Q:

Mostrar alerta cuando texto necesite overflow

No se si no estoy buscando bien o que a nadie ha necesitado algo así nunca. 
El caso es que estoy intentando que cuando un div con tamaño fijo y overflow: auto;  se llene y necesite scroll, me muestre una alerta para saberlo. Realmente no es una alerta lo que voy a mostrar, si no un div que informa que hay scroll. Pero por no complicar la cosa, con un simple alert me puedo hacer una idea.
No tengo nada de código escrito para que os podáis hacer una idea, porque no he encontrado absolutamente nada relacionado con esto. Con mostrar algo al llegar un punto el scroll si. Pero yo solo necesito que si el div necesita scroll que me lo diga. 
Muchas gracias a todos por vuestra ayuda

A:

La forma más reciente recomendada para detectar cambios en elementos es la utilización de MutationObservers que son la propuesta para substituir a los Mutation Events. Para ser notificado de los cambios en el contenido de un elemento es necesario observar la propiedad childList.
Por ejemplo si tienes un div así en html:
<div id="divid">
  Contenido del div
</div>

Javascript:
// Seleccionar nodo a observar
var nodoObservado = document.getElementById('divid');

// Lista de propiedades a observar
var cambiosaobservar = {childList: true};

// Funcion que se ejecuta cuando se notifica la mutación
var callback = function(listaDeCambios) {
  for (var cambio of listaDeCambios) {
    if (cambio.type == 'childList') {

      // Comprobar overflow en el elemento
      if (nodoObservado.offsetHeight < nodoObservado.scrollHeight || // overflow vertical
        nodoObservado.offsetWidth < nodoObservado.scrollWidth) { // overflow horizontal

         alert('overflow');

      }
    }
  }
};

// Crear el observador con la función que ha de ejecutar
var observador = new MutationObserver(callback);

// Observar el elemento
observador.observe(nodoObservado, cambiosaobservar);

// Si despues se quiere dejar de observar el elemento
// observador.disconnect();

Ejemplo: https://jsfiddle.net/wallek876/x6yzygvw/
Aunque la utilización de DOMSubtreeModified o  Mutation Events en general ha sido definida como obsoleta por los últimos estándares web, por temas de rendimiento y compatibilidad entre navegadores, dejo la respuesta original como referencia aunque no se recomienda su uso.
Puedes usar el evento DOMSubtreeModified para añadir un disparador que se ejecute cuando se modifica el contenido del elemento, y comprobar entonces si hay overflow, tanto horizontal como vertical:
$("#divid").on('DOMSubtreeModified', function() {

  if (this.offsetHeight < this.scrollHeight ||   // overflow vertical
    this.offsetWidth < this.scrollWidth) {       // overflow horizontal

    alert('overflow');

  }

});

Ejemplo: https://jsfiddle.net/wallek876/qusab0r9/

