Q:

Требуется ли двоеточие и кавычки внутри предложения, если это диалог?

А пока едем, ответь на вопрос: "Что ты подразумеваешь под словом Вселенная?" 

A:

Если доверять примерам из Нацкорпуса, двоеточие нужно, а кавычки обычно не ставятся. При этом сам вопрос начинается со строчной буквы.

А пока едем, ответь на вопрос: что ты подразумеваешь под словом Вселенная?

(То, что это диалог, не играет большой роли, потому что один из собеседников просит другого ответить на вопрос и формулирует его, в другой ситуации не было бы причин для других знаков. А вообще, другую-то и сложно представить: если есть слово ответь, значит, кто-то к кому-то обращается и, выходит, это и есть диалог.)

A:

Согласна с Артемом, он предлагает правильный вариант оформления (БСП, а не прямая речь).  
Прямая речь в диалоге возможна, но она должна быть обращена к третьему лицу, например: 
— А что было потом?
— А потом он у меня спросил: "Что ты подразумеваешь под словом Вселенная?"

