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*R言語のmvtnormパッケージの多変数累積密度関数`pmvnorm()`を使用して、２次元の正規分布関数の任意の範囲の累積確率密度（確率）を取得したいのですが、この関数の引数lower,upper（ベクトルで指定）が何を意味しているのか分かりません。この引数の意味を教えて頂きたいですm(__)m

関数`pmvnorm()`のヘルプ  
<http://math.furman.edu/~dcs/courses/math47/R/library/mvtnorm/html/pmvnorm.html>

以下実装中コードです。

```

    library( MASS )     # MASS package（ピマ・インディアンPima のデータを使用）
    library( mvtnorm )  # 多変量正規分布を扱う
    
    # set options
    options( digits=5 ) # 表示桁数
    
    # Pima data expand on memory
    data( Pima.tr )
    data( Pima.te )
    
    # copy data from Pima data
    lstPimaTrain <- list(
      numNoDiabetes = 0,       # 糖尿病未発症人数（0で初期化）
      numDiabetes = 0,         # 糖尿病発症人数（0で初期化）
      glu = Pima.tr$glu, 
      bmi = Pima.tr$bmi, 
      bResult = rep(FALSE, length(Pima.tr$glu)) # 糖尿病か否か？（FALSE:糖尿病でない、    TRUE:糖尿病）
    )
    
    # Pima.tr$type のデータ（Yes,No）を符号化[encoding]
    for ( i in 1:length(Pima.tr$type) ) 
    {
      if(Pima.tr$type[i] == "Yes" )
      {
        lstPimaTrain$numDiabetes <- (lstPimaTrain$numDiabetes + 1)
        lstPimaTrain$bResult[i] <- TRUE
      }
      else if( Pima.tr$type[i] == "No" )
      {
        lstPimaTrain$numNoDiabetes <- (lstPimaTrain$numNoDiabetes + 1)
        lstPimaTrain$bResult[i] <- FALSE
      }
      else{
        # Do Nothing
      }
    }
    
    # sort Pima data
    lstPimaTrain$glu <- lstPimaTrain$glu[ order(lstPimaTrain$bResult) ]
    lstPimaTrain$bmi <- lstPimaTrain$bmi[ order(lstPimaTrain$bResult) ]
    lstPimaTrain$bResult <- lstPimaTrain$bResult[ order(lstPimaTrain$bResult) ]
    
    # split data to class C1 and C2
    dfPimaTrain_C1 <- data.frame(
      glu = lstPimaTrain$glu[1:lstPimaTrain$numNoDiabetes], 
      bmi = lstPimaTrain$bmi[1:lstPimaTrain$numNoDiabetes],
      bResult = FALSE             # 糖尿病か否か？（FALSE:糖尿病でない、TRUE:糖尿病）
    )
    dfPimaTrain_C2 <- data.frame(
      glu = lstPimaTrain$glu[(lstPimaTrain$numNoDiabetes+1):    (lstPimaTrain$numNoDiabetes+lstPimaTrain$numDiabetes)], 
      bmi = lstPimaTrain$bmi[(lstPimaTrain$numNoDiabetes+1):(lstPimaTrain$numNoDiabetes+lstPimaTrain$numDiabetes)],
      bResult = TRUE             # 糖尿病か否か？（FALSE:糖尿病でない、TRUE:糖尿病）
    )
    
    # sort class C1,C2 data
    dfPimaTrain_C1$glu <- dfPimaTrain_C1$glu[ order(dfPimaTrain_C1$glu) ]
    dfPimaTrain_C1$bmi <- dfPimaTrain_C1$bmi[ order(dfPimaTrain_C1$glu) ]
    dfPimaTrain_C2$glu <- dfPimaTrain_C2$glu[ order(dfPimaTrain_C2$glu) ]
    dfPimaTrain_C2$bmi <- dfPimaTrain_C2$bmi[ order(dfPimaTrain_C2$glu) ]
    
    # release memory
    rm(Pima.tr) 
    rm(Pima.te)
    
    #-------------------
    # set class C1 data
    #-------------------
