Datasets:

mlnchk

/

CL_nature

like 1

https://cyberleninka.ru/article/n/effekt-vozmozhnoy-stabilizatsii-faz-struktura-kotoryh-opredelyaetsya-tremya-parametrami-poryadka-primer-tverdyh-rastvorov-1-x-pbzn1-3nb2

Построена феноменологическая теория необратимого фазового перехода во внешнем поле, наблюдаемого в твердых растворах (1-x)PZN-xPT вблизи морфотропной области составов. Предложен наиболее вероятный механизм необратимого фазового перехода в поле не противоречащий известным дифрактометрическим данным.

УДК 536:548 ЭФФЕКТ ВОЗМОЖНОЙ САМОСТАБИЛИЗАЦИИ ФАЗ, СТРУКТУРА КОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ТРЕМЯ ПАРАМЕТРАМИ ПОРЯДКА. ПРИМЕР ТВЕРДЫХ РАСТВОРОВ (1-X)PbZni/3Nb2/3O3+xPbTiO3 © 2009 г. Л.А. Кладенок, О.В. Кукин, А.Н. Садков Научно-исследовательский институт физики Research Institute of Physics of Southern Federal University, Южного федерального университета, 2344090, Russia, Rostov-on-Don, Stachki St., 194, 344090, Ростов н/Д, ул. Стачки, 194, [email protected] [email protected] Построена феноменологическая теория необратимого фазового перехода во внешнем поле, наблюдаемого в твердых растворах (1-x)PZN—xPT вблизи морфотропной области составов. Предложен наиболее вероятный механизм необратимого фазового перехода в поле не противоречащий известным дифрактометрическим данным. Ключевые слова: тмметрия, фазовый переход, параметр порядка, твердый раствор, сегнетоэлектрики. Phenomenological theory of unreverse phase transition near morphotropic region of (1-x)PbZn1/3Nb2/3O3+xPbTiO3 solid solutions in external field was constructed. Most probable mechanism of unreverse phase transition in external field, which conformed with diffraction data are propose. Keywords: symmetry, phase transition, order parameter, solid solution, ferroelectrics. Объект данного исследования - твердый раствор на основе одного из представителей большого семейства сложных окислов со структурой перовскита-плюмбониобата цинка PbZn1/3Nb2/3O3 (PZN). Этот кристалл проявляет релаксорные сегнетоэлектриче-ские свойства в широком интервале внешних условий (температур, внешних полей и механических напряжений), что и обусловливает широкий интерес к PbZn1/3Nb2/3O3 и твердым растворам на его основе. Особый интерес представляет твердый раствор на основе PZN (92-88 %)PbZn1/3Nb2/3O3+(8-12 %)PbTiO3 (сокращенно (1-x) PZN+xPT, где x = 0,08-0,12). В этом твердом растворе наблюдается удивительный эффект -необратимый фазовый переход в электрическом поле. Впервые этот эффект наблюдался Б. Нохедой и др. [1, 2] на монодоменных образцах PZN-9 %PT. К первоначально ромбоэдрическому кристаллу, в котором поляризация направлена вдоль [111], прикладывалось электрическое поле в направлении [001], в результате чего вектор поляризации P переходил в плоскость (010). Более того, вектор поляризации оставался в плоскости (010) и после снятия внешнего электрического поля. Чтобы вернуть кристалл в исходное ромбоэдрическое состоя- ние, требовалось нагреть его выше температуры перехода (1^) в кубическую фазу и затем охладить. Теория движения вектора поляризации под действием внешнего поля была предложена Д. Вандербил-дом в [3, 4] для BaTiO3 и в [5] для PbZnl-xTixO3. Она строилась в рамках бездиссипативной модели сверхмягкого псевдопотенциала и предсказывала, что серия фазовых переходов во внешнем поле, нарушающем симметрию исходного состояния, должна быть обратимой, что противоречит эксперименту [1, 2]. Необходимо отметить, что в самом PZN внутри морфотропной границы тоже обнаружены сверхструктурные рефлексы, проявившиеся в электронной [6] и нейтронной [7] дифрактограммах. Эти рефлексы свидетельствуют о том, что внутри морфотропной границы проявляется фаза R3cm [8], которая соответствует смятию кислородного октаэдра [9, 10]. Возможно также, что вопреки расчетам [11], в этой области концентраций наблюдается упорядочение ионов Zn-Ti, описываемое параметром порядка с симметрией соответствующей представлению R(4) точки R зоны Бриллюэна. Таким образом, существующая неопределенность в описании свойств 92 % РЬ2п1/3№2/3О3 - 8 % РЬТЮ3 заставила нас предложить феноменологическую теорию эффекта самостабилизации фаз, учитывающую как наличие спонтанной собственной сегнетоэлектри-ческой поляризации, так и упорядочения по типу Я(4) на местах расположения ионов 2п2+ и №5+ в структуре перовскита. Феноменологическая теория необратимого фазового перехода в 92 % PbZnl/зNb2/зOз - 8 % РЬТЮз Рассмотрим феноменологическую модель фазового перехода в Р2М-РТ в электрическом поле, опираясь только на два бесспорных факта: 1. В (1-х)Р2М - хРТ при концентрациях, близких к характерным для морфотропной области, наблюдаются сверхструктурные рефлексы, характерные для упорядочения, описываемого параметром порядка Ландау, характеризующимся одно лучевой звездой вектора к = (Ь1 +Ъ2 + Ь3)/2 или точкой Я-зоны Бриллюэна группы О1!,. 2. Ниже температуры фазового перехода Тс в твердых растворах (1-х)Р2К-РТ при х вблизи и внутри морфотропной области существует спонтанная поляризация. В интерпретации экспериментальных данных по дифракции и по электрическим измерениям обычно допускается несколько версий, относящихся как к различным типам упорядочения, так и к направлениям смещения атомов (см. например [12]), что приводит к неоднозначным выводам о возможной модели упорядоченной структуры. Чтобы обойти эту сложность, построим общую теорию, охватывающую все возможные типы упорядочений, которые в принципе могут приводить к наблюдаемым дифракционным картинам, и получим ответы для каждого из допустимых симметрией параметров порядка. И только после этого можно будет обсудить общепринятую гипотезу, предполагающую, что параметр порядка соответствует представлению Я(4). Такой подход позволит утверждать, что найден наиболее вероятный механизм фазового перехода, и установить, к каким изменениям свойств и структуры приводят другие механизмы фазового перехода. Заметим также, что ведущих параметров порядка, описывающих состояние твердого раствора (1-х)Р2^Ы-хРТ в электрическом поле в принимаемой нами модели, только два. Однако наличие двух параметров порядка всегда с необходимостью индуцирует появление третьего параметра порядка и, более того, как показано ниже, именно этот третий параметр порядка играет ключевую роль в эффекте самостабилизации фаз (1-х)Р2М - хРТ. В нашем исследовании ограничимся предположением, что физическая природа третьего параметра порядка связана со смещениями или упорядочениями ионов, размещённых на определенных позициях, характерных для правильных систем точек, заполненных в структуре перовскита ионами А, В или О, т.е. расположенных по правильным системам точек 1(а), 1(Ь) и 3(с) [13]. Нами показано, что даже при таком ограничении выбора ведущего параметра порядка, описывающего истинное понижение симметрии при фазовом переходе в поле, существует механизм необратимых фазовых переходов R-MA-MC (или R-MA-MC-O), происходящих в сильном поле, ориентированном вдоль оси четвертого порядка. Предлагаемая нами модель механизма, делающего последовательность фазовых переходов в твердых растворах (l-x)PZN - xPT необратимой, состоит в следующем. В соответствии с данными эксперимента [6], мы принимаем, что в кристаллах (l-x)PZN - хРТ при Т < TD возникают упорядоченные по типу 1:1 на-норазмерные области слоев, ориентированных нормально направлениям типа (111). Согласно данным электронной дифракции, эти нанорегионы имеют неправильную форму, диффузное строение и занимают малую долю полного объема образца [12]. Также будем предполагать, что разные регионы упорядочены не когерентно и направление нормалей n к упорядоченным по типу 1:1 пакетам по-разному ориентировано относительно направлений кристаллической решетки монокристалла. Такое предположение не противоречит известным дифрактограммам. Второе предположение состоит в том, что при понижении температуры ниже Т < ТС в кристалле возникает скрытый порядок, связанный с такими искажениями решетки, которые трудно идентифицировать на фоне достаточно ярко проявляющих себя в дифракционных картинах неоднородностей состава и искажений решетки. Основное требование к этому невнятно проявляющемуся в дифрактограммах упорядочению (скрытому параметру порядка [14]) состоит в том, что его симметрия должна допускать возникновение взаимодействий, линейных по поляризации и произвольно высокой степени по компонентам скрытого параметра порядка и параметра порядка, описывающего упорядочение, возникшее при T < TB (TB - температура Бернса). Другие требования к скрытому параметру порядка чисто физические. Он должен когерентно распространяться на расстояния, сравнимые или превосходящие расстояния между упорядоченными наноре-гионами, и не замораживаться при низких температурах. Последнее выполняется, если параметр порядка реализуется на смещении каких-то атомов в структуре кристалла. Из сказанного вытекает определенный порядок проведения вычислений. Во-первых, необходимо определить симметрии всех параметров порядка, которые могут реализовать как смещения атомов так и упорядочения в размещении атомов, заполняющих правильные системы точек в кубической структуре идеального перовскита. В соответствии с известными дифрактограммами [6, 7] и сделанным выше утверждениями, мы рассматриваем только те параметры порядка, которые удовлетворяют условию Лифшица, т.е. соответствующий вектор к принадлежит точкам Г, X, М и R зоны Бриллюэна группы симметрии Oh1. Поскольку задача построения симметрических координат на смещениях и упорядочениях атомов в структуре перовскита решалась неоднократно [10, 15], приведем только результат этих вычислений, представив его в виде табл. 1. Таблица 1 Обобщенные симметрические координаты на смещениях и упорядочениях атомов в структуре перовскита Упорядочение Позиция Представления 1(a) (000) R(1) М(1) X(1) i(b) (/ % /) r(4) М(/) X(6) 3(c) (0 / /) (/ 0 /)(/ /0) р(з) R(7) М(7) |М(10) | X(1) |X(6) | X(8) Смещение 1(a) (000) Г(9) r(9) M(6) М(10) X(6) X(10) 1(b) (/ / /) p(10) r(7) М(4) М(10) X(1) X(9) 3(c) (0 / /)(/ 0 /) (/ / 0) r(i0)+r(i0) Г(9) r(4) R(6) R(10) r(9) М(1) М(3) М(4) М(5) М(7) М(10) Mw х(1) х(3) х(6) x(9)+x(9) X(10) Из табл. 1 видно, что упорядочения на позициях 1(Ь) в ОЬ описываются представлениями R(4), М(7) и Х(6). Кроме этого, на рис. 1-3 приведены номера позиции 1(Ь) в группе Оь\ принятые при вычислениях. На рис. 1-3 позиции 1(Ь) раскрашены в черный и белый цвета в соответствии с базисными функциями неприводимых представлений R(4), М(7) и Х(6), представленными в (1)-(3): 4 Рис. 1. Размещение ионов Т1 по позициям (Л Л Л), соответствующее координате R4. Цифрами 1-8 обозначены номера позиции 1(Ь) в группе Оь' , принятые при вычислениях. ^Г = <1 -р2-Рз + А-Р5 +Рб +Р1 -Р* Ж (1) м/ = р1- р2- р5- р6- р7+ , М\ = (1+Р2-Р,-Р^-Р5-Р6+Р1+Р,1/у18 . (2) м] = Ъ-Р2 +Р}-Р,-Р5 +Р6-Р7 +Р, }л/8 . X Л~РГ PJJ8. Mi7 Мз 5 (V Рис. 2. Размещение ионов Т1 по позициям, соответствующим В-подрешетке идеального перовскита, порожденной правильной системой точек 1(Ь) [Л Л Л] для базисных функций представления М(7) X1 X,' X,' Ь— 2 i-- 2 2 Рис. 3. Расположение ионов Т1 по позициям, принадлежащим правильной системе точек 1(Ь) (точка X зоны Бриллюэна) ,соотвествующее базисным функциям представления Х(0) ^ О Р1 -Р2 + Рз - Р4 + Р5- Рб + Р - , (3) 1"<6»( > I] +Р2-Р3-Р4 +Р5 +Р6-Рп-Р% . В (1)-(3) эти функции выражены через вероятности Р1 заполнения узлов правильной системы точек 1(Ь) ионами Т1. Рис. 2 и 3 соответствуют базисным функция параметров, характеризуемых звездами вектора к11 и к10 (соответственно точки М и Х зоны Бриллюэна) [16]. Третий параметр порядка, от которого зависит потенциал Ландау, - это один из параметров порядка, присутствующий в табл. 1 и не совпадающий с Г(9', R(4), М(7) или Х(6). Согласно нашей гипотезе, это ведущий параметр порядка, приводящий к образованию упорядоченных нанорегионов в результате фазового перехода при T = TB. Физический смысл третьего параметра порядка мы определили, ограничиваясь переходами типа смещения или упорядочения. В этом 8 1 M7 8 8 5 4 А 6 6 8 5 4 4 4 1 1 1 случае наиболее разумно принять, что ведущий параметр порядка может соответствовать одному из типов смещений ионов, так как малые смещения не могут быть заморожены при понижении температуры. Менее очевидно, что это могут быть упорядочения по позициям 1(а) и 3(с). Если эти позиции в правильной структуре без дефектов заняты одним сортом атомов, то единственное возможное в таком случае упорядочение связано с перераспределением электронной плотности, которое тоже не может быть заморожено понижением температуры. Далее нам необходимо построить явный вид потенциала Ландау, зависящего от компонент вектора поляризации Р, образующих базис представлений Г(9) группы О,,'. Структура потенциала Ландау определяется целым рациональным базиса инвариантов, составленным из всех компонент параметров порядка, от которых зависит потенциал Ландау. Следовательно, нам надо составить 102 варианта потенциалов Ландау (точнее вариантов целого рационального базиса инвариантов). Эти варианты базисных инвариантов были использованы при построении табл. 2. Таблица 2 Представления и типы упорядочения и смещения атомов в кристаллах со структурой перовскита, соответствующие механизму, ответственному за возникновение необратимой поляризации в сильном электрическом поле ваемому параметром порядка, характеризуемого симметрией Я(4) за счет взаимодействий: т — р(4)^ (9)у (9)у (9)г (9) + Т?(4)у (9)у (9)Г Jl — К XI Хз Хб Г 2 + К Х2 Хз Х5 Г з + Я(4>Х (9)Х (9)Х (9)г (9) + Я(4)Х (9)Х (9)Х (9)Г (9) + + Н^Х^Х^^^Г^ + Я^Х^Х^Хз^Гг^) Возникшее в поле упорядочение после снятия поля замораживается. Описанный механизм позволяет объяснить необратимость фазовых переходов в твердых растворах (1-х)Р2Т-хРТ. (4W (9W (9W (9)г (9) , № Представление Упорядочение по позициям Представление Смещение по позициям 1 r(4) 1(b) R(7) 1(b) 2 r(4) 1(b) X (9) 1(b) и 3(c) iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 3 M (7) 1(b) X С» 1(a) и 3(c) 4 M (/) 1(b) M (4) 1(b) и 3(c) 5 M (7) 1(b) M (10) 1(a), 1(b) и 3(c) 6 X О) 1(b) X о 1(b) и 3(c) 7 X (6) 1(b) M (7) 3(с) В табл. 2 отобраны только те варианты базисов, которые содержат инварианты, линейные по Р и по одному из типов упорядочения ионов В' и В", расположенных по В подрешетке перовскита. В качестве 3-го (ведущего) параметра порядка перебираются все возможные смещения ионов в структуре перовскита и упорядочения по позициям 1(а) и 3(с). Все семь приведенных в табл. 2 механизмов могут быть ответственны за необратимую поляризацию кристалла в сильном электрическом поле. Если же ионы В' и В" соответствуют «шахматному порядку», подтвержденному в большинстве экспериментов, то наиболее вероятен будет механизм 2. Его физическая реализация следующая. Ионы кислорода испытывают спонтанное антисегнетоэлектрическое смещение вдоль тетрагональных осей кубической ячейки идеального перовскита, описываемое параметром порядка с симметрией Х^9). Без приложения внешнего поля такие спонтанные смещения индуцируют упорядочение М<7). Приложение электрического поля приводит к упорядочению «шахматного» типа, описы- Литература 1. Symmetry of high-piezoelectric Pb-based complex perovskites at the morphotropic phase boundary I. Neutron diffraction study on Pb(Zn1/3Nb2/3p3 -9%PbTiO3 / Y. Uesu [et al.] // Condensed Matter. 2001. URL: http:// arxiv.org/pdf cond-mat/0106552. (дата обращения: 22.02.2008). 2. G. Phase diagram of ferroelectric relaxor (1-x) PbMg1/3Nb2/3O5-xPbTiO3 B. Noheda [et al.] // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 66. P. 1-10 3. Vanderbilt D. Soft self-consistent pseudopotentials in a generalized eigenvalue formalism // Phys. Rev. B. 1990. Vol. 41. P. 7892-7895. 4. Vanderbilt D. Berry-phase theory of proper piezoelectric response // J.Phys.Chem.Solids. 2000. Vol. 61. P. 147. 5. Vanderbilt D., Cohen M.H. Monoclinic and triclinic phases in higher-order Devonshire theory // Condensed Matter. 2000. URL: http:// arxiv.org/pdf/cond-mat/0009337. (дата обращения: 22.02.2008). 6. Durbin M.K., Jacobs E.W., Hicks J.C. In situ x-ray diffrac- tion study of an electric field induced phase transition in the single crystal relaxor ferroelectric, 92 % Pb(Zn1/3Nb2/3)O3-8 % PbTiO3 // Applied Physics Letters. 1999. Vol. 74. P. 2848-2850. 7. Diffuse Neutron Scattering Study of Relaxor Ferroelectric (1-x)Pb(Zn1/3Nb2/3)O3-xPbTiO3 // Condtnsed Matter. 2002. URL: http / D. La-Orauttapong [et al.] // arxiv.org/pdf/ /0204347. (дата обращения: 22.02.2008). 8. Neutron Diffraction Study of the Irreversible R-MA-MC phase transition in Single Crystal Pb(Zn1/3Nb2/3)1-x TixO3 Ohwada K. [et al.] // Condtnsed Matter. 2002. URL: http: // arxiv.org/pdf/ cond.mat/0105086. (дата обращения: 22.02.2008). 9. Фесенко Е.Г., Филипьев В.С., Куприянов М.Ф. Однород- ный параметр, характеризующий деформацию перов-скитной ячейки // Физика твердого тела. 1969. Т. 11, № 2. С. 466-471. 10. Александров К.С., Безносиков Б.В. Перовскитные кри- сталлы. Новосибирск, 1978. 215 с. 11. Bellaiche L., Vanderbilt D. Electrostatic model of atomic ordering in complex perovskite alloys // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81, № 6. P. 1318-1321. 12. Lebedinskaya A.R., Kupriyanov M.F., Skulski R. Peculiari- ties of PMN structure below temperature of relaxor phase transition // Materials Science and Engineering B. 2001. Vol. 83. P. 119-122. 13. Hahn T. International Tables for Crystallography. Vol. A. Space Group Symmetry. Fourth, revised edition. Kluwer, 1996. 878 p. 14. Universal Phase Diagram for High-Piezoelectric Perovskite Systems / D.E. Cox [et al.] // Condensed Matter. 2001. URL: http:// arxiv.org/pdf/cond-mat/0102457. (дата обращения: 22.02.2008). 15. Фазы Ландау в плотноупакованных структурах. / Ю.М. Гуфан [и др.]. Ростов н/Д, 1990. 253 с. 16. Ковалев О.В. Неприводимые и индуцированные пред- 1986. 386 с. ставления и копредставления федоровских групп. М., Поступила в редакцию_25 апреля 2008 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/issledovanie-lokalnoy-osobennosti-volnovyh-harakteristik-okolo-uglovoy-tochki-liniy-razdela-sostavnogo-tela

В рамках метода модификации метода суперпозиции построено решение задачи о гармонических колебаниях составного призматического тела, сечение которого состоит из четырех разнородных прямоугольников. Получено и исследовано характеристическое уравнение, определяющее локальную особенность по напряжениям во внутренней угловой точке сопряжения областей.The paper is devoted to development of a scheme for determining of the dynamic stress component's local peculiarity nearly singular point of complex region.

УДК 539.3 ИССЛЕДОВАНИЕ ЛОКАЛЬНОЙ ОСОБЕННОСТИ ВОЛНОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ОКОЛО УГЛОВОЙ ТОЧКИ ЛИНИЙ РАЗДЕЛА СОСТАВНОГО ТЕЛА © 2004 г. Л.П. Вовк The paper is devoted to development of a scheme for determining of the dynamic stress component’s local peculiarity nearly singular point of complex region. Знание характера поведения компонентов напряженно-деформированного состояния вблизи особых точек внешних и внутренних границ кусочнонеоднородных тел позволяет при численном анализе наилучшим образом аппроксимировать решение и построить приближенный процесс для его нахождения. Вопросам поведения решений задач теории упругости в окрестности угловых точек, принадлежащих линии раздела двух различных упругих сред, посвящено достаточно много работ, среди которых отметим [1-5]. Характер особенности напряжений в угловой точке стыка трех различных сред рассматривался в [6]. В настоящей работе исследуется характер распределения динамических напряжений в окрестности угловой точки линии раздела областей поперечного сечения тела, составленного из четырех различных призматических упругих тел, спаянных между собой по боковым поверхностям. Рассматривается плоское деформированное состояние составного тела. Постановка задачи Пусть сечение бесконечной в направлении оси а3 кусочно-неоднородной упругой призмы занимает в системе координат область D = G(1> 'uG('1'> иО(3) uG(4>, где G (п> склеены друг с другом и определяются неравенствами G (1> = {|а| < с; а2 є [-b,-d] и ^, Ь]}; G (2> = {а1 є [-a,-c] и [с, а]; с2| < d}; изменяющаяся во времени с частотой а вибронагрузка переменной интенсивности q . В каждой области G(т) рассматриваем уравнения движения Ляме, записанные в безразмерных перемещениях г7-(т> т/-(m> / /т/-(т> U в Vв / a (Vв — амплитудные компоненты вектора перемещений, р = 1,2 > и координатах х = а1 / a, у = а2 / a . Учитывая симметрию области D, возможно рассматривать волновое поле части области, расположенной в первой четверти. Эта часть области изображена на рисунке в безразмерных координатах. Для удобства в области сечения введены локаль- А ные безразмерные координаты х = (а1 - с> / a, А у = (а2 - d> / a и геометрические параметры т) = Ь / a , 8 = c/a,Y = d /a, 82 = 1 -8, у2 = d -у . Отнесенные к /и('гп> безразмерные амплитудные компоненты тензора напряжений связаны с безразмерными, отнесенными к а перемещениями и в соотношениями закона Гука для изотропного тела и зависят от безразмерного частотного параметра П(п> =ааЦіл(п'> /р(п> . Y2 а 2 G(3) = {а1 е [—а,—с] и [с, а]; а2 е [—Ь,—ё] и [ё, Ь]}; G(4) = {Щ < с; |а2| < ё}. Материал областей G(т) предполагается изотропным и определяется модулем сдвига /-1('т), коэффициентом Пуассона у(~т') и плотностью р(т). Здесь и далее верхний индекс будет определять принадлежность механической характеристики или упругого модуля к области G (т)(т = 1,4). Пусть на внешних сторонах сечения а1 =±а , а2 = ±Ь задана гармонически y y А В О .(1) О .(3) О .(2) C 1 б б б 2 3S Граничные условия задачи включают в себя силовые условия нагружения на внешней границе сечения и условия жесткого сцепления областей G(m). 2. Построение общего решения Общее решение U в , удовлетворяющее системе уравнений движения внутри области G(m), конструируем по методу суперпозиции в виде суммы двух частных решений этой системы, каждое из которых описывает колебания бесконечных полос, образующих при своем пересечении область G(m). Четность или нечетность этих частных решений определяется видом граничных условий. При этом необходимо Л (1) л учитывать, что по координате у функции Uу (x, у), (3) л л л (2) л Uу(х,у), а по координате x - функции Uу (х, у), (3) л л U у (х, у) являются функциями общего вида. Таким образом, общее решение задачи в областях G(m) запишется в виде U1(1) = Я1(1) sh(t(1) x)cos0('1'> (у-у2) + + (R1(1)sh(l(1) у) + S®ch(l(1) y))sinx(1)(x-8), U 21) = H 21) ch(t(1) x^m#1-1-1^ - y2) + + (R®sh(l(1) у) + S®ch(l(1) у))cosx(1)(x-8); U12) = (H1(2)sh(t(2) x) + 01(2)ch(t(2) x»cos $(2)(у-у) + + R12) ch(l(2) у) sin x(2) (x- 82), U22) = (H22)sh(t(2) x) + e22)ch(t(2) x» sin$(2) (у -y) + + R22) sh(l(2) у) cos x(2)( x-82); (1) U 13) = (H 13)sh(t(3) x) + Q1(3)ch(t(3) x^os^^-Y^ + + (R13)sh(l(3) у) + S(3)ch(l(3) у))sinx(2)(x-82), U23) = (H23)sh(t(3) x) + ef ch(t(3) x))sin0(1)(y-y2) + + (Rf sh(l(3) у) + S23)ch(l(3) у)) cos x(2)(x-82); U 14) = H1(4) sh(t(4) x) cos0(2) (у - y) + + R1(4) ch(l(4) у) sin x(1) (x - 8), U24) = H24)ch(t(4)x^in^2^ -y) + + R24) sh(l(4) у) cos x(1)( x -8). Набор констант Hв , , R^, Sв в форму- лах (1) обеспечивает необходимую степень произвола для удовлетворения граничных условий и условий сопряжения в рассматриваемой составной области. В качестве значений 0(в), х(в) целесообразно выбрать такие последовательности чисел в((в),х(в), чтобы системы соответствующих функций были полными и ортогональными на соответствующих отрезках [7, 8]. Из этого требования в качестве возможных следуют значения в® = кп/^2, в® = кп/Y , Ху1"1 = )п/ 8, Х(2) = Уп/82, к = 1, 2,...; ) = 1, 2,... Подставляя выражения (1) в системы уравнений движения, получаем для каждого значения к и ) системы линейных однородных уравнений относительно коэффициентов Н(т) и Н2т),., R1(m) и R2т). Из условия существования нетривиального решения этих систем находим значения параметров t(т) и I(т) (в?)2=(в кт))2—(О?0)2; () = (Хт))2—(О?0)2; (Ц(т))2 = (О(т))2 /С^ ; О2т) = О(т); С^ = 2(1 — Ит))/(1 — 2^(т)); в® = в®; в(к2) =вк4); (1) (4) (2) (3) Х ) = Х) ; Х) = Х ) и связь между упомянутыми коэффициентами, что полностью определяет общее решение задачи во всех областях G(т) и позволяет удовлетворить условиям сопряжения и силовым граничным условиям. 3. Решение вспомогательных задач В соответствии с алгоритмом модифицированного метода суперпозиции, впервые предложенного в [9] и распространенного на неоднородные области в [6, 7], заменим часть исходных граничных условий вспомогательными. Это позволит получить аналитическое решение вспомогательной задачи. Решение исходной краевой задачи будет выражено через дополнительные функции, определяющие введенные граничные условия. Закономерности изменения этих функций в окрестности сингулярных точек области позволят исследовать особенности концентрации напряжений и выделить медленно сходящиеся части в рядах для всех волновых характеристик. По сравнению с [6, 7, 9] граничные условия этой вспомогательной задачи значительно усложнятся ввиду наличия четырех внутренних линий раздела областей G(т) и примут вид G(1) = {|х| < 8;0 < у <^2}: и0-1 (8, у) = / (у), ст1(2) (8, у) = ф (у), и21-1 (х,Y2) = /2(х), (х,У2) = 0, и 21 (х,0) = /3 (х), ст® (х,0) = ф (х); G(2) = {0 < х < 82; |у\ <Y}: и12)(82, у) = /4 (у), ст®^, у) = 0, и 1(2) (0, у) = /5(уХ ст1(22) (0, у) = Ф(y), и22) (х, Y) = /б (х), ст® (х, Y) = Ф2 (х); (2) G(3) = {0 < х< 82 ;0 <у <Y2}: и®(82, у) = /7 (у), ст®^, у) = 0, и 1(3) (0, ,у) = /100; ст1(33) (0, у) = ^13^1 (уХ U 23) (x, Y2) = fs (x), а'{2> (x, Y2) = 0; (3)( iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. U 23) (x,0) = fб (x), СТ((^ (x,0) = Г2зР2 (X); G(4) = {|X <б;| У <Y}: (3) U l(4) (6, У) = f5(У), ап(6, У) = Г24Рз (У), U24) (X, Y) = f3 (x), а('2') (x, Y) = r(4P4 (x). (4)( Здесь через Г) = /и(',) / ^(;) обозначено отношение модулей сдвига сопрягаемых областей, а через АЛ Л /1 (у), Ф1 (у),.../8 (х) — неизвестные вспомогательные функции. Отметим, что выбор граничных условий вспомогательной задачи в виде (2) позволяет автоматически удовлетворить часть граничных условий исходной краевой задачи, затрагивающих нормальные перемещения и касательные напряжения на внешних и внутренних границах области. Раскладываем вспомогательные функции в ряды Фурье на соответствующих отрезках и, используя общее решение задачи, составляем условия (2). Получающиеся наборы линейных систем допускают аналитическое решение и позволяют в явном виде выразить характеристики волнового поля во всей составной области сечения через коэффициенты Фурье /10,/1к,/20,/2),ф1к,... введенных вспомогательных функций. Например, выражения для перемещений в области G(4) имеют вид и 14) = £ {2(вк ) /5к Л(4)(х 8 в(2)) ( j), к=1 (Q (4))2 -Д(64)( x, б,вк) I вк2) r24P3k (Q 24))2 д(54)( x,s,ek2))}cosek2)( y-y) I + L{2(Xi (4)) f31 Д(з4)(y, y, xf) I j=1 (q 24))2 x(()r х r(4P4j д(4)(v у „ОКі- „,(1)(г б) I f sinQl x Д4 (v,y,Zi )}sin(x-S)I U(4) = L {2(в^2))2 f5k Д(4)(x s в(2)) I 2 Ll{ (q24))2 3 (, , k ) ek '>r24p3k (q 24))2 / (()) 2 Д(44)( x,S,ek2))}sinek2)( y-Y) I + £{2(Xj ) f3j д(64)(y y x®)I Li (q24))2 б j (1) I X (1,^P,41 д(54) (y,y, x(1))}cos x(1) (x -S) I (Q (4))2 sin q(4) y sin Q(4)y ( ) sh a (m ^ u где Д(б (u, v, z,.) =-------------------------—— б j sh a(m) v a(m)2 a3 j sh aj"•'u Д(3m)(u, v, Zj) = ( )2 3j 2j ch al™) u 2z 2 sh a1(j)v ( ) 2j ch a( j) u 2zja1(j} sh aj}v sh a(j)v 1 (m) (m) 1 (m) z- ch a(. u a(. ch a(. u Л(m) (u v z ) =____і__________i1_________2і___________2j 4 ( , , j) a« sh amv z3 sha(m)v Д(5m)(u, v, Zj) = sh a(m) u sh aj mu sh a 2m) v sh a1(”) v “в) “в Представленная форма записи решения вспомогательных задач предполагает исключение из рассмотрения тех значений частоты, при которых имеет место обращение в нуль выражений вН(/в]у),«8),....Как отмечено в [8, 9], эти значения частоты не связаны с какими-либо физическими особенностями в поведении упругого тела, а требуют лишь некоторого изменения формы записи общего решения. 4. Асимптотический анализ Примем во внимание 12 неиспользованных граничных условий и условий сопряжения исходной краевой задачи, которые представляют собой систему интегральных уравнений для определения введенных вспомогательных функций, а именно: а® (б, y) = Гз( Ст((^ (0, y), а,, (x, y) = (x,0) (3) (2) (3) и «(8, у) = и2» (0, у), и(х, у) = Щ» (х,0), ст1(12) (0, у) = Г42 стЦ (8, у), СТ^ (х,0) = Г41 ст22 (х, у), и 22) (0, у) = и 24) (8, у), и® (х,0) = и 1(4) (х, у), (3) ст22 (х Г2) = q(1), ст1~2) (82, у) = q(2), ст1(3)(82,у) = q(3), ст2^3)(х,^2) = q(3), q(т) = q/^(т). Исследуем особенности волнового поля в окрестности нерегулярных точек границы сечения [6—9]. В рассматриваемой задаче такими точками (рисунок) являются угловые точки стыка областей Л,С,Б и внешняя угловая точка сечения В. Характер локальных особенностей динамических напряжений в точках А,С и В был изучен в работах [6,7]. В данной работе детально рассмотрим характер локализации динамических напряжений в точке Б стыка четырех разнородных сред. Для этого нужно провести асимптотический анализ первых восьми уравнений системы (3). Принимая во внимание, что введенные вспомогательные функции представляют собой перемещения и касательные напряжения на границах областей, предположим, что их особенности в точке Б определяются формулами фр(^)=Фв (Л)а—1, /! (Л)=р? (Л)а—1,. в = 1,2; I = 1,6) при Л^ 0; (3) (2) (3) Рз л) = фD (y - z)a-1, f5 л)=F5D (y - z)a-1 при Л^у, Р4 (Л) = фD (б - Z)a-1, f3I (Л) = F3D (S - Z)a-1 (4) при Л ^ 8 . Здесь через а обозначен параметр, характеризующий особенности искомых функций в точке Б, а через z Фв,..., ^ — произвольные постоянные. Производя интегрирование в формулах (4), определяем, переобо-значая константы при особенности, асимптотику коэффициентов Фурье вспомогательных функций при больших значениях индексов в окрестности точки Б /1к = (—1)к+1 ^у^в Г-“,ф1к = (—1)* Ф^'в) /3) = ^3 8-1(Х^1))—1—а, Ф4) =Ф48^1(Х^1))Л /6) = (—1))+1 ^6 8— (х(2))—1—а, /5к = Р5у-\в™)-1-а, Ф3к =Ф3Г^:(в^2))Л Ф2) = (—1)) Ф48—Чх?) —а . Граничные условия задачи (3) таковы, что обеспечивают ограниченность правых частей системы интегральных уравнений во всей области. Требуя поэтому ограниченности левых частей системы и используя полученные асимптотики, приходим к следующей однородной системе уравнений — т13 Бт(0,5па)Ф1 + г21(1 + п(3)а)Ф2 — (1 + п(1)а)Ф4 — — 2(п(1) + г31п(3) )81и(0,5па)^! — 2п (1)а/73 — — 2г31п (3)аР6 = 0, -1 (1) -a 31 r12- (11 n (3)а)Ф1 - m 23 sin(0,5na^ 2 -- (11 n(2)a)Ф3 - 2r32n(3)aF( - 2n(1)aF5 - - 2(n(2) I r32n(3)) sin(0,5пa)Fб = 0, - (s(1) I r13s(3))sin(0,5пa)Ф1 I r23n(3)aФ2 - - n(1)a<D4 12m13 sin(0,5na)F( 12(1 - n(1)a)F3 I 12(1 - n (3)a) F6 = 0, r13n(3)aФ1 - (s(2) I r23s(3)) sin(0,5пa)Ф2 - - n^Ф3 12(1 - n(3)a)F( 12(1 - n(2)a)F5 I 12m,3 sin(0,5na)F6 = 0, (11 n(2)a)Ф2 I m24 sin(0,5я■a)Ф3 - r12 (11 n(4)a)Ф4 - - 2r42n(4)aF3 - 2(n(2) I r42n(4)) sin(0,5na)F5 - - 2n (2)aF(5 = 0, (5) iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. (11 n (1)a)Ф1 - r21 (11 n (4)a)Ф 3 + Im14 sin(0,5пa)Ф4 - -2n(1)aF( -2(n(1) Ir41nw)sin(0,5na)F3 - - 2r4(n (4)aF5 = 0, - n (2)aФ 2 - (s(2) I r24s(4))sin(0,5na^3 I I r14n(4)aФ4 - 2(1 - n(4)a)F3 - -2m24 sin(0,5na)F5 - - 2(1 - n (2)a)F6=o, (4)) - n(1)a<D2 I r4(n'*>aФ3 - 42 (4) 3 - (s(1) I r14s(4) )sin(0,5пa)Ф4 - - 2(1 - n (1)a)F1 - 2m14 sin(0,5na)F3 - - 2(1 - n (4)a) F5 = 0. Здесь введены обозначения n(m) = 0,5(1 -v(m)) (m) -1 2 - 3(v(i) Iv(j)) 14VVj) 2(1 -v(i))(1 -v( j)) в(т) = 0,5(3 — 4^(т))/(1 — ^(т)). Для существования нетривиальных решений однородной системы (5) необходимо, чтобы ее определитель равнялся нулю Д(гу. ,^(т),а) = 0. (6) Из соотношений закона Гука и формул (4) следует, что если 0 < Яе а < 1, то напряжения при приближении к угловой точке линии раздела областей неограниченно возрастают. Порядок особенности при этом равен |Яе а —1|. Таким образом, исследование особенностей напряженного состояния около угловой точки линий раздела четырех областей приводит к отысканию корня с наименьшей действительной частью трансцендентного уравнения (6) в зависимости от упругих параметров областей G(т). 5.Численные результаты Как показали вычисления, имеющий наименьшую положительную действительную часть корень уравнения (6) - действительный для всех рассматриваемых комбинаций упругих параметров областей G(т). В таблице приведены некоторые значения первого корня уравнения (6) для случая, когда упругие параметры областей G(1) и G(2) фиксированы и соответствуют стали, а упругие параметры областей G(3) и G(4) варьируются. Из таблицы следует, что при данном сочетании материалов областей G(т) чем больше различаются модули сдвигов смежных областей, тем все более вероятно возникновение локальной особенности по напряжениям в исследуемой точке Б. Этот вывод следует считать справедливым при любых сочетаниях значений коэффициента Пуассона V® и И4) уже при значениях параметров тр3, г^4 больших трех. Если коэффициенты Пуассона материалов областей G(3) и G(4) равны, то вне зависимости от значений же-сткостных параметров г) показатель а принимает наибольшие значения. При различных значениях V® и v(4) показатель особенности уменьшается. Причем чем более близки жесткостные параметры к единице, тем сильнее проявляется указанная закономерность. Отметим, что значение параметра а не изменится, если поменять местами материалы областей G(3) и G(4) , оставляя неизменными упругие характеристики областей G(1) и G(2). Исследуя уравнение (6) при одинаковых значениях /л('т) и v(m) всех четырех областей G(т), можно аналитически показать, что в этом частном случае параметр а принимает только целые значения, из которых при исследовании волновых характеристик следует учитывать значение а = 1. Подобный вывод справедлив, как известно [1, 2, 7], при сопряжении двух областей. Значения показателя особенности в зависимости от материалов контактирующих сред 4 II 2r 4 v(3) v(4) r13 = r23 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 5,0 (,20 0,2 0,2 1,071 (,092 (,054 (,073 (,028 0,994 0,2 0,4 (,044 (,059 (,05 і (,045 (,009 0,989 0,4 0,3 (,055 1,0б8 1,0б0 1,05б 1,011 0,992 5,0 0,2 0,2 0,877 0,908 0,901 0,8б9 0,854 0,809 0,2 0,4 0,8б3 0,897 0,883 0,851 0,830 0,797 0,4 0,3 0,8б9 0,88б 0,875 0,854 0,842 0,80б Литература 1. Аксентян О.К. // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 31. С. 178-186. 2. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М., 1981. 3. Гринченко В.Т., Городецкая Н.С. // ПМ. 1985. Т. 21. № 5. С. 121-125. 4. Боджи Д. // Тр. Амер. общества инженеров-механиков. ПМ. 1971. Т. 38. № 2. С. 87-96. 5. Гетман И.П., Лисицкий О.Н. // ПМ. 1991. Т. 27. № 8. С. 54-59. 6. Вовк Л.П. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2001. № 1. С. 29-33. 7. Вовк Л.П. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. № 4. С. 9-13. 8. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев, 1981. 9. Белоконь А.В. // Докл. АН СССР. 1977. Т. 233. № 1. С. 56-59. Донецкий национальный технический университет, Украина_________________________________5 сентября 2003 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/rasscheplenie-urovney-energii-trehvalentnogo-hroma-v-kristalle-niobata-litiya

Предложены уравнения теории кристаллического поля для примесных ионов в низкосимметричной позиции кристаллической решетки LiNbO₃. Предлагаемый подход позволяет обойтись небольшим числом полуэмпирических параметров.

УДК 539.184 РАСЩЕПЛЕНИЕ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ ТРЕХВАЛЕНТНОГО ХРОМА В КРИСТАЛЛЕ НИОБАТА ЛИТИЯ © 2009 г. К.С. Авадов, Е.Н. Тумаев Кубанский государственный университет, Kuban State University, ул. Ставропольская, 149, г. Краснодар, 355040, Stavropolskaya St., 149, Krasnodar, 355040, [email protected] [email protected] Предложены уравнения теории кристаллического поля для примесных ионов в низкосимметричной позиции кристаллической решетки LiNbO3. Предлагаемый подход позволяет обойтись небольшим числом полуэмпирических параметров. Ключевые слова: LiNbO3 с примесными ионами Cr3+, теория кристаллического поля. Crystal field theory equations for impurity ions in a low- symmetry position of the LiNbO3 crystal lattice were developed. Presented approach allows to do with small number of semi-empirical parameters. Keywords: Cr>+ -doped LiNbO3, crystal field theory. В последнее время интенсивно изучаются кристаллы ниобата лития с примесными ионами Сг3+ [1 - 3]. Чаще всего для объяснения спектроскопических свойств используется модель точечных зарядов в теории кристаллического поля. Традиционно методы расчета спектров ориентированы на высокосимметричные позиции, обладающие октаэдрическим или тетраэдрическим окружением лигандов [4 - 6]. Но ниобат лития имеет низкую симметрию тех позиций, которые оккупируются примесными ионами. Целью данной работы является переформулировка уравнений теории кристаллического поля для примесных ионов в низкосимметричной позиции кристаллической решетки и вычисление с их помощью энергетических уровней иона Сг3+ в кристалле ниобата лития. Примесные ионы хрома входят преимущественно в литиевую позицию, поэтому проведем расчеты для нее. Координаты ионов O2-, окружающих позицию лития, в сферической системе координат приведены в таблице [7]. Координаты ионов О2- , окружающих позицию лития, в сферической системе координат Позиция R-10-1V в Ф Li - - - O1 2,259 44,28 -113,88 O2 2,259 44,28 126,10 O3 2,259 44,28 6,10 O4 2,055 109,66 58,68 O5 2,055 109,66 -61,29 O6 2,055 109,66 178,71 Й 9 - — V 2 + U (r) + V (r) 2m p(r) = Ep(r), где E - энергия электрона. Положим Z = 2 . Разложим стандартным образом [8] кристаллический потенциал Уг (г) по сферическим гармоникам: ад k Ve (r) -£ Z rkqkpYkp (в,ф) , k=0p=-k (1) \7tZe2 б Кр(0г р) где ЧкР ——; 0, рг - угловые коор- 2к +1 ,=\ Я динаты радиус-векторов Я, в сферической системе координат. Для определения величины поправки АЕ к энергии электрона за счет взаимодействия с лигандами рассматриваем кристаллическое поле Уе (г) как возмущение [8], тогда АЕ определяются как собственные значения матрицы следующего вида: ¥тт' ={<Рп1тУе \Рп! 'т'), (2) где I' = I = 2. Подставляя сюда выражение (1) с учетом явного вида волновых функций рп1т (г,0,р) = = Яп! (г)Ут (0, Р), получаем Vmm' \ фпЫ ад k Z Z rkqkpYkpФ,ф) k=0p=-k Фыm' I - L L qkplnl\rk\nVVY*(e,p) x k=0p=-k \ 1 1 / xYkp (в, p)Ytm (в, p) sin 6d6dp , где /nl|rk|nl'\ = JrkRnl (r)Rnl, (r)r2dr. \ / 0 Угловая часть матричных элементов (2) равна J Y;m (в, p)Ykp (в, p)Yi ,т, (в, p) sin ededp = l nm' \(¿l + 1)(21 ' + k0 rkp (-1) i 4n(2k +1) Cm'oCm ,- (3) Можно приближенно считать, что ион хрома имеет локальное окружение с симметрией С3у. Рассмотрим примесный 3dn-ион в узле кристаллической решетки, обладающем низкосимметричным окружением с координационным числом, равным шести. В поле лигандов вырожденная 3dn-конфигурация в пренебрежении электростатическим взаимодействием электронов расщепляется на уровни энергии, количество и кратность вырождения которых зависит от точечной группы симметрии кристаллического поля лигандов. Следовательно, значения уровней энергии системы электронов без учета кулоновского взаимодействия можно рассчитать, используя одноэлектрон-ное приближение. Уравнение Шредингера для волновой функции р(г) одного электрона, движущегося в поле примесно- 6 ^2 го иона и (г) и поле лигандов Уе (г) = £-г ,=1 Щ - г\ ( Я, - радиус-векторы лигандов относительно узла, содержащего примесный ион), имеет вид Выражение (3) не равно нулю, только если к +1 + V - четное, \! -1'|< к < I +!' , р = т - т' . Следовательно, Утт = £ £ Чр[п\Ап1')(-!)т х к=0 р=-к ^ 1 1 ' (21 + 1)(2Г +1)^ к о rkp 4л(2к +1) C'оЧт l'-m'' Для 3d-состояний электронов n = 3, l = l' = 2 , тогда V = 5 V к a lrk\ (Ч)т Ck0 Ckp гда Vmm'=^=L L akp\r 20,20C2m;2-m' k=0p=-k N ' V 2k +1 или 5 ад k ^ X^m k-0 p--k \2k +1 где Bp - параметры кристаллического поля 4nZe2 i k\ в Y^,Pi) B'p - -2Z+1 r k+i (5) Матричные элементы Утт> отличны от нуля при ^=0,2,4. Следовательно, матричные элементы (4) можно представить в виде суммы трех слагаемых, отвечающих перечисленным значениям к. V ,= V(0), + V(2), + V(4), mm mm mm mm ' Слагаемое с k = 0 представляет собой аддитивную константу. При k = 0, p = 0 Уоо(3 ) = 1 C C 00 2m;2,-m ' = (-1) 2-m °m,m' s 44л следовательно, q00 = 44^Ze 2Z i=i Ri Тогда V^U-^ *m,m = ^ 6 7e ■ Z — m,m ¿—t D i=i R, Слагаемое V, (0) из таблиц [9]. Для вычисления ^г у используем во-дородоподобные волновые функции (ридберговские 2 2 Г 1 орбитали): (г2) = |5п2 +1 -3/(/ +1)], 4 4 г ' 0=i И = 126- 7 2 r 4\ = 25515—B iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 7 1/ (6) Тогда, подставляя (6) в (5), получаем 2 _ 504nZe2а2в 6 Y2*p (в, ,р,) B Р = 57 2 z- i=1 R Матричные элементы выражаются через параметры кристаллического поля В Р следующим об- разом: V(2), = А. 44п (-1)m z b2pC Р=-2 2^20 ^2 p pC20,20C2m;2,-n = (-1) m+1 5 У B 2 C 2Р z в pC2m;2,-m' '14л р=-2 Или, поскольку С2Р2-ГП' не равен нулю только при выполнении условия р = т - т', то ~г2,т-т ' V(2) = (-1)m'+1 mm v ' 5 R2 r 14л m-m 2m;2,-m Найдем матричные элементы . Выражение »4 для параметров кристаллического поля В р равно D4 11340л7е2а4в 6 Y4p ) B 4 =-:-Z- i=1 R p 7 4 5 Из общей формулы (4) при k = 4 находим следующее соотношение, связывающее матричные элементы Vmm' и параметры кристаллического поля В 4 . p : V(4), = mm = (-1) 5 k r4("1) —¡= Z Bp — V 4 л p=-k V 14л 5 R4 Cq Bm-mC2m;2,-m ' 4,m-m ' .^40 .^4 p C9fl "XVc^,— 20,20C2m;2,-m ' описывает, очевидно, поправку к энергии электрона, обусловленную взаимодействием с лигандами при г ^ 0. Найдем матричные элементы . Все необходимые значения коэффициентов Клебша-Гордана взяты ^ [63«4 -35«2(2/2 + 21 -3) + 821оп + 5/ (/ +1)(3/2 + 3/-10) +12], где аВ = 0,529 -10"10 м - боровский радиус; 1ооп -эффективный заряд атомного остова примесного иона, для иона 2ооп « 5 . При п = 3, / = 2 получаем Применяя полученные формулы к уровню 3d иона Cr3+ в кристалле ниобата лития, получаем, что пятикратно вырожденный (без учета спина) уровень 3d под влиянием кристаллического поля расщепляется на двукратно вырожденный основной уровень E, невырожденный уровень Ai и двукратно вырожденный уровень E', лежащий выше первых двух. Уровень Ai порождается функцией e = Р320 , E - функциями u1 = -Ьр32-1 + ар322 и v1 = ар32-2 + Ьр321, а уровень E' -функциями U2 = ЯфъЪА + ЬРз22 и V2 = Ьф32_2 - С1ф32у , а, Ь = const. Приближенно полагаем рп1ш = Епй (r)Ym (в, р). Перейдем к учету кулоновского взаимодействия электронов. Гамильтониан системы двух электронов H = He + Hee , где He = -1 Aj + V(/j) -1A2 + V(h) ; Hee = 1 г12 ; Г12 - расстояние между взаимодействующими электронами. Для вычисления кулоновско-го взаимодействия электронов надо найти собственные функции оператора Hee. Двухэлектронные собственные функции находятся по формуле <P(ESTMy) = Т\Ф(Ет1У1 )ф(Е2 Ш2У2 ) X ^1,^2,71,72 X(1Ш2 sM/(Г1У1Г2У2 lry , где Е2 - одноэлектронные уровни а, e или e' ; Е - двух-электронная конфигурация; Г, Г, Г - неприводимые представления, по которым преобразуются волновые функции; y ,y2 ,y - базисные функции этих представлений; m, ш2 , ш - спиновые числа; шх 1 m2SMMj - коэффициенты Вигнера для спина; (Гу^^ |Г^-коэффициенты Клебша-Гордана для группы C3v . Трехэлектронные собственные функции Hee находятся антисимметризацией и нормировкой выражений ^оГомоУо )ф(ЕзШзУз ) X M 0,)З,Г0,ГЗ 1 х ( S0 m0 2 -m^ SM)(Г0Г0Г3Г3. С помощью этих функций можно выразить матричные элементы гамильтониана через параметры Рака В и С [8]. Итак, полученные результаты теоретически описывают наблюдаемый спектр хрома в ниобате лития. При этом применявшийся метод расчета является менее трудоемким, чем традиционное приближение кубической симметрии. Преимуществом предложенного метода является и то, что он позволяет выразить энер- m 2 2 а в гии уровней лишь через три варьируемых параметра: Zion, B и C , тогда как современные аналогичные работы по данной теме содержат значительно большее число параметров. Интерпретация спектра с помощью полученных формул является предметом дальнейших исследований. Литература 1. Леушин А.М., Ириняков Е.Н. Об интерпретации оптического и ЭПР-спектров иона Cr3+ в кристалле нио-бата лития // Физика твердого тела. 2005. Т. 47, № 10. С. 1788-1790. 2. Yang Z.-Y, Rudowicz C., Qin J. The effect of disorder in the local lattice distortions on the EPR and optical spectroscopy parameters for a new Cr3+ defect center in Cr3+:Mg2+:LiNbO3 // Physica B. 2002. Vol. 318, № 2-3. P. 188-197. 3. Teran High-pressure and magneto-optical studies of Cr-related defects in the lithium-rich LiNbO3:Cr,Mg crystal / A. Kaminska [et al.] // Physical Review B. 2007. Vol. 7 6. P. 144117. 4. Han T.P.J., Jaque F. Optical stability of the Cr3+ centres in codoped stoichiometric and congruent LiNbO3:Cr:Mg // Optical Materials. 2007. Vol. 29, № 8. P. 1041-1043. 5. Happek U., Salley G.M. Photoionization energies of Cr3+-doped LiNbO3// J. of Luminescence. 2007. Vol. 125, № 1-2. P. 104-107. 6. The effect of Cr doping on optical and photoluminescence properties of LiNbO3 crystals / R. Bhatt [et al.] // Solid State Communications. 2003. Vol. 127, № 6. P. 457462. 7. Кузьминов Ю.С. Электрооптический и нелинейно-оптический кристалл ниобата лития. М., 1987. 264 с. 8. Sugano S., Tanabe Y., Kamimura H. Multiplets of Transition-Metal Ions in Crystals. New York; London, 1970. 331 с. 9. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. Л., 1975. 439 с. Поступила в редакцию_30 марта 2009 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/modelirovanie-odnostupenchatyh-p-sloynyh-struktur-uporyadochennyh-i-razuporyadochennyh-faz-vnedreniya-schelochnyh-metallov-v-grafit

Методом теоретического моделирования получены возможные одноступенчатые р-слойные структуры упорядоченных и разупорядоченных фаз внедрения М_хС (0,03<x mc>₁₄ и MC₁₈ (где M Rb, Cs), а также разупорядоченных твердых растворов на их основе в графитовых электродах. Теоретические результаты могут послужить основой для интерпретации экспериментальных электрохимических и дифракционных данных, полученных для систем графит щелочной металл.

УДК 541.135:548.32 МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОСТУПЕНЧАТЫХ p-СЛОЙНЫХ СТРУКТУР УПОРЯДОЧЕННЫХ И РАЗУПОРЯДОЧЕННЫХ ФАЗ ВНЕДРЕНИЯ ЩЕЛОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ В ГРАФИТ © 2010 г. В.В. Иванов, И.Н. Щербаков, А.В. Иванов Южно-Российский государственный South-Russian State технический университет Technical University (Новочеркасский политехнический институт) (Novocherkassk Polytechnic Institute) Методом теоретического моделирования получены возможные одноступенчатые р-слойные структуры упорядоченных и разупорядоченных фаз внедрения МхС (0,03<x<0,5) щелочных металлов в графит. Приведены описания всех структур на языке занятых решеточных комплексов с указанием их характеристик. Сравнительным кристаллохимическим анализом установлена возможность образования упорядоченных фаз состава MC14 и MC18 (где M - Rb, Cs) , а также разупорядоченных твердых растворов на их основе в графитовых электродах. Теоретические результаты могут послужить основой для интерпретации экспериментальных электрохимических и дифракционных данных, полученных для систем графит - щелочной металл. Ключевые слова: графит; фаза; моделирование; металл. The possible first stage p-layered ordered and disordered structures of the alkali-graphite intercalation phases МхС (0,03<x<0,5) were made by theoretic modeling method. The descriptions of all structures were reduced on tonque of the occupyed lattice complexes with indication of it's characteristics. The possibility of the ordered phases formation with compositions MC14 and MC18 (where M - Rb, Cs) and the existence of the corresponding solid solutions in graphite electrodes were established by comparative crystal chemical analysis. The theoretic modeling results may be the basis for the interpretation of the experimental electrochemical and diffraction results wich were made in alkali metal - graphite systems. Keywords: carbon; phase; modeling; metal. Введение В графитовых электродах литийионных аккумуляторов картина образования фаз внедрения чрезвычайно сложна. Различают s-ступенчатые ^-слойные структуры фаз внедрения или я,,р-структуры. Процессы структурообразования, связанные с изменением ступенчатости sp-структур, протекают, как правило, с большими энергетическими затратами, что находит своё отражение на зарядных и разрядных кривых электродов в виде существенного изменения потенциала. Переход от 4,р-структур фаз внедрения к 3,p- , а затем к 2,р-структурам фаз приводит к снижению потенциала от 200 - 195 мВ до 110 - 100 мВ, а переход к 1,р-структурам фаз внедрения - до 75 мВ. Интервал существования одноступенчатых фаз LixC6 по параметру состава х составляет 0,5 < х < 1. Он включает возможные упорядоченные, частично упорядоченные и разупорядоченные фазы внедрения LÍ0,75-1C6, LÍ0,8-1,33C8, LÍ0,83-1,25C10 и LÍ1-1,2C12, структуры которых отличаются только характером распределения лития в межслоевом пространстве, практически не влияющем на величину межслоевого расстояния. При изменении параметра х от 0,5 до 1 в LixC6 при заряде электрода непрерывный характер малых структурных изменений фаз обеспечивает практически постоянную величину U« 70 -75 мВ. В связи с необходимостью идентификации вероятных фаз внедрения щелочных металлов в гексагональный графит метод теоретического моделирования является весьма актуальным. Структуры интеркалированных соединений графита характеризуются следующими специфическими особенностями [1]: 1) существованием ^-ступенчатых структур, в которых интеркаляты М заполняют каждое s-е межслоевое пространство кристаллической решетки графита, при этом упаковочные индексы смежных с М-слоем углеродных слоев становятся идентичными (...АА..., ...ВВ... или ...СС...); 2) существованием р-слойных структур с фиксированной ступенчатостью, обусловленных наличием р типов М-слоев с различным способом упаковки. При определенной концентрации внедренного ин-теркалята М в s,р-структуре фазы внедрения возможно достижение упорядоченного структурного состояния [1]. Это состояние характеризуется регулярным заполнением интеркалятом М определенных кристаллографических позиций в межслоевом пространстве и периодическим чередованием этих М-слоев (при s>1 и р>1) в направлении нормали к ним. Будем рассматривать только 1 ,р-структуры фаз внедрения состава МХС (0,03<х<0,5) (или МСП (2<п<32)), где М - щелочной металл. Среди 1,^-структур упорядоченных фаз внедрения щелочных металлов в гексагональный графит известны соединения состава МС6 (М - L/, N0) и МС8 (М - К, Rb, Cs), обладающие высокой электронной проводимостью [1]. Исследована их электронная [2-4] и кристаллическая структуры [5, 6]. Изучены возможные фазовые превращения, индуцированные давлением, температурой и изменением химического состава и сопровождающиеся изменением ступенчатости и слойности структур [7-10]. Для систем LiC6 - С и МС8 - С (М - К, Rb, Cs) получены экспериментальная [11, 12] и теоретические Т,х- и Р,х-диаграммы состояния [13, 14]. Однако установленные упорядоченные структурные состояния не достаточно полно описывают все формально возможные 1,^-структуры МСЯ. Факты существования ^-ступенчатых структур состава МС24 ^=2), МС36 ^=3) и МС48 (s=4) [1, 7, 9] указывают на возможность существования метастабильного состояния фазы МС:2 ^=1). А существование структур состава МС27 (s=3), МС36 (s=4) [1] и L/Cl8 (s=2) [11, 13] свидетельствуют о возможном нестабильном состоянии фазы состава МС9 (s=1). Существенно неравновесные условия процесса электрохимического внедрения щелочных металлов в графит обусловливают многообразие составов и структур образующихся при этом фаз внедрения МС„ [1, 14 - 16]. Реализуемая статическая разупорядочен-ность интеркалята М в соответствующих подрешетках структур может привести к образованию ряда разупо-рядоченных и частично упорядоченных фаз твердых растворов. Отметим, что не всегда результаты дифракционных методов анализа фазового состава электродных материалов могут быть однозначно интерпретированы [1]. В связи с этим необходимость теоретического моделирования возможных вариантов статической разупорядоченности в фазах типа МС„ очевидна. Методика теоретического анализа Многообразие известных способов моделирования структур кристаллов [17] обусловлено необходимостью учета кристаллохимических особенностей анализируемого класса соединений. Оно находит свое выражение, в частности, в различном соотношении базовых (постоянных) и варьируемых (переменных) структурных единиц вещества. При моделировании структур интеркалированных соединений графита в качестве исходной базовой структуры необходимо выбрать простую гексагональную упаковку атомов углерода, в которой плоские гексагональные С-сетки со связностью атомов углерода 3 (сетка 63) упакованы по закону АА...[17]. Симметрия базовой структуры описывается пространственной группой Р6/ттт. Переменной структурной единицей в одноступенчатых структурах фаз внедрения являются М-слои в каждом межслоевом пространстве базовой структуры. Если учесть необходимость косвенного дуального соответствия М-сетки смежным С-сеткам, то она должна быть близка по топологии к тригональной сетке 36 [18]. В случае 1,^-структур упорядоченных фаз внедрения принцип равномерного распределения атомов и атомных группировок [19] должен использоваться не в виде дополнения принципа максимального заполнения пространства [20], а в виде принципа максимальной компактности. Для М-слоев можно сформулировать геометрический критерий S = RM-M, min (2 Rm) 1 > 1 С1) представляющий собой отношение минимального расстояния М-М в тригоне к диаметру атома М. В трехмерной М-подрешетке 1,р-структуры упорядоченной фазы внедрения МСЯ можно выделить структурный фрагмент в виде тригональной призмы, образованной двумя тригонами М3 из смежных М-слоев (с прямоугольными боковыми гранями при р=1 и деформированными - при р>1). По аналогии с мерой плотности расположения точек внутри множества в Е3-пространстве (среднее квадрата расстояния между точками) [21], введем меру компактности этого фрагмента как относительное среднее расстояние между его структурными единицами Km = 2[n(n-1)RM-M, min]-1 ЕЛ"1 V Rp > 1,166. (2) Здесь Rp - расстояние между i-м и всеми остальными p-ми структурными единицами фрагмента; RM-M, min - минимальное расстояние М-М. При таком определении КМ может принимать значения от 1 до да. Абсолютно компактными (КМ=1) структурными фрагментами можно считать гантель, правильные тригон и тетраэдр. Для идеальной и максимально компактной тригональной призмы КМ = = 1,166. Поэтому неравенство (2) служит геометрико-топологическим критерием компактности М-подре-шетки 1 ,р-структур фаз внедрения МСЯ. Для определения наиболее вероятных 1,р-струк-тур упорядоченных фаз использовали геометрико-топологические критерии в виде KM-M, max > KM > 1,166 ; sM,max > SM > U (3) где максимально возможные эмпирические значения KM-M, max и sM,max определяли на основе анализа известных упорядоченных 1 ,р-структур фаз МСЯ. При моделировании возможных кристаллических 1,р-структур использовали методику структурно-комбинаторного моделирования трехмерных кристаллов из нуль-мерных структурных фрагментов [22 -26]. Для решения задачи моделирования в плоскости использовали набор возможных ггвекторов, соединяющих геометрические центры гексагональных призм С6 в базовой структуре P6/mmm (рис.1, а). Модули этих векторов характеризуют периоды идентичности в М-подрешетке упорядоченной фазы. Конкретный набор трех векторов (ri, rp, (r-rp)), где 8 > ij > 1, определяет тригон М-подрешетки, а совместно с заданием порядка чередования М-слоев - и симметрию возможной 1,р-структуры МСя-фазы. В рис. 1 содержится информация о возможных базовых векторах М-подрешетки, а также сведения об используемых кодах для описания чередования М-слоев в 1,р-структурах (рис. 1, б). Это необходимо для адекватного представления графических изображений фрагментов моделируемых структур по используемым в табл. 1-4 символьным обозначениям. Таблица 1 Описание возможных упорядоченных фаз внедрения состава МСп, где п = 2-32 Рис. 1. Возможные базовые векторы для тригонов М-подрешетки (а) и матрица кодирования последовательности чередования М-слоев (б) в фазах внедрения МСп Идентификацию полученных моделированием 1,,р-структур осуществляли в соответствии с методикой [27] с использованием справочных данных [28 -31]. Описание идентифицированных структур проводили на языке занятых решеточных комплексов с указанием их основных характеристик в соответствии с [30]. Для выяснения кристаллохимических закономерностей, характерных для структур фаз внедрения, использовали методику сравнительного анализа объема, приходящегося на одну формульную единицу МСп, и атомного объема металла М [32, 33]. Относительное изменение объема может быть записано следующим образом: (AV/V), = (VMCn - Vm)/Vm, где VMCn = VM + nV'C; V'M и V'C - эффективные объемы компонентов фазы МСП, которые не эквивалентны атомным объемам чистых веществ VM и VC. Тогда для относительного изменения объема получим (AV/V), = (AV/V)m + (nV'c)(1/Vm), где (AV/V)M = (V'M - VM)/VM. Величина (AV/V), зависит от природы компонента М и стехиометрического множителя n и определяется эффективными размерами атомов М и С [33]. Эмпирически установлено, что указанная величина для ряда соединений с фиксированным соотношением компонентов состава линейно зависит от (1/VM). По знаку величины (AV/V)M можно судить о характере изменении компактности структур анализируемого ряда соединений. Результаты и их обсуждение На основании результатов теоретического моделирования [34] структуры полностью упорядоченных одноступенчатых р-слойных структур фаз внедрения МХС (0,083<х<0,5) могут быть описаны следующим образом (табл. 1). № п/п Состав р-слой-ность Код упаковки Пространственная группа и число формульных единиц в эл. ячейке 0 MC2 1 аа P6/mmm (1) 1 MC6 1 (аа) P6/mmm (1) 2 MC6 2 (aßa) P63/mmc (4) 3 MC6 3 (aßya) R 3m (3) 4 MC8 1 (аа) P6/mmm (1) 5 MC8 1 (аа) Pmmm (1) 6 MC8 2 (ауа) Fmmm (4) 7 MC8 2 (ауа) Pmmm (2) 8 MC8 2 (aßa) Pmn2l (2) 9 MC8 3 (aßya) P62(4)22 (3) 10 MC8 3 (aßya) P2/m (3) 11 MC8 4 (aßySa) Fddd (8) 12 MC8 4 (aßySa) Pmn2j (4) 13 MC,0 1 (аа) Cmmm (2) 14 MC,0 4 (aßySa) Pmn2j (8) 15 MC12 1 (аа) Pmmm (1) 16 MC12 1 (аа) P2/m (1) 17 MC12 2 (aya) Pmna (2) 18 MC12 2 (aßa) Pmn2j (2) 19 MC12 2 (aßa) (aya) P2/m (2) 20 MC12 4 (aßySa) P21 (4) 21 MC12 4 (aßySa) Pmn2j (4) 22 MC12 3 (aßya) Pm (3) 23 MCj4 1 (aa) P6/m (1) 24 MCj4 2 (aya) P2j/m (2) 25 MCj4 3 (aßya) P31(2) (3) 26 MCj4 4 (aßySa) P21 (4) 27 MCj8 1 (aa) P6/mmm (1) 28 MCj8 1 (aa) P2/m (1) 29 MCj8 2 (aSa) P63/mmc (4); 30 MCj8 2 (aSa) P2/m (2); 31 MCj8 3 (aSSa) R 3m (3) 32 MCj8 4 (aSySa) C2221 (8) 33 MCj8 4 (aßySa) P21 (4) 34 MC20 1 (aa) P2/m (1) 35 MC20 4 (aßySa) P21 (4) 36 MC24 1 (aa) P6/mmm (1) 37 MC24 2 (aea) P63/mmc (1) 38 MC24 2 (aSa) Fmmm (4) 39 MC24 3 (ae^a) R 3m (3) 40 MC24 3 (aSSa) P62(4)22 (3) 41 MC24 4 (aßySa) Fddd (8) 42 MC24 4 (ae^ea) C222l (8) 43 MC26 1 (aa) P6/m (1) 44 MC26 2 (aya) P2i/m (2) 45 MC26 3 (aSSa) P31(2) (3) 46 MC26 4 (aßySa) P21 (4) 47 MC32 1 (aa) P6/mmm (1) 48 MC32 2 (aSa) Cmcm (4) 49 MC32 2 (aea) Fmmm (4) 50 MC32 3 (ae^a) P62(4)22 (3) 51 MC32 4 (aßySa) C2221 (8) 52 MC32 4 (aßSSa) Fddd (8) Продолжение табл. 1 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. № Занятые интеркалятом Относительные метриче- п/п М решеточные комплек- ские параметры элементар- сы и их характеристики ной ячейки 0 P - 1(a) 6/mmm а — а0, с — с0 1 P - 1(a) 6/mmm о 1/2 а — 3 а0, с — с0 2 (PC+E) - 2(a) 3m +2(d) 6m2 а — 31/2а0 , с — 2с0 3 R - 3(a) 3m а — 31/2 а0, с — 3с0 4 P - 1(a) 6/mmm а — 2а0, с — с0 5 P - 1(a) mmm а — 31/2а0 , Ь — 2а0, с — с0 6 F - 4(a) mmm а — 2а0, Ь—31/2а0, с — 2с0 7 P - 1(a) mmm а — 31/2а0 , Ь — 2а0, с — 2с0 8 BI1y[z] - 2(a) m а — 31/2а0 , Ь — 2а0, с — 2с0 9 +Q - 3(d) 222 а — 2а0, с — 3с0 10 (P+P2xz) - 1(a) 2/m + 2(m)m а — 31/2а0 , Ь — 2а0, с —3с0 11 D - 8(a) 222 а — 2а0, Ь — 2*31/2а0, с — 4с0 12 2BI1y{z} - 2*2(a) m а — 31/2а0 , Ь — 2а0 , с — 4с0 13 C - 2(a) mmm а — 31/2а0, Ь — 5а0 ,с — с0 14 4BI1y{z} - 4*2(a) m а — 31/2а0, Ь — 5а0, с — 4с0 15 P - 1(a) mmm а — 31/2а0, Ь — 3а0,с — с0 16 P - 1(a) 2/m а — 2а0, Ь — с0, с — 71/2а0, Р — 101° 17 PaB1z - 2(e) mm2 а — 31/2а0, Ь — 3а0,с — 2с0 18 BI1y{z} - 2(a) m а — 31/2а0, Ь — 3а0,с — 2с0 19 P2xz - 2(m) m а — 2а0, Ь — 2с0, с — 71/2а0, Р — 101° 20 2PbACI1xz{y} - 2*2(a) 1 А —2а0,Ь — 4с0, с —71/2а0, Р — 101° 21 2BI1y{z} - 2*2(a) m а — 31/2а0, Ь — 3а0,с — 4с0 22 3P - 2*1 (a) m + 1(b) m а —2а0,Ь — 3с0, с —71/2а0, Р — 1010 23 P - 1(a) 6/m а — 71/2а0, с — с0 24 PbACI1xz - 2(e) m а — 71/2а0, Ь — 71/2а0, с — 2с0, Р— 120° 25 Pc-Q1xy{z} - 3(a) 1 а — 71/2а0, с — 3с0 26 2PbACI1xz{y} - 2*2(a) 1 а — 71/2а0, Ь — 4с0, с — 191/2а0, Р—90° 27 P - 1(a) 6/mmm а — 3а0, с — с0 28 P - 1(a) 2/m а — 3а0, Ь — с — 71/2а0, Р — 101° 29 (PC+E) - 2(a) 3m + 2(d) 6m2 а — 3а0, с — 2с0 30 PbACI1xz - 2(e) m а — 3а0, Ь — 2с0 , с — 71/2а0, Р — 101° 31 R - 3(a) 3m а — 131/2а0, с — 3с0 32 CCF1x2yz - 8(c) 1 а — 3а0, Ь — 3*31/2а0, с — 4с0 33 2PbACI1xz{y} - 2*2(a) 1 а — 3а0, Ь — 4с0, с — 71/2а0, Р — 101° 34 P - 1(b) 2/m а —2*31/2а0, Ь — с0, с — 71/2а0, Р—109° 35 2PbACI1xz{y} - 2*2(a) 1 а—2*31/2а0, Ь— 4с0, с — 71/2а0, Р—109° 36 P - 1(a) 6/mmm а — 2*31/2а0 ,с — с0 37 (PC+E - 2(a) 3m + 2(d) 6m2 а — 2*31/2а0, с — 2с0 38 F - 4(a) mmm а — 2*31/2а0, Ь — 6а0, с — 2с0 39 R - 3(a) 3m а — 2*31/2а0, с — 3с0 40 +Q - 3(d) 222 а — 2*31/2а0, с — 3с0 41 D - 8(a) 222 а — 2*31/2а0, Ь — 6а0, с — 4с0 42 CCF1x2yz - 8(c) 1 а — 2*31/2а0, Ь — 6а0, с — 4с0 43 P - 1(a) 6/m а — 131/2а0, с — с0 44 PbAC!1xz - 2(e) m а —131/2а0, Ь—131/2а0, с — 2с0, Р—1200 45 P-Q1xy{z} - 3(a) 1 а — 131/2а0,с — 3с0 46 2PbACI1xz{y} - 2*2(a) 1 а —131/2а0, Ь — 4с0, с — 391/2а0, Р—900 47 P - 1(a) 6/mmm а — 4а0, с — с0 48 CCF1y - 4(c) m2m а — 4а0, Ь — 4*31/2а0, с — 2с0 49 F - 4(a) mmm а — 4а0, Ь — 4*31/2а0, с — 2с0 50 +Q - 3(d) 222 а — 4а0, с — 3с0 51 CCF1x2yz - 8(c) 1 а — 4а0, Ь — 4*31/2а0, с — 4с0 52 D - 8(a) 222 а — 4а0, Ь — 4*31/2а0, с — 4с0 При описании структур упорядоченных твердых растворов кроме числа М-слоев, кода упаковки атомов М в слое и пространственной группы симметрии указаны характеристики занятых атомами М решеточных комплексов и метрические параметры элементарных ячеек МСп относительно ячейки максимально заполненной структуры МС2 (табл. 1). Изображения исходной структуры МС2, а также некоторых структур состава МСп с п — 6, 8 и 12 приведены на рис. 2 и 3. Графические изображения всех структур передаются с помощью проекции на плоскость ХУ только таких заполненных или пустых гексагональных призм (МС6 или С6), которые полностью или частично принадлежат одной элементарной ячейке кристалла. Рис. 2. Изображения 1,р-структур упорядоченных фаз МС2 (1), МС6 с кодами упаковки М-слоев аа (2), аРа (3), аРуа (4) и МС8 с кодами упаковки аа (5 и 6), ауа (7 и 8), аРа (9), аРуа (10 и 11) и аРуба (12 и 13) Рис. 3. Изображения 1,р-структур упорядоченных фаз МС12 с кодами упаковки М-слоев аа (1 и 2), ауа (3 и 5), аРа (4 и 6), аРуа (7 и 8) и аРуба (9 и 10) Для получения наиболее вероятных составов упорядоченных фаз внедрения МСп с найденными выше структурами использовали геометрико-топологические критерии (3) в виде 1,495 > Км > 1,166 и 1,45 > 8М > 1. Кристаллохимическим анализом установлено, что наряду с известными составами МС6 (М - Li, Na) и МС8 (М - К, Rb, Cs) возможно существование одноступенчатых ^-слойных структур для составов МС14 и МС18 (где М - Rb, Cs) (рис. 4). Отметим, что из шести структур, изображенных на рис. 4 (структуры № 23, 27-31 соответственно, табл.1), только для третьей и пятой структуры состава МС18 характерно относительно низкосимметричное окружение интеркалята М (собственная симметрия кристаллографических позиций 2/т и т, соответственно). Поэтому формирование подобных структур для МС18 можно считать менее вероятным, чем структур № 27 (собственная симметрия позиций 6/ттт), 29 ( 3т и 6т2) и 31 ( 3т). Рис. 4. Изображения 1,р-структур вероятных упорядоченных фаз внедрения состава МС14 (М - ЯЬ, С8) с кодами упаковки М-слоев аа (1) и состава МС18 (М - ЯЬ, С8) с кодами упаковки аа (2 и 3), аба (4 и 5) и абб'а (6) Для нескольких рядов соединений МСп с фиксированным значением п полученные линейные зависимости (ДУ/У)М = У(1/УМ) позволяют установить, что при п = 2 и 6 образуются «уплотненные» структуры ((Д У/У)М < 0), а при п > 8 наблюдается «разрыхление» структур, т.е. увеличение межатомного расстояния М-М по сравнению с аналогичным расстоянием в чистом металле ((ДУ/У)М > 0) (рис. 5). Для МСп при Описание возможных разупорядоченных п больше 18 «разрыхление» структур настолько существенно, что может привести к потере устойчивости соответствующих фаз. Данный качественный результат находится в соответствии с результатами кристал-лохимического анализа вероятных структур упорядоченных фаз внедрения, описанными выше. мс.9 мс26 Рис. 5. Зависимости относительного изменения объема упорядоченных фаз внедрения МСп с 1,1-структурами от атомного объема компонента М На базе структур упорядоченных растворов могут быть теоретически получены структуры разупорядоченных твердых растворов М1+хСп, а также твердых растворов с частичной разупорядоченностью атомов М [35]. В описании структур каждого разупорядоченного твердого раствора (табл. 2) указана />-слойность, код упаковки атомов М в слое, пространственная группа, число формульных единиц в элементарной ячейке и занятые атомами кристаллографически неэквивалентные позиции Уайкова. Таблица 2 аз внедрения состава М1+ХСЙ, где п = 6-32 Состав р-слойность и код упаковки слоев Пространственная группа и число формульных единиц в эл. ячейке Занятые кристаллографические позиции Mi+JA (0<x<2) Р = 1, ар'у' Р6/ттт (2 = 1/3) [(1+x)/3]M 1(a), 2C:2(d) M1+xC8 (0<x<0,33) р = 1, ару б' Р6/ттт ^ = 1/4) [(1+x)/4]M 1(a), 2C:2(d) Mi+xCio (0<x<0,25) р = 1, аР'у'б'^' Р6/ттт (2 = 1/5) [(1+x)/5]M 1(a), 2C:2(d) Mi+xCi2 (0<x<0,2) р = 1, аР'у'б'^'Э' Р6/ттт (z = 1/6) [(1+x)/6]M 1(a), 2C:2(d) M1+xC14 (0<x<0,17) р = 1, аР'у'б'^'Э'ц' Р6/ттт (z = 1/7) [(1+x)/7]M 1(a), 2C:2(d) M1+xC18 (0<x<0,125) р = 1, аР'у'б'л'Э' Р6/ттт (z = 1/9) [(1+x)/9]M 1(a), 2C:2(d) Mi+xC20 (0<x<0,1) р = 1, аР'у'б'^'Э' Р6/ттт (z = 1/10) [(1+x)/10]M:1(a), 2C:2(d) M1+xC24 (0<x<0,08) р = 1, аР'у'б'л'Э' Р6/ттт ^ = 1/12) [(1+x)/12]M:1(a), 2C:2(d) M1+xC26 (0<x<0,07) р = 1, аР'у'б'л'Э' Р6/ттт (z = 1/13) [(1+x)/13]M:1(a), 2C:2(d) M1+xC32 (0<x<0,048) р = 1, аР'у'б'^'Э' Р6/ттт (z = 1/16) [(1+x)/16]M:1(a), 2C:2(d) В случае частичной упорядоченности атомов М В данном случае указан не только код упаковки могут образоваться следующие структуры твердых атомов М в каждом слое, но и код упаковки М-слоев в растворов (табл. 3). многослойных структурах (выделенные символы). Таблица 3 Описание возможных частично разупорядоченных фаз внедрения состава М1+хСп, где п = 6-12 Состав р-слойность и код упаковки слоев Пространственная группа и число формульных единиц в эл. ячейке Занятые кристаллографические позиции Mi+IC6 (0<x<2) р = 1, аР'у' Р6/ттт (г = 1) (1+х)М:1(а)+2(С), 6С:6(Ат) Mi+IC6 (0<x<2) р = 2, аР'у'а'Ру' Р63/ттС (г = 4) 4(1+х)М:2(а)+2(6)+2(С)+2(^+4(е), 24С:24(1) Mi+хСб (0<x<2) р = 3, аР'у'а'Ру'а'Р'у R3m (г = 3) 3(1+х)М:3(а)+6(С), 18С:18(Л) МШС8 (0<x<0,33) р = 1, аР'у'8' Р6/ттт (г = 1) (1+х)М:1(а)+3(Г), 8С:2(d)+6(m) МШС8 (0<x<0,33) р = 1, аР'у'8' Рттт (г = 1) (1+х)М:1(а)+1(е)+2(п), 8С:2(0+2(1)+4(г) M1+xC8 (0<x<0,33) р = 2, аР'у'8'а'Р'у8' Fmmm (г = 4) 4(1 +х)М: 4(а)+4(й)+8(е), 32С:16(т)+16(£) M1+xC8 (0<x<0,33) р = 3, аР'у'8'а'Ру'8'а'Р'у8' Р62(4)22 (г = 3) 3(1+х)М:3(а)+3^+6(е), 24С:2*6(г)+2*6(') M1+xC8 (0<x<0,33) р = 4, аР'у'8'а'Ру'8'а'Р'у8'а'Р'у'8 Fddd (г = 8) 8(1 +х)М: 8(а)+8(й)+16^), 64С:2*16ф+32^) M1+xC10 (0<x<0,25) р = 1, аР'у'8' Сттт (г = 2) 2(1+х)М:2(а)+2*4(г), 20С:4^)+2*8(г) M1+xC10 (0<x<0,25) р = 4, аР'у'8'а'Ру'8'а'Р'у8'а'Р'у'8 Ртп2[ (г = 8) 8(1+х)М:20*2(а), 80С:20*4(6) Mi+xCi2 (0<x<0,2) р = 1, аР'у'8' Рттт (г = 1) (1 +х)М: 1(а)+1 (/)+2(т)+2(о), 12С:2(г)+2(1)+2 *4(г) Mi+xCi2 (0<x<0,2) р = 1, аР'у'8' Р2/т (г = 1) (1 +х)М: 1(а)+1 (¿)+2(Г)+2(), 12С:6*2(т)) Mi+xCi2 (0<x<0,2) р = 4, аР'у'8'а'Ру'8'а'Р'у8'а'Р'у'8 Р21 (г = 4) 4(1+х)М: 12*2(а), 48С:24*2(а) M1+xC12 (0<x<0,2) р = 4, аР'у'8'а'Ру'8'а'Р'у8'а'Р'у'8 Ртп2\ (г = 4) 4(1+х)М:12*2(а), 48С:12*4(6) iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Таблица 4 Описание возможных гомогенных и гетерогенных упорядоченных фаз внедрения состава МСп, где п = 6-12 Состав р-слойность и код упаковки слоев Пространственная группа и число формульных единиц в эл. ячейке Относительные метрические параметры эл. ячейки Код упаковки слоев в доменах Пространственная группа, определяемая из дифракционного эксперимента МСб р = 1, а Р6/ттт (г = 1) 1М:1(а), 6С:6(А) а+Р+у Р6/ттт МСб р = 2, аР Р63/ттс (г = 4) 4М:2(а)+2(й?), 24С:24(1) аР+Ру+уа Р6/ттт МСб р = 3, аРу R 3т (г = 3) 3М:3(а), 18С:18(^) аРу+ауР Р6/ттт МС8 р = 1, а Р6/ттт (г = 1) 1М:1(а), 8С:2(^+6(т) (а+Р+у)+ (а+Р+8)+ (а+у+8)+ (Р+у+8) Р6/ттт МС8 р = 1, а Рттт (г = 1) 1М:1(а), 8С:2(г)+2(1)+4(г) (а+Р+у)+ (а+Р+8)+ (а+у+8)+ (Р+у+8) Р6/ттт МС8 р = 2, ау Fmmm (г = 4) 4М:4(а), 32С:16(т)+ 16(k) аР+а8+ау+уР+8Р+8у Р6/ттт МС8 р = 3, аРу Р62(4)22 (г = 3) 3M:3(d), 24С:2*6(г')+2*6(/') аРу+аР8+ау8+ауР+а8Р+а8у Р6/ттт МС8 р = 4, аРу8 Fddd (г = 8) 8М:8(а), 64С:2*16ф+32^) аРу8+аР8у+ау8Р+ауР 8+а8Ру+а8уР Р6/ттт MCio р = 1, а Сттт (г = 2) 2М:2(а), 20С:4ф)+2*8^) а+Р+у+8 Сттт МС10 р = 4, аРу8 Ртп2[ (г = 8) 8М:4*2(а), 80С:20*4(6) аРу8+аР8у+ау8Р+ауР 8+а8Ру+а8уР Сттт МС12 р = 1, а Рттт (г = 1) 1М:1(а), 12С:2(г)+2(1)+2*4(г) а+Р+у+8 Рттт МС12 р = 1, а Р2/т (г = 1) 1М:1(а), 12С:6*2(т) а+Р+у+8 Рттт МС12 р = 4, аРу8 Р21 (г = 4) 4М:2*2(а), 48С:24*2(а) аРу8+аР8у+ау8Р+ауР 8+а8Ру+а8уР Рттт МС12 р = 4, аРу8 Ртп2\ (г = 4) 4М:2*2(а), 48С:12*4(6) аРу8+аР8у+ау8Р+ауР 8+а8Ру+а8уР Рттт Отметим, что полностью разупорядоченные и частично разупорядоченные твердые растворы на основе упорядоченных фаз состава МСп (п = 6, 8, 10, 12 и т.д. [34, 35]) имеют, по-видимому, существенно ограниченный характер. В полностью упорядоченных твердых растворах внедрения их структура может реализоваться по-разному: в виде гомогенной структуры фазы [34], либо в виде «гетерогенной» структуры, состоящей из ориентированных определенным образом относительно друг друга изоструктурных доменов [6, 35]. В описании упорядоченных структур второго типа приведены коды упаковки М-слоев во всех доменах данной фазы, а также симметрия, которая должна наблюдаться в дифракционном эксперименте. Только допущение возможности существования подобных 1,/>-структур для составов МС6 и МС8 [6] объясняет, почему в большинстве случаев для упорядоченных фаз внедрения МХС (0,1 < х < 0,5; М - щелочные металлы) экспериментально зафиксированы только гексагональные структуры с пространственной группой Р6/ттт. На основе анализа результатов данной работы можно сделать следующие выводы: 1. Методом структурного моделирования получены формально возможные 1 ^-структуры упорядоченных, частично упорядоченых и полностью разупоря-доченных фаз внедрения металла в гексагональный графит. Проанализирована возможность образования «гетерогенных» одноступенчатых структур фаз внедрения. 2. Кристаллохимическим анализом установлено, что кроме известных одноступенчатых фаз внедрения состава МС6 (М - Ы, №) и МС8 (М - К, ЯЬ, Сэ) в реальных системах М-С вероятно образование одноступенчатых структур для составов МС14 и МС18 (где М - ЯЬ, Сэ). 3. Полученные теоретические данные по моделированию 1 ,р-структур фаз внедрения МСп (п = 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18) могут быть использованы при интерпретации результатов рентгеноструктурных и электрохимических исследований угольных электродов химических источников тока. Отметим, что простые модельные представления о статической разупорядоченности интеркалята в указанных фазах внедрения не исчерпывают все варианты ее реализации. Действительная картина структурной разупорядоченности много сложнее из-за одновременного присутствия в системе М-С s-ступенчатых структур (где s > 1) [14, 15]. Основные результаты анализа возможных структурных состояний 2- и 3-ступенчатых р-слойных структур МхС качественно не должны отличаться от результатов, полученных для 1,р-структур. Наличие в этих структурах одних и тех же структурных фрагментов в виде базовых гексагональных С-сеток и их двуслойных пакетов, упакованных по определенному закону, обусловливает близкие образы дифракционных картин. Интерпретация реальной дифракционной картины образцов электродных материалов, которая может быть суперпозицией картин от отдельных разу-порядоченных фаз, существенно затруднена без предварительного теоретического анализа возможных структурных состояний этих фаз в системах М-С. Литература 1. Zabel H., Chow P.C. // Comments Cond. Mat. Phys. 1986. Vol. 12. № 5. P. 225. 2. Grunes L.A., Ritsko J.J. // Phys. Rev. B, 1983. Vol. 28, № 6. P. 3439. 3. Gulber U., Krieg J., Oelhafen P. [et. al.] // Phys. Intercalat. Compounds. Proc. Int. Conf., Trieste, July 1984. Berlin, e.a., 1984. P. 68. 4. Gunasekara N., Takahashi T., Maeda F. [et. al.] // Z. Phys. B. Condensed Matter., 1988. Vol. 70. P. 349. 5. Guerard D., Lagrange Ph. // Phys. Intercalat. Compounds: Proc. Int. Conf., Trieste, 1981. Berlin, 1981. P. 223. 6. Rousseaux F., Plancon A., Tchoubar D. [et. al.] // Phys. Intercalat. Compounds. Proc. Int. Conf., Trieste, July 1984, Berlin, e.a., 1984. P. 228. 7. Clarke R. // Phase Transform. Solids Symp. Maleme-Chania, Crete, June-July 1983, N.Y., 1984. P. 623. 8. Fischer J.E., Kim H.J. // Synthetic Metals, 1985. Vol. 15. P. 137. 9. Kamitakahara W.A., Zabel H. // Phys. Rev. B, 1985. Vol. 32, № 12. P. 7817. 10. Freilander P., Heitjans P., Ackermann H., Bader B. [et. al.] // Z. Phys. Chem. Neue Folge, 1987. Bd. 151. S. 93. 11. Woo K.C., Mertwoy H., Fischer J.E. [et. al.] // Phys. Rev. B, 1983. Vol. 27, № 12. P. 7831. 12. HawrylakP., Subbaswamy K.R. // Phys. Rev. B, 1983. Vol. 28, № 8. P. 4851. 13. Di VincenzoD.P., Koch T.C. // Phys. Rev. B, 1984. Vol. 30, № 12. P. 7092. 14. Фиалков А.С. Углерод. Межслоевые соединения и композиты на его основе. М., 1997. 718 с. 15. Багоцкий В.С., Скундин А.М. // Электрохимия. 1998. Т. 34. № 7. С. 732. 16. Волгин М.А. [и др.] // Электрохимия. 1998. Т. 34, № 7. С. 761. 17. Урусов В.С., Дубровинская Н.А., Дубровинский Л.С. Конструирование вероятных кристаллических структур минералов. М.: МГУ. 1990. 129 с. 18. Уэллс А. Структурная неорганическая химия: в 3 т. Т.1. М., 1987. 408 с. 19. Блатов В.А., Полькин В.А., Сережкин В.Н. // Кристаллография. 1994. Т. 39, № 3. С. 457. 20. Современная кристаллография: в 4 т. Т. 2: Структура кристаллов. М., 1979. 360 с. 21. Хант Э. Искуственный интеллект. М., 1978. 560 с. 22. Иванов В.В., Таланов В.М. // Неорган. материалы. 1991. Т. 27, № 11. С. 2356. 23. Иванов В.В., Таланов В.М. // Неорган. материалы. 1991. Т. 27, № 11. С. 2386. 24. Ivanov V.V., Talanov V.M. // Phys. Stat. Sol.(a), 1990. Vol. 122. P. K109. 25. Иванов В.В., Таланов В.М. // Неорган. материалы. 1992. Т. 28, № 8. С. 1720. 26. Ivanov V.V., Talanov V.M. // Int. Conf. On Aperiodic Crystals. Les Diabrets. Switzerland, 18-22 Sept. 1994. P. 22. 27. Иванов В.В. //Тез.докл. науч.-метод. конф. вузов Сев.-Кавк. региона, 28-29 окт. 1997 г. Новочеркасск, 1997. С. 98. 28. Бокий Г.Б. Кристаллохимия. М., 1960. 358 с. 29. Fisher W. [et. al.]. Space Groups and Lattice Complexes / U.S. Dep. Commerce, Nat. Bur. Stand., Washington, 1973. 178 p. 30. Sakamoto Y. [et. al.] // J. Sci. Hiroshima Univ., Ser.A, 1983. Vol. 46, № 3. P. 371. 31. Уэллс А. Структурная неорганическая химия: в 3 т.. Т. 3. М., 1988. 564 с. 32. Урусов В.С. Теоретическая кристаллохимия. М., 1987. 275 с. Поступила в редакцию 33. Матюшенко Н.Н. Кристаллические структуры двойных соедине-ний. М., 1969. 304 с. 34. Иванов В.В. // Электрохимия мембран и процессы в тонких ионопроводящих пленках и электродах: Материалы Всерос. конф. Саратов, 1999. С. 8. 35. Иванов В.В. [и др.] // Литиевые источники тока: Материалы 6-ой междунар. конф. Новочеркасск, 2000. С. 28. 17 марта 2010 г. Иванов Валерий Владимирович - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Общая и неорганическая химия», ЮжноРоссийский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Щербаков Игорь Николаевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Автомобильный транспорт и организация дорожного движения», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Иванов Андрей Валерьевич - аспирант, кафедра «Технология электрохимических производств», ЮжноРоссийский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Ivanov Valeriy Vladimirovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Common and Inorganic Chemistry», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Sherbakov Igor Nikolaevich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Motor transport and Road Traffic Organization», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ivanov Andrey Valerievich- post-graduate student, department «Technology of Electrochemical Production», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute).

https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskie-podhody-k-proektirovaniyu-nanorobotov-i-nanodinamicheskih-sistem

В предыдущих статьях обсуждались общие вопросы проектирования нанороботов и нанодинамических систем. Здесь следует отметить, что математическое моделирование наноконструкций позволяет существенно ускорить процесс разработки наносистем и перевести поиск нужной конфигурации молекулы из эвристической и полуэмпирической плоскости в плоскость точного проектирования и инжиниринга.

