Q:

Para que serve realmente o GitHub?

Vejo muitas pessoas falando sobre ele, mas não sei a real importância do GitHub.

A:

Github é um site e serviço que fornece GIT gratuito e pago e tem interface para gerenciamento WEB, sem precisar instalar um cliente GIT.
Para entender o Github é preciso entender o serviço que eles fornecem
, e no caso o serviço é o Git.
Git é um sistema de controle de versão distribuído e um sistema de gerenciamento de código fonte, ele são como "protocolos" para trabalhar com repositórios, semelhante ao SVN.
O desenvolvimento de software contém muitas etapas e geralmente é necessário ter um histórico do que foi feito e poder até reverter.
E para gerenciar um git você precisará de um cliente para isto, geralmente usamos o git via linha de comando, que pode ser encontrado em:

https://git-scm.com/book/en/v2/Getting-Started-Installing-Git

Mas para facilitar existem os com interface gráfica:

https://desktop.github.com
https://www.sourcetreeapp.com/

Dentre muitos outros em: https://git-scm.com/downloads/guis
Pense que você tem um projeto grande e algo começou a falhar na ultima modificação, você pode olhar código por código até descobrir aonde falhou, ou simplesmente buscar no ultimo histórico do Git e ver exatamente o que você mudou através do diff
Outro objetivo de se usar Git é trabalhar com vários programadores, você conseguirão mesclar modificações gerenciar os branchs e saber exatamente o que o outro fez, remotamente também.
Claro que muitos desenvolvedores por ai trabalham com Git de maneira que pode ser complicada, pois geralmente todo mundo é tem controle absoluto sobre o "master", então todos commits se misturam e a trancos e barrancos as pessoas vão usando o Git, quando muitas vezes o ideal seria ter alguém que fosse o controlador principal, aquele que aprova e compara as coisas, mas isso é algo mais amplo para se falar e/ou explicar.

Github e o open-source
O @jefferson me recordou de um detalhe, apesar de não ter haver com a pergunta, é interessante dizer que o Github é bastante popular devido aos projetos open-source e o vinculo com outras ferramentas/serviços como:

packagist para composer
MyGet (pode integrar github com nuget, npm, etc)

Existem muitos softwares que usamos hoje, como Angular, Vue, jQuery, Laravel, etc que são versionados no Github, ou seja o source esta lá e as modificações, correções, históricos e algumas distribuições (na aba Release) também são feitas pelo Github.

O Github não é o único que fornece GIT
Github não é o único site que fornece GIT gratuito, exemplo também:

Gitlab - Nota: tem repositórios privados ilimitados
Bitbucket - Nota: tem repositórios privados ilimitados, mas só permite 5 usuários
sourceforge - Nota: fornece Git, SVN, mercurial e Bazaar

Além do sistema de versionamento GIT existem outros como:

SVN
mercurial
Bazaar

