,100
+epsilon على M بيطلع عدد موجب من
+
+151
+00:21:41,390 --> 00:21:52,910
+العدد الموجب يعتمد
+
+152
+00:21:52,910 --> 00:21:58,830
+على إبسلون على M يعتبر
+
+153
+00:21:58,830 --> 00:22:01,590
+إبسلون على M
+
+154
+00:22:16,450 --> 00:22:24,150
+أنا عندي إيش عندي بدي
+
+155
+00:22:24,150 --> 00:22:31,170
+أثبت أن limit y<sub>n</sub> يساوي صفر فخلينا نشوف
+
+156
+00:22:43,720 --> 00:22:54,900
+طيب أنا لازم أستخدم .. آه لازم أستخدم ..
+
+157
+00:22:54,900 --> 00:23:01,840
+طيب since ..
+
+158
+00:23:01,840 --> 00:23:06,820
+طيب بس هنا يعني خليني أقول since
+
+159
+00:23:11,850 --> 00:23:20,390
+بما أن ال limit ل y<sub>n</sub> على x<sub>n</sub> as n tends to infinity
+
+160
+00:23:20,390 --> 00:23:24,410
+أنا عندي المقلوب هذا ال limit تبعته infinity، هذا
+
+161
+00:23:24,410 --> 00:23:29,890
+ال limit تبعته صفر وهي عندي epsilon على m عدد موجب 
+
+162
+00:23:29,890 --> 00:23:36,150
+given، there exists capital M يعتمد على epsilon
+
+163
+00:23:36,150 --> 00:23:47,110
+على m عدد طبيعي لحيث أنه لكل n أكبر من أو يساوي ال
+
+164
+00:23:47,110 --> 00:23:56,850
+capital N بيطلع عندي absolute value of y<sub>n</sub> على x<sub>n</sub> ناقص ال
+
+165
+00:23:56,850 --> 00:24:05,850
+zero أصغر من epsilon على m تمام؟
+
+166
+00:24:07,690 --> 00:24:27,750
+طب ما هذا بيقودني فإنا 
+
+167
+00:24:27,750 --> 00:24:32,910
+بدي أثبت أن limit y<sub>n</sub> يساوي صفر يعني بدي أثبت أن
+
+168
+00:24:32,910 --> 00:24:38,980
+ال absolute value لو كان n أكبر من أو يساوي capital
+
+169
+00:24:38,980 --> 00:24:44,920
+N بتثبت أن ال absolute value ل y<sub>n</sub> ناقص 0 أصغر
+
+170
+00:24:44,920 --> 00:24:50,020
+من epsilon عشان أثبت أن ال limit ل y<sub>n</sub> يساوي صفر
+
+171
+00:24:50,020 --> 00:24:55,520
+بتثبت أن ال absolute value ل y<sub>n</sub> ناقص 0 أصغر من
+
+172
+00:24:55,520 --> 00:25:00,500
+ال given epsilon طيب
+
+173
+00:25:00,500 --> 00:25:12,970
+هذا يساوي absolute value of Y<sub>n</sub> يساوي absolute value of X<sub>n</sub> ضرب Y<sub>n</sub>
+
+174
+00:25:12,970 --> 00:25:26,270
+على X<sub>n</sub> ناقص zero و هذا يساوي absolute value of X<sub>n</sub> في
+
+175
+00:25:26,270 --> 00:25:30,170
+absolute value of Y<sub>n</sub> على X<sub>n</sub>
+
+176
+00:25:37,650 --> 00:25:44,410
+بتكون موضوع ممكن نحط  zero هنا طيب
+
+177
+00:25:44,410 --> 00:25:51,510
+هذا لكل N هذا أصغر من أو يساوي M و ال absolute
+
+178
+00:25:51,510 --> 00:25:56,570
+value هذه لكل N أكبر من أو يساوي capital N هذا
+
+179
+00:25:56,570 --> 00:26:05,270
+أصغر من إبسلون على M إبسلون على M مش هيبقى M مع N
+
+180
+00:26:05,270 --> 00:26:14,790
+بقى اللي عندي إبسلون طبعا؟ طيب since أكبر من الصفر
+
+181
+00:26:14,790 --> 00:26:25,310
+was arbitrarily we get أن limit ل y<sub>n</sub> as n tends
+
+182
+00:26:25,310 --> 00:26:29,650
+to infinity يساوي zero و هو المفروض يعني هذا بيكمل
+
+183
+00:26:29,650 --> 00:26:35,380
+برهان الجزء بيه okay طبعا؟ هذا على اعتبار أن احنا
+
+184
+00:26:35,380 --> 00:26:41,300
+exercise سبعة ما بنعرفوش بس في كل الأحوال احنا
+
+185
+00:26:41,300 --> 00:26:47,300
+استخدمنا exercise ثلاثة طبعا
+
+186
+00:26:47,300 --> 00:26:54,400
+هكذا بنثبت تسعة و سبعة بالمناسبة زيه بنفس الطريقة
+
+187
+00:26:54,400 --> 00:27:01,020
+بأفكار مشابهة ممكن إثباته بنفس السلوب بنفس النمط
+
+188
+00:27:03,510 --> 00:27:09,270
+كمان في أي أسئلة تانية في section ثلاثة سبعة؟ إذا
+
+189
+00:27:09,270 --> 00:27:15,430
+مافيش خلينا ننتقل ل section ثلاثة سبعة تبع
+
+190
+00:27:15,430 --> 00:27:20,110
+ال series هذا في
+
+191
+00:27:20,110 --> 00:27:24,550
+عندكم أي أسئلة في section ثلاثة سبعة؟ ثلاثة خمسة؟
+
+192
+00:27:24,550 --> 00:27:25,750
+ثلاثة سبعة؟
+
+193
+00:27:44,990 --> 00:27:54,110
+في أي أسئلة في section ثلاثة سبعة أو ثلاثة ستة
+
+194
+00:27:54,110 --> 00:28:07,910
+مافيش؟
+
+195
+00:28:07,910 --> 00:28:13,700
+السؤال ثلاثة فرع ثلاثة سبعة السؤال الثالث الفرع 
+
+196
+00:28:13,700 --> 00:28:14,320
+السيه؟
+
+197
+00:28:28,470 --> 00:28:33,570
+استخدمت ال partial fractions؟ آه بس مش .. مش كله
+
+198
+00:28:33,570 --> 00:28:37,990
+بالغاية طلعت قيم A و C بيطلعوا نص و نص و B بيطلعوا
+
+199
+00:28:37,990 --> 00:28:43,770
+سالب واحد و بعد ما جيت أكمل مش كل الحدود بيطلعوا
+
+200
+00:28:43,770 --> 00:28:48,790
+بالطبع معايا زي قمتي لو سألني الجامعة آه عشان
+
+201
+00:28:48,790 --> 00:28:52,310
+هيكون ثلاثة كسور يعني آه
+
+202
+00:28:54,820 --> 00:29:09,900
+بس لازم يكون فيه يعني تلاشي و فيه
+
+203
+00:29:09,900 --> 00:29:18,020
+.. نشوف
+
+204
+00:29:18,020 --> 00:29:22,040
+يعني مافيش تلاشي جيبت الارتباط برشا الصمت .. فيه
+
+205
+00:29:22,040 --> 00:29:26,940
+تلاشي بس فيه بيضغط آه بخلينا نشوف خليني أجرب
+
+206
+00:29:26,940 --> 00:29:44,520
+السؤال
+
+207
+00:29:44,520 --> 00:29:47,580
+ثلاثة الفرع C سيكشن ثلاثة سبعة
+
+208
+00:29:54,860 --> 00:29:59,300
+استخدمت ال partial fractions
+
+209
+00:29:59,300 --> 00:30:03,020
+لإظهار
+
+210
+00:30:03,020 --> 00:30:11,100
+أن عدد الـ infinite series سيجما من ن يعني واحد
+
+211
+00:30:11,100 --> 00:30:21,320
+لما لا نهاية الواحد على n في n زائد واحد في n زائد
+
+212
+00:30:21,320 --> 00:30:23,600
+اثنين يساوي واحد على أربعة
+
+213
+00:30:32,200 --> 00:30:37,060
+فبدنا نكتب هذا بتحلل و باستخدام ال partial
+
+214
+00:30:37,060 --> 00:30:43,740
+fractions إلى ثلاثة كسور فوجدت
+
+215
+00:30:43,740 --> 00:30:48,080
+فرعة التواردة كانت دي؟ كان الأولى A بتساوي نص يعني
+
+216
+00:30:48,080 --> 00:30:57,340
+نص على n الثانية سالب واحد سالب أو زائد سالب واحد على
+
+217
+00:30:57,340 --> 00:31:09,270
+n زائد واحد والأخيرة نص على n زائد اثنين تعال
+
+218
+00:31:09,270 --> 00:31:18,590
+نحسب ال nth partial sum s<sub>n</sub> يساوي سيجما من k يساوي
+
+219
+00:31:18,590 --> 00:31:31,370
+واحد إلى n ل x<sub>k</sub> اللي هو واحد على k في k زائد واحد
+
+220
+00:31:31,370 --> 00:31:40,190
+في k زائد اثنين بنبدل n بال k وبعدين
+
+221
+00:31:40,190 --> 00:31:54,030
+هذا عبارة عن سيجما من k يساوي واحد إلى n و بنكتب
+
+222
+00:31:54,030 --> 00:31:57,350
+هذا واحد على
+
+223
+00:32:00,560 --> 00:32:07,980
+2k ناقص واحد
+
+224
+00:32:07,980 --> 00:32:16,740
+على k زائد واحد موجب خلينا
+
+225
+00:32:16,740 --> 00:32:21,800
+نحط الحاجات الموجبة مع بعض يعني زائد واحد على
+
+226
+00:32:21,800 --> 00:32:26,360
+2k زائد أربعة
+
+227
+00:32:28,860 --> 00:32:36,700
+ناقص واحد على K ناقص واحد و
+
+228
+00:32:36,700 --> 00:32:42,140
+بعدين نكتب أول شوية حدود مهم جدا اللي كل ثوابت هذه
+
+229
+00:32:42,140 --> 00:32:48,080
+صح يعني في حد ثاني جابهم متأكد من صحتهم لأن لو
+
+230
+00:32:48,080 --> 00:32:50,680
+فيهم خطأ مش هنقبلهم ونطلع الجواب
+
+231
+00:33:03,670 --> 00:33:08,910
+فنكتب أول حد هي .. أول حد هيكون لما k يساوي
+
+232
+00:33:08,910 --> 00:33:17,090
+واحد .. نص .. هيطلع نص زائد واحد على .. ثمانية ..
+
+233
+00:33:17,090 --> 00:33:24,090
+اثنين .. لأ واحد على ستة .. واحد على ستة صح ناقص
+
+234
+00:33:24,090 --> 00:33:26,110
+نص .. سالب نص
+
+235
+00:33:31,480 --> 00:33:38,960
+زائد لحد الثاني واحد على ثلاثة زائد
+
+236
+00:33:38,960 --> 00:33:41,520
+.. واحد على أربعة .. واحد على أربعة .. أربعة .. الأول
+
+237
+00:33:41,520 --> 00:33:48,800
+واحد على أربعة أو واحد على أربعة الأول وبعدين واحد
+
+238
+00:33:48,800 --> 00:33:53,040
+على .. ثمانية .. واحد على ثمانية .. ثمانية ناقص
+
+239
+00:33:53,040 --> 00:34:03,060
+ثُلث ناقص ثُلث طيب قول لي بعده واحد على ستة واحد على
+
+240
+00:34:03,060 --> 00:34:09,380
+ستة واحد على إيه؟ على ستة واحد على عشرة اثنين في
+
+241
+00:34:09,380 --> 00:34:14,500
+ثلاثة بستة آه واحد على ستة زائد واحد على عشرة زائد
+
+242
+00:34:14,500 --> 00:34:25,360
+واحد على عشرة ناقص ربع ناقص ربع زائد
+
+243
+00:34:25,360 --> 00:34:39,020
+وهكذا الآخر حد هيكون واحد على 2n زائد واحد على 2n زائد 4
+
+244
+00:34:39,020 --> 00:34:55,940
+مع بعض وبعدين الثاني واحد على n زائد 1 فنشوف
+
+245
+00:34:55,940 --> 00:35:01,570
+إيش اللي بيتلاشى وإيش اللي بيطلع يعني نص هنا راح مع
+
+246
+00:35:01,570 --> 00:35:07,190
+نص و
+
+247
+00:35:07,190 --> 00:35:20,090
+ربع هنا راح مع الربع هنا قلت
+
+248
+00:35:20,090 --> 00:35:26,030
+لك هذا مش هيروح مع حد صح؟ هذا يبقى
+
+249
+00:35:30,600 --> 00:35:36,960
+لكن الثمن هيروح والثُلث هيروح لأن الثُلث في مجموعة
+
+250
+00:35:36,960 --> 00:35:42,560
+ليه ثُلث والثمن هيجمع ليه الثمن بس برضه هييجي
+
+251
+00:35:42,560 --> 00:35:46,620
+ناقص واحد على ثمانية وهيظ�� واحد على ثمانية فيه؟
+
+252
+00:35:46,620 --> 00:35:51,220
+آه لما نقعد بالقيمة سوى سبعة هيطلع إننا ناقص واحد
+
+253
+00:35:51,220 --> 00:35:54,040
+على ثمانية آه شيء ناقص واحد على ثمانية
+
+254
+00:35:56,980 --> 00:36:01,600
+وممكن كمان برضه واحد على ستة أو في برضه واحد على
+
+255
+00:36:01,600 --> 00:36:08,020
+ستة سيطلع سالب واحد على ستة لأن بيساوي خمسة سيطلع
+
+256
+00:36:08,020 --> 00:36:14,700
+ثاندي سالب واحد على ستة فمين اللي بيضل على المحدود
+
+257
+00:36:14,700 --> 00:36:21,140
+يعني
+
+258
+00:36:21,140 --> 00:36:33,420
+بتاعي هذا ستس هيبقى هذا هيروحوا هذا هيروح يعني
+
+259
+00:36:33,420 --> 00:36:39,600
+شو اللي بضل في الآخر يعني
+
+260
+00:36:39,600 --> 00:36:46,060
+أنا بتاعي اللي هيضل في الآخر اللي هو يمكن الثُلث
+
+261
+00:36:46,060 --> 00:36:53,860
+الثُلث ناقص ثُلث وهنا
+
+262
+00:36:58,270 --> 00:37:05,290
+كل حد بيروح مع آدم فوضوح يروح مع اللي بعده فمش
+
+263
+00:37:05,290 --> 00:37:15,870
+هيروح مع حد فهيبقى واحد على اثنين يعني و
+
+264
+00:37:15,870 --> 00:37:19,030
+.. إيش هيبقى كمان؟
+
+265
+00:37:30,970 --> 00:37:36,990
+هذا هيروح هيبقى له اثنين هدول اثنين إيه مظلوم زاد
+
+266
+00:37:36,990 --> 00:37:51,870
+واحد على اثنين ام زائد أربعة سُدُس
+
+267
+00:37:51,870 --> 00:37:59,410
+ناقص ثُلث تطلع ناقص سُدُس وهذا ما يروح من صفر مش مظلوم
+
+268
+00:38:08,750 --> 00:38:15,650
+المفروض ال limit تطلع ربعها بالتالي
+
+269
+00:38:15,650 --> 00:38:19,710
+لازم احنا نكتب المزيد من الحدود عشان نشوف كيف النمط
+
+270
+00:38:19,710 --> 00:38:22,150
+.. كيف النمط هيصير
+
+271
+00:38:27,470 --> 00:38:34,430
+فبدأ عملية grouping للحدود تجميع ويعني الحصول على علامات
+
+272
+00:38:34,430 --> 00:38:41,310
+معينة مش عارف أنا مش متأكد أن هذا هتكون صح يمكن
+
+273
+00:38:41,310 --> 00:38:55,770
+في شغلات ثانية بتبقى واحنا ما ذكرناش فال
+
+274
+00:38:55,770 --> 00:38:56,090
+..
+
+275
+00:38:59,080 --> 00:39:04,640
+ذا بده فحص آه فخلينا نقول try it again try it
+
+276
+00:39:04,640 --> 00:39:07,780
+again
+
+277
+00:39:07,780 --> 00:39:17,200
+خلينا نحاول فيه مرة ثانية ونحاول يعني نقدر نخلي
+
+278
+00:39:17,200 --> 00:39:22,740
+يعني هذا يساوي ربع أو يساوي حاجة ال limit بتاعتها في
+
+279
+00:39:22,740 --> 00:39:26,480
+النهاية هتطلع ربع وبالتالي ال limit لل sequence of
+
+280
+00:39:26,480 --> 00:39:29,180
+partial sums هيطلع ربعه وبالتالي ال series
+
+281
+00:39:29,180 --> 00:39:33,000
+conversion مجموعة بساوي ال limit لل partial sums
+
+282
+00:39:33,000 --> 00:39:38,700
+فهذا يعني مشكوك فيه شكله مش صح نحاول مرة ثانية فيه
+
+283
+00:39:38,700 --> 00:39:43,100
+وبعدين نشوف يعني كيف مين اللي بيصل للجواب الصح
+
+284
+00:39:43,100 --> 00:39:48,720
+نحاول نكتبه مرة ثانية okay تمام لكن يعني ماهو 
+
+285
+00:39:48,720 --> 00:39:53,570
+مستحيل أو ماهو يعني صعب ممكن أي واحد يتوصل إليه
+
+286
+00:39:53,570 --> 00:39:58,990
+بس بده إيه مزيد من الحدود والاستنتاج نمط معين
+
+287
+00:39:58,990 --> 00:40:04,370
+فخلينا نسيبكم تفكروا فيه كمان مرة في أسئلة ثانية
+
+288
+00:40:04,370 --> 00:40:08,990
+في ال section هذا فحاولوا
+
+289
+00:40:08,990 --> 00:40:11,170
+تفكروا فيه في أسئلة ثانية
+
+290
+00:40:17,700 --> 00:40:21,980
+في أسئلة ثانية في section ثلاثة سبعة أو ال sections
+
+291
+00:40:21,980 --> 00:40:32,680
+السابقة اللي تسبقه ثلاثة ستة ثلاثة خمسة في
+
+292
+00:40:32,680 --> 00:40:38,140
+كتير أسئلة يعني مطلوبة منكم واضح أن أنتم مش محضرين 
+
+293
+00:40:38,140 --> 00:40:42,420
+ولا دارسين الموضوع وبالتالي ما عندكم مش أسئلة
+
+294
+00:40:46,220 --> 00:40:54,880
+فإلى أن يكون عندكم أسئلة بنكمل المناقشة يوم السبت 
+
+295
+00:40:54,880 --> 00:40:59,860
+الجاي أو تحضروا المناقشة مع الشعبة الثانية يوم
+
+296
+00:40:59,860 --> 00:41:05,140
+الأربعاء خلينا
+
+297
+00:41:05,140 --> 00:41:14,690
+نرجع لل limits of functions وناخد المثال الأخير في 
+
+298
+00:41:14,690 --> 00:41:16,930
+ال section هذاك
+
+299
+00:41:46,290 --> 00:41:50,970
+المرة الجاية دخلنا أثبتنا
+
+300
+00:41:50,970 --> 00:42:02,310
+أن ال limit أثبتنا
+
+301
+00:42:02,310 --> 00:42:05,450
+أن ال limit  أنتِ مثال رقم 2
+
+302
+00:42:08,630 --> 00:42:15,350
+لسفر function ل X لما X تقول لسفر does not exist
+
+303
+00:42:15,350 --> 00:42:19,270
+أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و
+
+304
+00:42:19,270 --> 00:42:21,290
+أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و
+
+305
+00:42:21,290 --> 00:42:21,570
+أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و
+
+306
+00:42:21,570 --> 00:42:21,890
+أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و
+
+307
+00:42:21,890 --> 00:42:22,210
+أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و
+
+308
+00:42:22,210 --> 00:42:22,610
+أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و
+
+309
+00:42:22,610 --> 00:42:25,970
+أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و أخذنا هذا و
+
+310
+00:42:25,970 --> 00:42:33,830
+أخذنا هذا و أخذنا 
+
+311
+00:42:33,830 --> 00:42:46,640
+هذا و أوحد على X لما X تقول لسفر does not exist in
+
+312
+00:42:46,640 --> 00:42:50,400
+R فلبرحان
+
+313
+00:42:50,400 --> 00:42:56,700
+ذلك let
+
+314
+00:42:56,700 --> 00:43:04,380
+F of X تساوي sign واحد على X و X لا تساوي صفر
+
+315
+00:43:10,730 --> 00:43:16,210
+وبعدين we consider two
+
+316
+00:43:16,210 --> 00:43:20,870
+sequences واحدة
+
+317
+00:43:20,870 --> 00:43:33,750
+xn الحد العام تبعها عبارة عن واحد على واحد
+
+318
+00:43:33,750 --> 00:43:38,030
+على n πاي و n ينتمي ل Z
+
+319
+00:43:41,720 --> 00:43:47,620
+و Yn الحد العام تبعها واحد على πاي على ثمانين زائد
+
+320
+00:43:47,620 --> 00:43:56,020
+اثنين N πاي و N ينتمي إلى Z هذا عبارة عن Sequences
+
+321
+00:43:56,020 --> 00:44:01,300
+of positive numbers
+
+322
+00:44:04,950 --> 00:44:12,130
+واضح أن ال limit ل xn as n tends to infinity بساوي
+
+323
+00:44:12,130 --> 00:44:20,290
+0 وكذلك ال limit ل yn لما n تقول infinity برضه
+
+324
+00:44:20,290 --> 00:44:24,730
+بساوي 0 لأن المقام لما n تقول infinity المقام
+
+325
+00:44:24,730 --> 00:44:32,090
+بيروح ل infinity طيب
+
+326
+00:44:32,090 --> 00:44:33,690
+الآن ال limit
+
+327
+00:44:37,860 --> 00:44:42,420
+الـ image لـ sequence xn لما n تقول الانفينيتي
+
+328
+00:44:42,420 --> 00:44:55,500
+بساوي ال limit ل sign xn لما n تقول الانفينيتي وهذا
+
+329
+00:44:55,500 --> 00:45:05,620
+بساوي ال limit ل sign n في pi لما n تقول الانفينيتي
+
+330
+00:45:06,340 --> 00:45:16,300
+Sin N في Pi بساوي واحد بساوي صفر لكل N وبالتالي
+
+331
+00:45:16,300 --> 00:45:21,640
+هذا بساوي limit ال sequence صفر لما N تؤول
+
+332
+00:45:21,640 --> 00:45:32,600
+infinity بساوي صفر and limit
+
+333
+00:45:33,900 --> 00:45:41,360
+الإمج للسيكوينس YM لما N تقول انفينيتي بساوي limit
+
+334
+00:46:08,450 --> 00:46:16,370
+وهذا المفروض يكون sign
+
+335
+00:46:16,370 --> 00:46:24,840
+1 على xn وهذا المفروض يكون sign 1 على yn مقلوب y in
+
+336
+00:46:24,840 --> 00:46:34,540
+بيطلع بساوي πاية اتنين ازايد اتنين in πاية وهذا
+
+337
+00:46:34,540 --> 00:46:44,040
+المقدار دائما بساوي واحد لكل in إذا أنا في عندي 
+
+338
+00:46:44,040 --> 00:46:51,770
+limit لل sequence بالحد العام تبعها واحد السيكوانس
+
+339
+00:46:51,770 --> 00:46:57,670
+تابعة واحد وهذا بساوي واحد إن إن أنا في عندي 
+
+340
+00:46:57,670 --> 00:47:03,710
+two sequences Xm تؤول صفر و limit صورتها 
+
+341
+00:47:03,710 --> 00:47:09,050
+بساوي صفر و في عندي سيكوانس ثانية Ym ال limit
+
+342
+00:47:09,050 --> 00:47:13,650
+تبعها أيضا بساوي صفر لكن limit صورتها بساوي 
+
+343
+00:47:13,650 --> 00:47:17,310
+واحد وبالتالي
+
+344
+00:47:20,360 --> 00:47:28,340
+by sequential criterion ال
+
+345
+00:47:28,340 --> 00:47:35,480
+limit لل function f of x لما x تقول ل0 does not
+
+346
+00:47:35,480 --> 00:47:46,440
+exist in R مش ممكن تكون موجودة في R لأن
+
+347
+00:47:46,440 --> 00:47:53,900
+لو كانت ال limit هذه موجودة فالمفروض limit صورة xn
+
+348
+00:47:53,900 --> 00:48:02,060
+بما أن xn تؤول للسفر نكتب
+
+349
+00:48:02,060 --> 00:48:07,180
+since otherwise لأن
+
+350
+00:48:07,180 --> 00:48:14,780
+لو كلاك ذلك لو كانت هذه موجودة if limit
+
+351
+00:48:20,170 --> 00:48:25,210
+في limit ل F of X لما X تؤول ل صفر exist
+
+352
+00:48:32,710 --> 00:48:39,990
+then المفروض ال limit ل f of x n لما n تؤول 
+
+353
+00:48:39,990 --> 00:48:47,270
+infinity بتساوي ال limit ل f of y n as n tends to
+
+354
+00:48:47,270 --> 00:48:57,070
+infinity وهذا مستحيل which is impossible وهذا زي
+
+355
+00:48:57,070 --> 00:49:03,150
+ما شوفنا مستحيل impossible لأن طولها limit f of x
+
+356
+00:49:03,150 --> 00:49:09,390
+in بساوي صفر و limit f of y in بساوي واحد إذن
+
+357
+00:49:09,390 --> 00:49:13,470
+هنا استخدمنا sequential criterion في إثبات إن ال
+
+358
+00:49:13,470 --> 00:49:17,330
+limit لل function f of x بساوي sign واحد على x
+
+359
+00:49:17,330 --> 00:49:24,490
+غير موجودة عند الصفر طيب
+
+360
+00:49:24,490 --> 00:49:30,120
+هناخد break خمس دقائق وبعدين نواصل المحاضرة
+
+361
+00:49:30,120 --> 00:49:31,840
+الثانية

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/7K-d4aAzbLs_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1444 @@
+1
+00:00:21,410 --> 00:00:29,070
+السلام عليكم اليوم في اللقاء الأول هناخد مناقشة و
+
+2
+00:00:29,070 --> 00:00:36,710
+اعتقد ان احنا في المناقشة السابقة وصلنا ل section
+
+3
+00:00:36,710 --> 00:00:46,810
+تلاتة خمسة، أصبع؟ فممكن
+
+4
+00:00:46,810 --> 00:01:07,930
+اليومبنناقش section تلاتة ستة أو تلاتة سبعة في
+
+5
+00:01:07,930 --> 00:01:14,710
+أي أسل عندكم في section تلاتة خمسة أو section
+
+6
+00:01:14,710 --> 00:01:25,230
+تلاتة ستةثلاثة ستة السؤال ستة أي سؤال سؤال ستة ستة
+
+7
+00:01:25,230 --> 00:01:35,470
+سؤال
+
+8
+00:01:35,470 --> 00:01:37,650
+ستة section تلاتة ستة
+
+9
+00:01:46,160 --> 00:01:58,020
+let x in let the sequence x in be properly die
+
+10
+00:01:58,020 --> 00:02:05,920
+there and let
+
+11
+00:02:05,920 --> 00:02:24,780
+and let y inب such that limit x in ضرب y in limit
+
+12
+00:02:24,780 --> 00:02:31,980
+حصل ضرب لما n تقول لinfinity الساوي
+
+13
+00:02:31,980 --> 00:02:40,620
+L ينتمي إلى R يعني exists in R شو
+
+14
+00:02:40,620 --> 00:02:54,410
+مطلوبثم اثبت اظهر ان سيكوينس ين يتعامل
+
+15
+00:02:54,410 --> 00:03:10,230
+بالزيرو حل
+
+16
+00:03:10,230 --> 00:03:17,950
+السؤال هذا بعتمدعلى سؤال سابق اللي هو سؤال تلاتة
+
+17
+00:03:17,950 --> 00:03:27,190
+فالسؤال
+
+18
+00:03:27,190 --> 00:03:32,430
+هذا بيقول ان f
+
+19
+00:03:32,430 --> 00:03:50,310
+x n أكبر من سفر لكل n عدد طبيعيو ال then
+
+20
+00:03:50,310 --> 00:04:03,990
+limit xn بساوي zero if and only if limit واحد على
+
+21
+00:04:03,990 --> 00:04:10,350
+xn as n tends to infinity بساوي plus infinity
+
+22
+00:04:20,790 --> 00:04:27,670
+Okay لأن في سؤال طلعتها إذا كانت xn حدود sequence
+
+23
+00:04:27,670 --> 00:04:36,290
+حدودها موجة بقى و ف limit ال sequence xn بساوي سفر
+
+24
+00:04:36,290 --> 00:04:41,350
+if and only if limit مقلوب ال sequence xn بساوي
+
+25
+00:04:41,350 --> 00:04:42,190
+plus infinity
+
+26
+00:04:46,230 --> 00:04:52,690
+و طبعا في كمان ممكن نثبت ان لو كانت ال Xn حدودها
+
+27
+00:04:52,690 --> 00:05:00,950
+سالبة ف limit Xn بساوي صفر F and only F limit واحد
+
+28
+00:05:00,950 --> 00:05:03,970
+على Xn بساوي negative infinity
+
+29
+00:05:15,220 --> 00:05:24,480
+بما أن xn هو بشكل صحيح ديبيرزينت
+
+30
+00:05:24,480 --> 00:05:39,580
+ثم قيمة xn بساوي إفينتي أو قيمة xn بساوي نيجاتيف
+
+31
+00:05:39,580 --> 00:05:40,180
+إفينتي
+
+32
+00:05:45,460 --> 00:05:52,220
+case one ناخد الحالة الأولى اللى فيها limit xm
+
+33
+00:05:52,220 --> 00:05:59,860
+بساوي infinity by
+
+34
+00:05:59,860 --> 00:06:03,560
+exercise
+
+35
+00:06:03,560 --> 00:06:15,020
+رقم تلاتة section تلاتة ستةوالـ exercise اللى فوق
+
+36
+00:06:15,020 --> 00:06:18,100
+هذا
+
+37
+00:06:18,100 --> 00:06:27,160
+معناه انه we have هيطلع انه limit مطلوب ال
+
+38
+00:06:27,160 --> 00:06:38,000
+sequence xn as n tends to infinity بفلع صفر يعني
+
+39
+00:06:38,000 --> 00:06:44,710
+اعتبرى هذه هي xnتعتبر ال 1 على xn هي xn فإذا كان
+
+40
+00:06:44,710 --> 00:06:49,510
+limit xn بساوي infinity فlimit مقلوب ال xn اللي
+
+41
+00:06:49,510 --> 00:06:57,530
+هنا مقلوب اللي هو ايه بتطلع سفر ولا عكس يعني هنا
+
+42
+00:06:57,530 --> 00:07:03,850
+نفس ال exercise بس badly xn بواحد على xn فهذه
+
+43
+00:07:03,850 --> 00:07:08,690
+نتيجة صحية تمام hence
+
+44
+00:07:13,030 --> 00:07:16,810
+الـ limit ل
+
+45
+00:07:16,810 --> 00:07:29,290
+YN as intense infinity بساوي ال limit ال
+
+46
+00:07:29,290 --> 00:07:38,110
+YN ممكن كتبتها على صورة على
+
+47
+00:07:38,110 --> 00:07:39,310
+صورة
+
+48
+00:07:46,210 --> 00:07:55,770
+xn في yn ضرب 1
+
+49
+00:07:55,770 --> 00:08:01,290
+على xn صح
+
+50
+00:08:01,290 --> 00:08:09,850
+نظبط هيك ال yn هي عبارة عن xn في yn في 1 على xn
+
+51
+00:08:12,880 --> 00:08:18,360
+الان ال limit هذه لحد الأول exist و limit ل واحد
+
+52
+00:08:18,360 --> 00:08:22,660
+على xn برضه exist اذا ال limit حاصل ضرب بساوي حاصل
+
+53
+00:08:22,660 --> 00:08:27,540
+ضرب ال limits بقدر استخدم القانون هذا هطبق انه
+
+54
+00:08:27,540 --> 00:08:32,360
+limit حاصل ضرب two sequences بساوي limit الأولى
+
+55
+00:08:32,360 --> 00:08:41,100
+اللي هي حاصل ضرب xn ynدرب limit الـ sequence
+
+56
+00:08:41,100 --> 00:08:48,180
+التانية هي واحد على X end as n tends to infinity و
+
+57
+00:08:48,180 --> 00:08:53,940
+ال limit الأولى مش سامناها عدد L لما exist ضرب ال
+
+58
+00:08:53,940 --> 00:09:01,600
+limit التانية سفر فبطلع عندي سفر و هو المطلوب فهنا
+
+59
+00:09:01,600 --> 00:09:05,920
+أثبتنا في الحالة التانية case two
+
+60
+00:09:10,140 --> 00:09:24,200
+لو كانت ال limit لـ xn بساوي negative infinity ففي
+
+61
+00:09:24,200 --> 00:09:29,580
+الحالة هذه بيطلع عندي برضه by exercise تلاتة
+
+62
+00:09:29,580 --> 00:09:36,020
+section تلاتة ستة بس هنا مع التعديل هيطلع ان ال
+
+63
+00:09:36,020 --> 00:09:44,910
+limitلا واحد على اكس ان مثلا سفر و باقي البرهان
+
+64
+00:09:44,910 --> 00:09:58,730
+and the rest of the proof is similar to
+
+65
+00:09:58,730 --> 00:09:59,450
+case one
+
+66
+00:10:03,650 --> 00:10:09,850
+Okay تمام اذا هذا اللي هو البرهام ان الادكارة
+
+67
+00:10:09,850 --> 00:10:15,870
+تعتمد على exercise ثلاثة المهم وهو ان limit ل
+
+68
+00:10:15,870 --> 00:10:19,750
+sequence بيساوي infinity if and only if limit
+
+69
+00:10:19,750 --> 00:10:24,810
+مقلوب ال sequence بيساوي سفر او لعكس تمام و هذا
+
+70
+00:10:34,460 --> 00:10:39,400
+في عنكم أسئلة تانية؟
+
+71
+00:10:39,400 --> 00:10:45,260
+في
+
+72
+00:10:45,260 --> 00:10:49,220
+أسئلة تانية section تلاتة ستة الفرق بيه من سؤال
+
+73
+00:10:49,220 --> 00:10:49,680
+تسعة
+
+74
+00:11:33,220 --> 00:11:41,380
+حاول نكتب السؤال و بعدين السؤال
+
+75
+00:11:41,380 --> 00:11:43,600
+تسعة section تلاتة ع ستة
+
+76
+00:11:53,320 --> 00:12:04,400
+لت XIN و YIN بيكونوا عاملين من عاملين من عاملين من
+
+77
+00:12:04,400 --> 00:12:06,860
+عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من
+
+78
+00:12:06,860 --> 00:12:09,100
+عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من
+
+79
+00:12:09,100 --> 00:12:22,440
+عاملين من عاملين
+
+80
+00:12:31,890 --> 00:12:44,270
+مطلوب الأول هو show if limit yn بساوي infinity
+
+81
+00:12:44,270 --> 00:12:51,370
+then limit
+
+82
+00:12:51,370 --> 00:12:53,590
+xn بساوي infinity
+
+83
+00:12:56,820 --> 00:13:10,660
+والجزء التاني show if x in is bounded then
+
+84
+00:13:10,660 --> 00:13:15,680
+limit
+
+85
+00:13:15,680 --> 00:13:25,600
+y in is serviceable طبعا
+
+86
+00:13:30,880 --> 00:13:39,520
+في برهانين لل ..
+
+87
+00:13:39,520 --> 00:13:47,540
+لل exercise هذا البرهان الأول باستخدام
+
+88
+00:13:47,540 --> 00:13:55,580
+exercise 7 اللي جابله يعني هنا since
+
+89
+00:13:55,580 --> 00:14:04,790
+من الفرض لما انه limitxn على yn as n tends to
+
+90
+00:14:04,790 --> 00:14:15,150
+infinity بساوي plus infinity then by exercise
+
+91
+00:14:15,150 --> 00:14:24,790
+تلاتة section تلاتة ستة if limit sequence بساوي
+
+92
+00:14:24,790 --> 00:14:30,780
+infinityبطلع limit مقلوب الـ sequence اللي هو y in
+
+93
+00:14:30,780 --> 00:14:40,920
+على x and as n tends to infinity بساوي سبعة now
+
+94
+00:14:40,920 --> 00:14:44,480
+apply
+
+95
+00:14:44,480 --> 00:14:47,900
+exercise
+
+96
+00:14:47,900 --> 00:14:55,940
+رقم سبعة section تلاتة ستة to
+
+97
+00:14:55,940 --> 00:14:56,340
+get
+
+98
+00:14:59,870 --> 00:15:13,950
+the results in a and b وهذا بيعطيني مرغب لو بصيت و
+
+99
+00:15:13,950 --> 00:15:18,950
+لا ال exercise
+
+100
+00:15:18,950 --> 00:15:25,070
+سبعة في ال exercise سبعة بيقول ده كانت ال limit لل
+
+101
+00:15:25,070 --> 00:15:30,880
+quotientلـ quotient زي هذا بساوي صفر و x in و y in
+
+102
+00:15:30,880 --> 00:15:37,200
+حدودهم موجبة ففي الحالة هذه إذا كانت limit ال
+
+103
+00:15:37,200 --> 00:15:47,200
+sequence اللي تحت convergent إذا
+
+104
+00:15:47,200 --> 00:15:50,240
+كانت limit ال sequence اللي تحت
+
+105
+00:15:56,100 --> 00:16:01,960
+لأ limit ال sequence اللي فوق اللي هي yn هنا
+
+106
+00:16:01,960 --> 00:16:06,040
+infinity فبطلع limit xn بال 7 infinity اللي هو جزء
+
+107
+00:16:06,040 --> 00:16:12,980
+11وكمان اذا كانت ال sequence اللى فى المقام
+
+108
+00:16:12,980 --> 00:16:16,520
+bounded اللى هى x in هنا طبعا فى المقام bounded
+
+109
+00:16:16,520 --> 00:16:21,500
+فرقة ال sequence اللى فى ال bust تطلع يساوي 0 وهذا
+
+110
+00:16:21,500 --> 00:16:25,740
+هو الجزء التانى هذا حسب هذا لو بدنا نستخدم
+
+111
+00:16:25,740 --> 00:16:33,610
+exercise رقم 7 وطبعا لازم نبرهنهلكن ممكن نعطي
+
+112
+00:16:33,610 --> 00:16:39,710
+برهان مباشر بدون ما يستخدم exercise السابعة
+
+113
+00:16:39,710 --> 00:16:49,670
+وبالتالي إذا في حال تاني أو برهان تاني باستخدام
+
+114
+00:16:49,670 --> 00:16:57,900
+التعريفات وال comparison testsباستخدام التعريفات
+
+115
+00:16:57,900 --> 00:17:01,820
+زايد ال comparison tests اختبارات المقارنة ال
+
+116
+00:17:01,820 --> 00:17:09,240
+proof رقم اتنين since
+
+117
+00:17:09,240 --> 00:17:16,820
+اننا ننسى هذا القرآن انا عند هذه الفرض since limit
+
+118
+00:17:16,820 --> 00:17:24,630
+ل xn over yn هذا عبارة عن sequenceلأن الـ limit
+
+119
+00:17:24,630 --> 00:17:33,410
+إلا بالساقر plus infinity then given Alpha أي real
+
+120
+00:17:33,410 --> 00:17:41,610
+number Alpha من تعريف الـ improper convergence
+
+121
+00:17:41,610 --> 00:17:50,030
+لأي Alpha there exists capital N يعتمد على Alpha
+
+122
+00:17:50,030 --> 00:17:56,450
+عدد قضيةبحيث انه يكون M أكبر من أوسع ال capital M
+
+123
+00:17:56,450 --> 00:18:12,950
+بطلع عندي XM على YM أكبر من Alpha طبعا
+
+124
+00:18:12,950 --> 00:18:20,480
+وهذا بيقدي ان XM أكبر من Alpha في YMلما عندي yn
+
+125
+00:18:20,480 --> 00:18:26,120
+هنا موجبة لما أضرب الطرفين في yn التباينة إشارتها
+
+126
+00:18:26,120 --> 00:18:32,340
+تبقى كما هي إذا
+
+127
+00:18:32,340 --> 00:18:40,880
+أنا عندي الان الكلام هذا صحيح لكل n أكبر من أوسع
+
+128
+00:18:40,880 --> 00:18:46,540
+كابتن الان الان
+
+129
+00:18:46,540 --> 00:18:47,360
+by
+
+130
+00:18:49,930 --> 00:18:56,930
+بمعنى الـ Direct Comparison Test بما
+
+131
+00:18:56,930 --> 00:19:02,970
+انه limit yn
+
+132
+00:19:02,970 --> 00:19:04,130
+بالساوي infinity
+
+133
+00:19:25,130 --> 00:19:33,010
+ناخد alpha في واحد ممكن
+
+134
+00:19:33,010 --> 00:19:37,750
+اه ناخد alpha في واحد صح دي من ال alpha دي ثاني
+
+135
+00:19:37,750 --> 00:19:49,320
+واحد يعني ثاني ال R مظبوط فده واحد وبتاني واحدبما
+
+136
+00:19:49,320 --> 00:19:54,600
+ان ال limit ل yn
+
+137
+00:19:54,600 --> 00:20:02,180
+بساوي infinity نحن نحصل على limit ل xn بساوي
+
+138
+00:20:02,180 --> 00:20:06,640
+infinity لان هذا بثبت الجزء الأول انت بدك الجزء
+
+139
+00:20:06,640 --> 00:20:08,160
+التاني صح؟ طيب
+
+140
+00:20:15,760 --> 00:20:19,840
+بنشوف الجزء التاني إذا كانت ال sequence x in
+
+141
+00:20:19,840 --> 00:20:27,400
+bounded فبنلمط y in بسرعه نصف طيب
+
+142
+00:20:27,400 --> 00:20:32,420
+الجزء
+
+143
+00:20:32,420 --> 00:20:43,340
+دي since x in is bounded إذن
+
+144
+00:20:43,340 --> 00:20:48,760
+في عدد موجبThere exists m positive number بحيث انه
+
+145
+00:20:48,760 --> 00:20:57,360
+absolute xm أصغر من أو ساوي m لكل m في n هذا من
+
+146
+00:20:57,360 --> 00:21:05,280
+تعريف الboundary نفسي طيب بالمنفذ بتاعنا ايه؟ ان
+
+147
+00:21:05,280 --> 00:21:16,480
+ال limit ل ym بساعة صفر طيب to showlimit yn بساوي
+
+148
+00:21:16,480 --> 00:21:23,260
+zero let epsilon بنستخدم تعريف epsilon capital M
+
+149
+00:21:23,260 --> 00:21:32,060
+لإن هي let epsilon أكبر من الصفر be given من
+
+150
+00:21:32,060 --> 00:21:39,100
+epsilon على M بيطلع عدد موجب من
+
+151
+00:21:41,390 --> 00:21:52,910
+العدد الموجب يعتمد
+
+152
+00:21:52,910 --> 00:21:58,830
+على إبسلون على م يعتبر
+
+153
+00:21:58,830 --> 00:22:01,590
+إبسلون على م
+
+154
+00:22:16,450 --> 00:22:24,150
+أنا عندي ايش عندي بدي
+
+155
+00:22:24,150 --> 00:22:31,170
+أثبت ان limit yn بالساوي سفر فخلينا نشوف
+
+156
+00:22:43,720 --> 00:22:54,900
+طيب أنا لازم أستخدم .. آه لازم أستخدم ..
+
+157
+00:22:54,900 --> 00:23:01,840
+طيب since ..
+
+158
+00:23:01,840 --> 00:23:06,820
+طيب بس هنا يعني خليني أقول since
+
+159
+00:23:11,850 --> 00:23:20,390
+بما أن ال limit ل yn على xn as n tends to infinity
+
+160
+00:23:20,390 --> 00:23:24,410
+أنا عندي المقلوب هذا ال limit تبعته infinity، هذا
+
+161
+00:23:24,410 --> 00:23:29,890
+ال limit تبعته سفر وهي عندي epsilon على m عدد موجة
+
+162
+00:23:29,890 --> 00:23:36,150
+given، there exists capital M يعتمد على epsilon
+
+163
+00:23:36,150 --> 00:23:47,110
+على mعدد طبيعي لحيث انه لكل n أكبر من أوسع ال
+
+164
+00:23:47,110 --> 00:23:56,850
+capital N بيطلع عندي absolute yn على xn minus ال
+
+165
+00:23:56,850 --> 00:24:05,850
+zero أصغر من epsilon على n تمام؟
+
+166
+00:24:07,690 --> 00:24:27,750
+طب ما هذا بيقدي فانا
+
+167
+00:24:27,750 --> 00:24:32,910
+بدي اثبت انه limit yn بالساو ستر يعني بدي اثبت انه
+
+168
+00:24:32,910 --> 00:24:38,980
+ال absolute valueلو كان n أكبر من أو ساوي capital
+
+169
+00:24:38,980 --> 00:24:44,920
+N بتثبت أن ال absolute value ل y in minus 0 أصغر
+
+170
+00:24:44,920 --> 00:24:50,020
+من epsilon عشان أثبت أن ال limit ل y in بساوي سفر
+
+171
+00:24:50,020 --> 00:24:55,520
+بتثبت أن ال absolute value ل y in minus 0 أصغر من
+
+172
+00:24:55,520 --> 00:25:00,500
+ال given epsilon طيب
+
+173
+00:25:00,500 --> 00:25:12,970
+هذا بساوي absoluteYn بيساوي أبقى عن Xn ضرب Yn
+
+174
+00:25:12,970 --> 00:25:26,270
+على Xn minus zero و هذا بيساوي absolute Xn في
+
+175
+00:25:26,270 --> 00:25:30,170
+absolute Yn على Xn
+
+176
+00:25:37,650 --> 00:25:44,410
+بتكون موضوع ممكن نحط سارة zero هنا طيب
+
+177
+00:25:44,410 --> 00:25:51,510
+هذا لكل N هذا أصغر من أو يساوي M وال absolute
+
+178
+00:25:51,510 --> 00:25:56,570
+value هذه لكل N أكبر من أو يساوي capital N هذا
+
+179
+00:25:56,570 --> 00:26:05,270
+أصغر من إبسلون على M إبسلون على M مش هبقى M مع N
+
+180
+00:26:05,270 --> 00:26:14,790
+بقى اللي عندي إبسلونطبعا؟ طيب since أكبر من السفر
+
+181
+00:26:14,790 --> 00:26:25,310
+was arbitrarily we get انه limit ل y in as in tens
+
+182
+00:26:25,310 --> 00:26:29,650
+of infinity بساوي zero و هو المفروض يعني هذا بيكمل
+
+183
+00:26:29,650 --> 00:26:35,380
+برعان الجزء بيه okay طبعا؟هذا على اعتبار ان احنا
+
+184
+00:26:35,380 --> 00:26:41,300
+exercise سبعة ما بنعرفوش بس في كل الأحوال احنا
+
+185
+00:26:41,300 --> 00:26:47,300
+استخدمنا exercise ثلاثة طبعا
+
+186
+00:26:47,300 --> 00:26:54,400
+هكذا بنثبت تسعة و سبعة بالمناسبة زيه بنفس الطريقة
+
+187
+00:26:54,400 --> 00:27:01,020
+بافكار مشابه ممكن اثباته بنفس السلوب بنفس النمط
+
+188
+00:27:03,510 --> 00:27:09,270
+كمان في أي أسئلة تانية في section تلاتة سبعة؟ إذا
+
+189
+00:27:09,270 --> 00:27:15,430
+مافيش خلينا ننتقل ل section تلاتة سبعة تبع
+
+190
+00:27:15,430 --> 00:27:20,110
+ال series هذا في
+
+191
+00:27:20,110 --> 00:27:24,550
+عندكم أي أسئلة في section تلاتة سبعة؟ تلاتة خمسة؟
+
+192
+00:27:24,550 --> 00:27:25,750
+تلاتة سبعة؟
+
+193
+00:27:44,990 --> 00:27:54,110
+في أي أسلة في section تلاتة سبعة أو تلاتة ستة
+
+194
+00:27:54,110 --> 00:28:07,910
+مافيش؟
+
+195
+00:28:07,910 --> 00:28:13,700
+السؤال تلاتة فرصة تلاتة سبعةالسؤال التالت الفارقة
+
+196
+00:28:13,700 --> 00:28:14,320
+السيه؟
+
+197
+00:28:28,470 --> 00:28:33,570
+استخدمت ال partial fractions؟ اه بس مش .. مش كله
+
+198
+00:28:33,570 --> 00:28:37,990
+بالغاية طلعت قيم A و C بيطلعوا نص و نص و B بيطلعوا
+
+199
+00:28:37,990 --> 00:28:43,770
+سالم واحد و بعد ما جيت اكمل مش كل الحدود بيطلعوا
+
+200
+00:28:43,770 --> 00:28:48,790
+بالطب معايا زي قمتي لو سؤاليني للجامعة اه عشان
+
+201
+00:28:48,790 --> 00:28:52,310
+هيكون تلات قصور يعني اه
+
+202
+00:28:54,820 --> 00:29:09,900
+بس لازم يكون فيه يعني تلاشي و فيه
+
+203
+00:29:09,900 --> 00:29:18,020
+.. نشوف
+
+204
+00:29:18,020 --> 00:29:22,040
+يعني مافيش تلاشي جيبت الارت برشا الصمت .. فيه
+
+205
+00:29:22,040 --> 00:29:26,940
+تلاشي بس فيه بيضغط اه بخلينا نشوفخلّيني أجرب
+
+206
+00:29:26,940 --> 00:29:44,520
+السؤال
+
+207
+00:29:44,520 --> 00:29:47,580
+تلاتة الفرق C سكتشن تلاتة سبعة
+
+208
+00:29:54,860 --> 00:29:59,300
+استخدم الـ partial fractions
+
+209
+00:29:59,300 --> 00:30:03,020
+لإظهار
+
+210
+00:30:03,020 --> 00:30:11,100
+أن عدد الـ infinite series sigma من ن يعني واحد
+
+211
+00:30:11,100 --> 00:30:21,320
+لإنفينيتي الواحد عشان ن في ن اضافة واحد لان اضافة
+
+212
+00:30:21,320 --> 00:30:23,600
+اثنين بساوي واحد اربعة
+
+213
+00:30:32,200 --> 00:30:37,060
+فبدنا نكتب هذا بتحلل و باستخدام ال partial
+
+214
+00:30:37,060 --> 00:30:43,740
+fractions إلى تلت قصور فجدتش
+
+215
+00:30:43,740 --> 00:30:48,080
+فرعة التواردة كانت دي؟ كان الأولى a بتسوي نص يعني
+
+216
+00:30:48,080 --> 00:30:57,340
+نص على n تانية سالب واحد سالب او زاد سالب واحد على
+
+217
+00:30:57,340 --> 00:31:09,270
+n plus one والاخيرة نصنص على n plus two تعالى
+
+218
+00:31:09,270 --> 00:31:18,590
+نحسب ال inf partial sum sn بسعر sigma من k بسعر
+
+219
+00:31:18,590 --> 00:31:31,370
+واحد الى n ل xk اللى هو واحد علىك في ك زائد واحد
+
+220
+00:31:31,370 --> 00:31:40,190
+في ك زائد اتنين بنبدل ن بالك وبعدين
+
+221
+00:31:40,190 --> 00:31:54,030
+هذا عبارة عن سيجما من ك بيسار واحد إلى ن و بنكتب
+
+222
+00:31:54,030 --> 00:31:57,350
+هذا واحد على
+
+223
+00:32:00,560 --> 00:32:07,980
+2k سالب واحد
+
+224
+00:32:07,980 --> 00:32:16,740
+على ك زائد واحد موجب خلينا
+
+225
+00:32:16,740 --> 00:32:21,800
+نحط الحاجات الموجبة مع بعض يعني زائد واحد على
+
+226
+00:32:21,800 --> 00:32:26,360
+اتنين ك زائد اربعة
+
+227
+00:32:28,860 --> 00:32:36,700
+-1 على K-1 و
+
+228
+00:32:36,700 --> 00:32:42,140
+بعدين نكتب أول شوية حدوث مهم جدا اللي كل ثوابت هذه
+
+229
+00:32:42,140 --> 00:32:48,080
+صح يعني في حد تاني جابهم متأكد من صحتهم لإن لو
+
+230
+00:32:48,080 --> 00:32:50,680
+فيهم خطأ مش هنقبلهم و نطلع الجواب
+
+231
+00:33:03,670 --> 00:33:08,910
+فنكتب أول حد هي .. أول حد هيكون لما كيب الساعة
+
+232
+00:33:08,910 --> 00:33:17,090
+واحد .. نص .. هيطلع نص زائد واحد على .. تمانية ..
+
+233
+00:33:17,090 --> 00:33:24,090
+اتنين .. لأ واحد على ستة .. واحد على ستة صح ناقص
+
+234
+00:33:24,090 --> 00:33:26,110
+نص .. سالب نص
+
+235
+00:33:31,480 --> 00:33:38,960
+زاد لحد التاني واحد على تلاتة زاد
+
+236
+00:33:38,960 --> 00:33:41,520
+.. واحد على اربع .. واحد على اربع .. اربع .. الاول
+
+237
+00:33:41,520 --> 00:33:48,800
+واحد على اربع او واحد على اربع الاول و بعدين واحد
+
+238
+00:33:48,800 --> 00:33:53,040
+على .. تمانية .. واحد على تمانية .. تمانية ناقص
+
+239
+00:33:53,040 --> 00:34:03,060
+تلت مايناس تلت طيب قولي بعدهواحد على ستة واحد على
+
+240
+00:34:03,060 --> 00:34:09,380
+ستة واحد على ايه؟ على ستة واحد على عشرة اتنين في
+
+241
+00:34:09,380 --> 00:34:14,500
+تلاتة بستة اه واحد على ستة زائد واحد على عشرة زائد
+
+242
+00:34:14,500 --> 00:34:25,360
+واحد على عشرة minus ربع minus ربع زائد
+
+243
+00:34:25,360 --> 00:34:39,020
+و هكذا الاخر حد هيكون1 على 2n زائد 1 على 2n زائد 4
+
+244
+00:34:39,020 --> 00:34:55,940
+مع بعض و بعدين الثاني 1 على n زائد 1 فنشوف
+
+245
+00:34:55,940 --> 00:35:01,570
+أيش اللي بتلاعش و أيش اللي بيطلععين نص هنا راح عين
+
+246
+00:35:01,570 --> 00:35:07,190
+نص و
+
+247
+00:35:07,190 --> 00:35:20,090
+ربع هنا راح مع الربع هنا قلت
+
+248
+00:35:20,090 --> 00:35:26,030
+لك هذا مش هيروح مع حد صح؟ هذا يبقى
+
+249
+00:35:30,600 --> 00:35:36,960
+لكن الطمن هيروح والصدرس هيروح لإن الصدرس في مجموعة
+
+250
+00:35:36,960 --> 00:35:42,560
+ليه صدرس و الطمن هيجمع ليه الطمن بس برضه هييجي
+
+251
+00:35:42,560 --> 00:35:46,620
+ناقص واحد على تمانية و هيظل واحد على تمانية فيه؟
+
+252
+00:35:46,620 --> 00:35:51,220
+اه لما نقعد بالقمة سوى سبعة هيطلع اننا ناقص واحد
+
+253
+00:35:51,220 --> 00:35:54,040
+على تمانية اه اشي ناقص واحد على تمانية
+
+254
+00:35:56,980 --> 00:36:01,600
+و ممكن كمان برز واحد على ستة او في برز واحد على
+
+255
+00:36:01,600 --> 00:36:08,020
+ستة سيطلع سالب واحد على ستة لإن بيساوي خمسة سيطلع
+
+256
+00:36:08,020 --> 00:36:14,700
+ثاندي سالب واحد على ستة فمين اللي بيضل على المحدود
+
+257
+00:36:14,700 --> 00:36:21,140
+يعني
+
+258
+00:36:21,140 --> 00:36:33,420
+بتاعي هذا ستس هيبقى هذا هيروحو هذا هيروحك يعني
+
+259
+00:36:33,420 --> 00:36:39,600
+شو اللي بضلف الآخر يعني
+
+260
+00:36:39,600 --> 00:36:46,060
+انا بتاعي اللي هيضلف الآخر اللي هو يمكن السدر
+
+261
+00:36:46,060 --> 00:36:53,860
+السادى ناقص تلت ناقص تلت و هنا
+
+262
+00:36:58,270 --> 00:37:05,290
+كل حد بيروح مع ادم فوضوح يروح مع اللي بعده فمش
+
+263
+00:37:05,290 --> 00:37:15,870
+هيروح مع حد فهيبقى واحد على اتنين يعني و
+
+264
+00:37:15,870 --> 00:37:19,030
+.. ايش هبقى كمان؟
+
+265
+00:37:30,970 --> 00:37:36,990
+هذا هيروح هيبقى له اتنين هدول اتالي ايه مظلوم زاد
+
+266
+00:37:36,990 --> 00:37:51,870
+واحد على اتنين ام زاد اربع سدس
+
+267
+00:37:51,870 --> 00:37:59,410
+minus تلت تطلع minus سدس وهذا مروح من صفر مش مظلوم
+
+268
+00:38:08,750 --> 00:38:15,650
+المفروض ال limit تطلع ربعها بالتالي
+
+269
+00:38:15,650 --> 00:38:19,710
+لازم احنا نكتب مزيد من الحدود عشان نشوف كيف النمط
+
+270
+00:38:19,710 --> 00:38:22,150
+.. كيف النمط هيصير
+
+271
+00:38:27,470 --> 00:38:34,430
+فبدأ عملية grouping للحدود تجميع ويعني حصول علامات
+
+272
+00:38:34,430 --> 00:38:41,310
+معينة مش عارف انا مش متأكد ان هذا هتكون صح يمكن
+
+273
+00:38:41,310 --> 00:38:55,770
+في شغلات تانية بتبقى واحنا ماذكرناش فال
+
+274
+00:38:55,770 --> 00:38:56,090
+..
+
+275
+00:38:59,080 --> 00:39:04,640
+ذا بده فحص اه فخلينا نقول try it again try it
+
+276
+00:39:04,640 --> 00:39:07,780
+again
+
+277
+00:39:07,780 --> 00:39:17,200
+خلينا نحاول فيه مرة تانية و نحاول يعني نقدر نخلي
+
+278
+00:39:17,200 --> 00:39:22,740
+يعني هذا يساوي ربع او يساوي حاجة ال limit بقتها في
+
+279
+00:39:22,740 --> 00:39:26,480
+النهاية هتطلع ربعوبالتالي ال limit لل sequence of
+
+280
+00:39:26,480 --> 00:39:29,180
+partial sums هيطلع ربعه وبالتالي ال series
+
+281
+00:39:29,180 --> 00:39:33,000
+conversion مجموعة بساوي ال limit لل partial sums
+
+282
+00:39:33,000 --> 00:39:38,700
+فهذا يعني مشكوك فيه شكله مش صح نحاول مرة تانية فيه
+
+283
+00:39:38,700 --> 00:39:43,100
+و بعدين نشوف يعني كيف مين اللي بصل للجواب الصح
+
+284
+00:39:43,100 --> 00:39:48,720
+نحاول نكتبه مرة تانية okay تمام لكن يعني ماهواش
+
+285
+00:39:48,720 --> 00:39:53,570
+مستحيل أو ماهواش يعني صعبممكن اي واحد يتواصل اليه
+
+286
+00:39:53,570 --> 00:39:58,990
+بس بده ايه مزيد من الحدود والاستنتاج نمط معين
+
+287
+00:39:58,990 --> 00:40:04,370
+فخلينا نسيبكم تفكروا فيه كمان مرة في اسئلة تانية
+
+288
+00:40:04,370 --> 00:40:08,990
+في ال section هذا فحاولوا
+
+289
+00:40:08,990 --> 00:40:11,170
+تفكروا فيه في اسئلة تانية
+
+290
+00:40:17,700 --> 00:40:21,980
+في أسئلة تانية في section تلاتة سبعة أو السكاشن
+
+291
+00:40:21,980 --> 00:40:32,680
+السابقة اللى تسبقه تلاتة ستة تلاتة خمسة في
+
+292
+00:40:32,680 --> 00:40:38,140
+كتير أسئلة يعني مطلوبة منكم واضح أن انتم مش محضرين
+
+293
+00:40:38,140 --> 00:40:42,420
+ولا دارسين الموضوع وبالتالي ماعندكم مش أسئلة
+
+294
+00:40:46,220 --> 00:40:54,880
+فإلى أن يكون عندكم أسئلة بنكمل المناقشة يوم السبت
+
+295
+00:40:54,880 --> 00:40:59,860
+الجاي أو تحضروا المناقشة مع الشعبة التانية يوم
+
+296
+00:40:59,860 --> 00:41:05,140
+الأربع خلينا
+
+297
+00:41:05,140 --> 00:41:14,690
+نرجع لل limits of functions وناخد المثال الأخيرفي
+
+298
+00:41:14,690 --> 00:41:16,930
+ال section هداك
+
+299
+00:41:46,290 --> 00:41:50,970
+المرة الجاية دخلنا اثبتنا
+
+300
+00:41:50,970 --> 00:42:02,310
+ان ال limit اثبتنا
+
+301
+00:42:02,310 --> 00:42:05,450
+ان ال candy انتي مثال رقم 2
+
+302
+00:42:08,630 --> 00:42:15,350
+لسفر function ل X لما X تقول لسفر does not exist
+
+303
+00:42:15,350 --> 00:42:19,270
+أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و
+
+304
+00:42:19,270 --> 00:42:21,290
+أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و
+
+305
+00:42:21,290 --> 00:42:21,570
+أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و
+
+306
+00:42:21,570 --> 00:42:21,890
+أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و
+
+307
+00:42:21,890 --> 00:42:22,210
+أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و
+
+308
+00:42:22,210 --> 00:42:22,610
+أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و
+
+309
+00:42:22,610 --> 00:42:25,970
+أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و
+
+310
+00:42:25,970 --> 00:42:33,830
+أخدنا هذا و أخدنا
+
+311
+00:42:33,830 --> 00:42:46,640
+هذا و أوحد على X لما X تقول لسفر does not exist in
+
+312
+00:42:46,640 --> 00:42:50,400
+R فلبرحان
+
+313
+00:42:50,400 --> 00:42:56,700
+ذلك let
+
+314
+00:42:56,700 --> 00:43:04,380
+F of X تساوي صين واحد على X و X لا تساوي سفر
+
+315
+00:43:10,730 --> 00:43:16,210
+و بعدين we consider two
+
+316
+00:43:16,210 --> 00:43:20,870
+sequences واحدة
+
+317
+00:43:20,870 --> 00:43:33,750
+xn الحد لعام تبعها أدارة عن واحد على واحد
+
+318
+00:43:33,750 --> 00:43:38,030
+على n πاي و n ينتمي ل z
+
+319
+00:43:41,720 --> 00:43:47,620
+و Yn لحد الآن تبعها واحد على πاي على تمين زاد
+
+320
+00:43:47,620 --> 00:43:56,020
+اتنين N πاي و N ينتمي الى Z هذا عبارة عن Sequences
+
+321
+00:43:56,020 --> 00:44:01,300
+of positive numbers
+
+322
+00:44:04,950 --> 00:44:12,130
+واضح ان ال limit ل xn as n tends to infinity بساوي
+
+323
+00:44:12,130 --> 00:44:20,290
+0 وكذلك ال limit ل yn لما n تقول infinity برضه
+
+324
+00:44:20,290 --> 00:44:24,730
+بساوي 0 لان المقان لما n تقول infinity المقان
+
+325
+00:44:24,730 --> 00:44:32,090
+بيروح ل infinity طيب
+
+326
+00:44:32,090 --> 00:44:33,690
+الآن ال limit
+
+327
+00:44:37,860 --> 00:44:42,420
+الـ image لـ sequence xn لما n تقول الانفلتين
+
+328
+00:44:42,420 --> 00:44:55,500
+بساوي ال limit ل sign xn لما n تقول الانفلتين وهذا
+
+329
+00:44:55,500 --> 00:45:05,620
+بساوي ال limit ل sign n في pi لما n تقول الانفلتين
+
+330
+00:45:06,340 --> 00:45:16,300
+Sin N في Pi بساوي واحد بساوي سفر لكل N وبالتالي
+
+331
+00:45:16,300 --> 00:45:21,640
+هذا بساوي limit ال sequence سفر لما N طولة
+
+332
+00:45:21,640 --> 00:45:32,600
+infinity بساوي سفر and limit
+
+333
+00:45:33,900 --> 00:45:41,360
+الإمج للسيكوينس YM لما N تقول انفينيتي بساوي limit
+
+334
+00:46:08,450 --> 00:46:16,370
+وهذا المفروض يكون sign
+
+335
+00:46:16,370 --> 00:46:24,840
+1 على xn وهذا المفروض يكون sign 1 على ynمقلوب y in
+
+336
+00:46:24,840 --> 00:46:34,540
+بيطلع بساوي πاية اتنين ازايد اتنين in πاية وهذا
+
+337
+00:46:34,540 --> 00:46:44,040
+المقدار دايما بساوي واحد لكل in اذا انا في عندي
+
+338
+00:46:44,040 --> 00:46:51,770
+limit لل sequence بالحد العام تبعها واحدالسيكوانس
+
+339
+00:46:51,770 --> 00:46:57,670
+تابعة واحد وهذا بالساوية واحد ان ان انا في عندي
+
+340
+00:46:57,670 --> 00:47:03,710
+two sequences Xm تقولها سفر و limit صورتها
+
+341
+00:47:03,710 --> 00:47:09,050
+بالساوية سفر و في عندي سيكوانس تانية Ym ال limit
+
+342
+00:47:09,050 --> 00:47:13,650
+تبعتها ايضا بالساوية سفر لكن limit صورتها بالساوية
+
+343
+00:47:13,650 --> 00:47:17,310
+واحد وبالتالي
+
+344
+00:47:20,360 --> 00:47:28,340
+by sequential criterion ال
+
+345
+00:47:28,340 --> 00:47:35,480
+limit لل function f of x لما x تقول ل0 does not
+
+346
+00:47:35,480 --> 00:47:46,440
+exist in R مش ممكن تكون موجودة في R لأن
+
+347
+00:47:46,440 --> 00:47:53,900
+لو كانت ال limit هذه موجودةفالمفروض limit صورة xn
+
+348
+00:47:53,900 --> 00:48:02,060
+بما أن xn تقول السفر نكتب
+
+349
+00:48:02,060 --> 00:48:07,180
+since otherwise لأن
+
+350
+00:48:07,180 --> 00:48:14,780
+لو كلاك ذلك لو كانت هذه موجودة if limit
+
+351
+00:48:20,170 --> 00:48:25,210
+فى limit ل F of X لما X تقول لسة exist
+
+352
+00:48:32,710 --> 00:48:39,990
+then المفروض ال limit ل f of x n لما n تقول
+
+353
+00:48:39,990 --> 00:48:47,270
+infinity بتساوي ال limit ل f of y n as n tends to
+
+354
+00:48:47,270 --> 00:48:57,070
+infinity وهذا مستحيل which is impossible وهذا زي
+
+355
+00:48:57,070 --> 00:49:03,150
+ما شوفنا مستحيل impossibleلأن طولها limit f of x
+
+356
+00:49:03,150 --> 00:49:09,390
+in بالساوي سفر و limit f of y in بالساوي واحد إذن
+
+357
+00:49:09,390 --> 00:49:13,470
+هنا استخدمنا sequential criterion في إثبات إن ال
+
+358
+00:49:13,470 --> 00:49:17,330
+limit لل function f of x بالساوي صين واحد على x
+
+359
+00:49:17,330 --> 00:49:24,490
+غير موجودة عند السفر طيب
+
+360
+00:49:24,490 --> 00:49:30,120
+هناخد break خمس دقايق و بعدين نواصلالمحاضرة
+
+361
+00:49:30,120 --> 00:49:31,840
+التانية
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/8Xs3EWM1_9g_raw.srt

@@ -0,0 +1,896 @@
+1
+00:00:21,620 --> 00:00:25,660
+طيب ناخد أمثلة
+
+2
+00:00:25,660 --> 00:00:31,280
+كيف نجيب ال supremum و ال infimum لمجموعات جزئية
+
+3
+00:00:31,280 --> 00:00:36,300
+من مجموعة الأعداد الحقيقية فلو أخدت الفترة المغلقة
+
+4
+00:00:36,300 --> 00:00:42,660
+من سفر لواحد فعايز أفبت claim هنا ادعي ان ال
+
+5
+00:00:42,660 --> 00:00:48,540
+supremum لست اسم سار واحدلبرهان ذلك حسب تعريف ال
+
+6
+00:00:48,540 --> 00:00:53,320
+supremum اللي هو least upper bound لازم أثبت شرطين
+
+7
+00:00:53,320 --> 00:00:59,140
+أول شي الواحد upper bound ل S وهذا صحيح واضح واحد
+
+8
+00:00:59,140 --> 00:01:03,860
+is upper bound لمجموع S لأن الواحد أكبر من أو
+
+9
+00:01:03,860 --> 00:01:08,930
+يساوي كل العناصر اللي في الفترة صح؟إذاً واحد upper
+
+10
+00:01:08,930 --> 00:01:13,170
+bound الآن لإثبات أن واحد هو أصغر upper bound ال
+
+11
+00:01:13,170 --> 00:01:16,950
+supremum يعني لازم أثبته أن واحد أصغر من أو ساوي
+
+12
+00:01:16,950 --> 00:01:25,170
+أي upper bound فلو خدنا V V any upper bound فال V
+
+13
+00:01:25,170 --> 00:01:28,310
+أكبر من أو ساوي كل العناصر اللي هنا من ضمنها
+
+14
+00:01:28,310 --> 00:01:33,530
+الواحدإذن ال V أكبر من أو ساوي ال واحد الان واحد
+
+15
+00:01:33,530 --> 00:01:38,230
+upper bound والواحد أصغر من أو ساوي أي upper bound
+
+16
+00:01:38,230 --> 00:01:43,910
+V إذن ال واحد هو ال supremum إذن هيك أثبتنا إن
+
+17
+00:01:43,910 --> 00:01:49,390
+واحد هو ال supremum بالمثل ممكن أثبات إن العنصر أو
+
+18
+00:01:49,390 --> 00:01:54,170
+العدد سفر هو ال infimum للفترة المغلقة من سفر إلى
+
+19
+00:01:54,170 --> 00:02:00,850
+واحدطيب مثال تاني لو أخدت T هي الفترة المفتوحة من
+
+20
+00:02:00,850 --> 00:02:11,950
+0 ل1 فبرضه كمان لو
+
+21
+00:02:11,950 --> 00:02:18,030
+أخدت T هي الفترة المفتوحة من 0 ل1 فممكن أثبات أن
+
+22
+00:02:18,030 --> 00:02:23,970
+ال supremum ل T هو 1واضح ان الواحد upper bound
+
+23
+00:02:23,970 --> 00:02:29,030
+للست للفترة المفتوحة لأن واحد أكبر من أو ساوي كل
+
+24
+00:02:29,030 --> 00:02:34,390
+ال X اللي هنا هذا واضح الان لإثبات أن الواحد هذا
+
+25
+00:02:34,390 --> 00:02:37,310
+هو ال supremum في لمّة واحد اتناش خدناها المرة
+
+26
+00:02:37,310 --> 00:02:42,070
+اللي فاتت بتقول عشان ال upper bound واحد يكون هو
+
+27
+00:02:42,070 --> 00:02:47,310
+ال supremum لازم أثبت أنه في شرط لكل ابسلون أكبر
+
+28
+00:02:47,310 --> 00:02:56,120
+من السفر يوجدعنصر S Y في السفر S أو T هنا بحيث أنه
+
+29
+00:02:56,120 --> 00:03:02,300
+واحد سالب ال epsilon أصغر من S epsilon فهنثبت
+
+30
+00:03:02,300 --> 00:03:07,900
+الكلام هذا إذن هنا هينبدأ let epsilon أكبر من
+
+31
+00:03:07,900 --> 00:03:11,940
+السفر be given لأن ال epsilon هذا ممكن يكون أصغر
+
+32
+00:03:11,940 --> 00:03:17,980
+من أو ساوي الواحد أو أكبر من أو أكبر من الواحد
+
+33
+00:03:20,030 --> 00:03:22,970
+الإبسلون هذا عدد موجب ممكن جدا يكون أصغر من أو
+
+34
+00:03:22,970 --> 00:03:26,170
+ساوي الواحد أو أكبر من واحد ناخد الحالة الأولى، لو
+
+35
+00:03:26,170 --> 00:03:30,770
+إبسلون أصغر من أو ساوي الواحد فحاخد S إبسلون، أعرف
+
+36
+00:03:30,770 --> 00:03:36,330
+S إبسلون واحد سالب إبسلون على اتنين هذا العدد
+
+37
+00:03:36,330 --> 00:03:41,350
+بيطلع عدد أكبر من سفر وأصغر من واحد وبالتالي ينتمي
+
+38
+00:03:41,350 --> 00:03:45,510
+لتين الآن
+
+39
+00:03:45,510 --> 00:03:53,380
+لو أخدت واحد وطرحت منها إبسلونفهذا بيطلع أصغر يعني
+
+40
+00:03:53,380 --> 00:03:59,840
+لو أخدت واحد و طرحت منها epsilon فهذا أصغر من واحد
+
+41
+00:03:59,840 --> 00:04:06,500
+سالب epsilon ع اتنين هذا طرحت منه عدد أكبر من هذا
+
+42
+00:04:06,500 --> 00:04:17,080
+لذا هذا أصغر من التاني و بعدين ليش يقصر؟ طب
+
+43
+00:04:17,080 --> 00:04:25,100
+ما هذا هو S epsilonهذا هو سإبسلون إذا
+
+44
+00:04:25,100 --> 00:04:30,160
+في الحالة هذه لأي إبسلون أكبر من السفر هين أثبتت
+
+45
+00:04:30,160 --> 00:04:36,740
+إن يوجد سإبسلون في T وهذا الـ S إبسلون أكبر من
+
+46
+00:04:36,740 --> 00:04:40,600
+واحد سالب إبسلون أو واحد سالب إبسلون أصغر من S
+
+47
+00:04:40,600 --> 00:04:47,480
+إبسلون هذا هو الشرط اللي في لمبة واحد اتناش هينتقل
+
+48
+00:04:48,090 --> 00:04:52,170
+الحالة التانية، لو كان إمسنان أكبر من واحد فأكيد
+
+49
+00:04:52,170 --> 00:04:56,050
+واحد سالب إمسنان هيطلع عدد سالب، يعني أصغر من سفر،
+
+50
+00:04:56,050 --> 00:05:01,930
+وال X هذا .. ال X هذا لو أخدت أي X في T فأي X في T
+
+51
+00:05:01,930 --> 00:05:06,300
+موجب، أي X في T موجبإذن هين أثبتنا في الحالة
+
+52
+00:05:06,300 --> 00:05:13,160
+التانية إنه لو كان epsilon أكبر من واحد فبطلع مش
+
+53
+00:05:13,160 --> 00:05:18,620
+يوجد S epsilon واحد في T كل عناصر ال T بتحقق إنه
+
+54
+00:05:18,620 --> 00:05:24,120
+واحد سالب epsilon أصغر من S أو S epsilon وبالتالي
+
+55
+00:05:24,120 --> 00:05:28,420
+في كلتال حالتين ال both cases الشرط تبع لما واحد
+
+56
+00:05:28,420 --> 00:05:33,490
+اتناشر تبع ال supremum اللي بكافئ ال supremumمتحقق
+
+57
+00:05:33,490 --> 00:05:39,810
+وبالتالي واحد هو ال supremum لتين مثال
+
+58
+00:05:39,810 --> 00:05:46,710
+تالت احنا شفنا قبل شوية في بداية المحاضرة ان كل
+
+59
+00:05:46,710 --> 00:05:51,510
+عدد حقيقي هو upper bound و كذلك lower bound
+
+60
+00:05:51,510 --> 00:05:57,070
+للمجموع الخالي Phi و بناء على ذلك Phi does not
+
+61
+00:05:57,070 --> 00:06:00,730
+have a supremum ولا infimum
+
+62
+00:06:03,600 --> 00:06:14,960
+هي برهان فاي has no .. فاي has no supremum البرهان
+
+63
+00:06:14,960 --> 00:06:19,380
+proof assume
+
+64
+00:06:19,380 --> 00:06:24,240
+you
+
+65
+00:06:24,240 --> 00:06:32,620
+belong to R is supremum فاي ال least upper bound
+
+66
+00:06:32,620 --> 00:06:33,120
+لفاي
+
+67
+00:06:40,890 --> 00:06:53,830
+then u سالب واحد أصغر من u and u سالب واحد هاد عدد
+
+68
+00:06:53,830 --> 00:07:00,610
+حقيقي is upper bound
+
+69
+00:07:00,610 --> 00:07:13,110
+of ال fiveكمان مرة نفرض ان U جد U نفرض
+
+70
+00:07:13,110 --> 00:07:21,590
+ان U جد U جد U بالنمط R و هو Supremum ل Phi طيب U
+
+71
+00:07:21,590 --> 00:07:27,000
+سالب واحد أصغر من Uو قبل شوية كنا ملاحظة ان اي عدد
+
+72
+00:07:27,000 --> 00:07:32,440
+حقيقي زي هذا عبارة عن upper bound لفائي ف K في ال
+
+73
+00:07:32,440 --> 00:07:37,080
+U .. K في ال U هو ال supremum K في ال U هو ال
+
+74
+00:07:37,080 --> 00:07:40,580
+supremum هو أصغر upper bound و في upper bound أصغر
+
+75
+00:07:40,580 --> 00:07:47,260
+منه هذا بدي تناقض which
+
+76
+00:07:47,260 --> 00:07:52,340
+.. which is a contradiction
+
+77
+00:07:59,520 --> 00:08:04,320
+إن هذا بدّيني تناقض وبالتالي هذا أثبات أن الـ Fi
+
+78
+00:08:04,320 --> 00:08:10,700
+مالهاش Supremum بالمثل ممكن أثبات أن الـ Fi أو
+
+79
+00:08:10,700 --> 00:08:20,420
+المجموعة الخالية ليس لها Supremum طيب
+
+80
+00:08:20,420 --> 00:08:22,620
+نيجي لل completeness property
+
+81
+00:08:29,610 --> 00:08:34,370
+الـ completeness property of R بتنص على إنه كل
+
+82
+00:08:34,370 --> 00:08:40,990
+مجموعة غير خالية .. كل مجموعة غير خالية S من R و
+
+83
+00:08:40,990 --> 00:08:45,010
+bounded above .. و bounded above محدودة من أعلى
+
+84
+00:08:45,010 --> 00:08:50,430
+has supremum لازم يكون فيه لها supremum يعني مثال
+
+85
+00:08:50,430 --> 00:08:57,580
+على ذلك لو أخدنا S بسبب الفترة المغلقة 01 أوالفترة
+
+86
+00:08:57,580 --> 00:09:04,960
+مفتوحة من صفر واحد فهي هذي set و bounded above اذا
+
+87
+00:09:04,960 --> 00:09:10,960
+ال property بتقولي بتضمنلي تضمن ان هذي ال set لها
+
+88
+00:09:10,960 --> 00:09:15,840
+soprano اللي هو الواحد اللي اثبتناه قبل شوية اذا
+
+89
+00:09:15,840 --> 00:09:19,700
+ال property بتضمن وجود soprano لكن ما بتجيبليها
+
+90
+00:09:19,700 --> 00:09:26,050
+ولا بتقوليإيش هو؟ عشان نجيبه لازم نعمل برهان زي ما
+
+91
+00:09:26,050 --> 00:09:30,310
+شوفنا في الأمثلة السابقة هد هي ال supremum أو ال
+
+92
+00:09:30,310 --> 00:09:33,790
+completeness property خاصية التمام للأعداد
+
+93
+00:09:33,790 --> 00:09:38,510
+الحقيقية الآن زي ما قلتلكم قبل هيك في توقع ما بين
+
+94
+00:09:38,510 --> 00:09:42,130
+ال upper bounds و ال lower bounds ال supremums و
+
+95
+00:09:42,130 --> 00:09:52,510
+ال infimumsفال .. ال .. اي خاصية صحيحة لل supreme
+
+96
+00:09:52,510 --> 00:09:58,170
+بتكون في بقابلها خاصية صحيحة لل infimum ففي نتيجة
+
+97
+00:09:58,170 --> 00:10:03,640
+هنا على completeness property corollaryبنسميها الـ
+
+98
+00:10:03,640 --> 00:10:07,580
+infimum property of R لإن في supremum property of
+
+99
+00:10:07,580 --> 00:10:12,260
+R وفي بقبلها infimum property of R فال infimum
+
+100
+00:10:12,260 --> 00:10:16,160
+property of R بتقول ان every non-empty subset S of
+
+101
+00:10:16,160 --> 00:10:21,160
+R which is bounded below has an infimum يعني كل
+
+102
+00:10:21,160 --> 00:10:26,440
+مجموعة غير خالية من العداد الحقيقية ومحصورة من
+
+103
+00:10:26,440 --> 00:10:30,460
+أسفل لازم يكون لها infimum أو أكبر حد أدنى
+
+104
+00:10:38,820 --> 00:10:45,060
+وهي البرهان .. نشوف البرهان تبع ال .. ال corollary
+
+105
+00:10:45,060 --> 00:10:54,520
+أو النتيجة هذه بنعرف set .. بنعرف ال set E علي
+
+106
+00:10:54,520 --> 00:10:59,120
+أنها كل العناصر W اللي بتكون lower bound للمجموعة
+
+107
+00:10:59,120 --> 00:11:06,510
+S طيب by hypothesis حسب الفرضالـ E مجموعة غير
+
+108
+00:11:06,510 --> 00:11:09,610
+خالية، يعني فيها على الأقل عنصر، ليه؟ لإن احنا
+
+109
+00:11:09,610 --> 00:11:16,090
+فرضين إن المجموعة S، المجموعة S هذه bounded below،
+
+110
+00:11:16,090 --> 00:11:19,710
+يعني إلها lower bound وبالتالي إذا في على الأقل
+
+111
+00:11:19,710 --> 00:11:24,350
+عنصر واحد، W في E، إذا الـ E مجموعة غير خالية،
+
+112
+00:11:24,350 --> 00:11:25,990
+تمام؟ هذا من الفرض
+
+113
+00:11:29,380 --> 00:11:34,720
+كذلك من الفرض أي X في S ثبار عن upper bound لـ E
+
+114
+00:11:34,720 --> 00:11:49,760
+لو كان X ينتمي إلى S فهذا بيقدّي انه W أصغر من أو
+
+115
+00:11:49,760 --> 00:11:56,160
+يساوي X لكل W في E
+
+116
+00:12:04,760 --> 00:12:11,300
+ليش هذا الكلام صحيح؟ لأن كل W في E عبارة عن lower
+
+117
+00:12:11,300 --> 00:12:17,300
+bound ل S وبما أن W lower bound ل S فأي أنصر في S
+
+118
+00:12:17,300 --> 00:12:23,480
+بيكون أكبر من أو ساوي ال lower bound، صح؟ إذن هذا
+
+119
+00:12:23,480 --> 00:12:28,360
+معناه إن X upper bound هي X أكبر من أو ساوي كل
+
+120
+00:12:28,360 --> 00:12:33,820
+عناصر ال E وبالتالي أي X في S هو عبارة عن
+
+121
+00:12:40,550 --> 00:12:45,910
+أي x في s هو upper bound للست
+
+122
+00:12:51,680 --> 00:12:57,900
+خاصية التمام، إذا ال .. ال set E هذه is bounded
+
+123
+00:12:57,900 --> 00:13:02,580
+above وبالتالي يوجد إلها suprem، ال suprem تبعها
+
+124
+00:13:02,580 --> 00:13:08,100
+لو سميته small s exists in R هذا .. وجود ال suprem
+
+125
+00:13:08,100 --> 00:13:14,560
+مضمون باستخدام ال suprem propertyالان بدنا نثبت ان
+
+126
+00:13:14,560 --> 00:13:21,000
+هذا العدد small s هو الـ infimum هو الـ infimum
+
+127
+00:13:21,000 --> 00:13:27,100
+للست S وهيك بنكون كملنا البرهان إذا الإثبات
+
+128
+00:13:27,100 --> 00:13:33,580
+للادعاء هذا ان عندي ال S هنا بساوي supremum E
+
+129
+00:13:33,580 --> 00:13:40,780
+وبالتالي ال S هذا upper bound ل E يعني S أكبر من
+
+130
+00:13:40,780 --> 00:13:42,340
+أو ساوي كل ال X في E
+
+131
+00:13:46,050 --> 00:13:52,070
+الأن بناء على المتباينة هذه أو الجملة هذه لإثبات
+
+132
+00:13:52,070 --> 00:13:58,610
+أن S هي الـ infimum لcapital S يبقى إثبات أن S
+
+133
+00:13:58,610 --> 00:14:06,830
+عبارة عن lower bound S is a lower bound of S ليش
+
+134
+00:14:06,830 --> 00:14:11,350
+هذا يكفي لإثبات أن S هو الinfimum لS؟
+
+135
+00:14:15,610 --> 00:14:20,590
+تعالى نشوف ليش هذا يكفي يكفي
+
+136
+00:14:20,590 --> 00:14:28,850
+اثبات ان ال S is a lower bound لل 6S يعني بدنا
+
+137
+00:14:28,850 --> 00:14:34,830
+نثبت ان ال X عفوا
+
+138
+00:14:34,830 --> 00:14:43,410
+ال S أصغر من أو ساوي كل العناصر Y
+
+139
+00:14:58,200 --> 00:15:03,540
+يعني بدنا نثبت أن S ينتمي
+
+140
+00:15:03,540 --> 00:15:09,980
+للset E يعني
+
+141
+00:15:09,980 --> 00:15:17,320
+لإثبات أن S is the lower bound of S معناه بد أثبت
+
+142
+00:15:17,320 --> 00:15:20,560
+أن S عنصر في E لأن E is the set of all lower
+
+143
+00:15:20,560 --> 00:15:25,380
+bounds of S صح؟ فلو أثبتت أن S تنتمي إلى E
+
+144
+00:15:34,100 --> 00:15:41,300
+فالمفروض هذا معناه ان ال S .. اه هايه .. لو هذا ال
+
+145
+00:15:41,300 --> 00:15:47,680
+S .. لو هذا ال S أثبتت انه .. لو أثبتت ان ال S هذا
+
+146
+00:15:47,680 --> 00:15:49,380
+ينتمي إلى ايه؟
+
+147
+00:15:52,900 --> 00:15:58,420
+فمعناه ان كل العناصر اللي في E أصغر من أو يساوي ال
+
+148
+00:15:58,420 --> 00:16:04,900
+S طيب كل العناصر X اللي في E هي عبارة عن lower
+
+149
+00:16:04,900 --> 00:16:11,330
+bounds ل Sواذا كان S موجود في E بيكون أيضا lower
+
+150
+00:16:11,330 --> 00:16:17,350
+bound ل S لكن ال S هذا بتمتع بالخاصية أنه أكبر من
+
+151
+00:16:17,350 --> 00:16:22,970
+أو ساوي كل عناصر ال set A إذا هو أكبر lower bound
+
+152
+00:16:22,970 --> 00:16:29,560
+يعني هو ال infimum صح؟ تمام؟مرة تانية احنا وصلنا
+
+153
+00:16:29,560 --> 00:16:35,780
+ان ال X كل العناصر X في E اصغر من او ساوي S الان
+
+154
+00:16:35,780 --> 00:16:42,800
+لو اثبتت ان ال S هذا ينتمي ل E يعني lower bound ل
+
+155
+00:16:42,800 --> 00:16:50,130
+Sمعناته ال S هدى اكبر من او ساوي كل عناصر ال 6E
+
+156
+00:16:50,130 --> 00:16:54,890
+وبالتالي هو اكبر lower
+
+157
+00:16:54,890 --> 00:17:02,450
+bound يعني هو ال infimum اذا فعلا يكفي او يبقى
+
+158
+00:17:02,450 --> 00:17:06,990
+اثبات ان ال S اسمه ال S lower bound لل 6S فلبرهان
+
+159
+00:17:06,990 --> 00:17:11,770
+ذلك بنعمل برهان بالتناقض افرضى انه اللي احنا
+
+160
+00:17:11,770 --> 00:17:18,960
+بنلثبته خطأيعني اسمه ال S ليس lower bound للست S
+
+161
+00:17:18,960 --> 00:17:23,500
+هذا معناه بقدر ألاجي أنصر Y في S و هذا ال Y أصغر
+
+162
+00:17:23,500 --> 00:17:30,600
+من S لأن S ليس lower bound فهذا بيقدي .. لاحظوا أن
+
+163
+00:17:30,600 --> 00:17:35,400
+ال S هو ال supremum ل E .. S هو ال supremum ل E و
+
+164
+00:17:35,400 --> 00:17:42,980
+Y أصغر منه إذن Y هذا مش ممكن يكون upper bound للست
+
+165
+00:17:42,980 --> 00:17:49,920
+Eال Y أصغر من S و S بساوي supremum E إذا Y مش ممكن
+
+166
+00:17:49,920 --> 00:17:54,740
+يكون upper bound ل E لأنه بجوزش هذا يكون upper
+
+167
+00:17:54,740 --> 00:18:00,320
+bound ل E و هذا أصغر upper bound ل E صح؟ طيب إذا
+
+168
+00:18:00,320 --> 00:18:05,980
+ال Y مش ممكن يكون upper bound ل E إذا بقدر ألاقي X
+
+169
+00:18:05,980 --> 00:18:12,160
+في E و هذا ال X أكبر من ال Y هذه المتباينة بتعطيني
+
+170
+00:18:12,160 --> 00:18:12,840
+تناقض
+
+171
+00:18:16,450 --> 00:18:23,870
+تتناقض مع تعريف ال set E كيف X تنتمي ل E كيف ال X
+
+172
+00:18:23,870 --> 00:18:29,510
+تنتمي ل E و في نفس الوجهة X أكبر من عنصر ما اللي
+
+173
+00:18:29,510 --> 00:18:35,010
+هو Y في S يعني ال X هذا ليس lower bound هذا تناقض
+
+174
+00:18:35,010 --> 00:18:40,130
+okay إذا نصل إلى تناقض وبالتالي هذا التناقض بيقول
+
+175
+00:18:40,130 --> 00:18:42,990
+لي أن الفرض الفرض تبعنا هذا
+
+176
+00:18:45,580 --> 00:18:50,800
+إن small s is not lower bound كان فرض خطأ إذا لازم
+
+177
+00:18:50,800 --> 00:19:01,520
+يكون s lower bound وهذا بيكمل برهان ال claim تمام؟
+
+178
+00:19:01,520 --> 00:19:08,040
+في
+
+179
+00:19:08,040 --> 00:19:09,500
+ال section القادم
+
+180
+00:19:12,270 --> 00:19:18,530
+هناخد تطبيقات على الـ supreme property و ال infame
+
+181
+00:19:18,530 --> 00:19:24,410
+property فالتطبيقات
+
+182
+00:19:24,410 --> 00:19:35,230
+هذه هتكون على شكل أمثلة فمثلا
+
+183
+00:19:35,230 --> 00:19:43,410
+أول تطبيقلو أخدت أي subset من R و bounded above و
+
+184
+00:19:43,410 --> 00:19:49,510
+A أي عدد حقيقي فمنعرف A زائد capital S على أنه
+
+185
+00:19:49,510 --> 00:19:54,110
+مجموعة كل العناصر على الصورة A plus X حيث X ينتمي
+
+186
+00:19:54,110 --> 00:20:00,890
+لS الآن ممكن أثبت أن ال supremum للمجموعة هذه هو
+
+187
+00:20:00,890 --> 00:20:04,870
+عبارة عن A زائد ال supremum لS
+
+188
+00:20:07,460 --> 00:20:16,840
+و هذا يعني البرهان مش صعب أيه بسيط وسهل نشوف مع
+
+189
+00:20:16,840 --> 00:20:22,540
+بعض نفرض ان U هو ال suprem ل S ال set S is bounded
+
+190
+00:20:22,540 --> 00:20:28,980
+above، إذن إلها suprem هذا مضمون حسب ال suprem
+
+191
+00:20:28,980 --> 00:20:33,920
+propertyوبالتالي الـ U هذا اللي هو ال supreme هو
+
+192
+00:20:33,920 --> 00:20:38,520
+upper bound ل S إذا U أكبر من أو ساوي كل عناصر ال
+
+193
+00:20:38,520 --> 00:20:45,800
+S إذا لو ضفت A على الطرفين فبطلع A زاد X أصغر من
+
+194
+00:20:45,800 --> 00:20:54,270
+أو ساوي A زاد U لكل X في S وبالتالي العدد هذاعبارة
+
+195
+00:20:54,270 --> 00:20:59,830
+عن upper bound لمن؟ لست a زاد s اللي عرفناها قبل
+
+196
+00:20:59,830 --> 00:21:04,310
+شوية لأن هذا العدد أكبر من أو ساوي كل عناصر الست
+
+197
+00:21:04,310 --> 00:21:08,850
+هذه اللي على الصورة a زاد x لذلك هي اللي أثبتت أن
+
+198
+00:21:08,850 --> 00:21:13,110
+a زاد u is upper bound للست هذه لأن نريد أن نثبت
+
+199
+00:21:13,110 --> 00:21:18,510
+أن a زاد u هو أصغر upper bound للست هذه فبناخد أي
+
+200
+00:21:18,510 --> 00:21:24,550
+upper bound آخر للست a plus sفطبعا ال V Upper
+
+201
+00:21:24,550 --> 00:21:30,410
+Bound للست هي U أكبر من أو ساوي كل عناصرها الان
+
+202
+00:21:30,410 --> 00:21:34,430
+انجل ال A عن ناحية التانية فبصير X أصغر من أو ساوي
+
+203
+00:21:34,430 --> 00:21:40,710
+V minus A لكل X في S طيب
+
+204
+00:21:40,710 --> 00:21:47,410
+الان احنا عندنا ال U هو ال supremum ل S ال U هو ال
+
+205
+00:21:47,410 --> 00:21:52,800
+supremum ل S والان هذا العددهذا عبارة عن upper
+
+206
+00:21:52,800 --> 00:22:00,200
+bound of S لأن U أكبر من أو ساوي كل عناصر الـ S
+
+207
+00:22:00,200 --> 00:22:07,400
+وهذا أصغر upper bound لـ S إذن ال superman بيطلع
+
+208
+00:22:07,400 --> 00:22:13,240
+أصغر من أو ساوي ال upper bound V minus A ل S إذن
+
+209
+00:22:13,240 --> 00:22:16,080
+بيطلع عند U أصغر من أو ساوي
+
+210
+00:22:19,910 --> 00:22:26,350
+إن أنا بطلع عندي U أصغر من أو ساوي V minus A ودي A
+
+211
+00:22:26,350 --> 00:22:30,290
+عن ناحية التانية فبصير A زاد U أصغر من أو ساوي V
+
+212
+00:22:30,290 --> 00:22:35,870
+إذا هين أثبتنا حاجتين أول شيء إنه العدد هذا upper
+
+213
+00:22:35,870 --> 00:22:40,590
+bound للست هذه أخدنا أي upper bound عشوائي للست
+
+214
+00:22:40,590 --> 00:22:47,640
+هذهفطلع العدد a زاد u اصغر من او ساوي اي upper
+
+215
+00:22:47,640 --> 00:22:52,880
+bound لست a زاد s اذا من تعريف ال supremum بطلع ال
+
+216
+00:22:52,880 --> 00:23:00,520
+supremum لست a زاد s exist و بساوي a زاد uأن الـ
+
+217
+00:23:00,520 --> 00:23:05,380
+supremum للست هذي هو a زيد u وبالتالي و هذا بساوي
+
+218
+00:23:05,380 --> 00:23:08,720
+a و ال u هي ال supremum ل S أننا هيك بنكون أثبتنا
+
+219
+00:23:08,720 --> 00:23:15,900
+أن supremum الست a زيد s هو a زاد supremum S،
+
+220
+00:23:15,900 --> 00:23:21,540
+تمام؟ لو كانت الست هذي bounded below فممكن أيضا
+
+221
+00:23:21,540 --> 00:23:26,960
+نثبت أن ال infimum ل a زاد s بساوي a زاد infimum
+
+222
+00:23:26,960 --> 00:23:33,430
+S، تمام؟طبعا في أمثلة أخرى هنا ممكن تقرؤوها و
+
+223
+00:23:33,430 --> 00:23:39,650
+تحضروها و نوقف هنا نكتفي بهذا القدر و بنكمل ان شاء
+
+224
+00:23:39,650 --> 00:23:42,170
+الله يوم السبت المحاضرة القادمة
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/BdWUrxEOLII.srt

@@ -0,0 +1,1275 @@
+1
+00:00:21,430 --> 00:00:27,610
+بسم الله الرحمن الرحيم أول شيء بنحب يعني نرحب فيكم
+
+2
+00:00:27,610 --> 00:00:31,770
+بمناسبة 
+
+3
+00:00:31,770 --> 00:00:38,690
+بداية العام الدراسي الجديد ونسأل الله تعالى أنه
+
+4
+00:00:38,690 --> 00:00:46,510
+يكون الفصل هذا فصل يعني متميز و يعني فيه إن شاء 
+
+5
+00:00:46,510 --> 00:00:51,860
+الله الخير الكثير لكم خاصة بعد أجواء الحرب اللي
+
+6
+00:00:51,860 --> 00:00:57,020
+عشناها في الفترة اللي فاتت وربنا
+
+7
+00:00:57,020 --> 00:01:03,860
+يعني يكلل جهدكم بالـ .. بالنجاح والتفوق يمكن
+
+8
+00:01:03,860 --> 00:01:09,640
+أول مرة يمكن تشوفوني أو يمكن ما درستكمش قبل هيك
+
+9
+00:01:09,640 --> 00:01:14,260
+فإذا ما بتعرفوش مين أنا فأنا الدكتور أيمن اللي
+
+10
+00:01:14,260 --> 00:01:18,840
+هيبيلي طبعا كان المفروض أن الدكتور Asad .. Asad هو
+
+11
+00:01:18,840 --> 00:01:23,280
+اللي درسكم الـ course هذا لكن حصل في يعني الجداول
+
+12
+00:01:23,280 --> 00:01:26,020
+زي ما أنتم عارفين في .. بيصير فيها تغيرات في آخر
+
+13
+00:01:26,020 --> 00:01:35,060
+لحظة فانا إن شاء الله اللي هيدرسكم المادة هذه ف ..
+
+14
+00:01:35,060 --> 00:01:38,380
+يعني ال .. 
+
+15
+00:01:41,030 --> 00:01:46,430
+أهم حاجة في المادة هذه وفي كل مواد الرياضيات أن
+
+16
+00:01:46,430 --> 00:01:55,150
+الطالب يعني يواظب على الحضور يحاول يحضر المحاضرات
+
+17
+00:01:55,150 --> 00:02:02,710
+ي .. يقرأ المحاضرات أول بأول يحاول يشتغل في الـ
+
+18
+00:02:02,710 --> 00:02:07,770
+homework برضه أول بأول ما يجزلش الـ .. الدراسة أو حل 
+
+19
+00:02:07,770 --> 00:02:16,610
+المسائل وما تتركمش عليه كمان يعني زي أي مادة في 
+
+20
+00:02:16,610 --> 00:02:20,150
+الرياضيات عشان الواحد يفهمها ويقدر يعني يستوعبها
+
+21
+00:02:20,150 --> 00:02:25,730
+لازم يحاول يحل أكبر عدد ممكن من المسائل أو بنسمي
+
+22
+00:02:25,730 --> 00:02:30,690
+الـ homework assignment طبعا احنا هنعطيكم syllabus
+
+23
+00:02:30,690 --> 00:02:37,010
+زي هذا فيه كل البيانات اللازمة اللي هو بنسميه
+
+24
+00:02:37,010 --> 00:02:45,490
+course outline أو ملخص لـ course و syllabus فيه كل
+
+25
+00:02:45,490 --> 00:02:50,130
+المعلومات عن المدرس عن المساق عن الـ textbook عن
+
+26
+00:02:50,130 --> 00:02:54,190
+كتاب المقرر عن المراجع الإضافية اللي ممكن يستعان
+
+27
+00:02:54,190 --> 00:03:00,630
+بيها بالإضافة للمرجع الأساسي أيه المادة العلمية
+
+28
+00:03:00,630 --> 00:03:08,940
+اللي هناخدها وكيف توزيعها على أسابيع أو على الـ ..
+
+29
+00:03:08,940 --> 00:03:16,560
+آه ممكن توزيعها على أسابيع توزيع 
+
+30
+00:03:16,560 --> 00:03:20,220
+الدرجات الـ evaluation policy أو تقييم الـ course
+
+31
+00:03:20,220 --> 00:03:27,720
+برضه هذا بيكون موجود عادة في الـ syllabus وفي
+
+32
+00:03:27,720 --> 00:03:32,320
+النهاية بنضع اللي هو الـ homework assignments اللي
+
+33
+00:03:32,320 --> 00:03:36,680
+هو مسائل الـ homework اللي المفروض تحلوها من الكتاب
+
+34
+00:03:36,680 --> 00:03:42,340
+ففي نهاية كل section هيكون في عدد من المسائل وهذه 
+
+35
+00:03:42,340 --> 00:03:46,200
+المسائل احنا بنختار يعني جزء منها مش كلها على أساس
+
+36
+00:03:46,200 --> 00:03:51,860
+الطالب بيحاول يحلها المسائل طبعا يعني الطالبة اللي
+
+37
+00:03:51,860 --> 00:03:57,500
+يعني مستواها متواضع أو متوسط المفروض تحاول تحل
+
+38
+00:03:57,500 --> 00:04:01,680
+يعني مش أقل من خمسين إلى سبعين في المية من المسائل
+
+39
+00:04:01,680 --> 00:04:05,940
+لوحدها إذا حضرت المحاضرة ودرست المحاضرة كويس
+
+40
+00:04:05,940 --> 00:04:09,640
+المفروض أنّهـا يعني يكون عندك مقدرة أنّهـا تحل على 
+
+41
+00:04:09,640 --> 00:04:13,580
+الأقل بين خمسين إلى سبعين في المية إذا ما كانش أكثر
+
+42
+00:04:14,270 --> 00:04:17,750
+الـ .. طبعا باقي المسائل الصعبة بيكون في أما بيكون 
+
+43
+00:04:17,750 --> 00:04:21,630
+في .. بيكون دائماً بنحاول نحلها في أو نحل بعضها 
+
+44
+00:04:21,630 --> 00:04:28,510
+المسائل الصعبة من خلال مناقشة فبنعمل مناقشة المادة
+
+45
+00:04:28,510 --> 00:04:32,690
+دي فيها أربع ساعات ممكن نخصص ثلاث ساعات محاضرة و
+
+46
+00:04:32,690 --> 00:04:38,650
+ساعة مناقشة أو حسب يعني الـ .. تطور الـ course لكن
+
+47
+00:04:38,650 --> 00:04:42,660
+في عندنا يعني الساعة من الوقت ممكن أن احنا يعني
+
+48
+00:04:42,660 --> 00:04:47,280
+أخصص أنا من وقت لآخر ساعة مناقشة ونتفق عليها يعني
+
+49
+00:04:47,280 --> 00:04:52,760
+قبل ما ناخدها، فعشان هيك الحضور يعني كثير ضروري
+
+50
+00:04:52,760 --> 00:04:54,640
+جداً و ..
+
+51
+00:04:56,630 --> 00:05:00,370
+طبعاً بمكانكم منكم أنتم يعني تستغلوا الساعات
+
+52
+00:05:00,370 --> 00:05:06,330
+المكتبية وأي واحد عنده استفسار، سؤال، أي شيء يعني
+
+53
+00:05:06,330 --> 00:05:12,350
+بتعلق بالمادة ممكن تجيلي على المكتب وتتناقش معاه،
+
+54
+00:05:12,350 --> 00:05:19,010
+تسألني وممكن أساعدها ممكن برضه تسأل المدرسين أو
+
+55
+00:05:19,010 --> 00:05:24,050
+المعيدات، الأخوات اللي هنا عندكم، ما بعرفش .. ضايلين 
+
+56
+00:05:24,050 --> 00:05:29,530
+مكان هم اللي غيروابرضه كمان هذا يعني وسيلة ثانية
+
+57
+00:05:29,530 --> 00:05:33,270
+للمساعدة ممكن تستعينوا بالمراجعة اللي احنا بنكتبها
+
+58
+00:05:33,270 --> 00:05:37,450
+في الـ syllabus هذه برضه بتساعدكم ممكن تستعملوا الـ
+
+59
+00:05:37,450 --> 00:05:41,910
+internet ممكن تستعملوا المكتبة يعني في وسائل
+
+60
+00:05:41,910 --> 00:05:45,670
+مساعدة كثيرة لكن يعني أهم شيء .. أهم شيء في المادة 
+
+61
+00:05:45,670 --> 00:05:51,010
+هذه بتحضروا المحاضرة وتحاولوا تحلوا المسائل و
+
+62
+00:05:51,010 --> 00:05:55,910
+تتناقشوا مع المدرس أكثر .. أكثر واحد بفيدكم مدرس 
+
+63
+00:05:55,910 --> 00:06:00,660
+المادة واحنا مش هنبخل عليكم يعني في أن احنا نجاوب
+
+64
+00:06:00,660 --> 00:06:05,520
+على أسئلتكم واستفساراتكم سواء .. سواء الأسئلة دي
+
+65
+00:06:05,520 --> 00:06:10,800
+أو الاستفسارات كانت بتتعلق بالـ homework أو بالمادة
+
+66
+00:06:10,800 --> 00:06:17,640
+الـ material اللي احنا هناخدها okay تمام؟ عشان شوية
+
+67
+00:06:17,640 --> 00:06:24,860
+هيك احنا يعني حالنا زي حال الـ .. الـ .. البلد الـ ..
+
+68
+00:06:24,860 --> 00:06:27,880
+انتم عارفين مكاتبنا كلها كانت مبنى الإدارة و
+
+69
+00:06:27,880 --> 00:06:33,980
+بالتالي مكاتبنا يعني في عملية نزوح أو نقل من
+
+70
+00:06:33,980 --> 00:06:39,940
+المبنى الإدارة لمبنى جديد فلسه مكاتبنا يعني ما
+
+71
+00:06:39,940 --> 00:06:43,900
+استقرناش ف .. لكن أنا بحاول إن شاء الله مرة جاية
+
+72
+00:06:43,900 --> 00:06:49,040
+أجهزلكم الـ syllabus تبع الـ course وهحطه على 
+
+73
+00:06:49,040 --> 00:06:53,990
+الصفحة تبعتي بالتالي ممكن أنكم تاخدوا نسخة منه ..
+
+74
+00:06:53,990 --> 00:07:01,310
+من الصفحة كذلك بإمكانكم تروحوا على صفحة المدرس في 
+
+75
+00:07:01,310 --> 00:07:05,450
+الامتحانات أنا بضعها نصفية سابقة وامتحانات نهائية
+
+76
+00:07:05,450 --> 00:07:10,970
+برضه ممكن تلاقوها على صفحة المدرس ممكن لو في حاجات 
+
+77
+00:07:10,970 --> 00:07:15,230
+معينة مهمة ممكن أدرس .. أ .. أنزلها على الصفحة و
+
+78
+00:07:15,230 --> 00:07:19,190
+بعدين أنتم يعني تعملولها copy و paste وإش زي ذلك
+
+79
+00:07:20,970 --> 00:07:26,830
+إذا عشان احنا يعني ما نضيعش الوقت كثير خليني بس
+
+80
+00:07:26,830 --> 00:07:34,410
+أكتبلكم الـ .. الـ .. الـ .. موقع الصفحة تبعتي عشان
+
+81
+00:07:34,410 --> 00:07:38,750
+إذا حد يعني .. وهترب ممكن برضه تخشوا على كلية 
+
+82
+00:07:38,750 --> 00:07:43,080
+العلوم خاصة الرياضيات والمدرسين وتطلع الصفحة أو
+
+83
+00:07:43,080 --> 00:07:55,920
+إذا كان ممكن تستخدمه بالرابط اللي هو http://www
+
+84
+00:07:55,920 --> 00:08:00,440
+.iogaza
+
+85
+00:08:00,440 --> 00:08:04,800
+.edu
+
+86
+00:08:04,800 --> 00:08:09,400
+.ps
+
+87
+00:08:14,490 --> 00:08:20,790
+backslash employee habil
+
+88
+00:08:20,790 --> 00:08:26,830
+الكتاب
+
+89
+00:08:26,830 --> 00:08:35,790
+المقرر اللي هو introduction text الكتاب المقرر هو 
+
+90
+00:08:35,790 --> 00:08:38,590
+عبارة عن introduction
+
+91
+00:08:43,370 --> 00:08:54,990
+introduction to real analysis by
+
+92
+00:08:54,990 --> 00:09:01,770
+bartel sherbert
+
+93
+00:09:01,770 --> 00:09:08,830
+or bartel and
+
+94
+00:09:08,830 --> 00:09:09,590
+sherbert
+
+95
+00:09:13,410 --> 00:09:22,990
+وهذا الطبع الثالثة third edition إذا 
+
+96
+00:09:22,990 --> 00:09:27,270
+هذا الكتاب المقرر اللي احنا هنعتمد عليه طبعاً هذا
+
+97
+00:09:27,270 --> 00:09:30,670
+الكتاب موجود في مكتبة الطالب أو الطالبة ويمكنكم 
+
+98
+00:09:30,670 --> 00:09:32,610
+يعني تشتروه
+
+99
+00:09:34,470 --> 00:09:39,090
+Okay إذا يعني هذه معظم الشغلات، احنا الـ بالنسبة
+
+100
+00:09:39,090 --> 00:09:44,970
+للـ .. للـ course يعني ممكن احنا حسب ما الـ .. الكلية
+
+101
+00:09:44,970 --> 00:09:48,690
+شوية غيرت سياستها، كنا في الأول نعطي امتحانين 
+
+102
+00:09:48,690 --> 00:09:53,950
+نصفيين وامتحان نهائي لكن إذا الكلية غيرت ورجعت 
+
+103
+00:09:53,950 --> 00:09:59,450
+لامتحان نصف واحد ونهائي فهنحكيلكم
+
+104
+00:09:59,450 --> 00:10:04,270
+المرة الجاية يعني إنّه نحدد بالضبط بعدين الدكتور عشان 
+
+105
+00:10:04,270 --> 00:10:07,350
+أسعد أنا وياه وبدرس الطلاب وأنا بدرسكم فعشان
+
+106
+00:10:07,350 --> 00:10:11,990
+نعمل امتحانات موحدة فلازم السياسة تكون موحدة فيعني
+
+107
+00:10:11,990 --> 00:10:16,390
+يوم المحاضرة الجاية نتفق على قليل يعني عدد
+
+108
+00:10:16,390 --> 00:10:20,610
+الامتحانات وتوزيعها والدرجات هنتفق عليه إن شاء الله 
+
+109
+00:10:20,610 --> 00:10:26,270
+المرة الجاية أنا يعني عامل زي ما أنتم شايفين ملخص
+
+110
+00:10:26,270 --> 00:10:29,890
+يعني طبعاً هذا الملخص لا يغني عن الكتاب المقرر يعني 
+
+111
+00:10:29,890 --> 00:10:34,510
+المفروض الطالب ي .. أو الطالبة يعني .. يعني تفلي 
+
+112
+00:10:34,510 --> 00:10:38,210
+الكتاب المقرر أو يعني تدرس من الكتاب المقرر أو
+
+113
+00:10:38,210 --> 00:10:43,870
+تشوفه لكن أنا بحاول يعني الكتاب المقرر بحاول يعني 
+
+114
+00:10:43,870 --> 00:10:49,770
+أنا آخذ الصفوة تبعته وأحاول ألخص يعني الـ material
+
+115
+00:10:49,770 --> 00:10:53,690
+بالطريقة وبالأسلوب تبعي أنا .. أنا اللي بقرا ..
+
+116
+00:10:53,690 --> 00:10:58,550
+بقرا مناسب فبرضه لو اعتمدتم على الملخص هذا أو
+
+117
+00:10:58,550 --> 00:11:02,130
+حليتم المسائل برضه هذا شيء يعني كثير كويس وطيب جداً
+
+118
+00:11:04,800 --> 00:11:11,100
+أنا هحاول أن أشوف هل يعني عن طريق العرض زي هيك،
+
+119
+00:11:11,100 --> 00:11:15,880
+هشتغلكم كل شيء، إذا في أي شيء مش واضح أو مش
+
+120
+00:11:15,880 --> 00:11:21,640
+فاهمينه ممكن نحاول نكتب ونوضحه بالكتابة، لكن أنا
+
+121
+00:11:21,640 --> 00:11:28,280
+مش هـ .. مش هـ .. مش هـ .. يعني مش هعدي عن نقطة من
+
+122
+00:11:28,280 --> 00:11:31,880
+نقطة لنقطة ثانية إلا إذا كانت أقل من أنتم
+
+123
+00:11:31,880 --> 00:11:37,440
+فاهمينها المادة هذه يعني حساسة وفيها عمق رياضي
+
+124
+00:11:37,440 --> 00:11:43,200
+ومادة كثير مهمة ما عناش نقول صعبة مش صعبة لكن بدها 
+
+125
+00:11:43,200 --> 00:11:48,500
+يعني تركيز وبدها اهتمام وبدها جهود فهنحاول أن 
+
+126
+00:11:48,500 --> 00:11:50,840
+نساعدكم إن شاء الله تفهموها بقدر الممكن
+
+127
+00:11:53,810 --> 00:11:58,050
+أنا بحب دائماً أعطي يعني material أو أعطي محاضرة من
+
+128
+00:11:58,050 --> 00:12:03,170
+أول يوم فهنبدأ نشرح وبعدين المحاضرة جاية بنحكي 
+
+129
+00:12:03,170 --> 00:12:06,730
+شوية عن الـ evaluation وعن الامتحانات والعلامات
+
+130
+00:12:06,730 --> 00:12:12,630
+ماشي الحال فيمكن أنتم مش مستعدين لكن أنا مستعد أن 
+
+131
+00:12:12,630 --> 00:12:19,570
+أنا يعني ناخذ شوية ولو أنه وقت كثير يعني نراها لأ
+
+132
+00:12:19,570 --> 00:12:24,620
+في معانا وقت إن احنا ناخذ شوية Okay فيعني هذا يعني 
+
+133
+00:12:24,620 --> 00:12:31,880
+مش يعني سيء ومش غلط فهنبدأ 
+
+134
+00:12:31,880 --> 00:12:39,120
+.. احنا هناخد أربع فصول في المادة هذه لكن الفصول 
+
+135
+00:12:39,120 --> 00:12:45,080
+مش متساوية الفصل الأول بيتحدث عن الـ real number
+
+136
+00:12:45,080 --> 00:12:50,570
+system أو نظام الأعداد الحقيقية وهذا أساس حاجات
+
+137
+00:12:50,570 --> 00:12:58,390
+كثيرة في الرياضيات فأول شيء بنا أن نتحدث
+
+138
+00:12:58,390 --> 00:13:01,450
+في أول band في الفصل هذا أو في أول section
+
+139
+00:13:01,450 --> 00:13:05,890
+بنا نتحدث عن الـ algebraic properties of R أو
+
+140
+00:13:05,890 --> 00:13:12,070
+الصفات الجبرية لنظام الأعداد الحقيقية فما هو نظام 
+
+141
+00:13:12,070 --> 00:13:19,180
+الأعداد الحقيقية؟ نرمزه بالرمز هذا real number
+
+142
+00:13:19,180 --> 00:13:22,940
+system أو نظام الأعداد الحقيقية نرمزه بالرمز **bold** R
+
+143
+00:13:22,940 --> 00:13:30,440
+في ℝ اللي هو الرمز هذا، هذا يرمز لمجموعة الأعداد 
+
+144
+00:13:30,440 --> 00:13:34,160
+الحقيقية. الآن هذه مجموعة الأعداد الحقيقية بنعرف 
+
+145
+00:13:34,160 --> 00:13:38,380
+عليها عمليتين جبريتين two algebraic operations
+
+146
+00:13:39,430 --> 00:13:43,270
+عملية جمع، يعني بأخذ عددين حقيقيين، زوج مرتب من
+
+147
+00:13:43,270 --> 00:13:47,530
+الأعداد الحقيقية، وبعرف عملية الجمع على... على
+
+148
+00:13:47,530 --> 00:13:53,050
+الزوج هذا. فعملية الجمع بتجمعهم، بعرف عملية ثانية
+
+149
+00:13:53,050 --> 00:13:57,570
+binary operation جديدة، بأخذ عددين حقيقيين أو زوج
+
+150
+00:13:57,570 --> 00:14:01,910
+مرتب من الأعداد الحقيقية، و بحاول أعرف عليهم عملية
+
+151
+00:14:01,910 --> 00:14:07,630
+جديدة، عملية ضرب أو multiplication. فهذا يعتبر
+
+152
+00:14:07,630 --> 00:14:10,830
+function وهذا يعتبر function من الـ Cartesian
+
+153
+00:14:10,830 --> 00:14:15,490
+product  الـ ℝ مع نفسها إلى ℝ. فهدول بنسميهم binary
+
+154
+00:14:15,490 --> 00:14:20,210
+operations. الآن نظام الأعداد الحقيقية هو مجموعة
+
+155
+00:14:20,210 --> 00:14:24,190
+الأعداد الحقيقية ℝ، boldface R، هذه الـ R الكبيرة
+
+156
+00:14:24,190 --> 00:14:30,370
+المُغَمَّخة مع العمليتين الجبريتين هدول. الآن العمليات 
+
+157
+00:14:30,370 --> 00:14:34,510
+هذه لازم تحقق خمس خواص
+
+158
+00:14:37,700 --> 00:14:43,380
+فالخواص هذه الخمسة، أول خاصية فيهم هي الـ
+
+159
+00:14:43,380 --> 00:14:47,200
+commutative laws، قوانين الإبدال، يعني عملية الجمع
+
+160
+00:14:47,200 --> 00:14:51,580
+اللي اتحدثنا عنها قبل شوية هي عملية إبدالية، بقدر 
+
+161
+00:14:51,580 --> 00:14:57,180
+أبدل الأعداد الحقيقية في الجمع. كذلك عملية الضرب
+
+162
+00:14:58,760 --> 00:15:04,100
+برضه عملية إبدالية commutative. فإذاً عملية عمليات
+
+163
+00:15:04,100 --> 00:15:09,640
+الجمع والضرب هي عمليات إبدالية. كذلك العمليات
+
+164
+00:15:09,640 --> 00:15:15,960
+الجمع والضرب عمليات associative laws، قوانين
+
+165
+00:15:15,960 --> 00:15:21,460
+الدمج، يعني الأقواس. عملية الجمع عملية دمج
+
+166
+00:15:21,460 --> 00:15:26,710
+associative. يعني بقدر لما أجمع X و Y و Z ثلاث أعداد 
+
+167
+00:15:26,710 --> 00:15:31,410
+حقيقية، بقدر أحط الأقواس حوالين هنا، أو ممكن أحطهم
+
+168
+00:15:31,410 --> 00:15:35,870
+هنا، سيان ما بتفرقش. هاي عملية الدمج أو الـ associative
+
+169
+00:15:35,870 --> 00:15:44,050
+law. نفس الحاجة، نفس الشيء عملية الضرب عملية دمج
+
+170
+00:15:44,050 --> 00:15:45,170
+associative.
+
+171
+00:15:48,760 --> 00:15:53,220
+الخاصية الثالثة، الـ distributive laws أو قوانين
+
+172
+00:15:53,220 --> 00:16:02,130
+التوزيع. عملية الضرب تتوزع على عملية الجمع. هذه X
+
+173
+00:16:02,130 --> 00:16:09,170
+لما أضربها في مجموعة Y و Z، فبوزع الضرب X على Y و
+
+174
+00:16:09,170 --> 00:16:15,470
+بوزع X على Z. نفس الشيء برضه في قانون توزيع لما
+
+175
+00:16:15,470 --> 00:16:20,330
+أضرب من اليسار برضه بوزع الضرب على المجموعة من
+
+176
+00:16:20,330 --> 00:16:23,590
+اليسار. إذاً أنا دول القانونين بسميهم distributive
+
+177
+00:16:23,590 --> 00:16:27,830
+laws أو قوانين التوزيع. عملية الضرب توزيعية على
+
+178
+00:16:27,830 --> 00:16:32,830
+عملية الجمع. فيه برضه خاصية رابعة، الـ identity
+
+179
+00:16:32,830 --> 00:16:39,310
+elements، وجود العناصر المحايدة. ففي الأعداد
+
+180
+00:16:39,310 --> 00:16:40,110
+الحقيقية
+
+181
+00:16:42,360 --> 00:16:47,040
+في عددين أو عنصرين، واحد نرمزه بالـ 0، وواحد
+
+182
+00:16:47,040 --> 00:16:51,760
+نرمزه بالرمز 1. وطبعاً هدول عنصرين مختلفين، غير 
+
+183
+00:16:51,760 --> 00:16:58,660
+متساويين. إذاً هنا نفترض أن في يوجد عنصرين متميزين في
+
+184
+00:16:58,660 --> 00:17:05,280
+ℝ في مجموعة الأعداد الحقيقية بحيث أن العنصر الأول
+
+185
+00:17:05,280 --> 00:17:10,340
+هذا المتميز لما أجمعه على أي عدد حقيقي X بيعطيه X
+
+186
+00:17:12,550 --> 00:17:16,290
+فهذا بنسميه العنصر صفر. هذا بنسميه الـ additive
+
+187
+00:17:16,290 --> 00:17:25,750
+identity أو المحايد الجمعي. كذلك 1 ضرب X، لو ضربت
+
+188
+00:17:25,750 --> 00:17:30,370
+هذا العنصر المتميز في أي عدد حقيقي X هيطلع عندي
+
+189
+00:17:30,370 --> 00:17:35,290
+النتيجة X، نفس العنصر. هذا صحيح لكل عدد حقيقي. إذاً 
+
+190
+00:17:35,290 --> 00:17:39,470
+هنا بنسمي الواحد multiplicative identity أو 
+
+191
+00:17:39,470 --> 00:17:45,070
+المحايد الضربي. okay، إذاً هي أربع خواص. في كمان خاصية
+
+192
+00:17:45,070 --> 00:17:46,890
+خامسة.
+
+193
+00:17:52,510 --> 00:17:59,710
+اللي هي وجود العناصر أو 
+
+194
+00:17:59,710 --> 00:18:04,590
+الـ inverse... وجود الـ inverse elements أو اللي هو
+
+195
+00:18:04,590 --> 00:18:12,220
+بيسموها النظائر أو العناصر المعاكسة. فلأي عدد حقيقي 
+
+196
+00:18:12,220 --> 00:18:17,620
+X يوجد
+
+197
+00:18:17,620 --> 00:18:25,860
+عنصر وحيد -X ينتمي لـ ℝ بحيث لو جمعت X مع سالبه
+
+198
+00:18:25,860 --> 00:18:32,040
+بيطلع المحايد الجمعي 0. في الحالة هذه بنسمي -X
+
+199
+00:18:32,040 --> 00:18:37,680
+هذا العنصر -X بنسميه الـ additive inverse لـ
+
+200
+00:18:37,680 --> 00:18:45,900
+X، الـ additive inverse، النظير الجمعي لـ X. كذلك
+
+201
+00:18:45,900 --> 00:18:53,400
+في حالة الضرب، في حالة الضرب مش كل عنصر له نظير
+
+202
+00:18:53,400 --> 00:18:57,320
+ضربي. عشان X يكون له نظير ضربي لازم يكون مختلف عن
+
+203
+00:18:57,320 --> 00:19:03,630
+الصفر. يعني الصفر مستثنى، الصفر. إذا كان X غير، لا مختلف
+
+204
+00:19:03,630 --> 00:19:08,390
+عن الصفر، ففي عنصر واحد there exist unique element
+
+205
+00:19:08,390 --> 00:19:13,390
+نرمزه بالرمز X⁻¹ ينتمي لـ ℝ بحيث لو
+
+206
+00:19:13,390 --> 00:19:18,530
+ضربت الـ X هذا مع العنصر هذا بيطلع عندي المحايد
+
+207
+00:19:18,530 --> 00:19:23,450
+الضربي أو multiplicative identity
+
+208
+00:19:26,280 --> 00:19:33,100
+العنصر هذا بنسميه النظير الضربي أو multiplicative
+
+209
+00:19:33,100 --> 00:19:33,800
+inverse
+
+210
+00:19:36,420 --> 00:19:41,260
+إذاً ما هو الـ real number system؟ هو عبارة عن مجموعة 
+
+211
+00:19:41,260 --> 00:19:46,260
+الأعداد الحقيقية هذه، معرف عليها two binary 
+
+212
+00:19:46,260 --> 00:19:50,880
+operations، عمليتين جبريتين. واحدة بنسميها الجمع،
+
+213
+00:19:50,880 --> 00:19:55,400
+واحدة بنسميها الضرب. والعمليتين هدول بيحققوا خمس
+
+214
+00:19:55,400 --> 00:20:00,660
+خواص مهمة، اللي هي الخمس خواص اللي سردناها قبل شوية
+
+215
+00:20:02,340 --> 00:20:07,060
+Okay، تمام. هذا هو نظام الأعداد الحقيقية. احنا الآن
+
+216
+00:20:07,060 --> 00:20:16,660
+بدنا ندرس خواص الأعداد الحقيقية هذه. فأول
+
+217
+00:20:16,660 --> 00:20:22,320
+خاصية، وهذه الخواص كلها خواص طبيعية ومعروفة، وانتوا 
+
+218
+00:20:22,320 --> 00:20:26,340
+عارفينها قبل هيك، بس ما حدا كان بيعطيها أسماءها.
+
+219
+00:20:26,340 --> 00:20:30,660
+الآن بدنا نسمي الأشياء، بنعطي الأشياء أسماء أو 
+
+220
+00:20:30,660 --> 00:20:38,100
+مسميات. فأول نظرية في الـ section هذا بتعطيني 
+
+221
+00:20:38,100 --> 00:20:43,340
+cancellation laws أو قوانين الحذف. قوانين الحذف إيه
+
+222
+00:20:43,340 --> 00:20:46,580
+يعني؟ قوانين الحذف النظرية هذه بتقول لو كان في عندي
+
+223
+00:20:46,580 --> 00:20:51,880
+X و Y و Z و W أعداد حقيقية، و W مختلف عن الصفر،
+
+224
+00:20:51,880 --> 00:20:55,320
+فالنتائج 
+
+225
+00:20:55,320 --> 00:21:03,040
+التالية بتكون صحيحة. لو كان X + Z = Y + Z
+
+226
+00:21:03,040 --> 00:21:11,540
+فبقدر أنا أجيب الـ Z وأشطب الـ Z مع الـ Z وأقول
+
+227
+00:21:11,540 --> 00:21:15,220
+أستنتج أن X لازم تطلع = Y. إذاً أنا إيش عملت؟
+
+228
+00:21:15,220 --> 00:21:20,020
+حذفت. فهذا cancellation، أحد الـ cancellation laws.
+
+229
+00:21:20,020 --> 00:21:24,730
+أحد قوانين الحذف. القانون الثاني بيقول لو كان عندي
+
+230
+00:21:24,730 --> 00:21:31,150
+X × W = Y × W، فممكن وطبعاً لازم W ما يساويش 
+
+231
+00:21:31,150 --> 00:21:37,070
+0 عشان القسمة على 0 غير معرفة. فبقدر أنا أقسم على W أو
+
+232
+00:21:37,070 --> 00:21:43,350
+أشطب W أو cancelling W، وأقول إنه لو كان هذا صحيح 
+
+233
+00:21:43,350 --> 00:21:48,890
+فأكيد لازم يطلع X = Y، بشرط أن W ما يساويش 0. أما
+
+234
+00:21:48,890 --> 00:21:55,290
+لو W = 0 فهذا الكلام nonsense، يعني هراء، ليس له
+
+235
+00:21:55,290 --> 00:22:02,610
+أساس رياضي. طيب هذه القوانين بدنا نثبتها، شو عرفناها
+
+236
+00:22:02,610 --> 00:22:08,990
+صح؟ فبدنا نستخدم الآن تعريف نظام الأعداد الحقيقية
+
+237
+00:22:08,990 --> 00:22:15,810
+أنه عبارة عن مجموعة ℝ وعمليتين جبريتين بيحققوا خمس
+
+238
+00:22:15,810 --> 00:22:22,060
+خواص. من خلال الخمس خواص دول بدي أحاول أثبت 
+
+239
+00:22:22,060 --> 00:22:25,760
+صحة القوانين هذه اللي هي cancellation laws. أنا
+
+240
+00:22:25,760 --> 00:22:29,260
+أخترت لكم أثبت الثاني لأنه الأول أسهل دائماً.
+
+241
+00:22:29,260 --> 00:22:35,710
+ال التعامل مع الجمع أسهل من الضرب. فنشوف برهان الجزء
+
+242
+00:22:35,710 --> 00:22:39,090
+الثاني، وطبعاً برهان الجزء الأول هيكون بالمثل، مماثل.
+
+243
+00:22:39,090 --> 00:22:43,110
+فاحنا في رياضيات ما بنحب التكرار والحكي كثير لما
+
+244
+00:22:43,110 --> 00:22:47,570
+يكون في حاجة مماثلة، فنقول ممكن برهانها بالمثل، و
+
+245
+00:22:47,570 --> 00:22:52,950
+بنسيب الطالب يتدرب عليها أو يعني يحاول يتمرن عليها
+
+246
+00:22:52,950 --> 00:22:57,970
+أو يثبتها بنفسه لأنها هتكون مماثلة ونفس الفكرة. و
+
+247
+00:22:57,970 --> 00:23:00,210
+في الرياضيات، أنتم عارفين الأفكار، إذا احنا عرفنا
+
+248
+00:23:00,210 --> 00:23:07,380
+الأفكار، يعني ملكنا الحل. Okay، نشوف برهان الجزء
+
+249
+00:23:07,380 --> 00:23:11,640
+الثاني. أنا بدي أثبت إيش الـ... إيش الفرض؟ أنتم كلكم
+
+250
+00:23:11,640 --> 00:23:15,720
+درستم مبادئ رياضيات، هذا conditional statement، هي
+
+251
+00:23:15,720 --> 00:23:20,860
+المقدم، وهي التالي، هي الفرض، وهي النتيجة. فبنفرض إنه
+
+252
+00:23:20,860 --> 00:23:25,860
+الفرض هذا صحيح، يعني هذا صح. الآن بنثبت النتيجة، بنعمل
+
+253
+00:23:25,860 --> 00:23:30,880
+direct proof، برهان مباشر، صح؟ يعني بدي أثبت النتيجة
+
+254
+00:23:30,880 --> 00:23:35,560
+فهي النتيجة بدي أثبت X = Y، هي الـ X. الآن الـ X
+
+255
+00:23:35,560 --> 00:23:39,840
+هذه من الخواص الخمسة، ممكن أبدل X بـ 1 × X لأن
+
+256
+00:23:39,840 --> 00:23:45,620
+1 × X عبارة عن X. الآن هذه عملية الضرب
+
+257
+00:23:45,620 --> 00:23:51,060
+commutative، إبدالية. فممكن أبدل. الآن هذا الواحد 
+
+258
+00:23:51,060 --> 00:24:00,470
+هبدهله W × W⁻¹. وهذا صحيح. طيب الآن أنا في عندي
+
+259
+00:24:00,470 --> 00:24:04,490
+عملية ضرب، عملية associative، فبحاول أن أنا إيه
+
+260
+00:24:04,490 --> 00:24:11,230
+أستخدم الـ associative law. هين استخدمته. الآن XW من
+
+261
+00:24:11,230 --> 00:24:15,550
+المعطيات، أنا عندي X × W = Y × W. إذاً أنا
+
+262
+00:24:15,550 --> 00:24:23,640
+هشيل XW وأضع مكانها YW. وبالتالي صار عندي الكلام
+
+263
+00:24:23,640 --> 00:24:28,360
+هذا، لأن بستخدم الـ associative law، تغير ترتيب
+
+264
+00:24:28,360 --> 00:24:33,180
+الأقواس. وهذا برجعه = 1، وبستخدم الـ 
+
+265
+00:24:33,180 --> 00:24:37,240
+commutative law، فبيطلع عندي في النهاية Y. إذن هين
+
+266
+00:24:37,240 --> 00:24:45,200
+أثبتت إن X = Y. وهنا في البرهان استخدمت بعض
+
+267
+00:24:45,200 --> 00:24:49,170
+الخواص الخمسة تبقى. الـ real number system أو نظام 
+
+268
+00:24:49,170 --> 00:24:54,350
+الأعداد الحقيقية بظبط زاد الـ logic، المنطق، أو 
+
+269
+00:24:54,350 --> 00:24:59,010
+أساسيات الرياضيات. إذاً هذا هو إيه البرهان؟ برهان
+
+270
+00:24:59,010 --> 00:25:03,050
+الجزء الأول مماثل، فهي اللي كتبلكم exercise، يعني
+
+271
+00:25:03,050 --> 00:25:07,290
+اتمرنوا عليه، اتمرنوا عليه، يعني حاولوا تكتبوه بنفس
+
+272
+00:25:07,290 --> 00:25:12,250
+الطريقة. تمام، واضح البرهان؟ واضح. في أي سؤال؟ 
+
+273
+00:25:14,950 --> 00:25:19,530
+Okay، تمام. طيب نشوف كمان نظرية ثانية، نظريات لسه
+
+274
+00:25:19,530 --> 00:25:25,270
+حاجات بسيطة. نشوف النص تبع النظرية، أنا عندي ضايل
+
+275
+00:25:25,270 --> 00:25:30,910
+دقيقتين. ممكن احنا تبعين رياضيات، يعني بنحب نستغل
+
+276
+00:25:30,910 --> 00:25:38,470
+وقتنا كثير، وكل دقيقة أنا اه... هذه نظرية طويلة. طيب مش
+
+277
+00:25:38,470 --> 00:25:43,530
+مش لازم بس، هنحاول نشوف النص تبعها، وبعدين المرة
+
+278
+00:25:43,530 --> 00:25:49,920
+الجاية بنبرهنها. هذه النظرية فيها عشر أجزاء. النظرية 
+
+279
+00:25:49,920 --> 00:25:55,180
+هذه بتقول إذا أخذت أي أربع أعداد حقيقية XYZW، وإذا 
+
+280
+00:25:55,180 --> 00:26:00,960
+كان الـ Z والـ W مختلفين عن الصفر، فالخواص 
+
+281
+00:26:00,960 --> 00:26:06,650
+التالية كلها صحيحة وهي أول خاصية لو ضربت أي عدد
+
+282
+00:26:06,650 --> 00:26:10,030
+حقيقي في صفر المفروض يطلع لعدد الصفر ال additive
+
+283
+00:26:10,030 --> 00:26:16,050
+ال additive identity الآن هذا ال additive inverse
+
+284
+00:26:16,050 --> 00:26:21,510
+لـ X لما آخذ ال additive inverse لـ X مرتين كأن إيه
+
+285
+00:26:21,510 --> 00:26:25,390
+رجعت لـ X زي المصفوفة آخذ ال inverse للمصفوفة
+
+286
+00:26:25,390 --> 00:26:30,980
+مرتين تطلع المصفوفة نفسها شبيهة فيها صحيح؟ طيب برضه 
+
+287
+00:26:30,980 --> 00:26:35,360
+نفس الحاجة لما آخذ ال multiplicative inverse مرتين
+
+288
+00:26:35,360 --> 00:26:39,940
+هذا بيساوي العنصر نفسه هذا صحيح طبعًا هنا بشرط w
+
+289
+00:26:39,940 --> 00:26:45,080
+مايساويش صفر في الضرب دائمًا بنكون ... نحاول نكون
+
+290
+00:26:45,080 --> 00:26:48,440
+careful حريصين أنه إيه الحاجة اللي بدنا نجيبلها
+
+291
+00:26:48,440 --> 00:26:52,910
+multiplicative inverse ما تكونش بتساوي صفر لو ضربت
+
+292
+00:26:52,910 --> 00:26:56,430
+العدد سالب واحد هذا real number في X كأن ضربت X في
+
+293
+00:26:56,430 --> 00:27:02,790
+سالب فهذا نفس الشيء لو ضربت X في سالب Y نفس الشيء
+
+294
+00:27:02,790 --> 00:27:07,030
+كما لو أني ضربت X في Y وضربت الكل في سالب واحد أو
+
+295
+00:27:07,030 --> 00:27:12,850
+هيك كل هذا صح لو أخذت negative X و جمعتها على
+
+296
+00:27:12,850 --> 00:27:18,470
+negative Y كأن أخذت X زائد Y وضربت في سالب هذا كله
+
+297
+00:27:18,470 --> 00:27:23,680
+صح طيب لو ضربت negative x في negative y كأنني ضربت
+
+298
+00:27:23,680 --> 00:27:31,880
+x في y هذا برضه صحيح لو جمعت x على z و y على w و
+
+299
+00:27:31,880 --> 00:27:42,120
+جمعتهم فهيطلع عندي ال ... من واحد المقامات و
+
+300
+00:27:42,120 --> 00:27:47,350
+العملية الجبرية هذه المعروفة أخيرًا الخاصية الأخيرة
+
+301
+00:27:47,350 --> 00:27:51,990
+هذه لو أنا فيها عندي عددين حقيقيين كان حصل ضربهم
+
+302
+00:27:51,990 --> 00:27:58,090
+بيساوى صفر فلازم واحد على الأقل منهم بيساوى صفر فإما x
+
+303
+00:27:58,090 --> 00:28:02,830
+بيساوى صفر أو y بيساوى صفر وهذه ممكن مرت معكم في
+
+304
+00:28:02,830 --> 00:28:08,430
+المبادئ عفوًا هذا أكيد مرت معكم في المبادئ كمثال
+
+305
+00:28:08,430 --> 00:28:15,100
+على indirect proof على برهان غير مباشر حاولوا أنكم
+
+306
+00:28:15,100 --> 00:28:21,660
+أنتم تفكروا في براهين الحاجات هذه والمرة الجاية
+
+307
+00:28:21,660 --> 00:28:28,520
+إن شاء الله نحاول نبرهن بعض الأجزاء okay تمام ال
+
+308
+00:28:28,520 --> 00:28:34,310
+... ال material هذه هأحطها على الصفحة بتاعتكم ممكنكم
+
+309
+00:28:34,310 --> 00:28:39,670
+أنكم تنسخوها و تأخذوها و تشوفوها فبالتالي مافيش
+
+310
+00:28:39,670 --> 00:28:44,670
+ داعي أنكم تكتبوا لأن ممكن تنسخوها و تحطوها على ال
+
+311
+00:28:44,670 --> 00:28:49,250
+laptop تبعكم أو على ال computer okay تمام هنوقف
+
+312
+00:28:49,250 --> 00:28:53,090
+هنا وإن شاء الله المرة الجاية بنكمل وبنجيب لكم
+
+313
+00:28:53,090 --> 00:28:56,710
+معلومات جديدة عن توزيع الدرجات والامتحانات في حد
+
+314
+00:28:56,710 --> 00:28:58,090
+عنده أي سؤال أو استفسار
+
+315
+00:29:03,220 --> 00:29:06,820
+اه من ... هنحط لكم يعني اه هنحط لكم يعني إن شاء الله
+
+316
+00:29:06,820 --> 00:29:12,660
+يعني كام كبير له يعني يكون يكفيكِ من هالشهر okay
+
+317
+00:29:12,660 --> 00:29:16,980
+تمام؟ في أي سؤال ثاني؟ okay شكرًا لكم وإن شاء الله
+
+318
+00:29:16,980 --> 00:29:22,500
+نشوفكم المرة الجاية ونلتقي يوم الاثنين إن شاء
+
+319
+00:29:22,500 --> 00:29:22,600
+الله 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/BdWUrxEOLII_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1276 @@
+1
+00:00:21,430 --> 00:00:27,610
+بسم الله الرحمن الرحيم أول شي بنحب يعني نرحب فيكم
+
+2
+00:00:27,610 --> 00:00:31,770
+بمناسبة
+
+3
+00:00:31,770 --> 00:00:38,690
+بداية العالم الدراسي الجديد و نسأل الله تعالى أنه
+
+4
+00:00:38,690 --> 00:00:46,510
+يكون الفصل هذا فصل يعني متميز و يعني فيه ان شاء
+
+5
+00:00:46,510 --> 00:00:51,860
+الله الخير الكتيرلكم خاصة بعد أجواء الحرب اللى
+
+6
+00:00:51,860 --> 00:00:57,020
+عشناها فى الفترة اللى فاتت وربنا
+
+7
+00:00:57,020 --> 00:01:03,860
+يعني يكلل جهدكم بال .. بالنجاح والتفوق يمكن
+
+8
+00:01:03,860 --> 00:01:09,640
+أول مرة يمكن تشوفونى او يمكن ما درستكم مش قبل هيك
+
+9
+00:01:09,640 --> 00:01:14,260
+فإذا مابتعرفوش مين أنا فأنا الدكتور أيسى اللى
+
+10
+00:01:14,260 --> 00:01:18,840
+هبيلىطبعا كان المفروض ان الدكتور Asad .. Asad هو
+
+11
+00:01:18,840 --> 00:01:23,280
+اللي درسكم ال course هذا لكن حصل في يعني الجداول
+
+12
+00:01:23,280 --> 00:01:26,020
+زي ما انتوا عارفين في .. بيصير فيها تغيرات في آخر
+
+13
+00:01:26,020 --> 00:01:35,060
+لحظة فانا ان شاء الله اللي هدرسكم المادة هذه ف ..
+
+14
+00:01:35,060 --> 00:01:38,380
+يعني ال ..
+
+15
+00:01:41,030 --> 00:01:46,430
+أهم حاجة في المادة هذه و في كل مواد رياضيات أن
+
+16
+00:01:46,430 --> 00:01:55,150
+الطالب يعني يواظب على الحضور يحاول يحضر المحاضرات
+
+17
+00:01:55,150 --> 00:02:02,710
+ي .. يقرأ المحاضرات أول بأول يحاول يشتغل في ال
+
+18
+00:02:02,710 --> 00:02:07,770
+homework برضه أول بأول مايجزلش ال .. الدراسة أو حل
+
+19
+00:02:07,770 --> 00:02:16,610
+المثالوما تتركمش عليه كمان يعني زي أي مادة في
+
+20
+00:02:16,610 --> 00:02:20,150
+رياضيات عشان الواحد يفهمها ويقدر يعني يستوعبها
+
+21
+00:02:20,150 --> 00:02:25,730
+لازم يحاول يحل أكبر عدد ممكن من المسائل أو بنسمي
+
+22
+00:02:25,730 --> 00:02:30,690
+ال homework assignment طبعا احنا هنعطيلكم syllabus
+
+23
+00:02:30,690 --> 00:02:37,010
+زي هذافيه كل البيانات اللازمة اللي هو بنسميه
+
+24
+00:02:37,010 --> 00:02:45,490
+course outline أو ملخص لcourse و syllabus فيه كل
+
+25
+00:02:45,490 --> 00:02:50,130
+المعلومات عن المدرس عن المساقة عن ال textbook عن
+
+26
+00:02:50,130 --> 00:02:54,190
+كتاب المقرر عن المراجع الإضافية اللي ممكن لاستعانى
+
+27
+00:02:54,190 --> 00:03:00,630
+بيها بالإضافة للمرجع الأساسي أيه المادة العلمية
+
+28
+00:03:00,630 --> 00:03:08,940
+اللي هناخدهاو كيف توزيعها على أسابيع أو على ال ..
+
+29
+00:03:08,940 --> 00:03:16,560
+اه ممكن توزيعها على أسابيع توزيع
+
+30
+00:03:16,560 --> 00:03:20,220
+الدرجات ال evaluation policy أو تقييم ال course
+
+31
+00:03:20,220 --> 00:03:27,720
+برضه هذا بيكون موجود عادة في ال syllabusو في
+
+32
+00:03:27,720 --> 00:03:32,320
+النهاية بنضع اللي هو ال homework assignments اللي
+
+33
+00:03:32,320 --> 00:03:36,680
+هو مسائل ال homework اللي المفروض تحلوها من الكتاب
+
+34
+00:03:36,680 --> 00:03:42,340
+ففي نهاية كل section هيكون في عدد من المسائل و هذه
+
+35
+00:03:42,340 --> 00:03:46,200
+المسائل احنا بنختار يعني جزء منها مش كلها على أساس
+
+36
+00:03:46,200 --> 00:03:51,860
+الطالب بيحاول يحلهاالمسائل طبعا يعني الطالبة اللي
+
+37
+00:03:51,860 --> 00:03:57,500
+يعني مستواها متواضع او متوسط المفروض تحاول تحل
+
+38
+00:03:57,500 --> 00:04:01,680
+يعني مش اقل من خمسين الى سبعين في المية من المسائل
+
+39
+00:04:01,680 --> 00:04:05,940
+لوحدها اذا حضرت المحاضرة ودرست المحاضرة كويس
+
+40
+00:04:05,940 --> 00:04:09,640
+المفروض انها يعني يكون عندك مقدرة انها تحل على
+
+41
+00:04:09,640 --> 00:04:13,580
+الاقل بين خمسين الى سبعين في المية اذا ماكانش اكتر
+
+42
+00:04:14,270 --> 00:04:17,750
+ال .. طبعا باقي المسائل الصعبة بيكون في اما بيكون
+
+43
+00:04:17,750 --> 00:04:21,630
+في .. بيكون دايما بنحاول نحلها في او نحل بعضها
+
+44
+00:04:21,630 --> 00:04:28,510
+المسائل الصعبة من خلال مناقشة فبنعمل مناقشة المادة
+
+45
+00:04:28,510 --> 00:04:32,690
+دي فيها اربع ساعات ممكن نخصص تلت ساعات محاضرة و
+
+46
+00:04:32,690 --> 00:04:38,650
+ساعة مناقشة او حسب يعني ال .. تطور ال course لكن
+
+47
+00:04:38,650 --> 00:04:42,660
+في عندنا يعني الساعة من الوقت ممكن ان احنايعني
+
+48
+00:04:42,660 --> 00:04:47,280
+أخصص أنا من وقت لآخر ساعة مناقشة و نتفق عليها يعني
+
+49
+00:04:47,280 --> 00:04:52,760
+قبل ما ناخدها، فعشان هيك الحضور يعني كتير ضروري
+
+50
+00:04:52,760 --> 00:04:54,640
+جدا و ..
+
+51
+00:04:56,630 --> 00:05:00,370
+طبعا بمكانكم منكم أنتوا يعني تستغلوا الساعات
+
+52
+00:05:00,370 --> 00:05:06,330
+المكتبية و أي واحد عنده استفسار، سؤال، أي شيء يعني
+
+53
+00:05:06,330 --> 00:05:12,350
+بتعلق بالمادة ممكن تجيلي على المكتب و تتناقش معاه،
+
+54
+00:05:12,350 --> 00:05:19,010
+تسألني و ممكن أساعدها ممكن برضه تسأل المهدين أو
+
+55
+00:05:19,010 --> 00:05:24,050
+المعيدات، الأخوات اللي هنا عندكم، ماعرفش .. ضايلين
+
+56
+00:05:24,050 --> 00:05:29,530
+مكان هم اللي غيروابرضه كمان هذا يعني وسيلة تانية
+
+57
+00:05:29,530 --> 00:05:33,270
+للمساعدة ممكن تستعينوا بالمراجعة اللي احنا بنكتبها
+
+58
+00:05:33,270 --> 00:05:37,450
+في ال syllabusهذه برضه بتساعدكم ممكن تستعملوا ال
+
+59
+00:05:37,450 --> 00:05:41,910
+internet ممكن تستعملوا المكتبة يعني في وسائل
+
+60
+00:05:41,910 --> 00:05:45,670
+مساعدة كتيرة لكن يعني أهم شيء .. أهم شيء في المادة
+
+61
+00:05:45,670 --> 00:05:51,010
+هذه بتحضروا المحاضرة و تحاولوا تحلوا المسائل و
+
+62
+00:05:51,010 --> 00:05:55,910
+تتناقشوا مع المدرس أكتر .. أكتر واحد بفيدكم مدرس
+
+63
+00:05:55,910 --> 00:06:00,660
+المادةو احنا مش هنبخل عليكم يعني في ان احنا نجاوب
+
+64
+00:06:00,660 --> 00:06:05,520
+على أسئلتكم و الصفصاراتكم سواء .. سواء الأسئلة ده
+
+65
+00:06:05,520 --> 00:06:10,800
+أو الصفصارات كانت بتتعلق بال homework أو بالمادة
+
+66
+00:06:10,800 --> 00:06:17,640
+ال material اللي احنا هناخدها okay تمام؟ عشان شوية
+
+67
+00:06:17,640 --> 00:06:24,860
+هيك احنا يعني حالنا زي حال ال ..ال .. البلد ال ..
+
+68
+00:06:24,860 --> 00:06:27,880
+انتوا عارفين مكاتبنا كلها كانت مبنى الإدارة و
+
+69
+00:06:27,880 --> 00:06:33,980
+بالتالي مكاتبنا يعني في عملية نزوح او نقل من
+
+70
+00:06:33,980 --> 00:06:39,940
+المبنى الإدارة لمبنى جديد فلسه مكاتبنا يعني ما
+
+71
+00:06:39,940 --> 00:06:43,900
+استقرناش ف .. لكن انا بحاول ان شاء الله مرة جاية
+
+72
+00:06:43,900 --> 00:06:49,040
+اجهزلكم ال syllabus تبع ال course و هحطه على
+
+73
+00:06:49,040 --> 00:06:53,990
+الصفحه تبعتيو بالتالي ممكن أنكم تاخدوا نسخة منه ..
+
+74
+00:06:53,990 --> 00:07:01,310
+من الصفحة كذلك بإمكانكم تروحوا على صفحة المدرس في
+
+75
+00:07:01,310 --> 00:07:05,450
+امتحانات أنا بضعها نصفية سابقة و امتحانات نهائية
+
+76
+00:07:05,450 --> 00:07:10,970
+برضه ممكن تلاجوا على صفحة المدرس ممكن لو في حاجات
+
+77
+00:07:10,970 --> 00:07:15,230
+معينة مهمة ممكن ادرس .. ا .. انزلها على الصفحة و
+
+78
+00:07:15,230 --> 00:07:19,190
+بعدين انتوا يعني تعملولها copy و paste و إش زي ذلك
+
+79
+00:07:20,970 --> 00:07:26,830
+إذا عشان احنا يعني ما نضيعش الوجد كتير خليني بس
+
+80
+00:07:26,830 --> 00:07:34,410
+أكتبلكم ال .. ال .. ال .. موقع الصفحة تبعتي عشان
+
+81
+00:07:34,410 --> 00:07:38,750
+إذا حد يعني .. و هترب ممكن برضه تخشوا على كلية
+
+82
+00:07:38,750 --> 00:07:43,080
+العلوم خاصة الرياضيات و المدرسين و تطلع الصفحةأو
+
+83
+00:07:43,080 --> 00:07:55,920
+إذا كان ممكن تستخدمه بالرابط اللي هو http://www
+
+84
+00:07:55,920 --> 00:08:00,440
+.iogaza
+
+85
+00:08:00,440 --> 00:08:04,800
+.edu
+
+86
+00:08:04,800 --> 00:08:09,400
+.ps
+
+87
+00:08:14,490 --> 00:08:20,790
+backslash employee habil
+
+88
+00:08:20,790 --> 00:08:26,830
+الكتاب
+
+89
+00:08:26,830 --> 00:08:35,790
+المقرر اللي هو introduction text الكتاب المقرر هو
+
+90
+00:08:35,790 --> 00:08:38,590
+عبارة عن introduction
+
+91
+00:08:43,370 --> 00:08:54,990
+introduction to real analysis by
+
+92
+00:08:54,990 --> 00:09:01,770
+bartel sherbert
+
+93
+00:09:01,770 --> 00:09:08,830
+or bartel and
+
+94
+00:09:08,830 --> 00:09:09,590
+sherbert
+
+95
+00:09:13,410 --> 00:09:22,990
+وهذا الطبع التالتة third edition اذا
+
+96
+00:09:22,990 --> 00:09:27,270
+هذا الكتاب المخرر اللي احنا هنعتمد عليه طبعا هذا
+
+97
+00:09:27,270 --> 00:09:30,670
+الكتاب موجود في مكتبة الطالب او الطالبة ويمكنكم
+
+98
+00:09:30,670 --> 00:09:32,610
+يعني تشتروا
+
+99
+00:09:34,470 --> 00:09:39,090
+Okay إذا يعني هذه معظم الشغلات، احنا ال .. بالنسبة
+
+100
+00:09:39,090 --> 00:09:44,970
+لل .. لل course يعني ممكن احنا حسب ما ال .. الكلية
+
+101
+00:09:44,970 --> 00:09:48,690
+شوية غيرت سياستها، كنا في الأول نعطي امتحانين
+
+102
+00:09:48,690 --> 00:09:53,950
+نصفيين و امتحان نهائيلكن إذا الكلية غيرت و رجعت
+
+103
+00:09:53,950 --> 00:09:59,450
+لامتحان نصف واحد و نهائي فهنحكيلكم
+
+104
+00:09:59,450 --> 00:10:04,270
+المرة الجاية يعني انحدد بالظبط بعدين الدكتور عشان
+
+105
+00:10:04,270 --> 00:10:07,350
+أسعد أنا وياه و ببدرس الطلاب و أنا بدرسكم فعشان
+
+106
+00:10:07,350 --> 00:10:11,990
+نعمل امتحانات موحدة فلازم السياسة تكون موحدة فيعني
+
+107
+00:10:11,990 --> 00:10:16,390
+يوم المحاضرة الجاية نتفق على قليل يعني عدد
+
+108
+00:10:16,390 --> 00:10:20,610
+الامتحانات و توزيها الدرجات هنتفق عليه ان شاء الله
+
+109
+00:10:20,610 --> 00:10:26,270
+المرة الجايةأنا يعني عامل زي ما أنتوا شايفين ملخص
+
+110
+00:10:26,270 --> 00:10:29,890
+يعني طبعا هذا الملخص لا يغني عن الكتاب المقرر يعني
+
+111
+00:10:29,890 --> 00:10:34,510
+المفروض الطالب ي .. أو الطالبة يعني .. يعني تفلي
+
+112
+00:10:34,510 --> 00:10:38,210
+الكتاب المقرر أو يعني تدرس من الكتاب المقرر أو
+
+113
+00:10:38,210 --> 00:10:43,870
+تشوفهلكن انا بحاول يعني الكتاب المقرر بحاول يعني
+
+114
+00:10:43,870 --> 00:10:49,770
+انا اخد الصفوة تبعته و احاول ألخص يعني ال material
+
+115
+00:10:49,770 --> 00:10:53,690
+بالطريقة و بالاسلوب تبعي انا .. انا اللي بقرا ..
+
+116
+00:10:53,690 --> 00:10:58,550
+بقرا مناسب فبرضه لو اعتمدتوا على الملخص هذا او
+
+117
+00:10:58,550 --> 00:11:02,130
+حليته المسائل برضه هذا شئ يعني كتير كويس وطيب جدا
+
+118
+00:11:04,800 --> 00:11:11,100
+أنا هحاول أن أشوف هل يعني عن طريق العرض زي هيك،
+
+119
+00:11:11,100 --> 00:11:15,880
+هشتغلكم كل شيء، إذا في أي شيء مش واضح أو مش
+
+120
+00:11:15,880 --> 00:11:21,640
+فاهمينه ممكن نحاول نكتب و نوضحه بالكتابة، لكن أنا
+
+121
+00:11:21,640 --> 00:11:28,280
+مش ه .. مش ه .. مش ه .. يعني مش هعديعن نقطة من
+
+122
+00:11:28,280 --> 00:11:31,880
+نقطة لنقطة تانية إلا إذا كانت أقل من انتوا
+
+123
+00:11:31,880 --> 00:11:37,440
+فاهمينها المادة هذه يعني حساسة وفيها عمق رياضي
+
+124
+00:11:37,440 --> 00:11:43,200
+ومادة كتير مهمة ماعناش نقول صعبة مش صعبة لكن بدها
+
+125
+00:11:43,200 --> 00:11:48,500
+يعني تركيز وبدها اهتمام وبدها جهود فحنحاول ان
+
+126
+00:11:48,500 --> 00:11:50,840
+ساعدكم ان شاء الله تفهموها بقدر الممكن
+
+127
+00:11:53,810 --> 00:11:58,050
+انا بحب دائما اعطي يعني material او اعطي محاضرة من
+
+128
+00:11:58,050 --> 00:12:03,170
+اول يوم فهنبدأ نشرح و بعدين المحاضرة جاية بنحكي
+
+129
+00:12:03,170 --> 00:12:06,730
+شوية عن ال evaluation و عن الامتحانات و العلامات
+
+130
+00:12:06,730 --> 00:12:12,630
+ماشي الحال فيمكن انتوا مش مستعدين لكن انا مستعد ان
+
+131
+00:12:12,630 --> 00:12:19,570
+انا يعني ناخد شوية ولو انه وجدت كتير يعني نراها لأ
+
+132
+00:12:19,570 --> 00:12:24,620
+في معانا وجدت ان احنا ناخد شويةOkay فيعني هذا يعني
+
+133
+00:12:24,620 --> 00:12:31,880
+مش يعني سيء ومش غلط فهنبدأ
+
+134
+00:12:31,880 --> 00:12:39,120
+.. احنا هناخد أربع شباتر في المادة هذه لكن الشباتر
+
+135
+00:12:39,120 --> 00:12:45,080
+مش متساوية الشبتر الأول بتحدث عن ال real number
+
+136
+00:12:45,080 --> 00:12:50,570
+system أو نظام الأعداد الحقيقيةوهذا أساس حاجات
+
+137
+00:12:50,570 --> 00:12:58,390
+كتيرة في رياضيات فأول شيء بنا ان نتحدث
+
+138
+00:12:58,390 --> 00:13:01,450
+في أول band في ال chapter هذا أو في أول section
+
+139
+00:13:01,450 --> 00:13:05,890
+بنا نتحدث عن ال algebraic properties of R أو
+
+140
+00:13:05,890 --> 00:13:12,070
+الصفات الجابرية لنظام الأعداد الحقيقية فما هو نظام
+
+141
+00:13:12,070 --> 00:13:19,180
+الأعداد الحقيقية؟نرمزه بالرمز هذا real number
+
+142
+00:13:19,180 --> 00:13:22,940
+system أو نظام الأعداد الحقيقية نرمزه بالرمز bold
+
+143
+00:13:22,940 --> 00:13:30,440
+في SR اللي هو الرمز هذا هذا يرمز لمجموعة الأعداد
+
+144
+00:13:30,440 --> 00:13:34,160
+الحقيقية الآن هذه مجموعة الأعداد الحقيقية بنعرف
+
+145
+00:13:34,160 --> 00:13:38,380
+عليها عمليتين جبريتين two algebraic operations
+
+146
+00:13:39,430 --> 00:13:43,270
+عملية جمع يعني باخد عددين حقيقيين زوج مرتب من
+
+147
+00:13:43,270 --> 00:13:47,530
+العداد الحقيقية و بعرف عملية الجمع على .. على
+
+148
+00:13:47,530 --> 00:13:53,050
+الزوج هذا فعملية الجمع بتجمعهم بعرف عملية تانية
+
+149
+00:13:53,050 --> 00:13:57,570
+binary operation جديدة باخد عددين حقيقيين او زوج
+
+150
+00:13:57,570 --> 00:14:01,910
+مرتب من العداد الحقيقية و بحاول اعرف عليهم عملية
+
+151
+00:14:01,910 --> 00:14:07,630
+جديدة عملية ضرب او multiplicationفهذا يعتبر
+
+152
+00:14:07,630 --> 00:14:10,830
+function هذا وهذا يعتبر function من الـ Cartesian
+
+153
+00:14:10,830 --> 00:14:15,490
+product الـ R مع نفسها إلى R فهدول بنسميهم binary
+
+154
+00:14:15,490 --> 00:14:20,210
+operations الان نظام العداد الحقيقية هو مجموعة
+
+155
+00:14:20,210 --> 00:14:24,190
+العداد الحقيقية R boldface R هذه الـ R الكبيرة
+
+156
+00:14:24,190 --> 00:14:30,370
+المغمخة مع العمليتين الجبرياتين هدول الان العمليات
+
+157
+00:14:30,370 --> 00:14:34,510
+هذه لازم تحقق خمس قواص
+
+158
+00:14:37,700 --> 00:14:43,380
+فالخواص هذه الخمسة أول خاصية فيهم هي ال
+
+159
+00:14:43,380 --> 00:14:47,200
+commutative laws قوانين الإبدال يعني عملية الجامعة
+
+160
+00:14:47,200 --> 00:14:51,580
+اللي اتحدثنا عنها قبل شوية هي عملية إبدالية بقدر
+
+161
+00:14:51,580 --> 00:14:57,180
+أبدل العناد الحقيقية في الجامعة كذلك عملية الضرب
+
+162
+00:14:58,760 --> 00:15:04,100
+برضه عملية إبدالية competitive فإذا عملية عمليات
+
+163
+00:15:04,100 --> 00:15:09,640
+الجامعة والضرب هي عمليات إبدالية كذلك العمليات
+
+164
+00:15:09,640 --> 00:15:15,960
+الجامعة والضرب عمليات ال associative laws قوانين
+
+165
+00:15:15,960 --> 00:15:21,460
+الدمج يعني الأقواص عملية الجامعة عملية دمج
+
+166
+00:15:21,460 --> 00:15:26,710
+associativeيعني بقدر لما أجمع X و Y و Z تلت أعداد
+
+167
+00:15:26,710 --> 00:15:31,410
+حقيقية بقدر أحط القواس حوالين هنا أو ممكن أحطهم
+
+168
+00:15:31,410 --> 00:15:35,870
+هنا سيا مابتفرجش هاي عملية الدمج أو ال associative
+
+169
+00:15:35,870 --> 00:15:44,050
+law نفس الحاجة نفس الشيء عملية الضرب عملية دمج
+
+170
+00:15:44,050 --> 00:15:45,170
+associative
+
+171
+00:15:48,760 --> 00:15:53,220
+الخاصية التالتة الـ distributive laws أو قوانين
+
+172
+00:15:53,220 --> 00:16:02,130
+التوزيع عملية الضرب تتوزع على عملية الجامعةهذه X
+
+173
+00:16:02,130 --> 00:16:09,170
+لما أضربها في مجموعة Y و Z فبوزع الضرب X على Y و
+
+174
+00:16:09,170 --> 00:16:15,470
+بوزع X على Z نفس الشيء برضه في قانون توزيع لما
+
+175
+00:16:15,470 --> 00:16:20,330
+أضرب من اليسار برضه بوزع الضرب على المجموعة من
+
+176
+00:16:20,330 --> 00:16:23,590
+اليسار إذا أنا دول القانونين بسميهم distributive
+
+177
+00:16:23,590 --> 00:16:27,830
+laws أو قوانين التوزيع عملية الضرب توزيعية على
+
+178
+00:16:27,830 --> 00:16:32,830
+عملية الج��عفيه برضه خاصية رابعة ال identity
+
+179
+00:16:32,830 --> 00:16:39,310
+elements وجود العناصر المحايدة ففي الأعداد
+
+180
+00:16:39,310 --> 00:16:40,110
+الحقيقية
+
+181
+00:16:42,360 --> 00:16:47,040
+في عددين او عنصرين واحد نرمزله بالـ 0 و واحد
+
+182
+00:16:47,040 --> 00:16:51,760
+نرمزله بالرمز 1 و طبعا هدول عنصرين مختلفين غير
+
+183
+00:16:51,760 --> 00:16:58,660
+متساوين اذا هنا نفترض ان في يوجد عنصرين متميزين في
+
+184
+00:16:58,660 --> 00:17:05,280
+R في مجموعة الاعداد الحقيقية بحيث ان الانصر السفر
+
+185
+00:17:05,280 --> 00:17:10,340
+هذا المتميز لما اجمعه على اي عدد حقيقي X بيعطيه X
+
+186
+00:17:12,550 --> 00:17:16,290
+فهذا بنسميه الانصار صفر هذا بنسميه ال additive
+
+187
+00:17:16,290 --> 00:17:25,750
+identity أو المحايد الجامعيكذلك واحد ضرب X لو ضربت
+
+188
+00:17:25,750 --> 00:17:30,370
+هذا العنصر المتميز في أي عدد حقيقي X هيطلع عندي
+
+189
+00:17:30,370 --> 00:17:35,290
+الناتج X نفس العنصر هذا صحيح لكل عداد الحقيقية اذا
+
+190
+00:17:35,290 --> 00:17:39,470
+هنا بنسمي الواحد multiplicative identity او
+
+191
+00:17:39,470 --> 00:17:45,070
+المحايد الضربي okay اذا هي اربع خواص في كمان خاصية
+
+192
+00:17:45,070 --> 00:17:46,890
+خامسة
+
+193
+00:17:52,510 --> 00:17:59,710
+اللي هي وجود العناصر أو
+
+194
+00:17:59,710 --> 00:18:04,590
+ال inverse .. وجود ال inverse elements أو اللي هو
+
+195
+00:18:04,590 --> 00:18:12,220
+بيسموها النظارة أو العناصر المعاكسةفلأي عدد حقيقي
+
+196
+00:18:12,220 --> 00:18:17,620
+X يوجد
+
+197
+00:18:17,620 --> 00:18:25,860
+أنصر وحيد سالب X ينتمي ل R بحيث لو جمعت X مع سالبه
+
+198
+00:18:25,860 --> 00:18:32,040
+بيطلع المحايد يجمع 0في الحالة هذه بنسمي negative x
+
+199
+00:18:32,040 --> 00:18:37,680
+هذا العنصر negative x بنسميه ال additive inverse ل
+
+200
+00:18:37,680 --> 00:18:45,900
+x ال additive inverse النظير الجمعي ل x كذلك
+
+201
+00:18:45,900 --> 00:18:53,400
+في حالة الضرب في حالة الضرب مش كل عنصر له نظير
+
+202
+00:18:53,400 --> 00:18:57,320
+ضربي عشان x يكون له نظير ضربي لازم يكون مختلف عن
+
+203
+00:18:57,320 --> 00:19:03,630
+السفريعني السفر مستفن السفر إذا كان X غير لا مختلف
+
+204
+00:19:03,630 --> 00:19:08,390
+عن السفر ففي عنصر واحد there exist unique element
+
+205
+00:19:08,390 --> 00:19:13,390
+نرمزه بالرمز X to negative one ينتمي لR بحيث لو
+
+206
+00:19:13,390 --> 00:19:18,530
+ضربت ال X هذا مع العنصر هذا بيطلع عندي المظير
+
+207
+00:19:18,530 --> 00:19:23,450
+الضربي او multiplicative identity
+
+208
+00:19:26,280 --> 00:19:33,100
+العنصر هذا بنسميه النظير الضربي أو multiplicative
+
+209
+00:19:33,100 --> 00:19:33,800
+inverse
+
+210
+00:19:36,420 --> 00:19:41,260
+إذا ما هو ال real number system هو عبارة عن مجموعة
+
+211
+00:19:41,260 --> 00:19:46,260
+الأعداد الحقيقية هذه امعرف عليها two binary
+
+212
+00:19:46,260 --> 00:19:50,880
+operations عمليتين جبريتين واحدة بنسميها الجامعة
+
+213
+00:19:50,880 --> 00:19:55,400
+واحدة بنسميها الضرب والعمليتين هدول بيحققوا خمس
+
+214
+00:19:55,400 --> 00:20:00,660
+خواص مهمة اللي هي الخمس خواص اللي سردناها قبل شويه
+
+215
+00:20:02,340 --> 00:20:07,060
+Okay تمام هذا هو نظام الأعداد الحقيقية احنا الآن
+
+216
+00:20:07,060 --> 00:20:16,660
+بدنا ندرس خواص الأعداد الحقيقية هذه فأول
+
+217
+00:20:16,660 --> 00:20:22,320
+خاصية وهذه الخواص كلها خواص طبيعية ومعروفة وانتوا
+
+218
+00:20:22,320 --> 00:20:26,340
+عارفينها قبل هيك بس ماحدش كان بيعطيلها أسماءها
+
+219
+00:20:26,340 --> 00:20:30,660
+الآن بدنا نسمي الأشياءبنعطي الأشياء أسماء أو
+
+220
+00:20:30,660 --> 00:20:38,100
+مسميات فأول نظرية في ال section هذا بتعطيني
+
+221
+00:20:38,100 --> 00:20:43,340
+cancellation laws او قوانين الحذف قوانين الحذف ايه
+
+222
+00:20:43,340 --> 00:20:46,580
+يعني قوانين الحذف النظرية هذه بتقول لو كان في عندي
+
+223
+00:20:46,580 --> 00:20:51,880
+x و y و z و w أعداد حقيقية و w مختلف عن الصفر
+
+224
+00:20:51,880 --> 00:20:55,320
+فالنتائج
+
+225
+00:20:55,320 --> 00:21:03,040
+التالية بتكون صحيحةلو كان x زائد z بساوي y plus z
+
+226
+00:21:03,040 --> 00:21:11,540
+فبقدر أنا أجيب الجلم و أشطب ال z مع ال z و أقول
+
+227
+00:21:11,540 --> 00:21:15,220
+أستنتج أن x لازم تطلع بالساوي y إذا أنا إيش عملت
+
+228
+00:21:15,220 --> 00:21:20,020
+حدفت فهذا cancellation أحد ال cancellation الوزر
+
+229
+00:21:20,020 --> 00:21:24,730
+أحد قوانين الحدفةالخانون التاني بيقول لو كان عندي
+
+230
+00:21:24,730 --> 00:21:31,150
+X ضرب W بساوي Y ضرب W فممكن و طبعا لازم W مايسويش
+
+231
+00:21:31,150 --> 00:21:37,070
+0 عشان القسم على 0 غير معرفة فبقدر انا اجسم ع W او
+
+232
+00:21:37,070 --> 00:21:43,350
+اشطب W او cancelling W و اقول انه لو كان هذا صحيح
+
+233
+00:21:43,350 --> 00:21:48,890
+فاكيد لازم يطلع X بساوي Y بشرط ان W مايسويش 0 اما
+
+234
+00:21:48,890 --> 00:21:55,290
+لو W بساوي 0 فهذا الكلامnonsense يعني هراء ليس له
+
+235
+00:21:55,290 --> 00:22:02,610
+أساس رياضي طيب هذه القوانين بدنا نثبتها شو عرفناها
+
+236
+00:22:02,610 --> 00:22:08,990
+صح فبدأ استخدم الآن تعريف نظام الأعداد الحقيقية
+
+237
+00:22:08,990 --> 00:22:15,810
+انه عبارة عن مجموعة R وعمليتين جبريتين بحقق خمس
+
+238
+00:22:15,810 --> 00:22:22,060
+قواصمن خلال الخمس خواصة دول بدي أسهل أحاول أثبت
+
+239
+00:22:22,060 --> 00:22:25,760
+صحة القوانين هذه اللي هي cancellation laws أنا
+
+240
+00:22:25,760 --> 00:22:29,260
+أختارتلكم أثبت التاني لأنه الأول أسهل دايما
+
+241
+00:22:29,260 --> 00:22:35,710
+التعامل مع الجامعة أسهل من الضربفنشوف برهان الجزء
+
+242
+00:22:35,710 --> 00:22:39,090
+التاني و طبعا برهان الجزء الأول هيكون بالمثل مماثل
+
+243
+00:22:39,090 --> 00:22:43,110
+فاحنا في رياضيات ما نحبش اتقرار و الحكي كتير لما
+
+244
+00:22:43,110 --> 00:22:47,570
+يكون في حاجة مماثلة فنقول ممكن برهانها بالمثل و
+
+245
+00:22:47,570 --> 00:22:52,950
+بنسيب الطالب يتدرب عليها او يعني يحاول يتمرن عليها
+
+246
+00:22:52,950 --> 00:22:57,970
+او يثبتها بنفسه لأنها هتكون مماثلة و نفس الفكرة و
+
+247
+00:22:57,970 --> 00:23:00,210
+في الرياضيات انت عارفين افكار اذا احنا عارفنا
+
+248
+00:23:00,210 --> 00:23:07,380
+الأفكار يعني ملكنا الحلOkay نشوف برهان الجزء
+
+249
+00:23:07,380 --> 00:23:11,640
+التاني انا بدي اثبت ايش ال .. ايش الفرض انتوا كلكم
+
+250
+00:23:11,640 --> 00:23:15,720
+درستوا مبادئ رياضيات هذا conditional statement هي
+
+251
+00:23:15,720 --> 00:23:20,860
+المقدم وهي التالي هي الفرض وهي النتيجة فبنفرض انه
+
+252
+00:23:20,860 --> 00:23:25,860
+الفرض هذا صحيح يعني هذا صح الان بنثبت النتيجة نعمل
+
+253
+00:23:25,860 --> 00:23:30,880
+direct proof برهان مباشر صح؟ يعني بدي اثبت النتيجة
+
+254
+00:23:30,880 --> 00:23:35,560
+فهي النتيجة بدي اثبت X بساوي Y هي ال Xالان ال X
+
+255
+00:23:35,560 --> 00:23:39,840
+هذه من الخواص الخمسة ممكن ابدل X بواحد في X لان
+
+256
+00:23:39,840 --> 00:23:45,620
+واحد في X عبارة عن X الان هذا عملية الضرب
+
+257
+00:23:45,620 --> 00:23:51,060
+commutative ابدالية فممكن ابدل الان هذا الواحد
+
+258
+00:23:51,060 --> 00:24:00,470
+هبدله W ضرب W انفرس وهذا صحيحطيب الان انا في عند
+
+259
+00:24:00,470 --> 00:24:04,490
+عملية ضرب عملية associative فبحاول ان انا ايه
+
+260
+00:24:04,490 --> 00:24:11,230
+استخدم ال associative law هين استخدمته الان xw من
+
+261
+00:24:11,230 --> 00:24:15,550
+المعطيات انا عندي x ضرب w بساوي y ضرب w اذا انا
+
+262
+00:24:15,550 --> 00:24:23,640
+هشيل xw و اضع مكانها ywوبالتالي صار عندي الكلام
+
+263
+00:24:23,640 --> 00:24:28,360
+هذا لان بستخدم ال associative law تغير ترتيب
+
+264
+00:24:28,360 --> 00:24:33,180
+الأقواص وهذا برجعه بساوي واحد و بستخدم ال
+
+265
+00:24:33,180 --> 00:24:37,240
+commutative law فبطلع عندي في النهاية Y إذن هين
+
+266
+00:24:37,240 --> 00:24:45,200
+أثبتت إن X بساوي Y و هنا في البرهان استخد��ت بعض
+
+267
+00:24:45,200 --> 00:24:49,170
+الخواص الخمسة تبقىالـ real number system أو نظام
+
+268
+00:24:49,170 --> 00:24:54,350
+الأعداد الحقيقية بظبط زاد ال logic المنطق أو
+
+269
+00:24:54,350 --> 00:24:59,010
+أساسيات الرياضيات إذا هذا هو إيه البرهان برهان
+
+270
+00:24:59,010 --> 00:25:03,050
+الجزء الأول مماثل فهي اللي كتبلكم exercise يعني
+
+271
+00:25:03,050 --> 00:25:07,290
+اتمرنوا عليه اتمرنوا عليه يعني حاولوا تكتبوه بنفس
+
+272
+00:25:07,290 --> 00:25:12,250
+الطريقة تمام واضح البرهان واضح في أي سؤال
+
+273
+00:25:14,950 --> 00:25:19,530
+Okay تمام طيب نشوف كمان نظرية تانية نظريات لسه
+
+274
+00:25:19,530 --> 00:25:25,270
+حاجات بسيطة نشوف النص تبع النظرية انا عندي ضايل
+
+275
+00:25:25,270 --> 00:25:30,910
+دقيقتين ممكن احنا تبعين رياضيات يعني بنحب نستغل
+
+276
+00:25:30,910 --> 00:25:38,470
+وجتنا كتير وكل دقيقة انا اه هذه نظرية طويلة طيب مش
+
+277
+00:25:38,470 --> 00:25:43,530
+مشلا بس هنحاول نشوف النص تبعها و بعدين المرة
+
+278
+00:25:43,530 --> 00:25:49,920
+الجاية بنبرهنهاهذه النظرية فيها عشر أجزاء النظرية
+
+279
+00:25:49,920 --> 00:25:55,180
+هذه بتقول إذا أخدت أي أربع عداد حقيقية XYZW وإذا
+
+280
+00:25:55,180 --> 00:26:00,960
+كان ال Z و ال W مختلفين عن السفر فالخواص
+
+281
+00:26:00,960 --> 00:26:06,650
+التالية كلها صحيحةو هي اول خاصية لو ضربت اي عدد
+
+282
+00:26:06,650 --> 00:26:10,030
+حقيقي في سفر المفروض يطلع لعدد السفر ال additive
+
+283
+00:26:10,030 --> 00:26:16,050
+ال additive identity الان هذا ال additive inverse
+
+284
+00:26:16,050 --> 00:26:21,510
+ل X لما اخد ال additive inverse ل X مرتين كأن ايه
+
+285
+00:26:21,510 --> 00:26:25,390
+ارجعت ل X زي المصفوفة خد ال inverse ل المصفوفة
+
+286
+00:26:25,390 --> 00:26:30,980
+مرتين تطلع المصفوفة نفسها شبيها فيها صحيح؟طيب برضه
+
+287
+00:26:30,980 --> 00:26:35,360
+نفس الحاجة لما أخد ال multiplicative inverse مرتين
+
+288
+00:26:35,360 --> 00:26:39,940
+هذا بيساوي العنصر نفسه هذا صحيح طبعا هنا بشرط w
+
+289
+00:26:39,940 --> 00:26:45,080
+مايساويش سفر في الضرب دايما بنكون .. حاول نكون
+
+290
+00:26:45,080 --> 00:26:48,440
+careful حريصين أنه إيه الحاجة اللي بدنا نجيبلها
+
+291
+00:26:48,440 --> 00:26:52,910
+multiplicative inverse ماتكونش بتساوي سفرلو ضربت
+
+292
+00:26:52,910 --> 00:26:56,430
+العدد سالب واحد هذا real number في X كأن ضربت X في
+
+293
+00:26:56,430 --> 00:27:02,790
+سالب فهذا نفس الشيء لو ضربت X في سالب Y نفس الشيء
+
+294
+00:27:02,790 --> 00:27:07,030
+كما لو أني ضربت X في Y وضربت الكل في سالب واحد أو
+
+295
+00:27:07,030 --> 00:27:12,850
+هيك كل هذا صح لو أخدت negative X و جمعتها على
+
+296
+00:27:12,850 --> 00:27:18,470
+negative Y كأن أخدت X زاد Y وضربت في سالب هذا كله
+
+297
+00:27:18,470 --> 00:27:23,680
+صحطيب لو ضربت negative x في negative y كأنني ضربت
+
+298
+00:27:23,680 --> 00:27:31,880
+x في y هذا برضه صحيح لو جسمت x على z و y على w و
+
+299
+00:27:31,880 --> 00:27:42,120
+جمعتهم فهيطلع عندى ال .. من واحد المقامات و
+
+300
+00:27:42,120 --> 00:27:47,350
+العملية الجبرية هذه المعروفةأخيرا الخاصية الأخيرة
+
+301
+00:27:47,350 --> 00:27:51,990
+هذه لو أنا فيها عندي عددين حقيقيين كان حصل ضربهم
+
+302
+00:27:51,990 --> 00:27:58,090
+بساوي سفر فلازم واحد على أقل منهم بساوي سفر فاما x
+
+303
+00:27:58,090 --> 00:28:02,830
+بساوي سفر او y بساوي سفر وهذه ممكن مرت معاكم في
+
+304
+00:28:02,830 --> 00:28:08,430
+المبادئ عفوا هذا أكيد مرت معاكم في المبادئ كمثال
+
+305
+00:28:08,430 --> 00:28:15,100
+على indirect proofعلى برهان غير مباشر حاولوا انكم
+
+306
+00:28:15,100 --> 00:28:21,660
+انتوا تفكروا في براهين الحاجات هذه و المرة الجاية
+
+307
+00:28:21,660 --> 00:28:28,520
+ان شاء الله نحاول نبرهن بعض الأجزاء okay تمام ال
+
+308
+00:28:28,520 --> 00:28:34,310
+.. ال material هذه هحطها على الصفحه تبعتيو ممكنكم
+
+309
+00:28:34,310 --> 00:28:39,670
+أنك�� تنسخوها و تاخدوها و تشوفوها فبالتالي مافيش
+
+310
+00:28:39,670 --> 00:28:44,670
+داعي أنكم تكتبوا لإن ممكن تنسخوها و تحطوها على ال
+
+311
+00:28:44,670 --> 00:28:49,250
+laptop تبعكم أو على ال computer okay تمام هنوقف
+
+312
+00:28:49,250 --> 00:28:53,090
+هنا و ان شاء الله المرة الجاية بنكمل و بنجيبلكم
+
+313
+00:28:53,090 --> 00:28:56,710
+معلومات جديدة عن توزيع الدرجات و الامتحانات فى حد
+
+314
+00:28:56,710 --> 00:28:58,090
+عنده اي سؤال او استفسار
+
+315
+00:29:03,220 --> 00:29:06,820
+اه من .. منحطلكم يعني اه منحطلكم يعني ان شاء الله
+
+316
+00:29:06,820 --> 00:29:12,660
+يعني كام كبير ليه يعني يكون يكفيكي من هالشهر okay
+
+317
+00:29:12,660 --> 00:29:16,980
+تمام؟ في اي سؤال تاني؟ okay شكرا لكم و ان شاء الله
+
+318
+00:29:16,980 --> 00:29:22,500
+نشوفكم المرة الجاية و نلتقي يوم الأتنين ان شاء
+
+319
+00:29:22,500 --> 00:29:22,600
+الله
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/CRzAwh3Ypto_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1704 @@
+1
+00:00:21,580 --> 00:00:26,600
+بسم الله الرحمن الرحيم ان شاء الله اليوم هناخد
+
+2
+00:00:26,600 --> 00:00:31,760
+section خمسة اتنين اللي عنوانه combination of
+
+3
+00:00:31,760 --> 00:00:38,560
+continuous functions قبل ما ناخد اول نظريةعن الـ
+
+4
+00:00:38,560 --> 00:00:41,860
+combination of continuous functions نستذكر أو
+
+5
+00:00:41,860 --> 00:00:45,300
+نسترجع مع بعض تعريف ال continuous ال continuity
+
+6
+00:00:45,300 --> 00:00:49,300
+عند نقطة ف a function f from a to r is continuous
+
+7
+00:00:49,300 --> 00:00:55,620
+at c نقطة c تنتمي ل a f and only f لكل إبسلون في
+
+8
+00:00:55,620 --> 00:00:59,740
+دلتا تعتمد على إبسلون عدد موجة بهات لكل x في a
+
+9
+00:01:00,390 --> 00:01:03,710
+المسافة بينها وبين الـC أصغر من دلتا لازم هذا
+
+10
+00:01:03,710 --> 00:01:08,610
+يتضمن أن absolute F of X minus F of C أصغر من
+
+11
+00:01:08,610 --> 00:01:13,270
+إبسلون طبعا شوفنا أن هذا التعريف بيكافئ التعريف
+
+12
+00:01:13,270 --> 00:01:18,970
+اللي أخدناه في calculus A هو الشرط
+
+13
+00:01:18,970 --> 00:01:23,980
+اللي هو بتاوي تلت شروطوهو ان limit f عن c تكون
+
+14
+00:01:23,980 --> 00:01:30,900
+موجودة و f عن c موجودة و اتنين بسوء نفس القيمة
+
+15
+00:01:30,900 --> 00:01:43,420
+الان لو فى عندي تلت دولة f و g و h بيه functions
+
+16
+00:01:43,420 --> 00:01:48,700
+from a to r بيه
+
+17
+00:01:48,700 --> 00:01:49,460
+functions
+
+18
+00:01:54,460 --> 00:02:06,860
+و c تنتمي إلى a و b real number ال
+
+19
+00:02:06,860 --> 00:02:17,440
+functions
+
+20
+00:02:17,440 --> 00:02:23,820
+are continuous at c
+
+21
+00:02:28,450 --> 00:02:34,350
+إذا الدوالة التلاتة F وG وH كلهم متصلين عند النقطة
+
+22
+00:02:34,350 --> 00:02:44,150
+C اللي بتنتمي إليها النتيجة F plus أو minus G F
+
+23
+00:02:44,150 --> 00:02:53,630
+ضرب G B ضرب F are continuous at C
+
+24
+00:02:55,230 --> 00:03:11,750
+B إذا كان H H of X لا تساوي سفر لكل X في A then F
+
+25
+00:03:11,750 --> 00:03:19,710
+على H الدالة F على H is continuous is continuous
+
+26
+00:03:19,710 --> 00:03:20,950
+at C
+
+27
+00:03:25,450 --> 00:03:38,190
+وهي البرهان proof to
+
+28
+00:03:38,190 --> 00:03:48,530
+show مثلا ال function fg is continuous at c
+
+29
+00:03:51,910 --> 00:04:02,370
+We have لدينا التالي بتثبت
+
+30
+00:04:02,370 --> 00:04:09,010
+ان ال F حصل ضرب الدالتين F و G متصل اخترار متصل
+
+31
+00:04:09,010 --> 00:04:14,990
+and C فالاثبات دالك بتثبت ان الشرط هذا تبع الاتصال
+
+32
+00:04:14,990 --> 00:04:23,830
+على النقطة بتحقق فتعالى نشوف high limit F ضرب Gعند
+
+33
+00:04:23,830 --> 00:04:33,190
+X لما X تقول لـC بنثبت أن هذا بيساوي FG عند C فهذا
+
+34
+00:04:33,190 --> 00:04:42,190
+بيساوي limit F of X ضرب G of X as X tends to C هذا
+
+35
+00:04:42,190 --> 00:04:48,610
+من تعريف حصل ضرب اخترانين وهذا بيساوي أنا عندي
+
+36
+00:04:48,610 --> 00:04:56,150
+limit F of X لما X تقول لـC existو limit ال
+
+37
+00:04:56,150 --> 00:05:02,250
+function g of x لما x تقول ل c exist لأن ال
+
+38
+00:05:02,250 --> 00:05:05,110
+function f continuous عند ال c و ال function g
+
+39
+00:05:05,110 --> 00:05:11,250
+احنا فرضينها continuous عند cمش هيكو بس ومن اتصال
+
+40
+00:05:11,250 --> 00:05:17,410
+ده ل F عن C ال limit هذه بيساوي قيمة F عن C وكذلك
+
+41
+00:05:17,410 --> 00:05:20,810
+من اتصال ال function G عن C ال limit هذه بتطلع
+
+42
+00:05:20,810 --> 00:05:30,610
+بيساوي G عن C وهذا بيساوي F ضرب G of C إذن هاي
+
+43
+00:05:30,610 --> 00:05:36,480
+الشرطتبع الاتصال عن نقطة متحقق لل function f ضارب
+
+44
+00:05:36,480 --> 00:05:42,720
+g وبالتالي therefore by definition ال function f g
+
+45
+00:05:42,720 --> 00:05:59,940
+is continuous at c تمام ال proof ال proof of the
+
+46
+00:05:59,940 --> 00:06:00,580
+other
+
+47
+00:06:05,540 --> 00:06:14,200
+parts is similar مشابه للبرهان اللي احنا لسه
+
+48
+00:06:14,200 --> 00:06:19,180
+ماخدينه يعني لإثبات ان مثلا مجموعة دلتين
+
+49
+00:06:19,180 --> 00:06:24,660
+continuous برضه ممكن اثبات ان limit f زائد g لما x
+
+50
+00:06:24,660 --> 00:06:31,220
+تقول ل c بساوي f زائد g and cلو بدنا نثبت ان limit
+
+51
+00:06:31,220 --> 00:06:39,480
+f على g او f على h continuous عن c فبناخد limit f
+
+52
+00:06:39,480 --> 00:06:47,420
+على h عن c وهذا بيطلع بساوي limit f of x على h of
+
+53
+00:06:47,420 --> 00:06:53,810
+x ومع ان limit المقاملأ يساوي سفر لأن H ب X لأ
+
+54
+00:06:53,810 --> 00:07:00,210
+يساوي سفر لكل X في A فممكن نوزع ال limit نقول
+
+55
+00:07:00,210 --> 00:07:02,910
+limit خارج كسمها بيساوي limit ال bus علي limit
+
+56
+00:07:02,910 --> 00:07:06,770
+المقام و limit ال bus بيساوي F عن C لأن F
+
+57
+00:07:06,770 --> 00:07:13,070
+continuous عن C و limit المقام عن C اللي هو H عن C
+
+58
+00:07:13,070 --> 00:07:15,950
+بيساوي قيمة الدالة H عن C لإن أنا متصل عن C
+
+59
+00:07:16,620 --> 00:07:21,880
+وبالتالي بيطلع limit f على h لما x تقول ل c بس هو
+
+60
+00:07:21,880 --> 00:07:27,660
+قيمة الدالة f على h and c okay إذا البرهين
+
+61
+00:07:27,660 --> 00:07:34,860
+المتبقية ممكن يعني أعطاها بنفس الطريقة okay تمام
+
+62
+00:07:34,860 --> 00:07:38,720
+النظرية
+
+63
+00:07:38,720 --> 00:07:40,640
+هذه ممكن تعميمها
+
+64
+00:07:43,880 --> 00:07:51,460
+يعني بدل لو كانت الدالة F و G و H متصلين are
+
+65
+00:07:51,460 --> 00:07:56,640
+continuous are
+
+66
+00:07:56,640 --> 00:08:08,380
+continuous على كل المجموعة A على كل المجال على
+
+67
+00:08:08,380 --> 00:08:15,140
+كل المجال Aالـ F والـ G والـ H المجال المشترك
+
+68
+00:08:15,140 --> 00:08:18,800
+تبعهم المجموعة A فلو كانت الدوالة اتا كلهم
+
+69
+00:08:18,800 --> 00:08:30,280
+continuous على كل المجموعة A ف .. then فبتطلع
+
+70
+00:08:30,280 --> 00:08:36,520
+كل الدوالة هذه متصلة على كل المجموعة Aعلى كل
+
+71
+00:08:36,520 --> 00:08:51,320
+المجموع A يعني هذا بيصير on A وهذه on .. on A فلو
+
+72
+00:08:51,320 --> 00:08:52,380
+بدي أبرهن
+
+73
+00:08:58,870 --> 00:09:03,330
+أي واحدة من الدوايا الهادئة continuous على كل ال A
+
+74
+00:09:03,330 --> 00:09:15,770
+فإيش بعمل بقول fix C تنتمي إلى A and
+
+75
+00:09:15,770 --> 00:09:21,870
+then by
+
+76
+00:09:21,870 --> 00:09:23,090
+above theorem
+
+77
+00:09:28,740 --> 00:09:35,220
+by above theorem أنا
+
+78
+00:09:35,220 --> 00:09:40,520
+الأن عندي كل واحدة من الدوال هدولة continuous على
+
+79
+00:09:40,520 --> 00:09:45,240
+المجموعة a وبالتالي
+
+80
+00:09:45,240 --> 00:09:47,040
+then
+
+81
+00:09:48,850 --> 00:09:52,490
+بما أنه F و G و H continuous على كل المجموعة A فهي
+
+82
+00:09:52,490 --> 00:09:55,870
+continuous عند أي نقطة مش هيك تعرف الاتصال على
+
+83
+00:09:55,870 --> 00:10:08,510
+مجموعة اذا F و G و H are continuous at C وبالتالي
+
+84
+00:10:08,510 --> 00:10:10,130
+حسب النظرية السابقة
+
+85
+00:10:19,920 --> 00:10:26,160
+So by above theorem
+
+86
+00:10:26,160 --> 00:10:32,600
+all functions in
+
+87
+00:10:32,600 --> 00:10:36,660
+parts A
+
+88
+00:10:36,660 --> 00:10:45,920
+and B are continuous at C مش هي كثبتنا احنا في
+
+89
+00:10:45,920 --> 00:10:48,120
+النظرية السابقة هذه اللي جاب ال head اللي انا
+
+90
+00:10:48,120 --> 00:10:52,520
+عدلتهالو كان في عندي تلت دوال و كلهم متصلين عن
+
+91
+00:10:52,520 --> 00:10:57,040
+النقطة فكل الدول الموجودة في الفرق a و الدول
+
+92
+00:10:57,040 --> 00:11:01,300
+الموجودة في الفرق b كلهم بيطلعوا continuous عن نفس
+
+93
+00:11:01,300 --> 00:11:09,660
+النقطة الان بما أن النقطة c was arbitrary since c
+
+94
+00:11:09,660 --> 00:11:17,880
+belonged to a was arbitrary the above
+
+95
+00:11:25,240 --> 00:11:32,060
+All functions in A
+
+96
+00:11:32,060 --> 00:11:37,260
+and B are
+
+97
+00:11:37,260 --> 00:11:39,580
+continuous
+
+98
+00:11:41,100 --> 00:11:46,400
+على كل المجموعة A لأن كل واحدة منهم continuous على
+
+99
+00:11:46,400 --> 00:11:51,060
+أي و كل نقطة C في A وبالتالي هذا يكون برنامج
+
+100
+00:11:51,060 --> 00:11:56,540
+النظرية إذا النظرية هذه تنتج مباشرة من نظرية
+
+101
+00:11:56,540 --> 00:12:04,020
+السابقتها وذلك بتثبيت C عنصر في A وطبعا النظرية
+
+102
+00:12:04,020 --> 00:12:08,300
+السابقة بتقول عند أي عنصرC بما أن التلات دوال
+
+103
+00:12:08,300 --> 00:12:12,440
+متصلة إذا كل ال combinations هدولة بطلعوا متصلين
+
+104
+00:12:12,440 --> 00:12:17,220
+عن نفس النقطة هذا صحيح لأي نقطة ل C وبالتالي كلهم
+
+105
+00:12:17,220 --> 00:12:21,840
+متصلين على كل المجال تباعهم اللي هو المجموعة A
+
+106
+00:12:21,840 --> 00:12:28,040
+تمام ناخد
+
+107
+00:12:28,040 --> 00:12:29,100
+بعض الأمثلة
+
+108
+00:12:40,050 --> 00:12:46,710
+every polynomial .. every polynomial function على
+
+109
+00:12:46,710 --> 00:12:56,190
+الصورة P of X بيساوي A N في X to N plus A N minus
+
+110
+00:12:56,190 --> 00:13:03,290
+one في X to N minus one زائد .. زائد A one في X
+
+111
+00:13:03,290 --> 00:13:08,330
+زائد A zero is continuous
+
+112
+00:13:10,930 --> 00:13:15,470
+on R proof
+
+113
+00:13:15,470 --> 00:13:20,310
+fix
+
+114
+00:13:20,310 --> 00:13:23,750
+fix
+
+115
+00:13:23,750 --> 00:13:29,150
+C ينتمي ل R و بد أثبت أن ال polynomial function P
+
+116
+00:13:29,150 --> 00:13:36,470
+هذه متصلة عند النقطة C طيب we should أثبتنا في
+
+117
+00:13:36,470 --> 00:13:45,400
+chapter 4 we shouldin chapter in chapter four that
+
+118
+00:13:45,400 --> 00:13:48,960
+لو
+
+119
+00:13:48,960 --> 00:13:53,420
+في عندي polynomial P
+
+120
+00:13:53,420 --> 00:13:57,660
+polynomial في X فأثبتنا أن ال limit لل polynomial
+
+121
+00:13:57,660 --> 00:14:03,280
+P عند أي real number
+
+122
+00:14:03,280 --> 00:14:11,430
+C بسوء قيمتها عن C thereforeحسب تعريف تبع الاتصال
+
+123
+00:14:11,430 --> 00:14:22,830
+النقطة إذا P is continuous at C بما أن الـ C was
+
+124
+00:14:22,830 --> 00:14:28,510
+arbitrary element
+
+125
+00:14:28,510 --> 00:14:35,610
+إذا P continuous عند كل الـ C في R وبالتالي P is
+
+126
+00:14:35,610 --> 00:14:43,190
+continuousعلى كل المجموعة R هنا ال A اللي هي R
+
+127
+00:14:43,190 --> 00:14:49,190
+تمام مثال
+
+128
+00:14:49,190 --> 00:15:04,390
+تاني if R بتساوي P على Q P على Q where P
+
+129
+00:15:04,390 --> 00:15:05,930
+و Q R
+
+130
+00:15:08,300 --> 00:15:19,440
+Polynomials are كثيرات حدود then R is continuous
+
+131
+00:15:19,440 --> 00:15:29,720
+on الست اللي هي R كل الأعداد الحقيقية معدى أسفار
+
+132
+00:15:29,720 --> 00:15:36,720
+المقام كل ال X حيث Q of X بتساوي سفر
+
+133
+00:15:50,720 --> 00:15:56,680
+Proof برضه Fix C
+
+134
+00:15:56,680 --> 00:16:08,860
+تنتمي الى R معدى كل ال X حيث Q of X بتساوي سفر
+
+135
+00:16:08,860 --> 00:16:18,260
+معدى أسفار ال function Q إذن Q and C لا يساوي سفر
+
+136
+00:16:20,990 --> 00:16:30,050
+So by chapter .. By chapter four احنا أثبتنا انه
+
+137
+00:16:30,050 --> 00:16:37,310
+في الحالة هذه ال limit ل R of X as X tends to C
+
+138
+00:16:37,310 --> 00:16:48,030
+بساوي R of C وبالتالي therefore R is continuous
+
+139
+00:16:50,660 --> 00:16:58,640
+at C ولمّا كانت الـ C موجودة في R minus أسفار
+
+140
+00:16:58,640 --> 00:17:04,520
+المقام was arbitrarily إذن الـ R continuous على كل
+
+141
+00:17:04,520 --> 00:17:18,080
+الـ A الست هذه okay دي الأبارع بنكتبها طيب
+
+142
+00:17:18,080 --> 00:17:19,900
+في الدول المثلثية
+
+143
+00:17:25,880 --> 00:17:41,480
+في الدوان المثلثية زي الدالة مثلا sign مثال
+
+144
+00:17:41,480 --> 00:17:52,660
+رقم تلاتة f of x بساوي sign x is continuous
+
+145
+00:17:56,130 --> 00:18:07,970
+on R مبتصل على جميع الأعداد الحقيقية proof we
+
+146
+00:18:07,970 --> 00:18:08,650
+use
+
+147
+00:18:13,350 --> 00:18:21,010
+هنستخدم الحقائق التالية absolute sign z أصغر من أو
+
+148
+00:18:21,010 --> 00:18:30,290
+ساوى واحد لكل z في R هذا معروف من الرسمة تبعت ال
+
+149
+00:18:30,290 --> 00:18:33,690
+sign function ال sign function أكبر قيمة إلها ال
+
+150
+00:18:33,690 --> 00:18:38,190
+maximum value واحد وال absolute minimum سالب واحد
+
+151
+00:18:38,190 --> 00:18:43,220
+إذا قيمها محصورة بينهمإذن هذه واضحة من الرسم أو من
+
+152
+00:18:43,220 --> 00:18:50,960
+تعريف ال function كذلك في اندي كمان absolute
+
+153
+00:18:50,960 --> 00:18:59,040
+sin z أصغر من أو ساوي absolute z for all z في R
+
+154
+00:18:59,040 --> 00:19:02,240
+إذن
+
+155
+00:19:02,240 --> 00:19:08,260
+هذه موجود برهانها في chapter chapter
+
+156
+00:19:08,260 --> 00:19:16,030
+8الناس اللي هياخدوا تحليل حقيقة 2 هيشوفوا البرهان
+
+157
+00:19:16,030 --> 00:19:20,890
+والناس اللي مش هياخدوا تحليل حقيقة 2 ممكن يقرؤوا
+
+158
+00:19:20,890 --> 00:19:27,890
+البرهان من chapter 8 حتى تعرفوا يعني ايه تتحققوا
+
+159
+00:19:27,890 --> 00:19:35,870
+ان هذه فعلا المتباينة الصحيحة كذلكمن حساب المثلثات
+
+160
+00:19:35,870 --> 00:19:39,970
+من الـ trigonometry ال��ي درسناها في calculus A أو
+
+161
+00:19:39,970 --> 00:19:45,030
+ما حتى في الثانوية العامة كان في متطابقات مثلثية و
+
+162
+00:19:45,030 --> 00:19:54,690
+من المتطابقات هذه ممكن نستنتج ان sign x minus sign
+
+163
+00:19:54,690 --> 00:20:11,220
+c بساوي اتنين في signنص في x minus c ضرب
+
+164
+00:20:11,220 --> 00:20:23,100
+cosine نص
+
+165
+00:20:23,100 --> 00:20:26,200
+في
+
+166
+00:20:26,200 --> 00:20:27,680
+x زاد c
+
+167
+00:20:37,480 --> 00:20:46,140
+إذن هذه المتطابقة ممكن أثبتها كيف نثبتها sign
+
+168
+00:20:46,140 --> 00:20:51,900
+الفرق x ع 2 سالب c ع 2 sign الفرق بيسوي sign
+
+169
+00:20:51,900 --> 00:21:00,860
+cosine سالب cosine sign و cosine المجموعة بيسوي
+
+170
+00:21:00,860 --> 00:21:04,420
+cosine cosine سالب sine sine و بعدين نجمعهم و
+
+171
+00:21:04,420 --> 00:21:09,160
+نضربهموفي اتنين فهيطلع في الآخر بتتصف عليه okay
+
+172
+00:21:12,120 --> 00:21:16,040
+بالمناسبة في برضه كمان هندي مش absolute sine z
+
+173
+00:21:16,040 --> 00:21:22,100
+أصغر من أو ساوي الواحد وكذلك في هندي absolute
+
+174
+00:21:22,100 --> 00:21:28,820
+cosine z برضه أصغر من أو ساوي واحد لكل z في R لأنه
+
+175
+00:21:28,820 --> 00:21:32,260
+برضه ال cosine ال absolute مجزمة منها واحد وال
+
+176
+00:21:32,260 --> 00:21:35,600
+absolute minimum سالب واحد وبالتالي قيمة محصورة
+
+177
+00:21:35,600 --> 00:21:40,020
+بين سالب واحد واحد الآن خلينا ناخد ال ..
+
+178
+00:21:42,890 --> 00:21:46,090
+من المعادلة الأخيرة
+
+179
+00:21:56,720 --> 00:21:59,960
+من المعادلة الأخيرة بطلع عندي لو أخدت ال absolute
+
+180
+00:21:59,960 --> 00:22:05,840
+value للطرفين فبطلع عندي absolute sin x minus sin
+
+181
+00:22:05,840 --> 00:22:12,700
+c طبعا هذا الكلام كله صحيح لكل x و c أعداد حقيقية
+
+182
+00:22:14,590 --> 00:22:20,190
+فهذا بيطلع بساوي او اصغر من او ساوي اتنين في
+
+183
+00:22:20,190 --> 00:22:28,230
+absolute sin z absolute sin z اصغر من او ساوي
+
+184
+00:22:28,230 --> 00:22:35,070
+absolute z اللي هو نص في absolute x minus z ضرب
+
+185
+00:22:35,070 --> 00:22:41,650
+absolute cosine z اصغر من او ساوي الواحد اصغر من
+
+186
+00:22:41,650 --> 00:22:52,580
+او ساوي الواحدتمام؟ و هذا صحيح لكل x و c في R طبعا
+
+187
+00:22:52,580 --> 00:23:00,660
+هذا بيساوي absolute x minus c و
+
+188
+00:23:00,660 --> 00:23:06,260
+من المتباين هذي بينتج ان ده ل sign متصل عن c okay؟
+
+189
+00:23:06,260 --> 00:23:20,770
+اذا to show fix c belong to Rto show أن f of x
+
+190
+00:23:20,770 --> 00:23:32,290
+بساوي sin x is continuous at c let epsilon أكبر من
+
+191
+00:23:32,290 --> 00:23:37,050
+السفر be given it shows
+
+192
+00:23:40,310 --> 00:23:44,950
+دلتا بساوي إبسلون أكبر من الصفر إذا هيوجد دلتا
+
+193
+00:23:44,950 --> 00:23:51,430
+تعتمد على إبسلون عدد موجب فلهذه الدلتا لو كان X
+
+194
+00:23:51,430 --> 00:23:56,950
+بينتمي إلى R اللي هو مجال الدالة A و absolute X
+
+195
+00:23:56,950 --> 00:24:04,070
+minus C أصغر من دلتا فهذا بتضمن أنه absolute F of
+
+196
+00:24:04,070 --> 00:24:15,190
+X-f of c اللي هو absolute sin x minus sin c شوفنا
+
+197
+00:24:15,190 --> 00:24:21,870
+هذا أصغر من أو ساوي absolute x minus c من هنا الآن
+
+198
+00:24:21,870 --> 00:24:25,530
+ال x هذه ماخدها أنا بحيث المسافة بينها وبين ال c
+
+199
+00:24:25,530 --> 00:24:30,410
+أصغرمن delta وانا اختار ال delta تساوي epsilon
+
+200
+00:24:30,410 --> 00:24:34,810
+عشان يطلع absolute الفرق بين f of x وf of z أصغر
+
+201
+00:24:34,810 --> 00:24:39,370
+من epsilon إذا هاي شرط epsilon delta لتعريف ال
+
+202
+00:24:39,370 --> 00:24:44,910
+continuity و النقطة المتحققةبما ان ابسلون was
+
+203
+00:24:44,910 --> 00:24:51,090
+arbitrary since ابسلون اكبر من السفر was arbitrary
+
+204
+00:24:51,090 --> 00:24:56,550
+اذا حسب تعريف ابسلون دلتا للاتصال بيطلع عندي ال
+
+205
+00:24:56,550 --> 00:25:05,710
+function f of x بتساوي sin x is continuous at c
+
+206
+00:25:05,710 --> 00:25:11,130
+وبما ان ال c was arbitrary since
+
+207
+00:25:14,280 --> 00:25:22,700
+C belonged to R since C belonged to R was
+
+208
+00:25:22,700 --> 00:25:29,940
+arbitrary وهين أثبتنا أن ال F continuous at C فF
+
+209
+00:25:29,940 --> 00:25:36,980
+is continuous على كل ال R وهو المطلوب
+
+210
+00:25:40,210 --> 00:25:43,290
+ان الـ sine function continuous على كل الـ R
+
+211
+00:25:43,290 --> 00:25:52,970
+بالمثل ممكن اثبات ان ال function g of x بساوي
+
+212
+00:25:52,970 --> 00:26:01,630
+cosine x ايضا continuous on R هنستخدم ال ..
+
+213
+00:26:01,630 --> 00:26:10,410
+هنستخدم يعني الحاجات هذه او اتنين منهم و ..بدل ال
+
+214
+00:26:10,410 --> 00:26:16,710
+sign هنستخدم معادلة أو متطابقة زي هذه بس نبدل ال
+
+215
+00:26:16,710 --> 00:26:27,010
+sign ب cosine فهنا
+
+216
+00:26:27,010 --> 00:26:34,800
+هيصير في عندي اختلاف هذا هصير سالب اتنينبدل اتنين
+
+217
+00:26:34,800 --> 00:26:43,640
+و هيكون عند هنا sign نص sign نص المجموعة ضرب sign
+
+218
+00:26:43,640 --> 00:26:48,820
+نص الفرق تمام؟
+
+219
+00:26:48,820 --> 00:26:54,040
+و طبعا هناخد ال absolute value للطرفين
+
+220
+00:26:56,180 --> 00:26:59,400
+فهذا بيساوي ال absolute value للطرف التاني
+
+221
+00:26:59,400 --> 00:27:06,700
+وباستخدام المتطابقات هذه فهذا هيطلع أصغر من
+
+222
+00:27:06,700 --> 00:27:11,380
+absolute سالب اتنين بيطلع اتنين وهذا أصغر من
+
+223
+00:27:11,380 --> 00:27:17,000
+absolute sine of z أصغر من أو ساوي الواحد و
+
+224
+00:27:17,000 --> 00:27:18,960
+absolute cosine of z
+
+225
+00:27:30,570 --> 00:27:37,920
+لأ هذه مش cosine هذه sinهذه الـ sine فهي sine الـ
+
+226
+00:27:37,920 --> 00:27:40,800
+z ال absolute value لها أصغر من أو يساوي الواحد
+
+227
+00:27:40,800 --> 00:27:47,800
+وهي كمان sine أو absolute value ل sine ال z أصغر
+
+228
+00:27:47,800 --> 00:27:53,360
+من أو يساوي absolute ال z ال z هنا اللي هو نص في x
+
+229
+00:27:53,360 --> 00:28:00,620
+minus z فبطلع نص في absolute في absolute x minus z
+
+230
+00:28:00,620 --> 00:28:06,150
+بطلع هذا بساوي absolute x minus zو باقي البرهان زي
+
+231
+00:28:06,150 --> 00:28:10,110
+ما عملنا هنا okay تمام لأي epsilon أكبر من السفر
+
+232
+00:28:10,110 --> 00:28:15,130
+choose delta بساوي epsilon ف this delta will work
+
+233
+00:28:15,130 --> 00:28:22,370
+تمام إذا باقي البرهان كما عملنا في حالة ال sine
+
+234
+00:28:22,370 --> 00:28:29,210
+إذا هذا المثال الرابع شوفنا فيه كيف نثبت إن ال
+
+235
+00:28:29,210 --> 00:28:33,870
+cosine function is continuous تمام واضح
+
+236
+00:28:37,340 --> 00:28:48,220
+الان ممكن اثبات بعد هيك انه ال tangent function
+
+237
+00:28:48,220 --> 00:28:58,040
+tangent x اللي هي بساوي sin x على cos x is
+
+238
+00:28:58,040 --> 00:28:58,800
+continuous
+
+239
+00:29:01,890 --> 00:29:06,770
+الصين مستمر على الار والكوسين مستمر على الار هذه
+
+240
+00:29:06,770 --> 00:29:10,670
+راشيونال فانتشار فانتشار راشيونال فانتشار مستمر
+
+241
+00:29:10,670 --> 00:29:14,370
+على الار ما عدا عند أسفار المخام ما هي أسفار
+
+242
+00:29:14,370 --> 00:29:19,910
+الكوسين المضاعفات
+
+243
+00:29:19,910 --> 00:29:27,970
+الفردية لا πاية اتنين مستمر على الار ما عدا
+
+244
+00:29:31,580 --> 00:29:42,960
+تنين n زياد واحد في πاي على اتنين حيث ان عدد صحيح
+
+245
+00:29:42,960 --> 00:29:46,040
+صح؟
+
+246
+00:29:46,040 --> 00:29:49,100
+هيك
+
+247
+00:29:49,100 --> 00:29:57,940
+بقطين المضاعفات الفردية لπاي على اتنينو كذلك cot x
+
+248
+00:29:57,940 --> 00:30:06,200
+بيساوي cosine x على sin x is continuous على r مادة
+
+249
+00:30:06,200 --> 00:30:14,260
+أسفار المقام اللي هي مضاعفات الـ pi مضاعفات الـ pi
+
+250
+00:30:14,260 --> 00:30:21,160
+مادة n pi حيث ان عدد صحيح
+
+251
+00:30:27,460 --> 00:30:32,160
+و كذلك بالمثل
+
+252
+00:30:32,160 --> 00:30:39,460
+ال .. ال .. ال secant .. لأ ال cosecant x اللي
+
+253
+00:30:39,460 --> 00:30:45,240
+بيساوي واحد على sign ال x متصل على R معدى عند
+
+254
+00:30:45,240 --> 00:30:52,570
+أسفار المقان، اذا زيها زيالـ cotangent و ال secant
+
+255
+00:30:52,570 --> 00:30:58,430
+x اللي هي واحد على cos برضه متصلة زيها زي ال
+
+256
+00:30:58,430 --> 00:31:02,690
+tangent على R بعد المضاعفات الفردية ل πاية اتنين
+
+257
+00:31:02,690 --> 00:31:10,190
+okay تمام طيب
+
+258
+00:31:10,190 --> 00:31:10,790
+ناخد
+
+259
+00:31:28,820 --> 00:31:39,340
+ناخد النظرية التالية let f
+
+260
+00:31:39,340 --> 00:31:43,440
+be a function from A to R
+
+261
+00:31:56,070 --> 00:32:09,810
+وحد if if is continuous if if is continuous at c
+
+262
+00:32:09,810 --> 00:32:14,370
+تنتمي إلى a then absolute if
+
+263
+00:32:17,670 --> 00:32:27,990
+is continuous at c then if if is continuous on a
+
+264
+00:32:27,990 --> 00:32:41,190
+then absolute if is continuous on a proof
+
+265
+00:32:41,190 --> 00:32:44,230
+we
+
+266
+00:32:44,230 --> 00:32:44,850
+use
+
+267
+00:32:47,240 --> 00:32:51,480
+we use exercise
+
+268
+00:32:51,480 --> 00:32:54,760
+exercise
+
+269
+00:32:54,760 --> 00:33:00,600
+رقم تلتاش
+
+270
+00:33:00,600 --> 00:33:09,220
+في section أربعة اتنين نرجع لل exercise هذا و
+
+271
+00:33:09,220 --> 00:33:09,900
+نكتبه
+
+272
+00:33:16,290 --> 00:33:29,470
+الـ exercise هذا بيقول if
+
+273
+00:33:29,470 --> 00:33:38,790
+ال limit ل ال function f of x لما x تقول إلى c
+
+274
+00:33:38,790 --> 00:33:41,470
+exists
+
+275
+00:33:47,480 --> 00:33:57,760
+then ال limit ل absolute f of x لما x تقول إلى c
+
+276
+00:33:57,760 --> 00:34:04,600
+exist
+
+277
+00:34:04,600 --> 00:34:11,180
+and equals absolute limit absolute
+
+278
+00:34:11,180 --> 00:34:16,900
+limit f of x لما x تقول إلى c
+
+279
+00:34:22,160 --> 00:34:26,760
+طبعاً و هنا C is cluster point الـ C هنا cluster
+
+280
+00:34:26,760 --> 00:34:30,700
+point cluster
+
+281
+00:34:30,700 --> 00:34:41,220
+point of A و طبعاً F function من A إلى R فهذا
+
+282
+00:34:41,220 --> 00:34:46,480
+التمرين موجود في section 4-2 لو كانت ال function F
+
+283
+00:34:46,480 --> 00:34:54,090
+ال limit تبعتها عن C موجودةف limit absolute f and
+
+284
+00:34:54,090 --> 00:34:58,170
+c برضه بتكون موجودة و بساوي قيمتها ال absolute
+
+285
+00:34:58,170 --> 00:35:02,350
+value ل limit f of x and z يعني مقدر نبدل ال
+
+286
+00:35:02,350 --> 00:35:06,170
+absolute value مع ال limit الآن باستخدام هذا ال
+
+287
+00:35:06,170 --> 00:35:18,290
+exercise ممكن نبره هنا النظرية السابقة إذا
+
+288
+00:35:18,290 --> 00:35:18,690
+هنا
+
+289
+00:35:23,870 --> 00:35:30,210
+لبرهان الجزء الأول to
+
+290
+00:35:30,210 --> 00:35:36,410
+show if
+
+291
+00:35:36,410 --> 00:35:44,890
+is .. to show absolute if is
+
+292
+00:35:44,890 --> 00:35:51,710
+continuous at c تنتمي ل a
+
+293
+00:36:03,810 --> 00:36:09,350
+لدينا اتصالين اتصال
+
+294
+00:36:09,350 --> 00:36:16,650
+اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال
+
+295
+00:36:23,200 --> 00:36:26,500
+فشوفنا ان لو كانت الـ C ماهياش cluster point
+
+296
+00:36:26,500 --> 00:36:31,780
+فالاتصال عندها بيطلع متحقق اوتوماتيكي شوفنا في
+
+297
+00:36:31,780 --> 00:36:40,600
+التعريف then the continuity of
+
+298
+00:36:40,600 --> 00:36:47,700
+absolute if at C is automatic
+
+299
+00:36:47,700 --> 00:36:49,560
+اوتوماتيكي
+
+300
+00:36:50,790 --> 00:36:56,590
+إذا احنا بنهتم بالحالة التانية انه C is a cluster
+
+301
+00:36:56,590 --> 00:37:12,550
+point of A ففي الحالة هذه by exercise تلتاش
+
+302
+00:37:12,550 --> 00:37:19,170
+of section اربعة
+
+303
+00:37:19,170 --> 00:37:19,930
+اتنين
+
+304
+00:37:28,440 --> 00:37:37,660
+بما أنه limit ل f of x as x tends to c بيساوي c
+
+305
+00:37:37,660 --> 00:37:46,940
+احنا فرضين ان f continuous by continuity of f at c
+
+306
+00:37:48,200 --> 00:37:51,740
+بما ان f continuous at c احنا فرضين ان f is
+
+307
+00:37:51,740 --> 00:37:55,920
+continuous at c فبالتالي
+
+308
+00:37:55,920 --> 00:38:01,020
+limit f of x لما x تقول ل c بيساوي f of c اذا هاي
+
+309
+00:38:01,020 --> 00:38:05,320
+في عندي limit f of x لما x تقول ل c exist و بيساوي
+
+310
+00:38:05,320 --> 00:38:13,860
+f of c اذا by exercise 13 بطلع عندي limit
+
+311
+00:38:16,480 --> 00:38:25,460
+absolute f of x as x tends to c موجودة وبساوي
+
+312
+00:38:25,460 --> 00:38:37,480
+absolute limit ل f of x لما x تقول ل c اللي هي
+
+313
+00:38:37,480 --> 00:38:45,580
+بتطلع بساوي absolute f of cاللي هي عبارة عن
+
+314
+00:38:45,580 --> 00:38:50,780
+absolute f محسوب عن c إذا هي شرط الاتصال لل
+
+315
+00:38:50,780 --> 00:38:55,980
+function absolute f عند النقطة c متحقق وبالتالي
+
+316
+00:38:55,980 --> 00:39:04,620
+therefore absolute f is continuous at c إذا هذا
+
+317
+00:39:04,620 --> 00:39:09,020
+بثبت الجزء الأول الجزء التاني corollary على الجزء
+
+318
+00:39:09,020 --> 00:39:14,920
+الأول نتيجة الجزء الأوللأن إذا كانت الدالة F
+
+319
+00:39:14,920 --> 00:39:20,640
+continuous على كل الـ A معناته F continuous عند كل
+
+320
+00:39:20,640 --> 00:39:26,600
+C في A وبالتالي بيطلع absolute F متصل عند كل C في
+
+321
+00:39:26,600 --> 00:39:34,680
+A صح؟ إذن هذا إيه برهن النظرية إذن التاني نتيجة
+
+322
+00:39:34,680 --> 00:39:40,900
+على الجزء الأول في كمان نظرية أخرى مشابهة زي هذه
+
+323
+00:39:43,790 --> 00:39:50,770
+لكن بدل absolute f ففي عندى هنا let f be function
+
+324
+00:39:50,770 --> 00:39:57,510
+from a to r such that f of x أكبر من أو يساوي سفر
+
+325
+00:39:57,510 --> 00:40:05,170
+لكل x في a يعني هنا ال dialer قيمها غير سالبة فلو
+
+326
+00:40:05,170 --> 00:40:14,660
+كانت f continuous at c فال square root ل fبطلع
+
+327
+00:40:14,660 --> 00:40:21,580
+continuous at C كذلك لو كانت F continuous on A ف
+
+328
+00:40:21,580 --> 00:40:29,760
+ال square root ل F is continuous على كل ال A و
+
+329
+00:40:29,760 --> 00:40:34,500
+المرة هذه البرهان بستخدم exercise ثاني في section
+
+330
+00:40:34,500 --> 00:40:40,090
+42 اللي هو exercise 14الـ exercise هذا بيقول إذا
+
+331
+00:40:40,090 --> 00:40:44,510
+كانت ال limit للدالة هذه، يعني C موجودة، then ال
+
+332
+00:40:44,510 --> 00:40:49,030
+limit للـ square .. لل function اللي هي square
+
+333
+00:40:49,030 --> 00:40:56,970
+root of F عند الـ C موجودة وبتساوي ال square root
+
+334
+00:40:56,970 --> 00:41:04,110
+وبتساوي جذر التربيع أيه؟ ال limit لل square root
+
+335
+00:41:05,350 --> 00:41:09,530
+يعني بمعنى اخر انا ممكن ابدل ال limit مع ال square
+
+336
+00:41:09,530 --> 00:41:15,750
+root و البرهان زي برهان النظرية السابقة
+
+337
+00:41:34,960 --> 00:41:37,360
+الحالة التانية اللي هي المهمة لو كانت C cluster
+
+338
+00:41:37,360 --> 00:41:44,180
+point ل A فحسب exercise 14من سكتشن أربعة اتنين
+
+339
+00:41:44,180 --> 00:41:49,120
+اللي هو كتبناه هناك بما أنه ال limit بما أنه ال
+
+340
+00:41:49,120 --> 00:41:54,160
+function if continuous at c إذا ال limit f of x من
+
+341
+00:41:54,160 --> 00:41:58,900
+x تقوى ل c exist و بساوي f of c الآن من exercise
+
+342
+00:41:58,900 --> 00:42:03,400
+أربعة عشر إذا
+
+343
+00:42:03,400 --> 00:42:07,680
+ال limit هي عند ال limit ل f of x من x تقوى ل c
+
+344
+00:42:07,680 --> 00:42:10,440
+exist إذا by exercise
+
+345
+00:42:14,160 --> 00:42:19,740
+أربعتاش limit ال square root لل function f لما X
+
+346
+00:42:19,740 --> 00:42:27,200
+تقول ل C exist و بساوي ال square root لل limit of
+
+347
+00:42:27,200 --> 00:42:31,460
+the function يعني C وهذا بساوي
+
+348
+00:42:33,950 --> 00:42:37,990
+الـ square root أنا عندي limit f of x عند c exist
+
+349
+00:42:37,990 --> 00:42:44,870
+و بتساوي f of c إذن هذا بيطلع بساوي ال square root
+
+350
+00:42:44,870 --> 00:42:50,870
+ل f هذه ك function محسوبة عن c إذن أنا في عند ال
+
+351
+00:42:50,870 --> 00:42:57,510
+function جدر ال f بالمناسبة جدر f and x كيف
+
+352
+00:42:57,510 --> 00:43:02,430
+بنعرفها؟ بيه عبارة عن الجدر التربيهي ل f of x
+
+353
+00:43:05,740 --> 00:43:11,800
+فإذا أنا عندي الدالة تبعتي جذر F هي دي function ال
+
+354
+00:43:11,800 --> 00:43:16,920
+function هي حسبنا ال limit اللي عند C طلعت موجودة
+
+355
+00:43:16,920 --> 00:43:24,140
+و بتساوي قيمتها عند C إذا ال square root ل F ك
+
+356
+00:43:24,140 --> 00:43:29,560
+function is continuous at C تمام؟ إذا هذا بثبت
+
+357
+00:43:29,560 --> 00:43:33,980
+الجزء الأول من النظرية هذه الآن الجزء التاني
+
+358
+00:43:33,980 --> 00:43:41,050
+Corollaryto the first part نتيجة على الجزء الأول
+
+359
+00:43:41,050 --> 00:43:45,510
+لأنه إذا كانت إذا
+
+360
+00:43:45,510 --> 00:43:52,210
+كانت ال F continuous على كل ال A فهي continuous
+
+361
+00:43:52,210 --> 00:43:56,370
+عند كل C في A وبالتالي ال square root من الجزء
+
+362
+00:43:56,370 --> 00:44:01,250
+الأول إلها continuous عند ال C وهذا ال C هذا طبعا
+
+363
+00:44:01,250 --> 00:44:04,170
+ال C was arbitrary إذا ال square root continuous
+
+364
+00:44:04,170 --> 00:44:15,650
+على كل ال Aتمام؟ إذن هذه الحاجات .. هذا هو برهانها
+
+365
+00:44:15,650 --> 00:44:24,030
+ال exercise 13 و 14 هدول نظريات فالمفروض أن احنا
+
+366
+00:44:24,030 --> 00:44:31,910
+يعني إيه .. ان .. نبرهنهم فلو
+
+367
+00:44:31,910 --> 00:44:52,750
+بدنا نبرهن مثلاالجزء الأخير هذا فممكن
+
+368
+00:44:52,750 --> 00:45:02,030
+نستخدم ال sequential criterion يعني
+
+369
+00:45:02,030 --> 00:45:03,070
+مثلا ال proof
+
+370
+00:45:06,120 --> 00:45:25,180
+of exercise أربعة طعش section أربعة اتنين we
+
+371
+00:45:25,180 --> 00:45:28,920
+use sequential
+
+372
+00:45:28,920 --> 00:45:29,920
+criterion
+
+373
+00:45:32,750 --> 00:45:37,670
+أنا بتثبت أن عندي limit f of x عن c exist و بتثبت
+
+374
+00:45:37,670 --> 00:45:42,450
+limit الجذر ال f عن c exist و بساوي الجذر تربية ال
+
+375
+00:45:42,450 --> 00:45:55,150
+unlimited ف let x in be sequence طبعا
+
+376
+00:45:55,150 --> 00:45:56,530
+في مجال الدالة
+
+377
+00:46:01,100 --> 00:46:10,900
+b sequence in a such that limit xn بساوي c تمام
+
+378
+00:46:10,900 --> 00:46:18,060
+then xn
+
+379
+00:46:18,060 --> 00:46:24,120
+أكبر من أو يساوي سفر لأ قيمة الدالة
+
+380
+00:46:43,880 --> 00:46:53,240
+طيب اذا ال function عندي f of x اذا
+
+381
+00:46:53,240 --> 00:47:01,820
+since limit f of x as x tends to c exist هذا
+
+382
+00:47:01,820 --> 00:47:09,850
+بيقدّي انه ال limitالـ f of x in as n tends to
+
+383
+00:47:09,850 --> 00:47:14,530
+infinity موجودة
+
+384
+00:47:14,530 --> 00:47:21,010
+exist و
+
+385
+00:47:21,010 --> 00:47:29,270
+بتساوي and مثلا equals عدد L كويس هذا by
+
+386
+00:47:29,270 --> 00:47:32,810
+sequential criterion
+
+387
+00:47:35,150 --> 00:47:39,110
+الـ function لها limit عن c إذا كان لكل sequence x
+
+388
+00:47:39,110 --> 00:47:46,570
+in تتقارب ل c نهاية صورتها موجودة وبتساوي عدد معين
+
+389
+00:47:46,570 --> 00:47:55,910
+الأن أنا عندي sense f of x in أكبر من أو ساوى 0
+
+390
+00:47:55,910 --> 00:48:01,350
+لكل in لأن الدالة قيمها موجبة الدالة هذه قيمها
+
+391
+00:48:01,350 --> 00:48:10,190
+موجبةفالـ limit فالـ L اللي هي limit f
+
+392
+00:48:10,190 --> 00:48:14,510
+of x in تطلع موجب ايضا اكبر من أو ساوي سفر
+
+393
+00:48:14,510 --> 00:48:21,610
+وبالتالي
+
+394
+00:48:21,610 --> 00:48:26,410
+ال limit وفي
+
+395
+00:48:26,410 --> 00:48:30,310
+عندي انا الآن ال sequence هذه by
+
+396
+00:48:32,240 --> 00:48:41,100
+في مثال أخدناه سابقا او نظرية by theorem تلاتة
+
+397
+00:48:41,100 --> 00:48:46,260
+اتنين عشرة في الكتاب بتقول لو في عندي sequence زي
+
+398
+00:48:46,260 --> 00:48:55,330
+هذه حدودها غير سالبة فال limitللـ square root ل F
+
+399
+00:48:55,330 --> 00:49:05,390
+of X N as N tends to infinity تطلع موجودة
+
+400
+00:49:05,390 --> 00:49:11,610
+و
+
+401
+00:49:11,610 --> 00:49:16,970
+بالساوي جذر ال Lحسب النظرية هذه إذا كان في end
+
+402
+00:49:16,970 --> 00:49:22,170
+sequence حدودها غير سالبة ومتقاربة إذا ال limit
+
+403
+00:49:22,170 --> 00:49:25,630
+square root لحدودها بساوي square root ل limit
+
+404
+00:49:25,630 --> 00:49:29,330
+تبعتها طبما ال square root ل L هي عبارة عن ال
+
+405
+00:49:29,330 --> 00:49:37,150
+square root ل limit f of x in
+
+406
+00:49:41,810 --> 00:49:47,030
+من هنا الـ square root لإيه اللي بيساوي ال square
+
+407
+00:49:47,030 --> 00:49:56,990
+root لlimit f of x n لما n طول لإنفينتيز اذا
+
+408
+00:49:56,990 --> 00:50:04,550
+انا هيطلع عندي ال limit وهذه عبارة عن limit
+
+409
+00:50:07,530 --> 00:50:15,030
+للـ square root ل F of XN لما N تقول infinity اذا
+
+410
+00:50:15,030 --> 00:50:19,650
+انا بدأت ب XN sequence contained in A ونهايتها C
+
+411
+00:50:19,650 --> 00:50:25,330
+فطلع نهايت نهايت
+
+412
+00:50:25,330 --> 00:50:30,250
+صورتها صورة ال sequence موجودة وبساوي ال square
+
+413
+00:50:30,250 --> 00:50:35,010
+root ل L موجودة وبالتالي therefore by sequential
+
+414
+00:50:39,060 --> 00:50:47,080
+criterion ال limit لل square root ل F of X لما X
+
+415
+00:50:47,080 --> 00:50:55,780
+تقول إلى C بساوي exist و بساوي ال square root ل F
+
+416
+00:50:55,780 --> 00:51:00,980
+and C أو
+
+417
+00:51:00,980 --> 00:51:03,820
+اللي هو اللي بساوي .. لأ بساوي اللي هو
+
+418
+00:51:09,800 --> 00:51:20,620
+السكوير روت ال L اللي هو برضه اللي هو
+
+419
+00:51:20,620 --> 00:51:23,100
+نعم نعم
+
+420
+00:51:31,480 --> 00:51:37,500
+يعني هاد ممكن هاد يسميها L من الأول فإذا بطلع عندي
+
+421
+00:51:37,500 --> 00:51:40,940
+ال square root function لها limit، limit عن سي
+
+422
+00:51:40,940 --> 00:51:46,260
+موجودة بساوي square root ل L إذا هاد بكمل البرهن
+
+423
+00:51:46,260 --> 00:51:52,320
+بالمثل ممكن نبرهن exercise اللي جابله 13
+
+424
+00:51:57,010 --> 00:52:01,530
+فحاولوا يكونوا تبرهنوا exercise 13 بنفس الطريقة،
+
+425
+00:52:01,530 --> 00:52:07,570
+في أي سؤال أو استفسار؟ okay إذا المرة الجاية بال
+
+426
+00:52:07,570 --> 00:52:08,070
+campbell
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Ehj01gka7EU.srt