Математические подходы к проектированию нанороботов и нанодинамических систем В предыдущих статьях обсуждались общие вопросы проектирования нанороботов и нанодинамических систем. Здесь следует отметить, что математическое моделирование наноконструкций позволяет существенно ускорить процесс разработки наносистем и перевести поиск нужной конфигурации молекулы из эвристической и полуэмпирической плоскости в плоскость точного проектирования и инжиниринга. Виталий ГРИБАЧЕВ [email protected] Введение Точный математический расчет конфигурации нанодинамических систем необходим в силу специфики используемой технологии производства. Нанотехнолог не может непосредственно ручным или аппаратным способом воздействовать на начальную структуру или конформацию молекулы, и в идеале его функции должны сводиться к тому, чтобы всего лишь создать условия, при которых молекула или группа молекул самостоятельно соберется в необходимую структурную конфигурацию. В этом особенность техпроцессов проектирования любых наноустройств, в том числе и устройств наноэлектроники. Молекула (наносистема) сможет собраться в необходимую конформацию только в том случае, если данная конформация будет наиболее энергетически выгодной по сравнению со всеми другими возможными конформациями. Эта наиболее энергетически выгодная конформация может быть рассчитана математически. Поэтому такая наиболее общая постановка задачи позволяет заниматься разработкой, математическим расчетом и унификацией базовых стандартных наномодулей, на основе которых впоследствии можно будет проектировать массу всевозможных систем, в том числе это могут быть молекулярные компьютеры, ячейки нанопамяти, нанотранзисторы, нанодатчики, системы доставки лекарств, нанодвигатели, наноманипуляторы и т. п. При построении математических моделей молекул следует учитывать, что молекула сама по себе является динамической системой и находится в состоянии постоянного колебательного движения. Частоты собственных молекулярных колебаний находят отражение в полосах резонансного поглощения молекулярных спектров. Соответственно, при изменении конформации молекул спектры также претерпева- ют изменения. Измеряя спектр наноробота до и после управляющего воздействия, мы сможем определить, в каком состоянии он находится и выполнил ли он свою задачу. Спектры поглощения крупных молекул могут претерпевать существенные изменения в нескольких случаях. Прежде всего, это происходит при присоединении или отсоединении крупных атомных групп, или физических операторов [3], в ходе фазовых изменений, а также при установлении или разрыве внутримолекулярных или межмо-лекулярных химических связей, включая водородные и ван-дер-ваальсовы связи. Кроме того, небольшое изменение в спектрах поглощения происходит при значительных изменениях конформации молекул. Так, немного отличаются спектры цис- и трансизомеров. Понятно, что нас как разработчиков нанороботов практически не интересуют химические превращения молекул, однако большой интерес будут представлять изменения в спектре наносистемы, происходящие при перемещении манипулятора наноробота или смещении частей нанодинамической системы друг относительно друга. Такие изменения могут сопровождаться, а могут и не сопровождаться образованием или раз- С Рис. 1. Обозначения атомов молекулы и единичных векторов рывом связей. На данном этапе разработок по умолчанию предполагается, что наноди-намическая система может находиться всего в двух состояниях. Открыто — закрыто, активно — неактивно, или наноманипулятор в начальном — в конечном положении. Для построения математических моделей молекул и расчета молекулярных спектров в настоящее время активно используется аппарат векторного анализа и графы. Таким образом, для построения молекулярных моделей и оценки конформационных изменений в них хорошо подходят векторный и графовый способы описания. Векторная модель молекулы В качестве примера векторного описания молекулы и пояснения математических принципов молекулярного моделирования удобно рассмотреть достаточно простую пятиатомную молекулу XABCD наподобие метана СН4 (рис. 1). Для создания векторной модели равновесного состояния молекулы, прежде всего, зададим систему единичных векторов е, направленных от центрального атома Х к периферийным атомам вдоль направления валентных связей (рис. 2). Углы между векторами Єї будут определять углы между валентными связями в молекуле. Положение плоскостей углов между векторами, например угла е2Хе1 или е3Хе1, можно задать с по- мощью вектора hi,, перпендикулярного обоим векторам, составляющим угол. Для этого вначале необходимо задать вспомогательные векторы т., перпендикулярные соответствующему вектору е{ и лежащие в плоскости соответствующего угла. Для дальнейших рассуждений нарисуем отдельно систему векторов е2, е1, т12. Проекция вектора е2 на вектор е1 равна у = e2cosф. Так как векторы по определению единичные, то есть 1е21 = 1е11 = 1, то по условию имеем у = e2cosф = e1cosф. Модуль вектора а равен проекции вектора е2 на направление вектора т12, то есть 1а1 = e2cos(90-ф) = е^іпф = sinф. Учитывая, что вектор т12 по определению также единичный, получим тіаі = msinф. На рис. 3 видно, что вектор а является, по сути, разностью между векторами е2 и у, откуда имеем: а = msinф = е2-у = e2-e1cosф, то есть: 1 (^-^совср). этср Аналогично выражение для вектора т13 будет выглядеть так: т. 1 вШф (е3-Є[С08ф). Векторы к. тоже единичные и равны векторному произведению ^ = е;хе. Для того чтобы найти угол между плоскостями е2Хе1 и е3Хе1, необходимо найти угол между векторами ^2 и ^3. Обозначим этот угол буквой у. Учитывая, что векторы hj тоже единичные, получим: ^2 = е1хе2, h13 = е1хе3. Угол между плоскостями можно найти из векторного произведения: откуда к12хк13 = !й12!!й13І8Іпу, ^12*^13 і і вшу = |т мі | = Л12хЛ13. К\\^\ В формуле для \2 выразим е2 через вспомогательный вектор т12, учитывая, что е2 = = а+у = т^тф + e1cosф. Тогда получим: Ь12 = е^т^тф+е^овф) = е^т^тф. Аналогично h13 = е^т^тф. В итоге получим: 8ту = й12хй13 = = (е1хт1281пф)х(е1хт1381пф) = = 8тф[е1хт12хе1хт13]. Раскрывая скобки и сокращая, в итоге получим: 8шу = 8тф. Что в общем случае совершенно верно, так как молекула метана представляет собой правильный тетраэдр, все валентные углы в котором равны друг другу. Численные значения валентных углов получим из соображений симметрии. Учитывая, что: е1+е2+е3+е4 = 0 и С08ф = е{е2 = е{е3 = ее4, то есть е1е1+е1е2+е1е3+е1е4 = 0 1+е1е2+е1е3+е1е4 = 0, то есть е1е2+е1е3+е1е4 = -1 = 3С08ф, С08ф = -1/3, откуда угол между плоскостями ф = 109,47°. Получение резонансных частот колебаний После того как определена векторная модель молекулы, необходимо определить спектр резонансных частот. Для анализа конформаций нанодинамических систем с некоторой долей приближения можно считать, что в молекуле возможны всего два вида колебаний: колебания, связанные с изменением длины валентных связей, и колебания, связанные с изменением валентных углов [1]. Таким образом, для сложной линейной молекулы, содержащей п атомов, число различных валентных связей будет (п-1), а число различных видов колебаний будет 2п-5. В это число не войдут поворотные колебания и колебания, связанные с поперечным смещением валентных связей относительно плоскостей углов, так называемые неплоские колебания. Поворотные колебания в наносистеме можно существенно уменьшить путем введения в нужных местах двойных связей, так как вращение вокруг двойной связи ограничено. Для определения частот нормальных колебаний достаточно решить систему из п уравнений, которыми в классической механике определяют малые колебания системы материальных точек. Уравнения этого типа называются вековыми, так как историче- -СцЮ -С21(й2 Ри Рп- ски они применялись в небесной механике для решения задач о вековых возмущениях в движении планет [2]. Кинетическая и потенциальная энергия системы колеблющихся материальных точек будет соответственно равна: Ек=\цСу**)’ Ер = \иЦХ>ХР £ и г V где G^j — коэффициенты, зависящие от массы частиц и геометрии равновесной конфигурации, а Р^ представляют коэффициенты, характеризующие потенциальную энергию молекулы. Используя уравнения Лагранжа для кинетической и потенциальной энергии движущихся частиц, можем записать: ±(СМх) = 0, 7=1 где I = 1, 2 ... п. Подстановка решения в виде х^ = Хре‘®> приводит к системе уравнений вида: Х(^-С®2)х.= 0, где I = 1, 2 ... п. В раскрытом виде это будет выглядеть как система уравнений: (Рц-^!®2)^^-^©2^... = 0 (Р21-^1®2)х1 + (Р22-^2®2)х2+''' = 0 (Р+пГС+п]®2)х]+(Рі Ї+П/+1 Оі+п/+1' ю2)х2+. = 0 Данная система имеет решение, если равен нулю ее определитель, то есть (формула внизу страницы). Решив получившееся матричное уравнение, находим искомые частоты колебаний ак, где (к = 1, 2 ... п). Коэффициенты Р. и О. определяют либо аналитически, где это возможно, либо экспериментально, либо используя квантово-механические расчеты. Возможно решение обратной задачи, когда в уравнения подставляются резонансные частоты, полученные экспериментально, а коэффициенты вычисляются аналитически с целью дальнейшего использования их при анализе измененных конфигураций рассматриваемой наносистемы. Графовый метод описания Методики расчета спектров резонансного поглощения в пределах малых колебаний = 0. °12(о . •• Ру+п-°у+гР (?22® . • • -^Й-1 ]+П ~ (*І+1 у+иШ СзУ . * * Рі+2 у+в ^і+2 у'+л ^ или ї-4 Рис. 4. Схематичное изображение 4-звенного базового элемента хорошо подходят для оценки начального и конечного состояния нанодинамической системы, однако оценить с их помощью все совокупное множество конформационных изменений, которое возникает, например, при движении манипулятора наноробота, не представляется возможным. В работе [3] предлагается методика графового описания конформационных изменений крупных молекулярных систем, которая подойдет для оценки всех возможных для данной молекулярной конфигурации положений наноманипулятора. Авторы используют 4-звенную молекулярную конформацию как базовый элемент и с помощью соответствующего 4-звенного графа описывают все возможные конформации. Затем полученная суперматрица конформаций используется для описания произвольной п-звенной молекулы. Существенно важен момент, что для построения графа авторы используют только водородные связи. На рис. 4 схематично показан базовый 4-звенный элемент. Валентные связи показаны сплошными линиями, водородные — пунктиром. В соответствии с рисунком матрица, описывающая 4-звенный элемент, записывается, как показано в таблице 1. Если водородные связи в соответствующих позициях обозначить переменными, то можно развернуть матрицу в линейный 4-разрядный вектор (табл. 2). Таблица 2. Линейный 4-разрядный вектор і-2 і-3 і-4 і хі х2 х3 і-1 х4 х5 і-2 х6 Таким образом, вектор для графа, изображенного на рис. 4, будет [000101]. Если в молекуле можно выделить ближний (в пределах 4 звеньев) и дальний порядки, то, используя 4-звенную матрицу в качестве базового элемента, можно построить полную матрицу, описывающую п-звенный граф всей наносистемы. Если такого порядка не предполагается, то полную матрицу кон-формационных изменений можно построить путем расширения индексов по горизонтали и вертикали. Анализируя полную матрицу, можно выделить области наиболее вероятных конформационных состояний и унифицировать описание разрабатываемых систем, что упростит процесс их проектирования. Авторы также вводят понятие физического оператора. Поскольку изменение конформации молекул чаще всего инициируется присоединением или отсоединением каких-либо молекулярных групп, то в процессе математического моделирования наносистемы эти молекулярные группы можно считать физическими операторами, переводящими наносистему из одного состояния в другое. Роль водородных связей Водородной связью считается межмолеку-лярная или внутримолекулярная связь вида: Х-Н...В-У, где Н и В — водородный атом и соседний атом, участвующие в образовании связи, а Х и У — дополнительные атомы или группы, составляющие молекулу. Водородные связи обычно сильнее, чем межмолекулярные, но слабее, чем стационарные валентные связи. Обычно энергия водородной связи составляет iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 10-30 кДж/моль, но в отдельных случаях она может быть значительно выше [4]. Чаще всего водородная связь возникает между молекулами растворителя и атомными группами растворяемого вещества, однако, например, в процессе сворачивания белковых глобул гидрофобные атомные группы белка сконфигурированы таким образом, чтобы не допустить образования внешних водородных связей и обеспечить правильное сворачивание (фол-динг) белковой глобулы за счет образования внутримолекулярных водородных связей. Благодаря своему промежуточному (в энергетическом смысле) положению, водородная связь может оказать существенную помощь в конструировании нанодинамических систем с заранее запрограммированными траекториями перемещения частей системы друг относительно друга. Допустим, у нас имеется наноди-намическая система с вращательной степенью свободы относительно центрального атома. Для упрощения расчетов желательно ограничить ее степени свободы вдоль направления у, например, сплошной кристаллической стенкой (рис. 5). В этом случае наноманипулятор сможет принимать только два положения — А и В. При нормальных условиях молекулы находятся в постоянном движении, следовательно, в общем случае наноманипулятор будет находиться в том положении, которое более энергетически выгодно, то есть в положении с меньшей полной энергией Е. Но даже в этом случае случайные флуктуации будут все время перебрасывать его из одного положения в другое. Очевидно, что для устойчивого закрепления манипулятора в определенном положении, например в положении А, необходимо на начальном этапе зафиксировать их водородной связью. Для перебрасывания манипулятора из положения А в положение В потребуется сообщить молекуле энергетический импульс, достаточный для разрушения водородной связи, или применить специализированный физический оператор. Похожий механизм молекулярных «защелок» используется в работе европейских исследователей из института молекулярной биологии университета Орхуса и датского национального центра ДНК-нанотехнологий [5]. Таблица 1. Матрица, описывающая 4-звенный элемент і-2 і-3 і-4 0 0 0 і-1 1 0 і-2 1 Используя технологию, называемую ДНК-оригами (DNA origami), они синтезировали последовательности нитей ДНК, которые за счет сил внутримолекулярного и межмолекулярного взаимодействия осуществляют самосборку в «коробочки с крышками». «Крышки» снабжаются «защелками» из комплементарных коротких участков ДНК. Таким образом, смешивая в растворе затравочные ДНК, скрепочные ДНК и молекулы полезной нагрузки, можно получить в растворе полностью собранную и закупоренную «коробочку» с полезной нагрузкой внутри. «Защелки» могут взаимодействовать с комплементарными нуклеотидными последовательностями (физическими операторами), отпирающими «коробочку» в нужный момент и в нужном месте. Заключение Подводя итог вышесказанному, можно сказать, что построение векторных молекулярных моделей является достаточно удобным способом описания молекулярных конформаций и позволяет получить расчетные уравнения в относительных молекулярных координатах, не зависящих от ориентации молекулы относительно окружающего пространства. Координаты зависят только от взаимного положения частей молекулы друг относительно друга. Классификацию конфор-мационных состояний большой наносистемы удобно проводить с помощью графового метода, который дает возможность определить наиболее энергетически выгодную последовательность конформа-ционных изменений, необходимых для осуществления нанороботом возложенных на него задач, если мы сможем рассчитать полную энергию каждой молекулярной конформации и сопоставим эту энергию с каждым заданным на графе конформационным состоянием. После построения полного графа конформационных состояний можно осуществлять компьютерную обработку и машинное проектирование наносистемы взамен эмпирического и полуэмпириче-ского подходов. Расчеты с использованием молекулярных моделей позволяют оценить изменения, происходящие в спектрах поглощения молекул, и, таким образом, в реальном времени контролировать динамические перемещения манипуляторов наносистем. Фиксация начального положения наноманипулятора еще на этапе синтеза наносистемы может осуществляться с помощью водородных или еще более слабых межмолекулярных связей. ■ Литература 1. www.spbstu.ru/phmech/ThM/Home_page_Elena_Ivanova/ Moment%20 potentials%20 RUS.htm 2. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1966. 3. Карасев В. А., Лучинин В. В. Введение в конструирование бионических наносистем. М.: Физматлит, 2009. 4. Москва В. В. Водородная связь в органической химии // Соросовский образовательный журнал. 1999. № 2. 5. http://www.membrana.ru/articles/inventions/ 2009/05/08/154300.html

https://cyberleninka.ru/article/n/modelirovanie-deystviya-vertikalnoy-gravitatsionnoy-sily-metodom-dinamicheskih-chastits

Предлагается метод динамических частиц для моделирования деформации под действием гравитационной силы. В рамках этого метода осуществляется проверка справедливости принципа Сен-Венана путем сравнительного анализа деформации бруса методом динамических частиц и по модели классической теории упругости.

УДК 539.31, 51.72 МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕЙСТВИЯ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ГРАВИТАЦИОННОЙ СИЛЫ МЕТОДОМ ДИНАМИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ © 2010 г. И.А. Мамиева, З.В. Нагоев Предлагается метод динамических частиц для моделирования деформации под действием гравитационной силы. В рамках этого метода осуществляется проверка справедливости принципа Сен-Венана путем сравнительного анализа деформации бруса методом динамических частиц и по модели классической теории упругости. Ключевые слова: моделирование, метод динамических частиц, деформация, теория упругости, принцип Сен-Венана. In the work the method of dynamic particles for the simulation of deformation under the action ofgravitational force is proposed. The validity of St. Venant principle via the comparative analysis of the deformation of beam by the method of dynamic particles and by classical theory elasticity is presented. Keywords: simulation, the method of dynamic particles, deformation, theory of elasticity, St. Venant principle. В работах [1-3] была высказана идея о построении причем предполагается, что закон взаимодействия модели сплошной среды как системы взаимодейст- зависит только от расстояния между ними: вующих меяеду собой материальных частиц. Согласно F = F^ . (1) данному подходу, среда разбивается на не имеющие в случае югда ВЬ1П0ЛНяется закон Гука, естествен-размера взаимодействующие между собой частщы, но предположить, что закон взаимодействия между Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН, ул. И. Арманд, 37а, г. Нальчик, 36000, iipru@rambler. гы Institute of Computer Science and Problems ofRegional Government of Kabardino-Balkar Scientifiс Centre RAS, I. ArmandSt., 37a, Nalchik, 36000, [email protected] частицами в зависимости от расстояния (точнее, от относительного изменения расстояния, т.е. деформаций) - линейный. Если закон Гука нарушается, то соответствующие определяющие свойства среды законы закладываются силой взаимодействия между частицами. В рамках такого подхода легко моделируются такие свойства сплошной среды, как пластичность, вяз-коупругость, релаксация напряжения и деформации другие явления [4]. Для описания динамического состояния ансамбля таких частиц используется второй закон Ньютона с учетом эффекта затухания в виде ти{ + ешг + X А Ли у = О а > 0= Р > 0. (2) } Здесь т - масса частицы; а - коэффициент затухания; г/, - скорость; ¡3 - характеристика жесткости г'з = (3) взаимодеиствия между частицами; Aujj = \uj -Uj\ - относительное изменение расстоянии между соседними частицами; вместо слагаемого уравне- j ние (2) может содержать произвольный закон вида / = /00 ; F{t) - внешняя сила. При решении методом динамических частиц статических задач теории упругости, которые получаются как предельные по времени состояния, важно подобрать параметры взаимодействия между частицами таким образом, чтобы имело место совпадение результатов (к примеру, перемещений точек сплошной среды) по классической модели теории упругости и дискретно-динамической модели деформируемого твердого тела. Для простоты рассмотрим задачу о деформации упругой балки прямоугольного сечения под действием вертикальной гравитационной силы. Согласно принципу Сен-Венана [5], напряжения и деформации, вызываемые уравновешенной системой сил или моментов, приложенных к какой-либо части твердого тела, быстро убывают по мере удаления от области приложения сил, так что на расстояниях, больших, чем линейные размеры этой области, напряжения и деформации тела пренебрежимо малы. Следовательно, локальные вариации граничных условий не влияют на перемещение точек сплошной среды в достаточном отдалении от точки закрепления. Это означает, что при моделировании методом динамических частиц имеется некоторая свобода в граничных условиях: можно подвесить балку, состоящую из макромолекул, в районе торца за одну точку или присоединить к плоскости все частицы торцевой области балки - от этого упругие перемещения вдали от границы не должны существенно меняться. Заметим, что сформулированная в работе задача относится к краевым задачам смешанного типа [6], так как на части поверхности балки заданы перемещения (точка закрепления), а на остальной части - нулевые напряжения. Точное решение этой задачи в перемещениях [7] (3) и деформация ее поверхности под действием гравитационной силы показаны на рис. 1. »1 = —ffg(x3 Е Е Рис. 1. Увеличенное изображение перемещения поверхности прямоугольной балки (сплошная линия) после приложения вертикального гравитационного поля (штрихованная линия) Здесь щ, Ы2, из - перемещения точек упругой балки в направлениях ОхОх2, Ох3 соответственно; I -длина балки; р- ее массовая плотность; g - ускорение свободного падения; Е,у - модуль Юнга и коэффициент Пуассона. На рис. 1 ось ОХ3 направлена вниз по центру балки. Как следует из формул (3), наибольшее вертикальное перемещение оси упругой балки под действием гравитационных сил имеет место при х3 = /, Х| = 0, х2 = 0 и равно "3 = pgr 2 E (4) На рис. 2 показаны два варианта граничных условий, которые используются для проверки принципа Сен-Венана. Заметим, что решение задачи об опирании балки прямоугольного сечения в нижней точке может быть легко получено видоизменением (3). Формула (4) позволяет вычислить один из параметров дискретно-динамической модели - модуль Юнга, если известно смещение нижнего торца балки длины / с плотностью р . Считается, что модуль Юнга в классической упругости соответствует тангенсу угла наклона кривой, описывающей силу взаимодействия между частицами при изменении относительного расстояния между ними. 1 Н cube - [CubeViewl] Q File £dit View Command Dictionary Help Wndow Experiments ^jejxj □ IGSIBI »MßJ H?J i М/А N9 1328 Х- -10.240000 Y-9.500000 Z-2.000000 Distance- 0.000000 Mov.-2 МТуре 0 Subst-1 Ready Рис. 2. Два варианта закрепления торца упругой призматической балки: а - все точки верхнего торца; б - центральная точка единственная В рассмотренном нами методе динамических частиц упругая балка аппроксимировалась 490 пространственными макромолекулами, т.е. решалась система Ы = 490-3-2 = 2940 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Для анализа динамического состояния системы частиц использовался один из вариантов метода Рунге-Кутта [6, 8]. Так как данным методом решается задача о трехмерном движении системы из 490 частиц с затуханием, пропорциональным скорости, статическое состояние балки определялось как предельное по времени решение динамической задачи. Кроме того, сравнивались перемещения поверхности балки после приложения гравитации по классической модели теории упругости и методу динамических частиц. Следует отметить, что в рамках данной модели имелась возможность регулировать интенсивность процесса затухания путем подбора соответствующего коэффициента в (2), т.е. увеличивая коэффициент затухания, можно добиться стремления к стационарному состоянию без колебательного процесса за достаточно короткое время. Это обстоятельство имеет важное значение для получения устойчивого численного алгоритма, приводящего к стационарному решению в приемлемое время. На рис. 1 пунктирной линией показана качественная картина перемещения поверхности упругой балки в поле тяжести в соответствии с точным решением классической задачи теории упругости. Аналогичный подсчет перемещений, полученный методом динамических частиц, дает схожую картину (рис. 3). Например, уширение нижней грани балки под действием гравитационной силы составило 6,07 условных единиц. Это число мало отличается от аналогичного уширения, полученного в соответствии с (3) по модели классической теории упругости. Аналогичный вывод можно сделать по сужению линейных размеров верхнего торца. Рис. 3. Изменение линейных размеров верхнего и нижнего торца балки под действием гравитационного поля Таким образом, в рамках метода динамических частиц осуществлялась проверка справедливости принципа Сен-Венана. Расчеты показали, что локальное изменение граничных условий, например закрепление только единственной макромолекулы или одного слоя макромолекул в верхнем торце призматического бруса, не отражается существенно на переме- щения точек вдали от верхней плоскости (рис. 2). Кроме того, численный анализ по методу динамических частиц показал свою эффективность и общность как общий метод решения задач механики деформируемого твердого тела. Общность заключается в том, что в рамках этого метода могут быть учтены такие важные факторы деформирования сплошных сред, как физическая и геометрическая нелинейность. Литература 1. Ошхунов М.М., Нагоев З.В. Дискретно-динамическое моделирование задач теории упругости // Проблемы информатизации регионального управления : материалы 2-й всерос. конф. Нальчик, 2006. С. 50-55. 2. Ошхунов М.М. Механика деформируемого твердого тела: альтернативный подход // Изв. КБНЦ РАН. 2006. № 1 (16). С. 72-75. Поступила в редакцию_ 3. Ошхунов М.М., Нагоев З.В., Мамиева И.А. Молеку- лярно-динамическое моделирование задачи об изгибе упругой балки при различных условиях защемления на краях // Проблемы информатизации регионального управления : материалы 2-й всерос. конф. Нальчик, 2006. С. 141-145. 4. Моделирование нелокальных граничных условий в за- дачах теплопередачи методом динамических частиц / М.М. Ошхунов [и др.] // Моделирование устойчивого регионального развития : материалы 2-й меж-дунар. конф. Т. 3. Нальчик, 2007. С. 215-217. 5. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М., 1971. 285 с. 6. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., 1977. 357 с. 7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.Н. Теория упругости. М., 1965. 248 с. 8. Численное решение уравнений методом динамических частиц / М.М. Ошхунов [и др.] // Наука, техника и технология XXI века: материалы 3-й междунар. науч.-техн. конф. Т. 2. Нальчик, 2007. С. 41-46. 2 апреля 2009 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/osobennosti-dinamiki-kolebatelnyh-protsessov-v-sisteme-leykometilenovyy-siniy-metilenovyy-siniy

Исследованы окислительно-восстановительные процессы в системе лейкометиленовый синий метиленовый синий в гомогенной среде, протекающие в присутствии оксигенированных комплексов железа (II). Показано, что при определенных условиях эти процессы протекают в колебательном режиме. На основе анализа экспериментальных временных рядов определены величины размерностей фазового пространства и аттрактора. Сделано заключение о детерминированном характере протекающих процессов и возможности проявления, наряду с регулярными колебаниями, динамического хаоса. Обнаружена новая колебательная химическая система, протекающая в гомогенной среде.

УДК 541.128.7 ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМЕ ЛЕЙКОМЕТИЛЕНОВЫЙ СИНИЙ - МЕТИЛЕНОВЫЙ СИНИЙ © 2004 г. У.Г. Магомедбеков, Ф.О. Исмаилова, У.Г. Гасангаджиева, Н.Х. Магомедбеков The oxidation-reduction processes in the system of leucomethylene blue - methylene blue in homogenous medium running in the presence of oxygenated complexes of iron (II) were studied. These processes have been found to run in oscillatory regime under certain conditions. The values of the dimensionalities of the phase space and attractor were determined on the basis of the analysis of the experimental time series. Г омогенные химические системы дают много примеров систем, в которых реализуются пространственные, пространственно'-временные и временные структуры [1]. В этом отношении определенный интерес представляют процессы окисления некоторых органических соединений и простейших биосубстратов в присутствии оксигенированных комплексов переходных металлов [2]. системе леикометиленовыи синии - метиленовыи синий протекают по сложному механизму с реализацией различных типов прямых и обратных связей [3]. Это указывает на вероятность возникновения в данной системе химических неустоичивостеи. В настоящей работе приведены результаты по изучению динамики каталитического окисления в колебательном режиме лейкометиленового синего в присутствии оксигенированных комплексов железа (II) с диметиглиоксимом (ДМГ) и аденином (Aden). Экспериментальная часть Динамическое поведение химических систем исследуется путем наблюдения над определенной физической величиной, однозначно связанной с концентрациями реагирующих веществ (исходных и промежуточных) и продуктов реакции, в течение некоторого конечного интервала времени [4]. В настоящей работе в качестве такого параметра был использован потенциал точечного платинового электрода относительно хлорсеребряного. Катализатор (cat) в виде комплекса железа (II) с ДМГ и Aden готовили смешиванием растворов соли железа (II) и реагентов при молярном соотношении Fe(II):ДМГ:Aden = 1:2:1 соответственно [5]. Оксиге-нацию комплекса осуществляли пропусканием молекулярного кислорода через его раствор в течение 20 -25 мин. Исследование процесса проводилось в стеклянном реакторе, помещенном в ультратермостат (точность ± 0,05 °С) и состоящем из двух ячеек цилиндрической формы диаметром 37 мм и высотой 55 мм, соединенных между собой электролитическим ключом (насыщенный раствор KCl). В реактор вносили растворы метиленового синего, катализатора определенных концентраций, и при помощи буферного раствора (трис-буфер, приготовленный по [6]) доводили объем до 20 см3. Установлено, что критические явления в виде химических осцилляций имеют место в неперемешиваемом реакторе при концентрациях реагента (CR) 10-3 г 10-2 моль/л и катализатора (Ccat) 10-5 г 10-4 моль/л, pH = 6,7 г 8,0 и температуре 37 г 60 С. Результаты и их обсуждение Кривая зависимости относительного потенциала от времени для случая, когда CR = 10-2 моль/л и Ccat =10-5 моль/л, pH ~ 7 и t = 37,5° C (T = 310,7 K) представлена на рис. 1. Полученные результаты позволяют заключить, что окислительно-восстановительные процессы в системе лейкометиленовый синий - метиленовый синий в присутствии оксигенированных комплексов железа (II) и с ДМГ и Aden протекают в колебательном режиме. В результате эксперимента получена зависимость потенциала системы от времени, т.е. временной ряд. Одной из основных задач в исследованиях такого типа процессов является определение того, какого рода временной эволюцией обусловлен определенный аналитический сигнал. Существует несколько способов, позволяющих идентифицировать динамический режим и устанавливать его характеристики. Одним из приемов, Рис. 1. Зависимость потенциала АЕ от времени т использованных при выполнении настоящей работы, является метод Фурье - анализа [6]. На рис. 2. представлен спектр мощности, полученный на основе дискретного преобразования Фурье. Рис. 2. Фурье-спектр временного ряда Данные этого рисунка показывают, что проявляются двухчастотные колебания. Полученные результаты позволяют сделать следующие заключения: в рассматриваемой системе наблюдается двухчастотный режим колебаний, и поэтому осцилляциям подвергаются как минимум два компонента (исходные вещества, интермедиаты или продукты) реакционной смеси; наблюдаемые осцилляции являются следствием протекания окислительно-восстановительных процессов в рассматриваемой системе в колебательном режиме, т.е. указывают на детерминированный характер флуктуационных явлений; следует отметить, что если бы эти колебания носили случайный характер, то спектр Фурье был бы сплошным. Одними из основных характеристик для описания динамики процессов, в которых наблюдаются автоколебания и динамический хаос, вообще и колебательных химических реакций в частности являются величины размерностей фазового пространства и аттрактора [7]. Обычно при построении фазовых портретов исследуемой системы используют изменяющиеся по времени концентрации промежуточных веществ, или величины определенного физического параметра (в нашем случае относительного потенциала), однозначно связанного с ними [4]. Известно [6,7], что, исходя из одной переменной Х(1), зависящей от времени, и выбирая в качестве координат величины Х(1), Х(1+Ат), Х(1+2Ат), ..., Х(1+(п-1)Ат), где Ат - запаздывание, можно восстановить топологию аттрактора в п-мерном фазовом пространстве. Такая процедура проведена для Ат = 6 с и построена проекция фазового портрета на двумерное пространство. Как показано на рис. 3, получаются замкнутые кривые зависимости значения последующего потенциала от предыдущего. Такие предельные циклы характерны для протекания процессов в колебательном режиме. Таким образом, результаты этой обработки подтверждают, что изучаемые окислительновосстановительные процессы протекают в колебательном режиме. Рис. 3 Фазовый портрет системы Дальнейший анализ полученных результатов был проведен на основе корреляционной функции аттрактора. Интегральная корреляционная функция аттрактора С(г) определяется в виде [8]: С(г) = Иш -1 2 в(г - ( - х} |), ^П г,] =1 1 1 где в - функция Хевисайда (в(х) = 0 при х < 0 и в(х) = 1 при х > 0), причем отклонение С(г) от нуля служит мерой влияния точки XI на положение других точек. В общем случае, когда аттрактор представляет собой ^мерное многообразие, при сравнительно малых значениях г, С(г) ~ га и размерность аттрактора d можно определить как наклон зависимости 1пС(г) от 1пг в определенном диапазоне г. В соответствии с существующей процедурой [7, 8] при выполнении работы исходя из экспериментальных временных рядов построена корреляционная функция в виде зависимости 1пС(г) от 1пг для последовательно возрастающих значений размерностей фазового пространства (п = 2 -г- 7). Эти данные представлены на рис. 4. Для каждого значения п определены значения размерности аттрактора по тангенсам углов наклона касательных к кривым, построенным на основе этой корреляционной функции, и на их основе построена зависимость d от п. Полученные зависимости приведены на рис. 5. Рис. 4. Зависимость lnC(r) от lnr Рис. 5. Зависимость іі от п Как показывают эти результаты, величины размерности аттрактора і не зависят от значений размерности фазового пространства при значениях п больше пяти. Этот результат подтверждает сделанное на основе Фу-рье-анализа заключение о проявлении детерминистской динамики при протекании рассматриваемых процессов. На самом деле если вычисленное значение і равно п или продолжает расти вместе с п, то это означает, что размерность пространства, используемого для вычислений, меньше размерности соответствующего аттрактора или сравнима с ней. Такое явление наблюдается при реализации «белого шума». С другой стороны, если і становится не зависящей от п выше ее определенных значений, то представленная временной последовательностью система имеет аттрактор, что и наблюдается в нашем случае. При этом величина размерности аттрактора (і = 4) указывает и на возможность проявления детерминированного хаоса. Важным следствием этой обработки является определение величины размерности фазового пространства п, которая соответствует пяти. Это в свою очередь указывает на то, что при моделировании кинетических закономерностей исследуемых процессов необходимо учитывать число компонентов, равное пяти и, следовательно, максимальное число необходимых для их описания дифференциальных уравнений в их системах будет соответствовать пяти. Таким образом, можно утверждать, что обнаруже- 7З на новая каталитическая химическая система, для которой реализуются концентрационные колебания в гомогенных средах. Что касается определения особенностей механизма исследуемых процессов, то для этого требуются дополнительные исследования. Литература 1. Колебания и бегущие волны в химических системах /Под ред. Р. Филда и М. Бургер. М., 1988. 2. Магомедбеков У.Г. Окисление биосубстратов в колебательном режиме. Махачкала, 2002. 3. BechM., Rabai G. // J. Phys. Chem. 1985. Vol. 89. P. 3907. 4. Яцимирский К.Б. // Теорет. эксперим. химия. 1988. Т. 24. № 4. С.488-491. 5. Магомедбеков У.Г. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 2. Химия. 1988. Т. 42. № 2. С. 75-88. 6. Berge, P. Pomeau Y., Vidal C. L’ordre dans le chaos. Vers une approche determiste de la turblence. Paris, 1988. 7. Nicolis G., Prigogine I. Exploring Complexity. An Introduction. New York, 1989. 8. Grasberger P., Procaccia I. // Physica D. 1983. Vol. 9. P. 189. Дагестанский государственный университет_____________________________________________________28 августа 2003 г

https://cyberleninka.ru/article/n/osobennosti-ustoychivosti-mikrokapelnoy-struktury-magnitnoy-zhidkosti-v-elektricheskom-i-magnitnom-polyah

Установлено, что особенности устойчивости микрокапельной структуры магнитной жидкости в электрическом и магнитном полях определяются сотношением времен формирования свободного заряда на монофазных поверхностях, релаксации формы структурных образований и периода переменного электрического поля.

УДК 537 ОСОБЕННОСТИ УСТОЙЧИВОСТИ МИКРОКАПЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ МАГНИТНОЙ жидкости В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ О 2004 г. Ю.И. Дикансшй, О.А. Нечаева Магнитные жидкости- ультрадисперсные коллоиды ферромагнетиков известны как среды, проявляющие ряд интересных свойств при взаимодействии с магнитным полем. Вместе с тем, в магнитных жидкостях, благодаря магнитоди-польному взаимодействию между дисперсными однодоменными частицами, возможно образование микрокапельных агрегатов, характер формы которых может определяться не только внешним магнитным, но и электрическим полем. Это расширяет возможности управления свойствами таких сред с помощью внешних полей. В настоящей работе предпринята попытка экспериментального исследования особенностей устойчивости формы микрокапли магнитной жидкости в переменном электрическом поле и при совместном действии электрического и магнитного полей. Кроме того, рассмотрено поведение ансамбля микрокапельных агрегатов в этих же условиях. Экспериментальное изучение формы капли проводилось с помощью оптического микроскопа. При этом использовалась ячейка, представляющая собой предметное стекло, на поверхность которого наклеены прямоугольные металлические пластины, в зазоре между торцами которых создавалось электрическое поле. Для возможности температурных исследований кювета прижималась к термостатирующей системе, через которую прокачивалась вода с заданной температурой с помощью жидкостного термостата. Для исследования поведения ансамбля капель в электрическом и магнитном полях использовалась ячейка, представляющая собой две прямоугольные стеклянные пластинки с токопроводящим покрытием, между которыми помещалась магнитная жидкость с хорошо развитой микрокапельной структурой. Однородное магнитное поле создавалось с помощью катушек Гельмгольца. При воздействии на микрокаплю электрического поля она претерпевала деформацию, характер которой, как указывалось в [1, 2], существенно зависит от частоты электрического поля: при низких частотах капля сплющивается, принимая форму диска, при высоких - вытягивается в эллипсоид вдоль силовых линий поля. На рис. 1 приведены графики зависимости деформации микрокапельных агрегатов от величины переменного электрического поля при различных его частотах. Из графиков видно, что при частотах меньших 8 кГц отношение полуосей микрокапли а/Ь больше единицы и с увеличением напряжения на ячейке увеличивается (буквой а обозначена полуось, перпендикулярная направлению напряженности электрического поля). При частоте большей 8 кГц характер деформа- ции меняется (а/Ь становится меньше единицы) и увеличивается по абсолютной величине при увеличении поля. Критическая частота, при которой происходит изменение знака деформации, зависит от вязкости капли и омывающей ее среды, а также от их электрических свойств. Обнаружено, что степень деформации существенно зависит от температуры образца, при этом характер деформации различен для частот электрического поля ниже и выше критической. Так, в первом случае степень деформации увеличивается, а во втором - уменьшается с ростом температуры образца. Этот факт объясняется различием механизмов деформации микрокапель при низких и высоких частотах. Так же установлено, что, несмотря на разный характер деформации в низкочастотном и высокочастотном диапазоне, в обоих случаях возможна компенсация деформационного эффекта с помощью дополнительного воздействия магнитным полем. Так как при низких частотах электрического поля капля сплющивается, восстановление ее формы возможно с помощью постоянного магнитного поля, сонаправленного с электрическим. Ранее А. О. Цеберсом [1] было получено условие компенсации при низких частотах электрического поля с учетом наличия движения жидкости, обусловленного накоплением свободного заряда на межфазных границах в виде: Е2 = КН2 (К - коэффициент, определяемый соотношением электропроводностей, диэлектрических и магнитных проницаемостей, а также коэффициентов вязкости вещества капли и омывающей ее среды). Функциональный вид полученных экспериментально компенсационных зависимостей Е2(Н2) указывает на согласие в этом случае теории и результатов эксперимента (рис. 2). Рис. 1. Зависимость деформации кантI от напряжения на электродах ячейки и при различных значениях частоты электрического поля: 1 — 2 кГц; 2 — 4 кГц; 3 — 6 кГц; 4 — 8 кГц; 5 —10 кГц; б— 20кГц Рис. 2. Компенсационные кривые при частоте б кГц при различной температуре: 1-25 V, 2-45 V.3-60 V При достаточно высоких частотах электрического поля, когда свободные заряды не успевают перераспределяться и конвективный перенос заряда практически отсутствует, деформация капли осуществляется из-за отличия диэлектрических свойств капли и окружающей среды. В результате этого капля должна вытягиваться вдоль направления поля, что и наблюдается в эксперименте при частоте электрического поля выше критической. В этой ситуации компенсация деформации с помощью магнитного поля возможна при ортогональном направлении магнитного и электрического полей [2]. При этом добиться полного восстановления деформированной капли в сферу не удается - она принимает форму сфероида, несколько сплюснутого вдоль оси, перпендикулярной напряженностям магнитного и электрического полей. Установлено, что зависимость Е2(Н2) при условии такой компенсации, как и в случае компенсации при низких частотах электрического поля, является линейной. Для определения устойчивой формы капли в этом случае был использован энергетический подход, основанный на анализе выражения для полной энергии капли, включающую магнитную и электрическую компоненты, а также энергию межфазного натяжения. При этом учитывалось условие частичной компенсации деформации, т.е. равенство полуосей капли, соответственно совпадающих с направлениями магнитного и электрического полей. В результате было получено выражение для эксцентриситета сфероидальной капли, находящейся в устойчивом состоянии в ортогонально направленных магнитном и электрическом полях: е2 9 г0 ( (sj/se - l)2s0 Е2 | Оц/це - 1)УрЯ 2 "I , 4ст U(3 +Оч/Ве -I))2 (3 + 0ч/Ие-1 ))2 , где е - эксцентриситет деформированной капли; а - коэффициент межфазного натяжения; Ц; и 8; - магнитная и диэлектрическая проницаемости вещества капли; (j,e и 8е - магнитная и диэлектрическая проницаемости омывающей каплю среды; Го - радиус невозмущенной капли. Различие механизмов деформации микрокапельного агрегаты при низких и высоких частотах проявляется при температурных исследованиях компенсационного эффекта. Так, при повышении температуры образца тангенс угла наклона компенсационной прямой, полученной при частоте электрического поля ниже критической, уменьшается (рис. 2), тогда как тангенс угла наклона прямой, полученной при частоте электрического поля выше критической, увеличивается. В ходе дальнейших экспериментальных исследований обнаружено, что при низких частотах (20-60 Гц) повышение напряженности электрического поля приводит к развитию колебательной неустойчивости деформированной микрокапли, причем частота таких колебаний значительно ниже частоты электрического поля и существенно зависит от напряженности электрического поля (рис. 3). Рис. 3. Зависимость частоты колебаний микрокапли от напряженности переменного электрического поля Полученная в результате эксперимента зависимость частоты колебаний от напряженности электрического поля качественно согласуется с полученной ранее А.О. Цеберсом [3] аналогичной теоретической зависимостью для колебаний твердых эллипсоидальных частиц в переменном электрическом поле: ®о = л1(к<11 ~ к1 )/(«з - «2^. где к0 — статическая поляризуемость; феноменологический коэффициент (аз — аг) для разбавленной суспензии определяется коэффициентом вращательного трения /3. Однако наблюдаемая колебательная неустойчивость жидкой капли носит более сложный характер, что связано с возможностью изменения ее формы в результате воздействия различных факторов. Установлено, что дополнительное воздействие магнитного поля может приводить к переходу колебательной неустойчивости во вращательную. При этом период вращения капли возможно регулировать посредством изменения напряженности как магнитного, так и электрического полей. Проведенные исследования в переменном электрическом поле магнитной жидкости, содержащей ансамбль микрокапельных агрегатов, показали, что при некоторой величине напряженности электрического поля и небольших частотах (порядка десятков герц) в такой среде развивается электрогидродинамическая неустойчивость с характерными для вихревой неустойчивости ячейками Бенара. Увеличение частоты электрического поля приводит к прекращению вихревых течений и формированию при 2 кГц лабиринтной структуры (рис. 4, а). При дальнейшем увеличении частоты лабиринтная структурная решетка трансформируется в упорядоченную систему микрокапельных образований (рис. 4, б). Действие магнитного поля на лабиринтную структуру (направленного перпендикулярно плоскости слоя жидкости) сначала приводит к уменьшению характерного размера лабиринтов, а затем к превращению лабиринтной решетки в гексагональную. Такое же воздействие магнитного поля на полученную при высоких частотах электрического поля систему микрокапель может приводить к возникновению из них лабиринтов (рис. 4, в). Очевидно, особенности наблюдаемых структурных превращений определяются соотношением времен формирования свободного заряда на межфазных поверхностях, релаксации формы структурных образований и периода переменного электрического поля. « 6 в Рис. 4. Лабиринтная структура: а — образованная в тонком слое магнитной жидкости в переменном электрическом поле частотой 2 кГц; б—система микрокапельных агрегатов, возникающая в переменном электрическом поле частотой 10 кГц; в — структура, полученная при дополнительном воздействии на систему микрокапельных агрегатов постоянного магнитного поля Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 04-02-16901 а. Литература 1. Dikcmsh’ Yu.I., Shatsky VP. //.T. of Magnetism and Magnetic Materials. № 85. P. 82-84. 2. Nechaeva O.A., Dikansky Yu.I. The magnetic IMd microdrop’s form stability in an elec- trical field // Abstract «International workshop on recent advances in nanotechnology of magnetic fluids» (January 22-24,2003). RANMF, 2003. P. 112-113. 3. Цеберс АО. II Механика жидкости и газа. 1980. №2. С. 86-93. Ставропольский государственный университет 18 мая 2004 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/printsipy-postroeniya-kompaktnyh-modeley-mop-tranzistorov

Общей тенденцией в развитии компактных моделей является усложнение системы уравнений модели, сокращение числа параметров, упрощение процедуры их идентификации, учет новых физических эффектов, обеспечение физичности модели за границами динамического диапазона и обеспечение точности высших производных.

Окончание. Начало в № 10 '2009 Виктор ДЕнисЕнко, к. т. н. [email protected] Принципы построения компактных моделей МОП-транзисторов Моделирование на основе поверхностного потенциала Модели, в которых не используется предположение о постоянстве поверхностного потенциала в режиме сильной инверсии и которые находят плотность заряда инверсионного слоя с учетом выражения для поверхностного потенциала, называются моделями, основанными на поверхностном потенциале (ф5) [15]. Главной сложностью моделей рассматриваемого типа является необходимость решения уравнения Пуассона без использования упрощающего предположения о том, что концентрация подвижных носителей в канале равна нулю. Основное преимущество такого подхода — это возможность найти единое выражение, описывающее как подпороговую область, так и область умеренной и сильной инверсии, без применения сглаживающих функций. Недостатком метода некоторое время считалась необходимость численного решения уравнения Пуассона, однако в работе [16] показано, что итерационное решение может занимать даже меньше времени, чем вычисления явной функции, аппроксимирующей это решение. Кроме того, решение уравнения с достаточно высокой точностью может быть аппроксимировано явной функцией [15]. Поверхностный потенциал Поверхностный потенциал ф5 определяется как потенциал на границе раздела Si/SiO2 относительно нейтральной подложки. Поверхностный потенциал ф5 равен вели- Рис. 5. Зонная диаграмма МОП-транзистора с поликремниевым ^*) затвором при протекании тока стока чине изгиба зонной диаграммы (рис. 5). Аналогичный поверхностный потенциал (изгиб зон) в поликремниевом затворе равен ф5». Рассмотрим, как найти величину поверхностного потенциала в МОП-транзисторе. Будем предполагать сначала, что поверхностный потенциал в поликремниевом затворе равен нулю: ф^ = 0. Плотность заряда в подложке р-типа, очевидно, будет равна: Р (ху) = %[ р(х>у)-п{х,у)^5иЬ]. (47) Концентрации электронов и дырок определяются статистикой Максвелла-Больцмана: п{х,у) = ЫшЬ ехр р(х,у) = ЫшЬ ехр Фг Ф(Ху) Фг V У (48) где ф(х,у) — электростатический потенциал в точке (х,у), отсчитываемый относительно нейтральной подложки, ф„(у) — квазипотенциал Ферми, отличающийся от потенциала Ферми на величину падения напряжения на сопротивлении канала и поэтому не зависящий от координаты х. Величина ф„(у) изменяется от фп(0) = Уь у истока до ф„(!) = УсЬ у стока. Потенциал Ферми равен: фР = (рТ]пШшЬ/п). Для того чтобы получить приближенное аналитическое решение уравнения Пуассона (1) [19], обычно используют допущение д2ф/ду2 << д2ф/дх2, называемое приближением плавного канала и справедливое только для длинноканальных транзисторов. В этом случае уравнение Пуассона (1) становится одномерным (50). Поскольку напряженность электрического поля и потенциал в глубине подложки равны нулю, то граничные условия для этого уравнения можно записать как ф(<») = 0, дф/дх |х=м = 0. Практически, вместо х = а> достаточно взять х = Хс (32) [19] при Уы = 0. Используя соотношение д 2ф / д х2 = = 0,5д(дф/дх)2/дх = 0,5дЕ2/дх, где Е — напряженность электрического поля, уравнение Пуассона можно переписать в виде (51). Интегрируя его с применением ранее записанных граничных условий и учитывая, что ф(0) = ф5, получим [14] (52), где у — коэффициент влияния подложки (42), т1 — некоторый параметр, необходимый для учета в будущем короткоканальных эффектов. Для длинноканального транзистора т1 = 1. Используя закон Гаусса, из (52) можно найти плотность заряда на единицу поверхности: 5І ' Х=0* (53) С другой стороны, этот заряд должен быть равен заряду второй обкладки конденсатора Сх (49) а = -Сх^-ф) (54) Квазипотенциал Ферми для дырок совпада- Сопоставляя (52), (53) и (54), получим ет с фр, поскольку дырки не участвуют в пере- окончательное выражение для нахождения носе тока. поверхностного потенциала [14] (55). Э2ф _ р{х,у) _ дЫтЬ Ъхг є„. є5і 1-ехр _ф_ Фг, V V +ехр 'ф-ф„-2фр Фг У-1 ЪЕ2_2ЧЫ,Ш 1-ехр +ехр ^>-ф„-2фрЛ _ н 9- -е *4 /- + -в ехр (41 Фг ^ У -1 +Фгехр " ф„+2ф^ /И.фг ехр 14] ттТ -1 =>2 1 X* 1 2 = Фі+Фг ехр -1 В-ч 9- + Г фи+2ф^ У V 1 У _ Фг к1; _ ти фг ^ ЇТІ у ехр ч"г,Фгу (50) (51) (52) (55) Рис. 6. Зависимость поверхностного потенциала от напряжения затвор-исток при двух значениях квазипотенциала Ферми Полученное уравнение является базовым в методе моделирования на основе поверхностного потенциала. Оно не имеет аналитического решения относительно ф5, и это является основным недостатком данного метода моделирования. Однако численное решение итерационными методами существует, оно является гладким и обеспечивает одну непрерывную зависимость для областей как слабой, так и умеренной и сильной инверсии. На рис. 6 показано решение этого уравнения при двух значениях квазипотенциала Ферми. В некоторых случаях используют аналитическую аппроксимацию полученного численного решения. Отметим, что в моделях на базе порогового напряжения уравнение (50) не решается. Вместо этого принимается упрощающее допущение о том, что в подпороговой области потенциал полупроводника не зависит от подвижных носителей заряда, то есть р = п = 0, а в режиме сильной инверсии поверхностный потенциал является константой. Учет эффекта обеднения в поликремниевом затворе Выше мы предположили, что в поликремнии ф*) зонная диаграмма плоская, то есть обеднение отсутствует. Однако на практике поликремний не является идеальным проводником, что приводит к необходимости учета эффекта его обеднения на границе с окислом [14]. В результате на области обеднения падает напряжение ф5* (рис. 5), что требует уточнения соотношения (54): -Vfb Фs фs*)’ (56) Плотность заряда В общем случае токи, заряды и величина шума могут быть выражены чрез поверхностный потенциал у истока фл (при g = 0) и стока ф51 (при g = L), которые могут быть найдены из (55) при использовании равенства ф„(0) = Vsb и ф„(Ь) = Vdb. Далее нужно будет различать подвижный заряд электронов в инверсионной области Qinv и неподвижный заряд обедненной области подложки Qb, обусловленный зарядом дырок и ионизированных атомов примеси. Для расчета Qinv необходимо интегрировать плотность электронов n (48) вдоль координаты ж от нейтральной части подложки до поверхности. К сожалению, это невозможно сделать аналитически и поэтому необходимо использовать упрощающее предположение о том, что толщина инверсионного слоя пренебрежимо мала по сравнению с толщиной области обеднения под каналом, то есть заряд инверсионного слоя является поверхностным зарядом, а не объемным (приближение поверхностного заряда — “charge sheet approximation”). В этом предположении плотность объемного заряда под затвором может быть рассчитана по уравнению (50), в котором отсутствует второе слагаемое в правой части, то есть считается, что электроны не вносят вклад в распределение электрического поля вдоль координаты ж Э2ф дх2 1-ехр . Ф_ Фг (57) Qb ~ Esi ах & + -6 ехр [4] 1 1—1 і _ Фг V Ч _ где потенциал ф5* вычисляется аналогично (10) [19] и аналогично (42) [19] вводится понятие «коэффициента влияния подложки» Ур для поликремниевого затвора [14]. Из рассмотренного понятно, что обеднение поликремния приводит к уменьшению концентрации носителей в канале, снижению тока стока и уменьшению емкости затвора. Qmv Qs Qb нале и процессами генерации-рекомбинации носителей можно пренебречь. Предполагают также, что ток течет только в направлении координаты у (вдоль канала), то есть ток подложки и ток затвора равны нулю. В этом случае ток канала можно записать в виде (6) [19]: d = -VnWQrnv(d фJdУ), (60) где Qinv — заряд инверсионного слоя на единицу площади поверхности (59), W — ширина канала. Это уравнение можно получить из (5) [ 19] интегрированием вдоль координат ж и z Ток канала состоит из диффузионного Idig и дрейфовой Idf компоненты, которые описываются известными уравнениями переноса (среднее выражение в (3) [19]): Откуда if = -И 4f = Iis = -VWQ-in^Jdy+ +HWjTdQmJdy. (61) (62) (63) Приравнивая (60) и (63), несложно найти дфп/дф;- дФ„ Фг dQjnv _ ЭФ, Qinv ЭФ, а, ■rnv ґ \ iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. GL-Фґ Щп Эф, Qim (64) Используя те же преобразования, что и для вывода (52), объемный заряд под затвором можно найти по теореме Гаусса как: Эф где (58) где заряд (ъ является отрицательным при VgЪ > 0 (то есть в режиме инверсии) и положительным при Vф < 0 (в режиме аккумуляции). Плотность заряда инверсионного слоя (для Vф > 0) теперь может быть легко выражена как (59), где <(5 (56) — общий поверхностный заряд (на единицу площади). Выражения для (ъ (58) и для (59) могут быть использованы, чтобы получить выражения для тока канала 1^ в следующем подразделе и внутренних зарядов модели. Ток стока Для расчета тока сток-исток (тока канала) 1Л обычно предполагают, что током дырок в ка/ 0*пу = (И1-Фт(д(ИУф5) = (ту+Фт Сгпу (65) эффективная плотность заряда в инверсионном слое, которая включает в себя как заряд, переносимый электрическим полем, так и заряд, переносимый путем диффузии; Сшу = -QтVlдф^^=-, - = (ф50+ф51)/2 — среднее значение поверхностного потенциала; ф50, ф51 — поверхностный потенциал у истока и стока соответственно. (*пу = (ту+ФтСту = (*т-Сгnv(Фs--), (66) где (- *пу — средняя эффективная плотность заряда инверсионного слоя, которая рассчитывается по формуле: (*пу = 0*пу (ф5 = ф) = (гпу+Фт^п^ (67) где Q mv = Qinv(<l>s = Ф) (68) средняя плотность заряда инверсионного слоя. (59) |ф,+Фг ехр ГфЛ -і 1 _ -е •ч _ Таким образом, {2м = 6^(Ф, = Ф)+Ф7-^-^(Ф5-Ф) = = й.(Ф,= Ф)+^(Фг-Ф,+ Ф) =_ ==Ф )~Щт!Щ ф1=ф (Фг-Ф,+Ф) = =а,(*,=Ф)-аа,/э4>,и4=4±^!±у. * " 2 (69) Поскольку плотность заряда подвижных носителей (¡пу не равна нулю только в инверсионном слое, далее ограничимся рассмотрением случая ^-^ > 0. Предполагая, что I^ не зависит от координаты у, то есть д1^/ду = 0, интегрируя (60) от истока (у = 0) до стока (у = V) и используя соотношение (64), можно получить ток канала в виде: ш V IdS = -Y)^’^QLd^■ (70) ь ♦,« Предполагая временно, что подвижность является константой (цп = ц0), и используя теорему о среднем для определенного интеграла, получим: Ш - О* =-цоТеаФ^-Ф*о)=-РтрдФ,(71) Ь '-'ох где Аф = (ф^-фл); Р = Ис С0хш/Ь — удельная крутизна МОП-транзистора. Используя соотношение (67), выражение для тока канала можно представить в виде [14]: = -рЯм Дф = _р 8иу+Фг0.уДф = Сох О* = -р Ям Дф_р ЧтСш, Дф = _ Сох Сох = _ р Р^дф+Рфг = 1Лгщ+1Л^, т “ (72) где А(гпу = QгnvL-Qгnv0, (гпг1 и (тЛ — плотность заряда инверсионного слоя у стока (у = V) и у истока (у = 0) соответственно, определяется в (68). Таким образом, ток канала можно разделить, как и ранее, на дрейфовый и диффузионный компоненты: 4* = -Р т^АФ. (73) '-'ох ^=РФг^- (74) ^ох На рис. 7 приведены графики [14], построенные по приведенным выше формулам, в которых принято Аф = Vds. Как видим, модель не требует сшивания подпороговой области Рис. 7. Рассчитанный ток стока, а также его диффузионная и дрейфовая компоненты при р = 140 мкм/В2, ^иЬ = 2х1023 м-3, tox = 3 нм, V® = 1 в, V* = 0 В, ф5, = 0 с областью сильной инверсии. Ток в области умеренной инверсии, лежащей между областью сильной и слабой инверсии, моделируется суммой диффузионного и дрейфового тока (рис. 7). Это основная причина, по которой модели на базе поверхностного потенциала считаются пригодными для моделирования гармонических искажений в радиочастотных цепях, где необходимо точное моделирование первых трех производных тока стока по напряжению на затворе в рабочей точке, которая чаще всего лежит в области умеренной инверсии. На рис. 8 приведены графики амплитуд первых трех гармоник тока стока МОП-тран-зистора при синусоидальном напряжении на затворе. Теоретические кривые (модель HiSIM [7]) хорошо согласуются с экспериментальными данными (на рис. 8 показаны точками). Провалы на графиках объясняются соответствующим поведением подвижности (рис. 9). Как следует из графиков на рис. 8, 9, напряжения, при которых наблюдаются провалы, на обоих графиках совпадают. Полученные уравнения точно описывают перенос тока в канале МОП-транзисто-ра, но не учитывают короткоканальных эффектов. Их учет выполняется путем ввода в уравнения дополнительных поправок [14], которые мы рассматривать не будем. Режим насыщения Расчет поверхностного потенциала был выполнен выше в предположении, что инверсионный слой существует по всей длине канала. В режиме, когда наступает отсечка канала на границе с р-п-переходом стока, транзистор переходит в режим насыщения, и ток стока перестает зависеть от напряжения на стоке. В транзисторах с коротким каналом напряжение насыщения наступает раньше, чем отсечка канала, и объясняется это насыщением дрейфовой скорости носителей в канале. Ток насыщения описывается выражением: 4 = п(75) где (іпгі — плотность заряда в точке у = I, V ха — дрейфовая скорость насыщения. у* В Рис. 8. Амплитуды первых трех гармоник тока стока МОП-транзистора при W/L = 10/0,5 мкм и подаче на затвор синусоидального сигнала амплитудой 50 мВ [7]. Точками показаны результаты измерений уР, в Рис. 9. Производные от подвижности по напряжению на затворе. Провалы на графике амплитуд гармоник (рис. 8) вызваны аналогичным поведением подвижности Кроме того, часть напряжения стока падает на омическом сопротивлении диффузионных областей истока и стока, что также сказывается на величине напряжения насыщения. Для сшивания тока в линейной области (72) с током в области насыщения (75) модель PSP использует сглаживающую функцию. Моделирование на основе заряда инверсионного слоя Метод моделирования МОП-транзистора на основе заряда инверсионного слоя разработан в статьях [3, 17, 18]. Он обеспечивает хорошую симметрию в тесте Гуммеля благодаря тому, что транзистор изначально рассматривается как симметричный. Для этого все напряжения отсчитываются от подложки (а не от истока, как это обычно принято), а ток стока определяется как разность двух токов, один из которых (прямая компонента тока 1¥) течет от стока к истоку, второй (обратная компонента тока !д) — в обратном направлении. Ток 1¥ зависит только от локальной плотности заряда у истока, ток 1К — от заряда у стока. Такое деление токов возможно только в предположении, что подвижность является константой вдоль канала (не зависит от напряженности продольного электрического поля). Основной переменной модели является напряжение отсечки канала у, которое определяется как разность между квазипотенциалами Ферми электронов и дырок в канале, при которой заряд инверсионного слоя равен нулю. Метод предусматривает гладкое сшивание разных областей работы транзистора, что обеспечивает гладкость первой и высших производных по напряжениям на выводах. Кроме того, он позволяет получить и единое уравнение для всех областей работы транзистора, не требующее сшивания, однако требующее итерационного решения нелинейного уравнения. Заряд инверсионного слоя Плотность заряда подвижных носителей в инверсионном слое (¡пу можно найти в виде функции от поверхностного потенциала и напряжения Vch = фп-фр при условии одномерности (вдоль оси х) электрического поля, после пренебрежения током и концентрацией дырок в канале п-типа и в предположении, что ф 5 >> фт По аналогии с (52) можно получить следующее выражение для плотности заряда инверсионного слоя на единицу площади [12, 18]: Т^л/ф^х сколько фт [3]. Поэтому для режима сильной инверсии, предполагая ф 5 = ф0+Vch, выражения (76), (77) можно существенно упростить: (у = -Cox[Wb(VJ], (78) где Vtъ — пороговое напряжение относительно подложки, определяемое как [3]: Ъ = Ъ+Ф.+Ъ+Тл/Ф.+Ъ = =г*+г*пУ*Ж-Ж\> (79) где Vto — пороговое напряжение, определяемое как напряжение на затворе, при котором заряд инверсионного слоя равен нулю и канал находится в состоянии равновесия, то есть когда квазипотенциал Ферми совпадает с уровнем Ферми, Vch = 0: V« = Уа+фо+Г^фо' (76) Это выражение хорошо известно из теории полупроводников [3, 12]. Для его получения из выражения для плотности заряда ( = є¡¡е\х=0 (52), (53) вычитается формула плотности заряда обедненного слоя (і = yC1xVjV(ф/—, которая получается из (40) и (42) [19], то есть (іпу = (-(. Соотношение между поверхностным потенциалом ф 5 и напряжением на затворе относительно подложки Уф можно найти путем применения закона Гаусса (или условия равенства зарядов на обкладках в целом нейтрального конденсатора С1Х), аналогично (53-55) [3]: Уф = ^ь+ф5+У^ф--((ту/СоХ), (77) где использованы те же обозначения, что и ранее. Таким образом, напряжение на затворе относительно подложки оказывается связанным с поверхностным потенциалом соотношениями (76), (77). Режим сильной инверсии В режиме сильной инверсии поверхностный потенциал ф связан с напряжением на затворе логарифмической функцией и поэтому приближенно может быть аппроксимирован константой, равной ф0+УЛ, где ф0 = 2фь или превышает это значение на не- V = V а„=о Кь=гр Из этого выражения можно найти Ур в виде: ГР = Ъ-Г*-УХ iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Кь-Г,о+ л/ф¡4 - №4 Для типовых значений параметров, используемых на практике, напряжение отсечки практически линейно зависит от напряжения на затворе [3]: ур~ Уф-Уь, п(Уф) ’ где п — коэффициент наклона кривой, описываемой уравнением (81), то есть: п = —^ = 1+ (1к 2^+УР' Параметр п можно получить также из приведенных выше уравнений в виде: 1 **р у п (IV, 2 Ж -У,о+ (80) Зависимость порогового напряжения VtЬ от Vch показана на рис. 10 [3]. На рис. 10 видно, что заряд инверсионного слоя (¡т при заданном напряжении «затвор-подложка» Vф становится равным нулю при некотором напряжении Vp, которое называется напряжением отсечки. Соотношение между и напряжением на затворе Уф можно получить из (78), если положить (¡пу = 0: (81) Рис. 10. Зависимость порогового напряжения Vtb и заряда инверсионного слоя Qinv от напряжения в канале Из уравнений (78), (79), (81) можно получить зависимость заряда инверсионного слоя от напряжения отсечки и напряжения канала: 0*=-c0lvp-vchn{J^P-^I^лj] • (86) Это уравнение показывает, что напряжение отсечки Vp влияет на заряд инверсионного слоя точно так, как и напряжение канала УЛ, но с противоположным знаком, то есть напряжение отсечки эквивалентно напряжению канала с противоположным знаком. Важно отметить, что приведенный анализ относится к транзисторам с однородным легированием подложки. Эффекты, вызванные неоднородным легированием, учитываются так же, как и в других моделях [8, 11]. Уравнение (86) может быть упрощено путем разложения в ряд Тейлора с отбрасыванием всех членов, кроме линейного [3]: (82) (ту = -С1ХП(Ур-УсЬ) (87) (83) (84) (85) Эта простейшая аппроксимация является хорошим компромиссом между простотой и точностью. Режим слабой инверсии Когда напряжение канала Vch приближается к Ур, заряд инверсионного слоя (¡т уменьшается не скачком, а плавно, по мере того как канал переходит от режима сильной инверсии к слабой. Когда величина становится немного больше Ур, канал находится в режиме слабой инверсии. В этих условиях заряд инверсионного слоя становится пренебрежимо мал по сравнению с зарядом обедненной области подложки. Соотношение между поверхностным потенциалом и напряжением на затворе в режиме слабой инверсии получается из уравнения (77) путем пренебрежения членом (¡пу и введения в рассмотрение нового параметра У0: Уъ = Уо+(ф5-фо)+У(^Мфо)- (88) Фя ф^. Рис. 11. Зависимость поверхностного потенциала от напряжения отсечки для у = 6/1фт, 2фр = 27фу, ф0 = 30фт вится малым, и поэтому транзистор переходит в режим слабой инверсии. Между различными областями работы транзистора нет резкой границы, в частности, области сильной и слабой инверсии разделены небольшой областью умеренной инверсии. Ток стока Обобщенное выражение для тока стока, которое включает в себя как диффузионную, так и дрейфовую компоненты тока, имеет такой же вид, как и (6) [19]: 4 = -^е(«у^п(АУс}іАУ)- (93) Далее будем предполагать, что подвижность цп не зависит от координат. Тогда ток стока может быть получен путем интегрирования (93) от истока, где Vch = Vдо стока, где ^ ^ Напряжение отсечки, которое первоначально было определено для режима сильной инверсии, может быть использовано и в режиме слабой инверсии для аппроксимации поверхностного потенциала. Сравнивая (81) с (88), получим: (89) фі+V для V < Кн (слабая инверси сильная инверсия) 1 р р !н ' инверсия) ф0+ Vch для Vp > Vch ( сильная гфгехр 2^ = -^Сфгехр Фг ур ск Фг (л-І)ехр Ч-2фР Фг (92) Вместо обычного представления поверхностного потенциала в виде функции от Vgb —Vfb, можно изобразить его как функцию от напряжения отсечки (рис. 11) для разных значений потенциала канала V¿г■ Поверхностный потенциал изменяется линейно в диапазоне от 0 до 2фр+ V¡hг■ Для значений у > V!¡l, то есть в режиме сильной инверсии, поверхностный потенциал изменяется слабо. Поверхностный потенциал окончательно может быть представлен в виде [3]: (90) віт(Кь) ЛЬ, (94) (91) Режимы работы транзистора Различные режимы работы МОП-транзис-тора можно определить в терминах напряжения отсечки Ур и напряжений на выводах транзистора относительно подложки, как показано на рис. 12. Особенностью диаграммы является полная симметрия относительно линии ^ = 0, соответствующей условию УЪъ = Уъ, когда напряжение сток-исток равно нулю. При отрицательных напряжениях У5 < 0 или Vъ < 0 открываются один или оба р-п-перехода МОП-транзистора, и он начинает работать как продольный (латеральный) биполярный транзистор. Когда одно или оба напряжения Уъ, УЪъ становятся больше напряжения отсечки Ур, транзистор переходит в режим насыщения. Однако когда оба напряжения большие, напряжение затвора относительно них стано- где р = ип Сгх№^ — удельная крутизна. Ток стока может быть разделен на прямой ток 1Р, который зависит только от разности Ур-Уъ, и обратный ток 1К, зависящий только от У-Уъ [3]: 4=1>ї V -РЇ -ЯіпЖн) С -вм &*- (95) В этом выражении первый интеграл представляет ток канала в прямом включении транзистора, второй интеграл — в реверсивном включении. Отметим, что при получении выражения (95) не делалось предположений о режимах работы транзистора, то есть оно справедливо во всех режимах, включая слабую, умеренную и сильную инверсию. В режиме слабой инверсии поверхностный потенциал меньше, чем 2фр+ V*. Экспоненциальный член, появляющийся в обобщенном выражении для заряда инверсионного слоя (76), в этом случае становится много меньше, чем ф5/фт и квадратный корень может быть заменен первым членом ряда Тейлора, что ведет к упрощенному выражению для заряда инверсионного слоя: где Кк — параметр, зависящий от ф0: ф і Ток стока в режиме сильной инверсии получается путем интегрирования выражения (95), в котором выражение для заряда инверсионного слоя взято из (87). После интегрирования получим: (ЗД-ъ)2. да* у*<уР' If = \ р~ F [о, для Vsb>Vp lR=myP-^, R [о, для Vdb>Vp ЛЛЯР’-<Г'. (96) Аналогично можно получить выражение для тока в режиме слабой инверсии, используя (91): 4 = К Рфг ехР(( V-К^Фг) к = К РФг exp((Vp-VгJ)/фг), (97) где величина Ур рассчитывается с учетом напряжения на затворе, по формулам (83), (85) или по полному выражению (82). Приведенные соотношения получены для прямого включения транзистора. В обратном включении, когда сток и исток меняются местами, выражения могут быть получены из приведенных выше путем простой замены индексов ‘V’ на “й” и наоборот. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Выражения (96), (97) были получены в асимптотических случаях, когда имеет место либо слабая, либо сильная инверсия, однако они не справедливы в режиме умеренной инверсии. Для моделирования области умеренной инверсии в работе [3] используется интерполяция гладкой функцией между режимами сильной и слабой инверсии. Используя сглаживающую функцию вида [3]: F(v) = [ln(1+ev/2)]2, ds "If-Ь ■ 2wß(|4x - ( УР-ГЛ - 2 - ( УР-УЛ - In 1+е 2(Рг - In 1+е 2,рг - V - - V - V—V P s - In . 1 1 -------- F 4 2 vP~vä = ln . 1 1 iR-\----------- R 4 2 где переменные V и I получены из переменных V, I с соответствующими индексами путем их нормирования [18]. К сожалению, уравнения (100) не могут быть инвертированы аналитически для получения явной зависимости токов от напряжений, как это требуется в программах схемотехнического моделирования. Однако инвертирование может быть выполнено численными методами [18]. Нами описан принцип получения только базового уравнения для тока канала. Учет физических эффектов, связанных с малыми размерами, осуществляется путем ввода дополнительных поправок и уточнений. Заключение Поиск оптимальной компактной модели с точки зрения быстродействия и точности/достоверности требует учета стремительно растущих возможностей компьютеров и средств программирования. В основе всех подходов к построению компактных моделей лежит принятие упрощающих допущений, которые позволяют решить систему уравнений аналитически. Однако в связи с быстрым ростом производительности компьютеров необходимость аналитического решения ставится под сомнение, и ряд моделей используют численные решения уравнения Пуссона, а также используют итерационные циклы при решении нелинейных уравнений, которые не позволяют получить явную зависимость токов от напряжений на выводах транзистора. Общей тенденцией в развитии компактных моделей является усложнение системы уравнений модели, сокращение числа параметров, упрощение процедуры их идентификации, учет новых физических эффектов, обеспечение физичности модели за границами динамического диапазона и обеспечение точности высших производных. ■ (98) Литература можно получить следующее выражение для тока стока [3]: (99) Рассмотренный подход к моделированию на основе заряда инверсионного слоя позволяет получить и более общие выражения, справедливые во всех областях работы транзистора [18]: Ьу/4«р.+1-1, (100) 1. Денисенко В. В. Проблемы схемотехнического моделирования КМОП СБИС // Компоненты и технологии. 2002. № 3-4. 2. Kumar M. J., Batwani H., Gaur M. Approaches to nanoscale MOSFET compact modeling using surface potential based models // IWPSD 2007. International Workshop on Physics of Semiconductor Devices. 16-20 Dec. 2007. 3. Enz C. C., Krummenacher F., Vittoz E. A. An analitical MOS transistor model valid in all regions of operation and dedicated to low voltage and low-current applications // J. Analog Integrated Circuit and Signal Processing. 1995. Vol. 8. 4. Bucher M., Enz C., Krummenacher F., Sallese J.-M., Lallement C., Porrett A.-S. The EKV compact MOS transistor model: accountimg for deep-submicron aspects // Modeling and Simulation of Microsystems. 2002. www.cr.org 5. Li X., Wu W., Jha A., Gildenblat G., van Langevelde R., Smit G. D. J., Scholten A. J., Klaassen D. B. M., McAndrew C. C., Watts J., Olsen C. M., Coram G. J., Chaudhry S., Victory J. Benchmark Tests for MOSFET Compact Models With Application to the PSP Model // IEEE Transactions on Electron Devices. 2009. Vol. 56. Issue 2. 6. Gildenblat G., Li X., Wu W., Wang H., Jha A., van Langevelde R., Smit G. D. J., Scholten A. J., Klaassen D. B. M. PSP: An Advanced Surface-Potential-Based MOSFET Model for Circuit Simulation // IEEE Transactions on Electron Devices. Sept. 2006. Vol. 53. Issue 9. 7. Mattausch H. J., Miyake M., Navarro D., Sadachika N., Ezaki T., Miura-Mattausch M., Yoshida T., Hazama S. HiSIM2 Circuit simulation — Solving the speed versus accuracy crisis // IEEE Circuits and Devices Magazine. Sept.-Oct. 2006. Vol. 22. Issue 5. 8. Foty D. P. MOSFET Modeling with Spice. Principle and Practice. NJ: Prentice Hall PTR, 1997. 9. Gildenblat G., Li X., Wu W., Wang H., Jha A., van Langevelde R., Smit G. D. J., Scholten A. J., Klaassen D. B. M. PSP: An Advanced Surface-Potential-Based MOSFET Model for Circuit Simulation // IEEE Transactions on Electron Devices. Sept. 2006. Vol. 53. Issue 9. 10. Денисенко В. В. Точность и достоверность моделирования МОП-транзисторов СБИС // Микроэлектроника. 2009. Т. 38. № 4. 11. Cheng Y., Hu C., MOSFET modeling &BSIM3 user’s guide. Kluwer Academic Publishers, 1999. 12. Зи С. Физика полупроводниковых приборов: в 2 книгах. Кн. 1. М.: Мир, 1984. 13. Quenette V., Lemoigne P., Rideau D., Clerc R., Ciampolini L., Minondo M., Tavernier C., Jaouen H. Electrical characterization and compact modeling of MOSFET body effect // 9th International Conference on Ultimate Integration of Silicon, 2008. ULIS 2008. 12-14 March 2008. 14. Van Langevelde R., Scholten A. J., Klaassen D. B. M. Physical Background of MOS Model 11. Unclassified Report. Koninklijke Philips Electronics N. V. 2003. 15. Scholten A. J., Smit G. D. J., de Vries B. A., Tie-meijer L. F., Croon J. A., Klaassen D. B. M., van Langevelde R., Li X., Wu W., Gildenblat G. The new CMC standard compact MOS model PSP: advantages for RF applications // IEEE Radio Frequency Integrated Circuits Symposium. RFIC 2008. 16. Miura-Mattausch M., Sadachika N., Navarro D., Suzuki G., Takeda Y., Miyake M., Warabino T., Mizukane Y., Inagaki R., Ezaki T., Mattausch H. J., Ohguro T., Iizuka T., Taguchi M., Kumashiro S., Miyamoto S. HiSIM2: Advanced MOSFET Model Valid for RF Circuit Simulation // IEEE Transactions on Electron Devices. 2006. Vol. 53. Issue 9. 17. Enz C. C., Krummenacher F., Vittoz E. A. An analitical MOS transistor model valid in all regions of operation and dedicated to low voltage and low-current applications // J. Analog Integrated Circuit and Signal Processing. 1995. Vol. 8. 18. Enz C., Bucher M., Porret A.-S., Sallese J.-M., Krummenacher F. The foundation of the EKV MOS transistor charge-based model // Technical Proceedings of the 2002 International Conference on Modeling and Simulation of Microsystems (www.cr.org). Nanotech, 2002. Vol. 1. 19. Денисенко В. Принципы построения компактных моделей МОП-транзисторов // Компоненты и технологии. 2009. № 10.

https://cyberleninka.ru/article/n/modelirovanie-diagrammy-rasseyaniya-vtoryh-garmonik-vzaimodeystvuyuschih-akusticheskih-voln-na-vytyanutom-sferoide

Рассматриваются вопросы исследования и моделирования поля рассеяния вторых гармоник взаимодействующих акустических волн на вытянутом сфероиде. Задача представлена в системе вытянутых сфероидальных координат. На основе полученного выражения для акустического давления второй гармоники падающих волн описываются происходящие волновые процессы. Приведены диаграммы рассеяния слагаемых полного акустического давления второй гармоники на жестком сфероиде. Представлена трехмерная модель диаграммы рассеяния.In this work the investigation and simulation of the second harmonics scattering field is carried out. The scattering for the high-frequency second harmonics has purely geometrical character.

