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DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo obtener la segunda derivada de una función. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para esta función que nos dan vamos a obtener la segunda derivada o lo que se conoce también como la derivada de segundo orden. Antes de iniciar la derivación vamos a reescribir la función, entonces esta parte, esta fracción la escribimos como 1 tercio del número de Euler elevado a la menos 2x al cubo. Y vamos a derivar por primera vez, al derivar esa función nos aparece de y de x o también y', podríamos llamarla así. Entonces tenemos una suma, derivamos cada término, la derivada de 20 sería 0 más la derivada de este término sería así. Como 1 tercio está multiplicando con esta función, con esta expresión, entonces 1 tercio lo podemos dejar quieto y procedemos a derivar la función enseguida. Entonces la derivada de el número de Euler elevado a una expresión es ella misma, es decir, e a la menos 2x cubo y eso multiplicado por la derivada del exponente. La derivada de menos 2x al cubo será menos 6x al cuadrado. Allí tenemos entonces nuestra primera derivada, vamos a organizarla un poco, entonces nos queda y' igual, aquí podemos multiplicar menos 6x al cuadrado por 1 tercio y eso nos da menos 2x al cuadrado que multiplica al número de Euler elevado a la menos 2x al cubo. Allí tenemos entonces ya nuestra primera derivada organizada. Vamos a derivar nuevamente para poder obtener la segunda derivada. Entonces la segunda derivada se puede denotar de esta manera o de una forma más práctica como y' y veamos lo que tenemos en este caso. Vemos un producto, en ambas expresiones se encuentra la variable x. Entonces procedemos a derivar con la regla del producto que dice así. La derivada del primer componente, la derivada de menos 2x al cuadrado sería menos 4x, eso multiplicado por el segundo componente sin derivar, e a la menos 2x al cubo, más el primer componente sin derivar, menos 2x al cuadrado, y eso multiplicado por la derivada del segundo componente que sería ella misma, e a la menos 2x al cubo, y eso multiplicado por la derivada del exponente que sería menos 6x al cuadrado. Allí tenemos entonces la regla del producto. Podemos que en la regla del producto si este componente es a y este es b, entonces aquí tenemos a', la derivada del primero, aquí está el segundo sin derivar, aquí está el primero sin derivar, y todo esto es la derivada del segundo. Vamos a organizar entonces esta expresión nos quedaría entonces así, y2' es igual, el primer término nos queda el mismo, y por acá si multiplicamos menos 2x al cuadrado por menos 6x al cuadrado eso nos da positivo 12x a la 4, y queda acompañado de e a la menos 2x al cubo. Finalmente esa expresión podemos darla de una forma un poco más sencilla si recurrimos a la factorización, veamos, aquí nos quedaría entonces y2' es igual, veamos, podemos sacar factor común, el signo negativo, podemos sacar del 4 y el 12 el 4, y de x y x a la 4 sacamos x, también podemos sacar euler, el número de euler elevado a la menos 2x al cubo, que se encuentra repetido en ambos términos, todo esto sería factor de lo siguiente, del primer término vemos que todo sale, por lo tanto nos queda 1 positivo, porque recordemos que salió el signo negativo, y en el segundo término nos queda menos, el signo más cambia a menos, y de todo esto nos queda 3, porque salió el 4, 4x3 es 12, y como salió una x y teníamos x a la 4 nos queda x a la 3, esta recordemos que había salido. Finalmente esto podría organizarse ya por presentación, para que quede un poquito más agradable a la vista, podríamos colocarlo de la siguiente manera, euler a menos 4, que multiplica a 1 menos 3x a la 3 al cubo, por x y por el número de euler elevado a la menos 2x al cubo, de esta manera hemos entonces obtenido la segundada derivada.

[{"start": 0.0, "end": 13.0, "text": " Para esta funci\u00f3n que nos dan vamos a obtener la segunda derivada o lo que se conoce tambi\u00e9n como la derivada de segundo orden."}, {"start": 13.0, "end": 31.0, "text": " Antes de iniciar la derivaci\u00f3n vamos a reescribir la funci\u00f3n, entonces esta parte, esta fracci\u00f3n la escribimos como 1 tercio del n\u00famero de Euler elevado a la menos 2x al cubo."}, {"start": 31.0, "end": 47.0, "text": " Y vamos a derivar por primera vez, al derivar esa funci\u00f3n nos aparece de y de x o tambi\u00e9n y', podr\u00edamos llamarla as\u00ed."}, {"start": 47.0, "end": 58.0, "text": " Entonces tenemos una suma, derivamos cada t\u00e9rmino, la derivada de 20 ser\u00eda 0 m\u00e1s la derivada de este t\u00e9rmino ser\u00eda as\u00ed."}, {"start": 58.0, "end": 69.0, "text": " Como 1 tercio est\u00e1 multiplicando con esta funci\u00f3n, con esta expresi\u00f3n, entonces 1 tercio lo podemos dejar quieto y procedemos a derivar la funci\u00f3n enseguida."}, {"start": 69.0, "end": 83.0, "text": " Entonces la derivada de el n\u00famero de Euler elevado a una expresi\u00f3n es ella misma, es decir, e a la menos 2x cubo y eso multiplicado por la derivada del exponente."}, {"start": 83.0, "end": 90.0, "text": " La derivada de menos 2x al cubo ser\u00e1 menos 6x al cuadrado."}, {"start": 90.0, "end": 118.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces nuestra primera derivada, vamos a organizarla un poco, entonces nos queda y' igual, aqu\u00ed podemos multiplicar menos 6x al cuadrado por 1 tercio y eso nos da menos 2x al cuadrado que multiplica al n\u00famero de Euler elevado a la menos 2x al cubo."}, {"start": 118.0, "end": 124.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces ya nuestra primera derivada organizada."}, {"start": 124.0, "end": 134.0, "text": " Vamos a derivar nuevamente para poder obtener la segunda derivada."}, {"start": 134.0, "end": 146.0, "text": " Entonces la segunda derivada se puede denotar de esta manera o de una forma m\u00e1s pr\u00e1ctica como y'"}, {"start": 146.0, "end": 154.0, "text": " y veamos lo que tenemos en este caso. 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ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 3 (Parte 2 de 2)

#julioprofe continúa con la explicación del ejercicio del video anterior. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Nos queda 2 sen al cuadrado de x, 1, todo esto entre paréntesis elevado al cuadrado y utilizamos el signo del segundo termino, es decir, signo negativo. Recordemos que la factorización de un trinomio cuadrado perfecto siempre nos da un binomio al cuadrado. No podemos olvidar que esto se encuentra igualado a cero. Entonces vamos a resolver esa ecuación. Allí podríamos sacar raíz cuadrada a ambos lados. Sacamos raíz cuadrada al lado izquierdo, al lado derecho y de esa manera eliminamos este cuadrado. Nos quedaría 2 sen al cuadrado de x, menos 1. En el lado derecho la raíz cuadrada de cero será cero. Y de allí poco a poco vamos a hacer el despeje de la función cero. Nos queda 2 sen al cuadrado de x igual a 1. Pasamos primero el 1, que pasaría a sumar con el cero. Después decimos que sen al cuadrado de x es igual a 1 medio. 2 se está multiplicando, pasa a dividir. Y despejando la función sen tx nos va a quedar más o menos la raíz cuadrada de 1 medio. Como sacamos raíz cuadrada a ambos lados para poder quitar el cuadrado. En el lado derecho anotamos las dos opciones más y menos. Vamos a organizar esta expresión. Aquí podemos repartir la raíz tanto al numerador como al denominador. Raíz cuadrada de 1 nos da 1 y la raíz cuadrada de 2 la dejamos expresada. Esa expresión la podemos o más bien la debemos racionalizar. Porque nos ha quedado con la raíz en el denominador. Vamos a multiplicar por raíz de 2 tanto arriba como abajo. Nos queda que sen x es igual a más o menos. En el numerador nos queda raíz cuadrada de 2. El producto de 1 por raíz de 2. Y acá abajo raíz de 2 por raíz de 2 nos queda raíz de 2 al cuadrado que equivale a 2. Tenemos dos posibilidades. Una que el sen x es igual a menos raíz de 2 sobre 2. Y la otra que el sen x es igual a raíz de 2 sobre 2. Vamos a mirar entonces para que valores de x, es decir para que ángulos se cumple que el sen tome estos dos valores. Si vamos al círculo unitario vamos a encontrar que los ángulos para los cuales la función sen vale raíz de 2 medios. Que es aquí. Son entonces 45 grados. Esta posición de aquí y esta que corresponde a 135 grados. Recordemos que en el círculo unitario los valores del sen se localizan sobre el eje vertical. El eje y. Los valores de cos se ubican sobre el eje x. Entonces decíamos el sen toma el valor raíz de 2 sobre 2 cuando el ángulo es 45 o cuando es 135. Y toma el valor menos raíz de 2 medios cuando los ángulos son estos de acá. Es decir 225 grados y 315 grados. Todos estos ángulos son digamos lo así múltiplos de 45 grados. De este que se forma por aquí. Para la respuesta debemos darlos en radianes. Entonces 45 grados corresponde a pi cuartos radianes. Este ángulo veamos como lo sacamos de manera fácil. Podemos contar de la siguiente manera. Aquí inicia el conteo en 0. 0 grados o 0 radianes. Aquí tenemos 1 pi cuartos, 2 pi cuartos. Aquí sería 3 pi cuartos. Aquí tendremos 4 pi cuartos, o sea pi. Aquí sería 5 pi cuartos. Aquí sería 6 pi cuartos, o sea 3 pi medios. Aquí sería 7 pi cuartos. Y si terminamos la vuelta tendríamos 8 pi cuartos que corresponde a 2 pi radianes, o sea 360 grados. Entonces las soluciones de nuestra ecuación van a ser estos cuatro valores. Veamos como se presenta entonces la respuesta. El conjunto solución para esta ecuación será el siguiente. X puede tomar los siguientes valores. Sería pi cuartos, o sea 45 grados. 3 pi cuartos, que es 135 grados. Después 5 pi cuartos, que corresponde a 225 grados. Y 7 pi cuartos, que viene siendo 315 grados. Estas son entonces las soluciones para el intervalo de X comprendido entre 0 y 2 pi. Que usualmente es la zona de trabajo en las ecuaciones trigonométricas.

[{"start": 0.0, "end": 20.0, "text": " Nos queda 2 sen al cuadrado de x, 1, todo esto entre par\u00e9ntesis elevado al cuadrado y utilizamos el signo del segundo termino, es decir, signo negativo."}, {"start": 20.0, "end": 27.0, "text": " Recordemos que la factorizaci\u00f3n de un trinomio cuadrado perfecto siempre nos da un binomio al cuadrado."}, {"start": 27.0, "end": 31.0, "text": " No podemos olvidar que esto se encuentra igualado a cero."}, {"start": 31.0, "end": 36.0, "text": " Entonces vamos a resolver esa ecuaci\u00f3n."}, {"start": 36.0, "end": 41.0, "text": " All\u00ed podr\u00edamos sacar ra\u00edz cuadrada a ambos lados."}, {"start": 41.0, "end": 48.0, "text": " Sacamos ra\u00edz cuadrada al lado izquierdo, al lado derecho y de esa manera eliminamos este cuadrado."}, {"start": 48.0, "end": 52.0, "text": " Nos quedar\u00eda 2 sen al cuadrado de x, menos 1."}, {"start": 52.0, "end": 55.0, "text": " En el lado derecho la ra\u00edz cuadrada de cero ser\u00e1 cero."}, {"start": 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eje y."}, {"start": 207.0, "end": 213.0, "text": " Los valores de cos se ubican sobre el eje x."}, {"start": 213.0, "end": 225.0, "text": " Entonces dec\u00edamos el sen toma el valor ra\u00edz de 2 sobre 2 cuando el \u00e1ngulo es 45 o cuando es 135."}, {"start": 225.0, "end": 234.0, "text": " Y toma el valor menos ra\u00edz de 2 medios cuando los \u00e1ngulos son estos de ac\u00e1."}, {"start": 234.0, "end": 242.0, "text": " Es decir 225 grados y 315 grados."}, {"start": 242.0, "end": 249.0, "text": " Todos estos \u00e1ngulos son digamos lo as\u00ed m\u00faltiplos de 45 grados."}, {"start": 249.0, "end": 252.0, "text": " De este que se forma por aqu\u00ed."}, {"start": 252.0, "end": 256.0, "text": " Para la respuesta debemos darlos en radianes."}, {"start": 256.0, "end": 263.0, "text": " Entonces 45 grados corresponde a pi cuartos radianes."}, {"start": 263.0, "end": 266.0, "text": " Este \u00e1ngulo veamos como lo sacamos de manera f\u00e1cil."}, {"start": 266.0, "end": 268.0, "text": " Podemos contar de la siguiente manera."}, {"start": 268.0, "end": 272.0, "text": " Aqu\u00ed inicia el conteo en 0. 0 grados o 0 radianes."}, {"start": 272.0, "end": 275.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos 1 pi cuartos, 2 pi cuartos."}, {"start": 275.0, "end": 279.0, "text": " Aqu\u00ed ser\u00eda 3 pi cuartos."}, {"start": 279.0, "end": 282.0, "text": " Aqu\u00ed tendremos 4 pi cuartos, o sea pi."}, {"start": 282.0, "end": 286.0, "text": " Aqu\u00ed ser\u00eda 5 pi cuartos."}, {"start": 286.0, "end": 290.0, "text": " Aqu\u00ed ser\u00eda 6 pi cuartos, o sea 3 pi medios."}, {"start": 290.0, "end": 294.0, "text": " Aqu\u00ed ser\u00eda 7 pi cuartos."}, {"start": 294.0, "end": 304.0, "text": " Y si terminamos la vuelta tendr\u00edamos 8 pi cuartos que corresponde a 2 pi radianes, o sea 360 grados."}, {"start": 304.0, "end": 309.0, "text": " Entonces las soluciones de nuestra ecuaci\u00f3n van a ser estos cuatro valores."}, {"start": 309.0, "end": 313.0, "text": " Veamos como se presenta entonces la respuesta."}, {"start": 313.0, "end": 318.0, "text": " El conjunto soluci\u00f3n para esta ecuaci\u00f3n ser\u00e1 el siguiente."}, {"start": 318.0, "end": 322.0, "text": " X puede tomar los siguientes valores."}, {"start": 322.0, "end": 326.0, "text": " Ser\u00eda pi cuartos, o sea 45 grados."}, {"start": 326.0, "end": 331.0, "text": " 3 pi cuartos, que es 135 grados."}, {"start": 331.0, "end": 338.0, "text": " Despu\u00e9s 5 pi cuartos, que corresponde a 225 grados."}, {"start": 338.0, "end": 343.0, "text": " Y 7 pi cuartos, que viene siendo 315 grados."}, {"start": 343.0, "end": 352.0, "text": " Estas son entonces las soluciones para el intervalo de X comprendido entre 0 y 2 pi."}, {"start": 352.0, "end": 361.0, "text": " Que usualmente es la zona de trabajo en las ecuaciones trigonom\u00e9tricas."}]

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ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 3 (Parte 1 de 2)

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación trigonométrica (Parte 1 de 2). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Vamos a resolver esta ecuación trigonométrica. Para iniciar vamos a llevar las funciones que tenemos a senos y cosenos. Entonces tangente al cuadrado de X nos queda seno al cuadrado de X sobre coseno al cuadrado de X. Recordemos que tangente es igual a seno sobre coseno más cosecante al cuadrado será 1 sobre seno al cuadrado de X. Recordemos que la cosecante es la recíproca del seno, es decir cosecante es igual a 1 sobre seno. Y este 3 que está restando lo podemos pasar al otro lado a sumar con el 0. Vamos a resolver esta suma de fracciones. Tenemos fracciones de distinto denominador. Podemos resolverla de la forma más sencilla que es multiplicando en cruz. Entonces abajo tendremos el producto de estas dos funciones trigonométricas. Coseno al cuadrado de X por seno al cuadrado de X. Y en la parte de arriba tendremos seno al cuadrado por seno al cuadrado que nos queda seno al cuadrado de X más coseno al cuadrado por 1 que nos queda coseno al cuadrado de X. Y todo esto igual a 3. A continuación vamos a pasar esto, toda esta expresión que está dividiendo a multiplicar al otro lado. Entonces nos queda seno al cuadrado de X más coseno al cuadrado de X es igual a 3 que multiplica a todo esto. Es decir coseno al cuadrado de X por seno al cuadrado de X. Ahora vamos a llevar toda esta expresión a seno de X. Es decir vamos a hacer el cambio de lo que es coseno al cuadrado de X por su equivalente que es 1 menos seno al cuadrado de X. Recordemos que esto proviene de la identidad fundamental de la trigonometría. De esta seno al cuadrado de X más coseno al cuadrado de X es igual a 1. De esta expresión sale esta y entonces coseno al cuadrado de X lo podemos cambiar por 1 menos seno al cuadrado de X. Veamos entonces como nos queda. 1 menos seno al cuadrado de X más aquí hacemos el cambio queda 1 menos seno al cuadrado de X igual a 3. Abrimos paréntesis sustituimos coseno al cuadrado de X por 1 menos seno al cuadrado de X y todo esto multiplicado por seno al cuadrado de X. De esa manera ya tenemos la ecuación toda en términos de la función seno. Seguimos nos queda seno al cuadro de X más 1 menos seno al cuadrado de X. Este lado queda igual. Y acá vamos a hacer propiedad distributiva. Vamos a distribuir a este paréntesis lo que es 3 seno al cuadrado de X. Entonces 3 seno al cuadrado de X por 1 nos queda 3 seno al cuadrado de X. Y 3 seno al cuadrado de X multiplicado por seno al cuadrado de X nos va a quedar menos 3 seno al cuadro de X. De esa manera destruimos el paréntesis mediante la propiedad distributiva. Vamos ahora a dejar todo esto igual a 0. Es decir vamos a pasar estos dos términos al lado izquierdo. Entonces nos queda esta parte igual y pasan estos dos términos llega a este negativo queda menos 3 seno al cuadrado de X más 3 seno al cuadro de X y todo esto igual a 0. Bien aquí podemos sumar términos semejantes. Por ejemplo estos dos que contienen seno al cuadro de X son semejantes y lo mismo estos dos que contienen seno al cuadrado de X. Entonces la suma de estos dos nos da 4 seno a la 4 de X. La suma de estos dos nos queda menos 4 seno al cuadrado de X y escribimos el 1 positivo y todo esto nos queda igual a 0. Tenemos entonces una expresión que es un trinomio y que vamos a mirar si de pronto se puede factorizar. Vemos que se encuentra organizado en forma descendente que el primer término y el tercero son positivos y que tienen raíces cuadradas exactas. Entonces vamos a hacerle el análisis de lo que es un trinomio cuadrado perfecto. Vamos a sacarle la raíz cuadrada a los términos de los extremos al primero y al tercero. La raíz cuadrada del primer término será 2 seno al cuadrado de X. La raíz cuadrada de 1 será 1. Y ahora hacemos el doble producto de estos dos elementos que obtuvimos. Si hacemos toda esta multiplicación nos da 4 seno al cuadrado de X. Que es efectivamente lo que tenemos en el segundo término. Por lo tanto podemos concluir que esto es un trinomio cuadrado perfecto. Entonces procedemos a factorizarlo usando estos dos componentes. Veamos.

[{"start": 0.0, "end": 5.0, "text": " Vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}, {"start": 5.0, "end": 12.0, "text": " Para iniciar vamos a llevar las funciones que tenemos a senos y cosenos."}, {"start": 12.0, "end": 22.0, "text": " Entonces tangente al cuadrado de X nos queda seno al cuadrado de X sobre coseno al cuadrado de X."}, {"start": 22.0, "end": 35.0, "text": " Recordemos que tangente es igual a seno sobre coseno m\u00e1s cosecante al cuadrado ser\u00e1 1 sobre seno al cuadrado de X."}, {"start": 35.0, "end": 44.0, "text": " Recordemos que la cosecante es la rec\u00edproca del seno, es decir cosecante es igual a 1 sobre seno."}, {"start": 44.0, "end": 51.0, "text": " Y este 3 que est\u00e1 restando lo podemos pasar al otro lado a sumar con el 0."}, {"start": 51.0, "end": 57.0, "text": " Vamos a resolver esta suma de fracciones. 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Es decir vamos a hacer el cambio de lo que es coseno al cuadrado de X por su equivalente que es 1 menos seno al cuadrado de X."}, {"start": 141.0, "end": 149.0, "text": " Recordemos que esto proviene de la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda."}, {"start": 149.0, "end": 153.0, "text": " De esta seno al cuadrado de X m\u00e1s coseno al cuadrado de X es igual a 1."}, {"start": 153.0, "end": 163.0, "text": " De esta expresi\u00f3n sale esta y entonces coseno al cuadrado de X lo podemos cambiar por 1 menos seno al cuadrado de X."}, {"start": 163.0, "end": 166.0, "text": " Veamos entonces como nos queda."}, {"start": 166.0, "end": 180.0, "text": " 1 menos seno al cuadrado de X m\u00e1s aqu\u00ed hacemos el cambio queda 1 menos seno al cuadrado de X igual a 3."}, {"start": 180.0, "end": 194.0, "text": " Abrimos par\u00e9ntesis sustituimos coseno al cuadrado de X por 1 menos seno al cuadrado de X y todo esto multiplicado por seno al cuadrado de X."}, {"start": 194.0, "end": 202.0, "text": " De esa manera ya tenemos la ecuaci\u00f3n toda en t\u00e9rminos de la funci\u00f3n seno."}, {"start": 202.0, "end": 210.0, "text": " Seguimos nos queda seno al cuadro de X m\u00e1s 1 menos seno al cuadrado de X. Este lado queda igual."}, {"start": 210.0, "end": 213.0, "text": " Y ac\u00e1 vamos a hacer propiedad distributiva."}, {"start": 213.0, "end": 225.0, "text": " Vamos a distribuir a este par\u00e9ntesis lo que es 3 seno al cuadrado de X. Entonces 3 seno al cuadrado de X por 1 nos queda 3 seno al cuadrado de X."}, {"start": 225.0, "end": 235.0, "text": " Y 3 seno al cuadrado de X multiplicado por seno al cuadrado de X nos va a quedar menos 3 seno al cuadro de X."}, {"start": 235.0, "end": 241.0, "text": " De esa manera destruimos el par\u00e9ntesis mediante la propiedad distributiva."}, {"start": 241.0, "end": 248.0, "text": " Vamos ahora a dejar todo esto igual a 0. Es decir vamos a pasar estos dos t\u00e9rminos al lado izquierdo."}, {"start": 248.0, "end": 268.0, "text": " Entonces nos queda esta parte igual y pasan estos dos t\u00e9rminos llega a este negativo queda menos 3 seno al cuadrado de X m\u00e1s 3 seno al cuadro de X y todo esto igual a 0."}, {"start": 268.0, "end": 283.0, "text": " Bien aqu\u00ed podemos sumar t\u00e9rminos semejantes. Por ejemplo estos dos que contienen seno al cuadro de X son semejantes y lo mismo estos dos que contienen seno al cuadrado de X."}, {"start": 283.0, "end": 303.0, "text": " Entonces la suma de estos dos nos da 4 seno a la 4 de X. La suma de estos dos nos queda menos 4 seno al cuadrado de X y escribimos el 1 positivo y todo esto nos queda igual a 0."}, {"start": 303.0, "end": 313.0, "text": " Tenemos entonces una expresi\u00f3n que es un trinomio y que vamos a mirar si de pronto se puede factorizar."}, {"start": 313.0, "end": 322.0, "text": " Vemos que se encuentra organizado en forma descendente que el primer t\u00e9rmino y el tercero son positivos y que tienen ra\u00edces cuadradas exactas."}, {"start": 322.0, "end": 334.0, "text": " Entonces vamos a hacerle el an\u00e1lisis de lo que es un trinomio cuadrado perfecto. Vamos a sacarle la ra\u00edz cuadrada a los t\u00e9rminos de los extremos al primero y al tercero."}, {"start": 334.0, "end": 343.0, "text": " La ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino ser\u00e1 2 seno al cuadrado de X. La ra\u00edz cuadrada de 1 ser\u00e1 1."}, {"start": 343.0, "end": 358.0, "text": " Y ahora hacemos el doble producto de estos dos elementos que obtuvimos. Si hacemos toda esta multiplicaci\u00f3n nos da 4 seno al cuadrado de X."}, {"start": 358.0, "end": 368.0, "text": " Que es efectivamente lo que tenemos en el segundo t\u00e9rmino. Por lo tanto podemos concluir que esto es un trinomio cuadrado perfecto."}, {"start": 368.0, "end": 375.0, "text": " Entonces procedemos a factorizarlo usando estos dos componentes. Veamos."}]

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ÁREA ENTRE CURVAS - Ejercicio 5 (Parte 2)

#julioprofe explica cómo encontrar el área de la región encerrada por dos funciones, utilizando la integral definida. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Allí hemos anotado nuevamente la integral, vamos a comenzar por quitar los paréntesis que tenemos en el integrando, entonces nos queda 12 menos x al cuadrado, aquí entra el negativo, nos queda menos x al cuadrado más 2x y todo esto con su diferencial de x. Vamos a operar términos semejantes, allí dentro del corchete que incluso ya lo podemos cambiar por paréntesis, nos queda 12 menos 2x al cuadrado más 2x, cerramos el paréntesis y el correspondiente diferencial de x, allí ya podemos integrar cada término, entonces veamos la integral de 12 será 12x menos la integral de 2x al cuadrado será 2x al cubo sobre 3 más la integral de 2x será 2x al cuadrado sobre 2 y todo esto evaluado entre menos 2 y 3 que son los límites de integración. Aquí podríamos simplificar el 2, se pueden cancelar por lo tanto nos queda simplemente x al cuadrado. Vamos a proceder a evaluar esta expresión, es decir la antiderivada en los límites de integración. Allí vemos como ha entrado el 3 en la expresión, aquí lo tenemos, menos el reemplazo del menos 2 en la expresión que es lo que tenemos acá. Entonces vamos a resolver esas operaciones, nos queda área igual, abrimos corchete 12 por 3 es 36 menos 3 al cubo es 27, 27 dividido 3 da 9, 9 por 2 es 18 más 3 al cuadrado que es 9, cerramos el corchete todo esto menos por acá 12 por menos 2 queda menos 24, por acá menos 2 al cubo da menos 8, menos 8 por menos 2 queda más 16 queda 16 tercios más menos 2 al cuadrado que será 4. Comenzamos con las operaciones 36 menos 18 nos da 18, 18 más 9 nos da 27, menos veamos por acá, menos 24 más 4 nos queda menos 20 más 16 tercios. Nos queda entonces área igual a 27, rompemos el corchete nos queda más 20 menos 16 tercios, es decir área igual a 47 menos 16 tercios. 47 tiene denominador 1, podríamos multiplicarlo por 3 aquí arriba y abajo la fracción entonces nos quedaría 141 tercios amplificándola por 3 para que nos queden fracciones homogéneas haciendo la resta de fracciones nos queda denominador 3 queda igual y arriba restamos 141 menos 16 que nos da 125, esta fracción no se puede simplificar y le ponemos unidades cuadradas porque estamos haciendo el cálculo de un área. De esta manera entonces hemos terminado el ejercicio, esta será el área de la región encerrada por las curvas que nos dieron.

[{"start": 0.0, "end": 12.84, "text": " All\u00ed hemos anotado nuevamente la integral, vamos a comenzar por quitar los par\u00e9ntesis"}, {"start": 12.84, "end": 20.12, "text": " que tenemos en el integrando, entonces nos queda 12 menos x al cuadrado, aqu\u00ed entra"}, {"start": 20.12, "end": 28.04, "text": " el negativo, nos queda menos x al cuadrado m\u00e1s 2x y todo esto con su diferencial de x."}, {"start": 28.04, "end": 35.4, "text": " Vamos a operar t\u00e9rminos semejantes, all\u00ed dentro del corchete que incluso ya lo podemos"}, {"start": 35.4, "end": 45.42, "text": " cambiar por par\u00e9ntesis, nos queda 12 menos 2x al cuadrado m\u00e1s 2x, cerramos el par\u00e9ntesis"}, {"start": 45.42, "end": 52.58, "text": " y el correspondiente diferencial de x, all\u00ed ya podemos integrar cada t\u00e9rmino, entonces"}, {"start": 52.58, "end": 62.8, "text": " veamos la integral de 12 ser\u00e1 12x menos la integral de 2x al cuadrado ser\u00e1 2x al cubo"}, {"start": 62.8, "end": 74.28, "text": " sobre 3 m\u00e1s la integral de 2x ser\u00e1 2x al cuadrado sobre 2 y todo esto evaluado entre"}, {"start": 74.28, "end": 79.24, "text": " menos 2 y 3 que son los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 79.24, "end": 86.16, "text": " Aqu\u00ed podr\u00edamos simplificar el 2, se pueden cancelar por lo tanto nos queda simplemente"}, {"start": 86.16, "end": 88.36, "text": " x al cuadrado."}, {"start": 88.36, "end": 95.28, "text": " Vamos a proceder a evaluar esta expresi\u00f3n, es decir la antiderivada en los l\u00edmites de"}, {"start": 95.28, "end": 96.28, "text": " integraci\u00f3n."}, {"start": 96.28, "end": 107.72, "text": " All\u00ed vemos como ha entrado el 3 en la expresi\u00f3n, aqu\u00ed lo tenemos, menos el reemplazo del menos"}, {"start": 107.72, "end": 112.16, "text": " 2 en la expresi\u00f3n que es lo que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 112.16, "end": 122.56, "text": " Entonces vamos a resolver esas operaciones, nos queda \u00e1rea igual, abrimos corchete 12"}, {"start": 122.56, "end": 134.84, "text": " por 3 es 36 menos 3 al cubo es 27, 27 dividido 3 da 9, 9 por 2 es 18 m\u00e1s 3 al cuadrado que"}, {"start": 134.84, "end": 144.4, "text": " es 9, cerramos el corchete todo esto menos por ac\u00e1 12 por menos 2 queda menos 24, por"}, {"start": 144.4, "end": 153.12, "text": " ac\u00e1 menos 2 al cubo da menos 8, menos 8 por menos 2 queda m\u00e1s 16 queda 16 tercios m\u00e1s"}, {"start": 153.12, "end": 157.16, "text": " menos 2 al cuadrado que ser\u00e1 4."}, {"start": 157.16, "end": 167.51999999999998, "text": " Comenzamos con las operaciones 36 menos 18 nos da 18, 18 m\u00e1s 9 nos da 27, menos veamos"}, {"start": 167.51999999999998, "end": 178.44, "text": " por ac\u00e1, menos 24 m\u00e1s 4 nos queda menos 20 m\u00e1s 16 tercios."}, {"start": 178.44, "end": 189.8, "text": " Nos queda entonces \u00e1rea igual a 27, rompemos el corchete nos queda m\u00e1s 20 menos 16 tercios,"}, {"start": 189.8, "end": 196.2, "text": " es decir \u00e1rea igual a 47 menos 16 tercios."}, {"start": 196.2, "end": 205.88, "text": " 47 tiene denominador 1, podr\u00edamos multiplicarlo por 3 aqu\u00ed arriba y abajo la fracci\u00f3n entonces"}, {"start": 205.88, "end": 213.88, "text": " nos quedar\u00eda 141 tercios amplific\u00e1ndola por 3 para que nos queden fracciones homog\u00e9neas"}, {"start": 213.88, "end": 220.84, "text": " haciendo la resta de fracciones nos queda denominador 3 queda igual y arriba restamos 141 menos"}, {"start": 220.84, "end": 228.96, "text": " 16 que nos da 125, esta fracci\u00f3n no se puede simplificar y le ponemos unidades cuadradas"}, {"start": 228.96, "end": 232.2, "text": " porque estamos haciendo el c\u00e1lculo de un \u00e1rea."}, {"start": 232.2, "end": 237.83999999999997, "text": " De esta manera entonces hemos terminado el ejercicio, esta ser\u00e1 el \u00e1rea de la regi\u00f3n"}, {"start": 237.84, "end": 265.28000000000003, "text": " encerrada por las curvas que nos dieron."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=0hs3v3lilT8

ÁREA ENTRE CURVAS - Ejercicio 5 (Parte 1)

#julioprofe explica cómo hallar el área de la región encerrada por dos funciones, utilizando la integral definida. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a hallar el área de la región encerrada por estas dos curvas que nos dan, que corresponden a funciones cuadráticas, es decir, parábolas. Para comenzar vamos a buscar los puntos de corte o puntos de intersección de ambas curvas. Para ello vamos a igualar las dos expresiones. Entonces, x al cuadrado menos 2x lo igualamos con 12 menos x al cuadrado. Aprovechando que en ambas expresiones se encuentra despejada la variable dependiente y. Entonces vamos a resolver esta ecuación que tiene forma de ecuación cuadrática. Vamos entonces a pasar esos términos para el lado izquierdo para que nos quede igualada a cero. Aquí pasamos los términos, organizamos la ecuación x al cuadrado más x al cuadrado, se pueden sumar, nos quedan 12x al cuadrado, luego menos 2x, luego menos 12, igual a cero. Y vemos que adquiere forma de ecuación cuadrática. Podríamos simplificar esta ecuación dividiendo todo por 2. Vemos que todos los números que aparecen son números pares, por lo tanto se pueden dividir por 2. Entonces si la ecuación se divide por 2 a ambos lados nos queda x al cuadrado menos x menos 6 y esto igual a cero. La ecuación cuadrática ha quedado más simple. Podemos resolverla por factorización. Factorizamos esta expresión utilizando el caso llamado trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. Recordemos que se abren dos paréntesis, esto está igualada a cero. Multiplicando entre sí, sacamos la raíz cuadrada de x al cuadrado que es x y la anotamos al comienzo de cada paréntesis. Cuadramos los signos, veamos, aquí hay signo positivo, entonces positivo por negativo nos da negativo, da el signo del primer paréntesis y negativo por negativo da positivo que es el signo del segundo paréntesis. Buscamos dos números que multiplicados entre sí nos den menos 6 y que sumados nos den menos 1, esos números son menos 3 y 2. Hemos logrado entonces factorizar la expresión. A continuación aplicamos el teorema del factor nulo, recordemos que si el producto de dos cantidades es igual a cero, entonces cada una de ellas debe igualarse a cero. Entonces x menos 3 lo igualamos a cero o x más 2 se iguala a cero y en cada caso vamos a despejar la x. Entonces nos queda por acá x igual a 3 y por acá x igual a menos 2. Esto quiere decir que las dos funciones, que las dos parábolas van a presentar sus puntos de contacto o puntos de corte en las abscisas 3 y menos 2. A continuación hacemos una tabulación de ambas funciones tomando como valores en x los que están comprendidos entre menos 2 y 3, es decir los valores que acabamos de obtener como puntos de corte o puntos de intersección. Vemos que hemos tomado los números enteros comprendidos entre menos 2 y 3 en ambos casos. Vamos a reemplazar estos valores en una calculadora y obtener los correspondientes valores de la variable y en cada función. Allí tenemos entonces los respectivos valores de las variables y en cada función para los valores de x elegidos. Ahora vamos a realizar la gráfica de ambas funciones con estos puntos en un mismo plano cartesiano. Allí tenemos entonces la gráfica en el plano cartesiano de las dos funciones. Vemos en color azul la función y igual a 12 menos x al cuadrado y en color rojo la función y igual a x al cuadrado menos 2x. Se aprecia que la región encerrada por las dos funciones es esta que vamos a señalar con este color verde. Toda esta región es a la que tenemos que encontrar su área. También apreciamos los puntos de intersección que corresponden a las abscisas. Las abscisas menos 2, esta de aquí y 3 que fueron los valores que obtuvimos al comienzo del ejercicio. Entonces vamos a proceder a construir una integral que nos permite encontrar el área de esta región encerrada. El área que vamos a llamar a se obtiene con la siguiente integral definida. Sería la integral comprendida entre menos 2 y 3 que son los límites de integración de la función superior. En la función superior anotamos primero la curva superior es decir 12 menos x al cuadrado entre paréntesis menos la curva inferior. La curva inferior es x al cuadrado menos 2x que también debe ir entre paréntesis porque va precedida de un signo negativo. Todo esto lo protegemos con corchete y anotamos el correspondiente diferencial de x. Vamos entonces a dar solución a esta integral.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Vamos a hallar el \u00e1rea de la regi\u00f3n encerrada por estas dos curvas que nos dan, que corresponden a funciones cuadr\u00e1ticas, es decir, par\u00e1bolas."}, {"start": 13.0, "end": 20.0, "text": " Para comenzar vamos a buscar los puntos de corte o puntos de intersecci\u00f3n de ambas curvas."}, {"start": 20.0, "end": 33.0, "text": " Para ello vamos a igualar las dos expresiones. Entonces, x al cuadrado menos 2x lo igualamos con 12 menos x al cuadrado."}, {"start": 34.0, "end": 40.0, "text": " Aprovechando que en ambas expresiones se encuentra despejada la variable dependiente y."}, {"start": 40.0, "end": 53.0, "text": " Entonces vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n que tiene forma de ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica. Vamos entonces a pasar esos t\u00e9rminos para el lado izquierdo para que nos quede igualada a cero."}, {"start": 53.0, "end": 68.0, "text": " Aqu\u00ed pasamos los t\u00e9rminos, organizamos la ecuaci\u00f3n x al cuadrado m\u00e1s x al cuadrado, se pueden sumar, nos quedan 12x al cuadrado, luego menos 2x, luego menos 12, igual a cero."}, {"start": 69.0, "end": 77.0, "text": " Y vemos que adquiere forma de ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica. Podr\u00edamos simplificar esta ecuaci\u00f3n dividiendo todo por 2."}, {"start": 77.0, "end": 84.0, "text": " Vemos que todos los n\u00fameros que aparecen son n\u00fameros pares, por lo tanto se pueden dividir por 2."}, {"start": 85.0, "end": 93.0, "text": " Entonces si la ecuaci\u00f3n se divide por 2 a ambos lados nos queda x al cuadrado menos x menos 6 y esto igual a cero."}, {"start": 94.0, "end": 100.0, "text": " La ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica ha quedado m\u00e1s simple. Podemos resolverla por factorizaci\u00f3n."}, {"start": 100.0, "end": 111.0, "text": " Factorizamos esta expresi\u00f3n utilizando el caso llamado trinomio de la forma x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c."}, {"start": 112.0, "end": 117.0, "text": " Recordemos que se abren dos par\u00e9ntesis, esto est\u00e1 igualada a cero."}, {"start": 117.0, "end": 130.0, "text": " Multiplicando entre s\u00ed, sacamos la ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado que es x y la anotamos al comienzo de cada par\u00e9ntesis. Cuadramos los signos, veamos, aqu\u00ed hay signo positivo,"}, {"start": 131.0, "end": 140.0, "text": " entonces positivo por negativo nos da negativo, da el signo del primer par\u00e9ntesis y negativo por negativo da positivo que es el signo del segundo par\u00e9ntesis."}, {"start": 140.0, "end": 150.0, "text": " Buscamos dos n\u00fameros que multiplicados entre s\u00ed nos den menos 6 y que sumados nos den menos 1, esos n\u00fameros son menos 3 y 2."}, {"start": 151.0, "end": 154.0, "text": " Hemos logrado entonces factorizar la expresi\u00f3n."}, {"start": 155.0, "end": 166.0, "text": " A continuaci\u00f3n aplicamos el teorema del factor nulo, recordemos que si el producto de dos cantidades es igual a cero, entonces cada una de ellas debe igualarse a cero."}, {"start": 166.0, "end": 180.0, "text": " Entonces x menos 3 lo igualamos a cero o x m\u00e1s 2 se iguala a cero y en cada caso vamos a despejar la x."}, {"start": 181.0, "end": 187.0, "text": " Entonces nos queda por ac\u00e1 x igual a 3 y por ac\u00e1 x igual a menos 2."}, {"start": 187.0, "end": 200.0, "text": " Esto quiere decir que las dos funciones, que las dos par\u00e1bolas van a presentar sus puntos de contacto o puntos de corte en las abscisas 3 y menos 2."}, {"start": 201.0, "end": 212.0, "text": " A continuaci\u00f3n hacemos una tabulaci\u00f3n de ambas funciones tomando como valores en x los que est\u00e1n comprendidos entre menos 2 y 3,"}, {"start": 212.0, "end": 219.0, "text": " es decir los valores que acabamos de obtener como puntos de corte o puntos de intersecci\u00f3n."}, {"start": 220.0, "end": 226.0, "text": " Vemos que hemos tomado los n\u00fameros enteros comprendidos entre menos 2 y 3 en ambos casos."}, {"start": 227.0, "end": 235.0, "text": " Vamos a reemplazar estos valores en una calculadora y obtener los correspondientes valores de la variable y en cada funci\u00f3n."}, {"start": 235.0, "end": 247.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces los respectivos valores de las variables y en cada funci\u00f3n para los valores de x elegidos."}, {"start": 248.0, "end": 257.0, "text": " Ahora vamos a realizar la gr\u00e1fica de ambas funciones con estos puntos en un mismo plano cartesiano."}, {"start": 257.0, "end": 266.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces la gr\u00e1fica en el plano cartesiano de las dos funciones."}, {"start": 267.0, "end": 278.0, "text": " Vemos en color azul la funci\u00f3n y igual a 12 menos x al cuadrado y en color rojo la funci\u00f3n y igual a x al cuadrado menos 2x."}, {"start": 278.0, "end": 288.0, "text": " Se aprecia que la regi\u00f3n encerrada por las dos funciones es esta que vamos a se\u00f1alar con este color verde."}, {"start": 289.0, "end": 296.0, "text": " Toda esta regi\u00f3n es a la que tenemos que encontrar su \u00e1rea."}, {"start": 297.0, "end": 302.0, "text": " Tambi\u00e9n apreciamos los puntos de intersecci\u00f3n que corresponden a las abscisas."}, {"start": 302.0, "end": 313.0, "text": " Las abscisas menos 2, esta de aqu\u00ed y 3 que fueron los valores que obtuvimos al comienzo del ejercicio."}, {"start": 314.0, "end": 324.0, "text": " Entonces vamos a proceder a construir una integral que nos permite encontrar el \u00e1rea de esta regi\u00f3n encerrada."}, {"start": 324.0, "end": 334.0, "text": " El \u00e1rea que vamos a llamar a se obtiene con la siguiente integral definida."}, {"start": 335.0, "end": 344.0, "text": " Ser\u00eda la integral comprendida entre menos 2 y 3 que son los l\u00edmites de integraci\u00f3n de la funci\u00f3n superior."}, {"start": 344.0, "end": 357.0, "text": " En la funci\u00f3n superior anotamos primero la curva superior es decir 12 menos x al cuadrado entre par\u00e9ntesis menos la curva inferior."}, {"start": 358.0, "end": 367.0, "text": " La curva inferior es x al cuadrado menos 2x que tambi\u00e9n debe ir entre par\u00e9ntesis porque va precedida de un signo negativo."}, {"start": 367.0, "end": 375.0, "text": " Todo esto lo protegemos con corchete y anotamos el correspondiente diferencial de x."}, {"start": 375.0, "end": 403.0, "text": " Vamos entonces a dar soluci\u00f3n a esta integral."}]

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Ejercicio 3 con PROPIEDADES DE LOGARITMOS

#julioprofe (miembro de #EdutubersColombia) explica cómo reducir una expresión que contiene varias expresiones logarítmicas a un sólo logaritmo. Tema: #PropiedadesDeLogaritmos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGQaUFGGtkxK6Syv-QnPf5W REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a describir esta expresión como un solo logaritmo. Para ello vamos a hacer uso de las propiedades principales de los logaritmos. Comencemos con este término. Allí vamos a aplicar la siguiente propiedad. Si tenemos el logaritmo de una potencia, por ejemplo, logaritmo en base 10 de x a la n, esto será igual a n por el logaritmo base 10 de x. Estamos usando en esta ocasión logaritmo base 10 porque es el que se nos presenta en el ejercicio, pero las propiedades son válidas para logaritmos en otras bases. Esta propiedad la podemos aplicar acá dado que esas propiedades son de doble vía. Aquí nos vamos a devolver. Un tercio que se encuentra multiplicando delante del logaritmo puede convertirse en exponente de la A. Allí nos queda entonces la aplicación de esta propiedad. Sigamos por acá más un medio. Llegamos aquí. Tenemos una resta de logaritmos. Veamos. Dice la propiedad que el logaritmo, por ejemplo, base 10 de un cociente x sobre y es igual al logaritmo de x menos el logaritmo de y. Es decir, el logaritmo de un cociente se convierte en una resta de logaritmos. Acá tenemos la resta, por lo tanto nos podemos devolver y nos queda el logaritmo del cociente b sobre c. De esa manera hemos logrado reducir estos dos logaritmos a uno solo. Seguimos por acá. Vemos que un medio está multiplicando delante del logaritmo. Luego puede subir como exponente de b sobre c aplicando la propiedad que mostrábamos acá. Entonces nos queda así. Logaritmo de A a la un tercio. Este no cambia. Y aquí quedaría logaritmo de b sobre c. Todo esto elevado a la un medio. Bien. Llegamos por último a una suma de logaritmos. Dice la propiedad que si tenemos el logaritmo de un producto x por y esto es igual al logaritmo de x más el logaritmo de y. Entonces logaritmo de un producto se convierte en suma de logaritmos. Por tanto suma de logaritmos puede regresar al logaritmo de un producto. Y es la situación que tenemos por acá. Entonces esto nos va a quedar de la siguiente manera. Logaritmo. Vamos a abrir un corchete. Y dentro del corchete vamos a escribir la multiplicación entre A a la un tercio y b sobre c. Todo esto a la un medio. De esa manera hemos logrado escribir toda esta expresión como un solo logaritmo. Aquí hemos llegado a la respuesta.

[{"start": 0.0, "end": 6.0, "text": " Vamos a describir esta expresi\u00f3n como un solo logaritmo."}, {"start": 6.0, "end": 11.0, "text": " Para ello vamos a hacer uso de las propiedades principales de los logaritmos."}, {"start": 11.0, "end": 13.0, "text": " Comencemos con este t\u00e9rmino."}, {"start": 13.0, "end": 16.0, "text": " All\u00ed vamos a aplicar la siguiente propiedad."}, {"start": 16.0, "end": 23.0, "text": " Si tenemos el logaritmo de una potencia, por ejemplo, logaritmo en base 10 de x a la n,"}, {"start": 23.0, "end": 29.0, "text": " esto ser\u00e1 igual a n por el logaritmo base 10 de x."}, {"start": 29.0, "end": 35.0, "text": " Estamos usando en esta ocasi\u00f3n logaritmo base 10 porque es el que se nos presenta en el ejercicio,"}, {"start": 35.0, "end": 40.0, "text": " pero las propiedades son v\u00e1lidas para logaritmos en otras bases."}, {"start": 40.0, "end": 46.0, "text": " Esta propiedad la podemos aplicar ac\u00e1 dado que esas propiedades son de doble v\u00eda."}, {"start": 46.0, "end": 48.0, "text": " Aqu\u00ed nos vamos a devolver."}, {"start": 48.0, "end": 58.0, "text": " Un tercio que se encuentra multiplicando delante del logaritmo puede convertirse en exponente de la A."}, {"start": 58.0, "end": 64.0, "text": " All\u00ed nos queda entonces la aplicaci\u00f3n de esta propiedad."}, {"start": 64.0, "end": 68.0, "text": " Sigamos por ac\u00e1 m\u00e1s un medio."}, {"start": 68.0, "end": 72.0, "text": " Llegamos aqu\u00ed. Tenemos una resta de logaritmos."}, {"start": 72.0, "end": 74.0, "text": " Veamos."}, {"start": 74.0, "end": 81.0, "text": " Dice la propiedad que el logaritmo, por ejemplo, base 10 de un cociente x sobre y"}, {"start": 81.0, "end": 86.0, "text": " es igual al logaritmo de x menos el logaritmo de y."}, {"start": 86.0, "end": 93.0, "text": " Es decir, el logaritmo de un cociente se convierte en una resta de logaritmos."}, {"start": 93.0, "end": 97.0, "text": " Ac\u00e1 tenemos la resta, por lo tanto nos podemos devolver"}, {"start": 97.0, "end": 104.0, "text": " y nos queda el logaritmo del cociente b sobre c."}, {"start": 104.0, "end": 110.0, "text": " De esa manera hemos logrado reducir estos dos logaritmos a uno solo."}, {"start": 110.0, "end": 116.0, "text": " Seguimos por ac\u00e1. Vemos que un medio est\u00e1 multiplicando delante del logaritmo."}, {"start": 116.0, "end": 124.0, "text": " Luego puede subir como exponente de b sobre c aplicando la propiedad que mostr\u00e1bamos ac\u00e1."}, {"start": 124.0, "end": 126.0, "text": " Entonces nos queda as\u00ed."}, {"start": 126.0, "end": 130.0, "text": " Logaritmo de A a la un tercio."}, {"start": 130.0, "end": 132.0, "text": " Este no cambia."}, {"start": 132.0, "end": 137.0, "text": " Y aqu\u00ed quedar\u00eda logaritmo de b sobre c."}, {"start": 137.0, "end": 141.0, "text": " Todo esto elevado a la un medio."}, {"start": 141.0, "end": 146.0, "text": " Bien. Llegamos por \u00faltimo a una suma de logaritmos."}, {"start": 146.0, "end": 152.0, "text": " Dice la propiedad que si tenemos el logaritmo de un producto x por y"}, {"start": 152.0, "end": 158.0, "text": " esto es igual al logaritmo de x m\u00e1s el logaritmo de y."}, {"start": 158.0, "end": 162.0, "text": " Entonces logaritmo de un producto se convierte en suma de logaritmos."}, {"start": 162.0, "end": 167.0, "text": " Por tanto suma de logaritmos puede regresar al logaritmo de un producto."}, {"start": 167.0, "end": 169.0, "text": " Y es la situaci\u00f3n que tenemos por ac\u00e1."}, {"start": 169.0, "end": 174.0, "text": " Entonces esto nos va a quedar de la siguiente manera."}, {"start": 174.0, "end": 177.0, "text": " Logaritmo. Vamos a abrir un corchete."}, {"start": 177.0, "end": 186.0, "text": " Y dentro del corchete vamos a escribir la multiplicaci\u00f3n entre A a la un tercio y b sobre c."}, {"start": 186.0, "end": 189.0, "text": " Todo esto a la un medio."}, {"start": 189.0, "end": 199.0, "text": " De esa manera hemos logrado escribir toda esta expresi\u00f3n como un solo logaritmo."}, {"start": 199.0, "end": 227.0, "text": " Aqu\u00ed hemos llegado a la respuesta."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=9veNjGofq7I

Problema 1 con ECUACIONES CUADRÁTICAS

#julioprofe explica cómo plantear y resolver un problema que involucra una ecuación cuadrática o de segundo grado: En un rectángulo el largo mide (x+7) y el ancho (x+2). Si el área del rectángulo es 36, halla el valor de x. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

En un rectángulo el largo mide x más 7 y el ancho x más 2. Si el área del rectángulo es 36, haya el valor de x. Bien, comenzamos por hacer un dibujo de un rectángulo y en él vamos a ubicar la información que nos dan. Nos dicen que el largo mide x más 7 y que el ancho mide x más 2. Y nos dicen también que el área del rectángulo tiene un valor de 36. Entonces nos piden x. Podemos aplicar la fórmula geométrica del área de un rectángulo. Recordemos que el área para esta figura se obtiene multiplicando su base con su altura o el largo por el ancho. Entonces tendremos que x más 7 multiplicado por x más 2 tiene que ser igual a 36, que es el área del rectángulo. Entonces procedemos a realizar la multiplicación de estos dos binomios. Hacemos propiedad distributiva con la x y después con el 7. Entonces veamos, x por x nos da x al cuadrado, x por 2 nos queda más 2x, más 7 por x queda más 7x, y más 7 por más 2 nos queda más 14. Y esto igual a 36. Vamos a sumar términos semejantes, nos queda x al cuadrado, más 2x más 7x será 9x, escribimos más 14 y pasamos 36 para el lado izquierdo, pasaría a restar y esto nos queda igual a 0, porque esto empieza a tomar forma de ecuación cuadrática. Continuamos, nos queda x al cuadrado, más 9x, y efectuamos la operación 14 menos 36, eso nos da menos 22 y eso igual a 0. Y tenemos entonces una ecuación cuadrática que podemos intentar por factorización. Veamos, esto sería un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, abrimos dos paréntesis, sacamos la raíz cuadrada de x al cuadrado, que sería x, la escribimos al comienzo de cada paréntesis, cuadramos los signos, aquí tenemos signo positivo, entonces positivo por positivo nos da positivo, signo del primer paréntesis, positivo por negativo nos da negativo, signo del segundo paréntesis. Buscamos dos números, uno positivo y otro negativo, tales que multiplicados entre sí nos den menos 22 y sumados entre sí nos den 9 positivo. Si hacemos la búsqueda de esos números, encontramos que son 11 y menos 2. Allí podemos aplicar el teorema del factor nulo, si tenemos el producto de dos factores y eso igual a 0, entonces cada factor debe igualarse a 0, x más 11 igual a 0 o x menos 2 igual a 0. Resolvemos en cada caso, por acá x nos da menos 11 y por acá x nos da 2 positivo. Como estamos trabajando un problema donde x hace parte de una medida de las dimensiones de un rectángulo, entonces no podemos considerar un valor negativo, por lo tanto este valor lo descartamos y nos quedamos con el positivo. Entonces esta es la respuesta. Podríamos comprobar si nos quedó bien hecho de la siguiente manera, en el rectángulo teníamos que el largo era x más 7, como x nos dio 2, entonces sería 2 más 7 que es igual a 9 y el ancho nos había dado x más 2, es decir 2 más 2 que es 4. Si vemos 9 por 4 nos da 36 que corresponde al área del rectángulo que nos daban en el enunciado del problema.

[{"start": 0.0, "end": 6.9, "text": " En un rect\u00e1ngulo el largo mide x m\u00e1s 7 y el ancho x m\u00e1s 2."}, {"start": 6.9, "end": 10.66, "text": " Si el \u00e1rea del rect\u00e1ngulo es 36,"}, {"start": 10.66, "end": 14.1, "text": " haya el valor de x."}, {"start": 14.1, "end": 18.0, "text": " Bien, comenzamos por hacer un dibujo de un rect\u00e1ngulo"}, {"start": 18.0, "end": 21.6, "text": " y en \u00e9l vamos a ubicar la informaci\u00f3n que nos dan."}, {"start": 21.6, "end": 25.8, "text": " Nos dicen que el largo mide x m\u00e1s 7"}, {"start": 25.8, "end": 30.6, "text": " y que el ancho mide x m\u00e1s 2."}, {"start": 30.6, "end": 35.8, "text": " Y nos dicen tambi\u00e9n que el \u00e1rea del rect\u00e1ngulo"}, {"start": 35.8, "end": 38.6, "text": " tiene un valor de 36."}, {"start": 38.6, "end": 41.5, "text": " Entonces nos piden x."}, {"start": 41.5, "end": 45.900000000000006, "text": " Podemos aplicar la f\u00f3rmula geom\u00e9trica del \u00e1rea de un rect\u00e1ngulo."}, {"start": 45.900000000000006, "end": 49.6, "text": " Recordemos que el \u00e1rea para esta figura"}, {"start": 49.6, "end": 54.400000000000006, "text": " se obtiene multiplicando su base con su altura"}, {"start": 54.4, "end": 56.5, "text": " o el largo por el ancho."}, {"start": 56.5, "end": 64.1, "text": " Entonces tendremos que x m\u00e1s 7 multiplicado por x m\u00e1s 2"}, {"start": 64.1, "end": 67.0, "text": " tiene que ser igual a 36,"}, {"start": 67.0, "end": 70.5, "text": " que es el \u00e1rea del rect\u00e1ngulo."}, {"start": 70.5, "end": 74.3, "text": " Entonces procedemos a realizar la multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 74.3, "end": 76.1, "text": " de estos dos binomios."}, {"start": 76.1, "end": 80.7, "text": " Hacemos propiedad distributiva con la x y despu\u00e9s con el 7."}, {"start": 80.7, "end": 85.0, "text": " Entonces veamos, x por x nos da x al cuadrado,"}, {"start": 85.0, "end": 89.0, "text": " x por 2 nos queda m\u00e1s 2x,"}, {"start": 89.0, "end": 93.0, "text": " m\u00e1s 7 por x queda m\u00e1s 7x,"}, {"start": 93.0, "end": 97.5, "text": " y m\u00e1s 7 por m\u00e1s 2 nos queda m\u00e1s 14."}, {"start": 97.5, "end": 101.2, "text": " Y esto igual a 36."}, {"start": 101.2, "end": 103.7, "text": " Vamos a sumar t\u00e9rminos semejantes,"}, {"start": 103.7, "end": 105.80000000000001, "text": " nos queda x al cuadrado,"}, {"start": 105.8, "end": 111.39999999999999, "text": " m\u00e1s 2x m\u00e1s 7x ser\u00e1 9x,"}, {"start": 111.39999999999999, "end": 116.39999999999999, "text": " escribimos m\u00e1s 14 y pasamos 36 para el lado izquierdo,"}, {"start": 116.39999999999999, "end": 120.7, "text": " pasar\u00eda a restar y esto nos queda igual a 0,"}, {"start": 120.7, "end": 126.5, "text": " porque esto empieza a tomar forma de ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 126.5, "end": 131.1, "text": " Continuamos, nos queda x al cuadrado,"}, {"start": 131.1, "end": 134.5, "text": " m\u00e1s 9x,"}, {"start": 134.5, "end": 138.1, "text": " y efectuamos la operaci\u00f3n 14 menos 36,"}, {"start": 138.1, "end": 143.8, "text": " eso nos da menos 22 y eso igual a 0."}, {"start": 143.8, "end": 148.5, "text": " Y tenemos entonces una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica"}, {"start": 148.5, "end": 152.8, "text": " que podemos intentar por factorizaci\u00f3n."}, {"start": 152.8, "end": 157.6, "text": " Veamos, esto ser\u00eda un trinomio de la forma"}, {"start": 157.6, "end": 160.6, "text": " x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c,"}, {"start": 160.6, "end": 162.5, "text": " abrimos dos par\u00e9ntesis,"}, {"start": 162.5, "end": 165.5, "text": " sacamos la ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado,"}, {"start": 165.5, "end": 167.3, "text": " que ser\u00eda x,"}, {"start": 167.3, "end": 170.2, "text": " la escribimos al comienzo de cada par\u00e9ntesis,"}, {"start": 170.2, "end": 172.0, "text": " cuadramos los signos,"}, {"start": 172.0, "end": 173.9, "text": " aqu\u00ed tenemos signo positivo,"}, {"start": 173.9, "end": 177.4, "text": " entonces positivo por positivo nos da positivo,"}, {"start": 177.4, "end": 179.8, "text": " signo del primer par\u00e9ntesis,"}, {"start": 179.8, "end": 182.9, "text": " positivo por negativo nos da negativo,"}, {"start": 182.9, "end": 185.2, "text": " signo del segundo par\u00e9ntesis."}, {"start": 185.2, "end": 186.8, "text": " Buscamos dos n\u00fameros,"}, {"start": 186.8, "end": 189.3, "text": " uno positivo y otro negativo,"}, {"start": 189.3, "end": 193.60000000000002, "text": " tales que multiplicados entre s\u00ed nos den menos 22"}, {"start": 193.60000000000002, "end": 197.70000000000002, "text": " y sumados entre s\u00ed nos den 9 positivo."}, {"start": 197.70000000000002, "end": 200.8, "text": " Si hacemos la b\u00fasqueda de esos n\u00fameros,"}, {"start": 200.8, "end": 206.20000000000002, "text": " encontramos que son 11 y menos 2."}, {"start": 206.20000000000002, "end": 211.60000000000002, "text": " All\u00ed podemos aplicar el teorema del factor nulo,"}, {"start": 211.60000000000002, "end": 214.4, "text": " si tenemos el producto de dos factores"}, {"start": 214.4, "end": 216.0, "text": " y eso igual a 0,"}, {"start": 216.0, "end": 220.6, "text": " entonces cada factor debe igualarse a 0,"}, {"start": 220.6, "end": 223.2, "text": " x m\u00e1s 11 igual a 0"}, {"start": 223.2, "end": 228.0, "text": " o x menos 2 igual a 0."}, {"start": 228.0, "end": 230.7, "text": " Resolvemos en cada caso,"}, {"start": 230.7, "end": 234.3, "text": " por ac\u00e1 x nos da menos 11"}, {"start": 234.3, "end": 238.7, "text": " y por ac\u00e1 x nos da 2 positivo."}, {"start": 238.7, "end": 240.6, "text": " Como estamos trabajando un problema"}, {"start": 240.6, "end": 244.4, "text": " donde x hace parte de una medida"}, {"start": 244.4, "end": 247.8, "text": " de las dimensiones de un rect\u00e1ngulo,"}, {"start": 247.8, "end": 251.20000000000002, "text": " entonces no podemos considerar un valor negativo,"}, {"start": 251.20000000000002, "end": 254.70000000000002, "text": " por lo tanto este valor lo descartamos"}, {"start": 254.70000000000002, "end": 258.0, "text": " y nos quedamos con el positivo."}, {"start": 258.0, "end": 261.8, "text": " Entonces esta es la respuesta."}, {"start": 261.8, "end": 264.9, "text": " Podr\u00edamos comprobar si nos qued\u00f3 bien hecho"}, {"start": 264.9, "end": 266.5, "text": " de la siguiente manera,"}, {"start": 266.5, "end": 271.4, "text": " en el rect\u00e1ngulo ten\u00edamos que el largo era x m\u00e1s 7,"}, {"start": 271.4, "end": 277.09999999999997, "text": " como x nos dio 2, entonces ser\u00eda 2 m\u00e1s 7 que es igual a 9"}, {"start": 277.09999999999997, "end": 281.09999999999997, "text": " y el ancho nos hab\u00eda dado x m\u00e1s 2,"}, {"start": 281.09999999999997, "end": 284.0, "text": " es decir 2 m\u00e1s 2 que es 4."}, {"start": 284.0, "end": 287.5, "text": " Si vemos 9 por 4 nos da 36"}, {"start": 287.5, "end": 290.09999999999997, "text": " que corresponde al \u00e1rea del rect\u00e1ngulo"}, {"start": 290.1, "end": 302.6, "text": " que nos daban en el enunciado del problema."}]

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ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación que contiene logaritmos. Tema: #EcuacionesLogarítmicas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGy9_WwQrZrw9iTXiKDua5T REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Bien, vamos a resolver esta ecuación logarítmica. Para comenzar, vamos a reducir en ambos lados de la igualdad los dos logaritmos que aparece en cada miembro. Vamos a reducirlo a un solo logaritmo. Y esto lo vamos a conseguir con la propiedad que dice que el logaritmo en base A, por ejemplo, de M por N, es igual al logaritmo en base A de M más el logaritmo en base A de N. Es decir, si tenemos el logaritmo de un producto, eso se convierte en suma de logaritmos. Pero la propiedad también puede aplicarse al contrario. Es decir, la suma de logaritmos se convierte en el logaritmo de un producto. Entonces, vamos a reducir estos dos logaritmos a uno solo. Sería logaritmo en base 2 de 3 por X. Y acá tendremos logaritmo en base 2 de 5 por la expresión X menos 2. Entonces, de esa manera, hemos aplicado esta propiedad. Como nos queda logaritmo en ambos lados, aplicamos esta propiedad. Si tengo logaritmo en base A de M igual a logaritmo en base A de N, entonces podemos suprimir los logaritmos quedando que M es igual a N. Es la situación que tenemos aquí. Entonces podríamos suprimir logaritmo en base 2 en ambos lados de la igualdad. Que nos queda 3 por X, que es 3X, igual a esta expresión, 5 que multiplica a X menos 2. Continuamos. Aquí podemos hacer propiedad distributiva. Nos queda 5 por X, 5X, menos 5 por 2, que es igual a 10. Pasamos las X a un lado, pasamos 5X al lado izquierdo, nos queda menos 5X. Y a este lado se queda el número que es menos 10. Resolvemos esta resta de términos semejantes. Nos queda menos 2X igual a menos 10. Despejamos X, que sería menos 10 dividido entre menos 2. Recordemos que si hay un número multiplicando, un número negativo, y pasa a dividir al otro lado, pasa con su signo. Y resolviendo esa operación, nos queda que X vale 5 positivo. Debemos revisar si ese valor cumple en la ecuación original. Es decir, si no entorpece algún logaritmo. Entonces veamos, si el 5 lo traemos acá, vemos que este logaritmo no tiene problema. Porque recordemos que los logaritmos solamente existen para cantidades positivas. Y si a este 5 lo traemos acá, 5 menos 2 nos da 3 positivo. No tiene ningún inconveniente. Por lo tanto, esta será la respuesta a nuestro ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 4.0, "text": " Bien, vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica."}, {"start": 4.0, "end": 14.0, "text": " Para comenzar, vamos a reducir en ambos lados de la igualdad los dos logaritmos que aparece en cada miembro."}, {"start": 14.0, "end": 17.0, "text": " Vamos a reducirlo a un solo logaritmo."}, {"start": 17.0, "end": 25.0, "text": " Y esto lo vamos a conseguir con la propiedad que dice que el logaritmo en base A, por ejemplo, de M por N,"}, {"start": 25.0, "end": 32.0, "text": " es igual al logaritmo en base A de M m\u00e1s el logaritmo en base A de N."}, {"start": 32.0, "end": 38.0, "text": " Es decir, si tenemos el logaritmo de un producto, eso se convierte en suma de logaritmos."}, {"start": 38.0, "end": 41.0, "text": " Pero la propiedad tambi\u00e9n puede aplicarse al contrario."}, {"start": 41.0, "end": 46.0, "text": " Es decir, la suma de logaritmos se convierte en el logaritmo de un producto."}, {"start": 46.0, "end": 51.0, "text": " Entonces, vamos a reducir estos dos logaritmos a uno solo."}, {"start": 51.0, "end": 57.0, "text": " Ser\u00eda logaritmo en base 2 de 3 por X."}, {"start": 57.0, "end": 67.0, "text": " Y ac\u00e1 tendremos logaritmo en base 2 de 5 por la expresi\u00f3n X menos 2."}, {"start": 67.0, "end": 73.0, "text": " Entonces, de esa manera, hemos aplicado esta propiedad."}, {"start": 73.0, "end": 79.0, "text": " Como nos queda logaritmo en ambos lados, aplicamos esta propiedad."}, {"start": 79.0, "end": 86.0, "text": " Si tengo logaritmo en base A de M igual a logaritmo en base A de N,"}, {"start": 86.0, "end": 93.0, "text": " entonces podemos suprimir los logaritmos quedando que M es igual a N."}, {"start": 93.0, "end": 95.0, "text": " Es la situaci\u00f3n que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 95.0, "end": 103.0, "text": " Entonces podr\u00edamos suprimir logaritmo en base 2 en ambos lados de la igualdad."}, {"start": 103.0, "end": 113.0, "text": " Que nos queda 3 por X, que es 3X, igual a esta expresi\u00f3n, 5 que multiplica a X menos 2."}, {"start": 113.0, "end": 115.0, "text": " Continuamos."}, {"start": 115.0, "end": 118.0, "text": " Aqu\u00ed podemos hacer propiedad distributiva."}, {"start": 118.0, "end": 124.0, "text": " Nos queda 5 por X, 5X, menos 5 por 2, que es igual a 10."}, {"start": 124.0, "end": 131.0, "text": " Pasamos las X a un lado, pasamos 5X al lado izquierdo, nos queda menos 5X."}, {"start": 131.0, "end": 134.0, "text": " Y a este lado se queda el n\u00famero que es menos 10."}, {"start": 134.0, "end": 138.0, "text": " Resolvemos esta resta de t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 138.0, "end": 142.0, "text": " Nos queda menos 2X igual a menos 10."}, {"start": 142.0, "end": 148.0, "text": " Despejamos X, que ser\u00eda menos 10 dividido entre menos 2."}, {"start": 148.0, "end": 153.0, "text": " Recordemos que si hay un n\u00famero multiplicando, un n\u00famero negativo,"}, {"start": 153.0, "end": 158.0, "text": " y pasa a dividir al otro lado, pasa con su signo."}, {"start": 158.0, "end": 167.0, "text": " Y resolviendo esa operaci\u00f3n, nos queda que X vale 5 positivo."}, {"start": 167.0, "end": 172.0, "text": " Debemos revisar si ese valor cumple en la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 172.0, "end": 176.0, "text": " Es decir, si no entorpece alg\u00fan logaritmo."}, {"start": 176.0, "end": 181.0, "text": " Entonces veamos, si el 5 lo traemos ac\u00e1, vemos que este logaritmo no tiene problema."}, {"start": 181.0, "end": 187.0, "text": " Porque recordemos que los logaritmos solamente existen para cantidades positivas."}, {"start": 187.0, "end": 192.0, "text": " Y si a este 5 lo traemos ac\u00e1, 5 menos 2 nos da 3 positivo."}, {"start": 192.0, "end": 194.0, "text": " No tiene ning\u00fan inconveniente."}, {"start": 194.0, "end": 217.0, "text": " Por lo tanto, esta ser\u00e1 la respuesta a nuestro ejercicio."}]

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DESIGUALDADES RACIONALES - Ejercicio 1 (Parte 2)

#julioprofe explica cómo solucionar una desigualdad o inecuación racional (Parte 2 de 2). Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Aquí tenemos la recta que representa la recta real, es decir, los valores de x comprendidos entre menos infinito y más infinito y en ella vamos a ubicar los puntos críticos que obtuvimos, fueran 2 y 5 en el orden en que van en la recta numérica. Y entonces vamos a seleccionar un número, un valor de x de cada intervalo, entonces por ejemplo del primer intervalo debemos seleccionar un valor de x que esté comprendido entre 2 y menos infinito, es decir, a la izquierda de 2, puede ser cualquier número, cojamos por ejemplo el 0, ahora un número comprendido entre 2 y 5, podríamos escoger el 3, el 4, cojamos el 3 y un número comprendido entre 5 y más infinito, cualquier número sirve, cojamos por ejemplo el 6, entonces cada uno de los valores escogidos debe reemplazarse acá en la expresión para analizar su signo, entonces vamos a ver cómo se comporta el numerador y el denominador de la expresión, por ejemplo con x igual a 0, si le agrazamos el 0 acá en el numerador tendremos menos 2 por 0 da 0, más 10 nos da 10, es decir, nos da signo positivo, allí nos interesa es el signo más que el resultado numérico, seguimos con el 0, 0 menos 2 nos da menos 2, es decir, signo negativo, más con menos nos da menos, como en esta zona la expresión está presentando comportamiento negativo, entonces decimos que no nos sirve, porque necesitamos que sea positivo, pasamos al siguiente intervalo vamos a probar con 3, entonces miramos, menos 2 por 3 da menos 6, menos 6 más 10, entonces nos da 4 positivo, y acá en el denominador metemos aquí el 3, 3 menos 2 nos da 1 positivo, más con más nos da signo positivo que concuerda con lo que necesitamos, por lo tanto esta zona sí sirve, y por último vamos con el último intervalo, reemplazamos el 6, entonces veamos, menos 2 por 6 da menos 12, menos 12 más 10 nos da menos 2, es decir, signo negativo, y con el 6 entramos aquí, 6 menos 2 nos da 4 positivo, menos con más nos da menos, signo negativo que no concuerda con esto, por lo tanto esta zona no sirve, aunque en la gran mayoría de casos los signos quedan intercalados, como estamos viendo en esta situación es mejor hacer la prueba de cada uno de los valores escogidos en la expresión por seguridad. Finalmente vamos a demarcar, vamos a señalar la zona que sí sirvió, la vamos a destacar, sería entonces la zona comprendida entre 2 y 5, ya habíamos dicho que el 5 se iba a tomar, porque 5 era el punto crítico del numerador, y que el 2 no se iba a tomar, por lo tanto la bolita aquí es abierta, el 2 no hace parte de la solución, entonces procedemos a dar la respuesta de nuestra desigualdad, la respuesta para esta desigualdad puede presentarse de dos maneras, una podría ser así, los x comprendidos entre 2 y 5, como el 2 no se incluye colocamos signo menor, y como el 5 si se incluye escribimos signo menor o igual, entonces son los x mayores que 2 y también los x menores o iguales que 5, la otra manera es en notación de intervalo, podría ser los x que pertenecen al intervalo que va desde 2 hasta 5, entonces 2,5, abierto en 2, es decir con paréntesis, y cerrado en 5, cualquiera de esas dos expresiones es la respuesta para esta desigualdad.

[{"start": 0.0, "end": 12.26, "text": " Aqu\u00ed tenemos la recta que representa la recta real, es decir, los valores de x comprendidos"}, {"start": 12.26, "end": 21.16, "text": " entre menos infinito y m\u00e1s infinito y en ella vamos a ubicar los puntos cr\u00edticos que"}, {"start": 21.16, "end": 28.68, "text": " obtuvimos, fueran 2 y 5 en el orden en que van en la recta num\u00e9rica."}, {"start": 28.68, "end": 34.84, "text": " Y entonces vamos a seleccionar un n\u00famero, un valor de x de cada intervalo, entonces"}, {"start": 34.84, "end": 41.74, "text": " por ejemplo del primer intervalo debemos seleccionar un valor de x que est\u00e9 comprendido entre 2"}, {"start": 41.74, "end": 47.2, "text": " y menos infinito, es decir, a la izquierda de 2, puede ser cualquier n\u00famero, cojamos"}, {"start": 47.2, "end": 57.0, "text": " por ejemplo el 0, ahora un n\u00famero comprendido entre 2 y 5, podr\u00edamos escoger el 3, el 4,"}, {"start": 57.0, "end": 65.08, "text": " cojamos el 3 y un n\u00famero comprendido entre 5 y m\u00e1s infinito, cualquier n\u00famero sirve,"}, {"start": 65.08, "end": 72.32, "text": " cojamos por ejemplo el 6, entonces cada uno de los valores escogidos debe reemplazarse"}, {"start": 72.32, "end": 79.32, "text": " ac\u00e1 en la expresi\u00f3n para analizar su signo, entonces vamos a ver c\u00f3mo se comporta el"}, {"start": 79.32, "end": 85.52, "text": " numerador y el denominador de la expresi\u00f3n, por ejemplo con x igual a 0, si le agrazamos"}, {"start": 85.52, "end": 93.0, "text": " el 0 ac\u00e1 en el numerador tendremos menos 2 por 0 da 0, m\u00e1s 10 nos da 10, es decir,"}, {"start": 93.0, "end": 99.47999999999999, "text": " nos da signo positivo, all\u00ed nos interesa es el signo m\u00e1s que el resultado num\u00e9rico,"}, {"start": 99.47999999999999, "end": 108.6, "text": " seguimos con el 0, 0 menos 2 nos da menos 2, es decir, signo negativo, m\u00e1s con menos"}, {"start": 108.6, "end": 118.36, "text": " nos da menos, como en esta zona la expresi\u00f3n est\u00e1 presentando comportamiento negativo,"}, {"start": 118.36, "end": 127.67999999999999, "text": " entonces decimos que no nos sirve, porque necesitamos que sea positivo, pasamos al siguiente"}, {"start": 127.67999999999999, "end": 135.84, "text": " intervalo vamos a probar con 3, entonces miramos, menos 2 por 3 da menos 6, menos 6 m\u00e1s 10,"}, {"start": 135.84, "end": 146.76, "text": " entonces nos da 4 positivo, y ac\u00e1 en el denominador metemos aqu\u00ed el 3, 3 menos 2 nos da 1 positivo,"}, {"start": 146.76, "end": 153.24, "text": " m\u00e1s con m\u00e1s nos da signo positivo que concuerda con lo que necesitamos, por lo tanto esta"}, {"start": 153.24, "end": 165.88, "text": " zona s\u00ed sirve, y por \u00faltimo vamos con el \u00faltimo intervalo, reemplazamos el 6, entonces"}, {"start": 165.88, "end": 174.56, "text": " veamos, menos 2 por 6 da menos 12, menos 12 m\u00e1s 10 nos da menos 2, es decir, signo negativo,"}, {"start": 174.56, "end": 184.2, "text": " y con el 6 entramos aqu\u00ed, 6 menos 2 nos da 4 positivo, menos con m\u00e1s nos da menos,"}, {"start": 184.2, "end": 192.6, "text": " signo negativo que no concuerda con esto, por lo tanto esta zona no sirve, aunque en"}, {"start": 192.6, "end": 197.76, "text": " la gran mayor\u00eda de casos los signos quedan intercalados, como estamos viendo en esta"}, {"start": 197.76, "end": 204.88, "text": " situaci\u00f3n es mejor hacer la prueba de cada uno de los valores escogidos en la expresi\u00f3n"}, {"start": 204.88, "end": 213.6, "text": " por seguridad. Finalmente vamos a demarcar, vamos a se\u00f1alar la zona que s\u00ed sirvi\u00f3,"}, {"start": 213.6, "end": 221.76, "text": " la vamos a destacar, ser\u00eda entonces la zona comprendida entre 2 y 5, ya hab\u00edamos dicho"}, {"start": 221.76, "end": 230.76, "text": " que el 5 se iba a tomar, porque 5 era el punto cr\u00edtico del numerador, y que el 2 no se iba"}, {"start": 230.76, "end": 239.88, "text": " a tomar, por lo tanto la bolita aqu\u00ed es abierta, el 2 no hace parte de la soluci\u00f3n, entonces"}, {"start": 239.88, "end": 249.34, "text": " procedemos a dar la respuesta de nuestra desigualdad, la respuesta para esta desigualdad puede presentarse"}, {"start": 249.34, "end": 258.76, "text": " de dos maneras, una podr\u00eda ser as\u00ed, los x comprendidos entre 2 y 5, como el 2 no se"}, {"start": 258.76, "end": 267.8, "text": " incluye colocamos signo menor, y como el 5 si se incluye escribimos signo menor o igual,"}, {"start": 267.8, "end": 274.88, "text": " entonces son los x mayores que 2 y tambi\u00e9n los x menores o iguales que 5, la otra manera"}, {"start": 274.88, "end": 281.4, "text": " es en notaci\u00f3n de intervalo, podr\u00eda ser los x que pertenecen al intervalo que va"}, {"start": 281.4, "end": 290.76, "text": " desde 2 hasta 5, entonces 2,5, abierto en 2, es decir con par\u00e9ntesis, y cerrado en"}, {"start": 290.76, "end": 306.2, "text": " 5, cualquiera de esas dos expresiones es la respuesta para esta desigualdad."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=O75Nsbws_CQ

DESIGUALDADES RACIONALES - Ejercicio 1 (Parte 1)

#julioprofe explica cómo solucionar una desigualdad o inecuación racional (Parte 1 de 2). Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta desigualdad que se conoce como una desigualdad o inequación racional. Para comenzar debemos dejar 0 en este lado, es decir que debemos pasar el 3 al lado izquierdo. Entonces nos queda x más 4 sobre x menos 2 menos 3 mayor o igual que 0. A este 3 le podemos completar con denominador 1 para realizar esa resta de fraccionarios. Escribimos el común denominador entre x menos 2 y 1 que sería x menos 2. Decimos x menos 2 dividido entre x menos 2 nos da 1, 1 multiplicado por x más 4 nos da x más 4. Menos x menos 2 dividido entre 1 nos da x menos 2 y eso multiplicado por 3 lo escribimos por aquí. Y esto mayor o igual que 0. Nos queda entonces x más 4, aquí hacemos distributiva con el menos 3, menos 3 por x nos queda menos 3x y menos 3 por menos 2 nos queda más 6, todo esto sobre x menos 2 y mayor o igual a 0. En el numerador podemos operar términos semejantes, por ejemplo x menos 3x nos da menos 2x, 4 más 6 nos da 10 positivo y todo esto lo dividimos entre x menos 2 y todo esto mayor o igual a 0. Entonces hemos llevado el ejercicio al punto de dejar 0 en el lado derecho y en el lado izquierdo una sola fracción. Vamos a encontrar a continuación lo que se llaman los puntos críticos de la desigualdad tanto del numerador como del denominador. Los puntos críticos de una desigualdad racional como esta que estamos trabajando serán aquellos valores de la variable, es decir de x, que vuelven 0 tanto el numerador como el denominador. Entonces para encontrarlos igualamos a 0 cada componente de la fracción. Entonces con el numerador lo igualamos a 0 y poco a poco despejamos la x, 10 pasa negativo al lado derecho, despejando x nos queda menos 10 dividido entre menos 2 y x nos da 5. Por lo tanto para el numerador tendremos punto crítico en el valor x igual a 5. Entonces vamos con el denominador x menos 2 lo igualamos a 0, despejamos x y nos da 2. Entonces tendremos punto crítico para el denominador en x igual a 2. Ahora debemos decidir si los puntos críticos van a tomarse o no como parte de la solución, es decir si van abiertos o van cerrados. Este es el símbolo para indicar que no se toma o que es abierto y este para indicar que es cerrado o que si se toma como parte de la solución. Veamos, los puntos críticos del denominador jamás se van a tomar, es decir que siempre van abiertos. ¿Por qué razón? Porque 2 no puede reemplazarse aquí, 2 no puede ser parte de la solución ya que volvería 0 el denominador de la fracción. Por lo tanto los puntos críticos que salen del denominador siempre llevarán este simbolito. Y los del numerador, en este caso el 5, únicamente se tomarán, llevarán este símbolo si la desigualdad trae signo mayor o igual o menor o igual. Como en este caso. Entonces, para esta situación el 5 sí se va a tomar. 5 puede tomarse porque si se reemplaza la x por el 5 arriba nos da 0 y aquí se está contemplando la posibilidad de que esto sea igual a 0. Por lo tanto el 5 sí se toma esta vez. Ahora vamos a realizar el análisis del signo de esta expresión, es decir de menos 2x más 10. Todo esto sobre x menos 2. Dice aquí que eso tiene que ser mayor o igual a 0. Es decir que esto debe ser positivo. Entonces vamos a hacer una recta donde marcamos los puntos críticos y empezamos a hacer el análisis en los diferentes intervalos.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Vamos a resolver esta desigualdad que se conoce como una desigualdad o inequaci\u00f3n racional."}, {"start": 10.0, "end": 19.0, "text": " Para comenzar debemos dejar 0 en este lado, es decir que debemos pasar el 3 al lado izquierdo."}, {"start": 19.0, "end": 30.0, "text": " Entonces nos queda x m\u00e1s 4 sobre x menos 2 menos 3 mayor o igual que 0."}, {"start": 30.0, "end": 38.0, "text": " A este 3 le podemos completar con denominador 1 para realizar esa resta de fraccionarios."}, {"start": 38.0, "end": 46.0, "text": " Escribimos el com\u00fan denominador entre x menos 2 y 1 que ser\u00eda x menos 2."}, {"start": 46.0, "end": 56.0, "text": " Decimos x menos 2 dividido entre x menos 2 nos da 1, 1 multiplicado por x m\u00e1s 4 nos da x m\u00e1s 4."}, {"start": 56.0, "end": 69.0, "text": " Menos x menos 2 dividido entre 1 nos da x menos 2 y eso multiplicado por 3 lo escribimos por aqu\u00ed."}, {"start": 69.0, "end": 73.0, "text": " Y esto mayor o igual que 0."}, {"start": 73.0, "end": 83.0, "text": " Nos queda entonces x m\u00e1s 4, aqu\u00ed hacemos distributiva con el menos 3, menos 3 por x nos queda menos 3x"}, {"start": 83.0, "end": 98.0, "text": " y menos 3 por menos 2 nos queda m\u00e1s 6, todo esto sobre x menos 2 y mayor o igual a 0."}, {"start": 98.0, "end": 107.0, "text": " En el numerador podemos operar t\u00e9rminos semejantes, por ejemplo x menos 3x nos da menos 2x,"}, {"start": 107.0, "end": 121.0, "text": " 4 m\u00e1s 6 nos da 10 positivo y todo esto lo dividimos entre x menos 2 y todo esto mayor o igual a 0."}, {"start": 121.0, "end": 131.0, "text": " Entonces hemos llevado el ejercicio al punto de dejar 0 en el lado derecho y en el lado izquierdo una sola fracci\u00f3n."}, {"start": 131.0, "end": 142.0, "text": " Vamos a encontrar a continuaci\u00f3n lo que se llaman los puntos cr\u00edticos de la desigualdad tanto del numerador como del denominador."}, {"start": 142.0, "end": 152.0, "text": " Los puntos cr\u00edticos de una desigualdad racional como esta que estamos trabajando ser\u00e1n aquellos valores de la variable, es decir de x,"}, {"start": 152.0, "end": 157.0, "text": " que vuelven 0 tanto el numerador como el denominador."}, {"start": 157.0, "end": 165.0, "text": " Entonces para encontrarlos igualamos a 0 cada componente de la fracci\u00f3n."}, {"start": 165.0, "end": 173.0, "text": " Entonces con el numerador lo igualamos a 0 y poco a poco despejamos la x, 10 pasa negativo al lado derecho,"}, {"start": 173.0, "end": 181.0, "text": " despejando x nos queda menos 10 dividido entre menos 2 y x nos da 5."}, {"start": 181.0, "end": 189.0, "text": " Por lo tanto para el numerador tendremos punto cr\u00edtico en el valor x igual a 5."}, {"start": 189.0, "end": 198.0, "text": " Entonces vamos con el denominador x menos 2 lo igualamos a 0, despejamos x y nos da 2."}, {"start": 198.0, "end": 205.0, "text": " Entonces tendremos punto cr\u00edtico para el denominador en x igual a 2."}, {"start": 205.0, "end": 218.0, "text": " Ahora debemos decidir si los puntos cr\u00edticos van a tomarse o no como parte de la soluci\u00f3n, es decir si van abiertos o van cerrados."}, {"start": 218.0, "end": 229.0, "text": " Este es el s\u00edmbolo para indicar que no se toma o que es abierto y este para indicar que es cerrado o que si se toma como parte de la soluci\u00f3n."}, {"start": 229.0, "end": 238.0, "text": " Veamos, los puntos cr\u00edticos del denominador jam\u00e1s se van a tomar, es decir que siempre van abiertos."}, {"start": 238.0, "end": 249.0, "text": " \u00bfPor qu\u00e9 raz\u00f3n? 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Entonces, para esta situaci\u00f3n el 5 s\u00ed se va a tomar."}, {"start": 275.0, "end": 285.0, "text": " 5 puede tomarse porque si se reemplaza la x por el 5 arriba nos da 0 y aqu\u00ed se est\u00e1 contemplando la posibilidad de que esto sea igual a 0."}, {"start": 285.0, "end": 290.0, "text": " Por lo tanto el 5 s\u00ed se toma esta vez."}, {"start": 290.0, "end": 301.0, "text": " Ahora vamos a realizar el an\u00e1lisis del signo de esta expresi\u00f3n, es decir de menos 2x m\u00e1s 10."}, {"start": 301.0, "end": 313.0, "text": " Todo esto sobre x menos 2. Dice aqu\u00ed que eso tiene que ser mayor o igual a 0. Es decir que esto debe ser positivo."}, {"start": 313.0, "end": 322.0, "text": " Entonces vamos a hacer una recta donde marcamos los puntos cr\u00edticos y empezamos a hacer el an\u00e1lisis en los diferentes intervalos."}]

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SISTEMA DE ECUACIONES 3×3 POR GAUSS-JORDAN (Parte 2)

#julioprofe continúa con la explicación del ejercicio del video anterior. Tema: #SistemasDeEcuacionesPorGauss → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHIZDUeWJQtdIB9-DmzDfZh REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Antes de continuar con la siguiente celda que es la 1-3, esta de aquí, podemos tomar este renglón 3 y simplificarlo dividiéndolo por 76. Eso hace que los números con los que vamos a trabajar en adelante sean un poco más pequeños. Entonces el renglón 3 lo dividimos entre 76 y el resultado va nuevamente en el renglón 3. Entonces 0, estos dos ceros divididos entre 76 seguirán siendo 0. Aquí 76 dividido entre 76 nos queda 1 y este número dividido entre 76 nos queda menos 1. Entonces vemos que obtenemos números más pequeños que nos van a facilitar el desarrollo de aquí en adelante. Ahora sí vamos a obtener el 0 en la celda 1-3. Este ya lo habíamos hecho. Entonces para la celda 1-3 que es esta de aquí, se recomienda trabajar con los renglones 1 y 3, es decir este y este. Miramos los números que tenemos, vemos que podemos multiplicar uno de ellos dos por menos 1 y sumarlo con el otro para que nos de el 0 que buscamos. Entonces por ejemplo multipliquemos este por menos 1, es decir menos el renglón 3 y le sumamos el renglón 1 y el resultado lo anotamos en el renglón número 1. Entonces tendremos lo siguiente, 0 por menos 1 sigue siendo 0, sumado con 2 será 2. 0 multiplicado por menos 1 sigue siendo 0, sumado con menos 1 sigue dando menos 1, 1 multiplicado por menos 1 nos da menos 1, menos 1 sumado con 1 nos da 0, aquí logramos el 0. Y menos 1 multiplicado por menos 1 nos da 1 positivo, que sumado con 2 nos da 3. Allí tenemos entonces el 0 que buscábamos en la celda 1-3. Preseguimos ahora con el 0 que va en la celda 2-3, es decir aquí. Para ello se recomienda trabajar con los renglones 2 y 3, es decir estos dos. Entonces miramos los elementos que tenemos, 7 y 1, vemos que conviene multiplicar este elemento por menos 7 y sumarlo con este para obtener el 0 que necesitamos aquí. Entonces la operación será la siguiente, multiplicar por menos 7 el renglón 3 y sumarle el renglón 2. Y el resultado anotarlo en el renglón número 2. Entonces veamos, menos 7 por 0 da 0, sumado con 0 da 0, 0 por menos 7 da 0, sumado con menos 5 da menos 5, 1 por menos 7 da menos 7, menos 7 sumado con 7 nos da 0, aquí logramos el objetivo. Y menos 1 multiplicado por menos 7 nos queda 7 positivo, 7 positivo sumado con menos 12 nos da menos 5. Y de esa manera hemos logrado el 0 en la celda 2-3. Finalmente buscamos el 0 que queda localizado en la celda 1-2, es decir aquí. Y para ello se recomienda trabajar con las filas o renglones 1 y 2, es decir estos de acá. Y miramos los elementos que tenemos, vemos que podemos multiplicar aquí por menos 5 para que se convierta en 5 positivo y de modo que al sumar con este elemento nos de el 0 que necesitamos. Entonces la instrucción será la siguiente, multiplicar por menos 5 el renglón 1 y ese sumarlo con el renglón 2. Y el resultado anotarlo en el renglón número 1. Esta es la fila destino. Entonces veamos, menos 5 por 2 da menos 10, sumado con 0 da menos 10, lo escribimos aquí. Menos 5 multiplicado por menos 1 da 5 positivo, 5 positivo sumado con menos 5 nos da 0, el que estamos buscando. Menos 5 por 0 da 0 sumado con 0 da 0, allí ya lo tenemos, y acá menos 5 por 3 da menos 15, menos 15 sumado con menos 5 nos da menos 20 y ese lo anotamos por aquí. Y ya hemos obtenido entonces el 0 que va en la celda 1-2. Podría haber obtenido los ceros que a mi juicio es lo más difícil, ya viene lo más sencillo que es conseguir 1 en la diagonal principal. Entonces por ejemplo para el renglón 1 hacemos la siguiente operación, renglón 1 lo dividimos entre menos 10 y el resultado va en el renglón 1 nuevamente. Entonces de esa manera, aquí nos da 1 positivo y acá nos da 2 positivo, dividiendo por menos 10. El renglón 2 lo dividimos entre menos 5 y el resultado lo anotamos nuevamente en el renglón 2. Entonces al dividir por menos 5 aquí nos da 1 y aquí también nos da 1. Y finalmente el renglón 3 ya está listo porque ya tenemos el 1 en la celda correspondiente. Vemos que ya tenemos 1 en la diagonal principal, ceros en el resto de celdas, por lo tanto hemos terminado la solución del sistema de ecuaciones. Esos números que nos quedan aquí serán la solución del sistema. 2 es el valor de la x, 1 es el valor de la y y menos 1 es el valor de la z. De esta manera hemos resuelto el sistema de ecuaciones lineales de 3x3 por el método de Gauss-Jordan.

[{"start": 0.0, "end": 11.540000000000001, "text": " Antes de continuar con la siguiente celda que es la 1-3, esta de aqu\u00ed, podemos tomar"}, {"start": 11.540000000000001, "end": 17.400000000000002, "text": " este rengl\u00f3n 3 y simplificarlo dividi\u00e9ndolo por 76."}, {"start": 17.400000000000002, "end": 23.56, "text": " Eso hace que los n\u00fameros con los que vamos a trabajar en adelante sean un poco m\u00e1s peque\u00f1os."}, {"start": 23.56, "end": 31.32, "text": " Entonces el rengl\u00f3n 3 lo dividimos entre 76 y el resultado va nuevamente en el rengl\u00f3n"}, {"start": 31.32, "end": 32.32, "text": " 3."}, {"start": 32.32, "end": 37.96, "text": " Entonces 0, estos dos ceros divididos entre 76 seguir\u00e1n siendo 0."}, {"start": 37.96, "end": 47.84, "text": " Aqu\u00ed 76 dividido entre 76 nos queda 1 y este n\u00famero dividido entre 76 nos queda menos"}, {"start": 47.84, "end": 48.84, "text": " 1."}, {"start": 48.84, "end": 56.040000000000006, "text": " Entonces vemos que obtenemos n\u00fameros m\u00e1s peque\u00f1os que nos van a facilitar el desarrollo"}, {"start": 56.040000000000006, "end": 58.32000000000001, "text": " de aqu\u00ed en adelante."}, {"start": 58.32000000000001, "end": 64.4, "text": " Ahora s\u00ed vamos a obtener el 0 en la celda 1-3."}, {"start": 64.4, "end": 65.96000000000001, "text": " Este ya lo hab\u00edamos hecho."}, {"start": 65.96000000000001, "end": 72.92, "text": " Entonces para la celda 1-3 que es esta de aqu\u00ed, se recomienda trabajar con los renglones"}, {"start": 72.92, "end": 75.96000000000001, "text": " 1 y 3, es decir este y este."}, {"start": 75.96, "end": 81.8, "text": " Miramos los n\u00fameros que tenemos, vemos que podemos multiplicar uno de ellos dos por"}, {"start": 81.8, "end": 86.39999999999999, "text": " menos 1 y sumarlo con el otro para que nos de el 0 que buscamos."}, {"start": 86.39999999999999, "end": 94.03999999999999, "text": " Entonces por ejemplo multipliquemos este por menos 1, es decir 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logramos"}, {"start": 198.64, "end": 200.4, "text": " el objetivo."}, {"start": 200.4, "end": 208.44, "text": " Y menos 1 multiplicado por menos 7 nos queda 7 positivo, 7 positivo sumado con menos 12"}, {"start": 208.44, "end": 212.32, "text": " nos da menos 5."}, {"start": 212.32, "end": 219.07999999999998, "text": " Y de esa manera hemos logrado el 0 en la celda 2-3."}, {"start": 219.07999999999998, "end": 225.92, "text": " Finalmente buscamos el 0 que queda localizado en la celda 1-2, es decir aqu\u00ed."}, {"start": 225.92, "end": 232.07999999999998, "text": " Y para ello se recomienda trabajar con las filas o renglones 1 y 2, es decir estos de"}, {"start": 232.07999999999998, "end": 233.07999999999998, "text": " ac\u00e1."}, {"start": 233.08, "end": 238.60000000000002, "text": " Y miramos los elementos que tenemos, vemos que podemos multiplicar aqu\u00ed por menos 5"}, {"start": 238.60000000000002, "end": 244.64000000000001, "text": " para que se convierta en 5 positivo y de modo que al sumar con este elemento nos de el 0"}, {"start": 244.64000000000001, "end": 246.08, "text": " que necesitamos."}, {"start": 246.08, "end": 254.36, "text": " Entonces la instrucci\u00f3n ser\u00e1 la siguiente, multiplicar por menos 5 el rengl\u00f3n 1 y ese"}, {"start": 254.36, "end": 257.8, "text": " sumarlo con el rengl\u00f3n 2."}, {"start": 257.8, "end": 262.88, "text": " Y el resultado anotarlo en el rengl\u00f3n n\u00famero 1."}, {"start": 262.88, "end": 265.08, "text": " Esta es la fila destino."}, {"start": 265.08, "end": 275.26, "text": " Entonces veamos, menos 5 por 2 da menos 10, sumado con 0 da menos 10, lo escribimos aqu\u00ed."}, {"start": 275.26, "end": 282.28, "text": " Menos 5 multiplicado por menos 1 da 5 positivo, 5 positivo sumado con menos 5 nos da 0, el"}, {"start": 282.28, "end": 285.32, "text": " que estamos buscando."}, {"start": 285.32, "end": 294.28, "text": " Menos 5 por 0 da 0 sumado con 0 da 0, all\u00ed ya lo tenemos, y ac\u00e1 menos 5 por 3 da 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rengl\u00f3n 2 lo dividimos entre menos 5 y el resultado lo anotamos nuevamente en el"}, {"start": 356.08, "end": 357.68, "text": " rengl\u00f3n 2."}, {"start": 357.68, "end": 365.68, "text": " Entonces al dividir por menos 5 aqu\u00ed nos da 1 y aqu\u00ed tambi\u00e9n nos da 1."}, {"start": 365.68, "end": 374.04, "text": " Y finalmente el rengl\u00f3n 3 ya est\u00e1 listo porque ya tenemos el 1 en la celda correspondiente."}, {"start": 374.04, "end": 381.68, "text": " Vemos que ya tenemos 1 en la diagonal principal, ceros en el resto de celdas, por lo tanto"}, {"start": 381.68, "end": 385.92, "text": " hemos terminado la soluci\u00f3n del sistema de ecuaciones."}, {"start": 385.92, "end": 391.0, "text": " Esos n\u00fameros que nos quedan aqu\u00ed ser\u00e1n la soluci\u00f3n del sistema."}, {"start": 391.0, "end": 399.48, "text": " 2 es el valor de la x, 1 es el valor de la y y menos 1 es el valor de la z."}, {"start": 399.48, "end": 405.88, "text": " De esta manera hemos resuelto el 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SISTEMA DE ECUACIONES 3×3 POR GAUSS-JORDAN (Parte 1)

#julioprofe explica cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3×3 por el Método de #GaussJordan (parte 1 de 2). Tema: #SistemasDeEcuacionesPorGauss → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHIZDUeWJQtdIB9-DmzDfZh REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este sistema de ecuaciones lineales de 3x3, es decir, tres ecuaciones con tres incógnitas, utilizando el método de Gauss-Jordan. Entonces, primero verificamos que las ecuaciones estén organizadas como en este caso. Vemos que primero aparecen los términos con la x, luego los términos con la letra y, después los términos con la z, y después del igual. En cada ecuación vemos los números o términos independientes. Comenzamos por armar lo que se llama la matriz aumentada. Es decir, tomamos los coeficientes de las letras. Por ejemplo, en la primera ecuación tendremos 2, menos 1, 1. Trazamos una línea vertical y anotamos el 2, el resultado de la primera ecuación. Pasamos a la segunda ecuación. Tenemos los coeficientes 3, 1, menos 2 y el 9 que está después del igual. Y por último, en la tercera ecuación tenemos menos 1, 2, 5 y después del igual el número menos 5. De esta manera tenemos entonces lo que se conoce como matriz aumentada. Se construye con los coeficientes de las letras. Podríamos colocarle aquí a qué letra corresponde cada uno de estos números. Y con la línea vertical a la derecha de ellas se escriben los resultados de las ecuaciones. A continuación, vamos a realizar la búsqueda de ceros en esta matriz de 3x3, es decir, la que está a la izquierda de la línea en las celdas diferentes a la diagonal principal. Es decir, lo que está por debajo de la diagonal principal y lo que está por encima debe quedar con ceros. El orden recomendado para encontrar los ceros es el siguiente. Comenzamos por esta celda, que es la celda 3, 1, que está en la fila 3, columna 1. Después la celda 2, 1. Después esta de aquí, que es la celda 3, 2. Luego pasamos acá arriba, esta celda, que es la 1, 3. Después esta, que es la celda 2, 3. Y por último esta de aquí, que es la celda 1, 2. En este orden vamos a obtener los ceros. Comenzamos entonces por buscar el 0 en la celda 3, 1. Se recomienda trabajar los renglones o filas que tienen estos dos numeritos. Es decir, el renglón 3 con el renglón 1. Entonces nos ingeniamos una operación entre estos dos numeritos de tal forma que al sumar nos den 0. Podríamos multiplicar esta celda por 2 y lo que nos dé sumarla con esta. Y el resultado colocarla en el renglón 3. Entonces la operación será la siguiente. Dos veces el renglón 3, lo vamos a sumar con el renglón 1. Y el resultado, es decir, la fila destino será el renglón 3. Entonces veamos, este elemento por 2 nos queda menos 2. Sumado con 2 nos da 0. Entonces lo podemos ahorrar y colocamos aquí el 0. Este por 2 nos queda 4. 4 sumado con menos 1 nos da 3. Lo borramos, escribimos el 3. Este multiplicado por 2 nos da 10. 10 sumado con 1 nos da 11. Lo escribimos y este elemento multiplicado por 2 nos da menos 10. Menos 10 sumado con 2 nos da menos 8. Hemos obtenido entonces el primer 0, es decir, el que corresponde a la celda 3,1. A continuación vamos a buscar el 0 que va en la celda 2,1, es decir, aquí. Y se recomienda trabajar el renglón 2 con el renglón 1, es decir, estos dos de acá. Entonces nos vamos a inventar una operación entre 3 y 2, entre estos dos renglones, de tal forma que al sumar nos den 0. Podría ser multiplicar este renglón por menos 2, es decir, menos 2 veces el renglón 2, y sumarle 3 veces este. 3 veces el renglón 1. Y el resultado irá en el renglón 2, es decir, la fila destino de esa operación será el renglón 2. Como aquí intervienen dos renglones, es decir, van a ser afectados por números distintos, entonces vamos a multiplicar este renglón por menos 2 y vamos a anotarlo por acá aparte. Entonces 3 por menos 2 nos da menos 6, 1 por menos 2 nos da menos 2, menos 2 por menos 2 nos queda 4, y 9 por menos 2 nos queda menos 18. Trazamos aquí una mini línea para separar estos números del menos 18. Y ahora estos elementos del renglón 1 irán multiplicados por 3. Entonces 3 por 2 nos da 6, 3 por menos 1 nos da menos 3, 3 por 1, 3, y 3 por 2, 6. Como decía, como los dos renglones van a ser multiplicados por números que son diferentes de 1, vale la pena hacer esta operación aparte para no ir a confundirnos. Entonces realizamos la suma de estos números, lo que dice aquí, y el resultado irá a parar al renglón 2. Entonces veamos, 6 sumado con menos 6 nos da 0, menos 3 sumado con menos 2 nos da menos 5, 3 sumado con 4 nos da 7, y 6 sumado con menos 18 nos da menos 12. De esa manera hemos obtenido el segundo 0, el que corresponde a la celda 2-1. El siguiente 0 que debemos hallar es el de la celda 3-2, es decir, esta de aquí. Para ello se recomienda trabajar con los renglones 3 y 2, es decir, estos de tal manera que no se nos dañen los ceros que ya obtuvimos en los pasos anteriores. Entonces miramos que operación podemos ingeniarnos entre estos dos renglones, de acuerdo con los elementos que tenemos vemos que podemos multiplicar este por 5, 5 veces el renglón 3, y sumarle 3 veces el renglón 2. De esa manera obtenemos aquí, menos 15, y aquí 15, de tal forma que al sumar nos de 0. El resultado de esta operación entre esos dos renglones lo vamos a escribir en el renglón 3, esta será la fila o el renglón destino. Entonces vamos a escribir por aquí los resultados de multiplicar por 3 el renglón 3, y por 3 el renglón 2, para después hacer la suma. Estos elementos multiplicados por 5 nos quedan 0 por 5, 0, 3 por 5, 15, 11 por 5, 55, y menos 8 por 5 es menos 40. Ahora este renglón lo vamos a multiplicar por 3, entonces 3 por 0, 0, 3 por menos 5 nos da menos 15, 3 por 7, 21, y 3 por menos 12, menos 36. Ahora sumamos en forma vertical y los resultados los vamos a escribir en el renglón número 3. Entonces veamos, 0 más 0, 0, ya lo tenemos, menos 15 más 15 nos da 0, lo escribimos por acá, 21 más 55, eso nos da 76, y menos 36 sumado con menos 40 nos queda menos 76. De esta manera hemos obtenido el 0 en la celda 3, 2.

