Q:

É correto o uso de "ò" hoje em dia?

Eu já vi em textos antigos e no dicionário da Priberam (sim, "Priberam" é ela; o Priberam refere-se ao dicionário da Priberam), porém eu não sei se seu uso é correto por ser arcaico.
A + a = à
A + o = ò
A + o = ao
Exemplo: "Foi dito ò rei que a batalha fora perdida".

A:

O Acordo Ortográfico de 1990 (Base XII: do emprego do acento grave) não prevê as formas ò, òs; reserva o acento grave para à, àquele, àquela, àqueloutro, àqueloutra, seus  plurais e a àquilo.
No Brasil já era assim anteriormente, tal como prescrito no Formulário Ortográfico de 1943 (Base XII – Acentuação Gráfica, 43, 16ª).
Mas em Portugal, as formas ò e òs estavam explicitamente previstas no Acordo Ortográfico de 1945 (artigo 24), em vigor antes do Acordo de 1990. O mesmo acontecia com “prò, prà, pròs e pràs, contracções de pra, redução da preposição para, com as quatro formas o, a, os e as”.
Concordantemente, o Dicionário da Academia de Ciências de Lisboa de 2001, anterior à entrada em vigor do Acordo de 1990, traz ò (desenvolvo as abreviações): 

ò [ɔ´]. contracção Popular: Contracção da preposição. a com o artigo ou pronome demonstrativo o. Indignado repetia: «Ò que se chegou!...»

Portanto, se segues, como muita gente, a norma anterior ao atual acordo ortográfico, estás à vontade para escrever ò fim e ò cabo ou pergunta ò que chegar primeiro. Se seguires a norma atual, normalmente, nomeadamente em escrita formal ou técnica, o problema não se coloca. Tal como podemos ver escrito foi para a praia e ler foi prapraia ou mesmo papraia, também podemos escrever ao fim e ao cabo e ler ò fim e ò cabo. Se quiseres mesmo reproduzir por escrito esse aspeto da pronúncia — pode ser importante em poemas ou escrita expressiva — parece-me que a melhor opção é mesmo escrever ò. A alternativa seria ó (Aulete), tal como na interjeição de chamamento (Ó João, anda cá). Mas eu pelo menos escreveria ò, por analogia com à.

