חכם אברהם כלפון נולד לאמו ולאביו הגביר רפאל כלפון בשנת תצ"ה (1735) בליוורנו, אליה הגיעה משפחתו מטריפולי. בלידתו, החכם חיים בן עטר, ה'אור החיים', שהה בליוורנו, יחד עם מאה חכמים, בדרכם לארץ ישראל. זכה חכם אברהם כלפון וה'אור החיים' מל אותו. הוא למד תורה בטריפולי מפי חכם משה לחמייש.
בשנת תקמ"ה (1785) פרצה מגיפה בטריפולי, שהפילה חללים רבים מקרב יהודי טריפולי, ובכללם בנו נהוראי עד שחכם אברהם כלפון נאלץ להטיל על הקהילה מס מיוחד לכיסוי הוצאות קבורת החללים.
בשנת תקל"ח (1778) חכם אברהם כלפון נבחר לשמש פרנס הקהילה בטריפולי, ובשנת תקנ"ב (1792) נבחר לתקופה נוספת. חכם אברהם כלפון שימש יועצו עלי פאשה לבית משפחת קאראמלי, שליט טריפולי. תחת שלטונו זכו יהודי טריפולי ל-30 שנה שנה של בטחון ושלווה. כשהזקין עלי פאשה, בנו, עלי בורגל, מרד בו ותפס את השלטון. באכזריותו כי רבה, ביום כ' טבת תקנ"ד (1794) אסף מראשי הקהילה היהודית, ובכללם את דוד, בנו של חכם אברהם כלפון, והעלה אותם על המוקד. לזכרו כתב חכם אברהם כלפון את הקינה 'עיני עיני יורדה מים', המתארת את מאורעות אותו יום. עלי בורגול המשיך במסעותיו וכבש את האי ג'רבא, אך במלחמתו בתוניס נחל מפלה קשה, וביום כ"ט טבת תקנ"ה (1795) חזר אביו הזקן לשלטון. לכבוד המאורע, חוגגים יהודי טריפולי, ביום זה פורים נוסף - 'פורים בורגל', ושרים את הפיוט 'מי כמוך', במילים שחיבר חכם אברהם כלפון.
בשנת תק"ס (1800) יצא לתוניס, שם קיבץ בכתב ידו אוצרות שירתם של משוררי תוניס, חכם אברהם שוואט, וחכם אליהו סידבון. בשנת תקס"ד (1804), חכם אברהם כלפון, מתחיל את מסעו לארץ ישראל. בדרכו שוהה בעיר ליוורנו, למשך כשנה וחצי ללמוד תורה במחיצתו של מרן החיד"א, חכם חיים יוסף דוד אזולאי.
בשנת תקס"ו (1806) חכם אברהם כלפון זכה ועלה לארץ והתיישב בצפת. נפטר ביום ח' תשרי תק"פ (1819).
חכם אברהם כלפון כמה חיבורים: 'מחנה אברהם' ומעשה צדיקים' - חיי דמויות מופת. 'חיי אברהם' - טעמים. 'לקט אברהם' - סיפורים וחידות. 'לקט הקציר' - הלכות. חיבורים נוספים עדיין עומדים בכתב יד.