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INTEGRAL DEFINIDA - Ejercicio 17

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Vamos a hacer esta integral definida usando el método de sustitución. Si analizamos la integral vemos que no es posible hacerla de forma directa. Por ello recurrimos a este método de integración. Vamos a tomar como la letra w a la expresión que tenemos dentro de la raíz, es decir t cuadrado más 16. Esto es lo que vamos a sustituir. Si derivamos w con respecto a t tenemos que es igual a 2t, la derivada de t cuadrado más 16. Y de aquí vamos a despejar de t. El despeje de dt nos queda dw sobre 2t. Tenemos entonces el despeje de dt. Y vamos también a actualizar los límites de integración. Si observamos la integral original trae valores 0 y 3 que corresponden a la letra t. Vamos a cambiarlos por valores de la nueva letra que es dw. Entonces vamos a actualizar los límites de integración. Vamos con el superior. Si t vale 3 veamos cuanto vale dw. Traemos el 3 aquí, resolvemos, 3 al cuadrado es 9, 9 más 16 nos da 25. Y hacemos lo mismo con el límite inferior, con t igual a 0. Veamos cuanto vale dw en ese caso. Traemos el 0 aquí, 0 al cuadrado nos da 0, 0 más 16 nos queda 16. Entonces vamos a reescribir o a reconstruir nuestra integral toda en términos de la nueva variable que es dw. Nos va a quedar entonces así. Ya no tenemos 0 sino 16 porque como decíamos ahora toda es en términos de dw. Ya no tenemos 3 sino su equivalente que es 25. Valores de dw. Veamos el integrando como queda. Este t lo dejamos quieto. Lo que tenemos aquí debajo quedaría como la raíz cuadrada de dw. Esta expresión se cambia por este dw. Y esto multiplicado por dt. Aquí tenemos dt que sería dw. Todo esto sobre 2t. Vamos a continuarlo por acá. Veamos que podemos simplificar la variable t. Y esto es bueno que suceda porque como decíamos nuestra integral debe quedar toda en términos de dw. No debe quedar la t. Podemos sacar este 2 de la integral. Saldría como 1 medio porque el 2 está en el denominador. Y nos quedaría la integral de 16 a 25 de esta raíz cuadrada de dw. Que subiéndola nos queda como dw a la menos 1 medio. Y esto acompañado de su respectivo diferencial dw. Aquí ya tenemos una integral básica. Vamos a resolverla. Nos quedaría 1 medio por... Abrimos una llave para resolver esta integral. La integral de dw a la menos 1 medio sería dw a la 1 medio sobre 1 medio. Recordemos que a menos 1 medio se le suma 1 y eso nos da este resultado. Y esto lo vamos a evaluar entre 16 y 25. Que son los límites de integración. Aquí daremos cumplimiento al teorema fundamental del cálculo. Bien, lo continuamos por acá. Aquí podemos subir este 2. Nos quedaría 1 medio por... Sube el 2. Dwe a la 1 medio lo podríamos escribir como la raíz cuadrada de dw. Abajo quedaría denominador 1. Que podemos omitir. Y esto evaluado entre 16 y 25. Para mayor facilidad de lo que vamos a hacer en la evaluación podríamos simplificar estos dos números. Este 2 se nos va con este. Por eso que estamos multiplicando. Y simplemente vamos a evaluar la raíz cuadrada de dw entre los valores 16 y 25. Veamos. Entra primero el 25. Nos queda la raíz cuadrada de 25 menos... Ahora entra en 16. Raíz cuadrada de 16. Raíz cuadrada de 25 será 5 menos la raíz cuadrada de 16 que será 4. Y esta resta nos da 1. Por lo tanto el resultado de esta integral es 1. Y allí terminamos el ejercicio.

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Este t lo dejamos quieto."}, {"start": 146.0, "end": 151.0, "text": " Lo que tenemos aqu\u00ed debajo quedar\u00eda como la ra\u00edz cuadrada de dw."}, {"start": 151.0, "end": 156.0, "text": " Esta expresi\u00f3n se cambia por este dw."}, {"start": 156.0, "end": 163.0, "text": " Y esto multiplicado por dt. Aqu\u00ed tenemos dt que ser\u00eda dw."}, {"start": 163.0, "end": 169.0, "text": " Todo esto sobre 2t."}, {"start": 169.0, "end": 174.0, "text": " Vamos a continuarlo por ac\u00e1."}, {"start": 174.0, "end": 186.0, "text": " Veamos que podemos simplificar la variable t. Y esto es bueno que suceda porque como dec\u00edamos nuestra integral debe quedar toda en t\u00e9rminos de dw."}, {"start": 186.0, "end": 188.0, "text": " No debe quedar la t."}, {"start": 188.0, "end": 191.0, "text": " Podemos sacar este 2 de la integral."}, {"start": 191.0, "end": 205.0, "text": " Saldr\u00eda como 1 medio porque el 2 est\u00e1 en el denominador. Y nos quedar\u00eda la integral de 16 a 25 de esta ra\u00edz cuadrada de dw."}, {"start": 205.0, "end": 210.0, "text": " Que subi\u00e9ndola nos queda como dw a la menos 1 medio."}, {"start": 210.0, "end": 215.0, "text": " Y esto acompa\u00f1ado de su respectivo diferencial dw."}, {"start": 215.0, "end": 221.0, "text": " Aqu\u00ed ya tenemos una integral b\u00e1sica. Vamos a resolverla. Nos quedar\u00eda 1 medio por..."}, {"start": 221.0, "end": 225.0, "text": " Abrimos una llave para resolver esta integral."}, {"start": 225.0, "end": 234.0, "text": " La integral de dw a la menos 1 medio ser\u00eda dw a la 1 medio sobre 1 medio."}, {"start": 234.0, "end": 240.0, "text": " Recordemos que a menos 1 medio se le suma 1 y eso nos da este resultado."}, {"start": 240.0, "end": 245.0, "text": " Y esto lo vamos a evaluar entre 16 y 25."}, {"start": 245.0, "end": 248.0, "text": " Que son los l\u00edmites de integraci\u00f3n."}, {"start": 248.0, "end": 252.0, "text": " Aqu\u00ed daremos cumplimiento al teorema fundamental del c\u00e1lculo."}, {"start": 252.0, "end": 256.0, "text": " Bien, lo continuamos por ac\u00e1."}, {"start": 256.0, "end": 261.0, "text": " Aqu\u00ed podemos subir este 2. Nos quedar\u00eda 1 medio por..."}, {"start": 261.0, "end": 264.0, "text": " Sube el 2."}, {"start": 264.0, "end": 271.0, "text": " Dwe a la 1 medio lo podr\u00edamos escribir como la ra\u00edz cuadrada de dw. Abajo quedar\u00eda denominador 1."}, {"start": 271.0, "end": 279.0, "text": " Que podemos omitir. Y esto evaluado entre 16 y 25."}, {"start": 279.0, "end": 285.0, "text": " Para mayor facilidad de lo que vamos a hacer en la evaluaci\u00f3n podr\u00edamos simplificar estos dos n\u00fameros."}, {"start": 285.0, "end": 289.0, "text": " Este 2 se nos va con este. Por eso que estamos multiplicando."}, {"start": 289.0, "end": 298.0, "text": " Y simplemente vamos a evaluar la ra\u00edz cuadrada de dw entre los valores 16 y 25."}, {"start": 298.0, "end": 302.0, "text": " Veamos. Entra primero el 25."}, {"start": 302.0, "end": 307.0, "text": " Nos queda la ra\u00edz cuadrada de 25 menos..."}, {"start": 307.0, "end": 312.0, "text": " Ahora entra en 16. Ra\u00edz cuadrada de 16."}, {"start": 312.0, "end": 320.0, "text": " Ra\u00edz cuadrada de 25 ser\u00e1 5 menos la ra\u00edz cuadrada de 16 que ser\u00e1 4."}, {"start": 320.0, "end": 329.0, "text": " Y esta resta nos da 1. Por lo tanto el resultado de esta integral es 1."}, {"start": 329.0, "end": 343.0, "text": " Y all\u00ed terminamos el ejercicio."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=HqVsHjxKJmo

VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE REVOLUCIÓN USANDO DISCOS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo determinar el volumen de un sólido de revolución, usando el Método de los Discos. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Allar el volumen del sólido que resulta de girar alrededor del eje X la región limitada por la curva Y igual a raíz cuadrada de X y las rectas Y igual a 0 y X igual a 4. Bien, para comenzar vamos a dibujar en el plano cartesiano las líneas que nos da el problema. Aquí en color rojo podemos apreciar la gráfica Y igual a raíz cuadrada de X. En color azul podemos apreciar la recta X igual a 4 y el eje X sería la recta Y igual a 0. Esas tres líneas nos forman la región que vamos a pintar con este color verde. Y esta región es la que va a presentar giro con respecto al eje X. Va a presentar la rotación con respecto al eje X generando un sólido de revolución. Aquí podemos apreciar que la recta X igual a 4 y la curva Y igual a raíz cuadrada de X se cortan en este punto de coordenada 4,2. A continuación vamos a hacer el reflejo de esta figura acá por debajo del eje X. Aquí tenemos el reflejo de la región por debajo del eje X y entonces esto que está pintado en color verde representa un corte del sólido. El sólido tendrá una forma parecida a esto. Será un sólido completamente macizo. Allí está el sólido y por aquí tendremos el eje X, es decir el eje de giro. Cuando esta región gira alrededor del eje X conforma este sólido llamado sólido de revolución. Vamos a imaginar que este sólido está conformado por una serie de rebanadas una tras otra que empieza la primera en cero, es decir aquí. Y termina aquí en 4, es decir en este valor. Si imaginamos que esto está formado por muchas rebanadas vamos a considerar una de ellas. Una rebanada que entonces es la que vamos a analizar. Como una especie de disco, podemos ver que es un disco sólido y entonces vamos a dibujarlo como una franja vertical que corta al eje X de manera perpendicular. Allí tenemos la franja dibujada. Esta franja como decíamos corresponde al corte del disco y es totalmente maciza. Esa franja tendrá un espesor muy pequeño, un grosor que vamos a llamar de X. Y se llama de X porque se refiere a este pedacito que es una longitud muy pequeña que se mide en la dirección del eje de las X. Vamos a sacar entonces acá la forma del disco correspondiente a esta franja. Aquí tenemos el disco cuyo volumen se llamará de B, es decir el diferencial del volumen de todo el sólido que estamos calculando. Este disco geométricamente corresponde a un cilindro. Y entonces para un cilindro necesitamos conocer cuál es su altura o su espesor y cuál es su radio. Esta distancia que tenemos aquí. Entonces altura será de X y el radio será la distancia que hay desde el centro hasta este punto y que corresponde a la distancia que hay desde este punto hasta este. Si nosotros nos paramos aquí en una abscisa X cualquiera comprendida entre 0 y 4 vemos que la altura es una distancia Y, es decir ese será el radio, una distancia Y que está controlada por esta curva. Y la curva se llama raíz cuadrada de X. Entonces ya tenemos el radio y la altura para poder encontrar el volumen de este disco que corresponde a un cilindro. Repetimos, X tomará valores entre 0 y 4. Vamos entonces a obtener una expresión para Db. Db será el volumen del cilindro. Geométricamente el volumen de un cilindro se calcula con la fórmula pi radio al cuadrado por la altura. Vamos entonces a reemplazar cada componente. El radio dijimos que es raíz cuadrada de X. Lo sustituimos, esto va al cuadrado y es un multiplicado por H que es de X. Resolvemos, por aquí nos queda X acompañado del diferencial de X. Vamos a integrar a los dos lados. Colocamos el símbolo de integral. Y en el lado derecho vamos a colocar los límites de integración para la variable X. Decíamos que X toma valores entre 0 y 4. Es decir, las infinitas rebanaditas o los infinitos discos que forman el sólido, el primero se encuentra en 0 y el último se encuentra en 4. Entonces, integramos al lado izquierdo integral Db, será b. Y en el lado derecho podemos sacarla con sante pi. Y nos quedaría la integral definida desde 0 hasta 4 de X con su respectivo dx. Continuamos, volumen será igual a pi por... Resolvemos esta integral, la integral de X será X al cuadrado sobre 2. Y esto va a estar evaluado entre 0 y 4. Vamos a aplicar el teorema fundamental del cálculo. Este nos queda volumen igual a pi que multiplica a lo siguiente. Si entra al 4, tenemos 4 al cuadrado sobre 2, menos si entra al 0 tendremos 0 al cuadrado sobre 2. Esta parte nos da 0, la podemos eliminar y resolvemos aquí. 4 al cuadrado será 16, 16 sobre 2 será 8. Todo esto nos da 8. Y 8 multiplicado por pi será 8 pi. Como este es el volumen del sólido, le escribimos unidades cúbicas. De esta manera entonces hemos encontrado el volumen de este sólido de revolución.

[{"start": 0.0, "end": 9.0, "text": " Allar el volumen del s\u00f3lido que resulta de girar alrededor del eje X la regi\u00f3n limitada por la curva"}, {"start": 9.0, "end": 18.0, "text": " Y igual a ra\u00edz cuadrada de X y las rectas Y igual a 0 y X igual a 4."}, {"start": 18.0, "end": 26.0, "text": " Bien, para comenzar vamos a dibujar en el plano cartesiano las l\u00edneas que nos da el problema."}, {"start": 26.0, "end": 35.0, "text": " Aqu\u00ed en color rojo podemos apreciar la gr\u00e1fica Y igual a ra\u00edz cuadrada de X."}, {"start": 35.0, "end": 48.0, "text": " En color azul podemos apreciar la recta X igual a 4 y el eje X ser\u00eda la recta Y igual a 0."}, {"start": 48.0, "end": 57.0, "text": " Esas tres l\u00edneas nos forman la regi\u00f3n que vamos a pintar con este color verde."}, {"start": 57.0, "end": 67.0, "text": " Y esta regi\u00f3n es la que va a presentar giro con respecto al eje X."}, {"start": 67.0, "end": 74.0, "text": " Va a presentar la rotaci\u00f3n con respecto al eje X generando un s\u00f3lido de revoluci\u00f3n."}, {"start": 74.0, "end": 87.0, "text": " Aqu\u00ed podemos apreciar que la recta X igual a 4 y la curva Y igual a ra\u00edz cuadrada de X se cortan en este punto de coordenada 4,2."}, {"start": 87.0, "end": 94.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a hacer el reflejo de esta figura ac\u00e1 por debajo del eje X."}, {"start": 94.0, "end": 107.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos el reflejo de la regi\u00f3n por debajo del eje X y entonces esto que est\u00e1 pintado en color verde representa un corte del s\u00f3lido."}, {"start": 107.0, "end": 121.0, "text": " El s\u00f3lido tendr\u00e1 una forma parecida a esto. Ser\u00e1 un s\u00f3lido completamente macizo."}, {"start": 121.0, "end": 130.0, "text": " All\u00ed est\u00e1 el s\u00f3lido y por aqu\u00ed tendremos el eje X, es decir el eje de giro."}, {"start": 130.0, "end": 137.0, "text": " Cuando esta regi\u00f3n gira alrededor del eje X conforma este s\u00f3lido llamado s\u00f3lido de revoluci\u00f3n."}, {"start": 137.0, "end": 150.0, "text": " Vamos a imaginar que este s\u00f3lido est\u00e1 conformado por una serie de rebanadas una tras otra que empieza la primera en cero, es decir aqu\u00ed."}, {"start": 150.0, "end": 156.0, "text": " Y termina aqu\u00ed en 4, es decir en este valor."}, {"start": 156.0, "end": 163.0, "text": " Si imaginamos que esto est\u00e1 formado por muchas rebanadas vamos a considerar una de ellas."}, {"start": 163.0, "end": 169.0, "text": " Una rebanada que entonces es la que vamos a analizar."}, {"start": 169.0, "end": 183.0, "text": " Como una especie de disco, podemos ver que es un disco s\u00f3lido y entonces vamos a dibujarlo como una franja vertical que corta al eje X de manera perpendicular."}, {"start": 183.0, "end": 196.0, "text": " All\u00ed tenemos la franja dibujada. Esta franja como dec\u00edamos corresponde al corte del disco y es totalmente maciza."}, {"start": 196.0, "end": 205.0, "text": " Esa franja tendr\u00e1 un espesor muy peque\u00f1o, un grosor que vamos a llamar de X."}, {"start": 205.0, "end": 215.0, "text": " Y se llama de X porque se refiere a este pedacito que es una longitud muy peque\u00f1a que se mide en la direcci\u00f3n del eje de las X."}, {"start": 215.0, "end": 222.0, "text": " Vamos a sacar entonces ac\u00e1 la forma del disco correspondiente a esta franja."}, {"start": 222.0, "end": 236.0, "text": " Aqu\u00ed tenemos el disco cuyo volumen se llamar\u00e1 de B, es decir el diferencial del volumen de todo el s\u00f3lido que estamos calculando."}, {"start": 236.0, "end": 240.0, "text": " Este disco geom\u00e9tricamente corresponde a un cilindro."}, {"start": 240.0, "end": 253.0, "text": " Y entonces para un cilindro necesitamos conocer cu\u00e1l es su altura o su espesor y cu\u00e1l es su radio."}, {"start": 253.0, "end": 257.0, "text": " Esta distancia que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 257.0, "end": 272.0, "text": " Entonces altura ser\u00e1 de X y el radio ser\u00e1 la distancia que hay desde el centro hasta este punto y que corresponde a la distancia que hay desde este punto hasta este."}, {"start": 272.0, "end": 290.0, "text": " Si nosotros nos paramos aqu\u00ed en una abscisa X cualquiera comprendida entre 0 y 4 vemos que la altura es una distancia Y, es decir ese ser\u00e1 el radio, una distancia Y que est\u00e1 controlada por esta curva."}, {"start": 290.0, "end": 294.0, "text": " Y la curva se llama ra\u00edz cuadrada de X."}, {"start": 294.0, "end": 303.0, "text": " Entonces ya tenemos el radio y la altura para poder encontrar el volumen de este disco que corresponde a un cilindro."}, {"start": 303.0, "end": 308.0, "text": " Repetimos, X tomar\u00e1 valores entre 0 y 4."}, {"start": 308.0, "end": 312.0, "text": " Vamos entonces a obtener una expresi\u00f3n para Db."}, {"start": 312.0, "end": 315.0, "text": " Db ser\u00e1 el volumen del cilindro."}, {"start": 315.0, "end": 324.0, "text": " Geom\u00e9tricamente el volumen de un cilindro se calcula con la f\u00f3rmula pi radio al cuadrado por la altura."}, {"start": 324.0, "end": 328.0, "text": " Vamos entonces a reemplazar cada componente."}, {"start": 328.0, "end": 332.0, "text": " El radio dijimos que es ra\u00edz cuadrada de X."}, {"start": 332.0, "end": 341.0, "text": " Lo sustituimos, esto va al cuadrado y es un multiplicado por H que es de X."}, {"start": 341.0, "end": 349.0, "text": " Resolvemos, por aqu\u00ed nos queda X acompa\u00f1ado del diferencial de X."}, {"start": 349.0, "end": 351.0, "text": " Vamos a integrar a los dos lados."}, {"start": 351.0, "end": 357.0, "text": " Colocamos el s\u00edmbolo de integral."}, {"start": 357.0, "end": 363.0, "text": " Y en el lado derecho vamos a colocar los l\u00edmites de integraci\u00f3n para la variable X."}, {"start": 363.0, "end": 367.0, "text": " Dec\u00edamos que X toma valores entre 0 y 4."}, {"start": 367.0, "end": 374.0, "text": " Es decir, las infinitas rebanaditas o los infinitos discos que forman el s\u00f3lido,"}, {"start": 374.0, "end": 379.0, "text": " el primero se encuentra en 0 y el \u00faltimo se encuentra en 4."}, {"start": 379.0, "end": 385.0, "text": " Entonces, integramos al lado izquierdo integral Db, ser\u00e1 b."}, {"start": 385.0, "end": 389.0, "text": " Y en el lado derecho podemos sacarla con sante pi."}, {"start": 389.0, "end": 397.0, "text": " Y nos quedar\u00eda la integral definida desde 0 hasta 4 de X con su respectivo dx."}, {"start": 397.0, "end": 402.0, "text": " Continuamos, volumen ser\u00e1 igual a pi por..."}, {"start": 402.0, "end": 408.0, "text": " Resolvemos esta integral, la integral de X ser\u00e1 X al cuadrado sobre 2."}, {"start": 408.0, "end": 413.0, "text": " Y esto va a estar evaluado entre 0 y 4."}, {"start": 413.0, "end": 416.0, "text": " Vamos a aplicar el teorema fundamental del c\u00e1lculo."}, {"start": 416.0, "end": 426.0, "text": " Este nos queda volumen igual a pi que multiplica a lo siguiente."}, {"start": 426.0, "end": 437.0, "text": " Si entra al 4, tenemos 4 al cuadrado sobre 2, menos si entra al 0 tendremos 0 al cuadrado sobre 2."}, {"start": 437.0, "end": 444.0, "text": " Esta parte nos da 0, la podemos eliminar y resolvemos aqu\u00ed."}, {"start": 444.0, "end": 449.0, "text": " 4 al cuadrado ser\u00e1 16, 16 sobre 2 ser\u00e1 8."}, {"start": 449.0, "end": 454.0, "text": " Todo esto nos da 8. Y 8 multiplicado por pi ser\u00e1 8 pi."}, {"start": 454.0, "end": 460.0, "text": " Como este es el volumen del s\u00f3lido, le escribimos unidades c\u00fabicas."}, {"start": 460.0, "end": 475.0, "text": " De esta manera entonces hemos encontrado el volumen de este s\u00f3lido de revoluci\u00f3n."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=7eCKIMYzfCg

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS (Parte 2 de 2)

#julioprofe explica cómo sumar y restar fracciones de distinto denominador (heterogéneas). Tema: #FraccionesPrimaria → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHG3SKKJupxT7LtFioJ62cR REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Para terminar, miremos esta situación un poco más compleja. Vemos suma y resta de fracciones heterogeneas, todas con diferente denominador. Entonces, vamos a buscar el mínimo común múltiplo de 6, de 8 y de 12. Entonces, miremos, saquemos los múltiplos del 6. 6x1 es 6, 6x2 es 12, 6x3 es 18, 6x4 es 24, 6x5 es 30, etc. Múltiplos del 8, sería 8x1 es 8, 8x2 es 16, 8x3 es 24, 8x4 es 32, 8x5 es 40, múltiplos del 12, tenemos 12x1 es 12, 12x2 es 24, 12x3 es 36, 12x4 es 48. Y así sucesivamente, ya podemos apreciar un número que se repite en los tres conjuntos, que es el número 24. Entonces, es el número más pequeño que logra contener exactamente al 6, al 8 y al 12. Entonces, el mínimo común múltiplo de 6, 8 y 12, sería el 24. Entonces, vamos a convertir esas fracciones en fracciones homogéneas, todas con denominador 24. Entonces, vamos a utilizar la amplificación. Hacemos un poco más larga la línea de cada fracción, para multiplicar por los números apropiados, de tal forma que en los denominadores nos quede el 24. Entonces, miremos 6 multiplicado por qué número nos da 24, revisamos la tabla del 6 y encontramos que es el 4. Entonces, multiplicamos por 4 arriba y abajo. 8 multiplicado por qué número nos da 24, revisamos la tabla del 8 y nos da el 3. Multiplicamos por 3 arriba y abajo. 12 multiplicado por qué número nos da 24, revisamos la tabla del 12 y encontramos que es el 2. Entonces, multiplicamos por 2 arriba y abajo. Resolvemos. Acá nos queda 5 por 4, son 20, 6 por 4, 24, más 13 por 3 nos da 39, 8 por 3 es 24, menos 5 por 2 es 10, 12 por 2 es 24. Vemos que ya tenemos fracciones homogéneas, todas con igual denominador. Entonces, dejamos ese denominador, dejamos el 24 y efectuamos la operación de los numeradores. Resolviendo la operación de arriba, 20 más 39 nos da 59, menos 10 nos da 49, nos queda 49, 24 abos. Revisamos si esta fracción se puede simplificar. Vemos que no es posible, por lo tanto es una fracción irreducible, pero es una fracción impropia porque el numerador es mayor que el denominador. Por lo tanto, efectuando la división, podemos llevarla a número mixto. Separamos dos cifras, el 24 en el 49 cabe dos veces, 2 por 24 nos da 48, restamos y la resta nos da 1. Por lo tanto, el número mixto para esta fracción sería 2 enteros, el cociente forma el número grande, el residuo va en el numerador y el divisor va en el denominador. 2 enteros y un 24 abo sería el número mixto equivalente a esta fracción impropia que es la respuesta al ejercicio.

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SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS (Parte 1 de 2)

#julioprofe explica cómo sumar y restar fracciones de distinto denominador (heterogéneas). Tema: #FraccionesPrimaria → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHG3SKKJupxT7LtFioJ62cR REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Vamos a mirar algunos ejemplos de suma y resta de fracciones heterogéneas, es decir, fracciones que tienen diferente denominador. Comencemos con la operación 1 tercio más 1 sexto. Vemos dos fracciones con denominadores diferentes, entonces son heterogéneas. Lo que necesitamos es convertirlas en homogéneas, es decir, en fracciones con igual denominador, para que se facilite la suma. Entonces vamos a buscar un número que sea común al 3 y al 6, es decir, lo que se llama el común denominador. Exactamente lo que buscamos es el mínimo común múltiplo de 3 y 6. Es lo ideal, buscar el número más pequeño que contenga al 3 y al 6 de manera exacta. Entonces veamos, los múltiplos de 3, el conjunto de múltiplos de 3, será 3 por 1, 3, 3 por 2, 6, 3 por 3, 9, 3 por 4, 12, etc. Es un conjunto infinito y los múltiplos del 6 serán 6 por 1, 6, 6 por 2, 12, 6 por 3, 18, etc. También es un conjunto infinito. Y allí podemos observar un número que está repetido en los dos conjuntos que es el 6. Y es el número más pequeño que se repite. También vemos que el 12 se repite, pero nos interesa el menor, el número más pequeño. Y ese será entonces el mínimo común múltiplo, es decir, el 6. Entonces vamos a hacer lo siguiente. Vamos a convertir ambas fracciones en fracciones con denominador 6. Como vemos, esta fracción ya lo tiene. Es decir, que esta fracción no necesita ningún cambio. A la que debemos transformar es esta, a un tercio. Y eso lo vamos a conseguir mediante la amplificación o también conocida como complificación de fracciones. Que consiste en multiplicar arriba y abajo por un mismo número. En este caso debemos buscar un número que multiplicado por 3 nos de 6. Ese número es el 2. Entonces multiplicamos también arriba por 2. Conservamos la fracción 1 sexto igual. Esa no cambia. Entonces desarrollamos aquí la operación. Arriba 1 por 2 nos da 2. Abajo nos da 3 por 2 que es 6. Y esto sumado con 1 sexto. Aquí ya tenemos fracciones homogéneas. Por lo tanto procedemos como se suman dichas fracciones. Dejando el mismo denominador y haciendo la suma, en este caso, de los numeradores. 2 más 1 nos da 3. Nos queda 3 sextos. Y es una fracción que se puede simplificar. 3 y 6 son números divisibles por 3. Entonces vamos a realizar la simplificación. Dividimos por 3 arriba, por 3 abajo. Y esto nos queda 1 arriba y 2 abajo. El resultado será entonces un medio. Es una fracción irreducible porque no se puede simplificar más. También es una fracción propia. Porque el numerador es menor que el denominador. Por lo tanto no se puede transformar en número mixto. Miremos esta resta de fracciones heterogéneas con distinto denominador. Entonces necesitamos buscar el mínimo común múltiplo de 4 y 5. Para obtener un común denominador. Entonces veamos. Mínimo común múltiplo de 4 y 5. Debemos sacar los múltiplos de 4 y los múltiplos de 5. Los múltiplos de 4 son 4 por 1, 4. 4 por 2, 8. 4 por 3, 12. 4 por 4, 16. 4 por 5, 20. 4 por 6, 24. Etcétera. Y los múltiplos del 5 son. 5 por 1, 5. 5 por 2, 10. 5 por 3, 15. 5 por 4, 20. Etcétera, etcétera, etcétera. Y allí podemos observar que ya aparece un número común. Que es el 20. Entonces 20 será el número más pequeño que logra contener exactamente al 4 y al 5. O sea que 20 es el mínimo común múltiplo de 4 y 5. Hay también un truquito que podemos utilizar. Si nosotros mentalmente o aparte hacemos el máximo común divisor de 4 y 5. Es decir el mcd. Vemos que nos da 1. Cuando el mcd de dos números es 1. Entonces su mcm, su mínimo común múltiplo. Es el resultado de multiplicarlos. 4 por 5 nos da 20. Entonces es un truco que nos permite de pronto acortar camino. Bien, entonces vamos a convertir ambas fracciones en fracciones con denominador 20. Es decir en fracciones homogéneas. Entonces la primera fracción vamos a extenderle la línea un poco. Y a la segunda también. Y vamos a determinar por qué número hay que multiplicar esta primera fracción. Para que abajo nos quede denominador 20. Entonces nos preguntamos 4 multiplicado por qué número nos da 20. Ese número es el 5. Entonces debemos multiplicar por 5 arriba y abajo. Recordemos que esta es la amplificación o complificación de una fracción. Aquí vamos a hacer lo mismo. Buscamos 5 multiplicado por qué número nos da 20. Sería el 4. Entonces multiplicamos por 4 arriba y abajo. Resolvemos. Aquí 3 por 5 nos da 15. Acá 4 por 5 nos da 20. Menos la siguiente fracción. 3 por 4 nos da 12. Y abajo 5 por 4 nos da 20. Vamos a seguirla por acá. Y entonces tenemos ya una resta de fracciones homogéneas. Es decir con igual denominador. Conservamos entonces el denominador que es el 20. Y arriba nos queda la operación 15 menos 12. Esto nos da 3. Abajo el 20. Y la fracción es 3 veinteados. Revisamos si la fracción se puede simplificar. Vemos que no. No hay posibilidad de dividir arriba y abajo por un mismo número. Para conseguir números más pequeños. Por lo tanto es una fracción irreducible. Y esta sería la respuesta.

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"text": " 5 por 2, 10."}, {"start": 272.0, "end": 274.0, "text": " 5 por 3, 15."}, {"start": 274.0, "end": 276.0, "text": " 5 por 4, 20."}, {"start": 276.0, "end": 278.0, "text": " Etc\u00e9tera, etc\u00e9tera, etc\u00e9tera."}, {"start": 278.0, "end": 283.0, "text": " Y all\u00ed podemos observar que ya aparece un n\u00famero com\u00fan."}, {"start": 283.0, "end": 285.0, "text": " Que es el 20."}, {"start": 285.0, "end": 293.0, "text": " Entonces 20 ser\u00e1 el n\u00famero m\u00e1s peque\u00f1o que logra contener exactamente al 4 y al 5."}, {"start": 293.0, "end": 299.0, "text": " O sea que 20 es el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 4 y 5."}, {"start": 299.0, "end": 301.0, "text": " Hay tambi\u00e9n un truquito que podemos utilizar."}, {"start": 301.0, "end": 310.0, "text": " Si nosotros mentalmente o aparte hacemos el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de 4 y 5."}, {"start": 310.0, "end": 312.0, "text": " Es decir el mcd."}, {"start": 312.0, "end": 314.0, "text": " Vemos que nos da 1."}, {"start": 314.0, "end": 318.0, "text": " Cuando el mcd de dos n\u00fameros es 1."}, {"start": 318.0, "end": 322.0, "text": " Entonces su mcm, su m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo."}, {"start": 322.0, "end": 325.0, "text": " Es el resultado de multiplicarlos."}, {"start": 325.0, "end": 327.0, "text": " 4 por 5 nos da 20."}, {"start": 327.0, "end": 332.0, "text": " Entonces es un truco que nos permite de pronto acortar camino."}, {"start": 332.0, "end": 339.0, "text": " Bien, entonces vamos a convertir ambas fracciones en fracciones con denominador 20."}, {"start": 339.0, "end": 342.0, "text": " Es decir en fracciones homog\u00e9neas."}, {"start": 342.0, "end": 347.0, "text": " Entonces la primera fracci\u00f3n vamos a extenderle la l\u00ednea un poco."}, {"start": 347.0, "end": 349.0, "text": " Y a la segunda tambi\u00e9n."}, {"start": 349.0, "end": 354.0, "text": " Y vamos a determinar por qu\u00e9 n\u00famero hay que multiplicar esta primera fracci\u00f3n."}, {"start": 354.0, "end": 357.0, "text": " Para que abajo nos quede denominador 20."}, {"start": 357.0, "end": 362.0, "text": " Entonces nos preguntamos 4 multiplicado por qu\u00e9 n\u00famero nos da 20."}, {"start": 362.0, "end": 364.0, "text": " Ese n\u00famero es el 5."}, {"start": 364.0, "end": 367.0, "text": " Entonces debemos multiplicar por 5 arriba y abajo."}, {"start": 367.0, "end": 372.0, "text": " Recordemos que esta es la amplificaci\u00f3n o complificaci\u00f3n de una fracci\u00f3n."}, {"start": 372.0, "end": 374.0, "text": " Aqu\u00ed vamos a hacer lo mismo."}, {"start": 374.0, "end": 379.0, "text": " Buscamos 5 multiplicado por qu\u00e9 n\u00famero nos da 20."}, {"start": 379.0, "end": 381.0, "text": " Ser\u00eda el 4."}, {"start": 381.0, "end": 385.0, "text": " Entonces multiplicamos por 4 arriba y abajo."}, {"start": 385.0, "end": 386.0, "text": " Resolvemos."}, {"start": 386.0, "end": 389.0, "text": " Aqu\u00ed 3 por 5 nos da 15."}, {"start": 389.0, "end": 393.0, "text": " Ac\u00e1 4 por 5 nos da 20."}, {"start": 393.0, "end": 395.0, "text": " Menos la siguiente fracci\u00f3n."}, {"start": 395.0, "end": 398.0, "text": " 3 por 4 nos da 12."}, {"start": 398.0, "end": 401.0, "text": " Y abajo 5 por 4 nos da 20."}, {"start": 401.0, "end": 406.0, "text": " Vamos a seguirla por ac\u00e1."}, {"start": 406.0, "end": 412.0, "text": " Y entonces tenemos ya una resta de fracciones homog\u00e9neas."}, {"start": 412.0, "end": 415.0, "text": " Es decir con igual denominador."}, {"start": 415.0, "end": 418.0, "text": " Conservamos entonces el denominador que es el 20."}, {"start": 418.0, "end": 422.0, "text": " Y arriba nos queda la operaci\u00f3n 15 menos 12."}, {"start": 422.0, "end": 426.0, "text": " Esto nos da 3. Abajo el 20."}, {"start": 426.0, "end": 428.0, "text": " Y la fracci\u00f3n es 3 veinteados."}, {"start": 428.0, "end": 431.0, "text": " Revisamos si la fracci\u00f3n se puede simplificar."}, {"start": 431.0, "end": 432.0, "text": " Vemos que no."}, {"start": 432.0, "end": 436.0, "text": " No hay posibilidad de dividir arriba y abajo por un mismo n\u00famero."}, {"start": 436.0, "end": 438.0, "text": " Para conseguir n\u00fameros m\u00e1s peque\u00f1os."}, {"start": 438.0, "end": 441.0, "text": " Por lo tanto es una fracci\u00f3n irreducible."}, {"start": 441.0, "end": 453.0, "text": " Y esta ser\u00eda la respuesta."}]

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SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS

#julioprofe explica cómo sumar y restar fracciones con el mismo denominador (homogéneas). REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a ver algunos ejemplos de suma y resta de fracciones homogéneas, es decir, fracciones que tienen igual denominador. Entonces, vamos a comenzar con esta situación. Vamos a sumar la fracción tres quintos más un quinto. Para sumar fracciones homogéneas, dejamos el mismo denominador, es decir, conservamos el cinco, y sumamos los numeradores. Efectuamos la operación del numerador y nos queda cuatro quintos. Revisamos si la fracción se puede simplificar. En este caso vemos que no, por lo tanto es una fracción irreducible y esa sería la respuesta. Ahora veamos la suma de dos novenos más cuatro novenos. Dejamos el mismo denominador, nueve, sumamos los numeradores, dos más cuatro, efectuamos arriba nos da seis, y abajo nos queda el nueve. Seis novenos. Vamos a mirar si esa fracción se puede simplificar. Vemos que seis y nueve son números que se pueden dividir por tres. Entonces, hacemos la simplificación dividiendo arriba y abajo entre tres. Entonces, colocamos la operación, resolvemos, arriba nos queda dos y abajo nos queda tres. Dos tercios no se puede simplificar más, es una fracción irreducible y esa sería la respuesta. Ahora miremos esta situación donde tenemos la suma de tres fracciones homogéneas. Entonces, nuevamente dejamos el mismo denominador y acá en el numerador debemos sumar cinco más once más dos. Podemos hacer la suma mentalmente sin necesidad de escribirla y eso nos da dieciocho. Miramos si la fracción se puede simplificar. Vemos que dieciocho y doce son números que se pueden dividir ambos. Por ejemplo, entre dos, o por ejemplo, entre tres, o incluso entre seis. Entre más grande sea el divisor que elijamos, más rápido haremos la simplificación. Entonces, vamos a dividir por seis. Por cierto, seis sería el máximo común divisor de ellos dos. Es el número más grande que logra dividirlos a ambos. Entonces, dividimos por seis y eso nos queda arriba tres y abajo dos. Es decir, la fracción tres medios que no se puede simplificar más, por lo tanto es una fracción irreducible. Pero también podemos observar que es una fracción donde el numerador es mayor que el denominador. Es decir, una fracción impropia. Por ser fracción impropia podemos pasarla a número mixto. Para ello realizamos la división. Vamos a efectuarla por acá. Dividimos tres entre dos. Separamos la cifra del tres. El dos en el tres cabe una vez. Uno por dos nos da dos. Restamos y esto nos da residuo uno. Por lo tanto, el número mixto se construye de la siguiente manera. El cociente constituye el número grande. Es decir, la parte entera del número mixto. Y la fracción se construye con el residuo en el numerador y el divisor en el denominador. Entonces, tres medios equivale al número mixto, un entero y un medio. Como vimos entonces, efectuando la división es que se hace el paso de fracción impropia a número mixto. Veamos esta resta de fracciones homogéneas. Nuevamente dejamos el mismo denominador y efectuamos la operación que tenemos en los numeradores. Es decir, trece menos siete. Eso arriba nos da seis. Y abajo conservamos el ocho. Por lo tanto, nos da seis octavos. Pero seis octavos es una fracción que se puede simplificar. Podríamos dividir por dos arriba y abajo. Que es lo mismo que sacar mitad. Vamos a hacerlo mentalmente. Si seis lo dividimos entre dos nos da tres. Y si ocho lo dividimos entre dos nos da cuatro. Tres cuartos sería el resultado porque es una fracción que no se puede simplificar más. Es una fracción irreducible. Cabe anotar también que tres cuartos es una fracción propia. Porque el numerador es menor que el denominador. Por lo tanto, no se puede expresar como mixto. Únicamente las fracciones que son impropias son las que se pueden llevar a número mixto. Miremos esta otra resta de fracciones homogéneas. Dejamos el mismo denominador, conservamos el diez y vamos a efectuar la resta de los numeradores. Si a veintitrés le restamos nueve, eso nos da catorce. Podemos colocar de una vez el resultado. Catorce decimos es una fracción que se puede simplificar. Catorce y diez son números divisibles entre dos. Entonces vamos a hacerlo mentalmente. Si catorce se divide entre dos nos da siete. Si diez lo dividimos entre dos nos da cinco. Siete quintos es una fracción que no se puede simplificar más. Es una fracción irreducible. Pero vemos que es una fracción impropia porque el numerador es mayor que el denominador. Por lo tanto podemos efectuar la división para llevarla a número mixto. El cinco en el siete cabe una vez uno por cinco nos da cinco. Restamos nos da residuo dos. Entonces el número mixto nos queda el cociente, es decir el uno, es el número grande, es el número entero. Y la fracción se conforma con el residuo en el numerador y el divisor en el denominador. Recordemos que para verificar si esto nos quedó bien hacemos lo siguiente. Multiplicamos uno por cinco, eso nos da cinco. Le sumamos dos, eso nos da siete. Y es el número que tenemos en el numerador. El cinco se conserva como denominador. El cinco se conserva como denominador.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Vamos a ver algunos ejemplos de suma y resta de fracciones homog\u00e9neas, es decir, fracciones que tienen igual denominador."}, {"start": 15.0, "end": 25.0, "text": " Entonces, vamos a comenzar con esta situaci\u00f3n. Vamos a sumar la fracci\u00f3n tres quintos m\u00e1s un quinto."}, {"start": 25.0, "end": 38.0, "text": " Para sumar fracciones homog\u00e9neas, dejamos el mismo denominador, es decir, conservamos el cinco, y sumamos los numeradores."}, {"start": 39.0, "end": 44.0, "text": " Efectuamos la operaci\u00f3n del numerador y nos queda cuatro quintos."}, {"start": 44.0, "end": 56.0, "text": " Revisamos si la fracci\u00f3n se puede simplificar. En este caso vemos que no, por lo tanto es una fracci\u00f3n irreducible y esa ser\u00eda la respuesta."}, {"start": 57.0, "end": 61.0, "text": " Ahora veamos la suma de dos novenos m\u00e1s cuatro novenos."}, {"start": 61.0, "end": 75.0, "text": " Dejamos el mismo denominador, nueve, sumamos los numeradores, dos m\u00e1s cuatro, efectuamos arriba nos da seis, y abajo nos queda el nueve."}, {"start": 76.0, "end": 80.0, "text": " Seis novenos. Vamos a mirar si esa fracci\u00f3n se puede simplificar."}, {"start": 81.0, "end": 85.0, "text": " Vemos que seis y nueve son n\u00fameros que se pueden dividir por tres."}, {"start": 85.0, "end": 95.0, "text": " Entonces, hacemos la simplificaci\u00f3n dividiendo arriba y abajo entre tres."}, {"start": 96.0, "end": 105.0, "text": " Entonces, colocamos la operaci\u00f3n, resolvemos, arriba nos queda dos y abajo nos queda tres."}, {"start": 106.0, "end": 113.0, "text": " Dos tercios no se puede simplificar m\u00e1s, es una fracci\u00f3n irreducible y esa ser\u00eda la respuesta."}, {"start": 113.0, "end": 120.0, "text": " Ahora miremos esta situaci\u00f3n donde tenemos la suma de tres fracciones homog\u00e9neas."}, {"start": 121.0, "end": 129.0, "text": " Entonces, nuevamente dejamos el mismo denominador y ac\u00e1 en el numerador debemos sumar cinco m\u00e1s once m\u00e1s dos."}, {"start": 130.0, "end": 137.0, "text": " Podemos hacer la suma mentalmente sin necesidad de escribirla y eso nos da dieciocho."}, {"start": 137.0, "end": 147.0, "text": " Miramos si la fracci\u00f3n se puede simplificar. 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Es decir, la parte entera del n\u00famero mixto."}, {"start": 240.0, "end": 247.0, "text": " Y la fracci\u00f3n se construye con el residuo en el numerador y el divisor en el denominador."}, {"start": 248.0, "end": 254.0, "text": " Entonces, tres medios equivale al n\u00famero mixto, un entero y un medio."}, {"start": 254.0, "end": 262.0, "text": " Como vimos entonces, efectuando la divisi\u00f3n es que se hace el paso de fracci\u00f3n impropia a n\u00famero mixto."}, {"start": 263.0, "end": 267.0, "text": " Veamos esta resta de fracciones homog\u00e9neas."}, {"start": 268.0, "end": 275.0, "text": " Nuevamente dejamos el mismo denominador y efectuamos la operaci\u00f3n que tenemos en los numeradores."}, {"start": 276.0, "end": 280.0, "text": " Es decir, trece menos siete. Eso arriba nos da seis."}, {"start": 280.0, "end": 284.0, "text": " Y abajo conservamos el ocho. Por lo tanto, nos da seis octavos."}, {"start": 285.0, "end": 288.0, "text": " Pero seis octavos es una fracci\u00f3n que se puede simplificar."}, {"start": 289.0, "end": 295.0, "text": " Podr\u00edamos dividir por dos arriba y abajo. Que es lo mismo que sacar mitad."}, {"start": 296.0, "end": 302.0, "text": " Vamos a hacerlo mentalmente. Si seis lo dividimos entre dos nos da tres."}, {"start": 302.0, "end": 313.0, "text": " Y si ocho lo dividimos entre dos nos da cuatro. Tres cuartos ser\u00eda el resultado porque es una fracci\u00f3n que no se puede simplificar m\u00e1s."}, {"start": 314.0, "end": 316.0, "text": " Es una fracci\u00f3n irreducible."}, {"start": 317.0, "end": 321.0, "text": " Cabe anotar tambi\u00e9n que tres cuartos es una fracci\u00f3n propia."}, {"start": 322.0, "end": 326.0, "text": " Porque el numerador es menor que el denominador."}, {"start": 326.0, "end": 335.0, "text": " Por lo tanto, no se puede expresar como mixto."}, {"start": 336.0, "end": 345.0, "text": " \u00danicamente las fracciones que son impropias son las que se pueden llevar a n\u00famero mixto."}, {"start": 346.0, "end": 349.0, "text": " Miremos esta otra resta de fracciones homog\u00e9neas."}, {"start": 349.0, "end": 357.0, "text": " Dejamos el mismo denominador, conservamos el diez y vamos a efectuar la resta de los numeradores."}, {"start": 358.0, "end": 362.0, "text": " Si a veintitr\u00e9s le restamos nueve, eso nos da catorce."}, {"start": 363.0, "end": 365.0, "text": " Podemos colocar de una vez el resultado."}, {"start": 366.0, "end": 369.0, "text": " Catorce decimos es una fracci\u00f3n que se puede simplificar."}, {"start": 370.0, "end": 375.0, "text": " Catorce y diez son n\u00fameros divisibles entre dos."}, {"start": 375.0, "end": 381.0, "text": " Entonces vamos a hacerlo mentalmente. 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SUMAS DE RIEMANN (Parte 2 de 2)

#julioprofe explica cómo obtener el área bajo la gráfica de una función mediante Sumas de Riemann. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

¿Qué es la enésima suma de rima? Esta expresión que no se puede simplificar más es la enésima suma de rima. A esta expresión es a la que se le toma límite cuando él entiende infinito. Entonces tenemos el límite de 10 más 4 sobre n. Resolviendo ese límite tenemos que esto sería 10 más 4 sobre, podemos reemplazar el infinito donde está la n, y 4 sobre un número gigantesco, un número que tiende infinito, entonces esto tiende a 0. Por lo tanto el resultado es 10. Quiere decir entonces que el área de la región que nos están pidiendo es igual a 10 unidades cuadradas, y fue calculada con las sumas de Riemann. ¿Cómo se puede verificar la enésima suma de rima? Se puede verificar lo que hicimos mediante la utilización de una integral definida. Para ello dibujamos la situación que nos presentan, vemos la línea roja que es la función que nos dan la función 2x más 1, una función lineal, es decir una recta. Vemos las líneas verticales de color azul que son las rectas x igual a 3, y esta recta que es x igual a 1. Vemos también el eje x como el borde inferior de la figura, y entonces vamos a determinar esta figura, el área de esta región, mediante la utilización de una integral definida. Entonces planteamos una integral para calcular el área bajo esa función entre los valores 1 y 3. Entonces colocamos los límites de integración, colocamos la función que es 2x más 1 con su respectivo diferencial de x. Vamos a continuarlo por acá. Integramos cada término, la integral de 2x sería 2x al cuadrado sobre 2 más la integral de 1 que sería x. Y como tenemos una integral definida, entonces evaluamos entre los límites 1 y 3. Por aquí podríamos simplificar el 2, este 2 se va, entonces lo podemos quitar, y evaluamos los límites de integración en esta expresión. Primero entra el 3, vamos a hacerlo mentalmente. Si aquí entra el 3, nos queda 3 al cuadrado que es 9 más x que en este momento vale 3, menos, ahora entra el 1, 1 al cuadrado es 1, más aquí si entra la x por el valor 1 nos queda 1. Resolvemos 9 más 3 es 12, menos 1 más 1 es 2 y nos da un área de 10 unidades cuadradas. Esto entonces ratifica que el cálculo que hicimos del área mediante las sumas de Riemann es correcto.

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SUMAS DE RIEMANN (Parte 1 de 2)

#julioprofe explica cómo obtener el área bajo la gráfica de una función mediante Sumas de Riemann. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

hallar el área de la región limitada por las gráficas de la función 2x más 1, x igual a 1, x igual a 3 y el eje x mediante el cálculo del límite de las sumas de Riemann. Bien, lo primero que tenemos que hacer es tomar el intervalo 1, 3 intervalo cerrado y dividirlo en n subintervalos iguales del mismo tamaño. Entonces de esa manera obtendremos delta x, es decir, el ancho de cada uno de esos n subintervalos. La formulita para delta x es b-a dividido entre n. a sería 1 y b sería 3, es decir, los extremos del intervalo que nos dan. Entonces tenemos que b vale 3, a vale 1, todo esto sobre n y resolviendo en el numerador nos queda 2, es decir, que delta x es igual a 2 sobre n. Este es el ancho de cada uno de los n subintervalos. Por otro lado debemos encontrar lo que se conoce como x sub i, que viene siendo la abscisa del extremo derecho del rectángulo i que se arma entre 1 y 3. Entre 1 y 3 tenemos n rectángulitos, n subintervalos y de ellos vamos a considerar 1 que es el rectángulo i. Esta abscisa, de aquí la abscisa del extremo derecho que es por donde pasa la gráfica de la función si la que toca la curva entonces se obtiene con la siguiente fórmula a más y por delta de x. Recordemos que este es a, el extremo izquierdo del intervalo y aquí tenemos que se repite y veces lo que es delta de x, es decir, el ancho del intervalo que tenemos para este caso. Entonces tenemos a es igual a 1 y delta de x nos dio 2 sobre n. Entonces organizando esto un poco nos queda 1 más 2 y todo esto sobre n y tenemos lo que se conoce como x sub i. La enésima suma de Riemann dice lo siguiente, es la sumatoria que va desde i igual a 1 hasta n de f evaluado en x sub i y todo esto multiplicado por delta de x. Vamos entonces a ir reemplazando los diferentes componentes. Tenemos que x sub i nos dio 1 más 2 i sobre n y esto va a ir multiplicado por delta de x que nos dio 2 sobre n. Pero recordemos que la función que nos dieron es 2x más 1. Entonces con esta función vamos a obtener esta componente. Nos queda entonces la sumatoria desde i igual a 1 hasta n de lo siguiente. Nos quedaría 2 que multiplica a la x que sería todo esto que está dentro del paréntesis 1 más 2 y sobre n. Cerramos más 1, cerramos aquí el corchete y esto multiplicado por 2 sobre n. Continuamos por acá. Nos queda la sumatoria desde i igual a 1 hasta n de lo siguiente. Hacemos aquí propiedad distributiva con el 2. 2 por 1, 2 más 2 por esta fracción nos queda 4i sobre n. Todo esto más 1, cerramos el corchete y eso multiplicado por 2 sobre n. Continuamos. Aquí podemos resolver la suma entre 2 y 1. Entonces esa nos queda la sumatoria desde i igual a 1 hasta n. Ya podemos cambiar el corchete por un paréntesis. Nos queda 3 más 4i sobre n. Todo esto multiplicado por 2 sobre n. De esta sumatoria nosotros podríamos sacar 2 sobre n porque esto es constante. Recordemos que aquí lo único que va a cambiar de valores, es decir, lo único que es variable es la i. La n se comporta como una constante por lo tanto 2 sobre n podemos sacarlo de la sumatoria. Recordemos que esa es una de las propiedades de las sumatorias. Una constante que está multiplicando puede salir. Entonces nos queda la sumatoria de 3 más 4 por i sobre n. Esto nos queda igual a 2 sobre n por, vamos a abrir un paréntesis, y aquí tenemos una sumatoria de una suma de términos. Entonces podemos repartir la sumatoria para cada término. Nos queda la sumatoria de 3 desde i igual a 1 hasta n más la sumatoria desde i igual a 1 hasta n de 4i sobre n. Cerramos el paréntesis. A continuación vamos entonces a dejar la primera sumatoria quieta, sumatoria desde i igual a 1 hasta n y de la segunda vamos a retirar 4 sobre n que recordemos que viene siendo constante porque está multiplicando con la i. Por lo tanto nos queda 4 sobre n que multiplica a la sumatoria de i desde i igual a 1 hasta n. Hacemos uso de estas dos propiedades para poder continuar. En esta sumatoria aplicamos esta. La sumatoria de la constante desde i igual a 1 hasta n es igual a k por n. Entonces acá tendremos 2 sobre n que multiplica, acá sería 3 por n. En este caso 3 hace el papel de k más 4 sobre n que multiplica a esta sumatoria y que equivale a esto. Esta es la formulita para la sumatoria de i desde i igual a 1 hasta n. Entonces reemplazamos este resultado por acá. Nos queda n por n más 1 sobre 2 y cerramos el paréntesis. Aquí en este término podemos simplificar la n y también podemos simplificar el 4 con el 2. Sacamos mitad de 2 es 1, mitad de 4 es 2. Y esto nos queda 2 sobre n por 3n más. Este 2 que quedó se distribuye para n más 1 y nos queda 2n más 2. Nos queda 2 sobre n que multiplica a 5n más 2. Y haciendo propiedad distributiva tenemos 10 más 4 sobre n.

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ECUACIONES LINEALES - Ejercicio 7

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación donde la incógnita aparece en los denominadores. Tema: #EcuacionesLineales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFaAaS3cm5sKZ3gFlxcML1E REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para resolver esta ecuación vamos a comenzar por determinar qué valores no puede tomar la X, es decir, la incógnita. Para ello nos fijamos en los denominadores que tenemos en ambos lados de la igualdad. Por ejemplo, en este denominador vemos que X no puede ser 3. X debe ser diferente de 3 porque si X vale 3, 3 menos 3 nos da 0 y 0 en el denominador no puede estar. Y por este lado vemos que X no puede ser 2 porque 2 aquí nos volvería 0 el denominador de este lado de la ecuación. Entonces X tiene prohibido ser 3 y ser 2. Vamos a resolver aplicando la siguiente propiedad. Recordemos que si una fracción A sobre B es igual a otra fracción C sobre D, entonces se cumple que A por D es igual a B por C. Es decir, el producto cruzado debe ser igual. Esto es lo que se conoce en matemáticas una proporción, la igualdad de dos razones. Esto se llaman extremos y esto se llaman medios. Y la propiedad fundamental de las proporciones dice que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Entonces apoyándonos en esta propiedad podemos decir que 4 por X menos 2 es igual a 5 que multiplica a X menos 3. Hacemos propiedad distributiva. 4 por X nos da 4X. 4 por menos 2 nos queda menos 8. Por aquí 5 por X nos da 5X. 5 por menos 3 nos queda menos 15. Pasamos las X al lado izquierdo que da 4X menos 5X. Y al otro lado nos queda menos 15 más 8. Pasando este menos 8 al lado derecho que llega positivo. Pues volvemos a este lado. Tenemos que 4X menos 5X nos da menos X. Y por acá menos 15 más 8 nos da menos 7. Multiplicamos por menos 1 ambos lados de la igualdad. Multiplicamos por menos 1 y nos queda que X es igual a 7. Miramos que 7 no es valor prohibido para X. Recordemos que X tenía prohibido ser 3 y ser 2. Por lo tanto este valor se acepta. Entonces X igual a 7 es la respuesta para esta ecuación.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Para resolver esta ecuaci\u00f3n vamos a comenzar por determinar qu\u00e9 valores no puede tomar la X, es decir, la inc\u00f3gnita."}, {"start": 10.0, "end": 17.0, "text": " Para ello nos fijamos en los denominadores que tenemos en ambos lados de la igualdad."}, {"start": 17.0, "end": 24.0, "text": " Por ejemplo, en este denominador vemos que X no puede ser 3."}, {"start": 24.0, "end": 35.0, "text": " X debe ser diferente de 3 porque si X vale 3, 3 menos 3 nos da 0 y 0 en el denominador no puede estar."}, {"start": 35.0, "end": 47.0, "text": " Y por este lado vemos que X no puede ser 2 porque 2 aqu\u00ed nos volver\u00eda 0 el denominador de este lado de la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 47.0, "end": 52.0, "text": " Entonces X tiene prohibido ser 3 y ser 2."}, {"start": 52.0, "end": 56.0, "text": " Vamos a resolver aplicando la siguiente propiedad."}, {"start": 56.0, "end": 72.0, "text": " Recordemos que si una fracci\u00f3n A sobre B es igual a otra fracci\u00f3n C sobre D, entonces se cumple que A por D es igual a B por C."}, {"start": 72.0, "end": 76.0, "text": " Es decir, el producto cruzado debe ser igual."}, {"start": 76.0, "end": 83.0, "text": " Esto es lo que se conoce en matem\u00e1ticas una proporci\u00f3n, la igualdad de dos razones."}, {"start": 83.0, "end": 87.0, "text": " Esto se llaman extremos y esto se llaman medios."}, {"start": 87.0, "end": 96.0, "text": " Y la propiedad fundamental de las proporciones dice que el producto de los extremos es igual al producto de los medios."}, {"start": 96.0, "end": 112.0, "text": " Entonces apoy\u00e1ndonos en esta propiedad podemos decir que 4 por X menos 2 es igual a 5 que multiplica a X menos 3."}, {"start": 112.0, "end": 115.0, "text": " Hacemos propiedad distributiva."}, {"start": 115.0, "end": 118.0, "text": " 4 por X nos da 4X."}, {"start": 118.0, "end": 121.0, "text": " 4 por menos 2 nos queda menos 8."}, {"start": 121.0, "end": 126.0, "text": " Por aqu\u00ed 5 por X nos da 5X."}, {"start": 126.0, "end": 129.0, "text": " 5 por menos 3 nos queda menos 15."}, {"start": 129.0, "end": 136.0, "text": " Pasamos las X al lado izquierdo que da 4X menos 5X."}, {"start": 136.0, "end": 141.0, "text": " Y al otro lado nos queda menos 15 m\u00e1s 8."}, {"start": 141.0, "end": 146.0, "text": " Pasando este menos 8 al lado derecho que llega positivo."}, {"start": 146.0, "end": 153.0, "text": " Pues volvemos a este lado. Tenemos que 4X menos 5X nos da menos X."}, {"start": 153.0, "end": 158.0, "text": " Y por ac\u00e1 menos 15 m\u00e1s 8 nos da menos 7."}, {"start": 158.0, "end": 163.0, "text": " Multiplicamos por menos 1 ambos lados de la igualdad."}, {"start": 163.0, "end": 169.0, "text": " Multiplicamos por menos 1 y nos queda que X es igual a 7."}, {"start": 169.0, "end": 174.0, "text": " Miramos que 7 no es valor prohibido para X."}, {"start": 174.0, "end": 180.0, "text": " Recordemos que X ten\u00eda prohibido ser 3 y ser 2."}, {"start": 180.0, "end": 184.0, "text": " Por lo tanto este valor se acepta."}, {"start": 184.0, "end": 206.0, "text": " Entonces X igual a 7 es la respuesta para esta ecuaci\u00f3n."}]

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SUMA DEL CUADRADO DE UNA MATRIZ Y SU INVERSA (Parte 2)

#julioprofe continúa con la explicación del ejercicio del video anterior. Tema: #Matrices → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEaIklPnC410t9xZ63Ino0m REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para encontrar la matriz inversa de A vamos a utilizar este procedimiento. Escribimos la matriz original, la matriz A, y enseguida dividida por una línea escribimos la matriz identidad de orden 2x2. Es decir lo que se conoce como la matriz I2. Y entonces vamos a empezar a operar filas entre sí de tal forma que esta matriz nos quede acá y entonces la que nos quede a este lado será la matriz inversa de A. Entonces vamos a comenzar por buscar ceros que es tal vez lo más complicado. Entonces vamos a buscar cero en esta celda de acá y después en esta de acá. Entonces veamos, la única operación que tenemos autorizada en este caso es la operación entre filas. Entonces tendremos, para buscar cero acá, entonces podemos multiplicar este elemento por menos 3 y sumarlo con esto. Entonces sería en el renglón 2 hacemos la operación menos 3 veces el renglón 1 sumado con el renglón 2. Esta es la instrucción que vamos a usar para encontrar este cero. Entonces 1 por menos 3 da menos 3, menos 3 más 3 nos da cero. Acá menos 5 por menos 3 eso da 15 positivo, 15 sumado con menos 1 nos da 14. Por acá menos 3 por 1 da menos 3 sumado con cero da menos 3 y acá menos 3 por cero da cero sumado con 1 nos da 1. Aprovechamos este mismo paso para conseguir el cero de esta celda. Y eso lo podemos lograr multiplicando este elemento por menos 5 para que se convierta en 5 positivo. Sumamos después con el renglón 1. Entonces la operación será menos 5 veces el renglón 2 sumado con el renglón 1 y esa instrucción la colocamos acá en la fila 1. Entonces tenemos menos 5 por 3 da menos 15, menos 15 sumado con 1 nos da menos 14. Por acá menos 5 por menos 1 da 5 positivo, 5 positivo sumado con menos 5 nos da cero. Hemos conseguido el cero que necesitábamos. Por acá cero por menos 5 da cero sumado con 1 nos da 1 y 1 por menos 5 nos da menos 5, menos 5 sumado con cero queda menos 5. Para terminar de encontrar la inversa hacemos ya lo más sencillo que es buscar los unos. Y entonces eso lo conseguimos de la siguiente manera. Aquí para que nos de 1 necesitamos dividir todo este renglón por menos 14. Entonces decimos el renglón 1 se divide entre menos 14 y el resultado va en esta fila. Por lo tanto aquí nos da 1 nos da cero, por aquí quedaría menos 1 catorceavo, lo dejamos indicado como fracción. Y menos 5 divido entre menos 14 nos queda 5 catorceavos. Bien, por acá para obtener el 1 aquí en esta celda necesitamos dividir todo esto por 14. Entonces el renglón 2 se divide entre 14 nos queda cero dividido 14 nos da cero, 14 dividido 14 es 1, menos 3 dividido 14 queda menos 3 catorceavos y 1 dividido entre 14 nos queda 1 catorceavo. Entonces ya hemos obtenido acá en el lado izquierdo la matriz identidad de orden 2x2 es decir I2 y esta matriz que nos queda aquí al lado derecho es A a la menos 1. Es decir la matriz inversa de la matriz A que nos dieron originalmente. Entonces escribimos la matriz inversa de A por acá, la sacamos aparte y nos queda menos 1 catorceavo, 5 catorceavos, menos 3 catorceavos y 1 catorceavo. Bien, y esta matriz es la que vamos a sumar con la matriz A cuadrado. Para terminar entonces hacemos la operación que nos pregunta el ejercicio. Tenemos que sumar la matriz A cuadrado y la matriz inversa de A. Aquí las tenemos, esta es la matriz A cuadrado y esta es la matriz inversa de A que habíamos obtenido previamente. Haciendo entonces la suma de estas dos matrices recordemos que se suman celdas correspondientes. Entonces nos da el siguiente resultado. En la primera celda nos queda menos 197 catorceavos que es el resultado de sumar estos dos numeritos. Aquí en la siguiente celda nos queda la suma de estos dos que es 5 catorceavos. Por acá nos queda la suma de cero con este elemento, es decir, menos 3 catorceavos. Y por acá nos queda la suma de menos catorce con 1 catorceavo y eso nos da menos 195 catorceavos. Esta es entonces la respuesta al ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Para encontrar la matriz inversa de A vamos a utilizar este procedimiento."}, {"start": 8.0, "end": 20.0, "text": " Escribimos la matriz original, la matriz A, y enseguida dividida por una l\u00ednea escribimos la matriz identidad de orden 2x2."}, {"start": 21.0, "end": 23.0, "text": " Es decir lo que se conoce como la matriz I2."}, {"start": 23.0, "end": 36.0, "text": " Y entonces vamos a empezar a operar filas entre s\u00ed de tal forma que esta matriz nos quede ac\u00e1 y entonces la que nos quede a este lado ser\u00e1 la matriz inversa de A."}, {"start": 37.0, "end": 41.0, "text": " Entonces vamos a comenzar por buscar ceros que es tal vez lo m\u00e1s complicado."}, {"start": 42.0, "end": 47.0, "text": " Entonces vamos a buscar cero en esta celda de ac\u00e1 y despu\u00e9s en esta de ac\u00e1."}, {"start": 47.0, "end": 55.0, "text": " Entonces veamos, la \u00fanica operaci\u00f3n que tenemos autorizada en este caso es la operaci\u00f3n entre filas."}, {"start": 56.0, "end": 64.0, "text": " Entonces tendremos, para buscar cero ac\u00e1, entonces podemos multiplicar este elemento por menos 3 y sumarlo con esto."}, {"start": 65.0, "end": 73.0, "text": " Entonces ser\u00eda en el rengl\u00f3n 2 hacemos la operaci\u00f3n menos 3 veces el rengl\u00f3n 1 sumado con el rengl\u00f3n 2."}, {"start": 73.0, "end": 77.0, "text": " Esta es la instrucci\u00f3n que vamos a usar para encontrar este cero."}, {"start": 78.0, "end": 82.0, "text": " Entonces 1 por menos 3 da menos 3, menos 3 m\u00e1s 3 nos da cero."}, {"start": 83.0, "end": 90.0, "text": " Ac\u00e1 menos 5 por menos 3 eso da 15 positivo, 15 sumado con menos 1 nos da 14."}, {"start": 90.0, "end": 103.0, "text": " Por ac\u00e1 menos 3 por 1 da menos 3 sumado con cero da menos 3 y ac\u00e1 menos 3 por cero da cero sumado con 1 nos da 1."}, {"start": 104.0, "end": 107.0, "text": " Aprovechamos este mismo paso para conseguir el cero de esta celda."}, {"start": 108.0, "end": 114.0, "text": " Y eso lo podemos lograr multiplicando este elemento por menos 5 para que se convierta en 5 positivo."}, {"start": 115.0, "end": 117.0, "text": " Sumamos despu\u00e9s con el rengl\u00f3n 1."}, {"start": 117.0, "end": 129.0, "text": " Entonces la operaci\u00f3n ser\u00e1 menos 5 veces el rengl\u00f3n 2 sumado con el rengl\u00f3n 1 y esa instrucci\u00f3n la colocamos ac\u00e1 en la fila 1."}, {"start": 130.0, "end": 138.0, "text": " Entonces tenemos menos 5 por 3 da menos 15, menos 15 sumado con 1 nos da menos 14."}, {"start": 138.0, "end": 147.0, "text": " Por ac\u00e1 menos 5 por menos 1 da 5 positivo, 5 positivo sumado con menos 5 nos da cero."}, {"start": 148.0, "end": 150.0, "text": " Hemos conseguido el cero que necesit\u00e1bamos."}, {"start": 151.0, "end": 163.0, "text": " Por ac\u00e1 cero por menos 5 da cero sumado con 1 nos da 1 y 1 por menos 5 nos da menos 5, menos 5 sumado con cero queda menos 5."}, {"start": 163.0, "end": 170.0, "text": " Para terminar de encontrar la inversa hacemos ya lo m\u00e1s sencillo que es buscar los unos."}, {"start": 171.0, "end": 174.0, "text": " Y entonces eso lo conseguimos de la siguiente manera."}, {"start": 175.0, "end": 180.0, "text": " Aqu\u00ed para que nos de 1 necesitamos dividir todo este rengl\u00f3n por menos 14."}, {"start": 181.0, "end": 188.0, "text": " Entonces decimos el rengl\u00f3n 1 se divide entre menos 14 y el resultado va en esta fila."}, {"start": 188.0, "end": 197.0, "text": " Por lo tanto aqu\u00ed nos da 1 nos da cero, por aqu\u00ed quedar\u00eda menos 1 catorceavo, lo dejamos indicado como fracci\u00f3n."}, {"start": 198.0, "end": 202.0, "text": " Y menos 5 divido entre menos 14 nos queda 5 catorceavos."}, {"start": 203.0, "end": 211.0, "text": " Bien, por ac\u00e1 para obtener el 1 aqu\u00ed en esta celda necesitamos dividir todo esto por 14."}, {"start": 211.0, "end": 222.0, "text": " Entonces el rengl\u00f3n 2 se divide entre 14 nos queda cero dividido 14 nos da cero, 14 dividido 14 es 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ejercicio."}, {"start": 287.0, "end": 291.0, "text": " Tenemos que sumar la matriz A cuadrado y la matriz inversa de A."}, {"start": 292.0, "end": 303.0, "text": " Aqu\u00ed las tenemos, esta es la matriz A cuadrado y esta es la matriz inversa de A que hab\u00edamos obtenido previamente."}, {"start": 303.0, "end": 309.0, "text": " Haciendo entonces la suma de estas dos matrices recordemos que se suman celdas correspondientes."}, {"start": 310.0, "end": 312.0, "text": " Entonces nos da el siguiente resultado."}, {"start": 313.0, "end": 321.0, "text": " En la primera celda nos queda menos 197 catorceavos que es el resultado de sumar estos dos numeritos."}, {"start": 322.0, "end": 327.0, "text": " Aqu\u00ed en la siguiente celda nos queda la suma de estos dos que es 5 catorceavos."}, {"start": 327.0, "end": 334.0, "text": " Por ac\u00e1 nos queda la suma de cero con este elemento, es decir, menos 3 catorceavos."}, {"start": 335.0, "end": 346.0, "text": " Y por ac\u00e1 nos queda la suma de menos catorce con 1 catorceavo y eso nos da menos 195 catorceavos."}, {"start": 346.0, "end": 356.0, "text": " Esta es entonces la respuesta al ejercicio."}]

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SUMA DEL CUADRADO DE UNA MATRIZ Y SU INVERSA (Parte 1)

#julioprofe explica cómo hallar la suma del cuadrado de una matriz de 2×2 y su inversa. Tema: #Matrices → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEaIklPnC410t9xZ63Ino0m REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a hacer este ejercicio. Nos dan una matriz A de orden 2x2. Vemos que tiene dos filas, dos columnas y nos piden encontrar esta suma. La suma entre el cuadrado de la matriz A y la inversa de dicha matriz. Vamos a comenzar por encontrar la matriz A cuadrado, que es igual a la matriz A multiplicada por sí misma. Entonces tenemos la matriz A que es 1, 3, menos 5, menos 1, que será multiplicada por ella misma. 1, 3, menos 5 y menos 1. Ambas matrices son de 2x2, por lo tanto el producto es posible. Y recordemos que si esta matriz es de 2x2 y esta es de 2x2, se requiere para el producto que estos dos numeritos sean iguales. El número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz. Estos números son iguales, por lo tanto el producto es posible. Y la matriz que se obtiene será de orden 2x2. Estos dos numeritos nos dan el orden de la nueva matriz. Entonces sabemos que tendremos una matriz de orden 2x2. Vamos a dejar aquí el espacio para la matriz A cuadrado y vamos a realizar por acá las operaciones. Vamos a encontrar el elemento de la celda 1,1, es decir, el que está en la fila 1 con columna 1. Para ello tomamos estos elementos de la fila 1 de la primera matriz y los vamos a multiplicar respectivamente por los elementos de la columna 1 de la segunda matriz. Entonces tenemos 1x1 que nos da 1 y menos 5x3 que nos da menos 15. 1-15 nos da menos 14 y tenemos el primer elemento de la nueva matriz. Vamos con el elemento 1,2, el elemento ubicado en la fila 1 columna 2. Entonces tomamos estos elementos de la fila 1 de la primera matriz y estos elementos de la columna 2 de la segunda matriz. Entonces 1x-5 da menos 5 y menos 5x-1 nos queda más 5. Esta suma nos da 0 y este es el resultado del segundo elemento de la matriz A cuadrado. Pasamos ahorita a buscar este elemento de acá que es el elemento 2,1, si está en la fila 2 columna 1. Entonces tomamos los elementos de esta fila, fila 2 de la primera matriz y la columna 1 de la segunda matriz. Entonces sería 3x1 que es 3 y menos 1x3 que es menos 3. Eso nos da 0 y tenemos el resultado de la celda. Por último buscamos este elemento, el elemento de la celda 2,2 fila 2 columna 2. Entonces tomamos la fila 2 de la primera matriz y la columna 2 de la segunda matriz. Es decir 3x-5 que es menos 15 y menos 1x-1 que es más 1. Esa operación nos da menos 14 y tenemos entonces la matriz A cuadrado. Ahora vamos a buscar la matriz inversa de la matriz que nos dieron. Para empezar debemos hallar el determinante de la matriz A. Recordemos que una matriz tiene inversa si su determinante es diferente de 0. Eso es lo que tenemos que probar antes de hacer el procedimiento de la inversa. Entonces veamos, como es un determinante de 2x2 multiplicamos los elementos de la diagonal principal 1x-1. Eso nos da menos 1 menos la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria. Es decir menos 5x3 que es menos 15. Eso nos da menos 1 más 15 y esto es igual a 14. Por lo tanto, como esto es diferente de 0, entonces tenemos que la matriz inversa de la matriz A sí existe. Esta es entonces una matriz no singular que tiene inversa.

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 5

#julioprofe explica cómo integrar una función usando el Método de Sustitución o Cambio de Variable. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral por el método de sustitución o método de cambio de variable. En este caso vamos a cambiar esta expresión 3x más 1 por una nueva letra. Por ejemplo, vamos a utilizar la letra f. f será entonces 3x más 1. Y esto tenemos que derivarlo con respecto a x. Entonces la derivada de f con respecto a x será igual a 3. La derivada de 3x es 3, la derivada de 1 es 0. Y de aquí vamos a despejar dx. Entonces nos queda df es igual a 3 por dx. dx se está dividiendo, pasa a multiplicar con el 3. Y entonces de aquí despejamos dx. El 3 que está multiplicando pasa a dividir debajo df. Tenemos entonces el despeje dx. Entonces vamos a notar por acá los nuevos componentes f equivale a 3x más 1 y dx que equivale a df sobre 3. Con esos dos componentes vamos entonces a reconstruir la integral que tenemos en términos de la nueva variable. Es decir, en términos de la letra f. Entonces nos queda de la siguiente manera. dx se cambia por df sobre 3. Acá en el numerador escribimos df sobre 3. Y acá en el denominador tendremos esto que se convierte en f. f elevado a la 4. F elevado a la 4, que le podemos colocar denominador 1 para poder hacer esto. La ley de extremos y medios, también conocida como ley de la oreja. Entonces en el numerador nos queda 1 por df que es df. Y en el denominador nos queda 3 por f a la 4. 3 f a la 4. De esta integral podemos sacar este 3. Saldría como 1 tercio que queda multiplicando a la integral de df sobre f elevado a la 4. Continuamos por acá. Esto nos queda entonces 1 tercio de la integral de f elevado a la menos 4 acompañado de su diferencial de f. Subimos esta f, entonces nos queda f a la menos 4. Y esto ya es una integral básica. Entonces nos queda 1 tercio por la integral de f a la menos 4 será f a la menos 3 sobre menos 3. Protejamos esto con un paréntesis porque eso está multiplicando con 1 tercio. Y aparece la constante de integración. Recordemos que a menos 4 se le suma 1, por eso nos queda f a la menos 3 sobre menos 3. Vamos a organizar esta expresión. Esto nos quedaría inicialmente f a la menos 3. En el numerador abajo 3 por menos 3 nos queda menos 9. Más la constante de integración. Vamos a continuarla por acá. Aquí nos queda entonces, acomodando, nos queda el 9 que acompaña a f a la 3. Es decir, f a la menos 3 lo bajamos. En el numerador debemos escribir un 1. Y este menos lo podemos acomodar bien sea aquí en la mitad o bien sea en el numerador. Pongámoslo esta vez en el numerador. Todo esto más la constante de integración. Después de haber acomodado la expresión de tal forma que no quede con exponentes negativos. Y con el menos acomodado. Entonces cambiamos f por su equivalente original. Que es 3x más 1. Entonces nos va a quedar menos 1 sobre 9. Abrimos paréntesis. F se cambia por 3x más 1. Cerramos elevado a la 3. Extendemos esta línea. Y esto más la constante de integración. Esta sería entonces la respuesta a la integral propuesta en este ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Vamos a resolver esta integral por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n o m\u00e9todo de cambio de variable."}, {"start": 10.0, "end": 18.0, "text": " En este caso vamos a cambiar esta expresi\u00f3n 3x m\u00e1s 1 por una nueva letra."}, {"start": 18.0, "end": 24.0, "text": " Por ejemplo, vamos a utilizar la letra f. f ser\u00e1 entonces 3x m\u00e1s 1."}, {"start": 24.0, "end": 30.0, "text": " Y esto tenemos que derivarlo con respecto a x."}, {"start": 30.0, "end": 36.0, "text": " Entonces la derivada de f con respecto a x ser\u00e1 igual a 3."}, {"start": 36.0, "end": 42.0, "text": " La derivada de 3x es 3, la derivada de 1 es 0."}, {"start": 42.0, "end": 44.0, "text": " Y de aqu\u00ed vamos a despejar dx."}, {"start": 44.0, "end": 50.0, "text": " Entonces nos queda df es igual a 3 por dx."}, {"start": 50.0, "end": 53.0, "text": " dx se est\u00e1 dividiendo, pasa a multiplicar con el 3."}, {"start": 53.0, "end": 56.0, "text": " Y entonces de 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menos 4."}, {"start": 177.0, "end": 180.0, "text": " Y esto ya es una integral b\u00e1sica."}, {"start": 180.0, "end": 190.0, "text": " Entonces nos queda 1 tercio por la integral de f a la menos 4 ser\u00e1 f a la menos 3 sobre menos 3."}, {"start": 190.0, "end": 195.0, "text": " Protejamos esto con un par\u00e9ntesis porque eso est\u00e1 multiplicando con 1 tercio."}, {"start": 195.0, "end": 198.0, "text": " Y aparece la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 198.0, "end": 205.0, "text": " Recordemos que a menos 4 se le suma 1, por eso nos queda f a la menos 3 sobre menos 3."}, {"start": 205.0, "end": 207.0, "text": " Vamos a organizar esta expresi\u00f3n."}, {"start": 207.0, "end": 212.0, "text": " Esto nos quedar\u00eda inicialmente f a la menos 3."}, {"start": 212.0, "end": 218.0, "text": " En el numerador abajo 3 por menos 3 nos queda menos 9."}, {"start": 218.0, "end": 221.0, "text": " M\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 221.0, "end": 225.0, "text": " Vamos a continuarla por ac\u00e1."}, {"start": 225.0, "end": 234.0, "text": " Aqu\u00ed nos queda entonces, acomodando, nos queda el 9 que acompa\u00f1a a f a la 3."}, {"start": 234.0, "end": 237.0, "text": " Es decir, f a la menos 3 lo bajamos."}, {"start": 237.0, "end": 240.0, "text": " En el numerador debemos escribir un 1."}, {"start": 240.0, "end": 247.0, "text": " Y este menos lo podemos acomodar bien sea aqu\u00ed en la mitad o bien sea en el numerador."}, {"start": 247.0, "end": 251.0, "text": " Pong\u00e1moslo esta vez en el numerador."}, {"start": 251.0, "end": 253.0, "text": " Todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 253.0, "end": 259.0, "text": " Despu\u00e9s de haber acomodado la expresi\u00f3n de tal forma que no quede con exponentes negativos."}, {"start": 259.0, "end": 261.0, "text": " Y con el menos acomodado."}, {"start": 261.0, "end": 265.0, "text": " Entonces cambiamos f por su equivalente original."}, {"start": 265.0, "end": 267.0, "text": 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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 9

#julioprofe explica cómo integrar una función por el Método de Sustitución o Cambio de Variable. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral, como no se puede hacer en forma directa, vamos a recurrir al método de sustitución, también conocido como cambio de variable. En esta ocasión vamos a tomar como P, por ejemplo elegimos la letra P a lo que es logaritmo natural de X, esa será la expresión que vamos a sustituir por la nueva letra. Y entonces vamos a derivar esto, vamos a derivar P con respecto a X, la derivada de logaritmo natural de X es igual a 1 sobre X, y de aquí vamos a despejar de X, entonces podemos hacer producto en cruz. De X por 1 es de X igual a X por DP, entonces tenemos que de X equivale a X por DP. Vamos a notar estas dos expresiones, por acá P es igual a logaritmo natural de X, y de X es igual a X por DP, y vamos a reconstruir la integral en términos de la nueva letra, es decir en términos de P. Nos queda entonces así, la integral de logaritmo natural de X tenemos que se convierte en P, esta X la dejamos quieta y esto multiplicado por DX, pero DX equivale a X por DP. Y aquí podemos observar que la letra X se cancela, cancelamos la X por lo tanto nos queda la integral de P multiplicado por su respectivo diferencial de P, y esta es una integral básica. Esta integral nos da P al cuadrado sobre 2, recordemos que esta P tiene exponente 1, por lo tanto lo que hacemos es sumarle 1 y nos queda P al cuadrado sobre 2, y todo esto más la constante de integración. Finalmente cambiamos P por su equivalente, porque tenemos que regresar a la letra original del ejercicio, que es la letra X. Entonces nos queda logaritmo natural de X elevado al cuadrado, todo esto sobre 2 más la constante de integración, esta sería entonces la respuesta a esta integral propuesta.

[{"start": 0.0, "end": 17.0, "text": " Vamos a resolver esta integral, como no se puede hacer en forma directa, vamos a recurrir al m\u00e9todo de sustituci\u00f3n, tambi\u00e9n conocido como cambio de variable."}, {"start": 17.0, "end": 32.0, "text": " En esta ocasi\u00f3n vamos a tomar como P, por ejemplo elegimos la letra P a lo que es logaritmo natural de X, esa ser\u00e1 la expresi\u00f3n que vamos a sustituir por la nueva letra."}, {"start": 32.0, "end": 53.0, "text": " Y entonces vamos a derivar esto, vamos a derivar P con respecto a X, la derivada de logaritmo natural de X es igual a 1 sobre X, y de aqu\u00ed vamos a despejar de X, entonces podemos hacer producto en cruz."}, {"start": 53.0, "end": 69.0, "text": " De X por 1 es de X igual a X por DP, entonces tenemos que de X equivale a X por DP."}, {"start": 69.0, "end": 95.0, "text": " Vamos a notar estas dos expresiones, por ac\u00e1 P es igual a logaritmo natural de X, y de X es igual a X por DP, y vamos a reconstruir la integral en t\u00e9rminos de la nueva letra, es decir en t\u00e9rminos de P."}, {"start": 95.0, "end": 114.0, "text": " Nos queda entonces as\u00ed, la integral de logaritmo natural de X tenemos que se convierte en P, esta X la dejamos quieta y esto multiplicado por DX, pero DX equivale a X por DP."}, {"start": 114.0, "end": 133.0, "text": " Y aqu\u00ed podemos observar que la letra X se cancela, cancelamos la X por lo tanto nos queda la integral de P multiplicado por su respectivo diferencial de P, y esta es una integral b\u00e1sica."}, {"start": 133.0, "end": 154.0, "text": " Esta integral nos da P al cuadrado sobre 2, recordemos que esta P tiene exponente 1, por lo tanto lo que hacemos es sumarle 1 y nos queda P al cuadrado sobre 2, y todo esto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 154.0, "end": 165.0, "text": " Finalmente cambiamos P por su equivalente, porque tenemos que regresar a la letra original del ejercicio, que es la letra X."}, {"start": 165.0, "end": 187.0, "text": " Entonces nos queda logaritmo natural de X elevado al cuadrado, todo esto sobre 2 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n, esta ser\u00eda entonces la respuesta a esta integral propuesta."}]

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 10

#julioprofe explica cómo resolver una integral por el Método de Sustitución o Cambio de Variable. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta integral por el método de sustitución, también conocido como método de cambio de variable. Elegimos este método porque la integral no se puede resolver en forma directa. Vamos a tomar como nueva letra, por ejemplo, la letra W al exponente de la E, es decir, X a la 5. Veamos por qué hacemos esa elección. Si nosotros tomamos como W el exponente de la E, estamos pensando en una integral básica. La integral de E a la W con diferencial de W es E a la W más E. A esto le estamos apuntando al hacer esta elección. Pero además sabemos que es la elección correcta porque si derivamos X a la 5, nos da 5X a la 4. Y X a la 4 lo podemos apreciar acá delante de la expresión original que se encuentra multiplicando. Eso es lo que nos dice que hemos hecho la elección correcta. Entonces decíamos W es X a la 5, esto tenemos que derivarlo. Derivamos W con respecto a X. La derivada de X a la 5 será 5X a la 4. Y de aquí vamos a despejar de X. De X está dividido, lo pasamos a multiplicar. Entonces multiplicar nos queda que W es igual a 5X a la 4 por DX. Y para despejar de X tomamos 5X a la 4 que está multiplicando y lo pasamos a dividir. Entonces nos queda W sobre 5X a la 4 es igual a DX. Encerramos esto y entonces ya tenemos W que reemplaza a X a la 5 y tenemos DX. Es decir, el diferencial de la integral original. Vamos a notar por aquí esas equivalencias W es X a la 5 y DX que nos dio DW sobre 5X a la 4. Bien, vamos entonces a borrar por aquí y vamos a reconstruir la integral en términos de la nueva variable. Es decir en términos de W. Nos queda entonces de la siguiente manera. X a la 4 se escribe nuevamente porque X a la 4 no tiene un equivalente. Esto multiplicado por E, el número de Euler elevado a X a la 5. Pero X a la 5 es W. Y esto multiplicado por DX. Pero DX equivale a DW sobre 5X a la 4. Y aquí podemos observar que X a la 4 se cancela. Y entonces nos queda la integral de E a la W con su diferencial DW y todo esto dividido entre 5. El 5 queda en la parte de abajo. Este 5 podemos sacarlo de la integral. Quedaría como un quinto que multiplica a la integral de E a la W con su correspondiente diferencial DW. Vamos a seguirlo por acá. Nos queda entonces un quinto por la integral de E a la W con su diferencial DW. Es una integral de las básicas. La integral de eso nos da E a la W. Y aparece la constante de integración. Finalmente debemos cambiar W por la expresión a la cual equivale. W equivale a X a la 5. Recordemos que nuestra respuesta debe quedar en términos de la letra original. Es decir en términos de X. Si dejamos nuestra respuesta en términos de W no es correcto. Debemos regresar a la letra original del ejercicio. De esta manera entonces hemos obtenido la respuesta a esa integral.

[{"start": 0.0, "end": 11.0, "text": " Vamos a resolver esta integral por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n, tambi\u00e9n conocido como m\u00e9todo de cambio de variable."}, {"start": 12.0, "end": 17.0, "text": " Elegimos este m\u00e9todo porque la integral no se puede resolver en forma directa."}, {"start": 18.0, "end": 28.0, "text": " Vamos a tomar como nueva letra, por ejemplo, la letra W al exponente de la E, es decir, X a la 5."}, {"start": 28.0, "end": 30.0, "text": " Veamos por qu\u00e9 hacemos esa elecci\u00f3n."}, {"start": 31.0, "end": 39.0, "text": " Si nosotros tomamos como W el exponente de la E, estamos pensando en una integral b\u00e1sica."}, {"start": 40.0, "end": 45.0, "text": " La integral de E a la W con diferencial de W es E a la W m\u00e1s E."}, {"start": 46.0, "end": 50.0, "text": " A esto le estamos apuntando al hacer esta elecci\u00f3n."}, {"start": 50.0, "end": 62.0, "text": " Pero adem\u00e1s sabemos que es la elecci\u00f3n correcta porque si derivamos X a la 5, nos da 5X a la 4."}, {"start": 63.0, "end": 70.0, "text": " Y X a la 4 lo podemos apreciar ac\u00e1 delante de la expresi\u00f3n original que se encuentra multiplicando."}, {"start": 71.0, "end": 76.0, "text": " Eso es lo que nos dice que hemos hecho la elecci\u00f3n correcta."}, {"start": 76.0, "end": 82.0, "text": " Entonces dec\u00edamos W es X a la 5, esto tenemos que derivarlo."}, {"start": 83.0, "end": 86.0, "text": " Derivamos W con respecto a X."}, {"start": 87.0, "end": 92.0, "text": " La derivada de X a la 5 ser\u00e1 5X a la 4."}, {"start": 93.0, "end": 95.0, "text": " Y de aqu\u00ed vamos a despejar de X."}, {"start": 96.0, "end": 98.0, "text": " De X est\u00e1 dividido, lo pasamos a multiplicar."}, {"start": 98.0, "end": 105.0, "text": " Entonces multiplicar nos queda que W es igual a 5X a la 4 por DX."}, {"start": 106.0, "end": 111.0, "text": " Y para despejar de X tomamos 5X a la 4 que est\u00e1 multiplicando y lo pasamos a dividir."}, {"start": 112.0, "end": 118.0, "text": " Entonces nos queda W sobre 5X a la 4 es igual a DX."}, {"start": 119.0, "end": 126.0, "text": " Encerramos esto y entonces ya tenemos W que reemplaza a X a la 5 y tenemos DX."}, {"start": 126.0, "end": 129.0, "text": " Es decir, el diferencial de la integral original."}, {"start": 130.0, "end": 143.0, "text": " Vamos a notar por aqu\u00ed esas equivalencias W es X a la 5 y DX que nos dio DW sobre 5X a la 4."}, {"start": 144.0, "end": 154.0, "text": " Bien, vamos entonces a borrar por aqu\u00ed y vamos a reconstruir la integral en t\u00e9rminos de la nueva variable."}, {"start": 154.0, "end": 157.0, "text": " Es decir en t\u00e9rminos de W."}, {"start": 158.0, "end": 159.0, "text": " Nos queda entonces de la siguiente manera."}, {"start": 160.0, "end": 165.0, "text": " X a la 4 se escribe nuevamente porque X a la 4 no tiene un equivalente."}, {"start": 166.0, "end": 171.0, "text": " Esto multiplicado por E, el n\u00famero de Euler elevado a X a la 5."}, {"start": 172.0, "end": 174.0, "text": " Pero X a la 5 es W."}, {"start": 175.0, "end": 176.0, "text": " Y esto multiplicado por DX."}, {"start": 176.0, "end": 184.0, "text": " Pero DX equivale a DW sobre 5X a la 4."}, {"start": 185.0, "end": 189.0, "text": " Y aqu\u00ed podemos observar que X a la 4 se cancela."}, {"start": 190.0, "end": 201.0, "text": " Y entonces nos queda la integral de E a la W con su diferencial DW y todo esto dividido entre 5."}, {"start": 202.0, "end": 204.0, "text": " El 5 queda en la parte de abajo."}, {"start": 204.0, "end": 206.0, "text": " Este 5 podemos sacarlo de la integral."}, {"start": 207.0, "end": 217.0, "text": " Quedar\u00eda como un quinto que multiplica a la integral de E a la W con su correspondiente diferencial DW."}, {"start": 218.0, "end": 219.0, "text": " Vamos a seguirlo por ac\u00e1."}, {"start": 220.0, "end": 228.0, "text": " Nos queda entonces un quinto por la integral de E a la W con su diferencial DW."}, {"start": 229.0, "end": 231.0, "text": " Es una integral de las b\u00e1sicas."}, {"start": 231.0, "end": 235.0, "text": " La integral de eso nos da E a la W."}, {"start": 236.0, "end": 238.0, "text": " Y aparece la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 239.0, "end": 246.0, "text": " Finalmente debemos cambiar W por la expresi\u00f3n a la cual equivale."}, {"start": 247.0, "end": 249.0, "text": " W equivale a X a la 5."}, {"start": 250.0, "end": 257.0, "text": " Recordemos que nuestra respuesta debe quedar en t\u00e9rminos de la letra original."}, {"start": 258.0, "end": 259.0, "text": " Es decir en t\u00e9rminos de X."}, {"start": 259.0, "end": 263.0, "text": " Si dejamos nuestra respuesta en t\u00e9rminos de W no es correcto."}, {"start": 264.0, "end": 268.0, "text": " Debemos regresar a la letra original del ejercicio."}, {"start": 268.0, "end": 297.0, "text": " De esta manera entonces hemos obtenido la respuesta a esa integral."}]

julioprofe

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN - Ejercicio 6

#julioprofe explica cómo resolver una integral utilizando el Método de Sustitución o Cambio de Variable. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a desarrollar esta integral. Como no se puede hacer en forma directa, entonces procedemos por el método de sustitución, también conocido como el método de cambio de variables. En esta ocasión vamos a tomar esta parte de abajo como la nueva letra. Por ejemplo vamos a usar la letra h, entonces h es igual a 2 más x al cuadrado. Y esta expresión la vamos a derivar con respecto a x. Entonces la derivada de h con respecto a x será la derivada de esta expresión, es decir la derivada de 2 que es 0, más la derivada de x al cuadrado que es 2x. Entonces la derivada de esto es 2x. Y de aquí vamos a despejar dx. Entonces podemos hacer lo siguiente, dx pasaría a multiplicar, nos queda que dh es igual a 2x por dx. Y finalmente para despejar dx, 2x que está multiplicando lo pasamos a dividir. Por lo tanto nos queda dh sobre 2x igual a dx. Tenemos entonces despejado dx. Vamos a notar por acá entonces h que equivale a 2 más x al cuadrado y dx que nos dio dh sobre 2x. Bien, vamos a borrar esto y vamos a reconstruir la integral en términos de la nueva variable, es decir en términos de h que ahora será la letra que controla la integral. Entonces nos queda así. Esta x de arriba la dejamos quieta porque vemos que x no tiene ningún equivalente. 2 más x al cuadrado lo tenemos igualado a h. Entonces todo este denominador es h. Y esto multiplicado por dx que es dh sobre 2x. Aquí podemos apreciar que la x se cancela. Y entonces nos queda la integral de dh en el numerador y en el denominador 2h. Multiplicando h por 2 nos queda 2h y dh vemos que queda solitario en el numerador. De aquí podemos sacar este 2. Saldría como un medio. Un medio que multiplica a la integral de dh sobre h. Vamos a continuarla por acá. Esta integral también la podemos ver de la siguiente manera. Un medio por la integral de 1 sobre h con su correspondiente diferencial de h. Y la integral de 1 sobre h será el logaritmo natural del valor absoluto de h más la constante de integración. Esta ya es una integral básica. Recordemos que el método de sustitución lo que busca es conducir la integral a una integral básica. La integral que nos dan que es un poco complicada a una integral sencilla mediante un cambio apropiado de variable. Para terminar debemos cambiar h por su equivalente porque debemos regresar a la letra original del ejercicio. No podemos dejar nuestra respuesta con h siendo que la integral original viene propuesta con x. Entonces nos queda un medio por el logaritmo natural de valor absoluto de h que equivale a 2 más x al cuadrado. Cerramos valor absoluto más la constante de integración. Esta sería entonces la respuesta al ejercicio propuesto inicialmente.

[{"start": 0.0, "end": 15.0, "text": " Vamos a desarrollar esta integral. Como no se puede hacer en forma directa, entonces procedemos por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n, tambi\u00e9n conocido como el m\u00e9todo de cambio de variables."}, {"start": 15.0, "end": 33.0, "text": " En esta ocasi\u00f3n vamos a tomar esta parte de abajo como la nueva letra. Por ejemplo vamos a usar la letra h, entonces h es igual a 2 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 33.0, "end": 53.0, "text": " Y esta expresi\u00f3n la vamos a derivar con respecto a x. Entonces la derivada de h con respecto a x ser\u00e1 la derivada de esta expresi\u00f3n, es decir la derivada de 2 que es 0, m\u00e1s la derivada de x al cuadrado que es 2x."}, {"start": 53.0, "end": 69.0, "text": " Entonces la derivada de esto es 2x. Y de aqu\u00ed vamos a despejar dx. Entonces podemos hacer lo siguiente, dx pasar\u00eda a multiplicar, nos queda que dh es igual a 2x por dx."}, {"start": 69.0, "end": 86.0, "text": " Y finalmente para despejar dx, 2x que est\u00e1 multiplicando lo pasamos a dividir. Por lo tanto nos queda dh sobre 2x igual a dx. Tenemos entonces despejado dx."}, {"start": 86.0, "end": 104.0, "text": " Vamos a notar por ac\u00e1 entonces h que equivale a 2 m\u00e1s x al cuadrado y dx que nos dio dh sobre 2x."}, {"start": 104.0, "end": 122.0, "text": " Bien, vamos a borrar esto y vamos a reconstruir la integral en t\u00e9rminos de la nueva variable, es decir en t\u00e9rminos de h que ahora ser\u00e1 la letra que controla la integral."}, {"start": 122.0, "end": 135.0, "text": " Entonces nos queda as\u00ed. Esta x de arriba la dejamos quieta porque vemos que x no tiene ning\u00fan equivalente. 2 m\u00e1s x al cuadrado lo tenemos igualado a h."}, {"start": 135.0, "end": 147.0, "text": " Entonces todo este denominador es h. Y esto multiplicado por dx que es dh sobre 2x."}, {"start": 147.0, "end": 164.0, "text": " Aqu\u00ed podemos apreciar que la x se cancela. Y entonces nos queda la integral de dh en el numerador y en el denominador 2h."}, {"start": 164.0, "end": 178.0, "text": " Multiplicando h por 2 nos queda 2h y dh vemos que queda solitario en el numerador. De aqu\u00ed podemos sacar este 2. Saldr\u00eda como un medio."}, {"start": 178.0, "end": 188.0, "text": " Un medio que multiplica a la integral de dh sobre h. Vamos a continuarla por ac\u00e1."}, {"start": 188.0, "end": 200.0, "text": " Esta integral tambi\u00e9n la podemos ver de la siguiente manera. Un medio por la integral de 1 sobre h con su correspondiente diferencial de h."}, {"start": 200.0, "end": 212.0, "text": " Y la integral de 1 sobre h ser\u00e1 el logaritmo natural del valor absoluto de h m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 212.0, "end": 222.0, "text": " Esta ya es una integral b\u00e1sica. Recordemos que el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n lo que busca es conducir la integral a una integral b\u00e1sica."}, {"start": 222.0, "end": 231.0, "text": " La integral que nos dan que es un poco complicada a una integral sencilla mediante un cambio apropiado de variable."}, {"start": 231.0, "end": 239.0, "text": " Para terminar debemos cambiar h por su equivalente porque debemos regresar a la letra original del ejercicio."}, {"start": 239.0, "end": 247.0, "text": " No podemos dejar nuestra respuesta con h siendo que la integral original viene propuesta con x."}, {"start": 247.0, "end": 259.0, "text": " Entonces nos queda un medio por el logaritmo natural de valor absoluto de h que equivale a 2 m\u00e1s x al cuadrado."}, {"start": 259.0, "end": 265.0, "text": " Cerramos valor absoluto m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 265.0, "end": 273.0, "text": " Esta ser\u00eda entonces la respuesta al ejercicio propuesto inicialmente."}]

julioprofe

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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN Y PARTES - Ejercicio 1 (Parte 2)

#julioprofe explica la solución de una integral usando los métodos de sustitución y partes. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Entonces, esto lo vamos a dejar igual, aquí tenemos la integral original y acá nos queda lo siguiente, vamos a colocar p al cuadrado adelante, es decir, p al cuadrado que multiplica a tangente a la menos 1 de p. Recordemos que esto no se puede multiplicar porque esta p le pertenece a la función inversa de la tangente, es decir, el arco tangente o tangente a la menos 1 de p, por eso es prudente pasar p al cuadrado acá al comienzo. Menos la integral de, vamos a acomodar esto de la siguiente manera, aquí arribita colocamos p al cuadrado, abajo p al cuadrado más 1 y esto multiplicado por dp, el dp lo corremos un poco hacia la derecha y vamos entonces a resolver esta integral que es la que nos ocupa en estos momentos. Esto ya no nos preocupa porque esto no tiene integral, entonces veamos, esto nos queda p al cuadrado que multiplica a tangente a la menos 1 de p, menos la integral, aquí vamos a utilizar el siguiente artificio matemático, es decir, como una estrategia matemática que sería arriba escribir p al cuadrado más 1 menos 1 y abajo dejamos p al cuadrado más 1 con el correspondiente a diferencia de dp. ¿Para qué hacemos eso? Para separar aquí en la integral de la siguiente manera, vamos a usar un paréntesis, entonces vamos a separar así, p al cuadrado más 1 sobre p al cuadrado más 1 menos 1 sobre p al cuadrado más 1. Dicemos el paréntesis y el correspondiente diferencial de p, simplemente lo que hemos hecho es separar, partir por aquí, separar la expresión de arriba aquí donde está el menos, es decir, que un componente nos quede p al cuadrado más 1 y en el otro el menos 1, pero obviamente con el denominador para cada uno de ellos, el denominador se reparte para esa partición que hemos hecho en el numerador, esto con el objetivo de obtener aquí 1, p al cuadrado más 1 sobre p al cuadrado más 1 nos da 1 y aquí una integral que va a ser sencilla, la integral de esto será tangente a la menos 1 de p. Entonces nos queda p al cuadrado tangente a la menos 1 de p menos la integral de 1, esto nos dio 1 menos 1 sobre p al cuadrado más 1 con el correspondiente diferencial de p. Por lo que protegemos la expresión con paréntesis, entonces vamos a tener lo siguiente, p al cuadrado tangente a la menos 1 de p, aquí menos, vamos a abrir un paréntesis y vamos a resolver estas dos integrales, en el central de cada uno de estos dos términos, la integral de 1 sería p, porque en este caso estamos manejando la variable p menos la integral de 1 sobre p al cuadrado más 1, como dijimos hace un momento, será tangente a la menos 1 de p. Descubramos el paréntesis y aparece por primera vez la constante de integración, rompemos ese paréntesis, nos queda p al cuadrado por tangente a la menos 1 de p, nos queda menos p más tangente a la menos 1 de p, esto más c, podemos agrupar al comienzo los términos que tienen tangente a la menos 1 de p, entonces nos quedan así, estos dos quedan aquí seguidos, colocamos el menos p más la constante de integración, y aquí, si agrupamos esos dos términos y sacamos factor común tangente a la menos 1 de p, vamos a sacarla por acá, nos queda acá dentro del paréntesis lo que es p al cuadrado más 1, después de sacar factor común tangente a la menos 1 de p. Lo del lado izquierdo simplemente lo traemos hasta este paso final y nos queda entonces acá el lado izquierdo tangente a la menos 1 de p por 2p con el correspondiente diferencial de p, es decir la integral original. Finalmente debemos expresar todo esto en términos de la variable original del ejercicio, es decir en términos de x, para ello vamos a utilizar entonces las equivalencias que habíamos escrito al comienzo, teníamos que p era igual a raíz de x y que 2p de p era igual a dx, pero también de aquí podemos observar que si elevamos al cuadrado a los dos lados nos queda que p al cuadrado es igual a x, si acá elevamos al cuadrado entonces la raíz se va y nos queda simplemente la x, entonces utilizando esto vamos a reescribir esto en términos de x, nos va a quedar entonces así, la integral de tangente a la menos 1 de p que se cambia por raíz de x y 2p de p todo esto se convierte en dx, vemos como vuelve y nos aparece la integral original, y en el lado derecho tendremos p al cuadrado que es x más 1, cierro la paréntesis, por tangente a la menos 1 de p que es raíz cuadrada de x, todo esto menos p que es raíz cuadrada de x y todo esto más la constante de integración. De esta manera hemos solucionado el ejercicio propuesto, esta sería entonces la respuesta, vemos entonces que para hacer esta integral fue necesario utilizar el método de sustitución y el método de integración por partes.