@@ -0,0 +1,1739 @@
+1
+00:00:19,740 --> 00:00:27,020
+بسم الله الرحمن الرحيم هنواصل اليوم تغطية section 
+
+2
+00:00:27,020 --> 00:00:34,550
+5-3 اللي بتعلق ب .. موضوع ال continuous functions
+
+3
+00:00:34,550 --> 00:00:40,590
+على ال intervals على الفترات احنا بدينا ال ..
+
+4
+00:00:40,590 --> 00:00:46,690
+بدينا الموضوع هذا المحاضرة السابقة و كان آخر نظرية
+
+5
+00:00:46,690 --> 00:00:50,890
+أخدناها اللي هي ال maximum .. maximum minimum
+
+6
+00:00:50,890 --> 00:00:56,870
+theorem نعود نستذكر بس نظرية الأخيرة هذه ال
+
+7
+00:00:56,870 --> 00:00:57,670
+maximum
+
+8
+00:01:12,090 --> 00:01:21,410
+ال maximum minimum theorem
+
+9
+00:01:21,410 --> 00:01:28,050
+يقول
+
+10
+00:01:28,050 --> 00:01:36,050
+إذا كانت if I is a closed and bounded interval 
+
+11
+00:01:36,050 --> 00:01:40,290
+closed and bounded
+
+12
+00:01:46,350 --> 00:01:56,730
+وإذا كانت الدالة من I إلى R مستمرة
+
+13
+00:01:56,730 --> 00:02:01,270
+على
+
+14
+00:02:01,270 --> 00:02:02,470
+الفترة I
+
+15
+00:02:07,590 --> 00:02:20,690
+there exist x lower star و x upper star عناصر في I
+
+16
+00:02:20,690 --> 00:02:22,070
+بحيث أن
+
+17
+00:02:24,550 --> 00:02:32,550
+f of x lower star بساوي ال minimum ل range ال
+
+18
+00:02:32,550 --> 00:02:41,450
+function f and f of x super star بساوي ال supremum
+
+19
+00:02:41,450 --> 00:02:49,410
+ل range ال function f وبالتالي هذه بسميها ال
+
+20
+00:02:49,410 --> 00:02:52,930
+absolute maximum
+
+21
+00:02:54,540 --> 00:03:03,820
+value والقيمة هتبسميها ال absolute minimum
+
+22
+00:03:03,820 --> 00:03:06,900
+value
+
+23
+00:03:06,900 --> 00:03:15,920
+لل function f على الفترة I طبعا okay okay في اليوم
+
+24
+00:03:15,920 --> 00:03:22,580
+هناخد نظريات برضه خاصة باتصال الدوال على الفترات
+
+25
+00:03:23,810 --> 00:03:30,090
+فأول نظرية هتكون location location
+
+26
+00:03:30,090 --> 00:03:36,970
+of roots theorem
+
+27
+00:03:36,970 --> 00:03:45,570
+نظرية تحديد ال roots فنفس
+
+28
+00:03:45,570 --> 00:03:46,790
+الحاجة let
+
+29
+00:03:49,750 --> 00:03:57,890
+I be closed and bounded interval على الصورة AB and
+
+30
+00:03:57,890 --> 00:04:06,190
+let f be a function from I to R be continuous
+
+31
+00:04:06,190 --> 00:04:09,790
+function
+
+32
+00:04:09,790 --> 00:04:15,390
+على الفترة المغلقة والمحدودة I if
+
+33
+00:04:17,630 --> 00:04:29,370
+لو كان f of a أصغر من صفر أصغر من f of b أو f of b
+
+34
+00:04:29,370 --> 00:04:38,610
+أصغر من صفر أصغر من f of a then
+
+35
+00:04:38,610 --> 00:04:48,980
+there exist c ينتمي للفترة المفتوحة من a إلى b بحيث
+
+36
+00:04:48,980 --> 00:04:57,540
+أن f of c بيساوي صفر فالنظرية
+
+37
+00:04:57,540 --> 00:05:08,100
+هذه ممكن أن نلخصها بالرسمة التالية محاور
+
+38
+00:05:08,100 --> 00:05:13,280
+الإحداثيات وممكن يكون في ending حاجة زي هذه
+
+39
+00:05:22,650 --> 00:05:28,930
+فهي function هذه عبارة عن ال graph y بساوي f of x
+
+40
+00:05:28,930 --> 00:05:37,750
+ال function هذه متصلة على الفترة المغلقة من a ل d
+
+41
+00:05:37,750 --> 00:05:42,890
+وهي 
+
+42
+00:05:42,890 --> 00:05:51,450
+عندي f of a أصغر من صفر وهي عندي
+
+43
+00:05:59,190 --> 00:06:02,510
+النظرية بتقول لو كان في دالة متصلة زي هذه على
+
+44
+00:06:02,510 --> 00:06:07,830
+فترة مغلقة من a ل b وكان f of a أصغر من الصفر و
+
+45
+00:06:07,830 --> 00:06:16,370
+الصفر أصغر من f of b لابد أن نجد نقطة C بين A و B
+
+46
+00:06:16,370 --> 00:06:21,030
+بحيث أن قيمة الـ function عندها بيساوي صفر وواضح
+
+47
+00:06:21,030 --> 00:06:26,270
+أن نقطة C هي قيمة الـ function عندها بيساوي صفر
+
+48
+00:06:26,270 --> 00:06:30,830
+ممكن برضه يكون العكس يعني الملحوظة هذه يكون شكلها
+
+49
+00:06:30,830 --> 00:06:31,430
+زي هيك
+
+50
+00:06:35,680 --> 00:06:41,700
+فيكون يعني عندي هنا ال F of B هي السالبة بقى وهي
+
+51
+00:06:41,700 --> 00:06:46,580
+عند ال A فال F of B هي الموجبة بقى برضه نفس النتيجة
+
+52
+00:06:46,580 --> 00:06:47,620
+okay تمام؟
+
+53
+00:06:55,410 --> 00:06:59,790
+البرهان النظرية هذه يعني it's زي ما بيقولوا it's
+
+54
+00:06:59,790 --> 00:07:06,630
+quite technical يعني فيه شوية تفاصيل تقنية زيادة أنه 
+
+55
+00:07:06,630 --> 00:07:13,090
+طويل شوية فاحنا عشان بصدر نهاية الفصل ما بنحبش ناخد
+
+56
+00:07:13,090 --> 00:07:16,330
+.. ناخد .. ناخد في الـ proofs الطويلة فهنسيبكم تقرأوا
+
+57
+00:07:16,330 --> 00:07:19,530
+البرهان إذا see the textbook
+
+58
+00:07:25,030 --> 00:07:32,130
+إذا ممكن بدؤوكم يمكن تقرأوا البرهان من الكتاب و
+
+59
+00:07:32,130 --> 00:07:36,770
+تحاولوا تفهموه طبعا البرهان طويل ما بنجيبش طبعا
+
+60
+00:07:36,770 --> 00:07:41,990
+ال proofs الطويلة في هدف الامتحانات okay فهذا بالنسبة
+
+61
+00:07:41,990 --> 00:07:46,930
+للبرهان الآن هاي مثال مثلا مثال example
+
+62
+00:07:54,050 --> 00:07:58,270
+Show that the
+
+63
+00:07:58,270 --> 00:08:03,470
+equation f
+
+64
+00:08:03,470 --> 00:08:11,510
+of x بتساوي x في e أس x سالب اتنين بتساوي صفر has
+
+65
+00:08:11,510 --> 00:08:14,210
+a root
+
+66
+00:08:20,420 --> 00:08:29,980
+in الـ interval من صفر لواحد لنثبت
+
+67
+00:08:29,980 --> 00:08:35,200
+أن المعادلة f of x بيساوي صفر عشان f of x بيساوي
+
+68
+00:08:35,200 --> 00:08:43,100
+الدالة هذه لها جذور يعني بنقدر نلاقي أي
+
+69
+00:08:43,100 --> 00:08:54,460
+هذا يعني show أن يوجد C ينتمي للفترة المغلقة من صفر
+
+70
+00:08:54,460 --> 00:09:01,900
+لواحد بحيث أن f of C بيساوي صفر ففي الحالة اللي
+
+71
+00:09:01,900 --> 00:09:07,360
+بنقول أن C root جذر للمعادلة أو C zero لل
+
+72
+00:09:07,360 --> 00:09:14,900
+function F فبنثبت الكلام هذا فحسب النظرية هذه
+
+73
+00:09:27,630 --> 00:09:35,370
+F of X بيساوي X في E to X سالب اتنين is continuous
+
+74
+00:09:35,370 --> 00:09:40,650
+متصلة على الفترة المغلقة من صفر لواحد
+
+75
+00:09:47,890 --> 00:09:51,510
+لأن X في E to X هي دالة متصلة طرحنا منها ثابت
+
+76
+00:09:51,510 --> 00:09:56,750
+دالة متصلة على R كذلك
+
+77
+00:09:56,750 --> 00:10:06,460
+أنا عندي F of صفر بيساوي سالب اتنين أصغر من صفر و F
+
+78
+00:10:06,460 --> 00:10:15,300
+of واحد بيساوي E ثاني اتنين وال E معروف أنه عدد
+
+79
+00:10:15,300 --> 00:10:21,100
+أكبر من اتنين فهذا أكبر من صفر إذا هاي شروط ال
+
+80
+00:10:21,100 --> 00:10:28,500
+location of roots theorem كلها متحققة hence by
+
+81
+00:10:28,500 --> 00:10:33,700
+location of roots theorem
+
+82
+00:10:36,360 --> 00:10:42,300
+يوجد C ينتمي للفترة المغلقة من صفر إلى واحد بحيث
+
+83
+00:10:42,300 --> 00:10:55,640
+أن F of C بيساوي صفر إذا هنا اثبتنا أن C is a root
+
+84
+00:10:55,640 --> 00:11:01,400
+of equation F of X
+
+85
+00:11:04,080 --> 00:11:09,640
+بيساوي X في E أس X minus اتنين بيساوي صفر وهو
+
+86
+00:11:09,640 --> 00:11:16,360
+المطلوب إذا هنا اثبتنا أن فعلا المعادلة هذه لها
+
+87
+00:11:16,360 --> 00:11:22,720
+جذر في الفترة هذا الجذر يقع هو عدد C يقع في الفترة
+
+88
+00:11:22,720 --> 00:11:28,180
+من صفر لواحد عدد من صفر لواحد طبعا ممكن هذا العدد
+
+89
+00:11:28,180 --> 00:11:35,450
+C نعمله تقريب إلى أقرب يعني بحيث يكون النسبة الخطأ
+
+90
+00:11:35,450 --> 00:11:41,470
+من القيمة الحقيقية تبقى تكون أقل من واحد على ألف
+
+91
+00:11:41,470 --> 00:11:46,210
+أو واحد على مية أو واحد على عشر ألف فالكتاب موضح
+
+92
+00:11:46,210 --> 00:11:51,610
+لكم هي هنا في المثال كيف نجيب تقريب نحصل على العدد
+
+93
+00:11:51,610 --> 00:11:55,730
+صفر بحيث نطلع تقريبا قريب من القيمة الحقيقية
+
+94
+00:11:55,730 --> 00:11:59,030
+والفرق بينها ومن القيمة الحقيقية واللي هنحصل عليها في
+
+95
+00:11:59,030 --> 00:12:05,240
+المثال تكون أقل من واحد على ألف أو شيء زيها فممكن تقرأ
+
+96
+00:12:05,240 --> 00:12:09,960
+وتشوف الكلام هذا في الكتاب لكن احنا اللي يهمنا أن
+
+97
+00:12:09,960 --> 00:12:15,460
+ال equation هذه ضمننا أن في لها root في الفترة
+
+98
+00:12:15,460 --> 00:12:18,740
+هذه حسب ال location of roots في الفترة الباقية
+
+99
+00:12:18,740 --> 00:12:24,520
+كانت تخلي ال root هذا يعني تجيب له قيمة قريبة جدا
+
+100
+00:12:24,520 --> 00:12:30,020
+من القيمة الحقيقية هذه مجرد يعني تفاصيل حسابية
+
+101
+00:12:30,020 --> 00:12:36,320
+okay فحاولوا تقرأوها من الكتاب لو سمحتوا الآن هذه
+
+102
+00:12:36,320 --> 00:12:47,540
+النظرية بتقود إلى نظرية ثانية وهي
+
+103
+00:12:47,540 --> 00:12:55,380
+Bolzano's
+
+104
+00:12:55,380 --> 00:12:57,140
+intermediate
+
+105
+00:13:04,990 --> 00:13:25,730
+value theorem let
+
+106
+00:13:25,730 --> 00:13:29,210
+I be any interval
+
+107
+00:13:36,870 --> 00:13:50,310
+and f from I to R be continuous على
+
+108
+00:13:50,310 --> 00:14:00,830
+الفترة I إذا كان A و B أعداد في الفترة I and
+
+109
+00:14:03,830 --> 00:14:16,170
+K عدد حقيقي such that F of A أصغر من K أصغر من F
+
+110
+00:14:16,170 --> 00:14:20,150
+of B then
+
+111
+00:14:20,150 --> 00:14:31,610
+النتيجة أنه يوجد C ينتمي للفترة I وهذا العدد C يقع
+
+112
+00:14:31,610 --> 00:14:32,010
+بين
+
+113
+00:14:38,340 --> 00:14:48,280
+between a and b such that بحيث أن f of c تطلع
+
+114
+00:14:48,280 --> 00:14:56,720
+بيساوي قيمة k لنعمل
+
+115
+00:14:56,720 --> 00:14:58,740
+رسمة قبل أن أظهر المظهر
+
+116
+00:15:17,560 --> 00:15:37,280
+فممكن يكون في عندي function زي هذه مثلا فهي
+
+117
+00:15:37,280 --> 00:15:43,320
+في عندي فترة I الدالة معرفة ومتصلة عليها
+
+118
+00:15:45,810 --> 00:15:52,110
+يعني هذه الفترة من هنا إلى هنا I وممكن يكون في
+
+119
+00:15:52,110 --> 00:15:59,510
+عندي أعداد A و B فممكن يكون مثلا هذه ال A وهذه ال B
+
+120
+00:15:59,510 --> 00:16:04,630
+فهذه
+
+121
+00:16:04,630 --> 00:16:10,450
+F of A فهذه
+
+122
+00:16:10,450 --> 00:16:11,430
+F of A
+
+123
+00:16:16,610 --> 00:16:22,070
+وهي F of B فلو
+
+124
+00:16:22,070 --> 00:16:25,290
+كان
+
+125
+00:16:25,290 --> 00:16:38,180
+K عدد بين F of A و F of B فهي F of B وهي F of A فـ K
+
+126
+00:16:38,180 --> 00:16:45,220
+عدد بين F of A و F of B فلهذا العدد نقدر نلاقي C
+
+127
+00:16:45,220 --> 00:16:49,420
+عدد C عدد
+
+128
+00:16:49,420 --> 00:16:53,960
+C بين A و B وبالتالي ينتمي للفترة I
+
+129
+00:16:57,560 --> 00:17:06,760
+إذا C بين A و B وينتمي للفترة I بحيث أن صورة C
+
+130
+00:17:06,760 --> 00:17:12,380
+هي صورة الـ C بيساوي العدد K هذا هو بولزانو
+
+131
+00:17:12,380 --> 00:17:16,560
+intermediate value theorem نظرية القيمة الوسيطية
+
+132
+00:17:16,560 --> 00:17:22,740
+نظرية القيمة الوسيطية لبولزانو ملاحظة نظرية هذه مش
+
+133
+00:17:22,740 --> 00:17:23,880
+صعبة سهلة
+
+134
+00:17:43,340 --> 00:17:48,440
+Proof البرهان بيعتمد على ال maximum minimum theorem
+
+135
+00:17:48,440 --> 00:17:55,160
+وعلى اللي هو location of roots theorem ففي عندي
+
+136
+00:17:55,160 --> 00:17:58,740
+هنا حلتين لاحظوا أن a و b أعداد حقيقية
+
+137
+00:18:19,180 --> 00:18:25,800
+النتيجة بتكون واضحة لو كان a بيساوي b فـ f of a
+
+138
+00:18:25,800 --> 00:18:31,470
+بتطلع بيساوي f of b وبالتالي أي k بين f of a وf of b
+
+139
+00:18:31,470 --> 00:18:35,690
+هيساوي واحدة منهم وبالتالي ال k بيساوي f of a خذ
+
+140
+00:18:35,690 --> 00:18:40,790
+ال c بيساوي a أو b فالنتيجة إيه واضحة بديهية يعني
+
+141
+00:18:40,790 --> 00:18:49,030
+متحققات القائمة so assume أن 
+
+142
+00:18:49,030 --> 00:18:52,630
+a لا يساوي b then
+
+143
+00:18:54,390 --> 00:18:58,750
+by tricotomy property إذا كان في عددين لا يساويان بعض
+
+144
+00:18:58,750 --> 00:19:06,610
+فبطلع a أصغر من b أو b أصغر من a فنأخذ الحالة
+
+145
+00:19:06,610 --> 00:19:14,850
+الأولى case one لو كان a أصغر من b ففي الحالة هذه
+
+146
+00:19:21,390 --> 00:19:29,810
+لو كان الـ a أصغر من b فبدي أعرف define
+
+147
+00:19:29,810 --> 00:19:39,130
+في الحالة هذه define g of x على أنها الدالة
+
+148
+00:19:39,130 --> 00:19:43,990
+اللي هي بالساوي f 
+
+149
+00:19:43,990 --> 00:19:47,990
+of x ناقص 
+
+150
+00:19:47,990 --> 00:19:48,470
+k
+
+151
+00:19:51,460 --> 00:19:56,340
+فطبعًا الـ function g الـ function f متصل على
+
+152
+00:19:56,340 --> 00:20:01,680
+الفترة I هو متصل على الفترة المغلقة من a إلى b
+
+153
+00:20:01,680 --> 00:20:07,080
+اللي هي جزء من الفترة I فالـ function g اللي 
+
+154
+00:20:07,080 --> 00:20:11,760
+بتساوي f ناقص ثابت مثلها متصل على نفس الفترة إذا g 
+
+155
+00:20:11,760 --> 00:20:18,450
+is continuous على الفترة المغلقة من a إلى b اللي هي
+
+156
+00:20:18,450 --> 00:20:22,130
+بالمناسبة مجموعة جزئية من I لأن الـ A و الـ B
+
+157
+00:20:22,130 --> 00:20:26,530
+موجودين في I و
+
+158
+00:20:26,530 --> 00:20:35,210
+كذلك لاحظوا أن G of A بيساوي F of A ناقص K وهذا من
+
+159
+00:20:35,210 --> 00:20:44,570
+هنا من الفرض هذا بيطلع أصغر من صفر وهذا أصغر من F
+
+160
+00:20:44,570 --> 00:20:52,070
+of B ناقص K F of B ناقص K بيطلع موجب اللي هو
+
+161
+00:20:52,070 --> 00:20:58,110
+بيساوي G of B إذا هذه شروط ال location of roots ال
+
+162
+00:20:58,110 --> 00:21:01,990
+theorem كلها متحققة هي و اندي فانش جي متصلة على فترة
+
+163
+00:21:01,990 --> 00:21:06,560
+مغلقة ومحدودة وقيمة الـ G عند الـ left endpoint
+
+164
+00:21:06,560 --> 00:21:11,980
+سلبية وقيمة الـ G عند ال right endpoint موجبة and
+
+165
+00:21:11,980 --> 00:21:16,220
+then by then 
+
+166
+00:21:16,220 --> 00:21:28,020
+by location of roots theorem يوجد
+
+167
+00:21:28,020 --> 00:21:37,570
+C ينتمي للفترة I يعني يوجد C ينتمي للفترة
+
+168
+00:21:37,570 --> 00:21:46,150
+المفتوحة من A و B اللي هي subset من I بحيث أن صورة
+
+169
+00:21:46,150 --> 00:21:54,170
+الـ C عندها بيساوي صفر لكن أنا عندي G of C من تعريف 
+
+170
+00:21:54,170 --> 00:22:02,490
+الـ function G G of C بيساوي F of C ناقص K حل
+
+171
+00:22:02,490 --> 00:22:09,850
+المعادلة هذه في F of C فبطلع F of C بيساوي K كما هو
+
+172
+00:22:09,850 --> 00:22:15,270
+مطلوب زي ما هو مطلوب أن هيك بتكون برهانة نظرية بس
+
+173
+00:22:15,270 --> 00:22:20,540
+في الحالة اللي فيها بتكون A أصغر من B يبقى ندرين
+
+174
+00:22:20,540 --> 00:22:25,300
+النظرية في الحالة التالية case 2 اللي فيها الـ b
+
+175
+00:22:25,300 --> 00:22:29,920
+أصغر من a ففي
+
+176
+00:22:29,920 --> 00:22:37,080
+الحالة هذه خلّيني أعرف المرة هذه function h على
+
+177
+00:22:37,080 --> 00:22:45,820
+أنها بتساوي K ناقص f of x فواضح clearly 
+
+178
+00:22:48,290 --> 00:22:57,210
+واضح أن الـ H زيها زي الـ F متصلة is continuous على
+
+179
+00:22:57,210 --> 00:23:06,690
+الفترة المغلقة والمحدودة من A لـ B and H 
+
+180
+00:23:06,690 --> 00:23:15,910
+of A بيساوي K ناقص K ناقص F of A بيطلع سالب K
+
+181
+00:23:15,910 --> 00:23:23,460
+ناقص F of A ومن الفرض هذا بيطلع سالب وهذا أصغر من 
+
+182
+00:23:23,460 --> 00:23:36,300
+K ناقص f of b اللي هو بيطلع h of b كذلك K لو 
+
+183
+00:23:36,300 --> 00:23:41,600
+طرحت من الـ k f of b فبيطلع موجب الفرق إذا الآن في 
+
+184
+00:23:41,600 --> 00:23:45,200
+هذه function h continuous على فترة مغلقة ومحدودة 
+
+185
+00:23:45,970 --> 00:23:49,610
+وقيمتها عند الـ left endpoint سالبة وعند الـ right
+
+186
+00:23:49,610 --> 00:23:58,170
+point موجبة إذا كل شروط ال location of roots في 
+
+187
+00:23:58,170 --> 00:24:04,550
+المتحققة so by
+
+188
+00:24:04,550 --> 00:24:12,790
+location of roots theorem يوجد
+
+189
+00:24:12,790 --> 00:24:23,950
+C ينتمي إلى الفترة مظبوط هيك؟ كده كده كده كده كده
+
+190
+00:24:23,950 --> 00:24:30,130
+كده كده كده كده
+
+191
+00:24:30,130 --> 00:24:31,150
+كده كده كده كده كده
+
+192
+00:24:36,660 --> 00:24:43,600
+هيك صح K ناقص F of B بيطلع سالب و هنا هاد المفروض 
+
+193
+00:24:43,600 --> 00:24:53,120
+تكون A و هاد A صحيح، بظبط، صح، إذا H of A اللي هي
+
+194
+00:24:53,120 --> 00:24:58,180
+K ناقص F of A هي K اطرح منها F of A بيطلع موجب 
+
+195
+00:24:58,940 --> 00:25:03,460
+بينما K ناقص F of B بيطلع سالب، مظبوط هيك، إذا U
+
+196
+00:25:03,460 --> 00:25:10,920
+يوجد C بين B و A وهي طبعًا فترة contained in R بحيث
+
+197
+00:25:10,920 --> 00:25:19,420
+أن H of C بيساوي صفر، لكن H of C من تعريفها هي 
+
+198
+00:25:19,420 --> 00:25:24,400
+عبارة عن K ناقص F of C وبالتالي هذا بيقدر حل
+
+199
+00:25:24,400 --> 00:25:30,190
+المعادلة هذه في F of C فبطلع F of C بيساوي K وهو
+
+200
+00:25:30,190 --> 00:25:35,010
+المطلوب إذا في الحالتين أثبتنا أن يوجد C في الفترة
+
+201
+00:25:35,010 --> 00:25:43,510
+I بين A و B وقيمتها عند C بيساوي K إذا هيك بيكون
+
+202
+00:25:43,510 --> 00:25:47,930
+برهاننا Bolzano's Intermediate Value
+
+203
+00:25:55,030 --> 00:26:03,170
+الآن هذه النظرية في عليها نتيجة مهمة
+
+204
+00:26:20,170 --> 00:26:26,910
+let I بيساوي closed and bounded interval and if the 
+
+205
+00:26:26,910 --> 00:26:37,070
+function from I to R be continuous ومتصلة على
+
+206
+00:26:37,070 --> 00:26:42,590
+الفترة I تمام؟
+
+207
+00:26:42,590 --> 00:26:45,910
+لو كان
+
+208
+00:26:48,570 --> 00:27:01,130
+K عدد حقيقي satisfies
+
+209
+00:27:01,130 --> 00:27:08,250
+بيحقق الشرط التالي أن K .. العدد K هذا أكبر من أو
+
+210
+00:27:08,250 --> 00:27:16,090
+ساوي ال infimum لـ set f of I اللي هو range الـ F اللي 
+
+211
+00:27:16,090 --> 00:27:20,590
+هي القيمة الصغيرة المطلقة لـ F على I وأصغر من أو يساوي
+
+212
+00:27:20,590 --> 00:27:24,890
+ال supremum لـ range الـ F اللي هي ال absolute 
+
+213
+00:27:24,890 --> 00:27:29,850
+maximum value لـ الـ function F على I ففي الحالة هذه
+
+214
+00:27:29,850 --> 00:27:42,260
+من نقدر نلاقي C there exist C ينتمي للفترة I بحيث
+
+215
+00:27:42,260 --> 00:27:51,400
+أن F of C بيساوي العدد K وبرهان
+
+216
+00:27:51,400 --> 00:28:00,440
+النظرية هذه سهل By
+
+217
+00:28:00,440 --> 00:28:05,440
+maximum minimum theorem
+
+218
+00:28:11,040 --> 00:28:14,040
+الـ maximum minimum theorem بتقول لو كان في هذه
+
+219
+00:28:14,040 --> 00:28:18,640
+function متصلة على فترة مغلقة ومحدودة فالـ
+
+220
+00:28:18,640 --> 00:28:24,020
+function هذه بتأخذ قيمتها العظمى المطلقة وقيمتها
+
+221
+00:28:24,020 --> 00:28:29,360
+الصغرى المطلقة وقيمتها العظمى المطلقة على الفترة I
+
+222
+00:28:29,360 --> 00:28:34,920
+يعني في أعداد في الفترة I عندها الـ function بتأخذ
+
+223
+00:28:34,920 --> 00:28:37,760
+قيمتها العظمى المطلقة وقيمتها الصغرى المطلقة
+
+224
+00:28:40,910 --> 00:28:51,330
+إذاً there exist x lower star و x super star عناصر
+
+225
+00:28:51,330 --> 00:29:00,870
+في I بحيث أن الـ F of x lower star بيساوي infimum
+
+226
+00:29:01,750 --> 00:29:10,230
+لسيت f of i and f of x super star بيساوي الـ
+
+227
+00:29:10,230 --> 00:29:15,050
+supremum لسيت
+
+228
+00:29:15,050 --> 00:29:26,270
+f of i تمام
+
+229
+00:29:26,270 --> 00:29:27,750
+hence
+
+230
+00:29:31,910 --> 00:29:41,670
+by حسب ال hypothesis ال hypothesis star من الفرض
+
+231
+00:29:41,670 --> 00:29:44,750
+ال star اللي هو إحنا فرضين أن الـ key عدد K هذا
+
+232
+00:29:44,750 --> 00:29:55,670
+بيحقق المتباينة يعني we have لدينا الـ k أكبر من أو
+
+233
+00:29:55,670 --> 00:30:06,970
+ساوي f of x lower star أصغر من أو يساوي f
+
+234
+00:30:06,970 --> 00:30:15,370
+of x upper star و 
+
+235
+00:30:15,370 --> 00:30:21,630
+الـ function and if is continuous على الفترة المغلقة
+
+236
+00:30:21,630 --> 00:30:33,690
+من x lower star إلى x super star أو
+
+237
+00:30:33,690 --> 00:30:41,650
+لعكس ممكن يكونوا متبادلة ثانية أو x super star x
+
+238
+00:30:41,650 --> 00:30:46,320
+lower star تعتمد على مين اللي أصغر من الثانية إذا
+
+239
+00:30:46,320 --> 00:30:50,760
+كانت هذه أصغر من هذه فهذه تطلع فترة داخل I و F 
+
+240
+00:30:50,760 --> 00:30:54,340
+continuous على I أيضًا continuous على أي فترة جزئية
+
+241
+00:30:54,340 --> 00:30:58,060
+منها وإذا كان ال X Superstar أصغر من X Lower Star 
+
+242
+00:30:58,060 --> 00:30:59,380
+فنأخذ الفترة أيضًا
+
+243
+00:31:03,410 --> 00:31:08,850
+شروط بولزانو فيروس تراسي فيرم هاي في عندي نقطتين A
+
+244
+00:31:08,850 --> 00:31:16,070
+و B بينتموا للفترة I و F continuous على I
+
+245
+00:31:28,770 --> 00:31:35,190
+وعندي a و b بينتموا للفترة I وعندي K أكبر من أو 
+
+246
+00:31:35,190 --> 00:31:47,070
+ساوي F of A أصغر من أو يساوي F of B so by Bolzano's
+
+247
+00:31:57,180 --> 00:32:09,500
+يوجد C ينتمي للفترة I بين X
+
+248
+00:32:09,500 --> 00:32:21,000
+lower star و X super star بحيث أن f of c بيساوي
+
+249
+00:32:21,000 --> 00:32:25,580
+العدد K وهذا
+
+250
+00:32:25,580 --> 00:32:30,820
+اللي بدنا نقوله يعني أثبتنا يوجد c ينتمي للفترة I
+
+251
+00:32:30,820 --> 00:32:38,800
+وصورة c بيساوي العدد K وهو المطلوب إذا هذه النتيجة
+
+252
+00:32:38,800 --> 00:32:44,440
+على بلزانو intermediate valley theorem برهنها بكل
+
+253
+00:32:44,440 --> 00:32:51,920
+بساطة وبكل أريحية واضح البرهان في أي استفسار أن 
+
+254
+00:32:51,920 --> 00:32:55,420
+البرهان هنا تبع النظرية هذه بعتمد على maximum 
+
+255
+00:32:55,420 --> 00:32:59,680
+minimum maximum minimum theorem نظرية القيم
+
+256
+00:32:59,680 --> 00:33:03,360
+القصوى أخذناها المحاضرة اللي فاتت وعلى Bolzano
+
+257
+00:33:03,360 --> 00:33:11,040
+intermediate value theorem okay
+
+258
+00:33:11,040 --> 00:33:11,480
+تمام
+
+259
+00:33:15,690 --> 00:33:23,230
+طيب الـ ..
+
+260
+00:33:23,230 --> 00:33:29,290
+نأخذ نظرية
+
+261
+00:33:29,290 --> 00:33:38,950
+يمكن
+
+262
+00:33:38,950 --> 00:33:43,350
+ما نحتاجش هدول نمسح
+
+263
+00:33:43,350 --> 00:33:44,010
+اللوح هذا
+
+264
+00:34:03,530 --> 00:34:11,490
+فيرم let I بيساوي closed bounded interval be closed
+
+265
+00:34:11,490 --> 00:34:25,090
+and bounded closed and bounded interval and let f
+
+266
+00:34:25,090 --> 00:34:49,240
+from I to R دي continuous متصلة على الفترة I then
+
+267
+00:34:49,240 --> 00:34:57,280
+النتيجة أن الـ set أو الـ range الـ range للـ
+
+268
+00:34:57,280 --> 00:35:08,740
+function I is a closed and bounded closed and
+
+269
+00:35:08,740 --> 00:35:17,460
+bounded interval that
+
+270
+00:35:17,460 --> 00:35:18,920
+is هذا يعني 
+
+271
+00:35:21,810 --> 00:35:26,930
+هذا يعني .. يعني النص أو نتيجة النظرية دي من كلها 
+
+272
+00:35:26,930 --> 00:35:33,850
+مختصرة في عبارة واحدة وهي أن a continuous function
+
+273
+00:35:33,850 --> 00:35:44,230
+a continuous function preserves .. preserves
+
+274
+00:35:44,230 --> 00:35:49,610
+بتحافظ closed 
+
+275
+00:35:51,530 --> 00:35:56,510
+and bounded intervals
+
+276
+00:35:56,510 --> 00:36:00,870
+الدوال
+
+277
+00:36:00,870 --> 00:36:05,130
+المتصلة بتحافظ على الـ closed و الـ bounded interval
+
+278
+00:36:05,130 --> 00:36:10,350
+يعني الـ function f بتأخذ I اللي هي closed bounded
+
+279
+00:36:10,350 --> 00:36:13,610
+interval بتعطيني صورتها closed bounded interval
+
+280
+00:36:13,610 --> 00:36:19,410
+زيها من نفس الصنف من نفس النوع لبرهان ذلك 
+
+281
+00:36:29,060 --> 00:36:44,440
+ف let M يساوي الـ infimum لـ range الـ F و
+
+282
+00:36:44,440 --> 00:36:50,720
+capital M يساوي الـ supremum لـ range الـ F
+
+283
+00:36:56,430 --> 00:37:11,770
+both M and N exist in R by maximum 
+
+284
+00:37:11,770 --> 00:37:15,290
+minimum theorem
+
+285
+00:37:19,900 --> 00:37:25,120
+نظرية القيمة القصوى بتقول إنه إذا كانت f function
+
+286
+00:37:25,120 --> 00:37:30,180
+متصلة على closed bounded interval فالـ .. الـ .. الـ
+
+287
+00:37:30,180 --> 00:37:34,560
+function إلها قيمة صغرى مطلقة و إلها قيمة عظمى
+
+288
+00:37:34,560 --> 00:37:39,300
+مطلقة سمها قيمة صغرى مطلقة M و قيمة العظمى
+
+289
+00:37:39,300 --> 00:37:44,760
+المطلقة capital M تمام؟
+
+290
+00:37:44,760 --> 00:37:47,580
+clearly
+
+291
+00:37:54,210 --> 00:38:02,370
+F of X أكبر من أو يساوي M أصغر من أو يساوي م لكل X
+
+292
+00:38:02,370 --> 00:38:10,630
+في I قيمة الدالة عند أي X في المجال تبعها أصغر من
+
+293
+00:38:10,630 --> 00:38:15,090
+أو يساوي قيمة العظمى المطلقة و أكبر في نفس المجال
+
+294
+00:38:15,090 --> 00:38:17,370
+أكبر من أو يساوي قيمة الصغرى المطلقة
+
+295
+00:38:21,460 --> 00:38:26,040
+فهذا بيؤدي which
+
+296
+00:38:26,040 --> 00:38:40,440
+implies هذا بيؤدي أنه الـ .. أنه f of I contained
+
+297
+00:38:40,440 --> 00:38:47,680
+في الفترة المغلقة من small m لـ capital M المتبادلة
+
+298
+00:38:47,680 --> 00:38:53,400
+الأخيرة هذه تثبت أن الـ set هذه subset من هذه لأنه
+
+299
+00:38:53,400 --> 00:38:59,880
+خذوا أي عنصر هنا فأي عنصر هنا عبارة عن f of x for
+
+300
+00:38:59,880 --> 00:39:07,100
+some x ينتمي لـ I صح فأي f of x for some x ينتمي لـ
+
+301
+00:39:07,100 --> 00:39:12,730
+I هيمحصور من small m و capital M وبالتالي ينتمي
+
+302
+00:39:12,730 --> 00:39:16,610
+للفترة المغلقة هذه، لأن كل عنصر أنا هو عنصر في
+
+303
+00:39:16,610 --> 00:39:22,490
+الفترة المغلقة، لأن هذا الاحتواء صحيح، تمام؟ الآن
+
+304
+00:39:22,490 --> 00:39:24,770
+احنا بنثبت المساواة
+
+305
+00:39:30,090 --> 00:39:36,190
+إن الـ range للـ function f يساوي كل الفترة المغلقة
+
+306
+00:39:36,190 --> 00:39:44,150
+من small m لـ capital M فلإثبات
+
+307
+00:39:44,150 --> 00:39:55,350
+ذلك هي عندي أنا to prove this it
+
+308
+00:39:55,350 --> 00:39:56,090
+remains
+
+309
+00:39:59,390 --> 00:40:07,930
+it remains to show يبقى إثبات دا في إثبات إن احنا
+
+310
+00:40:07,930 --> 00:40:12,370
+لثبت الاحتواء المعاكس the reverse inclusion
+
+311
+00:40:18,550 --> 00:40:28,670
+إذا يبقى إثبات إن الفترة المغلقة من small m to
+
+312
+00:40:28,670 --> 00:40:35,970
+capital M contained in F of I فكيف نثبت إحنا set
+
+313
+00:40:35,970 --> 00:40:41,570
+subset من الأخرى نسميه
+
+314
+00:40:41,570 --> 00:40:45,950
+برهان بإيه بتتبع العناصر يعني بناخد عنصر في
+
+315
+00:40:45,950 --> 00:40:49,540
+المجموعة الأولى نثبت العناصر في المجموعة الثانية
+
+316
+00:40:49,540 --> 00:40:53,080
+هذا بيسموه في رياضيات الـ chasing of elements
+
+317
+00:40:53,080 --> 00:41:03,880
+argument برهان بتتبع العناصر فقالت why ينتمي
+
+318
+00:41:03,880 --> 00:41:12,580
+للفترة المغلقة من small m لـ capital M طيب هذا
+
+319
+00:41:12,580 --> 00:41:19,540
+بيؤدي الـ y أكبر من أو يساوي small m أصغر من أو
+
+320
+00:41:19,540 --> 00:41:31,720
+يساوي capital M وهذا عبارة عن الـ infimum لـ range
+
+321
+00:41:31,720 --> 00:41:39,460
+الـ function f وهذا يساوي الـ supremum لـ range
+
+322
+00:41:39,460 --> 00:41:40,500
+الـ function f
+
+323
+00:41:47,540 --> 00:41:57,540
+وعندي الـ .. إذا حسب الـ .. الـ corollary تبع النظرية
+
+324
+00:41:57,540 --> 00:42:04,060
+هذه فإن عندي الـ function if continuous على الفترة
+
+325
+00:42:04,060 --> 00:42:10,520
+المغلقة a,b فعندي if continuous على الفترة المغلقة
+
+326
+00:42:10,520 --> 00:42:18,800
+a,b وعندي k اللي هو y عدد محصور بين الـ infimum لـ f
+
+327
+00:42:18,800 --> 00:42:28,520
+of i و الـ supremum لـ f of i by
+
+328
+00:42:28,520 --> 00:42:36,090
+above corollaryالقرن اللي لـ Bolzano Intermediate
+
+329
+00:42:36,090 --> 00:42:43,390
+Value Theorem يقول إن يوجد C ينتمي للفترة I بحيث
+
+330
+00:42:43,390 --> 00:42:50,090
+أن F of C يساوي
+
+331
+00:42:50,090 --> 00:42:58,170
+العدد Y اللي هو قابل الـ K في نص النظرية الـ C ينتمي
+
+332
+00:42:58,170 --> 00:43:05,170
+لـ I إذاً F of C تنتمي لـ F للست F of I إذاً أنا
+
+333
+00:43:05,170 --> 00:43:09,410
+بدأت بـ Y ينتمي للفترة المغلقة طلع Y ينتمي لـ F of
+
+334
+00:43:09,410 --> 00:43:17,570
+I Therefore Hence هيك
+
+335
+00:43:17,570 --> 00:43:20,750
+منكون أثبتنا أن الفترة المغلقة من small m
+
+336
+00:43:20,750 --> 00:43:31,990
+لـ capital M is contained في الـ set f of i هذا
+
+337
+00:43:31,990 --> 00:43:37,490
+بيبرهن الـ claim و النظرية لأن هيك بيكون برهننا الـ
+
+338
+00:43:37,490 --> 00:43:42,010
+claim وبالتالي برهننا النظرية لأن هيك هي أثبتت أن
+
+339
+00:43:42,010 --> 00:43:45,950
+الـ image لـ الـ closed bounded interval I طلعت
+
+340
+00:43:45,950 --> 00:43:49,970
+closed bounded interval صح و هو المطلوب
+
+341
+00:43:53,870 --> 00:44:00,730
+Okay واضح البرهان؟ في أي استفسار على البرهان؟
+
+342
+00:44:00,730 --> 00:44:08,030
+في هنا تحذير warning تحذير
+
+343
+00:44:08,030 --> 00:44:15,070
+in
+
+344
+00:44:15,070 --> 00:44:30,000
+the above theorem we had F of I التي هي F للفترة
+
+345
+00:44:30,000 --> 00:44:35,320
+المغلقة من A لـ B طلعت
+
+346
+00:44:35,320 --> 00:44:39,900
+بالساوي الفترة المغلقة من small m لـ capital M حيث
+
+347
+00:44:39,900 --> 00:44:43,980
+small m is the absolute minimum value و capital M
+
+348
+00:44:43,980 --> 00:44:47,140
+is the absolute maximum value of the function F on
+
+349
+00:44:47,140 --> 00:44:54,980
+the interval I و هذا ليس بالضرورة مش شرط هذه الفترة
+
+350
+00:44:54,980 --> 00:45:03,750
+تكون الفترة من F of A لـ F of B هذه الفترة ماحدش قال
+
+351
+00:45:03,750 --> 00:45:08,370
+أو مقدر يزم أن تكون الفترة المغلقة من F of A لـ F of B
+
+352
+00:45:08,370 --> 00:45:13,750
+هذا مش صحيح okay النظرية ما بتقولش الكلام هذا
+
+353
+00:45:13,750 --> 00:45:18,490
+بتقولش الكلام هذا فقط هذا غلط مش شرط الـ image
+
+354
+00:45:18,490 --> 00:45:23,050
+للفترة I بالساوي الفترة المغلقة من F of A لـ F of B
+
+355
+00:45:23,050 --> 00:45:30,640
+فخذوا بالكم من إيه من التحذير هذا Okay إذاً هن
+
+356
+00:45:30,640 --> 00:45:34,720
+أثبتنا إن لو كانت الـ function تبعتي متصلة على فترة
+
+357
+00:45:34,720 --> 00:45:39,420
+مغلقة أو محدودة فصورتها بتطلع مغلقة أو محدودة
+
+358
+00:45:39,420 --> 00:45:45,280
+وبالتالي الـ function preserves الـ .. الـ .. الـ
+
+359
+00:45:45,280 --> 00:45:50,640
+intervals طيب
+
+360
+00:45:50,640 --> 00:45:53,940
+الـ .. النظرية دي إلها تعميم
+
+361
+00:46:03,890 --> 00:46:10,730
+preservation of intervals
+
+362
+00:46:10,730 --> 00:46:14,770
+theorem لو
+
+363
+00:46:14,770 --> 00:46:21,050
+كانت الفترة let I be any interval مش شرط تكون ..
+
+364
+00:46:21,050 --> 00:46:28,070
+مش شرط تكون close about it .. be any interval and
+
+365
+00:46:28,070 --> 00:46:43,200
+let إذاً من I إلى R يكون مستمر على الفترة I ثم
+
+366
+00:46:43,200 --> 00:46:49,260
+ستة F من I هي معرفة
+
+367
+00:46:53,620 --> 00:46:57,220
+النظرية هذه بتقول لو كانت f دالة متصلة مجال
+
+368
+00:46:57,220 --> 00:47:03,960
+تبعها أي فترة مغلقة، محدودة، مش محدودة، half-open،
+
+369
+00:47:03,960 --> 00:47:06,580
+open-half-open interval اللي لقاش، أي لوحة من الـ
+
+370
+00:47:06,580 --> 00:47:11,820
+intervals اللي شفناهم في chapter واحد فصورتها أيضا
+
+371
+00:47:11,820 --> 00:47:15,500
+لازم تطلع interval وبالتالي الـ continuous function
+
+372
+00:47:15,500 --> 00:47:19,880
+بتحافظ على الفترة، على الفترات يعني بتأخذ فترة في
+
+373
+00:47:19,880 --> 00:47:24,780
+مجالها بتعطيل صورتها فترة هذه الفترة ما بنعرفش كيف
+
+374
+00:47:24,780 --> 00:47:29,620
+نوعها لكن اللي بنقدر نظمه في النظرية السابقة أنه
+
+375
+00:47:29,620 --> 00:47:33,300
+لو كانت الفترة I هذه closed bounded فصورتها هتطلع
+
+376
+00:47:33,300 --> 00:47:36,960
+closed bounded أما لو كانت من نوع آخر فصورتها مش
+
+377
+00:47:36,960 --> 00:47:42,200
+شرط تكون من نفس النوع ماحدش قال الكلام هذا فلبرهان
+
+378
+00:47:42,200 --> 00:47:47,780
+ذلك لبرهان
+
+379
+00:47:47,780 --> 00:47:48,260
+ذلك
+
+380
+00:47:53,440 --> 00:48:01,040
+خلينا ناخد let alpha و beta belong to except f of
+
+381
+00:48:01,040 --> 00:48:14,580
+I with alpha أصغر من beta خلينا
+
+382
+00:48:14,580 --> 00:48:15,640
+نستذكر بس
+
+383
+00:48:22,460 --> 00:48:27,560
+في نظرية أخدناها قبل هيك الـ theorem اتنين خمسة
+
+384
+00:48:27,560 --> 00:48:44,300
+واحد بتقول if S subset of R contains at least two
+
+385
+00:48:44,300 --> 00:48:48,500
+elements and satisfies
+
+386
+00:48:52,530 --> 00:48:58,810
+Satisfies الخاصية واحد إن لو كان X و Y تنتمي لـ S و
+
+387
+00:48:58,810 --> 00:49:04,850
+X أصغر من Y هذا بيؤدي إن الفترة من X إلى Y
+
+388
+00:49:04,850 --> 00:49:10,670
+contained in S then
+
+389
+00:49:10,670 --> 00:49:13,790
+set S is an interval
+
+390
+00:49:17,430 --> 00:49:19,470
+إن إن هذه النظرية أخدناها في الـ chapter .. في الـ
+
+391
+00:49:19,470 --> 00:49:23,830
+chapter الأول بتقول لو كان في عندي set subset
+
+392
+00:49:23,830 --> 00:49:29,520
+من R فيها على الأقل عنصرين وبتحقق الـ set هذه بتحقق
+
+393
+00:49:29,520 --> 00:49:33,580
+الخاصية واحد property one أنه لأي x و y في الـ set
+
+394
+00:49:33,580 --> 00:49:39,300
+و x أصغر من y الفترة من x لـ y بتكون موجودة داخل الـ
+
+395
+00:49:39,300 --> 00:49:43,880
+set في الحالة هذه الـ set نفسها S تطلع interval إذا
+
+396
+00:49:43,880 --> 00:49:50,820
+أنا بدي أثبت to show طيب
+
+397
+00:49:50,820 --> 00:49:51,780
+أنا عندي
+
+398
+00:49:54,280 --> 00:50:00,060
+هذه أخذت نقطتين في الـ set هذه هي الـ set الـ set S
+
+399
+00:50:00,060 --> 00:50:04,600
+هذه أخذت نقطتين و Alpha أصغر من Beta و بتثبت أنها
+
+400
+00:50:04,600 --> 00:50:08,700
+بتحقق الخاصية واحد عشان أثبت أنها interval أنا
+
+401
+00:50:08,700 --> 00:50:13,160
+عندي Alpha و Beta تنتمي لـ F of I لأن Alpha تساوي
+
+402
+00:50:13,160 --> 00:50:22,570
+F of A for some a تنتمي إلى I و Beta تساوي F of B
+
+403
+00:50:22,570 --> 00:50:30,330
+for some B تنتمي إلى I وبالتالي
+
+404
+00:50:30,330 --> 00:50:36,950
+..
+
+405
+00:50:36,950 --> 00:50:39,790
+بالتالي ..
+
+406
+00:50:47,200 --> 00:50:59,180
+أنا عندي الـ Bolzano طيب طيب to show to
+
+407
+00:50:59,180 --> 00:51:09,420
+show f of I is an interval we
+
+408
+00:51:09,420 --> 00:51:20,550
+need to show أن الـ set f of i satisfies property
+
+409
+00:51:20,550 --> 00:51:23,830
+واحد
+
+410
+00:51:23,830 --> 00:51:33,430
+of theorem اتنين خمسة واحد فهي
+
+411
+00:51:33,430 --> 00:51:36,830
+عندي alpha و beta تنتمي لـ f of i و alpha أصغر من
+
+412
+00:51:36,830 --> 00:51:40,690
+beta ف
+
+413
+00:51:40,690 --> 00:51:42,290
+to show
+
+414
+00:51:44,880 --> 00:51:56,020
+الفترة من Alpha إلى Beta contained in F of I let K
+
+415
+00:51:56,020 --> 00:52:00,300
+ينتمي إلى الفترة ا��مغلقة من Alpha إلى Beta
+
+416
+00:52:04,220 --> 00:52:11,680
+أكبر من أو يساوي alpha هي تساوي f of a وأصغر من
+
+417
+00:52:11,680 --> 00:52:21,460
+أو يساوي beta هي تساوي f of b وبالتالي so by
+
+418
+00:52:21,460 --> 00:52:26,440
+Bolzano's
+
+419
+00:52:26,440 --> 00:52:31,120
+intermediate
+
+420
+00:52:31,120 --> 00:52:32,940
+value theorem
+
+421
+00:52:35,620 --> 00:52:48,960
+يوجد C ينتمي إلى I between Alpha
+
+422
+00:52:48,960 --> 00:52:59,400
+و Beta بحيث أن F of C يساوي K أو
+
+423
+00:52:59,400 --> 00:53:08,640
+K يساوي F of C  طبقا لما إذا ال C تنتمي لـ I إذا F of C تنتمي
+
+424
+00:53:08,640 --> 00:53:13,380
+لـ F of I إذا 
+
+425
+00:53:13,380 --> 00:53:18,200
+هاني أثبتت إنه كل K في الفترة المغلقة من Alpha إلى
+
+426
+00:53:18,200 --> 00:53:25,850
+Beta طلع ينتمي لـ F of I وبالتالي إذن بيطلع عند
+
+427
+00:53:25,850 --> 00:53:31,270
+الفترة المغلقة من Alpha إلى Beta  الـ subset من F of
+
+428
+00:53:31,270 --> 00:53:38,830
+I وبالتالي إذا الـ set F of I بتحقق الـ property 
+
+429
+00:53:38,830 --> 00:53:46,810
+واحد إذا by theorem .. by theorem اثنين خمسة واحد
+
+430
+00:53:46,810 --> 00:53:53,650
+الـ set F of I بتطلع interval is an interval
+
+431
+00:53:56,670 --> 00:54:03,570
+و هذا بيكمل النظرية إذا هذا بيكمل البرهان هيك
+
+432
+00:54:03,570 --> 00:54:10,630
+بنكون خلصنا الـ section خمسة تلاتة و باقي عننا
+
+433
+00:54:10,630 --> 00:54:16,190
+section خمسة أربعة هناخده في المحاضرة الجاية نحاول
+
+434
+00:54:16,190 --> 00:54:24,130
+نشوف زمنا نخلصه ولا لأفال .. شكرا لحسن إصغائكم و
+
+435
+00:54:24,130 --> 00:54:26,910
+يعطيكم العافية و نشوفكم إن شاء الله المرة الجاية

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Ejs4dHLsIvo.srt

@@ -0,0 +1,1547 @@
+1
+00:00:20,920 --> 00:00:24,640
+بسم الله الرحمن الرحيم هنبدأ في المحاضرة هذه
+
+2
+00:00:24,640 --> 00:00:29,600
+chapter جديد وهو chapter أربعة في الكتاب المقرر
+
+3
+00:00:29,600 --> 00:00:35,280
+عنوان الـ chapter limits of functions  و هنبدأ أول
+
+4
+00:00:35,280 --> 00:00:39,540
+section في الـ chapter هذا و برضه عنوان الـ section
+
+5
+00:00:39,540 --> 00:00:44,180
+الأول هو نفس عنوان الـ chapter limits of functions
+
+6
+00:00:44,180 --> 00:00:52,780
+فقبل ما نعرف limit of a function بدنا نتعرف على
+
+7
+00:00:52,780 --> 00:01:00,060
+مصطلح جديد وهو cluster point of a set نقطة تراكم
+
+8
+00:01:00,060 --> 00:01:04,780
+الـ cluster point أو بعض الكتب بيسموها accumulation 
+
+9
+00:01:04,780 --> 00:01:12,120
+point و كتب أخرى بيسميها limit point فلو في عندي
+
+10
+00:01:12,120 --> 00:01:18,200
+set A subset من R set of real numbers و C real
+
+11
+00:01:18,200 --> 00:01:23,190
+number فالـ real number هذا بنسميه cluster point
+
+12
+00:01:23,190 --> 00:01:28,030
+للست a if and only if the following condition is
+
+13
+00:01:28,030 --> 00:01:33,770
+satisfied for every delta عدد موجب نقدر نجد x
+
+14
+00:01:33,770 --> 00:01:39,650
+ينتمي إلى المجموعة a و الـ x هذه مختلفة عن النقطة c
+
+15
+00:01:39,650 --> 00:01:45,330
+بحيث ان المسافة بين x و c تكون أصغر من delta هذا
+
+16
+00:01:45,330 --> 00:01:49,410
+الشرط هذا
+
+17
+00:01:49,410 --> 00:01:54,020
+الشرط is equivalent to saying بكافئ ان انا اقول
+
+18
+00:01:54,020 --> 00:01:59,160
+every delta neighborhood every delta neighborhood
+
+19
+00:01:59,160 --> 00:02:03,940
+لنقطة c اللى هو الفترة المفتوحة اللى مركزها c ونص
+
+20
+00:02:03,940 --> 00:02:11,500
+قطرة delta every delta neighborhood of c يتقاطع مع
+
+21
+00:02:11,500 --> 00:02:18,200
+المجموعة a في نقطة واحدة على الأقل x مختلفة عن الـ
+
+22
+00:02:18,200 --> 00:02:25,720
+c يعني بمعنى أخر بقدر ألاقي في التقاطع هذا نقطة x
+
+23
+00:02:25,720 --> 00:02:32,440
+يعني التقاطع هذا لا يساوي five okay
+
+24
+00:02:32,440 --> 00:02:37,990
+كمان مرة النقطة C هذه بتكون cluster point للمجموعة
+
+25
+00:02:37,990 --> 00:02:44,370
+A إذا أي delta neighborhood للنقطة C بيتقاطع مع
+
+26
+00:02:44,370 --> 00:02:52,690
+المجموعة A في نقطة X مختلفة عن الـC بس لازم
+
+27
+00:02:52,690 --> 00:02:58,060
+كل delta neighborhood لـC يتقاطع مع المجموعة A في
+
+28
+00:02:58,060 --> 00:03:02,720
+نقطة X مختلفة عن الـC طب عشان اثبت ان الـC ليست
+
+29
+00:03:02,720 --> 00:03:09,000
+cluster point بنفي الشرط هذا يكفي ان اقول there
+
+30
+00:03:09,000 --> 00:03:14,520
+exist بدل for every delta او every delta
+
+31
+00:03:14,520 --> 00:03:18,860
+neighborhood يكفى ان اجيب there exists delta
+
+32
+00:03:18,860 --> 00:03:24,720
+neighborhood واحد ل C و التقاطع هذا بساوي فاي يعني
+
+33
+00:03:24,720 --> 00:03:30,540
+بحيث ان الـ delta neighborhood لا يتقاطع مع اي
+
+34
+00:03:30,540 --> 00:03:39,180
+مشيول منها C بالمرة ناخد نظرية الأول الـ definition
+
+35
+00:03:39,180 --> 00:03:43,180
+هذا بيكافئ النظرية التانية بتقول ان
+
+36
+00:03:46,060 --> 00:03:53,140
+الـ condition هذا تبع التعريف بكافئ شرط تاني اذا
+
+37
+00:03:53,140 --> 00:04:06,140
+هنا let A subset من R و C real number C
+
+38
+00:04:06,140 --> 00:04:16,740
+is a cluster is a cluster point of the set A if and
+
+39
+00:04:16,740 --> 00:04:22,400
+only if the following condition is satisfied there
+
+40
+00:04:22,400 --> 00:04:26,600
+exist a
+
+41
+00:04:26,600 --> 00:04:38,640
+sequence a n contained in A وكل عناصرها مختلفة
+
+42
+00:04:38,640 --> 00:04:52,650
+عن ال C such that limit a n بساوي c اذا هذا الشرط
+
+43
+00:04:52,650 --> 00:04:59,310
+بكافئ الشرط اللي هناك الشرط هذا او اللي بكافه
+
+44
+00:04:59,310 --> 00:05:06,290
+فلبرهان ذلك اذا كمان مرة انا عشان اثبت ان c is a
+
+45
+00:05:06,290 --> 00:05:10,610
+cluster point للمجموع يعني يكفي ان اثبت ان يوجد
+
+46
+00:05:12,310 --> 00:05:17,950
+سيكوانس في المجموعة A وكل على سرها مختلفة لاتساوي
+
+47
+00:05:17,950 --> 00:05:23,370
+C وانهيتها بالساوي لعدد C فتعالى نبرهن النظرية هذه
+
+48
+00:05:23,370 --> 00:05:28,850
+نبرهن الـ only if part الأول فالـ only if part يعني
+
+49
+00:05:28,850 --> 00:05:36,910
+الـ assumption assume ان C is a cluster is
+
+50
+00:05:36,910 --> 00:05:39,230
+a cluster point
+
+51
+00:05:40,700 --> 00:05:49,140
+of a then
+
+52
+00:05:49,140 --> 00:06:00,080
+for every n ينتمي إلى n لكل عدد طبيعي n take delta
+
+53
+00:06:00,080 --> 00:06:08,110
+بساوي واحد على n عدد موجب بما انه C is a cluster
+
+54
+00:06:08,110 --> 00:06:11,230
+point ل A then by definition of a cluster point
+
+55
+00:06:11,230 --> 00:06:14,410
+then
+
+56
+00:06:14,410 --> 00:06:23,770
+by definition there exist a N ينتمي إلى A مختلف عن
+
+57
+00:06:23,770 --> 00:06:28,210
+ال C such that
+
+58
+00:06:28,210 --> 00:06:31,070
+ال ..
+
+59
+00:06:34,910 --> 00:06:42,950
+الـ AN هذا ينتمي للـ Delta neighborhood للـ
+
+60
+00:06:42,950 --> 00:06:56,090
+C وطبعا ينتمي إلى A negative C هعمل
+
+61
+00:06:56,090 --> 00:07:02,810
+التعريف هذالما انه الـ C is a cluster point لأي
+
+62
+00:07:02,810 --> 00:07:09,410
+Delta أكبر من السفر خد Delta بساوي واحد على N لكل
+
+63
+00:07:09,410 --> 00:07:13,290
+عدد طبيعي N هذا بيطلع عدد موجب لذلك لـ Delta بساوي
+
+64
+00:07:13,290 --> 00:07:18,470
+واحد على N بقدر ألاجني عنصر X اللي هو ساميه An
+
+65
+00:07:18,470 --> 00:07:24,470
+يعتمد على الـ Delta وهذا العنصر موجود في A مختلف
+
+66
+00:07:24,470 --> 00:07:30,570
+عن الـ Cو أيضا موجود في الـ delta neighborhood لـ
+
+67
+00:07:30,570 --> 00:07:38,370
+C طيب
+
+68
+00:07:38,370 --> 00:07:42,610
+إذا و
+
+69
+00:07:42,610 --> 00:07:51,230
+واضح هنا من الـ AN ينتمي ل الـ
+
+70
+00:07:51,230 --> 00:07:56,150
+AN ينتمي ل DN الـ
+
+71
+00:07:56,150 --> 00:08:01,970
+delta أو الـ 1 على N neighborhood للـ C اللي هو C
+
+72
+00:08:01,970 --> 00:08:09,750
+سالب واحد على N C موجب واحد على N وهذا صحيح لكل N
+
+73
+00:08:09,750 --> 00:08:16,270
+بيقدي انه بيقدي
+
+74
+00:08:16,270 --> 00:08:20,890
+انه C سالم A N أو
+
+75
+00:08:24,630 --> 00:08:31,950
+absolute a n سالب c أصغر من واحد على n وهذا صحيح
+
+76
+00:08:31,950 --> 00:08:36,370
+لكل n هزبوت؟
+
+77
+00:08:36,370 --> 00:08:40,750
+هاي a n أكبر من c سالب واحد على n أصغر من c زاد
+
+78
+00:08:40,750 --> 00:08:45,310
+واحد على n هذا معناه absolute a n minus c أصغر من
+
+79
+00:08:45,310 --> 00:08:48,790
+واحد على n لكل n هذا صحيح لكل n
+
+80
+00:08:52,390 --> 00:08:56,990
+إذا هاي فيها sequence إذا هاي أثبتنا مايوجد
+
+81
+00:08:56,990 --> 00:09:09,350
+sequence إذا am is a sequence in a وكل حدودها
+
+82
+00:09:09,350 --> 00:09:16,610
+مختلفة عن ال c and by theorem اتنين اربعة الشهيرة
+
+83
+00:09:18,560 --> 00:09:21,560
+أنا عندي الـ absolute value هذي أصغر من واحد على N
+
+84
+00:09:21,560 --> 00:09:26,480
+لكل N limit واحد على N بالساوي سفر خد C بالساوي
+
+85
+00:09:26,480 --> 00:09:33,760
+واحد عدن موجب لأن بيطلع limit الـ sequence A N as N
+
+86
+00:09:33,760 --> 00:09:39,300
+tends to infinity بساوي S C إذن هين أثبتنا إنه لو
+
+87
+00:09:39,300 --> 00:09:44,920
+كانت C cluster point فأثبتنا إنه يوجد sequence A N
+
+88
+00:09:44,920 --> 00:09:51,380
+في المجموعة A وكل عناصرها مختلفة عن الـ C ونهايتها
+
+89
+00:09:51,380 --> 00:09:59,080
+بساوي الـ C إذا هذا بثبت جزء الـ only if part الآن
+
+90
+00:09:59,080 --> 00:10:04,220
+لثبت العكس لإثبات
+
+91
+00:10:04,220 --> 00:10:04,920
+العكس
+
+92
+00:10:21,910 --> 00:10:28,090
+assume أن الشرط اللي حصل بتتحقق
+
+93
+00:10:28,090 --> 00:10:41,250
+assume الـ condition اللي حصل holds يعني بتتحقق to
+
+94
+00:10:41,250 --> 00:10:48,890
+show c is a cluster point of
+
+95
+00:10:48,890 --> 00:11:03,360
+a let delta أكبر من السفر is given since
+
+96
+00:11:03,360 --> 00:11:15,160
+by star من الشرط star لدي limit لان بساوي c و
+
+97
+00:11:15,160 --> 00:11:19,260
+delta أكبر من السفر is given إذا من تعريف delta
+
+98
+00:11:19,260 --> 00:11:25,560
+capital N للـ limit لأي delta أو إبسلون عدد موجب
+
+99
+00:11:25,560 --> 00:11:31,320
+there exist n يعتمد على delta natural number دحيث
+
+100
+00:11:31,320 --> 00:11:40,140
+أنه لكل n أكبر من أو سوى capital N هذا بيقدي أنه
+
+101
+00:11:40,140 --> 00:11:47,000
+absolute a n minus c أصغر من delta
+
+102
+00:11:50,570 --> 00:11:57,870
+إذاً هذا بيقدّي إنه هيعندي am
+
+103
+00:12:02,990 --> 00:12:08,910
+طبعا هدف قلبي أن a n أصغر
+
+104
+00:12:08,910 --> 00:12:15,370
+من c زائد delta أكبر من c negative delta يعني a n
+
+105
+00:12:15,370 --> 00:12:22,630
+تنتمي إلى v delta of c وتنتمي طبعا من الـ condition
+
+106
+00:12:22,630 --> 00:12:32,780
+star تنتمي إلى a difference c وهذا صحيح لكل n أكبر
+
+107
+00:12:32,780 --> 00:12:38,660
+من أو ساوي capital N إذا هاي كل delta neighborhood
+
+108
+00:12:38,660 --> 00:12:50,240
+ل C بيتقاطع مع A في عدد لانهائي من النقاط المختلفة
+
+109
+00:12:50,240 --> 00:12:57,420
+عن ال C وبالتالي الشرط تبع الـ definition هيتحققو
+
+110
+00:12:57,420 --> 00:13:05,660
+then by definition .. by definition C is a cluster
+
+111
+00:13:05,660 --> 00:13:14,000
+point of the set A و هدا بكمل الـ F part and
+
+112
+00:13:14,000 --> 00:13:19,140
+therefore completes the proof of the theorem okay
+
+113
+00:13:19,140 --> 00:13:20,000
+تمام؟
+
+114
+00:13:25,140 --> 00:13:27,540
+Fine خلّينا ناخد بعض الأمثلة
+
+115
+00:13:49,070 --> 00:14:05,410
+تشير إلى أن كل X ينتمي إلى مقفل مقفل مقفل
+
+116
+00:14:05,410 --> 00:14:16,770
+مقفل
+
+117
+00:14:23,120 --> 00:14:29,460
+of set A1 بساوي الفترة
+
+118
+00:14:29,460 --> 00:14:40,780
+المفتوحة من سفر إلى واحد من
+
+119
+00:14:40,780 --> 00:14:45,460
+هنا يثبت إن كل X الفترة المغلقة من سفر إلى واحد هي
+
+120
+00:14:45,460 --> 00:14:50,480
+cluster point للفترة المفتوحة من سفر إلى واحد
+
+121
+00:15:01,360 --> 00:15:09,580
+ففي الأول بدي أثبت أنه كل نقطة داخل الفترة المغلقة
+
+122
+00:15:09,580 --> 00:15:14,460
+هي cluster point للمجموع عادي و بعدين في المرحلة
+
+123
+00:15:14,460 --> 00:15:19,840
+التانية حتة من نقاط الأطراف اللي هي 01 تطلع أيضا
+
+124
+00:15:19,840 --> 00:15:26,620
+cluster point لست A1 فنشوف مع بعض ان الـ claim 1
+
+125
+00:15:34,010 --> 00:15:45,190
+بنثبت ان كل X ينتمي للفترة المفتوحة is a cluster
+
+126
+00:15:45,190 --> 00:15:50,410
+point of
+
+127
+00:15:50,410 --> 00:15:58,730
+set A1 اللي هي الفترة المفتوحة نفسها لبرهان ذلك to
+
+128
+00:15:58,730 --> 00:16:09,390
+see this البرهن ذلك fix ينتمي
+
+129
+00:16:09,390 --> 00:16:17,470
+للفترة المفتوحة ونثبت ان cluster point للمجموعة a1
+
+130
+00:16:17,470 --> 00:16:29,940
+اذا fix x and let delta أكبر من السفر be given نبدأ
+
+131
+00:16:29,940 --> 00:16:35,900
+بالـ delta أكبر من 0 ونثبت أن كل delta
+
+132
+00:16:35,900 --> 00:16:42,820
+neighborhood للنقطة X بيتقاطع مع المجموعة A1 في
+
+133
+00:16:42,820 --> 00:16:49,400
+نقطة مختلفة عن X وبالتالي الـ X هتطلع cluster
+
+134
+00:16:49,400 --> 00:16:55,960
+point حسب التعريف طيب نحن
+
+135
+00:16:55,960 --> 00:16:56,920
+لدينا اتصالين
+
+136
+00:17:01,270 --> 00:17:07,090
+two cases حالتين الحالة
+
+137
+00:17:07,090 --> 00:17:10,270
+الأولى ان الـ delta هذه اللى انا اخترتها العشوائية
+
+138
+00:17:10,270 --> 00:17:17,310
+الـ delta اللى انا اخترتها ممكن تكون اصغر من ..
+
+139
+00:17:17,310 --> 00:17:23,590
+طبعا موجبة هي ممكن تكون اصغر من واحد ف in this
+
+140
+00:17:23,590 --> 00:17:27,930
+case in 
+
+141
+00:17:27,930 --> 00:17:30,050
+in this case في هذه الحالة
+
+142
+00:17:35,000 --> 00:17:49,440
+لدينا in this
+
+143
+00:17:49,440 --> 00:17:58,680
+case  الـ delta neighborhood لـ X اللي هو X minus
+
+144
+00:17:58,680 --> 00:18:06,650
+Delta X  موجب Delta بنلاحظ أنه تقاطع مع المجموعة A
+
+145
+00:18:06,650 --> 00:18:14,050
+اللي هي الفترة اللي مفتوحة من صفر لواحد بيطلع
+
+146
+00:18:14,050 --> 00:18:23,080
+واحد من الخيارات التالية: إما الفترة المفتوحة x
+
+147
+00:18:23,080 --> 00:18:28,820
+negative delta x positive delta أو الفترة المفتوحة
+
+148
+00:18:28,820 --> 00:18:36,420
+من صفر إلى x positive delta أو الفترة 
+
+149
+00:18:36,420 --> 00:18:40,340
+المفتوحة من x negative delta إلى واحد أو الفترة
+
+150
+00:18:40,340 --> 00:18:42,920
+المفتوحة من صفر إلى واحد
+
+151
+00:18:48,470 --> 00:18:55,310
+حسب قيمة الـ Delta يعني أنا
+
+152
+00:18:55,310 --> 00:19:03,030
+عندي الفترة المفتوحة من 0 إلى 1 هذه الفترة 
+
+153
+00:19:03,030 --> 00:19:12,350
+المفتوحة تبعتي اللي هي A1 هذا الـ set A1 وأنا عندي 
+
+154
+00:19:12,350 --> 00:19:20,080
+الـ Delta عدد موجب أصغر من 1 والـ X هذه تنتمي .. الـ
+
+155
+00:19:20,080 --> 00:19:27,300
+X هذه نقطة ما في الفترة
+
+156
+00:19:27,300 --> 00:19:38,320
+fixed number بين 0 و 1 الآن
+
+157
+00:19:38,320 --> 00:19:41,160
+أنا عندي الـ delta neighborhood لـ X هذا هو ممكن 
+
+158
+00:19:41,160 --> 00:19:46,510
+يكون زي هيك شكله وبالتالي تقاطع تقاطعه مع الفترة 
+
+159
+00:19:46,510 --> 00:19:53,310
+المفتوحة هو نفسه، صح؟ إذا كان زي هيك أو ممكن يكون
+
+160
+00:19:53,310 --> 00:19:57,250
+الـ delta neighborhood للـ X يكون شكله زي هيك
+
+161
+00:19:57,250 --> 00:20:01,430
+وبالتالي
+
+162
+00:20:01,430 --> 00:20:06,150
+تقاطعه مع الفترة .. مع الـ set واحد، هيكون الفترة
+
+163
+00:20:06,150 --> 00:20:10,830
+المفتوحة من صفر إلى X زي الـ Delta اللي هي الثانية
+
+164
+00:20:10,830 --> 00:20:17,310
+يعني صح وممكن يكون الـ
+
+165
+00:20:17,310 --> 00:20:21,810
+delta neighborhood الـ X تكون قريبة من الواحد زي
+
+166
+00:20:21,810 --> 00:20:26,410
+هيك والـ delta neighborhood حوالين الـ X يكون زي
+
+167
+00:20:26,410 --> 00:20:34,190
+هيك شكله هاي x negative delta x positive delta 
+
+168
+00:20:35,200 --> 00:20:39,440
+وبالتالي تقاطع مع الفترة من صفر إلى واحد هيعطيني
+
+169
+00:20:39,440 --> 00:20:44,700
+الجزء هذا اللي هو فترة مفتوحة من X سالب Delta إلى
+
+170
+00:20:44,700 --> 00:20:48,360
+واحد وممكن
+
+171
+00:20:48,360 --> 00:20:56,170
+الـ Delta neighborhood الـ X تكون قريبة من المنتصف والـ
+
+172
+00:20:56,170 --> 00:20:59,250
+Delta تكون قريبة من الواحد قيمتها أصغر من واحد لكن
+
+173
+00:20:59,250 --> 00:21:04,250
+قريبة من واحد وبالتالي الـ Delta neighborhood للـ X
+
+174
+00:21:04,250 --> 00:21:09,150
+يكون زي هيك وبالتالي تقاطعه مع المجموعة A واحد
+
+175
+00:21:09,150 --> 00:21:12,970
+بيطلع المجموعة A واحد نفسها، صحيح؟ إن هذه كل
+
+176
+00:21:12,970 --> 00:21:20,590
+الاحتمالات وفي كل الأحوال التقاطع هذا بيطلع infinite
+
+177
+00:21:20,590 --> 00:21:22,090
+is infinite
+
+178
+00:21:25,670 --> 00:21:29,890
+تقاطع المجموعتين هذول بيطلع فترة والفترة أي فترة 
+
+179
+00:21:29,890 --> 00:21:33,330
+مفتوحة الـ cardinal number تبعها بيساوي الـ cardinal
+
+180
+00:21:33,330 --> 00:21:36,310
+number تبع الـ real numbers اللي هي uncountable set
+
+181
+00:21:36,310 --> 00:21:41,270
+وبالتالي infinite إذا التقاطع هذا infinite وهذا
+
+182
+00:21:41,270 --> 00:21:46,410
+بيقود إلى أن الـ V
+
+183
+00:21:46,410 --> 00:21:57,490
+Delta of X تقاطع الـ a1 منزوعة منها الـ X هيطلع 
+
+184
+00:21:57,490 --> 00:22:03,390
+بالتأكيد لا يساوي في لأن التقاطع هذا بيطلع
+
+185
+00:22:03,390 --> 00:22:07,630
+infinite وبالتالي هيك بيكون أثبتنا أن كل Delta
+
+186
+00:22:07,630 --> 00:22:13,370
+neighborhood لـ X بيتقاطع مع a1 في نقطة مختلفة عن X
+
+187
+00:22:23,000 --> 00:22:31,840
+الحالة الثانية case two أن الـ Delta هذه تكون أكبر
+
+188
+00:22:31,840 --> 00:22:36,670
+من أو يساوي واحد برضه في الحالة دي بنأتي نثبت أنه كل
+
+189
+00:22:36,670 --> 00:22:41,170
+delta neighborhood لـ X بتقاطع مع A واحد في نقطة
+
+190
+00:22:41,170 --> 00:22:49,730
+مختلفة عن الـ X نشوف مع بعض in this case in
+
+191
+00:22:49,730 --> 00:22:57,310
+this case الـ X negative أو الـ negative delta X
+
+192
+00:22:57,310 --> 00:23:01,310
+موجب delta هذا اللي هو الـ delta neighborhood لـ X
+
+193
+00:23:01,310 --> 00:23:06,620
+تقاطع المجموعة A1 اللي هي الفترة المفتوحة من 0 إلى
+
+194
+00:23:06,620 --> 00:23:17,040
+1 هيطلع بيساوي الفترة المفتوحة من 0 إلى 1 لأن الـ
+
+195
+00:23:17,040 --> 00:23:24,780
+Delta هنا أكبر من أو يساوي الواحد يعني هي عندي من 0
+
+196
+00:23:24,780 --> 00:23:36,180
+إلى 1 هذه اللي هي المجموعة A وهي X نقطة ما داخل
+
+197
+00:23:36,180 --> 00:23:42,300
+الفترة فلما يكون X زائد الـ Delta لما تكون الـ Delta
+
+198
+00:23:42,300 --> 00:23:49,160
+تبعتي أكبر من واحد فـ X زائد الـ Delta هتكون هنا و X
+
+199
+00:23:49,160 --> 00:23:55,880
+سالب الـ Delta بالتأكيد هتكون هنا وبالتالي الـ Delta
+
+200
+00:23:55,880 --> 00:24:01,640
+neighborhood لـ X هيحتوي المجموعة A واحد وبالتالي
+
+201
+00:24:01,640 --> 00:24:06,760
+تقاطع معاها تطل�� المجموعة A واحد وهذا is infinite
+
+202
+00:24:06,760 --> 00:24:11,680
+وبالتالي
+
+203
+00:24:11,680 --> 00:24:18,060
+إذا الـ delta neighborhood هذا تقاطع الفترة
+
+204
+00:24:18,060 --> 00:24:20,460
+المفتوحة minus X
+
+205
+00:24:23,650 --> 00:24:29,910
+لا أكيد بتأكيد لا يساوي five okay تمام إذا في 
+
+206
+00:24:29,910 --> 00:24:34,470
+الحالتين الـ condition تبع الـ cluster point تتحقق
+
+207
+00:24:34,470 --> 00:24:44,730
+therefore by definition X is cluster point is 
+
+208
+00:24:44,730 --> 00:24:50,780
+cluster point of الـ set A واحد اللي هي الفترة 
+
+209
+00:24:50,780 --> 00:24:56,280
+المفتوحة من صفر إلى واحد طبعاً إذا هذا بيثبت الـ
+
+210
+00:24:56,280 --> 00:25:09,140
+claim الأولاني طبعاً الآن هأثبت claim ثاني الـ claim
+
+211
+00:25:09,140 --> 00:25:09,880
+الثاني
+
+212
+00:25:16,660 --> 00:25:25,180
+النقطة 0 is a cluster point 
+
+213
+00:25:25,180 --> 00:25:36,460
+of set A1 الفترة مفتوحة من 0 إلى 1 لإثبات
+
+214
+00:25:36,460 --> 00:25:37,020
+ذلك
+
+215
+00:25:47,440 --> 00:25:55,860
+to see this let نبدأ let Delta أكبر من الصفر be 
+
+216
+00:25:55,860 --> 00:26:03,120
+given فهنا
+
+217
+00:26:03,120 --> 00:26:11,380
+لأي Delta الـ Delta
+
+218
+00:26:11,380 --> 00:26:16,140
+neighborhood للصفر اللي هو هيطلع
+
+219
+00:26:18,570 --> 00:26:28,630
+سالب Delta زائد صفر وموجب Delta زائد صفر فتقاطع هذا مع 
+
+220
+00:26:28,630 --> 00:26:35,150
+الفترة المفتوحة من صفر إلى واحد بيساوي
+
+221
+00:26:36,900 --> 00:26:44,360
+في خيارين إما الفترة المفتوحة من صفر إلى Delta إذا
+
+222
+00:26:44,360 --> 00:26:52,680
+كانت الـ Delta أصغر من واحد طبعاً أكبر من صفر وبساوي
+
+223
+00:26:52,680 --> 00:26:57,600
+الفترة المفتوحة من صفر إلى واحد إذا كان الـ Delta
+
+224
+00:26:57,600 --> 00:27:04,220
+أكبر من أو يساوي الواحد زي ما شوفنا في برهان الكلام
+
+225
+00:27:04,220 --> 00:27:12,240
+الأولاني مظبوط هاي الاندي الفترة من صفر إلى واحد
+
+226
+00:27:12,240 --> 00:27:19,520
+هذه المجموعة A1 وهي 
+
+227
+00:27:19,520 --> 00:27:27,700
+X نقطة .. لأ هاي الصفر بالدفتر أن الصفر cluster
+
+228
+00:27:27,700 --> 00:27:34,660
+point للمجموعة A1 فأخذت أي Delta أكبر من الصفر الآن 
+
+229
+00:27:34,660 --> 00:27:38,260
+الـ Delta هذه لو كانت الـ Delta هذه إذا هي سالب 
+
+230
+00:27:38,260 --> 00:27:42,720
+Delta موجب Delta لو كانت الـ Delta هذه أصغر من واحد
+
+231
+00:27:42,720 --> 00:27:47,120
+فتقاطع الـ Delta neighborhood مع الـ A واحد هيكون
+
+232
+00:27:47,120 --> 00:27:51,140
+الجزء هذا اللي هو الفترة المفتوحة من صفر لـ Delta 
+
+233
+00:27:51,140 --> 00:27:57,100
+صح؟ ولو كانت الـ Delta هذه أكبر من واحد لو كانت الـ
+
+234
+00:27:57,100 --> 00:27:58,940
+Delta هذه أكبر من واحد
+
+235
+00:28:01,680 --> 00:28:11,060
+فالـ .. فـ Delta هتكون هاي Delta أكبر من واحد وسالب
+
+236
+00:28:11,060 --> 00:28:15,120
+Delta هتكون هنا وبالتالي الـ Delta neighborhood هذا 
+
+237
+00:28:15,120 --> 00:28:24,220
+تقاطع مع A واحد بيساوي A واحد مظبوط صح؟ تمام؟ وفي 
+
+238
+00:28:24,220 --> 00:28:27,840
+كل الأحوال التقاطع هذا بيطلع infinite is infinite
+
+239
+00:28:27,840 --> 00:28:31,000
+infinite set لأنه open interval
+
+240
+00:28:38,080 --> 00:28:46,040
+تقاطع A-A1 هو
+
+241
+00:28:46,040 --> 00:28:53,940
+نفس تقاطع A1
+
+242
+00:29:00,690 --> 00:29:03,830
+إذن هي اللي أثبتت إن كل Delta neighborhood للصفر
+
+243
+00:29:03,830 --> 00:29:09,590
+يتقاطع مع المجموعة A1 في نقطة مختلفة عن الصفر في
+
+244
+00:29:09,590 --> 00:29:14,070
+حقيقة الأمر في حقيقة الأمر كل Delta neighborhood 
+
+245
+00:29:14,070 --> 00:29:19,250
+للصفر بتقاطع مع A1 في عدد لانهائي من النقاط اللي
+
+246
+00:29:19,250 --> 00:29:24,350
+موجودة في A1 ومختلفة عن الصفر إذن by definition
+
+247
+00:29:24,350 --> 00:29:27,610
+zero is a cluster
+
+248
+00:29:30,120 --> 00:29:36,540
+point of A1 اللي هي الفترة مفتوحة من صفر لواحد
+
+249
+00:29:36,540 --> 00:29:43,720
+يبقى لإكمال البرهان يمكن أن يظهر الكليم الثالث
+
+250
+00:29:43,720 --> 00:29:55,560
+باقي أُثبت أن الواحد is a cluster point of set A1
+
+251
+00:29:55,560 --> 00:30:02,300
+اللي هي الفترة المفتوحة من صفر لواحد وبرهان الـ claim
+
+252
+00:30:02,300 --> 00:30:07,360
+الثالث زي .. similar لبرهان الـ claim الثالث إذا 
+
+253
+00:30:07,360 --> 00:30:19,280
+هنا the proof its proof is similar to
+
+254
+00:30:19,280 --> 00:30:20,260
+claim to
+
+255
+00:30:23,650 --> 00:30:27,990
+فحاسيبكم أنتم تكتبوا وبالتالي هيك بيكون أثبتنا
+
+256
+00:30:27,990 --> 00:30:32,250
+أن كل نقطة في الفترة المغلقة سواء كانت نقطة الطرف
+
+257
+00:30:32,250 --> 00:30:37,570
+اللي هي 0 أو 1 أو نقطة داخلية interior point نقطة 
+
+258
+00:30:37,570 --> 00:30:41,290
+داخل الفترة المغلقة كل النقاط هذه بتطلع cluster
+
+259
+00:30:41,290 --> 00:30:47,970
+points لمجموعة A1 اللي هي الفترة المفتوحة تمام؟
+
+260
+00:30:52,450 --> 00:31:05,790
+بالمثل ممكن إثبات أن 
+
+261
+00:31:05,790 --> 00:31:09,250
+كل نقطة في الفترة المغلقة is cluster point
+
+262
+00:31:09,250 --> 00:31:16,990
+للمجموعة A2 اللي هي الفترة المغلقة من 0 إلى 1
+
+263
+00:31:16,990 --> 00:31:20,390
+والبرهان
+
+264
+00:31:20,390 --> 00:31:28,770
+هو نفسه بنعمل three claims وفي كل برهان هيكون الفرق
+
+265
+00:31:28,770 --> 00:31:35,430
+أنه عندي أنا A بدل A1 هيكون A2 فهتكون اللي هو
+
+266
+00:31:35,430 --> 00:31:41,370
+الفترات هذه فترة مغلقة من صفر إلى واحد وبالتالي
+
+267
+00:31:41,370 --> 00:31:47,910
+بيصير هذه الفترة من هنا مغلقة عند الصفر ومغلقة عند
+
+268
+00:31:47,910 --> 00:31:54,070
+الصفر ومغلقة عند الواحد وهكذا نفس البرهان نسخ لصق
+
+269
+00:31:54,070 --> 00:31:59,790
+مع التعديلات البسيطة أن A واحد الآن أصبحت بدل ما
+
+270
+00:31:59,790 --> 00:32:03,270
+كانت فترة مفتوحة من صفر لواحد أصبحت فترة مغلقة
+
+271
+00:32:03,270 --> 00:32:06,830
+وبالتالي في التقاطعات الحسابات نغلق اللي هو
+
+272
+00:32:06,830 --> 00:32:13,590
+الفترات and الحاجة المطلوبة okay وبالتالي نفس
+
+273
+00:32:13,590 --> 00:32:18,910
+البرهان will go through هيمشي بالتمام والكمال Okay
+
+274
+00:32:18,910 --> 00:32:24,270
+تمام؟ إذا هذا البرهان مشابه لبرهان المثال الأول
+
+275
+00:32:24,270 --> 00:32:34,010
+نأخذ كمان مثال آخر مثال
+
+276
+00:32:34,010 --> 00:32:43,770
+ثالث every every
+
+277
+00:32:43,770 --> 00:32:44,310
+finite
+
+278
+00:32:46,970 --> 00:32:59,350
+set A contained in R has no
+
+279
+00:32:59,350 --> 00:33:03,070
+cluster
+
+280
+00:33:03,070 --> 00:33:09,730
+points 
+
+281
+00:33:09,730 --> 00:33:19,970
+كل finite set ما لهاش ولا cluster point والبرهان سهل
+
+282
+00:33:19,970 --> 00:33:24,950
+proof say
+
+283
+00:33:24,950 --> 00:33:35,030
+دعنا الـ set a نسمي عناصرها a1, a2 إلى an هدف مش
+
+284
+00:33:35,030 --> 00:33:39,950
+هدف finite set إذا عناصرهم ممكن أعملهم list a1, a2
+
+285
+00:33:39,950 --> 00:33:47,530
+إلى an و ممكن أعملهم order أرتبهم حسب المؤشر تبعهم
+
+286
+00:33:47,530 --> 00:33:57,450
+يعني a1 أصغر من a2 أصغر من a3 أصغر من أصغر من an
+
+287
+00:33:57,450 --> 00:34:03,570
+ممكن نعمل كلمة من هذا ولا لأ ممكن by the ordering
+
+288
+00:34:03,570 --> 00:34:04,370
+principle
+
+289
+00:34:11,360 --> 00:34:20,780
+أو باستخدام الـ ordering تبع الـ real numbers إذا
+
+290
+00:34:20,780 --> 00:34:30,880
+هي عندي الـ set A تبعتي هي خط العداد وهي A1 وهي A2 وهي
+
+291
+00:34:30,880 --> 00:34:36,160
+A3 مش شرط المسافة بين كل أنصار والتاني تكون
+
+292
+00:34:36,160 --> 00:34:46,230
+متساوية وهكذا إلى أخر عنصر AN ف
+
+293
+00:34:46,230 --> 00:34:49,910
+fix X
+
+294
+00:34:49,910 --> 00:35:01,190
+ينتمي إلى R و بدي أثبت أن claim X is not a cluster
+
+295
+00:35:01,190 --> 00:35:01,910
+point
+
+296
+00:35:09,790 --> 00:35:12,850
+بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point
+
+297
+00:35:12,850 --> 00:35:16,770
+بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point
+
+298
+00:35:16,770 --> 00:35:16,790
+بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point
+
+299
+00:35:16,790 --> 00:35:17,530
+بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point
+
+300
+00:35:17,530 --> 00:35:17,750
+بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point
+
+301
+00:35:17,750 --> 00:35:18,430
+بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point
+
+302
+00:35:18,430 --> 00:35:19,070
+بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point
+
+303
+00:35:19,070 --> 00:35:19,690
+بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point
+
+304
+00:35:19,690 --> 00:35:25,170
+بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point
+
+305
+00:35:25,170 --> 00:35:28,870
+بالتالي المجموعة A ليس لديه أي cluster point
+
+306
+00:35:28,870 --> 00:35:33,950
+بالتالي المجم
+
+307
+00:35:37,690 --> 00:35:44,410
+إما X تنتمي إلى A أو X تنتمي إلى الـ complement
+
+308
+00:35:44,410 --> 00:35:50,530
+يعني لا تنتمي إلى A صح؟
+
+309
+00:35:50,530 --> 00:35:59,870
+ففي الحالة الأولى case واحد أثر من X تنتمي إلى A
+
+310
+00:35:59,870 --> 00:36:03,970
+وبالدفع تثبت إن X ليست cluster point
+
+311
+00:36:10,180 --> 00:36:18,560
+say x بساوي a m for some m أكبر من أو ساوي واحد
+
+312
+00:36:18,560 --> 00:36:24,180
+أصغر من أو ساوي مش هذا الـ x موجود في a و a على
+
+313
+00:36:24,180 --> 00:36:29,460
+سرها a واحد إلى a n إذا هذا الـ x هو a m for some m
+
+314
+00:36:29,460 --> 00:36:36,300
+بين واحد و n طيب let
+
+315
+00:36:37,980 --> 00:36:48,860
+delta بساوي نص المسافة الـ minimum المسافة
+
+316
+00:36:48,860 --> 00:37:04,760
+بين am minus am minus واحد وam زائد واحد minus am
+
+317
+00:37:11,460 --> 00:37:21,160
+يعني هاي الـ X هاي الـ M هاي AM وهاي AM زاد واحد
+
+318
+00:37:21,160 --> 00:37:30,960
+والأنصر اللي جاب لها AM minus واحد احنا قلنا الـ X
+
+319
+00:37:30,960 --> 00:37:39,850
+سبعتي الـ X سبعتي هي الـ AM الآن باخد المسافة هذه
+
+320
+00:37:39,850 --> 00:37:46,030
+اللي هي بين a m زي دول اللي هي المسافة هذه و باخد
+
+321
+00:37:46,030 --> 00:37:51,150
+المسافة هذه بين a m و a m سالب واحد لازم واحدة
+
+322
+00:37:51,150 --> 00:37:55,730
+تكون أصغر من أو يساوي التانية باخدها الـ minimum الـ
+
+323
+00:37:55,730 --> 00:37:57,730
+minimum .. الـ minimum بين المسافتين .. الأصغر بين
+
+324
+00:37:57,730 --> 00:38:02,650
+المسافتين هدول و باخد نصها و باخد نصها بسميها
+
+325
+00:38:02,650 --> 00:38:08,720
+delta فنص .. لو قلنا الأصغر لو قلنا مثلا الأصغر
+
+326
+00:38:08,720 --> 00:38:15,400
+اللي هي هذه فنص الدلتا هذا هي فإذا الـ delta هتكون
+
+327
+00:38:15,400 --> 00:38:21,040
+المسافة هذه و بكوّن delta neighborhood حوالين الـ X
+
+328
+00:38:21,040 --> 00:38:29,720
+الآن الـ delta neighborhood هذا then verify
+
+329
+00:38:29,720 --> 00:38:34,860
+ممكنكم تتحققوا verify that
+
+330
+00:38:37,340 --> 00:38:43,600
+الـ Delta neighborhood V Delta ل A M اللي هي الـ X
+
+331
+00:38:43,600 --> 00:38:46,760
+تقاطع
+
+332
+00:38:46,760 --> 00:38:55,280
+الـ set A فاي منزوعة منها A M هيطلع بساوي الفاي
+
+333
+00:38:55,280 --> 00:39:01,980
+مافيش تقاطع بينهم وبالتالي therefore by definition
+
+334
+00:39:04,480 --> 00:39:13,200
+ام اكس بساوي ام is not a
+
+335
+00:39:13,200 --> 00:39:22,360
+cluster point of set A لأن عشان تكون ما تكونيش
+
+336
+00:39:22,360 --> 00:39:28,040
+cluster point لمجموعة A لازم أثبت إنه يوجد there
+
+337
+00:39:28,040 --> 00:39:35,840
+exist delta neighborhood للـ X تبعت اللي هي AM بحيث
+
+338
+00:39:35,840 --> 00:39:42,980
+إنه الـ delta neighborhood هذا ما يتقطعش مع الـ set A في
+
+339
+00:39:42,980 --> 00:39:50,440
+أي نقطة مختلفة عن النقطة X وهذا حصل Okay تمام إذا
+
+340
+00:39:50,440 --> 00:39:56,140
+هذا في حالة لما الـ X تكون موجودة في A الحالة
+
+341
+00:39:56,140 --> 00:40:03,340
+التانية ان الـ case 2 case
+
+342
+00:40:03,340 --> 00:40:13,040
+2 ان الـ X لا تنتمي الـ الـ set A ففي الحالة هذه
+
+343
+00:40:14,910 --> 00:40:20,590
+معناته x مابتساويش ولا واحد من العناصر هذه فالحالة
+
+344
+00:40:20,590 --> 00:40:26,690
+هذه ممكن أجزيها إلى تلت حالات الحالة
+
+345
+00:40:26,690 --> 00:40:32,750
+الأولى ان الـ x تبعتي تكون أصغر من a واحد وبالتالي
+
+346
+00:40:32,750 --> 00:40:37,010
+واضح ان المسافة بين X و A واحد كبيرة وباخد نص
+
+347
+00:40:37,010 --> 00:40:43,930
+المسافة دلتا إذا هيوجد دلتا نبرود ل X ومابتقطعش
+
+348
+00:40:43,930 --> 00:40:47,650
+مع المجموعة A بالمرة وبالتالي X is not cluster
+
+349
+00:40:47,650 --> 00:40:54,250
+point ممكن الحالة التانية أن X تكون أكبر من الـ AM
+
+350
+00:40:54,250 --> 00:40:59,470
+برضه باخد المسافة دي بجيبها و باخد نصها على انه
+
+351
+00:40:59,470 --> 00:41:03,670
+Delta و بكون Delta neighborhood حوالين الـ X هذا الـ
+
+352
+00:41:03,670 --> 00:41:06,530
+Delta neighborhood واضح انه مابتقطعش مع الـ set A
+
+353
+00:41:06,530 --> 00:41:11,910
+بالمرة وبالتالي إذا X في الحالة دي ليست cluster
+
+354
+00:41:11,910 --> 00:41:20,190
+point الحالة التالتة ان X تكون واقعة بين عنصرين من
+
+355
+00:41:20,190 --> 00:41:25,170
+عناصر الـ set فباخد اللي هو المسافة الأصغر من
+
+356
+00:41:25,170 --> 00:41:29,310
+المسافتين هدول و هي تكون هادي و باخد نصها delta و
+
+357
+00:41:29,310 --> 00:41:32,890
+بكون delta neighborhood حواليها هذا الـ delta
+
+358
+00:41:32,890 --> 00:41:36,510
+neighborhood بتقطعش مع المجموعة هاد المرة وبالتالي
+
+359
+00:41:36,510 --> 00:41:38,990
+حسب التعريف x ليست cluster point
+
+360
+00:41:43,100 --> 00:41:46,360
+ما احنا قلنا إذا كانت X تنتمي لأيه هي برهانة MA لا
+
+361
+00:41:46,360 --> 00:41:52,640
+تنتمي لأ تنتمي اه ليش قدامها بين تنتمي و لا تنتمي
+
+362
+00:41:52,640 --> 00:41:58,420
+ما هي الـ X ما تنتميش لأيه فممكن تكون بين عنصرين من
+
+363
+00:41:58,420 --> 00:42:03,360
+عنصرهم هي تنتمي لـ R ما تنتميش لأيه فممكن تكون
+
+364
+00:42:03,360 --> 00:42:09,640
+موجودة بين A2 و A3 صح أو بين A1 و A2 أو بين A3 أو
+
+365
+00:42:09,640 --> 00:42:16,530
+A و هكذا أو ممكن تكون الـ X على يمين الـ AN أو حالة
+
+366
+00:42:16,530 --> 00:42:20,190
+تالتة X تكون على يسار الـ A واحد وشوفنا في كل
+
+367
+00:42:20,190 --> 00:42:24,310
+الحالات هذه التلاتة أنه بقدر ألاقي delta
+
+368
+00:42:24,310 --> 00:42:27,990
+neighborhood حوالين الـ X لا يتقاطع مع المجموعة A
+
+369
+00:42:27,990 --> 00:42:32,330
+بالمرة وبالتالي X ليست cluster point إذا الكلام
+
+370
+00:42:32,330 --> 00:42:37,110
+هذا واضح حاولوا تكتبوه بطريقة يعني منطقية okay
+
+371
+00:42:37,110 --> 00:42:37,810
+تمام؟
+
+372
+00:42:42,120 --> 00:42:46,900
+أنا متخيلة الـ A عبارة عن set دائر مثلا أنا هيك
+
+373
+00:42:46,900 --> 00:42:50,340
+متخيلة و أنه مثلا الـ cluster point هي عبارة عن
+
+374
+00:42:50,340 --> 00:42:54,820
+نقطة .. لأ الـ A ماتتخيليش الـ A عند الـ set الـ A هي
+
+375
+00:42:54,820 --> 00:43:01,140
+جزء من الأعداد الحقيقية subset من R و R خط لازم
+
+376
+00:43:01,140 --> 00:43:04,200
+يعني تتخيل الحاجات زمان على الـ interior point و الـ
+
+377
+00:43:04,200 --> 00:43:08,260
+boundary هذا في الـ topology حاجة تانية هي زي ات
+
+378
+00:43:08,260 --> 00:43:11,140
+شبهها يعني ممكن نفهمها بهذا الطريقة بس ممكن اه
+
+379
+00:43:11,140 --> 00:43:13,860
+ممكن بس احنا هنا على الـ real line يعني خليني احنا
+
+380
+00:43:13,860 --> 00:43:18,820
+نتقيد بالـ sets اللي موجودة على الـ real line أما هو
+
+381
+00:43:18,820 --> 00:43:24,080
+طبعا في تعني من الكلام هذا في حاجات أعم و فرغات
+
+382
+00:43:24,080 --> 00:43:28,550
+أعم من الـ .. الـ real number اللي هو الـ topological
+
+383
+00:43:28,550 --> 00:43:36,030
+spaces و هذا موضوع طبعا متشعب و بده يعني تدرس الـ
+
+384
+00:43:36,030 --> 00:43:40,530
+topology عشان تفهم كل شيء okay فى أي أسئلة تاني؟
+
+385
+00:43:40,530 --> 00:43:44,430
+okay لنكتفي بهذا القدر و إن شاء الله بنكمل
+
+386
+00:43:44,430 --> 00:43:52,670
+المحاضرة الجاية الموضوع و بنخش بتعريف الـ limit للـ
+
+387
+00:43:52,670 --> 00:43:53,110
+functions

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Gx7j9GpXuiI.srt

@@ -0,0 +1,1779 @@
+1
+00:00:21,580 --> 00:00:26,880
+بسم الله الرحمن الرحيم اليوم إن شاء الله هنبدأ
+
+2
+00:00:26,880 --> 00:00:34,000
+chapter خمسة وهذا آخر chapter هناخده في الـ course
+
+3
+00:00:34,000 --> 00:00:50,080
+فأنواع الـ chapter هذا continuous
+
+4
+00:00:53,880 --> 00:01:01,820
+functions الدوال المتصلة و
+
+5
+00:01:01,820 --> 00:01:08,460
+أول section برضه section خمسة واحد في هذا الـ
+
+6
+00:01:08,460 --> 00:01:16,320
+chapter برضه عنوانه continuous functions
+
+7
+00:01:24,100 --> 00:01:29,280
+الدالة المتصلة فنعرف شو معنى الدالة تكون متصلة عن
+
+8
+00:01:29,280 --> 00:01:35,160
+نقطة definition let
+
+9
+00:01:35,160 --> 00:01:49,280
+f be a function from a to r and c be an element of a we
+
+10
+00:01:49,280 --> 00:02:00,630
+say إنه الـ function if is continuous if
+
+11
+00:02:00,630 --> 00:02:05,770
+is continuous at
+
+12
+00:02:05,770 --> 00:02:18,950
+x بساوي c if إذا تحقق الشرط التالي for
+
+13
+00:02:18,950 --> 00:02:20,470
+every
+
+14
+00:02:22,680 --> 00:02:29,400
+إبسيلون أكبر من الصفر نقدر نرد عليها دلتا تعتمد
+
+15
+00:02:29,400 --> 00:02:37,840
+على إبسيلون positive number بحيث أنه لكل X لكل
+
+16
+00:02:37,840 --> 00:02:44,090
+X في A و الـ absolute value لـ x minus c أصغر من
+
+17
+00:02:44,090 --> 00:02:52,170
+دلتا فهذا بتضمن ان absolute f of x minus f of c
+
+18
+00:02:52,170 --> 00:03:01,630
+أصغر من الـ إبسيلون فهذا
+
+19
+00:03:01,630 --> 00:03:13,010
+بنسميه this is called this is called epsilon delta
+
+20
+00:03:13,010 --> 00:03:18,770
+definition of
+
+21
+00:03:18,770 --> 00:03:31,170
+continuity لأن 
+
+22
+00:03:31,170 --> 00:03:36,790
+هذا تعريف إبسيلون دلتا للاتصال لحظو هذا التعريف
+
+23
+00:03:36,790 --> 00:03:44,530
+تقريبا هو هو تعريف أن limit الـ function f of x لما
+
+24
+00:03:44,530 --> 00:03:52,310
+x تقول c بساوي f of c هذد
+
+25
+00:03:52,310 --> 00:04:07,210
+كانت c is a cluster point طب
+
+26
+00:04:07,210 --> 00:04:13,930
+لحظة أنت لما عرفنا احنا ما معناه ان الـ limit لـ
+
+27
+00:04:13,930 --> 00:04:18,710
+function and x بيساوي c و c cluster point للمجموعة
+
+28
+00:04:18,710 --> 00:04:24,570
+a بيساوي عدد l بدلنا l هنا بـ f و c صح؟ معناه كان
+
+29
+00:04:24,570 --> 00:04:30,290
+لكل إبسيلون فيه دلتا بحيث لكل x في a و الـ x هذه
+
+30
+00:04:30,290 --> 00:04:37,540
+كانت مختلفة لا تساوي c فكنا نحط هنا أكبر من 0 فإذا
+
+31
+00:04:37,540 --> 00:04:41,480
+كانت المسافة هذه أصغر من دلتا تطلع المسافة من f of
+
+32
+00:04:41,480 --> 00:04:46,040
+x والـ l اللي هي الـ limit هنا طبعا احنا بدلنا الـ l
+
+33
+00:04:46,040 --> 00:04:50,940
+بـ f of c فبين هذا يطلع أصغر من x هنا تقريبا نفس
+
+34
+00:04:50,940 --> 00:04:56,480
+التعريف if
+
+35
+00:04:56,480 --> 00:05:00,460
+if
+
+36
+00:05:00,460 --> 00:05:09,090
+is not continuous لو كانت الـ f ليست متصلة عند
+
+37
+00:05:09,090 --> 00:05:14,910
+النقطة c فبنقول if
+
+38
+00:05:14,910 --> 00:05:31,810
+f fails to be continuous at c we say أن f is
+
+39
+00:05:31,810 --> 00:05:32,990
+discontinuous
+
+40
+00:05:38,310 --> 00:05:46,350
+discontinuous at c إذا لو كانت الدالة مش متصلة عن
+
+41
+00:05:46,350 --> 00:05:52,710
+c يعني شرط الاتصال هذا مش متحقق فبنقول أن الدالة
+
+42
+00:05:52,710 --> 00:05:57,610
+discontinuous منفصلة عند النقطة c okay تمام
+
+43
+00:06:09,660 --> 00:06:17,360
+بنلاحظ أن الـ .. زي ما شوفنا في section 4-1 تعريف
+
+44
+00:06:17,360 --> 00:06:21,840
+إبسيلون دلتا للـ limits of functions في بكافة
+
+45
+00:06:21,840 --> 00:06:26,600
+neighborhood definition وهنا برضه تعريف الـ إبسيلون
+
+46
+00:06:26,600 --> 00:06:31,760
+دلتا definition للاتصال عن النقطة في بكافة
+
+47
+00:06:31,760 --> 00:06:36,400
+neighborhood definition فنكتب الـ neighborhood
+
+48
+00:06:36,400 --> 00:06:37,340
+definition هذا
+
+49
+00:06:46,200 --> 00:06:53,400
+لت if دي function from a to r و c belong to a then
+
+50
+00:06:53,400 --> 00:07:02,480
+the following statements are equivalent واحد
+
+51
+00:07:02,480 --> 00:07:11,180
+الـ function if is continuous is continuous at x
+
+52
+00:07:11,180 --> 00:07:12,540
+بساوي z
+
+53
+00:07:20,900 --> 00:07:26,360
+إثنين هذا طبعا إثنين نسميه in labor hood
+
+54
+00:07:26,360 --> 00:07:31,940
+definition of continuity
+
+55
+00:07:45,120 --> 00:07:48,580
+الـ neighborhood definition للـ continuity ايش
+
+56
+00:07:48,580 --> 00:07:57,920
+بيقول لكل for every epsilon neighborhood v epsilon
+
+57
+00:07:57,920 --> 00:08:05,700
+لنقطة f of c there
+
+58
+00:08:05,700 --> 00:08:18,440
+exist delta neighborhood v delta of c لنقطة c طبعا
+
+59
+00:08:18,440 --> 00:08:26,200
+هذا إبسيلون neighborhood لـ f of c يوجد دلتا
+
+60
+00:08:26,200 --> 00:08:38,660
+neighborhood v دلتا of c بحيث أن لكل x تنتمي إلى
+
+61
+00:08:38,660 --> 00:08:47,830
+a تقاطع الـ دلتا neighborhood لـ c لازم هذا يضمن ان
+
+62
+00:08:47,830 --> 00:08:53,050
+صورة الـ x تنتمي
+
+63
+00:08:53,050 --> 00:09:04,590
+إلى دلتا إبسيلون لـ f of c that
+
+64
+00:09:04,590 --> 00:09:08,630
+is that
+
+65
+00:09:08,630 --> 00:09:11,910
+is هذا يعني أن الـ
+
+66
+00:09:14,980 --> 00:09:23,060
+الـ image للست a تقاطع v دلتا of c is contained
+
+67
+00:09:23,060 --> 00:09:34,140
+in الـ إبسيلون neighbourhood لـ f of c
+
+68
+00:09:34,140 --> 00:09:40,100
+هاي
+
+69
+00:09:40,100 --> 00:09:47,330
+كان في عنديزي هيك مثلا يكون في اندي فانكشن زي هذه
+
+70
+00:09:47,330 --> 00:09:57,210
+y بساوي f of x وقلنا
+
+71
+00:09:57,210 --> 00:10:03,810
+أن لو كانت x أو c c
+
+72
+00:10:03,810 --> 00:10:07,670
+نقطة الـ dial عندها متصلة هي f of c
+
+73
+00:10:11,410 --> 00:10:17,830
+ما معناه ان الدالة متصلة عند x بساوي c معناه لو
+
+74
+00:10:17,830 --> 00:10:23,770
+أخدت لأي
+
+75
+00:10:23,770 --> 00:10:30,850
+إبسيلون أكبر من الصفر فيه دلتا أو لو أخدت أي إبسيلون
+
+76
+00:10:30,850 --> 00:10:31,290
+neighborhood
+
+77
+00:10:34,530 --> 00:10:38,270
+يعني النقطة هذه f of c زائد إبسيلون النقطة هذه
+
+78
+00:10:38,270 --> 00:10:48,430
+المسافة هذه إبسيلون فهذه f of c سالب إبسيلون فهذه
+
+79
+00:10:48,430 --> 00:10:53,610
+الفترة المفتوحة عبارة عن إبسيلون neighborhood لـ f
+
+80
+00:10:53,610 --> 00:10:54,150
+of c
+
+81
+00:10:57,200 --> 00:11:01,620
+فلأي إبسيلون أكبر من الصفر ممكن أكون إبسيلون
+
+82
+00:11:01,620 --> 00:11:06,420
+neighborhood لـ f of c وبالتالي بقدر أرد على الـ
+
+83
+00:11:06,420 --> 00:11:14,580
+إبسيلون neighborhood هذا بـ دلتا يعني
+
+84
+00:11:14,580 --> 00:11:20,980
+أكون دلتا neighborhood هنا c minus دلتا c موجة
+
+85
+00:11:20,980 --> 00:11:21,460
+بـ دلتا
+
+86
+00:11:26,200 --> 00:11:37,060
+إذاً هذا عبارة عن v دلتا v دلتا لـ c إذاً
+
+87
+00:11:37,060 --> 00:11:43,200
+لأي إبسيلون لأي إبسيلون neighborhood لـ f of c بقدر
+
+88
+00:11:43,200 --> 00:11:52,720
+ألاقي دلتا neighborhood للنقطة c بحيث أن لكل x لو
+
+89
+00:11:52,720 --> 00:12:01,620
+أخدت x نقطة في الـ دلتا neighborhood فصورتها f of
+
+90
+00:12:01,620 --> 00:12:09,060
+x هتطلع تنتمي للـ إبسيلون neighborhood للـ f of c
+
+91
+00:12:09,060 --> 00:12:17,140
+okay تمام فهذا هو نفسه هذا بكفي التعريف هذا بكفي
+
+92
+00:12:17,140 --> 00:12:20,660
+التعريف الـ إبسيلون دلتا definition للـ continuity
+
+93
+00:12:24,390 --> 00:12:29,850
+هي لكل إبسيلون لكل إبسيلون أكبر من الصفر يعني كأني
+
+94
+00:12:29,850 --> 00:12:36,450
+بقول لكل إبسيلون نبرهود لـ f و c يوجد دلتا عدد موجب
+
+95
+00:12:36,450 --> 00:12:44,290
+فهذا معناه يوجد دلتا نبرهود للـ c بحيث أن لكل x
+
+96
+00:12:44,290 --> 00:12:50,560
+المسافر لكل x تنتمي لكل x في a و x بالتحقق
+
+97
+00:12:50,560 --> 00:12:55,980
+المتباينة دي معناته x سنتمي المسافة بين x و c أصغر
+
+98
+00:12:55,980 --> 00:12:56,380
+من دلتا
+
+99
+00:13:02,120 --> 00:13:07,000
+فهذا بيقدي أن المسافة بين f of x و f of c هي f of
+
+100
+00:13:07,000 --> 00:13:12,160
+x و f of c أصغر من إبسيلون يعني الـ f of x هذه
+
+101
+00:13:12,160 --> 00:13:17,900
+تنتمي للـ إبسيلون برهود لـ f of c إذن التعريفين هذول
+
+102
+00:13:17,900 --> 00:13:24,800
+متكافئين وهذا واضح من الرسم وبالتالي البرهان جاهز
+
+103
+00:13:24,800 --> 00:13:32,000
+من .. بس ترجمته الحاجات هذه إلى لغة الـ neighborhood
+
+104
+00:13:32,000 --> 00:13:39,600
+إذا في لان تعريفين للاتصال على النقطة واحد إبسيلون
+
+105
+00:13:39,600 --> 00:13:45,400
+دلتا definition والتاني اللي بكافه neighborhood
+
+106
+00:13:45,400 --> 00:13:50,360
+definition طيب
+
+107
+00:13:50,360 --> 00:13:55,260
+ناخد بعض الملاحظات على تعريف الاتصال
+
+108
+00:14:16,000 --> 00:14:22,640
+إذا c هو مقاومة مقاومة
+
+109
+00:14:22,640 --> 00:14:30,180
+a ثم
+
+110
+00:14:30,180 --> 00:14:38,200
+f مستمر في x بساوي
+
+111
+00:14:42,830 --> 00:14:47,530
+لو كانت الـ c هذه cluster point فالاتصال ان c
+
+112
+00:14:47,530 --> 00:14:55,730
+بكافئ بكافئ ان الـ limit لـ f of x من تعريف الـ
+
+113
+00:14:55,730 --> 00:15:03,570
+limits ان c بساوي f of c وهذا
+
+114
+00:15:03,570 --> 00:15:06,790
+طبعاً
+
+115
+00:15:06,790 --> 00:15:09,090
+this condition
+
+116
+00:15:12,780 --> 00:15:19,680
+is three in
+
+117
+00:15:19,680 --> 00:15:24,800
+one الـ
+
+118
+00:15:24,800 --> 00:15:30,480
+definition هذا بكافئ ثلاثة أو الشرط هذا بكافئ ثلاثة
+
+119
+00:15:30,480 --> 00:15:37,600
+شروط أو هو ثلاثة شروط في واحد أول شرط ان الـ function
+
+120
+00:15:37,600 --> 00:15:39,540
+f and c is defined
+
+121
+00:15:43,900 --> 00:15:49,540
+يعني هذا عبارة عن عدد حقيقي name الـ limit لـ f of x
+
+122
+00:15:49,540 --> 00:15:56,180
+لما x تقول إلى c exist يعني عدد حقيقي والشرط
+
+123
+00:15:56,180 --> 00:16:04,880
+الثالث أنه لازم الـ limit للـ function f and c بساوي
+
+124
+00:16:04,880 --> 00:16:09,980
+قيمة الدالة and c يعني عشان الدالة تكون متصلة عند
+
+125
+00:16:09,980 --> 00:16:16,020
+النقطة c في مجالها و لو كانت الـ c هي cluster point
+
+126
+00:16:16,020 --> 00:16:21,790
+طبعاً أو حتى لو ما كانتش cluster point فلازم الثلاثة
+
+127
+00:16:21,790 --> 00:16:25,250
+صوروطها تتحقق الدالة معرفة عن c طبعا هذا لأن c
+
+128
+00:16:25,250 --> 00:16:30,450
+نقطة في مجال الدالة فلازم تكون معرفة عن ده لازم الـ
+
+129
+00:16:30,450 --> 00:16:34,830
+limit لـ f عن c تكون موجودة وقيمة الـ limit بساوي
+
+130
+00:16:34,830 --> 00:16:39,290
+قيمة الدالة عند النقطة c لو أي واحد ما ليش صوروط
+
+131
+00:16:39,290 --> 00:16:43,830
+الثلاثة هدول اختل فبنقول أن الـ function مش متصلة
+
+132
+00:16:43,830 --> 00:16:49,410
+عند النقطة c okay تمام واضح إذا لو كانت الـ c هي دي
+
+133
+00:16:49,410 --> 00:16:53,510
+cluster point فتعريف الاتصال النقطة هو بالظبط
+
+134
+00:16:53,510 --> 00:16:58,470
+تعريف أن limited دالة ان c تكون موجودة و بتساوي
+
+135
+00:16:58,470 --> 00:17:02,570
+قيمتها ان c وهذا الشرط هو ثلاثة شروط و الـ c في الـ a
+
+136
+00:17:02,570 --> 00:17:09,510
+نعم الـ c تنتمي لـ a اه طبعا الـ c تنتمي لـ a الـ c
+
+137
+00:17:09,510 --> 00:17:11,130
+دائما تنتمي لـ a
+
+138
+00:17:17,100 --> 00:17:22,120
+طب لو ما كناش الـ c cluster point الملاحظة الثانية
+
+139
+00:17:22,120 --> 00:17:29,440
+if c is not يعني لو كان الـ c تنتمي طبعا دائما الـ c
+
+140
+00:17:29,440 --> 00:17:40,980
+تنتمي لـ a is not a cluster point is 
+
+141
+00:17:40,980 --> 00:17:44,100
+not a cluster point of a
+
+142
+00:17:48,950 --> 00:17:54,070
+then من تعريف الـ cluster point لازم نلاقي delta
+
+143
+00:17:54,070 --> 00:18:05,430
+أكبر من صفر such that a تقاطع v delta of c بساوي
+
+144
+00:18:05,430 --> 00:18:06,850
+singleton c
+
+145
+00:18:11,300 --> 00:18:14,580
+ما معناه أن النقطة C الموجودة في A مايعنيش 
+
+146
+00:18:14,580 --> 00:18:18,460
+cluster point أو ما معناه أن C تنتمي لـ A cluster
+
+147
+00:18:18,460 --> 00:18:24,380
+point معناها أن كل delta neighborhood للـ C بيتقاطع
+
+148
+00:18:24,380 --> 00:18:30,400
+مع A في نقطة مختلفة عن الـ C على الأقل، معناه أن الـ
+
+149
+00:18:30,400 --> 00:18:34,040
+C ما تكونش cluster point معناه أن يوجد delta
+
+150
+00:18:34,040 --> 00:18:37,040
+neighborhood واحد، يعني يوجد delta عدد موجب
+
+151
+00:18:37,040 --> 00:18:40,780
+وبالتالي يوجد على الأقل delta neighborhood للـ C
+
+152
+00:18:40,780 --> 00:18:46,620
+وهذا الـ delta neighborhood مابتقاطعش مع a في أي
+
+153
+00:18:46,620 --> 00:18:50,660
+نقطة مختلفة عن الـ c، يعني التقاطع هذا بس في نقطة
+
+154
+00:18:50,660 --> 00:18:55,300
+واحدة c لأن الـ c هي مركز الـ neighborhood و c تنتمي
+
+155
+00:18:55,300 --> 00:19:03,320
+لـ a فالتقاطع هذا مافيش فيه أي x مختلفة عن الـ c في
+
+156
+00:19:03,320 --> 00:19:09,740
+الحالة هذه، in this case, in 
+
+157
+00:19:09,740 --> 00:19:10,580
+this case
+
+158
+00:19:14,230 --> 00:19:23,970
+if f is automatically continuous
+
+159
+00:19:23,970 --> 00:19:34,940
+at c، الدالة في الحالة هذه بتكون متصلة تلقائيًا عند
+
+160
+00:19:34,940 --> 00:19:39,360
+النقطة C، أو التعريف متحقق تلقائيًا ليه؟ لأنه
+
+161
+00:19:39,360 --> 00:19:44,060
+تعالوا نرجع للتعريف، ما معناه أن F تكون متصلة عند
+
+162
+00:19:44,060 --> 00:19:49,660
+النقطة C، معناه لأي epsilon neighborhood لـ F و C
+
+163
+00:19:49,660 --> 00:19:53,680
+نقدر
+
+164
+00:19:53,680 --> 00:19:57,020
+نلاقي يوجد delta neighborhood لـ C، فخد الـ delta 
+
+165
+00:19:57,020 --> 00:20:00,040
+neighborhood في التعريف هذا، خد الـ delta
+
+166
+00:20:00,040 --> 00:20:07,900
+neighborhood هو هذا، ففي الحالة هذه لكل x تنتمي إلى
+
+167
+00:20:07,900 --> 00:20:12,340
+a تقاطع v delta و c، ما التقاطع هذا مافيش فيه إلا
+
+168
+00:20:12,340 --> 00:20:17,100
+نقطة واحدة اللي هي c، صح؟ فلكل x موجود في التقاطع
+
+169
+00:20:17,100 --> 00:20:21,950
+هذا، مافيش إلا x بساوي c، فصورة الـ X هذه هي صورة
+
+170
+00:20:21,950 --> 00:20:28,210
+الـ C، وبالتالي صورة الـ X هذه هي صورة الـ C، فهذه أكيد
+
+171
+00:20:28,210 --> 00:20:33,310
+تنتمي لـ epsilon neighborhood لـ F of C، لأن الـ F of C هي
+
+172
+00:20:33,310 --> 00:20:38,850
+المركز تبع الفترة هذه، صح؟ فهذا شرط متحقق trivially
+
+173
+00:20:38,850 --> 00:20:44,870
+تلقائيًا، وبالتالي إذا سواء
+
+174
+00:20:46,570 --> 00:20:49,730
+سواء الـ C هنا كانت cluster point أو ماكنتش
+
+175
+00:20:49,730 --> 00:20:55,630
+cluster point، فممكن نعتبر أن التعريف لاتصال النقطة
+
+176
+00:20:55,630 --> 00:21:00,450
+هو التعريف هذا، لأن لو كانت الـ C cluster point
+
+177
+00:21:00,450 --> 00:21:04,190
+فتعريف لاتصال النقطة هو هذا التعريف، لو كانت الـ C
+
+178
+00:21:04,190 --> 00:21:07,750
+ماهياش cluster point فهذا التعريف متحقق trivially
+
+179
+00:21:07,750 --> 00:21:12,380
+اللي بدهي، وبالتالي مافيش داعي إن احنا نقول .. لما
+
+180
+00:21:12,380 --> 00:21:14,840
+نيجي نفحص الاتصال على النقطة C، نقول هل الـ C
+
+181
+00:21:14,840 --> 00:21:18,840
+cluster point أو مش cluster point، سواء كانت
+
+182
+00:21:18,840 --> 00:21:24,380
+cluster point أو ماكانتش cluster point، فالاتصال
+
+183
+00:21:24,380 --> 00:21:33,020
+عن الـ C بيصير هو .. يعني هل هذا شرط بتحقق أو لا
+
+184
+00:21:41,130 --> 00:21:44,890
+طبعًا زي ما أخدنا احنا أيام ما أخدنا دراسنا الـ
+
+185
+00:21:44,890 --> 00:21:54,950
+limits للـ functions فكان
+
+186
+00:21:54,950 --> 00:21:57,590
+في عندي sequential criterion for limits
+
+187
+00:22:02,270 --> 00:22:06,810
+بنفس الطريقة، في هنا sequential criterion for
+
+188
+00:22:06,810 --> 00:22:15,990
+continuity للاتصال، إذا في عندي هنا sequential
+
+189
+00:22:15,990 --> 00:22:21,130
+criterion
+
+190
+00:22:21,130 --> 00:22:24,150
+for
+
+191
+00:22:24,150 --> 00:22:25,110
+continuity
+
+192
+00:22:35,670 --> 00:22:44,430
+let f be a function from a to r، و c نقطة في a، then
+
+193
+00:22:44,430 --> 00:22:56,170
+the following statements are equivalent، واحد
+
+194
+00:22:56,170 --> 00:23:08,010
+f is continuous at c، f is continuous at c for
+
+195
+00:23:08,010 --> 00:23:11,910
+every، for
+
+196
+00:23:11,910 --> 00:23:22,050
+every sequence x n contained in a with
+
+197
+00:23:22,050 --> 00:23:25,370
+limit
+
+198
+00:23:25,370 --> 00:23:41,270
+x n بساوي c، نحن لدينا أن الـ limit لـ f of x n as n 
+
+199
+00:23:41,270 --> 00:23:45,790
+tends to infinity بساوي f of c
+
+200
+00:23:51,740 --> 00:23:54,940
+الآن الـ sequential criterion for continuity بتقول
+
+201
+00:23:54,940 --> 00:24:00,380
+عشان أثبت أن الدالة F continuous عند نقطة، يكفي أن
+
+202
+00:24:00,380 --> 00:24:04,900
+أنا أثبت أن لو أخدت أي sequence نهايتها أي
+
+203
+00:24:04,900 --> 00:24:07,660
+sequence في مجال الدالة، طبعًا كنا في الـ limits
+
+204
+00:24:07,660 --> 00:24:13,020
+نُشترط أن X n كل عنصر في الـ sequence مختلف عن الـ C
+
+205
+00:24:13,020 --> 00:24:17,200
+هنا لأ، ممكن يساوي الـ C، مش مشكلة، هاي الاختلاف بس
+
+206
+00:24:17,200 --> 00:24:21,430
+بين الـ sequential criterion for limits و Sequential
+
+207
+00:24:21,430 --> 00:24:26,030
+criterion for continuity إنه لكل sequence x n في
+
+208
+00:24:26,030 --> 00:24:32,550
+مجال الدالة، ونهايتها بتساوي c، لازم يطلع عندي
+
+209
+00:24:32,550 --> 00:24:37,990
+نهاية الـ image تبعت الـ sequence x n بتساوي العدد
+
+210
+00:24:37,990 --> 00:24:42,860
+f و c، وبرهان النظرية هذه زي برهان sequential
+
+211
+00:24:42,860 --> 00:24:49,120
+criterion for limits مع تعديلات طفيفة، مع التعديلات
+
+212
+00:24:49,120 --> 00:24:58,580
+الطفيفة في التعريفين أو في التعريف تبع الاتصال إذا
+
+213
+00:24:58,580 --> 00:25:11,090
+الـ proof similar to proof of sequential criterion
+
+214
+00:25:11,090 --> 00:25:19,570
+for limits for limits، sequential criterion for
+
+215
+00:25:19,570 --> 00:25:34,190
+limits of functions in section أربعة واحد with
+
+216
+00:25:34,190 --> 00:25:38,030
+slight modification
+
+217
+00:25:45,120 --> 00:25:51,780
+مع تعديل بسيط، مع تعديل بسيط، التعديل هنا إنه الـ هنا
+
+218
+00:25:51,780 --> 00:25:58,180
+كنا نطلب الـ X لا تساوي C، وكمان كنا هناك نطلب إنه C
+
+219
+00:25:58,180 --> 00:26:02,740
+تكون cluster point، لكن شفنا حتى لو C ماكنتش
+
+220
+00:26:02,740 --> 00:26:10,940
+cluster point، فهذا برضه متحقق تلقائيًا، برضه
+
+221
+00:26:10,940 --> 00:26:11,700
+أخدنا
+
+222
+00:26:14,550 --> 00:26:18,230
+بعد ما أخدنا الـ sequential criterion for limits
+
+223
+00:26:18,230 --> 00:26:22,410
+of functions في section 4-1، أخدنا بعدها على طول
+
+224
+00:26:22,410 --> 00:26:29,850
+مباشرة divergence criterion for limits، فهنا بقابل
+
+225
+00:26:29,850 --> 00:26:38,190
+الـ divergence criterion اللي هو
+
+226
+00:26:38,190 --> 00:26:39,910
+discontinuity criterion
+
+227
+00:26:46,180 --> 00:26:48,980
+discontinuity criterion
+
+228
+00:27:00,500 --> 00:27:10,940
+let f be a function from a to r، و c نقطة في a، و d
+
+229
+00:27:10,940 --> 00:27:15,440
+then the
+
+230
+00:27:15,440 --> 00:27:23,000
+following statements are equivalent، واحد، if f is
+
+231
+00:27:23,000 --> 00:27:24,160
+discontinuous
+
+232
+00:27:26,370 --> 00:27:36,730
+إذا كان الـ f discontinuous at x بساوي c، ثم يوجد
+
+233
+00:27:36,730 --> 00:27:49,070
+sequence x n contained in a with limit x n بساوي
+
+234
+00:27:49,070 --> 00:27:49,610
+c
+
+235
+00:27:53,460 --> 00:28:01,180
+but limit الـ image للـ sequence x n لا يساوي f
+
+236
+00:28:01,180 --> 00:28:08,260
+of c، وبرهان
+
+237
+00:28:08,260 --> 00:28:13,100
+النظرية هذه بيجي من النظرية الـ sequential
+
+238
+00:28:13,100 --> 00:28:16,980
+criterion، أنا 
+
+239
+00:28:16,980 --> 00:28:21,400
+عندي واحد one يكفي اتنين one if and only if two
+
+240
+00:28:24,600 --> 00:28:29,660
+وبالتالي not one نفي one يكافئ نفي two، طيب تعالى
+
+241
+00:28:29,660 --> 00:28:35,400
+نشوف نفي one، if f is discontinuous at c، نفي two، for
+
+242
+00:28:35,400 --> 00:28:40,420
+every sequence بتحقق الشرط هذا، نهايت صورتها بساوي
+
+243
+00:28:40,420 --> 00:28:45,160
+f of c، إن في الشرط العبارة هذه، فبصير there exist a
+
+244
+00:28:45,160 --> 00:28:50,380
+sequence x n contained in a ونهايتها c، لكن نهايت
+
+245
+00:28:50,380 --> 00:28:56,550
+صورتها لا تساوي f of c، Okay تمام، إذا البرهان نظرية
+
+246
+00:28:56,550 --> 00:29:05,170
+هذه جاي من نفي أو ينتج من النظرية السابقة، طب
+
+247
+00:29:05,170 --> 00:29:15,350
+نرجع ناخد، قبل ما ناخد أمثلة، بدنا ناخد بس تعريف
+
+248
+00:29:15,350 --> 00:29:20,170
+الاتصال على مجموعة، definition
+
+249
+00:29:24,990 --> 00:29:32,690
+استخدم الفرصة، let f be a function from a to r and
+
+250
+00:29:32,690 --> 00:29:38,050
+let
+
+251
+00:29:38,050 --> 00:29:47,090
+b be a subset of a، نقول
+
+252
+00:29:47,090 --> 00:29:50,890
+أن الفرصة f is continuous
+
+253
+00:29:54,760 --> 00:30:05,060
+if f is continuous on the set B، on the
+
+254
+00:30:05,060 --> 00:30:16,640
+set B، if f is continuous on the set B، if if f is
+
+255
+00:30:16,640 --> 00:30:32,720
+continuous at every، at every x ينتمي إلى B، إذا 
+
+256
+00:30:32,720 --> 00:30:38,880
+الاتصال على مجموعة معناه إن الدالة تكون متصلة عند
+
+257
+00:30:38,880 --> 00:30:47,520
+كل نقطة في المجموعة، عند كل نقطة في المجموعة، طيب
+
+258
+00:30:47,520 --> 00:30:49,080
+ناخد بعض الأمثلة
+
+259
+00:31:06,780 --> 00:31:17,520
+الـ function f of x بتساوي k، و
+
+260
+00:31:17,520 --> 00:31:30,460
+x belong to R is continuous on R، الدالة 
+
+261
+00:31:30,460 --> 00:31:43,300
+ثابت k continuous على كل الـ R، احنا شفنا proof، fix
+
+262
+00:31:43,300 --> 00:31:46,240
+c تنتمي لـ R
+
+263
+00:31:51,650 --> 00:32:02,150
+Since limit لـ F of X as X tends to C بساوي K، احنا
+
+264
+00:32:02,150 --> 00:32:07,850
+أثبتنا قبلين أن limit أي ده لثابته بساوي ثابت K
+
+265
+00:32:07,850 --> 00:32:15,690
+وهذا بساوي F of C، فالـ
+
+266
+00:32:15,690 --> 00:32:29,850
+F is continuous at every c تنتمي إلى r، فاكرين
+
+267
+00:32:29,850 --> 00:32:34,430
+احنا هدفنا كان باستخدام تعريف epsilon delta، قولنا
+
+268
+00:32:34,430 --> 00:32:39,930
+لأي epsilon أكبر من صفر، choose أي delta أكبر من
+
+269
+00:32:39,930 --> 00:32:43,690
+الصفر، فتعريف
+
+270
+00:32:43,690 --> 00:32:47,670
+الـ limit بتحقق
+
+271
+00:32:47,670 --> 00:32:48,790
+وهنا نفس الحاجة
+
+272
+00:33:16,050 --> 00:33:25,330
+طيب المثال تاني، لو أخدت f of x بساوي x لكل x ينتمي
+
+273
+00:33:25,330 --> 00:33:31,570
+إلى R، الـ identity function، فبرضه 
+
+274
+00:33:31,570 --> 00:33:39,350
+أثبتنا احنا إن الـ function هذه is continuous، if f is
+
+275
+00:33:39,350 --> 00:33:44,290
+continuous على مجموعة الأعداد الحقيقية
+
+276
+00:34:07,950 --> 00:34:17,850
+فممكن أن نثبت، C تنتمي إلى R، و أثبتنا احنا في
+
+277
+00:34:17,850 --> 00:34:24,390
+section أربعة واحد، إن limit F of X لما X تقول C
+
+278
+00:34:24,390 --> 00:34:32,530
+طلعت بساوي C، صح؟ وهذا عبارة عن F of C، فالـ F is
+
+279
+00:34:32,530 --> 00:34:35,610
+continuous at C
+
+280
+00:34:39,860 --> 00:34:48,180
+وبما إنه c arbitrary element، إذا 
+
+281
+00:34:48,180 --> 00:34:55,720
+الـf يكون continuous at every c ينتمي إلى R
+
+282
+00:34:55,720 --> 00:35:03,220
+وبالتالي continuous على كل الـR ممكن
+
+283
+00:35:03,220 --> 00:35:08,760
+برضه نستخدم تعريف epsilon دلتا مباشرة بلاش نقول إن
+
+284
+00:35:08,760 --> 00:35:13,440
+احنا أثبتنا إن الـlimit لـ الـfunction f عند c
+
+285
+00:35:13,440 --> 00:35:17,020
+بالساوية c في section أربعة واحد أنا ممكن أُثبت
+
+286
+00:35:17,020 --> 00:35:22,520
+يعني نستخدم تعريف epsilon دلتا مباشرة ونقول let
+
+287
+00:35:22,520 --> 00:35:32,180
+if fix أول حاجة fix c تنتمي إلى R to show if it is
+
+288
+00:35:32,180 --> 00:35:39,820
+continuous at c let epsilon أكبر من الصفر be given
+
+289
+00:35:39,820 --> 00:35:44,720
+it 
+
+290
+00:35:44,720 --> 00:35:49,540
+shows... زي ما عملنا في الـlimits it shows delta
+
+291
+00:35:49,540 --> 00:35:54,640
+بساوي epsilon إذن
+
+292
+00:35:54,640 --> 00:36:00,160
+هَيوجد دلتا تعتمد على epsilon Then لهذه الـDelta
+
+293
+00:36:00,160 --> 00:36:06,600
+لو كان x ينتمي إلى A، A هنا اللي هي R و |x|
+
+294
+00:36:06,600 --> 00:36:12,360
+- C أصغر من دلتا فهذا بيضمن إنه |f of
+
+295
+00:36:12,360 --> 00:36:20,080
+x| |f of x - f of C| هذا بيطلع بساوي 
+
+296
+00:36:20,080 --> 00:36:28,590
+|x - f of x| بساوي x و f of c بساوي c
+
+297
+00:36:28,590 --> 00:36:33,010
+وهذا أصغر من دلتا، ماخدين المسافة هذه أصغر من
+
+298
+00:36:33,010 --> 00:36:38,250
+دلتا وأنا اخترت دلتا بساوي Epsilon إذن هذه 
+
+299
+00:36:38,250 --> 00:36:42,110
+أثبتت لكل Epsilon يوجد Delta تعتمد على Epsilon
+
+300
+00:36:42,110 --> 00:36:46,150
+بحيث لكل x في مجال الدالة المسافة بينها وبين c
+
+301
+00:36:46,150 --> 00:36:50,650
+أصغر من دلتا طلع المسافة بين f of x و f of c أصغر
+
+302
+00:36:50,650 --> 00:36:58,390
+من Epsilon إذن هذا معناه إن f is continuous at c
+
+303
+00:36:58,390 --> 00:37:06,010
+since c تنتمي إلى R was arbitrary إذن f is
+
+304
+00:37:06,010 --> 00:37:12,750
+continuous على كل الأعداد الحقيقية تمام؟ إذن هذا
+
+305
+00:37:12,750 --> 00:37:15,890
+ممكن نستخدم تعريف Epsilon Delta مباشرة 
+
+306
+00:37:19,990 --> 00:37:23,390
+دون الاعتماد على النتائج اللي عملناها تابعة
+
+307
+00:37:23,390 --> 00:37:28,390
+النهاية في section أربعة واحد بالمثل ممكن مثال زي
+
+308
+00:37:28,390 --> 00:37:35,290
+هذا برضه الـfunction f
+
+309
+00:37:35,290 --> 00:37:43,790
+of x بساوي x سلبية is continuous على كل الأعداد
+
+310
+00:37:43,790 --> 00:37:44,570
+الحقيقية
+
+311
+00:38:05,350 --> 00:38:08,350
+الدالة متصلة عند النقطة c
+
+312
+00:38:13,110 --> 00:38:18,330
+نفس تعريف epsilon دلتا زي ما عملنا في إثبات إن الـ
+
+313
+00:38:18,330 --> 00:38:24,490
+limit للـfunction f of x عند x بساوي c بساوي c
+
+314
+00:38:24,490 --> 00:38:30,110
+تربيع اللي هو f of c وذلك
+
+315
+00:38:30,110 --> 00:38:35,710
+بياخد أي epsilon أكبر من صفر وبنجيب دلتا زي ما
+
+316
+00:38:35,710 --> 00:38:38,510
+عملنا في section أربعة واحد دلتا بساوي الـminimum
+
+317
+00:38:38,510 --> 00:38:45,380
+لقيمتين نثبت إنه لكل x المسافة بينها وبين الـc
+
+318
+00:38:45,380 --> 00:38:47,960
+أصغر من الـدلتا بيطلع المسافة هذه أصغر من الـc
+
+319
+00:38:47,960 --> 00:38:53,120
+نعيد يعني إيش نفس البرمجة، إذن هذا لو طلب منكم
+
+320
+00:38:53,120 --> 00:38:56,460
+استخدام تعريف epsilon delta لإثبات إن الدالة هذه
+
+321
+00:38:56,460 --> 00:39:00,420
+مقتصرة على R فبتقول لأي epsilon أكبر من الصفر
+
+322
+00:39:00,420 --> 00:39:05,060
+choose delta زي ما عملنا في section 4-1 في إثبات
+
+323
+00:39:05,060 --> 00:39:08,900
+إن limit للدالة هذه عند c بساوي c تربيع
+
+324
+00:39:12,370 --> 00:39:18,470
+أو ممكن تقولي we should إذا ما طلبش منك تستخدم
+
+325
+00:39:18,470 --> 00:39:23,590
+التعريف epsilon دلتا فبتقولي we should أثبتنا in
+
+326
+00:39:23,590 --> 00:39:33,970
+section أربعة واحد that limit لـf of x لما x تقول
+
+327
+00:39:33,970 --> 00:39:42,230
+إلى c بساوي c تربيع اللي هي f of c حسب تعريف
+
+328
+00:39:42,230 --> 00:39:45,470
+الاتصال على النقطة بيطلع أي شرط تلاتة في واحد
+
+329
+00:39:45,470 --> 00:39:54,190
+متحقق وبالتالي if it is continuous at c okay تمام
+
+330
+00:39:57,190 --> 00:40:00,230
+وطبعًا بما إن الـc تنتمي إلى R was arbitrary إذن
+
+331
+00:40:00,230 --> 00:40:03,970
+الدالة f continuous على كل الـR okay إذا دامت
+
+332
+00:40:03,970 --> 00:40:11,050
+يا إما نستخدم نتائج section 4-1 أو نعيد البرهان
+
+333
+00:40:11,050 --> 00:40:15,250
+باستخدام تعريف epsilon Delta زي ما عملنا في المثال
+
+334
+00:40:15,250 --> 00:40:22,770
+الأخير أو زي ما عملنا في section 4-1 الدالة كمان
+
+335
+00:40:22,770 --> 00:40:23,930
+عندي الدالة
+
+336
+00:40:32,140 --> 00:40:41,000
+لو أخدت phi of x بساوي 1 على x فهذه الدالة is 
+
+337
+00:40:41,000 --> 00:40:46,280
+continuous on الـset A
+
+338
+00:40:58,940 --> 00:41:04,860
+اللي هي كل الـx ينتمي إلى R حيث x أكبر من الصفر
+
+339
+00:41:04,860 --> 00:41:11,380
+فاحنا
+
+340
+00:41:11,380 --> 00:41:20,880
+أثبتنا في x c تنتمي إلى A هذا بقدر إنه c أكبر من
+
+341
+00:41:20,880 --> 00:41:23,280
+الصفر وأثبتنا
+
+342
+00:41:28,820 --> 00:41:35,560
+in section أربعة
+
+343
+00:41:35,560 --> 00:41:44,320
+واحد ذات limit لـfunction phi of x لما x تقول إلى
+
+344
+00:41:44,320 --> 00:41:52,240
+c بساوي 1 على c بساوي phi of c باستخدام تعريف
+
+345
+00:41:52,240 --> 00:41:58,070
+epsilon دلتا يا إما نعيد البرهان هذاك لأي epsilon في
+
+346
+00:41:58,070 --> 00:42:03,450
+دلتا بساوي minimum لقيمتين أو نقول إن احنا أثبتنا
+
+347
+00:42:03,450 --> 00:42:06,890
+إن limit للدالة هذه عند أي عدد c موجود بساوي 1
+
+348
+00:42:06,890 --> 00:42:12,590
+على c اللي هو قيمة الدالة عند c وبالتالي إذا الدالة 
+
+349
+00:42:12,590 --> 00:42:19,830
+في is continuous at c بما إن الـc تنتمي إلى a was
+
+350
+00:42:19,830 --> 00:42:26,450
+arbitrary إذن الـفي continuous على المجموعة A
+
+351
+00:42:26,450 --> 00:42:30,370
+بالمثل
+
+352
+00:42:30,370 --> 00:42:35,050
+ممكن نثبت إن الدالة دي continuous كمان على
+
+353
+00:42:35,050 --> 00:42:44,530
+المجموعة B اللي هي كل الـx ينتمي إلى R حيث x أصغر من
+
+354
+00:42:44,530 --> 00:42:48,990
+0 الدالة
+
+355
+00:42:48,990 --> 00:42:54,190
+دي متصلة عند كل الأعداد الحقيقية ما عدا عدد 0 فهي متصلة
+
+356
+00:42:54,190 --> 00:42:57,610
+عند الأعداد الحقيقية الموجبة وعند الأعداد الحقيقية 
+
+357
+00:42:57,610 --> 00:43:07,950
+السالبة طيب
+
+358
+00:43:07,950 --> 00:43:13,370
+الدالة phi
+
+359
+00:43:13,370 --> 00:43:19,950
+of x نفسها برضه بساوي 1 على x is not is
+
+360
+00:43:19,950 --> 00:43:33,190
+discontinuous is discontinuous at c بساوي 0 proof
+
+361
+00:43:33,190 --> 00:43:39,090
+one الدالة
+
+362
+00:43:39,090 --> 00:43:44,530
+هذه ليست متصلة عند الصفر فالبرهان ذلك ممكن نقول
+
+363
+00:43:44,530 --> 00:43:49,610
+أنه في phi
+
+364
+00:43:52,850 --> 00:43:59,250
+is undefined is undefined is undefined is 
+
+365
+00:43:59,250 --> 00:44:05,090
+undefined is undefined is undefined is undefined
+
+366
+00:44:05,090 --> 00:44:05,970
+undefined is undefined is undefined is undefined
+
+367
+00:44:05,970 --> 00:44:07,390
+is undefined is undefined is undefined is 
+
+368
+00:44:07,390 --> 00:44:07,470
+undefined is undefined is undefined is undefined
+
+369
+00:44:07,470 --> 00:44:07,830
+is undefined is undefined is undefined is
+
+370
+00:44:07,830 --> 00:44:09,950
+is undefined is undefined is undefined is
+
+371
+00:44:09,950 --> 00:44:16,950
+undefined is undefined is undefined is undefined
+
+372
+00:44:18,990 --> 00:44:25,170
+can't be continuous at x بساوي 0 لأن عشان هي
+
+373
+00:44:25,170 --> 00:44:28,550
+تكون متصلة عند 0 لازم تلات شروط يتحققوا إنها
+
+374
+00:44:28,550 --> 00:44:32,790
+تكون أول شرط معرفة عند الصفر فده هي مش معرفة عند
+
+375
+00:44:32,790 --> 00:44:38,390
+الصفر فكيف تلات شروط هيتحققوا هذا برهان تاني برهان
+
+376
+00:44:38,390 --> 00:44:45,850
+آخر إن ما احنا شوفنا we should
+
+377
+00:44:48,290 --> 00:44:52,870
+in section أربعة
+
+378
+00:44:52,870 --> 00:44:57,990
+واحد أو أربعة اتنين that
+
+379
+00:44:57,990 --> 00:45:08,290
+limit لـphi of x as x tends to zero does not exist
+
+380
+00:45:08,290 --> 00:45:12,850
+أثبتنا إن الـfunction هذه ما لهاش limit عند الصفر
+
+381
+00:45:15,830 --> 00:45:21,510
+فاستخدمنا الـdivergence criterion وشوفنا إن هناك
+
+382
+00:45:21,510 --> 00:45:27,450
+sequence اللي هي 1 على n converge للصفر but
+
+383
+00:45:27,450 --> 00:45:34,690
+limit الـimage للـsequence 1 على n as n tends
+
+384
+00:45:34,690 --> 00:45:40,170
+to infinity بساوي limit n بساوي infinity does not
+
+385
+00:45:40,170 --> 00:45:47,950
+exist in R وبالتالي by divergence criterion الـ
+
+386
+00:45:47,950 --> 00:45:51,270
+function هذه ما لهاش limit وبالتالي مش ممكن تكون
+
+387
+00:45:51,270 --> 00:46:02,990
+continuous so if it can't be continuous at x بساوي
+
+388
+00:46:02,990 --> 00:46:09,510
+0 تمام؟ لأن واحد من الشروط التلاتة تبعت الاتصال
+
+389
+00:46:09,510 --> 00:46:12,650
+عن نقطة غير متحققة تمام؟
+
+390
+00:46:22,580 --> 00:46:28,520
+في كمان مثال أخذناه في section
+
+391
+00:46:28,520 --> 00:46:36,020
+4-1 الـ
+
+392
+00:46:36,020 --> 00:46:42,220
+signum function اللي
+
+393
+00:46:42,220 --> 00:46:52,050
+كان تعريفها بساوي 0 if x بساوي 0 و x على
+
+394
+00:46:52,050 --> 00:47:00,370
+|x| إذا كان x لا يساوي 0 is discontinuous
+
+395
+00:47:00,370 --> 00:47:09,170
+is discontinuous at x بساوي 0 why
+
+396
+00:47:18,170 --> 00:47:23,550
+لأنه أثبتنا احنا في section أربعة واحد إنه limit لـ
+
+397
+00:47:23,550 --> 00:47:31,490
+signum x لما x تقول إلى 0 does not exist
+
+398
+00:47:40,560 --> 00:47:43,240
+اللي هي إن الـlimit للـsignal function عند الصفر
+
+399
+00:47:43,240 --> 00:47:46,580
+does not exist شوفنا إن الـlimit من اليمين 1
+
+400
+00:47:46,580 --> 00:47:50,020
+عند الصفر والـlimit والـlimit عند الصفر من اليسار
+
+401
+00:47:50,020 --> 00:47:53,340
+بساوي -1 وبالتالي مش متساويين الاثنين إذن الـ
+
+402
+00:47:53,340 --> 00:48:00,000
+limit عند الصفر does not exist okay تمام إذن الـالـ
+
+403
+00:48:00,000 --> 00:48:04,700
+function هذه ما هيّاش متصلة عند الصفر لعدم نظرا لعدم
+
+404
+00:48:04,700 --> 00:48:10,970
+وجود الـlimit عند الصفر رغم إن الدالة هذه معرفة عند
+
+405
+00:48:10,970 --> 00:48:17,310
+الصفر، الـSignum للصفر هي معرفة عند الصفر بساوي
+
+406
+00:48:17,310 --> 00:48:24,930
+0 تمام؟
+
+407
+00:48:24,930 --> 00:48:30,710
+طيب، لكن ممكن إثبات إن الـSignum function متصلة
+
+408
+00:48:30,710 --> 00:48:32,850
+عند كل x لا يساوي 0
+
+409
+00:48:45,100 --> 00:48:52,440
+However، الـsignum الـsignum function is 
+
+410
+00:48:52,440 --> 00:48:59,280
+continuous at 
+
+411
+00:48:59,280 --> 00:49:09,460
+every x لا يساوي 0 لأنه
+
+412
+00:49:22,230 --> 00:49:42,610
+proof fix c لا تنتمي إلى R و c لا يساوي 0 تمام then
+
+413
+00:49:42,610 --> 00:49:53,460
+|signum x - signum الـc| بساوي |
+
+414
+00:49:53,460 --> 00:49:57,420
+x
+
+415
+00:49:57,420 --> 00:50:14,640
+على |x| أو
+
+416
+00:50:14,640 --> 00:50:15,160
+بلاش
+
+417
+00:50:19,850 --> 00:50:26,730
+then الـlimit لـsigma x 
+
+418
+00:50:26,730 --> 00:50:34,390
+لما x تقول إلى c بساوي
+
+419
+00:50:34,390 --> 00:50:37,990
+لما
+
+420
+00:50:37,990 --> 00:50:43,670
+x تقول إلى c فهذا عبارة عن limit x على |x| 
+
+421
+00:50:43,670 --> 00:50:45,630
+لما x تقول إلى c
+
+422
+00:51:03,050 --> 00:51:08,750
+فده كانت ال X لا تساوي صفر فإما ال X موجبة بقى أو
+
+423
+00:51:08,750 --> 00:51:12,890
+سلبية بقى
+
+424
+00:51:12,890 --> 00:51:18,010
+then C أكبر من الصفر or C أصغر من صفر
+
+425
+00:51:23,040 --> 00:51:27,120
+الـ C هتكون أكبر من الصفر الـ C هنا لا تساوي صفر
+
+426
+00:51:27,120 --> 00:51:33,240
+إذا إما C أكبر من الصفر أو أصغر من الصفر case one
+
+427
+00:51:33,240 --> 00:51:41,000
+لو كانت C أكبر من صفر فهذا بيعني أنه limit signum X
+
+428
+00:51:41,000 --> 00:51:50,980
+as X tends to C بيساوي limit X على absolute X
+
+429
+00:51:59,940 --> 00:52:05,660
+و طبعا ال X أكبر من ال
+
+430
+00:52:05,660 --> 00:52:11,860
+C أكبر من الصفر ف absolute .. فهذا بيساوي واحد
+
+431
+00:52:11,860 --> 00:52:21,440
+بيساوي limit واحد as X tends to C بيساوي واحد
+
+432
+00:52:21,440 --> 00:52:32,490
+بيساوي F of C أو signum C لأن
+
+433
+00:52:32,490 --> 00:52:40,050
+ال C موجبة فلما ال C تكون موجبة ف absolute ال C
+
+434
+00:52:40,050 --> 00:52:47,250
+بيساوي ال C بيطلع القيمة المطلقة هذه بيطلع واحد وبالتالي إذا
+
+435
+00:52:47,250 --> 00:52:57,970
+ال signal x is continuous at c case 2 إذا كانت ال
+
+436
+00:52:57,970 --> 00:53:11,210
+c أصغر من صفر ف similar to case 1 في
+
+437
+00:53:11,210 --> 00:53:17,600
+الحالة هذه قيمة ال function هتطلع سالب واحد عند c و
+
+438
+00:53:17,600 --> 00:53:22,820
+limit عند c هتطلع سالب واحد وبالتالي في اتصال عند
+
+439
+00:53:22,820 --> 00:53:26,320
+ال c إذا ال sign and function مش متصلة عند الصفر
+
+440
+00:53:26,320 --> 00:53:30,800
+لكنها متصلة عند كل الأعداد الحقيقية المختلفة عن
+
+441
+00:53:30,800 --> 00:53:37,910
+الصفر Okay بنكتفي بهذا القدر و بنكمل طبعا إن شاء
+
+442
+00:53:37,910 --> 00:53:44,390
+الله في المحاضرة القادمة هنعطيكم إن شاء الله break
+
+443
+00:53:44,390 --> 00:53:49,350
+خمس دقائق وبعدين نواصل المحاضرة التانية اللي
+
+444
+00:53:49,350 --> 00:53:56,090
+هناخد فيها discussion أو مناقشة لل chapter أربعة
+
+445
+00:53:56,090 --> 00:53:58,350
+section أربعة واحد وأربعة اتنين 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/JXFFuyzuuqA.srt

@@ -0,0 +1,1859 @@
+1
+00:00:20,220 --> 00:00:25,360
+بسم الله الرحمن الرحيم هندرس اليوم إن شاء الله مع
+
+2
+00:00:25,360 --> 00:00:32,000
+بعض الـ section خمسة أربعة اللي بيتحدث عن موضوع الـ
+
+3
+00:00:32,000 --> 00:00:36,720
+uniform continuity أو الاتصال المنظم للدوال
+
+4
+00:00:36,720 --> 00:00:40,600
+هنحاول ناخد أكبر جزء ممكن من الـ section الجزء
+
+5
+00:00:40,600 --> 00:00:44,860
+المتبقي ممكن نكمله في المحاضرة الجاية يوم الأثنين
+
+6
+00:00:44,860 --> 00:00:49,820
+فالـ
+
+7
+00:00:49,820 --> 00:00:54,540
+.. خلّينا الأول نراجع .. نراجع تعريف الاتصال 
+
+8
+00:00:54,540 --> 00:00:59,270
+العادي الـ continuity على مجموعة فلو كان في handy
+
+9
+00:00:59,270 --> 00:01:04,170
+function f من a لـ r فالعبارات التالية بتكون
+
+10
+00:01:04,170 --> 00:01:13,410
+متكافئة if f is continuous at every u ينتمي إلى a اللي هو مجال الدالة
+
+11
+00:01:13,410 --> 00:01:20,810
+every u ينتمي إلى a اللي هو مجال الدالة
+
+12
+00:01:20,810 --> 00:01:24,370
+العبارة الثانية given
+
+13
+00:01:27,500 --> 00:01:36,300
+epsilon أكبر من الصفر and given u ينتمي إلى a يوجد
+
+14
+00:01:36,300 --> 00:01:41,160
+.. بيقدر نلاقي delta و الـ delta هذه تعتمد على الـ
+
+15
+00:01:41,160 --> 00:01:51,590
+epsilon و على الـ u عدد موجب بحيث أنه لكل x ينتمي
+
+16
+00:01:51,590 --> 00:01:59,250
+إلى a و |x - u| أصغر من delta فهذا
+
+17
+00:01:59,250 --> 00:02:07,830
+بتضمن إلى |f(x) - f(u)| أصغر من 
+
+18
+00:02:07,830 --> 00:02:08,310
+epsilon
+
+19
+00:02:19,690 --> 00:02:30,650
+خلّينا بس ناخد المثال التالي consider
+
+20
+00:02:30,650 --> 00:02:41,910
+الـ function f(x) بتساوي 1/X و X ينتمي لأيه
+
+21
+00:02:41,910 --> 00:02:45,890
+اللي هي الفترة
+
+22
+00:02:45,890 --> 00:02:56,270
+كل الـ X في R حيث X أكبر من الصفر إذا الـ function F
+
+23
+00:02:56,270 --> 00:03:02,770
+معرفة على كل الأعداد الموجبة احنا
+
+24
+00:03:02,770 --> 00:03:05,770
+أثبتنا قبل هيك و proved
+
+25
+00:03:10,640 --> 00:03:14,920
+earlier فيما سبق في دراساتنا السابقة في section
+
+26
+00:03:14,920 --> 00:03:21,540
+اربعة خمسة ثلاثة أو خمسة اثنين اثبتنا أن الـ
+
+27
+00:03:21,540 --> 00:03:30,700
+function f is continuous على المجموعة a وخلنا
+
+28
+00:03:30,700 --> 00:03:36,580
+نراجع مع بعض أن مع بعض نراجع البرهان fix
+
+29
+00:03:39,080 --> 00:03:46,920
+fix u ينتمي إلى a given إبصر
+
+30
+00:03:46,920 --> 00:03:49,760
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+31
+00:03:49,760 --> 00:03:50,560
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+32
+00:03:50,560 --> 00:03:53,060
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+33
+00:03:53,060 --> 00:03:56,600
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+34
+00:03:56,600 --> 00:03:57,260
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+35
+00:03:57,260 --> 00:03:57,360
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+36
+00:03:57,360 --> 00:04:00,020
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+37
+00:04:00,020 --> 00:04:06,790
+أكبر من صفر أكبر من صفربتطبيق تعريف epsilon delta
+
+38
+00:04:06,790 --> 00:04:12,110
+للاتصال أن نقطة given epsilon إذا بيطلع ارجعه we
+
+39
+00:04:12,110 --> 00:04:19,350
+found delta و الـ delta هذه كانت الـ minimum لقيمتين
+
+40
+00:04:19,350 --> 00:04:24,470
+u/2 أو كانت هناك c/2 بدل u كانت النقطة
+
+41
+00:04:24,470 --> 00:04:33,350
+بيسميها c فعندي u/2 و u²/2 في
+
+42
+00:04:33,350 --> 00:04:40,450
+epsilon طبعاً هذا عدد موجب واضح أن الـ delta هذه عدد
+
+43
+00:04:40,450 --> 00:04:44,530
+موجب لأن هذا عدد موجب و هذا عدد موجب و بعدين الـ
+
+44
+00:04:44,530 --> 00:04:50,530
+delta لاحظوا أنّهـا بتعتمد على الـ epsilon و على الـ U
+
+45
+00:04:52,480 --> 00:04:55,840
+الـ Delta بتعتمد على الـ Epsilon وعلى الـ U مش بس
+
+46
+00:04:55,840 --> 00:04:58,280
+على الـ Epsilon وعلى النقطة U اللي احنا بدنا نفحص
+
+47
+00:04:58,280 --> 00:05:05,020
+عندها الاتصال فشوفنا بعد هيك أنّهـ .. إذا for this
+
+48
+00:05:05,020 --> 00:05:11,880
+Delta إذا لو أخدنا X ينتمي إلى A و |X
+
+49
+00:05:11,880 --> 00:05:19,560
+- U| أصغر من Delta فطبعاً هذا قدهذا أدى أن الـ
+
+50
+00:05:19,560 --> 00:05:26,240
+delta هنا أصغر من أو يساوي U/2 وبالتالي هذا
+
+51
+00:05:26,240 --> 00:05:35,600
+بيقدر أن X أصغر من 3U/2 أكبر من U/2 لما نحل
+
+52
+00:05:35,600 --> 00:05:42,720
+المعادلة المتباينة هذه في U وهذا
+
+53
+00:05:42,720 --> 00:05:44,520
+بيقدر بدوره
+
+54
+00:05:46,640 --> 00:05:59,580
+|f(x) - f(u)| طالع بيساوي |1
+
+55
+00:05:59,580 --> 00:06:06,580
+/x - 1/u| هذا بيساوي |u - x|
+
+56
+00:06:06,580 --> 00:06:13,390
+/xu المفروض أحط هنا |xu| لكن الـ X
+
+57
+00:06:13,390 --> 00:06:17,290
+و الـ U عناصر في A و A عناصرها كل أعداد موجبة فلا
+
+58
+00:06:17,290 --> 00:06:21,950
+داعي الـ | | الأن absolute أنا عندي هنا
+
+59
+00:06:21,950 --> 00:06:31,390
+من المتباينة هذه بيطلع عندي المفروض أنه أنا عندي
+
+60
+00:06:31,390 --> 00:06:43,100
+بيطلع U/2 أصغر من X صح فهذا بيقودى أنّهـ X في أضرب
+
+61
+00:06:43,100 --> 00:06:47,420
+في U، U عدد موجب فبيطلع U²/2 أصغر من X
+
+62
+00:06:47,420 --> 00:06:55,520
+وبالتالي 1/XU بيطلع أصغر من 2/U
+
+63
+00:06:55,520 --> 00:07:02,200
+تربيع إذا 1/XU أصغر من 2/U² في
+
+64
+00:07:02,200 --> 00:07:08,790
+|U - X| و هذي أصغر من دلتا إذاً هذي أصغر
+
+65
+00:07:08,790 --> 00:07:13,830
+من 2/U² في دلتا طيب الـ delta أنا
+
+66
+00:07:13,830 --> 00:07:18,390
+اخترتها الـ minimum للقيمة هذه وهذه فبالتالي الـ delta
+
+67
+00:07:18,390 --> 00:07:22,890
+هذه تطلع أصغر من أو ساوي القيمة الثانية إذن 2
+
+68
+00:07:22,890 --> 00:07:28,850
+/U² ضرب U²/2 في Epsilon و
+
+69
+00:07:28,850 --> 00:07:33,490
+طبعاً هذولا بيروحوا مع بعض و بيظل Epsilon وبالتالي
+
+70
+00:07:33,490 --> 00:07:38,290
+بما أن Epsilon was arbitrary إذا الـ F is
+
+71
+00:07:38,290 --> 00:07:48,110
+continuous at U ولما كانت U arbitrary since U
+
+72
+00:07:48,110 --> 00:07:49,770
+belonged to A was
+
+73
+00:07:52,720 --> 00:08:00,980
+arbitrary f is continuous على كل المجموعة A هذا
+
+74
+00:08:00,980 --> 00:08:05,740
+كان برهاننا خلناها قبل هيك طيب ما الغرض مش إيش
+
+75
+00:08:05,740 --> 00:08:10,200
+النقطة أن احنا نعيد البرهان النقطة هي عايزين نفهم
+
+76
+00:08:10,200 --> 00:08:16,160
+أو نأكد أنّهـ في إثبات الاتصال عند النقطة U لاحظنا
+
+77
+00:08:16,160 --> 00:08:20,330
+أن الـ delta بتعتمد على الـ epsilon و على الـ U هذا
+
+78
+00:08:20,330 --> 00:08:24,510
+معناه أن الـ delta بتتغير قيمتها مع تغير الـ U
+
+79
+00:08:24,510 --> 00:08:28,070
+فمثلاً
+
+80
+00:08:28,070 --> 00:08:40,890
+لو جينا نعمل هاي الدالة دي لو جينا رسمناها هاي
+
+81
+00:08:40,890 --> 00:08:47,730
+الدالة 1/X لو جيت اخدت أنا X لو كان هذا
+
+82
+00:08:47,730 --> 00:08:59,250
+واحد هذا اثنين و هذا نصف لو كانت الـ U تبعتي لو كانت
+
+83
+00:08:59,250 --> 00:09:07,750
+الـ U بتساوي نصف ف
+
+84
+00:09:07,750 --> 00:09:17,810
+f لنصف بتساوي هيطلع اثنين هذا بتساوي f لنصف طب لو جيت
+
+85
+00:09:17,810 --> 00:09:25,470
+أخدت epsilon neighborhood للاثنين إذا هذا عبارة عن بي
+
+86
+00:09:25,470 --> 00:09:32,310
+epsilon للاثنين اللي هو صورة النصف فهذا الـ epsilon
+
+87
+00:09:32,310 --> 00:09:38,130
+neighborhood هيقابله delta
+
+88
+00:09:38,130 --> 00:09:43,350
+neighborhood هيقابله
+
+89
+00:09:43,350 --> 00:09:44,150
+delta
+
+90
+00:09:50,400 --> 00:09:59,440
+هذا عبارة عن delta neighborhood للنصف باللاحظ هنا
+
+91
+00:09:59,440 --> 00:10:02,680
+أن الـ delta هي قيمتها
+
+92
+00:10:20,550 --> 00:10:25,830
+هذه اثنين لو أخدت U بتساوي اثنين لو أخدت U بتساوي
+
+93
+00:10:25,830 --> 00:10:30,230
+اثنين احنا اثبتنا أن الدالة متصلة على الاثنين وهذه
+
+94
+00:10:30,230 --> 00:10:37,730
+الـ function شكلها هيكون زي هيك يعني
+
+95
+00:10:37,730 --> 00:10:41,770
+هون فـ f للاثنين
+
+96
+00:10:44,810 --> 00:10:49,990
+بتساوي نصف أو صورة الاثنين بيطلع نصف اللي هي صورة
+
+97
+00:10:49,990 --> 00:10:54,470
+الاثنين الآن لو أنا أخدت قيمة epsilon
+
+98
+00:10:54,470 --> 00:11:01,750
+neighborhood لنقطة نصف هذه الـ epsilon هنا نفس قيمة
+
+99
+00:11:01,750 --> 00:11:06,890
+الـ epsilon اللي هنا نفس القيمة وبالتالي الآن إذا
+
+100
+00:11:06,890 --> 00:11:13,680
+في عندي أنا دي epsilon للنصف طبعاً لكل epsilon
+
+101
+00:11:13,680 --> 00:11:16,480
+neighborhood للنصف بما أن الدالة متصلة عند اثنين
+
+102
+00:11:16,480 --> 00:11:22,480
+هيوجد v delta يوجد
+
+103
+00:11:22,480 --> 00:11:28,800
+v delta okay
+
+104
+00:11:28,800 --> 00:11:32,960
+هذا هيكون v delta
+
+105
+00:11:39,350 --> 00:11:43,010
+هذا عبارة عن v delta أو delta neighborhood للاثنين
+
+106
+00:11:43,010 --> 00:11:48,190
+فبلاحظ أنّهـ رغم أن الـ epsilon هنا نفس قيمة الـ
+
+107
+00:11:48,190 --> 00:11:52,890
+epsilon هنا إلا أن الـ delta هنا شوف قد إيش صغيرة
+
+108
+00:11:52,890 --> 00:12:00,400
+بينما الـ delta هنا شايفين ما أكبرها؟ تغيرت مين اللي
+
+109
+00:12:00,400 --> 00:12:05,220
+غير الـ delta الـ U لما الـ U كانت نصف الـ delta كانت
+
+110
+00:12:05,220 --> 00:12:11,340
+صغيرة لما الـ U كانت اثنين الـ U كبرت إذا الـ delta
+
+111
+00:12:11,340 --> 00:12:15,600
+هنا أو الـ delta neighborhood بيعتمد على الـ epsilon أو الـ
+
+112
+00:12:15,600 --> 00:12:19,200
+delta بتعتمد على الـ مش بس على الـ epsilon و على الـ
+
+113
+00:12:19,200 --> 00:12:23,840
+U و على النقطة نفسها okay واضح إذا هنا الـ delta
+
+114
+00:12:23,840 --> 00:12:31,210
+تغيرت مع تغير الـ U Okay تمام وبالتالي الـ delta لأي
+
+115
+00:12:31,210 --> 00:12:34,470
+epsilon الـ delta ده بتعتمد على الـ u على الـ epsilon
+
+116
+00:12:34,470 --> 00:12:39,410
+أو على النقطة وعلى الـ epsilon تمام واضحة النقطة
+
+117
+00:12:39,410 --> 00:12:45,370
+هذه طيب احنا خلّينا نقول ناشية ده المثال خلّينا ناخد
+
+118
+00:12:45,370 --> 00:12:54,770
+مثال ثاني example
+
+119
+00:12:54,770 --> 00:12:56,210
+2
+
+120
+00:12:59,420 --> 00:13:09,840
+خلّينا ناخد الـ function f(x) بتساوي 2x و x ينتمي
+
+121
+00:13:09,840 --> 00:13:13,780
+إلى R Note
+
+122
+00:13:13,780 --> 00:13:20,620
+that .. خلّينا نلاحظ أولاً أن |f(x) -
+
+123
+00:13:20,620 --> 00:13:29,440
+f(u)| بتساوي |2X - 2U| بتساوي
+
+124
+00:13:29,440 --> 00:13:38,420
+2 في |X - U| لكل X و U ينتمي لـ R
+
+125
+00:13:38,420 --> 00:13:44,880
+مظبوط هيك؟ طيب
+
+126
+00:13:44,880 --> 00:13:51,760
+الدالة هذه معروفة أنّهـا متصلة على R المجال تبعها
+
+127
+00:13:51,760 --> 00:13:52,200
+صح؟
+
+128
+00:14:03,920 --> 00:14:13,000
+على الـ set R فكيف بنعمل fix بنثبت U في R بنثبت أن
+
+129
+00:14:13,000 --> 00:14:22,180
+F متصل عند الـ U صح؟ and let epsilon أكبر من الصفر be
+
+130
+00:14:22,180 --> 00:14:22,780
+given
+
+131
+00:14:28,810 --> 00:14:36,250
+نختار دلتا نختار دلتا بتساوي epsilon/2 أكبر من
+
+132
+00:14:36,250 --> 00:14:45,010
+الصفر فلهذه الـ delta then لو كان x ينتمي إلى الـ a
+
+133
+00:14:45,010 --> 00:14:51,490
+اللي هي r و |x - u| أصغر من الـ delta فهذا
+
+134
+00:14:51,490 --> 00:14:58,840
+هيديني |f(x) - f(u)| بتقول أن هذا
+
+135
+00:14:58,840 --> 00:15:03,440
+بيطلع بتساوي أصغر من أو يساوي 2 في |x
+
+136
+00:15:03,440 --> 00:15:09,940
+- u| أو بتساوي بالأعلى، صح؟ طيب ما إحنا الـ X هذه
+
+137
+00:15:09,940 --> 00:15:14,660
+ماخدينها بحيث أن |x - u| أصغر من الـ
+
+138
+00:15:14,660 --> 00:15:20,160
+delta، صح؟ عشان ذلك إحنا اخترنا delta بتساوي epsilon/
+
+139
+00:15:20,160 --> 00:15:24,500
+2 اه شوفت إيش أخدنا delta بتساوي epsilon/2
+
+140
+00:15:24,500 --> 00:15:30,740
+طيب و هذا بتساوي epsilon حسب اختيارنا للـ delta 
+
+141
+00:15:30,740 --> 00:15:37,460
+وبالتالي هيك إذا الـ function بما أن epsilon was
+
+142
+00:15:37,460 --> 00:15:44,800
+arbitrarily إذا f is continuous at الـ U وبما أن U
+
+143
+00:15:44,800 --> 00:15:48,060
+belongs to R وزر فبتره إذا if continuous على كل ال
+
+144
+00:15:48,060 --> 00:15:55,240
+R كمان مرة النقطة هنا اللي عايزين أن أكد عليها هو
+
+145
+00:15:55,240 --> 00:16:01,520
+إن الـ Delta لأي إبسلون و لأي U و لأي إبسلون ال
+
+146
+00:16:01,520 --> 00:16:06,160
+Delta هنا تعتمد على إبسلون فقط مالهاش دعوة في الـ U
+
+147
+00:16:06,160 --> 00:16:11,790
+بمعنى آخر لو أنا الـ U هذه غيرتها أخذت U تانية لو
+
+148
+00:16:11,790 --> 00:16:14,670
+كانت تانية مثلا U بالساعة و سف�� او واحد او اتنين
+
+149
+00:16:14,670 --> 00:16:19,310
+أو تلاتة او اي عدد حقيقي فكل مرة الـ delta نفس ال
+
+150
+00:16:19,310 --> 00:16:25,800
+delta F2 will work للـ U لكل U لأي إبسن خدي نفس ال
+
+151
+00:16:25,800 --> 00:16:28,340
+delta إبسن على اتنين هتعطيهم إيه الـ implication
+
+152
+00:16:28,340 --> 00:16:33,640
+هذه بغض النظر عن الـ U okay؟ وبالتالي هنا في ال ..
+
+153
+00:16:33,640 --> 00:16:37,320
+في ال .. في الاتصال هذا الـ delta هنا تعتمد على
+
+154
+00:16:37,320 --> 00:16:40,540
+إبسن فقط و لا تعتمد على U بينما في المثال السابق
+
+155
+00:16:40,540 --> 00:16:45,240
+شوفنا الـ delta بتعتمد على U هذا النوع من الاتصال
+
+156
+00:16:45,240 --> 00:16:48,860
+بنسميه اتصال منتظم اللي فيه الـ delta تعتمد على
+
+157
+00:16:48,860 --> 00:16:52,760
+epsilon فقط اتصال منتظم او uniform continuity
+
+158
+00:16:52,760 --> 00:16:55,540
+اتصال اللي جابله اللي الـ delta تعتمد على ال
+
+159
+00:16:55,540 --> 00:17:00,510
+epsilon و على النقطة U هذا نسميه continuity عادية
+
+160
+00:17:00,510 --> 00:17:04,230
+أو نقول continuity اتصال اما هذا uniform
+
+161
+00:17:04,230 --> 00:17:08,770
+continuity هنشوف الـ gate من التعريف ان الـ uniform
+
+162
+00:17:08,770 --> 00:17:13,990
+continuity اقوى و اشمل من الـ continuity العادية
+
+163
+00:17:13,990 --> 00:17:22,670
+okay تمام اذا خليني اضع تعريف الـ uniform
+
+164
+00:17:22,670 --> 00:17:25,590
+continuity definition
+
+165
+00:17:28,670 --> 00:17:40,970
+فنشطة f من a الى r هي عامة عامة
+
+166
+00:17:40,970 --> 00:17:49,130
+مستمرة عامة مستمرة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
+
+167
+00:17:49,130 --> 00:17:49,170
+عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
+
+168
+00:17:49,170 --> 00:17:54,610
+عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
+
+169
+00:17:54,610 --> 00:17:55,930
+عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
+
+170
+00:17:55,930 --> 00:17:55,950
+عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
+
+171
+00:17:55,950 --> 00:17:56,070
+عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
+
+172
+00:18:00,400 --> 00:18:06,760
+لأي إبسلون أكبر من الصفر يوجد Delta تعتمد على إبسلون
+
+173
+00:18:06,760 --> 00:18:13,920
+فقط، عدد موجب بحيث أنه لكل X و U تنتمي إلى A
+
+174
+00:18:13,920 --> 00:18:20,620
+و absolute X minus U أصغر من Delta هذا بتضمن أن
+
+175
+00:18:20,620 --> 00:18:29,420
+absolute F of X minus F of U أصغر من الإبسلون
+
+176
+00:18:31,760 --> 00:18:35,660
+إذا هنا لأي أبسلون أكبر من الصفر في دلتة واحدة
+
+177
+00:18:35,660 --> 00:18:40,100
+تعتمد على أبسلون فقط والدلتة هذه تلف على كل الـ X
+
+178
+00:18:40,100 --> 00:18:44,620
+و كل الـ U أو لكل الـ U مرة واحدة فهنا لكل X و لأي U
+
+179
+00:18:44,620 --> 00:18:48,300
+إذا المسافة بينهم أصغر من الدلتة فالمسافة بين
+
+180
+00:18:48,300 --> 00:18:54,140
+أصغرهم أصغر من X تمام؟ الآن واضح من التعريفات
+
+181
+00:18:58,880 --> 00:19:05,820
+remarks الملاحظة الأولى uniform
+
+182
+00:19:05,820 --> 00:19:13,760
+continuity
+
+183
+00:19:13,760 --> 00:19:23,440
+uniform continuity implies continuity
+
+184
+00:19:27,240 --> 00:19:35,720
+الاتصال المنتظم بيؤدي للاتصال العادي و البرهان
+
+185
+00:19:35,720 --> 00:19:39,960
+واضح يعني بمعنى آخر لو في عندي function f from a
+
+186
+00:19:39,960 --> 00:19:46,460
+to r و الـ function كانت uniformly continuous فهذا
+
+187
+00:19:46,460 --> 00:19:54,350
+بيؤدي ان f continuous فالبرهان ذلك افرضي أن F
+
+188
+00:19:54,350 --> 00:20:00,770
+uniformly continuous إذا اشترتها تتحقق تبع الـ
+
+189
+00:20:00,770 --> 00:20:05,750
+Uniform Continuous الآن لإثبات أن F continuous على
+
+190
+00:20:05,750 --> 00:20:11,210
+A بتثبت أن F continuous at every U ينتمي لـ A يعني
+
+191
+00:20:11,210 --> 00:20:17,090
+بتثبت أنه لأي epsilon و لأي U فـ let epsilon be
+
+192
+00:20:17,090 --> 00:20:20,030
+given و let U be fixed element في A
+
+193
+00:20:22,930 --> 00:20:26,390
+من هنا لهذه الـ Epsilon من هنا بما أن هذا الشرط
+
+194
+00:20:26,390 --> 00:20:32,670
+متحقق لأن خد الـ Delta لأي الـ Epsilon هادي given خد
+
+195
+00:20:32,670 --> 00:20:34,950
+الـ Delta اللي هي هذه موجودة في الـ uniform
+
+196
+00:20:34,950 --> 00:20:38,650
+continuous اللي بتعتمد على Epsilon فقط خديها هي ال
+
+197
+00:20:38,650 --> 00:20:43,730
+Delta هذه فطبعا هذه الـ Delta بتخلي الـ implication
+
+198
+00:20:43,730 --> 00:20:51,850
+هذه تتحقق نظرت؟ لو هذه متحققة فهذه متحققة إذن هيك
+
+199
+00:20:51,850 --> 00:20:55,270
+واضح إن الـ uniform continuous إذا الواحدة بيقدر أن
+
+200
+00:20:55,270 --> 00:20:58,930
+f continuous and u لما أن u واظهر بترة إذا f
+
+201
+00:20:58,930 --> 00:21:05,310
+continuous and كل على كل المجموعية لكن
+
+202
+00:21:05,310 --> 00:21:11,690
+العكس مش صحيح إذا العكس المواحدة التانية العكس مش
+
+203
+00:21:11,690 --> 00:21:17,570
+صحيح but not conversely
+
+204
+00:21:22,160 --> 00:21:26,380
+العكس مش صحيح، يعني الـ continuity لا تؤدي إلى ال
+
+205
+00:21:26,380 --> 00:21:37,360
+uniform continuity و على سبيل المثال for
+
+206
+00:21:37,360 --> 00:21:39,220
+example على سبيل المثال
+
+207
+00:21:46,610 --> 00:21:51,610
+احنا شوفنا قبل شوية في بداية المحاضرة الـ function
+
+208
+00:21:51,610 --> 00:21:56,870
+f of x بساوي واحد على x و x ينتمي إلى a اللي هي
+
+209
+00:21:56,870 --> 00:22:03,870
+الفترة مفتوحة من صفر لما لا نهاية is continuous on
+
+210
+00:22:03,870 --> 00:22:11,550
+a أثبتت أنها continuous على المجموعة a but
+
+211
+00:22:15,440 --> 00:22:28,480
+but it is not uniformly continuous on a as we
+
+212
+00:22:28,480 --> 00:22:34,140
+shall see in
+
+213
+00:22:34,140 --> 00:22:39,100
+a few minutes
+
+214
+00:22:39,100 --> 00:22:46,160
+كما سنرى بعد لحظات الدالة هذه ليست متصلة اتصالا
+
+215
+00:22:46,160 --> 00:22:52,940
+منتظم هنأخر المرحلة دي شوية و هنبرهنه فلكن في
+
+216
+00:22:52,940 --> 00:22:59,560
+الأول خلينا من التعريف تبع الـ uniform continuity
+
+217
+00:22:59,560 --> 00:23:09,720
+نستنتج non uniform continuity criterion من
+
+218
+00:23:09,720 --> 00:23:13,120
+هنا non uniform
+
+219
+00:23:15,380 --> 00:23:22,560
+non uniform continuity criteria
+
+220
+00:23:22,560 --> 00:23:33,940
+let
+
+221
+00:23:33,940 --> 00:23:41,240
+f from a to r be a function then
+
+222
+00:23:44,150 --> 00:23:53,730
+the following statements are equivalent واحد if f is
+
+223
+00:23:53,730 --> 00:23:58,810
+not uniformly
+
+224
+00:23:58,810 --> 00:24:09,510
+continuous على المجال تبعها نين there exists
+
+225
+00:24:09,510 --> 00:24:17,380
+epsilon zero أكبر من الصفر such that for every
+
+226
+00:24:17,380 --> 00:24:26,620
+delta أكبر من الصفر يوجد x delta و u delta عناصر
+
+227
+00:24:26,620 --> 00:24:36,220
+في a such that absolute x delta minus u delta أصغر
+
+228
+00:24:36,220 --> 00:24:45,160
+من delta and absolute f of x delta-f of u دلتا
+
+229
+00:24:45,160 --> 00:24:53,160
+أكبر من أو يساوي epsilon zero الرابعة
+
+230
+00:24:53,160 --> 00:25:00,020
+الثالثة there exist epsilon zero أكبر من الصفر and
+
+231
+00:25:00,020 --> 00:25:06,200
+two sequences متتاليتين xn
+
+232
+00:25:07,630 --> 00:25:14,930
+و un موجودين في مجال الدالة a such that بحيث أن
+
+233
+00:25:14,930 --> 00:25:23,910
+limit xn minus un بساوي صفر as n tends to infinity
+
+234
+00:25:23,910 --> 00:25:25,690
+and
+
+235
+00:25:27,050 --> 00:25:35,910
+absolute f of xn minus f of un أكبر من أو يساوي
+
+236
+00:25:35,910 --> 00:25:42,350
+epsilon zero هذا صحيح لكل n ينتمي للأعداد الطبيعية
+
+237
+00:25:42,350 --> 00:25:51,070
+okay تمام طيب نشوف البرهان تبع النظرية هذه البرهان
+
+238
+00:25:51,070 --> 00:25:55,440
+تبع النظرية هذه ينتج مباشرة من تعريف الـ uniform
+
+239
+00:25:55,440 --> 00:26:01,980
+continuity تعال نشوف واحد بكافئ اتنين طيب ما
+
+240
+00:26:01,980 --> 00:26:07,300
+معناه if uniform continuous على المجموعة ايه؟
+
+241
+00:26:07,300 --> 00:26:12,920
+معناه الشرط هذا بيتحقق طيب ما معناه ان if not
+
+242
+00:26:12,920 --> 00:26:16,540
+uniform continuous على ايه؟ معناه الـ negation تبع
+
+243
+00:26:16,540 --> 00:26:19,720
+العبارة دي بتحقق تعال ننفذ العبارة انفذ العبارة
+
+244
+00:26:20,730 --> 00:26:25,250
+بدل لكل epsilon يوجد epsilon zero بدل يوجد delta
+
+245
+00:26:25,250 --> 00:26:31,550
+لكل delta موجبة بدل لكل x و u يوجد x و u يعتمد كل
+
+246
+00:26:31,550 --> 00:26:36,730
+واحد منهم يعتمد على الـ delta بحيث لو كان هذا أصغر
+
+247
+00:26:36,730 --> 00:26:41,950
+من delta فلازم هذا يقدر انه الأصغر هذا أكبر من أو
+
+248
+00:26:41,950 --> 00:26:45,910
+يساوي الـ epsilon zero لأن واضح أن العبارة الأولى
+
+249
+00:26:45,910 --> 00:26:50,330
+بتكافئ التانية لأنه نفي التعريف بكافئ العبارة
+
+250
+00:26:50,330 --> 00:26:55,570
+التانية طيب التانية بتكافئ التالتة وهذا برضه صح
+
+251
+00:26:55,570 --> 00:27:01,650
+افرض أن التانية صحيحة تعني نثبت أن التالتة صحيحة
+
+252
+00:27:01,650 --> 00:27:05,170
+طيب هي التانية يوجد epsilon zero يوجد و هكذا
+
+253
+00:27:12,050 --> 00:27:16,770
+بحيث لكل delta خدي delta بالساوية واحد على n يعني
+
+254
+00:27:16,770 --> 00:27:21,370
+بمعنى آخر لكل n يوجد delta بالساوية واحد على n عدد
+
+255
+00:27:21,370 --> 00:27:26,730
+موجب وبالتالي يوجد X يعتمد على الـ Delta اللي هي
+
+256
+00:27:26,730 --> 00:27:31,670
+واحد على N اللي بتعتمد على N إذا لكل N لكل N يوجد
+
+257
+00:27:31,670 --> 00:27:37,310
+XN و UN صح؟ وبالتالي يوجد two sequences و الـ two
+
+258
+00:27:37,310 --> 00:27:41,470
+sequences هدول بيحققوا أن absolute X واحدة XN
+
+259
+00:27:41,470 --> 00:27:46,310
+minus UN أصغر من واحد على N اللي هي الـ Delta و هذا
+
+260
+00:27:46,310 --> 00:27:52,660
+صحيح لكل N إذا الـ limit إذا كان هذا أصغر من واحد
+
+261
+00:27:52,660 --> 00:27:55,900
+على xn minus un على absolute أصغر من واحد على n
+
+262
+00:27:55,900 --> 00:28:00,020
+حسب نظرية اتنين أربعة هذا معناه limit xn minus un
+
+263
+00:28:00,020 --> 00:28:06,420
+بساوي صفر وهذا هي absolute f of xn minus f of un
+
+264
+00:28:06,420 --> 00:28:12,180
+أكبر من أو يساوي epsilon zero okay فهو واضح وطبعا العكس نفس الحاجة
+
+265
+00:28:12,180 --> 00:28:16,020
+إذن البرهان النظرية هذه ينتج مباشرة من ال
+
+266
+00:28:16,020 --> 00:28:20,340
+definition تبع الـ uniform continuity
+
+267
+00:28:22,600 --> 00:28:27,400
+الآن دعونا نرجع للمثال
+
+268
+00:28:27,400 --> 00:28:38,560
+هذا إذا هنا example to
+
+269
+00:28:38,560 --> 00:28:46,710
+show ان الـ function f of x بساوي واحد على x is
+
+270
+00:28:46,710 --> 00:28:51,190
+not uniformly
+
+271
+00:28:51,190 --> 00:28:58,750
+continuous على المجموعة a اللي هي الفافرة مفتوحة
+
+272
+00:28:58,750 --> 00:29:07,010
+من صفر لما لا نهاية we use non
+
+273
+00:29:07,010 --> 00:29:09,270
+uniform
+
+274
+00:29:11,050 --> 00:29:16,390
+Non-uniform continuity
+
+275
+00:29:16,390 --> 00:29:21,890
+criteria
+
+276
+00:29:37,150 --> 00:29:47,310
+يوجد ابسلون زيرو يوجد
+
+277
+00:29:47,310 --> 00:29:49,870
+عدد ابسلون زيرو موجود
+
+278
+00:30:07,550 --> 00:30:16,570
+تختار خيار Xm بساوي واحد على ان اكيد هذه ال
+
+279
+00:30:16,570 --> 00:30:19,630
+sequence contain في الفترة المفتوحة من صفر للملا
+
+280
+00:30:19,630 --> 00:30:28,210
+نهاية صح؟ and كمان تختار خيار ثاني UN بساوي واحد على ان زائد واحد
+
+281
+00:30:28,210 --> 00:30:33,370
+على أن زايد واحد برضه هذه الـ sequence حدودها كلها 
+
+282
+00:30:33,370 --> 00:30:37,730
+موزّبة وبالتالي مجموعة جزئية من الفترة المفتوحة من
+
+283
+00:30:37,730 --> 00:30:41,830
+صفر لملانها Clearly
+
+284
+00:30:41,830 --> 00:30:45,290
+واضح
+
+285
+00:30:45,290 --> 00:30:54,330
+أن الـ limit لـ xn ناقص un as n times infinity
+
+286
+00:30:54,330 --> 00:31:04,720
+بساوي limit 1 على n ناقص 1 على n زائد 1 as n equals
+
+287
+00:31:04,720 --> 00:31:11,660
+infinity فـ limit الأولى ساوي صفر limit الـ sequence
+
+288
+00:31:11,660 --> 00:31:18,200
+الثانية صفر وبالتالي بيطلع صفر لأن هنا حققت كل
+
+289
+00:31:18,200 --> 00:31:24,020
+الشروط ضايل بس المتباينة هادي also
+
+290
+00:31:28,610 --> 00:31:38,510
+أنا عندي absolute f of x n ناقص f of u n هذا
+
+291
+00:31:38,510 --> 00:31:46,990
+المفروض بيطلع بيساوي absolute n ناقص n زائد واحد،
+
+292
+00:31:46,990 --> 00:31:53,430
+أزبوتك؟ وهذا بيساوي واحد، واحد أصغر من أو يساوي، بيساوي
+
+293
+00:31:53,430 --> 00:32:00,000
+واحد اللي هو epsilon zero وهذا صحيح لكل n في n
+
+294
+00:32:00,000 --> 00:32:08,940
+أصبوت هنا هاني أنا ايش عملت الـ criterion رقم ثلاثة 
+
+295
+00:32:08,940 --> 00:32:15,660
+تحققّتها تحقّقت أنّه متحققة ها يوجد epsilon zero
+
+296
+00:32:15,660 --> 00:32:21,600
+واحد لاحظوا الواحد علشان أنا اختارت واحد ممكن آخذ
+
+297
+00:32:21,600 --> 00:32:25,040
+برضه epsilon zero بساوي اثنين لأن الواحد أصغر من
+
+298
+00:32:25,040 --> 00:32:29,380
+الاثنين ما في مشكلة بس مش أقل من واحد يعني نصف من
+
+299
+00:32:29,380 --> 00:32:32,840
+فعشان لأن هي أثبتت يوجد epsilon zero عدد موجب
+
+300
+00:32:32,840 --> 00:32:36,280
+ويوجد two sequences أنا اخترتّهم أنا أوجدتهم بنفسي
+
+301
+00:32:36,280 --> 00:32:39,780
+واحد على n واحد على n زيادة واحد كلهم موجودين في
+
+302
+00:32:39,780 --> 00:32:45,380
+مجال الدالة ايه و limit الفرق بينهم صفر لكن
+
+303
+00:32:45,380 --> 00:32:52,960
+absolute الفرق بين صورهم مش أقوى هذا هيكون بيساوي
+
+304
+00:32:52,960 --> 00:32:59,860
+واحد أكبر من أو يساوي .. مش أصغر من أو يساوي بدي
+
+305
+00:32:59,860 --> 00:33:06,140
+أكبر من أو يساوي واحد اللي هو epsilon خليني
+
+306
+00:33:06,140 --> 00:33:09,760
+أنا أسحب الكلام اللي حكيته سابقا وأقول هنا ممكن
+
+307
+00:33:09,760 --> 00:33:13,140
+آخذ الـ epsilon zero بساوي واحد أو أي حاجة أصغر
+
+308
+00:33:13,140 --> 00:33:19,750
+يعني نصف بنفع يعني أبسلون زيرو بساوي نصف بنفع لكن أي
+
+309
+00:33:19,750 --> 00:33:23,630
+شيء أكبر من واحد منفعش لأن أنا بدي واحد يكون أكبر
+
+310
+00:33:23,630 --> 00:33:28,270
+من أو يساوي أبسلون زيرو تمام؟ إذا هذه أثبتنا
+
+311
+00:33:28,270 --> 00:33:31,750
+وبالتالي حسب الـ non-uniform continuity criterion
+
+312
+00:33:31,750 --> 00:33:35,710
+الـ .. الـ function هذه is not uniform لـ continuous
+
+313
+00:33:35,710 --> 00:33:42,250
+تمام؟ لكن أثبتنا سابقا جابليك أنها is continuous
+
+314
+00:33:42,250 --> 00:33:48,150
+على المجال تبعها إذا لو قلنا لكم prove or disprove
+
+315
+00:33:48,150 --> 00:33:51,330
+continuity
+
+316
+00:33:51,330 --> 00:33:55,010
+implies continuity .. الـ uniform .. continuity
+
+317
+00:33:55,010 --> 00:33:58,970
+implies uniform continuity هتقولي هذا الـ statement
+
+318
+00:33:58,970 --> 00:34:04,150
+false والـ counter example هو هذا هذا مثال على
+
+319
+00:34:04,150 --> 00:34:07,570
+function continuous لكن ليست uniformly continuous
+
+320
+00:34:07,570 --> 00:34:17,820
+تمام؟ طيب، كويس خلينا الآن نثبت بعض النظريات
+
+321
+00:34:17,820 --> 00:34:24,300
+المهمة اللي بتخص uniform continuity ومن أهم
+
+322
+00:34:24,300 --> 00:34:32,680
+النظريات التي هي النظرية التالية theorem اسمها
+
+323
+00:34:32,680 --> 00:34:36,660
+uniform continuity
+
+324
+00:34:36,660 --> 00:34:40,160
+continuity theorem
+
+325
+00:34:49,430 --> 00:34:56,770
+let I بساوي be
+
+326
+00:34:56,770 --> 00:35:05,570
+a closed and bounded interval
+
+327
+00:35:05,570 --> 00:35:09,350
+إذا
+
+328
+00:35:09,350 --> 00:35:17,360
+I عبارة عن closed and bounded interval لو كان لو
+
+329
+00:35:17,360 --> 00:35:22,980
+كانت الـ function f continuous، if f from I to R
+
+330
+00:35:22,980 --> 00:35:34,040
+is continuous on I، then f is uniformly ..
+
+331
+00:35:34,040 --> 00:35:43,060
+uniformly continuous on
+
+332
+00:35:43,060 --> 00:35:43,620
+I
+
+333
+00:35:46,190 --> 00:35:51,870
+والبرهان السهل prove by contradiction إذا أنّ بكلّ
+
+334
+00:35:51,870 --> 00:35:57,070
+بساطة نظرية هذه رغم بساطة بساطة الـ statement تبعها
+
+335
+00:35:57,070 --> 00:36:01,710
+اللي أنا من أهم النظريات بكل بساطة النظرية اللي
+
+336
+00:36:01,710 --> 00:36:04,850
+بيقول لو كان في عندك function متصل على المجال
+
+337
+00:36:04,850 --> 00:36:08,550
+تبعها والمجال تبعها closed bounded interval إذا
+
+338
+00:36:08,550 --> 00:36:13,970
+الاتصال العادي يصبح اتصال منتظم إنّ إنّ هذه الحالة
+
+339
+00:36:13,970 --> 00:36:18,030
+الوحيدة اللي أو يعني أحد الحالات اللي فيها بيكون
+
+340
+00:36:18,030 --> 00:36:22,650
+الاتصال العادي بقدر الاتصال المنتظم إنّ احنا أضفنا
+
+341
+00:36:22,650 --> 00:36:26,630
+شرط أن مجال تبع الدالة ما يكونش أي set لازم يكون
+
+342
+00:36:26,630 --> 00:36:31,090
+closed bounded interval لبرهان ذلك بال
+
+343
+00:36:31,090 --> 00:36:39,670
+contradiction assume on contrary that
+
+344
+00:36:41,290 --> 00:36:55,010
+if is not uniformly continuous on I then by non
+
+345
+00:36:55,010 --> 00:37:03,550
+uniform continuity criteria النظرية
+
+346
+00:37:03,550 --> 00:37:10,620
+اللي فوق يوجد إبسلون زيرو أكبر من الصفر و two
+
+347
+00:37:10,620 --> 00:37:15,620
+sequences and
+
+348
+00:37:15,620 --> 00:37:25,040
+two sequences واحدة نسميها x n والثانية u n
+
+349
+00:37:25,040 --> 00:37:37,510
+contained in I بحيث أنّ absolute x n ناقص u n أصغر
+
+350
+00:37:37,510 --> 00:37:46,390
+من واحد على n لكل n and absolute f of x n ناقص f
+
+351
+00:37:46,390 --> 00:37:56,420
+of u n أكبر من أو يساوي epsilon zero لكل n في n كلّ
+
+352
+00:37:56,420 --> 00:38:01,300
+هذا نأخذه من الـ non uniform continuity criterion
+
+353
+00:38:01,300 --> 00:38:11,500
+الآن بدنا نصل لتناقض طيب
+
+354
+00:38:11,500 --> 00:38:15,980
+عشان نصل لتناقض since
+
+355
+00:38:18,370 --> 00:38:25,750
+I is bounded الفترة دي احنا فرضين أنها bounded و
+
+356
+00:38:25,750 --> 00:38:32,550
+الـ sequence x n contained in I then الـ sequence x
+
+357
+00:38:32,550 --> 00:38:35,450
+n is bounded
+
+358
+00:38:41,210 --> 00:38:57,810
+هنا باستخدام حسب Bolzano
+
+359
+00:38:57,810 --> 00:39:01,890
+Weierstrass
+
+360
+00:39:01,890 --> 00:39:02,350
+firm
+
+361
+00:39:11,180 --> 00:39:23,360
+السيكوينس هناك سبسيكوينس سميها x n k of x n such that
+
+362
+00:39:23,360 --> 00:39:28,740
+السيكوينس had a convergence limit x n k as k tends
+
+363
+00:39:28,740 --> 00:39:33,840
+to infinity as
+
+364
+00:39:33,840 --> 00:39:40,030
+k tends to infinity بساوي z ينتمي إلى r بالنسبة لـ
+
+365
+00:39:40,030 --> 00:39:45,090
+some z and some r Bolzano Weierstrass كلّ sequence
+
+366
+00:39:45,090 --> 00:39:48,570
+لها convergence subsequence سمّي الـ subsequence هكذا
+
+367
+00:39:48,570 --> 00:39:50,330
+وسمّي الـ limit تبعتها هكذا
+
+368
+00:39:54,530 --> 00:40:00,450
+الـ sub-sequence X n K contained in I التي هي
+
+369
+00:40:00,450 --> 00:40:05,450
+الفترة المغلقة من A إلى B فأحنا أخذنا نظرية تقول
+
+370
+00:40:05,450 --> 00:40:08,290
+أن لو كان هناك sequence حدودها محصورة بين A وB
+
+371
+00:40:08,290 --> 00:40:13,230
+ومتقاربة فنهايتها أيضًا محصورة بين A وB فهذا سيؤدي
+
+372
+00:40:13,230 --> 00:40:18,230
+إلى أن Z تنتمي إلى الفترة المغلقة من A إلى B التي
+
+373
+00:40:18,230 --> 00:40:18,890
+هي I
+
+374
+00:40:24,140 --> 00:40:28,340
+الذي يدفع الاتصال
+
+375
+00:40:28,340 --> 00:40:31,620
+الاتصال
+
+376
+00:40:31,620 --> 00:40:34,420
+الاتصال الاتصال الاتصال الاتصال الاتصال الاتصال
+
+377
+00:40:34,420 --> 00:40:44,240
+الاتصال الاتصال
+
+378
+00:40:51,890 --> 00:41:02,550
+موجودين في I موجودين في I موجودين
+
+379
+00:41:02,550 --> 00:41:12,990
+في I موجودين في I الـ subsequence U n برضه لها
+
+380
+00:41:12,990 --> 00:41:16,970
+subsequence مشابهة و convergent لنفس الـ Z هذا مش
+
+381
+00:41:16,970 --> 00:41:25,390
+واضح لثبته لثباته to see this to see this note
+
+382
+00:41:25,390 --> 00:41:28,250
+that
+
+383
+00:41:31,680 --> 00:41:37,040
+بنقدر نخلّي الفرق بين
+
+384
+00:41:37,040 --> 00:41:47,580
+u n k و z أصغر من أي epsilon فهذا
+
+385
+00:41:47,580 --> 00:41:58,020
+أصغر من أو يساوي u n k ناقص x n k زائد absolute x n k
+
+386
+00:41:58,020 --> 00:42:03,380
+ناقص z هو في الأصل أنّ أنا المفروض أكتب أنا أشعر
+
+387
+00:42:03,380 --> 00:42:07,840
+بالإضطراب x n k ورجعتها واستخدمت الـ triangle
+
+388
+00:42:07,840 --> 00:42:18,420
+inequality طيب هذا صحيح لكل k ينتمي إلى n طيب أنا
+
+389
+00:42:18,420 --> 00:42:22,220
+عندي limit
+
+390
+00:42:22,220 --> 00:42:30,290
+x n ناقص u n بساوي صفر لأن هذا صحيح لكل n فـ
+
+391
+00:42:30,290 --> 00:42:36,130
+limit u n k ناقص x n k برضه بيساوي صفر فهذا
+
+392
+00:42:36,130 --> 00:42:43,750
+بيروح لصفر as k tends to infinity وعندي أنا برضه u
+
+393
+00:42:43,750 --> 00:42:50,290
+الـ x n k جلنا تقول إلى z فبالتالي الـ absolute
+
+394
+00:42:50,290 --> 00:42:56,630
+value هذه بتروح لصفر as k tends to infinity وهذا
+
+395
+00:42:56,630 --> 00:43:08,170
+أكبر من صفر، إذن by squeeze theorem الـ sequence
+
+396
+00:43:08,170 --> 00:43:13,030
+هذه محصورة بين الـ sequence هذه بالصفر ومجموعة two
+
+397
+00:43:13,030 --> 00:43:18,270
+sequences بيقولوا للصفر إذا من الـ limit لـ absolute
+
+398
+00:43:18,270 --> 00:43:25,570
+u n k ناقص z as k tends to infinity بساوي صفر و
+
+399
+00:43:25,570 --> 00:43:31,270
+منها بطلع الـ limit u n k as k tends to infinity
+
+400
+00:43:31,270 --> 00:43:38,230
+بساوي z وبالتالي هذا بيثبت الـ claim تمام؟ إذا هنا
+
+401
+00:43:38,230 --> 00:43:43,830
+أثبتنا الـ claim الآن بعد ما أثبتنا الـ claim
+
+402
+00:43:57,160 --> 00:44:04,320
+طيب طيب now أنا
+
+403
+00:44:04,320 --> 00:44:12,300
+بدّي أقول لكم اثبتنا أنه النقطة z تنتمي .. z تنتمي لـ
+
+404
+00:44:12,300 --> 00:44:16,880
+I الـ limit تبعت الـ subsequence تنتمي لـ I والـ f
+
+405
+00:44:16,880 --> 00:44:17,460
+continuous
+
+406
+00:44:21,950 --> 00:44:25,850
+إنّ الهدف بقدم if is continuous لأن if continuous
+
+407
+00:44:25,850 --> 00:44:32,210
+على I وبالتالي continuous عند أي نقطة في الـ I ولا
+
+408
+00:44:32,210 --> 00:44:36,990
+تكن الـ Z hence
+
+409
+00:44:36,990 --> 00:44:40,730
+by
+
+410
+00:44:40,730 --> 00:44:46,510
+sequential criterion by sequential criterion for
+
+411
+00:44:46,510 --> 00:44:50,500
+continuous function الـ function continuous عند
+
+412
+00:44:50,500 --> 00:44:54,640
+النقطة z وفي عندي sequence x n k converged لـ z
+
+413
+00:44:54,640 --> 00:45:01,260
+إذا الـ limit لصورة الـ sequence أو الـ subsequence
+
+414
+00:45:01,260 --> 00:45:10,180
+لما كتره لـ infinity بساوي f of z وكذلك أيضًا And
+
+415
+00:45:10,180 --> 00:45:13,760
+برضه الـ limit أنا عندي برضه الـ sequence هذي
+
+416
+00:45:13,760 --> 00:45:20,220
+converge لـ z فنهاية صورة الـ subsequence u n k as
+
+417
+00:45:20,220 --> 00:45:27,260
+k tends to infinity برضه بيساوي f of z تمام
+
+418
+00:45:27,260 --> 00:45:31,520
+طيب
+
+419
+00:45:31,520 --> 00:45:35,000
+لكن
+
+420
+00:45:35,000 --> 00:45:43,090
+أنا عندي أنا عندي المتباينة الـ but أنا عندي 
+
+421
+00:45:43,090 --> 00:45:47,170
+absolute f of x in
+
+422
+00:45:55,850 --> 00:46:01,570
+من الفرض هيها من الفرض أن ال function not
+
+423
+00:46:01,570 --> 00:46:07,070
+uniformly continuous أنا عندي هذا أكبر من أو يساوي
+
+424
+00:46:07,070 --> 00:46:10,050
+epsilon zero لكل n لكل حدود ال sequences
+
+425
+00:46:14,300 --> 00:46:20,060
+فهذا بيقدّي .. هذا بدوره بيقدّي أن epsilon zero
+
+426
+00:46:20,060 --> 00:46:27,180
+هي epsilon zero أصغر من أو يساوي absolute f of x in
+
+427
+00:46:27,180 --> 00:46:36,220
+k minus f of u in k تمام؟
+
+428
+00:46:37,840 --> 00:46:41,720
+هذا صحيح لـ sequence x in و لـ sequence u in إذا
+
+429
+00:46:41,720 --> 00:46:46,200
+صحيح للـ subsequence للـ subsequences إذا هذه جاية
+
+430
+00:46:46,200 --> 00:46:50,620
+من هنا طيب و by triangle inequality by triangle
+
+431
+00:46:50,620 --> 00:46:56,760
+inequality ممكن أخلي هذا أصغر من أو يساوي f of x nk
+
+432
+00:46:56,760 --> 00:47:10,090
+minus f of z زائد absolute f of z-F of U in K أنا
+
+433
+00:47:10,090 --> 00:47:14,610
+شو أنا عاملة اتراحت من هنا F of Z و رجعتها اه و
+
+434
+00:47:14,610 --> 00:47:17,810
+استخدمت ال triangle equality فصار عندي اصلا مجموعة
+
+435
+00:47:17,810 --> 00:47:24,070
+two absolute values طيب
+
+436
+00:47:24,070 --> 00:47:30,660
+ما أنا ممكن أخليأنا عندي limit ال sequence هذه
+
+437
+00:47:30,660 --> 00:47:36,800
+بساوي f of z فلأي given epsilon أكبر من الصفر ممكن
+
+438
+00:47:36,800 --> 00:47:42,300
+أخلي absolute الفرخ هذا أصغر من epsilon على 2 ونفس
+
+439
+00:47:42,300 --> 00:47:47,260
+الحاجة أنا عندي ال sequence f of u and k converged
+
+440
+00:47:47,260 --> 00:47:51,840
+ل f of z إذا ممكن أخلي ال absolute value للفرخ هذه
+
+441
+00:47:51,840 --> 00:47:59,540
+أصغر من epsilon على 2وبالتالي بيطلع المجموعة
+
+442
+00:47:59,540 --> 00:48:06,420
+epsilon هذا صحيح لكل K أكبر من أو يساوي كابتل K أو
+
+443
+00:48:06,420 --> 00:48:12,360
+كابتل N واضح تمام؟ يعني لا أي epsilon أكبر من صفر
+
+444
+00:48:12,360 --> 00:48:15,820
+أو لا عفو أن ال epsilon نفس ال epsilon zero هذه ال
+
+445
+00:48:15,820 --> 00:48:19,380
+epsilon هي نفس ال epsilon zeroهي عندي الـ Epsilon
+
+446
+00:48:19,380 --> 00:48:23,780
+Zero given لما أن ال sequence هي ال converge إذا
+
+447
+00:48:23,780 --> 00:48:28,400
+يوجد capital N واحد يعتمد على Epsilon Zero بحيث أن
+
+448
+00:48:28,400 --> 00:48:33,580
+أبسلوت الفرق هذا أصغر من أو يساوي Epsilon على اتنين
+
+449
+00:48:33,580 --> 00:48:37,140
+لكل K أكبر من أو يساوي capital K واحد أو capital N
+
+450
+00:48:37,140 --> 00:48:42,560
+واحد ونفس الحاجة لنفس ال Epsilon Zero يوجد N اتنين
+
+451
+00:48:43,830 --> 00:48:47,730
+بحيث أن بما أن هذه ال sequence converge إذا
+
+452
+00:48:47,730 --> 00:48:52,310
+الفرخة ده بقدر أخليه لكل n أكبر من أو لكل k أكبر
+
+453
+00:48:52,310 --> 00:48:56,630
+من أو يساوي n اتنين أصغر من ابسلون اتنين الآن خدي n
+
+454
+00:48:56,630 --> 00:49:05,410
+بساوي ال maximum ل n واحد و n اتنين فبقدر
+
+455
+00:49:05,410 --> 00:49:11,930
+أخلي هذا أصغر من ابسلون زيرو لكل k أكبر من أو يساوي
+
+456
+00:49:11,930 --> 00:49:16,590
+nففي النهاية بيطلع عندي epsilon zero أقل من
+
+457
+00:49:16,590 --> 00:49:19,650
+epsilon أصغر من epsilon zero هذا مديني
+
+458
+00:49:19,650 --> 00:49:23,590
+contradiction لأن هذا التناقض بيقول لي أن ال
+
+459
+00:49:23,590 --> 00:49:28,150
+assumption تبعنا أن ال function not uniformly
+
+460
+00:49:28,150 --> 00:49:32,050
+continuous كان assumption خطأ لأن الصح أن ال F
+
+461
+00:49:32,050 --> 00:49:37,810
+تكون uniformly continuous okay تمام واضح؟Okay إذا
+
+462
+00:49:37,810 --> 00:49:44,230
+بنوقف إن شاء الله هنا عند نهاية البرهان هذا و
+
+463
+00:49:44,230 --> 00:49:51,690
+بيكون هيك احنا يعني خلصنا جزء مش بسيط في section
+
+464
+00:49:51,690 --> 00:49:56,730
+خمسة أربعة و نكتفي بهذا القدر و يعطيكم ألف عافية و
+
+465
+00:49:56,730 --> 00:49:58,590
+شكرا لحسن أصغائكم 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Kfhi1a_WpFk.srt

