In the diagram, each circle is divided into two equal areas and O is the center of the larger circle. The area of the larger circle is 64π. What is the total area of the shaded regions? [asy]
size(100);
import graph;
fill(Arc((0,0),2,180,360)–cycle,mediumgray);fill(Arc((0,1),1,0,180)–cycle,mediumgray);
draw(Circle((0,0),2));
draw(Circle((0,1),1));

dot((0,0)); label("O",(0,0),N);
draw((-2,0)–(2,0)); draw((-1,1)–(1,1));
[/asy]
由于较大的圆的面积为64π,每个圆分为两个等面积,所以较大的阴影面积为64π的1/2,或32π.让r是较大的圆的半径.由于较大的圆的面积为64π,而r>0,我们有p r^2 = 64π r^2 = 64 r r=sqrt(64) = 8.由于较小的圆经过较大的圆的中心,只是触及外圆,因此对称性,它的直径必须等于较大的圆的半径. (换句话说,如果我们将较大的圆的中心连接到两个圆刚触及的点,这个直线将是较大的圆的半径和较小的圆的直径.) 因此,较小的圆的直径是8,所以它的半径是4.40π,所以小的圆面积=16π^4π,所以小的圆面积是32π^8π,所以小的圆面积是16π^8π.