[{"start": 0.0, "end": 21.0, "text": " Entonces, esto lo vamos a dejar igual, aqu\u00ed tenemos la integral original y ac\u00e1 nos queda lo siguiente, vamos a colocar p al cuadrado adelante, es decir, p al cuadrado que multiplica a tangente a la menos 1 de p."}, {"start": 21.0, "end": 37.0, "text": " Recordemos que esto no se puede multiplicar porque esta p le pertenece a la funci\u00f3n inversa de la tangente, es decir, el arco tangente o tangente a la menos 1 de p, por eso es prudente pasar p al cuadrado ac\u00e1 al comienzo."}, {"start": 37.0, "end": 60.0, "text": " Menos la integral de, vamos a acomodar esto de la siguiente manera, aqu\u00ed arribita colocamos p al cuadrado, abajo p al cuadrado m\u00e1s 1 y esto multiplicado por dp, el dp lo corremos un poco hacia la derecha y vamos entonces a resolver esta integral que es la que nos ocupa en estos momentos."}, {"start": 60.0, "end": 83.0, "text": " Esto ya no nos preocupa porque esto no tiene integral, entonces veamos, esto nos queda p al cuadrado que multiplica a tangente a la menos 1 de p, menos la integral, aqu\u00ed vamos a utilizar el siguiente artificio matem\u00e1tico, es decir, como una estrategia matem\u00e1tica que ser\u00eda arriba escribir p al cuadrado m\u00e1s 1 menos 1"}, {"start": 83.0, "end": 91.0, "text": " y abajo dejamos p al cuadrado m\u00e1s 1 con el correspondiente a diferencia de dp."}, {"start": 91.0, "end": 118.0, "text": " \u00bfPara qu\u00e9 hacemos eso? 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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN Y PARTES - Ejercicio 1 (Parte 1)

#julioprofe explica cómo solucionar una integral usando los métodos de sustitución y partes. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a solucionar esta integral comenzando por una sustitución Vamos a llamar por ejemplo P a este componente que es raíz cuadrada de X Vamos a resaltarlo Recordemos que raíz cuadrada de X viene siendo lo mismo que X elevado a la 1 medio y entonces vamos a derivar P con respecto a X Entonces la derivada de esto con respecto a X sería 1 medio de X elevado a la menos 1 medio Tendremos que de P de X es igual a 1 sobre 2X a la 1 medio Es decir bajamos esta potencia para que quede con exponente positivo Vamos a seguirlo por acá Nos queda entonces que de P de X es igual a 1 sobre 2 raíz cuadrada de X Cambiamos X a la 1 medio nuevamente por raíz cuadrada de X Y de aquí vamos a despejar de X Vamos a despejar la diferencia a la original para posteriormente reconstruir la integral en términos de la variable P Entonces hacemos multiplicación en cruz Decimos de X por 1 nos da de X es igual al producto de estos dos elementos Que sería entonces 2 raíz cuadrada de X por dP Pero podemos observar que raíz cuadrada de X equivale a P Por lo tanto aquí podemos cambiar raíz cuadrada de X por la letra P Y nos queda que de X es igual a 2P por dP Y entonces resaltamos esto para reconstruir nuestra integral en términos de P Entonces la integral nos queda así Integral de tan la menos 1 de raíz de X La raíz de X vale P por dX que vale 2P con su correspondiente diferencial dP Entonces hemos visto como haciendo la sustitución reconstruimos la integral en términos de una nueva variable que es la letra P A continuación vamos a resolver esta integral por el método de partes Vamos a usar el método de integración por partes Recordemos que en partes debemos definir quien es U y quien es D Entonces vamos a clasificar las dos funciones que tenemos aquí en las categorías de ilate Para determinar quien hace el papel de la U Recordemos que ilate quiere decir función inversa logarítmica, algebraica, trigonométrica y exponencial Targente la menos 1 de P corresponde a la categoría de las funciones inversas Y lo que es 2P corresponde a la categoría de las funciones algebraicas Entonces tenemos I y tenemos A Si leemos la palabra ilate de izquierda a derecha vemos que la primera letra que nos encontramos entre la I y la A es esta Por lo tanto esa será la que hace el papel de la U Entonces la función tangente a la menos 1 de P será U Y el resto de la expresión, es decir 2P con su respectivo diferencial de P será lo que hace el papel de D Para proceder entonces a realizar el método de integración por partes Entonces tenemos U es igual a tangente a la menos 1 de P Vamos a destacar esto Y esto lo vamos a derivar con respecto a la letra P Entonces nos queda D U D P es igual a la derivada de tangente a la menos 1 de P será 1 sobre P al cuadrado más 1 Y de aquí vamos a despejar D U Entonces simplemente pasamos D P que se encuentra dividiendo a multiplicar al otro lado Entonces lo podemos escribir así D U es igual a D P, D P viene a multiplicar con 1, entonces se sitúa en el numerador nos queda D P sobre P al cuadrado más 1 Y de esta manera tenemos el componente llamado D U Ya tenemos entonces U y D U Vamos entonces con D B D B será igual a 2P con su respectivo de P también lo vamos a destacar Y entonces esto lo vamos a integrar a ambos lados Colocamos el simbolito de la integral a ambos lados Nos queda entonces aquí la intral de 2P con su respectivo de P Y entonces tenemos que la integral de D B sería B, vamos a escribirla por acá Y la integral de 2P sería 2P al cuadrado sobre 2 Pero aquí podemos simplificar el 2, se cancelaría y nos quedaría simplemente P al cuadrado Entonces vamos a escribir P al cuadrado Y tenemos entonces el componente llamado B Entonces tenemos los cuatro componentes de la fórmula del método de integración por partes Que son U, D U, D B y B Veamos entonces la fórmula a continuación La formulita del método de integración por partes dice así La integral de U por D B es igual a 1B menos la integral vestida de uniforme Es una forma de memorizar esta formulita Entonces vamos a reemplazar los diferentes componentes Veamos quién es U, U es tangente a la menos 1 de P Entonces la reemplazamos por D B que es este 2P por D P Es igual a U que vale tangente a la menos 1 de P Por B que sería P al cuadrado Menos la integral de D que es P al cuadrado multiplicado por D U Y D U es esta expresión de P sobre P al cuadrado más 1

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Vamos a solucionar esta integral comenzando por una sustituci\u00f3n"}, {"start": 8.0, "end": 19.0, "text": " Vamos a llamar por ejemplo P a este componente que es ra\u00edz cuadrada de X"}, {"start": 19.0, "end": 22.0, "text": " Vamos a resaltarlo"}, {"start": 22.0, "end": 30.0, "text": " Recordemos que ra\u00edz cuadrada de X viene siendo lo mismo que X elevado a la 1 medio"}, {"start": 30.0, "end": 35.0, "text": " y entonces vamos a derivar P con respecto a X"}, {"start": 35.0, "end": 45.0, "text": " Entonces la derivada de esto con respecto a X ser\u00eda 1 medio de X elevado a la menos 1 medio"}, {"start": 45.0, "end": 56.0, "text": " Tendremos que de P de X es igual a 1 sobre 2X a la 1 medio"}, {"start": 56.0, "end": 61.0, "text": " Es decir bajamos esta potencia para que quede con exponente positivo"}, {"start": 61.0, "end": 63.0, "text": " Vamos a seguirlo por ac\u00e1"}, {"start": 63.0, "end": 74.0, "text": " Nos queda entonces que de P de 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"text": " Entonces vamos a clasificar las dos funciones que tenemos aqu\u00ed en las categor\u00edas de ilate"}, {"start": 190.0, "end": 194.0, "text": " Para determinar quien hace el papel de la U"}, {"start": 194.0, "end": 202.0, "text": " Recordemos que ilate quiere decir funci\u00f3n inversa logar\u00edtmica, algebraica, trigonom\u00e9trica y exponencial"}, {"start": 202.0, "end": 208.0, "text": " Targente la menos 1 de P corresponde a la categor\u00eda de las funciones inversas"}, {"start": 208.0, "end": 215.0, "text": " Y lo que es 2P corresponde a la categor\u00eda de las funciones algebraicas"}, {"start": 215.0, "end": 219.0, "text": " Entonces tenemos I y tenemos A"}, {"start": 219.0, "end": 231.0, "text": " Si leemos la palabra ilate de izquierda a derecha vemos que la primera letra que nos encontramos entre la I y la A es esta"}, {"start": 231.0, "end": 236.0, "text": " Por lo tanto esa ser\u00e1 la que hace el papel de la U"}, {"start": 236.0, "end": 242.0, "text": " Entonces la funci\u00f3n tangente a la menos 1 de P ser\u00e1 U"}, {"start": 242.0, "end": 254.0, "text": " Y el resto de la expresi\u00f3n, es decir 2P con su respectivo diferencial de P ser\u00e1 lo que hace el papel de D"}, {"start": 254.0, "end": 262.0, "text": " Para proceder entonces a realizar el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes"}, {"start": 262.0, "end": 270.0, "text": " Entonces tenemos U es igual a tangente a la menos 1 de P"}, {"start": 270.0, "end": 274.0, "text": " Vamos a destacar esto"}, {"start": 274.0, "end": 279.0, "text": " Y esto lo vamos a derivar con respecto a la letra P"}, {"start": 279.0, "end": 292.0, "text": " Entonces nos queda D U D P es igual a la derivada de tangente a la menos 1 de P ser\u00e1 1 sobre P al cuadrado m\u00e1s 1"}, {"start": 292.0, "end": 295.0, "text": " Y de aqu\u00ed vamos a despejar D U"}, {"start": 295.0, "end": 301.0, "text": " Entonces simplemente pasamos D P que se encuentra dividiendo a multiplicar al otro lado"}, {"start": 301.0, "end": 303.0, "text": " Entonces lo podemos escribir as\u00ed"}, {"start": 303.0, "end": 315.0, "text": " D U es igual a D P, D P viene a multiplicar con 1, entonces se sit\u00faa en el numerador nos queda D P sobre P al cuadrado m\u00e1s 1"}, {"start": 315.0, "end": 320.0, "text": " Y de esta manera tenemos el componente llamado D U"}, {"start": 320.0, "end": 323.0, "text": " Ya tenemos entonces U y D U"}, {"start": 323.0, "end": 326.0, "text": " Vamos entonces con D B"}, {"start": 326.0, "end": 338.0, "text": " D B ser\u00e1 igual a 2P con su respectivo de P tambi\u00e9n lo vamos a destacar"}, {"start": 338.0, "end": 344.0, "text": " Y entonces esto lo vamos a integrar a ambos lados"}, {"start": 344.0, "end": 347.0, "text": " Colocamos el simbolito de la integral a ambos lados"}, {"start": 347.0, "end": 352.0, "text": " Nos queda entonces aqu\u00ed la intral de 2P con su respectivo de P"}, {"start": 352.0, "end": 358.0, "text": " Y entonces tenemos que la integral de D B ser\u00eda B, vamos a escribirla por ac\u00e1"}, {"start": 358.0, "end": 365.0, "text": " Y la integral de 2P ser\u00eda 2P al cuadrado sobre 2"}, {"start": 365.0, "end": 372.0, "text": " Pero aqu\u00ed podemos simplificar el 2, se cancelar\u00eda y nos quedar\u00eda simplemente P al cuadrado"}, {"start": 372.0, "end": 376.0, "text": " Entonces vamos a escribir P al cuadrado"}, {"start": 376.0, "end": 381.0, "text": " Y tenemos entonces el componente llamado B"}, {"start": 381.0, "end": 387.0, "text": " Entonces tenemos los cuatro componentes de la f\u00f3rmula del m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes"}, {"start": 387.0, "end": 391.0, "text": " Que son U, D U, D B y B"}, {"start": 391.0, "end": 394.0, "text": " Veamos entonces la f\u00f3rmula a continuaci\u00f3n"}, {"start": 394.0, "end": 399.0, "text": " La formulita del m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes dice as\u00ed"}, {"start": 399.0, "end": 412.0, "text": " La integral de U por D B es igual a 1B menos la integral vestida de uniforme"}, {"start": 412.0, "end": 416.0, "text": " Es una forma de memorizar esta formulita"}, {"start": 416.0, "end": 419.0, "text": " Entonces vamos a reemplazar los diferentes componentes"}, {"start": 419.0, "end": 424.0, "text": " Veamos qui\u00e9n es U, U es tangente a la menos 1 de P"}, {"start": 424.0, "end": 434.0, "text": " Entonces la reemplazamos por D B que es este 2P por D P"}, {"start": 434.0, "end": 441.0, "text": " Es igual a U que vale tangente a la menos 1 de P"}, {"start": 441.0, "end": 446.0, "text": " Por B que ser\u00eda P al cuadrado"}, {"start": 446.0, "end": 456.0, "text": " Menos la integral de D que es P al cuadrado multiplicado por D U"}, {"start": 456.0, "end": 479.0, "text": " Y D U es esta expresi\u00f3n de P sobre P al cuadrado m\u00e1s 1"}]

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https://www.youtube.com/watch?v=2S9IJbQIqaE

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 3×3 - Problema 1

#julioprofe explica cómo resolver un problema con tres ecuaciones simultáneas: La suma de tres números es 37. El menor disminuido en 1 equivale a la suma del mayor y el mediano; la diferencia entre el mediano y el menor equivale al mayor disminuido en 13. Hallar los números. Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

La suma de tres números es 37. El menor disminuido en 1 equivale a 1 tercio de la suma del mayor y el mediano. La diferencia entre el mediano y el menor equivale al mayor disminuido en 13. ¡Allar los números! Bien, para comenzar vamos a definir tres incógnitas. Vamos a usar las letras x, y y z para los números buscados. Entonces, x puede ser el número mayor, y sería el número mediano y z sería el número menor. Entonces, vamos a traducir las tres informaciones que nos da el problema en expresiones matemáticas. La primera información dice la suma de tres números es 37. Entonces, sería la siguiente expresión. x más y más z igual 37 y allí tenemos la primera ecuación. La segunda información dice el menor disminuido en 1 equivale a 1 tercio de la suma del mayor y el mediano. Entonces, veamos, el menor es z disminuido en 1, entonces, menos 1 equivale el signo igual a 1 tercio, allí está la fracción 1 tercio, de, o sea, por la suma del mayor y el mediano, es decir, x más y, el mayor sumado con el mediano. Allí tenemos entonces traducida esta información en una expresión matemática. Vamos a organizar esta ecuación de la siguiente manera. Aquí podemos escribir esto como x más y, todo sobre 3, es como si multiplicáramos en forma horizontal. Aquí debajo de x más y tenemos un 1 y aquí podemos pasar este 3 que está dividiendo a multiplicar al otro lado. Vamos a continuarlo por acá. Entonces nos queda 3 que multiplica a z menos 1 es igual a x más y. Hacemos propiedad distributiva, 3z menos 3 es igual a x más y. Y vamos a pasar las letras al lado izquierdo en el orden x, y, z y dejamos el número que está solo en el lado derecho. Entonces nos queda la ecuación menos x menos y más 3z igual a 3. ¿Qué hemos hecho aquí? Pasar esta x que está positiva negativa al lado izquierdo, y que está positiva también pasa negativa al lado izquierdo, se encuentra con 3z que está positivo, y este 3 que está negativo lo pasamos al lado derecho como positivo. Aquí tenemos entonces la segunda ecuación. La tercera información dice, la diferencia entre el mediano y el menor equivale al mayor disminuido en 13. Entonces veamos, la diferencia es decir la resta entre el mediano y el menor es decir entre y y z sería y menos z. Dice que equivale entonces igual al mayor es decir x disminuido en 13, es decir menos 13. Allí hemos traducido esta información en una expresión matemática. Y entonces nuevamente vamos a organizar la ecuación con las letras en el lado izquierdo en el orden x, y, z y el número en el lado derecho. Aquí simplemente pasamos esta x que está positiva al lado izquierdo como negativa y la situamos de primera. Nos queda menos x más y menos z y esto queda igual a menos 13. Vemos que menos 13 no se mueve y tenemos aquí la ecuación número 3 de nuestro problema. Bien, entonces tenemos las tres ecuaciones, la número 1, número 2 y número 3 que obtuvimos. Y hemos llegado a lo que se llama en matemáticas un sistema de ecuaciones lineales de 3x3, es decir tres ecuaciones con tres incógnitas. De todos los métodos que existen para solucionar un sistema de 3x3, tal vez el más eficaz es el método de eliminación. También conocido como método de reducción o también método de suma y resta. Ese método consiste en eliminar o deshacernos de una variable. Por ejemplo vemos que aquí la letra x, acá está positiva, acá está negativa. Es decir que al sumar estas dos ecuaciones se puede cancelar y de igual forma estas dos. Entonces podemos elegir como la letra x la letra que vamos a eliminar. Y para ello debemos sumar por ejemplo la ecuación 1 con la 2 para obtener una nueva ecuación. Y la ecuación 1 con la 3 para obtener otra ecuación y de esa forma deshacernos de la variable x. Entonces vamos a proceder, sumamos la ecuación 1 con la ecuación 2, dice la ecuación 1 x más y más z es igual a 37. Y la ecuación 2 dice menos x menos y más 3z igual a 3. Entonces al sumar en forma vertical observamos que sucede lo siguiente, x y menos x se nos elimina. Pero también observamos que y y menos y también se elimina. Por lo tanto nos queda z más 3z que es igual a 4z y acá sumamos 37 más 3 que nos da 40. Entonces vemos que no nos quedó ninguna ecuación con y y z sino que simplemente nos quedó una expresión para poder encontrar de una vez el valor de la z. Para hallar z simplemente despejamos, el 4 está multiplicando, lo pasamos a dividir y nos queda que z es igual a 40 dividido entre 4 es decir que z vale 10. Y ya tenemos entonces el valor de una de las incógnitas, vamos a notarla por acá, z vale 10. Ahora vamos a sumar la ecuación 1 con la 3 para eliminar x nuevamente. Entonces la ecuación 1 dice x más y más z es igual a 37. Y la ecuación número 3 dice menos x más y menos z es igual a menos 13. Al sumar tenemos lo siguiente, x y menos x se nos elimina pero también observamos que z y menos z se elimina. Entonces nos queda y más y que es 2y igual a la suma de 37 con menos 13 eso nos da 24 y de aquí vemos la posibilidad de despejar la letra y. Y será entonces igual a 24 dividido entre 2, 2 se está multiplicando pasa a dividir y entonces y nos da 12. Por lo tanto podemos anotar por acá el valor de la letra y que es igual a 12. Finalmente debemos encontrar x, buscamos la ecuación más sencilla para hallar x reemplazando los valores de y y z que ya obtuvimos. Vemos que la ecuación 1 es la más sencilla, entonces en la ecuación 1 vamos a reemplazar. Nos queda x más y que nos dio 12 más z que nos dio 10 y esto igual a 37. Entonces resolvemos esta ecuación queda x más, esto suma 22 igual a 37, despejamos x simplemente nos queda 37 menos 22. 22 se está sumando pasa a restar y resolviendo nos da que x vale 15. Entonces hemos encontrado el valor de la tercera incógnita x igual a 15. Para terminar debemos dar la respuesta acorde a la pregunta. Entonces la respuesta sería esta que apreciamos aquí, dice los números buscados son 15, 12 y 10. 15 el mayor, 12 el mediano y 10 el menor.

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ECUACIONES LINEALES - Ejercicios 1, 2 y 3

#julioprofe explica cómo resolver tres ecuaciones de primer grado con una incógnita. Tema: #EcuacionesLineales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFaAaS3cm5sKZ3gFlxcML1E REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver estas tres ecuaciones que son de primer grado y con una incógnita. Observemos que en las tres ecuaciones la incógnita, por ejemplo aquí la letra A y en estas dos la letra X, se encuentra siempre elevada al exponente 1. Por esa razón se llaman ecuaciones de primer grado. Vamos entonces a ver la solución de cada una de ellas. La primera ecuación dice 5A-1 igual a 14. Entonces vamos primero a despejar el término 5A. Para ello pasamos este 1 que se encuentra restando a sumar al lado derecho. Entonces nos queda 14 más 1. Resolvemos en el lado derecho. Esto nos da 14 más 1, 15. Y despejamos la incógnita A. Entonces sería 15 dividido entre 5. 5 que está multiplicando con A pasa a dividir al otro lado. Y entonces resolvemos esta división. 15 dividido entre 5, eso nos da 3. Y entonces tenemos el valor de la incógnita A igual a 3. Y esta sería la respuesta a la primera ecuación. La segunda ecuación nos dice que 5X-9 es igual a 3 que multiplica a X-2. Entonces para comenzar debemos hacer aquí propiedad distributiva. Debemos romper este paréntesis y para ello multiplicamos el 3 por estos dos términos. Entonces nos queda 5X-9 es igual a 3X que es 3X y 3 por menos 2 que sería menos 6. A continuación vamos a agrupar las letras X al lado izquierdo. Es decir, los términos que contengan la X van para el lado izquierdo. Y los números que están solos se quedan en el lado derecho. Entonces al lado izquierdo nos queda 5X y pasamos 3X que está positivo al lado izquierdo. Por lo tanto nos llega negativo. Al otro lado nos queda menos 6. Ese permanece igual porque no se mueve. Y pasamos este 9 que está negativo. Acá llega entonces positivo. Resolvemos a este lado 5X-3X nos da 2X. Resolvemos acá menos 6 más 9 eso nos da 3. Y despejamos X. 2 que está multiplicando pasa a dividir. Y nos queda que X vale 3 medios. Es una fracción que no se puede simplificar. Una fracción irreducible. Por lo tanto aquí tenemos la respuesta de la segunda ecuación. El valor de la incógnita X es 3 medios. En la tercera ecuación tenemos que 4X-8 es igual a menos 4 factor de 2X-3 y todo eso más 4. Entonces como primera medida vamos a distribuir este menos 4. Vamos a destruir ese paréntesis. Entonces nos queda de la siguiente manera. 4X-8 es igual a aquí menos 4 por 2X eso nos da menos 8X. Y menos 4 por menos 3 nos queda más 12. Y todo esto más 4. Bien entonces nos queda 4X-8 es igual a menos 8X. Y aquí podemos sumar 12 más 4 que nos da 16 positivo. Ahora vamos a agrupar los términos que tienen las X al lado izquierdo. Y los números que están solos en el lado derecho. Por lo tanto nos queda 4X. Y este 8X que está negativo pasa al lado izquierdo como positivo. Pasa como más 8X. Igual a 16 que se queda quieto en el lado derecho. Y pasamos este 8 que está negativo como positivo al otro lado. Aquí sumamos 4X más 8X eso nos da 12X. Y por acá sumamos 16 más 8 eso nos da 24. Despejamos X. El 12 que está multiplicando pasa a dividir al 24. Por lo tanto X es igual a 24 dividido entre 12. Y entonces resolvemos esa división 24 dividido entre 12 nos da 2. Y de esta manera hemos encontrado el valor de la incógnita que es X en la tercera ecuación. Y 6 vale 2.

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Esto nos da 14 m\u00e1s 1, 15."}, {"start": 57.0, "end": 60.0, "text": " Y despejamos la inc\u00f3gnita A."}, {"start": 60.0, "end": 64.0, "text": " Entonces ser\u00eda 15 dividido entre 5."}, {"start": 64.0, "end": 69.0, "text": " 5 que est\u00e1 multiplicando con A pasa a dividir al otro lado."}, {"start": 69.0, "end": 72.0, "text": " Y entonces resolvemos esta divisi\u00f3n."}, {"start": 72.0, "end": 76.0, "text": " 15 dividido entre 5, eso nos da 3."}, {"start": 76.0, "end": 83.0, "text": " Y entonces tenemos el valor de la inc\u00f3gnita A igual a 3."}, {"start": 83.0, "end": 87.0, "text": " Y esta ser\u00eda la respuesta a la primera ecuaci\u00f3n."}, {"start": 91.0, "end": 99.0, "text": " La segunda ecuaci\u00f3n nos dice que 5X-9 es igual a 3 que multiplica a X-2."}, {"start": 99.0, "end": 104.0, "text": " Entonces para comenzar debemos hacer aqu\u00ed propiedad distributiva."}, {"start": 104.0, "end": 111.0, "text": " Debemos romper este par\u00e9ntesis y para ello multiplicamos el 3 por estos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 111.0, "end": 122.0, "text": " Entonces nos queda 5X-9 es igual a 3X que es 3X y 3 por menos 2 que ser\u00eda menos 6."}, {"start": 122.0, "end": 126.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a agrupar las letras X al lado izquierdo."}, {"start": 126.0, "end": 130.0, "text": " Es decir, los t\u00e9rminos que contengan la X van para el lado izquierdo."}, {"start": 130.0, "end": 134.0, "text": " Y los n\u00fameros que est\u00e1n solos se quedan en el lado derecho."}, {"start": 134.0, "end": 141.0, "text": " Entonces al lado izquierdo nos queda 5X y pasamos 3X que est\u00e1 positivo al lado izquierdo."}, {"start": 141.0, "end": 143.0, "text": " Por lo tanto nos llega negativo."}, {"start": 143.0, "end": 146.0, "text": " Al otro lado nos queda menos 6."}, {"start": 146.0, "end": 149.0, "text": " Ese permanece igual porque no se mueve."}, {"start": 149.0, "end": 152.0, "text": " Y pasamos este 9 que est\u00e1 negativo."}, {"start": 152.0, "end": 155.0, "text": " Ac\u00e1 llega entonces positivo."}, {"start": 155.0, "end": 161.0, "text": " Resolvemos a este lado 5X-3X nos da 2X."}, {"start": 161.0, "end": 166.0, "text": " Resolvemos ac\u00e1 menos 6 m\u00e1s 9 eso nos da 3."}, {"start": 166.0, "end": 168.0, "text": " Y despejamos X."}, {"start": 168.0, "end": 172.0, "text": " 2 que est\u00e1 multiplicando pasa a dividir."}, {"start": 172.0, "end": 175.0, "text": " Y nos queda que X vale 3 medios."}, {"start": 175.0, "end": 178.0, "text": " Es una fracci\u00f3n que no se puede simplificar."}, {"start": 178.0, "end": 180.0, "text": " Una fracci\u00f3n irreducible."}, {"start": 180.0, "end": 185.0, "text": " Por lo tanto aqu\u00ed tenemos la respuesta de la segunda ecuaci\u00f3n."}, {"start": 185.0, "end": 189.0, "text": " El valor de la inc\u00f3gnita X es 3 medios."}, {"start": 193.0, "end": 202.0, "text": " En la tercera ecuaci\u00f3n tenemos que 4X-8 es igual a menos 4 factor de 2X-3 y todo eso m\u00e1s 4."}, {"start": 202.0, "end": 207.0, "text": " Entonces como primera medida vamos a distribuir este menos 4."}, {"start": 207.0, "end": 210.0, "text": " Vamos a destruir ese par\u00e9ntesis."}, {"start": 210.0, "end": 213.0, "text": " Entonces nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 213.0, "end": 221.0, "text": " 4X-8 es igual a aqu\u00ed menos 4 por 2X eso nos da menos 8X."}, {"start": 221.0, "end": 227.0, "text": " Y menos 4 por menos 3 nos queda m\u00e1s 12."}, {"start": 227.0, "end": 229.0, "text": " Y todo esto m\u00e1s 4."}, {"start": 229.0, "end": 236.0, "text": " Bien entonces nos queda 4X-8 es igual a menos 8X."}, {"start": 236.0, "end": 242.0, "text": " Y aqu\u00ed podemos sumar 12 m\u00e1s 4 que nos da 16 positivo."}, {"start": 242.0, "end": 247.0, "text": " Ahora vamos a agrupar los t\u00e9rminos que tienen las X al lado izquierdo."}, {"start": 247.0, "end": 250.0, "text": " Y los n\u00fameros que est\u00e1n solos en el lado derecho."}, {"start": 250.0, "end": 253.0, "text": " Por lo tanto nos queda 4X."}, {"start": 253.0, "end": 258.0, "text": " Y este 8X que est\u00e1 negativo pasa al lado izquierdo como positivo."}, {"start": 258.0, "end": 260.0, "text": " Pasa como m\u00e1s 8X."}, {"start": 260.0, "end": 264.0, "text": " Igual a 16 que se queda quieto en el lado derecho."}, {"start": 264.0, "end": 270.0, "text": " Y pasamos este 8 que est\u00e1 negativo como positivo al otro lado."}, {"start": 270.0, "end": 276.0, "text": " Aqu\u00ed sumamos 4X m\u00e1s 8X eso nos da 12X."}, {"start": 276.0, "end": 283.0, "text": " Y por ac\u00e1 sumamos 16 m\u00e1s 8 eso nos da 24."}, {"start": 283.0, "end": 285.0, "text": " Despejamos X."}, {"start": 285.0, "end": 290.0, "text": " El 12 que est\u00e1 multiplicando pasa a dividir al 24."}, {"start": 290.0, "end": 295.0, "text": " Por lo tanto X es igual a 24 dividido entre 12."}, {"start": 295.0, "end": 302.0, "text": " Y entonces resolvemos esa divisi\u00f3n 24 dividido entre 12 nos da 2."}, {"start": 302.0, "end": 312.0, "text": " Y de esta manera hemos encontrado el valor de la inc\u00f3gnita que es X en la tercera ecuaci\u00f3n."}, {"start": 312.0, "end": 320.0, "text": " Y 6 vale 2."}]

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RECTA PARALELA A OTRA RECTA DADA

#julioprofe explica cómo obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto (-2,3) y es paralela a la recta 2x-3y=0. Tema: #RectasEnElPlano → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEE0pZfwFlPSqWqbgnFQTKu REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Determinar la ecuación general de la recta que pasa por el punto menos 2,3 y es paralela a la recta 2x menos 3y igual a 0. Para comenzar vamos a llamar L1 a la recta conocida, es decir, la recta cuya ecuación nos da que es 2x menos 3y igual a 0. A esta recta debemos averiguar la pendiente y para ello debemos llevarla a la forma y igual a mx más b, es decir, en otras palabras debemos despejar la letra y. Vamos a hacerlo entonces, nos queda menos 3y es igual a menos 2x, pasamos este término que está positivo al otro lado negativo, despejamos y nos queda menos 2x dividido entre menos 3, menos 3 se está multiplicando pasa a dividir y simplificando los signos menos con menos nos da más, nos queda 2 tercios de x. De esta manera hemos llegado a la forma y igual a mx más b, es decir, la forma explícita de la ecuación de una recta. Y aquí podemos observar que la pendiente de la recta será 2 tercios, por lo tanto podemos decir que m1, la pendiente de la recta 1 es igual a 2 tercios. Vamos a llamar L2 a la recta solicitada, es decir, la recta que nos pide este problema, el problema dice que la recta L2 será paralela a la recta L1, es decir, la recta que nos piden es paralela a la recta que nos dan, esto quiere decir que la pendiente de la recta 2 debe ser igual a la pendiente de la recta 1. Recordemos que si dos rectas son paralelas entonces tienen la misma pendiente, por lo tanto m2 vale 2 tercios, que fue el valor que encontramos para m1. Y también sabemos que la recta que nos piden pasa por el punto menos 2,3, entonces este punto será la pareja x1 y y1 para utilizar el modelo punto pendiente que veremos a continuación. El modelo punto pendiente es esta formulita que es la que nos permite encontrar la ecuación de una recta cuando se conoce un punto, es decir, la pareja x1 y1 y la pendiente de la recta. Entonces en esta formulita vamos a reemplazar la información que tenemos, tenemos que y1 vale 3, la pendiente de la recta que buscamos es 2 tercios y el valor de x1 es menos 2, entonces como aquí tenemos signo menos, menos menos 2 se convierte en más 2 y ya procedemos a llevar la ecuación a la forma general que es la que nos pide el problema. Entonces para ello podemos pasar este 3 que se encuentra dividiendo a multiplicar al otro lado, nos queda 3 por y menos 3 y acá nos queda 2 que multiplica a x más 2. Hacemos propiedad distributiva por aquí 3y menos 9, por acá también hacemos propiedad distributiva 2x más 4 y la ecuación general dice que debe estar igualada a 0, entonces pasamos estos dos términos para el lado izquierdo, llega a menos 2x, se encuentra con más 3y, queda menos 9 y pasa este 4 negativo y todo ello igualado a 0. Vamos a terminarlo por acá, entonces nos queda menos 2x más 3y menos 9 y menos 4 queda menos 13 y esto igual a 0. Y para terminar debemos quitar este signo negativo, ello se consigue multiplicando la ecuación por menos 1 a ambos lados, entonces nos queda 2x menos 3y más 13 igual a 0. Simplemente se presenta un cambio en los signos y de esta manera hemos obtenido entonces la ecuación de la recta solicitada, es decir la ecuación de L2.

[{"start": 0.0, "end": 13.0, "text": " Determinar la ecuaci\u00f3n general de la recta que pasa por el punto menos 2,3 y es paralela a la recta 2x menos 3y igual a 0."}, {"start": 13.0, "end": 32.0, "text": " Para comenzar vamos a llamar L1 a la recta conocida, es decir, la recta cuya ecuaci\u00f3n nos da que es 2x menos 3y igual a 0."}, {"start": 32.0, "end": 48.0, "text": " A esta recta debemos averiguar la pendiente y para ello debemos llevarla a la forma y igual a mx m\u00e1s b, es decir, en otras palabras debemos despejar la letra y."}, {"start": 48.0, "end": 68.0, "text": " Vamos a hacerlo entonces, nos queda menos 3y es igual a menos 2x, pasamos este t\u00e9rmino que est\u00e1 positivo al otro lado negativo, despejamos y nos queda menos 2x dividido entre menos 3,"}, {"start": 68.0, "end": 79.0, "text": " menos 3 se est\u00e1 multiplicando pasa a dividir y simplificando los signos menos con menos nos da m\u00e1s, nos queda 2 tercios de x."}, {"start": 79.0, "end": 90.0, "text": " De esta manera hemos llegado a la forma y igual a mx m\u00e1s b, es decir, la forma expl\u00edcita de la ecuaci\u00f3n de una recta."}, {"start": 90.0, "end": 104.0, "text": " Y aqu\u00ed podemos observar que la pendiente de la recta ser\u00e1 2 tercios, por lo tanto podemos decir que m1, la pendiente de la recta 1 es igual a 2 tercios."}, {"start": 104.0, "end": 123.0, "text": " Vamos a llamar L2 a la recta solicitada, es decir, la recta que nos pide este problema, el problema dice que la recta L2 ser\u00e1 paralela a la recta L1,"}, {"start": 123.0, "end": 135.0, "text": " es decir, la recta que nos piden es paralela a la recta que nos dan, esto quiere decir que la pendiente de la recta 2 debe ser igual a la pendiente de la recta 1."}, {"start": 135.0, "end": 149.0, "text": " Recordemos que si dos rectas son paralelas entonces tienen la misma pendiente, por lo tanto m2 vale 2 tercios, que fue el valor que encontramos para m1."}, {"start": 149.0, "end": 170.0, "text": " Y tambi\u00e9n sabemos que la recta que nos piden pasa por el punto menos 2,3, entonces este punto ser\u00e1 la pareja x1 y y1 para utilizar el modelo punto pendiente que veremos a continuaci\u00f3n."}, {"start": 170.0, "end": 186.0, "text": " El modelo punto pendiente es esta formulita que es la que nos permite encontrar la ecuaci\u00f3n de una recta cuando se conoce un punto, es decir, la pareja x1 y1 y la pendiente de la recta."}, {"start": 186.0, "end": 204.0, "text": " Entonces en esta formulita vamos a reemplazar la informaci\u00f3n que tenemos, tenemos que y1 vale 3, la pendiente de la recta que buscamos es 2 tercios y el valor de x1 es menos 2,"}, {"start": 204.0, "end": 216.0, "text": " entonces como aqu\u00ed tenemos signo menos, menos menos 2 se convierte en m\u00e1s 2 y ya procedemos a llevar la ecuaci\u00f3n a la forma general que es la que nos pide el problema."}, {"start": 216.0, "end": 230.0, "text": " Entonces para ello podemos pasar este 3 que se encuentra dividiendo a multiplicar al otro lado, nos queda 3 por y menos 3 y ac\u00e1 nos queda 2 que multiplica a x m\u00e1s 2."}, {"start": 230.0, "end": 245.0, "text": " Hacemos propiedad distributiva por aqu\u00ed 3y menos 9, por ac\u00e1 tambi\u00e9n hacemos propiedad distributiva 2x m\u00e1s 4 y la ecuaci\u00f3n general dice que debe estar igualada a 0,"}, {"start": 245.0, "end": 260.0, "text": " entonces pasamos estos dos t\u00e9rminos para el lado izquierdo, llega a menos 2x, se encuentra con m\u00e1s 3y, queda menos 9 y pasa este 4 negativo y todo ello igualado a 0."}, {"start": 260.0, "end": 278.0, "text": " Vamos a terminarlo por ac\u00e1, entonces nos queda menos 2x m\u00e1s 3y menos 9 y menos 4 queda menos 13 y esto igual a 0."}, {"start": 278.0, "end": 299.0, "text": " Y para terminar debemos quitar este signo negativo, ello se consigue multiplicando la ecuaci\u00f3n por menos 1 a ambos lados, entonces nos queda 2x menos 3y m\u00e1s 13 igual a 0."}, {"start": 299.0, "end": 312.0, "text": " Simplemente se presenta un cambio en los signos y de esta manera hemos obtenido entonces la ecuaci\u00f3n de la recta solicitada, es decir la ecuaci\u00f3n de L2."}]

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Problema 1 con ANTIDERIVADAS

#julioprofe explica cómo obtener una función si se conoce su segunda derivada y algunas condiciones (ecuación diferencial de segundo orden). Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Encuentre la función f si se sabe que la segunda derivada de dicha función es igual a 4x más x al cuadrado se sabe también que f' de 2 es igual a menos 2 y que f de 1 vale 3. Bien vamos a comenzar por encontrar f' de x es decir la primera derivada de la función y eso se consigue antiderivando o integrando la segunda derivada de la función de f' de x que es la expresión que nos dan. Entonces f' de x será igual a la integral de 4x más x al cuadrado. Bien vamos a integrar entonces esa expresión como tenemos una suma de términos entonces procedemos a integrar cada uno de ellos. Entonces la integral de 4x será dejar el 4 quieto e integramos x como esta x está elevada a la 1 al exponente 1 entonces nos queda x a la 2 sobre 2 más integral de x a la 2 será x a la 3 sobre 3 y aquí aparece la primera constante de integración. Vamos a simplificar esto un poco aquí cuatro medios lo podemos escribir como 2x a la 2 más x a la 3 sobre 3 y todo esto más c1 y ahí vamos a utilizar la información que nos da el problema aquella que nos dice que f' de 2 es igual a menos 2. Con esta información vamos a encontrar el valor de c1 entonces nos queda así f' de 2 es igual a 2 por 2 al cuadrado más 2 a la 3 sobre 3 más c1 sigamos por acá entonces nos queda esto vale menos 2 si tal como nos dice la instrucción entonces nos queda menos 2 es igual a 8 esta multiplicación de a 8 más esto aquí nos da 8 tercios más el valor de c1 despejamos c1 de allí entonces nos queda menos 2 menos 8 menos 8 tercios igual a c1 esto daría menos 10 menos 8 tercios igual a c1 y resolviendo esta operación nos queda que c1 es igual a menos 38 tercios y de esta manera ya tenemos entonces el valor de la primera constante de integración ese valor lo colocamos aquí donde está c1 como es negativo de una vez lo escribimos como menos 38 tercios y de esa manera vamos a encontrar ahora f integrando o antiderivando f' de x entonces f de x será la antiderivada o la integral de f' de x con su respectivo de x es decir que f de x será la integral de esta expresión que vamos a escribir así 2x al cuadrado más aquí un tercio de x a la 3 menos 38 tercios cerramos y escribimos el diferencial vamos a realizar esa integral entonces nos queda que f de x es igual como tenemos suma y resta de términos integramos cada uno de los términos integral de este primer término será 2 que queda quieto x a la 3 sobre 3 más un tercio en el siguiente término un tercio queda quieto por la integral de x a la 3 que será x a la 4 sobre 4 menos la integral de 38 tercios será 38 tercios x más c2 aparece la constante de integración 2 organizamos esto un poco esto nos quedaría 2x a la 3 sobre 3 más x a la 4 sobre 12 menos 38 tercios x más c2 y allí vamos a utilizar la otra información que nos da el problema es decir esta instrucción f de 1 es igual a 3 con esto vamos a poder encontrar el valor de c2 entonces veamos f de 1 será sustituir x por 1 nos queda 2 por 1 a la 3 sobre 3 más aquí 1 a la 4 sobre 12 menos 38 por 1 sobre 3 más c2 entonces f de 1 vale 3 por lo tanto esto nos queda 3 es igual por aquí tenemos 2 tercios más un doceavo y por acá menos 38 tercios más c2 si nosotros despejamos c2 nos queda 3 menos 2 tercios menos un doceavo más 38 tercios esto es igual a c2 y resolviendo toda esa operación en una calculadora obteremos que c2 vale 179 12 entonces esto vale la constante de integración número 2 entonces nos queda solamente reemplazar aquí donde teníamos la expresión para f de x aquí reemplazamos c2 por este valor que encontramos es decir 179 doceavos y de esta manera hemos encontrado la función que cumple con todas esas condiciones que nos dieron al comienzo aquí hemos terminado el ejercicio

[{"start": 0.0, "end": 7.04, "text": " Encuentre la funci\u00f3n f si se sabe que la segunda derivada de dicha funci\u00f3n es"}, {"start": 7.04, "end": 13.84, "text": " igual a 4x m\u00e1s x al cuadrado se sabe tambi\u00e9n que f' de 2 es igual a"}, {"start": 13.84, "end": 24.28, "text": " menos 2 y que f de 1 vale 3. Bien vamos a comenzar por encontrar f' de x"}, {"start": 24.28, "end": 29.840000000000003, "text": " es decir la primera derivada de la funci\u00f3n y eso se consigue antiderivando"}, {"start": 29.840000000000003, "end": 38.6, "text": " o integrando la segunda derivada de la funci\u00f3n de f' de x que es la"}, {"start": 38.6, "end": 49.68000000000001, "text": " expresi\u00f3n que nos dan. Entonces f' de x ser\u00e1 igual a la integral de 4x m\u00e1s x al"}, {"start": 49.68, "end": 58.72, "text": " cuadrado. Bien vamos a integrar entonces esa expresi\u00f3n como tenemos una suma de"}, {"start": 58.72, "end": 63.64, "text": " t\u00e9rminos entonces procedemos a integrar cada uno de ellos. Entonces la integral"}, {"start": 63.64, "end": 70.68, "text": " de 4x ser\u00e1 dejar el 4 quieto e integramos x como esta x est\u00e1 elevada a la"}, {"start": 70.68, "end": 79.16, "text": " 1 al exponente 1 entonces nos queda x a la 2 sobre 2 m\u00e1s integral de x a la 2"}, {"start": 79.16, "end": 87.96, "text": " ser\u00e1 x a la 3 sobre 3 y aqu\u00ed aparece la primera constante de integraci\u00f3n. Vamos a"}, {"start": 87.96, "end": 94.8, "text": " simplificar esto un poco aqu\u00ed cuatro medios lo podemos escribir como 2x a la"}, {"start": 94.8, "end": 103.92, "text": " 2 m\u00e1s x a la 3 sobre 3 y todo esto m\u00e1s c1 y ah\u00ed vamos a utilizar la informaci\u00f3n"}, {"start": 103.92, "end": 111.88, "text": " que nos da el problema aquella que nos dice que f' de 2 es igual a"}, {"start": 111.88, "end": 118.56, "text": " menos 2. Con esta informaci\u00f3n vamos a encontrar el valor de c1 entonces nos"}, {"start": 118.56, "end": 132.48000000000002, "text": " queda as\u00ed f' de 2 es igual a 2 por 2 al cuadrado m\u00e1s 2 a la 3 sobre 3 m\u00e1s"}, {"start": 132.48, "end": 137.79999999999998, "text": " c1 sigamos por ac\u00e1"}, {"start": 137.79999999999998, "end": 144.95999999999998, "text": " entonces nos queda esto vale menos 2"}, {"start": 144.95999999999998, "end": 151.35999999999999, "text": " si tal como nos dice la instrucci\u00f3n entonces nos queda menos 2 es igual a 8"}, {"start": 151.35999999999999, "end": 159.95999999999998, "text": " esta multiplicaci\u00f3n de a 8 m\u00e1s esto aqu\u00ed nos da 8 tercios m\u00e1s el valor de c1"}, {"start": 159.96, "end": 168.16, "text": " despejamos c1 de all\u00ed entonces nos queda menos 2 menos 8 menos 8 tercios"}, {"start": 168.16, "end": 179.48000000000002, "text": " igual a c1 esto dar\u00eda menos 10 menos 8 tercios igual a c1 y resolviendo esta"}, {"start": 179.48000000000002, "end": 187.68, "text": " operaci\u00f3n nos queda que c1 es igual a menos 38 tercios y de esta manera ya"}, {"start": 187.68, "end": 192.96, "text": " tenemos entonces el valor de la primera constante de integraci\u00f3n ese valor lo"}, {"start": 192.96, "end": 199.84, "text": " colocamos aqu\u00ed donde est\u00e1 c1 como es negativo de una vez lo escribimos como"}, {"start": 199.84, "end": 209.72, "text": " menos 38 tercios y de esa manera vamos a encontrar ahora f integrando o"}, {"start": 209.72, "end": 220.8, "text": " antiderivando f' de x entonces f de x ser\u00e1 la antiderivada o la integral de f'"}, {"start": 220.8, "end": 228.16, "text": " de x con su respectivo de x es decir que f de x"}, {"start": 228.16, "end": 235.12, "text": " ser\u00e1 la integral de esta expresi\u00f3n que vamos a escribir as\u00ed 2x al cuadrado"}, {"start": 235.12, "end": 242.44, "text": " m\u00e1s aqu\u00ed un tercio de x a la 3"}, {"start": 242.44, "end": 251.84, "text": " menos 38 tercios cerramos y escribimos el diferencial vamos a realizar esa"}, {"start": 251.84, "end": 258.6, "text": " integral entonces nos queda que f de x es igual como tenemos suma y resta de"}, {"start": 258.6, "end": 262.96, "text": " t\u00e9rminos integramos cada uno de los t\u00e9rminos integral de este primer"}, {"start": 262.96, "end": 272.35999999999996, "text": " t\u00e9rmino ser\u00e1 2 que queda quieto x a la 3 sobre 3 m\u00e1s un tercio en el siguiente"}, {"start": 272.35999999999996, "end": 278.35999999999996, "text": " t\u00e9rmino un tercio queda quieto por la integral de x a la 3 que ser\u00e1 x a la"}, {"start": 278.35999999999996, "end": 291.56, "text": " 4 sobre 4 menos la integral de 38 tercios ser\u00e1 38 tercios x m\u00e1s c2 aparece la"}, {"start": 291.56, "end": 298.08, "text": " constante de integraci\u00f3n 2 organizamos esto un poco esto nos quedar\u00eda"}, {"start": 298.08, "end": 314.12, "text": " 2x a la 3 sobre 3 m\u00e1s x a la 4 sobre 12 menos 38 tercios x m\u00e1s c2 y all\u00ed vamos"}, {"start": 314.12, "end": 319.64, "text": " a utilizar la otra informaci\u00f3n que nos da el problema es decir esta"}, {"start": 319.64, "end": 325.88, "text": " instrucci\u00f3n f de 1 es igual a 3 con esto vamos a poder encontrar el valor de"}, {"start": 325.88, "end": 334.68, "text": " c2 entonces veamos f de 1 ser\u00e1 sustituir x por 1 nos queda 2 por 1 a la 3 sobre"}, {"start": 334.68, "end": 350.32, "text": " 3 m\u00e1s aqu\u00ed 1 a la 4 sobre 12 menos 38 por 1 sobre 3 m\u00e1s c2 entonces f de 1"}, {"start": 350.32, "end": 360.8, "text": " vale 3 por lo tanto esto nos queda 3 es igual por aqu\u00ed tenemos 2 tercios"}, {"start": 360.8, "end": 364.84000000000003, "text": " m\u00e1s un doceavo"}, {"start": 367.12, "end": 377.44, "text": " y por ac\u00e1 menos 38 tercios m\u00e1s c2 si nosotros despejamos c2 nos queda 3 menos"}, {"start": 377.44, "end": 388.0, "text": " 2 tercios menos un doceavo m\u00e1s 38 tercios esto es igual a c2 y resolviendo toda"}, {"start": 388.0, "end": 397.8, "text": " esa operaci\u00f3n en una calculadora obteremos que c2 vale 179 12"}, {"start": 397.8, "end": 404.88, "text": " entonces esto vale la constante de integraci\u00f3n n\u00famero 2 entonces nos queda"}, {"start": 404.88, "end": 411.8, "text": " solamente reemplazar aqu\u00ed donde ten\u00edamos la expresi\u00f3n para f de x aqu\u00ed"}, {"start": 411.8, "end": 418.96000000000004, "text": " reemplazamos c2 por este valor que encontramos es decir 179"}, {"start": 418.96000000000004, "end": 426.04, "text": " doceavos y de esta manera hemos encontrado la funci\u00f3n"}, {"start": 426.04, "end": 431.64, "text": " que cumple con todas esas condiciones que nos dieron al comienzo aqu\u00ed hemos"}, {"start": 431.64, "end": 442.28, "text": " terminado el ejercicio"}]

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SENO Y COSENO DE 0°, 30°, 45°, 60° Y 90°

#julioprofe explica cómo obtener los valores exactos de seno y coseno para los ángulos 0°, 30°, 45°, 60° y 90°. Tema: #RazonesTrigonométricas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEXAbyAl8BJry-krBJfNoUo REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a obtener los valores de las funciones trigonométricas seno y coseno para los ángulos 0°, 30°, 45°, 60° y 90° que son conocidos como los ángulos notables, es decir, los ángulos del primer cuadrante del plano cartesiano que con mayor frecuencia aparecen en la trigonometría. Vamos a colocar aquí en esta fila los valores de estos ángulos en radianes. 0° corresponde a 0 radianes, 30° corresponde a pi sextos radianes, 45° son pi cuartos radianes, 60° son pi tercios radianes y 90° son pi medios radianes. Recordemos que pi radianes son 180° y entonces la tablita vamos a llenarla de la siguiente manera. Comenzamos escribiendo los números 0, 1, 2, 3, 4 y por acá al contrario, 4, 3, 2, 1, 0. Enseguida vamos a sacarle raíz cuadrada a cada uno de esos números. Entonces colocamos el símbolo que indica la raíz cuadrada a cada uno de ellos y a continuación vamos a dividir todos estos números entre 2. Entonces procedemos a polir los valores obtenidos. Por ejemplo, raíz cuadrada de 0 nos da 0, 0 dividido entre 2 nos da 0. Ese mismo valor lo tendremos por acá. Raíz cuadrada de 1 es 1, dividido entre 2 nos queda como un medio y es el mismo que tenemos por aquí. Raíz cuadrada de 2 lo vamos a dejar indicado porque no es una raíz exacta. Raíz cuadrada de 2 queda así, luego nos queda raíz de 2 sobre 2. Y lo mismo va a suceder con raíz cuadrada de 3, que es una raíz inexacta por lo tanto la dejamos expresada. Y para terminar aquí la raíz cuadrada de 4 sería 2, 2 dividido entre 2 nos da 1. Y entonces tenemos los valores exactos de seno y coseno de estos ángulos que se llaman ángulos notables. Por ejemplo, si necesitamos el seno de 30 grados nos ubicamos aquí en la fila del seno y en la columna del 30 y tenemos que el seno de 30 grados vale un medio. O si por ejemplo necesitamos el coseno de 45 grados nos ubicamos acá en la fila del coseno y en la columna del 45 y tenemos que el coseno de 45 grados vale raíz de 2 medios. Bien, con esta tablita podemos sacar, como vimos de manera fácil, estos valores exactos de los ángulos notables.

[{"start": 0.0, "end": 24.0, "text": " Vamos a obtener los valores de las funciones trigonom\u00e9tricas seno y coseno para los \u00e1ngulos 0\u00b0, 30\u00b0, 45\u00b0, 60\u00b0 y 90\u00b0"}, {"start": 24.0, "end": 36.0, "text": " que son conocidos como los \u00e1ngulos notables, es decir, los \u00e1ngulos del primer cuadrante del plano cartesiano que con mayor frecuencia aparecen en la trigonometr\u00eda."}, {"start": 36.0, "end": 42.0, "text": " Vamos a colocar aqu\u00ed en esta fila los valores de estos \u00e1ngulos en radianes."}, {"start": 42.0, "end": 64.0, "text": " 0\u00b0 corresponde a 0 radianes, 30\u00b0 corresponde a pi sextos radianes, 45\u00b0 son pi cuartos radianes, 60\u00b0 son pi tercios radianes y 90\u00b0 son pi medios radianes."}, {"start": 64.0, "end": 73.0, "text": " Recordemos que pi radianes son 180\u00b0 y entonces la tablita vamos a llenarla de la siguiente manera."}, {"start": 73.0, "end": 89.0, "text": " Comenzamos escribiendo los n\u00fameros 0, 1, 2, 3, 4 y por ac\u00e1 al contrario, 4, 3, 2, 1, 0."}, {"start": 89.0, "end": 95.0, "text": " Enseguida vamos a sacarle ra\u00edz cuadrada a cada uno de esos n\u00fameros."}, {"start": 95.0, "end": 124.0, "text": " Entonces colocamos el s\u00edmbolo que indica la ra\u00edz cuadrada a cada uno de ellos y a continuaci\u00f3n vamos a dividir todos estos n\u00fameros entre 2."}, {"start": 124.0, "end": 134.0, "text": " Entonces procedemos a polir los valores obtenidos."}, {"start": 134.0, "end": 141.0, "text": " Por ejemplo, ra\u00edz cuadrada de 0 nos da 0, 0 dividido entre 2 nos da 0."}, {"start": 141.0, "end": 145.0, "text": " Ese mismo valor lo tendremos por ac\u00e1."}, {"start": 145.0, "end": 156.0, "text": " Ra\u00edz cuadrada de 1 es 1, dividido entre 2 nos queda como un medio y es el mismo que tenemos por aqu\u00ed."}, {"start": 156.0, "end": 162.0, "text": " Ra\u00edz cuadrada de 2 lo vamos a dejar indicado porque no es una ra\u00edz exacta."}, {"start": 162.0, "end": 169.0, "text": " Ra\u00edz cuadrada de 2 queda as\u00ed, luego nos queda ra\u00edz de 2 sobre 2."}, {"start": 169.0, "end": 179.0, "text": " Y lo mismo va a suceder con ra\u00edz cuadrada de 3, que es una ra\u00edz inexacta por lo tanto la dejamos expresada."}, {"start": 179.0, "end": 187.0, "text": " Y para terminar aqu\u00ed la ra\u00edz cuadrada de 4 ser\u00eda 2, 2 dividido entre 2 nos da 1."}, {"start": 187.0, "end": 196.0, "text": " Y entonces tenemos los valores exactos de seno y coseno de estos \u00e1ngulos que se llaman \u00e1ngulos notables."}, {"start": 196.0, "end": 207.0, "text": " Por ejemplo, si necesitamos el seno de 30 grados nos ubicamos aqu\u00ed en la fila del seno y en la columna del 30 y tenemos que el seno de 30 grados vale un medio."}, {"start": 207.0, "end": 220.0, "text": " O si por ejemplo necesitamos el coseno de 45 grados nos ubicamos ac\u00e1 en la fila del coseno y en la columna del 45 y tenemos que el coseno de 45 grados vale ra\u00edz de 2 medios."}, {"start": 220.0, "end": 230.0, "text": " Bien, con esta tablita podemos sacar, como vimos de manera f\u00e1cil, estos valores exactos de los \u00e1ngulos notables."}]

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TABLAS DE VERDAD - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo construir la tabla de verdad de una proposición compuesta (al final es tautología). Tema: #TablasDeVerdad → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHAWEyCGf6KKViNQ_zkSrfe REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a construir la tabla de Vergal de esta proposición compuesta y vamos a determinar si es tautología, contradicción o indeterminación. Para comenzar vamos a hacer dos columnas y en los encabezados colocamos las proposiciones simples P y Q que son las que podemos identificar. Tenemos cuatro filas, ¿por qué cuatro filas? Porque como tenemos dos proposiciones simples aplicamos la formula 2 a la N, es decir, 2 a la 2. N es el número de proposiciones simples que en este caso es 2 y esto nos da 4, por lo tanto tenemos cuatro posibilidades para la tabla de verdad. ¿Cómo se llenan esas cuatro posibilidades? Comenzamos con dos verdaderas y dos falsas, es decir, la primera columna mitad verdaderas mitad falsas y en la siguiente intercalamos los valores de verdad, verdadero falso, verdadero falso. Como siguiente paso creamos una nueva columna para comenzar con esta operación que tenemos dentro del paréntesis, es decir, P entonces Q, el condicional. Recordemos que el condicional es falso cuando de una verdad se llega a una falsedad, es decir, en este caso es falso, el resto de casillas se llenan con verdadero. Luego agregamos una nueva columna donde vamos a realizar esta operación, la que tenemos dentro del corchete, es decir, P entonces Q y Q, es decir, vamos a hacer la conjunción entre esta columna de valores y la columna de la Q, es decir, entre estas dos. Recordemos que la conjunción es verdadera únicamente cuando ambas proposiciones son verdaderas, es decir, por aquí y por aquí, entonces escribimos verdadero en esos dos casos y los demás serán falsos. Por último realizamos esta operación, es decir, la que nos plantea el ejercicio en su totalidad, para ello creamos una última columna donde vamos a escribir en el encabezado esta operación. Entonces aquí la tenemos y vamos a realizar el condicional entre esta columna y esta de la Q en esta dirección, de aquí hacia allá. Recordemos que el condicional es falso cuando de una verdad se llega a una falsedad, vamos a buscar ese caso, aquí no lo tenemos, aquí tampoco, aquí tampoco y aquí tampoco. Por lo tanto, quiere decir que todo esto va a tener valor de verdad verdadero y esto quiere decir también que la proposición que estábamos examinando se trata de una tautología porque todo nos dio verdadero.

[{"start": 0.0, "end": 11.5, "text": " Vamos a construir la tabla de Vergal de esta proposici\u00f3n compuesta y vamos a determinar si es tautolog\u00eda, contradicci\u00f3n o indeterminaci\u00f3n."}, {"start": 11.5, "end": 25.5, "text": " Para comenzar vamos a hacer dos columnas y en los encabezados colocamos las proposiciones simples P y Q que son las que podemos identificar."}, {"start": 25.5, "end": 38.5, "text": " Tenemos cuatro filas, \u00bfpor qu\u00e9 cuatro filas? Porque como tenemos dos proposiciones simples aplicamos la formula 2 a la N, es decir, 2 a la 2."}, {"start": 38.5, "end": 51.0, "text": " N es el n\u00famero de proposiciones simples que en este caso es 2 y esto nos da 4, por lo tanto tenemos cuatro posibilidades para la tabla de verdad."}, {"start": 51.0, "end": 71.0, "text": " \u00bfC\u00f3mo se llenan esas cuatro posibilidades? Comenzamos con dos verdaderas y dos falsas, es decir, la primera columna mitad verdaderas mitad falsas y en la siguiente intercalamos los valores de verdad, verdadero falso, verdadero falso."}, {"start": 71.0, "end": 84.5, "text": " Como siguiente paso creamos una nueva columna para comenzar con esta operaci\u00f3n que tenemos dentro del par\u00e9ntesis, es decir, P entonces Q, el condicional."}, {"start": 84.5, "end": 100.0, "text": " Recordemos que el condicional es falso cuando de una verdad se llega a una falsedad, es decir, en este caso es falso, el resto de casillas se llenan con verdadero."}, {"start": 100.0, "end": 129.5, "text": " Luego agregamos una nueva columna donde vamos a realizar esta operaci\u00f3n, la que tenemos dentro del corchete, es decir, P entonces Q y Q, es decir, vamos a hacer la conjunci\u00f3n entre esta columna de valores y la columna de la Q, es decir, entre estas dos."}, {"start": 129.5, "end": 149.0, "text": " Recordemos que la conjunci\u00f3n es verdadera \u00fanicamente cuando ambas proposiciones son verdaderas, es decir, por aqu\u00ed y por aqu\u00ed, entonces escribimos verdadero en esos dos casos y los dem\u00e1s ser\u00e1n falsos."}, {"start": 149.0, "end": 166.5, "text": " Por \u00faltimo realizamos esta operaci\u00f3n, es decir, la que nos plantea el ejercicio en su totalidad, para ello creamos una \u00faltima columna donde vamos a escribir en el encabezado esta operaci\u00f3n."}, {"start": 166.5, "end": 186.0, "text": " Entonces aqu\u00ed la tenemos y vamos a realizar el condicional entre esta columna y esta de la Q en esta direcci\u00f3n, de aqu\u00ed hacia all\u00e1."}, {"start": 186.0, "end": 200.0, "text": " Recordemos que el condicional es falso cuando de una verdad se llega a una falsedad, vamos a buscar ese caso, aqu\u00ed no lo tenemos, aqu\u00ed tampoco, aqu\u00ed tampoco y aqu\u00ed tampoco."}, {"start": 200.0, "end": 219.5, "text": " Por lo tanto, quiere decir que todo esto va a tener valor de verdad verdadero y esto quiere decir tambi\u00e9n que la proposici\u00f3n que est\u00e1bamos examinando se trata de una tautolog\u00eda porque todo nos dio verdadero."}]

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FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL INFINITO PERIÓDICO PURO

#julioprofe explica cómo obtener la fracción generatriz de un número decimal infinito periódico puro. Videos de #ConvertirDecimalesEnFracciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEhhewNrP2ZjaccJ81lujPW REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a obtener la fracción generatriz de este número que se trata de un decimal infinito periódico puro. Podemos escribirlo de la siguiente manera. 0.36 con el circunflejo encima del 36 porque observamos que 36 se repite de manera indefinida. Entonces es un decimal infinito periódico puro. Recordemos que es puro cuando después del punto decimal inicia el periodo. En este caso el periodo es 36. Entonces comenzamos por designar, por ejemplo, con la letra X al número original. 0.36 periódico. Y necesitamos multiplicar a ambos lados de la igualdad por un número que sea potencia del 10. Por ejemplo, 10, 100, 1000, etcétera, que produzca el siguiente efecto, que el punto avance hasta que tome un periodo. Es decir, debe avanzar dos lugares, por lo tanto debe multiplicarse ambos lados por 100. Entonces nos queda de la siguiente manera. Si multiplicamos por 100, al lado izquierdo nos queda 100X y en el lado derecho nos quedaría 36.363636 que podemos resumir como 36 periódico. Y a continuación vamos a restar esta expresión menos esta. Escribimos en el minuendo el número mayor, es decir 100X, que equivale a 36.36 periódico. Y en el sustraendo el menor, que es X, igual a 0.36 periódico. Como vamos a hacer la resta, debemos asegurarnos que el punto decimal quede alineado. Aquí, donde está la X solita, vamos a colocarle coeficiente 1. Sí, decir X es lo mismo que tener 1X. Y entonces vamos a hacer la resta de manera vertical. Por aquí 100X menos 1X, eso nos da 99X. Y en el lado derecho, vamos a comenzar por acá, por la parte derecha. 6 menos 6 nos da 0, 3 menos 3 nos da 0. Bajamos el punto decimal y a esto le colocamos circunflejo. Restamos, 6 menos 0 da 6 y queda el 3. Tenemos entonces que 99X es igual a 36. El número 36.000000 simplemente es el entero 36. Ya deja de ser decimal y se convierte en un número entero. Finalmente, despejamos X, nos queda 36 dividido entre 99. Recordemos que este número que se encuentra multiplicando pasa a dividir al otro lado. Y procedemos a simplificar esta fracción. Allí podríamos sacarle, por ejemplo, tercera. Tercera de 36 nos da 12. Tercera de 99 nos da 33. Nuevamente podemos sacar tercera. De 12 nos da 4. Tercera de 33 nos da 11. Esta fracción ya no se puede simplificar más. Es una fracción irreducible. Esta es entonces la fracción generatriz del número 0.36. Periódico del número que nos dieron al comienzo. Si tomamos una calculadora y efectuamos la división 4 entre 11, nos debe dar este número decimal infinito periódico puro.

[{"start": 0.0, "end": 10.6, "text": " Vamos a obtener la fracci\u00f3n generatriz de este n\u00famero que se trata de un decimal infinito peri\u00f3dico puro."}, {"start": 10.6, "end": 13.6, "text": " Podemos escribirlo de la siguiente manera."}, {"start": 13.6, "end": 24.400000000000002, "text": " 0.36 con el circunflejo encima del 36 porque observamos que 36 se repite de manera indefinida."}, {"start": 24.400000000000002, "end": 29.2, "text": " Entonces es un decimal infinito peri\u00f3dico puro."}, {"start": 29.2, "end": 34.4, "text": " Recordemos que es puro cuando despu\u00e9s del punto decimal inicia el periodo."}, {"start": 34.4, "end": 37.8, "text": " En este caso el periodo es 36."}, {"start": 37.8, "end": 45.4, "text": " Entonces comenzamos por designar, por ejemplo, con la letra X al n\u00famero original."}, {"start": 45.4, "end": 47.8, "text": " 0.36 peri\u00f3dico."}, {"start": 47.8, "end": 54.8, "text": " Y necesitamos multiplicar a ambos lados de la igualdad por un n\u00famero que sea potencia del 10."}, {"start": 54.8, "end": 65.8, "text": " Por ejemplo, 10, 100, 1000, etc\u00e9tera, que produzca el siguiente efecto, que el punto avance hasta que tome un periodo."}, {"start": 65.8, "end": 73.4, "text": " Es decir, debe avanzar dos lugares, por lo tanto debe multiplicarse ambos lados por 100."}, {"start": 73.4, "end": 76.8, "text": " Entonces nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 76.8, "end": 91.39999999999999, "text": " Si multiplicamos por 100, al lado izquierdo nos queda 100X y en el lado derecho nos quedar\u00eda 36.363636 que podemos resumir como 36 peri\u00f3dico."}, {"start": 91.39999999999999, "end": 95.8, "text": " Y a continuaci\u00f3n vamos a restar esta expresi\u00f3n menos esta."}, {"start": 95.8, "end": 104.6, "text": " Escribimos en el minuendo el n\u00famero mayor, es decir 100X, que equivale a 36.36 peri\u00f3dico."}, {"start": 104.6, "end": 111.0, "text": " Y en el sustraendo el menor, que es X, igual a 0.36 peri\u00f3dico."}, {"start": 111.0, "end": 117.19999999999999, "text": " Como vamos a hacer la resta, debemos asegurarnos que el punto decimal quede alineado."}, {"start": 117.19999999999999, "end": 122.6, "text": " Aqu\u00ed, donde est\u00e1 la X solita, vamos a colocarle coeficiente 1."}, {"start": 122.6, "end": 126.39999999999999, "text": " S\u00ed, decir X es lo mismo que tener 1X."}, {"start": 126.39999999999999, "end": 129.6, "text": " Y entonces vamos a hacer la resta de manera vertical."}, {"start": 129.6, "end": 136.6, "text": " Por aqu\u00ed 100X menos 1X, eso nos da 99X."}, {"start": 136.6, "end": 141.6, "text": " Y en el lado derecho, vamos a comenzar por ac\u00e1, por la parte derecha."}, {"start": 141.6, "end": 145.6, "text": " 6 menos 6 nos da 0, 3 menos 3 nos da 0."}, {"start": 145.6, "end": 150.6, "text": " Bajamos el punto decimal y a esto le colocamos circunflejo."}, {"start": 150.6, "end": 156.6, "text": " Restamos, 6 menos 0 da 6 y queda el 3."}, {"start": 156.6, "end": 161.6, "text": " Tenemos entonces que 99X es igual a 36."}, {"start": 161.6, "end": 168.6, "text": " El n\u00famero 36.000000 simplemente es el entero 36."}, {"start": 168.6, "end": 172.6, "text": " Ya deja de ser decimal y se convierte en un n\u00famero entero."}, {"start": 172.6, "end": 179.6, "text": " Finalmente, despejamos X, nos queda 36 dividido entre 99."}, {"start": 179.6, "end": 185.6, "text": " Recordemos que este n\u00famero que se encuentra multiplicando pasa a dividir al otro lado."}, {"start": 185.6, "end": 188.6, "text": " Y procedemos a simplificar esta fracci\u00f3n."}, {"start": 188.6, "end": 191.6, "text": " All\u00ed podr\u00edamos sacarle, por ejemplo, tercera."}, {"start": 191.6, "end": 195.6, "text": " Tercera de 36 nos da 12."}, {"start": 195.6, "end": 199.6, "text": " Tercera de 99 nos da 33."}, {"start": 199.6, "end": 202.6, "text": " Nuevamente podemos sacar tercera."}, {"start": 202.6, "end": 204.6, "text": " De 12 nos da 4."}, {"start": 204.6, "end": 207.6, "text": " Tercera de 33 nos da 11."}, {"start": 207.6, "end": 210.6, "text": " Esta fracci\u00f3n ya no se puede simplificar m\u00e1s."}, {"start": 210.6, "end": 213.6, "text": " Es una fracci\u00f3n irreducible."}, {"start": 213.6, "end": 219.6, "text": " Esta es entonces la fracci\u00f3n generatriz del n\u00famero 0.36."}, {"start": 219.6, "end": 223.6, "text": " Peri\u00f3dico del n\u00famero que nos dieron al comienzo."}, {"start": 223.6, "end": 228.6, "text": " Si tomamos una calculadora y efectuamos la divisi\u00f3n 4 entre 11,"}, {"start": 228.6, "end": 244.6, "text": " nos debe dar este n\u00famero decimal infinito peri\u00f3dico puro."}]

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DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 37

#julioprofe explica cómo evaluar derivadas a partir de condiciones dadas, usando la regla de la cadena. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Veamos el siguiente problema. Si nos dan que f de 2 vale 4, f' de 4 vale 6 y f' de 2 vale menos 2, ¿hay? En la pregunta A, la derivada de la función compuesta f compuesta f evaluada en 2 y en la pregunta B, la derivada con respecto a x de la función f de x elevada al cubo cuando x vale 2. Para la parte A, mantenemos las instrucciones que nos da el problema y vamos a comenzar de la siguiente manera. Sabemos que f compuesta f de x es igual a tener f de f de x, la función compuesta. Entonces vamos a derivar a ambos lados estas funciones. Si derivamos al lado izquierdo, entonces nos aparece f compuesta f' de x, la comita que nos indica la derivada. Y en el lado derecho, como tenemos una función compuesta, vamos a utilizar la regla de la cadera. Primero derivamos la función externa, entonces tendremos f' de f de x, recordemos que esta parte de adentro queda intacta y eso lo multiplicamos por la derivada de lo que está acá adentro, es decir lo que se conoce como la derivada interna, es decir por f' de x. Entonces primero la derivada externa y eso multiplicado por la derivada interna. A continuación vamos a sustituir x por 2, entonces si x vale 2, tendremos lo siguiente, f compuesta f' de 2 será igual a f' de f de 2 por f' de 2, es decir hemos cambiado la x por el número 2. Y vamos a utilizar en este lado las instrucciones que nos da el problema. Entonces veamos, tenemos que f de 2 vale 4, entonces lo reemplazamos acá y f' de 2, acá lo tenemos, vale menos 2, entonces también lo reemplazamos aquí. Ahora miremos f' de 4, aquí lo tenemos, vale 6, lo reemplazamos y 6 va a multiplicar con menos 2, 6 por menos 2 nos da menos 12 y de esa manera entonces hemos encontrado f compuesta f derivada evaluada en 2, es decir la respuesta a la pregunta A. Para la parte B nuevamente mantenemos las instrucciones originales que nos da el problema. Y vamos a calcular entonces la derivada con respecto a x de la función f de x elevada al cubo. En este caso vamos a aplicar la regla de la cadena para potencias. Si tenemos una función elevada a un exponente numérico hacemos lo siguiente, el exponente va a multiplicar, entonces queda 3 por la función original elevada a la 2 porque a este 3 le restamos 1, cuando a este 3 va a multiplicar entonces a este 3 se le resta 1 y nos da 2 y eso multiplicado por la derivada interna. Si la derivada de esta expresión que se había quedado intacta la anotamos aquí adelante multiplicando. Y a continuación nos dicen que encontremos el valor de esta derivada pero cuando x vale 2. Entonces vamos a reemplazar, tenemos entonces lo siguiente, 3 por abre corchete sería f de 2, cierra corchete elevado al cuadrado por f prima de 2, allí hemos sustituido la x por el número 2 y vamos a utilizar las instrucciones que nos da el problema. Veamos f de 2 vale 4, entonces lo reemplazamos aquí, al cuadrado por f prima de 2 pero f prima de 2 vale menos 2. Resolvemos eso, nos queda 3 por 4 al cuadrado eso es 16 y eso multiplicado por menos 2, tenemos entonces 3 por 16, 48, 48 por menos 2 nos da menos 96 y de esa manera hemos respondido la pregunta P del ejercicio.

[{"start": 0.0, "end": 11.08, "text": " Veamos el siguiente problema. Si nos dan que f de 2 vale 4, f' de 4 vale 6 y f' de 2 vale"}, {"start": 11.08, "end": 21.56, "text": " menos 2, \u00bfhay? En la pregunta A, la derivada de la funci\u00f3n compuesta f compuesta f evaluada"}, {"start": 21.56, "end": 31.24, "text": " en 2 y en la pregunta B, la derivada con respecto a x de la funci\u00f3n f de x elevada al cubo cuando"}, {"start": 31.24, "end": 37.68, "text": " x vale 2. Para la parte A, mantenemos las instrucciones que nos da el problema y vamos"}, {"start": 37.68, "end": 49.24, "text": " a comenzar de la siguiente manera. Sabemos que f compuesta f de x es igual a tener f"}, {"start": 49.24, "end": 61.239999999999995, "text": " de f de x, la funci\u00f3n compuesta. Entonces vamos a derivar a ambos lados estas funciones."}, {"start": 61.24, "end": 70.64, "text": " Si derivamos al lado izquierdo, entonces nos aparece f compuesta f' de x, la comita que"}, {"start": 70.64, "end": 76.76, "text": " nos indica la derivada. Y en el lado derecho, como tenemos una funci\u00f3n compuesta, vamos"}, {"start": 76.76, "end": 85.24000000000001, "text": " a utilizar la regla de la cadera. Primero derivamos la funci\u00f3n externa, entonces tendremos f'"}, {"start": 85.24, "end": 93.36, "text": " de f de x, recordemos que esta parte de adentro queda intacta y eso lo multiplicamos por la"}, {"start": 93.36, "end": 99.6, "text": " derivada de lo que est\u00e1 ac\u00e1 adentro, es decir lo que se conoce como la derivada interna,"}, {"start": 99.6, "end": 106.8, "text": " es decir por f' de x. Entonces primero la derivada externa y eso multiplicado por la derivada"}, {"start": 106.8, "end": 116.32, "text": " interna. A continuaci\u00f3n vamos a sustituir x por 2, entonces si x vale 2, tendremos lo"}, {"start": 116.32, "end": 134.2, "text": " siguiente, f compuesta f' de 2 ser\u00e1 igual a f' de f de 2 por f' de 2, es decir hemos"}, {"start": 134.2, "end": 141.92, "text": " cambiado la x por el n\u00famero 2. Y vamos a utilizar en este lado las instrucciones que"}, {"start": 141.92, "end": 151.62, "text": " nos da el problema. Entonces veamos, tenemos que f de 2 vale 4, entonces lo reemplazamos"}, {"start": 151.62, "end": 160.54, "text": " ac\u00e1 y f' de 2, ac\u00e1 lo tenemos, vale menos 2, entonces tambi\u00e9n lo reemplazamos aqu\u00ed."}, {"start": 160.54, "end": 168.64, "text": " Ahora miremos f' de 4, aqu\u00ed lo tenemos, vale 6, lo reemplazamos y 6 va a multiplicar con"}, {"start": 168.64, "end": 178.12, "text": " menos 2, 6 por menos 2 nos da menos 12 y de esa manera entonces hemos encontrado f compuesta"}, {"start": 178.12, "end": 188.88, "text": " f derivada evaluada en 2, es decir la respuesta a la pregunta A. Para la parte B nuevamente"}, {"start": 188.88, "end": 195.35999999999999, "text": " mantenemos las instrucciones originales que nos da el problema. Y vamos a calcular entonces"}, {"start": 195.35999999999999, "end": 204.92, "text": " la derivada con respecto a x de la funci\u00f3n f de x elevada al cubo. En este caso vamos"}, {"start": 204.92, "end": 212.51999999999998, "text": " a aplicar la regla de la cadena para potencias. Si tenemos una funci\u00f3n elevada a un exponente"}, {"start": 212.52, "end": 219.16000000000003, "text": " num\u00e9rico hacemos lo siguiente, el exponente va a multiplicar, entonces queda 3 por la"}, {"start": 219.16000000000003, "end": 227.68, "text": " funci\u00f3n original elevada a la 2 porque a este 3 le restamos 1, cuando a este 3 va a"}, {"start": 227.68, "end": 234.0, "text": " multiplicar entonces a este 3 se le resta 1 y nos da 2 y eso multiplicado por la derivada"}, {"start": 234.0, "end": 241.60000000000002, "text": " interna. Si la derivada de esta expresi\u00f3n que se hab\u00eda quedado intacta la anotamos"}, {"start": 241.6, "end": 248.32, "text": " aqu\u00ed adelante multiplicando. Y a continuaci\u00f3n nos dicen que encontremos el valor de esta"}, {"start": 248.32, "end": 258.28, "text": " derivada pero cuando x vale 2. Entonces vamos a reemplazar, tenemos entonces lo siguiente,"}, {"start": 258.28, "end": 267.24, "text": " 3 por abre corchete ser\u00eda f de 2, cierra corchete elevado al cuadrado por f prima de"}, {"start": 267.24, "end": 274.92, "text": " 2, all\u00ed hemos sustituido la x por el n\u00famero 2 y vamos a utilizar las instrucciones que"}, {"start": 274.92, "end": 283.08, "text": " nos da el problema. Veamos f de 2 vale 4, entonces lo reemplazamos aqu\u00ed, al cuadrado"}, {"start": 283.08, "end": 293.64, "text": " por f prima de 2 pero f prima de 2 vale menos 2. Resolvemos eso, nos queda 3 por 4 al cuadrado"}, {"start": 293.64, "end": 302.56, "text": " eso es 16 y eso multiplicado por menos 2, tenemos entonces 3 por 16, 48, 48 por menos"}, {"start": 302.56, "end": 324.72, "text": " 2 nos da menos 96 y de esa manera hemos respondido la pregunta P del ejercicio."}]

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DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 8

#julioprofe explica cómo hallar la #derivada de una función usando la regla del producto y la regla de la cadena para potencias. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En esta función tenemos que la variable y depende de la variable t. La letra a se comporta como una constante. Antes de derivarla vamos a reescribirla. Entonces, reescribimos la función y nos queda de la siguiente manera. y es igual a t que multiplica a al cuadrado más t al cuadrado elevado a la un medio. Entonces, cambiamos la raíz por exponente un medio y vamos a proceder a derivar utilizando la regla del producto. Porque aquí vemos dos componentes donde está la variable t. Este componente será a y todo este componente será b. Para que utilicemos la regla del producto recordemos la derivada de un producto es igual a la derivada del primer componente por el segundo sin derivar más la derivada del segundo componente por el primero sin derivar. Entonces, en este caso la derivada se denota como de y de t. Derivada de la función y con respecto a la variable t. Entonces comencemos. Derivada del primer componente, derivada de t es igual a uno por el segundo componente sin derivar. Que sería a al cuadrado más t al cuadrado a la un medio. Más derivada del segundo componente, es decir la derivada de esta expresión. Entonces allí aplicamos la regla de la cadena para potencias. Bajamos el exponente un medio. Queda entonces a al cuadrado más t al cuadrado. Queda esto quietico elevado a la un medio menos uno. Un medio menos uno nos da menos un medio. Y todo esto multiplicado por la derivada interna. Es decir la derivada de esta expresión con respecto a t. Que es la variable independiente de la función. Ojo, como a era una constante, a al cuadrado también será constante. Por lo tanto la derivada de esto será cero. Y la derivada de t al cuadrado será 2t. Entonces únicamente cuenta la derivada de t al cuadrado que es 2t. Esta es la derivada interna de esto. Bien, y esto multiplicado por el primer componente que era a. Es decir la letra t. Entonces tenemos aquí a'. Todo esto es b. Todo esto, perdón, desde aquí. Todo esto es b'. Y este componente es a. Ahí hemos aplicado la regla del producto. Ahora lo que vamos a hacer es organizar esa expresión. Para que quede de una forma un poco más simple. Entonces vamos a ahorrar por aquí. Y lo continuamos acá. Nos queda entonces de y de t es igual a. Veamos, uno por esto da esto mismo. Lo podemos dejar entonces con su exponente un medio. A cuadrado más t cuadrado elevado a la un medio. Y por acá vemos que este 2 se puede simplificar con este 2. Debido a que todo esto está multiplicando entre sí. Aquí también hay multiplicación. Entonces se nos va este 2. Con este 2 de aquí. Nos quedaría t por t que es igual a t al cuadrado. Aquí podemos armar una fracción. Arriba nos queda t al cuadrado. Sí, el resultado de multiplicar estas dos letras t. Y esta expresión que tiene exponente de menos un medio. Queda en el denominador con exponente un medio. Entonces queda a cuadrado más t cuadrado elevado a la un medio. Esta expresión podríamos resolverla. Para darla de una manera mucho más simple. Aquí podemos colocar denominador 1. Y tendríamos una suma de fracciones. Vamos a resolverla. Entonces nos queda en el denominador el producto de estos 2. Que queda al cuadrado más t cuadrado. Elevado a la un medio. Arriba nos queda este por este. A ver, este por este tiene la misma base. Se suman los exponentes. Un medio más un medio nos da dos medios que es igual a uno. Por lo tanto nos queda a cuadrado más t al cuadrado. Todo esto elevado a la uno. Pero recordemos que una expresión elevada a la uno. Es como si volviéramos ese exponente invisible. O sea que a la larga es como dejar a cuadrado más t cuadrado. Más este por este. Uno por t cuadrado nos queda t al cuadrado. Finalmente. Para dar nuestra respuesta. Entonces en la parte de arriba sumamos términos semejantes. Nos queda entonces a al cuadrado. Más 2t cuadrado. Y en la parte de abajo podríamos retornar a la forma de raíz. Esta nos queda raíz cuadrada de a cuadrado más t al cuadrado. Allí queda entonces nuestra respuesta. De la forma más simple. Y sin exponentes negativos. Y en forma de raíz como venia presentada originalmente.

[{"start": 0.0, "end": 5.4, "text": " En esta funci\u00f3n tenemos que la variable y depende de la variable t."}, {"start": 5.4, "end": 9.1, "text": " La letra a se comporta como una constante."}, {"start": 9.1, "end": 12.700000000000001, "text": " Antes de derivarla vamos a reescribirla."}, {"start": 12.700000000000001, "end": 19.2, "text": " Entonces, reescribimos la funci\u00f3n y nos queda de la siguiente manera."}, {"start": 19.2, "end": 28.6, "text": " y es igual a t que multiplica a al cuadrado m\u00e1s t al cuadrado elevado a la un medio."}, {"start": 28.6, "end": 35.4, "text": " Entonces, cambiamos la ra\u00edz por exponente un medio y vamos a proceder a derivar utilizando la regla del producto."}, {"start": 35.4, "end": 39.400000000000006, "text": " Porque aqu\u00ed vemos dos componentes donde est\u00e1 la variable t."}, {"start": 39.400000000000006, "end": 44.400000000000006, "text": " Este componente ser\u00e1 a y todo este componente ser\u00e1 b."}, {"start": 44.400000000000006, "end": 50.900000000000006, "text": " Para que utilicemos la regla del producto recordemos la derivada de un producto"}, {"start": 50.9, "end": 62.5, "text": " es igual a la derivada del primer componente por el segundo sin derivar m\u00e1s la derivada del segundo componente por el primero sin derivar."}, {"start": 62.5, "end": 66.5, "text": " Entonces, en este caso la derivada se denota como de y de t."}, {"start": 66.5, "end": 70.2, "text": " Derivada de la funci\u00f3n y con respecto a la variable t."}, {"start": 70.2, "end": 71.6, "text": " Entonces comencemos."}, {"start": 71.6, "end": 78.1, "text": " Derivada del primer componente, derivada de t es igual a uno por el segundo componente sin derivar."}, {"start": 78.1, "end": 84.6, "text": " Que ser\u00eda a al cuadrado m\u00e1s t al cuadrado a la un medio."}, {"start": 84.6, "end": 89.8, "text": " M\u00e1s derivada del segundo componente, es decir la derivada de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 89.8, "end": 93.3, "text": " Entonces all\u00ed aplicamos la regla de la cadena para potencias."}, {"start": 93.3, "end": 96.69999999999999, "text": " Bajamos el exponente un medio."}, {"start": 96.69999999999999, "end": 101.69999999999999, "text": " Queda entonces a al cuadrado m\u00e1s t al cuadrado."}, {"start": 101.69999999999999, "end": 104.89999999999999, "text": " Queda esto quietico elevado a la un medio menos uno."}, {"start": 104.9, "end": 108.7, "text": " Un medio menos uno nos da menos un medio."}, {"start": 108.7, "end": 111.7, "text": " Y todo esto multiplicado por la derivada interna."}, {"start": 111.7, "end": 115.60000000000001, "text": " Es decir la derivada de esta expresi\u00f3n con respecto a t."}, {"start": 115.60000000000001, "end": 119.7, "text": " Que es la variable independiente de la funci\u00f3n."}, {"start": 119.7, "end": 124.10000000000001, "text": " Ojo, como a era una constante, a al cuadrado tambi\u00e9n ser\u00e1 constante."}, {"start": 124.10000000000001, "end": 126.60000000000001, "text": " Por lo tanto la derivada de esto ser\u00e1 cero."}, {"start": 126.60000000000001, "end": 130.4, "text": " Y la derivada de t al cuadrado ser\u00e1 2t."}, {"start": 130.4, "end": 134.4, "text": " Entonces \u00fanicamente cuenta la derivada de t al cuadrado que es 2t."}, {"start": 134.4, "end": 136.9, "text": " Esta es la derivada interna de esto."}, {"start": 136.9, "end": 140.4, "text": " Bien, y esto multiplicado por el primer componente que era a."}, {"start": 140.4, "end": 142.9, "text": " Es decir la letra t."}, {"start": 142.9, "end": 148.1, "text": " Entonces tenemos aqu\u00ed a'."}, {"start": 148.1, "end": 150.6, "text": " Todo esto es b."}, {"start": 150.6, "end": 154.4, "text": " Todo esto, perd\u00f3n, desde aqu\u00ed."}, {"start": 154.4, "end": 158.9, "text": " Todo esto es b'."}, {"start": 158.9, "end": 161.20000000000002, "text": " Y este componente es a."}, {"start": 161.20000000000002, "end": 164.0, "text": " Ah\u00ed hemos aplicado la regla del producto."}, {"start": 164.0, "end": 166.4, "text": " Ahora lo que vamos a hacer es organizar esa expresi\u00f3n."}, {"start": 166.4, "end": 169.7, "text": " Para que quede de una forma un poco m\u00e1s simple."}, {"start": 169.7, "end": 173.1, "text": " Entonces vamos a ahorrar por aqu\u00ed."}, {"start": 173.1, "end": 177.4, "text": " Y lo continuamos ac\u00e1."}, {"start": 177.4, "end": 179.9, "text": " Nos queda entonces de y de t es igual a."}, {"start": 179.9, "end": 181.7, "text": " Veamos, uno por esto da esto mismo."}, {"start": 181.7, "end": 184.7, "text": " Lo podemos dejar entonces con su exponente un medio."}, {"start": 184.7, "end": 188.6, "text": " A cuadrado m\u00e1s t cuadrado elevado a la un medio."}, {"start": 188.6, "end": 192.8, "text": " Y por ac\u00e1 vemos que este 2 se puede simplificar con este 2."}, {"start": 192.8, "end": 195.9, "text": " Debido a que todo esto est\u00e1 multiplicando entre s\u00ed."}, {"start": 195.9, "end": 197.70000000000002, "text": " Aqu\u00ed tambi\u00e9n hay multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 197.70000000000002, "end": 199.60000000000002, "text": " Entonces se nos va este 2."}, {"start": 199.60000000000002, "end": 201.10000000000002, "text": " Con este 2 de aqu\u00ed."}, {"start": 201.10000000000002, "end": 206.10000000000002, "text": " Nos quedar\u00eda t por t que es igual a t al cuadrado."}, {"start": 206.10000000000002, "end": 208.10000000000002, "text": " Aqu\u00ed podemos armar una fracci\u00f3n."}, {"start": 208.10000000000002, "end": 210.10000000000002, "text": " Arriba nos queda t al cuadrado."}, {"start": 210.10000000000002, "end": 212.9, "text": " S\u00ed, el resultado de multiplicar estas dos letras t."}, {"start": 212.9, "end": 215.8, "text": " Y esta expresi\u00f3n que tiene exponente de menos un medio."}, {"start": 215.8, "end": 220.8, "text": " Queda en el denominador con exponente un medio."}, {"start": 220.8, "end": 225.5, "text": " Entonces queda a cuadrado m\u00e1s t cuadrado elevado a la un medio."}, {"start": 225.5, "end": 227.8, "text": " Esta expresi\u00f3n podr\u00edamos resolverla."}, {"start": 227.8, "end": 231.4, "text": " Para darla de una manera mucho m\u00e1s simple."}, {"start": 231.4, "end": 235.60000000000002, "text": " Aqu\u00ed podemos colocar denominador 1."}, {"start": 235.60000000000002, "end": 237.9, "text": " Y tendr\u00edamos una suma de fracciones."}, {"start": 237.9, "end": 239.4, "text": " Vamos a resolverla."}, {"start": 239.4, "end": 243.9, "text": " Entonces nos queda en el denominador el producto de estos 2."}, {"start": 243.9, "end": 248.10000000000002, "text": " Que queda al cuadrado m\u00e1s t cuadrado."}, {"start": 248.1, "end": 250.9, "text": " Elevado a la un medio."}, {"start": 250.9, "end": 252.9, "text": " Arriba nos queda este por este."}, {"start": 252.9, "end": 256.1, "text": " A ver, este por este tiene la misma base."}, {"start": 256.1, "end": 257.7, "text": " Se suman los exponentes."}, {"start": 257.7, "end": 261.1, "text": " Un medio m\u00e1s un medio nos da dos medios que es igual a uno."}, {"start": 261.1, "end": 265.2, "text": " Por lo tanto nos queda a cuadrado m\u00e1s t al cuadrado."}, {"start": 265.2, "end": 267.3, "text": " Todo esto elevado a la uno."}, {"start": 267.3, "end": 269.7, "text": " Pero recordemos que una expresi\u00f3n elevada a la uno."}, {"start": 269.7, "end": 272.7, "text": " Es como si volvi\u00e9ramos ese exponente invisible."}, {"start": 272.7, "end": 276.6, "text": " O sea que a la larga es como dejar a cuadrado m\u00e1s t cuadrado."}, {"start": 276.6, "end": 278.6, "text": " M\u00e1s este por este."}, {"start": 278.6, "end": 282.20000000000005, "text": " Uno por t cuadrado nos queda t al cuadrado."}, {"start": 282.20000000000005, "end": 284.5, "text": " Finalmente."}, {"start": 284.5, "end": 286.6, "text": " Para dar nuestra respuesta."}, {"start": 286.6, "end": 290.1, "text": " Entonces en la parte de arriba sumamos t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 290.1, "end": 292.3, "text": " Nos queda entonces a al cuadrado."}, {"start": 292.3, "end": 294.90000000000003, "text": " M\u00e1s 2t cuadrado."}, {"start": 294.90000000000003, "end": 299.20000000000005, "text": " Y en la parte de abajo podr\u00edamos retornar a la forma de ra\u00edz."}, {"start": 299.20000000000005, "end": 305.70000000000005, "text": " Esta nos queda ra\u00edz cuadrada de a cuadrado m\u00e1s t al cuadrado."}, {"start": 305.7, "end": 309.5, "text": " All\u00ed queda entonces nuestra respuesta."}, {"start": 309.5, "end": 312.4, "text": " De la forma m\u00e1s simple."}, {"start": 312.4, "end": 315.9, "text": " Y sin exponentes negativos."}, {"start": 315.9, "end": 343.9, "text": " Y en forma de ra\u00edz como venia presentada originalmente."}]

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DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicios 3, 4 y 5

#julioprofe explica cómo hallar la #derivada de tres funciones algebraicas, utilizando la Regla de la Suma y la Resta. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para derivar esta función, primero vamos a reescribirla. Este termino puede escribirse como 1 medio de x al cuadrado menos este termino que puede escribirse como 1 séptimo de x a la 7. Ahora sí podemos derivar. Entonces la derivada de la función y con respecto a la variable x será igual a lo siguiente. Como tenemos una resta, derivamos primero este termino y después este. Para derivar este termino bajamos este 2 a multiplicar 2 por 1 medio, eso nos da 1 y queda x elevado a la 1, que es el resultado de restarle 1 a este 2. 2 menos 1 nos da 1. Menos, derivamos el siguiente termino. El 7 baja a multiplicar con un séptimo, 7 por un séptimo daría 7 séptimos que equivale a 1 y queda x elevado a la 6, porque nuevamente al 7 le restamos 1. Finalmente pulimos esta expresión para mejorar su presentación y nos queda x, este 1 y este 1 se vuelven invisibles, menos x a la 6. Este 1 también se vuelve invisible. Esta sería entonces la derivada de la función que nos dieron. Vamos a derivar esta función utilizando la regla de la suma, es decir primero derivamos este termino y luego este de aquí. Entonces procedemos a derivar y nos queda derivada de la función y con respecto a la variable x es igual a lo siguiente. Derivada de este termino se hace así, 3 cuartos es el exponente baja a multiplicar con 2, 3 cuartos por 2 eso nos da 6 cuartos y 6 cuartos simplificando nos da 3 medios. X elevado a lo siguiente, a 3 cuartos debemos restarle 1. El truco para hacerlo rápidamente es el siguiente, a 3 le quitamos 4 eso nos da menos 1, 3 menos 4 es menos 1 y conservamos el mismo denominador, menos 1 cuarto es el resultado de efectuar 3 cuartos menos 1. Vamos con el siguiente termino, menos 1 cuarto baja a multiplicar con 4, 1 cuarto por 4 eso nos da menos 4 cuartos que equivale a menos 1, entonces nos queda de 9 es el signo menos y nos queda x elevado a el resultado de efectuar menos 1 cuarto menos 1. Nuevamente podemos aplicar el truquito que hicimos en el otro termino, menos 1 menos 4 nos da menos 5 y queda sobre el mismo denominador que es 4. Finalmente organizamos la expresión procurando que no nos queden exponentes negativos, entonces el primer termino nos queda de la siguiente manera, arriba el 3 abajo el 2 y esta potencia queda en el denominador con el exponente positivo, x elevado a 1 cuarto. Y el siguiente termino nos queda de la siguiente manera, arriba queda el 1 y abajo nos queda x a la 5 cuartos, de esta manera entonces hemos obtenido la derivada de la función que nos dieron y ya la tenemos sin exponentes negativos. En esta función tenemos que la variable y depende de la variable x, las letras a, b y c representan constantes. Para derivar esta función podemos reescribirla y presentarla de una forma mucho más sencilla para no tener que derivar usando la regla del cociente como inicialmente se nos presenta la función, entonces vamos a reescribir la función, nos queda de la siguiente manera, este denominador por ser un monomio, por ser un solo termino lo podemos repartir para cada uno de los términos que tenemos en el numerador, entonces nos queda a sobre x más bx sobre x más cx al cuadrado sobre x. Podríamos simplificar y acomodar para tener lista la expresión y proceder a derivar, aquí a sobre x lo podemos escribir como ax a la menos 1, subimos la x y nos queda con exponente menos 1, por aquí x con x se simplifica y nos queda la b y por aquí x cuadrado se simplifica con esta x y nos queda c por x. Allí ya podemos entonces iniciar la derivada, vamos a hacerla por acá, entonces iniciamos la etapa de derivación, entonces tenemos la derivada de la función y con respecto a la variable de x será igual a lo siguiente, derivada de este término, procedemos a derivar cada uno de los términos por tener una suma, entonces derivada de este término sería menos 1 baja a multiplicar con a nos queda menos a, x a la menos 1 menos 1 que es igual a menos 2, derivada de este término como b es una constante, la derivada de una constante es igual a cero y la derivada de c por x nos queda simplemente c, la constante que acompaña a la x. Finalmente acomodamos la expresión y nos queda de la siguiente manera, queda menos a sobre x al cuadrado, bajamos la potencia para que quede con exponente positivo y está acompañado de más c. Esta sería entonces la derivada de la función que nos dieron.

[{"start": 0.0, "end": 14.68, "text": " Para derivar esta funci\u00f3n, primero vamos a reescribirla."}, {"start": 14.68, "end": 22.84, "text": " Este termino puede escribirse como 1 medio de x al cuadrado menos este termino que puede"}, {"start": 22.84, "end": 27.52, "text": " escribirse como 1 s\u00e9ptimo de x a la 7."}, {"start": 27.52, "end": 31.2, "text": " Ahora s\u00ed podemos derivar."}, {"start": 31.2, "end": 38.96, "text": " Entonces la derivada de la funci\u00f3n y con respecto a la variable x ser\u00e1 igual a lo"}, {"start": 38.96, "end": 39.96, "text": " siguiente."}, {"start": 39.96, "end": 44.519999999999996, "text": " Como tenemos una resta, derivamos primero este termino y despu\u00e9s este."}, {"start": 44.519999999999996, "end": 51.72, "text": " Para derivar este termino bajamos este 2 a multiplicar 2 por 1 medio, eso nos da 1 y"}, {"start": 51.72, "end": 60.2, "text": " queda x elevado a la 1, que es el resultado de restarle 1 a este 2."}, {"start": 60.2, "end": 62.76, "text": " 2 menos 1 nos da 1."}, {"start": 62.76, "end": 65.84, "text": " Menos, derivamos el siguiente termino."}, {"start": 65.84, "end": 71.64, "text": " El 7 baja a multiplicar con un s\u00e9ptimo, 7 por un s\u00e9ptimo dar\u00eda 7 s\u00e9ptimos que"}, {"start": 71.64, "end": 80.52, "text": " equivale a 1 y queda x elevado a la 6, porque nuevamente al 7 le restamos 1."}, {"start": 80.52, "end": 88.19999999999999, "text": " Finalmente pulimos esta expresi\u00f3n para mejorar su presentaci\u00f3n y nos queda x, este 1 y este"}, {"start": 88.19999999999999, "end": 92.96, "text": " 1 se vuelven invisibles, menos x a la 6."}, {"start": 92.96, "end": 95.89999999999999, "text": " Este 1 tambi\u00e9n se vuelve invisible."}, {"start": 95.89999999999999, "end": 106.24, "text": " Esta ser\u00eda entonces la derivada de la funci\u00f3n que nos dieron."}, {"start": 106.24, "end": 111.03999999999999, "text": " Vamos a derivar esta funci\u00f3n utilizando la regla de la suma, es decir primero derivamos"}, {"start": 111.03999999999999, "end": 114.03999999999999, "text": " este termino y luego este de aqu\u00ed."}, {"start": 114.03999999999999, "end": 121.08, "text": " Entonces procedemos a derivar y nos queda derivada de la funci\u00f3n y con respecto a la"}, {"start": 121.08, "end": 124.6, "text": " variable x es igual a lo siguiente."}, {"start": 124.6, "end": 131.0, "text": " Derivada de este termino se hace as\u00ed, 3 cuartos es el exponente baja a multiplicar con 2,"}, {"start": 131.0, "end": 139.24, "text": " 3 cuartos por 2 eso nos da 6 cuartos y 6 cuartos simplificando nos da 3 medios."}, {"start": 139.24, "end": 144.96, "text": " X elevado a lo siguiente, a 3 cuartos debemos restarle 1."}, {"start": 144.96, "end": 152.28, "text": " El truco para hacerlo r\u00e1pidamente es el siguiente, a 3 le quitamos 4 eso nos da menos 1, 3 menos"}, {"start": 152.28, "end": 159.04, "text": " 4 es menos 1 y conservamos el mismo denominador, menos 1 cuarto es el resultado de efectuar"}, {"start": 159.04, "end": 161.2, "text": " 3 cuartos menos 1."}, {"start": 161.2, "end": 168.95999999999998, "text": " Vamos con el siguiente termino, menos 1 cuarto baja a multiplicar con 4, 1 cuarto por 4 eso"}, {"start": 168.95999999999998, "end": 175.39999999999998, "text": " nos da menos 4 cuartos que equivale a menos 1, entonces nos queda de 9 es el signo menos"}, {"start": 175.39999999999998, "end": 182.04, "text": " y nos queda x elevado a el resultado de efectuar menos 1 cuarto menos 1."}, {"start": 182.04, "end": 186.92, "text": " Nuevamente podemos aplicar el truquito que hicimos en el otro termino, menos 1 menos"}, {"start": 186.92, "end": 194.11999999999998, "text": " 4 nos da menos 5 y queda sobre el mismo denominador que es 4."}, {"start": 194.11999999999998, "end": 200.35999999999999, "text": " Finalmente organizamos la expresi\u00f3n procurando que no nos queden exponentes negativos, entonces"}, {"start": 200.35999999999999, "end": 206.76, "text": " el primer termino nos queda de la siguiente manera, arriba el 3 abajo el 2 y esta potencia"}, {"start": 206.76, "end": 211.39999999999998, "text": " queda en el denominador con el exponente positivo, x elevado a 1 cuarto."}, {"start": 211.4, "end": 217.12, "text": " Y el siguiente termino nos queda de la siguiente manera, arriba queda el 1 y abajo nos queda"}, {"start": 217.12, "end": 224.6, "text": " x a la 5 cuartos, de esta manera entonces hemos obtenido la derivada de la funci\u00f3n"}, {"start": 224.6, "end": 233.36, "text": " que nos dieron y ya la tenemos sin exponentes negativos."}, {"start": 233.36, "end": 241.64000000000001, "text": " En esta funci\u00f3n tenemos que la variable y depende de la variable x, las letras a, b y c"}, {"start": 241.64000000000001, "end": 244.44000000000003, "text": " representan constantes."}, {"start": 244.44000000000003, "end": 251.72000000000003, "text": " Para derivar esta funci\u00f3n podemos reescribirla y presentarla de una forma mucho m\u00e1s sencilla"}, {"start": 251.72000000000003, "end": 257.28000000000003, "text": " para no tener que derivar usando la regla del cociente como inicialmente se nos presenta"}, {"start": 257.28, "end": 266.23999999999995, "text": " la funci\u00f3n, entonces vamos a reescribir la funci\u00f3n, nos queda de la siguiente manera,"}, {"start": 266.23999999999995, "end": 271.67999999999995, "text": " este denominador por ser un monomio, por ser un solo termino lo podemos repartir para cada"}, {"start": 271.67999999999995, "end": 278.15999999999997, "text": " uno de los t\u00e9rminos que tenemos en el numerador, entonces nos queda a sobre x m\u00e1s bx sobre"}, {"start": 278.15999999999997, "end": 283.88, "text": " x m\u00e1s cx al cuadrado sobre x."}, {"start": 283.88, "end": 291.24, "text": " Podr\u00edamos simplificar y acomodar para tener lista la expresi\u00f3n y proceder a derivar, aqu\u00ed"}, {"start": 291.24, "end": 298.04, "text": " a sobre x lo podemos escribir como ax a la menos 1, subimos la x y nos queda con exponente"}, {"start": 298.04, "end": 306.24, "text": " menos 1, por aqu\u00ed x con x se simplifica y nos queda la b y por aqu\u00ed x cuadrado se simplifica"}, {"start": 306.24, "end": 310.32, "text": " con esta x y nos queda c por x."}, {"start": 310.32, "end": 317.2, "text": " All\u00ed ya podemos entonces iniciar la derivada, vamos a hacerla por ac\u00e1, entonces iniciamos"}, {"start": 317.2, "end": 324.2, "text": " la etapa de derivaci\u00f3n, entonces tenemos la derivada de la funci\u00f3n y con respecto a"}, {"start": 324.2, "end": 329.84, "text": " la variable de x ser\u00e1 igual a lo siguiente, derivada de este t\u00e9rmino, procedemos a derivar"}, {"start": 329.84, "end": 334.03999999999996, "text": " cada uno de los t\u00e9rminos por tener una suma, entonces derivada de este t\u00e9rmino ser\u00eda"}, {"start": 334.04, "end": 341.96000000000004, "text": " menos 1 baja a multiplicar con a nos queda menos a, x a la menos 1 menos 1 que es igual"}, {"start": 341.96000000000004, "end": 348.48, "text": " a menos 2, derivada de este t\u00e9rmino como b es una constante, la derivada de una constante"}, {"start": 348.48, "end": 355.28000000000003, "text": " es igual a cero y la derivada de c por x nos queda simplemente c, la constante que acompa\u00f1a"}, {"start": 355.28000000000003, "end": 356.52000000000004, "text": " a la x."}, {"start": 356.52, "end": 364.71999999999997, "text": " Finalmente acomodamos la expresi\u00f3n y nos queda de la siguiente manera, queda menos a sobre"}, {"start": 364.71999999999997, "end": 371.47999999999996, "text": " x al cuadrado, bajamos la potencia para que quede con exponente positivo y est\u00e1 acompa\u00f1ado"}, {"start": 371.47999999999996, "end": 373.44, "text": " de m\u00e1s c."}, {"start": 373.44, "end": 390.0, "text": " Esta ser\u00eda entonces la derivada de la funci\u00f3n que nos dieron."}]

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VOLUMEN DE UNA CAJA EN FUNCIÓN DE X

#julioprofe explica cómo expresar el volumen de una caja en función de una variable X. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Se va a construir una caja rectangular sin tapa a partir de una lámina metálica de 30 cm de largo por 20 cm de ancho. Para ello se van a recortar cuadrados del lado X en las esquinas y luego se van a doblar los lados hacia arriba. Expresar el volumen V de la caja como una función de X. En este problema nos dicen que contamos con una lámina rectangular de 30 cm de largo por 20 cm de ancho. Vamos a dibujar un rectángulo que represente la lámina. Vamos a colocar aquí la dimensión mayor, 30 cm, que es el largo, y por acá vamos a señalar el ancho, que son 20 cm. Bien, y nos dicen que a partir de esa lámina se va a construir una caja recortando cuadraditos en las esquinas. Es decir, vamos a quitar cuadraditos de lado X. Nos dice el problema. Nos va a quedar como estos pliegues por donde vamos a doblar luego hacia arriba para conformar la caja. Entonces, imaginemos que hacemos esto. Quitamos estas esquinas, quitamos los cuadraditos de las esquinas que son del lado X, y con las aletas que quedan, las doblamos hacia arriba y de esa manera tenemos la caja. Vamos a dibujar la caja por acá. Es una caja sin tapa, más o menos como este dibujo que estamos haciendo por acá. Bien, entonces vamos a colocar las dimensiones de la caja ya construida para la cual hacemos el siguiente análisis. Nos dicen que el lado del cuadradito que se quita vale X. Vamos a colocarle por aquí X y por aquí también le ponemos X. Al igual que por aquí, esto vale X, y también por aquí. Bien, entonces vamos a determinar qué longitud nos quedó aquí, que correspondería a esta misma de acá, a la dimensión más larga de la caja ya construida. Entonces veamos, originalmente de aquí a aquí, o sea, el largo de la lámina original era 30 centímetros, lo tenemos acá señalado, pero a 30 centímetros le hemos quitado este pedacito que es X y este otro pedacito que también es X, es decir que le hemos quitado 2X. Entonces esta dimensión será 30 menos 2X y es la que vamos a marcar por aquí. Bien, de manera similar vamos a determinar esta distancia que queda aquí, que corresponde a esta dimensión de la caja, como el ancho de la caja. Entonces veamos, la dimensión original es 20 centímetros, es decir, desde aquí hasta aquí, pero también le quitamos X por aquí y X por aquí, es decir que en total le quitamos 2X. Entonces esta dimensión será 20 menos 2X, que corresponde, como decíamos, a esta dimensión. Bien, ahora miremos qué altura tiene la caja, cuánto vale esta distancia de aquí a acá. Entonces, pensemos en lo siguiente, este pedacito que vale X se va a encontrar con este pedacito de X cuando se doblen hacia arriba estas dos aletas, es decir, supongamos que al subirlas entonces ellas coinciden aquí, en esta unión, por lo tanto la altura de la caja corresponde a la longitud X, es decir, al lado del cuadrado. El problema nos está pidiendo entonces determinar una expresión para el volumen de la caja en términos de X. Entonces vamos a hacer lo siguiente, el volumen de esta figura geométrica que corresponde a lo que se llama un paralelepípedo recto se obtiene multiplicando sus tres dimensiones, que son largo por ancho por altura. Entonces tenemos 30 menos 2X multiplicado por 20 menos 2X y eso multiplicado por X. Aquí tenemos largo, tenemos ancho y tenemos altura multiplicada entre sí. Vamos a continuar con el desarrollo algebraico de esto de producto, entonces vamos a comenzar por ejemplo distribuyendo esta X para este bilomio que tenemos aquí, únicamente para este, entonces X entra en esta expresión, este 30 menos 2X se queda quieto, en espera, y entonces X por 20 nos queda 20X y X por menos 2X nos queda menos 2X al cuadrado. Y a continuación vamos a realizar el producto de estos dos binomios, recordemos que se hace multiplicando todos con todos, empecemos con el 30, 30 por 20X eso nos da 600X, 30 por menos 2X al cuadrado nos queda menos 60X al cuadrado, menos 2X por 20X eso nos da menos 40X al cuadrado y menos 2X por menos 2X al cuadrado eso nos da más 4X al cubo. Para finalizar vamos a reducir términos semejantes en esa expresión, vemos que términos semejantes son estos dos que contienen X al cuadrado y de una vez para dar nuestra respuesta vamos a organizar el polinomio en forma descendente, vamos a continuarlo por acá, entonces nos queda que el volumen es igual a, empezamos con 4X a la 3 con el término de mayor exponente, seguimos con estos dos que al operarlos entre sí nos da menos 100X al cuadrado y por último más 600X y de esa manera hemos obtenido la expresión del volumen de la caja como una función de X, es decir V en términos de X, de esa manera entonces hemos dado solución a nuestro problema.