УДК 534.222 МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИАГРАММЫ РАССЕЯНИЯ ВТОРЫХ ГАРМОНИК ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН НА ВЫТЯНУТОМ СФЕРОИДЕ © 2006 г. И.Б. Аббасов In this work the investigation and simulation of the second harmonics scattering field is carried out. The scattering for the high-frequency second harmonics has purely geometrical character. При дистанционной диагностике водной среды актуальной становится задЗача рассеяния взаимодействующих акустических волн на телах вытянутой формы. Вопросы рассеяния на вытянутых сфероидах в линейном случае исследуются достаточно давно, в частности в [1 - 3]. В работах [4, 5] были проведены исследования вторичного поля волн разностной и суммарной частот при рассеянии нелинейно взаимодействующих акустических волн на вытянутом сфероиде. Однако для получения полного представления о волновых процессах вторичного поля необходимо исследовать также поле вторых гармоник исходных падающих волн. В этом случае волновые процессы охватывают только область геометрического рассеяния и могут дополнить информативность принимаемого сигнала. В данной работе проводится исследование и моделирование поля вторых гармоник взаимодействующих плоских акустических волн на вытянутом сфероиде. Постановка задачи была сформулирована в [4]. Задача представлена в системе вытянутых сфероидальных координат п, Р- Фокусы сфероида совпадают с фокусами сфероидальной системы координат. Вытянутый сфероид образуется вращением эллипса £0 вокруг большой оси, совпадающей с осью х декартовой системы координат. На сфероид падают взаимодействующие плоские волны с единичными амплитудами давления под произвольным полярным в0 (в0=атссо8по) и азимутальным р0 углами. В нашем случае сфероид является акустически жестким. После рассеяния на сфероиде в окружающее пространство распространяются акустические волны со сфероидальным волновым фронтом. Эти волны при распространении взаимодействуют также с падающими плоскими волнами. В результате нелинейного взаимодействия за некоторым сфероидальным слоем среды будут распространяться волны вторичного поля. Нелинейные волновые процессы, происходящие между падающими и рассеянными волнами вокруг сфероида, описываются нелинейным уравнением [6]: Л 1 д2 Р Ь д Л Ар —2~Т + ~2—ЛР = -б > со2 дг2 с2Л) д „ 1 (др ^2 е-1 д2 р2 р0 . 2 г. г где б = -г-+---+ ^ду2 +рооУДу - со4ро ) со4ро дг2 2 группа нелинейных членов; с0- скорость звука в среде (в нашем случае среда водная); е - параметр квадратичной нелинейности; ро - плотность невозмущенной среды; Ь - диссипативный коэффициент среды; у -колебательная скорость. Данное уравнение решается методом последовательных приближений р = р(1) + р(2). В первом приближении нелинейные члены не учитываются, т.е. б = 0 и задача становится линейной. Решением первого приближения является выражение для полного акустического давления первичного поля р (1) : р(1) = р„1 + рт , где рш и рш - акустические давления падающей и рассеянной волн, п = 1,2 для волн с частотами ®1 и ®2 . Во втором приближении решается линейное неоднородное уравнение (без учета поглощения и дифракции волны) V2) - 1 д р c02 dt2 2 р(2) _ е 52р(1) _ -Q _ — 4 ъЛ c0 Po dt (1) где р(1) и р(2)- полное акустическое давление исходного и вторичного полей. При нахождении решения во втором приближении правая часть будет состоять из четырех частотных составляющих: вторых гармоник 2а 1, 2®2 и волн комбинационных частот ®2 ±®1. Вторичное поле на разностной частоте было исследовано в [4], на суммарной частоте - в [5]. Для полноты представления вторичного поля рассмотрим выражение для объемной плотности источников б на второй гармонике исходной волны - 2®! Q2® _ 8eat c04P0 Е Е Bml (kiho)cos(2®it - In) + m-0l>m + Z X 2Bml (klh0)Dml (k1h0)cos(2®1t - П/ 2 - mp) + m=0l>m <x <x 2 + Z Z Dm I (kiho)cos(2®it - 2m p) , (2) m=01 >m _ где Bml (knh0 ) = 2Sml (knh0, П0 )Sml (knh0, П) x x R(mi (knh0, #) cosm(p - <0) , Dml (knh0 ) = 2Aml (knh0, #0 )Sml (knh0, П0) x xRmi(knh0,i)cosmp -коэффициенты для представления падающей и рассеянной волн в сфероидальных координатах [4]. Решение неоднородного волнового уравнения (1) с правой частью (2) во втором приближении будем искать в комплексной форме р2® _ 1 Р2(® exp(/(2®it + S) + (к.с.). (3) ТО ТО После подстановки выражения (3) в неоднородное волновое уравнение (1) оно преобразуется в неоднородное уравнение Гельмгольца: Р» + ^»Р» = ^ (4, V, Ф), (4) где k2» = 2^ - волновое число волны второй гармоники 2»1, 8ecof соРо S XBml (k1ho)exp(i(2®1t -ln)) + m=0l>m G(ri) = exp(-ik2ar{)/ri « exp -ho#V(1 -П)(1 -П ) xcos(^-^) Y = C 1 2rn k2rnh0n 4s , , , J sin(k2^ho# n)d| - Ig JS srn^fy/nO а Ig 4 где C2® = 3 2 32П?ое®1 exp(-ik2fflho|) coPo4 T = S S Bml (kiho)exp(-iln) + m=01 >m + Е Е 2Bml (klho)Dml (к^0)ехр(/(2®^ -П/2 -тф)) + m=0I>т ю ю 2 + Е ЕDш21 (к^0)ехр(/(2» - 2шф)) ш=01>т Решение неоднородного уравнения Гельмгольца (4) записывается в виде объемного интеграла от произведения функции Грина на плотность источников вторичных волн [6, 7] р2(»}(4ПФ) = = / q2»(4',ф)G(rl)hг■hлhфd4 ёп' dф , (5) V где 0(г1) - функция Грина; Г1- расстояние между текущей точкой объема М (4 , г), <р ) и точкой наблюдения М(4,п,ф); h4^, hn , hф - масштабные множители (коэффициенты Ламэ) [8]. Функция Грина в дальней зоне г << г определяется асимптотическим выражением + Е Е2Вш1 (к^0)ехр(-/(П/2 + тф)) + ш=01>т ю ю 2 + Е ЕDmI(к1Ьо)ехр(-2т<>) т=01>т (временной множитель ехр(/'2®^) здесь и далее опускаем). В отличие от разностной и суммарной волны выражение (6) для полного акустического давления второй гармоники Р^»»(4, V, Ф) состоит из трех пространственных слагаемых. Следовательно, вклад отдельных слагаемых в общее поле будет возрастать. Рассмотрим физическую суть этих пространственных слагаемых. Первое слагаемое р2»}(4, 7!,Ф) соответствует той части полного акустического давления второй гармоники, которая формируется в сфероидальном слое области нелинейного взаимодействия падающей плоской высокочастотной волной »1. Второе слагаемое Р^еоП (4,П,Ф) описывает взаимодействие падающей плоской волны с рассеянной сфероидальной волной частоты »1. Третье слагаемое Р»1П (4, V, Ф) соответствует самовоздействию рассеянной сфероидальной волны частоты »1 . Необходимо подчеркнуть, что здесь происходит нелинейное взаимодействие волн, имеющих как одинаковую, так и разную пространственную конфигурацию волнового фронта. Для получения окончательного выражения полного акустического давления второй гармоники р2»» (4, V, Ф), рассмотрим первое пространственное слагаемое выражения (6) Р»» (4, п, <) , которое характеризует нелинейное самовоздействие падающей плоской высокочастотной волны Интегрирование в выражении (5) ведется по объему V, занимаемому источниками вторичных волн и ограниченному по сфероидальным координатам соотношениями: 40 -4 -48 , -1 -V —1, 0 << < 2п . Координата 4% определяется длиной области нелинейного взаимодействия исходных высокочастотных волн. Длина этой области обратно пропорциональна коэффициенту вязкого поглощения звука на соответствующей частоте накачки. За данной областью считаем, что исходные волны практически полностью затухают. После интегрирования по координатам < и г) (с учетом высокочастотного рассмотрения), выражение (5) преобразуется к виду р2(»(4,П,Ф) = = Р2(»1 (4 ПФ)+Р»п (4 ПФ)+Р»ш (4 п Ф) = (6) р^а^Ф) = C 2ю (k2ahGn) 4S <Х <Х 2 J S S B2ml (kiho)exp(-iln) X iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Ig m=01>m X 4 sin(k2a)ho4 n)d4 - OO oo oo oo 2 £S х х - "I Е I Вт I (k1ho)exp(-;7n) £0 m=01>m x sin(k2mh0£ n) £ £ (7) С учетом представления плоской волны в сфероидальной системе координат и подстановкой значений параметров Бт1 (кк) выражение (7) преобразуется к виду C 2ю (k2ih0n) £s I exp £0 _ ¡k2ih0£n sin(k_h0£ n) £ d£ (8) х 5т(к2®И0% - & , - | ехр[-1к2®/?0# П & После окончательного интегрирования по координате & выражение для первого слагаемого (8) примет вид '2). ").. (9) С2а P2l (£ПМ = где Р2ю11,2ю1 2 = ± р (2) + р (2) + р(2) + P(2) + 21 2 + r2rnI3 + 214 2(k2ihon(no +n))(k2ihon) [S exP[_ ¡k2®h0 (П0 +n)£S ] _ £0 exP[k2ih0 (П0 + П)£0 ] C2 P(2) = + 2iI3,2l4 + мого P ных волн = 300 и P2coII = C k2ih0n x exp[_ ¡(¡я/2 + mp)]' ът^^ n)d£ _ £s _ 2 |I Е Bmi (kiho)Dml (kiÄ0): £0 m=01 >m hconst +90 2Кк 2ак0п) х [- ш[- Iк2®/?0 (П0 + ] + е[-'к2ак0 (П0 + Ф&0]]. После анализа полученного выражения (9) для первого слагаемого Р® (&,п,Р) полного акустического давления второй гармоники можно отметить, что диаграмма рассеяния данного слагаемого будет определяться поведением функций 1(п0 ± п). Данная функция зависит от координаты П0, т.е. от угла падения 6*0 плоских высокочастотных волн в полярных координатах. Диаграммы рассеяния первого слагае- Щ &, п, Р) представлены на рис. 1 в плоскости х0х, при углах падения плоских высокочастот- = 900 (к2®к0 = 74, к-к0 = 5 для разностной волны). По направлению угла падения (а также симметрично относительно оси х) диаграммы рассеяния имеют основные максимумы. Увеличение волнового размера сфероидального рассеивателя приводит к незначительному изменению уровня дополнительных максимумов. Рассмотрим второе слагаемое Рщц (& п, Р) полного акустического давления второй гармоники, которое характеризует нелинейное взаимодействие падающей плоской волны с рассеянной сфероидальной: & да да 2 / X XБт1 (к1к0)Р>т1 (к1к0) х & т=0¡>т 2iC2iA(k1h0,£0) k 2mhlnk1>i2(1 _П) £s I exP £0 _¡(kih0n0 _kih0)£ sin(k2ih0£ n)d£ _ sin(k2ih0£n) р(2)(гпф) = P(2) + P(2) + P(2) + P (2) r2e>l№>4>4}) \T2a>II1^ 2a>II 2 ^ r2mII 3 ^ r2mII 4 где 3(2) = + ¡C2iA(k1h0) Pw = + 2a>II1,2a>II 2 + 2k1k2®hoW (1 _n)(1 _П0) ISO0 Рис. 1. Диаграмма: рассеяния первого пространственного слагаемого Р^®® (&, п, Р) полного акустического давления х ехр [- /{¡ж/2 + т р)]х 5Ш( к&°&п) . (10) Подставляем значения параметров Бт1 (к^) и Бт1 (к1к0) в выражение (10), также воспользуемся разложением плоской волны по сфероидальным функциям. С учетом осесимметричности задачи рассеяния на вытянутом сфероиде применим высокочастотные асимптотики угловой сфероидальной функции первого рода (кпк0),п) и радиальной сфероидальной функции третьего рода Ктт3}(кпк0& ) [9, 10]. Тогда выражение (10) преобразуется к виду ехр[-г(к1к0п0 -к1к0)& \х'....."Щ'0* ''' d& . (11) & & После окончательного интегрирования выражение для второго слагаемого полного акустического давления второй гармоники будет иметь вид x X X X да да exp(-iu2®4S ) - exp("iu2®40 ) u2rn P (2) = ±- C2aA(k1h0) 2a>II3,2a>II4 " - где зависимость от угла падения 1/ П (1 -%)(! -V) 00 (т.е. от г)0) не столь ярко выражена. Диаграммы рассеяния этих слагаемых представлены на рис. 2, при 6>0=30°и6Ь=900 (^2гА=74). ! / ат\} 10 180° --2ю k2ah0n 4s J S SDml(k1ho)exp(-2^)x 4 sin^^l n)d4 - Ig m=0 l>m iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. dl (13) Щ^^оЧл/(1 -П0)(1 -П) ехР(-'«2»48 ) _ ехР('«2»40) _ 4% 40 - '«2» [Щ-и2»48 ) - ^(-^2»40 )] и2» = 'уЬК'П -k1h0 + k2юh0n) . Анализируя выражение (12), можно отметить, что поведение диаграммы рассеяния второго слагаемого Р»]] (4,П,Ф) определяется в основном функцией 48 ю ю 2 - I Е Е D¿mI (Л1Й0)ехр(-2Ушф) 40 ш=01>т После соответствующих подстановок и преобразований выражение (13) примет вид sin(k2>04 П) 4 р' ■(2) 2aIII1 ■ 90 Рис. 2. Диаграммы рассеяния второго пространственного слагаемого Р»// (4,П,Ф) , 4=3 Эти диаграммы имеют основные максимумы в обратном и боковых направлениях (00 ; ± 900), а также дополнительные максимумы, не зависящие от угла падения плоских высокочастотных волн. Рассмотрим далее третье слагаемое Р»]]] (4,П,Ф) общего акустического давления второй гармоники, которое характеризует нелинейное самовоздействие рассеянной сфероидальной волны с частотой »1: (4,ПФ) = - ^ P^III (4ПФ) = где P(2) = + 2a>III1,2a>III2 ~ m + P (2) 2тш 2 + P (2) 2a>III3 + P (2) 2аШ 4 (14) C2^A2(k1ho) 2ik 2rnhlkll(1 -По)(1 -П) : [- u3m [El(-lu3m4S ) - El'(-lu3®40 )]]; P(2) = + 2a>III 3,2a>III 4 m С2ЮА2(^о) 4ik 2»ho3k12n(1 -По)(1 -П) lu3m ( exp(-lu3®4S ) exp(lu3ffl40) Л 4s 4o + u3m [El(-lu3m4S) - El(—lu3ю40)] u3® = (k2fflh0 + k2ah0n)- Диаграммы рассеяния третьего слагаемого P (2) 2a>III (4,П,Ф) представлены на рис. 3, при д0) = 30 и 00 = 900 (к2»И0 = 74). Вид диаграмм рассеяния определяется преимущественно функцией 1/(^(1 — П))(1 -Ц)) выражения (14), которая имеет основной максимум в обратном направлении и слабо зависит от угла падения. {4,1],ф) /xconst ■ 90' Рис. 3. Диаграммы рассеяния третьего пространственного слагаемого P^ii (4, П, ф) На рис. 4 представлены диаграммы рассеяния полного акустического давления второй гармоники Р» (4, V, Ф). При этом угол падения составляет 00 = 30° и 00 = 900 (к2»/г0 = 74), а координата 4 = 3. х X X + х да да Рис. 4. Диаграммы рассеяния полного акустического давления второй гармоники Р^ (£, г/, р) Диаграммы рассеяния имеют максимумы в обратном направлении, по направлению угла падения, в боковых направлениях. В прямом направлении имеются максимумы по углам, симметричным углам падения плоских волн. Падающие плоские высокочастотные волны при этом формируют поле рассеяния в обратном и прямом направлениях, а рассеянные сфероидальные волны - в боковых направлениях. Увеличение волнового размера сфероидального рассеивателя приводит к изменению уровней максимумов, а увеличение размеров области взаимодействия вокруг вытянутого сфероидального рассеивателя (в пределах зоны затухания) приводит к сужению этих максимумов. Диаграмма рассеяния полного акустического давления второй гармоники имеет общие закономерности, как и для волны суммарной частоты [4]. Эти особенности связаны геометрическим характером рассеяния для этих волн. На рис. 5 представлена пространственная трехмерная модель диаграммы рассеяния полного акустического давления Р^® (£, г), р) второй гармоники при угле падения = 300, координате £ = 3 и волновом размере к2аЬ0 = 74. Трехмерная модель диаграммы рассеяния является поверхностью вращения и приведена для наглядности с вырезом четвертой части. Данная поверхность образуется вращением плоской кривой диаграммы рассеяния, находящейся на плоскости хОх, вокруг оси вращения х. Ось х является большей осью вытянутого сфероида. Направление падения исходных плоских волн указано стрелкой. Пространственная модель дает наглядное представление о распределении акустического давления второй гармоники при рассеянии взаимодействующих плоских акустических волн на жестком вытянутом сфероиде. Рис. 5. Трехмерная модель диаграммы рассеяния полного акустического давления второй гармоники P^ rj, р) на жестком вытянутом сфероиде при: f =880 кГц; /2=1000 кГц; h0 =0,01 м; £0 =1,005, ^=3: 2/1=1760 кГц, *2<А=74, 00 = 30° Литература 1. Cpence R., Ganger S. // Journ. Acoust. Soc. Amer. 1951.Vol 23. № 6. P. 701-706. 2. Клещев А.А., Шейба Л.С. // Акуст. журн. 1970. Т. 16. № 2. С. 264-268. 3. Тэтюхин М.Ю., Федорюк М.В. // Акуст. журн. 1989. Т. 35. № 1. С. 126-130. 4. Аббасов И.Б. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. № 3. С. 46-52. 5. Аббасов И.Б. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. № 3. С. 27-29. 6. Новиков Б.К., Руденко О.В., Тимошенко В.И. Нелинейная гидроакустика. Л., 1981. 7. Лямшев Л.М., Саков П.В. // Акуст. журн. 1992. Т. 38. № 1. С. 100-107. 8. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1966. 9. СкучикЕ. Основы акустики. Т. 2. М., 1976. 10. Клещев А.А., Клюкин И.И. Основы гидроакустики. Л., 1987. W Таганрогский государственный радиотехнический университет_7 февраля 2006 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/obtekanie-karkasnoy-poverhnosti-potokom-neszhimaemoy-zhidkosti-pod-bolshim-otritsatelnym-uglom-ataki

Численно решается задача обтекания крылового профиля из семейства профилей Н.Е. Жуковского, расположенного таким образом, что при отсутствии активного воздействия на пограничный слой отрывная область возникает на участке, где стенка вогнута внутрь профиля. Внешнее обтекание профиля моделируется стационарной системой уравнений Навье Стокса, которая решается в переменных вихрь-функциях тока в области, топологически подобной пограничному слою, но имеющей конечную толщину.

УДК 532.526.5 ОБТЕКАНИЕ КАРКАСНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОТОКОМ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПОД БОЛЬШИМ ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ УГЛОМ АТАКИ © 2004 г. А.В. Бунякин, С.И. Шиян The method of construction and algorithm of computation of aerodynamic 2D streamlining surface with boundary layer control system are present. The method of form surface determination include of cha-nals location inside it for suction and blowing of boundary layer. The model of ideal incompressible liquid use for flow streamlining surface but Navy-Stocks equations use for boundary layer control system modeling. Suction and blowing with continual distribution in computation model is boundary condition on aerodynamic surface. The surface is Jukovkiy profile for exsimple. The vortex cell consist rotating cylinder inside and use for strong blowing in special segment of surface. The result of computation is determination of velocity and pressure distributions in boundary layer and as implication is stagnation point in boundary layer determination. Численно решается задача об обтекании крылового профиля (каркасной поверхности) из семейства профилей Н.Е. Жуковского, расположенного так, что при отсутствии активного воздействия на пограничный слой отрывная область возникает на участке, где стенка вогнута внутрь профиля. Это создает условия для обеспечения безотрывности потока посредством вдува пограничного слоя на этом участке. Вдуваемый расход обеспечивается отбором с части поверхности, прилегающей к точке торможения. Внешнее обтекание профиля моделируется двумерной стационарной системой уравнений Навье - Стокса, которая решается в переменных вихрь-функция тока в области, топологически подобной пограничному слою, но имеющей конечную толщину. В качестве средства организации вдува в начале участка неблагоприятного градиента давления предлагается активная вихревая ячейка. Постановка задачи. Контур крылового профиля задается отображением окружности на плоскости комплексного переменного 77 (/-мнимая единица) TJ = R + (- х0 + R - iy0 ^elcp -1| с центром в точке х0 + /уо, проходящей через точку форма крылового профиля, выбраны следующим образом: К = 1,027; х() = -0,2728; у0 = 0,2445. Профиль обтекается невозмущенным потоком с единичной скоростью в бесконечности и углом атаки а= -0,7995 (рис. 1). Обоснование выбора данных параметров будет приведено ниже, так же как и обоснование подбора места расположения, формы, и других параметров активной вихревой ячейки для осуществления вдува. Для записи определяющих уравнений задачи внешнего обтекания крылового профиля выбирается система координат {ф, [//), в которой его контур является R, на комплексную плоскость z 2 + ---- координатной линией ц/= 0. Связь с декартовыми координатами на плоскости (х, у): г = х + іу = — ' 2 ; Л = К + {-х0 + К-іу„\С-1); С = е,^\ Рис. 1. Крыловой профиль Жуковского с активной вихревой ячейкой под большим отрицательным углом атаки Комбинацией этих функций получается аналитическая функция, задающая преобразование координат: ср и// м-'(-). Уравнение неразрывности в данной системе координат для физических компонент скорости запишется в следующем виде А дер Ут д дц/ = о • После введения функции тока Р(<р, ц), удовлетворяющей соотношениям ^ К др V ---- —— • ----= ~т~\ ’ стационарная двумерная система уравнений Навье- ду/ \м? д(р \м? Стокса в безразмерных переменных примет вид: ар__д_, ,р др__ др__д_, ,|2 ар | дц/ д(р дц/ д(р дц/ дц/ (Ґ + \м> {д<р) ^дц/) дР_ + J___________д_ д(р Яе дц/ 2Л %'| [ 2 дР дР дер д(р дц/ дц/ ( д2 і Г12 \М? д^_ д2Р^ д(р2 дц/2 дР д | ,.2 дР ^ дР д | ,|2 дР ^ ^ дц/дц> дер дер дху дер (( ' дР У _ ( дР У1 д\м>’\ дР дР ду/ J J <5 у/ <5^ 5 (// <5^ а/5 1 а (, ,|2Га2^ а2^ + И' 3!// Яе 3 ^ 1 1 ^ 3 ^ 2 д у/2 Здесь Р{ер, цг) - давление; Яе - число Рейнольдса. Исключением давления из (1) получается уравнение Гельмгольца ^ I ,,2 А д2Р д2Р Л дР да дР да \ (д2а д2а ) & = т \ ; а = &\ -----н-------;-----------------------=------ ----т- н---т- • К/*) \ д(р дц/ ) ду/ дер дер ду/ ду/ ) Область решения Г2 для этого уравнения - прямоугольник ер0 < (Р < 2ж ■ - у/0 < \р < 0, где ^ = + 2 р . р = а + агсЩ . у/й > о , К- х0 где (</Я), 0) - точка торможения при обтекании данного крылового профиля потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости с углом атаки а, а координата ^/увеличивается при движении внутрь профиля. Граничные условия: цг дР I IдР = 0; щ < ср < (р\.\щ'\--------= ~\М,Г\---= Ч\ >0 — участок отбора; Ц/=0; 1 'ду/ ’ дер ^ / г-1 ^ / г-1 срх< ср < ср2 '■ —— = 0 ; —— = 0 - непротекаемая стенка; (// = 0; <3 ^ <3^ <р2 < <Р < сръ : \и> 1— =Ч2^г ; к 1— = 92 > о “ Участ0К сильного вдува; 9 у/ дд> У/ = о ; <РЪ < ср < 2Ж : 1— = г ■ I* '1^- = Чъ > о -участок слабого вдува. 3 у/ дер На оставшихся участках границы области Г2 ставятся условия выхода функции тока Р на решение задачи потенциального обтекания идеальной несжимаемой жидкостью, которое дается следующим выражением Р0(<р,у/) = -|х0 -К + гу0\ishy/ $т{ер-Р) + у/ зт/?),т.е.: при ер = еръ,2ж ; -щ <у/ < 0 и \р - -у/0 \ер§<ер<2п выполнены условия: дР дР0 дР дР0 дц/ дц/ ду> д у> Вдув и отбор производятся под достаточно малым углом у = 0,01 к контуру крылового профиля в направлении основного течения (почти тангенциально). Обозначим через л( ер) натуральный параметр вдоль контура крылового профиля, тогда условие баланса расходов будет иметь вид ql{s((pl)-s((p0j)=q2{s((pi)-s((p2j) + qi{s(2ж) - $(р3)); к = 1, 2, 3 - плотности отбора и вдува. С учетом уравнения неразрывности и поставленных граничных условий оно является необходимым для существования решения задачи (2). Численное решение задачи (2) производилось при следующих данных: щ = 1,9144; (р 1 = 3,5679; (р2 = 4,0901; (ръ = 4,1771; = 1,9732-10^. На рис. 1 маркерами показаны точки (р^ к = 0, 1, 2, 3 и две линии тока потенциального обтекания крылового профиля с активной вихревой ячейкой. На рис. 2 - распределение давления Р в потенциальном внешнем потоке у стенки крылового профиля (большая кривая) и у стенки течения внутри вихревой ячейки (малая кривая). Ось абсцисс на рис. 2 - натуральный параметр £ вдоль контура профиля, возрастающий при движении против часовой стрелки (концевые точки большей кривой - это острая кромка крылового профиля). Точки минимумов давления для крылового профиля и вихревой ячейки совмещены. Рис. 2. Распределение давления Р(Б) на поверхности крылового профиля и вихревой ячейки Таким образом, область решения очень похожа на пограничный слой. Отличие в том, что она имеет хоть и малую, но конечную толщину порядка щ. В точках торможения и схода с острой кромки ср = (ро, 2 ж. Так же, как и на внешней границе слоя цг = - щ, ставится условие выхода на невязкое обтекание. Для внешней границы выполнение этого условия определяет величину щ и проверяется по профилям скорости. В точках схода и торможения (как и вблизи угловой точки на поверхности обтекаемого тела) асимптотический анализ решения уравнений Навье - Стокса, проведенный в [1, 2], указывает на то, что течение близко к невязкому потоку. Это оправдывает поставленные граничные условия. Численное решение Ввиду того, что в выбранной системе координат уравнения (2) отличаются от аналогичных в декартовой системе только множителем О, для численного решения задачи (2) при поставленных граничных условиях может быть использована стандартная разностная схема с равномерной сеткой по ср и сеткой по у/со сгущением узлов к нулю: (рп =(р0+{2л-(р0)—-,11 = 0,1,...,Ы ■, у/т =-у/0 т + ё т м ; т = ОД,...,Л/. Параметры сгущения сетки к = 3. с/ = 0,01. Принимая обозначения: А(Р=27Т ;А^т+1/2 =у/т+1 -у/т ',Ау/т_1/2 = у/т -Ч'т-\',Рпт=Р{(рп,Ч/т)-, сопт= т)> Спт =0(срп,Ч/т\ запишем разностную аппроксимацию невязки для (2) в виде р _ р і ^пт +1 ^пт , ^пт ^пт -1 | ®п + 1т ®п-1т *пт ~ I - Ие А^т+1/2 ^Ч'т-1/2 ) 4А?> С^пт ~ СОПт-1 ] ®п + \т ~ '^СОпт ®п-1« iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Ац/ ^п + \т ^п-\т І ®пт+1 СО ААср ЬЧ>т+1/2 2 т-1 / 2 Д<р для и = 2, Д^т-1/2 + ^Ч'т + Ш У ^Ч'т + Ш . Л 2: /// 2.......\/ 2: со ЬЧ>т-1/2 Qnm Т7 -1Т7 + /7 пт _|_ к+1т пт п-\т _|_ Д<?г 2 А^т-1/2+А^т+1/2 /7 _ /7 пт пт-1 Ду/, т+1/2 А^т-і ■-1/2 У Д.ІЯ// 1......V 1;/;/ 1. ...,м- 1; (и, /и) Ф (1,1), (Ж- 1,1), (1,М- 1), (/V- \,М- 1). Последнее уравнение записано так, чтобы ликвидировать особенность преобразования координат на острой кромке (где О х). Разностная аппроксимация граничных условий роо = °; Vе" і/2 "д1.,,. ” ° = \9(<Рп)\^г; о п 0 Д^1/2 Рп-10 и-1/2 0 ' Ад) рпт=ро{<Рп’Ч'т); (и = 0Д,/У-1,/У ; /и = 2,...,М) ; (п = 0,...,Ы ; т=М-\,М)- Здесь 9(^): 9і : <Ро^<Р<<Р\ 0 : д>х < ф < д>2 -42 - (рг^(р<(ръ - <73 : д>ъ < ф <2ж В качестве начального приближения для /•’ могут быть выбраны значения функции тока невязкого обтекания 1\,((р. ц) в узлах сетки, для со - нули. Минимизация нормы невязки в пространстве Ь2 может производиться методом градиентов для разряженных систем [3]. Переход к системе координат (р. ц/ позволяет производить численное решение по указанному алгоритму с достаточно небольшим числом узлов по ц/. Так при Яе = 105 для М= 100 и N = 1000 требуется менее ста тысяч итераций для достижения погрешности менее одного процента. Под погрешностью понимается отношение средней величины невязок I0„т к средней величине градиента скорости . Уменьшение величины шагов сетки приводит к изменениям решения в пределах этой погрешности. Сходимость итераций несущественно зависит от параметров воздействия на пограничный слой дь к = 1, 2, 3, установление зависимости решения от которых составляло цель задачи. Результаты численного решения. Основной вопрос, ответ на который был целью численного решения, состоял в следующем: Как влияет увеличение расхода на участке сильного вдува (и связанное с этим увеличением изменение других расходов (/!■) на качественное изменение картины течения в пристенной области? На рис. 3 показаны профили скорости I<р/, I//) для значений ц\ = 10 \ q2 = Ю 4; на рис. 4 - для (/] = 2-10 5, ц2 = 2-10 4 при неизменности всех остальных параметров, участвующих в решении задачи (2). Профили скорости соответствуют зна- к чениям (рк=(ро + (27г - )—: /1' = 1....8 слева направо, на графике они сдвину- ты каждый относительно соседнего по оси абсцисс на единицу (величину скорости в бесконечности). При увеличении расхода вдува и отбора вдвое появляется пристенная область торможения, а на первом слева профиле скорости- даже слабое течение жидкости в сторону, обратную основному потоку (переток). Все профили скорости имеют почти прямые участки, соответствующие выходу решения задачи (2) на потенциальное обтекание с функцией тока /'1,. При уменьшении числа Рейнольдса критические значения q\, ц2 расходов вдува- отбора, при которых появляется переток, также уменьшаются. Если ql = qtl.\0~5 , q2 = qtt\0~4, то для 11е = 104, д* « 0,5; Яе = 5 • 104, и 0,9 ; Яе = 105, и 1,4. На рис. 5 показана зависимость составляющей скорости У^ср, щ) для четырех слоев ^ [ = _ ^ о _г_. / = 1, 2, 3, 4 (маркерами обозначены точки срк, как и на рис. 1). Положительность Уу соответствует приближению к крыловому профилю. Она уменьшается по модулю при увеличении индекса слоя «/». Исключение - участок сильного щува, где для слоев 1=1,2 Уу имеет скачкообразное изменение (всплеск) за счет скачка гранич- ных условий. Величина всплеска тем больше, чем ближе к стенке, и изменяется почти прямо пропорционально изменению величин С{\, С{2. ^ 0,00000 -0,00020 Рис. 3. Профили скорости У/фь Ц') для значений с// = 10 5, = 10 ' Рис. 4. Профили скорости у/) для значений сії = 2-10 5, с]2 = 2-10 ' к, Рис. 5. Составляющая скорости V,/(р. щ) на поверхности крылового профиля для значений с// = 10 5, ц2 = 10 4 Следует отметить технические аспекты реализации рассмотренной схемы течения. Слабый вдув на участке \(р 3, 2л\ можно организовать пассивным образом, соединив его внутренними каналами с участком отбора \(р 0, (р 1]. Сильный вдув на участке [ср 2, <р з] можно организовать с помощью активной вихревой ячейки, т.е. почти круглой выемки на контуре крылового профиля и эксцентрично расположенного вращающегося цилиндра внутри нее. Похожая схема течения по модели идеальной жидкости была рассмотрена в [4]. Представим, что вращающийся внутри ячейки цилиндр - это колесо центробежного нагнетателя, который может создать на участке \(р 2, <р з] достаточно большую тангенциальную скорость выдуваемой из ячейки плоской струи. Моделирование такого течения внутри активной вихревой ячейки в данной работе не проводится, но объясняется выбор параметров, от которых зависит ее форма, форма контура крылового профиля, угла атаки и расположения участков вдува - отбора. Для этого делаются достаточно сильные допущения: рассматривается течение идеальной жидкости внутри ячейки без учета проникновения через поверхность вращающегося цилиндра. При этом считается, что тангенциальная скорость вращения цилиндра (колеса нагнетателя) значительно превосходит нормальную составляющую скорости вдува. Вдуваемая жидкость переходит во вращающийся пограничный слой вблизи цилиндра, затем в основной поток внутри ячейки (который считается почти циклическим). Далее она пополняет пограничный слой у неподвижной стенки ячейки, который, переходя в слой смешения с внешним потоком, создает струю ниже по течению за вихревой ячейкой. Эта струя моделируется участком сильного вдува \(р 2, (р з]. Выбор формы крылового профиля и вихревой ячейки. Первое - требуется подобрать форму вихревой ячейки и параметры течения внутри нее так, чтобы: а) течение в кольцевой области внутри вихревой ячейки имело постоянную завихренность (это соответствует асимптотическому пределу Яе —»оо [4]), а внутренний контур области был окружностью; б) на внешнем и внутреннем контурах кольцевого течения было только по одной точке максимума и минимума давления. Второе - требуется подобрать форму крылового профиля так, чтобы сегмент с неблагоприятным градиентом давления на его контуре частично совпадал с сегментом внешнего контура кольцевого течения внутри вихревой ячейки по геометрической форме и распределению давления (как можно точнее). Кроме того, необходимо, чтобы форма крылового профиля и размеры вихревой ячейки позволяли расположить ячейку внутри профиля при совмещении данных сегментов. Эта довольно специфическая обратная задача обтекания имеет заведомо неединственное решение и на первом этапе сводится к построению семейства стационарных замкнутых двумерных течений идеальной несжимаемой жидкости с постоянной завихренностью в кольцевой области, внутренний контур которой -окружность, чтобы можно было расположить в нем вращающееся центральное тело. Метод решения данной задачи подробно изложен в [4]. С его помощью получается внешний контур вихревой ячейки, расположенной внутри крылового профиля (рис. 1). Эго сделано для следующей комбинации параметров, определяющих кольцевое течение: а = 0,15; т=\\со = -3,5; I' 0,22; сг0 = —0,15/. На рис. 2 показаны распределения давления вдоль контура крылового профиля и внешнего контура вихревой ячейки. Вертикальная ось - безразмерное давление, горизонтальная - натуральный параметр вдоль контуров. Кольцевое течение имеет осевую симметрию. На рис. 1 показан отрезок оси симметрии, соединяющий внешний и внутренний контуры в точках максимума давления. В качестве множества форм внешней обтекаемой поверхности было выбрано семейство крыловых профилей Жуковского. Во-первых потому, что оно задается аналитически; во-вторых, формы некоторых из этих контуров и распределение давления на них при большом отрицательном угле атаки позволяют расположить внутри вихревую ячейку с цилиндром. При этом необходимо, чтобы геометрические формы контуров и распределения давления на совмещаемых сегментах крылового профиля и ячейки отличались как можно меньше. Пусть I' — скорость на внешнем контуре вихревой ячейки, I' — на контуре крылового профиля. Из уравнения Бернулли Р±=С±-У±2/ 2. Пусть (р . - аргумент комплексной скорости и натуральный параметр вдоль соответствующих контуров, отмеряемый от точки минимума давления для кольцевого течения (индекс «-»), и для крылового профиля (индекс «+»). На контуре крылового профиля, так же как и на контуре вихревой ячейки, существует только одна точка минимума давления. Совместим эти точки и повернем кольцевое течение так, чтобы контуры профиля и ячейки касались друг друга. Величины р . ср +, 5+ возрастают при движении от точки минимума давления против часовой стрелки (рис. 1, 2). Разность констант Бернулли (С+—С_) возьмем такой, чтобы минимальное давление ро было одинаковым в точке минимума давления на контурах крылового профиля и вихревой ячейки. Рассмотрим функции: ^(р-р0) = «+-я_- £>(р - Ро) = <Р+- <Р-■ Задача совмещения геометрических форм контуров профиля и ячейки, а также распределений давлений на них, сводится к минимизации суммы норм функций Л', () на некотором сегменте /?*] при вариации параметров К, х0, у о, а. Алгоритм такой минимизации с использованием норм функций Л', О в пространстве /-2 может быть реализован численно методом градиентов. Результат такой минимизации показан на рис. 1, 2 для указанной выше комбинации параметров, задающих кольцевое течение. В результате получены следующие значения параметров, задающих крыловой профиль и его обтекание: р* ~р0 = 3; С+-С_ = 7,121; Я = 1,027; х0 = —0.2728: V',, = 0,2445; «=-0,7995. Безразмерная подъемная сила / = —-—£ р с/х = -4,785 в данном случае на- сова правлена, в основном, вниз. Расположение вихревой ячейки внутри крылового профиля позволяет заменить неподвижную часть стенки слоем смешения внутреннего и внешнего течений и одновременно организовать вдув. Изменение давления вдоль этого сегмента значительное (рис. 2). Именно эти параметры были взяты для расчета стационарного вязкого обтекания крылового профиля, а участок вдува был расположен ниже по потоку от сегмента совмещения контуров профиля и ячейки. Заключение. Предложенный в работе вычислительный алгоритм использует специфику того, что обтекаемая поверхность является профилем Жуковского. Решение уравнений Навье- Стокса позволяет моделировать качественные эффекты, такие как переток с участка вдува на участок отбора, что невозможно при использовании асимптотического приближения пограничного слоя. Физический масштаб по переменной ц/ дает возможность модифицировать вычислительный алгоритм с добавлением турбулентной вязкости по какой-либо из алгебраических моделей. Крыловые профили представленного типа могут быть использованы на летательных аппаратах с крыльями малого удлинения и изменяемой геометрии и на лопатках осевых нагнетателей для отодвигания границы помпажного режима. Литература 1. МатвееваН.С., Нейланд В.Я. //Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. №4. С. 64-70. 2. Нейланд В.Я., СычевВ.В. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. № 4. С. 43-49. 3. ГолубДж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. М., 1999. 4. БунякинА.В. //Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 4. С. 87-92. Кубанский государственный технологический университет 9 апреля 2004 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/gidrodinamicheskie-vozmuscheniya-morskoy-sredy-ot-podvodnyh-obektov-i-izmerenie-ih-harakteristik-prosvetnymi-gidroakusticheskimi

The nature of formation and the characteristic of hydrodynamic indignations of the sea environment (including formation of lonely waves), generated by the underwater phenomena, and also moving underwater objects is considered. Examples of effective realisation of these indignations просветными are resulted by the hydroacoustic systems including extended multielement aerials. Practical ways of use multichannel просветных hydroacoustic systems for the control of sea water areas are proved.

УДК 534.222.2 ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ МОРСКОЙ СРЕДЫ ОТ ПОДВОДНЫХ ОБЪЕКТОВ И ИЗМЕРЕНИЕ ИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОСВЕТНЫМИ ГИДРОАКУСТИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ © 2009 г. В.И. Трасковский, В.В. Харина, М.В. Мироненко, ПА. Стародубцев Тихоокеанский военно-морской институт Pasific Ocean Naval имени С.О. Макарова, Владивосток Institute, Vladivostok Рассматривается природа формирования и характеристики гидродинамических возмущений морской среды (включая образование уединенных волн), сформированных движущимися подводными объектами. Приводятся примеры эффективной регистрации этих возмущений просветными гидроакустическими системами, включающими протяженные многоэлементные антенны. Обосновываются практические пути использования многоканальных просветных гидроакустических систем для контроля морских акваторий. Ключевые слова: гидродинамические возмущения морской среды; просветный метод в гидроакустике, неоднородности и возмущения в морской среде; просветная акустическая система. The nature of formation and the characteristic of hydrodynamic indignations of the sea environment (including formation of lonely waves), generated by the underwater phenomena, and also moving underwater objects is considered. Examples of effective realisation of these indignations просветными are resulted by the hy-droacoustic systems including extended multielement aerials. Practical ways of use multichannel просветных hydroacoustic systems for the control of sea water areas are proved. Keywords: hydrodynamic indignations of the sea environment; transparent a method in hydroacoustics; heterogeneity and indignation in the sea environment; transparent acoustic system. В последнее десятилетие в научных трудах по гидроакустике большое внимание уделено теоретическим разработкам и экспериментальному объяснению сущности формирования гидродинамических процессов (возмущений) в морской среде от различных физических явлений. Возможными причинами формирования таких возмущений морской среды могут быть мощные подводные взрывы, подземные сейсмические толчки, а также самодвижущиеся подводные аппараты (СПА) различного тактического назначения [1-4]. В соответствии с последними исследованиями и наблюдениями эти возмущения после гидродинамического формирования отрываются от источника возмущений и распространяются далее во все стороны от СПА под воздействием гравитационного поля земли [5-7]; они получили условное название уединенных волн. Условность заключается в том, что деформация водной среды является несамостоятельной (неотделимой) частью достаточно устойчивой совокупности смещений частиц пограничного слоя воды около СПА и его окружения, а также в том, что вызвавший волну процесс в дальнейшем перемещается внутри этой волны вследствие создаваемой ею (самостоятельно или вместе с другими деформациями) неоднородности среды, и сам как бы сопровождает ее. Физически это объясняется сопротивлением трения, связанным с вязкостью воды, и колебаниями суммарной поверхности СПА. Частицы воды, соприкасаясь с СПА, как бы прилипают к нему и движутся вместе с ним. Силы сцепления частиц воды друг с другом меньше, чем с твердым телом, поэтому второй слой воды, расположенный рядом с первым, несколько отстает от него по скорости, как бы цепляясь за него, но постепенно сползая. Каждый последующий слой будет двигаться по отношению к СПА с несколько меньшей скоростью, чем предшествующий. Интенсивное проявление сил вязкости ограничивается небольшой частью потока, именуемого пограничным слоем. За пределами пограничного слоя силы вязкости утрачивают свою роль. Это генерирует, соответственно, внутренние волны и турбулентные явления за СПА. Уединенная волна (или волна-спутник) не может быть отнесена к категории малых волн и называться акустической волной, так как в центре такой волны идет постоянное изменение генерирующих сил и, соответственно, смещения частиц (а не их колебания), что превышает пороговый уровень вязкости среды. Для ускорения частиц постоянно происходит смещение слоев стратифицированной жидкости и гидродинамическое воздействие (растяжение и разрыв) на горизонте движения СПА водной среды. Поэтому в однородной среде такая волна является неизотропной, но осесимметричной, так как имеет ось симметрии, проходящую через центр СПА в направлении его перемещения. Волна может быть представлена и как попеременное (вследствие взаимного запаздывания скоростей и ускорений) перемещение слоев стратифицированной жидкости и упругого перемещения ее деформаций за счет хаотического колебания суммарной поверхности СПА. Своевременное обнаружение и измерение таких гидродинамических возмущений морской среды является актуальной задачей, связанной с охраной и контролем протяженных акваторий, а также с безопасностью береговых объектов. За кормой СПА также возникает возмущенная ореольная область (ВОО), включающая в себя нелинейные образования пузырькового, а также турбулентного кильватерного следа. Достаточно большим объемом экспериментальных исследований, в том числе выполненных авторами, установлены следующие закономерности формирования ВОО СПА и других подводных возмущений, которые заключаются в следующем [5-7]. В области возмущений, сопутствующей СПА, можно выделить две наиболее характерные составляющие. Это непосредственно ореольная область и расположенный в ней турбулентный кильватерный след. При этом ореольная область представляет собой соколеблющуюся среду, как инфранизкочастотную уединенную волну. Эта область при особых условиях, зависящих от скорости хода и глубины погружения объекта, а также характера его маневрирования, формирует уединенную поверхностную волну-предвестника, опережающую источник возмущения на 4-5 км. Ширина волны по горизонтали составляет около двух километров. По своим характеристикам эти волны представляют собой пространственно-временные колебания среды в диапазоне частот доли - единицы герц, которые модулируют амплитудно-фазовую структуру просветных сигналов и могут быть зарегистрированы многоэлементными вертикальными антеннами. Расположенный в ВОО кильватерный след представляет собой вырождающиеся по времени гидрофизические нелинейные турбулентные возмущения среды, порождаемые обтеканием корпуса, вихревыми движениями на лопастях и зарождением пузырьковой фазы. В вертикальной плоскости эта область упрощенно может быть представлена как колеблющийся неоднородный цилиндр с диаметром 4 - 6 км и высотой от 50 до 200 м. Рассматриваемая возмущенная гидродинамическая область в акустическом понимании характеризуется усиленным затуханием, нелинейностью и выполняет функцию пространственного инфранизкочастотного модулятора проходящих сквозь нее акустических волн. Эффект модуляции и затухания проходящих акустических волн многократно проверен и может быть реализован в просветном методе гидролокации с многоканальными системами. Просветный гармонический сигнал S(t), прошедший через ВОО, представляет собой частотно-модулированное преобразование гармонического сигнала, которое можно выразить следующей достаточно обоснованной и проверенной математической зависимостью [3] S(t) = P cos(o0i+Д^ш Qt), где Р - амплитуда просветного сигнала; ю0 - частота просветного сигнала; Дю0 - девиация частоты просветного сигнала, обусловленная средой; Q - частота флуктуаций ВОО, как колебаний, модулирующих просветную волну. Эксперимент по обоснованию практических путей регистрации признаков ВОО СПА проводился в шельфовой зоне Японского моря в 1999 г. на акустических трассах протяженностью десятки-сотни километров. Приемное опытовое судно «стояло» на якоре в мелководной части трассы (с глубиной моря около 100 м). С борта судна опускалась многоэлементная антенна из одиночных гидрофонов. Прием и регистрация просветных акустических сигналов осуществлялись многоканально, а анализ информации - в лаборатории судна. Излучающее судно дрейфовало мористее в глубоководной (до 1000 м) точке измерительной акустической трассы. Излучались и многоканально (по горизонтам 50 - 100 м) принимались гармонические сигналы стабильной частоты 400 Гц. Про-звучивание трассы осуществлялось не направленно, на горизонтах оси подводного звукового канала с глубиной залегания около 100 м. Объект, как источник гидродинамических возмущений и формирования ореольной области, маневрировал в районе исследований и многократно пересекал гидроакустическую барьерную линию (ГАБЛ). Акустическая система в этом случае представляла собой измерительную бестелесную антенну бегущей волны, сформированную просветными сигналами. Обработка измеряемой акустической информации заключалась в приеме и регистрации просветных сигналов на магнитофоне и лентах самописцев. С использованием узкополосного анализатора в реальном масштабе времени выделялись спектральные характеристики огибающей суммарного сигнала (рис. 1). Спектры накапливались для трех характерных моментов маневрирования СПА при пересечении им ГАБЛ: до пересечения (А), после пересечения (В), а также за весь промежуток времени пересечения (АВ), на интервале которых осуществлялось эффективное искажение и преобразование амплитудно-фазовой структуры поля просветных акустических сигналов совместным воздействием гидродинамических, низкочастотных акустических полей СПА и его нелинейным турбулентным кильватерным следом (рис. 1). Совокупность этих полей составляет ореольную область возмущенной среды, которая сопутствует перемещению СПА и модулирует поле сигналов. На рис. 2 приведен пример записей просветных сигналов, искаженных гидродинамическими возмущениями объекта. Ц, Дб Гидродинамические волны (кольца) Резонансные колебания корпуса 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 /, Гц Рис. 1. Спектральные характеристики просветных сигналов, промодулиро ванных гидродинамическими волнами (кольцами) СПА (протяженность просветной линии 20 км, частота колебаний /400 Гц: ис - измеренный гидроакустический сигнал в вольтах относительно порогового уровня в 0,1 Па) ц, Дб ^ мин Рис. 2. Уровни просветных сигналов, возмущенных гидродинамической областью СПА (горизонт излучения 75 м; прием сигналов 50, 75, 100 м; протяженность просветной линии 45 км) При проведении морских экспериментов с СПА наблюдалось, что в отдельных случаях на морской поверхности формируется уединенная волна-предвестник. Однако такие эффекты наблюдались не во всех случаях пересечения объектами ГАБЛ, а, в основном, только на удалениях, не превышающих 3 - 5 км излучающих и приемных систем. Эти случаи соответствуют наиболее точному пересечению центра ГАБЛ, как зоны переноса энергии сигналов (первой зоны Френеля) и эффективной модуляции просветных сигналов в ореольной областью, сопутствующей СПА. Морской эксперимент с использованием многоканальной (по горизонтам) просветной акустической системы, как пространственной параметрической антенны, позволил реализовать эффективную регист- рацию пространственно развитой ореольной области самодвижущегося подводного аппарата. Надежно зарегистрировано проявление всех составляющих ореольной области: кильватерного следа, гидродинамических волн (колец) вокруг СПА, которые проявились как в модуляции уровня принимаемых просвет-ных сигналов, так и в спектральных характеристиках огибающей принимаемых сигналов в моменты пересечения прозвучиваемой линии. Измерения поверхностной гидродинамической волны в соответствии с известными методиками [8, 9] были проведены способом радиолокационного зондирования поверхности. В этих экспериментах были также получены убедительные результаты измерения характеристик поверхностных гидродинамических возмущений для ВОО СПА, в том числе и в условиях их маскировки интенсивным (до двух баллов) волнением поверхности моря. В заключение необходимо отметить, что сформированные в морской среде движущимся объектом гидродинамические возмущения проявляются в виде пространственно развитых ореольных областей, которые могут быть надежно зарегистрированы низкочастотными просветными системами, содержащими многоэлементные вертикальные приемные антенны. При измерении сформированных гидродинамических возмущений среды просветными акустическими системами надежно регистрируется их пространственно временная амплитудно-фазовая структура, которая проявляется в спектральных характеристиках огибающей принимаемых просветных сигналов, а также при многоканальной (по горизонтам) регистрации уровня просветных сигналов. В спектрах принимаемых сигналов надежно регистрируется наличие гидродинамических волн (колец) и признаки их допле-ровского смещения, обусловленные движением ореольной области объекта. В записях уровней просветных сигналов проявляются как наличие гидродинамических волн (колец), так и искажения сигналов турбулентной и пузырьковой составляющих кильватерного следа. Литература 1. Доду Р., Эйлбок Д.Ж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М., 1988. 230 с. 2. Казанцев Г.И., Бобылев Б.К. Распространение акустиче- ских колебаний в поле уединенных волн. Владивосток, 2001. 67 с. 3. Казанцев Г.И., Сенченко А.Г. Отражение акустических волн от гидродинамической волны солитонов // ПМ РЭВ ВТ. Вып. 32, Владивосток, 2001. С. 243 - 247. 4. Гравитационное поле ускоренно движущихся масс / В.И. Короченцев [и др.] // САРАС ВАТИ: сб. тр. ДВГТУ. Владивосток, 2002. С. 26 - 34. 5. Взаимодействие волн различной физической природы в морской воде/ М.В. Мироненко [и др.] // Подводные технологии 2000: сб. тр. междунар. симп. 23-26 мая 2000 г., Япония, Токио. С. 105 - 110. 6. Мироненко М.В., Петроченко С.П., Минаев Д.Д. Измери- тельные технологии просветного метода гидролокации в решении задач мониторинга и освоения морских акваторий // Акустика океана: Л.М. Бреховских, сб. тр. 9-й школы-семинара «»М., 2002. С. 359 - 364. 7. Мироненко М.В., Мироненко А.М. Метод дальнего пара- метрического приема акустических волн низкочастотно- Поступила в редакцию го и инфранизкочастотного диапазонов. // сб. тр. 11 сессии РАО, Т.2, М., 2000. С. 222 - 226. 8. Теоретические основы измерения параметров морского волнения радиолокационными средствами / И.Е. Ушаков [и др.] // Судостроение за рубежом. 1982. № 12. С. 27 -35. 9. Филлипов А.Г. Многоликий солитон. М., 1990. 288 с. 1 июня 2009 г. Трасковский Валерий Иванович - преподаватель, кафедра гидроакустики, Тихоокеанский Военно-Морской институт им. С.О. Макарова. Тел. 8(4232)34-07-43. E-mail: [email protected] Харина Валентина Васильевна - преподаватель, кафедра высшей математики, Тихоокеанский Военно-Морской институт им. С.О. Макарова. Мироненко Михаил Владимирович - д-р техн. наук, профессор, старший научный сотрудник, Тихоокеанский Военно-Морской институт им. С.О. Макарова. Стародубцев Павел Анатольевич - д-р техн. наук, профессор, кафедра гидроакустики Тихоокеанский Военно-Морской институт им. С.О. Макарова. Traskovskiy Valeriy Ivanovich - senior lector, department «Hydroacoustic», Pasific Ocean Naval Institute, Vladivostok. Ph. 8(4232)34-07-43. E-mail: [email protected] Harina Valentina Vasilievna - senior lector, department «Applied mathematics», Pasific Ocean Naval Institute, Vladivostok. Mironenko Michail Vladimirovich - Doctor of Technical Sciences, professor, senior staff scientist, Pasific Ocean Naval Institute, Vladivostok. Starodubtcev Pavel Anatolievich - Doctor of Technical Sciences, professor, department «Hydroacoustic», Pasific Ocean Naval Institute, Vladivostok.

https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskoe-modelirovanie-protsessa-pogloscheniya-zvukovoy-volny-zelenymi-nasazhdeniyami

Представлена математическая модель процесса звукопоглощения листвой зелёных насаждений, на основе которой можно прогнозировать снижение автотранспортного шума в городских условиях.

ПРОБЛЕМЫ АГРОПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА УДК 536.24:674.047 ДИФФУЗИОННЫИ ПЕРЕНОС В ПАРОГАЗОВОЙ ФАЗЕ ПРИ СУШКЕ ДРЕВЕСИНЫ. Ч. I. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ © 2006 г. О.Р. Дорняк Введение Прогресс в теории и практике сушки требует дальнейшего изучения фундаментальных закономерностей тепломассообмена, гидродинамики, технологии процесса на базе современных методов анализа, использования методов физического и математического моделирования [1]. При изучении процессов сушки материалов, допускающих усадку, подверженных короблению и растрескиванию, важен расчет локальных значений влагосодержания и температуры, что возможно осуществить лишь путем создания и исследования математических моделей, описывающих внутренний тепло- и массоперенос. В [2-3] разработана математическая модель процессов тепло- и мас-сопереноса в древесине как анизотропной ненасыщенной трехфазной среде с учетом фазовых переходов и поверхностных явлений. Континуальные уравнения получены на основе методологии механики гетерогенных систем [4], позволяющей сформулировать единый подход к теоретическому исследованию и созданию математических моделей процессов гидротермической и механической обработки древесины. В данной работе на основе базовой модели [2] изучаются особенности диффузионного переноса пара в парогазовой смеси, влияние внутренних и внешних условий массообмена на интенсивность процесса сушки. Математическая модель Уравнения сохранения для макроскопических параметров системы получены методом объемного усреднения по отдельным фазам микроуравнений для макроскопических параметров каждой фазы. Обозначим параметры переноса первой (газообразной) фазы нижним индексом 1, второй фазы (воды) - 2, третьей фазы (твердого скелета, древесинного вещества -комплекса природных полимеров) - 3. Знак усреднения по соответствующей фазе будет опущен. Газовая фаза является двухкомпонентной гомогенной системой, содержащей неконденсирующийся газ и водяной пар. Параметры, относящиеся к первой компоненте, отмечены нижним индексом ко второй компоненте - Плотность парогазовой смеси р1 и концентрации составляющих определяются следующим образом: „О п" p l _р lv +p lg . X_ o . 1 X_ o P1 P1 (1) где знак ° означает истинное значение физической величины; х - массовая концентрация пара. Паровая и газовая компоненты рассматриваются как идеальные газы. Давление в смеси p1 определяется законом Дальтона Р! =р М ; Б1 =х£1у + (1 - X)Б^ . (3) Для парциального давления и удельной внутренней энергии и имеем plg = рlgTlБlg ; = су; Р\у =Р°УТ1Б1У ; и IV = су1ут1 , (4) где В - индивидуальная газовая постоянная, Дж/(кгК); cv - теплоемкость при постоянном объеме, Дж/(кгК); Т - температура, К. Значения скорости паровой и газовой компонент могут быть различны. Для их описания введены сред-немассовая скорость смещений элементарных макрообъемов первой фазы v1 и диффузионные скорости пара и газа w1v и w1g: V: = XV¡V +(1 -Х)Vlg ; w1g = v1g - V]; ^ = ^ - v1. (5) Относительное движение компонент определяется законом бинарной диффузии Фика: w3 _flDix . w,3v _-PlDix, (6) 1g P olg dx / 1v p o°v dx 3 W где параметр В - коэффициент бинарной диффузии, зависящий в общем случае от температуры газа. Декартова координата х3 направлена вдоль волокон образца. Уравнения сохранения массы для парогазовой смеси и газовой компоненты при сделанных предпо- ложениях имеют вид д(рОа,) д(рОау3) , -—— + —= s12j ; а 1 + а2 + а3 = 1;(7) dt - + - dx 3 д(р Га 1(1 -X)) + д (Р 1а 1(1 -X)(v1 + )) = 0 (8) dt дх 3 где / -поток массы пара, обусловленный фазовыми переходами, отнесенный к единице времени и единице площади, кг/(м2с); 512 - удельная поверхность раздела 1 и 2 фазы, м-1. Случай/ > 0 соответствует испарению, / < 0 - конденсации. Уравнение движения и теплопроводности парогазовой фазы записаны следующим образом: Р1 а 1 ср1Р 1а 1 ду1 3 ду^ 3 дt - + у дх 3 = -а дР1 1 дх 3 а у f дГ 3 дГ 1 — + у{—1 дt дх = а 1В1Г1 K1333Т 1(91) дрГ |у 3 др О (9) дt -+ у дх1 д f дГ1 ^ д f дГ1 ^ д +- а 1—1 дх1 дх1 дх f +а ВТ др О + у3 др О 1 дt дх1 а 1 дх 2 дх 3 . дГ1 а 1Л1—1 дх 3 + cy1s1^.j'(r1| v12 - Г) + 021 + Ö31; (10) cp1 = Xcp1y +(1 -X) c p1 g = //(Ц^ -Тг); / = 1,2,3. Здесь К13тт - коэффициент проницаемости 1-ой фазы при полном насыщении в направлении т, м2; Т(9) - относительная фазовая проницаемость; 91 -насыщенность объема порового пространства газообразной фазой; ср - теплоемкость при постоянном давлении, Дж/(кгК); X -коэффициент теплопроводности, Вт/(мК); а/ - коэффициент теплоотдачи между фазами г и /, Вт/м2; переменные с индексом Е/ относятся к границам раздела фаз г и/ Для описания поведения жидкой фазы использованы уравнение сохранения массы, уравнение движения жидкости без учета конвективного переноса, массовых сил и динамических эффектов фазовых переходов, а также уравнение теплопроводности. Характеристики переноса воды зависят от типа ее связи с твердой фазой. В рассматриваемых условиях термического воздействия на древесный образец дополнительно применены усредненные уравнения баланса массы и количества движения связанной воды в смачивающих пленках. Для твердой фазы использовано уравнение теплопроводности. Функция распределения давления в жидкой фазе определена, следуя работе [5]. Неравновесный про- цесс сушки рассматривается как квазиравновесный, когда каждый локальный макрообъем пористого тела проходит через непрерывный ряд мгновенных состояний термодинамического равновесия между фазами. Из равенства химических потенциалов жидкости и пара в состоянии равновесия давление жидкости определяется по формуле Кельвина [5]. Используя формулу Кельвина и уравнение изотермы сорбции, можно получить зависимость давления воды от влажности и температуры в рамках равновесной термодинамики двухфазных многокомпонентных систем. Уравнения переноса массы, количества движения и внутренней энергии отдельных фаз дополняют уравнения сохранения на межфазных поверхностях, записанные в виде балансовых соотношений. На границе раздела жидкость - пар (в поверхностной фазе) в общем случае следует учитывать неравновесность фазовых переходов, связанную с тем, что количество пара, испаряющегося с поверхности раздела фаз, зависит от кинетических возможностей паровой фазы. Кинетика неравновесных фазовых переходов описывается уравнением Герца-Кнудсена-Ленгмюра. Неравновесная схема фазовых переходов предполагает наличие скачка температур в граничном кнудсенов-ском слое пара, что может быть учтено в рамках предлагаемой математической модели. Взаимосвязь между давлением и температурой вдоль линии насыщения определяется уравнением Клапейрона-Клаузи-са. В процессе сушки происходит изменение площадей поверхностей контактного взаимодействия трех фаз изучаемой гетерогенной системы Расчетная схема определения удельной площади поверхности раздела фаз жидкость - парогазовая смесь, жидкость -твердая фаза, парогазовая смесь - твердая фаза построена на базе устоявшихся в древесиноведении представлений о капиллярно-пористой структуре древесины и формах связи влаги с древесиной [6], а также опытных данных. Система дифференциальных уравнений в частных производных дополнена начальными и граничными условиями. Объемная концентрация жидкой фазы в поверхностной зоне соответствует равновесной. Краевые условия на внешних границах бруска для температуры отдельных фаз, концентрации и давления пара записаны в форме условий 3 рода. В частности, для переменных, относящихся к первой, фазе граничные условия записаны в виде Эр! дп = ß Г (Р11Г - p c); - D дх дп = Y ir (х| Г -X c): (11) а1| Г =1 -а 2 | Г -а3 |Г; -А ът1 дп = а }(Г1| г - Г с), (12) г г iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. г где а1 — коэффициент теплоотдачи /-ой фазы к окружающей среде, Вт/м2; Р1Г, у1Г — коэффициенты массообмена 1-ой фазы с окружающей средой, м-1; п - внешняя нормаль к поверхности образца. Нижний индекс Г означает принадлежность к внешним границам древесного образца, индекс с - к окружающей среде. Начальные условия для величины х предполагают равновесное распределение пара по объему образца х = Х 0(х 1,х 2,х 3), соответствующее имеющимся полям температуры Т1 = Т0( х1, х 2, х 3) и влажности материала. Паровоздушная смесь неподвижна в начальный момент времени V3 = 0. Ее объемное содержание определяется по известным формулам в зависимости от породы и влажности древесины а 1 = а 10(х1,х2,х3). Задача эволюции концентрации паровой компоненты в процессе термического воздействия на образец, определяемая соотношениями (1)-(12), может быть приведена к безразмерному виду. В качестве единиц величин с независимой размерностью используем характерный размер заготовки /хар, характерную скорость течения vxap, давление рхар, температуру Тхар. Безразмерные переменные определим следующим образом: Э(р O*a i (1 -X)) d(p O*a 2 (1 -X)(v 3* + w g*)) . /=1,2,3; t* =-L . B* = _ Bi xap B хар * pn T '12 _ д 12'xap р m . * ; Cv1 Cv1 р xap B xap j ; t xap l xaр j xap V xap '1 dt * rdv3* 3* dv3* ^ —l— + vf —L dt dx 3 dx * = 0; 3* dp!* -__l__ dxз* Re 1 Da33 ^2(62) P1 a 1 1 +- Pe: 1 +Pe1 ( dT-f 3* dT-f ^ —* + v3 —* dt dx * ** = a! Bj Tj f o* o* Л Эр J + v 3* Эр J + dt * dx * d ( dT*) d ( dT*) d ( dT*^ 1 1 a 1 1 1 ™ 1 dx1 a dx* dx dx dx * a dx * •^Nu?m(T;|^ -T1*) + s^Nuf£13(71*1 ^ -T1*) лЛ * . * x/T-T * I m * ч * * ч * + -üL s 12 j (T1 I 12 - T1 ); с p1 = Xе p1v +(1 -X)c p1 g с p1 Im ' ^ dpL dn * оГ*, H *4 dx = ßi (p1 I -p*); T dn = Nur Лх| г -x с); aJГ=1-a2 Г-a dT1* Г dn * T^ Л А = Nur(T1 |Г -T* ); v13*(x1 *,х2 *,х3* ,0) = 0 ; р1(х1",х2 *,х3* ,0) = р*; ТГ^*, х 2*, х 3*,0) = Т0*. (13) Безразмерные комплексы, характеризующие теп-ломассоперенос в двухкомпонентной газообразной фазе, введены следующим образом: p p V2 р = У xap . j = У хар . в = . хаР М xap 2 ' J xap v ' xap Vx2 xaр T xap Система безразмерных уравнений переноса парогазовой фазы, а также относящихся к ним граничных и начальных условий, имеет вид * * * О* o* , о* К 1v 1 ' 1g * * т> * р 1 =р iv +р ig. x = -0*; 1 -x = 7^; u 1g = *v 1gT1 ; р1 p1g. рО u 1v = cv *vt1*; p*g = POgT** b1*g; p*v = p 1vt* B*v; p* =р OT*B*; B* = xB*v + (1 - X)B*g ; v* = xv*v + (1 - X)v*g ; w*g = vjg - v*; w* = v* - v* ; w3* 1 р0 dX . w3» 1 р0 dX . W л —---Wi —---- 1g Pe1D р О* dx **' 1v Pe1D р О* dx 3' ^O*a 1) + d(pO*a*v3*) = s1*2j*; a 1 + a2 + a3 = 1; dt * dx 3 N г Y^ NuJD =- 1D D V l р xap Pe 1D = l2 xap . ßr* =ßrl d ' M1 _ M1 ' тар ■ t xap D Re1 = Nu xap xa^^ xap ц 1 a h 1 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. i Yij1 xap Pe1 = l 2 xap А1 t xap a 1 Cp*P xap i £ij St a i £ij i £ij Nu i £ij . C iр xap Vxap Pe i arl Nu[ = a 11 xap . - А1 i-1,2; Dai7 = nn m = 1, 2, 3. l2 xaр Сформулированная модель диффузионного переноса пара (13) позволяет выделить ряд предельных режимов возможных в процессах сушки коллоидных капиллярно-пористых тел. Режимы движения бинарной газовой смеси определяются числами Рейнольдса Яе1, Дарси Ба13 и р1Г. Эффективность внутреннего теплообмена зависит от критериев Пекле Ре1 и Нус-сельта Ми1Л, внешнего - от числа Ми1Г. Режимы масо-обмена в парогазовой среде определяются диффузионными критериями Нуссельта Ми1Вг и Пекле Ре1В. г ; v1 = x= г l t xap n xap h h А При значениях №ш<<1 процесс сушки малоэффективен, концентрация пара в образце не может снижаться вследствие диффузионного механизма выравнивания концентраций пара в материале и в окружающей среде. При числах №ш>>1 концентрация пара практически мгновенно подстраивается под изменяющееся условия теплового взаимодействия материала с окружающей средой. Длительность переходного диффузионного процесса в парогазовой фазе капиллярно-пористого материала зависит от диффузионного числа Пекле. При Рещ<<1 эта величина весьма невелика. При Реш>>1, поле концентраций пара в паровоздушной смеси по-рового пространства будет перестраиваться весьма медленно. Учет диффузионного переноса пара в математической модели особенно важен в режиме №ш~1, Реш~1, когда вклад значений концентраций паровой компоненты в развитие полей других теплофизиче-ских переменных наиболее значителен. Заключение Сформулированная модель диффузионного переноса пара в парогазовой смеси, заполняющей поры капиллярно-пористого тела, позволяет с использованием численных методов изучить особенности пове- дения бинарной газовой системы, влияние диффузии паров воды и воздуха на интенсивность процесса сушки материала. Предельные режимы внешнего и внутреннего массообмена могут быть использованы для упрощения математической модели. Литература 1. Рудобашта С.П. Фундаментальные исследования тепломассообмена при сушке // Современные энергосберегающие тепловые технологии (Сушка и тепловые процессы СЭТТ-2005): Тр. 2 Международ. науч. практич. конф. - М., 2005. - Т.1. - С. 7-17. 2. Дорняк О.Р., Шульман З.П. Математическое моделирова- ние процесса сушки натуральной и уплотненной древесины // Изв. вузов, Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2005. Спец. выпуск «Композиционные и порошковые материалы» С. 133-142. 3. Dornyak O.R., Shulman Z.P. Mathematical modeling of two-dimensional field development of temperature and moisture content in wood // Int. J. Applied Mechanics and Engineering. - 2005. - Vol. 10, № 4. - P. 593-604. 4. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. -М., 1978. 5. Гринчик Н.Н. Процессы переноса в пористых средах, электролитах и мембранах. - Минск: АНК «Институт те-пло-и массообмена» АН Беларуси, 1991. 6. Чудинов Б.С. Вода в древесине. - Новосибирск, 1984. 23 мая 2006 г. Воронежская государственная лесотехническая академия УДК 536.24:674.047 ДИФФУЗИОННЫЙ ПЕРЕНОС В ПАРОГАЗОВОЙ ФАЗЕ ПРИ СУШКЕ ДРЕВЕСИНЫ. Ч. II. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ © 2006 г. О.Р. Дорняк Численная реализация Задача диффузионного переноса в двухкомпо-нентной газообразной фазе при тепловых воздействиях на древесину, сформулированная в первой части работы, решается в рамках общей проблемы тепло-массопереноса [1]. Численная реализация задачи проводится на основе нестационарных неявных конечно-разностных схем, построенных методом контрольного объема с использованием процедуры расщепления по физическим процессам. Линеаризация дискретных уравнений проведена методом Ньютона. В задаче движения парогазовой смеси величина давление p1 является искомой. Для расчета изменяющихся полей p1 использован специальный алгоритм SIMPLE [2]. Системы разностных уравнений решаются методом прогонки. Для проверки алгоритма проведена серия тестовых расчетов на основе специально подобранных точных решений исследуемых уравнений с источниковыми членами. Сравнение расчетных значений изменения со временем избыточного давления в парогазовой среде с опытными данными [3] показало их качественное совпадение. Изменение концентрации пара в газообразной фазе описано с помощью нестационарного уравнения параболического типа. Уравнение является одномерным, поскольку перенос этой фазы осуществляется преимущественно вдоль волокон, но концентрация х является функцией трех пространственных переменных, поскольку в соответствие с общей постановкой задачи, развитие поля концентраций связано с распределением температуры в парогазовой среде, а также зависит от интенсивности фазовых переходов / Так как характерное время выравнивания температуры в паре намного порядков меньше времени процесса и много меньше времени развития температурных полей в твердом скелете (древесинном веществе) и в жидкой фазе, то следует ожидать, что поля концентраций пара в паровоздушной среде будут близки к однородным в каждом поперечном сечении образца. Расчетные значения теплофизических параметров пара, воздуха, воды и твердой фазы приведены в [1]. Образец представляет собой брус из древесины сосны с размерами 180x180x6000 мм. Температура окружающей среды Тс = 363 К. Температура мокрого термометра здесь Тм = 323 К. Давление паровоздушной смеси в окружающей среде равно атмосферному рс = 1,013105 Па. Величины характерных параметров приняты следующими: /хар = й = 6 м, ¿хар = 3,6103 с, Рхар = рс, Тхар = 373 К. Начальная влажность образца однородна Ж0 = 25 и 80 %. В первом случае процесс сушки происходит в основном в гигроскопической области, во втором - при значениях влажности вне этого диапазона (расчетное время процесса равно ¿хар). Начальная температура всех фаз одинакова и равна Тс. При / = 0 величина давления паровоздушной смеси в образце и в окружающей среде равны. Значения кон- 0 0,2 0,4 0,6 0,8 t/tx (Л/Рхар^ИО 12 10 8 6 -2 0,4 0,6 в) центрации пара и влагосодержания в окружающей среде и образце в начальный момент различны: Хс = 0,086, хо = 0,589. Эти величины рассчитаны по относительной влажности воздуха в окружающей среде и во влажном материале [4]. В построенной математической модели характер диффузионного переноса пара в бинарной системе определяют два безразмерных комплекса - диффузионное число Пекле Реш = / х^ар / / хар В и диффузионный критерий Нуссельта Ки^ =у^/хар /В (верхний индекс Г относится к внешней границе образца; В - коэффициент взаимной диффузии паровоздушной смеси, м2/с; у1Г - коэффициент массообмена пара, м/с). Интервалы варьирования безразмерных параметров массо-обмена в расчетах составили Ре1В = 3,3-3,3*102, Ки1В = 0,02-2'102. Ж, % 70 60 50 (///хар)" 10 0,6 г) Рис. 1. Изменение со временем объемной концентрации пара в газообразной фазе в центральной точке бруса х (а); средней по сечению бруса влажности Ж (б); давления парогазовой смеси рх (в); интенсивности парообразования / (г) при однородной начальной влажности Ж0 = 80 % для Ре1В = 3,3; = 0,02 - 1; 0,2 - 2; 2 - 3; 20 - 4; 200 - 5 4 2 0 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,2 0,4 0,6 0,! а) (Л^ар-О-Ю- С///хар)' 107 20 15 / / V \ 2 - 10 / / 3 5 ff 1 ^ 5 0 4 3,0 2,5 3 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 2,0 1,5 / 2 / - 1,0 - 0,5 / / 1 —— 0 5 -0,5 4 0 0,2 0,4 0,6 0J гИха 0 0,2 0,4 0,6 0, гИх; в) г) Рис. 2. Изменение со временем объемной концентрации пара в газообразной фазе в центральной точке бруса х (а); средней по сечению бруса влажности Ж (б); давления парогазовой смеси р1 (в); интенсивности парообразования у (г); при однородной начальной влажности Ж0 = 25 % для Ре1В = 3,3; Ки1В = 0,2 - 1; 2 - 2; 20 - 3; а также Ре1В = 3,3102; Ки1В = 20 - 4 и Ре1В = 33; Ш1В = 20 - 5 Обсуждение результатов Рис. 1-4 иллюстрируют влияние массообменных критериев на интенсивность процесса сушки древесного материала. На рис. 1 и 2 показано изменение основных характеристик парогазовой смеси при сушке древесного бруса при влажности выше предела гигроскопичности Жпг (рис. 1) и в гигроскопической области (рис. 2). Как видно из графиков на рис. 1а и 2а, концентрация пара х снижается более интенсивно при больших значениях диффузионного числа Нуссельта. Большим значениям числа Киш соответствует более высокая скорость обезвоживания материала (рис. 1б, 2 б). Более низкие значения концентрации пара х приводят к увеличению его производства из-за увеличения разности давления насыщения и парциального давления паровой компоненты (рис. 1г, 2г), вследст- вие чего развитие переходного процесса в газообразной фазе происходит существенно быстрее при больших числах Киш (рис. 1в, 2в). В менее влажном материале длительность процесса выравнивания давления еще более сокращается из-за меньшего сопротивления оттоку парогазовой смеси из образца. Из рис. 1а - г видно, что при значении Киш<<1 процесс сушки существенно замедляется после удаления воды с внешних поверхностей образца и установления на внешних границах равновесной влажности при данной температуре окружающей среды (кривые 1). Его ускорение возможно, например, за счет более интенсивных капиллярных перетоков связанной воды. При числах Киш>>1 изменение теплофизических переменных происходит в большем диапазоне. При этом имеет место некоторый предельный режим их изменения (кривые 4, 5). При Киш~1 процессы массо- X обмена на границе образца вносят наиболее существенный вклад в формирование полей основных теп-лофизических характеристик, влияя тем самым на интенсивность процесса его сушки. X 1 0,6 - 0,5 v6 ■ 0,4 ■ 2 0,3 / 3 \ 0,2 ___ \ - 0,1 5 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 х3//хар а) X 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 расчетного периода обуславливает ту же тенденцию и для парциального давления пара, что приводит вновь к росту производства пара. При больших числах Ре1В практически не работает механизм внутреннего диффузионного переноса пара в парогазовой среде (кривая 4 на рис. 2б, в). Даже при достаточно благоприятных условиях внешнего масо-обмена (Ки1В = 20), процесс сушки идет в этом случае значительно медленнее, чем при малых диффузионных числах Пекле. При Ре1В = 333 в центре образца в течение расчетного периода происходят процессы конденсации (/ < 0). Средняя влажность материала снижается, как показывают результаты расчетов, в основном, за счет испарения влаги в областях, близких к торцевым поверхностям. При одинаковых условиях внешнего массообмена (одинаковых значениях Ки1В) характер распределения концентрации пара в газообразной фазе х вдоль волокон образца качественно одинаков для значений Жо>Жпг и Жо<Жпг (см. рис. 3). Кривые 4 и 6 на рис. 3а, а также 3-5 рис. 3б, относящиеся к расчету процесса сушки материала при малых и больших величинах Ре1В, демонстрируют вклад внутреннего диффузионного переноса в формирование профиля концентрации пара вдоль направления его преимущественного движения. При больших значениях Ре1В к завершению расчетного периода концентрация пара вдоль центрального волокна практически равна начальной, а вблизи торцевых поверхностей образца, имеют место достаточно большие градиенты величины %. х 0,6 Рис. 3. Распределение объемной концентрации пара в газообразной фазе вдоль длинной оси симметрии бруса х для момента времени г/гхар = 1 при начальной однородной влажности Ж0 = 80 % (а) 25 % (б). Кривые на рис. 3а получены для Ре1В = 3,3; = 0,02 - 1 ; 0,2 - 2; 2 - 3; 20 - 4; 200 - 5 и Ре1В = 33; = 20 - 6; на рис. 3б для Ре1В = 3,3; = 0,2 - 1; 2 - 2; 20 - 3; а также Ре1В = 3,3'102, = 20 - 4 и Реш = 33; = 20 - 5 Вне гигроскопической области качественная картина изменения со временем давления и интенсивности фазовых переходов в выбранной точке объема совпадают (рис. 1 в, г). Представляет интерес, что в гигроскопической области на фоне роста давления в газовой фазе интенсивность фазовых переходов изменяется со временем немонотонно при больших диффузионных числах Нуссельта (рис. 2в, г). Падение величины / связано с уменьшением давления насыщенного пара вследствие снижения значения активности пара из-за потери влаги пористым материалом. Существенное уменьшение давления р1 в середине 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Рис. 4. Изменение объемной концентрации пара в газообразной фазе вдоль длинной оси симметрии бруса х при начальной однородной влажности Ж0 = 80 % - 2; 2'; 2м; 25 % - 1, 1', 1м для Ре1В = 3,3; Ки1В = 20. Кривые относятся к моменту времени /хар = 0,035 - 1-2; 0,5 - 1'-2'; 1,0 -Г-2" При одинаковых параметрах внутреннего и внешнего массообмена профиль концентрации пара вдоль длинной стороны образца развивается практически одинаково за расчетный период при Ж0> Жпг и Ж0<Жп.г (см. рис. 4). Несколько более значительное выравнивание концентрации пара в образце с влажностью ниже предела гигроскопичности связано с менее интенсивным производством пара в этом случае (кривые 1м, 2м, рис. 4). 0 0 Заключение Диффузионный перенос пара в парогазовой среде -одной из фаз коллоидного капиллярно-пористого тела может оказывать значительное влияние на кинетику и динамику сушки. Численное моделирование процесса сушки в материалах такого типа может быть действенным инструментом в поиске эффективных режимов сушки, в том числе, с помощью регулирования условий внешнего массообмена. Режимы внутреннего диффузионного переноса пара и массообмена у внешних границ образца определяют диффузионные критерии Пекле и Нуссельта. Литература 1. Дорняк О.Р., Шульман З.П. Математическое моделирова- ние процесса сушки натуральной и уплотненной древесины // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2005. Спец. выпуск. Композиционные и порошковые материалы. - С. 133-142. 2. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. - М., 1984. 3. Шубин Г.С. Сушка и тепловая обработка древесины. - М., 1990. 4. Крутов В.Н., Исаев С.И., Кожинов И.А. и др. Техническая термодинамика. - М., 1991. 23 мая 2006 г. Воронежская государственная лесотехническая академия УДК 628.517.2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПОГЛОЩЕНИЯ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ ЗЕЛЕНЫМИ НАСАЖДЕНИЯМИ © 2006 г. Н.Н. Панюшкин, П.И. Попиков, А.Н. Панюшкин, В.П. Попиков При прохождении звуковой волны через листву деревьев часть ее энергии поглощается, т.е. преобразуется в механическую энергию колеблющихся листьев. Каждый лист можно представить себе как пружинный маятник с массой т0 и коэффициентом жесткости к (рис. 1). 1 d 2 х at2 . dx F, + 28 — + ro x = ——cos rot = A0 cos rot, (1) at ro r где 5 - коэффициент затухания, 8 = 2m r Ес = бппЯу = гу ; Г = бппЯ, где п - коэффициент динамической вязкости воздуха: при Т = 293 К п = 1,72-10 -5 Пуаз; при Т = 300 К п = 1,84-10 -5Пуаз ; Я - эффективный радиус листа, определяется по формуле Я = . £ , где £ - площадь листа. Решение дифференциального уравнения (1) для установившихся колебаний будет иметь вид [1] X = aa ■ cos ф , :2 го2 Дсо2-го2) + 482 где го0 - циклическая частота свободных незатухающих колебаний листа: го 0 = ; к, т0 - коэффици- Рис. 1. Расчетная схема колебаний листа: С - центр тяжести листа; О - точка крепления листа; АХ - смещение центра тяжести листа от положения равновесия Под действием звуковых волн лист будет совершать вынужденные колебания, которые можно описать дифференциальным уравнением второго порядка: ент жёсткости и масса одного листа; А0, го - амплитуда и циклическая частота колебаний волны. Интенсивность плоской и сферической волны звука определяется как I = и < Ж >= 2 рдго2А 0 , где < Ж > - среднее значение плотности энергии за период звуковой волны; и - скорость звука в воздухе [2]: ~ЯГ и = < Y где R = 8,31- Дж M - молярная газовая постоянная; ; m0 - масса iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. одного листа, кг; г - коэффициент сопротивления движению листа, теоретически может быть определен по формуле Стокса: мольхК у - постоянная адиабаты, у = 1,4 ; ц - молярная масса, для воздуха ц = 0,029 ^ ; Т - термодинамиче- моль ская температура. r Для падающей волны, возбуждаемой источником звука, т.е. движущимся по улицам автотранспортом 10 = и < Ж0 > , где < Ж0 > - энергия колебаний звука на пороге слышимости, < Ж0 >=< Ж > + < А Ж > , < Ж >=< Ж0 > - < АЖ >, < Ж > - прошедшая энергия; < АЖ > - поглощенная энергия (часть энергии, которая преобразуется в энергию механических колебаний листа): <АЖ >= пЖл, где п - концентрация листьев (число листьев в 1 м3) кроны дерева; Жл -энергия механических колебаний одного листа: Wл = m о ю 2(X о*)2 I и(< w0 > - < Aw > 1 2 л 2 1 2 1 \2 ) ^ рю Ао - 4 р лю (xо) U<W0 > 1 2 .. 2 -рю2 А 2 = 1 -1 £i 2 р ( X * ^2 Ао X о* Ао Ао = А0 ^(ю 2-ю 2)2 + ;8 2ю 2 0 ^(ю 2-ю 2)2 + ;8 2ю 2 Тогда окончательно имеем формулу для определения коэффициента Ь: < aw >= Nmm± ю 2(X *)2 =р л ю 2( X *)2 где р л V плотность листвы; р л = N V'- здесь N - коли- чество листьев в кроне дерева; V - объем кроны дерева. Для характеристики ослабления звуковых волн будем исследовать величину уровня интенсивности звука (коэффициент ослабления) Ь, измеряемый в белах (или единицами в десять раз меньшими - децибелами): L = lg ( 1 Л I о где I о - интенсивность звука на пороге слышимости, равная 1о-12 Вт/м2. ■3 L = lg 1 - 1 Р. 1 2 р (ю 2-ю 2)2 + ф8 2ю 2 Минимальное значение коэффициента Lm 1 Р л 1 L min = lg 1- 2 р ф 2 ю2 Численный эксперимент проверяли на примере насаждений липы, как наиболее распространённой среди зелёных насаждений в городских условиях [3, 4]. Математическая модель решена программой Ыа^Саё при следующих исходных данных включающих параметры и физико-механические свойства листьев и крон деревьев. - 6 L := 9о • 1о C := 17о S := о.оо785 m := бо • 1о fmax:= 4оо N := 5ооооо i := 1.. N nl := 5о95 Vk:= 34.4 pl := 148^ m r := 1.72^ 1Ö 3 fmin:= о.1 5 Sk := 42.5 delf := (fmax- fmin) R := S Ki := log NC юо := — 1- f. := fmin+ i • delf i r:= 6• n-r| • R Pl Sl := Sk nl S:=- 2 • m Sl = 8.342X 1о ю; := 2 • п • f. 1 i Г1 := 1.84^ 1о pv := 1.29 5 - 2 "I 2 • pv • 2 / \2 юо - (ю;) + 4 • S • (ю;) Kmin := log 1- юо = 1.683X 1о Pl 3 2 • pv • [• S2 •(ю1)2 1С, "5 -1о "1 -1о "8 167о 168о ю i а) = 2о9.333 169о -о.1 1о ( (Ol б) 2о Рис. 2. Графики зависимостей коэффициентов К и К^ от частоты колебаний автотранспортного шума 2 r о о 9 На рис. 2а показан график зависимости ослабления от частоты звуковой волны. Из графика следует, что максимальное ослабление соответствует частоте собственных колебаний листа и находится в диапазоне (250...300) Гц. На рис. 2б показана зависимость максимального ослабления Ктт от резонансной частоты. Из графика следует, что Ктт нелинейно убывает с ростом частоты. Разработанная математическая модель процесса звукопоглощения листьями деревьев позволяет прогнозировать степень ослабления автотранспортного шума от геометрических и биофизических параметров крон лиственных деревьев, используемых для зеленых насаждений в селитебной зоне городов и поселков. Одним из способов интенсификации технологических процессов прессования древесины является использование пульсирующих нагрузок. Установлено, что применение направленных вибраций специально подобранной частоты и амплитуды улучшает качество вырабатываемой продукции, способствует автоматизации и механизации трудоемких процессов, повышает производительность труда и улучшает технику безопасности [1]. Принципиальная гидравлическая схема пресса для прессования древесины с пульсирующей нагрузкой представлена на рис. 1. В качестве пульсатора можно применять вращающейся золотник, аксиально-поршневой насос с одним или двумя работающими плунжерами и другие устройства [2]. Расход жидкости гидропульсатора должен обеспечивать утечки и упругие деформации элементов гидропривода и прессуемой древесины. Гидропульсотор включается в работу после достижения гидроцилиндром рабочего усилия. После чего золотник распределителя, управляющего работой гидропульсатора, переводится в рабочее положение. Работа гидропульсатора осуществляется от гидростанции пресса. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Литература 1. Попиков В.П. Математическая модель процесса звукопоглощения шума зелеными насаждениями в селитебной зоне городов // Математическое моделирование, компьютерная оптимизация технологий, параметров оборудования и систем управления лесного комплекса: сб. науч. тр. / под ред. проф. В. С. Петровского; ВГЛТА. - Воронеж, 2005. - С. 10-14. 2. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов. -М., 1999. 3. Подольский В.П. Воздействие транспортного шума, вибрации и электромагнитного излучения на окружающую среду в зоне влияния автодорог: учеб. пособие / ВГАСА. -Воронеж, 1996. 4. Репринцев Д.Д., Попиков В.П. Зеленые насаждения, как средство защиты от автомобильного шума / ВГЛТА -Воронеж, 2001. - 8 с. - Деп. В ВНИИТИ 21.05.01, № 1292 - В 2001. 24 мая 2006 г. ПГ Рис. 1. Гидравлическая схема пресса с гидропульсатором: ПГ - пульсатор гидравлический; Р1 и Р2 - гидрораспределители; КП1 и КП2 - гидроклапаны предохраните льные; КР - гидроклапан редукционный; РР - регулятор расхода; КО - клапан обратный; МН1 и МН2 - манометры; Ц - гидроцилиндр Математическая модель прессования древесины на гидравлическом прессе с гидропульсатором может быть представлена системой дифференциальных уравнений [3]: Воронежская государственная лесотехническая академия УДК 674.049.2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАБОЧЕГО ПРОЦЕССА ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ПРЕССА С ГИДРОПУЛЬСАТОРОМ © 2006 г. П.И. Попиков, Р.В. Юдин dP 1о1С1 (Р +1) о,45 dt = (1 - cos юt )sin ф-^F 2,5gP; V Y d 2 x dx Ро nD ц nD ц . m-+ u—+ cx =-—+-— P sin фt, dt dt 4 4 где ё - диаметр цилиндра; Rg - радиус окружности заделки поршневых шатунов в наклонном диске; ф -угол, образованный осями цилиндрового блока; ю -угловая скорость насоса; Р - давление рабочей жидкости, развиваемое пульсатором, Па; ц - коэффициент расхода для конусных клапанов; у - объёмная сила тяжести; g - ускорение силы тяжести; т - масса подвижных элементов пресса; с - жесткость упругой системы; С помощью пакета программ «Ыа^втайса 4.0» были решены дифференциальные уравнения и получены графики, описывающие динамику работы гидравлического пресса с пульсатором (рис. 2, 3). Р, МПа I Рн 1о 8 6 4 2 о t, с А, мм 1,5 1,о о,5 -о,5 -1,о -1,5 5 1о 15 2о t, с 2 4 6 8 Рис. 2. График пульсации рабочего давления в зависимости от времени На рис. 2 представлен график пульсации рабочего давления в зависимости от времени, из которого следует, что амплитуда колебаний находится в пределах 8.. .15 МПа, частота 5.. .6 колеб/с. Рис. 3. График зависимости амплитуды пульсации от времени прессования Из рис. 3 видно, что амплитуда колебаний возрастает по мере уплотнения древесины за 10.15 с примерно в два раза. Математическая модель динамики гидропривода пресса с пульсирующей нагрузкой позволяет определить параметры гидропульсатора и динамические характеристики колебательной системы, установить оптимальные режимы технологического режима прессования. Литература 1. Амалицкий В.В., Бондарь В.Г. и др. Теория и конструкция деревообрабатывающих машин: учеб. пособие. - М., 1983. 2. Башта Т.М. Объемные насосы и гидравлические двигатели гидросистем. - М., 1974. 3. Попиков П.И., Юдин Р.В. Математическая модель процесса прессования древесины на гидравлическом прессе // Математическое моделирование, компьютерная оптимизация технологий, параметров оборудования и систем управления лесного комплекса: сб. науч. тр. / под ред. проф. В. С. Петровского / ВГЛТА. - Воронеж, 2005. -С. 26-30. Воронежская государственная лесотехническая академия 1 июня 2006 г. УДК 63о.617 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЧВООБРАБАТЫВАЮЩЕГО АГРЕГАТА С РЕКУПЕРАТИВНЫМ ГИДРОПРИВОДОМ © 2006 г. В.И. Посметьев, Е.А. Тарасов, Е.В. Снятков При работе на лесных вырубках ходовая часть трактора и почвообрабатывающее орудие постоянно подвергаются знакопеременным нагрузкам вследствие наличия большого числа препятствий в виде пней, корней, камней и неровностей поверхности. Поэтому, для повышения экономической эффективности, целесообразно оснащать их системами рекуперации энергии. Для изучения возможности оснащения рекупера- тивным гидроприводом почвообрабатывающего агрегата в составе серийных трактора ДТ-75М и культиватора КЛБ-1,7 (рис. 1) разработана математическая модель, описывающая динамическое поведение агрегата в процессе работы на вырубке. В [1] предложено использовать рекуперативную систему, встроенную в гидросистему трактора. Элементами, непосредственно воспринимающими внешние усилия, являются гидроцилиндры, устанавливаемые между балансирами кареток трактора, гидроцилиндр навесной системы и гидроцилиндр предохранительного механизма культиватора. Для оптимизации параметров элементов рекуперативной гидросистемы была разработана имитационная компьютерная модель. В рамках модели почвообрабатывающий агрегат рассматривается как плоский механизм, состоящий из семи твердых тел (рис. 2), для каждого из которых известны координаты центра тяжести (х,, у,), масса т, и центральный момент инерции Ji. Исходя из конструкции агрегата, определен набор точек, в которых тела контактируют друг с другом с помощью шарниров (12-22, 24-32, 13-52, 42-54, 63-71), невесомых нерастяжимых тяг (01-11, 14-62, 15-61) и пружин (23-33, 43-53, 64-72). Рис. 1. Общий вид и исследуемые элементы почвообрабатывающего агрегата: 1 - трактор; 2 - лесной дисковый культиватор с гидравлическим предохранителем; 3 - звенья механизма навески трактора; 4 - опорный каток; 5 и 6 - внешний и внутренний балансиры каретки; 7 и 8 - оси качания внутреннего и внешнего балансиров; 9 - пружина; 10 - гидроцилиндр навесного механизма; 11 - автоматическая сцепка; 12 - рама культиватора; 13 - дисковая батарея; 14 - поворотная стойка дисковой батареи; 15 - рамка дисковой батареи; 16 - гидроцилиндр предохранителя культиватора 23 22 ^J ^ Х'2 30 У. 61 62 х6 Х7 40 21 Т2 31 Т3 41 Т4 51 Т5 Рис. 2. Представление почвообрабатывающего агрегата в виде совокупности твердых тел в рамках предлагаемой модели В основе математической модели лежит система дифференциальных уравнений Лагранжа I рода с неопределенными множителями в виде p ЭФ mх ¡о + £X =qx1; Эх, p ЭФ тг У г о + XX = Qyi; .=1 oy 1о p ЭФ JФго + . ^ = Qфг, .=1 Эф 10 где Qxi, Qyi - декартовы составляющие равнодействующих сил, приложенных к ,-му телу; Qфi■ - соответствующий момент; - неопределенные множители Лагранжа (5 = 1, 2,..., р); Ф5 - функции связей. Для составления системы уравнений используется метод [2], основанный на конечно-элементном подходе, согласно которому общая система уравнений составляется из уравнений-шаблонов для соответствующих связей (шарнир, тяга, пружина). Полученная система имеет, укрупненно, следующий вид: M T" Г х > Г Q-1 T' O_ X V У = 1 и J (1) где М - квадратная матрица масс и моментов инерции размерностью 3п х 3п (п = 7 - число тел); Т - прямоугольная матрица размерности 3п х 3пх П - суммарное число степеней свободы, которые «отнимают» у системы все наложенные связи); Т' - транспонированная матрица Т размерности 3п^х3п; О - нулевая матрица размерности 3п^х3п^; Qx - вектор размерности 3 п, где каждый элемент представляет собой сумму всех соответствующих коэффициентов правой части исходных уравнений-шаблонов, выбранных и вычисленных на основании описания массива связей, а также независимые возмущений; и - вектор размерности п%, образующийся из совокупности коэффициентов и, уравнений-шаблонов. Для вычисления сил, действующих на ходовую часть трактора (в точках 21, 31, 41, 51) и дисковый рабочий орган со стороны почвы и препятствий, используется разработанная ранее модель [3]. В систему (1) добавляются также уравнения, описывающие основные элементы гидропривода. Для численного интегрирования полученной системы дифференциальных уравнений используется модифицированный метод Эйлера. Для проведения компьютерных экспериментов используется специально составленная в среде Borland Delphi 7 программа. В процессе компьютерного эксперимента моделируется движение почвообрабатывающего агрегата по контрольному участку вырубки длиной 1 км. Вероятность встретить препятствие (пень или корень) подчиняется равномерному закону. Для расчета данной вероятности при определенной плотности пней используются результаты работы [4]. В процессе движения модельного агрегата фиксируется зависимость вертикальных перемещений центра тяжести трактора от времени y1(t) и затем строится соответствующая амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) A(m). Для оптимизации параметров элементов гидропривода компьютерный эксперимент проводится многократно. При этом критерием оптимизации является некоторый функционал АЧХ F [А(ю)]. Литература 1. Посметьев В.И., Тарасов Е.А., Кухарев В.С. Перспективные рекуперативные системы для гидроприводов лесных почвообрабатывающих агрегатов // Наука и образование на службе лесного комплекса: Сб. матер. МНПК Воронеж, 2005. - С. 132-136. 2. Расчет и проектирование строительных и дорожных машин на ЭВМ / под ред. Е.Ю. Малиновского. - М., 1980. 3. Посметьев В.И., Посметьев В.В. Моделирование взаимодействия дискового рабочего органа лесного почвообрабатывающего орудия с почвой и препятствиями // Математическое моделирование, компьютерная оптимизация технологий, параметров оборудования и систем управления лесного комплекса: межвуз. сб. науч. тр. Воронеж, 2000. - С. 39-44. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 4. Посметьев В.И., Пухов Е.В., Посметьев В.В. Обоснование на основе результатов компьютерного моделирования выбора трактора по критерию его проходимости // Лес. Наука. Молодежь ВГЛТА 2004: сб. науч. тр. Воронеж, 2004. - С. 160-165. Воронежская государственная лесотехническая академия 6 июня 2006 г. УДК 621.22 ДИНАМИКА ГИДРОПРИВОДА ТРЕЛЁВОЧНОГО ЗАХВАТА ДЛЯ БЕСЧОКЕРНОЙ ТРЕЛЁВКИ СОРТИМЕНТОВ © 2006 г. П.И. Попиков, С.И. Федяинов В настоящее время основным направлением в техническом прогрессе лесного комплекса является разработка и внедрение прогрессивных технических и технологических решений, обеспечивающих макси- мальное повышение производительности труда и создание условий для рационального использования всей биомассы дерева при минимальном воздействии машин на лесную среду и оператора. Нами была составлена математическая модель [1], описывающая рабочие процессы в гидросистеме сельскохозяйственного трактора МТЗ-82.1, во время трелёвки пачки деревьев клещевым захватом УТБ-0,8 (рис. 1): d! dt: h hA hx , nD2 dp = 1 ~dt = Kr - P nD 2 h1 + h 5 h1 h 4 Робж h 2 +" G б n - P тр nD dx q Н n Н----a y P Н л ж y где t - время, с; п - коэффициент длины дерева; Р -давление рабочей жидкости в напорной магистрали, Па; Р2 - давление рабочей жидкости в сливной магистрали, Па; Gб - вес бревна, Н; Ртр - сила трения, Н; Кр - коэффициент податливости упругих элементов гидропривода, м3/Па; дн - рабочий объём насоса, м3/об; пН - частота вращения вала насоса, 1/с; ау -коэффициент утечек рабочей жидкости, м3/с-Па. Р, МПа 6 4 2 Рис. 2. Зависимость давления в гидросистеме горизонтального перемещения захвата от времени: тд = 400 кг, ау = 10-10 м3/(с-Па), Кр = 2 • 10-11 м3/Па На рис. 3 показана зависимость коэффициента пульсации давления от времени. k -пульс Л [ay= 1о- м3/сПа о 2 4 6 8 Kp, 1о-11 м3/Па Рис. 3. Зависимость коэффициента пульсаций давления в гидросистеме горизонтального перемещения захвата от коэф- фициента податливости п = 0,66; Б = 0,075 м; Рсл = 2 • 105 Па; qН = 32 • 10-6 м3; пН = 20 1/с; Н1= 0,25 м; Н2 = 0,93 м; Н2 = 1,02 м; Н3 = 0,45 м; Н4 = 0,39 м; Н5 = 0,45 м; Робж = 1000 Н; тд = 400 кг Введение в гидросистему демпфирующих элементов способствует увеличению коэффициента податливости Кр и, следовательно, уменьшению коэффициента пульсации &пульс,- При Кр > 1012 динамического повышения давления в гидросистеме практически не наблюдается, что обеспечивает повышение надёжно- сти лесных машин. 4 2 Рис. 1. Расчётная схема трелёвочного захвата Решая данную модель, получили графические зависимости основных параметров: давления Р, горизонтальной скорости захвата Vx и горизонтальной координаты Х от времени при следующих значениях: п = 0,66; Б = 0,075 м; Рсл = 2 • 105 Па; qН= 32 • 10-6 м3; пН = 20 1/с; Н1= 0,25 м; Н2 = 0,93 м; Н2 = 1,02 м; Н3 = =0,45 м; Н4 = 0,39 м; Н5 = 0,45 м; Робж = 1000 Н. На рис. 2 представлен график зависимости давления в гидроцилиндре захвата, из которого видно, что максимальное давление в начале движения составляет 4 МПа, а время переходного процесса - 0,6 с. Литература 1. Попиков П.И., Гончаров П.Э., Федяинов С.И. Математическая модель рабочего процесса гидросистемы колёсного тягача с трелёвочным захватом // Математическое моделирование, компьютерная оптимизация технологий, параметров оборудования и систем управления. - Воронеж, 2005. - Вып. - 10. С. 76-82. 1 июня 2006 г. Воронежская государственная лесотехническая академия

https://cyberleninka.ru/article/n/issledovanie-vysokochastotnogo-proboya-gazov-v-rezonatorah

На основе использования вариационных принципов формулировки электродинамики решена задача о переходных процессах, происходящих при возбуждении резонатора, когда в нем развивается высокочастотный разряд. Используемый метод позволяет получить весьма простые формулы, которые с известной степенью точности описывают интегральные характеристики процессов.In this article we consider investigation of high frequency breakdown in resonators.