@@ -0,0 +1,1616 @@
+1
+00:00:20,650 --> 00:00:26,490
+طبعًا إحنا زي ما اتفقنا معاكم هنعمل
+
+2
+00:00:26,490 --> 00:00:36,030
+مناقشة للـ course  و هنبدأ طبعًا بـ chapter  اتنين اللي 
+
+3
+00:00:36,030 --> 00:00:42,270
+هو أول chapter درسناه و هنبدأ بـ section اتنين واحد
+
+4
+00:00:42,270 --> 00:00:46,270
+و إذا في واجب طبعًا هنحاول نجاوب على أسئلة في
+
+5
+00:00:46,270 --> 00:00:47,190
+section اتنين اتنين
+
+6
+00:00:50,880 --> 00:00:55,480
+أطمئن عليكم أنه يعني طبعًا الأسئلة عددها كبير و مش 
+
+7
+00:00:55,480 --> 00:01:00,980
+هنلحق نحل كل المسائل لكن أطمئن عليكم إنكم تسألوا
+
+8
+00:01:00,980 --> 00:01:06,020
+الأسئلة اللي أنتو يعني وجدتوا فيها صعوبة في حالها
+
+9
+00:01:06,020 --> 00:01:10,000
+حتى 
+
+10
+00:01:10,000 --> 00:01:17,240
+تكون يعني الفائدة تعمق أكثر فنبدأ بـ section 2 1 هل
+
+11
+00:01:17,240 --> 00:01:23,860
+في أي سؤال في section 2 1 حاولتوا تحلوه ما عرفتووش 
+
+12
+00:01:23,860 --> 00:01:33,540
+تحلوه أو وجدته صعوبة في حاله ففي
+
+13
+00:01:33,540 --> 00:01:36,640
+أي سؤال من الأسئلة اللي إحنا حددناها في الـ
+
+14
+00:01:36,640 --> 00:01:42,080
+syllabus و قولنا لكم حلوها في أي سؤال في section 2
+
+15
+00:01:42,080 --> 00:01:49,810
+و 1 تحبوا تسألوا عنه؟ أستاذ ممكن نسأل .. نشرح ..
+
+16
+00:01:49,810 --> 00:01:54,650
+نشرح .. نظرية ما .. ما نثبتش .. مش عارف كيف نثبت
+
+17
+00:01:54,650 --> 00:02:02,090
+ما هي عامة exercise اه إيش هي دي؟ X على Z زي Y على
+
+18
+00:02:02,090 --> 00:02:07,930
+W يوم ساوي X Z زي Z Y على Z W كيف نستخدم .. كيف
+
+19
+00:02:07,930 --> 00:02:09,430
+نبدأ فيها؟ مش عارف
+
+20
+00:02:17,430 --> 00:02:21,510
+يعني الخواص اللي .. مش هادى خاصيه من الخواص اللي
+
+21
+00:02:21,510 --> 00:02:27,210
+خدناها حاول تشوف يعني كيف إحنا برهنا الخواص الأخرى
+
+22
+00:02:27,210 --> 00:02:37,050
+و تستفيدي منها و .. و تحاولي تبرهنها يعني ممكن
+
+23
+00:02:37,050 --> 00:02:41,310
+كمان تبصي في الكتاب المقرر و تشوفي يعني هل هو حلها 
+
+24
+00:02:41,310 --> 00:02:47,940
+أو محلهاش لكن أنا يعني الخواص اللي إحنا ما برهناهاش
+
+25
+00:02:47,940 --> 00:02:53,700
+يعني .. يعني كان برهانها سهل و ممكن تتبرهنيها بنفس
+
+26
+00:02:53,700 --> 00:03:00,280
+الأسلوب اللي إحنا برهنا فيه الخصائص الأخرى فخليني 
+
+27
+00:03:00,280 --> 00:03:03,900
+أترك الإجابة على السؤال هذا إليكي تحاولي فيه مرة 
+
+28
+00:03:03,900 --> 00:03:08,360
+ثانية و إذا ما عرفتيش ممكن تجيلي على المكتب و ممكن
+
+29
+00:03:08,360 --> 00:03:09,280
+نتناقش
+
+30
+00:03:11,940 --> 00:03:16,180
+يا ريت تسألوني أسئلة من التمرين من الـ exercises إذا
+
+31
+00:03:16,180 --> 00:03:26,140
+سمحتوا، تفضلي السؤال الرابع في section السابع في
+
+32
+00:03:26,140 --> 00:03:30,360
+section اتنين واحد، حاضر
+
+33
+00:03:39,140 --> 00:03:50,140
+إذا حل السؤال سبعة section اتنين واحد modify
+
+34
+00:03:50,140 --> 00:03:53,360
+the proof of theorem اتنين واحد أربعة في الكتاب
+
+35
+00:03:53,360 --> 00:03:59,200
+المقرر to show that there
+
+36
+00:03:59,200 --> 00:04:05,640
+does not exist لا يوجد there does not exist
+
+37
+00:04:08,790 --> 00:04:19,170
+T ينتمي للـ Q بحيث أن T تربيع بساوي تلاتة بمعنى 
+
+38
+00:04:19,170 --> 00:04:23,770
+آخر يعني الجذر التلاتة بنا نثبت أنه جذر التلاتة
+
+39
+00:04:23,770 --> 00:04:28,730
+ليس عدد نسبي فالمفروض
+
+40
+00:04:28,730 --> 00:04:33,010
+أنكم يعني تفهموا و تحاولوا تفهموا البرهان تبع
+
+41
+00:04:33,010 --> 00:04:37,810
+إثبات أنه جذر اتنين ليس عدد نسبي وتحاولوا تعملوا
+
+42
+00:04:37,810 --> 00:04:45,910
+برهان مشابه في أسلوب براهين للسؤال هذا فأحد البراهين
+
+43
+00:04:45,910 --> 00:04:52,590
+شبه البرهان اللي أخدنا بتاع جذر الاتنين ليس عدد
+
+44
+00:04:52,590 --> 00:04:59,330
+نسبي فخلينا نشوفه مع بعض خلينا نشوف إذن البرهان 
+
+45
+00:04:59,330 --> 00:05:04,810
+prove طبعًا البرهان بالتناقض assume
+
+46
+00:05:07,480 --> 00:05:18,180
+on contrary نفرض على النقيض there exist T بساوي A 
+
+47
+00:05:18,180 --> 00:05:29,420
+على B عدد نسبي بحيث أنه الـ greatest common divisor
+
+48
+00:05:29,420 --> 00:05:34,760
+للـ A والـ B بساوي واحد and
+
+49
+00:05:37,230 --> 00:05:43,970
+T تربيع اللي هو بساوي A على B الكل تربيع بساوي 
+
+50
+00:05:43,970 --> 00:05:52,030
+تلاتة إذا هذا النقيض أو النفي تبع يوجد عدد نسبي 
+
+51
+00:05:52,030 --> 00:06:00,050
+مربعه بساوي تلاتة النفي تبعه يوجد عدد نسبي مربعه
+
+52
+00:06:00,050 --> 00:06:05,840
+بساوي تلاتة وطبعًا ممكن نفرض إنه العدد النسبي الـ
+
+53
+00:06:05,840 --> 00:06:10,160
+greatest common divisor للـ بسط والمقام تبعه بساوي 
+
+54
+00:06:10,160 --> 00:06:17,300
+واحد زي ما عملنا في حالة الـ square root of two طيب
+
+55
+00:06:17,300 --> 00:06:22,740
+then في الحالة هذه لو ربع .. لو هنا من المعادلة
+
+56
+00:06:22,740 --> 00:06:32,820
+هذه بنحصل على A تربيع بساوي تلاتة B تربيع وهذا
+
+57
+00:06:32,820 --> 00:06:42,870
+بيقودى إن الـ B تقسم A تربيع الـ
+
+58
+00:06:42,870 --> 00:06:48,170
+B تقسم A تربيع أو A تربيع اللي هي تلاتة B تربيع 
+
+59
+00:06:48,170 --> 00:06:54,810
+تقبل القسمة على B بدون باقي طيب
+
+60
+00:06:54,810 --> 00:07:03,250
+الـ  و في الحالة هذه بقدر
+
+61
+00:07:04,790 --> 00:07:10,850
+أفصل حالتين العدد بي هذا ممكن .. هذا طبعًا عدد .. 
+
+62
+00:07:10,850 --> 00:07:20,430
+عدد صحيح ممكن يكون أكبر من الواحد و ممكن يكون 
+
+63
+00:07:20,430 --> 00:07:28,990
+بساوي واحد فنفرض أن الـ بي أكبر من واحد then في 
+
+64
+00:07:28,990 --> 00:07:32,770
+الحالة هذه بي can be written
+
+65
+00:07:37,720 --> 00:07:45,000
+as product of
+
+66
+00:07:45,000 --> 00:07:49,640
+primes الـ
+
+67
+00:07:49,640 --> 00:07:54,820
+بيه ده عدد صحيح أكبر من واحد فممكن نكتبه على صورة
+
+68
+00:07:55,540 --> 00:08:01,280
+حاصل ضرب أعداد أولية أي عدد صحيح أكبر من واحد ممكن
+
+69
+00:08:01,280 --> 00:08:06,180
+كتابته على صورة حاصل ضرب أعداد أولية product of
+
+70
+00:08:06,180 --> 00:08:12,100
+primes prime عدد أولي هذا حقيقة معروفة في نظرية
+
+71
+00:08:12,100 --> 00:08:17,020
+الأعداد وبالتالي
+
+72
+00:08:17,020 --> 00:08:20,240
+hence وبالتالي 
+
+73
+00:08:22,840 --> 00:08:33,180
+يوجد a prime يوجد عدد أولي a prime P بحيث أن هذا
+
+74
+00:08:33,180 --> 00:08:39,120
+الـ P يقسم الـ B يعني
+
+75
+00:08:39,120 --> 00:08:44,880
+أنا الـ B هذا هي product of primes ممكن يكون بساوي
+
+76
+00:08:44,880 --> 00:08:50,840
+P1 ضرب P2 ضرب PN
+
+77
+00:08:52,290 --> 00:08:59,710
+حيث و P1 و P2 و PN كلهم Primes أعداد أولية فأكيد
+
+78
+00:08:59,710 --> 00:09:07,390
+لو أخدت أي واحد منهم فهذا بيقسم بي أو بيقبل قسم
+
+79
+00:09:07,390 --> 00:09:16,530
+عليه بس إذا يوجد يوجد Prime سمي P يقسم بي أو بيقبل
+
+80
+00:09:16,530 --> 00:09:20,710
+قسم عليه فهذا
+
+81
+00:09:20,710 --> 00:09:33,050
+بيؤدي هذا بيقودى أن P يقسم الـ A تربيع لأن أنا عندي P
+
+82
+00:09:33,050 --> 00:09:40,570
+يقسم A تربيع و P يقسم B إذا
+
+83
+00:09:40,570 --> 00:09:51,030
+الـ P هذا يقسم A تربيع okay تمام طيب و منها هذا 
+
+84
+00:09:51,030 --> 00:09:57,970
+بيقودى أن P يقسم A إذا P يقسم A تربيع فممكن إثبات
+
+85
+00:09:57,970 --> 00:10:08,830
+أن P يقسم العدد الصحيح A وهكذا أثبتنا الـ
+
+86
+00:10:08,830 --> 00:10:20,170
+greatest common divisor لـ A وB أكبر من أو يساوي P و
+
+87
+00:10:20,170 --> 00:10:27,090
+P هذا طبعًا أكبر من واحد لأن
+
+88
+00:10:27,090 --> 00:10:39,430
+الـ P يقسم الـ A و P يقسم الـ B فمعناته
+
+89
+00:10:39,430 --> 00:10:46,350
+في عامل مشترك في common divisor اللي هو P بين a و b
+
+90
+00:10:46,350 --> 00:10:50,050
+لأن الـ greatest common divisor سيكون على الأقل p
+
+91
+00:10:50,050 --> 00:10:53,770
+ويمكن أن يكون أكبر وبالتالي greatest common
+
+92
+00:10:53,770 --> 00:10:59,070
+divisor ل a و b أكبر من واحد وهذا بتناقض مع فرضنا
+
+93
+00:10:59,070 --> 00:11:02,650
+أن greatest common divisor ل a و b بساوي واحد
+
+94
+00:11:02,650 --> 00:11:07,850
+which is
+
+95
+00:11:07,850 --> 00:11:08,870
+a contradiction
+
+96
+00:11:15,680 --> 00:11:23,960
+وهذا التناقض بيكمل البرهان يعني
+
+97
+00:11:23,960 --> 00:11:30,740
+فرضنا هذا أنه في عدد نسبي مربعه بساوي تلاتة كان فرض
+
+98
+00:11:30,740 --> 00:11:36,780
+خطأ الصح أنه لا يوجد عدد نسبي مربعه بساوي تلاتة Okay
+
+99
+00:11:36,780 --> 00:11:39,740
+تمام إذا هذا برهان وفيه طبعًا براهين أخرى ممكن
+
+100
+00:11:39,740 --> 00:11:43,460
+تلاقوها تجدوها في كتب الـ real analysis لكن هذا أحد
+
+101
+00:11:43,460 --> 00:11:52,580
+البراهين تمام؟ مين عنده سؤال تاني؟ في أي سؤال 
+
+102
+00:11:52,580 --> 00:12:03,220
+تاني؟ في section 2.1 أو 2.2؟
+
+103
+00:12:03,220 --> 00:12:04,680
+نعم
+
+104
+00:12:06,770 --> 00:12:10,590
+لا نفس السؤال مش في أكثر من حالة ولا بس بأخذ الـ D
+
+105
+00:12:10,590 --> 00:12:15,390
+أكثر من حالة؟ اه في كمان حالة صحيح الـ case الثانية
+
+106
+00:12:15,390 --> 00:12:23,290
+مظبوط الـ case الثانية خليني أكتبها هناك صحيح في
+
+107
+00:12:23,290 --> 00:12:24,030
+حالة ثانية
+
+108
+00:12:42,990 --> 00:12:48,270
+case اتنين الـ بي بيساوي واحد لو كانت الـ بي 
+
+109
+00:12:48,270 --> 00:12:55,330
+بيساوي واحد فهذا بيقودى أنا عندي A تربيع من هنا
+
+110
+00:12:55,330 --> 00:13:00,270
+في عندي A تربيع بيساوي تلاتة B تربيع فلو الـ بي
+
+111
+00:13:00,270 --> 00:13:08,730
+بيساوي واحد معناه A تربيع تطلع بيساوي تلاتة و
+
+112
+00:13:08,730 --> 00:13:20,170
+هذا يعني مستحيل which is impossible هذا
+
+113
+00:13:20,170 --> 00:13:28,690
+مستحيل لأنه لأنه ما فيش عدد صحيح عدد صحيح مربعه
+
+114
+00:13:28,690 --> 00:13:34,130
+بيساوي تلاتة since there does not exist integer
+
+115
+00:13:34,130 --> 00:13:36,950
+integer
+
+116
+00:13:38,790 --> 00:13:46,690
+a such that a تربيع بيساوي تلاتة إذا في الحالة هذه
+
+117
+00:13:46,690 --> 00:13:54,510
+حصلنا على حاجة impossible يعني تناقض وهنا
+
+118
+00:13:54,510 --> 00:14:01,510
+كمان حصلنا على تناقض أن الـ assumption تبعنا أنه
+
+119
+00:14:01,510 --> 00:14:06,550
+يوجد عدد نسبي مربعه بساوي تلاتة كان فرض خاطئ وهذا
+
+120
+00:14:06,550 --> 00:14:08,090
+بيكمل البرهان في الحالتين
+
+121
+00:14:10,890 --> 00:14:17,630
+في أي سؤال تاني؟ في 
+
+122
+00:14:17,630 --> 00:14:25,890
+أسئلة تانية في الـ section 2 1 أو 2 2 أنا
+
+123
+00:14:25,890 --> 00:14:30,190
+كنت متوقع أن يكون عندكم أسئلة كتيرة واضح جدا إنكم
+
+124
+00:14:30,190 --> 00:14:35,150
+أنتم ما حاولين تحلوا الأسئلة وبالتالي ما عندكمش
+
+125
+00:14:35,150 --> 00:14:38,550
+يعني استفسارات
+
+126
+00:14:40,490 --> 00:14:42,690
+طبعًا ستة و عشرين
+
+127
+00:15:13,320 --> 00:15:20,080
+سؤال ستة و عشرين سكتشن اتنين واحد show
+
+128
+00:15:20,080 --> 00:15:28,560
+by induction that
+
+129
+00:15:28,560 --> 00:15:36,860
+لو
+
+130
+00:15:36,860 --> 00:15:46,900
+كان A ينتمي لـ R و M و N أعداد طبيعية فهذا بيقودى أن
+
+131
+00:15:46,900 --> 00:15:52,480
+A to M
+
+132
+00:15:52,480 --> 00:16:04,080
+plus N بيساوي A to M في A to N نريد
+
+133
+00:16:04,080 --> 00:16:10,300
+أن نثبت أن استخدام الـ induction إنه لأي عدد حقيقي A
+
+134
+00:16:10,300 --> 00:16:15,640
+و لأي عدد طبيعي M و N A to M زائد N بيساوي A to M
+
+135
+00:16:15,640 --> 00:16:24,800
+ضرب A to N هذا أحد قوانين الأسس فطبعًا
+
+136
+00:16:24,800 --> 00:16:29,420
+هنعمل induction أو بيسموه double induction على M و
+
+137
+00:16:29,420 --> 00:16:32,860
+N في نفس الوقت فالحالة الأولى
+
+138
+00:16:36,700 --> 00:16:40,780
+فـ M بيساوي N بيساوي واحد لو كان الـ M والـ N كلها
+
+139
+00:16:40,780 --> 00:16:46,040
+بيساوي واحد then
+
+140
+00:16:46,040 --> 00:16:56,900
+a to m زي الـ N بيساوي a to واحد زي الواحد بيساوي a 
+
+141
+00:16:56,900 --> 00:17:06,340
+A to M ضرب A to N يساوي A to 1 ضرب A to 
+
+142
+00:17:06,340 --> 00:17:13,780
+1 يساوي A تلبي  وبالتالي الطرفين المعادلة هذه
+
+143
+00:17:13,780 --> 00:17:21,200
+متحققة لأن الطرفين يساوي نفس المقدار A تلبي 
+
+144
+00:17:21,200 --> 00:17:26,300
+إذا إذا 
+
+145
+00:17:26,300 --> 00:17:27,680
+star holds
+
+146
+00:17:30,970 --> 00:17:39,310
+in case M يساوي M يساوي 1 المعادلة star متحققة في
+
+147
+00:17:39,310 --> 00:17:43,610
+حالة M يساوي M يساوي 1 الآن ال induction
+
+148
+00:17:43,610 --> 00:17:48,370
+hypothesis ان هذا induction عادي بس يعني بدل من
+
+149
+00:17:48,370 --> 00:17:53,530
+قيام على M يكون على M و M ال induction hypothesis
+
+150
+00:17:53,530 --> 00:17:59,270
+الفرض تبع ال induction بنفرض assume
+
+151
+00:18:03,340 --> 00:18:09,860
+assume star holds المعادلة
+
+152
+00:18:09,860 --> 00:18:18,760
+star صحيحة for m يساوي k أكبر من واحد and n يساوي
+
+153
+00:18:18,760 --> 00:18:28,940
+j أكبر من واحد this
+
+154
+00:18:28,940 --> 00:18:42,170
+means هذا معناه ان a to k plus j يساوي a to k ضرب a
+
+155
+00:18:42,170 --> 00:18:48,710
+to j إذا احنا فرضنا صحة المعادلة هذه عندما m يساوي
+
+156
+00:18:48,710 --> 00:18:57,560
+k و عندما n يساوي j الآن نريد اثبات صحتها عندما M
+
+157
+00:18:57,560 --> 00:19:01,440
+يساوي K زائد واحد وعندما N يساوي G زائد واحد
+
+158
+00:19:01,440 --> 00:19:08,840
+تعال نثبت صحتها في الحالة يعني إذا now A نأخذ A
+
+159
+00:19:08,840 --> 00:19:16,320
+to K زائد واحد زائد G زائد واحد
+
+160
+00:19:20,610 --> 00:19:25,150
+ان نتبع صحة المعادلة star عندما M يساوي K زائد
+
+161
+00:19:25,150 --> 00:19:29,370
+واحد و N يساوي G زائد واحد في الحالة هذه الطرف
+
+162
+00:19:29,370 --> 00:19:37,310
+اليسار لـ star يساوي الكلام هذا وهذا ممكن نجزئه إلى A
+
+163
+00:19:37,310 --> 00:19:49,290
+to K زائد G زائد واحد زائد واحد الأُس هذا ممكن نقعد
+
+164
+00:19:49,290 --> 00:19:53,450
+الكتابة على صورة ك زائد جي زائد واحد مع بعض زائد
+
+165
+00:19:53,450 --> 00:20:01,550
+واحد وهذا يساوي a to ك زائد جي زائد واحد ضرب a
+
+166
+00:20:01,550 --> 00:20:06,090
+إذن
+
+167
+00:20:06,090 --> 00:20:13,630
+a أُس الكلام هذا ضرب a أُس واحد صح؟ وهذا يساوي
+
+168
+00:20:15,990 --> 00:20:20,710
+A أُس K زائد J زائد واحد عبارة عن A أُس K زائد J
+
+169
+00:20:20,710 --> 00:20:30,370
+ضرب A إذن الجزء هذا A أُس K زائد J زائد واحد عبارة
+
+170
+00:20:30,370 --> 00:20:34,850
+عن A أُس K زائد J ضرب A وفي أندم الأول ضرب A
+
+171
+00:20:34,850 --> 00:20:39,410
+باستخدام
+
+172
+00:20:39,410 --> 00:20:44,690
+ال induction hypothesis الفرض طبع ال induction احنا
+
+173
+00:20:44,690 --> 00:20:52,950
+فرضنا ان a to k زي j يساوي a to k ضرب a ضرب a to j
+
+174
+00:20:52,950 --> 00:21:03,390
+وفي عندي من الأول a في a إذا
+
+175
+00:21:03,390 --> 00:21:06,910
+هذا
+
+176
+00:21:06,910 --> 00:21:15,050
+يساوي a to k ضرب a مع بعض ممكن أخدهم مع بعض ضرب a
+
+177
+00:21:15,050 --> 00:21:22,670
+to j في a مع بعض لأن هنا استخدمنا ال fact ان عملية
+
+178
+00:21:22,670 --> 00:21:30,430
+ضرب الأعداد الحقيقية associative الآن a to k ضرب a
+
+179
+00:21:30,430 --> 00:21:38,650
+يساوي a to k زائد واحد و a to j ضرب a يساوي a to j
+
+180
+00:21:38,650 --> 00:21:48,390
+زائد واحد وهذا هو المطلوب إذاً هذا يثبت إذاً
+
+181
+00:21:48,390 --> 00:21:54,090
+هنا أثبتنا صحة ال star هاي الطرف الشمال لـ star
+
+182
+00:21:54,090 --> 00:22:00,110
+عندما M يساوي K زائد واحد و M يساوي K زائد واحد و
+
+183
+00:22:00,110 --> 00:22:04,010
+هذا هو الطرف اليمين لـ star عندما M يساوي K زائد
+
+184
+00:22:04,010 --> 00:22:09,430
+واحد و M يساوي G زائد واحد إذاً star holds
+
+185
+00:22:12,700 --> 00:22:27,220
+N يساوي ك زائد واحد and N يساوي جي زائد واحد this
+
+186
+00:22:27,220 --> 00:22:32,620
+completes the
+
+187
+00:22:32,620 --> 00:22:33,140
+induction
+
+188
+00:22:38,010 --> 00:22:43,590
+إن ان هذا يكمل البرهان by induction تمام واضح؟ في
+
+189
+00:22:43,590 --> 00:22:51,510
+أي سؤال؟ مفهوم؟ في أسئلة ثانية؟ أي أسئلة ثانية؟
+
+190
+00:23:15,480 --> 00:23:20,400
+سؤال 14؟ بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب
+
+191
+00:23:20,400 --> 00:23:21,980
+example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس
+
+192
+00:23:21,980 --> 00:23:24,560
+نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها
+
+193
+00:23:24,560 --> 00:23:25,020
+بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا
+
+194
+00:23:25,020 --> 00:23:28,740
+اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example
+
+195
+00:23:28,740 --> 00:23:29,260
+لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب
+
+196
+00:23:29,260 --> 00:23:29,440
+example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس
+
+197
+00:23:29,440 --> 00:23:29,680
+نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا اسمها
+
+198
+00:23:29,680 --> 00:23:29,900
+بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example لنا
+
+199
+00:23:29,900 --> 00:23:33,360
+اسمها بس نجيب example لنا اسمها بس نجيب example
+
+200
+00:23:33,360 --> 00:23:37,520
+لنا
+
+201
+00:23:37,520 --> 00:23:37,620
+اسمها
+
+202
+00:23:42,390 --> 00:23:45,070
+الجزء الأول ولا الثاني؟ الأول
+
+203
+00:24:16,920 --> 00:24:25,800
+إذا الجزء الأول مسألة 14 F zero
+
+204
+00:24:25,800 --> 00:24:36,560
+less than or equal a less than b show أثبتي أنه a
+
+205
+00:24:36,560 --> 00:24:43,160
+تربيع أصغر من أو يساوي a في b أصغر من b تربيع
+
+206
+00:25:01,170 --> 00:25:07,290
+proof case واحد a يساوي واحد أنتو ان ال a أكبر من
+
+207
+00:25:07,290 --> 00:25:12,430
+أو يساوي صفر فناخد الأول a يساوي صفر وبعدين a أكبر
+
+208
+00:25:12,430 --> 00:25:21,050
+من صفر فلو كان a يساوي صفر هذا يودي أنه
+
+209
+00:25:21,050 --> 00:25:32,740
+a تربيع اللي هي بتساوي صفر أصغر من أو يساوي A في B
+
+210
+00:25:32,740 --> 00:25:39,740
+اللي هو صفر و
+
+211
+00:25:39,740 --> 00:25:44,180
+طبعا ال B في الحالة هذه أكبر من A يعني أكبر من صفر
+
+212
+00:25:44,180 --> 00:25:47,760
+لأن هذا أصغر من B
+
+213
+00:25:56,410 --> 00:26:01,650
+و أصغر من B تربيع لأن
+
+214
+00:26:01,650 --> 00:26:12,050
+هذا يساوي صفر و B تربيع و B أكبر من صفر B أكبر من
+
+215
+00:26:12,050 --> 00:26:17,190
+A اللي هو يساوي صفر يعني B أكبر من صفر يعني B
+
+216
+00:26:17,190 --> 00:26:22,370
+تربيع أكبر من صفر إذا المتباينة متحققة
+
+217
+00:26:27,190 --> 00:26:38,030
+إذا المتباينة اللي احنا عايزين نثبتها نسميها
+
+218
+00:26:38,030 --> 00:26:48,770
+star إذا star holds in this case الحالة
+
+219
+00:26:48,770 --> 00:27:01,890
+الثانية أن a أكبر من صفر لو كانت a أكبر من صفر by
+
+220
+00:27:01,890 --> 00:27:08,270
+hypothesis من الفرض أنا عندي الآن a أكبر من صفر
+
+221
+00:27:08,270 --> 00:27:13,230
+أصغر من b فنضرب
+
+222
+00:27:13,230 --> 00:27:17,590
+multiply multiply
+
+223
+00:27:17,590 --> 00:27:18,970
+by
+
+224
+00:27:20,970 --> 00:27:28,150
+أو multiply by صحيح by a أكبر من صفر لما أضرب
+
+225
+00:27:28,150 --> 00:27:32,450
+متباينة في عدد موجب  بشريفتها طابقة زي ما هي فهذا
+
+226
+00:27:32,450 --> 00:27:40,710
+يودي فهذا يودي أنه صفر في a بيطلع صفر أصغر
+
+227
+00:27:40,710 --> 00:27:47,550
+من a تربيع أصغر من a في b وهذا اللي بدنا يعني
+
+228
+00:27:51,030 --> 00:28:02,650
+لأ هذا .. هذا شيء كمان and then بعد هيك multiply
+
+229
+00:28:02,650 --> 00:28:08,890
+.. multiply by
+
+230
+00:28:08,890 --> 00:28:14,730
+B اللي هو أكبر من صفر أيضاً لإن ال B أكبر من A أكبر
+
+231
+00:28:14,730 --> 00:28:20,340
+من صفر صح؟ فلو ضربنا المتباينة هذه في بي اللي هو
+
+232
+00:28:20,340 --> 00:28:25,980
+عدد موجب برضه إشارتها هتبقى زي ما هي إذن هذا
+
+233
+00:28:25,980 --> 00:28:31,760
+يودي لما أضرب المتباينة هذه في بي عدد موجب
+
+234
+00:28:31,760 --> 00:28:37,020
+فهيطلع عند صفر أصغر من a في بي أصغر من b تربيع
+
+235
+00:28:37,020 --> 00:28:47,280
+نسمي هذه 1 والمتباينة هذه 2 الآن 1 عندي
+
+236
+00:28:47,280 --> 00:28:51,760
+2 يديان يعني
+
+237
+00:28:51,760 --> 00:29:00,540
+عندي a تربيع أكبر من صفر أصغر من a بيه وعندي a بيه
+
+238
+00:29:00,540 --> 00:29:05,120
+أصغر من b تربيع وهذه هي ال star
+
+239
+00:29:16,200 --> 00:29:22,040
+إذا in both cases
+
+240
+00:29:22,040 --> 00:29:30,280
+في الحالة الأولى والثانية we have أثبتنا أن a
+
+241
+00:29:30,280 --> 00:29:34,680
+تربيع أصغر
+
+242
+00:29:34,680 --> 00:29:40,760
+أو يساوي ab و
+
+243
+00:29:40,760 --> 00:29:47,120
+ab في الحالتين أصغر من b تربيع كمان مرة في الحالة
+
+244
+00:29:47,120 --> 00:29:53,080
+الأولى a تربيع أصغر من أو يساوي a b في الحالة
+
+245
+00:29:53,080 --> 00:29:58,020
+الثانية a تربيع أصغر من a b إذا في الحالتين a
+
+246
+00:29:58,020 --> 00:30:02,420
+تربيع أصغر من أو يساوي a b في الحالة الأولى a b
+
+247
+00:30:02,420 --> 00:30:05,680
+أصغر من b ترب��ع وفي الحالة الثانية a b أصغر من b
+
+248
+00:30:05,680 --> 00:30:10,300
+تربيع إذا في الحالتين a b أصغر من b تربيع و هذا
+
+249
+00:30:10,300 --> 00:30:13,820
+اللي احنا عايزين نثبته تمام إذا هيك بتكون أثبتنا
+
+250
+00:30:13,820 --> 00:30:21,140
+الجزء الأول من السؤال الجزء
+
+251
+00:30:21,140 --> 00:30:27,960
+الثاني بيقول انه احنا ما نقدرش المتباينة هذه star
+
+252
+00:30:27,960 --> 00:30:38,500
+نبدلها 
+ال
+
+253
+00:30:38,500 --> 00:30:43,760
+star can't be replaced
+
+254
+00:30:46,040 --> 00:30:53,660
+replaced by a تربيع أصغر من a بيه أصغر من بي تربيع
+
+255
+00:30:53,660 --> 00:31:01,140
+يعني هنا ال inequality هذه أصغر من أو يساوي ما نقدرش
+
+256
+00:31:01,140 --> 00:31:08,260
+نبدلها بأصغر من strictly أصغر من فبنوضح ذلك بمثال
+
+257
+00:31:08,260 --> 00:31:15,280
+فأخذنا a يساوي صفر و b أي عدد example
+
+258
+00:31:37,110 --> 00:31:39,170
+زي ما عملنا في الحلقة الأولى
+
+259
+00:31:43,550 --> 00:31:50,550
+فهيطلع عندي هذه مساوية وليست .. وليست أكبر من ..
+
+260
+00:31:50,550 --> 00:32:01,390
+اه؟ okay في أسئلة ثانية؟ مين عند السؤال الثاني؟
+
+261
+00:32:01,390 --> 00:32:05,050
+section اثنين اثنين؟ في أي أسئلة في section اثنين
+
+262
+00:32:05,050 --> 00:32:08,910
+اثنين؟ section اثنين واحد اثنين اثنين
+
+263
+00:32:12,890 --> 00:32:21,830
+في أسئلة كثيرة حلوة section
+
+264
+00:32:21,830 --> 00:32:37,450
+1122 فينا مجموعة كبيرة من الأسئلة الناس
+
+265
+00:32:37,450 --> 00:32:39,270
+بتدرس الناس بتحل مثال
+
+266
+00:32:42,490 --> 00:32:46,430
+حليتوا كل المسائل؟ مش عندكم أسئلة؟ ال section
+
+267
+00:32:46,430 --> 00:32:56,890
+اثنين واحد و اثنين اثنين؟
+
+268
+00:32:56,890 --> 00:33:03,850
+ما لديها سؤال؟ السؤال اثنين في section اثنين
+
+269
+00:33:03,850 --> 00:33:10,710
+اثنين حاضر اثنين اثنين اثنين نكتب النص تبع السؤال
+
+270
+00:33:14,400 --> 00:33:25,960
+if a و b are real numbers show ifpty أنه
+
+271
+00:33:25,960 --> 00:33:35,160
+absolute a زائد b يساوي absolute a زائد absolute b
+
+272
+00:33:35,160 --> 00:33:47,110
+if and only if a في b أكبر من أو يساوي صفر هيك
+
+273
+00:33:47,110 --> 00:33:59,610
+مكتوب طيب
+
+274
+00:33:59,610 --> 00:34:07,590
+البرهان ال proof لاحظوا هذا if and only if
+
+275
+00:34:07,590 --> 00:34:11,730
+statement فخلينا
+
+276
+00:34:11,730 --> 00:34:21,730
+الأول نثبت ال claim الأول claim one للدعاء الأول أن
+
+277
+00:34:21,730 --> 00:34:28,350
+a ضرب b أكبر من أو يساوي صفر if and only if
+
+278
+00:34:28,350 --> 00:34:36,290
+absolute a ضرب b يساوي a في b
+
+279
+00:34:43,590 --> 00:34:47,970
+هل هذا واضح هذا
+
+280
+00:34:47,970 --> 00:35:01,250
+واضح من تعريف that this is clear by definition of 
+
+281
+00:35:01,250 --> 00:35:09,370
+absolute value طيب
+
+282
+00:35:09,370 --> 00:35:10,490
+الكلام الثاني
+
+283
+00:35:16,440 --> 00:35:24,700
+الكلام الثاني absolute a plus absolute b الكل
+
+284
+00:35:24,700 --> 00:35:35,560
+تربيع بساوي a زائد b الكل تربيع if
+
+285
+00:35:35,560 --> 00:35:43,500
+and only if absolute a ضرب b بساوي a في b
+
+286
+00:35:49,120 --> 00:35:56,920
+برهان للـ claim هذا ها لو أخدت absolute a زائد
+
+287
+00:35:56,920 --> 00:36:04,520
+absolute b وربعت فهذا المفروض يساوي absolute a
+
+288
+00:36:04,520 --> 00:36:12,780
+الكل تربيع زائد absolute b الكل تربيع زائد 2
+
+289
+00:36:12,780 --> 00:36:19,600
+absolute a في absolute b وهذا بساوي absolute a
+
+290
+00:36:19,600 --> 00:36:26,080
+الكل 
+
+291
+00:36:26,080 --> 00:36:33,480
+تربيع زائد
+
+292
+00:36:33,480 --> 00:36:44,050
+absolute b الكل تربيع زائد 2 absolute a ضرب bلأن
+
+293
+00:36:44,050 --> 00:36:54,670
+absolute a ضرب absolute b بيطلع absolute a في b و
+
+294
+00:36:54,670 --> 00:36:59,210
+absolute absolute
+
+295
+00:36:59,210 --> 00:37:06,850
+a بساوي الجذر التربيعي ل a تربيع هذا
+
+296
+00:37:06,850 --> 00:37:18,950
+بكافئ أن a أو absolute a الكل تربيع بيساوي a تربيع لو
+
+297
+00:37:18,950 --> 00:37:25,030
+ربعت الطرفين فبطلع absolute a تربيع بيساوي a تربيع
+
+298
+00:37:25,030 --> 00:37:30,490
+وبالتالي ممكن استبدل absolute a تربيع ممكن استبدل
+
+299
+00:37:30,490 --> 00:37:36,530
+absolute a تربيع ب a تربيع و
+
+300
+00:37:36,530 --> 00:37:41,450
+استبدل absolute b تربيع ب b تربيع
+
+301
+00:37:50,020 --> 00:37:57,000
+الآن هذا بيساوي هذا بيساوي a تربيع زائد b تربيع
+
+302
+00:37:57,000 --> 00:38:06,460
+زائد 2 a b if and only if if and only if
+
+303
+00:38:06,460 --> 00:38:10,940
+absolute a b بساوي a في b
+
+304
+00:38:13,940 --> 00:38:17,600
+هذا المقدار اللي فوق متى بيساوي a تربيع زائد b
+
+305
+00:38:17,600 --> 00:38:22,500
+تربيع زائد 2 a ب  اذا absolute a b هو
+
+306
+00:38:22,500 --> 00:38:33,140
+عبارة عن a في b صح؟ وهذا
+
+307
+00:38:33,140 --> 00:38:39,720
+الأخير بيساوي يعني
+
+308
+00:38:39,720 --> 00:38:50,460
+هذا السطر هذا هي تعال نشوف بقد ايه
+
+309
+00:38:50,460 --> 00:39:00,000
+ان absolute a زائد absolute b الكل تربيع بساوي
+
+310
+00:39:03,190 --> 00:39:11,210
+A زائد B الكل تربيع if and only if absolute A B
+
+311
+00:39:11,210 --> 00:39:27,050
+بساوي A B absolute
+
+312
+00:39:27,050 --> 00:39:32,390
+A B بساوي A B ومن claim واحد
+
+313
+00:39:36,690 --> 00:39:43,890
+عمر ال claim واحد هذا بتحقق if and only if a ضرب b
+
+314
+00:39:43,890 --> 00:39:49,610
+أكبر من أو يساوي 0 لأن هذا نتيجة أو بضم ال two
+
+315
+00:39:49,610 --> 00:39:54,070
+claims مع بعض طيب
+
+316
+00:39:54,070 --> 00:39:58,290
+لو أخذنا جذر التربيعي للطرفين فضي جذر التربيعي يعني
+
+317
+00:39:58,290 --> 00:40:02,290
+take square root
+
+318
+00:40:05,210 --> 00:40:14,850
+of both sides فهذا
+
+319
+00:40:14,850 --> 00:40:20,410
+بيؤدي إلى أن absolute a زائد absolute b الجذر
+
+320
+00:40:20,410 --> 00:40:23,030
+التربيعي هنا بعطيني ال absolute value ل a زائد
+
+321
+00:40:23,030 --> 00:40:28,570
+absolute b وهنا بعطيني الجذر التربيعي الجذر
+
+322
+00:40:28,570 --> 00:40:31,370
+التربيعي للعدد التربيعي بعطيني القيمة المطلقة
+
+323
+00:40:31,370 --> 00:40:32,010
+تبعته
+
+324
+00:40:34,820 --> 00:40:41,180
+هذا بتحقق if and only if a ضرب b أكبر من أو يساوي 0
+
+325
+00:40:41,180 --> 00:40:48,200
+وهذا هو المطلوب وهذا هو المطلوب okay تمام فهذا هو
+
+326
+00:40:48,200 --> 00:40:53,140
+المطلوب في
+
+327
+00:40:53,140 --> 00:40:58,220
+أي أسئلة ثانية في
+
+328
+00:40:58,220 --> 00:41:01,700
+عندكم أي سؤال ثاني section 2 أو section 1
+
+329
+00:41:07,070 --> 00:41:12,510
+أن أسئلة كثيرة لو جئت بعدي وأنتم ما بتسألوش ومش
+
+330
+00:41:12,510 --> 00:41:17,650
+هيكون في رجعة بعد هيك لأ أسأل أسئلتنا دي المرة الجاية
+
+331
+00:41:17,650 --> 00:41:21,830
+هنأخذ مناقشة في section اثنين ثلاثة واثنين أربعة
+
+332
+00:41:21,830 --> 00:41:31,370
+في أي أسئلة أفندم في أي section اثنين اثنين
+
+333
+00:41:37,770 --> 00:41:38,370
+حاضر
+
+334
+00:42:02,930 --> 00:42:11,490
+السؤال خمسة عشر سيكشن اثنين نيلو نشوف ايه هو السؤال
+
+335
+00:42:11,490 --> 00:42:25,670
+show
+
+336
+00:42:25,670 --> 00:42:29,790
+if a و b are real numbers
+
+337
+00:42:32,160 --> 00:42:38,560
+و a لا يساوي b then
+
+338
+00:42:38,560 --> 00:42:49,100
+there exist epsilon neighborhoods U
+
+339
+00:42:49,100 --> 00:43:09,390
+of a and V of b such that U تقاطع V بساوي فاي إذن
+
+340
+00:43:09,390 --> 00:43:24,630
+كمان مرة أنا 
+
+341
+00:43:24,630 --> 00:43:25,090
+عندي
+
+342
+00:43:28,550 --> 00:43:35,990
+A وB أعداد حقيقية و A لا يساوي B هذا معناه أن
+
+343
+00:43:35,990 --> 00:43:43,970
+either A less than B ف
+
+344
+00:43:43,970 --> 00:43:52,310
+assume نأخذ الحالة الأولى case one أن
+
+345
+00:43:52,310 --> 00:44:01,330
+A أصغر من B إذا هي خط الأعداد هذا خط الأعداد وهذه a
+
+346
+00:44:01,330 --> 00:44:12,670
+وهذه b و a أصغر من b بدي أثبت أنه في جوار ل a بعمق
+
+347
+00:44:12,670 --> 00:44:22,450
+epsilon اسمه u وفي جوار ل b بعمق epsilon والجوارين
+
+348
+00:44:22,450 --> 00:44:26,170
+هذول المبروهود سقطوهم بسوء في يعني منفصلين عن بعض
+
+349
+00:44:27,430 --> 00:44:35,570
+فبكل بساطة بجيب المسافة من a و b و باخذ نصف المسافة
+
+350
+00:44:35,570 --> 00:44:43,670
+يعني لأن هنا take epsilon
+
+351
+00:44:43,670 --> 00:44:48,770
+بساوي
+
+352
+00:44:48,770 --> 00:44:54,270
+نصف المسافة نصف ال b minus
+
+353
+00:44:57,480 --> 00:45:13,820
+a أو نصف أو نصف المسافة بين A وB فهي
+
+354
+00:45:13,820 --> 00:45:15,920
+نصف المسافة لو كونت فت��ة
+
+355
+00:45:23,000 --> 00:45:28,520
+فهي منتصف المسافة هذه المسافة
+
+356
+00:45:28,520 --> 00:45:33,260
+هذه منتصف المسافة سميها epsilon فهذه النقطة هتكون
+
+357
+00:45:33,260 --> 00:45:40,960
+a زائد epsilon وهي نفس المسافة a ناقص epsilon وكون
+
+358
+00:45:40,960 --> 00:45:45,660
+فترة مفتوحة وسمي
+
+359
+00:45:45,660 --> 00:45:48,960
+الفترة المفتوحة هذه new
+
+360
+00:46:02,460 --> 00:46:07,900
+فنسمي الفترة المفتوحة هذه U مركزها a و نصف قطرها epsilon
+
+361
+00:46:07,900 --> 00:46:16,200
+و نكوّن فترة ثانية برضه مركزها B و نصف قطرها epsilon
+
+362
+00:46:16,200 --> 00:46:22,080
+يعني هذه النقطة هتصير B زائد epsilon وهذه النقطة هتصير
+
+363
+00:46:25,910 --> 00:46:33,530
+b زائد ابسلون و النقطة هذه ب ناقص ابسلون و نكون فترة
+
+364
+00:46:33,530 --> 00:46:39,970
+مفتوحة تمام
+
+365
+00:46:39,970 --> 00:46:43,310
+إذا
+
+366
+00:46:43,310 --> 00:46:50,890
+أنا في U و نسمي الفترة المفتوحة هذه نسميها
+
+367
+00:46:50,890 --> 00:46:51,030
+ب
+
+368
+00:46:57,180 --> 00:47:01,040
+إذن هذا عبارة عن الـ U الفترة المفتوحة اذا هنا let
+
+369
+00:47:01,040 --> 00:47:14,300
+take
+
+370
+00:47:14,300 --> 00:47:16,480
+u
+
+371
+00:47:18,050 --> 00:47:26,410
+by definition بتساوي a ناقص إبسلون و a زائد إبسلون
+
+372
+00:47:26,410 --> 00:47:40,810
+و V بساوي B ناقص إبسلون B زائد إبسلون فواضح
+
+373
+00:47:40,810 --> 00:47:41,410
+nearly
+
+374
+00:47:46,910 --> 00:47:58,030
+Clearly U is an epsilon neighborhood of A and V is
+
+375
+00:47:58,030 --> 00:48:05,410
+an epsilon neighborhood of B ومش هيكوا بس and ممكن
+
+376
+00:48:05,410 --> 00:48:09,370
+إثبات أن U تقاطع B بساوي فاي
+
+377
+00:48:12,440 --> 00:48:21,120
+يعني لو أخذنا هاي واضح هاي جوار هذا مافيش ولا نقطة
+
+378
+00:48:21,120 --> 00:48:27,940
+فيه موجودة في الجوار الثاني هذه الفترة المفتوحة
+
+379
+00:48:27,940 --> 00:48:35,540
+منفصلة عن الفترة المفتوحة يوم طبعا؟
+
+380
+00:48:39,190 --> 00:48:44,970
+إن هذا الكلام يعني واضح أن هذا عبارة عن epsilon
+
+381
+00:48:44,970 --> 00:48:50,150
+neighborhood ل a فترة مفتوحة مركزها a نصف قطرها
+
+382
+00:48:50,150 --> 00:48:53,590
+epsilon هذا نسميه epsilon neighborhood ل a و V
+
+383
+00:48:53,590 --> 00:48:57,510
+الفترة المفتوحة هذه ب ناقص epsilon و ب زائد
+
+384
+00:48:57,510 --> 00:49:04,310
+epsilon برضه عبارة عن epsilon neighborhood ل B و
+
+385
+00:49:04,310 --> 00:49:09,900
+اثنين حسب الرسم منفصلين و هذا ممكن إثباته باستخدام
+
+386
+00:49:09,900 --> 00:49:14,380
+التناقض يعني افرض أنه في عنصر يعني التقاطع هذا لا
+
+387
+00:49:14,380 --> 00:49:19,900
+يساوي فاي وبالتالي في عنصر موجود في U وموجود في V
+
+388
+00:49:19,900 --> 00:49:25,540
+في أن و واحد واصلي إليه تناقض okay هذا ممكن إثباته
+
+389
+00:49:25,540 --> 00:49:34,280
+بطريقة تحليلية طبعا في السؤال في الحل في حل السؤال
+
+390
+00:49:34,280 --> 00:49:41,370
+هذا يقول مافيش عندنا حالتين الحالة الأولى a أصغر من b
+
+391
+00:49:41,370 --> 00:49:48,110
+والحالة الثانية b أصغر من a وشوفنا هنا أخذنا
+
+392
+00:49:48,110 --> 00:49:51,230
+الحالة اللي فيها a أصغر من b زي اللي هو النضال تحت
+
+393
+00:49:51,230 --> 00:49:57,090
+الاسم هاي a أصغر من b و أثبتنا في الحالة هذه أن u
+
+394
+00:49:57,090 --> 00:50:00,070
+جد epsilon neighborhood ل a
+
+395
+00:50:17,240 --> 00:50:24,820
+باقي الحالة الثانية case 2 نثبت
+
+396
+00:50:24,820 --> 00:50:27,120
+برضه المطلوب
+
+397
+00:50:33,160 --> 00:50:38,320
+البرهان في الحلقة الثانية مماثل للبرهان اللي عملناه
+
+398
+00:50:38,320 --> 00:50:38,880
+في الحلقة
+
+399
+00:50:50,040 --> 00:50:54,040
+و هذا طبعا يكمل البرهان إذا الحالة الثانية اللي 
+
+400
+00:50:54,040 --> 00:50:58,120
+فيها b أصغر من a بس نضع b هنا و a هنا ونفس
+
+401
+00:50:58,120 --> 00:51:05,440
+العادة فتصير هذا الـb و هذا الـa و يعطينا نفس
+
+402
+00:51:05,440 --> 00:51:13,020
+النتيجة إذن كون كملنا البرهان اللي هو التمرين
+
+403
+00:51:14,530 --> 00:51:17,970
+وطبعا بعد ذلك إن شاء الله هنكمل حل التمارين لل
+
+404
+00:51:17,970 --> 00:51:20,870
+سيكشن الخامس في نفس الموضوع 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Lc2K-uxXK74_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1780 @@
+1
+00:00:20,750 --> 00:00:26,090
+Okay اذا اليوم ان شاء الله هنكمل موضوع ال limit
+
+2
+00:00:26,090 --> 00:00:32,390
+theorems او نظريات النهايات و من النظريات المهمة
+
+3
+00:00:32,390 --> 00:00:39,710
+هذه هي نظرية 12 بتقول لو في عندي sequence x in و
+
+4
+00:00:39,710 --> 00:00:44,570
+ال sequence هذي convergent ل x فال sequence of
+
+5
+00:00:44,570 --> 00:00:49,350
+absolute valuesبتطلع convergence وال limit تبعتها
+
+6
+00:00:49,350 --> 00:00:55,490
+تطلع absolute .. absolute limit تبعت ال sequence
+
+7
+00:00:55,490 --> 00:01:00,750
+XL فالبرهان
+
+8
+00:01:00,750 --> 00:01:04,470
+بيتمد على ال triangle inequality
+
+9
+00:01:07,360 --> 00:01:13,720
+أحد صور ال triangle inequality كانت المتباينة هذه
+
+10
+00:01:13,720 --> 00:01:20,740
+absolute a minus absolute b وأخد ال absolute value
+
+11
+00:01:20,740 --> 00:01:28,600
+هذا أصغر من أو ساوي absolute a minus bفلو أخدت هنا
+
+12
+00:01:28,600 --> 00:01:36,160
+a بساوي xn و b بساوي x فبطلع الكلام هذا صحيح لكل
+
+13
+00:01:36,160 --> 00:01:43,760
+الأعداد الطبيعية n الآن أنا عندي xn converges to x
+
+14
+00:01:43,760 --> 00:01:51,740
+فلو أخدت أي epsilon أكبر من الصفر given
+
+15
+00:01:55,040 --> 00:02:00,540
+واندي انا x in converge ل x، اذا هذا بيدّي انه
+
+16
+00:02:00,540 --> 00:02:03,580
+يوجد
+
+17
+00:02:03,580 --> 00:02:13,660
+capital N عدد طبيعي يعتمد على epsilon بحيث انه لو
+
+18
+00:02:13,660 --> 00:02:18,260
+كان N أكبر من أو ساوي capital N فهذا بيدّي ان
+
+19
+00:02:18,260 --> 00:02:22,080
+absolute x in minus x أصغر من epsilon
+
+20
+00:02:25,260 --> 00:02:30,300
+وبالتالي من هنا إذا الهدف بيطلع أصغر من epsilon
+
+21
+00:02:30,300 --> 00:02:34,260
+لكل
+
+22
+00:02:34,260 --> 00:02:41,180
+n أكبر من أو ساوي capital N إذا
+
+23
+00:02:41,180 --> 00:02:44,800
+أنا هيك بكون أثبتت إنه لأي epsilon أكبر من سفر
+
+24
+00:02:44,800 --> 00:02:50,760
+يوجد capital N يعتمد على epsilon عدد طبيعي بحيث
+
+25
+00:02:50,760 --> 00:02:57,040
+لكل n أكبر من أو ساوي capital Nالقيمة المطلقة ل
+
+26
+00:02:57,040 --> 00:03:02,480
+absolute xn minus absolute x أصغر من epsilon إذا
+
+27
+00:03:02,480 --> 00:03:07,900
+حسب تعريف epsilon capital N for limits هذا معناه
+
+28
+00:03:07,900 --> 00:03:14,260
+بالظبط أن limit absolute xn as n tends to infinity
+
+29
+00:03:14,260 --> 00:03:21,790
+بساوي absolute x وهو المطلوبOkay تمام اذا هذا
+
+30
+00:03:21,790 --> 00:03:32,890
+بيكمل برهان نظرية اتناش تمام واضح النظرية
+
+31
+00:03:32,890 --> 00:03:39,270
+اللي بعدها نظرية تلاتاش بتقول لو انا فيها اندي
+
+32
+00:03:39,270 --> 00:03:45,490
+sequence حدودها كلها غير سالبة حدود ال sequence xm
+
+33
+00:03:45,490 --> 00:03:50,750
+كلها غير سالبة اعداد غير سالبةوالـ sequence لو
+
+34
+00:03:50,750 --> 00:03:57,730
+كانت الـ sequence Xn convergent to some X فالـ
+
+35
+00:03:57,730 --> 00:04:02,730
+limit للـ sequence of square roots لـ Xn تطلع
+
+36
+00:04:02,730 --> 00:04:08,470
+convergent والـ limit تبعتها بساول square root للـ
+
+37
+00:04:08,470 --> 00:04:09,890
+limit للـ sequence Xn
+
+38
+00:04:13,780 --> 00:04:19,760
+والبرهان تبع النظرية دي سهل انا اول شي عندى احنا
+
+39
+00:04:19,760 --> 00:04:25,060
+فرضين ان ال limit ل Xn بساوي X في نظرية تمانية
+
+40
+00:04:25,060 --> 00:04:28,700
+قلنا ان لو كانت حدود ال sequence Xn كلها غير سالبة
+
+41
+00:04:28,700 --> 00:04:34,360
+ف limit ل sequence Xn اللى هى X ايضا تطلع غير
+
+42
+00:04:34,360 --> 00:04:40,840
+سالبة اذا X اكبر من او ساوى 0الان في عندي حالتين
+
+43
+00:04:40,840 --> 00:04:46,300
+ال X هنا أكبر من أو ساوي سفر ففي عندي احتمالين اما
+
+44
+00:04:46,300 --> 00:04:54,260
+X بساوي سفر او X أكبر من السفر تمام و في كل حالة
+
+45
+00:04:54,920 --> 00:04:59,540
+مطلوب مني ان اثبت ان limit ال square root ل xn
+
+46
+00:04:59,540 --> 00:05:03,960
+بساوي ال square root of x تمام؟ انشوف في الحالة
+
+47
+00:05:03,960 --> 00:05:08,520
+الأولى لو كانت ال x بساوي سفر وانا عندي من الفرض
+
+48
+00:05:08,520 --> 00:05:15,550
+xn converges to x اللي هي سفرأذا لو أخدت أي إبسلون
+
+49
+00:05:15,550 --> 00:05:20,250
+أكبر من السفر من كون ال sequence هذه converge
+
+50
+00:05:20,250 --> 00:05:24,270
+للسفر إذا لأي إبسلون يوجد capital N يعتمد على
+
+51
+00:05:24,270 --> 00:05:30,150
+إبسلون بحيث المسافة بين xn والسفر أصغر من إبسلون
+
+52
+00:05:30,150 --> 00:05:33,470
+تربية لكل N أكبر من أوسعه ال capital N هذا من
+
+53
+00:05:33,470 --> 00:05:36,690
+تعريف ال conversion ممكن أحط هنا إبسلون أو إبسلون
+
+54
+00:05:36,690 --> 00:05:42,940
+تربية مافي مشكلةطيب أنا عندي xn من الفرض الـ xn
+
+55
+00:05:42,940 --> 00:05:48,840
+كلهم أكبر من أو يساوي سفر وبالتالي القيمة المطلقة
+
+56
+00:05:48,840 --> 00:05:53,800
+لـ xn بساوي نفسها ناخد
+
+57
+00:05:53,800 --> 00:05:59,120
+الجدر التربيعي للحدود المتباينة هذه هي ال square
+
+58
+00:05:59,120 --> 00:06:04,790
+root of xnبساوي ال absolute value ل square root ل
+
+59
+00:06:04,790 --> 00:06:10,190
+xn minus صفر وهذا أصغر من إبسلون square root
+
+60
+00:06:10,190 --> 00:06:13,870
+لإبسلون تربية بيطلع إبسلون هذا الكلام صحيح for
+
+61
+00:06:13,870 --> 00:06:18,830
+every n bigger than or equal capital N طب هذا
+
+62
+00:06:18,830 --> 00:06:23,050
+معناه بما أن إبسلون was arbitrarily بما أن احنا
+
+63
+00:06:23,050 --> 00:06:29,850
+أثبتنا هذا الكلام لكل إبسلون عدد موجبهذا من تعريف
+
+64
+00:06:29,850 --> 00:06:34,350
+epsilon capital N for limits للنهايات هذا معناه
+
+65
+00:06:34,350 --> 00:06:40,970
+limit ال square root ل XN بالساوي السفر لما N تولى
+
+66
+00:06:40,970 --> 00:06:47,140
+Nوهذا ايه هذا اللي هو المطلوب طيب السفر هنا احنا
+
+67
+00:06:47,140 --> 00:06:50,780
+ماخدين x بالساوية سفر فالسفر هذا هو square root ل
+
+68
+00:06:50,780 --> 00:06:54,360
+x اذا هين اثبتت ان limit square root ل x in
+
+69
+00:06:54,360 --> 00:06:58,820
+بالساوية square root ل x في حالة لما x بالساوية
+
+70
+00:06:58,820 --> 00:07:07,280
+سفر تمام باقي نثبتالنتيجة نفسها في حالة لما X أكبر
+
+71
+00:07:07,280 --> 00:07:11,740
+من 0 تفضلي قال جيت حكيت أنه ممكن أخد يبسلون مش
+
+72
+00:07:11,740 --> 00:07:15,740
+يبسلون تربيه لما أكمل خطوة بعد تطلع جدر اليبسلون
+
+73
+00:07:15,740 --> 00:07:19,660
+يعني أقل من الجدر يبسلون جدر اليبسلون قولت أن أحنا
+
+74
+00:07:19,660 --> 00:07:23,600
+خلنا يبسلون تربيه عشان لما أخد الجدر يطلع يبسلون
+
+75
+00:07:23,600 --> 00:07:29,520
+مافي مشكلة يعني اعتبر هذه هي اليبسلون مش اليبسلون
+
+76
+00:07:29,520 --> 00:07:34,300
+أكبر عدد أكبر من 0 givenإذا إبسلون تربية برضه عدد
+
+77
+00:07:34,300 --> 00:07:39,880
+موجة بقى تقري هو ال given وبالتالي يوجد أن تعتمد
+
+78
+00:07:39,880 --> 00:07:44,320
+على إبسلون تربية بدل إبسلون طب إبسلون تربية تعتمد
+
+79
+00:07:44,320 --> 00:07:48,420
+على إبسلونإذا ليش ما نقول إذا يوجد N تعتمد على
+
+80
+00:07:48,420 --> 00:07:52,240
+إبسلون وإعتبر الإبسلون تربية بدل إبسلون في ال
+
+81
+00:07:52,240 --> 00:07:55,920
+definition فمافي مشكلة بس خدناها الإبسلون تربية
+
+82
+00:07:55,920 --> 00:07:59,660
+عشان لما ناخد جدر التربية يطلع أندي أصغر من إبسلون
+
+83
+00:07:59,660 --> 00:08:03,760
+وبالتالي نقول حسب التعريف إذا limit جدر X N بساوة
+
+84
+00:08:03,760 --> 00:08:11,840
+ستة تمام اللي هي جدر X في أي سؤال تاني؟طيب، نشوف
+
+85
+00:08:11,840 --> 00:08:16,800
+الحالة التانية، لو كانت ال X هذه أكبر من صفر، إذا
+
+86
+00:08:16,800 --> 00:08:20,640
+جدر ال X بالتأكيد أكبر من الصفر، وبالتالي جدر X in
+
+87
+00:08:20,640 --> 00:08:26,120
+زي جدر X أكبر من أو ساوي جدر ال X، لأن هذا أكبر من
+
+88
+00:08:26,120 --> 00:08:35,430
+أو ساوي صفر، وهذا موجب، لأن ال X موجبةطيب، الآن
+
+89
+00:08:35,430 --> 00:08:40,630
+هذا المقدار أكبر من أو ساوي هذا واتنين موجبين، إذا
+
+90
+00:08:40,630 --> 00:08:47,950
+المقلوب الكبير أصغر من أو ساوي المقلوب الصغير هذه
+
+91
+00:08:47,950 --> 00:08:53,010
+الخاصية أخدناها في chapter one وبناء عليه
+
+92
+00:09:01,430 --> 00:09:06,810
+بنان على ذلك انا ممكن احسب جدر xn minus جدر ال x
+
+93
+00:09:06,810 --> 00:09:12,870
+بضرب المق��ار هذا في المرافق تبعه بسطه مقاما، هاي
+
+94
+00:09:12,870 --> 00:09:16,870
+المرافق تبعه بسطه مقام فكأني ضربت المقدار هذا في
+
+95
+00:09:16,870 --> 00:09:23,030
+واحد، اذا هذا بساوي نفسه ضرب مرافقه على مرافقه،
+
+96
+00:09:23,030 --> 00:09:27,870
+تمام؟الان ال bus تحليل الفرق بين المربعين فبطلع
+
+97
+00:09:27,870 --> 00:09:33,170
+مربع هذا سالب مربع هذا اللي هو x in negative x و
+
+98
+00:09:33,170 --> 00:09:38,310
+بيبقى ال end في المقام المقدار هذا الان ناخد
+
+99
+00:09:38,310 --> 00:09:43,370
+القيمة المطلقة للكلام هذا بيساوي القيمة المطلقة
+
+100
+00:09:43,370 --> 00:09:48,230
+للطرف اليمين القيمة المطلقة لل bus على القيمة
+
+101
+00:09:48,230 --> 00:09:53,070
+المطلقة للمقام المقام هذا موجب فالقيمة المطلقة له
+
+102
+00:09:53,070 --> 00:09:58,770
+نفسهأذا الأن أنا في عندي sequence اللي هي الحد
+
+103
+00:09:58,770 --> 00:10:02,810
+العام تبعها square root of xn وفي عندي عدد square
+
+104
+00:10:02,810 --> 00:10:10,390
+root of x المسافة بينهم أصغر من أو يساوي أصغر من
+
+105
+00:10:10,390 --> 00:10:15,610
+أو يساوي هي المسافة هذه بالساوي واحد على square
+
+106
+00:10:15,610 --> 00:10:21,870
+root of xn زي square root of x والكسر هذا من
+
+107
+00:10:21,870 --> 00:10:27,950
+المتباينة تسعةهذا الكثير أصغر من أو يساوي واحد على
+
+108
+00:10:27,950 --> 00:10:32,610
+square root of x ضرب absolute x in سالب x الآن
+
+109
+00:10:32,610 --> 00:10:43,830
+ارجعوا لنظرية اتنين اربعة with
+
+110
+00:10:43,830 --> 00:10:52,060
+c عدد موجب ساوي واحد على جدر ال x هذا عدد موجبو a
+
+111
+00:10:52,060 --> 00:10:59,780
+n بساوي x n minus x إذن
+
+112
+00:10:59,780 --> 00:11:03,940
+هى يوجد c عدد موجب اللى هو واحد على جدر ال X و هى
+
+113
+00:11:03,940 --> 00:11:08,820
+فى عندي sequence a n الحد العام تبعها x n سالد x و
+
+114
+00:11:08,820 --> 00:11:14,680
+ال sequence هذه تقول إلى سفر as n tends to
+
+115
+00:11:14,680 --> 00:11:19,870
+infinityلأن انا من المعطيات عندي xn تقول x أو
+
+116
+00:11:19,870 --> 00:11:24,490
+limit xn بساوي x، لذلك limit الفرق بساوي سفر، لذلك
+
+117
+00:11:24,490 --> 00:11:29,890
+حسب نظرية 2.4، كل شروطة متحققة، وبالتالي، لذلك حسب
+
+118
+00:11:29,890 --> 00:11:34,630
+النظرية هذه، by theorem 2.4، بيطلع عندي limit
+
+119
+00:11:34,630 --> 00:11:41,190
+square root ل xn بساوي square root ل xوهو المطلوب
+
+120
+00:11:41,190 --> 00:11:46,690
+اثباته اذا هاي اثبتنا ان limit ال square root ل X
+
+121
+00:11:46,690 --> 00:11:50,410
+ان بساوي ال square root ل X في حالة لما X تكون
+
+122
+00:11:50,410 --> 00:11:54,750
+موجبة و الحالة الأولى في حالة لما X صفر برضه
+
+123
+00:11:54,750 --> 00:11:58,410
+اثبتنا نفس الحاجة لذلك بنكون كملنا برهان نظرية
+
+124
+00:11:58,410 --> 00:12:02,690
+تمام؟ في حد عنده اي سؤال او استفسار واضح البرهان؟
+
+125
+00:12:05,660 --> 00:12:12,800
+في نظرية هنا ممكن نسميها نعتبرها ratio test اختبار
+
+126
+00:12:12,800 --> 00:12:21,660
+الكسر او النسبة او ايش
+
+127
+00:12:21,660 --> 00:12:27,300
+ال ratio test ماذا هذا ال ratio test بيقول هذا ال
+
+128
+00:12:27,300 --> 00:12:31,120
+ratio test بتعلق بال sequences of positive numbers
+
+129
+00:12:32,030 --> 00:12:35,090
+يعني عشان أنا أطبخ ال ratio test لازم ال sequence
+
+130
+00:12:35,090 --> 00:12:39,170
+تبعتي تكون حدودها كلها موجة بقى فلو في عندي
+
+131
+00:12:39,170 --> 00:12:44,310
+sequence of positive real numbers such that limit
+
+132
+00:12:44,310 --> 00:12:49,050
+ال ratio ل xn زائد واحد على xn exists موجود أو
+
+133
+00:12:49,050 --> 00:12:54,370
+بتساوي عدد حقيقي L و لو كان هذا العدد L أصغر من
+
+134
+00:12:54,370 --> 00:13:01,300
+واحد ف limit ال sequence xn بتساوي سبلهذا هو ال
+
+135
+00:13:01,300 --> 00:13:07,380
+ratio test برهان ال test أو النظرية هذه موجود في
+
+136
+00:13:07,380 --> 00:13:11,680
+الكتاب نظرية تلاتة اتنين احداشر فحاسبكم تقرؤوا
+
+137
+00:13:11,680 --> 00:13:15,780
+البرهان برهان سهل مش صعب بيعتمد على الحاجات اللي
+
+138
+00:13:15,780 --> 00:13:20,340
+أخدناها فعايزينكم
+
+139
+00:13:20,340 --> 00:13:23,660
+تفتحوا الكتاب و تقرؤوا برهان و تفهموا لحالكم بعد
+
+140
+00:13:23,660 --> 00:13:28,800
+ما خدنا كل هالبرهين بدنا ياكم تعتمدوا عن أنفسكم
+
+141
+00:13:28,800 --> 00:13:33,440
+شويةتمام؟ و اللي عنده أي صعوبة في فهم البرهان
+
+142
+00:13:33,440 --> 00:13:38,840
+ترجعليه إذا هسيكم تخرق البرهان من الكتاب طيب نهار
+
+143
+00:13:38,840 --> 00:13:42,540
+.. الآن الكتاب للأسف مش في أمثلة في ال section هذا
+
+144
+00:13:42,540 --> 00:13:49,000
+تلاتة اتنين فهعطيلكم أس .. examples أو أمثلة بحال
+
+145
+00:13:49,000 --> 00:13:52,100
+من التمرين بحال بعض التمرين فأول مثل
+
+146
+00:13:58,060 --> 00:14:02,820
+فأول مثال هو exercise تمانتاش الفرحة c في section
+
+147
+00:14:02,820 --> 00:14:06,700
+تلاتة اتنين أو صفحة تمانية وستين في الكتاب المقرر
+
+148
+00:14:06,700 --> 00:14:10,300
+السؤال هذا بيقول discuss the convergence of the
+
+149
+00:14:10,300 --> 00:14:15,820
+sequence xn اللي لحد العام ال nth term تبعها b to
+
+150
+00:14:15,820 --> 00:14:20,600
+n على n factorial حيث بيه عدد حقيقي أكبر من واحد
+
+151
+00:14:21,470 --> 00:14:24,070
+Discurses ل Convergence يعني بين هل ال sequence
+
+152
+00:14:24,070 --> 00:14:27,850
+هذي Convergent ولا Divergent وده كانت Convergent
+
+153
+00:14:27,850 --> 00:14:35,790
+عايزين نجيب ال limit تبعتها طيب تعالوا أول شي احنا
+
+154
+00:14:35,790 --> 00:14:41,150
+طبعا هنطبق ال ratio test نظرية 2.14 اللي هو الرسم
+
+155
+00:14:41,150 --> 00:14:45,490
+منها ال ratio testلتطبيق ال ratio test بلزمني
+
+156
+00:14:45,490 --> 00:14:50,690
+اتأكد ان ال sequence xn حدودها موجبة وهذا صحيح لان
+
+157
+00:14:50,690 --> 00:14:54,970
+ال bus b اكبر من واحد و b أكبر من واحد و n
+
+158
+00:14:54,970 --> 00:14:57,830
+factorial عدد موجب لان هذه sequence of positive
+
+159
+00:14:57,830 --> 00:15:07,550
+real numbers الآن ال ratio ل xn زياد واحد و xn هي
+
+160
+00:15:07,550 --> 00:15:12,230
+عندي xn زياد واحد عوض عنها بدل n بn زياد واحد
+
+161
+00:15:13,160 --> 00:15:18,740
+وضربها في مقلوب xn هي مقلوب xn وطبعا احنا عارفين
+
+162
+00:15:18,740 --> 00:15:25,460
+ان n plus one factorial بتساوي n plus one في n
+
+163
+00:15:25,460 --> 00:15:31,900
+factorial هذا بنفك حاصل ضرب زي هذا n factorial
+
+164
+00:15:31,900 --> 00:15:37,640
+بتروح مع n factorial وb to n بتروح مع b to n بضل b
+
+165
+00:15:38,750 --> 00:15:43,210
+بعد الاختصارات والتبسيط الكاسر هذا بيطلع بي على n
+
+166
+00:15:43,210 --> 00:15:47,870
+زياد واحد الان لما انت قول ل infinity ان زياد واحد
+
+167
+00:15:47,870 --> 00:15:54,050
+بتقول ل infinity مقلوبة بروح ل سفر ضرب بي عدد موجة
+
+168
+00:15:54,050 --> 00:15:58,990
+بروح ل سفر اذا limit بي على ان زياد واحد بساوي بي
+
+169
+00:15:58,990 --> 00:16:03,290
+في limit واحد على ان زياد واحد اللي هي سفر بي في
+
+170
+00:16:03,290 --> 00:16:10,590
+سفر بساوي سفر تمام؟إذا أنا عندي L اللي هو بمثل
+
+171
+00:16:10,590 --> 00:16:17,570
+limit ال ratio هذا طلع بساوي سفر عدد حقيقي أصغر من
+
+172
+00:16:17,570 --> 00:16:23,910
+واحد إذا حسب ال ratio test limit لل sequence xn
+
+173
+00:16:23,910 --> 00:16:28,030
+بساوي سفر إذا هنا أثبتنا إن ال sequence convergent
+
+174
+00:16:28,030 --> 00:16:34,010
+ونهيتها بتطلع بالساوي سفر تمام؟ واضح؟ إذا تطبيق
+
+175
+00:16:34,010 --> 00:16:35,510
+مباشر على ال ratio test
+
+176
+00:16:38,490 --> 00:16:42,730
+مثال تاني مثال
+
+177
+00:16:42,730 --> 00:16:46,330
+تاني عبارة عن exercise اتنين فرع a section تلاتة
+
+178
+00:16:46,330 --> 00:16:54,610
+اتنين بنشوف ايه ال exercise هذا بيقول give
+
+179
+00:16:54,610 --> 00:17:01,930
+an example of two divergent sequences two
+
+180
+00:17:01,930 --> 00:17:04,090
+divergent sequences
+
+181
+00:17:06,940 --> 00:17:12,840
+such that there are some مجموعهم there
+
+182
+00:17:12,840 --> 00:17:19,020
+are some converges نعطي
+
+183
+00:17:19,020 --> 00:17:24,060
+مثال ل two divergent sequences تنتهي from two
+
+184
+00:17:24,060 --> 00:17:29,140
+divergent لكن مجموعهم convergent فأسهل مثال هو مثل
+
+185
+00:17:29,140 --> 00:17:36,270
+هذا الحلناخد الـ sequence xn للحد العام تبعها سالب
+
+186
+00:17:36,270 --> 00:17:42,430
+واحد to n و n بتبدأ من واحد إلى ملا نهاية طبعا ال
+
+187
+00:17:42,430 --> 00:17:48,210
+sequence هذه لو بيننا انفرفتها فحدودها هتكون هكذا
+
+188
+00:17:48,210 --> 00:17:53,670
+أول حد سالب واحد، تاني واحد، تالت سالب واحد،
+
+189
+00:17:53,670 --> 00:18:00,040
+الرابع واحد، و هكذاوناخد ال sequence yn الحد العام
+
+190
+00:18:00,040 --> 00:18:04,760
+تبعها سالب واحد قص ان زاد واحد وان طبعا تبدأ من
+
+191
+00:18:04,760 --> 00:18:12,080
+واحد فهذه ال sequence حدودها هتكون أول حد واحد،
+
+192
+00:18:12,080 --> 00:18:17,160
+التاني سالب واحد، التالت واحد، الرابع سالب واحد و
+
+193
+00:18:17,160 --> 00:18:17,620
+هكذا
+
+194
+00:18:20,300 --> 00:18:25,720
+تمام احنا اثبتنا بالتفصيل ان ال sequence xn هذي
+
+195
+00:18:25,720 --> 00:18:29,660
+divergent by contradiction فرضنا انها convergent
+
+196
+00:18:29,660 --> 00:18:35,960
+وصلنا الى تناغم صح؟ طب ما هذي هي هذي هي ال
+
+197
+00:18:35,960 --> 00:18:43,750
+sequence ال sequence yn هي سالب ال sequence xnو Xn
+
+198
+00:18:43,750 --> 00:18:47,710
+is divergent و Yn is divergent او بنفس البرهان
+
+199
+00:18:47,710 --> 00:18:51,530
+ممكن نعمل نفس البرهان اذا هي عندي مثال على two
+
+200
+00:18:51,530 --> 00:18:57,670
+sequences كلاهما both are divergent لكن لما نيجي
+
+201
+00:18:57,670 --> 00:19:04,750
+نجمعهم لو أخدت ال sequence جديدة ال inf term تبعها
+
+202
+00:19:04,750 --> 00:19:09,070
+او الحد العام تبعها هو مجموعة ال inf term زي Xn
+
+203
+00:19:09,070 --> 00:19:15,280
+وYn هذه sequence تالتة جديدةما هو الحد العام لهذه
+
+204
+00:19:15,280 --> 00:19:21,360
+الـ sequence؟ اجمع الحد الأول على الأول بيطلع سفر،
+
+205
+00:19:21,360 --> 00:19:25,740
+التاني على التاني سفر، إذا هذه عبارة عن الـ
+
+206
+00:19:25,740 --> 00:19:30,300
+sequence constant zero ثابت سفر أو الـ sequence
+
+207
+00:19:30,300 --> 00:19:35,480
+الحد العام تبعها ثابت سفر وطبعا أي sequence ثابتة
+
+208
+00:19:35,480 --> 00:19:39,880
+بتكون convergent و limit تبعتها هي الحد الثابت
+
+209
+00:19:39,880 --> 00:19:45,000
+نفسه، لذلك limit لهذه الـ sequence ثابت سفرإذا هذا
+
+210
+00:19:45,000 --> 00:19:50,700
+مثال على two divergent sequences their sum is
+
+211
+00:19:50,700 --> 00:19:55,900
+convergent okay تمام؟ في برضه حاجات زي هذه ممكن
+
+212
+00:19:55,900 --> 00:20:00,200
+ينقلب منكم جيبي مثال على two sequences contain
+
+213
+00:20:00,200 --> 00:20:05,820
+مثلا convergent لكن حصل ضربهم divergent يعني حاجات
+
+214
+00:20:05,820 --> 00:20:11,880
+زي هيك و هكذا في الكتاب في تمارينعلى هذا السياق
+
+215
+00:20:11,880 --> 00:20:22,020
+هتشوفوها تمام؟ مفهوم؟ واضح المثال هذا؟ طيب مثال
+
+216
+00:20:22,020 --> 00:20:29,440
+رقم تلاتة هذا
+
+217
+00:20:29,440 --> 00:20:32,900
+عبارة عن exercise أربعة عشر في section تلاتة اتنين
+
+218
+00:20:35,100 --> 00:20:41,360
+بقول خد zn بساوي a to n plus b to n to the power
+
+219
+00:20:41,360 --> 00:20:47,240
+one over n where a و b are positive numbers and a
+
+220
+00:20:47,240 --> 00:20:56,260
+less than b prove أن limit zn بساوي العدد b تمام؟
+
+221
+00:20:56,260 --> 00:21:02,420
+لبرهان ذلك أنا عندي من الفرض a positive إذا a to n
+
+222
+00:21:02,420 --> 00:21:09,520
+positiveوكذلك وبالتالي b to n أصغر من a to n plus
+
+223
+00:21:09,520 --> 00:21:16,460
+b to n الان ناخد ال nth root لطرفي المتبينة هذه
+
+224
+00:21:16,460 --> 00:21:22,700
+فبطلع b أصغر من ال nth root للمجموعة ده اللي احنا
+
+225
+00:21:22,700 --> 00:21:33,440
+سمناه zn اذا الان انا عندي zn بساوي a n زاد b nto
+
+226
+00:21:33,440 --> 00:21:39,580
+the power one over n والان انا عندى بما انه a أصغر
+
+227
+00:21:39,580 --> 00:21:45,740
+من b a أصغر من b من الفرض هى فهذا بالتأكيد بيقدى
+
+228
+00:21:45,740 --> 00:21:52,200
+انه a to n أصغر من b to n اذا
+
+229
+00:21:52,200 --> 00:21:59,680
+هشيل ال a to n هذه و اضع خليها أصغر من b to n زائد
+
+230
+00:21:59,680 --> 00:22:07,730
+b to n الكل to one over nطب هذا بيطلع two ضرب b to
+
+231
+00:22:07,730 --> 00:22:14,450
+n الكل to power one over n وزع ال power فبطلع two
+
+232
+00:22:14,450 --> 00:22:22,290
+to one over n ضرب b صح؟ الآن ال sequence إذا
+
+233
+00:22:22,290 --> 00:22:28,470
+أنا أصبح عندي لو دمجت المتباينتين عشرة و أحداشر مع
+
+234
+00:22:28,470 --> 00:22:35,870
+بعض فبطلع عندي bمن المتباينة عشرة الـ B هدا هي
+
+235
+00:22:35,870 --> 00:22:42,590
+أصغر من ال ZN ومن المتباينة أحداشر ال ZN أصغر من
+
+236
+00:22:42,590 --> 00:22:47,610
+two to one over N times B for every N natural
+
+237
+00:22:47,610 --> 00:22:56,780
+number احنا اتوصلنا لالمتباينة هذه صحيحة لكل Nانا
+
+238
+00:22:56,780 --> 00:23:01,660
+لان عندي الـ sequence ZN هذه اللي انا عايز اثبت ان
+
+239
+00:23:01,660 --> 00:23:07,120
+ال limit تبعتها بالساوي بيه is squeezed between
+
+240
+00:23:07,120 --> 00:23:13,680
+two sequences محصورة من متتاليتين تنتين هاي
+
+241
+00:23:13,680 --> 00:23:20,620
+متتالية وهاي متتالية المتتالية هذه الحد العام
+
+242
+00:23:20,620 --> 00:23:27,340
+تبعها ثابت بيهوبالتالي ال limit تبعت بي لما بي
+
+243
+00:23:27,340 --> 00:23:35,340
+تقول ل infinity بتساوي بي و limit ال sequence هذي
+
+244
+00:23:35,340 --> 00:23:39,380
+two to واحد على n limit two to واحد على n بتساوي
+
+245
+00:23:39,380 --> 00:23:44,760
+واحد اثبتنا احنا قبل هيك ان لو n دي c عدد موجب ف
+
+246
+00:23:44,760 --> 00:23:52,170
+limitc to 1 على n as n tends to infinity بساوة
+
+247
+00:23:52,170 --> 00:23:59,230
+واحد صح فاندي c هنا بساوة اتنين لان ال limit ل two
+
+248
+00:23:59,230 --> 00:24:02,450
+to one over n as n tends to infinity بساوة واحد
+
+249
+00:24:02,450 --> 00:24:07,290
+وبالتالي limit two to one over n times constant b
+
+250
+00:24:07,290 --> 00:24:12,170
+بساوة واحد في b او b في واحد ف limit ال sequence
+
+251
+00:24:12,170 --> 00:24:18,000
+هذه ايضا تطلع bلما انتقل ل infinity، اذا by
+
+252
+00:24:18,000 --> 00:24:23,000
+squeeze theorem بطلع عندي limit ال sequence zm
+
+253
+00:24:23,000 --> 00:24:28,240
+المحصورة في النص بساوي بيه، okay؟ اذا هاي هنا
+
+254
+00:24:28,240 --> 00:24:34,120
+استخدامنا ال sandwich او ال squeeze، تمام؟ واضح؟
+
+255
+00:24:36,340 --> 00:24:40,080
+Okay إذا هذه يعني بعض الأسئلة هي اللي حلناها،
+
+256
+00:24:40,080 --> 00:24:43,480
+حالها مش صعب إما تطبيق على ال sandwich theorem أو
+
+257
+00:24:43,480 --> 00:24:48,680
+على نظرية 2.4 أو الحاجات اللي أخدناها في ال
+
+258
+00:24:48,680 --> 00:24:52,740
+section هذا أو في ال succession السابق أو بالتالي
+
+259
+00:24:52,740 --> 00:24:58,760
+مافيش حاجة يعني غريبة أو تستدى أن احنا نستخدم حاجة
+
+260
+00:24:58,760 --> 00:25:05,270
+مش موجودة في المناجمإذا ما يكون إلا من شطرتكم
+
+261
+00:25:05,270 --> 00:25:10,210
+تحاولوا تحلوا باقي التمرين اللي في ال section هذا
+
+262
+00:25:10,210 --> 00:25:15,550
+طبعا هنا لهنا الامتحان .. الامتحان داخل لحد
+
+263
+00:25:15,550 --> 00:25:21,590
+التمرين هذه الجزء اللي بعد هيك مش داخل في الامتحان
+
+264
+00:25:21,590 --> 00:25:22,310
+النصف الأول
+
+265
+00:25:26,220 --> 00:25:32,640
+تمام فإذا هنا ال section جديد أو أنوان جديد ال
+
+266
+00:25:32,640 --> 00:25:38,160
+monotone sequences المتتاليات اللي بيسموها
+
+267
+00:25:38,160 --> 00:25:42,380
+الواتيرية المتتاليات الواتيرية ال monotone
+
+268
+00:25:42,380 --> 00:25:46,960
+sequence يعني متتالية واتيرية يعني إما متزايدة أو
+
+269
+00:25:46,960 --> 00:25:55,200
+متلاقصة فناخد تعريف let x in be a sequence of real
+
+270
+00:25:55,200 --> 00:26:02,880
+numbersسنقول إن سيكوينس Xn increasing متزايدة إذا
+
+271
+00:26:02,880 --> 00:26:07,400
+كان Xn less
+
+272
+00:26:07,400 --> 00:26:11,800
+than or equal to Xn plus one for every n لو كان كل
+
+273
+00:26:11,800 --> 00:26:17,260
+حد أصغر من أول ساول لبعده فالسيكوينس في الحالة دي
+
+274
+00:26:17,260 --> 00:26:23,860
+بنسميها increasing و بنسميها decreasingإذا كان كل
+
+275
+00:26:23,860 --> 00:26:32,760
+حد أكبر من أو يساوي اللي بعده تمام؟
+
+276
+00:26:32,760 --> 00:26:40,000
+طيب بنسمي ال sequence monotone ال sequence بنسميها
+
+277
+00:26:40,000 --> 00:26:45,460
+monotone أو واتيرية if it is either increasing or
+
+278
+00:26:45,460 --> 00:26:46,040
+decreasing
+
+279
+00:26:48,950 --> 00:26:53,170
+إن المتتالي الوطرية هي متتالية إما increasing أو
+
+280
+00:26:53,170 --> 00:26:58,250
+decreasing معنى
+
+281
+00:26:58,250 --> 00:27:01,490
+آخر كل increasing sequence is monotone sequence
+
+282
+00:27:01,490 --> 00:27:06,090
+and every decreasing sequence is monotone sequence
+
+283
+00:27:06,090 --> 00:27:14,370
+طب هاي أمثلة على monotone sequences فاندي هنا
+
+284
+00:27:14,370 --> 00:27:21,540
+sequence n of natural numbersis increasing واضح ان
+
+285
+00:27:21,540 --> 00:27:26,440
+xn بساوي n أصغر من او ساوي xn plus one اللي هو n
+
+286
+00:27:26,440 --> 00:27:31,440
+زاد واحد لان هذا increasing وهذا increasing ال
+
+287
+00:27:31,440 --> 00:27:36,040
+sequence اللي ال inf term تبعها two to n اللي هي
+
+288
+00:27:36,040 --> 00:27:41,440
+هذه is increasing بينما
+
+289
+00:27:41,440 --> 00:27:46,720
+ال sequence one over n decreasing هي كل حد أكبر من
+
+290
+00:27:46,720 --> 00:27:52,140
+أو ساوي لبعدهو كذلك ال sequence one over two to n
+
+291
+00:27:52,140 --> 00:27:57,580
+طيب، في سؤال هنا بطلح نفسه، هل كل sequence لازم
+
+292
+00:27:57,580 --> 00:28:01,720
+تكون monotone sequence؟ لأ، مو لأ، مش شرط، مش شرط،
+
+293
+00:28:01,720 --> 00:28:03,620
+مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش
+
+294
+00:28:03,620 --> 00:28:03,840
+شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش
+
+295
+00:28:03,840 --> 00:28:07,680
+شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش
+
+296
+00:28:07,680 --> 00:28:12,580
+شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش
+
+297
+00:28:12,580 --> 00:28:17,150
+شرط، مش شرط، مش شرطthe following sequence is
+
+298
+00:28:17,150 --> 00:28:20,010
+sequence اللي الحد اللي عام تبعها negative one to
+
+299
+00:28:20,010 --> 00:28:24,830
+n أو n زيادة واحد اللي هي ال alternated sequence
+
+300
+00:28:24,830 --> 00:28:29,750
+ال sequence هذه المتدبدبة alternating يعني
+
+301
+00:28:29,750 --> 00:28:34,930
+المتدبدبة في الإشارة واحد سالب واحد واحد سالب واحد
+
+302
+00:28:34,930 --> 00:28:40,450
+هذه ليست conversion ليست monotone is not
+
+303
+00:28:40,450 --> 00:28:46,980
+increasing and it is not decreasingنفس الشيء ال
+
+304
+00:28:46,980 --> 00:28:51,180
+sequence اللي حد اللي عم تبعها سالب one to n اللي
+
+305
+00:28:51,180 --> 00:28:56,040
+هي سالب واحد موجة بتنين سالب تلاتة و هكذا ال
+
+306
+00:28:56,040 --> 00:29:00,560
+sequence هذه is not monotone لا increasing ولا
+
+307
+00:29:00,560 --> 00:29:05,590
+decreasing تمام واضحإذا ال sequence .. أي .. لو
+
+308
+00:29:05,590 --> 00:29:09,310
+أخدنا أي sequence عشوائية فممكن تكون increasing،
+
+309
+00:29:09,310 --> 00:29:14,070
+ممكن تكون decreasing، ممكن تكون neither، neither
+
+310
+00:29:14,070 --> 00:29:16,810
+increasing nor decreasing زي ال function ممكن تكون
+
+311
+00:29:16,810 --> 00:29:22,950
+odd أو even أو neither، لا odd ولا even، أه؟ تمام؟
+
+312
+00:29:22,950 --> 00:29:26,870
+طيب ال .. في نظرية مهمة هنا في هذا السياق
+
+313
+00:29:29,970 --> 00:29:34,290
+بتخص الـ monotone sequences وبالتالي بنسميها
+
+314
+00:29:34,290 --> 00:29:39,170
+monotone convergence theorem وبنستخدم اختصارات
+
+315
+00:29:39,170 --> 00:29:46,690
+monotone convergence theorem النظرية
+
+316
+00:29:46,690 --> 00:29:52,550
+هذه بتقول خد .. خدي let x and b a monotone
+
+317
+00:29:52,550 --> 00:29:57,650
+sequence خلينا ناخد monotone sequenceالان هذه الـ
+
+318
+00:29:57,650 --> 00:30:01,130
+monotone sequence بتكون convergent if and only if
+
+319
+00:30:01,130 --> 00:30:05,830
+it is bounded تمام؟
+
+320
+00:30:05,830 --> 00:30:10,470
+moreover إضافة إلى ذلك لو كانت ال sequence x in
+
+321
+00:30:10,470 --> 00:30:16,970
+هذه bounded and increasing فأكيد طبعا convergent و
+
+322
+00:30:16,970 --> 00:30:22,370
+ال limit تبعتها بساوي ال supremum إلها ك set كذلك
+
+323
+00:30:22,370 --> 00:30:25,170
+لو كانت ال sequence x in bounded و decreasing
+
+324
+00:30:27,590 --> 00:30:31,190
+فبتكون طبعا convergent و ال limit بتبعتها بساوة ال
+
+325
+00:30:31,190 --> 00:30:36,270
+inform اللي لها ك set طيب
+
+326
+00:30:36,270 --> 00:30:39,430
+احنا عندي انا عندي هنا two statements او تلاتة
+
+327
+00:30:39,430 --> 00:30:47,010
+statements انا عندي العبارة هذه انا
+
+328
+00:30:47,010 --> 00:30:53,490
+عندي بتثبت العبارة هذه و العبارتين هدون فكيف
+
+329
+00:30:53,490 --> 00:31:00,150
+البرهان بتتمأول شي العبارة الأولى اللى فى البرواز
+
+330
+00:31:00,150 --> 00:31:08,610
+هذه if and only if statement صح ففى two parts واحد
+
+331
+00:31:08,610 --> 00:31:15,750
+هذا ال part ال only if part و ال if part نشوف ال
+
+332
+00:31:15,750 --> 00:31:21,260
+only if part يعنىلو كانت x in convergent بينا نثبت
+
+333
+00:31:21,260 --> 00:31:25,680
+إنها it is bounded وهذا أثبتناه في نظرية سابقة
+
+334
+00:31:25,680 --> 00:31:31,120
+أثبتنا إن كل تجارب convergent is bounded اختبار
+
+335
+00:31:31,120 --> 00:31:41,320
+الدم فاكرين؟ إذا هذا was proved proved
+
+336
+00:31:41,320 --> 00:31:49,530
+earlier تم إثباته سابقا في نظرية سابقةلو كانت
+
+337
+00:31:49,530 --> 00:31:54,830
+السيكوانس تبقى convergent ضرورة تكون bounded سواء
+
+338
+00:31:54,830 --> 00:31:58,690
+كانت السيكوانس monotone ولا حتى مش monotone okay؟
+
+339
+00:31:58,690 --> 00:32:02,950
+تمام؟ إن هاي برهان الجزء لهذا موجود في نظرية سابقة
+
+340
+00:32:02,950 --> 00:32:08,970
+باقى نثبت الجزء هذا يعني بنا نثبت أنه لو كانت
+
+341
+00:32:08,970 --> 00:32:17,730
+السيكوانس bounded السيكوانس لو كانت bounded و
+
+342
+00:32:17,730 --> 00:32:18,510
+monotone
+
+343
+00:32:21,420 --> 00:32:25,800
+طبعا احنا فرضين انها monotone اه من البداية x in
+
+344
+00:32:25,800 --> 00:32:32,020
+is monotone فالان عشان نكمل برهان العبارة هذه ال
+
+345
+00:32:32,020 --> 00:32:35,060
+if and only if او ال by conditional statement هذا
+
+346
+00:32:35,060 --> 00:32:40,920
+فبدنا نثبت ان لو كانت ال sequence bounded و
+
+347
+00:32:40,920 --> 00:32:49,520
+monotone فبتطلع convergent طيب
+
+348
+00:32:49,520 --> 00:32:54,920
+monotoneمونوتون لما ال sequence تكون مونوتون
+
+349
+00:32:54,920 --> 00:33:04,060
+معناها اما increasing او decreasing او decreasing
+
+350
+00:33:04,060 --> 00:33:08,260
+اذا
+
+351
+00:33:08,260 --> 00:33:16,500
+عشان اثبت الجزء هذا بده اثبت a و b هذا الجزء هذا
+
+352
+00:33:16,500 --> 00:33:25,750
+لبرهانه بده برهين a و bلأن جزء A بيقول لو كانت ال
+
+353
+00:33:25,750 --> 00:33:29,330
+sequence bounded و increasing فبتثبت أنها
+
+354
+00:33:29,330 --> 00:33:33,510
+convergent صح؟ فهي لو كانت ال sequence bounded و
+
+355
+00:33:33,510 --> 00:33:37,930
+increasing فبتثبت أنها convergent و ال limit
+
+356
+00:33:37,930 --> 00:33:43,530
+تبعتها هي ال suprem من إلها كمجموعة و الجزء B
+
+357
+00:33:43,530 --> 00:33:47,690
+بيثبت أن لو كانت ال sequence bounded و decreasing
+
+358
+00:33:47,690 --> 00:33:54,510
+فبتطلع convergentوإضافة لذلك إن ال limit تبعتها هي
+
+359
+00:33:54,510 --> 00:34:00,390
+ال infront إلى كسب إذا الإكمال برهان الاتجاه هذا و
+
+360
+00:34:00,390 --> 00:34:05,690
+برهان a و b وبالتالي نكمل برهان النظرية يكفي إن
+
+361
+00:34:05,690 --> 00:34:11,290
+أحنا نثبت a و b و أضع يكمل كون أثبتنا إلى عبارة من
+
+362
+00:34:11,290 --> 00:34:16,750
+بروزة هذه و a و b يعني برهاننا النظرية كاملة تمام؟
+
+363
+00:34:17,990 --> 00:34:39,030
+نثبت الآن باقي اثبات a وb نثبت الجزء a فخلّينا
+
+364
+00:34:39,030 --> 00:34:43,130
+نفرض ان ال sequence x in is bounded قلنا bounded
+
+365
+00:34:43,130 --> 00:34:48,700
+زاد increasingطيب من تعريف الـ bounded sequence
+
+366
+00:34:48,700 --> 00:34:54,840
+مدام ال sequence bounded إذا يوجد عدد حقيقي موجب M
+
+367
+00:34:54,840 --> 00:35:03,840
+بحيث أنه absolute Xn أصغر من أو ساوي M لكل N طيب
+
+368
+00:35:03,840 --> 00:35:07,540
+معروف أنه أي عدد حقيقي Xn أصغر من أو ساوي القيمة
+
+369
+00:35:07,540 --> 00:35:14,200
+المطلقة له، مظبوط؟إذا من ال boundedness من فرض ان
+
+370
+00:35:14,200 --> 00:35:18,260
+ال sequence bounded في معدد موجد بحيث ان xn أصغر
+
+371
+00:35:18,260 --> 00:35:23,640
+من أو ساوي M لكل M تمام واضح طيب الآن إذا ال
+
+372
+00:35:23,640 --> 00:35:27,800
+sequence xn bounded above وبالتالي by supremum ال
+
+373
+00:35:27,800 --> 00:35:33,120
+property ال supremum تبعها exist سميه x star
+
+374
+00:35:35,800 --> 00:35:40,000
+الان بيدثبت الادعاء هذا الـ claim الادعاء بيدثبت
+
+375
+00:35:40,000 --> 00:35:45,260
+انه limit ال sequence xn بساوي ال x star اللي هو
+
+376
+00:35:45,260 --> 00:35:51,580
+ال suprem لست xn فلو أثبتت هذا الادعاء معناته
+
+377
+00:35:51,580 --> 00:35:55,600
+أثبتت أنا ان ال sequence xn is convergent و ال
+
+378
+00:35:55,600 --> 00:36:00,650
+limit تبعتها بساوي ال suprem إلها كستتعالى نشوف
+
+379
+00:36:00,650 --> 00:36:04,930
+كيف نثبت ال claim to see this لبرهان ال claim انا
+
+380
+00:36:04,930 --> 00:36:09,430
+ايش بتثبت؟ بتثبت ان ال sequence x in convergent و
+
+381
+00:36:09,430 --> 00:36:13,630
+ال limit تبعتها بساوي العدد x star فهستخدم تعريف
+
+382
+00:36:13,630 --> 00:36:17,830
+epsilon capital N لل limit فلازم ابدأ let epsilon
+
+383
+00:36:17,830 --> 00:36:25,090
+أكبر من الصفر بيه given الان ال x star هذاهو ال
+
+384
+00:36:25,090 --> 00:36:28,430
+supremum لل set هذه لما نطرح من ال supremum عدد
+
+385
+00:36:28,430 --> 00:36:33,830
+موجب بيبطل upper bound بيبطل upper bound لأن ال x
+
+386
+00:36:33,830 --> 00:36:37,690
+star هو أصغر upper bound اطرح منه عدد موجب بيبطل
+
+387
+00:36:37,690 --> 00:36:41,590
+upper bound إذا هذا العدد x star minus y is not an
+
+388
+00:36:41,590 --> 00:36:46,710
+upper bound معناته في أنصر في ال set هذه اللي هو x
+
+389
+00:36:46,710 --> 00:36:51,450
+رقم capital N أكبر من العدد هذا اللي هو ما هوش
+
+390
+00:36:51,450 --> 00:36:55,860
+upper boundوطبعاً العدد هذا المؤشر او ال index
+
+391
+00:36:55,860 --> 00:37:00,040
+capital N ده يعتمد على ال epsilon مرتبط بال
+
+392
+00:37:00,040 --> 00:37:05,500
+epsilon اللي بنيت فيها طبعا انا فرض ان ال sequence
+
+393
+00:37:05,500 --> 00:37:10,860
+xn increasing وبالتالي x capital N أصغر من أو سوى
+
+394
+00:37:10,860 --> 00:37:14,880
+xn لكل N أكبر من أو سوى capital N من تعريف ال
+
+395
+00:37:14,880 --> 00:37:20,500
+increasing sequence اذا انا في عندي هنا هى عندي x
+
+396
+00:37:20,500 --> 00:37:28,280
+capital N هىxN أصغر من أو ساوي xN لكل N أكبر من أو
+
+397
+00:37:28,280 --> 00:37:36,360
+ساوي N طيب و x*) هو ال suprem of ال sequence xN و
+
+398
+00:37:36,360 --> 00:37:42,440
+xN هذا عنصر في ال sequence و x*) upper bound لل
+
+399
+00:37:42,440 --> 00:37:49,540
+sequence إذن xN أصغر من أو ساوي x*) طيب و x*) أصغر
+
+400
+00:37:49,540 --> 00:37:57,820
+من نفسها زاد عدد موجب هذا مافي شكو من هنا .. أيوه
+
+401
+00:37:57,820 --> 00:38:03,460
+.. من المتباينة هذه هي عندي x capital n أكبر من x
+
+402
+00:38:03,460 --> 00:38:11,420
+star سالب y إذا أنا طلع عندي الآن x star أكبر من
+
+403
+00:38:11,420 --> 00:38:13,160
+.. أو x in
+
+404
+00:38:15,810 --> 00:38:25,070
+أكبر من X star minus Y أصغر من X star زاد Y لكل N
+
+405
+00:38:25,070 --> 00:38:30,910
+أكبر من أو ساوي capital N فظبطك صح؟ طيب مهاد
+
+406
+00:38:30,910 --> 00:38:37,890
+المتباينة هي نفسها X N minus X star أصغر من Y أكبر
+
+407
+00:38:37,890 --> 00:38:44,610
+من سالب Y لكل N أكبر من أو ساوي capital Nطب
+
+408
+00:38:44,610 --> 00:38:49,930
+المتباينة هذه هي .. صح؟ أظبط؟ إذن absolute xn
+
+409
+00:38:49,930 --> 00:38:53,210
+minus x star أصغر من إبسلون لكل n أكبر من أوي
+
+410
+00:38:53,210 --> 00:38:58,370
+ساوية كابتن ان الأن since إبسلون was arbitrary هذا
+
+411
+00:38:58,370 --> 00:39:03,810
+بالظبط تعريف إبسلون كابتن ان لل limit أه؟ بأن هذا
+
+412
+00:39:03,810 --> 00:39:08,470
+الكلام صحيح لكل إبسلون أكبر من سفر إذن هذا معناه
+
+413
+00:39:08,470 --> 00:39:13,190
+حسب التعريف إن limit xn بساوي x star
+
+414
+00:39:18,780 --> 00:39:23,660
+إذا هذا بثبت ال claim وبالتالي هكذا نكون أثبتنا
+
+415
+00:39:23,660 --> 00:39:30,560
+الجزء A من النظرية فالجزء
+
+416
+00:39:30,560 --> 00:39:35,300
+التاني B ممكن نستخدم A في برهان ال B
+
+417
+00:39:38,510 --> 00:39:42,310
+ففي الجزء B الان انا عندي ال sequence تبعتي
+
+418
+00:39:42,310 --> 00:39:46,570
+bounded و decreasing اذا ا assume x in is bounded
+
+419
+00:39:46,570 --> 00:39:50,770
+and decreasing فاش
+
+420
+00:39:50,770 --> 00:39:55,690
+عمل هعرف sequence جديدة yn اللي هي negative الحد
+
+421
+00:39:55,690 --> 00:40:01,530
+العام تبعها negative x in تمام؟ الان بما ان x in
+
+422
+00:40:01,530 --> 00:40:05,170
+decreasing اذا ال sequence سالب x in تطلع
+
+423
+00:40:05,170 --> 00:40:10,610
+increasingوطبعا ب��ا أن ال sequence x in bounded
+
+424
+00:40:10,610 --> 00:40:15,670
+إذا ال sequence سالب x in أيضا bounded إذا الأن
+
+425
+00:40:15,670 --> 00:40:18,790
+أنا في عندي sequence جديد اللي هي sequence yn
+
+426
+00:40:18,790 --> 00:40:26,310
+bounded وin crazy إذا حسب الجزء a by part a limit
+
+427
+00:40:26,310 --> 00:40:32,790
+ال sequence yn تطلع existوبتساوي ال supremum لكل
+
+428
+00:40:32,790 --> 00:40:37,870
+ال y in ال supremum لعناصر ال sequence اللي هي y
+
+429
+00:40:37,870 --> 00:40:41,510
+in تمام؟
+
+430
+00:40:41,510 --> 00:40:47,370
+انها ده من ايه؟ من الجزء ايه من النظرية؟طيب ال
+
+431
+00:40:47,370 --> 00:40:51,450
+supremum ل سالب xn هيفقن العدد طبيعي احنا خدنا قبل
+
+432
+00:40:51,450 --> 00:40:56,490
+هيك exercise بيقول supremum او infimum سالب حاجة
+
+433
+00:40:56,490 --> 00:41:02,190
+بساوي سالب ال infimum فهنا بصير هذا سالب ال
+
+434
+00:41:02,190 --> 00:41:07,530
+infimum تمام؟ اذا انا عندي بيطلع عندي limit xn
+
+435
+00:41:07,530 --> 00:41:15,180
+بساوي سالب limit سالب xn تمام؟أضربوا هنا هيندي
+
+436
+00:41:15,180 --> 00:41:18,940
+limit سالب xn أضربوا المعادلة هذه بالسالب واحد
+
+437
+00:41:18,940 --> 00:41:24,700
+فبطلع سالب limit سالب xn بساوي سالب سالب موجب اللي
+
+438
+00:41:24,700 --> 00:41:29,000
+هو ال inform ل xn وهذا اللي بدنا يعني لأن هي
+
+439
+00:41:29,000 --> 00:41:33,280
+أثبتنا أن limit xn موجودة exist يعني ال sequence
+
+440
+00:41:33,280 --> 00:41:37,640
+xn convergent وال limit تبعتها بساوي ال inform
+
+441
+00:41:40,760 --> 00:41:44,680
+بنكمل برهان الـ monotone convergence theorem طبعا
+
+442
+00:41:44,680 --> 00:41:49,280
+الأمثلة هذه اللي هنا كلها أمثلة تطبيق على الـ
+
+443
+00:41:49,280 --> 00:41:53,180
+monotone convergence theorem فارجو أنكم تحاولوا
+
+444
+00:41:53,180 --> 00:41:56,080
+تخرجوا الأمثلة هذه و تشوفوا كيف نستخدم الـ
+
+445
+00:41:56,080 --> 00:41:58,440
+monotone convergence theorem في
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Lc2K-uxXK74_raw.srt

@@ -0,0 +1,1784 @@
+1
+00:00:20,750 --> 00:00:26,090
+Okay اذا اليوم ان شاء الله هنكمل موضوع ال limit
+
+2
+00:00:26,090 --> 00:00:32,390
+theorems او نظريات النهايات و من النظريات المهمة
+
+3
+00:00:32,390 --> 00:00:39,710
+هذه هي نظرية 12 بتقول لو في عندي sequence x in و
+
+4
+00:00:39,710 --> 00:00:44,570
+ال sequence هذي convergent ل x فال sequence of
+
+5
+00:00:44,570 --> 00:00:49,350
+absolute valuesبتطلع convergence وال limit تبعتها
+
+6
+00:00:49,350 --> 00:00:55,490
+تطلع absolute .. absolute limit تبعت ال sequence
+
+7
+00:00:55,490 --> 00:01:00,750
+XL فالبرهان
+
+8
+00:01:00,750 --> 00:01:04,470
+بيتمد على ال triangle inequality
+
+9
+00:01:07,360 --> 00:01:13,720
+أحد صور ال triangle inequality كانت المتباينة هذه
+
+10
+00:01:13,720 --> 00:01:20,740
+absolute a minus absolute b وأخد ال absolute value
+
+11
+00:01:20,740 --> 00:01:28,600
+هذا أصغر من أو ساوي absolute a minus bفلو أخدت هنا
+
+12
+00:01:28,600 --> 00:01:36,160
+a بساوي xn و b بساوي x فبطلع الكلام هذا صحيح لكل
+
+13
+00:01:36,160 --> 00:01:43,760
+الأعداد الطبيعية n الآن أنا عندي xn converges to x
+
+14
+00:01:43,760 --> 00:01:51,740
+فلو أخدت أي epsilon أكبر من الصفر given
+
+15
+00:01:55,040 --> 00:02:00,540
+واندي انا x in converge ل x، اذا هذا بيدّي انه
+
+16
+00:02:00,540 --> 00:02:03,580
+يوجد
+
+17
+00:02:03,580 --> 00:02:13,660
+capital N عدد طبيعي يعتمد على epsilon بحيث انه لو
+
+18
+00:02:13,660 --> 00:02:18,260
+كان N أكبر من أو ساوي capital N فهذا بيدّي ان
+
+19
+00:02:18,260 --> 00:02:22,080
+absolute x in minus x أصغر من epsilon
+
+20
+00:02:25,260 --> 00:02:30,300
+وبالتالي من هنا إذا الهدف بيطلع أصغر من epsilon
+
+21
+00:02:30,300 --> 00:02:34,260
+لكل
+
+22
+00:02:34,260 --> 00:02:41,180
+n أكبر من أو ساوي capital N إذا
+
+23
+00:02:41,180 --> 00:02:44,800
+أنا هيك بكون أثبتت إنه لأي epsilon أكبر من سفر
+
+24
+00:02:44,800 --> 00:02:50,760
+يوجد capital N يعتمد على epsilon عدد طبيعي بحيث
+
+25
+00:02:50,760 --> 00:02:57,040
+لكل n أكبر من أو ساوي capital Nالقيمة المطلقة ل
+
+26
+00:02:57,040 --> 00:03:02,480
+absolute xn minus absolute x أصغر من epsilon إذا
+
+27
+00:03:02,480 --> 00:03:07,900
+حسب تعريف epsilon capital N for limits هذا معناه
+
+28
+00:03:07,900 --> 00:03:14,260
+بالظبط أن limit absolute xn as n tends to infinity
+
+29
+00:03:14,260 --> 00:03:21,790
+بساوي absolute x وهو المطلوبOkay تمام اذا هذا
+
+30
+00:03:21,790 --> 00:03:32,890
+بيكمل برهان نظرية اتناش تمام واضح النظرية
+
+31
+00:03:32,890 --> 00:03:39,270
+اللي بعدها نظرية تلاتاش بتقول لو انا فيها اندي
+
+32
+00:03:39,270 --> 00:03:45,490
+sequence حدودها كلها غير سالبة حدود ال sequence xm
+
+33
+00:03:45,490 --> 00:03:50,750
+كلها غير سالبة اعداد غير سالبةوالـ sequence لو
+
+34
+00:03:50,750 --> 00:03:57,730
+كانت الـ sequence Xn convergent to some X فالـ
+
+35
+00:03:57,730 --> 00:04:02,730
+limit للـ sequence of square roots لـ Xn تطلع
+
+36
+00:04:02,730 --> 00:04:08,470
+convergent والـ limit تبعتها بساول square root للـ
+
+37
+00:04:08,470 --> 00:04:09,890
+limit للـ sequence Xn
+
+38
+00:04:13,780 --> 00:04:19,760
+والبرهان تبع النظرية دي سهل انا اول شي عندى احنا
+
+39
+00:04:19,760 --> 00:04:25,060
+فرضين ان ال limit ل Xn بساوي X في نظرية تمانية
+
+40
+00:04:25,060 --> 00:04:28,700
+قلنا ان لو كانت حدود ال sequence Xn كلها غير سالبة
+
+41
+00:04:28,700 --> 00:04:34,360
+ف limit ل sequence Xn اللى هى X ايضا تطلع غير
+
+42
+00:04:34,360 --> 00:04:40,840
+سالبة اذا X اكبر من او ساوى 0الان في عندي حالتين
+
+43
+00:04:40,840 --> 00:04:46,300
+ال X هنا أكبر من أو ساوي سفر ففي عندي احتمالين اما
+
+44
+00:04:46,300 --> 00:04:54,260
+X بساوي سفر او X أكبر من السفر تمام و في كل حالة
+
+45
+00:04:54,920 --> 00:04:59,540
+مطلوب مني ان اثبت ان limit ال square root ل xn
+
+46
+00:04:59,540 --> 00:05:03,960
+بساوي ال square root of x تمام؟ انشوف في الحالة
+
+47
+00:05:03,960 --> 00:05:08,520
+الأولى لو كانت ال x بساوي سفر وانا عندي من الفرض
+
+48
+00:05:08,520 --> 00:05:15,550
+xn converges to x اللي هي سفرأذا لو أخدت أي إبسلون
+
+49
+00:05:15,550 --> 00:05:20,250
+أكبر من السفر من كون ال sequence هذه converge
+
+50
+00:05:20,250 --> 00:05:24,270
+للسفر إذا لأي إبسلون يوجد capital N يعتمد على
+
+51
+00:05:24,270 --> 00:05:30,150
+إبسلون بحيث المسافة بين xn والسفر أصغر من إبسلون
+
+52
+00:05:30,150 --> 00:05:33,470
+تربية لكل N أكبر من أوسعه ال capital N هذا من
+
+53
+00:05:33,470 --> 00:05:36,690
+تعريف ال conversion ممكن أحط هنا إبسلون أو إبسلون
+
+54
+00:05:36,690 --> 00:05:42,940
+تربية مافي مشكلةطيب أنا عندي xn من الفرض الـ xn
+
+55
+00:05:42,940 --> 00:05:48,840
+كلهم أكبر من أو يساوي سفر وبالتالي القيمة المطلقة
+
+56
+00:05:48,840 --> 00:05:53,800
+لـ xn بساوي نفسها ناخد
+
+57
+00:05:53,800 --> 00:05:59,120
+الجدر التربيعي للحدود المتباينة هذه هي ال square
+
+58
+00:05:59,120 --> 00:06:04,790
+root of xnبساوي ال absolute value ل square root ل
+
+59
+00:06:04,790 --> 00:06:10,190
+xn minus صفر وهذا أصغر من إبسلون square root
+
+60
+00:06:10,190 --> 00:06:13,870
+لإبسلون تربية بيطلع إبسلون هذا الكلام صحيح for
+
+61
+00:06:13,870 --> 00:06:18,830
+every n bigger than or equal capital N طب هذا
+
+62
+00:06:18,830 --> 00:06:23,050
+معناه بما أن إبسلون was arbitrarily بما أن احنا
+
+63
+00:06:23,050 --> 00:06:29,850
+أثبتنا هذا الكلام لكل إبسلون عدد موجبهذا من تعريف
+
+64
+00:06:29,850 --> 00:06:34,350
+epsilon capital N for limits للنهايات هذا معناه
+
+65
+00:06:34,350 --> 00:06:40,970
+limit ال square root ل XN بالساوي السفر لما N تولى
+
+66
+00:06:40,970 --> 00:06:47,140
+Nوهذا ايه هذا اللي هو المطلوب طيب السفر هنا احنا
+
+67
+00:06:47,140 --> 00:06:50,780
+ماخدين x بالساوية سفر فالسفر هذا هو square root ل
+
+68
+00:06:50,780 --> 00:06:54,360
+x اذا هين اثبتت ان limit square root ل x in
+
+69
+00:06:54,360 --> 00:06:58,820
+بالساوية square root ل x في حالة لما x بالساوية
+
+70
+00:06:58,820 --> 00:07:07,280
+سفر تمام باقي نثبتالنتيجة نفسها في حالة لما X أكبر
+
+71
+00:07:07,280 --> 00:07:11,740
+من 0 تفضلي قال جيت حكيت أنه ممكن أخد يبسلون مش
+
+72
+00:07:11,740 --> 00:07:15,740
+يبسلون تربيه لما أكمل خطوة بعد تطلع جدر اليبسلون
+
+73
+00:07:15,740 --> 00:07:19,660
+يعني أقل من الجدر يبسلون جدر اليبسلون قولت أن أحنا
+
+74
+00:07:19,660 --> 00:07:23,600
+خلنا يبسلون تربيه عشان لما أخد الجدر يطلع يبسلون
+
+75
+00:07:23,600 --> 00:07:29,520
+مافي مشكلة يعني اعتبر هذه هي اليبسلون مش اليبسلون
+
+76
+00:07:29,520 --> 00:07:34,300
+أكبر عدد أكبر من 0 givenإذا إبسلون تربية برضه عدد
+
+77
+00:07:34,300 --> 00:07:39,880
+موجة بقى تقري هو ال given وبالتالي يوجد أن تعتمد
+
+78
+00:07:39,880 --> 00:07:44,320
+على إبسلون تربية بدل إبسلون طب إبسلون تربية تعتمد
+
+79
+00:07:44,320 --> 00:07:48,420
+على إبسلونإذا ليش ما نقول إذا يوجد N تعتمد على
+
+80
+00:07:48,420 --> 00:07:52,240
+إبسلون وإعتبر الإبسلون تربية بدل إبسلون في ال
+
+81
+00:07:52,240 --> 00:07:55,920
+definition فمافي مشكلة بس خدناها الإبسلون تربية
+
+82
+00:07:55,920 --> 00:07:59,660
+عشان لما ناخد جدر التربية يطلع أندي أصغر من إبسلون
+
+83
+00:07:59,660 --> 00:08:03,760
+وبالتالي نقول حسب التعريف إذا limit جدر X N بساوة
+
+84
+00:08:03,760 --> 00:08:11,840
+ستة تمام اللي هي جدر X في أي سؤال تاني؟طيب، نشوف
+
+85
+00:08:11,840 --> 00:08:16,800
+الحالة التانية، لو كانت ال X هذه أكبر من صفر، إذا
+
+86
+00:08:16,800 --> 00:08:20,640
+جدر ال X بالتأكيد أكبر من الصفر، وبالتالي جدر X in
+
+87
+00:08:20,640 --> 00:08:26,120
+زي جدر X أكبر من أو ساوي جدر ال X، لأن هذا أكبر من
+
+88
+00:08:26,120 --> 00:08:35,430
+أو ساوي صفر، وهذا موجب، لأن ال X موجبةطيب، الآن
+
+89
+00:08:35,430 --> 00:08:40,630
+هذا المقدار أكبر من أو ساوي هذا واتنين موجبين، إذا
+
+90
+00:08:40,630 --> 00:08:47,950
+المقلوب الكبير أصغر من أو ساوي المقلوب الصغير هذه
+
+91
+00:08:47,950 --> 00:08:53,010
+الخاصية أخدناها في chapter one وبناء عليه
+
+92
+00:09:01,430 --> 00:09:06,810
+بنان على ذلك انا ممكن احسب جدر xn minus جدر ال x
+
+93
+00:09:06,810 --> 00:09:12,870
+بضرب المق��ار هذا في المرافق تبعه بسطه مقاما، هاي
+
+94
+00:09:12,870 --> 00:09:16,870
+المرافق تبعه بسطه مقام فكأني ضربت المقدار هذا في
+
+95
+00:09:16,870 --> 00:09:23,030
+واحد، اذا هذا بساوي نفسه ضرب مرافقه على مرافقه،
+
+96
+00:09:23,030 --> 00:09:27,870
+تمام؟الان ال bus تحليل الفرق بين المربعين فبطلع
+
+97
+00:09:27,870 --> 00:09:33,170
+مربع هذا سالب مربع هذا اللي هو x in negative x و
+
+98
+00:09:33,170 --> 00:09:38,310
+بيبقى ال end في المقام المقدار هذا الان ناخد
+
+99
+00:09:38,310 --> 00:09:43,370
+القيمة المطلقة للكلام هذا بيساوي القيمة المطلقة
+
+100
+00:09:43,370 --> 00:09:48,230
+للطرف اليمين القيمة المطلقة لل bus على القيمة
+
+101
+00:09:48,230 --> 00:09:53,070
+المطلقة للمقام المقام هذا موجب فالقيمة المطلقة له
+
+102
+00:09:53,070 --> 00:09:58,770
+نفسهأذا الأن أنا في عندي sequence اللي هي الحد
+
+103
+00:09:58,770 --> 00:10:02,810
+العام تبعها square root of xn وفي عندي عدد square
+
+104
+00:10:02,810 --> 00:10:10,390
+root of x المسافة بينهم أصغر من أو يساوي أصغر من
+
+105
+00:10:10,390 --> 00:10:15,610
+أو يساوي هي المسافة هذه بالساوي واحد على square
+
+106
+00:10:15,610 --> 00:10:21,870
+root of xn زي square root of x والكسر هذا من
+
+107
+00:10:21,870 --> 00:10:27,950
+المتباينة تسعةهذا الكثير أصغر من أو يساوي واحد على
+
+108
+00:10:27,950 --> 00:10:32,610
+square root of x ضرب absolute x in سالب x الآن
+
+109
+00:10:32,610 --> 00:10:43,830
+ارجعوا لنظرية اتنين اربعة with
+
+110
+00:10:43,830 --> 00:10:52,060
+c عدد موجب ساوي واحد على جدر ال x هذا عدد موجبو a
+
+111
+00:10:52,060 --> 00:10:59,780
+n بساوي x n minus x إذن
+
+112
+00:10:59,780 --> 00:11:03,940
+هى يوجد c عدد موجب اللى هو واحد على جدر ال X و هى
+
+113
+00:11:03,940 --> 00:11:08,820
+فى عندي sequence a n الحد العام تبعها x n سالد x و
+
+114
+00:11:08,820 --> 00:11:14,680
+ال sequence هذه تقول إلى سفر as n tends to
+
+115
+00:11:14,680 --> 00:11:19,870
+infinityلأن انا من المعطيات عندي xn تقول x أو
+
+116
+00:11:19,870 --> 00:11:24,490
+limit xn بساوي x، لذلك limit الفرق بساوي سفر، لذلك
+
+117
+00:11:24,490 --> 00:11:29,890
+حسب نظرية 2.4، كل شروطة متحققة، وبالتالي، لذلك حسب
+
+118
+00:11:29,890 --> 00:11:34,630
+النظرية هذه، by theorem 2.4، بيطلع عندي limit
+
+119
+00:11:34,630 --> 00:11:41,190
+square root ل xn بساوي square root ل xوهو المطلوب
+
+120
+00:11:41,190 --> 00:11:46,690
+اثباته اذا هاي اثبتنا ان limit ال square root ل X
+
+121
+00:11:46,690 --> 00:11:50,410
+ان بساوي ال square root ل X في حالة لما X تكون
+
+122
+00:11:50,410 --> 00:11:54,750
+موجبة و الحالة الأولى في حالة لما X صفر برضه
+
+123
+00:11:54,750 --> 00:11:58,410
+اثبتنا نفس الحاجة لذلك بنكون كملنا برهان نظرية
+
+124
+00:11:58,410 --> 00:12:02,690
+تمام؟ في حد عنده اي سؤال او استفسار واضح البرهان؟
+
+125
+00:12:05,660 --> 00:12:12,800
+في نظرية هنا ممكن نسميها نعتبرها ratio test اختبار
+
+126
+00:12:12,800 --> 00:12:21,660
+الكسر او النسبة او ايش
+
+127
+00:12:21,660 --> 00:12:27,300
+ال ratio test ماذا هذا ال ratio test بيقول هذا ال
+
+128
+00:12:27,300 --> 00:12:31,120
+ratio test بتعلق بال sequences of positive numbers
+
+129
+00:12:32,030 --> 00:12:35,090
+يعني عشان أنا أطبخ ال ratio test لازم ال sequence
+
+130
+00:12:35,090 --> 00:12:39,170
+تبعتي تكون حدودها كلها موجة بقى فلو في عندي
+
+131
+00:12:39,170 --> 00:12:44,310
+sequence of positive real numbers such that limit
+
+132
+00:12:44,310 --> 00:12:49,050
+ال ratio ل xn زائد واحد على xn exists موجود أو
+
+133
+00:12:49,050 --> 00:12:54,370
+بتساوي عدد حقيقي L و لو كان هذا العدد L أصغر من
+
+134
+00:12:54,370 --> 00:13:01,300
+واحد ف limit ال sequence xn بتساوي سبلهذا هو ال
+
+135
+00:13:01,300 --> 00:13:07,380
+ratio test برهان ال test أو النظرية هذه موجود في
+
+136
+00:13:07,380 --> 00:13:11,680
+الكتاب نظرية تلاتة اتنين احداشر فحاسبكم تقرؤوا
+
+137
+00:13:11,680 --> 00:13:15,780
+البرهان برهان سهل مش صعب بيعتمد على الحاجات اللي
+
+138
+00:13:15,780 --> 00:13:20,340
+أخدناها فعايزينكم
+
+139
+00:13:20,340 --> 00:13:23,660
+تفتحوا الكتاب و تقرؤوا برهان و تفهموا لحالكم بعد
+
+140
+00:13:23,660 --> 00:13:28,800
+ما خدنا كل هالبرهين بدنا ياكم تعتمدوا عن أنفسكم
+
+141
+00:13:28,800 --> 00:13:33,440
+شويةتمام؟ و اللي عنده أي صعوبة في فهم البرهان
+
+142
+00:13:33,440 --> 00:13:38,840
+ترجعليه إذا هسيكم تخرق البرهان من الكتاب طيب نهار
+
+143
+00:13:38,840 --> 00:13:42,540
+.. الآن الكتاب للأسف مش في أمثلة في ال section هذا
+
+144
+00:13:42,540 --> 00:13:49,000
+تلاتة اتنين فهعطيلكم أس .. examples أو أمثلة بحال
+
+145
+00:13:49,000 --> 00:13:52,100
+من التمرين بحال بعض التمرين فأول مثل
+
+146
+00:13:58,060 --> 00:14:02,820
+فأول مثال هو exercise تمانتاش الفرحة c في section
+
+147
+00:14:02,820 --> 00:14:06,700
+تلاتة اتنين أو صفحة تمانية وستين في الكتاب المقرر
+
+148
+00:14:06,700 --> 00:14:10,300
+السؤال هذا بيقول discuss the convergence of the
+
+149
+00:14:10,300 --> 00:14:15,820
+sequence xn اللي لحد العام ال nth term تبعها b to
+
+150
+00:14:15,820 --> 00:14:20,600
+n على n factorial حيث بيه عدد حقيقي أكبر من واحد
+
+151
+00:14:21,470 --> 00:14:24,070
+Discurses ل Convergence يعني بين هل ال sequence
+
+152
+00:14:24,070 --> 00:14:27,850
+هذي Convergent ولا Divergent وده كانت Convergent
+
+153
+00:14:27,850 --> 00:14:35,790
+عايزين نجيب ال limit تبعتها طيب تعالوا أول شي احنا
+
+154
+00:14:35,790 --> 00:14:41,150
+طبعا هنطبق ال ratio test نظرية 2.14 اللي هو الرسم
+
+155
+00:14:41,150 --> 00:14:45,490
+منها ال ratio testلتطبيق ال ratio test بلزمني
+
+156
+00:14:45,490 --> 00:14:50,690
+اتأكد ان ال sequence xn حدودها موجبة وهذا صحيح لان
+
+157
+00:14:50,690 --> 00:14:54,970
+ال bus b اكبر من واحد و b أكبر من واحد و n
+
+158
+00:14:54,970 --> 00:14:57,830
+factorial عدد موجب لان هذه sequence of positive
+
+159
+00:14:57,830 --> 00:15:07,550
+real numbers الآن ال ratio ل xn زياد واحد و xn هي
+
+160
+00:15:07,550 --> 00:15:12,230
+عندي xn زياد واحد عوض عنها بدل n بn زياد واحد
+
+161
+00:15:13,160 --> 00:15:18,740
+وضربها في مقلوب xn هي مقلوب xn وطبعا احنا عارفين
+
+162
+00:15:18,740 --> 00:15:25,460
+ان n plus one factorial بتساوي n plus one في n
+
+163
+00:15:25,460 --> 00:15:31,900
+factorial هذا بنفك حاصل ضرب زي هذا n factorial
+
+164
+00:15:31,900 --> 00:15:37,640
+بتروح مع n factorial وb to n بتروح مع b to n بضل b
+
+165
+00:15:38,750 --> 00:15:43,210
+بعد الاختصارات والتبسيط الكاسر هذا بيطلع بي على n
+
+166
+00:15:43,210 --> 00:15:47,870
+زياد واحد الان لما انت قول ل infinity ان زياد واحد
+
+167
+00:15:47,870 --> 00:15:54,050
+بتقول ل infinity مقلوبة بروح ل سفر ضرب بي عدد موجة
+
+168
+00:15:54,050 --> 00:15:58,990
+بروح ل سفر اذا limit بي على ان زياد واحد بساوي بي
+
+169
+00:15:58,990 --> 00:16:03,290
+في limit واحد على ان زياد واحد اللي هي سفر بي في
+
+170
+00:16:03,290 --> 00:16:10,590
+سفر بساوي سفر تمام؟إذا أنا عندي L اللي هو بمثل
+
+171
+00:16:10,590 --> 00:16:17,570
+limit ال ratio هذا طلع بساوي سفر عدد حقيقي أصغر من
+
+172
+00:16:17,570 --> 00:16:23,910
+واحد إذا حسب ال ratio test limit لل sequence xn
+
+173
+00:16:23,910 --> 00:16:28,030
+بساوي سفر إذا هنا أثبتنا إن ال sequence convergent
+
+174
+00:16:28,030 --> 00:16:34,010
+ونهيتها بتطلع بالساوي سفر تمام؟ واضح؟ إذا تطبيق
+
+175
+00:16:34,010 --> 00:16:35,510
+مباشر على ال ratio test
+
+176
+00:16:38,490 --> 00:16:42,730
+مثال تاني مثال
+
+177
+00:16:42,730 --> 00:16:46,330
+تاني عبارة عن exercise اتنين فرع a section تلاتة
+
+178
+00:16:46,330 --> 00:16:54,610
+اتنين بنشوف ايه ال exercise هذا بيقول give
+
+179
+00:16:54,610 --> 00:17:01,930
+an example of two divergent sequences two
+
+180
+00:17:01,930 --> 00:17:04,090
+divergent sequences
+
+181
+00:17:06,940 --> 00:17:12,840
+such that there are some مجموعهم there
+
+182
+00:17:12,840 --> 00:17:19,020
+are some converges نعطي
+
+183
+00:17:19,020 --> 00:17:24,060
+مثال ل two divergent sequences تنتهي from two
+
+184
+00:17:24,060 --> 00:17:29,140
+divergent لكن مجموعهم convergent فأسهل مثال هو مثل
+
+185
+00:17:29,140 --> 00:17:36,270
+هذا الحلناخد الـ sequence xn للحد العام تبعها سالب
+
+186
+00:17:36,270 --> 00:17:42,430
+واحد to n و n بتبدأ من واحد إلى ملا نهاية طبعا ال
+
+187
+00:17:42,430 --> 00:17:48,210
+sequence هذه لو بيننا انفرفتها فحدودها هتكون هكذا
+
+188
+00:17:48,210 --> 00:17:53,670
+أول حد سالب واحد، تاني واحد، تالت سالب واحد،
+
+189
+00:17:53,670 --> 00:18:00,040
+الرابع واحد، و هكذاوناخد ال sequence yn الحد العام
+
+190
+00:18:00,040 --> 00:18:04,760
+تبعها سالب واحد قص ان زاد واحد وان طبعا تبدأ من
+
+191
+00:18:04,760 --> 00:18:12,080
+واحد فهذه ال sequence حدودها هتكون أول حد واحد،
+
+192
+00:18:12,080 --> 00:18:17,160
+التاني سالب واحد، التالت واحد، الرابع سالب واحد و
+
+193
+00:18:17,160 --> 00:18:17,620
+هكذا
+
+194
+00:18:20,300 --> 00:18:25,720
+تمام احنا اثبتنا بالتفصيل ان ال sequence xn هذي
+
+195
+00:18:25,720 --> 00:18:29,660
+divergent by contradiction فرضنا انها convergent
+
+196
+00:18:29,660 --> 00:18:35,960
+وصلنا الى تناغم صح؟ طب ما هذي هي هذي هي ال
+
+197
+00:18:35,960 --> 00:18:43,750
+sequence ال sequence yn هي سالب ال sequence xnو Xn
+
+198
+00:18:43,750 --> 00:18:47,710
+is divergent و Yn is divergent او بنفس البرهان
+
+199
+00:18:47,710 --> 00:18:51,530
+ممكن نعمل نفس البرهان اذا هي عندي مثال على two
+
+200
+00:18:51,530 --> 00:18:57,670
+sequences كلاهما both are divergent لكن لما نيجي
+
+201
+00:18:57,670 --> 00:19:04,750
+نجمعهم لو أخدت ال sequence جديدة ال inf term تبعها
+
+202
+00:19:04,750 --> 00:19:09,070
+او الحد العام تبعها هو مجموعة ال inf term زي Xn
+
+203
+00:19:09,070 --> 00:19:15,280
+وYn هذه sequence تالتة جديدةما هو الحد العام لهذه
+
+204
+00:19:15,280 --> 00:19:21,360
+الـ sequence؟ اجمع الحد الأول على الأول بيطلع سفر،
+
+205
+00:19:21,360 --> 00:19:25,740
+التاني على التاني سفر، إذا هذه عبارة عن الـ
+
+206
+00:19:25,740 --> 00:19:30,300
+sequence constant zero ثابت سفر أو الـ sequence
+
+207
+00:19:30,300 --> 00:19:35,480
+الحد العام تبعها ثابت سفر وطبعا أي sequence ثابتة
+
+208
+00:19:35,480 --> 00:19:39,880
+بتكون convergent و limit تبعتها هي الحد الثابت
+
+209
+00:19:39,880 --> 00:19:45,000
+نفسه، لذلك limit لهذه الـ sequence ثابت سفرإذا هذا
+
+210
+00:19:45,000 --> 00:19:50,700
+مثال على two divergent sequences their sum is
+
+211
+00:19:50,700 --> 00:19:55,900
+convergent okay تمام؟ في برضه حاجات زي هذه ممكن
+
+212
+00:19:55,900 --> 00:20:00,200
+ينقلب منكم جيبي مثال على two sequences contain
+
+213
+00:20:00,200 --> 00:20:05,820
+مثلا convergent لكن حصل ضربهم divergent يعني حاجات
+
+214
+00:20:05,820 --> 00:20:11,880
+زي هيك و هكذا في الكتاب في تمارينعلى هذا السياق
+
+215
+00:20:11,880 --> 00:20:22,020
+هتشوفوها تمام؟ مفهوم؟ واضح المثال هذا؟ طيب مثال
+
+216
+00:20:22,020 --> 00:20:29,440
+رقم تلاتة هذا
+
+217
+00:20:29,440 --> 00:20:32,900
+عبارة عن exercise أربعة عشر في section تلاتة اتنين
+
+218
+00:20:35,100 --> 00:20:41,360
+بقول خد zn بساوي a to n plus b to n to the power
+
+219
+00:20:41,360 --> 00:20:47,240
+one over n where a و b are positive numbers and a
+
+220
+00:20:47,240 --> 00:20:56,260
+less than b prove أن limit zn بساوي العدد b تمام؟
+
+221
+00:20:56,260 --> 00:21:02,420
+لبرهان ذلك أنا عندي من الفرض a positive إذا a to n
+
+222
+00:21:02,420 --> 00:21:09,520
+positiveوكذلك وبالتالي b to n أصغر من a to n plus
+
+223
+00:21:09,520 --> 00:21:16,460
+b to n الان ناخد ال nth root لطرفي المتبينة هذه
+
+224
+00:21:16,460 --> 00:21:22,700
+فبطلع b أصغر من ال nth root للمجموعة ده اللي احنا
+
+225
+00:21:22,700 --> 00:21:33,440
+سمناه zn اذا الان انا عندي zn بساوي a n زاد b nto
+
+226
+00:21:33,440 --> 00:21:39,580
+the power one over n والان انا عندى بما انه a أصغر
+
+227
+00:21:39,580 --> 00:21:45,740
+من b a أصغر من b من الفرض هى فهذا بالتأكيد بيقدى
+
+228
+00:21:45,740 --> 00:21:52,200
+انه a to n أصغر من b to n اذا
+
+229
+00:21:52,200 --> 00:21:59,680
+هشيل ال a to n هذه و اضع خليها أصغر من b to n زائد
+
+230
+00:21:59,680 --> 00:22:07,730
+b to n الكل to one over nطب هذا بيطلع two ضرب b to
+
+231
+00:22:07,730 --> 00:22:14,450
+n الكل to power one over n وزع ال power فبطلع two
+
+232
+00:22:14,450 --> 00:22:22,290
+to one over n ضرب b صح؟ الآن ال sequence إذا
+
+233
+00:22:22,290 --> 00:22:28,470
+أنا أصبح عندي لو دمجت المتباينتين عشرة و أحداشر مع
+
+234
+00:22:28,470 --> 00:22:35,870
+بعض فبطلع عندي bمن المتباينة عشرة الـ B هدا هي
+
+235
+00:22:35,870 --> 00:22:42,590
+أصغر من ال ZN ومن المتباينة أحداشر ال ZN أصغر من
+
+236
+00:22:42,590 --> 00:22:47,610
+two to one over N times B for every N natural
+
+237
+00:22:47,610 --> 00:22:56,780
+number احنا اتوصلنا لالمتباينة هذه صحيحة لكل Nانا
+
+238
+00:22:56,780 --> 00:23:01,660
+لان عندي الـ sequence ZN هذه اللي انا عايز اثبت ان
+
+239
+00:23:01,660 --> 00:23:07,120
+ال limit تبعتها بالساوي بيه is squeezed between
+
+240
+00:23:07,120 --> 00:23:13,680
+two sequences محصورة من متتاليتين تنتين هاي
+
+241
+00:23:13,680 --> 00:23:20,620
+متتالية وهاي متتالية المتتالية هذه الحد العام
+
+242
+00:23:20,620 --> 00:23:27,340
+تبعها ثابت بيهوبالتالي ال limit تبعت بي لما بي
+
+243
+00:23:27,340 --> 00:23:35,340
+تقول ل infinity بتساوي بي و limit ال sequence هذي
+
+244
+00:23:35,340 --> 00:23:39,380
+two to واحد على n limit two to واحد على n بتساوي
+
+245
+00:23:39,380 --> 00:23:44,760
+واحد اثبتنا احنا قبل هيك ان لو n دي c عدد موجب ف
+
+246
+00:23:44,760 --> 00:23:52,170
+limitc to 1 على n as n tends to infinity بساوة
+
+247
+00:23:52,170 --> 00:23:59,230
+واحد صح فاندي c هنا بساوة اتنين لان ال limit ل two
+
+248
+00:23:59,230 --> 00:24:02,450
+to one over n as n tends to infinity بساوة واحد
+
+249
+00:24:02,450 --> 00:24:07,290
+وبالتالي limit two to one over n times constant b
+
+250
+00:24:07,290 --> 00:24:12,170
+بساوة واحد في b او b في واحد ف limit ال sequence
+
+251
+00:24:12,170 --> 00:24:18,000
+هذه ايضا تطلع bلما انتقل ل infinity، اذا by
+
+252
+00:24:18,000 --> 00:24:23,000
+squeeze theorem بطلع عندي limit ال sequence zm
+
+253
+00:24:23,000 --> 00:24:28,240
+المحصورة في النص بساوي بيه، okay؟ اذا هاي هنا
+
+254
+00:24:28,240 --> 00:24:34,120
+استخدامنا ال sandwich او ال squeeze، تمام؟ واضح؟
+
+255
+00:24:36,340 --> 00:24:40,080
+Okay إذا هذه يعني بعض الأسئلة هي اللي حلناها،
+
+256
+00:24:40,080 --> 00:24:43,480
+حالها مش صعب إما تطبيق على ال sandwich theorem أو
+
+257
+00:24:43,480 --> 00:24:48,680
+على نظرية 2.4 أو الحاجات اللي أخدناها في ال
+
+258
+00:24:48,680 --> 00:24:52,740
+section هذا أو في ال succession السابق أو بالتالي
+
+259
+00:24:52,740 --> 00:24:58,760
+مافيش حاجة يعني غريبة أو تستدى أن احنا نستخدم حاجة
+
+260
+00:24:58,760 --> 00:25:05,270
+مش موجودة في المناجمإذا ما يكون إلا من شطرتكم
+
+261
+00:25:05,270 --> 00:25:10,210
+تحاولوا تحلوا باقي التمرين اللي في ال section هذا
+
+262
+00:25:10,210 --> 00:25:15,550
+طبعا هنا لهنا الامتحان .. الامتحان داخل لحد
+
+263
+00:25:15,550 --> 00:25:21,590
+التمرين هذه الجزء اللي بعد هيك مش داخل في الامتحان
+
+264
+00:25:21,590 --> 00:25:22,310
+النصف الأول
+
+265
+00:25:26,220 --> 00:25:32,640
+تمام فإذا هنا ال section جديد أو أنوان جديد ال
+
+266
+00:25:32,640 --> 00:25:38,160
+monotone sequences المتتاليات اللي بيسموها
+
+267
+00:25:38,160 --> 00:25:42,380
+الواتيرية المتتاليات الواتيرية ال monotone
+
+268
+00:25:42,380 --> 00:25:46,960
+sequence يعني متتالية واتيرية يعني إما متزايدة أو
+
+269
+00:25:46,960 --> 00:25:55,200
+متلاقصة فناخد تعريف let x in be a sequence of real
+
+270
+00:25:55,200 --> 00:26:02,880
+numbersسنقول إن سيكوينس Xn increasing متزايدة إذا
+
+271
+00:26:02,880 --> 00:26:07,400
+كان Xn less
+
+272
+00:26:07,400 --> 00:26:11,800
+than or equal to Xn plus one for every n لو كان كل
+
+273
+00:26:11,800 --> 00:26:17,260
+حد أصغر من أول ساول لبعده فالسيكوينس في الحالة دي
+
+274
+00:26:17,260 --> 00:26:23,860
+بنسميها increasing و بنسميها decreasingإذا كان كل
+
+275
+00:26:23,860 --> 00:26:32,760
+حد أكبر من أو يساوي اللي بعده تمام؟
+
+276
+00:26:32,760 --> 00:26:40,000
+طيب بنسمي ال sequence monotone ال sequence بنسميها
+
+277
+00:26:40,000 --> 00:26:45,460
+monotone أو واتيرية if it is either increasing or
+
+278
+00:26:45,460 --> 00:26:46,040
+decreasing
+
+279
+00:26:48,950 --> 00:26:53,170
+إن المتتالي الوطرية هي متتالية إما increasing أو
+
+280
+00:26:53,170 --> 00:26:58,250
+decreasing معنى
+
+281
+00:26:58,250 --> 00:27:01,490
+آخر كل increasing sequence is monotone sequence
+
+282
+00:27:01,490 --> 00:27:06,090
+and every decreasing sequence is monotone sequence
+
+283
+00:27:06,090 --> 00:27:14,370
+طب هاي أمثلة على monotone sequences فاندي هنا
+
+284
+00:27:14,370 --> 00:27:21,540
+sequence n of natural numbersis increasing واضح ان
+
+285
+00:27:21,540 --> 00:27:26,440
+xn بساوي n أصغر من او ساوي xn plus one اللي هو n
+
+286
+00:27:26,440 --> 00:27:31,440
+زاد واحد لان هذا increasing وهذا increasing ال
+
+287
+00:27:31,440 --> 00:27:36,040
+sequence اللي ال inf term تبعها two to n اللي هي
+
+288
+00:27:36,040 --> 00:27:41,440
+هذه is increasing بينما
+
+289
+00:27:41,440 --> 00:27:46,720
+ال sequence one over n decreasing هي كل حد أكبر من
+
+290
+00:27:46,720 --> 00:27:52,140
+أو ساوي لبعدهو كذلك ال sequence one over two to n
+
+291
+00:27:52,140 --> 00:27:57,580
+طيب، في سؤال هنا بطلح نفسه، هل كل sequence لازم
+
+292
+00:27:57,580 --> 00:28:01,720
+تكون monotone sequence؟ لأ، مو لأ، مش شرط، مش شرط،
+
+293
+00:28:01,720 --> 00:28:03,620
+مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش
+
+294
+00:28:03,620 --> 00:28:03,840
+شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش
+
+295
+00:28:03,840 --> 00:28:07,680
+شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش
+
+296
+00:28:07,680 --> 00:28:12,580
+شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش
+
+297
+00:28:12,580 --> 00:28:12,580
+شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش شرط، مش
+
+298
+00:28:12,580 --> 00:28:17,150
+شرط، مش شرط، مش شرطthe following sequence is
+
+299
+00:28:17,150 --> 00:28:20,010
+sequence اللي الحد اللي عام تبعها negative one to
+
+300
+00:28:20,010 --> 00:28:24,830
+n أو n زيادة واحد اللي هي ال alternated sequence
+
+301
+00:28:24,830 --> 00:28:29,750
+ال sequence هذه المتدبدبة alternating يعني
+
+302
+00:28:29,750 --> 00:28:34,930
+المتدبدبة في الإشارة واحد سالب واحد واحد سالب واحد
+
+303
+00:28:34,930 --> 00:28:40,450
+هذه ليست conversion ليست monotone is not
+
+304
+00:28:40,450 --> 00:28:46,980
+increasing and it is not decreasingنفس الشيء ال
+
+305
+00:28:46,980 --> 00:28:51,180
+sequence اللي حد اللي عم تبعها سالب one to n اللي
+
+306
+00:28:51,180 --> 00:28:56,040
+هي سالب واحد موجة بتنين سالب تلاتة و هكذا ال
+
+307
+00:28:56,040 --> 00:29:00,560
+sequence هذه is not monotone لا increasing ولا
+
+308
+00:29:00,560 --> 00:29:05,590
+decreasing تمام واضحإذا ال sequence .. أي .. لو
+
+309
+00:29:05,590 --> 00:29:09,310
+أخدنا أي sequence عشوائية فممكن تكون increasing،
+
+310
+00:29:09,310 --> 00:29:14,070
+ممكن تكون decreasing، ممكن تكون neither، neither
+
+311
+00:29:14,070 --> 00:29:16,810
+increasing nor decreasing زي ال function ممكن تكون
+
+312
+00:29:16,810 --> 00:29:22,950
+odd أو even أو neither، لا odd ولا even، أه؟ تمام؟
+
+313
+00:29:22,950 --> 00:29:26,870
+طيب ال .. في نظرية مهمة هنا في هذا السياق
+
+314
+00:29:29,970 --> 00:29:34,290
+بتخص الـ monotone sequences وبالتالي بنسميها
+
+315
+00:29:34,290 --> 00:29:39,170
+monotone convergence theorem وبنستخدم اختصارات
+
+316
+00:29:39,170 --> 00:29:46,690
+monotone convergence theorem النظرية
+
+317
+00:29:46,690 --> 00:29:52,550
+هذه بتقول خد .. خدي let x and b a monotone
+
+318
+00:29:52,550 --> 00:29:57,650
+sequence خلينا ناخد monotone sequenceالان هذه الـ
+
+319
+00:29:57,650 --> 00:30:01,130
+monotone sequence بتكون convergent if and only if
+
+320
+00:30:01,130 --> 00:30:05,830
+it is bounded تمام؟
+
+321
+00:30:05,830 --> 00:30:10,470
+moreover إضافة إلى ذلك لو كانت ال sequence x in
+
+322
+00:30:10,470 --> 00:30:16,970
+هذه bounded and increasing فأكيد طبعا convergent و
+
+323
+00:30:16,970 --> 00:30:22,370
+ال limit تبعتها بساوي ال supremum إلها ك set كذلك
+
+324
+00:30:22,370 --> 00:30:25,170
+لو كانت ال sequence x in bounded و decreasing
+
+325
+00:30:27,590 --> 00:30:31,190
+فبتكون طبعا convergent و ال limit بتبعتها بساوة ال
+
+326
+00:30:31,190 --> 00:30:36,270
+inform اللي لها ك set طيب
+
+327
+00:30:36,270 --> 00:30:39,430
+احنا عندي انا عندي هنا two statements او تلاتة
+
+328
+00:30:39,430 --> 00:30:47,010
+statements ا��ا عندي العبارة هذه انا
+
+329
+00:30:47,010 --> 00:30:53,490
+عندي بتثبت العبارة هذه و العبارتين هدون فكيف
+
+330
+00:30:53,490 --> 00:31:00,150
+البرهان بتتمأول شي العبارة الأولى اللى فى البرواز
+
+331
+00:31:00,150 --> 00:31:08,610
+هذه if and only if statement صح ففى two parts واحد
+
+332
+00:31:08,610 --> 00:31:15,750
+هذا ال part ال only if part و ال if part نشوف ال
+
+333
+00:31:15,750 --> 00:31:21,260
+only if part يعنىلو كانت x in convergent بينا نثبت
+
+334
+00:31:21,260 --> 00:31:25,680
+إنها it is bounded وهذا أثبتناه في نظرية سابقة
+
+335
+00:31:25,680 --> 00:31:31,120
+أثبتنا إن كل تجارب convergent is bounded اختبار
+
+336
+00:31:31,120 --> 00:31:41,320
+الدم فاكرين؟ إذا هذا was proved proved
+
+337
+00:31:41,320 --> 00:31:49,530
+earlier تم إثباته سابقا في نظرية سابقةلو كانت
+
+338
+00:31:49,530 --> 00:31:54,830
+السيكوانس تبقى convergent ضرورة تكون bounded سواء
+
+339
+00:31:54,830 --> 00:31:58,690
+كانت السيكوانس monotone ولا حتى مش monotone okay؟
+
+340
+00:31:58,690 --> 00:32:02,950
+تمام؟ إن هاي برهان الجزء لهذا موجود في نظرية سابقة
+
+341
+00:32:02,950 --> 00:32:08,970
+باقى نثبت الجزء هذا يعني بنا نثبت أنه لو كانت
+
+342
+00:32:08,970 --> 00:32:17,730
+السيكوانس bounded السيكوانس لو كانت bounded و
+
+343
+00:32:17,730 --> 00:32:18,510
+monotone
+
+344
+00:32:21,420 --> 00:32:25,800
+طبعا احنا فرضين انها monotone اه من البداية x in
+
+345
+00:32:25,800 --> 00:32:32,020
+is monotone فالان عشان نكمل برهان العبارة هذه ال
+
+346
+00:32:32,020 --> 00:32:35,060
+if and only if او ال by conditional statement هذا
+
+347
+00:32:35,060 --> 00:32:40,920
+فبدنا نثبت ان لو كانت ال sequence bounded و
+
+348
+00:32:40,920 --> 00:32:49,520
+monotone فبتطلع convergent طيب
+
+349
+00:32:49,520 --> 00:32:54,920
+monotoneمونوتون لما ال sequence تكون مونوتون
+
+350
+00:32:54,920 --> 00:33:04,060
+معناها اما increasing او decreasing او decreasing
+
+351
+00:33:04,060 --> 00:33:08,260
+اذا
+
+352
+00:33:08,260 --> 00:33:16,500
+عشان اثبت الجزء هذا بده اثبت a و b هذا الجزء هذا
+
+353
+00:33:16,500 --> 00:33:25,750
+لبرهانه بده برهين a و bلأن جزء A بيقول لو كانت ال
+
+354
+00:33:25,750 --> 00:33:29,330
+sequence bounded و increasing فبتثبت أنها
+
+355
+00:33:29,330 --> 00:33:33,510
+convergent صح؟ فهي لو كانت ال sequence bounded و
+
+356
+00:33:33,510 --> 00:33:37,930
+increasing فبتثبت أنها convergent و ال limit
+
+357
+00:33:37,930 --> 00:33:43,530
+تبعتها هي ال suprem من إلها كمجموعة و الجزء B
+
+358
+00:33:43,530 --> 00:33:47,690
+بيثبت أن لو كانت ال sequence bounded و decreasing
+
+359
+00:33:47,690 --> 00:33:54,510
+فبتطلع convergentوإضافة لذلك إن ال limit تبعتها هي
+
+360
+00:33:54,510 --> 00:34:00,390
+ال infront إلى كسب إذا الإكمال برهان الاتجاه هذا و
+
+361
+00:34:00,390 --> 00:34:05,690
+برهان a و b وبالتالي نكمل برهان النظرية يكفي إن
+
+362
+00:34:05,690 --> 00:34:11,290
+أحنا نثبت a و b و أضع يكمل كون أثبتنا إلى عبارة من
+
+363
+00:34:11,290 --> 00:34:16,750
+بروزة هذه و a و b يعني برهاننا النظرية كاملة تمام؟
+
+364
+00:34:17,990 --> 00:34:39,030
+نثبت الآن باقي اثبات a وb نثبت الجزء a فخلّينا
+
+365
+00:34:39,030 --> 00:34:43,130
+نفرض ان ال sequence x in is bounded قلنا bounded
+
+366
+00:34:43,130 --> 00:34:48,700
+زاد increasingطيب من تعريف الـ bounded sequence
+
+367
+00:34:48,700 --> 00:34:54,840
+مدام ال sequence bounded إذا يوجد عدد حقيقي موجب M
+
+368
+00:34:54,840 --> 00:35:03,840
+بحيث أنه absolute Xn أصغر من أو ساوي M لكل N طيب
+
+369
+00:35:03,840 --> 00:35:07,540
+معروف أنه أي عدد حقيقي Xn أصغر من أو ساوي القيمة
+
+370
+00:35:07,540 --> 00:35:14,200
+المطلقة له، مظبوط؟إذا من ال boundedness من فرض ان
+
+371
+00:35:14,200 --> 00:35:18,260
+ال sequence bounded في معدد موجد بحيث ان xn أصغر
+
+372
+00:35:18,260 --> 00:35:23,640
+من أو ساوي M لكل M تمام واضح طيب الآن إذا ال
+
+373
+00:35:23,640 --> 00:35:27,800
+sequence xn bounded above وبالتالي by supremum ال
+
+374
+00:35:27,800 --> 00:35:33,120
+property ال supremum تبعها exist سميه x star
+
+375
+00:35:35,800 --> 00:35:40,000
+الان بيدثبت الادعاء هذا الـ claim الادعاء بيدثبت
+
+376
+00:35:40,000 --> 00:35:45,260
+انه limit ال sequence xn بساوي ال x star اللي هو
+
+377
+00:35:45,260 --> 00:35:51,580
+ال suprem لست xn فلو أثبتت هذا الادعاء معناته
+
+378
+00:35:51,580 --> 00:35:55,600
+أثبتت أنا ان ال sequence xn is convergent و ال
+
+379
+00:35:55,600 --> 00:36:00,650
+limit تبعتها بساوي ال suprem إلها كستتعالى نشوف
+
+380
+00:36:00,650 --> 00:36:04,930
+كيف نثبت ال claim to see this لبرهان ال claim انا
+
+381
+00:36:04,930 --> 00:36:09,430
+ايش بتثبت؟ بتثبت ان ال sequence x in convergent و
+
+382
+00:36:09,430 --> 00:36:13,630
+ال limit تبعتها بساوي العدد x star فهستخدم تعريف
+
+383
+00:36:13,630 --> 00:36:17,830
+epsilon capital N لل limit فلازم ابدأ let epsilon
+
+384
+00:36:17,830 --> 00:36:25,090
+أكبر من الصفر بيه given الان ال x star هذاهو ال
+
+385
+00:36:25,090 --> 00:36:28,430
+supremum لل set هذه لما نطرح من ال supremum عدد
+
+386
+00:36:28,430 --> 00:36:33,830
+موجب بيبطل upper bound بيبطل upper bound لأن ال x
+
+387
+00:36:33,830 --> 00:36:37,690
+star هو أصغر upper bound اطرح منه عدد موجب بيبطل
+
+388
+00:36:37,690 --> 00:36:41,590
+upper bound إذا هذا العدد x star minus y is not an
+
+389
+00:36:41,590 --> 00:36:46,710
+upper bound معناته في أنصر في ال set هذه اللي هو x
+
+390
+00:36:46,710 --> 00:36:51,450
+رقم capital N أكبر من العدد هذا اللي هو ما هوش
+
+391
+00:36:51,450 --> 00:36:55,860
+upper boundوطبعاً العدد هذا المؤشر او ال index
+
+392
+00:36:55,860 --> 00:37:00,040
+capital N ده يعتمد على ال epsilon مرتبط بال
+
+393
+00:37:00,040 --> 00:37:05,500
+epsilon اللي بنيت فيها طبعا انا فرض ان ال sequence
+
+394
+00:37:05,500 --> 00:37:10,860
+xn increasing وبالتالي x capital N أصغر من أو سوى
+
+395
+00:37:10,860 --> 00:37:14,880
+xn لكل N أكبر من أو سوى capital N من تعريف ال
+
+396
+00:37:14,880 --> 00:37:20,500
+increasing sequence اذا انا في عندي هنا هى عندي x
+
+397
+00:37:20,500 --> 00:37:28,280
+capital N هىxN أصغر من أو ساوي xN لكل N أكبر من أو
+
+398
+00:37:28,280 --> 00:37:36,360
+ساوي N طيب و x*) هو ال suprem of ال sequence xN و
+
+399
+00:37:36,360 --> 00:37:42,440
+xN هذا عنصر في ال sequence و x*) upper bound لل
+
+400
+00:37:42,440 --> 00:37:49,540
+sequence إذن xN أصغر من أو ساوي x*) طيب و x*) أصغر
+
+401
+00:37:49,540 --> 00:37:57,820
+من نفسها زاد عدد موجب هذا مافي شكو من هنا .. أيوه
+
+402
+00:37:57,820 --> 00:38:03,460
+.. من المتباينة هذه هي عندي x capital n أكبر من x
+
+403
+00:38:03,460 --> 00:38:11,420
+star سالب y إذا أنا طلع عندي الآن x star أكبر من
+
+404
+00:38:11,420 --> 00:38:13,160
+.. أو x in
+
+405
+00:38:15,810 --> 00:38:25,070
+أكبر من X star minus Y أصغر من X star زاد Y لكل N
+
+406
+00:38:25,070 --> 00:38:30,910
+أكبر من أو ساوي capital N فظبطك صح؟ طيب مهاد
+
+407
+00:38:30,910 --> 00:38:37,890
+المتباينة هي نفسها X N minus X star أصغر من Y أكبر
+
+408
+00:38:37,890 --> 00:38:44,610
+من سالب Y لكل N أكبر من أو ساوي capital Nطب
+
+409
+00:38:44,610 --> 00:38:49,930
+المتباينة هذه هي .. صح؟ أظبط؟ إذن absolute xn
+
+410
+00:38:49,930 --> 00:38:53,210
+minus x star أصغر من إبسلون لكل n أكبر من أوي
+
+411
+00:38:53,210 --> 00:38:58,370
+ساوية كابتن ان الأن since إبسلون was arbitrary هذا
+
+412
+00:38:58,370 --> 00:39:03,810
+بالظبط تعريف إبسلون كابتن ان لل limit أه؟ بأن هذا
+
+413
+00:39:03,810 --> 00:39:08,470
+الكلام صحيح لكل إبسلون أكبر من سفر إذن هذا معناه
+
+414
+00:39:08,470 --> 00:39:13,190
+حسب التعريف إن limit xn بساوي x star
+
+415
+00:39:18,780 --> 00:39:23,660
+إذا هذا بثبت ال claim وبالتالي هكذا نكون أثبتنا
+
+416
+00:39:23,660 --> 00:39:30,560
+الجزء A من النظرية فالجزء
+
+417
+00:39:30,560 --> 00:39:35,300
+التاني B ممكن نستخدم A في برهان ال B
+
+418
+00:39:38,510 --> 00:39:42,310
+ففي الجزء B الان انا عندي ال sequence تبعتي
+
+419
+00:39:42,310 --> 00:39:46,570
+bounded و decreasing اذا ا assume x in is bounded
+
+420
+00:39:46,570 --> 00:39:50,770
+and decreasing فاش
+
+421
+00:39:50,770 --> 00:39:55,690
+عمل هعرف sequence جديدة yn اللي هي negative الحد
+
+422
+00:39:55,690 --> 00:40:01,530
+العام تبعها negative x in تمام؟ الان بما ان x in
+
+423
+00:40:01,530 --> 00:40:05,170
+decreasing اذا ال sequence سالب x in تطلع
+
+424
+00:40:05,170 --> 00:40:10,610
+increasingوطبعا بما أن ال sequence x in bounded
+
+425
+00:40:10,610 --> 00:40:15,670
+إذا ال sequence سالب x in أيضا bounded إذا الأن
+
+426
+00:40:15,670 --> 00:40:18,790
+أنا في عندي sequence جديد اللي هي sequence yn
+
+427
+00:40:18,790 --> 00:40:26,310
+bounded وin crazy إذا حسب الجزء a by part a limit
+
+428
+00:40:26,310 --> 00:40:32,790
+ال sequence yn تطلع existوبتساوي ال supremum لكل
+
+429
+00:40:32,790 --> 00:40:37,870
+ال y in ال supremum لعناصر ال sequence اللي هي y
+
+430
+00:40:37,870 --> 00:40:41,510
+in تمام؟
+
+431
+00:40:41,510 --> 00:40:47,370
+انها ده من ايه؟ من الجزء ايه من النظرية؟طيب ال
+
+432
+00:40:47,370 --> 00:40:51,450
+supremum ل سالب xn هيفقن العدد طبيعي احنا خدنا قبل
+
+433
+00:40:51,450 --> 00:40:56,490
+هيك exercise بيقول supremum او infimum سالب حاجة
+
+434
+00:40:56,490 --> 00:41:02,190
+بساوي سالب ال infimum فهنا بصير هذا سالب ال
+
+435
+00:41:02,190 --> 00:41:07,530
+infimum تمام؟ اذا انا عندي بيطلع عندي limit xn
+
+436
+00:41:07,530 --> 00:41:15,180
+بساوي سالب limit سالب xn تمام؟أضربوا هنا هيندي
+
+437
+00:41:15,180 --> 00:41:18,940
+limit سالب xn أضربوا المعادلة هذه بالسالب واحد
+
+438
+00:41:18,940 --> 00:41:24,700
+فبطلع سالب limit سالب xn بساوي سالب سالب موجب اللي
+
+439
+00:41:24,700 --> 00:41:29,000
+هو ال inform ل xn وهذا اللي بدنا يعني لأن هي
+
+440
+00:41:29,000 --> 00:41:33,280
+أثبتنا أن limit xn موجودة exist يعني ال sequence
+
+441
+00:41:33,280 --> 00:41:37,640
+xn convergent وال limit تبعتها بساوي ال inform
+
+442
+00:41:40,760 --> 00:41:44,680
+بنكمل برهان الـ monotone convergence theorem طبعا
+
+443
+00:41:44,680 --> 00:41:49,280
+الأمثلة هذه اللي هنا كلها أمثلة تطبيق على الـ
+
+444
+00:41:49,280 --> 00:41:53,180
+monotone convergence theorem فارجو أنكم تحاولوا
+
+445
+00:41:53,180 --> 00:41:56,080
+تخرجوا الأمثلة هذه و تشوفوا كيف نستخدم الـ
+
+446
+00:41:56,080 --> 00:41:58,440
+monotone convergence theorem في
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Mk2487qcZF8_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1760 @@
+1
+00:00:21,450 --> 00:00:27,950
+Okay إذا احنا في المحاضرة الأخيرة أخدنا الـ
+
+2
+00:00:27,950 --> 00:00:33,670
+monotone convergence theorem وشوفنا
+
+3
+00:00:33,670 --> 00:00:38,970
+أنه في النظرية هذه لو في عندي sequence و ال
+
+4
+00:00:38,970 --> 00:00:42,710
+sequence هذه monotone يعني increasing أو
+
+5
+00:00:42,710 --> 00:00:48,510
+decreasing فعشان فبتكون convergent if and only if
+
+6
+00:00:48,510 --> 00:00:53,060
+it is boundedإذا الـ monotone sequence converges
+
+7
+00:00:53,060 --> 00:01:01,360
+if and only if it is bounded طيب
+
+8
+00:01:01,360 --> 00:01:04,420
+ال monotone sequence نوعين إما increasing أو
+
+9
+00:01:04,420 --> 00:01:07,360
+decreasing فلو كانت ال sequence increasing و طبعا
+
+10
+00:01:07,360 --> 00:01:10,940
+bounded فشوفنا إنها بتكون convergent حسب ال
+
+11
+00:01:10,940 --> 00:01:14,040
+statement الأول و ال limit تبعتها بساوي ال
+
+12
+00:01:14,040 --> 00:01:17,280
+supremum اللي لها ك set و لو كانت ال sequence
+
+13
+00:01:17,280 --> 00:01:22,420
+decreasing و بالطبع boundedفحسب ال statement الأول
+
+14
+00:01:22,420 --> 00:01:28,720
+تطلع convergence ونهايتها هي ال infimum تبعها ك Z
+
+15
+00:01:28,720 --> 00:01:33,040
+وشوفنا
+
+16
+00:01:33,040 --> 00:01:35,560
+برهانة مغرية في المحاضرة السابقة
+
+17
+00:01:38,060 --> 00:01:43,060
+الان بنشوف كيف نطبق النظرية في إثبات إن certain
+
+18
+00:01:43,060 --> 00:01:47,200
+sequences are convergent أو divergent النظرية هذه
+
+19
+00:01:47,200 --> 00:01:51,180
+بالمناسبة ممكن نستخدمها في إثبات إنه monotone
+
+20
+00:01:51,180 --> 00:01:55,960
+sequence معينة إما convergent أو divergent عشان
+
+21
+00:01:55,960 --> 00:01:59,120
+أثبت إن ال monotone sequence إذا عندي أنا monotone
+
+22
+00:01:59,120 --> 00:02:02,760
+sequence عشان أثبت إنها convergent لازم أثبت إنها
+
+23
+00:02:02,760 --> 00:02:08,980
+bounded العكس لو في عنده monotone sequenceوبدي
+
+24
+00:02:08,980 --> 00:02:14,640
+اثبت انها divergent يكفي ان اثبت انها unbounded
+
+25
+00:02:14,640 --> 00:02:21,840
+not bounded فهي ان ال sequence xn بساوي واحد على n
+
+26
+00:02:21,840 --> 00:02:27,240
+هاد ال sequence معروف انه ال limit انها convergent
+
+27
+00:02:27,240 --> 00:02:34,630
+وits limit is zero زيها زي ال sequence واحد على nو
+
+28
+00:02:34,630 --> 00:02:38,270
+ممكن تبرهن أن الـ sequence هذه convergence و
+
+29
+00:02:38,270 --> 00:02:42,030
+نهايتها بالساعة و سفر باستخدام تعريف epsilon
+
+30
+00:02:42,030 --> 00:02:49,070
+capital N لل limit بالظبط زي ما عملنا في برهان ال
+
+31
+00:02:49,070 --> 00:02:52,830
+limit أن ال limit لل sequence واحد علي N بالساعة و
+
+32
+00:02:52,830 --> 00:02:57,810
+سفر باستخدام الarchimedean property فهذا برهان
+
+33
+00:02:57,810 --> 00:03:04,810
+ممكن أي واحدة فيكم تكتبهاللي هو باستخدام تعريف
+
+34
+00:03:04,810 --> 00:03:08,110
+epsilon capital N زائد الـarchimedean property
+
+35
+00:03:08,110 --> 00:03:13,290
+بالظبط زي ما أثبتنا limit 1 على N بساوية 0 اليوم
+
+36
+00:03:13,290 --> 00:03:16,550
+هنشوف برهان تاني باستخدام الـ monotone convergence
+
+37
+00:03:16,550 --> 00:03:16,990
+theorem
+
+38
+00:03:20,740 --> 00:03:25,460
+السيكوانس هي بالحد العام ال n term تبعها xn one
+
+39
+00:03:25,460 --> 00:03:28,960
+over square root of n طبعا square root of n أصغر
+
+40
+00:03:28,960 --> 00:03:32,720
+من square root of z واحد لأي عدد طبيعي وبالتالي
+
+41
+00:03:32,720 --> 00:03:37,680
+مقلوب لكبير أصغر من مقلوب لكبير هذا xn زاد واحد
+
+42
+00:03:37,680 --> 00:03:44,240
+وهذا xn أنا عندي sequence is such that xn زاد واحد
+
+43
+00:03:44,240 --> 00:03:48,560
+أصغر من xn هذا معناه أن ال sequence is increasing
+
+44
+00:03:49,820 --> 00:03:54,740
+كذلك الـ sequence هذه is bounded لأنه هي فيه عدد
+
+45
+00:03:54,740 --> 00:03:59,700
+موجب M بساوي واحد عدد موجب بحيث أنه absolute xn
+
+46
+00:03:59,700 --> 00:04:04,780
+أصغر من أو يساوي M لكل N لأن أنا فيها ال sequence
+
+47
+00:04:04,780 --> 00:04:12,000
+increasingdecreasing و bounded اذا by monotone
+
+48
+00:04:12,000 --> 00:04:16,620
+convergence theorem ال sequence هذه هتكون
+
+49
+00:04:16,620 --> 00:04:23,220
+convergent و ال limit تبعتها بساوي ال infimum طيب
+
+50
+00:04:23,220 --> 00:04:27,740
+ال infimum للمجموعة هذه بتساوي سفر
+
+51
+00:04:30,570 --> 00:04:35,710
+وبرهان ذلك شبيه ببرهان الـ infimum للـ sequence 1
+
+52
+00:04:35,710 --> 00:04:40,310
+على n بالساوي 0 باستخدام الـ Archimedean property
+
+53
+00:04:40,310 --> 00:04:44,350
+راجعوا برهان أن الـ infimum للـ sequence 1 على n
+
+54
+00:04:44,350 --> 00:04:48,610
+وهذا ثمتناه في المحاضرات السابقة راجعوا البرهان
+
+55
+00:04:48,610 --> 00:04:54,800
+وكتبوا برهان مشابه لهبنفس الطريقة نثبت ان الانثرام
+
+56
+00:04:54,800 --> 00:04:58,660
+لسيكوانس هادى او الست هادى سفر اذا حسب الـ
+
+57
+00:04:58,660 --> 00:05:01,400
+monotone convergence theorem ال sequence واحد على
+
+58
+00:05:01,400 --> 00:05:05,700
+جذر M is convergent و ال limit تبعتها بساوي
+
+59
+00:05:05,700 --> 00:05:10,240
+الانثرام تبعها اللى هو سفر اذا هى مثال على تطبيق
+
+60
+00:05:10,240 --> 00:05:15,570
+الـ monotone convergence theoremكذلك ممكن برضه زي
+
+61
+00:05:15,570 --> 00:05:18,810
+ما قلتلكم نستخدم الـ monotone convergence theorem
+
+62
+00:05:18,810 --> 00:05:26,750
+في أثبات أن سيكوانس زي هذه is divergent نشوف
+
+63
+00:05:26,750 --> 00:05:30,870
+مع بعض كيف .. إذا هنا هاي سيكوانس الحد العام تبعها
+
+64
+00:05:30,870 --> 00:05:37,490
+xn هذا الint partial sum بالمناسبة هذا الint
+
+65
+00:05:37,490 --> 00:05:43,330
+partial sum في ال harmonic seriesسيجما من K بساول
+
+66
+00:05:43,330 --> 00:05:50,210
+واحد to infinity لواحد على K وهد
+
+67
+00:05:50,210 --> 00:05:53,110
+ال harmonic series is divergent معروف في calculus
+
+68
+00:05:53,110 --> 00:06:00,190
+بقى ال series هد is divergent وهد الحد العام في ال
+
+69
+00:06:00,190 --> 00:06:04,730
+sequence of partial sums وفي calculus بقى درسنا
+
+70
+00:06:04,730 --> 00:06:10,330
+إذا بتذكروا إذا فاكرين حاجةمن الموضوع هذا انه a
+
+71
+00:06:10,330 --> 00:06:13,970
+series converges if and only if ال sequence of
+
+72
+00:06:13,970 --> 00:06:18,130
+partial sums is convergent فلو ال series is
+
+73
+00:06:18,130 --> 00:06:21,130
+divergent ال sequence of partial sums is divergent
+
+74
+00:06:21,130 --> 00:06:24,830
+هذه هي ال sequence of partial sums حدث بتنها
+
+75
+00:06:24,830 --> 00:06:31,150
+divergent بس مش باستخدام calculus بقى باستخدام ال
+
+76
+00:06:31,150 --> 00:06:37,300
+monotone convergence theoremطيب ال sequence هي
+
+77
+00:06:37,300 --> 00:06:43,920
+الحد العام xn إذا الحد رقم n زياد واحد هي بنضيف
+
+78
+00:06:43,920 --> 00:06:49,400
+زياد واحد على n زياد واحد للمجموع هذا اللي هو xn
+
+79
+00:06:49,400 --> 00:06:54,320
+صح؟ وبالتالي زي ما أنتوا شايفين الحد xn زياد واحد
+
+80
+00:06:54,320 --> 00:07:00,560
+هو الحد xn زائد حد موجب وبالتالي هذا أكبر من xn
+
+81
+00:07:02,310 --> 00:07:06,670
+الكلام هذا صحيح لكل n إذاً هذا معناه إن ال
+
+82
+00:07:06,670 --> 00:07:14,690
+sequence xn is increasing، متزايدة، الآن أنا في
+
+83
+00:07:14,690 --> 00:07:19,410
+ندي sequence xn، هذه الحد الآن تبعها، و ال
+
+84
+00:07:19,410 --> 00:07:25,600
+sequence هذه increasing، monotone يعنيالان الـ
+
+85
+00:07:25,600 --> 00:07:30,700
+monotone convergence بتقول لي عشان أثبت أن ال
+
+86
+00:07:30,700 --> 00:07:34,260
+sequence هذي convergent لازم أثبت أنها bounded
+
+87
+00:07:34,260 --> 00:07:39,860
+وعشان أثبت أنها divergent لازم أثبت أنها unbounded
+
+88
+00:07:39,860 --> 00:07:44,520
+فتعالوا نفحص هل هي bounded ولا لأ إذا طلعت bounded
+
+89
+00:07:44,520 --> 00:07:48,640
+بتكون convergent إذا طلعت unbounded بتكون
+
+90
+00:07:48,640 --> 00:07:49,360
+divergent
+
+91
+00:07:52,580 --> 00:07:57,960
+تعالوا نشوف الحد العام يعني هنا في حاخد ال
+
+92
+00:07:57,960 --> 00:08:04,200
+sequence بدل x in x اللي الحد العام تبعها two to n
+
+93
+00:08:04,200 --> 00:08:09,640
+هذه عبارة عن subsequence فهذه subsequence من ال
+
+94
+00:08:09,640 --> 00:08:10,820
+sequence x in
+
+95
+00:08:16,700 --> 00:08:21,480
+يعني هذه جزء من ال sequence هذه هذه أول حد فيها x
+
+96
+00:08:21,480 --> 00:08:27,400
+رقم مؤشر تبعه اتنين صح؟ يعني هذه حدود ال sequence
+
+97
+00:08:27,400 --> 00:08:32,620
+هذه x اتنين لما n بساوة واحد بعدين اللي بعده x
+
+98
+00:08:32,620 --> 00:08:40,100
+أربع بعدين x تمام يعني و هكذا طبعا هذه الحدود هذه
+
+99
+00:08:40,100 --> 00:08:44,980
+كلها موجودة هنا صح؟ فهذه بنسميها subsequence من ال
+
+100
+00:08:44,980 --> 00:08:49,090
+sequence الأصليالان انا بدي اخد الحد العام لل sub
+
+101
+00:08:49,090 --> 00:08:56,750
+sequence دي اللي المؤشر تبعه 2 أس n بدل n طيب
+
+102
+00:08:56,750 --> 00:09:01,170
+انا عند xn بساوي المجموعة هذا واحد زاد نص زاد تلت
+
+103
+00:09:01,170 --> 00:09:06,290
+اخر حد واحد على n طب لما بدي ال n ب 2 أس n هيطلع
+
+104
+00:09:06,290 --> 00:09:10,650
+عند المجموعة واحد زاد نص زاد تلت الى اخر حد واحد
+
+105
+00:09:10,650 --> 00:09:16,620
+على 2 أس n صح؟ هذا من تعريف ال sequenceالان الحدود
+
+106
+00:09:16,620 --> 00:09:25,340
+هذه تبع المجموع هعملها blocks، بلوكات فواحد لوحده
+
+107
+00:09:25,340 --> 00:09:31,320
+في block، نص لوحده، هاخد التلت والربع مع بعض،
+
+108
+00:09:31,320 --> 00:09:38,080
+بعدين ال block الرابع هتكون خمس و سدس و سبعة و
+
+109
+00:09:38,080 --> 00:09:44,840
+تمان، أربع حدود مع بعض، جمهم مع بعضو هكذا إلى ال
+
+110
+00:09:44,840 --> 00:09:51,220
+block الأخيرة اللي هي 1 على 2 أس N سالب 1 زاد 1
+
+111
+00:09:51,220 --> 00:09:56,660
+إلى 1 على 2 أس N طيب
+
+112
+00:09:56,660 --> 00:10:02,080
+هاي ال 1 نزل النص، الآن التلت هذا، التلت أكبر من
+
+113
+00:10:02,080 --> 00:10:06,820
+ربع إن علامة التساوي هذه صارت أكبر، يعني بدلت
+
+114
+00:10:06,820 --> 00:10:12,650
+التلت بربع، والتلت أكبر من ربعفصار مجموع ربعين
+
+115
+00:10:12,650 --> 00:10:16,090
+الان في ال block اللي بعديها في عندي خمس و سُدس و
+
+116
+00:10:16,090 --> 00:10:22,110
+سبعة تمن كل واحد منهم أكبر من أو يساوي التمن فعشان
+
+117
+00:10:22,110 --> 00:10:27,450
+يصير في عندي هنا تمن زي تمن زي تمن أربع مرات اللي
+
+118
+00:10:27,450 --> 00:10:34,390
+هو بطلع نص أربعة أتمان نص وهنا ربعين نص صح؟ وهنا
+
+119
+00:10:34,390 --> 00:10:39,910
+هذا الحد اللي هنا هذاأكبر من واحد على اتنين أسئن
+
+120
+00:10:39,910 --> 00:10:44,450
+لأنه اتنين أسئن أكبر من اتنين أسئن سالب واحد زائد
+
+121
+00:10:44,450 --> 00:10:49,050
+واحد لكل ان إذاً هذا أكبر من واحد على اتنين أسئن
+
+122
+00:10:49,050 --> 00:10:53,410
+والبعد أكبر من واحد على اتنين أسئن و هكذا إذاً هنا
+
+123
+00:10:53,410 --> 00:10:57,550
+عندي واحد على اتنين أسئن مجموعة على نفسه اتنين
+
+124
+00:10:57,550 --> 00:11:03,890
+أسئن سالب واحد من المراتفمجموهم بيساوي مجموها دول
+
+125
+00:11:03,890 --> 00:11:07,030
+بيساوي اتنين اص ان سالب واحد في واحد على اتنين اص
+
+126
+00:11:07,030 --> 00:11:11,650
+ان بيطلع نص اذا هذا المجموعة نص وهذا نص واللي بعده
+
+127
+00:11:11,650 --> 00:11:16,990
+نص كلهم نصارى ماعدا اول حد اذا واحد وهي نص وهذا نص
+
+128
+00:11:16,990 --> 00:11:23,670
+اللي بعده نص واخر واحد نص طب كام حد في هنا هاي حد
+
+129
+00:11:23,670 --> 00:11:29,950
+ودول عددهم nin من الحدود وهذا وعد هاي in زاد واحد
+
+130
+00:11:29,950 --> 00:11:34,870
+من الحدود طب هدول عددهم in لما أجمع عدد على نفسه
+
+131
+00:11:34,870 --> 00:11:38,810
+in من المرات بيطلع in في نص اللي هو in عتنين زاد
+
+132
+00:11:38,810 --> 00:11:42,770
+واحد طيب لما in تقول ل infinity in عتنين يقول ل
+
+133
+00:11:42,770 --> 00:11:46,570
+infinity وبالتالي واحد زاد in عتنين بيروح ل
+
+134
+00:11:46,570 --> 00:11:50,410
+infinity تمام؟
+
+135
+00:11:50,410 --> 00:11:54,690
+إذا أنا عندي الحد العام لل sequence هذه أو ال
+
+136
+00:11:54,690 --> 00:12:02,730
+subsequenceطولة أكبر من مقدار يقول لـ infinity هو
+
+137
+00:12:02,730 --> 00:12:14,510
+بالتالي إذا
+
+138
+00:12:14,510 --> 00:12:21,510
+أنا عندي x to two to n tends to infinity as n
+
+139
+00:12:21,510 --> 00:12:29,270
+tends to infinityوبالتالي هذا معناه أن X على 2 نص
+
+140
+00:12:29,270 --> 00:12:38,330
+M أكبر من M لكل M عدد موجب ما معناه أن ال limit
+
+141
+00:12:38,330 --> 00:12:42,730
+لحد
+
+142
+00:12:42,730 --> 00:12:47,650
+هذا أو ال sequence X المؤشرات تبقية 2 نص M تقول
+
+143
+00:12:47,650 --> 00:12:52,750
+infinity معناته هذا الحد العام لها أكبر من أي عدد
+
+144
+00:12:52,750 --> 00:12:58,800
+موجبوبالتالي إذا الـ subsequence هذه اللي هي الحد
+
+145
+00:12:58,800 --> 00:13:06,980
+العام تبعها X plus 2N is unbounded وبالتالي
+
+146
+00:13:06,980 --> 00:13:15,560
+فهذا بيقدي إن ال sequence XN نفسها is unbounded
+
+147
+00:13:15,560 --> 00:13:21,300
+لأنه لو كانت ال sequence boundedفأي sub-sequence
+
+148
+00:13:21,300 --> 00:13:25,420
+منها اللي هي جزء منها هتكون bounded صح هذا واضح
+
+149
+00:13:25,420 --> 00:13:30,740
+تمام الان by monotone convergence theorem ال
+
+150
+00:13:30,740 --> 00:13:37,340
+sequence x in unbounded وبالتالي it is divergent
+
+151
+00:13:37,340 --> 00:13:45,000
+لأن لو كانت convergent فلازم تكون bounded okay إذا
+
+152
+00:13:45,000 --> 00:13:49,600
+هاي استخدمنا ال monotone convergence theoremلإثبات
+
+153
+00:13:49,600 --> 00:13:52,140
+أن سيكوانس معينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة
+
+154
+00:13:52,140 --> 00:13:52,840
+مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة
+
+155
+00:13:52,840 --> 00:13:56,680
+مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة
+
+156
+00:13:56,680 --> 00:13:59,900
+مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة
+
+157
+00:13:59,900 --> 00:14:00,660
+مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة
+
+158
+00:14:00,660 --> 00:14:05,360
+مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة مُعينة
+
+159
+00:14:05,360 --> 00:14:11,900
+مُعينة مُعينة مُعينة
+
+160
+00:14:11,900 --> 00:14:12,220
+مُعين
+
+161
+00:14:16,610 --> 00:14:21,230
+المثال التالت برضه هنستخدم .. هنطبق عليه اللي هو
+
+162
+00:14:21,230 --> 00:14:23,790
+الـ monotone convergence theorem
+
+163
+00:14:34,440 --> 00:14:40,520
+بس هذا المثال مختلف عن المثالين السابقين الان انا
+
+164
+00:14:40,520 --> 00:14:44,820
+بدي اعرف ال sequence x in inductively بطريقة
+
+165
+00:14:44,820 --> 00:14:52,860
+استقرائية شوفنا
+
+166
+00:14:52,860 --> 00:14:56,460
+احنا لما بدينا ال chapter هذا ان ال sequences can
+
+167
+00:14:56,460 --> 00:15:01,740
+be defined in two waysاما explicitly زي مثلا ال
+
+168
+00:15:01,740 --> 00:15:06,900
+sequence xn بالساوي واحد على n او recursively او
+
+169
+00:15:06,900 --> 00:15:11,520
+inductively بطريقة استقرائية بان انا اخد قيمة للحد
+
+170
+00:15:11,520 --> 00:15:16,440
+الاول او اول حدين اعطيهم قيم محددة و بعدين اعرف
+
+171
+00:15:16,440 --> 00:15:22,510
+الحد العام بدالة الحدود اللي قبلهفهي اندي الحد
+
+172
+00:15:22,510 --> 00:15:28,110
+الاول نفرض انه بساوي واحد الان بنعرف xn زياد واحد
+
+173
+00:15:28,110 --> 00:15:31,870
+على انه square root لاتنين ضرب الحد اللي جابناه
+
+174
+00:15:31,870 --> 00:15:35,970
+وهذا لكل n لان بالطريقة هذه ممكن اعرف ان هذا
+
+175
+00:15:35,970 --> 00:15:39,610
+بيعطينا sequence الان هذه ال sequence عايزين نثبت
+
+176
+00:15:39,610 --> 00:15:44,610
+انها convergent زائد ان ال limit تبقاتها بساوي
+
+177
+00:15:44,610 --> 00:15:45,350
+لعدد اتنين
+
+178
+00:15:48,640 --> 00:15:52,540
+لبرهان ذلك سنستخدم الـ monotone convergence
+
+179
+00:15:52,540 --> 00:15:57,940
+theorem عشان
+
+180
+00:15:57,940 --> 00:16:01,680
+أقدر استخدام الـ monotone convergence theorem ففي
+
+181
+00:16:01,680 --> 00:16:07,300
+عندي ال claim الأول يعني بدي أثبت في الإدعاء الأول
+
+182
+00:16:07,300 --> 00:16:14,260
+هذا ان ال sequence xn is increasing and bounded by
+
+183
+00:16:14,260 --> 00:16:14,640
+2
+
+184
+00:16:18,060 --> 00:16:24,180
+فلبرهان ذلك بنلاحظ
+
+185
+00:16:24,180 --> 00:16:31,920
+أن X1 من التعريف تبع ال sequence X1 بساوي 1 و X2
+
+186
+00:16:31,920 --> 00:16:34,660
+ممكن أجيبها من ال recursive formula أو ال
+
+187
+00:16:34,660 --> 00:16:39,500
+inductive formula إن أنا أاخد n بساوي 1 فبطلع X2
+
+188
+00:16:39,500 --> 00:16:49,840
+بساوي جدر 2 ل X1 و X1 1 إذا X2 بطلع جدر 2وبالتالي
+
+189
+00:16:49,840 --> 00:16:54,160
+من الحسابات هذه بيطلع اندي هاي X واحد X واحد
+
+190
+00:16:54,160 --> 00:16:59,080
+بيساوي واحد وبالتالي اكبر منها بيساوي واحد واسغر
+
+191
+00:16:59,080 --> 00:17:04,420
+من X اتنين لان X اتنين جدر اتن��ن الواحد اصغر من
+
+192
+00:17:04,420 --> 00:17:08,620
+جدر اتنين و
+
+193
+00:17:08,620 --> 00:17:12,960
+X اتنين اللي هو جدر اتنين اصغر من الاتنين لان كل
+
+194
+00:17:12,960 --> 00:17:13,760
+هذا صحيح
+
+195
+00:17:19,580 --> 00:17:25,920
+تمام؟ لسه ما خلصناهش لسه ما خلصناهش احنا ما فرضنا
+
+196
+00:17:25,920 --> 00:17:30,580
+انه صحيح احنا أثبتناه لسه
+
+197
+00:17:30,580 --> 00:17:35,220
+ما أثبتناش هذا ال claim لسه ما أثبتناه احنا لسه ده
+
+198
+00:17:35,220 --> 00:17:41,110
+بداية البرهانةالبرهان لـ claim بدأنا بما راحظنا ان
+
+199
+00:17:41,110 --> 00:17:47,150
+x1 من التعريف مقطع بساوي واحد و x2 حسبناها منها
+
+200
+00:17:47,150 --> 00:17:51,630
+بساوي جدر اتنين ل x1 اللي هو جدر اتنين وبالتالي
+
+201
+00:17:51,630 --> 00:17:58,270
+بطلع اندي هيك هاي x1 أكبر من أو ساوي واحد و أصغر
+
+202
+00:17:58,270 --> 00:18:03,850
+من جدر اتنين اللي هو x2 و x2 اللي هي جدر اتنين
+
+203
+00:18:03,850 --> 00:18:09,210
+أصغر من اتنينليش احنا عملنا هذا الكلام لان هيبين
+
+204
+00:18:09,210 --> 00:18:16,170
+الان now الان بدي اثبت بدي استخدم ال induction we
+
+205
+00:18:16,170 --> 00:18:28,150
+use induction لاثبات العبارة هذه وهي ان xn اصغر من
+
+206
+00:18:28,150 --> 00:18:32,970
+xn زائد واحد وهذا اصغر من اتنين وهذا اكبر من أوسع
+
+207
+00:18:32,970 --> 00:18:41,020
+الواحد لكلمن البرهن صحة العبارة هذه by induction
+
+208
+00:18:41,020 --> 00:18:47,240
+طيب الحالة اللي فيها خد n بساوية واحد الحالة اللي
+
+209
+00:18:47,240 --> 00:18:53,300
+فيها n بساوية واحد هي هاي x واحد أكبر من أو ساوية
+
+210
+00:18:53,300 --> 00:19:01,340
+واحد هدا هي و أصغر من x اتنين هدا هيو X2 أصغر من 2
+
+211
+00:19:01,340 --> 00:19:05,280
+إذا العبارة هذه صحيحة لما N بساوي 1 لأنه هنا
+
+212
+00:19:05,280 --> 00:19:10,280
+أثبتناها الآن
+
+213
+00:19:10,280 --> 00:19:18,920
+افرضي .. افرضي أن العبارة صحيحة عند N بساوي K يعني
+
+214
+00:19:18,920 --> 00:19:27,820
+عندك هنا XKاكبر من او ساول واحد اصغر من X K زايد
+
+215
+00:19:27,820 --> 00:19:34,100
+واحد اصغر من اتنين هنا فرضنا هذا ال induction high
+
+216
+00:19:34,100 --> 00:19:41,920
+precision وعايزين نثبت ان هذا بيقدي ان القبارة
+
+217
+00:19:41,920 --> 00:19:48,980
+صحيحة and N بيساوي K زايد واحد يعني بدي اثبت هذه
+
+218
+00:19:48,980 --> 00:19:50,660
+المتباينة
+
+219
+00:19:55,390 --> 00:20:02,590
+بدي أثبت المتباينة هذه طبعا فتعالى نشوف كيف نثبت
+
+220
+00:20:02,590 --> 00:20:21,690
+المتباينة هذه طيب
+
+221
+00:20:21,690 --> 00:20:29,980
+أنا عنديهي عندي المتباينة هذه احنا
+
+222
+00:20:29,980 --> 00:20:49,600
+فرضين ان المتباينة هذه صحيحة احنا
+
+223
+00:20:49,600 --> 00:20:52,640
+فرضين من induction hypothesis ان هذه المتباينة
+
+224
+00:20:52,640 --> 00:20:58,910
+صحيحةأضرب المتباينة هذه في اتنين هي اضرب كل
+
+225
+00:20:58,910 --> 00:21:02,710
+الأطراف في اتنين فبصير اتنين اصغر من اتنين XK اصغر
+
+226
+00:21:02,710 --> 00:21:09,290
+من اتنين XK زائد واحد اصغر من اربع وهذا بيقدي ان
+
+227
+00:21:09,290 --> 00:21:11,570
+واحد اصغر من جدر اتنين
+
+228
+00:21:15,730 --> 00:21:21,830
+و اذا انا الان باخد الجذر التربيعى لكل الأطراف هذه
+
+229
+00:21:21,830 --> 00:21:26,750
+اخد الجذر التربيعى فهي جذر اتنين طبعا اكبر من واحد
+
+230
+00:21:26,750 --> 00:21:34,350
+اصغر منه يساوي جذر اتنين XK اللى هو XK زاد واحد
+
+231
+00:21:34,350 --> 00:21:37,770
+هذا طبعا من التعريف تبع ال sequence من ال
+
+232
+00:21:37,770 --> 00:21:43,130
+inductive formula جذر اتنين XK حسب التعريف بساوي
+
+233
+00:21:43,130 --> 00:21:50,440
+XK زاد واحدوهذا أصغر من هنا جدر اتنين xk أصغر من
+
+234
+00:21:50,440 --> 00:21:56,840
+جدر اتنين xk زائد واحد وهذا أصغر من جدر الأربع
+
+235
+00:21:56,840 --> 00:22:01,180
+اللي هو الأتنين إذا هاي بيطلع عندي واحد أصغر من أو
+
+236
+00:22:01,180 --> 00:22:06,580
+يساوي xk زائد واحد وهذا برضه من ال inductive
+
+237
+00:22:06,580 --> 00:22:15,940
+formula الجدر التربيع هذا بيساوي xk زائد اتنينإذا
+
+238
+00:22:15,940 --> 00:22:21,620
+هي 1 أصغر من أو ساوي xk زاد 1 أصغر من xk زاد 2
+
+239
+00:22:21,620 --> 00:22:28,100
+أصغر من 2 وبالتالي إذا أثبتنا إحنا صحة العبارة هذه
+
+240
+00:22:28,100 --> 00:22:34,700
+عن k زاد 1 وبالتالي هيك بنكون كملنا ال induction
+
+241
+00:22:34,700 --> 00:22:43,060
+okay طبعا إذا ال claim تعالوا نشوف الآن ليش ال
+
+242
+00:22:43,060 --> 00:22:48,470
+sequenceأه ليه ال sequence تبعتنا بتطلع bounded
+
+243
+00:22:48,470 --> 00:22:55,530
+وincreasing فاكرين احنا أثبتنا by induction ان x
+
+244
+00:22:55,530 --> 00:23:01,810
+in أصغر من x in زايد واحد أصغر من اتنين أكبر من
+
+245
+00:23:01,810 --> 00:23:10,150
+أوي ساوي واحد لكل in من الجزء هذا نستنتج
+
+246
+00:23:10,150 --> 00:23:14,460
+ان ال sequence is increasing صح؟لأن هى عندى xn
+
+247
+00:23:14,460 --> 00:23:21,640
+أصغر من xn زاد واحد لكل n ومن المتباينة كلها يعني
+
+248
+00:23:21,640 --> 00:23:28,200
+اللى هى xn أصغر من اتنين أكبر من أوسع واحد لكل n
+
+249
+00:23:28,200 --> 00:23:32,080
+هذا معناته ال sequence bounded هى محصورة بين واحد
+
+250
+00:23:32,080 --> 00:23:37,160
+واتنين و bounded above by اتنين لذلك هذا يكمل
+
+251
+00:23:37,160 --> 00:23:42,800
+برهان ال claim الأول يعنيوهو انه sequence x in
+
+252
+00:23:42,800 --> 00:23:47,240
+increasing و bounded الان by monotone convergence
+
+253
+00:23:47,240 --> 00:23:53,140
+theorem ال sequence x in هتكون convergent دعينا
+
+254
+00:23:53,140 --> 00:23:56,840
+نسمي ال limit تبعتها x وطبعا حسب ال monotone
+
+255
+00:23:56,840 --> 00:23:59,480
+convergence theorem بما انه sequence increasing
+
+256
+00:23:59,480 --> 00:24:05,960
+اذا ال limit تبعتها بساوي ال suprem لها ك set اذا
+
+257
+00:24:05,960 --> 00:24:09,600
+انا في عندي الآن ال sequence تبعتي convergent هي
+
+258
+00:24:09,600 --> 00:24:17,620
+عندي limitx in convergent بيساوي x اللي هي طبعا
+
+259
+00:24:17,620 --> 00:24:21,580
+حسب النظرية بيساوي ال supremum الان بدي أجيب قيمة
+
+260
+00:24:21,580 --> 00:24:25,460
+ال x هذا طبعا
+
+261
+00:24:25,460 --> 00:24:30,560
+مش سهل أن أجيب ال supremum ل ال sequence فبجيبها
+
+262
+00:24:30,560 --> 00:24:35,600
+بطريقة تانية إذا
+
+263
+00:24:35,600 --> 00:24:38,560
+ال claim التاني بدي أثبت أن ال x ال limit ل ال
+
+264
+00:24:38,560 --> 00:24:40,720
+sequence اللي هي x بيساوي 2
+
+265
+00:24:43,730 --> 00:24:47,450
+طيب انا عندي من تعريف الـ sequence انا عندي xn زاد
+
+266
+00:24:47,450 --> 00:24:53,070
+واحد بساوي جدر اتنين xn و هذا الكلام صحيح for
+
+267
+00:24:53,070 --> 00:24:57,870
+every m ناخد ال limit لاتطرفين لما n تقول ل
+
+268
+00:24:57,870 --> 00:25:02,050
+infinity بتطلع limit xn زاد واحد بساوي limit جدر
+
+269
+00:25:02,050 --> 00:25:08,390
+اتنين ثابت في limit جدر ال xn مظبوط؟
+
+270
+00:25:09,940 --> 00:25:15,160
+طيب احنا فرضين او احنا استنتجنا احنا لسه مستنتجين
+
+271
+00:25:15,160 --> 00:25:19,340
+من ال monotone convergence ان limit xn بيساوي x
+
+272
+00:25:19,340 --> 00:25:25,400
+وبالتالي limit xn زاد واحد برضه بتساوي x وهي
+
+273
+00:25:25,400 --> 00:25:31,220
+بيساوي جذر اتنين و limit جذر xn بيساوي جذر ال x
+
+274
+00:25:31,220 --> 00:25:36,980
+حسب نظرية سابقة اذا ال limit هذه اذا هي x و جذر
+
+275
+00:25:36,980 --> 00:25:40,820
+اتنين في ال limit هذه بتطلع جذر ال xإذا أصبح أثيان
+
+276
+00:25:40,820 --> 00:25:46,380
+دي معادلة في مجهول واحد x ممكن أحلها و ذلك بتربيع
+
+277
+00:25:46,380 --> 00:25:53,740
+الطرفين فالمعادلة هذه بعد مربعها تصير هيك وهذه في
+
+278
+00:25:53,740 --> 00:25:59,340
+إلها حالين إما x بيطلع بساوي سفر أو x بساوي اتنين
+
+279
+00:25:59,340 --> 00:26:04,940
+احنا عايزين ال x ناخد x بساوي اتنين و نرفض x بساوي
+
+280
+00:26:04,940 --> 00:26:10,700
+سفر طب ليه نرفض x بساوي سفر؟لأن اثبتنا هنا by
+
+281
+00:26:10,700 --> 00:26:20,340
+induction أن xn أكبر من أوسع واحد أصغر من الأتنين
+
+282
+00:26:20,340 --> 00:26:25,960
+و أثبتنا أن ال sequence هذه convergent، إذا حسب
+
+283
+00:26:25,960 --> 00:26:27,200
+نظرية سابقة
+
+284
+00:26:30,490 --> 00:26:38,230
+إذن ال limit لل sequence xn هتطلع محصورة بين 2 و
+
+285
+00:26:38,230 --> 00:26:42,650
+بين 1 خدمة نظرية بتقول لو كانت ال sequence xn
+
+286
+00:26:42,650 --> 00:26:48,610
+convergent و xn أكبر من أو ساوي a أصغر من أو ساوي
+
+287
+00:26:48,610 --> 00:26:53,570
+b لكل n فال limit لل sequence xn بتطلع أيضا محصورة
+
+288
+00:26:53,570 --> 00:26:59,560
+بين a و bيعني طب هدى هى ال X فرضنا ان ال limit هدى
+
+289
+00:26:59,560 --> 00:27:04,060
+X اذا بطلع انا عندي X اكبر من او ساوي واحد اصغر من
+
+290
+00:27:04,060 --> 00:27:07,920
+الاتنين وبالتالي مش ممكن ال X اللى هى محصورة بين
+
+291
+00:27:07,920 --> 00:27:15,420
+واحد واتنين مش ممكن تساوي سفر مش ممكن تساوي سفر
+
+292
+00:27:15,420 --> 00:27:19,820
+اذا لازم الساوي .. وانا عندي سفر او اتنين اذا لازم
+
+293
+00:27:19,820 --> 00:27:25,570
+الساوي اتنينOkay إذا هين هيك استخدمنا الـ monotone
+
+294
+00:27:25,570 --> 00:27:31,030
+convergence بالمثل في أد التمرين زي هذه sequences
+
+295
+00:27:31,030 --> 00:27:36,290
+معرفة inductively و هتثبتوا أنها convergent و
+
+296
+00:27:36,290 --> 00:27:40,750
+تجيبوا قيمة ال limit بنفس الطريقة و بنفس الأسلوب
+
+297
+00:27:40,750 --> 00:27:46,250
+فحاولوا تستفيدوا من حل المثال الأخير هذا في حل مثل
+
+298
+00:27:46,250 --> 00:27:52,770
+هذه التمرين Okay تمام واضحإذن هنا أخدنا تطبيقات
+
+299
+00:27:52,770 --> 00:27:56,230
+متنوعة على الـ monotone convergence theorem وهي
+
+300
+00:27:56,230 --> 00:28:03,570
+التمرين ل section تلاتة تلاتة نبدأ
+
+301
+00:28:03,570 --> 00:28:09,230
+section أربعة أو تلاتة أربعة نعم بيقول إنه ممكن
+
+302
+00:28:09,230 --> 00:28:13,790
+نحل بحر ثاني و نثبت أنه الإثنان يصدرهم للإكسام
+
+303
+00:28:13,790 --> 00:28:17,770
+مظبوط صحيح الإثنان يتحركون على طريق اللملة اللي هي
+
+304
+00:28:17,770 --> 00:28:18,610
+الإكسام
+
+305
+00:28:21,690 --> 00:28:28,990
+والله انت فاكر فيه و بعدين قولي ليه هي
+
+306
+00:28:28,990 --> 00:28:34,050
+عندك sequence حدودها معروفة معرفة ممكن تكتب أول
+
+307
+00:28:34,050 --> 00:28:40,010
+اربع خمس عدود و تحاول تستنتجي ايه هي قيمة ال
+
+308
+00:28:40,010 --> 00:28:44,930
+supreme و تبرهنها طبعا فهذا متروك اليك
+
+309
+00:28:47,810 --> 00:28:52,030
+هذا يعني حل آخر فانا قلت ان ال suprem مش سهل ان
+
+310
+00:28:52,030 --> 00:28:56,070
+احنا نجيبه لمثل هذه ال sequences او ال sets
+
+311
+00:28:56,070 --> 00:28:59,230
+وبالتالي ال monotone convergence في الفيلم كان
+
+312
+00:28:59,230 --> 00:29:03,390
+ممكن يكون أسهل لأن هاي الكلام التاني هذا الأخير
+
+313
+00:29:03,390 --> 00:29:07,270
+مااخدش وجهة يعني أخدنا ال formula ال inductive
+
+314
+00:29:07,270 --> 00:29:11,570
+formula و أخدنا ال limit للطرفين و حلينا معادلة في
+
+315
+00:29:11,570 --> 00:29:16,800
+Xو ادركنا ان ال X ليس لازم تساوي سفر من هنا لان X
+
+316
+00:29:16,800 --> 00:29:20,820
+محصولة بين واحد و اتنين هذا أسهل من ان انا اجيب ال
+
+317
+00:29:20,820 --> 00:29:26,940
+suprem لكن هذا ممنعش ان ممكن حد معين يثبت ان ال
+
+318
+00:29:26,940 --> 00:29:33,060
+suprem هو اتنين اذا كان سهل فكان بيعني نستخدمه مش
+
+319
+00:29:33,060 --> 00:29:35,240
+سهل نستخدم ال monotone convergence
+
+320
+00:29:49,630 --> 00:29:56,070
+الـ sub-sequences and Bolzano-Weierstrass theorem،
+
+321
+00:29:56,070 --> 00:29:59,350
+ال sub-sequences شوفنا قبل شوية sub-sequence
+
+322
+00:30:11,180 --> 00:30:15,400
+شوفنا قبل لحظات في المثال التاني انه في عنده
+
+323
+00:30:15,400 --> 00:30:26,540
+sequence هي عنده sequence xn حدودها x1, x2, x3, x4
+
+324
+00:30:26,540 --> 00:30:34,160
+و هكذا و في كانت sequence تانية لحد الآن تبعها 2
+
+325
+00:30:34,160 --> 00:30:52,420
+أُس nالحدود هذي هتكون X2 X4 X8 و هكذا صح؟ لو سمنا
+
+326
+00:30:52,420 --> 00:31:01,340
+الاتنين هذي R1 والاربعة هذي سمنها R2 والتمانية R3
+
+327
+00:31:04,820 --> 00:31:10,940
+فبنلاحظ أن R1 أكبر من أو ساوء واحد، عدد طبيعي أكبر
+
+328
+00:31:10,940 --> 00:31:19,320
+من أو ساوء واحد وR2 أكبر من R1، الل�� هو أربعة أكبر
+
+329
+00:31:19,320 --> 00:31:29,050
+من اتنين وR3 اللي هو تمانية أكبر من R2و هكذا اذا
+
+330
+00:31:29,050 --> 00:31:34,810
+ال sub sequence المؤشرات تبعتها او ال indices انا
+
+331
+00:31:34,810 --> 00:31:40,330
+بسميه index مجموعة index indices ال indices او
+
+332
+00:31:40,330 --> 00:31:44,710
+المؤشرات لل sub sequence هي عداد طبيعية هذا هي
+
+333
+00:31:44,710 --> 00:31:49,890
+اتنين اربعة تمانية هي عداد طبيعية والعداد الطبيعية
+
+334
+00:31:49,890 --> 00:31:55,170
+هذه بتشكل sequence هذه عبارة عن sequence of
+
+335
+00:31:55,170 --> 00:32:01,880
+natural numbersصح؟ و ال sequence هذه is strictly
+
+336
+00:32:01,880 --> 00:32:08,200
+.. strictly increasing
+
+337
+00:32:08,200 --> 00:32:14,580
+.. strictly increasing يعني متزايدة زيادة صحيحة
+
+338
+00:32:14,580 --> 00:32:18,860
+يعني R واحد أصغر منه مش أصغر منه أو يساوي R اتنين
+
+339
+00:32:18,860 --> 00:32:23,280
+و R اتنين أصغر منه و لا تساوي R تلاتة و هكذا
+
+340
+00:32:23,280 --> 00:32:25,780
+مظبوط؟ صح؟
+
+341
+00:32:29,030 --> 00:32:33,430
+إذا السب سيكوانس السب سيكوانس من أي سيكوانس هي
+
+342
+00:32:33,430 --> 00:32:39,350
+مجموعة جزئية منها صح لأن حدودها هي حدود حدود السب
+
+343
+00:32:39,350 --> 00:32:46,130
+سيكوانس هي عناصر أو حدود من السيكوانس العصلية لكن
+
+344
+00:32:46,130 --> 00:32:52,170
+مش أي حدود لازم تكون مرتبة بحيث أن المؤشرات تبعتها
+
+345
+00:32:52,170 --> 00:32:56,890
+اتشكل strictly increasing sequence of natural
+
+346
+00:32:56,890 --> 00:33:03,480
+numbersتمام؟ زي هيك إذاً
+
+347
+00:33:03,480 --> 00:33:06,900
+هذا هو تعريف الـ subsequence إذا لو في أنا عندي
+
+348
+00:33:06,900 --> 00:33:12,060
+sequence XN واخدت strictly increasing sequence of
+
+349
+00:33:12,060 --> 00:33:17,620
+natural numbers فال sequence اللي المؤشرات تبعتها
+
+350
+00:33:17,620 --> 00:33:24,060
+هي ال sequence RN اللي هي هذه عناصرها بنسميها
+
+351
+00:33:24,060 --> 00:33:30,640
+subsequence من ال sequence XNو هاي أمثلة هتابر هذه
+
+352
+00:33:30,640 --> 00:33:33,900
+الـ sequence x in الـ sequence of natural numbers
+
+353
+00:33:33,900 --> 00:33:40,860
+فهذه subsequence منها اتنين in الـ sequence of
+
+354
+00:33:40,860 --> 00:33:44,940
+even numbers او even natural numbers ده هي على
+
+355
+00:33:44,940 --> 00:33:54,800
+سرعة اتنين اربعة ستة و هكذا وهذه عبارة عن sequence
+
+356
+00:33:56,170 --> 00:34:03,930
+of odd national numbers واحد تلاتة خمسة و هكذا
+
+357
+00:34:03,930 --> 00:34:11,550
+وحدود ال sequence هذه هي X R واحد هذا X اتنين هذا
+
+358
+00:34:11,550 --> 00:34:18,430
+رقمه هذا رقم اتنين يعني R واحد بساوة اتنين طيب X R
+
+359
+00:34:18,430 --> 00:34:25,450
+اتنين اربع X R اتنينر2 هذا حد رقم أربعة، ر2 بيساوي
+
+360
+00:34:25,450 --> 00:34:31,610
+أربعة و ر1 بيساوي اتنين، و اتنين أصغر من أربعة، XR
+
+361
+00:34:31,610 --> 00:34:39,130
+تلاتة ستة، ر تلاتة ستة نفس الحاجة، يعني هذه
+
+362
+00:34:39,130 --> 00:34:44,020
+subsequence وهذه subsequence من ال sequence Xلأن
+
+363
+00:34:44,020 --> 00:34:48,280
+مأشراتهم كلهم بشكل strictly increasing sequences
+
+364
+00:34:48,280 --> 00:34:53,000
+of natural numbers بالمثل ال sequence 1 على 2 n
+
+365
+00:34:53,000 --> 00:35:03,540
+سالب 1 و ال sequence 1 على n factorial هدول
+
+366
+00:35:03,540 --> 00:35:07,840
+برضه أيضا sub sequences من ال sequence 1 على n
+
+367
+00:35:11,850 --> 00:35:16,490
+لكن الـ sequence اللي لحد الآن تبقى الحدودها واحد
+
+368
+00:35:16,490 --> 00:35:24,370
+على واحد، سفر، تلت، سفر، خمس، سفر، و هكذا هذه ليست
+
+369
+00:35:24,370 --> 00:35:32,450
+subsequence من الـ sequence واحد على انه لأن السفر
+
+370
+00:35:32,450 --> 00:35:37,150
+هذا هايلها، مش موجودة، ليست ثلاثا تاني لل sequence
+
+371
+00:35:37,150 --> 00:35:43,480
+هذه ومؤشرات الحدوديعني لا تشكل strictly increasing
+
+372
+00:35:43,480 --> 00:35:47,640
+sequence طيب
+
+373
+00:35:47,640 --> 00:35:52,780
+لو أخدت أي tail أي tail M tail حيث M fixed natural
+
+374
+00:35:52,780 --> 00:35:58,740
+number ف X أي tail ده M tail of any sequence X in
+
+375
+00:35:58,740 --> 00:36:03,640
+طبعا ال M tail ده حدوده عبارة عن sequence الحد
+
+376
+00:36:03,640 --> 00:36:10,190
+الأول تبعهاx capital M زاد واحد الحد التاني x
+
+377
+00:36:10,190 --> 00:36:16,870
+capital M زاد اتنين التالت x capital M زاد تلاتة و
+
+378
+00:36:16,870 --> 00:36:21,170
+هكذا فطبعا
+
+379
+00:36:21,170 --> 00:36:26,510
+هذه عبارة عن sub sequence من ال sequence الام لأن
+
+380
+00:36:26,510 --> 00:36:32,430
+كل أنصر في ال sub sequence هذه هي موجودة هنا صح؟
+
+381
+00:36:33,790 --> 00:36:39,710
+والمؤشرات تبعات ال sub-sequence هي M زاد واحد اصغر
+
+382
+00:36:39,710 --> 00:36:45,830
+من R اتنين اللي هو M زاد اتنين وR اتنين اصغر من R
+
+383
+00:36:45,830 --> 00:36:50,130
+تلاتة اللي هو M زاد تلاتة وكده هذا sub-sequence
+
+384
+00:36:50,130 --> 00:36:54,950
+ولا مش sub-sequence؟ لو أخدت أي sequence X in فأي
+
+385
+00:36:54,950 --> 00:37:02,220
+M تل هو sub-sequence منهاكذلك لو أخدت أي sequence
+
+386
+00:37:02,220 --> 00:37:09,400
+xn فالـ sequence x اللي الحد اللي عم تبعها المؤشر
+
+387
+00:37:09,400 --> 00:37:16,020
+تبعه 2 أس n هذي برضه subsequence زي ما شوفنا و x2n
+
+388
+00:37:16,020 --> 00:37:21,340
+الحدود الزوجية لو أخدت الحدود الزوجية فقط فهذا
+
+389
+00:37:21,340 --> 00:37:25,840
+بعطيني subsequence و لو أخدت الحدود الفردية تعطيني
+
+390
+00:37:25,840 --> 00:37:38,470
+subsequence ثانية و لا كدهالان سؤال
+
+391
+00:37:38,470 --> 00:37:42,190
+اللى بهمنا احنا ما هي علاقة ال sequence بال
+
+392
+00:37:42,190 --> 00:37:46,990
+subsequence من حيث ال convergence و ال divergence؟
+
+393
+00:37:54,410 --> 00:37:56,950
+يعني لو كانت ال sequence convergent لو في اندي
+
+394
+00:37:56,950 --> 00:38:01,250
+سيكوانس xn convergent ل x واخدت أي sub sequence
+
+395
+00:38:01,250 --> 00:38:07,490
+منها هل هذه ال sequence لازم تكون convergent زيها
+
+396
+00:38:07,490 --> 00:38:11,890
+ولا divergent لازم تكون convergent و ال limit
+
+397
+00:38:11,890 --> 00:38:22,770
+تبعتها نفس ال limit و لها نفس ال limit ماشي
+
+398
+00:38:22,770 --> 00:38:23,170
+لحظة
+
+399
+00:38:29,060 --> 00:38:29,860
+كثير من الناس
+
+400
+00:38:39,930 --> 00:38:46,370
+إذا كمان مرة بهمني أنا أنه لو في عندي sequence
+
+401
+00:38:46,370 --> 00:38:51,030
+نظرية هذه بتقول لو في عندي sequence xn of real
+
+402
+00:38:51,030 --> 00:38:56,350
+numbers وكانت ال sequence هذه convergent ل x فأي
+
+403
+00:38:56,350 --> 00:39:00,170
+subsequence منها بتكون convergent و ال limit
+
+404
+00:39:00,170 --> 00:39:05,330
+تبعتها هي نفس ال limit لل sequence xn
+
+405
+00:39:08,450 --> 00:39:15,870
+وهذا يعني ممكن ان احنا نثبته بسهولة عشان اثبت ان
+
+406
+00:39:15,870 --> 00:39:22,590
+ال subsequence XRN converge ل X فبستخدم تعريف Y
+
+407
+00:39:22,590 --> 00:39:27,930
+capital N فلو أخدت أي Y أكبر من السفر أنا عندي ال
+
+408
+00:39:27,930 --> 00:39:32,560
+sequence الأصلية هي convergent ل Xوبالتالي من
+
+409
+00:39:32,560 --> 00:39:36,720
+تعريف ال convergence لما أن XM converged ل X إذا
+
+410
+00:39:36,720 --> 00:39:39,940
+يوجد عدد طبيعي يعتمد على إبسلون بحيث أن المسافة
+
+411
+00:39:39,940 --> 00:39:45,700
+بين XM و X أصغر من إبسلون لكل M أكبر من أو يساوي
+
+412
+00:39:45,700 --> 00:39:52,980
+capital M طيب أنا عندي المؤشرات
+
+413
+00:39:52,980 --> 00:39:58,160
+تبع السب سيكوينس بتشكل increasing
+
+414
+00:39:58,160 --> 00:40:03,420
+sequenceوأول واحد .. أول عدد فيها طبعا هذا عدد
+
+415
+00:40:03,420 --> 00:40:09,800
+طبيعي وبالتالي أكبر من أو ساوي الواحد فبالتالي ال
+
+416
+00:40:09,800 --> 00:40:15,160
+Rn هدولة ال Rn ممكن اثبات باستخدام ال induction أن
+
+417
+00:40:15,160 --> 00:40:22,220
+Rn أكبر من أو ساوي N لكل N وبالتالي
+
+418
+00:40:22,220 --> 00:40:28,970
+لو أخدت N أكبر من أو ساوي capital N فعندي أنا Rnمن
+
+419
+00:40:28,970 --> 00:40:34,590
+هنا أكبر من أو ساوي small n و ال n أنا ماخده أكبر
+
+420
+00:40:34,590 --> 00:40:38,750
+من أو ساوي capital N إذا بيطلع عندي RN هاي بيطلع
+
+421
+00:40:38,750 --> 00:40:43,150
+عندي RN أكبر من أو ساوي capital N وبالتالي من ال
+
+422
+00:40:43,150 --> 00:40:48,810
+implication 13 ال implication 13 بتقوللي لأي عدد
+
+423
+00:40:49,980 --> 00:40:55,300
+أكبر من أو ساوية capital N المسافة بين X للعدد هذا
+
+424
+00:40:55,300 --> 00:41:02,090
+للمؤشر هذا سالب X أصغر من Yإذا أنا هيك أثبتت ..
+
+425
+00:41:02,090 --> 00:41:07,550
+أنا هيك أثبتت أنه ال .. لأي epsilon أكبر من السفر
+
+426
+00:41:07,550 --> 00:41:12,190
+في capital N يعتمد على epsilon بحيث لكل N أكبر منه
+
+427
+00:41:12,190 --> 00:41:16,830
+ساوي capital N المسافة بين XRN و X أصغر من epsilon
+
+428
+00:41:16,830 --> 00:41:21,320
+وبالتالي من تعريف epsilon capital N للنهايةأنا هيك
+
+429
+00:41:21,320 --> 00:41:27,640
+بكون أثبتت أنه limit xr n لما n تقول ل infinity
+
+430
+00:41:27,640 --> 00:41:35,720
+بساوي x وهذا هو المطلوب طبعا
+
+431
+00:41:35,720 --> 00:41:40,780
+في هنا أمثلة باقي شوية أمثلةفهذه الأمثلة يعني
+
+432
+00:41:40,780 --> 00:41:46,000
+حاولوا أنكم تقرؤوها في مثلين كيف نطبق النظرية هذه
+
+433
+00:41:46,000 --> 00:41:50,660
+أو نوجد العلاقة بين كيف نثبت ال convergence لل
+
+434
+00:41:50,660 --> 00:41:55,900
+sequence من خلال إثبات
+
+435
+00:41:55,900 --> 00:42:00,290
+ال convergence لل subsequences أو العكسفحاولوا
+
+436
+00:42:00,290 --> 00:42:04,490
+تقرؤوها و هيك نكون يعني تقريبا .. هنكمل ان شاء
+
+437
+00:42:04,490 --> 00:42:10,290
+الله المرة الجاية و .. هن .. هنوقف استخدام ال
+
+438
+00:42:10,290 --> 00:42:14,290
+powerpoint ابتداء من المحاضرة الجاية و هنشره على
+
+439
+00:42:14,290 --> 00:42:19,850
+اللغة okay انتهت المحاضرة نشوفكم ان شاء الله يوم
+
+440
+00:42:19,850 --> 00:42:20,250
+اتنين
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/QCtISTGMQww.srt

