RELATIVITÉ par DAMOUR Thibault , docteur ès sciences, directeur de recherche au CNRS, membre correpondant de l' Acamédie des s
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RELATIVITÉ par Thibault DAMOUR, docteur ès sciences, directeur de recherche au CNRS, membre correspondant de l'Académie des sciences.
En physique, le vocable " relativité " recouvre deux concepts très différents. Celui de relativité restreinte (qui a remplacé la relativité galiléenne) spécifie la structure cinématique de l’espace-temps. Cette structure, d’abord suggérée par l’étude de l’électromagnétisme, a fourni un cadre général pour la description de toutes les autres lois fondamentales de la nature, à l’exception de la gravitation, dont la formulation constitue le domaine de la relativité générale. Cette dernière théorie apporte une modification profonde au concept d’espace-temps, lequel cesse d’être une arène neutre, servant de simple cadre de déploiement à l’existence et à l’évolution de la matière, pour devenir une entité dynamique, influencée par et influençant la distribution d’énergie qu’il contient, et évoluant au même titre que les autres champs physiques. Cependant, la relativité générale est restée longtemps en marge du développement général de la science, car elle apparaissait comme une théorie mal confirmée et peu utile. Cette situation a changé depuis les années 1960 grâce à divers facteurs : développement de la gravitation expérimentale, découverte des quasars, des pulsars, etc., exploration théorique du régime des champs gravitationnels forts (objets condensés, trous noirs) et de celui des champs gravitationnels rapidement variables (rayonnement gravitationnel). De plus, les tentatives modernes d’unification des interactions fondamentales dans le cadre de la théorie quantique des champs ont suscité des recherches nouvelles sur les rapports entre la relativité générale, la théorie quantique et les autres forces, stimulant par là la création, ou le développement, de nouvelles théories physiques, comme la supergravité ou la théorie des cordes.
1. Relativité galiléenne et relativité restreinte
Il convient d’abord de distinguer le principe de relativité, qui est commun à Galilée et à Einstein, des théories de la relativité. Le principe de relativité stipule l’existence d’une classe particulière de systèmes de référence par rapport auxquels les lois de la physique locale (c’est-à-dire les lois d’évolution des phénomènes expérimentaux dont on contrôle les conditions initiales et les conditions aux limites dans un laboratoire de taille finie) prennent exactement la même forme. Rappelons que par système de référence (ou référentiel, ou repère, ou système de coordonnées) on entend une procédure expérimentale, utilisant des corps solides et des horloges " de référence ", qui permet d’attribuer univoquement à tout événement une date t et une position spatiale (x , y , z ) = (x 1, x 2, x 3). Parmi les lois de la physique locale, on admet la géométrie euclidienne pour décrire la juxtaposition des corps solides, ainsi que le principe d’inertie. On admet aussi que la classe particulière des référentiels où est valable le principe d’inertie (dits encore référentiels inertiels) est décrite par dix paramètres, correspondant à des changements d’origine du temps et de l’espace, à des rotations euclidiennes constantes et à des déplacements relatifs à vitesse constante. Notons que le principe de relativité constate, sans l’expliquer, l’existence de repères privilégiés où les lois de la physique revêtent une forme simplifiée. Le fait empirique que ces repères sont, avec une bonne approximation, non accélérés par rapport aux étoiles fixes reste incompris. Une détermination théorique satisfaisante des repères inertiels eux-mêmes, en fonction, par exemple, de la distribution de la matière dans l’univers (principe de Mach), n’existe pas actuellement. La relativité générale améliore cette situation théorique sans cependant apporter une réponse définitive. Beaucoup d’expériences appuient le principe de relativité, depuis la pratique journalière – on ne sent aucun effet de la vitesse dans un train ou dans un avion en mouvement rectiligne uniforme – jusqu’aux répétitions modernes des expériences de Michelson-Morley ou de Hughes-Drever, qui vérifient l’isotropie des lois de la physique locale avec une précision inouïe.
Après le principe de relativité, considérons maintenant les théories de la relativité, c’est-à-dire l’ensemble des lois cinématiques (lois de transformation entre repères inertiels) et dynamiques (physique locale) qui satisfont au principe de relativité. En ce qui concerne les lois cinématiques, il est remarquable qu’elles soient presque uniquement déterminées sous des hypothèses faibles et générales (homogénéité et isotropie de l’espace-temps, absence de violations grossières de la causalité), plus la remarque que l’ensemble des transformations entre repères d’inertie doit avoir une structure de groupe (l’application de deux transformations successives doit être équivalente à l’application d’une seule transformation). En effet, il n’existe que deux solutions possibles.
La première est le groupe des transformations de Galilée :
où Rij est une matrice orthogonale (dab Ria Rjb = dij ) représentant une rotation générale dépendant de trois paramètres (indices latins i , j = 1, 2, 3 ; dij est le symbole de Kronecker qui vaut 1 si i = j et 0 si i ¹ j , et on utilise la convention de sommation d’Einstein sur tout indice répété). Ce groupe est caractérisé par l’existence d’un temps absolu (c’est-à-dire indépendant du référentiel). La théorie de la relativité correspondante est celle de Newton, avec des lois du mouvement déterminant les accélérations des corps en fonction de la configuration géométrique relative instantanée du système en interaction.
La seconde solution est le groupe des transformations de Lorentz-Poincaré :
où habLmaLnb = hmn (indices grecs = 0, 1, 2, 3 ; x 0 = ct ; hmn est une matrice diagonale dont les seuls éléments non nuls sont h00 = - 1 et h11 = h22 = h33 = + 1). Ce groupe est caractérisé par l’existence d’une vitesse absolue c (indépendante du référentiel). Avec une paramétrisation convenable de Lmn (et a 0 = cb ), la limite formelle quand c ® ¥ des transformations de Lorentz-Poincaré redonne celles de Galilée (le processus formel de limite c ® ¥ est un exemple de ce qui s’appelle contraction de groupe en mathématiques). C’est la réflexion d’Einstein, de 1895 à 1905, sur l’incompatibilité entre la validité (attestée par beaucoup d’expériences) d’un principe de relativité pour les phénomènes électromagnétiques, et la non-invariance des équations de Maxwell sous les transformations de Galilée (1), qui l’a conduit à remplacer ces dernières par les transformations de Lorentz-Poincaré (2), considérées comme la base d’une nouvelle théorie de la relativité (la vitesse absolue c étant identifiée par Einstein à la vitesse de la lumière). Pour l’étude des conséquences cinématiques remarquables de (2) [relativité de la simultanéité, dilatation des durées, contraction des longueurs, nouvelle structure causale, loi non linéaire d’addition des vitesses], voir l’article ESPACE-TEMPS. Contentons-nous ici de rappeler que le groupe de Lorentz-Poincaré est le groupe des transformations qui laissent invariant l’intervalle d’espace-temps :
elles sont donc les analogues à quatre dimensions (mais avec la présence d’un signe moins pour le temps) des rotations de l’espace euclidien ordinaire, qui laissent invariant l’intervalle (carré) de longueur ds ² = dij dxi dxj . Autrement dit, l’espace-temps de la relativité restreinte est muni d’une structure géométrique absolue définie par la métrique quadratique (3) [espace-temps de Minkowski à 4 dimensions]. Attention au fait que, malgré ce que pourrait laisser croire la notation usuelle " ds²", la forme quadratique (3) n’est pas définie positive.
Depuis 1905, la physique s’est efforcée de formuler ses lois sous une forme invariante sous les transformations (2). Cette tâche s’est révélée très fructueuse, car elle a conduit à la découverte de nouvelles lois et à la prédiction de nouveaux phénomènes, surtout dans le domaine quantique. Citons, entre autres : la dynamique relativiste des particules, la théorie relativiste des particules de spin 1/2 de Dirac, la prédiction de l’antimatière, la relation E = mc² entre l’énergie et la masse inertielle, la relation entre spin et statistique et le théorème CPT. Ce dernier théorème exprime la symétrie de tout système sous le produit simultané des trois transformations suivantes : conjugaison de Charge (remplacement matière ↔ antimatière), Parité (transformation dans un miroir) et renversement de la direction du Temps. Nombre de conséquences de ces lois se vérifient quotidiennement dans les collisions de particules élémentaires et dans les réactions nucléaires (cf. chimie NUCLÉAIRE, énergie NUCLÉAIRE, forces NUCLÉAIRES, PARTICULES ÉLÉMENTAIRES). À l’heure actuelle, la cinématique de la relativité restreinte sert de cadre à la plupart des modélisations théoriques de la physique microscopique (théories des interactions électrofaibles et fortes). Seule la gravitation joue un rôle particulier : d’une part, parce que la généralisation directe, covariante sous le groupe de Lorentz-Poincaré, de l’équation de Poisson DU = - 4 prG qui détermine le potentiel newtonien, est inadéquate, d’autre part, pour des raisons plus profondes liées, comme on va le voir, au principe d’équivalence. Il appartenait à la théorie de la relativité générale d’Einstein (1915) de transcender ces difficultés de manière imprévue.