УДК 583.3:621.37/39 (089.2) ИССЛЕДОВАНИЕ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО ПРОБОЯ ГАЗОВ В РЕЗОНАТОРАХ © 2003 г. В. И. Прыткое In this article we consider investigation of high frequency breakdown in resonators. Изучение СВЧ-разряда в газах при умеренных и высоких давлениях (р> 1атм.) стимулируется развитием плазменных технологий (плазменной обработки различных деталей и т. п.), разработкой и созданием плазмотронов различных типов и назначений, используемых в широких областях науки и техники, а также исследованием условий возникновения и переходных режимов развития пробоя в высокочастотных колебательных системах, например цилиндрических резонаторах. Однако разработка стройной теории возбуждения «ионизатора», в том числе и в виде цилиндрического резонатора с петлей связи, и развития в нем процесса высокочастотного пробоя газа, далеко не закончена, так как связана со значительными математическими трудностями, с которыми исследователь сталкивается уже на этапе формализации задачи на исследование и подхода к ее решению. Ниже на основе использования Лагранжевых принципов формулировки электродинамики (Лагран-жева формализма) изложена теория развития высокочастотного пробоя газов в цилиндрических резонаторах при умеренных и высоких давлениях. На основе выбора в качестве обобщенных координат разложений на осцилляторы вектор-потенциала электромагнитного поля, не выходя за рамки вариационных принципов, задача возбуждения резонатора, сопровождающегося ионизацией «остаточного» газа, сведена к решению системы из дифференциального уравнения второго порядка механического типа и феноменологического уравнения для плотности электронов. Исследование динамики пробоя проведено с использованием численных методов на ЭВМ. По результатам расчетов для газовых смесей с различными энергиями и степенями начальной ионизации при фиксированных мощностях и рабочих частотах генераторов накачки получены временные зависимости основных характеристик СВЧ-разряда на всех этапах его развития, включая выход на стационарный (установившийся) режим. Возбуждение цилиндрического резонатора в условиях пробоя Учитывая, что при нормальном и высоком давлении, когда частота столкновений электронов с ионами и атомами остаточного газа существенно превышает частоту волны, образующуюся плазму можно считать электрически нейтральной, а поляризационные колебания - затухающими с декрементом, превышающим ленгмюровскую (плазменную) частоту, запишем функцию Лагранжа системы в виде [1]: Ь = ^-\(Е2-Н2)^ + -ЦА^ + ^тУа- (1) о71 у Су 2 а=1 Функция Лагранжа в форме (1), записанная в системе СГС, совместно с принципом Гамильтона полностью эквивалентны уравнениям Максвелла и кинетическому уравнению для частиц, образующихся в результате разряда плазмы. Первое слагаемое в (1) описывает возбужденное в резонаторе электромагнитное поле, второе - взаимодействие электромагнитного поля с токами в плазме и петле возбуждения, а последнее после варьирования траекториями частиц при фиксированных ЕхН эквивалентно кинетическому уравнению. • Представим электромагнитное поле в резонаторе в виде разложений его на осцилляторы. Для этого запишем вектор-потенциал поля в виде А = 2<7я(0Пя(г), (2) Я где X = (г, е, т) - все возможные тройки целых чисел, по которым производится суммирование; <7д (г) - амплитуды колебаний поля соответствующей пространственной гармоники; а проекции векторов П в цилиндрической системе координат для 2Г-ВОЛН имеют _3V . і э V вид Пг=Та~: П<Р =-‘а а oroz г o(pdz ; Пг = kpi/ , (3) где у/ = J0(к j_, г) cos пер cos mz ; = Хоп R рез ; Хоп - «-и рез. радиус резо- (4) корень функции Бесселя J0(x); /? натора. Произведем замену переменных ---------------2, кхУУ2МХоп) где Дп - длина разрядного промежутка; (2 - обобщенная координата. Приведем первое слагаемое в (1) к каноническому виду =7-£(<2а ~®лбя). где «Я - частота собст-2 я венных колебаний электромагнитного поля в пустом цилиндрическом резонаторе; = Ґ г 2Ч К2РС, Ап п, т, = 0; 1; 2. Для определения явного вида лагранжиана взаимодействия электромагнитного поля с протекающими в полости резонатора токами представим плотность тока j в виде суммы двух, имеющих: различную природу составляющих І = с^р-}в, где у - плотность протекающих в плазме токов; - плотность тока в петле возбуждения; ег — еди- ничный орт в направлении оси г. Представим в аналогичном виде вектор-потенциал поля А = Ау + А/5 где А у и А, - векторные потенциалы электромагнитного поля в резонаторе и петле возбуждения. Приведем второе слагаемое из (1) L2=-\}Mv к виду cv L2 ~Lfp+Lj7 + LU > где I,, =-jA,j„dv. (5) Первое и второе слагаемые в (5) описывают взаимодействие электромагнитного поля с плазмой и током в петле возбуждения, обозначенные соответственно индексами/; р и /, а третье слагаемое представляет собой собственную энергию магнитного поля петли возбуждения. Предполагаем, что плазма концентрируется вблизи оси резонатора, поэтому прямым влиянием тока в петле возбуждения на плазму пренебрегаем «*>/)• Для возбуждения резонатора наиболее целесообразно использовать волну типа Е0ю Поскольку в поле рабочей моды Еою заряженные частицы совершают перемещение преимущественно вдоль оси г(_/ , «уг), лагранжиан взаимодействия тонкой плазменной струи легко вычисляется Wrc Ап г V^/jCfo) ° Хо R •рез IPQ. При нахождении Ьр/ использовано выражение для проекции на ось г вектор-потенциала А ^ 4 4п с А=- Уи2МХо) Хо Я Q. и введено новое обозначение для полного тока в плазме Ip = Spen <х>, где Sp— площадь поперечного сечения плазмы; п - объемная плотность электронов; < х > - средняя по ансамблю скорость электронов в разряде. Аналогичным образом вычисляется лагранжиан взаимодействия возбуждающего тока и электромагнитного поля <® где If(t) - полный ток в петле; /, - площадь запи-тывающей петли. При получении (6) использованы предположения о том, что размер петли мал (г, « R) и плоскость поперечного сечения петли совпадает с координатной плоскостью <р = const. Учитывая, что функция Лагранжа собственно петли Т ~ 2с2 ’ где I, индуктивность запитывающеи петли, находим окончательно выражение функции Лагранжа плазменного разряда в цилиндрическом резонаторе в поле Еою волны: ,,^=.И1.е=)+±^И,гй_ £ а=1 RpesV 2cL (7) (8) Варьируя в функции Ь обобщенную координату Q и соответствующую ей скорость () при фиксированных траекториях частиц, приходим к уравнению Лагранжа-Эйлера с/ дЬ дЬ _ дЯ & ъй эб _ эё ’ где диссипативная функция R представляет собой расход энергии электромагнитного поля на ионизацию газа и нагрев стенок резонатора. Для определения энергии, расходуемой на поддержание процесса высокочастотной ионизации газа, воспользуемся методом, развитым Мак-Дональдом [2], в соответствии с которым скорость поглощения разрядом электромагнитной волны удовлетворяет соотношению ^1 =Ц/)£Лдп. (9) где ли, =-------- 3 ( 2е^ 5/2 /, тр dm du (Ю) iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. где и, - скорость ионизации; /(и) - функция распределения электронов в разряде; Е2 - среднее по периоду значение напряженности электромагнитного поля в области разряда; и ■■ mv 17 - кинетическая энергия электронов в плазме; /тр - транспортная частота столкновений электронов с молекулами газа; -среднестатистическая величина энергии, получаемой электроном при ионизации; и, - энергия ионизации газа, эВ. Величина Е на основании соотношений (2) - (4) может быть выражена через величину обобщенной скорости следующим образом: &Г А2 Е2 = ■ :Q (П) Щ2(Хо) Таким образом, окончательное выражение для функции после подстановки (10) и (11) в (9) приводится к виду 16я2 Rt=- '2 ґ2ел5П т uvjfbco) ,3/2 df(u)) du Q Прежде чем приступить к решению уравнения Лагранжа, выведем выражение для вычисления плотности электронов в области разряда, для чего определим его кинетические характеристики. Определение кинетических характеристик высокочастотного разряда Функция распределения электронов определяется с помощью уравнения Больцмана и соответствующих условий ^ + 1)У^ + аУ„Р = С, (12) дг где V - градиент в конфигурационном пространстве; - градиент в пространстве скоростей; а - ускорение; С - столкновительный член, учитывающий как упругие, так и неупругие столкновения. Для упрощения (12) предположим, что имеет место молекулярный хаос, что все молекулы симметричны и создают симметричные поля, поэтому можно принимать во внимание лишь парные соударения. При таких условиях столкновительный член можно представить в виде интеграла столкновений. Кроме того, для упрощения математических расчетов предположим; что столкновения являются мгновенным процессом, так как тст - 10'|4с. Важным предположением является симметричность функций распределения из-за большого числа столкновений. Анализ отклонения от симметричности и дает основания для такого предположения. Сферически симметричная стационарная функция распределения получена Мак-Дональдом [2]. Для этого было проведено упрощение (12) с учетом вышеупомянутых предположений и пренебрежения влияния магнитного поля на траектории частиц, что не может сильно сказываться на результатах вычислений. Для интеграла столкновений С на основе выражения 2 Э , „ (В) С = т ~М .1/2 3 ( -----\и диХ fmpfa )~¥с cmf 0 > где /ст. - частота столкновений; Fo - симметричная часть функции распределения; к = кх + /г,- + ка + - сумма эффективности при различных неупругих процессах (индексы означают возбуждение, ионизацию, прилипание и рекомбинацию соответственно). При рассмотрении явления пробоя оправданно пренебрежение тепловым движением атомов, так как электроны имеют гораздо более высокие энергии. Если необходимо учесть тепловое движение атомов, интеграл столкновений необходимо принять в виде _э_ Эи uinf J mi Fo----------------- кТ dFa Эм -hfcmF. Учитывая (13) для симметричной функции распределения, получено выражение Е^_ 2 и д_ Э и UV- fmn. ЭМ = hfcm.F0 ~ mp. <14) f J mi -v2f представив функцию распределения в виде произведения двух функций Рс(х. У>ьЛ =Ди) g(X, у, г,/)• Если/(м) нормировать так, что §4т2/1(ь)с11) = 2я(2 етГ1^'2/(и)с1и = 1, о о функция g(x, у, г, /) будет иметь смысл плотности электронов. Для упрощения решения можно пренебречь изменением плотности электронов внутри пучка и считать ее равной нулю вне пучка, тогда лапласиан во втором члене (14) можно заменить на ОД-2, где О - коэффициент диффузии, А - характерная диффузионная длина. Для цилиндрического пучка длиной I и радиуса а при^»а А = а/2,405. Уравнение (14) получено для стационарной функции распределения, когда поле изменяется медленно по сравнению с частотой столкновений. В нашем случае данное утверждение хорошо выполняется, так как /ст. на 3 - 4 порядка превосходит частоту изменения электронно-ионного поля. Из (14) для Ди) получаем уравнение 2е_ 3 т г 1 А du Wcm. + 2 ей du f ■ 2т Е-----—(м3/2/ /)= Ми112 du V Jmp J > Зависимость от времени будет учитываться только для п(1) -n(t) = hfcmn(t)-DA-2n(t), at (15) которая получается при подстановке Р0(и,г) = п(0/(и) в (12) с учетом (14). Поскольку при пробое существенны только процессы ионизации и диффузии, первый член в правой части (15) можно записать - И/спи п = ь1п. Уравнение для плотности электронов имеет вид — = vtn(t) - DA~2 ■n(t). dt (16) Если известна функция распределениями), первый и второй члены правой части (16) определяются из выражений --Ч5'2 гг2 г V, = — iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 2л D 2л т 2е_ т ґ2е^5'2 Kmj Ж L ,3/2 df_ du Л 0 fcm. (17) (18) и"~ Эи Поскольку при рассмотрении пробоя зависимость Р(Цх, у, г,/) от координат существенна, во втором члене уравнения (14) можно разделить переменные, Из (16) получаем выражение для плотности электронов в плазме л(0 = п0 схр[( V; -ОА~2) с\ . (19) Входящая в (17) и (18) функция распределения получена Мак-Дональдом [2] 1 /о /00 = 2л(2ет-1}'2-{pS-1}'2 j foy"*dy (20) где/0 = ехр(За/2-1)[м(а;3/2;у)+СИ^(а;3/2;у)]; М(а, у, у) и \У(а, у, у) - гиперметрические функции [3]; а и у - безразмерные переменные; а = -(1-5); о _ Ът 1 М и„ <52 =- 1 + 4?7 Т] = Ме 3 т2 /2 Л то. /, тр. >+■ Константа С определяется из условия, что функция распределения обращается в нуль при энергиях электронов выше энергии ионизации, т. е. при и = щ Л/(а,3/2,у,) или у = У; . с = — \У(а,3/2,у,)‘ Проведем систематизацию полученных результатов, а также решение итоговой системы уравнений и анализ. Численный расчет развития пробоя и анализ полученных результатов Дифференциальное уравнение для плотности электронов в области разряда имеет вид 4«(0 = и(0-^-ОЛ-2). '(21) ш Входящая в данное уравнение скорость ионизации V,- и скорость диффузии И определяются из (17) и (18), а для функции распределения имеет место (20). Выражение (19) остается справедливым до тех пор, пока изменением электрического поля Е, а следовательно, и /(и) за время порядка периода колебаний поля можно пренебречь. Для электрического поля Е из (8) с учетом (7), (9) и (10) имеет место следующее уравнение: б + 2 2 п2 «С (О о +- I 2+ 01и+^ 1б= сс * с -}е(т)«/т, (22) I, причем Я Е = — 2л/2зт уЩш ■б; (23) а = - добротность ненагруженного резонатора; /г V1'2 рез. Д=- т иу^(х0) ,3/2 (1и е(х) - ЭДС генератора, запитывающего резонатор. Для исследования динамики пробоя уравнения (21) и (22) решим численными методами на ЭВМ. В процессе расчета для фиксированного значения плотности электронов из (22) и (23) определим усредненное по периоду поле Е, после чего с помощью (20), (17) и (18) определим скорость ионизации V,- и скорость диффузии £). Полагая у,- и О неизмененными в течение одного периода колебаний поля, по формуле (19) найдем значения плотности электронов в про- бойном промежутке. Правомерность последней процедуры подтверждается результатами дальнейшего расчета, так как за один период колебаний поля плотность электронов изменится незначительно. В процессе расчета определим также эффективную добротность системы ОэЛ =-----------------Ц-——, мощ- ность, расходуемую на ионизацию газа \У1 = , и КПД процесса ионизации Г)1 = где \У„ мощность тепловых потерь высокочастотного поля на стенках резонатора. Расчеты будем выполнять для газовых смесей с энергией ионизации и, = 2 эВ и и,- = 10 эВ, а также азота (и,- = 15,58 эВ) и кислорода (м,- = 12,06 эВ) с различными степенями начальной ионизации п0/ Ы0, где по — начальная плотность электронов рабочего газа, N0- 2,69'1019 см'3 - начальная плотность молекул газа при р = 1 атм., равными 10“7; Ю~10; 10~13. Для создания разряда используем высокочастотные колебания с частотами 3 ГГц и 300 МГц с соответствующим выбором разрядного промежутка Дп = 2 см и Дп = 10 см, а также ЭДС на петле возбуждения ео- 100 В и е0- 1000 В. На рис. 1-5 приведены построенные по результатам расчетов временные зависимости относительной плотности электронов в разрядном промежутке или степени ионизации газа (18(л(»)/лг0)); напряженности электрического поля в резонаторе (Е), мощности, потребляемой системой на ионизацию газа (И';); коэффициента полезного действия процесса ионизации (//,) и эффективной добротностью системы (йэф) соответственно, для выборочных, наиболее характерных исходных данных, приведенных в таблице. Исходные данные для расчета развития пробоя п X, см £о,В Д„, см и, ,эВ По/Ко 1 10 100 2 2 10'’ 2 100 1000 10 15,58 т о 3 100 1000 10 12,06 10'“ 4 10 100 2 10 10"' 5 10 100 2 10 10"ш 6 10 100 2 10 Ю'13 7 100 100 10 2 10"и 8 10 100 2 15,58 Ю-1* 9 10 100 2 12,06 10'11 Из графиков видно, что время развития пробоя практически для всех рассмотренных вариантов составляет не более единиц микросекунд. Начальные условия, например степень начальной ионизации газа, практически не влияют на время выхода процесса на стационарный режим. Плотность электронов образующейся плазмы определяется вводимой мощностью и энергией ионизации газа. о боо юоо т iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Рис. 1 Е, кв/см Wi.dE Эффективная добротность в стационарном режиме практически не зависит от добротности ненагружен-ного резонатора и составляет 100-5-200. Современный гуманитарный институт г. Москва Дф. Таким образом, на основании исследований установлено, что при использовании волны накачки СВЧ диапазона и газовых смесей с энергией ионизации до 10 эВ при относительно небольших мощностях генераторов накачки (до десятков кВт) с достаточно большой эффективностью энергия может быть израсходована на ионизацию газа (^ ~ 90 %) и получены высокие ее степени с электронной концентрацией 1015-5-1018 см'3. Получение подобных концентраций исследованным способом при использовании в качестве рабочего тела азота, кислорода, а следовательно, и воздуха, требует генерации высоких мощностей. Литература 1. Прыткое В. И. Лангражевы формулировки и методы решения сложных электродинамических задач. М., 1990. 2. Мак-Дональд А. Д. Сверхвысокочастотный пробой в газах / Под ред. М. С. Рабиновича. М., 1969. 3. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М., 1977. _____________________________________/ февраля 2002 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/uproschennoe-vyrazhenie-dlya-rascheta-otnositelnogo-vklada-izbiratelnogo-vozbuzhdeniya-v-rentgenofluorestsentnom-analize

Существующие выражения для оценки вклада эффекта избирательного возбуждения в интенсивность аналитической линии весьма громоздки, что вызывает определенные трудности для моделирования и применения в аналитической практике. На основе приближений Паде авторами предложено простое математическое выражение, хорошо аппроксимирующее точные расчеты по громоздким формулам.The approximations of Pade were used to obtain the expression of the relative contribution of the interelement effect in XRFA.

ФИЗИКА УДК 543.422.8; 539.122.04 УПРОЩЕННОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ РАСЧЕТА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ВКЛАДА ИЗБИРАТЕЛЬНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ В РЕНТГЕНОФЛУОРЕСЦЕНТНОМ АНАЛИЗЕ © 2008 г. С.А. Головко, А.Л. Цветянский, А.Н. Еритенко, Ю.А. Дубинина, М.А. Кирикович The approximations of Pade were used to obtain the expression of the relative contribution of the interelement effect in XRFA. При проведении рентгенофлуоресцентных исследований интенсивность аналитической линии обнаруживает заметную зависимость от элемента, вызывающего избирательное возбуждение. Как известно, это явление возникает, когда в составе исследуемого материала присутствуют элементы, характеристическое излучение которых сильно поглощается соответствующим рентгеновским уровнем определяемого элемента. Однако получение явного вида поправки для учета этого эффекта в аналитической практике связано с определенными сложностями [1 - 3]. При получении аналитического вида поправки на избирательное возбуждение в рентгенофлуоресцент-ном анализе методом теоретических поправок выражение для относительного вклада избирательного возбуждения элементом у излучения определяемого элемента 7 - е7у удобно представить в виде дробно- линейной функции концентрации Су мешающего элемента у и ослабляющих характеристик пробы [1]. Запишем выражение е7у в следующем виде: C Z.J = K— [f ( xi) + f ( x 2)], j »J (1) В табл. 1 приведены значения относительного расхождения 5 между функциями / (х) и /1(х) при разных значениях х. Таблица 1 Аппроксимирующая способность выражения (3) при различных значениях аргумента х г, ч W1 К MJ sln Ф MJ sln^ ™ где f (x) = xln(1 + —); x1 = —-; x2 = —-, (2) x Mi M Ki - постоянная величина; <p,Y~ углы падения и отбора излучения; Mi, M ,Mj - ослабление пробой соответственно первичного (с длиной волны Xi); аналитического и мешающего излучений. В работе [1] предложено выражение для учета избирательного возбуждения в методе теоретических поправок на основе f (x) = const, что является довольно грубым приближением. Нами для аналогичных целей были использованы приближения Паде [4], позволившие аппроксимировать функции одной переменной рациональной дробью. Если взять нижнюю границу аппроксимации и ограничиться первыми членами полиномиального ряда, то для функции f (x) можно записать f (x) * fi(x) = . (3) 2 x +1 X f (X ) fi(X ) 0,0001 9,2110-4 2,00-Ю-4 78,29 0,001 6,91 •ÎO-3 2,00-10-3 71,11 0,01 0,0462 0,0196 57,51 0,05 0,1522 0,0909 40,28 0,1 0,2398 0,1667 30,49 0,2 0,3584 0,2857 20,27 0,3 0,4399 0,3750 14,75 0,4 0,5011 0,4444 11,31 0,5 0,5493 0,5500 8,98 0,6 0,5885 0,5455 7,31 0,7 0,6211 0,5833 6,08 0,8 0,6487 0,6154 5,14 0,9 0,6725 0,6429 4,41 1 0,6931 0,6667 3,81 3 0,8630 0,8571 0,68 5 0,9116 0,9091 0,28 10 0,9531 0,9524 0,076 Как видно из данных таблицы, аппроксимацию (3) можно считать удовлетворительной (5 < 10 %) в области значений х > 0,4. При х < 0,4 также не происходит существенного ухудшения точности расчета интенсивности рентгеновской флуоресценции с использованием приближенной формулы (3), так как в этом случае становится малой сама функция /(х), а следовательно, и е7]-. Расчеты в монохроматической модели для разных значений и Ту, где 2 - атомный номер элемента, показали, что погрешность при вычислении е7у по формуле (3) растет с увеличением 2у , при фиксированных значениях ^ и , и может достигать 25 % (предполагается С1 = 1 % Су = 99 %), но вместе с этим абсолютная величина е7у уменьшается в 1,3 - 1,8 раза, что позволяет рассчитывать интенсивности флуоресценции с удовлетворительной точностью. При полихроматическом возбуждении характеристического рентгеновского спектра наибольший вклад в дополнительное возбуждение излучения элемента I оказывают элементы у матрицы, близкие к нему по атомному номеру. Причем значения еу особенно велики при К—К дополнительном возбуждении и Ту = 35 - 43. Следует также отметить, что на величину еу оказывают существенное влияние условия возбуждения рентгеновской флуоресценции. Для этого случая была оценена погрешность расчетов еу и Ц . Результаты приведены в табл. 2. В качестве анода использовался Сг, что соответствует для выбранных атомных номеров элементов возбуждению тормозным спектром, напряжение на рентгеновской трубке V = 40 кВ, Ту = 42 (Мо), - варьировались. Здесь, как и при расчетах в монохроматической модели, наблюдается та же тенденция: хотя увеличивается с увеличением разности Ту - почти в 2 раза, уменьшается примерно во столько же раз. Таблица 2 Проверка аппроксимации еу при полихроматическом возбуждении Формула (2) Формула (3) SI, % Sf, % Ii sij Ii sij 39 0,0246 73,11 0,0233 64,33 5,28 12.01 38 0,0226 56,24 0,0216 48,93 4,42 13,00 37 0,0206 44,78 0,0197 38,49 4,37 14,05 35 0,0169 29,25 0,0163 24,50 3,55 16,24 32 0,0123 15,99 0,0120 12,88 2,44 19,45 28 0,0079 7,06 0,0077 5,47 2,53 22,52 16 0,0044 0,12 0,0044 0,10 0 16,67 Возможность использования приближенной формулы (3) проверена на экспериментальных данных [5 — 7]. Значения измеренных интенсивностей сопоставлены с рассчитанными значениями с использованием соотношений (2) и (3). Экспериментальные и рассчи- танные интенсивности взяты по отношению к интен-сивностям от образцов со 100 % содержанием соответствующего компонента. Результаты приведены в табл. 3. Таблица 3 Сравнение значений интенсивностей, рассчитанных с использованием точной и приближенной формул еу с экспериментальными данными Источник Состав Концентрация Ii £ij Cj Ci Эксперимент Расчет(1) Расчет (2) (1) (2) [5] j=Cu i=Fe 90,00 10,00 0,1633 0,1616 0,1571 53,33 48,99 [6] j=Fe2Ü3 i=CaCO3 89,97 10,03 0,0879 0,0782 0,0780 2,12 1,79 [6] j=SiO2 i=Al2 O3 98,08 1,92 0,0178 0,0186 0,0186 8,20 7,79 [7] j=Ni i=Fe 95,16 4,62 0,0823 0,0814 0,0775 67,43 59,40 [7] j=Ni i=Cr 84,45 14,25 0,1942 0,1879 0,1821 37,23 32,96 [7] j=Fe i=Cr 96,27 3,53 0,0638 0,0594 0,0568 64,36 57,04 Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что использование аппроксимирующего соотношения (3) е при расчете интенсивностей рентгеновской флуоресценции приводит к погрешности, незначительно превосходящей погрешность точного теоретического расчета. Таким образом, приближение (3) является достаточно корректным, и выражение для относительного вклада избирательного возбуждения в интенсивность рентгеновской флуоресценции может быть представлено в следующем виде: ( \ sij = KiCi 1 - + - 1 l^j +^i/sin^ l^j + ^ /sin^ Полученное дробно-линейное представление еу удобно для получения поправки на избирательное возбуждение в схеме теоретических поправок в аналитическом виде. Литература 1. Калинин Б.Д., Плотников Р.И. // Заводская лаборатория. 1981. № 9. С. 53 — 56. 2. Головко С.А., Дуймакаева Т.Г., Цветянский А.Л. // Уральская конф. по аналитической химии: Тез. докл. Ижевск, 1995. С. 120. Южный федеральный университет_ 3. ЛебедевВ.В. // Заводская лаборатория. 1997. № 9. С. 55 -57. 4. Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации. М., 1980. 5. Budesinsky B.W. // Anal. Chem. Acta. 1975. Vol. 77. № 4. Р. 87 - 96. 6. FranziniM., Leoni L., SaittaM. // X-ray spectrometry. 1976. m 5. Р. 208 - 211. 7. Rassberry S.D., Heinrich K.F.I. // Anal. Chem. 1974. Vol. 46. Р. 81 - 89. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 13 июля 2007 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/ob-odnom-raznostnom-metode-kompyuternogo-modelirovaniya-svobodnoy-konvektsii-v-teploenergeticheskih-ustroystvah

Предложен новый численный алгоритм решения трехмерной нестационарной краевой задачи, описывающей динамику среды в условиях свободной конвекции в приближении Буссинеска, основанный на конечно-разностном методе маркеров и ячеек. Проведен вычислительный эксперимент для модельной задачи, выполнен анализ полученных результатов, определены приемлемые параметры разностной схемы, сделаны выводы о применимости метода в различных задачах.

ЭЛЕКТРОМЕХАНИКА И ЭНЕРГЕТИКА УДК 517.926.22 ОБ ОДНОМ РАЗНОСТНОМ МЕТОДЕ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ В ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВАХ © 2009 г. Н.С. Бузало, А.Н. Никифоров, О.К. Нилова, СА. Семенченко Южно-Российский государственный South-Russian State технический университет Technical University (Новочеркасский политехнический институт) (Novocherkassk Polytechnic Institute) Предложен новый численный алгоритм решения трехмерной нестационарной краевой задачи, описывающей динамику среды в условиях свободной конвекции в приближении Буссинеска, основанный на конечно-разностном методе маркеров и ячеек. Проведен вычислительный эксперимент для модельной задачи, выполнен анализ полученных результатов, определены приемлемые параметры разностной схемы, сделаны выводы о применимости метода в различных задачах. Ключевые слова: динамика жидкости и газа, естественная конвекция, численные методы, конечно-разностные методы. New numerical method of solution of three-dimensional nonstationary boundary value problem of fluid dynamics in free convection in Boissinesq approximation based on finite difference method of markers and cells is proposed. Computing experiment for model problem is taken and analysis of received results is performed. Acceptable parameters of difference scheme are identified. Conclusions on applicability of the method are made. Keywords: fluid dynamics, free convection, finite difference methods, numeric methods. Введение Естественная конвекция в замкнутых и незамкнутых областях характерна для многих технических приложений. Например, свободноконвективные циркуляционные потоки в жидкостях оказывают существенное влияние на характер роста кристаллов. Значительный практический интерес представляет анализ процессов конвекции в полостях теплообменных устройств и топливно-энергетических установок. Также конвективные течения широко изучаются при анализе пожаров, при проектировании зданий, печей, систем аккумулирования и отвода энергии, а также некоторых других сооружений и промышленных устройств [1]. К сожалению, работ, в которых исследуются трехмерные задачи тепло- и массопереноса, причем как теоретических, так и экспериментальных, к настоящему времени опубликовано сравнительно немного, хотя уже разработаны некоторые общие методы построения численных алгоритмов решения трехмерных уравнений сохранения массы и количества движения [2]. Идея работы заключается в применении известного метода маркеров и ячеек [2] к уравнениям свободной конвекции в приближении Буссинеска. Краевая задача Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная область О, заполненная жидкостью. Поверхность области состоит из нижнего основания (при у = 0), верхнего основания SH (при у = Н) и боковой поверхности S = SL и SR и SP и SZ , где , SR, SP, SZ - левая, правая, передняя и задняя грани области соответственно (рис. 1). Z H Q X Рис. 1. Схема расчетной области Предполагается, что границы области теплоизолированы. На нижнем основании S0 имеется изотермический нагревательный элемент ST температуры T 1 hot ■ Плотность жидкости, за исключением плотности в членах архимедовых сил, которые вызывают свободную конвекцию, считаем постоянной, тх. используем приближение Буссинеска. Тогда для свободноконвек-тивных течений с малыми изменениями плотности уравнения сохранения массы, количества движения и H T 0 энергии в области О можно записать в следующем виде: ди д¥ дW dU dU-+- dt dx - +— +-= 0; dx dy dz d(UV) d(UW) dp + —-- + —-- = —— + vAU : dy dz dx (1) dV d(UV) dV2 — + —-- +- dt dx dy d(vw) dp + —-- = —— + vAV ; dz dy dW d(UW) + d(VW) + dW2 dt dx dy dz ..-<£. + +VAW + ßg(T - Tq) dz dT + d(UT) + d(VT) + d(WT) dt dx dy dz PCp -AT, V = V0 , T = T0 при t = 0; V = 0 на S u S0 u SH dT — = 0 на S u S0 u SH . dn (6) (7) (8) граничными условиями при сложной геометрии течения оперировать значительно легче. Для построения разностной схемы выбрана полностью разнесенная трехмерная сетка, элементарная единица которой (ячейка) представлена на рис. 2. (2) (3) / 'WK j, k-/ Vi, j+/ / / k Ui+ /, j, k (4) hz (5) Ui-/, j, k / / У Pi, j, k Ti, j, k / Vi, j -'/2, k / где и, V, W - компоненты вектора V скорости движения среды; р - коэффициент объемного расширения воздуха; g - ускорение свободного падения; р -аналог давления; р - плотность; Т - абсолютная температура; Т0 - среднее значение абсолютной температуры; V - коэффициент вязкости; X - коэффициент температуропроводности; Ср - теплоемкость воздуха при постоянном давлении. Кроме того, необходимы начальные условия для температуры и скорости и соответствующие граничные условия. Скорость на границах области обращается в ноль в силу выполнения условий непротекания и прилипания жидкости к стенкам. Градиент температуры в области отличен от нуля только в одном направлении, поэтому на границах выполняется условие адиабатичности, т.е. система не получает теплоты извне и не отдает ее через границы данной области. Граничных условий для давления на твердой поверхности задавать не надо. Таким образом, начальные и граничные условия для данной задачи следующие: hx Рис. 2. Расположение конечно-разностных переменных в ячейке Различные зависимые переменные определяются в разных точках сетки: давление определяется в центре ячейки, а компоненты скорости - на границах. В результате дискретизации уравнения (1), получаем выражение Un j,k - Un Vn+1 - Vn+V j+/2'k и-Уг,к W. n+1 •\k + V - W n+1 j k - К h = 0, (9) Порядок аппроксимации (9) равен О(Кх2, Ку2, Иг2). Дискретизация уравнения (2) проводится с помощью конечно-разностных выражений, центрированных относительно точки сетки (г +1/2, ], k). Это позволяет представить др / дх в виде выражения (Рг+\,]Л - Рг,)/ К, которое в точке (г +1/2, ], k) имеет второй порядок точности. Аналогично (3) и (4) аппроксимируются с помощью центральных разностей относительно точек (г, ] +1/2, k) и (г, ],k +1/2) соответственно, и др / ду представляется в виде (Рг,] +и - Рг,)/ КУ , а дР / дг - в виде (Рг,],k+1 - Рг,],k )/ ■ Использование разнесенной сетки дает возможность связать значения и, V, W и р в соседних точках. Это также позволяет избежать появления осцилляций Разностная схема Метод маркеров и ячеек (МИЯ) является одним из наиболее ранних и получивших широкое распространение методов решения уравнений сохранения массы (1) и количества движения (3), (4) [2]. В методе используется разнесенная сетка и на каждом шаге по времени решается уравнение Пуассона для определения давления. МИЯ применяет основные переменные, благодаря чему его возможно использовать при решении пространственных задач, так как в этом случае X h у W., k Y jk + h h x + в решении, в частности для р, которые могут возникнуть, если центральные разности используются для аппроксимации всех производных на неразнесенной сетке. Осциллирующее решение появляется из-за двух несвязанных на различных точках сетки решений для давления, которое возможно, если центральные разности используются на неразнесенной сетке. Осцилляции, как правило, возрастают при увеличении числа Рейнольдса, поскольку диссипативные члены, посредством которых осуществляется связь значений компонент скорости в соседних точках, в этом случае малы [3]. Таким образом, при дискретизации уравнения (2) в точке (/' + 1/2, ], к) используются следующие конечно-разностные выражения: ди ^ Ui"+/2, j,k ~Ui+l/2, j,k dt ~ h iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. + O(h); dU2 ^ UL,j,k -Ujjkk u 2,. dx h„ - + O(hxz): d(UV )JUV h+i/u+i/ik -UV )i+Vi,j-_ yi,k +O(hi) dy К d(UW) (UW)j+/i,j,k+/i <UW X+1/2, j,k-i/i „„i, - » - +O(hz ) dz h. dlU Ui+3/i,j,k-lUi+iji,j,k +Ui-Vi,j,k , 2 dx2 +O(h2): d+Vl,j-1,k lUi+Vl,j,k +Ui+1/2,j+1,k +0(h2) . dy2 h, d 2u Ui+1/2, j,k -1 2Ui+1/2, j,k +Ui+1/2, j,k+1 dz2 ~ Г2 +O(hz ) ; где F'+1/2, j,k-U,'+1/2, j,k + ht [VISX FUX FUY FUZ ]; _ 1 2 FUX (Ui+1/2, j,k + 2Ui+1/2, j,kUi+3/2, j,k + +U, i+3/2, j,k 4Ulj,k ) V ( FUY — ( U 1 +U 1 i+—, j,k i +—, j+1,k V 2 2 У Л V 1 +V 1 i+1, j—,k i, j +—,k V 2 2 У Л 4hy U 1 + U 1 i+—, j-1,k i+—, j,k V 2 2 У Л V 1 + V 1 i+1, j—,k i, j—,k V 2 2 У . 4h„ U , +U 1 FTI7 — i+—, j,k i+—, j,k+1 V 2 2 W 1+W 1 i, j,k+— i+1, j ,k+— V 2 2 У f \ U 1 + U 1 i+—, j,k-1 i +—, j,k V 2 2 У 4hz Г Л W 1 + W 1 i+1, j,k— i, j,k— V 2 2 У . 4hz U,+w,, -2U + U ,+3/2, j ,k /+1/2, j ,k i-1/2, j ,k VISX =v Ui+1/2, j-1,k 2Ui-+1/2, j,k + Ui-+1/2,j+1,k U,+1/l,, 1-2U + U i+,1/2, j,k-1 i+1/2, j,k i+1/2, j ,k+1 Аналогично в дискретном виде представляются уравнения (3) и (4): т^И+1 И+1 И+1 \ . /1 1 л Ч] +1/2,к = Ч,] +1/2,к ]+1,к " Р 1,к) ' (11) Зр (Рг+1,],к Ри],к I 2 тт *—^-—+^). ох hx В приведенных выражениях присутствуют не определенные на рис. 2 члены типа Ui+1 ]к . Их аппроксимация осуществляется следующим образом: U i+1, j,k - ^^Ш, jkk + Ui +3/2, jkk ). '[(V , j+1/2,k + V', j+1/2,k ) /2 Решение уравнения (2) осуществляется по следующей явной схеме: Г гИ+1 П+1 И+1 \ /1П\ иг+1/2,],к = Л+1/2,],к 7 уРг+1,],к " Р],к ^ , (10) W n+1 = H" ht (pÜM+1- Pj ) , (12) где G i, j+1/ 2,k -V,", , 1/. +ht [VISY -FVY -FVZ-FVX ]; l, J+ 7r.,k Hi, j,k+1/2 - Wi,j,k+1/2 + +ht[VISZ-FWX-FWY-FWZ-_2_(Ti,j,k +1+ Ti,j,k-2T0 ) Аналогично, например, (ЦУ),+у2 ]+у2 к аппроксимируется выражением (ЦУ)г +12,]+1/2,к =[(Цг+12,],к + Цг+1/2,] +1,к ) /2 ^^УХ , FWX ; ^УГ , ; FУz , FWZ ; УШ , У^SZ опреде- ляются аналогично FUX , FU7 , FUZ , У}^. Разностное представление уравнения сохранения энергии (5) может быть записано в следующей форме: rpn + 1 _гр n .1 Ti, jM~Li, j,k+ht X- TSX +TSY +TSZ PCp TUX TVY TWZ (13) где + 2 h X h 2 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. h X h z tux — Ui+1/2, j,k (Ti+1,j,k + Ti, j,k ) ~2h„ TVY — TWZ - Ui-1/2, j,k {Ti-1,j,k + Ti, j,k ) ; " 2hx ' Vi, j+1/2,k (Ti, j+1,k + Ti, j,k ) lh„ V', j-1/2,k (Ti, j-1,k + Ti, j,k ) ; " 2hy ' Wi, j,k+1/2 {^i, j,k+1 + Ti, j,k ) 2h Wi, j,k-1/2 (Ti, j,k-1 + Ti, j,k ) ^ TSX - TSY — TSZ — 2hz Ti-1,j,k - 2T,j,k + Ti+1, j,k К2 Ti, j-1,k - 2T,j,k + Ti, j+1, k hy 2 Ti, j,k-1 - 2T,j,k + Ti, j,k+1 h Pi, j,k-1 - 2Pi, j,k + Pi, j,k+1 (14) T7n —T7n Pi+1/2,j,k Fi-12,j,k Gi,j+1/2,k Gi,j-1/2,k + ттП ТТП Hi, j,k +1/2 - Hi, j,k-1/2 2 1 0,25(| U| + \V\ + \W\) ht— < 1 и ht v / Ar2 < 0.25, (15) где Ax = max |hx, hy, hz j. Для решения уравнения (14) необходимо поставить граничные условия для давления p (условия Дирихле) или для производных от давления p (условия Неймана) на всех границах. В последнем случае необходимо выполнение глобального граничного условия, т.е. ш Q 222 О p О p О p -7Г + —7Г + —Т- Ок2 Oy Oz2 Op dxdydz — ff — ds , dndn где интеграл по дО - это интеграл по поверхности расчетной области. Левая часть этого уравнения в дискретном виде вычисляется через правую часть (14). Для замкнутой области глобальное граничное условие соответствует дискретному условию Q i, j,k — 0. (16) В выражения (10) - (12) давление р входит неявно; однако р"+1 определяется до решения (10) - (13) следующим образом. Обратимся к уравнению неразрывности (1), записанному в разностном виде (9). Подстановка уравнений (10) - (12) позволяет представить (9) в виде разностного уравнения Пуассона для давления, т.е. Рг-1],к - 2Рг,],к + Рг+1,],к К2 + + Рг,]-1,к - 2Рг,},к + Рг,]+1,к + Для наложения необходимых граничных условий жидкость считается окруженной одним слоем фиктивных ячеек, в которых соответствующие переменные заданы. Виды использованных здесь граничных условий проиллюстрированы на примере левой границы. 1. Ячейка с твердой стенкой и условием прилипания (условие (7)): U, — 0, V1,j,k — V2, j,k Whhk —-Wj. К Уравнение (14) решается на каждом шаге по времени. После того как р"+1 получено, подстановка этого значения в выражения (10) - (12) позволяет определить , }2,к, W}k+У2. Поскольку выражения (10) - (13) являются явными формулами, имеется ограничение на максимальный шаг по времени, связанное с устойчивостью решения [2]: 2. Ячейка с адиабатической стенкой (условие (8)): Т1,],к = Т2,],к . При решении уравнения Пуассона для давления (14) требуются его значения за пределами области расчета. При записи (14) относительно узла (2, 1, 1) требуются значения р2 01 и V2 -1/21. Значение р2 01 получается из уравнения (3), записанного на стенке. Численный алгоритм Решение задачи сводится к следующим этапам. 1. Ввод исходных данных: - размеры области, нагревательного элемента; - шаги разбиения; - плотность жидкости (р), коэффициент объемного расширения жидкости (Р), коэффициент вязкости (у), коэффициент теплопроводности жидкости (X), удельная теплоемкость жидкости (Ср); - значения функций компонент скорости (и,УЖ), давления (р) и температуры (Т) в начальный момент времени из (6). Для вычисления температуры, давления и скорости на новом временном шаге по значениям на предыдущем временном шаге осуществляется следующий цикл. 2 h y 2 h z h h x + 2. Вычисление температуры Т"+1 по формуле (13). 3. Решение уравнение Пуассона для давления (14). Для этого используем, например, блочно- итерационный метод решения эллиптических разностных уравнений. Одна итерация включает в себя последовательное решение трех уравнений, получаемых из (14): (рг-1,],к - 2рг,],к + рг+1,],к ) + 2Рг,],к + 2Рг,],к _ ттп _ТТП s-~<n Fi+1/2, j,k~ri-1/2, j,k + Gi,j+1/2,k~Gi,j-l/2,k + Hn - Hn ni, j,k+1/2 ni, j,k-1/2 pi, j-1,k + pi, j+1,k pi, j,k-1 + pi, j,k+1 K2 h} (pi,3-1,k - 2pi, j,k + pi, j+1,k ) | 2Pi, jk + 2Рг, j,k K2 K2 n n n n Pi+1/2, j,k Fi-1/2, j,k Gi, j+1/2,k Gi, j-1/2,k + Hn - Hn i, j,k+1/2 i, j,k-1/2 pi-1, j,k + pi+1,j,k pi, j,k-1 + pi, j,k+1 K K iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. (pi, j,k-1 - 2pi, j,k + pi, j,k+1 ) i 2Pi, j,k + 2Pi, j,k К2 K2 n n n n pi+1/2,j,k Fi-1/2,j,k Gi,j+1/2,k~Gi,j-1/2,k + Hn - Hn ni, j,k+1/2 ni, j,k-1/2 pi, j-1,k + pi, j+1,k pi, j,k-1 + pi, j,k+1 К К Здесь значения давления, входящие в левые части уравнений, неизвестны, а значения, входящие в правые части уравнений, считаем известными и берем их с предыдущего подшага. Записывая эти уравнения для каждой точки области, получаем три системы линей-н^1х алгебраических уравнений с трехдиагональными матрицами. Для их решения применяем метод прогонки. Выполняем описанные итерации до достижения приемлемой невязки уравнения (14). При использовании граничных условий Неймана др — _ 0 матрица системы (14) является вырожденной. дп Для того чтобы избавиться от вырожденности матрицы, в нескольких точках заменяем граничные условия Неймана на граничные условия Дирихле р _ 0 . Количество точек замены зависит от метода решения системы линейных алгебраических уравнений (14). При рассмотренном блочно-итерационном методе необходимо задать условия Дирихле в точках, лежащих на тех границах расчетной области, где х = 0, у = 0, г = 0. 4. Проверяем глобальное условие для давления (16). Его выполнение характеризует зону устойчивости построенной разностной схемы. 5. Полученные значения температуры и давления подставляем в выражения (10) - (12) для получения значений компонент скорости иЩ^}- к , V"+l1/2 к, Wn+1 УЧ,],к+1/2 . 6. Выполняем проверку необходимого условия устойчивости решения (15). 7. Используем вычисленные поля в качестве исходных для вычислительного цикла на следующем временном шаге. Вычислительный эксперимент и анализ результатов Проведен расчет полей температуры, давления и скорости движения среды в ограниченной области при свободной конвекции для следующей модельной задачи. Область расчета представляет собой прямоугольную замкнутую поверхность размером 1 х 1 х 0,2 м. Изотермический нагревательный элемент в форме квадрата расположен в центре нижней стенки полости. Площадь квадрата равна 0,04 м2. Стенки полости (включая оставшуюся часть нижней) поддерживаются при постоянной температуре Т0 _ 0. Температура нагревательного элемента Т _ 20 °С. Для данной области оптимальными являются шаги по пространству порядка 0,01 м и шаг по времени К _ 10-5 с. Уменьшение как пространственных, так и временных шагов ведет к увеличению времени работы программы до 10 раз. Увеличение шагов - к невыполнению условий устойчивости решения. Модельное время расчета составило 600 с. За этот период времени установившийся режим не наступает. Для достижения установившегося режима необходимо нецелесообразное количество времени. На рис. 3. приведено распределение поля температуры и (и, IV) составляющей вектора скорости движения среды в плоскости у _ 0,5 м (] _ 50), г _ 600 с. Тестовые расчеты показали, что построенная разностная схема пригодна для решения многих задач о свободноконвективных течениях жидкости в замкнутых областях. Однако в алгоритме имеются жесткие ограничения на размерность шагов по времени и пространству. h h h X z 1 h x h z 2 h h h X h z 2 2 2 h z 1 h h h X X h z 2 2 Рис. 3. Распределение поля температуры и векторного поля скорости в плоскости у = 0,5 По всей видимости, это вызвано тем, что, во-первых, используемая разностная схема является явной, во-вторых, отсутствует этап предиктор - корректор. Поэтому для расчетов характеристик течения в отдаленные моменты времени необходимо выполнить большое число итераций, что приводит к накоплению вычислительной ошибки и требует большого времени счета. Таким образом, разработанный алгоритм пригоден для выполнения только локальных расчетов движения среды и только на малых интервалах времени. К сожалению, по этой причине алгоритм не позволяет определять характеристики течений, близких к установившимся. Однако для локальных по времени расчетов то, что используемая разностная схема является явной и однослойной, дает ей преимущество во времени расчетов по сравнению с известными алгоритмами типа SIMPLE («предиктор - корректор») и неявными схема- Поступила в редакцию ми. Благодаря быстродействию составленный численный алгоритм можно использовать как составляющую часть других алгоритмов, например оптимизационных или мультипликационной визуализации данных. Литература 1. Российская наука на заре нового века: сб. науч.-популярных ст. / под ред. В.П. Скулачева. М., 2001. 496 с. 2. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости: в 2 т. Т. 1 : пер. с англ. М., 1991. 504 с. 3. Вабищевич П.Н., Павлов А.Н., Чурбанов А.Г. Численные методы решения нестационарных уравнений Навье -Стокса в естественных переменных на частично разнесенных сетках // Мат. моделирование. 1997. Т. 9 № 4. С. 85-114. 19 марта 2009 г. Бузало Наталья Сергеевна - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Прикладная математика», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635) 25-53-09. E-mail: [email protected] Никифоров Александр Николаевич - канд. техн. наук, профессор кафедра «Прикладная математика», ЮжноРоссийский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Нилова Ольга Константиновна - студентка, кафедра «Прикладная математика», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Cеменченко Степан Анатольевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Общая и прикладная физика», ЮжноРоссийский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Buzalo Natalya Sergeevna - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Applied mathematics», South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph.(8635) 25-53-09. E-mail: buzalo.n. s. @mail.ru Nikiforov Alexandr Nikolaevich - Candidate of Technical Sciences, professor, department «Applied mathematics», South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Nilova Olga Konstantinovna - student, department «Applied mathematics», South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Semenchenko Stepan Antonovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «General and applied physics», South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute).

https://cyberleninka.ru/article/n/issledovanie-skorostnoy-struktury-potoka-dopolnitelnogo-vodosbrosa-ust-dzhegutinskogo-gidrouzla

Обосновывается необходимость строительства дополнительного водосброса на головном сооружении Большого Ставропольского канала. Приводятся результаты гидравлических исследований дополнительного водосброса Усть-Джегутинского гидроузла.

ГИДРОТЕХНИЧЕСКОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО УДК 627.83:532.543 ИССЛЕДОВАНИЕ СКОРОСТНОЙ СТРУКТУРЫ ПОТОКА ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ВОДОСБРОСА УСТЬ-ДЖЕГУТИНСКОГО ГИДРОУЗЛА © 2010 г. А.А. Винокуров Новочеркасская государственная мелиоративная Novocherkassk State Meliorative академия Academy Обосновывается необходимость строительства дополнительного водосброса на головном сооружении Большого Ставропольского канала. Приводятся результаты гидравлических исследований дополнительного водосброса Усть-Джегутинского гидроузла. Ключевые слова: Кубань; дополнительный водосброс; паводок; придонные осредненные скорости. In article it is told about necessity of building of an additional spillway on head construction BSC. Results of hydraulic researches of an additional spillway of Ust-Dzhegutinsky hydroknot are resulted. Keywords: Kuban; an additional spillway; a high water; benthonic average speeds. В бассейне Верхней Кубани насчитывается несколько сотен рек и речушек. Все они питают Кубань своими водами. Это питание смешанное: ледниковое, высокогорное - снеговое, дождевое, грунтовое (родниковое) [1]. Русло реки зарегулировано. На 123-м километре от ее истока, в районе города Усть-Джегута Карачаево-Черкесской Республики, в створе реки построено водохранилище емкостью 36 млн м3 и головное сооружение Большого Ставропольского канала (БСК) с водозабором 180 м3/с и катастрофическим сбросом на 1440 м3/с. В начале третьего тысячелетия значительно возросли антропогенные нагрузки, изменились климатические условия. В летние месяцы повысилась температура воздуха до 35 - 40 °С в тени. В связи с этим более интенсивным стало снеготаяние, что приводит к паводкам повышенных объемов. По реке каждый год пропускаются паводки с апреля по ноябрь, что объясняется характером питания горной Кубани. Наибольшие паводки приходятся на самые снежные зимы и жаркие лета, когда происходит интенсивное таяние ледников и снега в горах. Ледниковая вода наполняет русло Кубани, а снеговая и дождевая дополнительно вносится в Кубань реками Учку-ланом, Даутом, Аминколом, Тебердой и др. С 20 по 22 июня 2002 г. на Усть-Джегутинском гидроузле был пропущен с большим трудом и опасностью катастрофический паводок редкой повторяемости. Как отмечено в работе [2], пик в 2220 м3/с воды пришелся на 21 июня и держался на этом уровне более 7 ч. Сбросное сооружение из четырех пролетов шириной по 12,0 м каждый и головное сооружение БСК на последнем пределе выдержали этот натиск стихии. Учитывая тот факт, что существующий водосброс не рассчитан на пропуск таких расходов, возникла необходимость в строительстве дополнительного водосброса, исследования которого проводились в лаборатории гидротехнических сооружений Новочеркасской государственной мелиоративной академии по заданию Министерства сельского хозяйства РФ и института ОАО «Севкавгипроводхоз». Исследования выполнялись на модели быстротока, построенной в неискаженном масштабе 1:50 натурной величины в соответствии с критериями Фруда, Рейнольдса, Мизеса. Силы тяжести и силы вязкости моделировались в соответствии с условиями подобия по числу Фруда и числу Рейнольдса [3, 4]. При моделировании шероховатости использовалась зависимость, предложенная Мизесом [5]. При исследовании скоростной структуры потока в лотке быстротока и установлении эффективности его работы, производилось измерение осредненных скоростей с помощью микровертушки в пяти точках на вертикалях по створам и по длине лотка (рис. 1). По результатам измеренных скоростей были построены плановые эпюры придонных осредненных скоростей Ud в намеченных створах (рис. 2). Скорости измерялись на участке быстротока с уклоном i = 0,2 и длиной 117,28 м при пропуске расходов Q = 800; 900; 1000; 1100; 1200; 1300 м3/с в пересчете на натуру. Продольный разрез \! )2 \5 ¡i \7 \е Ю \)! | В |0 р |S \№ План I'HPf \5\6V\8 \9 И | П | В ;5 j® In зу и л® т\т\т\т\т\ Рис. 1. Расчетная схема дополнительного водосбора: от 1-1 до 16-16 расчетные створы; точки измерения глубин и вертикали замера скоростей Рис. 2. Плановые эпюры придонных осредненных скоростей Ц.^, м/с, в створах 1-1, 2-2, 4-4, 6-6, 8-8, 10—0 в зависимости от пропускаемых расходов Q = 900 м3/с; 1000, 1200, 1300 м3/с Из анализа эпюр (рис. 2) вытекает, что осреднен-ные придонные скорости только в конце лотка могут достигать 20 м/с при 0> =1200м3/с и 23 м/с при 0> =1300м3/с. При меньших расходах скорости можно считать допустимыми при бетонном креплении. Но при всех расходах скорости у стенок раструба (створы 9-9 и 10-10) не превышают 2-3м/с, что подтверждает заключение о малой эффективности расширения лотка на участке с 40 до 50 м (от створа 8-8 до створа 10-10). Для установления распределения потока по глубине воды в лотке составлена таблица, в которой UA средняя придонная скорость, равная сумме осредненных придонных скоростей разделенной на число точек в створе у дна п = 5 U TU, г .шах г .шах n Характеристики скоростной структуры на водоскате (быстротоке) на участке с уклоном I = 0,2 в створах 1-1; 2-2; 4-4; 6-6; 8-8; 10-10 Расходы Q, м3/с Средние придонные скорости, Ud.max, м/с, в створах Средние скорости V, м/с, в створах Ud.max/ V 1-1 2-2 4-4 6-6 8-8 10-10 1-1 2-2 4-4 6-6 8-8 10-10 1-1 2-2 4-4 6-6 8-8 10-10 900 10,1 11,1 11,9 10,0 10,9 11,1 12,2 14,0 17,7 18,3 20,4 22,0 0,8 0,8 0,7 0,6 0,5 0,5 1000 11,0 11,6 11,2 11,7 12,0 12,4 13,1 14,0 18,4 18,5 20,9 22,1 0,8 0,8 0,6 0,6 0,6 0,6 1200 11,7 12,5 12,5 13,0 14,9 13,8 12,9 14,1 18,3 19,7 21,8 24,0 0,9 0,9 0,7 0,7 0,7 0,6 1300 12,6 12,7 13,8 13,5 17,2 14,5 13,5 14,6 19,7 20,4 22,1 24,9 0,9 0,9 0,7 0,7 0,8 0,6 Средние скорости в живом сечении V, м/с приняты в зависимости от пропускаемых расходов, при Q = 300 м3/с и Q = 1300 м3/с. По данным таблицы были построены графики изменения относительных придонных скоростей U d .max = f h V cr у по длине лотка от створа 1-1 до V 10-10. С применением метода наименьших квадратов кривые на построенных графиках аппроксимировались зависимостью dmax = 0,92 - 0,36-10-2 V и V h V cr у (1) Q где V = — - средняя скорость потока в живом сече- го нии; L - расстояние от входного сечения до рассматриваемого створа по длине быстротока; hcr - критическая глубина потока на входном сечении быстротока. Предлагаемая зависимость предназначена для определения придонных осредненных скоростей в функции от средней скорости в живом сечении потока с доверительной вероятностью R = 0,96 ± 0,05 для бурных потоков с числом Фруда Fr =35 - 40. Выводы 1. Гидравлическими исследованиями установлено, что дополнительный водосброс может пропустить паводок с расходами Q = 1300 м3/с с придонными осредненными скоростями 23 - 25 м/с. 2. Зависимость (1) по определению придонной ос-редненной скорости в функции от средней скорости в живом сечении потока применима для условий с числом Фруда 35 - 40. Автор выражает благодарность проф., д.т.н. В.А. Волосухину и проф., к.т.н. Е.Н. Белоконеву за оказанную помощь при выполнении экспериментальных исследований. Литература 1. Кондратенко А.А. Путь длиной в 80 лет. Пятигорск, 2007. 260 с. 2. Блохина Т.И., Блохин Н.Ф., Кондратенко А.А. Большой Ставропольский канал : к 50-летию начала строительства. Черкесск, 2007. 256 с. 3. Шарп Дж. Гидравлическое моделирование / пер. с англ. Л.А. Яскина; под ред. С.С. Григоряна. М., 1984. 280 с. 4. Леви И.И. Моделирование гидравлических явлений: 2-е изд. М.; Л., 1967. 236 с. 5. Эйснер Ф. Экспериментальная гидравлика сооружений и открытых русел / пер. с нем. С.Л. Егорова, Б.А. Фидмана. М.; Л., 1937. 252 с. Поступила в редакцию 24 июня 2010 г. Винокуров Андрей Александрович - зав. лабораторией, кафедра строительной механики, Новочеркасская государственная мелиоративная академия. Тел. 8-904-508-45-97. E-mail: [email protected] Vinokurov Andrey Aleksandrovich - head of laboratory, Novocherkassk State Meliorative Academy. Ph. 8-904-50845-97. E-mail: [email protected]_

https://cyberleninka.ru/article/n/issledovanie-mikrotopologii-magnitnyh-poley-strukturnyh-neodnorodnostey-v-ferromagnitnyh-materialah

Описан способ, позволяющий поднять качество магнитного метода технической диагностики с использованием микротопологии магнитных полей рассеяния структурных неоднородностей в ферромагнитных материалах.

УДК 620.178.620.179 ИССЛЕДОВАНИЕ МИКРОТОПОЛОГИИ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ СТРУКТУРНЫХ НЕОДНОРОДНОСТЕЙ В ФЕРРОМАГНИТНЫХ МАТЕРИАЛАХ © 2011 г. А.А. Голубев, В.К. Игнатьев Волгоградский государственный университет Volgograd State University Описан способ, позволяющий поднять качество магнитного метода технической диагностики с использованием микротопологии магнитных полей рассеяния структурных неоднородностей в ферромагнитных материалах. Ключевые слова: структурная неоднородность; техническая диагностика; неразрушающий контроль; магнитная дефектоскопия; магнитостатика; тензорные компоненты; обратная задача; преобразователь Холла. Describes a method allowing to improve the quality of the magnetic method of technical diagnostics using miсrotopology magnetic fields of structural inhomogeneities in ferromagnetic materials. Keywords: structural inhomogeneity; technical diagnostics; nondestructive testing; magnetic crack detection; magne-tostatics; tensor components; inverse problem; Hall's converter. Магнитный метод технической диагностики основан на предположении о наличии связи между структурными параметрами материала и его магнитными свойствами. Состояние современной теории ферромагнетизма далеко не всегда позволяет получить количественные характеристики этой связи. Математически оценка параметров структурных неоднородностей (СН) по измеренному магнитному полю является некорректной обратной задачей, использование упрощенных моделей СН не позволяет получить удовлетворительные оценки параметров реальных СН [1]. На расстоянии, большем, чем линейные размеры СН, её влияние можно представить как поле диполя, помещенного в центре СН, с моментом Р = —МУ, где V - истинный объём СН, М - намагниченность материала [2]. В ряде работ [3, 4] представлены аналитические выражения, описывающие данную модель, результаты экспериментов, описаны факторы, влияющие на точность модели. Поле СН формируется магнитными зарядами, окружающими её, поверхностными и объёмными. Основным фактором, в большинстве практических случаев, являются поверхностные заряды, объёмные же вносят лишь незначительные поправки [5, 6]. Однако в области слабых полей объёмные заряды вносят существенный вклад в формирование поля СН, создавая локальные минимумы и максимумы значений поля в прилегающем к ней пространстве. Классический метод магнитной диагностики подразумевает намагничивание материала до состояния технического насыщения [1]. В этих условиях магнитную проницаемость можно считать постоянной, а намагниченность однородной. Самым распространённым измерительным прибором для проведения магнитной диагностики является феррозондовый магнитометр. В слабых полях, сравнимых с полем Земли, следует учитывать нелинейность кривой намагничивания, что приводит к возникновению объемных магнитных зарядов и их добавочных полей. Влияние объемных зарядов на поле рассеяния СН было довольно подробно изучено в работах [2, 7 - 9]. В малых внешних полях материал вблизи СН намагничивается неоднородно, появляются зоны ослабления и усиления магнитного поля относительно средней намагниченности материала, причём с ослаблением намагничивающего поля неоднородность проявляется резче. Качественно результаты проведенных расчетов сводятся к тому, что дипольная модель поля рассеяния СН, используемая во множестве расчётов классической магнитной диагностики, остается применимой в случае малых полей. При этом эффективный размер диполя оказывается вытянутым, иногда в сотни раз, вдоль направления намагниченности, несколько сжат в перпендикулярном направлении, а сам диполь оказывается приближенным к границе изделия [9]. Данная конфигурация диполя позволяет выявлять нано- и микроразмерные СН, на глубине, значительно превышающей размеры СН, что невозможно не только в классической магнитной диагностике, но и с применением других методов, например ультразвукового. Для осуществления магнитной диагностики в поле Земли необходимо изучать микротопологию полей рассеяния СН на поверхности исследуемого материала с предельным пространственным разрешением и чувствительностью, что является сложной задачей даже для одной компоненты поля. Для обеспечения корректности обратной магнитостатической задачи с тензором напряжений и деформаций намагниченного тела нужно связывать не одну компоненту поля рассеяния, а тензорные величины этого поля, причем для анизотропной и неоднородной среды это будет тензор третьего ранга вторых производных. Для магнитного поля в свободном пространстве существует 5 независимых компонент тензора второго ранга первых производных вида 5В,/5г,- и более 20 независимых компонент тензора третьего ранга вторых производных вида д2В/дг,дгк. Существующие феррозондовые магнитометры не обладают необходимым разрешением, так как из-за взаимного влияния их датчики нельзя располагать близко друг к другу. Магнитная диагностика может производиться с помощью преобразователя Холла [10, 11]. Доступны преобразователи с малыми размерами чувствительной зоны, возможно изготовление матриц, в том числе многослойных, из близко расположенных и не влияющих друг на друга преобразователей с близкими характеристиками. В дипольном приближении [9] индукция магнитного поля описывается выражением B«V) = S 3rp (mrp ) - mr. (1) где гр - радиус-вектор от магнитного момента до точки наблюдения, т - магнитный момент диполя, ц0 - магнитная проницаемость вакуума. Пространственные производные поля В (1) определяются выражением В ЗГ: 3 ( miri + m]-xi - (mr) rr, 8- -5 — V 2 r (2) a О- 2 л/3 x а/2 -О 3 dß^ dx m 4% zz дВг_ = 3цо 3y m,. 4n (3) Из соотношений (3) следует, что мерой для СН может служить величина дх В ду 4п 2 2 m (4) Разложим поле В в точках 1, 2, 3 (рис. 1) в ряд Тейлора по координатам х и у и ограничимся линейными слагаемыми: дБ, В = В0 +—^ а; 10 ду V33 двг 1 ößz В2 = в0 +---- а---- а; 2 дх 2 ду (5) В3 = Во - V3 дВ, 1 дБz 2 -а---- а, дх 2 ду где В!, В2, В3 - измеряемые преобразователями Холла значения компоненты индукции в точках 1, 2, 3 соответственно, В0 - соответствующая компонента магнитной индукции в начале координат. С учётом формул (5) получаем где i и ] принимают значения 1, 2, 3. Таким образом, из уравнения (2) можно получить 9 пространственных производных для трёх составляющих поля В, из которых в свободном пространстве только 5 будут независимыми. Для регистрации этих производных можно использовать три преобразователя Холла, размещённых в вершинах равнобедренного треугольника (рис. 1). в1 + В^ + В32 — В1В2 — В1В3 — В2 В3 9а 2 4 В дх +(В + 1 ду 2 Л (6) Рис. 1. Схема тензорного магнитометрического датчика Магнитное поле в ферромагнитной слабонамаг-ниченной пластине будет направлено вдоль граничной плоскости, т.е. вдоль оси у (рис. 1), а момент диполя т будет ориентирован по направлению поля [9]. Если поле направлено вдоль пластины, можно положить, что компонента нормальная к плоскости пластины тг = 0. Полагая, что связанный с СН диполь находится в начале координат х = 0, у = 0, г = г, можно оценить производные поля Из сравнения формул (4) и (6) видно, что в качестве тензорной меры СН можно использовать топологию величины Т = ^В2 + В2 + В2 — В1В2 - В1В3 — В2В3 . Результаты, полученные в ходе численного эксперимента, проведённого с использованием системы конечно-элементного анализа COMSOL, приведены на рис. 2 и 3. Для экспериментов была создана модель плоскопараллельной пластины толщиной 12 мм с цилиндрическими отверстиями, расположенными на её обратной стороне. Магнитное поле фиксируется на поверхности пластины над отверстиями, при этом глубина отверстий различная. В. мкТл 1,20 1,15 1,10 1,05 1,00 0 120 х, мм Рис. 2. Модель отверстия с глубиной залегания 2 мм 2 2 + 8 z r 5 r 4 z В, мкТл 1,04 1,03 1,02 1,01 1,00 0 120 я, мм Рис. 3. Модель отверстия с глубиной залегания 6 мм Также были проведены натурные эксперименты с помощью тензорного магнитометрического датчика. В экспериментах использовалась стальная пластина толщиной 12 мм, с обратной стороны которой просверлены отверстия диаметром 3 мм и глубиной 10 мм, 8 мм, 6 мм и 4 мм. Такие отверстия можно рассматривать как скрытые (со стороны датчика) дефекты с глубиной залегания 2 мм, 4 мм, 6 мм и 8 мм соответственно. Измерения проводились без внешнего под-магничивания в магнитном поле Земли, величину которого можно принять за 40 А/м. Результаты измерений над двумя отверстиями представлены на рис. 4 и 5. В. мкТл 800 ' 600 400 200 0 0 22 х, мм Рис. 4. Магнитограмма отверстия с глубиной залегания 2 мм iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. В однородном поле тензорная мера должна быть равной нулю. В ходе экспериментов выявлено, что топология тензорной меры на поверхности пластины без отверстий носит случайный характер, среднеквад-ратическое значение флуктуаций составляет около 10 мкТл. Это существенно меньше, чем среднее значение нормальной компоненты магнитной индукции на поверхности пластины, которая составляет 100 ... 300 мкТл и существенно меняется вдоль пластины из-за краевого эффекта. Этот результат свидетельствует, с одной стороны, что датчик действительно измеряет тензорные компоненты поля и на его показания практически не влияет плавное изменение самих компонент поля, обусловленное краевыми эффектами и магнитными полями от окружающих ферромагнитных объектов. С другой стороны, можно считать, что флуктуации тензорной меры обусловлены структурой металла. х, мм Рис. 5. Магнитограмма отверстия с глубиной залегания 6 мм Сравнительный анализ магнитограмм на рис. 4 и 5 показывает, что поле скрытого дефекта носит отчетливо дипольный характер. Высота пика тензорной меры нелинейно зависит от глубины залегания отверстия. Это связано с тем, что при увеличении глубины отверстия эффективный диполь, который естественно предположить локализованным в центре отверстия, приближается к внешней поверхности пластины. Это подтверждает возможность определять данным методом не только величину, но и место расположения СН. Данный метод может быть существенно полезен для повышения разрешающей способности магнитной диагностики, когда требуется определить количество близкорасположенных СН и характеристики каждой из них [12]. Так как обратная задача определения параметров СН по магнитному полю не разрешима [13], для диагностики можно использовать метод распознавания образов магнитограмм. Работа выполнена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 гг. (государственный контракт № 14.740.11.0830). Литература 1. Загидулин Р.В. Распознавание дефектов сплошности в ферромагнитных изделиях : дис. д-ра техн. наук. Уфа, 2001. 412 с. 2. Янус Р.И. Некоторые расчеты по магнитной дефектоскопии // ЖТФ. 1938. Т. 8. №4. С. 307 - 315. 3. Загидулин Р.В., Мужицкий В.Ф., Курозаев В.П. Расчет магнитостатического поля внутреннего дефекта и дефекта внутренней поверхности в ферромагнитной пластине. 1: Магнитное поле дефекта внутри ферромагнетика // Дефектоскопия. 1997. № 1. С. 46 - 54. 4. Загидулин Р.В., Мужицкий В.Ф., Курозаев В.П. Расчет магнитостатического поля внутреннего дефекта и дефекта внутренней поверхности в ферромагнитной пластине. 2: Магнитное поле дефекта в воздухе // Дефектоскопия. 1997. № 1. С. 55 - 62. 5. Загидулин Р.В. Некоторые особенности топографии магнитных полей дефектов сплошности // Дефектоскопия. 1995. № 9. С. 55 - 62. 6. Загидулин Р.В., Мужицкий В.Ф., Савенков Д.В. Влияние толщины пластины на магнитное поле дефекта сплошности // Дефектоскопия. 1999. №7. С. 50 - 57. 7. Сапожников А.Б. Некоторые простейшие нелинейные расчеты в магнитной дефектоскопии // Тр. СФТИ 1950. Вып. 30. С. 207 - 218. 8. Сапожников А.Б., Мирошин Н.В. К вопросу о роли магнитной нелинейности среды при формировании поля скрытого дефекта // Тр. ИФМ АН СССР. 1967. Вып. 26. С. 189 - 198. 9. Янус Р.И. Некоторые вопросы теории магнитной дефектоскопии // ЖТФ. 1945 Т. 15. № 1, 2. С. 3 -14. 10. Игнатьев В.К., Протопопов А.Г. Повышение разрешающей способности магнитометра на основе эффекта Холла // Изв. вузов. Приборостроение. 2003. Т. 46. № 3. С. 38 - 44. 11. Голубев А.А., Игнатьев В.К. Цифровой нанотеслометр // Изв. вузов. Приборостроение. 2010. Т. 53. № 1. С. 49 -54. 12. Загидулин Р.В., Мужицкий В.Ф., Курозаев В.П. О разрешении дефектов сплошности по топографии магнитного поля // Дефектоскопия. 2000. № 5. С. 46 - 56. 13. Загидулин Р.В., Щербинин В.Е. Определение геометрических параметров дефектов сплошности методами теории распознавания. Детерминированные признаки классификации // Дефектоскопия. 1994. № 12. С. 70 - 83. Поступила в редакцию 19 сентября 2011 г. Голубев Антон Александрович - аспирант, кафедра «Радиофизика», Волгоградский государственный университет, Физико-технический институт. Тел. +7-909-388-77-90. E-mail: [email protected] Игнатьев Вячеслав Константинович - д-р физ.-мат. наук, профессор, кафедра «Радиофизика», Волгоградский государственный университет, Физико-технический институт. Тел. +7-917-836-39-82. E-mail: [email protected] Golubev Anton Aleksandrovich - post-graduate student, department «Radiophysics», Volgograd State University, Physico-Technical Institute. Ph. +7-909-388-77-90. E-mail: [email protected]. Ignat'ev Vyacheslav Kostantinovich - Doctor of Physico-Mathematical Sciences, department «Radiophysics», Volgograd State University, Physico-Technical Institute. Ph.+7-917-836-39-82. E-mail: [email protected]

https://cyberleninka.ru/article/n/svoystva-elementov-i-opredeliteley-matrits-simvolov-dinamicheskih-zadach-dlya-mnogosloynyh-sred-s-vklyucheniyami

Новый метод построения решения динамических задач для слоистых сред, содержащих в плоскостях раздела или внутри слоев множественные дефекты, применен для определения динамических характеристик многослойных полуограниченных сред. Для различных моделей приведены свойства матриц-символов Грина построенных систем, в том числе новые, не встречавшиеся авторами в других работах, посвященных указанной тематике.