    datU1_C1 <- mean( dfPimaTrain_C1$glu ) # クラス１（糖尿病発症なし）の変数１（glu）の平均値
    datU2_C1 <- mean( dfPimaTrain_C1$bmi ) # クラス１（糖尿病発症有り）の変数２（BMI）の平均値
    datU_C1 <- matrix( c(datU1_C1,datU2_C1), nrow = 2, ncol = 1)      # クラス１（糖尿病発症なし）の平均ベクトル
    
    matS_C1 <- matrix( c(0,0,0,0), nrow = 2, ncol = 2 ) # クラス１（糖尿病発症なし）の共分散行列
    matS_C1[1,1] <- sqrt( var( dfPimaTrain_C1$glu, dfPimaTrain_C1$glu ) )
    matS_C1[1,2] <- sqrt( var( dfPimaTrain_C1$glu, dfPimaTrain_C1$bmi ) )
    matS_C1[2,1] <- sqrt( var( dfPimaTrain_C1$bmi, dfPimaTrain_C1$glu ) )
    matS_C1[2,2] <- sqrt( var( dfPimaTrain_C1$bmi, dfPimaTrain_C1$bmi ) )
    
    #-------------------
    # set class C2 data
    #-------------------
    datU1_C2 <- mean( dfPimaTrain_C2$glu ) # クラス２（糖尿病発症なし）の変数１（glu）の平均値
    datU2_C2 <- mean( dfPimaTrain_C2$bmi ) # クラス２（糖尿病発症有り）の変数２（BMI）の平均値
    datU_C2 <- matrix( c(datU1_C2,datU2_C2), nrow = 2, ncol = 1)      # クラス１（糖尿病発症なし）の平均ベクトル
    
    matS_C2 <- matrix( c(0,0,0,0), nrow = 2, ncol = 2 ) # クラス２（糖尿病発症なし）の共分散行列
    matS_C2[1,1] <- sqrt( var( dfPimaTrain_C2$glu, dfPimaTrain_C2$glu ) )
    matS_C2[1,2] <- sqrt( var( dfPimaTrain_C2$glu, dfPimaTrain_C2$bmi ) )
    matS_C2[2,1] <- sqrt( var( dfPimaTrain_C2$bmi, dfPimaTrain_C2$glu ) )
    matS_C2[2,2] <- sqrt( var( dfPimaTrain_C2$bmi, dfPimaTrain_C2$bmi ) )
    
    
    ##################################
    # secondary idification function
    ##################################
    Dim2IdificationFunc <- function( x1, x2, u_C1, u_C2, matS1, matS2, P_C1=0.5, P_C2=0.5 )
    {
      datX <- matrix( 0, nrow = 2, ncol = 1  )
      datX[1,] <- x1
      datX[2,] <- x2
      matW <- matrix( c(0,0,0,0), nrow = 2, ncol = 2 )
      matW <- ( solve(matS1) - solve(matS2) )
      vct <- ( t(u_C2)%*%solve(matS2) - t(u_C1)%*%solve(matS1) )
      r <- ( t(u_C1)%*%solve(matS1)%*%u_C1 - t(u_C2)%*%solve(matS2)%*%u_C2 + log(     det(matS1)/det(matS2) ) - 2*log(P_C1/P_C2) )
    
      z0 <- ( t(datX)%*%matW%*%datX )
      z1 <- ( 2*vct%*%datX )
      z <- ( z0 + z1 + r )
      return(z)
    }
    
    ###############################
    # liner idification function
    ###############################
    Dim1IdificationFunc <- function( x1, x2, u_C1, u_C2, matS1, matS2, P_C1=0.5, P_C2=0.5 )
    {
      datX <- matrix( 0, nrow = 2, ncol = 1  )
      datX[1,] <- x1
      datX[2,] <- x2
    
      matSp <- matrix( c(0,0,0,0), nrow = 2, ncol = 2 )
      matSp <- P_C1*matS1 + P_C2*matS2
      vct <- ( t(u_C2)%*%solve(matSp) - t(u_C1)%*%solve(matSp) )
      r <- ( t(u_C1)%*%solve(matSp)%*%u_C1 - t(u_C2)%*%solve(matSp)%*%u_C2 + log( det(matSp)/det(matSp) ) - 2*log(P_C1/P_C2) )
    