Masse inertielle et masse gravitationnelle
Le fait expérimental fondamental qui a conduit à la relativité générale est l’égalité entre la masse inertielle et la masse gravitationnelle (cf. DYNAMIQUE). Les expériences de Galilée sur la chute des corps suggéraient déjà que l’accélération due au champ de gravitation de la Terre est indépendante de la masse et de la nature des corps (cf. GRAVITATION). Les premières expériences modernes démontrant cette égalité avec une haute précision sont celles du baron Roland von Eötvös. La précision de ce type d’expérience a été considérablement affinée par Robert H. Dicke et Vladimir B. Braginskii (qui utilisaient l’accélération due au champ de gravitation du Soleil) et, plus récemment, par Eric G. Adelberger. On sait maintenant, grâce à ces expériences extrêmement délicates, que le rapport entre la masse inertielle et la masse gravitationnelle (qui est constante pour chaque substance) est une constante universelle pour toute la matière, la précision de mesure atteinte (de l’ordre de 10-12) étant l’une des meilleures de toute la physique. Afin de comprendre la signification de ce résultat, il convient d’examiner la définition des deux types de masse dans la dynamique galiléenne de Newton. On y suppose que tout corps possède une masse inertielle spécifique m I qui mesure sa réponse à la sollicitation de n’importe quelle force extérieure. Elle est déterminée de façon purement cinématique par la loi d’action et de réaction, qui entraîne la loi de conservation de la quantité de mouvement : Relativement à un corps de référence (m 0I), le rapport m I/m 0I est l’inverse de celui des variations de leurs vitesses au cours d’une collision élastique mutuelle ; quant à la masse gravitationnelle mg , elle intervient dans l’expression du mouvement d’une particule soumise à une force particulière, la gravitation. Cette masse détermine l’intensité de l’attraction éprouvée par ce corps dans un champ de potentiel gravitationnel U au moyen de l’équation de Newton :
Alors que m I et mg sont des propriétés intrinsèques du corps, U est une propriété du milieu extérieur. (La description newtonienne, moins précise, du phénomène de gravitation est provisoirement utilisée ici afin d’aider à comprendre qualitativement celle de la relativité générale.)
La masse gravitationnelle est donc tout à fait analogue à la charge électrique e d’une particule, laquelle détermine la réponse d’un corps à la sollicitation d’un potentiel électrique extérieur V, d’après :
Étant donné que le rapport e/m I peut prendre des valeurs très différentes selon les corps considérés (y compris la valeur zéro), il n’y a pas a priori de raison implicite dans la gravitation de Newton de s’attendre à une valeur constante du rapport mg /m I. Les résultats de Eötvös-Dicke sont par conséquent remarquables, surtout si l’on considère que la masse inertielle d’un corps macroscopique comprend non seulement la somme des masses de ses constituants (nucléons et électrons), mais aussi, d’après E = mc², la contribution des diverses énergies de liaison et de mouvement de ces constituants. La précision expérimentale actuellement obtenue permet de vérifier l’équivalence dans m I et mg des contributions de l’énergie de liaison nucléaire, de l’énergie cinétique des nucléons dans le noyau, de l’énergie électrostatique entre protons et de l’énergie de liaison atomique entre électrons et noyau. Par ailleurs, une analyse très précise du mouvement relatif Terre-Lune (utilisant des réflecteurs lasers laissés sur la Lune par Apollo-11, -14 et -15, et par Lunakhod-2) a permis de vérifier que même l’énergie de liaison gravitationnelle contribue de façon équivalente à m I et à mg . Il existe aussi des preuves directes de la validité de l’équivalence à l’échelle d’une particule élémentaire individuelle, le neutron. Ces résultats constituent la base du principe d’équivalence : À des quantités égales d’énergie d’origine quelconque correspondent des masses gravitationnelles identiques.
Référentiels localement inertiels
L’universalité de l’équivalence entre masse inertielle et masse gravitationnelle a des conséquences importantes pour la notion de référentiel inertiel. La première conséquence est qu’il n’existe pas de particules " neutres " par rapport à l’interaction gravitationnelle (même la lumière, puisqu’elle est un paquet d’énergie électromagnétique, doit graviter, ce que l’expérience vérifie). Il est donc impossible, même en principe, de construire des référentiels " non accélérés ", puisque tout dispositif physique sera sensible à l’accélération gravitationnelle causée par toutes les masses extérieures au système, même si elles sont très lointaines et invisibles. Une seconde conséquence vient cependant tempérer cette conclusion négative. D’après l’équation (4), l’équivalence de m I et mg signifie que tout corps (et tout paquet d’énergie) tombe, dans un champ gravitationnel, avec exactement la même accélération a = ÑU. Cette " universalité de la chute libre " implique que si l’on réalise, localement, un " repère en chute libre " en utilisant des solides et des horloges de référence en chute libre, tous les corps dans le voisinage immédiat du repère apparaîtront comme non accélérés par rapport à lui. Donc, par rapport à un tel repère, tout champ gravitationnel extérieur est " effacé ". Toutefois, l’effet du champ de gravitation ne peut être éliminé qu’à l’intérieur d’une région suffisamment petite pour que le champ y soit uniforme : ainsi, il y a en réalité une légère convergence latérale des occupants d’un ascenseur en chute libre, chacun d’eux tombant vers le centre de la Terre.
L’analyse précédente conduit au principe suivant : Puisque tout champ de gravitation, si intense ou rapidement variable soit-il, est pratiquement constant dans une région suffisamment petite de l’espace-temps, il peut être effacé localement. Or on sait que, en l’absence de gravitation, les autres lois de la physique sont valables dans les systèmes inertiels. Il est donc raisonnable de postuler que les référentiels particuliers qui éliminent localement la gravitation sont en même temps des systèmes inertiels, dans lesquels les lois de la physique locale, auxquelles se réfère le principe de relativité, sont valables. Cette assertion constitue le principe d’équivalence généralisé, supposé applicable à tout système physique. Comme tous les principes de la physique, celui-ci ne découle pas d’une nécessité logique, mais doit être confronté à l’expérience. On pourrait en effet concevoir pour les champs de gravitation des manifestations locales différentes de celles de la gravitation newtonienne, susceptibles d’altérer les lois habituelles de la relativité restreinte. Exprimé dans le langage usuel de la théorie des champs, notre postulat suppose que le couplage gravitationnel est universel et minimal, au moins à l’échelle macroscopique.
Décalage vers le rouge ou dilatation gravitationnelle des durées
Les référentiels localement inertiels, au voisinage de la Terre, par exemple, au lieu d’être attachés à la Terre, sont donc des ascenseurs en chute libre; ce fait paradoxal a pour conséquence expérimentale le décalage des fréquences des raies spectrales vers le rouge (ou red shift ) dans le champ de gravitation terrestre. La prédiction de cet effet illustre clairement le principe d’équivalence généralisé énoncé ci-dessus. Considérons deux observateurs, chacun instantanément au repos par rapport à la Terre, l’un à la surface de la Terre, l’autre à l’altitude h . Une onde lumineuse est émise vers le haut et sa fréquence est mesurée à l’altitude h (avec le résultat ωh ) et comparée à la fréquence ω0 mesurée à la surface de la Terre. Si le référentiel attaché à la Terre était inertiel, deux observateurs dans ce référentiel n’observeraient aucun changement de fréquence, car les équations de Maxwell, valables seulement dans les systèmes inertiels, attribuent une fréquence constante à une telle onde se propageant librement. Le principe d’équivalence affirme au contraire que les équations de Maxwell sont valables dans des systèmes (accélérés) tombant en chute libre. Dans un tel système, l’observateur à la surface de la Terre tombe en chute libre, mais sa vitesse par rapport à la Terre est encore nulle tandis qu’il mesure la fréquence ω0. Un troisième observateur qui serait situé à la hauteur h dans le même référentiel en chute libre n’observerait à l’arrivée de la lumière aucun déplacement de fréquence, les lois de Maxwell étant également valables pour lui. Cependant, lorsque la lumière atteint h, au bout d’un temps t = h/c, cet observateur a atteint, par rapport à la Terre, la vitesse v = gh/c, où g = 9,80 m . s-2 est l’accélération locale près de la surface de la Terre. L’observation réelle en h étant effectuée par un appareil, également en chute libre mais à vitesse nulle par rapport à la Terre en cet instant t , celui-ci possède par conséquent une vitesse - gh/c par rapport au troisième observateur. Or, en relativité restreinte, les fréquences mesurées par deux observateurs en mouvement relatif sont différentes (effet Doppler-Fizeau). Pour une vitesse relative faible, l’effet Δω/ω est égal à v/c . On trouve ici :
soit un déplacement vers le rouge.