[{"start": 0.0, "end": 11.0, "text": " Se va a construir una caja rectangular sin tapa a partir de una l\u00e1mina met\u00e1lica de 30 cm de largo por 20 cm de ancho."}, {"start": 11.0, "end": 21.0, "text": " Para ello se van a recortar cuadrados del lado X en las esquinas y luego se van a doblar los lados hacia arriba."}, {"start": 21.0, "end": 40.0, "text": " Expresar el volumen V de la caja como una funci\u00f3n de X. En este problema nos dicen que contamos con una l\u00e1mina rectangular de 30 cm de largo por 20 cm de ancho."}, {"start": 40.0, "end": 63.0, "text": " Vamos a dibujar un rect\u00e1ngulo que represente la l\u00e1mina. Vamos a colocar aqu\u00ed la dimensi\u00f3n mayor, 30 cm, que es el largo, y por ac\u00e1 vamos a se\u00f1alar el ancho, que son 20 cm."}, {"start": 63.0, "end": 73.0, "text": " Bien, y nos dicen que a partir de esa l\u00e1mina se va a construir una caja recortando cuadraditos en las esquinas."}, {"start": 73.0, "end": 98.0, "text": " Es decir, vamos a quitar cuadraditos de lado X. Nos dice el problema. Nos va a quedar como estos pliegues por donde vamos a doblar luego hacia arriba para conformar la caja."}, {"start": 98.0, "end": 109.0, "text": " Entonces, imaginemos que hacemos esto. Quitamos estas esquinas, quitamos los cuadraditos de las esquinas que son del lado X,"}, {"start": 109.0, "end": 131.0, "text": " y con las aletas que quedan, las doblamos hacia arriba y de esa manera tenemos la caja. Vamos a dibujar la caja por ac\u00e1. Es una caja sin tapa, m\u00e1s o menos como este dibujo que estamos haciendo por ac\u00e1."}, {"start": 131.0, "end": 147.0, "text": " Bien, entonces vamos a colocar las dimensiones de la caja ya construida para la cual hacemos el siguiente an\u00e1lisis."}, {"start": 147.0, "end": 159.0, "text": " Nos dicen que el lado del cuadradito que se quita vale X. Vamos a colocarle por aqu\u00ed X y por aqu\u00ed tambi\u00e9n le ponemos X."}, {"start": 159.0, "end": 170.0, "text": " Al igual que por aqu\u00ed, esto vale X, y tambi\u00e9n por aqu\u00ed."}, {"start": 170.0, "end": 186.0, "text": " Bien, entonces vamos a determinar qu\u00e9 longitud nos qued\u00f3 aqu\u00ed, que corresponder\u00eda a esta misma de ac\u00e1, a la dimensi\u00f3n m\u00e1s larga de la caja ya construida."}, {"start": 186.0, "end": 195.0, "text": " Entonces veamos, originalmente de aqu\u00ed a aqu\u00ed, o sea, el largo de la l\u00e1mina original era 30 cent\u00edmetros, lo tenemos ac\u00e1 se\u00f1alado,"}, {"start": 195.0, "end": 204.0, "text": " pero a 30 cent\u00edmetros le hemos quitado este pedacito que es X y este otro pedacito que tambi\u00e9n es X, es decir que le hemos quitado 2X."}, {"start": 204.0, "end": 212.0, "text": " Entonces esta dimensi\u00f3n ser\u00e1 30 menos 2X y es la que vamos a marcar por aqu\u00ed."}, {"start": 212.0, "end": 227.0, "text": " Bien, de manera similar vamos a determinar esta distancia que queda aqu\u00ed, que corresponde a esta dimensi\u00f3n de la caja, como el ancho de la caja."}, {"start": 227.0, "end": 237.0, "text": " Entonces veamos, la dimensi\u00f3n original es 20 cent\u00edmetros, es decir, desde aqu\u00ed hasta aqu\u00ed, pero tambi\u00e9n le quitamos X por aqu\u00ed y X por aqu\u00ed,"}, {"start": 237.0, "end": 249.0, "text": " es decir que en total le quitamos 2X. Entonces esta dimensi\u00f3n ser\u00e1 20 menos 2X, que corresponde, como dec\u00edamos, a esta dimensi\u00f3n."}, {"start": 249.0, "end": 256.0, "text": " Bien, ahora miremos qu\u00e9 altura tiene la caja, cu\u00e1nto vale esta distancia de aqu\u00ed a ac\u00e1."}, {"start": 256.0, "end": 266.0, "text": " Entonces, pensemos en lo siguiente, este pedacito que vale X se va a encontrar con este pedacito de X cuando se doblen hacia arriba estas dos aletas,"}, {"start": 266.0, "end": 278.0, "text": " es decir, supongamos que al subirlas entonces ellas coinciden aqu\u00ed, en esta uni\u00f3n, por lo tanto la altura de la caja corresponde a la longitud X,"}, {"start": 278.0, "end": 289.0, "text": " es decir, al lado del cuadrado. El problema nos est\u00e1 pidiendo entonces determinar una expresi\u00f3n para el volumen de la caja en t\u00e9rminos de X."}, {"start": 289.0, "end": 297.0, "text": " Entonces vamos a hacer lo siguiente, el volumen de esta figura geom\u00e9trica que corresponde a lo que se llama un paralelep\u00edpedo recto"}, {"start": 297.0, "end": 311.0, "text": " se obtiene multiplicando sus tres dimensiones, que son largo por ancho por altura. Entonces tenemos 30 menos 2X multiplicado por 20 menos 2X"}, {"start": 311.0, "end": 319.0, "text": " y eso multiplicado por X. Aqu\u00ed tenemos largo, tenemos ancho y tenemos altura multiplicada entre s\u00ed."}, {"start": 319.0, "end": 329.0, "text": " Vamos a continuar con el desarrollo algebraico de esto de producto, entonces vamos a comenzar por ejemplo distribuyendo esta X para este bilomio que tenemos aqu\u00ed,"}, {"start": 329.0, "end": 342.0, "text": " \u00fanicamente para este, entonces X entra en esta expresi\u00f3n, este 30 menos 2X se queda quieto, en espera, y entonces X por 20 nos queda 20X"}, {"start": 342.0, "end": 350.0, "text": " y X por menos 2X nos queda menos 2X al cuadrado. Y a continuaci\u00f3n vamos a realizar el producto de estos dos binomios,"}, {"start": 350.0, "end": 364.0, "text": " recordemos que se hace multiplicando todos con todos, empecemos con el 30, 30 por 20X eso nos da 600X, 30 por menos 2X al cuadrado nos queda menos 60X al cuadrado,"}, {"start": 364.0, "end": 378.0, "text": " menos 2X por 20X eso nos da menos 40X al cuadrado y menos 2X por menos 2X al cuadrado eso nos da m\u00e1s 4X al cubo."}, {"start": 378.0, "end": 388.0, "text": " Para finalizar vamos a reducir t\u00e9rminos semejantes en esa expresi\u00f3n, vemos que t\u00e9rminos semejantes son estos dos que contienen X al cuadrado"}, {"start": 388.0, "end": 397.0, "text": " y de una vez para dar nuestra respuesta vamos a organizar el polinomio en forma descendente, vamos a continuarlo por ac\u00e1,"}, {"start": 397.0, "end": 404.0, "text": " entonces nos queda que el volumen es igual a, empezamos con 4X a la 3 con el t\u00e9rmino de mayor exponente,"}, {"start": 404.0, "end": 417.0, "text": " seguimos con estos dos que al operarlos entre s\u00ed nos da menos 100X al cuadrado y por \u00faltimo m\u00e1s 600X"}, {"start": 417.0, "end": 430.0, "text": " y de esa manera hemos obtenido la expresi\u00f3n del volumen de la caja como una funci\u00f3n de X, es decir V en t\u00e9rminos de X,"}, {"start": 430.0, "end": 434.0, "text": " de esa manera entonces hemos dado soluci\u00f3n a nuestro problema."}]

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DERIVACIÓN DE FUNCIONES - Ejercicio 13

#julioprofe explica cómo hallar la #derivada de una función que contiene expresiones trigonométricas. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Nos piden encontrar para esta función su derivada. Vamos a reescribir inicialmente la función. Entonces tenemos y es igual. Tener coser al cuadrado de x es lo mismo que tener coser al cuadrado de x todo elevado al cuadrado. Aquí no hacemos ningún cambio. Procedemos entonces a derivar. Vamos a usar las reglas de derivación. Entonces la derivada de y con respecto a x será de y de x. Veamos, tenemos una suma. Entonces procedemos a derivar cada uno de los términos. Y aquí, en este primer término, vamos a aplicar la regla de la cadena para potencias. Entonces, este 2 baja a multiplicar. Queda 2 que multiplica al coseno de x elevado a la 1. Porque recordemos que al 2 se le resta 1. Y eso multiplicado por la derivada interna. La derivada de este coseno de x sería menos el seno de x. Hemos aplicado la regla de la cadena para potencias. Es decir, este signo más. Pasamos a este término. Tenemos una función trigonométrica que es el coseno. La derivada del coseno, recordemos que es igual a menos el seno de esta expresión de x al cuadrado. Y multiplicamos por la derivada interna. También estamos usando la regla de la cadena. Pero en este caso es para una función trigonométrica. Entonces, decíamos derivada del coseno menos el seno, el ángulo, por la derivada de esta expresión. La derivada de x al cuadrado es igual a 2x. Cerramos el corchete. Vamos a pulir esta expresión entonces. Nos queda que de y de x es igual. Aquí multiplicamos. Este signo negativo nos vuelve negativo todo esto. Entonces lo podemos organizar así. Menos 2 seno de x por coseno de x. Simplemente cambiamos de posición estos dos factores. Y aquí tenemos lo siguiente. Más por menos es menos. Podríamos iniciar con 2x y enseguida el seno de x al cuadrado. De esta manera tenemos entonces la derivada de la función que nos dio.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Nos piden encontrar para esta funci\u00f3n su derivada. Vamos a reescribir inicialmente la funci\u00f3n."}, {"start": 12.0, "end": 21.0, "text": " Entonces tenemos y es igual. Tener coser al cuadrado de x es lo mismo que tener coser al cuadrado de x todo elevado al cuadrado."}, {"start": 21.0, "end": 25.0, "text": " Aqu\u00ed no hacemos ning\u00fan cambio."}, {"start": 25.0, "end": 31.0, "text": " Procedemos entonces a derivar. Vamos a usar las reglas de derivaci\u00f3n."}, {"start": 31.0, "end": 38.0, "text": " Entonces la derivada de y con respecto a x ser\u00e1 de y de x."}, {"start": 38.0, "end": 43.0, "text": " Veamos, tenemos una suma. Entonces procedemos a derivar cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 43.0, "end": 49.0, "text": " Y aqu\u00ed, en este primer t\u00e9rmino, vamos a aplicar la regla de la cadena para potencias."}, {"start": 49.0, "end": 58.0, "text": " Entonces, este 2 baja a multiplicar. Queda 2 que multiplica al coseno de x elevado a la 1."}, {"start": 58.0, "end": 61.0, "text": " Porque recordemos que al 2 se le resta 1."}, {"start": 61.0, "end": 64.0, "text": " Y eso multiplicado por la derivada interna."}, {"start": 64.0, "end": 70.0, "text": " La derivada de este coseno de x ser\u00eda menos el seno de x."}, {"start": 70.0, "end": 74.0, "text": " Hemos aplicado la regla de la cadena para potencias."}, {"start": 74.0, "end": 82.0, "text": " Es decir, este signo m\u00e1s. Pasamos a este t\u00e9rmino. Tenemos una funci\u00f3n trigonom\u00e9trica que es el coseno."}, {"start": 82.0, "end": 91.0, "text": " La derivada del coseno, recordemos que es igual a menos el seno de esta expresi\u00f3n de x al cuadrado."}, {"start": 91.0, "end": 94.0, "text": " Y multiplicamos por la derivada interna."}, {"start": 94.0, "end": 96.0, "text": " Tambi\u00e9n estamos usando la regla de la cadena."}, {"start": 96.0, "end": 99.0, "text": " Pero en este caso es para una funci\u00f3n trigonom\u00e9trica."}, {"start": 99.0, "end": 107.0, "text": " Entonces, dec\u00edamos derivada del coseno menos el seno, el \u00e1ngulo, por la derivada de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 107.0, "end": 111.0, "text": " La derivada de x al cuadrado es igual a 2x."}, {"start": 111.0, "end": 115.0, "text": " Cerramos el corchete. Vamos a pulir esta expresi\u00f3n entonces."}, {"start": 115.0, "end": 117.0, "text": " Nos queda que de y de x es igual."}, {"start": 117.0, "end": 123.0, "text": " Aqu\u00ed multiplicamos. Este signo negativo nos vuelve negativo todo esto."}, {"start": 123.0, "end": 129.0, "text": " Entonces lo podemos organizar as\u00ed. Menos 2 seno de x por coseno de x."}, {"start": 129.0, "end": 132.0, "text": " Simplemente cambiamos de posici\u00f3n estos dos factores."}, {"start": 132.0, "end": 136.0, "text": " Y aqu\u00ed tenemos lo siguiente. M\u00e1s por menos es menos."}, {"start": 136.0, "end": 144.0, "text": " Podr\u00edamos iniciar con 2x y enseguida el seno de x al cuadrado."}, {"start": 144.0, "end": 153.0, "text": " De esta manera tenemos entonces la derivada de la funci\u00f3n que nos dio."}]

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DERIVACIÓN IMPLÍCITA - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo derivar implícitamente una expresión para obtener dy/dx. Tema: #Derivadas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwF9r-Y_Gpuq45VP0qnJIJL1 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este ejercicio donde nos dan una ecuación con dos variables x y y y nos piden encontrar de y de x. Vemos que es una expresión donde la x y la y se encuentran combinadas de tal forma que despejar la y en términos de x no es sencillo. Por lo tanto, para encontrar de y de x debemos utilizar la derivación implícita. Para derivar implícitamente procedemos con las reglas de derivación en ambos lados de la igualdad. Teniendo precaución que cada vez que derivemos algo con la y debemos anexar y', que es el mismo de y de x. Utilizamos y' por comodidad pero al final del ejercicio lo cambiamos por de y de x. Entonces procedamos. A este lado tenemos sumas y restas de términos, por lo tanto derivamos cada uno de los términos. Empezamos con x a la 3. Derivada de x a la 3 sería 3x a la 2. Menos, derivada de ya la 5. Derivamos normalmente, nos queda 5y a la 4 y agregamos y'. La advertencia que dijimos al comienzo. Cada vez que derivamos algo con y debemos agregar y'. Seguimos. Más derivada de 3x al cuadrado sería 6x. Menos derivada de 6y sería 6. Pero como derivamos algo que tenía la y agregamos y'. Pasamos al otro lado de la igualdad y tenemos una constante que es el 1. La derivada de una constante es igual a 0. A continuación vamos a dejar al lado izquierdo de la expresión los términos que contienen y'. Es decir, este término y este. Lo demás lo pasamos al lado derecho. Entonces nos queda menos 5y a la 4 por y'. Menos 6y'. Igual pasamos este término, menos 3x al cuadrado pasa negativo y 6x también pasa negativo. Podríamos multiplicar ambos lados de la igualdad por menos 1 para deshacernos de esa cantidad de signos negativo. Damos la instrucción de multiplicar todo por menos 1 y entonces nos queda mucho más sencillo con términos positivos. 5y a la 4 por y' más 6y' igual a 3x al cuadrado más 6x. Ahora vamos a extraer aquí factor común que sería y'. Sacamos y' de la expresión factor común de 5y a la 4 más 6. Cerramos el paréntesis igual a esto mismo. Ahora vamos a despejar y'. Vamos a continuarlo por acá. Vamos a hacer el despeje de y'. Para ello tomamos esta expresión que se encuentra multiplicando y la pasamos a dividir debajo de esto. Entonces nos queda 3x al cuadrado más 6x. Todo esto sobre esta expresión que sería 5y a la 4 más 6. Ahí tenemos entonces y' ya despejado pero debemos hacer el cambio que mencionábamos al comienzo. Repetimos, usamos y' por comodidad durante el proceso pero al final debemos cambiar y' por dy dx. Entonces simplemente cambiamos aquí y' por dy dx. Y de esa manera tenemos la respuesta. Esta sería entonces de dy dx lo que nos pedía el ejercicio usando la derivación implícita.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Vamos a resolver este ejercicio donde nos dan una ecuaci\u00f3n con dos variables x y y y nos piden encontrar de y de x."}, {"start": 10.0, "end": 20.0, "text": " Vemos que es una expresi\u00f3n donde la x y la y se encuentran combinadas de tal forma que despejar la y en t\u00e9rminos de x no es sencillo."}, {"start": 20.0, "end": 26.0, "text": " Por lo tanto, para encontrar de y de x debemos utilizar la derivaci\u00f3n impl\u00edcita."}, {"start": 26.0, "end": 33.0, "text": " Para derivar impl\u00edcitamente procedemos con las reglas de derivaci\u00f3n en ambos lados de la igualdad."}, {"start": 33.0, "end": 43.0, "text": " Teniendo precauci\u00f3n que cada vez que derivemos algo con la y debemos anexar y', que es el mismo de y de x."}, {"start": 43.0, "end": 49.0, "text": " Utilizamos y' por comodidad pero al final del ejercicio lo cambiamos por de y de x."}, {"start": 49.0, "end": 59.0, "text": " Entonces procedamos. A este lado tenemos sumas y restas de t\u00e9rminos, por lo tanto derivamos cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 59.0, "end": 68.0, "text": " Empezamos con x a la 3. Derivada de x a la 3 ser\u00eda 3x a la 2. Menos, derivada de ya la 5."}, {"start": 68.0, "end": 77.0, "text": " Derivamos normalmente, nos queda 5y a la 4 y agregamos y'. La advertencia que dijimos al comienzo."}, {"start": 77.0, "end": 82.0, "text": " Cada vez que derivamos algo con y debemos agregar y'. Seguimos."}, {"start": 82.0, "end": 91.0, "text": " M\u00e1s derivada de 3x al cuadrado ser\u00eda 6x. Menos derivada de 6y ser\u00eda 6."}, {"start": 91.0, "end": 101.0, "text": " Pero como derivamos algo que ten\u00eda la y agregamos y'. Pasamos al otro lado de la igualdad y tenemos una constante que es el 1."}, {"start": 101.0, "end": 105.0, "text": " La derivada de una constante es igual a 0."}, {"start": 105.0, "end": 113.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a dejar al lado izquierdo de la expresi\u00f3n los t\u00e9rminos que contienen y'. Es decir, este t\u00e9rmino y este."}, {"start": 113.0, "end": 126.0, "text": " Lo dem\u00e1s lo pasamos al lado derecho. Entonces nos queda menos 5y a la 4 por y'. Menos 6y'."}, {"start": 126.0, "end": 135.0, "text": " Igual pasamos este t\u00e9rmino, menos 3x al cuadrado pasa negativo y 6x tambi\u00e9n pasa negativo."}, {"start": 135.0, "end": 142.0, "text": " Podr\u00edamos multiplicar ambos lados de la igualdad por menos 1 para deshacernos de esa cantidad de signos negativo."}, {"start": 142.0, "end": 150.0, "text": " Damos la instrucci\u00f3n de multiplicar todo por menos 1 y entonces nos queda mucho m\u00e1s sencillo con t\u00e9rminos positivos."}, {"start": 150.0, "end": 160.0, "text": " 5y a la 4 por y' m\u00e1s 6y' igual a 3x al cuadrado m\u00e1s 6x."}, {"start": 160.0, "end": 173.0, "text": " Ahora vamos a extraer aqu\u00ed factor com\u00fan que ser\u00eda y'. Sacamos y' de la expresi\u00f3n factor com\u00fan de 5y a la 4 m\u00e1s 6."}, {"start": 173.0, "end": 177.0, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis igual a esto mismo."}, {"start": 177.0, "end": 187.0, "text": " Ahora vamos a despejar y'. Vamos a continuarlo por ac\u00e1."}, {"start": 187.0, "end": 200.0, "text": " Vamos a hacer el despeje de y'. Para ello tomamos esta expresi\u00f3n que se encuentra multiplicando y la pasamos a dividir debajo de esto."}, {"start": 200.0, "end": 212.0, "text": " Entonces nos queda 3x al cuadrado m\u00e1s 6x. Todo esto sobre esta expresi\u00f3n que ser\u00eda 5y a la 4 m\u00e1s 6."}, {"start": 212.0, "end": 221.0, "text": " Ah\u00ed tenemos entonces y' ya despejado pero debemos hacer el cambio que mencion\u00e1bamos al comienzo."}, {"start": 221.0, "end": 231.0, "text": " Repetimos, usamos y' por comodidad durante el proceso pero al final debemos cambiar y' por dy dx."}, {"start": 231.0, "end": 236.0, "text": " Entonces simplemente cambiamos aqu\u00ed y' por dy dx."}, {"start": 236.0, "end": 241.0, "text": " Y de esa manera tenemos la respuesta."}, {"start": 241.0, "end": 251.0, "text": " Esta ser\u00eda entonces de dy dx lo que nos ped\u00eda el ejercicio usando la derivaci\u00f3n impl\u00edcita."}]

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ÁREA DE UN CÍRCULO EN FUNCIÓN DE LA LONGITUD DE SU CIRCUNFERENCIA

#julioprofe explica cómo expresar el área de un círculo en función de la longitud de su circunferencia. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Expresar el área A de un círculo en función de la longitud de su circunferencia C. Bien, en este problema nos piden expresar el área del círculo como una función de su circunferencia. Entonces tenemos lo siguiente. Para un círculo su área es igual a pi por el radio al cuadrado. Vemos que en esta expresión, que vamos a llamar la expresión número 1, tenemos que el área es una función del radio. El área depende del radio. Pero tenemos también que la longitud de la circunferencia C para un círculo es igual a 2 pi por el radio. Vamos a llamar esta la expresión número 2, donde vemos que la longitud de la circunferencia depende del radio. C es función de R. Entonces nos piden expresar A en términos de C. Por lo tanto, para que podamos lograr esa conexión entre A y C, debemos deshacernos de la letra R. Entonces vamos a hacer lo siguiente. Vamos a despejar R de la expresión donde esté más sencillo el despeje. Vemos que es en la expresión 2 donde el despeje de R es el más fácil. Entonces de aquí vamos a despejar la variable R. Para ello tomamos 2 pi que se encuentra multiplicando con R y lo pasamos a dividir debajo de la C. Entonces nos queda C sobre 2 pi. Esta expresión la vamos a llamar la expresión número 3. Y entonces vamos a sustituir esta expresión 3 en la número 1, es decir, en la del área. Entonces nos va a quedar de la siguiente manera. Si 3 entra en 1 nos queda área es igual a pi, es decir, este pi por el radio del cuadrado. Pero el radio lo vamos a cambiar, lo vamos a sustituir por C sobre 2 pi. Y no podemos olvidar el cuadrado, el exponente del radio. Vamos a resolver esto, nos quedaría pi por, aquí aplicamos propiedad de la potenciación, el cuadrado afecta a todos los elementos que tenemos dentro del paréntesis por haber una división y acá en la parte de abajo una multiplicación. Entonces nos queda C al cuadrado, 2 al cuadrado sería 4 y pi también queda elevado al cuadrado. Finalmente vemos que como aquí tenemos multiplicación podríamos simplificar un pi de arriba con un pi de abajo. Cancelamos este pi con un pi de la parte de abajo y nos queda el otro pi. Entonces en conclusión, vamos a escribirlo por acá, tenemos que la expresión del área en términos de C o el área como función de C será, arriba nos quedó C cuadrado y en la parte de abajo nos quedó 4 pi, 4 por pi. Tenemos entonces lo que nos pide el problema, el área como una función de la longitud de la circunferencia. Entonces esto es lo que llamaríamos el área del círculo en términos de C, es decir de su circunferencia. Adicionalmente podríamos decir cuál es el dominio de esta función. Vemos que A es la variable dependiente, esta que tenemos aquí, y C sería la variable independiente, la que tenemos dentro del paréntesis. El dominio de esta función sería qué valores puede tomar la variable independiente, es decir la C. Si analizamos esto sería como una función cuadrática, porque C se encuentra al cuadrado, esa parte de abajo esto es un número, 4 por 3.14 que es pi daría un número, en síntesis eso sería una función cuadrática. Y en matemáticas las funciones cuadráticas tienen como dominio el conjunto de los números reales, pero en este caso debemos tener presente que C es la longitud de una circunferencia, por lo tanto es una distancia y las distancias deben ser números positivos. Entonces decimos que el dominio de esta función, es decir, los valores que puede tomar C, van a ser los valores de C mayores o iguales que cero, es decir, valores positivos e incluso el cero, aunque una circunferencia igual a cero, si se vale cero, pues tenemos que el área vale cero, no tendríamos en realidad circunferencia. Entonces el dominio de la función serían los valores de C mayores o iguales que cero. Asimismo podríamos establecer el rango de la función. Vemos que si reemplazamos valores de C positivos o incluso el cero, obtendremos valores de área también positivos. Claro, el área de un círculo es una cantidad que debe ser positiva o como mínimo cero, en el caso de que no exista el círculo. Por lo tanto el rango, que son los valores de la variable dependiente, serán también los mayores o iguales que cero. De esta manera hemos resuelto nuestro problema y adicionalmente hemos determinado el dominio y el rango de la función obtenida.

[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Expresar el \u00e1rea A de un c\u00edrculo en funci\u00f3n de la longitud de su circunferencia C."}, {"start": 8.0, "end": 18.0, "text": " Bien, en este problema nos piden expresar el \u00e1rea del c\u00edrculo como una funci\u00f3n de su circunferencia."}, {"start": 18.0, "end": 20.0, "text": " Entonces tenemos lo siguiente."}, {"start": 20.0, "end": 28.0, "text": " Para un c\u00edrculo su \u00e1rea es igual a pi por el radio al cuadrado."}, {"start": 28.0, "end": 38.0, "text": " Vemos que en esta expresi\u00f3n, que vamos a llamar la expresi\u00f3n n\u00famero 1, tenemos que el \u00e1rea es una funci\u00f3n del radio."}, {"start": 38.0, "end": 41.0, "text": " El \u00e1rea depende del radio."}, {"start": 41.0, "end": 52.0, "text": " Pero tenemos tambi\u00e9n que la longitud de la circunferencia C para un c\u00edrculo es igual a 2 pi por el radio."}, {"start": 52.0, "end": 63.0, "text": " Vamos a llamar esta la expresi\u00f3n n\u00famero 2, donde vemos que la longitud de la circunferencia depende del radio."}, {"start": 63.0, "end": 66.0, "text": " C es funci\u00f3n de R."}, {"start": 66.0, "end": 71.0, "text": " Entonces nos piden expresar A en t\u00e9rminos de C."}, {"start": 71.0, "end": 79.0, "text": " Por lo tanto, para que podamos lograr esa conexi\u00f3n entre A y C, debemos deshacernos de la letra R."}, {"start": 79.0, "end": 87.0, "text": " Entonces vamos a hacer lo siguiente. Vamos a despejar R de la expresi\u00f3n donde est\u00e9 m\u00e1s sencillo el despeje."}, {"start": 87.0, "end": 93.0, "text": " Vemos que es en la expresi\u00f3n 2 donde el despeje de R es el m\u00e1s f\u00e1cil."}, {"start": 93.0, "end": 97.0, "text": " Entonces de aqu\u00ed vamos a despejar la variable R."}, {"start": 97.0, "end": 105.0, "text": " Para ello tomamos 2 pi que se encuentra multiplicando con R y lo pasamos a dividir debajo de la C."}, {"start": 105.0, "end": 109.0, "text": " Entonces nos queda C sobre 2 pi."}, {"start": 109.0, "end": 115.0, "text": " Esta expresi\u00f3n la vamos a llamar la expresi\u00f3n n\u00famero 3."}, {"start": 115.0, "end": 124.0, "text": " Y entonces vamos a sustituir esta expresi\u00f3n 3 en la n\u00famero 1, es decir, en la del \u00e1rea."}, {"start": 124.0, "end": 126.0, "text": " Entonces nos va a quedar de la siguiente manera."}, {"start": 126.0, "end": 136.0, "text": " Si 3 entra en 1 nos queda \u00e1rea es igual a pi, es decir, este pi por el radio del cuadrado."}, {"start": 136.0, "end": 144.0, "text": " Pero el radio lo vamos a cambiar, lo vamos a sustituir por C sobre 2 pi."}, {"start": 144.0, "end": 150.0, "text": " Y no podemos olvidar el cuadrado, el exponente del radio."}, {"start": 150.0, "end": 156.0, "text": " Vamos a resolver esto, nos quedar\u00eda pi por, aqu\u00ed aplicamos propiedad de la potenciaci\u00f3n,"}, {"start": 156.0, "end": 166.0, "text": " el cuadrado afecta a todos los elementos que tenemos dentro del par\u00e9ntesis por haber una divisi\u00f3n y ac\u00e1 en la parte de abajo una multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 166.0, "end": 176.0, "text": " Entonces nos queda C al cuadrado, 2 al cuadrado ser\u00eda 4 y pi tambi\u00e9n queda elevado al cuadrado."}, {"start": 176.0, "end": 185.0, "text": " Finalmente vemos que como aqu\u00ed tenemos multiplicaci\u00f3n podr\u00edamos simplificar un pi de arriba con un pi de abajo."}, {"start": 185.0, "end": 191.0, "text": " Cancelamos este pi con un pi de la parte de abajo y nos queda el otro pi."}, {"start": 191.0, "end": 208.0, "text": " Entonces en conclusi\u00f3n, vamos a escribirlo por ac\u00e1, tenemos que la expresi\u00f3n del \u00e1rea en t\u00e9rminos de C o el \u00e1rea como funci\u00f3n de C ser\u00e1,"}, {"start": 208.0, "end": 216.0, "text": " arriba nos qued\u00f3 C cuadrado y en la parte de abajo nos qued\u00f3 4 pi, 4 por pi."}, {"start": 216.0, "end": 225.0, "text": " Tenemos entonces lo que nos pide el problema, el \u00e1rea como una funci\u00f3n de la longitud de la circunferencia."}, {"start": 225.0, "end": 235.0, "text": " Entonces esto es lo que llamar\u00edamos el \u00e1rea del c\u00edrculo en t\u00e9rminos de C, es decir de su circunferencia."}, {"start": 235.0, "end": 239.0, "text": " Adicionalmente podr\u00edamos decir cu\u00e1l es el dominio de esta funci\u00f3n."}, {"start": 239.0, "end": 249.0, "text": " Vemos que A es la variable dependiente, esta que tenemos aqu\u00ed, y C ser\u00eda la variable independiente, la que tenemos dentro del par\u00e9ntesis."}, {"start": 249.0, "end": 256.0, "text": " El dominio de esta funci\u00f3n ser\u00eda qu\u00e9 valores puede tomar la variable independiente, es decir la C."}, {"start": 256.0, "end": 263.0, "text": " Si analizamos esto ser\u00eda como una funci\u00f3n cuadr\u00e1tica, porque C se encuentra al cuadrado, esa parte de abajo esto es un n\u00famero,"}, {"start": 263.0, "end": 269.0, "text": " 4 por 3.14 que es pi dar\u00eda un n\u00famero, en s\u00edntesis eso ser\u00eda una funci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 269.0, "end": 275.0, "text": " Y en matem\u00e1ticas las funciones cuadr\u00e1ticas tienen como dominio el conjunto de los n\u00fameros reales,"}, {"start": 275.0, "end": 281.0, "text": " pero en este caso debemos tener presente que C es la longitud de una circunferencia,"}, {"start": 281.0, "end": 286.0, "text": " por lo tanto es una distancia y las distancias deben ser n\u00fameros positivos."}, {"start": 286.0, "end": 299.0, "text": " Entonces decimos que el dominio de esta funci\u00f3n, es decir, los valores que puede tomar C, van a ser los valores de C mayores o iguales que cero,"}, {"start": 299.0, "end": 308.0, "text": " es decir, valores positivos e incluso el cero, aunque una circunferencia igual a cero, si se vale cero, pues tenemos que el \u00e1rea vale cero,"}, {"start": 308.0, "end": 310.0, "text": " no tendr\u00edamos en realidad circunferencia."}, {"start": 310.0, "end": 315.0, "text": " Entonces el dominio de la funci\u00f3n ser\u00edan los valores de C mayores o iguales que cero."}, {"start": 315.0, "end": 319.0, "text": " Asimismo podr\u00edamos establecer el rango de la funci\u00f3n."}, {"start": 319.0, "end": 327.0, "text": " Vemos que si reemplazamos valores de C positivos o incluso el cero, obtendremos valores de \u00e1rea tambi\u00e9n positivos."}, {"start": 327.0, "end": 336.0, "text": " Claro, el \u00e1rea de un c\u00edrculo es una cantidad que debe ser positiva o como m\u00ednimo cero, en el caso de que no exista el c\u00edrculo."}, {"start": 336.0, "end": 343.0, "text": " Por lo tanto el rango, que son los valores de la variable dependiente, ser\u00e1n tambi\u00e9n los mayores o iguales que cero."}, {"start": 343.0, "end": 352.0, "text": " De esta manera hemos resuelto nuestro problema y adicionalmente hemos determinado el dominio y el rango de la funci\u00f3n obtenida."}]

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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2×2 POR MÉTODO DE CRAMER

#julioprofe explica cómo resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales de 2x2 usando el Método de Cramer. Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a desarrollar este sistema de ecuaciones de 2x2, dos ecuaciones con dos incógnitas, utilizando el método de Cramer, es decir, la solución por determinantes. Para comenzar vamos a numerar las ecuaciones, ecuación número 1 y ecuación número 2. Y el método de Cramer nos pide encontrar tres determinantes. Uno, el determinante del sistema, el determinante lo denotamos con la letra griega delta, que es como un triangulito, el determinante de la X y el determinante de la letra Y, es decir, determinante para todo el sistema y determinante para cada una de las incógnitas. Vamos a empezar con el determinante del sistema. Un determinante es un arreglo numérico, se utilizan dos barras, un arreglo formado por numeritos, que en este caso lo que hace es tomar los coeficientes de las letras X y Y en las dos ecuaciones, por eso es necesario que ambas ecuaciones estén organizadas así como aparecen, es decir, término con X, término con Y y después del igual el término independiente. Vemos que la ecuación 2 también está organizada de la misma manera. Entonces para el determinante del sistema vamos a colocar aquí para guiarnos ecuación 1, ecuación 2 y aquí las variables X y Y. Y vamos a llenar con los numeritos, es decir, con los coeficientes de las letras X y Y en las ecuaciones 1 y 2. Entonces, por ejemplo, en la primera ecuación el coeficiente de la letra X es 5, entonces escribimos aquí el 5. En la primera ecuación el coeficiente de la Y es menos 2, escribimos el menos 2. En la segunda ecuación el coeficiente de X sería menos 3 y en la segunda ecuación el coeficiente de la letra Y sería 7 positivo. Ahí tenemos entonces el arreglo numérico que es lo que se conoce como un determinante de 2 por 2 porque tiene dos filas y dos columnas. Para resolver este determinante procedemos de la siguiente manera. Multiplicamos estos dos elementos que son los de la diagonal principal, es decir, 5 por 7 y le vamos a restar el producto de los elementos de la otra diagonal que se llama la diagonal secundaria, es decir, menos 2 por menos 3. Resolvemos con cuidado estas operaciones, 5 por 7 nos da 35, menos 2 por menos 3 nos da 6 positivo, pero con este menos queda menos 6 y 35 menos 6 nos da 29. Tenemos entonces que 29 es el valor del determinante del sistema y lo vamos a escribir por acá. A continuación vamos a hacer el procedimiento para encontrar el determinante de la X. Entonces, es muy similar a la anterior, la variación se presenta en que ahora en la columna que originalmente teníamos para la X ahora van estos numeritos, es decir, lo que se llaman términos independientes, vamos a denotarlos con las iniciales T y y la columna que era de las Y continúa siendo de la letra Y. Entonces, la diferencia está en que la columna que era de las X ahora va a ser ocupada por estos números que se encuentran después del signo igual en las dos ecuaciones. Entonces, escribimos menos 2 y menos 22 y en la columna de las Y los mismos coeficientes que teníamos en el determinante anterior, es decir, menos 2 y 7. Resolvemos de la misma manera como hicimos el determinante anterior, diagonal principal, es decir, menos 2 por 7 menos la diagonal secundaria que sería menos 2 por menos 22. Resolvemos, menos 2 por 7 queda menos 14 y acá menos, menos 2 por menos 22, esto nos da 44 positivo pero con este menos queda menos 44. Resolviendo nos queda menos 58. Entonces, menos 58 es el valor del determinante de la X y lo escribimos por aquí. Bien, por último, hallamos el determinante de la letra Y. Entonces, determinante de la Y, otra vez el arreglo numérico, ecuación 1, ecuación número 2, la columna que era de las X es de la X y ahora la columna que era de las Y, o sea, de la letra que estamos trabajando ahora es ocupada por los términos independientes, es decir, estos dos de aquí. Vamos a llenar, entonces podemos escribir primero los términos independientes, menos 2 y menos 22 y en la columna que era de las X los coeficientes de dicha letra que son 5 y menos 3. Resolvemos, diagonal principal 5 por menos 22 menos diagonal secundaria menos 2 por menos 3, esto nos da 5 por menos 22, eso nos da menos 110, menos, menos 2 por menos 3, esto nos da 6, con este menos queda menos 6, perdón ir resolviendo nos queda menos 116, que es el valor del determinante de la letra Y. Después de haber encontrado los tres determinantes viene ya la recta final del ejercicio que es encontrar los valores de las 5 unitas X y Y. Entonces para encontrar X tomamos el determinante de la X y lo dividimos entre el determinante del sistema. Para hallar Y es muy similar determinante de la Y dividido entre determinante del sistema. Entonces veamos, determinante de X nos dio menos 58, determinante del sistema 29, esta división nos da menos 2, allí tenemos entonces el valor ya de la incógnita X. Y el determinante de Y nos dio menos 116, determinante del sistema es 29, haciendo la división nos queda menos 4. Conclusión, nuestro sistema de ecuaciones tiene solución única, es la pareja menos 2, menos 4. Recordemos que este menos 2 es la X y menos 4 es la letra Y. Recordemos que si graficamos estas dos rectas en el plano cartesiano vemos que ellas se van a cortar en este punto menos 2, menos 4.

[{"start": 0.0, "end": 14.0, "text": " Vamos a desarrollar este sistema de ecuaciones de 2x2, dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas, utilizando el m\u00e9todo de Cramer, es decir, la soluci\u00f3n por determinantes."}, {"start": 14.0, "end": 22.0, "text": " Para comenzar vamos a numerar las ecuaciones, ecuaci\u00f3n n\u00famero 1 y ecuaci\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 22.0, "end": 38.0, "text": " Y el m\u00e9todo de Cramer nos pide encontrar tres determinantes. Uno, el determinante del sistema, el determinante lo denotamos con la letra griega delta, que es como un triangulito,"}, {"start": 38.0, "end": 50.0, "text": " el determinante de la X y el determinante de la letra Y, es decir, determinante para todo el sistema y determinante para cada una de las inc\u00f3gnitas."}, {"start": 50.0, "end": 62.0, "text": " Vamos a empezar con el determinante del sistema. Un determinante es un arreglo num\u00e9rico, se utilizan dos barras, un arreglo formado por numeritos,"}, {"start": 62.0, "end": 75.0, "text": " que en este caso lo que hace es tomar los coeficientes de las letras X y Y en las dos ecuaciones, por eso es necesario que ambas ecuaciones est\u00e9n organizadas as\u00ed como aparecen,"}, {"start": 75.0, "end": 86.0, "text": " es decir, t\u00e9rmino con X, t\u00e9rmino con Y y despu\u00e9s del igual el t\u00e9rmino independiente. Vemos que la ecuaci\u00f3n 2 tambi\u00e9n est\u00e1 organizada de la misma manera."}, {"start": 86.0, "end": 97.0, "text": " Entonces para el determinante del sistema vamos a colocar aqu\u00ed para guiarnos ecuaci\u00f3n 1, ecuaci\u00f3n 2 y aqu\u00ed las variables X y Y."}, {"start": 97.0, "end": 106.0, "text": " Y vamos a llenar con los numeritos, es decir, con los coeficientes de las letras X y Y en las ecuaciones 1 y 2."}, {"start": 106.0, "end": 114.0, "text": " Entonces, por ejemplo, en la primera ecuaci\u00f3n el coeficiente de la letra X es 5, entonces escribimos aqu\u00ed el 5."}, {"start": 114.0, "end": 134.0, "text": " En la primera ecuaci\u00f3n el coeficiente de la Y es menos 2, escribimos el menos 2. En la segunda ecuaci\u00f3n el coeficiente de X ser\u00eda menos 3 y en la segunda ecuaci\u00f3n el coeficiente de la letra Y ser\u00eda 7 positivo."}, {"start": 134.0, "end": 144.0, "text": " Ah\u00ed tenemos entonces el arreglo num\u00e9rico que es lo que se conoce como un determinante de 2 por 2 porque tiene dos filas y dos columnas."}, {"start": 144.0, "end": 156.0, "text": " Para resolver este determinante procedemos de la siguiente manera. Multiplicamos estos dos elementos que son los de la diagonal principal, es decir, 5 por 7"}, {"start": 156.0, "end": 167.0, "text": " y le vamos a restar el producto de los elementos de la otra diagonal que se llama la diagonal secundaria, es decir, menos 2 por menos 3."}, {"start": 167.0, "end": 184.0, "text": " Resolvemos con cuidado estas operaciones, 5 por 7 nos da 35, menos 2 por menos 3 nos da 6 positivo, pero con este menos queda menos 6 y 35 menos 6 nos da 29."}, {"start": 184.0, "end": 192.0, "text": " Tenemos entonces que 29 es el valor del determinante del sistema y lo vamos a escribir por ac\u00e1."}, {"start": 192.0, "end": 199.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a hacer el procedimiento para encontrar el determinante de la X."}, {"start": 199.0, "end": 218.0, "text": " Entonces, es muy similar a la anterior, la variaci\u00f3n se presenta en que ahora en la columna que originalmente ten\u00edamos para la X ahora van estos numeritos,"}, {"start": 218.0, "end": 229.0, "text": " es decir, lo que se llaman t\u00e9rminos independientes, vamos a denotarlos con las iniciales T y y la columna que era de las Y contin\u00faa siendo de la letra Y."}, {"start": 229.0, "end": 240.0, "text": " Entonces, la diferencia est\u00e1 en que la columna que era de las X ahora va a ser ocupada por estos n\u00fameros que se encuentran despu\u00e9s del signo igual en las dos ecuaciones."}, {"start": 240.0, "end": 255.0, "text": " Entonces, escribimos menos 2 y menos 22 y en la columna de las Y los mismos coeficientes que ten\u00edamos en el determinante anterior, es decir, menos 2 y 7."}, {"start": 255.0, "end": 276.0, "text": " Resolvemos de la misma manera como hicimos el determinante anterior, diagonal principal, es decir, menos 2 por 7 menos la diagonal secundaria que ser\u00eda menos 2 por menos 22."}, {"start": 276.0, "end": 291.0, "text": " Resolvemos, menos 2 por 7 queda menos 14 y ac\u00e1 menos, menos 2 por menos 22, esto nos da 44 positivo pero con este menos queda menos 44."}, {"start": 291.0, "end": 301.0, "text": " Resolviendo nos queda menos 58. Entonces, menos 58 es el valor del determinante de la X y lo escribimos por aqu\u00ed."}, {"start": 301.0, "end": 306.0, "text": " Bien, por \u00faltimo, hallamos el determinante de la letra Y."}, {"start": 306.0, "end": 322.0, "text": " Entonces, determinante de la Y, otra vez el arreglo num\u00e9rico, ecuaci\u00f3n 1, ecuaci\u00f3n n\u00famero 2, la columna que era de las X es de la X y ahora la columna que era de las Y,"}, {"start": 322.0, "end": 329.0, "text": " o sea, de la letra que estamos trabajando ahora es ocupada por los t\u00e9rminos independientes, es decir, estos dos de aqu\u00ed."}, {"start": 329.0, "end": 343.0, "text": " Vamos a llenar, entonces podemos escribir primero los t\u00e9rminos independientes, menos 2 y menos 22 y en la columna que era de las X los coeficientes de dicha letra que son 5 y menos 3."}, {"start": 343.0, "end": 367.0, "text": " Resolvemos, diagonal principal 5 por menos 22 menos diagonal secundaria menos 2 por menos 3, esto nos da 5 por menos 22, eso nos da menos 110, menos, menos 2 por menos 3, esto nos da 6,"}, {"start": 367.0, "end": 378.0, "text": " con este menos queda menos 6, perd\u00f3n ir resolviendo nos queda menos 116, que es el valor del determinante de la letra Y."}, {"start": 378.0, "end": 389.0, "text": " Despu\u00e9s de haber encontrado los tres determinantes viene ya la recta final del ejercicio que es encontrar los valores de las 5 unitas X y Y."}, {"start": 389.0, "end": 398.0, "text": " Entonces para encontrar X tomamos el determinante de la X y lo dividimos entre el determinante del sistema."}, {"start": 398.0, "end": 406.0, "text": " Para hallar Y es muy similar determinante de la Y dividido entre determinante del sistema."}, {"start": 406.0, "end": 421.0, "text": " Entonces veamos, determinante de X nos dio menos 58, determinante del sistema 29, esta divisi\u00f3n nos da menos 2, all\u00ed tenemos entonces el valor ya de la inc\u00f3gnita X."}, {"start": 421.0, "end": 433.0, "text": " Y el determinante de Y nos dio menos 116, determinante del sistema es 29, haciendo la divisi\u00f3n nos queda menos 4."}, {"start": 433.0, "end": 444.0, "text": " Conclusi\u00f3n, nuestro sistema de ecuaciones tiene soluci\u00f3n \u00fanica, es la pareja menos 2, menos 4."}, {"start": 444.0, "end": 449.0, "text": " Recordemos que este menos 2 es la X y menos 4 es la letra Y."}, {"start": 449.0, "end": 460.0, "text": " Recordemos que si graficamos estas dos rectas en el plano cartesiano vemos que ellas se van a cortar en este punto menos 2, menos 4."}]

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Problema 1 con NÚMEROS FRACCIONARIOS

#julioprofe explica cómo resolver un problema que involucra números mixtos. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para elaborar cierto pastel, la receta dice que por cada libra se debe usar una y tres cuartos tazas de almendras. Si nos encargan un pastel de tres y media libras, ¿cuántas tazas de almendras son necesarias? En este problema debemos pensar en una multiplicación, ya que nos dan la información de la cantidad de tazas de almendras que son necesarias para una libra de pastel. Y si nos dicen que el pastel va a tener tres y media libras, quiere decir que esta cantidad de tazas de almendras debe repetirse en el número de libras que lleva el pastel. Por lo tanto vamos a multiplicar este número, que es un número mixto, por este, que es la cantidad de libras que lleva el pastel. Vamos a realizar entonces la multiplicación. Tenemos entonces el número un entero tres cuartos, que es un mixto, multiplicado por tres enteros y un medio, que es otro mixto. Entonces, la cantidad de tazas que necesita una libra por el número de libras que lleva el pastel. Pasamos esos mixtos a fracciones. Veamos, uno por cuatro son cuatro, más tres son siete, y conservamos el denominador, nos da siete cuartos, multiplicado por este mixto en fracción nos queda tres por dos, seis, más una son siete, conservamos el denominador y nos da siete medios. Tenemos entonces una multiplicación de dos fracciones positivas, por lo tanto nuestro resultado será positivo. Vamos a continuación a ensamblar la operación, multiplicamos numeradores entre sí y denominadores entre sí. Revisamos si esto se puede simplificar y vemos que no, porque siete no es simplificable con cuatro ni con el dos. Entonces multiplicamos, siete por siete nos da cuarenta y nueve, cuatro por dos nos da ocho. ¿Qué significa cuarenta y nueve octavos? Sería entonces la cantidad de tazas de almendras que necesitamos para el pastel que nos encargaron, que tiene tres y media libras, o tres libras y media. Podríamos pasar este número a mixto, es decir, es una fracción impropia porque el numerador es mayor que el denominador, por lo tanto se puede pasar al número mixto. Hacemos la división cuarenta y nueve entre ocho, el ocho en el cuarenta y nueve cabe seis veces, seis por ocho es cuarenta y ocho, restamos, nueve menos ocho es uno, cuatro menos cuatro nos da cero. Entonces, la fracción impropia cuarenta y nueve octavos queda convertida en el número mixto, seis enteros, seis es el cociente, un octavo, recordemos que el residuo va en el numerador de la fracción y el divisor va en el denominador. Entonces esta respuesta sería entonces que para preparar este pastel de tres y media libras necesitamos seis y un octavo tazas de almendras, es decir, seis tazas completas y un octavo de taza, para cumplir con la receta.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Para elaborar cierto pastel, la receta dice que por cada libra se debe usar una y tres cuartos tazas de almendras."}, {"start": 10.0, "end": 19.0, "text": " Si nos encargan un pastel de tres y media libras, \u00bfcu\u00e1ntas tazas de almendras son necesarias?"}, {"start": 19.0, "end": 36.0, "text": " En este problema debemos pensar en una multiplicaci\u00f3n, ya que nos dan la informaci\u00f3n de la cantidad de tazas de almendras que son necesarias para una libra de pastel."}, {"start": 36.0, "end": 50.0, "text": " Y si nos dicen que el pastel va a tener tres y media libras, quiere decir que esta cantidad de tazas de almendras debe repetirse en el n\u00famero de libras que lleva el pastel."}, {"start": 50.0, "end": 60.0, "text": " Por lo tanto vamos a multiplicar este n\u00famero, que es un n\u00famero mixto, por este, que es la cantidad de libras que lleva el pastel."}, {"start": 60.0, "end": 78.0, "text": " Vamos a realizar entonces la multiplicaci\u00f3n. Tenemos entonces el n\u00famero un entero tres cuartos, que es un mixto, multiplicado por tres enteros y un medio, que es otro mixto."}, {"start": 78.0, "end": 86.0, "text": " Entonces, la cantidad de tazas que necesita una libra por el n\u00famero de libras que lleva el pastel."}, {"start": 86.0, "end": 111.0, "text": " Pasamos esos mixtos a fracciones. Veamos, uno por cuatro son cuatro, m\u00e1s tres son siete, y conservamos el denominador, nos da siete cuartos, multiplicado por este mixto en fracci\u00f3n nos queda tres por dos, seis, m\u00e1s una son siete, conservamos el denominador y nos da siete medios."}, {"start": 111.0, "end": 118.0, "text": " Tenemos entonces una multiplicaci\u00f3n de dos fracciones positivas, por lo tanto nuestro resultado ser\u00e1 positivo."}, {"start": 118.0, "end": 128.0, "text": " Vamos a continuaci\u00f3n a ensamblar la operaci\u00f3n, multiplicamos numeradores entre s\u00ed y denominadores entre s\u00ed."}, {"start": 128.0, "end": 137.0, "text": " Revisamos si esto se puede simplificar y vemos que no, porque siete no es simplificable con cuatro ni con el dos."}, {"start": 137.0, "end": 145.0, "text": " Entonces multiplicamos, siete por siete nos da cuarenta y nueve, cuatro por dos nos da ocho."}, {"start": 145.0, "end": 159.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 significa cuarenta y nueve octavos? Ser\u00eda entonces la cantidad de tazas de almendras que necesitamos para el pastel que nos encargaron, que tiene tres y media libras, o tres libras y media."}, {"start": 159.0, "end": 170.0, "text": " Podr\u00edamos pasar este n\u00famero a mixto, es decir, es una fracci\u00f3n impropia porque el numerador es mayor que el denominador, por lo tanto se puede pasar al n\u00famero mixto."}, {"start": 170.0, "end": 186.0, "text": " Hacemos la divisi\u00f3n cuarenta y nueve entre ocho, el ocho en el cuarenta y nueve cabe seis veces, seis por ocho es cuarenta y ocho, restamos, nueve menos ocho es uno, cuatro menos cuatro nos da cero."}, {"start": 186.0, "end": 204.0, "text": " Entonces, la fracci\u00f3n impropia cuarenta y nueve octavos queda convertida en el n\u00famero mixto, seis enteros, seis es el cociente, un octavo, recordemos que el residuo va en el numerador de la fracci\u00f3n y el divisor va en el denominador."}, {"start": 204.0, "end": 232.0, "text": " Entonces esta respuesta ser\u00eda entonces que para preparar este pastel de tres y media libras necesitamos seis y un octavo tazas de almendras, es decir, seis tazas completas y un octavo de taza, para cumplir con la receta."}]

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VALOR DE UNA CONSTANTE PARA SISTEMA DE ECUACIONES 2×2 CON SOLUCIÓN ÚNICA

#julioprofe explica cómo hallar el valor de una constante K para que un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 tenga solución única. Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En este sistema de ecuaciones vamos a determinar el valor de K para que el sistema sea compatible determinado, es decir, para que tenga solución única. Entonces vamos a trabajarlo por el método de Cramer, es decir, la solución por determinantes. Comenzamos numerando las dos ecuaciones, ecuación número 1 y ecuación número 2. Y recordemos que en el método de Cramer debemos construir tres determinantes, que son el del sistema, el de la incógnita X y el de la incógnita Y. Para el caso de este sistema de 2x2, entonces un determinante para todo el sistema y uno para cada una de las incógnitas que tenemos en este caso, que son X y Y. Comenzamos con el determinante del sistema. Entonces trazamos las dos barras y vamos a colocar el encabezado de nuestro determinante. Aquí los valores de X, los valores de Y en la ecuación 1 y en la ecuación número 2. Recordemos que aquí anotamos los coeficientes de las dos letras en las dos ecuaciones. Previamente ellas deben estar organizadas como las tenemos en este caso, es decir, término con X, término con Y y después del igual el número que se encuentra solo, es decir, el término independiente. Para X en la primera ecuación tenemos el coeficiente K. Para Y en la ecuación 1 tenemos coeficiente 4. Para X en la ecuación 2 tenemos coeficiente 1. Está invisible el 1 y para Y en la ecuación 2 tenemos el coeficiente que es K. Resolvemos este determinante. Multiplicamos los elementos de la diagonal principal. Tenemos K por K menos la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria que son 4 y 1. Resolvemos K por K, nos queda K al cuadrado menos 4 por 1 que es 4. Tenemos entonces el resultado del determinante del sistema que es K al cuadrado menos 4. Vamos ahora con el determinante de la letra X, de la incógnita X. Colocamos el encabezado, ecuación número 1, 2 y en la columna de las X van los términos independientes. En la columna de las Y continúan las Y. Los términos independientes son 1 y 1 medio, vamos a escribirlos, 1 y 1 medio. Y los coeficientes de Y son 4 y K. Entonces, resolvemos diagonal principal 1 por K menos diagonal secundaria 4 por 1 medio. Resolvemos 1 por K es igual a K menos 4 por 1 medio, eso nos da 4 medios que equivale a 2. Entonces nos da K menos 2. Y vamos con el determinante de la letra Y que se hace de manera similar. Trasamos las dos barras, colocamos el encabezado, ecuación número 1, ecuación número 2. En la columna que originalmente era de la X van las X y en la columna que era de la Y ahora tenemos los términos independientes. Porque estamos calculando el determinante de la Y. Coeficientes de X serían K y 1. Terminos independientes serían 1 y 1 medio. Entonces, resolvemos, multiplicamos los elementos de la diagonal principal K por 1 medio menos los elementos de la diagonal secundaria que serían 1 por 1. Entonces K por 1 medio nos da K medios menos 1 por 1 que es igual a 1. Entonces el resultado del determinante de Y es K medios menos 1. A continuación entraríamos a calcular las 5 unitas X y Y. Entonces veamos, para hallar X tomamos el determinante de X y lo dividimos entre el determinante del sistema. Para hallar Y el determinante de Y entre el determinante del sistema. El determinante de X vale K menos 2 y el del sistema vale K al cuadrado menos 4. En el caso del determinante de Y vale K medios menos 1 y el determinante del sistema vale K al cuadrado menos 4. Como la pregunta de nuestro problema dice que cuanto debe valer K para que este sistema sea compatible determinado, es decir para que tenga solución única, necesitamos que este denominador no vaya a ser 0. Porque con eso garantizamos que tanto X como Y van a tener valores numéricos. Entonces esa va a ser nuestra característica o nuestra condición a tener en cuenta. Que este determinante no puede ser 0. Entonces vámonos por allí. Condición determinante del sistema diferente de 0. Es decir K al cuadrado menos 4 diferente de 0. Podemos factorizar aquí. Esto es una diferencia de cuadrados. Vemos que la factorización nos queda K más 2 por K menos 2 diferente de 0. Y si tenemos el producto de dos cantidades y eso es diferente de 0, entonces cada una de ellas debe ser diferente de 0. Entonces K más 2 diferente de 0 o K menos 2 diferente de 0. Y resolvemos como si fueran ecuaciones. Aquí despejamos K, queda K diferente de, el 2 se está sumando, pasa a restar con el 0, queda menos 2. Y aquí K diferente de, el 2 se está restando, pasa a sumar con el 0, nos queda 2. Conclusión. Para este ejercicio K tiene que ser diferente de menos 2 y K tiene que ser diferente de 2. Para que el sistema sea compatible determinado, es decir para que tenga solución única. La respuesta la podemos presentar entonces de la siguiente manera. Respuesta. K puede tomar cualquier valor del conjunto de los números reales, K pertenece a los reales con excepción de los elementos menos 2 y 2. Si K tiene prohibido que sea menos 2 o que sea 2, para que el sistema sea compatible determinado, es decir para que tenga solución única.

[{"start": 0.0, "end": 15.0, "text": " En este sistema de ecuaciones vamos a determinar el valor de K para que el sistema sea compatible determinado, es decir, para que tenga soluci\u00f3n \u00fanica."}, {"start": 15.0, "end": 23.0, "text": " Entonces vamos a trabajarlo por el m\u00e9todo de Cramer, es decir, la soluci\u00f3n por determinantes."}, {"start": 23.0, "end": 31.0, "text": " Comenzamos numerando las dos ecuaciones, ecuaci\u00f3n n\u00famero 1 y ecuaci\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 31.0, "end": 46.0, "text": " Y recordemos que en el m\u00e9todo de Cramer debemos construir tres determinantes, que son el del sistema, el de la inc\u00f3gnita X y el de la inc\u00f3gnita Y."}, {"start": 46.0, "end": 58.0, "text": " Para el caso de este sistema de 2x2, entonces un determinante para todo el sistema y uno para cada una de las inc\u00f3gnitas que tenemos en este caso, que son X y Y."}, {"start": 58.0, "end": 61.0, "text": " Comenzamos con el determinante del sistema."}, {"start": 61.0, "end": 78.0, "text": " Entonces trazamos las dos barras y vamos a colocar el encabezado de nuestro determinante. Aqu\u00ed los valores de X, los valores de Y en la ecuaci\u00f3n 1 y en la ecuaci\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 78.0, "end": 84.0, "text": " Recordemos que aqu\u00ed anotamos los coeficientes de las dos letras en las dos ecuaciones."}, {"start": 84.0, "end": 96.0, "text": " Previamente ellas deben estar organizadas como las tenemos en este caso, es decir, t\u00e9rmino con X, t\u00e9rmino con Y y despu\u00e9s del igual el n\u00famero que se encuentra solo, es decir, el t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 96.0, "end": 101.0, "text": " Para X en la primera ecuaci\u00f3n tenemos el coeficiente K."}, {"start": 101.0, "end": 106.0, "text": " Para Y en la ecuaci\u00f3n 1 tenemos coeficiente 4."}, {"start": 106.0, "end": 110.0, "text": " Para X en la ecuaci\u00f3n 2 tenemos coeficiente 1."}, {"start": 110.0, "end": 117.0, "text": " Est\u00e1 invisible el 1 y para Y en la ecuaci\u00f3n 2 tenemos el coeficiente que es K."}, {"start": 117.0, "end": 119.0, "text": " Resolvemos este determinante."}, {"start": 119.0, "end": 122.0, "text": " Multiplicamos los elementos de la diagonal principal."}, {"start": 122.0, "end": 132.0, "text": " Tenemos K por K menos la multiplicaci\u00f3n de los elementos de la diagonal secundaria que son 4 y 1."}, {"start": 132.0, "end": 140.0, "text": " Resolvemos K por K, nos queda K al cuadrado menos 4 por 1 que es 4."}, {"start": 140.0, "end": 148.0, "text": " Tenemos entonces el resultado del determinante del sistema que es K al cuadrado menos 4."}, {"start": 148.0, "end": 155.0, "text": " Vamos ahora con el determinante de la letra X, de la inc\u00f3gnita X."}, {"start": 155.0, "end": 167.0, "text": " Colocamos el encabezado, ecuaci\u00f3n n\u00famero 1, 2 y en la columna de las X van los t\u00e9rminos independientes."}, {"start": 167.0, "end": 170.0, "text": " En la columna de las Y contin\u00faan las Y."}, {"start": 170.0, "end": 177.0, "text": " Los t\u00e9rminos independientes son 1 y 1 medio, vamos a escribirlos, 1 y 1 medio."}, {"start": 177.0, "end": 182.0, "text": " Y los coeficientes de Y son 4 y K."}, {"start": 182.0, "end": 195.0, "text": " Entonces, resolvemos diagonal principal 1 por K menos diagonal secundaria 4 por 1 medio."}, {"start": 195.0, "end": 205.0, "text": " Resolvemos 1 por K es igual a K menos 4 por 1 medio, eso nos da 4 medios que equivale a 2."}, {"start": 205.0, "end": 209.0, "text": " Entonces nos da K menos 2."}, {"start": 209.0, "end": 217.0, "text": " Y vamos con el determinante de la letra Y que se hace de manera similar."}, {"start": 217.0, "end": 223.0, "text": " Trasamos las dos barras, colocamos el encabezado, ecuaci\u00f3n n\u00famero 1, ecuaci\u00f3n n\u00famero 2."}, {"start": 223.0, "end": 232.0, "text": " En la columna que originalmente era de la X van las X y en la columna que era de la Y ahora tenemos los t\u00e9rminos independientes."}, {"start": 232.0, "end": 235.0, "text": " Porque estamos calculando el determinante de la Y."}, {"start": 235.0, "end": 243.0, "text": " Coeficientes de X ser\u00edan K y 1."}, {"start": 243.0, "end": 247.0, "text": " Terminos independientes ser\u00edan 1 y 1 medio."}, {"start": 247.0, "end": 255.0, "text": " Entonces, resolvemos, multiplicamos los elementos de la diagonal principal K por 1 medio"}, {"start": 255.0, "end": 262.0, "text": " menos los elementos de la diagonal secundaria que ser\u00edan 1 por 1."}, {"start": 262.0, "end": 269.0, "text": " Entonces K por 1 medio nos da K medios menos 1 por 1 que es igual a 1."}, {"start": 269.0, "end": 275.0, "text": " Entonces el resultado del determinante de Y es K medios menos 1."}, {"start": 275.0, "end": 283.0, "text": " A continuaci\u00f3n entrar\u00edamos a calcular las 5 unitas X y Y."}, {"start": 283.0, "end": 291.0, "text": " Entonces veamos, para hallar X tomamos el determinante de X y lo dividimos entre el determinante del sistema."}, {"start": 291.0, "end": 296.0, "text": " Para hallar Y el determinante de Y entre el determinante del sistema."}, {"start": 296.0, "end": 305.0, "text": " El determinante de X vale K menos 2 y el del sistema vale K al cuadrado menos 4."}, {"start": 305.0, "end": 316.0, "text": " En el caso del determinante de Y vale K medios menos 1 y el determinante del sistema vale K al cuadrado menos 4."}, {"start": 316.0, "end": 324.0, "text": " Como la pregunta de nuestro problema dice que cuanto debe valer K para que este sistema sea compatible determinado,"}, {"start": 324.0, "end": 332.0, "text": " es decir para que tenga soluci\u00f3n \u00fanica, necesitamos que este denominador no vaya a ser 0."}, {"start": 332.0, "end": 339.0, "text": " Porque con eso garantizamos que tanto X como Y van a tener valores num\u00e9ricos."}, {"start": 339.0, "end": 347.0, "text": " Entonces esa va a ser nuestra caracter\u00edstica o nuestra condici\u00f3n a tener en cuenta."}, {"start": 347.0, "end": 351.0, "text": " Que este determinante no puede ser 0."}, {"start": 351.0, "end": 354.0, "text": " Entonces v\u00e1monos por all\u00ed."}, {"start": 354.0, "end": 358.0, "text": " Condici\u00f3n determinante del sistema diferente de 0."}, {"start": 358.0, "end": 363.0, "text": " Es decir K al cuadrado menos 4 diferente de 0."}, {"start": 363.0, "end": 365.0, "text": " Podemos factorizar aqu\u00ed."}, {"start": 365.0, "end": 368.0, "text": " Esto es una diferencia de cuadrados."}, {"start": 368.0, "end": 376.0, "text": " Vemos que la factorizaci\u00f3n nos queda K m\u00e1s 2 por K menos 2 diferente de 0."}, {"start": 376.0, "end": 380.0, "text": " Y si tenemos el producto de dos cantidades y eso es diferente de 0,"}, {"start": 380.0, "end": 386.0, "text": " entonces cada una de ellas debe ser diferente de 0."}, {"start": 386.0, "end": 393.0, "text": " Entonces K m\u00e1s 2 diferente de 0 o K menos 2 diferente de 0."}, {"start": 393.0, "end": 396.0, "text": " Y resolvemos como si fueran ecuaciones."}, {"start": 396.0, "end": 403.0, "text": " Aqu\u00ed despejamos K, queda K diferente de, el 2 se est\u00e1 sumando, pasa a restar con el 0, queda menos 2."}, {"start": 403.0, "end": 410.0, "text": " Y aqu\u00ed K diferente de, el 2 se est\u00e1 restando, pasa a sumar con el 0, nos queda 2."}, {"start": 410.0, "end": 412.0, "text": " Conclusi\u00f3n."}, {"start": 412.0, "end": 418.0, "text": " Para este ejercicio K tiene que ser diferente de menos 2 y K tiene que ser diferente de 2."}, {"start": 418.0, "end": 424.0, "text": " Para que el sistema sea compatible determinado, es decir para que tenga soluci\u00f3n \u00fanica."}, {"start": 424.0, "end": 428.0, "text": " La respuesta la podemos presentar entonces de la siguiente manera."}, {"start": 428.0, "end": 429.0, "text": " Respuesta."}, {"start": 429.0, "end": 435.0, "text": " K puede tomar cualquier valor del conjunto de los n\u00fameros reales,"}, {"start": 435.0, "end": 443.0, "text": " K pertenece a los reales con excepci\u00f3n de los elementos menos 2 y 2."}, {"start": 443.0, "end": 447.0, "text": " Si K tiene prohibido que sea menos 2 o que sea 2,"}, {"start": 447.0, "end": 454.0, "text": " para que el sistema sea compatible determinado, es decir para que tenga soluci\u00f3n \u00fanica."}]

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OPERACIONES CON FRACCIONES POSITIVAS Y NEGATIVAS - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo evaluar una expresión con números fraccionarios. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Encontrar el valor de la expresión 2 enteros 3 quintos de m menos 7 cuartos para m igual a menos 1 entero 1 medio. Bien, la solución de este ejercicio consiste en reemplazar el valor de la m por el número que nos dan, este número mixto negativo. Este valor entra aquí y lo que tenemos que identificar es que entre este número mixto y el valor de la m existe la operación multiplicación. ¿Sí? Porque entre ellos no hay nada. Entonces nos queda así. 2 enteros 3 quintos que va a ser multiplicado con el valor de la m que es menos 1 entero 1 medio, lo colocamos dentro de un paréntesis y eso menos 7 cuartos. Tenemos entonces una operación combinada de mixtos y fracciones. Multiplicación aquí de números mixtos y luego una resta con una fracción. Vamos entonces a desarrollarlo por acá. Comenzamos por pasar estos números mixtos a fracciones impropias. Entonces nos queda así. Esta 2 por 5 son 10 más 3 son 13 quintos. Este mixto nos da esta fracción. Vamos a multiplicar por la siguiente, ojo que es negativa, 1 por 2 es 2 más 1, 3. En el numerador colocamos el 3 y abajo el 2. Entonces nos da menos 3 medios y todo eso menos 7 cuartos. A continuación debemos realizar esta multiplicación antes que la resta. Entonces procedemos. Fracción positiva por fracción negativa nos va a dar negativo. Pues hagamos primero el signo. Y vamos a ensamblar la operación. Arriba 13 por 3 y abajo 5 por 2. Y todo esto menos 7 cuartos. Miramos si aquí se puede simplificar algo. 13 con 5 no se puede, 13 con 2 tampoco, 3 con 5 tampoco y 3 con 2 tampoco. Por lo tanto procedemos a multiplicar. Arriba 13 por 3 nos da 39 y abajo 5 por 2 es igual a 10. Menos 7 cuartos. Observamos que menos 7 cuartos se queda estático. Acompañando hasta que llegue el momento de ser operado con esta fracción. Tenemos entonces aquí 2 fracciones heterogéneas de distinto denominador. Debemos convertirlas en homogéneas y para ello buscamos el MCM o mínimo común múltiplo de los dos denominadores. Veamos el mínimo común múltiplo de 10 y 4 será. Tomamos el 10 y el 4 y los descomponemos de manera simultánea usando números primos. Usamos el 2, mitad de 10 es 5, mitad de 4 es 2. Nuevamente usamos el 2, el 5 no tiene mitad, se deja igual y la mitad de 2 es 1. Para el 5 usamos el 5, sacamos quinta y nos da 1. Multiplicamos estos numeritos, 2 por 2 es 4, 4 por 5 son 20. Por lo tanto el mínimo común múltiplo de 10 y 4 es igual a 20. Entonces debemos convertir las dos fracciones en fracciones con denominador 20. Y eso lo vamos a conseguir usando la amplificación. Entonces vamos a multiplicar en cada fracción por los números que hagan falta para que los denominadores se conviertan en 20. 10 debe ser multiplicado por 2 para que se convierta en 20, por lo tanto arriba también multiplicamos por 2. Y 4 debe ser multiplicado por 5 para que se convierta en 20, por lo tanto arriba también multiplicamos por 5. Vamos a continuarlo por acá. Entonces nos queda menos 39 por 2, eso es 78, sobre 10 por 2 que es 20. Menos, arriba multiplicamos 7 por 5 nos da 35 y abajo 4 por 5 es 20. Este menos que originalmente viene aquí como en el centro de la fracción le pertenece al numerador. Cuando se trata de hacer ya la operación de fracciones homogéneas, o sea con el mismo denominador. Dejamos el 20, es decir el denominador queda igual y operamos los numeradores, queda entonces menos 78 menos 35. Arriba menos 78 menos 35, eso nos da menos 113 y abajo nos queda el 20. Revisamos si esa fracción se puede simplificar, vemos que no, 20 tiene mitad, 113 no tiene mitad, 20 tiene quinta, 113 no tiene quinta. Por lo tanto ahí hemos llegado a la respuesta como fracción irreducible, pero vemos que es una fracción impropia, es decir, una fracción que se puede convertir en número mixto. Vamos a hacer rápidamente el cambio a mixto. Dividimos 113 entre 20, el 20 del 113 cabe 5 veces, 5 por 20 nos da 100, hacemos la resta eso nos da 13. Por lo tanto este número fraccionario, la fracción impropia queda convertida en el siguiente número mixto, no olvidemos que es negativo. Entonces 5 enteros, colocamos el 5 que es el cociente y la fracción que se compone de el residuo en el numerador, es decir el 13 y el divisor en el denominador. Es decir el 20, borramos la división y entonces tenemos el resultado presentado de dos maneras, como fracción impropia negativa o como número mixto negativo.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Encontrar el valor de la expresi\u00f3n 2 enteros 3 quintos de m menos 7 cuartos para m igual a menos 1 entero 1 medio."}, {"start": 12.0, "end": 24.0, "text": " Bien, la soluci\u00f3n de este ejercicio consiste en reemplazar el valor de la m por el n\u00famero que nos dan, este n\u00famero mixto negativo."}, {"start": 24.0, "end": 35.0, "text": " Este valor entra aqu\u00ed y lo que tenemos que identificar es que entre este n\u00famero mixto y el valor de la m existe la operaci\u00f3n multiplicaci\u00f3n."}, {"start": 35.0, "end": 39.0, "text": " \u00bfS\u00ed? Porque entre ellos no hay nada. Entonces nos queda as\u00ed."}, {"start": 39.0, "end": 54.0, "text": " 2 enteros 3 quintos que va a ser multiplicado con el valor de la m que es menos 1 entero 1 medio, lo colocamos dentro de un par\u00e9ntesis y eso menos 7 cuartos."}, {"start": 54.0, "end": 59.0, "text": " Tenemos entonces una operaci\u00f3n combinada de mixtos y fracciones."}, {"start": 59.0, "end": 65.0, "text": " Multiplicaci\u00f3n aqu\u00ed de n\u00fameros mixtos y luego una resta con una fracci\u00f3n."}, {"start": 65.0, "end": 73.0, "text": " Vamos entonces a desarrollarlo por ac\u00e1. Comenzamos por pasar estos n\u00fameros mixtos a fracciones impropias."}, {"start": 73.0, "end": 75.0, "text": " Entonces nos queda as\u00ed."}, {"start": 75.0, "end": 84.0, "text": " Esta 2 por 5 son 10 m\u00e1s 3 son 13 quintos. Este mixto nos da esta fracci\u00f3n."}, {"start": 84.0, "end": 92.0, "text": " Vamos a multiplicar por la siguiente, ojo que es negativa, 1 por 2 es 2 m\u00e1s 1, 3."}, {"start": 92.0, "end": 101.0, "text": " En el numerador colocamos el 3 y abajo el 2. Entonces nos da menos 3 medios y todo eso menos 7 cuartos."}, {"start": 101.0, "end": 108.0, "text": " A continuaci\u00f3n debemos realizar esta multiplicaci\u00f3n antes que la resta."}, {"start": 108.0, "end": 114.0, "text": " Entonces procedemos. Fracci\u00f3n positiva por fracci\u00f3n negativa nos va a dar negativo."}, {"start": 114.0, "end": 124.0, "text": " Pues hagamos primero el signo. Y vamos a ensamblar la operaci\u00f3n. Arriba 13 por 3 y abajo 5 por 2."}, {"start": 124.0, "end": 127.0, "text": " Y todo esto menos 7 cuartos."}, {"start": 127.0, "end": 138.0, "text": " Miramos si aqu\u00ed se puede simplificar algo. 13 con 5 no se puede, 13 con 2 tampoco, 3 con 5 tampoco y 3 con 2 tampoco."}, {"start": 138.0, "end": 148.0, "text": " Por lo tanto procedemos a multiplicar. Arriba 13 por 3 nos da 39 y abajo 5 por 2 es igual a 10."}, {"start": 148.0, "end": 154.0, "text": " Menos 7 cuartos. Observamos que menos 7 cuartos se queda est\u00e1tico."}, {"start": 154.0, "end": 159.0, "text": " Acompa\u00f1ando hasta que llegue el momento de ser operado con esta fracci\u00f3n."}, {"start": 159.0, "end": 163.0, "text": " Tenemos entonces aqu\u00ed 2 fracciones heterog\u00e9neas de distinto denominador."}, {"start": 163.0, "end": 171.0, "text": " Debemos convertirlas en homog\u00e9neas y para ello buscamos el MCM o m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de los dos denominadores."}, {"start": 171.0, "end": 177.0, "text": " Veamos el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 10 y 4 ser\u00e1."}, {"start": 177.0, "end": 183.0, "text": " Tomamos el 10 y el 4 y los descomponemos de manera simult\u00e1nea usando n\u00fameros primos."}, {"start": 183.0, "end": 187.0, "text": " Usamos el 2, mitad de 10 es 5, mitad de 4 es 2."}, {"start": 187.0, "end": 193.0, "text": " Nuevamente usamos el 2, el 5 no tiene mitad, se deja igual y la mitad de 2 es 1."}, {"start": 193.0, "end": 199.0, "text": " Para el 5 usamos el 5, sacamos quinta y nos da 1."}, {"start": 199.0, "end": 204.0, "text": " Multiplicamos estos numeritos, 2 por 2 es 4, 4 por 5 son 20."}, {"start": 204.0, "end": 210.0, "text": " Por lo tanto el m\u00ednimo com\u00fan m\u00faltiplo de 10 y 4 es igual a 20."}, {"start": 210.0, "end": 216.0, "text": " Entonces debemos convertir las dos fracciones en fracciones con denominador 20."}, {"start": 216.0, "end": 221.0, "text": " Y eso lo vamos a conseguir usando la amplificaci\u00f3n."}, {"start": 221.0, "end": 232.0, "text": " Entonces vamos a multiplicar en cada fracci\u00f3n por los n\u00fameros que hagan falta para que los denominadores se conviertan en 20."}, {"start": 232.0, "end": 239.0, "text": " 10 debe ser multiplicado por 2 para que se convierta en 20, por lo tanto arriba tambi\u00e9n multiplicamos por 2."}, {"start": 239.0, "end": 248.0, "text": " Y 4 debe ser multiplicado por 5 para que se convierta en 20, por lo tanto arriba tambi\u00e9n multiplicamos por 5."}, {"start": 248.0, "end": 253.0, "text": " Vamos a continuarlo por ac\u00e1."}, {"start": 253.0, "end": 261.0, "text": " Entonces nos queda menos 39 por 2, eso es 78, sobre 10 por 2 que es 20."}, {"start": 261.0, "end": 270.0, "text": " Menos, arriba multiplicamos 7 por 5 nos da 35 y abajo 4 por 5 es 20."}, {"start": 270.0, "end": 277.0, "text": " Este menos que originalmente viene aqu\u00ed como en el centro de la fracci\u00f3n le pertenece al numerador."}, {"start": 277.0, "end": 282.0, "text": " Cuando se trata de hacer ya la operaci\u00f3n de fracciones homog\u00e9neas, o sea con el mismo denominador."}, {"start": 282.0, "end": 291.0, "text": " Dejamos el 20, es decir el denominador queda igual y operamos los numeradores, queda entonces menos 78 menos 35."}, {"start": 291.0, "end": 300.0, "text": " Arriba menos 78 menos 35, eso nos da menos 113 y abajo nos queda el 20."}, {"start": 300.0, "end": 310.0, "text": " Revisamos si esa fracci\u00f3n se puede simplificar, vemos que no, 20 tiene mitad, 113 no tiene mitad, 20 tiene quinta, 113 no tiene quinta."}, {"start": 310.0, "end": 322.0, "text": " Por lo tanto ah\u00ed hemos llegado a la respuesta como fracci\u00f3n irreducible, pero vemos que es una fracci\u00f3n impropia, es decir, una fracci\u00f3n que se puede convertir en n\u00famero mixto."}, {"start": 322.0, "end": 326.0, "text": " Vamos a hacer r\u00e1pidamente el cambio a mixto."}, {"start": 326.0, "end": 336.0, "text": " Dividimos 113 entre 20, el 20 del 113 cabe 5 veces, 5 por 20 nos da 100, hacemos la resta eso nos da 13."}, {"start": 336.0, "end": 345.0, "text": " Por lo tanto este n\u00famero fraccionario, la fracci\u00f3n impropia queda convertida en el siguiente n\u00famero mixto, no olvidemos que es negativo."}, {"start": 345.0, "end": 358.0, "text": " Entonces 5 enteros, colocamos el 5 que es el cociente y la fracci\u00f3n que se compone de el residuo en el numerador, es decir el 13 y el divisor en el denominador."}, {"start": 358.0, "end": 373.0, "text": " Es decir el 20, borramos la divisi\u00f3n y entonces tenemos el resultado presentado de dos maneras, como fracci\u00f3n impropia negativa o como n\u00famero mixto negativo."}]

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RESTA DE POLINOMIOS - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo restar dos polinomios algebraicos. Tema: #PolinomiosAlgebraicos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEyIs_s2RKgIPueyKz2pawL REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a realizar esta resta de polinomios. En este caso tenemos un binomio como minuendo y un trinomio como sustraendo. Para comenzar debemos quitar los paréntesis. Entonces para el caso de este binomio, a su izquierda tiene signo positivo que es invisible. Entonces sus términos salen tal como se encuentran, no presentan ninguna modificación. Para el caso de ir sustraendo, entonces el menos entra afectando todos los términos que contiene la expresión cambiándoles el signo. Entonces este 2 que está positivo ahora queda negativo, ese término que es negativo queda positivo y este que es negativo queda positivo. Ese es el efecto que tiene entonces el signo menos cuando destruye el paréntesis de una expresión algebraica. Y a continuación vamos a identificar en este polinomio de cinco términos quienes son semejantes. Entonces tenemos el caso de este término que contiene la letra P y este que también contiene la letra P. Tenemos estos dos numeritos que se encuentran libres, no están acompañados de ninguna letra. Y este término que tiene P cuadrado, pero ningún otro término tiene P cuadrado, por lo tanto este no tiene semejante. Comencemos entonces con estos dos, 5P más 3P, tenemos que 5 más 3 nos da 8 acompañado de la letra P, sumamos los coeficientes. Para el caso de menos 1 y menos 2 eso nos da menos 3 y acompañamos de este término que no tiene semejante que sería 10P al cuadrado. Algo que se acostumbra en los resultados de operaciones con polinomios es organizarlo bien sea en orden ascendente o en orden descendente. Se acostumbra más en orden descendente, es decir, tratando de comenzar con el término que tiene mayor exponente, es decir este. Entonces escribimos 10P al cuadrado y vamos bajando gradualmente sus exponentes. Seguiríamos entonces con este término donde la P tiene exponente 1, se encuentra invisible ese exponente, entonces sería más 8P. Y finalmente el menos 3 que es lo que se conoce en un polinomio como el término independiente. Esta sería entonces la respuesta a esa resta de polinomios.

[{"start": 0.0, "end": 4.0, "text": " Vamos a realizar esta resta de polinomios."}, {"start": 4.0, "end": 13.0, "text": " En este caso tenemos un binomio como minuendo y un trinomio como sustraendo."}, {"start": 13.0, "end": 17.0, "text": " Para comenzar debemos quitar los par\u00e9ntesis."}, {"start": 17.0, "end": 24.0, "text": " Entonces para el caso de este binomio, a su izquierda tiene signo positivo que es invisible."}, {"start": 24.0, "end": 30.0, "text": " Entonces sus t\u00e9rminos salen tal como se encuentran, no presentan ninguna modificaci\u00f3n."}, {"start": 30.0, "end": 43.0, "text": " Para el caso de ir sustraendo, entonces el menos entra afectando todos los t\u00e9rminos que contiene la expresi\u00f3n cambi\u00e1ndoles el signo."}, {"start": 43.0, "end": 55.0, "text": " Entonces este 2 que est\u00e1 positivo ahora queda negativo, ese t\u00e9rmino que es negativo queda positivo y este que es negativo queda positivo."}, {"start": 55.0, "end": 64.0, "text": " Ese es el efecto que tiene entonces el signo menos cuando destruye el par\u00e9ntesis de una expresi\u00f3n algebraica."}, {"start": 64.0, "end": 72.0, "text": " Y a continuaci\u00f3n vamos a identificar en este polinomio de cinco t\u00e9rminos quienes son semejantes."}, {"start": 72.0, "end": 80.0, "text": " Entonces tenemos el caso de este t\u00e9rmino que contiene la letra P y este que tambi\u00e9n contiene la letra P."}, {"start": 80.0, "end": 87.0, "text": " Tenemos estos dos numeritos que se encuentran libres, no est\u00e1n acompa\u00f1ados de ninguna letra."}, {"start": 87.0, "end": 95.0, "text": " Y este t\u00e9rmino que tiene P cuadrado, pero ning\u00fan otro t\u00e9rmino tiene P cuadrado, por lo tanto este no tiene semejante."}, {"start": 95.0, "end": 108.0, "text": " Comencemos entonces con estos dos, 5P m\u00e1s 3P, tenemos que 5 m\u00e1s 3 nos da 8 acompa\u00f1ado de la letra P, sumamos los coeficientes."}, {"start": 108.0, "end": 118.0, "text": " Para el caso de menos 1 y menos 2 eso nos da menos 3 y acompa\u00f1amos de este t\u00e9rmino que no tiene semejante que ser\u00eda 10P al cuadrado."}, {"start": 118.0, "end": 130.0, "text": " Algo que se acostumbra en los resultados de operaciones con polinomios es organizarlo bien sea en orden ascendente o en orden descendente."}, {"start": 130.0, "end": 141.0, "text": " Se acostumbra m\u00e1s en orden descendente, es decir, tratando de comenzar con el t\u00e9rmino que tiene mayor exponente, es decir este."}, {"start": 141.0, "end": 148.0, "text": " Entonces escribimos 10P al cuadrado y vamos bajando gradualmente sus exponentes."}, {"start": 148.0, "end": 158.0, "text": " Seguir\u00edamos entonces con este t\u00e9rmino donde la P tiene exponente 1, se encuentra invisible ese exponente, entonces ser\u00eda m\u00e1s 8P."}, {"start": 158.0, "end": 166.0, "text": " Y finalmente el menos 3 que es lo que se conoce en un polinomio como el t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 166.0, "end": 171.0, "text": " Esta ser\u00eda entonces la respuesta a esa resta de polinomios."}]

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SUMA DE POLINOMIOS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo sumar dos polinomios algebraicos. Tema: #PolinomiosAlgebraicos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEyIs_s2RKgIPueyKz2pawL REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a realizar la suma de estos dos polinomios. Para ser más exactos se trata de dos trinomios. Trinomios de segundo grado. Vemos que el exponente más alto en cada uno de ellos es 2. Bien, entonces para comenzar debemos quitar los paréntesis. Entonces, como antes de cada paréntesis, antes de cada expresión, tenemos signo positivo, si aquí lo tenemos invisible, entonces es como si borraramos los paréntesis. Los podemos quitar tranquilamente porque el signo más es un signo inofensivo. No nos cambian ninguno de los signos que hay al interior de cada paréntesis. Tenemos entonces una expresión de seis términos, donde vamos a ubicar lo que se llaman términos semejantes. Recordemos, términos semejantes son aquellos que tienen las mismas letras y los mismos exponentes. Entonces tenemos el caso de estos dos. Vemos que ambos tienen x al cuadrado. Tenemos el caso de estos dos, donde ambos tienen la letra x. Y el caso de estos dos numeritos que se encuentran sin letra. No están acompañados de ninguna parte literal. Son números libres. Entonces, empezamos a operar los términos semejantes. Vamos a procurar organizar nuestro resultado, nuestro polinomio resultante, así como están estos de acá, es decir, en orden descendente. Procurando que los exponentes vayan disminuyendo. Entonces, empezamos con estos dos. Para operar términos semejantes, recordemos que se operan sus coeficientes. Aquí tenemos un coeficiente que es 1 positivo, invisible, y ese se va a sumar con este 2. 1 más 2 nos da 3 y se conserva la parte literal. x al cuadrado no nos cambia. De igual forma, vamos a operar estos dos términos semejantes que contienen la x. Entonces, operamos menos 3 con menos 7, eso nos da menos 10. x, acompañamos de la letra x. Y por último, este 5, que es positivo, lo operamos con este menos 4. Entonces, 5 menos 4 nos da 1 positivo. Y de esta manera tenemos el resultado de la suma de estos dos polinomios, de esos dos trinomios. Vemos que nos da una expresión que se llama trinomio de segundo grado y que se encuentra organizada en forma descendente.

[{"start": 0.0, "end": 8.44, "text": " Vamos a realizar la suma de estos dos polinomios. Para ser m\u00e1s exactos se trata de dos trinomios."}, {"start": 8.44, "end": 16.76, "text": " Trinomios de segundo grado. Vemos que el exponente m\u00e1s alto en cada uno de ellos es 2."}, {"start": 16.76, "end": 21.56, "text": " Bien, entonces para comenzar debemos quitar los par\u00e9ntesis."}, {"start": 21.56, "end": 28.8, "text": " Entonces, como antes de cada par\u00e9ntesis, antes de cada expresi\u00f3n, tenemos signo positivo,"}, {"start": 28.8, "end": 35.56, "text": " si aqu\u00ed lo tenemos invisible, entonces es como si borraramos los par\u00e9ntesis."}, {"start": 35.56, "end": 43.68, "text": " Los podemos quitar tranquilamente porque el signo m\u00e1s es un signo inofensivo."}, {"start": 43.68, "end": 51.040000000000006, "text": " No nos cambian ninguno de los signos que hay al interior de cada par\u00e9ntesis."}, {"start": 51.040000000000006, "end": 55.16, "text": " Tenemos entonces una expresi\u00f3n de seis t\u00e9rminos,"}, {"start": 55.16, "end": 59.04, "text": " donde vamos a ubicar lo que se llaman t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 59.04, "end": 66.08, "text": " Recordemos, t\u00e9rminos semejantes son aquellos que tienen las mismas letras y los mismos exponentes."}, {"start": 66.08, "end": 71.92, "text": " Entonces tenemos el caso de estos dos. Vemos que ambos tienen x al cuadrado."}, {"start": 71.92, "end": 78.28, "text": " Tenemos el caso de estos dos, donde ambos tienen la letra x."}, {"start": 78.28, "end": 87.16, "text": " Y el caso de estos dos numeritos que se encuentran sin letra."}, {"start": 87.16, "end": 92.28, "text": " No est\u00e1n acompa\u00f1ados de ninguna parte literal. Son n\u00fameros libres."}, {"start": 92.28, "end": 96.68, "text": " Entonces, empezamos a operar los t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 96.68, "end": 101.88, "text": " Vamos a procurar organizar nuestro resultado, nuestro polinomio resultante,"}, {"start": 101.88, "end": 105.84, "text": " as\u00ed como est\u00e1n estos de ac\u00e1, es decir, en orden descendente."}, {"start": 105.84, "end": 111.04, "text": " Procurando que los exponentes vayan disminuyendo."}, {"start": 111.04, "end": 113.32000000000001, "text": " Entonces, empezamos con estos dos."}, {"start": 113.32000000000001, "end": 117.64, "text": " Para operar t\u00e9rminos semejantes, recordemos que se operan sus coeficientes."}, {"start": 117.64, "end": 124.56, "text": " Aqu\u00ed tenemos un coeficiente que es 1 positivo, invisible, y ese se va a sumar con este 2."}, {"start": 124.56, "end": 129.28, "text": " 1 m\u00e1s 2 nos da 3 y se conserva la parte literal."}, {"start": 129.28, "end": 132.28, "text": " x al cuadrado no nos cambia."}, {"start": 132.28, "end": 137.68, "text": " De igual forma, vamos a operar estos dos t\u00e9rminos semejantes que contienen la x."}, {"start": 137.68, "end": 143.08, "text": " Entonces, operamos menos 3 con menos 7, eso nos da menos 10."}, {"start": 143.08, "end": 147.08, "text": " x, acompa\u00f1amos de la letra x."}, {"start": 147.08, "end": 153.28, "text": " Y por \u00faltimo, este 5, que es positivo, lo operamos con este menos 4."}, {"start": 153.28, "end": 158.28, "text": " Entonces, 5 menos 4 nos da 1 positivo."}, {"start": 158.28, "end": 164.88, "text": " Y de esta manera tenemos el resultado de la suma de estos dos polinomios, de esos dos trinomios."}, {"start": 164.88, "end": 170.88, "text": " Vemos que nos da una expresi\u00f3n que se llama trinomio de segundo grado"}, {"start": 170.88, "end": 189.88, "text": " y que se encuentra organizada en forma descendente."}]

julioprofe

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SUMA DE POLINOMIOS - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo sumar dos polinomios algebraicos. Tema: #PolinomiosAlgebraicos → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEyIs_s2RKgIPueyKz2pawL REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Nos dan el siguiente ejercicio, sumar esta expresión que es un trinomio, vemos que tiene tres términos y esta otra expresión que también es trinomio. Entonces, podemos anotar la primera expresión, 5ab menos 3a al cuadrado más 7b al cuadrado conectada con la siguiente por el signo de suma, ya que eso es lo que nos indica el enunciado. Bien, a continuación debemos quitar los paréntesis, como en este caso ambas expresiones están precedidas del signo positivo, aquí lo tenemos invisible, entonces es como si hiciéramos esto, como si quitáramos los paréntesis tranquilamente, dado que este signo más no me cambia ninguno de estos signos y de igual forma sucede acá, los términos salen como se encuentran originalmente. Y a continuación vamos a identificar lo que son los términos semejantes, entonces por ejemplo, por acá vemos un término que contiene ab y por acá tenemos otro término que también contiene ab, son términos semejantes. Tenemos un término que contiene al cuadrado y por acá tenemos otro que contiene al cuadrado, son semejantes. Y tenemos este que contiene b cuadrado al igual que este de acá, entonces allí tenemos identificados lo que son los términos semejantes, aquellos que tienen la misma parte literal y los mismos exponentes. Entonces vamos a comenzar a organizar nuestra expresión, podríamos iniciar con el término que contiene a cuadrado, entonces operamos estos dos de acá. Y cuando operamos términos semejantes recordemos que hacemos la operación que hay entre sus coeficientes, los numeritos que están al comienzo de cada término. Entonces menos tres más nueve nos da seis y acompañamos de a al cuadrado. Bien, ahora sigamos con los que tienen por ejemplo ab, tenemos el caso de este término que tiene coeficiente cinco positivo y este que tiene coeficiente cinco negativo. Cinco y menos cinco nos daría cero, cero ab, es decir finalmente cero. Si cuando nosotros decimos cero ab, el cero está multiplicando con la a y multiplicando con la b, por lo tanto elimina todo el término. En otras palabras estos términos se llaman términos opuestos y por esa razón los podemos cancelar porque da cero la suma de ellos. Y nos queda finalmente la operación de estos dos términos que son los que contienen b cuadrado, entonces tenemos más siete y menos once, eso nos da menos cuatro b al cuadrado. Esta sería entonces la respuesta a este ejercicio de suma de polinomios.

[{"start": 0.0, "end": 12.0, "text": " Nos dan el siguiente ejercicio, sumar esta expresi\u00f3n que es un trinomio, vemos que tiene tres t\u00e9rminos y esta otra expresi\u00f3n que tambi\u00e9n es trinomio."}, {"start": 12.0, "end": 34.0, "text": " Entonces, podemos anotar la primera expresi\u00f3n, 5ab menos 3a al cuadrado m\u00e1s 7b al cuadrado conectada con la siguiente por el signo de suma, ya que eso es lo que nos indica el enunciado."}, {"start": 34.0, "end": 50.0, "text": " Bien, a continuaci\u00f3n debemos quitar los par\u00e9ntesis, como en este caso ambas expresiones est\u00e1n precedidas del signo positivo, aqu\u00ed lo tenemos invisible, entonces es como si hici\u00e9ramos esto,"}, {"start": 50.0, "end": 65.0, "text": " como si quit\u00e1ramos los par\u00e9ntesis tranquilamente, dado que este signo m\u00e1s no me cambia ninguno de estos signos y de igual forma sucede ac\u00e1, los t\u00e9rminos salen como se encuentran originalmente."}, {"start": 65.0, "end": 79.0, "text": " Y a continuaci\u00f3n vamos a identificar lo que son los t\u00e9rminos semejantes, entonces por ejemplo, por ac\u00e1 vemos un t\u00e9rmino que contiene ab y por ac\u00e1 tenemos otro t\u00e9rmino que tambi\u00e9n contiene ab, son t\u00e9rminos semejantes."}, {"start": 79.0, "end": 87.0, "text": " Tenemos un t\u00e9rmino que contiene al cuadrado y por ac\u00e1 tenemos otro que contiene al cuadrado, son semejantes."}, {"start": 87.0, "end": 103.0, "text": " Y tenemos este que contiene b cuadrado al igual que este de ac\u00e1, entonces all\u00ed tenemos identificados lo que son los t\u00e9rminos semejantes, aquellos que tienen la misma parte literal y los mismos exponentes."}, {"start": 103.0, "end": 115.0, "text": " Entonces vamos a comenzar a organizar nuestra expresi\u00f3n, podr\u00edamos iniciar con el t\u00e9rmino que contiene a cuadrado, entonces operamos estos dos de ac\u00e1."}, {"start": 115.0, "end": 126.0, "text": " Y cuando operamos t\u00e9rminos semejantes recordemos que hacemos la operaci\u00f3n que hay entre sus coeficientes, los numeritos que est\u00e1n al comienzo de cada t\u00e9rmino."}, {"start": 126.0, "end": 134.0, "text": " Entonces menos tres m\u00e1s nueve nos da seis y acompa\u00f1amos de a al cuadrado."}, {"start": 134.0, "end": 146.0, "text": " Bien, ahora sigamos con los que tienen por ejemplo ab, tenemos el caso de este t\u00e9rmino que tiene coeficiente cinco positivo y este que tiene coeficiente cinco negativo."}, {"start": 146.0, "end": 152.0, "text": " Cinco y menos cinco nos dar\u00eda cero, cero ab, es decir finalmente cero."}, {"start": 152.0, "end": 163.0, "text": " Si cuando nosotros decimos cero ab, el cero est\u00e1 multiplicando con la a y multiplicando con la b, por lo tanto elimina todo el t\u00e9rmino."}, {"start": 163.0, "end": 173.0, "text": " En otras palabras estos t\u00e9rminos se llaman t\u00e9rminos opuestos y por esa raz\u00f3n los podemos cancelar porque da cero la suma de ellos."}, {"start": 173.0, "end": 187.0, "text": " Y nos queda finalmente la operaci\u00f3n de estos dos t\u00e9rminos que son los que contienen b cuadrado, entonces tenemos m\u00e1s siete y menos once, eso nos da menos cuatro b al cuadrado."}, {"start": 187.0, "end": 206.0, "text": " Esta ser\u00eda entonces la respuesta a este ejercicio de suma de polinomios."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=PgOU6hYfk4s

LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resover un límite trigonométrico. Tema: #Límites → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEeindtt3TarvkVHRDmqNTf REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Vamos a resolver este límite trigonométrico. Para comenzar vamos a evaluar esta función cuando x es igual a cero. Vamos a reemplazar el cero aquí. Entonces tendremos en el numerador tangente de cero y en el denominador seno de 4 por cero es igual a cero. Tenemos que la tangente de cero vale cero y el seno de cero también vale cero. Por lo tanto tenemos una indeterminación. Cero sobre cero es indeterminación y nos dice que tenemos que transformar esta expresión puesto que esto no es una respuesta para un límite. Entonces vamos a hacer lo siguiente. Vamos a cambiar la tangente por seno sobre coseno. Seno de x sobre coseno de x es tangente de x. Y en el denominador tenemos seno de 4x que le colocamos denominador 1. Todo esto cuando x tiende a cero. Bien, vamos a aplicar la ley de la oreja. En la oreja multiplicamos seno de x por 1 que es igual a cero de x. Y abajo multiplicamos coseno de x por el seno de 4x. Y todo esto cuando x tiende a cero. Bien, tenemos que apuntarle a lo siguiente. Existe una propiedad que dice que el límite del seno de kx sobre kx cuando x tiende a cero es igual a 1. Entonces debemos apuntarle a esto procurando que lo que hace el papel del ángulo del seno sea lo mismo que tengamos acá en el denominador. Entonces vamos a lograrlo de la siguiente manera. Vamos a seguirlo por acá. Tenemos límite cuando x tiende a cero. Entonces necesitamos que seno de x tenga una x debajo. Para contrarrestar esta x debemos multiplicar por x. Coseno de x no tiene problema. Este seno de 4x necesita en su denominador un 4x. Y para contrarrestar eso debemos multiplicar por 4x. Ahora vamos a aplicar una propiedad de los límites que nos dice que cuando tenemos el límite de una función, como en este caso que hay un cociente fuera de eso tenemos arriba un producto, abajo también hay un producto de expresiones. Entonces el límite puede repartirse para cada una de esas expresiones. Entonces tendremos lo siguiente. Límite de x cuando x tiende a cero por límite del seno de x sobre x cuando x tiende a cero. Conservando la operación multiplicación que tenemos acá. En la parte de abajo lo mismo. Límite del coseno de x cuando x tiende a cero. Todo esto multiplicado por límite de 4x sobre cuando x tiende a cero. Y todo esto multiplicado por límite de seno de 4x sobre 4x cuando x tiende a cero. Entonces allí tenemos lo siguiente. Aquí límite cuando x tiende a cero de seno de x sobre x es el que mencionábamos hace un momento que es igual a 1. Y lo mismo va a suceder con este. Límite cuando x tiende a cero del seno de 4x sobre 4x también equivale a 1. Adicionalmente podríamos resolver este límite de acá, reemplazando directamente. Coseno de cero eso nos da 1. Y por reemplazo directo sale. Pero ojo con estos dos. Como x tiende a cero, si reemplazamos aquí el cero esto nos da cero. Y acá lo mismo. Como x tiende a cero, 4 por cero nos daría cero. Es decir, cero en el numerador, cero en el denominador, nuevamente indeterminación. Pero entonces hacemos lo siguiente. Vemos que en el numerador nos quedó únicamente límite de x cuando x tiende a cero. Y en el denominador límite de 4x cuando x tiende a cero. Pues bien, así como el límite vimos que se puede repartir para todos los componentes de la función. De igual forma puede devolverse. Entonces es lo que tenemos aquí. Este límite podríamos retirarlo. Que haría límite cuando x tiende a cero de x sobre 4x. Y aquí podemos simplificar x. Entonces nos va a quedar límite de 1 cuarto cuando x tiende a cero. Y tenemos entonces el límite de una función constante. Y dice la propiedad que el límite de una constante es la misma constante. De esta manera entonces hemos llegado a la solución. Nuestra respuesta para el límite propuesto es 1 cuarto.