      z <- ( 2*vct%*%datX + r )
      return(z)
    }
    
    #------------------------------
    # set functions values
    #-------------------------------
    datX1 <- seq( from=0, to=200, by=5 )  # glu 軸の値ベクトル
    datX2 <- seq( from=0, to=50,  by=1 )  # BMI 軸の値ベクトル
    datX1 <- as.matrix( datX1 )
    datX2 <- as.matrix( datX2 )
    matZDim2 <- matrix( 0, nrow=length(datX1), ncol=length(datX2) )
    matZDim1 <- matrix( 0, nrow=length(datX1), ncol=length(datX2) )
    
    # for loop matZDim2[i,j], matZDim1[i,j]
    for( j in 1:length(datX2) )
    {
      for( i in 1:length(datX1) )
      {
        matZDim2[i,j] <- Dim2IdificationFunc( 
          x1 = datX1[i], x2 = datX2[j],
          u_C1 = datU_C1, u_C2 = datU_C2, matS1 = matS_C1, matS2 = matS_C2 
        )
    
        matZDim1[i,j] <- Dim1IdificationFunc( 
          x1 = datX1[i], x2 = datX2[j],
          u_C1 = datU_C1, u_C2 = datU_C2, matS1 = matS_C1, matS2 = matS_C2 , 
          P_C1 = lstPimaTrain$numNoDiabetes/(lstPimaTrain$numNoDiabetes+lstPimaTrain$numDiabetes),
          P_C2 = lstPimaTrain$numNoDiabetes/(lstPimaTrain$numDiabetes+lstPimaTrain$numDiabetes)
        )
      }
    }
    
    
    ############################
    # ROC Curve                #
    ############################
    #-------------------------------------------------
    # get error ratio from Normal distribution (2dim)
    #-------------------------------------------------
    datLow = seq( from = 0.0, to = 200, by = 1.0 ) # idefication-boundary <lower>
    datUp  = seq( from = 0.0, to = 200, by = 1.0 ) # idefication-boundary <upper>
    dfROC2 <- data.frame(
      sigma1 = matrix( 0, nrow = 10, ncol = 1 ),
      sigma2 = matrix( 0, nrow = 10, ncol = 1 ),
      sigma = matrix( 0, nrow = 10, ncol = 1 )
    )
    
    # pmvnormの動作確認
    dfROC2$sigma1[1] <- pmvnorm( lower = -Inf, upper = +Inf, mean = as.vector(datU_C1), sigma = matS_C1 )
    dfROC2$sigma1[2] <- pmvnorm( lower = -Inf, upper = datU1_C1, mean = as.vector(datU_C1), sigma = matS_C1 )
    dfROC2$sigma1[3] <- pmvnorm( lower = -Inf, upper = datU1_C1+10, mean = as.vector(datU_C1), sigma = matS_C1 )
    dfROC2$sigma1[4] <- pmvnorm( lower = datU1_C1, upper = +Inf, mean = as.vector(datU_C1), sigma = matS_C1 )
    
    dfROC2$sigma2[1] <- pmvnorm( lower = -Inf, upper = c(0,0), mean = as.vector(datU_C2), sigma = matS_C2 )
    dfROC2$sigma2[2] <- pmvnorm( lower = -Inf, upper = c(50,10), mean = as.vector(datU_C2), sigma = matS_C2 )
    dfROC2$sigma2[3] <- pmvnorm( lower = -Inf, upper = c(100,30), mean = as.vector(datU_C2), sigma = matS_C2 )
    dfROC2$sigma2[4] <- pmvnorm( lower = -Inf, upper = c(150,40), mean = as.vector(datU_C2), sigma = matS_C2 )
    
    