@@ -0,0 +1,1303 @@
+1
+00:00:20,770 --> 00:00:26,750
+السلام عليكم ورحمة الله وبركاته اليوم طبعا
+
+2
+00:00:26,750 --> 00:00:33,950
+فينا لقائن اللقاء الأول هناخد فيه مناقشة زي ما ..
+
+3
+00:00:33,950 --> 00:00:40,390
+زي ما احنا متعودين هنناقش اليوم section ثلاثة
+
+4
+00:00:40,390 --> 00:00:47,170
+أربعة و ثلاثة خمسة فإذا في عندكم أي أسئلة معينة في
+
+5
+00:00:47,170 --> 00:00:53,870
+section ثلاثة أربعة أو ثلاثة خمسة فهذه فرصة عندكم
+
+6
+00:00:53,870 --> 00:01:01,690
+أنكم يعني تسألوا الأسئلة و نحاول نحلها مع بعض فمين
+
+7
+00:01:01,690 --> 00:01:04,470
+في عندك أي سؤال في ال section ثلاثة أربعة الأول
+
+8
+00:01:04,470 --> 00:01:09,010
+السؤال الرابع حصل دار الجامعة التلانية كوشيسي بصرش
+
+9
+00:01:09,010 --> 00:01:13,190
+زيت كادر في ال section ثلاثة أربعة
+
+10
+00:01:16,800 --> 00:01:22,480
+الأول في section ثلاثة أربعة فيها أي أسئلة؟ سؤال
+
+11
+00:01:22,480 --> 00:01:23,020
+ثمانية
+
+12
+00:01:45,600 --> 00:01:57,660
+هذه السؤال ثمانية D section ثلاثة أربعة determine
+
+13
+00:01:57,660 --> 00:02:05,760
+the following limits determine
+
+14
+00:02:05,760 --> 00:02:13,200
+يعني حد دي أو أوج دي ال limit لل sequence اللي
+
+15
+00:02:13,200 --> 00:02:25,120
+الحد العام تبعها واحد زائد اثنين واحد زائد
+
+16
+00:02:25,120 --> 00:02:33,200
+واحد على اثنين N الكل أس ثلاثة N لما
+
+17
+00:02:33,200 --> 00:02:40,640
+N تقول ل Infinity احنا
+
+18
+00:02:40,640 --> 00:02:42,040
+عندنا ال ..
+
+19
+00:02:48,210 --> 00:02:54,670
+We know احنا فيه أن ال limit المعروفة limit واحد
+
+20
+00:02:54,670 --> 00:03:04,010
+زائد X على M الكل أس M as M tends to infinity
+
+21
+00:03:04,010 --> 00:03:10,850
+بساوي E أس X ال limit هذه معروفة موجودة هنا
+
+22
+00:03:14,080 --> 00:03:26,660
+باستخدام ال limit هذه ممكن أن احنا وبالتالي
+
+23
+00:03:26,660 --> 00:03:29,900
+تعالى
+
+24
+00:03:29,900 --> 00:03:36,380
+نشوف واحد زائد واحد على اثنين N الكل أس ثلاثة 
+
+25
+00:03:36,380 --> 00:03:42,060
+N نحاول نكتب هذا على صورة واحد زائد X على M الكل
+
+26
+00:03:42,060 --> 00:03:48,280
+أس M فهذا ممكن كتابته على صورة المقدار هذا على
+
+27
+00:03:48,280 --> 00:03:57,120
+الصورة واحد زائد نصف على M نصف
+
+28
+00:03:57,120 --> 00:04:05,600
+على M الكل أس M الكل
+
+29
+00:04:05,600 --> 00:04:06,160
+تكعيين
+
+30
+00:04:09,900 --> 00:04:19,240
+صحيح وبالتالي therefore limit لما N تنتقل ل Infinity
+
+31
+00:04:19,240 --> 00:04:28,160
+ل ال sequence اللي لحد تبعها هذا بيساوي limit لما
+
+32
+00:04:28,160 --> 00:04:36,570
+N تنتقل ل Infinity ل الكلام هذا للمقدار اللي هنا و هي
+
+33
+00:04:36,570 --> 00:04:43,330
+عندي واحد زي ال X على M أو M الكل أس M ف limit
+
+34
+00:04:43,330 --> 00:04:53,370
+المقدار اللي جوا بيساوي E أس نصف أو E أس X الكل ده
+
+35
+00:04:53,370 --> 00:04:57,150
+كئيب أنا مقدر أدخل ال limit جوا القصير المربعين
+
+36
+00:04:57,150 --> 00:05:02,830
+limit المقدار اللي جوا جوا القصير المربعين نحسب
+
+37
+00:05:02,830 --> 00:05:08,030
+القاعدة أو القانون هذا E أُس X اللي هو نصف وبعدين 2
+
+38
+00:05:08,030 --> 00:05:15,610
+بالكل تكعييب فبيطلع E أُس 3 على 2 إذا هذه هي قيمة ال
+
+39
+00:05:15,610 --> 00:05:19,990
+limit okay تمام في
+
+40
+00:05:19,990 --> 00:05:25,090
+أسئلة ثانية في ال section هذا ثلاثة أربعة
+
+41
+00:05:32,810 --> 00:05:48,550
+PIS love section ثلاثة أربعة طيب
+
+42
+00:05:48,550 --> 00:05:54,230
+section ثلاثة خمسة أنا في السؤال الرابع الشخصي
+
+43
+00:05:54,230 --> 00:05:54,650
+الثاني
+
+44
+00:06:02,810 --> 00:06:07,190
+سيكشن ثلاثة خمسة الرابع ولا الثالث قصدك؟ الرابع
+
+45
+00:06:07,190 --> 00:06:17,710
+سؤال
+
+46
+00:06:17,710 --> 00:06:23,810
+رقم أربعة سيكشن ثلاثة خمسة طيب
+
+47
+00:06:23,810 --> 00:06:27,890
+سؤال
+
+48
+00:06:27,890 --> 00:06:33,710
+أربعة سيكشن ثلاثة خمسة السؤال هذا بتقول show
+
+49
+00:06:33,710 --> 00:06:37,750
+directly from the definition
+
+50
+00:07:01,910 --> 00:07:17,610
+إذا XN و YN هم متتابعات كوشي هم متتابعات
+
+51
+00:07:17,610 --> 00:07:21,070
+كوشي هم
+
+52
+00:07:21,070 --> 00:07:27,550
+متتابعات كوشي هم متتابعات كوشي
+
+53
+00:07:30,650 --> 00:07:34,270
+فبرهان هذه زي البرهان اللي أخدناها قبل هيك في
+
+54
+00:07:34,270 --> 00:07:41,290
+قوانين نهايات proof
+
+55
+00:07:41,290 --> 00:07:50,350
+similar to proof of
+
+56
+00:07:50,350 --> 00:07:53,470
+the fact أن
+
+57
+00:08:18,370 --> 00:08:23,890
+بساوي limit xn ضرب limit yn
+
+58
+00:08:27,620 --> 00:08:31,000
+و أعتقد أن هذا برهنها بالتفصيل using epsilon over two
+
+59
+00:08:31,000 --> 00:08:40,220
+argument تذكره؟ أه فحاولي تكتبي برهان مشابه و إذا
+
+60
+00:08:40,220 --> 00:08:50,280
+كان ماقدرتيش ممكن بعديها أعطيكي برهان تفصيلي okay؟
+
+61
+00:08:50,280 --> 00:08:52,180
+في أي أسئلة ثانية؟
+
+62
+00:08:58,920 --> 00:09:04,620
+section تلقيتها خمسة
+
+63
+00:09:04,620 --> 00:09:15,820
+سؤال
+
+64
+00:09:15,820 --> 00:09:23,200
+عشرة ناس
+
+65
+00:09:23,200 --> 00:09:24,000
+سؤال عشر
+
+66
+00:09:28,420 --> 00:09:38,620
+section ثلاثة خمسة if
+
+67
+00:09:38,620 --> 00:09:46,600
+x one less than x two are
+
+68
+00:09:46,600 --> 00:09:51,660
+arbitrary
+
+69
+00:09:55,690 --> 00:10:09,210
+real numbers and
+
+70
+00:10:09,210 --> 00:10:14,530
+xn
+
+71
+00:10:14,530 --> 00:10:19,470
+بيساوي نصف
+
+72
+00:10:21,890 --> 00:10:37,690
+xn-2 plus xn-1 for n أكبر من 2 show in the
+
+73
+00:10:37,690 --> 00:10:42,470
+sequence xn is convergent
+
+74
+00:10:50,120 --> 00:10:55,760
+what is its limit what is
+
+75
+00:10:55,760 --> 00:11:03,520
+its limit ده هي النهاية تبعتنا بدنا نوجد نهايتها
+
+76
+00:11:03,520 --> 00:11:15,440
+في
+
+77
+00:11:15,440 --> 00:11:25,450
+حد فيكم فكر فيحلل السؤال هذا أي حد يعني حاول
+
+78
+00:11:25,450 --> 00:11:37,510
+ال burn in clever في أي أفكار أي شيء مافيش عندكم
+
+79
+00:11:37,510 --> 00:11:45,650
+أي فكرة عن الحل نحلوا
+
+80
+00:11:45,650 --> 00:11:46,890
+مع بعض نشوف
+
+81
+00:11:49,810 --> 00:11:58,450
+أنا عندي من الفرض x1 أصغر من x2 أعداد حقيقية فهعرف
+
+82
+00:11:58,450 --> 00:12:07,890
+let L بيساوي x2 ناقص x1 هذا بيطلع عدد موجب لأن
+
+83
+00:12:07,890 --> 00:12:16,770
+x2 أكبر من x1 الآن باستخدام ال induction use
+
+84
+00:12:16,770 --> 00:12:17,570
+induction
+
+85
+00:12:21,840 --> 00:12:29,220
+on n بيمكنكم
+
+86
+00:12:29,220 --> 00:12:35,820
+تثبته أن المعادلة
+
+87
+00:12:35,820 --> 00:12:44,080
+التالية absolute xn زائد واحد ناقص xn بيساوي L
+
+88
+00:12:44,080 --> 00:12:49,960
+over two to n ناقص واحد and this is true for
+
+89
+00:12:49,960 --> 00:12:50,820
+every L
+
+90
+00:12:59,660 --> 00:13:08,000
+إذا كان n بيساوي لكل
+
+91
+00:13:08,000 --> 00:13:14,300
+n أكبر من أو يساوي اثنين عشان هنا يكون هذا المعنى
+
+92
+00:13:14,300 --> 00:13:21,290
+فابدى ب n بيساوي اثنين و أثبت أن المعادلة هذه صحيحة
+
+93
+00:13:21,290 --> 00:13:24,910
+بصحيحتها عند n بيساوي k حيث k أكبر من اثنين أعداد
+
+94
+00:13:24,910 --> 00:13:29,410
+طبيعية و أثبت صحيحتها عند n بيساوي k زائد واحد طبعا في
+
+95
+00:13:29,410 --> 00:13:35,070
+الإثباتات بدك تستخدم التعريف تبع xn بدلالة الحدود
+
+96
+00:13:35,070 --> 00:13:35,670
+اللي قبله
+
+97
+00:13:41,020 --> 00:13:45,480
+و التعريف اللي أنا أخذته أن ال هو عبارة عن الفرق
+
+98
+00:13:45,480 --> 00:13:51,340
+بين X2 و X1 إذا هذا سهل ممكن تثبته by induction
+
+99
+00:13:51,340 --> 00:14:01,740
+الآن بعد ما تثبت هذا by induction now use this to
+
+100
+00:14:01,740 --> 00:14:02,540
+show that
+
+101
+00:14:08,470 --> 00:14:20,450
+بنستخدم المعادلة هذه to show that if M أكبر من N
+
+102
+00:14:20,450 --> 00:14:33,250
+أعداد طبيعية then absolute XM ناقص XM ال
+
+103
+00:14:33,250 --> 00:14:40,070
+absolute value لفرق XM و XM طبعا هذا هنخليه أصغر من
+
+104
+00:14:40,070 --> 00:14:48,610
+أو يساوي absolute xn ناقص xn زائد واحد زي absolute
+
+105
+00:14:48,610 --> 00:14:57,510
+xn زائد واحد ناقص xn زائد اثنين و هكذا
+
+106
+00:15:02,520 --> 00:15:09,560
+absolute xm ناقص واحد ناقص xm
+
+107
+00:15:09,560 --> 00:15:13,840
+okay
+
+108
+00:15:13,840 --> 00:15:24,240
+تمام أنا إيش عملت طرحت xn زائد واحد ورجعتها طرحت
+
+109
+00:15:24,240 --> 00:15:29,290
+xn زائد اثنين ورجعتها و بعدين أخذت الأزواج هذه مع
+
+110
+00:15:29,290 --> 00:15:34,530
+بعض و استخدمت ل triangle inequality ال absolute
+
+111
+00:15:34,530 --> 00:15:39,390
+value ل مجموعة كبيرة أصغر من مجموع absolute
+
+112
+00:15:39,390 --> 00:15:47,250
+values فالآن
+
+113
+00:15:47,250 --> 00:15:54,530
+باستخدام لو سمينا المعادلة هاد ال star فباستخدام
+
+114
+00:15:54,530 --> 00:16:04,180
+ال star ال absolute value هذه بيساوي ال over two to
+
+115
+00:16:04,180 --> 00:16:12,840
+n ناقص واحد okay هذه نفسها دي و ال absolute value
+
+116
+00:16:12,840 --> 00:16:24,240
+اللي بعدها بيساوي ال على two to n و هكذا و آخر حد
+
+117
+00:16:24,240 --> 00:16:33,390
+هيكون ال over two to m ناقص اثنين لأن
+
+118
+00:16:33,390 --> 00:16:39,170
+استخدام السارق مظبوط الآن ممكن ناخد عامل مشترك
+
+119
+00:16:39,170 --> 00:16:52,230
+هاخد
+
+120
+00:16:52,230 --> 00:16:54,750
+عامل مشترك L over
+
+121
+00:17:16,500 --> 00:17:17,900
+تمام؟
+
+122
+00:17:20,140 --> 00:17:25,760
+الآن هذا أصغر من واحد على اثنين أس n ناقص واحد
+
+123
+00:17:25,760 --> 00:17:34,980
+و المجموع هذا أصغر من اثنين
+
+124
+00:17:34,980 --> 00:17:41,660
+لأن هذا جزء من الهارمونيك جيومتريكس سيريز اللي هي
+
+125
+00:17:41,660 --> 00:17:46,820
+واحد على اثنين أس n من n equal zero to infinity
+
+126
+00:17:46,820 --> 00:17:51,550
+هذه مجموعتها اثنين فهذا جزء منها وبالتالي المجموعة
+
+127
+00:17:51,550 --> 00:17:55,650
+هذا أصغر من المجموعة ال geometric series هذه
+
+128
+00:17:55,650 --> 00:18:01,490
+المجموعة بيساوي اثنين okay فإذا هذا المجموعة أصغر
+
+129
+00:18:01,490 --> 00:18:06,030
+من اثنين إذا هذا أصغر من واحد على اثنين أس n سالب
+
+130
+00:18:06,030 --> 00:18:14,990
+واحد في اثنين اللي هو عبارة عن واحد على اثنين أس
+
+131
+00:18:14,990 --> 00:18:17,410
+n سالب اثنين
+
+132
+00:18:28,770 --> 00:18:35,790
+الآن هذا بيروح للصفر as n tends to infinity هو
+
+133
+00:18:35,790 --> 00:18:40,770
+بالتالي ده بتطلع عندي أنا ال limit ل absolute xn
+
+134
+00:18:40,770 --> 00:18:49,670
+ناقص xm as m as n tends to infinity و طبعا m
+
+135
+00:18:49,670 --> 00:18:55,410
+تقول infinity تساوي صفر therefore ال sequence xn
+
+136
+00:18:55,410 --> 00:18:57,270
+is Cauchy
+
+137
+00:19:02,500 --> 00:19:09,620
+و بالتالي therefore by Cauchy criterion by Cauchy
+
+138
+00:19:09,620 --> 00:19:17,660
+criterion xn convergence صح؟ say
+
+139
+00:19:26,770 --> 00:19:35,110
+دعينا نسمي ال limit ل xn بيساوي x حيث x is real
+
+140
+00:19:35,110 --> 00:19:41,110
+number الآن مطلوب أن احنا نجد قيمة ال x قيمة ال 
+
+141
+00:19:41,110 --> 00:19:48,470
+limit للـ sequence اللي هي سمنها x فبنرجع للمعادلة
+
+142
+00:19:48,470 --> 00:19:49,730
+هناك
+
+143
+00:20:07,880 --> 00:20:13,020
+to find x
+
+144
+00:20:13,020 --> 00:20:18,980
+take limits
+
+145
+00:20:18,980 --> 00:20:23,960
+of
+
+146
+00:20:23,960 --> 00:20:26,940
+both sides
+
+147
+00:20:32,640 --> 00:20:49,540
+في المعادلة هذه اللي هنا and then
+
+148
+00:20:49,540 --> 00:20:56,480
+take limit of both sides in this equation to get
+
+149
+00:20:56,480 --> 00:21:09,330
+أن limit x in بساوي نص في limit x in negative two
+
+150
+00:21:09,330 --> 00:21:21,850
+زاد limit x in negative one as intensity هذا
+
+151
+00:21:21,850 --> 00:21:28,510
+بيقدّي أن limit x in عبارة عن x بساوي نص هذه
+
+152
+00:21:28,510 --> 00:21:33,460
+subsequence من الـ xn، وبالتالي، الـ limit تبعتها
+
+153
+00:21:33,460 --> 00:21:37,880
+برضه x وهذا الـ subsequence من الـ xn والـ limit
+
+154
+00:21:37,880 --> 00:21:45,400
+تبعتها x لأن كانت الـ sequence convergent لـ x فأي
+
+155
+00:21:45,400 --> 00:21:50,080
+subsequence بتكون convergent لنفس الـ x وهذا بيطلع
+
+156
+00:21:50,080 --> 00:21:51,100
+بساوية
+
+157
+00:22:12,850 --> 00:22:18,570
+فاحنا هيك ما طلعش عندنا إشي جديد طالع X بساوي X
+
+158
+00:22:18,570 --> 00:22:25,950
+فاحنا هيك ما ظبطناش ال limit ما ظبطناش 
+
+159
+00:22:25,950 --> 00:22:26,570
+ال limit
+
+160
+00:22:50,820 --> 00:22:57,180
+فاحنا هيك ما جبناش ال limit وهدي مشكلة أو يعني ال
+
+161
+00:22:57,180 --> 00:22:57,600
+...
+
+162
+00:23:14,130 --> 00:23:21,570
+طب خلينا نرجع للمعادلة اللي أثبتناها أثبتناها
+
+163
+00:23:21,570 --> 00:23:22,410
+by induction
+
+164
+00:24:17,920 --> 00:24:22,600
+طيب خلّي موضوع ال limit هذا لمرة ثانية
+
+165
+00:24:31,270 --> 00:24:33,370
+سي حد عنده أي فكرة؟
+
+166
+00:24:55,010 --> 00:25:03,350
+خلّي ال limit نجيبها المرة الجاية يبدو
+
+167
+00:25:03,350 --> 00:25:09,630
+أن الطريقة تبعتنا ما ... ما زبطت فنحاول نفكر فيها
+
+168
+00:25:09,630 --> 00:25:14,810
+مرة ثانية ونجيبها، مين عنده سؤال ثاني؟ وأنتم
+
+169
+00:25:14,810 --> 00:25:17,830
+كمان طبعا فكروا في إيجاب قيمة ال limit
+
+170
+00:25:25,090 --> 00:25:33,030
+في أي أسئلة ثانية في ال section تلاتة خمسة سؤال
+
+171
+00:25:33,030 --> 00:25:46,130
+ثمانية سؤال ثمانية سؤال
+
+172
+00:25:46,130 --> 00:25:54,030
+ثمانية section تلاتة خمسة show directly
+
+173
+00:25:57,190 --> 00:26:05,590
+مش هو directly that
+
+174
+00:26:05,590 --> 00:26:12,550
+a bounded a
+
+175
+00:26:12,550 --> 00:26:24,370
+bounded a bounded monotone a bounded monotone
+
+176
+00:26:27,280 --> 00:26:36,500
+ماراتون ان كريزم ماراتون
+
+177
+00:26:36,500 --> 00:26:42,560
+ان كريزم الاختصار هو
+
+178
+00:26:42,560 --> 00:26:43,300
+كوشي
+
+179
+00:26:56,170 --> 00:27:01,310
+السيكوينس دي bounded و monotone increasing فاحنا
+
+180
+00:27:01,310 --> 00:27:10,100
+خدنا نظرية بتطلع لازم تكون by monotone convergence
+
+181
+00:27:10,100 --> 00:27:13,100
+theorem it is convergent عسب ال monotone
+
+182
+00:27:13,100 --> 00:27:17,380
+convergence و بالتالي ممكن نقول by Cauchy
+
+183
+00:27:17,380 --> 00:27:20,780
+criterion بما أنها convergent اذا Cauchy هذا برهان
+
+184
+00:27:20,780 --> 00:27:26,180
+وصحيح بس الكتاب مش عايز هذا البرهان عايز برهان
+
+185
+00:27:26,180 --> 00:27:30,500
+مباشر باستخدام ال definition تبع ال Cauchy
+
+186
+00:27:30,500 --> 00:27:38,260
+sequence Okay فالبرهان بسيط وسهل يعني ما هوش صعب
+
+187
+00:27:38,260 --> 00:27:44,060
+proof since
+
+188
+00:27:44,060 --> 00:27:49,820
+طبعا
+
+189
+00:27:49,820 --> 00:27:57,400
+ال sequence خليني أسميها x in since
+
+190
+00:27:57,400 --> 00:28:02,980
+ال sequence تبعتنا x in is bounded بما أن ال
+
+191
+00:28:02,980 --> 00:28:08,980
+sequence is bounded then
+
+192
+00:28:08,980 --> 00:28:25,680
+لو أخدت U بساوي Supremum ل XN-N ينتمي لإن Supremum
+
+193
+00:28:25,680 --> 00:28:28,060
+هذا exists in R
+
+194
+00:28:32,840 --> 00:28:39,620
+by supremum property أو by completeness property
+
+195
+00:28:39,620 --> 00:28:48,520
+أي bounded set has supremum فخلينا نفرض أن ال U هو
+
+196
+00:28:48,520 --> 00:28:54,300
+supremum فهذا بيطلع عدد حقيقي exist يعني عدد حقيقي
+
+197
+00:28:54,300 --> 00:29:01,120
+الآن من ال definition by
+
+198
+00:29:01,120 --> 00:29:08,250
+definition of supremum
+
+199
+00:29:08,250 --> 00:29:16,030
+هو بالأحرى مش من التعريف من ال lemma اللي بتيجي بعد التعريف
+
+200
+00:29:16,030 --> 00:29:19,630
+وال lemma
+
+201
+00:29:19,630 --> 00:29:23,110
+من
+
+202
+00:29:23,110 --> 00:29:29,990
+هنا by Aprilius
+
+203
+00:29:40,440 --> 00:29:44,220
+النظرية هذه خلينا نرجعها أو نجمها أو نجمها أو
+
+204
+00:29:44,220 --> 00:29:48,460
+نجمها أو نجمها U of a set
+
+205
+00:30:02,180 --> 00:30:07,180
+of a set S
+
+206
+00:30:07,180 --> 00:30:11,960
+is
+
+207
+00:30:11,960 --> 00:30:16,440
+the supremum is
+
+208
+00:30:16,440 --> 00:30:17,420
+the supremum
+
+209
+00:30:22,570 --> 00:30:32,010
+S if and only if لكل أبسلون أكبر من الصفر يوجد عنصر
+
+210
+00:30:32,010 --> 00:30:39,950
+S يعتمد على أبسلون في S بحيث أنه لو ضفنا ... لو
+
+211
+00:30:39,950 --> 00:30:45,250
+طرحنا من ال supremum أبسلون فبيبطل أكبر دعوة بيصير
+
+212
+00:30:45,250 --> 00:30:55,520
+أصغر من S باستخدام هذه النظرية السابقة لو أخدت
+
+213
+00:30:55,520 --> 00:31:01,500
+given
+
+214
+00:31:01,500 --> 00:31:04,880
+epsilon
+
+215
+00:31:04,880 --> 00:31:09,620
+أكبر من الصفر لو أخدت epsilon عشوائية أكبر من 
+
+216
+00:31:09,620 --> 00:31:17,320
+الصفر يوجد capital N في N
+
+217
+00:31:22,170 --> 00:31:35,390
+عدد طبيعي بحيث أن ال ... ال ... ال
+
+218
+00:31:35,390 --> 00:31:43,690
+U نيجاتيف XN عرفوا ال U نيجاتيف إبسلون بيطلع أصغر
+
+219
+00:31:43,690 --> 00:31:50,270
+من S Y S Y حقول ده X اللي ال index سبقه capital N
+
+220
+00:31:51,310 --> 00:31:54,710
+إذا هذا العنصر اللي في الـ sequence أو في ال set
+
+221
+00:31:54,710 --> 00:32:01,950
+هذه اللي هو S Y يعتمد على إبسلون ما ال N هذه تعتمد
+
+222
+00:32:01,950 --> 00:32:09,310
+على إبسلون وهي U إترح منه إبسل��ن بيطلع أصغر من
+
+223
+00:32:09,310 --> 00:32:15,150
+عنصر S Y اللي هو موجود هنا إذا هذا حسب النظرية
+
+224
+00:32:15,150 --> 00:32:20,050
+تمام؟ الآن since
+
+225
+00:32:22,680 --> 00:32:29,060
+لاحظوا أنتم أن ال XIN هذا عنصر في الست وبالتالي و
+
+226
+00:32:29,060 --> 00:32:32,660
+ال U upper bound ال U اللي هو ال supreme دايما
+
+227
+00:32:32,660 --> 00:32:37,180
+بيكون upper bound فهذا بيطلع أصغر من أو يساوي ال U
+
+228
+00:32:37,180 --> 00:32:43,420
+since
+
+229
+00:32:43,420 --> 00:32:50,740
+ال sequence XIN is increasing متزايدة
+
+230
+00:32:55,230 --> 00:32:59,870
+we get نحصل
+
+231
+00:32:59,870 --> 00:33:08,330
+على التالي فنحصل
+
+232
+00:33:08,330 --> 00:33:17,590
+على التالي لو كان M أكبر من أو يساوي N أكبر من أو
+
+233
+00:33:17,590 --> 00:33:26,720
+يساوي capital N فهذا هيقدّي إلى أن u negative
+
+234
+00:33:26,720 --> 00:33:35,200
+epsilon أصغر من x capital N من هنا و x capital N
+
+235
+00:33:35,200 --> 00:33:42,260
+أصغر من أو يساوي x small n لأن ال sequence is
+
+236
+00:33:42,260 --> 00:33:46,730
+increasing و small n أكبر من أو يساوي capital N وهذا
+
+237
+00:33:46,730 --> 00:33:54,070
+أصغر من أو يساوي xm لأن ال sequence increasing و
+
+238
+00:33:54,070 --> 00:33:59,690
+xm أصغر من أو يساوي u لأن ال u upper bound لكل
+
+239
+00:33:59,690 --> 00:34:06,670
+عناصر ال sequence تمام؟ و ال u
+
+240
+00:34:15,980 --> 00:34:22,260
+فهذا هيقدّي ... هذا
+
+241
+00:34:22,260 --> 00:34:30,320
+هيقدّي أن xn minus
+
+242
+00:34:30,320 --> 00:34:37,000
+epsilon أصغر من xn لأن الepsilon عدد موجب فلما
+
+243
+00:34:37,000 --> 00:34:44,570
+يطلع عدد موجب العدد xn بيصغر وعندي xn أصغر من أو
+
+244
+00:34:44,570 --> 00:34:50,490
+يساوي xm لأن ال m أكبر من أو يساوي n و ال sequence
+
+245
+00:34:50,490 --> 00:34:57,110
+تبعتي increasing و xm أصغر من أو يساوي ال u
+
+246
+00:35:11,700 --> 00:35:21,020
+من هنا، من المتباينة هذه واضح أن أنا عندي ال
+
+247
+00:35:21,020 --> 00:35:31,020
+U أصغر من XN زائد إبسلون، صح؟ هل عندي U negative
+
+248
+00:35:31,020 --> 00:35:39,160
+إبسلون أصغر من XN فاضيف إبسلون فبطلع U أصغر من XN
+
+249
+00:35:40,390 --> 00:35:49,470
+زائد ابسلون إذا أنا بطلع عندي xn
+
+250
+00:35:49,470 --> 00:36:02,450
+أو ال ... ال xm تطلع أكبر من xn minus ابسلون أصغر
+
+251
+00:36:02,450 --> 00:36:04,730
+من xn زائد ابسلون
+
+252
+00:36:08,370 --> 00:36:19,010
+وهذا معناه أن absolute xn أو xn minus xm أصغر من
+
+253
+00:36:19,010 --> 00:36:28,730
+epsilon أصبت؟ صح؟ وهذا صحيح لكل M أكبر من أو يساوي
+
+254
+00:36:28,730 --> 00:36:34,030
+M أكبر من أو يساوي capital M تمام؟ إذا بنقول هنا
+
+255
+00:36:34,030 --> 00:36:46,340
+since epsilon أكبر من الصفر was arbitrary it
+
+256
+00:36:46,340 --> 00:36:50,640
+follows بينتج
+
+257
+00:36:50,640 --> 00:36:58,820
+من تعريف الكوشي sequence that sequence xm is
+
+258
+00:36:58,820 --> 00:36:59,620
+cauchy
+
+259
+00:37:03,200 --> 00:37:11,000
+وهنا هيك طبقنا التعريف وهذا برهان مباشر okay تمام
+
+260
+00:37:11,000 --> 00:37:22,940
+واضح في
+
+261
+00:37:22,940 --> 00:37:26,520
+أي سؤال سؤال ثانية واضح البرهان في أي سفصار
+
+262
+00:37:32,980 --> 00:37:38,320
+في أي سؤال ثاني section تلاتة خمسة أو تلاتة ستة
+
+263
+00:37:38,320 --> 00:37:41,600
+لبعده
+
+264
+00:37:41,600 --> 00:37:50,060
+الناس
+
+265
+00:37:50,060 --> 00:37:50,920
+اللي بيدرسوا
+
+266
+00:38:03,440 --> 00:38:10,060
+التلاتة ستة؟ سؤال أربعة في رياضينا.
+
+267
+00:38:23,080 --> 00:38:24,980
+هذا ما حللناه إزاي؟
+
+268
+00:38:44,990 --> 00:38:54,970
+السكتشن تلاتة ستة السؤال الرابع ترى بي establish
+
+269
+00:38:54,970 --> 00:38:58,370
+establish
+
+270
+00:38:58,370 --> 00:39:01,490
+the
+
+271
+00:39:01,490 --> 00:39:05,790
+proper divergence
+
+272
+00:39:05,790 --> 00:39:10,270
+of
+
+273
+00:39:10,270 --> 00:39:12,950
+sequence
+
+274
+00:39:16,730 --> 00:39:25,730
+يجيب الان زي الواحد أن الان اكوار الواحد تنتهي ان
+
+275
+00:39:25,730 --> 00:39:33,910
+أنا أثبت أن أنا أثبت
+
+276
+00:39:33,910 --> 00:39:39,250
+أن أنا أثبت أن أنا أثبت
+
+277
+00:39:39,250 --> 00:39:45,220
+أن أنا أثبت أن أنا أثبت لا ال sequence اللي ال inf
+
+278
+00:39:45,220 --> 00:39:49,820
+term تبعها والحد العام تبعها جدر انزعي الواحد لما
+
+279
+00:39:49,820 --> 00:39:58,300
+M تقوى ل infinity بساوي infinity استاذ ماعرفش طلقة
+
+280
+00:39:58,300 --> 00:40:07,900
+D ماعرفش بيه بيه عرفت حلوة دي طلقة دي 
+
+281
+00:40:07,900 --> 00:40:13,460
+استاذ بدك دي طريقة ديال الفرقة دي
+
+282
+00:40:40,070 --> 00:40:46,330
+يعني هيطلع عندي هنا limit in على جذر in زي الواحد
+
+283
+00:40:46,330 --> 00:40:53,390
+لما in تقول infinity بيساوي infinity ممكن تستخدم
+
+284
+00:40:53,390 --> 00:41:03,190
+limit comparison test أو comparison test اه فال
+
+285
+00:41:07,800 --> 00:41:12,180
+فهل فكرتي أنك تستخدمي comparison test أو limit
+
+286
+00:41:12,180 --> 00:41:16,260
+comparison test؟ فكرت عن نظري يعني برنامج ده يفير
+
+287
+00:41:16,260 --> 00:41:20,140
+لأ و أنت عندك التعريف و عندك في limit comparison
+
+288
+00:41:20,140 --> 00:41:29,620
+test و comparison test لأ
+
+289
+00:41:29,620 --> 00:41:36,110
+هاي موجود في تلاتة ستة في ..مافيش limit comparison
+
+290
+00:41:36,110 --> 00:41:49,030
+test؟ فيك طيب هاي أنا شايف في ..
+
+291
+00:41:49,030 --> 00:41:55,870
+أنت
+
+292
+00:41:55,870 --> 00:42:01,970
+عندك .. ياعمل المقارنة أنت
+
+293
+00:42:01,970 --> 00:42:03,010
+عندك ..
+
+294
+00:42:10,490 --> 00:42:19,450
+يعني قارن ال .. جذر ال N بدك تقارن هذه مع
+
+295
+00:42:19,450 --> 00:42:26,430
+N على جذر ال N لما N تكون كبيرة ابنهم الواحد فهذه
+
+296
+00:42:26,430 --> 00:42:30,090
+بيصير زيها زي ال sequence اللي لحد الآن تبعها N
+
+297
+00:42:30,090 --> 00:42:34,390
+على جذر ال N وهذه بيساوي جذر ال N
+
+298
+00:42:39,240 --> 00:42:43,420
+فبتعمل limit comparison use limit comparison test
+
+299
+00:42:43,420 --> 00:42:51,280
+هاي عندي an ولا إيش مسميهم الكتاب نعم
+
+300
+00:42:51,280 --> 00:42:59,780
+يعني xn وهي yn وتعالى نحسب ال limit
+
+301
+00:43:08,200 --> 00:43:13,480
+تعالى نحسب ال limit ل
+
+302
+00:43:13,480 --> 00:43:21,100
+xn على yn as n tends to infinity بيساوي ال limit ل
+
+303
+00:43:21,100 --> 00:43:31,820
+n على الجذر n زي الواحد تقسيم
+
+304
+00:43:37,120 --> 00:43:43,740
+في واحد على جذر ال N لما N تقول ال infinity بيساوي
+
+305
+00:43:43,740 --> 00:43:47,840
+limit لجذر
+
+306
+00:43:47,840 --> 00:43:55,000
+التربيع A ل N على N زي واحد مظبوط؟
+
+307
+00:43:55,000 --> 00:44:02,380
+بندخل ال limit جوه فبقلع واحد أكبر من صفر الان
+
+308
+00:44:02,380 --> 00:44:09,580
+since احنا اثبتنا أن ال series sigma أو ال sequence
+
+309
+00:44:09,580 --> 00:44:16,700
+since ال sequence أن الحد العام تبعها جذر ال n أو
+
+310
+00:44:16,700 --> 00:44:21,720
+since limit yn
+
+311
+00:44:21,720 --> 00:44:27,480
+as n tends to infinity بيساوي limit جذر ال n as
+
+312
+00:44:27,480 --> 00:44:31,500
+n tends to infinity بيساوي infinity we get
+
+313
+00:44:34,620 --> 00:44:41,340
+from limit comparison test from limit comparison
+
+314
+00:44:41,340 --> 00:44:47,100
+test from limit
+
+315
+00:44:47,100 --> 00:44:48,480
+comparison test from limit comparison test from
+
+316
+00:44:48,480 --> 00:44:48,500
+from limit comparison test from limit comparison
+
+317
+00:44:48,500 --> 00:44:48,600
+from limit comparison test from limit comparison
+
+318
+00:44:48,600 --> 00:44:48,640
+comparison test from limit comparison test from
+
+319
+00:44:48,640 --> 00:44:50,520
+comparison test from limit comparison test from
+
+320
+00:44:50,520 --> 00:44:57,100
+limit comparison test from limit
+
+321
+00:44:57,100 --> 00:45:00,980
+comparison test from limit comparison test
+
+322
+00:45:13,250 --> 00:45:18,150
+تمام؟ okay إذا ممكن نستخدم ال limit comparison
+
+323
+00:45:18,150 --> 00:45:23,290
+test أو ال direct comparison test إذا نفع و نحل باقي
+
+324
+00:45:23,290 --> 00:45:28,010
+التمارين في .. أو الأجزاء الأخرى في exercise أربعة
+
+325
+00:45:28,010 --> 00:45:33,430
+رقم .. section تلاتة ستة okay بنوقف هنا و بنكمل
+
+326
+00:45:33,430 --> 00:45:38,190
+المرة الجاية نكتفي بهذا القدر

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/QCtISTGMQww_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1304 @@
+1
+00:00:20,770 --> 00:00:26,750
+السلام عليكم بسم الله الرحمن الرحيم اليوم طبعا
+
+2
+00:00:26,750 --> 00:00:33,950
+فينا لقائن اللقاء الأول هناخد فيه مناقشة زي ما ..
+
+3
+00:00:33,950 --> 00:00:40,390
+زي ما احنا متعودين هنناقش اليوم section تلاتة
+
+4
+00:00:40,390 --> 00:00:47,170
+أربعة و تلاتة خمسة فإذا في عندكم أي أسئلة معينة في
+
+5
+00:00:47,170 --> 00:00:53,870
+section تلاتة أربعةأو تلاتة خمسة فهذه فرصة عندكم
+
+6
+00:00:53,870 --> 00:01:01,690
+أنكم يعني تسألوا الأسئلة و نحاول نحلها مع بعض فمين
+
+7
+00:01:01,690 --> 00:01:04,470
+في عندك أي سؤال في ال section تلاتة أربعة الأول
+
+8
+00:01:04,470 --> 00:01:09,010
+السؤال الرابع حصل دار الجامعة التلانية كوشيسي بصرش
+
+9
+00:01:09,010 --> 00:01:13,190
+زيت كادر في ال section تلاتة أربعة
+
+10
+00:01:16,800 --> 00:01:22,480
+الأول في section تلاتة اربعة فيها أي أسئلة؟ سؤال
+
+11
+00:01:22,480 --> 00:01:23,020
+تمانية
+
+12
+00:01:45,600 --> 00:01:57,660
+هذه السؤال تمانية D section تلاتة أربعة determine
+
+13
+00:01:57,660 --> 00:02:05,760
+the following limits determine
+
+14
+00:02:05,760 --> 00:02:13,200
+يعني حد دي أو أوج دي ال limit لل sequence اللي
+
+15
+00:02:13,200 --> 00:02:25,120
+الحد العام تبعهاواحد زائد اتنين واحد زائد
+
+16
+00:02:25,120 --> 00:02:33,200
+واحد على اتنين N الكل أس تلاتة N لما
+
+17
+00:02:33,200 --> 00:02:40,640
+N تقول ل Infinity احنا
+
+18
+00:02:40,640 --> 00:02:42,040
+عندنا ال ..
+
+19
+00:02:48,210 --> 00:02:54,670
+We know احنا فيه ان ال limit المعروفة limit واحد
+
+20
+00:02:54,670 --> 00:03:04,010
+زايد X على M الكل أس M as M tends to infinity
+
+21
+00:03:04,010 --> 00:03:10,850
+بساوي E أس X ال limit هذه معروفة موجودة هنا
+
+22
+00:03:14,080 --> 00:03:26,660
+باستخدام ال limit هذه ممكن ان احنا وبالتالي
+
+23
+00:03:26,660 --> 00:03:29,900
+تعالى
+
+24
+00:03:29,900 --> 00:03:36,380
+نشوف واحد زائد واحد على اتنين in الكل اصلا تلاتة
+
+25
+00:03:36,380 --> 00:03:42,060
+inنحاول نكتب هذا على صورة واحد زائد X على M الكل
+
+26
+00:03:42,060 --> 00:03:48,280
+قص M فهذا ممكن كتابته على صورة المقدار هذا على
+
+27
+00:03:48,280 --> 00:03:57,120
+الصورة واحد زائد نص على M نص
+
+28
+00:03:57,120 --> 00:04:05,600
+على M الكل قص M الكل
+
+29
+00:04:05,600 --> 00:04:06,160
+تكيين
+
+30
+00:04:09,900 --> 00:04:19,240
+صحيح وبالتالي therefore limit لما انتقل ل infinity
+
+31
+00:04:19,240 --> 00:04:28,160
+ل ال sequence اللي لحد تبعها هذا بيساوي limit لما
+
+32
+00:04:28,160 --> 00:04:36,570
+انتقل ل infinity ل الكلام هذا للمفضار اللي هناو هي
+
+33
+00:04:36,570 --> 00:04:43,330
+عندي واحد زي ال X على M او M الكل اص M ف limit
+
+34
+00:04:43,330 --> 00:04:53,370
+المقدار اللي جوا بساوي E اص نص او E اص X الكل ده
+
+35
+00:04:53,370 --> 00:04:57,150
+كئيب انا مقدر ادخل ال limit جوا القصير المربعين
+
+36
+00:04:57,150 --> 00:05:02,830
+limit المقدار اللي جوا جوا القصير المربعينحسب
+
+37
+00:05:02,830 --> 00:05:08,030
+القاعدة او القانون هذا E أُس X اللي هو نص وبعدين 2
+
+38
+00:05:08,030 --> 00:05:15,610
+بالكلتك A فبطلع E أُس 3 على 2 إذا هذه هي قيمة ال
+
+39
+00:05:15,610 --> 00:05:19,990
+limit okay تمام في
+
+40
+00:05:19,990 --> 00:05:25,090
+أسلة تانية في ال section هذا تلاتة أربعة
+
+41
+00:05:32,810 --> 00:05:48,550
+PIS love section تلاتة أربعة طيب
+
+42
+00:05:48,550 --> 00:05:54,230
+section تلاتة خمسة أنا في السؤال الرابع الشخصي
+
+43
+00:05:54,230 --> 00:05:54,650
+التاني
+
+44
+00:06:02,810 --> 00:06:07,190
+سيكشن تلاتة خمسة الرابع ولا التالت قصدك؟ الرابع
+
+45
+00:06:07,190 --> 00:06:17,710
+سؤال
+
+46
+00:06:17,710 --> 00:06:23,810
+رقم أربعة سيكشن تلاتة خمسة طيب
+
+47
+00:06:23,810 --> 00:06:27,890
+سؤال
+
+48
+00:06:27,890 --> 00:06:33,710
+أربعة سيكشن تلاتة خمسةالسؤال هذا بتقول show
+
+49
+00:06:33,710 --> 00:06:37,750
+directly from the definition
+
+50
+00:07:01,910 --> 00:07:17,610
+إذا XIN و YIN هم سيكونات كوشي هم سيكونات
+
+51
+00:07:17,610 --> 00:07:21,070
+كوشي هم
+
+52
+00:07:21,070 --> 00:07:27,550
+سيكونات كوشي هم سيكونات كوشي
+
+53
+00:07:30,650 --> 00:07:34,270
+فبرهان هذه زي البرهان اللي أخدناها قبل هيك في
+
+54
+00:07:34,270 --> 00:07:41,290
+قوانين نهايات proof
+
+55
+00:07:41,290 --> 00:07:50,350
+similar to proof of
+
+56
+00:07:50,350 --> 00:07:53,470
+the fact أنه
+
+57
+00:08:18,370 --> 00:08:23,890
+بساوي limit xn ضرب limit yn
+
+58
+00:08:27,620 --> 00:08:31,000
+و أعتقد هذا برهنها بالتفصيل using epsilon over two
+
+59
+00:08:31,000 --> 00:08:40,220
+argument تذكره؟ أه فحاولي تكتبي برهان مشابه و إذا
+
+60
+00:08:40,220 --> 00:08:50,280
+كان ماقدرتيش ممكن بعديها أعطيكي برهان تفصيلي okay؟
+
+61
+00:08:50,280 --> 00:08:52,180
+في أي أسئلة تانية؟
+
+62
+00:08:58,920 --> 00:09:04,620
+section تلقيتها خمسة
+
+63
+00:09:04,620 --> 00:09:15,820
+سؤال
+
+64
+00:09:15,820 --> 00:09:23,200
+عشرة ناس
+
+65
+00:09:23,200 --> 00:09:24,000
+سؤال عشر
+
+66
+00:09:28,420 --> 00:09:38,620
+section تلاتة خمسة if
+
+67
+00:09:38,620 --> 00:09:46,600
+x one less than x two are
+
+68
+00:09:46,600 --> 00:09:51,660
+arbitrary
+
+69
+00:09:55,690 --> 00:10:09,210
+real numbers and
+
+70
+00:10:09,210 --> 00:10:14,530
+xn
+
+71
+00:10:14,530 --> 00:10:19,470
+بيساوي نص
+
+72
+00:10:21,890 --> 00:10:37,690
+xn-2 plus xn-1 for n أكبر من 2 show in the
+
+73
+00:10:37,690 --> 00:10:42,470
+sequence xn is convergent
+
+74
+00:10:50,120 --> 00:10:55,760
+what is its limit what is
+
+75
+00:10:55,760 --> 00:11:03,520
+its limit ده هي النهاية تبعتنا بدنا نوجد نهايتها
+
+76
+00:11:03,520 --> 00:11:15,440
+في
+
+77
+00:11:15,440 --> 00:11:25,450
+حد فيكم فكر فيحلل السؤال هذاأي حد يعني حاول
+
+78
+00:11:25,450 --> 00:11:37,510
+ال burn in clever في أي أفكار أي شيء مافيش عندكم
+
+79
+00:11:37,510 --> 00:11:45,650
+أي فكرة عن الحل نحلوا
+
+80
+00:11:45,650 --> 00:11:46,890
+مع بعض نشوف
+
+81
+00:11:49,810 --> 00:11:58,450
+أنا عندي من الفرض x1 أصغر من x2 أعداد حقيقية فهعرف
+
+82
+00:11:58,450 --> 00:12:07,890
+let L بساوي x2 negative x1 هذا بيطلع عدد موجب لأن
+
+83
+00:12:07,890 --> 00:12:16,770
+x2 أكبر من x1 الآن باستخدام ال induction use
+
+84
+00:12:16,770 --> 00:12:17,570
+induction
+
+85
+00:12:21,840 --> 00:12:29,220
+on n بيمكنكم
+
+86
+00:12:29,220 --> 00:12:35,820
+تثبته انه المعادلة
+
+87
+00:12:35,820 --> 00:12:44,080
+التالية absolute xn plus one negative xn بساوي L
+
+88
+00:12:44,080 --> 00:12:49,960
+over two to n negative one and this is true for
+
+89
+00:12:49,960 --> 00:12:50,820
+every L
+
+90
+00:12:59,660 --> 00:13:08,000
+إذا كان n بساوي لكل
+
+91
+00:13:08,000 --> 00:13:14,300
+n أكبر من أو يساوي اتنين عشان هنا يكون هذا المعنى
+
+92
+00:13:14,300 --> 00:13:21,290
+فابدى ب n بساوي اتنين و اثبت ان المعادلة هذه صحقفل
+
+93
+00:13:21,290 --> 00:13:24,910
+بصحيته عند n بساوي k حيث k أكبر من اتنين أعداد
+
+94
+00:13:24,910 --> 00:13:29,410
+طبيعي وثبت صحيته عند n بساوي k زاد واحد طبعا في
+
+95
+00:13:29,410 --> 00:13:35,070
+الإثباتات بدك تستخدم التعريف تبع xn بدلالة الحدود
+
+96
+00:13:35,070 --> 00:13:35,670
+اللي جابله
+
+97
+00:13:41,020 --> 00:13:45,480
+و التعريف اللي انا اخدته ان ال هو عبارة عن الفرط
+
+98
+00:13:45,480 --> 00:13:51,340
+بين X2 و X1 اذا هذا سهل ممكن تبعته by induction
+
+99
+00:13:51,340 --> 00:14:01,740
+الان بعد ما تتبت هذا by induction now use this to
+
+100
+00:14:01,740 --> 00:14:02,540
+show that
+
+101
+00:14:08,470 --> 00:14:20,450
+بنستخدم المعادلة هذه to show that if M أكبر من N
+
+102
+00:14:20,450 --> 00:14:33,250
+أعداد طبيعية then absolute XM negative XM ال
+
+103
+00:14:33,250 --> 00:14:40,070
+absolute value لفرق XM و XMطبعا هذا هنخليه اصغر من
+
+104
+00:14:40,070 --> 00:14:48,610
+او ساوي absolute xn minus xn plus one زي absolute
+
+105
+00:14:48,610 --> 00:14:57,510
+xn plus one minus xn plus two و هكذا
+
+106
+00:15:02,520 --> 00:15:09,560
+absolute xm negative one negative xm
+
+107
+00:15:09,560 --> 00:15:13,840
+okay
+
+108
+00:15:13,840 --> 00:15:24,240
+تمام انا ايش عملت طرحت xn زيادة واحد ورجعتها طرحت
+
+109
+00:15:24,240 --> 00:15:29,290
+xn زيادة اتنين ورجعتهاو بعدين أخدت الأزواج هذه مع
+
+110
+00:15:29,290 --> 00:15:34,530
+بعض و استخدمت ل triangle inequality ال absolute
+
+111
+00:15:34,530 --> 00:15:39,390
+value ل مجموعة كبيرة أصغر من أو��ع مجموعة absolute
+
+112
+00:15:39,390 --> 00:15:47,250
+values فالان
+
+113
+00:15:47,250 --> 00:15:54,530
+باستخدام لو سمينا المعادلة هاد ال star فباستخدام
+
+114
+00:15:54,530 --> 00:16:04,180
+ال starالـ absolute value هذه بساوي ال over two to
+
+115
+00:16:04,180 --> 00:16:12,840
+n minus واحد okay هذه نفسها دي و ال absolute value
+
+116
+00:16:12,840 --> 00:16:24,240
+اللي بعدها بساوي ال على two to n و هكذا و آخر حد
+
+117
+00:16:24,240 --> 00:16:33,390
+هيكون ال overtwo to m negative two لان
+
+118
+00:16:33,390 --> 00:16:39,170
+استخدام السارق مظبوط الان ممكن ناخد عامل مشترك
+
+119
+00:16:39,170 --> 00:16:52,230
+هاخد
+
+120
+00:16:52,230 --> 00:16:54,750
+عامل مشترك L over
+
+121
+00:17:16,500 --> 00:17:17,900
+تمام؟
+
+122
+00:17:20,140 --> 00:17:25,760
+الان هذا اصغر من واحد على اتنين قص ان نجاتف واحد
+
+123
+00:17:25,760 --> 00:17:34,980
+والمجموع هذا اصغر من اتنين
+
+124
+00:17:34,980 --> 00:17:41,660
+لان هذا جزء من الهارمونيك جيومتريكس سيريز اللي هي
+
+125
+00:17:41,660 --> 00:17:46,820
+واحد على اتنين قص ان من ان equal zero to infinity
+
+126
+00:17:46,820 --> 00:17:51,550
+هذه مجموعة اتنينفهذا جزء منها وبالتالي المجموعة
+
+127
+00:17:51,550 --> 00:17:55,650
+هذا أصغر من المجموعة الـ geometric series هذه
+
+128
+00:17:55,650 --> 00:18:01,490
+المجموعة بساوة اتنين okay فإذا هذا المجموعة أصغر
+
+129
+00:18:01,490 --> 00:18:06,030
+من اتنين إذا هذا أصغر من واحد على اتنين قص ان سالب
+
+130
+00:18:06,030 --> 00:18:14,990
+واحد في اتنين اللي هو عبارة عن واحد على اتنين قص
+
+131
+00:18:14,990 --> 00:18:17,410
+ان سالب اتنين
+
+132
+00:18:28,770 --> 00:18:35,790
+الان هذا بيروح للسفر as n tends to infinityهو
+
+133
+00:18:35,790 --> 00:18:40,770
+بالتالي ده بتطلع عندي أنا ال limit ل absolute xn
+
+134
+00:18:40,770 --> 00:18:49,670
+minus xm as m as n tenths of infinity و طبعاً m
+
+135
+00:18:49,670 --> 00:18:55,410
+تقول infinity تساوي سفر therefore ال sequence xn
+
+136
+00:18:55,410 --> 00:18:57,270
+is Cauchy
+
+137
+00:19:02,500 --> 00:19:09,620
+و بالتالي therefore by cauchy criterion by cauchy
+
+138
+00:19:09,620 --> 00:19:17,660
+criterion x in convergence صح؟ say
+
+139
+00:19:26,770 --> 00:19:35,110
+دعينا نسمي ال limit ل x in بساوي x حيث x is real
+
+140
+00:19:35,110 --> 00:19:41,110
+number الان مطلوب ان احنا نجد قيمة ال x قيمة ال
+
+141
+00:19:41,110 --> 00:19:48,470
+limit لل sequence اللى هى سمنها x فبنرجع للمعادلة
+
+142
+00:19:48,470 --> 00:19:49,730
+هناك
+
+143
+00:20:07,880 --> 00:20:13,020
+to find x
+
+144
+00:20:13,020 --> 00:20:18,980
+take limits
+
+145
+00:20:18,980 --> 00:20:23,960
+of
+
+146
+00:20:23,960 --> 00:20:26,940
+both sides
+
+147
+00:20:32,640 --> 00:20:49,540
+في المعادلة هذه اللي هنا and then
+
+148
+00:20:49,540 --> 00:20:56,480
+take limit of both sides in this equation to get
+
+149
+00:20:56,480 --> 00:21:09,330
+انه limitx in بساوي نص في limit x in negative two
+
+150
+00:21:09,330 --> 00:21:21,850
+زاد limit x in negative one as intensity هذا
+
+151
+00:21:21,850 --> 00:21:28,510
+بيقدي ان limit x in عبارة عن x بساوي نص هذه
+
+152
+00:21:28,510 --> 00:21:33,460
+subsequenceمن الـ xn، وبالتالي، الـ limit تبعتها
+
+153
+00:21:33,460 --> 00:21:37,880
+برضه x وهذا الـ subsequence من الـ xn والـ limit
+
+154
+00:21:37,880 --> 00:21:45,400
+تبعتها x لإن كانت الـ sequence convergent لـ x فأي
+
+155
+00:21:45,400 --> 00:21:50,080
+subsequence بتكون convergent لنفس الـ x وهذا بيطلع
+
+156
+00:21:50,080 --> 00:21:51,100
+بساوية
+
+157
+00:22:12,850 --> 00:22:18,570
+فاحنا هيك ماطلعش عندنا إش جديد طالع X بساوي X
+
+158
+00:22:18,570 --> 00:22:25,950
+فاحنا هيك مازمناش ال limit مازمناش
+
+159
+00:22:25,950 --> 00:22:26,570
+ال limit
+
+160
+00:22:50,820 --> 00:22:57,180
+فاحنا هيك ماجبناش ال limit وهدي مشكلة أو يعني ال
+
+161
+00:22:57,180 --> 00:22:57,600
+..
+
+162
+00:23:14,130 --> 00:23:21,570
+طب خلينا نرجع للمعادلة اللي اثبتناها اثبتناها
+
+163
+00:23:21,570 --> 00:23:22,410
+by induction
+
+164
+00:24:17,920 --> 00:24:22,600
+طيب خلّي موضوع ال limit هذا لمرة تانية
+
+165
+00:24:31,270 --> 00:24:33,370
+سي حد عنده أي فكرة؟
+
+166
+00:24:55,010 --> 00:25:03,350
+خلّي ال limit نجيبها المرة الجاية ي��دو
+
+167
+00:25:03,350 --> 00:25:09,630
+أن الطريقة تباعتنا ما .. ما زبطتش فنحاول نفكر فيها
+
+168
+00:25:09,630 --> 00:25:14,810
+مرة تانية و نجيبها، مين عنده سؤال تاني؟ و أنتوا
+
+169
+00:25:14,810 --> 00:25:17,830
+كمان طبعا فكروا في إيجاب قيمة ال limit
+
+170
+00:25:25,090 --> 00:25:33,030
+في أي أسئلة تانية في ال section تلاتة خمسة سؤال
+
+171
+00:25:33,030 --> 00:25:46,130
+تمانية سؤال تمانية سؤال
+
+172
+00:25:46,130 --> 00:25:54,030
+تمانية section تلاتة خمسة show directly
+
+173
+00:25:57,190 --> 00:26:05,590
+مش هو directly that
+
+174
+00:26:05,590 --> 00:26:12,550
+a bounded a
+
+175
+00:26:12,550 --> 00:26:24,370
+bounded a bounded monotone a bounded monotone
+
+176
+00:26:27,280 --> 00:26:36,500
+ماراتون ان كريزم ماراتون
+
+177
+00:26:36,500 --> 00:26:42,560
+ان كريزم الاختصار هو
+
+178
+00:26:42,560 --> 00:26:43,300
+كوشي
+
+179
+00:26:56,170 --> 00:27:01,310
+السيكوينس دي bounded و monotone increasing فاحنا
+
+180
+00:27:01,310 --> 00:27:10,100
+خدنا نظرية بتطلع لازم تكونby monotone convergence
+
+181
+00:27:10,100 --> 00:27:13,100
+theorem it is convergent عسب ال monotone
+
+182
+00:27:13,100 --> 00:27:17,380
+convergence و بالتالي ممكن نقول by Cauchy
+
+183
+00:27:17,380 --> 00:27:20,780
+criterion بما انها convergent اذا Cauchy هذا برهان
+
+184
+00:27:20,780 --> 00:27:26,180
+و صحيح بس الكتاب مش عايز هذا البرهان عايز برهان
+
+185
+00:27:26,180 --> 00:27:30,500
+مباشر باستخدام ال definition تبع ال Cauchy
+
+186
+00:27:30,500 --> 00:27:38,260
+sequenceOkay فالبرهان بسيط وسهل يعني ما هوش صعب
+
+187
+00:27:38,260 --> 00:27:44,060
+proof since
+
+188
+00:27:44,060 --> 00:27:49,820
+طبعا
+
+189
+00:27:49,820 --> 00:27:57,400
+ال sequence خليني أسميها x in since
+
+190
+00:27:57,400 --> 00:28:02,980
+ال sequence تبعتنا x inis bounded بما ان ال
+
+191
+00:28:02,980 --> 00:28:08,980
+sequence is bounded then
+
+192
+00:28:08,980 --> 00:28:25,680
+لو أخدت U بساوي Supremum ل XN-N ينتمي لإن Supremum
+
+193
+00:28:25,680 --> 00:28:28,060
+هذا exists in R
+
+194
+00:28:32,840 --> 00:28:39,620
+by supremum property او by completeness property
+
+195
+00:28:39,620 --> 00:28:48,520
+اي bounded set has supremum فخلينا نفرض ان ال U هو
+
+196
+00:28:48,520 --> 00:28:54,300
+supremum فهذا بيطلع عدد حقيقي exist يعني عدد حقيقي
+
+197
+00:28:54,300 --> 00:29:01,120
+الان من ال definition by
+
+198
+00:29:01,120 --> 00:29:08,250
+definitionof supremum
+
+199
+00:29:08,250 --> 00:29:16,030
+هو بالأحرى مش من التعريف من لمّة تأتي بعد التعريف
+
+200
+00:29:16,030 --> 00:29:19,630
+والمّة
+
+201
+00:29:19,630 --> 00:29:23,110
+من
+
+202
+00:29:23,110 --> 00:29:29,990
+هنا by Aprilius
+
+203
+00:29:40,440 --> 00:29:44,220
+النظرية هذه خلينا نرجعها أو نجمها او نجمها او
+
+204
+00:29:44,220 --> 00:29:48,460
+نجمها او نجمها U of a set
+
+205
+00:30:02,180 --> 00:30:07,180
+of a set S
+
+206
+00:30:07,180 --> 00:30:11,960
+is
+
+207
+00:30:11,960 --> 00:30:16,440
+the supremum is
+
+208
+00:30:16,440 --> 00:30:17,420
+the supremum
+
+209
+00:30:22,570 --> 00:30:32,010
+S F and only F لكل أبسلون أكبر من السفر يوجد عنصر
+
+210
+00:30:32,010 --> 00:30:39,950
+S يعتبد على أبسلون في S بحيث أنه لو ضفنا .. لو
+
+211
+00:30:39,950 --> 00:30:45,250
+طرحنا من ال supremum أبسلون فبيبطل أكبر دعوة بيصير
+
+212
+00:30:45,250 --> 00:30:55,520
+أصغر من Sباستخدام هذه النظرية السابقة لو أخدت
+
+213
+00:30:55,520 --> 00:31:01,500
+given
+
+214
+00:31:01,500 --> 00:31:04,880
+epsilon
+
+215
+00:31:04,880 --> 00:31:09,620
+أكبر من السفر لو أخدت epsilon عشوائية أكبر من
+
+216
+00:31:09,620 --> 00:31:17,320
+السفر يوجد capital N في N
+
+217
+00:31:22,170 --> 00:31:35,390
+عدد طبيعي بحيث ان ال .. ال .. ال
+
+218
+00:31:35,390 --> 00:31:43,690
+U نيجاتيب XN عرفوا ال U نيجاتيب إبسلون بيطلع أصغر
+
+219
+00:31:43,690 --> 00:31:50,270
+من S Y S Y حقول ده X اللي ال index سبقه capital N
+
+220
+00:31:51,310 --> 00:31:54,710
+إذا هذا العنصر اللي في الـ sequence أو في ال set
+
+221
+00:31:54,710 --> 00:32:01,950
+هذه اللي هو S Y يعتمد على إبسلون ما ال N هذه تعتمد
+
+222
+00:32:01,950 --> 00:32:09,310
+على إبسلون وهي U إترح منه إبسلون بيطلع أصغر من
+
+223
+00:32:09,310 --> 00:32:15,150
+عنصر S Y اللي هو موجود هنا إذا هذا حسب النظرية
+
+224
+00:32:15,150 --> 00:32:20,050
+تمام؟ الآن since
+
+225
+00:32:22,680 --> 00:32:29,060
+لاحظوا انتوا ان ال XIN هذا عنصر في الست وبالتالي و
+
+226
+00:32:29,060 --> 00:32:32,660
+ال U upper bound ال U اللي هو ال supreme دايما
+
+227
+00:32:32,660 --> 00:32:37,180
+بيكون upper bound فهذا بيطلع أصغر من أو ساوي ال U
+
+228
+00:32:37,180 --> 00:32:43,420
+since
+
+229
+00:32:43,420 --> 00:32:50,740
+ال sequence XIN is increasing متزايدة
+
+230
+00:32:55,230 --> 00:32:59,870
+we get نحصل
+
+231
+00:32:59,870 --> 00:33:08,330
+على التالي فنحصل
+
+232
+00:33:08,330 --> 00:33:17,590
+على التالي لو كان M أكبر من أو ساوي N أكبر من أو
+
+233
+00:33:17,590 --> 00:33:26,720
+ساوي capital Nفهذا هيقدّي إلى أن u negative
+
+234
+00:33:26,720 --> 00:33:35,200
+epsilon أصغر من x capital N من هنا و x capital N
+
+235
+00:33:35,200 --> 00:33:42,260
+أصغر من أو سوى x small n لأن ال sequence is
+
+236
+00:33:42,260 --> 00:33:46,730
+increasing و small n أكبر من أو سوى capital Nو هذا
+
+237
+00:33:46,730 --> 00:33:54,070
+أصغر من أوي ساوي xm لأن ال sequence increasing و
+
+238
+00:33:54,070 --> 00:33:59,690
+xm أصغر من أوي ساوي u لأن ال u upper bound لكل
+
+239
+00:33:59,690 --> 00:34:06,670
+عناصر ال sequence تمام؟ و ال u
+
+240
+00:34:15,980 --> 00:34:22,260
+فهذا بيقدّي .. هذا
+
+241
+00:34:22,260 --> 00:34:30,320
+بيقدّي ان xn minus
+
+242
+00:34:30,320 --> 00:34:37,000
+epsilon أصغر من xn لأن الepsilon عدد موجب فلما
+
+243
+00:34:37,000 --> 00:34:44,570
+اطلع عدد موجب العدد xn بصغروعندي xn أصغر من أو
+
+244
+00:34:44,570 --> 00:34:50,490
+ساوي xm لأن ال m أكبر من أو ساوي n و ال sequence
+
+245
+00:34:50,490 --> 00:34:57,110
+تبعتي increasing و xm أصغر من أو ساوي ال u
+
+246
+00:35:11,700 --> 00:35:21,020
+من هنا، من المتباينة هذه واضح ان انا عندي ال
+
+247
+00:35:21,020 --> 00:35:31,020
+U أصغر من XN زاد إبسلون، صح؟ هل عندي U negative
+
+248
+00:35:31,020 --> 00:35:39,160
+إبسلون أصغر من XN فاضيف إبسلون فبطلع U أصغر من XN
+
+249
+00:35:40,390 --> 00:35:49,470
+زايد ابسلون اذا انا بطلع عندى xn
+
+250
+00:35:49,470 --> 00:36:02,450
+او ال .. ال xm تطلع اكبر من xn minus ابسلون اصغر
+
+251
+00:36:02,450 --> 00:36:04,730
+من xn زايد ابسلون
+
+252
+00:36:08,370 --> 00:36:19,010
+وهذا معناه ان absolute xn او xn minus xn اصغر من
+
+253
+00:36:19,010 --> 00:36:28,730
+epsilon اصبت؟ صح؟ وهذا صحيح لكل M أكبر من أو ساوي
+
+254
+00:36:28,730 --> 00:36:34,030
+M أكبر من أو ساوي capital M تمام؟ اذا بنقول هنا
+
+255
+00:36:34,030 --> 00:36:46,340
+sinceepsilon أكبر من السفر was arbitrary it
+
+256
+00:36:46,340 --> 00:36:50,640
+follows بينتج
+
+257
+00:36:50,640 --> 00:36:58,820
+من تعريف الكوشي sequence that sequence xm is
+
+258
+00:36:58,820 --> 00:36:59,620
+cauchy
+
+259
+00:37:03,200 --> 00:37:11,000
+وهنا هيك طبقنا التعريف وهذا برهان مباشر okay تمام
+
+260
+00:37:11,000 --> 00:37:22,940
+واضح في
+
+261
+00:37:22,940 --> 00:37:26,520
+أي سؤال سؤال تانية واضح البرهان في أي سفصار
+
+262
+00:37:32,980 --> 00:37:38,320
+في أي سؤال تاني section تلاتة خمسة أو تلاتة ستة
+
+263
+00:37:38,320 --> 00:37:41,600
+لبعده
+
+264
+00:37:41,600 --> 00:37:50,060
+الناس
+
+265
+00:37:50,060 --> 00:37:50,920
+اللي بدرسوا
+
+266
+00:38:03,440 --> 00:38:10,060
+التلاتة ستة؟ سؤال أربعة في رياضينا.
+
+267
+00:38:23,080 --> 00:38:24,980
+هذا ما حللناه إزاي؟
+
+268
+00:38:44,990 --> 00:38:54,970
+السكتشن تلاتة ستة السؤال الرابع ترى بي establish
+
+269
+00:38:54,970 --> 00:38:58,370
+establish
+
+270
+00:38:58,370 --> 00:39:01,490
+the
+
+271
+00:39:01,490 --> 00:39:05,790
+proper divergence
+
+272
+00:39:05,790 --> 00:39:10,270
+of
+
+273
+00:39:10,270 --> 00:39:12,950
+sequence
+
+274
+00:39:16,730 --> 00:39:25,730
+يجيب الان زي الواحد ان الان اكوار الواحد تنتهي ان
+
+275
+00:39:25,730 --> 00:39:33,910
+انا اثبت ان انا اثبت
+
+276
+00:39:33,910 --> 00:39:39,250
+ان انا اثبت ان انا اثبت
+
+277
+00:39:39,250 --> 00:39:45,220
+ان انا اثبت ان انا اثبتلا ال sequence اللي ال inf
+
+278
+00:39:45,220 --> 00:39:49,820
+term تبعها و الحد العام تبعها جدر انزعي الواحد لما
+
+279
+00:39:49,820 --> 00:39:58,300
+M تقوى ل infinity بساوي infinity استاذ ماعرفش طلقة
+
+280
+00:39:58,300 --> 00:40:07,900
+D ماعرفش بيه بيه عرفت حلوة دي طلقة دي
+
+281
+00:40:07,900 --> 00:40:13,460
+استاذ بدك دي طرقة ديالفرقة دي
+
+282
+00:40:40,070 --> 00:40:46,330
+يعني هيطلع عندي هنا limit in على جدر in زي الواحد
+
+283
+00:40:46,330 --> 00:40:53,390
+لما in تقول infinity بساوي infinity ممكن تستخدم
+
+284
+00:40:53,390 --> 00:41:03,190
+limit comparison test او comparison test اه فال
+
+285
+00:41:07,800 --> 00:41:12,180
+فهل فكرتي انك تستخدمي comparison test او limit
+
+286
+00:41:12,180 --> 00:41:16,260
+comparison test؟ فكرت عن نظري يعني برنامج ده يفير
+
+287
+00:41:16,260 --> 00:41:20,140
+لأ و أنت عندك التعريف و عندك في limit comparison
+
+288
+00:41:20,140 --> 00:41:29,620
+test و comparison test لأ
+
+289
+00:41:29,620 --> 00:41:36,110
+هاي موجود في تلاتة ستة في ..مافيش limit comparison
+
+290
+00:41:36,110 --> 00:41:49,030
+test؟ فيك طيب هاي انا شايف في ..
+
+291
+00:41:49,030 --> 00:41:55,870
+انت
+
+292
+00:41:55,870 --> 00:42:01,970
+عندك .. ياعمل المقارنة انت
+
+293
+00:42:01,970 --> 00:42:03,010
+عندك ..
+
+294
+00:42:10,490 --> 00:42:19,450
+يعني قارنة ال .. جدر ال N بدك تقارن هذه مع
+
+295
+00:42:19,450 --> 00:42:26,430
+N على جدر ال N لما N تكون كبيرة ابنهم الواحد فهذه
+
+296
+00:42:26,430 --> 00:42:30,090
+بيصير زيها زي ال sequence اللي لحد الآن تبعها N
+
+297
+00:42:30,090 --> 00:42:34,390
+على جدر ال N وهذه بيساوي جدر ال N
+
+298
+00:42:39,240 --> 00:42:43,420
+فبتعمل limit comparison use limit comparison test
+
+299
+00:42:43,420 --> 00:42:51,280
+هاي عندي an ولا إيش مسميهم الكتاب نعم
+
+300
+00:42:51,280 --> 00:42:59,780
+يعني xn وهي yn وتعالى نحسب ال limit
+
+301
+00:43:08,200 --> 00:43:13,480
+تعالى نحسب ال limit ل
+
+302
+00:43:13,480 --> 00:43:21,100
+xn على yn as n tends to infinity بساوي ال limit ل
+
+303
+00:43:21,100 --> 00:43:31,820
+n على الجذر n زي الواحد تقسيم
+
+304
+00:43:37,120 --> 00:43:43,740
+في واحد على جدر ال N لما N تقول ال infinity بيساوي
+
+305
+00:43:43,740 --> 00:43:47,840
+limit لجدر
+
+306
+00:43:47,840 --> 00:43:55,000
+التربية A ل N على N زي واحد مظبوط؟
+
+307
+00:43:55,000 --> 00:44:02,380
+بندخل ال limit جوه فبقلع واحد اكبر من صفته الان
+
+308
+00:44:02,380 --> 00:44:09,580
+sinceاحنا اثبتنا ان ال series sigma او ال sequence
+
+309
+00:44:09,580 --> 00:44:16,700
+since ال sequence ان الحد العام تبعها جدر ال n او
+
+310
+00:44:16,700 --> 00:44:21,720
+since limit yn
+
+311
+00:44:21,720 --> 00:44:27,480
+as n tends to infinity بالساوية limit جدر ال n as
+
+312
+00:44:27,480 --> 00:44:31,500
+n tends to infinity بالساوية infinity we get
+
+313
+00:44:34,620 --> 00:44:41,340
+from limit comparison test from limit comparison
+
+314
+00:44:41,340 --> 00:44:47,100
+test from limit
+
+315
+00:44:47,100 --> 00:44:48,480
+comparison test from limit comparison test from
+
+316
+00:44:48,480 --> 00:44:48,500
+from limit comparison test from limit comparison
+
+317
+00:44:48,500 --> 00:44:48,600
+from limit comparison test from limit comparison
+
+318
+00:44:48,600 --> 00:44:48,640
+comparison test from limit comparison test from
+
+319
+00:44:48,640 --> 00:44:50,520
+comparison test from limit comparison test from
+
+320
+00:44:50,520 --> 00:44:57,100
+limit comparison test from limit
+
+321
+00:44:57,100 --> 00:45:00,980
+comparison test from limit comparison test
+
+322
+00:45:13,250 --> 00:45:18,150
+تمام؟ okay اذا ممكن نستخدم ال limit comparison
+
+323
+00:45:18,150 --> 00:45:23,290
+test او ال diet comparison test اذا نفع و نحل باج
+
+324
+00:45:23,290 --> 00:45:28,010
+التمارين في .. او الأجزاء الأخرى في exercise أربعة
+
+325
+00:45:28,010 --> 00:45:33,430
+رقم .. section تلاتة ستة okay بنوقف هنا و بنكمل
+
+326
+00:45:33,430 --> 00:45:38,190
+المرة الجاية نكتفي بهذا القدر
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/SrQnjpF43P0.srt

@@ -0,0 +1,1611 @@
+1
+00:00:22,080 --> 00:00:28,960
+بسم الله الرحمن الرحيم  .. هنواصل اليوم إن شاء 
+
+2
+00:00:28,960 --> 00:00:39,080
+الله  ..  .. الشيء اللي بدأنا بخصوص المقدمة عن
+
+3
+00:00:39,080 --> 00:00:46,520
+الـ infinite series بعتقد كانت آخر نظرية أخذناها هي
+
+4
+00:00:46,520 --> 00:00:47,700
+Cauchy criterion
+
+5
+00:00:51,790 --> 00:00:56,710
+كوشي كريتيريا for
+
+6
+00:00:56,710 --> 00:01:10,250
+infinite series 
+
+7
+00:01:10,250 --> 00:01:10,810
+series
+
+8
+00:01:22,490 --> 00:01:31,530
+converges if and only if الشرط التالي بيتحقق لكل
+
+9
+00:01:31,530 --> 00:01:38,430
+epsilon أكبر من 0 يوجد  capital N يعتمد على epsilon
+
+10
+00:01:38,430 --> 00:01:46,200
+عدد طبيعي بحيث أنه لو كان M أكبر من N أكبر من أو 
+
+11
+00:01:46,200 --> 00:01:56,560
+ساوي capital M فهذا بيؤدي إلى أن absolute SM minus SN
+
+12
+00:01:56,560 --> 00:02:05,840
+بيساوى absolute XN زائد واحد زائد XN زائد اثنين وهكذا 
+
+13
+00:02:05,840 --> 00:02:07,300
+إلى XM
+
+14
+00:02:11,640 --> 00:02:15,100
+النظرية هذه تبع كوشي أخذناها المرة اللي فاتت و
+
+15
+00:02:15,100 --> 00:02:22,080
+برهناها مظبوط، اليوم هناخد نظرية ثانية ومهمة و
+
+16
+00:02:22,080 --> 00:02:31,660
+النظرية هذه بتقول أنه let x in be sequence of non
+
+17
+00:02:31,660 --> 00:02:39,620
+-negative real numbers then
+
+18
+00:02:39,620 --> 00:02:40,420
+series
+
+19
+00:02:43,080 --> 00:02:49,340
+xn converges if
+
+20
+00:02:49,340 --> 00:02:55,680
+and only if الـ sequence of partial sums its
+
+21
+00:02:55,680 --> 00:03:05,600
+sequence of partial sums اللي 
+
+22
+00:03:05,600 --> 00:03:07,540
+هي sn is bounded
+
+23
+00:03:16,760 --> 00:03:24,080
+proof we have sn
+
+24
+00:03:24,080 --> 00:03:36,020
+بيساوى أو sn زائد واحد بيساوى sn 
+
+25
+00:03:36,020 --> 00:03:42,070
+زائد xn زائد واحد الآن زائد فرص partial sum بيساوى 
+
+26
+00:03:42,070 --> 00:03:46,150
+الـ partial sum وبنضيف عليه لحد رقم n زائد واحد
+
+27
+00:03:58,050 --> 00:04:02,070
+وطبعا الـ Xn زائد واحد هذا احنا فرضين أن حدود الـ
+
+28
+00:04:02,070 --> 00:04:08,530
+sequence Xn كلها غير سالبة فهذا غير سالب وبالتالي
+
+29
+00:04:08,530 --> 00:04:14,790
+المجموع هذا بالتأكيد أكبر من أو يساوى Sn لكل N في N
+
+30
+00:04:14,790 --> 00:04:17,870
+فهذا
+
+31
+00:04:17,870 --> 00:04:24,530
+معناه أن الـ sequence Sn is increasing متزايدة
+
+32
+00:04:26,960 --> 00:04:30,480
+بالتالي، من خلال الوضع الوضع الوضع الوضع الوضع
+
+33
+00:04:30,480 --> 00:04:36,420
+الوضع الوضع
+
+34
+00:04:36,420 --> 00:04:40,960
+الوضع
+
+35
+00:04:40,960 --> 00:04:48,560
+الوضع الوضع
+
+36
+00:05:21,390 --> 00:05:23,410
+وهو المطلوب
+
+37
+00:05:25,890 --> 00:05:29,190
+احنا أخذنا قبل هيك أن أي infinite series بتكون
+
+38
+00:05:29,190 --> 00:05:32,890
+convergent if and only if the sequence of partial
+
+39
+00:05:32,890 --> 00:05:36,810
+sums is convergent، صح؟ طيب، الـ sequence of
+
+40
+00:05:36,810 --> 00:05:42,650
+partial sums بمعنها increasing فهي convergent by
+
+41
+00:05:42,650 --> 00:05:48,050
+monotone convergence theorem بتكون convergent if
+
+42
+00:05:48,050 --> 00:05:52,130
+and only if it is bounded وبالتالي الـ series
+
+43
+00:05:52,130 --> 00:05:54,770
+converges if and only if the sequence of partial
+
+44
+00:05:54,770 --> 00:06:02,210
+sums is bounded وهذا يثبت النظرية تمام؟ إذن هذه
+
+45
+00:06:02,210 --> 00:06:09,410
+النظرية أهميتها في أننا يعني تطبيقها زي ما هنشوف
+
+46
+00:06:09,410 --> 00:06:12,650
+في
+
+47
+00:06:12,650 --> 00:06:14,590
+لما هنا صغيرة لما 
+
+48
+00:06:22,840 --> 00:06:28,020
+إذا .. إذا
+
+49
+00:06:28,020 --> 00:06:35,460
+Sn هي عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+50
+00:06:35,460 --> 00:06:40,200
+عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+51
+00:06:40,200 --> 00:06:41,360
+عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+52
+00:06:41,360 --> 00:06:41,460
+عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+53
+00:06:41,460 --> 00:06:41,480
+عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+54
+00:06:41,480 --> 00:06:43,900
+عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+55
+00:06:43,900 --> 00:06:50,560
+عملية
+
+56
+00:06:50,560 --> 00:07:06,360
+إذا كان هناك تجارب سكن
+
+57
+00:07:06,360 --> 00:07:15,180
+من سن التي مرتبطة
+
+58
+00:07:15,180 --> 00:07:22,480
+فالنتيجة
+
+59
+00:07:25,450 --> 00:07:34,870
+ثم سيكوانس SN نفسها مرتبطة يعني
+
+60
+00:07:34,870 --> 00:07:37,450
+لو كان في عندي سيكوانس of non-negative real
+
+61
+00:07:37,450 --> 00:07:43,790
+numbers والسيكوانس هذه حدودها غير سالبة و
+
+62
+00:07:43,790 --> 00:07:50,030
+increasing متزايدة ولو وجد subsequence من السيكوانس 
+
+63
+00:07:50,030 --> 00:07:57,220
+SN والسيكوانس مرتبطة السيكوانس الأم أو السيكوانس
+
+64
+00:07:57,220 --> 00:08:02,260
+الأصلية بتكون أيضا bounded فالبرهان
+
+65
+00:08:02,260 --> 00:08:05,500
+تبع النظرية اللي هسيبكم هي أن تتبرهنوا كـ exercise
+
+66
+00:08:05,500 --> 00:08:09,980
+for easy
+
+67
+00:08:09,980 --> 00:08:20,880
+exercise إذا أنا هنسيبكم تبرهنوا كتمرين في عندي 
+
+68
+00:08:20,880 --> 00:08:21,580
+الآن
+
+69
+00:08:27,800 --> 00:08:44,940
+the P series test let
+
+70
+00:08:44,940 --> 00:08:51,480
+P عدد موجب أصغر let P
+
+71
+00:08:55,440 --> 00:09:01,680
+هي عدد موجب أي عدد موجب ده
+
+72
+00:09:01,680 --> 00:09:09,640
+P series ده P series اللي هي سيجما from N equals
+
+73
+00:09:09,640 --> 00:09:17,100
+zero to infinity لواحد على N أُس P الـ series هذه 
+
+74
+00:09:17,100 --> 00:09:23,160
+بنسميها P series الـ P series هذه إيش مالها؟ واحد
+
+75
+00:09:25,240 --> 00:09:37,540
+converges if P أكبر من واحد and diverges if
+
+76
+00:09:37,540 --> 00:09:45,620
+P أصغر من أو يساوى واحد prove
+
+77
+00:09:45,620 --> 00:09:52,580
+نثبت الجزء الأول assume
+
+78
+00:09:54,990 --> 00:10:02,570
+إن P أكبر من 1 let
+
+79
+00:10:02,570 --> 00:10:07,510
+R بيساوى
+
+80
+00:10:07,510 --> 00:10:14,490
+واحد على اثنين أُس P سالب واحد الـ P أكبر من واحد
+
+81
+00:10:14,490 --> 00:10:21,330
+فالأس هذا موجب واحد على اثنين أُس موجب طبعا هذا
+
+82
+00:10:21,330 --> 00:10:21,950
+بيطلع
+
+83
+00:10:24,540 --> 00:10:34,800
+عدد موجب وأصغر من واحد then الـ R العدد R هذا أكبر 
+
+84
+00:10:34,800 --> 00:10:44,300
+من صفر أصغر من واحد طيب for K بيساوى اثنين أقصى
+
+85
+00:10:44,300 --> 00:10:52,860
+واحد سالب واحد اللي هو واحد MDS
+
+86
+00:10:58,390 --> 00:11:04,950
+عندي الـ partial sum رقم
+
+87
+00:11:04,950 --> 00:11:10,130
+K اللي
+
+88
+00:11:10,130 --> 00:11:18,970
+هو بيساوى اثنين خليني اسمي هذا K واحد فالـ
+
+89
+00:11:18,970 --> 00:11:26,370
+partial sum S رقم K واحد بيساوى طبعا k1 بيساوى واحد
+
+90
+00:11:26,370 --> 00:11:36,190
+هنا هذا هو s1 بيساوى واحد الـ
+
+91
+00:11:36,190 --> 00:11:39,490
+first partial sum اللي هو مجموع الحد الأول الحد 
+
+92
+00:11:39,490 --> 00:11:47,470
+الأول هنا واحد صح طيب 
+
+93
+00:11:47,470 --> 00:11:49,810
+for لو أخدت k2
+
+94
+00:11:52,090 --> 00:11:57,230
+لو أخدت K2 بيساوى اثنين أقصى اثنين سالب واحد هذا 
+
+95
+00:11:57,230 --> 00:12:01,570
+بيطلع ثلاثة ففي 
+
+96
+00:12:01,570 --> 00:12:09,290
+الحالة هذه بيطلع عندي الـ
+
+97
+00:12:09,290 --> 00:12:14,710
+partial sum رقم K2 هو نفس الـ partial sum رقم ثلاثة 
+
+98
+00:12:14,710 --> 00:12:18,950
+فطبعا هذا هيساوى مجموع أول ثلاثة حدود
+
+99
+00:12:22,250 --> 00:12:33,350
+فعندي هنا هيطلع أول حد واحد، الثاني واحد على اثنين
+
+100
+00:12:33,350 --> 00:12:36,530
+أُس P
+
+101
+00:12:36,530 --> 00:12:42,670
+والحد الثالث واحد على ثلاثة أُس P
+
+102
+00:12:54,470 --> 00:12:58,710
+خلينا هذه الـ N مفروض تكون من واحد لأن n من واحد
+
+103
+00:12:58,710 --> 00:13:05,550
+لأن n فـ S K2 هو S ثلاثة S ثلاثة بيساوى واحد على
+
+104
+00:13:05,550 --> 00:13:10,110
+واحد أُس P اللي هو واحد زائد واحد على اثنين أُس P
+
+105
+00:13:10,110 --> 00:13:17,620
+زائد واحد على ثلاثة أُس P طيب أنا عندي هذا أصغر من 
+
+106
+00:13:17,620 --> 00:13:23,360
+واحد زائد واحد على اثنين أُس P زائد واحد على اثنين
+
+107
+00:13:23,360 --> 00:13:34,820
+أُس P since لأنه اثنين أُس P أصغر من ثلاثة أُس P
+
+108
+00:13:34,820 --> 00:13:42,400
+فبتعني مقلوب ثلاثة أُس P أصغر من مقلوب اثنين أُس P
+
+109
+00:13:42,400 --> 00:13:51,330
+صح؟ وهذا بيساوى واحد زائد واحد على اثنين أُس P ��ائد
+
+110
+00:13:51,330 --> 00:13:58,850
+اثنين اثنين في واحد على اثنين أُس P هزبوت هدول حدين
+
+111
+00:13:58,850 --> 00:14:03,870
+متشابهين وهذا بيطلع بيساوى واحد زائد واحد على
+
+112
+00:14:03,870 --> 00:14:12,590
+اثنين أُس P سالب واحد وهذا بيساوى واحد زائد أربعة
+
+113
+00:14:14,460 --> 00:14:20,460
+معرف الـ R على إنها 1 على 2 أُس P سالب واحد
+
+114
+00:14:20,460 --> 00:14:24,420
+Similarly
+
+115
+00:14:24,420 --> 00:14:29,820
+بالمثل لو 
+
+116
+00:14:29,820 --> 00:14:39,060
+كانت K ثلاثة بيساوى اثنين أُس ثلاثة سالب واحد يعني
+
+117
+00:14:39,060 --> 00:14:43,140
+سبعة then
+
+118
+00:14:44,850 --> 00:14:53,850
+هيكون SK3 هيطلع بيساوى SK2
+
+119
+00:14:53,850 --> 00:14:58,350
+زائد 
+
+120
+00:14:58,350 --> 00:15:05,210
+واحد على أربعة أُس P زائد واحد على خمسة أُس P زائد 
+
+121
+00:15:05,210 --> 00:15:10,990
+واحد على ستة أُس P زائد واحد على سبعة أُس P مظبوط
+
+122
+00:15:10,990 --> 00:15:11,990
+هيك صح؟
+
+123
+00:15:14,290 --> 00:15:18,410
+لأن S K 2 هو واحد زائد واحد على اثنين أُس P زائد واحد
+
+124
+00:15:18,410 --> 00:15:23,430
+على ثلاثة أُس P وهذا
+
+125
+00:15:23,430 --> 00:15:37,510
+أصغر من .. طبعا S K 2 أصغر من واحد قلنا زائد R
+
+126
+00:15:41,610 --> 00:15:46,750
+وبعدين الحدود هذه .. كل واحد من الحدود هذه أصغر 
+
+127
+00:15:46,750 --> 00:15:52,250
+من أو يساوى واحد على أربعة أُس P واحد على أربعة أُس
+
+128
+00:15:52,250 --> 00:15:57,570
+P .. واحد على أربعة أُس P .. واحد على أربعة أُس P
+
+129
+00:15:57,570 --> 00:16:02,690
+لأن كل واحد من المقامات هذه أكبر من أو يساوى أربعة
+
+130
+00:16:02,690 --> 00:16:09,870
+أُس P طب أقول جدّيش عددهم أربعة هذا بيساوى واحد زائد
+
+131
+00:16:09,870 --> 00:16:17,730
+R زائد أربعة على أربعة أُس P هو بيساوى واحد زائد R
+
+132
+00:16:17,730 --> 00:16:27,810
+زائد واحد على أربعة أُس P سالب واحد إذن بيطلع عندي
+
+133
+00:16:27,810 --> 00:16:38,880
+أنا S K ثلاثة أصغر من واحد زائد R زائد واحد على
+
+134
+00:16:38,880 --> 00:16:43,480
+اثنين اثنين
+
+135
+00:16:43,480 --> 00:16:49,820
+أُس اثنين في P سالب واحد وهذا
+
+136
+00:16:49,820 --> 00:16:58,520
+هو R تربيع هذا بيساوى واحد زائد R زائد R تربيع لو
+
+137
+00:16:58,520 --> 00:17:04,120
+سمرنا في العملية هذه continuing
+
+138
+00:17:07,150 --> 00:17:16,370
+inductively بطريقة استقرائية continuing
+
+139
+00:17:16,370 --> 00:17:22,590
+inductively يعني by induction باستخدام
+
+140
+00:17:22,590 --> 00:17:28,350
+الـ induction we 
+
+141
+00:17:28,350 --> 00:17:32,570
+get we get the following for
+
+142
+00:17:40,680 --> 00:17:50,100
+for K J يساوي 2 I mean J سالب 1 we
+
+143
+00:17:50,100 --> 00:17:55,340
+have S
+
+144
+00:17:55,340 --> 00:18:08,260
+K J هيطلع أصغر من 1 زائد R زائد R تربيع زائد
+
+145
+00:18:10,870 --> 00:18:22,010
+R أس J سالب 1 و
+
+146
+00:18:22,010 --> 00:18:27,830
+هذا صحيح لكل J في N هبوط
+
+147
+00:18:27,830 --> 00:18:36,550
+هيك صح هيتعالى نشوف لما J كانت سالب 1 فطلع
+
+148
+00:18:36,550 --> 00:18:43,660
+عندي S ك 1 يساوي 1 وأصغر من أو يساوي 1
+
+149
+00:18:43,660 --> 00:18:47,600
+لما
+
+150
+00:18:47,600 --> 00:18:54,920
+ك ج يساوي 2 لما 
+
+151
+00:18:54,920 --> 00:19:02,980
+ج يساوي 2 فطلع SK2 أصغر من 1 زائد R 1
+
+152
+00:19:02,980 --> 00:19:09,660
+زائد R أس 2 سالب 1 آسف لما J يساوي 3
+
+153
+00:19:09,660 --> 00:19:15,800
+عندي طلع ال SK 3 أصغر من 1 زائد R زائد R أس
+
+154
+00:19:15,800 --> 00:19:21,280
+3 سالب 1 إذا S sub KJ أصغر من 1 زائد R
+
+155
+00:19:21,280 --> 00:19:30,540
+إلى R أس J ناقص 1 الآن هذا المجموع أصغر من
+
+156
+00:19:30,540 --> 00:19:39,280
+مجموع ال infinite series اللي هي summation من J 
+
+157
+00:19:39,280 --> 00:19:48,980
+يساوي 0 إلى ما لا نهاية ل R أس J صح؟
+
+158
+00:19:50,160 --> 00:19:56,760
+هذا عبارة 
+
+159
+00:19:56,760 --> 00:20:01,440
+عن finite sum أصغر من مجموعة infinite series هذه
+
+160
+00:20:01,440 --> 00:20:10,700
+عبارة عن geometric series with first term 1 وال
+
+161
+00:20:10,700 --> 00:20:18,140
+ratio تبعها R والـ R أكبر من 0 أصغر من 1 إذا
+
+162
+00:20:18,140 --> 00:20:23,080
+الـ geometric series هذه converges ومجموعها يساوي
+
+163
+00:20:23,080 --> 00:20:30,820
+1 على 1 ناقص R الكلام
+
+164
+00:20:30,820 --> 00:20:37,320
+هذا صحيح for all J belong to N وطبعا ال SKJ هذا
+
+165
+00:20:37,320 --> 00:20:42,760
+عبارة عن مجموعة partial sum partial sum لأعداد
+
+166
+00:20:42,760 --> 00:20:44,560
+موجبة وبالتالي موجبة
+
+167
+00:20:47,700 --> 00:20:52,720
+إذا أنا هيك أثبتت إن ال sub
+
+168
+00:20:52,720 --> 00:20:58,700
+sequence SKJ bounded below by 0 و bounded above by
+
+169
+00:20:58,700 --> 00:21:05,420
+العدد الموجب 1 على 1 ناقص R وبالتالي،
+
+170
+00:21:05,420 --> 00:21:10,160
+إذا هيك نستنتج، therefore the subsequence
+
+171
+00:21:13,370 --> 00:21:18,210
+ده sub-sequence اللي هي SKJ هاد ال sub-sequence من
+
+172
+00:21:18,210 --> 00:21:24,370
+مين؟ من ال sequence of partial sums SN شاملها is
+
+173
+00:21:24,370 --> 00:21:31,490
+bounded أثبتنا أنها ايه؟ bounded، مصدقوط؟ طلعنا
+
+174
+00:21:31,490 --> 00:21:35,090
+احنا عملنا construction ل sub-sequence من الـ
+
+175
+00:21:35,090 --> 00:21:37,370
+sequence of partial sums وهي طلعت bounded هي
+
+176
+00:21:37,370 --> 00:21:41,670
+bounded below by 0 bounded above by 1 over 1 minus
+
+177
+00:21:41,670 --> 00:21:53,610
+r لأن حسب اللمّة اللي فاتت so by above lemma ال
+
+178
+00:21:53,610 --> 00:21:56,730
+sequence of partial sums نفسها is bounded
+
+179
+00:22:02,950 --> 00:22:08,570
+وبالتالي إذا by above theorem مدام ال sequence of
+
+180
+00:22:08,570 --> 00:22:11,910
+partial sums is bounded إذا ال series converges
+
+181
+00:22:11,910 --> 00:22:15,710
+okay
+
+182
+00:22:15,710 --> 00:22:23,790
+إذا بعديكم نقول so
+
+183
+00:22:23,790 --> 00:22:29,930
+by above theorem ال
+
+184
+00:22:29,930 --> 00:22:46,080
+series sigma 1 على N أكبر من 1 فهذا
+
+185
+00:22:46,080 --> 00:22:53,300
+يثبت الجزء الأول من النظرية خلّينا
+
+186
+00:22:53,300 --> 00:22:54,640
+نثبت الجزء الثاني
+
+187
+00:23:10,080 --> 00:23:17,200
+using induction you
+
+188
+00:23:17,200 --> 00:23:21,660
+can show أنه
+
+189
+00:23:21,660 --> 00:23:26,800
+for P
+
+190
+00:23:26,800 --> 00:23:29,140
+أكبر من 0 أصغر من 1
+
+191
+00:23:32,370 --> 00:23:37,970
+لو كانت ال P طبعا أكبر من 0 وأصغر من أو ساوي
+
+192
+00:23:37,970 --> 00:23:46,110
+الـ 1 ف N أس P بيطلع أصغر من أو يساوي N لكل N في N
+
+193
+00:23:46,110 --> 00:23:49,670
+صح؟
+
+194
+00:23:49,670 --> 00:23:57,430
+أنا ممكن إثباته by induction So, 1 على n أصغر لو
+
+195
+00:23:57,430 --> 00:24:08,470
+ساوي 1 على n أس P for all n ينتمي إلى N فإن 
+
+196
+00:24:08,470 --> 00:24:12,710
+هذا بيقدي هذا بيقدي
+
+197
+00:24:30,450 --> 00:24:36,590
+this implies أن ال summation from K يساوي 1 to
+
+198
+00:24:36,590 --> 00:24:44,150
+n ل 1 على K أصغر لو ساوي summation من K يساوي
+
+199
+00:24:44,150 --> 00:24:55,850
+1 إلى n ل 1 على n على K أس P طب ما هذا عبارة
+
+200
+00:24:55,850 --> 00:25:02,270
+عن ال partial sum لسمي SN لل harmonic series ..
+
+201
+00:25:02,270 --> 00:25:09,410
+لل .. لل harmonic series و هذا عبارة عن ال partial
+
+202
+00:25:09,410 --> 00:25:17,870
+sum سمي SN star لل P series صح؟ إن أنا أصبح عندي
+
+203
+00:25:17,870 --> 00:25:21,850
+أنا SN أصغر من أو يساوي SN star
+
+204
+00:25:24,550 --> 00:25:29,430
+where لكل n where
+
+205
+00:25:29,430 --> 00:25:36,530
+SN يساوي sigma 1 على K من K يساوي 1 إلى n و
+
+206
+00:25:36,530 --> 00:25:42,230
+SN star يساوي sigma من K يساوي 1 إلى n ل 1
+
+207
+00:25:42,230 --> 00:25:51,630
+على K أس P طيب since أثبتنا احنا قبل هيك انه ال
+
+208
+00:25:51,630 --> 00:25:53,230
+sequence of partial sums
+
+209
+00:25:56,310 --> 00:26:01,790
+السيكوانس SN هذا عبارة عن السيكوانس of partial
+
+210
+00:26:01,790 --> 00:26:02,290
+sums
+
+211
+00:26:12,510 --> 00:26:17,510
+of the harmonic series sigma 1 على n ايش مالهم؟
+
+212
+00:26:17,510 --> 00:26:23,070
+أثبتنا أنهم unbounded ال sequence هذه is unbounded
+
+213
+00:26:23,070 --> 00:26:30,670
+بنالنا ذلك في مثال سابق unbounded
+
+214
+00:26:30,670 --> 00:26:35,070
+فلو سمينا المتباينة
+
+215
+00:26:35,070 --> 00:26:39,530
+هذا star then
+
+216
+00:26:39,530 --> 00:26:40,370
+it follows
+
+217
+00:26:44,900 --> 00:26:50,900
+from star ينتج من المتباينة star إذا كانت ال
+
+218
+00:26:50,900 --> 00:26:55,600
+sequence هذه unbounded
+
+219
+00:26:55,600 --> 00:27:00,620
+لصغيرة unbounded فالحدود أكبر is unbounded ال
+
+220
+00:27:00,620 --> 00:27:11,140
+sequence SN star is unbounded وبالتالي
+
+221
+00:27:11,140 --> 00:27:13,600
+حسب النظرية أعلى so by
+
+222
+00:27:20,890 --> 00:27:26,890
+السيريز هي سيكوينس باشا سمسا بايتالي P Series
+
+223
+00:27:26,890 --> 00:27:32,930
+سيجما من K يساوي 1 وإنفينيتي ل 1 على K أس P
+
+224
+00:27:32,930 --> 00:27:36,290
+is divergent
+
+225
+00:27:41,610 --> 00:27:48,170
+حسب النظرية التي ذكرناها سابقًا، طيب، في عندي هاي
+
+226
+00:27:48,170 --> 00:27:51,750
+series of positive numbers أو non-negative real
+
+227
+00:27:51,750 --> 00:27:55,890
+numbers و ال sequence of partial sums أبعدتها
+
+228
+00:27:55,890 --> 00:28:00,250
+unbounded، إذا حسب النظرية ال series is not
+
+229
+00:28:00,250 --> 00:28:05,260
+convergent أو divergent، صح؟ إذن هذا بتثبت الجزء
+
+230
+00:28:05,260 --> 00:28:09,880
+الثاني وبالتالي هيك بيكون برهاننا اختبار ال P
+
+231
+00:28:09,880 --> 00:28:15,200
+-series test أو ال P-series test إذن
+
+232
+00:28:15,200 --> 00:28:20,960
+أي P-series بتكون convergent إذا ال P أكبر من 1
+
+233
+00:28:20,960 --> 00:28:25,620
+و divergent إذا P أصغر من أو يساوي 1 في أي
+
+234
+00:28:25,620 --> 00:28:26,220
+سؤال؟
+
+235
+00:28:52,320 --> 00:28:55,800
+زي ما أخرنا comparison و limit comparison test
+
+236
+00:28:55,800 --> 00:29:00,920
+لل sequences في comparison test لل series
+
+237
+00:29:00,920 --> 00:29:08,900
+comparison
+
+238
+00:29:08,900 --> 00:29:13,960
+test
+
+239
+00:29:13,960 --> 00:29:17,020
+for series
+
+240
+00:29:33,680 --> 00:29:40,800
+لت XN و YN بـ sequences of non-negative real
+
+241
+00:29:40,800 --> 00:29:41,380
+numbers
+
+242
+00:29:49,780 --> 00:29:58,060
+يكون such that XN أصغر من أو يساوي YN أكبر من أو
+
+243
+00:29:58,060 --> 00:30:06,540
+ساوي 0 for all N أكبر من أو يساوي K for some K
+
+244
+00:30:06,540 --> 00:30:14,660
+ينتمي إلى N أنا
+
+245
+00:30:14,660 --> 00:30:19,950
+لدي two sequences of real numbers التنتين حدودهم غير
+
+246
+00:30:19,950 --> 00:30:26,790
+سالبة من capital .. من capital K و أنت طالع ممكن
+
+247
+00:30:26,790 --> 00:30:30,350
+الحدود اللي قبل .. اللي رقمهم أصغر من K بتكون
+
+248
+00:30:30,350 --> 00:30:36,150
+سالبة مش مشكلة أو ما يكونش XN أصغر .. ممكن يكون XN
+
+249
+00:30:36,150 --> 00:30:41,830
+أكبر من YN مش مشكلة لكن من عند capital K لكل مؤشر
+
+250
+00:30:41,830 --> 00:30:45,810
+لكل index because on and equal K أنا بدي XN أصغر
+
+251
+00:30:45,810 --> 00:30:51,990
+من وسائر YN واتنين يكونوا غير سلبين الآن إذا كانت
+
+252
+00:30:51,990 --> 00:30:58,190
+ال series sigma
+
+253
+00:30:58,190 --> 00:31:06,970
+XN إذا كانت ال series الأولى convergent أو الكبيرة
+
+254
+00:31:09,920 --> 00:31:17,540
+convergent بتقدي ان ال series الأصغر converge and
+
+255
+00:31:17,540 --> 00:31:29,520
+لو كانت ال series الأكبر الأصغر diverge فبتقدي
+
+256
+00:31:29,520 --> 00:31:36,700
+أن ال series الأكبر بالتأكيد diverge وهي
+
+257
+00:31:36,700 --> 00:31:45,380
+البرهان برهن الجزء الأول assume أنه ال series
+
+258
+00:31:45,380 --> 00:31:56,180
+sigma YN converges then
+
+259
+00:31:56,180 --> 00:32:00,000
+by Cauchy
+
+260
+00:32:00,000 --> 00:32:10,000
+criterion for series given
+
+261
+00:32:12,200 --> 00:32:18,900
+epsilon أكبر من الصفر يوجد capital N يعتمد على
+
+262
+00:32:18,900 --> 00:32:26,920
+epsilon عدد طبيعي بحيث أنه لكل M أكبر من small N
+
+263
+00:32:26,920 --> 00:32:31,620
+أكبر من أو يساوي capital N هيطلع عندي absolute
+
+264
+00:32:39,200 --> 00:32:51,200
+YN زائد 1 زائد YN زائد 2 و هكذا إلى YM أصغر من إبسلون هذا من Cauchy
+
+265
+00:32:51,200 --> 00:32:51,760
+criterion
+
+266
+00:33:15,050 --> 00:33:23,830
+طيب أنا عندي let
+
+267
+00:33:23,830 --> 00:33:34,730
+M يساوي ال maximum الأكبر بين N العدد K هذا الطبيعي
+
+268
+00:33:34,730 --> 00:33:40,010
+K والعدد الطبيعي capital N اللي بيعتمد على
+
+269
+00:33:40,010 --> 00:33:40,330
+epsilon
+
+270
+00:33:43,140 --> 00:33:49,360
+فاكيد طبعا هذا عدد طبيعي وهذا عدد طبيعي فإن M
+
+271
+00:33:49,360 --> 00:33:54,200
+هيطلع عدد طبيعي وM يعتمد على إبسلون لأن الـ M
+
+272
+00:33:54,200 --> 00:34:01,500
+يعتمد على capital N وcapital N تعتمد على إبسلون
+
+273
+00:34:01,500 --> 00:34:09,900
+إذا لو أخدت أنا N أكبر من M أو M أكبر من N وN
+
+274
+00:34:09,900 --> 00:34:18,560
+أكبر من أو يساوي capital N فهذا بالتأكيد هيقدي ا��ه
+
+275
+00:34:18,560 --> 00:34:23,480
+ال ..
+
+276
+00:34:23,480 --> 00:34:29,520
+ال .. من هنا من الفرض نسمي الفرض هذا star
+
+277
+00:34:34,930 --> 00:34:45,790
+فمن star هيطلع عندي مفروض XN زائد 1 زائد XN
+
+278
+00:34:45,790 --> 00:34:51,130
+زائد 2 زائد و هكذا إلى XM
+
+279
+00:35:01,640 --> 00:35:06,300
+الـ absolute هذا الآن كله موجب هذه كل حدود موجبة
+
+280
+00:35:06,300 --> 00:35:12,160
+أو غير سالبة لأن ال N أكبر من أو يساوي capital N 
+
+281
+00:35:12,160 --> 00:35:17,380
+وبالتالي هذا بيقدي أن N أكبر من أو يساوي كابتل K
+
+282
+00:35:17,380 --> 00:35:25,520
+صح؟ إذا باستخدام star كابتل 
+
+283
+00:35:25,520 --> 00:35:28,260
+عفواً أن هذه المفروضة تكون M
+
+284
+00:35:31,530 --> 00:35:36,470
+الآن لكل M أكبر من أو يساوي capital M
+
+285
+00:35:36,470 --> 00:35:41,110
+capital M هذه أكبر من أو يساوي K وبالتالي M أكبر من
+
+286
+00:35:41,110 --> 00:35:46,030
+أو يساوي K إذن الحدود هذه كلها موجبة أو غير سالبة
+
+287
+00:35:46,030 --> 00:35:58,830
+صح من star وأصغر من أو يساوي اللي هو YM زائد واحد
+
+288
+00:35:58,830 --> 00:36:10,810
+زائد YM زائد اثنين زائد وهكذا إلى 
+
+289
+00:36:10,810 --> 00:36:19,870
+YM برضه هذه كلها حدود غير سالبة وبالتالي هذه هي
+
+290
+00:36:19,870 --> 00:36:25,370
+نفس ال absolute YN زائد واحد زائد YN زائد اثنين
+
+291
+00:36:25,370 --> 00:36:25,910
+زائد
+
+292
+00:36:29,190 --> 00:36:37,590
+YM ومن هنا لاحظوا أن n أكبر من أو يساوي capital M و
+
+293
+00:36:37,590 --> 00:36:42,870
+الـ M أكبر من أو يساوي capital N فبيطلع عندي كمان هنا
+
+294
+00:36:42,870 --> 00:36:50,630
+أن N أكبر من أو يساوي capital M لأن الـ M أكبر من أو
+
+295
+00:36:50,630 --> 00:36:56,650
+يساوي capital N وبالتالي من ال implication هذه
+
+296
+00:36:56,650 --> 00:37:04,470
+بيطلع أصغر من إبسلم أن أنا طلع عندي absolute xn
+
+297
+00:37:04,470 --> 00:37:11,050
+زائد واحد زائد xn زائد اثنين زائد إلى آخره إلى xn
+
+298
+00:37:11,050 --> 00:37:17,380
+أصغر من إبسلم هذا عدد غير سالب المجموعة دي غير سالب
+
+299
+00:37:17,380 --> 00:37:20,800
+لأن كل الـ X غير سالب وبالتالي ال absolute value هي
+
+300
+00:37:20,800 --> 00:37:24,680
+نفسها هذا هو ال absolute value العدد غير سالب نفسه
+
+301
+00:37:24,680 --> 00:37:31,060
+لأن هنا أثبتنا الكلام هذا صحيح لكل M أكبر من N
+
+302
+00:37:31,060 --> 00:37:36,880
+أكبر من أو يساوي capital M so بنستخدم كوشي
+
+303
+00:37:36,880 --> 00:37:42,780
+criterion كمان مرة by Cauchy criterion
+
+304
+00:37:45,130 --> 00:37:50,250
+for the series الـ
+
+305
+00:37:50,250 --> 00:37:57,310
+series sigma xn converges لأن
+
+306
+00:37:57,310 --> 00:38:02,130
+هذا شرط كوشي متحقق، صح؟
+
+307
+00:38:02,130 --> 00:38:07,390
+هذا لأي إبسلون given إبسلون أكبر من الصفر أثناء أن
+
+308
+00:38:07,390 --> 00:38:13,490
+يوجد capital M يعني يعتمد على إبسلون بحيث لكل M
+
+309
+00:38:13,490 --> 00:38:18,350
+أكبر من N أكبر من أو يساوي كابتل N فلنادي absolute
+
+310
+00:38:18,350 --> 00:38:23,150
+XN زائد واحد زائد إلى XM أصغر من إبسلون إذا حسب
+
+311
+00:38:23,150 --> 00:38:27,050
+Cauchy criterion the series Sigma XN converges هذا
+
+312
+00:38:27,050 --> 00:38:36,790
+بنكمل برهان الجزء الأول الجزء الثاني بينتج
+
+313
+00:38:36,790 --> 00:38:37,890
+من الجزء الأول
+
+314
+00:38:42,270 --> 00:38:52,390
+this is the contrapositive .. the contrapositive
+
+315
+00:38:52,390 --> 00:39:00,330
+أو the contraposition .. this is the
+
+316
+00:39:00,330 --> 00:39:04,930
+contraposition of the statement واحد
+
+317
+00:39:08,170 --> 00:39:12,270
+أنا في عندي قانون في الـ logic بيقول إذا كان P فأدي
+
+318
+00:39:12,270 --> 00:39:19,370
+إلى Q فال statement هذا بكافئ ال counter positive مش 
+
+319
+00:39:19,370 --> 00:39:21,950
+النفي تبعه ال counter positive معناه المعاكس
+
+320
+00:39:21,950 --> 00:39:30,550
+الإيجابي فهذا بكافئ not Q implies not P فإذا
+
+321
+00:39:30,550 --> 00:39:37,130
+أثبتنا أن هذا true فهذا بيكون true طب تعالوا نشوف
+
+322
+00:39:37,130 --> 00:39:39,810
+هذا هذا اللي أنا أثبتنا أنه true اللي هو الجزء أ
+
+323
+00:39:39,810 --> 00:39:43,590
+أو الجزء واحد الجزء الثان�� هو ال counter positive
+
+324
+00:39:44,960 --> 00:39:50,320
+هل هذا صحيح تعالوا نقرأ الجزء الثاني أو تعالوا 
+
+325
+00:39:50,320 --> 00:39:55,420
+نجيب ال contrapositive للعبارة في الجزء الأول الـ
+
+326
+00:39:55,420 --> 00:39:59,800
+contrapositive للعبارة في الجزء الأول نفي هذا اللي 
+
+327
+00:39:59,800 --> 00:40:04,160
+هو ال series sigma x in diverges بيقود إلى نفي هذا
+
+328
+00:40:04,160 --> 00:40:08,420
+اللي هو ال series y in diverges وبالتالي هيك بنكون
+
+329
+00:40:08,420 --> 00:40:17,700
+كملنا البرهان تمام؟ واضح؟ في أي سؤال؟ أي استفسار؟
+
+330
+00:40:17,700 --> 00:40:25,180
+أحيانا بيكون صعب أن احنا نعملمقارنة بين حدود الـ
+
+331
+00:40:25,180 --> 00:40:32,500
+series sigma xn وحدود ال series sigma yn بالطريقة
+
+332
+00:40:32,500 --> 00:40:37,480
+المباشرة زي ما في ال star أحيانا مش سهل نعمل
+
+333
+00:40:37,480 --> 00:40:43,020
+مقارنة زي هذه وبالتالي بنلجأ إلى اختبار آخر بنسميه
+
+334
+00:40:43,020 --> 00:40:49,320
+limit comparison test فنكتب ال test هذا دكتور؟ نعم
+
+335
+00:40:49,320 --> 00:40:53,560
+هلأ عبس النظرية برضه خطأ يعني نفس نحو اللي كنا
+
+336
+00:40:53,560 --> 00:40:58,360
+نعمله بال sequence نعمله بال series هي الفترة
+
+337
+00:40:58,360 --> 00:41:01,940
+التالية؟ آه طبعاً يعني أنت لو كان مثلاً هذه صحية 
+
+338
+00:41:01,940 --> 00:41:08,160
+كلامك بالظبط يعني لو كانت ال series ال series مثلاً
+
+339
+00:41:08,160 --> 00:41:14,190
+هذه ال sigma yn diverges هل هذا بيقود أن sigma xn
+
+340
+00:41:14,190 --> 00:41:18,530
+diverges؟ مش بالضرورة ممكن diverge وممكن converge
+
+341
+00:41:18,530 --> 00:41:25,510
+نفس الحاجة لو كانت ال series sigma xn converges هل 
+
+342
+00:41:25,510 --> 00:41:31,030
+sigma yn converges؟ ممكن أو ممكن لأ أكيد وممكن 
+
+343
+00:41:31,030 --> 00:41:34,690
+نجيب counter examples لازم تفكري في إيجاد counter
+
+344
+00:41:34,690 --> 00:41:36,850
+examples وأنت بتدرسيه
+
+345
+00:41:40,810 --> 00:41:53,630
+نشوف ال limit comparison test limit
+
+346
+00:41:53,630 --> 00:42:02,030
+comparison test
+
+347
+00:42:18,300 --> 00:42:27,120
+لت Xn وYn بيكونوا sequence من حدود حقيقية موجبة
+
+348
+00:42:27,120 --> 00:42:36,560
+بيكون حدود حقيقية موجبة بيكون حدود حقيقية موجبة
+
+349
+00:42:36,560 --> 00:42:38,340
+بيكون حدود حقيقية موجبة بيكون حدود حقيقية موجبة
+
+350
+00:42:38,340 --> 00:42:40,480
+بيكون حدود حقيقية موجبة بيكون حدود حقيقية موجبة
+
+351
+00:42:47,730 --> 00:42:56,850
+والـ R هذا يعني عدد حقيقي طبعاً ينتمي إلى R ففي
+
+352
+00:42:56,850 --> 00:43:04,670
+عندي برضه نتيجتين النتيجة الأولى إذا كان الـ R
+
+353
+00:43:04,670 --> 00:43:09,630
+لا يساوي صفر then
+
+354
+00:43:09,630 --> 00:43:15,330
+ال series sigma X M converges if and only if
+
+355
+00:43:24,150 --> 00:43:43,650
+الجزء الثاني من النظرية لو 
+
+356
+00:43:43,650 --> 00:43:52,220
+كان R يساوي صفر بعد ذلك لو الـ R يساوي صفر يعني أن
+
+357
+00:43:52,220 --> 00:44:01,220
+الـ R يساوي صفر then ال series sigma y in diverges
+
+358
+00:44:01,220 --> 00:44:07,840
+بيقود أن ال series sigma x in diverges
+
+359
+00:44:11,380 --> 00:44:19,300
+أو لأ convergence أفضل لو كانت series sigma yn
+
+360
+00:44:19,300 --> 00:44:24,480
+converges بيقود أن series sigma xn converges
+
+361
+00:44:24,480 --> 00:44:27,620
+فقط اتجاه واحد لكن الـ X مش شرط تكون
+
+362
+00:44:27,620 --> 00:44:37,460
+صحيحة okay تمام هو البرهان
+
+363
+00:44:37,460 --> 00:44:38,520
+يعني كثير سهل
+
+364
+00:44:49,520 --> 00:45:02,300
+بنسمي الشرط هذا star الجزء
+
+365
+00:45:02,300 --> 00:45:12,940
+الأول assume أن R لا يساوي صفر طبعاً
+
+366
+00:45:12,940 --> 00:45:21,670
+في الحالة هذه الـ R بيطلع موجب لأن لحظة أنتم أن xn
+
+367
+00:45:21,670 --> 00:45:27,810
+على yn هذه كلها أعداد موجبة وال limit لـ sequence
+
+368
+00:45:27,810 --> 00:45:31,930
+أعداد كل حدودها موجبة بيطلع المفروض يطلع ال limit
+
+369
+00:45:31,930 --> 00:45:37,970
+تبعها موجبة إذا كانت ال limit موجودة واضح؟ إذن
+
+370
+00:45:37,970 --> 00:45:42,090
+هذا من نظرية سابقة لما أن حدود ال sequence xn على
+
+371
+00:45:42,090 --> 00:45:45,930
+yn هذه ال sequence حدودها كلها موجبة إذا نهايتها
+
+372
+00:45:45,930 --> 00:45:58,820
+تطلع أيضاً موجبة طيب وبالتالي take epsilon يساوي R على
+
+373
+00:45:58,820 --> 00:46:09,180
+2 طبعاً هذا بالتأكيد عدد موجب الآن by star since
+
+374
+00:46:09,180 --> 00:46:18,240
+XN على YN converges to R as N tends to infinity
+
+375
+00:46:20,590 --> 00:46:26,850
+بقدر نلاقي capital N يعتمد على إبسلون عدد طبيعي
+
+376
+00:46:26,850 --> 00:46:32,830
+بحيث أنه absolute لكل N أكبر من أو يساوي capital N
+
+377
+00:46:32,830 --> 00:46:39,730
+بيطلع absolute xn على yn ناقص r أصغر من إبسلون
+
+378
+00:46:39,730 --> 00:46:49,430
+اللي هي يساوي R على 2 وهذا بيقود إلى فكينا وعملنا الـ
+
+379
+00:46:49,430 --> 00:46:56,730
+absolute value هيطلع عندي xn 
+
+380
+00:46:56,730 --> 00:47:03,910
+على yn أكبر من أو يساوي R على 2 أصغر من أو يساوي 3R على
+
+381
+00:47:03,910 --> 00:47:11,530
+2 وبما أنه هذا صحيح لكل N أكبر من أو يساوي capital
+
+382
+00:47:11,530 --> 00:47:21,570
+N الآن اضرب في YN YN طبعاً عدد موجب فبيطلع XN أصغر من
+
+383
+00:47:21,570 --> 00:47:27,370
+أو يساوي ثلاثة R على اثنين في YN أكبر من أو يساوي R على
+
+384
+00:47:27,370 --> 00:47:33,510
+اثنين في YN وهذا صحيح لكل N أكبر من أو يساوي
+
+385
+00:47:33,510 --> 00:47:37,330
+capital N تمام الآن now
+
+386
+00:47:45,120 --> 00:47:53,940
+نسمي هذه double star فالآن
+
+387
+00:47:53,940 --> 00:48:03,820
+if sigma x and converge then
+
+388
+00:48:03,820 --> 00:48:12,540
+by double star and comparison test and comparison
+
+389
+00:48:12,540 --> 00:48:22,450
+test واختبار المقارنة إذا كانت هذه convergent فبيطلع
+
+390
+00:48:22,450 --> 00:48:31,810
+هذه ال series convergent صح وبالتالي بيطلع sigma yn
+
+391
+00:48:31,810 --> 00:48:38,370
+converges هذا ثابت موج ممكن نضرب في مقلوب و
+
+392
+00:48:38,370 --> 00:48:42,490
+نتخلص منه إذا كانت هذه convergent فهذه convergent
+
+393
+00:48:46,950 --> 00:48:55,330
+Also إذا كانت ال series sigma y in converges then
+
+394
+00:48:55,330 --> 00:49:00,810
+برضه by المتباينة double star وال comparison
+
+395
+00:49:00,810 --> 00:49:04,890
+test إذا
+
+396
+00:49:04,890 --> 00:49:06,070
+نأخذ الجزء هذا
+
+397
+00:49:09,440 --> 00:49:12,720
+إذا كانت ال series هذي convergent والكبيرة هذي
+
+398
+00:49:12,720 --> 00:49:17,840
+convergent ففي ثابت موجب convergent فهذه تطلع
+
+399
+00:49:19,770 --> 00:49:25,650
+بيطلع sigma xn converges وبالتالي هذا بكمل برهان
+
+400
+00:49:25,650 --> 00:49:30,110
+الجزء الأول طبعاً برهان الجزء الثاني هيكون يعني
+
+401
+00:49:30,110 --> 00:49:36,530
+مشابه فلأن الواجهة انتهت هنوقف وهسيبكم تقرأ برهان
+
+402
+00:49:36,530 --> 00:49:41,890
+الجزء الأول من الكتاب فنكتفي بهذا القدر وإن شاء
+
+403
+00:49:41,890 --> 00:49:43,730
+الله نكمل المحاضرة الجاية

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/SrQnjpF43P0_raw.srt

@@ -0,0 +1,1628 @@
+1
+00:00:22,080 --> 00:00:28,960
+بسم الله الرحمن الرحيم ال .. هنواصل اليوم ان شاء
+
+2
+00:00:28,960 --> 00:00:39,080
+الله ال .. ال .. الشئ اللي بدأناه بخصوص المقدمة عن
+
+3
+00:00:39,080 --> 00:00:46,520
+ال infinite series بعتقد كانت أخر نظرية أخدناها هي
+
+4
+00:00:46,520 --> 00:00:47,700
+Cauchy criterion
+
+5
+00:00:51,790 --> 00:00:56,710
+كوشي كريتيريا for
+
+6
+00:00:56,710 --> 00:01:10,250
+infinite series a
+
+7
+00:01:10,250 --> 00:01:10,810
+series
+
+8
+00:01:22,490 --> 00:01:31,530
+converges if and only if الشرط التالي بتحقق لكل
+
+9
+00:01:31,530 --> 00:01:38,430
+epsilon أكبر من 0 يوجد capital N يعتمد على epsilon
+
+10
+00:01:38,430 --> 00:01:46,200
+عدد طبيعي بحيث أنهلو كان M أكبر من N أكبر من أو
+
+11
+00:01:46,200 --> 00:01:56,560
+ساوي capital M فهذا بيقدي أنه absolute SM minus SN
+
+12
+00:01:56,560 --> 00:02:05,840
+بساوي absolute XN زاد واحد زاد XN زاد اتنين و هكذا
+
+13
+00:02:05,840 --> 00:02:07,300
+إلى XM
+
+14
+00:02:11,640 --> 00:02:15,100
+النظرية هذه تبعت كوشي أخدناها المرة اللي فاتت و
+
+15
+00:02:15,100 --> 00:02:22,080
+برهناها مظبوط اليوم هناخد نظرية تانية و مهمة و
+
+16
+00:02:22,080 --> 00:02:31,660
+النظرية هذه بتقول انه let x in be sequence of non
+
+17
+00:02:31,660 --> 00:02:39,620
+-negative real numbers then
+
+18
+00:02:39,620 --> 00:02:40,420
+series
+
+19
+00:02:43,080 --> 00:02:49,340
+xn converges if
+
+20
+00:02:49,340 --> 00:02:55,680
+and only if الsequence of partial sums its
+
+21
+00:02:55,680 --> 00:03:05,600
+sequence of partial sums اللي
+
+22
+00:03:05,600 --> 00:03:07,540
+هي sn is bounded
+
+23
+00:03:16,760 --> 00:03:24,080
+proof we have sn
+
+24
+00:03:24,080 --> 00:03:36,020
+بساوي او sn زايد واحد بساوي sn
+
+25
+00:03:36,020 --> 00:03:42,070
+زايد xn زايد واحدالان زاد فرص partial sum بيساوي
+
+26
+00:03:42,070 --> 00:03:46,150
+الانف partial sum وبنضيف عليه لحد رقم ان زاد واحد
+
+27
+00:03:58,050 --> 00:04:02,070
+و طبعا ال Xn زاد واحد هذا احنا فرضين ان حدود ال
+
+28
+00:04:02,070 --> 00:04:08,530
+sequence Xn كلها غير سالبة فهذا غير سالب وبالتالي
+
+29
+00:04:08,530 --> 00:04:14,790
+المجموع هذا بالتأكيد اكبر من او سوى Sn لكل N في N
+
+30
+00:04:14,790 --> 00:04:17,870
+فهذا
+
+31
+00:04:17,870 --> 00:04:24,530
+معناه ان ال sequence Sn is increasing متزايدة
+
+32
+00:04:26,960 --> 00:04:30,480
+بالتالي، من خلال الوضع الوضع الوضع الوضع الوضع
+
+33
+00:04:30,480 --> 00:04:36,420
+الوضع الوضع
+
+34
+00:04:36,420 --> 00:04:40,960
+الوضع
+
+35
+00:04:40,960 --> 00:04:48,560
+الوضع الوضع
+
+36
+00:05:21,390 --> 00:05:23,410
+وهو المطلوب
+
+37
+00:05:25,890 --> 00:05:29,190
+أحنا أخدنا قبل هيك أن أي infinite series بتكون
+
+38
+00:05:29,190 --> 00:05:32,890
+convergent if and only if the sequence of partial
+
+39
+00:05:32,890 --> 00:05:36,810
+sums is convergent، صح؟ طيب، ال sequence of
+
+40
+00:05:36,810 --> 00:05:42,650
+partial sums بمعنها increasing فهي convergent by
+
+41
+00:05:42,650 --> 00:05:48,050
+monotone convergence theorem بتكون convergent if
+
+42
+00:05:48,050 --> 00:05:52,130
+and only if it is boundedوبالتالي الـ series
+
+43
+00:05:52,130 --> 00:05:54,770
+converges if and only if the sequence of partial
+
+44
+00:05:54,770 --> 00:06:02,210
+sums is bounded وهذا يثبت النظرية تمام؟ إذن هذه
+
+45
+00:06:02,210 --> 00:06:09,410
+النظرية أهميتها في أننا يعني تطبيقها زي ما هنشوف
+
+46
+00:06:09,410 --> 00:06:12,650
+في
+
+47
+00:06:12,650 --> 00:06:14,590
+لما هنا صغيرة لما
+
+48
+00:06:22,840 --> 00:06:28,020
+إذا .. إذا
+
+49
+00:06:28,020 --> 00:06:35,460
+Sn هي عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+50
+00:06:35,460 --> 00:06:40,200
+عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+51
+00:06:40,200 --> 00:06:41,360
+عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+52
+00:06:41,360 --> 00:06:41,460
+عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+53
+00:06:41,460 --> 00:06:41,460
+عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+54
+00:06:41,460 --> 00:06:41,460
+عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+55
+00:06:41,460 --> 00:06:41,480
+عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+56
+00:06:41,480 --> 00:06:41,480
+عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+57
+00:06:41,480 --> 00:06:43,900
+عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية عملية
+
+58
+00:06:43,900 --> 00:06:50,560
+عملية
+
+59
+00:06:50,560 --> 00:07:06,360
+عإذا كان هناك تجارب سكن
+
+60
+00:07:06,360 --> 00:07:15,180
+من سن التي مرتبطة
+
+61
+00:07:15,180 --> 00:07:22,480
+فالنتيجة
+
+62
+00:07:25,450 --> 00:07:34,870
+ثم سيكوانس SN نفسها مرتبط يعني
+
+63
+00:07:34,870 --> 00:07:37,450
+لو كان في عندي سيكوانس of non-negative real
+
+64
+00:07:37,450 --> 00:07:43,790
+numbers و السيكوانس هذه حدودها غير سالبة و
+
+65
+00:07:43,790 --> 00:07:50,030
+increase متزايدة و لو وجد subsequence من السيكوانس
+
+66
+00:07:50,030 --> 00:07:57,220
+SN و السيكوانس مرتبطالسيكوانس الأم أو السيكوانس
+
+67
+00:07:57,220 --> 00:08:02,260
+الأصلية بتكون أيضا bounded فالبرهان
+
+68
+00:08:02,260 --> 00:08:05,500
+تبع النظرية اللي هسيبكم هي أن تتبرهنوا ك exercise
+
+69
+00:08:05,500 --> 00:08:09,980
+for easy
+
+70
+00:08:09,980 --> 00:08:20,880
+exercise اذا انا هنسيبكم اتبرهنوا كتمرين في عندي
+
+71
+00:08:20,880 --> 00:08:21,580
+الآن
+
+72
+00:08:27,800 --> 00:08:44,940
+firm ال P series test let
+
+73
+00:08:44,940 --> 00:08:51,480
+P عدد موجب أصغر let P
+
+74
+00:08:55,440 --> 00:09:01,680
+هي عدد موجب اي عدد موجب ده
+
+75
+00:09:01,680 --> 00:09:09,640
+P series ده P series اللي هي سيجما from N equals
+
+76
+00:09:09,640 --> 00:09:17,100
+zero to infinity لواحد على N أُس P ال series هذه
+
+77
+00:09:17,100 --> 00:09:23,160
+بنسميها P series ال P series هذه ايش مالها؟ واحد
+
+78
+00:09:25,240 --> 00:09:37,540
+converges if P أكبر من واحد and name by virges if
+
+79
+00:09:37,540 --> 00:09:45,620
+P أصغر من أو يساوي واحد prove
+
+80
+00:09:45,620 --> 00:09:52,580
+نثبت الجزء الأول assume
+
+81
+00:09:54,990 --> 00:10:02,570
+إن P أكبر من 1 let
+
+82
+00:10:02,570 --> 00:10:07,510
+R بيساوي
+
+83
+00:10:07,510 --> 00:10:14,490
+واحد على اتنين أس P سالب واحد ال P أكبر من واحد
+
+84
+00:10:14,490 --> 00:10:21,330
+فالأس هذا موجب واحد على اتنين أس موجب طبعا هذا
+
+85
+00:10:21,330 --> 00:10:21,950
+بيطلع
+
+86
+00:10:24,540 --> 00:10:34,800
+عدد موجب و أصغر من واحد then ال R العدد R هذا أكبر
+
+87
+00:10:34,800 --> 00:10:44,300
+من سفر أصغر من واحد طيب four K بساوي اتنين اقصى
+
+88
+00:10:44,300 --> 00:10:52,860
+واحد سالب واحد اللي هو واحد MDS
+
+89
+00:10:58,390 --> 00:11:04,950
+عندي ال partial sum رقم
+
+90
+00:11:04,950 --> 00:11:10,130
+K اللي
+
+91
+00:11:10,130 --> 00:11:18,970
+هو بيساوي اتنين خليني اسمي هذا K واحد فال
+
+92
+00:11:18,970 --> 00:11:26,370
+partial sum S رقم K واحدبساوي طبعا k1 بساوي واحد
+
+93
+00:11:26,370 --> 00:11:36,190
+هنا هذا هو s1 بساوي واحد ال
+
+94
+00:11:36,190 --> 00:11:39,490
+first partial sum اللي هو مجموعة الحد الأول الحد
+
+95
+00:11:39,490 --> 00:11:47,470
+الأول هنا واحد صح طيب
+
+96
+00:11:47,470 --> 00:11:49,810
+four لو أخدت k2
+
+97
+00:11:52,090 --> 00:11:57,230
+لو أخدت K2 بيساوي اتنين اقصى اتنين سالب واحد هذا
+
+98
+00:11:57,230 --> 00:12:01,570
+بيطلع تلاتة ففي
+
+99
+00:12:01,570 --> 00:12:09,290
+الحالة هذه بيطلع عندي ال
+
+100
+00:12:09,290 --> 00:12:14,710
+partial sum رقم K2 هو نفس ال partial sum رقم تلاتة
+
+101
+00:12:14,710 --> 00:12:18,950
+فطبعا هذا هيساوي مجموع اول تلاتة حدود
+
+102
+00:12:22,250 --> 00:12:33,350
+فعندي هنا هيطلع أول حد واحد، التاني واحد على اتنين
+
+103
+00:12:33,350 --> 00:12:36,530
+أسقي
+
+104
+00:12:36,530 --> 00:12:42,670
+و الحد التالت واحد على تلاتة أسبيل
+
+105
+00:12:54,470 --> 00:12:58,710
+خلّينا هذه ال N مفروض تكون من واحد لان ات من واحد
+
+106
+00:12:58,710 --> 00:13:05,550
+لان ات ف S K2 هو S تلاتة S تلاتة بساوي واحد على
+
+107
+00:13:05,550 --> 00:13:10,110
+واحد أس P اللي هو واحد زائد واحد على اتنين أس P
+
+108
+00:13:10,110 --> 00:13:17,620
+زائد واحد على تلاتة أس Pطيب أنا عندي هذا أصغر من
+
+109
+00:13:17,620 --> 00:13:23,360
+واحد زايد واحد على اتنين أُس P زايد واحد على اتنين
+
+110
+00:13:23,360 --> 00:13:34,820
+أُس P since لأنه اتنين أُس P أصغر من تلاتة أُس P
+
+111
+00:13:34,820 --> 00:13:42,400
+فبتعني مقلوب تلاتة أُس P أصغر من مقلوب اتنين أُس P
+
+112
+00:13:42,400 --> 00:13:51,330
+صح؟و هذا بيساوي واحد زائد واحد على اتنين اصفى زائد
+
+113
+00:13:51,330 --> 00:13:58,850
+اتنين اتنين في واحد على اتنين اصفى هزبوت هدول حدين
+
+114
+00:13:58,850 --> 00:14:03,870
+متشابهين وهذا بيطلع بيساوي واحد زائد واحد على
+
+115
+00:14:03,870 --> 00:14:12,590
+اتنين اصفى سالب واحد وهذا بيساوي واحد زائد اربع
+
+116
+00:14:14,460 --> 00:14:20,460
+معرف ال R على إنها 1 على 2 أُس P سالب واحد
+
+117
+00:14:20,460 --> 00:14:24,420
+Similarly
+
+118
+00:14:24,420 --> 00:14:29,820
+بالمثل لو
+
+119
+00:14:29,820 --> 00:14:39,060
+كانت K تلاتة بساوي اتنين أس تلاتة سالب واحد يعني
+
+120
+00:14:39,060 --> 00:14:43,140
+سبعة then
+
+121
+00:14:44,850 --> 00:14:53,850
+هيكون SK3 هيطلع بساوي SK2
+
+122
+00:14:53,850 --> 00:14:58,350
+زائد
+
+123
+00:14:58,350 --> 00:15:05,210
+واحد على أربعة أس P زائد واحد على خمسة أس P زائد
+
+124
+00:15:05,210 --> 00:15:10,990
+واحد على ستة أس P زائد واحد على سبعة أس P مظبوط
+
+125
+00:15:10,990 --> 00:15:11,990
+هيك صح؟
+
+126
+00:15:14,290 --> 00:15:18,410
+لأن S K 2 هو واحد زاد واحد على اتنين أسفل زاد واحد
+
+127
+00:15:18,410 --> 00:15:23,430
+على تلاتة أسفل وهذا
+
+128
+00:15:23,430 --> 00:15:37,510
+أصغر من .. طبعا S K 2 أصغر من واحد قلنا زائد R
+
+129
+00:15:41,610 --> 00:15:46,750
+و بعدين الحدود هذه .. كل واحد من الحدود هذه أصغر
+
+130
+00:15:46,750 --> 00:15:52,250
+من أو يساوي واحد على أربعة أس P واحد على أربعة أس
+
+131
+00:15:52,250 --> 00:15:57,570
+P .. واحد على أربعة أس P .. واحد على أربعة أس P
+
+132
+00:15:57,570 --> 00:16:02,690
+لأن كل واحد من المقامات هذه أكبر من أو يساوي أربعة
+
+133
+00:16:02,690 --> 00:16:09,870
+أس Pطب أقول جديش عددهم أربعة هذا بيساوي واحد زايد
+
+134
+00:16:09,870 --> 00:16:17,730
+R زايد أربعة على أربعة أس P هو يساوي واحد زايد R
+
+135
+00:16:17,730 --> 00:16:27,810
+زايد واحد على أربعة أس P سالب واحد إذن بيطلع عندي
+
+136
+00:16:27,810 --> 00:16:38,880
+أنا S K تلاتة أصغر من واحد زايد Rزائد واحد على
+
+137
+00:16:38,880 --> 00:16:43,480
+اتنين اتنين
+
+138
+00:16:43,480 --> 00:16:49,820
+قص اتنين في P سالب واحد وهذا
+
+139
+00:16:49,820 --> 00:16:58,520
+هو R تربية هذا بيساوي واحد زائد R زائد R تربية لو
+
+140
+00:16:58,520 --> 00:17:04,120
+سمرنا في العملية هذه continuing
+
+141
+00:17:07,150 --> 00:17:16,370
+inductively بطريقة استقرائية continuing
+
+142
+00:17:16,370 --> 00:17:22,590
+inductively يعني by induction باستخدام
+
+143
+00:17:22,590 --> 00:17:28,350
+ال induction we
+
+144
+00:17:28,350 --> 00:17:32,570
+get نحصل على التالي for
+
+145
+00:17:40,680 --> 00:17:50,100
+for K J بيساوي اتنين اقصد J سالب واحد we
+
+146
+00:17:50,100 --> 00:17:55,340
+have S
+
+147
+00:17:55,340 --> 00:18:08,260
+K J هيطلع اصغر من واحد زائد R زائد R ترمية زائد
+
+148
+00:18:10,870 --> 00:18:22,010
+R أُس J سالب واحد و
+
+149
+00:18:22,010 --> 00:18:27,830
+هذا صحيح لكل J في N هزبط
+
+150
+00:18:27,830 --> 00:18:36,550
+هيك صح هيتعالى نشوف لما J كانت بالسلب واحد فطلع
+
+151
+00:18:36,550 --> 00:18:43,660
+عندي Sك واحد بيساوي واحد وأصغر من أو يساوي الواحد
+
+152
+00:18:43,660 --> 00:18:47,600
+لما
+
+153
+00:18:47,600 --> 00:18:54,920
+ك ج بيساوي اتنين لما
+
+154
+00:18:54,920 --> 00:19:02,980
+ج بيساوي اتنينفطلع SK2 أصغر من واحد زائد R واحد
+
+155
+00:19:02,980 --> 00:19:09,660
+زائد هاي اتنين سالب واحد الأسف لما J بساوية تلاتة
+
+156
+00:19:09,660 --> 00:19:15,800
+عندي طلع ال SK تلاتة أصغر من واحد زائد R زائد R أس
+
+157
+00:19:15,800 --> 00:19:21,280
+تلاتة سالب واحد إذا S sub KJ أصغر من واحد زائد R
+
+158
+00:19:21,280 --> 00:19:30,540
+إلى R أس J minus واحدالان هذا المجموع أصغر من
+
+159
+00:19:30,540 --> 00:19:39,280
+مجموع ال infinite series اللي هي summation من j
+
+160
+00:19:39,280 --> 00:19:48,980
+بساوي سفر إلى ملا نهاية لR أس J صح؟
+
+161
+00:19:50,160 --> 00:19:56,760
+هذا عبارة
+
+162
+00:19:56,760 --> 00:20:01,440
+عن finite sum أصغر من مجموعة infinite series هذه
+
+163
+00:20:01,440 --> 00:20:10,700
+عبارة عن geometric series with first term واحد وال
+
+164
+00:20:10,700 --> 00:20:18,140
+ratio تبعها R والـ R أكبر من صفر أصغر من واحدإذا
+
+165
+00:20:18,140 --> 00:20:23,080
+الـ geometric series هذه converges ومجموعة بساوي
+
+166
+00:20:23,080 --> 00:20:30,820
+واحد على واحد minus R الكلام
+
+167
+00:20:30,820 --> 00:20:37,320
+هذا صحيح for all j belong to M وطبعا ال SKJ هذا
+
+168
+00:20:37,320 --> 00:20:42,760
+عبارة عن مجموعة partial sum partial sum لأعداد
+
+169
+00:20:42,760 --> 00:20:44,560
+موجبة وبالتالي موجبة
+
+170
+00:20:47,700 --> 00:20:52,720
+إذا أنا هيك أثبتت إن ال sub
+
+171
+00:20:52,720 --> 00:20:58,700
+sequence SKJ bounded below by 0 و bounded above by
+
+172
+00:20:58,700 --> 00:21:05,420
+العدد الموجب 1 على 1 minus R وبالتالي،
+
+173
+00:21:05,420 --> 00:21:10,160
+إذا هيك نستنتج، therefore the subsequence
+
+174
+00:21:13,370 --> 00:21:18,210
+ده sub-sequence اللي هي SKJ هاد ال sub-sequence من
+
+175
+00:21:18,210 --> 00:21:24,370
+مين؟ من ال sequence of partial sums SN اشملها is
+
+176
+00:21:24,370 --> 00:21:31,490
+bounded أثبتنا أنها ايه؟ bounded، مصدقوط؟ طلعنا
+
+177
+00:21:31,490 --> 00:21:35,090
+احنا عملنا construction ل sub-sequenceمن الـ
+
+178
+00:21:35,090 --> 00:21:37,370
+sequence of partial sums وهي طلعت bounded هي
+
+179
+00:21:37,370 --> 00:21:41,670
+bounded below by 0 bounded above by 1 over 1 minus
+
+180
+00:21:41,670 --> 00:21:53,610
+r لأن حسب اللمّة اللي فاتت so by above لمّة ال
+
+181
+00:21:53,610 --> 00:21:56,730
+sequence of partial sums نفسها is bounded
+
+182
+00:22:02,950 --> 00:22:08,570
+وبالتالي إذا by above theorem مدام ال sequence of
+
+183
+00:22:08,570 --> 00:22:11,910
+partial sums is bounded إذا ال series converges
+
+184
+00:22:11,910 --> 00:22:15,710
+okay
+
+185
+00:22:15,710 --> 00:22:23,790
+إذا بعديكم نقول so
+
+186
+00:22:23,790 --> 00:22:29,930
+by above theorem ال
+
+187
+00:22:29,930 --> 00:22:46,080
+series sigma1 على N أكبر من 1 فهذا
+
+188
+00:22:46,080 --> 00:22:53,300
+يثبت الجزء الأول من النظرية خلّينا
+
+189
+00:22:53,300 --> 00:22:54,640
+نثبت الجزء التاني
+
+190
+00:23:10,080 --> 00:23:17,200
+using induction you
+
+191
+00:23:17,200 --> 00:23:21,660
+can show أنه
+
+192
+00:23:21,660 --> 00:23:26,800
+for P
+
+193
+00:23:26,800 --> 00:23:29,140
+أكبر من صفر أصغر من واحد
+
+194
+00:23:32,370 --> 00:23:37,970
+لو كانت ال P طبعا أكبر من صفر وأصغر من أو ساوي
+
+195
+00:23:37,970 --> 00:23:46,110
+الواحد ف N أوس P بطلع أصغر من أو ساوي N لكل N في N
+
+196
+00:23:46,110 --> 00:23:49,670
+صح؟
+
+197
+00:23:49,670 --> 00:23:57,430
+انا ممكن اثباته by inductionSo, 1 على n أصغر لو
+
+198
+00:23:57,430 --> 00:24:08,470
+ساقى 1 على n أُس في for all n ينتمي إلى n فإن
+
+199
+00:24:08,470 --> 00:24:12,710
+هذا بيقدّي هذا بيقدّي
+
+200
+00:24:30,450 --> 00:24:36,590
+this implies أن ال summation from k بساوي واحد to
+
+201
+00:24:36,590 --> 00:24:44,150
+n لواحد على k أصغر لو ساوي summation من k بساوي
+
+202
+00:24:44,150 --> 00:24:55,850
+واحد إلى n لواحد على n على k أوس Pطب ما هذا عبارة
+
+203
+00:24:55,850 --> 00:25:02,270
+عن ال partial sum لسمي S N لل harmonic series ..
+
+204
+00:25:02,270 --> 00:25:09,410
+لل .. لل harmonic series و هذا عبارة عن ال partial
+
+205
+00:25:09,410 --> 00:25:17,870
+sum سمي S N star لل P series صح؟ إن أنا أصبح عندي
+
+206
+00:25:17,870 --> 00:25:21,850
+أنا S N أصغر من أو ساوي S N star
+
+207
+00:25:24,550 --> 00:25:29,430
+where لكل n where
+
+208
+00:25:29,430 --> 00:25:36,530
+sn بساوي sigma واحد على k من k بساوي واحد إلى n و
+
+209
+00:25:36,530 --> 00:25:42,230
+sn star بساوي sigma من k بساوي واحد إلى n لواحد
+
+210
+00:25:42,230 --> 00:25:51,630
+على k أُس P طيب since أثبتنا احنا قبل هيك انه ال
+
+211
+00:25:51,630 --> 00:25:53,230
+sequence of partial sums
+
+212
+00:25:56,310 --> 00:26:01,790
+السيكوانس SN هذا عبارة عن السيكوانس of partial
+
+213
+00:26:01,790 --> 00:26:02,290
+sums
+
+214
+00:26:12,510 --> 00:26:17,510
+of the harmonic series sigma 1 على n ايش مالهم؟
+
+215
+00:26:17,510 --> 00:26:23,070
+اثبتنا انهم unbounded ال sequence هذه is unbounded
+
+216
+00:26:23,070 --> 00:26:30,670
+بنالنا ذلك في مثال سابق unbounded
+
+217
+00:26:30,670 --> 00:26:35,070
+فلو سمينا المتباين
+
+218
+00:26:35,070 --> 00:26:39,530
+هذا star then
+
+219
+00:26:39,530 --> 00:26:40,370
+it follows
+
+220
+00:26:44,900 --> 00:26:50,900
+from star ينتج من المتباينة star إذا كانت ال
+
+221
+00:26:50,900 --> 00:26:55,600
+sequence هذه unbounded
+
+222
+00:26:55,600 --> 00:27:00,620
+لصغيرة unbounded فالحدود أكبر is unbounded ال
+
+223
+00:27:00,620 --> 00:27:11,140
+sequence SM star is unbounded وبالتالي
+
+224
+00:27:11,140 --> 00:27:13,600
+حسب النظرية أعلى so by
+
+225
+00:27:20,890 --> 00:27:26,890
+السيريز هي سيكوينس باشا سمسا بايتالي P Series
+
+226
+00:27:26,890 --> 00:27:32,930
+سيجما من K بساوة واحد وإنفينيتي لواحد على K أوس P
+
+227
+00:27:32,930 --> 00:27:36,290
+is divergent
+
+228
+00:27:41,610 --> 00:27:48,170
+حسب النظرية اللى ذكرناها سابقًا، طيب، في عندي هاي
+
+229
+00:27:48,170 --> 00:27:51,750
+series of positive numbers أو non-negative real
+
+230
+00:27:51,750 --> 00:27:55,890
+numbers و ال sequence of partial sums أبعدتها
+
+231
+00:27:55,890 --> 00:28:00,250
+unbounded، إذا حسب النظرية ال series is not
+
+232
+00:28:00,250 --> 00:28:05,260
+convergent أو divergent، صح؟إذن هذا بتثبت الجزء
+
+233
+00:28:05,260 --> 00:28:09,880
+التاني وبالتاني هيك بيكون بارهاننا اختبار ال P
+
+234
+00:28:09,880 --> 00:28:15,200
+-series test او ال P-series test إذن
+
+235
+00:28:15,200 --> 00:28:20,960
+أي P-series بتكون convergent إذا ال P أكبر من واحد
+
+236
+00:28:20,960 --> 00:28:25,620
+و divergent إذا P أصغر من أول ساول واحد في أي
+
+237
+00:28:25,620 --> 00:28:26,220
+سؤال؟
+
+238
+00:28:52,320 --> 00:28:55,800
+زي ما أخرنا comparison و limit comparison test
+
+239
+00:28:55,800 --> 00:29:00,920
+للsequences في comparison test لل series
+
+240
+00:29:00,920 --> 00:29:08,900
+comparison
+
+241
+00:29:08,900 --> 00:29:13,960
+test
+
+242
+00:29:13,960 --> 00:29:17,020
+for series
+
+243
+00:29:33,680 --> 00:29:40,800
+لت XIN و YIN بـ sequences of non-negative real
+
+244
+00:29:40,800 --> 00:29:41,380
+numbers
+
+245
+00:29:49,780 --> 00:29:58,060
+يكون such that xn أصغر من أو ساوي yn أكبر من أو
+
+246
+00:29:58,060 --> 00:30:06,540
+ساوي سفر for all n أكبر من أو ساوي k for some k
+
+247
+00:30:06,540 --> 00:30:14,660
+ينتمي إلى n أنا
+
+248
+00:30:14,660 --> 00:30:19,950
+لدي two sequences of real numberالتنتين حدودهم غير
+
+249
+00:30:19,950 --> 00:30:26,790
+سالبة من capital .. من capital K و انت طالع ممكن
+
+250
+00:30:26,790 --> 00:30:30,350
+الحدود اللي جابل .. اللي رقمهم أصغر من K بتكون
+
+251
+00:30:30,350 --> 00:30:36,150
+سالبة مش مشكلة أو مايكونش xn أصغر .. ممكن يكون xn
+
+252
+00:30:36,150 --> 00:30:41,830
+أكبر من yn مش مشكلة لكن من عند capital Kلكل مؤشر
+
+253
+00:30:41,830 --> 00:30:45,810
+لكل index because on an equal key أنا بدي xn أصغر
+
+254
+00:30:45,810 --> 00:30:51,990
+من وسائر yn واتنين يكونوا غير سلبين الآن إذا كانت
+
+255
+00:30:51,990 --> 00:30:58,190
+ال series sigma
+
+256
+00:30:58,190 --> 00:31:06,970
+xn إذا كانت ال series الأولى convergent أو الكبيرة
+
+257
+00:31:09,920 --> 00:31:17,540
+convergent بتقدي ان ال series الأصغر converge and
+
+258
+00:31:17,540 --> 00:31:29,520
+لو كانت ال series الأكبر الأصغر diverge فبتقدي
+
+259
+00:31:29,520 --> 00:31:36,700
+أن ال series الأكبر بالتأكيد diverge وهي
+
+260
+00:31:36,700 --> 00:31:45,380
+البرهان البرهن الجزء الأولassume أنه ال series
+
+261
+00:31:45,380 --> 00:31:56,180
+sigma yn converges then
+
+262
+00:31:56,180 --> 00:32:00,000
+by cauchy
+
+263
+00:32:00,000 --> 00:32:10,000
+criterion for series given
+
+264
+00:32:12,200 --> 00:32:18,900
+epsilon أكبر من الصفر يوجد capital N يعتمد على
+
+265
+00:32:18,900 --> 00:32:26,920
+epsilon عدد طبيعي بحيث أنه لكل M أكبر من small n
+
+266
+00:32:26,920 --> 00:32:31,620
+أكبر من أو ساوي capital N هيطلع عندي absolute
+
+267
+00:32:39,200 --> 00:32:51,200
+YNZ1Z YNZ2 و هكذا الى YM أصغر من إبسن هذا من Koshi
+
+268
+00:32:51,200 --> 00:32:51,760
+criterion
+
+269
+00:33:15,050 --> 00:33:23,830
+طيب انا عندي let
+
+270
+00:33:23,830 --> 00:33:34,730
+M بساوي ال maximum الأكبر ب N العدد K هذا الطبيعي
+
+271
+00:33:34,730 --> 00:33:40,010
+K و العدد الطبيعي capital N اللي بيعتمد على
+
+272
+00:33:40,010 --> 00:33:40,330
+epsilon
+
+273
+00:33:43,140 --> 00:33:49,360
+فاكيد طبعا هذا عدد طبيعي وهذا عدد طبيعي فان ام
+
+274
+00:33:49,360 --> 00:33:54,200
+هيطلع عدد طبيعي وام يعتمد على ابسلون لأن الام
+
+275
+00:33:54,200 --> 00:34:01,500
+يعتمد على capital ان وcapital ان تعتمد على ابسلون
+
+276
+00:34:01,500 --> 00:34:09,900
+اذا لو اخدت انا ان اكبر من ام او ام اكبر من ان وان
+
+277
+00:34:09,900 --> 00:34:18,560
+اكبر من او ساوي capital انفهذا بالتأكيد هيقدّي انه
+
+278
+00:34:18,560 --> 00:34:23,480
+ال ..
+
+279
+00:34:23,480 --> 00:34:29,520
+ال .. من هنا من الفرض نسمي الفرض هذا star
+
+280
+00:34:34,930 --> 00:34:45,790
+فمن star هيطلع عندي مفروض xn زائد واحد زائد xn
+
+281
+00:34:45,790 --> 00:34:51,130
+زائد اتنين زائد و هكذا الى xm
+
+282
+00:35:01,640 --> 00:35:06,300
+الـ absolute هذا الان كله موجب هذه كل حدود موجبة
+
+283
+00:35:06,300 --> 00:35:12,160
+أو غير سالبة لأن ال N أكبر من أوي ساوي كابتل N
+
+284
+00:35:12,160 --> 00:35:17,380
+وبالتالي هذا بيقدي ان N أكبر من أوي ساوي كابتل K
+
+285
+00:35:17,380 --> 00:35:25,520
+صح؟ إذا باستخدام star كابتل
+
+286
+00:35:25,520 --> 00:35:28,260
+عفوا ان هذه المفروضة تكون M
+
+287
+00:35:31,530 --> 00:35:36,470
+الان لكل M أكبر من M أكبر من أو ساوي capital M
+
+288
+00:35:36,470 --> 00:35:41,110
+capital M هذه أكبر من أو ساوي K وبالتالي M أكبر من
+
+289
+00:35:41,110 --> 00:35:46,030
+أو ساوي K إذن الحدود هذه كلها موجبة أو غير سالبة
+
+290
+00:35:46,030 --> 00:35:58,830
+صح من star و أصغر من أو ساوي اللي هو YM زاد واحد
+
+291
+00:35:58,830 --> 00:36:10,810
+زاد YMزائد اتنين زائد و هكذا الى الى
+
+292
+00:36:10,810 --> 00:36:19,870
+YM برضه هذه كلها حدود غير سالبة وبالتالي هذه هي
+
+293
+00:36:19,870 --> 00:36:25,370
+نفس ال absolute YN زائد واحد زائد YN زائد اتنين
+
+294
+00:36:25,370 --> 00:36:25,910
+زائد
+
+295
+00:36:29,190 --> 00:36:37,590
+ym ومن هنا لاحظوا ال n أكبر من أو ساوي capital M و
+
+296
+00:36:37,590 --> 00:36:42,870
+ال M أكبر من أو ساوي capital N فبطلع عندي كمان هنا
+
+297
+00:36:42,870 --> 00:36:50,630
+ال N أكبر من أو ساوي capital M لأن ال M أكبر من أو
+
+298
+00:36:50,630 --> 00:36:56,650
+ساوي capital N وبالتالي من ال implication هذههذا
+
+299
+00:36:56,650 --> 00:37:04,470
+بيطلع أصغر من إبسلم إن أنا طلع عندي absolute xn
+
+300
+00:37:04,470 --> 00:37:11,050
+زائد واحد زائد xn زائد اتنين زائد إلى آخرى إلى xn
+
+301
+00:37:11,050 --> 00:37:17,380
+أصغر من إبسلمهذا عدد غير سالب المجموعة ده غير سالب
+
+302
+00:37:17,380 --> 00:37:20,800
+لإن كل ال X غير سالب وبالتالي ال absolute value هي
+
+303
+00:37:20,800 --> 00:37:24,680
+نفسها هذا هو ال absolute value العدد غير سالب نفسه
+
+304
+00:37:24,680 --> 00:37:31,060
+لإن هنا أثبتنا الكلام هذا صحيح لكل M أكبر من N
+
+305
+00:37:31,060 --> 00:37:36,880
+أكبر من أو يساوي capital M so بستخدم كوشي
+
+306
+00:37:36,880 --> 00:37:42,780
+criterion كمان مرة by koshi criterion
+
+307
+00:37:45,130 --> 00:37:50,250
+for series الـ
+
+308
+00:37:50,250 --> 00:37:57,310
+series sigma xn converges لأن
+
+309
+00:37:57,310 --> 00:38:02,130
+هاي شرط كوشي متحقق، صح؟
+
+310
+00:38:02,130 --> 00:38:07,390
+هاي لأي إبسلون given إبسلون أكبر من السفر أثناء أن
+
+311
+00:38:07,390 --> 00:38:13,490
+يوجد capital Mيعني يعتمد على إبسلون بحيث لكل M
+
+312
+00:38:13,490 --> 00:38:18,350
+أكبر من N أكبر من أو ساوي كابتال N فلاندي أبسليوت
+
+313
+00:38:18,350 --> 00:38:23,150
+XN زاد واحد زائد إلى XM أصغر من إبسلون إذا حسب
+
+314
+00:38:23,150 --> 00:38:27,050
+كوشي criterion ال series Sigma XN converges هذا
+
+315
+00:38:27,050 --> 00:38:36,790
+بكمل برهان الجزء الأول الجزء التاني بينتج
+
+316
+00:38:36,790 --> 00:38:37,890
+من الجزء الأول
+
+317
+00:38:42,270 --> 00:38:52,390
+this is the contrapositive .. the contrapositive
+
+318
+00:38:52,390 --> 00:39:00,330
+أو the contraposition .. this is the
+
+319
+00:39:00,330 --> 00:39:04,930
+contraposition of ال statement واحد
+
+320
+00:39:08,170 --> 00:39:12,270
+أنا في عندي قانون في ال logic بيقول إذا كان P فأدي
+
+321
+00:39:12,270 --> 00:39:19,370
+ل Q ف��ل statement هذا بكافئ ال counter positive مش
+
+322
+00:39:19,370 --> 00:39:21,950
+النفي تبعه ال counter positive معناه المعاكس
+
+323
+00:39:21,950 --> 00:39:30,550
+الإيجابي فهذا بكافئ not Q implies not P فذا
+
+324
+00:39:30,550 --> 00:39:37,130
+أثبتنا إن هذا true فهذا بيكون trueطب تعالى نشوف
+
+325
+00:39:37,130 --> 00:39:39,810
+هذا هذا اللى انا اثبتنا انه true اللى هو الجزء ا
+
+326
+00:39:39,810 --> 00:39:43,590
+او الجزء واحد الجزء التانى هو ال counter positive
+
+327
+00:39:44,960 --> 00:39:50,320
+هل هذا صحيح تعالوا نقرأ الجزء التاني او تعالوا
+
+328
+00:39:50,320 --> 00:39:55,420
+نجيب ال contrapositive للعبارة في الجزء الأول ال
+
+329
+00:39:55,420 --> 00:39:59,800
+contrapositive للعبارة في الجزء الأول نفي هذا اللي
+
+330
+00:39:59,800 --> 00:40:04,160
+هو ال series sigma x in by dirge بيقدي الى نفي هذا
+
+331
+00:40:04,160 --> 00:40:08,420
+اللي هو ال series y in by dirgeوبالتالي هيك بنكون
+
+332
+00:40:08,420 --> 00:40:17,700
+كملنا البرران تمام؟ واضح؟ في أي سؤال؟ أي استفسار؟
+
+333
+00:40:17,700 --> 00:40:25,180
+أحيانا بيكون صعب أن احنا نعملمقارنة بين حدود ال
+
+334
+00:40:25,180 --> 00:40:32,500
+series sigma xn و حدود ال series sigma yn بالطريقة
+
+335
+00:40:32,500 --> 00:40:37,480
+المباشرة زي ما في ال star أحيانا مش سهل نعمل
+
+336
+00:40:37,480 --> 00:40:43,020
+مقارنة زي هذه وبالتالي بنلجأ إلى اختبار اخر بنسميه
+
+337
+00:40:43,020 --> 00:40:49,320
+limit comparison testفنكتب ال test هذا دكتور؟ نعم
+
+338
+00:40:49,320 --> 00:40:53,560
+هلأ عبس النظرية برضه خطأ يعني نفس نحو اللي كنا
+
+339
+00:40:53,560 --> 00:40:58,360
+نعمله بال sequence نعمله بال series هى الفترة
+
+340
+00:40:58,360 --> 00:41:01,940
+التالية؟ اه طبعا يعني انت لو كان مثلا هذه الصحية
+
+341
+00:41:01,940 --> 00:41:08,160
+كلامك بالظبط يعني لو كانت ال series ال series مثلا
+
+342
+00:41:08,160 --> 00:41:14,190
+هذه ال sigma yn diverseهل هذا بيقعد ان sigma xn
+
+343
+00:41:14,190 --> 00:41:18,530
+diverge؟ مش بالضرورة ممكن diverge و ممكن converge
+
+344
+00:41:18,530 --> 00:41:25,510
+نفس الحاجة لو كانت ال series sigma xn converge هل
+
+345
+00:41:25,510 --> 00:41:31,030
+sigma yn converge؟ ممكن او ممكن لأ اكيد و ممكن
+
+346
+00:41:31,030 --> 00:41:34,690
+نجيب counter examples لازم تفكري في إيجاد counter
+
+347
+00:41:34,690 --> 00:41:36,850
+examples و انت بتدرسيه
+
+348
+00:41:40,810 --> 00:41:53,630
+نشوف ال limit comparison test limit
+
+349
+00:41:53,630 --> 00:42:02,030
+comparison test
+
+350
+00:42:18,300 --> 00:42:27,120
+لت Xn وYn بيكونوا سيكوانس من حدود حقيقية مفتوحة
+
+351
+00:42:27,120 --> 00:42:36,560
+بيكون حدود حقيقية مفتوحة بيكون حدود حقيقية مفتوحة
+
+352
+00:42:36,560 --> 00:42:38,340
+بيكون حدود حقيقية مفتوحة بيكون حدود حقيقية مفتوحة
+
+353
+00:42:38,340 --> 00:42:40,480
+بيكون حدود حقيقية مفتوحة بيكون حدود حقيقية مفتوحة
+
+354
+00:42:40,480 --> 00:42:40,480
+به
+
+355
+00:42:47,730 --> 00:42:56,850
+و ال R هذا يعني عدد حقيقي طبعا ينتمي إلى R ففي
+
+356
+00:42:56,850 --> 00:43:04,670
+عندي برضه نتيجتين النتيجة الأولى إذا كان ال R
+
+357
+00:43:04,670 --> 00:43:09,630
+بسويش سفر then
+
+358
+00:43:09,630 --> 00:43:15,330
+ال series sigma X M converges if and only if
+
+359
+00:43:24,150 --> 00:43:43,650
+الجزء التاني من النظرية لو
+
+360
+00:43:43,650 --> 00:43:52,220
+كان R بساوي سفربعد ذلك لو الار بيسوي سفر يعني ان
+
+361
+00:43:52,220 --> 00:44:01,220
+الار بيسويش سفر then ال series sigma y in دي درجز
+
+362
+00:44:01,220 --> 00:44:07,840
+بيقدي ان ال series sigma x in دي درجز
+
+363
+00:44:11,380 --> 00:44:19,300
+او لأ convergence افضل لو كانت series sigma yn
+
+364
+00:44:19,300 --> 00:44:24,480
+convergence بيقدي ان series sigma xn ايبان
+
+365
+00:44:24,480 --> 00:44:27,620
+convergence فقط اتجاه واحد لكن الاكس مش شرط تكون
+
+366
+00:44:27,620 --> 00:44:37,460
+صحيح okay تمام هو البرهان
+
+367
+00:44:37,460 --> 00:44:38,520
+يعني كتير سهل
+
+368
+00:44:49,520 --> 00:45:02,300
+بنسمي الشرط هذا star الجزء
+
+369
+00:45:02,300 --> 00:45:12,940
+الأول assume ان R لا يساوي سفر طبعا
+
+370
+00:45:12,940 --> 00:45:21,670
+في الحالة هذه ال R بطلع موجدلأن لحظة انتوا ان xn
+
+371
+00:45:21,670 --> 00:45:27,810
+على yn هذه كلها أعداد موجبة و ال limit ل sequence
+
+372
+00:45:27,810 --> 00:45:31,930
+أعداء كل حدودها موجبة بيطلع المفروض يطلع ال limit
+
+373
+00:45:31,930 --> 00:45:37,970
+تبعتها موجبة إذا كانت ال limit موجودة واضح؟ إذن
+
+374
+00:45:37,970 --> 00:45:42,090
+هذا من نظرية سابقة لما أن حدود ال sequence xn على
+
+375
+00:45:42,090 --> 00:45:45,930
+yn هذه ال sequence حدودها كلها موجبة إذا نهايتها
+
+376
+00:45:45,930 --> 00:45:58,820
+تطلع أيضا موجبةطيب وبالتالي take epsilon بساوي R ع
+
+377
+00:45:58,820 --> 00:46:09,180
+2 طبعا هذا بالتأكيد عدد موجب الان by star since
+
+378
+00:46:09,180 --> 00:46:18,240
+XN على YN converges to R as N tends to infinity
+
+379
+00:46:20,590 --> 00:46:26,850
+بقدر نلاقي capital N يعتمد على إبسلون عدد طبيعي
+
+380
+00:46:26,850 --> 00:46:32,830
+بحيث أنه absolute لكل N أكبر من أو يساوي capital N
+
+381
+00:46:32,830 --> 00:46:39,730
+بيطلع absolute xn على yn minus r أصغر من إبسلون
+
+382
+00:46:39,730 --> 00:46:49,430
+اللي هي بيساوي R ع 2 وهذا بيقديلو فكنا وعملنا ال
+
+383
+00:46:49,430 --> 00:46:56,730
+absolute value هيطلع عندي xn
+
+384
+00:46:56,730 --> 00:47:03,910
+على yn أكبر من أو ساوي R ع 2 أصغر من أو ساوي 3R ع
+
+385
+00:47:03,910 --> 00:47:11,530
+2 وبما أنه هذا صحيح لكل N أكبر من أو ساوي capital
+
+386
+00:47:11,530 --> 00:47:21,570
+Nالان اضرب في YN YN طبعا عدد موجب فبطلع XN أصغر من
+
+387
+00:47:21,570 --> 00:47:27,370
+أو ساوي تلاتة R ع اتنين في YN أكبر من أو ساوي R ع
+
+388
+00:47:27,370 --> 00:47:33,510
+اتنين في YN وهذا صحيح لكل N أكبر من أو ساوي
+
+389
+00:47:33,510 --> 00:47:37,330
+capital N تمام الان now
+
+390
+00:47:45,120 --> 00:47:53,940
+نسمي هذه double star فالان
+
+391
+00:47:53,940 --> 00:48:03,820
+if sigma x and converge then
+
+392
+00:48:03,820 --> 00:48:12,540
+by double star and comparison test and comparison
+
+393
+00:48:12,540 --> 00:48:22,450
+testواختبار المقارنة إذا كانت هذه convergent فبطلع
+
+394
+00:48:22,450 --> 00:48:31,810
+هذه ال series convergent صح وبالتالي بطلع sigma yn
+
+395
+00:48:31,810 --> 00:48:38,370
+convergence هذا ثابت موجة ممكن نضرب في مقلوب و
+
+396
+00:48:38,370 --> 00:48:42,490
+نتخلص منه إذا كانت هذه convergent فهذه convergent
+
+397
+00:48:46,950 --> 00:48:55,330
+Also إذا كانت ال series sigma y in converge then
+
+398
+00:48:55,330 --> 00:49:00,810
+برضه by المتباينة double star and ال comparison
+
+399
+00:49:00,810 --> 00:49:04,890
+test إذا
+
+400
+00:49:04,890 --> 00:49:06,070
+ناخد الجزء هذا
+
+401
+00:49:09,440 --> 00:49:12,720
+إذا كانت ال series هذي convergent و الكبيرة هذي
+
+402
+00:49:12,720 --> 00:49:17,840
+convergent ففي ثابت موجب convergent فهذه تطلع
+
+403
+00:49:19,770 --> 00:49:25,650
+بطلع sigma xn conversion وبالتالي هذا بكمل برهان
+
+404
+00:49:25,650 --> 00:49:30,110
+الجزء الأول طبعا برهان الجزء التاني هيكون يعني
+
+405
+00:49:30,110 --> 00:49:36,530
+مشابه فلأن الواجهة انتهى هنوقف و هسيبكم تقرؤ برهان
+
+406
+00:49:36,530 --> 00:49:41,890
+الجزء الأول من الكتاب فنكتفي بهذا القدر و ان شاء
+
+407
+00:49:41,890 --> 00:49:43,730
+الله نكمل المحاضرة الجاية
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Sym_17KvBqE.srt

@@ -0,0 +1,1722 @@
+1
+00:00:20,830 --> 00:00:26,410
+بسم الله الرحمن الرحيم احنا في المحاضرة اللي فاتت
+
+2
+00:00:26,410 --> 00:00:32,690
+اتحدثنا عن ال limit comparison test وبرهنّا 
+
+3
+00:00:32,690 --> 00:00:37,470
+الجزء الأول منه فنرجع مع بعض ال limit comparison
+
+4
+00:00:37,470 --> 00:00:43,190
+test for infinite series طبعًا طبعًا في limit
+
+5
+00:00:43,190 --> 00:00:47,450
+comparison test for sequences الآن هذا الاختبار 
+
+6
+00:00:47,450 --> 00:00:52,340
+قصد ال infinite series لو في عندي two sequences of
+
+7
+00:00:52,340 --> 00:00:57,760
+positive real numbers بحيث أن limit ال quotient
+
+8
+00:00:57,760 --> 00:01:05,700
+تبعهم exist بيساوي عدد R ففي عندي نتيجتين، لو كان
+
+9
+00:01:05,700 --> 00:01:12,170
+العدد R أو limit R هذه لا تساوي 0 ففي الحالة هذه
+
+10
+00:01:12,170 --> 00:01:18,130
+sigma x in series sigma x converges if and
+
+11
+00:01:18,130 --> 00:01:21,550
+only if ال series sigma y converges يعني
+
+12
+00:01:21,550 --> 00:01:24,910
+اثنين إما اثنين بيكونوا convergence زي بعض أو
+
+13
+00:01:24,910 --> 00:01:28,630
+اثنين بيكونوا divergence زي بعض الجزء الثاني بيقول
+
+14
+00:01:28,630 --> 00:01:32,010
+لو كانت ال R اللي هي limit لل quotient مساوية صفر
+
+15
+00:01:32,010 --> 00:01:37,110
+وإذا كانت ال series اللي الحد العام تبعها Y converges فال series هذا بيقترب من ال series اللي هي 
+
+16
+00:01:37,110 --> 00:01:41,770
+sigma xn كلها يعني أعتقد أن احنا برهنّا الجزء الأول
+
+17
+00:01:41,770 --> 00:01:48,510
+براهين اللي فاتت بظبط وخلينا نبرهن الجزء الثاني طبعًا
+
+18
+00:01:48,510 --> 00:01:55,750
+since إذا هنا let assume r 
+
+19
+00:01:55,750 --> 00:02:06,370
+بساوي صفر
+20
+00:02:06,370 --> 00:02:07,650
+بساوي صفر
+
+21
+00:02:18,190 --> 00:02:24,490
+أما لو أخدت إبسلون أنا بيساوي العدد واحد فهذا 
+
+22
+00:02:24,490 --> 00:02:29,910
+إبسلون موجبة إحنا 
+
+23
+00:02:29,910 --> 00:02:38,070
+لدينا من الفرض since limit xn over yn as n tends
+
+24
+00:02:38,070 --> 00:02:45,640
+to infinity بيساوي R اللي هو صفر الآن فمن تعريف by
+
+25
+00:02:45,640 --> 00:02:51,260
+definition of limit for epsilon positive زي هذه
+
+26
+00:02:51,260 --> 00:02:57,420
+يوجد capital N يعتمد على epsilon اللي هو الواحد
+
+27
+00:02:57,420 --> 00:03:03,900
+natural number بحيث أنه لكل N أكبر من أو يساوي
+
+28
+00:03:03,900 --> 00:03:11,260
+capital N هذا بيدّي أن ال absolute value ل xn على
+
+29
+00:03:11,260 --> 00:03:18,120
+yn minus zero بيطلع أصغر من ال epsilon اللي احنا
+
+30
+00:03:18,120 --> 00:03:26,660
+ماخدينها واحد طب xn عدد موجب و yn عدد موجب فال
+
+31
+00:03:26,660 --> 00:03:33,760
+quotient هذا كسر هذا موجب سالب صفر فهذا بيقدي ان
+
+32
+00:03:33,760 --> 00:03:42,880
+xn over yn أصغر من واحد لو ضربنا الطرفين بالعدد
+
+33
+00:03:42,880 --> 00:03:58,110
+الموجب yn فهذا هيقدي أن xn أصغر من yn وهذا صحيح لكل
+
+34
+00:03:58,110 --> 00:04:05,550
+N أكبر من أو يسوي capital N now
+
+35
+00:04:05,550 --> 00:04:09,090
+if
+
+36
+00:04:09,090 --> 00:04:20,550
+sigma yn converges then
+
+37
+00:04:21,920 --> 00:04:26,140
+by direct comparison test اللي أخذناها المرة اللي
+
+38
+00:04:26,140 --> 00:04:30,420
+فاتت إذا ال series الحد اللي عام تبعها أكبر 
+
+39
+00:04:30,420 --> 00:04:34,480
+convergent فالاصغر 
+
+40
+00:04:34,480 --> 00:04:42,920
+ال series الاصغر converges وهذا هو المطلوب هذا
+
+41
+00:04:42,920 --> 00:04:46,340
+اللي احنا عايزين نثبتة إنه لو كانت ال series yn 
+
+42
+00:04:46,340 --> 00:04:50,690
+convergent فلازم هذا يطلع convergent هذا صحيح by
+
+43
+00:04:50,690 --> 00:04:55,110
+direct comparison test لذلك هذا يكمل برهان الجزء
+
+44
+00:04:55,110 --> 00:05:02,230
+التالي نرجع الأن ناخد أمثلة على تطبيقات على ال
+
+45
+00:05:02,230 --> 00:05:08,590
+direct comparison test وعلى limit comparison test
+
+46
+00:05:11,980 --> 00:05:15,680
+كيف نستخدم ال comparison tests الاختبارين هدول 
+
+47
+00:05:15,680 --> 00:05:27,780
+في اثبات ان ال series معينة is convergent discuss
+
+48
+00:05:27,780 --> 00:05:38,840
+.. discuss the convergence of
+
+49
+00:05:38,840 --> 00:05:40,360
+the following series
+
+50
+00:06:00,990 --> 00:06:07,110
+فناخد series sigma from n equals one to infinity ل
+
+51
+00:06:07,110 --> 00:06:17,370
+one over n squared plus n بالمناسبة 
+
+52
+00:06:17,370 --> 00:06:18,450
+ال series هذه
+
+53
+00:06:23,110 --> 00:06:29,010
+ممكن نقارنها، الحد العام تبعها هذا، لما N تكون
+
+54
+00:06:29,010 --> 00:06:36,410
+large فممكن نهمل ال N بالنسبة ل N تربيع ونعتبر أن 
+
+55
+00:06:36,410 --> 00:06:42,730
+هذه ال series شبيهة أو behaves like تتصرف زي ال
+
+56
+00:06:42,730 --> 00:06:45,650
+series sigma 1 على N تربيع
+
+57
+00:06:50,030 --> 00:06:54,610
+الآن بنشوف إذا ممكن نطبق اختبار المقارنة المباشرة
+
+58
+00:06:54,610 --> 00:06:58,670
+ال direct comparison test بنطبقه وإذا ما قدرناش 
+
+59
+00:06:58,670 --> 00:07:06,950
+بنلجأ لاختبار تبع ال limit comparison test
+
+60
+00:07:24,400 --> 00:07:37,040
+فهنا ممكن يعني من السهل أن احنا نستخدم ال
+
+61
+00:07:37,040 --> 00:07:43,040
+direct comparison test لأنه أنا عندي ال N تربيع
+
+62
+00:07:43,040 --> 00:07:50,400
+زائد N أكبر من أو يساوي N أكبر من أو يساوي N تربيع 
+
+63
+00:07:50,400 --> 00:08:00,220
+لكل N ينتمي ل N هذا بيقدي أن مقلوب N تربيع زائد N
+
+64
+00:08:00,220 --> 00:08:08,680
+أصغر من أو يساوي مقلوب N تربيع لكل N ك N الآن 
+
+65
+00:08:08,680 --> 00:08:13,020
+ال series
+
+66
+00:08:13,020 --> 00:08:15,360
+sigma واحد على N تربيع
+
+67
+00:08:18,710 --> 00:08:29,730
+a P series is P series صح؟ with P
+
+68
+00:08:29,730 --> 00:08:40,270
+بيساوي اثنين أكبر من واحد so
+
+69
+00:08:40,270 --> 00:08:49,230
+it converges by .. it is convergent by P series
+
+70
+00:08:49,230 --> 00:08:56,550
+test في ال P series test بيقول لي إذا كان أي P
+
+71
+00:08:56,550 --> 00:09:02,890
+series زي هذه بتكون convergent إذا كان P أكبر من
+
+72
+00:09:02,890 --> 00:09:08,530
+واحد و divergent إذا كان P أصغر من أو يساوي واحد وبرهنّا الكلام هذا في المحاضرة السابقة أو الجبلة إذا
+
+73
+00:09:08,530 --> 00:09:14,510
+أنا في عندي two series واحدة الحد العام تبعها واحد
+
+74
+00:09:14,510 --> 00:09:20,250
+على N تربيع وهذا ال convergence وواحدة الحد العام
+
+75
+00:09:20,250 --> 00:09:23,790
+تبعها واحد على N تربيع زائد N وهذا الحد العام
+
+76
+00:09:23,790 --> 00:09:28,090
+أصغر من أو يساوي الحد العام لهذه ال convergence إذا 
+
+77
+00:09:28,090 --> 00:09:31,250
+ممكن أستخدم so
+
+78
+00:09:31,250 --> 00:09:35,630
+by direct comparison test
+
+79
+00:09:35,630 --> 00:09:38,550
+by direct comparison test
+
+80
+00:09:42,520 --> 00:09:46,740
+السيريز اللي هي sigma من n equals one to infinity
+
+81
+00:09:46,740 --> 00:09:56,860
+لواحد على n squared plus n converges
+
+82
+00:09:56,860 --> 00:10:03,340
+إذا السيريز هذه اثبتنا انها convergence by
+
+83
+00:10:03,340 --> 00:10:07,140
+direct comparison استخدمنا ال direct comparison
+
+84
+00:10:07,140 --> 00:10:09,160
+test مفهوم واضح؟
+
+85
+00:10:12,050 --> 00:10:13,950
+ناخد مثال ثاني
+
+86
+00:10:36,080 --> 00:10:39,580
+بتاعة اثنين لو أخذنا series sigma from n equals
+
+87
+00:10:39,580 --> 00:10:47,780
+one to infinity لواحد على n تربيع سالب n زائد
+
+88
+00:10:47,780 --> 00:10:54,180
+واحد بما أن نفحص هل ال series هذي convergent ولا
+
+89
+00:10:54,180 --> 00:10:57,520
+divergent طبعًا 
+
+90
+00:10:59,200 --> 00:11:04,280
+أول شيء بنفكر فيه، بنشوف كيف ال series هذه بتتصرف، 
+
+91
+00:11:04,280 --> 00:11:07,740
+ما هي ال series القريبة منها، واللي احنا عارفين 
+
+92
+00:11:07,740 --> 00:11:12,600
+انها أو ممكن نحكم عليها بسهولة، to be convergent أو
+
+93
+00:11:12,600 --> 00:11:15,980
+divergent، يعني بدي أقارن ال series هذه ب series
+
+94
+00:11:15,980 --> 00:11:20,520
+ثانية من السهل اني احكم عليها هل هي convergent أو 
+
+95
+00:11:20,520 --> 00:11:27,160
+divergent فلما N تكون كبيرة و أن N is sufficiently 
+
+96
+00:11:27,160 --> 00:11:32,900
+large لما N تقول infinity ممكن اهمل N و اهمل 1
+
+97
+00:11:32,900 --> 00:11:41,080
+وبالتالي ال series هذه behaves تتصرف زي ال series
+
+98
+00:11:41,080 --> 00:11:42,880
+1 على N تربيع
+
+99
+00:11:45,470 --> 00:11:55,230
+اللي هي احنا عارفين which is كل بيت واحد طبعًا by P 
+
+100
+00:11:55,230 --> 00:12:01,270
+series test زي ما شرحنا في المثال الأول الآن
+
+101
+00:12:01,270 --> 00:12:10,120
+السؤال اللي بيطرح نفسه is it true هل واحد عل�� إن
+
+102
+00:12:10,120 --> 00:12:15,000
+تربيع سالب إن زائد واحد أصغر من أو يساوي واحد على 
+
+103
+00:12:15,000 --> 00:12:20,640
+إن تربيع عشان نستخدم .. هل هذا الكلام صحيح لكل إن؟
+
+104
+00:12:20,640 --> 00:12:25,920
+لا مش فاكرش أنا فللأسف هذا مش صحيح وبالتالي
+
+105
+00:12:25,920 --> 00:12:29,940
+ما أقدرش أستخدم إن هذا not true
+
+106
+00:12:34,430 --> 00:12:41,410
+for example على سبيل المثال take n بيساوي اثنين
+
+107
+00:12:41,410 --> 00:12:50,310
+هنجد المتباينة هذه مش صح اذا ما أقدرش انا أستخدم ال
+
+108
+00:12:50,310 --> 00:12:54,310
+direct comparison test اذا في الحالة هذه لازم 
+
+109
+00:12:54,310 --> 00:12:59,190
+أستخدم ال limit comparison test أو ابحث عن مقارنة 
+
+110
+00:12:59,190 --> 00:13:01,310
+ثانية however
+
+111
+00:13:06,140 --> 00:13:17,200
+you can show بإمكانكم تَثْبُتُوا أن الواحد على n تربيع
+
+112
+00:13:17,200 --> 00:13:23,500
+negative n زائد واحد هذا أصغر من أو يساوي اثنين على
+
+113
+00:13:23,500 --> 00:13:31,280
+n تربيع وهذا صحيح لكل n في n إذن هذه المتباينة
+
+114
+00:13:31,280 --> 00:13:34,420
+صحيحة وبالتالي ممكن الآن 
+
+115
+00:13:39,990 --> 00:13:46,330
+الآن بإمكانك استخدام 
+
+116
+00:13:46,330 --> 00:13:53,030
+مقارنة مباشرة للتأكيد
+
+117
+00:13:53,030 --> 00:14:02,650
+عشان تستنتجوا ان series sigma واحد على إن تربيع 
+
+118
+00:14:02,650 --> 00:14:08,980
+نيجاتيف n بلس واحد convergent لأنه ال series هذه 
+
+119
+00:14:08,980 --> 00:14:15,920
+لأنه since ال series اللي الحد العام تبعها اثنين
+
+120
+00:14:15,920 --> 00:14:20,740
+على إن تربيع هي نفسها اثنين ضرب ال series sigma
+
+121
+00:14:20,740 --> 00:14:26,600
+واحد على إن تربيع وال series هذه قلنا convergent
+
+122
+00:14:26,600 --> 00:14:29,660
+لأنها في series نضربها في عدد موجب بتضلها
+
+123
+00:14:29,660 --> 00:14:31,700
+convergent
+
+124
+00:14:34,390 --> 00:14:38,990
+لازم نثبت على ذلك الكلام هذا الكلام لازم تثبتيه صح
+
+125
+00:14:38,990 --> 00:14:45,970
+المشكلة في الحل هذا أن أنا أو أنتو كيف بدنا يخطر
+
+126
+00:14:45,970 --> 00:14:53,170
+على بالكم أن المتباينة هذا صح اه it is not easy to 
+
+127
+00:14:53,170 --> 00:14:57,030
+figure out this inequality مش سهل أن يختر على
+
+128
+00:14:57,030 --> 00:15:04,110
+بالنا أو نستنتج ال .. أو يعني .. بنعرف إنه في 
+
+129
+00:15:04,110 --> 00:15:09,870
+متباينة زي هذه صحيحة هذا مش سهل وبالتالي ممكن
+
+130
+00:15:09,870 --> 00:15:14,090
+نستخدم ال limit comparison test ونروح رأسنا ال
+
+131
+00:15:14,090 --> 00:15:16,690
+limit comparison test في الحالة هذه أسهل من إن أنا
+
+132
+00:15:16,690 --> 00:15:21,550
+يعني أخمن 
+
+133
+00:15:21,550 --> 00:15:25,950
+.. أخمن يعني حاجة زي هذه okay فتعالوا نشوف كيف
+
+134
+00:15:25,950 --> 00:15:28,070
+نستخدم ال limit comparison test
+
+135
+00:15:31,920 --> 00:15:40,220
+إذا هنا we use limit 
+
+136
+00:15:40,220 --> 00:15:45,160
+comparison test with
+
+137
+00:15:45,160 --> 00:15:54,640
+an بيساوي واحد على n تربيع minus n زائد واحد أو xn 
+
+138
+00:15:54,640 --> 00:15:55,720
+فالبيسمانيات
+
+139
+00:15:57,840 --> 00:16:07,600
+و Yn بيساوي واحد على n تربيع فإنّي
+
+140
+00:16:07,600 --> 00:16:13,340
+أجي نحسب ال limit ل Xn over Yn as N tends to
+
+141
+00:16:13,340 --> 00:16:21,720
+infinity بساوي الـ limit هاي Xn تقسيم Yn بتطلع M
+
+142
+00:16:21,720 --> 00:16:28,990
+تربيع على M تربيع negative M plus one والـ limit
+
+143
+00:16:28,990 --> 00:16:36,930
+هذا عشان نحسبها بالجسم بس مقام على n تربيع في
+
+144
+00:16:36,930 --> 00:16:41,750
+الـ بس واحد واحد سالب واحد على n موجب واحد على n
+
+145
+00:16:41,750 --> 00:16:47,210
+تربيع لإنها بتقول الـ infinity وهذا بطلع واحد على واحد
+
+146
+00:16:47,210 --> 00:16:54,410
+سالب صفر موجب صفر ويساوي واحد لا يساوي صفر إذن الـ R
+
+147
+00:16:55,770 --> 00:16:59,910
+الـ R في الـ limit comparison test طلعت بالساوي
+
+148
+00:16:59,910 --> 00:17:07,630
+واحد لا يساوي صفر، وأنا عندي إذا since وأنا عندي الـ
+
+149
+00:17:07,630 --> 00:17:13,050
+series sigma yn اللي هي sigma واحد على n تربيع
+
+150
+00:17:13,050 --> 00:17:17,830
+is convergent then
+
+151
+00:17:17,830 --> 00:17:26,700
+by limit comparison test الـ series sigma xnاللي هو
+
+152
+00:17:26,700 --> 00:17:32,960
+الحد اللي عم تبعها واحد على n تربيع minus n زائد 
+
+153
+00:17:32,960 --> 00:17:41,560
+واحد كون بيعجز وهو مطلوب okay إذا هنا استخدمنا الـ
+
+154
+00:17:41,560 --> 00:17:46,020
+limit كون لما يعجز أو يفشل الـ comparison أو الـ
+
+155
+00:17:46,020 --> 00:17:49,920
+direct comparison test بنرجع إلى الـ limit comparison
+
+156
+00:17:49,920 --> 00:17:57,220
+testهنا لازم يجب ملاحظة أنه أي سؤال بنحل بالـ
+
+157
+00:17:57,220 --> 00:18:02,660
+comparison test ممكن حله أو نطبق عليه الـ limit
+
+158
+00:18:02,660 --> 00:18:07,800
+comparison test لكن العكس ليس صحيح وبالتالي الـ
+
+159
+00:18:07,800 --> 00:18:12,240
+limit comparison test أشمّل وأعم من الـ direct
+
+160
+00:18:12,240 --> 00:18:17,460
+comparison test ناخد مثال ثالث واضح الحل في أي
+
+161
+00:18:17,460 --> 00:18:22,470
+سؤال أو استفسار؟إذا دائماً في مخرج يعني إذا أنت مش
+
+162
+00:18:22,470 --> 00:18:26,390
+عارف تعمل direct comparison فاستخدم الـ limit
+
+163
+00:18:26,390 --> 00:18:30,670
+comparison test وهذا مش صعب تشوفي دائماً الـ series
+
+164
+00:18:30,670 --> 00:18:35,730
+اللي قدامك behaves like some familiar series تتصرف
+
+165
+00:18:35,730 --> 00:18:41,130
+زي series معروفة لدينا وإحنا عارفين نقدر من السهل
+
+166
+00:18:41,130 --> 00:18:43,530
+نحكم عليها هل convergent أو divergent
+
+167
+00:18:49,830 --> 00:18:57,370
+فلو أخذنا مثلاً الـ series هذه summation from
+
+168
+00:18:57,370 --> 00:19:03,630
+n equals one to infinity لـ one over square root of
+
+169
+00:19:03,630 --> 00:19:08,530
+n plus one ف
+
+170
+00:19:08,530 --> 00:19:11,910
+الـ series this series behaves طبعاً لما n 
+
+171
+00:19:11,910 --> 00:19:19,330
+when n gets large we neglect الواحد نهمل الواحدوهذه
+
+172
+00:19:19,330 --> 00:19:29,190
+السيريز تتصرف من حيث التقارب والتباعد مثل سيجما
+
+173
+00:19:29,190 --> 00:19:31,210
+واحد على جذر الـ n
+
+174
+00:19:38,390 --> 00:19:46,390
+طيب can we السؤال يتفرج نفسه can we use direct
+
+175
+00:19:46,390 --> 00:19:51,670
+comparison test للإجابة
+
+176
+00:19:51,670 --> 00:19:57,770
+على السؤال هذا بنلاحظ أن n زائد 1 أكبر منها أو يساوي
+
+177
+00:19:57,770 --> 00:20:06,310
+n لكل n هذا بيقدر أن واحد وبالتالي الجذر التربيعي لـ
+
+178
+00:20:06,310 --> 00:20:10,110
+N زائد واحد أكبر من أو يساوي جذر الـ N لكل N
+
+179
+00:20:10,110 --> 00:20:17,910
+وبالتالي هذا بيؤدي أن واحد على الجذر التربيعي لـ N
+
+180
+00:20:17,910 --> 00:20:26,950
+زائد واحد أقل من أو يساوي واحد على جذر الـ N لكل Nو
+
+181
+00:20:26,950 --> 00:20:31,850
+إحنا عارفين أن الـ series هذه divergent لأنها P
+
+182
+00:20:31,850 --> 00:20:36,850
+series والـ P بساوي نص أصغر من واحد وهاد الـ
+
+183
+00:20:36,850 --> 00:20:42,770
+series أصغر منها أو أصغر منها ويساويها فالـ direct
+
+184
+00:20:42,770 --> 00:20:46,970
+comparison test بيعطينيش نتيجة، بيعطينيش نتيجة إذا
+
+185
+00:20:46,970 --> 00:20:50,550
+الكبيرة divergent فالصغيرة ممكن تكون convergent
+
+186
+00:20:50,550 --> 00:20:57,150
+وممكن تكون divergent إذا هنا الـ direct comparison
+
+187
+00:20:57,150 --> 00:21:01,050
+test fails،
+
+188
+00:21:01,050 --> 00:21:09,290
+fails يعني يفشل، يفشل وبالتالي ما فيش أمامنا خيار
+
+189
+00:21:09,290 --> 00:21:13,350
+اللي إحنا اللي اللي حالنا نستعمل أو نستخدم
+
+190
+00:21:13,350 --> 00:21:27,350
+limit comparison test نستخدم
+
+191
+00:21:27,350 --> 00:21:29,970
+limit comparison test
+
+192
+00:21:34,290 --> 00:21:39,970
+with xn بيساوي واحد على الـ square root of n plus
+
+193
+00:21:39,970 --> 00:21:48,230
+one وyn بيساوي one over square root of n نحسم الـ
+
+194
+00:21:48,230 --> 00:21:53,990
+limit لـ xn over yn as n tends to infinity بيساوي
+
+195
+00:21:53,990 --> 00:21:57,770
+الـ limit هاي
+
+196
+00:21:57,770 --> 00:22:06,100
+جسم xn على yn بيطلع الجذر التربيعي لـ n على n plus
+
+197
+00:22:06,100 --> 00:22:11,500
+one لما n تقول الـ infinity دخل الـ limit تحت الجذر
+
+198
+00:22:11,500 --> 00:22:15,740
+لأن الـ square root function is continuous فاندخل
+
+199
+00:22:15,740 --> 00:22:21,660
+الـ limit وا��ـ limit المقدار تحت الجذر بطلع واحد
+
+200
+00:22:21,660 --> 00:22:28,920
+وبالتالي واحد لا يساوي صفر إذا الـ R في الـ limit
+
+201
+00:22:28,920 --> 00:22:34,540
+comparison first طلعت different from zero لا تساوي
+
+202
+00:22:34,540 --> 00:22:44,020
+صفر و since الـ series sigma من n equals one to
+
+203
+00:22:44,020 --> 00:22:52,860
+infinity لواحد على جذر الـ n يعبر عن sigma واحد على
+
+204
+00:22:52,860 --> 00:22:58,160
+n تربيع is a p-series with
+
+205
+00:23:03,240 --> 00:23:11,940
+P بساوي نص أصغر من واحد it diverges
+
+206
+00:23:11,940 --> 00:23:24,780
+يعني بتطلع divergent by P series test الـ series
+
+207
+00:23:24,780 --> 00:23:28,560
+يعني divergent وبالتالي
+
+208
+00:23:31,020 --> 00:23:34,760
+by limit comparison test حسب الـ limit comparison
+
+209
+00:23:34,760 --> 00:23:44,020
+test هيعطيني sigma xn وsigma yn sigma yn ده
+
+210
+00:23:44,020 --> 00:23:51,200
+هي طلعت divergent والـ R limit الرئيسية لا تساوي صفر
+
+211
+00:23:51,200 --> 00:23:56,100
+لأن الثانية زيها divergent ده is sigma xn اللي
+
+212
+00:23:56,100 --> 00:24:02,990
+هو واحد على الجذر التربيعي الـ N زيها by agents
+
+213
+00:24:02,990 --> 00:24:17,470
+حسب الـ limit comparison test okay تمام واضح طيب
+
+214
+00:24:17,470 --> 00:24:18,790
+ناخد كمان مثال
+
+215
+00:24:30,910 --> 00:24:37,470
+مثال رقم أربعة خلّينا نفحص الـ series اللي هي
+
+216
+00:24:37,470 --> 00:24:44,770
+summation from n equals one to infinity لـ one over
+
+217
+00:24:44,770 --> 00:24:52,070
+n factorial طبعاً
+
+218
+00:24:52,070 --> 00:25:00,050
+هذه مش واضحة ممكن تقارنها لأن N factorial N
+
+219
+00:25:00,050 --> 00:25:04,810
+factorial بساوي N نقش واحد N سالب واحد N
+
+220
+00:25:04,810 --> 00:25:11,890
+سالب اثنين إلى ثلاثة في اثنين في واحد فمش
+
+221
+00:25:11,890 --> 00:25:21,350
+عارفين إيش نقارنها آه فهذا مش واضح لكن by trial
+
+222
+00:25:21,350 --> 00:25:31,990
+أنا بتقوله بالتجربة نقدر إحنا نحاول يعني نقرر أو
+
+223
+00:25:31,990 --> 00:25:37,330
+يعني نشوف أن هنا عند عشان n في n سالب واحد في n
+
+224
+00:25:37,330 --> 00:25:43,510
+سالب اثنين فممكن نقارن الـ series هذه بواحد على n
+
+225
+00:25:43,510 --> 00:25:51,750
+تربيع نشوف كيف ممكن نعمل المقارنة إذا هنا في حالتين
+
+226
+00:25:51,750 --> 00:26:01,200
+هنا Solution واحد إحنا نحاول نقارن بالإيه فالـ
+
+227
+00:26:01,200 --> 00:26:08,740
+solution الأول أو الحل الأول بيعتمد use
+
+228
+00:26:08,740 --> 00:26:17,460
+induction to show that ممكن
+
+229
+00:26:17,460 --> 00:26:24,210
+نثبت بالـ induction أنه N تربيع أصغر من N factorial
+
+230
+00:26:24,210 --> 00:26:30,290
+لكل N أكبر من أو يساوي أربعة المتباينة هذه صحيحة
+
+231
+00:26:30,290 --> 00:26:34,050
+لكل الأعداد الطبيعية أكبر من أو يساوي أربعة هذا
+
+232
+00:26:34,050 --> 00:26:38,390
+ممكن نثبته by induction زي ما اتعلمته هذا سؤال في
+
+233
+00:26:38,390 --> 00:26:44,670
+مبادئ رياضيات نشوف مع بعض الهدى صح نشوف أول حالة
+
+234
+00:26:44,670 --> 00:26:48,990
+لحظة الـ N بتبدأ من أربعة مش من واحد فـ N بساوي واحد
+
+235
+00:26:48,990 --> 00:26:52,390
+هنا هتصير N بساوي أربعة والباقي الـ induction زي ما
+
+236
+00:26:52,390 --> 00:26:57,210
+اتعلمنا فلو N بساوي أربعة أربعة تربيع ستة عشر أصغر
+
+237
+00:26:57,210 --> 00:27:01,070
+من أربعة فاكتوريا الأربعة وعشرين ستة عشر أصغر من
+
+238
+00:27:01,070 --> 00:27:05,050
+أربعة وعشرين صحيح إذا العبارة صحيحة عند n بالساوي
+
+239
+00:27:05,050 --> 00:27:09,410
+أربعة افرض صحيتها عند n بالساوي k حيث k أي عدد
+
+240
+00:27:09,410 --> 00:27:13,570
+طبيعي أكبر من أربعة وثبت صحيتها عند n بالساوي k
+
+241
+00:27:13,570 --> 00:27:18,830
+زائد، أعتقد هذه مثل في أخدت زيها في مبادئ رياضية،
+
+242
+00:27:18,830 --> 00:27:23,050
+رح نسيب سيبقى لكم ليه؟ إيه شو بتهارفنا مثلاً
+
+243
+00:27:23,050 --> 00:27:25,610
+نختار الأربعة؟ ليش ما هو مثلاً ثلاثة أو واحد، سيبقى
+
+244
+00:27:25,610 --> 00:27:29,150
+إحنا متعودين في الـ induction؟ آه لأنه أنت الـ 
+
+245
+00:27:29,150 --> 00:27:34,030
+يعني نضل نجرب لحد ما نصر نصر بره صح آه من أربعة و
+
+246
+00:27:34,030 --> 00:27:37,690
+أنت طالع تصير صحيحة أما قبل أربعة بتكون خطأ
+
+247
+00:27:37,690 --> 00:27:42,210
+وبالتالي ما لهاش معنى أما من أربعة وأنت طالع
+
+248
+00:27:42,210 --> 00:27:49,830
+هتكون صحيحة فبنهمل الأول تلت قيم لهم okay إذا و
+
+249
+00:27:49,830 --> 00:27:58,220
+وبالتالي هذا بيؤدي أن واحد على n factorial أصغر من
+
+250
+00:27:58,220 --> 00:28:04,040
+واحد على n تربيع لكل n أكبر من أو يساوي أربعة
+
+251
+00:28:04,040 --> 00:28:11,960
+وبالتالي والـ series طبعاً وبالتالي ممكن نستخدم الـ
+
+252
+00:28:11,960 --> 00:28:15,800
+direct comparison test يعني الحالة هذه
+
+253
+00:28:24,200 --> 00:28:28,020
+ونستخدم الاختصار الوحيد الوحيد الوحيد الوحيد
+
+254
+00:28:28,020 --> 00:28:43,880
+الوحيد الوحيد الوحيد الوحيد
+
+255
+00:28:45,400 --> 00:28:50,520
+هذه الـ series هي الـ key series بس بتبدأ من أربعة
+
+256
+00:28:50,520 --> 00:28:55,240
+فكأني حدث يتأول ثلاث حدود منها فهذا بيأثرش على الـ
+
+257
+00:28:55,240 --> 00:28:59,420
+divergence أو الـ convergence للـ series إذا حدث
+
+258
+00:28:59,420 --> 00:29:04,980
+omitting أو deleting finite number of terms from
+
+259
+00:29:04,980 --> 00:29:09,000
+an infinite series does not affect the convergence
+
+260
+00:29:09,000 --> 00:29:13,240
+or the divergence of the series حدث عدد منتهي من
+
+261
+00:29:13,240 --> 00:29:19,540
+حدود الـ series أو إضافة عدد منتهي كمان إلى حدود الـ
+
+262
+00:29:19,540 --> 00:29:24,180
+series لا يؤثر لا على التقارب ولا على التباعد تبع
+
+263
+00:29:24,180 --> 00:29:34,900
+الـ series هذا حقيقة سهل لو يعني وبدهاش برهان لأن
+
+264
+00:29:34,900 --> 00:29:40,300
+الحدود المنتهية هذه مجموعة بيطلع عدد منتهي فما
+
+265
+00:29:40,300 --> 00:29:47,230
+بيأثرش على التقارب من الـ series بياثرش على التقارب أو
+
+266
+00:29:47,230 --> 00:29:52,310
+التباعد أو إضافة عدد لأن بما أن الـ series
+
+267
+00:29:52,310 --> 00:29:58,110
+converges then الـ series sigma واحد على n
+
+268
+00:29:58,110 --> 00:30:03,990
+factorial converges
+
+269
+00:30:03,990 --> 00:30:11,160
+من n بالساوي أربعة إلى ما لا نهاية طبعاً هذا بيؤدي إن أنا
+
+270
+00:30:11,160 --> 00:30:15,360
+لو ضفت للـ series الحدود المتبقية من n بالساوي واحد
+
+271
+00:30:15,360 --> 00:30:22,160
+إلى ثلاثة وبتصير من infinity هنا لواحد
+
+272
+00:30:22,160 --> 00:30:28,160
+على n factorial تطلع
+
+273
+00:30:28,160 --> 00:30:33,280
+convergent وهذا اللي بدنا يعني إذن هذا أحد
+
+274
+00:30:33,280 --> 00:30:38,100
+الحلول okay؟ زي ما زميلتكم يعني اقترحت بتقول طب
+
+275
+00:30:38,100 --> 00:30:44,050
+وأنا إيش بدي أختار على بالي؟ أن هذا المتباينة
+
+276
+00:30:44,050 --> 00:30:47,890
+الصحيحة اللي اعتمد عليها الحل أو اعتمدت عليها
+
+277
+00:30:47,890 --> 00:30:53,430
+المقارنة فمعكم حاجة ممكن أنك يعني ما حدش يقدر
+
+278
+00:30:53,430 --> 00:30:57,970
+يعني يصل إلى الـ أو الـ percentage المتباينة هذه
+
+279
+00:30:57,970 --> 00:31:03,710
+اللي عليها بيرتكز الحل ففي حل ثاني آخر نشوف الحل
+
+280
+00:31:03,710 --> 00:31:05,930
+الثاني الـ direct limit
+
+281
+00:31:09,330 --> 00:31:14,150
+الحل الثاني solution
+
+282
+00:31:14,150 --> 00:31:18,430
+2 احنا 
+
+283
+00:31:18,430 --> 00:31:26,430
+عارفين أنه لو جسمنا أخذنا
+
+284
+00:31:26,430 --> 00:31:35,130
+xn بسعر واحد على n factorial بساوي واحد على ال
+
+285
+00:31:35,130 --> 00:31:41,770
+تربية كويس؟ زي ما عملناه في الحل الأول و بده يقارن
+
+286
+00:31:41,770 --> 00:31:47,320
+الاثنين هدول بس المقارنة المرة هذه هتكون بطريقة
+
+287
+00:31:47,320 --> 00:31:53,760
+مختلفة فلو أخذت xn و جسمتها على yn فطبعا هذا أكبر 
+
+288
+00:31:53,760 --> 00:32:00,140
+من السبب لأن xn عدد موجب دائما لكل n و yn عدد موجب
+
+289
+00:32:00,140 --> 00:32:06,640
+فقسمت على عددين موجبين بطلع موجب وهذا بساوي n تربيع
+
+290
+00:32:06,640 --> 00:32:13,720
+على yn اللي هو n factorial على n factorial
+
+291
+00:32:18,080 --> 00:32:26,220
+و هذا بساوي n تربيع على n factorial عبارة عن 
+
+292
+00:32:26,220 --> 00:32:34,160
+واحد في اثنين في ثلاثة إلى n سالب اثنين في n سالب
+
+293
+00:32:34,160 --> 00:32:45,700
+واحد في n مظبوط؟ ممكن اختصر n مع n و هيبقى عندي
+
+294
+00:32:54,210 --> 00:33:05,130
+فهيبقى عندي n على واحد في اثنين إلى n سالب اثنين
+
+295
+00:33:05,130 --> 00:33:14,650
+في n سالب واحد الآن ممكن إثبات أن المقام هذا أكبر
+
+296
+00:33:14,650 --> 00:33:17,570
+من اثنين
+
+297
+00:33:20,110 --> 00:33:28,310
+اثنين في N سالب اثنين في N سالب واحد وهذا أكبر من
+
+298
+00:33:28,310 --> 00:33:38,410
+اثنين في N سالب واحد في N وهذا صحيح ليس لكل الـ N
+
+299
+00:33:38,410 --> 00:33:48,270
+مش لكل الأعداد الطبيعية N هذا أكبر من N سالب اثنين
+
+300
+00:33:48,270 --> 00:33:56,730
+في N وهذا صحيح فقط لكل n أكبر من أو يساوي خمسة
+
+301
+00:33:56,730 --> 00:34:01,990
+يعني عند الأربعة مش صح و عند الثلاثة و اثنين و
+
+302
+00:34:01,990 --> 00:34:08,580
+الواحد مش صح Okay؟ إذن N تربيع على N factorial
+
+303
+00:34:08,580 --> 00:34:14,940
+بتطلع .. الآن هذا المقام أكبر من العدد هذا
+
+304
+00:34:14,940 --> 00:34:23,280
+وبالتالي المقلوب بتطلع أصغر من N على N في N سالب 2
+
+305
+00:34:23,280 --> 00:34:32,100
+طبعا N بتروح مع N بيبقى عندي واحد على n سالب اثنين
+
+306
+00:34:32,100 --> 00:34:37,140
+ويقول الكلام هذا صحيح لكل n أكبر من أو يساوي خمسة
+
+307
+00:34:48,530 --> 00:34:55,770
+xn على yn أصغر من واحد على n سالب اثنين طبعا أكبر
+
+308
+00:34:55,770 --> 00:35:01,690
+من صفر أو أكبر من أو يساوي صفر وهذا صحيح لكل n
+
+309
+00:35:01,690 --> 00:35:06,890
+أكبر من أو يساوي خمسة الآن هذا لما ننتقل ل
+
+310
+00:35:06,890 --> 00:35:11,950
+infinity هذا بيروح لصفر لما ننتقل ل infinity هذا
+
+311
+00:35:11,950 --> 00:35:16,610
+بيروح لصفر إذا by sandwich theorem
+
+312
+00:35:23,770 --> 00:35:30,910
+بطلع عند ال limit ل xn over yn as n tends to
+
+313
+00:35:30,910 --> 00:35:36,570
+infinity بساوي صفر هاد هي ال R في ال limit
+
+314
+00:35:36,570 --> 00:35:42,150
+comparison test طيب since
+
+315
+00:35:44,540 --> 00:35:49,640
+سيجما واي ان اللي هي سيجما واحد على ان تربيع
+
+316
+00:35:49,640 --> 00:35:58,740
+converges حسب الجزء الثاني من limit comparison
+
+317
+00:35:58,740 --> 00:36:02,160
+test limit comparison test بيقول إذا كان limit ال
+
+318
+00:36:02,160 --> 00:36:07,600
+ratio بساوي صفر وكانت سيجما واي ان convergent إذا
+
+319
+00:36:07,600 --> 00:36:10,400
+هذا بيقدر
+
+320
+00:36:13,430 --> 00:36:19,310
+سيجما اكس ام اللي هي سيجما وان اوبر ام فاكتوريال
+
+321
+00:36:19,310 --> 00:36:23,490
+convergence رغم المفهوم
+
+322
+00:36:26,800 --> 00:36:29,680
+واحد استخدم ال direct comparison test، الثاني
+
+323
+00:36:29,680 --> 00:36:33,660
+استخدم ال limit comparison test، اثنين كان فيهم
+
+324
+00:36:33,660 --> 00:36:39,940
+شوية شغل مش سهل، لكن هذا هو الموجود، مفيش أسهل من
+
+325
+00:36:39,940 --> 00:36:46,400
+هذا فعلى أي حال يعني ال .. الأسئلة في الكتاب هتكون
+
+326
+00:36:46,400 --> 00:36:50,780
+معظمها سهلة إما في الحل بال limit comparison test
+
+327
+00:36:50,780 --> 00:36:55,520
+أو بال direct comparison test، في أي سؤال أو
+
+328
+00:36:55,520 --> 00:37:00,800
+استفسار؟ الأمور واضحة الحل واضح أنا عارف أنه كيف
+
+329
+00:37:00,800 --> 00:37:05,580
+يخطر على بالنا نعمل المقارنات هذه وهذا كلامكم صحيح
+
+330
+00:37:05,580 --> 00:37:12,980
+هذا يعني شيء مش سهل لكن في بعض المسائل ال .. يعني
+
+331
+00:37:12,980 --> 00:37:21,740
+ال .. مش سهل أن نحنا نعمل المقارنة لكن بنحاول .. 
+
+332
+00:37:21,740 --> 00:37:33,030
+بنحاول اللي بيحاول بيصل إلى حل خليني يعني احنا مش
+
+333
+00:37:33,030 --> 00:37:37,710
+عايزين نبدأ section جديد الصحيح أن هيك يعني ال
+
+334
+00:37:37,710 --> 00:37:42,550
+chapter خلص فعشان مابداش يعني نبدأ المرة الجاية
+
+335
+00:37:42,550 --> 00:37:49,210
+chapter جديد فخليني آخذ أحل سؤال من ال homework
+
+336
+00:37:49,210 --> 00:37:53,590
+problems السؤال هنا question
+
+337
+00:37:57,590 --> 00:38:06,030
+exercise رقم خمسة section ثلاثة سبعة لأن هذا تمرين
+
+338
+00:38:06,030 --> 00:38:10,190
+خمسة في section ثلاثة سبعة اللي هو آخر section في
+
+339
+00:38:10,190 --> 00:38:17,010
+chapter ثلاثة السؤال بيقول can
+
+340
+00:38:17,010 --> 00:38:24,030
+you السؤال كثير يعني مهم و interesting can you
+
+341
+00:38:24,030 --> 00:38:31,770
+give يعني الكتاب بخاطب الطالب بيقول له can you give an
+
+342
+00:38:31,770 --> 00:38:44,810
+example هل بإمكانك تعطي مثال of a convergent of a
+
+343
+00:38:44,810 --> 00:38:53,550
+convergent series sigma xn and a divergent
+
+344
+00:39:03,070 --> 00:39:11,470
+بحيث أن المجموعة تبع ال two series يكون
+
+345
+00:39:11,470 --> 00:39:20,010
+convergent is convergent explain
+
+346
+00:39:20,010 --> 00:39:29,830
+وضحي الإجابة هتكون يا yes يا no و في كل الحالتين بن
+
+347
+00:39:29,830 --> 00:39:37,710
+.. نعطيك تفسر ال yes أو أنه تبعتك فانا بقول أن
+
+348
+00:39:37,710 --> 00:39:44,450
+خلينا نعطيلكم يعني نشوفكم تفكروا نعطيكم دقيقة
+
+349
+00:39:44,450 --> 00:39:53,230
+تفكروا و تحاولوا تجيبوا مثال زي ما هو مطلوب إذا 
+
+350
+00:39:53,230 --> 00:39:53,990
+كده إذا أمكن
+
+351
+00:39:57,650 --> 00:40:04,570
+فمين عندها مثال؟ كمان مرة بنجيب مثال ل two series
+
+352
+00:40:04,570 --> 00:40:10,370
+واحدة convergent اللي هي هذه الأولى والثانية
+
+353
+00:40:10,370 --> 00:40:16,190
+divergent بحيث أن مجموعهم يكون convergent هل هذا
+
+354
+00:40:16,190 --> 00:40:23,190
+ممكن؟ إذا ممكن طيب ممكن تعطيني مثال على ذلك يعني
+
+355
+00:40:23,190 --> 00:40:27,890
+اعطيني مثال يوضح صحة ال .. الكلام هذه ال example
+
+356
+00:40:27,890 --> 00:40:30,930
+مثلا ناخذها هي أسهل إيش الواحد على الأن أو الأول و
+
+357
+00:40:30,930 --> 00:40:36,130
+الرابعين خليني لحظة شوية لو سمحت هاي أخبرتكم 
+
+358
+00:40:36,130 --> 00:40:37,350
+طرح example
+
+359
+00:40:41,280 --> 00:40:47,500
+أيه وقتك؟ ال XN قبل عن الواحد على الان تربيع واحد 
+
+360
+00:40:47,500 --> 00:40:55,520
+على ان تربيع فطبعا هذا بقدر سيجما XN كل ذات يسار
+
+361
+00:40:55,520 --> 00:41:02,740
+سيجما واحد على ان تربيع كل بيرزلأن هذه P series و
+
+362
+00:41:02,740 --> 00:41:07,380
+ال P بيساوي اثنين أكبر من واحد، صح؟ والثانية
+
+363
+00:41:07,380 --> 00:41:13,120
+الواحدة جذر الأن ناخذ YM بيساوي واحد على جذر 
+
+364
+00:41:13,120 --> 00:41:19,860
+الأن بتصير أس نص، طيب، بتصير summation للواحد الأن
+
+365
+00:41:19,860 --> 00:41:25,920
+sigma yn بيساوي sigma 1 على n أس نص  بي سيريز
+
+366
+00:41:25,920 --> 00:41:30,100
+هذه divergent بي بي سيريز هذه بي بي بي بي بي بي
+
+367
+00:41:30,100 --> 00:41:30,400
+بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي
+
+368
+00:41:30,400 --> 00:41:34,760
+بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي
+
+369
+00:41:34,760 --> 00:41:34,800
+بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي
+
+370
+00:41:34,800 --> 00:41:35,040
+بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي
+
+371
+00:41:35,040 --> 00:41:44,900
+بي
+
+372
+00:41:44,900 --> 00:41:53,900
+بي هي sigma واحد على N تربيع زائد واحد على N أس نص
+
+373
+00:41:53,900 --> 00:42:02,420
+صح؟ وهذا بيساوي summation ناخذ مقام مشترك N تربيع 
+
+374
+00:42:02,420 --> 00:42:10,140
+فبيطلع واحد زائد N أس .. أس ثلاثة عشان .. أس ثلاثة
+
+375
+00:42:10,140 --> 00:42:14,040
+عشان .. مظبوط؟
+
+376
+00:42:21,390 --> 00:42:30,430
+هل هذه convergent؟ لما n تكون كبيرة .. اه لما n
+
+377
+00:42:30,430 --> 00:42:37,790
+تكون كبيرة هذه بتكون behaves like sigma
+
+378
+00:42:39,040 --> 00:42:45,440
+واحد لأ مش واحد على ان تربيع المهم للواحد وفاضل
+
+379
+00:42:45,440 --> 00:42:50,420
+عندي N أس ثلاثة على اثنين على ان تربيع اللي بيساوي
+
+380
+00:42:50,420 --> 00:42:54,740
+سيجما واحد على N أس نص
+
+381
+00:42:58,550 --> 00:43:03,570
+و ممكن الآن نستخدم ال limit comparison test نثبت 
+
+382
+00:43:03,570 --> 00:43:07,430
+أن هذه divergent لأن هذه divergent باستخدام ال
+
+383
+00:43:07,430 --> 00:43:11,630
+limit comparison test زيادة .. زيادة .. زيادة ..
+
+384
+00:43:11,630 --> 00:43:14,670
+زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة
+
+385
+00:43:14,670 --> 00:43:19,910
+.. زيادة
+
+386
+00:43:19,910 --> 00:43:30,990
+.. زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة
+
+387
+00:43:30,990 --> 00:43:31,310
+..
+
+388
+00:43:34,540 --> 00:43:43,240
+another example طيب xn بساوي سالب واحد و سالب n
+
+389
+00:43:43,240 --> 00:43:51,160
+مثلا yn بساوي واحد yn بساوي واحد اه ف ال series
+
+390
+00:43:51,160 --> 00:43:58,520
+sigma x n diverge و sigma y n diverge فتنتهي ال
+
+391
+00:43:58,520 --> 00:44:01,540
+diverge، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،
+
+392
+00:44:01,540 --> 00:44:01,880
+مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،
+
+393
+00:44:01,880 --> 00:44:02,160
+مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،
+
+394
+00:44:02,160 --> 00:44:03,340
+مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،
+
+395
+00:44:03,340 --> 00:44:08,340
+مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،
+
+396
+00:44:08,340 --> 00:44:14,220
+مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش على مدرسة الأرض
+
+397
+00:44:14,220 --> 00:44:18,380
+أن هو من من أنتو ساوي أربعة على مالة نهاية حكينا
+
+398
+00:44:18,380 --> 00:44:20,820
+أن هو من أنتو ساوي أربعة على مالة نهاية هذا converge
+
+399
+00:44:20,820 --> 00:44:25,300
+بس اللي جابله حكينا أن converge أن diverge اللي
+
+400
+00:44:25,300 --> 00:44:28,280
+جابله لنا طيب احنا عشان بسمع أن احنا بنحكي على السؤال
+
+401
+00:44:28,280 --> 00:44:33,860
+هذا خليني احنا في هذا المثال في عندك مثال؟ خلاص 
+
+402
+00:44:33,860 --> 00:44:38,440
+طبعا ال .. ال .. السابق هذا بعدين بنتناقش فيه
+
+403
+00:44:38,440 --> 00:44:43,270
+خليني أجرب عشان أنا مافيش وجهة على السؤال هذا لو 
+
+404
+00:44:43,270 --> 00:44:46,950
+كلّكم حاولتوا .. كل واحدة حاولت تجيب مثال، كل أمثلة
+
+405
+00:44:46,950 --> 00:44:51,370
+أبقتكم هتكون غلط أو هتفشل، ليه؟ لأن مافيش ولا 
+
+406
+00:44:51,370 --> 00:44:56,890
+مثال، لأن مافيش مثال، فأنت قاعدين بتجيبوا .. تعطوا
+
+407
+00:44:56,890 --> 00:45:01,790
+حاجة مستحيلة، مش موجودة، إذا الإجابة على هذا
+
+408
+00:45:01,790 --> 00:45:02,330
+السؤال
+
+409
+00:45:08,820 --> 00:45:19,880
+أن ال answer ال answer is no لا يمكن يعطى مثال على
+
+410
+00:45:19,880 --> 00:45:22,700
+two series واحدة convergent والثانية divergent
+
+411
+00:45:22,700 --> 00:45:26,020
+مجموع بتطلع convergent مستحيل this is impossible
+
+412
+00:45:26,020 --> 00:45:34,660
+لبرهان أو لثبات ذلك if 
+
+413
+00:45:34,660 --> 00:45:47,190
+if this إذا كان هذا صحيح أو إذا كان هذا صحيح يعني
+
+414
+00:45:47,190 --> 00:45:52,230
+لو قدرت أن أجيب series convergent و series
+
+415
+00:45:52,230 --> 00:45:57,710
+divergent و مجموع convergent then
+
+416
+00:45:57,710 --> 00:46:01,610
+we would have
+
+417
+00:46:03,890 --> 00:46:08,590
+أن الـ series sigma yn اللي احنا فرضنا أن ها
+
+418
+00:46:08,590 --> 00:46:15,650
+divergent اللي هي بساوي sigma xn زائد yn ناقص
+
+419
+00:46:15,650 --> 00:46:23,290
+sigma xn احنا قلنا لو هذا كان true معناته ال
+
+420
+00:46:23,290 --> 00:46:27,690
+series هذه convergent معناته هذه convergent ومن 
+
+421
+00:46:27,690 --> 00:46:32,610
+الفرض هذه convergent والفرق بين two convergent
+
+422
+00:46:32,610 --> 00:46:38,330
+series is convergent، إذن هذا هتطلع .. إذن الفرق 
+
+423
+00:46:38,330 --> 00:46:43,830
+هيكون convergent وبالتالي إذن ال series sigma yn
+
+424
+00:46:43,830 --> 00:46:48,930
+is convergent، وهذا contradiction لأن احنا فرضين
+
+425
+00:46:48,930 --> 00:46:56,040
+أنها divergent هذا مش ممكن يكون true عشان هي كانت
+
+426
+00:46:56,040 --> 00:47:01,600
+كتبت if it were true مستحيل ..مستحيل مش if it was
+
+427
+00:47:01,600 --> 00:47:08,280
+true okay طبعا إذا أنا سأستطيع اعطاء مثال يعطيني 
+
+428
+00:47:08,280 --> 00:47:13,800
+المواصفات هذه بالمرة تمام؟ إذا بنوقف هنا وهيك
+
+429
+00:47:13,800 --> 00:47:17,120
+بنكون خلصنا ال chapter تلاتة المرة الجاية إن شاء
+
+430
+00:47:17,120 --> 00:47:22,620
+الله هنبقى في chapter أربعة فشكرا لكم ونشوفكم إن 
+
+431
+00:47:22,620 --> 00:47:23,640
+شاء الله يوم السبت 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/VKBf-GBS8EU_raw.srt