Numériquement, l’effet est extrêmement faible :
il a cependant été mesuré au moyen de l’effet Mössbauer (cf. effet MÖSSBAUER), avec une précision de 1 p. 100, par Robert V. Pound et ses collaborateurs. D’un point de vue plus général, puisque la fréquence d’une raie spectrale définit une " horloge " à l’échelle atomique, le principe d’équivalence prédit l’existence d’une dilatation gravitationnelle des durées lors de la comparaison de deux horloges situées à des niveaux de potentiel gravitationnel différents. Une expérience très précise (2 p. 10 000) de Robert F. C. Vessot et ses collaborateurs utilisant une horloge à maser à hydrogène emportée dans une fusée à une altitude de 10 000 kilomètres a ainsi donné une autre vérification directe du principe d’équivalence généralisé.
Métrique et gravitation
Le principe d’équivalence permet de formuler toutes les autres lois de la physique, en présence d’un champ de gravitation, dans des régions infiniment petites. Il est cependant nécessaire, afin de tirer les conséquences de ces lois en résolvant leurs équations, de relier entre elles les régions possédant des référentiels d’inertie locaux différents. Cette opération mettra en évidence les effets de la gravitation sur la matière (le problème inverse, celui de la détermination des champs de gravitation, sera traité plus loin, au chapitre 3, lorsqu’on établira les équations d’Einstein de la relativité générale). Afin de relier entre eux les différents référentiels, on peut introduire un système de coordonnées unique, qui en général n’est pas partout inertiel, et exprimer les lois de la physique dans ce système étendu.
Soit Xa les coordonnées d’un référentiel localement inertiel. Dans un tel référentiel, les lois de la relativité restreinte s’appliquent. En particulier, on y mesure l’intervalle d’espace-temps :
ainsi que, par exemple, les densités et flux locaux d’énergie et d’impulsion qui se rassemblent dans les composantes du tenseur d’énergie-impulsion Tab. Quand on change de référentiel localement inertiel (au voisinage du même point de l’espace-temps) par une transformation de Lorentz, ds² est invariant alors que Tab se transforme comme un tenseur de Lorentz (T’ γδ = Λγα Λδβ Tab). En revanche, les transformations qui conduisent au référentiel non inertiel étendu, de coordonnées xµ, sont en général non linéaires : Xa = Xa(xµ). La valeur de l’invariant ds² calculée dans le système étendu xµ s’obtient en écrivant, au voisinage de chaque point :
où l’on a défini, point par point,
L’espace-temps apparaît ainsi comme muni non plus simplement d’une métrique quadratique minkowskienne (3) avec des coefficients constants, mais de la métrique quadratique plus générale (6). Ces espaces métriques plus généraux ont été étudiés d’abord par Gauss puis par Riemann et sont des géométries riemanniennes (cf. GÉOMÉTRIE, chap. 6, et VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES). Ils sont munis d’une notion de différentiation covariante µ qui se réduit à la dérivation partielle usuelle ∂α = ∂/∂Xα dans les référentiels localement inertiels [maintenant définis, de façon cohérente, à partir de la structure riemannienne (6) comme les transformations X α = X α (x µ) qui réduisent, autour d’un point donné x0, la forme (6) à la forme (5) modulo des termes du second ordre en X α - X α(x 0)]. Cette notion permet de reformuler les équations de la physique, connues dans les référentiels locaux X α, dans le système étendu x µ (cf. calcul TENSORIEL). Par exemple, la loi de conservation locale de l’énergie, qui s’écrit en chaque point :
se réécrit comme :
où l’on a défini Tμν comme le transformé tensoriel de Tab :
sont les coefficients de Christoffel , ou coefficients de connexion , qui permettent de calculer la dérivation covariante µ connaissant le champ gμν(x ). Notons au passage que le fait que l’opérateur de différentiation covariante fasse intervenir, en plus des dérivées partielles, les quantités Γλμν, est analogue à l’apparition du terme supplémentaire proportionnel au quadripotentiel électromagnétique dans l’opérateur de dérivation µ = ∂μ - i. Aμ, qui est utilisé pour coupler, de façon invariante de jauge, un champ chargé au champ électromagnétique. Du point de vue mathématique, ce sont là deux exemples du concept géométrique général de connexion linéaire (cf. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES). Cela montre que, dès le niveau classique, il y a un élément géométrique commun entre la relativité générale et les théories de jauge (c’est-à-dire la théorie de Maxwell et ses généralisations non linéaires ; cf. théorie des CHAMPS), lesquelles constituent, à l’heure actuelle, le cadre général de description des interactions non gravitationnelles (électrofaibles et fortes).
Comme on le voit sur l’exemple de (8), la reformulation des lois physiques dans un référentiel non inertiel étendu n’implique que les quantités physiques transformées et le champ gμν(x ) [mais non les coefficients ∂Xα / ∂xμ]. L’équation (8) montre aussi que, par rapport au référentiel étendu [x ], l’impulsion de la matière n’est pas conservée (∂νTμν ≠ 0) et donc que l’on peut interpréter les Γλμν comme des " forces accélératrices " agissant sur la matière.
On en conclut que gμν est lié aux effets physiques de la gravitation. Contient-il cette seule information, et celle-ci est-elle exhaustive ? Le champ gμν contient évidemment aussi une information sur le système de coordonnées, puisqu’il est possible de transformer gμν sans modifier le contenu des lois physiques, en changeant de référentiel. Quant à la seconde question, elle est de nature expérimentale et peut être mise à l’épreuve après déduction des équations qui déterminent gμν, une fois leurs conséquences mises en évidence (cf. Équations de champ ). Les équations d’Einstein supposent que seul gμν est nécessaire et elles sont en accord, comme on va le voir, avec toutes les expériences de gravitation réalisées jusqu’à présent. Les propriétés de l’espace-temps, entièrement déterminées par gμν sont établies par ces équations en fonction de la distribution de la matière dans l’Univers.
3. Relativité générale
Équations de champ
Einstein a cherché à généraliser l’équation de Poisson, ΔU = - 4πGρg , qui relie les dérivées secondes du potentiel newtonien U à la densité de masse gravitationnelle ρg . La généralisation relativiste de ρg est, de façon essentiellement unique, le tenseur d’énergie-impulsion Tμν à cause, d’une part, des équivalences masse gravitationnelle = masse inertielle = énergie/c², d’autre part, de l’absence en relativité restreinte d’une description par un scalaire, ou un vecteur, de la distribution d’énergie. Alors, comme le choix du référentiel étendu [x] est complètement arbitraire, Einstein s’est posé le problème de trouver un tenseur Sμν, formé à partir de gμν et de ses dérivées, qui puisse être égalé à Tμν, ce qui implique, pour être cohérent avec (8), que Sμν satisfasse identiquement Sμν = 0. Dans un espace-temps à quatre dimensions, ce problème a une solution unique , à un facteur près, Sμν = χ-2 Gμν[g ], si l’on impose : (a ) que Sμν dépend au plus de gμν et de ses dérivées premières et secondes ; (b ) que la géométrie minkowskienne gμν = ημν est une solution en absence de matière (Tμν = 0).
Cette solution unique conduit aux équations d’Einstein (où le symbole : = signifie " par définition égal à ") :
où Rμν : = Rαμαν et R : = gμν Rμν sont des contractions du tenseur de courbure :
(gμν est le tenseur inverse de gμν ; Tμν = g μρ g νσ Tρσ ; on rappelle que le tenseur de courbure est nul si et seulement si l’espace-temps est plat [minkowskien] ; cf. VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES). La constante χ, dont le carré apparaît dans (10), est une constante de couplage dimensionnée qui permet de relier Gμν et Tμν (qui ont des dimensions physiques différentes) et qui doit être déterminée expérimentalement (cf. Approximations postnewtoniennes et confirmations expérimentales ). Si l’on relâche certaines des conditions imposées ci-dessus au tenseur Sμν , on peut écrire des équations de champ plus générales que (10).
Par exemple, si l’on impose (a) mais pas (b), la solution générale devient Sμν= χ-2 ( Gμν+ λ gμν) , qui contient une autre constante arbitraire, la constante cosmologique λ (cf. COSMOLOGIE). Et, si l’on admet la présence de dérivées d’ordre supérieur à 2, il devient possible d’écrire des Sμν contenant beaucoup de constantes arbitraires et faisant intervenir, par exemple, des termes non linéaires en Rαβμν. Il n’existe pas, à l’heure actuelle, d’indications expérimentales suggérant l’emploi de telles généralisations; cependant, les tentatives de quantification de la gravitation, et de son unification avec les autres forces, prévoient de telles modifications aux très courtes distances (cf. Relativité générale, théorie quantique et unification).
