Q:

Гринев сказал Пугачеву, что "я тебе служить не стану"

Гринев сказал Пугачеву, что "я тебе служить не стану".
Будет ли ошибкой такое написание, если взять в кавычки,
вместо следующего:
Гринев сказал Пугачеву, что ему он служить не станет.

A:

Такое оформление некорректно, т. к. союз "что" вводит косвенную речь. Перед прямой речью его необходимо убрать.
Дополнение
Смешение прямой и косвенной речи находит свое выражение в том, что придаточное предложение, образующее косвенную речь, сохраняет элементы прямой речи (формы личных местоимений и глаголов), например: Автор сгоряча заметил рецензенту, что как же вы можете не замечать того нового, что имеется в книге.
См.: Розенталь. Д.Э. Справочник по литературной правке и редактированию.
Оформление прямой речи

