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**[Link](http://postd.cc/bezier-curves/)先で、下記式が掲載されているのですが、意味が分かりません。**

[![画像の説明をここに入力](https://i.stack.imgur.com/MRZoO.png)](https://i.stack.imgur.com/MRZoO.png)

* * *

**Q**  
・これは座標ですか？  
・どうして[]で囲っているのでしょうか？  
・どうして縦に並べているのでしょうか？ X,Yのように横に並んでいない理由は？  
・これが、バーンスタイン基底関数ですか？  
・それとも、二項係数？？
CC BY-SA 3.0
2017-07-26T23:33:00.940
36700
2017-07-27T13:58:13.330
7886
question
svg
線分(1次ベジェ曲線)を説明する式で、[]が付与されている理由と縦に並んでいる理由は？
> ・これは座標ですか？  
>  ・どうして[]で囲っているのでしょうか？

単純に行列です。１ｘ２行列ですから座標といってもいいです。

> ・どうして縦に並べているのでしょうか？ X,Yのように横に並んでいない理由は？

結局のところ座標を表示したいだけなので、１ｘ２行列でも２ｘ１行列でもよいわけです。  
リンク元ページ作者は１ｘ２行列で表記しただけです。  
あなたが気に入らないなら１ｘ２でも２ｘ１でも、お好きなほうでどうぞ。
CC BY-SA 3.0
2017-07-26T23:59:17.507
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2017-07-26T23:59:17.507
8589
36700
answer
リンク先で言うP0, P1は、いわゆるベクトルです。  
点（座標）Ｐをベクトルで表して  
原点Ｏから点P0へのベクトル  
→  
OP0を略して

→ →  
P0,P1

→を略して

P0,P1と言ってます。

線分  
＿＿  
P0P1をP0からP1へのベクトルとすると、

→  
P0P1は、

ベクトルP1－ベクトルP0

P1 \- P0で、  
中間の点は  
（基点とするベクトルP0）＋(P0からP1へのベクトル)×比率(リンク先ではt)  
まとめると  
P0＋(P1 \- P0)t  
P0(1-t)＋(P1)t  
(1-t)P0＋tP1となります。

ベクトルP0をいわゆるデカルト座標系(x-y座標)であらわすと、  
P0＝（P0x, P0y)  
P1＝（P1x, P1y)  
となって、  
(1-t)P0＋tP1をこちらで書き直すと  
((1-t)P0x+tP1x, (1-t)P0y+tP1y)  
tが0.5の時  
(0.5(P0x+P1x), 0.5(P0y+P1y))  
になります。

> ・どうして[]で囲っているのでしょうか？

[ ]で囲っているのはこれが行列表現だということだと思います。

> ・これは座標ですか？

中間の点を(x,y)座標表現にして行列で表現したものですので、座標（中間点へのベクトル）です。

> ・どうして縦に並べているのでしょうか？ X,Yのように横に並んでいない理由は？

表現としては縦でも横でもいいですが、  
おそらく、  
例えば、２元１次方程式などを行列表現するときに、

```

    ax+by=c
    Ax+By=C
    
```

を

```

    |a b||x| |c|
    |   || |=| | 
    |A B||y| |C|
    
```

のように書かれることが多いので、それにならったものだと思われます。

> ・これが、バーンスタイン基底関数ですか？

「バーンスタイン基底関数」についてよく知りません。  
これが一番単純な形の「バーンスタイン基底関数」なんですかね？よくわかりません。

> ・それとも、二項係数？？

既に説明した通りで、中間点の座標を表現しています。  
「[二項係数](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E4%BF%82%E6%95%B0)」ではありません。
CC BY-SA 3.0
2017-07-27T01:03:27.540
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2017-07-27T01:09:43.377
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answer
> ・これは座標ですか？

はい。二次元座標を表しています。

> ・どうして[]で囲っているのでしょうか？  
>  ・どうして縦に並べているのでしょうか？ X,Yのように横に並んでいない理由は？

ベクトルには横ベクトルと縦ベクトルという2つの表し方があります。  
ベクトルも行列だと思うと、(1×2)行列か(2×1)行列かの違いです。  
ベクトルを横にするか縦にするかは流儀によって異なります。  
慣習的に縦か横を決めたり、スペースの都合に合わせて決めたりします。  
日本の高校数学だと横ベクトルが多いかもしれませんが、大学数学だと縦のことも多いです。  
カッコが [ ] になっているのは、ベクトルのカッコをそう書いているだけでしょう。 (丸括弧でなくても良いというだけです。)

> ・これが、バーンスタイン基底関数ですか？  
>  ・それとも、二項係数？？

これは、1次の場合のバーンスタイン多項式に t = 0.5 を代入した形です。二項係数ではありません。

一般のn次バーンスタイン多項式 P(t) は、制御点が P₀, P₁, …, Pₙ とあったときに、下の式で表されます。ただし ₙCᵢ は二項係数です。

[![一般のバーンスタイン多項式です](https://i.stack.imgur.com/aevsr.png)](https://i.stack.imgur.com/aevsr.png)

「バーンスタイン基底関数」は、上の式で赤い下線を引いた部分のことです。  
バーンスタイン多項式はバーンスタイン基底関数と制御点を掛けて足したもの（つまり、線型結合したもの）になっています。

これに n = 1 を代入すると、記事にもあるように、1次の場合のバーンスタイン多項式が出てきます。

[![n = 1
のときのバーンスタイン多項式の導出です](https://i.stack.imgur.com/Ro3Xr.png)](https://i.stack.imgur.com/Ro3Xr.png)

上の式は t をパラメータとした多項式であり、0≦t≦1 のとき、図形としては線分 P₀P₁ を表しています。  
たとえばこの式に t = 0.5 を代入すると、質問文の中に書いてある 0.5(P₀ + P₁) という式が出てきます。

また、上と同様に n = 2 の場合を求めると、2次の場合のバーンスタイン多項式、つまり、(2次)ベジエ曲線の式が導出できることが分かると思います。
CC BY-SA 3.0
2017-07-27T13:52:40.727
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2017-07-27T13:58:13.330
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