Il est remarquable que, indépendamment de l’approche " géométrique " que nous venons de rappeler, les équations de champ de la relativité générale puissent être élaborées également à partir des aspects dynamiques du principe d’équivalence, de la manière selon laquelle on formule une théorie de champ dans le cadre de la relativité restreinte. Cette approche " dynamique " fut élaborée, entre autres, par Robert H. Kraichnan, Richard P. Feynman, Steven Weinberg et Stanley Deser. Son point de départ consiste à décrire l’interaction gravitationnelle comme étant transportée par un champ h qui se propage dans l’espace-temps minkowskien. Alors, le fait expérimental de la déflexion de la lumière par le Soleil suffit pour conclure que le champ h , s’il est supposé irréductible, doit être un champ tensoriel de portée infinie (ou champ de spin 2 et de masse nulle). Mais, si, ensuite, par analogie avec les équations de Maxwell :
qui couplent le champ Aµ à la distribution de charge et de courant décrite par Jµ, on essaie de coupler le champ hμν à la distribution d’énergie et d’impulsion de la matière décrite par le tenseur Tμν :
on aboutit à une incohérence. En effet, les membres de gauche de (12) et (13) sont identiquement conservés, ce qui entraîne nécessairement la conservation des membres de droite. Dans le cas électromagnétique, on obtient ainsi ∂µJµ = 0, qui est la loi de conservation de l’électricité. Mais, dans le cas gravitationnel, on obtient ∂ν Tμν = 0, c’est-à-dire la conservation locale de l’énergie et de l’impulsion de la matière, ce qui est incompatible avec le fait que, à cause du terme de couplage, hμν Tμν, dans le lagrangien dont dérive (13), on a nécessairement ∂ν Tμν ≠ 0, puisque la matière échange de l’énergie et de l’impulsion avec le champ h . Cette incohérence est alors résolue en complétant la source Tμν par des termes non linéaires en h qui décrivent le tenseur d’énergie-impulsion du champ h lui-même. Ce procédé doit être itéré jusqu’à atteindre une cohérence complète. Le résultat final redonne alors les équations d’Einstein (10) si l’on identifie ημν + hμν avec gμν. Dans cette approche, la non-linéarité des équations de champ (10) est donc intimement liée avec la condition que pose le principe d’équivalence d’inclure toutes les formes d’énergie dans la source de la gravitation, y compris l’énergie due au champ gravitationnel lui-même. On trouve de même que la matière (y compris tous les champs non gravitationnels) doit se coupler de façon universelle au champ gravitationnel. Au niveau des équations d’évolution de la matière, cette dernière condition se traduit par le fait que, partant des équations d’évolution en relativité restreinte, on doit y remplacer partout ημν par gμν = ημν+ hμν et les dérivées partielles par des dérivées covariantes. Ce couplage universel au champ gravitationnel implique alors que l’espace-temps plat de départ ημν devient totalement inobservable, et que seul l’espace-temps riemannien gμν a un sens opérationnel.
Limite newtonienne
Comme toutes les généralisations théoriques en physique, qui, tout en transcendant les théories précédentes, s’y ramènent dans les domaines où celles-ci demeurent valables, la relativité générale comprend la théorie de la gravitation de Newton comme un cas limite particulier. Explicitement, on s’attend que la limite newtonienne entre en jeu lorsque le champ gravitationnel est faible et lentement variable, et lorsque la source se meut lentement et ne possède que de faibles tensions internes. On exprime mathématiquement cette situation par les conditions hμν << 1, ∂0h <<∂ih , T0i << T00 et Tij<< T00 , qui présupposent que l’on emploie un système de coordonnées adapté à cette limite newtonienne (l’existence de telles coordonnées adaptées étant a posteriori justifiée par la construction de solutions approchées).
On démontre d’abord, en utilisant l’équation (8), qui exprime de façon covariante les équations du mouvement local de la matière en présence de gravitation, et en considérant le cas limite d’une distribution d’énergie concentrée en un point, qu’une particule d’épreuve se meut sur une géodésique de l’espace de Riemann, soit :
où dτ² = -ds²/c² est l’intervalle de temps propre. Pour de faibles vitesses et un champ gravitationnel faible et lentement variable, cette équation se réduit, à l’ordre le plus bas, à :
On doit donc identifier le potentiel newtonien U avec c² h00/2. Notons au passage que l’égalité de m I et mg s’est trouvée automatiquement incorporée dans l’équation du mouvement d’une particule [au niveau exact (14), comme dans la limite newtonienne (15)]. Contrairement à la théorie de Newton, en relativité générale cette égalité découle de la structure même de la théorie puisque (14) se déduit de (8) qui, elle-même, est une conséquence des équations de champ (10), puisque Gμν est identiquement nul.
Reste à retrouver l’équation de Poisson liant le potentiel newtonien à la densité de masse. D’abord, pour un champ gravitationnel faible, on trouve que les équations d’Einstein (10) se réduisent au premier ordre aux équations (13). Dans l’hypothèse supplémentaire d’un champ lentement variable, ces dernières impliquent :
Si les pressions à l’intérieur de la source sont faibles, ainsi que les vitesses, la " source " (T00 + Tii ) est dominée par la densité de masse au repos ρc². On retrouve donc l’équation de Poisson ΔU = - 4π Gρ, à condition d’identifier la constante de couplage de la gravitation χ à racine carrée de 8π G/c4, où G est la constante newtonienne de gravitation.
Approximations post-newtoniennes et confirmations expérimentales
La très grande précision de certaines mesures de distances et de durées actuellement réalisées dans le système solaire nécessite de tenir compte très soigneusement des modifications que la relativité générale apporte à la description newtonienne de l’espace-temps. Par conséquent, la relativité générale est utilisée dans un grand nombre de situations, depuis la recherche astronomique ou géophysique (interférométrie radio à très longue base, poursuite radar des planètes, poursuite laser de la Lune ou de satellites artificiels), en passant par les applications métrologiques ou géodésiques (définition du temps atomique international, cartographie de précision), jusqu’au vaste spectre d’applications pratiques des systèmes de positionnement global par satellites (G.P.S.), allant de la construction du tunnel sous la Manche aux systèmes de navigation maritimes, aériens, ou même automobiles ! Pour ce faire, une méthode d’approximation, dite postnewtonienne , a été développée qui consiste à compléter la limite newtonienne esquissée ci-dessus en gardant les termes d’ordre supérieur dans le petit paramètre :
La description relativiste approchée ainsi obtenue est ensuite utilisée pour ajuster de façon globale un très grand nombre de mesures. Ce caractère global rend caduque la distinction traditionnelle de certains " tests classiques " de la relativité générale (comme la déflexion de la lumière ou l’avance relativiste des périhélies). Il est aujourd’hui plus approprié de distinguer, au sein de l’ajustement global entre la théorie et l’expérience, des effets physiques typiquement relativistes en utilisant une paramétrisation adéquate de la métrique postnewtonienne. Ce procédé de paramétrisation postnewtonienne (introduit par Arthur S. Eddington dès 1923 et généralisé à la fin des années 1960 par Kenneth Nordtvedt et Clifford M. Will) permet aussi de comparer les données expérimentales brutes avec les prédictions faites par d’autres théories relativistes de la gravitation qui ont été proposées comme alternatives à la relativité générale. Par exemple, la relativité générale prévoit que l’écart hij=gij - δij entre la métrique d’espace et la métrique euclidienne vaut (dans un système de coordonnées adéquat) 2U δij /c², alors que d’autres théories prévoient pour hij une expression de même type mais affectée en général d’un coefficient différent de 2. On utilise alors hij =2γU δij /c² où on laisse libre le paramètre γ qui sera ajusté au même titre que les autres paramètres inconnus lors de la comparaison globale entre théories et expérience. Parmi la dizaine de paramètres postnewtoniens que l’on peut ainsi introduire, deux jouent un rôle clé : γ, que l’on vient d’introduire, et le paramètre β, qui mesure certaines des non-linéarités de la gravitation relativiste, c’est-à-dire, physiquement, le fait que l’énergie du champ gravitationnel est elle-même source de gravitation (β = γ = 1 en relativité générale). Un autre paramètre ξ mesure l’impossibilité de découpler le système solaire du champ gravitationnel crée par la galaxie ( ξ = 0 en relativité générale, où ce découplage est possible). Notons que les égalités ξ=0 et β=1 expriment chacune un des aspects que prend le principe d’équivalence en relativité générale.
Le caractère privilégié de γ et β vient de ce qu’ils paramétrisent complètement le régime postnewtonien des alternatives les plus simples à la relativité générale : les théories tenseur-scalaires de la gravitation. Dans ces théories, l’interaction gravitationnelle est transportée par deux champs à la fois : un champ tensoriel (spin 2) de masse nulle hμν couplé à Tμν, et un champ scalaire (spin 0) de masse nulle Φ couplé à la trace Tαα.
Toutes les expériences réalisées à ce jour dans le système solaire ont permis de déterminer, avec une précision atteignant le millième, les valeurs des paramètres postnewtoniens.