УДК 539.3 свойства элементов и определителем матриц-символов динамических задач для многослойных сред с включениями © 2005 г. О.Д. Пряхина, А.В. Смирнова, Д.В. Борисов, В.А. Мазин A new method for solving dynamic problems for layered media containing multiple defects in the interface planes or within the layers has been applied in the work to determine dynamic characteristics of multi-layered half-limited media. Properties of the Green's matrixsymbols of the systems developed have been stated in various models. These properties include new ones, which are not found in other works on the above topic. В работах [1, 2] предложен новый метод построения решения динамических задач для слоистых сред, содержащих в плоскостях раздела или внутри слоев множественные дефекты типа трещин-полостей или жестких включений. С помощью этого подхода краевые задачи со смешанными граничными условиями на поверхности среды и в плоскостях расположения дефектов сведены к системам интегральных уравнений (СИУ) относительно контактных напряжений, скачков векторов перемещений на берегах трещин и (или) скачков векторов напряжений на границах включений, дальнейшее решение которых предполагает использование метода фиктивного поглощения [3]. В настоящей работе приводятся свойства матриц-символов Грина СИУ для сред с включениями, в том числе новые, не встречавшиеся авторам в других работах, посвященных указанной тематике [4-8]. Рассмотрим задачу о колебаниях пакета из N параллельных слоев толщиной Н = 2к1 + 2к2 +... + 2hN в условиях неидеального контакта между ними. Каждый слой имеет свои характеристики: полутолщину hk, плотность рк, модуль сдвига /ик и коэффициент Пуассона ук . Нижняя грань пакета жестко сцеплена с недеформируемым основанием, а поверхность среды подвержена гармонической нагрузке. В плоскостях раздела слоев имеются включения, занимающие плоские области 0.т (т = 1,2, к N -1), на границе которых вектор напряжений претерпевает разрыв. Система функционально-матричных соотношений, связывающих в трансформантах Фурье перемещения на верхней грани к -го слоя (к = 1,2, к N), скачки напряжений з т (т = 1,2, к N -1) на границах включений и напряжения на поверхности среды Т0 методом работ [1,2] получена в форме ки = V, (1) V = (^), и = (Т,зрззN-1), где элементами блочной матрицы К = ( К ^, к.т = 1,..., N являются матрицы-функции, причем Кп = К N (V - К N К Ь K km - R л Ä )П DsPm + +B- h )P(k+1)m ) Lm( k < m ) h ) (П Dks Psm Lm-1 + Dkm Kkm R N -k+1 (2) (k > m ), D,, p П F. G,, k > m, i-k-1 , I, k - m, m-1 km -П Si-1 - (hiу i - k - gm F.-1R л ,( hm + 1) Fk (hi .... , hN - B- (-hk) - g k -1,2,.... N-1, Fn h) - B- (-hw), . k RN-k h , hN ) = R Gk --B+ (-hk X -k+1 ( hk ) = R N - k+1(hk , hk+1, Мк+1 к = 1, N, •, hN) - матрицы-симво - лы Грина пакета к слоев без дефектов, определяемые по формуле [3] К N -к+1 (К )= В+ ^к ) + В+ ^к ^кЧ . Базовые матрицы в± (h) имеют структуру B±(h)- Их элементы зависят от параметров конкретного слоя толщиной 2h и представимы в виде отношения целых функций b±1 b±2 ±b±3 b2±1 b2±2 ±lb± — 13 a -b1±3 ß ab13 ±b±3 / b„ - b22 - 2 о2 а ± ß m10 + TJ— гд ß г д 10 г4 д„ m + г4 д„ и± и± aß b12 - b21 -Г V 10 b„ - г2 д, -m„, k ± b3±3 - -2033 д,„ Здесь m10 - -ct2Q (у c2 s1 -Г ст1 и2 c1 s2), m10 - Ст2Q2 (Y2 s1 - Г°~1 s2) , s-2 К = -^V c s2 -XVj a2 c2 Sj), k-o = (Y2 S2 - XVj CT2 Sj) , + Х )(Ci C2 - l)"2 ( ) S1 S 2 mo = Q2Y^l ^2 (Cl " C2 ) > «0+ = C2 ' n0 = - l> A10 = 4( ) Sj S2 -8o"i ^2Y2^2(Cj C2 -l), k32 =-k23 = iM -2Sin^, k33 = M 0 m20 = A20 = S2 • В последних формулах X2 = а2 + р1; ^ = А2 -0,5o2; ст22 = X2-О2; ст22 = X2-sO2; s = (1 -2v)/(2-2v); c. = ch(2ha.), s. = sh(2ho".); <г - корни характеристического уравнения задачи для слоя, занимающего область (|z| < h, х, >> ); О- безразмерная частота колебаний; v - коэффициент Пуассона; а, в - параметры преобразования Фурье. Соотношения (1), (2) являются искомыми функционально-матричными при моделировании основания пакетом N слоев с включениями на их стыках. Для модели однородной полуограниченной среды, например, для слоя, жёстко сцеплённого с неде-формируемым основанием и содержащего N -1 плоских, параллельно ориентированных включений, они получаются из (1), (2), если положить физико-механические параметры слоев равными для всех к (k=1, 2,..., N). Переход к слоистому полупространству в (1), (2) осуществляется аналогично изложенному в [1]. Другие подходы к построению систем (1) предложены в [4-8]. На основе соотношений (1) легко выписываются СИУ динамической смешанной задачи относительно неизвестных скачков напряжений на границах включений и контактных давлений под штампом [9,10]. Метод фиктивного поглощения, выбранный для построения решения СИУ, требует знания асимптотического поведения и особенностей элементов и определителей подынтегральных матриц-функций K j, а также определителя системы (1). Для перечисленных функций получены новые представления, удобные для численного анализа. При исследовании асимптотических свойств матриц-функций Kj установлено экспоненциальное убывание элементов K j, (i Ф j) при |X| ^ да, а главные члены асимптотических разложений матриц K jj представимы в виде Kjj = K j (1 + O (X~2)), где матрицы K0 = Ijj имеют следующую структуру (a=Xcosp, e = Xsinp): ku = M0 cos2 p + N° sin2 p, k22 = M"j sin2 p + N° cos2 p, к12 = k21 = sinpcosp(M 1 - N°), к31 = -k13 = iM °2 cosp, Mil =1 w M° =1 - V 2X i bi N = — M =- 1 X' jl X(ki2 - k2) M 02 = b2 № =-l— j \X\K X(k2 - k22): bi =(j-^j-i )(3 - V ) gj-i + ()(3 - V-i). b2 =( 2-Vj-i )(3 - V )-i2-Vj )(3 - V-0. ki =(j-Vj-i) + gj-i (j-Vj ) . k2 =I-V,-1 + т|- Sj-iI-Vj+i k3 = 1 + gj-i = iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. ] = 2,..., N. Для формирования условий локализации вибрационного процесса [6] особый интерес представляет поиск нулей определителя системы (1). Впервые установлено, что для пакета из N слоев, жестко сцепленного с недеформируемым основанием, при наличии штампа на поверхности среды и включений на стыках слоев, определитель системы (с точностью до постоянного множителя) имеет вид ¿еХ К = П(¿еХ ¿еХ В_(~Ик))хД ¿еХВД). (3) к=1 к=1 Если внешнее воздействие Т0 отсутствует, то размерность системы (1) понижается на единицу и ее определитель равен N-1 / \ N ¿еХ К = П (еХ Г-1 ¿еХ В_ (-Ик)) хП¿еХ(\). (4) к=1 к=2 Заметим, что при Х = а, в = 0 система (1) распадается на две независимые, отвечающие плоской задаче с блочной матрицей К = К1 и антиплоской с матрицей К = К2. В пространственном случае несложно показать, что определители (3) и (4) представимы в виде произведения ¿еХ К = ¿еХ К1 ¿е X К2. Для ¿еХ Кр (р=1,2) получены новые соотношения, позволяющие эффективно проводить численный анализ нулей и полюсов в плоскости (Х, О) и изучать поведение дисперсионных кривых при различных значениях параметров задачи и произвольном количестве слоев. Определители системы (1) представимы в виде отношения целых функций ¿еХ Кр =■ 1 (5) Д N ^ hN) ПЗД), То * 0, к =1 х 1 Д pl(hl)П ), Т0 = 0. к=2 В этих формулах Д , ДрЫ, р = 1,2 - знаменатели определителей и элементов матриц-символов Грина соответственно для однослойной и Н-слойной среды без дефектов с жестко защемленной нижней границей; Dpl - числитель определителя и знаменатель элементов обратной матрицы Грина однослойной среды с жестко защемленной нижней границей. Из (5) следует, что нули изучаемого определителя det К системы (1) в случае Т0 Ф 0 являются совокупностью нулей определителей матриц- символов Грина однослойных сред Dp1(hk), а при Т0 = 0 также полюсов определителя матрицы-символа Грина Д1(И1) одного слоя толщиной 2/ с защемленной нижней границей. Функции Д (И), D (и) имеют вид д„ = 4 п 4-(y^ )2 +1- Q 2 + 4 , ( + Л))С1С2 ( )s1s2! D,i(h) = — s, A21 = С2 - с. = сЬ(2Иа.), 8. = &Ь(2Иа.). Таким образом, каждый из сомножителей, входящих в (5), зависит от геометрических и механических параметров только одного слоя. Подбором этих параметров можно управлять волновыми, в том числе и резонансными свойствами изучаемых объектов [6]. В случае идеальной среды или наличия включений не на всех стыках слоев формулы (5) имеют другую структуру. Рассмотрим плоскую задачу для пакета из N слоев при отсутствии включений или наличии только одного включения. 1. Пусть среда без дефектов, внешняя нагрузка отлична от нуля (Т0 Ф 0), тогда система (1) эквивалентна одному матричному уравнению К11Т0 = ', Цм (И,, И,,..., Им) detК - detКп = 1 2 ы'. 11 Ю 2. Когда включение расположено между первым и вторым слоем и Т0 Ф 0, имеем систему двух матрич- ных уравнений КПТ0 + з 1 = W1, К 21Т0 + К 22 з 1 =W2, определитель которой det К = D11 (h1 )D1N -A-, hN ) ^ Ин ) 3. Если в условиях п.2 принять Т0 = 0, то имеем одно матричное уравнение К22 з 1 = '2 с определи- -1 (И2 , • • •, К ) телем det К = det К__ = A1N (h1, h2,-., hN ) 4. Если Т0 = 0 и включение расположено между вторым и третьим слоем, то также имеем систему двух уравнений К 22 Т0 + К23 3 1 = W2' К 32 Т0 + К33 3 1 =W3, A12 (h1- h2 ) D1(N-2)(h3--, hN ) с определителем det К = ^ (h',к, Ин ) 5. Если включение находится на границе между т и т +1 слоем (т = 1,2,..., N -1), то detК =-1-хД1 (И И Щ.„ .(И „•..,Иы). д 1 \ 1т 4 Р > т7 1(Ы-т)у т+1 > Ы' Д'N (И|,K, % ) Здесь Б1т (Ик) - числители, а Д1т (Ик) - знаменатели определителей матриц-символов Грина т -слойной среды без дефектов. Из соотношений (3)-(5) можно сделать ряд важных заключений, даже не прибегая к численному анализу, что также является их достоинством. Например, в [3] изучены условия существования изолированных низкочастотных резонансов (В-резонансов) системы «массивный штамп - пакет слоев без дефектов, жестко сцепленный с недефор-мируемым основанием». Показано, что точек дискретного спектра всегда конечное число, и они лежат в диапазоне частот 0 <О<О Ф 0. Если кр Окр = 0, то рассматриваемая система не имеет низкочастотных резонансов. Из (3)-(5) с учетом вышесказанного следует, что при неидеальном контакте между слоями при наличии включений определитель det К (Л, О) матрично-функциональной системы (1) имеет вещественные нули и полюса, начиная с некоторого значения О = О* > 0 и могут иметь место В-резонансы в средах, содержащих множественные дефекты типа жестких включений. Детальный численный анализ дисперсионных кривых элементов и определителей матриц К1 и К2 для двух- и трехслойной среды с включениями приведен в [П-15]. Работа выполнена при поддержке РФФИ (03-01-00694, 03-01-96537, 03-01-96645), ФЦП «Интеграция» Б0121, гранта Президента РФ (НШ-2107-2003.1). Литература 1. Бабешко В. А., Пряхина О.Д., Смирнова А.В. // Прикладная механика. 2004. № 2. С. 3-10. 2. Пряхина О.Д., Смирнова А.В. // ПММ. 2004. Т. 68. Вып 3. С. 499-506. 3. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М., 1999. 4. Бабешко В.А. Обобщённый метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М., 1984. 5. Бабешко В.А. // Докл. АН СССР. 1989. Т. 304. № 2. С. 317-321. 6. Бабешко В.А. // Изв. РАН. МТТ. 2000. № 3. С. 5-9. 7. Бабешко В.А. и др. // Докл. РАН. 2002. Т. 382. № 5. С. 625 - 628. CT 2 8. Бабешко В.А., Павлова А.В., Ратнер С.В. К задаче о вибрации полупространства с совокупностью внутренних трещин // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. 2002. № 3. С. 36-38. 9. Бабешко В. А., Пряхина О.Д., Смирнова А.В. // Мат. моделирование, вычислительная механика и геофизика: Материалы II школы-семинара молодых ученых Юга России. Краснодар, 2004.С.5-21. 10. Пряхина О.Д., Смирнова А.В. // Изв. вузов. Сев.- Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвып.: Нелинейные проблемы механики сплошной среды. 2003. С. 279-284. 11. Пряхина О.Д., Смирнова А.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвып. 2004. С. 89-93. 12. Борисов Д.В, Пряхина О.Д., Смирнова А.В. // Экологический вестн. науч. центров Черноморского экономического сотрудничества. 2004. № 2. С. 8-13. 13. Пряхина О.Д., Борисов Д.В. // Экологический вестн. науч. центров Черноморского экономического сотрудничества. Матем. моделирование, вычислительная механика и геофизика: Материалы II школы-семинара молодых ученых Юга России. Краснодар, 2004. С.147-151. 14. Борисов Д.В, Пряхина О.Д., Смирнова А.В. // Матем. моделирование, вычислительная механика и геофизика: Тр. III школы-семинара. Ростов н/Д, 2004. С. 47-49. 15. Пряхина О.Д., Смирнова А.В., Мазин В.А. // Матем. моделирование, вычислительная механика и геофизика: Тр. III школы-семинара. Ростов н/Д, 2004. С. 22-27. Кубанский государственный университет_4 марта 2005 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/algoritm-rascheta-vzaimodeystviya-sooruzheniya-s-poluprostranstvom-v-usloviyah-ploskoy-deformatsii

В статье излагается алгоритм решения задачи по расчету сооружения, взаимодействующего с упругим полупространством, в условиях плоской деформации.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2010, том 53, №5________________________________ СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УДК 624. 042 Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Д.Н.Низомов, А.А.Ходжибоев, О.А.Ходжибоев АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СООРУЖЕНИЯ С ПОЛУПРОСТРАНСТВОМ В УСЛОВИЯХ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ Институт сейсмостойкого строительства и сейсмологии Академии наук Республики Таджикистан В статье излагается алгоритм решения задачи по расчету сооружения, взаимодействующего с упругим полупространством, в условиях плоской деформации. Ключевые слова: плоская деформация - решение Кельвина - решение Мелана - контактная граница - граничные элементы. Рассмотрим статическую задачу взаимодействия сооружения ^ + £ с упругим полупространством О* + , ослабленным полостью £2 (рис.1). Для решения задачи используется метод граничных интегральных уравнений [1]. Граничные условия задачи такие, что на поверхности сооружения заданы напряжения, на контактной границе выполняется условие непрерывности, на контуре отверстия могут быть задана нагрузка, а полупространство может находиться в начальном напряженном состоянии. Рис. 1. Контактная задача. Решение этой задачи сводится к совместному рассмотрению трех интегральных уравнений, одно из которых относится к сооружению, а два других - к полуплоскости с отверстием. Первое интегральное уравнение, соответствующее внутренней задаче, представляется в виде €„V, (£)+| Р‘(Ц, х)Ш, (х)А( х) -1 Ш‘(£, х) Р, (х)Ж( х) = | Ш‘(£, у)Г, (у)с1О( у), (1) 5 5 О Адрес корреспонденции: Ходжибоев Абдуазиз Абдусатторович. 734029, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 121, Институт сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН РТ. E-mail: [email protected] где Жу (£, X), Р^ (£, X) - перемещения и напряжения, возникающие в точке X по направлению оси X от действия единичной силы, приложенной в точке £ и направленной по оси X.. В уравнении (1) используются фундаментальные решения Кельвина [2] и неизвестными являются перемещения Ж-(х) на контуре 80 + Я и напряжения Р (X) на контактной границе. Второе граничное интегральное уравнение мы получим из рассмотрения полуплоскости, когда точка сЖ (0 + | Р*(£, x)WJ(х№(х) - | Ж*(£, х)р (x)ds2 (^ =| Ж*(£, х)р (x)dsl (х), (2) ^2 Я» ^ г,у = 1,2, X е 8, где неизвестными являются перемещения на контуре $2 и напряжения на контактной границе £0. Третье уравнение можно получить из (2) при условии, что точка ^ находится на контактной границе £0. В этом случае граничное уравнение приобретает вид Ж(£) + \ р;(£, *)Ж] -\ X)Р](X)!ОД = \ Ж*(£, X)Р](x)dП(x), (3) ^2 Я» 82 К] = 1,2, 80, x е 8 , где неизвестными являются перемещения на контуре ^ , 82 и напряжения на 80. В граничных урав- нениях (2) и (3) используются фундаментальные решения Мелана [3]. Представленные граничные интегральные уравнения позволяют сформировать замкнутую систему разрешающих уравнений. Из совместного решения (1) - (3) мы получим перемещения на контурах 8 = 80 + 8, 82 и напряжения на контактной границе 80. С целью численной реализации метода разбиваем контуры системы на постоянные граничные элементы: Я на п элементов, контур отверстия £2 на п2 элементов, 80 на п0 элементов и область П на т ячеек (рис. 2). При такой разбивке интегральное уравнение (1) преобразуется в следующую систему алгебраических уравнений п\ п1 ]=п1+П> ]=п +по п1 +по у=п1+по У а .и + У Ъу + У а и + У Ъу - Т е Р - У г Р = Аи у ] Аи у ] Аи у ] Аи у ] Аи у X] Аи °у уу у=1 у=1 у=п+1 у=п+1 у=п +1 ]=п\ +1 у=п1 у=п т т = УеР + УгР + У е^, +2;г,¥], (4) У=1 ]=1 У=п1+1 ]=1 у=П у=п у=п1+п» у=п1+по у=п1 +по у=п1+по У с и +У й*у + У с и - У d v - У 1Р - У И Р = У у у У у у У у у У у у У “'у X У у у] ]=1 у=1 у=п+1 у=п +1 ]=П1 +1 у=П1 +1 ]=п у=п т1 т1 = У /Р + У +У /Л +У уу ]=1 ]=1 ]=1 у=1 1 = 1,...,п + п, а*у = ау +8у/2, +81}/2, где I - номер фиксированного элемента, у - номер элемента, в котором производится интегрирование. Рис. 2. Дискретизация границ областей. Коэффициенты системы уравнений (4), соответствующие решению Кельвина, определяются по следующим формулам: а у = | Р*(1,у)Ж] =-Ъ | (с + 2*){соъуу /Гу )• 2 , Д57 ]у Ьу =| Р2(1, =-Ъ | {[ с(т1п2 - т2п1) - 2т1пгС°Ъ7у ] / Гу } 2] , Щ Asj с у = | Р21(1,у)Жу =-ъ | {[с(тп2-тп)-2тпгс°^7у]/гу}^у, АЯ] ]у ! у = | Р22(К*у = -Ь | [(с + 2т2)• тобг,у /Гу ]2 , Ь8у ]у е у = | ЖП(1,у)^у =-а | [(3 - 4У) Гу - СО$2 РА • 2у , АЯ] ]у g a =j W2*i(i,j)dsj = -a J cos Д • cosД • ds} , (5) АSj fj = f Wl20,j)dsj = a j C0S Д1 • C0S Д2 • dsj , ASj ASj hj = j Kli* *)*а = -a j [(3 - 4v) * r* - C0S Pl\ • (tej • A5f A5f здесь n = cos a, n = cosa2, щ = cos Д , щ = sin Д, a = 1/8kG(1-v), b = И4ж(1 -v), Г 2 2~|1/2 r =1 (x -x) + (у -у) , c = i-2v, cosyp = nm + nm, sm^ = щп. -mn, a1 - угол меж- ду осью x и нормалью к границе конечной области, а2 - угол между осью у и нормалью к границе конечной области. Вторую систему алгебраических уравнений получаем из интегрального уравнения (2). Так как полуплоскость находится в начальном напряженном состоянии а0, то из условий равенства нулю суммы начальных и дополнительных напряжений получим P = -а° cos a . Тогда дискретное пред- ставление (2) записывается в виде: j=n +4) + «2 j = n+n0 + п2 j=n1 + П) j=n1 +П) У a*u. + У bv - У e P - У g P =-а0 У e cosa, У V j У j j У j x У 6 У у x У у a j=n+n) +1 j=n\ + n0 + n2 j=n+n)+1 j=n1 + n) + n2 j=n1 +1 j=n+no j=n1 +1 j=n+no j=n+«o+1 j = n1 + no + n2 У CjUj + У j - У fpj - У hjpyj =-а У fj cosa1 j, j=n+no+1 j=n+no+1 j=n + j=n + j=n1 +«o +1 (6) I = п + п0 + 1,..., п + п0 + п2 . Коэффициенты системы уравнений (6) определяются на основе фундаментальных решений Мелана [4]. > Пусть в точке p(^,rf) = i( xi, y) полуплоскости действуют единичные силы ех, еу. (рис.3). От действия единичных сил в точке k(x, y) = j(x. , У;) возникают перемещения, которые можно представить в виде * * * * * * Ukp = Ukx + Uky , vkp = Vkx + vky • (7) Компоненты перемещений в (7) являются фундаментальными решениями Мелана, которые состоят из суммы решения Кельвина и дополнительных решений: икх = a[-(3 - 4j)ln r a + cos2 Д + (3 -4j)\nRaj -8(1 - jli)2 InRaj + iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. + (3 - 4j)sin2 6 + ^УУ^ - 4УУ^sin2 6], І vkx = a [cos Д • cos Д + (З — 4л) • cosв• sin в —-------------------------• cosв• sin в — (S) R,-,- + 4(1 — л)(1 — 2л)в\; u*ty = a [cos Д • cos Д + (З — 4л) • cos в • sin в —УУ- • cos в • sin в — 4(1 — л)(1 — 2л)в]. Rj vyy = a[—(З — 4л)1п r^ + cos2 Д + (З — 4л)1п R — 8(1 — л)2 ln R + /0,4 2 л 2УгУ] 4 У'У] 2Л! + (З — 4л) cos в — —^ ^ cos в], І где j - коэффициент Пуассона, G - модуль сдвига, 1 X - X (xi -X) У,- - У,- a = ----Г; 6 = arctg \~------------------------1; cos Д = —-; cos pi = y— • 8ЖG(1 -JJ |У + Уу| rij rij Решения (8) содержат сингулярности того же порядка, что и соответствующее решение Кельвина. Напряжения, соответствующие действующим внутри полуплоскости единичным силам, могут быть получены с учетом зависимостей PXx = а« cosa1 + Kxx cosa2 ’ PXy =а*у cosa1 + T*yx,у cosa2 , 7~» * * * т~ч* * * s r\\ Pyx = ayX cosa2 + cosa1 ’ Pyy = ауу cosa2 + Ty,у cos a1 • (9) Исходя из закона Гука и уравнения Коши с учетом (9) можно получить напряжения на наклонной плоскости, соответствующие фундаментальным решениям (8). Зб8 Следующую систему алгебраических уравнений получим из (3): 1=п1+П0+П2 1=п +П0+П2 1=п+П0 1=п+П0 1=П+П0+П2 апи1 + Ё ъау1 - Ё ер - Ё зЛ = -< Ё е , и + Ё ]=п+Щ+1 1 = п1 + п0 + п2 1=п+П0 +1 1=п1+п0+п2 1=п1+1 ] = п1 +п0 1 =п1 +1 1=п1+п0 1 =щ+щ +1 ] =п + п0 + п2 у + Е си + Ё йу - Ё 1Р - Ё ЬР =-о° Ё I 1 ^ 1 1 Аши 1 1 Аши ^ 1 ХА-и 1 У х ^ Уу 1=п+Щ+1 1=п+Щ +1 1=^ +1 у=п +1 у=п+п +1 11 ^ац, (10) здесь 1 = п +1,.., П + П отсчитывает номера узлов только на линии контакта; ] — номер элементов, в которых производится интегрирование. Коэффициенты системы уравнений (10) определяются на основе фундаментальных решений Мелана. Представим систему разрешающих уравнений в стандартной матричной форме: [ А] • } = {В}, (11) где [А] — матрица коэффициентов, {Х} — вектор неизвестных, {В} = В° х Р° — матрица свободных членов, которые имеют следующие структуры: А = Ащ в. Ап0 в, - Е п0 О 0 0 С! с п 0 к - Г«о - Нпв 0 0 0 0 0 0 - Епй О А2 вп2 0 0 0 0 - К - Н0 С, 0 0 Е0 0 - Епй О А2 вп2 0 0 0 Е0 - К - Н0 Сп 2 {х} = {ип , и0, у0, ' РХ0 , РУ0 РУЩ , ип2 , Упг У > {В} = ^В° ^ х {р° | - вектор заданных нагрузок, {р°} = {ро ро р 0 р оао }г, (. ) ( X у X у X ) ’ [ В0] = Е О Е О 0 р1 н К н 0 0 0 0 0 - Ес 0 0 0 0 - рс 0 0 0 0 -Ес 0 0 0 0 - рс где Рс, Е — матрицы правой части, имеющие вид: > І=Щ+п0+п І=щ+п0+п г г Ес =- Ё Л ^ а11 ’ Ес = Ё е 1 ^ а11 ’ Ег =-Ё Ї ^ а11 ’ Ег =-Ё е11 ^ а11 ’ і=п1+п,+1 1=п1+п0+1 Е0 - единичная матрица, К, Е - матрица свободных членов от заданных объемных сил, Р° = {Р° Р°' К К у -^хУ - транспонированный вектор заданных сил. В результате совместного решения системы уравнений (11) определяются искомые перемещения и напряжения на линии контакта сооружения с полуплоскостью. После определения перемещений на контуре сооружения ^ , линии контакта и на контуре отверстия вычисляем деформации и по ним соответствующие напряжения. Таким образом, определим напряженно-деформированное состояние взаимодействия сооружение - полуплоскость по линиям наибольших напряжений и деформаций, что достаточно для инженерных расчетов и оценки безопасности объекта. На основе изложенного можно сделать следующий вывод. Разработан алгоритм решения статической задачи взаимодействия сооружения с упругим полупространством на основе метода граничных уравнений, который позволяет исследовать напряженно-деформированное состояние системы «грунт-сооружение» при различных воздействиях. ЛИТЕРАТУРА 1. Низомов Д.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. - М.: Изд-во АСВ, 2000, 282 с. 2. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975, 872 с. 3. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных уравнений. - М.: Мир, 1987, 524 с. 4. Теллес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. - М.: Стройиздат, 1987, 160 с. Ч,.Н.Низомов, А.АДочибоев, О.АДочибоев АЛГОРИТМИ ХДСОБИ КОРИ ЯКЦОЯИ ИНШООТ ВА НИМФАЗО ДАР ДОЛАТИ ДЕФОРМАТСИЯИ ^АМВОР Институти сохтмони ба заминчунби тобовар ва сейсмологияи Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон Дар макола муодилахои халлии методхои элементной худуди барои халли масъалаи кори якчояи иншоот ва нимхамвории чандирии бо истихроч кохишдодашуда бароварда шудаанд. Алгоритм дар намуди матритса, формулахо барои ёфтани чойивазкунй ва шиддат дар худуди мавзеъ оварда шудаанд. Цалима^ои калиди: шакливазкунии уамвор - уалли Келвин - уалли Мелан - уудуди расиш -элементной уудуди. J.N.Nizomov, A.A.Hojiboev, O.A.Hojiboev THE ALGORITHM OF INTERACTION’S STRUCTURE WITH HALF-SPACE IN CONDITIONS OF FLAT DEFORMATION Institute of Earthquake Engineering and Seismology, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan The algorithm and the formula for determining the displacements and stresses on the boundaries of the region in matrix form are shown in the article. Key words: plane strain - Kelvin solution - Melan solution - contact interface - boundary elements.

https://cyberleninka.ru/article/n/postroenie-novoy-teorii-izgiba-kanatov

Предлагается исследование задачи изгиба каната, основанное на теории композитов и решении Сен-Венана задачи чистого изгиба для цилиндра с винтовой анизотропией (ЦВА). Получена приближенная формула для изгибной жесткости каната и проведен сравнительный анализ с численным решением, полученным по теории Сен-Венана для ЦВА.

УДК 539.3 ПОСТРОЕНИЕ НОВОЙ ТЕОРИИ ИЗГИБА КАНАТОВ © 2009 г. Н.М. Романова, Ю.А. Устинов Южный федеральный университет, Southern Federal University, 344090, Ростов н/Д, ул. Мильчакова, 8а, 344090, Rostov-on-Don, Milchakov St., 8a, dnjme@math. sfedu.ru dnjme@math. sfedu.ru Предлагается исследование задачи изгиба каната, основанное на теории композитов и решении Сен-Венана задачи чистого изгиба для цилиндра с винтовой анизотропией (ЦВА). Получена приближенная формула для изгибной жесткости каната и проведен сравнительный анализ с численным решением, полученным по теории Сен-Венана для ЦВА. Ключевые слова: изгиб каната, изгибная жесткость каната, цилиндр с винтовой анизотропией, задача Сен-Венана, теория композитов, метод малого параметра. Researching of the rope bending problem is based on the composite theory and Saint-Venant's pure bending problem solution for cylinder with helical anisotropy. The approximate formula of rope bending rigidity is obtained and analyzed comparatively with numerical solution, obtained under Saint Venant 's theory. Keywords: rope bending, rope bending rigidity, cylinder with helical anisotropy, Saint-Venant's problem, composite theory, small parameter method. Существуют различные виды канатов. Отличаются они по форме поперечного сечения, числу прядей и проволок в пряди, виду сердечника и направлению свивки. Наиболее широкое распространение получили круглые стальные канаты одинарной (спиральные) и двойной свивки (тросы). Под свивкой понимают скручивание проволок или прядей каната между собой. Спиральные канаты получаются скручиванием пучка проволок. Волокна у спиральных канатов располагаются по винтовым линиям вокруг центрального прямолинейного волокна в несколько слоев. Трос является канатом, в котором из проволок сначала свивают прядь, а из прядей - канат. Известны два основных подхода к построению элементарной теории каната одинарной свивки. В одном из них [1, 2] канат представляется в виде дискретной системы криволинейных стержней, и применяются методы строительной механики. 2-й подход основывается на уравнениях сплошной упругой среды с криволинейной анизотропией [3, 4]. При новом подходе канат рассматривается как цилиндр из композитного материала, который получается в результате винтовой намотки тонких волокон из жесткого материала на цилиндрическую поверхность малого радиуса таким образом, что шаг винтовой спирали h и крутка г = 2л!к остаются постоянными. Одновременно с намоткой осуществляется покрытие волокон полимерным связующим. После полимеризации получается круговой цилиндр из волокнистого композита. Основные соотношения теории упругости для тела с винтовой анизотропии и постановка краевой задачи Для описания упругих свойств полученного композита поступим следующим образом. В геометрическом центре одного из поперечных сечений цилиндра поместим основную (декартову) систему координат x1, x2, x3. В качестве сопутствующей введем винтовую систему координат r, в, z, связанную с декартовой соотношениями x = r cos^, x2 = r sin ^, x3 = z, где г = = 2ж/h = const - «крутка»; h - шаг винтовых линий, 2 i , 2 g = 1 + x , x = Tr . определяемых условиями r = const,, в = const. Радиус-вектор точек винтовой линии R = re + ze2, где e/=ijCos^+i2sin\\; e2' =-i1sin^+i2cos\; il5i2,i3 -орты декартовой системы координат; \=в+т2. С винтовой линией свяжем репер Френе n = el5 b = e2, t = e3, где n,b, t - орты главной нормали, бинормали и касательной. Ортогональная матрица перехода от базиса e j к базису ej имеет вид -10 0 0 -1/g x/g 0 X/g 1/g Для описания упругих свойств полученного композита используется теория усреднения [5], на основании которой материал цилиндра при достаточно большом количестве слоев намотки считается локально трансверсально-изотропным; главная ось симметрии совпадает с направлениями орта e 3. Тогда в базисе Френе соотношения обобщенного закона Гука имеют следующий вид: 7t = CjSj, i, j = 1,...,6; 7k = 7kk , <4 = ^ <5 = ^ 76 = <12 ; Sk = % > ^4=2£23, es=2e13, е6=2е12; k = 1,2,3. Здесь - компоненты тензора напряжений; £iJ- - компоненты тензоров малых деформаций в базисе ei(i = 1,2,3). Упругие свойства трансверсально изотропного материала в базисе e j определяются 5 независимыми техническими постоянными [6] E , E', G', v , v'. Модули Cj выражаются через эти постоянные формулами: = _E(E' — Ev '2) Cl1 = С22= Ki + v) ' _E(E'v + Ev'2) _ _ EE'v' c12 ' C"i3 C23 y(1+v) у y = E (1-v) - 2Ev '2, c15 = c16 = c25 = c26 = c35 = c36 = c44 = c: E (1 — v) у E 2(1+v) (1) = G'. :: Пусть Е и у1 - модуль Юнга и коэффициент Пуассона несущих спиральных элементов (волокон); Е2 и у2 - модуль Юнга и коэффициент Пуассона полимерной матрицы (заполнителя); к1, к2 - концентрации несущих элементов и заполнителя соответственно. Тогда, по теории усреднения [5], E = 1 -v, к-!-+к2 1 -v\ v'2 --+— E, E k VL-VL+кг E, G' = 2(1 + vi) 2(1 + v2) &1 + к 2 E E9 E (2) E' = k-E- + k2 E2, v' = klvl + k2v2, kx + k2=\ . Соотношения закона Гука и выражения для модулей c'y в винтовой системе координат приведены в [7]. Компоненты тензора деформаций в базисе винтовой системы координат выражаются через смещения ur,пв,u2 : err = дrur, евв =-(иг +двив), ezz = Du r zz z > 2ere = д rue+ -(deur - ue I 2erz = д ru2 + Dur > r 2eze = дeu2 + Due . Уравнения равновесия в напряжениях в данном случае будут иметь вид дr (r&rr ) -&вв+ двав + rD&rz =0 > дr (r°re) + are + двавв + rD&e =0 > (3) д r (rarz ) + дв^в2 + rDazz =0. д д д Здесь дr =—, дв =—, д = —, D = д-тдв . дr дв д2 Пусть r = R - радиус боковой поверхности цилиндра. Предполагается, что она свободна от напряжений r = R: arr = crre = ar2 = 0. Введем вектор смещений u= (ur,ue,u2)T . Тогда задачу можно представить в векторно-операторном виде относительно матричных дифференциальных операторов нулевого, 1 и 2-го порядков по переменным r,в M(д, т) u= д2A0u + дЛ^и + A2u = 0 , N(д, т) u= (дВ0u + Bu)| г = 0 . Коэффициенты этих операторов зависят от r и т , но не зависят от 2 , что позволяет отыскивать реше- У 2 ние в виде u = aey . В результате получаем спектральную задачу на сечении 2 = const Ml (у) a= {M (у) a, N (у) a} = 0 . (4) Известно [7 - 9], что решение Сен-Венана определяется тремя 4-кратными собственными значениями (СЗ) У о = 0, У\ = ±т, и, кроме уf, других чисто мнимых СЗ не существует. Поэтому в общем представлении решение задачи (4) можно записать в виде u= u S + u p . Здесь u S = YCi u; - решение Сен-Венана, отвечаю- i щее СЗ У0,У- ; uр =Х С-u- (2) + с- u + (2-L)\ k uf (2) = af exp(yk2) - решение, отвечающее остальной части спектра. При этом напряженно-дефор- мированное состояние (НДС), отвечающее и р , является самоуравновешенным; С1, С± - произвольные постоянные, определяемые при удовлетворении граничным условиям на торцах цилиндра г = 0,Ь. НДС, отвечающее первым 6 элементарным решениям Сен-Венана, тождественно равно нулю, так как эти решения определяют перемещение цилиндра как твердого тела; остальные 6 - НДС, эквивалентное в каждом поперечном сечении продольной силе и крутящему моменту (у0 = 0), изгибающим моментам и поперечным силам (у± = ±1т). Элементарные решения Сен-Венана задачи чистого изгиба Решение Сен-Венана задачи чистого изгиба [7, 8], является линейной комбинацией элементарных решений (ЭР), отвечающих СЗ у± = ±1т, и может быть представлено в виде u 5 =2Re\^C1 u ¡\, ui = i=1 l-к k=1(l - к)! (5) а 1=(и,0)г, а2=(0,0,-г)Т, а3=(аr 3,iaвз,¡а2 3)т , где аг3,ав3,аг3 находятся интегрированием краевой задачи [7]. Отметим, что НДС, отвечающее ^ (С3 а 3), 3(С3 а 3), эквивалентно только изгибающим моментам Ыч, -ЫХ2 . Для краевой задачи с граничными условиями на торцах цилиндра г = 0: иг = пв= п2 = 0; г = Ь: аГ2 = рг, ав, = рв , ^22 = Рг, в предположении, что вектор внешних усилий рг, рв, р2 в интегральном смысле эквивалентен только изгибающим моментам я Ыч , М [7], имеем ¿С3 = -Мщ, ё = 2п\Ь22^г, 0 при т = 0; ё = яЕ'Я4 ¡2. Таким образом, постоянная С выражается через компоненты главного момента и определяется «точно»; постоянные С, С «точно» могут быть определены только на основе решения бесконечной системы алгебраических уравнений. Метод построения одного из вариантов такой системы приведен ранее [7, 10]. Асимптотический анализ таких систем показывает, что С , С имеют порядок Я / Ь , и поэтому можно положить С1=С2=0.. Вектор напряжений о = (а1,...,а6)т, отвечающий элементарному решению а , можно представить в виде о= г11* Ь, у = в + т г, Ь= (ЬГГ,Ъвв,Ъгг,ьвг, 1ЬГг, 1Ьгв)Т . (6) Из (3) вытекает, что компоненты вектора Ь удовлетворяют следующим уравнениям и граничным условиям: (ГЪгг )* - Ъгв - Ъвв = 0 , (ГЪгвУ + Ъгв - Ъвв = 0 , (7) (ГЬГ2 )'+ Ь2д =0 , brr (ra) = 0 bzg(ra) = 0, brz (ra) = 0 > iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. -1 2 2 2 2 Vr, -V V 2 •2 + V E 2 a к где (/) * = —. С другой стороны, на основании соот- йг ношений обобщенного закона Гука (1) и решений Сен-Венана (5), имеем Ь = С £, (9) £= da, r,3 ar,3 ar, - a. 0,3 az,3 da z, 3 dr -,-r,--,1- r dr da 0,3 ar,3 - ae,3 WT dr 4 Жесткость цилиндра на изгиб определяется по формуле (10) В = -^0\гг2й . Определение изгибной жесткости цилиндра с винтовой анизотропией, таким образом, приводит к интегрированию вытекающей из соотношений (6) - (9) системы 3 дифференциальных уравнений 2-го порядка с переменными коэффициентами относительно функций аг, ав, а2 . Если Е2Е = т > 10-2 , задача решается численно методом прогонки для любых значений 0 < а < 900, tgа = тК . При т < 10-2 численное интегрирование при больших значениях а становится неустойчивым из-за наличия малого параметра при старшей производной. Однако при малых значениях безразмерного параметра т0 = тК можно получить приближенные аналитические решения, применяя для интегрирования задачи метод малого параметра. Для этого в формулах сделаем замену переменной г = (^е[0,1]) и разложим ст,' в ряд по параметру т0. Сохраняя главные члены разложений, получаем С11 = С22 = С11> С12 = С12> С13 = С23 = С13> С33 = С33> с44' = С55' = С44? с6б'=1(с11 - с12) , си=т0%(с\3 - С12)' С24' = т0^(с13 + 2с44 — С11) , С34' = т0^(с33 — С13 — 2с44 с56"т0#(с44 — С66) . (11) Если решение отыскивать в виде (12) то после подстановки (11), (12) в соотношения (7), (9) и интегрирования краевой задачи получаем следую- у'г2 2 щие приближенные формулы: аг 3 = + О(т0), a}- = a(0) +г0a+..., ae,3 = + °(7о2), az,3 = ^ (r2 -3R2) + O(r03), 2 E'r Rg4 l0)' az,3 -2Л 8GR 3Г0В1 2 T-)2\ bzz,3 = -—(! + O(ri2)), brz,3 =-±j(r -R2)(l + ОД)), 3ToBl(3r2 -R2)(1 + O(r0)), b0z,3 Rg4 brr,3 = bee,3 = bre,3 = °(т0) . Здесь v' = C11 + C12 B1 = E - 2(1 + v ')G '. ' - °13 77' - E = -2v Cr,, G' = c. О численном методе построения решения При построении численного решения для любого а е [0,900] интегрирование исходной краевой задачи удобнее свести к интегрированию 4 задач Коши для системы 6 дифференциальных уравнений 1 -го порядка. Для этого введем 6-координатный вектор У = 01У 2Уб)Т > где У1 = аг, У2 = ав, У3= а2, гЬгг гЬгв гЬ г2 У4=—, У5 = , Уб= —. С11 С11 С11 Теперь исходную систему 3 ОДУ 2-го порядка можно записать в виде — = Ay + q . dr (13) Ненулевые элементы матрицы A и координаты векторов q имеют вид: A11 A12 = _ C12 , A13 4 rC11 rC11 A14 : - A = A = 1 a21 a22 , A25 = . C55' K1 A26 = A35 = C56' K1 r r r A36 = _ C66' K1 А -, a41 = - A42 = K2 A , a43 = Ki , A44 _ C12' r r r rC11 1 K A45 = ~ , A5j = -A4j , (j = 1,2...б) , A61 = -A62 = — K 6 л _ C14' _ C13' A63 = , A64= —^, ^1,3=" rc, '11 rc11 94,3 = -<?5,3 = rK3 , 96,3 = rK5 . Здесь Kj = ■ c 11 C56 C55 C66 V - C11C22 C12 K 2--2- ¡^ _ C11C23 C12 C13 ^ _ C11C24 C12 C1 K3--3- , K4--"2- v _ C11C34 C13 C14 у _ C11C44 C14 K5--5-, K 6--2- C C11 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. При численном интегрировании краевых задач (8), 3 0 р (13) решения отыскиваются в виде у = у + £X рур, р=1 где у0, ур - решения следующих задач Коши: о dy0 = Ay0 + q, yО(0) = (0,0,0,0,00)т, = Ay p, йг йг у:(0) = (1,0,0,0,С,0)Т , у2(0) = (0,1,0,0,(00)Т, у3(0) = (0;0;1;0;((0)T. Чтобы решения удовлетворяли граничным условиям при г = К , постоянные Xр определяются из 3 соотношений у,(К) = £Хрур(К) + уг0(К) = 0, I = 4,5,6. р=1 Определение изгибной жесткости каната Будем рассматривать канат как описанный выше цилиндр из композитного материала, упругие характеристики которого Е2 = 0 , у2= 0. В этом случае, переходя в (2) к пределу при Е2 ^ 0 , v2 ^ 0, получаем Е = кхЕ\, у' = . r r 1 1 Таким образом, из соотношений (1), (2) следует, что отличным от нуля будет только один элемент матрицы модулей С, а именно с33 = Е'. Введя безразмерный параметр г = с11/Е', при Г ^ 0 для модулей с^' получаем следующие формулы: сп '= E ' r2, c22 '= E X 4l g 4 + O(r2), ■7t 2 , 4 , т„2л ,_ т-ч 3 , 4 , c11 E r , c22 c23<= Ex2/g4 + Oir2) , C24' = E'x3lg4 + O(rz), (14) С33'= Е'/Я4 + О]2) , С34' = Е'х/я4 + О]2), с 44 ' = Е'х / Я 4 + О(Г2) , с12 ~ с13' ~ с14' ~ сбб'= О(Л2) . Для малых т слагаемыми О(г/2) в (14) можно пренебречь и принять с33'= Е' / я 4. Для стальных канатов а = 10° -18°, что позволяет воспользоваться формулами (10), (14), полагая Ъ'г = -с'33Г. В результате получается следующая приближенная формула для определения изгибной жесткости каната: R r 3 B = nE f-—— J л . 2 2\2 0 (1+ T r ) dr = nkR 4E1 2tg 4 a (2lncosa + sin a). (15) Некоторые результаты численного анализа На базе численного решения проведен сравнительный анализ поведения изгибной жесткости каната, вычисленной по приближенной формуле с численным решением, полученным по теории Сен-Венана для ЦВА при m = E2l E1 = 0,1. Для расчета выбран волокнистый композиционный материал со следующими упругими характеристиками: E1 =240n Па; E2 = E1 ■ m ; v1= 0,3 ; v2 = 0,45 . На рисунке приведен график поведения нормированной изгибной жесткости d * = dld0 (d0 = E R 414). Кривая 1 - отвечает формуле (15), 2 - результатам численного интегрирования. Изгибная жесткость каната Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (07-01-00254a, 09-01-000645-а) и Южного математического института Владикавказского научного центра РАН. Литература 1. Глушко М.Ф. Стальные подъемные канаты. Киев, 1966. 327 с. 2. ДинникА.Н. Статьи по горному делу. М., 1957. 195 с. 3. Thwaites J.J. Elastic deformation of rod with helical ani-sotropy // Intern. J. Mech. Sci. 1977. Vol. 19, № 3. Р. 161-169. 4. Мусалимов В.М., Мокряк С.Я. О некоторых задачах для спирально-изотропной среды // Механика сплошных сред. Томск, 1983. С. 88-96. 5. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М., 1984. 335 с. 6. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М., 1977. 415 с. 7. Устинов Ю.А. Задачи Сен-Венана для псевдоцилиндров. М., 2003. 128 с. 8. Устинов Ю.А. Решение задачи Сен-Венана для цилиндра с винтовой анизотропией // ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 1. С. 89-98. 9. Устинов Ю.А. Некоторые задачи для цилиндрических тел с винтовой анизотропией // Успехи механики. 2003. № 4. С. 37-62. 10. Друзь А.Н., Устинов Ю.А. Тензор Грина для упругого цилиндра и приложения его к развитию теории Сен-Венана // ПММ. 1996. Т. 60, вып. 1. С. 102-110. Поступила в редакцию 30 июня 2008 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/teploprovodnost-zharoprochnyh-mineralov-v-zavisimosti-ot-temperatury

The article contains results of experimental research of temperature conductivity of fireproof minerals that contain alumina and silica tempered within temperatures (323-673) K and (973-1373) K.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН 2006, том 49, №2 ФИЗИКА УДК 536.21 Х.Маджидов, Х.К.Мухаббатов ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ЖАРОПРОЧНЫХ МИНЕРАЛОВ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ (Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан Ф.Х.Хакимовым 18.05.2005 г.) Приводятся результаты экспериментального исследования теплопроводности жаропрочных минералов,состоящих из глинозема и кремнезема,в интервале температур 323-673 К при различных температурах отжига. Исследуемые объекты широко используются для изготовления сувениров, посуды, печей, плит, тепло- и электроизоляционных материалов и в других целях. Исследование зависимости теплофизических жаропрочных материалов, в том числе их теплопроводности от условий изготовления и эксплуатации, представляет определенный интерес как в научном, так и в практическом плане. Теплопроводность жаропрочных минералов исследовалась на экспериментальной установке типа ИТ-^-400, основанной на методе монотонного разогрева, разработанной В.С.Платуновым и его учениками, изготовленной Актюбинским заводом [1]. Общая относительная погрешность измерения составляет 4-5%. В составе исследованных жаропрочных минералов масса глинозема (АЬОэ) изменялась от 29% до 5,8%, а масса кремнозема ^Ю2) изменялась от 39% до 84,6%. Исследуемые объекты изготавливались при различных температурах отжига. Температуры отжига исследуемых объектов изменялись от 973 К до 1373 К. Исследование показало, что теплопроводность объектов зависит от температуры, при которой проведен отжиг, и от концентрации веществ, входящих в его состав. В табл.1 приводятся экспериментальные данные по теплопроводности исследуемых объектов при температуре отжига Тотж=973К в зависимости от температуры и концентрации АЬОэ и &О2. Таблица 1 Теплопроводность (/Л О3. Вт/(м-К) жаропрочных минералов при ТОТж=973К в зависимости от температуры при различных концентрациях АЬОз и SiO2 \п,% т,к\ AhOз SІO2 29 26,1 23,2 20,3 17,4 14,5 11,6 8,7 5,8 39 44,7 50,4 56,1 61,8 67,5 73,2 78,9 84,6 323 0,4180 0,3810 0,3640 0,3550 0,4050 0,4322 0,5343 0,5519 0,4581 348 0,2420 0,1920 0,1750 0,1704 0,1700 0,1845 0,2170 0,2321 0,2100 373 0,1820 0,1490 0,1510 0,1400 0,1450 0,1503 0,1635 0,1778 0,1679 398 0,1530 0,1270 0,1290 0,1240 0,1200 0,1290 0,1402 0,1450 0,1304 423 0,1370 0,1150 0,1190 0,1096 0,1152 0,1184 0,1227 0,1239 0,1193 448 0,1220 0,1050 0,1076 0,1023 0,1030 0,1050 0,1092 0,1109 0,1049 473 0,1100 0,0980 0,0985 0,0990 0,0995 0,0996 0,0999 0,0985 0,0966 498 0,0965 0,0915 0,0905 0,0910 0,0940 0,0955 0,0960 0,0945 0,0905 523 0,0954 0,0907 0,0900 0,0905 0,0930 0,0950 0,0945 0,0935 0,0886 548 0,0946 0,0904 0,0895 0,0902 0,0928 0,0940 0,0942 0,0930 0,0880 573 0,0918 0,0868 0,0867 0,0890 0,0920 0,0935 0,0930 0,0910 0,0872 598 0,0910 0,0868 0,0860 0,0885 0,0914 0,0920 0,0925 0,0905 0,0860 623 0,0900 0,0860 0,0855 0,0882 0,0900 0,0915 0,0920 0,0898 0,0856 648 0,0883 0,0853 0,0841 0,0870 0,0890 0,0895 0,0908 0,0899 0,0845 673 0,0866 0,0833 0,0843 0,0845 0,0855 0,0876 0,0902 0,0893 0,0833 На рис.1 приведены зависимости теплопроводности исследуемых объектов от температуры. Рис. 1. Теплопроводность жаропрочных минералов, содержащих 29% АЬОз и 39% 8Ю2 (1 ) и 26,1% АЬОз и 44,7% 8Ю2,(2) в зависимости от температуры Согласно табл. 1 и рис. 1, теплопроводность жаропрочных минералов для всех концентраций глинозема с повышением температуры уменьшается по экспоненциальному закону. Согласно приведенным в [2] данным по теплопроводности корунда, содержащего 81,54% (АЬОз), и глиноземистых кирпичей, содержащих от 99% до 60% (АЬОз), с ростом температуры их теплопроводность уменьшается. Видимо, уменьшение теплопроводности с ростом температуры характерно для всех огнеупоров, содержащих различные концентрации (АЬОз). На рис.2 показана зависимость теплопроводности исследуемых объектов от массовой концентрации глинозема (АЬОз) при различных температурах. Согласно рис.2, концентрационная зависимость теплопроводности жаропрочных минералов имеет сложный характер, т.е. с ростом концентрации глинозема теплопроводность сначала увеличивается до определенной концентрации глинозема, а затем наблюдается уменьшение теплопроводности и при высоких концентрациях глинозема также наблюдается заметное увеличение теплопроводности исследуемых объектов. Анализ литературных данных показал, что теплопроводность огнеупоров, содержащих большие концентрации (АЬОз), больше, чем теплопроводность огнеупоров, содержащих большие концентрации БЮ2 [2], что подтверждается результатами нашего исследования, т.к. в основном, согласно рис. 2, с ростом концентрации АЬОз теплопроводность исследуемых объектов увеличивается. Огнеупорные материалы в большинстве случаев имеют микро- и макротрещины, возникающие при изготовлении и отжиге изделий, что влияет на их теплофизические свойства, в том числе на их теплопроводность [3]. Видимо, заметное увеличение теплопроводности, а затем её уменьшение для исследуемых нами жаропрочных минералов при малой концентрации АЬОз связаны с влиянием микро- и макротрещин, содержащихся в исследуемых объектах. 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,09 0,08 Х,Вт/(м.К) 323К + + + + Ч---------------------1- 5,8 8,7 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29,0 п,% при температуре Т1=473К. Рис. 2. Теплопроводность жаропрочных минералов в зависимости от массовой концентрации Ас\0, и 570, и температуры отжига при Тотж = 973К. При обобщении экспе- 348К 373К 398К 448К 73К риментальных данных нами ис-98К 573К пользован метод приведенных 673К координат в следующем виде [47]: Л / (1) где Ті=473К, Х\ - теплопроводность исследуемых объектов Рис. 3. Зависимость А= л—} Для жаропрочных минералов при различных концентрациях Ас\0, и 570, (1-11 соответствует порядковым номерам исследуемых объектов в табл. 1.) и различных температурах отжига: 973К (1- О, 2 -6, 3 -9, 4 -ПО, 5- ПХ, 6 -6, 7 - Ф, 8 - ©, 9 - Ф, 10 - Я, 11 - О- ); 1073К (1 - А, 2 - А, 3 - А, 4 - А, 5 -А, 6-А, 7-А, 8 -Ч, 9 -У, 10 -Ч, 11 Ж ); 1173 К ( 1 -□, 2 -В, 3 -Ш, 4 Щ 5 -Ш, 6 -ПЩ 7 - Ш, 8 -Щ, 9 -И, 10 -Щ 11 -Н); 1373К (1 -X, 2 -X, 3 -Х, 4 -*, 5 -^, 6 -Ъ, 7 -К, 8 -Я, 9 -Ж, 10 -П£, 11 -П) Выполнимость зависимости (1) показана на рис.3. Как видно из рис.3, экспериментальные данные по теплопроводности исследуемых объектов при различных температурах отжига и различных концентрациях глинозема и кремнезема хорошо укладываются вдоль общей кривой, которая описывается уравнением: ^1[14,06959(Т/Т1)2-32,95249 Т/Т1+19, 77341], Вт/(мК) (2) Уравнение (2) описывает температурную зависимость исследуемых объектов. С помощью уравнения (2) при известном значении к\ можно вычислить теплопроводность исследуемых объектов в зависимости от температуры. Анализ показал, что для исследуемых объектов л 1 зависит от массовой концентрации глинозема ^ЬОз) в составе исследуемых объектов (рис.4). Прямая на рис.4 описывается уравнением: А,1=(0,103п/п1+0,912) Я,1!, (3) где П1=14,5% концентрации глинозема, к'\ - теплопроводность исследуемых образцов при П1. Х1/Х1' 1,2 -1,1 _ X X л__ 1,0 - 0,9 - ® 2Г в ® X В ® в ’***' "Т' ® в ® в А ® В в 0,8 - 1 1 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 и/т Рис. 4. Зависимость ^ = ./(/■? / /■?,) для жаропрочных минералов при различных концентра- А циях Л1203 и 8Ю2 и различных температурах отжига: ® - 973 К; - 1073 К; - 1173 К; В -1373 К Значения Х'1 для исследуемых объектов в зависимости от их температуры отжига описываются следующим уравнением: X1! =6,5-10'5Тотж+0,035, Вт/(м-К) (4) Из уравнения (2) с учетом уравнений (3) и (4) для расчета теплопроводности исследуемых жаропрочных минералов, в зависимости от температуры, температуры от- жига и массовой концентрации основных компонентов в их составе, получим уравнение: ^=(14,069(T/Ti)2-32,952T/Ti+19,773)(0,103n/ni+0,912)(6,5-10'5Tom+0,035),BT/(MK) (5) Уравнение (5) с погрешностью 4-5% описывает теплопроводность жаропрочных минералов в зависимости от температуры при известном значении массовой концентрации основных компонентов, входящих в их состав (AI2O3, SiO2), и температуры отжига. С помощью уравнения (5) можно вычислить теплопроводность неисследованных жаропрочных минералов для инженерных расчетов с погрешностью 4-5% в зависимости от температуры, массовой концентрации основных компонентов, входящих в их состав и температуры отжига. Таджикский государственный Поступило 8.06.2005 г. университет коммерции, Таджикский государственный педагогический университет им. К. Джураева ЛИТЕРАТУРА 1. Платунов Е.С. Теплофизические измерения в монотонном режиме. -М.: Энергия, 1973, 142 с. 2. Миснар А. Теплопроводность твердых тел, жидкостей, газов и их композиций - М.: Мир, 1968, 464 с. 3. Литовский И.Д. - Изв. АН СССР. Неорганические материалы, 1978, т.14, №10, с. 1890-1894. 4. Маджидов Х., Сафаров М.М., Гайдай Т.П. - Материалы VII Всесоюзной конференции по теплофизическим свойствам веществ. Ташкент: Фан, 1982, с.296. 5. Маджидов Х., Зубайдов С. - Доклады АН ТаджССР, 1984, т.27, №8, с.443-446. 6. Маджидов Х., Сафаров М.М. - Инженерно-физический журнал, 1986, т.50, №3, с.465-471. 7. Маджидов Х., Сафаров М.М. - Теплофизика высоких температур, 1986, т.24, №6, с.1037. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Х,.Мачидов, Х.К.Мухаббатов ГАРМИГУЗАРОНИИ МАЪДАЩОИ БА ГАРМЙ ТОБОВАР ВОБАСТА БА ^АРОРАТ Дар мак;ола натичахои тадк;ик;оти тачрибавии гармигузаронии маъданхои ба гармй тобовари дар таркибашон глинозем ва кремнозем дошта, дар худуди хароратхои (323-673) К ва дар хароратхои (973-1373)К обутоб додашуда, оварда шудааст. H.Majidov, Kh.K.Muhabbatov TEMPERATURE CONDUCTIVITY OF FIREPROOF MINERALS IN VARIOUS TEMPERATURES The article contains results of experimental research of temperature conductivity of fireproof minerals that contain alumina and silica tempered within temperatures (323-673) K and (973-1373) K.

https://cyberleninka.ru/article/n/issledovanie-nizkochastotnoy-oblasti-spektrov-krs-kristallov-niobata-litiya

Нелинейные сегнетоэлектрические кристаллы с октаэдрическими груп- пами в настоящее время широко применяются в приборах твердотельной электроники в качестве модуляторов, удвоителей частоты лазерного из- лучения, резонаторов, фильтров и т. д.

исследование низкочастотной области спектров крС кристаллов ниобата лития Максуджон УМАров валерий ГрУЭМненко Александр ВТЮРИН Абдумалик ХОДЖИБАЕВ Нелинейные сегнетоэлектрические кристаллы с октаэдрическими группами в настоящее время широко применяются в приборах твердотельной электроники в качестве модуляторов, удвоителей частоты лазерного излучения, резонаторов, фильтров и т. д. Введение В соответствии с современными теоретическими представлениями [1-3] многие физические свойства сегнетоэлектриков непосредственным образом связаны с колебательными спектрами. Одним из наиболее эффективных методов исследования таких спектров является лазерная спектроскопия комбинационного рассеяния света (КРС). В данной работе излагаются результаты исследований связи параметров низкочастотного комбинационного и квазиупругого рассеяния света и качества сегнетоэлектрического кристалла ниобата лития ^1№>О3); как интегральная характеристика качества кристалла используется его акустическая добротность. Структура и сегнетоэлектрические свойства кристалла ниобата лития Ниобат лития ^№О3) — одноосный оптически отрицательный полярный кристалл. Основу элементарной ячейки этого кристалла при комнатной температуре составляют слегка деформированные кислородные октаэдры №О6, соединенные общими гранями и ребрами. На рис. 1 показана проекция элементарной ячейки ниобата лития вдоль полярной оси г [4], пространственная группа С3г6 №3с), Z = 2. В центре октаэдров находятся ионы №; ионы Li располагаются цепочками вдоль оси г. Кислородные атомы лежат в слоях, перпендикулярных г и отстоящих друг от друга на 1/6 периода решетки вдоль оси г Параметры ромбоэдрической элементарной ячейки: а = 5,47 А, а = 53°43' [5]. Ниобат лития при комнатной температуре является сегнетоэлектриком. Так как примитивная ячейка содержит две формульные единицы, следовательно, должно существовать 30 фононных дисперсионных кривых. Колебательное представление в центре зоны Бриллюэна имеет вид: Г = 5А1+5А2+10Д при этом по одному из А1 и Е колебаний соответствуют акустическим модам (их частоты в центре зоны Бриллюэна равны нулю), колебания типа А2 неактивны в КРС и ИК-спектрах, четыре колебания типа А1 активны в г поляризации ИК-спектров и во всех диагональных компонентах тензора КРС, девять колебаний типа Е активны в ж и у поляризациях ИК-спектров и в хх, уу, ху, хг, уг компонентах тензора КРС. Последние — дважды вырожденные полярные моды, которые расщепляются в LO-TO дублеты, соответствующие продольным ^О) и поперечным (ТО) колебаниям. При температуре 1483 К этот кристалл претерпевает сегнетоэлектрический фазовый переход. При этом ионы ниобия становятся центрами симметрии, а ионы лития располагаются в плоскости правильных треугольников, образованных ионами кислорода. В параэлектрической фазе кристалл LiNbO3 характеризуется группой симметрии D3J’ ^Зс), тогда: Г = АЛКР)+3А2_+4ЕГКР)+ +2А 1и(ИК)+5Еи(ИК). Из-за наличия центра инверсии выполняется правило альтернативного запрета, то есть колебания, активные в спектре КР, неактивны в ИК-спектре и наоборот. Таким образом, согласно правилам отбора, число запрещенных в спектре КР линий при переходе в парафазу должно возрастать. В таблице 1 приведены возможные геометрии рассеяния для возбуждения соответствующих типов колебаний ниобата лития. Колебательный спектр и диэлектрические характеристики ниобата лития изучались ранее методами ИК-поглощения и КРС [4-8]. В работе [8] были изучены колеба- 0~СГ т у? ) • и сГ О ®-0-0—ф О чь Рис. 1. Элементарная ячейка LiNbOз — проекция вдоль полярной оси г [4] тельные спектры этого кристалла в области 70-10 000 см-1 методом ИК-отражения. Также исследовались спектры КРС ниобата лития при различных температурах, включая температуру структурного фазового перехода [9]. В работе [10] увеличение диэлектрической проницаемости вблизи точки Кюри было связано с резонансным перераспределением спектральной интенсивности в низкочастотной области спектра. Как было показано в [11], в этом кристалле происходит «гибридизация» фундаментальной фонон-ной мягкой моды (самого низкочастотного колебания типа А1) с дополнительными колебательными состояниями, обусловленными двухфононными процессами. В результате такой «гибридизации», то есть взаимодействия одночастичных и двухчастичных колебательных состояний кристалла [12], происходит перенормировка частот и распределения плотности исходных колебательных состояний. Впоследствии в работах [13-15] исследованы изочастотные температурные зависимо- Таблица 1. Возможные геометрии рассеяния для возбуждения различных типов колебания кристалла ниобата лития Геометрия рассеяния Х^^ Х^£ 7^Х^, 7^)Х Y(ZY)X, Y(XY)X Х^Х^, Х^Х^ Типы колебания А1(ТО) А1^Ц qT) Е(ТО) Е(ТО) Е^О, ТО) Е^Ц qT) новые технологии 1391 Частота, см 1 Рис. 2. Низкочастотные спектры КРС А1(ТО) фононов при Х^^ геометрии рассеяния для различных кристаллов ниобата лития: 1 — Q = 1,45х104; 2 — 0 = 1,17х104; 3 — Q = 0,85х104; 4 — Q = 0,52х104; 5 — Q = 0,35х104 сти КРС вблизи температуры фазового перехода в кристаллах ниобата лития. При этом было установлено, что для описания сильнозатухающих низкочастотных мод в кристаллах ниобата лития более корректно применение релаксационной модели (по сравнению с традиционной осцилляторной). В работе [16] было исследовано влияние дефектов кристаллической решетки ниобата лития на температуру фазового перехода, установлено поведение параметров низкочастотных мод и их связь с диэлектрическими аномалиями кристалла при фазовом переходе. Следует отметить, что, несмотря на большое число работ, посвященных исследованию спектров ниобата лития с помощью методики КРС и ИК-отражения, до сих не полны данные о влиянии дефектов кристаллической решетки на спектральные параметры ниобата лития при комнатной температуре. В то же время в связи с широким практическим применением этого кристалла актуальность таких исследований очевидна. В связи с этим нами были проведены исследования влияния дефектов на параметры низкочастотных мод ниобата лития при комнатной температуре методом спектроскопии КРС. Результаты исследований спектров КРС ниобата лития при комнатной температуре Исследования спектров КРС были проведены на установке, описанной в работе [13]. В качестве образцов использовались искусственные монокристаллы ниобата лития различного качества; качество кристаллов контролировалось по их акустической до- Таблица 2. Частота (Н) и интенсивность (I) линий КРС при различной геометрии рассеяния и акустической добротности (0) кристаллов ниобата лития (точность измерения положения максимумов составляет ~1-2 см-1) Добротность Q, х104 бротности Q, которая была предварительно измерена радиотехническим (резонансным) [17] и оптическим [18] методами. На рис. 2 приведены низкочастотные спектры КРС кристаллов ниобата лития с различными значениями добротности. Судя по приведенным спектрограммам, при геометрии рассеяния Х(22^, в которой возбуждаются поперечные оптические фононы типа А^ТО) (табл. 1), наблюдается интенсивная полоса в области 260 см-1, которая представляет собой дублет с частотами 254 и 281 см-1. Согласно [7], эти две интенсивные линии относятся к фундаментальным колебаниям ионов №, находящихся в центре кислородного октаэдра О6 (рис. 1). Наблюдается слабая полоса типа Е с частотой Н = 153 см-1, запрещенная правилами отбора при Х(22^ геометрии рассеяния, но очень интенсивная в других геометриях эксперимента; ее появление в [8] было связано с изменением показателя преломления кристалла под действием лазерного излучения. Самая низкочастотная линия в области 120 см-1 соответствует связанному состоянию (бифонон) двух акустических фононов с суммарным волновым вектором, равным нулю [12]. На рис. 2 отчетливо видно, что интенсивность этого максимума закономерно и весьма значительно изменяется с изменением добротности образца. Для уточнения этой зависимости были проведены дополнительные исследования спектров КРС кристаллов ниобата лития с различными акустическими добротностями при различных геометриях рассеяния лазерного излучения. В таблице 2 приведены измеренные значения часто- (120) 153 Е 254 281 335 (120) 153 Е 254 281 336 (119) 153 Е 253 282 335 (120) 153 Е 253 282 334 (119) 153 Е 252 279 335 0,71 0,07 8,20 6,15 1,01 0,58 0,07 8,12 6,05 1,03 0,31 0,07 8,15 6,10 1,05 0,24 0,07 8,02 5,98 1,03 0,09 0,07 8,03 6,02 1,05 0,08 4,15 7,20 3,25 2,98 0,08 4,20 7,15 3,28 3,01 0,08 4,24 7,23 3,27 2,95 0,08 4,28 7,25 3,24 2,97 0,08 4,20 7,25 3,30 3,05 а, I, см-1 отн.ед (86) 0,07 153 4,50 197 1,20 237 5,20 246 2,85 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 265 2,24 298 1,54 327 2,15 356 2,61 374 2,68 (86) 0,07 153 4,52 198 1,25 238 5,28 245 2,84 264 2,29 298 1,61 326 2,05 355 2,64 373 2,70 (85) 0,07 153 4,58 196 1,26 237 5,31 245 2,85 266 2,32 297 1,63 328 2,08 357 2,66 374 2,72 (86) 0,07 153 4,53 197 1,22 236 5,24 245 2,81 264 2,20 296 1,51 325 2,10 354 2,65 373 6,70 (86) 0,07 153 4,51 195 1,26 238 5,25 245 2,82 264 2,20 297 1,55 326 2,10 354 2,64 373 2,70 ты и интенсивности наблюдаемых линий КРС при различных геометриях рассеяния. Экспериментальная точность измерения положения максимумов составляла 1-2 см-1. Судя по данным таблицы 2, для большинства линий положение максимумов и их интенсивность отличаются незначительно, тогда как интенсивность обсуждаемого максимума Н = 120 см-1 с изменением величины добротности кристаллов резко меняется, а его положение остается неизменным. На рис. 3 показана зависимость интенсивности этого максимума от величины добротности Q исследуемого образца. На рис. 3 видно, что зависимость спектральной интенсивности I этого максимума от величины акустической добротности Q близка к линейной. Таким образом, полученные результаты позволяют по спектрам КРС оценить качество структуры кристалла. Отметим, что по данным [19] в спектрах высокосовершенных кристаллов ниобата лития стехиометрического состава максимум в области 120 см-1 вообще отсутствует. Предполагаемой причиной этой зависимости может являться перераспределение і(УЛ)У 1(У2)Х У(іУ)л У(ХУ) Х^)У а см а см Qx10- igQ Рис. 4. Зависимость интенсивности квазиупругого рассеяния в кристаллах ниобата лития от акустической добротности 0 плотности низкочастотных двухфононных состояний под влиянием дефектов структуры кристалла. Возможность такого влияния ранее обсуждалась в [20]. Отметим, что, как видно на рис. 2, снижение добротности кристалла приводит также к заметному возрастанию интенсивности крыла квазиупругого рассеяния. Нами были проведены измерения его интенсивности для этих же образцов; результаты приведены на рис. 4. Видно, что эта зависимость близка к экспоненциальной. В то же время погрешность этих измерений существенно выше, что связано с сильным изменением формы контура квазиупругого рассеяния при изменении качества кристалла. Последнее может быть обусловлено особенностями взаимодействия восстанавливающейся мягкой моды и двухфононного континуума при различном качестве структуры кристалла. Можно предположить, что эти измерения будут более эффективными в кристаллах, где отсутствуют столь специфические низкочастотные возбуждения. Заключение Таким образом, нами установлено, что в спектрах КРС кристаллов ниобата лития низкочастотный малоинтенсивный максимум в области ~120 см-1, соответствующий связанному состоянию двух акустических фононов, весьма чувствителен к изменению добротности кристаллов. Получена калибровочная кривая зависимости добротности от интенсивности этого максимума, что позволяет оценить акустическую добротность образца по данным спектральных измерений. Эта методика оценки акустической добротности позволяет избежать трудоемких операций по изготовлению высококачественных пьезорезонаторов, необходимых для прямого измерения добротности. ■ Литература 1. Cochran W. Crystal Stability and Phase Transitions of Ferroelectric Crystals // Adv. Phys. 1961. Vol. 10. No 40. 2. Гинзбург В. Л., Леванюк А. П., Собянин А. А. Рассеяние света вблизи точек фазовых переходов в твердом теле // Успехи физических наук. 1980. Т. 130. № 4. 3. Ginzburg V. L., Levanyuk A. P., Sobyanin A. A. Light scattering near phase transition points in solid // Phys. Reports. 1980. Vol. 57. 4. Johnston W. D., Kaminov J. P. Temperature dependence of Raman and Raylcingh scattering in LiNbO3 and LiTaO3 // Phys. Rev. 1968. Vol. 168. No 5. 5. Смоленский Г. А., Боков В. А, Исупов В. А. и др. Сегнетоэлектрики и антисегнетоэлектрики. Л.: Наука, 1971. 6. Захарова Н. Я., Кузьминов Ю. С. Сегнетоэлект-рический фазовый переход в кристаллах нио-бата лития // Известия АН СССР. 1969. T. 5. 7. Axe J. D., O’Kane D. F. Infrared dielectric dispersion of LiNbO3 // Appl. Phys. Lett. 1966. Vol. 9. No 1. 8. Barker A. S., Loudon R. Dielectric Properties and Optical Phonons in LiNbO3 // Phys. Rev. 1967. Vol. 158. No 2. 9. Горелик В. С., Иванова В. С., Кучерук М. П. и др. Температурная зависимость спектров комбинационного рассеяния в LiNbO3 // Физика твердого тела. 1976. T. 18. 10. Абдуллоев Н. С., Горелик В. С., Умаров Б. С. Исследование дисперсии диэлектрической проницаемости кристалла ниобата лития методом комбинационного рассеяния света // Физический ин-т АН СССР. 1982. № 15. 11. Абдуллоев Н. С. Исследование дисперсии диэлектрических характеристик кристаллов ниобата лития методом спектроскопии комбинационного рассеяния света: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. ФТИ АН Тадж. ССР. Душанбе. 1982. 12. Аникьев А. А. Комбинационное рассеяние света на флуктуациях фононной плотности в ниобате лития вблизи точки фазового перехода // Мат-лы выездной сессии научного совета по физике сегнетоэлектриков и диэлектриков. Душанбе: Дониш, 1984. 13. Горелик В. С., Умаров Б. С., Умаров М. Изо-частотные температурные зависимости неупругого рассеяния света и их связь с диэлектрическими аномалиями в кристаллах ниобата лития // Физический ин-т АН СССР. 1982. № 66. 14. Горелик В. С., Умаров Б. С., Умаров М. О связи изочастотных температурных зависимостей неупругого рассеяния света и их связь с диэлектрическими аномалиями в кристаллах ниобата лития // Краткие сообщения по физике. 1983. № 5. 15. Gorelic V. S., Umarov B. S., Umarov M. On the Connection between Isofrequency Temperature Dependence of Inelastic Light Scattering in Lithium Niobate Crystals // Phys. st. sol. (b). 1983. Vol. 120. 16. Умаров Б. С., Умаров М. Температурная зависимость времени релаксации параметра порядка кристаллов ниобата лития вблизи температуры фазового перехода // Мат-лы выездной сессии научного совета АН СССР по физике сегнето-электриков и диэлектриков. Душанбе: Дониш, 1984. 17. Кварц искусственный пьезоэлектрический однородный в виде секции из кристаллов и блоков. ТУ 11-ДО 338.044 ТУ-83. 18. А. с. 1685147 СССР, МКН G 01 № 21/21. Способ определения добротности кристаллов пьезокварца / А. А. Аникьев, М. Умаров (СССР). № 4696590. Заявл. 29.05.89. Опубл. 15.06.91. 19. Сидоров Н. В., Волк Т. Р., Маврин Б. Н., Калинников В. Т. Ниобат лития: дефекты, фоторефракция, колебательный спектр, по-ляритоны. М.: Наука, 2003. 20. Аникьев А. А., Едгорбеков Д. Е. Взаимодействие длинноволновых возбуждений в кристаллах // Физика твердого тела. 1999. Т. 41. № 1.

https://cyberleninka.ru/article/n/korrelyatsionnaya-energiya-dvazhdy-vozbuzhdennyh-sostoyaniy-geliepodobnyh-atomov

Проведен анализ корреляционной энергии дважды возбужденных состояний двухэлектронных атомов с помощью первого приближения вариационного метода. Получена общая формула для энергии корреляционного дополнительного взаимодействия и определена константа этого взаимодействия. Рассматривается возможность практических следствий, наиболее важное из которых возможность превышения дополнительного притяжения между электронами над кулоновским отталкиванием при определенных условиях.

УДК 539.184.56 КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ЭНЕРГИЯ ДВАЖДЫ ВОЗБУЖДЕННЫХ СОСТОЯНИЙ ГЕЛИЕПОДОБНЫХ АТОМОВ © 2009 г. В.В. Кавера ЗАО «Сателлит», ZAO «Satellit», 350072, г. Краснодар, ул. Солнечная, 6, Solnechnaya St., 6, Krasnodar, 350072, [email protected] [email protected] Проведен анализ корреляционной энергии дважды возбужденных состояний двухэлектронных атомов с помощью первого приближения вариационного метода. Получена общая формула для энергии корреляционного дополнительного взаимодействия и определена константа этого взаимодействия. Рассматривается возможность практических следствий, наиболее важное из которых — возможность превышения дополнительного притяжения между электронами над кулоновским отталкиванием при определенных условиях. Ключевые слова: дважды возбужденные состояния, корреляционная энергия, гелиеподобный атом, двухэлектронный атом, вариационный метод, сверхпроводимость, бозе-эйнштейновский конденсат. The analysis of correlation energy of the simplest first approximation of a variational method for doubly-excited states of two-electron atoms is the purpose of the present work. The general formula for energy of additional correlation interaction is obtained and the constant of this interaction is determined. Some reasons about probable practical consequences are presented and most important of them is the discovery that under certain conditions additional electron-electron attraction can exceed classical electron-electron repulsion. Keywords: doubly excited states, korrelation energy, heliumlike atom, two-electron atom, variational method, superconductivity, bose-einstein condensate. Наиболее широко используемым приближением для решения задачи многих тел в физике вообще и в атомной физике в частности является приближение независимых частиц. Именно оно используется при описании рентгеновских и простейших оптических спектров атомов, периодической системы элементов и при формулировке принципа Паули. В общем случае под корреляционной энергией атома понимается разность между точной энергией (взятой из эксперимента) и энергией, рассчитанной одним из методов, использующих приближение независимых частиц. Чаще всего в этой роли выступает метод Хартри-Фока, однако термин «корреляционная энергия» может применяться и при использовании других методов. В конце 1950 - начале 1960-х гг. исследование корреляционной энергии методом Хартри-Фока было темой многих работ, однако, после появления первых экспериментальных данных по дважды возбужденным состояниям атомов в середине 1960-х гг. возобладала точка зрения, что и конкретно метод Хартри-Фока, и вообще само приближение независимых частиц неприменимо при описании подобного класса состояний ввиду резкого роста для них корреляционной энергии [1]. Данное заключение было основано главным образом на анализе известных на тот момент ш1ег8Ье11 П]1] n2l2 состояний гелиеподобных атомов (где n1 и n2 -главные квантовые числа; А и l2 - орбитальные квантовые числа соответствующих электронов). В случае intrashell nl1nl2 состояний (где n - общее главное квантовое число для обоих электронов) долгое время были известны экспериментальные данные лишь для n = 1 (основное состояние 1s1s) и для n = 2 . Лишь в конце 1990-х и начале 2000-х гг. появились достаточно полные данные для n = 3 (ссылки к табл. 1). Только с этого времени появилась возможность попытаться проанализировать зависимость корреляционной энергии от главного квантового числа n и заряда ядра Z для intrashell состояний гелиеподобных атомов. В качестве теоретического подхода в данной работе использовано простейшее первое приближение вариационного метода. Хотя для основного состояния 1s1s двухэлектронных атомов анализ корреляционной энергии этого приближения можно найти в различных источниках (например, [2]), но нам не известно ни одной публикации подобного исследования для дважды возбужденных состояний, которые являются целью данной работы. Выбор используемого приближения Главной проблемой при расчете многоэлектронных атомов, простейшим случаем которых являются гелие-подобные атомы, в конечном счете является необходимость учета взаимодействия между электронами. В предлагаемой нами работе в качестве приближения, учитывающего взаимодействие электронов, используется одноконфигурационное первое приближение вариационного метода (BMj), в котором варьируется лишь один параметр - заряд ядра, а все взаимодействия электронов друг с другом сводятся лишь к взаимной экранировке ими этого заряда. В отличие от метода Хартри-Фока применение вариационного принципа в случае ВМ1 приводит к алгебраическим уравнениям, а не к дифференциальным, и конечные результаты представляют собой простые аналитические выражения, а не таблицы. Таким образом, ВМ1 является простейшим из всех возможных методов, в основе которых лежит приближение независимых частиц. Описание BMj можно найти во многих источниках (например, [2]). Отметим, что мы не учитываем в этом приближении обменные эффекты и предполагаем, что между заряженными частицами атома действуют только электростатические силы, описываемые законом Кулона. В двухэлектронном атоме этому приближению соответствует представление общей волновой функции в виде у — у ' У2, где и щ2 - волновые функции отдельных электронов, которые отличаются от соответствующих водородоподобных функций лишь заменой в них действительного заряда ядра Z на эффективные заряды Ze1 и Ze2 , являющиеся вариационными параметрами уравнения ЦуИу dV1dV2 — min, где V1 и V2 - конфигурационные объемы обоих электронов, а H - гамильтониан двухэлектронного атома, записываемый (в атомных единицах) в виде н = Р1 + Р2 + 2 Г1 г2 г12 ' где р\ и р2 - импульсы 1-го и 2-го электронов; 2 -заряд ядра; г1 и г2 - расстояния 1-го и 2-го электронов от ядра; г12 - расстояние между электронами. В конечном счете формула общей энергии (здесь и далее везде по тексту в качестве единиц энергии используется Ридберг - Яу) двухэлектронного атома, вычисленная методом ВМ1, принимает вид 77 -р12е1 ЕНе1 — + е2 —, «1 «2 или для тйа^еП п11п12 состояний EHe1 — — (Z2 + Ze2 ) < (1) где введенные дополнительные коэффициенты е^ и е2 учитывают релятивистские эффекты и влияние ядра. В данной работе их значение взято из эксперимента и определено по формуле е — Ен еХр «V%2 , где Ен ехр - экспериментальное значение энергии водородоподоб-ного атома для данного 2 и п. Корреляционная энергия В табл. 1 приведены значения ЕНе1, рассчитанные методом ВМЬ энергии ЕНе ехр, взятые из эксперимента, а также значения корреляционной энергии Есог= ЕНе ехр - - ЕНе1- Проведенный анализ с целью определения зависимости корреляционной энергии от 2 и п показал, что состояния типа п11п12 делятся на две группы. Первая группа представляет собой наинизшие состояния для данной конфигурации, т.е. состояния с наименьшими возможными п. Это состояния, в которых хотя бы один электрон находится на орбитали, для которой выполняется условие п = I + 1. В старой квантовой теории это условие соответствует особому случаю круговых орбит. Во вторую группу входят все остальные состояния рассматриваемых конфигураций, т.е. состояния с п > I + 1 для каждого из двух электронов. В итоге были получены формулы: „ C 7 (Z -1) Ecor — [k1 - к2—^] 2 n Z F -C Zb Ecor , ' к1 2 n (2) (3) соответственно для первой и второй группы состояний, где к1 и к2 - целочисленные коэффициенты, значения которых приведены в табл. 2; С - численный коэффициент, среднее значение которого близко к 1/9. Значения С, при которых формулы (2) и (3) дают точное совпадение с экспериментом, приведены в табл. 1. В пределах погрешности измерений С является константой, среднее значение которой близко к 1/9. и Таблица 1 Данные эксперимента и расчетов для н1г nl 2 состояний гелиеподобных атомов Состояние Z ЕНе exp , Ry Ене1 , Ry Есог , Ry C Ене , Ry ИСТОЧНИК Еш exp 1s1s(1S) 1 1,0550 0,9448 0,1101 0,110 1,0559 [3] 2 5,8068 5,6948 0,1120 0,112 5,8059 [41 3 14,5597 14,4457 0,1140 0,114 14,5568 [4] 4 27,3131 27,1987 0,1143 0,114 27,3099 [4] 5 44,0699 43,9561 0,1137 0,114 44,0672 [4] 6 64,8318 64,7202 0,1116 0,112 64,8313 [4] 7 89,6035 89,4946 0,1089 0,109 89,6057 [4] 8 118,3845 118,2829 0,1016 0,102 118,3940 [4] 9 151,1885 151,0900 0,0985 0,099 151,2011 [4] 10 188,0111 187,9201 0,0910 0,091 188,0312 [4] 2s2s (1S) 1 0,2972 0,2444 0,0528 0,106 0,2999 [5] 2 1,5571 1,4436 0,1135 0,114 1,5547 [6] 3 3,8077 3,6431 0,1646 0,110 3,8098 [7] 4 7,0788 6,8434 0,2354 0,118 7,0656 [7] 5 11,3354 11,0452 0,2902 0,116 11,3229 [8] 3s3s(1S) 2 0,7206 0,6431 0,0776 0,116 0,7171 [9] 6 7,4304 7,2260 0,2044 0,102 7,4482 [10] 7 10,2379 9,9849 0,2530 0,108 10,2442 [11] 8 13,4581 13,1900 0,2681 0,101 13,4863 [10] 2s2p (1P) 1 0,2520 0,2313 0,0207 0,083 0,2498 [5] 2 1,3860 1,4071 -0,0210 0,084 1,3700 [12] 3 3,5121 3,5832 -0,0711 0,095 3,4906 [13] 4 6,6378 6,7600 -0,1222 0,098 6,6119 [7] 5 10,7842 10,9383 -0,1542 0,088 10,7346 [8] 3s3p (1P) 1 0,1249 0,1062 0,0187 0,112 0,1247 [5] 2 0,6712 0,6353 0,0359 0,108 0,6723 [12] 4s4p (1P) 2 0,3888 0,3595 0,0294 0,117 0,3872 [12] 5s5p (1P) 1 0,0491 0,0390 0,0101 0,101 0,0501 [5] 2 0,2528 0,2307 0,0221 0,110 0,2529 [12] 6s6p (1P) 1 0,0348 0,0272 0,0076 0,091 0,0364 [5] 2 0,1760 0,1605 0,0156 0,094 0,1790 [12] 2s2p (3P) 1 0,2841 0,2313 0,0528 0,106 0,2869 [5] 2 1,5218 1,4071 0,1147 0,115 1,5182 [6] 3 3,7536 3,5832 0,1704 0,114 3,7498 [7] 4 6,9906 6,7600 0,2306 0,115 6,9823 [7] 5 11,2292 10,9383 0,2909 0,116 11,2161 [14] 6 16,4630 16,1188 0,3442 0,115 16,4521 [14] 10 47,4169 46,8875 0,5294 0,106 47,4431 [14] 12 68,9347 68,3223 0,6125 0,102 68,9889 [14] 3s3p (3P) 2 0,6988 0,6353 0,0635 0,095 0,7094 [15] 7 10,2085 9,9533 0,2552 0,109 10,2126 [11] 2p2p (1S) 2 1,2454 1,3393 -0,0939 0,094 1,1171 [6] 3 3,2578 3,4764 -0,2186 0,109 3,1430 [7] 4 6,2414 6,6141 -0,3727 0,124 6,1697 [7] 5 10,2991 10,7533 -0,4542 0,114 10,1978 [8] Окончание табл. 1 Состояние Z ЕНе exp , Ry Ене1 , Ry Есог , Ry C Ене , Ry Источник ЕНе exp 3p3p (iS) 2 0,6354 0,6246 0,0i08 - 0,6246 [9] 2p2p (iD) i 0,256i 0,2026 0,0535 0,i07 0,2582 [5] 2 i,4049 i,3393 0,0656 0,i3i i,3949 [6] 3 3,5376 3,4764 0,06i2 0,i22 3,53i9 [7] 4 6,6744 6,6i4i 0,0603 0,i2i 6,6697 [7] iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 4 6,6744 6,6i4i 0,0603 0,i2i 6,6697 [7] 5 i0,8i49 i0,7533 0,06i6 0,i23 i0,8089 [i4] 6 i5,939i i5,8947 0,0444 0,089 i5,9502 [i4] 3p3p (iD) 2 0,6949 0,6246 0,0703 0,i05 0,6987 [9] 6 7,3503 7,i638 0,i865 0,093 7,3860 [i0] 7 i0,i497 9,9ii8 0,2379 0,i02 i0,i7ii [ii] 8 i3,3589 i 3,i059 0,2529 0,095 i3,4022 [i0] 2p2p (3P) 2 i,4205 i,3393 0,08i2 0,i22 i,4i34 [i4] 4 6,7668 6,6i4i 0,i527 0,i i 5 6,7623 [i4] 5 i0,9450 i0,7533 0,i9i7 0,i i 5 i0,9385 [i4] 6 i6,i096 i5,8947 0,2i49 0,i07 i6,ii69 [i4] 8 29,5400 29,i887 0,35i4 0,i32 29,4849 [i4] 3p3p (3P) 7 i0,06i5 9,9ii8 0,i497 0,i28 i0,04i5 [ii] 3d3d (iD) 2 0,6545 0,5780 0,0765 0,i i 5 0,6520 [9] 6 7,2040 7,0037 0,2004 0,i00 7,2259 [i0] 7 i0,0i0i 9,7233 0,2868 0,i23 9,9826 [ii] 8 i3,2090 i2,8890 0,3200 0,i20 i3,i853 [i0] 3d3d (iG) 2 0,6i33 0,5779 0,0353 0,i06 0,6i50 [i5] Таблица 2 Коэффициенты k1 и к2 В частном случае состояний nsns(1S), npnp(1D), ndnd(1G) и т.п., когда оба электрона находятся на одной и той же орбитали, или занимают одну и ту же квантовую ячейку, формулы (2) и (3) приобретают простой вид Ecor = C1 для n = l + 1 (4) n и Z Ecor = C — для n > l + 1. (5) n Отметим, что для этих состояний отказ от учета обменного вырождения при расчете энергии атома методом BMj оправдан с любой точки зрения. Стоит заметить, что частный случай формулы (4) для n = 1 соответствует основному состоянию гелие-подобных атомов (Isis) и приводит к Есог = C, что было отмечено еще H.A. Bethe, E.E. Salpeter как любопытный факт [2]. В итоге можно записать следующую полуэмпирическую формулу для расчета полной энергии п1]п12 конфигураций гелиеподобного атома: Ене = ЕНе1 + ЕСау, (6) где ЕНе1 вычисляется методом ВМ] и следует из формулы (1), а ЕСог следует из формул (2) и (3) и введен нами на основе анализа экспериментальных данных. Полученные формулы (2)-(6) показывают, что по крайней мере в случае метода ВМ; приближение независимых частиц может успешно применяться и для дважды возбужденных состояний, если рассматривать корреляционную энергию не как досадную погрешность, а как достаточно просто учитываемую поправку с интересными физическими свойствами, которые будут обсуждены ниже. Сама простота полученных выражений приводит к тому, что корреляционная энергия превращается из проблемы приближения независимых частиц в доказательство его эффективности. Уже сейчас можно использовать предлагаемый нами алгоритм расчета (6) как простое и в то же время достаточно точное полуэмпирическое приближение, позволяющее описать известные линии спектров ге-лиеподобных атомов и предсказать или помочь идентифицировать до сих пор неизвестные. В табл. 1 приведены данные расчета энергии ЕНе по формуле (6) для тех п1}п12 состояний, для которых известны экспериментальные данные, в предположении, что С = 1/9. Учитывая погрешности измерений и приближений при расчетах согласие с экспериментом Состояние k1 k2 nsns(1S) 2 2 npnp(1D 2 2 nsnp(3P) 2 0 npnp(3P) i 0 nsnp(1P) i 3 npnp(1S) 0 4 вполне удовлетворительное. В табл. 3 приведены в качестве примера данные такого же расчета для неиз- Обсуждение полученных результатов С точки зрения физики формулы (2)-(5) приводят к необычной, т.е. неклассической зависимости, энергии взаимодействия заряженных частиц от расстояния между ними. Если в полученных нами формулах представить n через средний радиус атома r (помня, что в водородо-подобных атомах для данного стационарного состояния средний радиус атома r ~ n2), то мы получим для различных составляющих полной энергии атома зависимости Е ~ 1/ r к, где для членов, рассчитанных методом ВМ1, к = 1, что полностью соответствует классическому закону Кулона, а для членов, описывающих корреляционную энергию, к = 1/2. Таким образом, здесь появляется дополнительное взаимодействие, затухающее на расстоянии слабее, чем кулоновское. Проведенные нами дополнительные расчеты показали, что зависимость Е ~ 1/r 12, или соответственно Е ~ 1/n, появляется лишь в том случае, когда оба электрона обладают одинаковыми главными квантовыми числами n. При этом нами были найдены доказательства существования подобной зависимости корреляционной энергии от главного квантового числа внешних валентных электронов не только в гелиеподобных атомах, но и в атомах с большим числом электронов, а также при расчете межатомного взаимодействия в молекулах и кристаллах. То, что для появления зависимости Е ~ 1/n требуется совпадение главных квантовых чисел n у обоих электронов, может указывать на резонансный характер дополнительного взаимодействия. Кроме того, оно приводит к притяжению, а не отталкиванию между электронами и очень сильно зависит от конфигурации спиновых и орбитальных моментов, что делает его еще менее похожим на электростатическое взаимодействие, но более похожим на взаимодействия, которые существуют между нуклонами в ядре. С математической точки зрения очевидно, что метод ВМ1 позволяет с очень высокой точностью разделить энергию атома на кулоновскую и некуло-новскую части. При этом все кулоновское взаимодействие полностью учитывается в расчете, а в корреляционную энергию входят только некулоновские чле- вестных на сегодняшний день состояний nsns(1S) при n от 4 до 10 и Z от 1 до 10. Таблица 3 ны. Это верно не только для рассмотренных в данной работе п1]п12 состояний, но и вообще для всех типов состояний гелиеподобных атомов. Таким образом, если бы в двухэлектронном атоме отсутствовали неклассические взаимодействия, то предлагаемый нами в качестве первого приближения метод ВМ! давал бы не приближенное, а точное аналитическое решение в общем виде задачи трех тел. Исключительная простота полученных нами формул (2)-(5) позволяет надеяться, что аналитическое решение в общем виде возможно и при учете неклассических взаимодействий. Это стало бы возможным после вычисления корреляционной энергии Есог и константы С из неких общих принципов. С практической точки зрения интересно, что при росте главного квантового числа п неизбежно наступит момент, когда обычное кулоновское отталкивание между электронами (затухающее как 1/п2) станет меньше дополнительного некулоновского притяжения между электронами (затухающего как 1/п). Это может привести в макроскопическом случае к объединению электронов в некие стабильные или ме-тастабильные упорядоченные структуры, подобно тому как протоны объединяются в ядрах. Подобные процессы могли бы спонтанно происходить в природе. Возможно, что они могли бы объяснить некоторые из аномальных плазменноподобных эффектов, наблюдаемых иногда в атмосфере и ионосфере. В лабораторных условиях подобный новый тип состояния вещества можно получить, если удастся таким образом сообщать энергию веществу, чтобы входящие в его состав электроны возбуждались синхронно, т.е. в каждый момент времени обладали одинаковой энергией, а следовательно, и одинаковыми значениями п. К настоящему моменту даже для двух-электронных атомов в лабораторных условиях получено не очень много подобных (дважды возбужденных) состояний. Для молекул их известно еще меньше. При этом и в случае атомов, и в случае молекул пока не достигнуты значения п, при которых притяжение между электронами превосходит отталкивание между ними. В случае же макроскопических тел задача синхронного возбуждения электронов до максимально больших п пока вообще не ставилась, хотя Данные расчета для состояний nsns(1S) при n от 4 до 10 Z Ене, Ry 4s4s 5s5s 6s6s 7s7s 8s8s 9s9s 10s10s 1 0,0893 0,0616 0,0459 0,0360 0,0293 0,0245 0,0210 2 0,4175 0,2762 0,1980 0,1500 0,1183 0,0962 0,0802 3 0,9958 0,6508 0,4612 0,3457 0,2699 0,2174 0,1794 4 1,8242 1,1854 0,8356 0,6230 0,4839 0,3879 0,3186 5 2,9029 1,8802 1,3212 0,9820 0,7605 0,6078 0,4979 6 4,2319 2,7352 1,9180 1,4227 1,0997 0,8771 0,7170 7 5,8114 3,7504 2,6260 1,9452 1,5014 1,1959 0,9763 8 7,6417 4,9261 3,4455 2,5494 1,9657 1,5641 1,2758 9 9,7230 6,2623 4,3763 3,2355 2,4927 1,9818 1,6152 10 12,0556 7,7592 5,4183 4,0035 3,0823 2,4490 1,9943 технически она не представляется недостижимой, так как подобные задачи решаются при создании квантовых генераторов когерентного электромагнитного излучения. Напомним также, что явление сверхпроводимости объясняется тем, что при определенных условиях между электронами возникает дополнительное притяжение, превосходящее кулоновское отталкивание. При этом существуют прямые аналогии между дополнительной корреляционной энергией электронов в сверхпроводниках и дополнительной корреляционной энергией электронов в отдельных атомах, а куперовская пара иногда представляется в виде двух электронов, движущихся вокруг индуцированного положительного заряда, и сравнивается с атомом гелия. Все это делает вероятным бозе-эйнштейновскую конденсацию синхронно возбуждаемых электронов и в атомах, и в макроскопических телах с того момента, когда некулоновское притяжение между электронами начнет превосходить кулоновское отталкивание. Сверхпроводимость подобных высоковозбужденных состояний вещества уже могла бы претендовать на название сверхвысокотемпературной. На основании вышеизложенного можно заключить, что предлагаемый нами подход, основанный на разделении полной энергии многоэлектронных систем на классическую кулоновскую и дополнительную некулоновскую части, позволяет, с одной стороны, максимально упростить расчеты, а с другой - увидеть интересные закономерности, которые были не видны при использовании более сложных методов. Наиболее интересным является открытие того факта, что при определенных условиях притяжение между электронами может превышать отталкивание между ними. Наиболее важным практическим следствием этого является возможность существования упорядоченных структур нового типа в особым способом возбужденном веществе. Поступила в редакцию Литература 1. The theory of two-electron atoms: between ground state and complete fragmentation / G. Tanner [et al.] // Rev. Mod. Phys. 2000. Vol. 72. P. 497. 2. Bethe H.A., Salpeter E.E. Quantum Mechanics of One- and Two- Electron Atoms. N.Y., 1957. 3. Emsley J. The Elements. Oxford, 1991. 4. NIST Standard Reference Database URL: http: //www.physics.nist.gov/PhysRefData/ASD/index.html (дата обращения: 10.10.08). 5. Buckman S., Clark C. Atomic negative-ion resonances // Rev. Mod. Phys. 1994. Vol. 66. P. 539. 6. Hicks P.J., Comer J. Ejected electron spectroscopy of au- toionizing states excited by low energy electron impact // J. Phys. B. 1975. Vol. 8. P. 1866. 7. High-resolution projectile Auger spectroscopy for Li, Be, B and C excited in single gas collisions. I. Line energies for prompt decays / M. Rodbro [et al.] // J. Phys. B. 1979. Vol. 12. P. 2413. 8. Ejected electron spectra from doubly-excited states (2lnl') of He-like ions produced by the B5+, C6+-He collisions / H.A. Sakaue [et al.] // J. Phys. B. 1991. Vol. 24. P. 3787. 9. Electron spectroscopy of doubly excited states in He pro- duced by slow collisions of He2+ ions with Ba atoms / K. Iemura [et al.] // Phys. Rev. A. 2001. Vol. 64. P. 062709. 10. Correlation in double electron capture in collisions of fully stripped ions on He and H2 / M. Mack [et al.] // Phys. Rev. A. 1989. Vol. 39. P. 3846. 11. Autoionisation of N5+ (3ln'l') for n'=3-10: experiment and theory / D.H. Oza [et al.] // J. Phys. B. 1988. Vol. 21. P. L131. 12. High-resolution study of 1P0 double-excitation states in he- lium / M. Domke [et al.] // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 53. P. 1424. 13. Doubly excited resonances in the photoionization spectrum of Li+: experiment and theory / S.W.J. Scully [et al.] // J. Phys. B. 2006. Vol. 39. P. 3957. 14. Energies and Lifetimes of Doubly Excited States in He I / H.G. Berry [et al.] // Phys. Rev. A. 1972. Vol. 6. P. 600. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 15. Electron-impact excitation of the doubly excited states of helium below the N=3 He+ threshold / S.J. Brotton [et al.] // Physical Review A. 1997. Vol. 55. P. 318. 27 октября 2008 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/issledovanie-upravlyaemogo-dvizheniya-prygayuschego-minirobota