@@ -0,0 +1,1420 @@
+1
+00:00:21,140 --> 00:00:25,840
+أحنا المرة اللي فات أخدنا موضوع ال sub sequences و
+
+2
+00:00:25,840 --> 00:00:30,840
+أخر نظرية أخدناها في الموضوع هذا كان في نظرية 2.16
+
+3
+00:00:30,840 --> 00:00:36,380
+النظرية هذه بتنص على إنه لو كان في عندي sequence
+
+4
+00:00:36,380 --> 00:00:41,340
+of real numbers و كانت convergent فأي subsequence
+
+5
+00:00:41,340 --> 00:00:47,680
+منها بتكون convergent ويلها نفس ال limit تمام؟
+
+6
+00:00:53,530 --> 00:00:59,850
+الان بدنا نطبق النظرية هذه من خلال الأمثلة التالية
+
+7
+00:00:59,850 --> 00:01:06,250
+فالمثال
+
+8
+00:01:06,250 --> 00:01:13,510
+الأول لو كان واحد أصغر من أو لو كان سفر أصغر من بي
+
+9
+00:01:13,510 --> 00:01:19,410
+أصغر من واحد فبدنا نثبت أن هذا بيقدي أن limit ال
+
+10
+00:01:19,410 --> 00:01:30,240
+sequence bn بساوي سفرفلبورحان ذلك بنعرف
+
+11
+00:01:30,240 --> 00:01:34,680
+الـ sequence Xn اللي الحد العام تبعها بساوي B أُس
+
+12
+00:01:34,680 --> 00:01:42,220
+N تمام؟ الآن من الفرض أنا عندي صفر أصغر من B أصغر
+
+13
+00:01:42,220 --> 00:01:50,360
+من 1 هذا بيقدّي أن Xn اللي هي بساوي B أُس N الـ B
+
+14
+00:01:50,360 --> 00:01:54,360
+هذا عدد موجب أصغر من 1 فكل ما كبرت القوة تبعته كل
+
+15
+00:01:54,360 --> 00:01:59,670
+ما زغريعني هذا أكبر من b أُس n زايد واحد اللي هو
+
+16
+00:01:59,670 --> 00:02:04,410
+xn زايد واحد الكلام هذا صحيح لكل الأعداد الطبيعية
+
+17
+00:02:04,410 --> 00:02:11,350
+n فهذا بيقدي ان ال sequence xn is decreasing
+
+18
+00:02:11,350 --> 00:02:25,510
+متناقصة كذلك احنا في عندنا since بما انهالـ Xn
+
+19
+00:02:25,510 --> 00:02:31,790
+تبعتي اللي احنا عرفناها على عينها B أس N إذا كان B
+
+20
+00:02:31,790 --> 00:02:36,410
+أكبر من 0 أصغر من 1 ف B أس N بيطلع أكبر من أو ساوي
+
+21
+00:02:36,410 --> 00:02:44,210
+0 أصغر من أو ساوي 1 وهذا صحيح لكل N هذا معناه أن
+
+22
+00:02:44,210 --> 00:02:48,690
+السفر حد أدنى لل sequence BN والواحد حد أعلى
+
+23
+00:02:49,370 --> 00:02:53,530
+وبالتالي سيكوانس b in is bounded من أسفل ومن أعلى
+
+24
+00:02:53,530 --> 00:02:59,450
+وبالتالي bounded إذا السيكوانس x in is bounded
+
+25
+00:02:59,450 --> 00:03:03,170
+الآن
+
+26
+00:03:03,170 --> 00:03:06,370
+أنا في اندي سيكوانس x in decreasing وبالتالي
+
+27
+00:03:06,370 --> 00:03:11,670
+monotone وbounded إذا by monotone convergence تطلع
+
+28
+00:03:11,670 --> 00:03:12,170
+conversion
+
+29
+00:03:15,900 --> 00:03:28,260
+by monotone convergence theorem xn converges say
+
+30
+00:03:28,260 --> 00:03:39,320
+دعنا خلّينا نسمي ال limit تبعتها x say limit xn
+
+31
+00:03:39,320 --> 00:03:40,880
+بساوي x
+
+32
+00:03:43,880 --> 00:03:50,460
+الان بدنا نثبت انها هيثبتنا ان ال sequence xn اللي
+
+33
+00:03:50,460 --> 00:03:55,320
+الحد العام تبعها بيوس ن تطلع convergent إلى عدد x
+
+34
+00:03:55,320 --> 00:04:03,660
+الان بدنا نثبت ان ال x هذا هو سفر اكلم ال
+
+35
+00:04:03,660 --> 00:04:17,420
+x بساوي سفر طيب by ال theoremاثنين ستة عشر ال
+
+36
+00:04:17,420 --> 00:04:25,240
+sub sequence لو أخدت ال sub sequence اللي حدودها
+
+37
+00:04:25,240 --> 00:04:31,280
+زوجية لو أخدت الحدود الزوجية من ال sequence xn هذه
+
+38
+00:04:31,280 --> 00:04:38,620
+فهذه sub sequence من xn فهذه أيضا converges ل x
+
+39
+00:04:41,360 --> 00:04:47,460
+حسب نظرية 2.16 الـ sequence x in converge ل x x 2
+
+40
+00:04:47,460 --> 00:04:50,960
+in subsequence من x in وبالتالي convergent by
+
+41
+00:04:50,960 --> 00:05:02,480
+theorem 16 إلى x طيب، الآن so as بما أنه
+
+42
+00:05:06,320 --> 00:05:13,660
+x2n بيساوي بي أس اتنين n x اتنين n بد ان باتنين n
+
+43
+00:05:13,660 --> 00:05:18,700
+بيساوي بي أس اتنين n وهذه ممكن كتبتها على صورة بي
+
+44
+00:05:18,700 --> 00:05:28,700
+أس ان لكل تربية وهذا عبارة عن xn تربية الكلام هذا
+
+45
+00:05:28,700 --> 00:05:33,280
+صحيح لكل n خدوا ال limit للطرفين لما n تقول ل
+
+46
+00:05:33,280 --> 00:05:43,650
+infinityإذا ال limit ل x2n لما n تقول infinity
+
+47
+00:05:43,650 --> 00:05:52,630
+بساوي limit xn تربيع لما n تقول infinity وهذا
+
+48
+00:05:52,630 --> 00:06:00,730
+بساوي limit xn لكل ت��بيع طيب limit .. أنا عندي
+
+49
+00:06:00,730 --> 00:06:04,270
+limit xn بساوي x إذا هذا x تربيع
+
+50
+00:06:07,550 --> 00:06:13,890
+و limit x2 in بساوي x إن أنا أصبح في عندي معادلة x
+
+51
+00:06:13,890 --> 00:06:19,730
+بساوي x تلبيا حل المعادلة هذه في x فبطلع x بساوي
+
+52
+00:06:19,730 --> 00:06:29,830
+سفر أو x بساوي واحد تمام؟
+
+53
+00:06:36,360 --> 00:06:41,500
+طيب مين أخد السفر و لا الواحد؟
+
+54
+00:06:41,500 --> 00:06:46,620
+أنا عندي ال sequence تبعتي decreasing متناقصة أنا
+
+55
+00:06:46,620 --> 00:06:53,480
+عندي .. أنا عندي ال X since
+
+56
+00:06:53,480 --> 00:07:00,200
+X in is decreasing متناقصة
+
+57
+00:07:04,980 --> 00:07:11,740
+و ال limit تبعتها و x اللي هي بالساوي limit x in
+
+58
+00:07:11,740 --> 00:07:19,660
+من هنا limit x in هتطلع أكبر من أو ساوي سفر أصغر
+
+59
+00:07:19,660 --> 00:07:24,900
+من أو ساوي الواحد و ال x إما بالساوي سفر أو واحد و
+
+60
+00:07:24,900 --> 00:07:32,020
+متناقصة فلازم ال x ال limit تبعتها x ساوي سفر
+
+61
+00:07:35,220 --> 00:07:40,360
+لأنها بتتناقص مش بتزايد okay إذا ال X بساوي سفر
+
+62
+00:07:40,360 --> 00:07:44,120
+برضه
+
+63
+00:07:44,120 --> 00:07:50,740
+ممكن نحن نقول إن ال sequence ال X بساوي ال infimum
+
+64
+00:07:50,740 --> 00:07:58,780
+ل XN حيث N ينتمي ل N حسب ال monotone convergence
+
+65
+00:07:58,780 --> 00:08:03,420
+theorem وهي ال XN bounded below by سفر والسفر هو
+
+66
+00:08:03,420 --> 00:08:12,190
+ال infimum لهاإذاً هذا بيساوي السفر لأن
+
+67
+00:08:12,190 --> 00:08:18,290
+السفر عبارة عن lower bound هو أكبر ممكن إثبات إنه
+
+68
+00:08:18,290 --> 00:08:25,090
+أكبر lower bound طيب واضح المثال هذا؟ كيف طبقنا
+
+69
+00:08:25,090 --> 00:08:31,170
+نظرية 2.16 لإيجاد limit لل-convergent sequence لأن
+
+70
+00:08:31,170 --> 00:08:35,250
+احنا أثبتنا إن ال sequence convergentأخذنا سيكوينس
+
+71
+00:08:35,250 --> 00:08:38,530
+الحد اللي عام تبعها بي أس ان أثبتنا إنها
+
+72
+00:08:38,530 --> 00:08:42,990
+convergence by monotone convergence theorem وجبنا
+
+73
+00:08:42,990 --> 00:08:48,650
+قيمة ال limit باستخدام نظرية 2.16 أو ممكن باستخدام
+
+74
+00:08:48,650 --> 00:08:52,790
+ال monotone convergence theorem تمام؟ ناخد مثال
+
+75
+00:08:52,790 --> 00:08:53,250
+تاني
+
+76
+00:09:04,470 --> 00:09:09,990
+لو كان عندي c عدد حقيقي أكبر من واحد فهذا بيؤدي ان
+
+77
+00:09:09,990 --> 00:09:15,550
+ال limit ل c أس واحد على n لما n تقول infinity
+
+78
+00:09:15,550 --> 00:09:21,030
+بيساوي واحد البرهان
+
+79
+00:09:21,030 --> 00:09:27,430
+بنفس الطريقة اللي برهننا فيها المثال الأول let
+
+80
+00:09:27,430 --> 00:09:33,610
+المرة هذه y in انعرف sequence y inالـ nth term
+
+81
+00:09:33,610 --> 00:09:42,570
+تبقى yn بساوي c أس واحد على n لكل n عدد طبيعي then
+
+82
+00:09:42,570 --> 00:09:49,230
+واضح أن yn زائد واحد بساوي c أس واحد على n زائد
+
+83
+00:09:49,230 --> 00:09:58,530
+واحد و ال c عدد أكبر من واحدوهذا الجذر رقم n زاد
+
+84
+00:09:58,530 --> 00:10:11,230
+واحد له هذا بطلع أكبر من أو أصغر من الجذر رقم n أو
+
+85
+00:10:11,230 --> 00:10:17,690
+الجذر اللوني ل ال c كل ما كبر الجذر كل ما العدد
+
+86
+00:10:17,690 --> 00:10:23,720
+زغر إذا كان العدد أكبر من واحد وهذا بساوي ynو هذا
+
+87
+00:10:23,720 --> 00:10:29,280
+صحيح لكل n هذا معناه yn زياد واحد أصغر من yn
+
+88
+00:10:29,280 --> 00:10:39,160
+معناته ال sequence yn is decreasing متناقصة also
+
+89
+00:10:39,160 --> 00:10:48,180
+أيضا أنا عندي في ال sequence هذه y واحد أكبر من أو
+
+90
+00:10:48,180 --> 00:10:56,200
+ساوي ynلأن الـ sequence متناقصة صح؟
+
+91
+00:10:56,200 --> 00:11:03,900
+و YN من هنا YN بساوي C أس N الـ C أكبر من واحد إذا
+
+92
+00:11:03,900 --> 00:11:07,580
+الجذر النوني لـ C عدد أكبر من واحد بيبقى أكبر من
+
+93
+00:11:07,580 --> 00:11:16,040
+واحد إذا هذا أكبر من أو ساوي واحد تمام؟ وهذا
+
+94
+00:11:16,040 --> 00:11:22,810
+الكلام صحيح لكل N؟إذن هي ال sequence تبعتي y in
+
+95
+00:11:22,810 --> 00:11:28,230
+bounded below by one and bounded above by y one y
+
+96
+00:11:28,230 --> 00:11:36,370
+one عدد حفيفي موجب أكبر من واحد إذن
+
+97
+00:11:36,370 --> 00:11:43,550
+هذا معناه أن ال sequence y inis bounded صح is
+
+98
+00:11:43,550 --> 00:11:52,170
+bounded so by monotone convergence theorem a
+
+99
+00:11:52,170 --> 00:12:04,010
+sequence yn converges converge say ال limit تبعتها
+
+100
+00:12:04,010 --> 00:12:11,970
+بساوي عدد yافترضوا ان ال limit تبعتها بالساعة
+
+101
+00:12:11,970 --> 00:12:21,450
+واحدة الان بنثبت ان ال limit
+
+102
+00:12:21,450 --> 00:12:30,950
+y بالساعة واحدة ال claim ان ال limit y بالساعة
+
+103
+00:12:30,950 --> 00:12:34,550
+واحدة كمان مرة نفس السلسلة اللي بستخدمها برنامج
+
+104
+00:12:34,550 --> 00:12:41,680
+اتنين ستاشر ال subsequence اللي هيمتتالية الحدود
+
+105
+00:12:41,680 --> 00:12:51,880
+الزوجية y2n هذي
+
+106
+00:12:51,880 --> 00:12:56,260
+المفروض تكون convergent لنفس ال limit تبعت ال
+
+107
+00:12:56,260 --> 00:13:02,280
+sequence yn اللي هي y تمام طيب
+
+108
+00:13:02,280 --> 00:13:02,400
+but
+
+109
+00:13:08,660 --> 00:13:17,520
+Y2N شو بيساوي؟ C أس واحد على اتنين N وهذا بيساوي C
+
+110
+00:13:17,520 --> 00:13:24,680
+أس واحد على N الكل أس واحد على اتنين وهذا بيساوي C
+
+111
+00:13:24,680 --> 00:13:32,250
+أس واحد على N عبارة عن YN الكل أس نصالكلام هذا
+
+112
+00:13:32,250 --> 00:13:37,270
+صحيح لكل n إذا لو أخدت ال limit للطرفين لما n تقول
+
+113
+00:13:37,270 --> 00:13:43,950
+infinity فبطلع عندي limit y2n as n times infinity
+
+114
+00:13:43,950 --> 00:13:48,330
+بساوي limit yn
+
+115
+00:13:48,330 --> 00:13:56,210
+لما n تقول infinity أص نص وهذا بساوي limit أص نص
+
+116
+00:14:00,780 --> 00:14:08,440
+طيب limit y in قلنا بتساوي y إذن هذا y أص نص و
+
+117
+00:14:08,440 --> 00:14:14,920
+limit y اتنين in قلنا بتساوي y إذن أنا أصبح في
+
+118
+00:14:14,920 --> 00:14:20,700
+عندي معادلة y بساوي y أص نص لو حلينا المعادلة هذه
+
+119
+00:14:20,700 --> 00:14:28,660
+في y فy تلبية بساوي y ومنها بطلع y بساوي سفر or y
+
+120
+00:14:28,660 --> 00:14:29,940
+بساوي واحدة
+
+121
+00:14:32,490 --> 00:14:38,990
+أحنا عايزين ال y تساوي المثال التاني واحد عايزين
+
+122
+00:14:38,990 --> 00:14:49,090
+ال y تساوي واحد تمام فأنا عندي since limit أنا
+
+123
+00:14:49,090 --> 00:14:49,930
+عندي من هنا
+
+124
+00:14:53,290 --> 00:15:01,650
+أنا عندي yn أكبر من أو ساوي واحد لكل n بيقدي انه
+
+125
+00:15:01,650 --> 00:15:10,350
+limit yn اللي هي y هي خانة نظرية بتقول لو y ال
+
+126
+00:15:10,350 --> 00:15:15,350
+sequence bounded below by a ف limit yn تطلع أكبر
+
+127
+00:15:15,350 --> 00:15:19,350
+من أو ساوي الواحد
+
+128
+00:15:24,190 --> 00:15:29,090
+طيب why أكبر من أو ساوي الواحد و احنا قلنا انه
+
+129
+00:15:29,090 --> 00:15:33,430
+لازم تطلع اما سفر او واحد فمين ال .. ال .. الإجابة
+
+130
+00:15:33,430 --> 00:15:40,090
+المنطقية اذا ال why لازم الساوي واحد وبالتالي هيك
+
+131
+00:15:40,090 --> 00:15:44,130
+ممكن اثبتنا ان ال sequence اللي ال instance تبعها
+
+132
+00:15:44,130 --> 00:15:48,850
+c to one over n is convergent و ال limit تبعتها
+
+133
+00:15:48,850 --> 00:15:51,430
+بالساوي واحد تمام واضح؟
+
+134
+00:15:54,740 --> 00:15:59,300
+في اي سؤال؟ طيب
+
+135
+00:15:59,300 --> 00:16:01,360
+النظرية اللي بعد النظرية هذه
+
+136
+00:16:23,610 --> 00:16:28,650
+نظرية السبعتاش divergence
+
+137
+00:16:28,650 --> 00:16:35,370
+criterion
+
+138
+00:16:51,000 --> 00:16:58,100
+let xn be sequence in R لو
+
+139
+00:16:58,100 --> 00:17:02,200
+كانت xn sequence of real numbers then the
+
+140
+00:17:02,200 --> 00:17:07,700
+following statements are equivalent الأبارات
+
+141
+00:17:07,700 --> 00:17:13,960
+التالية متكافئة xn does not converge ل x ينتمي إلى
+
+142
+00:17:13,960 --> 00:17:14,400
+R
+
+143
+00:17:18,590 --> 00:17:25,790
+تنين يوجد epsilon zero اكبر من سفر بحيث انه such
+
+144
+00:17:25,790 --> 00:17:36,290
+that for any k عدد طبيعي يوجد
+
+145
+00:17:36,290 --> 00:17:44,790
+عدد طبيعي rk ينتمي الى n with
+
+146
+00:17:46,090 --> 00:17:54,350
+rk أكبر من أو يساوي k and and
+
+147
+00:17:54,350 --> 00:18:00,930
+absolute x x
+
+148
+00:18:00,930 --> 00:18:07,550
+رقم rk minus x أكبر من أو يساوي epsilon zero
+
+149
+00:18:07,550 --> 00:18:10,870
+الأبارة التالتة
+
+150
+00:18:14,170 --> 00:18:21,010
+يوجد epsilon zero أكبر من الصفر and a subsequence
+
+151
+00:18:21,010 --> 00:18:34,660
+.. a subsequence xrk أو xrn of ال sequence x in
+
+152
+00:18:34,660 --> 00:18:42,080
+such that absolute xrn
+
+153
+00:18:42,080 --> 00:18:54,540
+minus x أكبر من أو يساوي epsilon zero لكل n تمام؟
+
+154
+00:18:56,650 --> 00:19:05,210
+لبرهان النظرية هذه عشان اثبت تلات عبارات متكافئة
+
+155
+00:19:05,210 --> 00:19:11,790
+حسب ال logic حسب المنطق أو مبادئ الرياضيات لازم
+
+156
+00:19:11,790 --> 00:19:17,490
+نثبت ان واحد بكافئ اتنين و اتنين بكافئ تلاتة وهذا
+
+157
+00:19:17,490 --> 00:19:22,330
+ممكن اثباتهبإن احنا نثبت واحد بيقدي لاتنين و اتنين
+
+158
+00:19:22,330 --> 00:19:26,530
+بيقدي لتلاتة و تلاتة بيقدي لواحد هيك بنغلق الدائرة
+
+159
+00:19:26,530 --> 00:19:32,490
+فهذا اللي هنعمله فنبدأ بالبرهان نثبت الأول ان
+
+160
+00:19:32,490 --> 00:19:41,710
+العبارة الأولى implies التانية بتقدي للتانية ف
+
+161
+00:19:41,710 --> 00:19:42,390
+assume
+
+162
+00:19:45,130 --> 00:19:51,890
+العبارة الأولى صحيحة وهو xm does not converge لx
+
+163
+00:19:54,980 --> 00:20:00,680
+طيب ارجعوا لتعريف epsilon capital N definition of
+
+164
+00:20:00,680 --> 00:20:04,200
+convergence ما معناه ان ال sequence xn converge ل
+
+165
+00:20:04,200 --> 00:20:08,560
+x معناه لكل epsilon أكبر من السفر يوجد capital N
+
+166
+00:20:08,560 --> 00:20:12,280
+يعتمد على epsilon بحيث لكل N أكبر من أو ساوي
+
+167
+00:20:12,280 --> 00:20:17,040
+capital N المسافة بين xn و x أصغر من epsilonطب
+
+168
+00:20:17,040 --> 00:20:20,480
+مايعنى x in لا تتقارب ل x معناه نفي كل الكلام هذا
+
+169
+00:20:20,480 --> 00:20:24,000
+اللي حاكيناه بيحصل بدل لكل epsilon أكبر من الصفر
+
+170
+00:20:24,000 --> 00:20:29,780
+يوجد capital N بصير يوجد epsilon واحدة epsilon
+
+171
+00:20:29,780 --> 00:20:41,960
+zero عدد موجب بحيث such that بحيث انه لكل
+
+172
+00:20:43,760 --> 00:20:50,280
+كبت أو n عدد طبيعي the implication
+
+173
+00:20:57,890 --> 00:21:00,870
+ال implication تبع التعريف epsilon capital n ال
+
+174
+00:21:00,870 --> 00:21:06,070
+implication اللي هي لكل n أكبر من أو ساوي capital
+
+175
+00:21:06,070 --> 00:21:13,970
+K لازم يطلع المسافة بين xn و x أصغر من epsilon
+
+176
+00:21:13,970 --> 00:21:22,830
+zero ال implication هذه is false is false ليست
+
+177
+00:21:22,830 --> 00:21:27,430
+صحيحة طب ما هذا معناه هذا معناه
+
+178
+00:21:31,850 --> 00:21:41,490
+this means هذا يعني this means أنه لكل capital K
+
+179
+00:21:41,490 --> 00:21:48,590
+عدد طبيعي يوجد لكل
+
+180
+00:21:48,590 --> 00:21:54,630
+K عدد طبيعي مايعني أن هذا غلطمعناه يوجد لكل K عدد
+
+181
+00:21:54,630 --> 00:21:59,250
+طبيعي capital K يوجد عدد واحد مش لكل ال N الأكبر
+
+182
+00:21:59,250 --> 00:22:06,030
+منه يوجد عدد طبيعي واحد أكبر من أو ساوي يوجد عدد
+
+183
+00:22:06,030 --> 00:22:13,690
+طبيعي سميه N أو R sub capital K يعتمد على K عدد
+
+184
+00:22:13,690 --> 00:22:17,750
+طبيعي بحيث أنه
+
+185
+00:22:21,710 --> 00:22:27,850
+بحيث أنه طبعا
+
+186
+00:22:27,850 --> 00:22:33,390
+ال RK هذا هيكون
+
+187
+00:22:33,390 --> 00:22:41,190
+أكبر من أو ساوي K and RK
+
+188
+00:22:41,190 --> 00:22:50,050
+أكبر من أو ساوي K and absolute XN أو XRcapital k
+
+189
+00:22:50,050 --> 00:22:55,590
+minus x أكبر من أو يساوي بدل أصغر من epsilon zero
+
+190
+00:22:55,590 --> 00:23:05,410
+النفي تبعها أكبر من أو يساوي epsilon zero now
+
+191
+00:23:05,410 --> 00:23:09,610
+replace
+
+192
+00:23:09,610 --> 00:23:18,450
+badly replace capital k by small k
+
+193
+00:23:22,130 --> 00:23:25,970
+to get الأبارع
+
+194
+00:23:25,970 --> 00:23:32,250
+اتنين holes صح؟
+
+195
+00:23:32,250 --> 00:23:38,950
+هاي بدلي كابتال K بsmall kفهنا أثبتنا أن يوجد يوجد
+
+196
+00:23:38,950 --> 00:23:46,350
+εمسلون زيرو أكبر من سفر بحيث لكل لكل small k يوجد
+
+197
+00:23:46,350 --> 00:23:53,150
+R small k أكبر من أو ساوي small k والمسافة بين X R
+
+198
+00:23:53,150 --> 00:23:56,750
+small k minus X أكبر من أو ساوي امسلون زيرو
+
+199
+00:24:04,730 --> 00:24:14,690
+الأن نثبت اتنين بيقدي لواحد لتلاتة اذا two implies
+
+200
+00:24:14,690 --> 00:24:18,530
+three assume
+
+201
+00:24:18,530 --> 00:24:27,110
+two holds افرضه ان العبارة التانية صحيحة بيبني
+
+202
+00:24:27,110 --> 00:24:30,690
+نثبت ان العبارة التالتة صحيحة طيب؟
+
+203
+00:24:37,940 --> 00:24:48,160
+then for k بساوي واحد يعني تم إلى n الان احنا
+
+204
+00:24:48,160 --> 00:24:53,320
+فرضين اتنين العبارة اتنين صحيحة اذا احنا فرضين ان
+
+205
+00:24:53,320 --> 00:24:58,840
+يوجد epsilon zero بحيث الكلام هذا بتحقق الان لو
+
+206
+00:24:58,840 --> 00:25:04,420
+اخدت k هذه بساوي واحد فيوجد
+
+207
+00:25:06,750 --> 00:25:15,070
+R1 عدد طبيعي وطبعا R1 بالتأكيد أكبر من أو ساوي
+
+208
+00:25:15,070 --> 00:25:24,510
+واحد such that absolute X R1 سالب X أكبر من أو
+
+209
+00:25:24,510 --> 00:25:33,250
+ساوي epsilon zero صح؟ next for
+
+210
+00:25:34,680 --> 00:25:45,900
+ك بساوي R واحد زاد واحد مش
+
+211
+00:25:45,900 --> 00:25:51,380
+هاد عدد طبيعي لو أخدت ك بساوي R واحد زاد واحد R
+
+212
+00:25:51,380 --> 00:25:58,020
+واحد عدد طبيعي زاد واحد عدد طبيعي يوجد R اتنين عدد
+
+213
+00:25:58,020 --> 00:26:08,800
+طبيعيو R اتنين اكبر من او يساوي R
+
+214
+00:26:08,800 --> 00:26:16,480
+واحد زاد واحد such that absolute X R اتنين minus X
+
+215
+00:26:16,480 --> 00:26:24,960
+اكبر من او يساوي epsilon zero صح طيب
+
+216
+00:26:24,960 --> 00:26:30,060
+كمان برضه لو سمرنا في العملية هذه now
+
+217
+00:26:32,620 --> 00:26:40,620
+for R اتنين زائد واحد مش هاد عدد طبيعي لو أخدت K
+
+218
+00:26:40,620 --> 00:26:46,440
+لان بساوي اه لو أخدت K بساوي R اتنين زائد واحد هاد
+
+219
+00:26:46,440 --> 00:26:51,680
+عدد طبيعي هنا اتنين اتنين لو أخدت K بساوي R اتنين
+
+220
+00:26:51,680 --> 00:27:01,160
+زائد واحد اذا حسب اتنين يوجد R تلاتة عدد طبيعيوR
+
+221
+00:27:01,160 --> 00:27:06,280
+تلاتة أكبر من أو ساوي ال K اللي هو R اتنين زائد
+
+222
+00:27:06,280 --> 00:27:13,360
+واحد بحيث انه المسافة بين X R تلاتة minus X أكبر
+
+223
+00:27:13,360 --> 00:27:18,400
+من أو ساوي epsilon zero طب لو استمرنا في العملية
+
+224
+00:27:18,400 --> 00:27:27,040
+هذه شو هنحصل؟ ايه اللي هيحصل؟ continuing this
+
+225
+00:27:27,040 --> 00:27:27,860
+process
+
+226
+00:27:32,720 --> 00:27:35,460
+this process اللي هو سمرنا في العملية دي اللي
+
+227
+00:27:35,460 --> 00:27:49,200
+عملية تطبيق العبارة التانية we obtain هنحصل على we
+
+228
+00:27:49,200 --> 00:27:54,960
+obtain strictly strictly
+
+229
+00:27:54,960 --> 00:28:01,700
+increasing increasing sequence
+
+230
+00:28:06,220 --> 00:28:13,140
+RK من K بساوة واحد لإنفينتي هذه عبارة عن sequence
+
+231
+00:28:13,140 --> 00:28:20,620
+of natural numbers in N such
+
+232
+00:28:20,620 --> 00:28:28,940
+that and hence وبالتالي وبالتالي نحصل على a
+
+233
+00:28:28,940 --> 00:28:33,600
+subsequence XRK
+
+234
+00:28:34,700 --> 00:28:39,240
+من k بساوي واحد في infinity هذه عبارة عن
+
+235
+00:28:39,240 --> 00:28:45,980
+subsequence من ال sequence xn بحيث such that
+
+236
+00:28:45,980 --> 00:28:55,680
+absolute xr k minus x أكبر من أو ساوي epsilon zero
+
+237
+00:28:55,680 --> 00:29:01,160
+والكلام هذا صحيح لكل k ينتمي إلى n
+
+238
+00:29:03,880 --> 00:29:10,500
+هي في الخطوة الأولى حصلنا على R1 وبالتالي على XR1
+
+239
+00:29:10,500 --> 00:29:16,440
+بحيث absolute XR1 minus X أكبر نوى ساوية X نزيلة
+
+240
+00:29:16,440 --> 00:29:23,010
+في الخطوة التانية حصلنا على R2 وبالتالي XR2لاحظوا
+
+241
+00:29:23,010 --> 00:29:30,030
+R2 أكبر من R1 وR3 أكبر من R2، إذن هذه sequence of
+
+242
+00:29:30,030 --> 00:29:33,830
+natural numbers strictly increasing، إذن ال
+
+243
+00:29:33,830 --> 00:29:39,030
+sequence، المؤشرات تبعتها هي الأعداد الطبيعية، هذه
+
+244
+00:29:39,030 --> 00:29:44,110
+subsequence حسب التعريف من sequence Xوبتحقق في
+
+245
+00:29:44,110 --> 00:29:49,510
+الخطوة التانية absolute XR2-X أكبر من أو ساوي Y0
+
+246
+00:29:49,510 --> 00:29:55,590
+خطوة التالتة لما K بساوي تلاتة هي absolute XR3-X
+
+247
+00:29:55,590 --> 00:29:59,510
+أكبر من أو ساوي Y0 وهكذا إذن هنا عملنا
+
+248
+00:29:59,510 --> 00:30:04,470
+construction عملنا بناء بنينا subsequence اللي هي
+
+249
+00:30:04,470 --> 00:30:09,650
+subsequence هذه من ال sequence XN بطريقة استقرائية
+
+250
+00:30:10,920 --> 00:30:15,420
+و هذه الـ subsequence بتحقق المتباينة هذه وهذه
+
+251
+00:30:15,420 --> 00:30:21,800
+بالضبط العبارة تلاتة اذا three العبارة تلاتة whole
+
+252
+00:30:21,800 --> 00:30:24,960
+تمام؟
+
+253
+00:30:24,960 --> 00:30:30,460
+إذا هيك أثبتنا أن اتنين يعدي إلى تلاتة باقي أثبات
+
+254
+00:30:30,460 --> 00:30:36,400
+أن العبارة تلاتة تعني واحدة
+
+255
+00:30:39,780 --> 00:30:48,460
+ف assume .. assume العبارة تلاتة صحيحة يعني يوجد
+
+256
+00:30:48,460 --> 00:30:57,260
+epsilon zero أكبر من صفر and a subsequence xrk
+
+257
+00:30:57,260 --> 00:31:10,090
+of a sequence x in such thatabsolute xrk minus x
+
+258
+00:31:10,090 --> 00:31:18,510
+أكبر من أو ساوي y0 لكل k طيب
+
+259
+00:31:18,510 --> 00:31:29,170
+هذا معناه أو هذا بيقدّي ان xrk
+
+260
+00:31:29,170 --> 00:31:43,760
+او xrn او xrkلا تنتمي لـ X-Y0 X زاد Y0 لا تنتمي
+
+261
+00:31:43,760 --> 00:31:45,220
+للفترة المفتوحة هذه
+
+262
+00:31:49,030 --> 00:31:53,890
+اللي هو هذه الفترة المفتوحة سمناها قبل هيك ابسلون
+
+263
+00:31:53,890 --> 00:31:59,670
+زيرو neighborhood ل X صح؟ هذه فترة مفتوحة مركزها X
+
+264
+00:31:59,670 --> 00:32:04,330
+و نص قطرها ابسلون زيرو المتباينة هذه بتقول إن هذا
+
+265
+00:32:04,330 --> 00:32:10,470
+الكلام لكل K لكل K لو حلت .. لو حلت المتباينة هذه
+
+266
+00:32:10,470 --> 00:32:14,990
+في X بيطلع في X لو حلت المتباينة هذه في XRK بيطلع
+
+267
+00:32:14,990 --> 00:32:23,320
+XRK لا ينتميلأ الفترة مفتوحة وبالتالي
+
+268
+00:32:23,320 --> 00:32:27,460
+hence by
+
+269
+00:32:27,460 --> 00:32:37,860
+definition by ال neighborhood definition of
+
+270
+00:32:37,860 --> 00:32:41,740
+limit
+
+271
+00:32:44,750 --> 00:32:49,850
+فاكرين احنا اخدنا تعريف ال limit لل sequence اول
+
+272
+00:32:49,850 --> 00:32:53,190
+تعريف كان neighborhood definition و بعدين اثبتنا
+
+273
+00:32:53,190 --> 00:32:58,470
+انه بكافئ في نظرية 2.2 اثبتنا انه بكافئ ال epsilon
+
+274
+00:32:58,470 --> 00:33:01,010
+capital N definition لل limit
+
+275
+00:33:10,150 --> 00:33:15,910
+X in converge ل X X in converge ل X معناه لأي
+
+276
+00:33:15,910 --> 00:33:21,390
+neighborhood ل X زي هذا لازم
+
+277
+00:33:21,390 --> 00:33:29,210
+عشان
+
+278
+00:33:29,210 --> 00:33:32,550
+ال subsequence هذه converge ل X لازم أي
+
+279
+00:33:32,550 --> 00:33:37,180
+neighborhood ل X يحتويكل حدود الـ sequence من
+
+280
+00:33:37,180 --> 00:33:41,660
+كابتل N وانت طالع أو من كابتل K وانت طالع لكل
+
+281
+00:33:41,660 --> 00:33:46,920
+small k أكبر من أو ساوي كابتل K هذا لازم يكون صحيح
+
+282
+00:33:46,920 --> 00:33:50,260
+لكل neighborhood طب أنا في .. لأن في عندي there
+
+283
+00:33:50,260 --> 00:33:55,740
+exists epsilon zero neighborhood ل X وكل حدود ال
+
+284
+00:33:55,740 --> 00:34:02,770
+subsequence مش موجودة فيههذا بالظبط نفي تعريف الـ
+
+285
+00:34:02,770 --> 00:34:05,230
+neighborhood definition للـ convergence وبالتالي
+
+286
+00:34:05,230 --> 00:34:09,350
+هذا معناه حسب تعريف الـ neighborhood definition أن
+
+287
+00:34:09,350 --> 00:34:15,550
+الـ subsequence هذه does not converge ل Xطب احنا
+
+288
+00:34:15,550 --> 00:34:19,970
+عايزين نثبت عشان نثبت ان العبارة واحد صحيحة عايزين
+
+289
+00:34:19,970 --> 00:34:23,810
+نثبت ان ال sequence نفسها مش ال subsequence ال
+
+290
+00:34:23,810 --> 00:34:27,650
+sequence نفسها does not converge لأكس اذا انا بدي
+
+291
+00:34:27,650 --> 00:34:38,290
+اكتب هنا claim لبرهان
+
+292
+00:34:38,290 --> 00:34:46,830
+العبارة الأولى باقي اثبات ال claimوهو ان ال
+
+293
+00:34:46,830 --> 00:34:55,150
+sequence x in نفسها does not converge ل x فنشوف
+
+294
+00:34:55,150 --> 00:35:01,370
+مع بعض assume بورهان بالتناقض assume on contrary
+
+295
+00:35:01,370 --> 00:35:05,230
+ان
+
+296
+00:35:05,230 --> 00:35:10,990
+ال sequence x in converge ل x okay بورهان بالتناقض
+
+297
+00:35:10,990 --> 00:35:22,050
+افرض ان ال sequence converge ل xby a theorem اتنين
+
+298
+00:35:22,050 --> 00:35:32,850
+ستاش the subsequence the subsequence اللي هي X R K
+
+299
+00:35:32,850 --> 00:35:37,490
+ال subsequence مش هاد ال subsequence هاد المفروض
+
+300
+00:35:37,490 --> 00:35:44,020
+تطلع convergent ل X وهدا ده ديني contradictionلأن
+
+301
+00:35:44,020 --> 00:35:47,260
+أنا عندي sub sequence هنا استنتجنا أنها does not
+
+302
+00:35:47,260 --> 00:35:53,060
+converge ل X إذا في عندي تناقض التناقض هذا سببه أن
+
+303
+00:35:53,060 --> 00:35:58,680
+احنا فرضنا أن X in converge ل X إذا بطلع عندي X in
+
+304
+00:35:58,680 --> 00:36:04,200
+does not converge ل X وبالتالي إذا one holds إذا
+
+305
+00:36:04,200 --> 00:36:10,120
+one holdsوبالتالي هيك بنكون كملنا برهان النظرية
+
+306
+00:36:10,120 --> 00:36:15,580
+okay تمام اذا هيك اثبتنا ان التلاتة بيعد لواحد
+
+307
+00:36:15,580 --> 00:36:20,560
+وبالتالي العبارات التلاتة هذه متكافئة احنا بهمنا
+
+308
+00:36:20,560 --> 00:36:26,140
+في التطبيق اللي هو الجزء الأخير يعني عشان انا اثبت
+
+309
+00:36:27,620 --> 00:36:32,400
+إنه sequence معينة does not converge to any real
+
+310
+00:36:32,400 --> 00:36:36,360
+number X يكفي
+
+311
+00:36:36,360 --> 00:36:42,920
+اثبات أن يوجد Y0 يوجد subsequence بحيث أن المسافة
+
+312
+00:36:42,920 --> 00:36:47,780
+دي أكبر من أو ساوى Y0 لكل M هنشوف الكلام هذا في
+
+313
+00:36:47,780 --> 00:36:58,230
+أمثلة لاحقة لكن خلينا بس ناخد مثالعلى النظرية هذه
+
+314
+00:36:58,230 --> 00:37:15,210
+إذا
+
+315
+00:37:15,210 --> 00:37:23,470
+ناخد examples هاي
+
+316
+00:37:23,470 --> 00:37:24,410
+مثال واحد
+
+317
+00:37:28,440 --> 00:37:32,300
+الـ sequence اللي الحد العام تبعها سالب واحد plus
+
+318
+00:37:32,300 --> 00:37:40,560
+n is divergent طبعا
+
+319
+00:37:40,560 --> 00:37:43,620
+احنا اثبتنا قبل هيك ان ال sequence هي divergent
+
+320
+00:37:43,620 --> 00:37:47,640
+عملنا proof by contradiction فرضنا ان انا
+
+321
+00:37:47,640 --> 00:37:55,040
+convergent ووصلنا إلى تناقض صح اليوم هناخد برهان
+
+322
+00:37:55,040 --> 00:38:04,780
+تانيباستخدام نظرية 16 أو نظرية التانية يعني نشوف
+
+323
+00:38:04,780 --> 00:38:12,820
+مع بعض prove if
+
+324
+00:38:12,820 --> 00:38:25,060
+it were convergent say
+
+325
+00:38:30,030 --> 00:38:38,350
+-1-N converges to X ينتمي إلى R لو فرضنا إن
+
+326
+00:38:38,350 --> 00:38:44,970
+سيكوانس هذه convergent هنثبت إنها divergent بورحان
+
+327
+00:38:44,970 --> 00:38:51,350
+بالتناقض لو فرضنا إنها convergent to some X إذا
+
+328
+00:38:51,350 --> 00:38:56,570
+كانت convergent إن اسمها لمات then
+
+329
+00:39:00,730 --> 00:39:07,130
+الـ sub sequences اللي
+
+330
+00:39:07,130 --> 00:39:18,390
+هم سالب واحد أس اتنين in and سالب واحد أس اتنين in
+
+331
+00:39:18,390 --> 00:39:25,470
+سالب واحدهذه الـ subsequence هي الحدود الزوجية من
+
+332
+00:39:25,470 --> 00:39:31,150
+هنا و هذه الحدود الفردية إذا كانت ال sequence
+
+333
+00:39:31,150 --> 00:39:36,430
+نفسها converged ل X فالتنتين هذول both converged ل
+
+334
+00:39:36,430 --> 00:39:45,110
+X و
+
+335
+00:39:45,110 --> 00:39:48,670
+بالتالي so X
+
+336
+00:39:51,100 --> 00:40:00,080
+بتساوي limit سالب واحد قص اتنين in صح؟ وهذه بساوي
+
+337
+00:40:00,080 --> 00:40:06,400
+limit سالب واحد قص اتنين in واحد ال sequence هذه
+
+338
+00:40:06,400 --> 00:40:15,620
+ثابت واحد بساوي واحد صح؟ and برضه احنا قلنا ان ال
+
+339
+00:40:15,620 --> 00:40:23,400
+Xبتساوي limit ال subsequence للحدود الفردية اللي
+
+340
+00:40:23,400 --> 00:40:28,580
+هي هذه طيب
+
+341
+00:40:28,580 --> 00:40:36,140
+سالب واحد قص عدد فردي بطلع سالب واحد إذن هذه ال
+
+342
+00:40:36,140 --> 00:40:41,760
+sequence حدودها فردية إذن هي عبارة عن sequence
+
+343
+00:40:41,760 --> 00:40:50,260
+ثابت سالب واحد وبالتالي limit لثابت بطلع ثابتإذا
+
+344
+00:40:50,260 --> 00:40:56,180
+أنا أطلع عندي واحد بساوي x من المعادلة الأولى
+
+345
+00:40:56,180 --> 00:41:01,120
+وكذلك ال x بساوي سالب واحد يعني معناه واحد بساوي
+
+346
+00:41:01,120 --> 00:41:10,130
+سالب واحد وهذا contradictionتمام؟ إذا مستحيل أن ال
+
+347
+00:41:10,130 --> 00:41:13,510
+sequence هذه تكون convergent لأنها لازم تكون
+
+348
+00:41:13,510 --> 00:41:21,050
+divergent okay تمام؟ إذا هنا كلمة where الدلالة
+
+349
+00:41:21,050 --> 00:41:26,470
+على الاستحالة كان ممكن اسمها ال sequence هذه مفرد
+
+350
+00:41:26,470 --> 00:41:32,400
+واحدةمفروض اقول if it was convergent لكن انا عارف
+
+351
+00:41:32,400 --> 00:41:35,400
+انه مستحيل انها تكون convergent فلدلالة على
+
+352
+00:41:35,400 --> 00:41:41,880
+استحالة بستخدم it were زي if I were a king مش if I
+
+353
+00:41:41,880 --> 00:41:47,140
+was a king لكن انا مش king okay تمام؟ اذا بنوقف
+
+354
+00:41:47,140 --> 00:41:50,880
+عند هذا المثال المحاضرة هي انتهت و بنكمل ان شاء
+
+355
+00:41:50,880 --> 00:41:51,720
+الله سبوع جديد
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/WVOztu-xKaw_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1052 @@
+1
+00:00:20,670 --> 00:00:27,110
+Okay اليوم هنراجع بس نظرية ال divergence theorem
+
+2
+00:00:27,110 --> 00:00:33,870
+اللي أخدناها أخر مرة بس نسترجعها بسرعة ال
+
+3
+00:00:33,870 --> 00:00:40,370
+divergence theorem
+
+4
+00:00:40,370 --> 00:00:47,370
+عطلناها رقم 2.17 فالنظرية
+
+5
+00:00:47,370 --> 00:00:48,150
+هذه بتقول
+
+6
+00:00:51,110 --> 00:01:04,590
+لت X and contained in R be a sequence then
+
+7
+00:01:04,590 --> 00:01:09,410
+the following statements are equivalent
+
+8
+00:01:11,820 --> 00:01:18,400
+فأول statement sequence x in does not converge ل x
+
+9
+00:01:18,400 --> 00:01:28,200
+ينتمي ل R for any x ينتمي ل R وفي شرط التاني وفي
+
+10
+00:01:28,200 --> 00:01:35,420
+شرط التالت أنا بهمش شرط التالت أو العبارة تالتة
+
+11
+00:01:35,420 --> 00:01:39,840
+there exist إبسلون زيور أكبر من الصفر and a
+
+12
+00:01:39,840 --> 00:01:48,390
+subsequenceأو سبسيكوينس XRN
+
+13
+00:01:48,390 --> 00:01:53,410
+of
+
+14
+00:01:53,410 --> 00:02:05,750
+سيكوينس XN such that absolute XRN minus X أكبر من
+
+15
+00:02:05,750 --> 00:02:08,550
+أو ساوي Y0 لكل M
+
+16
+00:02:13,970 --> 00:02:18,330
+و بدنا ناخد أنثى على النظرية هذه أخدناها المرة
+
+17
+00:02:18,330 --> 00:02:22,290
+الفاتة مثال
+
+18
+00:02:22,290 --> 00:02:29,470
+مثال
+
+19
+00:02:29,470 --> 00:02:39,490
+التانى example consider
+
+20
+00:02:41,810 --> 00:02:49,510
+ناخد ال sequence consider xn where sequence xn لحد
+
+21
+00:02:49,510 --> 00:03:04,610
+العالم تبعها xn معرف على انه بساوي n if n is odd و
+
+22
+00:03:04,610 --> 00:03:06,250
+بتساوي واحد على n
+
+23
+00:03:20,350 --> 00:03:28,690
+مطلوب ان اثبت ان ال sequence xn is divergent
+
+24
+00:03:41,550 --> 00:03:47,630
+سلوشن و لاحظوا ان سيكوانس X انها بيبارى حدودها
+
+25
+00:03:47,630 --> 00:03:53,350
+واحد نص و
+
+26
+00:03:53,350 --> 00:03:59,850
+واحد نص تلاتة رابع و
+
+27
+00:03:59,850 --> 00:04:00,390
+هكذا
+
+28
+00:04:08,080 --> 00:04:12,340
+فالـ sequence هذه بالنسبة لها does not converge
+
+29
+00:04:12,340 --> 00:04:23,040
+لأي x ينتمي لR to show أن x in does not converge ل
+
+30
+00:04:23,040 --> 00:04:29,720
+x for any x
+
+31
+00:04:29,720 --> 00:04:31,440
+ينتمي إلى R
+
+32
+00:04:35,590 --> 00:04:44,030
+fix x ينتمي ل r خلّينا ناخد arbitrary ال
+
+33
+00:04:44,030 --> 00:04:47,470
+real number x ينتمي ل r و نثبت ان x in does not
+
+34
+00:04:47,470 --> 00:04:54,730
+converge enough فعندي then
+
+35
+00:04:54,730 --> 00:04:59,670
+absolute x طبعا أكبر عدد حقيقي أكبر من أوسعه سفر
+
+36
+00:04:59,670 --> 00:05:11,460
+so byArchimedean property يوجد
+
+37
+00:05:11,460 --> 00:05:19,660
+n عدد طبيعي يعتمد على x عدد طبيعي بحيث
+
+38
+00:05:19,660 --> 00:05:38,420
+ان n x هذا is evenand absolute x أصغر من nx هذا
+
+39
+00:05:38,420 --> 00:05:42,990
+ممكن نحصل عليه من الarchimedean propertyالـ
+
+40
+00:05:42,990 --> 00:05:46,990
+argument property بتقول أي عدد حقيقي زي absolute x
+
+41
+00:05:46,990 --> 00:05:53,450
+نقدر نلاقي عدد طبيعي يعتمد على ال x بحيث أنه العدد
+
+42
+00:05:53,450 --> 00:06:02,110
+الطبيعي أكبر من العدد الحقيقي طيب الان لو أخدت
+
+43
+00:06:02,110 --> 00:06:05,150
+epsilon
+
+44
+00:06:05,150 --> 00:06:11,530
+zero عرفت على أنها nx سالب absolute x
+
+45
+00:06:14,250 --> 00:06:24,170
+فهذا بيطلع عدد موجب هذا بيطلع عدد موجب و
+
+46
+00:06:24,170 --> 00:06:30,190
+ال sequence ال
+
+47
+00:06:30,190 --> 00:06:39,390
+sequence الحد العام تبعها N X زائد اتنين M سالد
+
+48
+00:06:39,390 --> 00:06:39,930
+واحد
+
+49
+00:06:43,110 --> 00:06:51,010
+من M بساوي واحد to infinity هذه بالمناسبة الحدود
+
+50
+00:06:51,010 --> 00:07:00,770
+تبعتها هذا عدد فردي عدد طبيعي فردي وهذا
+
+51
+00:07:00,770 --> 00:07:09,190
+NX عدد طبيعي زوجي هذا odd وهذا
+
+52
+00:07:09,190 --> 00:07:09,890
+even
+
+53
+00:07:13,300 --> 00:07:22,960
+ف odd زائد even بطلع odd إذا الحدود
+
+54
+00:07:22,960 --> 00:07:33,340
+العامة لل sequence هذه بتكون odd وبالتالي
+
+55
+00:07:33,340 --> 00:07:39,600
+الحدود هذه كلها حسب التعريف بتطلع بالساوي
+
+56
+00:07:41,460 --> 00:07:48,180
+هي طبعا sub-sequence يعني
+
+57
+00:07:48,180 --> 00:07:54,300
+هدا هتكون لو M بساوة واحد هيطلع NX زائد واحد NX
+
+58
+00:07:54,300 --> 00:08:03,820
+زائد تلاتة و هكذا صح؟ حس�� التعريف هدا عبارة عن sub
+
+59
+00:08:03,820 --> 00:08:11,700
+-sequence sub-sequence من ال sequence XMلأن هذه
+
+60
+00:08:11,700 --> 00:08:18,300
+جزء من الحدود الفردية، صح؟ وبالتالي هذه
+
+61
+00:08:18,300 --> 00:08:23,640
+subsequence من xn ومش
+
+62
+00:08:23,640 --> 00:08:35,320
+هيكوا بس and ال absolute value ل nx زائد 2m سالب 1
+
+63
+00:08:35,320 --> 00:08:41,640
+الحد العام لل subsequence هذهالمسافة بينه بين الـ
+
+64
+00:08:41,640 --> 00:08:46,220
+x باستخدام الـ triangle inequality في واحدة من الـ
+
+65
+00:08:46,220 --> 00:08:50,940
+triangle inequalities بتقول absolute a minus b
+
+66
+00:08:50,940 --> 00:08:56,200
+أكبر من أو ساوي absolute a minus absolute b فهذا
+
+67
+00:08:56,200 --> 00:09:02,540
+أكبر من أو ساوي absolute in x زي two m minus واحد
+
+68
+00:09:02,540 --> 00:09:09,720
+minus absolute xهذا عدد موجب هذا عدد طبيعي وهذا
+
+69
+00:09:09,720 --> 00:09:24,860
+عدد طبيعي فردي فممكن نشيل absolute value وهذا
+
+70
+00:09:24,860 --> 00:09:35,880
+العدد هذا العدد أكبر من NX سالب absolute Xهذا
+
+71
+00:09:35,880 --> 00:09:45,580
+العدد هنا أكبر من NX لأن هذا عدد موجب صح فNX زاد
+
+72
+00:09:45,580 --> 00:09:50,440
+عدد موجب أكبر من NX سالب absolute X طب ما هذا
+
+73
+00:09:50,440 --> 00:09:56,000
+بساوي عرفناه على N أبسل زيرو صح؟ الآن الكلام هذا
+
+74
+00:09:56,000 --> 00:09:59,460
+صحيح لكل M ينتمي إلى N
+
+75
+00:10:09,010 --> 00:10:15,890
+أنا اثبتت ان يوجد y0 أكبر من السفر و sub sequence
+
+76
+00:10:15,890 --> 00:10:21,850
+من ال sequence xn و المسافة بين الحد العام لل
+
+77
+00:10:21,850 --> 00:10:28,430
+sequence هذه و ال x أكبر من y0 لكل m في n
+
+78
+00:10:34,110 --> 00:10:44,630
+الـ divergence theorem الجزء التالت هيتحقق شروطه
+
+79
+00:10:44,630 --> 00:10:52,330
+وبالتالي ال sequence x in does not converge to x
+
+80
+00:10:56,670 --> 00:10:59,930
+بما أن x was arbitrary إذا الـ sequence x in does
+
+81
+00:10:59,930 --> 00:11:04,030
+not converge لأي عدد حقيقي x وبالتالي divergent
+
+82
+00:11:04,030 --> 00:11:10,130
+تمام؟ أنا هنا استخدمت ال divergence theorem في
+
+83
+00:11:10,130 --> 00:11:16,150
+أثبات أن ال sequence هذه divergent لاحظوا أن ال
+
+84
+00:11:16,150 --> 00:11:23,710
+sequence 1 على n هذه subsequence من x in وهذه
+
+85
+00:11:23,710 --> 00:11:24,890
+convergent ل0
+
+86
+00:11:28,580 --> 00:11:32,700
+لكن الـ sequence نفسها does not converge هذه برضه
+
+87
+00:11:32,700 --> 00:11:37,220
+subsequence N subsequence .. لما تكون الـ N فردية
+
+88
+00:11:37,220 --> 00:11:42,620
+subsequence من X N وهذه is not convergent هذه ال
+
+89
+00:11:42,620 --> 00:11:49,340
+limit بتاعها infinity طبعا؟ و
+
+90
+00:11:49,340 --> 00:11:50,500
+هذا؟ في عيز سؤال؟
+
+91
+00:12:05,310 --> 00:12:12,050
+monotone subsequence theorem النظرية
+
+92
+00:12:12,050 --> 00:12:23,330
+اتنين تمانتاش أقامها هنا النظرية
+
+93
+00:12:23,330 --> 00:12:32,230
+هذه بتقول every sequence in R has
+
+94
+00:12:36,910 --> 00:12:44,930
+monotone subsequence كل sequence of real numbers
+
+95
+00:12:44,930 --> 00:12:53,770
+ممكن نستخلص منها monotone subsequence البرهان تبع
+
+96
+00:12:53,770 --> 00:12:58,050
+النظرية هذه مش صعب موجود في الكتاب هخليكم تقراه
+
+97
+00:13:00,180 --> 00:13:09,360
+هخليكم تقرا البرهان من الكتاب المقرر C theorem
+
+98
+00:13:09,360 --> 00:13:20,360
+رقم تلاتة اربعة سبعة page تمانية
+
+99
+00:13:20,360 --> 00:13:22,020
+و سبعين in textbook
+
+100
+00:13:27,060 --> 00:13:32,200
+إذن حدؤوكم لقراة البرهان، البرهان سهل مش صعب و
+
+101
+00:13:32,200 --> 00:13:36,380
+حاولوا
+
+102
+00:13:36,380 --> 00:13:40,280
+تقراوه و تفهموه و ده في أي صعوبة تسألوني أو
+
+103
+00:13:40,280 --> 00:13:46,280
+تتناقشوا معي في البرهان okay
+
+104
+00:13:46,280 --> 00:13:49,680
+في
+
+105
+00:13:49,680 --> 00:13:51,320
+نظرية تانية
+
+106
+00:14:00,880 --> 00:14:06,900
+Bolzano-Weierstrass theorem
+
+107
+00:14:06,900 --> 00:14:17,880
+رقم اتنين تسعتاش النظرية
+
+108
+00:14:17,880 --> 00:14:23,980
+هذه بتقول every bounded sequence every
+
+109
+00:14:23,980 --> 00:14:26,540
+bounded
+
+110
+00:14:28,920 --> 00:14:34,800
+سيكوينس of real
+
+111
+00:14:34,800 --> 00:14:41,980
+numbers in R has a
+
+112
+00:14:41,980 --> 00:14:48,500
+convergent subsequence
+
+113
+00:14:53,720 --> 00:14:58,080
+لو فى عندي bounded sequence of real numbers فبقدر
+
+114
+00:14:58,080 --> 00:15:02,820
+أجى جواتها conversion subsequence البرهان تبع
+
+115
+00:15:02,820 --> 00:15:07,720
+نظريها دى سهل باستخدام نظريات السابقة فى لها
+
+116
+00:15:07,720 --> 00:15:14,300
+برهانين واحد short يعني قصير يعتمد على النظريات
+
+117
+00:15:14,300 --> 00:15:17,840
+الكبيرة اللى برهنها سابقا وفى لها برهان
+
+118
+00:15:21,560 --> 00:15:26,680
+طويل نوعا ما وهذا البرهان constructive proof يعني
+
+119
+00:15:26,680 --> 00:15:30,860
+بورجيكم كيف تبنوا ال subsequence اللي هتكون
+
+120
+00:15:30,860 --> 00:15:36,920
+convergent هناخد ال short proof ونخليكم تقرأوا ال
+
+121
+00:15:36,920 --> 00:15:40,980
+long proof رقم
+
+122
+00:15:40,980 --> 00:15:46,700
+واحد let
+
+123
+00:15:46,700 --> 00:15:47,560
+x in
+
+124
+00:15:50,470 --> 00:15:58,910
+contained are bounded sequence
+
+125
+00:15:58,910 --> 00:16:05,110
+of real numbers by
+
+126
+00:16:05,110 --> 00:16:17,490
+حسب النظرية الأخيرة رقم تمانتاش by theorem تمانتاش
+
+127
+00:16:17,490 --> 00:16:19,410
+المونوتون
+
+128
+00:16:22,580 --> 00:16:30,100
+بتقول أي sequence in R سواء bounded أو unbounded
+
+129
+00:16:30,100 --> 00:16:35,540
+every sequence of real numbers has a monotone
+
+130
+00:16:35,540 --> 00:16:44,360
+subsequence إذا ال XN has a monotone
+
+131
+00:16:44,360 --> 00:16:46,980
+subsequence
+
+132
+00:16:51,810 --> 00:17:02,790
+خلّيني أسميها x in k إذاً
+
+133
+00:17:02,790 --> 00:17:12,110
+هذه عبارة عن monotone subsequence طيب since x in
+
+134
+00:17:12,110 --> 00:17:18,150
+is bounded ال
+
+135
+00:17:18,150 --> 00:17:21,090
+subsequence .. the subsequence
+
+136
+00:17:23,040 --> 00:17:32,960
+x in k is also bounded أي
+
+137
+00:17:32,960 --> 00:17:36,540
+sub sequence من bounded sequence is bounded مظبوط
+
+138
+00:17:36,540 --> 00:17:41,520
+صح لأن x
+
+139
+00:17:41,520 --> 00:17:42,880
+in bounded
+
+140
+00:17:46,080 --> 00:17:52,660
+بقدّي ان يوجد M عدد موجب بحيث ان absolute xn أصغر
+
+141
+00:17:52,660 --> 00:18:01,440
+من أو ساوي M لكل N طب ما هذا بقدّي ان absolute xnk
+
+142
+00:18:01,440 --> 00:18:10,380
+أيضا أصغر من أو ساوي M لكل N لأن ال subsequence
+
+143
+00:18:10,380 --> 00:18:13,500
+xnk هي subset من xn
+
+144
+00:18:16,250 --> 00:18:20,130
+مظبوط؟ كل حد في ال subsequence هو حد في ال
+
+145
+00:18:20,130 --> 00:18:26,370
+sequence وبالتالي تحقق نفس الشرط لأن هذا بيقدي ان
+
+146
+00:18:26,370 --> 00:18:34,190
+كل .. هذا صحيح لكل K لأن هاي .. هذا الشرط منه
+
+147
+00:18:34,190 --> 00:18:37,830
+بيطلع X ان K is bounded
+
+148
+00:18:40,520 --> 00:18:44,940
+Okay إذا أنا كتب برهان أنه أي subsequence من
+
+149
+00:18:44,940 --> 00:18:54,900
+bounded sequence is bounded تمام Now ال
+
+150
+00:18:54,900 --> 00:19:01,980
+subsequence x in k is monotone
+
+151
+00:19:01,980 --> 00:19:05,420
+and
+
+152
+00:19:05,420 --> 00:19:05,980
+bounded
+
+153
+00:19:10,700 --> 00:19:15,920
+So by monotone convergence theorem حسب الـ
+
+154
+00:19:15,920 --> 00:19:20,960
+monotone convergence theorem it is convergent
+
+155
+00:19:26,310 --> 00:19:34,310
+ما هو المطلوب؟ لأن هنا أثبتنا أنه أي sequence أي
+
+156
+00:19:34,310 --> 00:19:37,510
+sequence which is bounded أي sequence of real
+
+157
+00:19:37,510 --> 00:19:41,690
+numbers which is bounded has a convergent
+
+158
+00:19:41,690 --> 00:19:50,490
+subsequence تمام؟ لأن هذا برهن النظرية تمام؟ واضح؟
+
+159
+00:19:50,490 --> 00:20:03,750
+في طبعا برهان تانيو هذا البرهان موجود في الكتاب ان
+
+160
+00:20:03,750 --> 00:20:09,610
+البرهان رقم اتنين proof رقم اتنين موجود في الكتاب
+
+161
+00:20:09,610 --> 00:20:16,130
+see page 79
+
+162
+00:20:16,130 --> 00:20:17,630
+in textbook
+
+163
+00:20:23,250 --> 00:20:27,150
+إذا أنا هنسيبكم تقرأوا البرهان التاني من الكتاب
+
+164
+00:20:27,150 --> 00:20:30,190
+طبعا البرهان هذا هيكون constructive proof بيورجيكم
+
+165
+00:20:30,190 --> 00:20:36,090
+كيف بيبني ال subsequence خطوة خطوة و بحيث انها
+
+166
+00:20:36,090 --> 00:20:43,030
+تطلع convergent طيب في كمال نظرية في هذا السياق
+
+167
+00:20:50,570 --> 00:21:03,690
+theorem اتنين عشرين let
+
+168
+00:21:03,690 --> 00:21:07,910
+x in content
+
+169
+00:21:07,910 --> 00:21:23,610
+in R be bounded bounded sequence and letX ينتمي
+
+170
+00:21:23,610 --> 00:21:29,370
+إلى R بـ
+
+171
+00:21:29,370 --> 00:21:36,870
+such that every .. every convergent .. every
+
+172
+00:21:36,870 --> 00:21:41,610
+convergent subsequence
+
+173
+00:21:41,610 --> 00:21:46,310
+.. every convergent subsequence
+
+174
+00:21:50,710 --> 00:21:59,550
+of سمّيها x أو
+
+175
+00:21:59,550 --> 00:22:08,450
+every convergent subsequence of x in converges to
+
+176
+00:22:08,450 --> 00:22:12,430
+x then
+
+177
+00:22:12,430 --> 00:22:16,930
+النتيجة أنه ال sequence x in
+
+178
+00:22:19,750 --> 00:22:27,190
+converges to x إذا
+
+179
+00:22:27,190 --> 00:22:31,730
+أنا في عندي bounded sequence of real numbersو في
+
+180
+00:22:31,730 --> 00:22:36,910
+اندي عدد حقيقي هذا العدد بيحقق الخاصية انه كل
+
+181
+00:22:36,910 --> 00:22:41,070
+convergence subsequence من ال sequence x in بتكون
+
+182
+00:22:41,070 --> 00:22:45,950
+convergent ل x فالحالة هذه ال sequence الأصلية
+
+183
+00:22:45,950 --> 00:22:51,730
+بتكون convergent و ال limit تبعتها هي نفس العدد x
+
+184
+00:22:51,730 --> 00:22:55,430
+برهان نظرية هذه سهل مش صعب
+
+185
+00:22:59,850 --> 00:23:04,850
+هنستخدم البولزانو virus trust theorem اللي هي
+
+186
+00:23:04,850 --> 00:23:22,730
+نظرية تسعتاش في البرهان هنشوف مع بعض prove assume
+
+187
+00:23:29,790 --> 00:23:37,770
+assume on contrary that
+
+188
+00:23:37,770 --> 00:23:42,890
+احنا عايزين نثبت ان ال sequence x in converge ل x
+
+189
+00:23:42,890 --> 00:23:51,550
+فنفرض ان x in does not converge to any x then
+
+190
+00:23:51,550 --> 00:23:55,330
+by divergence
+
+191
+00:23:57,210 --> 00:24:03,170
+by divergence theorem اللى
+
+192
+00:24:03,170 --> 00:24:10,530
+هى اتنين تمانتاش كذبوت
+
+193
+00:24:10,530 --> 00:24:16,390
+او اتنين سبعتاش اعتقد هيك صح اه ال divergence
+
+194
+00:24:16,390 --> 00:24:22,140
+theorem بتقولى x in does not converge ل xمعناته
+
+195
+00:24:22,140 --> 00:24:26,460
+there exist epsilon zero عدد موجب and there exist
+
+196
+00:24:26,460 --> 00:24:32,980
+a subsequence a subsequence
+
+197
+00:24:32,980 --> 00:24:36,180
+xrn
+
+198
+00:24:36,180 --> 00:24:40,200
+of xn
+
+199
+00:24:42,720 --> 00:24:51,320
+such that absolute x are n minus x أكبر من أو ساوي
+
+200
+00:24:51,320 --> 00:25:01,280
+epsilon zero هذا الكلام صحيح لكل n في n نسمي
+
+201
+00:25:01,280 --> 00:25:07,560
+المتباينة هذه star تمام؟ هذا من نظرية ال
+
+202
+00:25:07,560 --> 00:25:11,740
+divergence اتنين سبعتاش ممكن نحصل على كل هذا
+
+203
+00:25:17,200 --> 00:25:22,140
+طيب since xn
+
+204
+00:25:22,140 --> 00:25:36,260
+is bounded لما انه ال sequence xn is bounded then
+
+205
+00:25:36,260 --> 00:25:45,160
+the subsequence the subsequence xrn is bounded
+
+206
+00:25:49,260 --> 00:25:53,140
+أي subsequence من bounded sequence تطلع bounded جب
+
+207
+00:25:53,140 --> 00:25:59,600
+شوية أثبتنا الكلام هذا so
+
+208
+00:25:59,600 --> 00:26:04,780
+by bolzano
+
+209
+00:26:04,780 --> 00:26:11,680
+weierstrass
+
+210
+00:26:11,680 --> 00:26:19,730
+theorem نظرية bolzano weierstrassهنطبقها على الـ
+
+211
+00:26:19,730 --> 00:26:28,190
+sequence XRN اللي هي bounded فبتقول
+
+212
+00:26:28,190 --> 00:26:33,010
+بولزانو فيروس تراثيرم إذا في عندي sequence و
+
+213
+00:26:33,010 --> 00:26:39,970
+bounded ففي إلها convergence subsequence إذن ال
+
+214
+00:26:39,970 --> 00:26:45,070
+sequence ال
+
+215
+00:26:45,070 --> 00:26:47,410
+sequence XRN
+
+216
+00:26:48,810 --> 00:27:01,550
+has a convergent has a convergent subsequence
+
+217
+00:27:01,550 --> 00:27:04,570
+say
+
+218
+00:27:04,570 --> 00:27:13,270
+خلينا نسميها xkxkn
+
+219
+00:27:13,270 --> 00:27:16,170
+تمام؟
+
+220
+00:27:45,490 --> 00:27:50,890
+فاندي ال ..
+
+221
+00:27:50,890 --> 00:27:56,170
+اذا انا في عندي convergent subsequence من ال
+
+222
+00:27:56,170 --> 00:28:03,390
+subsequence هذه و طبعا هذه subsequence من xn وهذه
+
+223
+00:28:03,390 --> 00:28:07,070
+subsequence من هذه، اذا هذه subsequence من xn
+
+224
+00:28:11,210 --> 00:28:15,570
+بما أن XKN
+
+225
+00:28:15,570 --> 00:28:22,950
+هو أيضًا سبسيكوينس لسيكوينس
+
+226
+00:28:22,950 --> 00:28:28,430
+الأصلية XN ثم
+
+227
+00:28:28,430 --> 00:28:32,330
+بي وهو مرتبط
+
+228
+00:28:41,880 --> 00:28:48,020
+وهو مرتبط ثم
+
+229
+00:28:48,020 --> 00:28:54,650
+من حيث الهيبوتاسيزمن الفرض احنا فرضين في النظرية
+
+230
+00:28:54,650 --> 00:28:59,310
+هذه ان every convergent subsequence of xn لازم
+
+231
+00:28:59,310 --> 00:29:04,890
+تكون convergent للعدد x فهي في عندي subsequence من
+
+232
+00:29:04,890 --> 00:29:09,530
+ال sequence xn وconvergent اذا لازم تكون ال limit
+
+233
+00:29:09,530 --> 00:29:13,430
+تبعتها x اذا من الفرض limit
+
+234
+00:29:15,760 --> 00:29:28,480
+لأكس كأن as n tends to infinity بساوي LX تمام طب
+
+235
+00:29:28,480 --> 00:29:37,720
+احنا عايزين نثبت ان ال XN نفسك converge لل X طيب
+
+236
+00:29:37,720 --> 00:29:44,400
+الآن من تعريفأنا في عندي إبسلون زيرو موجود هاي في
+
+237
+00:29:44,400 --> 00:29:48,900
+عندي إبسلون زيرو أنا في عندي إبسلون زيرو هاد عدد
+
+238
+00:29:48,900 --> 00:29:56,460
+موجود من ال divergence في الفيلم hence وعندي ال
+
+239
+00:29:56,460 --> 00:29:59,520
+subsequence هاد ال converge ل X لذا لما انت عارف
+
+240
+00:29:59,520 --> 00:30:06,660
+ال convergence there exist capital N يعتمد على
+
+241
+00:30:06,660 --> 00:30:08,000
+إبسلون زيرو
+
+242
+00:30:11,600 --> 00:30:19,000
+بحيث ان ال absolute value للحد العام لل sequence
+
+243
+00:30:19,000 --> 00:30:27,320
+XKN المسافة بينه بين ال X أصغر من epsilon zero
+
+244
+00:30:27,320 --> 00:30:35,740
+وهذا الكلام صحيح لكل N في N تمام؟
+
+245
+00:30:37,500 --> 00:30:43,940
+بنسمي المتباين هذي double star الان
+
+246
+00:30:43,940 --> 00:30:57,360
+now star and double star بيقدوا انه ال .. هاي عندي
+
+247
+00:30:57,360 --> 00:31:06,910
+absolute x k n minus x هذا أصغر من epsilon zeroهذا
+
+248
+00:31:06,910 --> 00:31:18,330
+من double star من هنا طب و من ال star انا
+
+249
+00:31:18,330 --> 00:31:23,250
+عندي xrm المسافة بين xrm و x أكبر من او ساوي
+
+250
+00:31:23,250 --> 00:31:24,630
+epsilon zero
+
+251
+00:31:27,280 --> 00:31:34,640
+و هذه sub sequence من ال sub sequence هذه يعني كل
+
+252
+00:31:34,640 --> 00:31:39,520
+حد في ال sequence هذه هو حد في هذه و بالتالي ال
+
+253
+00:31:39,520 --> 00:31:47,860
+sub sequence هذه بتحقق المتباينة star إذن هذا صحيح
+
+254
+00:31:47,860 --> 00:31:52,920
+من star ال absolute الفرقة ده بطلع أكبر من أو ساوي
+
+255
+00:31:52,920 --> 00:31:59,240
+epsilon zero الكلام هذا صحيح لكل n في Mإذا أنا
+
+256
+00:31:59,240 --> 00:32:05,280
+عندي طلع هيك epsilon zero أصغر من epsilon zero و
+
+257
+00:32:05,280 --> 00:32:09,960
+هذا بديني تناقض contradiction إذا التناقض هذا
+
+258
+00:32:09,960 --> 00:32:19,040
+السبب تبعه إن إحنا فرضنا إن xn does not converge ل
+
+259
+00:32:19,040 --> 00:32:23,660
+x إذا ال contradiction هذه بتقول إن xn لازم
+
+260
+00:32:23,660 --> 00:32:30,900
+converge ل x و هذا اللي بدنا ياه وهم المطلوبوهو
+
+261
+00:32:30,900 --> 00:32:35,700
+المطلوب okay إذا هيك بنكون برهننا النظرية هذه
+
+262
+00:32:35,700 --> 00:32:43,200
+خلينا ناخد احنا break عشان فينا لقاء تاني لمدة خمس
+
+263
+00:32:43,200 --> 00:32:46,120
+دقايق و بعدين يعني نرجع، ماشي الحال؟
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/WVOztu-xKaw_raw.srt

@@ -0,0 +1,1052 @@
+1
+00:00:20,670 --> 00:00:27,110
+Okay اليوم هنراجع بس نظرية ال divergence theorem
+
+2
+00:00:27,110 --> 00:00:33,870
+اللي أخدناها أخر مرة بس نسترجعها بسرعة ال
+
+3
+00:00:33,870 --> 00:00:40,370
+divergence theorem
+
+4
+00:00:40,370 --> 00:00:47,370
+عطلناها رقم 2.17 فالنظرية
+
+5
+00:00:47,370 --> 00:00:48,150
+هذه بتقول
+
+6
+00:00:51,110 --> 00:01:04,590
+لت X and contained in R be a sequence then
+
+7
+00:01:04,590 --> 00:01:09,410
+the following statements are equivalent
+
+8
+00:01:11,820 --> 00:01:18,400
+فأول statement sequence x in does not converge ل x
+
+9
+00:01:18,400 --> 00:01:28,200
+ينتمي ل R for any x ينتمي ل R وفي شرط التاني وفي
+
+10
+00:01:28,200 --> 00:01:35,420
+شرط التالت أنا بهمش شرط التالت أو العبارة تالتة
+
+11
+00:01:35,420 --> 00:01:39,840
+there exist إبسلون زيور أكبر من الصفر and a
+
+12
+00:01:39,840 --> 00:01:48,390
+subsequenceأو سبسيكوينس XRN
+
+13
+00:01:48,390 --> 00:01:53,410
+of
+
+14
+00:01:53,410 --> 00:02:05,750
+سيكوينس XN such that absolute XRN minus X أكبر من
+
+15
+00:02:05,750 --> 00:02:08,550
+أو ساوي Y0 لكل M
+
+16
+00:02:13,970 --> 00:02:18,330
+و بدنا ناخد أنثى على النظرية هذه أخدناها المرة
+
+17
+00:02:18,330 --> 00:02:22,290
+الفاتة مثال
+
+18
+00:02:22,290 --> 00:02:29,470
+مثال
+
+19
+00:02:29,470 --> 00:02:39,490
+التانى example consider
+
+20
+00:02:41,810 --> 00:02:49,510
+ناخد ال sequence consider xn where sequence xn لحد
+
+21
+00:02:49,510 --> 00:03:04,610
+العالم تبعها xn معرف على انه بساوي n if n is odd و
+
+22
+00:03:04,610 --> 00:03:06,250
+بتساوي واحد على n
+
+23
+00:03:20,350 --> 00:03:28,690
+مطلوب ان اثبت ان ال sequence xn is divergent
+
+24
+00:03:41,550 --> 00:03:47,630
+سلوشن و لاحظوا ان سيكوانس X انها بيبارى حدودها
+
+25
+00:03:47,630 --> 00:03:53,350
+واحد نص و
+
+26
+00:03:53,350 --> 00:03:59,850
+واحد نص تلاتة رابع و
+
+27
+00:03:59,850 --> 00:04:00,390
+هكذا
+
+28
+00:04:08,080 --> 00:04:12,340
+فالـ sequence هذه بالنسبة لها does not converge
+
+29
+00:04:12,340 --> 00:04:23,040
+لأي x ينتمي لR to show أن x in does not converge ل
+
+30
+00:04:23,040 --> 00:04:29,720
+x for any x
+
+31
+00:04:29,720 --> 00:04:31,440
+ينتمي إلى R
+
+32
+00:04:35,590 --> 00:04:44,030
+fix x ينتمي ل r خلّينا ناخد arbitrary ال
+
+33
+00:04:44,030 --> 00:04:47,470
+real number x ينتمي ل r و نثبت ان x in does not
+
+34
+00:04:47,470 --> 00:04:54,730
+converge enough فعندي then
+
+35
+00:04:54,730 --> 00:04:59,670
+absolute x طبعا أكبر عدد حقيقي أكبر من أوسعه سفر
+
+36
+00:04:59,670 --> 00:05:11,460
+so byArchimedean property يوجد
+
+37
+00:05:11,460 --> 00:05:19,660
+n عدد طبيعي يعتمد على x عدد طبيعي بحيث
+
+38
+00:05:19,660 --> 00:05:38,420
+ان n x هذا is evenand absolute x أصغر من nx هذا
+
+39
+00:05:38,420 --> 00:05:42,990
+ممكن نحصل عليه من الarchimedean propertyالـ
+
+40
+00:05:42,990 --> 00:05:46,990
+argument property بتقول أي عدد حقيقي زي absolute x
+
+41
+00:05:46,990 --> 00:05:53,450
+نقدر نلاقي عدد طبيعي يعتمد على ال x بحيث أنه العدد
+
+42
+00:05:53,450 --> 00:06:02,110
+الطبيعي أكبر من العدد الحقيقي طيب الان لو أخدت
+
+43
+00:06:02,110 --> 00:06:05,150
+epsilon
+
+44
+00:06:05,150 --> 00:06:11,530
+zero عرفت على أنها nx سالب absolute x
+
+45
+00:06:14,250 --> 00:06:24,170
+فهذا بيطلع عدد موجب هذا بيطلع عدد موجب و
+
+46
+00:06:24,170 --> 00:06:30,190
+ال sequence ال
+
+47
+00:06:30,190 --> 00:06:39,390
+sequence الحد العام تبعها N X زائد اتنين M سالد
+
+48
+00:06:39,390 --> 00:06:39,930
+واحد
+
+49
+00:06:43,110 --> 00:06:51,010
+من M بساوي واحد to infinity هذه بالمناسبة الحدود
+
+50
+00:06:51,010 --> 00:07:00,770
+تبعتها هذا عدد فردي عدد طبيعي فردي وهذا
+
+51
+00:07:00,770 --> 00:07:09,190
+NX عدد طبيعي زوجي هذا odd وهذا
+
+52
+00:07:09,190 --> 00:07:09,890
+even
+
+53
+00:07:13,300 --> 00:07:22,960
+ف odd زائد even بطلع odd إذا الحدود
+
+54
+00:07:22,960 --> 00:07:33,340
+العامة لل sequence هذه بتكون odd وبالتالي
+
+55
+00:07:33,340 --> 00:07:39,600
+الحدود هذه كلها حسب التعريف بتطلع بالساوي
+
+56
+00:07:41,460 --> 00:07:48,180
+هي طبعا sub-sequence يعني
+
+57
+00:07:48,180 --> 00:07:54,300
+هدا هتكون لو M بساوة واحد هيطلع NX زائد واحد NX
+
+58
+00:07:54,300 --> 00:08:03,820
+زائد تلاتة و هكذا صح؟ حس�� التعريف هدا عبارة عن sub
+
+59
+00:08:03,820 --> 00:08:11,700
+-sequence sub-sequence من ال sequence XMلأن هذه
+
+60
+00:08:11,700 --> 00:08:18,300
+جزء من الحدود الفردية، صح؟ وبالتالي هذه
+
+61
+00:08:18,300 --> 00:08:23,640
+subsequence من xn ومش
+
+62
+00:08:23,640 --> 00:08:35,320
+هيكوا بس and ال absolute value ل nx زائد 2m سالب 1
+
+63
+00:08:35,320 --> 00:08:41,640
+الحد العام لل subsequence هذهالمسافة بينه بين الـ
+
+64
+00:08:41,640 --> 00:08:46,220
+x باستخدام الـ triangle inequality في واحدة من الـ
+
+65
+00:08:46,220 --> 00:08:50,940
+triangle inequalities بتقول absolute a minus b
+
+66
+00:08:50,940 --> 00:08:56,200
+أكبر من أو ساوي absolute a minus absolute b فهذا
+
+67
+00:08:56,200 --> 00:09:02,540
+أكبر من أو ساوي absolute in x زي two m minus واحد
+
+68
+00:09:02,540 --> 00:09:09,720
+minus absolute xهذا عدد موجب هذا عدد طبيعي وهذا
+
+69
+00:09:09,720 --> 00:09:24,860
+عدد طبيعي فردي فممكن نشيل absolute value وهذا
+
+70
+00:09:24,860 --> 00:09:35,880
+العدد هذا العدد أكبر من NX سالب absolute Xهذا
+
+71
+00:09:35,880 --> 00:09:45,580
+العدد هنا أكبر من NX لأن هذا عدد موجب صح فNX زاد
+
+72
+00:09:45,580 --> 00:09:50,440
+عدد موجب أكبر من NX سالب absolute X طب ما هذا
+
+73
+00:09:50,440 --> 00:09:56,000
+بساوي عرفناه على N أبسل زيرو صح؟ الآن الكلام هذا
+
+74
+00:09:56,000 --> 00:09:59,460
+صحيح لكل M ينتمي إلى N
+
+75
+00:10:09,010 --> 00:10:15,890
+أنا اثبتت ان يوجد y0 أكبر من السفر و sub sequence
+
+76
+00:10:15,890 --> 00:10:21,850
+من ال sequence xn و المسافة بين الحد العام لل
+
+77
+00:10:21,850 --> 00:10:28,430
+sequence هذه و ال x أكبر من y0 لكل m في n
+
+78
+00:10:34,110 --> 00:10:44,630
+الـ divergence theorem الجزء التالت هيتحقق شروطه
+
+79
+00:10:44,630 --> 00:10:52,330
+وبالتالي ال sequence x in does not converge to x
+
+80
+00:10:56,670 --> 00:10:59,930
+بما أن x was arbitrary إذا الـ sequence x in does
+
+81
+00:10:59,930 --> 00:11:04,030
+not converge لأي عدد حقيقي x وبالتالي divergent
+
+82
+00:11:04,030 --> 00:11:10,130
+تمام؟ أنا هنا استخدمت ال divergence theorem في
+
+83
+00:11:10,130 --> 00:11:16,150
+أثبات أن ال sequence هذه divergent لاحظوا أن ال
+
+84
+00:11:16,150 --> 00:11:23,710
+sequence 1 على n هذه subsequence من x in وهذه
+
+85
+00:11:23,710 --> 00:11:24,890
+convergent ل0
+
+86
+00:11:28,580 --> 00:11:32,700
+لكن الـ sequence نفسها does not converge هذه برضه
+
+87
+00:11:32,700 --> 00:11:37,220
+subsequence N subsequence .. لما تكون الـ N فردية
+
+88
+00:11:37,220 --> 00:11:42,620
+subsequence من X N وهذه is not convergent هذه ال
+
+89
+00:11:42,620 --> 00:11:49,340
+limit بتاعها infinity طبعا؟ و
+
+90
+00:11:49,340 --> 00:11:50,500
+هذا؟ في عيز سؤال؟
+
+91
+00:12:05,310 --> 00:12:12,050
+monotone subsequence theorem النظرية
+
+92
+00:12:12,050 --> 00:12:23,330
+اتنين تمانتاش أقامها هنا النظرية
+
+93
+00:12:23,330 --> 00:12:32,230
+هذه بتقول every sequence in R has
+
+94
+00:12:36,910 --> 00:12:44,930
+monotone subsequence كل sequence of real numbers
+
+95
+00:12:44,930 --> 00:12:53,770
+ممكن نستخلص منها monotone subsequence البرهان تبع
+
+96
+00:12:53,770 --> 00:12:58,050
+النظرية هذه مش صعب موجود في الكتاب هخليكم تقراه
+
+97
+00:13:00,180 --> 00:13:09,360
+هخليكم تقرا البرهان من الكتاب المقرر C theorem
+
+98
+00:13:09,360 --> 00:13:20,360
+رقم تلاتة اربعة سبعة page تمانية
+
+99
+00:13:20,360 --> 00:13:22,020
+و سبعين in textbook
+
+100
+00:13:27,060 --> 00:13:32,200
+إذن حدؤوكم لقراة البرهان، البرهان سهل مش صعب و
+
+101
+00:13:32,200 --> 00:13:36,380
+حاولوا
+
+102
+00:13:36,380 --> 00:13:40,280
+تقراوه و تفهموه و ده في أي صعوبة تسألوني أو
+
+103
+00:13:40,280 --> 00:13:46,280
+تتناقشوا معي في البرهان okay
+
+104
+00:13:46,280 --> 00:13:49,680
+في
+
+105
+00:13:49,680 --> 00:13:51,320
+نظرية تانية
+
+106
+00:14:00,880 --> 00:14:06,900
+Bolzano-Weierstrass theorem
+
+107
+00:14:06,900 --> 00:14:17,880
+رقم اتنين تسعتاش النظرية
+
+108
+00:14:17,880 --> 00:14:23,980
+هذه بتقول every bounded sequence every
+
+109
+00:14:23,980 --> 00:14:26,540
+bounded
+
+110
+00:14:28,920 --> 00:14:34,800
+سيكوينس of real
+
+111
+00:14:34,800 --> 00:14:41,980
+numbers in R has a
+
+112
+00:14:41,980 --> 00:14:48,500
+convergent subsequence
+
+113
+00:14:53,720 --> 00:14:58,080
+لو فى عندي bounded sequence of real numbers فبقدر
+
+114
+00:14:58,080 --> 00:15:02,820
+أجى جواتها conversion subsequence البرهان تبع
+
+115
+00:15:02,820 --> 00:15:07,720
+نظريها دى سهل باستخدام نظريات السابقة فى لها
+
+116
+00:15:07,720 --> 00:15:14,300
+برهانين واحد short يعني قصير يعتمد على النظريات
+
+117
+00:15:14,300 --> 00:15:17,840
+الكبيرة اللى برهنها سابقا وفى لها برهان
+
+118
+00:15:21,560 --> 00:15:26,680
+طويل نوعا ما وهذا البرهان constructive proof يعني
+
+119
+00:15:26,680 --> 00:15:30,860
+بورجيكم كيف تبنوا ال subsequence اللي هتكون
+
+120
+00:15:30,860 --> 00:15:36,920
+convergent هناخد ال short proof ونخليكم تقرأوا ال
+
+121
+00:15:36,920 --> 00:15:40,980
+long proof رقم
+
+122
+00:15:40,980 --> 00:15:46,700
+واحد let
+
+123
+00:15:46,700 --> 00:15:47,560
+x in
+
+124
+00:15:50,470 --> 00:15:58,910
+contained are bounded sequence
+
+125
+00:15:58,910 --> 00:16:05,110
+of real numbers by
+
+126
+00:16:05,110 --> 00:16:17,490
+حسب النظرية الأخيرة رقم تمانتاش by theorem تمانتاش
+
+127
+00:16:17,490 --> 00:16:19,410
+المونوتون
+
+128
+00:16:22,580 --> 00:16:30,100
+بتقول أي sequence in R سواء bounded أو unbounded
+
+129
+00:16:30,100 --> 00:16:35,540
+every sequence of real numbers has a monotone
+
+130
+00:16:35,540 --> 00:16:44,360
+subsequence إذا ال XN has a monotone
+
+131
+00:16:44,360 --> 00:16:46,980
+subsequence
+
+132
+00:16:51,810 --> 00:17:02,790
+خلّيني أسميها x in k إذاً
+
+133
+00:17:02,790 --> 00:17:12,110
+هذه عبارة عن monotone subsequence طيب since x in
+
+134
+00:17:12,110 --> 00:17:18,150
+is bounded ال
+
+135
+00:17:18,150 --> 00:17:21,090
+subsequence .. the subsequence
+
+136
+00:17:23,040 --> 00:17:32,960
+x in k is also bounded أي
+
+137
+00:17:32,960 --> 00:17:36,540
+sub sequence من bounded sequence is bounded مظبوط
+
+138
+00:17:36,540 --> 00:17:41,520
+صح لأن x
+
+139
+00:17:41,520 --> 00:17:42,880
+in bounded
+
+140
+00:17:46,080 --> 00:17:52,660
+بقدّي ان يوجد M عدد موجب بحيث ان absolute xn أصغر
+
+141
+00:17:52,660 --> 00:18:01,440
+من أو ساوي M لكل N طب ما هذا بقدّي ان absolute xnk
+
+142
+00:18:01,440 --> 00:18:10,380
+أيضا أصغر من أو ساوي M لكل N لأن ال subsequence
+
+143
+00:18:10,380 --> 00:18:13,500
+xnk هي subset من xn
+
+144
+00:18:16,250 --> 00:18:20,130
+مظبوط؟ كل حد في ال subsequence هو حد في ال
+
+145
+00:18:20,130 --> 00:18:26,370
+sequence وبالتالي تحقق نفس الشرط لأن هذا بيقدي ان
+
+146
+00:18:26,370 --> 00:18:34,190
+كل .. هذا صحيح لكل K لأن هاي .. هذا الشرط منه
+
+147
+00:18:34,190 --> 00:18:37,830
+بيطلع X ان K is bounded
+
+148
+00:18:40,520 --> 00:18:44,940
+Okay إذا أنا كتب برهان أنه أي subsequence من
+
+149
+00:18:44,940 --> 00:18:54,900
+bounded sequence is bounded تمام Now ال
+
+150
+00:18:54,900 --> 00:19:01,980
+subsequence x in k is monotone
+
+151
+00:19:01,980 --> 00:19:05,420
+and
+
+152
+00:19:05,420 --> 00:19:05,980
+bounded
+
+153
+00:19:10,700 --> 00:19:15,920
+So by monotone convergence theorem حسب الـ
+
+154
+00:19:15,920 --> 00:19:20,960
+monotone convergence theorem it is convergent
+
+155
+00:19:26,310 --> 00:19:34,310
+ما هو المطلوب؟ لأن هنا أثبتنا أنه أي sequence أي
+
+156
+00:19:34,310 --> 00:19:37,510
+sequence which is bounded أي sequence of real
+
+157
+00:19:37,510 --> 00:19:41,690
+numbers which is bounded has a convergent
+
+158
+00:19:41,690 --> 00:19:50,490
+subsequence تمام؟ لأن هذا برهن النظرية تمام؟ واضح؟
+
+159
+00:19:50,490 --> 00:20:03,750
+في طبعا برهان تانيو هذا البرهان موجود في الكتاب ان
+
+160
+00:20:03,750 --> 00:20:09,610
+البرهان رقم اتنين proof رقم اتنين موجود في الكتاب
+
+161
+00:20:09,610 --> 00:20:16,130
+see page 79
+
+162
+00:20:16,130 --> 00:20:17,630
+in textbook
+
+163
+00:20:23,250 --> 00:20:27,150
+إذا أنا هنسيبكم تقرأوا البرهان التاني من الكتاب
+
+164
+00:20:27,150 --> 00:20:30,190
+طبعا البرهان هذا هيكون constructive proof بيورجيكم
+
+165
+00:20:30,190 --> 00:20:36,090
+كيف بيبني ال subsequence خطوة خطوة و بحيث انها
+
+166
+00:20:36,090 --> 00:20:43,030
+تطلع convergent طيب في كمال نظرية في هذا السياق
+
+167
+00:20:50,570 --> 00:21:03,690
+theorem اتنين عشرين let
+
+168
+00:21:03,690 --> 00:21:07,910
+x in content
+
+169
+00:21:07,910 --> 00:21:23,610
+in R be bounded bounded sequence and letX ينتمي
+
+170
+00:21:23,610 --> 00:21:29,370
+إلى R بـ
+
+171
+00:21:29,370 --> 00:21:36,870
+such that every .. every convergent .. every
+
+172
+00:21:36,870 --> 00:21:41,610
+convergent subsequence
+
+173
+00:21:41,610 --> 00:21:46,310
+.. every convergent subsequence
+
+174
+00:21:50,710 --> 00:21:59,550
+of سمّيها x أو
+
+175
+00:21:59,550 --> 00:22:08,450
+every convergent subsequence of x in converges to
+
+176
+00:22:08,450 --> 00:22:12,430
+x then
+
+177
+00:22:12,430 --> 00:22:16,930
+النتيجة أنه ال sequence x in
+
+178
+00:22:19,750 --> 00:22:27,190
+converges to x إذا
+
+179
+00:22:27,190 --> 00:22:31,730
+أنا في عندي bounded sequence of real numbersو في
+
+180
+00:22:31,730 --> 00:22:36,910
+اندي عدد حقيقي هذا العدد بيحقق الخاصية انه كل
+
+181
+00:22:36,910 --> 00:22:41,070
+convergence subsequence من ال sequence x in بتكون
+
+182
+00:22:41,070 --> 00:22:45,950
+convergent ل x فالحالة هذه ال sequence الأصلية
+
+183
+00:22:45,950 --> 00:22:51,730
+بتكون convergent و ال limit تبعتها هي نفس العدد x
+
+184
+00:22:51,730 --> 00:22:55,430
+برهان نظرية هذه سهل مش صعب
+
+185
+00:22:59,850 --> 00:23:04,850
+هنستخدم البولزانو virus trust theorem اللي هي
+
+186
+00:23:04,850 --> 00:23:22,730
+نظرية تسعتاش في البرهان هنشوف مع بعض prove assume
+
+187
+00:23:29,790 --> 00:23:37,770
+assume on contrary that
+
+188
+00:23:37,770 --> 00:23:42,890
+احنا عايزين نثبت ان ال sequence x in converge ل x
+
+189
+00:23:42,890 --> 00:23:51,550
+فنفرض ان x in does not converge to any x then
+
+190
+00:23:51,550 --> 00:23:55,330
+by divergence
+
+191
+00:23:57,210 --> 00:24:03,170
+by divergence theorem اللى
+
+192
+00:24:03,170 --> 00:24:10,530
+هى اتنين تمانتاش كذبوت
+
+193
+00:24:10,530 --> 00:24:16,390
+او اتنين سبعتاش اعتقد هيك صح اه ال divergence
+
+194
+00:24:16,390 --> 00:24:22,140
+theorem بتقولى x in does not converge ل xمعناته
+
+195
+00:24:22,140 --> 00:24:26,460
+there exist epsilon zero عدد موجب and there exist
+
+196
+00:24:26,460 --> 00:24:32,980
+a subsequence a subsequence
+
+197
+00:24:32,980 --> 00:24:36,180
+xrn
+
+198
+00:24:36,180 --> 00:24:40,200
+of xn
+
+199
+00:24:42,720 --> 00:24:51,320
+such that absolute x are n minus x أكبر من أو ساوي
+
+200
+00:24:51,320 --> 00:25:01,280
+epsilon zero هذا الكلام صحيح لكل n في n نسمي
+
+201
+00:25:01,280 --> 00:25:07,560
+المتباينة هذه star تمام؟ هذا من نظرية ال
+
+202
+00:25:07,560 --> 00:25:11,740
+divergence اتنين سبعتاش ممكن نحصل على كل هذا
+
+203
+00:25:17,200 --> 00:25:22,140
+طيب since xn
+
+204
+00:25:22,140 --> 00:25:36,260
+is bounded لما انه ال sequence xn is bounded then
+
+205
+00:25:36,260 --> 00:25:45,160
+the subsequence the subsequence xrn is bounded
+
+206
+00:25:49,260 --> 00:25:53,140
+أي subsequence من bounded sequence تطلع bounded جب
+
+207
+00:25:53,140 --> 00:25:59,600
+شوية أثبتنا الكلام هذا so
+
+208
+00:25:59,600 --> 00:26:04,780
+by bolzano
+
+209
+00:26:04,780 --> 00:26:11,680
+weierstrass
+
+210
+00:26:11,680 --> 00:26:19,730
+theorem نظرية bolzano weierstrassهنطبقها على الـ
+
+211
+00:26:19,730 --> 00:26:28,190
+sequence XRN اللي هي bounded فبتقول
+
+212
+00:26:28,190 --> 00:26:33,010
+بولزانو فيروس تراثيرم إذا في عندي sequence و
+
+213
+00:26:33,010 --> 00:26:39,970
+bounded ففي إلها convergence subsequence إذن ال
+
+214
+00:26:39,970 --> 00:26:45,070
+sequence ال
+
+215
+00:26:45,070 --> 00:26:47,410
+sequence XRN
+
+216
+00:26:48,810 --> 00:27:01,550
+has a convergent has a convergent subsequence
+
+217
+00:27:01,550 --> 00:27:04,570
+say
+
+218
+00:27:04,570 --> 00:27:13,270
+خلينا نسميها xkxkn
+
+219
+00:27:13,270 --> 00:27:16,170
+تمام؟
+
+220
+00:27:45,490 --> 00:27:50,890
+فاندي ال ..
+
+221
+00:27:50,890 --> 00:27:56,170
+اذا انا في عندي convergent subsequence من ال
+
+222
+00:27:56,170 --> 00:28:03,390
+subsequence هذه و طبعا هذه subsequence من xn وهذه
+
+223
+00:28:03,390 --> 00:28:07,070
+subsequence من هذه، اذا هذه subsequence من xn
+
+224
+00:28:11,210 --> 00:28:15,570
+بما أن XKN
+
+225
+00:28:15,570 --> 00:28:22,950
+هو أيضًا سبسيكوينس لسيكوينس
+
+226
+00:28:22,950 --> 00:28:28,430
+الأصلية XN ثم
+
+227
+00:28:28,430 --> 00:28:32,330
+بي وهو مرتبط
+
+228
+00:28:41,880 --> 00:28:48,020
+وهو مرتبط ثم
+
+229
+00:28:48,020 --> 00:28:54,650
+من حيث الهيبوتاسيزمن الفرض احنا فرضين في النظرية
+
+230
+00:28:54,650 --> 00:28:59,310
+هذه ان every convergent subsequence of xn لازم
+
+231
+00:28:59,310 --> 00:29:04,890
+تكون convergent للعدد x فهي في عندي subsequence من
+
+232
+00:29:04,890 --> 00:29:09,530
+ال sequence xn وconvergent اذا لازم تكون ال limit
+
+233
+00:29:09,530 --> 00:29:13,430
+تبعتها x اذا من الفرض limit
+
+234
+00:29:15,760 --> 00:29:28,480
+لأكس كأن as n tends to infinity بساوي LX تمام طب
+
+235
+00:29:28,480 --> 00:29:37,720
+احنا عايزين نثبت ان ال XN نفسك converge لل X طيب
+
+236
+00:29:37,720 --> 00:29:44,400
+الآن من تعريفأنا في عندي إبسلون زيرو موجود هاي في
+
+237
+00:29:44,400 --> 00:29:48,900
+عندي إبسلون زيرو أنا في عندي إبسلون زيرو هاد عدد
+
+238
+00:29:48,900 --> 00:29:56,460
+موجود من ال divergence في الفيلم hence وعندي ال
+
+239
+00:29:56,460 --> 00:29:59,520
+subsequence هاد ال converge ل X لذا لما انت عارف
+
+240
+00:29:59,520 --> 00:30:06,660
+ال convergence there exist capital N يعتمد على
+
+241
+00:30:06,660 --> 00:30:08,000
+إبسلون زيرو
+
+242
+00:30:11,600 --> 00:30:19,000
+بحيث ان ال absolute value للحد العام لل sequence
+
+243
+00:30:19,000 --> 00:30:27,320
+XKN المسافة بينه بين ال X أصغر من epsilon zero
+
+244
+00:30:27,320 --> 00:30:35,740
+وهذا الكلام صحيح لكل N في N تمام؟
+
+245
+00:30:37,500 --> 00:30:43,940
+بنسمي المتباين هذي double star الان
+
+246
+00:30:43,940 --> 00:30:57,360
+now star and double star بيقدوا انه ال .. هاي عندي
+
+247
+00:30:57,360 --> 00:31:06,910
+absolute x k n minus x هذا أصغر من epsilon zeroهذا
+
+248
+00:31:06,910 --> 00:31:18,330
+من double star من هنا طب و من ال star انا
+
+249
+00:31:18,330 --> 00:31:23,250
+عندي xrm المسافة بين xrm و x أكبر من او ساوي
+
+250
+00:31:23,250 --> 00:31:24,630
+epsilon zero
+
+251
+00:31:27,280 --> 00:31:34,640
+و هذه sub sequence من ال sub sequence هذه يعني كل
+
+252
+00:31:34,640 --> 00:31:39,520
+حد في ال sequence هذه هو حد في هذه و بالتالي ال
+
+253
+00:31:39,520 --> 00:31:47,860
+sub sequence هذه بتحقق المتباينة star إذن هذا صحيح
+
+254
+00:31:47,860 --> 00:31:52,920
+من star ال absolute الفرقة ده بطلع أكبر من أو ساوي
+
+255
+00:31:52,920 --> 00:31:59,240
+epsilon zero الكلام هذا صحيح لكل n في Mإذا أنا
+
+256
+00:31:59,240 --> 00:32:05,280
+عندي طلع هيك epsilon zero أصغر من epsilon zero و
+
+257
+00:32:05,280 --> 00:32:09,960
+هذا بديني تناقض contradiction إذا التناقض هذا
+
+258
+00:32:09,960 --> 00:32:19,040
+السبب تبعه إن إحنا فرضنا إن xn does not converge ل
+
+259
+00:32:19,040 --> 00:32:23,660
+x إذا ال contradiction هذه بتقول إن xn لازم
+
+260
+00:32:23,660 --> 00:32:30,900
+converge ل x و هذا اللي بدنا ياه وهم المطلوبوهو
+
+261
+00:32:30,900 --> 00:32:35,700
+المطلوب okay إذا هيك بنكون برهننا النظرية هذه
+
+262
+00:32:35,700 --> 00:32:43,200
+خلينا ناخد احنا break عشان فينا لقاء تاني لمدة خمس
+
+263
+00:32:43,200 --> 00:32:46,120
+دقايق و بعدين يعني نرجع، ماشي الحال؟
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/YiGM8L9BEY0_raw.srt

@@ -0,0 +1,1352 @@
+1
+00:00:20,920 --> 00:00:26,360
+بسم الله الرحمن الرحيم اليوم هناخد أخر لقاء في ال
+
+2
+00:00:26,360 --> 00:00:31,460
+course وهو تكملة section خمسة أربعة في الكتاب
+
+3
+00:00:31,460 --> 00:00:38,850
+المقرر اللي بتكلم عن ال uniform continuityفي
+
+4
+00:00:38,850 --> 00:00:45,330
+المحاضرة السابقة عرفنا الاتصال المنتظم وشوفنا
+
+5
+00:00:45,330 --> 00:00:49,930
+أثبتنا نظريات
+
+6
+00:00:49,930 --> 00:00:54,170
+مهمة عن الاتصال المنتظم أو عدم الاتصال المنتظم
+
+7
+00:00:54,170 --> 00:00:58,850
+فأخدنا ال non uniform continuity criterion اللي
+
+8
+00:00:58,850 --> 00:01:04,770
+حسبها أو ممكن نستخدمها في اثبات أن دالة محددة ليست
+
+9
+00:01:04,770 --> 00:01:09,750
+uniform ل continuous على مجموعةمحددة جزئية من
+
+10
+00:01:09,750 --> 00:01:13,330
+الأعداد الحقيقية فكان في عندي non uniform
+
+11
+00:01:13,330 --> 00:01:18,270
+continuity criterion و آخر نظرية أثبتنا نظرية مهمة
+
+12
+00:01:18,270 --> 00:01:22,490
+هو هي ال uniform continuity criterion اللي بتقول
+
+13
+00:01:22,490 --> 00:01:27,650
+أنه لو كانت ال function تبعتي متصلة
+
+14
+00:01:28,780 --> 00:01:31,940
+على المجال تبعها والمجال تبعها closed bounded
+
+15
+00:01:31,940 --> 00:01:38,760
+interval فالاتصال يتحول الى اتصال منتظم طبعا احنا
+
+16
+00:01:38,760 --> 00:01:43,120
+شفنا في المحاضرة السابقة انه دايما الاتصال المنتظم
+
+17
+00:01:43,120 --> 00:01:47,200
+اقوى من الاتصال العادى لو كانت الدالة uniform ل
+
+18
+00:01:47,200 --> 00:01:50,960
+continuous فبتكون continuous لكن العكس ليس صحيح
+
+19
+00:01:52,640 --> 00:02:00,080
+فخدنا مثال على دالة function دالة واحد على X شفنا
+
+20
+00:02:00,080 --> 00:02:04,920
+أنها متصلة continuous على الفترة المفتوحة من سفر
+
+21
+00:02:04,920 --> 00:02:09,620
+إلى ملا نهاية but it was not uniformly continuous
+
+22
+00:02:09,620 --> 00:02:15,780
+على نفس الفترة وبالتالي الاتصال العادي لا يؤدي
+
+23
+00:02:15,780 --> 00:02:22,820
+للاتصال المنطماليوم هنتعرف على نوع جديد من ال
+
+24
+00:02:22,820 --> 00:02:27,040
+functions وهو لبسش functions و ال functions هدول
+
+25
+00:02:27,040 --> 00:02:32,200
+هتكونوا دائما كلهم uniformly continuous فنعرف لبسش
+
+26
+00:02:32,200 --> 00:02:38,640
+function definition a
+
+27
+00:02:38,640 --> 00:02:42,680
+function f
+
+28
+00:02:42,680 --> 00:02:44,740
+from a to r
+
+29
+00:02:47,770 --> 00:02:58,050
+إذ لبسش .. بنسميها
+
+30
+00:02:58,050 --> 00:03:03,010
+لبسش on
+
+31
+00:03:03,010 --> 00:03:10,310
+a إذا وجد if there exists k positive number such
+
+32
+00:03:10,310 --> 00:03:13,510
+that absolute f of x
+
+33
+00:03:36,970 --> 00:03:40,090
+وطبعا ممكن اثبات بكل سهولة
+
+34
+00:03:49,120 --> 00:03:55,860
+الأن هنثبت و هنشوف أنه كل لبسش function أو كل
+
+35
+00:03:55,860 --> 00:04:00,320
+function بتحقق لبسش condition اللي هو الشرط هذا
+
+36
+00:04:07,690 --> 00:04:12,250
+كل function بتحقق لبسش condition أو .. أو سمنها
+
+37
+00:04:12,250 --> 00:04:17,910
+لبسش function بتكون uniformly continuous فنشوف
+
+38
+00:04:17,910 --> 00:04:23,390
+المرحلة دالك إذا هنا every أو
+
+39
+00:04:23,390 --> 00:04:33,270
+if .. if from a to r is لبسش is
+
+40
+00:04:33,270 --> 00:04:47,300
+لبشسon a then it is uniformly continuous
+
+41
+00:04:47,300 --> 00:04:56,080
+on a proof
+
+42
+00:04:56,080 --> 00:05:00,840
+assume
+
+43
+00:05:03,530 --> 00:05:10,310
+إذا كان لبسش على
+
+44
+00:05:10,310 --> 00:05:20,250
+a ثم حسب التعريف هناك كمية positive كمية كمية كامة
+
+45
+00:05:20,250 --> 00:05:20,470
+كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية
+
+46
+00:05:20,470 --> 00:05:20,690
+كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية
+
+47
+00:05:20,690 --> 00:05:21,490
+كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية
+
+48
+00:05:21,490 --> 00:05:21,490
+كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية
+
+49
+00:05:21,490 --> 00:05:21,530
+كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية
+
+50
+00:05:21,530 --> 00:05:21,690
+كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية
+
+51
+00:05:21,690 --> 00:05:28,390
+كمية كمية كمية
+
+52
+00:05:28,390 --> 00:05:38,840
+كمk times absolute x minus u for all x where u and
+
+53
+00:05:38,840 --> 00:05:52,180
+a طيب
+
+54
+00:05:52,180 --> 00:05:55,760
+لتسمي ال condition هذا star
+
+55
+00:05:58,650 --> 00:06:02,570
+let epsilon أكبر من السفر بيجبن let epsilon أكبر
+
+56
+00:06:02,570 --> 00:06:05,490
+من السفر بيجبن let epsilon أكبر من السفر بيجبن let
+
+57
+00:06:05,490 --> 00:06:06,290
+epsilon أكبر من السفر بيجبن let epsilon أكبر من
+
+58
+00:06:06,290 --> 00:06:06,550
+السفر بيجبن let epsilon أكبر من السفر بيجبن let
+
+59
+00:06:06,550 --> 00:06:06,570
+epsilon أكبر من السفر بيجبن let epsilon أكبر من
+
+60
+00:06:06,570 --> 00:06:06,570
+السفر بيجبن let epsilon أكبر من السفر بيجبن let
+
+61
+00:06:06,570 --> 00:06:06,570
+epsilon أكبر من السفر بيجبن let epsilon أكبر من
+
+62
+00:06:06,570 --> 00:06:06,570
+السفر بيجبن let epsilon أكبر من السفر بيجبن let
+
+63
+00:06:06,570 --> 00:06:06,570
+epsilon أكبر من السفر بيجبن let epsilon أكبر من
+
+64
+00:06:06,570 --> 00:06:07,810
+السفر بيجبن let epsilon أكبر من السفر بيجبن let
+
+65
+00:06:07,810 --> 00:06:09,990
+epsilon أكبر من السفر بيجبن
+
+66
+00:06:23,960 --> 00:06:29,040
+عدد موجة إبسلون على K بيطلع عدد موجة وبالتالي إذن
+
+67
+00:06:29,040 --> 00:06:35,920
+هنا أثبتت إن user Delta تعتمد على إبسلون فقط فلهذه
+
+68
+00:06:35,920 --> 00:06:42,280
+الإبسلون then لو كانت X و U موجودين في A و
+
+69
+00:06:42,280 --> 00:06:47,840
+Absolute X minus U أصغر من Delta فهذا هيقدّي إن
+
+70
+00:06:47,840 --> 00:07:01,000
+Absolute F of X-f of u باي ستار حسب المتباينة star
+
+71
+00:07:01,000 --> 00:07:06,600
+هذا بيطلع أصغر منه ساوي absolute x minus u
+
+72
+00:07:13,020 --> 00:07:18,320
+وانا عندي absolute x minus u أصغر من دلتا اذا هذا
+
+73
+00:07:18,320 --> 00:07:25,240
+أصغر عفوا by star في عندي هنا k ضرب absolute x
+
+74
+00:07:25,240 --> 00:07:31,780
+minus u الان انا عندي absolute x minus u أصغر من
+
+75
+00:07:31,780 --> 00:07:36,840
+دلتا لأن هذا أصغر من k في دلتا وانا عندي ماخد دلتا
+
+76
+00:07:36,840 --> 00:07:45,940
+بالساوي y على kأصبح هذا أصغر من إبسلون لأي
+
+77
+00:07:45,940 --> 00:07:52,500
+إبسلون أكبر من 0 يوجد delta تعتمد على إبسلون فقط
+
+78
+00:07:52,500 --> 00:07:59,340
+بحيث أنه لكل x و u في a المسافة بينهم أصغر من
+
+79
+00:07:59,340 --> 00:08:02,820
+delta طلع المسافة بين ال images أصغر من إبسلون
+
+80
+00:08:06,120 --> 00:08:11,800
+epsilon أكبر من السفر was arbitrary، إذن هذا صحيح
+
+81
+00:08:11,800 --> 00:08:15,580
+لكل epsilon وبالتالي by definition، إذن ال
+
+82
+00:08:15,580 --> 00:08:20,780
+function f is uniformly continuous
+
+83
+00:08:20,780 --> 00:08:30,340
+on E، وهو المطلوب إذن هناك أثبتنا إن كل لبسش
+
+84
+00:08:30,340 --> 00:08:34,120
+function is uniformly continuous
+
+85
+00:08:36,360 --> 00:08:45,020
+لكن العكس ليس صحيحا .. العكس ليس صحيحا remark ..
+
+86
+00:08:45,020 --> 00:08:55,400
+remark the
+
+87
+00:08:55,400 --> 00:09:00,740
+canvas .. the canvas of above theorem
+
+88
+00:09:05,350 --> 00:09:11,730
+is false for
+
+89
+00:09:11,730 --> 00:09:16,970
+example على سبيل المثال يعني معنى آخر لو كانت ال
+
+90
+00:09:16,970 --> 00:09:24,750
+function uniform ل continuous مش شرط تكون لبسش على
+
+91
+00:09:24,750 --> 00:09:31,370
+نفس ال function على نفس ال .. for example consider
+
+92
+00:09:35,170 --> 00:09:48,950
+Consider الـ function f of x بساوي جدر الـ x هو
+
+93
+00:09:48,950 --> 00:09:54,790
+x ينتمي ل I بساوي closed interval من صفر لاثنين
+
+94
+00:10:07,930 --> 00:10:14,030
+by exercise فى exercise أخدناه اللى هو جبنالكم
+
+95
+00:10:14,030 --> 00:10:23,090
+إياه سؤال فى الامتحان ال exercise هذا كان .. خلينا
+
+96
+00:10:23,090 --> 00:10:23,730
+نشوف
+
+97
+00:10:39,170 --> 00:10:45,750
+أو ممكن اثبات أن الدالة هذه is continuous طيب
+
+98
+00:10:45,750 --> 00:10:52,030
+اه
+
+99
+00:10:52,030 --> 00:10:55,910
+by exercise
+
+100
+00:10:55,910 --> 00:11:04,250
+في chapter اربعة اربعة واحد question تمام اه اربعة
+
+101
+00:11:04,250 --> 00:11:11,540
+واحد مظبوط صحيحby exercise تمامية section اربعة
+
+102
+00:11:11,540 --> 00:11:16,540
+واحد ال
+
+103
+00:11:16,540 --> 00:11:24,940
+function if is continuous على الفترة لأن في هداك
+
+104
+00:11:24,940 --> 00:11:32,480
+ال exercise هتتبتو انه limit جدر ال X لما X تقول ل
+
+105
+00:11:32,480 --> 00:11:42,910
+C بساوي جدر ال Cلكل C أكبر من أو ساوي السفر طبعا
+
+106
+00:11:42,910 --> 00:11:48,030
+في ال exercise ماخد C أكبر من السفر لكن لما C
+
+107
+00:11:48,030 --> 00:11:52,950
+بساوي السفر فهذا trivial وبالتالي هذا معناه أن
+
+108
+00:11:52,950 --> 00:11:59,890
+دالة F هذا
+
+109
+00:11:59,890 --> 00:12:05,330
+معناه شرط الاتصال عن C متحقق فهذا معناه أن F is
+
+110
+00:12:05,330 --> 00:12:12,720
+continuousAt C وده صحيح لكل C أكبر من أوسعها سفر
+
+111
+00:12:12,720 --> 00:12:20,520
+وبالتالي اذا F is continuous على الفترة من سفر إلى
+
+112
+00:12:20,520 --> 00:12:25,140
+ملا نهاية وبالتالي متصلة على الفترة من سفر إلى
+
+113
+00:12:25,140 --> 00:12:33,460
+اتنين اللي هي جزوة منها okay تمام طيب اذا
+
+114
+00:12:40,220 --> 00:12:48,440
+إذا by طيب since I بساو الفترة من الزفر لإتنين
+
+115
+00:12:48,440 --> 00:12:58,140
+الفترة هذه is closed and bounded و
+
+116
+00:12:58,140 --> 00:13:05,080
+if continuous عليها then by
+
+117
+00:13:05,080 --> 00:13:09,520
+uniform continuity theorem
+
+118
+00:13:11,440 --> 00:13:14,900
+نظرية الاتصال المنتظم بتقول إذا كان في عندي
+
+119
+00:13:14,900 --> 00:13:20,060
+function f متصلة على فترة مغلقة أو محدودة فالاتصال
+
+120
+00:13:20,060 --> 00:13:25,320
+هذا بيكون اتصال منتظم uniform continuity ففي عندي
+
+121
+00:13:25,320 --> 00:13:32,800
+by uniform continuity theorem تطلع f is uniformly
+
+122
+00:13:32,800 --> 00:13:39,840
+continuous
+
+123
+00:13:41,540 --> 00:13:48,120
+على الفترة I إذاً هي مثال على function uniform ل
+
+124
+00:13:48,120 --> 00:13:52,880
+continuous على المجال تبعها هنشوف الآن إن هذه ال
+
+125
+00:13:52,880 --> 00:14:07,060
+function ما هياش لبسش على نفس الفترة إذا
+
+126
+00:14:07,060 --> 00:14:07,640
+ال claim
+
+127
+00:14:13,370 --> 00:14:23,650
+if is not .. if is not لبسش على
+
+128
+00:14:23,650 --> 00:14:28,590
+الفترة I فلبرحان
+
+129
+00:14:28,590 --> 00:14:33,990
+ذلك assume
+
+130
+00:14:33,990 --> 00:14:37,950
+on
+
+131
+00:14:37,950 --> 00:14:38,670
+contrary
+
+132
+00:14:43,190 --> 00:14:48,550
+assume on contrary that
+
+133
+00:14:48,550 --> 00:15:01,650
+if is لبسش on
+
+134
+00:15:01,650 --> 00:15:04,090
+I then
+
+135
+00:15:06,570 --> 00:15:14,610
+there exists k أكبر من السفر بحيث أنه absolute f
+
+136
+00:15:14,610 --> 00:15:28,610
+of x minus f of u أصغر منها ساوي k في absolute x
+
+137
+00:15:28,610 --> 00:15:36,950
+minus u لكل xهو you تنتمي للفترة I اللى هى الفترة
+
+138
+00:15:36,950 --> 00:15:39,970
+المغلطة من سفر لاتنين
+
+139
+00:15:59,060 --> 00:16:04,840
+إذا ان هنا فرضنا ال contrary و يطلع ان بيطلع عندى
+
+140
+00:16:04,840 --> 00:16:09,160
+فيه huge العدد موجة بحيث كان أنا ادم اتحقق وهذا
+
+141
+00:16:09,160 --> 00:16:15,340
+بيقدر ان absolute f of x لو خدنا u بساوة سفر minus
+
+142
+00:16:15,340 --> 00:16:24,910
+f of 0 أصغر لو ساوة k فabsolute xوهذا صحيح لكل x
+
+143
+00:16:24,910 --> 00:16:32,150
+تنتمي للفترة I إذا أنا هنا أخدت U بساوي سفر و
+
+144
+00:16:32,150 --> 00:16:39,070
+السفر ينتمي للفترة I طيب أنا عندي F صفر بساوي سفر
+
+145
+00:16:39,070 --> 00:16:44,030
+إذا
+
+146
+00:16:44,030 --> 00:16:47,130
+بطلع عندي absolute
+
+147
+00:16:48,770 --> 00:16:58,510
+f of x أصغر من أو يساوي k في absolute ال X وهذا
+
+148
+00:16:58,510 --> 00:17:04,470
+صحيح لكل X تم تمي لفترة I هي الفترة المغلقة من
+
+149
+00:17:04,470 --> 00:17:09,690
+السفر لفترة بس
+
+150
+00:17:09,690 --> 00:17:14,810
+هذا هيدي لتناقل طيب
+
+151
+00:17:15,530 --> 00:17:28,330
+تاك لو أخدت x بساوي واحد على n تربيها فهذا
+
+152
+00:17:28,330 --> 00:17:33,990
+عبارة عن .. هذا ينتمي للفترة .. للفترة المغلفة من
+
+153
+00:17:33,990 --> 00:17:40,410
+سفر لإتنين اللي هي I لأن هذا عدد موجب لكل n ينتمي
+
+154
+00:17:40,410 --> 00:17:46,820
+ل N لكل عدد طبيعي هذا بطلعينتمي للفترة هذه
+
+155
+00:17:46,820 --> 00:17:54,300
+وبالتالي إذا المفروض يطلع absolute if لواحد على N
+
+156
+00:17:54,300 --> 00:18:02,060
+تربية أصغر من أو يساوي K في absolute واحد على N
+
+157
+00:18:02,060 --> 00:18:10,840
+تر��ية هذا صحيح لكل N في Nطيب if واحد على ان تربية
+
+158
+00:18:10,840 --> 00:18:16,760
+بيطلع بساوي الجدر التربية إلى واحد على ان تربية
+
+159
+00:18:16,760 --> 00:18:20,200
+اللي
+
+160
+00:18:20,200 --> 00:18:26,600
+هو عبارة عن واحد على ان ف absolute واحد على ان
+
+161
+00:18:26,600 --> 00:18:34,100
+بيطلع واحد على ان أصغر من أو ساوي كفي واحد على ان
+
+162
+00:18:34,100 --> 00:18:43,520
+تربية هذا صحيحلكل N في N اضرب
+
+163
+00:18:43,520 --> 00:18:50,880
+المتدينة هذه في N تربية فبطلع عندي N أصغر من أو
+
+164
+00:18:50,880 --> 00:18:59,320
+ساوي K for all N في N وهذا بتناقض مع ال
+
+165
+00:18:59,320 --> 00:19:06,040
+Archimedean property which contradicts
+
+166
+00:19:07,330 --> 00:19:11,130
+التي تتناقض
+
+167
+00:19:11,130 --> 00:19:19,250
+مع مين؟ التي تتناقض مع الـ Archimedean property
+
+168
+00:19:23,770 --> 00:19:28,110
+خاصية Archimedes لأن خاصية Archimedes بتقوللي لأي
+
+169
+00:19:28,110 --> 00:19:35,690
+عدد K عدد موجب أو أي عدد حقيقي K يوجد N0 عدد طبيعي
+
+170
+00:19:35,690 --> 00:19:45,660
+لحيث أن N0 أكبر من K صح؟و من هنا كل الأعداد
+
+171
+00:19:45,660 --> 00:19:53,360
+الطبيعية من ضمنها N0 أشملها أصغر من أو يساوي ال K
+
+172
+00:19:53,360 --> 00:20:00,740
+فبطلع N0 أكبر من N0 contradiction إذا السبب ال
+
+173
+00:20:00,740 --> 00:20:04,640
+contradiction هذا أنه إيه ال assumption الفرض
+
+174
+00:20:04,640 --> 00:20:12,440
+تبعنا ال assumption تبعنا أن F is لبسش on I okay
+
+175
+00:20:14,100 --> 00:20:19,120
+إذاً هذا بتثبت هذا ال contradiction بتثبت أن ال is
+
+176
+00:20:19,120 --> 00:20:29,820
+عفوًا if is not لبسش on
+
+177
+00:20:29,820 --> 00:20:37,120
+a أو i وهو المطلوب إذاً هذا مثال على function
+
+178
+00:20:37,120 --> 00:20:44,810
+uniformly continuous على set معينةلكنها ليست لبسش
+
+179
+00:20:44,810 --> 00:20:50,450
+لكن أثبتنا قبل ايه ان كل لبسش function is always
+
+180
+00:20:50,450 --> 00:20:57,750
+uniformly continuous ناخد
+
+181
+00:20:57,750 --> 00:20:58,770
+بعض الأمثلة
+
+182
+00:21:26,120 --> 00:21:35,220
+example led f of x بساوي x تربية و x ينتمي
+
+183
+00:21:35,220 --> 00:21:41,800
+للمجموعة a اللي هي الفترة المغلقة من سفر إلى بي
+
+184
+00:21:41,800 --> 00:21:50,410
+حيث بي أي عدد موجب بي أي عدد موجببنأثبت أن الـ
+
+185
+00:21:50,410 --> 00:21:59,950
+function هذه تطلع uniformly continuous show
+
+186
+00:21:59,950 --> 00:22:05,950
+that show
+
+187
+00:22:05,950 --> 00:22:11,670
+أن f is uniformly continuous
+
+188
+00:22:11,670 --> 00:22:23,720
+on a ففيه برهنيناو حالين proof one حال الأول since
+
+189
+00:22:23,720 --> 00:22:28,400
+if
+
+190
+00:22:28,400 --> 00:22:37,400
+is continuous on a being
+
+191
+00:22:37,400 --> 00:22:39,440
+a polynomial
+
+192
+00:22:44,780 --> 00:22:47,300
+لأنها polynomial و احنا قلنا كل polynomial
+
+193
+00:22:47,300 --> 00:22:51,800
+function متصل على R وبالتالي على أي مجموعة جزئية
+
+194
+00:22:51,800 --> 00:22:59,760
+من R زي المجموعة A اللي هي الفترة المغلقة من سفر
+
+195
+00:22:59,760 --> 00:23:05,620
+إلى الـ B ف
+
+196
+00:23:05,620 --> 00:23:10,920
+if is continuous على A كونها polynomial and بما
+
+197
+00:23:10,920 --> 00:23:19,480
+انه and sinceالـ set A هذه اللي هي عبارة عن الفترة
+
+198
+00:23:19,480 --> 00:23:29,320
+المغلقة من سفر لـ B is closed and bounded and
+
+199
+00:23:29,320 --> 00:23:34,500
+bounded interval
+
+200
+00:23:34,500 --> 00:23:44,980
+then by uniform continuity theorem
+
+201
+00:23:47,180 --> 00:23:53,380
+حسب نظرية الاتصال المنتظم اللى بتقول لو كان فيها
+
+202
+00:23:53,380 --> 00:23:57,140
+function مجالها closed bounded interval و ال
+
+203
+00:23:57,140 --> 00:24:03,120
+function متصل عليها فالاتصال بتحول الى اتصال منتظم
+
+204
+00:24:03,120 --> 00:24:08,040
+اذا ال function f is uniformly
+
+205
+00:24:10,270 --> 00:24:16,870
+continuous on a وهذا برهان لأنه ممكن نستخدم ال
+
+206
+00:24:16,870 --> 00:24:20,550
+uniform continuity theorem لإثبات أنه function
+
+207
+00:24:20,550 --> 00:24:24,970
+اللي زي هذه الدالة التربية uniform continuous على
+
+208
+00:24:24,970 --> 00:24:32,550
+أي فترة مغلقة زي الفترة هذه الحل
+
+209
+00:24:32,550 --> 00:24:37,830
+التاني ممكن نثبت أن الدالة هذه لمساش برضه و أ��تخدم
+
+210
+00:24:37,830 --> 00:24:38,710
+نظرية هذه
+
+211
+00:24:41,510 --> 00:24:48,950
+انشوف مع بعض، هنا البرهان تاني أو برهان رقم اتنين،
+
+212
+00:24:48,950 --> 00:24:58,810
+proof اتنين claim
+
+213
+00:24:58,810 --> 00:25:03,950
+انه F is لبسش
+
+214
+00:25:08,200 --> 00:25:18,740
+on a التي هي الفترة المغلفة من سفر إلى بى
+
+215
+00:25:18,740 --> 00:25:26,260
+فالإثبات هذا الكلام تعالى نشوف هي absolute f of x
+
+216
+00:25:26,260 --> 00:25:35,000
+minus f of u ايش بيساوي absolute x
+
+217
+00:25:35,820 --> 00:25:43,960
+تربية minus U تربية بساوي absolute X زائد U في
+
+218
+00:25:43,960 --> 00:25:51,860
+absolute X minus U وهذا بساوي absolute X زائد U في
+
+219
+00:25:51,860 --> 00:25:58,640
+absolute X negative U و by triangle inequality
+
+220
+00:25:58,640 --> 00:26:04,330
+absolute X زائد U أصغر من أو ساوي absolute Xزاد
+
+221
+00:26:04,330 --> 00:26:13,910
+absolute u كل هذا مضروف absolute x minus u الان
+
+222
+00:26:13,910 --> 00:26:19,970
+ال u و ال x ينتموا للمجال تبع الدولة وبالتالي
+
+223
+00:26:19,970 --> 00:26:29,990
+كلاهما عداد غير سالفة و كلاهما أصغر من أو يساوي ال
+
+224
+00:26:29,990 --> 00:26:37,320
+b صح؟إن هذا أصغر من أوي ساوي بي زائد بي في
+
+225
+00:26:37,320 --> 00:26:45,420
+absolute x minus u for all x و u ينتموا للمجموع
+
+226
+00:26:45,420 --> 00:26:52,520
+اللي هي الفترة المغلفة من سفر إلى بي طبعا هذا
+
+227
+00:26:52,520 --> 00:27:01,660
+بساوياتنين بي في absolute x minus u for all x و u
+
+228
+00:27:01,660 --> 00:27:08,820
+تنتمي الى a اذا هاي شرط لبسيش اتحقق with k بيساو
+
+229
+00:27:08,820 --> 00:27:17,340
+اتنين بيعدد موجب اذا هنا take k
+
+230
+00:27:17,340 --> 00:27:21,800
+بيساو اتنين بيعدد موجب
+
+231
+00:27:36,690 --> 00:27:38,510
+Okay طبعا
+
+232
+00:27:54,180 --> 00:28:09,940
+واضح البران في اي سؤال او استفسار في
+
+233
+00:28:09,940 --> 00:28:17,160
+عندي نظرية تتعلق بال uniform الها علاقة بال
+
+234
+00:28:17,160 --> 00:28:22,180
+uniform continuity وهي النظرية التالية
+
+235
+00:28:38,260 --> 00:28:49,440
+فيرم if if from a to r is uniformly is uniformly
+
+236
+00:28:49,440 --> 00:28:52,540
+continuous
+
+237
+00:28:52,540 --> 00:29:00,780
+on a then
+
+238
+00:29:03,000 --> 00:29:09,640
+For any Cauchy Sequence
+
+239
+00:29:09,640 --> 00:29:18,780
+xn contained in A The
+
+240
+00:29:18,780 --> 00:29:22,700
+sequence f
+
+241
+00:29:22,700 --> 00:29:31,580
+of xn اللي هي ال image لسيقونس xn is Cauchy
+
+242
+00:29:33,110 --> 00:29:40,090
+in R that
+
+243
+00:29:40,090 --> 00:29:45,950
+is that
+
+244
+00:29:45,950 --> 00:29:56,030
+is هذا يعني هذا يعني هذا يعني انه uniformly
+
+245
+00:29:56,030 --> 00:30:01,090
+uniformly continuous
+
+246
+00:30:04,960 --> 00:30:18,040
+functions preserve كوشي
+
+247
+00:30:18,040 --> 00:30:22,460
+sequences
+
+248
+00:30:27,960 --> 00:30:34,420
+يعني الدوال اللي بتكون متصل اتصال منتظم بتحافظ على
+
+249
+00:30:34,420 --> 00:30:39,960
+cushy sequences بمعنى انه لو كانت xn cushy
+
+250
+00:30:39,960 --> 00:30:46,260
+sequence في المجال تبع الدالة A فصورتها هتطلع
+
+251
+00:30:46,260 --> 00:30:52,080
+cushy sequence في المجال المقابل R والبرهان سهل
+
+252
+00:30:53,210 --> 00:30:57,390
+طبعا هذا بس صحيح لل uniform ل continuous functions
+
+253
+00:30:57,390 --> 00:31:02,350
+أما لو كانت ال function بس continuous فمش شرط
+
+254
+00:31:02,350 --> 00:31:07,510
+اتحافظ على كوشي sequences والبرهان
+
+255
+00:31:07,510 --> 00:31:18,670
+سهل بسيط prove let
+
+256
+00:31:18,670 --> 00:31:29,880
+if from A to Rب uniformly continuous on
+
+257
+00:31:29,880 --> 00:31:44,240
+a and let x in contained in a,b كوشي كوشي sequence
+
+258
+00:31:44,240 --> 00:31:50,420
+و بدنا نثبت ان ال image لل sequence x in بتطلع
+
+259
+00:31:50,420 --> 00:31:57,060
+كوشي طيبto show ان
+
+260
+00:31:57,060 --> 00:32:09,340
+ال image لسيكوينس XN is Cauchy لبرهان
+
+261
+00:32:09,340 --> 00:32:15,180
+ان ال sequence هذه ال image لسيكوينس XN is Cauchy
+
+262
+00:32:15,180 --> 00:32:24,130
+نحاول نطبق تعريف Cauchysequence او نحاول نحقق شرط
+
+263
+00:32:24,130 --> 00:32:31,290
+كوشي فكيف نحقق قولت epsilon أكبر من السفر بيه جبن
+
+264
+00:32:31,290 --> 00:32:39,210
+وبينا نرد عليها بcapital N تحققلي شرط كوشي طيب
+
+265
+00:32:39,210 --> 00:32:44,110
+since if
+
+266
+00:32:44,110 --> 00:32:45,390
+is uniformly
+
+267
+00:32:47,670 --> 00:32:55,510
+continuous on a إذا لأي إبسلون موجبة زي هذه يوجد
+
+268
+00:32:55,510 --> 00:33:02,650
+إذا
+
+269
+00:33:02,650 --> 00:33:09,410
+لأي إبسلون زي هذهمع ان if uniform continuous اذا
+
+270
+00:33:09,410 --> 00:33:13,670
+لأي epsilon حسب تعريف ال uniform continuity يوجد
+
+271
+00:33:13,670 --> 00:33:21,510
+delta تعتمد على epsilon عدد موجة بحيث انه لو كان x
+
+272
+00:33:24,390 --> 00:33:30,090
+و U موجودين في A و Absolute X minus U أصغر من
+
+273
+00:33:30,090 --> 00:33:37,570
+Delta فهذا بعدي أن Absolute F of X minus F of U
+
+274
+00:33:37,570 --> 00:33:47,250
+أصغر من Y نسمي ال implication head star الان
+
+275
+00:33:47,250 --> 00:33:53,610
+since ال sequence X in is Cauchy
+
+276
+00:33:58,410 --> 00:34:02,810
+then و delta and
+
+277
+00:34:02,810 --> 00:34:11,090
+delta أكبر من السفر طبعا هذه given is given ال
+
+278
+00:34:11,090 --> 00:34:13,850
+delta هذه قلنا يوجد delta عدد موجة بما أن هذه
+
+279
+00:34:13,850 --> 00:34:20,650
+تعتبر given delta فلل delta هذه اللي هنا عدد موجة
+
+280
+00:34:20,650 --> 00:34:27,960
+بما أن xn is Cauchyإذا there exist يوجد capital N
+
+281
+00:34:27,960 --> 00:34:37,220
+يعتمد على delta عدد طبيعي بحيث انه شرط كوشي يتحقق
+
+282
+00:34:37,220 --> 00:34:43,140
+وهو لكل N و M أكبر من أو ساوي capital N بطل عندي
+
+283
+00:34:43,140 --> 00:34:49,040
+absolute xn minus xm أصغر من delta
+
+284
+00:34:52,280 --> 00:35:01,060
+بنسمي هذه double star now star and double star
+
+285
+00:35:01,060 --> 00:35:14,240
+بيقدّوا أنه يوجد capital N يعتمد على epsilon لأن
+
+286
+00:35:14,240 --> 00:35:18,800
+ال delta بتعتمد على epsilonالـ delta بتعتمد على
+
+287
+00:35:18,800 --> 00:35:26,260
+إبسلون، ملاحظة الحال ف N هذه نفسها N of delta
+
+288
+00:35:26,260 --> 00:35:33,360
+بيساوي N of إبسلون بتتمي ل N بحيث أنه لو كان N و M
+
+289
+00:35:33,360 --> 00:35:40,480
+أكبر من أوي ساوي capital N فهذا بيقدّي أنه by
+
+290
+00:35:40,480 --> 00:35:48,270
+double starهذا بيقدم absolute xn minus xm أصغر من
+
+291
+00:35:48,270 --> 00:35:55,450
+دلتا وحسب ال star by star ال star بتقول لو كان
+
+292
+00:35:55,450 --> 00:36:01,030
+عندي x و u المسافة بينهم أصغر من دلتا فالمسافة بين
+
+293
+00:36:01,030 --> 00:36:08,790
+صورهم اللي هي xn هنا وصورة ال xm تطلع أصغر من إبسم
+
+294
+00:36:10,550 --> 00:36:16,550
+تمام؟ إذا هنا أثبتت لأي إبسلون أكبر من السفر يوجد
+
+295
+00:36:16,550 --> 00:36:20,830
+capital N يعتمد على إبسلون عدد طبيعي بحيث لكل M M
+
+296
+00:36:20,830 --> 00:36:25,510
+أكبر من أو ساوي capital N طلع المسافة بين F of X M
+
+297
+00:36:25,510 --> 00:36:31,650
+و F of X M أصغر من إبسلون إذا بما أنه since إبسلون
+
+298
+00:36:31,650 --> 00:36:39,100
+أكبر من السفر was arbitraryإذا الـ sequence f of x
+
+299
+00:36:39,100 --> 00:36:45,120
+in is Cauchy تطلع الـ sequence هذه Cauchy وهو
+
+300
+00:36:45,120 --> 00:36:54,080
+المطلوب okay تمام ممكن نستخدم النظرية هذه ممكن
+
+301
+00:36:54,080 --> 00:37:01,400
+نستخدم النظرية هذه في ال ..
+
+302
+00:37:01,400 --> 00:37:06,320
+ان نثبت ان function معينة ليستuniform and
+
+303
+00:37:06,320 --> 00:37:16,200
+continuous هاي example use
+
+304
+00:37:16,200 --> 00:37:20,100
+above theorem
+
+305
+00:37:20,100 --> 00:37:31,860
+to show ال function f of x بالسعر واحد على x is
+
+306
+00:37:31,860 --> 00:37:32,280
+not
+
+307
+00:37:35,480 --> 00:37:43,220
+uniformly continuous on a بساوي الفترة المفتوحة من
+
+308
+00:37:43,220 --> 00:37:44,680
+صفر إلى ملا نهار
+
+309
+00:37:57,800 --> 00:38:01,060
+لحظة ان النظرية دي ايش بتقول لو كانت ال function
+
+310
+00:38:01,060 --> 00:38:05,140
+uniform ل continuous فلازم تحافظ على كوشي sequence
+
+311
+00:38:05,140 --> 00:38:09,440
+طب لو محافظتش على كوشي sequence مش ممكن تكون
+
+312
+00:38:09,440 --> 00:38:17,260
+uniform ل continuous صح؟ مظبوط؟ اذا هنا proof
+
+313
+00:38:17,260 --> 00:38:25,680
+by above theorem حسب النظرية على it suffices
+
+314
+00:38:28,360 --> 00:38:36,220
+to show يكفي اثبات ان f is .. if does not .. if
+
+315
+00:38:36,220 --> 00:38:46,960
+does .. does not preserve .. preserve Cauchy
+
+316
+00:38:46,960 --> 00:38:52,860
+sequences ف
+
+317
+00:38:52,860 --> 00:38:53,500
+consider
+
+318
+00:38:56,930 --> 00:39:03,270
+consider ال sequence xn اللي هي بساوي واحد على ن
+
+319
+00:39:03,270 --> 00:39:11,470
+ال sequence هذه converge لصفر وبالتالي
+
+320
+00:39:11,470 --> 00:39:25,130
+اذا xn is Cauchy تمام but صورة ال xn
+
+321
+00:39:28,660 --> 00:39:37,460
+أيش بتطلع؟ صورة الواحد على ان تطلع ال sequence in
+
+322
+00:39:37,460 --> 00:39:43,620
+صح؟ و ال sequence هذه properly divergent to
+
+323
+00:39:43,620 --> 00:39:49,760
+infinity، اذا I'm divergent، اذا I'm not Cauchy
+
+324
+00:39:49,760 --> 00:39:54,220
+تمام؟
+
+325
+00:39:57,130 --> 00:40:01,450
+Okay؟ وبالتالي إذا هاي في عندي .. هاي في عندي ..
+
+326
+00:40:01,450 --> 00:40:08,790
+إذا if لا تحافظ على ال koshi sequences إذا if does
+
+327
+00:40:08,790 --> 00:40:13,210
+not preserve
+
+328
+00:40:13,210 --> 00:40:19,050
+.. preserve koshi
+
+329
+00:40:26,330 --> 00:40:31,610
+sequences وبالتالي حسب النظرية الأخيرة مابتكونش
+
+330
+00:40:31,610 --> 00:40:34,630
+uniformly continuous لأن لو كانت uniformly
+
+331
+00:40:34,630 --> 00:40:38,370
+continuous فالمفروض تاخد كوشي sequence زي هذه
+
+332
+00:40:38,370 --> 00:40:42,730
+تعطينا صورتها كوشي sequence وهذا مستحيل okay تمام
+
+333
+00:40:42,730 --> 00:40:47,970
+واضح في أي سؤال اي استفسار اذا هيك نكتفي بهذا
+
+334
+00:40:47,970 --> 00:40:52,540
+القدر من section خمسة اربعة وزي ما حكينا سابقاهذا
+
+335
+00:40:52,540 --> 00:40:57,260
+كان آخر section هناخده في المقرر و بالتالي هيكون
+
+336
+00:40:57,260 --> 00:41:03,400
+يعني .. يعني ان شاء الله أنهينا ال course كما هو
+
+337
+00:41:03,400 --> 00:41:10,600
+موضح على ال syllabus فشكرا لكم و شكرا لحسن إصداركم
+
+338
+00:41:10,600 --> 00:41:13,580
+و يعطيكم ألف عافية
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/_28CmIWMuzY_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1616 @@
+1
+00:00:21,330 --> 00:00:27,290
+اليوم طبعا هنكمل الشرح
+
+2
+00:00:27,290 --> 00:00:30,650
+أو
+
+3
+00:00:30,650 --> 00:00:35,610
+بعض الملاحظات على النظرية اللي أخدناها في المحاضرة
+
+4
+00:00:35,610 --> 00:00:42,910
+السابقة النظرية هذه بتتحدث عن nested interval
+
+5
+00:00:42,910 --> 00:00:48,620
+property أو خاصية الفترات المتداخلةوشوفنا في
+
+6
+00:00:48,620 --> 00:00:54,720
+النظرية هذه ان لو في عندي sequence of nested
+
+7
+00:00:54,720 --> 00:00:58,660
+intervals الفترات هذه كلهم nested يعني كل واحدة
+
+8
+00:00:58,660 --> 00:01:05,820
+تحتوي اللي بعدها مباشرة زائد ان الفترات هذه كلهم
+
+9
+00:01:05,820 --> 00:01:14,580
+closed كلهم closed و bounded ففي
+
+10
+00:01:14,580 --> 00:01:20,210
+الحالة هذه التقاطةتبع ال sequence of intervals لا
+
+11
+00:01:20,210 --> 00:01:24,310
+يساوي في يعني في على الأقل عنصر واحد بالتقاطة
+
+12
+00:01:24,310 --> 00:01:30,510
+شوفنا برضه لو في الشرط الإضافي هذا اتحقق وهو
+
+13
+00:01:30,510 --> 00:01:35,570
+لاحظوا أن هذه عبارة عن ساو بي ان فهذه sequence من
+
+14
+00:01:35,570 --> 00:01:42,690
+العداد السالمة الغير سالمة و بالمناسبة السفر واضح
+
+15
+00:01:42,690 --> 00:01:48,940
+أنه lower bound للمجموعة هذه صح؟لكن مش شرط أن
+
+16
+00:01:48,940 --> 00:01:54,780
+السفر يكون هو ال infimum للمجموعة هذه فإذا كان ال
+
+17
+00:01:54,780 --> 00:01:57,960
+infimum للمجموعة هذه اللي هو أكبر lower bound هو
+
+18
+00:01:57,960 --> 00:02:06,440
+السفر فالتقاط واحدة في أنصر واحد okay تمام وشوفنا
+
+19
+00:02:06,440 --> 00:02:11,800
+مرين على البرهان المرة اللي فاتت و أعتقد أن
+
+20
+00:02:11,800 --> 00:02:16,860
+البرهان مكتوب بالتفصيلواضح ومرنا عليه جزء جزء
+
+21
+00:02:16,860 --> 00:02:22,000
+فأرجعكم تكونوا قرأتهوا كمان مرة وفهمتهوا في حد
+
+22
+00:02:22,000 --> 00:02:27,860
+عنده استفسار على المرهانة النظرية هذه طيب الآن
+
+23
+00:02:27,860 --> 00:02:35,820
+النظرية هذه نرجع للنظرية كمان مرة الآن
+
+24
+00:02:35,820 --> 00:02:41,480
+في ملاحظة بتقول انه لو انا في النظرية هذه الفترات
+
+25
+00:02:41,480 --> 00:02:49,780
+هذهالفرض ان الفترات in مغلقة closed لو حذفت شيلت
+
+26
+00:02:49,780 --> 00:03:01,600
+الفرض هذا فالنظرية هذه بتبطل تكون صحيحة فالنظرية
+
+27
+00:03:01,600 --> 00:03:05,000
+هذه بتبطل تكون صحيحة وحنشوف counter example يوضح
+
+28
+00:03:05,000 --> 00:03:07,460
+عدم صحتها كذلك
+
+29
+00:03:09,100 --> 00:03:13,220
+طب افرضه ان هذا شرط متحقق في الفترات لكن اللي مش
+
+30
+00:03:13,220 --> 00:03:17,680
+متحقق اللي هو ال boundedness يعني الفترات هذه ليست
+
+31
+00:03:17,680 --> 00:03:21,420
+محدودة ليست bounded برضه في الحالة هذه المظهرية
+
+32
+00:03:21,420 --> 00:03:26,620
+تفشل و في counter example يوضح فشلها okay اذا
+
+33
+00:03:26,620 --> 00:03:30,640
+حنشوف two counter examples خليني نشوفهم مع بعض
+
+34
+00:03:36,610 --> 00:03:39,790
+إذا هدى ال remark اللى انا اتحدث عنها قلت انه it
+
+35
+00:03:39,790 --> 00:03:44,090
+should be noted يجب ملاحظة ان journal بصورة عامة
+
+36
+00:03:44,090 --> 00:03:48,030
+instant sequence of intervals need not have a
+
+37
+00:03:48,030 --> 00:03:51,290
+common point يعني لو فيه ending sequence من
+
+38
+00:03:51,290 --> 00:03:57,010
+الفترات المتداخلة مش شرط تقاطعهم يكون في في يعني
+
+39
+00:03:57,010 --> 00:04:02,650
+اى نقطة او نقطة مشاركة يعني مش شرط ان التقاطع لها
+
+40
+00:04:02,650 --> 00:04:11,000
+يساوي فيهفالأنثى لها دى هدا هى اللى حكينا عنها اول
+
+41
+00:04:11,000 --> 00:04:18,500
+مثال هاى
+
+42
+00:04:18,500 --> 00:04:23,080
+فى المثال الاول الفرض the hypothesis الفرض ان ال
+
+43
+00:04:23,080 --> 00:04:28,940
+intervals I in فى نظرية 22 be closed cannot be
+
+44
+00:04:28,940 --> 00:04:34,800
+dropped يعني لا يمكن حذفهلا يمكن الاستجناء عنه
+
+45
+00:04:34,800 --> 00:04:41,180
+وتبقى النظرية نظرية صحيحة for example على سبيل
+
+46
+00:04:41,180 --> 00:04:49,120
+المثال لو أخدت الفترات I N الفترة I N هي الفترة
+
+47
+00:04:49,120 --> 00:04:55,580
+المفتوحة من 0 ل 1 على N حيث N عدد طبيعي فواضح ان
+
+48
+00:04:55,580 --> 00:05:00,460
+الفترات هدي nested صح؟ لأن الفترة الأولى هتكون
+
+49
+00:05:00,460 --> 00:05:04,820
+الفترة مفتوحة من 0 ل 1الفترة التانية الفترة مفتوحة
+
+50
+00:05:04,820 --> 00:05:12,180
+من سفر لنص وهذه محتوى في I واحد و I تلاتة الفترة
+
+51
+00:05:12,180 --> 00:05:16,540
+مفتوحة من سفر لتلت محتوى داخل I اتنين و هكذا لذلك
+
+52
+00:05:16,540 --> 00:05:21,720
+واضح ان ال sequence of open intervals IN is nested
+
+53
+00:05:21,720 --> 00:05:27,560
+sequence كذلك عناصر ال sequence هذه bounded هذه
+
+54
+00:05:27,560 --> 00:05:33,710
+فترات محصورةلكن الفترات هذه not closed مش closed
+
+55
+00:05:33,710 --> 00:05:38,630
+يعني عبارة عن مجموعات مفتوحة ليست مغلقة، إذن شرط
+
+56
+00:05:38,630 --> 00:05:45,910
+الإغلاق هنا انحذف وبالتالي نتيجة النظرية مش شرط
+
+57
+00:05:45,910 --> 00:05:50,750
+تكون صحيحة، إذن التقاطع هنا لنفس ال sequence هذه
+
+58
+00:05:50,750 --> 00:05:54,410
+بيطلع بساوي fine مافيش common point مافيش نقطة
+
+59
+00:05:54,410 --> 00:05:59,950
+مشتركة في هذه الفترات طبعا هذا مش واضح
+
+60
+00:06:04,230 --> 00:06:08,470
+هذا تقاطع الفترات المفتوحة هذه بساوي في هذا مش
+
+61
+00:06:08,470 --> 00:06:14,310
+واضح يحتاج إلى برهان هي البرهان بين جثين مربعين
+
+62
+00:06:14,310 --> 00:06:21,470
+تعالوا نبره إن تقاطع الفترات هذه بساوي في to see
+
+63
+00:06:21,470 --> 00:06:27,670
+this to see this معناه لبرهان ذلك مش لرأي ذلك هذا
+
+64
+00:06:27,670 --> 00:06:34,040
+تعبير مجازم استخدمه لبرهانالشيء العبارة اللي احنا
+
+65
+00:06:34,040 --> 00:06:38,400
+عايزينها ف to see this suppose in the contrary
+
+66
+00:06:38,400 --> 00:06:43,320
+بنفترض على النقيد انه التقاطع هذا بسويش في يعني في
+
+67
+00:06:43,320 --> 00:06:48,100
+على الأقل عنصر X في التقاطع بنصل لتناقض طيب ال X
+
+68
+00:06:48,100 --> 00:06:53,360
+موجود في التقاطع معناته X موجود في I N لكل N إذن X
+
+69
+00:06:53,360 --> 00:06:58,310
+موجود في كل واحدة من الفترات I Nطيب X موجود في
+
+70
+00:06:58,310 --> 00:07:03,510
+الفترة I N معناته X أكبر من سفر أصغر من واحد على N
+
+71
+00:07:03,510 --> 00:07:09,970
+أصغر من واحد على N أصغر من واحد على N تمام
+
+72
+00:07:09,970 --> 00:07:13,970
+وبالتالي
+
+73
+00:07:13,970 --> 00:07:20,430
+حسب ال Archimedean property هذا عبارة عن أحد صور
+
+74
+00:07:20,430 --> 00:07:25,750
+ال Archimedean property بتقول ليبما ان X هد عدد
+
+75
+00:07:25,750 --> 00:07:33,530
+موجب، الـ X هد عدد موجب، إذا يوجد عدد طبيعي N0
+
+76
+00:07:33,530 --> 00:07:39,150
+مقلوب و أصغر من العدد الموجب وهذا بتديني تناقض،
+
+77
+00:07:39,150 --> 00:07:47,370
+هذا بتديني تناقض، هذا بتناقض مع كون ال X أصغر من 1
+
+78
+00:07:47,370 --> 00:07:53,170
+على N لكل Nيعني ال X هذه أصغر من 1 على N0 وهي في
+
+79
+00:07:53,170 --> 00:07:57,210
+نفس الواجهة أكبر من 1 على N0 لأن هذا بتديني تناقض
+
+80
+00:07:57,210 --> 00:08:04,250
+لأن التناقض هذا سبب ال assumption تبعنا أن يوجد X
+
+81
+00:08:04,250 --> 00:08:09,210
+في التقاطة لأن الصح أن التقاطع هذا مافيش فيه ولا
+
+82
+00:08:09,210 --> 00:08:16,140
+أنصر يعني is the empty setإن هذا مثال بورجي أو
+
+83
+00:08:16,140 --> 00:08:21,900
+بيوضح إنه لو حذفنا شرط إن الفترات في نظرية 22
+
+84
+00:08:21,900 --> 00:08:26,980
+closed فبتطلع الشفرة، النظرية تفشل، بتبطل النظرية
+
+85
+00:08:26,980 --> 00:08:32,720
+و هذا مثال بيوضح فشلها، الآن المثال التاني نفس
+
+86
+00:08:32,720 --> 00:08:38,480
+الحاجة، الفرض إن الفترات في نظرية 22 be bounded
+
+87
+00:08:40,090 --> 00:08:43,690
+بتكون محدودة cannot be dropped لايمكن إسخاطه
+
+88
+00:08:43,690 --> 00:08:48,250
+لايمكن إهماله فعشان
+
+89
+00:08:48,250 --> 00:08:52,750
+نوضح هذا الكلام ب counter example ف for example
+
+90
+00:08:52,750 --> 00:08:56,750
+على سبيل المثال هناخد الفترات المغلقة I N فترة
+
+91
+00:08:56,750 --> 00:09:03,190
+مغلقة من N إلى ملا نهاية حيث N عدد طبيعي هذه
+
+92
+00:09:03,190 --> 00:09:10,150
+الفتراتكل هذه فترة مغلقة كل فترة على الصورة هذه
+
+93
+00:09:10,150 --> 00:09:17,010
+مغلقة إذا شرط الإغلاق متحقق بعدين الفترات هذه نستد
+
+94
+00:09:17,010 --> 00:09:20,430
+لحظة أول فترة هي الفترة المغلقة من واحد لما لا
+
+95
+00:09:20,430 --> 00:09:24,450
+نهاية التانية فترة مغلقة من اتنين لما لا نهاية
+
+96
+00:09:24,450 --> 00:09:30,110
+وهذه محتوى في I واحد الفترة التالتة الفترة المغلقة
+
+97
+00:09:30,110 --> 00:09:33,410
+من تلاتة لما لا نهاية وهذه محتوى في I اتنين وهكذا
+
+98
+00:09:33,410 --> 00:09:38,730
+فالفترات هذه نستدand closed مغلقة لكن ماهياش
+
+99
+00:09:38,730 --> 00:09:42,190
+bounded مش محصورة it's not bounded .. هذه كمجموعة
+
+100
+00:09:42,190 --> 00:09:48,870
+is not bounded above، كمجموعة ليس لها supreme، is
+
+101
+00:09:48,870 --> 00:09:52,390
+not bounded above، اذا شرط ال boundedness اختل
+
+102
+00:09:52,390 --> 00:09:57,970
+وبالتالي نتيجة النظرية هتختلفإذا الفترات هذه
+
+103
+00:09:57,970 --> 00:10:03,410
+closed but unbounded وإذا هنجد إنه تقاطع الفترات
+
+104
+00:10:03,410 --> 00:10:08,930
+هذه مافيش فيه ولا نقطة تقاطع هذا بساوي five كمان
+
+105
+00:10:08,930 --> 00:10:15,350
+مرة المساواة هذه بدها مش واضحة ليست واضحة فبدنا
+
+106
+00:10:15,350 --> 00:10:20,730
+نثبت صحة المساواة هذه كمان مرة نعمل برهان بالتناقض
+
+107
+00:10:20,730 --> 00:10:24,370
+نعمل برهان بالتناقض
+
+108
+00:10:29,770 --> 00:10:34,830
+فافرضي أن التقاطع هذا لا يساوي في I وبالتالي يوجد
+
+109
+00:10:34,830 --> 00:10:40,670
+X في التقاطع إذا X موجود في الفترة I N لكل N هذا
+
+110
+00:10:40,670 --> 00:10:46,950
+من تعريف التقاطع X موجودة في I N معناته X أكبر من
+
+111
+00:10:46,950 --> 00:10:53,870
+أو يساوي N وهذا صحيح لكل Nهذا بتناقض مع الـ
+
+112
+00:10:53,870 --> 00:10:58,510
+Archimedean property نظرية الأساسية نظرية خمستاشر
+
+113
+00:10:58,510 --> 00:11:05,450
+في الشبطرة ده اللي بتقول لأي عدد حقيقي X ينتمي إلى
+
+114
+00:11:05,450 --> 00:11:16,530
+R بتأدي ان يوجد N0 ينتمي إلى N بحيث ان X أصغر من
+
+115
+00:11:16,530 --> 00:11:17,330
+N0
+
+116
+00:11:21,190 --> 00:11:27,210
+هذه هي الـ Archimedean property الأساسية طيب أنا
+
+117
+00:11:27,210 --> 00:11:32,850
+عندي الأن من ال Archimedean property عندي يوجد عدد
+
+118
+00:11:32,850 --> 00:11:42,060
+طبيعي N0 لصد أكبر من X وعندي هناإن X أكبر من أو
+
+119
+00:11:42,060 --> 00:11:47,340
+ساوي N لكل N في N وبالتالي X أكبر من أو ساوي N
+
+120
+00:11:47,340 --> 00:11:51,820
+Zero لأن N Zero ينتمي إلى N فإذا عندي هنا X أكبر
+
+121
+00:11:51,820 --> 00:11:56,180
+من أو ساوي N Zero و X أصغر من N Zero هذا بيديني
+
+122
+00:11:56,180 --> 00:12:02,840
+تناطق إذا في عندي contradiction إذا هذا العنصر غير
+
+123
+00:12:02,840 --> 00:12:07,870
+موجودsuch an x does not exist يعني التقاطة هذا
+
+124
+00:12:07,870 --> 00:12:13,550
+بساوي في كما هو مطلوب، تمام؟ واضح البرهن؟ إذن هذه
+
+125
+00:12:13,550 --> 00:12:17,690
+مثال تاني بوضح أن شرط ال boundedness لا يمكن
+
+126
+00:12:17,690 --> 00:12:25,730
+اسقاطه وتبقى nested intervals theorem صحيحة، okay؟
+
+127
+00:12:25,730 --> 00:12:31,710
+في نظرية تانيةيمكن هذه مرت معاكم في المبادئ لكن
+
+128
+00:12:31,710 --> 00:12:37,170
+اليوم هنعطيلها برهان يعتمد على ال nested intervals
+
+129
+00:12:37,170 --> 00:12:40,610
+theorem او nested intervals property برهان جديد
+
+130
+00:12:40,610 --> 00:12:48,730
+غير اللي أخدته في مبادئ الرياضيات فالنظرية
+
+131
+00:12:48,730 --> 00:12:54,590
+هذه 24 تتحدث عن ال uncountability of the real
+
+132
+00:12:54,590 --> 00:12:59,560
+numbersفبكل بساطة النظرية هذه بتقول أن مجموعة
+
+133
+00:12:59,560 --> 00:13:04,340
+العداد الحقيقية is uncountable the set R of all
+
+134
+00:13:04,340 --> 00:13:09,460
+real numbers is uncountable طيب
+
+135
+00:13:09,460 --> 00:13:15,460
+ما معنى أن ال set تكون countable؟ في حد فيكم
+
+136
+00:13:15,460 --> 00:13:21,380
+بتعرف؟ ال set A أو S definition
+
+137
+00:13:24,240 --> 00:13:31,920
+definition تعريف S is countable if
+
+138
+00:13:31,920 --> 00:13:46,700
+and only if كتوف المبادئ either اما S is finite or
+
+139
+00:13:46,700 --> 00:13:50,040
+او
+
+140
+00:13:50,040 --> 00:13:58,450
+S is denomableأو في بيجيكشن one to one
+
+141
+00:13:58,450 --> 00:14:03,850
+correspondence بينها وبين الأعداد الطبيعية يعني
+
+142
+00:14:03,850 --> 00:14:16,970
+هذا معناه is denumerable قابلة للترقيم طيب
+
+143
+00:14:16,970 --> 00:14:23,330
+إذا كانت ال set ماهياش
+
+144
+00:14:23,330 --> 00:14:29,090
+finiteوماهياش in one to one correspondence with
+
+145
+00:14:29,090 --> 00:14:33,550
+the natural numbers او ماهياش denumerable فبنسميها
+
+146
+00:14:33,550 --> 00:14:38,410
+uncountable غير قابلة للعد countable قابلة للعد
+
+147
+00:14:38,410 --> 00:14:44,750
+uncountable غير قابلة للعد طيب
+
+148
+00:14:44,750 --> 00:14:52,150
+ال
+
+149
+00:14:52,150 --> 00:14:52,390
+..
+
+150
+00:14:55,180 --> 00:15:03,200
+معروف في مبادئ رياضيات درسنا ان ال interval هذي و
+
+151
+00:15:03,200 --> 00:15:08,220
+ال interval هذي كلا هما uncountable الفترة
+
+152
+00:15:08,220 --> 00:15:11,120
+المفتوحة من سفر لواحد infinite set اول حاجة
+
+153
+00:15:11,120 --> 00:15:15,800
+infinite set و
+
+154
+00:15:15,800 --> 00:15:18,900
+طبعا ممكن تثبت انها uncountable
+
+155
+00:15:21,370 --> 00:15:26,370
+و طبعا هذه الفترة المغلقة تحتوي ال six هذه الفترة
+
+156
+00:15:26,370 --> 00:15:29,110
+المفتوحة فإذا كانت هذه uncountable هذه بتكون
+
+157
+00:15:29,110 --> 00:15:35,530
+uncountable وهذا البرهان موجود في نظرية في الكتاب
+
+158
+00:15:35,530 --> 00:15:42,010
+المقرر textbook الكتاب المقرر
+
+159
+00:15:42,010 --> 00:15:47,110
+طبعا
+
+160
+00:15:47,110 --> 00:15:50,410
+طيب
+
+161
+00:15:57,430 --> 00:16:05,570
+الـ احنا عايزين نثبت عشان نثبت ان ال set هذه ال R
+
+162
+00:16:05,570 --> 00:16:14,770
+لاحظوا ان ال R is
+
+163
+00:16:14,770 --> 00:16:18,490
+in one to one correspondence مع الفترة المفتوحة او
+
+164
+00:16:18,490 --> 00:16:22,630
+المغلقة حتى في
+
+165
+00:16:22,630 --> 00:16:28,250
+byjection بينه وبين الفترةالمفتوحة المغلقة 01
+
+166
+00:16:28,250 --> 00:16:36,890
+وبرضه المفتوحة الان لو أثبتنا ان الفترة هذه
+
+167
+00:16:36,890 --> 00:16:44,150
+uncountable فهذه
+
+168
+00:16:44,150 --> 00:16:50,530
+ال 6 in one to one correspondence معها فال 6 هذه R
+
+169
+00:16:50,530 --> 00:16:54,400
+تطلع uncountableهذه نظرية موجودة في مبادئ
+
+170
+00:16:54,400 --> 00:16:58,080
+الرياضيات إذا كانت هناك مجموعتين واثنتين
+
+171
+00:16:58,080 --> 00:17:02,860
+equivalent to each other فهناك بيجيكشن بينهم إذا
+
+172
+00:17:02,860 --> 00:17:06,540
+كانت واحدة countable فالتانية تظهر countable إذا
+
+173
+00:17:06,540 --> 00:17:10,380
+كانت واحدة countable فالتانية تظهر countable إذا
+
+174
+00:17:10,380 --> 00:17:14,140
+كانت هذه finite تظهر هذه finite إذا كانت هذه
+
+175
+00:17:14,140 --> 00:17:19,440
+infinite تظهر هذه infinite كل هذه نظريات موجودة في
+
+176
+00:17:19,440 --> 00:17:24,350
+مبادئ الرياضياتإذا لو أثبتنا إن الفترة هادى
+
+177
+00:17:24,350 --> 00:17:31,010
+uncountable فبطلع R uncountable طيب
+
+178
+00:17:31,010 --> 00:17:42,050
+لإثبات ذلك هنا عايزين نثبت إن الفترة هادى نثبت إن
+
+179
+00:17:42,050 --> 00:17:47,030
+الفترة هادى uncountable لبرهان ذلك نعمل برهان
+
+180
+00:17:47,030 --> 00:17:47,770
+بالتناقض
+
+181
+00:17:57,100 --> 00:18:01,160
+بنثبت ان الفترة المغلقة هذي uncountable نفرض
+
+182
+00:18:01,160 --> 00:18:04,940
+المقيد
+
+183
+00:18:04,940 --> 00:18:08,780
+ان الفترة هذي countable لاحظوا ان الفترة هذي
+
+184
+00:18:08,780 --> 00:18:14,500
+infinite والان countable اذا بتطلع equipotent او
+
+185
+00:18:14,500 --> 00:18:17,640
+in one to one correspondence with natural numbers
+
+186
+00:18:22,850 --> 00:18:26,550
+الأن في الحالة هذه I in one to one correspondence
+
+187
+00:18:26,550 --> 00:18:31,570
+within actual numbers أو بنسميها innumerable صح؟
+
+188
+00:18:33,280 --> 00:18:36,560
+الان ال set I denominable يعني ممكن ترقيمها
+
+189
+00:18:36,560 --> 00:18:41,840
+بالأعداد الطبيعية إذا ممكن نسمي عناصرها xn-n عدد
+
+190
+00:18:41,840 --> 00:18:46,340
+طبيعي اللي هي x1, x2, x3 الاخرى أي set denominable
+
+191
+00:18:46,340 --> 00:18:49,900
+أو in one to one correspondence with natural
+
+192
+00:18:49,900 --> 00:18:55,140
+numbers ممكن ترقيم عناصرها ك list by the natural
+
+193
+00:18:55,140 --> 00:18:59,200
+numbers إذا I هي كل عناصرها رقمناهم بالأعداد
+
+194
+00:18:59,200 --> 00:18:59,800
+الطبيعية
+
+195
+00:19:05,090 --> 00:19:08,350
+لحظة احنا بدنا نصل الى تناقض احنا بدنا القرآن
+
+196
+00:19:08,350 --> 00:19:15,650
+وفرضنا ال contrary هيو Assume ال contrary ان I is
+
+197
+00:19:15,650 --> 00:19:19,870
+countable بدنا نصل الى تناقض طيب هي الفترة I هي
+
+198
+00:19:19,870 --> 00:19:26,890
+الفترة I هي الفترة I هذه
+
+199
+00:19:26,890 --> 00:19:31,550
+Iو في اندس اي هاد الفترة اي هاد يعني عناصرها هي
+
+200
+00:19:31,550 --> 00:19:37,390
+مرقمة اكس واحد اكس اتنين الى ملا نهاية افرض ان اكس
+
+201
+00:19:37,390 --> 00:19:46,510
+واحد موجود هان اول عنصر في الفترة موجود هان فممكن
+
+202
+00:19:46,510 --> 00:19:54,530
+اختار فترة مغلقة اسميها اي واحد ممكن اختار فترة
+
+203
+00:19:54,530 --> 00:20:03,260
+مغلقةأسميها I1 بحيث ان ال X1 هذه لا تنتمي للفترة
+
+204
+00:20:03,260 --> 00:20:07,520
+I1 وممكن
+
+205
+00:20:07,520 --> 00:20:13,100
+اختار فترة مغلقة تانية طب افرضي ان X2 موجودة هنا
+
+206
+00:20:13,100 --> 00:20:19,680
+العنصر التاني في الفترة I ايه رقم X2 موجود هنا او
+
+207
+00:20:19,680 --> 00:20:27,400
+هنا او هنا فبقدر اختار فترة مغلقة تانيةنسميها I2
+
+208
+00:20:27,400 --> 00:20:36,120
+اللي هي الفترة هذه بحيث ان X2 لا تنتمي ل I2 و
+
+209
+00:20:36,120 --> 00:20:42,400
+الفترة I2 هي فترة جزئية من I1 طيب افرض ان X3
+
+210
+00:20:42,400 --> 00:20:50,120
+موجودة هنا او هنا او هنا او اي مكان تاني فبقدر
+
+211
+00:20:50,120 --> 00:20:58,310
+اختار فترة مغلقة تسميها I3اللي هي الفترة هذه بحيث
+
+212
+00:20:58,310 --> 00:21:05,450
+ان X3 لا تنتمي للفترة I3 والفترة I3 جزئية من
+
+213
+00:21:05,450 --> 00:21:12,490
+الفترة I2 ممكن نستمر على هذا النمط هنحصل على
+
+214
+00:21:12,490 --> 00:21:21,110
+sequence of intervals اللي هي I1 تحتوي I2 تحتوي I3
+
+215
+00:21:22,570 --> 00:21:27,550
+و هكذا ممكن نستمر إلى ملا نهاية و كل الفترات هذول
+
+216
+00:21:27,550 --> 00:21:32,570
+محتوى .. كل واحدة منهم محتوى داخل الـ I و كل واحدة
+
+217
+00:21:32,570 --> 00:21:38,710
+من الفترات هذه صممناها بحيث ان XN لا ينتمي إلى IN
+
+218
+00:21:38,710 --> 00:21:47,190
+لكل N بساوي واحد اتنين إلى ملا نهاية صح؟ إذا لو
+
+219
+00:21:47,190 --> 00:21:53,130
+استمرنا في العملية هذههنحصل على sequence of nested
+
+220
+00:21:53,130 --> 00:21:57,170
+intervals و ال intervals هدولة كلهم closed و
+
+221
+00:21:57,170 --> 00:22:01,570
+bounded كلهم closed و bounded و كل الفترات هذه
+
+222
+00:22:01,570 --> 00:22:07,190
+محتوية داخل الفترة I و X in العنصر X in من ال
+
+223
+00:22:07,190 --> 00:22:14,470
+sequence هذه لا ينتمي ل I in لكل N الان ممكن نطبق
+
+224
+00:22:14,470 --> 00:22:18,090
+nested interval property theorem اللي هي theorem
+
+225
+00:22:20,050 --> 00:22:23,550
+بتقول ده في عندي sequence of nested intervals و
+
+226
+00:22:23,550 --> 00:22:29,030
+كلهم closed و bounded فالتقاطع تبعهم لا يساوي في I
+
+227
+00:22:29,030 --> 00:22:34,650
+إذا التقاطع تبعهم موجود في نقطة واحدة دعنا نسميها
+
+228
+00:22:34,650 --> 00:22:43,030
+ساي و الفترات هذه كلها كل الفترات هذه موجودة داخل
+
+229
+00:22:43,030 --> 00:22:47,390
+الفترة I داخل الفترة I
+
+230
+00:22:53,490 --> 00:23:04,810
+ماشي هنا اه
+
+231
+00:23:04,810 --> 00:23:07,630
+ايش صار؟ هي فوق صار
+
+232
+00:23:12,680 --> 00:23:17,360
+إذا حسب نفس ال interval theorem يوجد نقطة psi في
+
+233
+00:23:17,360 --> 00:23:22,080
+تقاطة الفترات الفترات كلهم موجودين داخل I إذا
+
+234
+00:23:22,080 --> 00:23:29,540
+تقاطعهم موجود داخل I وبالتالي النقطة psi هذه
+
+235
+00:23:29,540 --> 00:23:37,060
+موجودة في كل الفترات I in لأن موجودة في تقاطعهم
+
+236
+00:23:37,060 --> 00:23:43,850
+كلهم صح إذا النقطة psi موجودة في I in لكل Nوالفترة
+
+237
+00:23:43,850 --> 00:23:52,690
+I N هذه لا تحتوي من هنا الفترة I N لا تحتوي X N
+
+238
+00:23:52,690 --> 00:23:58,690
+والان تحتوي ساي إذا ساي لا تساوي X N الكلام هذا
+
+239
+00:23:58,690 --> 00:24:04,430
+صحيح لكل N بظبط هذا عنصر في الفترة هذه و X N ليس
+
+240
+00:24:04,430 --> 00:24:07,970
+عنصر فيها إذا مش ممكن يكونوا متساويين صح؟
+
+241
+00:24:10,780 --> 00:24:19,120
+الـ Psi قلنا هي تنتمي إلى I الـ Psi موجودة في I و
+
+242
+00:24:19,120 --> 00:24:27,620
+الفترة I رقمنا عناصرها قبل شوية انا
+
+243
+00:24:27,620 --> 00:24:36,300
+في اندي يوجد عدد حقيقي Psi ينتمي ل I و في نفس
+
+244
+00:24:36,300 --> 00:24:42,430
+الوجهة الفترة I هي كل عناصرهامُرقّمة بالعداد
+
+245
+00:24:42,430 --> 00:24:48,030
+الطبيعي عناصرها X1 و X2 إلى ما لنهائي و الأن في
+
+246
+00:24:48,030 --> 00:24:59,090
+عندي Psi مختلف عن كل عناصر الفترة I فهذا
+
+247
+00:24:59,090 --> 00:25:04,510
+بيدّي أن ال sequence أو ال set هذهis not a
+
+248
+00:25:04,510 --> 00:25:10,330
+complete enumeration of I ليست ترقيم كامل للفترة I
+
+249
+00:25:10,330 --> 00:25:15,750
+وهذا تناقض يعني
+
+250
+00:25:15,750 --> 00:25:20,530
+احنا قلنا الفترة I هذه تطلع countable و infinite
+
+251
+00:25:20,530 --> 00:25:26,830
+اذا ممكن نرقم اذا denumerable يعني ممكن نرقم عن
+
+252
+00:25:26,830 --> 00:25:31,770
+صرها كلها بالاعداد الطبيعي وبالتالي كل عن صرها X
+
+253
+00:25:33,730 --> 00:25:43,170
+تمام؟ الآن في البرهان هذا وجدنا ان في صي أنصر جديد
+
+254
+00:25:43,170 --> 00:25:49,310
+في I مختلف عن كل عناصرها معناته هذه ال list ليست
+
+255
+00:25:49,310 --> 00:25:54,650
+ترقيم كامل ل I في عناصر أخرى زي صي مش مرقمة و هذا
+
+256
+00:25:54,650 --> 00:25:59,950
+تناقضلأن إحنا عندنا ال set I هذي countable و
+
+257
+00:25:59,950 --> 00:26:04,210
+infinite و denomable إذن هي list تبع كل عناصرها
+
+258
+00:26:04,210 --> 00:26:11,230
+فكيف طلع فيه أنصر جديد مختلف عن عناصرها فهذا تناقض
+
+259
+00:26:11,230 --> 00:26:18,140
+إذن هذا التناقض بثبت أن فرضنا أن الفترة Iكانت
+
+260
+00:26:18,140 --> 00:26:22,140
+countable كان فرض خاطر وبالتالي الفترة I تطلع
+
+261
+00:26:22,140 --> 00:26:27,520
+uncountable اذا الان الفترة I uncountable وانا
+
+262
+00:26:27,520 --> 00:26:36,140
+عندي R equivalent لفترة مغلقة 01 ممكن نوجد
+
+263
+00:26:36,140 --> 00:26:40,860
+bijection بينهم اذا ال R تطلع uncountable كما هو
+
+264
+00:26:40,860 --> 00:26:45,080
+مطلوب اذا
+
+265
+00:26:45,080 --> 00:26:50,750
+هذا هو برهانالنظرية اللي فادت هي طبعا برهان بيعتمد
+
+266
+00:26:50,750 --> 00:26:55,430
+على شوفنا ال nested interval theorem وبالتالي هذا
+
+267
+00:26:55,430 --> 00:26:58,510
+برهان مختلف عن البرهان اللي بنعطيه في مبادئ
+
+268
+00:26:58,510 --> 00:27:05,270
+الرياضيات في برهان تاني برضه لنظرية هذه يعطى في
+
+269
+00:27:05,270 --> 00:27:10,710
+مبادئ الرياضيات اللي هو باستخدام counter diagonal
+
+270
+00:27:10,710 --> 00:27:14,690
+argument مشهور
+
+271
+00:27:14,690 --> 00:27:20,990
+يعني البرهانيرجع إلى العالم الرياضي Cantor يسمى
+
+272
+00:27:20,990 --> 00:27:24,750
+Cantor دي اقنع ال argument بثبت ان الفترة المفتوحة
+
+273
+00:27:24,750 --> 00:27:29,330
+من سفر لواحد is uncountable وبالتالي R is
+
+274
+00:27:29,330 --> 00:27:33,310
+uncountable لأن R في byjection بينها وبين ال open
+
+275
+00:27:33,310 --> 00:27:37,670
+interval من سفر لواحد الآن في نتيجة على نظرية
+
+276
+00:27:37,670 --> 00:27:42,490
+الأخيرة هذهالـ set هذه الـ R minus Q اللي هي الـ
+
+277
+00:27:42,490 --> 00:27:46,590
+set of all irrationals أيضًا is uncountable
+
+278
+00:27:46,590 --> 00:27:50,690
+والبرهان هنا نفس البرهان اللي بنعطيه في المبادئ
+
+279
+00:27:50,690 --> 00:27:55,470
+برهان by contradiction assume and contrary إن ال
+
+280
+00:27:55,470 --> 00:28:02,110
+set R minus Q is countable وإحنا عندنا نظرية في
+
+281
+00:28:02,110 --> 00:28:07,640
+المبادئ أخدنا بتقول إن لو في عندي مجموعتين A وBوكل
+
+282
+00:28:07,640 --> 00:28:14,140
+واحدة منهم countable فاتحادهم بيطلع countable الان
+
+283
+00:28:14,140 --> 00:28:17,640
+انا في عند Q countable معروف ان Q is countable
+
+284
+00:28:17,640 --> 00:28:24,160
+والان احنا فرضين ان R-Q is countable اذا اتحاد
+
+285
+00:28:24,160 --> 00:28:28,420
+المجموعتين هدول اللي هو R بيطلع countable وهذا
+
+286
+00:28:28,420 --> 00:28:31,420
+بتناقض مع النتيجة اللي لسه مثبتينها في النظرية
+
+287
+00:28:31,420 --> 00:28:36,240
+السابقةOkay إذا في عندي contradiction إذا الفرض
+
+288
+00:28:36,240 --> 00:28:39,780
+إنه الست هذي countable كان خاطئ إذا الصح إنه الست
+
+289
+00:28:39,780 --> 00:28:45,280
+هذي اللي هي ال irrational number is is uncountable
+
+290
+00:28:45,280 --> 00:28:57,120
+okay تمام إذا ال مع
+
+291
+00:28:57,120 --> 00:29:01,620
+انتهاء النتيجة هذه هيك بنكون غطينا section اتنين
+
+292
+00:29:01,620 --> 00:29:08,660
+خمسةو هاي التمرين المطلوب تهلوها مش عايز ابدأ
+
+293
+00:29:08,660 --> 00:29:14,020
+section جديد عايز ان احنا نستغل الوقت المتبقى من
+
+294
+00:29:14,020 --> 00:29:19,160
+المحاضرة في حل اسئلة discussion يعنيمناقشة فأي
+
+295
+00:29:19,160 --> 00:29:22,360
+واحدة فيكم عندها مناقشة احنا انا عارف ان انتوا
+
+296
+00:29:22,360 --> 00:29:28,100
+هتحضروا حالكم ليوم السبت المناقشة لكن برضه اكيد
+
+297
+00:29:28,100 --> 00:29:32,040
+يعني في بينكم ناس محضرين فلو عندكم أسئلة في
+
+298
+00:29:32,040 --> 00:29:36,680
+section اتنين تلاتة او اتنين اربعة او section
+
+299
+00:29:36,680 --> 00:29:41,160
+اتنين اتنين او اتنين واحد فممكن نحاول نحلها في
+
+300
+00:29:41,160 --> 00:29:47,080
+الوقت المتبقى من المحاضرةماشي الحال فإذا مين عندها
+
+301
+00:29:47,080 --> 00:29:53,540
+أي سؤال في ال .. المحاضرات
+
+302
+00:29:53,540 --> 00:30:03,220
+السابقة أو تمارين المحاضرات السابقة من
+
+303
+00:30:03,220 --> 00:30:08,540
+لديها سؤال؟ في عندنا أسلة كتيرة في المحاضرات
+
+304
+00:30:08,540 --> 00:30:15,470
+السابقة homework كتيرمين لديها سؤال؟ مين عندها
+
+305
+00:30:15,470 --> 00:30:23,170
+سؤال؟ مين بتحلم السؤال؟ ولا
+
+306
+00:30:23,170 --> 00:30:29,690
+واحدة عندها سؤال؟ تفضل طيب
+
+307
+00:30:30,890 --> 00:30:35,570
+طبعا هذه إشارة غير يعني غير إيجابية أو إشارة سلبية
+
+308
+00:30:35,570 --> 00:30:42,530
+يعني لحد تلان أنتوا مش المادة مابتدرسهاش دراسة
+
+309
+00:30:42,530 --> 00:30:49,530
+حقيقية و هذا معناه أن أنتوا مش ماخدينها بجد يعني
+
+310
+00:30:49,530 --> 00:30:59,690
+كما أجب و هذا دليل عليكم تحلوش مسألة فانا
+
+311
+00:30:59,690 --> 00:31:04,600
+هسأل عنكمخليني أحللكم كام سؤال هاي section اتنين
+
+312
+00:31:04,600 --> 00:31:29,640
+تلاتة هنا هاي
+
+313
+00:31:29,640 --> 00:31:31,000
+مثلا سؤال أربعة
+
+314
+00:31:35,030 --> 00:31:43,690
+هي السؤال أربعة سكشن اتنين تلاتة انا
+
+315
+00:31:43,690 --> 00:31:51,850
+عندي set S أربعة بيساوي كل الأعداد واحد سالب سالب
+
+316
+00:31:51,850 --> 00:32:03,910
+واحد رصد N على N حيث N عدد طبيعي والمطلوب
+
+317
+00:32:03,910 --> 00:32:04,490
+find
+
+318
+00:32:07,290 --> 00:32:17,550
+Find الـ Supremum أو الانفمم ل S4 و ايضا ال
+
+319
+00:32:17,550 --> 00:32:29,950
+Supremum ل S4 طيب
+
+320
+00:32:29,950 --> 00:32:34,370
+احنا أخدنا في مثال في ال section هذا
+
+321
+00:32:37,360 --> 00:32:39,940
+خلنا نام هنا ولا لسه؟
+
+322
+00:33:14,820 --> 00:33:21,960
+Solution اخدنا احنا مثال بيقول انه ال .. لو كان في
+
+323
+00:33:21,960 --> 00:33:25,320
+.. في ال section اللي بعد و ممكن الحل باستخدام
+
+324
+00:33:25,320 --> 00:33:32,500
+المثال رقم A يعني by example
+
+325
+00:33:42,050 --> 00:33:52,450
+تنين اربع واحد الجزء A انا عندي ال supremum ل A
+
+326
+00:33:52,450 --> 00:33:58,990
+زاد S A عدد حقيقي S مجموعة جزئية من R اثبتنا ان
+
+327
+00:33:58,990 --> 00:34:09,970
+هذا بساوي A زاد supremum ال S فلو
+
+328
+00:34:09,970 --> 00:34:24,340
+بدى احل الجزء Bف let S بساوي مجموعة ..
+
+329
+00:34:24,340 --> 00:34:29,740
+let
+
+330
+00:34:29,740 --> 00:34:36,560
+S بساوي مجموعة الأعداد سالب
+
+331
+00:34:36,560 --> 00:34:42,140
+واحد أس N على N حيث N عدب طبيعي
+
+332
+00:34:48,030 --> 00:34:54,310
+ممكن نحول السلب لموجة هاد عبارة عن سالب واحد ..
+
+333
+00:34:54,310 --> 00:35:05,610
+سالب واحد و نص و سالب تلت و ربع و كده
+
+334
+00:35:17,860 --> 00:35:29,700
+فممكن اثبات انه ال super mom تبع السيدتها دى
+
+335
+00:35:29,700 --> 00:35:33,820
+أستاذ
+
+336
+00:35:33,820 --> 00:35:40,840
+نعم هنحن لو سالب اللي برا دخلناه يصير سالب واحد
+
+337
+00:35:40,840 --> 00:35:45,980
+plus one plus واحدعلى أنا ممكن اه ممكن ناخد سالب
+
+338
+00:35:45,980 --> 00:35:50,560
+هذا فهذا أكبر أنصر هو الواحد صح هيك بتنحل الصح
+
+339
+00:35:50,560 --> 00:35:56,620
+برضه هذا ممكن فبصير عندى هنا واحد سالب اول أنصر
+
+340
+00:35:56,620 --> 00:36:03,960
+واحد سالب نص فالصبر ممكن يكون واحد بعدين تلت سالب
+
+341
+00:36:03,960 --> 00:36:12,760
+ربع و هكذافال supremum إذاً ال supremum ل S بساوي
+
+342
+00:36:12,760 --> 00:36:17,480
+هاي اللي .. لاحظ ان الأكبر عدد في الست هذه هو
+
+343
+00:36:17,480 --> 00:36:23,840
+الواحد واحد أكبر من أو ساوي كل الأعداد هذه وهو
+
+344
+00:36:23,840 --> 00:36:27,020
+أصغر upper bound إذاً الواحد upper bound للست هذه
+
+345
+00:36:27,020 --> 00:36:32,400
+هي أكبر من أو ساوي كل عناصرها وهو أصغر upper bound
+
+346
+00:36:32,400 --> 00:36:41,930
+إذاً هذا بساوي واحدلأ س .. إيش بس يعني؟
+
+347
+00:36:41,930 --> 00:36:48,850
+ما
+
+348
+00:36:48,850 --> 00:36:54,370
+هو أصغر؟ طلع اتنين اتنين أستاذ ال super اتنين مش
+
+349
+00:36:54,370 --> 00:37:00,770
+هي على حسب القاعدة نحن نحط اي واحد بيصير
+
+350
+00:37:00,770 --> 00:37:04,520
+اتنين؟ لا لااحنا بنحكي عن ال 6 هذه اللي هانا مش
+
+351
+00:37:04,520 --> 00:37:11,020
+اللي هناك هذه S و هذه S4 فبيختلفوا عن بعض ال 6 هذه
+
+352
+00:37:11,020 --> 00:37:15,760
+هدا هي أنصرها فما
+
+353
+00:37:15,760 --> 00:37:21,700
+هو بيناجيب lower bound او اكبر lower bound اكبر
+
+354
+00:37:21,700 --> 00:37:30,120
+lower bound طب نلاحظ سالب نص اصغر من سالب ربع اصغر
+
+355
+00:37:30,120 --> 00:37:47,710
+منبعد هيك سالب سادس اه فاعتقد
+
+356
+00:37:47,710 --> 00:37:52,010
+ان هذا هيطلع سالب نص هذا اكبر lower bound
+
+357
+00:37:58,870 --> 00:38:04,470
+طيب لو طبقنا المضارية هذه أنا أخدت S بساوي الكلام
+
+358
+00:38:04,470 --> 00:38:12,830
+هذا و A بساوي واحد اذا
+
+359
+00:38:12,830 --> 00:38:24,470
+ال supremum ل S أربعة بساوي A زائد ال supremum ل S
+
+360
+00:38:24,470 --> 00:38:34,260
+صح؟و ال a بساوي واحد و ال suprem ل s بساوي واحد
+
+361
+00:38:34,260 --> 00:38:43,460
+فبطلع ال suprem ل s أربعة بساوي اتنين تمام؟ الان
+
+362
+00:38:43,460 --> 00:38:53,660
+بنجيب ال infimum ل s أربعة بنفس الطريقة ممكن
+
+363
+00:38:53,660 --> 00:38:54,340
+اثبات
+
+364
+00:39:00,490 --> 00:39:10,070
+إذا هنا similar
+
+365
+00:39:10,070 --> 00:39:17,590
+example
+
+366
+00:39:17,590 --> 00:39:24,090
+similar
+
+367
+00:39:24,090 --> 00:39:32,030
+example اتنين اربعة واحد ايهممكن من خلاله نثبت ان
+
+368
+00:39:32,030 --> 00:39:38,330
+الانفمام ان
+
+369
+00:39:38,330 --> 00:39:44,490
+الانفمام لست a زياد s بيساوي a زياد الانفمام ل s
+
+370
+00:39:44,490 --> 00:39:49,310
+وبالتالي
+
+371
+00:39:49,310 --> 00:39:53,390
+ان
+
+372
+00:39:53,390 --> 00:40:00,480
+انا لو بدي اجرب على جزء aف ال infimum ل S أربعة
+
+373
+00:40:00,480 --> 00:40:13,780
+بيساوي ال infimum ل A زائد S اللي هو ال infimum ل
+
+374
+00:40:13,780 --> 00:40:22,630
+واحد زائد S و هذا بيساوي واحد زائد infimum ل Sو
+
+375
+00:40:22,630 --> 00:40:28,770
+هذا بيساوي واحد زائد in from ال S سالب نص فبطلع نص
+
+376
+00:40:28,770 --> 00:40:36,210
+okay ان ال in from لست S أربعة بيطلع سالب بيطلع نص
+
+377
+00:40:36,210 --> 00:40:41,910
+هذا حل حل تاني ان انا يعني احاول
+
+378
+00:40:47,360 --> 00:40:54,460
+أه يعني أكتب عناصر المجموعة هذه أفرفتها و أحاول
+
+379
+00:40:54,460 --> 00:40:59,600
+أشوف وين أصغر عنصر و وين أكبر عنصر و وين هيكون في
+
+380
+00:40:59,600 --> 00:41:04,640
+عندي upper bounds و lower bounds و نحاول نثبت أنه
+
+381
+00:41:04,640 --> 00:41:12,060
+ال .. يعني بالطريقة هذه يعني ممكن نحن نحل الاسئلة
+
+382
+00:41:12,060 --> 00:41:20,320
+بطريقة تانيةفهذا حلو يعني
+
+383
+00:41:20,320 --> 00:41:25,900
+هذا ال set ممكن نكتب عناصرها يعني أول عنصر لما n
+
+384
+00:41:25,900 --> 00:41:33,680
+بساوي واحد واحد سالب سالب
+
+385
+00:41:33,680 --> 00:41:44,350
+سالب واحد يعني اتنين الانصر اللي بعدهواحد سالب نص
+
+386
+00:41:44,350 --> 00:41:56,450
+بيطلع نص اللي بعده بيطلع واحد سالب سالب تلت يعني
+
+387
+00:41:56,450 --> 00:42:03,270
+واحد تلت يعني جديش اربعة على تلاتة اللي بعده واحد
+
+388
+00:42:03,270 --> 00:42:07,210
+موجب ربع بيطلع جديش
+
+389
+00:42:09,700 --> 00:42:17,520
+خمس اربع و هكذا فهنلاحظ
+
+390
+00:42:17,520 --> 00:42:24,700
+ان الاتنين اتنين upper bound لان هو هيكون اكبر
+
+391
+00:42:24,700 --> 00:42:31,100
+عنصر و ينتبه للست لو في اي upper bound تاني لو في
+
+392
+00:42:31,100 --> 00:42:33,320
+any upper bound
+
+393
+00:42:37,830 --> 00:42:45,630
+of S4 فهذا بيقدي انه اتنين اصغر من او ساوي ال V
+
+394
+00:42:45,630 --> 00:42:50,890
+لانه اتنين عنصر في الست S4 صح؟ اذا اتنين upper
+
+395
+00:42:50,890 --> 00:42:54,810
+bound واضح انه اتنين اكبر من او ساوي كل عناصر S4
+
+396
+00:42:54,810 --> 00:43:04,320
+صح؟ولو أخدت أي upper bound ل S4 فبما أن V هو upper
+
+397
+00:43:04,320 --> 00:43:09,200
+bound ل S4 واتنين عنصر في S4 إذن اتنين أصغر من أو
+
+398
+00:43:09,200 --> 00:43:14,640
+يساوي V إذن هنا أثبتنا أن اتنين upper bound ل S4
+
+399
+00:43:14,640 --> 00:43:19,500
+واتنين أصغر من أو يساوي أي upper bound ل S4 إذن
+
+400
+00:43:19,500 --> 00:43:23,440
+اتنين هو ال supreme بالمثل ممكن نثبت أن النص هو
+
+401
+00:43:23,440 --> 00:43:28,140
+الانفع إذن هذا برهان تانيانا اتعمد تعطيكم البرهان
+
+402
+00:43:28,140 --> 00:43:32,260
+هذا عشان القوانين هذه نشوف كيف نطبقها برضه هذا
+
+403
+00:43:32,260 --> 00:43:38,520
+برهان صعيب ناجح الحل؟ okay؟
+
+404
+00:43:38,520 --> 00:43:42,080
+في اي سؤال او استفسار؟ اذا احنا هنكتفي بهذا القدر
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/_mc9oZHzNxs.srt