Par exemple l’analyse de variations de la gravité à la surface de la Terre a donné | ξ| < 10-3. Citons en particulier la mesure du retard, causé par le champ gravitationnel du Soleil, dans les échos radars sur la station Viking posée sur Mars, l’analyse globale de la dynamique du système solaire (incluant l’avance des périhélies planétaires), et la mesure très fine du mouvement relatif Terre-Lune obtenue à partir d’échos lasers sur les réflecteurs déposés sur la Lune. Le résultat global donne :
Notons au passage que la déflexion des rayons lumineux par le Soleil est proportionnelle à (1+ γ)/2 et permet donc de déterminer directement le paramètre γ. Mais la précision ainsi obtenue, même avec les meilleures techniques modernes utilisant des ondes radio, est seulement de l’ordre de 2 p. 100. Une telle précision est cependant suffisante pour déterminer, comme on y a fait allusion ci-dessus, que le champ qui propage l’interaction gravitationnelle à l’approximation linéarisée doit être de spin 2 et de masse nulle, si l’on suppose qu’il est irréductible. Tous les résultats ainsi obtenus sont compatibles avec la relativité générale (où ξ = β - 1 = γ - 1 = 0), et en constituent donc une excellente confirmation quantitative , au niveau de précision du millième. De plus, toute théorie alternative de la gravitation est fortement contrainte. Par exemple, dans les théories tenseur-scalaires le coefficient de couplage du champ scalaire à la matière doit être mille fois plus petit que celui du champ tensoriel einsteinien. Cependant, au niveau qualitatif, les expériences dans le système solaire n’explorent qu’un petit domaine de l’ensemble des manifestations de la gravitation : celui des champs gravitationnels faibles et quasi stationnaires. Des confirmations plus profondes de la relativité générale viendront de l’exploration des autres domaines de manifestation de la gravitation, notamment des champs gravitationnels forts et/ou rapidement variables. Nous ne discuterons pas ici les aspects cosmologiques de la gravitation relativiste (cf. COSMOLOGIE).
Champs gravitationnels forts. Trous noirs
Le régime des champs gravitationnels forts se rencontre dans la physique des corps gravitationnellement condensés. Cette dénomination désigne les états finals de l’évolution des étoiles. Après épuisement de leurs sources d’énergie nucléaire, les étoiles finissent par condenser une masse énorme dans un rayon très petit, conduisant, selon la masse initiale, à une naine blanche, à une étoile à neutrons ou à un trou noir (cf. ÉTOILES et GRAVI- TATION - Gravitation et astrophysique). Particulièrement importante est l’existence d’une borne supérieure à la masse d’une naine blanche ou d’une étoile à neutrons (cette borne supérieure ayant une origine profonde dans la théorie quantique – principe de Pauli – et dans la relativité restreinte – " adoucissement " de l’équation d’état d’un gaz ultra relativiste). Alors, quand une étoile froide excède cette borne supérieure (de l’ordre de deux fois la masse du Soleil), rien ne peut l’empêcher de s’effondrer complètement sur elle-même. Ce processus catastrophique conduit très vraisemblablement à la formation d’un trou noir , c’est-à-dire une structure particulière d’espace-temps courbe caractérisée par l’existence d’une frontière (dite " horizon " ou surface du trou noir) entre une région extérieure, d’où il est possible d’émettre des signaux à l’infini, et une région intérieure, où tout signal émis reste piégé (fig. 1). Notons que le développement temporel de la région intérieure est limité, se terminant par une singularité où la courbure devient infinie et où la description classique de l’espace et du temps perd son sens. L’apparition d’une singularité associée à des régions de champ gravitationnel fort est d’ailleurs un phénomène générique de la théorie d’Einstein, comme le montrent des théorèmes dus à Roger Penrose et Stephen W. Hawking. Dans le cas de la formation d’un trou noir, cette singularité n’est pas " visible " de l’extérieur. La conjecture de " censure cosmique ", due à Penrose, affirme que le processus d’effondrement d’un amas de matière conduit toujours à une telle singularité " cachée ".
Les trous noirs ont des propriétés remarquables. En particulier, un trou noir stationnaire isolé est complètement décrit par trois paramètres (sa masse M, son moment cinétique J : = Ma , et sa charge électrique Q) satisfaisant l’inégalité M²> a² + Q², en unités où G = c = 1 ; il s’agit du " théorème d’unicité " dû à Werner Israel, Brandon Carter, David C. Robinson, Gary Bunting et Pawel O. Mazur. La géométrie d’espace-temps à l’extérieur d’un tel trou noir est donnée par :
où D = r² - 2Mr + a² + Q² et S = r² + a² cos²q. La surface de ce trou noir est située en r = r+ = M + (M²- a²- Q² )1/2. Cette valeur de r apparaît comme singulière dans (17) puisque D s’y annule, mais la géométrie est pourtant tout à fait régulière en r = r +, cette singularité apparente provient du caractère inadéquat du système de coordonnées r, q, f, t quand r tend vers r+. Cette inadéquation n’est d’ailleurs pas accidentelle (et due par exemple à un mauvais choix de la coordonnée radiale r) mais correspond à une caractéristique physique fondamentale des trous noirs.
En effet, si la région extérieure à un trou noir est bien stationnaire au sens usuel (c’est-à-dire admet un groupe d’invariance de la métrique correspondant à des translations " dans le temps "), la région intérieure, quant à elle, admet (par prolongement) un groupe d’invariance de la métrique, mais ce groupe y correspond maintenant à des translations " dans l’espace " (ce qui veut dire que la région intérieure est homogène mais non stationnaire). Ce changement profond de caractère de la symétrie temporelle de l’espace-temps à la traversée de l’hypersurface r = r +, et le fait que cette dernière est une membrane unidirectionnelle que l’on ne peut traverser que dans un sens, a été d’abord clairement reconnu à la fin des années 1950, grâce notamment aux travaux de David Finkelstein, Christian Fronsdal et Martin Kruskal, sur le cas particulier a = Q = 0 de (17), c’est-à-dire sur la métrique dont la forme extérieure (trouvée par Karl Schwarzschild dès 1916) est :
Le caractère régulier de l’horizon r = 2M de (18) se vérifie par exemple en introduisant (à l’extérieur r > 2M, puis en prolongeant aux r < 2M) les nouvelles coordonnées :
D’un intérêt particulier est aussi la région (dite " ergosphère ") comprise entre r = r + et r = M + (M2 - a² cos²q - Q²)1/2. Dans cette région (qui n’existe que si a > 0, c’est-à-dire pour un trou noir " tournant "), les effets de type " magnétique " de la gravitation du trou noir (initialement créés par les courants de matière dans l’étoile en rotation qui s’est effondrée) sont si intenses qu’ils entraînent nécessairement, tel un maelström, tout corps qui y pénètre dans un mouvement de rotation autour du trou noir. Dans cette région encore, il est possible pour une particule tombant depuis l’infini de s’y désintégrer de telle sorte que l’un de ses fragments reparte à l’infini en emportant plus d’énergie que la particule incidente. Ce phénomène remarquable (d’abord noté par Penrose) montre qu’un trou noir est non seulement un puits de potentiel gravitationnel mais aussi un objet physique possédant une énergie libre importante qu’il est possible, en principe, d’extraire. L’énergétique des trous noirs est résumée dans leur " formule de masse " (due à Demetrios Christodoulou et Remo Ruffini) :
où Mirr désigne la masse irréductible du trou noir, une quantité qui ne peut qu’augmenter de manière irréversible. Comme l’aire totale de la surface du trou noir (laquelle a la topologie d’une sphère) vaut A = 16p M²irr, l’irréversibilité fondamentale de l’évolution d’un trou noir peut encore s’exprimer en disant que A ne peut que croître (théorème de Hawking). Ce résultat a suggéré à Jacob D. Bekenstein d’interpréter l’aire de l’horizon, A, comme étant proportionnelle à l’" entropie " du trou noir. Une telle interprétation thermodynamique est renforcée par l’étude de l’accroissement de A sous l’influence de perturbations externes, accroissement que l’on peut en effet attribuer à des propriétés dissipatives locales de la surface du trou noir : notamment une viscosité surfacique et une résistivité électrique surfacique (égale à 377 ohms). Ces interprétations " thermodynamiques " des propriétés des trous noirs restent de simples analogies au niveau de la physique classique, mais un résultat remarquable de Hawking a montré qu’elles avaient un contenu réel au niveau de la physique quantique. En 1974, Hawking a étudié l’aspect le plus simple de l’interaction entre la gravité et la théorie quantique, le comportement d’un champ quantique se propageant dans l’espace-temps classique de fond d’un trou noir. Il a trouvé que la présence d’un horizon, au-delà duquel la géométrie d’espace-temps n’est plus stationnaire au vrai sens du terme, avait des conséquences importantes pour la notion de particule quantique. Il trouva en particulier qu’un trou noir devait émettre de façon continue un flux de particules ayant le spectre caractéristique (spectre de Planck pour les bosons de masse nulle) d’une émission thermique de température T = 4h ∂M / ∂A. À une telle " température d’émission du trou noir " correspond, par la relation thermodynamique T = ∂E / ∂S, une entropie S = A / (4h ). Ce résultat confirme la réalité du concept d’entropie d’un trou noir et révèle une connexion inattendue – et peut-être profonde – entre gravitation, thermodynamique et théorie quantique.