Рассмотрена динамическая модель миниробота, способного перемещаться по твердой ше-роховатой поверхности с отрывом от нее. Получены дифференциальные уравнения, описываю-щие движение робота в фазе полета и в фазе нахождения на опорной поверхности

УДК 621.864.8 ИССЛЕДОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ ПРЫГАЮЩЕГО МИНИРОБОТА © 2011 г. С.Ф. Яцун, И.В. Лупехина, А.Н. Рукавицын Юго-Западный государственный South West State университет, г. Курск University, Kursk Рассмотрена динамическая модель миниробота, способного перемещаться по твердой шероховатой поверхности с отрывом от нее. Получены дифференциальные уравнения, описывающие движение робота в фазе полета и в фазе нахождения на опорной поверхности. Ключевые слова: миниробот; дебалансный привод; математическая модель; динамические характеристики. In article the dynamic model of the vibrating minirobot, capable to move on a firm rough surface with a separation from it is considered. The differential equations describing movement of the robot in a phase of flight and in a phase of a finding on a basic surface are received. Keywords: the minirobot; debalance drive; mathematical model; dynamic characteristics. Мобильные транспортные устройства, движущиеся с отрывом от опорной поверхности (прыгающие роботы), являются объектами исследования многих ученых, поскольку при движении по сильно пересеченной местности скачкообразный способ перемещения удобнее скольжения или качения. Естественным подходом при создании подобных устройств является копирование движения небольших животных, способных медленно накапливать энергию в мышцах и затем, во время прыжка, быстро её высвобождать. Такие устройства представлены в работах [1—3]. Подскок подобного робота обеспечивается пружинным приводом, содержащим механизм взвода пружин. Полет начинается тогда, когда накопленная в пружине потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию корпуса. Другой подход основан на применении подвижных внутренних масс, встраиваемых в корпус робота. Механизмы этого типа могут перемещаться по поверхности без отрыва, особенности их движения освещаются в работах Ф.Л. Черноусько [4, 5], а также в работах [6—9]. В [10, 11] представлены мобильные устройства, двигающиеся с отрывом от поверхности за счет периодического движения внутренней массы. Отличием таких аппаратов от роботов с пружинными приводами является то, что в качестве источника движения используется не потенциаль- ная энергия пружины, а кинетическая энергия движущихся масс, которая преобразуется в кинетическую энергию прыгающего корпуса. Это позволяет осуществлять управление движением за счет изменения одного параметра — угловой скорости вращения дебаланса. В то же время методы расчета систем, использующих для движения кинетическую энергию внутренних масс, разработаны недостаточно. Поэтому целью данной работы является разработка математической модели движения прыгающего робота нового типа, содержащего одну вращающуюся массу, и изучение основных закономерностей управляемого движения. Рассматриваемый прыгающий миниробот представляет собой механическую систему, состоящую из двух твердых тел, одно из которых— цилиндрический корпус массой т1 — периодически контактирует с шероховатой поверхностью, а второе — дебаланс массой т2 — равномерно вращается относительно корпуса (рис. 1). На схеме точка 01 — центр тяжести корпуса, через точку 02 проходит ось вращения де-баланса. Центр масс робота — точка С. Управляющим параметром в рассматриваемой системе выступает частота вращения дебаланса ю, а управляемыми — высота, длина прыжка и средняя скорость движения робота. Отношение масс элементов системы X =т2/(т1+т2) является варьируемым параметром. Будем рассматривать движение в неподвижной системе координат Охуг. Жестко свяжем со звеньями робота две подвижные системы координат: систему О^у^, оси которой являются главными центральными осями инерции корпуса, и систему О2х2у2г2, одна из осей которой проходит через точку, моделирующую дебаланс. Рис. 1. Расчетная схема движения прыгающего миниробота Если допустить, что все точки системы движутся в параллельных вертикальных плоскостях, а это возможно, если плоскость относительного вращения дебаланса совпадает с плоскостью материальной симметрии корпуса, и выбирая ось абсцисс неподвижной системы параллельной движению, то достаточно рассмотреть движение проекции робота в плоскости Oxy. Допуская, что все точки системы движутся в параллельных вертикальных плоскостях (это возможно, если плоскость относительного вращения дебаланса совпадает с плоскостью материальной симметрии корпуса) и выбирая ось абсцисс неподвижной системы параллельной движению, рассмотрим перемещение проекции робота в плоскости Oxy. Относительное движение дебаланса является заданным, оно происходит с постоянной угловой скоростью ю = const, причем угол поворота можно представить в виде ф2 = ю?. Введем в рассмотрение радиус-векторы r\, ?2 , rc, определяющие в абсолютной системе координаты центров тяжести корпуса и дебаланса, а также координаты центра масс С всей системы [12] (рис. 2). 7 7 7 7 7 7 7 7 7 Z Рис. 2. Схема определения положения точек вибрационной системы в плоскости движения Система дифференциальных уравнений движения прыгающего миниробота имеет вид: ф = ■ Aa sin at ф+2 a i; (1) B + A cos at - D <^(I1I2 sin ф +1 sin^ + at)) = = D(ф + a)21 cos^ + at) + Dф2I1I2 cos ф; у + D ф^^ cos ф + I cos^ + at)) = = D (a + ф)21 sin^ + at) + D ф2 I1I2 sin ф - g, где постоянные коэффициенты выражены через параметры системы А = 2т1т2 ОА • I; mi + Ш2 B = I, ZiZi + Jmm^(O1O22 + 12 ); mi + Ш2 D= m2 Ш1 + Ш2 Система трех дифференциальных уравнений (1) описывает движение робота в полете, т.е., при выполняющемся при совпадении центра симметрии корпуса с центром масс условии у1>Я, где Я — радиус корпуса. Для полного описания прыжкообразного движения систему (1) необходимо дополнить уравнениями движения робота по опорной поверхности, а также определить изменение параметров движения при посадке и отрыве. Аналитическим условием движения по плоской опорной поверхности служит равенство у1=Я. Заметим, что уравнения движения по поверхности можно получить с помощью теорем динамики об изменении количества движения и момента количества движения системы, учитывая, что к действующим на систему силам тяжести добавляются нормальная реакция N, сила сухого кулонова трения Ffr и момент сопротивления качению Mr (см. рис. 1). Если допустить отсутствие качения корпуса, то количество уравнений сократится до двух: I (mi + m2 )xi = mja2! cos raí + Ffr; [0 = m2ra2l sin raí + N - (m1 + m2 )g. Сила сухого трения определяется в соответствии с аналитической моделью: f = - foNsign(x), x * 0; -Fo, x = 0,|Fo| < foN; - fo Nsign(Fo), x = 0, Fol > foN, где — проекция равнодействующей всех приложенных к конструкции робота сил, кроме силы сухого трения; / — коэффициент сухого трения; N — нормальная реакция поверхности; х — скорость робота вдоль оси Ох. В момент приземления скорость точки касания меняет направление, т.е. система испытывает удар. В рамках данного исследования ограничимся случаем, когда кинетическая энергия системы, за исключением энергии собственного вращения дебаланса, при ударе теряется. Это значит, что в результате приземления робота скорость точки касания и угловая скорость корпуса получат нулевые значения, которые будем принимать в качестве начальных при рассмотрении следующей фазы движения. Изучим влияние управляющего параметра на характеристики движения робота. Обратимся к полученной системе дифференциальных уравнений движения робота в воздухе. Первое уравнение — уравнение вращения — как уравнение первого порядка относительно скорости имеет очевидное аналитическое решение, которое при нулевых начальных условиях приобретает вид: га , A + B 1Ч Ф = — (--1) 2 B + A cos rat (2) Таким образом, ясно, что изменение скорости вращения во времени представлено периодической ограниченной непрерывной функцией, частота которой совпадает с частотой вращения дебаланса. Кроме того, выражение (2) не изменяет своего знака. Действительно, для наимень- шего значения знаменателя дроби, находящейся в скобках, имеем min{B + A cos rat | t e R} = = B - A = I7? + ад -^^MOA -i)2 > o, mi + m2 т.е. знаменатель положителен. Но, так как A+B > B+ A cos rat > 0, то знак угловой скорости, очевидно, будет совпадать по знаку со скоростью вращения дебаланса. Рассмотрим полет точки, происходящий за счет действия силы F переменного направления (рис. 3). Начальные условия такого движения определяются состоянием точки в момент отрыва от поверхности, а именно: нулевой скоростью и некоторым ненулевым углом наклона а вектора силы. У Т777777У77777Т mg Рис. 3. Схема сил, действующих на материальную точку В случае отрыва нормальная реакция равна 0, т.е. выполняется равенство sin(rat) = mumi. _s_ m2 ra2l (3) Очевидно, что, в зависимости от параметров системы уравнение (3) может не иметь решений, иметь единственное решение или множество решений. Так, если значения параметров удовлет- т1 + т2 g 1 воряют неравенству —:-2 • > 1, то (3) не т2 ю21 имеет решений, точка не отрывается от поверхности. Во втором случае, когда для значений т1 + т2 g 1 ... выполняется равенство---^ = 1, (3) т2 ю21 имеет единственное решение. Тем не менее дальнейшего подъема точки в данном случае не произойдет, поскольку ее ускорение не достигнет необходимого положительного значения. В третьем случае область значений параметров системы определяется неравенством Ш1 + Ш2 Ш2 a2l < 1. (4) В этом случае реакция обращается в нуль при значении угла наклона вектора силы (следовательно, и угла поворота дебаланса) а = ю?отр = тт{- arcsin(т1 + т2 ■+ п; Ш2 a2 Г arcsin(т1 + т2 ■ = arcsin(т1 + т2 ■ т2 ю2/ т2 ю2/ Согласно определению обратных тригонометрических функций угол отрыва лежит в интер- вале ае t \ 0; П 2 V / Далее рассмотрим вертикальное движение корпуса, пренебрегая его вращением. Если начало отсчета времени связать с моментом отрыва, то движение центра масс корпуса будет описываться дифференциальным уравнением: у = -g + —т— ю2/ зт(ю? + а). (5) т1 + т2 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Покажем, что существует промежуток времени в начале движения, на котором ускорение точки положительно. Действительно, если преобразовать (5) в произведение: у«) = ю2/(яп(ю* + а) - ^^ ■ ^ = т1 + т2 т2 a2 Г = 2- —2— a2/ • cos(—) sin(— + а), Ш1 + Ш2 то очевидно, что на временном интервале t е 0; ^ a V / ускорение больше нуля, благодаря чему точка после отрыва продолжит движение вверх. Проинтегрировав дважды последнее уравнение с учетом нулевых начальных условий, получим, что координату у можно представить в виде суммы у(1) = ) + у2(0 , t2 m2 где J1(t) = - g — +-2— 2 m1 + m2 a/ cos а • t + - огра ниченная сверху g a2 значением = 1 ( ш22ю212 g ) yimax = ^(~ + ~2) монотонно убываю- 2 (m1 + m2)2g ю2 щая на интервале t е (—m2— ю1 cos а;+^) квадра-mi + m2 тичная функция времени; у2() =--—2— / sm(юí + а) — ограниченная пери- т1 + т2 одическая функция. Это позволяет утверждать, что координата ограничена сверху. Характер изменения функции у1(?) говорит о том, что точка непременно упадет и коснется поверхности. Аналогично, учитывая нулевые начальные условия, из дифференциального уравнения х = ■ -т2—- ю2/ cos(юí + а) получаем закон изме- т1 + т2 нения абсциссы, которая также представима в виде суммы бесконечно убывающей линейной функции X1(t) = - —m2— la sin а • t = - — t m1 + m2 a и ограниченной периодической функции X2(t) = - m2 m1 + m2 - l[cos(at + а) - cos а] Поэтому очевидно, что с некоторого момента времени координата будет принимать значения, противоположные по знаку угловой скорости вращения дебаланса. Полученные в данной работе аналитические зависимости для координат исследовались дополнительно, при численном моделировании движения миниробота. Рассмотрим поведение системы для различных значений управляющего параметра ю. Приведем некоторые результаты численного моделирования движения робота. При расчетах были приняты следующие значения параметров системы: т1=0,05 кг, т2=0,01 кг, /=0,01 м, 0102=0 м. Величина угловой скорости вращения дебаланса изменялась для получения различных траекторий. Заметим, что из неравенства (4) следует, что для отрыва робота от поверхности угловая скорость дебаланса не может быть ниже 80 с-1. На рис. 4 приведены траектории движения робота при трех различных значениях скоростей вращения дебаланса. Очевидны следующие закономерности. Во-первых, как и предполагалось ранее, направление движения робота противоположно по знаку направлению вращения дебаланса. Во-вторых, с ростом угловой частоты дебаланса траектория движения в воздухе усложняется, на ней появляются точки самопересечения, количество которых растет с увеличением частоты. В-третьих, вместе с частотой увеличивается максимальная высота подъема робота от поверхности, длина шага — расстояние на поверхности между точками отрыва и последующего приземления. Y, мм 1 0.5 г\ Y, мм ю 5 О -175 -15.5 -135 -115 -95 -7.5 -5.5 -35 а Y, мм X, мм \ / > , 7/7 = 20 15 -10 б X, мм X, мм Рис. 4. Траектория движения миниробота: а — ю =100 с-1; б — ю =300 с-1; в — ю =600 с-1 Зависимость координаты у от времени представлена суммой двух функций: квадратичной у() и гармонической у2(0. Рассмотрим ординату вершины как функцию параметров системы: .2,2 _ +4), (6) v - 1 О? ^ y1max - (X - 2 g ю где безразмерный параметр X = m2 , Хе (0;1) т1 + т2 равен отношению массы дебаланса к общей массе миниробота. На основании (6) были построены графики аналитических зависимостей максимальной высоты подъема от угловой частоты дебаланса У1тах(ю) (рис. 5 а) и от отношения масс у1тах(^) (рис. 5 б), а также результаты численного определения зависимости высоты подъема от часто- Y отр, м 0.75 0.5 025 Л \ ж> \ -< 1000 1500 а ю ты, полученные для трех различных величин соотношения масс (рис. 5 в). Как видно из графиков, увеличение соотношения масс приводит к быстрому росту максимальной высоты подъема робота. К такому же заключению можно прийти, анализируя свойства функции (6). Здесь также очевидна аналогичная связь высоты и приведенной длины дебаланса I. Таким образом, в данной работе рассмотрена схема мобильной двухмассовой механической системы, способной перемещаться по твердой шероховатой поверхности с отрывом от нее. Разработанные математическая модель и дифференциальные уравнения, позволяют описать движение робота в фазе полета и в фазе нахождения на опорной поверхности. Анализ полученных уравнений показал, что высота и длина прыжка являются монотонно возрастающими функциями управляющей частоты вращения. В результате Y отр, 1.5 1 0.5 у л > \ < --II • j -И > Y X =0,5 \ X =0,35 \ + =| ¿7 . * ■ )0 1000 1500 2000 ю , Рис. 5. Динамические характеристики движения прыгающего миниробота вычислений установлено, что форма траектории центра корпуса зависит от величины управляющего параметра, а также от частоты вращения и отношения масс системы. Работа выполнена в рамках реализации Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы по проблеме «Разработка и исследование прыгающего миниробота для перемещения по поверхностям со сложным рельефом» (гос. регистр. № П699, шифр НК-617П-4). iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Литература 1. A hopping mobility concept for a rough terrain search and rescue robot / S.Kesner, J.-S.Plante, S.Dubovsky, P.Boston // Advances in Climbing and Walking Robots. Proceedings of 10th International Conference (CLAWAR 2007). Singapore. Pp. 271-280. 2. Miyazaki M., Hirai S. Jumping via robot body deformation— Mechanics and mechanism for higher jumping // Advances in Mobile robotics. Proceedings of the 11 International Conference on Climbing and Walking Robots and the Support Technologies for Mobile Machines. Coimbra. Portugal, 2008. P. 373—380. 3. Larin V.B., Matiyasevich V.M. Concerning the designing of the hopping apparatus // Proceedings of the Fifth International Conference on Climbing and Walking Robots and their Supporting Technologies CLAWAR 2002. P. 365—372. 4. Черноусько Ф. Л. О движении тела, содержащего подвижную внутреннюю массу // Докл. РАН. 2005. Т. 405, № 1. С. 1—5. 5. Черноусько Ф. Л. Анализ и оптимизация движения тела, управляемого посредством подвижной внутренней массы // ПММ. 2006. Т. 70. 6. Динамика управляемых движений вибрационных систем / Н. Н. Болотник, И. М. Зейдис, К. Циммерманы, С. Ф. Яцун // Изв. РАН. ТиСУ. 2006. №5. С. 157—167. 7. Vartholomeos P., Papadopoulos E. Dynamics, Design and Simulation of Novel Microrobotic Platform Employing vibration Microactuators // Journal of Dynamics System, Measurement and Control. 2006. Vol. 128. March. P. 122—133. 8. Bolotnik N.N., Yatsun S.F., Cherepanov A.A. Automatically controlled vibration-driven // Proc. Intern. Conf of mechatronics ICM2006. Budapest, 2006. P. 438—441. 9. Mobile vibrating robots / N.N. Bolotnik, I.M. Zeidis, K. Zimmermann, S.F. Yatsun // Proceeding of the CLAWAR2006. Brussels, Belgium, 2006. P. 558—563. 10. Yatsun S., Dyshenko V., Yatsun A. Study of vibration driven hopping robot // Advances in Mobile robotics. Proceedings of the 11 International conference on Climbing and Walking Robots. Coimbra. Portugal, 2008. P. 893—901. 11. Modelling of Robots Motion by Use of Vibration of Internal Masses / S. Yatsun, V. Dyshenko, A. Yatsun, A. Malchikov // Proceedings of EUCOMES 08. P. 267—274. 12. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М., 2001. 320 с. Поступила в редакцию 29 сентября 2010 г. Яцун Сергей Федорович — д-р техн. наук, профессор, Юго-Западный государственный университет. Тел. (4712) 52-38-07. E-mail: teormeh@_mail.ru Лупехина Ирина Владимировна — аспирант, Юго-Западный государственный университет. Тел. (4712) 52-38-07. E-mail: teormeh@_mail.ru Рукавицын Александр Николаевич — канд. техн. наук, доцент, Юго-Западный государственный университет. Тел. (4712) 52-38-07. E-mail: [email protected] Yatsun Sergei Fedorovich — Doctor of Technical Sciences, professor, South West State University . Tel. (4712) 52-38-07. E-mail: teormeh@_mail.ru Lupehina Irina Vladimirovna — post-graduate student, South West State University. Tel. (4712) 52-38-07. E-mail: teormeh@_mail.ru Rukavitsyn Aleksandr Nikolaevich — Candidate of Technical Sciences, assistant professor, South West State University. Tel. (4712) 52-38-07. E-mail: [email protected]

https://cyberleninka.ru/article/n/analiz-protsessov-v-sisteme-podkriticheskih-sborok-delyaschihsya-materialov-pri-vneshnem-neytronnom-obluchenii

In a quasistationary approximation on the basis of a method of electrostatic analogy, the analytical solution of a problem of a neutron diffusion in a spherical frame of axes is received{obtained}. Received{obtained} dependence for a fluence of neutrons, rationally to use as a zero approximation at organization of iterative procedures at a solution of rate equation Больцмана on the basis of the quasistationary approach for each fixed instant.

УДК 528.48 ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ИСПЫТАНИИ ЗАЩИТНОМ ОБОЛОЧКИ РЕАКТОРНЫХ ОТДЕЛЕНИИ © 2010 г. Л.Ф. Кирильчик , Г.А. Науменко , Ю.С. Забазнов Ростовский государственный строительный университет Волгодонский институт (филиал) Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института Rostov State Building University **Volgodonsk Institute (branch) of South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute) Рассмотрена методика определения деформационных характеристик герметичной оболочки реакторного отделения ВВЭР-1000 при ее испытании. Ключевые слова: герметичная оболочка; деформационные характеристик; геометрические параметры; геодезическое обоснование; система координат. In article the technique of In article the technique of definition of deformation characteristics of a tight cover branch PWR-1000 reactor is considered at its test. Keywords: tight cover; deformation characteristics; geometrical parameters; a geodetic substantiation; system of coordinate. В 2009 г. были выполнены работы по определению геометрических параметров гермооболочки второго реакторного отделения Ростовской АЭС в период её испытаний. В процессе работ определялись деформационные характеристики, вызванные изменением давления внутри оболочки. Для этого были разработаны специальные технологии контроля, учитывающие специфику данного вида работ, при определении деформационных геометрических параметров поверхностей исследуемого объекта. Предложен способ определения деформационных характеристик герметичной защитной оболочки реакторного отделения АЭС при ее испытании, заключающейся в том, что предварительно формируют многоярусное планово-высотное геодезическое обоснование как вне сооружения, так и внутри его в единой системе координат. Причем, формируемая система координат совмещается с системой координат сооружения. Для защитной оболочки первая ступень планово-высотного обоснования формируется вне сооружения на горизонте, близкому к строительному нулю. Вторая ступень внешней геодезической сети формируется на обстройке реакторного отделения в виде замкнутого многоугольника, причем четыре пункта располагают на строительных осях гермообо-лочки. Третья ступень формируется на опорном кольце гермооболочки, здесь так же четыре пункта совмещают с ее осями. Внутреннее обоснование формируется в главном зале (помещение ГА-701) реакторного отделения, здесь четыре пункта совмещают с ее осями. Связь между внешней геодезической и внутренней сетями обеспечивается через транспортный коридор гермозоны. Маркирование по заданным сечениям сооружения контролируемых точек осуществляют таким образом, что на куполе защитной оболочки точки размещают и маркируют на осевых и получет- вертных направлениях. Причем, размещают их в мо-ментной зоне, зоне непосредственного примыкания к опорному кольцу, с шагом, равным примерно половине толщины данной строительной конструкции, в нашем случае - половине толщины защитной оболочки (это 600 мм). Таких интервалов, закрепленных точками по каждому из направлений, маркируют два. В переходной зоне размещают точки с шагом, равным примерно толщине строительной конструкции, в нашем случае - 1200 мм. Таких интервалов, закрепленных точками по каждому из направлений, маркируют два. В безмоментной зоне размещают точки с шагом равном двум и более толщинам строительной конструкции, в нашем случае 2500 - 3000 мм. Таким образом, разбивают все оставшиеся части контролируемых направлений. На внешней цилиндрической части защитной оболочки контролируемые точки размещают в вертикальных сечениях, совпадающих с осевыми сечениями, с шагом их распределения аналогичным купольной части, так же отсчитывая от опорного кольца. На внутренней части защитной оболочки контролируемые точки размещают в сечениях, равномерно распределенных по внутренней поверхности, причем, внутренние геометрические параметры гермооболоч-ки определяют до и после проведения всех этапов контроля по определению внешних геометрических параметров. Контроль внешних геометрических параметров выполняют поэтапно, согласно программе создания избыточного давления внутри защитной оболочки. При поэтапном контроле внешних геометрических параметров гермооболочки положение контролируемых точек, расположенных на цилиндрической части на вертикальных сечениях, определяют методом пространственной полярной засечки, например, элек- тронным тахеометром Set 3030 R. Положение контролируемых точек, расположенных на купольной части гермооболочки, определяют методом геометрического нивелирования, например, Dini 12. При этом положение исследуемых точек, размещенных в моментной зоне, определяют десятикратно точнее, чем положение исследуемых точек, размещенных в безмоментной зоне. Положение исследуемых точек, размещенных в переходной зоне, определяют пятикратно точнее, чем положение исследуемых точек, размещенных в без-моментной зоне. Поступила в редакцию Предложенный способ определения деформационных характеристик защитной оболочки реакторного отделения АЭС обеспечивает деление поверхностей строительных конструкций на моментные, переходные и безмоментные зоны, величины регистрируемых перемещений точек в которых не одинаковы. При этом выполнение поэтапных измерений с точностью, дифференцированной по данным зонам, обеспечивает надежное определение перемещений исследуемых точек. Это позволяет повысить достоверность получения искомой информации. 18 февраля 2010 г. Кирильчик Лариса Федоровна - канд. техн. наук, доцент, Ростовский государственный строительный университет. Тел. 8-(8632) 27-73-95. E-mail: [email protected] Науменко Галина Анатольевна - канд. техн. наук, доцент, Ростовский государственный строительный университет. Тел. 8-(8632) 27-73-95. E-mail: [email protected] Забазнов Юрий Сергеевич - аспирант, ассистент, кафедра «Технология сварочных и строительных процессов», Волгодонский институт (филиал) Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института). Тел. 8-(86394) 7-13-10. E-mail: [email protected] Kirilchik Larissa Fedorovna - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, Rostov State Building University. Ph. 8-(8632) 27-73-95. E-mail: [email protected] Naumenko Galina Anatolevna - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, Rostov State Building University. Ph. 8-(8632) 27-73-95. E-mail: [email protected] Zabaznov Jury Sergeevich - post-graduate student, assistant «Technology of welding and engineering processes», Volgodonsk Institute (branch) of South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. 8-(86394) 7-13-10. E-mail: [email protected]_ УДК 623.454.8 АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМЕ ПОДКРИТИЧЕСКИХ СБОРОК ДЕЛЯЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ВНЕШНЕМ НЕЙТРОННОМ ОБЛУЧЕНИИ © 2010 г. Е.М. Левченко, О.А. Губеладзе, В.М. Хмура Ростовский военный институт ракетных войск Rostov Military Institute of the Rocket Troops В квазистационарном приближении на основе метода электростатической аналогии получено аналитическое решение задачи диффузии нейтронов в сферической системе координат. Полученную зависимость для флюенса нейтронов рационально использовать в качестве нулевого приближения при организации итеративных процедур при решении кинетического уравнения Больцмана на основе квазистационарного подхода для каждого фиксированного момента времени. Ключевые слова: флюенс нейтронов; число атомов; плотность деления; система уравнений в лагранжевой системе координат; метод гомогенизации; кинетическое уравнение; квазистационарный метод; метод электростатической аналогии. In a quasistationary approximation on the basis of a method of electrostatic analogy, the analytical solution of a problem of a neutron diffusion in a spherical frame of axes is received{obtained}. Received{obtained} dependence for a fluence of neutrons, rationally to use as a zero approximation at organization of iterative procedures at a solution of rate equation Больцмана on the basis of the quasistationary approach for each fixed instant. Keywords: fluence of neutrons; number of atoms; denseness of division; set of equations in a Lagrangian frame of axes; method of homogenization; rate equation; quasistationary method; method of electrostatic analogy. При исследовании возможности возникновения самоподдерживающихся цепных ядерных реакций деления необходимо, прежде всего, рассмотреть круг проблем, связанных с воздействием флюенса нейтро- нов на единичную подкритическую сборку. Причём, актуальность такого рассмотрения возрастает при переходе к исследованию большого количества сборок в условиях хранения. В качестве модельной рассмотрим задачу воздействия флюенса нейтронов на сферическую оболочку из делящихся материалов. Пусть на подкритическую сборку оказывается воздействие флюенса нейтронов. Оценим возможное энерговыделение в сферической сборке, а в качестве исходных данных для расчета примем характерные значения делящихся материалов [1, 2]. Число атомов г-го делящегося нуклида N' = P'NÄ Ai где A - атомная масса нуклида, а.е.м.; NA = 6,023-1023 - число Авогадро. Число делений под действием потока нейтронов ф равно Ф, м-1, причем = N а у . Тогда энерговыделение Q1 = Nа у 200 -106 или Q1 = 3,2 -1011 Nа у ф, где численные значения - переводные коэффициенты. Оценим эти величины для сферы из делящихся материалов. За критический разогрев примем температуру делящегося вещества Т = 500 °С. _Q10П Плотность деления nf = 1,43 . Соответствующий флюенс нейтронов Ф = f где = 2,48 -1021 - CT fN^ число ядер плутония в одном грамме делящегося вещества; а у - микроскопическое сечение деления для быстрых нейтронов. Следует заметить, что поскольку время облучения тепловыделяющей сферы мало по сравнению с временем её остывания, то порядок величины её температуры можно оценить так Т~ Q/cv, где су - удельная теплоёмкость вещества сферы. Однако эта оценка неточная, так как не учитывает реальную геометрию источника теплового излучения и нейтронно-динамические процессы, в нём происходящие. Тем не менее, эта грубая оценка даёт верный порядок величины температуры. Для критического разогрева сферической оболочки до Т = 500 °С имеем с учетом характерных значений для делящихся материалов [2] Q = 18кал/г = = 7,56-104Дж/кг; пу = 1012дел/г = 1015кал/кг; Ф = = 3,62-1014 нейтр/см2 = 3,62 -1018 нейтр/м2. Следовательно, критический флюенс нейтронов, приводящий к недопустимому разогреву, можно принять равным Ф = 3,62-1018нейтр/м2. Флюенс нейтронов, приводящий за счет упругих и неупругих столкновений к разогреву делящихся материалов, может спровоцировать не только самоподдерживающуюся реакцию деления, но и при её отсутствии вызвать оплавление и изменение физико-химических свойств хранимых материалов, что недопустимо. В этой связи необходимо установить зависимость энерговыделения е = е^) от введенной в тепловыделяющую сферу энергии Q, а так же возникающие при этом градиенты температур. Более полное рассмотрение предполагает решение следующей системы уравнений в лагранжевой системе координат: ¿р; и = ^; рК2 м 2й Л р Г 2 ¿Г Ж У Уо РаГ dE(r,t) _ dQ(r,t) dt dt , лd (1/p(r,t)) -p(r,t) y , y ' " ; (1) dt 1 СФ СФ 1-ц2 С Ф _ ,, . ч _ ч - — = ц—+ ^ —+ Е, Ф(г, ц,, t) = N (г, 0 ; V са аг г а ц ' 1 +1 N (г, t) = —Е | Ф(г,ц,0Сц+q(г,t), 2 5 -1 где V - скорость нейтронов; ц - средний косинус угла рассеяния; Е( - полное макроскопическое сечение, м-1; q(г^) - функция источника; и, р, г, Е, р - массовая скорость, плотность, текущий радиус, внутренняя энергия и давление в материале тепловыделяющей сферы соответственно. Однако решение такой задачи на ранних этапах прогнозирования возникновения аварийных ситуаций нецелесообразно ввиду её сложности. Главные трудности обусловлены решением интегро-дифференци-ального уравнения Больцмана, входящего в систему (1). Поэтому целесообразно для организации итеративных процедур при численном решении надёжным образом выбрать начальное распределение нейтронов в рассматриваемой единичной сборке. В качестве такого нулевого приближения возьмём решение задачи на основе диффузионной модели, в сочетании с размерными и модельными оценками. В этом случае сложную нейтронно-динамическую задачу возможно свести к тепловой. При таком рассмотрении получается уравнение, решение которого легко найти на основе электростатической аналогии: (2) V(-DV^) = S -у,, где D - коэффициент диффузии; у - плотность нейтронов внутри тепловыделяющей сферы. Таким образом, на основе разработки математических моделей явлений, описываемых в общем виде соотношениями (1) и (2), возможно получить решение задачи оценки энерговыделения в подкритической сборке. Для инженерных расчетов обычно применяют метод гомогенизации [1], суть которого состоит в следующем. Флюенс нейтронов Ф пропорционален плотности р (Ф~р), поэтому при гомогенизации («распределении» массы делящегося вещества по всему радиусу Я0) плотность примет значение р'. Отсюда ошибка при определении флюенса нейтронов Ф составит порядка величины р / р'. Пусть в сферической области радиусом Я0 рождаются равномерно нейтроны. В сферическом объеме присутствуют источники, производящие нейтронов в единицу времени в единице объеме. Тогда у(х, у, z) - число нейтронов в элементе объема в точке (х, у, z). Коэффициент диффузии D = V/3(£ а +£ 5). n Скорость нейтронов V = 1,38 -10 , где А - масса нейтрона, равная единице а.е.м.; Е - энергия нейтронов, эВ; V - скорость, см/с (так как макроскопические сечения 2 удобно измерять в см-1). Поскольку при численном решении кинетического уравнения [2, 3] используется идея квазистационарного метода, то и для диффузионного уравнения также воспользуемся этим приближением для каждого фиксированного момента времени. Уравнение (2) эквивалентно уравнению для однородно заряженной сферы. Поэтому удобно воспользоваться методом электростатической аналогии. С этой целью решим следующую вспомогательную задачу: найти электрическое поле Е заряженного шара. Пусть заряд в единице объёма равен ст, радиус сферы равен Я0. Из соображений симметрии, полагая, что поле радиально, получим поток из сферической гауссовой поверхности на расстоянии г - 4як2 Е, заряд внутри сферической гауссовой поверхности - 4як3ст/3. Применяя закон Гаусса, получим величину поля Е = = сг/3£0. Из электростатики известно, что полный заряд шара 4лЯ03с/3. Следовательно, потенциал поля вне шара стR 3 стг 2 Ф2 (г) = ——, внутри шара ф1 (г) = | Edr =---ь С. 3е0г 6е0 Константу С определим из следующих граничных условий: ф1 (^ ) = Ф2 (Яо ). Тогда внутри однородно заряженного шара Ф1 (r ) = 3еп 3R2 ..2 Л 2 2 Для стационарного случая задача нахождения у (х, у, z) эквивалентна поиску потенциала однородно заряженной сферы. Поэтому, применяя метод электростатической аналогии и, полагая ф~Т, запишем сразу решение уравнения для плотности нейтронов внутри сферы: / ч S r 3Ro r (r ) =-1 —0---I w 3DL 2 2 J (3) а вне сферы у 2 (г) = SR) / 3Dr, где г - текущий радиус. Граничное условие у 1 (Я0) = у2 (Я0) обеспечивает проверку совпадения плотности нейтронов на поверхности сферы. Вид соотношения (3), исходя из размерных соображений, обеспечивает обращение в нуль плотности нейтронов на больших расстояниях в полном согласии с диффузионной теорией [2, 3]. Для перехода от плотности нейтронов у(г) к флю-енсу нейтронов Ф в зависимости (3), исходя из размерных соображений, необходимо ввести отношение характерного размера системы Я0 к характерному времени импульса быстрых нейтронов ^. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Тогда окончательно для каждого фиксированного момента времени в квазистационарном приближении для флюенса нейтронов имеем: Ф(r, Ц, ti ) = 2SRo (Za + Z,) 1,38-io6 t14E 3R ,2 ..2 Л 22 (4) В квазистационарном приближении на основе метода электростатической аналогии получено аналитическое решение задачи диффузии нейтронов в сферической системе координат. Полученную зависимость (4) для флюенса нейтронов рационально использовать в качестве нулевого приближения (начального условия) при организации итеративных процедур при решении кинетического уравнения Больцмана на основе квазистационарного подхода для каждого фиксированного момента времени [3]. Но флюенс нейтронов возможно связать с удельной энергией Q, введённой в активное вещество таким образом: Q = 7,62-10~12 Е у Фр-1. Величина функции источника S = 1,3 -1011 vQр0. Эти соотношения позволяют несколько видоизменить полученное выражение (4). Кроме того, зависимость (4) может быть использована и самостоятельно, при оценке стойкости к флюенсу нейтронов на начальных этапах анализа нейтронного разогрева при решении модельных задач и проведении размерных оценок. Выражая S через введённую в делящийся материал удельную энергию Q, среднее значение начальной плотности р0, число нейтронов, образующихся при делении, V, характерный размер тепловыделяющей системы Я0, получим с учётом переводных коэффициентов числа делений ядер активного вещества в энерговыделение окончательное выражение для флюенса нейтронов: Ф(г, ц,0) = 1,3 -1011 vQpoRo (Ss ) 1,38 -10611 3 Ro2 2 0 (5) где черта над буквенными величинами означает усреднение. Используя данные [1, 2] по макроскопическим величинам и принимая время облучения ^ порядка 10-4с, характерный размер подкритической сборки Я0 ~ 10 см, макроскопическое сечение деления быстрыми нейтронами Еа = 0,093 см4 , проверим достоверность полученного соотношения. Для этого усредним значение флюенса, а по нему оценим среднюю удельную мощность энерговыделения. Для Q=4кал/г это значение оказывается равным 2,15-1014 Вт/м3, если расчет вести по предложенной формуле (5), и 1,91-1014 Вт/м3 ,если аналогичные расчеты выполнить по эмпирическим зависимостям [1, 3]. Если же Q = 1кал/г, то теоретическое значение а по эмпириче- тепловой мощности - 5,38-1014 Вт/м3 ским зависимостям - 4,77-1014 Вт/м3. При Q =18 кал/г теоретическое значение равно 9,69-1014 Вт/м3, а значение, полученное по методикам [1, 3], 8,59-1014 Вт/м3. Таким образом, адекватность формулы (5) подтверждена путем сравнения результатов расчета с результатами расчета по эмпирической зависимости и методикам, приведенным в работах [1, 3]. При этом получена удовлетворительная согласованность результатов расчета с данными других авторов. Полученный результат можно использовать для организации итеративных процедур при численном реше- 2 нии нейтронно-динамических задач вида (1) при инициализации счёта на каждом шаге по времени. Очевидно, зависимость (5) имеет самостоятельное теоретическое и прикладное значение. Удовлетворительная точность, с которой проведены расчёты по (5), даёт возможность предположить, что полученная зависимость позволяет делать расчёты по внутреннему энерговыделению в делящихся материалах при внешнем облучении флюенсом нейтронов без привлечения сложных математических моделей, что важно на начальных этапах моделирования аварийных ситуаций. Поступила в редакцию Литература 1. Критические параметры делящихся материалов и ядерная безопасность: справочник/Л.С. Диев, Б.Г. Рязанов, А.П. Мурашов и др. М.: Энергоатомиздат, 1984. 176 с. 2. Критические параметры систем с делящимися веществами и ядерная безопасность: справочник/Б.Г. Дубровский, А.В. Камаев, Ф.М. Кузнецов и др. М.: Атомиздат, 1966. 224 с. 3. Фролов В.В. Ядерно-физические методы контроля делящихся веществ. М.: Атомиздат, 1976. 189с. 18 февраля 2010 г. Левченко Евгений Михайлович - преподаватель, Ростовский военный институт ракетных войск. Тел. 89085190862. Губеладзе Олег Автондилович - канд. техн. наук, старший преподаватель, кафедра «Конструкция ракет», Ростовский военный институт ракетных войск. Тел. 89034316943. Хмура Валентин Михайлович - зам. начальника механического факультета, Ростовский военный институт ракетных войск. Тел. 8-903-431-69-43. Levchenko Eugeny Mihajlovich - senior lector, Rostov Military Institute of the Rocket Troops. Ph. 89085190862. Gubeladze Oleg Avtondilovich - Candidate of Technical Sciences, senior lector, department «Design of Rockets», Rostov Military Institute of the Rocket Troops. Ph. 89034316943. Hmyra Valentine Mihajlovich - deputy, chief of mechanic faculty, Rostov Military Institute of the Rocket Troops. Ph. 8-903-431-69-43. УДК 539.3 ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНОГО УДАРНИКА В МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНОМ ПОКРЫТИИ ПЕРСПЕКТИВНОЙ КОНСТРУКЦИИ КОНТЕЙНЕРА С УСТАНОВКОЙ, СОДЕРЖАЩЕЙ ЯДЕРНООПАСНЫЕ ДЕЛЯЩИЕСЯ МАТЕРИАЛЫ © 2010 г. О.А. Губеладзе, С.В. Федоренко, П.О. Губеладзе Ростовский военный институт ракетных войск Rostov Military Institute of the Rocket Troops Представлены результаты экспериментального исследования ударного воздействия на модель силовой оболочки контейнера, внутренняя поверхность которой имеет покрытие, препятствующее распространению осколков. Выявлены зависимости показателя преломления для системы «воздух - мишень» от угла подхода ударника. Использование результатов исследования возможно при анализе последствий аварийных ситуаций на ядерноопасных объектах. Ключевые слова: осколки силовой оболочки; экспериментальное исследование; границы раздела сред; движение; соударение; свинцовый цилиндр; процесс ударного воздействия; пластины. Outcomes of an experimental research of shock influence on a model of the power shell of the container which inside face has the cover precluding distribution of chips are in-process presented. Dependences of index of refraction for system «air - a target» from an angle of the approach of a striker are revealed. Use of outcomes ofprobe is possible at the analysis of consequences of emergencies on ядерноопасных objects. Keywords: splinters of the power shell; experimental research; borders of the unit of environments; movement; impact; the lead cylinder; process of shock influence; a plate. Перед проведением натурных испытаний перспективной конструкции контейнера для установки с ядерноопасными делящимися материалами с целью уточнения ожидаемых диапазонов величин исследуемых параметров, а также для снижения стоимости, реализована серия экспериментов на малоразмерных моделях. В частности, проведено экспериментальное исследование процесса ударного воздействия (высокоскоростными кинетическими ударниками) на модель силовой оболочки контейнера, внутренняя поверхность которой имеет покрытие, препятствующее распространению поражающих элементов (осколков силовой оболочки). В большинстве случаев контакт высокоскоростных ударников с поверхностью мише- ни происходит под различными углами. Исследованию закономерности взаимодействия ударников с мишенью посвящено достаточно много трудов, где приводятся результаты экспериментальных исследований пробивания стальными ударниками пластин из дуралюмина и алюминия под углом к нормали [1, 2]. Отмечается, что особенности механизма разрушения делают невозможным прямое обобщение на случай удара под углом данных, полученных при ударе по нормали. В работе [3] определялось направление движения тела (стальной шарик) после прохождения границы раздела сред (воздух-пластилин). Экспериментальным путем установлено, что коэффициент преломления не зависит от угла падения, но зависит от скорости и массы ударника. Однако процесс взаимодействия ударника с двухслойной мишенью («пластина - вязкая среда») под различными углами (а!) до сих пор недостаточно исследован. Рассмотрим соударение свинцового цилиндра 1 высотой L, близкой к диаметру основания d = 4,5 мм, с пластиной 2 из АМг-6 (толщиной 5 = 0,02 мм), тыльная сторона которой находится в идеальном контакте с вязкой средой 3 (рис. 1). При а! Ф 90° в ударнике и преграде возникают волны сдвиговых напряжений, которые оказывают существенное влияние на последующие стадии процесса [2]. В случае сквозного пробивания пластины ударник продолжит свое движение в вязкой среде, причем его направление, очевидно, будет зависеть от величины угла а. Таким образом, определение направления ударника после прохождения ярко выраженной границы раздела (в данном случае металлической пластины) двух сред (воздух и пластилин) является актуальной задачей. рительные испытания для получения характеристик изменяемости результатов измерений, полученных выбранным методом. Выражение для определения необходимого числа опытов имеет вид [4] 2 n = S 21 * 1'p < -"') ('+2m ^) J 2 Рис. 1 Экспериментальные исследования зависимости параметров движения ударника в вязкой среде от угла подхода к поверхности раздела а1 проводились при практически постоянной температуре 17±0,5°С (для поддерживания неизменными механических свойств вязкой среды). Скорость подхода ударника (т = 0,52 г) к преграде (границе раздела) составляла 297±2 м/с. Углы варьировались от 10 до 25°. Объем выборки п является одним из основных факторов, определяющих точность получения статистических оценок случайных величин. При планировании эксперимента число опытов было установлено, исходя из оптимального соотношения трудоёмкости и точности исследований. С целью уменьшения этого числа проведены предва- где S [ xi ] - среднеквадратичное отклонение; tp (m -1) - значение коэффициента Стьюдента для вероятности Р при числе измерений n; Jp - задаваемое с вероятностью Р максимально допустимое отклонение среднего значения от истинного; m -число испытаний в предварительном эксперименте. В результате было установлено, что для достижения требуемой точности необходимо повторить эксперимент при каждой комбинации условий шесть раз. С целью определения диапазонов значений угла аь при которых возникает явление рикошета, сначала исследовались взаимодействия ударника с металлической пластиной и вязкой средой (пластилин) отдельно друг от друга. При 10°< aj <12° (система «ударник -металлическая пластина») во всех случаях наблюдался рикошет с деформацией пластины. При внедрении ударника в вязкую среду при малых aj в некоторых случаях наблюдался рикошет. Так, после прохождения границы раздела (12°<aj<14°) ударник начинает двигаться параллельно ей, затем из-за влияния свободной поверхности вязкой среды изменяет направление движения, а при 10,5°<aj<12° ударник внедряется внутрь пластилина и, пройдя определенный отрезок, выходит обратно в воздушную среду. При углах aj < 10° во всех случаях наблюдается рикошет без внедрения в пластилин. При воздействии ударника на исследуемый объект (двухслойная мишень) под углом aj = 10° в большинстве случаев (85 %) наблюдался рикошет от вязкой среды с одновременным разрушением металлической пластины по всей длине участка взаимодействия. Меньший угол (по сравнению с результатами, полученными для пластины и пластилина по отдельности) объясняется снижением упругих свойств пластины в условиях контакта с вязкой средой. На рис. 2 представлены образцы, по которым ударники воздействовали под углами 12 и 20° соответственно. Внедрение ударников в пластилин показано в разрезе. На рис. 2 в видно, что ударник, пробив металлическую пластину и внедрившись на незначительную глубину h < L, продолжает свое движение вдоль границы раздела. Наличие пластины в этом случае является препятствием для отскока ударника. При a1 = 20° (рис. 2 д) вдали от границы раздела движение ударника становится прямолинейным, но на начальном этапе траектория искривляется в сторону поверхности раздела сред. Таким образом, можно сделать вывод, что при a1>12° пластина препятствует рикошету ударника, но оказывает определенное влияние на траекторию движения в вязкой среде. При 10° < ax < 16,5° угол отхода а^-0. 1 2 5 3 а) б) в) г) д) Рис. 2 Х = Следовательно, sin(900 -aj) sin(900 -a2) показатель преломления для рассматриваемой системы «воз- дух - мишень» в исследуемом диапазоне скоростей ударника будет иметь вид X = sin(90o - а1). При а1>23° показатель преломления практически не зависит от величины угла подхода. В этом случае наличие пластины не влияет на характер движения ударника в вязкой среде. X 1,00 0,95 Зона А Зона Б 10 15 -Ь- 20 Рис. 3 Зона В 25 Таким образом, экспериментальные зависимости X от aj при v = const можно условно разделить на три зоны (рис. 3) зона A (при 10° < a,j < 16,5°) - здесь X = = sin(90° - a0; зона Б (при 16,5° <aj < 23°) -Х = f (a1) и зона В (aj > 23°) показатель преломления X ~ const. Литература 1. Буланцев Г.М., Корнеев А.И., Николаев А.П. О рикошети-ровании при ударе // Механика твердого тела. 1985. № 2. С. 138 - 143. 2. Мержиевский Л.А., Урушкин В.П. Особенности взаимодействия высокоскоростных частиц с экраном при ударе под углом // Физика горения и взрыва. 1980. № 5. С. 81 -86. 3. Бивин Ю.К. Изменение направления движения твердого тела на границе раздела сред // Механика твердого тела. 1981. № 4. С. 105 - 109. 4. Ашмарин И.П., Васильев Н.Н., Амбросимов В.А. Быстрые методы статистической обработки и планирования экспериментов. Л., 1970. 202с. Поступила в редакцию 18 февраля 2010 г. Губеладзе Олег Автондилович - канд. техн. наук, старший преподаватель, кафедра «Конструкция ракет», Ростовский военный институт ракетных войск. Тел. 89034316943. Федоренко Сергей Владимирович - адъюнкт, Ростовский военный институт ракетных войск. Тел. 8-904-50091-46. Губеладзе Павел Олегович - курсант, Ростовский военный институт ракетных войск. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Gubeladze Oleg Avtondilovich - Candidate of Technical Sciences, senior lector, department «Design of Rockets», Rostov Military Institute of the Rocket Troops. Ph. 89034316943. Fedorenko Sergey Vladimirovich - adjunct, Rostov Military Institute of the Rocket Troops Ph. 8-904-500-91-46. Gubeladze Paul Olegovich - cadet, Rostov Military Institute of the Rocket Troops. a

https://cyberleninka.ru/article/n/razrabotka-usloviy-komfortnosti-sistemy-stopa-obuv-okruzhayuschaya-sreda-dlya-nestatsionarnyh-protsessov-teploobmena

Создание комфортных условий для системы «стопа обувь окружающая среда» при воздействии на человека низких температур и сегодня является самой сложной проблемой. Результаты исследований позволили, используя разработанное авторами программное обеспечение для расчетов зависимости температуры от времени при решении задачи нестационарных процессов теплообмена для вышеназванной системы, обоснованно осуществлять выбор пакетов материалов для верха и низа обуви. Ил. 2. Табл. 1. Библиогр. 7 назв.

ТЕХНОЛОГИИ ЛЕГКОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ УДК 685.31.03/318-16 РАЗРАБОТКА УСЛОВИЙ КОМФОРТНОСТИ СИСТЕМЫ «СТОПА - ОБУВЬ - ОКРУЖАЮЩАЯ СРЕДА» ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛООБМЕНА © 2008 г. Т.М. Осина, В. Т. Прохоров, А.Б. Михайлов, А.П. Жихарев Вопросу создания комфортных условий для системы «стопа - обувь - окружающая среда» при воздействии на человека низких температур уделено достаточно много внимания, но большинство исследований не учитывают зависимость коэффициентов теплопроводности материалов, формирующих пакеты для верха и низа обуви, от температуры внешней среды. Между тем при проектировании рациональных пакетов обуви с заданными теплофизическими и другими гигиеническими свойствами необходимо учитывать не только весь комплекс свойств пакетов для верха и низа обуви, но и совокупность воздушных прослоек между стопой человека и обувью, а также между ее отдельными слоями применительно к тем или иным условиям её эксплуатации. Следует учитывать, что большинство применяемых материалов в первом приближении можно считать изотропными, а зависимость их теплопроводности от температуры можно аппроксимировать линейной функцией X = X 0(1 + ВАТ), (АТ = Т - Т0), где X 0 - теплопроводность при Т = Г0; в - коэффициент пропорциональности, определяемый из эксперимента [1]. Поэтому изучается нестационарный процесс теплообмена в системе «стопа - обувь - окружающая среда» с учетом линейной зависимости коэффициентов теплопроводности обуви от температуры. Рассматривается многослойный плоский пакет низа обуви. Пусть Ti (х,, t) - температура 1-го слоя пакета, Тс - температура окружающей среды, Ti (х,, t) = Ti (х,, t) - Тс - относительная температура I-го слоя пакета. Система уравнений теплопроводности для плоского пакета материалов, которая описывает процесс теплообмена, имеет следующий вид: дТ Сг (Т )Р, (Т )"д7 I = 1,..., п, Граничные условия: Эх,- ^ dTt Л X, (Т) ^ ОХ: (1) 1,-1 < Х, < I,. - относительная температура на внешней поверхности подошвы поддерживается равной 0, т. е. равной температуре окружающей среды: Тп (1п,') = 0; (2) - внутренняя поверхность пакета материалов нагревается тепловым потоком стопы плотности q (/): дТ X 1(Т1) —Ц0, Г) = q(t); дх1 - между слоями низа обуви предполагается идеальный контакт, который выражается условиями сопряжения на стыках: Тг -1(/г_1, t) = Тг (/г_1, t); X г_1(Тг_1)^(/м, t) = Х г (Т,)^(/,.-!, t). дх,-1 дх, Начальное условие: Т1 (х, ,0) = /г (х,). Предполагается, что X г (Тг) линейно зависит от температуры X , =X 0г (1 + ВiTi), где X 0г - коэффициент теплопроводности 1-го слоя при температуре окружающей среды. Система (1) при непостоянном X г нелинейная. Для ее линеаризации можно применить преобразование Кирхгофа: 1 Тг В 6г IX , (Т, № =Т, + ^Т,2. X 0, 0 2 Дифференцируя это равенство по х,, получаем Э9 дТ X 0—L = X, (Т, )—L дх дх, X 0 эе, дт, X, (Т,) дt дt В результате уравнение (1) примет вид сг (T )р , (T) эе , д 2е, A i (Ti) di дх2 или де, A i (Ti) д 2е i dt Ct (Ti )p i (Т.) дх де i (T) д 2е i —- = a, (T, )-. дt Д дх2 (3) е „ (in, t) = 0; де A 01^(0, t) = q(t); дх1 (1+2ß.. -i е i_i( li-i, t ))2 -1 ßi-i i = (i + 2ß.. е.. (ii_i, t ))2 _ i ß. ' (4) (5) (6) A0i_if^L(li_i,t) = Aо. ^(li_i,t). (7) дxi_l дх. Начальные условия , (х, ,0) = f. (х,) + (8) =1А г (Т) и с помощью него вычислим эквивалентный коэффициент теплопроводности всего пакета п А(Т) = г=1 R(T) Используя формулу Тейлора, получим A(T) = A 0 +р oT + 0(T2). |0(Т2)| 3 При расчетах ^ ^ ~ Ю ' поэтому можно ограничиться первыми двумя слагаемыми, положив А(Т) = Ао(1 + РТ), где Р = Ро/Ао- Теперь предположим, что каждый слой пакета материалов имеет одинаковую теплопроводность А(Т) = А о(1 + РТ). Температуропроводность, которая предполагается постоянной, равна Для многих металлов и теплозащитных материалов выполняется условие ai (Ti) = const. Поэтому будем считать температуропроводность каждого слоя постоянной. Краевые условия после подстановки будут иметь вид: A. (T) A. (0) A 0 С / (Т )Р г (Т) Сг- (0)р г (0) С1 (0)р г (0) где С/ - удельная теплоемкость материала, р / - плотность материала /-го слоя. Пересчет коэффициентов температуропроводности в соответствии с изменившейся теплопроводностью осуществляется по формуле A 0 aiA 0 Ci (0)P i (0) A 0i После таких преобразований система (3) - (8) примет вид Э9д2 9 A -= a.-: дт . дх2 е „ (in, t) = 0; де i -(0, t) = q(t); Система (3) - (8) решается численными методами, либо с некоторыми допущениями приводится к виду, для которого можно найти аналитическое решение. Для преобразования системы (3) - (8) найдем суммарное тепловое сопротивление пакета nl R(T) = Е дx1 е(ii_1, t) = е, (i,_„ t); IWn.') = ^ (U t); дх,_1 дхi ßf 2 х е i ( х, ,0) = f1 ( х, ) . (9) (i0) (ii) (i2) (i3) Если теплоотдача с поверхности пакета в окружающую среду осуществляется по закону Ньютона, то краевое условие (2) перепишется в виде: iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. дТ А п (Тп ^ (1п, О + аТп (1п, /) = 0. (14) дх„ После преобразования Кирхгофа получим: д9 A M^—(ln , t) + а дхп -na ^(ln,t) + а- ( i А (i+2ß пе n (ln, t ))2 _ i ß n 2е, = 0 : дх„ ■= 0. (i+2ß n е n (ln, t))2 +1 Температура поверхности обуви и температура окружающей среды мало отличаются, кроме того ввиду малого значения В п (| В п 1< 0,01) выражение в знаменателе можно принять В п6 п (!п, 0 = 0. Тогда с учетом этого получим, что условие (14) имеет вид X n0 эе дх. ■(ln, t) + ае , = 0. (15) Таким образом, система (3) - (8) сводится к системе (9) - (13), или к системе (9), (11) - (13), (15). Решение такого рода систем рассматривается в работах [2-7] и находится в виде абсолютно сходящегося функционального ряда. Авторами было разработано программное обеспечение для расчетов зависимости температуры от времени и построения соответствующих графиков[1]. Для пакетов цилиндрической (V = 1) и сферической (V = 2) формы задача теплопроводности ставится таким же образом, как и для плоской пластины: с'т )р,т) f4 ( дТ Л X, (Т) 1ГТ- OK dT + , (Т) ^, (16) r дг , = 1,...,п, Я,-1 < г, < Я,. Граничные условия: - теплоотдача с поверхности пакета в окружающую среду осуществляется по закону Ньютона дТ X п (Тп) -Т- (!„, t) + аТп (Яп, t) = 0; дгп - внутренняя поверхность пакета материалов нагревается тепловым потоком стопы плотности q(t) X1 (Т1) ^(0, t) = q(t); дг1 - между слоями низа обуви предполагается идеальный контакт, который выражается условиями сопряжения на стыках В работах [2-7] расчеты проводились без учета зависимости коэффициентов теплопроводности от температуры. Для сравнения на рис. 1 приведены графики изменения температуры внутриобувного пространства в области союзки при постоянных коэффициентах теплопроводности (кривая 1) и при коэффициентах, зависимых от температуры (кривая 2) для пакета материалов с характеристиками из таблицы. Температура окружающей среды -20 °С, плотность теплового потока стопы равна 80 Вт/м2, коэффициент теплоотдачи - 7 Вт/(м2 °С). Анализ кривых 1 и 2, приведенных на рис. 1, подтверждают целесообразность учета зависимости коэффициентов теплопроводности материалов от температуры, которая воздействует на них - комфортность стопы ухудшается, что необходимо учитывать при моделировании нестационарных процессов теплообмена в системе «стопа - обувь - окружающая среда». Для подтверждения высокой эффективности разработанной авторами математической модели с целью обоснованного выбора пакетов материалов для верха и низа, чтобы обеспечить создание комфортности человеку на заданный период его нахождения в зоне с пониженной температурой воздуха, были рассмотрены случаи для трех видов обуви: - полуботинки мужские летние; - полуботинки мужские для осенне-весеннего периода носки; - ботинки мужские зимние. T,-i(t) = т, (R-1, t); X,_i(T,-i)fk(RM,t) = X,(T,)^(R,_i,t). Эг,-1 dr, Начальное условие Ti (г,, 0) = (г,). Как и в случае плоской пластины предполагается, что X, (Г,) линейно зависит от температуры XI = X ш (1 + ВiTi), где X ш - коэффициент теплопроводности ,-го слоя при температуре окружающей среды. Система (16) при непостоянном X, нелинейная, и для ее линеаризации также можно применить преобразование Кирхгофа 1 Т' В 6, =X- IX, (Т )йТг =т + ^т,2. X 0, 0 2 о о сЗ о & О и о К и ^ ю о 5 6 £ и й & щ 40 30 20 1 2 10 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0,5 1,0 1,5 2,0 -10 Время, ч Рис. 1. Зависимость температуры внутриобувного пространства в области союзки при постоянных коэффициентах теплопроводности (кривая 1) и при коэффициентах теплопроводности, зависимых от температуры, от времени воздействия температуры на обувь (Т = -20°С) (кривая 2) Характеристика пакетов материалов для низа и верха приведена в таблице. Температура окружающей среды задавалась тремя параметрами: -10; -25 °С и -20 °С, плотность теплового потока стопы принималась равной 80 Вт/м2, а коэффициент теплоотдачи -7 Вт/ (м2 -°С). Низ - 10 °С Верх О ° й о & о и о К и ^ ю о 5 6 £ и й & Н 40-, 30- 20- 10 40 30 20 10 -I—I—Г—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Т-1—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 Время, ч Низ а - 15 °С Время, ч Верх С 40 й 5 о § 6 о о & о и о к и ю о 5 6 К и й & л ET Н 30 20 10 -ПН-1-1-1—I-1-Г~1-1-1-1—I-1-1-1-1-г 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 Время, ч 0 б 0,8 1,2 Время, ч С ° й о & о К и ^ ю о 5 6 £ и й р & р Н 1,6 2,0 Низ - 20 °С Верх 40 40 30 3 30 20 20 3 10 10 0 1 v 2 0 \ 2 1 \ 0,5 1,0 1,5 2,0 0,5 1,0 1,5 2,0 Время, ч Время, ч Рис. 2. Зависимость температуры внутриобувного пространства: а - полуботинки мужские летние б - полуботинки мужские для осенне-весеннего периода носки, в - ботинки мужские зимние 3 0 0 0 в Характеристика пакетов материалов для низа и верха Материал пакета Толщина, 5, мм Коэффициент теплопроводности, X, Вт/(м-°С) Коэффициент температуропроводности Коэффициент а, м2/ч в Полуботинки мужские летние Пакет верха: 1. Выросток 1,0 0,060 0,00020 0,004 2. Бязь 0,3 0,038 0,00047 0,002 3. Тик-саржа 0,4 0,055 0,00022 0,003 4. Внутр. обувь (носки) х/б 0,6 0,050 0,00050 0,003 Пакет низа: 1. Кожволон 2,6 0,192 0,00050 0,004 2. Картон простилочный 1,8 0,090 0,00017 0,003 3. Картон стелечный 2,0 0,098 0,00014 0,003 4. Вкл. стелька: кожа подкладочная 0,9 0,071 0,00030 0,002 5. Внутр. обувь (носки) х/б 0,6 0,050 0,00050 0,003 Полуботинки мужские для осенне-весеннего периода носки Пакет верха: 1. Полукожник 1,3 0,067 0,00021 0,004 2. Бязь 0,3 0,038 0,00030 0,002 3. Кожа подкладочная 1,0 0,071 0,00015 0,004 4. Внутр. обувь (носки) х/б 0,8 0,050 0,00050 0,003 Пакет низа: 1. Подошва форм. из пористого полиэфируретана 8,0 0,060 0,00054 0,004 2. Картон простилочный 0,3 0,090 0,00017 0,003 3. Картон стелечный 2,9 0,098 0,00014 0,003 4. Вкладная стелька: кожа подкладочная 1,1 0,071 0,00015 0,004 5. Внутр. обувь (носки) х/б 0,8 0,050 0,00050 0,003 Ботинки мужские зимние Пакет верха: 1. Полукожник 1,5 0,067 0,00021 0,004 2. Бязь 0,3 0,038 0,00047 0,002 3. Искуст. мех 10,0 0,042 0,00030 0,002 4. Внутр. обувь (носки) шерсть 3,5 0,030 0,00042 0,002 Пакет низа: 1. Подошва формованная из полиуретана 20,0 0,066 0,00054 0,005 2. Войлок 4,0 0,044 0,00035 0,002 3. Кожа стелечн. 3,0 0,126 0,00065 0,004 4. Вкладная стелька: картон + искус. мех 1,8+10 0,040 0,00030 0,004 5. Внутр. обувь (носки) шерсть 3,5 0,030 0,00042 0,002 Анализ кривых 1, 2, 3, приведенных на рис. 2 а - в, подтверждает высокую эффективность нового программного обеспечения для расчетов зависимости температуры от времени при решении задачи нестационарных процессов теплообмена для системы «стопа - обувь - окружающая среда» при необходимости обоснования выбора пакетов материалов для верха и низа обуви. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Литература 1. Михайлова И.Д., Прохоров В.Т., Михайлов А.Б., Осина Т.М. Программное обеспечение для решения задачи теплообмена для системы «стопа-обувь-окружающая среда» Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2006611288 Рос. Федерация. 2. МихайловаИ.Д., Осина Т.М., ПрохоровВ.Т., Михайлов А.Б., Мирошников А.А. Использование математической моде- Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, г. Шахты; Московский государственный университет дизайна и технологии МГУДТ ли для оценки теплозащитных свойств материалов для обуви // Изв вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2004. Приложение. № 6. 3. Михайлова И.Д., Осина Т.М., Прохоров В.Т., Михайлов А.Б. Влияние многослойных полых цилиндрических пакетов материалов на распределение в них температуры // Актуальные проблемы науки, техники и экономики производства изделий из кожи: Сб. статей междунар. науч. конф. / УО «ВГТУ»Витебск. 2004. 4. Осина Т.М., Прохоров В.Т., Михайлова И.Д. О формировании обобщенных свойств пакетов материалов для повышения комфортности обуви // Вестн. МГУДТ. М., 2005. Вып. 3(45). 5. Михайлова И.Д., Осина Т.М., Прохоров В.Т., Михайлов А.Б. Математическая модель микроклимата в обуви при воздействии на нее низких температур // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2005. № 2. 6. Михайлова И.Д. Прохоров В.Т., Михайлов А.Б., Осина Т.М. Особенности распределения температуры в деталях обуви // Кожевенно-обувная промышленность. 2005. № 5. 7. Михайлова И.Д., Осина Т.М., Прохоров В. Т., Михайлов А.Б. Особенности процесса теплообмена в носочной части обуви // Кожевенно-обувная промышленность. 2005. № 6. 19 ноября 2007 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/teoriya-generatsii-osnovnoy-garmoniki-nelineynogo-fotoakusticheskogo-signala-dvuhsloynymi-tvyordotelnymi-obraztsami-s-opticheski

Разработана теория генерации основной гармоники фотоакустического сигнала двухслойными образцами с первым непрозрачным слоем. Получены общие выражения, описывающие зависимость амплитуды этого сигнала от поглощательной способности первого слоя, теплофизических параметров всех слоёв и их термических коэффициентов.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2012, том 55, №2________________________________ ФИЗИКА УДК 534.16:535.341 Т.Х.Салихов, Ю.П.Ходжаев ТЕОРИЯ ГЕНЕРАЦИИ ОСНОВНОЙ ГАРМОНИКИ НЕЛИНЕЙНОГО ФОТОАКУСТИЧЕСКОГО СИГНАЛА ДВУХСЛОЙНЫМИ ТВЁРДОТЕЛЬНЫМИ ОБРАЗЦАМИ С ОПТИЧЕСКИ НЕПРОЗРАЧНЫМ ПЕРВЫМ СЛОЕМ Таджикский национальный университет (Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминовым 12.09.2011 г.) Разработана теория генерации основной гармоники фотоакустического сигнала двухслойными образцами с первым непрозрачным слоем. Получены общие выражения, описывающие зависимость амплитуды этого сигнала от поглощательной способности первого слоя, теплофизических параметров всех слоев и их термических коэффициентов. Ключевые слова: фотоакустика - тепловая нелинейность - двухслойные системы - нелинейный фотоакустический отклик - основная гармоника. Исходные уравнения Нелинейный фотоакустический (ФА) отклик, генерируемый под действием оптического излучения и обусловленный температурной зависимостью теплофизических и оптических параметров среды, состоит из набора гармоник, из которых нелинейные ФА-сигналы на основной и второй гармониках являются основными [1-2]. Теория генерация нелинейного ФА сигнала для однослойных твёрдотельных образцов была предложена в [1-5], а в [6] построена теория генерации второй гармоники этого сигнала двухслойными системами. Целью настоящей работы явилось создание теории нелинейного ФА отклика, соответствующего основной гармонике, двухслойными образцами с первым оптически непрозрачным слоем. Будем исходить из уравнения для акустических колебаний температур, соответствующих основной гармонике [7]: д 2Ф 1 ЭФ д2 5 д д Ф1 1 дФ1 1 5 и =-5,2--2 (0 0 х)], (г=g ^ам2),*) (1) дх2 д? 21 дх2 X2 д? В уравнениях (1) ^ ^ / С^ - начальные значения коэффициента температуропроводности, а величины $ , ¿2, - температурные коэффициенты теплоёмкости единицы объёма и теплопроводности соответствующих слоёв Ф1я(х,а>) = 0^, ФЬ5т(х,а) = и/^х Щв-™, (2) Адрес для корреспонденции: Салихов Тагаймурод Хаитович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected] Фщ2)(х,®) = ивЩ2)(Х+4) + У2в~°15{2){х+к), Фьь(х,©) = Жв^(х+/1 +/2) . (3) являются линейными составляющими колебания температуры в соответствующих слоях с амплитудами Щ = 05{(1 - ^)дь + Р}, ^1 = 05{(1 + ^)дь -Р}, Щ = О.25{0Ь [(1 + 5)(1 - ^ )е- (1)/1 + (1 - 5)(1 + g У1*(1)/1] + Р[(5 + 1)е- (1)/1 - (1 - sУ1S (1)/1]}, (4) К2 = О.25{01 [(1 - 5)(1 - g )е-(1)/1 + (1 + s)(1 + gУ1S (1)/1] + Р[(1 - s)e-1S (1)/ - (1 + sУ1S (1)/1]}, (5) 0 = Р{(Ъ - ^(2)/2 [(5 + 1уа1*(1)/1 - (1 - sУ1S (1)/1 ] + (1 + ЪУ!! (2)/2 [(1 - syalS (1)/1 - (1 + sУS (1)/1 ] }А-1, (6) W = 0,250{2(1 + s)(1 - g)є-(ц/і + (1 - s)(1 + gys^ ]є-^ + +2(1 - s)(l - g У7"l1îll + (l+s)(l+g ys l1îll ]e7lS (2)l2} + (7) + 0.25F{[(s + 1)e"7lS^ - (1 - s)e7lS^ ]e"7lS(2)l2 + 2(1 - s)e"7lSl1îll - (1 + s)e7lSl1îll ]e7lS^. В (4)-(7) использованы следующие обозначения A = {(1 - b)e7(2)l2 2(1 + s)(1 - g)e7(1)l1 + (1 - s)(1 + g)e7lS(1)l1 ] - - (1 + b)e71 S(2)l2 2(1 - s)(1 - g)e~71 S(1 )l1 + ( 1 + s)(1 + g)e71 S( 1 )l1 ]}, kg )7g „ _ kS(1)71S (1) ^ _ k(b°7lb kS())71S (1) kS (2)71S (2) kS(2)71S (2) F = 10 Ду(Ц I2kSa)7ls(і) , 7 =(1 + i)ai,, alt = V¿ ^ = (2^. I а)1/2 - длина тепловой диффузии, - начальное значение поглощательной способ- ности первого слоя, /0 - интенсивность падающего луча . Система уравнений (1) совместно с выражениями (2) и (3) является исходной для создания теории генерации основной гармоники нелинейного составляющего ФА сигнала. О с о б е н н о с т и ф о р м и р о в а н и я о с н о в н о й г а р м о н и к и т е п л о в ы х в о л н и ф о т о а к у с т и ч е с к о г о с и г н а л а Принимая во внимание, что фх (t, x) = фь (со, x)exp(icot) , положим фц (t, n) = фш (а, x)exp(iat) и для функции (а, x) = фш (а, x) + ST (x)Фи (а, x), из (1) получим следующие уравнения: - 2 T - 7,Х = 7^ (S-Sv )To, ( xÎФ i, (а, x), i' = g,s(1)s(2)jb (8) Решения неоднородных дифференциальных уравнений (8) методом вариации постоянных можно записать в виде Tig (а,x) = 0we7 + RigSig (x)e7gx -RigS2g (x)e7 Ч;те)0,x) = U„e"1S(1)X + Vne+ R,SS,s,„(x)e"“"'' -R,S(„S2S(1)(x)e_'"“"', ¥,S(2, (a, X) = Un2"« + Vn2e+ R,S(2)S,S(2, (ty'--'«'™ - R,S(2,-2S(2) (ф-"1-("M’ T1b(a,x) = WNbea,b(x+k+l2) + R1b-1b(x)ea,b(x+l'+l2) -R1b-2b(x)e^(x+l' +'2) Здесь использовались следующие обозначения: R = 0,5^’2г1^ (ôi — S2i ), S1 g (x) = J go g ( x)LLg (a x)e~agXdx , S g (x) = J go g (x)L ig (a x)e<Vdx, (9) S1S(1) (x) = J goS(1) (Х)ФLS(1) (a> X)e~"1S(1)Xdx , S2S(1) (x) = Jgos(1) (Х)ФLS(1) (a> (1)^ , ( 10) S1S(2)(x) = Jg0S(2)(x^LS(2)(ax)e~aiS(2)(^dx , S2S(2)(x) = JgoS(2)(x)LLS(2)(a>(") si6(x) = J go 6(x)L Lb (a x)e~at (x+14) dx, S16(x) = J go 6(x)L Lb (a x)e(Tb (x+14) dx • (12) Граничные условия, обеспечивающие непрерывность температур и потоков тепла на границах между газовым слоем- первым непрозрачным слоем (©,°) =®1ДЯ , д^<©х) +| ,=о ^А^до + Фь1.„,(0,Ш}) = ^| х) | первым непрозрачным слоем образца - вторым слоем Ф (т-/ ) = Ф (т-/ ) д^1* (2)(©,х) | ^*(1) д^1*( 1) (© ,х) ФШ5(1)(© /1) ФШ5(2)(© /1) , ----------\х=_г = ----7^--------------- дх х 1 х(2) дх вторым слоем - подложкой Ф^ (©, -/ - /2 ) = Ф^™(© -/ - /2 ) , дТ'Ъ (© х)\ =* **2)(*, х) 1МЪУ ’ 1 27 ш*(2Л ’ 1 2^’ х-х+у ^(0) д b и на торцах ФА-камеры (®, ~1 ~ 1Ь ) = 0 > Фщ ^ ) = 0 ’ позволяют получить систему алгебраических уравнений для определения величин 0Ш ,иы !,Ут ,ин2 ,У^2 • Эта система уравнений имеет вид: ®1JV + Rig [S1g (0) — S2g (0)] — g0g (°)©І - UNl + VN1 + ^(1)[^(1)(0) — S2S(1)(0)] _®Lg0S(l)(°) ’ (13) UNle~^(1)l1 + VmeaiS(1)l1 + R1sa)[^1S(1)(-/1)e-CT1S(1)l1 -S2Sü)(-k)ea^S(1)l1]-ЯоздКЖадК) - , (1 — UN2 ^ VN2 + ^1S(2) [S1S(2)(—11) — S2S(2)(—11)] — g0S(2)(—11 )ФЬ8(2)(—11) Un - + Vn /" 'Л + R,s ,2,[S|S,2,(-/1 - '2/'“- - S2S,2,(-i,-',/“<“''] - ',)ФL«)(®, “ '2) = (|J) = WN + R1è [S1b (-/1 - '2 ) - S2b (-/1 - '2 )] - g0b (-/1 - '2 ) WL A(0) J § -®1« + R1S(S„(0) + S2,(0)] + -S((^(0, +©l) = {Un - V„ + R1S„)[S1SO)(0) + S,s„)(0)]}g,(16) .{UN1e-ff1S(1)/1 - VN1eCT1S(1)/1 + R1S(1)[S1S(l)(-/1)e-71S(1)l1 - S^H/“^]} = (17) = UN2 - VN2 ^ R1S(2) [S1S(2) (-'1) ^ S2S(2) (-'1)] b '{U*2e~"1S(2)'2 - V,/1S<»'■ + Ruга[^(2)( '1 -'2)e"'(,)'! + SM(2)( '1 -ye"1*"'1]} = < ) < ) < ) (18) = WN + R1b [S1b (-'1 - '2 ) - S2b (-'1 - '2 )] Из (13) и (16) для Um , VW1 и из (14) и (17) для UN2, VN2 будем иметь: A(0) J § (1/ 0^3 2U*1 = {©1n + R1g[S1g(0)-S2g(0)] -gQg(0)©l + gos(1)(0)©l -2R11S(1)S1S(1)(0)^-rS0P^(©o + ©l)} = Zfts(1)"1S(1) A(0n J § 2V„ = {0n + R„ [S„ (0) - S,g (0)] - g g (0)0t + g0sll,(0)0I + 2RM) S'M „,(0) (©0 + ©l )}, 2kS(1)"1S(1) U*2 = 0.5{UMe -s-(s +1)-Vme"s(1\s-1)+R1Sa)[S1s0)H1)e-s-(s +1) + S2s^е"‘¿(s-1)]--2R1S(1)S1S(2) (-11) - g0S(1) (-11 )®LS(1) (-11) ^ g0S(2) (-11 )ф£(2) (-11)} V* 2 = 0.5{UN1e-S - (s -1) - V*/1 ^ (s +1) + R1S 0)[S1s 0)(-'1)e-"1S -- (s -1) + S2S J-^ (s +1)] - 1S (1)LU1S (1)V 1) V 1 U2S (1) -2R1S (2)S2S (2)(-11) ^ g0S(1)(-11)^LS(1)(-11) g0S(2)( 11)^LS(2)( 1)} Теперь, исключив W# в (15) и (18), получим уравнение ите-"^ (1 - b) - V^e^2^ + b) + R1S (2)[S1S (2)(-'1 - '2)e“"1S (2)'2(1 - b) + S2S C2)(-'1 - '2)e"1S (2)'2(1+b)] - -2bR1bS2b (-11 - 12) + bg0S(2)(-11 - 12)^LS(2}(-11 -12) -bg0b (-1 - 12)ФЬ)(-11 -12) = 0. Подставляя выражения для Um ,Vm ,UW2 ,VW2 в (19), получим алгебраическое уравнение для определе-0 v-/ 1 А/ ния 1m , решение которого имеет вид J A(0) § 01N = [g0g (0) - g0S<1>(0)]©l - Rg [S„ (0) - S2g (0)] + {- ° A(1) 3 [00 + ©l ] Д2 + iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 2kS (1)°1S (1) +4R1S(2)[Д4 - Д6] + 2R1S(1) [ Д1 - Д3] + 2[g0S(1)<-11)^LS(1)<-11) - g0S(2)(-11)^LS(2) ( ^1 )] Д5 - '(20) -4b[ g0 s (2)(-11 - 12)^LS(2)(-11 - 12) - g0b (-11 - 12)ФЬ(-11 - ^2 )] + 8bR1b S2b (-11 - ^2)}Д 1, Здесь учтена малость g << 1 и использовались следующие обозначения А = е—(2)/2 (1 - Ъ)[е"10(1)/1 (5 + 1)0*) (0) + ^ (5 - 1)*2 ^а) (0)] + +е"10(2)/2 (1 + Ъ)[е—(1)/1 (5 -1)01*1) (0) + е"10(1)/1 (5 + 1)*25(1) (0)] А = е'СТ1°(2)/2 (1 - Ъ)[е'СТ1°(1)/1 (5 + 1) + е"10(1)/1 (5 -1)] + е"10(2)/2 (1 + Ъ)[е'СТ1°(1)/1 (5 -1) + е"10(1)/1 (5 +1)] Аз = е-"10(2)/2 (1 - ЪЖ"10(1)/1 (5 + 1)*1а(1) (-/1) + е"10(1)/1 (5 -1)020(1) (-/1)] + + е"10(2)/2 (1 + ЪЖ"10(1)/1 (5 - 1)01*(1) (-/1) + е"10(1)/1 (5 + 1)02*(1) (-/1 )] А4 = е-10 С2}/2(1 - Ъ)** (2)(-/1) + е"1«2^ + Ъ)020(2)Ю > А = е""10 (2)г2(1 - Ъ) - е"10 (2)г2(1 + Ъ) А6 = *10 (2) (-/1 - /2)е-"^12(1 - Ъ) + *20 (2) (-/1 - + Ъ) Выражение (20) является искомым и соответствует произвольному значению "^^/ и "щг/г . Тогда для акустического колебания температуры в газовом слое можем записать выражение Ф1^ (© х) = [0Ш - (х) - 0Lgоg (х)] ехр(-"?х) + (х) ехр(",х). (21) Из (20) и (21) видно, что для вычислений 0Ш (©, х) и Ф1Л£ (©, х) необходимо знать явный вид функций *■( х) и *■( х) для всех слоёв в ФА-камере. Подставляя функции Фи(ю, х) в соответствующие выражения (9)-(12) и выполняя интегрирование согласно процедуре [2], будем иметь \и+2пг:(г+2^’"" =-1^/2^-1Р -11+х]е Хи„( х) * и, { Д ВГГ(1 + Ъ - УХ )3 -1] - х}+-^- (1 - С)ехр(-Ч!(„ х), 3(Ъ - Ь31) \ В3І1 2&13(1) 525 (1)(х) * У1 {_„ ' , + ( 5 й )3 - 1] - х} + 1 (В,Г - 1)еХр(2^15 (1)x), Ъ(Ъ8 - Ь31) \ В3І1 2^(1) 515(2)(х) * и2{—21-----------------В52І 15(2)() 3Ъ2 -Ъъ) 52[Ц (1 + ( 5 2 Ъ5Ъ)(--)3 - 1] - (х + І1)} - А _2 (В522 - 1) ехр(-2С 15 (2) (х + 11), В5 2І2 2^1Х(2) 515 (2) (х) * У2( 21\ В^22Ц (1 + {Ъ 2 ^ )(Х + І1))3 - 1] - (х + І1)} - -и^ (1 - В112)ехр(2^15 (2) (х + ІД 3(Ъ52 Ъ5Ъ) V В5 2І2 2<^1Б (2) ^(х) = Ш{2В2 ^[1[1+А-(X+/1 +/2)]3 -1]-(X+1, + /2)} Б2Ь(х) * Ш(^ 1} ^ 3 ЬЬ V 1ЬВЬ 2аЬ где Вг = 1 + Ь , Ь^ = (2 + 82£00 ) > Ь8 = 828(1)0О (2 + 828(1)0С ) > Ь81 = 828(1) Ш01(2 + 828(1) Ш01) Ь = 8 Ш (2 + 8 Ж ) Ь = 8 Ш (2 + 8 Ш ) Ь82 828(2)"01(2 + 828(2)"01) ьБЬ 825(2)"02(2 + 825(2)"02) Тогда, принимая во внимание равенства (0) = 82^0О, = 1 + 82з0 , у] В = 1 + 82о(1)0о, у1В82 = 1 + 825(2) Ш01 = 1 + 825(2)Ш02 <?08(1) (0) = 828(1)00 <?051 (—^1 ) = 825(1) Ш01 &)52(-/1 —/2) = 825(2)Ш01 ’ £ (—к1 — /2) = 82ЪШ02 и Условие ^ >> , полУчим, что 51г (0) *-0,50 !82г00^г 52я (0) = 0 818(1)(0) * —0,5^1825(1)00СТ18(1) 525(1) (0) * 0,5^ 1828(1)00°’1Х(1) Анализ полученных выражений Для рассматриваемого случая поверхностного поглощения луча длина тепловой диффузии !и(ю) всегда значительно больше, чем длина пробега фотона /3 1. Поэтому в эксперименте может реализовываться лишь два случая из трёх возможных. Отметим, что при фиксированной толщине образца эти условия могут быть получены путём изменения частоты модуляции падающего луча. Подробно рассмотрим эти случаи. А. Термически толстый первый слой к >>^8 (1) > ехр(—а15 (1)11) * 0 . 1а. Термически толстый второй слой /2 >> /^8(2^, ехр(—(^щ2^2) * 0. Принимая во внимание условие 0| «0, выражение (20) можно написать в виде 0Ш (ф, х) * 0Ь00[82 £ — 828(1) — 0-5(88(1) — 828(1)) + 0-25(8? — 81& ) + 83] . (22) Теперь пользуясь определением нелинейной составляющей акустического возмущения давления [1,5] 8Рш(ф) = 7Р02^£ ф^(ф) = уу I ф1л£(Фх)Лх , (23) Т00/ё Т00к£ 0 выполнив интегрирование и необходимые алгебраические вычисления, будем иметь 8Рш (ф, к1 >> ^18(1), к2 >> ^18(2) ) ~ 8Рь (ф)КШ(1)(ф, к1 >> ^18(1), к2 >> ^18(2) )00 ’ (24) где 8рь = (ур00Ь / Т^/ <7ё ) - линейное составляющее акустического колебания в буферном газе, Кщ1)(/ >>^8(1), /2 >>^8(2)) = 83 — 0,5(828(1) +8?(1)) - эффективный коэффициент нелинейности. Воспользуясь представлением 8рш (ф,/ >> ^^), /2 >> )) = ^Рш!^1” , для амплитуды |8рш| и фазы генерируемого сигнала получим I* I а(0) h \SPN= 4TlSk (0)------- 41 00lgkS (1) K1N(1) ^1iV(1)(l1 >> №lS(1), l2 >> №lS(2)) К jv' A —...если....К,ш,Л >0 1 N (1) 2 (25) К TS r\ — если....К,Л„,л < 0 1N(1) Выражение (25) показывает, что частотная зависимость амплитуды нелинейного ФА-сигнала подчи- -1 няется закону ~ О . Б. Термически тонкий первый слой li «Vis (1) » exp(-CTis a)/i) « L 1б. Термически толстый второй слой /2 >> JVs(2), exp(-1/2) « 0. В этом случае тепловая волна без потерь достигает второго слоя и будет локализована на её поверхности. Тогда выражение (20) примет вид. 0W(ох) « 0L0O[^ -S2s(i) + 0.25(£g -S2g) + ^3] -0Lroi[O.5(^s(2) —82s(2)) - (82s(i) —82s(2))]. (26) Подставляя выражение (26) в (21) и выполнив интегрирование (23), для нелинейного составляющего акустического колебания давления получим 8 Pin (о, li ^ Mis (i), l2 >> Mis (2)) _ . (27) ~8pb (o)[KiN(i)(li ^ MiS(i), l2 >> MiS(2))®0 + KiN(2) (li ^ MiS(i) , l2 >> MiS(2) )W0i ] Использованные здесь обозначения KiN (i) (li ^ Mis (i), l2 >> MiS (2) ) _ 83 — S2S (i), KiN(2)(li ^ MIS(i),l2 >> MIS(2)) _ 82S(i) — 82S(2) — 0.5(8S(2) —82S(2)) являются комбинациями термических коэффициентов соответствующих параметров образца и подложки. В этом случае для параметров этого сигнала справедливы выражения |^P1N(®, l1 << M1S(1),l2 >> A1S(2)) у р010А(0)МьМг ’ (28) _ AT J (0 [ K1N(1)(l1 << M1S (1), l2 >> A1S (2) )00 ^ K1#(2) (l1 << M1S(1), l2 >> A1S(2) )W01] 4100lgKb ^1#(2) (l1 << M1S(1), l2 >> A1S(2) ) _ К ...если.....................[K1N(1)(l1 << M1S(1), l2 >> A1S(2) )00 ^ K1#(2) (l1 << M1S(1), l2 >> A1S(2) )W0 ] < 0 . (29) К ~. . если.[K1N(1)(l1 << U1S(1), l2 >> A1S(2))00 ^ K1# (2) (l1 << ^1S(1), l2 >> A1S(2))W0] > 0 тд - /то\ /-Т0\ \8р\Н(ф,к1 <<^8(1), к2 >>^18(2) Л ф Из выражений (28) и (29) следует, что 1 () ( ) 1 . 2б. Термически тонкий второй слой /2 << )’ ехр(±^^^2/) * 1. При этих условиях тепловая волна, поступившая из второго слоя, также без всяких потерь передается в подложку. Тогда выражение (20) примет вид 0Ш(фх) * 0^{00[82£ — 828(1) + 0-25(8£ — 82£) + 83] + ^01 (828(1) —828(2)) + Щ)2[823(2) — 0'5(8Ь +82Ь)] . (30) Подставляя (30) в (20) и выполняя интегрирование в (23), будем иметь 8р1Ы (ф, к1 <<^18(1), к2 <<^18(2) ) = 8рь (ф)\-КШ(1)(/1 <<^18(1), к2 << ^18(2) )00 + iN (2) (li « MiS(i), l2 ^ MiS(2))W0i + KiN(3) (li ^ MiS(i) , l2 ^ MiS(2))W02] (31) где величины iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. KiN(i) (li >> MiS(i), l2 >> „S(2)) _ 83 82S(i), K2N(i) (li >> MiS(i), l2 >> MiS(2)) _ 82S(i) 82S(2) K3N (i) (li >> Mis (i), ^2 >> MiS (2)) _ 82S(2) — 0.5(8, + 82Ь ) являются эффективными коэффициентами нелинейности. Из (31) легко можно получить |8piN (О, li << MiS(i), l2 << MiS(2)^ _ у p „о „(0) J(°) Г ïp0MS (i)„g ^ ^0 41 l k(0) 4100lgkS (i) KiN(i)(li << „iS(i), l2 << MiS(2))00 + +KiN (2) (li << „iS (i), l2 << „iS (2))W0i + KiN (3)(li << MiS (i), l2 <<MiS(2))W02 (32) ^iN(3)(li >>Ms(i),l2 >>„iS(2)) 2.....еСЛМ.[KiN (i)(1i << „iS (i), ^2 << „iS (2))00 + +KiN (2) (li << „iS (i), l2 << „iS (2))W0i + KiN(3) (li << „iS (i), l2 << Ms(2))W02] > 0 (33) Я 'j.eCJlU...\KiN(X)(k << MiS (i), ^2 << „iS (2))00 + +KiN(2) (li << „iS(i),l2 << „iS(2))W0i + KiN(3) (li << Ms(1),l2 << „iS(2))W02] < 0 - в ыражения для амплитуды и фазы сигнала, соответствующие рассматриваемому случаю. Выражения (25), (28) и (32) показывают, что амплитуды нелинейного ФА-сигнала на основной частоте простым образом связаны с макроскопическими величинами и их термическими коэффициентами. С другой стороны, на основной частоте всегда генерируется линейный ФА-сигнал и тогда, очевидно, измеряемый сигнал представляет собой суперпозицию 8рР = 8рь +8рш . Следовательно, для обработки 8рР для каждого случая необходимо исключить 8рь из 8 ре и затем определить значения искомых величин. Поступило 12.09.2011 г. ЛИТЕРАТУРА 1. Мадвалиев У.М., Салихов Т.Х., Шарифов Д.М. и др. - ЖПС, 2006, т. 73, № 2, с. 170-176. 2. Мадвалиев У.М., Салихов Т.Х., Шарифов Д.М.- ЖТФ, 2006, т. 76, № 6, с. 87-97. 3. Салихов Т.Х., Шарифов Д.М., Туйчиев Х.Ш. - ДАН РТ, 2008, т.51, №8, с.588-593. 4. Салихов Т.Х., Шарифов Д.М., Туйчиев Х.Ш. - ДАН РТ, 2009, т.52, №8., с.606-612. 5. Салихов Т.Х., Туйчиев Х.Ш., Шарифов Д.М.. - ДАН РТ, 2011,т.54, №4, с.296-302. 6. Салихов Т.Х., Ходжаев Ю.П. - ДАН РТ, 2011, т. 54, №9, с.738-745. 7. Салихов Т.Х., Ходжаев Ю.П. - Вестник ТНУ, 2011, № 6(70), с.21-26. ТД.Солих,ов, Ю.П.Хочаев НАЗАРИЯИ АНГЕЗИШИ ГАРМОНИКАИ ЯКУМИ СИГНАЛИ ГАЙРИХАТТИИ ФОТОАКУСТИКИИ НАМУНА^ОИ ДУЦАБАТА БО ЦАБАТИ ЯКУМИ НОШАФОФИ ОПТИКИ Донишго^и миллии Тоцикистон Назариети ангезиши гармоникаи якуми сигнали гайрихаттии фотоакустикй аз намунах,ои дукабатаи кабати якумаш ношафоф пешних,од шудааст. Ифодаи х,осил карда шуда вобастагии параметрх,ои ин сигналро аз кобилияти фурубарии кабати якум, бузургих,ои гармофизикй ва коэффисиентх,ои термикии кабатх,о тавсиф менамояд. Калима^ои калиди: фотоакустика - гайрихаттии уароратй - системауои дуцабатта - сигнали гайрихатти фотоакустикй - гармоникаи асосй. T.Kh.Salikhov, U.P.Khojaev THE THEORY GENERATION OF THE NONLINEAR FUNDAMENTAL HARMONIC OF PHOTOACOUSTIC SIGNAL OF THE TWO LAYER SAMPLES WITH FIRST OPTICAL OPAQUE LAYER Tajik National University The theory of generation of the nonlinear fundamental harmonic of a photoacoustic signal by two-layer samples with the first opaque layer has been presented. The necessary expressions which describing the dependence of the parameters of this signal from emissivity of the first layer, thermophysical parameters of all layers and their thermal coefficients are obtained. Key words: photoacoustic - thermal nonlinearity - two layer systems - nonlinear photoacoustic responses -fundamental harmonic.

