Q:

Se deben utilizar metodos obsoletos en Java?

En algunos casos he utilizado métodos que son marcados como obsoletos, sin embargo todo funciona correctamente, pero no se si eso pueda afectar la ejecución del código con el paso del tiempo debido a las actualizaciones de Java. 

A:

No, no deberías usarlos. Si un método es marcado como obsoleto, significa que en alguna versión futura de Java tal vez sea removido aquel método, y tu programa ya no funcionará.
El que un método sea marcado como obsoleto sirve para darte tiempo de antemano para ir cambiando tu código de una vez en preparación para el día en que el método ya no exista.
La documentación para la anotación @Deprecated agrega algunos razones adicionales para no usarlos:

Un elemento de un programa anotado con @Deprecated es uno que los programadores deberían evitar usar, típicamente porque es peligroso, o porque existe una mejor alternativa.