@@ -0,0 +1,1231 @@
+1
+00:00:20,670 --> 00:00:27,570
+بسم الله الرحمن الرحيم و السلام عليكم هنكمل
+
+2
+00:00:27,570 --> 00:00:33,570
+إن شاء الله اليوم الـ .. المثال رقم اثنين اللي
+
+3
+00:00:33,570 --> 00:00:39,530
+بدأناه في المحاضرة السابقة و ما كملناهوش فنرجعوا مع
+
+4
+00:00:39,530 --> 00:00:48,020
+بعض بسرعة و نحاول نكمل البرهان لهذا المثال وهو أن
+
+5
+00:00:48,020 --> 00:00:53,900
+الـ sequence المعرفة بطريقة استقرائية هنا بنثبت
+
+6
+00:00:53,900 --> 00:00:58,560
+أنها convergent والـ limit تبعتها بيساوي العدد
+
+7
+00:00:58,560 --> 00:01:04,700
+خمسة على ثلاثة تمام فبدأنا البرهان المرة اللي فاتت
+
+8
+00:01:04,700 --> 00:01:11,900
+و أثبتنا claim .. claim واحد و كان في الـ claim هذا
+
+9
+00:01:11,900 --> 00:01:13,680
+أثبتنا أن الـ
+
+10
+00:01:17,150 --> 00:01:22,690
+إن حدود الـ sequence bounded below by one and
+
+11
+00:01:22,690 --> 00:01:29,450
+bounded above by two هذا صحيح لكل n وشوفنا هذا
+
+12
+00:01:29,450 --> 00:01:36,570
+البر هان هذا ممكن يعني ممكن إعطاءه by induction
+
+13
+00:01:36,570 --> 00:01:41,450
+therefore by claim one
+
+14
+00:01:45,770 --> 00:01:52,510
+السيكوانس xn is bounded واضح من الـ claim أن
+
+15
+00:01:52,510 --> 00:01:59,230
+السيكوانس is bounded المرة التي اثبتنا claim رقم 2
+
+16
+00:01:59,230 --> 00:02:03,470
+أثبتنا 
+
+17
+00:02:03,470 --> 00:02:07,470
+أن السيكوانس
+
+18
+00:02:07,470 --> 00:02:15,960
+xn بتحقق المعادلة absolute xn minus xn زائد واحد
+
+19
+00:02:15,960 --> 00:02:22,960
+هذا بيساوي واحد على اثنين أس n negative one for
+
+20
+00:02:22,960 --> 00:02:30,360
+every natural number n وشوفنا برهنة المعادلة
+
+21
+00:02:30,360 --> 00:02:36,020
+هذه أو العبارة هذه لكل عدد طبيعي by induction okay
+
+22
+00:02:38,610 --> 00:02:45,630
+اليوم باستخدام الـ claim 2 and
+
+23
+00:02:45,630 --> 00:02:51,330
+triangle
+
+24
+00:02:51,330 --> 00:03:01,490
+inequality متباينة المثلث نرى
+
+25
+00:03:01,490 --> 00:03:02,070
+أن
+
+26
+00:03:05,510 --> 00:03:16,950
+وإذا m أكبر من n، m و n أعداد طبيعية، و m أكبر من n،
+
+27
+00:03:16,950 --> 00:03:23,190
+فلدينا x m أكبر من x n
+
+28
+00:03:29,470 --> 00:03:35,150
+طبعًا هذا ممكن نكتبه على صورة هي absolute xn هطرح 
+
+29
+00:03:35,150 --> 00:03:43,230
+xn زائد واحد و أرجعها و
+
+30
+00:03:43,230 --> 00:03:55,190
+هطرح xn زائد اثنين و أرجعها و
+
+31
+00:03:55,190 --> 00:03:58,250
+هكذا إلى أن أصل إلى
+
+32
+00:04:03,240 --> 00:04:13,220
+x m negative one سالب x m في الآخر خالص هأطرح x m
+
+33
+00:04:13,220 --> 00:04:19,960
+سالب واحد و أرجعها فكأني أنا يعني ما عملتش ما غيرتش
+
+34
+00:04:19,960 --> 00:04:24,600
+حاجة فالمخضر اللي على اليمين هو نفسه اللي على
+
+35
+00:04:24,600 --> 00:04:30,360
+الشمال لأن طرحت و أضفت طرحت و أضفت كذلك
+
+36
+00:04:30,360 --> 00:04:36,550
+فكأني أضفت صفر الآن نأخذ الحدين هذول مع بعض و هذول
+
+37
+00:04:36,550 --> 00:04:47,810
+مع بعض و هكذا و هذول مع بعض و هذول آخر حدين مع بعض
+
+38
+00:04:47,810 --> 00:04:54,110
+و بنستخدم الـ triangle inequality فـ by triangle
+
+39
+00:04:54,110 --> 00:05:00,330
+inequality الـ absolute value لمجموعة Less than or
+
+40
+00:05:00,330 --> 00:05:06,890
+equal مجموع الـ absolute values فهذا absolute xn
+
+41
+00:05:06,890 --> 00:05:12,850
+minus xn زائد واحد زائد absolute xn زائد واحد minus
+
+42
+00:05:12,850 --> 00:05:21,510
+xn زائد اثنين وهكذا
+
+43
+00:05:21,510 --> 00:05:27,170
+إلى absolute xm negative one minus xm
+
+44
+00:05:30,780 --> 00:05:37,120
+الآن باستخدام claim اثنين الحد الأول هذا عبارة عن
+
+45
+00:05:37,120 --> 00:05:44,100
+واحد على two أس n negative one الحد اللي بعده one
+
+46
+00:05:44,100 --> 00:05:53,000
+over two أس n والحد اللي بعده هكذا و
+
+47
+00:05:53,000 --> 00:06:03,820
+الحد الأخير الحد الأخير هذا هيكون واحد على two أس m
+
+48
+00:06:03,820 --> 00:06:07,580
+ماينص 
+
+49
+00:06:07,580 --> 00:06:14,460
+اثنين إذا 
+
+50
+00:06:14,460 --> 00:06:21,040
+هذا من المعادلة اللي هنا نأخذ
+
+51
+00:06:21,040 --> 00:06:33,760
+عامل مشترك one over two أس n negative one فبيبقى
+
+52
+00:06:33,760 --> 00:06:38,000
+إذا من الحد الأول دي بقى ��للي عندي واحد من الحد
+
+53
+00:06:38,000 --> 00:06:46,740
+الثاني بيبقى عندي نصف وهكذا إلى الحد الأخير اللي
+
+54
+00:06:46,740 --> 00:06:56,120
+بيبقى عندي two أس m negative n negative one الآن
+
+55
+00:06:56,120 --> 00:07:01,080
+المجموعة هذا اللي بين قوسين هذا المجموعة أصغر من
+
+56
+00:07:01,080 --> 00:07:06,220
+اثنين لأن هذا المجموع لاحظوا
+
+57
+00:07:06,220 --> 00:07:16,080
+أنتوا واحد زائد نصف زائد إلى one over two to m
+
+58
+00:07:16,080 --> 00:07:23,020
+negative n negative one this is less than one زائد
+
+59
+00:07:23,020 --> 00:07:25,600
+نصف زائد
+
+60
+00:07:29,510 --> 00:07:37,230
+زائد واحد على اثنين أس n زائد إلى ما لا نهاية
+
+61
+00:07:37,230 --> 00:07:44,610
+اللي هو مجموع series sigma from k equals zero to
+
+62
+00:07:44,610 --> 00:07:54,430
+infinity الـ one over two to k هذا
+
+63
+00:07:54,430 --> 00:07:58,010
+جزء من الـ infinite series
+
+64
+00:08:00,560 --> 00:08:07,300
+هذه الـ infinite series هذه أول يعني m سالب n
+
+65
+00:08:07,300 --> 00:08:12,700
+ناقص واحد من حدودها هذه
+
+66
+00:08:12,700 --> 00:08:17,380
+الـ series معروفة هي geometric series geometric
+
+67
+00:08:17,380 --> 00:08:25,320
+series with a الحد الأول واحد والـ ratio r والـ
+
+68
+00:08:25,320 --> 00:08:31,860
+ratio بيساوي نصف في تفاضل بقى تعلمتوا أنه أي
+
+69
+00:08:31,860 --> 00:08:35,200
+geometric series إذا الـ ratio الـ absolute value لـ
+
+70
+00:08:35,200 --> 00:08:40,940
+r أصغر من واحد فالـ series تطلع convergent ومجموع
+
+71
+00:08:40,940 --> 00:08:48,520
+.. مجموع بيساوي a على one minus الأساس وهذا بطلع a
+
+72
+00:08:48,520 --> 00:08:53,720
+اللي هو واحد على واحد ناقص الأساس نصف بطلع بيساوي
+
+73
+00:08:53,720 --> 00:08:57,060
+اثنين okay إذا الـ ..
+
+74
+00:09:00,710 --> 00:09:07,850
+إذا المجموع هذا بيطلع أصغر من اثنين إذا هي حاول
+
+75
+00:09:07,850 --> 00:09:14,690
+أصغر من واحد على اثنين أس n negative واحد ضرب اثنين
+
+76
+00:09:14,690 --> 00:09:25,210
+وهذا بيساوي واحد على اثنين أس n سالب اثنين تمام؟
+
+77
+00:09:36,740 --> 00:09:42,940
+الآن بنا نثبت احنا أن الـ sequence
+
+78
+00:09:42,940 --> 00:09:48,860
+احنا كان بنا نثبت أن الـ sequence xn convergent
+
+79
+00:09:48,860 --> 00:09:52,820
+و قلنا في بداية البرهان المرة اللي فاتت عشان نثبت
+
+80
+00:09:52,820 --> 00:09:57,380
+أنها convergent يكفي أن احنا نثبت أنها Cauchy صح؟
+
+81
+00:09:57,380 --> 00:10:01,400
+لأن إذا كانت Cauchy بتكون convergent by Cauchy's
+
+82
+00:10:01,400 --> 00:10:03,920
+criterion إذا هنا to show
+
+83
+00:10:08,040 --> 00:10:13,900
+إن xn convergent it
+
+84
+00:10:13,900 --> 00:10:18,100
+suffices يعني 
+
+85
+00:10:18,100 --> 00:10:29,100
+يكفي إثبات to show it is Cauchy إذا يكفي إثبات
+
+86
+00:10:29,100 --> 00:10:36,510
+أنها Cauchy طيب هاي عندي .. الآن هأستفيد من المتباينة
+
+87
+00:10:36,510 --> 00:10:45,890
+هذه الأخيرة لإثبات إنها كوشي طيب
+
+88
+00:10:45,890 --> 00:10:54,790
+أنا عندي .. أنا عندي for .. قلنا m أكبر من n
+
+89
+00:10:57,610 --> 00:11:04,270
+أثبتنا أن absolute xn نيجاتيف xm less than one over
+
+90
+00:11:04,270 --> 00:11:16,970
+two to n minus two نسمي الانيقواليتي هذه star الآن
+
+91
+00:11:16,970 --> 00:11:21,010
+let
+
+92
+00:11:21,010 --> 00:11:28,960
+epsilon أكبر من الصفر be given أنا بدأ أُثبت إن الـ
+
+93
+00:11:28,960 --> 00:11:32,980
+sequence تبعتي كوشي فعشان أُثبت إنها كوشي ببدأ
+
+94
+00:11:32,980 --> 00:11:38,840
+بإمسون أكبر من صفر برد عليها بـ capital N بحيث إنه
+
+95
+00:11:38,840 --> 00:11:44,280
+لكل m و n أكبر من أو يساوي capital N لازم المسافة
+
+96
+00:11:44,280 --> 00:11:50,000
+بين xn و xm أصغر من epsilon فـ let epsilon أكبر من الصفر
+
+97
+00:11:50,000 --> 00:11:59,040
+be given by Archimedean property من خاصية
+
+98
+00:11:59,040 --> 00:12:08,700
+Archimedes choose ممكن نختار capital N عدد طبيعي
+
+99
+00:12:08,700 --> 00:12:19,020
+بحيث أنه واحد على n أصغر من epsilon على أربعة وهذا
+
+100
+00:12:19,020 --> 00:12:23,440
+صحيح by the Archimedean property epsilon عدد موجب
+
+101
+00:12:23,440 --> 00:12:26,920
+بتعني epsilon على أربعة عدد موجب لهذا العدد الموجب
+
+102
+00:12:26,920 --> 00:12:31,740
+بقدر ألا��ي عدد طبيعي عدد طبيعي مقلوبه وأصغر من العدد
+
+103
+00:12:31,740 --> 00:12:44,060
+الموجب تمام؟ وبالتالي هذا بيقدر أنه الـ .. واحد على 
+
+104
+00:12:44,060 --> 00:12:52,020
+two to n أصغر من epsilon على أربعة لأن
+
+105
+00:12:52,020 --> 00:13:02,640
+since لأن two to n أكبر من n صح؟ وبالتالي مقلوب
+
+106
+00:13:02,640 --> 00:13:07,560
+هذا أصغر من مقلوب الـ n اللي هو أصغر من epsilon على 
+
+107
+00:13:07,560 --> 00:13:10,720
+أربعة okay تمام؟ طيب
+
+108
+00:13:14,350 --> 00:13:25,310
+إذن this .. this and star بيؤدوا إنه لو كان m أكبر 
+
+109
+00:13:25,310 --> 00:13:30,450
+من أو يساوي n أكبر من أو يساوي capital N فهذا
+
+110
+00:13:30,450 --> 00:13:40,050
+بيؤدي إنه absolute xn negative xm أصغر
+
+111
+00:13:40,050 --> 00:13:51,740
+من 1 على 2 to n minus 2 وهذا أصغر من أو يساوي 1 على
+
+112
+00:13:51,740 --> 00:13:58,200
+2 to capital N minus 2 لأن small n أكبر من أو يساوي
+
+113
+00:13:58,200 --> 00:14:04,700
+capital N فـ 2
+
+114
+00:14:04,700 --> 00:14:11,200
+n سالب 2 أصغر يعني مقلوب هذه يعني أنا عندي هنا
+
+115
+00:14:11,200 --> 00:14:16,460
+اثنين أس n سالب اثنين بطلع أكبر من أو يساوي two
+
+116
+00:14:16,460 --> 00:14:21,340
+to capital N سالب اثنين لأن n أكبر من أو يساوي
+
+117
+00:14:21,340 --> 00:14:25,200
+capital N وبالتالي مقلوب الكبير أصغر من أو يساوي
+
+118
+00:14:25,200 --> 00:14:35,420
+مقلوب الكبير أو مقلوب الصغير فهذا صح ومن هنا هذا
+
+119
+00:14:35,420 --> 00:14:39,280
+أصغر هذا من هنا أصغر من epsilon
+
+120
+00:14:42,800 --> 00:14:48,200
+لأن هذا عبارة عن .. هذا بيساوي .. أيوه بيساوي أربعة
+
+121
+00:14:48,200 --> 00:14:53,500
+على اثنين أس n وأربعة على اثنين أس n أصغر من
+
+122
+00:14:53,500 --> 00:15:01,740
+epsilon، صح؟ إذن هذه أثبتت for any given .. for any
+
+123
+00:15:01,740 --> 00:15:06,700
+given epsilon يوجد capital N يعتمد على epsilon، هذا
+
+124
+00:15:06,700 --> 00:15:15,590
+هو يوجد capital N غير مرتبط بـ epsilon بحيث أنه لكل m و n
+
+125
+00:15:15,590 --> 00:15:20,350
+أكبر من أو يساوي capital N فالمسافة بين xn و xm
+
+126
+00:15:20,350 --> 00:15:26,650
+أصغر من epsilon وبالتالي هذا بيثبت أن الـ sequence is
+
+127
+00:15:26,650 --> 00:15:36,270
+Cauchy بس الـ sequence xn is Cauchy
+
+128
+00:15:39,020 --> 00:15:43,660
+and therefore x
+
+129
+00:15:43,660 --> 00:15:50,900
+n converges say
+
+130
+00:15:50,900 --> 00:16:02,740
+الـ limit لـ xn بيساوي some x ينتمي إلى r هنا
+
+131
+00:16:02,740 --> 00:16:08,130
+أثبتنا أن الـ sequence xn convergent by Cauchy
+
+132
+00:16:08,130 --> 00:16:13,790
+criterion وفرضنا أن الـ limit تبعتها بيساوي x عشان
+
+133
+00:16:13,790 --> 00:16:15,870
+كام؟ إذا هنثبت أن الـ sequence تبعتنا
+
+134
+00:16:15,870 --> 00:16:20,070
+convergent الـ limit تبعتها عدد x بقى هنثبت أن الـ
+
+135
+00:16:20,070 --> 00:16:25,790
+x اللي هو limit لـ xn بيساوي خمسة على ثلاثة بيساوي
+
+136
+00:16:25,790 --> 00:16:29,350
+خمسة على ثلاثة okay إذا هنثبت
+
+137
+00:16:34,190 --> 00:16:42,010
+الجزء الأخير هذا وهو نسميه 
+
+138
+00:16:42,010 --> 00:16:50,790
+claim ثلاثة claim three الـ x بيساوي five over three
+
+139
+00:16:50,790 --> 00:17:00,130
+لبرهان ذلك first
+
+140
+00:17:03,450 --> 00:17:08,530
+use induction on 
+
+141
+00:17:08,530 --> 00:17:20,170
+to show الإثبات أن x to n plus one يساوي واحد 
+
+142
+00:17:20,170 --> 00:17:28,610
+زائد نصف زائد واحد على اثنين تكعيب زائد وهكذا one
+
+143
+00:17:28,610 --> 00:17:35,410
+over two to the power of 2n سالب واحد وهذا صحيح لكل natural
+
+144
+00:17:35,410 --> 00:17:42,910
+number n المعادلة هذه ممكن إثباتها by induction on
+
+145
+00:17:42,910 --> 00:17:54,130
+n سهل جدا طبعا ممكن تستخدم .. تحتاج الـ inductive
+
+146
+00:17:54,130 --> 00:17:59,300
+definition في البرهان زي ما شفنا في برهان claim 2
+
+147
+00:17:59,300 --> 00:18:08,440
+طيب الآن افترض أن احنا هذا أثبتناها hence وبالتالي
+
+148
+00:18:08,440 --> 00:18:15,500
+من هنا بيطلع عندي x to the power of 2n plus one يساوي واحد زائد هاخد
+
+149
+00:18:15,500 --> 00:18:21,820
+من المجموع هذا هاخد
+
+150
+00:18:21,820 --> 00:18:28,200
+نصف عامل مشترك فبيبقى عندي واحد زائد واحد على اث��ين
+
+151
+00:18:28,200 --> 00:18:36,880
+تربيع زائد واحد على اثنين تربيع لكل تربيع زائد و
+
+152
+00:18:36,880 --> 00:18:44,260
+هكذا زائد واحد على اثنين تربيع to the power of n سالب واحد
+
+153
+00:18:44,260 --> 00:18:52,220
+إذا أنا اخدت من هاي الواحد نزلته واخدت نصف عامل
+
+154
+00:18:52,220 --> 00:18:57,320
+مشترك من باقي الحدود هذه فطلع عندي المجموع هذا هذا
+
+155
+00:18:57,320 --> 00:19:04,120
+مجموع متوالية هندسية geometric progression لأن هذا
+
+156
+00:19:04,120 --> 00:19:08,080
+بشكل geometric
+
+157
+00:19:08,080 --> 00:19:19,740
+.. geometric progression متوالية
+
+158
+00:19:19,740 --> 00:19:20,480
+هندسية
+
+159
+00:19:23,660 --> 00:19:30,740
+with الحد الأول a يساوي واحد والـ ratio يساوي واحد
+
+160
+00:19:30,740 --> 00:19:37,080
+على اثنين تربيع اللي هو ربعها فـ الـ geometric
+
+161
+00:19:37,080 --> 00:19:40,820
+progression فيه قانون لإيجاد مجموع المتوالية
+
+162
+00:19:40,820 --> 00:19:46,080
+الهندسية فيه قانون لإيجاد مجموع فالقانون هذا
+
+163
+00:19:46,080 --> 00:19:54,830
+عبارة عن الحد الأول واحد سالب الحد الأخير مضروب في
+
+164
+00:19:54,830 --> 00:20:02,650
+الأساس اللي هو واحد على اثنين تربيع الكل قسم على
+
+165
+00:20:02,650 --> 00:20:08,150
+واحد minus الأساس على واحد minus الأساس اللي هو
+
+166
+00:20:08,150 --> 00:20:14,270
+واحد على اثنين تربيع وهذا
+
+167
+00:20:14,270 --> 00:20:22,130
+يساوي اي واحد زائد المقام هذا عبارة عن ثلاثة أرباع
+
+168
+00:20:23,720 --> 00:20:32,140
+هذا عبارة عن ثلاثة أرباع فنصف على ثلاثة أرباع بيطلع
+
+169
+00:20:32,140 --> 00:20:37,180
+اثنين على ثلاثة والـ bust هذا هو في الـ bust اللي
+
+170
+00:20:37,180 --> 00:20:45,520
+هو واحد سالب واحد على اثنين اس اثنين in او اربعة
+
+171
+00:20:45,520 --> 00:20:47,440
+اس in
+
+172
+00:20:52,700 --> 00:21:08,740
+الآن نأخذ الـ limit للطرفين إذا
+
+173
+00:21:08,740 --> 00:21:14,380
+نأخذ .. لو أخذنا الـ limit للطرفين فبيطلع limit x to
+
+174
+00:21:14,380 --> 00:21:20,800
+n plus one as n tends to infinity يساوي واحد زائد
+
+175
+00:21:20,800 --> 00:21:28,040
+اثنين على الثلاثة في الـ limit الجوس واحد سالب
+
+176
+00:21:28,040 --> 00:21:34,720
+limit واحد على أربعة اس in as n tends to infinity
+
+177
+00:21:34,720 --> 00:21:41,640
+وهذا يساوي واحد زائد اثنين على ثلاثة في واحد سالب
+
+178
+00:21:41,640 --> 00:21:48,440
+limit واحد على أربعة اس n يساوي صفر فبيطلع يساوي واحد
+
+179
+00:21:50,170 --> 00:21:57,150
+زائد اثنين على ثلاثة يساوي خمسة على ثلاثة طيب
+
+180
+00:21:57,150 --> 00:22:01,070
+هذه عبارة عن sub sequence من الـ sequence xn هذه
+
+181
+00:22:01,070 --> 00:22:05,930
+الحدود الفردية لـ sequence xn طيب و أنا عندي الـ
+
+182
+00:22:05,930 --> 00:22:09,750
+sequence تبعتي convergent هاي أثبتنا أن xn
+
+183
+00:22:09,750 --> 00:22:13,930
+convergent والـ limit تبعتها يساوي العدد x
+
+184
+00:22:20,160 --> 00:22:26,000
+إذا أنا في عندي هنا since x2n
+
+185
+00:22:26,000 --> 00:22:38,600
+plus one is a subsequence of a sequence xn و xn
+
+186
+00:22:38,600 --> 00:22:45,540
+converges to x then by previous theorem حسب نظرية
+
+187
+00:22:45,540 --> 00:22:50,120
+السابقة إذا كانت الـ sequence convergent لـ x فأي
+
+188
+00:22:50,120 --> 00:22:54,960
+subsequence منها بتكون convergent لنفس الـ x إذا
+
+189
+00:22:54,960 --> 00:23:01,460
+limit x اتنين n plus one as n tends to infinity
+
+190
+00:23:01,460 --> 00:23:07,640
+يساوي x وبالتالي إذا x يساوي limit
+
+191
+00:23:12,130 --> 00:23:19,830
+x2n زائد واحد وهذه أثبتنا في السطر الأخير هنا هذه
+
+192
+00:23:19,830 --> 00:23:23,750
+يساوي خمسة على ثلاثة وهذا اللي بدنا يعني إذا هيك
+
+193
+00:23:23,750 --> 00:23:30,770
+بتكون أثبتنا أن الـ sequence x in converges to x و
+
+194
+00:23:30,770 --> 00:23:36,370
+limit x تبعتها هي طلعت يساوي خمسة على ثلاثة كما هو
+
+195
+00:23:36,370 --> 00:23:41,830
+مطلوب Okay إذا هيك بنكون إحنا برهنا إن الـ sequence
+
+196
+00:23:41,830 --> 00:23:46,490
+في المثال هذا اللي معرفة بطريقة استقرائية is
+
+197
+00:23:46,490 --> 00:23:52,870
+convergent ونهايتها خمسة على ثلاثة Okay تمام؟ المفهوم
+
+198
+00:23:52,870 --> 00:23:59,680
+واضح؟ في أي استفسار؟ في أي سؤال؟ طيب نأخذ كمان مثال
+
+199
+00:23:59,680 --> 00:24:02,520
+يمكن يبقى المثال طويل شوية لكن احنا زي ما شفنا
+
+200
+00:24:02,520 --> 00:24:08,660
+احنا جزأناه إلى ثلاثة claims أو three claims وكل
+
+201
+00:24:08,660 --> 00:24:12,340
+claim كان برهانه by induction مش صعب شفنا برهان
+
+202
+00:24:12,340 --> 00:24:18,020
+واحد منهم المرة اللي فاتت التانيين برضه اسأل كمان
+
+203
+00:24:18,020 --> 00:24:23,060
+كل claim بيخطو خطوة إلى الامام بيجرّبني أكثر من
+
+204
+00:24:23,060 --> 00:24:23,540
+البرهان
+
+205
+00:24:27,870 --> 00:24:45,850
+نأخذ مثال آخر، ثالث إذا
+
+206
+00:24:45,850 --> 00:24:54,090
+example three consider
+
+207
+00:24:57,250 --> 00:25:02,550
+الحد العام بحيث الـ sequence xn
+
+208
+00:25:02,550 --> 00:25:09,510
+where حيث الـ term of the sequence الحد العام by
+
+209
+00:25:09,510 --> 00:25:14,070
+definition يساوي one over one plus one over two
+
+210
+00:25:15,270 --> 00:25:22,310
+plus one over three وهكذا and so on until we get
+
+211
+00:25:22,310 --> 00:25:31,730
+one over N حيث N ينتمي إلى N لكل N في N بنعرف XN
+
+212
+00:25:31,730 --> 00:25:36,530
+على أنه المجموع أو مجموعة أول N
+
+213
+00:25:49,690 --> 00:25:57,950
+مجموع أول n من حدود الـ harmonic series فهذا بنسميه
+
+214
+00:25:57,950 --> 00:26:02,210
+الـ nth partial sum هذا عبارة في تفاضل باسم منها الـ
+
+215
+00:26:02,210 --> 00:26:14,410
+nth partial الـ nth partial sum of الـ harmonic الـ
+
+216
+00:26:14,410 --> 00:26:16,110
+harmonic series
+
+217
+00:26:20,920 --> 00:26:26,800
+اللي هي summation from k equals one to infinity لـ
+
+218
+00:26:26,800 --> 00:26:27,880
+one over k
+
+219
+00:26:31,950 --> 00:26:39,910
+المطلوب show أن سيكوينس XN divergence ليست
+
+220
+00:26:39,910 --> 00:26:46,070
+convergent، is not convergent بنثبت أن سيكوينس of
+
+221
+00:26:46,070 --> 00:26:51,090
+partial sums متتالية المجاميع الجزئية للـ harmonic
+
+222
+00:26:51,090 --> 00:26:54,070
+series بتشكل divergence sequence
+
+223
+00:27:00,340 --> 00:27:19,020
+by Cauchy criterion إذا حسب Cauchy criterion by
+
+224
+00:27:19,020 --> 00:27:25,740
+Cauchy criterion it suffices to
+
+225
+00:27:25,740 --> 00:27:32,760
+show يكفي إثبات يكفي إثبات أن الـ sequence عشان نثبت
+
+226
+00:27:32,760 --> 00:27:36,440
+أن الـ sequence is divergent it suffices to show أن
+
+227
+00:27:36,440 --> 00:27:47,920
+الـ sequence xn is not كوشي لأن
+
+228
+00:27:47,920 --> 00:27:52,980
+كوشي criterion بتقول أن الـ sequence is convergent
+
+229
+00:27:52,980 --> 00:27:58,700
+if and only if it is كوشي وبالتالي هذا بكفي أن
+
+230
+00:27:58,700 --> 00:28:02,400
+احنا نقول أن الـ sequence is not convergent if and
+
+231
+00:28:02,400 --> 00:28:06,440
+only if it is not Cauchy عشان نثبت أن الـ sequence
+
+232
+00:28:06,440 --> 00:28:12,780
+is divergent ممكن نثبت أنها is not Cauchy طيب الـ
+
+233
+00:28:12,780 --> 00:28:22,900
+.. الإثبات أنها not Cauchy هنستخدم indeed
+
+234
+00:28:29,180 --> 00:28:41,120
+في حقيقة الأمر لو أخذنا لو كان M أكبر من N فهذا
+
+235
+00:28:41,120 --> 00:28:48,320
+بيقدي أن XM minus
+
+236
+00:28:48,320 --> 00:28:53,660
+XN ايش يساوي؟
+
+237
+00:28:53,660 --> 00:28:55,500
+أنا هي عندي الـ ..
+
+238
+00:29:06,360 --> 00:29:18,240
+هي عندي xn ولو بدك تكتب xm فـ xm هيكون يساوي واحد
+
+239
+00:29:18,240 --> 00:29:25,640
+أول حد زائد نصف زائد
+
+240
+00:29:25,640 --> 00:29:33,140
+ثلت وهكذا زائد
+
+241
+00:29:33,140 --> 00:29:40,460
+واحد على n ولسه كمان هكمل .. هنكمل لأن الـ M أكبر
+
+242
+00:29:40,460 --> 00:29:49,380
+من N هنا الـ M .. الـ M أكبر من N لما تكون M أكبر من
+
+243
+00:29:49,380 --> 00:29:55,640
+N فهيكون الحد اللي بعدها ده واحد على M زائد واحد
+
+244
+00:30:04,780 --> 00:30:10,120
+واحد على الـ n أنا
+
+245
+00:30:10,120 --> 00:30:19,580
+مش نافع one
+
+246
+00:30:19,580 --> 00:30:29,190
+over n plus one وهكذا إلى one over m الآن لما أطرح
+
+247
+00:30:29,190 --> 00:30:37,890
+xn من xm فالحدود المتشابهة هتروح مع بعضها لحد واحد
+
+248
+00:30:37,890 --> 00:30:44,690
+على n بيروح مع واحد على n بيبقى الفرق بين الاثنين
+
+249
+00:30:44,690 --> 00:30:54,930
+الفرق بين الاثنين هيكون عبارة عن واحد
+
+250
+00:30:56,990 --> 00:31:04,630
+على n زائد واحد زائد واحد على n plus two and so on
+
+251
+00:31:04,630 --> 00:31:12,230
+until we get one over m تمام الحدود هدول عددهم كم
+
+252
+00:31:12,230 --> 00:31:23,270
+حد m negative n terms عدد الحدود في المجموع هذا m
+
+253
+00:31:23,270 --> 00:31:37,060
+سالب n هذول حدود عددهم M وهذول عددهم N فالفرق
+
+254
+00:31:37,060 --> 00:31:43,460
+بينهم هيطلع M سالب N الآن
+
+255
+00:31:43,460 --> 00:31:46,700
+هذا المجموع أول حد
+
+256
+00:31:49,570 --> 00:31:57,510
+لاحظوا أن أن الـ M أكبر من N هذا بيقدي أن M أكبر من
+
+257
+00:31:57,510 --> 00:32:04,230
+أو يساوي N زي واحد وهذا بيقدي أن مخلوق واحد على N
+
+258
+00:32:04,230 --> 00:32:10,210
+زي واحد بيطلع أكبر من أو يساوي واحد على N
+
+259
+00:32:13,150 --> 00:32:17,850
+وبالتالي إذا واحد على N زائد واحد أكبر من أو يساوي
+
+260
+00:32:17,850 --> 00:32:22,850
+واحد على M بالمثل واحد على N زائد اثنين لحظة هيكون
+
+261
+00:32:22,850 --> 00:32:29,570
+الـ M الـ M أكبر من أو يساوي N زائد اثنين فمقلوب N زائد
+
+262
+00:32:29,570 --> 00:32:37,230
+اثنين هيطلع أكبر من أو يساوي واحد على M وهكذا إذا
+
+263
+00:32:37,230 --> 00:32:41,670
+كل الحدود هذه كل واحد فيهم أكبر من أو يساوي واحد
+
+264
+00:32:41,670 --> 00:32:46,070
+على M إلى أن نصل لآخر حد واحد على M طبعا أكبر من
+
+265
+00:32:46,070 --> 00:32:51,070
+أو يساوي نفسه عدد الحدود هذه لازال M سالب n
+
+266
+00:32:51,070 --> 00:32:51,810
+terms
+
+267
+00:32:55,640 --> 00:33:00,980
+طيب أنا لما بجمع عدد على نفسه M سالب N من المرات،
+
+268
+00:33:00,980 --> 00:33:06,200
+ايه بيعطيني المجموعة؟ بيطلع يساوي M سالب N في
+
+269
+00:33:06,200 --> 00:33:08,540
+العدد الثابت، صح؟
+
+270
+00:33:14,860 --> 00:33:21,620
+إذن المجموعة الأخيرة هذا هيطلع يساوي M سالب N
+
+271
+00:33:21,620 --> 00:33:30,660
+في واحد على M وهذا يساوي على
+
+272
+00:33:30,660 --> 00:33:40,520
+M هذي آه M وهذا يساوي واحد سالب N على M طيب
+
+273
+00:33:40,520 --> 00:33:48,050
+أنا في التحليل هذا أخدت الـ M أكبر من N يعني هذا
+
+274
+00:33:48,050 --> 00:33:54,670
+الكلام صحيح إذا كان M أكبر من N طيب الآن take M
+
+275
+00:33:54,670 --> 00:34:00,230
+يساوي 2N بالتأكيد 2N أي عدد طبيعي N لأي عدد طبيعي
+
+276
+00:34:00,230 --> 00:34:08,890
+N 2N أكبر من N إذا لو عوضت عن M باثنين N في المتباينة
+
+277
+00:34:08,890 --> 00:34:18,610
+الأخيرة هذه هيطلع عندي XM أو X to N سالب XN
+
+278
+00:34:18,610 --> 00:34:28,670
+بتطلع أكبر من أو يساوي واحد سالب اثنين N على
+
+279
+00:34:28,670 --> 00:34:35,450
+اثنين N صح؟ اللي هو واحد سالب نصف بيطلع one
+
+280
+00:34:35,450 --> 00:34:45,930
+-half نصف الكلام هذا صحيح لكل n ينتمي 
+
+281
+00:34:45,930 --> 00:34:50,470
+إلى n تمام؟
+
+282
+00:34:52,310 --> 00:34:58,910
+إذا أنا أصبح في عندي المتباينة x to the n negative xn
+
+283
+00:34:58,910 --> 00:35:06,750
+أكبر من أو يساوي one half for all n belong to a now
+
+284
+00:35:06,750 --> 00:35:14,710
+you can easily show
+
+285
+00:35:19,500 --> 00:35:28,860
+ممكن بسهولة إثبات أن this implies المتباينة هذه
+
+286
+00:35:28,860 --> 00:35:37,540
+الأخيرة بتقدي this implies that
+
+287
+00:35:37,540 --> 00:35:43,620
+هذا بيقدي أن ال sequence xn is not Cauchy
+
+288
+00:35:46,720 --> 00:36:01,500
+is not Cauchy as desired كما هو مطلوب تمام؟
+
+289
+00:36:01,500 --> 00:36:07,220
+من المتباينة هذه ممكن نثبت أن ال sequence تبعتنا
+
+290
+00:36:07,220 --> 00:36:12,820
+ليست Cauchy، يمكن هذا مش واضح كيف أن هذا بيعدي أن ال
+
+291
+00:36:12,820 --> 00:36:17,520
+sequence not Cauchy، لكن ممكن نعمل برهان بالتناقض
+
+292
+00:36:17,520 --> 00:36:22,680
+افرض أن ال sequence Cauchy واستخدم الشرط هذا أو
+
+293
+00:36:22,680 --> 00:36:26,700
+المتباينة هذه في الوصول إلى تناقض، هسه لكم تكتبوا 
+
+294
+00:36:26,700 --> 00:36:30,580
+البرهان هذا، وكل واحدة بتكتب البرهان في ورقة
+
+295
+00:36:30,580 --> 00:36:35,840
+وبتسلميها في الأيام القادمة، هتاخد علامتين يضافوا
+
+296
+00:36:35,840 --> 00:36:43,000
+لامتحان، علامة امتحان النص فيه الأول، Okay تمام فال
+
+297
+00:36:43,000 --> 00:36:43,360
+..
+
+298
+00:36:55,700 --> 00:37:00,340
+إذن باقي إثبات إن عشان البرهان يكون كامل إنه يثبت
+
+299
+00:37:00,340 --> 00:37:04,460
+إن المتباينة الأخيرة هذه بتأدي إن ال sequence
+
+300
+00:37:04,460 --> 00:37:12,840
+بتاعتنا لا تكون Cauchy، فأنا بقول إذا حابين ممكن إنكم
+
+301
+00:37:12,840 --> 00:37:19,620
+تكتبوا البرهان على ورقة خارجية وتعطوني، إذا برهانكم
+
+302
+00:37:19,620 --> 00:37:23,400
+بيكون صح، بعطيه لكم علامتين يضافوا إلى امتحان النصف
+
+303
+00:37:23,400 --> 00:37:31,150
+الأول، Okay تمام، اتفقنا ولا أعطيكم البرهان و بلاش
+
+304
+00:37:31,150 --> 00:37:42,990
+خلاص؟ Okay إذا بنوقف هنا، نكتفي بالأمثلة هذه، وإن شاء
+
+305
+00:37:42,990 --> 00:37:46,870
+الله المرة الجاية هناخد .. ندخل في الموضوع ال
+
+306
+00:37:46,870 --> 00:37:51,570
+contractive sequences وبعدين نبدأ section جديد إن 
+
+307
+00:37:51,570 --> 00:37:58,010
+شاء الله، فشكرا لكم وال .. نكمل إن شاء الله في
+
+308
+00:37:58,010 --> 00:37:58,830
+اللقاء القادم 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/a-utq7LmSIM.srt

@@ -0,0 +1,1403 @@
+1
+00:00:21,060 --> 00:00:27,740
+اليوم إن شاء الله هنحاول نحل امتحان نصفي سابق
+
+2
+00:00:27,740 --> 00:00:32,680
+كمراجعة للامتحان النصفي الأول اللي هناخده إن شاء 
+
+3
+00:00:32,680 --> 00:00:40,040
+الله غدا أول سؤال في الامتحان هذا عبارة عن سؤال 
+
+4
+00:00:40,040 --> 00:00:45,120
+true or false إذا العبارة صحيحة فبنعلم عليها صح أو 
+
+5
+00:00:45,120 --> 00:00:52,670
+true وإذا خطأ بنعلم عليها خطأ فأول عبارة بتقول لأن 
+
+6
+00:00:52,670 --> 00:00:58,250
+الـ absolute value لـ X سالب Y  بساوي absolute X سالب 
+
+7
+00:00:58,250 --> 00:01:05,030
+absolute Y وحتى 
+
+8
+00:01:05,030 --> 00:01:09,810
+لو كانت تلاقي إشارة موجبة، لو سمحتوا ما تتكلموا 
+
+9
+00:01:09,810 --> 00:01:16,710
+إلا لما ترفع يدك وإذنك هه هل هذا الكلام صحيح 
+
+10
+00:01:16,710 --> 00:01:25,300
+لكل X و Y ينتميان إلى R فالعبارة هذه false ليست صحيحة
+
+11
+00:01:25,300 --> 00:01:32,380
+ممكن نجيب أكثر من counter example صحيحة العبارة
+
+12
+00:01:32,380 --> 00:01:36,300
+الثانية لو كان S subset of the set of all real
+
+13
+00:01:36,300 --> 00:01:42,420
+numbers is finite لو
+
+14
+00:01:42,420 --> 00:01:48,840
+كانت الـ set هذه finite فهذا بيقدّم أن الـ supremum S
+
+15
+00:01:48,840 --> 00:01:59,400
+والـ infimum S ينتميان للـ set S هل هذا true؟ هل لما
+
+16
+00:01:59,400 --> 00:02:03,420
+تكون الـ set finite الـ supremum تبعها والـ infimum 
+
+17
+00:02:03,420 --> 00:02:08,840
+تبعها ينتميان إليها؟ هذا صحيح كان تمرين exercise و
+
+18
+00:02:08,840 --> 00:02:11,380
+برهنة، إذن هذا true
+
+19
+00:02:15,490 --> 00:02:22,250
+ثلاثة لو عرفنا الـ set I of S على أنها the set of
+
+20
+00:02:22,250 --> 00:02:34,870
+all V حيث V بساوي infimum الـ set S فالـ
+
+21
+00:02:34,870 --> 00:02:40,430
+set هذه contains contains 
+
+22
+00:02:40,430 --> 00:02:44,010
+more than one element more than
+
+23
+00:02:46,860 --> 00:02:52,280
+one element المجموعة
+
+24
+00:02:52,280 --> 00:02:58,000
+هذه تحتوي على أكثر من عنصر، هل هذا صحيح؟ هل الـ set 
+
+25
+00:02:58,000 --> 00:03:01,860
+ممكن يكون لها أكثر من infimum؟ لا، لا، لا، لا،
+
+26
+00:03:01,860 --> 00:03:02,560
+لا، لا، لا، لا، لا، لا، لا، لا، لا، لا، لا، لا،
+
+27
+00:03:02,560 --> 00:03:07,020
+لا، لا، لا، لا، لا، لا، لا، لا، لا، لا، لا، لا،
+
+28
+00:03:07,020 --> 00:03:07,100
+لا، لا، لا، لا، لا، لا، لا، لا، لا، لا، لا، لا،
+
+29
+00:03:07,100 --> 00:03:10,040
+لا، لا، لا، لا، لا، لا، ل
+
+30
+00:03:13,960 --> 00:03:19,580
+العبارة الرابعة every monotone sequence converges
+
+31
+00:03:19,580 --> 00:03:25,980
+if and only if it is bounded هذه 
+
+32
+00:03:25,980 --> 00:03:28,780
+عبارة عن الـ monotone convergence theorem فهذه
+
+33
+00:03:28,780 --> 00:03:34,620
+true ال
+
+34
+00:03:34,620 --> 00:03:40,020
+sequence سالب 
+
+35
+00:03:40,020 --> 00:03:55,840
+واحد أس N على N إن ينتمي لـ N is convergent هل
+
+36
+00:03:55,840 --> 00:03:56,760
+هذا صحيح؟
+
+37
+00:04:06,660 --> 00:04:12,140
+طيب ماشي المشكلة أن الأقلام السوداء اللي عندي كلها 
+
+38
+00:04:12,140 --> 00:04:22,160
+صارت باهتة اه في واحد جبت أنت و
+
+39
+00:04:22,160 --> 00:04:32,480
+الله أنا مش كثير يعني
+
+40
+00:04:32,480 --> 00:04:36,020
+هدم يعني أحسن نشوف يعني
+
+41
+00:04:42,570 --> 00:04:47,330
+فالـ sequence هذه convergent هل هذا صحيح ولا خطأ 
+
+42
+00:04:47,330 --> 00:04:54,790
+هذا true و
+
+43
+00:04:54,790 --> 00:05:00,050
+لو بدنا نبرهن الكلام هذا وبالمناسبة الـ sequence
+
+44
+00:05:00,050 --> 00:05:06,410
+هذه converge لصفر converge والـ limit تبعها صفر 
+
+45
+00:05:07,900 --> 00:05:14,940
+ليه؟ لأنه هي المسافة بين الـ nth term لحد إنه ليه؟
+
+46
+00:05:14,940 --> 00:05:23,620
+سالب واحد أس n على n سالب صفر ايش 
+
+47
+00:05:23,620 --> 00:05:27,520
+هاد بالساوي؟
+
+48
+00:05:27,520 --> 00:05:28,320
+بتساوي
+
+49
+00:05:37,950 --> 00:05:45,590
+بتساوي واحد على n صح؟ نصبوط؟ وهذا أصغر من إذا كان
+
+50
+00:05:45,590 --> 00:05:54,410
+واحد ضرب واحد على n هذا عدد موجب واحد على n تقول
+
+51
+00:05:54,410 --> 00:06:05,090
+للصفر إذن حسب نظرية سابقة رقمها 
+
+52
+00:06:05,090 --> 00:06:11,610
+كان في ��لنقص اثنين أربعة بيطلع limit xn بساوي صفر
+
+53
+00:06:11,610 --> 00:06:15,190
+limit سالب 
+
+54
+00:06:15,190 --> 00:06:20,750
+واحد أس n على n لما n تقوى لـ infinity بساوي صفر 
+
+55
+00:06:20,750 --> 00:06:25,230
+إذا 
+
+56
+00:06:25,230 --> 00:06:28,650
+الـ sequence هذي convergent إذا العبارة هذه true
+
+57
+00:06:28,650 --> 00:06:31,650
+طيب عبارة ثانية
+
+58
+00:06:45,940 --> 00:06:55,320
+product of two divergent sequences
+
+59
+00:06:55,320 --> 00:07:03,700
+is divergent هل 
+
+60
+00:07:03,700 --> 00:07:05,280
+هذا true ولا false؟
+
+61
+00:07:08,090 --> 00:07:10,990
+العبارة هذه false طب لما قلنا لكم جيبوا counter 
+
+62
+00:07:10,990 --> 00:07:17,310
+example ممكن تجيب سالب واحد اثنين وكمان الـ
+
+63
+00:07:17,310 --> 00:07:23,290
+sequence الثانية تكون سالب واحد اثنين أو 
+
+64
+00:07:23,290 --> 00:07:26,830
+ممكن تكون سالب واحد اثنين زائد واحد نفس الشغل
+
+65
+00:07:26,830 --> 00:07:32,390
+بتطلع convergent الـ product هذه الـ divergent وهذه
+
+66
+00:07:32,390 --> 00:07:38,210
+الـ divergent لكن X in في Y in هساوي الـ sequence
+
+67
+00:07:38,210 --> 00:07:44,650
+سالب واحد واست اثنين in لما 
+
+68
+00:07:44,650 --> 00:07:49,370
+نضربهم في بعض فهذا بيعطيني الـ sequence ثابت واحد 
+
+69
+00:07:49,370 --> 00:07:55,730
+وهذه converge لواحد إذا هذه في عندي example of two
+
+70
+00:07:55,730 --> 00:08:01,090
+divergent sequences لكن حصل ضربهم بيطلع convergent
+
+71
+00:08:01,090 --> 00:08:06,230
+وليس divergent طيب 
+
+72
+00:08:06,230 --> 00:08:21,470
+لو كانت S bounded S bounded subset of R و S0
+
+73
+00:08:21,470 --> 00:08:28,510
+subset من S هل هذا بيقدّم إن infimum 
+
+74
+00:08:29,760 --> 00:08:42,480
+S0 subset أصغر من أو يساوي infimum من الـ S هل
+
+75
+00:08:42,480 --> 00:08:51,020
+هذه العبارة صحيحة؟ أي
+
+76
+00:08:51,020 --> 00:08:59,320
+رأيكم؟ العبارة هذه false لما مجموعة تصغر الـ infimum
+
+77
+00:08:59,320 --> 00:09:07,940
+تبعها بيكبر، لكن اللي بيكون صحيح أنه الـ supremum لو 
+
+78
+00:09:07,940 --> 00:09:12,600
+أخذت الـ supremum للمجموعة الجزئية S0 فهذا بيطلع 
+
+79
+00:09:12,600 --> 00:09:17,040
+أصغر من أو يساوي الـ supremum للمجموعة S، هذه العبارة 
+
+80
+00:09:17,040 --> 00:09:17,320
+true
+
+81
+00:09:20,870 --> 00:09:25,710
+الـ supremum لما المجموعة تكبر بيكبر لكن الـ infimum
+
+82
+00:09:25,710 --> 00:09:38,110
+لما المجموعة تكبر بيصغر عكس بعض طيب
+
+83
+00:09:43,200 --> 00:09:50,100
+لو كانت x in sequence of positive real numbers و
+
+84
+00:09:50,100 --> 00:10:02,060
+limit x in زائد واحد over x in بساوي واحد فهذا
+
+85
+00:10:02,060 --> 00:10:08,180
+بيقدّم إن الـ sequence x in diverges 
+
+86
+00:10:08,180 --> 00:10:15,870
+هل هذه العبارة صحيحة ولا خطأ؟ العبارة هذه خطأ لأنه 
+
+87
+00:10:15,870 --> 00:10:22,230
+إحنا فينا في تمرين سابع عشر في section ثلاثة اثنين 
+
+88
+00:10:22,230 --> 00:10:26,230
+بيقول إذا كانت الـ sequence .. إذا كان الـ limit 
+
+89
+00:10:26,230 --> 00:10:29,630
+ratio هذا بساوي واحد فالـ sequence ممكن تكون
+
+90
+00:10:29,630 --> 00:10:33,890
+convergent أو divergent وفي السؤال هذا أعطينا 
+
+91
+00:10:33,890 --> 00:10:41,240
+مثلين واحد لـ sequence convergent الـ ratio limit الـ
+
+92
+00:10:41,240 --> 00:10:45,100
+ratio تبعها بيساوي واحد لكنها convergent ومثال
+
+93
+00:10:45,100 --> 00:10:50,300
+ثاني لـ sequence limit الـ ratio تبعها أيضاً بيساوي 
+
+94
+00:10:50,300 --> 00:10:53,700
+واحد لكنها divergent إذا لو كان limit الـ ratio
+
+95
+00:10:53,700 --> 00:10:57,100
+بيساوي واحد فالـ sequence إما converge أو diverge
+
+96
+00:10:57,100 --> 00:11:01,400
+ما نضايش نجزم إنها convergent أو نجزم إنها
+
+97
+00:11:01,400 --> 00:11:07,020
+divergent okay إذا العبارة هذه خطأ أو false إذا 
+
+98
+00:11:07,020 --> 00:11:13,950
+العبارة هذه false لو بدلت divergent بـ convergent
+
+99
+00:11:13,950 --> 00:11:21,530
+برضه false الصحيح أنها may converge or may diverge
+
+100
+00:11:21,530 --> 00:11:26,810
+طيب
+
+101
+00:11:26,810 --> 00:11:43,910
+العبارة الأخيرة تسعة أي open interval 
+
+102
+00:11:43,910 --> 00:11:47,950
+a و b تحتوي
+
+103
+00:11:47,950 --> 00:11:49,970
+rational number R 
+
+104
+00:11:54,840 --> 00:11:59,220
+في rational number محصور من a و b يعني الـ open
+
+105
+00:11:59,220 --> 00:12:03,920
+interval تحتوي الـ R كذلك في نتيجة الـ density
+
+106
+00:12:03,920 --> 00:12:08,300
+theorem أي open interval زي هذه تحتوي الـ rational
+
+107
+00:12:08,300 --> 00:12:13,780
+إذن هذا الكلام صحيح
+
+108
+00:12:13,780 --> 00:12:18,340
+إذن هذا أول سؤال صح وخطأ السؤال الثاني 
+
+109
+00:12:33,670 --> 00:12:50,070
+Question 2 إذا
+
+110
+00:12:50,070 --> 00:12:55,770
+إحنا
+
+111
+00:12:55,770 --> 00:13:01,210
+بنحل هذا امتحان هذا امتحان Mid
+
+112
+00:13:03,740 --> 00:13:11,660
+term one التاريخ
+
+113
+00:13:11,660 --> 00:13:24,780
+تبعه اثنان وثلاثة ألفيّن وثلاثة عشر السؤال 
+
+114
+00:13:24,780 --> 00:13:32,630
+أو الفرع B من السؤال الأول إذا هذا السؤال الأول
+
+115
+00:13:32,630 --> 00:13:37,290
+الفرق بيه
+
+116
+00:13:37,290 --> 00:13:44,130
+X و Y ينتميان إلى R أعداد حقيقية Such that absolute 
+
+117
+00:13:44,130 --> 00:13:53,190
+X minus Y أصغر من واحد على N لكل N في N لما نثبت 
+
+118
+00:13:53,190 --> 00:13:55,470
+أن هذا بيقدّم X بساوي Y 
+
+119
+00:14:00,570 --> 00:14:09,470
+البرهان هنستخدم الـ Archimedean property assume on
+
+120
+00:14:09,470 --> 00:14:13,930
+contrary على
+
+121
+00:14:13,930 --> 00:14:23,710
+المقيد أن X لا يساوي Y هذا 
+
+122
+00:14:23,710 --> 00:14:24,410
+بيقدّم
+
+123
+00:14:28,910 --> 00:14:44,930
+أكبر من صفر لأي 
+
+124
+00:14:44,930 --> 00:14:53,850
+عدد موجب يوجد in zero عدد طبيعي بحيث إن واحد على n
+
+125
+00:14:53,850 --> 00:15:05,390
+زيرو أصغر من absolute X سالب Y هذا
+
+126
+00:15:05,390 --> 00:15:13,530
+من وين من الـ Archimedean property طيب
+
+127
+00:15:13,530 --> 00:15:16,610
+أنا عندي من الفرض
+
+128
+00:15:19,930 --> 00:15:36,910
+من الفرض by hypothesis هذا أصغر من واحد على n لكل
+
+129
+00:15:36,910 --> 00:15:39,770
+n وبالتالي هذا صحيح لـ n zero
+
+130
+00:15:48,170 --> 00:15:53,370
+إذن بيطلع عندي 1 على N0 أصغر من 1 على N0 إذن هذا
+
+131
+00:15:53,370 --> 00:16:00,590
+بيقدّم إن 1 على N0 أصغر من 1 على N0 وهذا تناقض
+
+132
+00:16:00,590 --> 00:16:07,610
+contradiction تناقض إذن هذا التناقض بيقول إن الـ X 
+
+133
+00:16:07,610 --> 00:16:14,490
+لازم تساوي الـ Y كما هو مطلوب okay تمام إذن هذا 
+
+134
+00:16:14,490 --> 00:16:22,890
+برهان الجزء الثاني من السؤال الأول في عند
+
+135
+00:16:22,890 --> 00:16:35,710
+هنا السؤال الثاني question 
+
+136
+00:16:35,710 --> 00:16:48,690
+2 الفرع a show S&T إن الـ infimum لـ set واحد على
+
+137
+00:16:48,690 --> 00:17:03,630
+الجذر الـ N حيث N عدد طبيعي بساوي صفر نشوف 
+
+138
+00:17:03,630 --> 00:17:08,610
+مع بعض واضح 
+
+139
+00:17:08,610 --> 00:17:14,940
+إن صفر أصغر من أو يساوي واحد على الجذر الـ N لكل n
+
+140
+00:17:14,940 --> 00:17:24,180
+عدد طبيعي صح؟ في حد عنده شك في ذلك؟ وبالتالي 
+
+141
+00:17:24,180 --> 00:17:31,040
+so صفر is zero
+
+142
+00:17:31,040 --> 00:17:41,460
+is a lower bound a lower bound of  المجموعة S  اللي هي
+
+143
+00:17:43,280 --> 00:17:48,720
+بنعرفها لأنها مجموعة العناصر 1 على square root
+
+144
+00:17:48,720 --> 00:17:56,140
+of N حيث N ينتمي إلى N طيب
+
+145
+00:17:56,140 --> 00:18:01,600
+to show أن
+
+146
+00:18:01,600 --> 00:18:07,160
+الصفر هو ال minimum ل S أو هو ال greatest lower
+
+147
+00:18:07,160 --> 00:18:28,050
+bound للمجموعة S فبناخد let W be any lower bound of
+
+148
+00:18:28,050 --> 00:18:37,130
+S فبالنسبة
+
+149
+00:18:37,130 --> 00:18:46,710
+لـ claim بنثبت أن الصفر أصغر من أو يساوي W عفوا W
+
+150
+00:18:46,710 --> 00:18:53,150
+أصغر من أو يساوي 0 وبالتالي هيك يكون الصفر أكبر من
+
+151
+00:18:53,150 --> 00:18:57,150
+أو يساوي أي lower bound يعني الصفر هو ال greatest
+
+152
+00:18:57,150 --> 00:19:04,590
+lower bound صح فلبرهان ذلك assume بنعمل برهان
+
+153
+00:19:04,590 --> 00:19:13,920
+بالتناقض on contrary افرضه على النقيد أن w أكبر من 
+
+154
+00:19:13,920 --> 00:19:18,420
+صفر then
+
+155
+00:19:18,420 --> 00:19:21,540
+by
+
+156
+00:19:21,540 --> 00:19:28,160
+Archimedean property .. by Archimedean property
+
+157
+00:19:28,160 --> 00:19:37,150
+لأي عدد موجب زي هذايوجد عدد طبيعي N0 ينتمي إلى N
+
+158
+00:19:37,150 --> 00:19:43,130
+بحيث أنه مقلوب N0
+
+159
+00:19:43,130 --> 00:19:51,250
+أصغر من العدد الموجب W تربيع طبعا W تربيع إذا W
+
+160
+00:19:51,250 --> 00:19:57,960
+عدد موجب فW تربيع بالتأكيد عدد موجب فأنا بطبق الـ
+
+161
+00:19:57,960 --> 00:20:01,360
+Archimedean property مش على w وعلى w تربيع العدد
+
+162
+00:20:01,360 --> 00:20:06,060
+الموجب w square فبقدر ألاقي by Archimedean
+
+163
+00:20:06,060 --> 00:20:11,140
+property natural number n0 مقلوبه وأصغر من w تربيع
+
+164
+00:20:11,140 --> 00:20:21,940
+طبعا هذا بيقدي أن 1 على جذر n0 أصغر من w ومن
+
+165
+00:20:21,940 --> 00:20:22,240
+ال
+
+166
+00:20:26,300 --> 00:20:34,080
+من الفرض الـ W هذا lower bound للمجموعة S وبالتالي هذا
+
+167
+00:20:34,080 --> 00:20:41,320
+أصغر من أو يساوي 1 على الجذر التربيعي ل N0 لأن
+
+168
+00:20:41,320 --> 00:20:46,440
+هذا ينتمي إلى S، هذا عنصر في S، صح؟ واحنا فرضين أن
+
+169
+00:20:46,440 --> 00:20:53,370
+الـ W أشمى lower bound للمجموعة S وهذا answer في
+
+170
+00:20:53,370 --> 00:20:58,730
+المجموعة S إذا ال W كونه lower bound ل S أصغر من أو
+
+171
+00:20:58,730 --> 00:21:04,310
+يساوي 1 على square root ل N0 فطبعا هذا بيدي ان
+
+172
+00:21:04,310 --> 00:21:09,150
+1 على square root ل N0 أصغر من 1 على square
+
+173
+00:21:09,150 --> 00:21:18,330
+root ل N0 وهذا مدينة تناقض كيف عدد بيطلع أصغر من
+
+174
+00:21:18,330 --> 00:21:21,730
+نفسه هذا تناقض لأن هذا التناقض بيقول لإن ال
+
+175
+00:21:21,730 --> 00:21:26,010
+assumption تبعنا ان ال W أكبر من الصفر خطأ
+
+176
+00:21:26,010 --> 00:21:33,210
+وبالتالي ال W لازم يكون أصغر بدل ما هو أكبر من
+
+177
+00:21:33,210 --> 00:21:37,970
+الصفر يطلع أصغر من أو يساوي صفر وبالتالي ال W
+
+178
+00:21:37,970 --> 00:21:43,830
+الصفر هو أكبر lower bound okay إذا هذا بيكمل
+
+179
+00:21:43,830 --> 00:21:45,750
+البرهان تمام
+
+180
+00:22:04,850 --> 00:22:17,070
+نجاوب على الفرع الثاني بيه من السؤال الثاني show
+
+181
+00:22:17,070 --> 00:22:26,770
+أن ال limit ل 1 على جذر ال N as N times infinity
+
+182
+00:22:26,770 --> 00:22:28,370
+بيساوى صفر
+
+183
+00:22:40,270 --> 00:22:45,910
+Proof بإن إحنا في النهاية بيستخدم تعريف طبعا
+
+184
+00:22:45,910 --> 00:22:51,790
+epsilon capital N للنهايات ففي نهاية الأمر بدنا ال
+
+185
+00:22:51,790 --> 00:22:55,190
+absolute value ل 1 على square root of N ناقص 0
+
+186
+00:22:55,190 --> 00:23:02,270
+بدنا ده يطلع أصغر من أي epsilon صح؟ طب ما هذا
+
+187
+00:23:02,270 --> 00:23:05,070
+بيساوى 1 على square root of N
+
+188
+00:23:09,000 --> 00:23:16,500
+متى هذا بيكون أصغر من epsilon فأنا
+
+189
+00:23:16,500 --> 00:23:24,040
+هاخد هذا
+
+190
+00:23:24,040 --> 00:23:28,080
+لما 1 على n أصغر من epsilon تربيع لو ربعت
+
+191
+00:23:28,080 --> 00:23:33,920
+الطرفين فمتى
+
+192
+00:23:33,920 --> 00:23:35,920
+هذا بيكون أصغر من epsilon تربيع
+
+193
+00:23:38,730 --> 00:23:45,210
+Okay إذا هنا هاخد أنا 1 على capital N أصغر من
+
+194
+00:23:45,210 --> 00:23:54,110
+epsilon تربيع إذا
+
+195
+00:23:54,110 --> 00:23:58,570
+نستخدم ال Archimedean property هذا epsilon تربيع
+
+196
+00:23:58,570 --> 00:24:02,690
+عدد موجب By Archimedean property بقدر ألاقي عدد
+
+197
+00:24:02,690 --> 00:24:07,550
+طبيعي capital N مقلوبه وأصغر من epsilon تربيع ناشي
+
+198
+00:24:08,920 --> 00:24:15,320
+بدا هنا given epsilon
+
+199
+00:24:15,320 --> 00:24:27,320
+أكبر من الصفر use الarchimedean property to choose
+
+200
+00:24:27,320 --> 00:24:36,760
+n عدد طبيعي بحيث أن 1 على n أصغر من epsilon
+
+201
+00:24:39,750 --> 00:24:54,590
+الآن لو خدت small n أكبر من أو يساوي capital N فهذا
+
+202
+00:24:54,590 --> 00:24:59,410
+بيقدي أن 1 على small n أصغر لو يساوي 1 على
+
+203
+00:24:59,410 --> 00:25:00,190
+capital N
+
+204
+00:25:05,570 --> 00:25:09,570
+بيقدي 1 على square root ل N أصغر من لو يساوي
+
+205
+00:25:09,570 --> 00:25:16,450
+1 على square root ل capital N وهذا بيقدي ان ال
+
+206
+00:25:16,450 --> 00:25:23,650
+absolute value ل 1 على square root ل N ناقص صفر
+
+207
+00:25:23,650 --> 00:25:27,790
+بيساوى 1 على square root ل N وهذا أصغر من لو
+
+208
+00:25:27,790 --> 00:25:34,250
+يساوي 1 على square root ل capital N وهذا من هنا
+
+209
+00:25:36,260 --> 00:25:40,760
+لو سمينا الـ inequality هذه الـ star إذا by star
+
+210
+00:25:40,760 --> 00:25:48,620
+1 على square root ل N أصغر من epsilon إذا
+
+211
+00:25:48,620 --> 00:25:53,440
+هاي حققنا تعريف epsilon capital N للنهايات for
+
+212
+00:25:53,440 --> 00:25:58,600
+any given epsilon أثبتنا إنه يوجد capital N عدد
+
+213
+00:25:58,600 --> 00:26:02,760
+طبيعي وهذا العدد الطبيعي يعتمد على epsilon هاي
+
+214
+00:26:02,760 --> 00:26:08,910
+مرتبط بepsilon بحيث لكل n أكبر من أو يساوي capital N
+
+215
+00:26:08,910 --> 00:26:16,010
+طلع المسافة بين xn و x اللي هي صفر أصغر من epsilon
+
+216
+00:26:16,010 --> 00:26:23,530
+إذا by definition by
+
+217
+00:26:23,530 --> 00:26:28,910
+definition بيطلع عندي limit 1 على square root ل
+
+218
+00:26:28,910 --> 00:26:33,290
+n بيساوى صفر وهو المطلوب طبعا
+
+219
+00:26:37,550 --> 00:26:42,930
+طبعا في حال ثانية أو في برهان ثاني باستخدام الـ
+
+220
+00:26:42,930 --> 00:26:48,770
+monotone convergence theorem إذا
+
+221
+00:26:48,770 --> 00:26:54,350
+ال solution to use
+
+222
+00:26:54,350 --> 00:27:01,090
+monotone convergence theorem ال sequence أنا عندي
+
+223
+00:27:01,090 --> 00:27:04,350
+xn بيساوى 1 على square root ل n
+
+224
+00:27:09,010 --> 00:27:14,590
+هذا أكبر من أو يساوي 1 على square root ل n زائد
+
+225
+00:27:14,590 --> 00:27:26,090
+1 اللي هو xn زائد 1 وبالتالي ال sequence is
+
+226
+00:27:26,090 --> 00:27:32,900
+decreasing صح؟ بعدين أنا عندي absolute xn بيساوى
+
+227
+00:27:32,900 --> 00:27:38,300
+absolute 1 على جذر ال n أصغر من أو يساوي 1
+
+228
+00:27:38,300 --> 00:27:47,120
+لكل n لكل
+
+229
+00:27:47,120 --> 00:27:57,520
+n فهذا بيقدي ان ال sequence xn is bounded إذا
+
+230
+00:27:57,520 --> 00:28:02,750
+bounded و decreasing إذا الـ sequence xn by
+
+231
+00:28:02,750 --> 00:28:07,690
+monotone convergence theorem limit xn بيساوى
+
+232
+00:28:07,690 --> 00:28:17,710
+الانفمام ل xn حيث n ينتمي إلى n فأثبتنا أن
+
+233
+00:28:17,710 --> 00:28:24,760
+الانفمام بيساوى صفر بالفرع اللي جابله فهذا برهان
+
+234
+00:28:24,760 --> 00:28:28,540
+ثاني لكن احنا ال .. ال monotone convergence الكلام
+
+235
+00:28:28,540 --> 00:28:34,860
+مش داخلة في الامتحان فممكن انكم يعني ال ..
+
+236
+00:28:34,860 --> 00:28:38,580
+تستخدموا البرهان الأول يعني ممكن تستخدموا البرهان
+
+237
+00:28:38,580 --> 00:28:42,360
+الأول يعني okay
+
+238
+00:28:42,360 --> 00:28:46,400
+تمام طيب نكمل
+
+239
+00:29:09,040 --> 00:29:15,540
+find the supremum الجزء C بإنه نوجد ال supremum
+
+240
+00:29:15,540 --> 00:29:20,800
+ل 1 ناقص 1 على جذر ال N حيث N ينتمي إلى N
+
+241
+00:29:20,800 --> 00:29:32,620
+فهذا حسب exercise أخذنا supremum A زائد 6 بيساوى A
+
+242
+00:29:32,620 --> 00:29:38,640
+زائد supremum المجموعة اللي هي عناصرها سالب 1 على
+
+243
+00:29:38,640 --> 00:29:48,800
+جذر ال N هيف N ينتمي إلى N ويساوى 1 الآن
+
+244
+00:29:48,800 --> 00:29:56,140
+supremum سالب مجموعة بيساوى سالب ال infimum لعناصر
+
+245
+00:29:56,140 --> 00:29:56,640
+المجموعة
+
+246
+00:30:05,050 --> 00:30:09,910
+و احنا لسه مثبتين ان ال infimum هذا بيساوى صفر إذا
+
+247
+00:30:09,910 --> 00:30:15,210
+ال supremum للمجموعة هذه بيطلع 1 طيب
+
+248
+00:30:15,210 --> 00:30:25,970
+فرع ثاني show that اثبتي إنه limit cosine
+
+249
+00:30:25,970 --> 00:30:34,290
+n على n أو على جذر ال N as n tends to infinity
+
+250
+00:30:34,290 --> 00:30:38,650
+بيساوى صفر proof
+
+251
+00:30:38,650 --> 00:30:43,290
+أنا
+
+252
+00:30:43,290 --> 00:30:50,010
+عندي cosine n أكبر من أو أصغر من أو يساوى 1 أكبر
+
+253
+00:30:50,010 --> 00:30:59,630
+من أو يساوى سالب 1 لكل n في N و 1
+
+254
+00:31:01,530 --> 00:31:07,070
+على جذر ال N عدد موجب فلو ضربت المتباينة هذه في
+
+255
+00:31:07,070 --> 00:31:11,550
+1 على جذر ال N فبيطلع سالب 1 على جذر ال N
+
+256
+00:31:11,550 --> 00:31:18,130
+أصغر لو يساوى cosine N على جذر ال N أصغر لو يساوى 1
+
+257
+00:31:18,130 --> 00:31:21,690
+على جذر ال N لكل N في N
+
+258
+00:31:24,530 --> 00:31:28,310
+طيب أنا عند ال sequence لسه مثبتين إحنا هنا في
+
+259
+00:31:28,310 --> 00:31:32,510
+الفرع b إن ال sequence هذه ال limit تبعتها as n
+
+260
+00:31:32,510 --> 00:31:35,970
+tends to infinity بيساوى صفر و ال sequence هذه ال
+
+261
+00:31:35,970 --> 00:31:41,430
+limit تبعتها سالب limit 1 على الجذر ال n و سالب
+
+262
+00:31:41,430 --> 00:31:46,830
+1 بصفر بيطلع صفر as n tends to infinity إذا by
+
+263
+00:31:46,830 --> 00:31:47,910
+squeeze theorem
+
+264
+00:31:51,910 --> 00:31:57,090
+بسكويز ثيورم أو sandwich theorem بيطلع limit ال
+
+265
+00:31:57,090 --> 00:32:02,250
+sequence اللي حدّها محصور في النص اللي هو
+
+266
+00:32:02,250 --> 00:32:06,590
+cosine n على square root ل n as n times infinity
+
+267
+00:32:06,590 --> 00:32:16,070
+بيساوى صفر تمام؟ إذن هذا برهان الجزء d
+
+268
+00:32:23,640 --> 00:32:30,920
+واضحة للحلول question
+
+269
+00:32:30,920 --> 00:32:38,680
+تلاتة الفرع a أنا عندي in بيساوى closed interval
+
+270
+00:32:38,680 --> 00:32:44,480
+من صفر ل 1 على جذر ال n prove
+
+271
+00:32:46,630 --> 00:32:51,890
+إنه ال intersection from n equals one to infinity
+
+272
+00:32:51,890 --> 00:33:02,970
+ل I n بيساوى single twin zipper فممكن
+
+273
+00:33:02,970 --> 00:33:11,570
+نستخدم ال nested interval property proof
+
+274
+00:33:11,570 --> 00:33:23,930
+أول شيء واضح واضح إن صفر ينتمي إلى I N لكل N في N هذا
+
+275
+00:33:23,930 --> 00:33:28,690
+بيقدي إن الصفر ينتمي
+
+276
+00:33:28,690 --> 00:33:35,210
+لتقاطعه صح
+
+277
+00:33:35,210 --> 00:33:40,310
+الفترة المغلقة هذه الصفر دائما ينتمي لها لكل عدد
+
+278
+00:33:40,310 --> 00:33:45,330
+طبيعي الآن أنا في عندي sequence of intervals و
+
+279
+00:33:45,330 --> 00:33:49,970
+الصفر ينتمي لكل عنصر في ال set إذا الصفر ينتمي
+
+280
+00:33:49,970 --> 00:34:00,410
+لتقاطع كل المجموعات طيب الفترة I in is closed صح
+
+281
+00:34:00,410 --> 00:34:06,850
+and bounded لكل
+
+282
+00:34:06,850 --> 00:34:16,080
+و بعدين واضح أن I N contains I N زاد واحد لكل N
+
+283
+00:34:16,080 --> 00:34:23,340
+في N صح؟ يعني ال sequence هذه nested يعني ال
+
+284
+00:34:23,340 --> 00:34:29,200
+sequence I N nested
+
+285
+00:34:29,200 --> 00:34:32,300
+إذا
+
+286
+00:34:32,300 --> 00:34:35,940
+by 
+
+287
+00:34:35,940 --> 00:34:38,000
+nested
+
+288
+00:34:44,870 --> 00:34:50,710
+nested intervals theorem  استقاط
+
+289
+00:34:50,710 --> 00:34:59,510
+و هذا لازم يكون في unique element لأنه أنا عندي طيب
+
+290
+00:34:59,510 --> 00:35:07,490
+قبل ما نطبق نستد أنا عندي ال infimum لواحد على جذر
+
+291
+00:35:07,490 --> 00:35:08,810
+n سالب صفر
+
+292
+00:35:18,070 --> 00:35:26,910
+هذا الآن from أثبتنا أنه بيساوي صفر إذا حسب by
+
+293
+00:35:26,910 --> 00:35:31,470
+nested
+
+294
+00:35:31,470 --> 00:35:36,370
+intervals theorem
+
+295
+00:35:39,780 --> 00:35:47,720
+الـ intersection has a unique element has
+
+296
+00:35:47,720 --> 00:35:52,920
+unique element
+
+297
+00:35:52,920 --> 00:35:57,340
+يعني في التقاطع ما فيش عنصر وحيد طب احنا قلنا أن
+
+298
+00:35:57,340 --> 00:36:03,500
+الصفر ينتمي للتقاطع و التقاطع فيه عنصر واحد لذا لازم
+
+299
+00:36:03,500 --> 00:36:07,960
+يساوي الصفر in
+
+300
+00:36:07,960 --> 00:36:08,780
+a sense
+
+301
+00:36:13,330 --> 00:36:21,210
+بما أن الصفر ينتمي للتقاطع يجب
+
+302
+00:36:21,210 --> 00:36:25,210
+أن
+
+303
+00:36:25,210 --> 00:36:31,070
+يكون التقاطع من N بيساوي واحد إلى infinity ل I N بيساوي
+
+304
+00:36:31,070 --> 00:36:33,610
+بس single tone صفر
+
+305
+00:36:39,670 --> 00:36:44,490
+طبعا ممكن أعطيتكم أنا برهان زي هذا بس كان بدل 1
+
+306
+00:36:44,490 --> 00:36:46,110
+على جدر ال N 1 على N
+
+307
+00:36:50,700 --> 00:36:57,680
+و أثبتنا إن ال set هذه طبعا واضح من هنا إن هذه
+
+308
+00:36:57,680 --> 00:37:04,260
+دايما صحيحة و أثبتنا العكس و قلنا إنه لو أخدت أي x
+
+309
+00:37:04,260 --> 00:37:07,880
+تتقاطع فبنا نثبت إن هذا ال x بيساوي صفر و عملنا
+
+310
+00:37:07,880 --> 00:37:12,800
+برهان بالتناقض افرضي إن ال x ما بيساويش صفر إذا أكبر
+
+311
+00:37:12,800 --> 00:37:16,100
+من صفر و وصلنا إلى تناقض by Archimedean property
+
+312
+00:37:17,080 --> 00:37:21,820
+إذا في برهان ثاني لكن أنا حبيت أعطيكم البرهان هذا
+
+313
+00:37:21,820 --> 00:37:26,840
+الثاني اللي ما خدناش زيه طبعا
+
+314
+00:37:26,840 --> 00:37:30,920
+صح
+
+315
+00:37:30,920 --> 00:37:37,340
+إذا أنا عندكم برهانين طيب
+
+316
+00:37:37,340 --> 00:37:42,700
+هاي كمان الجزء بيه من السؤال هذا أنا في عندي
+
+317
+00:37:42,700 --> 00:37:49,820
+sequence xn sequence mrو عندي xn أصغر م�� أو يساوي
+
+318
+00:37:49,820 --> 00:38:02,720
+صفر لكل n و بدنا نثبت إنه إذا كان limit xn بيساوي x
+
+319
+00:38:02,720 --> 00:38:10,810
+then ال x بتطلع أيضا أصغر من أو يساوي صفر أنا في
+
+320
+00:38:10,810 --> 00:38:14,610
+عندي sequence of real numbers كل حدودها غير سالبة
+
+321
+00:38:14,610 --> 00:38:18,330
+و ال sequence converge ل X بالدفعة أن ال limit
+
+322
+00:38:18,330 --> 00:38:27,850
+أيضا بتطلع غير سالبة فهي البرهان proof برهان
+
+323
+00:38:27,850 --> 00:38:32,930
+بالتناقض assume on
+
+324
+00:38:32,930 --> 00:38:33,650
+contrary
+
+325
+00:38:36,400 --> 00:38:45,860
+أن X أكبر من صفر و بدنا نصل إلى تناقض افرض
+
+326
+00:38:45,860 --> 00:38:56,620
+أن X أكبر من صفر طيب let epsilon بيساوي X ع 2 هذا
+
+327
+00:38:56,620 --> 00:39:05,960
+بطل عدل موجب بما أنه since .. since xn converges ل
+
+328
+00:39:05,960 --> 00:39:13,010
+x إذا يوجد capital N يعتمد على إبسلون عدد طبيعي
+
+329
+00:39:13,010 --> 00:39:19,190
+بحيث أنه لو كان n أكبر من أو يساوي capital N فهذا
+
+330
+00:39:19,190 --> 00:39:26,110
+بقدر أن absolute xn minus x أصغر من epsilon طيب ال
+
+331
+00:39:26,110 --> 00:39:30,910
+epsilon هذا أخدناها بيساوي x ع 2 إذا أنا عندي هي xn
+
+332
+00:39:30,910 --> 00:39:36,830
+minus x أصغر من x ع 2 أكبر
+
+333
+00:39:36,830 --> 00:39:38,550
+من سالب x ع 2
+
+334
+00:39:42,440 --> 00:39:49,560
+طيب ما هيك بطلع عندي xn ضيفي x لكل الأطراف فبطلع
+
+335
+00:39:49,560 --> 00:40:01,200
+xn أصغر من 3 x ع 2 أكبر من x ع 2 طيب
+
+336
+00:40:01,200 --> 00:40:06,000
+هذا
+
+337
+00:40:06,000 --> 00:40:12,140
+معناه وهذا الكلام صحيح لكل n أكبر من و يساوي
+
+338
+00:40:12,140 --> 00:40:18,740
+capital N فلو أخدت .. إذا بطلع من هنا xn capital N
+
+339
+00:40:18,740 --> 00:40:22,660
+لو أخدت small n هذه بيساوي capital N فبطلع xn
+
+340
+00:40:22,660 --> 00:40:29,740
+capital N أكبر من x ع 2 و أنا عندي x ع 2 عدد موجب
+
+341
+00:40:29,740 --> 00:40:35,100
+أكبر من 0 إذا أنا بطلع عندي xn capital N أكبر من 0
+
+342
+00:40:35,100 --> 00:40:41,550
+و هذا تناقض لأن أنا فرضت أن كل حدود ال sequence كلهم
+
+343
+00:40:41,550 --> 00:40:46,770
+أعداد غير سالبة فكيف طلع الحد رقم capital N موجب
+
+344
+00:40:46,770 --> 00:40:52,090
+هذا بتناقض مع الفرض تمام؟ إذا هذا سبب التناقض هذا
+
+345
+00:40:52,090 --> 00:40:59,550
+هو ال assumption تبعنا أن x أكبر من الصفر okay؟
+
+346
+00:40:59,550 --> 00:41:05,490
+إذا الصح أن x أصغر من أو يساوي صفر وهو المطلوب
+
+347
+00:41:08,070 --> 00:41:16,710
+Okay تمام إذا يعني هذه يعني بعض الأسئلة الأسئلة 
+
+348
+00:41:16,710 --> 00:41:25,630
+الرابعة هذا نظرية أخذناها و اللي بعدي أعتقد حلناها
+
+349
+00:41:25,630 --> 00:41:34,490
+في المحاضرة فهنوقف هنا و هيك بنكون يعني راجعنا
+
+350
+00:41:34,490 --> 00:41:41,290
+تقريبا امتحان للمتحان النصفية و نشوفكم إن شاء الله
+
+351
+00:41:41,290 --> 00:41:41,690
+بقرأ

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/a-utq7LmSIM_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1404 @@
+1
+00:00:21,060 --> 00:00:27,740
+اليوم ان شاء الله هنحاول نحل امتحان نصفي سابق
+
+2
+00:00:27,740 --> 00:00:32,680
+كمراجعة للامتحان النصفي الأول اللي هناخده ان شاء
+
+3
+00:00:32,680 --> 00:00:40,040
+الله غدا اول سؤال في الامتحان هذا عبارة عن سؤال
+
+4
+00:00:40,040 --> 00:00:45,120
+true or false اذا العبارة صح فبنعلم عليها صح او
+
+5
+00:00:45,120 --> 00:00:52,670
+true واذا خطأ بنعلم عليها خطأ فأول عبارةبتقول لإن
+
+6
+00:00:52,670 --> 00:00:58,250
+ال absolute value ل X سالب Y بساوي absolute X سالب
+
+7
+00:00:58,250 --> 00:01:05,030
+absolute Y وحتى
+
+8
+00:01:05,030 --> 00:01:09,810
+لو كانت تلاقي إشارة موجبة، لو سمحتوا ما تتكلميش
+
+9
+00:01:09,810 --> 00:01:16,710
+إلا لما ترفع إيدك و إعزالك هه هل هذا الكلام صحيح
+
+10
+00:01:16,710 --> 00:01:25,300
+لكلX وY أنتمي إلى R فالعبارة هذه false ليست صحيحة
+
+11
+00:01:25,300 --> 00:01:32,380
+ممكن نجيب أكتر من counter example صح العبارة
+
+12
+00:01:32,380 --> 00:01:36,300
+التانية لو كان S subset of the set of all real
+
+13
+00:01:36,300 --> 00:01:42,420
+numbers is finite لو
+
+14
+00:01:42,420 --> 00:01:48,840
+كانت ال set هذه finiteفهذا بيقدّي أن ال supremum S
+
+15
+00:01:48,840 --> 00:01:59,400
+و ال infimum S ينتمي لل set S هل هذا true؟ هل لما
+
+16
+00:01:59,400 --> 00:02:03,420
+تكون ال set finite ال supremum تبعها و ال infimum
+
+17
+00:02:03,420 --> 00:02:08,840
+تبعها ينتمي إلها؟ هذا صحيح كان تمرين exercise و
+
+18
+00:02:08,840 --> 00:02:11,380
+برهنة، إذن هذا true
+
+19
+00:02:15,490 --> 00:02:22,250
+تلاتة لو أعرفت ال set I of S على إنها the set of
+
+20
+00:02:22,250 --> 00:02:34,870
+all V حيث V بساوي infimum ال set S فال
+
+21
+00:02:34,870 --> 00:02:40,430
+set هذه contains contains
+
+22
+00:02:40,430 --> 00:02:44,010
+more than one element more than
+
+23
+00:02:46,860 --> 00:02:52,280
+one element المجموعة
+
+24
+00:02:52,280 --> 00:02:58,000
+هذه تحتوي على أكتر من عنصر، هل هذا صحيح؟ هل الست
+
+25
+00:02:58,000 --> 00:03:01,860
+ممكن يكون إلها أكتر من infamous؟ لأ، لأ، لأ، لأ،
+
+26
+00:03:01,860 --> 00:03:02,560
+لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ،
+
+27
+00:03:02,560 --> 00:03:07,020
+لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ،
+
+28
+00:03:07,020 --> 00:03:07,100
+لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ،
+
+29
+00:03:07,100 --> 00:03:10,040
+لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، ل
+
+30
+00:03:13,960 --> 00:03:19,580
+العبارة الرابعة every monotone sequence converges
+
+31
+00:03:19,580 --> 00:03:25,980
+if and only if it is bounded هذه
+
+32
+00:03:25,980 --> 00:03:28,780
+عبارة عن الـ monotone convergence theorem فهذه
+
+33
+00:03:28,780 --> 00:03:34,620
+true ال
+
+34
+00:03:34,620 --> 00:03:40,020
+sequence سالب
+
+35
+00:03:40,020 --> 00:03:55,840
+واحد أس N على Nإن ينتمي لإن is convergent هل
+
+36
+00:03:55,840 --> 00:03:56,760
+هذا صحيح؟
+
+37
+00:04:06,660 --> 00:04:12,140
+طيب ماشي المشكلة أن الأقلام السودة اللي عندي كلها
+
+38
+00:04:12,140 --> 00:04:22,160
+صارت فاتعة اه في واحد جبت انت و
+
+39
+00:04:22,160 --> 00:04:32,480
+الله انا مش كتير يعني
+
+40
+00:04:32,480 --> 00:04:36,020
+هدم يعني احسن نشوف يعني
+
+41
+00:04:42,570 --> 00:04:47,330
+فال sequence هذه convergent هل هذا صحيح ولا خطأ
+
+42
+00:04:47,330 --> 00:04:54,790
+هذا true و
+
+43
+00:04:54,790 --> 00:05:00,050
+لو بدنا نبرهن الكلام هذا و بالمناسبة ال sequence
+
+44
+00:05:00,050 --> 00:05:06,410
+هذه converge لصفر converge و ال limit تبعتها صفر
+
+45
+00:05:07,900 --> 00:05:14,940
+ليه؟ لأنه هاي المسافة بين ال inf term لحد انه ليه؟
+
+46
+00:05:14,940 --> 00:05:23,620
+سالب واحد أس ان على n سالب سفر ايش
+
+47
+00:05:23,620 --> 00:05:27,520
+هاد بالساوي؟
+
+48
+00:05:27,520 --> 00:05:28,320
+بتساوي
+
+49
+00:05:37,950 --> 00:05:45,590
+بتساوي واحد على ان صح؟ نصبوت؟ وهذا أصغر من اذا كان
+
+50
+00:05:45,590 --> 00:05:54,410
+واحد ضرب واحد على ان هذا عدد موجب واحد على ان تقول
+
+51
+00:05:54,410 --> 00:06:05,090
+للسفر إذن حسب نظرية سابقة رقمها
+
+52
+00:06:05,090 --> 00:06:11,610
+كان في النقص اتنين اربعةبطلع limit xn بسا��ي سفر
+
+53
+00:06:11,610 --> 00:06:15,190
+limit سالب
+
+54
+00:06:15,190 --> 00:06:20,750
+واحد بس n على n لما n تقوى ل infinity بساوي سفر
+
+55
+00:06:20,750 --> 00:06:25,230
+إذا
+
+56
+00:06:25,230 --> 00:06:28,650
+ال sequence هذي convergent إذا العبارة هذه true
+
+57
+00:06:28,650 --> 00:06:31,650
+طيب عبارة تانية
+
+58
+00:06:45,940 --> 00:06:55,320
+product of two divergent sequences
+
+59
+00:06:55,320 --> 00:07:03,700
+is divergent هل
+
+60
+00:07:03,700 --> 00:07:05,280
+هذا true ولا false؟
+
+61
+00:07:08,090 --> 00:07:10,990
+العبارة هادف false طب لما قلنا لكوا جيبوا counter
+
+62
+00:07:10,990 --> 00:07:17,310
+example ممكن تجيب سالب واحد اثنان وكمان ال
+
+63
+00:07:17,310 --> 00:07:23,290
+sequence التانية تكون سالب واحد اثنان او
+
+64
+00:07:23,290 --> 00:07:26,830
+ممكن تكون سالب واحد اثنان زائد واحد نفس الشغل
+
+65
+00:07:26,830 --> 00:07:32,390
+بتطلع convergent ال productهذه الـ divergent وهذه
+
+66
+00:07:32,390 --> 00:07:38,210
+الـ divergent لكن X in في Y in هساوي ال sequence
+
+67
+00:07:38,210 --> 00:07:44,650
+سلب واحد واست اتنين in لما
+
+68
+00:07:44,650 --> 00:07:49,370
+نضربهم في بعض فهذا بيعطيني ال sequence ثابت واحد
+
+69
+00:07:49,370 --> 00:07:55,730
+وهذه converge لواحد اذا هذه في عندي example of two
+
+70
+00:07:55,730 --> 00:08:01,090
+divergent sequences لكن حصل ضربهم بيطلعconvergent
+
+71
+00:08:01,090 --> 00:08:06,230
+وليس divergent طيب
+
+72
+00:08:06,230 --> 00:08:21,470
+لو كانت S bounded S bounded subset of R وS0
+
+73
+00:08:21,470 --> 00:08:28,510
+subset من S هل هذا بيقدّي ان انفمم
+
+74
+00:08:29,760 --> 00:08:42,480
+S0 subset أصغر من أو يساوي انفمه من ال S هل
+
+75
+00:08:42,480 --> 00:08:51,020
+هذه العبارة صحيحة؟ أيه
+
+76
+00:08:51,020 --> 00:08:59,320
+رأيكم؟ العبارة هذه falseلما مجموعة تصغر ال inform
+
+77
+00:08:59,320 --> 00:09:07,940
+تباعها بيكبر، لكن اللي بيكون صح أنه ال supremum لو
+
+78
+00:09:07,940 --> 00:09:12,600
+أخدت ال supremum للمجموعة الجزئية S0 فهذا بيطلع
+
+79
+00:09:12,600 --> 00:09:17,040
+أصغر من أو ساوي ال supremum للمجموع S، هذه العبارة
+
+80
+00:09:17,040 --> 00:09:17,320
+true
+
+81
+00:09:20,870 --> 00:09:25,710
+ال supremum لما المجموعه تكبر بيكبر لكن ال infimum
+
+82
+00:09:25,710 --> 00:09:38,110
+لما المجموعه تكبر بيصغر عكس بعض طيب
+
+83
+00:09:43,200 --> 00:09:50,100
+لو كانت x in sequence of positive real numbers و
+
+84
+00:09:50,100 --> 00:10:02,060
+limit x in plus one over x in بساوي واحد فهذا
+
+85
+00:10:02,060 --> 00:10:08,180
+بيقدي ان ال sequence x in diverges
+
+86
+00:10:08,180 --> 00:10:15,870
+هل هذه العبارة صح ولا خطأ؟العبارة هذه خطأ لأنه
+
+87
+00:10:15,870 --> 00:10:22,230
+احنا فينا في تمرين سبتاشر في section تلاتة اتنين
+
+88
+00:10:22,230 --> 00:10:26,230
+بقول اذا كانت ال sequence .. اذا كان ال limit
+
+89
+00:10:26,230 --> 00:10:29,630
+ratio هذا بساوي واحد فال sequence ممكن تكون
+
+90
+00:10:29,630 --> 00:10:33,890
+convergent او divergent وفي السؤال هذا اعطينا
+
+91
+00:10:33,890 --> 00:10:41,240
+مثلين واحد ل sequence convergentال ratio limit ال
+
+92
+00:10:41,240 --> 00:10:45,100
+ratio تبعها بيساوي واحد لكنها convergent ومثال
+
+93
+00:10:45,100 --> 00:10:50,300
+تاني ل sequence limit ال ratio تبعها أيضا بيساوي
+
+94
+00:10:50,300 --> 00:10:53,700
+واحد لكنها divergent إذا لو كان limit ال ratio
+
+95
+00:10:53,700 --> 00:10:57,100
+بيساوي واحد فال sequence إما converge أو divergent
+
+96
+00:10:57,100 --> 00:11:01,400
+مالضايش نجزم إنها convergent أو نجزم إنها
+
+97
+00:11:01,400 --> 00:11:07,020
+divergent okay إذا العبارة هذه خطأ أو false إذا
+
+98
+00:11:07,020 --> 00:11:13,950
+العبارة هذه falseلو بدلت divergent بconvergent
+
+99
+00:11:13,950 --> 00:11:21,530
+برضه false الصح انها may converge or may diverge
+
+100
+00:11:21,530 --> 00:11:26,810
+طيب
+
+101
+00:11:26,810 --> 00:11:43,910
+العبارة الأخيرة تسعةأي open interval
+
+102
+00:11:43,910 --> 00:11:47,950
+a وb تحتوي
+
+103
+00:11:47,950 --> 00:11:49,970
+rational number R
+
+104
+00:11:54,840 --> 00:11:59,220
+في rational number محصور من a وb يعني ال open
+
+105
+00:11:59,220 --> 00:12:03,920
+interval تحتوي ال R كذلك في نتيجة ال density
+
+106
+00:12:03,920 --> 00:12:08,300
+theorem أي open interval زي هذه تحتوي ال rational
+
+107
+00:12:08,300 --> 00:12:13,780
+إذن هذا الكلام صحيح
+
+108
+00:12:13,780 --> 00:12:18,340
+إذن هذا أول سؤال صح وخطأ السؤال التاني
+
+109
+00:12:33,670 --> 00:12:50,070
+Question 2 اذا
+
+110
+00:12:50,070 --> 00:12:55,770
+احنا
+
+111
+00:12:55,770 --> 00:13:01,210
+بنحل هذا امتحان هذا امتحان Med
+
+112
+00:13:03,740 --> 00:13:11,660
+mid term one التاريخ
+
+113
+00:13:11,660 --> 00:13:24,780
+تبعه اتناش تلاتة الفين و تلاتاش السؤال
+
+114
+00:13:24,780 --> 00:13:32,630
+او الفرع B من السؤال الأولإذا هذا السؤال الأول
+
+115
+00:13:32,630 --> 00:13:37,290
+الفرق بيه
+
+116
+00:13:37,290 --> 00:13:44,130
+X و Y ينتموا إلى R أعداد حقيقية Such that absolute
+
+117
+00:13:44,130 --> 00:13:53,190
+X minus Y أصغر من واحد على N لكل N في N لما نثبت
+
+118
+00:13:53,190 --> 00:13:55,470
+أن هذا بقدر X بساوي Y
+
+119
+00:14:00,570 --> 00:14:09,470
+البرهان هنستخدم الـ Archimedean property assume on
+
+120
+00:14:09,470 --> 00:14:13,930
+contrary على
+
+121
+00:14:13,930 --> 00:14:23,710
+المقيد ان X لا يساوي Y هذا
+
+122
+00:14:23,710 --> 00:14:24,410
+بيقدّي
+
+123
+00:14:28,910 --> 00:14:44,930
+أكبر من سفر لأي
+
+124
+00:14:44,930 --> 00:14:53,850
+عدد موجب يوجد in zero عدد طبيعيبحيث ان واحد على ن
+
+125
+00:14:53,850 --> 00:15:05,390
+زيرو أصغر من absolute X سالب Y هذا
+
+126
+00:15:05,390 --> 00:15:13,530
+من وين من ال Archimedean property طيب
+
+127
+00:15:13,530 --> 00:15:16,610
+انا عندي من الفرض
+
+128
+00:15:19,930 --> 00:15:36,910
+من الفرض by hypothesis هذا أصغر من واحد على n لكل
+
+129
+00:15:36,910 --> 00:15:39,770
+n وبالتالي هذا صحيح ل n zero
+
+130
+00:15:48,170 --> 00:15:53,370
+إذن بيطلع عندى 1 على N0 أصغر من 1 على N0 إذن هذا
+
+131
+00:15:53,370 --> 00:16:00,590
+بيقدي إن 1 على N0 أصغر من 1 على N0 وهذا تناقض
+
+132
+00:16:00,590 --> 00:16:07,610
+contradiction تناقض إذن هذا التناقض بيقول إن ال X
+
+133
+00:16:07,610 --> 00:16:14,490
+لازم تساوي ال Y كما هو مطلوب okay تمامإذن هذا
+
+134
+00:16:14,490 --> 00:16:22,890
+برهان الجزء التاني من السؤال الأول في عند
+
+135
+00:16:22,890 --> 00:16:35,710
+هنا السؤال التاني question
+
+136
+00:16:35,710 --> 00:16:48,690
+2 الفرع a show S&Tإن الـ infimum لست واحد على
+
+137
+00:16:48,690 --> 00:17:03,630
+الجذر ال N حيث N عدد طوابيعي بساوي سفر نشوف
+
+138
+00:17:03,630 --> 00:17:08,610
+مع بعض واضح
+
+139
+00:17:08,610 --> 00:17:14,940
+إن سفر أصغر من أو ساوي واحد على الجذر ال Nلكل n
+
+140
+00:17:14,940 --> 00:17:24,180
+عدد طبيعي صح؟ في حد عنده شك في ذلك؟ وبالتالي
+
+141
+00:17:24,180 --> 00:17:31,040
+so سفر is zero
+
+142
+00:17:31,040 --> 00:17:41,460
+is a lower bound a lower bound of ال set S اللي هي
+
+143
+00:17:43,280 --> 00:17:48,720
+بنعرفها لأنها مجموعة العناصر واحد على square root
+
+144
+00:17:48,720 --> 00:17:56,140
+of N حيث N ينتمي ل N طيب
+
+145
+00:17:56,140 --> 00:18:01,600
+to show أن
+
+146
+00:18:01,600 --> 00:18:07,160
+السفر هو ال minimum ل S أو هو ال greatest lower
+
+147
+00:18:07,160 --> 00:18:28,050
+bound لمجموعة S فبناخد let Wbe any lower bound of
+
+148
+00:18:28,050 --> 00:18:37,130
+S فبالنسبة
+
+149
+00:18:37,130 --> 00:18:46,710
+لـ claimبنثبت أن السفر أصغر من أو ساوي W عفوا W
+
+150
+00:18:46,710 --> 00:18:53,150
+أصغر من أو ساوي 0 وبالتالي هيك يكون السفر أكبر من
+
+151
+00:18:53,150 --> 00:18:57,150
+أو ساوي أي lower bound يعني السفر هو ال greatest
+
+152
+00:18:57,150 --> 00:19:04,590
+lower bound صح فلبرهان ذلك assume بنعمل برهان
+
+153
+00:19:04,590 --> 00:19:13,920
+بالتناقض on contraryأفرضه على النقيد أن w أكبر من
+
+154
+00:19:13,920 --> 00:19:18,420
+سفر then
+
+155
+00:19:18,420 --> 00:19:21,540
+by
+
+156
+00:19:21,540 --> 00:19:28,160
+Archimedean property .. by Archimedean property
+
+157
+00:19:28,160 --> 00:19:37,150
+لأي عدد موجب زي هذايوجد عدد طبيعي N0 ينتمي إلى N
+
+158
+00:19:37,150 --> 00:19:43,130
+بحيث انه مقلوب N0
+
+159
+00:19:43,130 --> 00:19:51,250
+أصغر من العدد الموجب W تربية طبعا W تربية إذا W
+
+160
+00:19:51,250 --> 00:19:57,960
+عدد موجب فW تربية بالتأكيد عدد موجبفانا بطبّق الـ
+
+161
+00:19:57,960 --> 00:20:01,360
+Archimedean property مش على w وعلى w تربية العدد
+
+162
+00:20:01,360 --> 00:20:06,060
+الموجب w square فبقدر ألاقي by Archimedean
+
+163
+00:20:06,060 --> 00:20:11,140
+property natural number n0 مقلوب وأصغر من w تربية
+
+164
+00:20:11,140 --> 00:20:21,940
+طبعا هذا بيقدّي أن واحد على جذر n0 أصغر من w ومن
+
+165
+00:20:21,940 --> 00:20:22,240
+ال
+
+166
+00:20:26,300 --> 00:20:34,080
+من الفرض الـ W هذا lower bound للست S وبالتالي هذا
+
+167
+00:20:34,080 --> 00:20:41,320
+أصغر من أو سوى واحد على الجدر التربيهي ل N0 لأن
+
+168
+00:20:41,320 --> 00:20:46,440
+هذا ينتمي ل S، هذا عنصر في S، صح؟ واحنا فرضين أن
+
+169
+00:20:46,440 --> 00:20:53,370
+الـ W أشمل lower boundللمجموع S وهذا answer في
+
+170
+00:20:53,370 --> 00:20:58,730
+المجموع S إذا ال W كونه lower bound ل S أصغر من أو
+
+171
+00:20:58,730 --> 00:21:04,310
+ساوي واحد على square root ل N0 فطبعا هذا بيدي ان
+
+172
+00:21:04,310 --> 00:21:09,150
+واحد على square root ل N0 أصغر من واحد على square
+
+173
+00:21:09,150 --> 00:21:18,330
+root ل N0 وهذا مدينة تناقضكيف عدد بيطلع أصغر من
+
+174
+00:21:18,330 --> 00:21:21,730
+نفسه هذا تناقض لأن هذا التناقض بيقول لإن ال
+
+175
+00:21:21,730 --> 00:21:26,010
+assumption تبعنا ان ال W أكبر من السفر خطأ
+
+176
+00:21:26,010 --> 00:21:33,210
+وبالتالي ال W لازم يكون أصغر بدل ما هو أكبر من
+
+177
+00:21:33,210 --> 00:21:37,970
+السفر يطلع أصغر من أو يساوي سفر وبالتالي ال W
+
+178
+00:21:37,970 --> 00:21:43,830
+السفر هو أكبر lower bound okay إذا هذا بيكمل
+
+179
+00:21:43,830 --> 00:21:45,750
+البرهان تمام
+
+180
+00:22:04,850 --> 00:22:17,070
+انجاب على الفرق بيه من السؤال التاني show
+
+181
+00:22:17,070 --> 00:22:26,770
+ان ال limit لواحد على جذر ال N as N times infinity
+
+182
+00:22:26,770 --> 00:22:28,370
+بساوي سفر
+
+183
+00:22:40,270 --> 00:22:45,910
+Proof بإن احنا في النهاية بيستخدم تعريف طبعا
+
+184
+00:22:45,910 --> 00:22:51,790
+epsilon capital N للنهايات ففي نهاية الأمر بدنا ال
+
+185
+00:22:51,790 --> 00:22:55,190
+absolute value ل 1 على square root of N minus 0
+
+186
+00:22:55,190 --> 00:23:02,270
+بدنا ده يطلع أصغر من أي epsilon صح؟ طب ما هذا
+
+187
+00:23:02,270 --> 00:23:05,070
+بيساوي 1 على square root of N
+
+188
+00:23:09,000 --> 00:23:16,500
+متى هذا بيكون أصغر من epsilon فانا
+
+189
+00:23:16,500 --> 00:23:24,040
+هاخد هذا
+
+190
+00:23:24,040 --> 00:23:28,080
+لما واحد على n أصغر من epsilon تربية لو ربعت
+
+191
+00:23:28,080 --> 00:23:33,920
+الطرفين فمتى
+
+192
+00:23:33,920 --> 00:23:35,920
+هذا بيكون أصغر من epsilon تربية
+
+193
+00:23:38,730 --> 00:23:45,210
+Okay إذا هنا هاخد انا واحد على capital N أصغر من
+
+194
+00:23:45,210 --> 00:23:54,110
+epsilon تربية إذا
+
+195
+00:23:54,110 --> 00:23:58,570
+نستخدم ال Archimedean property هذا epsilon تربية
+
+196
+00:23:58,570 --> 00:24:02,690
+عدد موجب By Archimedean property بقدر ألاقي عدد
+
+197
+00:24:02,690 --> 00:24:07,550
+طبيعي capital N مقلوب وأصغر من epsilon تربية ناشي
+
+198
+00:24:08,920 --> 00:24:15,320
+بدا هنا given epsilon
+
+199
+00:24:15,320 --> 00:24:27,320
+أكبر من السفر use الarchimedean property to choose
+
+200
+00:24:27,320 --> 00:24:36,760
+n عدد طبيعي بحيث أن واحد على n أصغر من epsilon
+
+201
+00:24:39,750 --> 00:24:54,590
+الان لو خدت small n أكبر من أو ساوي capital N فهذا
+
+202
+00:24:54,590 --> 00:24:59,410
+بيقدي أن واحد على small n أصغر لو ساوي واحد على
+
+203
+00:24:59,410 --> 00:25:00,190
+capital N
+
+204
+00:25:05,570 --> 00:25:09,570
+بيقدي واحد على square root ل N أصغر من لو يساوي
+
+205
+00:25:09,570 --> 00:25:16,450
+واحد على square root ل capital N وهذا بيقدي ان ال
+
+206
+00:25:16,450 --> 00:25:23,650
+absolute value لواحد على square root ل N minus صفر
+
+207
+00:25:23,650 --> 00:25:27,790
+بيساوي واحد على square root ل N وهذا أصغر من لو
+
+208
+00:25:27,790 --> 00:25:34,250
+يساوي واحد على square root ل capital N وهذا من هنا
+
+209
+00:25:36,260 --> 00:25:40,760
+لو سمينا الـ inequality هذه الـ star إذا by star
+
+210
+00:25:40,760 --> 00:25:48,620
+واحد على square root ل N أصغر من epsilon إذا
+
+211
+00:25:48,620 --> 00:25:53,440
+هاي نحققنا تعريف epsilon capital N للنهايات for
+
+212
+00:25:53,440 --> 00:25:58,600
+any given epsilon أثبتنا إنه يوجد capital N عدد
+
+213
+00:25:58,600 --> 00:26:02,760
+طبيعي وهذا العدد الطبيعي يعتمد على epsilon هاي
+
+214
+00:26:02,760 --> 00:26:08,910
+مرتبط بepsilonبحيث لكل n أكبر من أو ساوي capital N
+
+215
+00:26:08,910 --> 00:26:16,010
+طلع المسافة بين xn و x اللي هي سفر أصغر من epsilon
+
+216
+00:26:16,010 --> 00:26:23,530
+اذا by definition by
+
+217
+00:26:23,530 --> 00:26:28,910
+definition بطلع عندي limit واحد على square root ل
+
+218
+00:26:28,910 --> 00:26:33,290
+n بساوي سفر وهو المطلوب طبعا
+
+219
+00:26:37,550 --> 00:26:42,930
+طبعاً في حال تاني أو في برهان تاني باستخدام الـ
+
+220
+00:26:42,930 --> 00:26:48,770
+monotone convergence theorem إذا
+
+221
+00:26:48,770 --> 00:26:54,350
+ال solution to use
+
+222
+00:26:54,350 --> 00:27:01,090
+monotone convergence theorem ال sequence أنا عندي
+
+223
+00:27:01,090 --> 00:27:04,350
+xn بساوي واحد على square root ل n
+
+224
+00:27:09,010 --> 00:27:14,590
+هذا أكبر من أو ساوي واحد على square root ل n زايد
+
+225
+00:27:14,590 --> 00:27:26,090
+واحد اللي هو xn زايد واحد وبالتالي ال sequence is
+
+226
+00:27:26,090 --> 00:27:32,900
+decreasing صح؟بعدين انا عندي absolute xn بساوي
+
+227
+00:27:32,900 --> 00:27:38,300
+absolute واحد على جدر ال n أصغر من أو ساوي واحد
+
+228
+00:27:38,300 --> 00:27:47,120
+لكل n لكل
+
+229
+00:27:47,120 --> 00:27:57,520
+n فهذا بيقدي ان ال sequence xn is bounded اذا
+
+230
+00:27:57,520 --> 00:28:02,750
+bounded و decrease inإذا الـ sequence xn by
+
+231
+00:28:02,750 --> 00:28:07,690
+monotone convergence theorem limit xn بساوة
+
+232
+00:28:07,690 --> 00:28:17,710
+الانفمام ل xn حيث n ينتمي إلى n فأثبتنا أن
+
+233
+00:28:17,710 --> 00:28:24,760
+الانفمام بساوة سفر بالفرع اللي جابلهفهذا برهان
+
+234
+00:28:24,760 --> 00:28:28,540
+تاني لكن احنا ال .. ال monotone convergence الكلام
+
+235
+00:28:28,540 --> 00:28:34,860
+مش داخله في الامتحان فممكن انكم يعني ال ..
+
+236
+00:28:34,860 --> 00:28:38,580
+تستخدموا البرهان الأول يعني ممكن تستخدموا البرهان
+
+237
+00:28:38,580 --> 00:28:42,360
+الأول يعني okay
+
+238
+00:28:42,360 --> 00:28:46,400
+تمام طيب نكمل
+
+239
+00:29:09,040 --> 00:29:15,540
+find the supremum الجزء C بإنه نوجد ال supremum
+
+240
+00:29:15,540 --> 00:29:20,800
+لواحد سالب واحد على الجدر ال N حيث N ينتمي ل N
+
+241
+00:29:20,800 --> 00:29:32,620
+فهذا حسب exercise أخدنا supremum A زائد 6 بساوي A
+
+242
+00:29:32,620 --> 00:29:38,640
+زائد supremumالست اللي هي عناصرها سالب واحد على
+
+243
+00:29:38,640 --> 00:29:48,800
+جدر ال N هيف N ينتمي الى N ويساوي واحد الان
+
+244
+00:29:48,800 --> 00:29:56,140
+supremum سالب ست بيساوي سالب ال infimum لعناصر
+
+245
+00:29:56,140 --> 00:29:56,640
+الست
+
+246
+00:30:05,050 --> 00:30:09,910
+و احنا لسه مثبتين ان ال inform هذا بساوي سفر اذا
+
+247
+00:30:09,910 --> 00:30:15,210
+ال suprem للست هذي بطلع واحد طيب
+
+248
+00:30:15,210 --> 00:30:25,970
+فرقة تانية show that اثبتي انه limit cosine
+
+249
+00:30:25,970 --> 00:30:34,290
+n على n او على جدر ال nas n tends to infinity
+
+250
+00:30:34,290 --> 00:30:38,650
+بساوي سفر proof
+
+251
+00:30:38,650 --> 00:30:43,290
+أنا
+
+252
+00:30:43,290 --> 00:30:50,010
+عندي cosine n أكبر من أو أصغر من أو ساوي واحد أكبر
+
+253
+00:30:50,010 --> 00:30:59,630
+من أو ساوي سالب واحد لكل n في n وواحد
+
+254
+00:31:01,530 --> 00:31:07,070
+على جدر ال N عدد موجب فلو ضربت المتباينة هذه في
+
+255
+00:31:07,070 --> 00:31:11,550
+واحد على جدر ال N فبطلع سالب واحد على جدر ال N
+
+256
+00:31:11,550 --> 00:31:18,130
+أصغر لو سوى cosine N على جدر ال N أصغر لو سوى واحد
+
+257
+00:31:18,130 --> 00:31:21,690
+على جدر ال N لكل N في N
+
+258
+00:31:24,530 --> 00:31:28,310
+طيب انا عند ال sequence لسه مثبتين احنا هنا في
+
+259
+00:31:28,310 --> 00:31:32,510
+الفرع b ان ال sequence هذه ال limit تبعتها as n
+
+260
+00:31:32,510 --> 00:31:35,970
+tends to infinity بساوة سفر و ال sequence هذه ال
+
+261
+00:31:35,970 --> 00:31:41,430
+limit تبعتها سالب limit واحد على الجدر ال n و سالب
+
+262
+00:31:41,430 --> 00:31:46,830
+واحد بسفر بطلع سفر as n tends to infinity ��ذا by
+
+263
+00:31:46,830 --> 00:31:47,910
+squeeze theorem
+
+264
+00:31:51,910 --> 00:31:57,090
+بسكويز تيريم أو sandwich theorem بطلع limit ال
+
+265
+00:31:57,090 --> 00:32:02,250
+sequence اللي لحد تبعها محصور في النص اللي هو
+
+266
+00:32:02,250 --> 00:32:06,590
+cosine n على square root ل n as n times infinity
+
+267
+00:32:06,590 --> 00:32:16,070
+بساوي 7 تمام؟ إذن هذا برهان الجزء دي
+
+268
+00:32:23,640 --> 00:32:30,920
+واضحة للحلول question
+
+269
+00:32:30,920 --> 00:32:38,680
+تلاتة الفرع a انا عندي in بالساوية closed interval
+
+270
+00:32:38,680 --> 00:32:44,480
+من سفر لواحد على جدر ال n prove
+
+271
+00:32:46,630 --> 00:32:51,890
+إنه ال intersection from n equals one to infinity
+
+272
+00:32:51,890 --> 00:33:02,970
+ل I n بساوي single twin zipper فممكن
+
+273
+00:33:02,970 --> 00:33:11,570
+نستخدم ال nested interval property proof
+
+274
+00:33:11,570 --> 00:33:23,930
+أول شي واضحواضح ان سفر ينتمي ل I N لكل N في N هذا
+
+275
+00:33:23,930 --> 00:33:28,690
+بيقدي ان السفر ينتمي
+
+276
+00:33:28,690 --> 00:33:35,210
+لتقاطعه صح
+
+277
+00:33:35,210 --> 00:33:40,310
+الفترة المغلقة هذه السفر دائما ينتمي لها لكل عدد
+
+278
+00:33:40,310 --> 00:33:45,330
+طبيعيالان انا في عندي sequence of intervals و
+
+279
+00:33:45,330 --> 00:33:49,970
+السفر ينتمي لكل عنصر في ال set إذا السفر ينتمي
+
+280
+00:33:49,970 --> 00:34:00,410
+لتقاطه كل المجموعات طيب الفترة I in is closed صح
+
+281
+00:34:00,410 --> 00:34:06,850
+and bounded لكل
+
+282
+00:34:06,850 --> 00:34:16,080
+inو بعدين واضح ان I N contains I N زاد واحد لكل N
+
+283
+00:34:16,080 --> 00:34:23,340
+في N صح؟ يعني ال sequence هذه nested يعني ال
+
+284
+00:34:23,340 --> 00:34:29,200
+sequence I N nested
+
+285
+00:34:29,200 --> 00:34:32,300
+اذا
+
+286
+00:34:32,300 --> 00:34:35,940
+by
+
+287
+00:34:35,940 --> 00:34:38,000
+nested
+
+288
+00:34:44,870 --> 00:34:50,710
+intervals theorem استقاط
+
+289
+00:34:50,710 --> 00:34:59,510
+وهذا لازم يكون في unique element لأنه انا عندي طيب
+
+290
+00:34:59,510 --> 00:35:07,490
+جبل ما نطبق نستد انا عندي ال infimum لواحد على جذر
+
+291
+00:35:07,490 --> 00:35:08,810
+n سالب سفر
+
+292
+00:35:18,070 --> 00:35:26,910
+هذا الان from أثبتنا أنه بساوي سبر إذا حسب by
+
+293
+00:35:26,910 --> 00:35:31,470
+nested
+
+294
+00:35:31,470 --> 00:35:36,370
+intervals theorem
+
+295
+00:35:39,780 --> 00:35:47,720
+الـ intersection has unique element has
+
+296
+00:35:47,720 --> 00:35:52,920
+unique element
+
+297
+00:35:52,920 --> 00:35:57,340
+يعني في التقاطع مافيش أنصر وحيد طب احنا قلنا ان
+
+298
+00:35:57,340 --> 00:36:03,500
+السفر ينتمي لتقاطع وتقاطع في أنصر واحد لذا لازم
+
+299
+00:36:03,500 --> 00:36:07,960
+يساوي السفر in
+
+300
+00:36:07,960 --> 00:36:08,780
+a sense
+
+301
+00:36:13,330 --> 00:36:21,210
+بما أن السفر ينتمي للتقاطع يجب
+
+302
+00:36:21,210 --> 00:36:25,210
+أن
+
+303
+00:36:25,210 --> 00:36:31,070
+يكون التقاطع من N بساوي واحد infinity ل I N بساوي
+
+304
+00:36:31,070 --> 00:36:33,610
+بس single tone سفر
+
+305
+00:36:39,670 --> 00:36:44,490
+طبعا ممكن اعطيتكم انا برهان زي هذا بس كان بدل 1
+
+306
+00:36:44,490 --> 00:36:46,110
+على جدر ال N 1 على N
+
+307
+00:36:50,700 --> 00:36:57,680
+و أثبتنا إن ال set هذى طبعا واضح من هنا إن هذى
+
+308
+00:36:57,680 --> 00:37:04,260
+دايما صحيحة و أثبتنا العكس و قلنا إنه لو أخدت أي x
+
+309
+00:37:04,260 --> 00:37:07,880
+تتقاطع فبنا نثبت إن هذا ال x بساوي سفر و عملنا
+
+310
+00:37:07,880 --> 00:37:12,800
+برهان بالتناقض افرضي إن ال x مابسويش سفر إذا أكبر
+
+311
+00:37:12,800 --> 00:37:16,100
+من سفر و وصلنا إلى تناقض by Archimedean property
+
+312
+00:37:17,080 --> 00:37:21,820
+إذا في برهان تاني لكن أنا حبيت أعطيكم البرهان هذا
+
+313
+00:37:21,820 --> 00:37:26,840
+التاني اللي ما خناش زيه طبعا
+
+314
+00:37:26,840 --> 00:37:30,920
+صح
+
+315
+00:37:30,920 --> 00:37:37,340
+إذا أنا عندكم برهانين طيب
+
+316
+00:37:37,340 --> 00:37:42,700
+هاي كمان الجزء بيه من السؤال هذا أنا في عندي
+
+317
+00:37:42,700 --> 00:37:49,820
+sequence xn sequence mrوعندي xn أصغر من أو ساوي
+
+318
+00:37:49,820 --> 00:38:02,720
+سفر لكل n وبدنا نثبت إنه إذا كان limit xn بساوي x
+
+319
+00:38:02,720 --> 00:38:10,810
+then ال x بتطلع أيضا أصغر من أو ساوي سفرأنا في
+
+320
+00:38:10,810 --> 00:38:14,610
+عندى sequence of real numbers كل حدودها غير ثالثة
+
+321
+00:38:14,610 --> 00:38:18,330
+و ال sequence converge ل X بالدفعة ان ال limit
+
+322
+00:38:18,330 --> 00:38:27,850
+ايضا بتطلع غير ثالثة فهي البرهان proof برهان
+
+323
+00:38:27,850 --> 00:38:32,930
+بالتناقض assume on
+
+324
+00:38:32,930 --> 00:38:33,650
+contrary
+
+325
+00:38:36,400 --> 00:38:45,860
+إن X أكبر من سفر و بدنا نصل إلى تناقض افرض
+
+326
+00:38:45,860 --> 00:38:56,620
+إن X أكبر من سفر طيب let epsilon بساوي X ع 2 هذا
+
+327
+00:38:56,620 --> 00:39:05,960
+بطل عدل موجببما أنه since .. since xn converges ل
+
+328
+00:39:05,960 --> 00:39:13,010
+x إذا يوجد capital N يعتمد على إبسلونعدد طبيعي
+
+329
+00:39:13,010 --> 00:39:19,190
+بحيث أنه لو كان n أكبر من أو ساوي capital N فهذا
+
+330
+00:39:19,190 --> 00:39:26,110
+بقدر أن absolute xn minus x أصغر من epsilon طيب ال
+
+331
+00:39:26,110 --> 00:39:30,910
+epsilon هذا أخدناها بساوي x ع 2 إذا أنا عندي هي xn
+
+332
+00:39:30,910 --> 00:39:36,830
+minus x أصغر من x ع 2 أكبر
+
+333
+00:39:36,830 --> 00:39:38,550
+من سالب x ع 2
+
+334
+00:39:42,440 --> 00:39:49,560
+طيب ما هيك بطلع عندي x in ضيفي x لكل الأطراف فبطلع
+
+335
+00:39:49,560 --> 00:40:01,200
+x in أصغر من تلاتة x عتنين أكبر من x عتنين طيب
+
+336
+00:40:01,200 --> 00:40:06,000
+هذا
+
+337
+00:40:06,000 --> 00:40:12,140
+معناه وهذا الكلام صحيح لكل inأكبر من و ساوي
+
+338
+00:40:12,140 --> 00:40:18,740
+capital N فلو أخدت .. إذا بطلع من هنا X capital N
+
+339
+00:40:18,740 --> 00:40:22,660
+لو أخدت small n هذه بساوي capital N فبطلع X
+
+340
+00:40:22,660 --> 00:40:29,740
+capital N أكبر من X ع 2 و أنا عندي X ع 2 عدد موجب
+
+341
+00:40:29,740 --> 00:40:35,100
+أكبر من 0 إذا أنا بطلع عندي X capital N أكبر من 0
+
+342
+00:40:35,100 --> 00:40:41,550
+وهذا تناقضلأن انا فرض ان كل حدود ال sequence كلهم
+
+343
+00:40:41,550 --> 00:40:46,770
+اعداد غير سالبة فكيف طلع هالحد رقم capital N موجب
+
+344
+00:40:46,770 --> 00:40:52,090
+هذا بتناقض مع الفرض تمام؟ اذا هذا سبب التناقض هذا
+
+345
+00:40:52,090 --> 00:40:59,550
+هو ال assumption تبعنا ان x أكبر من السفر okay؟
+
+346
+00:40:59,550 --> 00:41:05,490
+اذا الصح ان x أصغر من أو ساوي سفر وهو المطلوب
+
+347
+00:41:08,070 --> 00:41:16,710
+Okay تمام اذا يعني هذه يعني بعض الأسئلة الاسئلة
+
+348
+00:41:16,710 --> 00:41:25,630
+الرابعة هذا نظرية أخدناها و اللي بعدي أعتقد حلناها
+
+349
+00:41:25,630 --> 00:41:34,490
+في المحاضرة فهواجف هنا و هيك بنكون يعني راجعنا
+
+350
+00:41:34,490 --> 00:41:41,290
+تقريبا امتحانللمتحانة النصفة ونشوفكم ان شاء الله
+
+351
+00:41:41,290 --> 00:41:41,690
+بقرا
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/aQ184E7DSME_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1884 @@
+1
+00:00:20,960 --> 00:00:27,560
+Okay إذا هنواصل ان شاء الله اللي بدنا في المحاضرة
+
+2
+00:00:27,560 --> 00:00:33,340
+السادقة المرة اللي فاتت خلينا بسرعة بس هيك نمر على
+
+3
+00:00:33,340 --> 00:00:40,220
+الحاجات اللي أخدناها أخدنا اللي هو ال algebraic
+
+4
+00:00:40,220 --> 00:00:43,060
+properties of the real number system اللي هو
+
+5
+00:00:43,060 --> 00:00:48,970
+القواصة الجبريةو أعرفنا اللي هو ال real number
+
+6
+00:00:48,970 --> 00:00:52,930
+system فقلنا إن ال real number system عبارة عن
+
+7
+00:00:52,930 --> 00:00:58,430
+المجموعة R مع عمليتين جبريتين أو ثنائيتين عملية
+
+8
+00:00:58,430 --> 00:01:03,110
+جمع و عملية ضرب و هدول العمليات بحققوا خمس خواص
+
+9
+00:01:03,110 --> 00:01:08,290
+خاصية الإبدال competitive law خاصية الدمج ال
+
+10
+00:01:08,290 --> 00:01:14,180
+associative lawsخواص التوزيع distributive laws
+
+11
+00:01:14,180 --> 00:01:19,120
+خاصية الرابعة وجود ال identity elements الأناصر
+
+12
+00:01:19,120 --> 00:01:25,280
+المحايدة اللي هي سمنها 01 ووجود ال inverse
+
+13
+00:01:25,280 --> 00:01:38,580
+elements أو العناصر النظائر أو المعكسات فلكل عدد
+
+14
+00:01:38,580 --> 00:01:48,850
+حقيقيفيه إله معكوس جمعي اللي هو Salvoو لكل عدد
+
+15
+00:01:48,850 --> 00:01:55,330
+حقيقي غير مختلف عن السفر له نظير ضربي او
+
+16
+00:01:55,330 --> 00:01:59,030
+multiplicative inverse من المظل بالرمز x is
+
+17
+00:01:59,030 --> 00:02:03,050
+negative واحد بحيث لو ضربتم في بعض بيعطوني ال
+
+18
+00:02:03,050 --> 00:02:10,890
+identity element واحد هدول الخمس خواص اللي بتحققهم
+
+19
+00:02:10,890 --> 00:02:15,760
+مجموعة العداد الحقيقية معالعمليات الدرب والجامع
+
+20
+00:02:15,760 --> 00:02:21,600
+اللي عرفناها سابقا في أول خواص أخدناها اللي هي
+
+21
+00:02:21,600 --> 00:02:27,680
+cancellation laws موجودة في نظرية 1 1 فعملية
+
+22
+00:02:27,680 --> 00:02:33,220
+الجامع بتحقق cancellation law يعني انا لو كان عندي
+
+23
+00:02:33,220 --> 00:02:38,940
+x plus z بساوي y plus z فممكن اشطب zمن الطرفين
+
+24
+00:02:38,940 --> 00:02:44,680
+بطلع عندي x بساوي y كذلك عملية الضرب بتحقق ال
+
+25
+00:02:44,680 --> 00:02:51,000
+cancellation law فلو في عندي حصل ضرب زي هذا بساوي
+
+26
+00:02:51,000 --> 00:02:56,140
+حصل الضرب هذا و ال answer w هذا العدد w بسويش سفر
+
+27
+00:02:56,140 --> 00:03:01,470
+فمقدر أجسم الطرفين على wو ascentage X بساوي Y هذه
+
+28
+00:03:01,470 --> 00:03:05,430
+الخواص مهمة و برهنتلكم المرة اللي فاتت الجزء
+
+29
+00:03:05,430 --> 00:03:11,810
+التاني و برهان الجزء الأول مماثل و بالتالي قلنا
+
+30
+00:03:11,810 --> 00:03:17,650
+لكم حاولوا تثبتوا بنفس الطريقة بالمثل كمان أخدنا
+
+31
+00:03:17,650 --> 00:03:22,810
+نظرية تانية اللي هي النظرية هذه ذكرناها المرة اللي
+
+32
+00:03:22,810 --> 00:03:30,050
+فاتت فيها حوالي عشر خواص للأعداد الحقيقيةفاول
+
+33
+00:03:30,050 --> 00:03:35,350
+خاصية لو ضربت أي عدد حقيقي بالصفر سواء من اليمين
+
+34
+00:03:35,350 --> 00:03:39,370
+او اليسار فالنتج العدد الصفري اللي هو ال additive
+
+35
+00:03:39,370 --> 00:03:47,090
+identity صفر فبرهان الجزء هذا هو برهان الجزء الأول
+
+36
+00:03:47,090 --> 00:03:55,210
+يعني باين واحد هنا فكيف بتم البرهان انا عايز اثبت
+
+37
+00:03:55,210 --> 00:04:02,370
+ان x ضرب صفر بساوي صفرطيب انا عندي لو جمعت x ضارب
+
+38
+00:04:02,370 --> 00:04:07,470
+0 زاد x ضارب 0 بقدر باستخدام ال distributive law
+
+39
+00:04:07,470 --> 00:04:13,430
+أخد x عام المشترك كأني ضاربة x في 0 زاد 0 هذا صحيح
+
+40
+00:04:13,430 --> 00:04:17,550
+باستخدام ال distributive law الآن لما أجمع السفر
+
+41
+00:04:17,550 --> 00:04:22,450
+على أي عدد حقيقي حتى لو نفسه الناتج بطلع 0 هذا من
+
+42
+00:04:22,450 --> 00:04:33,170
+خواص المحايد الجامعيو ال X ضرب سفر هو نفسه لو جمعت
+
+43
+00:04:33,170 --> 00:04:37,330
+على العدد هذا سفر فيبقى زي ما هو من خواص السفر
+
+44
+00:04:37,330 --> 00:04:43,950
+الان انا ممكن اشطب باستخدام cancellation law ممكن
+
+45
+00:04:43,950 --> 00:04:49,590
+اشطب هذا و اشطب هذا فبطلع عندي X ضرب سفر بساوي سفر
+
+46
+00:04:49,590 --> 00:04:55,490
+okay تمامالخاصية التانية الخاصية التانية عايزين
+
+47
+00:04:55,490 --> 00:05:01,230
+نثبت أنه لو أخدت أي عدد حقيقي و أخدت سلبه مرتين
+
+48
+00:05:01,230 --> 00:05:06,530
+فهذا هو نفس ال X البرهان برضه بتم كالتالي هاي ال X
+
+49
+00:05:06,530 --> 00:05:12,370
+و بجمع عليه negative X اللي هو المعكوس الجامعي
+
+50
+00:05:12,370 --> 00:05:20,390
+طبعا فهذا بساوة سفر هذا بساوة سفر من خواص المعكوس
+
+51
+00:05:20,390 --> 00:05:26,570
+الجامعيو ممكن ان احنا نبدل هدول مع بعض او لأ، الان
+
+52
+00:05:26,570 --> 00:05:31,610
+برضه لو أخدت هذا، هذا عدد حقيقي، و هذا المعكوس
+
+53
+00:05:31,610 --> 00:05:36,970
+الجمعي تبعه، عدد حقيقي و المعكوس الجمعي تبعه دايما
+
+54
+00:05:36,970 --> 00:05:41,830
+بساوة سفر، الان ممكن نبدل عملية الجمع ابدالية،
+
+55
+00:05:41,830 --> 00:05:46,970
+commutative، فنبدل الحاجات هذه مع بعضالان عملية
+
+56
+00:05:46,970 --> 00:05:50,970
+الجامعة بتحقق قانون الحدث cancellation law إذا
+
+57
+00:05:50,970 --> 00:05:55,390
+ممكن أشطب أنا العنصر هذا مع هذا بيبقى عندي على
+
+58
+00:05:55,390 --> 00:05:59,810
+الشمال X وعلى اليمين بيبقى negative negative X
+
+59
+00:05:59,810 --> 00:06:06,070
+فبالتالي هي كمان أثبتنا صحة الخاصية هذه تمام؟
+
+60
+00:06:07,410 --> 00:06:11,250
+الخاصية التالتة في النظرية اللى شوفناها قبل شوية
+
+61
+00:06:11,250 --> 00:06:17,770
+برهانها مماثل لخاصية تانية وبالتالي هسيبه تمرين،
+
+62
+00:06:17,770 --> 00:06:21,770
+اذا بعض الحاجات اللى برهانها مماثل دايما هنسيبها
+
+63
+00:06:21,770 --> 00:06:26,030
+كتمرين للطالب لإن الفكرة نفسها ورياضيات مجرد أفكار
+
+64
+00:06:26,030 --> 00:06:33,620
+فإذا عرفنا الفكرة انتهى الحل اللغزالخاصية الرابعة،
+
+65
+00:06:33,620 --> 00:06:37,120
+في الخاصية الرابعة عايزين نثبت أنه لو ضربت سالب
+
+66
+00:06:37,120 --> 00:06:42,880
+واحد في x بطلع عندي ال negative x أو المحايد
+
+67
+00:06:42,880 --> 00:06:48,640
+الجمعي ل x فلبرهان ذلك باخد negative واحد في x و
+
+68
+00:06:48,640 --> 00:06:53,820
+بجمعها على x فهذا هو نفسه هي negative واحد في x و
+
+69
+00:06:53,820 --> 00:06:59,970
+ال x هذه عبارة عن واحد في xالان ممكن هنا استخدم
+
+70
+00:06:59,970 --> 00:07:03,070
+الـ distributive law عملية الضرب تتوزع لعملية
+
+71
+00:07:03,070 --> 00:07:07,670
+الجمال فممكن اكتب هذا سالب واحد زاد واحد مضروب من
+
+72
+00:07:07,670 --> 00:07:13,370
+اليمين في X وعملية الضرب ابدالية فهي نفس كما لو
+
+73
+00:07:13,370 --> 00:07:19,040
+ضربت X من اليمين في سالب واحد زاد واحدOkay تمام
+
+74
+00:07:19,040 --> 00:07:24,700
+الان لما اجمع سالب واحد هذا سالب واحد على واحد
+
+75
+00:07:24,700 --> 00:07:31,440
+انصر ونظير الجمع تبعهم مجموعهم سفر و سفر في اي
+
+76
+00:07:31,440 --> 00:07:37,500
+انصر اثبتنا انه بيساوي سفر و السفر هو نفسه سالب x
+
+77
+00:07:37,500 --> 00:07:42,450
+زائد xوبالتالي بقدر استخدم ال cancellation اللي هو
+
+78
+00:07:42,450 --> 00:07:47,250
+عامل cancelling ل X على الطرف الشمال و cancelling
+
+79
+00:07:47,250 --> 00:07:50,990
+ل X على الطرف اليمين يبقى في الشمال سالب واحد في X
+
+80
+00:07:50,990 --> 00:07:55,850
+في اليمين سالب X وبالتالي هيك ممكن أثبتنا الخاصية
+
+81
+00:07:55,850 --> 00:08:01,850
+هذه واضح؟ أي حد عنده أي استفسار؟ خواص سهل و براهين
+
+82
+00:08:01,850 --> 00:08:06,150
+سهلة جدا انت دارسين مبادئ و اللي دارسين مبادئ
+
+83
+00:08:06,150 --> 00:08:11,530
+رياضيات و فاهمينها كويس هذه حاجاتيعني براهين أمثلة
+
+84
+00:08:11,530 --> 00:08:16,170
+كلها على برهان مباشر بسيط باستخدام خواص ذكرناها
+
+85
+00:08:16,170 --> 00:08:22,990
+سابقا فهذا مجرد يعني مبادئ رياضيات الخاصية الخامسة
+
+86
+00:08:22,990 --> 00:08:29,590
+احنا عايزين ��ثبت لو ضربت x في negative y تطلع ..
+
+87
+00:08:29,590 --> 00:08:34,960
+هي نفسها كم لو ضربت negative x في yو هذه يعني
+
+88
+00:08:34,960 --> 00:08:39,800
+البرهان مش صعب هاي ال X وهي negative Y الخاصية
+
+89
+00:08:39,800 --> 00:08:43,560
+الرابعة أثبتنا فيها إنه negative Y بيساوي negative
+
+90
+00:08:43,560 --> 00:08:48,780
+واحد في Y هذا من الخاصية أربعة ال associative law
+
+91
+00:08:48,780 --> 00:08:52,120
+بيسمح لإن أنا الأقواس هذه أرتبها بالطريقة هذه
+
+92
+00:08:52,120 --> 00:08:56,180
+عملية الضرب associative و كمان عملية الضرب
+
+93
+00:08:56,180 --> 00:09:00,620
+commutative إذا ممكن أبدل ال X مع ال negative واحد
+
+94
+00:09:04,010 --> 00:09:07,470
+الخاصية الرابعة بتقول سالب واحد ضرب X عبارة عن
+
+95
+00:09:07,470 --> 00:09:14,030
+negative X إذاً هذا هو إيه هذا جزء من الجزء الخامس
+
+96
+00:09:14,030 --> 00:09:20,750
+في كمان جزء تاني اللي هو عايزين نثبت إن X ضرب
+
+97
+00:09:20,750 --> 00:09:24,990
+negative Y هو نفس الحاجة كما لو ضربت X في Y الأول
+
+98
+00:09:24,990 --> 00:09:30,950
+وضربت الكل في negativeو لبرهان ذلك هي X في
+
+99
+00:09:30,950 --> 00:09:34,950
+negative Y X في negative Y أثبتنا إنها طلعت بتساوي
+
+100
+00:09:34,950 --> 00:09:41,090
+سالب واحد في X في Y هذا هو نجلتها من هنا الآن
+
+101
+00:09:41,090 --> 00:09:44,470
+باستخدام ال associative law ممكن أيه أبدل الأقواس
+
+102
+00:09:44,470 --> 00:09:50,450
+يعني أخد X وY مع بعض و أضربهم في سالب واحد و طبعا
+
+103
+00:09:50,450 --> 00:09:54,490
+الآن أثبتنا أن سالب واحد لما أضربه في حاجة زي هذه
+
+104
+00:09:54,490 --> 00:09:56,910
+بيطلع سالب X في Y
+
+105
+00:10:01,430 --> 00:10:08,850
+بالنسبة لخاصية رقم 6 ممكن نستخدم الخاصية رقم 4 و
+
+106
+00:10:08,850 --> 00:10:12,510
+ال distributive law في إثباتها فطبعا أنا هنا كاتب
+
+107
+00:10:12,510 --> 00:10:18,030
+لكم use الخاصية أو الجزء الرابع و ال distributive
+
+108
+00:10:18,030 --> 00:10:23,210
+law لبرهان مين؟ الخاصية رقم 6 هذه، هذه أرقام
+
+109
+00:10:23,210 --> 00:10:29,920
+لاتينيةفبتشوفوها انتوا طبعا و بتحاولوا تثبتوها و
+
+110
+00:10:29,920 --> 00:10:35,660
+اذا ماعرفتوش ممكن تتواصلوا معايا نحاول نثبتها لكم
+
+111
+00:10:35,660 --> 00:10:42,780
+بالنسبة لخاصية السابعة ايه هي الخاصية السابعة لو
+
+112
+00:10:42,780 --> 00:10:46,700
+ضربت negative x ف negative y المفروض يطلع نفس
+
+113
+00:10:46,700 --> 00:10:54,530
+الحاجة x ضرب yوهي البرهان بسيط احنا اخدنا ان لو
+
+114
+00:10:54,530 --> 00:10:59,830
+ضربت negative x في انصر negative y هو نفسه كما لو
+
+115
+00:10:59,830 --> 00:11:07,130
+انا ضربت x في الانصر التاني واخدت السالب برا و
+
+116
+00:11:07,130 --> 00:11:07,750
+بعدين
+
+117
+00:11:10,830 --> 00:11:17,230
+نفس الحاجة هنا x في negative y هي
+
+118
+00:11:17,230 --> 00:11:24,890
+نفسها negative x في y بدالت x في negative y ب
+
+119
+00:11:24,890 --> 00:11:30,290
+negative ضرب x y و أثبتنا قبل هيك أن negative ضرب
+
+120
+00:11:30,290 --> 00:11:34,930
+negative negative العنصر بساوي العنصرإذا هذا برضه
+
+121
+00:11:34,930 --> 00:11:45,630
+برهان الجزء هذا الجزء التامن او التاسع are left as
+
+122
+00:11:45,630 --> 00:11:48,410
+exercises برضه أنا سايبلكم اياهم تمرين لان مش
+
+123
+00:11:48,410 --> 00:11:52,310
+ماجون بارهم كل إشي انتوا يعني كبار لان بديتوا
+
+124
+00:11:52,310 --> 00:11:58,050
+تسوابوا بديتوا تفهموا فلازم برضه تشاركوا شويةمش
+
+125
+00:11:58,050 --> 00:12:02,030
+معقول زي اللي .. احنا مش في مدرسة ثانوية، بناشي
+
+126
+00:12:02,030 --> 00:12:06,310
+نقول، عدادية، لازم يشرحلكم كل إشي و لازم يبرهلكم
+
+127
+00:12:06,310 --> 00:12:10,050
+كل إشي، لازم الطالب يشارك شوية، خاصة الحاجات اللي
+
+128
+00:12:10,050 --> 00:12:14,290
+براهينها مشابهةفبتزعلوش و حالكم انتوا تاخدوا
+
+129
+00:12:14,290 --> 00:12:19,430
+الأمور هذه بصدر راحل و كمان مرة بكرر لو اي شيء من
+
+130
+00:12:19,430 --> 00:12:23,570
+الحاجات اللي بنسيبها ماعرفتوش تحلوها او تبرهنوها
+
+131
+00:12:23,570 --> 00:12:28,350
+فانا على استعداد ان اساعدكم في برهنها الجزء الأخر
+
+132
+00:12:28,350 --> 00:12:32,490
+جزء العاشر ايه هو الجزء العاشر الجزء العاشر بيقول
+
+133
+00:12:32,490 --> 00:12:40,530
+دائما بندرسها في مبادئ الرياضياتمثال على برهان غير
+
+134
+00:12:40,530 --> 00:12:44,490
+مباشر في مبادر رياضيات، لو كان X ضرب Y أعداد
+
+135
+00:12:44,490 --> 00:12:50,990
+حقيقية، حصل ضربهم سفر، فإيه بيطلع؟ إما X بساوي سفر
+
+136
+00:12:50,990 --> 00:12:55,650
+أو Y بساوي سفر، بظبط؟
+
+137
+00:13:01,000 --> 00:13:05,060
+فهذا نعطي مثال في المبادئ الرياضية طيب البرهان هو
+
+138
+00:13:05,060 --> 00:13:12,880
+نفسه البرهان هو نفسه عشان اثبت انه x لو كان x ضرب
+
+139
+00:13:12,880 --> 00:13:19,760
+y بساوة 0 فبطلع x بساوة 0 او y بساوة 0 فبأفرض ان x
+
+140
+00:13:19,760 --> 00:13:26,220
+مايسويش 0و بثبت ان y بيساوي 0 او by symmetry
+
+141
+00:13:26,220 --> 00:13:32,080
+بالتماثل ممكن افرض ان y بيساوي 0 و اصل الى ان x
+
+142
+00:13:32,080 --> 00:13:41,640
+بيساوي 0 okay تمام فاللي عملناه هنا هيه لبرهان ان
+
+143
+00:13:41,640 --> 00:13:47,400
+x بيساوي 0 او y بيساوي 0 it suffices يعني يكفي ان
+
+144
+00:13:47,400 --> 00:13:54,070
+افرض to assume ان x لا يساوي 0و أثبت و أثبت أن y
+
+145
+00:13:54,070 --> 00:14:07,690
+بساوي 0 طيب أنا عندي من الفرد x y بساوي 0 ف
+
+146
+00:14:07,690 --> 00:14:14,610
+ال x y بساوي 0 تهيألي
+
+147
+00:14:14,610 --> 00:14:21,110
+فيه إشي هنا مش مبين ده هو خلينا نبينهنعم هاي انا
+
+148
+00:14:21,110 --> 00:14:26,470
+عندي x y من الفرض x y بساوي سفر والسفر هذا ممكن
+
+149
+00:14:26,470 --> 00:14:30,970
+اكتبه على صورة x ضرب سفر برضه هذا بساوي سفر تمام
+
+150
+00:14:30,970 --> 00:14:36,470
+الان انا فارض ان x بساويش سفر فعملية الضرب بتحقق
+
+151
+00:14:36,470 --> 00:14:40,210
+cancellation law اذا من cancellation law تبع عملية
+
+152
+00:14:40,210 --> 00:14:44,470
+الضرب مدام x بساويش سفر فبقدر اجسم عليها فبطلع
+
+153
+00:14:44,470 --> 00:14:50,590
+عندي y بساوي سفر وهذا هو المطلوبOkay تمام إذا هيك
+
+154
+00:14:50,590 --> 00:15:01,290
+بنكون برهننا النظرية التانية كويس
+
+155
+00:15:01,290 --> 00:15:07,770
+تمام هيك طيب
+
+156
+00:15:07,770 --> 00:15:11,690
+ناخد تعريفات أو تعريف مهم
+
+157
+00:15:21,020 --> 00:15:27,480
+في تعريف هنا الخواص
+
+158
+00:15:27,480 --> 00:15:30,660
+الخامسة هذه اللي حكينا عنها ال commutative law ال
+
+159
+00:15:30,660 --> 00:15:37,140
+associative law و ال distributive law existence of
+
+160
+00:15:37,140 --> 00:15:42,780
+identity elements الخاصية الخامسة existence of
+
+161
+00:15:42,780 --> 00:15:47,240
+inverses خمس خواص هذه اللي بتحقيق عمليات الجمع و
+
+162
+00:15:47,240 --> 00:15:52,770
+الدرب على الأعداد الحقيقية هذه الخواصبتشكل تعريف
+
+163
+00:15:52,770 --> 00:15:57,750
+ما يسمى في الجبر في الجبر الحديث في تركيبة جبرية
+
+164
+00:15:57,750 --> 00:16:03,870
+اسمها field او حقل فما
+
+165
+00:16:03,870 --> 00:16:09,130
+هو الحقل لو انتوا هتدرسوا جبر حديث واحد او .. او
+
+166
+00:16:09,130 --> 00:16:14,850
+درستوا فيمكن مار عليكم ال field او الحقل هو عبارة
+
+167
+00:16:14,850 --> 00:16:23,080
+عن set if مع عمليتين ثنائيتينعملية جمع وعملية ضرب
+
+168
+00:16:23,080 --> 00:16:29,300
+معرفين على ال set F بحيث ان العمليتين هدول بيحققوا
+
+169
+00:16:29,300 --> 00:16:33,640
+الخواص الخمسة اللي هي حققتها مجموعة الاعداد
+
+170
+00:16:33,640 --> 00:16:40,250
+الحقيقية، اذا اي مجموعة F مع عمليتين ثنائيتينبحقق
+
+171
+00:16:40,250 --> 00:16:46,630
+الخواص الخمسة بنسميها في الجبر field اذا ال .. ال
+
+172
+00:16:46,630 --> 00:16:51,510
+.. ال R ال R او العداد الحقيقية مع أمليات الجمع
+
+173
+00:16:51,510 --> 00:16:56,650
+والضرب اللي عرفناها سابقا شفنا انها بتحقق الخواص
+
+174
+00:16:56,650 --> 00:17:01,570
+الخمسة وبالتالي بتشكل field فبنسمي it the field of
+
+175
+00:17:01,570 --> 00:17:08,790
+real numbers او المجال ال .. الاعداد الحق��قيةهي
+
+176
+00:17:08,790 --> 00:17:14,430
+مثال فيه أمثلة كتيرة على fields على حقول فهي لو
+
+177
+00:17:14,430 --> 00:17:18,030
+أخدت المجموعة هي أبسط field أصغر و أبسط field
+
+178
+00:17:18,030 --> 00:17:24,190
+موجود في الرياضيات هو ال 6F اللي بتتكون من أنصرين
+
+179
+00:17:24,190 --> 00:17:33,050
+عددين حقيقيين 01الان عشان اكون field على المجموعة
+
+180
+00:17:33,050 --> 00:17:37,590
+F اللي بتكون من عضرين لازم اعرف عملية جمع و ضرب
+
+181
+00:17:37,590 --> 00:17:43,690
+فممكن اعرف عملية جمع و ضرب على F كالتالي ها يعني
+
+182
+00:17:43,690 --> 00:17:50,570
+اعرفت لو ضربت 0 في نفسه او 1 في 0 او 0 في 1 او
+
+183
+00:17:50,570 --> 00:17:57,780
+جمعت 0 على 0 او 1 على 1 هذا باعرفه انه بساوي 0أذا
+
+184
+00:17:57,780 --> 00:18:02,020
+أنا عرفت حاصل الضرب والجمع هذا بالساوية سفر كذلك
+
+185
+00:18:02,020 --> 00:18:05,800
+انا بعرفت انه لو جمعت السفر على الواحد او الواحد
+
+186
+00:18:05,800 --> 00:18:10,000
+على السفر او الواحد على الواحد بطلع واحد الان اذا
+
+187
+00:18:10,000 --> 00:18:16,410
+انا عرفت عمليات جمع وضرب على كل عناصر المجموعةالان
+
+188
+00:18:16,410 --> 00:18:23,610
+من السهل التحقق ان ال خواص الخمسة كلها تتحقق تابعة
+
+189
+00:18:23,610 --> 00:18:28,530
+ال field وبالتالي هذا بيكون field وهذا ال field في
+
+190
+00:18:28,530 --> 00:18:36,770
+الجبر بيرمزوله بالرمز z2 وفي
+
+191
+00:18:36,770 --> 00:18:40,890
+نفس الوجد هو cyclic group of order two إذا في حد
+
+192
+00:18:40,890 --> 00:18:45,120
+فيكم طراز الجبر حديثعلى أي حال احنا هذا مش موضوعنا
+
+193
+00:18:45,120 --> 00:18:49,400
+هذا موضوع جبر فبس يعني هذا مجرد مثال بسيط على
+
+194
+00:18:49,400 --> 00:18:53,600
+field و احنا اهم حاجة انه احنا يعني اللي بدنا احنا
+
+195
+00:18:53,600 --> 00:18:58,420
+نصله انه مجموعة الاعداد الحقيقية تبعتنا مجموعة
+
+196
+00:18:58,420 --> 00:19:04,980
+الاعداد الحقيقية R مع عملية الجامعة و الدرب بتشكل
+
+197
+00:19:04,980 --> 00:19:10,360
+ما يسمى في الجبر بال field تمام؟ هذا اللي احنا
+
+198
+00:19:10,360 --> 00:19:11,980
+عايزين نصله، نعم فضل
+
+199
+00:19:15,080 --> 00:19:18,860
+هذا تعريف احنا .. احنا .. احنا بنعرف انه لو اجمع
+
+200
+00:19:18,860 --> 00:19:23,700
+واحد على واحد يطلع صفر هذا definition تعريف وليس
+
+201
+00:19:23,700 --> 00:19:27,320
+اه يعني هاي مجموعة اه بدي اعرف عليها عملية جمع
+
+202
+00:19:27,320 --> 00:19:31,060
+عملية .. عملية الجمع هانا باعرفها لو جمعت واحد على
+
+203
+00:19:31,060 --> 00:19:39,480
+واحد بطلع صفر لو جمعت واحد اه
+
+204
+00:19:43,240 --> 00:19:52,920
+أه في هنا إشي مش مظبوط هنا هذه المفروض ضرب هذه هذه
+
+205
+00:19:52,920 --> 00:19:58,760
+المفروض ضرب هذه فهذا في خطأ مطبعي صحيح هذا كله
+
+206
+00:19:58,760 --> 00:20:02,200
+تعريف الآن لما هيك أنا بكون عرفت عملية الجمع
+
+207
+00:20:02,200 --> 00:20:07,240
+والضرب هنا في خطأ مطبع دي المفروض تكون ضرب لإن
+
+208
+00:20:07,240 --> 00:20:10,240
+واحد زاد واحد عرفناها تساوي سفر ف
+
+209
+00:20:13,680 --> 00:20:19,300
+حسب التعريف هذا ممكن التحقق ان خمس خواص تبعت ال
+
+210
+00:20:19,300 --> 00:20:22,760
+field بتتحقق فممكن تحققوها اذا بدكم تحققواها اذا
+
+211
+00:20:22,760 --> 00:20:25,700
+بدكم تحققواها اذا بدكم تحققواها اذا بدكم تحققواها
+
+212
+00:20:25,700 --> 00:20:27,620
+اذا بدكم تحققواها اذا بدكم تحققواها اذا بدكم
+
+213
+00:20:27,620 --> 00:20:27,740
+تحققواها اذا بدكم تحققواها اذا بدكم تحققواها اذا
+
+214
+00:20:27,740 --> 00:20:28,060
+بدكم تحققواها اذا بدكم تحققواها اذا بدكم تحققواها
+
+215
+00:20:28,060 --> 00:20:28,700
+اذا بدكم تحققواها اذا بدكم تحققواها اذا بدكم
+
+216
+00:20:28,700 --> 00:20:36,280
+تحققواها اذا بدكم تحققواها اذا بدكم تحققواها اذا
+
+217
+00:20:36,280 --> 00:20:43,660
+بدكم تحققواها اذا بدكم توعملية القسمة هي عملية
+
+218
+00:20:43,660 --> 00:20:47,340
+ضر��، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+219
+00:20:47,340 --> 00:20:49,400
+ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+220
+00:20:49,400 --> 00:20:53,020
+ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+221
+00:20:53,020 --> 00:20:54,300
+ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+222
+00:20:54,300 --> 00:20:56,080
+ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+223
+00:20:56,080 --> 00:20:56,480
+ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+224
+00:20:56,480 --> 00:21:01,560
+ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+225
+00:21:01,560 --> 00:21:06,040
+ضرب،إذن عملية الطرح هي عملية جمعة كذلك عملية
+
+226
+00:21:06,040 --> 00:21:10,320
+القسمة division on R is defined by هاي X على Y
+
+227
+00:21:10,320 --> 00:21:16,740
+بساوي عملية ضرب X في ال multiplicative inverse ل Y
+
+228
+00:21:16,740 --> 00:21:22,320
+أو 1 على Y كذلك بنعرف هذا definition دائما لما
+
+229
+00:21:22,320 --> 00:21:25,660
+يكون فيه نقطتين و وراهم علامة تساوي معناه إن طرف
+
+230
+00:21:25,660 --> 00:21:30,040
+الشمال by definition بساوي الطرف اليمين إذن هذا
+
+231
+00:21:30,040 --> 00:21:36,630
+تعريفلأن أنا بعرف هذا التعريف أن a أس negative one
+
+232
+00:21:36,630 --> 00:21:43,470
+معناها واحد على a a to zero بساوي واحد حسب التعريف
+
+233
+00:21:43,470 --> 00:21:48,970
+a to negative n و n عدد طبيعي هي عبارة عن مقلوب ال
+
+234
+00:21:48,970 --> 00:21:54,630
+a الكل to n فكل هذه تعريفات بناء على التعريفات هذه
+
+235
+00:21:54,630 --> 00:21:58,730
+ممكن أنبرهن خواص كثيرة
+
+236
+00:22:00,150 --> 00:22:03,810
+و هتشوفوا بعضها في التمرين اللي موجودة في نهاية ال
+
+237
+00:22:03,810 --> 00:22:09,970
+section نتطرق
+
+238
+00:22:09,970 --> 00:22:14,330
+لحاجة اسمها rational numbers الاعداد النسبية
+
+239
+00:22:14,330 --> 00:22:20,210
+الاعداد النسبية او rational numbers بنعرفها على
+
+240
+00:22:20,210 --> 00:22:24,130
+انها مجموعة من الاعداد الحقيقية او هي مجموعة جزئية
+
+241
+00:22:24,130 --> 00:22:30,010
+من الاعداد الحقيقيةنموذجها بالرمز boldfaceq هذه
+
+242
+00:22:30,010 --> 00:22:34,370
+الرموز الأحرف هذه أو ال letters هذه نسميها
+
+243
+00:22:34,370 --> 00:22:41,790
+boldface يعني حرف مغمق هذه طبعا بتدل على مجموعات
+
+244
+00:22:43,170 --> 00:22:47,190
+فال rational numbers هي كل الأعداد الحقيقية اللي
+
+245
+00:22:47,190 --> 00:22:52,210
+ممكن كتبتها على صورة rational a على b حيث a و b
+
+246
+00:22:52,210 --> 00:22:56,370
+أعداد صحيحة هذه مجموعة الأعداد الصحيحة bold في ال
+
+247
+00:22:56,370 --> 00:23:00,650
+z و المقام لازم مايسويش سفر لأن القسم على سفر مش
+
+248
+00:23:00,650 --> 00:23:05,840
+معرفةالان لو أخدت الأعداد الحقيقية وشلت منها
+
+249
+00:23:05,840 --> 00:23:09,720
+الأعداد النسبية طرحت منها الأعداد النسبية فالأعداد
+
+250
+00:23:09,720 --> 00:23:13,160
+الحقيقية المتبقية بنسميها irrational numbers
+
+251
+00:23:13,160 --> 00:23:18,480
+irrational numbers الأعداد غير النسبية إذا الأعداد
+
+252
+00:23:18,480 --> 00:23:21,960
+النسبية هي كل الأعداد الحقيقية التي لا يمكن
+
+253
+00:23:21,960 --> 00:23:26,740
+كتابتها على صورة rational a على b حيث a وb أعداد
+
+254
+00:23:26,740 --> 00:23:32,910
+صحيحة والمقان بسويش سفر تمام؟طبعا لو أخدت اتحاد ال
+
+255
+00:23:32,910 --> 00:23:35,590
+rational numbers مع ال irrational numbers بيعطوني
+
+256
+00:23:35,590 --> 00:23:38,770
+كل الأعداد الحقيقية يعني المعنى أخر الأعداد
+
+257
+00:23:38,770 --> 00:23:43,390
+الحقيقية احنا جزقناها إلى مجموعتين irrational
+
+258
+00:23:43,390 --> 00:23:53,270
+numbers اتحاد ال irrational numbers طبعا
+
+259
+00:23:53,270 --> 00:23:57,830
+المجموعتين هدول disjoint يعني منفصلتين مافيش بينهم
+
+260
+00:23:57,830 --> 00:23:58,850
+عناصر مشتركة
+
+261
+00:24:01,750 --> 00:24:08,710
+طيب ال .. النظرية التالية ممكن من السهل ان احنا
+
+262
+00:24:08,710 --> 00:24:14,950
+نثبتها باستخدا�� خواص الأعداد الصحيحة يعني
+
+263
+00:24:14,950 --> 00:24:25,150
+معروف احنا عندنا ان ال ..
+
+264
+00:24:25,150 --> 00:24:30,090
+معروف ان ال ..
+
+265
+00:24:33,390 --> 00:24:37,450
+لو في عندي عددين صحيحين فمجموعهم بيطلع عدد صحيح
+
+266
+00:24:37,450 --> 00:24:42,570
+وحاصل ضربهم عدد صحيح بمعنى آخر عملية مجموعة
+
+267
+00:24:42,570 --> 00:24:49,220
+الأعداد الصحيحة مغلقة تحت عمليات الجمع والضرببنفس
+
+268
+00:24:49,220 --> 00:24:53,860
+.. باستخدام الحقيقة هذه أو ال fact هذه ممكن اثبات
+
+269
+00:24:53,860 --> 00:24:58,900
+انه مجموعة الاعداد النسبية مغلقة تحت عمليات الضرب
+
+270
+00:24:58,900 --> 00:25:06,270
+والجامعة واخذ ال additive inverseيعني لو كان XY
+
+271
+00:25:06,270 --> 00:25:10,810
+أعداد نسبية فمجموعهم بيطلع عدد نسبي وحاصل ضربهم
+
+272
+00:25:10,810 --> 00:25:15,330
+عدد نسبي و سالب عدد نسبي بيطلع عدد نسبي و لو في
+
+273
+00:25:15,330 --> 00:25:21,330
+عندي عدد نسبي مختلف عن السفر ف ال multiplicative
+
+274
+00:25:21,330 --> 00:25:28,550
+inverse بيطلع عدد نسبيبمعنى آخر، مجموعة الأعداد
+
+275
+00:25:28,550 --> 00:25:33,950
+النسمية مغلقة تحت عملية الجمع والضرب، وأخذ الـ
+
+276
+00:25:33,950 --> 00:25:39,950
+Additive Inverse وأخذ مغلقة تحت الـ Multiplicative
+
+277
+00:25:39,950 --> 00:25:44,470
+Inverse وبالتالي ممكن
+
+278
+00:25:46,690 --> 00:25:51,850
+بنستنتج أن مجموعة الأعداد النسلية بتحقق القواص
+
+279
+00:25:51,850 --> 00:25:56,430
+الخامسة تبع ال field وبالتالي هي بتشكل field بحد
+
+280
+00:25:56,430 --> 00:26:05,690
+ذاتها الان ال Q subset من R وR field وQ subset من
+
+281
+00:26:05,690 --> 00:26:11,830
+R وQ field فبنسمي Q sub field زي لما يكون في عندي
+
+282
+00:26:11,830 --> 00:26:19,160
+set وفي داخلها setفبنقول sub set لو في عندي group
+
+283
+00:26:19,160 --> 00:26:25,240
+و في عندي مجموعة جزئية من ال group فبنسمي المجموعة
+
+284
+00:26:25,240 --> 00:26:31,940
+جزئية نفسها group أيضا فبنسميها sub group اذا ال Q
+
+285
+00:26:31,940 --> 00:26:38,340
+is a sub field of the field R بناء على النظرية هذه
+
+286
+00:26:38,340 --> 00:26:44,770
+اذا هذه كلها حقائق معروفة يعنيو هتركزوا عليها
+
+287
+00:26:44,770 --> 00:26:48,410
+انتوا في الجبر يعني ماحنخوض فيها كتير لإن هذا
+
+288
+00:26:48,410 --> 00:26:53,370
+مواضيع الجبرية احنا هنركز على ال analysis في كمان
+
+289
+00:26:53,370 --> 00:26:57,990
+نظرية هنا مهمة بتخص الأعداد النسبية والغير نسبية
+
+290
+00:26:57,990 --> 00:27:03,570
+وهذه طبعا برضه بنعطيها دائما مثال في مبادئ
+
+291
+00:27:03,570 --> 00:27:04,430
+الرياضيات
+
+292
+00:27:07,090 --> 00:27:14,250
+بورهان على مثال على بورهان غير مباشر النظرية هذه
+
+293
+00:27:14,250 --> 00:27:17,930
+بتقول there does not exist R ينتمي ل Q بحيث R
+
+294
+00:27:17,930 --> 00:27:22,530
+تربية بيساوي اتنين مافيش لا يوجد عدد نسبي مربعه
+
+295
+00:27:22,530 --> 00:27:27,450
+بساوي اتنين يعني بمعنى اخر النظرية هذه باختصار
+
+296
+00:27:27,450 --> 00:27:36,590
+بتقول ان جذر الاتنين ليس عدد نسبي وماليش؟عدد غير
+
+297
+00:27:36,590 --> 00:27:41,830
+نسبي يعني جذر اتنين عدد غير نسبي فهي برهان
+
+298
+00:27:41,830 --> 00:27:45,490
+بالتناقض برهان غير مباشر بالتناقض by contradiction
+
+299
+00:27:45,490 --> 00:27:53,510
+احنا عايزين نثبت انه مافيش عدد او جذر اتنين ليس
+
+300
+00:27:53,510 --> 00:28:01,010
+عدد نسبي فنفرض النقيد نفرض النفي هو الصح يعني نفرض
+
+301
+00:28:01,010 --> 00:28:11,490
+ان جذر الاتنين عدد نسبي يعني بالساويP على Q حيث P
+
+302
+00:28:11,490 --> 00:28:17,310
+و Q أعداد صحيحة و
+
+303
+00:28:17,310 --> 00:28:23,990
+Q لا يساوي سفر تمام؟ و بدنا نصل إلى تناقض إذا
+
+304
+00:28:23,990 --> 00:28:27,870
+وصلنا إلى تناقض معناته فرضنا هذا غلط والصح أن
+
+305
+00:28:27,870 --> 00:28:32,410
+النظرية تكون صحيحة، بصبوت؟ طيب نشوف مع بعض
+
+306
+00:28:36,080 --> 00:28:46,520
+هي فرضنا انه الاتنين عدد هاي اتنين بيساوي هاي
+
+307
+00:28:46,520 --> 00:28:52,320
+فرضنا انه الاتنين بيساوي P على Q او جدر اتنين
+
+308
+00:28:52,320 --> 00:28:57,100
+بيساوي P على Q وبالتالي P على Q ربع فبطلع عند P
+
+309
+00:28:57,100 --> 00:29:02,900
+على Q تربيه بيساوي اتنين صح؟ هايطيب الآن لما يكون
+
+310
+00:29:02,900 --> 00:29:12,820
+في عندي أعداد هذا عدد نسبي فممكن نختصر و نفرض أنه
+
+311
+00:29:12,820 --> 00:29:19,480
+مافيش عامل مشترك بين ال P و ال Q إلا الواحد الصحيح
+
+312
+00:29:19,480 --> 00:29:26,660
+يعني مثلا هي عندي مثلا أربعة على مثلا عشرة هذا عدد
+
+313
+00:29:26,660 --> 00:29:32,130
+نسبيفممكن اكتبه اختصر اجسم على اتنين و اجسم على
+
+314
+00:29:32,130 --> 00:29:36,530
+اتنين بطلع اتنين على خمسة لاحظوا الان مافيش عامل
+
+315
+00:29:36,530 --> 00:29:40,370
+مشترك بين اتنين و الخمسة الا الواحد فهذا في الجبر
+
+316
+00:29:40,370 --> 00:29:44,410
+بيسموه ال greatest common divisor لاتنين و خمسة
+
+317
+00:29:44,410 --> 00:29:53,130
+بساوة واحد هاي مثلا سالب عشرة على تلاتين هاي هذا
+
+318
+00:29:53,130 --> 00:29:59,940
+عدد نسبي فممكن نختصر هذا يصير اتنين علىوالا ايش
+
+319
+00:29:59,940 --> 00:30:06,760
+هذا او سالب واحد على تلاتة فال bus سالب واحد عدد
+
+320
+00:30:06,760 --> 00:30:10,460
+صحيح و المقام تلاتة و ال greatest common divisor
+
+321
+00:30:10,460 --> 00:30:17,420
+لسالب واحد و تلاتة بساوي واحد اذا اي عدد نسبة ممكن
+
+322
+00:30:17,420 --> 00:30:23,260
+اختصره او ابسط و اكتبه بأبسط صورةيعني اخلي ال
+
+323
+00:30:23,260 --> 00:30:29,640
+greatest common divisor ل P و Q هنا بساوي واحد طيب
+
+324
+00:30:29,640 --> 00:30:35,580
+الان تعالوا نربع هنا هذه المعادلة P على Q تربية
+
+325
+00:30:35,580 --> 00:30:40,500
+بساوي اتنين فمنها بنستنتج ان P تربية بساوي اتنين و
+
+326
+00:30:40,500 --> 00:30:47,040
+Q تربيةطيب هي عندي P تربيع بساو 2 في Q تربيع الـ Q
+
+327
+00:30:47,040 --> 00:30:50,820
+هاد عدد صحيح فمربع العدد الصحيح اللي هو Q تربيع
+
+328
+00:30:50,820 --> 00:30:54,720
+بيطلع عدد صحيح عدد صحيح مضروب في 2 بيطلع even
+
+329
+00:30:54,720 --> 00:30:59,400
+number عسب المبادئ صح؟ اذا P تربيع بيطلع even
+
+330
+00:30:59,400 --> 00:31:06,520
+number تمام؟هذا بيؤدي انه ممكن اثبات ان P بيطلع
+
+331
+00:31:06,520 --> 00:31:10,960
+even لو كان مربع عدد صحيح even فممكن اثبات ان
+
+332
+00:31:10,960 --> 00:31:14,860
+العدد الصحيح نفسه لازم يطلع even وهذا ممكن نعمل
+
+333
+00:31:14,860 --> 00:31:21,940
+برهان صغير بالتناقض افرضه ان P مش even يعني odd
+
+334
+00:31:21,940 --> 00:31:28,360
+ربع E فبطلع مربع odd تناقض هاي البرهان اذا هذا ايه
+
+335
+00:31:28,360 --> 00:31:33,220
+الاجابة على ال Yكمان مرة إذا كان عندي P تربية أنا
+
+336
+00:31:33,220 --> 00:31:39,900
+عندي P تربية even هذا بقد أنه P even كيف نبرهن هذا
+
+337
+00:31:39,900 --> 00:31:46,420
+برهان بالتناقض افرض أنه P odd أيه يعني P odd يعني
+
+338
+00:31:46,420 --> 00:31:51,600
+P هاي
+
+339
+00:31:51,600 --> 00:31:58,500
+P بساوي 2K زي 1 هذا معناه oddوطبعا الـ K هي عدد
+
+340
+00:31:58,500 --> 00:32:04,620
+صحيح ربي إذا P تربية بساوي أربعة K تربية زاد أربعة
+
+341
+00:32:04,620 --> 00:32:14,080
+K زاد واحد وهذا بساوي اتنين في اتنين K تربية زاد
+
+342
+00:32:14,080 --> 00:32:19,900
+اتنين K مع بعض زاد واحد وهذا بساوي اتنين في M زاد
+
+343
+00:32:19,900 --> 00:32:26,350
+واحد حيث M عدد صحيحإذاً P تربية طلع بساوة اتنين في
+
+344
+00:32:26,350 --> 00:32:30,410
+عدد صحيح زائد واحد وبالتالي هذا اقض Contradiction
+
+345
+00:32:30,410 --> 00:32:35,590
+تناقض لأن احنا عندنا P تربية P تربية is even okay
+
+346
+00:32:35,590 --> 00:32:42,670
+إذاً هذا برهان ال why طيب إذا احنا وصلنا إلى أن P
+
+347
+00:32:42,670 --> 00:32:48,750
+تربية even بقدر أن P even الآن ال P و ال Q have no
+
+348
+00:32:48,750 --> 00:32:51,410
+common factor other than واحد مافيش بينهم عامل
+
+349
+00:32:51,410 --> 00:32:57,460
+مشترك إلا الواحدو ال P even إذا لازم ال Q يكون odd
+
+350
+00:32:57,460 --> 00:33:03,320
+لأن لو كان ال Q even و ال P even ففيه عامل مشترك
+
+351
+00:33:03,320 --> 00:33:09,560
+بينهم اتنين على الأقل او أربعة وهذا بتناقض مع ايه
+
+352
+00:33:09,560 --> 00:33:13,100
+أنه احنا فرضين أنه مافيش common factor بين ال P و
+
+353
+00:33:13,100 --> 00:33:18,560
+ال Q إلا الواحد تمام إذا أنا عندي هنا سنتجة أن ال
+
+354
+00:33:18,560 --> 00:33:25,030
+Q لازم يكون odd الآنأنا عندي P even يعني المعناته
+
+355
+00:33:25,030 --> 00:33:33,020
+بيساوي 2M for some M عدد صحيح وبالتالي لو ربعتلو
+
+356
+00:33:33,020 --> 00:33:37,780
+نرجع نعوض في المعادلة هذه P تربية بساوة 2Q تربية
+
+357
+00:33:37,780 --> 00:33:43,120
+عوض عن P بساوة 2M فبصير 4M تربية بساوة 2Q تربية
+
+358
+00:33:43,120 --> 00:33:48,760
+فبختصر 2 من الطرفين بطلع 2M تربية بساوة Q تربية
+
+359
+00:33:48,760 --> 00:33:54,620
+إذن Q تربية بساوة 2 ضرب عدد صحيحوبالتالي Q تربية
+
+360
+00:33:54,620 --> 00:34:00,020
+is even وبالتالي منها بنستنتج ان ال Q نفسها is
+
+361
+00:34:00,020 --> 00:34:08,720
+even اذا الان انا عندي ال Q is even وهي نفس ال Q
+
+362
+00:34:08,720 --> 00:34:14,260
+سنتجنا انها odd فهذا
+
+363
+00:34:14,260 --> 00:34:20,680
+تناقض .. هذا تناقض صح؟الـ Q هنا odd وهنا طلعت even
+
+364
+00:34:20,680 --> 00:34:24,240
+فهذا يعطيني contradiction which is a contradiction
+
+365
+00:34:24,240 --> 00:34:30,620
+فهذا التناقض ان احنا هنا وصلنا بدينا بالبرهان احنا
+
+366
+00:34:30,620 --> 00:34:35,860
+عايزين نثبت جدر اتنين لا تنتمي ل Q فرضنا النقيض ال
+
+367
+00:34:35,860 --> 00:34:40,660
+contrary ان جدر اتنين تنتمي ل Q يعني ممكن كتبتها
+
+368
+00:34:40,660 --> 00:34:46,240
+على صورة P على Q P و Q أعداد صحيحةوصلنا لتناقض
+
+369
+00:34:46,240 --> 00:34:50,020
+معناته ان هذا فرضنا غلط الصح ان جدر اتنين لاتن
+
+370
+00:34:50,020 --> 00:34:54,640
+تميلكيه as required كما هو مطلوب okay تمام هذا
+
+371
+00:34:54,640 --> 00:34:59,660
+برهان بالتناقض تمام اذا هنا شوية راجعنا شوية
+
+372
+00:34:59,660 --> 00:35:04,820
+براهين اتعلمتوها في مبادئ رياضيات طبعا الناس اللي
+
+373
+00:35:04,820 --> 00:35:09,180
+اتعلموا مبادئ رياضيات و اخوياء الحاجات هذه
+
+374
+00:35:09,180 --> 00:35:14,870
+بالنسبالهم يعني صارت مجرد تسليةوالناس اللي عندهم
+
+375
+00:35:14,870 --> 00:35:20,790
+مشاكل في المبادئ نجحوا بالعافية فممكن يعني يجد ان
+
+376
+00:35:20,790 --> 00:35:28,670
+هذا مش كتير مستثار طيب هيك بنكون خلصنا ال
+
+377
+00:35:28,670 --> 00:35:33,410
+algebraic properties of R الخواص الجابرية لنظام
+
+378
+00:35:33,410 --> 00:35:37,650
+الأعداد الحقيقية او ال real number system ننتقل ل
+
+379
+00:35:37,650 --> 00:35:40,550
+section تاني داخل ال chapter الأول هيك خلصنا
+
+380
+00:35:40,550 --> 00:35:46,110
+sectionال section التاني عنوانه ال order
+
+381
+00:35:46,110 --> 00:35:52,370
+properties of R خواص الترتيب على Rorder properties
+
+382
+00:35:52,370 --> 00:35:58,470
+خواص الترتيب احنا شفنا او قولنا لما عرفنا نظام
+
+383
+00:35:58,470 --> 00:36:02,070
+الاعداد الحقيقية قولنا ان نظام الاعداد الحقيقية
+
+384
+00:36:02,070 --> 00:36:07,670
+مجرد مجموعة R boldface R مع عمليتين ثنائيتين two
+
+385
+00:36:07,670 --> 00:36:11,710
+binary operations بيحققوا الخمس خواص تبعت ال field
+
+386
+00:36:11,710 --> 00:36:16,730
+اليوم هنفترض ايضا ان نظام الاعداد الحقيقية بيحقق
+
+387
+00:36:17,890 --> 00:36:24,850
+order properties الخاصية رقم ستة هذه الخاصية رقم
+
+388
+00:36:24,850 --> 00:36:30,710
+ستة هذه الخاصية رقم ستة تتجزأ إلى تلات خواص تلات
+
+389
+00:36:30,710 --> 00:36:41,410
+خواص تسميهم order properties او اول خاصية نفترض
+
+390
+00:36:41,410 --> 00:36:48,400
+ماهي order propertyنفترض وجود مجموعة جزئية من R
+
+391
+00:36:48,400 --> 00:36:53,500
+وغير خالية، ليست خالية، non-empty subset of R
+
+392
+00:36:53,500 --> 00:36:58,220
+نفترض أن يوجد مجموعة P subset of R غير خالية
+
+393
+00:36:58,220 --> 00:37:04,620
+وبتحقق التلات خواص هذه ال set P is closed under
+
+394
+00:37:04,620 --> 00:37:09,920
+addition يعني لو خلت أي عنصرين في P فمجموعهم بيطلع
+
+395
+00:37:09,920 --> 00:37:15,040
+عنصر تالتفيها كذلك المجموعة P closed under
+
+396
+00:37:15,040 --> 00:37:20,620
+multiplication يعني لو أخدت أي عنصرين فحصل ضربهم
+
+397
+00:37:20,620 --> 00:37:26,980
+بيطلع عنصر تالت الخاصية التالتة من خاصية الترتيب
+
+398
+00:37:26,980 --> 00:37:32,340
+اللي لها اسم بنسميها trichotomy property الخاصية
+
+399
+00:37:32,340 --> 00:37:37,940
+الثلاثية الخاصية الثلاثية إيه هي؟ لو أخدت أي عدد
+
+400
+00:37:37,940 --> 00:37:39,180
+حقيقي R
+
+401
+00:37:41,750 --> 00:37:51,250
+فواحد من التلت احتمالات هذه لازم يكون صحيح وهو ان
+
+402
+00:37:51,250 --> 00:37:57,290
+اما a تنتمي للمجموعة P هذه او a بالساوء سفر او
+
+403
+00:37:57,290 --> 00:38:01,410
+negative a ينتمي للمجموعة P هذه هي الخاصية
+
+404
+00:38:01,410 --> 00:38:07,670
+التالتية اي عدد حقيقي اما يكون عنصر في P او بساوء
+
+405
+00:38:07,670 --> 00:38:10,630
+سفر او ال negative تبقى انصر في P
+
+406
+00:38:16,020 --> 00:38:21,780
+الان بنعرف المجموعة remark ملاحظة باعرف المجموعة
+
+407
+00:38:21,780 --> 00:38:25,820
+negative P المجموعة negative P هي مجموعة كل
+
+408
+00:38:25,820 --> 00:38:33,050
+العناصر negative A حيث A ينتمي ل Pالان الخاصية C
+
+409
+00:38:33,050 --> 00:38:36,310
+من ال order property اللي هي trichotomy property
+
+410
+00:38:36,310 --> 00:38:43,610
+الخاصية C says تقول أو بتقول ان ال sets المجموعات
+
+411
+00:38:43,610 --> 00:38:52,110
+اللي هي المجموعة الأحدية سفر و المجموعة P و
+
+412
+00:38:52,110 --> 00:38:57,570
+المجموعة negative P التلاتة
+
+413
+00:38:57,570 --> 00:39:02,860
+هدول are pairwise disjointمنفصلة مثنى مثنى
+
+414
+00:39:02,860 --> 00:39:06,840
+pairwise is joint يعني منفصلة مثنى مثنى إيه يعني؟
+
+415
+00:39:06,840 --> 00:39:11,360
+لو أخدت أي تنتين من التلات مجموعات هدول و قاطعتهم
+
+416
+00:39:11,360 --> 00:39:15,200
+مع بعض فاتقعتوا اعتبارهم five مافيش بينهم عناصر
+
+417
+00:39:15,200 --> 00:39:19,060
+مشتركة فبنقول إن المجموعات هذه pairwise is joint
+
+418
+00:39:20,610 --> 00:39:26,410
+ومش هيكوا بس واتحادهم بساوي كل العداد الحقيقية هذا
+
+419
+00:39:26,410 --> 00:39:33,430
+صحيح من الخاصية C لأن C بتقول لأي عدد حقيقي أي A
+
+420
+00:39:33,430 --> 00:39:41,310
+ينتمي إلى R أي A ينتمي إلى R إما ينتمي إلى P أو
+
+421
+00:39:41,310 --> 00:39:45,370
+بساوي 0 وبالتالي ينتمي إلى المجموعة هذه أو ينتمي
+
+422
+00:39:45,370 --> 00:39:52,030
+إلى negative P صح؟وبالتالي كل a هنا موجود في واحدة
+
+423
+00:39:52,030 --> 00:39:54,810
+من هذول التلاتة وبالتالي موجود في اتحادهم مش هيك
+
+424
+00:39:54,810 --> 00:39:59,990
+تعريف اتحاد؟ إذا ال R الأن أصبحت مجموعة جزئية من
+
+425
+00:39:59,990 --> 00:40:06,130
+الاتحاد، مظبوط؟ طب ال P مجموعة جزئية من R و
+
+426
+00:40:06,130 --> 00:40:10,850
+negative P مجموعة جزئية من R و singleton 0 برضه
+
+427
+00:40:10,850 --> 00:40:15,130
+مجموعة جزئية من R إذا اتحادهم بيطلع مجموعة جزئية
+
+428
+00:40:15,130 --> 00:40:20,060
+من Rوبالتالي انا عندي الاحتواء من الناحيتين
+
+429
+00:40:20,060 --> 00:40:24,280
+وبالتالي عندي تساوي اذا هنا برهنتلكم ان الاتحاد
+
+430
+00:40:24,280 --> 00:40:26,740
+هذا بساوي R تمام؟
+
+431
+00:40:33,090 --> 00:40:37,470
+طب ليش هدولة disjoint؟ لأنه لو .. لو فرضت أنه مثلا
+
+432
+00:40:37,470 --> 00:40:42,130
+في عنصر بيقف ينتمي لتقاطه المجموعتين هدول، معناته
+
+433
+00:40:42,130 --> 00:40:45,990
+هذا العنصر بيساوي سفر و في نفس الوجة ينتمي ل P
+
+434
+00:40:45,990 --> 00:40:49,830
+وهذا بتناقض مع الخاصية الثلاثية، الخاصية الثلاثية
+
+435
+00:40:49,830 --> 00:40:53,950
+بتقول لازم و exactly one، واحد من الاحتمالات
+
+436
+00:40:53,950 --> 00:41:00,090
+الثلاثة هذه صح، اما اثنين مش صح، تمام؟ okay
+
+437
+00:41:02,970 --> 00:41:07,390
+العنى المجموعة P هذه اللي عرفناها هنا بنسميها
+
+438
+00:41:07,390 --> 00:41:10,610
+مجموعة الأعداد الح��يقية الموجبة the set of
+
+439
+00:41:10,610 --> 00:41:15,830
+positive real number مجموعة الأعداد الحقيقية
+
+440
+00:41:15,830 --> 00:41:19,750
+الموجبة و ال set negative P هذه بنسميها مجموعة
+
+441
+00:41:19,750 --> 00:41:24,560
+الأعداد الحقيقية السالبةو لما نضيف عليهم السفر هيك
+
+442
+00:41:24,560 --> 00:41:28,980
+بنكون غطينا كل الاعداد الحقيقية صح؟ okay تمام اذا
+
+443
+00:41:28,980 --> 00:41:33,000
+P بنسميها مجموعة الاعداد الحقيقية الموجبة negative
+
+444
+00:41:33,000 --> 00:41:42,440
+P مجموعة الاعداد الحقيقية السالبة و هكذا طيب
+
+445
+00:41:42,440 --> 00:41:47,980
+لحد تلان احنا ماعرفناش علاقة اصغر او اكبر او اصغر
+
+446
+00:41:47,980 --> 00:41:52,380
+من او يساوي او اكبر من او يساوي اللي هو الترتيبففي
+
+447
+00:41:52,380 --> 00:41:56,100
+عندى definition هنا لو أخدت اي عددين حقيقيين a و b
+
+448
+00:41:56,100 --> 00:42:04,620
+فهنكتب او هنعلن ان a أصغر من b او ما يكافئها b
+
+449
+00:42:04,620 --> 00:42:12,640
+أكبر من a هذا معناه نقصد نقصد بذلك ان الفرق بين b
+
+450
+00:42:12,640 --> 00:42:18,920
+و a ينتمي ل p يعني الفرق هذا موجب يعني هذا عدد
+
+451
+00:42:18,920 --> 00:42:26,080
+موجبإذا لو كان الفرق بين b و a عدد موجب فبنكتب a
+
+452
+00:42:26,080 --> 00:42:32,780
+أصغر من b أو b أكبر من a طيب طب
+
+453
+00:42:32,780 --> 00:42:36,840
+متى بكتب a أصغر من أو يساوي b أو b أكبر من أو
+
+454
+00:42:36,840 --> 00:42:45,760
+يساوي a هذا معناه يعني هذا مثلا معناه أن a أصغر من
+
+455
+00:42:45,760 --> 00:42:54,840
+bيعني الفرق بين B و A ينتمي ل P أو A بيساوي B لما
+
+456
+00:42:54,840 --> 00:42:58,860
+يكون A بيساوي B لإحتمال التاني هذا معناه أن الفرق
+
+457
+00:42:58,860 --> 00:43:03,620
+بيساوي سفر يعني ينتمي للمجموعة Singleton Zero okay
+
+458
+00:43:03,620 --> 00:43:07,500
+تمام؟ إذن أصغر من أو سابع أو أكبر من أو سابع
+
+459
+00:43:07,500 --> 00:43:13,410
+معناته الفرق ينتمي ل P اتحاد Singleton Zeroالان في
+
+460
+00:43:13,410 --> 00:43:20,170
+عندي نظرية و النظرية هذه بتعطيني خواص ل .. ال ..
+
+461
+00:43:20,170 --> 00:43:28,450
+ال .. خليني بس نبص عليها بسرعة النظرية
+
+462
+00:43:28,450 --> 00:43:33,410
+هذه بتعطيني خواص لل order properties يعني خواص
+
+463
+00:43:33,410 --> 00:43:40,210
+أخرىنقدر نشتقها من ال order properties و كل هذه
+
+464
+00:43:40,210 --> 00:43:44,990
+خواص معروفة وسهلة وبسيطة و كلها .. كلها عارفين لكن
+
+465
+00:43:44,990 --> 00:43:48,230
+بدها برهان .. بدها برهان ماحدش عمره برهانلنا إياها
+
+466
+00:43:49,460 --> 00:43:54,600
+Okay فحنوقف عند النظرية هذه وإن شاء الله المرة
+
+467
+00:43:54,600 --> 00:44:01,120
+الجاية بنحاول نبرهن النظرية okay حاولوا أنتوا
+
+468
+00:44:01,120 --> 00:44:05,260
+meanwhile في نفس الوقت كتحضير للمحاضرة الجاية
+
+469
+00:44:05,260 --> 00:44:10,140
+حاولوا أنكم تقرأوا البرهان تبع النظرية وشوفوا هل
+
+470
+00:44:10,140 --> 00:44:16,360
+تفهموه ولا لأ okay تمام في أي سؤال okay شكرا لكم
+
+471
+00:44:16,360 --> 00:44:17,540
+ومبارك الله فيكم
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/aQ184E7DSME_raw.srt