[{"start": 0.0, "end": 3.0, "text": " Vamos a resolver este l\u00edmite trigonom\u00e9trico."}, {"start": 3.0, "end": 9.0, "text": " Para comenzar vamos a evaluar esta funci\u00f3n cuando x es igual a cero."}, {"start": 9.0, "end": 12.0, "text": " Vamos a reemplazar el cero aqu\u00ed."}, {"start": 12.0, "end": 21.0, "text": " Entonces tendremos en el numerador tangente de cero y en el denominador seno de 4 por cero es igual a cero."}, {"start": 21.0, "end": 27.0, "text": " Tenemos que la tangente de cero vale cero y el seno de cero tambi\u00e9n vale cero."}, {"start": 27.0, "end": 31.0, "text": " Por lo tanto tenemos una indeterminaci\u00f3n."}, {"start": 31.0, "end": 40.0, "text": " Cero sobre cero es indeterminaci\u00f3n y nos dice que tenemos que transformar esta expresi\u00f3n"}, {"start": 40.0, "end": 44.0, "text": " puesto que esto no es una respuesta para un l\u00edmite."}, {"start": 44.0, "end": 47.0, "text": " Entonces vamos a hacer lo siguiente."}, {"start": 47.0, "end": 57.0, "text": " Vamos a cambiar la tangente por seno sobre coseno."}, {"start": 57.0, "end": 60.0, "text": " Seno de x sobre coseno de x es tangente de x."}, {"start": 60.0, "end": 66.0, "text": " Y en el denominador tenemos seno de 4x que le colocamos denominador 1."}, {"start": 66.0, "end": 69.0, "text": " Todo esto cuando x tiende a cero."}, {"start": 69.0, "end": 72.0, "text": " Bien, vamos a aplicar la ley de la oreja."}, {"start": 72.0, "end": 77.0, "text": " En la oreja multiplicamos seno de x por 1 que es igual a cero de x."}, {"start": 77.0, "end": 84.0, "text": " Y abajo multiplicamos coseno de x por el seno de 4x."}, {"start": 84.0, "end": 87.0, "text": " Y todo esto cuando x tiende a cero."}, {"start": 87.0, "end": 90.0, "text": " Bien, tenemos que apuntarle a lo siguiente."}, {"start": 90.0, "end": 99.0, "text": " Existe una propiedad que dice que el l\u00edmite del seno de kx sobre kx"}, {"start": 99.0, "end": 103.0, "text": " cuando x tiende a cero es igual a 1."}, {"start": 103.0, "end": 110.0, "text": " Entonces debemos apuntarle a esto procurando que lo que hace el papel del \u00e1ngulo del seno"}, {"start": 110.0, "end": 113.0, "text": " sea lo mismo que tengamos ac\u00e1 en el denominador."}, {"start": 113.0, "end": 118.0, "text": " Entonces vamos a lograrlo de la siguiente manera."}, {"start": 118.0, "end": 122.0, "text": " Vamos a seguirlo por ac\u00e1."}, {"start": 122.0, "end": 126.0, "text": " Tenemos l\u00edmite cuando x tiende a cero."}, {"start": 126.0, "end": 131.0, "text": " Entonces necesitamos que seno de x tenga una x debajo."}, {"start": 131.0, "end": 136.0, "text": " Para contrarrestar esta x debemos multiplicar por x."}, {"start": 136.0, "end": 139.0, "text": " Coseno de x no tiene problema."}, {"start": 139.0, "end": 146.0, "text": " Este seno de 4x necesita en su denominador un 4x."}, {"start": 146.0, "end": 151.0, "text": " Y para contrarrestar eso debemos multiplicar por 4x."}, {"start": 151.0, "end": 157.0, "text": " Ahora vamos a aplicar una propiedad de los l\u00edmites que nos dice que"}, {"start": 157.0, "end": 163.0, "text": " cuando tenemos el l\u00edmite de una funci\u00f3n, como en este caso que hay un cociente fuera de eso"}, {"start": 163.0, "end": 168.0, "text": " tenemos arriba un producto, abajo tambi\u00e9n hay un producto de expresiones."}, {"start": 168.0, "end": 172.0, "text": " Entonces el l\u00edmite puede repartirse para cada una de esas expresiones."}, {"start": 172.0, "end": 175.0, "text": " Entonces tendremos lo siguiente."}, {"start": 175.0, "end": 189.0, "text": " L\u00edmite de x cuando x tiende a cero por l\u00edmite del seno de x sobre x cuando x tiende a cero."}, {"start": 189.0, "end": 193.0, "text": " Conservando la operaci\u00f3n multiplicaci\u00f3n que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 193.0, "end": 195.0, "text": " En la parte de abajo lo mismo."}, {"start": 195.0, "end": 201.0, "text": " L\u00edmite del coseno de x cuando x tiende a cero."}, {"start": 201.0, "end": 211.0, "text": " Todo esto multiplicado por l\u00edmite de 4x sobre cuando x tiende a cero."}, {"start": 211.0, "end": 224.0, "text": " Y todo esto multiplicado por l\u00edmite de seno de 4x sobre 4x cuando x tiende a cero."}, {"start": 224.0, "end": 227.0, "text": " Entonces all\u00ed tenemos lo siguiente."}, {"start": 227.0, "end": 235.0, "text": " Aqu\u00ed l\u00edmite cuando x tiende a cero de seno de x sobre x es el que mencion\u00e1bamos hace un momento que es igual a 1."}, {"start": 235.0, "end": 237.0, "text": " Y lo mismo va a suceder con este."}, {"start": 237.0, "end": 245.0, "text": " L\u00edmite cuando x tiende a cero del seno de 4x sobre 4x tambi\u00e9n equivale a 1."}, {"start": 245.0, "end": 250.0, "text": " Adicionalmente podr\u00edamos resolver este l\u00edmite de ac\u00e1, reemplazando directamente."}, {"start": 250.0, "end": 253.0, "text": " Coseno de cero eso nos da 1."}, {"start": 253.0, "end": 256.0, "text": " Y por reemplazo directo sale."}, {"start": 256.0, "end": 258.0, "text": " Pero ojo con estos dos."}, {"start": 258.0, "end": 262.0, "text": " Como x tiende a cero, si reemplazamos aqu\u00ed el cero esto nos da cero."}, {"start": 262.0, "end": 264.0, "text": " Y ac\u00e1 lo mismo."}, {"start": 264.0, "end": 267.0, "text": " Como x tiende a cero, 4 por cero nos dar\u00eda cero."}, {"start": 267.0, "end": 272.0, "text": " Es decir, cero en el numerador, cero en el denominador, nuevamente indeterminaci\u00f3n."}, {"start": 272.0, "end": 276.0, "text": " Pero entonces hacemos lo siguiente."}, {"start": 276.0, "end": 282.0, "text": " Vemos que en el numerador nos qued\u00f3 \u00fanicamente l\u00edmite de x cuando x tiende a cero."}, {"start": 282.0, "end": 288.0, "text": " Y en el denominador l\u00edmite de 4x cuando x tiende a cero."}, {"start": 288.0, "end": 295.0, "text": " Pues bien, as\u00ed como el l\u00edmite vimos que se puede repartir para todos los componentes de la funci\u00f3n."}, {"start": 295.0, "end": 298.0, "text": " De igual forma puede devolverse."}, {"start": 298.0, "end": 300.0, "text": " Entonces es lo que tenemos aqu\u00ed."}, {"start": 300.0, "end": 303.0, "text": " Este l\u00edmite podr\u00edamos retirarlo."}, {"start": 303.0, "end": 309.0, "text": " Que har\u00eda l\u00edmite cuando x tiende a cero de x sobre 4x."}, {"start": 309.0, "end": 311.0, "text": " Y aqu\u00ed podemos simplificar x."}, {"start": 311.0, "end": 316.0, "text": " Entonces nos va a quedar l\u00edmite de 1 cuarto cuando x tiende a cero."}, {"start": 316.0, "end": 320.0, "text": " Y tenemos entonces el l\u00edmite de una funci\u00f3n constante."}, {"start": 320.0, "end": 325.0, "text": " Y dice la propiedad que el l\u00edmite de una constante es la misma constante."}, {"start": 325.0, "end": 329.0, "text": " De esta manera entonces hemos llegado a la soluci\u00f3n."}, {"start": 329.0, "end": 342.0, "text": " Nuestra respuesta para el l\u00edmite propuesto es 1 cuarto."}]

julioprofe

https://www.youtube.com/watch?v=EYcwxYab0Qk

LÍMITES A PARTIR DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

#julioprofe explica cómo hallar límites de una función cuando se conoce su gráfica. Tema: #Límites → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEeindtt3TarvkVHRDmqNTf REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En este ejercicio nos dan la gráfica de una función, la que vemos en color rojo, y nos preguntan por estos cinco límites. Bueno, vamos a empezar entonces con el primero, límite de la función cuando x tiende a menos 2. Entonces estamos en la obligación de analizarlo tanto por izquierda como por la derecha, de menos 2. Sin que nos digan nada, si el límite viene presentado de esta manera, debemos analizarlo por izquierda y por derecha. Entonces veamos, cuando x tiende a menos 2 por la izquierda, nos situamos como por aquí, y vamos a buscar la gráfica de la función. Nos movemos en forma vertical, y entonces debemos subir para encontrar la gráfica. Hacemos contacto como por aquí, vamos al eje y, y encontramos un número muy próximo a 1. Entonces ese será el resultado de ese límite. Ahora, cuando x tiende a menos 2 por la derecha, entonces nos situamos aquí, a la derecha de menos 2. Nos movemos verticalmente, en este caso debemos bajar, hacer contacto con la gráfica por aquí, vamos al eje y, y encontramos que nos aproximamos a menos 1. Entonces vemos que el límite por la izquierda nos da 1 y por la derecha nos da menos 1. Dan valores distintos, por lo tanto el primer límite no existe. Porque es requisito para que un límite exista que tanto por izquierda como por derecha nos dé el mismo número real. Bien, vamos entonces con el siguiente límite cuando x tiende a 0. Entonces vamos a mirarlo acá. De igual forma lo analizamos cuando x tiende a 0 por la izquierda y cuando x tiende a 0 por la derecha. Entonces veamos, si nos situamos a la izquierda de 0, como por aquí, entonces vamos a buscar la gráfica, tenemos que subir, hacemos contacto como por aquí y encontramos que el valor en y es un número muy próximo a 1. Veamos cuando x tiende a 0 por la derecha, la misma situación, nos paramos aquí a la derecha del 0, nos movemos verticalmente, debemos subir, hacer contacto con la gráfica y vemos que hacemos contacto en el eje y en un valor muy próximo a 1. Vemos que por la izquierda y por la derecha los límites valen lo mismo, valen 1, por lo tanto este límite existe y vale 1. Bien, vamos ahora con el límite de la función cuando x tiende a 2. Entonces, cuando x tiende a 2 por la izquierda y el límite de la función cuando x tiende a 2 por la derecha. Veamos, si nos aproximamos a 2 por la izquierda y vamos a buscar la función, tendríamos que bajar y vemos que la tendencia de la gráfica es irse hacia abajo indefinidamente, aproximándose a esta recta punteada que es lo que se conoce como una asíntota, en este caso una asíntota vertical, una recta a la cual la curva se va a aproximar cada vez más pero sin haber contacto. Entonces, cuando x tiende a 2 por la izquierda vemos que la función, los valores de y tienden cada vez más hacia abajo, es decir tiende hacia menos infinito. Y cuando x tiende a 2 por la derecha, que es lo que sucede como por acá, vamos a buscar la gráfica de la función, tenemos que subir y vemos que la tendencia de la gráfica es irse cada vez más hacia arriba, es decir hacia más infinito. Si los valores de y o de la función tienden hacia más infinito, vemos que no se ponen de acuerdo a los límites, por izquierda da una cosa, por derecha da otra, entonces el límite tampoco existe cuando x tiende a 2. Ahora veamos que pasa cuando x tiende hacia menos infinito, menos infinito queda hacia allá, entonces es escribir que le pasa a la función a cuanto tienden los valores de y cuando x toma valores negativos muy grandes, es decir hacia allá, entonces vemos que la tendencia de la gráfica, la flecha apunta hacia arriba, es ir subiendo, subiendo, subiendo, es decir que los valores de y tienden hacia más infinito. Y en este límite de la función cuando x tiende hacia más infinito, es decir hacia la derecha, es como predecir que le va a suceder a la función cuando x tome valores muy grandes positivos. Entonces aquí en la gráfica vemos que la tendencia es aproximarse al eje x cada vez más, entonces si nos imaginamos que seguimos, seguimos, entonces vamos a ver que los valores de la función tienden cada vez más a este valor 0, entonces tenemos que ese límite vale 0, aquí es cuando el eje x tiene comportamiento de asíntota horizontal porque la curva se aproxima cada vez más sin hacer contacto. Para terminar podríamos, saliéndonos un poco del tema de los límites, podríamos ver cuanto vale la función evaluada en menos 2, evaluada en 0 y por ejemplo evaluada en 2. Entonces si nos paramos en menos 2, es decir acá, justamente en menos 2 ya no aproximándonos por la izquierda ni por la derecha, sino justamente en la abscisa a menos 2, entonces debemos ir a buscar la función, es decir donde hacemos contacto con la gráfica, si subimos pasamos derecho por este aro, entonces no encontraríamos función, pero si bajamos hacemos contacto aquí, si venimos al eje y nos da menos 1, entonces la función se encuentra definida en menos 2 y vale menos 1. Si nos paramos en 0, entonces nos movemos verticalmente a buscar la gráfica, vemos que subimos y pasamos derecho por este aro, o sea que la función no se encuentra definida en 0, F de 0 no existe o no se encuentra definida y si nos paramos en 2, estaremos justamente en la síntota donde la función tampoco se encuentra definida, por lo tanto F de 2 no existe, si no tenemos imagen para esta abscisa que es 2. Entonces este es un ejemplo de cálculo de límites si nos dan la gráfica de una función.

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que pasa cuando x tiende hacia menos infinito, menos infinito queda hacia all\u00e1, entonces es escribir que le pasa a la funci\u00f3n"}, {"start": 260.0, "end": 266.0, "text": " a cuanto tienden los valores de y cuando x toma valores negativos muy grandes, es decir hacia all\u00e1,"}, {"start": 266.0, "end": 278.0, "text": " entonces vemos que la tendencia de la gr\u00e1fica, la flecha apunta hacia arriba, es ir subiendo, subiendo, subiendo, es decir que los valores de y tienden hacia m\u00e1s infinito."}, {"start": 279.0, "end": 289.0, "text": " Y en este l\u00edmite de la funci\u00f3n cuando x tiende hacia m\u00e1s infinito, es decir hacia la derecha, es como predecir que le va a suceder a la funci\u00f3n"}, {"start": 289.0, "end": 299.0, "text": " cuando x tome valores muy grandes positivos. Entonces aqu\u00ed en la gr\u00e1fica vemos que la tendencia es aproximarse al eje x cada vez m\u00e1s,"}, {"start": 300.0, "end": 309.0, "text": " entonces si nos imaginamos que seguimos, seguimos, entonces vamos a ver que los valores de la funci\u00f3n tienden cada vez m\u00e1s a este valor 0,"}, {"start": 309.0, "end": 323.0, "text": " entonces tenemos que ese l\u00edmite vale 0, aqu\u00ed es cuando el eje x tiene comportamiento de as\u00edntota horizontal porque la curva se aproxima cada vez m\u00e1s sin hacer contacto."}, {"start": 324.0, "end": 336.0, "text": " Para terminar podr\u00edamos, sali\u00e9ndonos un poco del tema de los l\u00edmites, podr\u00edamos ver cuanto vale la funci\u00f3n evaluada en menos 2, evaluada en 0 y por ejemplo evaluada en 2."}, {"start": 336.0, "end": 347.0, "text": " Entonces si nos paramos en menos 2, es decir ac\u00e1, justamente en menos 2 ya no aproxim\u00e1ndonos por la izquierda ni por la derecha, sino justamente en la abscisa a menos 2,"}, {"start": 348.0, "end": 358.0, "text": " entonces debemos ir a buscar la funci\u00f3n, es decir donde hacemos contacto con la gr\u00e1fica, si subimos pasamos derecho por este aro, entonces no encontrar\u00edamos funci\u00f3n,"}, {"start": 358.0, "end": 368.0, "text": " pero si bajamos hacemos contacto aqu\u00ed, si venimos al eje y nos da menos 1, entonces la funci\u00f3n se encuentra definida en menos 2 y vale menos 1."}, {"start": 369.0, "end": 382.0, "text": " Si nos paramos en 0, entonces nos movemos verticalmente a buscar la gr\u00e1fica, vemos que subimos y pasamos derecho por este aro, o sea que la funci\u00f3n no se encuentra definida en 0,"}, {"start": 382.0, "end": 392.0, "text": " F de 0 no existe o no se encuentra definida y si nos paramos en 2, estaremos justamente en la s\u00edntota donde la funci\u00f3n tampoco se encuentra definida,"}, {"start": 393.0, "end": 400.0, "text": " por lo tanto F de 2 no existe, si no tenemos imagen para esta abscisa que es 2."}, {"start": 400.0, "end": 411.0, "text": " Entonces este es un ejemplo de c\u00e1lculo de l\u00edmites si nos dan la gr\u00e1fica de una funci\u00f3n."}]

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DIVISIÓN POR DOS CIFRAS - Ejercicio 2

#julioprofe explica paso a paso cómo efectuar la división 87.304 ÷ 23 y también cómo comprobarla. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Bien, vamos a realizar esta división. 87.304 dividido entre 23. Para comenzar vamos a realizar la tabla del 23. 23 por 1 es 23. 23 por 2. Veamos, 2 por 3 son 6. 2 por 2 son 4. 23 por 3. Sería 3 por 3, 9. 3 por 2, 6. 23 por 4. 4 por 3, 12. Llevamos 1. 4 por 2, 8. Y 1, 9. 23 por 5. 5 por 3, 15. Llevamos 1. 5 por 2, 10. Y 1, 11. 23 por 6. 6 por 3 son 18. Llevamos 1. 6 por 2, 12. Y 1, son 13. Tenemos 23 por 7. 7 por 3, 21. Llevamos 2. 7 por 2, 14. Y 2, que llevamos 16. 23 por 8. 8 por 3 es 24. Llevamos 2. 8 por 2, 16. Y 2, que llevamos, son 18. 23 por 9. Sería 9 por 3, 27. Llevamos 2. 9 por 2, 18. Y 2, que llevamos, 20. Bien, tenemos la tabla del 23. Vamos a comenzar entonces. Vamos a cambiar este signo de la división por este. Y para empezar debemos preguntarnos si el 23 cabe en el 8. Vemos que no. Tomamos dos cifras. ¿23 cabe en 87? Claro que sí. Separamos dos cifras. Y buscamos acá el número que más se aproxime a 87. Vemos que sería 69. Es decir, que cabe tres veces. Entonces, 23 por 3 da 69. Lo escribimos acá. Y vamos a restar. 7 menos 9 no podemos. 8 nos presta 1. Queda 17 menos 9, que es 8. Este 8 queda convertido en 7 porque prestó 1. Y 7 menos 6 nos da 1. Bajamos la siguiente cifra, que sería 3. Miramos si 23 cabe en 183. Claro que sí. Buscamos acá el número que más se aproxime a 183. Sería este, porque aquí ya nos pasamos. Entonces, con 161 cabe 7 veces. Entonces, escribimos el 7. 23 por 7 nos da 161. Lo escribimos aquí. Y restamos. 3 menos 1, 2. 8 menos 6, 2. 1 menos 1 sería 0. Bajamos la siguiente cifra, que es este 0. Nos queda el número 220. ¿23 cabe en 220? Claro que sí. Buscamos acá el número que más se aproxime a 220. Sería este 207. Por lo tanto, cabe 9 veces. Escribimos el 9. 9 por 23, aquí lo tenemos. Nos da 207. Restamos. Aquí, al 0 no le podemos quitar 7. 2 nos presta 1. Este queda como 10. 10 menos 7 es igual a 3. Este 2 queda convertido en 1. 1 menos 0. Nos da 1. Y 2 menos 2 sería 0. Bajamos la última cifra que tenemos, que es este 4. Lo escribimos por acá. Miramos si 23 cabe en 134. Vemos que sí, cabe perfectamente. Buscamos aquí el número que más se aproxime a 134. Y encontramos que es 115. Por lo tanto, cabe 5 veces. Escribimos aquí el 5. 5 por 23, aquí lo tenemos. Da 115. Hacemos esta resta. A 4 no le podemos quitar 5. 3 nos presta 1. Queda como 14. 14 menos 5 es igual a 9. Este 3 queda como 2 porque prestó 1. 2 menos 1 nos da 1. Y 1 menos 1 nos da 0. Hemos terminado la división porque no tenemos más cifras para bajar. Y podemos apreciar que es una división inexacta. Porque tenemos un residuo diferente de 0. Entonces, siempre que el residuo sea diferente de 0, tenemos división inexacta. Recordemos que este de aquí se llama el cociente. Y los elementos principales de la división, los que conforman la división inicial, este se llama el divisor. Y este de acá se llama el dividendo. Vamos a colocarlo por aquí. Dividendo. Entonces, dividendo, divisor, cociente y residuo. Vamos a realizar la prueba de la división. Que es lo que nos da la tranquilidad de haberla efectuado correctamente. Para la prueba multiplicamos el cociente por el divisor. A eso le sumamos el residuo. Y nos tiene que dar como resultado el dividendo. Entonces veamos. Multiplicamos el cociente por el divisor. 3795. Vamos a multiplicarlo por 23. Veamos. 3 por 5, 15. Llevamos 1. 3 por 9, son 27. Y 1, son 28. Llevamos 2. 3 por 7, son 21. Y 2, son 23. Llevamos 2. 3 por 3, son 9. Y 2, que llevamos, son 11. 2 por 5, son 10. Llevamos 1. 2 por 9, son 18. Y 1, son 19. Llevamos 1. 2 por 7, 14. Y 1, que llevamos, son 15. Llevamos 1. 2 por 3, son 6. Y 1, que llevamos, son 7. Hacemos la suma. Bajamos el 5. 8 más 0 es 8. 3 más 9, son 12. Llevamos 1. 1 más 5, son 6. Y 1, que llevamos, son 7. Y 1 más 7, son 8. A este resultado, debemos sumarle el residuo. Entonces, vamos a realizar la suma. 5 más 9, son 14. Llevamos 1. 8 más 1, 9. Y 1, que llevamos, son 10. Le servimos el 0. Llevamos 1. 1 más 2, son 3. Bajamos el 7. Bajamos el 8. Y podemos observar que obtuvimos el dividendo. Lo que nos dice que esta división está realizada de manera correcta. Entonces, tenemos un ejemplo de lo que es división inexacta.

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Llevamos 2."}, {"start": 78.0, "end": 79.9, "text": " 8 por 2, 16."}, {"start": 79.9, "end": 84.0, "text": " Y 2, que llevamos, son 18."}, {"start": 84.0, "end": 89.2, "text": " 23 por 9. Ser\u00eda 9 por 3, 27."}, {"start": 89.2, "end": 90.9, "text": " Llevamos 2."}, {"start": 90.9, "end": 94.3, "text": " 9 por 2, 18. Y 2, que llevamos, 20."}, {"start": 94.3, "end": 96.7, "text": " Bien, tenemos la tabla del 23."}, {"start": 96.7, "end": 98.9, "text": " Vamos a comenzar entonces."}, {"start": 98.9, "end": 103.8, "text": " Vamos a cambiar este signo de la divisi\u00f3n por este."}, {"start": 103.8, "end": 108.5, "text": " Y para empezar debemos preguntarnos si el 23 cabe en el 8."}, {"start": 108.5, "end": 110.7, "text": " Vemos que no. Tomamos dos cifras."}, {"start": 110.7, "end": 114.0, "text": " \u00bf23 cabe en 87? Claro que s\u00ed."}, {"start": 114.0, "end": 115.60000000000001, "text": " Separamos dos cifras."}, {"start": 115.60000000000001, "end": 119.4, "text": " Y buscamos ac\u00e1 el n\u00famero que m\u00e1s se aproxime a 87."}, {"start": 119.4, "end": 121.4, "text": " Vemos que ser\u00eda 69."}, {"start": 121.4, "end": 124.10000000000001, "text": " Es decir, que cabe tres veces."}, {"start": 124.10000000000001, "end": 127.1, "text": " Entonces, 23 por 3 da 69."}, {"start": 127.1, "end": 128.7, "text": " Lo escribimos ac\u00e1."}, {"start": 128.7, "end": 130.9, "text": " Y vamos a restar."}, {"start": 130.9, "end": 132.8, "text": " 7 menos 9 no podemos."}, {"start": 132.8, "end": 134.6, "text": " 8 nos presta 1."}, {"start": 134.6, "end": 138.7, "text": " Queda 17 menos 9, que es 8."}, {"start": 138.7, "end": 143.39999999999998, "text": " Este 8 queda convertido en 7 porque prest\u00f3 1."}, {"start": 143.39999999999998, "end": 146.6, "text": " Y 7 menos 6 nos da 1."}, {"start": 146.6, "end": 151.39999999999998, "text": " Bajamos la siguiente cifra, que ser\u00eda 3."}, {"start": 151.39999999999998, "end": 155.39999999999998, "text": " Miramos si 23 cabe en 183."}, {"start": 155.39999999999998, "end": 156.6, "text": " Claro que s\u00ed."}, {"start": 156.6, "end": 160.79999999999998, "text": " Buscamos ac\u00e1 el n\u00famero que m\u00e1s se aproxime a 183."}, {"start": 160.79999999999998, "end": 163.29999999999998, "text": " Ser\u00eda este, porque aqu\u00ed ya nos pasamos."}, {"start": 163.29999999999998, "end": 166.89999999999998, "text": " Entonces, con 161 cabe 7 veces."}, {"start": 166.9, "end": 168.8, "text": " Entonces, escribimos el 7."}, {"start": 168.8, "end": 171.8, "text": " 23 por 7 nos da 161."}, {"start": 171.8, "end": 174.3, "text": " Lo escribimos aqu\u00ed."}, {"start": 174.3, "end": 176.0, "text": " Y restamos."}, {"start": 176.0, "end": 178.4, "text": " 3 menos 1, 2."}, {"start": 178.4, "end": 180.6, "text": " 8 menos 6, 2."}, {"start": 180.6, "end": 183.6, "text": " 1 menos 1 ser\u00eda 0."}, {"start": 183.6, "end": 188.20000000000002, "text": " Bajamos la siguiente cifra, que es este 0."}, {"start": 188.20000000000002, "end": 190.4, "text": " Nos queda el n\u00famero 220."}, {"start": 190.4, "end": 192.20000000000002, "text": " \u00bf23 cabe en 220?"}, {"start": 192.20000000000002, "end": 193.4, "text": " Claro que s\u00ed."}, {"start": 193.4, "end": 197.20000000000002, "text": " Buscamos ac\u00e1 el n\u00famero que m\u00e1s se aproxime a 220."}, {"start": 197.20000000000002, "end": 199.0, "text": " Ser\u00eda este 207."}, {"start": 199.0, "end": 201.70000000000002, "text": " Por lo tanto, cabe 9 veces."}, {"start": 201.70000000000002, "end": 203.20000000000002, "text": " Escribimos el 9."}, {"start": 203.20000000000002, "end": 205.4, "text": " 9 por 23, aqu\u00ed lo tenemos."}, {"start": 205.4, "end": 208.5, "text": " Nos da 207."}, {"start": 208.5, "end": 210.6, "text": " Restamos."}, {"start": 210.6, "end": 213.3, "text": " Aqu\u00ed, al 0 no le podemos quitar 7."}, {"start": 213.3, "end": 215.1, "text": " 2 nos presta 1."}, {"start": 215.1, "end": 216.8, "text": " Este queda como 10."}, {"start": 216.8, "end": 219.6, "text": " 10 menos 7 es igual a 3."}, {"start": 219.6, "end": 221.6, "text": " Este 2 queda convertido en 1."}, {"start": 221.6, "end": 223.1, "text": " 1 menos 0."}, {"start": 223.1, "end": 224.4, "text": " Nos da 1."}, {"start": 224.4, "end": 227.79999999999998, "text": " Y 2 menos 2 ser\u00eda 0."}, {"start": 227.79999999999998, "end": 232.5, "text": " Bajamos la \u00faltima cifra que tenemos, que es este 4."}, {"start": 232.5, "end": 234.6, "text": " Lo escribimos por ac\u00e1."}, {"start": 234.6, "end": 237.4, "text": " Miramos si 23 cabe en 134."}, {"start": 237.4, "end": 240.29999999999998, "text": " Vemos que s\u00ed, cabe perfectamente."}, {"start": 240.29999999999998, "end": 244.0, "text": " Buscamos aqu\u00ed el n\u00famero que m\u00e1s se aproxime a 134."}, {"start": 244.0, "end": 246.1, "text": " Y encontramos que es 115."}, {"start": 246.1, "end": 248.6, "text": " Por lo tanto, cabe 5 veces."}, {"start": 248.6, "end": 250.6, "text": " Escribimos aqu\u00ed el 5."}, {"start": 250.6, "end": 252.7, "text": " 5 por 23, aqu\u00ed lo tenemos."}, {"start": 252.7, "end": 255.6, "text": " Da 115."}, {"start": 255.6, "end": 258.0, "text": " Hacemos esta resta."}, {"start": 258.0, "end": 260.09999999999997, "text": " A 4 no le podemos quitar 5."}, {"start": 260.09999999999997, "end": 261.9, "text": " 3 nos presta 1."}, {"start": 261.9, "end": 263.4, "text": " Queda como 14."}, {"start": 263.4, "end": 266.2, "text": " 14 menos 5 es igual a 9."}, {"start": 266.2, "end": 269.4, "text": " Este 3 queda como 2 porque prest\u00f3 1."}, {"start": 269.4, "end": 272.2, "text": " 2 menos 1 nos da 1."}, {"start": 272.2, "end": 275.3, "text": " Y 1 menos 1 nos da 0."}, {"start": 275.3, "end": 279.09999999999997, "text": " Hemos terminado la divisi\u00f3n porque no tenemos m\u00e1s cifras para bajar."}, {"start": 279.09999999999997, "end": 282.59999999999997, "text": " Y podemos apreciar que es una divisi\u00f3n inexacta."}, {"start": 282.6, "end": 286.90000000000003, "text": " Porque tenemos un residuo diferente de 0."}, {"start": 286.90000000000003, "end": 294.6, "text": " Entonces, siempre que el residuo sea diferente de 0, tenemos divisi\u00f3n inexacta."}, {"start": 294.6, "end": 300.3, "text": " Recordemos que este de aqu\u00ed se llama el cociente."}, {"start": 300.3, "end": 305.20000000000005, "text": " Y los elementos principales de la divisi\u00f3n, los que conforman la divisi\u00f3n inicial,"}, {"start": 305.20000000000005, "end": 308.90000000000003, "text": " este se llama el divisor."}, {"start": 308.90000000000003, "end": 312.20000000000005, "text": " Y este de ac\u00e1 se llama el dividendo."}, {"start": 312.2, "end": 314.8, "text": " Vamos a colocarlo por aqu\u00ed."}, {"start": 314.8, "end": 315.8, "text": " Dividendo."}, {"start": 315.8, "end": 319.59999999999997, "text": " Entonces, dividendo, divisor, cociente y residuo."}, {"start": 319.59999999999997, "end": 321.9, "text": " Vamos a realizar la prueba de la divisi\u00f3n."}, {"start": 321.9, "end": 328.4, "text": " Que es lo que nos da la tranquilidad de haberla efectuado correctamente."}, {"start": 328.4, "end": 331.5, "text": " Para la prueba multiplicamos el cociente por el divisor."}, {"start": 331.5, "end": 333.5, "text": " A eso le sumamos el residuo."}, {"start": 333.5, "end": 336.7, "text": " Y nos tiene que dar como resultado el dividendo."}, {"start": 336.7, "end": 337.7, "text": " Entonces veamos."}, {"start": 337.7, "end": 343.2, "text": " Multiplicamos el cociente por el divisor. 3795."}, {"start": 343.2, "end": 346.59999999999997, "text": " Vamos a multiplicarlo por 23."}, {"start": 346.59999999999997, "end": 348.5, "text": " Veamos. 3 por 5, 15."}, {"start": 348.5, "end": 349.7, "text": " Llevamos 1."}, {"start": 349.7, "end": 351.4, "text": " 3 por 9, son 27."}, {"start": 351.4, "end": 352.7, "text": " Y 1, son 28."}, {"start": 352.7, "end": 354.2, "text": " Llevamos 2."}, {"start": 354.2, "end": 355.7, "text": " 3 por 7, son 21."}, {"start": 355.7, "end": 357.9, "text": " Y 2, son 23."}, {"start": 357.9, "end": 359.2, "text": " Llevamos 2."}, {"start": 359.2, "end": 361.0, "text": " 3 por 3, son 9."}, {"start": 361.0, "end": 364.09999999999997, "text": " Y 2, que llevamos, son 11."}, {"start": 364.09999999999997, "end": 365.9, "text": " 2 por 5, son 10."}, {"start": 365.9, "end": 367.2, "text": " Llevamos 1."}, {"start": 367.2, "end": 368.9, "text": " 2 por 9, son 18."}, {"start": 368.9, "end": 370.59999999999997, "text": " Y 1, son 19."}, {"start": 370.59999999999997, "end": 371.8, "text": " Llevamos 1."}, {"start": 371.8, "end": 373.5, "text": " 2 por 7, 14."}, {"start": 373.5, "end": 375.7, "text": " Y 1, que llevamos, son 15."}, {"start": 375.7, "end": 377.0, "text": " Llevamos 1."}, {"start": 377.0, "end": 378.8, "text": " 2 por 3, son 6."}, {"start": 378.8, "end": 382.2, "text": " Y 1, que llevamos, son 7."}, {"start": 382.2, "end": 383.4, "text": " Hacemos la suma."}, {"start": 383.4, "end": 385.2, "text": " Bajamos el 5."}, {"start": 385.2, "end": 387.4, "text": " 8 m\u00e1s 0 es 8."}, {"start": 387.4, "end": 390.0, "text": " 3 m\u00e1s 9, son 12."}, {"start": 390.0, "end": 392.7, "text": " Llevamos 1."}, {"start": 392.7, "end": 394.7, "text": " 1 m\u00e1s 5, son 6."}, {"start": 394.7, "end": 397.09999999999997, "text": " Y 1, que llevamos, son 7."}, {"start": 397.1, "end": 399.90000000000003, "text": " Y 1 m\u00e1s 7, son 8."}, {"start": 399.90000000000003, "end": 404.0, "text": " A este resultado, debemos sumarle el residuo."}, {"start": 404.0, "end": 406.70000000000005, "text": " Entonces, vamos a realizar la suma."}, {"start": 406.70000000000005, "end": 408.90000000000003, "text": " 5 m\u00e1s 9, son 14."}, {"start": 408.90000000000003, "end": 411.1, "text": " Llevamos 1."}, {"start": 411.1, "end": 412.90000000000003, "text": " 8 m\u00e1s 1, 9."}, {"start": 412.90000000000003, "end": 414.70000000000005, "text": " Y 1, que llevamos, son 10."}, {"start": 414.70000000000005, "end": 416.40000000000003, "text": " Le servimos el 0."}, {"start": 416.40000000000003, "end": 417.6, "text": " Llevamos 1."}, {"start": 417.6, "end": 419.90000000000003, "text": " 1 m\u00e1s 2, son 3."}, {"start": 419.90000000000003, "end": 421.20000000000005, "text": " Bajamos el 7."}, {"start": 421.20000000000005, "end": 422.6, "text": " Bajamos el 8."}, {"start": 422.6, "end": 428.0, "text": " Y podemos observar que obtuvimos el dividendo."}, {"start": 428.0, "end": 433.90000000000003, "text": " Lo que nos dice que esta divisi\u00f3n est\u00e1 realizada de manera correcta."}, {"start": 433.9, "end": 453.9, "text": " Entonces, tenemos un ejemplo de lo que es divisi\u00f3n inexacta."}]

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ECUACIONES LINEALES - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación lineal o de primer grado con una incógnita. Tema: #EcuacionesLineales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFaAaS3cm5sKZ3gFlxcML1E REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Este tipo de ecuación se llama una ecuación lineal o de primer grado con una incógnita. Vemos como incógnita la letra X y vemos que ella se encuentra elevada al exponente 1. Por esa razón se llama de primer grado. La suelta de esta ecuación consistirá en encontrar el valor de la X. Vamos a empezar entonces por hacer aquí propiedad distributiva con este menos 2. Vamos a multiplicar a cada uno de los términos que hay dentro del paréntesis. Entonces tendremos 5X-7 es igual a menos 2 por 3 nos da menos 6 y menos 2 por menos 8X nos da más 16X. Y escribimos el más 1. A continuación vamos a pasar las letras X, los términos que tienen la letra X, al lado izquierdo y vamos a pasar los números al lado derecho. Entonces al lado izquierdo nos queda 5X, este no se mueve y pasaríamos 16X, pasaría negativo. El está positivo, pasa negativo. Tenemos aquí el igual, al lado derecho nos queda el menos 6, nos queda el más 1 que no se movieron y pasaríamos este 7. Acá está negativo, por lo tanto pasa positivo al lado derecho. Resolvemos aquí términos semejantes, recordemos que términos semejantes son los que tienen la misma parte literal. En ese caso operamos los coeficientes, 5 menos 16 eso nos da menos 11, nos queda menos 11X. Y al lado derecho resolvemos esta operación, tenemos menos 6 más 1 eso nos da menos 5 y menos 5 más 7 nos da 2 positivo. Despejando la letra X tomamos el menos 11 que se encuentra multiplicando con la X y lo pasamos a dividir al otro lado. Entonces nos queda 2 dividido entre menos 11. Recordemos que cuando el número pasa a dividir pasa con su signo, no se debe cambiar el signo. Para terminar simplemente revisamos si esta fracción se puede simplificar, vemos que 2 y 11 son números primos que no pueden ser simplificados. Y también cuadramos el signo negativo, en una fracción el signo negativo no se acostumbra escribirlo en la parte de abajo. Se acostumbra colocarlo en la mitad o en la parte del numerador. Entonces podemos colocarlo en la mitad como por dar una presentación adecuada al fraccionario negativo. Y de esta manera hemos encontrado el valor de la X que hace verdadera nuestra ecuación.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Este tipo de ecuaci\u00f3n se llama una ecuaci\u00f3n lineal o de primer grado con una inc\u00f3gnita."}, {"start": 7.0, "end": 13.0, "text": " Vemos como inc\u00f3gnita la letra X y vemos que ella se encuentra elevada al exponente 1."}, {"start": 13.0, "end": 16.0, "text": " Por esa raz\u00f3n se llama de primer grado."}, {"start": 16.0, "end": 20.0, "text": " La suelta de esta ecuaci\u00f3n consistir\u00e1 en encontrar el valor de la X."}, {"start": 20.0, "end": 25.0, "text": " Vamos a empezar entonces por hacer aqu\u00ed propiedad distributiva con este menos 2."}, {"start": 25.0, "end": 31.0, "text": " Vamos a multiplicar a cada uno de los t\u00e9rminos que hay dentro del par\u00e9ntesis."}, {"start": 31.0, "end": 42.0, "text": " Entonces tendremos 5X-7 es igual a menos 2 por 3 nos da menos 6 y menos 2 por menos 8X nos da m\u00e1s 16X."}, {"start": 42.0, "end": 45.0, "text": " Y escribimos el m\u00e1s 1."}, {"start": 45.0, "end": 54.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a pasar las letras X, los t\u00e9rminos que tienen la letra X, al lado izquierdo y vamos a pasar los n\u00fameros al lado derecho."}, {"start": 54.0, "end": 63.0, "text": " Entonces al lado izquierdo nos queda 5X, este no se mueve y pasar\u00edamos 16X, pasar\u00eda negativo."}, {"start": 63.0, "end": 66.0, "text": " El est\u00e1 positivo, pasa negativo."}, {"start": 66.0, "end": 76.0, "text": " Tenemos aqu\u00ed el igual, al lado derecho nos queda el menos 6, nos queda el m\u00e1s 1 que no se movieron y pasar\u00edamos este 7."}, {"start": 76.0, "end": 81.0, "text": " Ac\u00e1 est\u00e1 negativo, por lo tanto pasa positivo al lado derecho."}, {"start": 81.0, "end": 88.0, "text": " Resolvemos aqu\u00ed t\u00e9rminos semejantes, recordemos que t\u00e9rminos semejantes son los que tienen la misma parte literal."}, {"start": 88.0, "end": 97.0, "text": " En ese caso operamos los coeficientes, 5 menos 16 eso nos da menos 11, nos queda menos 11X."}, {"start": 97.0, "end": 108.0, "text": " Y al lado derecho resolvemos esta operaci\u00f3n, tenemos menos 6 m\u00e1s 1 eso nos da menos 5 y menos 5 m\u00e1s 7 nos da 2 positivo."}, {"start": 108.0, "end": 117.0, "text": " Despejando la letra X tomamos el menos 11 que se encuentra multiplicando con la X y lo pasamos a dividir al otro lado."}, {"start": 117.0, "end": 121.0, "text": " Entonces nos queda 2 dividido entre menos 11."}, {"start": 121.0, "end": 128.0, "text": " Recordemos que cuando el n\u00famero pasa a dividir pasa con su signo, no se debe cambiar el signo."}, {"start": 128.0, "end": 140.0, "text": " Para terminar simplemente revisamos si esta fracci\u00f3n se puede simplificar, vemos que 2 y 11 son n\u00fameros primos que no pueden ser simplificados."}, {"start": 140.0, "end": 149.0, "text": " Y tambi\u00e9n cuadramos el signo negativo, en una fracci\u00f3n el signo negativo no se acostumbra escribirlo en la parte de abajo."}, {"start": 149.0, "end": 154.0, "text": " Se acostumbra colocarlo en la mitad o en la parte del numerador."}, {"start": 154.0, "end": 161.0, "text": " Entonces podemos colocarlo en la mitad como por dar una presentaci\u00f3n adecuada al fraccionario negativo."}, {"start": 161.0, "end": 189.0, "text": " Y de esta manera hemos encontrado el valor de la X que hace verdadera nuestra ecuaci\u00f3n."}]

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ECUACIONES LINEALES - Ejercicio 5

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación de primer grado o lineal con una incógnita. Tema: #EcuacionesLineales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFaAaS3cm5sKZ3gFlxcML1E REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En este caso tenemos una ecuación lineal o de primer orden con una incógnita que es la letra P. Vamos a resolver la ecuación donde nuestro objetivo será encontrar el valor de la letra P que hace cierta esta igualdad. Para comenzar vamos a hacer propiedad distributiva a fin de destruir los paréntesis. Vamos a hacer distributiva aquí con el menos 5 y vamos a hacer distributiva aquí con el 6. Entonces, menos 5 por P nos queda menos 5P, menos 5 por menos 2 nos queda más 10, escribimos más 3P, pasamos al otro lado de la igualdad, hacemos propiedad distributiva, 6 por P nos queda 6P y 6 por menos 4 nos queda menos 24. A continuación vamos a pasar al lado izquierdo de la igualdad los términos que contienen la letra P y al lado derecho los números que se encuentran totalmente solos. Entonces, al lado izquierdo se nos queda menos 5P más 3P y pasaríamos este término que se encuentra positivo, por lo tanto llega negativo al lado izquierdo. Escribimos el igual, al lado derecho tenemos menos 24 que se queda quieto y pasamos este 10 que está positivo, por lo tanto llega negativo. A este lado resolvemos la operación de esos términos semejantes, recordemos que tienen la misma parte literal, por lo tanto operamos sus coeficientes. Entonces tenemos menos 5 más 3 nos da menos 2 y menos 2 con menos 6 nos da menos 8P. Al lado derecho resolvemos menos 24 menos 10 eso nos da menos 34. Finalmente despejamos la letra P pasando este menos 8 que se encuentra multiplicando a dividir al otro lado, pasa con su signo negativo. Finalmente aquí vamos a simplificar la fracción y también vamos a definir el signo, menos con menos en la división nos da más, nos queda signo positivo. Y entramos a simplificar esta fracción en cuanto a sus números, vemos que ambos números tienen mitad, podríamos sacar mitad de 34 que nos da 17 y la mitad de 8 que sería 4. Aquí no se puede simplificar nada más, eso es una fracción irreducible y tenemos entonces el valor de la letra P que hace cierta nuestra ecuación.

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MAGNITUD Y ORIENTACIÓN DE UN VECTOR EN R2

#julioprofe explica cómo determinar la magnitud y la orientación de un vector en el plano, conocidos sus puntos extremos. Tema: #VectoresEnElPlano → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGfEt9R9ghobRhm_MvyY6W4 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Dados los puntos A, 8,-2 y B,-3,-4 en R2, determine la magnitud y orientación del vector AB. Bien, para comenzar vamos a sacar entonces la información que necesitamos, es decir, las coordenadas de los puntos dados en R2, es decir, en el plano. Entonces tenemos la coordenada del punto A, que es 8,-2 y la coordenada de B, que es,-3,-4 y vamos a obtener, para comenzar, el vector AB, sus componentes. Tomamos el punto final del vector, que sería B, de coordenada,-3,-4 y le restamos la coordenada del punto inicial, que es A, 8,-2. Siempre, punto final, menos punto inicial, para determinar el vector. Entonces, tendremos lo siguiente, usando la notación vectorial, sería,-3,-8 restando las componentes en X y,-4,-2 restando las correspondientes coordenadas en Y. Resolvemos,-3,-8 nos da,-11 y,-4,-2 eso nos da,-4,-2, es decir,-2 y de esta manera tenemos las componentes del vector AB. Recordemos que esto sería equivalente a tener,-11 en la dirección Y, menos 2 en la dirección J, usando vectores unitarios, Y,J, para X y Y, respectivamente. Pero esta notación resulta mucho más sencilla para trabajar el problema. Vamos entonces a calcular la magnitud del vector AB, también conocida como módulo o norma del vector. Se obtiene de la siguiente manera, será la vez cuadrada de la componente en X al cuadrado, es decir,-11 al cuadrado, más la componente en Y al cuadrado. Esto nos da,-11 al cuadrado, 121 positivo, más,-2 al cuadrado, sería 4. Sumamos, nos da la raíz cuadrada de 125. Y resolviendo esto en la calculadora, nos da aproximadamente, una magnitud para el vector AB, que será en forma de aproximadamente igual a 11.18 unidades. Allí tenemos entonces la respuesta a la primera pregunta, ¿qué magnitud tiene el vector? Es 11.18 unidades. Bien, a continuación vamos a determinar la orientación, y para ello vamos a calcular el ángulo theta, el ángulo theta que forma el vector con el eje X, usando la siguiente relación, tangente de theta es igual a Y sobre X. Veamos qué significa esto, el vector AB que tenemos tiene como componentes,-11,-2, entonces esta será la componente en X y esta es la componente en Y. Entonces eso es lo que vamos a reemplazar aquí, Y sería,-2, X sería,-11, simplificamos los signos, menos con menos nos da más, nos queda 2 onceavos positivo, y despejamos theta, usando la función inversa de la tangente, y la menor de 1, de 2 onceavos, haciéndose en la calculadora, nos da un resultado de 10.3 grados. Entonces ese es el ángulo que va a formar la línea que contiene el vector con el eje de las X. Vamos a verlo gráficamente, y de allí vamos a sacar la orientación del vector, para responder la segunda pregunta que nos hacían. Entonces trazamos un plano cartesiano, donde podamos ubicar las componentes del vector, el vector tenía en X,-11, supongamos que es por aquí, y en Y,-2, entonces donde se encuentren estos dos valores, allí tenemos el punto que debemos unir con el origen, y que nos va a dar el vector AB. Entonces trazamos el vector, ese sería entonces el vector AB, cuya magnitud nos dio 11.18 unidades, y donde el ángulo θ nos dio 10.3, vamos a ver que es ese ángulo θ. Entonces como decía, trazamos la línea que contiene el vector, vamos a hacerlo con la línea punteada, esta es la línea que contiene el vector, entonces ese ángulo de 10.3 será este de aquí, por eso nos dio positivo, 10.3 grados, porque se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj, partiendo del eje X positivo, aquí tenemos el origen. Este ángulo de 10.3 grados será el mismo que tenemos acá, estos dos ángulos son opuestos por el vértice, por lo tanto son congruentes, son iguales, y como vemos el vector hace parte del cuadrante sur-oeste, por lo tanto debemos determinar este ángulo de aquí, el ángulo que del sur nos movemos buscando el oeste, este ángulo se obtiene haciendo la siguiente resta, a 90 grados que es el ángulo que tenemos aquí, le vamos a restar este que es 10.3 grados, y eso nos da un resultado de 79.7 grados. De esta manera entonces ya podemos establecer la orientación o el rumbo del vector AB, sería entonces sur-79.7 grados, pues si la primera letra indica el origen, la segunda letra indica el destino, cuando hacemos el movimiento, el giro, necesario para llegar hacia donde está el vector. Entonces para resumir, nuestro vector AB tiene las siguientes características, una magnitud de 11.18 unidades, y una orientación de sur-79.7 grados oeste, de esta manera entonces respondemos la pregunta que nos hacía el problema.

[{"start": 0.0, "end": 7.26, "text": " Dados los puntos A, 8,-2 y B,-3,-4 en R2,"}, {"start": 7.26, "end": 11.76, "text": " determine la magnitud y orientaci\u00f3n del vector AB."}, {"start": 11.76, "end": 16.26, "text": " Bien, para comenzar vamos a sacar entonces la informaci\u00f3n que necesitamos,"}, {"start": 16.26, "end": 22.76, "text": " es decir, las coordenadas de los puntos dados en R2, es decir, en el plano."}, {"start": 22.76, "end": 29.26, "text": " Entonces tenemos la coordenada del punto A, que es 8,-2"}, {"start": 29.26, "end": 35.0, "text": " y la coordenada de B, que es,-3,-4"}, {"start": 35.0, "end": 41.0, "text": " y vamos a obtener, para comenzar, el vector AB, sus componentes."}, {"start": 41.0, "end": 44.5, "text": " Tomamos el punto final del vector, que ser\u00eda B,"}, {"start": 44.5, "end": 47.5, "text": " de coordenada,-3,-4"}, {"start": 47.5, "end": 53.900000000000006, "text": " y le restamos la coordenada del punto inicial, que es A, 8,-2."}, {"start": 53.900000000000006, "end": 56.86, "text": " Siempre, punto final, menos punto inicial,"}, {"start": 56.86, "end": 59.86, "text": " para determinar el vector."}, {"start": 59.86, "end": 62.36, "text": " Entonces, tendremos lo siguiente,"}, {"start": 62.36, "end": 68.36, "text": " usando la notaci\u00f3n vectorial, ser\u00eda,-3,-8"}, {"start": 68.36, "end": 70.86, "text": " restando las componentes en X"}, {"start": 70.86, "end": 74.36, "text": " y,-4,-2"}, {"start": 74.36, "end": 79.86, "text": " restando las correspondientes coordenadas en Y."}, {"start": 79.86, "end": 82.86, "text": " Resolvemos,"}, {"start": 82.86, "end": 88.86, "text": "-3,-8 nos da,-11 y,-4,-2"}, {"start": 88.86, "end": 92.36, "text": " eso nos da,-4,-2, es decir,-2"}, {"start": 92.36, "end": 95.86, "text": " y de esta manera tenemos las componentes del vector AB."}, {"start": 95.86, "end": 100.86, "text": " Recordemos que esto ser\u00eda equivalente a tener,-11 en la direcci\u00f3n Y,"}, {"start": 100.86, "end": 103.86, "text": " menos 2 en la direcci\u00f3n J,"}, {"start": 103.86, "end": 109.86, "text": " usando vectores unitarios, Y,J, para X y Y, respectivamente."}, {"start": 109.86, "end": 114.86, "text": " Pero esta notaci\u00f3n resulta mucho m\u00e1s sencilla para trabajar el problema."}, {"start": 114.86, "end": 120.86, "text": " Vamos entonces a calcular la magnitud del vector AB,"}, {"start": 120.86, "end": 125.86, "text": " tambi\u00e9n conocida como m\u00f3dulo o norma del vector."}, {"start": 125.86, "end": 127.86, "text": " Se obtiene de la siguiente manera,"}, {"start": 127.86, "end": 131.86, "text": " ser\u00e1 la vez cuadrada de la componente en X al cuadrado,"}, {"start": 131.86, "end": 138.86, "text": " es decir,-11 al cuadrado, m\u00e1s la componente en Y al cuadrado."}, {"start": 138.86, "end": 143.86, "text": " Esto nos da,-11 al cuadrado, 121 positivo,"}, {"start": 143.86, "end": 146.86, "text": " m\u00e1s,-2 al cuadrado, ser\u00eda 4."}, {"start": 146.86, "end": 151.86, "text": " Sumamos, nos da la ra\u00edz cuadrada de 125."}, {"start": 151.86, "end": 158.86, "text": " Y resolviendo esto en la calculadora, nos da aproximadamente,"}, {"start": 158.86, "end": 162.86, "text": " una magnitud para el vector AB,"}, {"start": 162.86, "end": 170.86, "text": " que ser\u00e1 en forma de aproximadamente igual a 11.18 unidades."}, {"start": 170.86, "end": 175.86, "text": " All\u00ed tenemos entonces la respuesta a la primera pregunta,"}, {"start": 175.86, "end": 180.86, "text": " \u00bfqu\u00e9 magnitud tiene el vector? Es 11.18 unidades."}, {"start": 180.86, "end": 184.86, "text": " Bien, a continuaci\u00f3n vamos a determinar la orientaci\u00f3n,"}, {"start": 184.86, "end": 192.86, "text": " y para ello vamos a calcular el \u00e1ngulo theta,"}, {"start": 192.86, "end": 196.86, "text": " el \u00e1ngulo theta que forma el vector con el eje X,"}, {"start": 196.86, "end": 200.86, "text": " usando la siguiente relaci\u00f3n, tangente de theta es igual a Y sobre X."}, {"start": 200.86, "end": 202.86, "text": " Veamos qu\u00e9 significa esto,"}, {"start": 202.86, "end": 209.86, "text": " el vector AB que tenemos tiene como componentes,-11,-2,"}, {"start": 209.86, "end": 214.86, "text": " entonces esta ser\u00e1 la componente en X y esta es la componente en Y."}, {"start": 214.86, "end": 217.86, "text": " Entonces eso es lo que vamos a reemplazar aqu\u00ed,"}, {"start": 217.86, "end": 223.86, "text": " Y ser\u00eda,-2, X ser\u00eda,-11, simplificamos los signos,"}, {"start": 223.86, "end": 228.86, "text": " menos con menos nos da m\u00e1s, nos queda 2 onceavos positivo,"}, {"start": 228.86, "end": 233.86, "text": " y despejamos theta, usando la funci\u00f3n inversa de la tangente,"}, {"start": 233.86, "end": 239.86, "text": " y la menor de 1, de 2 onceavos, haci\u00e9ndose en la calculadora,"}, {"start": 239.86, "end": 244.86, "text": " nos da un resultado de 10.3 grados."}, {"start": 244.86, "end": 251.86, "text": " Entonces ese es el \u00e1ngulo que va a formar la l\u00ednea que contiene el vector con el eje de las X."}, {"start": 251.86, "end": 254.86, "text": " Vamos a verlo gr\u00e1ficamente,"}, {"start": 254.86, "end": 258.86, "text": " y de all\u00ed vamos a sacar la orientaci\u00f3n del vector,"}, {"start": 258.86, "end": 261.86, "text": " para responder la segunda pregunta que nos hac\u00edan."}, {"start": 261.86, "end": 266.86, "text": " Entonces trazamos un plano cartesiano,"}, {"start": 266.86, "end": 274.86, "text": " donde podamos ubicar las componentes del vector,"}, {"start": 274.86, "end": 279.86, "text": " el vector ten\u00eda en X,-11, supongamos que es por aqu\u00ed,"}, {"start": 279.86, "end": 287.86, "text": " y en Y,-2, entonces donde se encuentren estos dos valores,"}, {"start": 287.86, "end": 292.86, "text": " all\u00ed tenemos el punto que debemos unir con el origen,"}, {"start": 292.86, "end": 296.86, "text": " y que nos va a dar el vector AB."}, {"start": 296.86, "end": 303.86, "text": " Entonces trazamos el vector,"}, {"start": 303.86, "end": 312.86, "text": " ese ser\u00eda entonces el vector AB, cuya magnitud nos dio 11.18 unidades,"}, {"start": 312.86, "end": 319.86, "text": " y donde el \u00e1ngulo \u03b8 nos dio 10.3, vamos a ver que es ese \u00e1ngulo \u03b8."}, {"start": 319.86, "end": 322.86, "text": " Entonces como dec\u00eda, trazamos la l\u00ednea que contiene el vector,"}, {"start": 322.86, "end": 325.86, "text": " vamos a hacerlo con la l\u00ednea punteada,"}, {"start": 325.86, "end": 328.86, "text": " esta es la l\u00ednea que contiene el vector,"}, {"start": 328.86, "end": 333.86, "text": " entonces ese \u00e1ngulo de 10.3 ser\u00e1 este de aqu\u00ed,"}, {"start": 333.86, "end": 337.86, "text": " por eso nos dio positivo, 10.3 grados,"}, {"start": 337.86, "end": 342.86, "text": " porque se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj,"}, {"start": 342.86, "end": 347.86, "text": " partiendo del eje X positivo, aqu\u00ed tenemos el origen."}, {"start": 347.86, "end": 351.86, "text": " Este \u00e1ngulo de 10.3 grados ser\u00e1 el mismo que tenemos ac\u00e1,"}, {"start": 351.86, "end": 357.86, "text": " estos dos \u00e1ngulos son opuestos por el v\u00e9rtice, por lo tanto son congruentes, son iguales,"}, {"start": 357.86, "end": 363.86, "text": " y como vemos el vector hace parte del cuadrante sur-oeste,"}, {"start": 363.86, "end": 368.86, "text": " por lo tanto debemos determinar este \u00e1ngulo de aqu\u00ed,"}, {"start": 368.86, "end": 373.86, "text": " el \u00e1ngulo que del sur nos movemos buscando el oeste,"}, {"start": 373.86, "end": 376.86, "text": " este \u00e1ngulo se obtiene haciendo la siguiente resta,"}, {"start": 376.86, "end": 379.86, "text": " a 90 grados que es el \u00e1ngulo que tenemos aqu\u00ed,"}, {"start": 379.86, "end": 382.86, "text": " le vamos a restar este que es 10.3 grados,"}, {"start": 382.86, "end": 389.86, "text": " y eso nos da un resultado de 79.7 grados."}, {"start": 389.86, "end": 396.86, "text": " De esta manera entonces ya podemos establecer la orientaci\u00f3n o el rumbo del vector AB,"}, {"start": 396.86, "end": 401.86, "text": " ser\u00eda entonces sur-79.7 grados,"}, {"start": 401.86, "end": 406.86, "text": " pues si la primera letra indica el origen,"}, {"start": 406.86, "end": 409.86, "text": " la segunda letra indica el destino,"}, {"start": 409.86, "end": 416.86, "text": " cuando hacemos el movimiento, el giro, necesario para llegar hacia donde est\u00e1 el vector."}, {"start": 416.86, "end": 423.86, "text": " Entonces para resumir, nuestro vector AB tiene las siguientes caracter\u00edsticas,"}, {"start": 423.86, "end": 431.86, "text": " una magnitud de 11.18 unidades,"}, {"start": 431.86, "end": 443.86, "text": " y una orientaci\u00f3n de sur-79.7 grados oeste,"}, {"start": 443.86, "end": 448.86, "text": " de esta manera entonces respondemos la pregunta que nos hac\u00eda el problema."}]

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RACIONALIZACIÓN CON TRES TÉRMINOS EN EL DENOMINADOR

#julioprofe explica cómo racionalizar una fracción cuyo denominador tiene tres términos. Tema: #Racionalización → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEhyDZyc08U1WijxsTgX8pa REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En este ejercicio vamos a realizar la racionalización del denominador de esta expresión. Es decir, vamos a hacer el procedimiento para eliminar estas raíces que se encuentran en el denominador. Para comenzar vamos a agrupar dos de los términos que tenemos en el denominador. Podríamos pensar entonces en agrupar estos dos que tenemos acá. Los dos primeros términos, de tal forma que nos quede un binomio. Y entonces vamos a proceder multiplicando por lo que se conoce como el conjugado de esta expresión. El conjugado sería 1 más raíz de 2 más raíz de 3. Si recordemos que cambiamos simplemente este signo, si aquí es menos acá será más y viceversa. En caso de que aquí fuera más, pues acá tendríamos signo menos. Esta expresión debemos repetirla en la parte superior, es decir, en el numerador de la expresión. Entonces allí tenemos lo que es la conjugación y vamos a proceder a multiplicar en forma horizontal. Es decir, cómo se multiplican las fracciones, numeradores entre sí y denominadores entre sí. En la parte superior, 1 por toda esta expresión nos dará esto mismo. Entonces la escribimos acá en el numerador, tal como está, porque fue multiplicada por 1. Y en la parte de abajo, el producto de estas dos cantidades, recordemos que se resuelve aplicando un producto notable, llamado suma por diferencia. Aquí tenemos la suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia de ellas. Entonces suma por diferencia nos da una diferencia de cuadrados. Si recordemos que es la primera cantidad al cuadrado menos la segunda al cuadrado. Entonces vamos a aplicar eso para hacer este producto. Entonces nos va a quedar la primera expresión que es 1 más raíz de 2 elevado al cuadrado menos la segunda expresión que es raíz de 3 elevada al cuadrado. En la parte superior podríamos quitar el paréntesis. Nos quedaría simplemente 1 más raíz de 2 más raíz de 3. Y acá tenemos por ejemplo un binomio al cuadrado. Vamos a desarrollarlo de una vez. Recordemos que el binomio al cuadrado es igual al primer término al cuadrado. Es decir 1 al cuadrado que sería 1 más dos veces el primero por el segundo. Es decir 2 por 1 por raíz de 2. Eso nos da 2 raíz de 2 más el segundo término al cuadrado. Si nosotros tomamos raíz de 2 y lo elevamos al cuadrado, eso nos da 2. Porque la raíz cuadrada se cancela con el exponente 2. Llegamos a este signo menos y acá este cuadrado destruye la raíz. Por lo tanto libera el número 3. Vamos a resolver esta operación de aquí. Vamos a continuarlo por acá. En la parte superior de la fracción tendremos lo mismo. 1 más raíz de 2 más raíz de 3. Y acá vemos que 1 más 2 nos da 3 y menos 3 nos da 0. Por lo tanto todos estos números se nos eliminan. Nos da 0 y nos queda únicamente 2 raíz de 2. Como nos sigue quedando una raíz en el denominador, debemos continuar con el proceso de racionalización. Pero en este caso, por haber quedado un solo término con raíz en el denominador, entonces simplemente debemos multiplicar por raíz cuadrada de 2. Que es lo que nos hace falta para que al multiplicar por esto, logremos liberarnos de esa raíz. Y esta misma raíz se repite en la parte superior, en el numerador. Este 2 no tiene problema. Este 2 no necesita ser racionalizado. El que requiere de la racionalización es únicamente esta raíz de 2. Bien, entonces continuamos. En la parte superior podríamos escribir el producto en forma indicada. Lo dejaríamos todo este trinomio multiplicado por raíz de 2. Numerador con numerador. Y en la parte de abajo tendríamos 2 raíz de 2 por raíz de 2. Y nos daría 2 por raíz de 2 al cuadrado. En la parte superior podríamos, por ejemplo, hacer propiedad distributiva con raíz de 2. Entonces, vamos a hacer la propiedad distributiva con este raíz de 2. Para que afecte cada uno de estos tres términos. Entonces, veamos. Raíz de 2 por 1 nos queda raíz de 2. Raíz de 2 por raíz de 2 nos queda raíz de 2 al cuadrado. Es decir, 2. Y raíz de 2 por raíz de 3 nos queda raíz cuadrada de 6. Recuérdense que raíz de 2 por raíz de 3 puede colocarse dentro de una misma raíz. Por ser raíces del mismo índice. Y eso nos da raíz cuadrada de 6. Y en la parte de abajo tendremos raíz de 2 al cuadrado que sería 2 por 2. Eso nos da 4. Si queremos, podemos ya organizar la respuesta. En la parte superior, por ejemplo, empezando con el 2 e ir subiendo con las raíces de menor a mayor. Quedaría en este orden. Y en el denominador tendríamos el número 4. Esa sería entonces la respuesta a nuestro ejercicio. Allí quedaría entonces racionalizado la expresión original.

[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " En este ejercicio vamos a realizar la racionalizaci\u00f3n del denominador de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 8.0, "end": 15.0, "text": " Es decir, vamos a hacer el procedimiento para eliminar estas ra\u00edces que se encuentran en el denominador."}, {"start": 15.0, "end": 22.0, "text": " Para comenzar vamos a agrupar dos de los t\u00e9rminos que tenemos en el denominador."}, {"start": 22.0, "end": 26.0, "text": " Podr\u00edamos pensar entonces en agrupar estos dos que tenemos ac\u00e1."}, {"start": 26.0, "end": 32.0, "text": " Los dos primeros t\u00e9rminos, de tal forma que nos quede un binomio."}, {"start": 32.0, "end": 40.0, "text": " Y entonces vamos a proceder multiplicando por lo que se conoce como el conjugado de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 40.0, "end": 50.0, "text": " El conjugado ser\u00eda 1 m\u00e1s ra\u00edz de 2 m\u00e1s ra\u00edz de 3."}, {"start": 50.0, "end": 57.0, "text": " Si recordemos que cambiamos simplemente este 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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2×2 POR MÉTODO DE ELIMINACIÓN

#julioprofe explica cómo resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales de 2x2 por el Método de Eliminación. Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este sistema de ecuaciones lineales de 2x2, es decir, dos ecuaciones con dos incógnitas, por el método de eliminación, también conocido como método de reducción, o también conocido como método de suma y resta. Para empezar vamos a numerar las ecuaciones, ecuación número 1 y ecuación número 2. Lo que tenemos que hacer es elegir una letra para eliminar, puede ser la x o puede ser la y. En caso de que quisiéramos eliminar la x, debemos buscar el mínimo como múltiplo de 5 y 3, sería en este caso multiplicarlos porque son números primos, entonces 5x3 nos da 15. Entonces necesitamos que estos dos números se conviertan en 15, 15 aquí, 15 acá, pero adicionalmente necesitamos que uno de esos 15 sea positivo y que el otro 15 sea negativo para que al momento de sumar se nos cancele. Esa sería una posibilidad. La otra sería si queremos eliminar la letra y buscar el mínimo como múltiplo entre 6 y 8, rápidamente, aquí ya no son números primos, vamos a verlo rápidamente, sería por ejemplo mitad, aquí sería 3, aquí sería 4, sacamos mitad nuevamente, aquí nos da 2 y 3, sacamos otra vez mitad, aquí nos da 1, 3, sacamos tercera y aquí nos da 1. Si multiplicamos todos estos números, esto nos da un total de 24, por lo tanto 24 es el mínimo como múltiplo de 6 y 8. Entonces ahí tendríamos que convertir este 6 en 24 y este 8 en 24, pero también procurando que uno sea positivo y el otro sea negativo. Es de libre elección eliminar una u otra letra, pero obviamente buscaremos la más sencilla, entonces entre las dos opciones está más sencillo eliminar la letra X. Entonces como decíamos necesitamos que aquí esto se convierta en 15 y acá también, entonces para que esto se convierta en 15 este 5 debe ser multiplicado por 3. Entonces la primera ecuación debe ser multiplicada toda por 3 a los dos lados, entonces veamos 3 por 5 son 15, X, más 3 por 6 son 18y y acá 3 por 20 son 60. La segunda ecuación, necesitamos que aquí quede 15, pero ahí es donde debe quedar también el signo negativo, entonces para que 3 se convierta en menos 15 debe ser multiplicado por menos 5. Entonces toda la ecuación debe ser multiplicada por menos 5, entonces veamos 3 por menos 5 nos queda menos 15, X, aquí 8 por menos 5 queda menos 40y y 34 por menos 5 eso nos da negativo, veamos 5 por 4 son 20, llevamos 2, 5 por 3 son 15 y 2 son 17 nos da menos 170. A continuación vamos a sumar las dos ecuaciones y vamos a sumar de forma vertical, entonces aquí 15x sumado con menos 15x, aquí es cuando conseguimos el objetivo de eliminar la X. Sumamos estos dos, 18y menos 40y, eso nos queda menos 22y y por acá 60 sumado con menos 170, eso nos da menos 110. Y como vemos de aquí podemos despejar fácilmente la letra Y, entonces nos quedaría menos 110 dividido entre menos 22, menos 22 se está multiplicando pasa a dividir con su signo y resolviendo esta operación con ley de signos y todo, esto nos da un total de 5. Entonces de esta manera hemos encontrado el valor de la Y en este sistema de ecuaciones, vamos a anotarla por acá, y esto nos dice también que es un sistema con solución única, nos faltaría encontrar el valor de la X. Entonces para encontrar X, reemplazamos este valor, este y igual a 5 en cualquiera de las dos ecuaciones originales donde sea más sencillo, entonces vamos a reemplazar en la primera ecuación, entonces nos va a quedar 5x más 6 por el valor de la Y, es decir 5 igual a 20 y resolvemos. Entonces nos queda 5x más 6 por 5 son 30 igual a 20 y vamos despejando poco a poco la X, primero pasamos el 30 que está sumando a restar al otro lado, nos queda que 5x es igual a menos 10, despejando X nos queda menos 10 dividido entre 5 y resolviendo eso nos queda menos 2. Entonces hemos encontrado el valor de la X que es menos 2, por lo tanto tenemos un sistema con solución única cuya coordenada solución es la coordenada menos 2,5, recordemos que primero se nombra la X y después se nombra la Y. Esto quiere decir que si vamos al plano cartesiano y gráficamos esas dos rectas observaremos que ellas se cortan en la coordenada menos 2,5.

[{"start": 0.0, "end": 18.0, "text": " Vamos a resolver este sistema de ecuaciones lineales de 2x2, es decir, dos ecuaciones con dos inc\u00f3gnitas, por el m\u00e9todo de eliminaci\u00f3n, tambi\u00e9n conocido como m\u00e9todo de reducci\u00f3n, o tambi\u00e9n conocido como m\u00e9todo de suma y resta."}, {"start": 18.0, "end": 32.0, "text": " Para empezar vamos a numerar las ecuaciones, ecuaci\u00f3n n\u00famero 1 y ecuaci\u00f3n n\u00famero 2. Lo que tenemos que hacer es elegir una letra para eliminar, puede ser la x o puede ser la y."}, {"start": 32.0, "end": 49.0, "text": " En caso de que quisi\u00e9ramos eliminar la x, debemos buscar el m\u00ednimo como m\u00faltiplo de 5 y 3, ser\u00eda en este caso multiplicarlos porque son n\u00fameros primos, entonces 5x3 nos da 15."}, {"start": 49.0, "end": 66.0, "text": " Entonces necesitamos que estos dos n\u00fameros se conviertan en 15, 15 aqu\u00ed, 15 ac\u00e1, pero adicionalmente necesitamos que uno de esos 15 sea positivo y que el otro 15 sea negativo para que al momento de sumar se nos cancele."}, {"start": 66.0, "end": 95.0, "text": " Esa ser\u00eda una posibilidad. La otra ser\u00eda si queremos eliminar la letra y buscar el m\u00ednimo como m\u00faltiplo entre 6 y 8, r\u00e1pidamente, aqu\u00ed ya no son n\u00fameros primos, vamos a verlo r\u00e1pidamente, ser\u00eda por ejemplo mitad, aqu\u00ed ser\u00eda 3, aqu\u00ed ser\u00eda 4, sacamos mitad nuevamente, aqu\u00ed nos da 2 y 3, sacamos otra vez mitad, aqu\u00ed nos da 1, 3, sacamos tercera y aqu\u00ed nos da 1."}, {"start": 95.0, "end": 103.0, "text": " Si multiplicamos todos estos n\u00fameros, esto nos da un total de 24, por lo tanto 24 es el m\u00ednimo como m\u00faltiplo de 6 y 8."}, {"start": 103.0, "end": 113.0, "text": " Entonces ah\u00ed tendr\u00edamos que convertir este 6 en 24 y este 8 en 24, pero tambi\u00e9n procurando que uno sea positivo y el otro sea negativo."}, {"start": 113.0, "end": 125.0, "text": " Es de libre elecci\u00f3n eliminar una u otra letra, pero obviamente buscaremos la m\u00e1s sencilla, entonces entre las dos opciones est\u00e1 m\u00e1s sencillo eliminar la letra X."}, {"start": 125.0, "end": 135.0, "text": " Entonces como dec\u00edamos necesitamos que aqu\u00ed esto se convierta en 15 y ac\u00e1 tambi\u00e9n, entonces para que esto se convierta en 15 este 5 debe ser multiplicado por 3."}, {"start": 135.0, "end": 153.0, "text": " Entonces la primera ecuaci\u00f3n debe ser multiplicada toda por 3 a los dos lados, entonces veamos 3 por 5 son 15, X, m\u00e1s 3 por 6 son 18y y ac\u00e1 3 por 20 son 60."}, {"start": 153.0, "end": 168.0, "text": " La segunda ecuaci\u00f3n, necesitamos que aqu\u00ed quede 15, pero ah\u00ed es donde debe quedar tambi\u00e9n el signo negativo, entonces para que 3 se convierta en menos 15 debe ser multiplicado por menos 5."}, {"start": 168.0, "end": 193.0, "text": " Entonces toda la ecuaci\u00f3n debe ser multiplicada por menos 5, entonces veamos 3 por menos 5 nos queda menos 15, X, aqu\u00ed 8 por menos 5 queda menos 40y y 34 por menos 5 eso nos da negativo, veamos 5 por 4 son 20, llevamos 2, 5 por 3 son 15 y 2 son 17 nos da menos 170."}, {"start": 193.0, "end": 210.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a sumar las dos ecuaciones y vamos a sumar de forma vertical, entonces aqu\u00ed 15x sumado con menos 15x, aqu\u00ed es cuando conseguimos el objetivo de eliminar la X."}, {"start": 210.0, "end": 224.0, "text": " Sumamos estos dos, 18y menos 40y, eso nos queda menos 22y y por ac\u00e1 60 sumado con menos 170, eso nos da menos 110."}, {"start": 224.0, "end": 245.0, "text": " Y como vemos de aqu\u00ed podemos despejar f\u00e1cilmente la letra Y, entonces nos quedar\u00eda menos 110 dividido entre menos 22, menos 22 se est\u00e1 multiplicando pasa a dividir con su signo y resolviendo esta operaci\u00f3n con ley de signos y todo, esto nos da un total de 5."}, {"start": 245.0, "end": 262.0, "text": " Entonces de esta manera hemos encontrado el valor de la Y en este sistema de ecuaciones, vamos a anotarla por ac\u00e1, y esto nos dice tambi\u00e9n que es un sistema con soluci\u00f3n \u00fanica, nos faltar\u00eda encontrar el valor de la X."}, {"start": 262.0, "end": 285.0, "text": " Entonces para encontrar X, reemplazamos este valor, este y igual a 5 en cualquiera de las dos ecuaciones originales donde sea m\u00e1s sencillo, entonces vamos a reemplazar en la primera ecuaci\u00f3n, entonces nos va a quedar 5x m\u00e1s 6 por el valor de la Y, es decir 5 igual a 20 y resolvemos."}, {"start": 285.0, "end": 310.0, "text": " Entonces nos queda 5x m\u00e1s 6 por 5 son 30 igual a 20 y vamos despejando poco a poco la X, primero pasamos el 30 que est\u00e1 sumando a restar al otro lado, nos queda que 5x es igual a menos 10, despejando X nos queda menos 10 dividido entre 5 y resolviendo eso nos queda menos 2."}, {"start": 310.0, "end": 333.0, "text": " Entonces hemos encontrado el valor de la X que es menos 2, por lo tanto tenemos un sistema con soluci\u00f3n \u00fanica cuya coordenada soluci\u00f3n es la coordenada menos 2,5, recordemos que primero se nombra la X y despu\u00e9s se nombra la Y."}, {"start": 333.0, "end": 342.0, "text": " Esto quiere decir que si vamos al plano cartesiano y gr\u00e1ficamos esas dos rectas observaremos que ellas se cortan en la coordenada menos 2,5."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=8ESRmd-i_qs

DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 3

#julioprofe explica cómo verificar una Identidad Trigonométrica. Tema: #IdentidadesTrigonometricas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGAmMC3k5sI2VGHFnVdlLif REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

vamos a verificar esta identidad trigonométrica y para comenzar vamos a trabajar el lado derecho y vamos a demostrar que es igual al lado izquierdo entonces vamos a anotar por acá lado derecho y vamos a comenzar entonces con esta expresión de acá 1 menos coseno al cuadrado de 2 veamos esto en que se convierte recordemos la identidad fundamental de la trigonometría seno al cuadrado de theta más coseno al cuadrado de theta es igual a 1 nosotros podríamos cambiar theta por 2 alfa y aquí también theta por 2 alfa es decir simplemente estamos cambiando el ángulo si nosotros pasamos este término a restar al otro lado nos queda que seno al cuadrado de 2 alfa es igual a 1 menos coseno al cuadrado de 2 alfa y allí tenemos esta expresión por lo tanto 1 menos coseno al cuadrado de 2 alfa va a ser igual a seno al cuadrado de 2 alfa ahora vamos a reescribir esta expresión de acá esto lo vamos a colocar como seno de 2 alfa y todo esto entre paréntesis elevado al cuadrado a continuación vamos a cambiar el seno de 2 alfa por su equivalente el seno de 2 alfa es igual a 2 seno de alfa por el coseno de alfa y todo esto se encuentra elevado al cuadrado y aquí como tenemos multiplicación dentro del paréntesis entonces este cuadrado nos va a afectar a cada uno de estos elementos que tenemos dentro del paréntesis a cada uno de los factores entonces nos va a quedar así 2 al cuadrado por seno de alfa al cuadrado por coseno de alfa al cuadrado y esto organizándolo nos va a quedar 2 al cuadrado es 4 esto se puede escribir como seno al cuadrado de alfa y esto sería coseno al cuadrado de alfa de esa manera hemos llegado a lo que teníamos en el lado izquierdo y así hemos entonces probado la identidad

[{"start": 0.0, "end": 3.48, "text": " vamos a verificar esta identidad trigonom\u00e9trica"}, {"start": 3.48, "end": 5.08, "text": " y para comenzar"}, {"start": 5.08, "end": 7.4, "text": " vamos a trabajar el lado derecho"}, {"start": 7.4, "end": 11.24, "text": " y vamos a demostrar que es igual al lado izquierdo"}, {"start": 11.24, "end": 13.96, "text": " entonces vamos a anotar por ac\u00e1"}, {"start": 13.96, "end": 17.8, "text": " lado derecho"}, {"start": 17.8, "end": 19.96, "text": " y vamos a comenzar"}, {"start": 19.96, "end": 22.52, "text": " entonces con esta expresi\u00f3n de ac\u00e1"}, {"start": 22.52, "end": 23.88, "text": " 1 menos"}, {"start": 23.88, "end": 28.32, "text": " coseno al cuadrado de 2"}, {"start": 28.32, "end": 30.4, "text": " veamos esto en que se convierte"}, {"start": 30.4, "end": 34.24, "text": " recordemos la identidad fundamental de la trigonometr\u00eda"}, {"start": 34.24, "end": 36.0, "text": " seno al cuadrado de theta"}, {"start": 36.0, "end": 39.16, "text": " m\u00e1s coseno al cuadrado de theta"}, {"start": 39.16, "end": 41.08, "text": " es igual a 1"}, {"start": 41.08, "end": 43.32, "text": " nosotros podr\u00edamos cambiar theta"}, {"start": 43.32, "end": 45.760000000000005, "text": " por 2 alfa"}, {"start": 45.760000000000005, "end": 49.04, "text": " y aqu\u00ed tambi\u00e9n theta por 2 alfa"}, {"start": 49.04, "end": 51.64, "text": " es decir simplemente estamos cambiando el \u00e1ngulo"}, {"start": 51.64, "end": 52.72, "text": " si nosotros"}, {"start": 52.72, "end": 56.56, "text": " pasamos este t\u00e9rmino a restar al otro lado"}, {"start": 56.56, "end": 57.44, "text": " nos queda"}, {"start": 57.44, "end": 59.839999999999996, "text": " que seno al cuadrado de 2 alfa"}, {"start": 59.839999999999996, "end": 62.68, "text": " es igual a 1 menos"}, {"start": 62.68, "end": 66.2, "text": " coseno al cuadrado de 2 alfa"}, {"start": 66.2, "end": 68.12, "text": " y all\u00ed tenemos esta expresi\u00f3n"}, {"start": 68.12, "end": 71.84, "text": " por lo tanto 1 menos coseno al cuadrado de 2 alfa"}, {"start": 71.84, "end": 73.44, "text": " va a ser igual"}, {"start": 73.44, "end": 78.64, "text": " a seno al cuadrado de 2 alfa"}, {"start": 78.64, "end": 80.68, "text": " ahora vamos a"}, {"start": 80.68, "end": 83.88, "text": " reescribir esta expresi\u00f3n de ac\u00e1"}, {"start": 83.88, "end": 88.32, "text": " esto lo vamos a colocar como seno de 2 alfa"}, {"start": 88.32, "end": 93.96, "text": " y todo esto entre par\u00e9ntesis elevado al cuadrado"}, {"start": 93.96, "end": 96.24, "text": " a continuaci\u00f3n"}, {"start": 96.24, "end": 97.47999999999999, "text": " vamos a cambiar"}, {"start": 97.47999999999999, "end": 101.12, "text": " el seno de 2 alfa por su equivalente"}, {"start": 101.12, "end": 102.96, "text": " el seno de 2 alfa"}, {"start": 102.96, "end": 106.88, "text": " es igual a 2 seno de alfa"}, {"start": 106.88, "end": 109.52, "text": " por el coseno de alfa"}, {"start": 109.52, "end": 113.28, "text": " y todo esto se encuentra elevado al cuadrado"}, {"start": 113.28, "end": 115.96000000000001, "text": " y aqu\u00ed como tenemos multiplicaci\u00f3n"}, {"start": 115.96000000000001, "end": 118.92, "text": " dentro del par\u00e9ntesis entonces este cuadrado"}, {"start": 118.92, "end": 121.64, "text": " nos va a afectar a cada uno de estos"}, {"start": 121.64, "end": 125.6, "text": " elementos que tenemos dentro del par\u00e9ntesis a cada uno de los factores"}, {"start": 125.6, "end": 127.96000000000001, "text": " entonces nos va a quedar as\u00ed"}, {"start": 127.96000000000001, "end": 129.96, "text": " 2 al cuadrado por"}, {"start": 129.96, "end": 132.28, "text": " seno de alfa"}, {"start": 132.28, "end": 134.44, "text": " al cuadrado"}, {"start": 134.44, "end": 136.6, "text": " por coseno"}, {"start": 136.6, "end": 138.44, "text": " de alfa"}, {"start": 138.44, "end": 140.08, "text": " al cuadrado"}, {"start": 140.08, "end": 141.92000000000002, "text": " y esto"}, {"start": 141.92, "end": 144.04, "text": " organiz\u00e1ndolo nos va a quedar"}, {"start": 144.04, "end": 146.11999999999998, "text": " 2 al cuadrado es 4"}, {"start": 146.11999999999998, "end": 149.56, "text": " esto se puede escribir como seno"}, {"start": 149.56, "end": 151.32, "text": " al cuadrado de alfa"}, {"start": 151.32, "end": 155.11999999999998, "text": " y esto ser\u00eda coseno al cuadrado de alfa"}, {"start": 155.11999999999998, "end": 157.32, "text": " de esa manera hemos llegado"}, {"start": 157.32, "end": 159.64, "text": " a lo que ten\u00edamos en el lado"}, {"start": 159.64, "end": 161.72, "text": " izquierdo"}, {"start": 161.72, "end": 165.35999999999999, "text": " y as\u00ed hemos entonces"}, {"start": 165.36, "end": 172.36, "text": " probado la identidad"}]

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https://www.youtube.com/watch?v=3FHhPLVUt9o

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2×2 POR MÉTODO DE SUSTITUCIÓN - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales de 2x2 por el Método de Sustitución. Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este sistema de ecuaciones de 2x2 por el método de sustitución. Para ello vamos a numerar las ecuaciones, ecuación 1 y ecuación 2, y entonces el método de sustitución dice que debemos despejar una de las letras en una de las ecuaciones y lo que nos de debemos sustituirlo o reemplazarlo en la otra ecuación, entonces se recomienda despejar una letra que este fácil de aislar o de despejar por ejemplo miremos en la ecuación 2 la letra x esta fácil de despejar porque basta con pasar esta y que esta restando a sumar al otro lado es decir con un solo movimiento despejaríamos la letra x, entonces vamos a despejar la x de la ecuación 2 por eso es bueno tener etiquetadas las ecuaciones para hacer referencia a ellas con un simple numerito entonces de la expresión 2 el espécie de x nos va a quedar igual a 1 más y, como decíamos y esta restando pasa a sumar al otro lado esta expresión que tenemos se va a llamar la expresión número 3 la etiquetamos con un nuevo número para tenerla referenciada en nuestro ejercicio a continuación entonces vamos a sustituir la expresión número 3, es decir esta x de la expresión número 3 la vamos a sustituir en la expresión número 1 que es la ecuación que no hemos tocado para nada, entonces la ecuación 1 nos va a quedar de la siguiente manera 2 abrimos un paréntesis y aquí donde estaba la x entra 1 más y cerramos el paréntesis y escribimos lo demás 2 por 1 es 2 más 3y igual a 12 y resolvemos esta ecuación, para resolver esta ecuación debemos hacer aquí propiedad distributiva entonces 2 por 1 es 2 más 2y aquí más 3y igual a 12 sumamos términos semejantes quedaría 2 más 5y igual a 12, pasamos este 2 para el otro lado para dejar la letra al lado izquierdo queda 12 menos 2 entonces nos queda que 5y es igual a 10 de donde y va a ser igual a 10 dividido entre 5, 5 está multiplicando pasa a dividir por lo tanto y vale 2 y hemos encontrado entonces el valor de la letra y nos faltaría entonces encontrar el valor de la x cuando y con ese caso que fue la letra que encontramos nos da un número estamos en el caso en que el sistema tiene exclusión única, si eso quiere decir que nos va a dar también un valor de x numérico y juntos para formar el punto de corte de estas dos líneas rectas en el plano cartesian entonces y igual a 2 podríamos reemplazarlo en la primera ecuación en la segunda pero resulta más conveniente reemplazar en la tercera porque allí ya se encuentra despejada la x entonces vamos a la ecuación más sencilla que es la número 3 entonces nos va a quedar así, x es igual a 1 más el valor de la y que es 2 entonces ahí reemplazamos la y resolvemos y x nos da 3 de esta manera entonces tenemos la solución del sistema de ecuaciones la respuesta sería el sistema tiene solución única y va a ser la coordenada 3,2 recordemos que x es 3 y y vale 2

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Vamos a resolver este sistema de ecuaciones de 2x2 por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n."}, {"start": 7.0, "end": 20.0, "text": " Para ello vamos a numerar las ecuaciones, ecuaci\u00f3n 1 y ecuaci\u00f3n 2, y entonces el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n dice que debemos despejar una de las letras en una de las ecuaciones"}, {"start": 20.0, "end": 34.0, "text": " y lo que nos de debemos sustituirlo o reemplazarlo en la otra ecuaci\u00f3n, entonces se recomienda despejar una letra que este f\u00e1cil de aislar o de despejar"}, {"start": 34.0, "end": 45.0, "text": " por ejemplo miremos en la ecuaci\u00f3n 2 la letra x esta f\u00e1cil de despejar porque basta con pasar esta y que esta restando a sumar al otro lado"}, {"start": 45.0, "end": 58.0, "text": " es decir con un solo movimiento despejar\u00edamos la letra x, entonces vamos a despejar la x de la ecuaci\u00f3n 2"}, {"start": 58.0, "end": 65.0, "text": " por eso es bueno tener etiquetadas las ecuaciones para hacer referencia a ellas con un simple numerito"}, {"start": 65.0, "end": 76.0, "text": " entonces de la expresi\u00f3n 2 el esp\u00e9cie de x nos va a quedar igual a 1 m\u00e1s y, como dec\u00edamos y esta restando pasa a sumar al otro lado"}, {"start": 76.0, "end": 87.0, "text": " esta expresi\u00f3n que tenemos se va a llamar la expresi\u00f3n n\u00famero 3 la etiquetamos con un nuevo n\u00famero para tenerla referenciada en nuestro ejercicio"}, {"start": 87.0, "end": 102.0, "text": " a continuaci\u00f3n entonces vamos a sustituir la expresi\u00f3n n\u00famero 3, es decir esta x de la expresi\u00f3n n\u00famero 3 la vamos a sustituir en la expresi\u00f3n n\u00famero 1"}, {"start": 102.0, "end": 108.0, "text": " que es la ecuaci\u00f3n que no hemos tocado para nada, entonces la ecuaci\u00f3n 1 nos va a quedar de la siguiente manera"}, {"start": 108.0, "end": 120.0, "text": " 2 abrimos un par\u00e9ntesis y aqu\u00ed donde estaba la x entra 1 m\u00e1s y cerramos el par\u00e9ntesis y escribimos lo dem\u00e1s"}, {"start": 120.0, "end": 146.0, "text": " 2 por 1 es 2 m\u00e1s 3y igual a 12 y resolvemos esta ecuaci\u00f3n, para resolver esta ecuaci\u00f3n debemos hacer aqu\u00ed propiedad distributiva entonces 2 por 1 es 2 m\u00e1s 2y aqu\u00ed m\u00e1s 3y igual a 12"}, {"start": 146.0, "end": 162.0, "text": " sumamos t\u00e9rminos semejantes quedar\u00eda 2 m\u00e1s 5y igual a 12, pasamos este 2 para el otro lado para dejar la letra al lado izquierdo queda 12 menos 2"}, {"start": 162.0, "end": 178.0, "text": " entonces nos queda que 5y es igual a 10 de donde y va a ser igual a 10 dividido entre 5, 5 est\u00e1 multiplicando pasa a dividir por lo tanto y vale 2"}, {"start": 178.0, "end": 189.0, "text": " y hemos encontrado entonces el valor de la letra y nos faltar\u00eda entonces encontrar el valor de la x cuando y con ese caso que fue la letra que encontramos nos da un n\u00famero"}, {"start": 189.0, "end": 204.0, "text": " estamos en el caso en que el sistema tiene exclusi\u00f3n \u00fanica, si eso quiere decir que nos va a dar tambi\u00e9n un valor de x num\u00e9rico y juntos para formar el punto de corte de estas dos l\u00edneas rectas en el plano cartesian"}, {"start": 204.0, "end": 216.0, "text": " entonces y igual a 2 podr\u00edamos reemplazarlo en la primera ecuaci\u00f3n en la segunda pero resulta m\u00e1s conveniente reemplazar en la tercera porque all\u00ed ya se encuentra despejada la x"}, {"start": 216.0, "end": 231.0, "text": " entonces vamos a la ecuaci\u00f3n m\u00e1s sencilla que es la n\u00famero 3 entonces nos va a quedar as\u00ed, x es igual a 1 m\u00e1s el valor de la y que es 2 entonces ah\u00ed reemplazamos la y"}, {"start": 231.0, "end": 254.0, "text": " resolvemos y x nos da 3 de esta manera entonces tenemos la soluci\u00f3n del sistema de ecuaciones la respuesta ser\u00eda el sistema tiene soluci\u00f3n \u00fanica y va a ser la coordenada 3,2 recordemos que x es 3 y y vale 2"}]

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https://www.youtube.com/watch?v=lTRANviJWEY

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 2×2 POR MÉTODO DE IGUALACIÓN - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales de 2×2 por el Método de Igualación. Tema: #SistemasDeEcuaciones → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEFAYT8s7eBiUPuANxiqi_l REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este sistema de ecuaciones de 2x2 por el método de igualación. Para ello empezamos por numerar las ecuaciones ecuación número 1 y ecuación número 2. Las etiquetamos. El método de igualación dice que debemos despejar la misma letra en las dos ecuaciones. Entonces, por ejemplo, podríamos despejar la letra y en las dos ecuaciones. También hubiéramos podido hacerlo con x, pero hagamos lo establezco la letra y. Entonces, de la ecuación 1, el despeje nos va a quedar de la siguiente manera. Inicialmente tenemos que pasar este 3x que está sumando, pasarlo al otro lado, a restar. Entonces nos queda 2y es igual a 3 menos 3x y después pasamos este 2 que está multiplicando a dividir al otro lado. Entonces nos queda 3 menos 3x, todo esto sobre 2. Esta expresión que es nueva la vamos a llamar la número 3. La etiquetamos con el número 3. Ahora, de la expresión número 2, también vamos a hacer el despeje de la y. Entonces inicialmente despejamos 5y. Para despejar 5y este término, menos x, debe pasar positivo al otro lado. Porque acá está negativo, pasa a sumar, entonces queda 16 más x. Y despejando la letra y nos queda 16 más x. Y el 5 que está multiplicando pasaría a dividir al otro lado. Tenemos una nueva expresión que la vamos a llamar la número 4. Y a continuación hacemos entonces la igualación de las dos expresiones obtenidas. Vamos a igualar las expresiones 3 y 4. Aquí es donde se hace la igualación. Entonces nos queda 3 menos 3x sobre 2 igual a 16 más x sobre 5. Y resolvemos esta ecuación. Aquí podemos pasar el 5 a multiplicar al otro lado y el 2 a multiplicar acá al otro lado. Entonces nos queda 5 por 3 menos 3x igual a 2 que multiplica a 16 más x. Entonces lo que está dividiendo pasa a multiplicar a los lados contrarios. Hacemos propiedad distributiva, 5 por 3 es 15. 5 por menos 3x quedaría menos 15x. Acá 2 por 16 nos da 32 más 2 por x, 2x. Y allí vamos a pasar las x a un lado y los números al otro lado. Entonces dejemos las x al lado izquierdo. Quedaría menos 15x, pasaría este 2x a restar. Al otro lado se queda 32 y el 15 pasaría también a restar. Entonces resolvemos acá, menos 15x menos 2x, eso nos da menos 17x. Y al otro lado, 32 menos 15, eso nos da 17 positivo. Le despejamos x, entonces nos queda 17 dividido entre menos 17. Recordemos que este número que está negativo, como está multiplicando aquí, al pasar a dividir al otro lado, pasa con su signo. Resolviendo esto, o simplificándolo, nos queda que x vale menos 1. Vamos a continuarlo por acá. Entonces x vale menos 1. Y de esta manera ya tenemos entonces una de las sincómitas halladas. Esto nos quiere decir que el sistema tiene solución única. Desde que x nos haya dado un valor numérico, entonces podemos concluir que las dos rectas originales son rectas que se cortan en el pleno cartesiano y van a tener una única solución. Para encontrar el valor de la otra letra, o sea la y, podríamos haber reemplazado en las dos ecuaciones originales, la 1 o la 2, pero resulta más conveniente reemplazar en los dos despejes que ya tenemos listos. Aquí en ambos está despejada la letra y, entonces no es sino reemplazar este menos 1, donde uno desee, buscando obviamente el reemplazo más sencillo. Podríamos reemplazar entonces en la expresión número 4. Entonces vamos a hacerlo aquí. Decimos que en la expresión número 4 nos quedaría y es igual a 16 más x, pero x vale menos 1. Entonces lo escribimos en un paréntesis. Y todo esto sobre 5. Vamos a resolver eso entonces. Nos quedaría y es igual, esto queda 16 menos 1, o sea 15 sobre 5, o sea que y vale 3, simplificando esta fracción. Respuesta. El sistema de ecuaciones tiene solución única en la coordenada menos 1,3. Entonces es x y esto es g.