Signalons enfin, en revenant au niveau classique, que la formule de masse (19) montre que les trous noirs sont les plus grands réservoirs d’énergie libre de l’Univers, puisque 29 p. 100 de leur énergie de masse peut être stockée sous forme de rotation, et même 50 p. 100 sous forme d’énergie électrique (on comparera ces valeurs aux quelques pour-cent d’énergie de liaison nucléaire qui correspondent pourtant à toute la lumière émise par les étoiles pendant leur vie). Cela suggère que les trous noirs peuvent constituer le moteur central de certains des phénomènes les plus énergétiques de l’Univers, en particulier les quasars (cf. QUASARS).
Un autre domaine de la relativité générale qui suscite des recherches très actives, tant du point de vue théorique que du point de vue expérimental, est celui des champs gravitationnels rapidement variables, lesquels, une fois engendrés dans la source, s’en éloignent sous la forme d’ondes gravitationnelles. D’où trois problèmes séparés : celui de la génération, celui de la propagation et, enfin, celui de la détection du rayonnement gravitationnel. Dans le cas le plus simple d’ondes gravitationnelles très faibles, considérées très loin de leur source, la géométrie d’espace-temps associée peut s’écrire sous la forme gμν = ημν + hμν , avec | h μν | << 1. Alors, les équations de propagation de hμν sont données (à l’ordre linéarisé) par l’équation (13), où l’on remplace le membre de droite par zéro. Dans un système de coordonnées adéquat, de telles ondes gravitationnelles satisfont h00TT = 0 = h0i TT et :
ce qui veut dire que ce sont, à l’instar des ondes électromagnétiques, des ondes transverses et sans traces (TT), décrites par deux polarisations indépendantes dans le plan orthogonal à la direction de propagation, et qui se propagent à la vitesse c , comme le montre la présence du d’alembertien □ : = ∆- c²∂²/∂t², dans les équations (20).
Le problème de la génération consiste à chercher le lien entre l’amplitude tensorielle hijTT du rayonnement gravitationnel dans la zone d’ondes, et le mouvement et la structure de la source. Si l’on considère le cas le plus simple d’une source suffisamment peu condensée pour n’engendrer que des ondes partout faibles (hμν << 1), on peut utiliser l’approximation linéarisée des équations d’Einstein (10), c’est-à-dire (13). Si l’on choisit un système de coordonnées tel que ∂αhαμ – (∂μhαα /2) = 0, on trouve que hμν est donné par :
où = Tμν - 1/2 ημν Tαα. La formule (21), qui décrit comment une source faible Tμν engendre le champ hμν , est l’analogue gravitationnel de la génération d’un champ électromagnétique Aµ (en jauge de Lorentz ∂αAα = 0) par sa source Jµ [cf. (12)] :
On trouve alors que, de même que la conservation de la charge implique qu’il n’y a pas d’émission électrique de type monopolaire, mais seulement dipolaire ou d’un ordre de polarité plus élevé, de même la conservation de l’énergie-impulsion implique l’absence de rayonnements gravitationnels monopolaires et dipolaires. Pour une source lentement variable, le rayonnement gravitationnel dominant sera donc quadrupolaire ; il est donné, dans la zone d’ondes, par l’expression :
où Pij = δij - ninj est le projecteur dans le plan orthogonal à la direction n de propagation. On montre que le résultat (23) est encore valable pour une source lente et faiblement autogravitante, pour laquelle on doit faire intervenir certains aspects non linéaires des équations d’Einstein. Le cas, plus intéressant car plus efficace pour engendrer du rayonnement, d’une source rapidement variable et fortement autogravitante, donne lieu aujourd’hui à d’intensives études théoriques fondées en partie sur l’utilisation de gros ordinateurs.
Enfin, le problème de la détection , dont le pionnier fut Joseph Weber dans les années soixante, suscite de nos jours de très actives recherches expérimentales. Le principe de tous les détecteurs repose sur le fait qu’une onde gravitationnelle d’amplitude h induit, lors de son passage, un déplacement de l’ordre de δL ≈ h . L entre deux corps distants de L. Le problème est donc de détecter un très petit déplacement relatif δL/L ≈ h . Les détecteurs qui semblent aujourd’hui les plus prometteurs sont de grands interféromètres, du type Michelson ou Fabry-Pérot, ayant des bras kilométriques et dans lesquels est injecté un faisceau laser monochromatique très puissant. De tels systèmes sont étudiés en Allemagne, en Australie, aux États-Unis, en France, en Italie, au Japon et au Royaume-Uni. Deux projets de détecteurs kilométriques ont été approuvés et sont en cours de construction : le projet américain L.I.G.O. (Laser Interferometer Gravitational Wawe Observatory) et le projet Virgo (collaboration France-Italie). Ils devraient mesurer des amplitudes h aussi faibles que 10-22, et ainsi permettre de détecter le rayonnement gravitationnel émis lors des étapes ultimes d’évolution de systèmes doubles d’étoiles à neutrons, comme les pulsars binaires décrits ci-dessous, situés dans des galaxies lointaines (jusqu’à 600 millions d’années de lumière de nous). La détection des ondes gravitationnelles apportera des renseignements inestimables pour l’astronomie en ouvrant une nouvelle " fenêtre " sur l’Univers.
Pour conclure ce survol des aspects classiques de la relativité générale, parlons brièvement des " pulsars binaires ", c’est-à-dire des systèmes doubles constitués d’un pulsar (étoile à neutrons en rotation rapide sur elle-même) et d’une étoile compagnon très dense (étoile à neutrons ou naine blanche). Le premier système de ce type, nommé PSR 1913 + 16, a été découvert par Russell A. Hulse et Joseph H. Taylor en 1974. Grâce aux observations régulières réalisées par Joseph H. Taylor et ses collaborateurs depuis sa découverte, il a été possible de suivre avec une précision remarquable le mouvement orbital du pulsar. Ce qui rend ce système si intéressant du point de vue théorique, c’est qu’il contient des régions où le champ gravitationnel est très intense. En effet, la courbure de l’espace-temps à l’intérieur et au voisinage immédiat du corps gravitationnellement condensé qu’est le pulsar (et sans doute aussi son compagnon) est grande (avec | hμν | de l’ordre de 0,40, au lieu de 10-6 dans le système solaire). De plus, le fait que l’interaction gravitationnelle se propage à la vitesse de la lumière entre le pulsar et son compagnon joue un rôle important. L’étude théorique de ce système a nécessité le développement d’une nouvelle méthode capable de tenir compte de la présence de régions de champ fort, et de traiter avec soin le phénomène de propagation de l’interaction gravitationnelle. Cette méthode a d’abord permis de démontrer que, en relativité générale, tous les effets de champ gravitationnel fort pouvaient être absorbés dans la définition d’une " masse observable " pour chaque objet. Cette propriété, qui est encore un des aspects du principe d’équivalence, est caractéristique de la relativité générale et n’est pas vraie dans les autres théories de la gravitation (notamment les théories tenseur-scalaires où les effets de champ gravitationnel fort peuvent introduire d’importantes modifications dans l’interaction gravitationnelle de deux étoiles à neutrons). On voit là comment les mesures faites sur les pulsars binaires permettent d’aller au-delà des expériences effectuées dans le système solaire en sondant le régime des champs gravitationnels forts. Pour ce faire, il faut pouvoir effectuer une comparaison détaillée entre les données observationnelles brutes (qui consistent en une série discrète de temps d’arrivée sur Terre des impulsions électromagnétiques en provenance du pulsar en mouvement orbital) et une classe générale de théories de la gravitation. De façon un peu similaire à ce qui a été dit plus haut à propos des tests dans le système solaire, une telle comparaison est possible par un processus de paramétrisation appelé " postképlérien ". Mais, dans ce cas, ce n’est pas la métrique d’espace-temps que l’on paramétrise, mais directement la " formule de chronométrage " qui donne les temps d’arrivée théoriques des signaux sur Terre en fonction d’une vingtaine de " paramètres phénoménologiques ". On obtient alors des tests de la relativité générale (ainsi que d’une large classe d’autres théories de la gravitation) si l’on mesure plus de paramètres phénoménologiques que le nombre minimal de paramètres dynamiques qui suffisent à caractériser intrinsèquement le système. Dans le cas du système PSR 1913 + 16, il a été possible de mesurer trois paramètres phénoménologiques orbitaux (ou paramètres postképlériens) : ω, qui mesure l’avance du périastre, γ (à ne pas confondre avec le paramètre postnewtonien introduit ci-dessus), qui mesure la dilatation gravitationnelle de la fréquence de rotation du pulsar sur lui-même, et P, qui mesure la variation séculaire de la période orbitale. La physique des champs gravitationnels intenses entre dans la détermination de ω, γ et P. De plus, l’origine physique de P peut être directement attribuée au fait que l’interaction gravitationnelle entre le pulsar et son compagnon se propage à la vitesse de la lumière (cf. équation 21). Cette propagation à vitesse finie produit, dans la force gravitationnelle agissant sur le pulsar, une composante opposée à sa vitesse orbitale qui fait progressivement " tomber " le pulsar sur une orbite plus basse autour de son compagnon, causant ainsi une diminution progressive de la période orbitale (P S 0). Notons que, dans quelque 300 millions d’années, cette " chute " progressive du pulsar et de son compagnon l’un vers l’autre conduira à un système binaire extrêmement serré, en mouvement spiral convergent, émettant, lors des derniers milliers d’orbites, un rayonnement gravitationnel très intense qui est le prototype des sources d’ondes gravitationnelles que les projets L.I.G.O. et Virgo cherchent à détecter dans d’autres galaxies. La mesure simultanée de ω, γ, et P dans PSR 1913 + 16 donne lieu à un test combiné du régime de champ fort et des propriétés de propagation de la gravitation (fig. 2). La relativité générale passe ce test avec une précision de 3,5. 10-3.
