Sur des faces du cône de Littlewood-Richardson généralisé [ About some faces of the generalized Littlewood-Richardson cone ]
Montagard, Pierre-Louis; Ressayre, Nicolas
Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 135 (2007) no. 3, p. 343-365
Let G ^ be a connected reductive algebraic group and G be a reductive closed and connected subgroup of G ^ both defined over an algebraically closed field of characteristic zero. Let 𝒟 (resp. 𝒟 ^) the set of isomorphism classes of irreducible representations of G (resp. G ^). We consider the set of elements (μ,ν ^)∈(𝒟,𝒟 ^) such that an irreducible G-module of class μ is a submodule of a G ^-module of class ν ^. This set generate a polyhedral cone 𝒞 in the rational vector space generated by the product of characters of G and G ^. By Geometric Invariant Theory methods we give, in particular, a sufficient condition for a linear inequality defining 𝒟 to induce a face of codimension one of 𝒞. We apply our results to several classical example in representation theory (tensor products and plethysm).
Soient G⊂G ^ deux groupes réductifs connexes définis sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Notons 𝒟 (resp. 𝒟 ^) l’ensemble des classes d’isomorphisme des représentations irréductibles de G (resp. de G ^). Nous nous intéressons à l’ensemble 𝒞 des couples (μ,ν ^) dans 𝒟×𝒟 ^ pour lesquels un G ^-module de classe ν ^ contient un sous-G-module de classe μ. Il est bien connu que 𝒞 engendre un cône polyédral dans l’espace vectoriel rationnel engendré par le produit du groupe des caractères de G avec le groupe des caractères de G ^. Par des méthodes de théorie géométrique des invariants nous étudions sous quelles conditions une inégalité linéaire définissant 𝒟 induit une face de codimension un du cône engendré par 𝒞. Nous appliquons ces résultats à des exemples classiques de problèmes de décompositions de représentations (produit tensoriel et pléthysme).
MR 2430185 | Zbl 1172.20033
DOI : https://doi.org/10.24033/bsmf.2538
Classification: 20G05
Keywords: representation theory, decomposition, Littlewood-Richardson cone, tensor products, plethysm
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Montagard, Pierre-Louis; Ressayre, Nicolas. Sur des faces du cône de Littlewood-Richardson généralisé. Bulletin de la Société Mathématique de France, Volume 135 (2007) no. 3, pp. 343-365. doi : 10.24033/bsmf.2538. http://www.numdam.org/item/BSMF_2007__135_3_343_0/
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