https://cyberleninka.ru/article/n/spektralnye-techeniya-zhidkosti-v-tsilindre-s-uprugoy-granitsey

Построены асимптотические разложения спиральных волн в стационарном потоке вязкой несжимаемой жидкости внутри цилиндра конечной длины, ограниченного тонкой упругой изотропной оболочкой. Рассчитаны два семейства спиральных волн (длинных и коротких) и семейство стационарных спиральных течений жидкости. Показано, что стационарный поток является механизмом переноса как коротких волн, так и стационарных спиральных мод. Полученные решения могут моделировать закрученные потоки крови в аорте.

УДК 531/534:47 СПИРАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРЕ С УПРУГОЙ ГРАНИЦЕЙ © 2012 г. В.А. Батищев, Д.С. Петровская Батищев Владимир Андреевич - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической и компьютерной гидродинамики, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected]. Batischev Vladimir Andreevich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Department of Theoretical and Computer Fluid Dynamics, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: [email protected]. Петровская Дарья Сергеевна - магистр, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: [email protected]. Petrovskaya Darya Sergeevna - Master, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: [email protected]. Построены асимптотические разложения спиральных волн в стационарном потоке вязкой несжимаемой жидкости внутри цилиндра конечной длины, ограниченного тонкой упругой изотропной оболочкой. Рассчитаны два семейства спиральных волн (длинных и коротких) и семейство стационарных спиральных течений жидкости. Показано, что стационарный поток является механизмом переноса как коротких волн, так и стационарных спиральных мод. Полученные решения могут моделировать закрученные потоки крови в аорте. Ключевые слова: спиральные волны, стационарный поток, пограничный слой. Constructed asymptotic expansions of spiral waves in the stationary flow of viscous incompressible fluid inside a cylinder of finite length, being limited to a thin isotropic elastic shell. Are two families of spiral waves (long and short) and a fixed scroll fluid currents. It is shown that a stationary flow is the transport mechanism as short-wave or stationary spiral mod. The solutions can simulate the twisted threads of blood in the aorta. Keywords: spiral waves, stationary flow, boundary layer. В конце XX в. появились сообщения об обнаружении закрученных потоков крови в артериях человека и животных [1-3]. Среди причин возникновения спиральных течений могут быть структура стенок в левом желудочке сердца, наличие вихревого движения жидкости на входе в кровеносный сосуд, механические свойства стенок сосудов [1-7] и др. В [4-6] рассчитаны длинные спиральные волны в кровеносном сосуде, вызванные анизотропией стенок сосудов. Однако эти волны оказались локализованными в пограничном слое (вблизи стенок сосудов). В настоящей работе рассчитаны спиральные волны конечной длины в стационарном потоке жидкости в цилиндрической области, ограниченной тонкой изотропной упругой оболочкой. Эти волны заполняют все поперечное сечение цилиндра и слабо зависят от упругих свойств цилиндрической оболочки. Численные расчеты показали, что волновые числа и декременты затухания спиральных волн убывают с ростом скорости стационарного потока. Показано, что механизмом переноса спиральных волн является стационарный поток. Рассчитано семейство стационарных спиральных течений жидкости, затухающих вниз по потоку. Показано, что длинные спиральные волны локализованы в пограничном слое вблизи поверхности цилиндра. Свойства этих волн (фазовая скорость, декремент затухания и др.) сильно зависят от упругих свойств стенок цилиндра и вязкости жидкости. Порядок фазовой скорости совпадает с порядком скорости длинных продольных волн [1, 4-6, 8]. Уравнения движения Рассматривается задача о распространении спиральных возмущений малой амплитуды в стационарном потоке вязкой несжимаемой жидкости, заполняющей круговой цилиндр конечной длины. Движение жидкости изучается на основе системы уравнений Навье-Стокса — + (у, Уу) = ~р~1Чр + V АУ, (1) д 1 &уу=0. Здесь у = (уг,уе,у2) - вектор скорости; - цилиндрические координаты; р - давление, V - кинематический коэффициент вязкости жидкости. Задача посвящена расчету спиральных волн, которые могут моделировать закрученные потоки жидкости в крупных кровеносных сосудах человека и животных. Кровеносный сосуд моделируется круговым цилиндром конечной длины, который ограничен тонкой упругой изотропной оболочкой толщины И и радиусом срединной поверхности, равным а. Исследуется осесимметричная задача, для которой скорость, давление и смещения точек срединной поверхности оболочки не зависят от окружной координаты в. Течение жидкости предполагается периодическим по времени с периодом Т . Уравнения движения приводятся к безразмерному виду, причем в качестве масштабов длины, времени, скорости, давления и смещений точек оболочки приняты соответственно следующие параметры: а, 1/а, О, рО2,О /а . Здесь а = 2я / Т; р - плотность жидкости; О - характерная скорость стационарного потока. Приведем уравнения в безразмерных переменных для окружной компоненты смещения ив точек срединной поверхности тонкой изотропной оболочки в рамках безмо-ментной теории с учетом гидродинамического воздействия на ее срединную поверхность (г = 1) д ug J7 -4 p0h (i+^o) ^ = Ф2Л pa д tl д vg д г (2) д ua sk = coa^2ap/(hE) , £V=-J2 /(a>a2) . в - Г Здесь у0 - коэффициент Пуассона, который принимается равным 0,5; Е, р0 - модуль Юнга и плотность материала оболочки. В численных расчетах будем использовать те значения параметров в (1), (2), которые соответствуют кровеносным сосудам собаки [1]. Заметим, что параметры еу и ек малы (для аорты собаки еу~ 1/13, ек~ 102 [1]). Малость параметров еу и ек связана с малой вязкостью жидкости и большим значением модуля Юнга. В [4-6] изучены пульсовые продольные и спиральные волны, распространяющиеся в цилиндре, ограниченном анизотропной оболочкой, причем поле скоростей представлено в виде ряда Фурье с нулевой гармоникой, которая представляет собой течение Пу-азейля. В связи с этим предположим, что стационарный поток определяется полем скоростей, у которого осевая компонента скорости квадратична по радиальной координате, а ее максимальное значение определяется расходом жидкости Q в цилиндре У:0 = 1 - Г2 , Уг0 = Ув0 = 0 Ро = С - 4ег 2 / Я; Я =и /(аа) ; О=20^а. Асимптотические разложения Решение задачи, описывающее спиральные волны, представим в виде суммы двух вектор-функций V = V (г, 2,^ + V(г, 2,0 . (3) Здесь V = (уг,ув,у:,р, иг,ив,и2), V = Я, и'г,и'в,и'2). Первые 4 координаты векторов V и V - компоненты скорости и давление, последние 3 - компоненты смещения точек оболочки. Вектор V описывает стационарный поток и волны конечной длины, распространяющиеся по всему поперечному сечению цилиндра, V - длинные волны. Отметим, что в результате сердечной деятельности в аорте распространяются длинные продольные пульсовые волны с амплитудой порядка 0(1). Они изучались во многих работах, в том числе и в [1, 4-6, 8]. В данной статье основное внимание уделено исследованию спиральных волн конечной длины с малой амплитудой в стационарном потоке жидкости. Отметим, что длинные продольные волны с амплитудой порядка 0(1) [1, 8] здесь не рассматриваются. Функция V зависит от медленной осевой координаты 2 = £к2 и координат г. Главный член асимптотики вектора V при 0 - компонента м>в порядка 0(е к ). В этом случае продольная и поперечная компоненты скорости жидкости у вектора V малы, имеют порядки ^ = 0(%), ^ = о(е1) и находятся после определения компоненты . Рассмотрим волны конечной длины малой амплитуды, предполагая, что окружная компонента скорости у д имеет порядок 0(ек ). Вектор V построим в виде суммы, состоящей из функций, описывающих стационарный поток у20, р0 и малые возмущения. Компоненты V разложим в асимптотические ряды по степеням параметра ек У: = У:0(г) +%Ч=1 , Ув=%Ув1 + (4) ив = екив1 + ••• Остальные компоненты разлагаются в аналогичные ряды. Отметим, что порядки главных членов разложений (4) определяются из уравнений Навье-Стокса и динамических уравнений оболочки. Приведем уравнение для окружной компоненты скорости жидкости в безразмерном виде дуд „ | ду„ —^ + Я, I уг -у^ д t д г + у, д vg д z VЧ- |. Подставим вектор V в систему уравнений (1), динамические уравнения оболочки и приравняем к нулю сумму коэффициентов при одинаковых степенях параметра ек. Главный член асимптотики (4) для окружной компоненты скорости у определяется из краевой задачи, учитывающей конвективный перенос стационарным потоком д yei ,R v д yei + Rs Vz0- д t = 4 д 2Vg д r2 д z i ду„ (5) r д r д 2Vg д z2 Ув1 = 0 (г = 1), Ув1 = 0 (г = 0). По временной координате выполняется условие периодичности. С ростом осевой координаты г функция убывает. Отметим, что краевое условие в задаче (5) на поверхности цилиндра г = 1 соответствует условию прилипания к границе жесткого цилиндра уео = 0. Определяя из динамических условий на поверхности цилиндра порядки компонент скорости и смещений оболочки, находим, что упругие свойства оболочки проявляются в высших членах асимптотики (4). Решение задачи (5) строим в виде бегущих волн, затухающих вниз по потоку уя = Е(г)ехр((к2 - П)). Здесь к = к + ¡к - комплексный декремент, подле- v в г г у + 2 r жащий определению; к > 0, к - соответственно декремент затухания и волновое число спиральных волн; п = 0, 1, 2... Комплексно-значная функция Е(г) и комплексный декремент определяются из краевой задачи на собственные значения d2 F 1 dF ■ + ■ dr2 r dr k2 + "г)F = JT(-n + kRs(l-r2)), (6) Е(0) = 0, Е(1) = 0 . Результаты расчетов Решение задачи (6) получено численно и асимптотически. Собственные решения задачи (6) обозначим через Епт(г) и кпт , где п = 0,1,2, ..., т=1,2,3,... При п = 0 получаем счетное число стационарных мод, которые будут рассмотрены ниже. Приведем некоторые результаты расчетов для значений вг ~ 1/13,116 и Л е [1,4], которые соответствуют кровеносным сосудам собаки [1]. При п = 5, т =1 и Л = 2 приведем численные значения к51 = 2,7347 + г 0,2872. Расчеты показали, что с ростом индекса п декремент затухания и волновое число увеличиваются. Введем обозначение Рпт = Яп.т + гЛ,т. На рис. 1 при п = 5 т=1 приведены зависимости функций / Дг) (кривая 1) и g5,1(г) (кривая 2) от радиальной координаты г при нормировке тах / ^г)=1. Расчеты показывают, что с ростом индекса п происходит локализация функций /п1 (г) и gn,1 (г) к оси цилиндра. Численно рассчитаны зависимости комплексного декремента к от параметра Л . Параметры кг и К монотонно убывают с ростом Л, т.е. волновые числа и декременты затухания убывают с ростом скорости потока. Критический слой Вблизи оси цилиндра для т=1, п >1 и ё — 0 возникает вязкий критический слой с толщиной порядка . При выходе из этого слоя спиральные волны быстро затухают. Главное приближение фазовой скорости спиральных волн при п=1 совпадает со скоростью потока на оси цилиндра. Асимптотические разложения функции Е(г) и комплексного декремента при ё — 0 представим в виде Е = Е^) + ё РМ) + ... (ё—0) (7) к — к0 + к| + ... Здесь 51 = г / . Функции р, р убывают при ^ —. Подставляем ряды (7) в задачу (6) и переходим к переменной ^. Приравниваем к нулю сумму коэффициентов при одинаковых степенях параметра ё. В первом приближении находим коэффициент к0, который оказался вещественным к0 = п / Л. Для определения функции р и поправки кх получаем задачу на собственные значения на полуоси d2 Fr, 1 dF Fn = i (ki - k0 si2 )RsF0, Fo(0) = 0 , 0,75 Рис. 1. Спиральная мода п = 5, т = 1 Расчет функций р (г) и параметров к проводился численно методом пристрелки с использованием метода Рунге-Кутта, интегрирование уравнения (6) - от стенки к оси цилиндра. Вблизи оси проводилось сращивание со степенной асимптотикой. Для т > 1 поперечное сечение цилиндра разбивается на несколько областей, в которых жидкость вращается в разные стороны. $ 51 51 $ 51 51 Е,(°°) = 0. При численном расчете переходим к переменной Г = Vп ^ и вводим параметр а = - г4г кЛ /4п . С относительной погрешностью порядка 10-4 получаем а = — 4 и к = 242п (1+г)/Л . Комплексный декремент при т = 1, п > 1 приводится к виду к = п + ё Щ^1 + 0(£) . (8) Порядок толщины критического слоя имеет значение О^ 4/ £ / п ^. Очевидно, что толщина этого слоя iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. уменьшается с уменьшением вязкости жидкости и с ростом номера моды п . В этом слое локализуются рассмотренные моды. Критический слой возникает и при т > 1 , но для значений индекса п больших, чем некоторое значение п , которое находится численно, например п0 = 4 при т = 2. В этом случае комплексный декремент определяется по формуле (8), в которой второе слагаемое в правой части следует умножить на индекс т . Отметим случай Л = 0, когда стационарный поток отсутствует. Задача (6) при Л = 0 имеет точное решение, из которого следует, что порядок декремента затухания спиральных волн равен О(1/ё) при ё —^0. В случае, если Л =О(1), то из (8) следует, что порядок декремента затухания мал и равен О(ё). Следовательно, механизмом переноса спиральных волн является стационарный поток, так как при его отсутствии короткие спиральные волны очень быстро затухают. Стационарные спиральные моды Рассмотренные спиральные волны изменяют направление вращения жидкости на обратное либо со временем, либо по сечению. Найдем семейство стационарных спиральных течений, у которых первая мода не изменяет направления вращения. Главный член асимптотики (4) для окружной компоненты скорости в случае стационарных мод представим в виде vei = F(r)exp(-Äz). Полагаем в краевой задаче (6) n = 0 и k = i Ä. В данном случае удобно ввести число Рейнольдса Re = Ua /2 . Для определения амплитуды F(r) и параметра Ä получаем краевую задачу, которая решалась как численно, так и асимптотически. Найдено счетное число собственных значений Ä = Äm (m = 1, 2,3,...). Все собственные числа оказались вещественными, положительными и возрастающими с ростом индекса m. При Re = 0 получаем Äm = jim, где - корни функции Бесселя J (j\m ) = 0. При Re > 0 собственные числа получены численно путем продолжения по параметру Re. Первая собственная функция F (r) при m = 1 на промежутке [0,1] положительна и достигает максимума в окрестности точки r да 0,45, причем график этой функции слабо изменяется при изменении параметра Re для всех Re > 100. Это означает, что профиль окружной компоненты скорости стационарного спирального течения слабо зависит от параметров задачи. На рис. 2 изображен график функции F (r) при m = 1, нормированной по пространству Ь2 [0,1] при Re =200. Рис. 2. Стационарная спиральная мода п = 0, т = 1 При m > 2 поперечное сечение цилиндра разбивается на области, в которых жидкость вращается в разные стороны, причем с ростом индекса m число таких областей увеличивается. Для больших значений числа Рейнольдса приведем асимптотику собствен- о Ят,0 , Ят,1 , /т-> ч ных чисел Я = —2—I--т- + ••• (Ке ^ю). т Ке Ке3 Численные расчеты приводят к значениям Я = 21,3823, Я = -647,649 при т=1. Длинные спиральные волны Упругие свойства цилиндрической оболочки являются причиной возникновения длинных спираль- ных волн. Покажем, что они локализуются в пограничном слое вблизи поверхности цилиндра. Главный член асимптотики окружной компоненты скорости (коэффициент при ек) вектора У2 в (3) представим в виде Wвl = ^г) ехр(/ ^ - пГ )). (9) Для определения функции О(г) и параметра кс применяем метод пограничного слоя, разложив О и к в асимптотические ряды G = ад + ^ед + ,,, (^0) кс = К0 +£у кс1 + где 5 = (1 - г)/. Отметим, что вне пограничного слоя функции G0 ,G1 исчезают. Для определения О0, 01, кс0, кс1 получаем краевые задачи, из которых следует О0 = ехр((/ - 1)5 л/п/2), k 1 + 4 (1+i) a p + L (1 + 20) h P0 У г^Ъпкр )\ а р Итак, волны (9) локализуются вблизи оболочки в тонком пограничном слое толщиной порядка 0(£у), движутся со скоростью, имеющей порядок скорости длинных продольных волн [1, 8]. Их свойства полностью определяются упругими свойствами оболочки. Выводы В работе построены асимптотические разложения спиральных течений в стационарном потоке жидкости в круговом цилиндре, который ограничен тонкой упругой изотропной оболочкой. Рассчитанные течения жидкости могут моделировать спиральные течения и спиральные волны в крупных кровеносных сосудах человека и животных. Волны конечной длины заполняют все поперечное сечение цилиндра. Свойства этих волн слабо зависят от упругих свойств оболочки. Часть мод этих волн локализована в критическом слое вблизи оси сосуда. Механизмом переноса спиральных волн конечной длины является стационарное течение, причем с ростом скорости стационарного потока уменьшаются волновые числа и декременты затухания волн. Длинные спиральные волны локализованы в тонком пограничном слое вблизи поверхности цилиндра. Свойства этих волн полностью определяются упругими свойствами цилиндрической оболочки и вязкостью жидкости. Авторы выражают благодарность профессору Ю.А. Устинову за полезное обсуждение работы. Литература 1. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов. М., 1983. 400 с. 2. Кикнадзе Г.И., Олейников В.Г., Гачечиладзе И.А., Городков А.Ю., Доброва Н.Б., Бакей Ш., Бара Ж.-Л. О структуре потока в левом желудочке сердца и аорте с применением точных решений нестационарных уравнений гидродинамики и морфометрических исследований // Докл. АН. 1996. Т. 351, № 1. С. 119. 3. Багаев С.Н., Захаров В.А., Орлов В.А. О необходимости винтового движения крови // Рос. журн. биомеханики. 2002. Т. 6, № 4. С. 30. 4. Устинов Ю.А. Модель винтового пульсового движения крови в артериальных сосудах // Докл. РАН. 2004. Т. 398, № 3. С. 71. 5. Устинов Ю.А. Некоторые задачи для тел с винтовой анизотропией // Успехи механики. 2003. Т. 2, № 4. С. 37. 6. Богаченко С.Е., Устинов Ю.А. Модель движения крови в артериальном сосуде во время систолы и анализ Поступила в редакцию напряженного состояния стенки с учетом винтовой анизотропии // Рос. журн. биомеханики. 2009. Т. 13, № 1. С. 29. 7. Кизилова Н.Н. Винтовые движения жидкости в трубках: обзор экспериментальных и теоретических результатов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2009. Спецвыпуск. Актуальные проблемы механики. С. 76. 8. Громека И.С. Собрание сочинений. М., 1952. 296 с. 20 марта 2012 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/rasseyanie-neravnovesnyh-netermalizovannyh-nositeley-zaryada-na-akusticheskih-kolebaniyah-v-kristallah-bez-tsentra-simmetrii-s

Учитывая, что энергия неравновесных нетермализованных электронов слабо зависит от температуры, показано, что при рассеянии на акустических колебаниях подвижность неравновесных электронов, ответственных за фотогальванический эффект, ~ Т ^-1, -3/2 в отличие от подвижности равновесных Т .

УДК 538.935 РАССЕЯНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ НЕТЕРМАЛИЗОВАННЫХ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА НА АКУСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ В КРИСТАЛЛАХ БЕЗ ЦЕНТРА СИММЕТРИИ С КУБИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ © 2007 г. Р.М. Магомадов Taking into account that energi of nonequilibrium electrons depends on temperature slightli , it is shown that under dispersion on acoustic vibra-tions,mobility of nonequilibrium electrons which are responsible for photovoktaik effekt is proportionate to T-1 in contrast to mobility of equilibrium onts is proportionate to T-3/2. Взаимодействие как электрона, так и дырки с колебаниями решетки кристалла может происходить двояко: 1. носитель заряда передает часть своей энергии решетке, а колебание с частотой увеличивает свое число на единицу. В результате рассеяния носителя заряда на колебаниях решетки образуется фонон с энергией и квазиимпульсом Q = ^ , где Q - импульс, приобретенный решеткой (число фононов возрастает на единицу); 2. энергия носителя заряда при взаимодействии с решеткой кристалла увеличивается, квантовое число определенного нормального колебания с частотой уменьшается на единицу. При таком процессе исчезает фонон с энергией и квазиимпульсом Q = йq и число фононов уменьшается на единицу. В любом из этих процессов электрон сталкивается с фононом и обменивается с ним энергией и квазиимпульсом. Такие процессы рассеяния носителей заряда в кристаллах называются однофононными. В кристаллах возможны процессы рассеяния носителей заряда, в которых происходит поглощение или испускание более одного фонона, но их вероятность мала. Рассмотрим процесс рассеяния электронов на колебаниях решетки. Предположим, что электрон до столкновения с фононом имел волновой вектор к и энергию Е(к), а после столкновения его волновой вектор стал к' и энергия Е(к'). Энергия фонона, который испускается или поглощается в этом процессе, пусть равна юф а волновой вектор q. При взаимодействии электрона с фононом должен выполняться закон сохранения энергии и квазиимпульса. При поглощении фонона электроном они запишутся следующим образом: Е(к ) = Е(к) + й^; (1) к' = к + q, (2) и число фононов при этом уменьшается на единицу. При испускании фонона электроном Е(к ') = Е(к)- й^; (3) k '= k - q, (4) и число фононов увеличивается на единицу. Рассеяние носителей заряда может быть упругим и неупругим. Вид рассеяния определяется значением от- носительного изменения энергии 8 электрона за одно столкновение 8= Е'- ЕЕ = ДЕ/Е или за единицу времени А = ДЕ/т = Е • 8/т . В случае изотропного и упругого рассеяния 8 << 1, и в этом случае среднее время рассеяния т имеет смысл времени релаксации системы по импульсу, а т Е = т / 8 -времени релаксации по энергии. Наиболее простой для проведения расчетов процесс рассеяния электронов - это рассеяние электронов в атомном полупроводнике кубической структуры (рис. 1). Предположим, что зона проводимости рассматриваемого кристалла простая, и энергия электрона в зоне проводимости равна: Е = й2к2/2ш* . (5) В кубических кристаллах изменение объема кристалла происходит только при прохождении продольных волн, которые являются волнами сжатия и растяжения, так как поперечные волны в твердом теле представляют собой волны деформации сдвига. Сжатие кристалла, сопровождающееся уменьшением постоянной решетки а, приводит к смещению нижнего края зоны проводимости вверх, а верхнего края валентной зоны -вниз (рис. 1). В результате ширина запрещенной зоны увеличивается. При растяжении, приводящем к увеличению постоянной решетки а, ширина запрещенной зоны уменьшается. Таким образом, в атомном полупроводнике кубической структуры локальная деформация, создаваемая продольной акустической волной, приводит к волнообразному изменению дна зоны проводимости и потолка валентной зоны (рис. 2). Поэтому движущийся в зоне проводимости электрон или дырка в валентной зоне, сталкиваясь с волной смещения, обусловленной тепловыми колебаниями решетки, будут рассеиваться на продольных колебаниях. Можно показать, что это рассеяние упругое и происходит на длинноволновых колебаниях Закон сохранения энергии с учетом выражений (1)-(4) и (5) запишется в виде: й2 • к'2 = й2(к + q)2 = й2к2 2m 2m 2m Из выражения (6) получаем: ■ ± Йю„ (6) q2 ± 2kq + 2m*h- ®q = 0 (7) где 9 - угол между направлениями векторов к и д (рис. 3) при рассеянии на тепловых колебаниях решет- ки. E np ns 0 а r Запрещенная зона Еи Рис. 2. Изменение энергии для дна зоны проводимости и потолка валентной зоны атомного полупроводника кубической структуры под воздействием продольных акустических колебаний решетки k k q k Рис. 3. Изменение вектора электрона при рассеянии на тепловых колебаниях решетки В выражении (7) знак плюс относится к поглощению, а минус - к испусканию фонона. Предположим, что носители заряда взаимодействуют только с длинноволновыми акустическими фононами, тогда ЮЧ = узв ' Ч, где узв. - скорость распространения продольной звуковой волны. Учитывая это и решая уравнение (7), получим Ч = +2к сс^ 9± 2ш*у звк-1. (8) Средняя энергия ^Е> равновесных электронов равна <Е> = кТ = к 2к2 (2ш* )-1. (9) Из выражения (9) найдем к = к-1-/2ш*кТ . (10) Оценим второе слагаемое по сравнению с первым в (8), разделив его на (10). 2 'зв/ _ = __kp hk V 2kT \ T Если принять vзв = 3 -103м/с = А , ГДе Tkp = m * v 2в/2k 1 ■ да*=10-30 кг, k =1,38Ч0- Рис. 1. Энергетическая схема атомного полупроводника кубической структуры. а - постоянная решетки в отсутствии деформации Ес Дж/К, то получаем Ткр =1 К. При температурах, намного превышающих 1 К, вторым слагаемым в (8) можно пренебречь по сравнению с первым и записать для волнового вектора q фонона q = +2к cos 9 . Значение волнового вектора k зависит от 9 и может принимать значения от q ^=0 до q max=2k, т.е. в среднем меняться на k. При температуре кристалла T=300 K значение волнового вектора электрона k=109 м-1 и волновой вектор q может принимать значения от 0 до 24 09 м-1, что соответствует изменению энергии фонона от 0 до hroq = hv m.q = hv зв k = 3,16-10-22 Дж = 2-10-3 эВ. При комнатной температуре энергия электронов Е = h2k2 (2m*)-1 = 5,5 -10-21 Дж = 3,5 -10-2эВ, тогда отношение энергии фонона к энергии равновесного электрона равно hroqE-1 = 6 -10-2 << 1. (11) Так как энергия фононов значительно меньше энергии электронов, в (6) можно не учитывать энергию фо-нона, и законы сохранения энергии и квазиимпульса принимают вид Е' = Е,к' = к. Из (11) следует, что рассеяние равновесных электронов на длинноволновых акустических фононах упругое. Значение волнового вектора q0, соответствующего самым коротким акустическим фононам, по теории Де- б i 6п2 бая, равно q0 = I- I a значение q max =109 волнового вектора фонона, возникающего или исчезающего при рассеянии равновесных электронов, на акустических фононах значительно меньше q0, следовательно, рассеяние происходит на длинноволновых фононах с поглощением или излучением фонона с q = k. Таким образом, рассеяние равновесных электронов в атомных кристаллах кубической структуры происходит 1011 м 1 [1]. Максимальное на длинноволновых продольных акустических колебаниях решетки и оно упругое. При низких температурах, т.е. при температурах близких к Ткр =1 К, когда энергия равновесных электронов Е сравнима с энергией продольных акустических колебаний, энергией фонона в (6) нельзя пренебречь. В этом случае столкновение электрона с фононом будет неупругим. При энергии электрона Е >> Й т.е. Т >> Ткр., выражение для расчета среднего времени рассеяния равновесных электронов, рассеянных на длинноволновых продольных акустических колебаниях, имеет вид (т а) = 3Й4 Сп(4-ЛЛ(тП ^С^а^ВД12)-1, где С11 - модуль упругости кристалла; т^ - эффектная масса равновесных электронов; N - концентрация атомов основного вещества; а - параметр решетки; С - постоянная, имеющая размерность энергии и характеризующая интенсивность взаимодействия электронов с акустическими колебаниями решетки; Е - энергия равновесных электронов, ее можно считать равной кТ . Тогда подвижность равновесных электронов можно рассчитать по формуле (ц п) А = 1(т :)-1( т а), (12) где е - заряд электрона. С учетом констант и величин, характеризующих кристалл, выражение (12) можно переписать в виде А - 3/ — С,,Т /2 С2 где А - постоянная, зависящая от характеристик кристалла и эффективной массы носителей заряда. При изучении рассеяния на акустических колебаниях неравновесных нетермализованных носителей заряда, ответственных за фотогальванический эффект в средах без центра симметрии, нужно учесть, что их энергия значительно больше энергии равновесных носителей заряда кТ при данной температуре [2], поэтому их называют нетермализованными. Энергия неравновесных нетермализованных носителей Ен #(Т) и Ен >>кТ при низких и при высоких температурах, тогда Ен заведомо больше энергии к продольных акустических колебаний, и их столкновение с фононами будет упругим. Если учесть, что в кристаллах тензор эффективной массы определяется симметрией структуры кристалла и величиной кристаллического, то можно предположить, что в данном кристалле без центра симметрии эффективная масса равновесных и неравновесных нетермализованных носителей заряда одинаковы. Из этого следует, что среднее время релаксации неравновесных нетермализованных электронов можно рассчитать по формуле (11), заменив в ней энергию равновесных электронов Е на Ен, С на Сн. (т аф)А = 3П4 С11 ( 4л/2Л(тП )^С н 2Ка3(кТ)В н У2 С учетом констант, характеризующих кристалл, и учитывая, что Ен =сошз1, выражение для расчета под- (МА =—С11г (13) вижности неравновесных нетермализованных носителей заряда в кубических кристаллах примет вид <ц Нф > А = в(сн 2 )-1 С иТ-1, (14) где В - постоянная величина, зависящая от характеристик кристалла, эффективной массы и энергии неравновесных нетермализованных носителей заряда Ен,,; С11 - модуль упругости кристалла; С н- константа, характеризующая интенсивность взаимодействия неравновесных нетермализованных носителей заряда с фононами. Из сравнения (13) и (14) видно, что температурная зависимость подвижностей равновесных и неравновесных нетермализованных электронов при рассеянии на продольных акустических колебаниях кубической решетки разная. Расчет значений подвижностей равновесных и неравновесных нетермализованных электронов при рассеянии на продольных акустических колебаниях проведен для кубического кристалла ZnS. Для кубического ZnS: т = 0,39т0, а = 5,41-10-10 м [3]. Концентрация атомов основного вещества N = -Пр, где п - число а атомов, приходящихся на элементарную ячейку кубического кристалла, для ZnS п=8 [2]; а - параметр элементарной ячейки ZnS. Следовательно, (№а3) = п=8, тогда А = 19,176 • 10-47 нм6 (к)32 (Вс)-1. Расчет для равновес- С -19 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. ных электронов постоянной ^ дает С = 6,3 • 10 Дж , а _ ^ ^ч /Т/г 1 38 ТТ™ с - 39,66-I0 дж . с учетом этого выражение (13) для кубического ZnS принимает вид (цп)А = 4,84 • 10-10СПТ - 32 Изучение рассеяния фотонов с энергией ^у = 4,5 • 10-19 Дж на неравновесных нетермализованных осителях заряда в кубическом ZnS, показало, что это рассеяние упругое и их энергия по крайней мере порядка 4,5-10-19Дж [4]. Если предположить, что энергия неравновесных нетермализованных носителей заряда ЕН = 4,5 • 10—19 Дж в кубическом ZnS, то при изменении температуры кристалла от 100 до 600 К тепловым вкладом в энергию Ен можно пренебречь, так как даже при Т = 600 К ЕН = 4,5•Ю-19Дж >>кТ = —21 = 7,28 -Ш Дж . Надо отметить, что рассматриваемый интервал температур значительно больше интервала, в котором исследовалась температурная зависимость фотогальванического тока в ZпS [5]. С учетом вышеизложенного, энергию ЕН = 4,5 •Ю—19 Дж неравновесных нетермализованных носителей заряда можно считать постоянной величиной в кристаллах ZпS без центра симметрии с кубической структурой. Если предположить, что Сн = С = 6,3 • 10—19 Дж, а эффективная масса равна эффективной массе равновесных электронов, то выражение (14) для подвижности неравновесных нетермализованных электронов в кубическом ZпS примет вид (пф )д = 2,66 ' 10 11С11Т 1. Предполагая, что эффективные массы равновесных и неравновесных нетерма-лизованных электронов одинаковы, а температурной зависимостью эффективной массы электронов можно пренебречь в рассматриваемом интервале температур, были рассчитаны величины подвижностей равновесных и неравновесных нетермализованных электронов при различных температура для кубического ZnS. При проведении расчетов учитывалась температурная зависи- С„ мость модуля упругости кристалла " , в нашем случае Сц (ц пф )А, см 2/В (Мп)а,см2/вс 300 200 модуля упругости Си, 1010 (рис. 4) [3]. 10,5 10 9,5 100 1 « 0 100 200 300 400 500 300 200 100 100 200 300 400 500 Т, Рис. 4. Температурная зависимость модуля упругости С11 кубического ZnS При расчете величины подвижности для неравновесных нетермализованных носителей заряда предполагалось, что постоянная Сн, характеризующая интенсивность взаимодействия носителей заряда с продольными акустическими колебаниями такая же, как и у равновесных носителей заряда. Это предположение сделано из-за невозможности оценки этой величи-ны для неравновесных нетермализованных носителей заряда. Надо отметить, что это допущение не влияет на температурную зависимость подвижности неравновесных нетермализо-ванных носителей заряда, но влияет на величину подвижности [5]. Графики температурной зависимости подвижности равновесных и неравновесных нетермали-зованных электронов, рассеянных на акустических фононах в кубическом ZnS, построенные по расчетным значениям, приведены на рис. 5. Рис. 5. Температурная зависимость подвижности равновесных (1) и неравновесных нетермализованных электронов (2) при рассеянии на продольных акустических колебаниях в кубическом ZnS К Из графиков видно, что величина подвижности и характер их температурной зависимости разные в кубическом ZnS для равновесных (рис. 5, кривая 1) и неравновесных нетермализованных электронов (рис. 5, кривая 2). Различный характер температурной зависимости подвижностей этих носителей обусловлен тем, что энергия равновесных электронов определяется температурой кристалла, а энергия неравновесных нетермали-зованных электронов - константой, характеризующей асимметрию кристалла, и не зависит от температуры кристалла вдали от фазового перехода кристалла из асимметричного в симметричное состояние. Литература 1. Шалимова К.В. Физика полупроводников. М., 1976. 2. Стурман Б.М., Фридкин В.М. Фотогальванический эффект в средах без центра симметрии и родственные явления. М., 1992. 3. Шаскольская М.П. Акустические кристаллы. М., 1982. 4. Магомадов Р.М. // Опто-, наноэлектроника, нанотех-нологии и микросистемы: Тр. V Междунар. конф. Ульяновск, 2005. 5. Фридкин В.М., Магомадов Р.М. // ФТТ. 1989. Т. 26. № 11. С. 34-49. Ингушский государственный университет, г. Магас 13 ноября 2006 г. 0

https://cyberleninka.ru/article/n/elektricheskaya-struktura-nestatsionarnogo-prizemnogo-sloya-v-priblizhenii-klassicheskogo-elektrodnogo-effekta

Рассмотрена постановка задачи об электрическом состоянии нестационарного приземного слоя в приближении классического электродного эффекта. Приведены значения напряженности электрического поля, концентраций положительных и отрицательных ионов, полученные в ходе численных экспериментов. Исследовано влияние различных параметров на характеристики электродного слоя. Исследован знак объемного заряда вблизи поверхности земли в зависимости от степени ионизации воздуха и электрического поля.

3. Butter K.H. Fluorescent Lamp Phosphors. London, 1980. 4. Родный П.А., Мишин А.Н., Потапов А.С. // Опт. и спектр. 2002. Т. 93. Вып. 5. С. 776-783. 5. Фабрикант В.А. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1954. Т. 9. С. 515-518. 6. Leven G.S., Glynn T.J, Yen W.M. // J. Lumines. 1984. Vol. 31-32. P. 245-247. 7. Weber M.J. // Sol. St. Commun. 1973. Vol. 12. P. 741-744. 8. ЕНазL.R. etal. // Phys. Rev. B. 1973. Vol. 8. P. 4989-4995. 9. Inorganic crystal structure database. Gmelin-Institut für Anorganische Chemie & FIC Karlsruhe. 1996. 10. Блатов В.А. Шевченко А.П., Сережкин В.Н. // Журн. структур. химии. 1993. Т. 34. № 5. С. 183. 11. Сережкин В.Н., Михайлов Ю.Н., Буслаев Ю.А. // Журн. неорган. химии. 1997. Т. 42. № 12. С. 2036. 12. Блатов В.А., Полькин В.А., Сережкин В.Н. // Кристаллография. 1994. Т. 39. № 3. С. 457. 13. Родный П.А. // Опт. и спектр. 2000. Т. 89. Вып. 4. С. 609-616. Кубанский государственный университет 16 марта 2005 г. УДК 551.594 ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА НЕСТАЦИОНАРНОГО ПРИЗЕМНОГО СЛОЯ В ПРИБЛИЖЕНИИ КЛАССИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРОДНОГО ЭФФЕКТА © 2005 г. Г.В. Куповых, А.Г. Марченко, В.Н. Морозов Statement of a problem about an electric condition of a non-stationary surface layer in approach of classical electrode effect is considered. Values of intensity of an electric field, concentration of positive and negative ions received are resulted during numerical experiments. Influence of various parameters on characteristics of an electrode layer is investigated depending on a degree of ionization of air and an electric field. Для осуществления мониторинга электрического поля атмосферы на наземной сети общепринятым является часовое или трехчасовое осреднение данных. Это обстоятельство делает правомерным использование стационарных моделей электродного эффекта для описания электрического состояния приземного слоя атмосферы. Для решения ряда специальных задач атмосферного электричества особый интерес представляют нестационарные процессы в приземном слое атмосферы, временной масштаб которых значительно меньше времени осреднения. Статистические методы обработки экспериментальных данных требуют длительных рядов наблюдений и не дают прямых ответов о механизме формирования электри- ческих структур в приземном слое. В связи с этим необходимо развитие теоретических представлений о нестационарных электрических и метеорологических процессах в нижних слоях атмосферы и их взаимодействии с верхней атмосферой. Рассмотрим задачу о нахождении распределений концентраций положительных (П1), отрицательных («2) аэроионов и напряженности электрического поля (Е) в приземном слое атмосферы и эволюции его электрической структуры во времени в приближении классического электродного эффекта, когда пространственно-временное распределение аэроионов в приземном слое обусловлено только электрическими силами. Исходная система уравнений имеет вид [1] дп1,2 ±Ь 5(Е• «1,2) д( п () дпга ^ — --Г 4-аЩП2; (1) дЕ е , ч — = —(«1 - п2 ) д2 е0 где Ь12 - подвижности положительных и отрицательных ионов; q - интенсивность ионообразования; а - коэффициент рекомбинации аэроионов; е - элементарный заряд; е0 - электрическая постоянная. Начальные условия представлены в виде: а I а П (z) = п2 (z) = 1 - е Lo ; £(z) = Eo, (2) где Е0 - значение напряженности электрического поля у поверхности земли; Ь0 - характерная толщина электродного слоя. Граничные условия: «2 |г=го = Е1 г=о = Ео, «1 |г= = «2 |г= = т/а (3) где I - верхняя граница электродного слоя. Для решения непрерывной задачи (1)-(3) перейдем к дискретной задаче, записанной в явно-неявном виде [2]. Таким образом, на каждом шаге по времени решается последовательно три системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с учетом начальных и граничных условий (2), (3). Положим значения параметров в системе (1) равными Ь1 = 1,2 ■ 10-4 м2В-1с-1, Ь2 = 1,4 ■ 10-4 м2В-1с-1, а = 1,6 ■ 10-12 м3с-1, Е0 = -100 В ■ м-1. Профиль интенсивности ионообразования представим в виде [2] q = ( 7 + q0 • е-г'1*) Л06 м-3с-1, (4) где I* ~ 0,423 м - характерный масштаб распределения радона вблизи поверхности земли [1]. Проведенные численные расчеты показывают, что с течением времени толщина электродного слоя возрастает, при этом на высоте 0,5-1 м значе- ния электродного эффекта меняются в значительной степени. Концентрации положительных и отрицательных аэроионов вблизи поверхности земли изменяются в течение первых 5 мин, а затем становится практически постоянной. Результаты расчетов представлены на рис. 1-2. -12,0 -24,0 -36,0 -48,0 -60,0 -72,0 -84,0 -96,0 -108,0 Рис. 1. Профили концентраций аэроионов п12 и электрического поля Е в момент времени г = 100 с В таблице представлены расчетные значения электрических характеристик на разных высотах вблизи поверхности земли для различных значений времени моделирования. По данным численного эксперимента были проведены расчеты величины плотности тока проводимости на верхней границе электродного слоя согласно выражению № = е(Ь1н1(г) + М2(0)Его (4) где Ем - напряженность электрического поля на верхней границе электродного слоя. Результаты расчетов приведены на рис. 3. Значение плотности электрического тока заметно уменьшается в течение первых 3 мин, а затем становится постоянным. -12,0 -24,0 -36,0 -48,0 -60,0 -72,0 -84,0 -96,0 -108,0 Рис. 2. Профили концентраций аэроионов П1>2 и электрического поля Е в момент времени г = 600 с Расчетные значения электрических характеристик Время моделирования t, c Высоты вблизи поверхности земли 0 4 i00 200 300 400 500 600 Е0Ею i,0 i,04 i,8i 2,ii 2,i9 2,2i 2,22 2,22 ni(0,5)/ni(®) 0,39 0,43 0,87 0,94 0,95 0,95 0,95 0,95 ni(l)/ni(<») 0,63 0,65 0,9i 0,95 0,95 0,95 0,95 0,95 ni(2)/ni(®) 0,86 0,87 0,96 0,98 0,98 0,98 0,98 0,98 И2(0,5)/И2(да) 0,39 0,37 0,i8 0,i8 0,i8 0,i8 0,i8 0,i8 n2(i)/«2(®) 0,63 0,62 0,34 0,36 0,36 0,36 0,36 0,36 И2(2)/и2(<») 0,86 0,86 0,8 0,68 0,69 0,69 0,69 0,69 Ео/Е(0,5) i i,0i i,i6 i,i9 i,i9 i,i9 i,i9 i,i9 £</£(i) i i,02 i,35 i,40 i,4i i,4i i,4i i,4i Ео/Е(2) i i,03 i,65 i,82 i,83 i,83 i,83 i,82 Примечание. «1,2(2) - значения концентраций аэроионов на высоте г; Е„ - значение электрического поля на верхней границе электродного слоя. Рис. 3. Плотность токана верхней границе электродного слоя По данным численного эксперимента рассчитаны также значения плотности электрического заряда на различных высотах от времени (рис. 4): р(х, Г) = е(щ(2, Г) - (п2(2, Г)). (5) Плотность объемного заряда увеличивается в первые 3 мин, а затем практически постоянна. Интенсивность ионообразования определяется выражением, в которое входят два слагаемых. Первое слагаемое определяет постоянную ионизацию атмосферы за счет космических лучей, второе - описывает вклад в интенсивность ионообразования радона и продуктов его распада. Концен- трация радона в атмосфере с высотой убывает, а величина ионизации воздуха определяется параметром д0 в выражении (4). Исследована структура электродного слоя для различных значений параметра ионообразования: д0 = 4,8; 10; 45; 80 см-3с-1. На основании рассмотренных случаев можно сделать вывод, что электродный эффект (Е(г)/Ем) с увеличением д0 уменьшается, а величина электродного слоя при этом увеличивается, плотность положительного объемного заряда уменьшается. При достижении значений д0 > 45 см-3с-1, как и в стационарном электродном эффекте [1], наблюдается возникновение отрицательного объемного заряда вблизи поверхности земли. Рассмотрим влияние значений напряженности электрического поля Е0 на структуру электродного слоя. В условиях «хорошей погоды» напряженность электрического поля может колебаться от нескольких десятков до сотен вольт на метр. В частности, величина электрического поля зависит от орографии местности, особенно в горных районах. Получены решения системы (1) при значениях напряженности электрического поля в диапазоне от -10 до -200 Вм-1. Анализ результатов показывает, что в слабом электрическом поле (IЕ) I < 43 Вм-1), в приземном слое наблюдается отрицательный объемный заряд. При увеличении интенсивности ионообразования линейно увеличивается и значение поля, при котором еще возможно появление отрицательного объемного заряда в классическом электродном слое. Таким образом, проведенные расчеты позволяют сделать вывод о том, что в приближении классического электродного эффекта нестационарность электрических процессов вблизи поверхности земли следует учитывать при исследовании временных явлений масштабом порядка нескольких десятков минут. Работа проведена при поддержке Американского фонда гражданских исследований и развития, проект КЕС-004. Литература 1. Куповых Г.В., В.Н. Морозов, Шварц Я.М. Теория электродного эффекта в атмосфере. Таганрог, 1998. 2. Клово А.Г., Куповых, Г.В., Марченко А.Г., Морозов В.Н., Сухинов А.И. // Сб. науч. тр. 10-й междунар. конф. «Математические модели физических процессов». Таганрог, 2004. С. 127-132. Таганрогский государственный радиотехнический университет 21 марта 2005 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/fraktalnaya-razmernost-kak-termodinamicheskiy-parametr

На основе феноменологических рассуждений установлена связь между модулем параметра порядка теории Ландау и фрактальной размерностью перколирующей сети в окрестности точки Кюри. Показано, что обычное описание и фрактальное описание структуры низкосимметричной фазы взаимодополнительны и демонстрируют своеобразный дуализм свойств упорядоченной фазы.The fractal properties of the ordered phases in a vicinity of the Curie point are analyzed. The dependence df = df (η) is determined, where df is the fractal dimension, η the module of the order-parameter.

ФИЗИКА УДК 538.22 ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ КАК ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЙ ПАРАМЕТР © 2006 г. Х.Ш. Борлаков, П.А. Кочкарова The fractal properties of the ordered phases in a vicinity of the Curie point are analyzed. The dependence df = df (n) is determined, where df - is the fractal dimension, 77- the module of the order-parameter. В физике фазовых переходов давно используются понятия и методы теории перколяции [1]. Перколирующие системы обладают фрактальными свойствами - являются однородными фракталами [2]. В последнее время А.В. Миловановым доказана так называемая теорема суперуниверсальности [3, 4] теории перколяции в размерностях объемлющего пространства 1 < n < 6. Он обнаружил, что на пороге перколяции значение так называемой спектральной фрактальной размерности ds равно одному и тому же числу C и 1,327 (константа Милованова) для любых перколирующих систем, помещенных в евклидово пространство с указанными выше размерностями. Для размерностей n > 5 теорема о суперуниверсальности была доказана еще раньше Александером и Орбахом [5] на основе приближения среднего поля, причем для этих размерностей с = 4 Таким образом, в 3 окрестности геометрического фазового перехода в перколирующей системе величина 4 = ds - C весьма мала, а в точке перехода обращается в нуль. Но именно таким поведением обладает модуль параметра порядка п в термодинамической теории Ландау. Следовательно, если отождествить фазовый переход в кристалле с геометрическим фазовым переходом в духе теории перколяции, то между П и 4 должна существовать функциональная связь. Феноменологической разработке этой идеи и посвящена данная работа. Фазообразование в кристалле можно рассматривать как процесс флук-туационного возникновения ячеек новой фазы в недрах старой. При этом по мере приближения к точке Кюри доля ячеек новой фазы увеличивается и в точке Кюри достигает критического значения. Считая ячейку новой фазы «проводящей», а точно такую же ячейку с иными свойствами «непроводящей», мы сводим задачу о фазовом переходе в точке Кюри к задаче узлов теории перколяции [6, 7]. Итак, если отождествить фазовый переход в кристалле с геометрическим фазовым переходом в духе теории перколяции, то очевидно, что вблизи точки Кюри существует регулярная зависимость |П| = n = f (4), причем f (0) = 0. Ограничиваясь первым неис- чезающим членов разложения этой функции в ряд, мы имеем = -С = ЯП, где Я = ,'(0). Так как в теории Ландау ц2 ~ Тс - Т, ясно, что и ~ Тс - Т. Чтобы определить зависимость флуктуаций спектральной размерности от термодинамических переменных, представим параметр порядка в виде суммы термодинамической средней и флуктуационной составляющей п = П + Дп Очевидно, что = Дё* = ЯАц. Возводя это соотношение в квадрат, имеем (Дё)2 = Я2(Дп)2 (1) Из теории фазовых переходов хорошо известно, что флуктуации параметра порядка имеют в точке фазового перехода особенность ч2 (Тс - Т)-1. Следовательно, флуктуации спектральной фракталь- (И)2)' ной размерности имеют ту же особенность. Хаусдорфова (фрактальная) размерность перколирующей сети связана со спектральной соотношением 2ё, = ё*(2 + 6), где 9 - индекс связности фрактала. Индекс связности в нашем случае может быть положительной величиной, не превышающей единицы даже с учетом флуктуаций [3, 4]. Таким образом, имеем (Дёу)2 = (Дё*)2. Для температурной зависимости фрактальной размерности вблизи точки Кюри получается следующая простая формула: ё, =(А^Т~-Т + С ))1 + 6 (2) где 9 следует считать равным его значению в точке Кюри; А - положительная константа. Интересно сравнить температурную зависимость фрактальной размерности (2) с зависимостью, предложенной в [8]. В [8] была определена формула для топологической энтропии перколяционной сети Б, =1 - -к (3) аГ Дифференцируя (3) по температуре, получаем dSf 1 ddf (4) Следовательно, в силу того, что энтропия возрастает с ростом температуры, должна возрастать и величина фрактальной размерности. Между тем, согласно (2), фрактальная размерность растет при убывании температуры (при 9 = const), в противоположность (4). На самом деле индекс связности также является убывающей функцией температуры. Нам представляется, что формула для топологической энтропии имеет ограниченную область применимости, и рассуждения о температурной зависимости фрактальной размерности на основе этой формулы уступают в своей общности рассуждениям на основе статистической термодинамики. Таким образом, мы видим, что фрактальная размерность является термодинамическим параметром, вполне равноправным с величиной пара- метра порядка. Использование фрактального языка и обычной терминологии теории фазовых переходов отражает своеобразный дуализм в описании свойств упорядоченной фазы. Литература 1. Чабан И.А. // ФТТ. 1978. Т. 20. Вып. 5. С. 1497-1504. 2. СоколовИ.М. // УФН. 1986. Т. 150. Вып. 2. С. 221-255. 3. Милованов А.В. Фрактальная топология и дробная кинетика в проблемах теории турбулентности. Автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. М., 2003. 4. Зеленый Л.М., Милованов А.В. // УФН. 2004. Т. 174. Вып. 8. С. 809-852. 5. Alexander S., Orbach R.L. // J. de Physique Lettres (France). 1982. Vol. 43. P. 625. 6. Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: теория, приложения, алгоритмы. М., 2002. 7. Борлаков Х.Ш., Кочкарова П.А., Каитова П.С. // Препринт № 152Т. САО РАН. Н. Архыз, 2005. С. 13-16. 8. Milovanov A.V., Rasmussen J.J. // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 66. P. 1-11. Карачаево- Черкесская государственная технологическая академия 15 марта 2006 г. УДК 589.2 КВАНТОВО-СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПРОЦЕССА ЭПИТАКСИАЛЬНОГО ВЫРАЩИВАНИЯ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПЛЁНОК © 2006 г. В.И. Лебедев, В.В. Мизина, А.А. Баранник, О.В. Слуцкая The new quantum-statistical approach to the description of thin films formation kinetics is developed. A films formation process is considered as a result of gas or liquid phase epitaxy on a crystal substrate as an original Bose-condensation. Spinodals and phase diagrams of film structures origin at various intensity of nuclear interactions in films and with a substrate are received. Развитие тонкоплёночных технологий привело к прогрессу в микро- и оптоэлектронике, определяющему лицо современной информационной цивилизации. При выращивании плёнок со сложным составом и структурой приходится (в отсутствии общепризнанных теоретических моделей) экспериментально подбирать как материал и структуру подложек, так и технологические параметры процесса эпитаксии [1, 2]. Возникает проблема фундаментального подхода к построению моделей кинетики фазовых переходов первого рода в двухфазных системах, свободных от неконтролируемого использования, неприменимых к наноструктурам, размером ~ 10 нм макроскопических характеристик. Необходима разработка новых квантово-статистических подходов к описанию кинетики образования тонких плёнок, исследованию возможных фаз и структурных фазовых переходов, а также свойств метастабильных фаз, позволяющих описать процессы кластерообразования [3].

https://cyberleninka.ru/article/n/potok-chastits-sverhvysokih-energii-i-potok-ochen-nizkochastotnyh-signalov-v-prizemnom-sloe

Рассмотрены экспериментально полученные результаты по потоку очень низкочастотного (ОНЧ) радиоизлучения. Проведено математическое моделирование потока атмосфериков, генерируемых широкими атмосферными ливнями. В математическую модель был заложен первичный энергетический спектр с показателем у = 2,0. Исследована связь потока первичных частиц с потоком очень низкочастотных (ОНЧ) радиоимпульсов. По полученным результатам по потоку ОНЧ сигналов идентифицирован первичный спектр космических лучей в диапазоне 3-1018p 3-1019 эВ.

УДК 537.591 ПОТОК ЧАСТИЦ СВЕРХВЫСОКИХ ЭНЕРГИИ И ПОТОК ОЧЕНЬ НИЗКОЧАСТОТНЫХ СИГНАЛОВ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ © 2008 г. В. Ф. Сокуров Таганрогский государственный педагогический институт 347936, г. Таганрог, ул. Инициативная, 48, cosvicrays2008@yandex. ru Taganrog State Pedagogical Institute, 347936, Taganrog,Iniciativnaya, St., 48, cosvicrays2008@yandex. ru Рассмотрены экспериментально полученные результаты по потоку очень низкочастотного (ОНЧ) радиоизлучения. Проведено математическое моделирование потока атмосфериков, генерируемых широкими атмосферными ливнями. В математическую модель был заложен первичный энергетический спектр с показателем у = 2,0. Исследована связь потока первичных частиц с потоком очень низкочастотных (ОНЧ) радиоимпульсов. По полученным результатам по потоку ОНЧ сигналов идентифицирован первичный спектр космических лучей в диапазоне 3-1018 — 3-1019 эВ. Ключевые слова: математическое моделирование, поток, широкие атмосферные ливни, энергетический спектр, радиоимпульсы, очень низкочастотных (ОНЧ) радиоизлучение, атмосферный слой, сверхвысокие энергии. In work experimentally received results on a stream very much low frequency (VLF) radio emissions are considered. By the received results on stream ОНЧ of signals the primary spectrum of space beams in a range 31018 — 31019 эВ is identified. Keywords: Mathematical modelling, stream, wide atmospheric downpours, a power spectrum, radio impulses, very much low frequency (VLF) a radio emission, Atmospheric a layer, ultrahigh energy. Весьма важной проблемой в физике Земли является исследование радиационных процессов в атмосфере, возникающих при взаимодействии частиц сверхвысоких энергий с ядрами атмосферы, в результате которых развиваются потоки вторичных излучений. Результатом взаимодействия первичных частиц с ядрами атмосферы являются такие потоки вторичных излучений, как ядерно-активная лавина (поток нуклонов и мезонов), электромагнитная лавина (поток электронов и позитронов), сопутствующие этому процессу потоки черенковского излучения, ионизационного, рентгеновского, у-, радиоизлучения в различных диапазонах. В настоящее время все больше внимания исследователей привлекает очень низкочастотный диапазон радиоизлучения (ОНЧ электромагнитные колебания в диапазоне единиц килогерц). Это связано с тем, что комплекс Земля - ионосфера представляет собой прекрасный сферический волновод, в котором с очень малым затуханием распространяются КНЧ - ОНЧ радиоволны, которые можно принимать на очень больших расстояниях от источника излучения. При проведении эксперимента [1] РШФ измерялся на восьми частотных каналах в диапазоне 0,5 - 10,0 КГц с полосой каналов 0,05 - 0,5 КГц на каждом канале. Дискретные же сигналы измерялись в этом же частотном диапазоне с полосой 9,5 КГц. Были выбраны по пять магнитоспокойных суток и усреднены часовые значения измерений. Для каждого месяца измерений были получены облака точек. Далее был проведен статистический анализ полученных данных. Проведенный методом наименьших квадратов анализ показал, что полученная зависимость наилучшим образом аппроксимируется степенной функцией вида: I(A > A0) = I0\A -r где Iо,I - пороговое и искомое значения интенсивно-стей потока; Ао, А - пороговое и заданное значения амплитуд. Показатель у для соответствующих сезонов имеет следующие значения: июль - у = 1,84 + 0,05; сентябрь -у = 1,94 + 0,08; декабрь - у = 2,00 + 0,07. Сезонный ход значений показателя у согласуется с [1]. При существующем положении дел эту задачу можно решить с помощью моделирования. При прохождении лавины ШАЛ через атмосферу Земли релятивистские частицы ионизируют атомы воздуха. В результате этого на 1 см пути каждой релятивистской частицы рождается около 100 электрон-позитронных пар [119]. Возникает столб ионизации. Электронный компонент этого столба довольно быстро рекомбинирует, так как время жизни рожденного электрона - порядка 10-7 с. Ионный компонент значи- тельно более долгоживущ и рассасывается в течение единиц секунд. Существующее в атмосфере Земли вертикальное электрическое поле создает электрический ток в столбе ионизации за счет ускорения ионов. На величину плотности этого тока влияет длина пробега ионов и их скорость, которая в свою очередь зависит от приложенного потенциала. Плотность тока в ионизационном столбе опреде- ляется по формуле: j = e 2 En 2M t, где е - заряд электро- J xdx r Таким образом, эффективный ток в плазме для ливней с Е0 = 10 эВ: IЭ = js Э = e Ent 2M s где Е = 1,5 10 В - потенциал для 0,5 < к < 2,0 км; ( = 102 с; =лт2э ; М - масса иона кислорода; е - заряд электрона. Плазменный шнур с током представляет из себя вертикальный диполь, излучающий электромагнитную энергию, оценку напряженности поля можно получить из классических уравнений [4]. Полученная зависимость напряженности электрического поля волны от расстояния от источника (рис. 1) в сравнении с оценками авторов работы [5] для ливней с Е0 = 1020 эВ показывает хорошее согласование рассмотренного механизма с экспериментальными данными [5]. 1,00 Е+00 1,00Е+01 1,00Е+02 1,00 Е+03 1,00Е+04 1,00Е+05 1,00Е-0,1 - на; Е - потенциал, приложенный к ионному столбу; М - масса иона; n - концентрация плазмы в столбе ионизации; t - время жизни столба. Концентрация плазмы в столбе ионизации определяется пространственным распределением частиц ШАЛ: r 1 (1 + x)1-b n = IJ f (x, t,0)dx, где f (x, t,0) =--)-x 0 2яг02 ^ + x xN(Eo,t,0) - функция пространственного распределения (ФПР) частиц ШАЛ [2]; I = 80 см11[3] - коэффициент линейной ионизации; lgN (E0, t,0) = = lgp600 + 4,44 - lg(b - 2) + 0,98b - полное число частиц на уровне наблюдения [2]; Ь = 3,54 --2,16(1 - cos ©) + 0,15lgp600 - параметр, определяющий r крутизну ФПР [2]; x = — ; r - расстояние от оси ливня; r0 r0 - параметр ФПР; E0 = 4,1 • 1017 р0,96 - энергия первичной частицы [2]; Р600- классификационный параметр, измеряемый на якутской установке ШАЛ [2]. Получим среднюю концентрацию плазмы ионизационного столба ШАЛ с Е0 = 1020 эВ для 0,5 < h < 2,0 км и 0,5 < R < 100,0 м: JJ n( x, t) xdxdt — hr n = - 1,00Е-0,2 . ЕмкВ/м 1 - расчет 2 - Акено 1,00Е-0,3 Рис. 1. Зависимость напряженности вертикальной составляющей электрического поля ОНЧ волны от расстояния от оси ливня Было проведено моделирование потока атмосфе-риков, инициированных ШАЛ. При этом в математическую модель был заложен первичный энергетический спектр ШАЛ с показателем у = 2,0 [3]: I(> Ер) = к 1 м[Г(Ео),Л(/),Б(/, Б),О, где Ео - энергия первичной частицы, генерирующей ШАЛ. При этом в математическую модель необходимо включить функцию распространения ОНЧ-волны в волноводе Земля-ионосфера. Экспериментально измеренные зависимости амплитуды от частоты были преобразованы в зависимости амплитуды от расстояния для различных частот. Были получены гладкие кривые. Гладкие выпуклые кривые хорошо аппроксимируются параметрическим выражением Б(X) = ■ К (Ä + x)1 • (1 + x)b D где К - нормировочный множитель; о =-; В - рас- Б0 стояние от источника; X, Ь, В0 - параметры функции. В математическую модель закладывались следующие функции: Л(/) - амплитудный спектр источника; Б( /, Б) - интегральная функция распространения для данного сезона вида; Ф(/) - аппаратурная функция, включающая в себя полосу пропускания и чувствительность на каждом частотном канале. Схематично программа работает следующим образом: предполагается, что источники расположены равномерно по всей поверхности Земли, и излучение их изотропно. Розыгрыш производится на плоскости в кольце 10 < Б < 2 104 км. На этой площади разыгрывается расстояние от источника и его мощность в трехпоряд-ковом динамическом диапазоне. Далее генерируется D.M амплитудный спектр излучения А(/) в полосе 0,5 -10,0 КГц, интегрируется амплитуда излучения в точке приема с учетом разыгранного расстояния и мощности источника. Интегрирование производится с шагом 0,01 КГц в частотных полосах пропускания для каждого из восьми каналов измерения (из эксперимента). Для каждого канала измерения были получены спектры амплитуд сигналов. Получен амплитудный спектр, согласующийся с экспериментально измеренными. На рис. 2 приведены экспериментальные данные в сравнении с расчетом, выполненным в настоящей работе. lgE, мкВ/м 3-1 < 2 -V 1 - А lg f,i Кгц Рис. 2. Амплитудный спектр. Лето: ▲ - расчет в настоящей работе; ■ - Барроу; ♦ - о. Врангель; х — Тейлор расчет Показано согласие расчета с настоящим экспериментом [6] в диапазоне 4,0 - 8,0 КГц. В диапазоне 0,5 -3,0 КГц результаты расчета имеют промежуточные значения между данными о. Врангеля и Барроу. Вычисляя поток сигналов, интегральный по всем каналам, мы получили относительный вклад числа импульсов на каждом канале в общий интегральный счет за фиксированный промежуток времени. В результате амплитудного отбора разыгранных таким образом атмосфериков получен спектр плотности. Показатель спектра у = 0,75; эта величина согласуется со значением показателя интегрального спектра плотности. Одновременно при отборе амплитуд атмосфериков фиксировалась энергия первичной частицы, породившей данный сигнал. Из интегрального спектра плотности потока атмо-сфериков и первичного энергетического спектра ШАЛ, полученных в результате розыгрыша, можно найти коэффициент связи между напряженностью электрического поля атмосфериков, зарегистрированных в данной точке приема, и энергией космических лучей, породивших их. Коэффициент связи получен в виде зависимости: Е0 = 2,36 • 1017 • E0'71 эВ. 18 Энергетический диапазон установки: 3 10 < Ео < < 3 • 1019 эВ 3 • 1018 < Е0 < 3 • 1019 эВ , а интегральный показатель: у = 2,16 + 0,05. Это согласуется с данными [3], где у = 2,2 для Е > 1018 эВ. На основании интерпретации данных [3, 7] можно оценить вклад потока атмосфериков, генерируемых космическими лучами, в общий поток ОНЧ импульсов - доля ОНЧ-сигналов от космических лучей со-тавляет: = 0,7. Доля сигналов от молниевых разрядов: VIa = 0,3. Литература 1. Огуряев С.Е. Исследование порогового распределения атмосфериков и их связь с процентом занятого времени // Тр. ГГО. 1966. Вып. 183. 2. Васильев И.В. и др. Спектры ШАЛ и первичный энергетический спектр при Е > 1017 уВ по полному массиву данных Якутской установки ШАЛ // Космические лучи с энергией выше 1017>>В . Якутск, 1983. С. 19-29. 3. Charman W.N. Atmospheric Electric Fields as a possible from Extensive Air Showers // Nature. 1967. Vol. 215. P. 497. 4. Марков Г.Т., Петров Б.М. Электродинамика и распространение радиоволн. М., 1979. С. 376. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 5. Suga K., Kakimoto F., Nishi K. Radio Signals from very Large Showers // Proc. 19th ICCR. 1985. Vol. 7. P. 268-271. 6. Сокуров В.Ф. Результаты исследования спектра плотностей черенковского излучения ШАЛ: // Космические лучи с энергией выше 1017 эВ. Якутск, 1983. С. 6176. 7. Гусев А.Н., Сокуров В. Ф., Черныш Г.Н. Плотность потока дискретных сигналов в овале полярных сияний // VII школа-семинар по ОНЧ излучениям. Якутск, 1985. Поступила в редакцию 15 февраля 2008 г. 0

https://cyberleninka.ru/article/n/k-zadacham-izgiba-tsilindricheskih-tel-s-sharnirno-zakreplennoy-bokovoy-poverhnostyu

С помощью метода однородных решений Лурье.Воровича рассматриваются радиально симметричные задачи изгиба цилиндрических тел с шарнирно закрепленной боковой поверхностью. Устанавливаются количественные оценки границ применимости теории Кирхгофа с указанием соответствующих им погрешностей. Исследуется влияние на напряженно-деформированное состояние толщины и типа материала, из которого изготовлено цилиндрическое тело.By means of the Lur'e-Vorovitch's method mixed problem of the theory of elasticity of bending of hingly fixed finite cylinder and cylindrical plate is considered.

