Comportement statique du solide indéformable. [Sous-titre du document] - PDF
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2 Table des matières 1. Définition Notion de force Différents types de forces ction à distance : ction de contact : Écriture vectorielle de l action mécanique Moment et couple d une force par rapport à un point fixe Modélisation des actions associées à un solide ctions transmissibles par les liaisons cinématiques But d une étude statique Principe fondamental de la statique (P.F.S) Théorème de la résultante statique Théorème du moment statique... 6 Page 1 / 6
3 1. Définition Une action mécanique est une cause capable : De modifier ou d interdire le mouvement d un corps, De déformer un corps. 2. Notion de force Elle génère ou interdit un mouvement selon un axe. On représentera une force par un vecteur glissant défini par : Sa direction, Son sens, Sa norme (intensité ou module) dont l unité est le newton (N). 3. Différents types de forces 3.1. ction à distance : Les effets magnétiques, électriques ou électrostatiques. Les effets de la pesanteur : P = m. g. z P Poids du corps en N m = masse du corps en kg. g. z = accélération de la pesanteur : 9,81m.s ction de contact : Contact ponctuel Plan tangent commun S 1 S1 / L action passe par le point de contact. La direction de l action de S1 sur S2 notée S1 / est perpendiculaire au plan tangent commun si on néglige les frottements. Le sens est du solide S1 vers le solide S2. Le module S1 / est défini par la longueur du vecteur S1 /, l unité est le newton. Contact linéique On supposera l action répartie uniformément sur toute la ligne du contact. Dans le cas d une répartition uniforme, on peut remplacer cette charge linéique par une action concentrée en C au milieu du contact [B] telle que longueur du segment [B]. C q. l 1/ 2 avec l la Page 2 / 6
4 Contact surfacique Dans le cas d une répartition uniforme d une pression sur une surface, ente deux solides ou entre un solide et un fluide, on modélisera l ensemble des micro-actions mécaniques par une résultante globale au centre de gravité qui vaudra F fluide p. S / 1 p : pression du fluide en pascal (Pa). S : surface de contact en m 2. F fluide/ 1 : Résultante des forces de pression en N 4. Écriture vectorielle de l action mécanique Nous pouvons adopter deux types d écriture suivant le type de résolution adopté. La première utilise les coordonnées cartésiennes. S1 / X Y Z X x Y y Z La deuxième utilise les coordonnées polaires. z Elle permet les résolutions analytiques ainsi que graphiques. On appelle la résultante statique. ; Elle est utilisée lors des résolutions graphiques, donc sur les problèmes plans. Le module S1 / est noté en mathématiques. 5. Moment et couple d une force par rapport à un point fixe Un couple, en mécanique, désigne l'effort en rotation appliqué à un axe. Il est ainsi nommé en raison de la façon caractéristique dont on obtient ce type d'action : un bras qui tire, un bras qui pousse, les deux forces étant égales et opposées. Couple résultant On mesure le couple en Newton.mètre (N.m). Il faut noter que l'unité de travail, le joule (J), est aussi homogène à un Newton.mètre : un couple de 1 N.m appliqué à un axe qui tourne d'un tour représente un ajout d'énergie de 2 pi J. Un moment est le résultat du produit d une force par le bras de levier (le bras de levier devant être perpendiculaire par rapport à la direction de la force). Son unité est le Newton mètre (Nm). M = ±d F Page 3 / 6
5 Lorsque l on veut connaître le moment généré en par la force F, on l écrit de la manière suivante : M (F) Pour la suite du cours, le repère orthonormé sera toujours dans le même sens. y F Sens trigonométrique : positif Sens de rotation (déformation) de la poutre encastrée dans le mur par rapport au point. x B Sens anti trigonométrique (horaire) : négatif F B Le moment est porté dans les exemples par l axe z. Le signe du résultat se trouve en réfléchissant sur le «sens de rotation». Dans les exemples ci-dessus, la distance B est perpendiculaire à la force F ce qui est le cas le plus simple pour trouver le moment. 6. Modélisation des actions associées à un solide fin de ne pas oublier les différents éléments pouvant s appliquer à un solide, on peut écrire les résultantes et les moments dans un tableau. Ce tableau peut s écrire soit en ligne ou en colonne. Exemple : Soit les actions mécaniques au point de S1 sur S2. S X 1 / Y X x Y y Z z et un moment M ) M L x M y N z Z L N (. Sa notation globale sans spécifier les composantes se fera ainsi : M ( ) avec O, x, y, z En écriture en ligne : M ( ) X L x Y y Z z x M y N z Ce tableau s appelle le torseur des actions transmissibles en de S1 sur S2 : ; En écriture en colonne : T X Y Z L M N Page 4 / 6
6 Remarque Un torseur dont le moment est nul est appelé glisseur. Un torseur dont la résultante est nulle est appelé torseur couple. Un torseur dont les deux composantes sont nulles est appelé torseur nul. 7. ctions transmissibles par les liaisons cinématiques Une liaison est constituée de deux classes d équivalences qui n autorisent que certains mouvements. Chaque translation ou rotation bloquée permet de transmettre un effort. Pour les translations bloquées on peut transmettre une des composantes de la résultante. Pour les rotations bloquées on peut transmettre une des composantes du moment. Exemple : Soit une liaison linéaire annulaire d axe x. Mobilités ctions transmissibles Tx 0 0 Rx Ry Rz 0 Y Z But d une étude statique Pour une position donnée du système, chercher la valeur des.m des pièces les unes par rapport aux autres. Chercher la ou les positions où ces.m sont maximales. Étudier les conditions d'équilibre d'un système 8.1. Principe fondamental de la statique (P.F.S) La notion d'équilibre se traduit par une relation fondamentale en termes d'actions mécaniques appliquées à un système S (un seul solide isolé ou un ensemble de solides isolés). Cela se traduit de la manière suivante : La somme des actions mécaniques extérieures au système étudié appliqués au même point doit être nulle. n o s =1 {T s /s } = {0} Page 5 / 6
7 8.2. Théorème de la résultante statique La somme des forces extérieures s appliquant sur le solide isolé est nulle : Ce qui se traduit en projection de la manière suivante : Sur l axe des x : Sur l axe des y : Sur l axe des z : F 1 + F 2 + F = 0 F 1x + F 2x + F 3x +... = 0 F 1y + F 2y + F 3y +... = 0 F 1z + F 2z + F 3z +... = Théorème du moment statique La somme des moments extérieurs s appliquant au solide isolé et ramené au même point est nulle. Ce qui se traduit de la manière suivante : M (F1 ) + M (F 2 ) + M (F 3 ) +... = 0 Si l on considère que l on travaille dans le plan (x, y) les différents moments ne seront portés que par l axe des z. d 2 D F 2 = 60 d 1 B F 3 C y F 1 d 1. F 1 + d 2. F 2 + d 3. F 3 = 0 x Page 6 / 6