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LÍMITES ALGEBRAICOS - Ejercicio 13

#julioprofe explica cómo resolver un límite algebraico usando racionalización y factorización. Tema: #Límites → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEeindtt3TarvkVHRDmqNTf REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver este límite, para iniciar debemos evaluar esta expresión en x igual a menos 3 Veamos, donde está la x entonces vamos a escribir menos 3 Entonces nos queda así en la parte de arriba y en la parte de abajo 3 por menos 3 más 9 Vamos a hacerlo mentalmente, menos 3 al cuadrado nos da 9, 9 más 7 nos da 16 La raíz cuadrada de 16 es 4 y 4 menos 4 nos da 0, es decir en el numerador nos da 0 Veamos en el denominador que ocurre, 3 por menos 3 da menos 9 y menos 9 más 9 también nos da 0 Nos da 0 sobre 0 lo cual se conoce como una indeterminación, es decir algo que tenemos que darle solución Un límite nunca puede dar como resultado una indeterminación Entonces eso nos hace pensar en una estrategia para resolver, para modificar esta expresión de acá Vamos a recurrir a la algebra y vamos a utilizar lo que se llama la racionalización Vamos a racionalizar el numerador de la expresión, entonces vamos a volver a escribir la expresión Y para racionalizar este numerador debemos multiplicar por el conjugado de esta expresión El conjugado de 4 menos la raíz cuadrada de x al cuadrado más 7 va a ser 4 más la raíz cuadrada de x al cuadrado más 7 Y abajo repetimos lo mismo, esto se llama conjugación y nos permite racionalizar el numerador en este caso Veamos, al multiplicar numeradores entre sí vamos a encontrarnos con una situación algebraica Un producto notable que se llama suma por diferencia, tenemos a menos b por a más b Aquí está la suma y acá está la diferencia, eso nos da como resultado el primero al cuadrado menos el segundo al cuadrado Es decir lo que se conoce como una diferencia de cuadrados Veamos, entonces arriba nos quedaría 4 al cuadrado menos la raíz de x al cuadrado más 7, todo esto al cuadrado Allí tenemos 4 haciendo el papel de la a y esta raíz haciendo el papel de la b, aquí también los encontramos sumando Y por lo tanto aplicando este producto notable nos queda el primero al cuadrado, aquí está, menos este menos el segundo al cuadrado Y de esa manera vamos a lograr destruir la raíz Abajo nos queda el producto indicado, quedaría 3x más 9, debemos colocarlo entre paréntesis Que multiplica a esta expresión que también debe ir dentro de un paréntesis A continuación en el numerador vamos entonces a desarrollar 4 al cuadrado sería 16 menos, aquí el cuadrado me destruye la raíz Por lo tanto nos queda libre x al cuadrado más 7 y tenemos que mantener el paréntesis ya que el menos va a ser importante en este caso Porque nos va a afectar lo que está dentro de la expresión, entonces si colocamos esto sin paréntesis estaríamos cometiendo un error Debemos mantener protegida la expresión de adentro, abajo esta expresión quedaría exactamente igual, no vamos a repetirla Vamos a continuarlo por acá, borraríamos esto hasta aquí para que lo continuemos por acá Entonces arriba nos quedaría 16, aquí el menos entra nos queda menos x al cuadrado menos 7, el menos cambia los signos de esta expresión Y abajo nos queda esto mismo, 3x más 9 que multiplica a 4 más la raíz cuadrada de x al cuadrado más 7, cierra la raíz y se cierra el paréntesis Borramos esto de por aquí y vamos a continuarlo, arriba nos queda 16 menos 7 nos da 9 menos x al cuadrado y abajo continuamos con la misma expresión Ahorita vamos a recurrir a lo que es la factorización, si miramos en el numerador tenemos una diferencia de cuadrados Entonces vamos a factorizarla, raíz cuadrada de 9 sería 3, raíz cuadrada de x al cuadrado sería x, entonces anotamos eso en una suma y en una resta Allí estaríamos factorizando el numerador con diferencia de cuadrados, y acá en el denominador vamos a sacar factor común de esta expresión Allí puede salir el 3 que es factor común de x más 3 y sigue acompañado de 4 más la raíz cuadrada de x al cuadrado más 7 Aquí es donde vamos a simplificar el factor problema de nuestro límite, resulta que 3 más x es lo mismo que x más 3, por ser exactamente iguales los podemos eliminar Y si recordamos nuestro límite decía que x tendía a menos 3, veamos 3 más menos 3 nos da 0 y acá menos 3 más 3 nos da 0, o sea que este era el causante del 0 sobre 0 que nos estaba dando al comienzo del ejercicio Pero como aquí logramos eliminarlo entonces ya la expresión que nos va a quedar seguramente no tiene indeterminación Y regresamos al límite, límite cuando x tendía a menos 3 de la expresión que nos quedó, arriba 3 menos x y abajo este 3 y esta expresión de aquí, paréntesis 4 más la raíz cuadrada de x al cuadrado más 7 De acuerdo entonces, borremos esto de acá y ya podemos volver a evaluar la expresión en x igual a menos 3 ya que logramos deshacernos del factor problema Entonces reemplazamos, donde está la x escribimos menos 3, aquí sería menos 3 al cuadrado más 7, cierra el paréntesis y vamos a resolver esto Hagámoslo mentalmente, arriba 3 menos menos 3 se convierte en 3 más 3 que nos da 6, abajo queda el 3, este 3 queda igual que multiplica veamos acá dentro cómo nos queda Menos 3 al cuadrado da 9, 9 más 7 son 16, raíz cuadrada 16 sería 4 y 4 más 4 son 8 Aquí tenemos 3 por 8 en el denominador, podríamos por ejemplo simplificar 3, 3 y 6 sacarle tercera, esto nos quedaría 1 y 2 y 2 y 8 también podemos simplificarlo sacándole cuarta Pero mitad de 2 es 1, mitad de 8 es 4 y el resultado final de nuestro ejercicio será 1 cuarta, ese es el valor entonces del límite propuesto

[{"start": 0.0, "end": 6.5200000000000005, "text": " Vamos a resolver este l\u00edmite, para iniciar debemos evaluar esta expresi\u00f3n en x igual a menos 3"}, {"start": 6.5200000000000005, "end": 12.72, "text": " Veamos, donde est\u00e1 la x entonces vamos a escribir menos 3"}, {"start": 12.72, "end": 23.2, "text": " Entonces nos queda as\u00ed en la parte de arriba y en la parte de abajo 3 por menos 3 m\u00e1s 9"}, {"start": 23.2, "end": 31.799999999999997, "text": " Vamos a hacerlo mentalmente, menos 3 al cuadrado nos da 9, 9 m\u00e1s 7 nos da 16"}, {"start": 31.799999999999997, "end": 40.32, "text": " La ra\u00edz cuadrada de 16 es 4 y 4 menos 4 nos da 0, es decir en el numerador nos da 0"}, {"start": 40.32, "end": 48.56, "text": " Veamos en el denominador que ocurre, 3 por menos 3 da menos 9 y menos 9 m\u00e1s 9 tambi\u00e9n nos da 0"}, {"start": 48.56, "end": 60.24, "text": " Nos da 0 sobre 0 lo cual se conoce como una indeterminaci\u00f3n, es decir algo que tenemos que darle 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ra\u00edz haciendo el papel de la b, aqu\u00ed tambi\u00e9n los encontramos sumando"}, {"start": 159.44, "end": 168.39999999999998, "text": " Y por lo tanto aplicando este producto notable nos queda el primero al cuadrado, aqu\u00ed est\u00e1, menos este menos el segundo al cuadrado"}, {"start": 168.39999999999998, "end": 172.88, "text": " Y de esa manera vamos a lograr destruir la ra\u00edz"}, {"start": 172.88, "end": 179.83999999999997, "text": " Abajo nos queda el producto indicado, quedar\u00eda 3x m\u00e1s 9, debemos colocarlo entre par\u00e9ntesis"}, {"start": 179.84, "end": 186.0, "text": " Que multiplica a esta expresi\u00f3n que tambi\u00e9n debe ir dentro de un par\u00e9ntesis"}, {"start": 186.0, "end": 201.6, "text": " A continuaci\u00f3n en el numerador vamos entonces a desarrollar 4 al cuadrado ser\u00eda 16 menos, aqu\u00ed el cuadrado me destruye la ra\u00edz"}, {"start": 201.6, "end": 213.44, "text": " Por lo tanto nos queda libre x al cuadrado m\u00e1s 7 y tenemos que mantener el par\u00e9ntesis ya que el menos va a ser importante en este caso"}, {"start": 213.44, "end": 220.56, "text": " Porque nos va a afectar lo que est\u00e1 dentro de la expresi\u00f3n, entonces si colocamos esto sin par\u00e9ntesis estar\u00edamos cometiendo un error"}, {"start": 220.56, "end": 229.04, "text": " Debemos mantener protegida la expresi\u00f3n de adentro, abajo esta expresi\u00f3n quedar\u00eda exactamente igual, no vamos a repetirla"}, {"start": 229.04, "end": 241.35999999999999, "text": " Vamos a continuarlo por ac\u00e1, borrar\u00edamos esto hasta aqu\u00ed para que lo continuemos por ac\u00e1"}, {"start": 241.35999999999999, "end": 254.0, "text": " Entonces arriba nos quedar\u00eda 16, aqu\u00ed el menos entra nos queda menos x al cuadrado menos 7, el menos cambia los signos de esta expresi\u00f3n"}, {"start": 254.0, "end": 268.88, "text": " Y abajo nos queda esto mismo, 3x m\u00e1s 9 que multiplica a 4 m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado m\u00e1s 7, cierra la ra\u00edz y se cierra el par\u00e9ntesis"}, {"start": 268.88, "end": 282.16, "text": " Borramos esto de por aqu\u00ed y vamos a continuarlo, arriba nos queda 16 menos 7 nos da 9 menos x al cuadrado y abajo continuamos con la misma expresi\u00f3n"}, {"start": 282.16, "end": 294.72, "text": " Ahorita vamos a recurrir a lo que es la factorizaci\u00f3n, si miramos en el numerador tenemos una diferencia de cuadrados"}, {"start": 294.72, "end": 305.6, "text": " Entonces vamos a factorizarla, ra\u00edz cuadrada de 9 ser\u00eda 3, ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado ser\u00eda x, entonces anotamos eso en una suma y en una resta"}, {"start": 305.6, "end": 313.20000000000005, "text": " All\u00ed estar\u00edamos factorizando el numerador con diferencia de cuadrados, y ac\u00e1 en el denominador vamos a sacar factor com\u00fan de esta expresi\u00f3n"}, {"start": 313.20000000000005, "end": 327.20000000000005, "text": " All\u00ed puede salir el 3 que es factor com\u00fan de x m\u00e1s 3 y sigue acompa\u00f1ado de 4 m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado m\u00e1s 7"}, {"start": 327.2, "end": 341.44, "text": " Aqu\u00ed es donde vamos a simplificar el factor problema de nuestro l\u00edmite, resulta que 3 m\u00e1s x es lo mismo que x m\u00e1s 3, por ser exactamente iguales los podemos eliminar"}, {"start": 341.44, "end": 358.24, "text": " Y si recordamos nuestro l\u00edmite dec\u00eda que x tend\u00eda a menos 3, veamos 3 m\u00e1s menos 3 nos da 0 y ac\u00e1 menos 3 m\u00e1s 3 nos da 0, o sea que este era el causante del 0 sobre 0 que nos estaba dando al comienzo del ejercicio"}, {"start": 358.24, "end": 366.4, "text": " Pero como aqu\u00ed logramos eliminarlo entonces ya la expresi\u00f3n que nos va a quedar seguramente no tiene indeterminaci\u00f3n"}, {"start": 366.4, "end": 386.47999999999996, "text": " Y regresamos al l\u00edmite, l\u00edmite cuando x tend\u00eda a menos 3 de la expresi\u00f3n que nos qued\u00f3, arriba 3 menos x y abajo este 3 y esta expresi\u00f3n de aqu\u00ed, par\u00e9ntesis 4 m\u00e1s la ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado m\u00e1s 7"}, {"start": 386.48, "end": 400.16, "text": " De acuerdo entonces, borremos esto de ac\u00e1 y ya podemos volver a evaluar la expresi\u00f3n en x igual a menos 3 ya que logramos deshacernos del factor problema"}, {"start": 400.16, "end": 415.36, "text": " Entonces reemplazamos, donde est\u00e1 la x escribimos menos 3, aqu\u00ed ser\u00eda menos 3 al cuadrado m\u00e1s 7, cierra el par\u00e9ntesis y vamos a resolver esto"}, {"start": 415.36, "end": 429.04, "text": " Hag\u00e1moslo mentalmente, arriba 3 menos menos 3 se convierte en 3 m\u00e1s 3 que nos da 6, abajo queda el 3, este 3 queda igual que multiplica veamos ac\u00e1 dentro c\u00f3mo nos queda"}, {"start": 429.04, "end": 439.52000000000004, "text": " Menos 3 al cuadrado da 9, 9 m\u00e1s 7 son 16, ra\u00edz cuadrada 16 ser\u00eda 4 y 4 m\u00e1s 4 son 8"}, {"start": 439.52, "end": 453.44, "text": " Aqu\u00ed tenemos 3 por 8 en el denominador, podr\u00edamos por ejemplo simplificar 3, 3 y 6 sacarle tercera, esto nos quedar\u00eda 1 y 2 y 2 y 8 tambi\u00e9n podemos simplificarlo sac\u00e1ndole cuarta"}, {"start": 453.44, "end": 466.64, "text": " Pero mitad de 2 es 1, mitad de 8 es 4 y el resultado final de nuestro ejercicio ser\u00e1 1 cuarta, ese es el valor entonces del l\u00edmite propuesto"}]

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https://www.youtube.com/watch?v=Bpkf4xYpgAg

DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS - Ejercicio 2

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Vamos a resolver esta identidad trigonométrica empezando por el lado izquierdo que es el que tiene más superaciones y así demostrar que es igual al lado derecho que está mucho más simple. Entonces empezamos por resolver la resta de fracciones heterogéneas que encontramos en el lado izquierdo. Vamos a realizarla en cruz abajo multiplicaríamos estos dos entonces 1 menos seno de x que va a multiplicar a 1 más seno de x. Arriba tendríamos este por este como son iguales queda 1 más seno de x todo eso al cuadrado. Esto por esto entonces que haría 1 más seno de x al cuadrado menos, es decir este menos de acá, este por este también son iguales entonces nos queda 1 menos seno de x y todo eso al cuadrado. Esto pues quedaría igual. Vamos a desarrollar entonces las operaciones que tenemos allí. Aquí encontramos una conexión con el álgebra por ejemplo aquí tenemos un binomio al cuadrado recordemos el binomio al cuadrado a más b al cuadrado es igual al primero al cuadrado más dos veces el primero por el segundo más el segundo al cuadrado. Entonces vamos a realizar uno al cuadrado sería uno tenemos ese término más dos veces el primero por el segundo es decir 2 por 1 por seno de x eso nos da 2 seno de x más el segundo al cuadrado es decir seno de x elevado al cuadrado lo podemos escribir como seno al cuadrado de x. Vamos a proteger esto con paréntesis porque es el resultado de este primer desarrollo menos abrimos el paréntesis y vamos a desarrollar este otro binomio cuando aquí tenemos signo negativo es decir un binomio al cuadrado pero con resta cambiaría solamente este signo de aquí entonces tendremos el primero al cuadrado o sea uno al cuadrado que es 1 menos o sea este menos de acá dos veces el primero por el segundo entonces 2 por 1 por seno de x quedaría 2 seno de x más el segundo al cuadrado es decir seno de x al cuadrado quedaría seno cuadrado de x. Cerramos el paréntesis. En el denominador tenemos otro producto notable que se llama suma por diferencia vamos a recordarlo a más b por a menos b nos da a al cuadrado menos b al cuadrado es decir una diferencia de cuadrados entonces en este caso esto es a más b esto es a menos b por lo tanto nos queda el primero al cuadrado es decir 1 al cuadrado que es 1 menos o sea este menos de acá el segundo al cuadrado es decir ese término de acá entonces nos quedaría seno al cuadrado de x. A continuación vamos a destruir paréntesis en el numerador esto quedaría igual a esto de acá destruimos paréntesis en el numerador entonces nos queda 1 más 2 seno de x más seno al cuadrado de x aquí el signo menos cambia todos estos signos del interior del paréntesis entonces nos queda 1 negativo más 2 seno de x menos seno al cuadrado de x y abajo 1 menos seno cuadrado de x eso equivale a coseno al cuadrado de x recordemos que esto sale de la identidad fundamental de la trigonometría eso quedaría igual al otro lado. Ponemos acá y vamos a continuando entonces por acá acá en el numerador observamos términos que se nos van a cancelar como 1 y menos 1 se eliminan también se van a cancelar seno cuadrado de x con menos seno cuadrado de x se nos van estos dos términos y en cambio nos quedan dos términos que se suman los términos semejantes que son estos dos 2 seno de x más 2 seno de x eso nos va a quedar 4 seno de x y en el denominador nos quedó coseno al cuadrado de x a continuación vamos a repartir coseno al cuadrado de x vamos a colocarlo como coseno de x por coseno de x y arriba tenemos 4 seno de x igual supuestamente a esto y ahora vamos a reacomodarlos lo que tenemos en esta en esa fracción lo podemos escribir de la siguiente manera 4 por seno de x sobre coseno de x es decir este seno de x sobre este coseno de x por este coseno de x aparte pero con un 1 en la parte superior y cambiamos seno de x sobre coseno de x se cambia por tangente de x y 1 sobre coseno de x que equivale a la secante de x y de esa manera hemos llegado a lo que teníamos en el lado derecho y así hemos verificado la identidad trigonométrica

[{"start": 0.0, "end": 5.64, "text": " Vamos a resolver esta identidad trigonom\u00e9trica empezando por el lado"}, {"start": 5.64, "end": 11.040000000000001, "text": " izquierdo que es el que tiene m\u00e1s superaciones y as\u00ed demostrar que es"}, {"start": 11.040000000000001, "end": 17.52, "text": " igual al lado derecho que est\u00e1 mucho m\u00e1s simple. Entonces empezamos por resolver"}, {"start": 17.52, "end": 23.44, "text": " la resta de fracciones heterog\u00e9neas que encontramos en el lado izquierdo."}, {"start": 23.44, "end": 28.240000000000002, "text": " Vamos a realizarla en cruz abajo multiplicar\u00edamos estos dos entonces 1"}, {"start": 28.24, "end": 36.04, "text": " menos seno de x que va a multiplicar a 1 m\u00e1s seno de x."}, {"start": 36.04, "end": 44.16, "text": " Arriba tendr\u00edamos este por este como son iguales queda 1 m\u00e1s seno de x"}, {"start": 44.16, "end": 48.68, "text": " todo eso al cuadrado. Esto por esto entonces que har\u00eda 1 m\u00e1s seno de x al"}, {"start": 48.68, "end": 54.32, "text": " cuadrado menos, es decir este menos de ac\u00e1, este por este tambi\u00e9n son iguales"}, {"start": 54.32, "end": 61.16, "text": " entonces nos queda 1 menos seno de x y todo eso al cuadrado. Esto pues quedar\u00eda"}, {"start": 61.16, "end": 66.92, "text": " igual. Vamos a desarrollar entonces las operaciones que tenemos all\u00ed. Aqu\u00ed"}, {"start": 66.92, "end": 70.52, "text": " encontramos una conexi\u00f3n con el \u00e1lgebra por ejemplo aqu\u00ed tenemos un binomio al"}, {"start": 70.52, "end": 76.8, "text": " cuadrado recordemos el binomio al cuadrado a m\u00e1s b al cuadrado es igual al"}, {"start": 76.8, "end": 85.44, "text": " primero al cuadrado m\u00e1s dos veces el primero por el segundo m\u00e1s el segundo al cuadrado."}, {"start": 85.44, "end": 92.03999999999999, "text": " Entonces vamos a realizar uno al cuadrado ser\u00eda uno tenemos ese t\u00e9rmino m\u00e1s dos"}, {"start": 92.03999999999999, "end": 99.2, "text": " veces el primero por el segundo es decir 2 por 1 por seno de x eso nos da 2 seno"}, {"start": 99.2, "end": 106.2, "text": " de x m\u00e1s el segundo al cuadrado es decir seno de x elevado al cuadrado"}, {"start": 106.2, "end": 112.2, "text": " lo podemos escribir como seno al cuadrado de x. Vamos a proteger esto con par\u00e9ntesis"}, {"start": 112.2, "end": 118.8, "text": " porque es el resultado de este primer desarrollo menos abrimos el par\u00e9ntesis"}, {"start": 118.8, "end": 124.36, "text": " y vamos a desarrollar este otro binomio cuando aqu\u00ed tenemos signo negativo es"}, {"start": 124.36, "end": 129.44, "text": " decir un binomio al cuadrado pero con resta cambiar\u00eda solamente este signo de"}, {"start": 129.44, "end": 135.36, "text": " aqu\u00ed entonces tendremos el primero al cuadrado o sea uno al cuadrado que es 1"}, {"start": 135.36, "end": 141.52, "text": " menos o sea este menos de ac\u00e1 dos veces el primero por el segundo entonces 2 por"}, {"start": 141.52, "end": 151.32000000000002, "text": " 1 por seno de x quedar\u00eda 2 seno de x m\u00e1s el segundo al cuadrado es decir seno de"}, {"start": 151.32000000000002, "end": 158.12, "text": " x al cuadrado quedar\u00eda seno cuadrado de x. Cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 158.12, "end": 164.24, "text": " En el denominador tenemos otro producto notable que se llama suma por diferencia"}, {"start": 164.24, "end": 173.44, "text": " vamos a recordarlo a m\u00e1s b por a menos b nos da a al cuadrado menos b al cuadrado"}, {"start": 173.44, "end": 178.8, "text": " es decir una diferencia de cuadrados entonces en este caso esto es a m\u00e1s b"}, {"start": 178.8, "end": 183.48000000000002, "text": " esto es a menos b por lo tanto nos queda el primero al cuadrado es decir 1 al"}, {"start": 183.48000000000002, "end": 190.32000000000002, "text": " cuadrado que es 1 menos o sea este menos de ac\u00e1 el segundo al cuadrado es decir"}, {"start": 190.32, "end": 197.6, "text": " ese t\u00e9rmino de ac\u00e1 entonces nos quedar\u00eda seno al cuadrado de x."}, {"start": 197.6, "end": 204.48, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a destruir par\u00e9ntesis en el numerador esto quedar\u00eda igual a esto de ac\u00e1"}, {"start": 204.48, "end": 213.32, "text": " destruimos par\u00e9ntesis en el numerador entonces nos queda 1 m\u00e1s 2 seno de x m\u00e1s"}, {"start": 213.32, "end": 218.84, "text": " seno al cuadrado de x aqu\u00ed el signo menos cambia todos estos signos del"}, {"start": 218.84, "end": 227.12, "text": " interior del par\u00e9ntesis entonces nos queda 1 negativo m\u00e1s 2 seno de x"}, {"start": 227.12, "end": 235.44, "text": " menos seno al cuadrado de x y abajo 1 menos seno cuadrado de x eso equivale a"}, {"start": 235.44, "end": 240.92000000000002, "text": " coseno al cuadrado de x recordemos que esto sale de la identidad fundamental de"}, {"start": 240.92000000000002, "end": 244.52, "text": " la trigonometr\u00eda eso quedar\u00eda igual al otro lado."}, {"start": 244.52, "end": 250.88000000000002, "text": " Ponemos ac\u00e1 y vamos a continuando entonces"}, {"start": 251.04000000000002, "end": 256.2, "text": " por ac\u00e1 ac\u00e1 en el numerador observamos t\u00e9rminos que se nos van a cancelar como"}, {"start": 256.2, "end": 262.84000000000003, "text": " 1 y menos 1 se eliminan tambi\u00e9n se van a cancelar"}, {"start": 262.84000000000003, "end": 268.96000000000004, "text": " seno cuadrado de x con menos seno cuadrado de x se nos van estos dos t\u00e9rminos y en"}, {"start": 268.96000000000004, "end": 273.40000000000003, "text": " cambio nos quedan dos t\u00e9rminos que se suman los t\u00e9rminos semejantes que son"}, {"start": 273.4, "end": 280.67999999999995, "text": " estos dos 2 seno de x m\u00e1s 2 seno de x eso nos va a quedar 4 seno de x"}, {"start": 280.67999999999995, "end": 287.56, "text": " y en el denominador nos qued\u00f3 coseno al cuadrado de x"}, {"start": 287.56, "end": 294.2, "text": " a continuaci\u00f3n vamos a repartir coseno al cuadrado de x"}, {"start": 294.2, "end": 303.28, "text": " vamos a colocarlo como coseno de x por coseno de x y arriba tenemos 4 seno de"}, {"start": 303.28, "end": 310.23999999999995, "text": " x igual supuestamente a esto y ahora vamos a reacomodarlos lo que tenemos en"}, {"start": 310.23999999999995, "end": 316.76, "text": " esta en esa fracci\u00f3n lo podemos escribir de la siguiente manera 4 por seno de x"}, {"start": 316.76, "end": 322.52, "text": " sobre coseno de x es decir este seno de x sobre este coseno de x por este coseno"}, {"start": 322.52, "end": 329.59999999999997, "text": " de x aparte pero con un 1 en la parte superior y"}, {"start": 329.6, "end": 336.76000000000005, "text": " cambiamos seno de x sobre coseno de x se cambia por tangente de x y 1 sobre"}, {"start": 336.76000000000005, "end": 343.36, "text": " coseno de x que equivale a la secante de x y de esa manera hemos llegado a lo que"}, {"start": 343.36, "end": 360.12, "text": " ten\u00edamos en el lado derecho y as\u00ed hemos verificado la identidad trigonom\u00e9trica"}]

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Ejercicio 1 de ELIPSE (Parte 2)

#julioprofe continúa el video anterior, construyendo la gráfica de la Elipse y determinando las coordenadas de sus puntos principales. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Bien, vamos entonces a continuar con la construcción de la gráfica de la elipse. Trasamos el plano cartesiano, vamos a marcar los valores en Y, vamos a colocarlos hasta 4. Por aquí está el eje Y. Por aquí tenemos el origen. Y en el eje X vamos a llevarlo por ahí hasta el número 6. Puede ser por ahí hasta aquí. Este es el eje de las X. Vamos a localizar entonces el centro de la elipse. La coordenada 3,2. Entonces 3 en X, 2 en Y, eso nos da este puntico de acá. A partir de este punto, como la elipse va a ser horizontal, debemos repartir lo que es el eje mayor hacia los lados y el eje menor en la otra dirección. A vale 2. ¿Qué quiere decir eso entonces? Que tenemos que hacia los lados, a partir del centro, contar dos unidades. Entonces, contaríamos 1 y 2 aquí, es decir, nos da en 5. A 3 le sumamos 2, nos da 5. Y de aquí hacia la izquierda contamos también dos unidades y nos da en este sitio. Es decir, a 3 le quitamos 2, nos da 1. Y allí tenemos entonces los vértices más lejanos, más alejados del elipse. Es decir, lo que va a conformar el eje mayor. En la otra dirección debemos marcar B, que es una unidad. Entonces, a partir del centro, subimos una unidad y bajamos una unidad. Entonces, si estábamos en 2, 2 más 1 es 3, 2 menos 1 nos da 1. Con esto ya podemos entonces trazar los ejes del elipse. Aquí está el eje menor y aquí estaría el eje mayor. ¿De acuerdo? Sobre el eje mayor vamos a localizar los focos. ¿Cómo localizamos los focos? A partir del centro contamos esta distancia raíz de 3 que dijimos que era aproximadamente 1.7. Entonces, contamos 1, aquí está 1.5, 1.7 es como por acá. Por lo tanto, como por este sitio está uno de los focos. Y lo mismo hacia la izquierda. A partir del centro contamos hacia allá 1.7. Aquí sería 1, 1.5, 1.7 es como por aquí y nos da el otro foco. Entonces, con estos puntos, que son los vértices del elipse, vamos a construir la gráfica de dicha elipse. Entonces, aquí hacemos la gráfica. Ahí aproximadamente tenemos la gráfica del elipse. Destacamos los puntos más extremos que vamos a llamar los vértices. Entonces, este será el vértice 1, este será el vértice 2, este podemos llamarlo el vértice 3 y este sería el vértice 4. En realidad no existe un orden estricto para nombrar los vértices. Podríamos haber empezado acá con el vértice 1, acá con el vértice 2. Eso no interesa como uno los nombre. Este puntico es el centro del elipse y estos dos punticos son los focos. Entonces, vamos a llamarlos foco 1 y foco 2. Y para terminar vamos entonces a dar el listado de las coordenadas principales de esta elipse. Entonces, empecemos con el centro. Bueno, el centro ya lo tenemos acá, no es necesario volverlo a escribir. Vamos a nombrar lo que son los vértices y lo que son los focos. Veamos, la coordenada del vértice de 1, ¿cuál sería? En X es 1, en Y es 2. Entonces será la coordenada 1,2. La coordenada del vértice de 2, ¿cuál sería? Este punto en X vale 5 y en Y vale 2. Entonces sería 5,2. El vértice 3, tenemos la coordenada en X es 3, la coordenada en Y vale 1. Entonces sería 3,1. Y el vértice 4 está en la coordenada, veamos, bajamos aquí tenemos 3, vamos a ver que ya tenemos 3. Entonces sería 3,3. Los focos, veamos las coordenadas de los focos. El foco 1, vamos a escribirlas por aquí arriba. El foco 1 tiene la siguiente coordenada. En X, veamos, sería este valor que resultó de a 3 restarle la distancia a C. O sea que este valor de aquí será 3 menos raíz de 3. Esta coordenada en X. Entonces va a ser 3 menos raíz de 3, el valor en Y es 2. Esto para darlo en términos expresados, si pudiéramos darlo en decimal lo podemos hacer también. Pero a veces si no contamos con la calculadora podemos dejarlo expresado de esta manera. Y el foco 2, veamos la coordenada. Si bajamos al eje de X nos da aproximadamente por acá. Y esta coordenada resulta de tomar este 3 y sumarle la distancia a C que era raíz de 3. Por lo tanto esto aquí será 3 más raíz de 3. Como la coordenada en el eje Y que sería 2. De esta manera hemos trazado entonces la gráfica de la ecuación que era una alipse horizontal. Y hemos nombrado las coordenadas de sus puntos principales.

[{"start": 0.0, "end": 6.0, "text": " Bien, vamos entonces a continuar con la construcci\u00f3n de la gr\u00e1fica de la elipse."}, {"start": 6.0, "end": 13.0, "text": " Trasamos el plano cartesiano, vamos a marcar los valores en Y, vamos a colocarlos hasta 4."}, {"start": 15.0, "end": 18.0, "text": " Por aqu\u00ed est\u00e1 el eje Y."}, {"start": 19.0, "end": 21.0, "text": " Por aqu\u00ed tenemos el origen."}, {"start": 21.0, "end": 30.0, "text": " Y en el eje X vamos a llevarlo por ah\u00ed hasta el n\u00famero 6."}, {"start": 30.0, "end": 32.0, "text": " Puede ser por ah\u00ed hasta aqu\u00ed."}, {"start": 32.0, "end": 34.0, "text": " Este es el eje de las X."}, {"start": 34.0, "end": 37.0, "text": " Vamos a localizar entonces el centro de la elipse."}, {"start": 37.0, "end": 39.0, "text": " La coordenada 3,2."}, {"start": 39.0, "end": 44.0, "text": " Entonces 3 en X, 2 en Y, eso nos da este puntico de ac\u00e1."}, {"start": 44.0, "end": 56.0, "text": " A partir de este punto, como la elipse va a ser horizontal, debemos repartir lo que es el eje mayor hacia los lados y el eje menor en la otra direcci\u00f3n."}, {"start": 56.0, "end": 58.0, "text": " A vale 2."}, {"start": 58.0, "end": 63.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 quiere decir eso entonces? 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Ejercicio 1 de ELIPSE (Parte 1)

#julioprofe explica cómo transformar la ecuación general de una Elipse hasta llevarla a la forma que permite identificar sus elementos principales. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Vamos a trazar la gráfica de la ecuación que nos dan aquí. Para comenzar tenemos que detectar qué clase de gráfica vamos a construir. Por tener x al cuadrado y y al cuadrado con coeficientes del mismo signo, ambos positivos, aquí tenemos un 1, y numéricamente diferentes, entonces tenemos la ecuación de una elipse. Repito, deben tener coeficientes numéricamente diferentes y del mismo signo, en este caso ambos positivos, para que sea una elipse. Vamos entonces a transformar esta ecuación para llevarla al modelo de la ecuación de una elipse. Entonces empezamos por escribir los términos que contienen las x seguidos entre sí, luego los que contienen la y también seguidos entre sí, y vamos a pasar el término independiente para el otro lado, quedan menos 21. En seguida vamos a agrupar con paréntesis los términos que contienen la misma letra, las x entre sí, lo mismo con los términos que contienen la y, aquí están agrupados con paréntesis. A continuación necesitamos que tanto x al cuadrado como y al cuadrado tengan coeficiente 1, en ese caso vemos que x al cuadrado ya cumple con esa condición, pero acá y al cuadrado no, debemos retirar entonces este 4. Para ello vamos a utilizar la factorización, vamos a sacar aquí factor común el 4, únicamente el numerito, y la y aunque podría salir no la vamos a sacar, únicamente retiramos el numerito, en este caso el 4, y entonces nos queda y al cuadrado menos 4y, igual a menos 21. A continuación vamos a hacer lo que se conoce como la completación del trinomio cuadrado perfecto, es decir, dentro de cada paréntesis vamos a completar la expresión con un tercer término para que aquí se nos forme un trinomio cuadrado perfecto, entonces dejamos aquí un espacio en blanco y por acá también otro espacio en blanco. Veamos cómo se completa cada trinomio. Aquí sacamos la mitad de este número que acompaña la x, la mitad de 6 es 3, 3 se eleva al cuadrado y nos da 9, entonces aquí completamos con 9, y acá la mitad de 4, el número que acompaña la y, la mitad de 4 es 2, 2 se eleva al cuadrado y nos da 4 positivo, y de esa manera encontramos el número que nos hace falta para que se conforme un trinomio cuadrado perfecto, tenemos entonces en los paréntesis lo que son trinomios cuadrados perfectos, pero si escribimos números a este lado debemos también escribirlos al otro lado, para que la ecuación mantenga la igualdad, para que no se desbalanceen, entonces hacemos lo siguiente, acá fuera de este paréntesis tenemos un número 1 invisible multiplicando, entonces hacemos lo siguiente, 1 por más 9 nos da más 9, es el número que debemos escribir acá para que compense este 9 de aquí, y acá tenemos 4 por más 4 que da más 16, ese es el número que debemos escribir también al lado de acá, para que compense el hecho de haber escrito este 4, de esa manera la ecuación ya está balanceada nuevamente. A continuación vamos entonces a factorizar cada trinomio cuadrado perfecto, veamos la factorización de este trinomio cuadrado perfecto se hace así, siempre nos va a quedar un dinomio al cuadrado, aquí van dos términos que son, la raíz cuadrada del primer término, es decir x, y la raíz cuadrada del tercer término que sería 3, y entre ellos el signo del segundo término, vamos con el otro trinomio cuadrado perfecto, aquí la raíz cuadrada del primer término sería y, la raíz cuadrada del tercer término sería 2, cerramos, esto va al cuadrado, siempre va a ser un dinomio al cuadrado, y aquí el signo del segundo término, es decir negativo. Al otro lado debemos resolver esta operación, esto da 25, 9 más 16 da 25, menos 21 nos da 4. Ya empieza a tomar forma la ecuación de la alipse, pero recordemos que el modelo de la ecuación de una alipse está siempre igualado a 1, por lo tanto debemos convertir este 4 en un 1, y para ello debemos dividir la ecuación a ambos lados entre 4, entonces hacemos lo siguiente, tenemos esto, entonces dividimos todo entre 4, de una vez aquí repartimos el número 4, si hubiéramos colocado toda la línea, y un 4 debajo, entonces lo repartimos para los dos términos que quedan en el numerador, entonces de una vez repartimos el número 4. Bien, ahorita vamos a simplificar aquí estos dos, y aquí también estos dos, esto no se puede simplificar, nos quedaría igual, aquí 4 con 4 se nos va, entonces nos quedaría únicamente y menos 2 al cuadrado, y aquí 4 sobre 4 nos da 1. Y hemos llegado entonces al modelo de la ecuación de una alipse, aquí tendremos denominador 1, por lo tanto se trata de una alipse horizontal cuyo modelo dice, x menos h al cuadrado sobre a cuadrado, más y menos k al cuadrado, sobre b al cuadrado, igual a 1. ¿Cómo sabemos que es una alipse horizontal? Porque el denominador más grande, que en este caso es 4, si 4 es mayor que 1, entonces 4 está debajo de la x, por lo tanto encaja perfectamente con este modelo que es el de una alipse horizontal con centro en hk. Vamos a determinar quién es h, quién es k, quién es a cuadrado y quién es b cuadrado. Para poder determinar h vamos a hacer lo siguiente, vamos a considerar este menos h de aquí, lo vamos a igualar con este menos 3, entonces hacemos lo siguiente, menos h es igual a menos 3, aquí multiplicamos por menos 1 a los dos lados y nos queda que h vale 3 positivo. Aquí hacemos algo similar, menos k, este menos k de aquí, tenemos que confrontarlo o igualarlo con este menos 2, entonces decimos, menos k es igual a menos 2, de nuevo multiplicamos por menos 1 a los dos lados y nos queda que k es igual a 2, de esta manera tenemos el centro de la alipse que va a estar en la coordenada 3,2. Algo parecido vamos a hacer entonces con los denominadores, este a cuadrado que tenemos aquí lo vamos a igualar con este 4, entonces vamos a hacerlo por acá, si a cuadrado es igual a 4, entonces sacando raíz a los dos lados nos queda que a vale 2, legalmente la raíz de 4 es más o menos 2, pero en este caso tomamos la opción positiva porque a es una distancia, recordemos que a en la elipse es lo que se conoce como la longitud del semieje mayor. Ahora veamos b cuadrado, ¿quién es? b cuadrado lo vamos a igualar con este 1, entonces b cuadrado es igual a 1, sacamos raíz cuadrada a los dos lados, tomamos la opción positiva y entonces b nos da 1. Ya tenemos entonces la longitud del semieje mayor que vale 2, la longitud del semieje menor que vale 1 y el centro de la elipse. 2 falta determinar cuanto vale c, que se conoce como la distancia que hay del centro a cualquiera de los focos de la elipse. Para determinar c vamos a utilizar siempre esta relación, la raíz cuadrada de a cuadrado menos b al cuadrado, como a es más grande que b esta diferencia siempre nos va a dar positiva, entonces veamos, ¿quién es a cuadrado? a cuadrado vale 4, lo podemos colocar directamente, menos b cuadrado que vale 1, por lo tanto se vale raíz de 3. La raíz de 3 es aproximadamente igual a 1.7, para efectos de hacer la gráfica trabajaremos con 1.7. Entonces vamos a reunir todos los elementos que tenemos, vamos a escribirlos por acá, centro en 3,2, a que vale 2, b que vale 1 y c que nos acaba de dar raíz de 3 que dijimos que era aproximadamente 1.7 y vamos a construir la gráfica de la elipse. Para ello trazamos un planito cartesiano que va a ser el siguiente, vamos a continuar el video en la segunda parte.

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"text": " y la y aunque podr\u00eda salir no la vamos a sacar, \u00fanicamente retiramos el numerito, en este caso el 4, y entonces nos queda y al cuadrado menos 4y,"}, {"start": 117.0, "end": 120.0, "text": " igual a menos 21."}, {"start": 120.0, "end": 129.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a hacer lo que se conoce como la completaci\u00f3n del trinomio cuadrado perfecto,"}, {"start": 129.0, "end": 139.0, "text": " es decir, dentro de cada par\u00e9ntesis vamos a completar la expresi\u00f3n con un tercer t\u00e9rmino para que aqu\u00ed se nos forme un trinomio cuadrado perfecto,"}, {"start": 139.0, "end": 147.0, "text": " entonces dejamos aqu\u00ed un espacio en blanco y por ac\u00e1 tambi\u00e9n otro espacio en blanco."}, {"start": 147.0, "end": 151.0, "text": " Veamos c\u00f3mo se completa cada trinomio."}, {"start": 151.0, "end": 161.0, "text": " Aqu\u00ed sacamos la mitad de este n\u00famero que acompa\u00f1a la x, la mitad de 6 es 3, 3 se eleva al cuadrado y nos da 9,"}, {"start": 161.0, "end": 175.0, "text": " entonces aqu\u00ed completamos con 9, y ac\u00e1 la mitad de 4, el n\u00famero que acompa\u00f1a la y, la mitad de 4 es 2, 2 se eleva al cuadrado y nos da 4 positivo,"}, {"start": 175.0, "end": 182.0, "text": " y de esa manera encontramos el n\u00famero que nos hace falta para que se conforme un trinomio cuadrado perfecto,"}, {"start": 182.0, "end": 187.0, "text": " tenemos entonces en los par\u00e9ntesis lo que son trinomios cuadrados perfectos,"}, {"start": 187.0, "end": 191.0, "text": " pero si escribimos n\u00fameros a este lado debemos tambi\u00e9n escribirlos al otro lado,"}, {"start": 191.0, "end": 196.0, "text": " para que la ecuaci\u00f3n mantenga la igualdad, para que no se desbalanceen,"}, {"start": 196.0, "end": 203.0, "text": " entonces hacemos lo siguiente, ac\u00e1 fuera de este par\u00e9ntesis tenemos un n\u00famero 1 invisible multiplicando,"}, {"start": 203.0, "end": 209.0, "text": " entonces hacemos lo siguiente, 1 por m\u00e1s 9 nos da m\u00e1s 9,"}, {"start": 209.0, "end": 214.0, "text": " es el n\u00famero que debemos escribir ac\u00e1 para que compense este 9 de aqu\u00ed,"}, {"start": 214.0, "end": 222.0, "text": " y ac\u00e1 tenemos 4 por m\u00e1s 4 que da m\u00e1s 16, ese es el n\u00famero que debemos escribir tambi\u00e9n al lado de ac\u00e1,"}, {"start": 222.0, "end": 230.0, "text": " para que compense el hecho de haber escrito este 4, de esa manera la ecuaci\u00f3n ya est\u00e1 balanceada nuevamente."}, {"start": 230.0, "end": 235.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos entonces a factorizar cada trinomio cuadrado perfecto,"}, {"start": 235.0, "end": 239.0, "text": " veamos la factorizaci\u00f3n de este trinomio cuadrado perfecto se hace as\u00ed,"}, {"start": 239.0, "end": 244.0, "text": " siempre nos va a quedar un dinomio al cuadrado, aqu\u00ed van dos t\u00e9rminos que son,"}, {"start": 244.0, "end": 251.0, "text": " la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino, es decir x, y la ra\u00edz cuadrada del tercer t\u00e9rmino que ser\u00eda 3,"}, {"start": 251.0, "end": 255.0, "text": " y entre ellos el signo del segundo t\u00e9rmino,"}, {"start": 255.0, "end": 261.0, "text": " vamos con el otro trinomio cuadrado perfecto, aqu\u00ed la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino ser\u00eda y,"}, {"start": 261.0, "end": 266.0, "text": " la ra\u00edz cuadrada del tercer t\u00e9rmino ser\u00eda 2, cerramos, esto va al cuadrado,"}, {"start": 266.0, "end": 273.0, "text": " siempre va a ser un dinomio al cuadrado, y aqu\u00ed el signo del segundo t\u00e9rmino, es decir negativo."}, {"start": 273.0, "end": 283.0, "text": " Al otro lado debemos resolver esta operaci\u00f3n, esto da 25, 9 m\u00e1s 16 da 25, menos 21 nos da 4."}, {"start": 283.0, "end": 287.0, "text": " Ya empieza a tomar forma la ecuaci\u00f3n de la alipse,"}, {"start": 287.0, "end": 294.0, "text": " pero recordemos que el modelo de la ecuaci\u00f3n de una alipse est\u00e1 siempre igualado a 1,"}, {"start": 294.0, "end": 299.0, "text": " por lo tanto debemos convertir este 4 en un 1,"}, {"start": 299.0, "end": 311.0, "text": " y para ello debemos dividir la ecuaci\u00f3n a ambos lados entre 4, entonces hacemos lo siguiente,"}, {"start": 311.0, "end": 319.0, "text": " tenemos esto, entonces dividimos todo entre 4, de una vez aqu\u00ed repartimos el n\u00famero 4,"}, {"start": 319.0, "end": 327.0, "text": " si hubi\u00e9ramos colocado toda la l\u00ednea, y un 4 debajo, entonces lo repartimos para los dos t\u00e9rminos que quedan en el numerador,"}, {"start": 327.0, "end": 331.0, "text": " entonces de una vez repartimos el n\u00famero 4."}, {"start": 331.0, "end": 337.0, "text": " Bien, ahorita vamos a simplificar aqu\u00ed estos dos, y aqu\u00ed tambi\u00e9n estos dos,"}, {"start": 337.0, "end": 346.0, "text": " esto no se puede simplificar, nos quedar\u00eda igual, aqu\u00ed 4 con 4 se nos va,"}, {"start": 346.0, "end": 354.0, "text": " entonces nos quedar\u00eda \u00fanicamente y menos 2 al cuadrado, y aqu\u00ed 4 sobre 4 nos da 1."}, {"start": 354.0, "end": 361.0, "text": " Y hemos llegado entonces al modelo de la ecuaci\u00f3n de una alipse, aqu\u00ed tendremos denominador 1,"}, {"start": 361.0, "end": 367.0, "text": " por lo tanto se trata de una alipse horizontal cuyo modelo dice,"}, {"start": 367.0, "end": 378.0, "text": " x menos h al cuadrado sobre a cuadrado, m\u00e1s y menos k al cuadrado, sobre b al cuadrado, igual a 1."}, {"start": 378.0, "end": 380.0, "text": " \u00bfC\u00f3mo sabemos que es una alipse horizontal?"}, {"start": 380.0, "end": 388.0, "text": " Porque el denominador m\u00e1s grande, que en este caso es 4, si 4 es mayor que 1, entonces 4 est\u00e1 debajo de la x,"}, {"start": 388.0, "end": 395.0, "text": " por lo tanto encaja perfectamente con este modelo que es el de una alipse horizontal con centro en hk."}, {"start": 395.0, "end": 400.0, "text": " Vamos a determinar qui\u00e9n es h, qui\u00e9n es k, qui\u00e9n es a cuadrado y qui\u00e9n es b cuadrado."}, {"start": 400.0, "end": 407.0, "text": " Para poder determinar h vamos a hacer lo siguiente, vamos a considerar este menos h de aqu\u00ed,"}, {"start": 407.0, "end": 412.0, "text": " lo vamos a igualar con este menos 3, entonces hacemos lo siguiente,"}, {"start": 412.0, "end": 421.0, "text": " menos h es igual a menos 3, aqu\u00ed multiplicamos por menos 1 a los dos lados y nos queda que h vale 3 positivo."}, {"start": 421.0, "end": 430.0, "text": " Aqu\u00ed hacemos algo similar, menos k, este menos k de aqu\u00ed, tenemos que confrontarlo o igualarlo con este menos 2,"}, {"start": 430.0, "end": 438.0, "text": " entonces decimos, menos k es igual a menos 2, de nuevo multiplicamos por menos 1 a los dos lados"}, {"start": 438.0, "end": 450.0, "text": " y nos queda que k es igual a 2, de esta manera tenemos el centro de la alipse que va a estar en la coordenada 3,2."}, {"start": 450.0, "end": 458.0, "text": " Algo parecido vamos a hacer entonces con los denominadores, este a cuadrado que tenemos aqu\u00ed lo vamos a igualar con este 4,"}, {"start": 458.0, "end": 470.0, "text": " entonces vamos a hacerlo por ac\u00e1, si a cuadrado es igual a 4, entonces sacando ra\u00edz a los dos lados nos queda que a vale 2,"}, {"start": 470.0, "end": 477.0, "text": " legalmente la ra\u00edz de 4 es m\u00e1s o menos 2, pero en este caso tomamos la opci\u00f3n positiva porque a es una distancia,"}, {"start": 477.0, "end": 483.0, "text": " recordemos que a en la elipse es lo que se conoce como la longitud del semieje mayor."}, {"start": 483.0, "end": 493.0, "text": " Ahora veamos b cuadrado, \u00bfqui\u00e9n es? b cuadrado lo vamos a igualar con este 1, entonces b cuadrado es igual a 1,"}, {"start": 493.0, "end": 500.0, "text": " sacamos ra\u00edz cuadrada a los dos lados, tomamos la opci\u00f3n positiva y entonces b nos da 1."}, {"start": 500.0, "end": 510.0, "text": " Ya tenemos entonces la longitud del semieje mayor que vale 2, la longitud del semieje menor que vale 1 y el centro de la elipse."}, {"start": 510.0, "end": 519.0, "text": " 2 falta determinar cuanto vale c, que se conoce como la distancia que hay del centro a cualquiera de los focos de la elipse."}, {"start": 519.0, "end": 526.0, "text": " Para determinar c vamos a utilizar siempre esta relaci\u00f3n, la ra\u00edz cuadrada de a cuadrado menos b al cuadrado,"}, {"start": 526.0, "end": 533.0, "text": " como a es m\u00e1s grande que b esta diferencia siempre nos va a dar positiva, entonces veamos, \u00bfqui\u00e9n es a cuadrado?"}, {"start": 533.0, "end": 542.0, "text": " a cuadrado vale 4, lo podemos colocar directamente, menos b cuadrado que vale 1, por lo tanto se vale ra\u00edz de 3."}, {"start": 542.0, "end": 551.0, "text": " La ra\u00edz de 3 es aproximadamente igual a 1.7, para efectos de hacer la gr\u00e1fica trabajaremos con 1.7."}, {"start": 551.0, "end": 565.0, "text": " Entonces vamos a reunir todos los elementos que tenemos, vamos a escribirlos por ac\u00e1, centro en 3,2, a que vale 2, b que vale 1"}, {"start": 565.0, "end": 574.0, "text": " y c que nos acaba de dar ra\u00edz de 3 que dijimos que era aproximadamente 1.7 y vamos a construir la gr\u00e1fica de la elipse."}, {"start": 574.0, "end": 586.0, "text": " Para ello trazamos un planito cartesiano que va a ser el siguiente, vamos a continuar el video en la segunda parte."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=vlP2wJ-9eus

FRACCIONES EQUIVALENTES

#julioprofe explica cómo obtener dos fracciones equivalentes a una fracción dada, usando amplificación y simplificación. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a obtener dos fracciones equivalentes a 12 quince años. Un primer procedimiento que podemos utilizar es el de la amplificación que consiste en tomar la fracción original y multiplicarla arriba y abajo por el mismo número, por cualquier número que queramos. Por ejemplo, multipliquemos esto por 2, arriba y abajo. Entonces, la fracción nos queda así. 12 por 2 es 24 y abajo 15 por 2 es 30. De esa manera, estas dos fracciones son equivalentes entre sí. Y en este caso utilizamos la amplificación. Para verificar si las fracciones son equivalentes, hacemos la multiplicación en cruz. Es decir, multiplicamos 12 por 30, que haría 0 y 0. 3 por 2 es 6, 3 por 1 es 3. Sumamos, daría 0, 6 y 3. Ahí multiplicamos este con este. Y hacemos la multiplicación en la otra dirección. 15 por 24 es 20, 2 por 1 es 4, 2 por 5 es 10, 2 por 1 es 3. Sumamos, nos da 0, 6, 3 y vemos que obtenemos los mismos resultados. Lo cual nos confirma que estas dos fracciones son equivalentes. El segundo procedimiento que podemos utilizar es la simplificación. La simplificación consiste en dividir tanto el numerador como el denominador por la misma cantidad. Obviamente, si la fracción lo permite, si los números son divisibles por una misma cantidad. En este caso vemos que 12 y 15 son números divisibles por 3. Entonces, podríamos dividir por 3, arriba y abajo. Nos quedaría 12 dividido entre 3, nos queda 4. Y 15 entre 3 nos da 5, nos da la fracción 4 quintos. Que también resultarían ser fracciones equivalentes. Vamos a verificarlo con la prueba que mencionaba hace un momento. Multiplicamos 12 por 5, es decir en diagonal, 5 por 2 es 10, llevamos 1, 5 por 1 es 5, 1 es 6, nos da 60. Y en la otra dirección, 15 por 4, le damos 4 por 5 es 20, llevamos 2, 4 por 1 es 4 y 2 son 6. Vemos que nos da 60 en los dos casos. Eso nos confirma que las dos fracciones son equivalentes entre sí. La respuesta la podemos escribir de la siguiente manera. La fracción 12 15 abos es equivalente a 24 30 abos y es equivalente con 4 quintos. Tenemos entonces dos fracciones equivalentes a una fracción dada, una obtenida por amplificación y la otra obtenida mediante simplificación.

[{"start": 0.0, "end": 5.0, "text": " Vamos a obtener dos fracciones equivalentes a 12 quince a\u00f1os."}, {"start": 5.0, "end": 10.0, "text": " Un primer procedimiento que podemos utilizar es el de la amplificaci\u00f3n"}, {"start": 10.0, "end": 16.0, "text": " que consiste en tomar la fracci\u00f3n original y multiplicarla arriba y abajo"}, {"start": 16.0, "end": 22.0, "text": " por el mismo n\u00famero, por cualquier n\u00famero que queramos."}, {"start": 22.0, "end": 27.0, "text": " Por ejemplo, multipliquemos esto por 2, arriba y abajo."}, {"start": 27.0, "end": 36.0, "text": " Entonces, la fracci\u00f3n nos queda as\u00ed. 12 por 2 es 24 y abajo 15 por 2 es 30."}, {"start": 36.0, "end": 43.0, "text": " De esa manera, estas dos fracciones son equivalentes entre s\u00ed."}, {"start": 43.0, "end": 49.0, "text": " Y en este caso utilizamos la amplificaci\u00f3n."}, {"start": 49.0, "end": 55.0, "text": " Para verificar si las fracciones son equivalentes, hacemos la multiplicaci\u00f3n en cruz."}, {"start": 55.0, "end": 64.0, "text": " Es decir, multiplicamos 12 por 30, que har\u00eda 0 y 0."}, {"start": 64.0, "end": 71.0, "text": " 3 por 2 es 6, 3 por 1 es 3. Sumamos, dar\u00eda 0, 6 y 3."}, {"start": 71.0, "end": 77.0, "text": " Ah\u00ed multiplicamos este con este. Y hacemos la multiplicaci\u00f3n en la otra direcci\u00f3n."}, {"start": 77.0, "end": 95.0, "text": " 15 por 24 es 20, 2 por 1 es 4, 2 por 5 es 10, 2 por 1 es 3."}, {"start": 95.0, "end": 101.0, "text": " Sumamos, nos da 0, 6, 3 y vemos que obtenemos los mismos resultados."}, {"start": 101.0, "end": 106.0, "text": " Lo cual nos confirma que estas dos fracciones son equivalentes."}, {"start": 106.0, "end": 111.0, "text": " El segundo procedimiento que podemos utilizar es la simplificaci\u00f3n."}, {"start": 111.0, "end": 121.0, "text": " La simplificaci\u00f3n consiste en dividir tanto el numerador como el denominador por la misma cantidad."}, {"start": 121.0, "end": 126.0, "text": " Obviamente, si la fracci\u00f3n lo permite, si los n\u00fameros son divisibles por una misma cantidad."}, {"start": 126.0, "end": 132.0, "text": " En este caso vemos que 12 y 15 son n\u00fameros divisibles por 3."}, {"start": 132.0, "end": 137.0, "text": " Entonces, podr\u00edamos dividir por 3, arriba y abajo."}, {"start": 137.0, "end": 141.0, "text": " Nos quedar\u00eda 12 dividido entre 3, nos queda 4."}, {"start": 141.0, "end": 146.0, "text": " Y 15 entre 3 nos da 5, nos da la fracci\u00f3n 4 quintos."}, {"start": 146.0, "end": 152.0, "text": " Que tambi\u00e9n resultar\u00edan ser fracciones equivalentes."}, {"start": 152.0, "end": 157.0, "text": " Vamos a verificarlo con la prueba que mencionaba hace un momento."}, {"start": 157.0, "end": 168.0, "text": " Multiplicamos 12 por 5, es decir en diagonal, 5 por 2 es 10, llevamos 1, 5 por 1 es 5, 1 es 6, nos da 60."}, {"start": 168.0, "end": 179.0, "text": " Y en la otra direcci\u00f3n, 15 por 4, le damos 4 por 5 es 20, llevamos 2, 4 por 1 es 4 y 2 son 6."}, {"start": 179.0, "end": 181.0, "text": " Vemos que nos da 60 en los dos casos."}, {"start": 181.0, "end": 187.0, "text": " Eso nos confirma que las dos fracciones son equivalentes entre s\u00ed."}, {"start": 187.0, "end": 191.0, "text": " La respuesta la podemos escribir de la siguiente manera."}, {"start": 191.0, "end": 205.0, "text": " La fracci\u00f3n 12 15 abos es equivalente a 24 30 abos y es equivalente con 4 quintos."}, {"start": 205.0, "end": 216.0, "text": " Tenemos entonces dos fracciones equivalentes a una fracci\u00f3n dada, una obtenida por amplificaci\u00f3n y la otra obtenida mediante simplificaci\u00f3n."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=Z2vfG0PS9WE

DIVISIÓN POR DOS CIFRAS - Ejercicio 1

#julioprofe explica paso a paso cómo efectuar la división 14.904 ÷ 23 y también cómo comprobarla. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a dividir el número 14904 entre 23. Vamos a organizar entonces el dividendo que es el 14904 y el divisor que sería 23. Para facilitar esta división vamos a realizar aquí a un lado la tabla del número 23. Entonces veamos 23 por 1 es 23, 23 por 2 nos da 46, 23 por 3 nos da 3 por 3 es 9, 3 por 2 es 6, 69, 23 por 4, 4 por 3 es 12, llevamos 1, 4 por 2 es 8 y 1 es 9, 23 por 5, 5 por 3 es 15, llevamos 1, 5 por 2 es 10 y 1 que llevamos son 11, 23 por 6, 6 por 3 es 18, llevamos 1, 6 por 2 es 12 y 1 que llevamos son 13, 138, 23 por 7, 7 por 3 es 21, llevamos 2, 7 por 2 es 14 y 1 que llevamos son 16, 23 por 8, 8 por 3 es 24, llevamos 2, 8 por 2 es 16 y 2 son 18 y 23 por 9 que sería 9 por 3 es 27, llevamos 2, 9 por 2 es 18 y 2 son 20, 207. Esto aunque aparentemente nos quita tiempo, luego nos va a ayudar bastante acá para poder encontrar cuantas veces cabe 23 en los números que vamos a ir separando o encontrando acá en la división. Entonces vale la pena tomarse el tiempo de hacer estas multiplicaciones, en este caso la tabla del 23 para que luego el proceso acá sea más sencillo. Veamos 23 cabe en 1, no, 23 cabe en 14 tomando dos cifras, tampoco, 23 cabe en 149, vemos que sí, entonces separamos tres cifras. Buscamos acá entonces cual es el número que más se aproxima a 149, para saber cuantas veces cabe el 23 en 149, buscamos el que más se aproxima a 138, por lo tanto cabe 6 veces, entonces aquí utilizamos el 6, 6 por 23 no tenemos que hacerlo porque aquí ya está realizado, 138 simplemente lo escribimos aquí debajo y realizamos la resta, a 9 le quitamos 8 nos da 1, a 4 le quitamos 3 nos da 1, 1 menos 1, 0, de esa manera bajamos el siguiente dígito que sería el 0 y nos queda el 110, entonces nos preguntamos ¿23 cabe en 110? Veamos que sí, entonces buscamos en este listado cual es el número que más se aproxima a 110, el que más se acerca a 110 es 92, obviamente 115 se pasa, entonces como es 92 quiere decir que cabe 4 veces. Entonces 4 por 23 aquí lo tenemos realizado nos da 92, lo escribimos debajo del 110 y vamos a realizar la resta, a 0 no le podemos quitar 2, por lo tanto este 1 nos presta, este queda como 10, 10 menos 2 nos da 8, y este 1 quedó como 0, este 1 nos presta a ese 0 que da como 10, 10 menos 9 nos da 1, este 1 pues ya se convierte en 0. Finalmente bajamos este 4, bajamos la siguiente cifra, ponemos una flechita para indicar que bajó y nos da el número 184, nos preguntamos si 23 cabe en 184, buscamos acá ¿cuántas veces cabe? y lo encontramos aquí, entonces cabe 8 veces. 3, 23 por 8 aquí lo tenemos realizado, da 184 y entonces de esa manera al hacer la diferencia todo nos da 0, entonces tenemos el caso de una división exacta donde el residuo vale 0. Si queremos probar que la división está bien realizada hacemos lo siguiente, multiplicamos este numerito de acá que es el cociente de la división, el cociente lo multiplicamos por el divisor, a eso le sumamos el residuo, en este caso no sumaríamos nada porque nos dio 0, y ese resultado nos tiene que dar el dividendo, vamos a ver la prueba, entonces vamos a multiplicar 648 por 23, llevamos 3 por 8 es 24, llevamos 2, 3 por 4 son 12 y 2 que llevamos son 14, llevamos 1, 3 por 6 es 18 y 1 es 19, escribimos el 19. Ahora 2 por 8 es 16, llevamos 1, 2 por 4 es 8 y 1 que llevamos da 9 y 2 por 6 nos da 12, hacemos la suma, 4 empezamos por las unidades luego las decenas, 4 más 6 son 10, llevamos 1, colocamos el unito por acá, 1 más 9 son 10, más 9 son 19, llevamos 1 por acá, 1 más 1, 2 más 2 son 4 y este 1 lo bajamos, a esto supuestamente tenemos que sumarle el residuo pero como en este caso es 0, entonces nos queda este mismo resultado que encontramos que es igual al dividendo, por lo tanto la división está bien, podemos estar tranquilos de que nuestra división quedó bien efectuada.

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FACTORIZAR UNA SUMA DE CUBOS - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo factorizar una Suma de Cubos Perfectos. Tema: #Factorización de polinomios → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEvndM0YBHiH1LXxjkP0r8d REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Vamos a realizar la factorización de esta suma de cubos. Para ello recordemos la fórmula. Una suma de cubos x a la 3 más y a la 3 se factoriza así. Un factor corto y un factor largo. El corto se obtiene con las raíces cúbicas de estos dos términos. Raíz cúbica de esto es x, raíz cúbica de esto sería y y el factor largo se construye con este al cuadrado, después este por este y después este término al cuadrado. Los signos. Cuando aquí es suma de cubos en el factor corto llevamos signo más y en el factor largo los signos van intercalados iniciando con signo positivo. Esta de x cuadrado es positiva, por lo tanto aquí será negativo y aquí será positivo. Entonces, para el ejercicio que tenemos propuesto debemos sacar la raíz cúbica del primer término que sería 2 y a menos b. Ahí tendríamos esta x y luego la raíz cúbica del segundo término que sería a más b. Allí tendríamos esta y y juntos conforman el factor corto que tiene signo positivo. Allí tenemos entonces el factor corto. Ahora vamos a construir el factor largo. Vamos a abrir una llave porque debemos iniciar con esto al cuadrado, es decir, nos toca abrir un corchete y dentro del corchete colocar 2 por a menos b y todo eso elevado al cuadrado. Allí tenemos este término. Después seguiría menos el primero por el segundo, es decir, esto por esto. Vamos a colocarlo 2 por a menos b por a más b y después este término que sería sigámoslo por acá más y al cuadrado, es decir, este a más b elevado al cuadrado. Y cerramos la llave que abrimos por acá. Bien, ahora nos vamos a dedicar a resolver las operaciones que hay dentro de este corchete y dentro de la llave. Dentro del corchete aquí tenemos que hacer propiedad distributiva con el 2. 2 por a es 2a 2 por menos b quedaría menos 2b Aquí destruimos el paréntesis como tenemos signo positivo sale más a y más b sin ningún cambio. Cerramos el corchete vamos a abrir la llave el cuadrado va a afectar al 2 y va a afectar a menos b porque esto se va multiplicando. Entonces 2 al cuadrado sería 4 y a menos b al cuadrado vamos a dejarlo expresado para desarrollarlo más adelante. Vamos a dejar este 2 quieto y aquí tenemos una situación correspondiente al producto notable que se llama suma por diferencia. Recordemos que cuando se hace una suma por una diferencia eso es igual a la primera cantidad al cuadrado, es decir al cuadrado menos la segunda cantidad al cuadrado. Allí aplicamos entonces el producto notable llamado suma por diferencia. Y después tendríamos este binomio al cuadrado, podemos desarrollarlo de una vez sería el primero al cuadrado más dos veces el primero por el segundo, es decir 2ab más el segundo término al cuadrado y cerraríamos la llave. Bien, continuemoslo por acá. Aquí podemos cambiar ya el corchete por un paréntesis y vamos a operar términos semejantes por ejemplo 2a más a eso nos da 3a y menos 2b con más b eso nos da menos b. Cerramos el paréntesis y ya tenemos listo el factor corto. Ahora vamos a trabajar el factor largo. Las llaves ya pueden ser cambiadas por corchetes. Iniciamos con el 4, este 4 de aquí, aquí tenemos un binomio al cuadrado, vamos a desarrollarlo tenemos que abrir un paréntesis sería el primero al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo es decir 2ab más el segundo al cuadrado y cerramos el paréntesis. Aquí podríamos hacer una distributiva con el menos 2 que nos afecta a a cuadrado y a este b cuadrado. Entonces menos dos por a cuadrado sería menos dos a al cuadrado y menos dos por menos b cuadrado daría más 2b al cuadrado. Seguimos con esto. Volvemos a escribir esos tres términos de acá. Más 2ab más b al cuadrado y vamos a cerrar el corchete que abrimos por acá. Continuamos. Este primer paréntesis vuelve a quedar igual sin ningún cambio y dentro del corchete vamos a cambiarlo ya por un paréntesis porque vamos a hacer aquí la destrucción de este paréntesis interno. Entonces cuatro por a al cuadrado sería cuatro a al cuadrado cuatro por menos 2ab daría menos ocho ab cuatro por b cuadrado queda más cuatro b al cuadrado y empatamos con todo lo demás. Sería menos 2a cuadrado más 2b cuadrado y estos tres términos más a al cuadrado más 2ab más b al cuadrado. Cerramos el paréntesis. Para terminar este primer paréntesis queda igual y vamos a operar términos semántesis dentro de este paréntesis largo. Empecemos con los términos que contienen al cuadrado. Por aquí tenemos este término tenemos este y tenemos este de acá. Veamos. 4a cuadrado menos 2a cuadrado nos da 2a cuadrado positivo más a cuadrado nos da 3a al cuadrado. Veamos ahora los que tienen ab que sería este término de acá con este de acá. Esos dos términos que contienen ab nos daría menos ocho más dos menos seis ab y finalmente los que contienen b al cuadrado. Este de aquí, este de aquí y este de acá. 4 más 2 son 6 más 1 son 7 entonces más 7b al cuadrado. De esta manera entonces hemos finalizado la factorización del ejercicio propuesto. Podemos observar el factor corto y el factor largo que se forma.

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resolver"}, {"start": 140.54, "end": 143.84, "text": " las operaciones que hay dentro de este corchete y"}, {"start": 143.84, "end": 147.14, "text": " dentro de la llave."}, {"start": 147.14, "end": 150.94, "text": " Dentro del corchete aqu\u00ed tenemos que hacer propiedad distributiva con el 2."}, {"start": 150.94, "end": 152.62, "text": " 2 por a"}, {"start": 152.62, "end": 153.85999999999999, "text": " es 2a"}, {"start": 153.85999999999999, "end": 155.38, "text": " 2 por menos b"}, {"start": 155.38, "end": 157.42, "text": " quedar\u00eda menos 2b"}, {"start": 157.42, "end": 161.51999999999998, "text": " Aqu\u00ed destruimos el par\u00e9ntesis como tenemos signo positivo"}, {"start": 161.51999999999998, "end": 163.56, "text": " sale m\u00e1s a y m\u00e1s b"}, {"start": 163.56, "end": 165.42, "text": " sin ning\u00fan cambio."}, {"start": 165.42, "end": 167.11999999999998, "text": " Cerramos el corchete"}, {"start": 167.11999999999998, "end": 169.35999999999999, "text": " vamos a abrir la llave"}, {"start": 169.35999999999999, "end": 174.7, "text": " el cuadrado va a afectar al 2 y va a afectar a menos b porque esto se va multiplicando."}, {"start": 174.7, "end": 177.83999999999997, "text": " Entonces 2 al cuadrado ser\u00eda 4"}, {"start": 177.83999999999997, "end": 181.29999999999998, "text": " y a menos b al cuadrado vamos a dejarlo expresado"}, {"start": 181.29999999999998, "end": 184.94, "text": " para desarrollarlo m\u00e1s adelante."}, {"start": 184.94, "end": 187.48, "text": " Vamos a dejar este 2 quieto"}, {"start": 187.48, "end": 189.14, "text": " y aqu\u00ed tenemos"}, {"start": 189.14, "end": 190.26, "text": " una situaci\u00f3n"}, {"start": 190.26, "end": 194.26, "text": " correspondiente al producto notable que se llama suma por diferencia."}, {"start": 194.26, "end": 197.29999999999998, "text": " Recordemos que cuando se hace una suma por una diferencia"}, {"start": 197.29999999999998, "end": 202.0, "text": " eso es igual a la primera cantidad al cuadrado, es decir al cuadrado"}, {"start": 202.0, "end": 204.34, "text": " menos la segunda cantidad"}, {"start": 204.34, "end": 205.79999999999998, "text": " al cuadrado."}, {"start": 205.79999999999998, "end": 208.44, "text": " All\u00ed aplicamos entonces el producto notable"}, {"start": 208.44, "end": 211.34, "text": " llamado suma por diferencia."}, {"start": 211.34, "end": 212.5, "text": " Y despu\u00e9s"}, {"start": 212.5, "end": 216.39999999999998, "text": " tendr\u00edamos este binomio al cuadrado, podemos desarrollarlo de una vez"}, {"start": 216.39999999999998, "end": 219.48, "text": " ser\u00eda el primero al cuadrado"}, {"start": 219.48, "end": 225.1, "text": " m\u00e1s dos veces el primero por el segundo, es decir 2ab"}, {"start": 225.1, "end": 228.38, "text": " m\u00e1s el segundo t\u00e9rmino al cuadrado"}, {"start": 228.38, "end": 231.57999999999998, "text": " y cerrar\u00edamos la llave."}, {"start": 231.57999999999998, "end": 237.79999999999998, "text": " Bien, continuemoslo por ac\u00e1."}, {"start": 237.79999999999998, "end": 240.89999999999998, "text": " Aqu\u00ed podemos cambiar ya el corchete por un par\u00e9ntesis"}, {"start": 240.89999999999998, "end": 244.85999999999999, "text": " y vamos a operar t\u00e9rminos semejantes por ejemplo 2a m\u00e1s a"}, {"start": 244.85999999999999, "end": 247.33999999999997, "text": " eso nos da 3a"}, {"start": 247.34, "end": 249.5, "text": " y menos 2b con m\u00e1s b"}, {"start": 249.5, "end": 251.86, "text": " eso nos da menos b."}, {"start": 251.86, "end": 255.3, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis y ya tenemos listo el factor corto."}, {"start": 255.3, "end": 257.34000000000003, "text": " Ahora vamos a trabajar el factor largo."}, {"start": 257.34000000000003, "end": 259.9, "text": " Las llaves ya pueden ser cambiadas por"}, {"start": 259.9, "end": 261.76, "text": " corchetes."}, {"start": 261.76, "end": 266.66, "text": " Iniciamos con el 4, este 4 de aqu\u00ed, aqu\u00ed tenemos un binomio al cuadrado, vamos a"}, {"start": 266.66, "end": 267.7, "text": " desarrollarlo"}, {"start": 267.7, "end": 269.32, "text": " tenemos que abrir un par\u00e9ntesis"}, {"start": 269.32, "end": 272.06, "text": " ser\u00eda el primero al cuadrado"}, {"start": 272.06, "end": 275.02, "text": " menos dos veces el primero por el segundo"}, {"start": 275.02, "end": 277.46, "text": " es decir 2ab"}, {"start": 277.46, "end": 280.85999999999996, "text": " m\u00e1s el segundo al cuadrado"}, {"start": 280.85999999999996, "end": 282.38, "text": " y cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 282.38, "end": 285.5, "text": " Aqu\u00ed podr\u00edamos hacer una distributiva con el menos 2"}, {"start": 285.5, "end": 288.74, "text": " que nos afecta a a cuadrado y a este b cuadrado."}, {"start": 288.74, "end": 291.14, "text": " Entonces menos dos por a cuadrado"}, {"start": 291.14, "end": 294.38, "text": " ser\u00eda menos dos a al cuadrado"}, {"start": 294.38, "end": 296.65999999999997, "text": " y menos dos por menos b cuadrado"}, {"start": 296.65999999999997, "end": 301.53999999999996, "text": " dar\u00eda m\u00e1s 2b al cuadrado."}, {"start": 301.53999999999996, "end": 304.7, "text": " Seguimos con esto."}, {"start": 304.7, "end": 306.82, "text": " Volvemos a escribir"}, {"start": 306.82, "end": 310.34, "text": " esos tres t\u00e9rminos de ac\u00e1."}, {"start": 310.34, "end": 311.38, "text": " M\u00e1s 2ab"}, {"start": 311.38, "end": 312.5, "text": " m\u00e1s"}, {"start": 312.5, "end": 315.14, "text": " b al cuadrado y vamos a cerrar"}, {"start": 315.14, "end": 317.82, "text": " el corchete que abrimos por ac\u00e1."}, {"start": 317.82, "end": 321.34, "text": " Continuamos."}, {"start": 321.34, "end": 323.9, "text": " Este primer par\u00e9ntesis vuelve a quedar"}, {"start": 323.9, "end": 324.94, "text": " igual"}, {"start": 324.94, "end": 326.7, "text": " sin ning\u00fan cambio"}, {"start": 326.7, "end": 328.98, "text": " y dentro del corchete"}, {"start": 328.98, "end": 332.82, "text": " vamos a cambiarlo ya por un par\u00e9ntesis porque vamos a hacer aqu\u00ed la destrucci\u00f3n"}, {"start": 332.82, "end": 334.21999999999997, "text": " de este par\u00e9ntesis"}, {"start": 334.22, "end": 335.14000000000004, "text": " interno."}, {"start": 335.14000000000004, "end": 337.90000000000003, "text": " Entonces cuatro por a al cuadrado ser\u00eda"}, {"start": 337.90000000000003, "end": 339.86, "text": " cuatro a al cuadrado"}, {"start": 339.86, "end": 341.42, "text": " cuatro por menos 2ab"}, {"start": 341.42, "end": 344.38000000000005, "text": " dar\u00eda menos ocho ab"}, {"start": 344.38000000000005, "end": 345.90000000000003, "text": " cuatro por b cuadrado"}, {"start": 345.90000000000003, "end": 347.82000000000005, "text": " queda m\u00e1s cuatro"}, {"start": 347.82000000000005, "end": 349.3, "text": " b al cuadrado"}, {"start": 349.3, "end": 352.06, "text": " y empatamos con todo lo dem\u00e1s."}, {"start": 352.06, "end": 355.1, "text": " Ser\u00eda menos 2a cuadrado"}, {"start": 355.1, "end": 359.38000000000005, "text": " m\u00e1s 2b cuadrado"}, {"start": 359.38000000000005, "end": 360.74, "text": " y estos tres t\u00e9rminos"}, {"start": 360.74, "end": 362.90000000000003, "text": " m\u00e1s a al cuadrado"}, {"start": 362.9, "end": 365.5, "text": " m\u00e1s 2ab"}, {"start": 365.5, "end": 368.34, "text": " m\u00e1s b al cuadrado."}, {"start": 368.34, "end": 371.17999999999995, "text": " Cerramos el par\u00e9ntesis."}, {"start": 371.17999999999995, "end": 373.41999999999996, "text": " Para terminar"}, {"start": 373.41999999999996, "end": 375.5, "text": " este primer par\u00e9ntesis queda igual"}, {"start": 375.5, "end": 377.97999999999996, "text": " y vamos a operar t\u00e9rminos sem\u00e1ntesis"}, {"start": 377.97999999999996, "end": 379.85999999999996, "text": " dentro de este"}, {"start": 379.85999999999996, "end": 381.34, "text": " par\u00e9ntesis largo."}, {"start": 381.34, "end": 385.62, "text": " Empecemos con los t\u00e9rminos que contienen al cuadrado. Por aqu\u00ed tenemos este t\u00e9rmino"}, {"start": 385.62, "end": 386.85999999999996, "text": " tenemos este"}, {"start": 386.85999999999996, "end": 389.78, "text": " y tenemos este de ac\u00e1."}, {"start": 389.78, "end": 391.17999999999995, "text": " Veamos. 4a cuadrado"}, {"start": 391.18, "end": 392.90000000000003, "text": " menos 2a cuadrado"}, {"start": 392.90000000000003, "end": 395.26, "text": " nos da 2a cuadrado positivo"}, {"start": 395.26, "end": 400.46, "text": " m\u00e1s a cuadrado nos da 3a al cuadrado."}, {"start": 400.46, "end": 402.3, "text": " Veamos ahora los que tienen ab"}, {"start": 402.3, "end": 405.42, "text": " que ser\u00eda este t\u00e9rmino de ac\u00e1 con"}, {"start": 405.42, "end": 406.98, "text": " este de ac\u00e1."}, {"start": 406.98, "end": 409.78000000000003, "text": " Esos dos t\u00e9rminos que contienen ab"}, {"start": 409.78000000000003, "end": 411.74, "text": " nos dar\u00eda menos ocho m\u00e1s dos"}, {"start": 411.74, "end": 415.54, "text": " menos seis ab"}, {"start": 415.54, "end": 418.74, "text": " y finalmente los que contienen b al cuadrado."}, {"start": 418.74, "end": 422.98, "text": " Este de aqu\u00ed, este de aqu\u00ed"}, {"start": 422.98, "end": 424.14, "text": " y este de ac\u00e1."}, {"start": 424.14, "end": 426.90000000000003, "text": " 4 m\u00e1s 2 son 6"}, {"start": 426.90000000000003, "end": 428.78000000000003, "text": " m\u00e1s 1 son 7"}, {"start": 428.78000000000003, "end": 432.62, "text": " entonces m\u00e1s 7b al cuadrado."}, {"start": 432.62, "end": 435.34000000000003, "text": " De esta manera entonces hemos finalizado"}, {"start": 435.34000000000003, "end": 437.90000000000003, "text": " la factorizaci\u00f3n del ejercicio propuesto."}, {"start": 437.90000000000003, "end": 440.02, "text": " Podemos observar"}, {"start": 440.02, "end": 441.46000000000004, "text": " el factor corto"}, {"start": 441.46, "end": 448.46, "text": " y el factor largo que se forma."}]

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FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUBOS - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo factorizar una Diferencia de Cubos Perfectos. Tema: #Factorización de polinomios → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEvndM0YBHiH1LXxjkP0r8d REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Vamos a realizar la factorización de esta expresión utilizando el caso que se llama diferencia de cubos. Vamos a recordar la formulita. Una diferencia de cubos se factoriza construyendo un factor corto y un factor largo. El corto se construye con las raíces cúbicas de estos dos términos. La raíz cúbica del primer término sería A y del segundo término sería B. El factor largo se construye con el primer término al cuadrado, después este por este, el primero por el segundo y después este al cuadrado. Los signos quedan de la siguiente manera, como aquí es diferencia, aquí tendremos signo negativo y acá en el factor largo todos van a ser positivos. Si comparamos esto que tenemos acá con el modelo podemos ver que 2x menos y será A y 3x más y será B. Entonces vamos a construir estos dos factores. Vamos a hacerlo entonces por aquí. Vamos a abrir un corchete para construir el factor corto que sería entonces la raíz cúbica del primer término que sería 2x menos y menos este menos de aquí la raíz cúbica del segundo término es decir el que va a ser el papel de la B que sería 3x más y. Cierra el paréntesis y cerramos el corchete para construir el primer factor que es el factor corto. Ahora vamos a construir el factor largo. Dice que es A al cuadrado, es decir este de aquí al cuadrado, entonces entre paréntesis 2x menos y al cuadrado. Después sigue más el primero por el segundo, es decir este por este, entonces tendremos 2x menos y por 3x más y. Vamos a seguirle entonces por acá. Y ahora vamos con este más el segundo al cuadrado, es decir este 3x más y, cerramos paréntesis elevado al cuadrado y cerramos entonces el corchete. Ya tenemos entonces armados los dos factores. Ahora vamos a empezar a desarrollar las operaciones que hay en el interior de cada corchete. Empezamos por aquí, destruimos los paréntesis, aquí sale 2x menos y como unicorriente, aquí los términos van a ser afectados por este negativo, al destruir el paréntesis nos va a quedar menos 3x menos y. Cerramos el corchete y pasamos al siguiente corchete. Aquí nos encontramos un binomio al cuadrado, allí tenemos que aplicar el producto notable que lleva ese nombre. Recordemos que es el primero al cuadrado, vamos a hacerlo despacio, el primero al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo más el segundo al cuadrado, es decir ya al cuadrado. Allí tenemos entonces desarrollado este binomio al cuadrado más, vamos a seguirlo por acá, aquí tenemos que desarrollar este producto de binomios, nos toca hacer propiedad distributiva este con estos dos y luego este con estos dos, entonces veamos 2x por 3x eso seria 6x al cuadrado, 2x por más y quedaría más 2xy, menos y por 3x daría menos 3xy y menos y por y quedaría menos y al cuadrado. Más, empatamos con esto de aquí, tenemos otro binomio al cuadrado similar a este de acá, pero ahora con signo más, entonces su desarrollo será el primero al cuadrado, es decir 3x al cuadrado más dos veces el primero por el segundo, 3x por y más el segundo al cuadrado, es decir ya al cuadrado. Bien, vamos a continuarlo por acá, en el primer corchete revisamos términos semejantes, tenemos 2x menos 3x eso nos da menos x y tenemos menos y con menos y eso nos daría menos 2y. Cerramos el corchete, abrimos el siguiente corchete y vamos a desarrollar las operaciones que tenemos por acá, empezamos con esto 2x al cuadrado eso nos daría 4x al cuadrado menos 2 por 2x por y eso nos daría 4xy, aquí más y al cuadrado queda igual más, seguimos con esto de acá, 6x al cuadrado aquí, este término y este se podrían operar porque son términos semejantes, ambos contienen x y, entonces nos daría 2xy menos 3xy eso es igual a menos x y, seguimos con menos y al cuadrado, sigamos por acá, después aquí más 3x elevado al cuadrado daría 9x a la 2, seguimos con esto, 2 por 3x por y daría 6xy y finalmente más y al cuadrado, por aquí, ahora hay que cerrar este corchete. Bien, seguimos entonces ahora con las operaciones de términos semejantes que hayan dentro de este corchete largo, vamos a seguirlo por acá, este primer corchete ya ahí no tenemos nada que hacer, podríamos cambiarlo por un paréntesis que daría menos x menos 2y y aquí también como no tenemos paréntesis dentro del corchete, pues los corchetes pueden ser cambiados por paréntesis, revisamos términos semejantes, por aquí tenemos términos que tienen x al cuadrado como esos dos, este también tiene x al cuadrado, términos que contienen x y como por ejemplo este de aquí, con este de acá, con este de acá, y términos que contienen y a la 2 como el caso de este, este y este, entonces vamos a hacer la operación de esos términos semejantes, veamos los que tienen x al cuadrado, 4x al cuadrado más 6x al cuadrado nos daría 10x al cuadrado más 9x al cuadrado son 19x al cuadrado, ahora veamos los que tienen x y menos 4xy menos xy, allí llevaríamos menos 5xy más 6xy daría más 1xy que lo colocamos simplemente como más xy, y finalmente los que tienen y al cuadrado que sería este término este y este, podemos apreciar que este y al cuadrado está positivo y este y al cuadrado está negativo, por lo tanto son términos opuestos que se pueden cancelar y nos quedaría el y al cuadrado positivo que tenemos por acá, cerramos el paréntesis y de esa manera hemos finalizado la factorización de la expresión original, podemos apreciar el factor corto y el factor largo.

[{"start": 0.0, "end": 8.5, "text": " Vamos a realizar la factorizaci\u00f3n de esta expresi\u00f3n utilizando el caso que se llama diferencia de cubos."}, {"start": 8.5, "end": 11.0, "text": " Vamos a recordar la formulita."}, {"start": 11.0, "end": 17.0, "text": " Una diferencia de cubos se factoriza construyendo un factor corto y un factor largo."}, {"start": 17.0, "end": 21.0, "text": " El corto se construye con las ra\u00edces c\u00fabicas de estos dos t\u00e9rminos."}, {"start": 21.0, "end": 26.5, "text": " La ra\u00edz c\u00fabica del primer t\u00e9rmino ser\u00eda A y del segundo t\u00e9rmino ser\u00eda B."}, {"start": 26.5, "end": 31.0, "text": " El factor largo se construye con el primer t\u00e9rmino al cuadrado,"}, {"start": 31.0, "end": 38.0, "text": " despu\u00e9s este por este, el primero por el segundo y despu\u00e9s este al cuadrado."}, {"start": 38.0, "end": 44.0, "text": " Los signos quedan de la siguiente manera, como aqu\u00ed es diferencia, aqu\u00ed tendremos signo negativo"}, {"start": 44.0, "end": 49.0, "text": " y ac\u00e1 en el factor largo todos van a ser positivos."}, {"start": 49.0, "end": 60.0, "text": " Si comparamos esto que tenemos ac\u00e1 con el modelo podemos ver que 2x menos y ser\u00e1 A y 3x m\u00e1s y ser\u00e1 B."}, {"start": 60.0, "end": 64.0, "text": " Entonces vamos a construir estos dos factores."}, {"start": 64.0, "end": 66.0, "text": " Vamos a hacerlo entonces por aqu\u00ed."}, {"start": 66.0, "end": 70.0, "text": " Vamos a abrir un corchete para construir el factor corto que ser\u00eda entonces"}, {"start": 70.0, "end": 81.0, "text": " la ra\u00edz c\u00fabica del primer t\u00e9rmino que ser\u00eda 2x menos y menos este menos de aqu\u00ed la ra\u00edz c\u00fabica del segundo t\u00e9rmino"}, {"start": 81.0, "end": 86.0, "text": " es decir el que va a ser el papel de la B que ser\u00eda 3x m\u00e1s y."}, {"start": 86.0, "end": 93.0, "text": " Cierra el par\u00e9ntesis y cerramos el corchete para construir el primer factor que es el factor corto."}, {"start": 93.0, "end": 95.0, "text": " Ahora vamos a construir el factor largo."}, {"start": 95.0, "end": 105.0, "text": " Dice que es A al cuadrado, es decir este de aqu\u00ed al cuadrado, entonces entre par\u00e9ntesis 2x menos y al cuadrado."}, {"start": 105.0, "end": 111.0, "text": " Despu\u00e9s sigue m\u00e1s el primero por el segundo, es decir este por este,"}, {"start": 111.0, "end": 122.0, "text": " entonces tendremos 2x menos y por 3x m\u00e1s y."}, {"start": 122.0, "end": 126.0, "text": " Vamos a seguirle entonces por ac\u00e1."}, {"start": 126.0, "end": 134.0, "text": " Y ahora vamos con este m\u00e1s el segundo al cuadrado, es decir este 3x m\u00e1s y,"}, {"start": 134.0, "end": 140.0, "text": " cerramos par\u00e9ntesis elevado al cuadrado y cerramos entonces el corchete."}, {"start": 140.0, "end": 143.0, "text": " Ya tenemos entonces armados los dos factores."}, {"start": 143.0, "end": 150.0, "text": " Ahora vamos a empezar a desarrollar las operaciones que hay en el interior de cada corchete."}, {"start": 150.0, "end": 157.0, "text": " Empezamos por aqu\u00ed, destruimos los par\u00e9ntesis, aqu\u00ed sale 2x menos y como unicorriente,"}, {"start": 157.0, "end": 163.0, "text": " aqu\u00ed los t\u00e9rminos van a ser afectados por este negativo, al destruir el par\u00e9ntesis nos va a quedar"}, {"start": 163.0, "end": 166.0, "text": " menos 3x menos y."}, {"start": 166.0, "end": 170.0, "text": " Cerramos el corchete y pasamos al siguiente corchete."}, {"start": 170.0, "end": 176.0, "text": " Aqu\u00ed nos encontramos un binomio al cuadrado, all\u00ed tenemos que aplicar el producto notable que lleva ese nombre."}, {"start": 176.0, "end": 181.0, "text": " Recordemos que es el primero al cuadrado, vamos a hacerlo despacio,"}, {"start": 181.0, "end": 195.0, "text": " el primero al cuadrado menos dos veces el primero por el segundo m\u00e1s el segundo al cuadrado, es decir ya al cuadrado."}, {"start": 195.0, "end": 203.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces desarrollado este binomio al cuadrado m\u00e1s, vamos a seguirlo por ac\u00e1,"}, {"start": 203.0, "end": 211.0, "text": " aqu\u00ed tenemos que desarrollar este producto de binomios, nos toca hacer propiedad distributiva este con estos dos"}, {"start": 211.0, "end": 218.0, "text": " y luego este con estos dos, entonces veamos 2x por 3x eso seria 6x al cuadrado,"}, {"start": 218.0, "end": 234.0, "text": " 2x por m\u00e1s y quedar\u00eda m\u00e1s 2xy, menos y por 3x dar\u00eda menos 3xy y menos y por y quedar\u00eda menos y al cuadrado."}, {"start": 234.0, "end": 242.0, "text": " M\u00e1s, empatamos con esto de aqu\u00ed, tenemos otro binomio al cuadrado similar a este de ac\u00e1, pero ahora con signo m\u00e1s,"}, {"start": 242.0, "end": 252.0, "text": " entonces su desarrollo ser\u00e1 el primero al cuadrado, es decir 3x al cuadrado m\u00e1s dos veces el primero por el segundo,"}, {"start": 252.0, "end": 260.0, "text": " 3x por y m\u00e1s el segundo al cuadrado, es decir ya al cuadrado."}, {"start": 260.0, "end": 270.0, "text": " Bien, vamos a continuarlo por ac\u00e1, en el primer corchete revisamos t\u00e9rminos semejantes,"}, {"start": 270.0, "end": 280.0, "text": " tenemos 2x menos 3x eso nos da menos x y tenemos menos y con menos y eso nos dar\u00eda menos 2y."}, {"start": 280.0, "end": 287.0, "text": " Cerramos el corchete, abrimos el siguiente corchete y vamos a desarrollar las operaciones que tenemos por ac\u00e1,"}, {"start": 287.0, "end": 298.0, "text": " empezamos con esto 2x al cuadrado eso nos dar\u00eda 4x al cuadrado menos 2 por 2x por y eso nos dar\u00eda 4xy,"}, {"start": 298.0, "end": 310.0, "text": " aqu\u00ed m\u00e1s y al cuadrado queda igual m\u00e1s, seguimos con esto de ac\u00e1, 6x al cuadrado aqu\u00ed,"}, {"start": 310.0, "end": 315.0, "text": " este t\u00e9rmino y este se podr\u00edan operar porque son t\u00e9rminos semejantes, ambos contienen x y,"}, {"start": 315.0, "end": 327.0, "text": " entonces nos dar\u00eda 2xy menos 3xy eso es igual a menos x y, seguimos con menos y al cuadrado,"}, {"start": 327.0, "end": 338.0, "text": " sigamos por ac\u00e1, despu\u00e9s aqu\u00ed m\u00e1s 3x elevado al cuadrado dar\u00eda 9x a la 2, seguimos con esto,"}, {"start": 338.0, "end": 351.0, "text": " 2 por 3x por y dar\u00eda 6xy y finalmente m\u00e1s y al cuadrado, por aqu\u00ed, ahora hay que cerrar este corchete."}, {"start": 351.0, "end": 358.0, "text": " Bien, seguimos entonces ahora con las operaciones de t\u00e9rminos semejantes que hayan dentro de este corchete largo,"}, {"start": 358.0, "end": 365.0, "text": " vamos a seguirlo por ac\u00e1, este primer corchete ya ah\u00ed no tenemos nada que hacer,"}, {"start": 365.0, "end": 374.0, "text": " podr\u00edamos cambiarlo por un par\u00e9ntesis que dar\u00eda menos x menos 2y y aqu\u00ed tambi\u00e9n como no tenemos par\u00e9ntesis dentro del corchete,"}, {"start": 374.0, "end": 379.0, "text": " pues los corchetes pueden ser cambiados por par\u00e9ntesis, revisamos t\u00e9rminos semejantes,"}, {"start": 379.0, "end": 386.0, "text": " por aqu\u00ed tenemos t\u00e9rminos que tienen x al cuadrado como esos dos, este tambi\u00e9n tiene x al cuadrado,"}, {"start": 386.0, "end": 394.0, "text": " t\u00e9rminos que contienen x y como por ejemplo este de aqu\u00ed, con este de ac\u00e1, con este de ac\u00e1,"}, {"start": 394.0, "end": 404.0, "text": " y t\u00e9rminos que contienen y a la 2 como el caso de este, este y este, entonces vamos a hacer la operaci\u00f3n de esos t\u00e9rminos semejantes,"}, {"start": 404.0, "end": 417.0, "text": " veamos los que tienen x al cuadrado, 4x al cuadrado m\u00e1s 6x al cuadrado nos dar\u00eda 10x al cuadrado m\u00e1s 9x al cuadrado son 19x al cuadrado,"}, {"start": 417.0, "end": 432.0, "text": " ahora veamos los que tienen x y menos 4xy menos xy, all\u00ed llevar\u00edamos menos 5xy m\u00e1s 6xy dar\u00eda m\u00e1s 1xy que lo colocamos simplemente como m\u00e1s xy,"}, {"start": 432.0, "end": 440.0, "text": " y finalmente los que tienen y al cuadrado que ser\u00eda este t\u00e9rmino este y este, podemos apreciar que este y al cuadrado est\u00e1 positivo y este y al cuadrado est\u00e1 negativo,"}, {"start": 440.0, "end": 449.0, "text": " por lo tanto son t\u00e9rminos opuestos que se pueden cancelar y nos quedar\u00eda el y al cuadrado positivo que tenemos por ac\u00e1,"}, {"start": 449.0, "end": 456.0, "text": " cerramos el par\u00e9ntesis y de esa manera hemos finalizado la factorizaci\u00f3n de la expresi\u00f3n original,"}, {"start": 456.0, "end": 462.0, "text": " podemos apreciar el factor corto y el factor largo."}]

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DOMINIOS DE FUNCIONES

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Para una función de la forma y igual a f de x se define el dominio como el conjunto de valores que toma la x en la función. Ese es el dominio de la función. Y se define el rango de la función como el conjunto de valores que toma la y en dicha función. Veamos algunos ejemplos de dominios de funciones. Si nuestra función es polinómica, como en este caso un polinomio de primer grado o por ejemplo una función cuadrática, como por ejemplo esta, una función de segundo grado, o una función por ejemplo r de u, u a la cinco menos tres u a la cuatro más diez, función de quinto grado, en cualquiera de estos casos el dominio va a ser el conjunto de los números reales. Porque la variable independiente en cada caso puede tomar cualquier valor del conjunto de los reales. No hay ningún problema. Entonces, en el caso de la función f, su dominio van a ser los x pertenecientes a los reales. En el caso de la función g, el dominio de la función g van a ser los valores de t pertenecientes a los reales. Y en el caso de la función r, el dominio van a ser los valores de u pertenecientes al conjunto de los números reales. Veamos ahora el caso de lo que se llaman funciones racionales, como por ejemplo esta. La función h de x igual a x menos seis sobre x menos cinco. En este caso debemos garantizar que el denominador de la expresión no sea cero. Entonces la condición que debemos fijar es esta, x menos cinco tiene que ser diferente de cero. Si despejamos la x, esto es parecido a una ecuación, cinco está restando pasa a sumar al otro lado, y nos queda que x es diferente de cinco. Por lo tanto, el dominio de la función h van a ser los x pertenecientes al conjunto de los reales, con excepción del elemento cinco, que es el único que no puede tomarse allí. Otro caso de función racional puede ser este. La función r de n igual a n más uno sobre n al cuadrado menos seis n más ocho. La misma situación anterior, tenemos que garantizar que este denominador no sea cero. Entonces colocamos la condición, la expresión del denominador diferente de cero. Esto lo podemos factorizar como un trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c. Abrimos dos paréntesis, por aquí colocamos la letra n, cuadramos los signos, más con menos nos da menos, menos con más nos da menos, dos números que multiplicados nos den ocho, y que sumados nos den menos seis, van a ser menos cuatro y menos dos. Y esto diferente de cero. Tomamos cada factor, n menos cuatro, lo colocamos diferente de cero, y el otro factor, n menos dos, también diferente de cero. Despejando n en cada caso, por acá nos quedaría n diferente de cuatro, y por acá n diferente de dos. Por lo tanto, el dominio de esta función que se llama r mayúscula, van a ser los valores de n pertenecientes al conjunto de los reales, con excepción de los números dos y cuatro. Son los dos valores que no puede tomar n, porque volvería cero el denominador de la expresión. Veamos otra situación, por ejemplo la función q de l, igual a l menos dos sobre l al cuadrado más uno. También tenemos que garantizar que este denominador no sea cero. Pero si analizamos esa expresión, l al cuadrado siempre será una cantidad positiva. No importa que valor tome la l, al ser elevada al cuadrado da positiva, y si le sumamos uno, con mayor razón va a dar positiva. Por lo tanto, esto jamás será cero. En ese caso decimos entonces que el dominio de la función q mayúscula van a ser los valores de l pertenecientes al conjunto de los números reales. Pasemos ahora a lo que son funciones que tienen raíces. Por ejemplo, la función z de u igual a la raíz cuarta, por ejemplo, de u menos nueve. Cuando tenemos una función con raíz de índice par, tenemos que garantizar que esto no vaya a ser negativo. Entonces colocamos la condición de que u menos nueve tiene que ser mayor o igual que cero. Resolviendo esta desigualdad lineal, el nueve está restando, pasa a sumar al otro lado, nos queda que u es mayor o igual que nueve. Entonces el dominio de la función z lo podemos colocar de la siguiente manera. Son los valores de u que pertenecen al intervalo que va desde nueve cerrado hasta más infinito. Recordemos que eso se puede ubicar en una recta numérica. Si por acá está el cero y por acá está el nueve, dice que u mayor o igual que nueve sería considerando el nueve y todo lo que esté a su derecha. Es decir, hasta más infinito, suponiendo que estas rectas son valores de la variable u. Veamos otra situación que tenga raíz de índice par. Por ejemplo, la función m de y igual a y más diez sobre la raíz cuadrada de y menos uno. En este caso, esta expresión y menos uno que se encuentra dentro de la raíz tiene que ser positiva. Pero como está en el denominador, tenemos que prohibirle que sea cero. Por lo tanto, la condición en este caso sería que y menos uno sea solamente mayor que cero. Despejando la y, el uno está rezando para sumar, nos queda que y es mayor que uno. Por lo tanto, el dominio de la función m van a ser los valores de y que van desde uno abierto hasta más infinito. Ese sería entonces el dominio. Otra situación con raíz de índice par podría ser esta. Si tenemos la raíz cuadrada de x al cuadrado más veinticinco, como hemos venido diciendo, tenemos que garantizar que esto sea mayor o igual que cero. Pero analizando x al cuadrado más veinticinco, vemos que x al cuadrado siempre será una cantidad positiva. Si la sumamos veinticinco con mayor razón, será positiva. Por lo tanto, esto jamás será negativo. En ese caso, entonces, decimos que por lo tanto, el dominio de la función w van a ser los x pertenecientes al conjunto de los números reales. Otra situación que vamos a encontrar es cuando tenemos raíces de índice impar. Por ejemplo, la raíz cúbica de t menos cuatro. En ese caso, no hay ningún problema con que eso sea negativo, ya que las raíces de índice impar se admiten aquí en su interior cantidades negativas. O sea que allí podemos decir que el dominio de la función a son los valores de t pertenecientes al conjunto de los números reales. Cualquier valor de t puede ser reemplazado en esa función. Y para terminar, veamos esta función. La función z de x igual, por ejemplo, a x menos tres sobre la raíz quinta de x menos dos. Por ejemplo, en este caso tenemos que garantizar que esta expresión de acá dentro no sea cero. No tiene problema si es negativa, porque es una raíz de índice impar, pero tendría problemas si es cero. Entonces la condición va a ser que x menos dos sea diferente de cero. Despejando x, el dos pasa al otro lado a sumar, queda x distinto de dos. Por lo tanto el dominio de la función c van a ser los x pertenecientes a los reales, con excepción del elemento dos.

[{"start": 0.0, "end": 10.0, "text": " Para una funci\u00f3n de la forma y igual a f de x se define el dominio como el conjunto de valores que toma la x en la funci\u00f3n."}, {"start": 10.0, "end": 12.0, "text": " Ese es el dominio de la funci\u00f3n."}, {"start": 12.0, "end": 20.0, "text": " Y se define el rango de la funci\u00f3n como el conjunto de valores que toma la y en dicha funci\u00f3n."}, {"start": 20.0, "end": 23.0, "text": " Veamos algunos ejemplos de dominios de funciones."}, {"start": 23.0, "end": 33.0, "text": " Si nuestra funci\u00f3n es polin\u00f3mica, como en este caso un polinomio de primer grado o por ejemplo una funci\u00f3n cuadr\u00e1tica,"}, {"start": 33.0, "end": 45.0, "text": " como por ejemplo esta, una funci\u00f3n de segundo grado, o una funci\u00f3n por ejemplo r de u, u a la cinco menos tres u a la cuatro m\u00e1s diez,"}, {"start": 45.0, "end": 51.0, "text": " funci\u00f3n de quinto grado, en cualquiera de estos casos el dominio va a ser el conjunto de 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"end": 146.0, "text": " La misma situaci\u00f3n anterior, tenemos que garantizar que este denominador no sea cero."}, {"start": 146.0, "end": 152.0, "text": " Entonces colocamos la condici\u00f3n, la expresi\u00f3n del denominador diferente de cero."}, {"start": 152.0, "end": 158.0, "text": " Esto lo podemos factorizar como un trinomio de la forma x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c."}, {"start": 158.0, "end": 163.0, "text": " Abrimos dos par\u00e9ntesis, por aqu\u00ed colocamos la letra n, cuadramos los signos,"}, {"start": 163.0, "end": 170.0, "text": " m\u00e1s con menos nos da menos, menos con m\u00e1s nos da menos, dos n\u00fameros que multiplicados nos den ocho,"}, {"start": 170.0, "end": 174.0, "text": " y que sumados nos den menos seis, van a ser menos cuatro y menos dos."}, {"start": 174.0, "end": 176.0, "text": " Y esto diferente de cero."}, {"start": 176.0, "end": 186.0, "text": " Tomamos cada factor, n menos cuatro, lo colocamos diferente de cero, y el otro factor, n menos 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cuadrado siempre ser\u00e1 una cantidad positiva."}, {"start": 237.0, "end": 245.0, "text": " No importa que valor tome la l, al ser elevada al cuadrado da positiva, y si le sumamos uno, con mayor raz\u00f3n va a dar positiva."}, {"start": 245.0, "end": 248.0, "text": " Por lo tanto, esto jam\u00e1s ser\u00e1 cero."}, {"start": 248.0, "end": 259.0, "text": " En ese caso decimos entonces que el dominio de la funci\u00f3n q may\u00fascula van a ser los valores de l pertenecientes al conjunto de los n\u00fameros reales."}, {"start": 259.0, "end": 264.0, "text": " Pasemos ahora a lo que son funciones que tienen ra\u00edces."}, {"start": 264.0, "end": 272.0, "text": " Por ejemplo, la funci\u00f3n z de u igual a la ra\u00edz cuarta, por ejemplo, de u menos nueve."}, {"start": 272.0, "end": 279.0, "text": " Cuando tenemos una funci\u00f3n con ra\u00edz de \u00edndice par, tenemos que garantizar que esto no vaya a ser negativo."}, {"start": 279.0, "end": 284.0, "text": " Entonces colocamos la condici\u00f3n de que u menos nueve tiene que ser mayor o igual que cero."}, {"start": 284.0, "end": 291.0, "text": " Resolviendo esta desigualdad lineal, el nueve est\u00e1 restando, pasa a sumar al otro lado, nos queda que u es mayor o igual que nueve."}, {"start": 291.0, "end": 296.0, "text": " Entonces el dominio de la funci\u00f3n z lo podemos colocar de la siguiente manera."}, {"start": 296.0, "end": 306.0, "text": " Son los valores de u que pertenecen al intervalo que va desde nueve cerrado hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 306.0, "end": 309.0, "text": " Recordemos que eso se puede ubicar en una recta num\u00e9rica."}, {"start": 309.0, "end": 318.0, "text": " Si por ac\u00e1 est\u00e1 el cero y por ac\u00e1 est\u00e1 el nueve, dice que u mayor o igual que nueve ser\u00eda considerando el nueve y todo lo que est\u00e9 a su derecha."}, {"start": 318.0, "end": 325.0, "text": " Es decir, hasta m\u00e1s infinito, suponiendo que estas rectas son valores de la variable u."}, {"start": 325.0, "end": 329.0, "text": " Veamos otra situaci\u00f3n que tenga ra\u00edz de \u00edndice par."}, {"start": 329.0, "end": 338.0, "text": " Por ejemplo, la funci\u00f3n m de y igual a y m\u00e1s diez sobre la ra\u00edz cuadrada de y menos uno."}, {"start": 338.0, "end": 345.0, "text": " En este caso, esta expresi\u00f3n y menos uno que se encuentra dentro de la ra\u00edz tiene que ser positiva."}, {"start": 345.0, "end": 350.0, "text": " Pero como est\u00e1 en el denominador, tenemos que prohibirle que sea cero."}, {"start": 350.0, "end": 356.0, "text": " Por lo tanto, la condici\u00f3n en este caso ser\u00eda que y menos uno sea solamente mayor que cero."}, {"start": 356.0, "end": 362.0, "text": " Despejando la y, el uno est\u00e1 rezando para sumar, nos queda que y es mayor que uno."}, {"start": 362.0, "end": 372.0, "text": " Por lo tanto, el dominio de la funci\u00f3n m van a ser los valores de y que van desde uno abierto hasta m\u00e1s infinito."}, {"start": 372.0, "end": 374.0, "text": " Ese ser\u00eda entonces el dominio."}, {"start": 374.0, "end": 379.0, "text": " Otra situaci\u00f3n con ra\u00edz de \u00edndice par podr\u00eda ser esta."}, {"start": 379.0, "end": 389.0, "text": " Si tenemos la ra\u00edz cuadrada de x al cuadrado m\u00e1s veinticinco, como hemos venido diciendo, tenemos que garantizar que esto sea mayor o igual que cero."}, {"start": 389.0, "end": 395.0, "text": " Pero analizando x al cuadrado m\u00e1s veinticinco, vemos que x al cuadrado siempre ser\u00e1 una cantidad positiva."}, {"start": 395.0, "end": 398.0, "text": " Si la sumamos veinticinco con mayor raz\u00f3n, ser\u00e1 positiva."}, {"start": 398.0, "end": 401.0, "text": " Por lo tanto, esto jam\u00e1s ser\u00e1 negativo."}, {"start": 401.0, "end": 411.0, "text": " En ese caso, entonces, decimos que por lo tanto, el dominio de la funci\u00f3n w van a ser los x pertenecientes al conjunto de los n\u00fameros reales."}, {"start": 411.0, "end": 417.0, "text": " Otra situaci\u00f3n que vamos a encontrar es cuando tenemos ra\u00edces de \u00edndice impar."}, {"start": 417.0, "end": 421.0, "text": " Por ejemplo, la ra\u00edz c\u00fabica de t menos cuatro."}, {"start": 421.0, "end": 427.0, "text": " En ese caso, no hay ning\u00fan problema con que eso sea negativo, ya que las ra\u00edces de \u00edndice impar"}, {"start": 427.0, "end": 431.0, "text": " se admiten aqu\u00ed en su interior cantidades negativas."}, {"start": 431.0, "end": 440.0, "text": " O sea que all\u00ed podemos decir que el dominio de la funci\u00f3n a son los valores de t pertenecientes al conjunto de los n\u00fameros reales."}, {"start": 440.0, "end": 444.0, "text": " Cualquier valor de t puede ser reemplazado en esa funci\u00f3n."}, {"start": 444.0, "end": 447.0, "text": " Y para terminar, veamos esta funci\u00f3n."}, {"start": 447.0, "end": 456.0, "text": " La funci\u00f3n z de x igual, por ejemplo, a x menos tres sobre la ra\u00edz quinta de x menos dos."}, {"start": 456.0, "end": 462.0, "text": " Por ejemplo, en este caso tenemos que garantizar que esta expresi\u00f3n de ac\u00e1 dentro no sea cero."}, {"start": 462.0, "end": 468.0, "text": " No tiene problema si es negativa, porque es una ra\u00edz de \u00edndice impar, pero tendr\u00eda problemas si es cero."}, {"start": 468.0, "end": 472.0, "text": " Entonces la condici\u00f3n va a ser que x menos dos sea diferente de cero."}, {"start": 472.0, "end": 477.0, "text": " Despejando x, el dos pasa al otro lado a sumar, queda x distinto de dos."}, {"start": 477.0, "end": 487.0, "text": " Por lo tanto el dominio de la funci\u00f3n c van a ser los x pertenecientes a los reales, con excepci\u00f3n del elemento dos."}]

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OPERACIONES CON ENTEROS Y SIGNOS DE AGRUPACIÓN - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo resolver un polinomio con números enteros donde hay paréntesis, corchetes y llaves. Videos de #NúmerosEnteros → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFmPtR9zFQN2cpK9QL7X8w9 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Tenemos en este caso lo que se llama un polinomio aritmético con signos de agrupación. Podemos apreciar paréntesis, corchetes y llaves. Para empezar debemos resolver lo que hay dentro de los paréntesis. Entonces veamos. 8 queda igual, menos, abrimos la llave. 7 menos, abrimos corchete, colocamos el 15, menos, abrimos paréntesis y vamos a resolver esta operación. Veamos. 6 menos 9 nos da menos 3, menos 3 más 1 nos queda menos 2. También podríamos sumar los positivos. 6 más 1 es 7, menos 9 de igual forma nos da menos 2. Menos, abrimos el otro paréntesis y vamos a resolver esta operación. Dentro del paréntesis apreciamos una multiplicación y una resta. Recordemos que primero se debe hacer la multiplicación y luego la resta. Entonces 3 por 4 nos da 12 y 12 menos 17 nos da menos 5. Tenemos ya resuelto el paréntesis. Cerramos el corchete, cerramos la llave, menos, abrimos el paréntesis y resolvemos esta operación. Menos 5 más 1 nos da menos 4. A continuación vamos a destruir los paréntesis. Entonces nos queda 8 menos, abrimos la llave, 7 menos, abre corchete, 15 y aquí. Para destruir este paréntesis aplicamos la ley de los signos por tener lo que se llaman signos vecinos. Menos con menos nos da más 2. Aquí también la misma situación. Menos con menos nos da más 5. Se cierra el corchete, se cierra la llave y acá también podemos destruir el paréntesis. Menos con menos nos da más y anotamos el 4. Ya lo tenemos paréntesis, entonces ahora procedemos a resolver lo que hay dentro del corchete. Entonces nos queda 8 menos, abrimos la llave, 7 menos, abrimos el corchete y resolvemos esta operación. 15 más 2 nos da 17, 17 más 5 nos da 22. Cerramos el corchete, cerramos la llave y anotamos más 4. A continuación vamos a destruir el corchete. Entonces tendremos 8 menos, abrimos la llave, 7 aquí, menos con más, este 22 es positivo, menos con más nos da menos. Queda menos 22, cerramos la llave y anotamos más 4. Vamos a continuarlo por acá. Seguimos entonces con la operación que hay dentro de las llaves. Entonces nos queda 8 menos, abrimos la llave, 7 menos 22, eso nos da menos 15. Cerramos la llave y anotamos el más 4. Ahora vamos a destruir la llave, entonces nos queda así, menos con menos, sin los vecinos, menos con menos da más 15, allí se destruye la llave y más 4. Finalmente sumamos esos tres numeritos, 8 más 15 nos da 23, 23 más 4 nos da 27. Y ese es el resultado de nuestro polinomio aritmético.