Un autre pulsar binaire, PSR 1534 + 12, découvert par Aleksander Wolszczan en 1991, a permis quant à lui de mesurer cinq paramètres postképlériens : ω, γ et P et deux nouveaux paramètres r et s, qui mesurent l’amplitude et la forme du retard gravitationnel des signaux du pulsar causé par la présence du compagnon. Ces cinq mesures simultanées donnent lieu à deux tests " purs " du régime de champ fort, et un test combiné du régime de champ fort et des aspects radiatifs de la gravitation. Là encore, la relativité générale passe ces trois nouveaux tests avec un complet succès.
En conclusion, l’étude des pulsars binaires a permis de confirmer pour la première fois que la théorie d’Einstein décrit correctement le régime des champs gravitationnels intenses, et de prouver observationnellement que l’interaction gravitationnelle se propage à vitesse finie (ce qui démontre la réalité des ondes gravitationnelles).
4. Relativité générale, théorie quantique et unification
Nous n’avons jusqu’ici examiné que la relativité générale classique, qui est pertinente pour décrire la gravitation à l’échelle macroscopique, mais insuffisante pour étudier l’interaction gravitationnelle à l’échelle microscopique, où entre en jeu le caractère quantique des particules élémentaires. Nous avons déjà noté, à propos de la radiation thermique des trous noirs de Hawking, qu’un champ gravitationnel classique peut influencer les propriétés quantiques de la matière ; nous allons maintenant considérer le problème de la quantification du champ gravitationnel lui-même. Il est d’abord clair qu’une telle quantification – et donc, en relativité générale, la quantification de la géométrie – est nécessaire puisque la source de la gravitation est le tenseur d’énergie-impulsion de la matière, lequel a, a priori, un caractère quantique, et ne peut qu’approximativement être remplacé par une valeur moyenne quasi classique. De plus, le programme d’unification de toutes les interactions conduit nécessairement à quantifier aussi la gravitation. Cependant, la quantification de la relativité générale soulève de nombreuses difficultés qui ont essentiellement deux origines : en premier lieu, on ne sait quantifier des systèmes non linéaires que de façon perturbative; en second lieu, la gravitation fait intervenir une constante de couplage dimensionnée. En théorie quantique, on représente la gravitation par le champ φμν = χ -1 hμν , et l’on développe la métrique en puissances de χ au voisinage de sa valeur minkowskienne : g μν = ημν + χφμν. Or, comme l’avait remarqué Planck, immédiatement après la découverte du quantum d’action (constante de Planck = 2 πh ), la quantité l0 = χ(hc /8 π)1/2 a la dimension d’une longueur ( l0 ≈ 1,6.10 -33 cm, correspondant à une énergie E0 = hc /l 0 ≈ 1,2.1028 eV). Mais une théorie de champ quantique faisant intervenir une constante de couplage ayant la dimension d’une longueur n’est pas renormalisable, ce qui veut dire que le calcul des effets quantiques non linéaires fait apparaître des quantités infinies qui enlèvent tout caractère prédictif à cette théorie au-delà de l’ordre linéaire (lequel reste une théorie bien définie de particules quantiques libres : " gravitons " de spin 2 et de masse nulle dans le cas gravitationnel). En outre, l’invariance de la relativité générale par rapport à toutes les transformations de coordonnées (qui est analogue à l’invariance de jauge des théories de jauge) implique la présence de contraintes compliquées entre les variables de champ. Les travaux de Paul Dirac et de Richard Arnowitt, Stanley Deser et Charles W. Misner ont cependant permis de construire une formulation hamiltonienne de la relativité générale classique, mais la quantification de cette dernière est loin d’être évidente. D’autres tentatives de quantification ont été faites (par exemple les formulations " covariantes de Lorentz ", étudiées en particulier par Bryce S. DeWitt), mais elles se sont toutes heurtées à de graves difficultés. En somme, la quantification directe de la théorie d’Einstein pose problème. Peut-être faut-il alors considérer que la relativité générale n’est pas une théorie fondamentale, mais seulement une théorie effective qui découle, comme approximation macroscopique, d’une théorie unifiée sous-jacente. Cette ambitieuse vision unificatrice est devenue dominante depuis le début des années soixante-dix, après le succès de l’unification des forces non gravitationnelles, sous l’influence conjuguée de nouvelles idées (supersymétrie, cordes) et de l’idée plus ancienne (due à Theodor Kaluza et Oskar Klein) que l’espace-temps a peut-être plus de quatre dimensions.
Historiquement, les premières tentatives d’unification ne comprenaient que la relativité générale et l’électromagnétisme, décrit par le quadripotentiel Aµ. Kaluza et Klein réalisèrent que les champs gμν et Aµ, qui apparaissent séparés dans l’espace-temps à quatre dimensions (D = 4), pouvaient être unifiés dans la métrique riemannienne d’un espace-temps à cinq dimensions (D = 5) : gMN = (gμν , gµ5, g55) ; ce procédé fait apparaître un champ scalaire supplémentaire en D = 4. Afin d’expliquer pourquoi on ne voit pas la cinquième dimension, on peut alors supposer qu’elle se referme sur elle-même en cercles de rayon ≈ l0. Une telle périodicité par rapport à la cinquième dimension permettrait aussi d’expliquer la quantification de la charge électrique. (Ces idées peuvent se généraliser à l’unification de la relativité générale avec les théories de jauge non abéliennes de Yang-Mills.) De telles tentatives d’unification " géométrique " furent abandonnées (sauf par Einstein lui-même) quand furent découvertes de plus en plus de particules " élémentaires ", comprenant notamment des particules de spin 1/2 (électron, neutrino, quark...) qui sont décrites par des champs fermioniques de nature essentiellement quantique, sans analogues classiques. À la place fut entrepris un programme d’unification " dynamique " des interactions non gravitationnelles qui conduisit à la théorie électrofaible, à la chromodynamique quantique (théorie des interactions fortes), ainsi qu’aux essais de " grande unification ". Toutes ces théories représentent les interactions comme dues à l’échange de particules bosoniques de jauge. En 1974, après en particulier un travail de Julius Wess et Bruno Zumino, la supersymétrie , c’est-à-dire une sorte de rotation globale transformant les bosons en fermions et réciproquement, permit de concevoir une unification plus profonde entre champs bosoniques (interactions) et champs fermioniques (matière). Assez rapidement, la supersymétrie globale fut généralisée à une supersymétrie locale, ce qui conduisit à la théorie de la supergravité, découverte en 1976 par Daniel Z. Freedman, Peter Van Nieuwenhuizen et Sergio Ferrara, et par Stanley Deser et Bruno Zumino. Cette théorie unifie la relativité générale dans un supermultiplet de jauge contenant, en plus du graviton, un fermion sans masse, de spin 3/2. La supergravité fut étendue à d’autres multiplets et fut formulée dans des espaces-temps ayant plus de quatre dimensions (notamment D = 10 et 11). Mais, comme ces théories contiennent toujours la constante de couplage dimensionnée χ, elles restent non renormalisables, et le seul espoir de leur donner un sens au niveau quantique est que les interactions non linéaires infinies entre bosons puissent être compensées par les interactions (également infinies, mais en général de signes opposés) entre fermions. Malheureusement, bien que de telles compensations existent pour les premiers ordres d’interaction non linéaire, on s’aperçut rapidement que ce n’allait probablement pas être le cas pour les ordres élevés d’interaction (la vérification explicite de ce fait est cependant si ardue qu’elle semble impossible sans le recours à de puissants ordinateurs, comme cela a été fait pour le calcul des termes infinis du deuxième ordre d’approximation de la gravitation quantique).