    dfROC2$sigma <- dfROC2$sigma1 + dfROC2$sigma2
    
    print( dfROC2 )
    
    ############################
    # set graphics parameters  #
    ############################
    # 軸に関してのデータリスト
    lstAxis <- list(                        
      xMin = 0.0, xMax = 1.0,  # x軸の最小値、最大値
      yMin = 0.0, yMax = 1.0,   # y軸の最小値、最大値
      zMin = 0.0, zMax = 1.0,   # z軸の最小値、最大値
      xlim = range( c(0.0, 1.0) ), 
      ylim = range( c(0.0, 1.0) ), 
      zlim = range( c(0.0, 1.0) ),
      mainTitle1 = "ROC曲線（２次元正規分布）\n２次識別関数[secondary idification function]", # 図のメインタイトル（図の上）
      mainTitle2 = "ROC曲線（２次元正規分布）\n線形識別関数[liner idification function]",     # 図のメインタイトル（図の上）
      mainTitle3 = "ROC曲線（２次元正規分布）\n",     # 図のメインタイトル（図の上）
      subTitle1  = "２次識別関数[dim2 idification function]",    # 図のサブタイトル（図の下）
      subTitle2  = "線形識別関数[liner idification function]",    # 図のサブタイトル（図の下）
      subTitle3  = "２次識別関数+線形識別関数",    # 図のサブタイトル（図の下）
      xlab      = "偽陽性率 [false positive rate]",         # x軸の名前
      ylab      = "真陽性率 [true positive rate]",         # y軸の名前
      zlab      = "z"            # z軸の名前
    )
    lstAxis$xlim = range( c(lstAxis$xMin, lstAxis$xMax) )
    lstAxis$ylim = range( c(lstAxis$yMin, lstAxis$yMax) )
    lstAxis$zlim = range( c(lstAxis$zMin, lstAxis$zMax) )
    
    #########################
    # Draw figure           #
    #########################
    # plot ROC Curve
    plot(
      dfROC2$sigma1, dfROC2$sigma2,
      main = lstAxis$mainTitle1,
      xlab = lstAxis$xlab, ylab = lstAxis$ylab,
      xlim = lstAxis$xlim, ylim = lstAxis$ylim,
      type = "p"      
    )
    grid()  # 図にグリッド線を追加強調太字テキスト
    
```
CC BY-SA 3.0
2017-01-21T19:41:07.277
32046
2017-01-31T14:28:27.513
2017-01-31T14:28:27.513
20266
20266
question
r 機械学習
Rのmvtnormパッケージの関数 pmvnorm() の引数 lower,upper の意味について
組み込み関数の`pnorm()`は上限しか引数に取れず、下限を考慮した値は引き算で算出する必用がありましたが、`pmvnorm()`は上限・下限ともに引数とすることができます。また複数の正規分布を扱う関数なので、引数mean同様、分布の数だけ指定することが出来ます。

(例)

```

    library(mvtnorm)
    
    pnorm(1.5) - pnorm(-0.3)  # [1] 0.5511042 (pnormは平均ゼロSD1のデフォ設定です)
    pmvnorm(lower = -0.3, upper = 1.5, mean = 0, sigma = diag(1)) # 0.5511042 
    
    pnorm(2.2, mean = 1) - pnorm(1.2, mean = 1)   # [1] 0.3056706
    pmvnorm(lower = 1.2, upper = 2.2, mean = 1, sigma = diag(1))  # 0.3056706 
    
    (pnorm(1.5) - pnorm(-0.3)) * (pnorm(2.2, mean = 1) - pnorm(1.2, mean = 1))  # [1] 0.1684564
    pmvnorm(lower = c(-0.3, 1.2), upper = c(1.5, 2.2), mean = c(0, 1), sigma = diag(2))  # [1] 0.1684564
    
```
CC BY-SA 3.0
2017-01-22T02:12:16.183
32048
2017-01-22T02:25:22.667
2017-01-22T02:25:22.667
15653
15653
32046
answer