[{"start": 0.0, "end": 6.0, "text": " Tenemos en este caso lo que se llama un polinomio aritm\u00e9tico con signos de agrupaci\u00f3n."}, {"start": 6.0, "end": 11.0, "text": " Podemos apreciar par\u00e9ntesis, corchetes y llaves."}, {"start": 11.0, "end": 16.0, "text": " Para empezar debemos resolver lo que hay dentro de los par\u00e9ntesis."}, {"start": 16.0, "end": 21.0, "text": " Entonces veamos. 8 queda igual, menos, abrimos la llave."}, {"start": 21.0, "end": 29.0, "text": " 7 menos, abrimos corchete, colocamos el 15, menos, abrimos par\u00e9ntesis y vamos a resolver esta operaci\u00f3n."}, {"start": 29.0, "end": 37.0, "text": " Veamos. 6 menos 9 nos da menos 3, menos 3 m\u00e1s 1 nos queda menos 2."}, {"start": 37.0, "end": 45.0, "text": " Tambi\u00e9n podr\u00edamos sumar los positivos. 6 m\u00e1s 1 es 7, menos 9 de igual forma nos da menos 2."}, {"start": 45.0, "end": 49.0, "text": " Menos, abrimos el otro par\u00e9ntesis y vamos a resolver esta operaci\u00f3n."}, {"start": 49.0, "end": 54.0, "text": " Dentro del par\u00e9ntesis apreciamos una multiplicaci\u00f3n y una resta."}, {"start": 54.0, "end": 58.0, "text": " Recordemos que primero se debe hacer la multiplicaci\u00f3n y luego la resta."}, {"start": 58.0, "end": 66.0, "text": " Entonces 3 por 4 nos da 12 y 12 menos 17 nos da menos 5."}, {"start": 66.0, "end": 76.0, "text": " Tenemos ya resuelto el par\u00e9ntesis. Cerramos el corchete, cerramos la llave, menos, abrimos el par\u00e9ntesis y resolvemos esta operaci\u00f3n."}, {"start": 76.0, "end": 81.0, "text": " Menos 5 m\u00e1s 1 nos da menos 4."}, {"start": 81.0, "end": 86.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a destruir los par\u00e9ntesis."}, {"start": 86.0, "end": 95.0, "text": " Entonces nos queda 8 menos, abrimos la llave, 7 menos, abre corchete, 15 y aqu\u00ed."}, {"start": 95.0, "end": 101.0, "text": " Para destruir este par\u00e9ntesis aplicamos la ley de los signos por tener lo que se llaman signos vecinos."}, {"start": 101.0, "end": 106.0, "text": " Menos con menos nos da m\u00e1s 2. Aqu\u00ed tambi\u00e9n la misma situaci\u00f3n."}, {"start": 106.0, "end": 115.0, "text": " Menos con menos nos da m\u00e1s 5. Se cierra el corchete, se cierra la llave y ac\u00e1 tambi\u00e9n podemos destruir el par\u00e9ntesis."}, {"start": 115.0, "end": 119.0, "text": " Menos con menos nos da m\u00e1s y anotamos el 4."}, {"start": 119.0, "end": 126.0, "text": " Ya lo tenemos par\u00e9ntesis, entonces ahora procedemos a resolver lo que hay dentro del corchete."}, {"start": 126.0, "end": 134.0, "text": " Entonces nos queda 8 menos, abrimos la llave, 7 menos, abrimos el corchete y resolvemos esta operaci\u00f3n."}, {"start": 134.0, "end": 141.0, "text": " 15 m\u00e1s 2 nos da 17, 17 m\u00e1s 5 nos da 22."}, {"start": 141.0, "end": 147.0, "text": " Cerramos el corchete, cerramos la llave y anotamos m\u00e1s 4."}, {"start": 147.0, "end": 150.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a destruir el corchete."}, {"start": 150.0, "end": 161.0, "text": " Entonces tendremos 8 menos, abrimos la llave, 7 aqu\u00ed, menos con m\u00e1s, este 22 es positivo, menos con m\u00e1s nos da menos."}, {"start": 161.0, "end": 167.0, "text": " Queda menos 22, cerramos la llave y anotamos m\u00e1s 4."}, {"start": 167.0, "end": 175.0, "text": " Vamos a continuarlo por ac\u00e1."}, {"start": 175.0, "end": 178.0, "text": " Seguimos entonces con la operaci\u00f3n que hay dentro de las llaves."}, {"start": 178.0, "end": 187.0, "text": " Entonces nos queda 8 menos, abrimos la llave, 7 menos 22, eso nos da menos 15."}, {"start": 187.0, "end": 191.0, "text": " Cerramos la llave y anotamos el m\u00e1s 4."}, {"start": 191.0, "end": 205.0, "text": " Ahora vamos a destruir la llave, entonces nos queda as\u00ed, menos con menos, sin los vecinos, menos con menos da m\u00e1s 15, all\u00ed se destruye la llave y m\u00e1s 4."}, {"start": 205.0, "end": 213.0, "text": " Finalmente sumamos esos tres numeritos, 8 m\u00e1s 15 nos da 23, 23 m\u00e1s 4 nos da 27."}, {"start": 213.0, "end": 221.0, "text": " Y ese es el resultado de nuestro polinomio aritm\u00e9tico."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=4naZBUl6vqU

OPERACIONES CON ENTEROS SIN SIGNOS DE AGRUPACIÓN - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver un polinomio con números enteros donde no hay paréntesis, corchetes ni llaves. Videos de #NúmerosEnteros → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFmPtR9zFQN2cpK9QL7X8w9 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

En este ejercicio tenemos lo que se llama un polinomio aritmético sin signos de agrupación. Se entiende como signos de agrupación lo que son los paréntesis, los corchetes y las llaves. En este caso no tenemos ninguno de esos signos. Podemos apreciar diferentes operaciones. División, resta, suma, multiplicación combinadas en diferentes partes. Vamos a empezar entonces por resolver las multiplicaciones y divisiones y de último resolveríamos las sumas y restas. Señalemos entonces lo que vamos a hacer primero. Por ejemplo esta división, esta otra división, esta multiplicación de acá y esta división. Eso debe hacerse en primera instancia. Entonces veamos, 28 divido entre 4 nos queda 7, menos 45 divido entre 9 nos queda 5, seguimos con menos 13, más 8, menos aquí 7 por 3, 21, más 50 divido entre 10, eso nos queda 5 y anotamos el menos 16. Como vemos ya no tenemos multiplicaciones y divisiones sino que ahora nos vamos a ocupar de las sumas y restas. Podríamos entonces señalar los números que son positivos como el 7, como este 8 y este 5 de acá y los negativos que serían menos 5, menos 13, menos 21 y menos 16. Sumamos entonces los números positivos. 7 más 8 son 15, más 5 son 20. Ahora los negativos, menos 5 menos 13 nos da menos 18, con menos 21 daría menos 39 y menos 16 nos da menos 55. Realizamos esta operación para terminar, 20 menos 55 eso nos va a dar negativo porque predomina el signo del mayor y finalmente restaremos 55 menos 20. Es decir al número grande le quitamos el pequeño, esto nos da 35. La respuesta sería entonces menos 35.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " En este ejercicio tenemos lo que se llama un polinomio aritm\u00e9tico sin signos de agrupaci\u00f3n."}, {"start": 7.0, "end": 15.0, "text": " Se entiende como signos de agrupaci\u00f3n lo que son los par\u00e9ntesis, los corchetes y las llaves."}, {"start": 15.0, "end": 19.0, "text": " En este caso no tenemos ninguno de esos signos."}, {"start": 19.0, "end": 27.0, "text": " Podemos apreciar diferentes operaciones. Divisi\u00f3n, resta, suma, multiplicaci\u00f3n combinadas en diferentes partes."}, {"start": 27.0, "end": 35.0, "text": " Vamos a empezar entonces por resolver las multiplicaciones y divisiones y de \u00faltimo resolver\u00edamos las sumas y restas."}, {"start": 35.0, "end": 44.0, "text": " Se\u00f1alemos entonces lo que vamos a hacer primero. Por ejemplo esta divisi\u00f3n, esta otra divisi\u00f3n, esta multiplicaci\u00f3n de ac\u00e1 y esta divisi\u00f3n."}, {"start": 44.0, "end": 48.0, "text": " Eso debe hacerse en primera instancia."}, {"start": 48.0, "end": 71.0, "text": " Entonces veamos, 28 divido entre 4 nos queda 7, menos 45 divido entre 9 nos queda 5, seguimos con menos 13, m\u00e1s 8, menos aqu\u00ed 7 por 3, 21, m\u00e1s 50 divido entre 10, eso nos queda 5 y anotamos el menos 16."}, {"start": 71.0, "end": 77.0, "text": " Como vemos ya no tenemos multiplicaciones y divisiones sino que ahora nos vamos a ocupar de las sumas y restas."}, {"start": 77.0, "end": 94.0, "text": " Podr\u00edamos entonces se\u00f1alar los n\u00fameros que son positivos como el 7, como este 8 y este 5 de ac\u00e1 y los negativos que ser\u00edan menos 5, menos 13, menos 21 y menos 16."}, {"start": 94.0, "end": 102.0, "text": " Sumamos entonces los n\u00fameros positivos. 7 m\u00e1s 8 son 15, m\u00e1s 5 son 20."}, {"start": 102.0, "end": 115.0, "text": " Ahora los negativos, menos 5 menos 13 nos da menos 18, con menos 21 dar\u00eda menos 39 y menos 16 nos da menos 55."}, {"start": 115.0, "end": 128.0, "text": " Realizamos esta operaci\u00f3n para terminar, 20 menos 55 eso nos va a dar negativo porque predomina el signo del mayor y finalmente restaremos 55 menos 20."}, {"start": 128.0, "end": 138.0, "text": " Es decir al n\u00famero grande le quitamos el peque\u00f1o, esto nos da 35. La respuesta ser\u00eda entonces menos 35."}]

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TRAZADO DE UNA ELIPSE Y SUS ELEMENTOS PRINCIPALES

#julioprofe explica cómo dibujar una Elipse con sus elementos principales: Centro, focos, vértices, ejes y distancia focal. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Vamos a ver cómo se realiza el trazado de una elipse. Para ello tomamos una hoja de papel y la dividimos a la mitad con líneas rectas, una línea horizontal y otra línea vertical que se cortan en este punto formando ángulo recto y marcamos dos puntos que estén a la misma distancia de este puntico que vamos a llamar el centro. Tomamos una cuerda, una cuerda que vamos a sujetar a dos chinches en sus extremos y los vamos a clavar en los puntos que marcamos. Tratamos de que queden bien fijos y ahora tomamos un lápiz y con el lápiz vamos a realizar el dibujo que resulta de templar todo el tiempo la cuerda. La cuerda en todo momento debe estar templada entonces veamos podemos empezar desde acá arriba empezamos a deslizar el lápiz procurando que siempre la cuerda se encuentre templada Allí hemos realizado la mitad de la elipse ahora vamos a hacer lo mismo acá en la parte de abajo podemos empezar desde acá templando la cuerda es posible que no nos quede muy perfecta porque la cuerda por momentos puede estirarse un poco pero allí podemos apreciar entonces que queda dibujada la elipse. Vamos a repintarla con este marcador hacemos el trazo de la elipse vamos a realizarlo en cuatro etapas y ahora vamos a marcar en este dibujo los elementos principales de la elipse los dos puntos que habíamos marcado previamente que fue donde se sujetó la cuerda van a ser los focos de la elipse entonces este va a ser el foco 1 y este va a ser el foco 2 ya podemos quitar esto allí entonces tenemos los focos de la elipse este punto se va a llamar el centro de la elipse los puntos más lejanos de la elipse se van a llamar los vértices este se puede llamar el vértice 1 este se llama el vértice 2 este se llamaría el vértice 3 y este de acá arriba es el vértice 4 la definición de elipse dice que es el lugar geométrico de los puntos donde la suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre constante e igual a 2a vamos a ver qué es 2a 2a tiene que ser la distancia que hay desde este punto hasta este de acá por ejemplo ahí podemos ver perfectamente que si clavamos el chinche acá en el vértice 1 y el vértice 2 la cuerda queda templada y eso nos confirma entonces la definición del elipse cuando tenemos cuando teníamos los chinches originalmente clavados por ejemplo en f2 si por ejemplo estábamos aquí en este sitio en este punto vemos entonces que la suma de esta distancia con esta es siempre la misma es igual a la longitud de toda la cuerda que es igual como decíamos a esto que es 2a entonces la distancia que hay del vértice 1 al vértice 2 se va a llamar 2a y se conoce como el eje mayor quiere decir entonces que la distancia del centro a los dos vértices más lejanos va a ser a desde aquí hasta acá y desde aquí hasta acá la distancia que hay desde el vértice 4 hasta el vértice 3 es decir el eje que atraviesa al eje mayor entonces se va a llamar eje menor y la longitud del eje menor va a ser igual a 2b quiere decir eso entonces que la distancia del centro al vértice 3 va a ser b y del centro al vértice 4 va a ser también b vamos a marcar eso esta distancia de aquí aquí va a ser b minúscula que es la misma que hay de aquí acá y como dijimos ahora la distancia de aquí acá va a ser a finalmente la distancia que hay del centro a los focos se llama c minúscula que va a ser esta de aquí entonces quiere decir eso que la distancia entre el foco 1 y el foco 2 va a ser 2c y se conoce como distancia focal entonces resumiendo centro de la elipse focos vértices de la elipse eje mayor este de acá que vale 2a eje menor este de aquí que vale 2b y la distancia entre los focos distancia focal que vale 2c

[{"start": 0.0, "end": 7.4, "text": " Vamos a ver c\u00f3mo se realiza el trazado de una elipse. Para ello tomamos una hoja de papel y la"}, {"start": 7.4, "end": 15.84, "text": " dividimos a la mitad con l\u00edneas rectas, una l\u00ednea horizontal y otra l\u00ednea vertical que se cortan en"}, {"start": 15.84, "end": 24.060000000000002, "text": " este punto formando \u00e1ngulo recto y marcamos dos puntos que est\u00e9n a la misma distancia de este puntico"}, {"start": 24.06, "end": 33.64, "text": " que vamos a llamar el centro. Tomamos una cuerda, una cuerda que vamos a sujetar a dos chinches en"}, {"start": 33.64, "end": 44.4, "text": " sus extremos y los vamos a clavar en los puntos que marcamos. Tratamos de que queden bien fijos y"}, {"start": 44.4, "end": 51.36, "text": " ahora tomamos un l\u00e1piz y con el l\u00e1piz vamos a realizar el dibujo que resulta de templar todo el"}, {"start": 51.36, "end": 58.8, "text": " tiempo la cuerda. La cuerda en todo momento debe estar templada entonces veamos podemos empezar"}, {"start": 58.8, "end": 67.36, "text": " desde ac\u00e1 arriba empezamos a deslizar el l\u00e1piz procurando que siempre la cuerda se encuentre"}, {"start": 67.36, "end": 67.88, "text": " templada"}, {"start": 67.88, "end": 81.36, "text": " All\u00ed hemos realizado la mitad de la elipse ahora vamos a hacer lo mismo ac\u00e1 en la parte de abajo"}, {"start": 81.36, "end": 85.52, "text": " podemos empezar desde ac\u00e1 templando la cuerda"}, {"start": 85.52, "end": 101.67999999999999, "text": " es posible que no nos quede muy perfecta porque la cuerda por momentos puede estirarse un poco"}, {"start": 101.67999999999999, "end": 109.19999999999999, "text": " pero all\u00ed podemos apreciar entonces que queda dibujada la elipse. Vamos a repintarla con este"}, {"start": 109.2, "end": 117.84, "text": " marcador hacemos el trazo de la elipse vamos a realizarlo en cuatro etapas"}, {"start": 117.84, "end": 140.44, "text": " y ahora vamos a marcar en este dibujo los elementos principales de la elipse los dos"}, {"start": 140.44, "end": 145.56, "text": " puntos que hab\u00edamos marcado previamente que fue donde se sujet\u00f3 la cuerda van a ser los"}, {"start": 145.56, "end": 152.24, "text": " focos de la elipse entonces este va a ser el foco 1 y este va a ser el foco 2 ya podemos"}, {"start": 152.24, "end": 159.92000000000002, "text": " quitar esto all\u00ed entonces tenemos los focos de la elipse este punto se va a llamar el centro"}, {"start": 159.92000000000002, "end": 170.16, "text": " de la elipse los puntos m\u00e1s lejanos de la elipse se van a llamar los v\u00e9rtices este se puede llamar"}, {"start": 170.16, "end": 179.84, "text": " el v\u00e9rtice 1 este se llama el v\u00e9rtice 2 este se llamar\u00eda el v\u00e9rtice 3 y este de ac\u00e1 arriba"}, {"start": 179.84, "end": 188.16, "text": " es el v\u00e9rtice 4 la definici\u00f3n de elipse dice que es el lugar geom\u00e9trico de los puntos donde la"}, {"start": 188.16, "end": 194.8, "text": " suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre constante e igual a 2a vamos a"}, {"start": 194.8, "end": 201.76000000000002, "text": " ver qu\u00e9 es 2a 2a tiene que ser la distancia que hay desde este punto hasta este de ac\u00e1 por ejemplo"}, {"start": 201.76000000000002, "end": 206.92000000000002, "text": " ah\u00ed podemos ver perfectamente que si clavamos el chinche ac\u00e1 en el v\u00e9rtice 1 y el v\u00e9rtice 2 la"}, {"start": 206.92000000000002, "end": 213.68, "text": " cuerda queda templada y eso nos confirma entonces la definici\u00f3n del elipse cuando tenemos cuando"}, {"start": 213.68, "end": 220.36, "text": " ten\u00edamos los chinches originalmente clavados por ejemplo en f2 si por ejemplo est\u00e1bamos aqu\u00ed en"}, {"start": 220.36, "end": 227.96, "text": " este sitio en este punto vemos entonces que la suma de esta distancia con esta es siempre la misma"}, {"start": 227.96, "end": 235.60000000000002, "text": " es igual a la longitud de toda la cuerda que es igual como dec\u00edamos a esto que es 2a entonces"}, {"start": 235.60000000000002, "end": 242.76000000000002, "text": " la distancia que hay del v\u00e9rtice 1 al v\u00e9rtice 2 se va a llamar 2a y se conoce como el eje mayor"}, {"start": 242.76000000000002, "end": 249.76000000000002, "text": " quiere decir entonces que la distancia del centro a los dos v\u00e9rtices m\u00e1s lejanos va a ser a desde"}, {"start": 249.76, "end": 257.44, "text": " aqu\u00ed hasta ac\u00e1 y desde aqu\u00ed hasta ac\u00e1 la distancia que hay desde el v\u00e9rtice 4 hasta el v\u00e9rtice 3 es"}, {"start": 257.44, "end": 265.71999999999997, "text": " decir el eje que atraviesa al eje mayor entonces se va a llamar eje menor y la longitud del eje menor"}, {"start": 265.71999999999997, "end": 272.76, "text": " va a ser igual a 2b quiere decir eso entonces que la distancia del centro al v\u00e9rtice 3 va a ser b y"}, {"start": 272.76, "end": 280.32, "text": " del centro al v\u00e9rtice 4 va a ser tambi\u00e9n b vamos a marcar eso esta distancia de aqu\u00ed aqu\u00ed va a ser"}, {"start": 280.32, "end": 286.4, "text": " b min\u00fascula que es la misma que hay de aqu\u00ed ac\u00e1 y como dijimos ahora la distancia de aqu\u00ed ac\u00e1 va a"}, {"start": 286.4, "end": 294.44, "text": " ser a finalmente la distancia que hay del centro a los focos se llama c min\u00fascula que va a ser esta"}, {"start": 294.44, "end": 302.71999999999997, "text": " de aqu\u00ed entonces quiere decir eso que la distancia entre el foco 1 y el foco 2 va a ser 2c y se conoce"}, {"start": 302.72, "end": 310.96000000000004, "text": " como distancia focal entonces resumiendo centro de la elipse focos v\u00e9rtices de la elipse eje mayor"}, {"start": 310.96000000000004, "end": 318.76000000000005, "text": " este de ac\u00e1 que vale 2a eje menor este de aqu\u00ed que vale 2b y la distancia entre los focos distancia"}, {"start": 318.76, "end": 333.24, "text": " focal que vale 2c"}]

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INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver una integral por el Método de Fracciones Parciales. Tema: #Integrales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHnjRu25BhpcDnzWQMt_1JK REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a realizar esta integral por el método de las fracciones parciales, ya que por integración básica, o por el método de sustitución, o por el método de integración por partes, no es posible realizarla. Vamos a tomar entonces el integrando, la función que vamos a integrar, y vamos a hacer el proceso de descomposición en sus fracciones parciales. Empezamos por factorizar el denominador, aquí tenemos un trinomio de la forma de x al cuadrado más bx más c, entonces abrimos dos paréntesis, sacamos la raíz cuadrada de este término que sería x, la colocamos al comienzo de cada paréntesis, cuadramos los signos, más por más nos da más, más por menos nos da menos, y buscamos dos números que multiplicados nos den menos 10, y que sumados entre sí nos den 3 positivo, esos números son 5 y menos 2. El 7 continúa en la parte de arriba. Enseguida abrimos dos fracciones, sumando entre sí, que tengan como denominador cada una de estas expresiones, entonces la primera con denominador x más 5, y la otra con denominador x menos 2. Como estas son expresiones de primer grado, entonces encima de ellas vamos a colocar dos constantes a y b que tenemos que encontrar. Para encontrar a, una forma rápida de hacerlo es usar el valor de x que nos vuelve este denominador 0, sería x igual a menos 5, entonces ese valor de x lo vamos a reemplazar en esta expresión, pero exceptuando esta de aquí, es decir, en esta no se reemplaza por la siguiente razón, si aquí colocáramos menos 5, menos 5 más 5 nos da 0, y por lo tanto todo este denominador se nos volvería 0, y la fracción se indeterminaría. Entonces el menos 5 va a entrar únicamente aquí, entonces nos va a quedar así, 7 en el numerador, y aquí menos 5, menos 2, allí la x entró por menos 5, resolvemos, menos 5 menos 2 nos da menos 7, y 7 dividido entre menos 7 nos da menos 1. De esa manera entonces ya tenemos que el valor de a es igual a menos 1. Para encontrar b, hacemos un proceso similar, buscamos el valor de x que nos vuelve este denominador 0, que sería x igual a 2, y lo reemplazamos en esta expresión, pero ahora exceptuando la expresión x menos 2, por la misma razón anterior, porque esto se volvería 0, entonces únicamente lo reemplazamos acá, nos quedaría entonces 7 sobre, aquí, x entra como 2 más 5, esto nos queda 7 sobre 7 que es igual a 1. De esa manera hemos encontrado que b vale 1. Entonces, quiere decir esto, que la expresión que nos dieron para integrar, 7 sobre x al cuadrado, más 3x menos 10, va a ser igual a las siguientes fracciones parciales, esta que queda como menos 1 sobre x más 5, más esta que nos queda 1 sobre x menos 2, esto es lo que se llama las fracciones parciales de esta expresión. Si nosotros resolvemos esta suma de fraccionarios, nos tiene que quedar esto de acá. Entonces, como nos piden integrar, vamos a hacer lo siguiente, vamos a integrarlo a los dos lados de la expresión, entonces nos va a quedar de la siguiente manera. La integral de esto, imaginemos que aquí colocamos el símbolo de integral con su correspondiente de x, va a ser igual entonces a la integral de todo esto de acá, pero como hay una suma, podemos repartir la integral, entonces nos va a quedar la integral de menos 1 sobre x más 5 con su correspondiente de x, más la integral de 1 sobre x menos 2 con su correspondiente de x. Y nos dedicamos a resolver estas dos integrales que ya son integrales sencillas, son integrales mucho más fáciles que la original que teníamos. En esta primera integral podríamos sacar este menos acá adelante, vamos a sacarlo, y nos quedan dos expresiones que podemos integrar con la siguiente formulita. Si tenemos 1 sobre x más a con su de x, la integral de esto nos da logaritmo natural de valor absoluto de x más a. Es una formulita que ya está en las tablas de los libros de cálculo, en las tablas de integrales y que fácilmente se puede demostrar por sustitución. Cambiando esto, como este de x más a por una letra diferente a x, nos daría esta formulita. Entonces vamos a aplicar esta formulita para integrar tanto esta expresión de aquí como esta de acá. Entonces nos quedaría así, menos, este menos debemos conservarlo, la integral de esto sería logaritmo natural de valor absoluto de x más 5. Cierra valor absoluto, más la integral de esto sería logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2. Y como hemos integrado ya todo, aparece por primera vez la constante de integración. Ya lo que sigue sería organizar esa expresión para darle a la forma más simple, más sencilla. Podemos hacer lo siguiente, veamos. Podríamos cambiar de posición estos dos términos, es decir, primero colocaríamos el término positivo, logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2, y después el término que es negativo. Logaritmo natural de valor absoluto de x más 5, cierra y más C. ¿Qué podemos hacer aquí ahora? Para dar esto de una forma más simple. Podríamos aplicar esta propiedad de los logaritmos. Por ejemplo, si tenemos logaritmo natural de A menos logaritmo natural de B, esto es igual a logaritmo natural de A sobre B. Es una propiedad de los logaritmos. Entonces, de esa manera, apoyándonos en esta propiedad, esto nos va a quedar así. Logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2 sobre valor absoluto de x más 5 y todo esto más C. Adicionalmente, podemos utilizar una propiedad del valor absoluto que dice lo siguiente. Si tenemos valor absoluto de A sobre valor absoluto de B, esto se puede colocar todo dentro de un mismo valor absoluto. Entonces, nuestra respuesta quedaría de la siguiente manera. Logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2 sobre x más 5 más la constante de integración. Y esta sería la respuesta de la integral que inicialmente teníamos propuesta.

[{"start": 0.0, "end": 13.0, "text": " Vamos a realizar esta integral por el m\u00e9todo de las fracciones parciales, ya que por integraci\u00f3n b\u00e1sica, o por el m\u00e9todo de sustituci\u00f3n, o por el m\u00e9todo de integraci\u00f3n por partes, no es posible realizarla."}, {"start": 13.0, "end": 24.0, "text": " Vamos a tomar entonces el integrando, la funci\u00f3n que vamos a integrar, y vamos a hacer el proceso de descomposici\u00f3n en sus fracciones parciales."}, {"start": 24.0, "end": 38.0, "text": " Empezamos por factorizar el denominador, aqu\u00ed tenemos un trinomio de la forma de x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c, entonces abrimos dos par\u00e9ntesis, sacamos la ra\u00edz cuadrada de este t\u00e9rmino que ser\u00eda x, la colocamos al comienzo de cada par\u00e9ntesis,"}, {"start": 38.0, "end": 52.0, "text": " cuadramos los signos, m\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s, m\u00e1s por menos nos da menos, y buscamos dos n\u00fameros que multiplicados nos den menos 10, y que sumados entre s\u00ed nos den 3 positivo, esos n\u00fameros son 5 y menos 2."}, {"start": 52.0, "end": 72.0, "text": " El 7 contin\u00faa en la parte de arriba. Enseguida abrimos dos fracciones, sumando entre s\u00ed, que tengan como denominador cada una de estas expresiones, entonces la primera con denominador x m\u00e1s 5, y la otra con denominador x menos 2."}, {"start": 72.0, "end": 82.0, "text": " Como estas son expresiones de primer grado, entonces encima de ellas vamos a colocar dos constantes a y b que tenemos que encontrar."}, {"start": 82.0, "end": 99.0, "text": " Para encontrar a, una forma r\u00e1pida de hacerlo es usar el valor de x que nos vuelve este denominador 0, ser\u00eda x igual a menos 5, entonces ese valor de x lo vamos a reemplazar en esta expresi\u00f3n, pero exceptuando esta de aqu\u00ed,"}, {"start": 99.0, "end": 112.0, "text": " es decir, en esta no se reemplaza por la siguiente raz\u00f3n, si aqu\u00ed coloc\u00e1ramos menos 5, menos 5 m\u00e1s 5 nos da 0, y por lo tanto todo este denominador se nos volver\u00eda 0, y la fracci\u00f3n se indeterminar\u00eda."}, {"start": 112.0, "end": 132.0, "text": " Entonces el menos 5 va a entrar \u00fanicamente aqu\u00ed, entonces nos va a quedar as\u00ed, 7 en el numerador, y aqu\u00ed menos 5, menos 2, all\u00ed la x entr\u00f3 por menos 5, resolvemos, menos 5 menos 2 nos da menos 7, y 7 dividido entre menos 7 nos da menos 1."}, {"start": 132.0, "end": 147.0, "text": " De esa manera entonces ya tenemos que el valor de a es igual a menos 1. Para encontrar b, hacemos un proceso similar, buscamos el valor de x que nos vuelve este denominador 0, que ser\u00eda x igual a 2, y lo reemplazamos en esta expresi\u00f3n,"}, {"start": 147.0, "end": 166.0, "text": " pero ahora exceptuando la expresi\u00f3n x menos 2, por la misma raz\u00f3n anterior, porque esto se volver\u00eda 0, entonces \u00fanicamente lo reemplazamos ac\u00e1, nos quedar\u00eda entonces 7 sobre, aqu\u00ed, x entra como 2 m\u00e1s 5, esto nos queda 7 sobre 7 que es igual a 1."}, {"start": 166.0, "end": 185.0, "text": " De esa manera hemos encontrado que b vale 1. Entonces, quiere decir esto, que la expresi\u00f3n que nos dieron para integrar, 7 sobre x al cuadrado, m\u00e1s 3x menos 10, va a ser igual a las siguientes fracciones parciales,"}, {"start": 185.0, "end": 199.0, "text": " esta que queda como menos 1 sobre x m\u00e1s 5, m\u00e1s esta que nos queda 1 sobre x menos 2, esto es lo que se llama las fracciones parciales de esta expresi\u00f3n."}, {"start": 199.0, "end": 215.0, "text": " Si nosotros resolvemos esta suma de fraccionarios, nos tiene que quedar esto de ac\u00e1. Entonces, como nos piden integrar, vamos a hacer lo siguiente, vamos a integrarlo a los dos lados de la expresi\u00f3n, entonces nos va a quedar de la siguiente manera."}, {"start": 215.0, "end": 230.0, "text": " La integral de esto, imaginemos que aqu\u00ed colocamos el s\u00edmbolo de integral con su correspondiente de x, va a ser igual entonces a la integral de todo esto de ac\u00e1, pero como hay una suma, podemos repartir la integral, entonces nos va a quedar la integral de"}, {"start": 230.0, "end": 254.0, "text": " menos 1 sobre x m\u00e1s 5 con su correspondiente de x, m\u00e1s la integral de 1 sobre x menos 2 con su correspondiente de x. Y nos dedicamos a resolver estas dos integrales que ya son integrales sencillas, son integrales mucho m\u00e1s f\u00e1ciles que la original que ten\u00edamos."}, {"start": 254.0, "end": 265.0, "text": " En esta primera integral podr\u00edamos sacar este menos ac\u00e1 adelante, vamos a sacarlo, y nos quedan dos expresiones que podemos integrar con la siguiente formulita."}, {"start": 265.0, "end": 286.0, "text": " Si tenemos 1 sobre x m\u00e1s a con su de x, la integral de esto nos da logaritmo natural de valor absoluto de x m\u00e1s a. Es una formulita que ya est\u00e1 en las tablas de los libros de c\u00e1lculo, en las tablas de integrales y que f\u00e1cilmente se puede demostrar por sustituci\u00f3n."}, {"start": 286.0, "end": 298.0, "text": " Cambiando esto, como este de x m\u00e1s a por una letra diferente a x, nos dar\u00eda esta formulita. Entonces vamos a aplicar esta formulita para integrar tanto esta expresi\u00f3n de aqu\u00ed como esta de ac\u00e1."}, {"start": 298.0, "end": 318.0, "text": " Entonces nos quedar\u00eda as\u00ed, menos, este menos debemos conservarlo, la integral de esto ser\u00eda logaritmo natural de valor absoluto de x m\u00e1s 5. Cierra valor absoluto, m\u00e1s la integral de esto ser\u00eda logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2."}, {"start": 318.0, "end": 331.0, "text": " Y como hemos integrado ya todo, aparece por primera vez la constante de integraci\u00f3n. Ya lo que sigue ser\u00eda organizar esa expresi\u00f3n para darle a la forma m\u00e1s simple, m\u00e1s sencilla."}, {"start": 331.0, "end": 345.0, "text": " Podemos hacer lo siguiente, veamos. Podr\u00edamos cambiar de posici\u00f3n estos dos t\u00e9rminos, es decir, primero colocar\u00edamos el t\u00e9rmino positivo, logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2, y despu\u00e9s el t\u00e9rmino que es negativo."}, {"start": 345.0, "end": 357.0, "text": " Logaritmo natural de valor absoluto de x m\u00e1s 5, cierra y m\u00e1s C. \u00bfQu\u00e9 podemos hacer aqu\u00ed ahora? Para dar esto de una forma m\u00e1s simple. Podr\u00edamos aplicar esta propiedad de los logaritmos."}, {"start": 357.0, "end": 368.0, "text": " Por ejemplo, si tenemos logaritmo natural de A menos logaritmo natural de B, esto es igual a logaritmo natural de A sobre B. Es una propiedad de los logaritmos."}, {"start": 368.0, "end": 375.0, "text": " Entonces, de esa manera, apoy\u00e1ndonos en esta propiedad, esto nos va a quedar as\u00ed."}, {"start": 375.0, "end": 387.0, "text": " Logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2 sobre valor absoluto de x m\u00e1s 5 y todo esto m\u00e1s C."}, {"start": 387.0, "end": 401.0, "text": " Adicionalmente, podemos utilizar una propiedad del valor absoluto que dice lo siguiente. Si tenemos valor absoluto de A sobre valor absoluto de B, esto se puede colocar todo dentro de un mismo valor absoluto."}, {"start": 401.0, "end": 417.0, "text": " Entonces, nuestra respuesta quedar\u00eda de la siguiente manera. Logaritmo natural de valor absoluto de x menos 2 sobre x m\u00e1s 5 m\u00e1s la constante de integraci\u00f3n."}, {"start": 417.0, "end": 432.0, "text": " Y esta ser\u00eda la respuesta de la integral que inicialmente ten\u00edamos propuesta."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=1dvGz8vQCeU

FACTORIZAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

#julioprofe explica cómo factorizar dos expresiones usando el caso llamado Trinomio Cuadrado Perfecto. Tema: #Factorización de polinomios → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEvndM0YBHiH1LXxjkP0r8d REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Vamos a realizar la factorización de este trinomio revisando el caso llamado trinomio cuadrado perfecto. Para empezar debemos tener el trinomio organizado en forma descendente o en forma ascendente, por ejemplo en este caso con respecto a la letra X lo tenemos organizado en forma descendente porque aquí tenemos X a la 2, aquí está X a la 1 y aquí ya no tenemos la X, eso es suficiente. A continuación revisamos que el primero y el tercer término sean positivos, efectivamente son positivos. También tenemos que chequear que el primero y el tercero tengan raíz cuadrada exacta, es decir que sean términos que se llaman cuadrados perfectos. Veamos, la raíz cuadrada de este término sería 2X, aquí sacamos la raíz cuadrada y para este término la raíz cuadrada sería 3Y a la 2. Allí sacamos entonces raíz cuadrada, vemos que entonces ambos términos tienen raíz exacta. A continuación debemos realizar el doble producto de estos dos términos obtenidos, entonces veamos 2 por 2X por 3Y a la 2, eso se llama el doble producto de estos dos elementos, multiplicamos esto, veamos 2 por 2 es 4, por 3 sería 12, X y al cuadrado y comparamos con el segundo término, vemos que sí nos da, entonces podemos decir ok, ok quiere decir que tenemos efectivamente un trinomio cuadrado perfecto. A continuación procedemos a factorizar, a realizar la factorización, para ello tomamos entonces la raíz cuadrada del primer término y la raíz cuadrada del tercer término y con ellos formamos lo que se llama un binomio al cuadrado, vamos a colocar los dos términos aquí, 2X por aquí, 3Y al cuadrado por acá y aquí en la mitad colocamos el signo del segundo término, en este caso signo positivo, esta es entonces la factorización de este trinomio cuadrado perfecto, que va a ser siempre un binomio al cuadrado. Veamos otra situación, parecida dice así, 35m a la 4 menos 40m al cuadrado más 16, vamos a revisar nuevamente las características del trinomio cuadrado perfecto, vemos que el trinomio se encuentra organizado en forma descendente porque la m está mermando sus exponentes, por ese lado vamos bien. A continuación revisamos que el primer término y el tercero sean positivos, efectivamente lo son, vamos a sacar entonces la raíz cuadrada de estos dos términos del primero y el tercero, raíz cuadrada del primero sería 5m a la 2, raíz cuadrada del tercero sería 4, aquí sacamos raíz cuadrada, entonces vemos que tienen raíces cuadradas exactas, ahora vamos a realizar el doble producto de estos dos elementos que encontramos, entonces 2 por 5m al cuadrado por 4 multiplicamos 2 por 5, 10 por 4 sería 40m al cuadrado y chequeamos con el término central vemos que sí compleja, entonces ok por este lado, al chequear no nos fijamos en el signo, únicamente la cantidad, si tenen en cuenta el signo, vemos que sí cumplió, entonces tenemos un trinomio cuadrado perfecto, procedemos entonces a realizar la factorización construyendo un binomio al cuadrado con estos dos elementos de aquí, entonces nos queda así, 5m al cuadrado, el 4, cerramos, ojo, no podemos olvidar este exponente porque siempre como dije ahorita la factorización de un trinomio cuadrado perfecto va a ser un binomio al cuadrado y aquí en la mitad colocamos el signo del segundo término que sería negativo, esa sería entonces la factorización de este trinomio cuadrado perfecto.

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PRODUCTO DE MATRICES - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo efectuar el producto de dos matrices. Tema: #Matrices → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEaIklPnC410t9xZ63Ino0m REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

dadas las matrices A y B que apreciamos aquí vamos a encontrar la matriz A por B es decir la multiplicación de ellas dos. Para empezar debemos mirar si el producto es posible y para ello debemos determinar el orden de cada una de las matrices la primera matriz va a ser de orden 2 por 3 porque tiene dos pilas y tres columnas la segunda matriz va a ser de orden 3 por 2 porque tiene tres filas y dos columnas para que el producto de matrices sea posible en este caso queremos hallar la matriz A por B se ha de cumplir entonces que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda matriz vemos entonces que esto se está cumpliendo son iguales por lo tanto podemos proceder con el producto de las matrices la matriz AB va a ser una matriz entonces de orden 2 por 2 que decía estos dos numeritos son los que van a determinar el orden de la matriz producto entonces va a ser una matriz de dos filas con dos columnas vamos entonces a configurarla a manera de una tabla que nos permita facilitar el cálculo de sus celdas entonces vamos a colocar por aquí la matriz AB va a ser una matriz de dos por dos entonces diseñamos una tablita que tenga dos filas y dos columnas y vamos a direccionar va a colocar la dirección de cada una de sus celdas esta celda de aquí va a ser la celda 1 1 porque está en la fila 1 columna 1 esta celda de aquí va a ser la celda 1 2 que está en la fila 1 columna 2 esta va a ser la celda 2 1 que está en la fila 2 columna 1 y esta va a ser la celda 2 2 porque está en la fila 2 y la columna 2 vamos a encontrar entonces el elemento que va en la celda 1 1 para ello tomamos la fila 1 de la matriz A y vamos a multiplicar sus elementos por los de la columna 1 de la matriz B es decir vamos a tomar esos tres elementos de aquí la fila 1 de la matriz A por los elementos de la columna 1 de la matriz B vamos a hacerlo de manera respectiva es decir primero con primero segundo con segundo y tercero con tercero entonces sería la operación 1 por 3 más 2 por 2 más menos 3 por menos 1 allí está entonces la multiplicación de los elementos desarrollamos esas operaciones 1 por 3 daría 3 2 por 2 daría 4 positivo y menos 3 por menos 1 daría 3 positivo entonces nos queda más 3 realizamos esta suma 3 más 4 sería 7 7 más 3 nos da 10 y esto quiere decir entonces que en la celda 1 1 tenemos el elemento 10 vamos entonces ahorita con la celda 1 2 para ello vamos a tomar la fila 1 la fila 1 de la matriz A por la columna 2 de la matriz B entonces los elementos de la fila 1 se van a conservar para hacer 1 2 menos 3 pero ahora vamos a trabajar con la columna 2 de la matriz B es decir 1 4 5 entonces cambiaremos aquí los segundos componentes es decir los de la columna 2 de la matriz B que sería entonces 1 4 y 5 entonces aquí 1 4 y 5 realizamos las operaciones 1 por 1 es 1 más 2 por 4 es 8 y aquí menos 3 por 5 da menos 15 realizamos esta operación 1 más 8 9 9 menos 15 daría menos 6 entonces aquí escribimos menos 6 que es el elemento que va en la celda 1 2 a continuación vamos a encontrar el elemento que va aquí en la celda 2 1 entonces trabajamos con la fila 2 de la matriz A es decir de la primera matriz y la columna 1 de la matriz B es decir de la segunda entonces anotar los elementos aquí veamos la fila 2 sería 4 0 menos 2 y la columna 1 de la matriz B sería 3 2 menos 1 entonces sería 4 por 3 más 0 por 2 más menos 2 por menos 1 hacemos los productos de manera respectiva primero con primero segundo con segundo tercero con tercero 4 por 3 nos da 12 0 por 2 daría 0 y menos 2 por menos 1 daría 2 esta suma nos da entonces 14 y 14 es el elemento que va aquí en la celda 2 1 por último vamos a encontrar el elemento que va aquí en la celda 2 2 para ello utilizamos la fila 2 de la matriz A y la columna 2 de la matriz B veamos la fila 2 de la matriz A los elementos son 4 0 menos 2 4 0 menos 2 esos van a quedar iguales los que van a cambiar son los segundos componentes porque ahora son los de la columna 2 de la matriz B es decir estos que tenemos aquí 1 4 y 5 resolvemos 4 por 1 4 más 0 por 4 0 y menos 2 por 5 daría menos 10 resolvemos esa operación 4 menos 10 daría menos 6 y ese es el elemento que notamos aquí hemos terminado entonces de hallar los elementos entonces para dar la respuesta simplemente deshacemos la tabla y la matriz entonces va a ser así sus elementos son 10 menos 6 14 y menos 6 es una matriz de orden 2 por 2 y estas entonces el resultado de la multiplicación de la matriz A por la matriz B

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315.44, "end": 322.88, "text": " nos da 12 0 por 2 dar\u00eda 0 y menos 2 por menos 1 dar\u00eda 2 esta suma nos da"}, {"start": 322.88, "end": 331.24, "text": " entonces 14 y 14 es el elemento que va aqu\u00ed en la celda 2 1 por \u00faltimo vamos a"}, {"start": 331.24, "end": 337.84, "text": " encontrar el elemento que va aqu\u00ed en la celda 2 2 para ello utilizamos la fila 2"}, {"start": 337.84, "end": 344.08, "text": " de la matriz A y la columna 2 de la matriz B"}, {"start": 344.08, "end": 349.35999999999996, "text": " veamos la fila 2 de la matriz A los elementos son 4 0 menos 2 4 0 menos 2"}, {"start": 349.35999999999996, "end": 353.32, "text": " esos van a quedar iguales los que van a cambiar son los segundos componentes"}, {"start": 353.32, "end": 358.44, "text": " porque ahora son los de la columna 2 de la matriz B es decir estos que tenemos"}, {"start": 358.44, "end": 370.96, "text": " aqu\u00ed 1 4 y 5 resolvemos 4 por 1 4 m\u00e1s 0 por 4 0 y menos 2 por 5 dar\u00eda 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FACTORIZAR UNA SUMA DE CUBOS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo factorizar una Suma de Cubos Perfectos. Tema: #Factorización de polinomios → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEvndM0YBHiH1LXxjkP0r8d REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Vamos a realizar la factorización de este binomio utilizando el caso llamado suma de cubos. Para empezar debemos verificar que los coeficientes sean cubos perfectos, es decir, números que tengan raíces cúbicas exactas y que los exponentes de las letras sean números divisibles por 3. Para empezar sacamos raíz cúbica de cada término. Sacamos raíz cúbica del primero, nos daría la raíz cúbica de 27 sería 3 y la raíz cúbica de x a la 3 sería x. En este caso la clave es dividir el exponente entre 3. 3 dividido 3 nos da 1. Para el siguiente término también vamos a sacar raíz cúbica, raíz cúbica de 125 sería 5 y raíz cúbica de y a la 9 sería y a la 3. Como dijimos el exponente se divide por 3. Con estos dos elementos vamos a construir lo que se llama el factor corto y el factor largo. Vamos a seguir la siguiente propiedad, el siguiente modelo. Para una suma de cubos el modelo dice así a más b por a cuadrado menos ab más b cuadrado. La raíz cúbica de este es a y la raíz cúbica de este es b. Con estos dos se construye entonces el factor corto que es un binomio y el factor largo que es un trinomio. Veamos entonces. El factor corto en este caso sería 3x y 5 y a la 3 con signo más porque se trata de una suma de cubos. Y el factor largo vamos a utilizar un corchete para construirlo empezando con el primero al cuadrado que sería entonces 3x todo esto elevado al cuadrado. Sigue signo menos este por este o sea 3x por 5 y a la 3 más el segundo al cuadrado. Es decir 5 y a la 3 al cuadrado. Cerramos el corchete y en el siguiente paso vamos a hacer el desarrollo de las operaciones que quedaron dentro del corchete. Entonces veamos aquí 3x elevado al cuadrado el exponente se distribuye y nos queda 9x al cuadrado menos la multiplicación de 3x por 5 y a la 3 nos da 15x y a la 3 más desarrollamos esta potencia el cuadrado se distribuye entonces nos queda 5 al cuadrado que es 25 y nos queda y a la 3 al cuadrado que sería y a la 6. Recordemos que cuando tenemos una potencia elevada a otro exponente dejamos la misma base y multiplicamos los exponentes. Eso es lo que ocurre aquí con y a la 3 elevado al cuadrado. Entonces de esta manera hemos encontrado la factorización de esta suma de cúas.

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FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUBOS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo factorizar una Diferencia de Cubos Perfectos. Tema: #Factorización de polinomios → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEvndM0YBHiH1LXxjkP0r8d REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Vamos a realizar la factorización de este binomio utilizando el caso llamado diferencia de cubos. Miremos las características. Los coeficientes de los términos deben ser cubos perfectos, es decir, números que tengan raíces cúbicas exactas. Efectivamente 64 tiene raíz cúbica exacta, sería 4 y 343 tiene raíz cúbica exacta que sería 7. Otra característica es que los exponentes de las letras deben ser números que sean divisibles por 3. 15 y 6 son divisibles por 3. Entonces procedemos a sacar la raíz cúbica de cada uno de estos términos. Entonces, raíz cúbica del primero, como dijimos, la raíz cúbica de 64 es 4 y la raíz cúbica de p a la 15 sería p a la 5, es decir, el exponente que es 15 lo dividimos entre 3 y nos queda p a la 5. Para el caso de 343, la raíz cúbica sería 7 y la raíz cúbica de t a la 6 sería entonces t a la 2, porque 6 se divide entre 3 y nos da 2. Con estos dos elementos vamos a construir entonces el factor corto y el factor largo de la diferencia de cubos que sigue el modelo que vamos a escribir aquí. Esta es una diferencia de cubos, la raíz cúbica del primero es a, la raíz cúbica del segundo es b. Con estos dos construimos el factor corto, que es un binomio con el mismo signo de la operación inicial que es resta y el factor largo que sería el primer al cuadrado más el primero por el segundo más el segundo al cuadrado, es decir, un trinomio. Vamos a seguir entonces este modelo para realizar nuestra factorización. Entonces, en el factor corto van estos dos, es decir, 4 p a la 5 y 7t al cuadrado. En la mitad va signo menos por tratarse de una diferencia de cubos. Y en el factor largo vamos a empezar entonces con este al cuadrado, 4 p a la 5 elevado al cuadrado más este por este, es decir, 4 p a la 5 por 7t al cuadrado más el segundo al cuadrado que sería 7t al cuadrado, todo esto elevado al cuadrado. A continuación vamos a realizar entonces las operaciones que quedaron dentro del corchete. Entonces, cambiamos el corchete ya como por paréntesis y vamos desarrollando esta potencia, esta multiplicación y esta otra potencia. Aquí en este caso el cuadrado entraría a afectar al 4 y afectar a p a la 5. 4 al cuadrado sería 16, p a la 5 al cuadrado, dejamos la p, multiplicamos los exponentes, esto nos queda 10. Más la multiplicación de estos dos, veamos, 4 por 7 es 28, colocamos p a la 5, p a la 2, más esta potencia donde el exponente también se reparte, afecta al 7 y afecta a t al cuadrado. 7 al cuadrado sería 49 y t al cuadrado, otra vez elevado al cuadrado nos quedaría t a la 4. Se multiplican los exponentes. Cerramos el paréntesis y de esta manera entonces hemos obtenido la factorización de la diferencia de cubos.

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FACTORIZAR TRINOMIOS DE LA FORMA ax²+bx+c - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo factorizar un trinomio de la forma ax²+bx+c. Tema: #Factorización de polinomios → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEvndM0YBHiH1LXxjkP0r8d REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Vamos a realizar la factorización de un trinomio de la forma ax a la 2n más bx a la n más c. Las características principales de ese tipo de trinomios es que el coeficiente principal debe ser una cantidad diferente de 1, es decir, a tiene que ser distinto de 1. Y el exponente del primer término debe ser el doble del exponente del segundo término. Obviamente el trinomio debe estar organizado en forma descendente. Veamos entonces una situación que se ajusta a este caso. Tenemos este trinomio, vemos que encaja perfectamente con el modelo, vamos a factorizarlo entonces. Para empezar debemos multiplicar este trinomio por esta cantidad, es decir, por a, que en este caso es el 6. Debemos multiplicar y a la vez dividir por 6 para que el trinomio no se altere. Entonces multiplicamos y dividimos por 6. A continuación vamos a hacer propiedad distributiva en el numerador con este 6. En el primer término y en el tercero la multiplicación se hace normalmente. En el segundo término se va a dejar indicada, ahorita vamos a ver cómo. Entonces 6 por 6x al cuadrado daría 36x al cuadrado más, veamos aquí como queda la multiplicación indicada. 6 por 5x pasa lo siguiente, 6 entra y toma la x, se asegura en un paréntesis y este 5 queda por fuera. Es decir, no se colocaría 6 por 5x, 30x, sino que se deja indicada la multiplicación de esta manera. Menos 6 por 4 que sería 24 y el 6 que tenemos en el denominador. A continuación vamos a expresar el primer término como lo que quedó aquí en paréntesis elevado al cuadrado. Es decir, 6x al cuadrado. Es simplemente otra forma de representar esta cantidad. Podríamos verificar si vamos bien, verificando que 6x elevado al cuadrado da 36x al cuadrado. Si distribuimos el exponente, efectivamente vemos que es así. Más 5 por 6x menos 24 y todo esto sobre 6. A continuación vamos a aplicar aquí en el numerador el caso llamado trinómido a la forma x a la 2n más bx a la n más c. Es decir, el que se parece mucho a este pero que acá adelante tiene coeficiente 1. Como vemos aquí el modelo. Aquí lo podemos apreciar. Aquí adelante al comienzo tenemos un coeficiente que es 1 pero que está invisible. Entonces vamos a hacer la factorización. Entonces abrimos dos paréntesis, sacamos la raíz cuadrada de este primer término que sería 6x y ese lo colocamos al comienzo de cada paréntesis. No podemos olvidar este 6x que sacamos. A continuación vamos a colocar los signos dentro de cada paréntesis. Lo hacemos por ahí de los signos. Entonces más por más nos da más y más por menos nos da menos. Buscamos dos números, uno positivo y otro negativo que multiplicados nos den menos 24 y que sumados entre sí nos den 5. 5 positivo. Esos números van a ser entonces 8 y menos 3. Podemos revisar 8 por menos 3 da menos 24 y 8 sumado con menos 3 nos da este más 5. Quiere decir que esos son los números adecuados. A continuación vamos a sacar factor común de estos paréntesis donde sea posible. Entonces en el primer paréntesis podemos apreciar que el factor común de 6 y 8 sería el 2. Entonces sacamos el 2 y nos queda factor de 3x más 4. Y del siguiente paréntesis de 6x y 3 podemos sacar como factor común el 3. Que sería entonces factor de 2x menos 1. Y acá abajo tenemos el 6. Por último simplificamos estos numeritos con el 6. Por ejemplo, mitad de 2 es 1, mitad de 6 es 3. 3 y 3 los podemos simplificar sacando tercera. Tercera de 3 es 1, tercera de 3 es 1. Y la respuesta final va a ser entonces 3x más 4 es un factor y el otro factor 2x menos 1. Si queremos probar que nos quedó bien factorizado, haríamos la propiedad distributiva aquí todos con todos. Reduciríamos términos semejantes y nos tiene que dar el trinomio original.

[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Vamos a realizar la factorizaci\u00f3n de un trinomio de la forma ax a la 2n m\u00e1s bx a la n m\u00e1s c."}, {"start": 8.0, "end": 16.0, "text": " Las caracter\u00edsticas principales de ese tipo de trinomios es que el coeficiente principal debe ser una cantidad diferente de 1,"}, {"start": 16.0, "end": 19.0, "text": " es decir, a tiene que ser distinto de 1."}, {"start": 19.0, "end": 25.0, "text": " Y el exponente del primer t\u00e9rmino debe ser el doble del exponente del segundo t\u00e9rmino."}, {"start": 25.0, "end": 29.0, "text": " Obviamente el trinomio debe estar organizado en forma descendente."}, {"start": 29.0, "end": 34.0, "text": " Veamos entonces una situaci\u00f3n que se ajusta a este caso."}, {"start": 34.0, "end": 41.0, "text": " Tenemos este trinomio, vemos que encaja perfectamente con el modelo, vamos a factorizarlo entonces."}, {"start": 41.0, "end": 48.0, "text": " Para empezar debemos multiplicar este trinomio por esta cantidad, es decir, por a, que en este caso es el 6."}, {"start": 48.0, "end": 57.0, "text": " Debemos multiplicar y a la vez dividir por 6 para que el trinomio no se altere."}, {"start": 57.0, "end": 60.0, "text": " Entonces multiplicamos y dividimos por 6."}, {"start": 60.0, "end": 66.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a hacer propiedad distributiva en el numerador con este 6."}, {"start": 66.0, "end": 71.0, "text": " En el primer t\u00e9rmino y en el tercero la multiplicaci\u00f3n se hace normalmente."}, {"start": 71.0, "end": 75.0, "text": " En el segundo t\u00e9rmino se va a dejar indicada, ahorita vamos a ver c\u00f3mo."}, {"start": 75.0, "end": 84.0, "text": " Entonces 6 por 6x al cuadrado dar\u00eda 36x al cuadrado m\u00e1s, veamos aqu\u00ed como queda la multiplicaci\u00f3n indicada."}, {"start": 84.0, "end": 95.0, "text": " 6 por 5x pasa lo siguiente, 6 entra y toma la x, se asegura en un par\u00e9ntesis y este 5 queda por fuera."}, {"start": 95.0, "end": 103.0, "text": " Es decir, no se colocar\u00eda 6 por 5x, 30x, sino que se deja indicada la multiplicaci\u00f3n de esta manera."}, {"start": 103.0, "end": 111.0, "text": " Menos 6 por 4 que ser\u00eda 24 y el 6 que tenemos en el denominador."}, {"start": 111.0, "end": 118.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a expresar el primer t\u00e9rmino como lo que qued\u00f3 aqu\u00ed en par\u00e9ntesis elevado al cuadrado."}, {"start": 118.0, "end": 125.0, "text": " Es decir, 6x al cuadrado. Es simplemente otra forma de representar esta cantidad."}, {"start": 125.0, "end": 132.0, "text": " Podr\u00edamos verificar si vamos bien, verificando que 6x elevado al cuadrado da 36x al cuadrado."}, {"start": 132.0, "end": 145.0, "text": " Si distribuimos el exponente, efectivamente vemos que es as\u00ed. M\u00e1s 5 por 6x menos 24 y todo esto sobre 6."}, {"start": 145.0, "end": 157.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a aplicar aqu\u00ed en el numerador el caso llamado trin\u00f3mido a la forma x a la 2n m\u00e1s bx a la n m\u00e1s c."}, {"start": 157.0, "end": 162.0, "text": " Es decir, el que se parece mucho a este pero que ac\u00e1 adelante tiene coeficiente 1."}, {"start": 162.0, "end": 165.0, "text": " Como vemos aqu\u00ed el modelo. Aqu\u00ed lo podemos apreciar."}, {"start": 165.0, "end": 171.0, "text": " Aqu\u00ed adelante al comienzo tenemos un coeficiente que es 1 pero que est\u00e1 invisible."}, {"start": 171.0, "end": 174.0, "text": " Entonces vamos a hacer la factorizaci\u00f3n."}, {"start": 174.0, "end": 185.0, "text": " Entonces abrimos dos par\u00e9ntesis, sacamos la ra\u00edz cuadrada de este primer t\u00e9rmino que ser\u00eda 6x y ese lo colocamos al comienzo de cada par\u00e9ntesis."}, {"start": 185.0, "end": 188.0, "text": " No podemos olvidar este 6x que sacamos."}, {"start": 188.0, "end": 192.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a colocar los signos dentro de cada par\u00e9ntesis."}, {"start": 192.0, "end": 194.0, "text": " Lo hacemos por ah\u00ed de los signos."}, {"start": 194.0, "end": 201.0, "text": " Entonces m\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s y m\u00e1s por menos nos da menos."}, {"start": 201.0, "end": 210.0, "text": " Buscamos dos n\u00fameros, uno positivo y otro negativo que multiplicados nos den menos 24 y que sumados entre s\u00ed nos den 5."}, {"start": 210.0, "end": 216.0, "text": " 5 positivo. Esos n\u00fameros van a ser entonces 8 y menos 3."}, {"start": 216.0, "end": 224.0, "text": " Podemos revisar 8 por menos 3 da menos 24 y 8 sumado con menos 3 nos da este m\u00e1s 5."}, {"start": 224.0, "end": 226.0, "text": " Quiere decir que esos son los n\u00fameros adecuados."}, {"start": 226.0, "end": 233.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a sacar factor com\u00fan de estos par\u00e9ntesis donde sea posible."}, {"start": 233.0, "end": 240.0, "text": " Entonces en el primer par\u00e9ntesis podemos apreciar que el factor com\u00fan de 6 y 8 ser\u00eda el 2."}, {"start": 240.0, "end": 246.0, "text": " Entonces sacamos el 2 y nos queda factor de 3x m\u00e1s 4."}, {"start": 246.0, "end": 252.0, "text": " Y del siguiente par\u00e9ntesis de 6x y 3 podemos sacar como factor com\u00fan el 3."}, {"start": 252.0, "end": 258.0, "text": " Que ser\u00eda entonces factor de 2x menos 1."}, {"start": 258.0, "end": 260.0, "text": " Y ac\u00e1 abajo tenemos el 6."}, {"start": 260.0, "end": 264.0, "text": " Por \u00faltimo simplificamos estos numeritos con el 6."}, {"start": 264.0, "end": 269.0, "text": " Por ejemplo, mitad de 2 es 1, mitad de 6 es 3."}, {"start": 269.0, "end": 272.0, "text": " 3 y 3 los podemos simplificar sacando tercera."}, {"start": 272.0, "end": 276.0, "text": " Tercera de 3 es 1, tercera de 3 es 1."}, {"start": 276.0, "end": 287.0, "text": " Y la respuesta final va a ser entonces 3x m\u00e1s 4 es un factor y el otro factor 2x menos 1."}, {"start": 287.0, "end": 294.0, "text": " Si queremos probar que nos qued\u00f3 bien factorizado, har\u00edamos la propiedad distributiva aqu\u00ed todos con todos."}, {"start": 294.0, "end": 322.0, "text": " Reducir\u00edamos t\u00e9rminos semejantes y nos tiene que dar el trinomio original."}]

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FACTORIZAR TRINOMIOS DE LA FORMA x²+bx+c

#julioprofe explica cómo factorizar trinomios de la forma x²+bx+c. Tema: #Factorización de polinomios → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEvndM0YBHiH1LXxjkP0r8d REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Vamos a mirar la factorización de algunos trinomios de la forma x a la 2n más bx a la m más c. Las características principales de un trinomio de estos es que el coeficiente principal sea 1 y que el exponente del primer término sea el doble del exponente del segundo término. En este caso tenemos aquí 2n que es el doble de n. Veamos una primera situación, x al cuadrado menos 12x menos 15. Vemos que cumple todas las características. Procedemos entonces a la factorización, se abren dos paréntesis que estén multiplicando entre sí. Sacamos la raíz cuadrada del primer término que sería x y la anotamos al comienzo de cada paréntesis. Vamos a cuadrar los signos, positivo, aquí hay un positivo invisible, positivo por negativo nos da negativo, negativo por negativo nos da positivo. A continuación buscamos dos números, uno negativo y el otro positivo, que multiplicados nos den menos 15 y que sumados entre sí nos den menos 2. Esos números van a ser menos 5 y 3. Podríamos verificar si nos quedó bien hecho haciendo aquí la propiedad distributiva. Todos con todos y al operar términos semejantes nos tiene que dar este trinomio original. Veamos otra situación, por ejemplo, x al cuadrado más 11x al cuadrado más 28. También comparamos con el modelo original y vemos que cumple todas las características. Entonces procedemos a factorizar así, abrimos los dos paréntesis multiplicando entre sí, sacamos la raíz cuadrada del primer término que sería x a la 2, la colocamos al comienzo de cada paréntesis, signos más por más nos da más, más por más nos da más, buscamos dos números positivos que multiplicados de 28 y que sumados nos den 11. Esos números van a ser 7 y 4. Esa sería entonces la factorización de este trinomio. Ahorita veamos otra situación. Tenemos 3a elevado al cuadrado menos 6 que multiplica a 3a menos 55. Comparamos este trinomio con el modelo y vemos que cumple las características. En este caso este elemento 3a hace el papel de esta x. Entonces procedemos, abrimos dos paréntesis, raíz cuadrada del primer término sería 3a, lo escribimos entonces al comienzo de cada paréntesis, cuadramos los signos más por menos da menos, menos por menos nos da más, buscamos dos números, uno negativo y otro positivo, que multiplicados nos den menos 55 y que sumados nos den menos 6. Esos números van a ser entonces menos 11 y 5. Allí tendríamos entonces la factorización de este trinomio.

[{"start": 0.0, "end": 6.6000000000000005, "text": " Vamos a mirar la factorizaci\u00f3n de algunos trinomios de la forma x a la 2n m\u00e1s bx a la m m\u00e1s c."}, {"start": 6.6000000000000005, "end": 13.0, "text": " Las caracter\u00edsticas principales de un trinomio de estos es que el coeficiente principal sea 1"}, {"start": 13.0, "end": 19.5, "text": " y que el exponente del primer t\u00e9rmino sea el doble del exponente del segundo t\u00e9rmino."}, {"start": 19.5, "end": 23.7, "text": " En este caso tenemos aqu\u00ed 2n que es el doble de n."}, {"start": 23.7, "end": 30.4, "text": " Veamos una primera situaci\u00f3n, x al cuadrado menos 12x menos 15."}, {"start": 30.4, "end": 32.6, "text": " Vemos que cumple todas las caracter\u00edsticas."}, {"start": 32.6, "end": 38.0, "text": " Procedemos entonces a la factorizaci\u00f3n, se abren dos par\u00e9ntesis que est\u00e9n multiplicando entre s\u00ed."}, {"start": 38.0, "end": 44.2, "text": " Sacamos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino que ser\u00eda x y la anotamos al comienzo de cada par\u00e9ntesis."}, {"start": 44.2, "end": 48.1, "text": " Vamos a cuadrar los signos, positivo, aqu\u00ed hay un positivo invisible,"}, {"start": 48.1, "end": 54.2, "text": " positivo por negativo nos da negativo, negativo por negativo nos da positivo."}, {"start": 54.2, "end": 59.5, "text": " A continuaci\u00f3n buscamos dos n\u00fameros, uno negativo y el otro positivo,"}, {"start": 59.5, "end": 65.7, "text": " que multiplicados nos den menos 15 y que sumados entre s\u00ed nos den menos 2."}, {"start": 65.7, "end": 69.9, "text": " Esos n\u00fameros van a ser menos 5 y 3."}, {"start": 69.9, "end": 75.3, "text": " Podr\u00edamos verificar si nos qued\u00f3 bien hecho haciendo aqu\u00ed la propiedad distributiva."}, {"start": 75.3, "end": 83.39999999999999, "text": " Todos con todos y al operar t\u00e9rminos semejantes nos tiene que dar este trinomio original."}, {"start": 83.39999999999999, "end": 94.1, "text": " Veamos otra situaci\u00f3n, por ejemplo, x al cuadrado m\u00e1s 11x al cuadrado m\u00e1s 28."}, {"start": 94.1, "end": 99.4, "text": " Tambi\u00e9n comparamos con el modelo original y vemos que cumple todas las caracter\u00edsticas."}, {"start": 99.4, "end": 105.80000000000001, "text": " Entonces procedemos a factorizar as\u00ed, abrimos los dos par\u00e9ntesis multiplicando entre s\u00ed,"}, {"start": 105.80000000000001, "end": 110.30000000000001, "text": " sacamos la ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino que ser\u00eda x a la 2,"}, {"start": 110.30000000000001, "end": 115.9, "text": " la colocamos al comienzo de cada par\u00e9ntesis, signos m\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s,"}, {"start": 115.9, "end": 123.9, "text": " m\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s, buscamos dos n\u00fameros positivos que multiplicados de 28 y que sumados nos den 11."}, {"start": 123.9, "end": 131.9, "text": " Esos n\u00fameros van a ser 7 y 4. Esa ser\u00eda entonces la factorizaci\u00f3n de este trinomio."}, {"start": 131.9, "end": 145.6, "text": " Ahorita veamos otra situaci\u00f3n. Tenemos 3a elevado al cuadrado menos 6 que multiplica a 3a menos 55."}, {"start": 145.6, "end": 150.9, "text": " Comparamos este trinomio con el modelo y vemos que cumple las caracter\u00edsticas."}, {"start": 150.9, "end": 156.4, "text": " En este caso este elemento 3a hace el papel de esta x."}, {"start": 156.4, "end": 163.6, "text": " Entonces procedemos, abrimos dos par\u00e9ntesis, ra\u00edz cuadrada del primer t\u00e9rmino ser\u00eda 3a,"}, {"start": 163.6, "end": 170.3, "text": " lo escribimos entonces al comienzo de cada par\u00e9ntesis, cuadramos los signos m\u00e1s por menos da menos,"}, {"start": 170.3, "end": 177.0, "text": " menos por menos nos da m\u00e1s, buscamos dos n\u00fameros, uno negativo y otro positivo,"}, {"start": 177.0, "end": 183.1, "text": " que multiplicados nos den menos 55 y que sumados nos den menos 6."}, {"start": 183.1, "end": 188.5, "text": " Esos n\u00fameros van a ser entonces menos 11 y 5."}, {"start": 188.5, "end": 207.5, "text": " All\u00ed tendr\u00edamos entonces la factorizaci\u00f3n de este trinomio."}]

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FACTORIZAR UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS - Video 1

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El modelo para una diferencia de cuadrados es el siguiente a cuadrado menos b cuadrado para factorizarlo extraemos la raíz cuadrada de cada uno de los términos raíz cuadrada de a cuadrado sería a raíz cuadrada de b cuadrado sería b y estos dos los escribimos en una suma y en una resta agrupados en dos paréntesis multiplicando entre sí esto es lo que se llama una suma por una diferencia entonces suma por diferencia es la factorización de una diferencia de cuadrados vamos a mirar un ejemplo tenemos 49x a la 4 y al cuadrado menos 64 w a la 10 z a la 14 veamos los términos el primero positivo, el segundo negativo miramos los coeficientes, vemos que son números cuadrados perfectos es decir, números que tienen raíces cuadradas exactas y los exponentes de las letras son números pares lo cual nos da vía libre para factorizar como diferencia de cuadrados vamos a sacar la raíz cuadrada de cada uno de los términos raíz cuadrada en cada caso para ese término, la raíz cuadrada de 49 sería 7 la raíz cuadrada de x a la 4 sería x a la 2 y la raíz cuadrada de y al cuadrado sería y en el caso de las letras sacamos la mitad de los exponentes en este caso la raíz cuadrada de 64 sería 8 de w a la 10 sería w a la 5 y de z a la 14 sería z a la 7 7, después de tener ya las dos raíces cuadradas procedemos entonces a escribirlas en una suma y en una resta entonces nos queda 7x al cuadrado y más 8 w a la 5 z a la 7 ahí está la suma y en otro paréntesis escribimos lo mismo pero restando y de esta manera tenemos la factorización de esta diferencia de cuadrados vamos a ver otro ejemplo dice c elevado a la 8 menos d a la 8 tenemos una diferencia de cuadrados sacamos la raíz cuadrada de ese término que sería c a la 4 y de este término que sería d a la 4 entonces lo escribimos en una suma y en una resta pero debemos revisar lo que obtuvimos a ver si se puede factorizar nuevamente en este caso tenemos lo que se llama una suma de cuadrados la suma de cuadrados no se puede factorizar pero aquí observamos una diferencia de cuadrados entonces este primer factor lo vamos a dejar quieto y vamos a factorizar esta diferencia de cuadrados la raíz cuadrada de c a la 4 sería c a la 2 y la raíz cuadrada de d a la 4 sería d a la 2 entonces anotamos esas dos raíces cuadradas en una suma y en una resta revisamos lo que tenemos y vemos que aquí hay otra diferencia de cuadrados aquí nuevamente observamos una suma de cuadrados que dijimos que no se puede factorizar entonces para el siguiente caso estos dos factores se quedan iguales simplemente acompañan y procedemos a factorizar esta diferencia de cuadrados veamos, raíz cuadrada de c al cuadrado sería c raíz cuadrada de d al cuadrado sería d entonces nos queda c más d por c menos d allí revisamos y vemos que no hay nada más por hacer esta sería entonces la factorización de esta diferencia de cuadrados

[{"start": 0.0, "end": 6.6000000000000005, "text": " El modelo para una diferencia de cuadrados es el siguiente"}, {"start": 6.6000000000000005, "end": 9.1, "text": " a cuadrado menos b cuadrado"}, {"start": 9.1, "end": 14.9, "text": " para factorizarlo extraemos la ra\u00edz cuadrada de cada uno de los t\u00e9rminos"}, {"start": 14.9, "end": 18.400000000000002, "text": " ra\u00edz cuadrada de a cuadrado ser\u00eda a"}, {"start": 18.400000000000002, "end": 21.5, "text": " ra\u00edz cuadrada de b cuadrado ser\u00eda b"}, {"start": 21.5, "end": 28.8, "text": " y estos dos los escribimos en una suma y en una resta"}, {"start": 28.8, "end": 32.3, "text": " agrupados en dos par\u00e9ntesis multiplicando entre s\u00ed"}, {"start": 32.3, "end": 35.6, "text": " esto es lo que se llama una suma por una diferencia"}, {"start": 35.6, "end": 39.0, "text": " entonces suma por diferencia es la factorizaci\u00f3n"}, {"start": 39.0, "end": 41.7, "text": " de una diferencia de cuadrados"}, {"start": 41.7, "end": 44.6, "text": " vamos a mirar un ejemplo"}, {"start": 44.6, "end": 48.7, "text": " tenemos 49x a la 4"}, {"start": 48.7, "end": 50.6, "text": " y al cuadrado"}, {"start": 50.6, "end": 52.8, "text": " menos 64"}, {"start": 52.8, "end": 55.2, "text": " w a la 10"}, {"start": 55.2, "end": 58.7, "text": " z a la 14"}, {"start": 58.7, "end": 59.900000000000006, "text": " veamos"}, {"start": 59.900000000000006, "end": 61.0, "text": " los t\u00e9rminos"}, {"start": 61.0, "end": 63.5, "text": " el primero positivo, el segundo negativo"}, {"start": 63.5, "end": 67.60000000000001, "text": " miramos los coeficientes, vemos que son n\u00fameros cuadrados perfectos"}, {"start": 67.60000000000001, "end": 70.60000000000001, "text": " es decir, n\u00fameros que tienen ra\u00edces cuadradas exactas"}, {"start": 70.60000000000001, "end": 74.60000000000001, "text": " y los exponentes de las letras son n\u00fameros pares"}, {"start": 74.60000000000001, "end": 76.60000000000001, "text": " lo cual nos da"}, {"start": 76.60000000000001, "end": 79.2, "text": " v\u00eda libre para factorizar"}, {"start": 79.2, "end": 81.2, "text": " como diferencia de cuadrados"}, {"start": 81.2, "end": 83.7, "text": " vamos a sacar la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 83.7, "end": 86.60000000000001, "text": " de cada uno de los t\u00e9rminos"}, {"start": 86.60000000000001, "end": 88.0, "text": " ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 88.0, "end": 89.3, "text": " en cada caso"}, {"start": 89.3, "end": 92.3, "text": " para ese t\u00e9rmino, la ra\u00edz cuadrada de 49"}, {"start": 92.3, "end": 93.5, "text": " ser\u00eda 7"}, {"start": 93.5, "end": 96.8, "text": " la ra\u00edz cuadrada de x a la 4 ser\u00eda x a la 2"}, {"start": 96.8, "end": 99.6, "text": " y la ra\u00edz cuadrada de y al cuadrado ser\u00eda y"}, {"start": 99.6, "end": 102.9, "text": " en el caso de las letras sacamos la mitad"}, {"start": 102.9, "end": 104.6, "text": " de los exponentes"}, {"start": 104.6, "end": 108.1, "text": " en este caso la ra\u00edz cuadrada de 64 ser\u00eda 8"}, {"start": 108.1, "end": 109.8, "text": " de w a la 10"}, {"start": 109.8, "end": 111.8, "text": " ser\u00eda w a la 5"}, {"start": 111.8, "end": 114.2, "text": " y de z a la 14 ser\u00eda"}, {"start": 114.2, "end": 115.7, "text": " z a la 7"}, {"start": 115.7, "end": 119.5, "text": " 7, despu\u00e9s de tener ya las dos ra\u00edces cuadradas"}, {"start": 119.5, "end": 123.7, "text": " procedemos entonces a escribirlas en una suma y en una resta"}, {"start": 123.7, "end": 126.9, "text": " entonces nos queda 7x al cuadrado y"}, {"start": 126.9, "end": 127.7, "text": " m\u00e1s"}, {"start": 127.7, "end": 130.7, "text": " 8 w a la 5"}, {"start": 130.7, "end": 132.4, "text": " z a la 7"}, {"start": 132.4, "end": 134.0, "text": " ah\u00ed est\u00e1 la suma"}, {"start": 134.0, "end": 140.5, "text": " y en otro par\u00e9ntesis escribimos lo mismo pero restando"}, {"start": 140.5, "end": 143.2, "text": " y de esta manera"}, {"start": 143.2, "end": 145.3, "text": " tenemos la factorizaci\u00f3n"}, {"start": 145.3, "end": 148.3, "text": " de esta diferencia de cuadrados"}, {"start": 148.3, "end": 152.3, "text": " vamos a ver otro ejemplo"}, {"start": 152.3, "end": 153.10000000000002, "text": " dice"}, {"start": 153.10000000000002, "end": 155.70000000000002, "text": " c elevado a la 8 menos"}, {"start": 155.70000000000002, "end": 158.70000000000002, "text": " d a la 8"}, {"start": 158.70000000000002, "end": 164.70000000000002, "text": " tenemos una diferencia de cuadrados sacamos la ra\u00edz cuadrada de ese t\u00e9rmino que ser\u00eda c a la 4"}, {"start": 164.70000000000002, "end": 167.5, "text": " y de este t\u00e9rmino que ser\u00eda d a la 4"}, {"start": 167.5, "end": 172.3, "text": " entonces lo escribimos en una suma"}, {"start": 172.3, "end": 175.70000000000002, "text": " y en una resta"}, {"start": 175.70000000000002, "end": 178.8, "text": " pero debemos revisar lo que obtuvimos"}, {"start": 178.8, "end": 181.3, "text": " a ver si se puede factorizar nuevamente"}, {"start": 181.3, "end": 184.60000000000002, "text": " en este caso tenemos lo que se llama una suma de cuadrados"}, {"start": 184.60000000000002, "end": 187.9, "text": " la suma de cuadrados no se puede factorizar"}, {"start": 187.9, "end": 192.20000000000002, "text": " pero aqu\u00ed observamos una diferencia de cuadrados"}, {"start": 192.20000000000002, "end": 198.10000000000002, "text": " entonces este primer factor lo vamos a dejar quieto"}, {"start": 198.10000000000002, "end": 201.3, "text": " y vamos a factorizar esta diferencia de cuadrados"}, {"start": 201.3, "end": 203.3, "text": " la ra\u00edz cuadrada de c a la 4"}, {"start": 203.3, "end": 204.60000000000002, "text": " ser\u00eda c a la 2"}, {"start": 204.60000000000002, "end": 208.0, "text": " y la ra\u00edz cuadrada de d a la 4 ser\u00eda d a la 2"}, {"start": 208.0, "end": 210.3, "text": " entonces anotamos"}, {"start": 210.3, "end": 216.3, "text": " esas dos ra\u00edces cuadradas en una suma y en una resta"}, {"start": 216.3, "end": 218.5, "text": " revisamos lo que tenemos"}, {"start": 218.5, "end": 221.4, "text": " y vemos que aqu\u00ed hay otra diferencia de cuadrados"}, {"start": 221.4, "end": 226.60000000000002, "text": " aqu\u00ed nuevamente observamos una suma de cuadrados que dijimos que no se puede factorizar"}, {"start": 226.60000000000002, "end": 228.60000000000002, "text": " entonces para el siguiente caso"}, {"start": 228.6, "end": 231.79999999999998, "text": " estos dos factores se quedan iguales"}, {"start": 231.79999999999998, "end": 236.1, "text": " simplemente acompa\u00f1an"}, {"start": 236.1, "end": 240.79999999999998, "text": " y procedemos a factorizar esta diferencia de cuadrados"}, {"start": 240.79999999999998, "end": 244.4, "text": " veamos, ra\u00edz cuadrada de c al cuadrado ser\u00eda c"}, {"start": 244.4, "end": 247.1, "text": " ra\u00edz cuadrada de d al cuadrado ser\u00eda d"}, {"start": 247.1, "end": 253.79999999999998, "text": " entonces nos queda c m\u00e1s d por c menos d"}, {"start": 253.79999999999998, "end": 257.0, "text": " all\u00ed revisamos y vemos que no hay nada m\u00e1s por hacer"}, {"start": 257.0, "end": 262.0, "text": " esta ser\u00eda entonces la factorizaci\u00f3n de esta diferencia de cuadrados"}]

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FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

#julioprofe explica cómo factorizar polinomios usando el caso llamado FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS. Tema: #Factorización de polinomios → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEvndM0YBHiH1LXxjkP0r8d REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Vamos a ver dos situaciones en las cuales se aplica el caso número 2 de factorización llamado factor común por agrupación de términos. Veamos este ejercicio. Tenemos cuatro términos. Vemos que no hay factor común, es decir, primero revisamos si hay algo que está repetido en los cuatro términos. Alguna letra, algún número, vemos que no es así. Entonces debemos pensar en agrupar términos. Como hay cuatro términos, lo ideal, lo recomendable es formar grupos de dos. Pensando que exista cierta familiaridad entre los términos. Por ejemplo, podemos observar que estos dos términos contienen la X y que estos dos contienen la Y. Eso sería un rasgo común para los términos que vamos a agrupar. Entonces procedemos a hacer la agrupación. Agrupamos los dos primeros términos colocándole paréntesis y los dos siguientes también colocando paréntesis. Allí podemos agrupar tranquilamente estos dos términos porque se encuentran precedidos de signo más. Es decir, al colocar el paréntesis no se produce ningún cambio interno en los signos de la expresión. A continuación, de cada una de las expresiones agrupadas vamos a sacar el factor común que observemos. Por ejemplo, en la primera expresión vemos que la X está repetida, entonces es el factor común. La extraemos y nos queda X factor de P más M. Si sacamos la X nos queda hasta P y está M. Más de aquí vemos que se encuentra repetida la letra Y, entonces Y es el factor común. Decidimos que Y es factor de P más M que es lo que queda después de que sale la Y. Ahora miremos la expresión que tenemos. Hay dos términos separados por ese signo más y vemos que en los dos términos está repetida la expresión P más M. Está multiplicando aquí y está multiplicando acá. Por lo tanto P más M se convierte en el nuevo factor común. Entonces lo sacamos P más M y esto es factor de X más Y que es lo que queda, queda esta X y esta Y después de que P más M sale de la expresión. Esta sería entonces la factorización de este polinomio. Si queremos verificar que está bien hecho hacemos la propiedad distributiva todos con todos y nos tiene que dar esta expresión de aquí. Veamos ahorita otra situación un poco más compleja donde tenemos seis términos. Dice así 2ac menos 5bd menos 2a más 2ad más 5b menos 5bc. Tenemos seis términos, revisamos si hay algo que esté repetido en los seis términos, un número, una letra. Si revisamos con cuidado vemos que no es así. Entonces debemos pensar en agrupar términos. Como hay seis términos podríamos pensar en formar dos grupos de tres o tres grupos de dos términos. Pensemos inicialmente en formar dos grupos de tres que sería lo más sencillo. Tratemos de buscar algún rasgo en común en los términos. Por ejemplo vemos que hay tres términos que contienen el número 2 como coeficiente y hay otros tres términos que tienen el coeficiente 5. Eso podría ser una guía para hacer la agrupación. Entonces primero debemos reacumodar los términos. Vamos a empezar con los que tienen el coeficiente 2. Entonces 2ac, después menos 2a y después más 2ad. Allí quedan consecutivos los tres términos que tienen el coeficiente 2. Y ahora vamos a colocar los tres términos que tienen el coeficiente 5 que sería este, este y este. Pero también es bueno ir organizando, ir acomodando los términos de tal forma que veamos algún parecido con esa expresión de acá. Entonces por ejemplo entre este, este y este guiándonos por este primer término vemos que este contiene la letra C. Que de pronto es una guía para poder ubicar de primero este término. Entonces nos quedaría menos 5bc. Entonces este ya quedó. Veamos entre estos dos cuál conviene colocar acá. Miramos aquí que tenemos. Vemos que está el 2 con la a. Podríamos pensar entonces en este término que es el que está como más solitario. Este ya queda. Y por último este término de acá, menos 5bc. Claro, coincide con el comportamiento de este término. Observemos que este término tiene la letra D que es acorde con este que tenemos acá. Entonces ahora sí procedemos a hacer la agrupación. Colocamos paréntesis para los tres primeros. Allí no pasa nada con los signos internos porque acá adelante tenemos signo más. Y vamos a colocarle paréntesis a estos tres. Aquí tenemos que tener bastante cuidado con ese signo negativo. Porque al abrir paréntesis todos los signos de esos términos que van a quedar agrupados van a cambiar. Entonces este término que estaba negativo dentro del paréntesis queda positivo. Este que estaba positivo ahora queda negativo. Y este que estaba negativo ahora queda positivo. Vamos a sacar entonces factor común de cada uno de los grupos formados. De aquí sacaríamos el 2 que claramente vemos que está repetido. Y la letra A que también está repetida. Factor de C menos aquí. Y la letra A abandona por completo. Entonces en su lugar colocamos un 1. Y aquí 2A al abandonar nos deja la letra D. Listo. Pasamos al siguiente grupo. De aquí sacamos el 5. Y vemos que la letra B también está repetida. Entonces sale la B. Sería factor D. Del primer término sale 5B nos queda la C. De aquí sale 5B en su totalidad nos queda el 1. Y del siguiente término al salir 5B nos queda la letra D. Listo. Tenemos un término acá y otro término acá. En los cuales podemos observar que la expresión C menos 1 más D se encuentra multiplicando en ambos términos. Entonces esta expresión va a ser el nuevo factor común. La sacamos, la extraemos adelante y decimos que eso es factor B. 2A menos 5B. Y de esa manera hemos factorizado entonces la expresión original. Nuevamente si queremos verificar que esto quedó bien hecho hacemos la propiedad distributiva todos con todos. Y nos tiene que dar estos seis términos.

[{"start": 0.0, "end": 8.0, "text": " Vamos a ver dos situaciones en las cuales se aplica el caso n\u00famero 2 de factorizaci\u00f3n llamado factor com\u00fan por agrupaci\u00f3n de t\u00e9rminos."}, {"start": 8.0, "end": 22.0, "text": " Veamos este ejercicio. Tenemos cuatro t\u00e9rminos. Vemos que no hay factor com\u00fan, es decir, primero revisamos si hay algo que est\u00e1 repetido en los cuatro t\u00e9rminos."}, {"start": 22.0, "end": 35.0, "text": " Alguna letra, alg\u00fan n\u00famero, vemos que no es as\u00ed. Entonces debemos pensar en agrupar t\u00e9rminos. Como hay cuatro t\u00e9rminos, lo ideal, lo recomendable es formar grupos de dos."}, {"start": 35.0, "end": 45.0, "text": " Pensando que exista cierta familiaridad entre los t\u00e9rminos. Por ejemplo, podemos observar que estos dos t\u00e9rminos contienen la X y que estos dos contienen la Y."}, {"start": 45.0, "end": 53.0, "text": " Eso ser\u00eda un rasgo com\u00fan para los t\u00e9rminos que vamos a agrupar. 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Por lo tanto P m\u00e1s M se convierte en el nuevo factor com\u00fan."}, {"start": 128.0, "end": 143.0, "text": " Entonces lo sacamos P m\u00e1s M y esto es factor de X m\u00e1s Y que es lo que queda, queda esta X y esta Y despu\u00e9s de que P m\u00e1s M sale de la expresi\u00f3n."}, {"start": 143.0, "end": 151.0, "text": " Esta ser\u00eda entonces la factorizaci\u00f3n de este polinomio. 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All\u00ed quedan consecutivos los tres t\u00e9rminos que tienen el coeficiente 2."}, {"start": 235.0, "end": 241.0, "text": " Y ahora vamos a colocar los tres t\u00e9rminos que tienen el coeficiente 5 que ser\u00eda este, este y este."}, {"start": 241.0, "end": 250.0, "text": " Pero tambi\u00e9n es bueno ir organizando, ir acomodando los t\u00e9rminos de tal forma que veamos alg\u00fan parecido con esa expresi\u00f3n de ac\u00e1."}, {"start": 250.0, "end": 259.0, "text": " Entonces por ejemplo entre este, este y este gui\u00e1ndonos por este primer t\u00e9rmino vemos que este contiene la letra C."}, {"start": 259.0, "end": 269.0, "text": " Que de pronto es una gu\u00eda para poder ubicar de primero este t\u00e9rmino. Entonces nos quedar\u00eda menos 5bc. Entonces este ya qued\u00f3."}, {"start": 269.0, "end": 278.0, "text": " Veamos entre estos dos cu\u00e1l conviene colocar ac\u00e1. Miramos aqu\u00ed que tenemos. 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Tenemos un t\u00e9rmino ac\u00e1 y otro t\u00e9rmino ac\u00e1."}, {"start": 391.0, "end": 398.0, "text": " En los cuales podemos observar que la expresi\u00f3n C menos 1 m\u00e1s D se encuentra multiplicando en ambos t\u00e9rminos."}, {"start": 398.0, "end": 402.0, "text": " Entonces esta expresi\u00f3n va a ser el nuevo factor com\u00fan."}, {"start": 402.0, "end": 414.0, "text": " La sacamos, la extraemos adelante y decimos que eso es factor B. 2A menos 5B."}, {"start": 414.0, "end": 419.0, "text": " Y de esa manera hemos factorizado entonces la expresi\u00f3n original."}, {"start": 419.0, "end": 425.0, "text": " Nuevamente si queremos verificar que esto qued\u00f3 bien hecho hacemos la propiedad distributiva todos con todos."}, {"start": 425.0, "end": 432.0, "text": " Y nos tiene que dar estos seis t\u00e9rminos."}]

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CONVERSIÓN DE UNIDADES DE PRESIÓN: Lbf/pulg² → Pascales

#julioprofe explica cómo convertir una presión, de libras por pulgada cuadrada a Pascales. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

La presión atmosférica a nivel del mar tiene un valor de 14.7 libras-fuerza sobre pulgada cuadrada. Vamos a convertir este valor a pascales. El pascal es la unidad en el sistema internacional para la presión y un pascal o la unidad pascal equivale a newton sobre metro cuadrado. Veamos entonces cuál es el proceso de conversión. Colocamos el valor inicial 14.7 libras-fuerza sobre pulgada cuadrada. Y vamos a utilizar la siguiente equivalencia. Vamos a pasar de libras-fuerza a kilogramos-fuerza. 1 kilogramos-fuerza es igual a 2.2 libras-fuerza. Entonces colocamos acá abajo libras-fuerza para poder cancelar con estas libras-fuerza y arriba kilogramos-fuerza. Y anotamos esta equivalencia numérica. 1 kilogramos-fuerza es igual a 2.2 libras-fuerza. De esta manera cancelaríamos libras-fuerza. Bien, vamos a agregar otro factor de conversión que nos permite pasar de kilogramos-fuerza a newtons. 1 kilogramos-fuerza es igual a 9.8 newtons. Entonces colocamos aquí kilogramos-fuerza para poder cancelar con estos de arriba y arriba la unidad newtons. Y colocamos esta equivalencia numérica. Aquí 1 kilogramos-fuerza es igual a 9.8 newtons. De esta manera cancelaríamos kilogramos-fuerza. Y ya tenemos la unidad newtons que es la que necesitamos en la parte de arriba. Ahora vamos a cuadrar la unidad pulgada cuadrada para llevarla a metros cuadrados. Colocamos otro factor de conversión que nos permite pasar de pulgadas a metros. Inicialmente a centímetros, 1 pulgada son 2.54 centímetros. Pero este valor lo podemos pasar a metros si lo dividimos por 100. Es decir, si este punto se corre a la izquierda dos lugares, entonces nos daría 0.0254 metros. Podemos utilizar entonces esta equivalencia directamente acá. Como tenemos pulgadas acá abajo, debemos colocar pulgadas acá arriba para que ahorita se nos vayan. Y abajo la unidad a la que queremos llegar que es metros. Colocamos entonces esta equivalencia. 1 pulgada equivale a 0.0254 metros. Pero, como aquí están pulgadas cuadradas, entonces aquí lo que debemos hacer es elevar al cuadrado tanto las unidades como los números. Todo queda elevado al cuadrado. De esa manera entonces cancelaríamos pulgadas cuadradas con pulgadas cuadradas y ya obtenemos metros cuadrados que es lo que necesitamos en la parte de abajo. A continuación, en la calculadora haríamos la siguiente operación. 14.7 por 9.8, bueno, estos unos en realidad no cuentan. Entonces en el numerador el producto de estos dos números. Y en el denominador multiplicaríamos 2.2 por 0.0254 al cuadrado. Y haciendo todas esas operaciones en la calculadora nos da 101.497.02 newtons sobre metro cuadrado. Y como dijimos al comienzo, newtons sobre metro cuadrado corresponde al pascal. Entonces aquí podríamos colocar directamente pascales. Este valor usualmente se coloca en notación científica. Entonces lo podemos aproximar a 1.01, veamos, por 10 a la cuánta. Como el punto lo estamos colocando aquí y debe trasladarse hasta acá, veamos, 1, 2, 3, 4 y 5 lugares. Entonces quedaría 1.01 por 10 a la 5 pascales. Que es el valor de la presión atmosférica en el sistema internacional al nivel del mar.

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FACTOR COMÚN

#julioprofe explica cómo aplicar el caso de #Factorización llamado FACTOR COMÚN. Tema: #Factorización de polinomios → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEvndM0YBHiH1LXxjkP0r8d REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/ APP JULIOPROFE Para Android → https://goo.gl/XsJRwN Para iOS → https://goo.gl/dzZEF6

Vamos a ver diferentes situaciones donde se aplica el caso número 1 de factorización llamado factor común. Veamos esta situación. Si tenemos 3x más 3y, es decir, un binomio, dos términos, vemos que el 3 es el factor que se encuentra repetido en los dos términos. Está multiplicando aquí con la x y está multiplicando aquí con la y. Por lo tanto, el 3 es el factor común. Entonces decimos 3 factor de, si a este término le quitamos el 3, nos queda la x, más, si a este término le quitamos el 3, nos queda la y. Esa sería entonces la factorización de 3x más 3y. Veamos otra situación. 10a menos 15b. Vemos que no hay letras repetidas, pero debemos mirar cuál es el factor común que podemos sacar de 10 y 15. En ese caso, de los coeficientes debemos obtener lo que se llama el máximo común divisor, o sea, el MCD de 10 y 15. Vamos a sacarlo entonces. Vamos a ver que es el 10, el 15 y vamos a descomponer simultáneamente utilizando aquí números primos que le sirvan al mismo tiempo al 10 y al 15. Por ejemplo, el 2 no serviría porque el 15 es invar. Le serviría al 10, pero al 15 no. Entonces podemos utilizar el 5 que le sirve a los dos. Entonces, quinta de 10 es 2 y quinta de 15 es 3. Por lo tanto, el MCD de 10 y 15 sería 5. Aquí no podemos hacer nada más. Entonces, decíamos de 10 y 15 sale el 5. No es posible sacar nada más, no hay letras repetidas. Por lo tanto, anotamos lo que queda dentro del paréntesis, lo que queda en la expresión después de que el 5 ha salido de cada uno de los términos. Entonces, si a 10 le sacamos 5, nos queda este 2 de aquí y nos queda la A. ¿Por qué? Porque 5 por 2A nos da 10A. Menos, si al 15 le sacamos este 5, nos queda este 3 de aquí. Entonces nos quedaría el 3 y la B. ¿Por qué? Porque si multiplicamos 5 por menos 3B nos da menos 15B. Allí queda entonces la factorización de este binomio. Veamos otra situación. Si tenemos, por ejemplo, 4PQ menos 8PR más 12PT de entrada, podemos observar que en este trinomio hay tres términos. La P es una letra que se encuentra repetida, o sea que P ya va a ser factor común. Ahora tenemos que mirar de los coeficientes, o sea de 4, 8 y 12, cuál es el factor común. Nuevamente sacamos el máximo común divisor de 4, 8 y 12. Entonces, veamos, colocamos el 4, el 8 y el 12 espaciados y vamos a utilizar aquí en la descomposición números primos que les sirvan a ellos tres. Vemos que todos son pares, por lo tanto el 2 serviría. Mitad de 4 es 2, mitad de 8 es 4 y mitad de 12 sería 6. Como todos son pares, nuevamente el 2 sirve. Mitad de 2 es 1, mitad de 4 es 2 y mitad de 6 sería 3. Allí ya no podemos hacer nada más. Multiplicamos estos dos números, 2 por 2 es 4 y 4 se convierte en el máximo común divisor de 4, 8 y 12. Entonces, veamos cómo nos queda la factorización de este trinomio. De los coeficientes sale el 4 y de las letras sale la P. Abrimos un paréntesis y vamos a anotar lo que queda en la expresión después de que 4P abandona cada término. Entonces, veamos, si en el primer término sale 4P, nos queda la Q. Esta Q quedaría acompañada de un coeficiente invisible que es 1, que corresponde a este 1 que nos quedó acá. Menos de 8Pr si sacamos 4P, entonces si al 8 le sacamos el 4 nos queda 2. Este 2 que tenemos aquí, la P salió y nos queda la letra R. Más, si a 12 le sacamos este 4 nos queda 3. La P salió, por lo tanto queda la letra T. Esta sería entonces la factorización de este trinomio. Si queremos verificar que nos quedó bueno, tenemos que hacer la propiedad distributiva. Este por este, este por este y este por este y nos tiene que dar efectivamente la expresión original. Veamos otra situación donde el factor común puede ser una expresión distinta a las anteriores. En los casos anteriores vimos que el factor común era un número o un número acompañado de una letra. Pero veamos esta situación. Tenemos tres términos, primer término, segundo término y tercer término. Recordemos que los términos van separados por los signos menos y más. Esto es un trinomio. En los tres términos vemos una expresión que se está repitiendo que está multiplicando en todos ellos, que es A más 1. A más 1 se encuentra multiplicando acá, aquí y aquí. Entonces A más 1 se convierte en el factor común. Sale A más 1 y decimos que es factor D. Del primer término, si A más 1 no sale, nos quedará X. Este menos va aquí. Del segundo término, si sale A más 1, nos queda la letra T. Y del tercer término, colocamos el signo más, si sale A más 1, nos queda el 5. Vemos que si distribuimos A más 1, vamos a obtener la expresión original. Esta sería la factorización de este ejercicio.

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Aqu\u00ed no podemos hacer nada m\u00e1s."}, {"start": 101.0, "end": 105.0, "text": " Entonces, dec\u00edamos de 10 y 15 sale el 5."}, {"start": 105.0, "end": 108.0, "text": " No es posible sacar nada m\u00e1s, no hay letras repetidas."}, {"start": 108.0, "end": 117.0, "text": " Por lo tanto, anotamos lo que queda dentro del par\u00e9ntesis, lo que queda en la expresi\u00f3n despu\u00e9s de que el 5 ha salido de cada uno de los t\u00e9rminos."}, {"start": 117.0, "end": 124.0, "text": " Entonces, si a 10 le sacamos 5, nos queda este 2 de aqu\u00ed y nos queda la A."}, {"start": 124.0, "end": 128.0, "text": " \u00bfPor qu\u00e9? Porque 5 por 2A nos da 10A."}, {"start": 128.0, "end": 134.0, "text": " Menos, si al 15 le sacamos este 5, nos queda este 3 de aqu\u00ed."}, {"start": 134.0, "end": 137.0, "text": " Entonces nos quedar\u00eda el 3 y la B."}, {"start": 137.0, "end": 143.0, "text": " \u00bfPor qu\u00e9? Porque si multiplicamos 5 por menos 3B nos da menos 15B."}, {"start": 143.0, "end": 146.0, "text": " All\u00ed queda entonces la factorizaci\u00f3n de este binomio."}, {"start": 146.0, "end": 148.0, "text": " Veamos otra situaci\u00f3n."}, {"start": 148.0, "end": 159.0, "text": " Si tenemos, por ejemplo, 4PQ menos 8PR m\u00e1s 12PT de entrada,"}, {"start": 159.0, "end": 163.0, "text": " podemos observar que en este trinomio hay tres t\u00e9rminos."}, {"start": 163.0, "end": 169.0, "text": " La P es una letra que se encuentra repetida, o sea que P ya va a ser factor com\u00fan."}, {"start": 169.0, "end": 175.0, "text": " Ahora tenemos que mirar de los coeficientes, o sea de 4, 8 y 12, cu\u00e1l es el factor com\u00fan."}, {"start": 175.0, "end": 182.0, "text": " Nuevamente sacamos el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de 4, 8 y 12."}, {"start": 182.0, "end": 187.0, "text": " Entonces, veamos, colocamos el 4, el 8 y el 12 espaciados"}, {"start": 187.0, "end": 193.0, "text": " y vamos a utilizar aqu\u00ed en la descomposici\u00f3n n\u00fameros primos que les sirvan a ellos tres."}, {"start": 193.0, "end": 197.0, "text": " Vemos que todos son pares, por lo tanto el 2 servir\u00eda."}, {"start": 197.0, "end": 203.0, "text": " Mitad de 4 es 2, mitad de 8 es 4 y mitad de 12 ser\u00eda 6."}, {"start": 203.0, "end": 207.0, "text": " Como todos son pares, nuevamente el 2 sirve."}, {"start": 207.0, "end": 213.0, "text": " Mitad de 2 es 1, mitad de 4 es 2 y mitad de 6 ser\u00eda 3."}, {"start": 213.0, "end": 215.0, "text": " All\u00ed ya no podemos hacer nada m\u00e1s."}, {"start": 215.0, "end": 218.0, "text": " Multiplicamos estos dos n\u00fameros, 2 por 2 es 4"}, {"start": 218.0, "end": 223.0, "text": " y 4 se convierte en el m\u00e1ximo com\u00fan divisor de 4, 8 y 12."}, {"start": 223.0, "end": 226.0, "text": " Entonces, veamos c\u00f3mo nos queda la factorizaci\u00f3n de este trinomio."}, {"start": 226.0, "end": 232.0, "text": " De los coeficientes sale el 4 y de las letras sale la P."}, {"start": 232.0, "end": 237.0, "text": " Abrimos un par\u00e9ntesis y vamos a anotar lo que queda en la expresi\u00f3n"}, {"start": 237.0, "end": 241.0, "text": " despu\u00e9s de que 4P abandona cada t\u00e9rmino."}, {"start": 241.0, "end": 245.0, "text": " Entonces, veamos, si en el primer t\u00e9rmino sale 4P, nos queda la Q."}, {"start": 245.0, "end": 249.0, "text": " Esta Q quedar\u00eda acompa\u00f1ada de un coeficiente invisible que es 1,"}, {"start": 249.0, "end": 253.0, "text": " que corresponde a este 1 que nos qued\u00f3 ac\u00e1."}, {"start": 253.0, "end": 261.0, "text": " Menos de 8Pr si sacamos 4P, entonces si al 8 le sacamos el 4 nos queda 2."}, {"start": 261.0, "end": 266.0, "text": " Este 2 que tenemos aqu\u00ed, la P sali\u00f3 y nos queda la letra R."}, {"start": 266.0, "end": 272.0, "text": " M\u00e1s, si a 12 le sacamos este 4 nos queda 3."}, {"start": 272.0, "end": 277.0, "text": " La P sali\u00f3, por lo tanto queda la letra T."}, {"start": 277.0, "end": 281.0, "text": " Esta ser\u00eda entonces la factorizaci\u00f3n de este trinomio."}, {"start": 281.0, "end": 284.0, "text": " Si queremos verificar que nos qued\u00f3 bueno,"}, {"start": 284.0, "end": 287.0, "text": " tenemos que hacer la propiedad distributiva."}, {"start": 287.0, "end": 294.0, "text": " Este por este, este por este y este por este y nos tiene que dar efectivamente la expresi\u00f3n original."}, {"start": 294.0, "end": 303.0, "text": " Veamos otra situaci\u00f3n donde el factor com\u00fan puede ser una expresi\u00f3n distinta a las anteriores."}, {"start": 303.0, "end": 312.0, "text": " En los casos anteriores vimos que el factor com\u00fan era un n\u00famero o un n\u00famero acompa\u00f1ado de una letra."}, {"start": 312.0, "end": 314.0, "text": " Pero veamos esta situaci\u00f3n."}, {"start": 314.0, "end": 319.0, "text": " Tenemos tres t\u00e9rminos, primer t\u00e9rmino, segundo t\u00e9rmino y tercer t\u00e9rmino."}, {"start": 319.0, "end": 323.0, "text": " Recordemos que los t\u00e9rminos van separados por los signos menos y m\u00e1s."}, {"start": 323.0, "end": 324.0, "text": " Esto es un trinomio."}, {"start": 324.0, "end": 331.0, "text": " En los tres t\u00e9rminos vemos una expresi\u00f3n que se est\u00e1 repitiendo que est\u00e1 multiplicando en todos ellos, que es A m\u00e1s 1."}, {"start": 331.0, "end": 335.0, "text": " A m\u00e1s 1 se encuentra multiplicando ac\u00e1, aqu\u00ed y aqu\u00ed."}, {"start": 335.0, "end": 339.0, "text": " Entonces A m\u00e1s 1 se convierte en el factor com\u00fan."}, {"start": 339.0, "end": 347.0, "text": " Sale A m\u00e1s 1 y decimos que es factor D. Del primer t\u00e9rmino, si A m\u00e1s 1 no sale, nos quedar\u00e1 X."}, {"start": 347.0, "end": 349.0, "text": " Este menos va aqu\u00ed."}, {"start": 349.0, "end": 353.0, "text": " Del segundo t\u00e9rmino, si sale A m\u00e1s 1, nos queda la letra T."}, {"start": 353.0, "end": 360.0, "text": " Y del tercer t\u00e9rmino, colocamos el signo m\u00e1s, si sale A m\u00e1s 1, nos queda el 5."}, {"start": 360.0, "end": 366.0, "text": " Vemos que si distribuimos A m\u00e1s 1, vamos a obtener la expresi\u00f3n original."}, {"start": 366.0, "end": 370.0, "text": " Esta ser\u00eda la factorizaci\u00f3n de este ejercicio."}]

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CONVERSIÓN DE UNIDADES DE RAPIDEZ - Video 1

#julioprofe explica cómo convertir una rapidez de millas por hora a pies por segundo. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a convertir una rapidez de 60 millas por hora a pies sobre segundo. Colocamos entonces 60 millas por hora y vamos a multiplicar por el factor de conversión que nos permita pasar de millas, por ejemplo, a metros. Entonces, una milla es igual a 1.609 metros. Colocamos millas aquí abajo para que se nos cancele con millas y arriba metros. Colocamos esta relación numérica, una milla son 1.609 metros. De esta manera cancelaríamos millas. A continuación multiplicamos por otro factor de conversión que nos permita pasar, por ejemplo, de metros a centímetros. Recordemos que un metro es igual a 100 centímetros. Entonces, colocamos metros acá abajo y centímetros acá arriba para que metros se nos cancele con metro. Colocamos esta equivalencia numérica, un metro son 100 centímetros. Allí cancelaríamos metros con metros. Ahora vamos a añadir otro factor de conversión que nos permita pasar de centímetros a pies. Utilizamos la siguiente equivalencia. Un pie es igual a 30.48 centímetros. Entonces, si centímetros está aquí, debemos colocar centímetros acá abajo y pies en la parte de arriba. Y colocamos esta equivalencia, un pie son 30.48 centímetros. De esa manera cancelaríamos centímetros con centímetros y ya tenemos pies en el numerador. Nos hace falta que en el denominador nos quede la unidad segundos. Por acá tenemos horas, entonces añadimos otro factor de conversión que nos permita pasar de horas a segundos. Entonces, una hora equivale a 3.600 segundos. Esta relación numérica la colocamos acá. Una hora son 3.600 segundos. De esta manera cancelaríamos horas con horas y nos quedan las unidades que nos piden. Es decir, pies arriba y segundos abajo. Ya lo que sigue es realizar la operación numérica. Es decir, en una calculadora multiplicamos 60 por 1.609 por 100 y dividimos por el producto de 30.48 por 3.600. Eso nos da un total de 87.98 pies sobre segundos. Que lo podríamos aproximar, el símbolo de aproximadamente igual a 88 pies sobre segundos. De esta manera hemos realizado la conversión.

[{"start": 0.0, "end": 7.0, "text": " Vamos a convertir una rapidez de 60 millas por hora a pies sobre segundo."}, {"start": 7.0, "end": 21.0, "text": " Colocamos entonces 60 millas por hora y vamos a multiplicar por el factor de conversi\u00f3n que nos permita pasar de millas, por ejemplo, a metros."}, {"start": 21.0, "end": 35.0, "text": " Entonces, una milla es igual a 1.609 metros. Colocamos millas aqu\u00ed abajo para que se nos cancele con millas y arriba metros."}, {"start": 35.0, "end": 49.0, "text": " Colocamos esta relaci\u00f3n num\u00e9rica, una milla son 1.609 metros. De esta manera cancelar\u00edamos millas."}, {"start": 49.0, "end": 57.0, "text": " A continuaci\u00f3n multiplicamos por otro factor de conversi\u00f3n que nos permita pasar, por ejemplo, de metros a cent\u00edmetros."}, {"start": 57.0, "end": 62.0, "text": " Recordemos que un metro es igual a 100 cent\u00edmetros."}, {"start": 62.0, "end": 69.0, "text": " Entonces, colocamos metros ac\u00e1 abajo y cent\u00edmetros ac\u00e1 arriba para que metros se nos cancele con metro."}, {"start": 69.0, "end": 79.0, "text": " Colocamos esta equivalencia num\u00e9rica, un metro son 100 cent\u00edmetros. All\u00ed cancelar\u00edamos metros con metros."}, {"start": 79.0, "end": 87.0, "text": " Ahora vamos a a\u00f1adir otro factor de conversi\u00f3n que nos permita pasar de cent\u00edmetros a pies."}, {"start": 87.0, "end": 95.0, "text": " Utilizamos la siguiente equivalencia. Un pie es igual a 30.48 cent\u00edmetros."}, {"start": 95.0, "end": 103.0, "text": " Entonces, si cent\u00edmetros est\u00e1 aqu\u00ed, debemos colocar cent\u00edmetros ac\u00e1 abajo y pies en la parte de arriba."}, {"start": 103.0, "end": 111.0, "text": " Y colocamos esta equivalencia, un pie son 30.48 cent\u00edmetros."}, {"start": 111.0, "end": 118.0, "text": " De esa manera cancelar\u00edamos cent\u00edmetros con cent\u00edmetros y ya tenemos pies en el numerador."}, {"start": 118.0, "end": 127.0, "text": " Nos hace falta que en el denominador nos quede la unidad segundos. Por ac\u00e1 tenemos horas, entonces a\u00f1adimos otro factor de conversi\u00f3n"}, {"start": 127.0, "end": 132.0, "text": " que nos permita pasar de horas a segundos."}, {"start": 132.0, "end": 141.0, "text": " Entonces, una hora equivale a 3.600 segundos. Esta relaci\u00f3n num\u00e9rica la colocamos ac\u00e1."}, {"start": 141.0, "end": 152.0, "text": " Una hora son 3.600 segundos. De esta manera cancelar\u00edamos horas con horas y nos quedan las unidades que nos piden."}, {"start": 152.0, "end": 156.0, "text": " Es decir, pies arriba y segundos abajo."}, {"start": 156.0, "end": 165.0, "text": " Ya lo que sigue es realizar la operaci\u00f3n num\u00e9rica. Es decir, en una calculadora multiplicamos 60 por 1.609 por 100"}, {"start": 165.0, "end": 172.0, "text": " y dividimos por el producto de 30.48 por 3.600."}, {"start": 172.0, "end": 181.0, "text": " Eso nos da un total de 87.98 pies sobre segundos."}, {"start": 181.0, "end": 192.0, "text": " Que lo podr\u00edamos aproximar, el s\u00edmbolo de aproximadamente igual a 88 pies sobre segundos."}, {"start": 192.0, "end": 195.0, "text": " De esta manera hemos realizado la conversi\u00f3n."}]

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TABLAS DE VERDAD - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo llenar una tabla de verdad propuesta, que al final es Tautología. Tema: #TablasDeVerdad → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHAWEyCGf6KKViNQ_zkSrfe REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a llenar la siguiente tabla de verdad que ya nos aparece propuesta. Para empezar, vamos a llenar la columna de P con dos opciones verdaderas y dos falsas y a continuación la columna de Q con verdadero falso, verdadero falso, es decir, intercaladas. Empecemos con la operación I, es decir, la conjunción entre P y Q. El I es verdadero solamente cuando las dos son verdaderas, como en este caso. O sea que aquí es verdadero y el resto de posibilidades van a ser falsas. Seguimos con la disyunción entre P y Q, es decir, el conectivo O. El O es falso solamente cuando las dos son falsas. O sea, aquí el resto de posibilidades van a ser verdaderas. Y por último tenemos la operación entonces, es decir, el condicional entre P y Q, es decir, esta columna de acá y P o U. Es decir, esta de acá. Nos vamos a concentrar únicamente en estas dos. Y vamos a hacer la operación entonces. El entonces es falso solamente cuando de una verdad se llega a una falsedad. Buscamos ese caso, que de verdadero llega falso. Vemos que no está, por lo tanto ninguna de las opciones va a ser falsa. Por lo tanto todas son verdaderas. Y en este caso, cuando todo da verdadero al final, tenemos lo que se conoce como una tautología. Es decir, esta proposición compuesta es una tautología.