Pendant ce temps, pour des raisons tout à fait différentes (et qui restent en grande partie mystérieuses), les théories des cordes commencèrent à manifester une affinité avec la gravitation. Initialement formulées (notamment par Gabriele Veneziano, Yoshiro Nambu et T. Goto) comme modèles des interactions fortes, les théories des cordes, fondées sur la quantification de la dynamique relativiste d’un objet étendu selon une dimension spatiale, montrèrent deux propriétés remarquables : une grande unicité (même la dimension de l’espace-temps où elles sont formulées est fixée) et la présence d’excitations quantiques ayant les propriétés du graviton (Joël Scherk et John H. Schwarz, et Tamiaki Yonea, 1974). Une troisième propriété remarquable (possibilité naturelle de l’absence d’" anomalies quantiques " des invariances de jauge) stimula, après sa découverte, par Michael B. Green et John H. Schwarz, à l’automne de 1984, une intense recherche sur les théories de cordes. Comme ces théories incluent non seulement la gravitation mais aussi des champs de jauge et des fermions, et qu’il semble qu’elles donnent lieu, à tous les ordres de non-linéarité, à des interactions finies, elles apparaissent comme d’intéressants candidats pour réaliser le programme d’unification de toutes les forces. De plus, elles ne contiennent qu’un seul paramètre ajustable, ayant la dimension d’une longueur au carré, qui est relié à l²0. Avant cependant de pouvoir comparer les théories des cordes à l’expérience, deux problèmes fondamentaux doivent être résolus. Le premier est celui de la " compactification " : comment se fait-il que, parmi les dix (par exemple) dimensions des espaces-temps où sont définies certaines de ces théories, six se referment sur elles-mêmes sur des distances très courtes pour ne laisser que quatre dimensions apparentes ? Le second est celui de la " brisure de symétrie " : comment les particules originairement sans masse de ces théories engendrent-elles les particules massives que l’on observe ? Lié à ce deuxième problème est celui de la constante cosmologique Λ : comment se fait-il que la gravitation macroscopique ne fasse pas intervenir de terme en Λ dans les équations d’Einstein (ou tout au moins un terme extrêmement petit, s’il existe ; l’expérience indiquant que Λ < 6 . 10-56 cm-2) alors que la brisure de symétrie engendre en général un Λ quelque 120 ordres de grandeur plus grand (Λ ≈ l0 -2 ≈ 4.10 65 cm-2) ! Ce dernier problème est central dans tout essai de quantification de la gravitation couplée à la matière, et suscite actuellement d’intenses recherches.
Esquissons maintenant brièvement la structure des théories de supergravité et des cordes. La supergravité peut être motivée, d’une tout autre façon que via le concept de supersymétrie, en se posant le problème de coupler à la gravité, de façon cohérente, des champs de jauge de spin strictement plus grand que 1 (notamment s = 3/2). En absence de gravité, c’est-à-dire dans l’espace-temps plat de Minkowski, l’équation de propagation d’un champ de spin 3/2, décrit par un vecteur-spineur réel ψµ, est :
où ε est le symbole totalement antisymétrique de Levi-Civita, et où les γ désignent les matrices de Dirac. Cette équation de propagation satisfait clairement l’identité ∂μRμ ≡ 0, laquelle est nécessaire à la cohérence de la théorie d’un champ de spin 3/2. En présence de gravité maintenant, c’est-à-dire dans un espace-temps courbe, on peut toujours introduire la notion de champ de vecteurs-spineurs ψµ à condition d’utiliser en chaque point un repère orthonormé. Introduisant alors l’opérateur de dérivation covariante d’un spineur ▼µ [qui fait intervenir les coefficients de la connexion linéaire par rapport au champ de repères orthonormés, et non plus simplement les coefficients (9) qui correspondaient au champ de repères affines associé à un système de coordonnées], on écrira pour la propagation de ψµ :
Mais, alors, la non-commutativité des dérivées covariantes (qui est l’indice de la présence d’une courbure) fait que l’équation ▼μRμ = 0, nécessaire à la cohérence n’est plus satisfaite identiquement mais implique la contrainte suivante sur le tenseur d’Einstein : Gμνγμψν = 0. En général, cette contrainte ne peut être satisfaite que dans le vide (Gμν = 0) et semble donc incompatible avec le fait que le tenseur d’énergie-impulsion du champ ψ, Tμν(ψ), soit une source du champ gravitationnel [Gμν = χ² Tμν(ψ)]. Cependant, la supergravité arrive à éviter cet écueil, grâce notamment aux propriétés d’anticommutation des champs spinoriels quantiques qui permettent d’avoir identiquement Tμν(ψ) γμψν ≡0. De plus, un tel lien de cohérence entre les équations de propagation du vecteur-spineur et de la gravité signifie qu’il existe une nouvelle invariance locale de la théorie, associée à un paramètre fermionique α(x ) qui transforme simultanément en chaque point ψ et γ :
Cette invariance locale (c’est-à-dire différente d’un point à l’autre) généralise l’invariance globale (la même en chaque point) de supersymétrie qui existe en espace-temps plat. La supergravité, par le point de vue plus général qu’elle apporte, a permis de découvrir des propriétés nouvelles de la relativité générale classique. En particulier, à peu près au même sens où l’équation de Dirac a montré que l’équation des ondes était le " carré " d’une autre équation, la supergravité a montré qu’un déplacement dans l’espace-temps pouvait être écrit comme le produit de deux transformations de supersymétrie, ce qui implique que l’énergie totale d’un système gravitant était un carré (E = Q², où Q est une " supercharge " conservée associée à la superinvariance). Ce résultat a indiqué une voie pour démontrer que l’énergie totale d’un système autogravitant était toujours non négative (et nulle seulement pour l’espace-temps plat), une propriété fondamentale pour la stabilité de la relativité générale classique. La supergravité " simple " que nous venons d’esquisser a été " étendue " dans plusieurs directions : plus de champs, plus de supersymétries, plus de dimensions d’espace-temps. Toutes ces extensions ont des limitations naturelles : il ne peut pas y avoir de champs de spin supérieur à celui du graviton (ce qui est en accord avec l’expérience), et il n’est pas possible de dépasser onze dimensions d’espace-temps (cette dernière dimension n’admettant plus qu’une seule supersymétrie).
Malgré leur élégance et leurs remarquables propriétés géométriques, les théories de supergravité ne semblent pas physiquement viables, car elles ne sont pas renormalisables. C’est là un problème que la théorie des cordes semble éviter de façon radicale en quantifiant non plus des particules ponctuelles (qui donnent lieu à des champs quantifiés), mais des " cordes ", c’est-à-dire des objets étendus dans une dimension spatiale, qui peuvent être " ouvertes " ou refermées sur elles-mêmes en boucles. La dynamique relativiste classique d’un tel objet est définie en extrémisant l’aire de la 2-surface tracée dans l’espace-temps par le mouvement de la corde. Ensuite, la quantification de cette dynamique classique fait apparaître des propriétés nouvelles. D’abord, l’espace-temps de fond où est plongée la corde doit avoir 26 dimensions pour les théories originales des cordes dites " bosoniques ", et 10 pour les cordes " supersymétriques ". Ensuite, la quantification des modes de vibration de la corde engendre un spectre infini de particules. En effet, à chaque " instant ", la configuration de la corde classique est décrite par des fonctions xμ (σ), exprimant les coordonnées de chaque point de la corde en fonction d’une abscisse curviligne σ. La décomposition de Fourier de xμ (σ) en sinus et cosinus définit alors un ensemble discret d’amplitudes αμn (n= 0, + 1, + 2,...) qui, après quantification, deviendront des opérateurs de création ou d’annihilation d’états quantiques correspondant à des particules quantiques de spin et de masse déterminés. Il se trouve (miraculeusement ?) que l’exigence de cohérence quantique de la théorie implique nécessairement la présence, entre autres, d’une particule sans masse de spin 2 dans les excitations quantiques des cordes fermées, alors que les cordes ouvertes donnent lieu à une particule sans masse de spin 1. De plus, la théorie des cordes ouvertes contient nécessairement des cordes fermées (en gros parce qu’elles peuvent toujours se refermer en joignant leurs extrémités). Nous avons indiqué plus haut que toute théorie cohérente de particules sans masse de spin 2 devait conduire à la relativité générale, ou à ses généralisations contenant des termes non linéaires dans le tenseur de courbure (11). Et on peut en effet construire une théorie effective classique de la gravitation en 26 dimensions engendrée par la théorie quantique des cordes bosoniques qui contient la relativité générale plus une série de corrections non linéaires du type l02n (courbure)n . Les cordes supersymétriques, les seules physiquement intéressantes car ne donnant probablement lieu à aucun infini, engendrent quant à elles, à l’ordre le plus bas, la supergravité en 10 dimensions. Ces corrections d’origine quantique à la relativité générale sont, bien entendu, négligeables à l’échelle macroscopique où l0 ² (courbure) ≈ [l0/ (longueur macroscopique)]² << 1. Dans cette approche, on voit que la relativité générale classique n’a pas à être quantifiée, puisqu’elle émerge comme l’approximation effective classique d’une théorie quantique des cordes.
En conclusion, quoi qu’il advienne de l’espoir que les théories quantiques des cordes (ou d’autres objets étendus) contiennent la clef du problème de l’unification des forces, l’étude de ces théories a déjà élargi notre horizon et ne pourra que continuer à enrichir notre compréhension du rôle de la relativité générale au sein de la physique.