Funzionali quadratici con v non nulle al bordo - Forum Studenti
#1 Messaggioda teremin » sabato 15 settembre 2018, 19:42
Sto cercando di risolvere il problema 3 del dello scritto del 25 dicembre 2015, punto (c).
A meno di un cambio di variabile [math]v(x)=u(x)-\frac{7}{2}x, viene chiesto di studiare per quali l ha minimo il problema
$$ \min \left\{ G(v) = \int_0^l \dot{v}^2- v^2 : v(0) = 0,\ v(l) = 2016-\frac{7}{2}l \right\}$$
0. Notare che la ELE è la classica [math]\ddot{v}=-v, che ha come soluzioni (usando solo [math]v(0)=0) le [math]u(x) = A \sin(x)
1. La variazione seconda del funzionale è [math]G stesso in qualsiasi candidato punto minimo. Quindi, se [math]l > \pi, non ci sono WLM e quindi neppure minimi globali.
2. Per [math]l=\pi la ELE non ha soluzioni: infatti imponendo la condizione in [math]\pi otteniamo [math]0=v(\pi) = 2016- \frac{7\pi}{2}, assurdo. Non essendoci DLM, non ci sono neanche minimi globali.
3. Per il caso [math]l < \pi, notiamo che l'eccesso di weierstrass è un quadrato perfetto [math](q-p)^2 \ge 0, perciò usando la WRF otteniamo
$$F(u) - F(u_0) = \int_0^l E(x,u(x), p(x,u(x)), \dot{u}(x)) \ge 0$$
Perciò è effettivamente un minimo globale.
Visto che di solito faccio errori sparsi (e che all'inizio del post la 3 non riuscivo a farla da un'ora), potreste dirmi se è corretto e se in sede di scritto servirebbero argomentazioni ulteriori? Grazie!
#2 Messaggioda FApples97 » domenica 16 settembre 2018, 16:41
#3 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 17 settembre 2018, 11:32
Qualche osservazione da parte mia.
In realtà le domande in quel compito erano leggermente diverse.
In questo caso il cambio di variabile, che comunque è una buona idea, non semplifica molto la vita. La variazione seconda infatti sarebbe comunque la stessa.
Le argomentazioni di teremin mostrano correttamente la non esistenza di GM, e nemmeno di DLM, per [math]\ell\geq\pi.
Nel caso [math]\ell\geq\pi, in assenza di minimi globali, diventa interessante capire chi è l'inf.
La WRF dice che una certa [math]u_0 è minimo tra tutti i competitori che vivono in una certa zona, cioè quella ricoperta dal campo e in cui l'eccesso è positivo. Quindi se l'eccesso è positivo ovunque, ed il campo copre tutto (cosa che taremin non ha verificato), allora certamente abbiamo un GM. Questa è la tecnica che si usa, per esempio, con il problema di Didone cartesiano, e che si poiteva usare pure qui.
In alternativa all'eccesso+campo globale, si poteva usare anche il metodo diretto, dopo aver osservato (sempre per la teoria dei funzionali quadratici) che per ogni [math]\ell<\pi esiste [math]\varepsilon tale che
[math]\displaystyle\int_0^\ell(\dot{v}^2-v^2)\geq\varepsilon\int_0^\ell\dot{v}^2.
Da qui in poi è la solita storia.
#4 Messaggioda FApples97 » lunedì 17 settembre 2018, 14:51
si poteva usare anche il metodo diretto, dopo aver osservato (sempre per la teoria dei funzionali quadratici) che per ogni [math]\ell<\pi esiste [math]\varepsilon tale che
Questa disuguaglianza non aveva come ipotesi anche che le [math]v si annullano in [math]0 e in [math]l ? Nel nostro problema si ha [math]v(l)\ne 0 per [math]l<\pi.
#5 Messaggioda Massimo Gobbino » lunedì 17 settembre 2018, 15:15
FApples97 ha scritto: Questa disuguaglianza non aveva come ipotesi anche che le [math]v si annullano in [math]0 e in [math]l ?
Giustissimo, sono stato troppo precipitoso .
Prima bisogna fare un cambio di variabili, "togliendo una retta" in modo da avere dato nullo al bordo. A quel punto si applica il metodo al nuovo problema. I termini aggiunti dovrebbero essere non influenti, ma non ho fatto i conti. Magari se qualcuno li fa può mostrare cosa accade.