[{"start": 0.0, "end": 4.0, "text": " Vamos a llenar la siguiente tabla de verdad que ya nos aparece propuesta."}, {"start": 4.0, "end": 11.0, "text": " Para empezar, vamos a llenar la columna de P con dos opciones verdaderas y dos falsas"}, {"start": 11.0, "end": 19.0, "text": " y a continuaci\u00f3n la columna de Q con verdadero falso, verdadero falso, es decir, intercaladas."}, {"start": 19.0, "end": 25.0, "text": " Empecemos con la operaci\u00f3n I, es decir, la conjunci\u00f3n entre P y Q."}, {"start": 25.0, "end": 31.0, "text": " El I es verdadero solamente cuando las dos son verdaderas, como en este caso."}, {"start": 31.0, "end": 37.0, "text": " O sea que aqu\u00ed es verdadero y el resto de posibilidades van a ser falsas."}, {"start": 37.0, "end": 44.0, "text": " Seguimos con la disyunci\u00f3n entre P y Q, es decir, el conectivo O."}, {"start": 44.0, "end": 50.0, "text": " El O es falso solamente cuando las dos son falsas."}, {"start": 50.0, "end": 56.0, "text": " O sea, aqu\u00ed el resto de posibilidades van a ser verdaderas."}, {"start": 56.0, "end": 67.0, "text": " Y por \u00faltimo tenemos la operaci\u00f3n entonces, es decir, el condicional entre P y Q, es decir, esta columna de ac\u00e1 y P o U."}, {"start": 67.0, "end": 69.0, "text": " Es decir, esta de ac\u00e1."}, {"start": 69.0, "end": 72.0, "text": " Nos vamos a concentrar \u00fanicamente en estas dos."}, {"start": 72.0, "end": 74.0, "text": " Y vamos a hacer la operaci\u00f3n entonces."}, {"start": 74.0, "end": 80.0, "text": " El entonces es falso solamente cuando de una verdad se llega a una falsedad."}, {"start": 80.0, "end": 84.0, "text": " Buscamos ese caso, que de verdadero llega falso."}, {"start": 84.0, "end": 89.0, "text": " Vemos que no est\u00e1, por lo tanto ninguna de las opciones va a ser falsa."}, {"start": 89.0, "end": 92.0, "text": " Por lo tanto todas son verdaderas."}, {"start": 92.0, "end": 100.0, "text": " Y en este caso, cuando todo da verdadero al final, tenemos lo que se conoce como una tautolog\u00eda."}, {"start": 100.0, "end": 107.0, "text": " Es decir, esta proposici\u00f3n compuesta es una tautolog\u00eda."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=aGJ00fU5Cik

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

#julioprofe explica cómo sumar y restar números enteros. Videos de #NúmerosEnteros → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFmPtR9zFQN2cpK9QL7X8w9 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Veamos las siguientes operaciones de suma y resta de números enteros menos 13 más 11 como son de signos contrarios debemos restar el mayor menos el menor es decir a 13 le restamos 11 eso nos da 2 y queda el resultado con el signo del mayor es decir signo negativo es como si tuviéramos una deuda de 13 pero tenemos 11 entonces pagamos los 11 pero quedamos debiendo 2 debemos primero destruir el paréntesis aplicando ley de los signos en este caso porque tenemos signos vecinos eso nos quedaría menos 27 más con menos nos da menos 7 en este caso como los dos son negativos se suman sus numeritos sus valores absolutos es decir 27 se suma con 7 eso nos queda 34 y como los dos son negativos entonces el resultado también será negativo es como tener una deuda de 27 y adquirir otra deuda de 7 entonces tenemos en total 34 aquí menos 21 más 43 como son de signos contrarios a 43 le debemos quitar 21 eso nos da 22 y 22 queda con el signo del mayor es decir signo positivo la respuesta sería más 22 que lo podemos escribir simplemente como 22 es como si debiéramos 21 pero tenemos 43 entonces en ese caso podemos pagar lo que debemos y quedamos con 22 a nuestro favor veamos acá 35 más menos 40 nuevamente tenemos los signos vecinos debemos aplicar ley de los signos aquí para destruir el paréntesis entonces nos queda 35 más o menos nos da menos 40 son de signos contrarios uno positivo otro negativo entonces a 40 le quitamos 35 eso nos da 5 y colocamos el signo del mayor es decir signo negativo aquí es como si tuviéramos 35 pero debiéramos 40 entonces pagamos los 35 que tenemos pero quedamos debiendo 5 acá 7 menos 21 son de signos contrarios uno positivo otro negativo debemos restarlos a 21 le quitamos 7 eso nos da 14 y 14 lleva el signo del mayor es decir signo negativo nuevamente es como si tuviéramos 7 y debiéramos 21 entonces pagamos los 7 y quedamos debiendo 14 aquí menos 22 menos con menos signos vecinos eso nos da más 22 estos se llaman números opuestos uno negativo otro positivo cuando tenemos la interacción de los números opuestos como en este caso eso nos da 0 porque es como si debiéramos 22 y tuviéramos 22 entonces pagamos lo que debemos y quedamos en 0 nuevamente los signos vecinos quedaría 14 menos con menos queda más 18 queda una suma de los números enteros positivos es decir dos números naturales se suman común y corriente eso nos da 32 y para terminar menos 29 menos 31 como ambos son negativos se suma 29 con 31 eso nos da 60 y el resultado será negativo es como si debiéramos 29 y tuviéramos otra deuda de 31 entonces en total debemos 60

[{"start": 0.0, "end": 4.44, "text": " Veamos las siguientes operaciones de suma y resta de n\u00fameros enteros"}, {"start": 4.44, "end": 6.0, "text": " menos 13 m\u00e1s 11"}, {"start": 6.0, "end": 6.78, "text": " como son"}, {"start": 6.78, "end": 8.28, "text": " de signos contrarios"}, {"start": 8.28, "end": 11.120000000000001, "text": " debemos restar el mayor menos el menor"}, {"start": 11.120000000000001, "end": 13.0, "text": " es decir a 13"}, {"start": 13.0, "end": 17.080000000000002, "text": " le restamos 11 eso nos da 2"}, {"start": 17.080000000000002, "end": 20.36, "text": " y queda el resultado con el signo del mayor es decir"}, {"start": 20.36, "end": 21.84, "text": " signo negativo"}, {"start": 21.84, "end": 25.48, "text": " es como si tuvi\u00e9ramos una deuda de 13"}, {"start": 25.48, "end": 27.0, "text": " pero tenemos 11"}, {"start": 27.0, "end": 32.12, "text": " entonces pagamos los 11 pero quedamos debiendo 2"}, {"start": 32.12, "end": 34.36, "text": " debemos primero destruir el par\u00e9ntesis"}, {"start": 34.36, "end": 37.0, "text": " aplicando ley de los signos en este caso"}, {"start": 37.0, "end": 39.2, "text": " porque tenemos signos vecinos"}, {"start": 39.2, "end": 41.88, "text": " eso nos quedar\u00eda menos 27"}, {"start": 41.88, "end": 46.6, "text": " m\u00e1s con menos nos da menos 7"}, {"start": 46.6, "end": 48.92, "text": " en este caso como los dos son negativos"}, {"start": 48.92, "end": 50.6, "text": " se suman sus"}, {"start": 50.6, "end": 53.0, "text": " numeritos sus valores absolutos"}, {"start": 53.0, "end": 55.519999999999996, "text": " es decir 27 se suma con 7"}, {"start": 55.519999999999996, "end": 56.64, "text": " eso nos queda"}, {"start": 56.64, "end": 58.08, "text": " 34"}, {"start": 58.08, "end": 61.84, "text": " y como los dos son negativos entonces el resultado tambi\u00e9n ser\u00e1 negativo"}, {"start": 61.84, "end": 64.88, "text": " es como tener una deuda de 27"}, {"start": 64.88, "end": 67.32, "text": " y adquirir otra deuda de 7"}, {"start": 67.32, "end": 70.2, "text": " entonces tenemos en total 34"}, {"start": 70.2, "end": 72.72, "text": " aqu\u00ed menos 21 m\u00e1s 43"}, {"start": 72.72, "end": 74.4, "text": " como son de signos contrarios"}, {"start": 74.4, "end": 77.68, "text": " a 43 le debemos quitar 21"}, {"start": 77.68, "end": 81.08, "text": " eso nos da 22"}, {"start": 81.08, "end": 83.36, "text": " y 22 queda con el signo del mayor"}, {"start": 83.36, "end": 85.48, "text": " es decir signo positivo"}, {"start": 85.48, "end": 89.08, "text": " la respuesta ser\u00eda m\u00e1s 22 que lo podemos escribir"}, {"start": 89.08, "end": 91.12, "text": " simplemente como 22"}, {"start": 91.12, "end": 91.92, "text": " es como si"}, {"start": 91.92, "end": 94.96000000000001, "text": " debi\u00e9ramos 21 pero tenemos 43"}, {"start": 94.96000000000001, "end": 101.52000000000001, "text": " entonces en ese caso podemos pagar lo que debemos y quedamos con 22 a nuestro favor"}, {"start": 101.52000000000001, "end": 104.2, "text": " veamos ac\u00e1 35 m\u00e1s menos 40"}, {"start": 104.2, "end": 106.64, "text": " nuevamente tenemos los signos vecinos"}, {"start": 106.64, "end": 109.08000000000001, "text": " debemos aplicar ley de los signos aqu\u00ed"}, {"start": 109.08000000000001, "end": 111.36, "text": " para destruir el par\u00e9ntesis"}, {"start": 111.36, "end": 113.32000000000001, "text": " entonces nos queda 35"}, {"start": 113.32, "end": 116.16, "text": " m\u00e1s o menos nos da menos"}, {"start": 116.16, "end": 117.96, "text": " 40"}, {"start": 117.96, "end": 121.47999999999999, "text": " son de signos contrarios uno positivo otro negativo"}, {"start": 121.47999999999999, "end": 124.39999999999999, "text": " entonces a 40 le quitamos 35"}, {"start": 124.39999999999999, "end": 125.88, "text": " eso nos da 5"}, {"start": 125.88, "end": 130.24, "text": " y colocamos el signo del mayor es decir signo negativo"}, {"start": 130.24, "end": 133.84, "text": " aqu\u00ed es como si tuvi\u00e9ramos 35"}, {"start": 133.84, "end": 135.56, "text": " pero debi\u00e9ramos 40"}, {"start": 135.56, "end": 139.0, "text": " entonces pagamos los 35 que tenemos pero quedamos"}, {"start": 139.0, "end": 140.68, "text": " debiendo 5"}, {"start": 140.68, "end": 145.52, "text": " ac\u00e1 7 menos 21 son de signos contrarios uno positivo otro negativo"}, {"start": 145.52, "end": 147.32, "text": " debemos restarlos"}, {"start": 147.32, "end": 151.96, "text": " a 21 le quitamos 7 eso nos da 14"}, {"start": 151.96, "end": 154.28, "text": " y 14 lleva el signo del mayor"}, {"start": 154.28, "end": 156.52, "text": " es decir signo negativo"}, {"start": 156.52, "end": 160.04000000000002, "text": " nuevamente es como si tuvi\u00e9ramos 7 y debi\u00e9ramos 21"}, {"start": 160.04000000000002, "end": 162.0, "text": " entonces pagamos los 7"}, {"start": 162.0, "end": 164.32, "text": " y quedamos debiendo 14"}, {"start": 164.32, "end": 168.04000000000002, "text": " aqu\u00ed menos 22"}, {"start": 168.04, "end": 173.72, "text": " menos con menos signos vecinos eso nos da m\u00e1s 22"}, {"start": 173.72, "end": 178.12, "text": " estos se llaman n\u00fameros opuestos uno negativo otro positivo"}, {"start": 178.12, "end": 183.84, "text": " cuando tenemos la interacci\u00f3n de los n\u00fameros opuestos como en este caso eso nos da 0"}, {"start": 183.84, "end": 186.48, "text": " porque es como si debi\u00e9ramos 22"}, {"start": 186.48, "end": 190.48, "text": " y tuvi\u00e9ramos 22 entonces pagamos lo que debemos"}, {"start": 190.48, "end": 192.84, "text": " y quedamos en 0"}, {"start": 192.84, "end": 194.95999999999998, "text": " nuevamente los signos vecinos"}, {"start": 194.96, "end": 200.0, "text": " quedar\u00eda 14 menos con menos queda m\u00e1s 18"}, {"start": 200.0, "end": 201.24, "text": " queda una suma"}, {"start": 201.24, "end": 205.20000000000002, "text": " de los n\u00fameros enteros positivos es decir dos n\u00fameros naturales"}, {"start": 205.20000000000002, "end": 207.28, "text": " se suman com\u00fan y corriente"}, {"start": 207.28, "end": 210.52, "text": " eso nos da 32"}, {"start": 210.52, "end": 213.52, "text": " y para terminar menos 29 menos 31"}, {"start": 213.52, "end": 217.28, "text": " como ambos son negativos se suma 29 con 31"}, {"start": 217.28, "end": 219.04000000000002, "text": " eso nos da 60"}, {"start": 219.04000000000002, "end": 221.12, "text": " y el resultado ser\u00e1 negativo"}, {"start": 221.12, "end": 223.76000000000002, "text": " es como si debi\u00e9ramos 29"}, {"start": 223.76, "end": 226.51999999999998, "text": " y tuvi\u00e9ramos otra deuda de 31"}, {"start": 226.52, "end": 254.16000000000003, "text": " entonces en total debemos 60"}]

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TABLAS DE VERDAD - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo llenar una tabla de verdad propuesta, que al final es indeterminación. Tema: #TablasDeVerdad → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHAWEyCGf6KKViNQ_zkSrfe REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a llegar a esta tabla de verdad que ya parece propuesta. Para empezar llenamos la columna dp con dos opciones verdaderas y dos falsas. A continuación llenamos q con verdadero falso. Empezamos con la operación entonces, o sea el condicional entre p y q. El condicional es falso solamente cuando de una verdad se llega a una falsedad. Es decir aquí, el resto de posibilidades van a ser verdaderas. Seguimos con el bicondicional o doble implicación entre p y q. El conectivo llamado si y solo si. p, si y solo si q solamente va a ser verdadero cuando las dos proposiciones tengan el mismo valor de verdad. Es decir, si las dos son verdaderas o las dos son falsas. En esos dos casos nos da verdadero, por lo tanto las otras dos son falsas. Y para terminar debemos hacer la disyunción entre p entonces q que es esta columna de aquí y el bicondicional entre p y q. Es decir esta de acá. Entonces la disyunción es falsa solamente cuando las dos son falsas. Entonces buscamos ese caso, aquí lo encontramos, falso o falso nos da falso. Seguimos, no hay más. Quiere decir que el resto de posibilidades son verdaderas. En este caso hemos obtenido lo que se llama una indeterminación. Es decir, cuando el resultado final no es ni todo verdadero ni todo falso, sino que aparecen combinadas los valores de verdad. Gracias.

[{"start": 0.0, "end": 4.0, "text": " Vamos a llegar a esta tabla de verdad que ya parece propuesta."}, {"start": 4.0, "end": 11.0, "text": " Para empezar llenamos la columna dp con dos opciones verdaderas y dos falsas."}, {"start": 11.0, "end": 16.0, "text": " A continuaci\u00f3n llenamos q con verdadero falso."}, {"start": 16.0, "end": 22.0, "text": " Empezamos con la operaci\u00f3n entonces, o sea el condicional entre p y q."}, {"start": 22.0, "end": 27.0, "text": " El condicional es falso solamente cuando de una verdad se llega a una falsedad."}, {"start": 27.0, "end": 32.0, "text": " Es decir aqu\u00ed, el resto de posibilidades van a ser verdaderas."}, {"start": 32.0, "end": 38.0, "text": " Seguimos con el bicondicional o doble implicaci\u00f3n entre p y q."}, {"start": 38.0, "end": 41.0, "text": " El conectivo llamado si y solo si."}, {"start": 41.0, "end": 49.0, "text": " p, si y solo si q solamente va a ser verdadero cuando las dos proposiciones tengan el mismo valor de verdad."}, {"start": 49.0, "end": 53.0, "text": " Es decir, si las dos son verdaderas o las dos son falsas."}, {"start": 53.0, "end": 61.0, "text": " En esos dos casos nos da verdadero, por lo tanto las otras dos son falsas."}, {"start": 61.0, "end": 70.0, "text": " Y para terminar debemos hacer la disyunci\u00f3n entre p entonces q que es esta columna de aqu\u00ed y el bicondicional entre p y q."}, {"start": 70.0, "end": 72.0, "text": " Es decir esta de ac\u00e1."}, {"start": 72.0, "end": 77.0, "text": " Entonces la disyunci\u00f3n es falsa solamente cuando las dos son falsas."}, {"start": 77.0, "end": 83.0, "text": " Entonces buscamos ese caso, aqu\u00ed lo encontramos, falso o falso nos da falso."}, {"start": 83.0, "end": 85.0, "text": " Seguimos, no hay m\u00e1s."}, {"start": 85.0, "end": 89.0, "text": " Quiere decir que el resto de posibilidades son verdaderas."}, {"start": 89.0, "end": 94.0, "text": " En este caso hemos obtenido lo que se llama una indeterminaci\u00f3n."}, {"start": 94.0, "end": 106.0, "text": " Es decir, cuando el resultado final no es ni todo verdadero ni todo falso, sino que aparecen combinadas los valores de verdad."}, {"start": 106.0, "end": 107.0, "text": " Gracias."}]

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PORCENTAJES - Problema 1

#julioprofe explica cómo resolver un problema donde hay que determinar un porcentaje. Tema: #Porcentajes → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGRI4dqGNnmeHBqw_otEp8B REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Un hotel tiene 300 habitaciones de las cuales 60 están vacías. ¿Cuál es el porcentaje de ocupación? Vamos a organizar la información de este problema en dos columnas, una que diga habitaciones y la otra que diga porcentaje. Las 300 habitaciones que tiene el hotel corresponden al 100%, es decir, la totalidad. Vamos a determinar cuántas habitaciones son las que están ocupadas porque nos interesa encontrar el porcentaje de ocupación. Si el hotel tiene 300 habitaciones y 60 están vacías, entonces la diferencia entre 300 y 60, es decir, 240, nos va a dar el total de habitaciones ocupadas. Y queremos saber eso a qué porcentaje corresponde. Entonces utilizamos la letra X para designar la incógnita. Esto es lo que se llama una regla de tres, simple, directa y el despeje rápido de la incógnita X se hace de la siguiente manera. Se multiplican estos dos valores, 240 por 100 y se divide por el 300 que es el dato que nos queda sobrante. Podemos simplificar eliminando ceros, podemos quitar estos dos ceros del 300 con los dos ceros del 100 y podemos simplificar también 240 con 3. Podríamos sacarle tercera al 3 que es igual a 1 y tercera a 240 que es 80. Como no se puede simplificar nada más encontramos el valor de la X que es igual a 80. La respuesta entonces sería que el porcentaje de ocupación del hotel es del 80 por ciento.

[{"start": 0.0, "end": 5.6000000000000005, "text": " Un hotel tiene 300 habitaciones de las cuales 60 est\u00e1n vac\u00edas. \u00bfCu\u00e1l es el porcentaje de ocupaci\u00f3n?"}, {"start": 6.2, "end": 12.3, "text": " Vamos a organizar la informaci\u00f3n de este problema en dos columnas, una que diga habitaciones"}, {"start": 13.24, "end": 15.6, "text": " y la otra que diga porcentaje."}, {"start": 16.080000000000002, "end": 22.36, "text": " Las 300 habitaciones que tiene el hotel corresponden al 100%, es decir, la totalidad."}, {"start": 22.36, "end": 29.36, "text": " Vamos a determinar cu\u00e1ntas habitaciones son las que est\u00e1n ocupadas porque nos interesa encontrar el porcentaje de ocupaci\u00f3n."}, {"start": 29.36, "end": 42.36, "text": " Si el hotel tiene 300 habitaciones y 60 est\u00e1n vac\u00edas, entonces la diferencia entre 300 y 60, es decir, 240, nos va a dar el total de habitaciones ocupadas."}, {"start": 42.36, "end": 51.36, "text": " Y queremos saber eso a qu\u00e9 porcentaje corresponde. Entonces utilizamos la letra X para designar la inc\u00f3gnita."}, {"start": 51.36, "end": 60.36, "text": " Esto es lo que se llama una regla de tres, simple, directa y el despeje r\u00e1pido de la inc\u00f3gnita X se hace de la siguiente manera."}, {"start": 60.36, "end": 71.36, "text": " Se multiplican estos dos valores, 240 por 100 y se divide por el 300 que es el dato que nos queda sobrante."}, {"start": 71.36, "end": 78.36, "text": " Podemos simplificar eliminando ceros, podemos quitar estos dos ceros del 300 con los dos ceros del 100"}, {"start": 78.36, "end": 90.36, "text": " y podemos simplificar tambi\u00e9n 240 con 3. Podr\u00edamos sacarle tercera al 3 que es igual a 1 y tercera a 240 que es 80."}, {"start": 90.36, "end": 97.36, "text": " Como no se puede simplificar nada m\u00e1s encontramos el valor de la X que es igual a 80."}, {"start": 97.36, "end": 108.36, "text": " La respuesta entonces ser\u00eda que el porcentaje de ocupaci\u00f3n del hotel es del 80 por ciento."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=PUG2If5MqZ0

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

#julioprofe explica cómo multiplicar y dividir números enteros. Videos de #NúmerosEnteros → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFmPtR9zFQN2cpK9QL7X8w9 REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Veamos las siguientes operaciones de multiplicación y división de números enteros. Recordemos que aquí en multiplicación y división de enteros sí se aplica la ley de los signos. Esa que dice que más con más da más, más con menos da menos, menos con más da menos, y menos con menos nos da más. Esta es la ley de los signos que es exclusiva para la multiplicación y división. No se aplica en suma y resta. Veamos entonces cómo nos quedaría. Menos once por menos dos multiplicamos once por dos, eso nos da veintidós, y menos por menos nos da más. Esto es igual simplemente a veintidós. Siempre que veamos un número seguido de otro que está entre paréntesis, allí hay multiplicación. Lo que pasa es que el signo de la multiplicación es invisible en ese momento. Es como acá, esto es trece por menos tres, multiplicamos trece por tres, eso nos da treinta y nueve, y positivo con negativo, más con menos nos da menos, el resultado sería menos treinta y nueve. Menos diez por veinticuatro, multiplicamos diez por veinticuatro, eso nos da doscientos cuarenta, y ahora cuadramos el signo. Negativo por positivo nos da negativo. Acá tenemos la multiplicación de tres números negativos, vamos a hacer primero la parte numérica. Tres por cuatro, doce por dos, veinticuatro, ahora cuadramos el signo. Menos por menos da más, y más con menos nos da menos, el resultado sería entonces menos veinticuatro. Acá treinta y seis dividido entre nueve, tenemos una división de dos números enteros positivos naturales normales, entonces treinta y seis dividido entre nueve nos da cuatro positivo, porque ambos son positivos. En este caso, menos cincuenta y seis dividido entre ocho, dividimos los números cincuenta y seis entre ocho, eso nos da siete, y negativo con positivo nos da negativo. Acá menos dieciocho dividido entre menos seis, hacemos la parte numérica, dieciocho dividido entre seis nos da tres, y menos con menos nos da más, entonces el resultado es simplemente tres. Y acá noventa y seis dividido entre menos cuatro, vamos a hacer la división entre noventa y seis y cuatro, el cuatro en el nueve cabe dos veces, dos por cuatro es ocho, restamos, a nueve le quitamos ocho nos da uno, bajamos el seis, el cuatro en el dieciséis, cabe cuatro veces, cuatro por cuatro es dieciséis, restamos, eso nos da cero. Esta es la división que se utiliza normalmente en los países de Latinoamérica, en otros países como Estados Unidos, la división se hace de la siguiente manera, noventa y seis dividido entre cuatro, es decir, el dividendo va aquí, y el divisor va por acá, decimos el cuatro en el nueve, cabe dos veces, cuatro por dos es ocho, restamos, nueve menos ocho nos da uno, bajamos el seis, cuatro en dieciséis, cabe cuatro veces, cuatro por cuatro es dieciséis, restamos, eso nos da cero. El resultado sería entonces veinticuatro, colocamos entonces el veinticuatro, ley de los signos, más con menos nos da menos.

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

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En un triángulo rectángulo ABC el cateto AC mide 12 centímetros y el cateto BC mide 5 centímetros. Hayar las 6 funciones trigonométricas del ángulo B. Vamos a hacer un dibujo de un triángulo rectángulo para ubicar la información que nos está dando el problema. Ahí tenemos el triángulo rectángulo. El problema nos dice que el cateto AC mide 12 centímetros y que el cateto BC mide 5 centímetros. Como podemos ver aquí, la letra que tienen en común los dos catetos es la letra C. Por lo tanto, C va a ser el vértice del triángulo donde está el ángulo recto. Vamos a colocar aquí la letra A para que el cateto AC, que es el mayor, el de 12 centímetros, corresponda con el dibujo. Y aquí colocamos la letra B para que el cateto BC, que es el menor, también corresponda al dibujo. Ahí tenemos entonces ubicada la información que nos da el problema. Nos piden encontrar las 6 funciones trigonométricas de este ángulo que es B. Pero nos hace falta conocer el valor de la hipotenusa. Entonces, allí es cuando vamos a utilizar el teorema de Pitágoras. Pitágoras dice que la hipotenusa al cuadrado, vamos a llamarla AB al cuadrado, va a ser igual a este cateto al cuadrado más el otro cateto 12 al cuadrado. Vamos a resolver entonces esta expresión para AB. 5 al cuadrado es 25, 12 al cuadrado son 144. Nos queda entonces que AB al cuadrado es igual a 169. Sacamos raíz cuadrada a los dos lados para poder despejar AB. Y la raíz cuadrada de 169 nos da 13. Y por acá nos da AB. Conclusión, la hipotenusa tiene un valor de 13 centímetros, el lado AB. Bien, ya con los tres lados conocidos vamos a aplicar entonces lo que se llama Zocatoa, que es la técnica para recordar lo que es seno-cosémica. Vamos a sacar entonces el seno del ángulo B. Vamos a poner un techo aquí al ángulo B, entonces aplicamos la relación que dice acá, seno se define como cateto opuesto sobre hipotenusa. El cateto opuesto a B vale 12 y la hipotenusa del triángulo vale 13. Entonces el seno del ángulo B vale 12 trece abos, esa fracción queda así porque no se puede simplificar. Entonces podemos sacar la recíproca del seno que es la función cosecante. Cosecante de B va a ser igual a invertir esta fracción porque cosecante es uno sobre seno de B. Por lo tanto nos va a quedar 13 doce abos. Vamos con el coseno. El coseno del ángulo B según lo que dice acá, coseno es igual a cateto adyacente sobre hipotenusa. El cateto adyacente al ángulo B es este cateto que vale 5, es el cateto que hace contacto con el ángulo. Entonces sería cateto adyacente 5 sobre la hipotenusa que vale 13. La recíproca del coseno va a ser la función secante. Y secante del ángulo B va a ser igual a invertir esta fracción, es decir, trece quintos. Vamos finalmente con la tangente del ángulo B. Tangente se define como cateto opuesto sobre cateto adyacente. El cateto opuesto al ángulo B vale 12, sobre el cateto adyacente al ángulo B que es el que vale 5. Ya tenemos entonces la tangente. Invirtiendo esto nos da la cotangente del ángulo B que sería entonces igual a 5 doce abos. De esta manera tenemos entonces las seis funciones críconométricas del ángulo B.

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VALOR EXACTO DE Cos(7π/12)

#julioprofe explica cómo hallar el valor exacto del coseno de un ángulo usando ángulos notables. Tema: #ExpresionesTrigonométricas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwFlBrNZ8-r2N31lp0Rj-HQe REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a determinar el valor exacto del coseno de 7T12A2. Para empezar, vamos a convertir este ángulo que se encuentra en radianes, vamos a llevarlo a grados. Para eso, debemos multiplicar por el factor de conversión que nos permite pasar de radianes a grados. Colocamos radianes en la parte de abajo para que se nos cancele con radianes, y grados en la parte de arriba. Pi radianes equivale a 180 grados. De esta manera, eliminamos radianes, eliminamos pi, nos queda entonces arriba 7 por 180, abajo nos queda el 12, y todo esto nos va a quedar en grados. Vamos a simplificar aquí, podemos sacarle por ejemplo, 6 al 12, sexta de 12 nos da 2, sexta de 180 nos da 30, podríamos sacar aquí mitad de 2 es 1, mitad de 30 es 15, y finalmente multiplicaríamos arriba 7 por 15, 7 por 5 es 35, llevamos 3, 7 por 1 es 7, y 3 que llevamos son 10. Nos da entonces un total de 105 grados. Quiere decir esto, que el ángulo de 7 pi 12 AUS es igual, pongámoslo por acá, a 105 grados. Bien, pero 105 grados no es un ángulo notable, entonces vamos a descomponerlo como la suma o resta de dos ángulos que sí sean notables. Es decir, podríamos colocarlo por ejemplo como la suma de 60 y 45 grados. Es decir, vamos a utilizar en este caso la pórmula para el coseno de la suma de dos ángulos. Vamos a recortarla por acá, si tenemos el coseno de A más B, eso es igual a coseno de A por coseno de B menos seno de A por seno de B. Vamos a recortarla entonces, en este caso 60 hace el papel de la A y 45 hace el papel de la B. Entonces nos va a quedar así, coseno de A, es decir, coseno de 60 grados, por coseno de B, por seno de 45 grados, menos seno de A, es decir, seno de 60 grados, por seno de B, es decir, seno de 45 grados. Coseno de 60 equivale a 1 medio, por seno de 45 equivale a raíz de 2 medios, menos seno de 60 equivale a raíz de 3 medios, por seno de 45 que equivale a raíz de 2 medios. Vamos a continuarlo por acá. Aquí multiplicamos en forma horizontal, nos va a quedar entonces arriba raíz de 2 sobre 4, menos aquí multiplicando en forma horizontal raíz de 3 por raíz de 2, eso nos da raíz de 6, y abajo 2 por 2 nos queda igual. Hemos llegado a una resta de fracciones de igual denominador, es decir, fracciones homogéneas. Entonces, dejamos el mismo denominador que es 4, y arriba restamos los numeradores, quedándonos entonces raíz de 2 menos raíz de 6. Esta sería entonces la respuesta a nuestro ejercicio, es decir, el valor exacto del coseno de 7 pi 12 a 2.

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CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES - Ejercicio 4

#julioprofe explica cómo convertir la medida de un ángulo de grados a radianes. REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a convertir un ángulo de 750 grados en radianes. Veamos cómo es el procedimiento. 750 grados debemos multiplicarlo por el factor de conversión que nos permite pasar de grados a radianes. Colocamos grados en la parte de abajo para que se nos cancela con grados de la parte de arriba. La equivalencia numérica entre radianes y grados dice que pi radianes es igual a 180 grados. De esta manera cancelamos grados con grados y lo que nos queda ya es la operación numérica. En el numerador tendríamos 750 por pi, es decir 750 pi, y en el denominador nos quedaría 180. Y ahora procedemos a simplificar 750 con 180. Para empezar podríamos quitarle este 0, que es como sacar décima arriba y abajo. Nos queda 75 y 18, le podríamos sacar por ejemplo tercera. Tercera de 75 es 25, tercera de 18 nos da 6. 25 y 6 son números que no tienen divisores en común, por lo tanto el resultado sería 25 pi sextos radianes, lo que es entonces la equivalencia de 750 grados.

[{"start": 0.0, "end": 5.0, "text": " Vamos a convertir un \u00e1ngulo de 750 grados en radianes."}, {"start": 5.0, "end": 7.0, "text": " Veamos c\u00f3mo es el procedimiento."}, {"start": 7.0, "end": 12.0, "text": " 750 grados debemos multiplicarlo por el factor de conversi\u00f3n"}, {"start": 12.0, "end": 16.0, "text": " que nos permite pasar de grados a radianes."}, {"start": 16.0, "end": 22.0, "text": " Colocamos grados en la parte de abajo para que se nos cancela con grados de la parte de arriba."}, {"start": 22.0, "end": 26.0, "text": " La equivalencia num\u00e9rica entre radianes y grados dice"}, {"start": 26.0, "end": 31.0, "text": " que pi radianes es igual a 180 grados."}, {"start": 31.0, "end": 38.0, "text": " De esta manera cancelamos grados con grados y lo que nos queda ya es la operaci\u00f3n num\u00e9rica."}, {"start": 38.0, "end": 44.0, "text": " En el numerador tendr\u00edamos 750 por pi, es decir 750 pi,"}, {"start": 44.0, "end": 48.0, "text": " y en el denominador nos quedar\u00eda 180."}, {"start": 48.0, "end": 53.0, "text": " Y ahora procedemos a simplificar 750 con 180."}, {"start": 53.0, "end": 59.0, "text": " Para empezar podr\u00edamos quitarle este 0, que es como sacar d\u00e9cima arriba y abajo."}, {"start": 59.0, "end": 64.0, "text": " Nos queda 75 y 18, le podr\u00edamos sacar por ejemplo tercera."}, {"start": 64.0, "end": 71.0, "text": " Tercera de 75 es 25, tercera de 18 nos da 6."}, {"start": 71.0, "end": 75.0, "text": " 25 y 6 son n\u00fameros que no tienen divisores en com\u00fan,"}, {"start": 75.0, "end": 83.0, "text": " por lo tanto el resultado ser\u00eda 25 pi sextos radianes,"}, {"start": 83.0, "end": 106.0, "text": " lo que es entonces la equivalencia de 750 grados."}]

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ECUACIONES CUADRÁTICAS POR FÓRMULA GENERAL - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación cuadrática utilizando la Fórmula Cuadrática. Tema: #EcuacionesCuadráticas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEpWydxanXYPVtKm67Wn9HN REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a solucionar esta ecuación, para empezar vamos a hacer aquí propiedad distributiva Vamos a distribuir 5x por estar multiplicando a este binomio Veamos, 5x por x nos queda 5x al cuadrado más 5x por 2 nos da 10x más 6 y de una vez vamos a pasar este 3 al otro lado del igual pasaría negativo y esto queda igual a cero ¿Por qué hacemos esto? Porque esto empieza a tomar forma de ecuación cuadrática y la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero para poder ser resuelta entonces nos queda 5x al cuadrado más 10x, 6 menos 3 nos queda más 3 igual a cero y allí hemos llegado entonces al modelo de una ecuación cuadrática que dice a x al cuadrado más bx más c igual a cero allí podemos apreciar que a vale 5, que d vale 10 y que c vale 3 Vamos a resolver esta ecuación cuadrática por la, lo que es la fórmula cuadrática entonces nos va a quedar así La fórmula cuadrática dice que x es igual a menos b más o menos la raíz cuadrada de b al cuadrado menos 4ac todo esto sobre 2a Allí está la fórmula cuadrática que en algunas partes también se conoce como fórmula del bachiller en otras se conoce también como fórmula del estudiante Para resolver con éxito la fórmula cuadrática es recomendable hacer lo siguiente abrir un paréntesis para cada una de las letricas y después ir llenando cada uno de esos paréntesis con los valores numéricos por ejemplo aquí va lo que es la b que vale 10, aquí nuevamente la b que vale 10 aquí va la a que vale 5, aquí va el valor de la c que es igual a 3 y aquí va el valor de la a que es igual a 5 de esa manera tenemos ya conformada la fórmula cuadrática ahora nos dedicamos a resolver las operaciones aquí nos queda menos 10 más o menos la raíz cuadrada de b veamos 10 al cuadrado eso es igual a 100 menos 4 por 5 20 por 3 60 todo esto sobre 2 por 5 que es igual a 10 vamos a resolver aquí dentro de la raíz eso nos quedaría entonces 100 menos 60 40 vamos a colocar los dinamites aquí, acortamos la raíz y podemos simplificar lo que es raíz de 40 veamos 40 si lo descomponemos en factores primos nos da mitad 20 mitad 10 mitad 5 quinta 1 es decir esto es 2 a la 3 por 5 pero como tenemos 40 dentro de una raíz cuadrada nos conviene desbaratar 2 a la 3 como 2 a la 2 por 2 por 5 eso con el objetivo de poder simplificar la raíz sacando este 2 a la 2 veamos eso nos queda así menos 10 más o menos raíz cuadrada de cambiamos 40 por 2 a la 2 por 2 y por 5 todo esto sobre 10 vamos a continuar entonces volvemos por acá nos queda menos 10 más o menos aquí de esta raíz sale este 2 sale como 2 a la 1 y dentro de la raíz queda el 2 y el 5 atrapados sin poder salir entonces 2 por 5 nos da 10 todo esto sobre 10 a continuación vamos a repartir este 10 para ambos términos del numerador ojo por ningún motivo vamos a cancelar estos dos números no se pueden ir porque arriba tenemos suma y resta por lo tanto debe hacerse esto repartir el denominador 10 para los dos términos que tenemos en el numerador y allí si podemos simplificar por ejemplo acá menos 10 sobre 10 eso nos queda menos 1 más o menos aquí puedo simplificar 2 con 10 sacamos mitad nos queda entonces arriba raíz de 10 y acompañada de 1 y abajo la mitad de 10 que sería igual a 5 allí podemos entonces ya tomar dos caminos que nos van a conducir a las soluciones x1 y x2 que son las soluciones de una ecuación cuadrática la primera va a ser entonces menos 1 más raíz de 10 sobre 5 que si lo hacemos en una calculadora esto nos da aproximadamente igual a menos 1.63 ahí está la primera solución x2 sería cuando tomemos la opción positiva entonces sería menos 1 más raíz de 10 sobre 5 que realizándolo en la calculadora nos da aproximadamente menos 0.37 de esta manera entonces hemos resuelto la ecuación que finalmente se convierte en cuadrática y que por lo tanto tiene dos soluciones

[{"start": 0.0, "end": 6.0, "text": " Vamos a solucionar esta ecuaci\u00f3n, para empezar vamos a hacer aqu\u00ed propiedad distributiva"}, {"start": 6.0, "end": 10.0, "text": " Vamos a distribuir 5x por estar multiplicando a este binomio"}, {"start": 10.0, "end": 14.0, "text": " Veamos, 5x por x nos queda 5x al cuadrado"}, {"start": 14.0, "end": 18.0, "text": " m\u00e1s 5x por 2 nos da 10x"}, {"start": 18.0, "end": 23.0, "text": " m\u00e1s 6 y de una vez vamos a pasar este 3 al otro lado del igual"}, {"start": 23.0, "end": 27.0, "text": " pasar\u00eda negativo y esto queda igual a cero"}, {"start": 27.0, "end": 33.0, "text": " \u00bfPor qu\u00e9 hacemos esto? Porque esto empieza a tomar forma de ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica"}, {"start": 33.0, "end": 39.0, "text": " y la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica debe estar igualada a cero para poder ser resuelta"}, {"start": 39.0, "end": 48.0, "text": " entonces nos queda 5x al cuadrado m\u00e1s 10x, 6 menos 3 nos queda m\u00e1s 3 igual a cero"}, {"start": 48.0, "end": 53.0, "text": " y all\u00ed hemos llegado entonces al modelo de una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica que dice"}, {"start": 53.0, "end": 58.0, "text": " a x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c igual a cero"}, {"start": 58.0, "end": 69.0, "text": " all\u00ed podemos apreciar que a vale 5, que d vale 10 y que c vale 3"}, {"start": 69.0, "end": 76.0, "text": " Vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica por la, lo que es la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica"}, {"start": 76.0, "end": 79.0, "text": " entonces nos va a quedar as\u00ed"}, {"start": 79.0, "end": 87.0, "text": " La f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica dice que x es igual a menos b m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 87.0, "end": 95.0, "text": " de b al cuadrado menos 4ac todo esto sobre 2a"}, {"start": 95.0, "end": 102.0, "text": " All\u00ed est\u00e1 la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica que en algunas partes tambi\u00e9n se conoce como f\u00f3rmula del bachiller"}, {"start": 102.0, "end": 106.0, "text": " en otras se conoce tambi\u00e9n como f\u00f3rmula del estudiante"}, {"start": 106.0, "end": 114.0, "text": " Para resolver con \u00e9xito la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica es recomendable hacer lo siguiente"}, {"start": 114.0, "end": 119.0, "text": " abrir un par\u00e9ntesis para cada una de las letricas"}, {"start": 119.0, "end": 129.0, "text": " y despu\u00e9s ir llenando cada uno de esos par\u00e9ntesis con los valores num\u00e9ricos"}, {"start": 129.0, "end": 140.0, "text": " por ejemplo aqu\u00ed va lo que es la b que vale 10, aqu\u00ed nuevamente la b que vale 10"}, {"start": 140.0, "end": 148.0, "text": " aqu\u00ed va la a que vale 5, aqu\u00ed va el valor de la c que es igual a 3"}, {"start": 148.0, "end": 152.0, "text": " y aqu\u00ed va el valor de la a que es igual a 5"}, {"start": 152.0, "end": 157.0, "text": " de esa manera tenemos ya conformada la f\u00f3rmula cuadr\u00e1tica"}, {"start": 157.0, "end": 160.0, "text": " ahora nos dedicamos a resolver las operaciones"}, {"start": 160.0, "end": 165.0, "text": " aqu\u00ed nos queda menos 10 m\u00e1s o menos la ra\u00edz cuadrada de b"}, {"start": 165.0, "end": 174.0, "text": " veamos 10 al cuadrado eso es igual a 100 menos 4 por 5 20 por 3 60"}, {"start": 174.0, "end": 179.0, "text": " todo esto sobre 2 por 5 que es igual a 10"}, {"start": 179.0, "end": 186.0, "text": " vamos a resolver aqu\u00ed dentro de la ra\u00edz eso nos quedar\u00eda entonces 100 menos 60 40"}, {"start": 186.0, "end": 191.0, "text": " vamos a colocar los dinamites aqu\u00ed, acortamos la ra\u00edz"}, {"start": 191.0, "end": 194.0, "text": " y podemos simplificar lo que es ra\u00edz de 40"}, {"start": 194.0, "end": 204.0, "text": " veamos 40 si lo descomponemos en factores primos nos da mitad 20 mitad 10 mitad 5 quinta 1"}, {"start": 204.0, "end": 208.0, "text": " es decir esto es 2 a la 3 por 5"}, {"start": 208.0, "end": 212.0, "text": " pero como tenemos 40 dentro de una ra\u00edz cuadrada"}, {"start": 212.0, "end": 218.0, "text": " nos conviene desbaratar 2 a la 3 como 2 a la 2 por 2 por 5"}, {"start": 218.0, "end": 226.0, "text": " eso con el objetivo de poder simplificar la ra\u00edz sacando este 2 a la 2"}, {"start": 226.0, "end": 228.0, "text": " veamos eso nos queda as\u00ed"}, {"start": 228.0, "end": 232.0, "text": " menos 10 m\u00e1s o menos ra\u00edz cuadrada de"}, {"start": 232.0, "end": 239.0, "text": " cambiamos 40 por 2 a la 2 por 2 y por 5"}, {"start": 239.0, "end": 244.0, "text": " todo esto sobre 10"}, {"start": 244.0, "end": 247.0, "text": " vamos a continuar entonces volvemos por ac\u00e1"}, {"start": 247.0, "end": 251.0, "text": " nos queda menos 10 m\u00e1s o menos"}, {"start": 251.0, "end": 255.0, "text": " aqu\u00ed de esta ra\u00edz sale este 2"}, {"start": 255.0, "end": 262.0, "text": " sale como 2 a la 1 y dentro de la ra\u00edz queda el 2 y el 5 atrapados sin poder salir"}, {"start": 262.0, "end": 265.0, "text": " entonces 2 por 5 nos da 10"}, {"start": 265.0, "end": 267.0, "text": " todo esto sobre 10"}, {"start": 267.0, "end": 272.0, "text": " a continuaci\u00f3n vamos a repartir este 10 para ambos t\u00e9rminos del numerador"}, {"start": 272.0, "end": 276.0, "text": " ojo por ning\u00fan motivo vamos a cancelar estos dos n\u00fameros"}, {"start": 276.0, "end": 280.0, "text": " no se pueden ir porque arriba tenemos suma y resta"}, {"start": 280.0, "end": 284.0, "text": " por lo tanto debe hacerse esto"}, {"start": 284.0, "end": 290.0, "text": " repartir el denominador 10 para los dos t\u00e9rminos que tenemos en el numerador"}, {"start": 290.0, "end": 292.0, "text": " y all\u00ed si podemos simplificar"}, {"start": 292.0, "end": 296.0, "text": " por ejemplo ac\u00e1 menos 10 sobre 10 eso nos queda menos 1"}, {"start": 296.0, "end": 299.0, "text": " m\u00e1s o menos aqu\u00ed puedo simplificar 2 con 10"}, {"start": 299.0, "end": 302.0, "text": " sacamos mitad nos queda entonces arriba"}, {"start": 302.0, "end": 305.0, "text": " ra\u00edz de 10 y acompa\u00f1ada de 1"}, {"start": 305.0, "end": 309.0, "text": " y abajo la mitad de 10 que ser\u00eda igual a 5"}, {"start": 309.0, "end": 312.0, "text": " all\u00ed podemos entonces ya tomar dos caminos"}, {"start": 312.0, "end": 317.0, "text": " que nos van a conducir a las soluciones x1 y x2"}, {"start": 317.0, "end": 320.0, "text": " que son las soluciones de una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica"}, {"start": 320.0, "end": 323.0, "text": " la primera va a ser entonces menos 1"}, {"start": 323.0, "end": 327.0, "text": " m\u00e1s ra\u00edz de 10 sobre 5"}, {"start": 327.0, "end": 330.0, "text": " que si lo hacemos en una calculadora esto nos da"}, {"start": 330.0, "end": 335.0, "text": " aproximadamente igual a menos 1.63"}, {"start": 335.0, "end": 338.0, "text": " ah\u00ed est\u00e1 la primera soluci\u00f3n"}, {"start": 338.0, "end": 342.0, "text": " x2 ser\u00eda cuando tomemos la opci\u00f3n positiva"}, {"start": 342.0, "end": 346.0, "text": " entonces ser\u00eda menos 1 m\u00e1s ra\u00edz de 10"}, {"start": 346.0, "end": 351.0, "text": " sobre 5 que realiz\u00e1ndolo en la calculadora"}, {"start": 351.0, "end": 355.0, "text": " nos da aproximadamente menos 0.37"}, {"start": 355.0, "end": 359.0, "text": " de esta manera entonces hemos resuelto la ecuaci\u00f3n"}, {"start": 359.0, "end": 362.0, "text": " que finalmente se convierte en cuadr\u00e1tica"}, {"start": 362.0, "end": 389.0, "text": " y que por lo tanto tiene dos soluciones"}]

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ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 2

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación logarítmica. Tema: #EcuacionesLogarítmicas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGy9_WwQrZrw9iTXiKDua5T REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta ecuación logarítmica. Para empezar vamos a llevarla de forma logarítmica a forma exponencial. Es decir así, x elevado a la 2 debe ser igual a esto que es 6 menos x. Empieza a tomar forma de ecuación cuadrática, la ecuación. Entonces vamos a igualarla a 0, vamos a pasar estos dos términos al otro lado. Quedaría entonces x al cuadrado, pasamos esta x que está negativa o restando, pasaría a sumar y este 6 que está positivo pasaría negativo. Y efectivamente tenemos una ecuación cuadrática, una ecuación de la forma a x cuadrado más bx más c igual a 0. En este caso podríamos resolverla por factorización, ya que este trinomio se puede factorizar usando el caso que se llama trinomio de la forma x cuadrado más bx más c. Abrimos dos paréntesis, repartimos la letra x, veamos los signos, más por más nos da más, más por menos nos da menos, dos números que multiplicados de menos 6 y que sumados de más 1 van a ser 3 y menos 2. A continuación debemos aplicar el teorema del factor nulo. Si esto por esto es igual a 0, entonces esto es igual a 0 o esto es igual a 0. Despejando x en cada caso, por acá x nos da menos 3 y por acá x nos da 2. Pero mucho cuidado, no hemos terminado el ejercicio porque el ejercicio original dice así, logaritmo en base de x de 6 menos x es igual a 2. ¿Por qué no hemos terminado? Porque debemos chequear si las dos soluciones obtenidas se satisfacen la ecuación original. ¿Vemos? Menos 3, aquí menos 3 tendría problemas porque un logaritmo no admite aquí en la base cantidades negativas ni 0, únicamente admite cantidades positivas. Por lo tanto este resultado tenemos que desecharlo, tenemos que eliminarlo, ya que no cumple en la ecuación original. Veamos esta, 2 aquí no tendría problema porque es positivo y acá resolviendo 6 menos 2 nos da 4 positivo, lo cual tampoco tiene problema ya que los logaritmos admiten solamente cantidades positivas aquí. Por lo tanto para nuestra ecuación la solución es esta solamente, x igual a 2.

[{"start": 0.0, "end": 8.8, "text": " Vamos a resolver esta ecuaci\u00f3n logar\u00edtmica. Para empezar vamos a llevarla de forma logar\u00edtmica a forma exponencial."}, {"start": 8.8, "end": 19.0, "text": " Es decir as\u00ed, x elevado a la 2 debe ser igual a esto que es 6 menos x."}, {"start": 19.0, "end": 22.8, "text": " Empieza a tomar forma de ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica, la ecuaci\u00f3n."}, {"start": 22.8, "end": 26.8, "text": " Entonces vamos a igualarla a 0, vamos a pasar estos dos t\u00e9rminos al otro lado."}, {"start": 26.8, "end": 31.8, "text": " Quedar\u00eda entonces x al cuadrado, pasamos esta x que est\u00e1 negativa o restando,"}, {"start": 31.8, "end": 36.8, "text": " pasar\u00eda a sumar y este 6 que est\u00e1 positivo pasar\u00eda negativo."}, {"start": 36.8, "end": 45.8, "text": " Y efectivamente tenemos una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica, una ecuaci\u00f3n de la forma a x cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c igual a 0."}, {"start": 45.8, "end": 52.8, "text": " En este caso podr\u00edamos resolverla por factorizaci\u00f3n, ya que este trinomio se puede factorizar"}, {"start": 52.8, "end": 58.8, "text": " usando el caso que se llama trinomio de la forma x cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c."}, {"start": 58.8, "end": 64.8, "text": " Abrimos dos par\u00e9ntesis, repartimos la letra x, veamos los signos,"}, {"start": 64.8, "end": 69.8, "text": " m\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s, m\u00e1s por menos nos da menos,"}, {"start": 69.8, "end": 77.8, "text": " dos n\u00fameros que multiplicados de menos 6 y que sumados de m\u00e1s 1 van a ser 3 y menos 2."}, {"start": 77.8, "end": 82.8, "text": " A continuaci\u00f3n debemos aplicar el teorema del factor nulo."}, {"start": 82.8, "end": 92.8, "text": " Si esto por esto es igual a 0, entonces esto es igual a 0 o esto es igual a 0."}, {"start": 92.8, "end": 105.8, "text": " Despejando x en cada caso, por ac\u00e1 x nos da menos 3 y por ac\u00e1 x nos da 2."}, {"start": 105.8, "end": 113.8, "text": " Pero mucho cuidado, no hemos terminado el ejercicio porque el ejercicio original dice as\u00ed,"}, {"start": 113.8, "end": 118.8, "text": " logaritmo en base de x de 6 menos x es igual a 2."}, {"start": 118.8, "end": 124.8, "text": " \u00bfPor qu\u00e9 no hemos terminado? Porque debemos chequear si las dos soluciones obtenidas"}, {"start": 124.8, "end": 128.8, "text": " se satisfacen la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 128.8, "end": 136.8, "text": " \u00bfVemos? Menos 3, aqu\u00ed menos 3 tendr\u00eda problemas porque un logaritmo no admite aqu\u00ed en la base"}, {"start": 136.8, "end": 142.8, "text": " cantidades negativas ni 0, \u00fanicamente admite cantidades positivas."}, {"start": 142.8, "end": 147.8, "text": " Por lo tanto este resultado tenemos que desecharlo, tenemos que eliminarlo,"}, {"start": 147.8, "end": 150.8, "text": " ya que no cumple en la ecuaci\u00f3n original."}, {"start": 150.8, "end": 156.8, "text": " Veamos esta, 2 aqu\u00ed no tendr\u00eda problema porque es positivo y ac\u00e1 resolviendo"}, {"start": 156.8, "end": 162.8, "text": " 6 menos 2 nos da 4 positivo, lo cual tampoco tiene problema ya que los logaritmos"}, {"start": 162.8, "end": 165.8, "text": " admiten solamente cantidades positivas aqu\u00ed."}, {"start": 165.8, "end": 172.8, "text": " Por lo tanto para nuestra ecuaci\u00f3n la soluci\u00f3n es esta solamente,"}, {"start": 172.8, "end": 186.8, "text": " x igual a 2."}]

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ECUACIONES EXPONENCIALES - Ejercicios 1 y 2

#julioprofe explica cómo solucionar dos Ecuaciones Exponenciales. Tema: #EcuacionesExponenciales → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwHM4fJbsnC7zzdnwRjc0ojm REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para resolver esta ecuación exponencial miramos primero si las bases tienen alguna relación entre sí. Por ejemplo en este caso 64 vemos que es potencia de 4. 64 lo podemos expresar como 4 a la 3, 4 al cubo. Allí tenemos entonces la ecuación exponencial con las bases iguales. Podríamos aplicar entonces la propiedad que dice que si a a la n es igual a a la m, entonces n es igual a m. Claro, si las bases son iguales necesariamente los exponentes deben ser iguales. Esa propiedad entonces nos autoriza a igualar estos dos exponentes. 2x menos 5 igual a 3. Y allí proseguimos con el despeje de la x. Pasamos el 5 que está restando a sumar al otro lado. Queda 3 más 5. 2x va a ser entonces igual a 8. Para despejar x, el 2 que está multiplicando pasa a dividir. Queda 8 medios y entonces x vale 4. Este sería entonces el resultado o la solución de esta ecuación exponencial. Ahora veremos un caso donde no podemos hacer esto. Es decir, donde las bases no tienen ninguna relación. Veamos esta otra ecuación exponencial. Dice así, 7 elevado a la 3 menos x igual a 5 elevado a la x más 1. En ese caso 7 y 5 no tienen ninguna familiaridad entre sí. Entonces no podemos usar la estrategia anterior. ¿Qué tenemos que hacer en este caso? Tomar logaritmo a los dos lados. Podemos usar por ejemplo el logaritmo base 10. Entonces colocamos logaritmo al lado izquierdo y logaritmo base 10 al lado derecho. Por la propiedad de los logaritmos que dice así, logaritmo en base A, por ejemplo de B a la C. Logaritmo de una potencia. Aquí podemos bajar el exponente a multiplicar. Quedaría C por logaritmo en la base A de B. Entonces podemos bajar estos exponentes a multiplicar delante de los logaritmos. Entonces nos queda así, 3 menos x que multiplica al logaritmo de 7 es igual a x más 1 que multiplica al logaritmo de 5. Esas expresiones que bajan deben colocarse en paréntesis porque toda la expresión va a quedar multiplicando a los respectivos logaritmos. Vamos a hacer aquí propiedad distributiva. Quedaría entonces 3 por logaritmo de 7 menos este por este x logaritmo de 7. Al otro lado lo mismo, este logaritmo de 5 se distribuye. Quedaría entonces x logaritmo de 5 más logaritmo de 5 por 1 que da logaritmo en base 10 de 5. Podemos agrupar los términos que tienen x al lado derecho y dejar los números al lado izquierdo. Entonces nos queda así, 3 logaritmo de 7, este logaritmo de 5 pasaría a restar. Acá este término queda igual y este que está restando pasaría a sumar. Queda así. Bien, vamos a seguirlo por acá. A continuación a este lado vamos a sacar factor común la x. Entonces nos queda 3 logaritmo de 7 menos logaritmo de 5 igual. Sale la x como factor de logaritmo de 5 más logaritmo de 7. Y allí ya podemos despejar x. Toda esta expresión que está multiplicando con x pasaría a dividir al otro lado. Entonces nos queda arriba 3 logaritmo de 7 menos logaritmo de 5 y abajo toda esta suma logaritmo de 5 más logaritmo de 7. Vamos a ver cómo esta respuesta puede darse de una forma mucho más corta. Aplicando nuevamente las propiedades de los logaritmos. Ese 3 que está multiplicando puede subir y convertirse en exponente del 7. Entonces nos quedaría logaritmo de 7 a la 3 menos logaritmo de 5. Todo esto sobre logaritmo de 5 más logaritmo de 7 igual a x. 7 a la 3 eso nos da 343. Vamos a colocar los dinámicos aquí. 343 y vamos a tomar esta resta de logaritmos y la vamos a convertir en el logaritmo de un conciente. Eso se apoya en las siguientes propiedades. Yo tengo logaritmo de a menos logaritmo de b. Yo puedo convertir esto en logaritmo de a sobre b. De igual manera abajo tenemos una suma de logaritmos. La suma de logaritmos se convierte en el logaritmo de un producto. Entonces logaritmo de a más logaritmo de b va a quedar convertido en logaritmo de a por b. Entonces respondiendo a estas propiedades, vamos a seguirlo por acá. Nos va a quedar así. X va a ser igual a logaritmo de 343 sobre 5. Vamos a colocarlo así usando slash. Aquí abajo quedaría logaritmo de 5 por 7. Es decir 35. De una vez podemos colocar el 35. Listo. Allí tenemos entonces la respuesta de una manera mucho más corta que como la hemos presentado anteriormente. Esto en el caso de que no estuviéramos usando la calculadora. Si usamos la calculadora haciendo toda esa operación eso nos da aproximadamente 1.1893. Es decir el valor que debe tomar X para que la ecuación exponencial sea correcta.

[{"start": 0.0, "end": 8.8, "text": " Para resolver esta ecuaci\u00f3n exponencial miramos primero si las bases tienen alguna relaci\u00f3n entre s\u00ed."}, {"start": 8.8, "end": 14.200000000000001, "text": " Por ejemplo en este caso 64 vemos que es potencia de 4."}, {"start": 14.200000000000001, "end": 21.6, "text": " 64 lo podemos expresar como 4 a la 3, 4 al cubo."}, {"start": 21.6, "end": 27.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces la ecuaci\u00f3n exponencial con las bases iguales."}, {"start": 27.0, "end": 40.0, "text": " Podr\u00edamos aplicar entonces la propiedad que dice que si a a la n es igual a a la m, entonces n es igual a m."}, {"start": 40.0, "end": 45.2, "text": " Claro, si las bases son iguales necesariamente los exponentes deben ser iguales."}, {"start": 45.2, "end": 49.6, "text": " Esa propiedad entonces nos autoriza a igualar estos dos exponentes."}, {"start": 49.6, "end": 53.6, "text": " 2x menos 5 igual a 3."}, {"start": 53.6, "end": 56.800000000000004, "text": " Y all\u00ed proseguimos con el despeje de la x."}, {"start": 56.800000000000004, "end": 60.2, "text": " Pasamos el 5 que est\u00e1 restando a sumar al otro lado."}, {"start": 60.2, "end": 62.6, "text": " Queda 3 m\u00e1s 5."}, {"start": 62.6, "end": 65.8, "text": " 2x va a ser entonces igual a 8."}, {"start": 65.8, "end": 70.8, "text": " Para despejar x, el 2 que est\u00e1 multiplicando pasa a dividir."}, {"start": 70.8, "end": 75.4, "text": " Queda 8 medios y entonces x vale 4."}, {"start": 75.4, "end": 82.2, "text": " Este ser\u00eda entonces el resultado o la soluci\u00f3n de esta ecuaci\u00f3n exponencial."}, {"start": 82.2, "end": 85.0, "text": " Ahora veremos un caso donde no podemos hacer esto."}, {"start": 85.0, "end": 88.8, "text": " Es decir, donde las bases no tienen ninguna relaci\u00f3n."}, {"start": 88.8, "end": 92.60000000000001, "text": " Veamos esta otra ecuaci\u00f3n exponencial."}, {"start": 92.60000000000001, "end": 101.4, "text": " Dice as\u00ed, 7 elevado a la 3 menos x igual a 5 elevado a la x m\u00e1s 1."}, {"start": 101.4, "end": 105.60000000000001, "text": " En ese caso 7 y 5 no tienen ninguna familiaridad entre s\u00ed."}, {"start": 105.60000000000001, "end": 109.60000000000001, "text": " Entonces no podemos usar la estrategia anterior."}, {"start": 109.60000000000001, "end": 111.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 tenemos que hacer en este caso?"}, {"start": 111.0, "end": 113.2, "text": " Tomar logaritmo a los dos lados."}, {"start": 113.2, "end": 116.2, "text": " Podemos usar por ejemplo el logaritmo base 10."}, {"start": 116.2, "end": 124.0, "text": " Entonces colocamos logaritmo al lado izquierdo y logaritmo base 10 al lado derecho."}, {"start": 124.0, "end": 131.4, "text": " Por la propiedad de los logaritmos que dice as\u00ed, logaritmo en base A, por ejemplo de B a la C."}, {"start": 131.4, "end": 132.8, "text": " Logaritmo de una potencia."}, {"start": 132.8, "end": 135.4, "text": " Aqu\u00ed podemos bajar el exponente a multiplicar."}, {"start": 135.4, "end": 139.4, "text": " Quedar\u00eda C por logaritmo en la base A de B."}, {"start": 139.4, "end": 146.8, "text": " Entonces podemos bajar estos exponentes a multiplicar delante de los logaritmos."}, {"start": 146.8, "end": 159.8, "text": " Entonces nos queda as\u00ed, 3 menos x que multiplica al logaritmo de 7 es igual a x m\u00e1s 1 que multiplica al logaritmo de 5."}, {"start": 159.8, "end": 163.8, "text": " Esas expresiones que bajan deben colocarse en par\u00e9ntesis"}, {"start": 163.8, "end": 168.6, "text": " porque toda la expresi\u00f3n va a quedar multiplicando a los respectivos logaritmos."}, {"start": 168.6, "end": 170.79999999999998, "text": " Vamos a hacer aqu\u00ed propiedad distributiva."}, {"start": 170.79999999999998, "end": 179.4, "text": " Quedar\u00eda entonces 3 por logaritmo de 7 menos este por este x logaritmo de 7."}, {"start": 179.4, "end": 183.2, "text": " Al otro lado lo mismo, este logaritmo de 5 se distribuye."}, {"start": 183.2, "end": 192.0, "text": " Quedar\u00eda entonces x logaritmo de 5 m\u00e1s logaritmo de 5 por 1 que da logaritmo en base 10 de 5."}, {"start": 192.0, "end": 197.79999999999998, "text": " Podemos agrupar los t\u00e9rminos que tienen x al lado derecho y dejar los n\u00fameros al lado izquierdo."}, {"start": 197.8, "end": 206.4, "text": " Entonces nos queda as\u00ed, 3 logaritmo de 7, este logaritmo de 5 pasar\u00eda a restar."}, {"start": 206.4, "end": 215.0, "text": " Ac\u00e1 este t\u00e9rmino queda igual y este que est\u00e1 restando pasar\u00eda a sumar."}, {"start": 215.0, "end": 216.60000000000002, "text": " Queda as\u00ed."}, {"start": 216.60000000000002, "end": 221.20000000000002, "text": " Bien, vamos a seguirlo por ac\u00e1."}, {"start": 221.20000000000002, "end": 226.4, "text": " A continuaci\u00f3n a este lado vamos a sacar factor com\u00fan la x."}, {"start": 226.4, "end": 233.8, "text": " Entonces nos queda 3 logaritmo de 7 menos logaritmo de 5 igual."}, {"start": 233.8, "end": 243.20000000000002, "text": " Sale la x como factor de logaritmo de 5 m\u00e1s logaritmo de 7."}, {"start": 243.20000000000002, "end": 245.4, "text": " Y all\u00ed ya podemos despejar x."}, {"start": 245.4, "end": 251.0, "text": " Toda esta expresi\u00f3n que est\u00e1 multiplicando con x pasar\u00eda a dividir al otro lado."}, {"start": 251.0, "end": 263.0, "text": " Entonces nos queda arriba 3 logaritmo de 7 menos logaritmo de 5 y abajo toda esta suma logaritmo de 5 m\u00e1s logaritmo de 7."}, {"start": 263.0, "end": 268.2, "text": " Vamos a ver c\u00f3mo esta respuesta puede darse de una forma mucho m\u00e1s corta."}, {"start": 268.2, "end": 271.0, "text": " Aplicando nuevamente las propiedades de los logaritmos."}, {"start": 271.0, "end": 277.0, "text": " Ese 3 que est\u00e1 multiplicando puede subir y convertirse en exponente del 7."}, {"start": 277.0, "end": 284.0, "text": " Entonces nos quedar\u00eda logaritmo de 7 a la 3 menos logaritmo de 5."}, {"start": 284.0, "end": 291.6, "text": " Todo esto sobre logaritmo de 5 m\u00e1s logaritmo de 7 igual a x."}, {"start": 291.6, "end": 294.4, "text": " 7 a la 3 eso nos da 343."}, {"start": 294.4, "end": 297.0, "text": " Vamos a colocar los din\u00e1micos aqu\u00ed."}, {"start": 297.0, "end": 305.8, "text": " 343 y vamos a tomar esta resta de logaritmos y la vamos a convertir en el logaritmo de un conciente."}, {"start": 305.8, "end": 308.40000000000003, "text": " Eso se apoya en las siguientes propiedades."}, {"start": 308.40000000000003, "end": 314.2, "text": " Yo tengo logaritmo de a menos logaritmo de b."}, {"start": 314.2, "end": 319.0, "text": " Yo puedo convertir esto en logaritmo de a sobre b."}, {"start": 319.0, "end": 323.0, "text": " De igual manera abajo tenemos una suma de logaritmos."}, {"start": 323.0, "end": 329.40000000000003, "text": " La suma de logaritmos se convierte en el logaritmo de un producto."}, {"start": 329.4, "end": 336.59999999999997, "text": " Entonces logaritmo de a m\u00e1s logaritmo de b va a quedar convertido en logaritmo de a por b."}, {"start": 336.59999999999997, "end": 343.59999999999997, "text": " Entonces respondiendo a estas propiedades, vamos a seguirlo por ac\u00e1."}, {"start": 343.59999999999997, "end": 345.4, "text": " Nos va a quedar as\u00ed."}, {"start": 345.4, "end": 353.0, "text": " X va a ser igual a logaritmo de 343 sobre 5."}, {"start": 353.0, "end": 356.4, "text": " Vamos a colocarlo as\u00ed usando slash."}, {"start": 356.4, "end": 360.79999999999995, "text": " Aqu\u00ed abajo quedar\u00eda logaritmo de 5 por 7."}, {"start": 360.79999999999995, "end": 362.2, "text": " Es decir 35."}, {"start": 362.2, "end": 365.0, "text": " De una vez podemos colocar el 35."}, {"start": 365.0, "end": 365.59999999999997, "text": " Listo."}, {"start": 365.59999999999997, "end": 373.0, "text": " All\u00ed tenemos entonces la respuesta de una manera mucho m\u00e1s corta que como la hemos presentado anteriormente."}, {"start": 373.0, "end": 377.4, "text": " Esto en el caso de que no estuvi\u00e9ramos usando la calculadora."}, {"start": 377.4, "end": 385.4, "text": " Si usamos la calculadora haciendo toda esa operaci\u00f3n eso nos da aproximadamente 1.1893."}, {"start": 385.4, "end": 390.4, "text": " Es decir el valor que debe tomar X para que la ecuaci\u00f3n exponencial sea correcta."}]

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ECUACIONES LOGARÍTMICAS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver una ecuación logarítmica. Tema: #EcuacionesLogarítmicas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGy9_WwQrZrw9iTXiKDua5T REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Para resolver esta ecuación que contiene logaritmos, vamos a empezar por agruparlos al lado izquierdo, es decir, vamos a pasar este logaritmo que está restando a sumar al otro lado. Entonces nos queda logaritmo en base 4 de x menos 3 más logaritmo en base 4 de x y esto igual a 1. Aquí, cuando tenemos una suma de logaritmos, vamos a aplicar esta propiedad, cuando tenemos por ejemplo logaritmo en base A de M más logaritmo en base A de N, esto es igual al logaritmo en base A de M por N. Es decir, se convierte en logaritmo de un producto o de una multiplicación. Entonces, autorizados por esta propiedad nos quedaría así. Logaritmo en base 4 de x menos 3 por x igual a 1. Podemos hacer propiedad distributiva con esta x, entonces nos queda logaritmo en base 4 de x al cuadrado, x por x, x al cuadrado, y x por 3 queda menos 3x y esto igual a 1. Ya en esta etapa lo que nos queda es llevar esto de la forma logarítmica a la forma exponencial. Veamos cómo nos queda entonces. Nos quedaría 4 elevado a la 1 igual a esta expresión de aquí, x al cuadrado menos 3x. Tenemos entonces una ecuación que tiene forma de ecuación cuadrática, 4 elevado a la 1 será 4 y para que quede configurada como una ecuación cuadrática debemos dejar el 0 en uno de los dos lados. Vamos a dejar el 0 aquí, entonces pasamos este 4 para acá, nos quedaría 0 igual a x al cuadrado menos 3x menos 4. Allí tenemos entonces la ecuación cuadrática que es de la forma a x al cuadrado más bx más c igual a 0. Podemos resolverla por factorización ya que este trinomio tiene cara de ser factorizable, entonces veamos, abrimos dos paréntesis, repartimos la x, los signos, más por menos da menos, menos por menos da más, dos números que multiplicados de menos 4 y que sumados entre signos de menos 3 van a ser menos 4 y 1, entonces efectivamente si se dejó factorizado. A continuación aplicamos el teorema del factor nulo, si esto por eso está igualado a 0, cada una de las dos expresiones debe igualarse a 0, entonces x menos 4 es igual a 0 o x más 1 es igual a 0. Despejando x por acá nos da x igual a 4 y por acá x nos da menos 1, pero mucho cuidado que no hemos terminado nuestro ejercicio, ¿por qué razón? La ecuación original decía logaritmo en base 4 de x menos 3 igual a 1 menos logaritmo en base 4 de x, no podemos olvidar que la ecuación original contiene logaritmos y los logaritmos no admiten cantidades negativas. Entonces veamos con 4, si aquí entra 4, 4 menos 3 da 1 positivo no tiene problema y aquí si el 4 entra donde está la x, tampoco tiene problema por lo tanto este resultado se acepta. Veamos el menos 1, menos 1 menos 3, aquí hay problemas porque menos 1 menos 3 nos da menos 4, aquí también habría problemas por lo tanto este valor lo tenemos que descartar, no nos sirve. Entonces la solución a nuestra ecuación va a ser únicamente x igual a 4.

[{"start": 0.0, "end": 11.0, "text": " Para resolver esta ecuaci\u00f3n que contiene logaritmos, vamos a empezar por agruparlos al lado izquierdo, es decir, vamos a pasar este logaritmo que est\u00e1 restando a sumar al otro lado."}, {"start": 11.0, "end": 23.0, "text": " Entonces nos queda logaritmo en base 4 de x menos 3 m\u00e1s logaritmo en base 4 de x y esto igual a 1."}, {"start": 23.0, "end": 41.0, "text": " Aqu\u00ed, cuando tenemos una suma de logaritmos, vamos a aplicar esta propiedad, cuando tenemos por ejemplo logaritmo en base A de M m\u00e1s logaritmo en base A de N, esto es igual al logaritmo en base A de M por N."}, {"start": 41.0, "end": 53.0, "text": " Es decir, se convierte en logaritmo de un producto o de una multiplicaci\u00f3n. Entonces, autorizados por esta propiedad nos quedar\u00eda as\u00ed."}, {"start": 53.0, "end": 80.0, "text": " Logaritmo en base 4 de x menos 3 por x igual a 1. Podemos hacer propiedad distributiva con esta x, entonces nos queda logaritmo en base 4 de x al cuadrado, x por x, x al cuadrado, y x por 3 queda menos 3x y esto igual a 1."}, {"start": 80.0, "end": 91.0, "text": " Ya en esta etapa lo que nos queda es llevar esto de la forma logar\u00edtmica a la forma exponencial. Veamos c\u00f3mo nos queda entonces."}, {"start": 91.0, "end": 102.0, "text": " Nos quedar\u00eda 4 elevado a la 1 igual a esta expresi\u00f3n de aqu\u00ed, x al cuadrado menos 3x."}, {"start": 102.0, "end": 114.0, "text": " Tenemos entonces una ecuaci\u00f3n que tiene forma de ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica, 4 elevado a la 1 ser\u00e1 4 y para que quede configurada como una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica debemos dejar el 0 en uno de los dos lados."}, {"start": 114.0, "end": 132.0, "text": " Vamos a dejar el 0 aqu\u00ed, entonces pasamos este 4 para ac\u00e1, nos quedar\u00eda 0 igual a x al cuadrado menos 3x menos 4. All\u00ed tenemos entonces la ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica que es de la forma a x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c igual a 0."}, {"start": 132.0, "end": 149.0, "text": " Podemos resolverla por factorizaci\u00f3n ya que este trinomio tiene cara de ser factorizable, entonces veamos, abrimos dos par\u00e9ntesis, repartimos la x, los signos, m\u00e1s por menos da menos, menos por menos da m\u00e1s,"}, {"start": 149.0, "end": 160.0, "text": " dos n\u00fameros que multiplicados de menos 4 y que sumados entre signos de menos 3 van a ser menos 4 y 1, entonces efectivamente si se dej\u00f3 factorizado."}, {"start": 160.0, "end": 177.0, "text": " A continuaci\u00f3n aplicamos el teorema del factor nulo, si esto por eso est\u00e1 igualado a 0, cada una de las dos expresiones debe igualarse a 0, entonces x menos 4 es igual a 0 o x m\u00e1s 1 es igual a 0."}, {"start": 177.0, "end": 192.0, "text": " Despejando x por ac\u00e1 nos da x igual a 4 y por ac\u00e1 x nos da menos 1, pero mucho cuidado que no hemos terminado nuestro ejercicio, \u00bfpor qu\u00e9 raz\u00f3n?"}, {"start": 192.0, "end": 214.0, "text": " La ecuaci\u00f3n original dec\u00eda logaritmo en base 4 de x menos 3 igual a 1 menos logaritmo en base 4 de x, no podemos olvidar que la ecuaci\u00f3n original contiene logaritmos y los logaritmos no admiten cantidades negativas."}, {"start": 214.0, "end": 228.0, "text": " Entonces veamos con 4, si aqu\u00ed entra 4, 4 menos 3 da 1 positivo no tiene problema y aqu\u00ed si el 4 entra donde est\u00e1 la x, tampoco tiene problema por lo tanto este resultado se acepta."}, {"start": 228.0, "end": 240.0, "text": " Veamos el menos 1, menos 1 menos 3, aqu\u00ed hay problemas porque menos 1 menos 3 nos da menos 4, aqu\u00ed tambi\u00e9n habr\u00eda problemas por lo tanto este valor lo tenemos que descartar, no nos sirve."}, {"start": 240.0, "end": 248.0, "text": " Entonces la soluci\u00f3n a nuestra ecuaci\u00f3n va a ser \u00fanicamente x igual a 4."}]

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https://www.youtube.com/watch?v=CiCp1-3n3sU

DESIGUALDADES CUADRÁTICAS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo resolver una desigualdad o inecuación cuadrática (o de segundo grado). Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta desigualdad, para empezar vamos a hacer distributiva aquí con la x x por x nos queda x al cuadrado menos x por 2, 2x y esto mayor o igual que 3 empieza a tomar forma de desigualdad cuadrática, entonces lo más conveniente es tener el 0 en el lado derecho para ello vamos a pasar este 3 para el lado izquierdo, entonces nos queda x al cuadrado menos 2x menos 3 mayor o igual a 0, efectivamente es una desigualdad cuadrática vamos a factorizar esta expresión de aquí, podemos utilizar el caso que se llama trinomio de la forma x al cuadrado más bx más c, abrimos dos paréntesis, repartimos la x, cuadramos los signos más por menos nos da menos, menos por menos nos da más, buscamos los números que multiplicados nos den menos 3 y que sumados nos den menos 2, ellos son menos 3 y 1 y esto está mayor o igual que 0 a continuación vamos a buscar lo que se llaman los puntos críticos de la desigualdad ¿qué son los puntos críticos? son aquellos valores de x donde esta expresión de aquí se nos vuelve 0 para ello debemos tomar cada uno de los factores e igualarlos a 0, por ejemplo si x menos 3 lo igualamos a 0 obtenemos que x vale 3, allí tenemos un punto crítico y si x más 1 lo igualamos a 0 vamos a obtener que x igual a menos 1 es el otro punto crítico, a continuación vamos a hacer entonces el análisis de la expresión esta de acá, x menos 3 por x más 1, vamos a ver cómo se comporta esta expresión en los diferentes intervalos que nos van a determinar estos dos valores en el eje x esta expresión tiene que ser mayor o igual que 0 por lo tanto esta expresión debe ser positiva para que la desigualdad sea correcta veamos entonces como se hace el análisis, vamos a trazar una recta que nos simbolice el eje x por acá está más infinito, por acá está menos infinito, aquí está el eje de las x vamos a ubicar entonces los puntos críticos que obtuvimos que fue menos 1 y 3 estos dos valores nos determinan tres intervalos, vamos a ver el primero va de menos infinito hasta menos 1, el segundo va de menos 1 hasta 3 y el tercero va de 3 hasta más infinito ahora lo que tenemos que hacer es seleccionar un valor de cada intervalo para probarlo en cada uno de los factores que conforman la expresión por ejemplo aquí vamos a escoger un número, un valor de x que esté entre menos 1 y menos infinito cualquiera nos sirve, cogemos por ejemplo el menos 2 ahora en el siguiente intervalo un número que esté comprendido entre menos 1 y 3 podemos escoger el 0 y acá un número que esté entre 3 y más infinito podríamos escoger por ejemplo el 5 entonces empezamos a probar cada uno de los números en los dos paréntesis, veamos con menos 2 menos 2 aquí, si x se convierte en menos 2, menos 2 menos 3 nos da menos 5, nos da negativo anotamos el signo, no nos interesa tanto anotar el menos 5, con el signo es suficiente nuevamente con menos 2, menos 2 más 1 eso nos da negativo, eso haría menos 1 negativo con negativo nos da positivo y si es positivo efectivamente nos sirve entonces esta zona le sirve, vamos con 0, 0 menos 3 da negativo y acá 0 más 1 da positivo menos por más nos da menos, si es negativo no nos sirve, esta zona nos sirve vamos con 5, 5 menos 3 eso da 2 positivo y acá 5 más 1 nos daría 6 positivo más por más nos da más y eso quiere decir que sí nos sirve conclusión, las zonas que sirvieron fueron esta de aquí y esta de acá ¿qué pasa con menos 1 y 3? como la desigualdad tiene signo mayor o igual eso quiere decir que menos 1 y 3 son parte de la solución, son valores que deben incluirse en la solución por eso se repinta la bolita, que es la bolita llena para indicar que hacen parte de la solución, la respuesta entonces se presenta de la siguiente manera, la respuesta a este desigualdad van a ser los valores de x pertenecientes al intervalo que va desde menos infinito hasta menos 1 abierto en menos infinito, siempre los infinitos van a ir abiertos cerrado en menos 1, se coloca corchete, unión, tenemos que hacer un salto en este intervalo que nos sirvió y unirlo entonces con el intervalo que va desde 3 hasta más infinito, desde 3 hasta más infinito como 3 va incluido colocamos corchete, es decir que 3 va cerrado y el infinito va abierto esta sería entonces la solución a la desigualdad

[{"start": 0.0, "end": 6.9, "text": " Vamos a resolver esta desigualdad, para empezar vamos a hacer distributiva aqu\u00ed con la x"}, {"start": 6.9, "end": 15.6, "text": " x por x nos queda x al cuadrado menos x por 2, 2x y esto mayor o igual que 3"}, {"start": 15.6, "end": 23.1, "text": " empieza a tomar forma de desigualdad cuadr\u00e1tica, entonces lo m\u00e1s conveniente es tener el 0 en el lado derecho"}, {"start": 23.1, "end": 29.6, "text": " para ello vamos a pasar este 3 para el lado izquierdo, entonces nos queda x al cuadrado menos 2x"}, {"start": 29.6, "end": 36.2, "text": " menos 3 mayor o igual a 0, efectivamente es una desigualdad cuadr\u00e1tica"}, {"start": 36.2, "end": 41.8, "text": " vamos a factorizar esta expresi\u00f3n de aqu\u00ed, podemos utilizar el caso que se llama trinomio de la forma"}, {"start": 41.8, "end": 50.6, "text": " x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c, abrimos dos par\u00e9ntesis, repartimos la x, cuadramos los signos"}, {"start": 50.6, "end": 57.0, "text": " m\u00e1s por menos nos da menos, menos por menos nos da m\u00e1s, buscamos los n\u00fameros que multiplicados nos den"}, {"start": 57.0, "end": 65.9, "text": " menos 3 y que sumados nos den menos 2, ellos son menos 3 y 1 y esto est\u00e1 mayor o igual que 0"}, {"start": 65.9, "end": 72.2, "text": " a continuaci\u00f3n vamos a buscar lo que se llaman los puntos cr\u00edticos de la desigualdad"}, {"start": 72.2, "end": 79.4, "text": " \u00bfqu\u00e9 son los puntos cr\u00edticos? son aquellos valores de x donde esta expresi\u00f3n de aqu\u00ed se nos vuelve 0"}, {"start": 79.4, "end": 86.4, "text": " para ello debemos tomar cada uno de los factores e igualarlos a 0, por ejemplo si x menos 3 lo igualamos a 0"}, {"start": 86.4, "end": 96.60000000000001, "text": " obtenemos que x vale 3, all\u00ed tenemos un punto cr\u00edtico y si x m\u00e1s 1 lo igualamos a 0"}, {"start": 96.6, "end": 109.8, "text": " vamos a obtener que x igual a menos 1 es el otro punto cr\u00edtico, a continuaci\u00f3n vamos a hacer entonces el an\u00e1lisis"}, {"start": 109.8, "end": 120.0, "text": " de la expresi\u00f3n esta de ac\u00e1, x menos 3 por x m\u00e1s 1, vamos a ver c\u00f3mo se comporta esta expresi\u00f3n"}, {"start": 120.0, "end": 125.3, "text": " en los diferentes intervalos que nos van a determinar estos dos valores en el eje x"}, {"start": 125.3, "end": 135.6, "text": " esta expresi\u00f3n tiene que ser mayor o igual que 0 por lo tanto esta expresi\u00f3n debe ser positiva para que la desigualdad sea correcta"}, {"start": 135.6, "end": 150.2, "text": " veamos entonces como se hace el an\u00e1lisis, vamos a trazar una recta que nos simbolice el eje x"}, {"start": 150.2, "end": 155.39999999999998, "text": " por ac\u00e1 est\u00e1 m\u00e1s infinito, por ac\u00e1 est\u00e1 menos infinito, aqu\u00ed est\u00e1 el eje de las x"}, {"start": 155.39999999999998, "end": 160.6, "text": " vamos a ubicar entonces los puntos cr\u00edticos que obtuvimos que fue menos 1 y 3"}, {"start": 160.6, "end": 169.2, "text": " estos dos valores nos determinan tres intervalos, vamos a ver"}, {"start": 169.2, "end": 177.2, "text": " el primero va de menos infinito hasta menos 1, el segundo va de menos 1 hasta 3 y el tercero va de 3 hasta m\u00e1s infinito"}, {"start": 177.2, "end": 186.2, "text": " ahora lo que tenemos que hacer es seleccionar un valor de cada intervalo para probarlo en cada uno de los factores que conforman la expresi\u00f3n"}, {"start": 186.2, "end": 192.39999999999998, "text": " por ejemplo aqu\u00ed vamos a escoger un n\u00famero, un valor de x que est\u00e9 entre menos 1 y menos infinito"}, {"start": 192.39999999999998, "end": 196.2, "text": " cualquiera nos sirve, cogemos por ejemplo el menos 2"}, {"start": 196.2, "end": 202.5, "text": " ahora en el siguiente intervalo un n\u00famero que est\u00e9 comprendido entre menos 1 y 3 podemos escoger el 0"}, {"start": 202.5, "end": 209.2, "text": " y ac\u00e1 un n\u00famero que est\u00e9 entre 3 y m\u00e1s infinito podr\u00edamos escoger por ejemplo el 5"}, {"start": 209.2, "end": 215.2, "text": " entonces empezamos a probar cada uno de los n\u00fameros en los dos par\u00e9ntesis, veamos con menos 2"}, {"start": 215.2, "end": 221.6, "text": " menos 2 aqu\u00ed, si x se convierte en menos 2, menos 2 menos 3 nos da menos 5, nos da negativo"}, {"start": 221.6, "end": 228.0, "text": " anotamos el signo, no nos interesa tanto anotar el menos 5, con el signo es suficiente"}, {"start": 228.0, "end": 234.0, "text": " nuevamente con menos 2, menos 2 m\u00e1s 1 eso nos da negativo, eso har\u00eda menos 1"}, {"start": 234.0, "end": 240.6, "text": " negativo con negativo nos da positivo y si es positivo efectivamente nos sirve"}, {"start": 240.6, "end": 250.0, "text": " entonces esta zona le sirve, vamos con 0, 0 menos 3 da negativo y ac\u00e1 0 m\u00e1s 1 da positivo"}, {"start": 250.0, "end": 257.4, "text": " menos por m\u00e1s nos da menos, si es negativo no nos sirve, esta zona nos sirve"}, {"start": 257.4, "end": 265.59999999999997, "text": " vamos con 5, 5 menos 3 eso da 2 positivo y ac\u00e1 5 m\u00e1s 1 nos dar\u00eda 6 positivo"}, {"start": 265.59999999999997, "end": 270.79999999999995, "text": " m\u00e1s por m\u00e1s nos da m\u00e1s y eso quiere decir que s\u00ed nos sirve"}, {"start": 270.79999999999995, "end": 279.59999999999997, "text": " conclusi\u00f3n, las zonas que sirvieron fueron esta de aqu\u00ed y esta de ac\u00e1"}, {"start": 279.59999999999997, "end": 284.59999999999997, "text": " \u00bfqu\u00e9 pasa con menos 1 y 3? como la desigualdad tiene signo mayor o igual"}, {"start": 284.6, "end": 290.8, "text": " eso quiere decir que menos 1 y 3 son parte de la soluci\u00f3n, son valores que deben"}, {"start": 290.8, "end": 296.1, "text": " incluirse en la soluci\u00f3n por eso se repinta la bolita, que es la bolita llena"}, {"start": 296.1, "end": 301.40000000000003, "text": " para indicar que hacen parte de la soluci\u00f3n, la respuesta entonces se"}, {"start": 301.40000000000003, "end": 305.6, "text": " presenta de la siguiente manera, la respuesta a este desigualdad van a ser los"}, {"start": 305.6, "end": 311.20000000000005, "text": " valores de x pertenecientes al intervalo que va desde menos infinito hasta"}, {"start": 311.2, "end": 318.0, "text": " menos 1 abierto en menos infinito, siempre los infinitos van a ir abiertos"}, {"start": 318.0, "end": 325.9, "text": " cerrado en menos 1, se coloca corchete, uni\u00f3n, tenemos que hacer un salto en este"}, {"start": 325.9, "end": 330.0, "text": " intervalo que nos sirvi\u00f3 y unirlo entonces con el intervalo que va desde"}, {"start": 330.0, "end": 338.0, "text": " 3 hasta m\u00e1s infinito, desde 3 hasta m\u00e1s infinito como 3 va incluido"}, {"start": 338.0, "end": 343.8, "text": " colocamos corchete, es decir que 3 va cerrado y el infinito va abierto"}, {"start": 343.8, "end": 371.8, "text": " esta ser\u00eda entonces la soluci\u00f3n a la desigualdad"}]

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ANÁLISIS DE FUNCIONES CUADRÁTICAS - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo hacer el análisis de la función cuadrática y=2x-x² hallando sus principales elementos para construir la gráfica. Tema: #FuncionesCuadráticas → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwGn_SUgr83mXYV_E3fTGKgO REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a hacer el análisis de esta función cuadrática. Lo primero que vamos a hacer es reescribirla así. Cambiamos y por f de x, que es lo mismo, y aquí organizamos la función como menos x al cuadrado más 2x. Esto para que coincida con el modelo de una función cuadrática, que dice f de x igual a x al cuadrado más bx más c. Podemos identificar que a es igual a menos 1, el coeficiente de x al cuadrado, b es el coeficiente de la de x, o sea 2, y c sería el término independiente. Como en este caso no hay nadie, entonces se vale 0. A igual a menos 1 nos indica que la gráfica de esta función, que es una parábola, va a estar orientada hacia abajo. En ese caso el vértice de la parábola va a ser el punto máximo, el punto más alto de la función. C nos indica el y-intersecto, es decir, el punto de corte de la gráfica con el eje y. Si se vale 0 significa que la parábola va a cortar el eje y en 0, es decir, en el origen. A continuación vamos a obtener entonces lo que es el vértice de la parábola, la coordenada del vértice, que normalmente se denota como la pareja h,k. Para encontrar h utilizamos la formulita menos b sobre 2a. Vamos a reemplazar entonces los valores de b y a. Para eso se recomienda abrir paréntesis donde están cada una de las letras. b vale 2, lo colocamos acá, y a vale menos 1, lo colocamos aquí. Resolvemos, esto queda menos 2 sobre 2 por 1 menos 2, que es igual a 1 positivo. h vale 1. Para encontrar k existen dos caminos. Uno sería ir a la función original y evaluarla en lo que nos dio h, que es igual a 1, o el otro camino sería usar la fórmula 4ac menos d cuadrado sobre 4a. Vamos a ver que por los dos caminos nos debe dar lo mismo. Si vamos por acá f de h sería f de 1. y f de 1 sería reemplazar en la función original el valor de x por 1. Es decir, vamos a empezar acá. Entonces nos quedaría así, vamos a hacerlo por aquí. Quedaría menos, abrimos un paréntesis, x se cambia por 1 al cuadrado más 2x. Es decir, más 2 por 1. Resolvemos, perdón, 1 al cuadrado es igual a 1, con este menos queda menos 1, más 2 por 1 que es igual a 2, y menos 1 más 2 nos da 1. Ese por un lado. Vamos a ensayar la otra posibilidad que mencionaba hace un momento, que es encontrar k con la fórmula 4ac menos d cuadrado sobre 4a. Veamos, 4 por el valor de a que es menos 1, por c que vale 0, menos el valor de b que es igual a 2 al cuadrado sobre 4 por a que es igual a menos 1. Este producto 4 por menos 1 por 0, eso nos da 0. Nos queda entonces arriba menos 2 al cuadrado que es igual a 4, abajo 4 por menos 1 da menos 4, y esto nos da 1, tal como nos había dado hace un momento. ¿Qué significa entonces lo anterior? Que el vértice de la parábola va a estar en la coordenada 1, 1, h vale 1 y k vale 1. Ya tenemos entonces la coordenada del vértice. A continuación vamos a hallar los x intersectos, es decir, los puntos de corte de la gráfica con el eje x. Para ello debemos hacer y igual a 0, o en otras palabras la función, igualarla a 0. La función original decía 2x menos x al cuadrado, entonces la igualamos a 0. Y se nos forma una ecuación cuadrática. Vamos a resolverla por factorización. Podemos sacar factor común, la x factor de 2 menos x y esto igual a 0. Como esto está multiplicando e igual a 0, vamos a aplicar el teorema del factor nulo, es decir, igualamos cada factor a 0, este factor se iguala a 0 o 2 menos x lo igualamos también a 0. Por aquí ya tenemos entonces un valor, una solución a esta ecuación y por acá despejando la x, podemos pasar esta x que está negativa al otro lado positiva, allí nos da que x vale 2. Significa esto entonces que los cortes con el eje x de nuestra función van a estar en 0 y en 2. A continuación vamos a hacer la gráfica de esta función. Vamos a llevar al plano cartesiano toda la información que hemos encontrado hasta el momento. Trasamos el eje y, por acá va el eje x, marcamos el origen, veamos, los valores que encontramos fue h igual a 1, corte con el eje x en 2 y k nos dio 1. Supongamos que es por acá. Vamos entonces a ubicar el vértice, la coordenada del vértice dijimos que era la parejita 1,1, aquí está el vértice. Los cortes con los ejes, ahora hemos dicho que el corte con el eje y iba a ocurrir en x, perdón, en y igual a 0, o sea en el origen y hace un momento vimos que los cortes con el eje x estaban en 0 y en 2. Es decir, la parábola debe pasar por esos tres puntos y adicionalmente al comienzo del ejercicio habíamos dicho que la parábola iba a abrir hacia abajo. Entonces vamos a trazar la gráfica de la parábola, ella sigue por acá y sigue hacia acá. Allí podemos apreciar como el vértice es el punto más alto de la función, corresponde al valor máximo, el máximo valor que toma la función va a ser igual a 1. Otra cosa que podemos determinar aquí en este ejercicio es lo que se llama el eje de simetría, que es una recta vertical que pasa por el vértice. El eje de simetría es simplemente una recta que divide la parábola en dos ramas iguales, es decir, la rama izquierda va a ser igual a la rama derecha. La ecuación del eje de simetría, en este caso por ser una recta vertical que pasa por 1 va a ser x igual a 1. Para terminar podríamos determinar lo que es el dominio de la función y el rango de la función. Recordemos que el dominio constituye el conjunto de valores que toma la x en la función. Para este caso, por tratarse de una función cuadrática, cualquier valor de x es bienvenido, cualquier valor negativo, 0, positivo, decimal, fraccionario puede entrar a la función. Por lo tanto el dominio se dice que son los números reales, los x que pertenecen al conjunto de los reales. Y el rango de la función van a ser los valores que toma la y en la función. En este caso vemos que la parábola toma valores desde 1 hacia abajo, es decir, podemos decir que son los y menores o iguales que 1. Ese sería entonces el rango. También este conjunto se puede expresar como los y pertenecientes al conjunto que van desde menos infinito hasta 1. Menos infinito abierto y 1 cerrado. Allí terminamos entonces el análisis de la función.

[{"start": 0.0, "end": 4.0, "text": " Vamos a hacer el an\u00e1lisis de esta funci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 4.0, "end": 8.0, "text": " Lo primero que vamos a hacer es reescribirla as\u00ed."}, {"start": 8.0, "end": 12.0, "text": " Cambiamos y por f de x, que es lo mismo,"}, {"start": 12.0, "end": 19.0, "text": " y aqu\u00ed organizamos la funci\u00f3n como menos x al cuadrado m\u00e1s 2x."}, {"start": 19.0, "end": 25.0, "text": " Esto para que coincida con el modelo de una funci\u00f3n cuadr\u00e1tica,"}, {"start": 25.0, "end": 32.0, "text": " que dice f de x igual a x al cuadrado m\u00e1s bx m\u00e1s c."}, {"start": 32.0, "end": 36.0, "text": " Podemos identificar que a es igual a menos 1,"}, {"start": 36.0, "end": 41.0, "text": " el coeficiente de x al cuadrado, b es el coeficiente de la de x,"}, {"start": 41.0, "end": 46.0, "text": " o sea 2, y c ser\u00eda el t\u00e9rmino independiente."}, {"start": 46.0, "end": 50.0, "text": " Como en este caso no hay nadie, entonces se vale 0."}, {"start": 50.0, "end": 55.0, "text": " A igual a menos 1 nos indica que la gr\u00e1fica de esta funci\u00f3n,"}, {"start": 55.0, "end": 60.0, "text": " que es una par\u00e1bola, va a estar orientada hacia abajo."}, {"start": 60.0, "end": 66.0, "text": " En ese caso el v\u00e9rtice de la par\u00e1bola va a ser el punto m\u00e1ximo,"}, {"start": 66.0, "end": 69.0, "text": " el punto m\u00e1s alto de la funci\u00f3n."}, {"start": 69.0, "end": 73.0, "text": " C nos indica el y-intersecto,"}, {"start": 73.0, "end": 79.0, "text": " es decir, el punto de corte de la gr\u00e1fica con el eje y."}, {"start": 79.0, "end": 84.0, "text": " Si se vale 0 significa que la par\u00e1bola va a cortar el eje y en 0,"}, {"start": 84.0, "end": 86.0, "text": " es decir, en el origen."}, {"start": 86.0, "end": 90.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a obtener entonces lo que es el v\u00e9rtice de la par\u00e1bola,"}, {"start": 90.0, "end": 93.0, "text": " la coordenada del v\u00e9rtice,"}, 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m\u00e1s 2 nos da 1."}, {"start": 194.0, "end": 196.0, "text": " Ese por un lado."}, {"start": 196.0, "end": 200.0, "text": " Vamos a ensayar la otra posibilidad que mencionaba hace un momento,"}, {"start": 200.0, "end": 209.0, "text": " que es encontrar k con la f\u00f3rmula 4ac menos d cuadrado sobre 4a."}, {"start": 209.0, "end": 217.0, "text": " Veamos, 4 por el valor de a que es menos 1, por c que vale 0,"}, {"start": 217.0, "end": 229.0, "text": " menos el valor de b que es igual a 2 al cuadrado sobre 4 por a que es igual a menos 1."}, {"start": 229.0, "end": 233.0, "text": " Este producto 4 por menos 1 por 0, eso nos da 0."}, {"start": 233.0, "end": 241.0, "text": " Nos queda entonces arriba menos 2 al cuadrado que es igual a 4, abajo 4 por menos 1 da menos 4,"}, {"start": 241.0, "end": 246.0, "text": " y esto nos da 1, tal como nos hab\u00eda dado hace un momento."}, {"start": 246.0, "end": 249.0, "text": " \u00bfQu\u00e9 significa entonces lo anterior?"}, {"start": 249.0, "end": 260.0, "text": " Que el v\u00e9rtice de la par\u00e1bola va a estar en la coordenada 1, 1, h vale 1 y k vale 1."}, {"start": 260.0, "end": 264.0, "text": " Ya tenemos entonces la coordenada del v\u00e9rtice."}, {"start": 264.0, "end": 274.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a hallar los x intersectos, es decir, los puntos de corte de la gr\u00e1fica con el eje x."}, {"start": 274.0, "end": 281.0, "text": " Para ello debemos hacer y igual a 0, o en otras palabras la funci\u00f3n, igualarla a 0."}, {"start": 281.0, "end": 288.0, "text": " La funci\u00f3n original dec\u00eda 2x menos x al cuadrado, entonces la igualamos a 0."}, {"start": 288.0, "end": 290.0, "text": " Y se nos forma una ecuaci\u00f3n cuadr\u00e1tica."}, {"start": 290.0, "end": 292.0, "text": " Vamos a resolverla por factorizaci\u00f3n."}, {"start": 292.0, "end": 299.0, "text": " Podemos sacar factor com\u00fan, la x factor de 2 menos x y esto igual a 0."}, {"start": 299.0, "end": 304.0, "text": " Como esto est\u00e1 multiplicando e igual a 0, vamos a aplicar el teorema del factor nulo, es decir,"}, {"start": 304.0, "end": 313.0, "text": " igualamos cada factor a 0, este factor se iguala a 0 o 2 menos x lo igualamos tambi\u00e9n a 0."}, {"start": 313.0, "end": 321.0, "text": " Por aqu\u00ed ya tenemos entonces un valor, una soluci\u00f3n a esta ecuaci\u00f3n y por ac\u00e1 despejando la x,"}, {"start": 321.0, "end": 328.0, "text": " podemos pasar esta x que est\u00e1 negativa al otro lado positiva, all\u00ed nos da que x vale 2."}, {"start": 328.0, "end": 336.0, "text": " Significa esto entonces que los cortes con el eje x de nuestra funci\u00f3n van a estar en 0 y en 2."}, {"start": 336.0, "end": 341.0, "text": " A continuaci\u00f3n vamos a hacer la gr\u00e1fica de esta funci\u00f3n."}, {"start": 341.0, "end": 348.0, "text": " Vamos a llevar al plano cartesiano toda la informaci\u00f3n que hemos encontrado hasta el momento."}, {"start": 348.0, "end": 357.0, "text": " Trasamos el eje y, por ac\u00e1 va el eje x, marcamos el origen,"}, {"start": 357.0, "end": 366.0, "text": " veamos, los valores que encontramos fue h igual a 1, corte con el eje x en 2 y k nos dio 1."}, {"start": 366.0, "end": 368.0, "text": " Supongamos que es por ac\u00e1."}, {"start": 368.0, "end": 378.0, "text": " Vamos entonces a ubicar el v\u00e9rtice, la coordenada del v\u00e9rtice dijimos que era la parejita 1,1, aqu\u00ed est\u00e1 el v\u00e9rtice."}, {"start": 378.0, "end": 384.0, "text": " Los cortes con los ejes, ahora hemos dicho que el corte con el eje y iba a ocurrir en x, perd\u00f3n, en y igual a 0,"}, {"start": 384.0, "end": 391.0, "text": " o sea en el origen y hace un momento vimos que los cortes con el eje x estaban en 0 y en 2."}, {"start": 391.0, "end": 402.0, "text": " Es decir, la par\u00e1bola debe pasar por esos tres puntos y adicionalmente al comienzo del ejercicio hab\u00edamos dicho que la par\u00e1bola iba a abrir hacia abajo."}, {"start": 402.0, "end": 414.0, "text": " Entonces vamos a trazar la gr\u00e1fica de la par\u00e1bola, ella sigue por ac\u00e1 y sigue hacia ac\u00e1."}, {"start": 414.0, "end": 423.0, "text": " All\u00ed podemos apreciar como el v\u00e9rtice es el punto m\u00e1s alto de la funci\u00f3n, corresponde al valor m\u00e1ximo, el m\u00e1ximo valor que toma la funci\u00f3n va a ser igual a 1."}, {"start": 423.0, "end": 436.0, "text": " Otra cosa que podemos determinar aqu\u00ed en este ejercicio es lo que se llama el eje de simetr\u00eda, que es una recta vertical que pasa por el v\u00e9rtice."}, {"start": 436.0, "end": 448.0, "text": " El eje de simetr\u00eda es simplemente una recta que divide la par\u00e1bola en dos ramas iguales, es decir, la rama izquierda va a ser igual a la rama derecha."}, {"start": 448.0, "end": 457.0, "text": " La ecuaci\u00f3n del eje de simetr\u00eda, en este caso por ser una recta vertical que pasa por 1 va a ser x igual a 1."}, {"start": 457.0, "end": 464.0, "text": " Para terminar podr\u00edamos determinar lo que es el dominio de la funci\u00f3n y el rango de la funci\u00f3n."}, {"start": 464.0, "end": 471.0, "text": " Recordemos que el dominio constituye el conjunto de valores que toma la x en la funci\u00f3n."}, {"start": 471.0, "end": 483.0, "text": " Para este caso, por tratarse de una funci\u00f3n cuadr\u00e1tica, cualquier valor de x es bienvenido, cualquier valor negativo, 0, positivo, decimal, fraccionario puede entrar a la funci\u00f3n."}, {"start": 483.0, "end": 491.0, "text": " Por lo tanto el dominio se dice que son los n\u00fameros reales, los x que pertenecen al conjunto de los reales."}, {"start": 491.0, "end": 495.0, "text": " Y el rango de la funci\u00f3n van a ser los valores que toma la y en la funci\u00f3n."}, {"start": 495.0, "end": 505.0, "text": " En este caso vemos que la par\u00e1bola toma valores desde 1 hacia abajo, es decir, podemos decir que son los y menores o iguales que 1."}, {"start": 505.0, "end": 507.0, "text": " Ese ser\u00eda entonces el 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julioprofe

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SUMA Y RESTA DE NÚMEROS COMPLEJOS

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Sean los números complejos z1 igual a 5 menos 3i y z2 igual a menos 4 más 2i Vamos a hallar la suma de ellos z1 más z2 Entonces tomamos el primer número complejo que es 5 menos 3i y lo vamos a sumar con z2 que es menos 4 más 2i Empezamos por destruir los paréntesis, aquí nos quedaría 5 menos 3i salen normalmente los términos y acá salen menos 4 más 2i A continuación vamos a operar las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí Veamos, 5 menos 4 eso nos da 1 y menos 3i más 2i eso nos queda menos i Por lo tanto z1 más z2 nos da 1 menos i Ahora vamos a ver la resta entre ellos Si fuera resta, simplemente conectamos las dos expresiones con la operación resta Destruimos los paréntesis nos quedaría 5 menos 3i Aquí menos, el menos al destruir el paréntesis recordemos que nos cambia los signos Por lo tanto 4 queda positivo y 2i queda negativo A continuación hacemos lo mismo que ahora operar las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí Veamos, 5 más 4 nos da 9 y menos 3i menos 2i nos queda menos 5i Entonces z1 menos z2 nos da el número complejo 9 menos 5i

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DESIGUALDADES LINEALES - Ejercicio 1

#julioprofe explica cómo solucionar una desigualdad o inecuación lineal y cómo expresar su conjunto solución. Tema: #Desigualdades → https://www.youtube.com/playlist?list=PLC6o1uTspYwEZkcrDeNKKyhTxj4A1b83M REDES SOCIALES Facebook → https://www.facebook.com/julioprofenet Twitter → https://twitter.com/julioprofenet Instagram → https://www.instagram.com/julioprofenet SITIO OFICIAL → https://julioprofe.net/

Vamos a resolver esta desigualdad que se conoce como una desigualdad lineal por tener la x siempre con el exponente 1. Para empezar debemos destruir los paréntesis, vamos a hacer propiedad distributiva en estos dos casos. Entonces veamos 3 por 2x nos da 6x, 3 por menos 1 queda menos 3 mayor que 4 más 5 por x 5x, 5 por menos 1 queda menos 5, entonces hicimos propiedad distributiva en estos casos para destruir los paréntesis. Veamos aquí nos queda 6x menos 3 mayor, acá podemos operar 4 con menos 5, eso nos da menos 1 más 5x. A continuación vamos a pasar las x al lado izquierdo y dejamos los números en el lado derecho. Entonces nos queda 6x, queda igual, pasamos este 5x que está positivo, negativo al otro lado, vas a hacer la operación contraria, mayor que menos 1 queda igual y este 3 que se encuentra acá restando pasaría a sumar al otro lado. 6x menos 5x nos da x mayor que menos 1 más 3 que es igual a 2. Aquí tenemos entonces la solución de la desigualdad, lo que se conoce como el conjunto solución, expresado en forma de desigualdad. Este mismo resultado lo podríamos llevar a una recta numérica localizando el valor 2, por acá está más infinito, por acá se encuentra menos infinito, vamos a suponer que estos son valores de la variable x y dice que x tiene que ser mayor que 2, por lo tanto decimos que 2 no se toma, va a ser abierto y como dicen mayores que 2 van a ser todos los valores que se encuentren a la derecha del 2 hasta más infinito. Por lo tanto otra forma de dar la solución es en forma de intervallo que sería así, la solución a nuestra desigualdad sería los x pertenecientes, el símbolo de pertenecen al intervallo que va desde 2 hasta más infinito, como el 2 es abierto, no se incluye el 2, usamos paréntesis y el infinito siempre lleva paréntesis. Esta sería entonces la tercera forma de dar la solución de la desigualdad, en forma de desigualdad, en forma gráfica y en forma de intervalo.

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