Limiti - Definizione - Calcolo - Limiti notevoli - Albanesi.it
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In analisi, il concetto di limite permette di descrivere l’andamento di una funzione all’approssimarsi del suo argomento a un dato valore oppure l’andamento di una successione quando l’indice cresce illimitatamente. In questo articolo sui limiti vedremo
Un caso particolarmente importante è quando la variabile tende al valore infinito. Ecco un esempio di calcolo di una funzione per x tendente a + infinito:
L’espressione presenta la forma indeterminata di
Per risolverla si raccoglie al numeratore e denominatore x2, ricordando che infiniti allo stesso ordine si possono semplificare:
Il concetto di limite e quello di infinito
Il limite di una successione è il valore a cui tendono i termini di una successione. Formalmente, un numero reale l è il limite di una successione di numeri reali a1, a2, …, an se la distanza fra i numeri an-l, data dal valore assoluto |an-l|, è arbitrariamente piccola quando n è sufficientemente grande, cioè
e si dice che la successione converge a l; la successione è detta convergente se il limite è finito, altrimenti è detta divergente.
Se l=0, la successione è detta infinitesima.
Anche per le successioni valgono i teoremi già visti per i limiti (unicità e permanenza del segno).
Si possono dimostrare importanti teoremi sui limiti. Fra questi:
teorema dell’unicità del limite – Se esiste, il limite di una funzione in un punto è unico.
Teorema della permanenza del segno – Se una funzione ha limite non nullo, esiste tutto un intervallo dove la funzione ha lo stesso segno del suo limite.
Pertanto, le operazioni che si possono fare sui limiti sono molto semplici e intuitive. Per esempio, si può dimostrare che se due funzioni f(x) e g(x) tendono, rispettivamente, a due valori reali finiti α e β, al tendere della variabile x a x0, allora si può dimostrare che:
il limite della somma è pari alla somma dei limiti, ovvero
La stessa cosa si può dire del prodotto:
e del quoziente, definito solo per β diverso da zero.
Le stesse proprietà delle operazioni sui limiti valgono anche nel caso in cui x tenda a meno o più infinito.
Calcolare il limite per x tendente all’infinito delle seguenti funzioni:
Ulteriori approfondimenti: limiti notevoli
Ecco alcuni limiti particolari che vale la pena memorizzare e sono detti limiti notevoli:
Per esempio, per la funzione seno vale
PEr quella coseno:
Infine l’importante limite notevole:
nell’ultimo caso, il limite è il numero di Nepero (o anche di Eulero), un numero irrazionale con infinite cifre dopo la virgola, in genere approssimato al valore 2,72. Si tratta di una delle costanti matematiche più importanti, assieme a pi greco.
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