@@ -0,0 +1,1884 @@
+1
+00:00:20,960 --> 00:00:27,560
+Okay إذا هنواصل ان شاء الله اللي بدنا في المحاضرة
+
+2
+00:00:27,560 --> 00:00:33,340
+السادقة المرة اللي فاتت خلينا بسرعة بس هيك نمر على
+
+3
+00:00:33,340 --> 00:00:40,220
+الحاجات اللي أخدناها أخدنا اللي هو ال algebraic
+
+4
+00:00:40,220 --> 00:00:43,060
+properties of the real number system اللي هو
+
+5
+00:00:43,060 --> 00:00:48,970
+القواصة الجبريةو أعرفنا اللي هو ال real number
+
+6
+00:00:48,970 --> 00:00:52,930
+system فقلنا إن ال real number system عبارة عن
+
+7
+00:00:52,930 --> 00:00:58,430
+المجموعة R مع عمليتين جبريتين أو ثنائيتين عملية
+
+8
+00:00:58,430 --> 00:01:03,110
+جمع و عملية ضرب و هدول العمليات بحققوا خمس خواص
+
+9
+00:01:03,110 --> 00:01:08,290
+خاصية الإبدال competitive law خاصية الدمج ال
+
+10
+00:01:08,290 --> 00:01:14,180
+associative lawsخواص التوزيع distributive laws
+
+11
+00:01:14,180 --> 00:01:19,120
+خاصية الرابعة وجود ال identity elements الأناصر
+
+12
+00:01:19,120 --> 00:01:25,280
+المحايدة اللي هي سمنها 01 ووجود ال inverse
+
+13
+00:01:25,280 --> 00:01:38,580
+elements أو العناصر النظائر أو المعكسات فلكل عدد
+
+14
+00:01:38,580 --> 00:01:48,850
+حقيقيفيه إله معكوس جمعي اللي هو Salvoو لكل عدد
+
+15
+00:01:48,850 --> 00:01:55,330
+حقيقي غير مختلف عن السفر له نظير ضربي او
+
+16
+00:01:55,330 --> 00:01:59,030
+multiplicative inverse من المظل بالرمز x is
+
+17
+00:01:59,030 --> 00:02:03,050
+negative واحد بحيث لو ضربتم في بعض بيعطوني ال
+
+18
+00:02:03,050 --> 00:02:10,890
+identity element واحد هدول الخمس خواص اللي بتحققهم
+
+19
+00:02:10,890 --> 00:02:15,760
+مجموعة العداد الحقيقية معالعمليات الدرب والجامع
+
+20
+00:02:15,760 --> 00:02:21,600
+اللي عرفناها سابقا في أول خواص أخدناها اللي هي
+
+21
+00:02:21,600 --> 00:02:27,680
+cancellation laws موجودة في نظرية 1 1 فعملية
+
+22
+00:02:27,680 --> 00:02:33,220
+الجامع بتحقق cancellation law يعني انا لو كان عندي
+
+23
+00:02:33,220 --> 00:02:38,940
+x plus z بساوي y plus z فممكن اشطب zمن الطرفين
+
+24
+00:02:38,940 --> 00:02:44,680
+بطلع عندي x بساوي y كذلك عملية الضرب بتحقق ال
+
+25
+00:02:44,680 --> 00:02:51,000
+cancellation law فلو في عندي حصل ضرب زي هذا بساوي
+
+26
+00:02:51,000 --> 00:02:56,140
+حصل الضرب هذا و ال answer w هذا العدد w بسويش سفر
+
+27
+00:02:56,140 --> 00:03:01,470
+فمقدر أجسم الطرفين على wو ascentage X بساوي Y هذه
+
+28
+00:03:01,470 --> 00:03:05,430
+الخواص مهمة و برهنتلكم المرة اللي فاتت الجزء
+
+29
+00:03:05,430 --> 00:03:11,810
+التاني و برهان الجزء الأول مماثل و بالتالي قلنا
+
+30
+00:03:11,810 --> 00:03:17,650
+لكم حاولوا تثبتوا بنفس الطريقة بالمثل كمان أخدنا
+
+31
+00:03:17,650 --> 00:03:22,810
+نظرية تانية اللي هي النظرية هذه ذكرناها المرة اللي
+
+32
+00:03:22,810 --> 00:03:30,050
+فاتت فيها حوالي عشر خواص للأعداد الحقيقيةفاول
+
+33
+00:03:30,050 --> 00:03:35,350
+خاصية لو ضربت أي عدد حقيقي بالصفر سواء من اليمين
+
+34
+00:03:35,350 --> 00:03:39,370
+او اليسار فالنتج العدد الصفري اللي هو ال additive
+
+35
+00:03:39,370 --> 00:03:47,090
+identity صفر فبرهان الجزء هذا هو برهان الجزء الأول
+
+36
+00:03:47,090 --> 00:03:55,210
+يعني باين واحد هنا فكيف بتم البرهان انا عايز اثبت
+
+37
+00:03:55,210 --> 00:04:02,370
+ان x ضرب صفر بساوي صفرطيب انا عندي لو جمعت x ضارب
+
+38
+00:04:02,370 --> 00:04:07,470
+0 زاد x ضارب 0 بقدر باستخدام ال distributive law
+
+39
+00:04:07,470 --> 00:04:13,430
+أخد x عام المشترك كأني ضاربة x في 0 زاد 0 هذا صحيح
+
+40
+00:04:13,430 --> 00:04:17,550
+باستخدام ال distributive law الآن لما أجمع السفر
+
+41
+00:04:17,550 --> 00:04:22,450
+على أي عدد حقيقي حتى لو نفسه الناتج بطلع 0 هذا من
+
+42
+00:04:22,450 --> 00:04:33,170
+خواص المحايد الجامعيو ال X ضرب سفر هو نفسه لو جمعت
+
+43
+00:04:33,170 --> 00:04:37,330
+على العدد هذا سفر فيبقى زي ما هو من خواص السفر
+
+44
+00:04:37,330 --> 00:04:43,950
+الان انا ممكن اشطب باستخدام cancellation law ممكن
+
+45
+00:04:43,950 --> 00:04:49,590
+اشطب هذا و اشطب هذا فبطلع عندي X ضرب سفر بساوي سفر
+
+46
+00:04:49,590 --> 00:04:55,490
+okay تمامالخاصية التانية الخاصية التانية عايزين
+
+47
+00:04:55,490 --> 00:05:01,230
+نثبت أنه لو أخدت أي عدد حقيقي و أخدت سلبه مرتين
+
+48
+00:05:01,230 --> 00:05:06,530
+فهذا هو نفس ال X البرهان برضه بتم كالتالي هاي ال X
+
+49
+00:05:06,530 --> 00:05:12,370
+و بجمع عليه negative X اللي هو المعكوس الجامعي
+
+50
+00:05:12,370 --> 00:05:20,390
+طبعا فهذا بساوة سفر هذا بساوة سفر من خواص المعكوس
+
+51
+00:05:20,390 --> 00:05:26,570
+الجامعيو ممكن ان احنا نبدل هدول مع بعض او لأ، الان
+
+52
+00:05:26,570 --> 00:05:31,610
+برضه لو أخدت هذا، هذا عدد حقيقي، و هذا المعكوس
+
+53
+00:05:31,610 --> 00:05:36,970
+الجمعي تبعه، عدد حقيقي و المعكوس الجمعي تبعه دايما
+
+54
+00:05:36,970 --> 00:05:41,830
+بساوة سفر، الان ممكن نبدل عملية الجمع ابدالية،
+
+55
+00:05:41,830 --> 00:05:46,970
+commutative، فنبدل الحاجات هذه مع بعضالان عملية
+
+56
+00:05:46,970 --> 00:05:50,970
+الجامعة بتحقق قانون الحدث cancellation law إذا
+
+57
+00:05:50,970 --> 00:05:55,390
+ممكن أشطب أنا العنصر هذا مع هذا بيبقى عندي على
+
+58
+00:05:55,390 --> 00:05:59,810
+الشمال X وعلى اليمين بيبقى negative negative X
+
+59
+00:05:59,810 --> 00:06:06,070
+فبالتالي هي كمان أثبتنا صحة الخاصية هذه تمام؟
+
+60
+00:06:07,410 --> 00:06:11,250
+الخاصية التالتة في النظرية اللى شوفناها قبل شوية
+
+61
+00:06:11,250 --> 00:06:17,770
+برهانها مماثل لخاصية تانية وبالتالي هسيبه تمرين،
+
+62
+00:06:17,770 --> 00:06:21,770
+اذا بعض الحاجات اللى برهانها مماثل دايما هنسيبها
+
+63
+00:06:21,770 --> 00:06:26,030
+كتمرين للطالب لإن الفكرة نفسها ورياضيات مجرد أفكار
+
+64
+00:06:26,030 --> 00:06:33,620
+فإذا عرفنا الفكرة انتهى الحل اللغزالخاصية الرابعة،
+
+65
+00:06:33,620 --> 00:06:37,120
+في الخاصية الرابعة عايزين نثبت أنه لو ضربت سالب
+
+66
+00:06:37,120 --> 00:06:42,880
+واحد في x بطلع عندي ال negative x أو المحايد
+
+67
+00:06:42,880 --> 00:06:48,640
+الجمعي ل x فلبرهان ذلك باخد negative واحد في x و
+
+68
+00:06:48,640 --> 00:06:53,820
+بجمعها على x فهذا هو نفسه هي negative واحد في x و
+
+69
+00:06:53,820 --> 00:06:59,970
+ال x هذه عبارة عن واحد في xالان ممكن هنا استخدم
+
+70
+00:06:59,970 --> 00:07:03,070
+الـ distributive law عملية الضرب تتوزع لعملية
+
+71
+00:07:03,070 --> 00:07:07,670
+الجمال فممكن اكتب هذا سالب واحد زاد واحد مضروب من
+
+72
+00:07:07,670 --> 00:07:13,370
+اليمين في X وعملية الضرب ابدالية فهي نفس كما لو
+
+73
+00:07:13,370 --> 00:07:19,040
+ضربت X من اليمين في سالب واحد زاد واحدOkay تمام
+
+74
+00:07:19,040 --> 00:07:24,700
+الان لما اجمع سالب واحد هذا سالب واحد على واحد
+
+75
+00:07:24,700 --> 00:07:31,440
+انصر ونظير الجمع تبعهم مجموعهم سفر و سفر في اي
+
+76
+00:07:31,440 --> 00:07:37,500
+انصر اثبتنا انه بيساوي سفر و السفر هو نفسه سالب x
+
+77
+00:07:37,500 --> 00:07:42,450
+زائد xوبالتالي بقدر استخدم ال cancellation اللي هو
+
+78
+00:07:42,450 --> 00:07:47,250
+عامل cancelling ل X على الطرف الشمال و cancelling
+
+79
+00:07:47,250 --> 00:07:50,990
+ل X على الطرف اليمين يبقى في الشمال سالب واحد في X
+
+80
+00:07:50,990 --> 00:07:55,850
+في اليمين سالب X وبالتالي هيك ممكن أثبتنا الخاصية
+
+81
+00:07:55,850 --> 00:08:01,850
+هذه واضح؟ أي حد عنده أي استفسار؟ خواص سهل و براهين
+
+82
+00:08:01,850 --> 00:08:06,150
+سهلة جدا انت دارسين مبادئ و اللي دارسين مبادئ
+
+83
+00:08:06,150 --> 00:08:11,530
+رياضيات و فاهمينها كويس هذه حاجاتيعني براهين أمثلة
+
+84
+00:08:11,530 --> 00:08:16,170
+كلها على برهان مباشر بسيط باستخدام خواص ذكرناها
+
+85
+00:08:16,170 --> 00:08:22,990
+سابقا فهذا مجرد يعني مبادئ رياضيات الخاصية الخامسة
+
+86
+00:08:22,990 --> 00:08:29,590
+احنا عايزين ��ثبت لو ضربت x في negative y تطلع ..
+
+87
+00:08:29,590 --> 00:08:34,960
+هي نفسها كم لو ضربت negative x في yو هذه يعني
+
+88
+00:08:34,960 --> 00:08:39,800
+البرهان مش صعب هاي ال X وهي negative Y الخاصية
+
+89
+00:08:39,800 --> 00:08:43,560
+الرابعة أثبتنا فيها إنه negative Y بيساوي negative
+
+90
+00:08:43,560 --> 00:08:48,780
+واحد في Y هذا من الخاصية أربعة ال associative law
+
+91
+00:08:48,780 --> 00:08:52,120
+بيسمح لإن أنا الأقواس هذه أرتبها بالطريقة هذه
+
+92
+00:08:52,120 --> 00:08:56,180
+عملية الضرب associative و كمان عملية الضرب
+
+93
+00:08:56,180 --> 00:09:00,620
+commutative إذا ممكن أبدل ال X مع ال negative واحد
+
+94
+00:09:04,010 --> 00:09:07,470
+الخاصية الرابعة بتقول سالب واحد ضرب X عبارة عن
+
+95
+00:09:07,470 --> 00:09:14,030
+negative X إذاً هذا هو إيه هذا جزء من الجزء الخامس
+
+96
+00:09:14,030 --> 00:09:20,750
+في كمان جزء تاني اللي هو عايزين نثبت إن X ضرب
+
+97
+00:09:20,750 --> 00:09:24,990
+negative Y هو نفس الحاجة كما لو ضربت X في Y الأول
+
+98
+00:09:24,990 --> 00:09:30,950
+وضربت الكل في negativeو لبرهان ذلك هي X في
+
+99
+00:09:30,950 --> 00:09:34,950
+negative Y X في negative Y أثبتنا إنها طلعت بتساوي
+
+100
+00:09:34,950 --> 00:09:41,090
+سالب واحد في X في Y هذا هو نجلتها من هنا الآن
+
+101
+00:09:41,090 --> 00:09:44,470
+باستخدام ال associative law ممكن أيه أبدل الأقواس
+
+102
+00:09:44,470 --> 00:09:50,450
+يعني أخد X وY مع بعض و أضربهم في سالب واحد و طبعا
+
+103
+00:09:50,450 --> 00:09:54,490
+الآن أثبتنا أن سالب واحد لما أضربه في حاجة زي هذه
+
+104
+00:09:54,490 --> 00:09:56,910
+بيطلع سالب X في Y
+
+105
+00:10:01,430 --> 00:10:08,850
+بالنسبة لخاصية رقم 6 ممكن نستخدم الخاصية رقم 4 و
+
+106
+00:10:08,850 --> 00:10:12,510
+ال distributive law في إثباتها فطبعا أنا هنا كاتب
+
+107
+00:10:12,510 --> 00:10:18,030
+لكم use الخاصية أو الجزء الرابع و ال distributive
+
+108
+00:10:18,030 --> 00:10:23,210
+law لبرهان مين؟ الخاصية رقم 6 هذه، هذه أرقام
+
+109
+00:10:23,210 --> 00:10:29,920
+لاتينيةفبتشوفوها انتوا طبعا و بتحاولوا تثبتوها و
+
+110
+00:10:29,920 --> 00:10:35,660
+اذا ماعرفتوش ممكن تتواصلوا معايا نحاول نثبتها لكم
+
+111
+00:10:35,660 --> 00:10:42,780
+بالنسبة لخاصية السابعة ايه هي الخاصية السابعة لو
+
+112
+00:10:42,780 --> 00:10:46,700
+ضربت negative x ف negative y المفروض يطلع نفس
+
+113
+00:10:46,700 --> 00:10:54,530
+الحاجة x ضرب yوهي البرهان بسيط احنا اخدنا ان لو
+
+114
+00:10:54,530 --> 00:10:59,830
+ضربت negative x في انصر negative y هو نفسه كما لو
+
+115
+00:10:59,830 --> 00:11:07,130
+انا ضربت x في الانصر التاني واخدت السالب برا و
+
+116
+00:11:07,130 --> 00:11:07,750
+بعدين
+
+117
+00:11:10,830 --> 00:11:17,230
+نفس الحاجة هنا x في negative y هي
+
+118
+00:11:17,230 --> 00:11:24,890
+نفسها negative x في y بدالت x في negative y ب
+
+119
+00:11:24,890 --> 00:11:30,290
+negative ضرب x y و أثبتنا قبل هيك أن negative ضرب
+
+120
+00:11:30,290 --> 00:11:34,930
+negative negative العنصر بساوي العنصرإذا هذا برضه
+
+121
+00:11:34,930 --> 00:11:45,630
+برهان الجزء هذا الجزء التامن او التاسع are left as
+
+122
+00:11:45,630 --> 00:11:48,410
+exercises برضه أنا سايبلكم اياهم تمرين لان مش
+
+123
+00:11:48,410 --> 00:11:52,310
+ماجون بارهم كل إشي انتوا يعني كبار لان بديتوا
+
+124
+00:11:52,310 --> 00:11:58,050
+تسوابوا بديتوا تفهموا فلازم برضه تشاركوا شويةمش
+
+125
+00:11:58,050 --> 00:12:02,030
+معقول زي اللي .. احنا مش في مدرسة ثانوية، بناشي
+
+126
+00:12:02,030 --> 00:12:06,310
+نقول، عدادية، لازم يشرحلكم كل إشي و لازم يبرهلكم
+
+127
+00:12:06,310 --> 00:12:10,050
+كل إشي، لازم الطالب يشارك شوية، خاصة الحاجات اللي
+
+128
+00:12:10,050 --> 00:12:14,290
+براهينها مشابهةفبتزعلوش و حالكم انتوا تاخدوا
+
+129
+00:12:14,290 --> 00:12:19,430
+الأمور هذه بصدر راحل و كمان مرة بكرر لو اي شيء من
+
+130
+00:12:19,430 --> 00:12:23,570
+الحاجات اللي بنسيبها ماعرفتوش تحلوها او تبرهنوها
+
+131
+00:12:23,570 --> 00:12:28,350
+فانا على استعداد ان اساعدكم في برهنها الجزء الأخر
+
+132
+00:12:28,350 --> 00:12:32,490
+جزء العاشر ايه هو الجزء العاشر الجزء العاشر بيقول
+
+133
+00:12:32,490 --> 00:12:40,530
+دائما بندرسها في مبادئ الرياضياتمثال على برهان غير
+
+134
+00:12:40,530 --> 00:12:44,490
+مباشر في مبادر رياضيات، لو كان X ضرب Y أعداد
+
+135
+00:12:44,490 --> 00:12:50,990
+حقيقية، حصل ضربهم سفر، فإيه بيطلع؟ إما X بساوي سفر
+
+136
+00:12:50,990 --> 00:12:55,650
+أو Y بساوي سفر، بظبط؟
+
+137
+00:13:01,000 --> 00:13:05,060
+فهذا نعطي مثال في المبادئ الرياضية طيب البرهان هو
+
+138
+00:13:05,060 --> 00:13:12,880
+نفسه البرهان هو نفسه عشان اثبت انه x لو كان x ضرب
+
+139
+00:13:12,880 --> 00:13:19,760
+y بساوة 0 فبطلع x بساوة 0 او y بساوة 0 فبأفرض ان x
+
+140
+00:13:19,760 --> 00:13:26,220
+مايسويش 0و بثبت ان y بيساوي 0 او by symmetry
+
+141
+00:13:26,220 --> 00:13:32,080
+بالتماثل ممكن افرض ان y بيساوي 0 و اصل الى ان x
+
+142
+00:13:32,080 --> 00:13:41,640
+بيساوي 0 okay تمام فاللي عملناه هنا هيه لبرهان ان
+
+143
+00:13:41,640 --> 00:13:47,400
+x بيساوي 0 او y بيساوي 0 it suffices يعني يكفي ان
+
+144
+00:13:47,400 --> 00:13:54,070
+افرض to assume ان x لا يساوي 0و أثبت و أثبت أن y
+
+145
+00:13:54,070 --> 00:14:07,690
+بساوي 0 طيب أنا عندي من الفرد x y بساوي 0 ف
+
+146
+00:14:07,690 --> 00:14:14,610
+ال x y بساوي 0 تهيألي
+
+147
+00:14:14,610 --> 00:14:21,110
+فيه إشي هنا مش مبين ده هو خلينا نبينهنعم هاي انا
+
+148
+00:14:21,110 --> 00:14:26,470
+عندي x y من الفرض x y بساوي سفر والسفر هذا ممكن
+
+149
+00:14:26,470 --> 00:14:30,970
+اكتبه على صورة x ضرب سفر برضه هذا بساوي سفر تمام
+
+150
+00:14:30,970 --> 00:14:36,470
+الان انا فارض ان x بساويش سفر فعملية الضرب بتحقق
+
+151
+00:14:36,470 --> 00:14:40,210
+cancellation law اذا من cancellation law تبع عملية
+
+152
+00:14:40,210 --> 00:14:44,470
+الضرب مدام x بساويش سفر فبقدر اجسم عليها فبطلع
+
+153
+00:14:44,470 --> 00:14:50,590
+عندي y بساوي سفر وهذا هو المطلوبOkay تمام إذا هيك
+
+154
+00:14:50,590 --> 00:15:01,290
+بنكون برهننا النظرية التانية كويس
+
+155
+00:15:01,290 --> 00:15:07,770
+تمام هيك طيب
+
+156
+00:15:07,770 --> 00:15:11,690
+ناخد تعريفات أو تعريف مهم
+
+157
+00:15:21,020 --> 00:15:27,480
+في تعريف هنا الخواص
+
+158
+00:15:27,480 --> 00:15:30,660
+الخامسة هذه اللي حكينا عنها ال commutative law ال
+
+159
+00:15:30,660 --> 00:15:37,140
+associative law و ال distributive law existence of
+
+160
+00:15:37,140 --> 00:15:42,780
+identity elements الخاصية الخامسة existence of
+
+161
+00:15:42,780 --> 00:15:47,240
+inverses خمس خواص هذه اللي بتحقيق عمليات الجمع و
+
+162
+00:15:47,240 --> 00:15:52,770
+الدرب على الأعداد الحقيقية هذه الخواصبتشكل تعريف
+
+163
+00:15:52,770 --> 00:15:57,750
+ما يسمى في الجبر في الجبر الحديث في تركيبة جبرية
+
+164
+00:15:57,750 --> 00:16:03,870
+اسمها field او حقل فما
+
+165
+00:16:03,870 --> 00:16:09,130
+هو الحقل لو انتوا هتدرسوا جبر حديث واحد او .. او
+
+166
+00:16:09,130 --> 00:16:14,850
+درستوا فيمكن مار عليكم ال field او الحقل هو عبارة
+
+167
+00:16:14,850 --> 00:16:23,080
+عن set if مع عمليتين ثنائيتينعملية جمع وعملية ضرب
+
+168
+00:16:23,080 --> 00:16:29,300
+معرفين على ال set F بحيث ان العمليتين هدول بيحققوا
+
+169
+00:16:29,300 --> 00:16:33,640
+الخواص الخمسة اللي هي حققتها مجموعة الاعداد
+
+170
+00:16:33,640 --> 00:16:40,250
+الحقيقية، اذا اي مجموعة F مع عمليتين ثنائيتينبحقق
+
+171
+00:16:40,250 --> 00:16:46,630
+الخواص الخمسة بنسميها في الجبر field اذا ال .. ال
+
+172
+00:16:46,630 --> 00:16:51,510
+.. ال R ال R او العداد الحقيقية مع أمليات الجمع
+
+173
+00:16:51,510 --> 00:16:56,650
+والضرب اللي عرفناها سابقا شفنا انها بتحقق الخواص
+
+174
+00:16:56,650 --> 00:17:01,570
+الخمسة وبالتالي بتشكل field فبنسمي it the field of
+
+175
+00:17:01,570 --> 00:17:08,790
+real numbers او المجال ال .. الاعداد الحق��قيةهي
+
+176
+00:17:08,790 --> 00:17:14,430
+مثال فيه أمثلة كتيرة على fields على حقول فهي لو
+
+177
+00:17:14,430 --> 00:17:18,030
+أخدت المجموعة هي أبسط field أصغر و أبسط field
+
+178
+00:17:18,030 --> 00:17:24,190
+موجود في الرياضيات هو ال 6F اللي بتتكون من أنصرين
+
+179
+00:17:24,190 --> 00:17:33,050
+عددين حقيقيين 01الان عشان اكون field على المجموعة
+
+180
+00:17:33,050 --> 00:17:37,590
+F اللي بتكون من عضرين لازم اعرف عملية جمع و ضرب
+
+181
+00:17:37,590 --> 00:17:43,690
+فممكن اعرف عملية جمع و ضرب على F كالتالي ها يعني
+
+182
+00:17:43,690 --> 00:17:50,570
+اعرفت لو ضربت 0 في نفسه او 1 في 0 او 0 في 1 او
+
+183
+00:17:50,570 --> 00:17:57,780
+جمعت 0 على 0 او 1 على 1 هذا باعرفه انه بساوي 0أذا
+
+184
+00:17:57,780 --> 00:18:02,020
+أنا عرفت حاصل الضرب والجمع هذا بالساوية سفر كذلك
+
+185
+00:18:02,020 --> 00:18:05,800
+انا بعرفت انه لو جمعت السفر على الواحد او الواحد
+
+186
+00:18:05,800 --> 00:18:10,000
+على السفر او الواحد على الواحد بطلع واحد الان اذا
+
+187
+00:18:10,000 --> 00:18:16,410
+انا عرفت عمليات جمع وضرب على كل عناصر المجموعةالان
+
+188
+00:18:16,410 --> 00:18:23,610
+من السهل التحقق ان ال خواص الخمسة كلها تتحقق تابعة
+
+189
+00:18:23,610 --> 00:18:28,530
+ال field وبالتالي هذا بيكون field وهذا ال field في
+
+190
+00:18:28,530 --> 00:18:36,770
+الجبر بيرمزوله بالرمز z2 وفي
+
+191
+00:18:36,770 --> 00:18:40,890
+نفس الوجد هو cyclic group of order two إذا في حد
+
+192
+00:18:40,890 --> 00:18:45,120
+فيكم طراز الجبر حديثعلى أي حال احنا هذا مش موضوعنا
+
+193
+00:18:45,120 --> 00:18:49,400
+هذا موضوع جبر فبس يعني هذا مجرد مثال بسيط على
+
+194
+00:18:49,400 --> 00:18:53,600
+field و احنا اهم حاجة انه احنا يعني اللي بدنا احنا
+
+195
+00:18:53,600 --> 00:18:58,420
+نصله انه مجموعة الاعداد الحقيقية تبعتنا مجموعة
+
+196
+00:18:58,420 --> 00:19:04,980
+الاعداد الحقيقية R مع عملية الجامعة و الدرب بتشكل
+
+197
+00:19:04,980 --> 00:19:10,360
+ما يسمى في الجبر بال field تمام؟ هذا اللي احنا
+
+198
+00:19:10,360 --> 00:19:11,980
+عايزين نصله، نعم فضل
+
+199
+00:19:15,080 --> 00:19:18,860
+هذا تعريف احنا .. احنا .. احنا بنعرف انه لو اجمع
+
+200
+00:19:18,860 --> 00:19:23,700
+واحد على واحد يطلع صفر هذا definition تعريف وليس
+
+201
+00:19:23,700 --> 00:19:27,320
+اه يعني هاي مجموعة اه بدي اعرف عليها عملية جمع
+
+202
+00:19:27,320 --> 00:19:31,060
+عملية .. عملية الجمع هانا باعرفها لو جمعت واحد على
+
+203
+00:19:31,060 --> 00:19:39,480
+واحد بطلع صفر لو جمعت واحد اه
+
+204
+00:19:43,240 --> 00:19:52,920
+أه في هنا إشي مش مظبوط هنا هذه المفروض ضرب هذه هذه
+
+205
+00:19:52,920 --> 00:19:58,760
+المفروض ضرب هذه فهذا في خطأ مطبعي صحيح هذا كله
+
+206
+00:19:58,760 --> 00:20:02,200
+تعريف الآن لما هيك أنا بكون عرفت عملية الجمع
+
+207
+00:20:02,200 --> 00:20:07,240
+والضرب هنا في خطأ مطبع دي المفروض تكون ضرب لإن
+
+208
+00:20:07,240 --> 00:20:10,240
+واحد زاد واحد عرفناها تساوي سفر ف
+
+209
+00:20:13,680 --> 00:20:19,300
+حسب التعريف هذا ممكن التحقق ان خمس خواص تبعت ال
+
+210
+00:20:19,300 --> 00:20:22,760
+field بتتحقق فممكن تحققوها اذا بدكم تحققواها اذا
+
+211
+00:20:22,760 --> 00:20:25,700
+بدكم تحققواها اذا بدكم تحققواها اذا بدكم تحققواها
+
+212
+00:20:25,700 --> 00:20:27,620
+اذا بدكم تحققواها اذا بدكم تحققواها اذا بدكم
+
+213
+00:20:27,620 --> 00:20:27,740
+تحققواها اذا بدكم تحققواها اذا بدكم تحققواها اذا
+
+214
+00:20:27,740 --> 00:20:28,060
+بدكم تحققواها اذا بدكم تحققواها اذا بدكم تحققواها
+
+215
+00:20:28,060 --> 00:20:28,700
+اذا بدكم تحققواها اذا بدكم تحققواها اذا بدكم
+
+216
+00:20:28,700 --> 00:20:36,280
+تحققواها اذا بدكم تحققواها اذا بدكم تحققواها اذا
+
+217
+00:20:36,280 --> 00:20:43,660
+بدكم تحققواها اذا بدكم توعملية القسمة هي عملية
+
+218
+00:20:43,660 --> 00:20:47,340
+ضر��، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+219
+00:20:47,340 --> 00:20:49,400
+ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+220
+00:20:49,400 --> 00:20:53,020
+ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+221
+00:20:53,020 --> 00:20:54,300
+ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+222
+00:20:54,300 --> 00:20:56,080
+ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+223
+00:20:56,080 --> 00:20:56,480
+ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+224
+00:20:56,480 --> 00:21:01,560
+ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب، ضرب،
+
+225
+00:21:01,560 --> 00:21:06,040
+ضرب،إذن عملية الطرح هي عملية جمعة كذلك عملية
+
+226
+00:21:06,040 --> 00:21:10,320
+القسمة division on R is defined by هاي X على Y
+
+227
+00:21:10,320 --> 00:21:16,740
+بساوي عملية ضرب X في ال multiplicative inverse ل Y
+
+228
+00:21:16,740 --> 00:21:22,320
+أو 1 على Y كذلك بنعرف هذا definition دائما لما
+
+229
+00:21:22,320 --> 00:21:25,660
+يكون فيه نقطتين و وراهم علامة تساوي معناه إن طرف
+
+230
+00:21:25,660 --> 00:21:30,040
+الشمال by definition بساوي الطرف اليمين إذن هذا
+
+231
+00:21:30,040 --> 00:21:36,630
+تعريفلأن أنا بعرف هذا التعريف أن a أس negative one
+
+232
+00:21:36,630 --> 00:21:43,470
+معناها واحد على a a to zero بساوي واحد حسب التعريف
+
+233
+00:21:43,470 --> 00:21:48,970
+a to negative n و n عدد طبيعي هي عبارة عن مقلوب ال
+
+234
+00:21:48,970 --> 00:21:54,630
+a الكل to n فكل هذه تعريفات بناء على التعريفات هذه
+
+235
+00:21:54,630 --> 00:21:58,730
+ممكن أنبرهن خواص كثيرة
+
+236
+00:22:00,150 --> 00:22:03,810
+و هتشوفوا بعضها في التمرين اللي موجودة في نهاية ال
+
+237
+00:22:03,810 --> 00:22:09,970
+section نتطرق
+
+238
+00:22:09,970 --> 00:22:14,330
+لحاجة اسمها rational numbers الاعداد النسبية
+
+239
+00:22:14,330 --> 00:22:20,210
+الاعداد النسبية او rational numbers بنعرفها على
+
+240
+00:22:20,210 --> 00:22:24,130
+انها مجموعة من الاعداد الحقيقية او هي مجموعة جزئية
+
+241
+00:22:24,130 --> 00:22:30,010
+من الاعداد الحقيقيةنموذجها بالرمز boldfaceq هذه
+
+242
+00:22:30,010 --> 00:22:34,370
+الرموز الأحرف هذه أو ال letters هذه نسميها
+
+243
+00:22:34,370 --> 00:22:41,790
+boldface يعني حرف مغمق هذه طبعا بتدل على مجموعات
+
+244
+00:22:43,170 --> 00:22:47,190
+فال rational numbers هي كل الأعداد الحقيقية اللي
+
+245
+00:22:47,190 --> 00:22:52,210
+ممكن كتبتها على صورة rational a على b حيث a و b
+
+246
+00:22:52,210 --> 00:22:56,370
+أعداد صحيحة هذه مجموعة الأعداد الصحيحة bold في ال
+
+247
+00:22:56,370 --> 00:23:00,650
+z و المقام لازم مايسويش سفر لأن القسم على سفر مش
+
+248
+00:23:00,650 --> 00:23:05,840
+معرفةالان لو أخدت الأعداد الحقيقية وشلت منها
+
+249
+00:23:05,840 --> 00:23:09,720
+الأعداد النسبية طرحت منها الأعداد النسبية فالأعداد
+
+250
+00:23:09,720 --> 00:23:13,160
+الحقيقية المتبقية بنسميها irrational numbers
+
+251
+00:23:13,160 --> 00:23:18,480
+irrational numbers الأعداد غير النسبية إذا الأعداد
+
+252
+00:23:18,480 --> 00:23:21,960
+النسبية هي كل الأعداد الحقيقية التي لا يمكن
+
+253
+00:23:21,960 --> 00:23:26,740
+كتابتها على صورة rational a على b حيث a وb أعداد
+
+254
+00:23:26,740 --> 00:23:32,910
+صحيحة والمقان بسويش سفر تمام؟طبعا لو أخدت اتحاد ال
+
+255
+00:23:32,910 --> 00:23:35,590
+rational numbers مع ال irrational numbers بيعطوني
+
+256
+00:23:35,590 --> 00:23:38,770
+كل الأعداد الحقيقية يعني المعنى أخر الأعداد
+
+257
+00:23:38,770 --> 00:23:43,390
+الحقيقية احنا جزقناها إلى مجموعتين irrational
+
+258
+00:23:43,390 --> 00:23:53,270
+numbers اتحاد ال irrational numbers طبعا
+
+259
+00:23:53,270 --> 00:23:57,830
+المجموعتين هدول disjoint يعني منفصلتين مافيش بينهم
+
+260
+00:23:57,830 --> 00:23:58,850
+عناصر مشتركة
+
+261
+00:24:01,750 --> 00:24:08,710
+طيب ال .. النظرية التالية ممكن من السهل ان احنا
+
+262
+00:24:08,710 --> 00:24:14,950
+نثبتها باستخدا�� خواص الأعداد الصحيحة يعني
+
+263
+00:24:14,950 --> 00:24:25,150
+معروف احنا عندنا ان ال ..
+
+264
+00:24:25,150 --> 00:24:30,090
+معروف ان ال ..
+
+265
+00:24:33,390 --> 00:24:37,450
+لو في عندي عددين صحيحين فمجموعهم بيطلع عدد صحيح
+
+266
+00:24:37,450 --> 00:24:42,570
+وحاصل ضربهم عدد صحيح بمعنى آخر عملية مجموعة
+
+267
+00:24:42,570 --> 00:24:49,220
+الأعداد الصحيحة مغلقة تحت عمليات الجمع والضرببنفس
+
+268
+00:24:49,220 --> 00:24:53,860
+.. باستخدام الحقيقة هذه أو ال fact هذه ممكن اثبات
+
+269
+00:24:53,860 --> 00:24:58,900
+انه مجموعة الاعداد النسبية مغلقة تحت عمليات الضرب
+
+270
+00:24:58,900 --> 00:25:06,270
+والجامعة واخذ ال additive inverseيعني لو كان XY
+
+271
+00:25:06,270 --> 00:25:10,810
+أعداد نسبية فمجموعهم بيطلع عدد نسبي وحاصل ضربهم
+
+272
+00:25:10,810 --> 00:25:15,330
+عدد نسبي و سالب عدد نسبي بيطلع عدد نسبي و لو في
+
+273
+00:25:15,330 --> 00:25:21,330
+عندي عدد نسبي مختلف عن السفر ف ال multiplicative
+
+274
+00:25:21,330 --> 00:25:28,550
+inverse بيطلع عدد نسبيبمعنى آخر، مجموعة الأعداد
+
+275
+00:25:28,550 --> 00:25:33,950
+النسمية مغلقة تحت عملية الجمع والضرب، وأخذ الـ
+
+276
+00:25:33,950 --> 00:25:39,950
+Additive Inverse وأخذ مغلقة تحت الـ Multiplicative
+
+277
+00:25:39,950 --> 00:25:44,470
+Inverse وبالتالي ممكن
+
+278
+00:25:46,690 --> 00:25:51,850
+بنستنتج أن مجموعة الأعداد النسلية بتحقق القواص
+
+279
+00:25:51,850 --> 00:25:56,430
+الخامسة تبع ال field وبالتالي هي بتشكل field بحد
+
+280
+00:25:56,430 --> 00:26:05,690
+ذاتها الان ال Q subset من R وR field وQ subset من
+
+281
+00:26:05,690 --> 00:26:11,830
+R وQ field فبنسمي Q sub field زي لما يكون في عندي
+
+282
+00:26:11,830 --> 00:26:19,160
+set وفي داخلها setفبنقول sub set لو في عندي group
+
+283
+00:26:19,160 --> 00:26:25,240
+و في عندي مجموعة جزئية من ال group فبنسمي المجموعة
+
+284
+00:26:25,240 --> 00:26:31,940
+جزئية نفسها group أيضا فبنسميها sub group اذا ال Q
+
+285
+00:26:31,940 --> 00:26:38,340
+is a sub field of the field R بناء على النظرية هذه
+
+286
+00:26:38,340 --> 00:26:44,770
+اذا هذه كلها حقائق معروفة يعنيو هتركزوا عليها
+
+287
+00:26:44,770 --> 00:26:48,410
+انتوا في الجبر يعني ماحنخوض فيها كتير لإن هذا
+
+288
+00:26:48,410 --> 00:26:53,370
+مواضيع الجبرية احنا هنركز على ال analysis في كمان
+
+289
+00:26:53,370 --> 00:26:57,990
+نظرية هنا مهمة بتخص الأعداد النسبية والغير نسبية
+
+290
+00:26:57,990 --> 00:27:03,570
+وهذه طبعا برضه بنعطيها دائما مثال في مبادئ
+
+291
+00:27:03,570 --> 00:27:04,430
+الرياضيات
+
+292
+00:27:07,090 --> 00:27:14,250
+بورهان على مثال على بورهان غير مباشر النظرية هذه
+
+293
+00:27:14,250 --> 00:27:17,930
+بتقول there does not exist R ينتمي ل Q بحيث R
+
+294
+00:27:17,930 --> 00:27:22,530
+تربية بيساوي اتنين مافيش لا يوجد عدد نسبي مربعه
+
+295
+00:27:22,530 --> 00:27:27,450
+بساوي اتنين يعني بمعنى اخر النظرية هذه باختصار
+
+296
+00:27:27,450 --> 00:27:36,590
+بتقول ان جذر الاتنين ليس عدد نسبي وماليش؟عدد غير
+
+297
+00:27:36,590 --> 00:27:41,830
+نسبي يعني جذر اتنين عدد غير نسبي فهي برهان
+
+298
+00:27:41,830 --> 00:27:45,490
+بالتناقض برهان غير مباشر بالتناقض by contradiction
+
+299
+00:27:45,490 --> 00:27:53,510
+احنا عايزين نثبت انه مافيش عدد او جذر اتنين ليس
+
+300
+00:27:53,510 --> 00:28:01,010
+عدد نسبي فنفرض النقيد نفرض النفي هو الصح يعني نفرض
+
+301
+00:28:01,010 --> 00:28:11,490
+ان جذر الاتنين عدد نسبي يعني بالساويP على Q حيث P
+
+302
+00:28:11,490 --> 00:28:17,310
+و Q أعداد صحيحة و
+
+303
+00:28:17,310 --> 00:28:23,990
+Q لا يساوي سفر تمام؟ و بدنا نصل إلى تناقض إذا
+
+304
+00:28:23,990 --> 00:28:27,870
+وصلنا إلى تناقض معناته فرضنا هذا غلط والصح أن
+
+305
+00:28:27,870 --> 00:28:32,410
+النظرية تكون صحيحة، بصبوت؟ طيب نشوف مع بعض
+
+306
+00:28:36,080 --> 00:28:46,520
+هي فرضنا انه الاتنين عدد هاي اتنين بيساوي هاي
+
+307
+00:28:46,520 --> 00:28:52,320
+فرضنا انه الاتنين بيساوي P على Q او جدر اتنين
+
+308
+00:28:52,320 --> 00:28:57,100
+بيساوي P على Q وبالتالي P على Q ربع فبطلع عند P
+
+309
+00:28:57,100 --> 00:29:02,900
+على Q تربيه بيساوي اتنين صح؟ هايطيب الآن لما يكون
+
+310
+00:29:02,900 --> 00:29:12,820
+في عندي أعداد هذا عدد نسبي فممكن نختصر و نفرض أنه
+
+311
+00:29:12,820 --> 00:29:19,480
+مافيش عامل مشترك بين ال P و ال Q إلا الواحد الصحيح
+
+312
+00:29:19,480 --> 00:29:26,660
+يعني مثلا هي عندي مثلا أربعة على مثلا عشرة هذا عدد
+
+313
+00:29:26,660 --> 00:29:32,130
+نسبيفممكن اكتبه اختصر اجسم على اتنين و اجسم على
+
+314
+00:29:32,130 --> 00:29:36,530
+اتنين بطلع اتنين على خمسة لاحظوا الان مافيش عامل
+
+315
+00:29:36,530 --> 00:29:40,370
+مشترك بين اتنين و الخمسة الا الواحد فهذا في الجبر
+
+316
+00:29:40,370 --> 00:29:44,410
+بيسموه ال greatest common divisor لاتنين و خمسة
+
+317
+00:29:44,410 --> 00:29:53,130
+بساوة واحد هاي مثلا سالب عشرة على تلاتين هاي هذا
+
+318
+00:29:53,130 --> 00:29:59,940
+عدد نسبي فممكن نختصر هذا يصير اتنين علىوالا ايش
+
+319
+00:29:59,940 --> 00:30:06,760
+هذا او سالب واحد على تلاتة فال bus سالب واحد عدد
+
+320
+00:30:06,760 --> 00:30:10,460
+صحيح و المقام تلاتة و ال greatest common divisor
+
+321
+00:30:10,460 --> 00:30:17,420
+لسالب واحد و تلاتة بساوي واحد اذا اي عدد نسبة ممكن
+
+322
+00:30:17,420 --> 00:30:23,260
+اختصره او ابسط و اكتبه بأبسط صورةيعني اخلي ال
+
+323
+00:30:23,260 --> 00:30:29,640
+greatest common divisor ل P و Q هنا بساوي واحد طيب
+
+324
+00:30:29,640 --> 00:30:35,580
+الان تعالوا نربع هنا هذه المعادلة P على Q تربية
+
+325
+00:30:35,580 --> 00:30:40,500
+بساوي اتنين فمنها بنستنتج ان P تربية بساوي اتنين و
+
+326
+00:30:40,500 --> 00:30:47,040
+Q تربيةطيب هي عندي P تربيع بساو 2 في Q تربيع الـ Q
+
+327
+00:30:47,040 --> 00:30:50,820
+هاد عدد صحيح فمربع العدد الصحيح اللي هو Q تربيع
+
+328
+00:30:50,820 --> 00:30:54,720
+بيطلع عدد صحيح عدد صحيح مضروب في 2 بيطلع even
+
+329
+00:30:54,720 --> 00:30:59,400
+number عسب المبادئ صح؟ اذا P تربيع بيطلع even
+
+330
+00:30:59,400 --> 00:31:06,520
+number تمام؟هذا بيؤدي انه ممكن اثبات ان P بيطلع
+
+331
+00:31:06,520 --> 00:31:10,960
+even لو كان مربع عدد صحيح even فممكن اثبات ان
+
+332
+00:31:10,960 --> 00:31:14,860
+العدد الصحيح نفسه لازم يطلع even وهذا ممكن نعمل
+
+333
+00:31:14,860 --> 00:31:21,940
+برهان صغير بالتناقض افرضه ان P مش even يعني odd
+
+334
+00:31:21,940 --> 00:31:28,360
+ربع E فبطلع مربع odd تناقض هاي البرهان اذا هذا ايه
+
+335
+00:31:28,360 --> 00:31:33,220
+الاجابة على ال Yكمان مرة إذا كان عندي P تربية أنا
+
+336
+00:31:33,220 --> 00:31:39,900
+عندي P تربية even هذا بقد أنه P even كيف نبرهن هذا
+
+337
+00:31:39,900 --> 00:31:46,420
+برهان بالتناقض افرض أنه P odd أيه يعني P odd يعني
+
+338
+00:31:46,420 --> 00:31:51,600
+P هاي
+
+339
+00:31:51,600 --> 00:31:58,500
+P بساوي 2K زي 1 هذا معناه oddوطبعا الـ K هي عدد
+
+340
+00:31:58,500 --> 00:32:04,620
+صحيح ربي إذا P تربية بساوي أربعة K تربية زاد أربعة
+
+341
+00:32:04,620 --> 00:32:14,080
+K زاد واحد وهذا بساوي اتنين في اتنين K تربية زاد
+
+342
+00:32:14,080 --> 00:32:19,900
+اتنين K مع بعض زاد واحد وهذا بساوي اتنين في M زاد
+
+343
+00:32:19,900 --> 00:32:26,350
+واحد حيث M عدد صحيحإذاً P تربية طلع بساوة اتنين في
+
+344
+00:32:26,350 --> 00:32:30,410
+عدد صحيح زائد واحد وبالتالي هذا اقض Contradiction
+
+345
+00:32:30,410 --> 00:32:35,590
+تناقض لأن احنا عندنا P تربية P تربية is even okay
+
+346
+00:32:35,590 --> 00:32:42,670
+إذاً هذا برهان ال why طيب إذا احنا وصلنا إلى أن P
+
+347
+00:32:42,670 --> 00:32:48,750
+تربية even بقدر أن P even الآن ال P و ال Q have no
+
+348
+00:32:48,750 --> 00:32:51,410
+common factor other than واحد مافيش بينهم عامل
+
+349
+00:32:51,410 --> 00:32:57,460
+مشترك إلا الواحدو ال P even إذا لازم ال Q يكون odd
+
+350
+00:32:57,460 --> 00:33:03,320
+لأن لو كان ال Q even و ال P even ففيه عامل مشترك
+
+351
+00:33:03,320 --> 00:33:09,560
+بينهم اتنين على الأقل او أربعة وهذا بتناقض مع ايه
+
+352
+00:33:09,560 --> 00:33:13,100
+أنه احنا فرضين أنه مافيش common factor بين ال P و
+
+353
+00:33:13,100 --> 00:33:18,560
+ال Q إلا الواحد تمام إذا أنا عندي هنا سنتجة أن ال
+
+354
+00:33:18,560 --> 00:33:25,030
+Q لازم يكون odd الآنأنا عندي P even يعني المعناته
+
+355
+00:33:25,030 --> 00:33:33,020
+بيساوي 2M for some M عدد صحيح وبالتالي لو ربعتلو
+
+356
+00:33:33,020 --> 00:33:37,780
+نرجع نعوض في المعادلة هذه P تربية بساوة 2Q تربية
+
+357
+00:33:37,780 --> 00:33:43,120
+عوض عن P بساوة 2M فبصير 4M تربية بساوة 2Q تربية
+
+358
+00:33:43,120 --> 00:33:48,760
+فبختصر 2 من الطرفين بطلع 2M تربية بساوة Q تربية
+
+359
+00:33:48,760 --> 00:33:54,620
+إذن Q تربية بساوة 2 ضرب عدد صحيحوبالتالي Q تربية
+
+360
+00:33:54,620 --> 00:34:00,020
+is even وبالتالي منها بنستنتج ان ال Q نفسها is
+
+361
+00:34:00,020 --> 00:34:08,720
+even اذا الان انا عندي ال Q is even وهي نفس ال Q
+
+362
+00:34:08,720 --> 00:34:14,260
+سنتجنا انها odd فهذا
+
+363
+00:34:14,260 --> 00:34:20,680
+تناقض .. هذا تناقض صح؟الـ Q هنا odd وهنا طلعت even
+
+364
+00:34:20,680 --> 00:34:24,240
+فهذا يعطيني contradiction which is a contradiction
+
+365
+00:34:24,240 --> 00:34:30,620
+فهذا التناقض ان احنا هنا وصلنا بدينا بالبرهان احنا
+
+366
+00:34:30,620 --> 00:34:35,860
+عايزين نثبت جدر اتنين لا تنتمي ل Q فرضنا النقيض ال
+
+367
+00:34:35,860 --> 00:34:40,660
+contrary ان جدر اتنين تنتمي ل Q يعني ممكن كتبتها
+
+368
+00:34:40,660 --> 00:34:46,240
+على صورة P على Q P و Q أعداد صحيحةوصلنا لتناقض
+
+369
+00:34:46,240 --> 00:34:50,020
+معناته ان هذا فرضنا غلط الصح ان جدر اتنين لاتن
+
+370
+00:34:50,020 --> 00:34:54,640
+تميلكيه as required كما هو مطلوب okay تمام هذا
+
+371
+00:34:54,640 --> 00:34:59,660
+برهان بالتناقض تمام اذا هنا شوية راجعنا شوية
+
+372
+00:34:59,660 --> 00:35:04,820
+براهين اتعلمتوها في مبادئ رياضيات طبعا الناس اللي
+
+373
+00:35:04,820 --> 00:35:09,180
+اتعلموا مبادئ رياضيات و اخوياء الحاجات هذه
+
+374
+00:35:09,180 --> 00:35:14,870
+بالنسبالهم يعني صارت مجرد تسليةوالناس اللي عندهم
+
+375
+00:35:14,870 --> 00:35:20,790
+مشاكل في المبادئ نجحوا بالعافية فممكن يعني يجد ان
+
+376
+00:35:20,790 --> 00:35:28,670
+هذا مش كتير مستثار طيب هيك بنكون خلصنا ال
+
+377
+00:35:28,670 --> 00:35:33,410
+algebraic properties of R الخواص الجابرية لنظام
+
+378
+00:35:33,410 --> 00:35:37,650
+الأعداد الحقيقية او ال real number system ننتقل ل
+
+379
+00:35:37,650 --> 00:35:40,550
+section تاني داخل ال chapter الأول هيك خلصنا
+
+380
+00:35:40,550 --> 00:35:46,110
+sectionال section التاني عنوانه ال order
+
+381
+00:35:46,110 --> 00:35:52,370
+properties of R خواص الترتيب على Rorder properties
+
+382
+00:35:52,370 --> 00:35:58,470
+خواص الترتيب احنا شفنا او قولنا لما عرفنا نظام
+
+383
+00:35:58,470 --> 00:36:02,070
+الاعداد الحقيقية قولنا ان نظام الاعداد الحقيقية
+
+384
+00:36:02,070 --> 00:36:07,670
+مجرد مجموعة R boldface R مع عمليتين ثنائيتين two
+
+385
+00:36:07,670 --> 00:36:11,710
+binary operations بيحققوا الخمس خواص تبعت ال field
+
+386
+00:36:11,710 --> 00:36:16,730
+اليوم هنفترض ايضا ان نظام الاعداد الحقيقية بيحقق
+
+387
+00:36:17,890 --> 00:36:24,850
+order properties الخاصية رقم ستة هذه الخاصية رقم
+
+388
+00:36:24,850 --> 00:36:30,710
+ستة هذه الخاصية رقم ستة تتجزأ إلى تلات خواص تلات
+
+389
+00:36:30,710 --> 00:36:41,410
+خواص تسميهم order properties او اول خاصية نفترض
+
+390
+00:36:41,410 --> 00:36:48,400
+ماهي order propertyنفترض وجود مجموعة جزئية من R
+
+391
+00:36:48,400 --> 00:36:53,500
+وغير خالية، ليست خالية، non-empty subset of R
+
+392
+00:36:53,500 --> 00:36:58,220
+نفترض أن يوجد مجموعة P subset of R غير خالية
+
+393
+00:36:58,220 --> 00:37:04,620
+وبتحقق التلات خواص هذه ال set P is closed under
+
+394
+00:37:04,620 --> 00:37:09,920
+addition يعني لو خلت أي عنصرين في P فمجموعهم بيطلع
+
+395
+00:37:09,920 --> 00:37:15,040
+عنصر تالتفيها كذلك المجموعة P closed under
+
+396
+00:37:15,040 --> 00:37:20,620
+multiplication يعني لو أخدت أي عنصرين فحصل ضربهم
+
+397
+00:37:20,620 --> 00:37:26,980
+بيطلع عنصر تالت الخاصية التالتة من خاصية الترتيب
+
+398
+00:37:26,980 --> 00:37:32,340
+اللي لها اسم بنسميها trichotomy property الخاصية
+
+399
+00:37:32,340 --> 00:37:37,940
+الثلاثية الخاصية الثلاثية إيه هي؟ لو أخدت أي عدد
+
+400
+00:37:37,940 --> 00:37:39,180
+حقيقي R
+
+401
+00:37:41,750 --> 00:37:51,250
+فواحد من التلت احتمالات هذه لازم يكون صحيح وهو ان
+
+402
+00:37:51,250 --> 00:37:57,290
+اما a تنتمي للمجموعة P هذه او a بالساوء سفر او
+
+403
+00:37:57,290 --> 00:38:01,410
+negative a ينتمي للمجموعة P هذه هي الخاصية
+
+404
+00:38:01,410 --> 00:38:07,670
+التالتية اي عدد حقيقي اما يكون عنصر في P او بساوء
+
+405
+00:38:07,670 --> 00:38:10,630
+سفر او ال negative تبقى انصر في P
+
+406
+00:38:16,020 --> 00:38:21,780
+الان بنعرف المجموعة remark ملاحظة باعرف المجموعة
+
+407
+00:38:21,780 --> 00:38:25,820
+negative P المجموعة negative P هي مجموعة كل
+
+408
+00:38:25,820 --> 00:38:33,050
+العناصر negative A حيث A ينتمي ل Pالان الخاصية C
+
+409
+00:38:33,050 --> 00:38:36,310
+من ال order property اللي هي trichotomy property
+
+410
+00:38:36,310 --> 00:38:43,610
+الخاصية C says تقول أو بتقول ان ال sets المجموعات
+
+411
+00:38:43,610 --> 00:38:52,110
+اللي هي المجموعة الأحدية سفر و المجموعة P و
+
+412
+00:38:52,110 --> 00:38:57,570
+المجموعة negative P التلاتة
+
+413
+00:38:57,570 --> 00:39:02,860
+هدول are pairwise disjointمنفصلة مثنى مثنى
+
+414
+00:39:02,860 --> 00:39:06,840
+pairwise is joint يعني منفصلة مثنى مثنى إيه يعني؟
+
+415
+00:39:06,840 --> 00:39:11,360
+لو أخدت أي تنتين من التلات مجموعات هدول و قاطعتهم
+
+416
+00:39:11,360 --> 00:39:15,200
+مع بعض فاتقعتوا اعتبارهم five مافيش بينهم عناصر
+
+417
+00:39:15,200 --> 00:39:19,060
+مشتركة فبنقول إن المجموعات هذه pairwise is joint
+
+418
+00:39:20,610 --> 00:39:26,410
+ومش هيكوا بس واتحادهم بساوي كل العداد الحقيقية هذا
+
+419
+00:39:26,410 --> 00:39:33,430
+صحيح من الخاصية C لأن C بتقول لأي عدد حقيقي أي A
+
+420
+00:39:33,430 --> 00:39:41,310
+ينتمي إلى R أي A ينتمي إلى R إما ينتمي إلى P أو
+
+421
+00:39:41,310 --> 00:39:45,370
+بساوي 0 وبالتالي ينتمي إلى المجموعة هذه أو ينتمي
+
+422
+00:39:45,370 --> 00:39:52,030
+إلى negative P صح؟وبالتالي كل a هنا موجود في واحدة
+
+423
+00:39:52,030 --> 00:39:54,810
+من هذول التلاتة وبالتالي موجود في اتحادهم مش هيك
+
+424
+00:39:54,810 --> 00:39:59,990
+تعريف اتحاد؟ إذا ال R الأن أصبحت مجموعة جزئية من
+
+425
+00:39:59,990 --> 00:40:06,130
+الاتحاد، مظبوط؟ طب ال P مجموعة جزئية من R و
+
+426
+00:40:06,130 --> 00:40:10,850
+negative P مجموعة جزئية من R و singleton 0 برضه
+
+427
+00:40:10,850 --> 00:40:15,130
+مجموعة جزئية من R إذا اتحادهم بيطلع مجموعة جزئية
+
+428
+00:40:15,130 --> 00:40:20,060
+من Rوبالتالي انا عندي الاحتواء من الناحيتين
+
+429
+00:40:20,060 --> 00:40:24,280
+وبالتالي عندي تساوي اذا هنا برهنتلكم ان الاتحاد
+
+430
+00:40:24,280 --> 00:40:26,740
+هذا بساوي R تمام؟
+
+431
+00:40:33,090 --> 00:40:37,470
+طب ليش هدولة disjoint؟ لأنه لو .. لو فرضت أنه مثلا
+
+432
+00:40:37,470 --> 00:40:42,130
+في عنصر بيقف ينتمي لتقاطه المجموعتين هدول، معناته
+
+433
+00:40:42,130 --> 00:40:45,990
+هذا العنصر بيساوي سفر و في نفس الوجة ينتمي ل P
+
+434
+00:40:45,990 --> 00:40:49,830
+وهذا بتناقض مع الخاصية الثلاثية، الخاصية الثلاثية
+
+435
+00:40:49,830 --> 00:40:53,950
+بتقول لازم و exactly one، واحد من الاحتمالات
+
+436
+00:40:53,950 --> 00:41:00,090
+الثلاثة هذه صح، اما اثنين مش صح، تمام؟ okay
+
+437
+00:41:02,970 --> 00:41:07,390
+العنى المجموعة P هذه اللي عرفناها هنا بنسميها
+
+438
+00:41:07,390 --> 00:41:10,610
+مجموعة الأعداد الح��يقية الموجبة the set of
+
+439
+00:41:10,610 --> 00:41:15,830
+positive real number مجموعة الأعداد الحقيقية
+
+440
+00:41:15,830 --> 00:41:19,750
+الموجبة و ال set negative P هذه بنسميها مجموعة
+
+441
+00:41:19,750 --> 00:41:24,560
+الأعداد الحقيقية السالبةو لما نضيف عليهم السفر هيك
+
+442
+00:41:24,560 --> 00:41:28,980
+بنكون غطينا كل الاعداد الحقيقية صح؟ okay تمام اذا
+
+443
+00:41:28,980 --> 00:41:33,000
+P بنسميها مجموعة الاعداد الحقيقية الموجبة negative
+
+444
+00:41:33,000 --> 00:41:42,440
+P مجموعة الاعداد الحقيقية السالبة و هكذا طيب
+
+445
+00:41:42,440 --> 00:41:47,980
+لحد تلان احنا ماعرفناش علاقة اصغر او اكبر او اصغر
+
+446
+00:41:47,980 --> 00:41:52,380
+من او يساوي او اكبر من او يساوي اللي هو الترتيبففي
+
+447
+00:41:52,380 --> 00:41:56,100
+عندى definition هنا لو أخدت اي عددين حقيقيين a و b
+
+448
+00:41:56,100 --> 00:42:04,620
+فهنكتب او هنعلن ان a أصغر من b او ما يكافئها b
+
+449
+00:42:04,620 --> 00:42:12,640
+أكبر من a هذا معناه نقصد نقصد بذلك ان الفرق بين b
+
+450
+00:42:12,640 --> 00:42:18,920
+و a ينتمي ل p يعني الفرق هذا موجب يعني هذا عدد
+
+451
+00:42:18,920 --> 00:42:26,080
+موجبإذا لو كان الفرق بين b و a عدد موجب فبنكتب a
+
+452
+00:42:26,080 --> 00:42:32,780
+أصغر من b أو b أكبر من a طيب طب
+
+453
+00:42:32,780 --> 00:42:36,840
+متى بكتب a أصغر من أو يساوي b أو b أكبر من أو
+
+454
+00:42:36,840 --> 00:42:45,760
+يساوي a هذا معناه يعني هذا مثلا معناه أن a أصغر من
+
+455
+00:42:45,760 --> 00:42:54,840
+bيعني الفرق بين B و A ينتمي ل P أو A بيساوي B لما
+
+456
+00:42:54,840 --> 00:42:58,860
+يكون A بيساوي B لإحتمال التاني هذا معناه أن الفرق
+
+457
+00:42:58,860 --> 00:43:03,620
+بيساوي سفر يعني ينتمي للمجموعة Singleton Zero okay
+
+458
+00:43:03,620 --> 00:43:07,500
+تمام؟ إذن أصغر من أو سابع أو أكبر من أو سابع
+
+459
+00:43:07,500 --> 00:43:13,410
+معناته الفرق ينتمي ل P اتحاد Singleton Zeroالان في
+
+460
+00:43:13,410 --> 00:43:20,170
+عندي نظرية و النظرية هذه بتعطيني خواص ل .. ال ..
+
+461
+00:43:20,170 --> 00:43:28,450
+ال .. خليني بس نبص عليها بسرعة النظرية
+
+462
+00:43:28,450 --> 00:43:33,410
+هذه بتعطيني خواص لل order properties يعني خواص
+
+463
+00:43:33,410 --> 00:43:40,210
+أخرىنقدر نشتقها من ال order properties و كل هذه
+
+464
+00:43:40,210 --> 00:43:44,990
+خواص معروفة وسهلة وبسيطة و كلها .. كلها عارفين لكن
+
+465
+00:43:44,990 --> 00:43:48,230
+بدها برهان .. بدها برهان ماحدش عمره برهانلنا إياها
+
+466
+00:43:49,460 --> 00:43:54,600
+Okay فحنوقف عند النظرية هذه وإن شاء الله المرة
+
+467
+00:43:54,600 --> 00:44:01,120
+الجاية بنحاول نبرهن النظرية okay حاولوا أنتوا
+
+468
+00:44:01,120 --> 00:44:05,260
+meanwhile في نفس الوقت كتحضير للمحاضرة الجاية
+
+469
+00:44:05,260 --> 00:44:10,140
+حاولوا أنكم تقرأوا البرهان تبع النظرية وشوفوا هل
+
+470
+00:44:10,140 --> 00:44:16,360
+تفهموه ولا لأ okay تمام في أي سؤال okay شكرا لكم
+
+471
+00:44:16,360 --> 00:44:17,540
+ومبارك الله فيكم
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/be-bepplyPs.srt

@@ -0,0 +1,1267 @@
+1
+00:00:22,390 --> 00:00:27,410
+إذا ثبتنا أن الـ function أو الـ limit للـ function
+
+2
+00:00:27,410 --> 00:00:33,250
+هذه عن صفر من اليمين does not exist حسب نظرية سابقة
+
+3
+00:00:33,250 --> 00:00:36,410
+و يكفي أن نثبت أن الـ function هذه not
+
+4
+00:00:36,410 --> 00:00:41,790
+bounded عند أي right neighborhood للصفر نعمل برهان
+
+5
+00:00:41,790 --> 00:00:47,490
+بالتناقض assume أن g of x is bounded on some right
+
+6
+00:00:47,490 --> 00:00:50,810
+neighbourhood الـ some right neighbourhood هذا
+
+7
+00:00:50,810 --> 00:00:55,450
+الفترة المفتوحة من الصفر ل delta zero لمن هذا
+
+8
+00:00:55,450 --> 00:01:01,190
+right neighbourhood للصفر هذا معناه
+
+9
+00:01:03,570 --> 00:01:08,150
+there exist m أكبر من الصفر عدد موجب بحيث أن
+
+10
+00:01:08,150 --> 00:01:13,690
+absolute g of x اللي هو بيساوي g of x بالمناسبة
+
+11
+00:01:13,690 --> 00:01:17,790
+لأنه أنا عندي ال function g of x بيساوي إيص واحد
+
+12
+00:01:17,790 --> 00:01:30,370
+على x  هذه قيمها موجبة أصغر من أو يساوي m لكل x في
+
+13
+00:01:30,370 --> 00:01:32,670
+الجوار
+
+14
+00:01:34,580 --> 00:01:40,860
+أو الـ delta الجوار من اليمين للصفر
+
+15
+00:01:40,860 --> 00:01:48,680
+طيب
+
+16
+00:01:48,680 --> 00:02:01,460
+by Archimedean property يوجد أن عدد طبيعي أو أن
+
+17
+00:02:01,460 --> 00:02:12,700
+واحد عدد طبيعي بحيث أن n واحد أكبر
+
+18
+00:02:12,700 --> 00:02:18,220
+من الصفر طيب
+
+19
+00:02:18,220 --> 00:02:22,140
+also by
+
+20
+00:02:22,140 --> 00:02:27,720
+Archimedean property أنا
+
+21
+00:02:27,720 --> 00:02:32,650
+عندي delta zero هذه عدد موجب أنا عندي delta zero
+
+22
+00:02:32,650 --> 00:02:40,270
+عدد موجب بيقدّي أن يوجد عدد طبيعي M2 عدد طبيعي
+
+23
+00:02:40,270 --> 00:02:55,930
+بحيث أنه واحد على M2 أصغر من delta zero left
+
+24
+00:02:55,930 --> 00:02:56,430
+end
+
+25
+00:02:59,360 --> 00:03:07,820
+let n بساوي ال maximum الأكبر بين n واحد و n اتنين
+
+26
+00:03:07,820 --> 00:03:12,740
+واضح
+
+27
+00:03:12,740 --> 00:03:18,520
+لأن n أكبر من أو يساوي n واحد و أكبر من أو يساوي
+
+28
+00:03:18,520 --> 00:03:24,120
+n اتنين وبالتالي x
+
+29
+00:03:31,260 --> 00:03:40,480
+لو أخدت xn بيساوي واحد على n بيساوي
+
+30
+00:03:40,480 --> 00:03:46,080
+واحد على n فهذا
+
+31
+00:03:46,080 --> 00:03:54,800
+ينتمي إلى ال delta zero neighborhood للصفر ال
+
+32
+00:03:54,800 --> 00:04:01,150
+right neighborhood للصفر اللي هو هذاليه؟ لأنه أنا
+
+33
+00:04:01,150 --> 00:04:09,930
+عندي واحد على n since واحد على n أصغر من أو يساوي
+
+34
+00:04:09,930 --> 00:04:16,470
+واحد على n اتنين أصغر من delta zero وأكبر من صفر
+
+35
+00:04:16,470 --> 00:04:21,610
+وبالتالي واحد على n ينتمي للفترة من صفر ل delta
+
+36
+00:04:21,610 --> 00:04:22,670
+zero صح؟
+
+37
+00:04:36,490 --> 00:04:44,450
+So من هال .. من
+
+38
+00:04:44,450 --> 00:04:56,350
+المتباينة هذه بطلع عندي g of x g of xn هذا
+
+39
+00:04:56,350 --> 00:05:06,470
+بيطلع أصغر من أو يساوي M من هذه نسمي هذه double
+
+40
+00:05:06,470 --> 00:05:10,070
+star ونسمي
+
+41
+00:05:10,070 --> 00:05:16,010
+هذه star إذا
+
+42
+00:05:16,010 --> 00:05:25,160
+من double star ال XM هذا اللي هو واحد على n ينتمي
+
+43
+00:05:25,160 --> 00:05:31,520
+للفترة من صفر الى delta zero وبالتالي G ل X N هذا
+
+44
+00:05:31,520 --> 00:05:38,120
+أصغر من أو يساوي M وال M أصغر
+
+45
+00:05:38,120 --> 00:05:39,100
+من n واحد
+
+46
+00:05:51,340 --> 00:05:58,900
+أصغر منها بيساوي M أصغر منها بيساوي M صح؟ أعملها
+
+47
+00:05:58,900 --> 00:06:10,200
+فعلا طيب هنا عندي من ال star G of X M G
+
+48
+00:06:10,200 --> 00:06:17,920
+of X M اللي هي بالساوي من
+
+49
+00:06:17,920 --> 00:06:26,660
+ال star هذا عبارة عن G of n صح؟ لأ G of واحد على n
+
+50
+00:06:26,660 --> 00:06:34,400
+G of G G of واحد على n صح؟
+
+51
+00:06:34,400 --> 00:06:42,780
+ف G of XM بتطلع
+
+52
+00:06:42,780 --> 00:06:44,040
+أكبر من
+
+53
+00:06:52,470 --> 00:06:57,470
+يعني من هنا المفروض يطلع أن الـ g of 1 على n أكبر
+
+54
+00:06:57,470 --> 00:07:06,770
+من n أن الـ g of xn أكبر من 1 على xn صح؟ 1 على xn
+
+55
+00:07:06,770 --> 00:07:10,250
+بيساوي n
+
+56
+00:07:24,110 --> 00:07:29,410
+إذا بيطلع عندي الآن إذا بيطلع عندي n أصغر من n
+
+57
+00:07:29,410 --> 00:07:36,070
+contradiction تمام وبالتالي ال contradiction هذه
+
+58
+00:07:36,070 --> 00:07:41,650
+بتقول إن ال assumption تبعنا إن g of x is bounded
+
+59
+00:07:41,650 --> 00:07:46,370
+on some right neighborhood of zero كان خطأ okay
+
+60
+00:07:46,370 --> 00:07:50,990
+إذا إذا
+
+61
+00:07:55,320 --> 00:08:02,580
+لأن g of x is not bounded on
+
+62
+00:08:02,580 --> 00:08:12,080
+any right neighborhood from zero to delta of zero
+
+63
+00:08:14,120 --> 00:08:20,240
+وبالتالي إذا هذا بثبت زي ما قلنا أن ال limit ل G
+
+64
+00:08:20,240 --> 00:08:25,620
+of X لما X تقول إلى 0 من اليمين does not exist غير
+
+65
+00:08:25,620 --> 00:08:31,460
+موجودة لأن هذا برهان الجزء الأول أن limit E توعد
+
+66
+00:08:31,460 --> 00:08:39,380
+على X لما X تقول إلى 0 مش موجودة برهان
+
+67
+00:08:39,380 --> 00:08:41,140
+الجزء التاني أسهل
+
+68
+00:08:54,110 --> 00:09:01,790
+أنا عندي we have for
+
+69
+00:09:01,790 --> 00:09:10,990
+x أصغر من صفر let T بساوي سالب واحد على X أكبر من
+
+70
+00:09:10,990 --> 00:09:21,440
+صفر in star لو كانت ال X عدد سالب فاخد T بساوي سالب
+
+71
+00:09:21,440 --> 00:09:26,080
+واحد على X طبعا ال X سالبة فسالب واحد على X بطلع
+
+72
+00:09:26,080 --> 00:09:33,380
+موجب وبالتالي لأي T موجبة زي هذه take T بساوي سالب
+
+73
+00:09:33,380 --> 00:09:43,750
+واحد على X to get T هو سالب واحد على X أكبر من صفر
+
+74
+00:09:43,750 --> 00:09:49,810
+أصغر من أو يساوي سالب واحد على X هذا صحيح لكل X أصغر
+
+75
+00:09:49,810 --> 00:09:56,450
+من صفر هذا بيقدّي أو يساوي
+
+76
+00:09:56,450 --> 00:10:06,710
+واحد على X أصغر من سالب X أكبر
+
+77
+00:10:06,710 --> 00:10:16,850
+من صفر لكل x أصغر من صفر الآن سالب x الآن الدالة
+
+78
+00:10:16,850 --> 00:10:21,190
+إيص واحد على x محصورة بين دالتين واحدة سالب x
+
+79
+00:10:21,190 --> 00:10:26,210
+والتانية ثابت صفر وهذا صحيح لكل x على يسار الصفر
+
+80
+00:10:26,210 --> 00:10:33,950
+فالدالة هذه لما x تقول إلى صفر من اليسار ال limit
+
+81
+00:10:33,950 --> 00:10:39,200
+أبقتها صفر الدالة هذه لما X تقول صفر من اليسار
+
+82
+00:10:39,200 --> 00:10:44,540
+أو اليمين ثابت نهايتها صفر إذا by squeeze theorem
+
+83
+00:10:44,540 --> 00:10:51,600
+for left limits مش
+
+84
+00:10:51,600 --> 00:10:56,220
+احنا قلنا ان كل النظريات اللي برهنها ال two sided
+
+85
+00:10:56,220 --> 00:11:00,200
+limits صحيحة ال one sided limit ممضمنها ال squeeze
+
+86
+00:11:00,200 --> 00:11:03,640
+theorem إذا by
+
+87
+00:11:08,280 --> 00:11:15,260
+Squeeze theorem for left
+
+88
+00:11:15,260 --> 00:11:20,980
+-hand limit بطلع
+
+89
+00:11:20,980 --> 00:11:26,740
+عند ال limit ل E أس واحد على X لما X تقول إذا صفر
+
+90
+00:11:26,740 --> 00:11:35,240
+من اليسار بيساوي صفر تمام؟ وهيك بتكون برهنة الجزء
+
+91
+00:11:35,240 --> 00:11:41,100
+التاني إذا هذا مثال على function النهاية تبعتها من
+
+92
+00:11:41,100 --> 00:11:45,380
+اليمين غير موجودة بينما النهاية من اليسار على نفس
+
+93
+00:11:45,380 --> 00:11:51,620
+النقطة موجودة كذلك
+
+94
+00:11:51,620 --> 00:12:01,880
+مثال تالت لو أخدنا let H of X بساوي واحد على واحد
+
+95
+00:12:01,880 --> 00:12:11,550
+زائد E أس واحد على X لو أخدنا الدالة هذه طبعا
+
+96
+00:12:11,550 --> 00:12:19,530
+و X هنا لا يساوي صفر فالممكن
+
+97
+00:12:19,530 --> 00:12:27,270
+إثبات ان ال limit للدالة هذه لما X تقول اللي هي
+
+98
+00:12:27,270 --> 00:12:34,630
+صفر من اليمين موجودة و بتساوي صفر
+
+99
+00:12:38,390 --> 00:12:47,610
+و ال limit لنفس الدالة لما x تقول إلى صفر من
+
+100
+00:12:47,610 --> 00:12:58,570
+اليسار أيضا موجودة لكن بساوي واحد وبالتالي
+
+101
+00:12:58,570 --> 00:13:04,510
+هذا طبعا هذا المثال محلول بالتفصيل في الكتاب
+
+102
+00:13:04,510 --> 00:13:12,670
+وبرهانه أسهل بكثير من المثال اللي فات ويعتمد
+
+103
+00:13:12,670 --> 00:13:17,130
+برضه على المثال السابق اللي هو المثال رقم اتنين
+
+104
+00:13:17,130 --> 00:13:28,330
+see the text انظروا في الكتاب للتفاصيل الكاملة لأن
+
+105
+00:13:28,330 --> 00:13:34,150
+هذا المثال الآخر زي ال signal function الـ one
+
+106
+00:13:34,150 --> 00:13:38,390
+-sided limits both exist لكن مش متساويات وبالتالي
+
+107
+00:13:38,390 --> 00:13:44,430
+ال limit عند الصفر للدالة هذه غير موجودة okay تمام
+
+108
+00:13:44,430 --> 00:13:54,330
+لأن هذه بعض الأمثلة على ال one-sided limits خلينا
+
+109
+00:13:54,330 --> 00:13:58,710
+ننتقل إلى موضوع ال infinite limits
+
+110
+00:14:19,750 --> 00:14:26,410
+فداخل definition let
+
+111
+00:14:26,410 --> 00:14:36,890
+F be function from A to R وC be cluster point
+
+112
+00:14:36,890 --> 00:14:39,550
+of set A
+
+113
+00:14:47,050 --> 00:14:58,250
+نقول إن قيمة f of x كما أن x هو c بساوي plus
+
+114
+00:14:58,250 --> 00:15:02,070
+infinity إذا
+
+115
+00:15:02,070 --> 00:15:11,950
+تحقق الشرط التالي for any alpha
+
+116
+00:15:11,950 --> 00:15:20,870
+real number there exists delta تعتمد على alpha على
+
+117
+00:15:20,870 --> 00:15:29,990
+موجب يعني هذا شبه بتعريف بتعريف
+
+118
+00:15:29,990 --> 00:15:35,690
+أن ال sequence xn ال limit بتاعتها تكون plus
+
+119
+00:15:35,690 --> 00:15:43,610
+infinity فقلنا هذا معناه أن xn أكبر من أي real
+
+120
+00:15:43,610 --> 00:15:51,970
+alpha لكل n أكبر من أو يساوي capital N حيث capital N
+
+121
+00:15:51,970 --> 00:15:56,670
+عدد طبيعي يعتمد على Alpha مش هيك التعريف تقريبا
+
+122
+00:15:56,670 --> 00:16:01,650
+وهذا نفس الحاجة ما معناه ان ال limit لل function
+
+123
+00:16:01,650 --> 00:16:06,590
+نقطة بساوي infinity هذا معناه ان اخلي ال function
+
+124
+00:16:06,590 --> 00:16:12,530
+أكبر من أي given Alpha لكل
+
+125
+00:16:12,530 --> 00:16:15,150
+X قريبة من C
+
+126
+00:16:19,590 --> 00:16:24,390
+أو في جوار Delta لـ C فرقان Alpha يوجد Delta عدد
+
+127
+00:16:24,390 --> 00:16:31,090
+موجب بحيث انه لو كانت X تنتمي إلى A و X هذه في
+
+128
+00:16:31,090 --> 00:16:37,530
+جوار Delta الـ X مختلفة عن الـ C و تقع في جوار
+
+129
+00:16:37,530 --> 00:16:44,270
+Delta لـ C فلازم هذا يقدي ان ال F of X أكبر من ال
+
+130
+00:16:44,270 --> 00:16:53,020
+given Alpha اتنين و Cبالمثل ممكن اتعرف ما معناه
+
+131
+00:16:53,020 --> 00:16:57,340
+انه limit لل function f بساوي سالب infinity limit
+
+132
+00:16:57,340 --> 00:17:04,640
+f of x لما x تقول الى c بساوي negative infinity
+
+133
+00:17:04,640 --> 00:17:16,860
+هذا معناه انه for any beta real number يوجد
+
+134
+00:17:18,350 --> 00:17:27,870
+Delta تعتمد على Beta عدد موجب بحيث انه لكل X ينتمي
+
+135
+00:17:27,870 --> 00:17:35,370
+إلى A و absolute X minus C أصغر من Delta أكبر من 0
+
+136
+00:17:35,370 --> 00:17:43,990
+هذا بتضمن ان F of X أصغر من Beta تمام؟
+
+137
+00:17:43,990 --> 00:17:46,510
+خلّينا ناخد أمثلة
+
+138
+00:17:56,170 --> 00:18:01,870
+لإثبات كيف نستخدم التعريفات لإثبات ان ال limit ل
+
+139
+00:18:01,870 --> 00:18:06,830
+function معينة نقطة معينة بساوي infinity او
+
+140
+00:18:06,830 --> 00:18:17,250
+negative infinity فمثلا show that ان 
+
+141
+00:18:17,250 --> 00:18:22,910
+ال limit لواحد
+
+142
+00:18:25,040 --> 00:18:31,380
+على x تربيع as x tends to zero بساوي plus infinity
+
+143
+00:18:31,380 --> 00:18:42,280
+أنا 
+
+144
+00:18:42,280 --> 00:18:49,520
+عندي let ال function تبعتي f of x بتعرف على أنها
+
+145
+00:18:49,520 --> 00:18:55,470
+مقلوب x تربيع حيث x ده لا تساوي صفر طبعا ده اللي هي دي
+
+146
+00:18:55,470 --> 00:18:59,610
+ال domain تبعها كل الأعداد الحقيقية ما عدا صفر
+
+147
+00:18:59,610 --> 00:19:04,010
+let
+
+148
+00:19:04,010 --> 00:19:13,090
+alpha belong to R be given عشان أنا بدي أثبت أنه
+
+149
+00:19:13,090 --> 00:19:17,510
+limit ال function f of x عند الصفر بساوي
+
+150
+00:19:17,510 --> 00:19:22,460
+infinity بتثبت أنه for any given alpha إذا let
+
+151
+00:19:22,460 --> 00:19:30,040
+alpha belong to R عدد حقيقي بيكون given من
+
+152
+00:19:30,040 --> 00:19:34,080
+أن نرد على ال alpha هذه بـ delta بتخلي ال
+
+153
+00:19:34,080 --> 00:19:39,640
+implication هذه تشتغل صح فنشوف كيف نختار ال delta
+
+154
+00:19:50,090 --> 00:19:53,390
+لو كانت ال alpha هذه عدد موجب لأختارت ال delta
+
+155
+00:19:53,390 --> 00:19:56,970
+بساوي
+
+156
+00:19:56,970 --> 00:20:06,690
+واحد على الجذر التربيعي ل alpha أو
+
+157
+00:20:06,690 --> 00:20:15,890
+ممكن تقول إن أنا بدي f of x أكبر من alpha فهذا
+
+158
+00:20:15,890 --> 00:20:22,330
+عبارة ��ن واحد على x تربيع أكبر من alpha يعني واحد
+
+159
+00:20:22,330 --> 00:20:28,650
+على ال alpha أصغر من x تربيع يعني x أكبر من واحد
+
+160
+00:20:28,650 --> 00:20:46,830
+على الجذر ال alpha وطبعا 
+
+161
+00:20:46,830 --> 00:20:47,910
+أنا عند ال x هنا
+
+162
+00:20:56,290 --> 00:21:01,330
+لما يكون المسافة بين x والـ 0 أصغر من Delta فالـ
+
+163
+00:21:01,330 --> 00:21:06,430
+Delta يعني هنا هتكون واحد علي جذر ال Alpha المشكلة 
+
+164
+00:21:06,430 --> 00:21:10,370
+هنا إن ال Alpha هذه ممكن ما تكونش موجبة ممكن تساوي
+
+165
+00:21:10,370 --> 00:21:18,690
+صفر فعشان أخرج من هذا الحرج فبأخد ال absolute
+
+166
+00:21:18,690 --> 00:21:23,550
+value ل Alpha عشان أبقى منها غير ثالثة فممكن تكون 
+
+167
+00:21:23,550 --> 00:21:31,380
+زيادة فبضيف واحد ببطلها دقيقة ستة okay تمام إذا لأي
+
+168
+00:21:31,380 --> 00:21:38,760
+alpha belonging to R هنختار delta 
+
+169
+00:21:38,760 --> 00:21:42,400
+choose delta
+
+170
+00:21:42,400 --> 00:21:48,660
+بساوي واحد على الجذر التربيعي ل absolute alpha زي
+
+171
+00:21:48,660 --> 00:21:51,880
+الواحد فبالتأكيد هذا عدد موجب
+
+172
+00:21:54,590 --> 00:22:02,110
+ويعتمد على Alpha دلتا تاني مرتبطة بالـ Alpha 
+
+173
+00:22:02,110 --> 00:22:06,150
+لو كانت x تنتمي لل domain تبع الدالة اللي هو R
+
+174
+00:22:06,150 --> 00:22:13,370
+ما عدا صفر و x لا تساوي صفر يعني x سالب c هنا صفر
+
+175
+00:22:13,370 --> 00:22:19,230
+أكبر من الصفر يعني x لا تساوي صفر وأصغر من الدلتا
+
+176
+00:22:19,230 --> 00:22:21,670
+هذه فهذا
+
+177
+00:22:25,020 --> 00:22:30,320
+بنشوف ايش حياة دينى طيب لما يكون هذا الكلام صح
+
+178
+00:22:30,320 --> 00:22:40,680
+معناه absolute x أصغر من delta وهذا معناه أن x 
+
+179
+00:22:40,680 --> 00:22:48,680
+تربيع أصغر من delta تربيع لأن absolute x بيساوي
+
+180
+00:22:48,680 --> 00:22:49,800
+جذر x تربيع
+
+181
+00:22:52,680 --> 00:23:00,220
+طب و Delta تربيع حسب اختيارنا لـ Delta Delta تربيع
+
+182
+00:23:00,220 --> 00:23:07,060
+بساوي واحد على Absolute Alpha زائد واحد طب ما هذا 
+
+183
+00:23:07,060 --> 00:23:12,640
+بيقودى إن F of X اللي هي مقلوب x تربيع طبعا هذا 
+
+184
+00:23:12,640 --> 00:23:21,820
+موجب على موجب فمقلوب x تربيع هيكون أكبر من مقلوب
+
+185
+00:23:21,820 --> 00:23:27,240
+الكسر هذا اللي هو absolute alpha زائد واحد طب 
+
+186
+00:23:27,240 --> 00:23:31,160
+absolute alpha زائد واحد أكبر من absolute alpha
+
+187
+00:23:31,160 --> 00:23:37,460
+صح؟ طب و absolute alpha أكبر من أو يساوي alpha لأي 
+
+188
+00:23:37,460 --> 00:23:41,800
+real number دا من ال absolute value لل number أكبر 
+
+189
+00:23:41,800 --> 00:23:47,100
+من أو يساوي ال number إذن هي اللي أثبتت أن ال F of
+
+190
+00:23:47,100 --> 00:23:54,230
+X أكبر من ال given alpha وهذا صحيح لكل x بحيث 
+
+191
+00:23:54,230 --> 00:24:00,050
+absolute x ناقص 0 أكبر من 0 أصغر من Delta بما أن 
+
+192
+00:24:00,050 --> 00:24:04,350
+هذا صحيح لكل Alpha أو بما أن ال Alpha دي was
+
+193
+00:24:04,350 --> 00:24:12,900
+arbitrary since Alpha belong to R was arbitrary إذا 
+
+194
+00:24:12,900 --> 00:24:17,240
+أنا أثبتتها إن لكل Alpha فيه Delta تعتمد عليها
+
+195
+00:24:17,240 --> 00:24:22,500
+بتخلي F of X أكبر من Alpha لكل X فيه جوار Delta
+
+196
+00:24:22,500 --> 00:24:29,700
+للصفر إذا by definition هذا معناه إن ال limit لل
+
+197
+00:24:29,700 --> 00:24:35,700
+function F of X لما X تقول صفر بساوي plus infinity
+
+198
+00:24:35,700 --> 00:24:38,880
+تمام؟ وهو المطلوب
+
+199
+00:24:42,370 --> 00:24:55,150
+Okay تمام؟ في 
+
+200
+00:24:55,150 --> 00:25:00,230
+أي سؤال؟ طيب ناخد مثال تاني
+
+201
+00:25:13,670 --> 00:25:18,470
+لأن limit للـ function 1 على x عندما x تساوي إلى 
+
+202
+00:25:18,470 --> 00:25:22,870
+صفر لا تساوي plus أو minus infinity
+
+203
+00:25:45,380 --> 00:25:53,300
+لما أقسط أقول الصفر سواء 
+
+204
+00:25:53,300 --> 00:26:02,360
+من اليمين أو من اليسار هذه two sided limit بقدرش 
+
+205
+00:26:02,360 --> 00:26:05,980
+أقول limit 1 على x لما أقسط أقول الصفر من الجهتين
+
+206
+00:26:05,980 --> 00:26:11,540
+exist وبساوي infinity أو negative infinity لكن 
+
+207
+00:26:11,540 --> 00:26:12,560
+بقدر أقول
+
+208
+00:26:23,530 --> 00:26:28,830
+لكن الصحيح أو الصح إنه limit ال function 1 على x
+
+209
+00:26:28,830 --> 00:26:34,750
+لما x تقول إلى 0 من اليمين هذه بساوي ∞  و
+
+210
+00:26:34,750 --> 00:26:40,510
+limit لـ 1 على x لما x تقول إلى 0 من اليسار بساوي 
+
+211
+00:26:40,510 --> 00:26:48,630
+سالب ∞ ممكن اثبات الـ one sided limits من اليمين 
+
+212
+00:26:48,630 --> 00:26:52,390
+∞ ال one sided limit من اليسار سالب
+
+213
+00:26:52,390 --> 00:26:59,990
+∞ لكن ال limit عند الصفر غير موجودة okay
+
+214
+00:26:59,990 --> 00:27:06,590
+تمام فطيب ليش ال limit عند الصفر مش موجودة لأنه لا 
+
+215
+00:27:06,590 --> 00:27:10,870
+هذا التعريف بالطبق على الدالة الأولى ولا التعريف 
+
+216
+00:27:10,870 --> 00:27:14,230
+الثاني طيب to see
+
+217
+00:27:36,300 --> 00:27:43,100
+لو أخدت أي ألف موجب هذه المرة فطبعا هنا ال alpha 
+
+218
+00:27:43,100 --> 00:27:47,920
+الموجبة هنا المفروض real number يعني هذه ال alpha
+
+219
+00:27:47,920 --> 00:27:52,540
+الموجبة هي برضه real number فالمفروض لل alpha هذه
+
+220
+00:27:52,540 --> 00:27:57,260
+ألاقي delta بحيث أن F of X أكبر من ال alpha
+
+221
+00:28:16,680 --> 00:28:37,280
+أما لو أخدت x سالبة 
+
+222
+00:28:37,280 --> 00:28:46,830
+على x ال function تبعتي واحد على أو F of X
+
+223
+00:28:46,830 --> 00:28:58,190
+بس واحدة لازم تطلع سالبة وهذه
+
+224
+00:28:58,190 --> 00:29:01,870
+أصغر من Alpha صح؟
+
+225
+00:29:07,030 --> 00:29:12,630
+كمان مرة لو أخدت أي alpha موجبة المفروض أنه يطلع
+
+226
+00:29:12,630 --> 00:29:17,010
+عندي ال F of X أقدر أثبت أنها أكبر من ال alpha
+
+227
+00:29:17,010 --> 00:29:23,490
+عشان ال limit تبعتها يكون infinity فبلاقي إنه لكل 
+
+228
+00:29:23,490 --> 00:29:28,990
+X سالبة لكل X سالبة F of X بيساوي واحد على X موجبة
+
+229
+00:29:28,990 --> 00:29:30,150
+لا سالبة
+
+230
+00:29:32,770 --> 00:29:37,730
+مقلوب عدد سالب بيبقى سالب وهذه أصغر من Alpha إذا 
+
+231
+00:29:37,730 --> 00:29:46,270
+طلع F of X تطلع أصغر من Alpha لكل X أصغر من صفر
+
+232
+00:29:46,270 --> 00:29:50,270
+وبالتالي 
+
+233
+00:29:50,270 --> 00:29:55,510
+لكل X فيه جوار لسفر أو جوار من الشمال لسفر
+
+234
+00:29:55,510 --> 00:30:01,290
+وبالتالي هذامش ممكن في الحالة دي أقول إن limit f
+
+235
+00:30:01,290 --> 00:30:08,910
+of x بساوي infinity نفس الحاجة ممكن نقول إن 
+
+236
+00:30:08,910 --> 00:30:17,930
+limit ل f of x بساوي -∞ نفس 
+
+237
+00:30:17,930 --> 00:30:23,930
+الحاجة ممكن نقول إن limit ل 1 على x لا تساوي سالب 
+
+238
+00:30:23,930 --> 00:30:32,320
+∞ لأن for any أو given أو
+
+239
+00:30:32,320 --> 00:30:39,500
+for beta لو أخدت beta عدد موجب we
+
+240
+00:30:39,500 --> 00:30:45,160
+have إن f of x we 
+
+241
+00:30:45,160 --> 00:30:52,940
+have for x أكبر من صفر f of x بيصير واحد على x أكبر 
+
+242
+00:30:52,940 --> 00:30:55,460
+من صفر أكبر من beta
+
+243
+00:31:00,400 --> 00:31:09,060
+لأ لأي beta أصغر من صفر لأي beta سالبة بقدر
+
+244
+00:31:09,060 --> 00:31:16,260
+أنه لكل x أكبر من صفر أجد أن f of x أكبر من ال 
+
+245
+00:31:16,260 --> 00:31:22,380
+beta طبعا عشان تكون ال limit ل f of x بساوي سالب 
+
+246
+00:31:22,380 --> 00:31:27,740
+∞ المفروض إنه لأي beta سواء سالبة أو موجبة أو
+
+247
+00:31:27,740 --> 00:31:34,500
+صغيرة أقدر أخلي f of x أصغر من beta مش أكبر من beta
+
+248
+00:31:34,500 --> 00:31:42,260
+لكل x فيه جوار الصفر وهذا مستحيل okay تمام هذا
+
+249
+00:31:42,260 --> 00:31:46,060
+بورجي لكن 
+
+250
+00:31:47,650 --> 00:31:52,410
+ممكن نثبت زي ما قلت إنه ال limit من اليمين أو من
+
+251
+00:31:52,410 --> 00:31:57,650
+اليسار بساوي اللي بتكون موجودة واحدة بساوي
+
+252
+00:31:57,650 --> 00:32:03,570
+∞ وواحدة سالب ∞ ناخد
+
+253
+00:32:03,570 --> 00:32:07,410
+هنا نظرية زي comparison test
+
+254
+00:32:19,170 --> 00:32:30,030
+العلم يسمح لـ f و g يكونوا دالتين من a إلى r و c
+
+255
+00:32:30,030 --> 00:32:34,930
+يكون مجموعة اتفاقية 
+
+256
+00:32:34,930 --> 00:32:38,690
+من a
+
+257
+00:32:38,690 --> 00:32:50,050
+تجعل f من x أقل أو تساوي g من x for all x تنتمي إلى
+
+258
+00:32:50,050 --> 00:33:02,590
+a و x لا تساوي ال c ففي عندي إذا 
+
+259
+00:33:02,590 --> 00:33:11,910
+كان ال limit لـ f of x لما x تقول إلى c بساوي 
+
+260
+00:33:11,910 --> 00:33:18,190
+∞ فبالتأكيد limit الدالة الأكبر اللي هي g 
+
+261
+00:33:18,190 --> 00:33:26,170
+of x لما x تقول إلى c بساوي ∞ اثنين
+
+262
+00:33:26,170 --> 00:33:29,470
+إذا
+
+263
+00:33:29,470 --> 00:33:35,520
+كانت limit الدالة الكبيرة اللي هي g of x لما x تقول
+
+264
+00:33:35,520 --> 00:33:42,660
+ل c بساوي negative infinity بالتأكيد then limit
+
+265
+00:33:42,660 --> 00:33:51,460
+الدالة الأصغر اللي هي f of x لما x تقول إلى c
+
+266
+00:33:51,460 --> 00:33:53,380
+بساوي negative infinity
+
+267
+00:33:58,330 --> 00:34:05,290
+وبرهان النظرية هذه بسيط وسهل مش بالبرهان النظرية
+
+268
+00:34:05,290 --> 00:34:10,070
+اللي أخدناها ال direct comparison test في حالة ال
+
+269
+00:34:10,070 --> 00:34:16,990
+ال sequences proof
+
+270
+00:34:16,990 --> 00:34:22,390
+برهن الجزء الأول ف
+
+271
+00:34:22,390 --> 00:34:27,210
+assume إنه
+
+272
+00:34:27,210 --> 00:34:35,250
+ال limit لـ f of x as x tends to c بساوي ∞
+
+273
+00:34:35,250 --> 00:34:40,130
+وبدنا نثبت إن ال limit ل g of x لما x تقول ل c
+
+274
+00:34:40,130 --> 00:34:50,150
+بساوي ∞ let alpha belong to R be given
+
+275
+00:34:56,720 --> 00:35:01,200
+طيب حسب التعريف بما أن limit ال function f عن c
+
+276
+00:35:01,200 --> 00:35:07,380
+بساوي ∞ إذا يوجد delta depends on epsilon
+
+277
+00:35:07,380 --> 00:35:12,540
+positive number such that لكل x ينتمي إلى a
+
+278
+00:35:12,540 --> 00:35:18,940
+absolute x ناقص c أصغر من delta أكبر من سفر هذا 
+
+279
+00:35:18,940 --> 00:35:25,240
+بتضمن أن f of x أكبر من الألف
+
+280
+00:35:31,850 --> 00:35:38,290
+بنسمي هذا double star وهذا بفرض star
+
+281
+00:35:38,290 --> 00:35:42,650
+من
+
+282
+00:35:42,650 --> 00:35:47,890
+star
+
+283
+00:35:47,890 --> 00:35:55,890
+and double star بيقدّوا أنه لو كان x ينتمي إلى a و
+
+284
+00:35:55,890 --> 00:36:02,030
+absolute x minus c أكبر من 0 وأصغر من delta فهذا
+
+285
+00:36:02,030 --> 00:36:06,130
+بيقدّي بي
+
+286
+00:36:06,130 --> 00:36:19,990
+ستار D of X أكبر من أو يساوي F of X بي ستار
+
+287
+00:36:25,720 --> 00:36:32,200
+F of X لكل X في جوار Delta لـC بيطلع أكبر من Alpha
+
+288
+00:36:32,200 --> 00:36:40,560
+لأن هاي بيطلع عندي أنه G of X أكبر من Alpha بما أن
+
+289
+00:36:40,560 --> 00:36:45,300
+هذا since Alpha
+
+290
+00:36:45,300 --> 00:36:49,760
+belonged to R was arbitrary
+
+291
+00:36:52,410 --> 00:36:59,570
+بما أن الـ α كانت عشوائية، إذاً هي أثبتت لكل
+
+292
+00:36:59,570 --> 00:37:08,210
+Alpha في R يوجد Delta تعتمد عليها بحيث إن لكل X في
+
+293
+00:37:08,210 --> 00:37:12,390
+جوار Delta لـ C، بيطلع G of X أكبر من Alpha، لذلك
+
+294
+00:37:12,390 --> 00:37:17,450
+by definition هذا معناه إن limit G of X as X tends
+
+295
+00:37:17,450 --> 00:37:20,210
+to C يساوي Infinity
+
+296
+00:37:23,610 --> 00:37:32,470
+برهان الجزء الثاني مشابه ال
+
+297
+00:37:32,470 --> 00:37:39,090
+proof of this part is
+
+298
+00:37:39,090 --> 00:37:43,730
+similar to
+
+299
+00:37:43,730 --> 00:37:49,350
+similar to
+
+300
+00:37:49,350 --> 00:37:50,750
+part one
+
+301
+00:38:03,350 --> 00:38:10,970
+لأن برهان الجزء الثاني مشابه للجزء الأول يعني لو
+
+302
+00:38:10,970 --> 00:38:16,290
+بدي أنا أبرهن لو
+
+303
+00:38:16,290 --> 00:38:24,310
+بدي أبرهن الجزء الثاني لو
+
+304
+00:38:24,310 --> 00:38:31,030
+بدي أبرهن الجزء الثاني فهيكون عندي هنا .. هنفرض ال
+
+305
+00:38:31,030 --> 00:38:41,090
+limit g of x يساوي سالب infinity وهيكون عندي هنا
+
+306
+00:38:41,090 --> 00:38:47,650
+هد هستبدلها ب g of x أصغر من beta وهنا طبعا beta
+
+307
+00:38:54,040 --> 00:39:02,020
+هنا سنستبدل F of X أصغر من أو يساوي G of X أصغر من
+
+308
+00:39:02,020 --> 00:39:02,340
+beta
+
+309
+00:39:08,310 --> 00:39:13,470
+أصغر من beta و بالتالي هذا معناه حسب التعريف انه
+
+310
+00:39:13,470 --> 00:39:19,150
+limit f of x لما x تقول يا c تساوي سالب من beta
+
+311
+00:39:19,150 --> 00:39:22,750
+دكتور بس there is this delta تتمد على alpha مش
+
+312
+00:39:22,750 --> 00:39:30,730
+إيه؟ اه هذا المفروض يكون alpha كانت و الأن في
+
+313
+00:39:30,730 --> 00:39:35,700
+الجزء الثاني هصير beta مظبوط كلامك صحيح إذا هذا
+
+314
+00:39:35,700 --> 00:39:40,780
+بيكون إيه هكذا بيكون برهان الجزء الثاني المرة
+
+315
+00:39:40,780 --> 00:39:47,660
+الجاية هنشوف ناخد تطبيقات على النظرية هذه وناخد
+
+316
+00:39:47,660 --> 00:39:55,320
+مزيد من النظريات على ال infinite limits okay شكرا
+
+317
+00:39:55,320 --> 00:39:58,560
+لسماعكم ونشوفكم إن شاء الله المرة الجاية 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/be-bepplyPs_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1268 @@
+1
+00:00:22,390 --> 00:00:27,410
+إذا نثبت أن الـ function أو الـ limit للـ function
+
+2
+00:00:27,410 --> 00:00:33,250
+هذه عن سفر من يمين does not exist حسب نظرية سابقة
+
+3
+00:00:33,250 --> 00:00:36,410
+و يكفي أن احنا نثبت أن الـ function هذه not
+
+4
+00:00:36,410 --> 00:00:41,790
+bounded عند أي right neighborhood للسفر نعمل برهان
+
+5
+00:00:41,790 --> 00:00:47,490
+بالتناقض assume أن g of x is boundedon some right
+
+6
+00:00:47,490 --> 00:00:50,810
+neighbourhood الـ some right neighbourhood هذا
+
+7
+00:00:50,810 --> 00:00:55,450
+الفترة المفتوحة من السفر ل delta zero لمن هذا
+
+8
+00:00:55,450 --> 00:01:01,190
+right neighbourhood للسفر هذا معناه
+
+9
+00:01:03,570 --> 00:01:08,150
+there exist m أكبر من السفر عدد موجب بحياتي النوبة
+
+10
+00:01:08,150 --> 00:01:13,690
+absolute g of x اللي هو بيساوي g of x بالمناسبة
+
+11
+00:01:13,690 --> 00:01:17,790
+لأنه أنا عندي ال function g of x بيساوي إيص واحد
+
+12
+00:01:17,790 --> 00:01:30,370
+على x ده قيمها موجبة أصغر من أو يساوي m لكل x في
+
+13
+00:01:30,370 --> 00:01:32,670
+الجوار
+
+14
+00:01:34,580 --> 00:01:40,860
+أو الـ delta الجوار من اليمين للصفر
+
+15
+00:01:40,860 --> 00:01:48,680
+طيب
+
+16
+00:01:48,680 --> 00:02:01,460
+by Archimedean property يوجد ان عدد طبيعي او ان
+
+17
+00:02:01,460 --> 00:02:12,700
+واحدعدد طبيعي بحيث ان ان واحد اكبر
+
+18
+00:02:12,700 --> 00:02:18,220
+من ان طيب
+
+19
+00:02:18,220 --> 00:02:22,140
+also by
+
+20
+00:02:22,140 --> 00:02:27,720
+Archimedean property انا
+
+21
+00:02:27,720 --> 00:02:32,650
+عندي delta zero هذه عدد موجةأنا عندي delta zero
+
+22
+00:02:32,650 --> 00:02:40,270
+عدد موجد بيقدّي أن يوجد عدد طبيعي M2 عدد طبيعي
+
+23
+00:02:40,270 --> 00:02:55,930
+بحيث أنه واحد على M2 أصغر من delta zero left
+
+24
+00:02:55,930 --> 00:02:56,430
+end
+
+25
+00:02:59,360 --> 00:03:07,820
+let n بساوي ال maximum الأكبر بين n واحد و n اتنين
+
+26
+00:03:07,820 --> 00:03:12,740
+واضح
+
+27
+00:03:12,740 --> 00:03:18,520
+لأن n أكبر من نهو يساوي n واحد و أكبر من نهو يساوي
+
+28
+00:03:18,520 --> 00:03:24,120
+n اتنين وبالتالي x
+
+29
+00:03:31,260 --> 00:03:40,480
+لو أخدت xn بيساوي واحد على n بيساوي
+
+30
+00:03:40,480 --> 00:03:46,080
+واحد على n فهذا
+
+31
+00:03:46,080 --> 00:03:54,800
+دفلع ينتمي إلى ال delta zero neighborhood للسفر ال
+
+32
+00:03:54,800 --> 00:04:01,150
+right neighborhood للسفر اللي هو هذاليه؟ لأنه انا
+
+33
+00:04:01,150 --> 00:04:09,930
+عندي واحد على n since واحد على n أصغر من أو ساوي
+
+34
+00:04:09,930 --> 00:04:16,470
+واحد على n اتنين أصغر من delta zero وأكبر من سفر
+
+35
+00:04:16,470 --> 00:04:21,610
+وبالتالي واحد على n ينتمي للفترة من سفر ل delta
+
+36
+00:04:21,610 --> 00:04:22,670
+zero صح؟
+
+37
+00:04:36,490 --> 00:04:44,450
+So من هال .. من
+
+38
+00:04:44,450 --> 00:04:56,350
+المتباينة هذه بطلع عندي g of x g of x رقم nهذا
+
+39
+00:04:56,350 --> 00:05:06,470
+بيطلع أصغر من أو يساوي M من هذه نسمي هذه double
+
+40
+00:05:06,470 --> 00:05:10,070
+star ونسمي
+
+41
+00:05:10,070 --> 00:05:16,010
+هذه star إذا
+
+42
+00:05:16,010 --> 00:05:25,160
+من double star ال XM هذا اللي هو واحد على Mينتمي
+
+43
+00:05:25,160 --> 00:05:31,520
+للفترة من صفر الى delta zero وبالتالي G ل X N هذا
+
+44
+00:05:31,520 --> 00:05:38,120
+أصغر من أو ساو M وال M أصغر
+
+45
+00:05:38,120 --> 00:05:39,100
+من N واحد
+
+46
+00:05:51,340 --> 00:05:58,900
+أصغر منها بيساوي M أصغر منها بيساوي M صح؟ أعملها
+
+47
+00:05:58,900 --> 00:06:10,200
+فعلا طيب هنا عندي من ال star G of X M G
+
+48
+00:06:10,200 --> 00:06:17,920
+of X M اللي هي بالساوي من
+
+49
+00:06:17,920 --> 00:06:26,660
+ال star هذا عبارة عنG of T صح؟ لأ G of واحد على T
+
+50
+00:06:26,660 --> 00:06:34,400
+G of G G of واحد على T صح؟
+
+51
+00:06:34,400 --> 00:06:42,780
+ف G of XM بتطلع
+
+52
+00:06:42,780 --> 00:06:44,040
+أكبر من
+
+53
+00:06:52,470 --> 00:06:57,470
+يعني من هنا المفروض يطلع أن الـ g of 1 على t أكبر
+
+54
+00:06:57,470 --> 00:07:06,770
+من t أن الـ g of xn أكبر من 1 على xn صح؟ 1 على xn
+
+55
+00:07:06,770 --> 00:07:10,250
+بيساوي n
+
+56
+00:07:24,110 --> 00:07:29,410
+إذا بيطلع عندي الان إذا بيطلع عندي n أصغر من n
+
+57
+00:07:29,410 --> 00:07:36,070
+contradiction تمام وبالتالي ال contradiction هذه
+
+58
+00:07:36,070 --> 00:07:41,650
+بتقول إن ال assumption تبعنا إن g of x is bounded
+
+59
+00:07:41,650 --> 00:07:46,370
+on some right neighborhood of zero كان خطأ okay
+
+60
+00:07:46,370 --> 00:07:50,990
+إذا إذا
+
+61
+00:07:55,320 --> 00:08:02,580
+لأن g of x is not bounded on
+
+62
+00:08:02,580 --> 00:08:12,080
+any right neighborhood from zero to delta of zero
+
+63
+00:08:14,120 --> 00:08:20,240
+وبالتالي إذا هذا بثبت زي ما قلنا أن ال limit ل G
+
+64
+00:08:20,240 --> 00:08:25,620
+of X لما X تقول إلى 0 من اليمين does not exist غير
+
+65
+00:08:25,620 --> 00:08:31,460
+موجودة لأن هذا برهان الجزء الأول أن limit E توعد
+
+66
+00:08:31,460 --> 00:08:39,380
+على X لما X تقول إلى 0 مش موجودة برهان
+
+67
+00:08:39,380 --> 00:08:41,140
+الجزء التاني أسهل
+
+68
+00:08:54,110 --> 00:09:01,790
+أنا عندي we have for
+
+69
+00:09:01,790 --> 00:09:10,990
+x أصغر من سفر let T بساوي سالب واحد على X أكبر من
+
+70
+00:09:10,990 --> 00:09:21,440
+سفرin star لو كانت ال X عدر سالب فاخد T بساوي سالب
+
+71
+00:09:21,440 --> 00:09:26,080
+واحد على X طبعا ال X سالبة فسالب واحد على X بطلع
+
+72
+00:09:26,080 --> 00:09:33,380
+موجب وبالتالي لأي T موجبة زي هذه take T بساوي سالب
+
+73
+00:09:33,380 --> 00:09:43,750
+واحد على X to getT هو سالب واحد على X أكبر من سفر
+
+74
+00:09:43,750 --> 00:09:49,810
+أصغر من إيقوس سالب واحد على X هذا صحيح لكل X أصغر
+
+75
+00:09:49,810 --> 00:09:56,450
+من سفر هذا بيقدي إيقوس
+
+76
+00:09:56,450 --> 00:10:06,710
+واحد على X أصغر من سالب X أكبر
+
+77
+00:10:06,710 --> 00:10:16,850
+من سفرلكل x أصغر من سفر الآن سالب x الآن الدالة
+
+78
+00:10:16,850 --> 00:10:21,190
+إيص واحد على x محصورة بين دالتين واحدة سالب x
+
+79
+00:10:21,190 --> 00:10:26,210
+والتانية ثابت سفر وهذا صحيح لكل x على يسار السفر
+
+80
+00:10:26,210 --> 00:10:33,950
+فالدالة هذه لما x تقول إلى سفر من اليسار ال limit
+
+81
+00:10:33,950 --> 00:10:39,200
+أبقاتها سفروالدالة هذه لما X أولها سفر من اليسار
+
+82
+00:10:39,200 --> 00:10:44,540
+أو اليمين ثابت نهيتها سفر اذا by squeeze theorem
+
+83
+00:10:44,540 --> 00:10:51,600
+for left limits مش
+
+84
+00:10:51,600 --> 00:10:56,220
+احنا قولنا ان كل النظريات اللي برهنها ال two sided
+
+85
+00:10:56,220 --> 00:11:00,200
+limits صحيحة ال one sided limit ممضمنها ال squeeze
+
+86
+00:11:00,200 --> 00:11:03,640
+theorem اذا by
+
+87
+00:11:08,280 --> 00:11:15,260
+Squeeze theorem for left
+
+88
+00:11:15,260 --> 00:11:20,980
+-hand limit بطلع
+
+89
+00:11:20,980 --> 00:11:26,740
+عند ال limit ل E أس واحد على X لما X تقول إذا سفر
+
+90
+00:11:26,740 --> 00:11:35,240
+من اليسار بيساوي سفر تمام؟ وهيك بتكون فرهنةالجزر
+
+91
+00:11:35,240 --> 00:11:41,100
+التاني إذا هذا مثال على function النهاية تبعتها من
+
+92
+00:11:41,100 --> 00:11:45,380
+اليمين غير موجودة بينما النهاية من اليسار على نفس
+
+93
+00:11:45,380 --> 00:11:51,620
+النقطة موجودة كذلك
+
+94
+00:11:51,620 --> 00:12:01,880
+مثال تالت لو أخدنا let H of X بسوء واحد على واحد
+
+95
+00:12:01,880 --> 00:12:11,550
+زائد E أس واحد على Xلو أخدنا الدالة هذه طبعا
+
+96
+00:12:11,550 --> 00:12:19,530
+و X هنا لا يساوي سفر فالممكن
+
+97
+00:12:19,530 --> 00:12:27,270
+اثبات ان ال limit للدالة هذه لما X تقول اللي هي
+
+98
+00:12:27,270 --> 00:12:34,630
+سفر من اليمين موجودة و بتساوي سفر
+
+99
+00:12:38,390 --> 00:12:47,610
+و ال limit لنفس الدالة لما x تقول إلى سفر من
+
+100
+00:12:47,610 --> 00:12:58,570
+اليسار أيضا موجودة لكن بالساوي واحد وبالتالي
+
+101
+00:12:58,570 --> 00:13:04,510
+هذا طبعا هذا الإمثال محلولبالتفصيل في الكتاب
+
+102
+00:13:04,510 --> 00:13:12,670
+وبرهانه أسهل بكتير من المثال اللي فات ويعتمد
+
+103
+00:13:12,670 --> 00:13:17,130
+برضه على المثال السابق اللي هو المثال رقم اتنين
+
+104
+00:13:17,130 --> 00:13:28,330
+see the text انظروا في الكتاب للتفاصيل الحالية لأن
+
+105
+00:13:28,330 --> 00:13:34,150
+هذا المثال الآخر زي ال signal function��لـ one
+
+106
+00:13:34,150 --> 00:13:38,390
+-sided limits both exist لكن مش متساويات وبالتالي
+
+107
+00:13:38,390 --> 00:13:44,430
+ال limit عند السفر للدالة هذه غير موجودة okay تمام
+
+108
+00:13:44,430 --> 00:13:54,330
+لان هذه بعض الأمثلة على ال one-sided limits خلينا
+
+109
+00:13:54,330 --> 00:13:58,710
+ننتقل إلى موضوع ال infinite limits
+
+110
+00:14:19,750 --> 00:14:26,410
+فداخل definition let
+
+111
+00:14:26,410 --> 00:14:36,890
+F be function from A to R وC be cluster point
+
+112
+00:14:36,890 --> 00:14:39,550
+of set A
+
+113
+00:14:47,050 --> 00:14:58,250
+نقول إن قيمة f of x كما أن x هو c بساوي plus
+
+114
+00:14:58,250 --> 00:15:02,070
+infinity إذا
+
+115
+00:15:02,070 --> 00:15:11,950
+تحقق الشرط التالي for any alpha
+
+116
+00:15:11,950 --> 00:15:20,870
+real numberThere exists delta تعتمد على alpha على
+
+117
+00:15:20,870 --> 00:15:29,990
+موجب يعني هذا شبه بتعريف بتعريف
+
+118
+00:15:29,990 --> 00:15:35,690
+أن ال sequence xn ال limit بتاعتها تكون plus
+
+119
+00:15:35,690 --> 00:15:43,610
+infinity فقلنا هذا معناه أن xn أكبر من أي real
+
+120
+00:15:43,610 --> 00:15:51,970
+alphaلكل n أكبر من أو ساوي capital N حيث capital N
+
+121
+00:15:51,970 --> 00:15:56,670
+عدد طبيعي يعتمد على Alpha مش هيك التعريف تقريبا
+
+122
+00:15:56,670 --> 00:16:01,650
+وهذا نفس الحاجة ما معناه ان ال limit لل function
+
+123
+00:16:01,650 --> 00:16:06,590
+نقطة لساوي infinity هذا معناه ان اخلي ال function
+
+124
+00:16:06,590 --> 00:16:12,530
+أكبر من أي given Alpha لكل
+
+125
+00:16:12,530 --> 00:16:15,150
+X قريبة من C
+
+126
+00:16:19,590 --> 00:16:24,390
+أو في جوار Delta لـ C فرقان Alpha يوجد Delta عدد
+
+127
+00:16:24,390 --> 00:16:31,090
+موجة بحيث انه لو كانت X تنتمي إلى A و X هذه في
+
+128
+00:16:31,090 --> 00:16:37,530
+جوار Delta الـ X مختلفة عن الـ C و تقع في جوار
+
+129
+00:16:37,530 --> 00:16:44,270
+Delta لـ C فلازم هذا يقدي ان ال F of X أكبر من ال
+
+130
+00:16:44,270 --> 00:16:53,020
+given Alpha اتنين و Cبالمثل ممكن اتعرف ما معناه
+
+131
+00:16:53,020 --> 00:16:57,340
+انه limit لل function f بساوي سالب infinity limit
+
+132
+00:16:57,340 --> 00:17:04,640
+f of x لما x تقول الى c بساوي negative infinity
+
+133
+00:17:04,640 --> 00:17:16,860
+هذا معناه انه for any beta real number يوجد
+
+134
+00:17:18,350 --> 00:17:27,870
+Delta تعتمد على Beta عدد موجة بحيث انه لكل X ينتمي
+
+135
+00:17:27,870 --> 00:17:35,370
+إلى A وabsolute X minus C أصغر من Delta أكبر من 0
+
+136
+00:17:35,370 --> 00:17:43,990
+هذا بتضمن ان F of X أصغر من Beta تمام؟
+
+137
+00:17:43,990 --> 00:17:46,510
+خلّينا ناخد أمثلة
+
+138
+00:17:56,170 --> 00:18:01,870
+لإثبات كيف نستخدم التعريفات لإثبات ان ال limit ل
+
+139
+00:18:01,870 --> 00:18:06,830
+function معينة نقطة معينة بالساوي infinity او
+
+140
+00:18:06,830 --> 00:18:17,250
+negative infinity فمثلا show that ان
+
+141
+00:18:17,250 --> 00:18:22,910
+ال limit لواحد
+
+142
+00:18:25,040 --> 00:18:31,380
+على x تربية as x tends to zero بساوي plus infinity
+
+143
+00:18:31,380 --> 00:18:42,280
+أنا
+
+144
+00:18:42,280 --> 00:18:49,520
+عندي let ال function تبعتي f of x بتعرف على أنها
+
+145
+00:18:49,520 --> 00:18:55,470
+مقلوب x تربيةحيث x ده تساوي سفر طبعا ده اللي هي دي
+
+146
+00:18:55,470 --> 00:18:59,610
+ال domain تبعها كل الأعداد الحقيقية مع أعداد السفر
+
+147
+00:18:59,610 --> 00:19:04,010
+let
+
+148
+00:19:04,010 --> 00:19:13,090
+alpha belong to R be given عشان انا بدي اثبت انه
+
+149
+00:19:13,090 --> 00:19:17,510
+limit ال function f of x عند السفر بالساوي
+
+150
+00:19:17,510 --> 00:19:22,460
+infinityبتثبت انه for any given alpha اذا let
+
+151
+00:19:22,460 --> 00:19:30,040
+alpha belong to R عدد حقيقي بيه given من
+
+152
+00:19:30,040 --> 00:19:34,080
+ان نرد على ال alpha هذه ب delta بتخلي ال
+
+153
+00:19:34,080 --> 00:19:39,640
+implication هذه تشتغل صح فنشوف كيف نختار ال delta
+
+154
+00:19:50,090 --> 00:19:53,390
+لو كانت ال alpha هذه عدد موجب لأختارت ال delta
+
+155
+00:19:53,390 --> 00:19:56,970
+بساوي
+
+156
+00:19:56,970 --> 00:20:06,690
+واحد على الجذر التربيهي ل alpha او
+
+157
+00:20:06,690 --> 00:20:15,890
+ممكن تقول ان انا بدي f of x أكبر من alpha فهذا
+
+158
+00:20:15,890 --> 00:20:22,330
+عبارة عن واحد على x تربيه أكبر من alphaيعني واحد
+
+159
+00:20:22,330 --> 00:20:28,650
+على ال alpha أصغر من X تقبية يعني X أكبر من واحد
+
+160
+00:20:28,650 --> 00:20:46,830
+على الجدر ال alpha وطبعا
+
+161
+00:20:46,830 --> 00:20:47,910
+أنا عند ال X هنا
+
+162
+00:20:56,290 --> 00:21:01,330
+لما يكون المسافة بين X والـ 0 أصغر من Delta فالـ
+
+163
+00:21:01,330 --> 00:21:06,430
+Delta يعني هنا هتكون واحد علي جذر ال Alpha المشكلة
+
+164
+00:21:06,430 --> 00:21:10,370
+هنا أن ال Alpha هذه ممكن ما تكونش موجبة ممكن تساوي
+
+165
+00:21:10,370 --> 00:21:18,690
+سفر فعشان أخرج من هذا الحرج فبأخد ال absolute
+
+166
+00:21:18,690 --> 00:21:23,550
+value ل Alpha عشان أبقى منها غير ثالثة فممكن تكون
+
+167
+00:21:23,550 --> 00:21:31,380
+زيادةفبضيف واحد ببطلها دقيقة ستة okay تمام اذا لأي
+
+168
+00:21:31,380 --> 00:21:38,760
+alpha belonging to R هنختار delta ات
+
+169
+00:21:38,760 --> 00:21:42,400
+choose delta
+
+170
+00:21:42,400 --> 00:21:48,660
+بساوي واحد على الجدر التربيعي ل absolute alpha زي
+
+171
+00:21:48,660 --> 00:21:51,880
+الواحد فبالتأكيد هذا عدد موجب
+
+172
+00:21:54,590 --> 00:22:02,110
+و يعتمد على Alpha دلتا تاني مرتبطة بالـ Alpha دل
+
+173
+00:22:02,110 --> 00:22:06,150
+لو كانت X تنتمي لل domain تبع الدالة اللي هو R
+
+174
+00:22:06,150 --> 00:22:13,370
+معدى سفر و X لا يساوي سفر يعني X سالب C هنا سفر
+
+175
+00:22:13,370 --> 00:22:19,230
+أكبر من السفر يعني X لا تساوي سفر وأصغر من الدلتا
+
+176
+00:22:19,230 --> 00:22:21,670
+هذه فهذا
+
+177
+00:22:25,020 --> 00:22:30,320
+بنشوف ايش حياة دينى طيب لما يكون هذا الكلام صح
+
+178
+00:22:30,320 --> 00:22:40,680
+معناه absolute x أصغر من delta و هذا معناه ان x
+
+179
+00:22:40,680 --> 00:22:48,680
+تربية أصغر من delta تربية لأن absolute x بيساوي
+
+180
+00:22:48,680 --> 00:22:49,800
+جدر x تربية
+
+181
+00:22:52,680 --> 00:23:00,220
+طب و Delta تربية حسب اختيارنا لـ Delta Delta تربية
+
+182
+00:23:00,220 --> 00:23:07,060
+بساوي واحد على Absolute Alpha زاد واحد طب ما هذا
+
+183
+00:23:07,060 --> 00:23:12,640
+بيقدي ان F of X اللي هي مقلوب X تربية طبعا هذا
+
+184
+00:23:12,640 --> 00:23:21,820
+موجب على موجب فمقلوب X تربية هيكون اكبر منمقلوب
+
+185
+00:23:21,820 --> 00:23:27,240
+الكسر هذا اللي هو absolute alpha زايد واحد طب
+
+186
+00:23:27,240 --> 00:23:31,160
+absolute alpha زايد واحد أكبر من absolute alpha
+
+187
+00:23:31,160 --> 00:23:37,460
+صح؟ طب و absolute alpha أكبر من أو ساوي alpha لأي
+
+188
+00:23:37,460 --> 00:23:41,800
+real number دا من ال absolute value لل number أكبر
+
+189
+00:23:41,800 --> 00:23:47,100
+من أو ساوي ال number إذن هي اللي أثبتت أن ال F of
+
+190
+00:23:47,100 --> 00:23:54,230
+X أكبر من ال given alphaوهذا صحيح لكل x بحيث
+
+191
+00:23:54,230 --> 00:24:00,050
+absolute x minus 0 أكبر من 0 أصغر من Delta بما أن
+
+192
+00:24:00,050 --> 00:24:04,350
+هذا صحيح لكل Alpha أو بما أن ال Alpha دي was
+
+193
+00:24:04,350 --> 00:24:12,900
+arbitrary since Alpha belong to Rwas arbitrary إذا
+
+194
+00:24:12,900 --> 00:24:17,240
+أنا أثبتتها إن لكل Alpha فيه Delta تعتمد عليها
+
+195
+00:24:17,240 --> 00:24:22,500
+بتخلي F of X أكبر من Alpha لكل X فيه جوار Delta
+
+196
+00:24:22,500 --> 00:24:29,700
+للصفر إذا by definition هذا معناه إن ال limit لل
+
+197
+00:24:29,700 --> 00:24:35,700
+function F of X لما X تقول صفر بكاري plus infinity
+
+198
+00:24:35,700 --> 00:24:38,880
+تمام؟ وهو المطلوب
+
+199
+00:24:42,370 --> 00:24:55,150
+Okay تمام؟ في
+
+200
+00:24:55,150 --> 00:25:00,230
+أي سؤال؟ طيب ناخد مثال تاني
+
+201
+00:25:13,670 --> 00:25:18,470
+لأن limit للـ function 1 على x عندما x تسوى إلى
+
+202
+00:25:18,470 --> 00:25:22,870
+صفر لا تساوي plus أو minus infinity
+
+203
+00:25:45,380 --> 00:25:53,300
+لما أقسط أقول السفر سواء
+
+204
+00:25:53,300 --> 00:26:02,360
+من اليمين أو من اليسار هذه two sided limit بقدرش
+
+205
+00:26:02,360 --> 00:26:05,980
+أقول limit 1 على x لما أقسط أقول السفر من الجهتين
+
+206
+00:26:05,980 --> 00:26:11,540
+exist وبساوي infinity أو negative infinity لكن
+
+207
+00:26:11,540 --> 00:26:12,560
+بقدر أقول
+
+208
+00:26:23,530 --> 00:26:28,830
+لكن الصحيح او الصح انه limit ال function 1 على x
+
+209
+00:26:28,830 --> 00:26:34,750
+لمب اكس تقول الى 0 من اليمين هذي بالساوية 30 و
+
+210
+00:26:34,750 --> 00:26:40,510
+limit ل1 على x لمب اكس تقول الى 0 من اليسار بساوية
+
+211
+00:26:40,510 --> 00:26:48,630
+سالب 30 ممكن اثباتالـ one sided limits من اليمين
+
+212
+00:26:48,630 --> 00:26:52,390
+infinity ال one sided limit من اليسار سارب
+
+213
+00:26:52,390 --> 00:26:59,990
+infinity لكن ال limit عند السفر غير موجودة okay
+
+214
+00:26:59,990 --> 00:27:06,590
+تمام فطيب ليش ال limit عند السفر مش موجودة لأنه لا
+
+215
+00:27:06,590 --> 00:27:10,870
+هذا التعريف بالطبق على الدالة الادى ولا التعريف
+
+216
+00:27:10,870 --> 00:27:14,230
+التاني طيب to see
+
+217
+00:27:36,300 --> 00:27:43,100
+لو أخدت أي ألف موجب هذه المرةفطبعا هنا ال alpha
+
+218
+00:27:43,100 --> 00:27:47,920
+الموجبة هنا المفروض real number يعني هذه ال alpha
+
+219
+00:27:47,920 --> 00:27:52,540
+الموجبة هي برضه real number فالمفروض لل alpha هذه
+
+220
+00:27:52,540 --> 00:27:57,260
+ألاقي delta بحيث أن F of X أكبر من ال alpha
+
+221
+00:28:16,680 --> 00:28:37,280
+أما لو أخدت x سالبة واحد
+
+222
+00:28:37,280 --> 00:28:46,830
+على x ال function تبعتي واحد علىأو F of X
+
+223
+00:28:46,830 --> 00:28:58,190
+بس واحدة لازم تطلع سالق و هذه
+
+224
+00:28:58,190 --> 00:29:01,870
+أصغر من Alpha صح؟
+
+225
+00:29:07,030 --> 00:29:12,630
+كمان مرة لو أخدت أي alpha موجبة المفروض أنه يطلع
+
+226
+00:29:12,630 --> 00:29:17,010
+عندي ال F of X أقدر أثبت أنها أكبر من ال alpha
+
+227
+00:29:17,010 --> 00:29:23,490
+عشان ال limit تبعتها يكون infinity فبلاجي أنه لكل
+
+228
+00:29:23,490 --> 00:29:28,990
+X سالبة لكل X سالبة F of X بيساوي واحد على X موجبة
+
+229
+00:29:28,990 --> 00:29:30,150
+لا سالبة
+
+230
+00:29:32,770 --> 00:29:37,730
+مقلوب عدد سالب بيبقى سالب وهذه أصغر من Alpha إذا
+
+231
+00:29:37,730 --> 00:29:46,270
+طلع F of X تطلع أصغر من Alpha لكل X أصغر من سفر
+
+232
+00:29:46,270 --> 00:29:50,270
+وبالتالي
+
+233
+00:29:50,270 --> 00:29:55,510
+لكل X فيه جوار لسفر أو جوار من الشمال لسفر
+
+234
+00:29:55,510 --> 00:30:01,290
+وبالتالي هذامش ممكن في الحالة دي اقول ان limit f
+
+235
+00:30:01,290 --> 00:30:08,910
+of x بالساوي infinity نفس الحاجة ممكن نقول ان
+
+236
+00:30:08,910 --> 00:30:17,930
+limit ل f of x بالساويش نفس
+
+237
+00:30:17,930 --> 00:30:23,930
+الحاجة ممكن نقول ان limit ل 1 على x لا تساوي سالب
+
+238
+00:30:23,930 --> 00:30:32,320
+infinity لأن for anyأو given او
+
+239
+00:30:32,320 --> 00:30:39,500
+for beta لو أخدت beta عدد موجب we
+
+240
+00:30:39,500 --> 00:30:45,160
+have انه f of x we
+
+241
+00:30:45,160 --> 00:30:52,940
+have for x أكبر من صفر f of x بصير واحد على x أكبر
+
+242
+00:30:52,940 --> 00:30:55,460
+من صفر أكبر من beta
+
+243
+00:31:00,400 --> 00:31:09,060
+لأ لأي beta أصغر من سفر لأي beta سالبة بقدر
+
+244
+00:31:09,060 --> 00:31:16,260
+أنه لكل x أكبر من سفر أجد أن f of x أكبر من ال
+
+245
+00:31:16,260 --> 00:31:22,380
+beta طبعا عشان تكون ال limit ل f of x بساوي سالب
+
+246
+00:31:22,380 --> 00:31:27,740
+infinityمفروض انه لأي beta سواء سالبة او موجبة او
+
+247
+00:31:27,740 --> 00:31:34,500
+صغر اقدر اخلي f of x اصغر من beta مش اكبر من beta
+
+248
+00:31:34,500 --> 00:31:42,260
+لكل x فيه جوار الصفر وهذا مستحيل okay تمام هذا
+
+249
+00:31:42,260 --> 00:31:46,060
+بورجي لكن
+
+250
+00:31:47,650 --> 00:31:52,410
+ممكن نثبت زي ما قولت أنه ال limit من اليمين أو من
+
+251
+00:31:52,410 --> 00:31:57,650
+اليسار بالساوي اللي بتكون موجودة واحدة بالساوي
+
+252
+00:31:57,650 --> 00:32:03,570
+infinity وواحدة سالب infinity ناخد
+
+253
+00:32:03,570 --> 00:32:07,410
+هنا نظرية زي comparison test
+
+254
+00:32:19,170 --> 00:32:30,030
+العلم يسمح لـ f و g يكونوا اتفاقين من a إلى r و c
+
+255
+00:32:30,030 --> 00:32:34,930
+يكون مجموعة اتفاقية
+
+256
+00:32:34,930 --> 00:32:38,690
+من a
+
+257
+00:32:38,690 --> 00:32:50,050
+تجعل f من x اقل او اقل جي من xfor all x تنتمي إلى
+
+258
+00:32:50,050 --> 00:33:02,590
+a و x لا تساوي ال c ففي عندي إذا
+
+259
+00:33:02,590 --> 00:33:11,910
+كانالـ limit لـ f of x لما x تقول إلى c بساوي
+
+260
+00:33:11,910 --> 00:33:18,190
+infinity فبالتأكيد limit الدالة الأكبر اللي هي g
+
+261
+00:33:18,190 --> 00:33:26,170
+of x لما x تقول إلى c بساوي infinity اتنين
+
+262
+00:33:26,170 --> 00:33:29,470
+إذا
+
+263
+00:33:29,470 --> 00:33:35,520
+كانت limitالدالة الكبيرة اللي هي g of x لما x تقول
+
+264
+00:33:35,520 --> 00:33:42,660
+ل c بساوي negative infinity بالتأكيد then limit
+
+265
+00:33:42,660 --> 00:33:51,460
+الدالة الأصغر اللي هي f of x لما x تقول إلى c
+
+266
+00:33:51,460 --> 00:33:53,380
+بساوي negative infinity
+
+267
+00:33:58,330 --> 00:34:05,290
+وبرهان النظرية هذه بسيط وسهل مش بالبرهان النظرية
+
+268
+00:34:05,290 --> 00:34:10,070
+اللي أخدناها ال direct comparison test في حالة ال
+
+269
+00:34:10,070 --> 00:34:16,990
+ال sequences proof
+
+270
+00:34:16,990 --> 00:34:22,390
+برهن الجزء الأول ف
+
+271
+00:34:22,390 --> 00:34:27,210
+assume أنه
+
+272
+00:34:27,210 --> 00:34:35,250
+ال limitلـ f of x as x tends to c بساوي infinity
+
+273
+00:34:35,250 --> 00:34:40,130
+وبدنا نفتح ان ال limit ل g of x لما x تقوى ل c
+
+274
+00:34:40,130 --> 00:34:50,150
+بساوي infinity let alpha belong to R be given
+
+275
+00:34:56,720 --> 00:35:01,200
+طيب حسب التعريف بما أن limit ال function f عن c
+
+276
+00:35:01,200 --> 00:35:07,380
+بساوي infinity إذا يوجد delta depends on epsilon
+
+277
+00:35:07,380 --> 00:35:12,540
+positive number such that لكل x ينتمي إلى a
+
+278
+00:35:12,540 --> 00:35:18,940
+absolute x minus c أصغر من delta أكبر من سفر هذا
+
+279
+00:35:18,940 --> 00:35:25,240
+بتضمن أن f of x أكبر من الألف
+
+280
+00:35:31,850 --> 00:35:38,290
+بنسمي هذا double star و هذا بفرض star
+
+281
+00:35:38,290 --> 00:35:42,650
+من
+
+282
+00:35:42,650 --> 00:35:47,890
+star
+
+283
+00:35:47,890 --> 00:35:55,890
+and double star بيقدّوا أنه لو كان x ينتمي إلى a و
+
+284
+00:35:55,890 --> 00:36:02,030
+absolute x minus c أكبر من 0 أصغر من deltaفهذا
+
+285
+00:36:02,030 --> 00:36:06,130
+بيقدّي بي
+
+286
+00:36:06,130 --> 00:36:19,990
+ستار D of X أكبر من او ساوي F of X بي ستار
+
+287
+00:36:25,720 --> 00:36:32,200
+ف of X لكل X في جوار Delta لـC بيطلع أكبر من Alpha
+
+288
+00:36:32,200 --> 00:36:40,560
+لأن هاي بيطلع عندى انه G of X أكبر من Alpha بما أن
+
+289
+00:36:40,560 --> 00:36:45,300
+هذا since Alpha
+
+290
+00:36:45,300 --> 00:36:49,760
+belonged to R was arbitrary
+
+291
+00:36:52,410 --> 00:36:59,570
+بما أن الـ α كانت أندج عشوية، إذاً هي أثبتت لكل
+
+292
+00:36:59,570 --> 00:37:08,210
+Alpha في R يوجد Delta تعتمد عليها بحيث إن لكل X في
+
+293
+00:37:08,210 --> 00:37:12,390
+جوار Delta لأ سي، بيطلع G of X أكبر من Alpha، لذلك
+
+294
+00:37:12,390 --> 00:37:17,450
+by definition هذا معناه إن limit G of X as X tends
+
+295
+00:37:17,450 --> 00:37:20,210
+to C بساوي Infinity
+
+296
+00:37:23,610 --> 00:37:32,470
+برهان الجزء التاني مشابه ال
+
+297
+00:37:32,470 --> 00:37:39,090
+proof of this part is
+
+298
+00:37:39,090 --> 00:37:43,730
+similar is
+
+299
+00:37:43,730 --> 00:37:49,350
+similar to
+
+300
+00:37:49,350 --> 00:37:50,750
+part one
+
+301
+00:38:03,350 --> 00:38:10,970
+لأن البرهان الجزء التاني مشابه للجزء الأول يعني لو
+
+302
+00:38:10,970 --> 00:38:16,290
+بدي أنا أبرهنه لو
+
+303
+00:38:16,290 --> 00:38:24,310
+بدي أبرهن الجزء التاني لو
+
+304
+00:38:24,310 --> 00:38:31,030
+بدي أبرهن الجزء التانيفهيكون عندي هنا .. هنفرض ال
+
+305
+00:38:31,030 --> 00:38:41,090
+limit g of x بساوي سالب infinity و هيكون عندي هنا
+
+306
+00:38:41,090 --> 00:38:47,650
+هد هستبدلها ب g of x أصغر من beta وهنا طبعا beta
+
+307
+00:38:54,040 --> 00:39:02,020
+هنا سنستبدل F of X أصغر من أو يساوي G of X أصغر من
+
+308
+00:39:02,020 --> 00:39:02,340
+D
+
+309
+00:39:08,310 --> 00:39:13,470
+أصغر من beta و بالتالي هذا معناه حسب التعريف انه
+
+310
+00:39:13,470 --> 00:39:19,150
+limit f of x لما x تقول يا c تساوي ثالث من beta
+
+311
+00:39:19,150 --> 00:39:22,750
+دكتور بس there is this delta تتمد على alpha مش
+
+312
+00:39:22,750 --> 00:39:30,730
+إيه؟ اه هاد المفروض يكون alpha كانت و الأن في
+
+313
+00:39:30,730 --> 00:39:35,700
+الجزء التاني هصير beta مظبوط كرامك صحيحإذا هذا
+
+314
+00:39:35,700 --> 00:39:40,780
+بيكون إيه هكذا بيكون برهان الجزء التاني المرة
+
+315
+00:39:40,780 --> 00:39:47,660
+الجاية هنشوف ناخد تطبيقات على النظرية هذه وناخد
+
+316
+00:39:47,660 --> 00:39:55,320
+مزيد من النظريات على ال infinite limits okay شكرا
+
+317
+00:39:55,320 --> 00:39:58,560
+لصراعكم ونشوفكم ان شاء الله المرة الجاية
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/bwcuptIkF-o_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1648 @@
+1
+00:00:20,940 --> 00:00:27,720
+بسم الله الرحمن الرحيم ان شاء الله اليوم هناخد في
+
+2
+00:00:27,720 --> 00:00:34,940
+اللقاء الأول مناقشة و المناقشة هذه هتكون على ال
+
+3
+00:00:34,940 --> 00:00:42,360
+section أربعة و section خمسة من ال chapter تلاتة
+
+4
+00:00:42,360 --> 00:00:47,930
+في الكتاباحنا لقشنا قبل هيك section تلاتة واحد و
+
+5
+00:00:47,930 --> 00:00:52,070
+تلاتة اتنين تلاتة تلاتة مظبوط؟ تلاتة تلاتة تلاتة
+
+6
+00:00:52,070 --> 00:00:56,010
+تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة
+
+7
+00:00:56,010 --> 00:00:56,190
+تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة
+
+8
+00:00:56,190 --> 00:01:01,490
+تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة
+
+9
+00:01:01,490 --> 00:01:02,530
+تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة
+
+10
+00:01:02,530 --> 00:01:07,770
+تلاتة تلاتة تلاتة
+
+11
+00:01:14,970 --> 00:01:20,490
+فمين عندها أي سؤال في ال section تلاتة تلاتة تلاتة
+
+12
+00:01:20,490 --> 00:01:28,290
+أربعة أو تلاتة خمسة سيكشن
+
+13
+00:01:28,290 --> 00:01:29,590
+تلاتة تلاتة
+
+14
+00:01:47,340 --> 00:01:54,900
+أي سؤال؟ ستة ستة؟ طب هذا مش مقرر، لأ أنا .. عفوا
+
+15
+00:01:54,900 --> 00:02:02,500
+أنا بتطلع في مكان تاني، تلاتة تلاتة، سؤال ستة،
+
+16
+00:02:02,500 --> 00:02:06,400
+مطلوب هذا السؤال؟ ما كتبتلاش أنت الأسئلة المطلوبة
+
+17
+00:02:06,400 --> 00:02:11,580
+اللي بتتكتب؟موجودة في ال syllabus .. موجودة في ال
+
+18
+00:02:11,580 --> 00:02:15,760
+syllabus فهذا السؤال مش من ضمن الأسئلة اللي ..
+
+19
+00:02:15,760 --> 00:02:17,920
+اللي احنا .. يعني انتوا بتطلعوش على ال syllabus
+
+20
+00:02:17,920 --> 00:02:21,440
+فيه على الصفحه تبعتي ال syllabus و فيه المسائل
+
+21
+00:02:21,440 --> 00:02:25,800
+المطلوبة فبإمكانكم تعرفوا المسائل المطلوبة لكل
+
+22
+00:02:25,800 --> 00:02:30,640
+section من هنا لآخر ال courseفهذا السؤال السادس
+
+23
+00:02:30,640 --> 00:02:33,580
+بالذات مش مطلوب لكن فيها سئلة تانية ممكن أحللك
+
+24
+00:02:33,580 --> 00:02:42,160
+أربعة أو تلاتة زيه فإيه رأيك؟ تلاتة
+
+25
+00:02:42,160 --> 00:02:45,580
+أو أربعة يكونوا نفس الفكرة أه تلاتة أو أربعة شو
+
+26
+00:02:45,580 --> 00:02:52,720
+بدك تلاتة ولا أربعة؟ الحل
+
+27
+00:02:52,720 --> 00:03:00,880
+السؤال أربعة مثلا؟ هاي الحل السؤال الرابعsection
+
+28
+00:03:00,880 --> 00:03:11,920
+تلاتة تلاتة في السؤال هذا let x واحد بساوي واحد
+
+29
+00:03:11,920 --> 00:03:17,920
+and xn
+
+30
+00:03:17,920 --> 00:03:24,660
+plus one بساوي square
+
+31
+00:03:24,660 --> 00:03:28,420
+root لاتنين plus xn
+
+32
+00:03:31,530 --> 00:03:39,530
+for n belong to n show
+
+33
+00:03:39,530 --> 00:03:52,370
+ان ال sequence xn converges and find its limit
+
+34
+00:03:55,460 --> 00:04:00,220
+بنثبت أولا أن الـ sequence هذي convergence ونجيب
+
+35
+00:04:00,220 --> 00:04:10,220
+ال limit تبعتها فمثلة
+
+36
+00:04:10,220 --> 00:04:15,500
+زي هذه بنطبق عليها الـ monotone convergence
+
+37
+00:04:15,500 --> 00:04:23,340
+theorem الـ monotone convergence theoremفلازم نثبت
+
+38
+00:04:23,340 --> 00:04:29,560
+حاجتين ان ال sequence هذه convergent لازم نثبت
+
+39
+00:04:29,560 --> 00:04:33,900
+انها convergent لازم نثبت انها monotone يعني
+
+40
+00:04:33,900 --> 00:04:40,100
+increasing او decreasing و bounded فلحظوا
+
+41
+00:04:40,100 --> 00:04:47,270
+انتوا لو بدى احسب اول يعنيالحل .. لحظة x واحد
+
+42
+00:04:47,270 --> 00:04:52,510
+بساوي واحد طب x اتنين .. خد in بساوي واحد بطلع جدر
+
+43
+00:04:52,510 --> 00:05:00,130
+اتنين زائد .. جدر اتنين زائد x واحد اللي هو جدر
+
+44
+00:05:00,130 --> 00:05:10,400
+التلاتة .. x تلاتة بساوي جدر اتنين زائد x اتنينو
+
+45
+00:05:10,400 --> 00:05:16,740
+يساوي جدر اتنين زاد جدر
+
+46
+00:05:16,740 --> 00:05:24,220
+التلاتة وهكذا
+
+47
+00:05:24,220 --> 00:05:29,640
+اللي
+
+48
+00:05:29,640 --> 00:05:38,120
+بعده X أربعة بساوي جدر اتنين زاد X تلاتة
+
+49
+00:05:56,800 --> 00:06:04,520
+و هذا بيساوي جدر اتنين زائد اللي
+
+50
+00:06:04,520 --> 00:06:10,500
+هو جدر التربية ايه الى اتنين زائد جدر التلاتة
+
+51
+00:06:27,010 --> 00:06:33,310
+فال .. الأدد يعني هذا دايما بيكون أقل من او ساو
+
+52
+00:06:33,310 --> 00:06:42,010
+اتنين أقل من او ساو اتنين صح؟ اه و هذا أصغر من او
+
+53
+00:06:42,010 --> 00:06:45,410
+ساو اتنين يعني جدر التلاتة أصغر من اتنين صح؟ أه
+
+54
+00:06:45,410 --> 00:06:50,750
+فهذا أكيد أصغر من او ساو اتنين و هذا
+
+55
+00:06:53,300 --> 00:06:58,180
+أصغر من أو ساوي اتنين وبالتالي هذا أصغر من أو ساوي
+
+56
+00:06:58,180 --> 00:07:06,560
+جدر الأربعة اللي هو أصغر من أو ساوي اتنيناذا و
+
+57
+00:07:06,560 --> 00:07:11,160
+طبعا و كل واحد من هدول اكبر من او يساوي الواحد اذا
+
+58
+00:07:11,160 --> 00:07:18,040
+ممكن احنا نثبت الان by induction claim ان xn اكبر
+
+59
+00:07:18,040 --> 00:07:24,320
+من او يساوي الواحد اصغر من او يساوي اتنين for
+
+60
+00:07:24,320 --> 00:07:30,590
+every n belong to nاه و هذا ممكن تبرهنه by
+
+61
+00:07:30,590 --> 00:07:34,650
+induction زي ما شوفنا في الأمثلة صح؟ طبعا طبعا
+
+62
+00:07:34,650 --> 00:07:43,730
+طبعا طبعا طبعا
+
+63
+00:07:43,730 --> 00:07:43,970
+طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا
+
+64
+00:07:43,970 --> 00:07:44,150
+طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا
+
+65
+00:07:44,150 --> 00:07:48,410
+طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا
+
+66
+00:07:48,410 --> 00:07:55,130
+طبعا طبعا طبعا طبعا
+
+67
+00:07:55,130 --> 00:07:57,910
+طب
+
+68
+00:08:01,490 --> 00:08:11,110
+الأن من أعلى الاختصارات الموجودة في
+
+69
+00:08:11,110 --> 00:08:17,050
+الوثيقة الاختصار
+
+70
+00:08:17,050 --> 00:08:20,290
+XN مرتبط
+
+71
+00:08:23,380 --> 00:08:27,360
+بعدين بنلاحظ انه قيمة ال sequence بتكبر كل ما اه
+
+72
+00:08:27,360 --> 00:08:34,580
+فممكن اثبات انه claim تاني اذا ال sequence bounded
+
+73
+00:08:34,580 --> 00:08:39,240
+claim x
+
+74
+00:08:39,240 --> 00:08:45,740
+in اصغر
+
+75
+00:08:45,740 --> 00:08:50,460
+منها و ساوي x in زاد واحد for every n
+
+76
+00:08:54,650 --> 00:09:02,290
+IEXN is increasing وهذا ممكن اثباته برضه by
+
+77
+00:09:02,290 --> 00:09:11,410
+induction by induction هنا هنا proof use induction
+
+78
+00:09:11,410 --> 00:09:14,630
+use
+
+79
+00:09:14,630 --> 00:09:20,610
+induction on M فالحالة
+
+80
+00:09:21,890 --> 00:09:30,890
+الحالة n بيساوي واحد انا عندي x واحد بيساوي واحد و
+
+81
+00:09:30,890 --> 00:09:34,810
+x واحد
+
+82
+00:09:34,810 --> 00:09:40,510
+زايد واحد اللي هو x اتنين بيساوي جدر التلاتة جدر
+
+83
+00:09:40,510 --> 00:09:47,810
+التلاتة وهذا بالتأكيد اكبر من واحد اللي هو x واحد
+
+84
+00:09:50,170 --> 00:09:57,350
+إذاً هيطلع عندي X2 أكبر من أو يساوي X1 إذاً
+
+85
+00:09:57,350 --> 00:10:04,170
+العبارة هذه صحيحة عند M بساوي واحد assume
+
+86
+00:10:04,170 --> 00:10:09,970
+induction hypothesis الفرض تبع ال induction assume
+
+87
+00:10:09,970 --> 00:10:13,910
+أنه
+
+88
+00:10:22,570 --> 00:10:24,510
+أصغر من أوي ساوي
+
+89
+00:10:35,580 --> 00:10:40,400
+بنثبت صحة الحق برهد عند n بساوي k زائد واحد اذا ت
+
+90
+00:10:40,400 --> 00:10:46,060
+show xk زائد واحد اصلا لو ساوي xk زائد واحد زائد
+
+91
+00:10:46,060 --> 00:10:55,700
+واحد عن x زائد اتنين we have لدينا لاحظوا
+
+92
+00:10:55,700 --> 00:11:01,180
+xk زائد اتنين من ال definition من ال definition
+
+93
+00:11:01,180 --> 00:11:03,360
+تبع ال sequence
+
+94
+00:11:06,860 --> 00:11:12,440
+من ال inductive formula أو ال recursive formula xk
+
+95
+00:11:12,440 --> 00:11:19,840
+زاد اتنين بسوى جذر التربيعى لاتنين زاد اكس k زاد
+
+96
+00:11:19,840 --> 00:11:28,000
+واحد صح و by induction hypothesis من الفرض تبع ال
+
+97
+00:11:28,000 --> 00:11:35,020
+induction هذا بسوى جذر اتنينو XK زياد واحد هذا
+
+98
+00:11:35,020 --> 00:11:44,080
+ايه؟ هيطلع اصغر من XK زياد واحد اكبر من او ساوي XK
+
+99
+00:11:44,080 --> 00:11:50,380
+انا XK انا نحط شريط اكبر XK زياد اتنين
+
+100
+00:11:55,180 --> 00:12:03,320
+فهذا أكبر من أو ساوي X .. هبدل XK زيادة واحد بأكبر
+
+101
+00:12:03,320 --> 00:12:07,660
+من أو ساوي XK من ال induction hypothesis من الفرب
+
+102
+00:12:07,660 --> 00:12:12,150
+تبع ال inductionوهذا بالـ definition باستخدام الـ
+
+103
+00:12:12,150 --> 00:12:18,310
+definition تبع الـ sequence الجذر هذا بساوي xk زي
+
+104
+00:12:18,310 --> 00:12:24,190
+واحدة إذا هين أثبتنا إن x sub k plus two bigger
+
+105
+00:12:24,190 --> 00:12:30,710
+than or equal to x sub k plus one إذاً this
+
+106
+00:12:30,710 --> 00:12:37,250
+completes this
+
+107
+00:12:37,250 --> 00:12:38,610
+completes the induction
+
+108
+00:12:43,320 --> 00:12:48,000
+وبالتالي إذا هيك بنكون أثبتنا ال claim بتاعي إن
+
+109
+00:12:48,000 --> 00:12:51,780
+أنا في عندي two claims أول شي sequence bounded
+
+110
+00:12:51,780 --> 00:12:57,200
+والتاني بيقول إن ال sequence increasing وبالتالي
+
+111
+00:12:57,200 --> 00:13:05,200
+therefore إذا
+
+112
+00:13:05,200 --> 00:13:09,580
+لو سمينا هذا claim one وهذا claim two
+
+113
+00:13:17,790 --> 00:13:27,210
+فإذا now it claims
+
+114
+00:13:27,210 --> 00:13:32,930
+one and two and الـ monotone convergence theorem
+
+115
+00:13:32,930 --> 00:13:41,530
+بيقدّوا إن sequence x in convergence say
+
+116
+00:13:41,530 --> 00:13:52,080
+دعنا نسمي ال limit تبعتهاlimit x in بساوي x طبعا
+
+117
+00:13:52,080 --> 00:13:56,820
+هذا بيطلع عدد حقيقي الان
+
+118
+00:13:56,820 --> 00:14:07,420
+بنوجد قيمة limit x هذه فبنرجع to find to find x
+
+119
+00:14:07,420 --> 00:14:12,880
+لإيجاد قيمة ال x بناخد
+
+120
+00:14:12,880 --> 00:14:21,340
+ال limittake limit of
+
+121
+00:14:21,340 --> 00:14:28,220
+both sides of
+
+122
+00:14:35,540 --> 00:14:41,820
+بناخد ال limit لطرفين of both sides of المعادلة xn
+
+123
+00:14:41,820 --> 00:14:50,280
+زي الواحد بساوي square root ل two plus xn to
+
+124
+00:14:50,280 --> 00:14:50,800
+get
+
+125
+00:14:53,550 --> 00:14:59,490
+limit xn plus one as n tends to infinity بساوي
+
+126
+00:14:59,490 --> 00:15:02,890
+limit الجدر التربيعي ممكن تدخل ال limit تحت الجدر
+
+127
+00:15:02,890 --> 00:15:08,210
+التربيعي وباستخدام قوانين النهايات limit الاتنين
+
+128
+00:15:08,210 --> 00:15:13,810
+بيطلع اتنين زي limit xn as n tends to infinity طيب
+
+129
+00:15:13,810 --> 00:15:19,170
+انا عندى limit xn زي واحد بساوي x
+
+130
+00:15:26,140 --> 00:15:36,560
+هذه المعادلة بيصير
+
+131
+00:15:36,560 --> 00:15:41,100
+x تربية negative xنجاتف اتنين نجاتف اتنين نجاتف
+
+132
+00:15:41,100 --> 00:15:45,160
+اتنين نجاتف اتنين نجاتف اتنين نجاتف اتنين نجاتف
+
+133
+00:15:45,160 --> 00:15:58,780
+اتنين نجاتف اتنين نجاتف اتنين نجاتف اتنين
+
+134
+00:16:01,690 --> 00:16:08,750
+الـ xn أكبر من أو ساوي واحد أصغر من أو ساوي اتنين
+
+135
+00:16:08,750 --> 00:16:18,250
+لكل n هذا من claim one بيقدي ان ال limit حسب
+
+136
+00:16:18,250 --> 00:16:25,270
+نظرية سابقة هذا بيقدي ان ال limit ل xn أصغر من أو
+
+137
+00:16:25,270 --> 00:16:31,750
+ساوي اتنين أكبر من أو ساوي الواحدو طبعا ال limit
+
+138
+00:16:31,750 --> 00:16:37,110
+قلنا ل xn بساوي x إذا واحد أصغر من او ساوي x أصغر
+
+139
+00:16:37,110 --> 00:16:42,190
+من او ساوي اتنين طب أنا عندي خيارين إما x بساوي
+
+140
+00:16:42,190 --> 00:16:49,450
+اتنين أو x بساوي سالب واحد مش ممكن ال x محصورة بين
+
+141
+00:16:49,450 --> 00:16:54,090
+واحد و اتنين إذا هذه الإجابة غير مقبولة وبالتالي
+
+142
+00:16:54,090 --> 00:16:59,710
+ال x بساوي اتنينو هيك بنكون أثبتنا إن ال sequence
+
+143
+00:16:59,710 --> 00:17:03,650
+is convergent و هي وجدنا ال limit تبعتها بالمثل
+
+144
+00:17:03,650 --> 00:17:09,130
+ممكن نحل باقي الأسئلة زي مثلا سؤال واحد و اتنين و
+
+145
+00:17:09,130 --> 00:17:16,190
+تلاتة و خمسة و ستة و سابعة okay
+
+146
+00:17:16,190 --> 00:17:24,550
+تمام في أي أسئلة تانية في هذا section السؤال تسعة
+
+147
+00:17:37,220 --> 00:18:05,540
+سؤال تسعة هاي
+
+148
+00:18:05,540 --> 00:18:13,770
+السؤال تسعةالسيقشن تلاتة تلاتة السؤال هذا بيقول
+
+149
+00:18:13,770 --> 00:18:22,970
+let a be infinite infinite
+
+150
+00:18:22,970 --> 00:18:32,090
+subset of R و ال set هذه bounded
+
+151
+00:18:34,790 --> 00:18:42,530
+أو bounded above محدودة
+
+152
+00:18:42,530 --> 00:18:50,170
+من أعلى and
+
+153
+00:18:50,170 --> 00:18:53,610
+let ال U
+
+154
+00:18:56,560 --> 00:19:00,740
+بساوي ال supremum لل set A طبعا ال set A bounded
+
+155
+00:19:00,740 --> 00:19:07,480
+above وبالتالي by ال supremum property ال supremum
+
+156
+00:19:07,480 --> 00:19:14,240
+تبعها exist دعنا نسميه U المطلوب
+
+157
+00:19:14,240 --> 00:19:22,340
+show that show
+
+158
+00:19:22,340 --> 00:19:29,900
+there existيوجد an increasing ..an increasing
+
+159
+00:19:29,900 --> 00:19:33,180
+subsequence
+
+160
+00:19:33,180 --> 00:19:40,120
+او sequence there exists an increasing sequence xn
+
+161
+00:19:40,120 --> 00:19:51,480
+contained in A such that ال limit لسيكوينس xn
+
+162
+00:19:51,480 --> 00:19:52,880
+بساوي U
+
+163
+00:20:03,070 --> 00:20:08,150
+I prove من
+
+164
+00:20:08,150 --> 00:20:12,630
+خواص ال supremum
+
+165
+00:20:12,630 --> 00:20:19,850
+احنا
+
+166
+00:20:19,850 --> 00:20:27,650
+فيها انا كان لمبة دخلناها قبل هيك وهذه المبة بتقول
+
+167
+00:20:27,650 --> 00:20:28,230
+انه
+
+168
+00:20:42,440 --> 00:20:51,320
+لما أخدناها في أول chapter بتقول أنه .. أفندم؟
+
+169
+00:20:51,320 --> 00:21:05,800
+بنقول an upper bound an upper bound U of الست A is
+
+170
+00:21:05,800 --> 00:21:09,540
+the supremum
+
+171
+00:21:11,820 --> 00:21:21,120
+the supremum of a, if and only if لكل
+
+172
+00:21:21,120 --> 00:21:29,260
+إبسلون أكبر من السفر يوجد x إبسلون ينتمي إلى a
+
+173
+00:21:29,260 --> 00:21:33,680
+بحيث أنه بحيث
+
+174
+00:21:33,680 --> 00:21:37,920
+أنه u سالب إبسلون أصغر من x إبسلون
+
+175
+00:21:40,930 --> 00:21:46,950
+نظبط صح؟ منطبقها لإن أنا عندي هاي U بساوي ال
+
+176
+00:21:46,950 --> 00:21:52,670
+supremum ل A إذا لو أخدت for epsilon بساوي واحد
+
+177
+00:21:52,670 --> 00:22:04,190
+أكبر من السفر يوجد X واحد ينتمي إلى A such that U
+
+178
+00:22:04,190 --> 00:22:17,500
+سالب واحد أصغر منx واحد next
+
+179
+00:22:17,500 --> 00:22:21,240
+for
+
+180
+00:22:21,240 --> 00:22:27,360
+for
+
+181
+00:22:27,360 --> 00:22:33,400
+epsilon بساوي نص لو
+
+182
+00:22:33,400 --> 00:22:37,200
+أخدت ال epsilon هذه بساوي نص ف choose
+
+183
+00:22:40,760 --> 00:22:51,040
+choose by above لمّا X2
+
+184
+00:22:51,040 --> 00:23:01,180
+تنتمي إلى A وممكن نختار X2 أكبر من أو يساوي X1
+
+185
+00:23:01,180 --> 00:23:08,580
+الأولى هي such that U سالد نص الإبسلون أصغر من X2
+
+186
+00:23:19,440 --> 00:23:29,340
+بعدين now for إبسلون بساوي واحد على تلاتة أكبر من
+
+187
+00:23:29,340 --> 00:23:34,220
+سفر it choose إذا في اللمّة هذه خدوا إبسلون بساوي
+
+188
+00:23:34,220 --> 00:23:39,520
+تلت it choose X تلاتة ينتمي إلى A
+
+189
+00:23:42,410 --> 00:23:48,590
+بحيث انه X تلاتة هذا ممكن اختاره اكبر من او ساوي X
+
+190
+00:23:48,590 --> 00:24:03,090
+اتنين and U اللي هو U سالب تلت اصغر من X تلاتة صح؟
+
+191
+00:24:03,090 --> 00:24:14,810
+continuing in this processلو استمرنا بالعملية الـ
+
+192
+00:24:14,810 --> 00:24:27,910
+continuing in this process we
+
+193
+00:24:27,910 --> 00:24:35,230
+get by induction عملية
+
+194
+00:24:35,230 --> 00:24:36,790
+استقرائية that
+
+195
+00:24:46,820 --> 00:24:52,740
+for epsilon بساوي واحد على ك أكبر من السفر
+
+196
+00:24:56,070 --> 00:25:04,030
+there exists xk أكبر من او ساوي xk زايد واحد such
+
+197
+00:25:04,030 --> 00:25:14,950
+that absolute u سالب واحد على k أصغر من xk وهذا
+
+198
+00:25:14,950 --> 00:25:23,530
+صحيح for every k ينتمي إلى n تمام؟
+
+199
+00:25:32,820 --> 00:25:40,120
+طيب أنا عندي ..
+
+200
+00:25:40,120 --> 00:25:50,560
+خلّيني أمسح اللمّة هذه طيب
+
+201
+00:25:50,560 --> 00:25:56,700
+إذا أنا عندي U نيجاتيب واحد على K طلع أصغر من XK
+
+202
+00:26:00,780 --> 00:26:08,580
+و ال XK هذه أصغر من أو ساوي ال U لأن ال U هو ال
+
+203
+00:26:08,580 --> 00:26:16,240
+supremum ل A و XK عنصر في A و ال U upper bound لل
+
+204
+00:26:16,240 --> 00:26:22,840
+6A ف .. و XK عنصر في A إذا ال XK لازم يكون أصغر من
+
+205
+00:26:22,840 --> 00:26:31,010
+أو ساوي ال U و ال U أصغر من أو ساوي أو أصغر منu
+
+206
+00:26:31,010 --> 00:26:35,790
+زائد واحد على k الكلام هذا صحيح for all k belong
+
+207
+00:26:35,790 --> 00:26:44,830
+to n مظبوط صحيح so احنا اثبتنا هيك ان يوجد
+
+208
+00:26:44,830 --> 00:26:51,810
+sequence يوجد increasing sequence
+
+209
+00:26:51,810 --> 00:27:01,940
+x in او xkمهم XK contained in A such that absolute
+
+210
+00:27:01,940 --> 00:27:10,820
+XK minus U أصغر من ��احد على K for all K تنتمي إلى
+
+211
+00:27:10,820 --> 00:27:19,920
+N طيب
+
+212
+00:27:19,920 --> 00:27:23,400
+ما هذا عبارة عن واحد على K في واحد
+
+213
+00:27:26,730 --> 00:27:32,150
+هذا أصغر من أو ساوي واحد في واحد على K لكل K ينتمي
+
+214
+00:27:32,150 --> 00:27:42,410
+ل N اذا hence by previous theorem اللي هي نظرية
+
+215
+00:27:42,410 --> 00:27:47,410
+فاكرينها اتنين اربعة في ال notes نظرية اتنين اربعة
+
+216
+00:27:47,410 --> 00:27:48,810
+في ال notes تبعتنا
+
+217
+00:27:54,490 --> 00:28:02,870
+with c بساوي واحد اكبر من سفر and a n او a k a k
+
+218
+00:28:02,870 --> 00:28:12,410
+بساوي واحد على k tends to zero we get تديني
+
+219
+00:28:22,310 --> 00:28:27,970
+نحصل على ان ال limit ل xk as k tends to infinity
+
+220
+00:28:27,970 --> 00:28:35,470
+بساوي ال U وهذا هو المطلوب مام؟ واضح؟ لأن هذا هو
+
+221
+00:28:35,470 --> 00:28:40,490
+البرهان واضح البرهان؟ في أي استفسار؟ في أي شيء مش
+
+222
+00:28:40,490 --> 00:28:49,730
+واضح؟ طيب ماشي الحال خلينا نشوف هاي سؤال تلاتة
+
+223
+00:29:01,490 --> 00:29:09,710
+سؤال اتنين section تلاتة تلاتة فهنا عندي x واحد
+
+224
+00:29:09,710 --> 00:29:17,070
+انا عندي x واحد عدد اكبر من واحد و x n plus one
+
+225
+00:29:17,070 --> 00:29:22,290
+بيساوي بنعرفه
+
+226
+00:29:22,290 --> 00:29:33,410
+على انه اتنين سالب واحد على x n لكل nعدد طبيعي
+
+227
+00:29:33,410 --> 00:29:45,270
+show اثبتي ان ال sequence x in is
+
+228
+00:29:45,270 --> 00:29:50,150
+bounded and
+
+229
+00:29:50,150 --> 00:29:56,810
+monotone يعني اما increasing او
+
+230
+00:29:56,810 --> 00:29:57,330
+decreasing
+
+231
+00:30:01,980 --> 00:30:09,140
+بعدين find ال limit find its
+
+232
+00:30:09,140 --> 00:30:17,980
+limit إذا إزاي نعملها في سؤال السؤال
+
+233
+00:30:17,980 --> 00:30:24,220
+الرابع إزاي السؤال الرابع okay هنا
+
+234
+00:30:24,220 --> 00:30:25,980
+في بس يعني ال trick
+
+235
+00:30:32,350 --> 00:30:37,550
+لو كتبنا اول تلت اربع خمس حدود نقدر نشوف وين يعني
+
+236
+00:30:37,550 --> 00:30:41,870
+ال sequence محصورة بين اي اعداد ايه هو ال upper
+
+237
+00:30:41,870 --> 00:30:46,950
+bound و ال lower bound لل sequence فمثلا لو بدي
+
+238
+00:30:46,950 --> 00:30:52,390
+احسب الحد رقم اي حد واحد اكبر من واحد طب الحد
+
+239
+00:30:52,390 --> 00:31:00,470
+التاني بساوي اتنين سالب واحد على اكس واحدلأن انا
+
+240
+00:31:00,470 --> 00:31:06,090
+عندى هنا باخد n بالساعة واحد تعطين x اتنين طب انا
+
+241
+00:31:06,090 --> 00:31:12,210
+عندى x واحد اكبر من واحد هذا بيقدى انه مخلوق x
+
+242
+00:31:12,210 --> 00:31:25,390
+واحد اصغر من واحد وبالتالي
+
+243
+00:31:33,910 --> 00:31:44,010
+إذا و هذا طبعا عدد موجب أكيد و أصغر من واحد إذا
+
+244
+00:31:44,010 --> 00:31:48,590
+أنا بطرح .. بطرح من ال .. من ال .. من الاتنين عدد
+
+245
+00:31:48,590 --> 00:31:54,730
+موجب و أصغر من واحد فهذا هيكون يعني أكيد أكبر من
+
+246
+00:31:54,730 --> 00:32:01,540
+واحد أه لأ هذا بدي يكون أصغر من اتنينهذا بالتأكيد
+
+247
+00:32:01,540 --> 00:32:05,980
+أصغر من اتنين لأن هذا عدد موجب هذا عدد موجب في
+
+248
+00:32:05,980 --> 00:32:09,480
+النهاية بغض النظر أكبر من واحد ولا أصغر من واحد
+
+249
+00:32:09,480 --> 00:32:15,440
+لما أطرح أنا عدد موجب من عدد العدد بصغر صح فإذا x
+
+250
+00:32:15,440 --> 00:32:23,900
+اتنين أصغر من اتنين طب و x تلاتة بساوة اتنين سالب
+
+251
+00:32:23,900 --> 00:32:25,540
+واحد على x اتنين
+
+252
+00:32:30,440 --> 00:32:35,840
+برضه هذا عدد موجب فهيكون هذا اصغر من ايه من اتنين
+
+253
+00:32:35,840 --> 00:32:44,960
+و هكذا اذا و طبعا x واحد وهذا
+
+254
+00:32:44,960 --> 00:32:51,740
+العدد اصغر من واحدفهذا اكيد هيطلع اكبر من الواحد
+
+255
+00:32:51,740 --> 00:32:56,460
+اذا هذا هيكون اكبر من واحد و هذا اكبر من واحد اذا
+
+256
+00:32:56,460 --> 00:33:00,880
+واضح ان حدود ال sequence هتكون محصورة بين واحد و
+
+257
+00:33:00,880 --> 00:33:09,880
+اتنين اذا بقدر انا اعمل ادعي بقدر ادعي اقول claim
+
+258
+00:33:09,880 --> 00:33:13,720
+واحد
+
+259
+00:33:13,720 --> 00:33:16,200
+ان ال ..
+
+260
+00:33:21,340 --> 00:33:26,800
+إن Xn أكبر من أو ساوى الواحد أصغر من أو ساوى اتنين
+
+261
+00:33:26,800 --> 00:33:31,840
+لكل N طبعا
+
+262
+00:33:31,840 --> 00:33:41,140
+هذا يعني ممكن برهانه by induction طيب
+
+263
+00:33:41,140 --> 00:33:46,280
+ال .. إذا هنا prove it
+
+264
+00:33:49,440 --> 00:34:00,540
+prove it by induction الكلام
+
+265
+00:34:00,540 --> 00:34:05,860
+التاني ان
+
+266
+00:34:05,860 --> 00:34:14,020
+ال sequence تبعتي بتطلع decreasing x
+
+267
+00:34:14,020 --> 00:34:15,820
+in is decreasing
+
+268
+00:34:21,770 --> 00:34:27,350
+يعني xn أكبر من أو ساوي xn زايد one for every n
+
+269
+00:34:27,350 --> 00:34:33,590
+belonging to n to
+
+270
+00:34:33,590 --> 00:34:41,110
+see this لبرهان ذلك to see this لبرهان ذلك note
+
+271
+00:34:41,110 --> 00:34:47,550
+that note
+
+272
+00:34:47,550 --> 00:34:48,130
+first
+
+273
+00:34:51,100 --> 00:35:05,320
+لاحظى اولا انه x n minus واحد لكل تربية لو اخدت حد
+
+274
+00:35:05,320 --> 00:35:11,120
+رقم n واطرحت منه واحد وربعته هذا مربع كامل فهذا
+
+275
+00:35:11,120 --> 00:35:17,560
+اكيد اكبر من أو يساوي سفر اى مربع كامل اى مربع
+
+276
+00:35:17,560 --> 00:35:23,290
+كامل لأى عدد حقيقي بيطلع غير سالمطبعا هذا لما
+
+277
+00:35:23,290 --> 00:35:30,610
+نربّه بيطلع x x n squared minus اتنين x n plus one
+
+278
+00:35:30,610 --> 00:35:40,470
+وهذا المجموع من
+
+279
+00:35:40,470 --> 00:35:44,690
+المتباينة هذه بنستنتج هذا بيقدّي
+
+280
+00:35:55,680 --> 00:36:10,260
+هذا بيقدي انه اتنين X N زائد واحد او
+
+281
+00:36:10,260 --> 00:36:18,840
+هذا بيقدي انه XXn تربية أكبر من أو ساوي هاي Xn
+
+282
+00:36:18,840 --> 00:36:24,340
+تربية ودي هذا عن ناحية التانية لاحظي هذا كله أكبر
+
+283
+00:36:24,340 --> 00:36:27,820
+من أو ساوي سبر فودي هذا عن ناحية التانية بطلع Xn
+
+284
+00:36:27,820 --> 00:36:33,720
+تربية أكبر من أو ساوي اتنين Xn سالب واحد وهذا
+
+285
+00:36:33,720 --> 00:36:40,660
+الكلام صحيح لكل N وهذا
+
+286
+00:36:40,660 --> 00:36:55,140
+بقدربدوره انه xn xn
+
+287
+00:36:55,140 --> 00:37:06,760
+أكبر من أو يساوي اتنين negative واحد
+
+288
+00:37:06,760 --> 00:37:07,820
+على xn
+
+289
+00:37:18,300 --> 00:37:23,720
+إذا أنا جسمي إضرب في واحد على xn ال xn هنا عدد ال
+
+290
+00:37:23,720 --> 00:37:30,200
+.. ال xn موجة بقى ال xn كلها عداد موجة بقى لاحظي
+
+291
+00:37:30,200 --> 00:37:40,640
+انت هنا .. ان احنا ضربنا في xnعدد موجب او لأ جسمنا
+
+292
+00:37:40,640 --> 00:37:48,360
+او ضربنا في واحد على اكس ان هذا عدد موجب فبطلع
+
+293
+00:37:48,360 --> 00:37:52,100
+عندي اكس ان و شريط المتبانى طبق زي ما هي و اتنين
+
+294
+00:37:52,100 --> 00:37:56,500
+سالب واحد على اكس ان الان هذا by definition of the
+
+295
+00:37:56,500 --> 00:38:00,860
+sequenceمن ال recursive formula هي ال recursive
+
+296
+00:38:00,860 --> 00:38:04,720
+formula او ال inductive formula بتقول ان هذا الفرق
+
+297
+00:38:04,720 --> 00:38:09,900
+بتطلع xn زاد واحد اذا الكلام هذا صحيح لكل n
+
+298
+00:38:09,900 --> 00:38:15,900
+وبالتالي اذا هيطلع اندي xn اكبر من أو ساوي xn زاد
+
+299
+00:38:15,900 --> 00:38:24,140
+واحد لكل n اذا ال sequence xn is decreasing متنقصة
+
+300
+00:38:26,080 --> 00:38:35,420
+الان من ال claims واحد و اتنين تطلع now x
+
+301
+00:38:35,420 --> 00:38:40,700
+in is
+
+302
+00:38:40,700 --> 00:38:44,460
+decreasing and bounded
+
+303
+00:38:48,230 --> 00:38:52,870
+حسب claim واحد و claim اتنين so by monotone
+
+304
+00:38:52,870 --> 00:39:03,610
+convergence theorem xn converges say limit xn
+
+305
+00:39:03,610 --> 00:39:10,670
+بالساوي x for some x ينتمي الى R الان بنجيب قيمة
+
+306
+00:39:10,670 --> 00:39:22,760
+ال limit اللي هي ال Xفنرجع لل inductive formula to
+
+307
+00:39:22,760 --> 00:39:34,360
+find x we have من ال inductive formula أنا عندي ال
+
+308
+00:39:34,360 --> 00:39:44,140
+limit ل x n plus one equals two بالساوية اتنين
+
+309
+00:39:44,140 --> 00:39:50,820
+minusواحد على limit xm هذا لما اخد ال limit
+
+310
+00:39:50,820 --> 00:39:57,140
+للطرفين في ال inductive formula طب هذا طرف الشمال
+
+311
+00:39:57,140 --> 00:40:03,530
+بساوي x و الطرف اليمين واحد على xالان حل المعادلة
+
+312
+00:40:03,530 --> 00:40:08,510
+هاد في X اضرب في X بطلع عندي X تربيع سالب اتنين X
+
+313
+00:40:08,510 --> 00:40:14,770
+موجة بواحد بساوي سفر وانت بتحلل الى X موجة باتنين
+
+314
+00:40:14,770 --> 00:40:25,550
+X سالب واحد الكل تربيع بساوي سفر فبطلع X بساوي
+
+315
+00:40:25,550 --> 00:40:31,630
+واحدو هذا صحيح لأن ال x in لحظوا في claim واحد x
+
+316
+00:40:31,630 --> 00:40:35,150
+in معصورة بين واحد و اتنين اذا ال limit تبقى بتطلع
+
+317
+00:40:35,150 --> 00:40:40,530
+معصورة بين واحد و اتنين فالجواب واحد مقبول اذا هذا
+
+318
+00:40:40,530 --> 00:40:49,890
+هو هاي ال limit طلعت بتساوي واحد تمام في
+
+319
+00:40:49,890 --> 00:40:51,010
+اي أسئلة تانية
+
+320
+00:41:02,130 --> 00:41:06,830
+في معناه وجهة انحال كمان سؤال اذا بتحبه سيكشن
+
+321
+00:41:06,830 --> 00:41:08,210
+البعده تلاتة اربعة
+
+322
+00:41:26,730 --> 00:41:33,870
+سيكشن تلاتة اربعة فش ولا سؤال عندكم
+
+323
+00:41:33,870 --> 00:41:44,030
+فحللكم
+
+324
+00:41:44,030 --> 00:41:49,390
+سؤال يحداش لانه واضح ان انتوا مش دارسين فنحل
+
+325
+00:41:49,390 --> 00:41:52,370
+السؤال هيك انا هحلكم يعني من هندي
+
+326
+00:41:57,800 --> 00:42:07,280
+إذن سؤال 11 سيكشن تلاتة أربعة suppose
+
+327
+00:42:07,280 --> 00:42:10,860
+افترضي
+
+328
+00:42:10,860 --> 00:42:19,320
+ان xn أكبر من أو ساوي سفر for every natural number
+
+329
+00:42:19,320 --> 00:42:30,510
+n and ال limit لل sequenceسارق one to n في xn
+
+330
+00:42:30,510 --> 00:42:34,150
+exists
+
+331
+00:42:34,150 --> 00:42:39,110
+show
+
+332
+00:42:39,110 --> 00:42:48,490
+برهنة انه ال sequence xn convergence
+
+333
+00:43:42,520 --> 00:43:51,900
+Okay خلّينا نشوف ال .. طيب احنا نشوف solution
+
+334
+00:43:55,820 --> 00:44:00,460
+say احنا فرضين ان ال limit لل sequence هذه exist
+
+335
+00:44:00,460 --> 00:44:07,520
+فافترضي ان ال limit لل sequence سالب واحد as n في
+
+336
+00:44:07,520 --> 00:44:14,720
+xn as n tends to infinity ال limit لل sequence هذه
+
+337
+00:44:14,720 --> 00:44:19,620
+بيساوي x for some x ينتمي ال R
+
+338
+00:44:27,140 --> 00:44:39,900
+الان then the subsequences ال subsequences اللي هي
+
+339
+00:44:39,900 --> 00:44:49,780
+لو سالب
+
+340
+00:44:49,780 --> 00:44:57,030
+واحد قصة اتنين in في x اتنين inهذه الـ Converge لـ
+
+341
+00:44:57,030 --> 00:45:02,030
+X هذه الـ subsequence من السيكوانس هذه بس حدودها
+
+342
+00:45:02,030 --> 00:45:09,210
+الزوجية and كمان ال subsequence اللي حدودها
+
+343
+00:45:09,210 --> 00:45:10,050
+الفردية
+
+344
+00:45:18,430 --> 00:45:22,850
+برضه converge ل X لأن في عندي نظرية بتقول إذا كانت
+
+345
+00:45:22,850 --> 00:45:27,070
+ال sequence convergent ل X فأي subsequence منها
+
+346
+00:45:27,070 --> 00:45:31,270
+بتكون convergent لنفس ال X هذه subsequence من ال
+
+347
+00:45:31,270 --> 00:45:37,890
+sequence هذه أخدت الحدود الزوجية وهذه subsequence
+
+348
+00:45:37,890 --> 00:45:41,470
+من ال sequence هذه اللي هي مدة تالية الحدود
+
+349
+00:45:41,470 --> 00:45:49,920
+الفردية طيب من هنالاحظوا سالب واحد الأس تبعها زوجي
+
+350
+00:45:49,920 --> 00:45:54,820
+تطلع واحد وبالتالي ال sequence هذه هي نفس ال
+
+351
+00:45:54,820 --> 00:46:04,500
+sequence اتنين in عفوا x اتنين in و سالب واحد لما
+
+352
+00:46:04,500 --> 00:46:08,220
+يكون الأس تبعها فارد تطلع سالب واحد إذا هذه سالب
+
+353
+00:46:08,220 --> 00:46:14,040
+يعني سالب ال sequence x اتنين in سالب واحد
+
+354
+00:46:16,730 --> 00:46:35,630
+تمام؟ طيب أنا عندي من الفرض by
+
+355
+00:46:35,630 --> 00:46:40,990
+hypothesis من الفرض أنا عندي xn أكبر من أو ساوى
+
+356
+00:46:40,990 --> 00:46:54,340
+سفر لكل n في n فهذا بيدّيإنه X2N و أيضا X2N-1 أكبر
+
+357
+00:46:54,340 --> 00:47:01,940
+من أو يساوي سفر لكل N في ال natural numbers وهذا
+
+358
+00:47:01,940 --> 00:47:11,040
+بيقدي بدوره إلى إنه ال X اللي هي من هنا X بيساوي
+
+359
+00:47:11,040 --> 00:47:14,500
+ليه بيساوي limit X2N
+
+360
+00:47:16,870 --> 00:47:22,690
+هي عندي هذا
+
+361
+00:47:22,690 --> 00:47:32,230
+هو هذا من هان بطلع عندي limit x2n بساوي x و من هان
+
+362
+00:47:32,230 --> 00:47:41,810
+بطلع عندي limit سالب x2n سالب واحد بساوي x او
+
+363
+00:47:45,510 --> 00:47:48,610
+السالب واحد بيطلع برا ال limit فبطلع عندي limit
+
+364
+00:47:48,610 --> 00:47:56,770
+x2n سالب واحد بساوي سالب x مظبوط؟
+
+365
+00:47:56,770 --> 00:48:02,170
+إذا هاي عندي أنا limit x2n سالب واحد هذا بيطلع
+
+366
+00:48:02,170 --> 00:48:10,450
+بساوي سالب x أو لأ في الأول ال x بساوي limit x2n
+
+367
+00:48:10,450 --> 00:48:15,280
+وهذا بيطلع أكبر من أو ساوي سفرلأن أنا عندي x2n
+
+368
+00:48:15,280 --> 00:48:19,900
+أكبر من أوسعها 0 لكل n فلما تكون ال sequence
+
+369
+00:48:19,900 --> 00:48:23,800
+حدودها غير سالبة فال limit تبعتها إذا كانت
+
+370
+00:48:23,800 --> 00:48:27,660
+convergent ال limit تبعتها تطلع غير سالبة و كذلك
+
+371
+00:48:27,660 --> 00:48:36,980
+سالب x اللي هي بتساوي limit x2n سالب واحد برضه أنا
+
+372
+00:48:36,980 --> 00:48:42,850
+عندي x2n سالب واحد كلهمأعداد غير سالبة و ال
+
+373
+00:48:42,850 --> 00:48:46,550
+sequence هذه convergent إذا ال limit تبعتها بتطلع
+
+374
+00:48:46,550 --> 00:48:50,450
+غير سالبة إذا
+
+375
+00:48:50,450 --> 00:48:55,950
+أنا من هنا بطلع عندي حاجتين x أكبر من أو ساوى سفر
+
+376
+00:48:55,950 --> 00:49:04,280
+and negative x and negative x أكبر منأو ساوي سفر
+
+377
+00:49:04,280 --> 00:49:10,060
+هذا بيؤدي ان x أكبر من أو ساوي سفر and اضرب في
+
+378
+00:49:10,060 --> 00:49:15,520
+سالب واحد بيطلع x أصغر من أو ساوي سفر الان انا في
+
+379
+00:49:15,520 --> 00:49:19,740
+عندي عدد حقيقي أكبر من أو ساوي سفر and أصغر من أو
+
+380
+00:49:19,740 --> 00:49:30,300
+ساوي سفر بيؤدي ان x بيساوي سفر تمام اذا طلع عندي
+
+381
+00:49:30,300 --> 00:49:31,020
+هنا ال
+
+382
+00:49:34,250 --> 00:49:40,070
+الـ limit هذه x بالساوية سفر الآن
+
+383
+00:49:40,070 --> 00:49:51,850
+تعالوا نثبت now given إمسلن أكبر من السفر it
+
+384
+00:49:51,850 --> 00:49:59,030
+choose how they exist capital
+
+385
+00:49:59,030 --> 00:50:01,550
+N عدد طبيعي
+
+386
+00:50:04,240 --> 00:50:11,660
+بحيث انه لكل n أكبر من أو ساوي capital N هذا بيقدي
+
+387
+00:50:11,660 --> 00:50:23,140
+ان absolute xn-0 بساوي absolute سالب واحد أُس n في
+
+388
+00:50:23,140 --> 00:50:30,960
+xn-0 لأن
+
+389
+00:50:30,960 --> 00:50:33,340
+هنا المفروض اكتب هنا since
+
+390
+00:50:36,490 --> 00:50:44,610
+مش احنا فرضين انه ال since limit سالب واحد قص ان
+
+391
+00:50:44,610 --> 00:50:54,750
+في x in بساوي x بتساوي سفر احنا
+
+392
+00:50:54,750 --> 00:50:58,910
+من الفرض انا عندي ان ال limit هذه موجودة تمام
+
+393
+00:50:58,910 --> 00:51:04,270
+وفرضناها x و اثبتنا ان ال limit تبعتها طلعت x
+
+394
+00:51:04,270 --> 00:51:10,220
+بساوي سفرالان بما انه limit ال sequence هذه بساوي
+
+395
+00:51:10,220 --> 00:51:14,220
+سفر، اذا من تعريف ال limit for any given epsilon
+
+396
+00:51:14,220 --> 00:51:18,540
+يوجد capital N يعتمد على epsilon بحيث لكل N أكبر
+
+397
+00:51:18,540 --> 00:51:22,960
+من أو ساوي capital N بطلع المسافة بين الحد العام
+
+398
+00:51:22,960 --> 00:51:30,200
+وال limit x اللي هي سفر أصغر من epsilonفهيك أنا
+
+399
+00:51:30,200 --> 00:51:36,540
+بطلع عندي absolute xn minus صفر أصغر من إبسلون إذا
+
+400
+00:51:36,540 --> 00:51:40,120
+هان أثبتت أنه لأي إبسلون أكبر من الصفر يوجد
+
+401
+00:51:40,120 --> 00:51:44,100
+capital N يعتمد على إبسلون بحيث لكل N أكبر منه
+
+402
+00:51:44,100 --> 00:51:48,140
+ساوي capital N المسافة بين xn وصفر أصغر من إبسلون
+
+403
+00:51:48,140 --> 00:51:53,040
+فهذا بيقدي أنه هذا معناه حسب تعريف epsilon capital
+
+404
+00:51:53,040 --> 00:51:58,260
+N أنه ال limit لل sequence xn موجودة و بالساوية
+
+405
+00:51:58,260 --> 00:52:01,890
+صفروبالتالي هيك أثبتنا أن ال sequence x in
+
+406
+00:52:01,890 --> 00:52:06,390
+convergence ومش هيك و بس و نهايتها كمان بالساوى
+
+407
+00:52:06,390 --> 00:52:15,170
+سفر okay تمام إذا هذا حل السؤال 11 و نكتفي بهذا
+
+408
+00:52:15,170 --> 00:52:21,690
+القدر من الحل المسائل و نكمل ان شاء الله حل
+
+409
+00:52:21,690 --> 00:52:26,290
+المسائل في المناقشة القادمة يوم السبت الجاي أو يوم
+
+410
+00:52:26,290 --> 00:52:32,830
+الأربع مع الشعبات تانيةفنوقف هن�� ونواصل ان شاء
+
+411
+00:52:32,830 --> 00:52:40,790
+الله يوم السبت الجاي تكمل المناخشة السكاشن اللي هي
+
+412
+00:52:40,790 --> 00:52:43,550
+تلاتة أربعة و تلاتة خمسة و تلاتة ستة
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/bwcuptIkF-o_raw.srt

@@ -0,0 +1,1656 @@
+1
+00:00:20,940 --> 00:00:27,720
+بسم الله الرحمن الرحيم ان شاء الله اليوم هناخد في
+
+2
+00:00:27,720 --> 00:00:34,940
+اللقاء الأول مناقشة و المناقشة هذه هتكون على ال
+
+3
+00:00:34,940 --> 00:00:42,360
+section أربعة و section خمسة من ال chapter تلاتة
+
+4
+00:00:42,360 --> 00:00:47,930
+في الكتاباحنا لقشنا قبل هيك section تلاتة واحد و
+
+5
+00:00:47,930 --> 00:00:52,070
+تلاتة اتنين تلاتة تلاتة مظبوط؟ تلاتة تلاتة تلاتة
+
+6
+00:00:52,070 --> 00:00:56,010
+تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة
+
+7
+00:00:56,010 --> 00:00:56,190
+تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة
+
+8
+00:00:56,190 --> 00:01:01,490
+تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة
+
+9
+00:01:01,490 --> 00:01:02,530
+تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة
+
+10
+00:01:02,530 --> 00:01:02,530
+تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة
+
+11
+00:01:02,530 --> 00:01:07,770
+تلاتة تلاتة تلاتة
+
+12
+00:01:14,970 --> 00:01:20,490
+فمين عندها أي سؤال في ال section تلاتة تلاتة تلاتة
+
+13
+00:01:20,490 --> 00:01:28,290
+أربعة أو تلاتة خمسة سيكشن
+
+14
+00:01:28,290 --> 00:01:29,590
+تلاتة تلاتة
+
+15
+00:01:47,340 --> 00:01:54,900
+أي سؤال؟ ستة ستة؟ طب هذا مش مقرر، لأ أنا .. عفوا
+
+16
+00:01:54,900 --> 00:02:02,500
+أنا بتطلع في مكان تاني، تلاتة تلاتة، سؤال ستة،
+
+17
+00:02:02,500 --> 00:02:06,400
+مطلوب هذا السؤال؟ ما كتبتلاش أنت الأسئلة المطلوبة
+
+18
+00:02:06,400 --> 00:02:11,580
+اللي بتتكتب؟موجودة في ال syllabus .. موجودة في ال
+
+19
+00:02:11,580 --> 00:02:15,760
+syllabus فهذا السؤال مش من ضمن الأسئلة اللي ..
+
+20
+00:02:15,760 --> 00:02:17,920
+اللي احنا .. يعني انتوا بتطلعوش على ال syllabus
+
+21
+00:02:17,920 --> 00:02:21,440
+فيه على الصفحه تبعتي ال syllabus و فيه المسائل
+
+22
+00:02:21,440 --> 00:02:25,800
+المطلوبة فبإمكانكم تعرفوا المسائل المطلوبة لكل
+
+23
+00:02:25,800 --> 00:02:30,640
+section من هنا لآخر ال courseفهذا السؤال السادس
+
+24
+00:02:30,640 --> 00:02:33,580
+بالذات مش مطلوب لكن فيها سئلة تانية ممكن أحللك
+
+25
+00:02:33,580 --> 00:02:42,160
+أربعة أو تلاتة زيه فإيه رأيك؟ تلاتة
+
+26
+00:02:42,160 --> 00:02:45,580
+أو أربعة يكونوا نفس الفكرة أه تلاتة أو أربعة شو
+
+27
+00:02:45,580 --> 00:02:52,720
+بدك تلاتة ولا أربعة؟ الحل
+
+28
+00:02:52,720 --> 00:03:00,880
+السؤال أربعة مثلا؟ هاي الحل السؤال الرابعsection
+
+29
+00:03:00,880 --> 00:03:11,920
+تلاتة تلاتة في السؤال هذا let x واحد بساوي واحد
+
+30
+00:03:11,920 --> 00:03:17,920
+and xn
+
+31
+00:03:17,920 --> 00:03:24,660
+plus one بساوي square
+
+32
+00:03:24,660 --> 00:03:28,420
+root لاتنين plus xn
+
+33
+00:03:31,530 --> 00:03:39,530
+for n belong to n show
+
+34
+00:03:39,530 --> 00:03:52,370
+ان ال sequence xn converges and find its limit
+
+35
+00:03:55,460 --> 00:04:00,220
+بنثبت أولا أن الـ sequence هذي convergence ونجيب
+
+36
+00:04:00,220 --> 00:04:10,220
+ال limit تبعتها فمثلة
+
+37
+00:04:10,220 --> 00:04:15,500
+زي هذه بنطبق عليها الـ monotone convergence
+
+38
+00:04:15,500 --> 00:04:23,340
+theorem الـ monotone convergence theoremفلازم نثبت
+
+39
+00:04:23,340 --> 00:04:29,560
+حاجتين ان ال sequence هذه convergent لازم نثبت
+
+40
+00:04:29,560 --> 00:04:33,900
+انها convergent لازم نثبت انها monotone يعني
+
+41
+00:04:33,900 --> 00:04:40,100
+increasing او decreasing و bounded فلحظوا
+
+42
+00:04:40,100 --> 00:04:47,270
+انتوا لو بدى احسب اول يعنيالحل .. لحظة x واحد
+
+43
+00:04:47,270 --> 00:04:52,510
+بساوي واحد طب x اتنين .. خد in بساوي واحد بطلع جدر
+
+44
+00:04:52,510 --> 00:05:00,130
+اتنين زائد .. جدر اتنين زائد x واحد اللي هو جدر
+
+45
+00:05:00,130 --> 00:05:10,400
+التلاتة .. x تلاتة بساوي جدر اتنين زائد x اتنينو
+
+46
+00:05:10,400 --> 00:05:16,740
+يساوي جدر اتنين زاد جدر
+
+47
+00:05:16,740 --> 00:05:24,220
+التلاتة وهكذا
+
+48
+00:05:24,220 --> 00:05:29,640
+اللي
+
+49
+00:05:29,640 --> 00:05:38,120
+بعده X أربعة بساوي جدر اتنين زاد X تلاتة
+
+50
+00:05:56,800 --> 00:06:04,520
+و هذا بيساوي جدر اتنين زائد اللي
+
+51
+00:06:04,520 --> 00:06:10,500
+هو جدر التربية ايه الى اتنين زائد جدر التلاتة
+
+52
+00:06:27,010 --> 00:06:33,310
+فال .. الأدد يعني هذا دايما بيكون أقل من او ساو
+
+53
+00:06:33,310 --> 00:06:42,010
+اتنين أقل من او ساو اتنين صح؟ اه و هذا أصغر من او
+
+54
+00:06:42,010 --> 00:06:45,410
+ساو اتنين يعني جدر التلاتة أصغر من اتنين صح؟ أه
+
+55
+00:06:45,410 --> 00:06:50,750
+فهذا أكيد أصغر من او ساو اتنين و هذا
+
+56
+00:06:53,300 --> 00:06:58,180
+أصغر من أو ساوي اتنين وبالتالي هذا أصغر من أو ساوي
+
+57
+00:06:58,180 --> 00:07:06,560
+جدر الأربعة اللي هو أصغر من أو ساوي اتنيناذا و
+
+58
+00:07:06,560 --> 00:07:11,160
+طبعا و كل واحد من هدول اكبر من او يساوي الواحد اذا
+
+59
+00:07:11,160 --> 00:07:18,040
+ممكن احنا نثبت الان by induction claim ان xn اكبر
+
+60
+00:07:18,040 --> 00:07:24,320
+من او يساوي الواحد اصغر من او يساوي اتنين for
+
+61
+00:07:24,320 --> 00:07:30,590
+every n belong to nاه و هذا ممكن تبرهنه by
+
+62
+00:07:30,590 --> 00:07:34,650
+induction زي ما شوفنا في الأمثلة صح؟ طبعا طبعا
+
+63
+00:07:34,650 --> 00:07:43,730
+طبعا طبعا طبعا
+
+64
+00:07:43,730 --> 00:07:43,970
+طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا
+
+65
+00:07:43,970 --> 00:07:44,150
+طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا
+
+66
+00:07:44,150 --> 00:07:44,150
+طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا
+
+67
+00:07:44,150 --> 00:07:48,410
+طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا طبعا
+
+68
+00:07:48,410 --> 00:07:55,130
+طبعا طبعا طبعا طبعا
+
+69
+00:07:55,130 --> 00:07:57,910
+طب
+
+70
+00:08:01,490 --> 00:08:11,110
+الأن من أعلى الاختصارات الموجودة في
+
+71
+00:08:11,110 --> 00:08:17,050
+الوثيقة الاختصار
+
+72
+00:08:17,050 --> 00:08:20,290
+XN مرتبط
+
+73
+00:08:23,380 --> 00:08:27,360
+بعدين بنلاحظ انه قيمة ال sequence بتكبر كل ما اه
+
+74
+00:08:27,360 --> 00:08:34,580
+فممكن اثبات انه claim تاني اذا ال sequence bounded
+
+75
+00:08:34,580 --> 00:08:39,240
+claim x
+
+76
+00:08:39,240 --> 00:08:45,740
+in اصغر
+
+77
+00:08:45,740 --> 00:08:50,460
+منها و ساوي x in زاد واحد for every n
+
+78
+00:08:54,650 --> 00:09:02,290
+IEXN is increasing وهذا ممكن اثباته برضه by
+
+79
+00:09:02,290 --> 00:09:11,410
+induction by induction هنا هنا proof use induction
+
+80
+00:09:11,410 --> 00:09:14,630
+use
+
+81
+00:09:14,630 --> 00:09:20,610
+induction on M فالحالة
+
+82
+00:09:21,890 --> 00:09:30,890
+الحالة n بيساوي واحد انا عندي x واحد بيساوي واحد و
+
+83
+00:09:30,890 --> 00:09:34,810
+x واحد
+
+84
+00:09:34,810 --> 00:09:40,510
+زايد واحد اللي هو x اتنين بيساوي جدر التلاتة جدر
+
+85
+00:09:40,510 --> 00:09:47,810
+التلاتة وهذا بالتأكيد اكبر من واحد اللي هو x واحد
+
+86
+00:09:50,170 --> 00:09:57,350
+إذاً هيطلع عندي X2 أكبر من أو يساوي X1 إذاً
+
+87
+00:09:57,350 --> 00:10:04,170
+العبارة هذه صحيحة عند M بساوي واحد assume
+
+88
+00:10:04,170 --> 00:10:09,970
+induction hypothesis الفرض تبع ال induction assume
+
+89
+00:10:09,970 --> 00:10:13,910
+أنه
+
+90
+00:10:22,570 --> 00:10:24,510
+أصغر من أوي ساوي
+
+91
+00:10:35,580 --> 00:10:40,400
+بنثبت صحة الحق برهد عند n بساوي k زائد واحد اذا ت
+
+92
+00:10:40,400 --> 00:10:46,060
+show xk زائد واحد اصلا لو ساوي xk زائد واحد زائد
+
+93
+00:10:46,060 --> 00:10:55,700
+واحد عن x زائد اتنين we have لدينا لاحظوا
+
+94
+00:10:55,700 --> 00:11:01,180
+xk زائد اتنين من ال definition من ال definition
+
+95
+00:11:01,180 --> 00:11:03,360
+تبع ال sequence
+
+96
+00:11:06,860 --> 00:11:12,440
+من ال inductive formula أو ال recursive formula xk
+
+97
+00:11:12,440 --> 00:11:19,840
+زاد اتنين بسوى جذر التربيعى لاتنين زاد اكس k زاد
+
+98
+00:11:19,840 --> 00:11:28,000
+واحد صح و by induction hypothesis من الفرض تبع ال
+
+99
+00:11:28,000 --> 00:11:35,020
+induction هذا بسوى جذر اتنينو XK زياد واحد هذا
+
+100
+00:11:35,020 --> 00:11:44,080
+ايه؟ هيطلع اصغر من XK زياد واحد اكبر من او ساوي XK
+
+101
+00:11:44,080 --> 00:11:50,380
+انا XK انا نحط شريط اكبر XK زياد اتنين
+
+102
+00:11:55,180 --> 00:12:03,320
+فهذا أكبر من أو ساوي X .. هبدل XK زيادة واحد بأكبر
+
+103
+00:12:03,320 --> 00:12:07,660
+من أو ساوي XK من ال induction hypothesis من الفرب
+
+104
+00:12:07,660 --> 00:12:12,150
+تبع ال inductionوهذا بالـ definition باستخدام الـ
+
+105
+00:12:12,150 --> 00:12:18,310
+definition تبع الـ sequence الجذر هذا بساوي xk زي
+
+106
+00:12:18,310 --> 00:12:24,190
+واحدة إذا هين أثبتنا إن x sub k plus two bigger
+
+107
+00:12:24,190 --> 00:12:30,710
+than or equal to x sub k plus one إذاً this
+
+108
+00:12:30,710 --> 00:12:37,250
+completes this
+
+109
+00:12:37,250 --> 00:12:38,610
+completes the induction
+
+110
+00:12:43,320 --> 00:12:48,000
+وبالتالي إذا هيك بنكون أثبتنا ال claim بتاعي إن
+
+111
+00:12:48,000 --> 00:12:51,780
+أنا في عندي two claims أول شي sequence bounded
+
+112
+00:12:51,780 --> 00:12:57,200
+والتاني بيقول إن ال sequence increasing وبالتالي
+
+113
+00:12:57,200 --> 00:13:05,200
+therefore إذا
+
+114
+00:13:05,200 --> 00:13:09,580
+لو سمينا هذا claim one وهذا claim two
+
+115
+00:13:17,790 --> 00:13:27,210
+فإذا now it claims
+
+116
+00:13:27,210 --> 00:13:32,930
+one and two and الـ monotone convergence theorem
+
+117
+00:13:32,930 --> 00:13:41,530
+بيقدّوا إن sequence x in convergence say
+
+118
+00:13:41,530 --> 00:13:52,080
+دعنا نسمي ال limit تبعتهاlimit x in بساوي x طبعا
+
+119
+00:13:52,080 --> 00:13:56,820
+هذا بيطلع عدد حقيقي الان
+
+120
+00:13:56,820 --> 00:14:07,420
+بنوجد قيمة limit x هذه فبنرجع to find to find x
+
+121
+00:14:07,420 --> 00:14:12,880
+لإيجاد قيمة ال x بناخد
+
+122
+00:14:12,880 --> 00:14:21,340
+ال limittake limit of
+
+123
+00:14:21,340 --> 00:14:28,220
+both sides of
+
+124
+00:14:35,540 --> 00:14:41,820
+بناخد ال limit لطرفين of both sides of المعادلة xn
+
+125
+00:14:41,820 --> 00:14:50,280
+زي الواحد بساوي square root ل two plus xn to
+
+126
+00:14:50,280 --> 00:14:50,800
+get
+
+127
+00:14:53,550 --> 00:14:59,490
+limit xn plus one as n tends to infinity بساوي
+
+128
+00:14:59,490 --> 00:15:02,890
+limit الجدر التربيعي ممكن تدخل ال limit تحت الجدر
+
+129
+00:15:02,890 --> 00:15:08,210
+التربيعي وباستخدام قوانين النهايات limit الاتنين
+
+130
+00:15:08,210 --> 00:15:13,810
+بيطلع اتنين زي limit xn as n tends to infinity طيب
+
+131
+00:15:13,810 --> 00:15:19,170
+انا عندى limit xn زي واحد بساوي x
+
+132
+00:15:26,140 --> 00:15:36,560
+هذه المعادلة بيصير
+
+133
+00:15:36,560 --> 00:15:41,100
+x تربية negative xنجاتف اتنين نجاتف اتنين نجاتف
+
+134
+00:15:41,100 --> 00:15:45,160
+اتنين نجاتف اتنين نجاتف اتنين نجاتف اتنين نجاتف
+
+135
+00:15:45,160 --> 00:15:58,780
+اتنين نجاتف اتنين نجاتف اتنين نجاتف اتنين
+
+136
+00:16:01,690 --> 00:16:08,750
+الـ xn أكبر من أو ساوي واحد أصغر من أو ساوي اتنين
+
+137
+00:16:08,750 --> 00:16:18,250
+لكل n هذا من claim one بيقدي ان ال limit حسب
+
+138
+00:16:18,250 --> 00:16:25,270
+نظرية سابقة هذا بيقدي ان ال limit ل xn أصغر من أو
+
+139
+00:16:25,270 --> 00:16:31,750
+ساوي اتنين أكبر من أو ساوي الواحدو طبعا ال limit
+
+140
+00:16:31,750 --> 00:16:37,110
+قلنا ل xn بساوي x إذا واحد أصغر من او ساوي x أصغر
+
+141
+00:16:37,110 --> 00:16:42,190
+من او ساوي اتنين طب أنا عندي خيارين إما x بساوي
+
+142
+00:16:42,190 --> 00:16:49,450
+اتنين أو x بساوي سالب واحد مش ممكن ال x محصورة بين
+
+143
+00:16:49,450 --> 00:16:54,090
+واحد و اتنين إذا هذه الإجابة غير مقبولة وبالتالي
+
+144
+00:16:54,090 --> 00:16:59,710
+ال x بساوي اتنينو هيك بنكون أثبتنا إن ال sequence
+
+145
+00:16:59,710 --> 00:17:03,650
+is convergent و هي وجدنا ال limit تبعتها بالمثل
+
+146
+00:17:03,650 --> 00:17:09,130
+ممكن نحل باقي الأسئلة زي مثلا سؤال واحد و اتنين و
+
+147
+00:17:09,130 --> 00:17:16,190
+تلاتة و خمسة و ستة و سابعة okay
+
+148
+00:17:16,190 --> 00:17:24,550
+تمام في أي أسئلة تانية في هذا section السؤال تسعة
+
+149
+00:17:37,220 --> 00:18:05,540
+سؤال تسعة هاي
+
+150
+00:18:05,540 --> 00:18:13,770
+السؤال تسعةالسيقشن تلاتة تلاتة السؤال هذا بيقول
+
+151
+00:18:13,770 --> 00:18:22,970
+let a be infinite infinite
+
+152
+00:18:22,970 --> 00:18:32,090
+subset of R و ال set هذه bounded
+
+153
+00:18:34,790 --> 00:18:42,530
+أو bounded above محدودة
+
+154
+00:18:42,530 --> 00:18:50,170
+من أعلى and
+
+155
+00:18:50,170 --> 00:18:53,610
+let ال U
+
+156
+00:18:56,560 --> 00:19:00,740
+بساوي ال supremum لل set A طبعا ال set A bounded
+
+157
+00:19:00,740 --> 00:19:07,480
+above وبالتالي by ال supremum property ال supremum
+
+158
+00:19:07,480 --> 00:19:14,240
+تبعها exist دعنا نسميه U المطلوب
+
+159
+00:19:14,240 --> 00:19:22,340
+show that show
+
+160
+00:19:22,340 --> 00:19:29,900
+there existيوجد an increasing ..an increasing
+
+161
+00:19:29,900 --> 00:19:33,180
+subsequence
+
+162
+00:19:33,180 --> 00:19:40,120
+او sequence there exists an increasing sequence xn
+
+163
+00:19:40,120 --> 00:19:51,480
+contained in A such that ال limit لسيكوينس xn
+
+164
+00:19:51,480 --> 00:19:52,880
+بساوي U
+
+165
+00:20:03,070 --> 00:20:08,150
+I prove من
+
+166
+00:20:08,150 --> 00:20:12,630
+خواص ال supremum
+
+167
+00:20:12,630 --> 00:20:19,850
+احنا
+
+168
+00:20:19,850 --> 00:20:27,650
+فيها انا كان لمبة دخلناها قبل هيك وهذه المبة بتقول
+
+169
+00:20:27,650 --> 00:20:28,230
+انه
+
+170
+00:20:42,440 --> 00:20:51,320
+لما أخدناها في أول chapter بتقول أنه .. أفندم؟
+
+171
+00:20:51,320 --> 00:21:05,800
+بنقول an upper bound an upper bound U of الست A is
+
+172
+00:21:05,800 --> 00:21:09,540
+the supremum
+
+173
+00:21:11,820 --> 00:21:21,120
+the supremum of a, if and only if لكل
+
+174
+00:21:21,120 --> 00:21:29,260
+إبسلون أكبر من السفر يوجد x إبسلون ينتمي إلى a
+
+175
+00:21:29,260 --> 00:21:33,680
+بحيث أنه بحيث
+
+176
+00:21:33,680 --> 00:21:37,920
+أنه u سالب إبسلون أصغر من x إبسلون
+
+177
+00:21:40,930 --> 00:21:46,950
+نظبط صح؟ منطبقها لإن أنا عندي هاي U بساوي ال
+
+178
+00:21:46,950 --> 00:21:52,670
+supremum ل A إذا لو أخدت for epsilon بساوي واحد
+
+179
+00:21:52,670 --> 00:22:04,190
+أكبر من السفر يوجد X واحد ينتمي إلى A such that U
+
+180
+00:22:04,190 --> 00:22:17,500
+سالب واحد أصغر منx واحد next
+
+181
+00:22:17,500 --> 00:22:21,240
+for
+
+182
+00:22:21,240 --> 00:22:27,360
+for
+
+183
+00:22:27,360 --> 00:22:33,400
+epsilon بساوي نص لو
+
+184
+00:22:33,400 --> 00:22:37,200
+أخدت ال epsilon هذه بساوي نص ف choose
+
+185
+00:22:40,760 --> 00:22:51,040
+choose by above لمّا X2
+
+186
+00:22:51,040 --> 00:23:01,180
+تنتمي إلى A وممكن نختار X2 أكبر من أو يساوي X1
+
+187
+00:23:01,180 --> 00:23:08,580
+الأولى هي such that U سالد نص الإبسلون أصغر من X2
+
+188
+00:23:19,440 --> 00:23:29,340
+بعدين now for إبسلون بساوي واحد على تلاتة أكبر من
+
+189
+00:23:29,340 --> 00:23:34,220
+سفر it choose إذا في اللمّة هذه خدوا إبسلون بساوي
+
+190
+00:23:34,220 --> 00:23:39,520
+تلت it choose X تلاتة ينتمي إلى A
+
+191
+00:23:42,410 --> 00:23:48,590
+بحيث انه X تلاتة هذا ممكن اختاره اكبر من او ساوي X
+
+192
+00:23:48,590 --> 00:24:03,090
+اتنين and U اللي هو U سالب تلت اصغر من X تلاتة صح؟
+
+193
+00:24:03,090 --> 00:24:14,810
+continuing in this processلو استمرنا بالعملية الـ
+
+194
+00:24:14,810 --> 00:24:27,910
+continuing in this process we
+
+195
+00:24:27,910 --> 00:24:35,230
+get by induction عملية
+
+196
+00:24:35,230 --> 00:24:36,790
+استقرائية that
+
+197
+00:24:46,820 --> 00:24:52,740
+for epsilon بساوي واحد على ك أكبر من السفر
+
+198
+00:24:56,070 --> 00:25:04,030
+there exists xk أكبر من او ساوي xk زايد واحد such
+
+199
+00:25:04,030 --> 00:25:14,950
+that absolute u سالب واحد على k أصغر من xk وهذا
+
+200
+00:25:14,950 --> 00:25:23,530
+صحيح for every k ينتمي إلى n تمام؟
+
+201
+00:25:32,820 --> 00:25:40,120
+طيب أنا عندي ..
+
+202
+00:25:40,120 --> 00:25:50,560
+خلّيني أمسح اللمّة هذه طيب
+
+203
+00:25:50,560 --> 00:25:56,700
+إذا أنا عندي U نيجاتيب واحد على K طلع أصغر من XK
+
+204
+00:26:00,780 --> 00:26:08,580
+و ال XK هذه أصغر من أو ساوي ال U لأن ال U هو ال
+
+205
+00:26:08,580 --> 00:26:16,240
+supremum ل A و XK عنصر في A و ال U upper bound لل
+
+206
+00:26:16,240 --> 00:26:22,840
+6A ف .. و XK عنصر في A إذا ال XK لازم يكون أصغر من
+
+207
+00:26:22,840 --> 00:26:31,010
+أو ساوي ال U و ال U أصغر من أو ساوي أو أصغر منu
+
+208
+00:26:31,010 --> 00:26:35,790
+زائد واحد على k الكلام هذا صحيح for all k belong
+
+209
+00:26:35,790 --> 00:26:44,830
+to n مظبوط صحيح so احنا اثبتنا هيك ان يوجد
+
+210
+00:26:44,830 --> 00:26:51,810
+sequence يوجد increasing sequence
+
+211
+00:26:51,810 --> 00:27:01,940
+x in او xkمهم XK contained in A such that absolute
+
+212
+00:27:01,940 --> 00:27:10,820
+XK minus U أصغر من واحد على K for all K تنتمي إلى
+
+213
+00:27:10,820 --> 00:27:19,920
+N طيب
+
+214
+00:27:19,920 --> 00:27:23,400
+ما هذا عبارة عن واحد على K في واحد
+
+215
+00:27:26,730 --> 00:27:32,150
+هذا أصغر من أو ساوي واحد في واحد على K لكل K ينتمي
+
+216
+00:27:32,150 --> 00:27:42,410
+ل N اذا hence by previous theorem اللي هي نظرية
+
+217
+00:27:42,410 --> 00:27:47,410
+فاكرينها اتنين اربعة في ال notes نظرية اتنين اربعة
+
+218
+00:27:47,410 --> 00:27:48,810
+في ال notes تبعتنا
+
+219
+00:27:54,490 --> 00:28:02,870
+with c بساوي واحد اكبر من سفر and a n او a k a k
+
+220
+00:28:02,870 --> 00:28:12,410
+بساوي واحد على k tends to zero we get تديني
+
+221
+00:28:22,310 --> 00:28:27,970
+نحصل على ان ال limit ل xk as k tends to infinity
+
+222
+00:28:27,970 --> 00:28:35,470
+بساوي ال U وهذا هو المطلوب مام؟ واضح؟ لأن هذا هو
+
+223
+00:28:35,470 --> 00:28:40,490
+البرهان واضح البرهان؟ في أي استفسار؟ في أي شيء مش
+
+224
+00:28:40,490 --> 00:28:49,730
+واضح؟ طيب ماشي الحال خلينا نشوف هاي سؤال تلاتة
+
+225
+00:29:01,490 --> 00:29:09,710
+سؤال اتنين section تلاتة تلاتة فهنا عندي x واحد
+
+226
+00:29:09,710 --> 00:29:17,070
+انا عندي x واحد عدد اكبر من واحد و x n plus one
+
+227
+00:29:17,070 --> 00:29:22,290
+بيساوي بنعرفه
+
+228
+00:29:22,290 --> 00:29:33,410
+على انه اتنين سالب واحد على x n لكل nعدد طبيعي
+
+229
+00:29:33,410 --> 00:29:45,270
+show اثبتي ان ال sequence x in is
+
+230
+00:29:45,270 --> 00:29:50,150
+bounded and
+
+231
+00:29:50,150 --> 00:29:56,810
+monotone يعني اما increasing او
+
+232
+00:29:56,810 --> 00:29:57,330
+decreasing
+
+233
+00:30:01,980 --> 00:30:09,140
+بعدين find ال limit find its
+
+234
+00:30:09,140 --> 00:30:17,980
+limit إذا إزاي نعملها في سؤال السؤال
+
+235
+00:30:17,980 --> 00:30:24,220
+الرابع إزاي السؤال الرابع okay هنا
+
+236
+00:30:24,220 --> 00:30:25,980
+في بس يعني ال trick
+
+237
+00:30:32,350 --> 00:30:37,550
+لو كتبنا اول تلت اربع خمس حدود نقدر نشوف وين يعني
+
+238
+00:30:37,550 --> 00:30:41,870
+ال sequence محصورة بين اي اعداد ايه هو ال upper
+
+239
+00:30:41,870 --> 00:30:46,950
+bound و ال lower bound لل sequence فمثلا لو بدي
+
+240
+00:30:46,950 --> 00:30:52,390
+احسب الحد رقم اي حد واحد اكبر من واحد طب الحد
+
+241
+00:30:52,390 --> 00:31:00,470
+التاني بساوي اتنين سالب واحد على اكس واحدلأن انا
+
+242
+00:31:00,470 --> 00:31:06,090
+عندى هنا باخد n بالساعة واحد تعطين x اتنين طب انا
+
+243
+00:31:06,090 --> 00:31:12,210
+عندى x واحد اكبر من واحد هذا بيقدى انه مخلوق x
+
+244
+00:31:12,210 --> 00:31:25,390
+واحد اصغر من واحد وبالتالي
+
+245
+00:31:33,910 --> 00:31:44,010
+إذا و هذا طبعا عدد موجب أكيد و أصغر من واحد إذا
+
+246
+00:31:44,010 --> 00:31:48,590
+أنا بطرح .. بطرح من ال .. من ال .. من الاتنين عدد
+
+247
+00:31:48,590 --> 00:31:54,730
+موجب و أصغر من واحد فهذا هيكون يعني أكيد أكبر من
+
+248
+00:31:54,730 --> 00:32:01,540
+واحد أه لأ هذا بدي يكون أصغر من اتنينهذا بالتأكيد
+
+249
+00:32:01,540 --> 00:32:05,980
+أصغر من اتنين لأن هذا عدد موجب هذا عدد موجب في
+
+250
+00:32:05,980 --> 00:32:09,480
+النهاية بغض النظر أكبر من واحد ولا أصغر من واحد
+
+251
+00:32:09,480 --> 00:32:15,440
+لما أطرح أنا عدد موجب من عدد العدد بصغر صح فإذا x
+
+252
+00:32:15,440 --> 00:32:23,900
+اتنين أصغر من اتنين طب و x تلاتة بساوة اتنين سالب
+
+253
+00:32:23,900 --> 00:32:25,540
+واحد على x اتنين
+
+254
+00:32:30,440 --> 00:32:35,840
+برضه هذا عدد موجب فهيكون هذا اصغر من ايه من اتنين
+
+255
+00:32:35,840 --> 00:32:44,960
+و هكذا اذا و طبعا x واحد وهذا
+
+256
+00:32:44,960 --> 00:32:51,740
+العدد اصغر من واحدفهذا اكيد هيطلع اكبر من الواحد
+
+257
+00:32:51,740 --> 00:32:56,460
+اذا هذا هيكون اكبر من واحد و هذا اكبر من واحد اذا
+
+258
+00:32:56,460 --> 00:33:00,880
+واضح ان حدود ال sequence ه��كون محصورة بين واحد و
+
+259
+00:33:00,880 --> 00:33:09,880
+اتنين اذا بقدر انا اعمل ادعي بقدر ادعي اقول claim
+
+260
+00:33:09,880 --> 00:33:13,720
+واحد
+
+261
+00:33:13,720 --> 00:33:16,200
+ان ال ..
+
+262
+00:33:21,340 --> 00:33:26,800
+إن Xn أكبر من أو ساوى الواحد أصغر من أو ساوى اتنين
+
+263
+00:33:26,800 --> 00:33:31,840
+لكل N طبعا
+
+264
+00:33:31,840 --> 00:33:41,140
+هذا يعني ممكن برهانه by induction طيب
+
+265
+00:33:41,140 --> 00:33:46,280
+ال .. إذا هنا prove it
+
+266
+00:33:49,440 --> 00:34:00,540
+prove it by induction الكلام
+
+267
+00:34:00,540 --> 00:34:05,860
+التاني ان
+
+268
+00:34:05,860 --> 00:34:14,020
+ال sequence تبعتي بتطلع decreasing x
+
+269
+00:34:14,020 --> 00:34:15,820
+in is decreasing
+
+270
+00:34:21,770 --> 00:34:27,350
+يعني xn أكبر من أو ساوي xn زايد one for every n
+
+271
+00:34:27,350 --> 00:34:33,590
+belonging to n to
+
+272
+00:34:33,590 --> 00:34:41,110
+see this لبرهان ذلك to see this لبرهان ذلك note
+
+273
+00:34:41,110 --> 00:34:47,550
+that note
+
+274
+00:34:47,550 --> 00:34:48,130
+first
+
+275
+00:34:51,100 --> 00:35:05,320
+لاحظى اولا انه x n minus واحد لكل تربية لو اخدت حد
+
+276
+00:35:05,320 --> 00:35:11,120
+رقم n واطرحت منه واحد وربعته هذا مربع كامل فهذا
+
+277
+00:35:11,120 --> 00:35:17,560
+اكيد اكبر من أو يساوي سفر اى مربع كامل اى مربع
+
+278
+00:35:17,560 --> 00:35:23,290
+كامل لأى عدد حقيقي بيطلع غير سالمطبعا هذا لما
+
+279
+00:35:23,290 --> 00:35:30,610
+نربّه بيطلع x x n squared minus اتنين x n plus one
+
+280
+00:35:30,610 --> 00:35:40,470
+وهذا المجموع من
+
+281
+00:35:40,470 --> 00:35:44,690
+المتباينة هذه بنستنتج هذا بيقدّي
+
+282
+00:35:55,680 --> 00:36:10,260
+هذا بيقدي انه اتنين X N زائد واحد او
+
+283
+00:36:10,260 --> 00:36:18,840
+هذا بيقدي انه XXn تربية أكبر من أو ساوي هاي Xn
+
+284
+00:36:18,840 --> 00:36:24,340
+تربية ودي هذا عن ناحية التانية لاحظي هذا كله أكبر
+
+285
+00:36:24,340 --> 00:36:27,820
+من أو ساوي سبر فودي هذا عن ناحية التانية بطلع Xn
+
+286
+00:36:27,820 --> 00:36:33,720
+تربية أكبر من أو ساوي اتنين Xn سالب واحد وهذا
+
+287
+00:36:33,720 --> 00:36:40,660
+الكلام صحيح لكل N وهذا
+
+288
+00:36:40,660 --> 00:36:55,140
+بقدربدوره انه xn xn
+
+289
+00:36:55,140 --> 00:37:06,760
+أكبر من أو يساوي اتنين negative واحد
+
+290
+00:37:06,760 --> 00:37:07,820
+على xn
+
+291
+00:37:18,300 --> 00:37:23,720
+إذا أنا جسمي إضرب في واحد على xn ال xn هنا عدد ال
+
+292
+00:37:23,720 --> 00:37:30,200
+.. ال xn موجة بقى ال xn كلها عداد موجة بقى لاحظي
+
+293
+00:37:30,200 --> 00:37:40,640
+انت هنا .. ان احنا ضربنا في xnعدد موجب او لأ جسمنا
+
+294
+00:37:40,640 --> 00:37:48,360
+او ضربنا في واحد على اكس ان هذا عدد موجب فبطلع
+
+295
+00:37:48,360 --> 00:37:52,100
+عندي اكس ان و شريط المتبانى طبق زي ما هي و اتنين
+
+296
+00:37:52,100 --> 00:37:56,500
+سالب واحد على اكس ان الان هذا by definition of the
+
+297
+00:37:56,500 --> 00:38:00,860
+sequenceمن ال recursive formula هي ال recursive
+
+298
+00:38:00,860 --> 00:38:04,720
+formula او ال inductive formula بتقول ان هذا الفرق
+
+299
+00:38:04,720 --> 00:38:09,900
+بتطلع xn زاد واحد اذا الكلام هذا صحيح لكل n
+
+300
+00:38:09,900 --> 00:38:15,900
+وبالتالي اذا هيطلع اندي xn اكبر من أو ساوي xn زاد
+
+301
+00:38:15,900 --> 00:38:24,140
+واحد لكل n اذا ال sequence xn is decreasing متنقصة
+
+302
+00:38:26,080 --> 00:38:35,420
+الان من ال claims واحد و اتنين تطلع now x
+
+303
+00:38:35,420 --> 00:38:40,700
+in is
+
+304
+00:38:40,700 --> 00:38:44,460
+decreasing and bounded
+
+305
+00:38:48,230 --> 00:38:52,870
+حسب claim واحد و claim اتنين so by monotone
+
+306
+00:38:52,870 --> 00:39:03,610
+convergence theorem xn converges say limit xn
+
+307
+00:39:03,610 --> 00:39:10,670
+بالساوي x for some x ينتمي الى R الان بنجيب قيمة
+
+308
+00:39:10,670 --> 00:39:22,760
+ال limit اللي هي ال Xفنرجع لل inductive formula to
+
+309
+00:39:22,760 --> 00:39:34,360
+find x we have من ال inductive formula أنا عندي ال
+
+310
+00:39:34,360 --> 00:39:44,140
+limit ل x n plus one equals two بالساوية اتنين
+
+311
+00:39:44,140 --> 00:39:50,820
+minusواحد على limit xm هذا لما اخد ال limit
+
+312
+00:39:50,820 --> 00:39:57,140
+للطرفين في ال inductive formula طب هذا طرف الشمال
+
+313
+00:39:57,140 --> 00:40:03,530
+بساوي x و الطرف اليمين واحد على xالان حل المعادلة
+
+314
+00:40:03,530 --> 00:40:08,510
+هاد في X اضرب في X بطلع عندي X تربيع سالب اتنين X
+
+315
+00:40:08,510 --> 00:40:14,770
+موجة بواحد بساوي سفر وانت بتحلل الى X موجة باتنين
+
+316
+00:40:14,770 --> 00:40:25,550
+X سالب واحد الكل تربيع بساوي سفر فبطلع X بساوي
+
+317
+00:40:25,550 --> 00:40:31,630
+واحدو هذا صحيح لأن ال x in لحظوا في claim واحد x
+
+318
+00:40:31,630 --> 00:40:35,150
+in معصورة بين واحد و اتنين اذا ال limit تبقى بتطلع
+
+319
+00:40:35,150 --> 00:40:40,530
+معصورة بين واحد و اتنين فالجواب واحد مقبول اذا هذا
+
+320
+00:40:40,530 --> 00:40:49,890
+هو هاي ال limit طلعت بتساوي واحد تمام في
+
+321
+00:40:49,890 --> 00:40:51,010
+اي أسئلة تانية
+
+322
+00:41:02,130 --> 00:41:06,830
+في معناه وجهة انحال كمان سؤال اذا بتحبه سيكشن
+
+323
+00:41:06,830 --> 00:41:08,210
+البعده تلاتة اربعة
+
+324
+00:41:26,730 --> 00:41:33,870
+سيكشن تلاتة اربعة فش ولا سؤال عندكم
+
+325
+00:41:33,870 --> 00:41:44,030
+فحللكم
+
+326
+00:41:44,030 --> 00:41:49,390
+سؤال يحداش لانه واضح ان انتوا مش دارسين فنحل
+
+327
+00:41:49,390 --> 00:41:52,370
+السؤال هيك انا هحلكم يعني من هندي
+
+328
+00:41:57,800 --> 00:42:07,280
+إذن سؤال 11 سيكشن تلاتة أربعة suppose
+
+329
+00:42:07,280 --> 00:42:10,860
+افترضي
+
+330
+00:42:10,860 --> 00:42:19,320
+ان xn أكبر من أو ساوي سفر for every natural number
+
+331
+00:42:19,320 --> 00:42:30,510
+n and ال limit لل sequenceسارق one to n في xn
+
+332
+00:42:30,510 --> 00:42:34,150
+exists
+
+333
+00:42:34,150 --> 00:42:39,110
+show
+
+334
+00:42:39,110 --> 00:42:48,490
+برهنة انه ال sequence xn convergence
+
+335
+00:43:42,520 --> 00:43:51,900
+Okay خلّينا نشوف ال .. طيب احنا نشوف solution
+
+336
+00:43:55,820 --> 00:44:00,460
+say احنا فرضين ان ال limit لل sequence هذه exist
+
+337
+00:44:00,460 --> 00:44:07,520
+فافترضي ان ال limit لل sequence سالب واحد as n في
+
+338
+00:44:07,520 --> 00:44:14,720
+xn as n tends to infinity ال limit لل sequence هذه
+
+339
+00:44:14,720 --> 00:44:19,620
+بيساوي x for some x ينتمي ال R
+
+340
+00:44:27,140 --> 00:44:39,900
+الان then the subsequences ال subsequences اللي هي
+
+341
+00:44:39,900 --> 00:44:49,780
+لو سالب
+
+342
+00:44:49,780 --> 00:44:57,030
+واحد قصة اتنين in في x اتنين inهذه الـ Converge لـ
+
+343
+00:44:57,030 --> 00:45:02,030
+X هذه الـ subsequence من السيكوانس هذه بس حدودها
+
+344
+00:45:02,030 --> 00:45:09,210
+الزوجية and كمان ال subsequence اللي حدودها
+
+345
+00:45:09,210 --> 00:45:10,050
+الفردية
+
+346
+00:45:18,430 --> 00:45:22,850
+برضه converge ل X لأن في عندي نظرية بتقول إذا كانت
+
+347
+00:45:22,850 --> 00:45:27,070
+ال sequence convergent ل X فأي subsequence منها
+
+348
+00:45:27,070 --> 00:45:31,270
+بتكون convergent لنفس ال X هذه subsequence من ال
+
+349
+00:45:31,270 --> 00:45:37,890
+sequence هذه أخدت الحدود الزوجية وهذه subsequence
+
+350
+00:45:37,890 --> 00:45:41,470
+من ال sequence هذه اللي هي مدة تالية الحدود
+
+351
+00:45:41,470 --> 00:45:49,920
+الفردية طيب من هنالاحظوا سالب واحد الأس تبعها زوجي
+
+352
+00:45:49,920 --> 00:45:54,820
+تطلع واحد وبالتالي ال sequence هذه هي نفس ال
+
+353
+00:45:54,820 --> 00:46:04,500
+sequence اتنين in عفوا x اتنين in و سالب واحد لما
+
+354
+00:46:04,500 --> 00:46:08,220
+يكون الأس تبعها فارد تطلع سالب واحد إذا هذه سالب
+
+355
+00:46:08,220 --> 00:46:14,040
+يعني سالب ال sequence x اتنين in سالب واحد
+
+356
+00:46:16,730 --> 00:46:35,630
+تمام؟ طيب أنا عندي من الفرض by
+
+357
+00:46:35,630 --> 00:46:40,990
+hypothesis من الفرض أنا عندي xn أكبر من أو ساوى
+
+358
+00:46:40,990 --> 00:46:54,340
+سفر لكل n في n فهذا بيدّيإنه X2N و أيضا X2N-1 أكبر
+
+359
+00:46:54,340 --> 00:47:01,940
+من أو يساوي سفر لكل N في ال natural numbers وهذا
+
+360
+00:47:01,940 --> 00:47:11,040
+بيقدي بدوره إلى إنه ال X اللي هي من هنا X بيساوي
+
+361
+00:47:11,040 --> 00:47:14,500
+ليه بيساوي limit X2N
+
+362
+00:47:16,870 --> 00:47:22,690
+هي عندي هذا
+
+363
+00:47:22,690 --> 00:47:32,230
+هو هذا من هان بطلع عندي limit x2n بساوي x و من هان
+
+364
+00:47:32,230 --> 00:47:41,810
+بطلع عندي limit سالب x2n سالب واحد بساوي x او
+
+365
+00:47:45,510 --> 00:47:48,610
+السالب واحد بيطلع برا ال limit فبطلع عندي limit
+
+366
+00:47:48,610 --> 00:47:56,770
+x2n سالب واحد بساوي سالب x مظبوط؟
+
+367
+00:47:56,770 --> 00:48:02,170
+إذا هاي عندي أنا limit x2n سالب واحد هذا بيطلع
+
+368
+00:48:02,170 --> 00:48:10,450
+بساوي سالب x أو لأ في الأول ال x بساوي limit x2n
+
+369
+00:48:10,450 --> 00:48:15,280
+وهذا بيطلع أكبر من أو ساوي سفرلأن أنا عندي x2n
+
+370
+00:48:15,280 --> 00:48:19,900
+أكبر من أوسعها 0 لكل n فلما تكون ال sequence
+
+371
+00:48:19,900 --> 00:48:23,800
+حدودها غير سالبة فال limit تبعتها إذا كانت
+
+372
+00:48:23,800 --> 00:48:27,660
+convergent ال limit تبعتها تطلع غير سالبة و كذلك
+
+373
+00:48:27,660 --> 00:48:36,980
+سالب x اللي هي بتساوي limit x2n سالب واحد برضه أنا
+
+374
+00:48:36,980 --> 00:48:42,850
+عندي x2n سالب واحد كلهمأعداد غير سالبة و ال
+
+375
+00:48:42,850 --> 00:48:46,550
+sequence هذه convergent إذا ال limit تبعتها بتطلع
+
+376
+00:48:46,550 --> 00:48:50,450
+غير سالبة إذا
+
+377
+00:48:50,450 --> 00:48:55,950
+أنا من هنا بطلع عندي حاجتين x أكبر من أو ساوى سفر
+
+378
+00:48:55,950 --> 00:49:04,280
+and negative x and negative x أكبر منأو ساوي سفر
+
+379
+00:49:04,280 --> 00:49:10,060
+هذا بيؤدي ان x أكبر من أو ساوي سفر and اضرب في
+
+380
+00:49:10,060 --> 00:49:15,520
+سالب واحد بيطلع x أصغر من أو ساوي سفر الان انا في
+
+381
+00:49:15,520 --> 00:49:19,740
+عندي عدد حقيقي أكبر من أو ساوي سفر and أصغر من أو
+
+382
+00:49:19,740 --> 00:49:30,300
+ساوي سفر بيؤدي ان x بيساوي سفر تمام اذا طلع عندي
+
+383
+00:49:30,300 --> 00:49:31,020
+هنا ال
+
+384
+00:49:34,250 --> 00:49:40,070
+الـ limit هذه x بالساوية سفر الآن
+
+385
+00:49:40,070 --> 00:49:51,850
+تعالوا نثبت now given إمسلن أكبر من السفر it
+
+386
+00:49:51,850 --> 00:49:59,030
+choose how they exist capital
+
+387
+00:49:59,030 --> 00:50:01,550
+N عدد طبيعي
+
+388
+00:50:04,240 --> 00:50:11,660
+بحيث انه لكل n أكبر من أو ساوي capital N هذا بيقدي
+
+389
+00:50:11,660 --> 00:50:23,140
+ان absolute xn-0 بساوي absolute سالب واحد أُس n في
+
+390
+00:50:23,140 --> 00:50:30,960
+xn-0 لأن
+
+391
+00:50:30,960 --> 00:50:33,340
+هنا المفروض اكتب هنا since
+
+392
+00:50:36,490 --> 00:50:44,610
+مش احنا فرضين انه ال since limit سالب واحد قص ان
+
+393
+00:50:44,610 --> 00:50:54,750
+في x in بساوي x بتساوي سفر احنا
+
+394
+00:50:54,750 --> 00:50:58,910
+من الفرض انا عندي ان ال limit هذه موجودة تمام
+
+395
+00:50:58,910 --> 00:51:04,270
+وفرضناها x و اثبتنا ان ال limit تبعتها طلعت x
+
+396
+00:51:04,270 --> 00:51:10,220
+بساوي سفرالان بما انه limit ال sequence هذه بساوي
+
+397
+00:51:10,220 --> 00:51:14,220
+سفر، اذا من تعريف ال limit for any given epsilon
+
+398
+00:51:14,220 --> 00:51:18,540
+يوجد capital N يعتمد على epsilon بحيث لكل N أكبر
+
+399
+00:51:18,540 --> 00:51:22,960
+من أو ساوي capital N بطلع المسافة بين الحد العام
+
+400
+00:51:22,960 --> 00:51:30,200
+وال limit x اللي هي سفر أصغر من epsilonفهيك أنا
+
+401
+00:51:30,200 --> 00:51:36,540
+بطلع عندي absolute xn minus صفر أصغر من إبسلون إذا
+
+402
+00:51:36,540 --> 00:51:40,120
+هان أثبتت أنه لأي إبسلون أكبر من الصفر يوجد
+
+403
+00:51:40,120 --> 00:51:44,100
+capital N يعتمد على إبسلون بحيث لكل N أكبر منه
+
+404
+00:51:44,100 --> 00:51:48,140
+ساوي capital N المسافة بين xn وصفر أصغر من إبسلون
+
+405
+00:51:48,140 --> 00:51:53,040
+فهذا بيقدي أنه هذا معناه حسب تعريف epsilon capital
+
+406
+00:51:53,040 --> 00:51:58,260
+N أنه ال limit لل sequence xn موجودة و بالساوية
+
+407
+00:51:58,260 --> 00:52:01,890
+صفروبالتالي هيك أثبتنا أن ال sequence x in
+
+408
+00:52:01,890 --> 00:52:06,390
+convergence ومش هيك و بس و نهايتها كمان بالساوى
+
+409
+00:52:06,390 --> 00:52:15,170
+سفر okay تمام إذا هذا حل السؤال 11 و نكتفي بهذا
+
+410
+00:52:15,170 --> 00:52:21,690
+القدر من الحل المسائل و نكمل ان شاء الله حل
+
+411
+00:52:21,690 --> 00:52:26,290
+المسائل في المناقشة القادمة يوم السبت الجاي أو يوم
+
+412
+00:52:26,290 --> 00:52:32,830
+الأربع مع الشعبات تانيةفنوقف هنا ونواصل ان شاء
+
+413
+00:52:32,830 --> 00:52:40,790
+الله يوم السبت الجاي تكمل المناخشة السكاشن اللي هي
+
+414
+00:52:40,790 --> 00:52:43,550
+تلاتة أربعة و تلاتة خمسة و تلاتة ستة
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/db6AFymIrl8_raw.srt

@@ -0,0 +1,1228 @@
+1
+00:00:19,490 --> 00:00:23,130
+بسم الله الرحمن الرحيم في المحاضرة هذه هناخد يعني
+
+2
+00:00:23,130 --> 00:00:31,510
+مناقشة أو هنناقش بعض المسائل في section 4-1 و 4-2
+
+3
+00:00:31,510 --> 00:00:41,650
+فإحدى الطالبات سألت في سؤال بقول برهن الجزء B من
+
+4
+00:00:41,650 --> 00:00:52,390
+theorem 4.2.4using sequential criterion لان هنا
+
+5
+00:00:52,390 --> 00:00:56,910
+use sequential
+
+6
+00:00:56,910 --> 00:01:01,370
+.. sequential
+
+7
+00:01:01,370 --> 00:01:06,410
+argument use
+
+8
+00:01:06,410 --> 00:01:15,290
+sequential formulation on
+
+9
+00:01:15,290 --> 00:01:15,750
+limit
+
+10
+00:01:21,840 --> 00:01:27,040
+فالبرهان ذلك let .. هنستخدم الـ sequential
+
+11
+00:01:27,040 --> 00:01:30,380
+criterion
+
+12
+00:01:30,380 --> 00:01:39,860
+let x in بـ sequence contained in A such that
+
+13
+00:01:39,860 --> 00:01:50,000
+limit طبعا الحدود تباعتها مختلفة عن الـ C such
+
+14
+00:01:50,000 --> 00:01:56,610
+that limitx in as n tends to infinity بساوي c
+
+15
+00:01:56,610 --> 00:02:03,050
+خلّينا نختار sequence في المجال المشترك تبع
+
+16
+00:02:03,050 --> 00:02:08,290
+الدالتين FWH وحدودها مختلفة عن ال C ونهايتها بساوي
+
+17
+00:02:08,290 --> 00:02:08,610
+C
+
+18
+00:02:16,250 --> 00:02:21,290
+by sequential criterion حسب sequential criterion
+
+19
+00:02:21,290 --> 00:02:32,430
+for limits to show ان ال limit ل F على H as X
+
+20
+00:02:32,430 --> 00:02:42,590
+tends to C بساوي L على H it
+
+21
+00:02:42,590 --> 00:02:43,570
+suffices
+
+22
+00:02:45,740 --> 00:02:53,260
+it suffices to show يكفي اثبات ان ال limit لل
+
+23
+00:02:53,260 --> 00:03:02,220
+image لسيكوينس xn لما n تقول ل infinity بساوي L
+
+24
+00:03:02,220 --> 00:03:07,020
+على H لو اثبتت الكلام هذا فحسب السيكوينش هي كتير
+
+25
+00:03:07,020 --> 00:03:11,380
+تانيا بطلع limit F على H بساوي capital L على
+
+26
+00:03:11,380 --> 00:03:12,140
+capital H
+
+27
+00:03:17,270 --> 00:03:24,050
+فنشوف to this end to
+
+28
+00:03:24,050 --> 00:03:36,670
+this end و لإثبات ذلك يعني we
+
+29
+00:03:36,670 --> 00:03:40,710
+have from
+
+30
+00:03:40,710 --> 00:03:44,170
+sequential criterion
+
+31
+00:03:47,320 --> 00:03:56,200
+that limit f of x in as n tends to infinity بساوي
+
+32
+00:03:56,200 --> 00:04:01,600
+L أنا عندي فارض ان limit f of x من x أول ل c بساوي
+
+33
+00:04:01,600 --> 00:04:06,720
+L اذا by sequential criterion هذا بكافئ انه لأي
+
+34
+00:04:06,720 --> 00:04:12,680
+sequence x in نهايتها c بطلع نهاية صورتها بساوي L
+
+35
+00:04:12,680 --> 00:04:18,140
+و كذلك andأنا عندي limit الـ function h of x من x
+
+36
+00:04:18,140 --> 00:04:22,320
+تقولها c بساوي h by sequential criterion كمان بره
+
+37
+00:04:22,320 --> 00:04:27,120
+طبخيها على ال function h بما أن x in sequence
+
+38
+00:04:27,120 --> 00:04:34,460
+نهايتها c إذا نهايت صرتها under h يعني limit h of
+
+39
+00:04:34,460 --> 00:04:43,840
+x in as n tends to infinity بساوي capital H hence
+
+40
+00:04:45,840 --> 00:04:57,980
+وبالتالي ال limit ل f على h of x لما x
+
+41
+00:04:57,980 --> 00:05:10,220
+تقول ل xn لما n تقول ل infinity هذا بساوي limit
+
+42
+00:05:12,840 --> 00:05:22,580
+f of x,n على h of x,n لما n تقول infinity ويساوي
+
+43
+00:05:22,580 --> 00:05:29,560
+انا انا اندي limit h of x,n exist وبيستويش سفر
+
+44
+00:05:29,560 --> 00:05:35,080
+وبيستويش سفر فممكن استخدم قوانين النهايات لسيكوانس
+
+45
+00:05:35,080 --> 00:05:40,420
+فlimit sequence على limit sequence بساوي limit
+
+46
+00:05:40,420 --> 00:05:41,140
+البسط
+
+47
+00:05:44,990 --> 00:05:50,170
+limit ال sequence في ال bus على limit ال sequence
+
+48
+00:05:50,170 --> 00:05:55,330
+في المقام و
+
+49
+00:05:55,330 --> 00:05:58,010
+limit ال sequence في المقام بيساوي سفر اذا انا
+
+50
+00:05:58,010 --> 00:06:01,090
+بقدر ايه اقول limit ال quotient بيساوي the
+
+51
+00:06:01,090 --> 00:06:07,330
+quotient of the limits وهذا بيطلع limit ال bus
+
+52
+00:06:07,330 --> 00:06:14,920
+تطلع L limit المقام H وهذا البنيةإن حسب الـ
+
+53
+00:06:14,920 --> 00:06:19,020
+sequential criterion بيطلع limit F على H عندما X
+
+54
+00:06:19,020 --> 00:06:24,020
+تقوى ل C بيساوي L على H هذا هو المقصود الـ
+
+55
+00:06:24,020 --> 00:06:28,740
+sequential formulation واضح؟ طيب، مين عندها أسئلة
+
+56
+00:06:28,740 --> 00:06:35,540
+تانية؟ في section 4, 1 أو 4, 2؟
+
+57
+00:06:35,540 --> 00:06:40,080
+طيب،
+
+58
+00:06:40,080 --> 00:06:41,580
+خليني أمسح اللوحي الأول
+
+59
+00:07:20,820 --> 00:07:28,800
+هذه السؤال تمانية section أربعة واحد show that
+
+60
+00:07:28,800 --> 00:07:38,120
+أثبتي أنه ال limit of the square root of X الـ
+
+61
+00:07:38,120 --> 00:07:44,060
+square root function as X tends to C بساوي ال
+
+62
+00:07:44,060 --> 00:07:48,340
+square root of C for any
+
+63
+00:07:51,920 --> 00:07:59,200
+C أكبر من السفر proof
+
+64
+00:08:02,940 --> 00:08:09,860
+أحنا في النهاية عايزين نثبت أنه الفرق بين f of x
+
+65
+00:08:09,860 --> 00:08:16,700
+absolute الفرق بين f of x و f of c اللي هي جدر ال
+
+66
+00:08:16,700 --> 00:08:21,680
+c بدنا في النهاية هذا يكون أصغر من أي given
+
+67
+00:08:21,680 --> 00:08:22,140
+epsilon
+
+68
+00:08:25,220 --> 00:08:31,760
+حيث x المسافة بينها وبين z ال c أصغر من delta و
+
+69
+00:08:31,760 --> 00:08:36,480
+delta to be determined يعني هيتم تعيينها لاحقا
+
+70
+00:08:36,480 --> 00:08:42,240
+okay طب ما هذا بيساوي absolute
+
+71
+00:08:46,520 --> 00:08:54,060
+must go هاي جدر ال X سالب جدر ال C و بنضرب في
+
+72
+00:08:54,060 --> 00:09:03,660
+المرافق اللي هو جدر ال X زائد جدر ال C في جدر ال X
+
+73
+00:09:03,660 --> 00:09:10,540
+زائد جدر ال C بنضرب
+
+74
+00:09:10,540 --> 00:09:19,050
+بسط مقام في المرافقوهذا بيطلع بيساوي absolute x
+
+75
+00:09:19,050 --> 00:09:32,850
+minus c على جدر x plus جدر sc وهذا
+
+76
+00:09:32,850 --> 00:09:41,810
+بيساوي absolute x minus c على جدر x plus جدر sc
+
+77
+00:09:45,070 --> 00:09:50,090
+طبعا ال X هنا لازم تكون عدد موجب أكبر من أو ساوي
+
+78
+00:09:50,090 --> 00:09:58,470
+سفر إذا هنا عندي .. أنا عندي ال X أكبر من أو ساوي
+
+79
+00:09:58,470 --> 00:10:04,630
+سفر إذا جذر ال X أكبر من أو ساوي سفر وبالتالي جذر
+
+80
+00:10:04,630 --> 00:10:12,230
+ال X plus جذر ال C أكبر من أو ساوي جذر ال C صح؟
+
+81
+00:10:12,230 --> 00:10:14,470
+وبالتالي
+
+82
+00:10:16,780 --> 00:10:23,460
+هذا بيقدر من واحد على جذر ال X زي جذر ال C أصغر من
+
+83
+00:10:23,460 --> 00:10:29,980
+أو ساوي واحد على جذر ال C إذاً هذا بيطلع أصغر من
+
+84
+00:10:29,980 --> 00:10:35,860
+أو ساوي واحد على جذر ال C في absolute X minus C
+
+85
+00:10:35,860 --> 00:10:42,300
+تمام؟ الآن لما يكون هذا أصغر من Delta
+
+86
+00:10:44,960 --> 00:10:48,980
+لما يكون هذا أصغر من دلتا لما يكون هذا أصغر من
+
+87
+00:10:48,980 --> 00:10:56,080
+دلتا فهذا هيكون أصغر من واحد على جدر ال C في دلتا
+
+88
+00:10:56,080 --> 00:11:01,960
+صح؟ و لو أنا بدي أكون هذا خليه
+
+89
+00:11:05,310 --> 00:11:11,610
+وبدي في النهاية هذا يكون أصغر من epsilon صح؟ إذا
+
+90
+00:11:11,610 --> 00:11:17,830
+كيف بدي أخد ال delta؟ جدر ال c في epsilon اه okay
+
+91
+00:11:17,830 --> 00:11:23,810
+تمام؟ إذا هنا هذا بيقدي أن ال delta ممكن أخدها أي
+
+92
+00:11:23,810 --> 00:11:28,850
+عدد أصغر من أو ساوي طبعا عدد موجب وأصغر من أو ساوي
+
+93
+00:11:28,850 --> 00:11:34,840
+جدر ال c في epsilonعشان يطلع المقدار هذا أصغر من
+
+94
+00:11:34,840 --> 00:11:38,400
+إبسلون بالتالي المقدار هذا أصغر من إبسلون إذا
+
+95
+00:11:38,400 --> 00:11:42,340
+شوفتوا كيف نجيب الـ delta إذا نجيب نقول let
+
+96
+00:11:42,340 --> 00:11:51,200
+epsilon let epsilon أكبر من السفر be given choose
+
+97
+00:11:51,200 --> 00:12:01,410
+delta بتساويالجذر ال C هذا عدد موجب ضرب إمسلن فهذا
+
+98
+00:12:01,410 --> 00:12:06,370
+أكيد بيطلع عدد موجب ويعتمد على إمسلن و هيو بيعتمد
+
+99
+00:12:06,370 --> 00:12:10,870
+على إمسلن then
+
+100
+00:12:10,870 --> 00:12:20,750
+لكل Xبحيث absolute x minus c أكبر من سفر أصغر من
+
+101
+00:12:20,750 --> 00:12:27,830
+الـ delta هذه هذا بتضمن أن absolute جذر الـ x
+
+102
+00:12:27,830 --> 00:12:38,260
+minus جذر الـ c قلنا هذا طلع أصغر من أو يساويواحد
+
+103
+00:12:38,260 --> 00:12:46,060
+على جذر C في absolute X minus C وطبعا هذا الأن طلع
+
+104
+00:12:46,060 --> 00:12:57,160
+أصغر من واحد على جذر C في Delta وهذا أصغر من أو
+
+105
+00:12:57,160 --> 00:13:04,100
+يساوي الأبسلون وبالتالي
+
+106
+00:13:04,100 --> 00:13:09,480
+حسب تعريف Epsilon Deltaبط��ع عندى اللى .. اللى أنا
+
+107
+00:13:09,480 --> 00:13:22,200
+عايزه since
+
+108
+00:13:22,200 --> 00:13:29,620
+epsilon أكبر من السفر was arbitrary لأن we have
+
+109
+00:13:29,620 --> 00:13:36,510
+أثبتنا حسب التعريفإن ال limit لجدر ال X لما X تقول
+
+110
+00:13:36,510 --> 00:13:47,690
+إلى C بساوي جدر ال C وهو المضمن OK تمام واضح الحل
+
+111
+00:13:47,690 --> 00:13:53,570
+واضح البرهام إذا لكل epsilon أكبر من 0 اختاري ال
+
+112
+00:13:53,570 --> 00:13:58,210
+delta اللي بتشتغل صح هي جدر ال C هذا عدد موجة ثابت
+
+113
+00:13:58,210 --> 00:14:06,940
+ضرب ال epsilon اللي احنا بدينا فيهاتمام؟ okay طيب
+
+114
+00:14:06,940 --> 00:14:12,360
+في أسئلة تانية؟ في أي استفسار؟
+
+115
+00:14:12,360 --> 00:14:22,220
+في أي أسئلة تانية؟ section 4-1 أو 4-2 الناس اللي
+
+116
+00:14:22,220 --> 00:14:28,300
+بتدرس و اللي حاولة تتحل الأسئلة و عندها بعض
+
+117
+00:14:28,300 --> 00:14:34,200
+الصعوبات في حل الأسئلةمين عندها؟ أي استفسار؟
+
+118
+00:14:34,200 --> 00:14:36,520
+السؤال اتناش اربعة اتنين
+
+119
+00:15:19,790 --> 00:15:31,090
+السؤال 12 اربعة اتنين في
+
+120
+00:15:31,090 --> 00:15:38,850
+عندي function f from R to R such
+
+121
+00:15:38,850 --> 00:15:50,420
+that f of x plus y بساوي f of x plus f of yfor
+
+122
+00:15:50,420 --> 00:16:00,780
+every x و y in R assume
+
+123
+00:16:00,780 --> 00:16:03,920
+ان
+
+124
+00:16:03,920 --> 00:16:14,620
+ال limit f of x as x tends to zero بسوى عدد L
+
+125
+00:16:14,620 --> 00:16:16,820
+exists
+
+126
+00:16:19,070 --> 00:16:28,110
+يعني أدب real number prove
+
+127
+00:16:28,110 --> 00:16:40,930
+حاجتي الواحد ال بساوي سفر لان limit
+
+128
+00:16:40,930 --> 00:16:44,290
+f
+
+129
+00:16:44,290 --> 00:16:44,950
+of x
+
+130
+00:16:48,250 --> 00:16:59,370
+كما يظهر X لـ C لجميع الـ C تلتانيه لـ R لما
+
+131
+00:16:59,370 --> 00:17:05,770
+نثبت أن الـ limit لها تساوي سفر ثم الـ function F
+
+132
+00:17:05,770 --> 00:17:12,230
+لها limitالأعداد الحقيقية C والكتاب يعطيك hint
+
+133
+00:17:12,230 --> 00:17:20,490
+يعني إرشاد كيف يعني تبدأ الحل بطريقة صحية proof
+
+134
+00:17:20,490 --> 00:17:24,410
+فخلينا
+
+135
+00:17:24,410 --> 00:17:33,150
+نبرهن الجزء الأول لحظة
+
+136
+00:17:33,150 --> 00:17:37,780
+أن ال function هذه بتحقق الشرط هذابنسميه
+
+137
+00:17:37,780 --> 00:17:42,880
+additivity ال function f بتحافظ على عملية الجمع
+
+138
+00:17:42,880 --> 00:17:48,100
+بتاخد مجموعة حاجتين تعطي صورتها مجموعة صورهم
+
+139
+00:17:48,100 --> 00:17:52,360
+فبنقول f أي function بتحقق خاصية زي هذه بنسميها
+
+140
+00:17:52,360 --> 00:17:57,570
+additive يعني دالة جمعيةبتحافظ على عملية الجمع تبع
+
+141
+00:17:57,570 --> 00:18:03,170
+الأعداد الحقيقية فبناء على الخاصية هذه لو كانت ال
+
+142
+00:18:03,170 --> 00:18:07,450
+function f لها limit and سفر فال limit هذه لازم
+
+143
+00:18:07,450 --> 00:18:13,630
+تكون بساوي سفر خمتها سفر فكيف ممكن نثبت الكلام هذا
+
+144
+00:18:13,630 --> 00:18:19,590
+نسمي
+
+145
+00:18:19,590 --> 00:18:22,190
+هذا الفرض star
+
+146
+00:18:25,940 --> 00:18:34,100
+by hypothesis star من الفرض star انا عندي h او ال
+
+147
+00:18:34,100 --> 00:18:42,500
+function f of two x ايش بتساوي؟ بتساوي f of x زاد
+
+148
+00:18:42,500 --> 00:18:47,260
+x مظبوط و من الفرض star
+
+149
+00:18:51,230 --> 00:18:58,670
+f of x زاد x بيساوي f of x زاد f of x صح يعني
+
+150
+00:18:58,670 --> 00:19:13,710
+بيساوي اتنين في f of x تمام طيب
+
+151
+00:19:13,710 --> 00:19:20,130
+take limit of both sides take limit
+
+152
+00:19:22,620 --> 00:19:29,320
+of both sides as
+
+153
+00:19:29,320 --> 00:19:39,900
+x tends to zero we get نحصل على انه ال limit ل f ل
+
+154
+00:19:39,900 --> 00:19:50,380
+2x لما x تقول ل 0 بساوي 2 في ال limit ل f of x لما
+
+155
+00:19:50,380 --> 00:19:51,720
+x تقول ل 0
+
+156
+00:19:56,790 --> 00:20:01,490
+Limit f of x من اكسا اولا سفر بساوي من الفرض
+
+157
+00:20:01,490 --> 00:20:08,610
+موجودة و بساوي L في اتنين بطلع اتنين L و ال limit
+
+158
+00:20:08,610 --> 00:20:14,230
+هذه هي نفسها limit
+
+159
+00:20:17,140 --> 00:20:27,440
+لـ F of 2X لما 2X تقول لـ 0 صح؟ لما X تقول لـ 0،
+
+160
+00:20:27,440 --> 00:20:38,460
+2X تقول لـ 0 و هذه هي نفسها ال limit ل F of Y لما
+
+161
+00:20:38,460 --> 00:20:48,520
+Y تقول لـ 0 صح؟ خدي Y بساوي 2Xفالمهي هنا limit f
+
+162
+00:20:48,520 --> 00:20:54,400
+of y لما y تقل ل 0 ال independent variable ده سميه
+
+163
+00:20:54,400 --> 00:20:59,760
+x سميه y it doesn't matter مش مهم اه لإن هذا برضه
+
+164
+00:20:59,760 --> 00:21:07,080
+ال limit هذه بساوي L لإن أنا أصبح عندي لإن أنا
+
+165
+00:21:07,080 --> 00:21:14,040
+أصبح عندي أنا معادلة L بساوي two L حل المعادلة هذه
+
+166
+00:21:15,510 --> 00:21:23,150
+في ال فهذا بيقدي ان ال بيساوي سفر صح ان هنا اثبتت
+
+167
+00:21:23,150 --> 00:21:28,350
+ان العدد ال اللي هو limit لل function if and السفر
+
+168
+00:21:28,350 --> 00:21:35,370
+بيطلع بساوي سفر صحيح ولا سهل ان
+
+169
+00:21:35,370 --> 00:21:41,710
+الكتاب بيحط رجلكم قدامكم على بداية الطريق استغلي
+
+170
+00:21:41,710 --> 00:21:42,050
+صح
+
+171
+00:21:45,430 --> 00:21:57,650
+واضح البرهان هنا تمام نبرهن الجزء التاني طيب
+
+172
+00:21:57,650 --> 00:22:03,570
+نبرهن الجزء التاني برضه
+
+173
+00:22:03,570 --> 00:22:13,250
+الجزء التاني فيه له hint فنستخدم ال hint also
+
+174
+00:22:15,670 --> 00:22:24,930
+by hypothesis star حسب
+
+175
+00:22:24,930 --> 00:22:31,630
+الفرض star ال function هذه is additive وبالتالي f
+
+176
+00:22:31,630 --> 00:22:40,750
+of x هي نفسها f of x ثالث c زائد c صح؟
+
+177
+00:22:44,780 --> 00:22:52,200
+و هذا بيساوي F
+
+178
+00:22:52,200 --> 00:23:03,900
+of X minus C زائد F of C تمام طيب هذا صحيح for all
+
+179
+00:23:03,900 --> 00:23:13,100
+C ينتمي ل R و طبعا for all X و for all X ينتمي ل R
+
+180
+00:23:14,280 --> 00:23:19,900
+فى مشكلة طيب الان نفس الحاجة اخد ال limit للطرفين
+
+181
+00:23:19,900 --> 00:23:30,540
+take limit of both sides لما x تقول ل c اذا limit
+
+182
+00:23:30,540 --> 00:23:40,780
+f of x لما x تقول ل c بساوي limitالطرف اليومين
+
+183
+00:23:40,780 --> 00:23:44,240
+مجموعة limit مجموعة بيساوي مجموعة limits لأن limit
+
+184
+00:23:44,240 --> 00:23:48,660
+الحد الأول exist هنشوف ان limit الحد الأول موجودة
+
+185
+00:23:48,660 --> 00:23:52,320
+و limit الحد التاني موجودة وبالتالي limit المجموعة
+
+186
+00:23:52,320 --> 00:23:59,000
+بيساوي مجموعة limits فlimit f of x minus c as x
+
+187
+00:23:59,000 --> 00:24:01,160
+tends to c زائد
+
+188
+00:24:08,360 --> 00:24:25,360
+limit f of x لمّا x تقول لـ c limit
+
+189
+00:24:25,360 --> 00:24:30,140
+f
+
+190
+00:24:30,140 --> 00:24:33,960
+of x لمّا x تقول لـ c
+
+191
+00:24:37,080 --> 00:24:44,860
+ال limit هذه لو أخدت y بساوي x minus c فبطلع x
+
+192
+00:24:44,860 --> 00:24:53,900
+بساوي y زائد c وبالتالي
+
+193
+00:24:53,900 --> 00:25:01,220
+لما x تقول ل c لما x تقول ل c هذا بيقدر ان y تقول
+
+194
+00:25:01,220 --> 00:25:12,090
+ل 0 صح؟ إذن هذه هي نفس limitF of Y لما Y تقول لـ 0
+
+195
+00:25:12,090 --> 00:25:15,550
+وذلك
+
+196
+00:25:15,550 --> 00:25:22,690
+ببتعوض عن X سالب C بساوي Y وهذا عدد ثابت F of C
+
+197
+00:25:22,690 --> 00:25:29,950
+عدد ثابت نهايته نفس العدد الثابت F of C Y ساوي طيب
+
+198
+00:25:29,950 --> 00:25:34,510
+احنا لسه من الفرض فرضين ان limit F of Y لما Y تقول
+
+199
+00:25:34,510 --> 00:25:42,440
+لـ 0 بساوي Lاللي هو سفر إذاً هذا بيساوي العدد L
+
+200
+00:25:42,440 --> 00:25:46,860
+اللي هو سفر زائد
+
+201
+00:25:46,860 --> 00:25:55,600
+F of C اللي هو F of C إذاً
+
+202
+00:25:55,600 --> 00:26:00,160
+هنا أثبتنا إنه limit F of X لما X تقول لـ C exist
+
+203
+00:26:00,160 --> 00:26:01,880
+و بيساوي F of C
+
+204
+00:26:05,410 --> 00:26:09,530
+تمام؟ إذا هين أثبتنا أن ال limit لل function عند
+
+205
+00:26:09,530 --> 00:26:17,170
+أي c exist و بساوي f of c و هذا طبعا الشرط اللي ..
+
+206
+00:26:17,170 --> 00:26:21,090
+لاحظوا أنتوا limit f of x عند أي c بتطلعت بالساوية
+
+207
+00:26:21,090 --> 00:26:25,970
+قيمة الدالة عن ال c هذا حسب chapter 5 هذا معناه أن
+
+208
+00:26:25,970 --> 00:26:31,510
+الدالة هذه تطلع continuous عند أي نقطة في المجال
+
+209
+00:26:31,510 --> 00:26:36,670
+تبعهاOkay إذا النتيجة الخلاصة من ال exercise هذا
+
+210
+00:26:36,670 --> 00:26:43,030
+exercise كتير مهم وهو إنه اللي لو كان في عندى
+
+211
+00:26:43,030 --> 00:26:50,370
+function from R to R و ال function هذه edited و
+
+212
+00:26:50,370 --> 00:26:56,700
+نهايتها عند السفر موجودةفالدال هذا بتطلع متصلة عن
+
+213
+00:26:56,700 --> 00:27:00,100
+كل الأعداد الحقيقية هذا النتيجة النهائية هذا اللي
+
+214
+00:27:00,100 --> 00:27:08,040
+أثبتناه في الجزء التاني okay تمام؟ وهذه نتيجة مهمة
+
+215
+00:27:08,040 --> 00:27:15,020
+ومعروفة في كورسات ال real analysis المتقدمة تمام
+
+216
+00:27:15,020 --> 00:27:20,860
+واضح؟ في أي استفسار؟إذا شفتوا هنا يعني كيف استغلنا
+
+217
+00:27:20,860 --> 00:27:26,080
+الفرض السار و كيف استغلنا ال hint الإرشادات اللي
+
+218
+00:27:26,080 --> 00:27:29,860
+أعطينا إياها الكتاب فاحنا ممكن نجيبلكم في الامتحان
+
+219
+00:27:29,860 --> 00:27:38,320
+أسئلة و نعطيلكم hint عليها أساسا كبداية للحل أو
+
+220
+00:27:38,320 --> 00:27:43,570
+البرهان الصحي و الشاطرة اللي تستغلها صحيOkay تمام
+
+221
+00:27:43,570 --> 00:27:48,130
+في أي أسئلة تانية section اربع واحد او اربع اتنين
+
+222
+00:27:48,130 --> 00:27:50,030
+رقم تلات عشر اربع اتنين
+
+223
+00:28:25,120 --> 00:28:33,640
+أي سؤال تلتاش سيكشن أربعة اتنين في عندي F function
+
+224
+00:28:33,640 --> 00:28:39,020
+from A to R و
+
+225
+00:28:39,020 --> 00:28:49,560
+C belong to R is a cluster point cluster point of
+
+226
+00:28:49,560 --> 00:28:50,220
+A
+
+227
+00:29:03,780 --> 00:29:18,360
+فالـ limit لـ f of x لما x تقول لـ c exists prove
+
+228
+00:29:18,360 --> 00:29:29,240
+أن ال limit ل absolute f of x لما x تقول ل c
+
+229
+00:29:29,240 --> 00:29:31,720
+بيساوي
+
+230
+00:29:34,790 --> 00:29:42,870
+بتساوي absolute limit f of x لما x تقوم بالاسم
+
+231
+00:29:42,870 --> 00:29:48,950
+where
+
+232
+00:29:48,950 --> 00:29:59,690
+حيث و where حيث absolute fالـ absolute value لأي
+
+233
+00:29:59,690 --> 00:30:05,550
+function تطلع function تانية تعريفها عند أي x أو
+
+234
+00:30:05,550 --> 00:30:13,430
+قيمتها عند أي x بساوي absolute f of x لكل x
+
+235
+00:30:27,830 --> 00:30:33,090
+بمعنى اخر اذا كان في عندي function و ال limit لها
+
+236
+00:30:33,090 --> 00:30:38,510
+ان c موجودة ف limit ال absolute value لها بتكون
+
+237
+00:30:38,510 --> 00:30:43,970
+موجودة و تساوي ال absolute value لل limit يعني
+
+238
+00:30:43,970 --> 00:30:48,090
+ممكن ابدل ال limit مع ال absolute value او ادخل ال
+
+239
+00:30:48,090 --> 00:30:53,730
+limit داخل ال absolute value وهذه حقيقة صحيحة لأن
+
+240
+00:30:53,730 --> 00:30:56,550
+ال absolute value function متتصرة
+
+241
+00:31:02,530 --> 00:31:19,850
+Okay تمام ف ..
+
+242
+00:31:19,850 --> 00:31:30,030
+طيب يعني
+
+243
+00:31:30,030 --> 00:31:38,610
+sayدعونا نفترض أن ال limit ل f of x لما x تقول إلى
+
+244
+00:31:38,610 --> 00:31:44,870
+c بساوي عدد L ينتمي ل R مش ال limit had existed
+
+245
+00:31:44,870 --> 00:31:48,830
+سميها L و
+
+246
+00:31:48,830 --> 00:31:52,430
+المطلوب we need to show
+
+247
+00:31:58,250 --> 00:32:08,570
+نحتاج أن نظهر أن الـ limit لـ absolute f of x as x
+
+248
+00:32:08,570 --> 00:32:11,510
+tends to c بساوي absolute L
+
+249
+00:32:35,630 --> 00:32:44,970
+أنا في نهاية
+
+250
+00:32:44,970 --> 00:32:52,570
+الأمر بدي أثبت أن الـ absolute بدي
+
+251
+00:32:52,570 --> 00:32:55,690
+في النهاية يكون هذا أصغر من أي جيبل إبسلون
+
+252
+00:32:58,740 --> 00:33:05,380
+لكل x بحيث ان absolute x minus c أكبر من سفر أصغر
+
+253
+00:33:05,380 --> 00:33:17,660
+من delta where delta to be determined يعني
+
+254
+00:33:17,660 --> 00:33:23,560
+هنحددها لاحقا هذا ايه عشان اثبت ان ال limit ال
+
+255
+00:33:23,560 --> 00:33:29,700
+function هذه يعني x بساوي absolute الفبدأثبت ان
+
+256
+00:33:29,700 --> 00:33:33,300
+absolute الفرخ هذا أصغر من epsilon عندما يكون
+
+257
+00:33:33,300 --> 00:33:39,240
+المسافة بين ال X و ال C أصغر من delta و X لا تساوي
+
+258
+00:33:39,240 --> 00:33:46,580
+ال C for some delta تعتمد على ال given epsilon طب
+
+259
+00:33:46,580 --> 00:33:50,860
+أنا عندي هذا
+
+260
+00:33:50,860 --> 00:33:57,000
+بيساوي absolute absolute F of X minus absolute
+
+261
+00:34:09,920 --> 00:34:16,520
+تمام؟ وهذا باستخدام ال triangle inequality أصغر من
+
+262
+00:34:16,520 --> 00:34:23,440
+أو ساوي absolute f of x minus L صح؟ في صورة من صور
+
+263
+00:34:23,440 --> 00:34:26,140
+ال triangle inequality يجب تقول إن هذا ال absolute
+
+264
+00:34:26,140 --> 00:34:30,140
+value ل absolute a minus absolute b أصغر من
+
+265
+00:34:30,140 --> 00:34:35,880
+absolute a minus bطب انا عندى limit f of x لما x
+
+266
+00:34:35,880 --> 00:34:41,400
+اقولها c بالساوي L فممكن اخلي هذا اصغر من اي given
+
+267
+00:34:41,400 --> 00:34:47,540
+epsilon وبالتالي هذه بتصير اصغر من اي epsilon okay
+
+268
+00:34:47,540 --> 00:34:52,420
+تمام اذا هنا خلينا نشوف
+
+269
+00:35:03,620 --> 00:35:09,800
+let epsilon أكبر
+
+270
+00:35:09,800 --> 00:35:18,820
+من السفر be givenبما انه since ال limit احنا فرضين
+
+271
+00:35:18,820 --> 00:35:25,840
+انه limit ل F of X عند X بساوي C بساوي L اذا يوجد
+
+272
+00:35:25,840 --> 00:35:31,580
+Delta تعتمد على ابسلون عدد موجب بحيث انه لكل X
+
+273
+00:35:31,580 --> 00:35:37,060
+ينتمي إلى A و absolute X minus C اصغر من Delta
+
+274
+00:35:37,060 --> 00:35:45,550
+اكبر من سفر هذا بيقديإنه absolute f of x minus L
+
+275
+00:35:45,550 --> 00:35:51,890
+أصغر من إبسلم نسمي هذا star نسمي ال implication
+
+276
+00:35:51,890 --> 00:36:03,570
+هذا star hence
+
+277
+00:36:08,200 --> 00:36:16,880
+by triangle inequality من متبينة المثلث x ينتمي by
+
+278
+00:36:16,880 --> 00:36:26,260
+triangle inequality and star we have لدينا لو كان
+
+279
+00:36:26,260 --> 00:36:32,680
+x ينتمي ل a و absolute x minus c أكبر من سفر أصغر
+
+280
+00:36:32,680 --> 00:36:48,240
+من deltaفهذا بيقدي انه absolute .. absolute f of x
+
+281
+00:36:48,240 --> 00:36:59,300
+minus absolute ال L هذا بيساوي absolute ..
+
+282
+00:36:59,300 --> 00:37:06,060
+absolute f of x minus absolute L
+
+283
+00:37:12,840 --> 00:37:17,300
+وهذا by ال triangle inequality by ال triangle
+
+284
+00:37:17,300 --> 00:37:24,520
+inequality أصغر من أوي ساوي absolute f of x minus
+
+285
+00:37:24,520 --> 00:37:32,300
+l و by star absolute f of x minus l أصغر من إبسل
+
+286
+00:37:32,300 --> 00:37:41,020
+تمام؟ since إبسلون was
+
+287
+00:37:41,020 --> 00:37:41,740
+arbitrary
+
+288
+00:37:47,340 --> 00:37:53,990
+إذاً we haveهك مكون أسبابنا أنه لأي epsilon أكبر
+
+289
+00:37:53,990 --> 00:37:59,950
+من الصفر يوجد delta تعتمد على epsilon عدد موجب من
+
+290
+00:37:59,950 --> 00:38:06,350
+حيث لكل x ينتمي ل a و المسافة بين x و c أصغر من
+
+291
+00:38:06,350 --> 00:38:11,630
+delta و x لا تساوي c فلل absolute value لf of x
+
+292
+00:38:11,630 --> 00:38:15,930
+minus absolute L أصغر من epsilon، إذن هذا معناه
+
+293
+00:38:15,930 --> 00:38:21,460
+حسب epsilon delta definition of limitإن الـ limit
+
+294
+00:38:21,460 --> 00:38:29,780
+ل absolute f of x as x tends to c بساوي absolute ل
+
+295
+00:38:29,780 --> 00:38:33,140
+هو
+
+296
+00:38:33,140 --> 00:38:38,420
+المطلوب وهذا اللي احنا عايزين نثبته هذا هو البرهان
+
+297
+00:38:39,940 --> 00:38:45,060
+إذا هنا اللاعب دور كبير في البرهان هو ال triangle
+
+298
+00:38:45,060 --> 00:38:52,420
+inequality و الفرض إنه limit and c موجودة بالساوية
+
+299
+00:38:52,420 --> 00:38:58,420
+L okay تمام؟ إذا أهمية ال exercise هذا يعتبر نظرية
+
+300
+00:38:58,420 --> 00:39:02,120
+و النظرية هذه بتقول إذا كان في end function
+
+301
+00:39:02,120 --> 00:39:07,590
+نهايتها and c موجودةفنهاية ال absolute value لل
+
+302
+00:39:07,590 --> 00:39:11,610
+function بالساوي ال absolute value لل limit بمعنى
+
+303
+00:39:11,610 --> 00:39:15,870
+أخر أنا ممكن أدخل ال limit داخل ال absolute value
+
+304
+00:39:15,870 --> 00:39:22,710
+أو أبدل ال limit مع ال absolute value okay تمام
+
+305
+00:39:22,710 --> 00:39:26,630
+واضح؟ في أسئلة تانية؟
+
+306
+00:39:35,800 --> 00:39:43,260
+أي سؤال أي استفسار okay
+
+307
+00:39:43,260 --> 00:39:45,560
+إذا نكتفي بهذا القدر
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/dw89EvC63CE.srt

@@ -0,0 +1,1235 @@
+1
+00:00:20,910 --> 00:00:26,430
+بسم الله الرحمن الرحيم في المحاضرة اليوم هناخد 
+
+2
+00:00:26,430 --> 00:00:32,890
+انتباه مقدمة بسيطة عن ال infinite series اللي 
+
+3
+00:00:32,890 --> 00:00:37,890
+بدأناها في المحاضرة السابقة، في المحاضرة السابقة
+
+4
+00:00:37,890 --> 00:00:41,610
+عرفنا ما معنى أن infinite series of real numbers
+
+5
+00:00:41,610 --> 00:00:46,050
+converge معناه هذا يكافئ أن ال sequence of partial
+
+6
+00:00:46,050 --> 00:00:51,970
+sums S اللي سميناها Sn حيث أن ال nth partial sum هو
+
+7
+00:00:51,970 --> 00:00:56,170
+مجموع أول n من حدود ال series، إذا كانت ال sequence
+
+8
+00:00:56,170 --> 00:01:00,550
+هذه convergent، إذا ال sequence of partial sums
+
+9
+00:01:00,550 --> 00:01:03,990
+convergent بتكون ال series convergent، إذا ال
+
+10
+00:01:03,990 --> 00:01:06,770
+sequence of partial sums divergent بتكون ال series 
+
+11
+00:01:06,770 --> 00:01:11,760
+divergent، طيب لو كانت ال sequence of partial sums
+
+12
+00:01:11,760 --> 00:01:15,920
+convergent وال limit تبعتها عدد S ففي الحالة هذه 
+
+13
+00:01:15,920 --> 00:01:19,420
+بتقول أن ال series converged طبعا وال sum تبع ال
+
+14
+00:01:19,420 --> 00:01:22,680
+series، مجموع ال series بيساوي ال limit لل sequence 
+
+15
+00:01:22,680 --> 00:01:26,800
+of partial sums اللي هو S، إذا في الحالة هذه S is
+
+16
+00:01:26,800 --> 00:01:32,860
+the sum of the infinite series، الآن في عندي نظرية
+
+17
+00:01:32,860 --> 00:01:38,220
+بتعطيني test for divergence بتسميه ال nth term test
+
+18
+00:01:38,220 --> 00:01:43,360
+زي ما درستها في Calculus B، فالنظرية هذه بتقول لو
+
+19
+00:01:43,360 --> 00:01:46,120
+كان في عندي series وال series كانت convergent
+
+20
+00:01:46,120 --> 00:01:50,440
+فلا بد أن it is necessary that the limit of the nth
+
+21
+00:01:50,440 --> 00:01:57,250
+term بيساوي صفر، البرهان سهل، هاي ال Nth partial sum 
+
+22
+00:01:57,250 --> 00:02:01,830
+مجموع أول N من حدود ال series وهي ال N minus
+
+23
+00:02:01,830 --> 00:02:06,110
+first partial sum اللي هو مجموع N سالب واحد من
+
+24
+00:02:06,110 --> 00:02:12,310
+الحدود الأولانية، لما نيجي نطرح، لما نيجي نطرح فكل 
+
+25
+00:02:12,310 --> 00:02:19,910
+الحدود هذه بتروح مع بعضها يبقى عندي الفرق XN، أنا
+
+26
+00:02:19,910 --> 00:02:23,650
+فارض أن ال series converge، إذا ال limit لل
+
+27
+00:02:23,650 --> 00:02:27,270
+sequence of partial sums exist وبيساوى sum real
+
+28
+00:02:27,270 --> 00:02:32,570
+number S، الآن باخد ال limit للطرفين في ال star هنا 
+
+29
+00:02:33,630 --> 00:02:38,130
+باخد limit of both sides we get أن limit xn
+
+30
+00:02:38,130 --> 00:02:43,590
+بيساوي limit sn  ناقص limit sn ناقص واحد، ال
+
+31
+00:02:43,590 --> 00:02:46,930
+limit ال sequence of partial sums sn وهذه هي نفس ال
+
+32
+00:02:46,930 --> 00:02:51,070
+sequence of partial sums بس حذفنا أو زدنا حد برضه
+
+33
+00:02:51,070 --> 00:02:55,170
+ال limit تبعتها s، إذا ال limit ل xn بيطلع بيساوي
+
+34
+00:02:55,170 --> 00:03:01,710
+صفر كما هو مظلوم، تمام؟ واضح البرهان؟ الآن في عندي 
+
+35
+00:03:01,710 --> 00:03:02,310
+remark
+
+36
+00:03:10,040 --> 00:03:15,900
+the converse of
+
+37
+00:03:15,900 --> 00:03:23,140
+above theorem is
+
+38
+00:03:23,140 --> 00:03:27,860
+false، عكس 
+
+39
+00:03:27,860 --> 00:03:36,120
+النظرية السابقة ليس صحيحا، بمعنى لو كانت xn
+
+40
+00:03:38,350 --> 00:03:45,490
+converge to zero هذا لا يؤدي بالضرورة، لا يؤدي
+
+41
+00:03:45,490 --> 00:03:56,310
+مش شرط يؤدي أن ال series sigma xn converge وهي
+
+42
+00:03:56,310 --> 00:03:58,310
+مثال على ذلك، ناخد مثال
+
+43
+00:04:17,840 --> 00:04:25,520
+example the harmonic series satisfies 
+
+44
+00:04:39,920 --> 00:04:48,080
+أن ال limit ل xn عبارة عن ال limit ل 1 على n يساوي
+
+45
+00:04:48,080 --> 00:04:59,420
+صفر، لكن however، however
+
+46
+00:04:59,420 --> 00:05:04,560
+ال series، ال harmonic series diverges
+
+47
+00:05:09,690 --> 00:05:14,990
+ال harmonic series is divergent مش convergent، ليش؟
+
+48
+00:05:14,990 --> 00:05:22,770
+why؟ 
+
+49
+00:05:22,770 --> 00:05:29,330
+احنا برهنا الكلام هذا في chapter تلاتة بس كش في
+
+50
+00:05:29,330 --> 00:05:31,410
+section تلاتة خمسة 
+
+51
+00:05:36,620 --> 00:05:44,980
+فاكرين أن ال sequence هذه كانت، طيب نجاوب ليه ال
+
+52
+00:05:44,980 --> 00:05:52,720
+harmonic series diverges، في عندي جوابين، answer one
+
+53
+00:05:52,720 --> 00:06:00,660
+الإجابة الأولى، في 
+
+54
+00:06:00,660 --> 00:06:03,740
+عندي مثال أخدنا
+
+55
+00:06:08,530 --> 00:06:14,430
+by example، لسه ماخدينه اللي كان هذا الجزء اللي
+
+56
+00:06:14,430 --> 00:06:18,590
+بتعلق فيه اللي هو ال sequence of partial sums لل
+
+57
+00:06:18,590 --> 00:06:25,470
+series هذه، أثبتنا أنها not cauchy، صح؟ وكان هذا جزء
+
+58
+00:06:25,470 --> 00:06:31,610
+من ايه؟ من تكملة البرهان، صح؟ إذا نشوف الرقم تبعها
+
+59
+00:06:31,610 --> 00:06:34,830
+بالظبط section
+
+60
+00:06:37,490 --> 00:06:50,870
+مثال تلاتة خمسة ستة، الجزء C، by this example the
+
+61
+00:06:50,870 --> 00:07:02,430
+sequence of partial sums Sn
+
+62
+00:07:02,430 --> 00:07:03,370
+where
+
+63
+00:07:05,750 --> 00:07:13,890
+Sn بيساوي سيجما من K بيساوي واحد إلى N لواحد على K
+
+64
+00:07:13,890 --> 00:07:21,150
+اللي هو واحد زائد نص زائد واحد على N، أثبتنا إن ال
+
+65
+00:07:21,150 --> 00:07:30,630
+sequence هذه is not Cauchy، is not Cauchy and
+
+66
+00:07:30,630 --> 00:07:34,850
+therefore not convergent
+
+67
+00:07:40,330 --> 00:07:49,510
+حسب by Cauchy، by Cauchy criterion، Cauchy criterion
+
+68
+00:07:49,510 --> 00:07:52,950
+بتقول أي sequence of real numbers is convergent if
+
+69
+00:07:52,950 --> 00:07:56,190
+and only if it is Cauchy، اللي احنا أثبتنا إن ال
+
+70
+00:07:56,190 --> 00:08:01,180
+sequence هذه في المثال هذا ماهياش كوشي وبالتالي
+
+71
+00:08:01,180 --> 00:08:04,460
+not convergent، طب ما هذه هي ال sequence of partial 
+
+72
+00:08:04,460 --> 00:08:07,680
+... هذه هي ال sequence of partial sums لل harmonic
+
+73
+00:08:07,680 --> 00:08:11,020
+series، إذا by above definition
+
+74
+00:08:15,530 --> 00:08:19,870
+طبعا ال definition المسألة اللي كتبناها أول واحد
+
+75
+00:08:19,870 --> 00:08:23,830
+مادام ال series of partial sums is not convergent
+
+76
+00:08:23,830 --> 00:08:30,150
+إذا ال series نفسها is divergent
+
+77
+00:08:33,300 --> 00:08:38,940
+Okay، إذا هذا كان إحدى الإجابات وليه، ليه ال
+
+78
+00:08:38,940 --> 00:08:42,960
+series هي divergent، هاي الإثبات تبعها هنا جاي من
+
+79
+00:08:42,960 --> 00:08:47,360
+المثال هذا، إن ال sequence of partial sums طلعت not
+
+80
+00:08:47,360 --> 00:08:51,340
+Cauchy وبالتالي not convergent، هذا السبب، في كمان
+
+81
+00:08:51,340 --> 00:09:02,140
+سبب ثاني أو حل ثاني أو إجابة أخرى، answer
+
+82
+00:09:02,140 --> 00:09:13,540
+two، إنه by، في مثال آخر أثبتنا فيه by example
+
+83
+00:09:13,540 --> 00:09:17,900
+تلاتة
+
+84
+00:09:17,900 --> 00:09:24,800
+تلاتة تلاتة بي، إذا في section تلاتة تلاتة 
+
+85
+00:09:24,800 --> 00:09:31,540
+المثال تلاتة بي أثبتنا فيه إن ال sequence و
+
+86
+00:09:31,540 --> 00:09:32,480
+partial sums
+
+87
+00:09:34,910 --> 00:09:40,910
+the sequence of partial sums
+
+88
+00:09:40,910 --> 00:09:44,190
+Sn 
+
+89
+00:09:44,190 --> 00:09:50,370
+is unbounded 
+
+90
+00:09:50,370 --> 00:09:55,910
+أثبتنا بالمثال هذا أن ال sequence Sn of partial
+
+91
+00:09:55,910 --> 00:10:04,760
+sums اللي هي هذه is unbounded and therefore، إذا
+
+92
+00:10:04,760 --> 00:10:08,380
+كانت ال sequence unbounded إذا بتطلع divergent أو
+
+93
+00:10:08,380 --> 00:10:16,060
+not convergent، لأن sn is divergent، لأن لو كانت 
+
+94
+00:10:16,060 --> 00:10:20,800
+convergent بتكون bounded وبالتالي therefore ال
+
+95
+00:10:20,800 --> 00:10:28,090
+series أو ال harmonic series divergent، إذا هذا برضه
+
+96
+00:10:28,090 --> 00:10:33,350
+إجابة ثانية بتخلي ال harmonic series divergent
+
+97
+00:10:33,350 --> 00:10:40,830
+تمام، طيب نرجع ناخد أمثلة أخرى 
+
+98
+00:11:08,590 --> 00:11:18,590
+أول شيء ال geometric series ال
+
+99
+00:11:18,590 --> 00:11:26,210
+geometric series اللي هي summation من k بيساوي صفر
+
+100
+00:11:26,210 --> 00:11:32,090
+to infinity لـ R to the power K، اللي الحد الأول تبعها واحد
+
+101
+00:11:32,090 --> 00:11:37,250
+والأساس تبعها R، اشمالها واحد
+
+102
+00:11:40,350 --> 00:11:49,570
+converges if absolute r أصغر من one and
+
+103
+00:11:49,570 --> 00:12:06,550
+diverges and its sum، its sum بيساوي واحد على واحد 
+
+104
+00:12:06,550 --> 00:12:08,250
+ناقص r
+
+105
+00:12:14,230 --> 00:12:20,410
+and diverges if
+
+106
+00:12:20,410 --> 00:12:27,790
+absolute r أكبر من أو يساوي واحد، أث��تنا
+
+107
+00:12:27,790 --> 00:12:31,250
+هذا الجزء المرة اللي فاتت في الأول ولا ما أثبتناه 
+
+108
+00:12:31,250 --> 00:12:34,350
+مش؟
+
+109
+00:12:34,350 --> 00:12:38,010
+أثبتنا صحيح؟ okay، إذا
+
+110
+00:12:44,740 --> 00:12:52,060
+proof part one was 
+
+111
+00:12:52,060 --> 00:12:55,940
+proved last 
+
+112
+00:12:55,940 --> 00:13:01,400
+time، last time
+
+113
+00:13:01,400 --> 00:13:09,160
+to 
+
+114
+00:13:09,160 --> 00:13:12,760
+prove two, assume
+
+115
+00:13:15,240 --> 00:13:29,520
+absolute r أكبر من أو يساوي الواحد، افترض
+
+116
+00:13:29,520 --> 00:13:36,400
+أن absolute r أكبر من أو يساوي الواحد، طيب then
+
+117
+00:13:44,600 --> 00:13:53,300
+limit xn as n tends to infinity بيساوي limit r to
+
+118
+00:13:53,300 --> 00:13:59,220
+the power n as n tends to infinity، لحظة 
+
+119
+00:13:59,220 --> 00:14:06,940
+n to، absolute r أكبر من واحد بيقدر أن r أكبر من ... 
+
+120
+00:14:06,940 --> 00:14:08,580
+أصغر من واحد
+
+121
+00:14:11,700 --> 00:14:22,700
+or R أكبر من سالب واحد أو 
+
+122
+00:14:22,700 --> 00:14:30,200
+R أكبر من واحد أو R أصغر من سالب 
+
+123
+00:14:30,200 --> 00:14:34,640
+واحد وبالتالي
+
+124
+00:14:34,640 --> 00:14:42,080
+limit R أس N مش ممكن تساوي صفر، limit لـ R أس n شفنا 
+
+125
+00:14:42,080 --> 00:14:50,420
+أن هذه بيساوي صفر فقط لما ال R يكون أصغر من واحد وأكبر 
+
+126
+00:14:50,420 --> 00:14:57,940
+من أو يساوي صفر وبالتالي، إذا by، إذا by 
+
+127
+00:14:57,940 --> 00:15:08,300
+nth، by nth term test، إذا الحد العام، الحد النوني لل
+
+128
+00:15:08,300 --> 00:15:12,700
+series هذه لا يساوي، لا صفر ال limit تبعته ما بيساويش 
+
+129
+00:15:12,700 --> 00:15:20,400
+صفر وبالتالي by the nth term test، المسألة اه إذا كان
+
+130
+00:15:20,400 --> 00:15:25,480
+limit الحد النوني بيساوي صفر فال test بتقول لي أن 
+
+131
+00:15:25,480 --> 00:15:31,500
+ال series is
+
+132
+00:15:31,500 --> 00:15:37,480
+divergent، ال series sigma ل R to the power N من N equal 0 to 
+
+133
+00:15:37,480 --> 00:15:39,000
+infinity diverges
+
+134
+00:15:45,290 --> 00:15:48,990
+لأنه لو كانت convergent فالمفروض limit الحد النوني
+
+135
+00:15:48,990 --> 00:15:55,090
+يساوي صفر وهذا مش موجود، تمام؟ إن أنا شفت هنا كيف
+
+136
+00:15:55,090 --> 00:16:00,710
+أخدنا ال ... أو استخدمنا ال nth term test لإثبات ال
+
+137
+00:16:00,710 --> 00:16:05,150
+divergence، مثال
+
+138
+00:16:05,150 --> 00:16:05,630
+ثاني 
+
+139
+00:16:14,400 --> 00:16:23,600
+show that ال series اللي متولدة من ال sequence
+
+140
+00:16:23,600 --> 00:16:29,840
+سالب واحد to the power n اللي 
+
+141
+00:16:29,840 --> 00:16:37,100
+هي أول حد هيكون واحد بعدين سالب واحد بعدين واحد
+
+142
+00:16:37,100 --> 00:16:43,030
+بعدين سالب واحد وهكذا show that this series
+
+143
+00:16:43,030 --> 00:16:55,610
+diverges تعالوا 
+
+144
+00:16:55,610 --> 00:16:59,510
+نشوف الـ sequence of partial sums ناخد الـ sequence
+
+145
+00:16:59,510 --> 00:17:03,070
+of partial sums والله ده طلعت الـ sequence of
+
+146
+00:17:03,070 --> 00:17:06,810
+partial sums convergent بيكون الـ series convergent
+
+147
+00:17:06,810 --> 00:17:10,730
+والـ sum تبعها بيساوي الـ limit للـ sequence of
+
+148
+00:17:10,730 --> 00:17:14,290
+partial sums مظبوط وإذا طلعت الـ sequence of
+
+149
+00:17:14,290 --> 00:17:19,570
+partial sums divergent فالـ series اللي تابعة إليها
+
+150
+00:17:19,570 --> 00:17:24,650
+بتكون divergent لذا هنا هنفحص هل الـ sequence of
+
+151
+00:17:24,650 --> 00:17:29,410
+partial sums divergent ولا convergent طيب تعالوا 
+
+152
+00:17:29,410 --> 00:17:34,750
+نفحص Sn الـ N في partial sums هذا summation من K 
+
+153
+00:17:34,750 --> 00:17:47,900
+equal 0 to N لـ سالب واحد plus k هذا xk فهذا هيطلع 
+
+154
+00:17:47,900 --> 00:17:57,300
+لقيمتين الـ هيطلع قيمتين
+
+155
+00:17:57,300 --> 00:18:05,300
+لو 
+
+156
+00:18:05,300 --> 00:18:14,590
+كان in even أو n odd لو كانت n even يعني نفرض بأن n
+
+157
+00:18:14,590 --> 00:18:22,470
+بساوي صفر إذن هيطلع واحد، n بساوي اثنين، هيطلع 
+
+158
+00:18:22,470 --> 00:18:29,470
+أندي تلت حدود، مجموعهم برضه واحد، وهكذا، إذن
+
+159
+00:18:29,470 --> 00:18:35,160
+المجموع هذا هيطلع واحد إذا كانت الـ n even أما لو 
+
+160
+00:18:35,160 --> 00:18:40,680
+كانت الـ n odd يعني لو أخدت n بالساو��ة واحد لو 
+
+161
+00:18:40,680 --> 00:18:46,040
+أخدت n بالساوية واحد فهيطلع عندي حدين مجموعهم صفر
+
+162
+00:18:46,040 --> 00:18:50,960
+لو أخدت n بالساوية ثلاثة هيطلع مجموع أول أربع
+
+163
+00:18:50,960 --> 00:18:56,220
+حدود برضه بيطلع مجموعهم صفر وهكذا إذا صفر الـ n 
+
+164
+00:18:56,220 --> 00:19:00,160
+partial sums بساوية صفر إذا كانت n odd واحد إذا
+
+165
+00:19:00,160 --> 00:19:05,650
+كانت n even وبالتالي therefore therefore a
+
+166
+00:19:05,650 --> 00:19:11,110
+sequence of partial sums is an alternating series
+
+167
+00:19:11,110 --> 00:19:16,170
+يعني حدودها متذبذبة بين صفر وواحد أو أول حد واحد 
+
+168
+00:19:16,170 --> 00:19:23,710
+الثاني صفر واحد صفر وهكذا which
+
+169
+00:19:23,710 --> 00:19:29,710
+is divergent هذه أمرها ما كانت convergent
+
+170
+00:19:33,470 --> 00:19:39,270
+الـ sequence هذه divergent عارفين ليه؟ لأن هي الـ
+
+171
+00:19:39,270 --> 00:19:54,130
+proof الـ subsequence الحدود
+
+172
+00:19:54,130 --> 00:19:58,330
+مثلًا الزوجية S2K
+
+173
+00:20:03,520 --> 00:20:08,760
+هي أول حد وهي الثاني لأن الحدود الزوجية أصفار كلهم
+
+174
+00:20:08,760 --> 00:20:17,120
+صح؟ تكون بترجع صفر and الـ subsequence الثانية اللي 
+
+175
+00:20:17,120 --> 00:20:23,400
+حدودها فردية كلهم
+
+176
+00:20:23,400 --> 00:20:30,960
+واحد، ثابت واحد وهذه تكون بترجع واحد نعم؟
+
+177
+00:20:31,600 --> 00:20:36,180
+وبالتالي إذا ما دام في عندي two subsequences واحدة 
+
+178
+00:20:36,180 --> 00:20:40,120
+converge لصفر وواحدة converge لواحد وصفر لا يساوي 
+
+179
+00:20:40,120 --> 00:20:46,380
+الواحد وصفر لا يساوي الواحد معناته by the
+
+180
+00:20:46,380 --> 00:20:50,400
+divergence criterion الـ sequence هذه is divergent
+
+181
+00:20:51,890 --> 00:20:56,830
+لأن لو كانت الـ sequence هذي convergent فمفروض أي 
+
+182
+00:20:56,830 --> 00:21:00,250
+subsequence تكون convergent لنفس الـ limit يعني 
+
+183
+00:21:00,250 --> 00:21:03,630
+المفروض دول الـ limits تكون متساوية وهذا مستحيل
+
+184
+00:21:03,630 --> 00:21:07,130
+إذا
+
+185
+00:21:07,130 --> 00:21:11,490
+الـ sequence of partial sums هنا divergent وبالتالي
+
+186
+00:21:11,490 --> 00:21:17,130
+نكمل الحل هنا وبالتالي therefore the series
+
+187
+00:21:21,790 --> 00:21:27,290
+المتولد من الـ sequence سالب واحد أس N اللي هي الـ
+
+188
+00:21:27,290 --> 00:21:31,970
+series هذه is
+
+189
+00:21:31,970 --> 00:21:38,510
+divergent okay
+
+190
+00:21:38,510 --> 00:21:43,210
+تمام وبالتالي هيك ممكن أثبتنا هذا مثال على
+
+191
+00:21:43,210 --> 00:21:46,430
+divergence series إذن عشان أثبت الـ series
+
+192
+00:21:46,430 --> 00:21:51,260
+divergent أو convergent بحاول أفحص الـ sequence of
+
+193
+00:21:51,260 --> 00:21:55,120
+partial sums وأفحص هل الـ sequence of partial
+
+194
+00:21:55,120 --> 00:22:01,880
+sums convergent ولا divergent ناخد 
+
+195
+00:22:01,880 --> 00:22:06,760
+كمان مثال مختلف من نوع آخر مثال رقم 3
+
+196
+00:22:21,550 --> 00:22:29,550
+Discuss the convergence of
+
+197
+00:22:29,550 --> 00:22:33,110
+the
+
+198
+00:22:33,110 --> 00:22:43,010
+series sigma from N equals one to infinity لواحد
+
+199
+00:22:43,010 --> 00:22:45,130
+على N في N زائد واحد
+
+200
+00:22:53,320 --> 00:22:59,340
+لما يكون الحد العام للـ series xn عبارة عن كسر زي 
+
+201
+00:22:59,340 --> 00:23:04,260
+هذا والكسر اللي زي هذا ممكن تجزئته إلى كسور جزئية
+
+202
+00:23:04,260 --> 00:23:10,220
+فبنعمل كسور جزئية الأول وبنجزئ الكسر هذا إلى
+
+203
+00:23:10,220 --> 00:23:16,600
+مجموع كسرين جزئيين إذا by partial fractions أو use
+
+204
+00:23:16,600 --> 00:23:22,280
+partial fractions وهذا تعلمته في تفاضل بقى
+
+205
+00:23:25,060 --> 00:23:30,740
+by partial fractions هي
+
+206
+00:23:30,740 --> 00:23:40,560
+عندي واحد على k في k زائد واحد بساوي a على k زائد 
+
+207
+00:23:40,560 --> 00:23:42,920
+b over k plus one
+
+208
+00:23:48,420 --> 00:23:53,360
+الآن لتحديد ثوابت A وB نتخلص من الكسور في المعادلة
+
+209
+00:23:53,360 --> 00:23:58,940
+هذه وذلك بضرب طرفي المعادلة في المقام تبع الطرف
+
+210
+00:23:58,940 --> 00:24:08,530
+اليسار إذا بضرب في K في K زائد واحد يطلع عندي واحد 
+
+211
+00:24:08,530 --> 00:24:16,450
+بساوي a في k plus one زا��د b في k الآن خد k بساوي 
+
+212
+00:24:16,450 --> 00:24:22,610
+صفر هذا بيقدر أن a بساوي واحد وخد k بساوي سالب 
+
+213
+00:24:22,610 --> 00:24:29,650
+واحد بيقدر أن السالب b بساوي واحد بيقدر أن b بساوي
+
+214
+00:24:29,650 --> 00:24:38,450
+سالب واحد إذا طلع أنا عندي واحد على ك في ك زائد
+
+215
+00:24:38,450 --> 00:24:45,170
+واحد بساوي واحد على ك سالب واحد على ك زائد واحد
+
+216
+00:24:45,170 --> 00:24:51,550
+الآن now تعالوا نشوف الـ nth partial sum أو نبحث الـ 
+
+217
+00:24:51,550 --> 00:24:55,430
+sequence of partial sums ونبحث هل هي convergent
+
+218
+00:24:55,430 --> 00:25:03,610
+ولا divergent فهي عندي sm بساوي summation من k
+
+219
+00:25:03,610 --> 00:25:13,170
+بساوي واحد إلى n لـ xk اللي
+
+220
+00:25:13,170 --> 00:25:19,670
+هو summation من k بساوي واحد إلى n لواحد على k في
+
+221
+00:25:19,670 --> 00:25:27,210
+k زائد واحد وهذا الآن باستخدام الـ partial fractions
+
+222
+00:25:27,210 --> 00:25:33,810
+summation من k بساوي واحد إلى n إلى واحد على k
+
+223
+00:25:33,810 --> 00:25:42,790
+سالب واحد على k موجب واحد الآن
+
+224
+00:25:42,790 --> 00:25:47,450
+هذا المجموع تعالوا نفرد تعالوا نفرفته let's expand
+
+225
+00:25:47,450 --> 00:25:49,490
+it يعني نفرفته
+
+226
+00:25:53,610 --> 00:25:58,830
+هذا مجموع منتهي في n من الحدود خد k بالساوية واحد 
+
+227
+00:25:58,830 --> 00:26:06,930
+بيطلع أول حد واحد سالب نصف خد k بساوي اثنين بيطلع
+
+228
+00:26:06,930 --> 00:26:16,010
+الحد بعده ونصف سالب ثلث وهكذا إلى الحد الأخير 
+
+229
+00:26:16,010 --> 00:26:23,560
+هيكون واحد على n ناقص واحد على n زائد واحد بنلاحظ 
+
+230
+00:26:23,560 --> 00:26:28,920
+أن المجموع هذا telescoping يعني في حدود فيها ازاي
+
+231
+00:26:28,920 --> 00:26:33,280
+تتلاشى مع الحدود اللي بعديها يعني سالب نصف لاحظوا 
+
+232
+00:26:33,280 --> 00:26:38,640
+بيروح مع موجب نصف وسالب ثلث هيروح مع موجب ثلث في 
+
+233
+00:26:38,640 --> 00:26:43,340
+الحد اللي يليه مباشرة وواحد على n هذا بيروح مع
+
+234
+00:26:43,340 --> 00:26:50,510
+سالب واحد على n في الحد اللي يصدقه مباشرة فيبقى كل
+
+235
+00:26:50,510 --> 00:26:55,650
+شيء بيروح بيظل يبقى عندي واحد negative one over n
+
+236
+00:26:55,650 --> 00:27:01,410
+زائد واحد إذا أنا طلع عيني أثبتت أن sn بساوي واحد 
+
+237
+00:27:01,410 --> 00:27:06,410
+negative واحد على n زائد واحد الكلام هذا صحيح for
+
+238
+00:27:06,410 --> 00:27:10,480
+every natural number n أخذ قيمة كما نسميها limit of
+
+239
+00:27:10,480 --> 00:27:16,580
+both sides as n tends to infinity نحصل على قيمة Sn
+
+240
+00:27:16,580 --> 00:27:17,980
+كما نسميها limit of both sides as n tends to
+
+241
+00:27:17,980 --> 00:27:18,500
+infinity نحصل على قيمة Sn كما نسميها limit of both
+
+242
+00:27:18,500 --> 00:27:19,140
+sides as n tends to infinity نحصل على قيمة Sn كما
+
+243
+00:27:19,140 --> 00:27:20,040
+نحصل على قيمة Sn كما نسميها limit of both sides as
+
+244
+00:27:20,040 --> 00:27:20,180
+n tends to infinity نحصل على قيمة Sn كما نسميها
+
+245
+00:27:20,180 --> 00:27:22,340
+limit of both sides as n tends to infinity نحصل
+
+246
+00:27:22,340 --> 00:27:24,580
+على قيمة Sn كما نسميها limit of both sides as n
+
+247
+00:27:24,580 --> 00:27:29,920
+tends to infinity نحصل على قيمة Sn كما نسميها
+
+248
+00:27:29,920 --> 00:27:36,040
+limit of both sides as
+
+249
+00:27:36,380 --> 00:27:41,720
+is convergent والـ limit تبعها بساوي واحد تمام
+
+250
+00:27:41,720 --> 00:27:46,480
+وبالتالي حسب التعريف تبع الـ convergence للـ
+
+251
+00:27:46,480 --> 00:27:49,680
+infinite series the infinite series اللي احنا
+
+252
+00:27:49,680 --> 00:27:54,320
+عايزين نفحصها اللي هي summation from n equals one
+
+253
+00:27:54,320 --> 00:28:00,200
+to infinity لـ one over n في n plus one إشملها
+
+254
+00:28:00,200 --> 00:28:02,260
+converges
+
+255
+00:28:03,720 --> 00:28:10,920
+and الـ sum تبعها يعني مجموعها بساوي واحد اللي هو 
+
+256
+00:28:10,920 --> 00:28:17,360
+limit للـ sequence of partial sums تمام؟
+
+257
+00:28:17,360 --> 00:28:20,800
+إذا هذا النوع من الـ series بنسميه telescoping ..
+
+258
+00:28:20,800 --> 00:28:28,140
+telescoping .. telescoping series
+
+259
+00:28:31,710 --> 00:28:36,990
+such type of series is called telescoping series
+
+260
+00:28:36,990 --> 00:28:41,110
+okay تمام واضح
+
+261
+00:28:54,430 --> 00:29:00,810
+طيب هناخد بس نظرية سريعة ويعني مش .. البرهان مش 
+
+262
+00:29:00,810 --> 00:29:10,810
+هياخد الا دقيقة واحدة theorem Cauchy
+
+263
+00:29:10,810 --> 00:29:17,930
+.. Cauchy criterion for
+
+264
+00:29:17,930 --> 00:29:20,950
+series
+
+265
+00:29:25,660 --> 00:29:31,060
+احنا أخذنا قبلها كوشي كريتيريا for sequences لأن
+
+266
+00:29:31,060 --> 00:29:37,560
+في كوشي كريتيريا for series فالـ .. الكوشي كريتيريا
+
+267
+00:29:37,560 --> 00:29:45,840
+for series بتنص على أنه الـ series sigma
+
+268
+00:29:45,840 --> 00:29:53,100
+x in converges if
+
+269
+00:29:53,100 --> 00:29:54,500
+and only if
+
+270
+00:29:58,620 --> 00:30:05,760
+لكل ابسلون أكبر من صفر يوجد capital N يعتمد على
+
+271
+00:30:05,760 --> 00:30:13,500
+ابسلون عدد طبيعي بحيث أنه لكل M أكبر من N أكبر من
+
+272
+00:30:13,500 --> 00:30:21,360
+أو يساوي capital N بيطلع absolute SM ناقص SN اللي
+
+273
+00:30:21,360 --> 00:30:28,830
+هو عبارة عن absolute Xm زائد واحد زائد xn زائد
+
+274
+00:30:28,830 --> 00:30:35,030
+اثنين زائد xm أصغر من اكسمن
+
+275
+00:30:49,160 --> 00:30:55,400
+كمان مرة الـ series هذه converges if and only if
+
+276
+00:30:55,400 --> 00:31:00,440
+for every epsilon فيه capital N بحيث لكل M وN
+
+277
+00:31:00,440 --> 00:31:05,140
+أكبر من أو يساوي capital N وM بتكون أكبر من N الـ
+
+278
+00:31:05,140 --> 00:31:10,520
+absolute value للفرق هذا أصغر من epsilon طب هذا هو
+
+279
+00:31:10,520 --> 00:31:11,440
+شرط كوشي
+
+280
+00:31:17,000 --> 00:31:24,920
+that is .. that is .. يعني هذا يعني أنه sigma x in 
+
+281
+00:31:24,920 --> 00:31:30,640
+converges if and only if the sequence of partial
+
+282
+00:31:30,640 --> 00:31:34,860
+sums is Cauchy
+
+283
+00:31:34,860 --> 00:31:39,880
+إذا كانت the sequence of partial sums is Cauchy هذا
+
+284
+00:31:39,880 --> 00:31:45,280
+شرط Cauchy  ينتج من the Cauchy criterion for
+
+285
+00:31:45,280 --> 00:31:51,890
+sequences طيب احنا أخدنا by definition من the 
+
+286
+00:31:51,890 --> 00:31:56,050
+definition تبع the convergence لل series by
+
+287
+00:31:56,050 --> 00:32:00,910
+definition the series sigma
+
+288
+00:32:00,910 --> 00:32:07,510
+xn converges if and only if the sequence of 
+
+289
+00:32:07,510 --> 00:32:13,870
+partial sums اللي 
+
+290
+00:32:13,870 --> 00:32:14,950
+هي Sn
+
+291
+00:32:22,440 --> 00:32:33,300
+converges مظبوط؟ by the Cauchy criterion
+
+292
+00:32:33,300 --> 00:32:41,990
+for sequences .. for the sequences من المتاليات الـ
+
+293
+00:32:41,990 --> 00:32:52,750
+sequence sn converges if and only if sn is Cauchy
+
+294
+00:32:56,430 --> 00:33:02,310
+هو بالتالي the series sigma xn converges if and
+
+295
+00:33:02,310 --> 00:33:06,150
+only if the sequence Sn converges طيب ما هذي
+
+296
+00:33:06,150 --> 00:33:09,690
+converges if and only if it is Cauchy، إذا the
+
+297
+00:33:09,690 --> 00:33:14,870
+series sigma xn converges if and only if the
+
+298
+00:33:14,870 --> 00:33:20,590
+sequence of partial sums is Cauchy، و هذا هو 
+
+299
+00:33:20,590 --> 00:33:21,150
+المطلوب
+
+300
+00:33:24,120 --> 00:33:28,920
+طبعا هذا هو شرط كوشي لحظوا SM  the M هنا أكبر من N
+
+301
+00:33:28,920 --> 00:33:39,020
+فلو اتكتبت الحدود فتبعت SM هيكون X1 إلى XM SN  the N 
+
+302
+00:33:39,020 --> 00:33:45,740
+أصغر من M فالحدود من X1 إلى XN لما أطرح بيضل عندي 
+
+303
+00:33:45,740 --> 00:33:50,260
+كل الحدود المتشابهة بيضل عندي XN زياد واحد XN زياد
+
+304
+00:33:50,260 --> 00:33:51,840
+اتنين إلى XM
+
+305
+00:33:55,430 --> 00:34:02,690
+تمام؟ اذا بنوقف هنا ال .. هذا برهان the Cauchy criterion
+
+306
+00:34:02,690 --> 00:34:07,190
+for series بنوقف عند النظرية هذه و المرة الجاية ان
+
+307
+00:34:07,190 --> 00:34:14,310
+شاء الله بنكمل هناخد the limit comparison test
+
+308
+00:34:21,040 --> 00:34:25,600
+هناك تجارب تجارب تجارب تجارب تجارب تجارب تجارب
+
+309
+00:34:25,600 --> 00:34:27,540
+تجارب تجارب تجارب 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/r7wN576DqQ0.srt

@@ -0,0 +1,1367 @@
+1
+00:00:21,190 --> 00:00:26,170
+السلام عليكم في المحاضرة هذه إن شاء الله هناخد
+
+2
+00:00:26,170 --> 00:00:32,530
+section رقم اثنين وشبطر أربعة اللي هو section أربعة
+
+3
+00:00:32,530 --> 00:00:39,250
+عنوانه limit theorems أو قوانين النهايات للدوال
+
+4
+00:00:39,250 --> 00:00:45,070
+functions أو الدالة قبل ما نتعرض ل limit theorems
+
+5
+00:00:45,070 --> 00:00:53,310
+أو قوانين النهايات للدوال بناخد تعريفها معنى أن 
+
+6
+00:00:53,310 --> 00:00:59,410
+الـ function معرفة على subset of R A ما معنى أنَّها
+
+7
+00:00:59,410 --> 00:01:06,230
+تكون bounded على جوار لنقطة C وهي في C cluster
+
+8
+00:01:06,230 --> 00:01:10,610
+point للمجال تبع الدالة ما معنى أن الدالة تكون 
+
+9
+00:01:10,610 --> 00:01:19,650
+bounded محصورة على جوار لنقطة C هذا معناه أن يوجد
+
+10
+00:01:19,650 --> 00:01:29,150
+Delta neighborhood جوار Delta لنقطة C بعمق Delta ويوجد
+
+11
+00:01:29,150 --> 00:01:34,570
+عدد موجب M بحيث أن الـ absolute value لقيم الدالة
+
+12
+00:01:34,570 --> 00:01:39,950
+أصغر من أو يساوي العدد الموجب لكل X في مجال الدالة
+
+13
+00:01:39,950 --> 00:01:47,010
+واللي موجود في الـ Delta neighborhood للـ C إذا قدرت ألاقي
+
+14
+00:01:47,010 --> 00:01:51,210
+delta neighborhood للنقطة C بحيث وعدد موجب بحيث
+
+15
+00:01:51,210 --> 00:01:55,490
+المتباينة هذه تتحقق لكل X في الـ delta neighborhood
+
+16
+00:01:55,490 --> 00:02:00,710
+وطبعًا هو موجود في الـ A فبقول أنَّ الدالة is bounded on
+
+17
+00:02:00,710 --> 00:02:03,190
+a neighborhood of C
+
+18
+00:02:05,840 --> 00:02:11,200
+النظرية هذه بتقول إنه لو أنا فيه أي فانكشن زي
+
+19
+00:02:11,200 --> 00:02:16,740
+هذه والـ limit تبعتها عند الـ cluster point C exist
+
+20
+00:02:16,740 --> 00:02:22,340
+فلابد ضروري جدًا أن من الضروري أن تكون الدالة
+
+21
+00:02:22,340 --> 00:02:30,000
+bounded على جوار لنقطة C okay فتعالوا نلخص الكلام
+
+22
+00:02:30,000 --> 00:02:35,410
+هذا let epsilon يساوي واحد عدد موجب بما أنه من
+
+23
+00:02:35,410 --> 00:02:40,050
+الفرض بما أنه limit f of x as x tends to z يساوي
+
+24
+00:02:40,050 --> 00:02:44,870
+عدد L إذا حسب تعريف الـ epsilon دلتا للـ limit of
+
+25
+00:02:44,870 --> 00:02:47,690
+function there exists delta that depends on
+
+26
+00:02:47,690 --> 00:02:51,410
+epsilon اللي هو واحد عدد موجب بحيث الـ implication
+
+27
+00:02:51,410 --> 00:02:56,230
+هي تتحقق اللي أنا باستخدام الـ triangle inequality
+
+28
+00:02:56,230 --> 00:03:01,330
+absolute f of x يساوي absolute F of X minus L
+
+29
+00:03:01,330 --> 00:03:06,850
+لأن طرحت L ورجعتها بعدين باخد اثنين هدول مع بعض By
+
+30
+00:03:06,850 --> 00:03:10,030
+the triangle equality هذا أصغر من F of X minus L
+
+31
+00:03:10,030 --> 00:03:14,510
+زائد absolute L وهذا من فوق أصغر من واحد زائد
+
+32
+00:03:14,510 --> 00:03:22,930
+absolute هذا الكلام صحيح لكل X لكل X ينتمي ل A لكل
+
+33
+00:03:22,930 --> 00:03:27,590
+X ينتمي ل A وأيضًا 
+
+34
+00:03:29,110 --> 00:03:39,530
+لكل X مختلفة عن الـ C إذا الـ X هنا لا تساوي C وأيضًا
+
+35
+00:03:39,530 --> 00:03:45,170
+هذا من هنا X لا تساوي C ومن هنا هذا معناه absolute
+
+36
+00:03:45,170 --> 00:03:50,870
+X ناقص C أصغر من Delta معناه الـ X تنتمي للـ Delta
+
+37
+00:03:50,870 --> 00:03:58,950
+neighborhood للـ C تمام أن هذا الكلام صحيح لكل x في a مختلف
+
+38
+00:03:58,950 --> 00:04:05,090
+عن ال c و لكل و في نفس الوقت موجود ال x في ال
+
+39
+00:04:05,090 --> 00:04:12,010
+delta neighborhood ل c طيب
+
+40
+00:04:12,010 --> 00:04:20,600
+احنا بما نثبت أنه بما نثبت أن الـ absolute value أو
+
+41
+00:04:20,600 --> 00:04:35,240
+وجدنا delta neighborhood لـ C نحن
+
+42
+00:04:35,240 --> 00:04:43,120
+عايزين نثبت أن absolute F of X أصغر من أو يساوي M أو
+
+43
+00:04:43,120 --> 00:04:47,860
+there exists M أكبر من الصفر بحيث أن absolute F of
+
+44
+00:04:47,860 --> 00:04:55,540
+X أصغر من أو يساوي M لكل X ينتمي إلى A تقاطع Delta
+
+45
+00:04:55,540 --> 00:05:03,240
+of C مش هيك تعريف اللي هو المتباينة هذه طيب we
+
+46
+00:05:03,240 --> 00:05:04,300
+have two cases
+
+47
+00:05:11,240 --> 00:05:17,160
+case واحد إذا كانت الـ C ��نتمي إلى A الـ cluster
+
+48
+00:05:17,160 --> 00:05:22,200
+point C هي الـ cluster point الـ C is a cluster
+
+49
+00:05:22,200 --> 00:05:29,680
+point لست A فممكن الـ C تنتمي لـ A وممكن ما تنتميش
+
+50
+00:05:29,680 --> 00:05:36,000
+إذا في اثنين حالات لو كانت الـ C تنتمي لـ A in this
+
+51
+00:05:36,000 --> 00:05:47,190
+case in this case choose M يساوي
+
+52
+00:05:47,190 --> 00:05:59,230
+الـ maximum لـ absolute F of C و 1 زائد absolute L
+
+53
+00:05:59,230 --> 00:06:03,790
+then
+
+54
+00:06:03,790 --> 00:06:08,630
+الحالة هذه absolute F of X
+
+55
+00:06:11,500 --> 00:06:16,520
+إذا كانت الـ X هذه هي الـ C فـ absolute F of X
+
+56
+00:06:16,520 --> 00:06:21,800
+يساوي absolute F of C وبالتالي أصغر من أو يساوي
+
+57
+00:06:21,800 --> 00:06:28,400
+absolute F of C اللي هي أصغر من أو يساوي M وإذا
+
+58
+00:06:28,400 --> 00:06:34,660
+كانت الـ X هذه مختلفة عن الـ C
+
+59
+00:06:40,340 --> 00:06:45,700
+ففي الحالة هذه بيطلع absolute F of X أصغر من واحد
+
+60
+00:06:45,700 --> 00:06:51,980
+زائد absolute L وهذا العدد أصغر من أو يساوي M ففي
+
+61
+00:06:51,980 --> 00:06:57,560
+كل الأحوال هذا الكلام صحيح لكل X تنتمي إلى A تقاطع
+
+62
+00:06:57,560 --> 00:07:05,800
+Delta of C وهو المطلوب طبعًا نشوف الحالة الثانية
+
+63
+00:07:05,800 --> 00:07:13,770
+Case 2 إنَّ الـ X لا تنتمي إلى A in
+
+64
+00:07:13,770 --> 00:07:20,810
+this case we
+
+65
+00:07:20,810 --> 00:07:32,390
+have absolute F in this case we take M
+
+66
+00:07:32,390 --> 00:07:37,310
+يساوي واحد زائد absolute L
+
+67
+00:07:40,850 --> 00:07:45,550
+في الحالة هذه هنأخد M يساوي واحد زائد absolute L
+
+68
+00:07:45,550 --> 00:07:49,670
+باستخدام
+
+69
+00:07:49,670 --> 00:07:54,030
+المتباينة هذه الأخيرة اللي هي سميها star
+
+70
+00:08:03,260 --> 00:08:10,660
+بيطلع عندي absolute f of x إذا كانت الـ
+
+71
+00:08:10,660 --> 00:08:17,860
+c لا تنتمي إلى a فبيصير هذه a وطرح منها c هي a
+
+72
+00:08:17,860 --> 00:08:23,760
+صح؟ وبالتالي الكلام هذا بيصير أصغر من 1 زائد
+
+73
+00:08:23,760 --> 00:08:29,700
+absolute L اللي هو أصغر من أو يساوي M وهذا صحيح لكل
+
+74
+00:08:29,700 --> 00:08:36,000
+x ينتمي إلى a تقاطع Delta of c وبسيط لأن الـ C مش
+
+75
+00:08:36,000 --> 00:08:42,320
+موجودة في إيه فاطرحها أو ماطرحاش ما بتفرقش لأن هنا
+
+76
+00:08:42,320 --> 00:08:48,700
+استخدمنا star وهنا برضه استخدمنا star then by
+
+77
+00:08:48,700 --> 00:08:56,580
+star الـ absolute value هنا طلعنا بيساوي absolute
+
+78
+00:08:56,580 --> 00:09:01,340
+of f of c إذا كانت x يساوي c وإذا كانت x مختلفة
+
+79
+00:09:01,340 --> 00:09:06,080
+عن c فمن الـ star absolute of f of x تطلع أصغر من
+
+80
+00:09:06,080 --> 00:09:10,000
+واحد زائد absolute ل وهادي أصغر من أو يساوي M في
+
+81
+00:09:10,000 --> 00:09:14,620
+الحالتين هين أثبتنا أن يوجد عدد موجب M هي العدد
+
+82
+00:09:14,620 --> 00:09:18,680
+الموجب في الحالة الأولى هو maximum هذا العدد الموجب
+
+83
+00:09:20,790 --> 00:09:25,610
+أو في الحالة الثانية M هو واحد زائد absolute L و
+
+84
+00:09:25,610 --> 00:09:30,790
+هذا عدد موجب وفي الحالتين absolute F of X أصغر من
+
+85
+00:09:30,790 --> 00:09:41,090
+M لكل X في A تقاطع Delta إذن F is bounded on
+
+86
+00:09:41,090 --> 00:09:47,950
+a neighborhood on a neighborhood bounded on a
+
+87
+00:09:47,950 --> 00:09:53,630
+neighborhood of c وهو المطلوب إذن النظرية بتقول أي
+
+88
+00:09:53,630 --> 00:09:57,730
+function لها limit على نقطة محددة لازم تكون
+
+89
+00:09:57,730 --> 00:10:05,970
+bounded على جوار لهذه النقطة واضح المطلوب؟ في أي
+
+90
+00:10:05,970 --> 00:10:16,380
+استفسار؟ مش واضح؟ لأن هذه النظرية ممكن نستخدمها في
+
+91
+00:10:16,380 --> 00:10:22,200
+إثبات أن الـ limits لـ functions معينة لنقاط معينة
+
+92
+00:10:22,200 --> 00:10:31,220
+غير موجودة فمثلًا على سبيل المثال example
+
+93
+00:10:31,220 --> 00:10:34,780
+show أن الـ limit
+
+94
+00:10:37,670 --> 00:10:43,190
+هنا الـ function 1 على x لما x تؤول لصفر does not
+
+95
+00:10:43,190 --> 00:10:55,490
+exist in R إذن
+
+96
+00:10:55,490 --> 00:11:01,550
+هنا الـ function تبعتي f of x بتساوي 1 على x حيث x
+
+97
+00:11:01,550 --> 00:11:02,690
+طبعًا لا يساوي صفر
+
+98
+00:11:09,460 --> 00:11:13,900
+ومن هنا اثبت أن الـ limit لـ f of x عند الصفر مش
+
+99
+00:11:13,900 --> 00:11:27,400
+موجودة فالبرهان ذلك by above theorem it
+
+100
+00:11:27,400 --> 00:11:33,100
+suffices it suffices to show
+
+101
+00:11:36,350 --> 00:11:44,610
+أنَّ الـ function تبعتنا الـ 
+
+102
+00:11:44,610 --> 00:11:49,750
+function
+
+103
+00:11:49,750 --> 00:11:59,130
+f هذه اللي عرضناها that الـ function f is not is
+
+104
+00:11:59,130 --> 00:12:04,590
+not bounded on
+
+105
+00:12:06,370 --> 00:12:19,450
+any delta neighborhood of zero
+
+106
+00:12:39,000 --> 00:12:44,700
+عشان أثبت أن الدالة ليست bounded ليست ... ماليهاش 
+
+107
+00:12:44,700 --> 00:12:49,620
+limit عند الصفر حسب النظرية يكفي إثبات أن الدالة
+
+108
+00:12:49,620 --> 00:12:58,800
+هذه is not bounded على أي جوار للصفر لأن 
+
+109
+00:12:58,800 --> 00:13:05,760
+لو كانت bounded على جوار واحد للصفر لو كانت الـ 
+
+110
+00:13:05,760 --> 00:13:11,480
+limit ... لأن لو كانت الـ limit تبعتها موجودة فلازم
+
+111
+00:13:11,480 --> 00:13:17,820
+تكون bounded على جوار معين للصفر فعشان أستنتج أن
+
+112
+00:13:17,820 --> 00:13:23,000
+الـ limit مش موجودة بحيث أثبت أن الـ function
+
+113
+00:13:23,000 --> 00:13:28,960
+ما هيش bounded على كل الجوارات للصفر أو على أي
+
+114
+00:13:28,960 --> 00:13:30,080
+جوار للصفر
+
+115
+00:13:37,200 --> 00:13:45,620
+فال ... إذا ال ... البرهان هنا now
+
+116
+00:13:45,620 --> 00:13:51,240
+is proved by contradiction
+
+117
+00:13:58,300 --> 00:14:04,240
+يعني حاسبكم أن تكملوا البرهان بالتناقض افرضي أنه
+
+118
+00:14:04,240 --> 00:14:11,660
+يوجد جوار يوجد
+
+119
+00:14:11,660 --> 00:14:18,860
+جوار أو function bounded عليه يوجد جوار Delta معين
+
+120
+00:14:18,860 --> 00:14:24,060
+والـ function هذه bounded عليه وحاول يوصلني إلى
+
+121
+00:14:24,060 --> 00:14:24,580
+تناقض
+
+122
+00:14:27,970 --> 00:14:33,810
+هذا بيعطي برهان ثاني إذا نجحت طبعًا في بيعطيه برهان 
+
+123
+00:14:33,810 --> 00:14:37,130
+Contradiction فهيبقى بيصير عندك برهان ثاني إنه
+
+124
+00:14:37,130 --> 00:14:41,510
+limit الـ function واحد على x لأن x تؤول لـ 0 غير 
+
+125
+00:14:41,510 --> 00:14:45,650
+موجودة طبعًا احنا أخذنا المرة اللي فاتت باستخدام الـ 
+
+126
+00:14:45,650 --> 00:14:50,650
+sequential criterion أثبتنا إنه الـ limit للـ
+
+127
+00:14:50,650 --> 00:14:54,540
+function هذه عند الصفر مش موجودة اللي فيه برهان
+
+128
+00:14:54,540 --> 00:14:57,640
+باستخدام الـ sequential criterion واليوم هيفيه 
+
+129
+00:14:57,640 --> 00:15:04,960
+برهان ثاني باستخدام النظرية اللي هيحاولوا
+
+130
+00:15:04,960 --> 00:15:09,680
+تبرهنوها هذا أو إذا ما عرفتوها احكولي أو تعالولي على
+
+131
+00:15:09,680 --> 00:15:15,880
+المكتب خلال ساعات المكتب دي طيب
+
+132
+00:15:15,880 --> 00:15:17,880
+نرجع لللي هي نظريات النهايات
+
+133
+00:15:50,720 --> 00:16:00,200
+دع F و G يكونا عاملين من A to R يكونا عاملين
+
+134
+00:16:12,190 --> 00:16:21,810
+بـClusterPoint و C ينتمي لـ R عدد حقيقي and limit
+
+135
+00:16:23,250 --> 00:16:32,030
+f of x as x tends to c يساوي n ينتمي إلى r و limit
+
+136
+00:16:32,030 --> 00:16:43,910
+g of x as x tends to c يساوي m عدد حقيقي أيضًا then
+
+137
+00:16:43,910 --> 00:16:48,750
+النتيجة واحد
+
+138
+00:16:48,750 --> 00:17:01,570
+limit أو الـ limit لـ f زائد g of x and x tends to c
+
+139
+00:17:01,570 --> 00:17:10,510
+يساوي n زائد m ولو أخدت الفرق بين الدالتين فـ limit
+
+140
+00:17:10,510 --> 00:17:13,350
+الفرق يساوي فرق الـ limits 
+
+141
+00:17:16,580 --> 00:17:27,340
+الـ limit لحاصل ضرب F في G as X tends to C بساوية لضرب
+
+142
+00:17:27,340 --> 00:17:34,200
+L في M
+
+143
+00:17:34,200 --> 00:17:38,960
+limit لثابت B في F
+
+144
+00:17:49,320 --> 00:17:51,640
+والجزء الأخير
+
+145
+00:18:06,970 --> 00:18:16,090
+لـ F over G of X as X tends to C يساوي L over M
+
+146
+00:18:16,090 --> 00:18:22,470
+طبعا بشرط وراية لإن M لا يساوي
+
+147
+00:18:30,390 --> 00:18:33,910
+الآن هذه قواعد أو قوانين النهايات نفس قوانين
+
+148
+00:18:33,910 --> 00:18:38,810
+النهايات اللي أخذناها بخصوص ال sequences والـ
+
+149
+00:18:38,810 --> 00:18:43,790
+functions وبالمن��سبة إحنا قلنا أن ال sequence هي
+
+150
+00:18:43,790 --> 00:18:51,690
+الـ function  الـ function  بنوع خاص طيب في
+
+151
+00:18:51,690 --> 00:18:55,950
+طريقتين لبرهان النظرية هذه  proof one
+
+152
+00:19:03,810 --> 00:19:15,070
+باستخدام epsilon delta definition زي
+
+153
+00:19:15,070 --> 00:19:21,750
+اللي شفنا في حالة النهايات ال limits لل
+
+154
+00:19:21,750 --> 00:19:25,310
+sequences هنا استخدمنا epsilon capital N 
+
+155
+00:19:25,310 --> 00:19:29,510
+definition هنا هنستخدم epsilon delta definition
+
+156
+00:19:29,510 --> 00:19:36,260
+فمثلاً يعني لو بالبداية to show لو بدأت بالجزء الأول
+
+157
+00:19:36,260 --> 00:19:45,020
+مثلاً بي show limit لـ f plus g of x as x tends to c
+
+158
+00:19:45,020 --> 00:19:53,300
+بساوي L plus M let epsilon أكبر من الصفر be given
+
+159
+00:19:53,300 --> 00:19:57,000
+since
+
+160
+00:20:01,260 --> 00:20:08,660
+لما يكون f of x as x tends to c يساوي L هنا هناك
+
+161
+00:20:08,660 --> 00:20:15,540
+delta one تعتمد على epsilon عدد موجب لكل x ينتمي
+
+162
+00:20:15,540 --> 00:20:20,530
+إلى a و absolute x minus c أصغر من الـ delta و أكبر من 0
+
+163
+00:20:20,530 --> 00:20:27,610
+هذا بتضمن أن absolute f of x minus l 
+
+164
+00:20:27,610 --> 00:20:35,430
+أصغر من epsilon على اتنين هذا
+
+165
+00:20:35,430 --> 00:20:43,750
+من تعريف epsilon delta definition also أيضاً since
+
+166
+00:20:46,390 --> 00:20:52,030
+أنا عندي أن limit لل function g of x as x
+
+167
+00:20:52,030 --> 00:20:59,530
+tends to c exists ويساوي عدد حقيقي M فليه for the
+
+168
+00:20:59,530 --> 00:21:04,750
+same epsilon for the same given epsilon من تعريف
+
+169
+00:21:04,750 --> 00:21:11,570
+ال limit يوجد Delta 2 عدد موجب يعتمد على epsilon
+
+170
+00:21:11,570 --> 00:21:19,290
+بحيث أنه لكل x ينتمي إلى a بحيث absolute x minus c 
+
+171
+00:21:19,290 --> 00:21:24,490
+أصغر من delta 2 أكبر من الصفر هذا بتضمن أن
+
+172
+00:21:24,490 --> 00:21:33,210
+absolute g of x minus m أصغر من epsilon على
+
+173
+00:21:33,210 --> 00:21:49,020
+اتنين the Sample Implication Double Star Now
+
+174
+00:21:49,020 --> 00:21:53,960
+لـ
+
+175
+00:21:53,960 --> 00:22:01,060
+Delta دلينا نقرّح Delta على أنها الـ minimum الأصغر
+
+176
+00:22:03,020 --> 00:22:09,000
+الأصغر بين Delta 1 و Delta 2 طبعاً Delta 1
+
+177
+00:22:09,000 --> 00:22:13,780
+و Delta 2 عدد موجب إذا الـ delta هذه عدد موجب بعدين
+
+178
+00:22:13,780 --> 00:22:18,080
+Delta 1 و Delta 2 depend on epsilon إذا الـ delta 
+
+179
+00:22:18,080 --> 00:22:22,320
+هذه depend on epsilon لأن هي أثبتنا أن يوجد Delta
+
+180
+00:22:22,320 --> 00:22:25,080
+عدد موجب بحيث أنه
+
+181
+00:22:29,490 --> 00:22:38,050
+لكل x ينتمي إلى a إذا حدث أن absolute x minus c
+
+182
+00:22:38,050 --> 00:22:45,450
+أكبر من الصفر يعني x تساوي c وأصغر من delta هذا
+
+183
+00:22:45,450 --> 00:22:49,570
+هيضمن أن
+
+184
+00:22:49,570 --> 00:23:02,710
+absolute f plus g of x minus L زي ما الـ
+
+185
+00:23:02,710 --> 00:23:08,190
+absolute value هذي بما أنها تطلع أصغر من epsilon طيب
+
+186
+00:23:08,190 --> 00:23:18,780
+f plus g of x هذي عبارة عن f of x plus g of x وباستخدام
+
+187
+00:23:18,780 --> 00:23:22,060
+الـ triangle inequality هذا أصغر من أو يساوي
+
+188
+00:23:22,060 --> 00:23:32,360
+absolute f of x minus L زائد absolute g 
+
+189
+00:23:32,360 --> 00:23:39,520
+of x minus M مظبوطة الآن
+
+190
+00:23:39,520 --> 00:23:41,080
+باستخدام الـ star
+
+191
+00:23:43,690 --> 00:23:49,910
+أنا عندي x موجودة في A والمسافة بين x و c أصغر من
+
+192
+00:23:49,910 --> 00:23:55,760
+delta والـ delta هذه أصغر من أو يساوي delta 1 فهي
+
+193
+00:23:55,760 --> 00:23:58,200
+delta الـ minimum الأصغر من delta 1 يعني الـ
+
+194
+00:23:58,200 --> 00:24:02,260
+delta هنا من تعريف الـ delta delta أصغر من أو يساوي
+
+195
+00:24:02,260 --> 00:24:05,520
+delta 1 وأصغر من أو يساوي delta minimum طيب لما
+
+196
+00:24:05,520 --> 00:24:08,820
+يكون الـ absolute value لـ x minus c أصغر من delta
+
+197
+00:24:08,820 --> 00:24:14,320
+1 أصغر من delta 1 إذا by star بيطلع absolute
+
+198
+00:24:14,320 --> 00:24:20,290
+f of x minus L أصغر من epsilon على 2 وكذلك الـ delta
+
+199
+00:24:20,290 --> 00:24:26,730
+اللي قلنا أصغر من أو يساوي delta 2 من تعريفها طب
+
+200
+00:24:26,730 --> 00:24:30,290
+لما يكون absolute x minus c أكبر من الصفر وأصغر من
+
+201
+00:24:30,290 --> 00:24:38,970
+delta 2 إذا by double star by
+
+202
+00:24:38,970 --> 00:24:44,550
+double star بيطلع absolute g of x minus m أصغر من
+
+203
+00:24:44,550 --> 00:24:51,340
+epsilon على اتنين مجموعهم بيطلع epsilon نلخص إيش
+
+204
+00:24:51,340 --> 00:24:57,560
+أثبتنا هنا اللي أثبتناه هو ما نريده for any epsilon
+
+205
+00:24:57,560 --> 00:25:01,240
+for any given epsilon أكبر من الصفر there exists
+
+206
+00:25:01,240 --> 00:25:06,040
+delta positive number ويعتمد على epsilon لأن delta
+
+207
+00:25:06,040 --> 00:25:10,500
+1 و delta 2 يعتمدوا على epsilon بحيث لكل x هي
+
+208
+00:25:10,500 --> 00:25:15,460
+أيّ و absolute x minus c أكبر من الصفر أصغر من الـ delta
+
+209
+00:25:15,460 --> 00:25:17,700
+هذه طلع absolute
+
+210
+00:25:21,470 --> 00:25:25,930
+الـ function تبعتي اللي هي مجموع f و g ناقص الـ
+
+211
+00:25:25,930 --> 00:25:32,150
+limit المقترحة أصغر من epsilon طبعاً؟
+
+212
+00:25:32,150 --> 00:25:39,970
+إذا حسب التعريف بما أن هذا صحيح since epsilon أكبر
+
+213
+00:25:39,970 --> 00:25:46,070
+من الصفر was arbitrary معناته إحنا أثبتنا أن هذا
+
+214
+00:25:46,070 --> 00:25:51,360
+الكلام لكل epsilon موجبة في delta تعطيني الـ
+
+215
+00:25:51,360 --> 00:25:56,980
+implication تبقى تعريف الـ limit وبالتالي by
+
+216
+00:25:56,980 --> 00:26:02,740
+definition by definition أو epsilon delta
+
+217
+00:26:02,740 --> 00:26:06,800
+definition of limit بتطلع عندي الـ limit للـ
+
+218
+00:26:06,800 --> 00:26:14,700
+function f plus g as x tends to c بتطلع بساوية
+
+219
+00:26:14,700 --> 00:26:21,270
+لعدد L زائد M يعني وهو المطلوب تمام؟ لأن هنا
+
+220
+00:26:21,270 --> 00:26:26,150
+استخدمنا تعريف epsilon delta لإثبات أن limit مجموع
+
+221
+00:26:26,150 --> 00:26:30,070
+two functions بيساوي مجموع limits لـ two functions
+
+222
+00:26:30,070 --> 00:26:36,350
+the limit of a sum is the sum of limits بالمثل
+
+223
+00:26:36,350 --> 00:26:43,630
+ممكن البرهان باقي أجزاء النظرية similarly or the
+
+224
+00:26:43,630 --> 00:26:47,410
+proof of
+
+225
+00:26:47,410 --> 00:26:48,390
+the other
+
+226
+00:26:52,480 --> 00:27:02,220
+parts is similar .. is similar لبرهان
+
+227
+00:27:02,220 --> 00:27:07,060
+اللي إحنا أخذناه وبالتالي هسيبكم أنتم تكتبوا 
+
+228
+00:27:14,260 --> 00:27:20,000
+ارجعوا لبرهان الـ limit لحاصل ضرب two sequences
+
+229
+00:27:20,000 --> 00:27:24,180
+بساوي لحاصل ضرب الـ limits وحاولوا تجلدوا البرهان
+
+230
+00:27:24,180 --> 00:27:28,220
+نفس الحاجة برضه هذا .. هذا طبعاً corollary على
+
+231
+00:27:28,220 --> 00:27:32,460
+الجزء اللي قبله والثاني هناك limit خارج قسم الـ two
+
+232
+00:27:32,460 --> 00:27:38,840
+sequences يساوي خارج قسم الـ limits فممكن برضه نُعمّم
+
+233
+00:27:38,840 --> 00:27:42,910
+البرهان تبع الـ sequence لـ الـ functions فحاولوا
+
+234
+00:27:42,910 --> 00:27:47,470
+تكتبوا البراهين هذه لأنه ممكن كل بساطة انتحار نصف
+
+235
+00:27:47,470 --> 00:27:52,830
+الثاني أو النهائي هأقول لك مثلاً برهن لك أن الـ limit
+
+236
+00:27:52,830 --> 00:27:55,890
+حاصل ضرب two functions بسبب حاصل ضرب الـ limit
+
+237
+00:27:55,890 --> 00:28:03,850
+using epsilon delta definition حدد لك الطريقة يجب
+
+238
+00:28:03,850 --> 00:28:08,750
+أنكم تكتبوا براهين باقي الأجزاء تمام؟
+
+239
+00:28:10,180 --> 00:28:14,320
+طيب هذا برهان الأول باستخدام epsilon delta
+
+240
+00:28:14,320 --> 00:28:19,160
+definition لكن في برهان ثاني باستخدام الـ
+
+241
+00:28:19,160 --> 00:28:22,700
+sequential criterion اللي أخذناه المرة اللي فاتت
+
+242
+00:28:22,700 --> 00:28:28,880
+فنشوف البرهان الثاني
+
+243
+00:28:28,880 --> 00:28:36,940
+إذا
+
+244
+00:28:36,940 --> 00:28:38,400
+proof 2
+
+245
+00:29:03,440 --> 00:29:09,520
+فمثلاً to show البرهان
+
+246
+00:29:09,520 --> 00:29:16,180
+جزء طبعاً باقي الأعزاء برهناها بالمثل المرة هذه مثلاً
+
+247
+00:29:16,180 --> 00:29:26,880
+لتبعت مثلاً يزر بي to show limit لـ f ضرب g of x as
+
+248
+00:29:26,880 --> 00:29:35,200
+x tends to c يساوي L times M هنستخدم الـ
+
+249
+00:29:35,200 --> 00:29:43,200
+sequential criterion فـ let xn be sequence in A
+
+250
+00:29:45,300 --> 00:29:55,540
+وحدودها مختلفة عن الـ C such that limit xn as n 
+
+251
+00:29:55,540 --> 00:30:04,580
+tends to infinity is C We must show
+
+252
+00:30:04,580 --> 00:30:09,620
+عشان أُثبت limit حاصل ضرب دالتين هنا الـ C موجودة
+
+253
+00:30:10,370 --> 00:30:14,950
+بيساوي L في M حسب الـ sequential criterion لازم
+
+254
+00:30:14,950 --> 00:30:18,370
+أثبت أنه لأي sequence حدودها مختلفة عن النقطة C
+
+255
+00:30:18,370 --> 00:30:26,450
+ونهايتها C لازم نهاية صورتها لازم نثبت نهاية
+
+256
+00:30:26,450 --> 00:30:35,130
+صورتها limit الـ f ضرب g للـ sequence xn as n tends to
+
+257
+00:30:35,130 --> 00:30:42,140
+infinity يساوي L ضرب M فلتكن أن الـ limit صورة الـ
+
+258
+00:30:42,140 --> 00:30:47,260
+sequence xn under the function f ضرب g بساوية L
+
+259
+00:30:47,260 --> 00:30:51,740
+M لأن حسب الـ sequential criterion تطلع الدالة تبعت
+
+260
+00:30:51,740 --> 00:30:56,260
+الـ limit لعنصر موجودة و بساوية العدد L في M
+
+261
+00:30:56,260 --> 00:31:02,580
+تمام؟ لأن باقي نثبت أن الـ limit لل image of this
+
+262
+00:31:02,580 --> 00:31:06,760
+sequence أبقى عن العدد LM طيب
+
+263
+00:31:09,150 --> 00:31:17,010
+لبرهان ذلك .. Now .. تعالوا نثبت الكلام هذا Now الـ
+
+264
+00:31:17,010 --> 00:31:26,770
+limit لـ f ضرب g of xn as n tends to infinity يساوي
+
+265
+00:31:26,770 --> 00:31:29,810
+الـ
+
+266
+00:31:29,810 --> 00:31:36,280
+limit حاصل ضرب two functions عند أي x أو xn هذا
+
+267
+00:31:36,280 --> 00:31:44,720
+عبارة عن f of xn ضرب g of xn لأن هذا من تعريف حاصل
+
+268
+00:31:44,720 --> 00:31:50,120
+ضرب two functions الآن هذه عبارة عن sequence وهذه
+
+269
+00:31:50,120 --> 00:31:54,900
+عبارة عن sequence و limit الـ sequence الأولى exist
+
+270
+00:31:54,900 --> 00:31:59,340
+و limit الـ sequence الثانية exist إذا by limit
+
+271
+00:31:59,340 --> 00:32:03,460
+theorems لsequences إن الـ limit حاصل الضرب يساوي
+
+272
+00:32:03,460 --> 00:32:11,300
+حاصل ضرب الـ limits فهذا يساوي limit f of xn ضرب
+
+273
+00:32:12,730 --> 00:32:21,230
+limit g of xn as n tends to infinity as n tends to
+
+274
+00:32:21,230 --> 00:32:29,850
+infinity طب إيش اللي ضمن لي ماذا يضمن إن الـ limit لـ
+
+275
+00:32:29,850 --> 00:32:36,270
+f of xn موجودة و limit لـ g of xn موجودة لأنه أنا
+
+276
+00:32:36,270 --> 00:32:48,500
+فارد since limit f of x as x tends to c exists لأن
+
+277
+00:32:48,500 --> 00:32:57,200
+هذا exists يساوي L exists and equals L and الـ limit
+
+278
+00:32:57,200 --> 00:33:03,700
+لل function g of x as x tends to c exists and يساوي
+
+279
+00:33:03,700 --> 00:33:08,300
+العدد M وعندي
+
+280
+00:33:08,300 --> 00:33:19,540
+xn و limit xn يساوي c فـ by sequential criterion إذا 
+
+281
+00:33:19,540 --> 00:33:26,330
+limit صورة ال xn under f موجودة صح؟  أهو limit صورة
+
+282
+00:33:26,330 --> 00:33:32,150
+ال sequence xn under g موجودة okay إذا هذا مضمون
+
+283
+00:33:32,150 --> 00:33:37,630
+وجود ال limit هذه وجود ال limit هذه مضمون لأن
+
+284
+00:33:37,630 --> 00:33:40,930
+limit ال f عن c موجودة وبالتالي و limit ال
+
+285
+00:33:40,930 --> 00:33:45,610
+sequence xn بالساوى c إذا هذه موجودة من ال
+
+286
+00:33:45,610 --> 00:33:48,790
+sequential criterion و كذلك هذه من ال sequential
+
+287
+00:33:48,790 --> 00:33:49,330
+criterion
+
+288
+00:33:52,710 --> 00:33:59,930
+طيب ما هدى ال limit الأخيرة هدى بالساوي L by 
+
+289
+00:33:59,930 --> 00:34:05,050
+sequential criterion إذا كانت limit f of x اما x
+
+290
+00:34:05,050 --> 00:34:08,890
+أو لا c موجودة وبالساوي L وإن دي فيه sequence
+
+291
+00:34:08,890 --> 00:34:13,850
+نهايتها C فنهاية صورة ال sequence under F بالساوي
+
+292
+00:34:13,850 --> 00:34:20,550
+L وكذلك نفس الحاجة بما أن limit g and c موجودة و
+
+293
+00:34:20,550 --> 00:34:25,250
+بيساوي m و xn نهايتها c إذا by sequential
+
+294
+00:34:25,250 --> 00:34:32,550
+criterion limit g صورة ال xn under g بيساوي m إذا
+
+295
+00:34:32,550 --> 00:34:42,410
+هذا by sequential criterion وهذا 
+
+296
+00:34:42,410 --> 00:34:43,650
+اللي احنا عايزين نثبته
+
+297
+00:34:48,110 --> 00:34:53,630
+عايزين نثبت أن limit f ضارب g أو ال image لسيكوينس
+
+298
+00:34:53,630 --> 00:34:57,890
+x in under ال function f ضارب g بالساوي ال M هاي
+
+299
+00:34:57,890 --> 00:35:02,050
+بدينا ب limit ال image لسيكوينس x in under f g
+
+300
+00:35:02,050 --> 00:35:09,110
+وطلعت هي بالساوي ال M إذا by sequential
+
+301
+00:35:26,030 --> 00:35:34,050
+البرهين الأجزاء الأخرى مماثلة ال proof of the
+
+302
+00:35:34,050 --> 00:35:37,510
+other parts
+
+303
+00:35:40,000 --> 00:35:50,560
+is similar مشابه exercise it
+
+304
+00:35:50,560 --> 00:35:59,140
+اتمرن عليهم اتمرن على كتابة البرهيم اكتبوهم okay
+
+305
+00:35:59,140 --> 00:36:03,340
+تمام إذا ما في عندي نهائي من القرآن لlimits
+
+306
+00:36:05,580 --> 00:36:10,940
+ناخد لنا بس مثال أو اتنين أو خلينا ناخد corollary
+
+307
+00:36:10,940 --> 00:36:19,420
+خليني 
+
+308
+00:36:19,420 --> 00:36:23,600
+بس يعني اخدلي corollary سريع على النظرية هذه
+
+309
+00:36:39,870 --> 00:36:45,390
+Corollary 1 F
+
+310
+00:36:48,310 --> 00:36:58,610
+f1,f2 إلى fm are functions from a to r و c a 
+
+311
+00:36:58,610 --> 00:37:02,190
+cluster point
+
+312
+00:37:02,190 --> 00:37:14,130
+of a and limit fk of x as x tends to c بالساوي ال
+
+313
+00:37:14,130 --> 00:37:17,750
+then
+
+314
+00:37:19,410 --> 00:37:29,030
+وطبعا هنا for all k بيساوي واحد اتنين إلى M then
+
+315
+00:37:29,030 --> 00:37:42,870
+واحد limit ل F1 زي F2 زي وهاكذا زي Fn of X بيساوي
+
+316
+00:37:42,870 --> 00:38:02,630
+لما X تقول ل C هذا بيساوي N1 زي NL2 زائد زائد
+
+317
+00:38:02,630 --> 00:38:08,790
+LL اتنين limit لحاصل
+
+318
+00:38:08,790 --> 00:38:21,970
+ضرب F1 ضرب F2 ضرب FNF of X as X tends to C بيساوي
+
+319
+00:38:21,970 --> 00:38:30,190
+L1 ضرب L2 ضرب و هكذا ضرب LL تلاتة
+
+320
+00:38:30,190 --> 00:38:34,130
+F
+
+321
+00:38:34,130 --> 00:38:41,090
+limit F of X as X tends to C بيساوي L
+
+322
+00:38:45,730 --> 00:38:55,510
+ل F of X الكل أُس N as X tends to C بيساوي L أُس N
+
+323
+00:38:55,510 --> 00:39:08,870
+لبرهان
+
+324
+00:39:08,870 --> 00:39:15,920
+ال Corollary هذا هذا الجزء الأول هو نتيجة على
+
+325
+00:39:15,920 --> 00:39:27,940
+الجزء A من النظرية زائد induction on M إذاً
+
+326
+00:39:27,940 --> 00:39:38,580
+to prove one and two use above theorem and
+
+327
+00:39:38,580 --> 00:39:39,280
+induction
+
+328
+00:39:42,280 --> 00:39:49,140
+invection on edge هنا 
+
+329
+00:39:49,140 --> 00:39:56,840
+في اثبات الجزء التالت to prove تلاتة 
+
+330
+00:40:00,320 --> 00:40:17,960
+أخذ F1 بساوي F2 بساوي Fn بساوي F in part اتنين to
+
+331
+00:40:17,960 --> 00:40:22,960
+get the
+
+332
+00:40:22,960 --> 00:40:23,420
+result
+
+333
+00:40:30,710 --> 00:40:35,510
+يعني لدرهان الكلام هذا إذا كانت limit F عن C بيساوي
+
+334
+00:40:35,510 --> 00:40:42,330
+L فعوضي أو خدي F واحد هي F و F اتنين F و كلهم
+
+335
+00:40:42,330 --> 00:40:50,570
+بساوي F فكأن إذا هنا limit F to the power N and X
+
+336
+00:40:50,570 --> 00:40:55,630
+هيطلع بيساوي L مضروبة في نفس M المرات اللي هو إذا 
+
+337
+00:40:55,630 --> 00:41:00,960
+هذا الجزء التالت corollary على الجزء التاني Okay
+
+338
+00:41:00,960 --> 00:41:04,040
+تمام؟
+
+339
+00:41:04,040 --> 00:41:08,220
+Okay إذا بنوقف هنا وإن شاء الله المرة الجاية هنأكل
+
+340
+00:41:08,220 --> 00:41:14,340
+أمثلة على المظريات هذه ونحاول 
+
+341
+00:41:14,340 --> 00:41:19,260
+ناخد قصارى أخرى لل limits of functions إذا نكتفي
+
+342
+00:41:19,260 --> 00:41:23,600
+بهذا القدر ونشوفكم إن شاء الله يوم الأثنين

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/t35SQVeADNY.srt

@@ -0,0 +1,1559 @@
+1
+00:00:21,400 --> 00:00:26,440
+المرة اللي فاتت إحنا يعني أخذنا ال Archimedean 
+
+2
+00:00:26,440 --> 00:00:33,820
+property وشوفنا فيه صور متعددة لها أو صور مختلفة
+
+3
+00:00:33,820 --> 00:00:39,140
+اللي هي الصور الثلاث هذه فكل 
+
+4
+00:00:39,140 --> 00:00:43,160
+واحدة من الخواص دي تعتبر Archimedean property أو
+
+5
+00:00:43,160 --> 00:00:48,670
+مكافئة لخاصية Archimedes أو Archimedes وأهم واحدة
+
+6
+00:00:48,670 --> 00:00:55,930
+في الصور الثلاث اللي هي الخاصية دي D اللي بتقول
+
+7
+00:00:55,930 --> 00:01:01,490
+أو بتنص على أنه لأي عدد حقيقي موجب أيًّا بقدر ألاقي 
+
+8
+00:01:01,490 --> 00:01:06,650
+عدد طبيعي مقلوبه أصغر من العدد الموجب أيًّا 
+
+9
+00:01:10,990 --> 00:01:15,490
+وشفنا المرة اللي فاتت البرهان بتاع الأجزاء الثلاث
+
+10
+00:01:15,490 --> 00:01:21,530
+هذه وهذا مثال قلنا هذا مثال على set والـ set هذه
+
+11
+00:01:21,530 --> 00:01:26,950
+bounded وأثبتنا.. شفنا كيف نثبت أن الـ infimum 
+
+12
+00:01:26,950 --> 00:01:34,090
+بتاعها بيساوي 7 إذن هذا كان مجرد مثال على كيف نثبت 
+
+13
+00:01:34,090 --> 00:01:36,170
+أو كيف نوجد الـ infimum للـ set
+
+14
+00:01:40,130 --> 00:01:53,370
+الآن في عندي نظرية كتير مهمة إحنا أخذنا في الـ
+
+15
+00:01:53,370 --> 00:01:59,570
+citation السابقة أثبتنا كان في عندي example أعتقد 
+
+16
+00:01:59,570 --> 00:02:05,850
+أو fact أنه 
+
+17
+00:02:05,850 --> 00:02:18,320
+الـ.. لا يوجد.. لا يوجد T ينتمي لـ Q بحيث أنّه T
+
+18
+00:02:18,320 --> 00:02:28,060
+تربيعه بيساوي 2 ما فيش عدد نسبي تربيعه بيساوي 2 
+
+19
+00:02:28,060 --> 00:02:36,220
+أو بمعنى آخر.. أو بمعنى آخر جذر الـ 2 ليس عدد
+
+20
+00:02:36,220 --> 00:02:43,960
+نسبي وهذا أثبتناه في مثال سابق أثبتنا؟ في هذا المثال
+
+21
+00:02:43,960 --> 00:02:52,580
+افترضنا ضمنيًّا أن جذر 2 هذا هو عدد حقيقي لأن هذا
+
+22
+00:02:52,580 --> 00:02:58,260
+عبارة عن عدد حقيقي اليوم
+
+23
+00:02:58,260 --> 00:03:06,400
+هنرجع ونثبت في نظرية 1.17 أن جذر 2 هذا فعلاً هو عدد 
+
+24
+00:03:06,400 --> 00:03:13,130
+حقيقي بنثبت أنه يوجد عدد حقيقي اللي هو اسمه جذر
+
+25
+00:03:13,130 --> 00:03:21,050
+2 هذا العدد موجود ممكن يعني إثبات أنه موجود 
+
+26
+00:03:21,050 --> 00:03:30,290
+إذا النظرية هذه بتقول يوجد عدد حقيقي موجب تربيعه 
+
+27
+00:03:30,290 --> 00:03:35,510
+بيساو 2 بمعنى آخر جذر 2 هو عدد حقيقي
+
+28
+00:03:38,190 --> 00:03:43,250
+فالبرهان ذلك ده ما.. هذا ما نسميه يعني هنا 
+
+29
+00:03:43,250 --> 00:03:48,910
+البرهان constructive proof أو يعني برهان بناء أو
+
+30
+00:03:48,910 --> 00:03:54,670
+بالبناء لأنه بنا نثبت الـ existence بتاع شغلة فلازم
+
+31
+00:03:54,670 --> 00:03:57,790
+هذه الشغلة اللي بنا نثبت وجودها بنا نبنيها بنا 
+
+32
+00:03:57,790 --> 00:04:05,160
+نكونها ففي عملية بناء هنا في البراهين اللي زي هذه
+
+33
+00:04:05,160 --> 00:04:09,740
+بنعرف set وبنعرف شغلات بنثبت أنها هي الحاجات
+
+34
+00:04:09,740 --> 00:04:16,360
+المطلوبة فـ let S نعرف مجموعة S على أنها كل العناصر 
+
+35
+00:04:16,360 --> 00:04:23,500
+S في R كل الأعداد الحقيقية S اللي بتكون غير سالبة 
+
+36
+00:04:23,500 --> 00:04:29,860
+ومربعها أصغر من الـ 2 الآن
+
+37
+00:04:29,860 --> 00:04:36,210
+المجموعة هذه غير خالية ليه؟ لأن الـ 1.. الـ 1 
+
+38
+00:04:36,210 --> 00:04:41,650
+ينتمي ليها تعالوا نتأكد ليه الـ 1 ينتمي للـ set هذه؟
+
+39
+00:04:41,650 --> 00:04:46,890
+لأن الـ 1 بيحقق الشرطين بتاعا الـ set أول شيء 1
+
+40
+00:04:46,890 --> 00:04:51,870
+أكبر من أو يساوي صفر هذا صحيح 1 تربيع بيساوي
+
+41
+00:04:51,870 --> 00:04:55,390
+1 أصغر من الـ 2 لأن هذه المجموعة فيها على 
+
+42
+00:04:55,390 --> 00:05:01,490
+الأقل الـ 1 وبالتالي هذه مجموعة غير خالية non
+
+43
+00:05:01,490 --> 00:05:02,070
+-empty
+
+44
+00:05:05,790 --> 00:05:16,350
+كذلك المجموعة هذه bounded above by 2 لو
+
+45
+00:05:16,350 --> 00:05:26,350
+كان بنثبت أن T أصغر من أو يساوي 2 لكل T في S
+
+46
+00:05:34,900 --> 00:05:38,820
+T أصغر من أو يساوي 2 لكل T في S يعني 2 upper
+
+47
+00:05:38,820 --> 00:05:43,480
+bound للـ set S فالبرهان
+
+48
+00:05:43,480 --> 00:05:47,700
+ذلك بالتناقض برهنها 
+
+49
+00:05:47,700 --> 00:05:53,160
+بالتناقض assume أنه 
+
+50
+00:05:53,160 --> 00:06:01,430
+يوجد T0 كيف بتعدّل في الجملة هذه؟ بدل لكل T في S يوجد 
+
+51
+00:06:01,430 --> 00:06:08,330
+T0 في S such that T0 بدل أصغر من أو يساوي بيصير
+
+52
+00:06:08,330 --> 00:06:15,030
+أكبر من الـ 2 هذا بيقود إلى أن T0 تربيع أكبر من
+
+53
+00:06:15,030 --> 00:06:25,110
+4 صح؟ و4 أكبر من الـ 2 طب T0 هذا ينتمي
+
+54
+00:06:25,110 --> 00:06:35,900
+لـ S معناته T0 تربيع هذا أصغر من الـ 2 صح؟ أظبط؟
+
+55
+00:06:35,900 --> 00:06:39,660
+إذا بيطلع عندي 2 أكبر من الـ 2 2 أكبر من
+
+56
+00:06:39,660 --> 00:06:44,720
+الـ 2 contradiction تناقض تمام؟ إذا هذا التناقض
+
+57
+00:06:44,720 --> 00:06:45,920
+بيثبت لك ليه؟
+
+58
+00:06:51,390 --> 00:06:55,630
+إذا أنا هقدر أقول إنّه بيقول لي أن الـ S is bounded 
+
+59
+00:06:55,630 --> 00:07:05,110
+above by 2 الـ S محدودة من أعلى by 2 طيب 
+
+60
+00:07:05,110 --> 00:07:11,830
+لإن أنا عندي S non-empty و bounded above إذا
+
+61
+00:07:11,830 --> 00:07:17,190
+by completeness property الـ S هذه لازم يكون فيه
+
+62
+00:07:17,190 --> 00:07:23,290
+لها supremum it has a supremum in R say دعنا نسميه 
+
+63
+00:07:23,290 --> 00:07:28,870
+X إذا الـ X اللي هو الـ supremum لـ S هذا exist in R
+
+64
+00:07:28,870 --> 00:07:34,390
+by completeness property هذا الـ X اللي هو الـ 
+
+65
+00:07:34,390 --> 00:07:42,060
+supremum لـ S برضه بيطلع أكبر من 1 ليه؟ لأن 5 
+
+66
+00:07:42,060 --> 00:07:47,780
+على 4 ينتمي لـ S عنصر في S لهذا صح تعالوا نتأكد
+
+67
+00:07:47,780 --> 00:07:53,080
+الـ 5 على 4 أكبر من أو يساوي صفر و5 على
+
+68
+00:07:53,080 --> 00:07:57,040
+4 تربيع اللي هو 25 على 16 أصغر من
+
+69
+00:07:57,040 --> 00:08:03,030
+الـ 2 إذن هذا العدد ينتمي لـ S والـ X هذا supremum
+
+70
+00:08:03,030 --> 00:08:08,870
+لـ S وبالتالي X upper bound لـ S الـ X upper bound لـ
+
+71
+00:08:08,870 --> 00:08:14,410
+S إذن أكبر من أو يساوي كل عناصرها إذن الـ X أكبر من 
+
+72
+00:08:14,410 --> 00:08:19,070
+أو يساوي 5 على 4 و5 على 4 أكبر من 
+
+73
+00:08:19,070 --> 00:08:25,470
+1 إذن X أكبر من 1 تمام؟ إذن هنا أثبتنا إن الـ 
+
+74
+00:08:25,470 --> 00:08:31,610
+S يوجد عدد حقيقي x اللي هو الـ supremum لـ S وهذا الـ
+
+75
+00:08:31,610 --> 00:08:39,910
+x أكبر من 1 الآن هذا الـ x هو.. بنثبت هو الجذر
+
+76
+00:08:39,910 --> 00:08:42,690
+التربيعي للـ 2
+
+77
+00:08:49,400 --> 00:08:53,760
+الآن هذا الـ X اللي هو طلع موجود by completeness of
+
+78
+00:08:53,760 --> 00:08:58,600
+property وعدد أكبر من 1 بنثبت أنه تربيعه بيساوي 
+
+79
+00:08:58,600 --> 00:09:05,180
+2 يعني هو العدد المطلوب أن الـ X هو جذر 2 
+
+80
+00:09:11,980 --> 00:09:15,800
+فإذا أثبتنا الـ claim هذا بتكون كملنا برهان نظرية
+
+81
+00:09:15,800 --> 00:09:19,760
+طيب هذا الـ claim برضه متبرهّن بالتناقض assume الـ 
+
+82
+00:09:19,760 --> 00:09:25,060
+contrary إن x تربيع بيساويش 2 if by tricotomy 
+
+83
+00:09:25,060 --> 00:09:30,020
+property إما x تربيع أصغر من 2 أو أكبر من
+
+84
+00:09:30,020 --> 00:09:34,160
+2 إذا أنا في عندي حالتين هنا لازم أخدهم في
+
+85
+00:09:34,160 --> 00:09:40,610
+الاعتبار عشان أكمل برهان الـ claim الحالة الأولى
+
+86
+00:09:40,610 --> 00:09:47,190
+فيها x تربيع أصغر من الـ 2 و بتؤدي في الحالة 
+
+87
+00:09:47,190 --> 00:09:51,790
+هذه لتناقض عشان أثبت الـ claim لإن الـ claim بدينا
+
+88
+00:09:51,790 --> 00:09:56,810
+برهانه بالتناقض assume the contrary فرضنا النقيض
+
+89
+00:09:58,620 --> 00:10:02,360
+تعالوا نشوف كيف نصل لتناقض في الحالة هذه أنا عندي n 
+
+90
+00:10:02,360 --> 00:10:07,640
+لكل n عدد طبيعي n تربيع أكبر من أو يساوي n و
+
+91
+00:10:07,640 --> 00:10:10,700
+بالتالي مقلوب n تربيع دائمًا أصغر من أو يساوي مقلوب
+
+92
+00:10:10,700 --> 00:10:18,500
+الـ n هذا صحيح الآن x زائد 1 على n الكل تربيع ربع
+
+93
+00:10:18,500 --> 00:10:23,820
+بيطلع x تربيع زائد 2 زائد ضعف الأول في الثاني زائد 
+
+94
+00:10:23,820 --> 00:10:31,370
+مربع الثاني الآن بدي أشيل 1 على n تربيع هدّي أشيلها 
+
+95
+00:10:31,370 --> 00:10:37,250
+وأستبدلها بحاجة أكبر من.. أكبر من أو يساوي اللي 
+
+96
+00:10:37,250 --> 00:10:42,030
+هو 1 على n لأن هنا لما أستبدل هذه بـ 1 على n بيصير 
+
+97
+00:10:42,030 --> 00:10:47,250
+هذا أصغر من أو يساوي x تربيع زائد 2x على n زائد 1 
+
+98
+00:10:47,250 --> 00:10:51,410
+على n ولما أخذ من الحدين هدول 1 على n عامل مشترك
+
+99
+00:10:51,410 --> 00:10:53,610
+بيضل 2x زائد 1
+
+100
+00:11:02,350 --> 00:11:07,870
+تمام؟ إذا أنا عندي أصبح الـ x زائد 1 على n الكل
+
+101
+00:11:07,870 --> 00:11:15,110
+تربيع أصغر من أو يساوي المقدار هذا طيب إحنا من الـ
+
+102
+00:11:15,110 --> 00:11:20,150
+.. إحنا فرضنا x تربيع أصغر من 2 إذا 2 سالب x تربيع
+
+103
+00:11:20,150 --> 00:11:25,410
+بيطلع عدد موجب والـ x عدد أكبر من 1، إذا 2x
+
+104
+00:11:25,410 --> 00:11:30,050
+زائد 1 عدد موجب، إذا كسر بسطه موجب ومقامه موجب،
+
+105
+00:11:30,050 --> 00:11:34,330
+بيطلع عدد موجب، إذا حسب الـ property اللي أنا
+
+106
+00:11:34,330 --> 00:11:38,670
+علمتها بالـ star لأيّ
+
+107
+00:11:38,670 --> 00:11:43,530
+عدد موجب، قلنا يوجد عدد طبيعي N0 مقلوبه أصغر من
+
+108
+00:11:43,530 --> 00:11:49,810
+العدد الموجب أضرب الطرفين في العدد الموجود 2x زائد 1 
+
+109
+00:11:49,810 --> 00:11:56,990
+بيصير المتباينة هذه شكلها هكذا الآن 
+
+110
+00:11:56,990 --> 00:12:01,710
+من المتباينة 3 هاي المتباينة 3 هاي عندي x
+
+111
+00:12:01,710 --> 00:12:05,590
+أنا
+
+112
+00:12:05,590 --> 00:12:11,000
+عندي يوجد in zero ينتمي لـ N طبعًا هذا الكلام 
+
+113
+00:12:11,000 --> 00:12:15,160
+المتباينة 3 هذه صحيحة لكل الأعداد الطبيعية N 
+
+114
+00:12:15,160 --> 00:12:21,240
+وبالتالي صحيحة للعدد الطبيعي N0 إذا تعالوا نقرأ 
+
+115
+00:12:21,240 --> 00:12:26,380
+المتباينة 3 ونبدّل N بـ N0 فبيصير x زائد 1 على 
+
+116
+00:12:26,380 --> 00:12:29,840
+N0 تربيع أصغر من
+
+117
+00:12:34,400 --> 00:12:39,760
+مفروض أصغر منها يساوي x تربيع زيادة 1 على N Zero 
+
+118
+00:12:39,760 --> 00:12:47,860
+في 2x زيادة 1 و1
+
+119
+00:12:47,860 --> 00:12:53,640
+على N Zero في 2x زيادة 1 أصغر من 2 سالب
+
+120
+00:12:53,640 --> 00:13:00,200
+x تربيع إذن هذا هيصير أصغر من 2 سالب x تربيع y
+
+121
+00:13:00,200 --> 00:13:02,880
+x تربيع اللي هو بيطلع 2
+
+122
+00:13:08,840 --> 00:13:14,640
+إذا أنا في عندي الآن عدد العدد اللي هو x زيادة 1
+
+123
+00:13:14,640 --> 00:13:21,600
+على N Zero مربعه أصغر من الـ 2 إذا هذا العدد
+
+124
+00:13:21,600 --> 00:13:25,320
+اللي هو x زيادة 1 على N Zero هو عدد غير سالب
+
+125
+00:13:25,320 --> 00:13:29,320
+ومربعه أصغر من الـ 2 إذا هذا ينتمي للمجموعة S 
+
+126
+00:13:29,320 --> 00:13:33,880
+اللي عرفتها في بداية البرهان إذا هذا العدد ينتمي 
+
+127
+00:13:33,880 --> 00:13:34,920
+للمجموعة S 
+
+128
+00:13:37,690 --> 00:13:44,950
+و هذا بي.. بيقود إلى أنّه الـ.. العدد هذا مش ممكن 
+
+129
+00:13:44,950 --> 00:13:53,790
+يكون upper bound للـ set S هذا
+
+130
+00:13:53,790 --> 00:13:58,650
+مش ممكن يكون upper bound للـ set S لأن الـ X هو upper 
+
+131
+00:13:58,650 --> 00:14:04,390
+bound هو الـ supremum و
+
+132
+00:14:04,390 --> 00:14:05,850
+بالتالي 
+
+133
+00:14:14,060 --> 00:14:18,100
+إحنا أثبتنا إنّ X هي الـ upper bound لكن لجينا X زيادة 
+
+134
+00:14:18,100 --> 00:14:22,100
+1 على N not هي ثانوية لـ S فبالتالي في عنصر أكبر
+
+135
+00:14:22,100 --> 00:14:31,140
+من X فهذا الـ contradiction مظبوط لأن هذا
+
+136
+00:14:31,140 --> 00:14:38,730
+عنصر في S وبالتالي هذا بيقود هذا بيقود إلى أنّ X 
+
+137
+00:14:38,730 --> 00:14:47,890
+ماهوش upper bound لأنه الـ X أصغر من 1 من X
+
+138
+00:14:47,890 --> 00:14:54,650
+زيادة 1 على N زيرو وهذا
+
+139
+00:14:54,650 --> 00:14:55,590
+ينتمي لـ S
+
+140
+00:15:01,160 --> 00:15:06,760
+فهذا عنصر في S وأكبر من X هذا معناه أنّ الـ X هذا 
+
+141
+00:15:06,760 --> 00:15:12,420
+مش ممكن يكون upper bound لـ S وهذا بتناقض مع كون X 
+
+142
+00:15:12,420 --> 00:15:18,160
+هو upper bound لأنه supreme لـ S احنا قلنا أن الـ X
+
+143
+00:15:18,160 --> 00:15:22,840
+هذا اللي في الـ claim أيه الـ X هذا هو supreme لـ S
+
+144
+00:15:22,840 --> 00:15:27,180
+وبالتالي upper bound لـ S وهنا وصلنا لأن الـ X مش
+
+145
+00:15:27,180 --> 00:15:31,160
+ممكن يكون upper bound لـ S لأنه أصغر من عنصر ما
+
+146
+00:15:31,160 --> 00:15:34,720
+ينتمي لـ S إذا فيه تناقض لأن هنا وصلنا إلى
+
+147
+00:15:34,720 --> 00:15:41,480
+contradiction إذا فرضنا X بيه أصغر من 2 وصلتنا لـ
+
+148
+00:15:41,480 --> 00:15:46,760
+contradiction بالمثل بالمثل
+
+149
+00:15:46,760 --> 00:15:51,480
+في الحالة الثانية في
+
+150
+00:15:51,480 --> 00:15:56,980
+الحالة الثانية لو فرضنا أن x تربيع المرة دي أكبر من 
+
+151
+00:15:56,980 --> 00:16:03,100
+الاثنين فبرضه ممكن نصل بنفس الطريقة و بنفس الأسلوب
+
+152
+00:16:03,100 --> 00:16:09,220
+في النهاية إلى contradiction نصل إلى contradiction
+
+153
+00:16:09,220 --> 00:16:15,100
+وبالتالي إذا احنا فرضنا أنه احنا كنا كان الـ claim
+
+154
+00:16:15,100 --> 00:16:20,520
+تبعنا الذكرى في البرنامج احنا كنا عايزين نثبت أن x
+
+155
+00:16:20,520 --> 00:16:26,060
+تربيع بساوي 2 ففرضنا أن x تربيع لا يساوي 2
+
+156
+00:16:26,060 --> 00:16:33,520
+وبالتالي هذا بيقدر أن x تربيع أصغر من 2 أو x
+
+157
+00:16:33,520 --> 00:16:38,200
+تربيع أكبر من 2 وفي كل حالة من الحالات هذه
+
+158
+00:16:38,200 --> 00:16:43,520
+وصلنا إلى تناقض إذا التناقض هذا سببه أنه إذا احنا
+
+159
+00:16:43,520 --> 00:16:49,620
+فرضنا هو فرضنا أن x تربيع لا يساوي 2 هذا بيثبت 
+
+160
+00:16:49,620 --> 00:16:54,980
+الـ claim اللي هو x تربيع بساوي 2 و بكمل البرهان
+
+161
+00:16:54,980 --> 00:17:03,440
+okay تمام إذا هذا هو برهان الـ .. النظرية هذه إذا
+
+162
+00:17:03,440 --> 00:17:09,440
+الآن أصبح عندي في نظريتين واحدة بتقول أنه جذر 2
+
+163
+00:17:09,440 --> 00:17:14,660
+هو عدد حقيقي ونظرية
+
+164
+00:17:14,660 --> 00:17:19,300
+ثانية أو حقيقة ثانية أن جذر 2 ليس عدد نسبي
+
+165
+00:17:36,150 --> 00:17:44,930
+طيب في كمان نتيجة مهمة على النتائج هذه أو نظرية
+
+166
+00:17:44,930 --> 00:17:49,490
+مهمة اللي هي density theorem نظرية الكثافة الـ
+
+167
+00:17:49,490 --> 00:17:55,530
+density theorem الـ density theorem بتقول بين أي
+
+168
+00:17:55,530 --> 00:18:01,230
+عددين حقيقيين يوجد عدد نسبي يعني لو أنا في عندي
+
+169
+00:18:02,110 --> 00:18:11,650
+عددين حقيقيين X أصغر من Y هاي X وهاي Y يوجد عدد
+
+170
+00:18:11,650 --> 00:18:20,390
+نسبي R ينتمي لـ Q بحيث أن R أكبر من X أصغر من Y أو
+
+171
+00:18:20,390 --> 00:18:27,320
+بمعنى آخر، لو في عندي فترة مفتوحة X وY فلازم هذه
+
+172
+00:18:27,320 --> 00:18:34,100
+الفترة وفي هذه الفترة غير خالية فلازم نلاقي R
+
+173
+00:18:34,100 --> 00:18:41,700
+ينتمي للفترة المفتوحة و R هذا عدد نسبي إذا الـ
+
+174
+00:18:41,700 --> 00:18:45,520
+density theorem بكل بساطة بتقول between any two
+
+175
+00:18:45,520 --> 00:18:50,990
+real numbers there exists a rational number أو Any
+
+176
+00:18:50,990 --> 00:18:55,030
+non-empty open interval contains a rational number
+
+177
+00:18:55,030 --> 00:19:02,170
+نفس الشيء أو نفس الـ statement البرهان مش صعب
+
+178
+00:19:02,170 --> 00:19:05,210
+تعالوا 
+
+179
+00:19:05,210 --> 00:19:10,410
+نشوف البرهان أنا عندي فرض أن X أصغر من Y فرض X
+
+180
+00:19:10,410 --> 00:19:16,790
+أصغر من Y وبالتالي Y سالب X عدد موجب إذا by the
+
+181
+00:19:16,790 --> 00:19:20,330
+Archimedean property بقدر ألاقي عدد هنا المفروض
+
+182
+00:19:20,330 --> 00:19:28,050
+يكون جزء B فـ by
+
+183
+00:19:28,050 --> 00:19:31,590
+Archimedean property واحد ستاشر بيه اللي أعطيناها
+
+184
+00:19:31,590 --> 00:19:37,930
+إشارة نجمة لأي عدد موجب زي هذا يوجد عدد طبيعي n
+
+185
+00:19:37,930 --> 00:19:45,930
+مقلوب وأصغر من عدد الموجب الآن بدي أعرف أن أكبر عدد
+
+186
+00:19:45,930 --> 00:19:50,190
+صحيح أصغر من أو يساوي n X هذه دالة أكبر عدد صحيح
+
+187
+00:19:50,190 --> 00:19:55,290
+وأضيف عليها واحد طبعًا هذا عدد صحيح زائد واحد
+
+188
+00:19:55,290 --> 00:19:59,930
+الواحد عدد صحيح فمجموعهم بيطلع عدد صحيح إذا أنا
+
+189
+00:19:59,930 --> 00:20:04,250
+عرفت عدد صحيح m ينتمي إلى z على أنه the greatest
+
+190
+00:20:04,250 --> 00:20:09,110
+integer less than or equal to n X plus one الآن
+
+191
+00:20:09,110 --> 00:20:16,650
+بتثبت أنه في عندي claim بتثبت أن هذا العدد m بيحقق
+
+192
+00:20:16,650 --> 00:20:22,110
+المتباينة هذه إذا
+
+193
+00:20:22,110 --> 00:20:31,330
+أنا عايز أثبت أنه الـ claim تبعي one أنه m negative
+
+194
+00:20:31,330 --> 00:20:35,850
+one less than or equal n X less than m
+
+195
+00:20:39,470 --> 00:20:46,730
+طيب من تعريف دالة أكبر عدد صحيح by definition of
+
+196
+00:20:46,730 --> 00:20:52,970
+the greatest integer function هذا العدد دائمًا أكبر
+
+197
+00:20:52,970 --> 00:20:58,150
+من نفسه العدد اللي جوا سالب واحد وأصغر من أو ساوي
+
+198
+00:20:58,150 --> 00:21:05,870
+نفسه صح؟ هذا العدد أكبر عدد صحيح أصغر من أو ساوي NX
+
+199
+00:21:05,870 --> 00:21:11,970
+يعني نفسر نفسه إذا هذا العدد أصغر من أو ساوي NX و
+
+200
+00:21:11,970 --> 00:21:18,250
+أكبر من NX للمطرح منها واحد طيب ننقل الواحد عن
+
+201
+00:21:18,250 --> 00:21:22,970
+ناحية الثانية فبصراحة اندي NX أصغر من أكبر عدد صحيح
+
+202
+00:21:22,970 --> 00:21:28,690
+أصغر من أو ساوي NX زائد واحد وهذا من هنا أصغر من أو
+
+203
+00:21:28,690 --> 00:21:39,010
+يساوي NX زائد واحد الآن هذا سمينا احنا هذا M فبيطلع
+
+204
+00:21:39,010 --> 00:21:45,930
+عندي M أكبر من NX أصغر من أو يساوي NX زائد واحد
+
+205
+00:21:45,930 --> 00:21:54,340
+نطرح واحد من كل الأطراف فبيطلع عندي M سالب واحد M
+
+206
+00:21:54,340 --> 00:22:02,180
+سالب واحد أصغر من أو ساوي NX و NX من هنا NX
+
+207
+00:22:02,180 --> 00:22:09,160
+أصغر من M وهذا اللي بدنا نقنعه لأن هنا برهن الـ
+
+208
+00:22:09,160 --> 00:22:13,200
+claim لأن
+
+209
+00:22:13,200 --> 00:22:18,960
+من هذا الـ claim من
+
+210
+00:22:18,960 --> 00:22:21,800
+هذا الـ claim نستنتج
+
+211
+00:22:24,560 --> 00:22:33,840
+هذه الكلام اللي برهناه لو أنا ضربت ..
+
+212
+00:22:33,840 --> 00:22:37,100
+لو
+
+213
+00:22:37,100 --> 00:22:43,940
+أضفت واحد لكل الأطراف فبصير عندي M أصغر من أو يساوي
+
+214
+00:22:43,940 --> 00:22:50,160
+NX زائد واحد أصغر من M زائد واحد
+
+215
+00:22:56,000 --> 00:23:05,300
+و لو قسمت على N أو ضربت في N نضرب في 1 على N فهذا
+
+216
+00:23:05,300 --> 00:23:15,400
+بيقدر أن M على N أصغر من أو يساوي X زائد 1 على N
+
+217
+00:23:26,950 --> 00:23:31,950
+طيب أنا عندي .. أنا 
+
+218
+00:23:31,950 --> 00:23:34,110
+عندي من نفس المتباينة هذه
+
+219
+00:24:07,700 --> 00:24:15,700
+أنا عندي 1 على n أصغر من y ناقص x أنا
+
+220
+00:24:15,700 --> 00:24:23,580
+عندي 1 على n 1 على n أصغر من y سالب x هذا بيقدي
+
+221
+00:24:23,580 --> 00:24:33,260
+أنه x زائد 1 على n أصغر من y لأن هذا أصغر من y تمام
+
+222
+00:24:39,380 --> 00:24:45,180
+هو أكبر من X نعم؟ هو أكبر من X لأن X هيت واحدة
+
+223
+00:24:45,180 --> 00:24:55,720
+عنها اه و بدي هذا يكون أكبر من X اه
+
+224
+00:24:55,720 --> 00:25:02,780
+M على N أكبر اه من هنا من
+
+225
+00:25:02,780 --> 00:25:10,740
+هنا قسمت على M لما أضرب في 1 على N فبصير عندي M
+
+226
+00:25:10,740 --> 00:25:17,860
+على N أكبر من X نظمت هيك صح؟ إذا أصبح عندي أنا
+
+227
+00:25:17,860 --> 00:25:25,220
+بأحصل على X أصغر من M على N أصغر من Y الآن هذا
+
+228
+00:25:25,220 --> 00:25:33,060
+عبارة عن عدد نسبي هذا هو هذا العدد هو الـ R هذا عدد
+
+229
+00:25:33,060 --> 00:25:38,000
+نسبي لأن عدد النسبي عبارة عن عدد صحيح على عدد صحيح
+
+230
+00:25:38,000 --> 00:25:44,470
+لا يساوي صفر إذن هذه أثبتت إن يوجد عدد نسبي أكبر من
+
+231
+00:25:44,470 --> 00:25:49,790
+X وأصغر من Y أو يوجد عدد نسبي بين X وY إذن هذا
+
+232
+00:25:49,790 --> 00:26:02,470
+بيكمل البرهان تبع الـ density theorem في
+
+233
+00:26:02,470 --> 00:26:07,870
+كمان نتيجة ثانية برضه بنسميها density theorem أو
+
+234
+00:26:07,870 --> 00:26:11,800
+نتيجة على الـ density theorem وفي بعض الناس برضه
+
+235
+00:26:11,800 --> 00:26:15,620
+نفسها بيسموها density theorem فـ الـ density theorem
+
+236
+00:26:15,620 --> 00:26:19,100
+هذه الثانية أو النتيجة عليها بتقول أن بين أي
+
+237
+00:26:19,100 --> 00:26:24,440
+between any two real numbers x and y there exists
+
+238
+00:26:24,440 --> 00:26:29,860
+an irrational number يوجد عدد Z بين x و y وهذا Z
+
+239
+00:26:29,860 --> 00:26:36,100
+irrational number إذا
+
+240
+00:26:36,100 --> 00:26:47,170
+كمان مرة لو في عندي أي عددين حقيقيين x و y هو
+
+241
+00:26:47,170 --> 00:26:56,830
+x أصغر من y فبنقدر نلاقي r أو p وهذا ينتمي لـ r
+
+242
+00:26:56,830 --> 00:27:06,170
+ناقص q عدد غير نسبي بين أكبر من x و أصغر من y
+
+243
+00:27:07,390 --> 00:27:12,950
+البرهان تبع النتيجة هذه أول
+
+244
+00:27:12,950 --> 00:27:18,050
+شيء احنا لسه مثبتين قبل شوية أن جدر 2 is a real
+
+245
+00:27:18,050 --> 00:27:22,730
+number جدر 2 كان هو supremum لـ S وبالتالي
+
+246
+00:27:22,730 --> 00:27:27,690
+exist in R وأثبتنا أن جدر 2 هذا أكبر من صفر
+
+247
+00:27:27,690 --> 00:27:31,910
+حتى أثبتنا أنه أكبر من واحد كان الـ X أكبر من واحد
+
+248
+00:27:31,910 --> 00:27:37,900
+وبالتالي موجبة إن جدر 2 عدد موجب وبالتالي مقلوبه
+
+249
+00:27:37,900 --> 00:27:46,480
+عدد موجب لأن أنا لما يكون عندي x أصغر من y وأضرب
+
+250
+00:27:46,480 --> 00:27:50,440
+المتباينة هذه في 1 على جدر 2 اللي هو عدد
+
+251
+00:27:50,440 --> 00:27:55,040
+موجب فتصير المتباينة هذه x على جدر 2 أصغر من y
+
+252
+00:27:55,040 --> 00:28:01,030
+على جدر 2 تمام الآن إذا هذا real number وهذا
+
+253
+00:28:01,030 --> 00:28:05,630
+real number by density theorem between any two
+
+254
+00:28:05,630 --> 00:28:09,270
+real numbers there exist irrational number عدد
+
+255
+00:28:09,270 --> 00:28:13,750
+نسبي سمي R طبعًا هذا العدد النسبي لا يساوي صفر لأن
+
+256
+00:28:13,750 --> 00:28:20,170
+دي عدد موجب جذر 2 إذا أنا في عندي عدد نسبي R بين
+
+257
+00:28:20,170 --> 00:28:25,310
+العددين الحقيقيين حسب الـ density theorem الآن لو
+
+258
+00:28:25,310 --> 00:28:32,530
+أخذت لو عرفت لو عرفت العدد Z على أنه R ضرب جذر
+
+259
+00:28:32,530 --> 00:28:38,110
+2 فهذا بيطلع عدد غير نسبي تعالوا نبرهن ذلك
+
+260
+00:28:38,110 --> 00:28:42,950
+لإثبات أن العدد Z اللي هو R في جذر 2 عدد غير
+
+261
+00:28:42,950 --> 00:28:49,210
+نسبي افرض otherwise يعني خلاف ذلك افرض خلاف ذلك
+
+262
+00:28:49,210 --> 00:28:56,250
+يعني افرض أن العدد هذا نسبي افرض
+
+263
+00:28:56,250 --> 00:29:02,030
+أن هذا نسبي إذا لما قسمه هذا هو R في جدر 2 عدد
+
+264
+00:29:02,030 --> 00:29:08,130
+نسبي و R احنا فرضنا و R طبعًا هذا عدد نسبي إذا عدد
+
+265
+00:29:08,130 --> 00:29:11,770
+نسبي على عدد نسبي بيطلع عدد نسبي إذا هذا هيطلع عدد
+
+266
+00:29:11,770 --> 00:29:15,810
+نسبي اللي هو بيساوي جدر 2 وهذا تناقض مع
+
+267
+00:29:15,810 --> 00:29:21,490
+الحقيقة اللي أثبتناها سابقًا إذا .. إذا هذا العدد
+
+268
+00:29:21,490 --> 00:29:28,090
+لازم .. مش ممكن يكون نسبي لازم يكون غير نسبي طيب
+
+269
+00:29:31,920 --> 00:29:37,240
+أضرب المتباينة هذه في
+
+270
+00:29:37,240 --> 00:29:42,500
+جدر 2 لو ضربنا المتباينة هذه في جدر 2
+
+271
+00:29:42,500 --> 00:29:45,620
+فبصير
+
+272
+00:29:45,620 --> 00:29:52,440
+عندي X أصغر من R في جدر 2 اللي سميناها Z أصغر
+
+273
+00:29:52,440 --> 00:29:53,340
+من Y
+
+274
+00:29:55,970 --> 00:30:00,250
+وبالتالي هنا أثبتنا أن يوجد عدد غير نسبي وهذا
+
+275
+00:30:00,250 --> 00:30:05,710
+العدد الغير نسبي between X and Y وهو المطلوب هذا
+
+276
+00:30:05,710 --> 00:30:10,870
+هو المطلوب تمام؟
+
+277
+00:30:10,870 --> 00:30:14,250
+في
+
+278
+00:30:14,250 --> 00:30:22,590
+أي سؤال أو استفسار؟ إن شاء الله يكون احنا خلصنا أربع
+
+279
+00:30:22,590 --> 00:30:29,150
+سكاشن من الشتر واحد وهي في تمارين على الـ section
+
+280
+00:30:29,150 --> 00:30:40,510
+هذا ونبدأ section جديد الـ 
+
+281
+00:30:40,510 --> 00:30:43,950
+هذا السيكشن الجديد بيتحدث عن الـ intervals الفترات
+
+282
+00:30:43,950 --> 00:30:50,710
+طبعًا كلكم درستم تفاضل وتكامل ومرت عليكم أنواع
+
+283
+00:30:50,710 --> 00:30:59,210
+الفترات في كورس تفاضل وتكامل، لو أخذت أي عددين 
+
+284
+00:30:59,210 --> 00:31:08,710
+حقيقيين a و b، و a أصغر من أو يساوي b، فممكن نعرف الـ
+
+285
+00:31:08,710 --> 00:31:13,730
+open interval على أنها كل الأعداد الحقيقية x اللي بين 
+
+286
+00:31:13,730 --> 00:31:20,010
+a و b، فهذا الـ open interval from a to b، وفيه ممكن 
+
+287
+00:31:20,010 --> 00:31:24,580
+نعرف closed interval from a to b على أنها كل الـ
+
+288
+00:31:24,580 --> 00:31:27,820
+real numbers اللي أكبر من أو يساوي a، وأصغر من أو 
+
+289
+00:31:27,820 --> 00:31:34,880
+يساوي b، الـ half open فيه برضه نوع من الفترات بنسميه
+
+290
+00:31:34,880 --> 00:31:42,700
+half open أو half closed على الصورة هذه، هذه 
+
+291
+00:31:42,700 --> 00:31:47,890
+بنسميها half open أو half closed يعني مفتوحة من جهة 
+
+292
+00:31:47,890 --> 00:31:53,010
+ومغلقة من جهة أخرى، فهذه طبعًا واضح تعريفها كل الـ X 
+
+293
+00:31:53,010 --> 00:31:59,250
+اللي أكبر من a،  أصغر من أو يساوي b، وهذه زيها، في كمان 
+
+294
+00:31:59,250 --> 00:32:05,650
+نوع آخر من الـ intervals، زي الـ interval هذه بنسميها
+
+295
+00:32:05,650 --> 00:32:14,430
+open left ray شعاع أيسر مفتوح، يعني على خط الأعداد
+
+296
+00:32:14,430 --> 00:32:18,970
+ليه بيسموها left ray لأن فعلًا هي قايمة زي الشعاع كده
+
+297
+00:32:18,970 --> 00:32:26,830
+هذا خط الأعداد، وهنا في b عدد حقيقي، فالفترة المفتوحة
+
+298
+00:32:26,830 --> 00:32:32,370
+من سالب ما لا نهاية إلى b هي الفترة هذه، هي مصدر
+
+299
+00:32:32,370 --> 00:32:36,350
+الضوء، إن هنا في مصدر ضوء، وهذا الضوء بيشع إلى 
+
+300
+00:32:36,350 --> 00:32:43,140
+اليسار، فهذه الفترة هي من سالب ما لا نهاية إلى b
+
+301
+00:32:43,140 --> 00:32:48,580
+open interval صح؟
+
+302
+00:32:48,580 --> 00:32:53,400
+كل الأعداد الحقيقية اللي أصغر من b، إذن هذه تعريفها
+
+303
+00:32:53,400 --> 00:32:57,460
+كل الأعداد الحقيقية اللي أصغر من b، بالمثل ممكن أن
+
+304
+00:32:57,460 --> 00:33:06,040
+أعرف right ray، right ray زي ذلك، يعني d، وما لا 
+
+305
+00:33:06,040 --> 00:33:11,230
+نهاية أو a، وما إلى نهاية، كل الأعداد الحقيقية اللي
+
+306
+00:33:11,230 --> 00:33:13,190
+أكبر من أو على يمين الـ a
+
+307
+00:33:16,510 --> 00:33:21,690
+طبعًا ممكن نعرف closed left ray، لأن لو أخذت النقطة
+
+308
+00:33:21,690 --> 00:33:28,090
+هذه موجودة ضمن الفترة، يعني أغلقت الفترة زي كده، فهذه
+
+309
+00:33:28,090 --> 00:33:32,890
+بنسميها closed left ray، وكذلك لو أخذت الـ beam
+
+310
+00:33:32,890 --> 00:33:37,730
+أضفتها على الفترة فهذه بنسميها closed right ray
+
+311
+00:33:37,730 --> 00:33:45,660
+وفي طبعًا هذه الـ ... الـ two-sided ray، أي ده، صح؟
+
+312
+00:33:45,660 --> 00:33:51,000
+التعبير اللي هو خط الأعداد كله، كل الأعداد، بحثوا في
+
+313
+00:33:51,000 --> 00:33:54,060
+ملاحظة
+
+314
+00:33:54,060 --> 00:34:01,860
+هنا إن الأول ثلاثة أنواع من الـ intervals هدول بنسميهم
+
+315
+00:34:01,860 --> 00:34:05,580
+bounded هم 
+
+316
+00:34:05,580 --> 00:34:11,460
+فعلًا bounded، الفترات هذه محصورة، محدودة، ممكن نحصرها
+
+317
+00:34:13,670 --> 00:34:19,010
+أما الأنواع... الأنواع ال... ال... الأخرى، الخامسة
+
+318
+00:34:19,010 --> 00:34:25,350
+الأخرى هذه unbounded، unbounded
+
+319
+00:34:25,350 --> 00:34:29,030
+غير
+
+320
+00:34:29,030 --> 00:34:33,230
+محصورة، وغير محدودة، الفترات هذه غير محدودة، هذا 
+
+321
+00:34:33,230 --> 00:34:37,810
+شعاع أيسر، لاحظ الشعاع هذا مقدرش أحصر عليه
+
+322
+00:34:39,020 --> 00:34:44,220
+يعني بيمتد إلى سالب ما لا نهاية، أو بيمتد إلى ما
+
+323
+00:34:44,220 --> 00:34:49,580
+لا نهاية، إذن الفترات هذه unbounded، النوع هذا من
+
+324
+00:34:49,580 --> 00:34:53,580
+الفترات bounded، وبالتالي الفترات متقسمة إلى two
+
+325
+00:34:53,580 --> 00:34:58,260
+types، bounded intervals و unbounded intervals
+
+326
+00:35:13,980 --> 00:35:26,320
+طيب، في ملاحظة هنا على الفترات، لو
+
+327
+00:35:26,320 --> 00:35:29,740
+أخذت أي interval بغض النظر ��ل هي bounded ولا 
+
+328
+00:35:29,740 --> 00:35:35,200
+unbounded، open, closed, half-open, half-closed، بغض
+
+329
+00:35:35,200 --> 00:35:39,280
+النظر أي واحدة من الأنواع الثمانية اللي شفناهم، لو
+
+330
+00:35:39,280 --> 00:35:48,350
+I كانت أي interval، فالـ interval I بتحقق الخاصية هذه
+
+331
+00:35:48,350 --> 00:35:54,130
+أي interval بتحقق الخاصية هذه، إن أنا لو أخذت أي
+
+332
+00:35:54,130 --> 00:36:00,070
+عنصرين في الفترة، وواحد أصغر من الثاني، فالعناصر
+
+333
+00:36:00,070 --> 00:36:05,770
+اللي بينهم بتكون موجودة في الفترة، يعني هي إن عندي
+
+334
+00:36:05,770 --> 00:36:11,730
+فترة مفتوحة، مغلقة، أو 
+
+335
+00:36:13,570 --> 00:36:20,230
+left ray مثلًا، و
+
+336
+00:36:20,230 --> 00:36:29,330
+الـ symbol فترة هذه مثلًا a,b أو مثلًا [a,b]، فلو
+
+337
+00:36:29,330 --> 00:36:34,790
+أخذت سواء هذه الفترة أو هذه أو أي واحدة من أنواع
+
+338
+00:36:34,790 --> 00:36:44,960
+الثمانية وجئت أخذت عنصرين x و y، وx أصغر من y،
+
+339
+00:36:44,960 --> 00:36:50,660
+موجودين في الفترة هذه، فالفترة هذه بتتمتع بالخاصية
+
+340
+00:36:50,660 --> 00:36:58,480
+إن أي عنصر في الفترة هذه المغلقة من x و y لو أخذت
+
+341
+00:36:58,480 --> 00:37:05,200
+أي t، يعني كل عناصر الفترة المغلقة هذه كلها بتطلع
+
+342
+00:37:05,200 --> 00:37:11,840
+موجودة في الفترة الكبيرة، نفس الحاجة هنا، هات أخذ x
+
+343
+00:37:13,020 --> 00:37:24,020
+هو y، فكل العناصر t في الفترة المغلقة موجودة
+
+344
+00:37:24,020 --> 00:37:33,590
+في الـ left-ray، إذن أي فترة i لو أخذت داخلها أي عنصرين
+
+345
+00:37:33,590 --> 00:37:37,910
+x أصغر من y، فكل العناصر في الفترة المغلقة من x لـ y
+
+346
+00:37:37,910 --> 00:37:42,050
+أو الفترة المغلقة من x لـ y، تطلع مجموعة جزئية من
+
+347
+00:37:42,050 --> 00:37:48,710
+الفترة اللي أنا واخدها، okay؟ الآن نظرية أخرى من
+
+348
+00:37:48,710 --> 00:37:57,000
+عشرين بتقول لي إن العكس صحيح، العكس صحيح، يعني لو أنا
+
+349
+00:37:57,000 --> 00:38:02,320
+فيه عندي مجموعة جزئية s، مجموعة جزئية من r، الـ
+
+350
+00:38:02,320 --> 00:38:07,140
+cardinal number تبع s أكبر من أو يساوي 2، الـ
+
+351
+00:38:07,140 --> 00:38:10,780
+cardinal number هنا يعني معناه عدد عناصر الـ set
+
+352
+00:38:10,780 --> 00:38:15,740
+المجموعة
+
+353
+00:38:15,740 --> 00:38:21,720
+يعني roughly speaking يعني معناه إنه يعني إذا كانت
+
+354
+00:38:21,720 --> 00:38:25,460
+الـ set finite فهذا عدد عناصرها، is infinite طبعًا
+
+355
+00:38:26,560 --> 00:38:37,180
+بيكون يعني له تعريف عام من عدد العناصر، فده كانت s
+
+356
+00:38:37,180 --> 00:38:41,200
+مجموعة جزئية و cardinalها أكبر من أو يساوي 2
+
+357
+00:38:41,200 --> 00:38:48,380
+يعني المجموعة فيها على الأقل عنصرين أو أكثر، وكانت 
+
+358
+00:38:48,380 --> 00:38:52,980
+المجموعة s هذه بتحقق الخاصية 4
+
+359
+00:38:55,110 --> 00:39:01,230
+فلازم الـ s هذه تطلع interval كمان مرة، احنا قلنا في
+
+360
+00:39:01,230 --> 00:39:08,050
+الملاحظة هذه، أي interval بتحقق الخاصية 4 اللي
+
+361
+00:39:08,050 --> 00:39:13,310
+شرحناها هنا، الآن العكس، لو في عندي مجموعة جزئية s
+
+362
+00:39:13,310 --> 00:39:17,530
+من r، أنا مش عارف إنها فترة ولا لا، مجرد مجموعة
+
+363
+00:39:17,530 --> 00:39:22,510
+جزئية من r، وفيها على الأقل عنصرين، تحتوي على الأقل
+
+364
+00:39:22,510 --> 00:39:23,650
+عنصرين أو أكثر
+
+365
+00:39:26,310 --> 00:39:31,210
+وإذا كانت المجموعة الجزئية s هذه بتحقق الخاصية 4
+
+366
+00:39:31,210 --> 00:39:38,390
+فلازم هذه الـ s تطلع فترة واحدة من الفترات
+
+367
+00:39:38,390 --> 00:39:43,970
+الثمانية، وبرهان
+
+368
+00:39:43,970 --> 00:39:54,130
+النظرية هذه برضه برهان طويل شوية، لكن بيعتمد 
+
+369
+00:39:54,130 --> 00:40:01,730
+على أربع أربع حالات، فمن 
+
+370
+00:40:01,730 --> 00:40:08,250
+جسم البرهان إلى أربع حالات، الحالة الأولى إن الـ set
+
+371
+00:40:08,250 --> 00:40:14,070
+s بتكون bounded، محصورة، الـ set بتكون bounded، إذا
+
+372
+00:40:14,070 --> 00:40:19,030
+كانت bounded above and bounded below، أو s is
+
+373
+00:40:19,030 --> 00:40:24,090
+bounded above but not below، يعني محدود من أعلى
+
+374
+00:40:24,090 --> 00:40:29,760
+وليست محدود من أسفل، وهذا وارد، أو s is bounded
+
+375
+00:40:29,760 --> 00:40:33,280
+below but not above، يعني محدود من أسفل وليست
+
+376
+00:40:33,280 --> 00:40:37,520
+محدودة من الأعلى، الحالة الرابعة إن s تكون neither
+
+377
+00:40:37,520 --> 00:40:41,180
+bounded above nor below، يعني لا محدودة من أسفل ولا
+
+378
+00:40:41,180 --> 00:40:45,200
+محدودة من الأعلى زي r، زي مجموعة الأعداد الحقيقية
+
+379
+00:40:45,200 --> 00:40:52,670
+تمام؟ وفي كل حالة بنا نثبت إن s تطلع فترة، في كل 
+
+380
+00:40:52,670 --> 00:40:58,750
+حالة بنا نثبت إن s تطلع فترة، يعني ها أنا 
+
+381
+00:40:58,750 --> 00:41:04,130
+مثبت لكم الحالة الأولى والثانية، والحالتين الثالثة
+
+382
+00:41:04,130 --> 00:41:11,330
+والرابعة، ممكن يعني برهانهم بالمثل، فحدد لكم تقرأوا
+
+383
+00:41:11,330 --> 00:41:16,450
+البرهان، لأن هذا البرهان مجرد تفاصيل، حدد لكم إنكم 
+
+384
+00:41:16,450 --> 00:41:18,870
+تقراؤوا البرهان، تفهموه، لأنه مش هشرحه
+
+385
+00:41:21,750 --> 00:41:25,570
+فحاولوا تقرأوه، تفهموه، وأنا متأكد إنكم هتفهموه
+
+386
+00:41:25,570 --> 00:41:28,910
+فنتوقف
+
+387
+00:41:28,910 --> 00:41:33,130
+عند هذا... نكتفي بهذا القدر وإن شاء الله المرة 
+
+388
+00:41:33,130 --> 00:41:36,850
+الجاية هنتحدث
+
+389
+00:41:36,850 --> 00:41:43,510
+عن موضوع nested intervals، okay؟ في حد عنده أي سؤال
+
+390
+00:41:43,510 --> 00:41:44,330
+أو سؤال؟ 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/t35SQVeADNY_raw.srt

@@ -0,0 +1,1560 @@
+1
+00:00:21,400 --> 00:00:26,440
+المرة اللى فاتت احنا يعني اخدنا ال Archimedean
+
+2
+00:00:26,440 --> 00:00:33,820
+property وشوفنا فيه صور متعددة لها او صور مختلفة
+
+3
+00:00:33,820 --> 00:00:39,140
+اللى هي الصور التلاتة هذه فكل
+
+4
+00:00:39,140 --> 00:00:43,160
+واحدة من الخواصة دى تعتبر Archimedean property او
+
+5
+00:00:43,160 --> 00:00:48,670
+مكافئة لخاصية Archimedes او Archimedesو أهم واحدة
+
+6
+00:00:48,670 --> 00:00:55,930
+في الصور التلاتة اللي هي الخاصية دي D اللي بتقول
+
+7
+00:00:55,930 --> 00:01:01,490
+أو بتنص على أنه لأي عدد حقيقي موج ابواي بقدر ألاقي
+
+8
+00:01:01,490 --> 00:01:06,650
+عدد طبيعي مقلوبه أصغر من العدد الموج ابواي
+
+9
+00:01:10,990 --> 00:01:15,490
+وشوفت المرة اللي فتحت البرهين تبعت الأجزاء التلاتة
+
+10
+00:01:15,490 --> 00:01:21,530
+هذه و هذا مثال قولنا هذا مثال على set و ال set هذه
+
+11
+00:01:21,530 --> 00:01:26,950
+bounded و أثبتنا .. شوفنا كيف نثبت أن ال infimum
+
+12
+00:01:26,950 --> 00:01:34,090
+تبعها بساوى 7 إذن هذا كان مجرد مثال على كيف نثبت
+
+13
+00:01:34,090 --> 00:01:36,170
+أو كيف نوجد ال infimum لل set
+
+14
+00:01:40,130 --> 00:01:53,370
+الان في أنا نظرية كتير مهمة احنا أخدنا في ال
+
+15
+00:01:53,370 --> 00:01:59,570
+citation السابقة أثبتنا كان في عندي example اعتقد
+
+16
+00:01:59,570 --> 00:02:05,850
+او fact انه
+
+17
+00:02:05,850 --> 00:02:18,320
+ال ..لا يوجد .. لا يوجد T ينتبه لل Q بحيث انه T
+
+18
+00:02:18,320 --> 00:02:28,060
+تربية بساوي اتنين مافيش عدد نسبي مربع بساوي اتنين
+
+19
+00:02:28,060 --> 00:02:36,220
+او بمعنى اخر .. او بمعنى اخر جذر الاتنين ليس عدد
+
+20
+00:02:36,220 --> 00:02:43,960
+نسبيوهذا أثبتناه في مثال سابق أثبوت؟ في هذا المثال
+
+21
+00:02:43,960 --> 00:02:52,580
+افترضنا ضمنيا أن جذر 2 هذا هو عدد حقيقي لأن هذا
+
+22
+00:02:52,580 --> 00:02:58,260
+عبارة عن عدد حقيقي اليوم
+
+23
+00:02:58,260 --> 00:03:06,400
+هنرجع ونثبت في نظرية 1.17 أن جذر 2 هذا فعلا هو عدد
+
+24
+00:03:06,400 --> 00:03:13,130
+حقيقيبنثبت انه يوجد عدد حقيقي اللي هو اسمه جدر
+
+25
+00:03:13,130 --> 00:03:21,050
+اتنين هذا العدد موجود ممكن يعني اثبات انه موجود
+
+26
+00:03:21,050 --> 00:03:30,290
+اذا النظرية هذه بتقول يوجد عدد حقيقي موجب مربع
+
+27
+00:03:30,290 --> 00:03:35,510
+بساوة اتنين بمعنى اخر جدر اتنين هو عدد حقيقي
+
+28
+00:03:38,190 --> 00:03:43,250
+فالبرهان ذلك ده ما .. هذا ما نسميه يعني هنا
+
+29
+00:03:43,250 --> 00:03:48,910
+البرهان constructive proof أو يعني برهان بناء أو
+
+30
+00:03:48,910 --> 00:03:54,670
+بالبناء لأنه بنا نثبت ال existence تبع شغلة فلازم
+
+31
+00:03:54,670 --> 00:03:57,790
+هذا الشغلة اللي بنا نثبت وجودها بنا نبنيها بنا
+
+32
+00:03:57,790 --> 00:04:05,160
+نكونها ففي عملية بناء هناففي البراهين اللي زي هذه
+
+33
+00:04:05,160 --> 00:04:09,740
+بنعرف set وبنعرف شغلات بنثبت أنها هي الحاجات
+
+34
+00:04:09,740 --> 00:04:16,360
+المطلوبة ف let S نعرف مجموعة S على أنها كل العناصر
+
+35
+00:04:16,360 --> 00:04:23,500
+S في R كل الأعداد الحقيقية S اللي بتكون غير سالبة
+
+36
+00:04:23,500 --> 00:04:29,860
+ومربعها أصغر من الإتنين الآن
+
+37
+00:04:29,860 --> 00:04:36,210
+المجموعة هذه غير خاليةليه؟ لأن الواحد .. الواحد
+
+38
+00:04:36,210 --> 00:04:41,650
+ينتمي إلها تعالى نتأكد ليه الواحد ينتمي للست هذه؟
+
+39
+00:04:41,650 --> 00:04:46,890
+لأن الواحد بيحقق الشرقين تبعات الست أول شيء واحد
+
+40
+00:04:46,890 --> 00:04:51,870
+أكبر من أو ساوي سفر هذا صحيح واحد تربية بيساوي
+
+41
+00:04:51,870 --> 00:04:55,390
+واحد أصغر من الأتنين لأن هذه المجموعة فيها على
+
+42
+00:04:55,390 --> 00:05:01,490
+الأقل الواحد وبالتالي هذه مجموعة غير خالية non
+
+43
+00:05:01,490 --> 00:05:02,070
+-empty
+
+44
+00:05:05,790 --> 00:05:16,350
+كذلك المجموعة هذه bounded above by two لو
+
+45
+00:05:16,350 --> 00:05:26,350
+كان بنثبت أن T أصغر من أو يساوي اتنين لكل T في S
+
+46
+00:05:34,900 --> 00:05:38,820
+T أصغر من او سوى اتنين لكل T في S يعني اتنين upper
+
+47
+00:05:38,820 --> 00:05:43,480
+bound لست S فالبرهان
+
+48
+00:05:43,480 --> 00:05:47,700
+ذلك بالتناقض برهنها
+
+49
+00:05:47,700 --> 00:05:53,160
+بالتناقض assume أنه
+
+50
+00:05:53,160 --> 00:06:01,430
+يوجد T0 كيف بتدن في الجملة هذه؟بدل لكل T في S يوجد
+
+51
+00:06:01,430 --> 00:06:08,330
+T0 في S such that T0 بدل أصغر من أو يساوي بيصير
+
+52
+00:06:08,330 --> 00:06:15,030
+أكبر من الأتنين هذا بيقدي أن T0 تربية أكبر من
+
+53
+00:06:15,030 --> 00:06:25,110
+أربعة صح؟ و أربعة أكبر من الأتنين طب T0 هذا ينتمي
+
+54
+00:06:25,110 --> 00:06:35,900
+ل Sمعناته T0 تربيع هذا أصغر من الأتنين صح؟ أظبط؟
+
+55
+00:06:35,900 --> 00:06:39,660
+إذا بيطلع عندى اتنين أكبر من الأتنين اتنين أكبر من
+
+56
+00:06:39,660 --> 00:06:44,720
+الأتنين contradiction تناخد تمام؟ إذا هذا التناخد
+
+57
+00:06:44,720 --> 00:06:45,920
+بيثبت لك ليه؟
+
+58
+00:06:51,390 --> 00:06:55,630
+إذا انا هقدر اقلين بيقوللي ان ال 6S is bounded
+
+59
+00:06:55,630 --> 00:07:05,110
+above by 2 ال 6S محدودة من أعلى by 2 طيب
+
+60
+00:07:05,110 --> 00:07:11,830
+لإن أنا فيه اندي 6S non-empty و bounded aboveإذا
+
+61
+00:07:11,830 --> 00:07:17,190
+by completeness property ال 6S هذه لازم يكون فيه
+
+62
+00:07:17,190 --> 00:07:23,290
+لها supremum it has a supremum in R say دعنا نسميه
+
+63
+00:07:23,290 --> 00:07:28,870
+X إذا ال X اللي هو ال supremum ل S هذا exist in R
+
+64
+00:07:28,870 --> 00:07:34,390
+by completeness property هذا ال X اللي هو ال
+
+65
+00:07:34,390 --> 00:07:42,060
+supremum ل S برضه بطلع أكبر من واحد ليه؟لأن خمسة
+
+66
+00:07:42,060 --> 00:07:47,780
+على أربعة ينتمي ل S عنصر في S لهذا صح تعالى نتأكد
+
+67
+00:07:47,780 --> 00:07:53,080
+الخمسة على أربعة أكبر من أو ساوى سفر وخمسة على
+
+68
+00:07:53,080 --> 00:07:57,040
+أربعة تربيع اللي هو خمسة عشرين على ستاشر أصغر من
+
+69
+00:07:57,040 --> 00:08:03,030
+الإتنينإذن هذا العدد ينتمي ل S وال X هذا supremum
+
+70
+00:08:03,030 --> 00:08:08,870
+ل S وبالتالي X upper bound ل S ال X upper bound ل
+
+71
+00:08:08,870 --> 00:08:14,410
+6S إذن أكبر من أو ساوي كل عناصرها إذن ال X أكبر من
+
+72
+00:08:14,410 --> 00:08:19,070
+أو ساوي خمسة على أربعة وخمسة على أربعة أكبر من
+
+73
+00:08:19,070 --> 00:08:25,470
+واحد إذن X أكبر من واحد تمام؟ إذن هين أثبتنا إن ال
+
+74
+00:08:25,470 --> 00:08:31,610
+6 يوجدعدد حقيقي x اللي هو الـ suprem ل S وهذا الـ
+
+75
+00:08:31,610 --> 00:08:39,910
+x أكبر من واحد الآن هذا الـ x هو .. بنثبت هو الجذر
+
+76
+00:08:39,910 --> 00:08:42,690
+التربيعي للإتنين
+
+77
+00:08:49,400 --> 00:08:53,760
+الان هذا ال X اللي هو طلع موجود by completeness of
+
+78
+00:08:53,760 --> 00:08:58,600
+property وعدد اكبر من واحد بنثبت انه مربع و بساوي
+
+79
+00:08:58,600 --> 00:09:05,180
+اتنين يعني هو العدد المطلوب ان ال X هو جدر اتنين
+
+80
+00:09:11,980 --> 00:09:15,800
+فإذا أثبتنا ال claim هذا بتكون كملنا برهانة نظرية
+
+81
+00:09:15,800 --> 00:09:19,760
+طيب هذا ال claim برضه متبرهن بالتناقض assume ال
+
+82
+00:09:19,760 --> 00:09:25,060
+contrary إن x تربية بسويش اتنين if by tricotomy
+
+83
+00:09:25,060 --> 00:09:30,020
+property إما x تربية أصغر من اتنين أو أكبر من
+
+84
+00:09:30,020 --> 00:09:34,160
+اتنين إذا أنا في عندي حالتين هنا لازم أخدهم في
+
+85
+00:09:34,160 --> 00:09:40,610
+الاعتبارعشان أكمل برهان ال claim الحالة الأولى
+
+86
+00:09:40,610 --> 00:09:47,190
+فيها extra بيها أصغر من الإتنين و بتدصل في الحالة
+
+87
+00:09:47,190 --> 00:09:51,790
+هذه لتناقض عشان أثبت ال claim لإن ال claim بدينا
+
+88
+00:09:51,790 --> 00:09:56,810
+برهانه بالتناقض assume the contrary فرضنا النقيد
+
+89
+00:09:58,620 --> 00:10:02,360
+تعالى نشوف كيف نصل لتناقض في الحالة هذه انا عندي n
+
+90
+00:10:02,360 --> 00:10:07,640
+لكل n عدد طبيعى n تربيع اكبر من او ساوى n و
+
+91
+00:10:07,640 --> 00:10:10,700
+بالتاني مقلوب n تربيع دايما اصغر من او ساوى مقلوب
+
+92
+00:10:10,700 --> 00:10:18,500
+ال n هذا صحيح الان x زائد واحد على n لكل تربيع ربع
+
+93
+00:10:18,500 --> 00:10:23,820
+بطلع x تربيع زاد اتنين زاد ضعف الاول في التانى زاد
+
+94
+00:10:23,820 --> 00:10:31,370
+مربع التانىالان بدي أشيل 1 على n تربية هدي أشيلها
+
+95
+00:10:31,370 --> 00:10:37,250
+و أستبدلها بحاجة أكبر من .. أكبر من او ساوية اللي
+
+96
+00:10:37,250 --> 00:10:42,030
+هو 1 على n لأن هنا لما أستبدل هذه ب1 على n بصير
+
+97
+00:10:42,030 --> 00:10:47,250
+هذا أصغر من او ساوية x تربية زاد 2x على n زاد 1
+
+98
+00:10:47,250 --> 00:10:51,410
+على n و لما أخد من الحدين هدول 1 على n عامل مشترك
+
+99
+00:10:51,410 --> 00:10:53,610
+بيضل 2x زاد 1
+
+100
+00:11:02,350 --> 00:11:07,870
+تمام؟ اذا انا عندي أصبح ال X زاد واحد على M لكل
+
+101
+00:11:07,870 --> 00:11:15,110
+تربية أصغر من أو ساوي المقدار هذا طيب احنا من ال
+
+102
+00:11:15,110 --> 00:11:20,150
+.. احنا فرضين X تربية أصغر من 2 اذا 2 سالب X تربية
+
+103
+00:11:20,150 --> 00:11:25,410
+بيطلع عدد موجبو ال X عدد اكبر من واحد، اذا اتنين X
+
+104
+00:11:25,410 --> 00:11:30,050
+زاد واحد عدد موجب، اذا كسر بسطه موجب و مقامه موجب،
+
+105
+00:11:30,050 --> 00:11:34,330
+بيطلع عدد موجب، اذا حسب ال property اللي انا
+
+106
+00:11:34,330 --> 00:11:38,670
+علمتها بال star لأي
+
+107
+00:11:38,670 --> 00:11:43,530
+عدد موجب، قولنا يوجد عدد طبيعي N0 مقلوب و أصغر من
+
+108
+00:11:43,530 --> 00:11:49,810
+العدد الموجبأدرج الطرفين في العدد الموجود 2x زاد 1
+
+109
+00:11:49,810 --> 00:11:56,990
+بصير المتباينة هذه شكلها هكذا الان
+
+110
+00:11:56,990 --> 00:12:01,710
+من المتباينة تلاتة هاي المتباينة تلاتة هاي عندي x
+
+111
+00:12:01,710 --> 00:12:05,590
+انا
+
+112
+00:12:05,590 --> 00:12:11,000
+عندي يوجد in zero ينتمي ل inطبعا هذا الكلام
+
+113
+00:12:11,000 --> 00:12:15,160
+المتباينة تلاتة هذه صحيحة لكل العداد الطبيعي N
+
+114
+00:12:15,160 --> 00:12:21,240
+وبالتالي صحيحة للعدد الطبيعي N0 إذا نتعالوا نقرأ
+
+115
+00:12:21,240 --> 00:12:26,380
+المتباينة تلاتة ونبدل N ب N0 فبصير X زاد واحد على
+
+116
+00:12:26,380 --> 00:12:29,840
+N0 ترديد أصغر من
+
+117
+00:12:34,400 --> 00:12:39,760
+مفروض أصغر منها يساوي X تربية زياد واحد على N Zero
+
+118
+00:12:39,760 --> 00:12:47,860
+في اتنين X زياد واحد وواحد
+
+119
+00:12:47,860 --> 00:12:53,640
+على N Zero في اتنين X زياد واحد أصغر من اتنين سالب
+
+120
+00:12:53,640 --> 00:13:00,200
+X تربية إذن هذا هيصير أصغر من اتنين سالب X تربية Y
+
+121
+00:13:00,200 --> 00:13:02,880
+X تربية اللي هو بيطلع اتنين
+
+122
+00:13:08,840 --> 00:13:14,640
+إذا أنا في عندي الآن عدد العدد اللي هو X زياد واحد
+
+123
+00:13:14,640 --> 00:13:21,600
+على N Zero مربعه أصغر من الإتنين إذا هذا العدد
+
+124
+00:13:21,600 --> 00:13:25,320
+اللي هو X زياد واحد على N Zero هو عدد غير سالب
+
+125
+00:13:25,320 --> 00:13:29,320
+ومربعه أصغر من الإتنين إذا هذا ينتمي للمجموع S
+
+126
+00:13:29,320 --> 00:13:33,880
+اللي عرفته في بداية البرهان إذا هذا العدد ينتمي
+
+127
+00:13:33,880 --> 00:13:34,920
+للمجموع S
+
+128
+00:13:37,690 --> 00:13:44,950
+و هذا بي .. بيقدّي انه ال .. العدد هذا مش ممكن
+
+129
+00:13:44,950 --> 00:13:53,790
+يكون upper bound للست S هذا
+
+130
+00:13:53,790 --> 00:13:58,650
+مش ممكن يكون upper bound للست S لأن ال X هو upper
+
+131
+00:13:58,650 --> 00:14:04,390
+bound هو ال supreme و
+
+132
+00:14:04,390 --> 00:14:05,850
+بالتالي
+
+133
+00:14:14,060 --> 00:14:18,100
+إحنا أثبتنا إن X هي ال upper bound لكن لجينا X زاد
+
+134
+00:14:18,100 --> 00:14:22,100
+واحد على N not هي ثانوية ل S فبالتالي في عنصر أكبر
+
+135
+00:14:22,100 --> 00:14:31,140
+من X فهذا ال contradiction مظبوط لأن هذا
+
+136
+00:14:31,140 --> 00:14:38,730
+عنصر في S وبالتالي هذا بيقدّي هذا بيقدّيإن X
+
+137
+00:14:38,730 --> 00:14:47,890
+ماهواش upper bound لأنه ال X أصغر من واحد من X
+
+138
+00:14:47,890 --> 00:14:54,650
+زائد واحد على N زيرو وهذا
+
+139
+00:14:54,650 --> 00:14:55,590
+ينتمي ل S
+
+140
+00:15:01,160 --> 00:15:06,760
+فهذا عنصر في S و أكبر من X هذا معناه ان ال X هذا
+
+141
+00:15:06,760 --> 00:15:12,420
+مش ممكن يكون upper bound ل S وهذا بتناقض مع كون X
+
+142
+00:15:12,420 --> 00:15:18,160
+هو upper bound لأنه supreme ل S احنا قلنا ان ال X
+
+143
+00:15:18,160 --> 00:15:22,840
+هذا اللي في ال claim ايه ال X هذا هو supreme ل S
+
+144
+00:15:22,840 --> 00:15:27,180
+وبالتالي upper bound ل Sو هنا وصلنا لأن ال X مش
+
+145
+00:15:27,180 --> 00:15:31,160
+ممكن يكون upper bound ل S لأنه أصغر من عنصر ما
+
+146
+00:15:31,160 --> 00:15:34,720
+ينتمي ل S إذا فيه تناقض لأن هنا وصلنا إلى
+
+147
+00:15:34,720 --> 00:15:41,480
+contradiction إذا فرضنا X بيه أصغر من 2 وصلتنا ل
+
+148
+00:15:41,480 --> 00:15:46,760
+contradiction بالمثل بالمثل
+
+149
+00:15:46,760 --> 00:15:51,480
+في الحالة التانية في
+
+150
+00:15:51,480 --> 00:15:56,980
+الحالة التانيةلو فرضنا ان x ثربيه المرة دي اكبر من
+
+151
+00:15:56,980 --> 00:16:03,100
+الاتنين فبرضه ممكن نصل بنفس الطريقة و بنفس الاسلوب
+
+152
+00:16:03,100 --> 00:16:09,220
+في النهاية الى contradiction نصل الى contradiction
+
+153
+00:16:09,220 --> 00:16:15,100
+وبالتالي اذا احنا فرضنا انه احنا كنا كان ال claim
+
+154
+00:16:15,100 --> 00:16:20,520
+تبعناالذكروا في البرنامج احنا كنا عايزين نثبت ان x
+
+155
+00:16:20,520 --> 00:16:26,060
+تربية بساوة اتنين ففرضنا ان x تربية لات ساوة اتنين
+
+156
+00:16:26,060 --> 00:16:33,520
+وبالتالي هذا بيقدر ان x تربية اصغر من اتنين او x
+
+157
+00:16:33,520 --> 00:16:38,200
+تربية اكبر من اتنين وفي كل حالة من الحالات هذه
+
+158
+00:16:38,200 --> 00:16:43,520
+وصلنا الى تناقضإذا التناقض هذا سببه انه اذا احنا
+
+159
+00:16:43,520 --> 00:16:49,620
+فرضنا هو فرضنا ان extra b لايه ساو اتنين هذا بثبت
+
+160
+00:16:49,620 --> 00:16:54,980
+ال claim اللي هو extra b بساو اتنين و بكمل البرهان
+
+161
+00:16:54,980 --> 00:17:03,440
+okay تمام إذا هذا هو برهان ال .. النظرية هذه إذا
+
+162
+00:17:03,440 --> 00:17:09,440
+الأن أصبح عندي في نظريتين واحدة بتقول انهجذر اتنين
+
+163
+00:17:09,440 --> 00:17:14,660
+هو عدد حقيقي ونظرية
+
+164
+00:17:14,660 --> 00:17:19,300
+تانية او حقيقة تانية ان جذر اتنين ليس عدد نصي
+
+165
+00:17:36,150 --> 00:17:44,930
+طيب في كمان نتيجة مهمة على النتائج هذه او نظرية
+
+166
+00:17:44,930 --> 00:17:49,490
+مهمة اللي هي density theorem نظرية الكثافة ال
+
+167
+00:17:49,490 --> 00:17:55,530
+density theorem ال density theorem بتقول بين اي
+
+168
+00:17:55,530 --> 00:18:01,230
+عددين حقيقيين يوجد عدد مثل يعني لو انا في عندى
+
+169
+00:18:02,110 --> 00:18:11,650
+عددين حقيقيين X أصغر من Y هاي X وهاي Y فيوجد عدد
+
+170
+00:18:11,650 --> 00:18:20,390
+نسبي R ينتمي لـ Q بحيث أن R أكبر من X أصغر من Y أو
+
+171
+00:18:20,390 --> 00:18:27,320
+بمعنى آخر، لو في عندي فترة مفتوحة X وYفلازم هذه
+
+172
+00:18:27,320 --> 00:18:34,100
+الفترة وفي هذه الفترة غير خالية فلازم نلاقي R
+
+173
+00:18:34,100 --> 00:18:41,700
+ينتمي للفترة المفتوحة و R هذا عدد نسمة اذا ال
+
+174
+00:18:41,700 --> 00:18:45,520
+density theorem بكل بساطة بتقول between any two
+
+175
+00:18:45,520 --> 00:18:50,990
+real numbers there exists a rational number اوAny
+
+176
+00:18:50,990 --> 00:18:55,030
+non-empty open interval contains a rational number
+
+177
+00:18:55,030 --> 00:19:02,170
+نفس الصيرة أو نفس ال statement البرهان مش صعب
+
+178
+00:19:02,170 --> 00:19:05,210
+تعالى
+
+179
+00:19:05,210 --> 00:19:10,410
+نشوف البرهان أنا عندي فرض ان X أصغر من Y فرض X
+
+180
+00:19:10,410 --> 00:19:16,790
+أصغر من Yو بالتالي y سالب x عدد موجب اذا by the
+
+181
+00:19:16,790 --> 00:19:20,330
+Archimedean property بقدر الاقي عدد هنا المفروض
+
+182
+00:19:20,330 --> 00:19:28,050
+يكون جزء b فby
+
+183
+00:19:28,050 --> 00:19:31,590
+Archimedean property واحد ستاشر بيه اللي اعطيناها
+
+184
+00:19:31,590 --> 00:19:37,930
+إشارة نجمة لأي عدد موجب زي هذا يوجد عدد طبيعي n
+
+185
+00:19:37,930 --> 00:19:45,930
+مقلوب وأصغر من عدد الموجبالان بدي اعرف ان اكبر عدد
+
+186
+00:19:45,930 --> 00:19:50,190
+صحيح اصغر من او يساوي n x هذه دالة اكبر عدد صحيح
+
+187
+00:19:50,190 --> 00:19:55,290
+واضيف عليها واحد طبعا هذا عدد صحيح زائد واحد
+
+188
+00:19:55,290 --> 00:19:59,930
+الواحد عدد صحيح فمجموعهم بطلع عدد صحيح اذا انا
+
+189
+00:19:59,930 --> 00:20:04,250
+عرفت عدد صحيح m ينتمي الى z على انه the greatest
+
+190
+00:20:04,250 --> 00:20:09,110
+integer less than or equal to n x plus oneالان
+
+191
+00:20:09,110 --> 00:20:16,650
+بتثبت انه في عندى claim بتثبت ان هذا العدد m بيحقق
+
+192
+00:20:16,650 --> 00:20:22,110
+المتباينة هذه اذا
+
+193
+00:20:22,110 --> 00:20:31,330
+انا عايز اثبت انه ال claim تبعى one انه m negative
+
+194
+00:20:31,330 --> 00:20:35,850
+one less than or equal n x less than m
+
+195
+00:20:39,470 --> 00:20:46,730
+طيب من تعريف دالة أكبر عدد صحيح by definition of
+
+196
+00:20:46,730 --> 00:20:52,970
+the greatest integer function هذا العدد دايما أكبر
+
+197
+00:20:52,970 --> 00:20:58,150
+من نفسه الأدد اللي جوا سالب واحد وأصغر من أو ساوي
+
+198
+00:20:58,150 --> 00:21:05,870
+نفسه صح؟هذا العدد أكبر عدد صحيح أصغر من أو ساوي NX
+
+199
+00:21:05,870 --> 00:21:11,970
+يعني نفسر نفسه إذا هذا العدد أصغر من أو ساوي NX و
+
+200
+00:21:11,970 --> 00:21:18,250
+أكبر من NX للمطرح منها واحد طيب ننجل الواحد عن
+
+201
+00:21:18,250 --> 00:21:22,970
+ناحية التانية فبصرا اندي NX أصغر من أكبر عدد صحيح
+
+202
+00:21:22,970 --> 00:21:28,690
+أصغر من أو ساوي NX زاد واحدوهذا من هنا أصغر من أو
+
+203
+00:21:28,690 --> 00:21:39,010
+يساوي NX زايد واحد الان هذا سمينا احنا هذا M فبطلع
+
+204
+00:21:39,010 --> 00:21:45,930
+عندي M أكبر من NX أصغر من أو يساوي NX زايد واحد
+
+205
+00:21:45,930 --> 00:21:54,340
+نطرح واحد من كل الأطراف فبطلع عندي M سالب واحدم
+
+206
+00:21:54,340 --> 00:22:02,180
+سالب واحد اصغر من او ساوي نكس و نكس من هنا نكس
+
+207
+00:22:02,180 --> 00:22:09,160
+اصغر من م وهذا اللي بدنا يقنعه لان هنا برهن ال
+
+208
+00:22:09,160 --> 00:22:13,200
+claim لان
+
+209
+00:22:13,200 --> 00:22:18,960
+من هذا ال claim من
+
+210
+00:22:18,960 --> 00:22:21,800
+هذا ال claim نستنتج
+
+211
+00:22:24,560 --> 00:22:33,840
+هذه الكلام اللي برهناه لو أنا ضربت ..
+
+212
+00:22:33,840 --> 00:22:37,100
+لو
+
+213
+00:22:37,100 --> 00:22:43,940
+ضفت واحد لكل الأطراف فبصير عندي M أصغر من أو يساوي
+
+214
+00:22:43,940 --> 00:22:50,160
+NX زايد واحد أصغر من M زايد واحد
+
+215
+00:22:56,000 --> 00:23:05,300
+و لو جسمت على N أو ضربت في N نضرب في 1 على N فهذا
+
+216
+00:23:05,300 --> 00:23:15,400
+بيقدر ان M على N أصغر من أو يساوي X زائد 1 على N
+
+217
+00:23:26,950 --> 00:23:31,950
+طيب انا عندي .. انا
+
+218
+00:23:31,950 --> 00:23:34,110
+عندي من نفس المتباينة هذه
+
+219
+00:24:07,700 --> 00:24:15,700
+أنا عندي 1 على n أصغر من y minus x أنا
+
+220
+00:24:15,700 --> 00:24:23,580
+عندي 1 على n 1 على n أصغر من y سالب x هذا بيقدي
+
+221
+00:24:23,580 --> 00:24:33,260
+أنه x زاد 1 على n أصغر من y لأن هذا أصغر من y تمام
+
+222
+00:24:39,380 --> 00:24:45,180
+هو أكبر من X نعم؟ هو أكبر من X لأن X هيت واحدة
+
+223
+00:24:45,180 --> 00:24:55,720
+عنها اه و بدي هذا يكون أكبر من X اه
+
+224
+00:24:55,720 --> 00:25:02,780
+M على N أكبر اه من هنا من
+
+225
+00:25:02,780 --> 00:25:10,740
+هنا اجسم على M لما أضرب في واحد على Nفبصير عندي M
+
+226
+00:25:10,740 --> 00:25:17,860
+على N أكبر من X نظمت هيك صح؟ إذا أصبح عندي أنا
+
+227
+00:25:17,860 --> 00:25:25,220
+بحصل على X أصغر من M على N أصغر من Y الآن هذا
+
+228
+00:25:25,220 --> 00:25:33,060
+عبارة عن عدد نسبي هذا هو هذا العدد هو ال R هذا عدد
+
+229
+00:25:33,060 --> 00:25:38,000
+نسبي لأن عدد النسبي عبارة عن عدد صحيح على عدد صحيح
+
+230
+00:25:38,000 --> 00:25:44,470
+لا يساوي سفرإذن هذه أثبتت إن يوجد عدد نسبي أكبر من
+
+231
+00:25:44,470 --> 00:25:49,790
+X وأصغر من Y أو يوجد عدد نسبي بين X وY إذن هذا
+
+232
+00:25:49,790 --> 00:26:02,470
+بيكمل البرهان تبع ال density theorem في
+
+233
+00:26:02,470 --> 00:26:07,870
+كمان نتيجة تانية برضه بنسميها density theorem أو
+
+234
+00:26:07,870 --> 00:26:11,800
+نتيجة على ال density theoremو في بعض الناس برضه
+
+235
+00:26:11,800 --> 00:26:15,620
+نفسها بيسموها density theorem ف ال density theorem
+
+236
+00:26:15,620 --> 00:26:19,100
+هذه التانية أو النتيجة عليها بتقول ان بين اي
+
+237
+00:26:19,100 --> 00:26:24,440
+between any two real numbers x and y there exists
+
+238
+00:26:24,440 --> 00:26:29,860
+an irrational number يوجد عدد z بين x و y وهذا z
+
+239
+00:26:29,860 --> 00:26:36,100
+irrational number اذا
+
+240
+00:26:36,100 --> 00:26:47,170
+كمان مرةلو في عندى اي عددين حقيقيين x و y هو
+
+241
+00:26:47,170 --> 00:26:56,830
+x أصغر من y فبنقدر نلاقي r أو p وهذا ينتمي ل r
+
+242
+00:26:56,830 --> 00:27:06,170
+minus q عدد غير نسبي بين أكبر من x و أصغر من y
+
+243
+00:27:07,390 --> 00:27:12,950
+البرهان تبع النتيجة هذه اول
+
+244
+00:27:12,950 --> 00:27:18,050
+شي احنا لسه مثبتين قبل شوية ان جدر اتنين is a real
+
+245
+00:27:18,050 --> 00:27:22,730
+number جدر اتنين كان هو supremum ل 6 وبالتالي
+
+246
+00:27:22,730 --> 00:27:27,690
+exist in R واثبتنا ان جدر اتنين هذا اكبر من صفر
+
+247
+00:27:27,690 --> 00:27:31,910
+حتى اثبتنا انه اكبر من واحد كان ال X اكبر من واحد
+
+248
+00:27:31,910 --> 00:27:37,900
+وبالتالي موجةإن جدر اتنين عدد موجب وبالتالي مقلوبه
+
+249
+00:27:37,900 --> 00:27:46,480
+عدر موجب لإن أنا لما يكون عندي x أصغر من y و أضرب
+
+250
+00:27:46,480 --> 00:27:50,440
+المتباينة هذه في واحد على جدر اتنين اللي هو عدد
+
+251
+00:27:50,440 --> 00:27:55,040
+موجب فتصير المتباينة هذه x على جدر اتنين أصغر من y
+
+252
+00:27:55,040 --> 00:28:01,030
+على جدر اتنينتمام الان اذا هذا real number وهذا
+
+253
+00:28:01,030 --> 00:28:05,630
+real number by density theorem between any two
+
+254
+00:28:05,630 --> 00:28:09,270
+real numbers there exist irrational number عدد
+
+255
+00:28:09,270 --> 00:28:13,750
+نسبي سمي R طبعا هذا العدد النسبي لا يساوي سفر لان
+
+256
+00:28:13,750 --> 00:28:20,170
+دي عداد موجة باتنين اذا انا في عندي عدد نسبي R بين
+
+257
+00:28:20,170 --> 00:28:25,310
+العددين الحقيقين حسب ال density theorem الان لو
+
+258
+00:28:25,310 --> 00:28:32,530
+اخدت لو عرفتلو عرفت العدد z على انه r ضرب جذر
+
+259
+00:28:32,530 --> 00:28:38,110
+اتنين فهذا بيطلع عدد غير نسبي تعالوا نبرهم ذلك
+
+260
+00:28:38,110 --> 00:28:42,950
+لإثبات ان العدد z اللي هو r في جذر اتنين عدد غير
+
+261
+00:28:42,950 --> 00:28:49,210
+نسبي افرض otherwise يعني خلاف ذلك افرض خلاف ذلك
+
+262
+00:28:49,210 --> 00:28:56,250
+يعني افرض ان العدد هذا نسبي افرض
+
+263
+00:28:56,250 --> 00:29:02,030
+ان هذا نسبيإذا لما جسمه هذا هو R في جدر اتنين عدد
+
+264
+00:29:02,030 --> 00:29:08,130
+نسبي و R احنا فرضيه و R طبعا هذا عدد نسبي إذا عدد
+
+265
+00:29:08,130 --> 00:29:11,770
+نسبي على عدد نسبي بيطلع عدد نسبي إذا هذا هيطلع عدد
+
+266
+00:29:11,770 --> 00:29:15,810
+نسبي اللي هو بيساوي جدر اتنين وهذا تناقض مع
+
+267
+00:29:15,810 --> 00:29:21,490
+الحقيقة اللي أثبتناها سابقا إذا .. إذا هذا العدد
+
+268
+00:29:21,490 --> 00:29:28,090
+لازم .. مش ممكن يكون نسبي لازم يكون غير نسبي طيب
+
+269
+00:29:31,920 --> 00:29:37,240
+أضرب المتباينة هذه في
+
+270
+00:29:37,240 --> 00:29:42,500
+جدر اتنين لو ضربنا المتباينة هذه في جدر اتنين
+
+271
+00:29:42,500 --> 00:29:45,620
+فبصير
+
+272
+00:29:45,620 --> 00:29:52,440
+عندي X أصغر من R في جدر اتنين اللي سمناها Z أصغر
+
+273
+00:29:52,440 --> 00:29:53,340
+من Y
+
+274
+00:29:55,970 --> 00:30:00,250
+وبالتالي هنا أثبتنا أن يوجد عدد غير نسبي وهذا
+
+275
+00:30:00,250 --> 00:30:05,710
+العدد الغير نسبي between X and Y وهو المطلوب هذا
+
+276
+00:30:05,710 --> 00:30:10,870
+هو المطلوب تمام؟
+
+277
+00:30:10,870 --> 00:30:14,250
+في
+
+278
+00:30:14,250 --> 00:30:22,590
+أي سؤال أو استفسار؟ إن ذلك يكون احنا خلصنا أربع
+
+279
+00:30:22,590 --> 00:30:29,150
+سكا�� م الشتر واحدو هاي في تمارين على ال section
+
+280
+00:30:29,150 --> 00:30:40,510
+هذا و نبدأ section جديد ال
+
+281
+00:30:40,510 --> 00:30:43,950
+section الجديد هذا بتحدث عن ال intervals الفترات
+
+282
+00:30:43,950 --> 00:30:50,710
+طبعا كلكم درستوا تفاضل و تكامل و مرت عليكم أنواع
+
+283
+00:30:50,710 --> 00:30:59,210
+الفترات في course تفاضل و تكامللو أخذت اي عددين
+
+284
+00:30:59,210 --> 00:31:08,710
+حقيقياً a و b و a أصغر من أو ساول b فممكن نعرف ال
+
+285
+00:31:08,710 --> 00:31:13,730
+open interval على أن كل العداد الحقيقية x اللي بين
+
+286
+00:31:13,730 --> 00:31:20,010
+a و b فهذا ال open interval from a to b و فيه ممكن
+
+287
+00:31:20,010 --> 00:31:24,580
+نعرف closed interval from a to bعلى انها كل ال
+
+288
+00:31:24,580 --> 00:31:27,820
+real numbers اللي أكبر من أو ساوي a أصغر من أو
+
+289
+00:31:27,820 --> 00:31:34,880
+ساوي b ال half open فيه برضه نوع من الفترات بنسميه
+
+290
+00:31:34,880 --> 00:31:42,700
+half open أو half closed على الصورة هذه .. هذه
+
+291
+00:31:42,700 --> 00:31:47,890
+بنسميها half openأو half closed يعني مفتوحة من جهة
+
+292
+00:31:47,890 --> 00:31:53,010
+ومغلقة من جهة أخرى فهذه طبعا واضح تعريفة كل ال X
+
+293
+00:31:53,010 --> 00:31:59,250
+اللي أكبر من A أثر من أو ساوى B وهذه زيها في كمان
+
+294
+00:31:59,250 --> 00:32:05,650
+نوع أخر من ال intervals زي ال interval هذه بسميها
+
+295
+00:32:05,650 --> 00:32:14,430
+open left ray شعاع أيصر مفتوح يعني هايخط الأعداد
+
+296
+00:32:14,430 --> 00:32:18,970
+ليه بيسموها left ray لأن فعلا قاملة زي الشعار هاي
+
+297
+00:32:18,970 --> 00:32:26,830
+هذا خط الأعداد وهي بي عدد حقيقي فالفترة المفتوحة
+
+298
+00:32:26,830 --> 00:32:32,370
+من سالب من النهاية إلى بي هي الفترة هذه هي مصدر
+
+299
+00:32:32,370 --> 00:32:36,350
+الصورة أن هنا في مصدر ضوء وهذا الضوء بيشع إلى
+
+300
+00:32:36,350 --> 00:32:43,140
+اليسارفهذه الفترة هي من سالب مقالة نهاية إلى B
+
+301
+00:32:43,140 --> 00:32:48,580
+open interval صح؟
+
+302
+00:32:48,580 --> 00:32:53,400
+كل الأعداد الحقيقية اللي أصغر من B إذن هذه تعريفها
+
+303
+00:32:53,400 --> 00:32:57,460
+كل الأعداد الحقيقية اللي أصغر من B بالمثل ممكن أن
+
+304
+00:32:57,460 --> 00:33:06,040
+أعرف right ray right ray زي ذلك يعني D ومقالة
+
+305
+00:33:06,040 --> 00:33:11,230
+نهايةأو A وما إلى نهاية كل الإعداد الحقيقي اللي
+
+306
+00:33:11,230 --> 00:33:13,190
+أكبر أو على يمين ال A
+
+307
+00:33:16,510 --> 00:33:21,690
+طبعا ممكن نعرف closed left tray لأن لو أخلت النقطة
+
+308
+00:33:21,690 --> 00:33:28,090
+هذه موجودة ضمن الفترة يعني أغلقت الفترة زيك فهذه
+
+309
+00:33:28,090 --> 00:33:32,890
+بسميها closed left tray و كذلك لو أخدت ال beam
+
+310
+00:33:32,890 --> 00:33:37,730
+أضفتها على الفترة فهذه بسميها closed right tray
+
+311
+00:33:37,730 --> 00:33:45,660
+وفي طبعا هذه ال ..الـ two-sided ray إي ده صح
+
+312
+00:33:45,660 --> 00:33:51,000
+التعبير اللي هو خط الأعداد كله كل الأعداد بحثوا في
+
+313
+00:33:51,000 --> 00:33:54,060
+ملاحظة
+
+314
+00:33:54,060 --> 00:34:01,860
+هنا أن الأول تلت أنواع من ال intervals هدول نسميهم
+
+315
+00:34:01,860 --> 00:34:05,580
+bounded هم
+
+316
+00:34:05,580 --> 00:34:11,460
+فعلا bounded الفترات هذه محصورة محدودة ممكن نحصرها
+
+317
+00:34:13,670 --> 00:34:19,010
+أما الأنواع .. الأنواع ال .. ال .. الأخرى الخامسة
+
+318
+00:34:19,010 --> 00:34:25,350
+الأخرى هذه unbounded .. unbounded
+
+319
+00:34:25,350 --> 00:34:29,030
+غير
+
+320
+00:34:29,030 --> 00:34:33,230
+محصورة و غير محدودة الفترات هذه غير محدودة هذا
+
+321
+00:34:33,230 --> 00:34:37,810
+شعاع أيصر، لاحظ الشعاع هذا مقدرش ايه أcipher عليه
+
+322
+00:34:39,020 --> 00:34:44,220
+يعني بيمتد إلى سالب من النهاية أو بيمتد إلى من
+
+323
+00:34:44,220 --> 00:34:49,580
+النهاية، إذا الفترات هذه unbounded، النوح هذا من
+
+324
+00:34:49,580 --> 00:34:53,580
+الفترات bounded وبالتالي الفترات متجسمة إلى two
+
+325
+00:34:53,580 --> 00:34:58,260
+types bounded intervals وunbounded intervals
+
+326
+00:35:13,980 --> 00:35:26,320
+طيب في ملاحظة هنا على الفترات لو
+
+327
+00:35:26,320 --> 00:35:29,740
+أخدت أي interval بغض النظر هل هي bounded ولا
+
+328
+00:35:29,740 --> 00:35:35,200
+unbounded open, closed, half-open, half-closed بغض
+
+329
+00:35:35,200 --> 00:35:39,280
+النظر أي واحدة من الأنواع التمانية اللي شفناهم لو
+
+330
+00:35:39,280 --> 00:35:48,350
+I كانت أي intervalف ال interval I بتحقق الخصية هذه
+
+331
+00:35:48,350 --> 00:35:54,130
+اي interval بتحقق الخصية هذه ان انا لو اخدت اي
+
+332
+00:35:54,130 --> 00:36:00,070
+انصرين في الفترة و واحد اصغر من التاني فالعناصر
+
+333
+00:36:00,070 --> 00:36:05,770
+اللي بينهم بتكون موجودة في الفترة يعني هي ان عندي
+
+334
+00:36:05,770 --> 00:36:11,730
+فترة مفتوحة مغلقة او
+
+335
+00:36:13,570 --> 00:36:20,230
+left ray مثلا و
+
+336
+00:36:20,230 --> 00:36:29,330
+ال symbol فترة هذه مثلا a,b او مثلا high b فلو
+
+337
+00:36:29,330 --> 00:36:34,790
+أخدت سواء هذه الفترة او هذه او اي واحدة من انواع
+
+338
+00:36:34,790 --> 00:36:44,960
+التمنية و جيت أخدت عنصرين x و yو X أصغر من Y
+
+339
+00:36:44,960 --> 00:36:50,660
+موجودين في الفترة هذه فالفترة هذه بتتمتع بالخاصية
+
+340
+00:36:50,660 --> 00:36:58,480
+أن أي عنصر في الفترة هذه المغلقة من X و Y لو أخدت
+
+341
+00:36:58,480 --> 00:37:05,200
+أي تي يعني كل عناصر الفترة المغلقة هذه كلها بتطلع
+
+342
+00:37:05,200 --> 00:37:11,840
+موجودة في الفترة الكبيرة نفس الحاجة هنا هاي أخدي X
+
+343
+00:37:13,020 --> 00:37:24,020
+هو Y فكل العناصر T في الفترة المغلقة موجودة
+
+344
+00:37:24,020 --> 00:37:33,590
+في lift-ray اذا اي فترة Iلو أخدت داخلها أي عنصرين
+
+345
+00:37:33,590 --> 00:37:37,910
+X أزرع من Y فكل العناصر في الفترة المغلقة من X ل Y
+
+346
+00:37:37,910 --> 00:37:42,050
+أو الفترة المغلقة من X ل Y تطلع مجموعة جزئية من
+
+347
+00:37:42,050 --> 00:37:48,710
+الفترة اللي أنا ماخدها okay؟ الآن نظرية أشر أخر من
+
+348
+00:37:48,710 --> 00:37:57,000
+عشرين بتقوللي أنه العكس صحيح العكس صحيح يعنيلو أنا
+
+349
+00:37:57,000 --> 00:38:02,320
+فيه عندي مجموعة جزئية S مجموعة جزئية من R ال
+
+350
+00:38:02,320 --> 00:38:07,140
+cardinal number تبع S أكبر من أوي ساوى اتنين ال
+
+351
+00:38:07,140 --> 00:38:10,780
+cardinal number هنا يعني معناته عدد عناصر ال set
+
+352
+00:38:10,780 --> 00:38:15,740
+تجربة
+
+353
+00:38:15,740 --> 00:38:21,720
+يعني roughly speaking يعني معناه انه يعني اذا كانت
+
+354
+00:38:21,720 --> 00:38:25,460
+ال set finite فهذا عدد عناصرها is infinite طبعا
+
+355
+00:38:26,560 --> 00:38:37,180
+بيكون يعني له تعريف عام من عدد العناصر فده كانت S
+
+356
+00:38:37,180 --> 00:38:41,200
+مجموعة جزئية و cardinalها أكبر من أو ساو اتنين
+
+357
+00:38:41,200 --> 00:38:48,380
+يعني المجموعة فيها على الأقل عنصرين أو أكتر وكانت
+
+358
+00:38:48,380 --> 00:38:52,980
+المجموعة S هذه بتحقق الخاصية أربعة
+
+359
+00:38:55,110 --> 00:39:01,230
+فلازم ال 6 هذه تطلع interval كمان مرة احنا قلنا في
+
+360
+00:39:01,230 --> 00:39:08,050
+الملاحظة هذه اي interval بتحقق خاصية 4 اللي
+
+361
+00:39:08,050 --> 00:39:13,310
+شرحناها هنا الان العكس لو في عندي مجموعة جزئية S
+
+362
+00:39:13,310 --> 00:39:17,530
+من R انا مش عارف انها فترة ولا لا مجرد مجموعة
+
+363
+00:39:17,530 --> 00:39:22,510
+جزئية من R وفيها على الأقل عنصرين تحتوي على الأقل
+
+364
+00:39:22,510 --> 00:39:23,650
+عنصرين او اكتر
+
+365
+00:39:26,310 --> 00:39:31,210
+وإذا كانت المجموعة الجزئية S هذه بتحقق خاصية أربعة
+
+366
+00:39:31,210 --> 00:39:38,390
+فلازم هذه الست S تطلع فترة واحدة من الفترات
+
+367
+00:39:38,390 --> 00:39:43,970
+التمانية وبرهان
+
+368
+00:39:43,970 --> 00:39:54,130
+النظرية هذه برضه برهان طويل شوية لكن بعتمد
+
+369
+00:39:54,130 --> 00:40:01,730
+على أربعةأربع حالات فمن
+
+370
+00:40:01,730 --> 00:40:08,250
+جسم البرهان إلى أربع حالات الحالة الأولى ان ال set
+
+371
+00:40:08,250 --> 00:40:14,070
+S بتكون bounded محصور�� ال set بتكون bounded إذا
+
+372
+00:40:14,070 --> 00:40:19,030
+كانت bounded above and bounded below أو S is
+
+373
+00:40:19,030 --> 00:40:24,090
+bounded above but not below يعني محدودا من أعلى
+
+374
+00:40:24,090 --> 00:40:29,760
+وليست محدودا من أسفلوهذا وارد أو S is bounded
+
+375
+00:40:29,760 --> 00:40:33,280
+below but not above يعني محدودا من أسفل وليست
+
+376
+00:40:33,280 --> 00:40:37,520
+محدودا من الأعلى الحالة الرابعة أن S تكون neither
+
+377
+00:40:37,520 --> 00:40:41,180
+bounded above nor below يعني لا محدودا من أسفل ولا
+
+378
+00:40:41,180 --> 00:40:45,200
+محدودا من الأعلى زي R زي مجموعة الأداء من حفظين
+
+379
+00:40:45,200 --> 00:40:52,670
+تمام؟ وفي كل حالة بنا نثبت أن S تطلع فترةفي كل
+
+380
+00:40:52,670 --> 00:40:58,750
+حالة بنا نثبت المقاس تطلع فترة فيعني هاي انا
+
+381
+00:40:58,750 --> 00:41:04,130
+مثبتلكم الحالة الأولى و التانية و الحالتين التالتة
+
+382
+00:41:04,130 --> 00:41:11,330
+و الرابعة ممكن يعني برهانهم بالمثل فحدؤوكم تقرؤوا
+
+383
+00:41:11,330 --> 00:41:16,450
+البرهان لأن هذا البرهان مجرد تفاصيلات حدؤوكم انكم
+
+384
+00:41:16,450 --> 00:41:18,870
+تقرؤوا البرهان تفهموه لأنه مش هشلحهم
+
+385
+00:41:21,750 --> 00:41:25,570
+فحاولوا تقرؤوه تفهموه و انا متأكد انكم هتفهموه
+
+386
+00:41:25,570 --> 00:41:28,910
+فنتوقف
+
+387
+00:41:28,910 --> 00:41:33,130
+عند هذا .. نكتفي بهذا القدر و ان شاء الله المرة
+
+388
+00:41:33,130 --> 00:41:36,850
+الجاية هنتحدث
+
+389
+00:41:36,850 --> 00:41:43,510
+عن موضوع nested intervals okay؟ في حد عنده اي سؤال
+
+390
+00:41:43,510 --> 00:41:44,330
+او صف سؤال؟
+