УДК 539.3 К ЗАДАЧАМ ИЗГИБА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛ С ШАРНИРНО ЗАКРЕПЛЕННОЙ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ © 2005 г. В.А. Шалдырван, Т.А. Васильев By means of the Lur'e-Vorovitch's method mixed problem of the theory of elasticity of bending of hingly fixed finite cylinder and cylindrical plate is considered. С помощью метода Лурье-Воровича [1, 2] рассматриваются задачи об упругом равновесии короткого цилиндра или круглой плиты, осесимметрично изгибаемых некоторой системой усилий на торцевых плоскостях. Аналогичные смешанные задачи при граничных условиях на боковой поверхности, отличных от поставленных ниже, изучены в [3 - 5]. Проведен численный анализ влияния материала, относительной толщины упругого тела и внешних усилий на характер напряженно-деформированной системы (НДС). Даны оценки погрешности и рамки применимости решений, полученных с использованием теории тонких плит. В цилиндрической системе координат рас- сматривается изотропное тело, занимающее область V = { 0 < г <В,0 <в< 2п,|?| < Н }. Ось ~ совмещена с осью тела и направлена вниз, тильда стоит над размерными величинами. Поверхность дV состоит из двух частей: дV1 шарнирно закреплена, на торцах д^ = ±Н) задана нормальная нагрузка, не изменяющаяся вдоль угловой координаты и приводящая к чистому изгибу. Поставленная задача сводится к решению системы Ламе для осесимметричного случая 1 д 2и д 1Ч ~ , du и ——- + (k +1) — I — + - h dz дг \ дг r к д 2 w h дrдz - = 0, (1) (к +1) д2 w + к д ди + u дг r + д 2 w 2 += 0, 2 r дг И д^ И д2 \дг г) дг2 при следующих граничных условиях на торцах цилиндра: G а zzlz=±1 Gc Y ди и ^ vk +1 vk I —+ — I +-- удг r) h дz ±Q 2GCT (2) G 1 ди д/w . --+—I = 0 h дz дr и на его боковой поверхности G а rrlr=1 G„ . , 1Ч ди (и 1 dw {vk +1)— + vk I — +-- дr I r h дz = 0, (3) Чг, 1)\г=1 = 0. Здесь к = 1/(1 - 2у) , V - коэффициент Пуассона; 5ст - модуль сдвига стали. В записи граничной задачи и дальнейшем изложении используются безразмерные величины г = г/К, г = Гг/Н = ?/М, И = И/К, и = и/Я, Ч = Я, а1} = а1]/7.5ст . Решение граничной задачи (1) - (3) будем искать в виде и(г, 2) = и н + и о, Ч(г, 2) = Ч н + Чо, (4) где верхним индексом н обозначено частное решение системы (1), удовлетворяющее неоднородным граничным условиям на торцах (2). Оно индуцирует появление напряжения а^ (1,2) и перемещения ч н (1, 2) на боковой поверхности цилиндрического тела. Введенные в соотношениях (4) функции и о (г, 2) и чо (г, 2) будут призваны компенсировать их. Для этого они должны удовлетворять системе (1), однородным граничным условиям на плоских гранях (г,±1) = 0, (г,±1) = 0, 0 < г < 1 (5) и условиям на боковой поверхности а°г (1,2) = -< (1,2), чо (1,2) = -чн (1,2), 2 < 1. (6) Решение системы Ламе (1), удовлетворяющее условиям (5), возьмем в форме Лурье - Воровича, которое в случае осесимметричной чисто изгибной деформации принимает вид № „ ° dF ® и (r,z) = z—— + 2np(z) dr F p=1 dr (7) w° (r, z) =--+ hk1 I 1--z2 |AF - 2 qp (z)Y h \ 2 ) p=1 где F - бигармоническая, Tp - метагармонические функции; ki=1/(1- v); qp (z) = (1+k)cosyp cosypz-rp (z); nv (z) = : hk[(cos уp jkyp + sin уp )sin уpz + z cos уp cos уpz] rp (z) = kyp (sin yp cos ypz - z cos yp sin у pz). Частное решение вспомогательной задачи (1) - (2) подбирается специальным образом для каждого конкретного вида нагружения. Подстановка (7) в (3) дает значение соответствующих напряжений однородного решения. Например, для компоненты тензора напряжений, входящей в граничные условия (6), имеем a°r (r, z) = zk1 f d 2 dr + v d 2 r dr \ F - / - z3 h2 k d2 AF dr2 ■+ 2 p=1 ip(z) - np(z)-4~ r dr dr z=±1 a rz z=±1 r=1 Собственные функции Лурье-Воровича F(r) и ^ p (r) [1]: F (r) = ar 2, Чр (r) = ApI 0(r*pr )/l 0(r*p), (9) где y*p =ypjh, ур- корни уравнения sin2yp -2yp = 0. Постоянные a, Ap (p = 1, да) должны быть выбраны так, чтобы удовлетворялись условия (6). На основании (7), (8) и закона Гука получим azk! (1 + v) + Re Z [lp (z) - np (z)P^ (yp )]Ap = (10) p = -< (1, z)/2 - /(z), |z| < 1, - а/h + 4hk1 (1 -vz2Д)г - 2ReZ qp(z)Ap = p = -w н (1, z) = g(z), p = 1, да . Используя идею метода Бубнова - Галеркина, потребуем чтобы невязки граничных условий (10) были ортогональны к полной на отрезке [-1,1] системе функций {sm^cos^};^ Sm =n(m - V2). В результате находим iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. ak\ (1 + v) + Re Z [l;p - n;pPo+ (Yp )]Ap =/m, lmp1 0 P ®ma + 2Re S 4mpAp = gn P ffm 1=ИГ ) (11) m, p = 1, да Л ^ . - /(г)8т вш8тг Я т у 28т я Я(г)соъдт2 Таким образом, задача сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений для отыскания постоянных в разложениях (9). После определения постоянных из системы (10) перемещения вычисляются по формулам * ад Iо(г Г) и(г, I) = и н (Г, 2) +2 пр (2)АрР0 (урГ) 0 , (12) P=1 10 (Yp) V 2 1 - a - 2 w(r, z) = w н (r, z)--+ 4hkj 1 - h V / да 10 (Ypr) - Hdp (z)Ap p= 1o(Yp) Нагрузка, равно распределенная по основаниям. Пусть Ql2Gcm = q(r) = const, тогда частные решения будем искать в виде u н (r, z) = P3 (r)z + Pj (r)z 3 , w н (r, z) = P4 (r) + P2(r )z 2 + Po(r) z 4. Удовлетворяя системе (1) и условиям (2), получим г> / ч Г3(1 -v) 3 3v ^ 2 -v P3(r)=4i^ + т7 P1(r)=~v qr, Po(r) = -^qh, P2(r) = q{^r 2 + ^ h n ,, Г 3(1 - v) 4 3(2 - v) 2 3 - v Л P4(r) = ql ———^r4 - —--r2 +-h I. 4 V 64h3 8h 8 J Это решение точно удовлетворяет уравнениям равновесия и граничным условиям на основаниях, поэтому о качестве решения можно судить по невязке граничных условий на боковой поверхности. В табл. 1 приведены распределения прогибов ^(г, г)/д (числитель) и радиальных напряжений аГГ (г, г)/д (знаменатель) вдоль боковой поверхности кубообразного цилиндра (к=1, v=0,3) при разном количестве членов N, оставляемых в рядах (12). Исходя из них, можно определить приблизительный порядок системы (11), обеспечивающий приемлемую точность результатов. Таблица 1 \ h N \ 0,2 0,6 0,9 0,95 50 6-10-4 910-4 110-3 -4-10-3 2-10-4 110-2 -2-10-1 2-10-2 100 610-5 110-4 -8-10-4 8-10-4 —810-4 2-10-3 -7-10-2 -2-10-1 200 2-10-5 4-10-5 3-10-4 4-10-4 -110-3 -110-3 4-10-2 -9-10-2 400 5-10-6 110-5 110-4 2-10-4 -110-3 -2-10-3 2-10-2 6-10-2 Анализ деформированного состояния показывает, что радиальные перемещения точек толстых плит существенны. Проследим за поведением величины итах/^тах как функции от безразмерной толщины к. При больших значениях параметра к это отношение постоянно и приблизительно равно 0,286. Для двумерной теории (т.е. при малых к) оно стремится к нулю. При значении безразмерной толщины к, близком к 0,55, указанная величина принимает максимальное значение итах/^тах «0,388. На рис.1 приведено распределение радиальных смещений плиты с к = 0,5 и v= 0,3. Данные для прогибов (к=0,5 и к=1) помещены в табл. 2. Хорошо видно, что максимальные перемещения имеют место на торцах и на боковой поверхности цилиндрического тела. Из приведенных данных можно сделать вывод, что для коротких цилиндров перемещения у торцов в несколько раз превосходят перемещения вблизи срединной поверхности. При этом указанная разница быстро растет с увеличением к и при большой толщине смещения отличны от нуля только около оснований цилиндра. С использованием формул (12) соотношения закона Гука позволяют получить следующие выражения для компонент тензора напряжений: ' вв v + 2 3 3(3v +1) 2 3v -z - —--r z + — z 4 16h2 4 + 2 Re S p=1 1 + * Sp (z) +-np (z)Po (Yp) A „1 + v + 2-az + 1 -v 1 o(Ypr) 10 (Yp) 3z - z3 да l0(Ypr) + 2Re Ztp(z)ApJTT*V 2 p= 10 (Yp) 2 q r a zz q Рис.1 В табл. 3 помещены напряжения, возникающие в толстой плите (к = 0,5) (числитель) и кубообразном цилиндре (к = 1) (знаменатель) соответственно (у = 0,30). Так как агг = авв = <ггг = 0 при г = 0 , то в данных таблицах эти величины отсутствуют. Не приведены также значения сгг и &гг при г = 1, в силу того что граничные условия на основаниях цилиндра выполняются точно. Анализ данных показывает, что напряжения с ростом к убывают и вблизи срединной поверхности становятся нулевыми. При этом поведение нормальных окружных напряжений с ростом к меняется сложным образом (рис. 2). Здесь цифрами помечены эпюры напряжений, соответствующие толщине 1) к=1, 2) к=2, 3) к=5, 4) к=20. Таким образом, при большой толщине НДС цилиндра отлично от нулевого непосредственно вблизи торцов. Для тонких пластин к<0,5 оказалось, что от к не зависит. Оценим влияние характеристик материала (модулей упругости) на НДС кубообразного цилиндра. Изменение модуля сдвига О влияет только на перемещения. На рис. 3 приведены осевые перемещения срединной поверхности w/qcm (дст = q • 010ст ) для материалов с разными О, но близкими V ( у& 0,3). Здесь цифра 1 соответствует материалу кадмия, 2 -алюминия, 3 - цинка и 4 - стали. Видно, что для кадмия и стали различие в результатах четырехкратное. Таблица 2 h 0,5 1 Y 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 1,995 1,997 2,000 2,000 1,989 1,955 0,485 0,509 0,576 0,673 0,775 0,857 0,2 1,903 1,905 1,909 1,911 1,903 1,873 0,459 0,483 0,550 0,647 0,750 0,833 0,4 1,630 1,634 1,642 1,650 1,650 1,629 0,384 0,406 0,470 0,566 0,674 0,759 0,6 1,193 1,199 1,213 1,232 1,244 1,239 0,269 0,287 0,342 0,430 0,538 0,630 0,8 0,624 0,630 0,647 0,673 0,702 0,718 0,132 0,142 0,175 0,234 0,323 0,421 1 1-10-6 1-10-6 2 -10-6 4 -10-6 8 -10-6 4 -10-4 310-6 4 -10-6 5-10-6 9 -10-6 2 -10-5 1- 10-3 Таблица 3 \ z r \ 0 0,5 0,7 1 Orrjq °вв/ q °zzlq ^rzh Orrjq °eel q °zz/q °rzh °rr!q °eel q 0 0 1,144 1,144 0,691 0 1,700 1,700 0,800 0 2,722 2,722 0 0,174 0,174 0,740 0 0,408 0,408 0,918 0 0,979 0,979 0,2 -0,304 1,093 1,115 0,693 -0,224 1,631 1,660 0,802 0,151 2,625 2,666 -0,162 0,156 0,162 0,733 -0,115 0,385 0,395 0,917 -0,064 0,970 0,974 0,4 -0,612 0,937 1,027 0,700 0,447 1,422 1,541 0,886 -0,297 2,339 2,500 -0,310 0,104 0,125 0,700 -0,237 0,314 0,352 0,905 -0,137 0,946 0,959 0,6 -0,925 0,667 0,873 0,705 -0,672 1,067 1,339 0,893 -0,439 1,887 2,236 -0,424 0,033 0,061 0,603 -0,371 0,188 0,268 0,852 -0,244 0,919 0,942 0,8 -1,190 0,292 0,633 0,619 -0,922 0,536 1,028 0,852 -0,615 1,329 1,899 -0,470 -0,013 -0,029 0,366 -0,491 0,033 0,120 0,629 -0,427 0,907 0,929 0,9 -1,250 0,116 0,470 0,432 -1,044 0,217 0,798 0,679 -0,781 1,039 1,716 -0,458 -0,012 -0,079 0,179 -0,516 -0,007 0,018 0,360 -0,526 0,913 0,928 1 -1,209 -2-10-3 0,286 0,088 -1,067 -2-10-3 0,497 0,151 -0,904 1,505 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. -0,415 -3 10-3 -0,127 -0,035 -0,485 -3 10-3 -0,092 -0,025 -0,531 0,918 0,75 0,5 0,25 k 2/ Od. 0,6 W з ' 4 / i / i TT"Л v Рис.2 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Рис.3 1 w ПТ ПТ q R 3(1 -v) 64й3 (l - , 2 ).) 5+V-r 2 V 41 + v . (13) 2,5 2,25 1,75 1,5 1,25 w/q -3. 4' 0,2 0,4 0,6 Рис.4 0,8 1,5 0,5 Увеличение коэффициента Пуассона V приводит к значительному уменьшению напряжений и качественному изменению поведения перемещений. На рис. 4 представлены осевые перемещения при г=0. На рис. 5 приведены эпюры нормальных окружных напряжений на боковой поверхности тела. При этом цифрами над кривыми отмечены следующие материалы: 1-бетон с vж 1/6, 2 - группа металлов типа стали, цинка, кадмия или алюминия (ж 0,3), 3 - группа металлов типа свинец или селен (Vж 0,45), 4 - предельный случай с vж 0,49. Из рис. 5 видно, что с увеличением коэффициента Пуассона максимальные прогибы из монотонно возрастающей функции становятся монотонно убывающими. Важным с практической точки зрения является ответ на вопрос, когда тело можно считать тонкой упругой пластиной. Установим рамки применимости теории Кирхгофа. Оценку будем проводить сравнением осевых смещений срединной поверхности, так как решение задачи о чистом изгибе плиты тонкой (ПТ) общеизвестно [6]. В наших обозначениях оно примет вид 0,4 0,6 Рис.5 В табл. 4 приведены величины осевых перемещений для значений й=0,15 и А=0,10 (v=0,3), более уместные для сравнения с результатами, полученными по теории тонких плит. Таблица 4 h 0,15 0,10 z r 0 1 ПТ 0 1 ПТ 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 42,87 40,78 34,71 25.20 13.21 5-10"5 41,99 39,93 33,95 24,60 12,81 6-10"4 39,64 37,68 31,99 23,13 12,03 0 138,6 131,8 112,0 81,2 42,4 -610-5 137,2 130,5 110,8 80,2 41,7 110-3 133,8 127,2 108,0 78,1 40,6 0 В качестве меры близости двух функций V , определяемой формулой (13), и V, описываемой соотношением (12), будем использовать коэффициент невязки х X =" min ПТ w - w w w • 100%. (14) 1 2 2 0 z 0 1 1 r 0 q Исследования показали, что его величина мало зависит от значения коэффициента Пуассона V и типа используемой нормы (если норма Гильбертова, то интегралы, возникающие при этом в (14), вычисляются численно). Итак, если 0,12 < к < 0,17 , то х » 10 %; если 0,08 < к < 0,12, то х» 5% и если к < 0,08, то X ж 1 % . Аналогичным образом сравнивались и максимальные значения нормального напряжения агг. В этом случае мы рассматривали все точки пластинки за исключением тех, которые лежат в некоторой окрестности ребра, где имеется особенность. Расчеты показывают, что если 0,36 < к < 0,50, то х» 10%; если 0,17 < к < 0,36, то х» 5% и если к < 0,17, то X» 1%. Литература 1. Космодамианский А. С., Шалдырван В.А. Толстые многосвязные пластины. Киев, 1980. 2. Шалдырван В.А. // Тр. III Всерос. конф. по теории упругости с междунар. участием. Ростов н/Д, 2004. С. 401 - 403. 3. Гринченко В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров. Киев, 1980. 4. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф. // Сопротивление материалов и теория сооружений. 1971. Вып. 15. С. 3 - 8. 5. Нестеров О. Ю, Шалдырван В. А. // Вопр. прочн. тонкостен. конструкций. 1989. С. 25 - 28. 6. Вайнберг Д. В., Вайнберг Е. Д. Расчет пластин. Киев, 1970. Донецкий национальный университет_7 мая 2004 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/testirovanie-dvuh-modeley-vibroozhizhennogo-sloya

Исследуются две двухжидкостные модели виброожижения на основе подхода Эйлера. Приводится сравнение расчетов с измерениями положения нижней границы виброожиженного слоя относительно колеблющейся полки и давления газа под слоем частиц.

УДК 519.87:66.096.5 ТЕСТИРОВАНИЕ ДВУХ МОДЕЛЕЙ ВИБРООЖИЖЕННОГО СЛОЯ © 2012 г. Н.С. Орлова Северо-Осетинский государственный North-Ossetian State университет, г. Владикавказ University, Vladikavkaz Исследуются две двухжидкостные модели виброожижения на основе подхода Эйлера. Приводится сравнение расчетов с измерениями положения нижней границы виброожиженного слоя относительно колеблющейся полки и давления газа под слоем частиц. Ключевые слова: двухжидкостная модель; виброожиженный слой; подход Эйлера; давление газа; численные расчеты; экспериментальные данные. The two two-fluid models of vibrofluidization using Euler formulation are investigated. The motion of vibro-fluidized bed bottom boundary relative to vibrated base and the gas pressure under the bed are described. The comparison between numerical calculations and experimental data is presented. Keywords: two-fluid model; vibrofluidized bed; Euler formulation; gas pressure; numerical calculations; experimental data. Виброожижение часто используется при очистке газов, сушке и сепарировании зернового материала, а также в химической технологии, так как за счет увеличения площади контакта между газовой и твердой фазами значительно ускоряются процессы тепло- и массопереноса между газом и частицами. В зависимости от того, какой фактор (столкновение частиц или взаимодействие фаз), влияющий на процесс, более важен в конкретном исследовании, используются разные математические модели виброожижения. Так, для тонких слоев при невысоких значениях частоты и амплитуды колебаний полки лучшие результаты дает модель «газа крупных частиц». Данная модель удовлетворительно описывает изменение объемной доли частиц с высотой в виброожиженном слое. В случае виброожижения относительно толстых слоев модель дает неудовлетворительные результаты. По-видимому, в этом случае целесообразно использовать двухжидкостные модели, которые учитывают взаимодействие частиц между собой и с газом. В данной работе двухжидкостные модели исследуются с использованием эйлерова подхода, при котором движение слоя рассматривается как взаимопроникающее движение двух взаимодействующих континуумов, связанных с газом и частицами. Дисперсная фаза представляется в виде сплошной среды с непрерывно распределенной в пространстве объемной долей частиц. Характеристики дисперсной фазы (псев-догаз частиц) трактуются как местные средние значения параметров частиц. Таким образом, с помощью континуального подхода можно описать движения газовой и дисперсной фаз с общих позиций. Исследуются две двухжидкостные модели виброожижения. Обе модели содержат уравнения неразрывности и уравнения количества движения для газовой и твердой фаз в одномерном приближении. В первой модели уравнения имеют вид [1]: d(pgag ) d(PgаgVg ) dt dz = 0; (1) d(p,а, ) | d(p,а,V, ) = 0. dt dz (2) d(p g а gVg )+_d(p g а gVVg ) dt dz = "f + ßв (Vg - V,)"Pgg . d(p,а ,V, ) + d(p,а ,V,V,)_ (3) dt dz = ßв (Vg -V,)-G^g)^-а, (p, -pg)g ; (4) dz где ßB = ^ ß A p, ß A = 150—-—2 +1,75 аg (p, -pg ) p g а ,|Vg - V,| ■ аg , 1 nz Kg"", Г g ' ,| а gdp d„ R V pgа,аg Vg - V,\ -2,65 , ß a = 4 СD,-J-1 ^ ; 1а d„ (0,2 < аg <0,8); (а g * 0,s) ; CD, = 24 Re, (l + 0,15Rep687); Rep < 1000; 0,44; Re p > 1000; p Re p =J lVg - VMppgаg G (а g ) = 10 -8,76аg +5,43 H В уравнениях (1) - (4) рg,Vg,аg - плотность, скорость, объемная доля газа; рх V, аж - плотность, скорость, объемная доля твердых частиц соответственно; Р - давление газовой фазы; рв - коэффициент обмена импульсами на поверхности раздела двух фаз; Reр - число Рейнольдса; - коэффициент 2 м сопротивления твердой фазы; G (а ^) - коэффициент межчастичного взаимодействия; g - ускорение свободного падения в проекции на ось г; цg - динамическая вязкость газа; dp - диаметр частиц. Во второй модели уравнение неразрывности для твердой фазы такое же, как и в первой модели (2), а в уравнении количества движения для твердой фазы учитывается влияние давления газа. Кроме того, уравнения для газовой фазы получены с учетом закона Дарси [2]: dp 1 д dP ^ р* дУя — I р*a k— 1-^ _v ^ dt а * ц * dz ^ * * dz Ja * dt s dz др * V = v_A dP. * s ц * dz ' d(psasVs ) + d(PsasVsVs ). dt dz = _f - G(a*)%_PsaS* + ß* (V* _ V ) ; k = - dz Ц * a * ß * = ; kl 1 + v - v -1 I * sh. (0,2 < a* < 0,8); 2 ,2 kl = a. 150a2 ' 2 1,75asp 2,65 k 2 = ц * a *dp s* k = - 4dpЦ*a* 3CDsP*as V* _ Vs (a* * M) , плотности воздуха при температуре 20 °С и атмосферном давлении, скорость газа и скорость твердых частиц равны скорости полки: pg = 1,2^ (при Т = 293 К; Р = Рт); м V0 = V0 = V где V* - скорость полки в начальный момент времени. Полка колеблется по закону = А sin(ф), где Ф = ю/. Причем амплитуда А колебаний меньше, чем половина шага сетки. Циклическая частота колебаний полки ю = 2л/, где / - частота колебаний полки. Положения центров всех вычислительных ячеек, кроме ближайшей к полке, и их размеры при колебаниях полки не меняются, а ближайшая к полке ячейка уменьшается или увеличивается в зависимости от положения полки h = 8г - г* (h - размер нижней вычислительной ячейки). Значение объемной доли частиц в этой ячейке находится с помощью уравнения неразрывности при условии, что поток через нижнюю границу ячейки равен нулю. На нижней границе, совпадающей с полкой, использовалось два вида граничных условий. В первом случае скорость газа равна скорости полки, скорость твердой фазы до момента отрыва частиц от полки также равна скорости полки, а после отрыва в двух ближайших к полке точках скорость предполагается одинаковой: iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. VI = V ■ V j=0 где k - проницаемость слоя частиц. Давление газовой фазы рассчитывается с помощью уравнения состояния для идеального газа при условии, что температура газа постоянна и равна 20 °С . Плотность частиц считается величиной постоянной и равной плотности используемого материала. Для того чтобы решить уравнения, они записываются в конечно-разностном виде. На каждом временном слое применяется метод итераций. Следует отметить, что такие величины, как Р, р , а (аg = 1 -аж), аж, рассчитываются в центре вычислительной ячейки, а скорости обеих фаз - на ее границах, т.е. используется сетка со смещенными узлами [1]. В данной работе исследуется виброожижение частиц стекла диаметром 0,13 мм. Внутри слоя частиц в начальный момент времени значение объемной доли частиц а0 равно значению при «плотной упаковке» слоя, которое зависит от размеров частиц. Для случая, когда диаметр частиц стекла равен 0,13 мм, а0 равно 0,62. Если диаметр равен 0,29 мм, то а0 равно 0,53. В начальный момент времени плотность газа равна К; Ф<Ф0. Vs\j Ф^Ф0, * 360 где ф0 =-arcsin. „ 0 2л ^ Arn2 момент отрыва частиц от полки. Второй случай отличался тем, что на этой границе скорость твердой фазы всегда равна скорости полки: VI = V =0 * Для первой модели лучшие результаты получались при первом варианте граничных условий, а для второй - при втором. В дальнейшем приводятся именно такие результаты. На верхней границе п, расположенной на высоте, равной ста амплитудам колебаний полки над ее средним положением, давление газа равно атмосферному, плотность газа равна плотности воздуха при температуре 20 °С , объемная доля частиц равна нулю, и, соответственно, объемная доля газа равна единице: 1 j=n = 0; a * = 1. a i=n Выше подвижной верхней границы слоя частиц т (т<п) скорость частиц равна нулю, а скорость газа в данный момент времени одинакова. Для сравнения с результатами экспериментов предполагаем, что часть слоя, находящаяся в вычислительной ячейке, ближайшей к полке, сохраняет объемную долю частиц, которая была при их плотной упаковке, а меньшее значение объемной доли частиц, получаемое в расчетах для этой ячейки аП, связано с тем, что между нижней границей слоя и полкой частиц нет. Это дает верхнюю оценку для положения нижней границы слоя частиц и приводит к выражению для нижней границы слоя гь : 0 n а_ -а_ , " =-атh (5) В расчетах использовались следующие значения шага по координате и шага по времени: 5z = 2A , 5t = 1-10"7с. На рис. 1 а приведены кривые, описывающие положение нижней границы слоя с начальной высотой засыпки от 20 до 50 мм в период между подбрасыванием частиц и их столкновением с полкой (A = 1,42 мм; f = 50 Гц). z, мм 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0 -0,5 -1,0 -1,5 0 50 100 150 200 250 угол, град а Pi-Pa, мм в ст. 1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500 угол, град б Рис. 1. Изменение положения полки и нижней границы слоя частиц (а) и изменение разности давления газа под слоем частиц и атмосферного давления р - Ра) при амплитуде 1,42 мм и частоте 50 Гц (б) Кривая 1 соответствует положению полки. Кривые 2, 3, 4 описывают изменение положения нижней границы слоя. Кривая 2 была получена в экспериментах для слоев толщиной от 20 до 50 мм [3]; кривая 3 -в результате расчётов по первой модели; кривая 4 -в результате расчётов по второй модели. На рис. 1 б приведены кривые, описывающие изменение разности давления газа под слоем частиц и атмосферного давления (Р1 - Ра). Кривая 1 соответствует экспериментальным данным [3], кривая 2 расчетам, полученным по второй модели. Давление при расчетах по первой модели меняется значительно сильнее, чем в физическом эксперименте, в связи с этим полученные результаты не приводятся. На рис. 2 а приведены кривые, описывающие положение нижней границы слоя с начальной высотой засыпки 130 мм в период между подбрасыванием частиц и их столкновением с полкой (А = 3,72 мм;/= =23,3 Гц). Обозначения кривых такие же, как и на рис. 1. 0 50 100 150 200 250 300 350 угол, град а Р—Ра, мм в ст. 3000 2000 1000 0 -1000 -2000 0 50 100 150 б Рис. 2. Изменение положения полки и нижней границы слоя частиц (а) и изменение разности давления газа под слоем частиц и атмосферного давления (Pi - Ра) при амплитуде 3,72 мм и частоте 23,3 Гц (б) Из рис. 1 и 2 видно, что расчетные кривые качественно правильно описывают изменение положения нижней границы слоя. Превышение расчетных значений над экспериментальными на участке подбрасыва- угол, град ния слоя указывает на то, что в это время слои расширяется, и оценка нижнеИ границы слоя частиц по формуле (5) оказывается существенно завышенной. На участке падения слой вновь сжимается и расчетные значения сближаются с наблюдаемыми в эксперименте. Расчеты для изменения давления газа под слоем частиц по второй модели также качественно верно описывают эксперимент. При этом в расчетах наблюдается задержка по фазе результатов экспериментов по сравнению с расчетами. На рис. 3 приведено сравнение экспериментальных данных с численными расчетами для слоя, начальная высота которого равна 35 мм. Амплитуда и частота колебаний полки равны 1,42 мм и 100 Гц соответственно. z, мм 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0 -0,5 1,0 1,5 / N - /'7CX -2 ■ f/Cb \ \ / / / // 1 \\ 4 ' f \ \ 1 I 1 1 L j 1 1 j 0 50 100 150 200 250 300 350 угол, град Pi-Pa, мм в ст. 2500 2000 1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500 -2000 1 1 1 / / f 1 / t f f f / / / f 1 l / / / / / / / / /__ / r 2 \ \ -v \ t \ / - - i i i i - 0 50 100 150 б 200 угол, град Рис. 3. Изменение положения полки и нижнеИ границы слоя частиц (а) и изменение разности давления газа под слоем частиц и атмосферного давления р - Ра) при амплитуде 1,42 мм и частоте 100 Гц (б) Поступила в редакцию Видно, что при расчетах по первой модели слой так и не сталкивается с полкой, а по второй модели сталкивается, но гораздо раньше, чем это наблюдается в эксперименте. Результаты расчета давления такие же, как и в предыдущих случаях. Расчеты также были проведены и для относительно крупных частиц (dp = 0,29 мм). При этом результаты, полученные для положения нижней границы слоя, примерно такие же, как и в предыдущем случае, когда рассматривался слой относительно мелких частиц (dp = 0,13 мм) при более высоком значении частоты колебаний полки 100 Гц. По расчетам по второй модели давление под слоем частиц остается практически равным атмосферному. Таким образом, расчеты по двум двухжидкостным моделям виброожижения показали, что первая модель, по сравнению со второй моделью, количественно лучше описывает изменение положения нижней границы слоя частиц при относительно невысоких значениях частоты колебаний полки и при диаметре частиц, равном 0,13 мм. При более высоких значениях частоты и более крупных частицах при расчетах по первой модели слой перестает сталкиваться с полкой, а при расчетах по второй модели сталкивается слишком рано. При диаметре частиц, равном 0,13 мм, вторая модель правильно описывает изменение давления газа под слоем частиц, но экспериментальные значения давления запаздывают по фазе по сравнению с расчетами. При расчетах по этой модели в случае более крупных частиц, диаметром 0,29 мм, давление газа под слоем частиц практически не изменяется и почти не отличается от атмосферного. Расчеты по первой модели дают существенно большее изменение давления газа под слоем частиц, чем то, которое наблюдается в экспериментах. По-видимому, для частиц диаметром 0,29 мм и больше обе модели нуждаются в существенной корректировке. Для частиц диаметром 0,13 мм лучше использовать вторую модель с уточнением граничного условия на поверхности полки. Литература 1. GymezL.C., MilioliF.E. Gas-solid two-phase flow in the riser of circulating fluidized beds: mathematical modeling and numerical simulation // J. of the Brazilian Society of Mechanical Sciences, Rio de Janeiro. 2001. Vol. 23, № 2. P. 170 - 200. 2. Математичне моделювання робочого процесу в апаратах з вiброкиплячим шаром та розробка систем автоматизо-ваного моделювання пдродинамки вiброкиплячих шарiв / С.А. Русанов [и др.] // Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы. 2009. № 1(23). С. 15 - 24. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 3. Kroll W. Über das Verhalten von Schuttguf in lotrecht schwingenden Gefaben // Forschung. 1954. Bd. 20, Heft 1. S. 2 - 15. 28 августа 2011 г. Орлова Наталья Сергеевна - аспирант, Северо-Осетинский государственный университет. Тел. (8672)53-55-72. E-mail: [email protected] Orlova Natalya Sergeevna - post-graduate student, North-Ossetian State University. Ph. (8672)53-55-72. E-mail: norlova. umi.vnc@gmail. com_ a

https://cyberleninka.ru/article/n/svyazi-v-chetyrehstrukturnom-metricheskom-mnogoobrazii

В данной работе приведены определения F_x-связи, квази F_x-связи, близкие F_x-связи и почти F_x-связи в четырехструктурном метрическом многообразии и выведены различные условия эквивалентности. Приводится также соотношение между двумя тензорами напряжения.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________________2007, том 50, №1__________________________________________ МАТЕМАТИКА УДК 517 Sudhir Kumar Srivastava, Manisha M. Kankarej CONNECTION IN 4-STRUCTURE METRIC MANIFOLD (Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 27.03.2007 г.) In tht paper it given general Fx - connexion, a quasi Fx connexion, a nearly Fx connexion and an almost Fx connexion in 4-structure metric manifold and obtained many equivalent conditions. Relation between two torsion tensors have also been given. 1. Introduction Let us consider an n-dimensional manifold Vn with four vector fields Ux, four 1-forms ux and four tensor fields Fx of the type (1,1) such that Sxyzt Ft = FxFy + FyFz - uyUx - uzUy + 5xyz In (11)a F xUy _ Sxyzt Uz , F yUz _ Sxyzt Ut , (1.1)b F zUt _ Sxyzt Ux , , F tUx _ Sxyzt Uy u o Fy _ Sxyzt u , u^ o Fz _ Sxyzt u , (11)c z t-1 _ x t t-1 _ y u o Ft _ Bxyzt u , u o Fx _ £xyzt u , ux (Uy) = 5xy (1.1)d where sxyzt = 1 or -1 according as xyzt is an even or odd permutation of 1234 and 0 otherwise. Then ( Fx, Ux, ux ), where x = 1,2,3,4 are said to define an almost contact three structure on Vn or almost co-quaternion Riemannian structure on Vn and the manifold is called an almost contact four structure manifold. Let a metric tensor be defined on an almost contact 4-structure manifold Vn satisfying g(FxX , FXY) = Sxyzt g(FzX, Y) + Sxyzt g(FtX, Y) - ux(X) uy(Y) + 5xy g(X,Y) (1.2)a where ux(X) = g( X, Ux ) (12)b Then the system ( Fx, Ux, u, g ) is said to give to Vn a metric 4-structure and the manifold Vn is said to be 4- structure metric manifold. Let us put ‘Fx (X,Y) = g (FxX,Y) (1.3) Then ‘Fx (X,Y) = - ‘Fx (Y,X) (1.4)a that is ‘Fx is skew symmetric in X and Y ‘Fx (Fx X, Fx Y) = - ‘Fx (Y,X) (1.4)b that is ‘Fx is hybrid in X and Y The torsion tensor S of the connection D is a vector valued bilinear skew symmetric func- tion defined by S (X, Y) = DxY - DyX - [X, Y] (15) The connection D is said to be symmetric, if S ( X, Y ) = 0 (1.6)a or DxY - DyX = [X, Y] (16)b 2. General Fx connexion A connexion D in Vn is called most general F-connexion if , (Dx Fx) (Y) = 0 (21)a Dx Fx Y = Fx Dx Y (21)b In view of equations (1.1)a & (2.1) we have in Vn Sxyzt Ft = FxFy + FyFz - uyUx - uzUy + 5xyz In 8 FxFy = Sxyzt Ft - FyFz + UyUx + UZUy - 5xyz In s Dx FxFy Z= Sxyzt Dx FtZ- Dx FyFz Z+ uy (Dx Z)UX + uz(Dx Z)Uy - 8xyZ (DxZ) (2.2)a D Fx x Fx Y = Fx D Fx x Y (2.2)b D Fx X FxFy Z= Sxyzt D Fx X Ft Z- D Fx X FyFz Z+ uy (D Fx X Z)Ux + uz(D Fx X Z)Uy - 5xyz D Fx X Z (2.2)c Theorem (2.1). For a generalFx connexion in Vn, we have (1) ux(Z) Dx Ux = Dx ux (Z)Ux (2.3)a (2) Fx ux(Z) DX Ux = 0 since Fx Ux = 0 (23)b (3) uy ( Dx Fx Y) = Sxyzt uz (Dx Y ) (2.3)c (4) D ux Fx Y = Fx D ux Y (23)d (5) Fx Dx Ux = 0 (2.3)e (6) ux D ux Fx Y = 0 (23)f (7) Fx D Fx x Ux = 0 (23)g (8) uy (Dx Uy )Ux + uz(Dx Uy )Uy = 5x^ (Dx Uy ) (23)h (9) uz Dx FxFy Z + uz Dx FyFz Z =( Sxyzt)2 ux Dx Z + uy (Dx Z) 5zx - uz 5xyz (Dx Z) (23)i (10) Sxyzt Dx Uz- Fx Dx Uy (11) uy Dx Uz- uz Dx Uy 3. Quasi Fx connexion A connexion D in Vn is called a quasi Fx connexion, if (Dx Fx )Y + ( D fx x Fx )Fx Y - 0 Dx Fx Y - Fx (Dx Y) - D FxX Y + (D Fx X u )(Y) + ux (D Fx X Y ) Ux + + ux (Y )D Fx x Ux - Fx ( D Fx x Fx Y) - 0 Theorem (3.1). For a quasi Fx -connexion in Vn, we have (1) Fx Dx Fx Y + Dx Y - ux(Dx Y) Ux - Fx D Fx x Y + + Fx ux (Y )D Fx x Ux + D Fx x Fx Y - ux( D Fx x Fx Y) Ux - 0 (2) Sxyzt [Dx Uz - Fx D Fx x Uz] - Fx (Dx Uy) - D Fx x Uy + (D Fx X u )( Uy)+ + ux (D Fx X Uy ) Ux + 5xy D Fx X Ux - 0 (3) D Uy Fx Y - Fx (D Uy Y) Sxyzt [Duz Y - (Duz ux )(Y) - - ux (Duz Y ) Ux - ux (Y )Duz Ux + Fx ( Duz Fx Y)] (4) ux Sxyzt Dx Uz + ux (D Fx x ux )( Uy) + ux 5xy D Fx x Ux - 0 (5) ux D Uy Fx Y - - Sxyzt [(Duz ux )Y + ux ux (Y )Duz Ux ] (6) Sxyzt [D ux Uz ] - Fx (D ux Uy) - 0 (7) Fx (D Uy Ux) = Sxyzt [ (Duz ux )( Ux) + ux (Duz Ux ) Ux ] (8) ux Sxyzt D Ux Uz - 0 (9) ux D Uy Uz - - (Duz ux ) Uy (10) Sxyzt [D Ux Uz ] - Fx (D Ux Uy) 4. Nearly Fx connexion A connexion D in Vn is called a nearly Fx connexion, if (D x Fx ) Y + ( D y Fx ) X - 0 D x Fx Y - Fx (D x Y) + D y Fx X - Fx (D y X) - 0 D x Fx Y + D y Fx X - Fx (D x Y) + Fx (D y X) Theorem (4.1). For a nearly Fx connexion D in Vn we have (1) Fy (D X Fx Y ) + Fy (D Y Fx X) = Sxyzt [Ft (D X Y) + Ft (D y X)] • (2.3)j (2.3)k (3.1)a (3.1) (3.2)a (32)b (3.2)c (3.2)d (3.2)e (3.2)f (32)g (3.2)h (32)i (32)j (4.1)a (4.1)b • FyFz [(Б х У) + (Б у Х)]+ их(Б х У)Иу + их(Б у х)Иу + + и2 (Б х У) Иу + и2(Б у X )Иу - 5xyz (Б х У + Б у X) (2) Б ру х Рх Y + 8xyzt Б у ^ X- Б у ^ )Х+ (Б у иу)(Х)Их + + иу(Б у х) Их + иу(х) Б у Их +(Б у и2)(х)Иу + и2(Б у х) Иу + + и2(х) Б у Иу - 5ху2 Б у х = Рх (Б ру х у) + Рх (Б у Ру х) (3) 8xyzt б х ^ у- б х № )у+ (Б х иу)(у)Их + + иу(Б х у) Их + иу(у) Б х Их +(Б х и2)(у)Иу + и2(Б х у) Иу + + и2(у) Б х Иу - 5ху2 Б х у+ Б ру у Рх х = = Рх (Б х Ру у) + Рх (Б Ру у х) (4) 8ху* Б Ру х ^ у- Б Ру х (РуР2 )у+ (Б Ру х иу)(у)Их + + иу(Б Ру х у) Их + иу(у) Б Ру х Их +(Б Ру х и2)(у)Иу + и2(Б Ру х у) Иу + + и2(у) Б Ру х Иу - 5ху2 Б Ру х Y+ 8ху^ Б Ру у Рt х- Б Ру у (РуР2 )х + + (Б Ру у иу)(х)Их + иу(Б Ру у х) Их + иу(х) Б Ру у Их +(Б Ру у и2)(х)Иу + + и2(Б Ру у х) Иу + и2(х) Б Ру у Иу - 5ху2 Б Ру у х = = Рх (Б Ру х Ру у) + Рх (Б Ру у Ру х) (5) Ру (Б и х Рх Y ) = 8ху* [Р (Б и х у) + Рt (Б у И х)] • iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. • РуР2 [(Б и х у) + (Б у и х)]+ их(Б и х у)Иу + их(Б у И х)Иу + + и2 (Б И х у) Иу + и2(Б у И х )Иу - 5ху2 (Б и х у + Б у И х) (6) Ру (Б и х Рх X) = 8xyzt [^ (Б х и х ) + ^ (Б И х х)] • • FyFz [(Б х и х) + (Б и х х)]+ их(Б х И х)Иу + их(Б и х х)Иу + + uz (Б х И х) Иу + и^Б И х х )Иу - 5xyz (Б х И х + Б и х х) (7) 0 = 8xyzt Рt (Б И х И х) - РyРz(Б И х и х) + их(Б И х И х)Иу + + UZ(Б И х И х )Иу - 5xyz ( Б и х и х) (8) 8ху^ Ру (Б И х И z) 8xyzt [Р t (Б И х и у) + Р (Б И у И х)] • • FyFz [(Б и х И у) + (Б и у И х)]+ их(Б и х И у)Иу + их(Б и у И х)Иу + + и2 (Б и х И у) Иу + и^Б и у И х )Иу - 5xyz (Б и х И у + Б и у И х) (9) иу Б Ру х Рх у + иу 8xyzt Б у ^ х- иу Б у ^ )Х+ 5ух (Б у иу)(х) + (4.2)а (4.2)Ь (42)с (4.2)ё (42)е (42)Г (4.2)8 (4.2)Ь + иу 52у (Б у X) + иу и2(Х) Б у Иу - иу 5xyz Б у X = _ 8xyzt и (Б Бу X Y) + 8xyzt и (Б У Ру Х) (10) 8ху^ ut (Б и X Бх У ) = Вхуй вxyzt [иХ (Б и X У) + иХ (Б у и х)] • • 8xyzt 8xyzt и [(Б и x У) + (Б у И x)]+ 5zy [uX(Б и x У) + uX(Б у И *)] + + 5zy [uz (Б и x У) + ^(Б у и x ) ]- и 5xyz (Б и x У + Б у и x) (11) Fx Б и x и x = 0 (12) 8x3^ Б и x и z = Fx (Б и x и у) + Fx (Б и у и x) (13) ux Б х Fx У + ^ Б у Fx X = 0 (4.2)т 5. Л1то81 Ех соппех1оп А connexion Б т Уп са11её ап а1тов1 Fx connexion, 1Г (Б X ^ )( У,г) + (Б у ^ )( ВД + (Б г ^ )( ^У) = 0 в(Б X Fx у,г) - g(Fx б X У,г) + в(Б у Fx гд) - g(Fx б у гд) + + g(Б г Fx ^У) - g(Fx Б г ^У) = 0 ТИеогет (5.1). ¥от ап almost ¥х еоппехюп, ме кауе (1) 8xyzt g[Б X Ft У,г]- g[Б X (FyFz )У,г]+ (Б X иу)(У) uX(Z) + + иу(Б X У) uX(Z) + иу(У) g[ Б X Иx ,г]+ (Б X uz)(У) иу(г) + + и^Б X У) иу(г) + uz(У) g[ Б X иу ,г]- 5xyz g[Б X У ,г] + + g(Б Fy У Fx Z,X) + g(Б г Fx X, Fy У) + = ‘Fx (Б X Fy ^) +’ Fx (Б Fy у г ,Х) + ^ (Б г X, Fy У) (2) - g[Б X № ) и^]+ (Б X иу)( и*) uX(Z) + + иу(Б X И) uX(Z) + 5yx g[ Б X И ,г]+ (Б X uz)( и) иу(г) + + uz(Б X их) uy(Z) + 5zx g[ Б X иу ,г]- 5x3. g[Б X Иx ,г] = = 8^ [‘Fx (Б X И^) +’ Fx (Б иz Z,X) + ‘Fx (Б г X, И) - - g[Б X 8xyzt Иу,г] - g(Б иz Fx Z,X) - ^Б г Fx X, Иz) ] (3) 8x3^ g[Б X ^ У, Иz]- g[Б X № )^]+ 5Xz [(Б X иу)(У) + + иу(Б X У) ] + иу(У) g[ Б X Иx , Иz]+ 5^ [(Б X uz)(У) + + и^Б X У) ] + и^У) g[ Б X Иу , Щ- 5xyz g[Б X У , Иг] + + g(Б Fy У Fx ^Д) + g(Б иz Fx X, Fy У) = (4.2)1 (4.2)] (42)к (4.2)1 (5.1)а (5.1)Ь (5.2)а (52)Ь = ‘Fx (D x Fy Y, Uz) +’ Fx (D Fy y Uz,X) + ‘Fx (D Uz X, Fy Y) (5.2)c (4) s- g[Dx (FyFz ) Ux,Z]+ ôxz [(Dx uy)( Ux) + + uy(D x Ux) ] + ôyx g[ D x Ux , Uz]+ ôyz [(D x uz)( Ux) + + Uz(D X Ux) ] + ôzx g[ D X Uy , Uz]- ôxyz g[D X Ux , Uz] = = Sxyzt [‘Fx (D X Uz, Uz) +’ Fx (D Uz Uz,X) + ‘Fx (D Uz X, Uz) - - Sxyzt g(DX Uy, Uz) - g(D Uz Fx Uz,X) - g(DUz Fx X, Uz) ] (5.2)d (5) Sxyzt g(D x Uz,Z) - g(Fx D X Uy,Z) + g(D Uy Fx Z,X) - g(Fx D Uy Z,X) + + g(D Z Fx X, Uy) - g(Fx D Z X, Uy) = 0 (5.2)e (6) Sxyzt [g(D Uy Uz,Z) + g(D Z Uz, Uy)] = g(Fx D Uy Uy,Z) - - g(D Uy Fx Z, Uy)+ g(Fx D Uy Z, Uy) + g(Fx D z Uy, Uy) (5.2)f (7) Sxyzt g(D Uy Uz, Uy) = g(Fx D Uy Uy, Uy) (5.2)g (8) g(D X Fx Y, Uy) - g(Fx D X Y, Uy) + Sxyzt g(D y Uz,X) - - g(Fx D Y Uy,X)+ g(D Uy Fx X,Y) - g(Fx D Uy X,Y) = 0 (5.2)h (9) Sxyzt [g(D x Uz, Uy) + g(D Uy Uz,X)] - g(Fx D x Uy, Uy) - - g(Fx D Uy Uy,X)+ g(D Uy Fx X, Uy) - g(Fx D Uy X, Uy) = 0 (5.2)i (10) g(D Uy Fx Y,Z) - g(Fx D Uy Y,Z) + g(D Y Fx Z, Uy) - - g(Fx D Y Z, Uy)+ Sxyzt g(D Z Uz,Y) - g(Fx D z Uy,Y) = 0 (5.2)j (11) Sxyzt [g(D Y Uz, Uy) + g(D Uy Uz,Y)] +g(D Uy Fx Y, Uy) - - g(Fx D Uy Y, Uy) - g(Fx D Y Uy, Uy) - g(Fx D Uy Uy,Y) = 0 (5.2)k (12) Sxyzt [g(D Uy Uz,Z+X+Y) + g(D z +x+y Uz, Uy)] -= g(Fx D Uy Uy,Z+X+Y) - g(D Uy Fx Z+X+Y, Uy) + + g(Fx D Uy Z+X+Y, Uy) + g(Fx D z+x+y Uy, Uy) (5.2)l Torsion tensor Theorem (6.1). Let the connexion D & E be related by D x Y - Ii Ex Y + I2 Ex Fx Y + I3 E Fx x Y + I4 E Fx x Fx Y + + I5 Fx (Ex Fx Y) + I6 Fx (Ex Y) + I7 Fx (E Fx X Fx Y) + I8 Fx (E Fx X Y) (6.1) If S is the torsion tensor of connexion D and S* is the torsion tensor of connexion E then (1) S(X,Y) - IiS*(X,Y)+ I2 (Ex Fx Y - Ey Fx X) + + 1з (Е Fx X у - Е Fx у X) + 14 Б*( Fx X , Fx У) + 15 ^ (Eх Fx У) - Fx (Еу Fx X) ] + + 1б Fx ^*(х,У)+ 17 Fx S*(Fx X , Fx У) + 1в [Fx (Е Fx X У) - Fx (Е Fx у X) ] + (1г 1) [х,У] + + 14 [ Fx X , Fx У] + 1б (Fx [X,У] ) + 17 Fx [ Fx X , Fx У] (6.2)а (2) S(Иy,У) = ^*( Иу,У) + (11- 1) [Иу,У] + 12 Е иу Fx У - 1зЕ Fx у Иу + + 15 Fx (Е иу Fx У) + 1б Fx ^*( Иу,У)) + 1б (Fx [Иу,У] ) - - І8Fx (Е Fxу Иу) + 8xyzt [- 12 Еу И + 1з Е ш У + 14 S*( И , Fx У) + + 14 [ И , Fx У] - 15 Fx (Еу и) + 17 Fx S*( Иz , Fx У) + + 17 Fx [ И , Fx У]+ 18 Fx (Е иz У) ] (6.2)Ь (3) S(X,У) = ^*(х, Иу)+ 12 Eх 8xyzt Иz - 12 Е иу Fx X + + 1з Е FxX Иу - 1з 8x3^ Е Иz X + 14 8xyzt S*( Fx X , И) + 15 8xyzt Fx (Eх Иz) - 15 Fx (Е Иу Fx X) + 16 Fx ^*(х, Иу)+ 17 8x3^ Fx S*(Fx X , И) + 18 Fx (Е Fx X Иу) - 18 8x3^ Fx (Е Иz X) + (11- 1) [X, Иу] + 14 8xyzt [ Fx X , Щ + 1б (Fx [X, Иу] ) + 17 8x3^ Fx [ Fx X , Иz] (6.2)с (4) S(Иy, Иу) = 11Б*( Иу, Иу) + (11- 1) [Иу, Иу] + 16 Fx ^*( Иу, Иу) + + 16 ^ [Иу, Иу] ) + 8xyzt {12 (Е иу И - Е иу И) + 1з (Е иz Иу - Е и Иу) + + 15 ^ (Е иу И) - Fx (Е иу И) ] + 18 ^ (Е ш Иу) - Fx (Е иz Иу) ]}+ + 8xyzt 8xyzt {14 S*( Иz , И^+ 14 [Иz , И*] + № [И , Щ + 17 Fx S*( И , Иz)} (6.2)ё (5) иу S(X,У) = иу ^*(х,У) + иу (11- 1) [х,У] + + иу 12 (Ех Fx У - Еу Fx X) + иу 1з (Е Fx X У - Е Fx У X) + + иу 14 S*( Fx X , Fx У) + иу 14 [ Fx X , Fx У] + 8xyzt {15 [и (Ех Fx У) - uz (Еу Fx X) ] + 16 ^ ^*(х,У)+ 17 ^ S*(Fx X , Fx У) + 18 [ ^ (Е FxX У) - UZ (Е Fx у X) ] + iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. + 16 ( и [х,У] ) + 17 и [ Fx X , Fx У] } (6.2)е (6) Fy S(X,У) = Fy ^*(х,У) + Fy (11- 1) [х,У] + + Fy І2 (Ех Fx У - Еу Fx X) + Fy Iз (Е Fx X У - Е Fx У X) + + Fy І4 S*( Fx X , Fx У) + Fy ^ [ Fx X , Fx У] + І5 [8xyztЪ (Ех Fx У) - 8xyzt Ft (Еу Fx X) ] + ^ [(- FyFz ) (Ех Fx У) - ( - FyFz ) (Еу Fx X) ] + І5 [ иу(Ех Fx У)Иx - иу(Еу Fx X) Иx ] + ^ [ uZ(Eх Fx У) Иу - uZ(Eу Fx X) Иу ] + ^ [(- 5xyz ) (Ех Fx У) - ( - 5xyz ) (Еу Fx X) ] + ¡6 (8xyzt Ft ^*(х,У))+ ¡6 (- FyFz ) ^*(х,У)) + ¡6 и^^хДУИ + Ь и^*(х,У)Иу + І6 5xyz (S*(X,Y)+ І7 (Sxyzt Ft ) S*(Fx X , Fx Y) + + I7 (- FyFz ) S*(Fx X , Fx Y)+ I7 uy S*(Fx X , Fx Y)Ux + І7 uz S*(Fx X , Fx Y)Uy + І7 (- 5xyz ) S*(Fx X , Fx Y)+ + І6 ((Sxyzt Ft ) [X,Y] )+ І6 ( - FyFz ) [X,Y] + І6 ( uy[X,Y] Ux )+ І6 ( uz[X,Y] Uy ) + + І6 (- 5xyz ) [X,Y] + І7 (Sxyzt Ft ) [ Fx X , Fx Y] + + І7 ( - FyFz ) [ Fx X , Fx Y]+ І7 ( uy[ Fx X , Fx Y]Ux ) + + І7 ( uz[ Fx X , Fx Y]Uy ) + І7 (- 5xyz ) [ Fx X , Fx Y] + + І8 [Sxyzt Ft (E Fx X Y) - Sxyzt Ft (E Fx Y X) ] + І8 [( - FyFz )(E Fx X Y) - ( - FyFz ) (E Fx Y X) ] + І8 [ uy(E Fx X Y) Ux - uy(E Fx Y X) Ux ] + І8 [ uz(E Fx X Y) Uy - uz(E Fx Y X) Uy ] + І8 [( - 5xyz )(E Fx X Y) - ( - 5xyz ) (E Fx Y X) ] (6.2)f Theorem (6.2). Let the connexion D and E be related by the equation (6.1) and if connexion E is symmetric then the torsion tensor S of connexion D is given by (1) S(X,Y) =(Іі- 1) [X,Y] + І2 (Ex Fx Y - Ey Fx X) + + Із (E Fx X Y - E Fx Y X) + І4 [ Fx X , Fx Y] + І5 [Fx (Ex Fx Y) - Fx (Ey Fx X) ] + І6 (Fx [X,Y] ) + І7 Fx [ Fx X , Fx Y]+ І8 [Fx (E Fx X Y) - Fx (E Fx y X) ] (2) S(Uy,Y) =(Іі- 1) [Uy,Y] + І2 E Uy Fx Y - № Fx y Uy + + І5 Fx (E Uy Fx Y) + І6 (Fx [Uy,Y] ) - І8Fx (E Fx y Uy) + + Sxyzt [- І2 Ey Uz + Із E Uz Y + І4 [ Uz , Fx Y] - (6.3)a - І5 Fx (Ey Uz) + І7 Fx [Uz , Fx Y]+ І8 Fx (E Uz Y)] (6.3)b (3) S(X, Uy) =(Іі- 1) [X, Uy] - І2 E Uy Fx X + І3 E Fx x Uy - - І5 Fx (E Uy Fx X) + І6 (Fx [X, Uy] ) + І8 Fx (E Fx x Uy) + + Sxyzt [І2 Ex Uz - Із E Uz X + І4 [ Fx X , Uz] + + І5 Fx (Ex Uz) + І7 Fx [ Fx X , Uz]- І8 Fx (E Uz X) ] (63)c (4) S(Ux, Uy) =(І1- 1) [Ux, Uy] + Із E Fx Ux Uy + І6 (Fx [Ux, Uy] ) + + Sxyzt [І2 E Ux Uz - Із E Uz Ux + І5 Fx (E Ux Uz) - І8 Fx (E Uz Ux) ] (5) uy S(X,Y) =(І1- 1) uy [X,Y] + І2 (uy Ex Fx Y - uy Ey Fx X) + (63)d + I3 (uy E Fx X Y - uy E Fx y X) + 14 uy [ Fx X , Fx Y] + + Sxyzt {I5 [uz (Ex Fx Y) - uz (Ey Fx X) ] + I, (uz [X,Y] ) + + I7 uz [ Fx X , Fx Y]+ Ig [ uz (E fx x Y) - uz (E Fx y X) ] } (6.3)e Deptt.of MathematicsDDUGorakhpur University, India Поступило 27.03.2007 г. REFERENCES 1. Kuo Ying - Yan (1970) : On almost contact 3-structure,Tohoku math. J. 22(3), 325 - 332. 2. Mishra R.S. (1973) : A course in tensors with applications to Riemannian geometry, Pothishala Pvt. Ltd., Allahabad. 3. Mishra R.S. (1984) : Structure on a differentiable manifold and their application, Chandrama Prakashan, Allahabad. 4. Pandey S.B. (1975) : A study of almost complex and almost contact manifolds, Ph. D. Thesis, B. H. U. Varanasi. 5. Pandey S.B. (1997) : Connexion in 3-structure metric manifolds, vol. 15, The tensor society of India, Lucknow Судхир Кумар Сривастава, Маниша М.Канкаредж СВЯЗИ В ЧЕТЫРЕХСТРУКТУРНОМ МЕТРИЧЕСКОМ МНОГООБРАЗИИ В данной работе приведены определения Fji-связи, квази Fx-связи, близкие Fx-связи и почти Fx-связи в четырехструктурном метрическом многообразии и выведены различные условия эквивалентности. Приводится также соотношение между двумя тензорами напряжения. Судхир Кумар Сривастава, Маниша М. Канкареч АЛОЦА ДАР БИСЁРШАКЛИИ МЕТРИКИИ 4-СТРУКТУРАНОК Дар ин макола таърифоти Fx- алокди умумй, квази Fx -алока, Fx-алокаиназдик ва кариб Fx-алокд дар бисёршаклаи метрикии 4-структуранок дода шуда, шартх,ои мухта-лифи эквивалентнокй оварда шудаанд. Инчунин таносуби байни ду тензори шиддатнокй низ оварда шудааст.

https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskoe-opisanie-aerodinamicheskogo-metoda-obespylivaniya-vozduha-rabochih-zon-konveyernogo-transporta

Уточнены физические особенности и математическое описание аэродинамического метода обеспыливания воздуха рабочих зон конвейерного транспорта. Усовершенствованы зависимости для определения расчетных скоростей в условиях безинерционного и инерционного пылеулавливания; дополнительные условия достаточности расхода отсасываемого воздуха и предотвращения пылеуноса за пределы активной зоны улавливания, выполнение которых обеспечивает корректность расчета; суммарной эффективности аэродинамического пылеулавливания для технических решений. Ил. 1. Библиогр. 7 назв.

УДК 658.382:697 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО МЕТОДА ОБЕСПЫЛИВАНИЯ ВОЗДУХА РАБОЧИХ ЗОН КОНВЕЙЕРНОГО ТРАНСПОРТА © 2007 г. Н.А. Страхова, К.А. Белокур Физическая картина аэродинамического пылега-зоулавливания представляет собой сложный и многофакторный процесс. Его протекание обусловлено одновременным действием на многофазные дисперсные системы комплекса взаимосвязанных внешних и внутренних воздействий: гравитационных, инерционных, турбулентных, конвективных, диффузионных и даже форетических. Для математического описания физической картины аэродинамического улавливания и его эффективности нами использован принцип аналогий с достаточно хорошо изученным процессом осаждения частиц из воздушного потока на поверхности осадителя [1, 2]. В качестве осаждающей поверхности нами принята кинетически значимая рабочая поверхность улавливания - поверхность равных скоростей спектра всасывания (поверхность изотахи), параметры которой обеспечивают возможность пыле-газоулавливания при заданных технологических условиях (рисунок). А результирующий акт процесса улавливания - попадание пылевой частицы (молекулы газа) на эту поверхность. Общая эффективность процесса улавливания -Е ул в этом случае может быть описана с учетом допущения, что пылевые частицы (молекулы газа), не уловленные в результате действия одного из механизмов, могут быть уловлены благодаря действию других Еул = 1 -(1 - Еин )(1 - Етур )( - Едиф )( - Ефор ) где E ин ' E тур ; E диф E фор ния за счет действия дополнительных присущих им механизмов. Таким образом, область действия и эффективность того или иного механизма улавливания связана прежде всего со степенью увлечения частиц турбулентным воздушным потоком. В [3, 4] показано, что решение этого вопроса зависит от значения времени релаксации частиц - тр, с, которое в области действия закона Стокса определяется по формуле [2] т р = — = - d2э (рм -Рв)Ск в - соответственно эффек- тивности процесса улавливания под действием инерционного, турбулентного, диффузионного и форети-ческого механизмов. Необходимо подчеркнуть, что в условиях аэродинамического пылегазоулавливания доминирующим механизмом улавливания является именно турбулентный, на фоне которого действуют все остальные механизмы. При этом именно турбулентный механизм реализует сущность метода, заключающуюся в транспортировании воздушными течениями пылевых частиц (молекул газа) от места их выделения до всасывающего отверстия. Самостоятельность при своем распространении проявляют, прежде всего, мелкие и крупные частицы (проявление дисперсно-концевых эффектов). В частности, на движение мелких частиц в той или другой степени оказывает влияние диффузия и форетические явления, а на движение крупных частиц - их инерционность. Изменяя эффективность турбулентного механизма, эти явления в свою очередь влияют на общую эффективность процесса улавлива- где Ск - поправка Кенингема-Милликена, учитывающая повышенную подвижность мелкодисперсных частиц; и пэ - эквивалентный диаметр улавливаемых пылевых частиц (молекул газа), м, определяемый из условия: п^/хП или d шд/хЛ - для пылевого аэрозоля; и пэ _ | (1) мол или I{- для газообразных ЗВ. (1) В условии (1) и п - медианный диаметр пылевых частиц, м; и п - характерный среднефракционный диаметр пылевых частиц, м; и мол - размер молекулы газообразных загрязнений, м; и - средняя длина свободного пробега газовых молекул. Уровень дисперсности, при котором необходимо принимать во внимание поправку Кенингема-Милликена, ограничен размером частиц ипэ = 10-5м. Для более крупных частиц величину С к можно не учитывать. Проведенная нами оценка времени релаксации показывает, что практически полное увлечение турбулентным воздушным потоком характерно для частиц диаметром и пэ ^ 6-10- м (время релаксации Тр ^ 10-2 с). Такие частицы наиболее восприимчивы к аэродинамическим флуктуациям воздушной среды, а их расчетная скорость ипр, м/с, может быть принята равной средней скорости воздушного потока ивр , м/с, в соответствующей расчетной точке, представляющей собой векторную сумму: - средней скорости направленного движения внешнего воздушного потока (подвижности воздуха в помещении) - ив, м/с; - средней скорости всасывания устройства улавливания аспирационной системы - ивс, м/с; - средней скорости конвективных течений от источника пылегазовыделения - икв, м/с. \ исоб К расчету эффективности процесса обеспыливания аэродинамическим методом Абсолютное значение средней скорости направленного движения внешнего воздушного потока ив при отсутствии защитных фартуков, укрытий и т.п. определяется подвижностью воздушной среды, окружающей источник пылегазовыделения. Для узлов перегрузок скорость ив равна так называемой компрессионной скорости приточной струи - иком [5]. Приточная струя (веерного типа) образуется в месте выгрузки транспортируемого материала из желоба на принимающий конвейер за счет растекания эжекти-руемого воздуха [5]. Одновременно с растеканием за счет падения материала происходит сжатие этой струи и выдавливание ее во внутреннюю полость кожуха нижнего укрытия со скоростью [5]: иком = 0,5ик. Абсолютное значение средней скорости всасывания устройства улавливания ивс в расчетной точке определяется типом стока и формой поверхности, ограничивающей пространство для подтекания к нему воздуха [6, 7]: 1 о ивс = ( + У2 ) L о при точечном стоке; (5) Ф л/ xi+У2 при линейном стоке, где ьо - расход воздуха в устройстве улавливания, м /с; Xi > Уг координаты расчетной точки, м; а X X длина линейного стока, м; фт - телесный угол между плоскостями, ограничивающими сток воздуха, рад. Средняя скорость конвективных течений икв обусловлена наличием градиента температур между поверхностью источника пылегазовыделения и окружающим воздухом. Проявление гравитационных сил становится значимым при критерии Архимеда Аг ^ 0,0005 [6]. Максимальное значение скорости, имеющее место на оси конвективной струи - и^в согласно [6] зависит от формы источника пылегазо-выделения: - для источников компактной формы (осесиммет-ричная струя): ( Я I с 17 Ukb = 0,0425 í стр í 0,119 Q l стр + 2r - при h < 2lи - при H > 2lи и кв = 1 0,030Q' стр - при h < 2l и í U кв = Ukb exP í -81 А 2 А H - y ипр =1 (^пр )х = Ubcosф -UBcSina -UKBSinY (ипр) =-UBSin ф - UbcCOS a -UkbCOS y (3) (4) - для источников вытянутой формы (плоская струя) Í А0-38 0,0536/3 - при И * > 21 ист, где Я - количество избыточного (конвективного) тепла, вносимого струей, Вт; I стр - характерный размер струи в расчетном поперечном сечении, м; I ист -характерный размер источника пылегазовыделения, м; г - радиус осесимметричной струи в сечении переходного участка, м, равный 0,385 Iист; Ь - ширина плоской струи в сечении переходного участка, м, равная 0,771ист; И* - расстояние от источника пылегазо-выделения до расчетного сечения, м. Зная величину осевой скорости, можно определить абсолютное значение скорости конвективных течений в любой расчетной точке икв [6]: где Н - высота расположения центра всасывающего отверстия устройства улавливания над источником пылегазовыделения, м. Таким образом, расчетная скорость пылевых частиц, временем релаксации которых можно пренебречь, с учетом выбранной системы координат (рисунок) равно: : ивр = ^(ипр )22 + (ипр )) , (2) где (ипр ) _ проекция расчетной скорости частицы на ось ОХ, м/с; (ипр) - проекция расчетной скорости частицы на ось ОУ, м/с. В свою очередь: где ф - угол между вектором скорости Ub и осью ОХ (по часовой стрелке), град; y - угол между горизонталью и осью ОХ (по часовой стрелке), град; а -угол между вектором скорости ивс и осью ОУ (по часовой стрелке), град. Если временем релаксации частиц пренебречь нельзя (тр >10-2 с), то они имеют инерционность достаточную, чтобы частично или полностью преодолеть увлечение их воздушным потоком. В этом случае расчет эффективности процесса аэродинамического улавливания необходимо производить по относительной расчетной скорости движения частиц ипр, м/с, учитывающей помимо средней расчетной скорости воздушного потока ивр : - собственную скорость движения частиц исоб ; - скорость гравитационного оседания (скорости витания) частиц иs [3]. Абсолютное значение собственной скорости движения частиц исоб, м/с, определяется технологическими условиями работы оборудования. Таким образом, расчетная скорость пылевых частиц ипр, временем релаксации которых пренебречь нельзя (условие неполного увлечения частиц воздушным потоком), может быть также определена по выражению (2), в котором проекции на оси координат будут соответственно (ипр ) = ив cos ф - ивс sin а - Ukb sin y + иs sin Y + исоб cos в, (5) iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. (ипр) =-Ub sin ф-ивс cos а-икв cos Y + u s cos Y-иоб sin в, (6) где в - угол между вектором скорости исоб и осью ОХ (по часовой стрелке), град. Определение расчетной скорости частиц u^ позволяет непосредственно прейти к расчету составляющих эффективности процесса их улавливания. Но прежде необходимо произвести проверку двух условий, позволяющих говорить о корректности расчета эффективности. К этим условиям относятся: 1) достаточность расхода отсасываемого воздуха с точки зрения обеспечения процесса транспортирования загрязняющих веществ от источника их выделения до всасывающего сечения устройства улавливания; 2) локализация загрязнений и предотвращение их уноса за пределы активной зоны улавливания (области действия спектра всасывания) под действием сдувающих потоков. Расход отсасываемого воздуха можно считать достаточным (см. рисунок), если: (иПр ) < 0; (иПр) ^ 0 А (ивс )у > (иПр) (7) сти всасывания - и = (иПр) при yi = 0 и Xi = 0. В результате уравнение граничной траектории принимает следующий вид [7]: 0,5k ( Уг + h з Л2 D э + С 1 - 0,5k yJ+h D экв У Л +С (Уг + h з ) (8) k= Uцh 2 где С - константа интегрирования С = 0,5 ~ k D э D э + 0, 25 улавливания (области действия спектра всасывания) можно записать как где иЩ^ - расчетная скорость движения частиц без учета скорости всасывания ивс, которую обеспечивает устройство улавливания при расходе Iо, м/с. Невыполнение условия (7) свидетельствует о необходимости увеличения расхода отсасываемого воздуха. Для определения второго условия нами использовано уравнение траектории движения частиц [7], находящихся в зоне действия местного отсоса. Поскольку это уравнение учитывает наличие как всасывающей (осевой) скорости, так и скорости бокового сдувающего потока (параллельной оси ОХ), то можно получить зависимость для граничной траектории движения частиц. Граничная траектория, пересекая ось всасывания, проходит через кромку всасывающего сечения устройства улавливания, определяя тем самым границу его активной зоны. При этом если источник пыле-газовыделения находится в пределах граничной траектории, то загрязненный воздух даже при наличии сдувающего потока попадет во всасывающее сечение. Для вывода уравнения граничной траектории в качестве величины скорости бокового сдувающего потока нами принято значение (иЩр) , а центральной скоро- Уг =■ H 008 У l (9) ист 2. В противном случае необходима корректировка (в сторону уменьшения) высоты расположения центра всасывающего отверстия устройства улавливания над источником пылегазовыделения. В итоге суммарная эффективность аэродинамического пылеулавливания составит: - для устройств, реализующих условия точечного стока: ( Е Ул = 1 - 1 — Stk2 Л ( 1 - 2 2D (Stk+0,35) 1 - exp -4- hn Л ипр Dэ |ивр D вр экв 144п ЦвDп (Св - С!) g РмDэкв (dэкв - dПэ )С (10) - для устройств, реализующих условия линейного стока: ( \ ( „ , > Е ул = 1 - 1 -- Stk ( 1 - 3,19 D и вр D э (Stk+0,35) ■V 1 - exp и -4- пр h п ивр D вр экв 144п ЦвD п (Св - С ) g РmDэкв (dэкв - dпэ )С2 где Бжв - характерный эквивалентный размер всасывающего сечения устройства улавливания, м; Нз -высота устройства улавливания, м; к - вспомогательный коэффициент, равный Зная уравнение граничной траектории (выражение (8)), условие локализации загрязняющих веществ и предотвращения их уноса за пределы активной зоны (11) Таким образом, проведенное нами уточнение математического описания аэродинамического метода обеспыливания воздуха рабочих зон конвейерного транспорта позволило усовершенствовать зависимости для определения: - расчетных скоростей в условиях безынерционного (выражения (3)-(4)) и инерционного (выражение (5)-(6)) движения пылевых частиц; - двух дополнительных условий: достаточности расхода отсасываемого воздуха (выражение (7)) и предотвращения уноса пыли (выражение (9)), обеспечивающих корректность расчета эффективности пылеулавливания; - суммарной эффективности аэродинамического пылеулавливания для технических решений, реализующих условия точечного и линейного стоков (выражения (10), (11)). Литература 1. Саранчук В.И., Журавлев В.П., Рекун В.В., Беспалов В.И., Страхова Н.А. и др. Системы борьбы с пылью на промышленных предприятиях. Киев, 1994. 2. Ужов В.Н., Вальдберг А.Ю., Мягков Б.И. и др. Очистка промышленных газов от пыли. М., 1981. 3. Райст П. Аэрозоли. М., 1987. 4. ФуксН.А. Механика аэрозолей. М., 1955. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 5. Логачев И.Н. Основы расчета технических средств локализации и обеспыливания воздуха для снижения мощности выброса пыли в атмосферу при перегрузке сыпучих В ходе триботехнических испытаний и при эксплуатации различных машин и механизмов возникает необходимость качественной и количественной оценки процессов изменения структуры поверхностных слоёв материалов в зонах трибоконтакта и выявления признаков их разрушения на микро- и макроуровне. Такая оценка осуществляется с целью изучения свойств взаимодействующих материалов и создания новых материалов с требуемыми характеристиками, своевременного обнаружения развивающихся дефектов в деталях машин и принятия мер по их устранению, что позволяет предотвратить катастрофический износ материала, приводящий к аварийным последствиям. Для решения поставленных задач разрабатываются технические средства и методы, позволяющие проследить динамику процесса трения, не нарушая три-боконтакт (методы неразрушающего контроля), и на основе выявленных закономерностей определить признаки изменения структуры, износа и разрушения материала. В настоящее время существуют различные методы неразрушающего контроля трибосопряжений: электронные, оптические, акустические и др. [1]. Одним из наиболее эффективных является метод акустической эмиссии (АЭ). Он основан на регистрации механических колебаний, возникающих в результате упругопластической деформации трущихся поверхностей. Акустические колебания при трении инициируются ударным взаимодействием микровыступов сопрягаемых поверхностей, процессами разрушения фрикционных связей и структурно-фазовой перестройки материалов, образованием и развитием трещин и микротрещин в поверхностных слоях взаимодействующих тел, отделением частиц износа [2, 3]. материалов на рудоподготовительных фабриках: Дис. ... д-ра техн. наук. Белгород, 1996. 6. Шепелев И.А. Аэродинамика воздушных потоков в помещении. М., 1978. 7. Батурин В.В. Основы промышленной вентиляции. М., 1979. г. Задачей исследования является нахождение математической модели АЭ, которая бы позволила прогнозировать долговечность тела на основании параметров регистрируемого сигнала АЭ. На сегодня не существует единой модели АЭ. Это явление рассматривается с различных точек зрения (микро- и макроскопической), с разной степенью детализации параметров и различным количеством допущений [2, 4- 6]. Поэтому проблема поиска взаимосвязи между параметрами сигналов АЭ и процессами, происходящими в зоне фрикционного контакта, является актуальной. С точки зрения наиболее эффективного практического использования вызывает интерес феноменологическая модель АЭ, основанная на применении кинетической концепции прочности [4, 7], согласно которой разрушение представляет собой термоактивированное зарождение ансамбля микротрещин, их слияние и рост результирующей макротрещины. В данной модели за основу берётся ячеистая излучающая структура, образующаяся при трении твердых тел в контактной области и определяемая физико-механическими, в частности геометрическими, свойствами взаимодействующих поверхностей [8, 9]. Предполагается, что тело состоит из N ячеек, каждая из которых представляет собой некоторый объем материала и характеризуется критическим напряжением разрыва а, а все тело - некоторой функцией распределения ячеек по прочности в начальный момент времени N(0, 0) (рис. 1). Ячейки совершают термоактивированные колебания (флуктуации) относительно положения равновесия, однако кинетическая энергия этих колебаний при отсутствии внешних напряжений не превышает энергию активации разруше- Ростовский государственный строительный университет; Кубанский государственный аграрный университет, г. Краснодар 22 ноября 2006 УДК 681.518.5:534.08 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ НА ОСНОВЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ ПРИ АКУСТОЭМИССИОННОМ ДИАГНОСТИРОВАНИИ ТРИБОСОПРЯЖЕНИЙ © 2007 г. А.В. Гольцев

https://cyberleninka.ru/article/n/kolichestvennoe-postroenie-diagramm-rastvorimosti-sistem-na2co3-na2m0o4-na2wo4-h2o-s-pomoschyu-urovneniy

Продемонстрирована возможность расчета изотерм растворимости с применением уравнений Питцера в модельных системах Na2CO3-Na2MoO4-H2O и Na2CO3-Na2WO4-H2O в широком интервале температур. При прогнозировании растворимости солей в системах для температур, отличных от стандартной (250С ), предполагалось, что значения логарифма «эффективного» произведения растворимости твердых фаз линейно зависят от температуры и могут быть вычислены через бинарные параметры Питцера (25 0С). Результаты расчета хорошо согласуются с экспериментальными данными по растворимости.

УДК 541.123.3 КОЛИЧЕСТВЕННОЕ ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММ РАСТВОРИМОСТИ СИСТЕМ NaiCOs-NaiMoO^NaiWO^ -H2O С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЙ ПИТЦЕРА © 2008 г. Р.С. Мирзоев, М.Х. Лигидов, А.А. Кяров, Р.А. Шетов Кабардино-Балкарский государственный университет, Kabardino-Balkar State University, 360004, КБР, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173, 360004, KBR, Nalchik, Chernishevskiy St., 173, [email protected] [email protected] Продемонстрирована возможность расчета изотерм растворимости с применением уравнений Питцера в модельных системах Na2CO3—Na2MoO4—H2O и Na2CO3—Na2WO4—H2O в широком интервале температур. При прогнозировании растворимости солей в системах для температур, отличных от стандартной (25 "С ), предполагалось, что значения логарифма «эффективного» произведения растворимости твердых фаз линейно зависят от температуры и могут быть вычислены через бинарные параметры Питцера (25 '"С). Результаты расчета хорошо согласуются с экспериментальными данными по растворимости. Ключевые слова: растворимость, карбонат, молибдат, вольфрамат натрия, моделирование, уравнения Питцера, диаграмма растворимости. The possibility isotherms solubility calculation with application of Pitzer Equations in modeling systems Na2CO3—Na2MoO4—H2O and Na2CO3 —Na2WO4—H2O is shown in a wide interval oftemperatures. Results of calculation are well coordinated to experimental data ofsolubility. Keywords: solubility, sodium carbonate, molubdate, tungstate, modeling, pitzer equation, solubility diagram. Одним из важных направлений исследования вод- венное построение диаграмм растворимости. Ценно-солевых систем в настоящее время является изуче- ность таких расчетно-экспериментальных методов в ние возможности расчета их основных термодинами- том, что они приводят к сокращению большого объе-ческих характеристик с использованием ограниченно- ма экспериментов по изучению растворимости в много набора исходных данных, а через них — количест- гокомпонентных водно-солевых системах. Цель настоящей работы - демонстрация возможности количественного построения изотерм растворимости в модельных системах №2С03-№2Мо04-Н20 и №2С03-№^04-Н20 в широком температурном интервале. Выбор этих систем обусловлен следующими причинами: 1) системы имеют важное практическое значение, являясь основой способа регенерации избыточной соды из растворов автоклавного выщелачивания при гидрометаллургической переработке молибдено-вольфрамового сырья [1]; 2) взаимная растворимость солевых компонентов в этих системах подробно изучена для широкого интервала температур [2]; 3) постановка задачи связана с термодинамическим изучением фазовых равновесий в четверной системе №2С0з - №2Мо04 - №2"^4-Н20. Построение расчетной изотермы растворимости многокомпонентной системы основывается на применении условий химического и фазового равновесия [3]. В этом случае для всех растворов в системе А1 - А2 -А3, находящихся в равновесии с твердой фазой соединения /1А//2А273А3, функция 1па(11, 12, 13, т1, т2) = =111па1 + 121па2+131па3 = свт1= 1пПР должна иметь одно и то же значение (так как она характеризует произведение растворимости соединения с учетом коэффициентов активности всех компонентов). В приведенном соотношении 11, 12, 13 - стехиометрические коэффициенты солевых компонентов и воды в формуле соединения; а1, а2, а3 - активности компонентов системы, которые вычисляются через среднеионные коэффициенты активности электролитов и осмотический коэффициент воды; т1 и т2 - моляльность солевых компонентов; ПР - произведения растворимости. Экспериментальное определение коэффициентов активности солевых компонентов для растворов тройных систем часто превращается в трудновыполнимую задачу. Поэтому обязательным условием осуществления термодинамического подхода для расчета изотерм растворимости тройных и более сложных систем является наличие модели, адекватно представляющей избыточные термодинамические свойства в многокомпонентных растворах через их значения в бинарных подсистемах. Тогда процедура расчета изотермы растворимости тройной водно-солевой системы простого эвтонического типа (именно такими являются модельные системы) будет сводиться к следующим операциям. Вначале, зная природу твердых фаз систем 11А1'13А3 и 11А1'13А3 и их растворимость в системах А1 - Н20 и А2 - Н20, через коэффициенты активности солей и осмотический коэффициент воды насыщенных растворов вычисляются значения термодинамических функций 1па (11, 0, 13) и 1па(0, 12, 13), равные логарифмам произведений растворимости твердых фаз ШПР^А^А; и ¡пПР^Л/ЗАз). Далее находят точки на диаграмме растворимости уже тройной системы, в которых значения функций 1па(11,0,13) и 1па(0,12,13) совпадают с их значениями в бинарных системах. В результате таких операций получают расчетную изотерму растворимости. Она на диаграмме растворимости будет представлять две пересекающиеся ветви, а точка пересечения будет расчетной эвтонической точкой. Продолжение этих ветвей за точку пересечения, в область метастабиль-ных растворов, не имеет физического смысла. В последние десятилетия для описания термодинамических свойств водных растворов электролитов широкое применение находит модель Питцера [4-7]. Она обладает определенными достоинствами, так как во многих случаях в пределах ошибки эксперимента описывает коэффициенты активности электролитов и осмотический коэффициент воды в широком концентрационном интервале как в бинарных, так и многокомпонентных системах. Для этого необходимо незначительное количество специфических двойных и тройных параметров. Применительно к тройным системам с общим катионом МХ-МУ-Н20 уравнение Питцера для вычисления осмотического коэффициента воды р может быть представлено в виде следующего соотношения: р-1 = 2(2 ml)-\lf Р(1) + + 2 mMma BMa (1) + zM 12 mMCMa + mYm XmY \yXY {»X + m. (Wmxy )}• (1) Подобное выражение имеется и для расчета коэффициентов активности электролитов - компонентов тройной системы. В этих соотношениях а - индекс аниона X или У; тм, та - моляльности соответствующих ионов; 2м и 2а -заряды ионов. Уравнения содержат функции /с(Т) , /(/), ВрМа(Т) и ВуМа(Т), которые имеют тот же вид, что в уравнениях Питцера для бинарных систем Ма - Н20: р -1 = р(7) + У^а (I) + 2 2(^а)32 + m ПР 'CMa' (2) In^Ma = ZMZaf (1) + mf2^ \BMa (1) + V V + m 2 2(vMVa)3/2 cу Ma (3) Функции /р(Т) и /(Т) характеризуют соответствующие вклады дальнодействующих сил, согласно моде- др 77 ли Дебая-Хюккеля, и имеют вид /р =---¡=т-, (1 + И 7) где Ар - посто- fу = -Ар Л 2, h : + — 1П11 + (1 + ь^/1) ь 2in1+W7) янная Дебая-Хюккеля, равная 0,3915 при 25 °С; Ь = 1,2 для электролитов всех типов. Другие функции ВрМа(Т) и ВуМа(Т) учитывают короткодействующие взаимодействия между ионами, и их зависимость от ионной силы Т аппроксимируется следующими уравнениями: ВМа (7) = М + РМа ехР("«1 Л) + М ехр(-а247) , (4) 0(°) Ма BMa (1)=2ßMa+ (5) + z a a V V 2ßm 2ßMa «I 2ß(2) 2ßMa « I 1 - (1 + aj Л - j aj21) exp(-aj JJ) 1 — (1 + a2y/I — 1 a| I) exp(- a2 y/I) Для большинства электролитов в соотношениях (4), (5) приняты следующие значения показателей: а1=2, а2 = 0. При этом 02>Мсг 0. Для электролитов, отличающихся сильной ассоциацией, т.е. 2-2-электролитов, оптимальными являются а1 = 1,4; а2=12. Бинарные параметры Питцера 0о>Ма, 01>Ма, 02>Ма в уравнениях (4), (5) индивидуальны для каждого электролита. Обычно для расчета ВфМа(Т) и БуМа(Т) достаточно применения двух подгоночных параметров 0о>Ма и 01>Ма. Для 2-2-электролитов этих параметров недостаточно, и Питцер рекомендует использовать еще и 02>Ма . Параметр СфМа характеризует тройные взаимодействия ММа и Маа. Параметр СМа в уравнении (3) выражается через СфМа по формуле С7Ма =(3/2)С£а. (6) Таким образом, для описания бинарной системы по методу Питцера необходимо знать не более четырех параметров: 0о>Ма, 01>Ма, 02>Ма и С'Ма. Их находят из экспериментальных данных зависимости осмотического коэффициента воды или коэффициента активности электролита от состава раствора. Из приведенного выше соотношения (1) видно, что при переходе от бинарных систем к тройным (речь идет о тройных водно-солевых системах с общим катионом) появляются новые параметры 3^ и ¥Мху [6]. Параметр 3хт характеризует взаимодействие ионов XX, УУ и ХУ, а отражает тройные взаимодействия МХУ, МХХ и МУУ. Параметры 3^ и \умхг имеют небольшие значения по абсолютной величине в силу отталкивания ионов одного заряда. Тройные параметры Питцера могут быть найдены различными способами [8]. Среди них широкое применение нашли два: метод, основанный на анализе массива {ф, ш1,ш2}, полученного для ненасыщенных растворов, и метод растворимости [8, 9]. Порядок расчета диаграмм растворимости тройной водно-солевой системы при температурах, отличных от 25 °С, такой же, что и при стандартной температуре. Для проведения вычислений в этом случае необходимы температурные зависимости постоянной Де-бая-Хюккеля Аф, бинарных и тройных параметров Питцера. Расчет постоянной Дебая-Хюккеля А ф при различных температурах может быть осуществлен с помощью семипараметрического уравнения, предложенного в [10]. Для вычисления бинарных параметров Питцера при температурах, отличных от 25 °С, Л. Сильвестер дУМа иРм и К. Питцер [11] приводят значения —— дТ Ma дТ dßßMa дСv дС л^ для 91 электролита. Однако концен- дТ дТ трационная область, в которой возможны расчеты с использованием этих производных, для многих систем весьма ограничена [12]. В обзорной работе Питцера [8] собраны эмпирические температурные зависимости параметров Питцера для небольшого числа электролитов, играющих важную роль в гидрогеохимии озер и морей (эвапоритовых бассейнов). Среди представленных электролитов нет молибдата, вольф-рамата и карбоната натрия. Те же проблемы возникают при рассмотрении вопроса о температурной зависимости тройных параметров 3 и ^ . Анализ экспериментальных данных изменения этих параметров с температурой в различных тройных водно-электролитных системах, проведенный в [8], показал, что они могут быть описаны простой функциональной зависимостью, а в некоторых системах остаются такими же, что и при 25 °С. Таким образом, представленный выше материал позволяет оценить сложности количественного моделирования фазовых диаграмм растворимости в широком интервале температур с применением модели Питцера. Для этого требуется значительный объем экспериментальной работы, направленной на получение термодинамической информации при соответствующих температурах - у (т) или ф (т) в бинарных подсистемах (для расчета бинарных параметров Пит-цера), а затем ф (т1 , т2) в тройной системе (для вычисления тройных параметров Питцера). Это делает расчетно-экспериментальный метод с применением модели Питцера таким же трудоемким, как и экспериментальное изучение изотерм растворимости солевых компонентов в тройной водно-солевой системе при различных температурах. В.В. Куриленко, В.К. Филиппов и др. [13] обратили внимание на интересный факт, что диаграммы растворимости систем №С1-№2804-Н20, NaCl-MgCl2-H2O в интервале температур от -5 до 30 °С с удовлетворительной точностью можно описать набором бинарных параметров Питцера для 25 °С. Это позволило им, имея в своем распоряжении ограниченный набор экспериментальных данных, осуществить расчет диаграммы растворимости в четверной системе № +, Mg2+|| С1-, 8042- - Н20 в широком интервале температур. Такой подход к прогнозированию свойств в тройных водно-солевых системах заслуживает внимания и в нашем случае был апробирован для количественного построения диаграмм растворимости систем №2С0э - Na2W04 - Н2О и ^2С0з -^2Мо04 -Н2О при различных температурах. Для этого вначале были определены бинарные параметры Питцера для молибдата и вольфрамата натрия при 25 °С. В качестве исходных массивов {у, ш} для нахождения бинарных параметров использовались данные, взятые из [14]. При этом для повышения точности аппроксимации концентрационной зависимости у (т) и ф(т) уравнениями Питцера в соотношениях (4), (5) изменено численное значение показателя а1=2,0 на а1=3,2. В результате расчета получены наборы параметров Питцера для систем №2Мо04 - Н20 и Na2W04- Н20 (табл. 1). Установлено, что избыточные термодинамические свойства растворов молибдата и вольфрамата натрия, вычисленные с помощью этих параметров, не могут + iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. + быть представлены с точностью изопие-стического эксперимента. Средняя погрешность расчетов у(т) и р (т) по уравнениям (2), (3) относительно высока, но не превышает 2,5 %. Объяснение такому поведению молибдата и вольфрамата натрия в водном растворе предложено Рардом [15], который связывает аномальный ход концентрационных зависимостей осмотического коэффициента воды в растворах этих соединений с сильными гидролитическими процессами. Параметры Питцера при 25 °С для карбоната натрия взяты из [16] и также представлены в табл. 1. Таблица 1 Бинарные параметры в уравнениях Питцера для №2Мо04, Ка^04 и №2С03 Таблица 2 Коэффициенты регрессии А и В в уравнении 1пПР =AT+B Интервал Коэффициент Твердая фаза температур, K А В корреляции, R Na2CO310H20 288,15-303,15 0,06846 -22,3162 0,998 ß-Na2CO37H20 298,15-309,15 0,0246 -8,4576 0,999 Na2CO3H20 313,15-373,15 -0,0241 7,8408 0,999 Na2MoO42H2O 298,15-373,15 -0,0066 3,8474 0,996 Na2WO42H2O 293,15-348,15 -0,0031 2,1158 0,988 Система 0O>mx ß(1 MX С aj Na2MoO4 -H2O Na2WO4 - H2O Na2CO3 - H2O 0,19124 0,19257 0,05306 4,58561 4,97590 1,29262 -0,01243 -0,01233 0,00094 3,2 3,2 2,0 и У , 9 ? r Na+,СС>3 M0O4- осуществляли из данных по рас- творимости. Для этого в качестве реперных были выбраны изотермы растворимости системы №2С03-№2Мо04-Н20 при 25 и 40 °С [2]. Путем количественной интерпретации данных по взаимной растворимости карбоната и молибдата натрия, с применением модели Питцера было установлено, что минимальные среднеквадратичные отклонения величин 1пПРэфф. от среднего для №2С03ШН20, №2С03Н20, №2Мо042Н20 при 25 и 40 °С наблюдаются тогда, когда тройные параметры Питцера равны со■ Modi" = 0; у Na т ,CO 2 ,MoO2 Далее для всех возможных твердых фаз модельных систем №2С0310Н20, р-Ма2С03'7Н20, №2С0зН20, №2Мо04'2Н20, Na2W04■2H20 при различных температурах были вычислены значения натурального логарифма «эффективного» произведения растворимости 1пПРэфф. «Эффективными» они названы нами потому, что для их расчета при температурах, отличных от 25 °С, применялись среднеионные коэффициенты активности солей и осмотические коэффициенты воды, вычисленные с участием бинарных параметров Питцера, которые определены при 25 °С. Для вычисления 1пПРэфф использованы также данные по растворимости солей в бинарных системах №2С03 - Н20, Na2W04 - Н20 и Na2Mo04 - Н20 при соответствующих температурах. Исключением стал расчет 1пПРэфф для соли ^-Ыа2С03 7Н2О при 25 °С. Эта функция была получена интерпретацией массива данных по растворимости солей в точках, лежащих на ветви растворимости ^-№2С03'7Н20 в системе Na2C03-NaC1-H20 при 25 °С [17]. В расчетах использованы параметры Питцера для бинарных систем №С1 - Н20 и №2С03-Н20, взятые нами из [16]. Тройные параметры Питцера и были при- няты равными нулю. В табл. 2 приведены коэффициенты регрессии А и В уравнения, отражающего температурную зависимость значений 1пПРэфф. для большинства твердых фаз систем №2С03 - Н20, №^04 - Н20 и №2Мо04 - Н20. Расчет тройных параметров Питцера &со 2-Мо02- = 0,007. Равенство тройных параметров Питцера при 25 и 40 °С позволило предположить, что указанные параметры принимают такие же значения и при других температурах. Используя параметры Питцера в соответствующих уравнениях и значения 1пПРэфф твердых фаз, мы рассчитали диаграммы растворимости системы №2С03-№2Мо04-Н20 при 30 и 36 °С, а также изотермы растворимости системы №2С03 -№^04-Н20 при 25, 36, 75 °С. Тройные параметры Питцера в вольфраматной системе нами приняты такими же, что и в молибдатной системе. Данные расчета в виде сплошных линий приведены на рис. 1-3. Там же в виде точек для сравнения представлены экспериментальные данные по растворимости [2]. Как видно из рис. 1-3 и табл. 3, наблюдается вполне удовлетворительное согласие экспериментальных данных по растворимости в системах с результатами расчет-но-экспериментального метода. 30,0 20,0 , 10,0 Na2C03-10H20 ß-Na2C03'7H20 40,Ol Na2C03H20 Na2Mo042H20 0 10,0 20,0 300,3 40,0 Na2MoO4, массовая доля, % 0 10 0 20 0 30 0 4(0 0 Na2MoO4, массовая доля, % б Рис. 1. Изотермы растворимости системы Na2CO3-Na2 MoO4-H2O при 30 (а) и 36 °С (б) Na2C03-H20 0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 Na2WO4, массовая доля, % Na2W04- 2H20 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 Na2WO4, массовая доля, % б Рис. 2. Изотермы растворимости системы Na2CO3-Na2 WO4-H2O при 25 и 36 °С а а Na2CO3-H2O Таблица 3 Сопоставление экспериментальных и расчетных данных растворимости в системе №2С03 - Ка2Мо04-Н20 при 36 °С* Na,WOf2H,O Na2WO4, массовая доля, % Рис. 3. Изотерма растворимости в системе Na2CO3 -Na2WO4-H2O при 75 °С Литература 1. А. с. 1439079 СССР. 1988. Способ регенерации соды из автоклавных щелоков. 2. Каров З.Х., Мохосоев М.В. Растворимость и свойства растворов соединений молибдена и вольфрама: Справочник. / Отв. ред. А.Н. Киргинцев. Новосибирск, 1993. 3. Сторонкин А. В. Термодинамика гетерогенных систем. Ч.1, 2. Л., 1967. 4. Pitzer K.S. Thermodynamics of electrolytes. I. Theoretical basis and general equations // J. Phys. Chem. 1973. Vol. 77. № 2. P. 268-277. 5. Pitzer K.S., Mayorga G. Thermodynamics of electrolytes. II. Activity and osmotic coefficients for strong electrolytes with one or both ions univalent // J. Phys. Chem. 1973. Vol. 77. № 19. P. 2300-2308. 6. Pitzer K.S., Mayorga G. Thermodynamics of electrolytes. III. Activity and osmotic coefficients for 2-2 electrolytes // J. Sol. Chem. 1974. Vol. 3. № 7. P. 539-546. 7. Pitzer K.S., Kim J.J. Thermodynamics of electrolytes. IV. Activity and osmotic coefficients for mixed electrolytes // J. Amer. Chem. Soc. 1974. Vol. 96. № 18. P. 5701-5707. 8. Питцер К.С. Термодинамическое моделирование в геологии: минералы, флюиды и расплавы / Под ред. И. Кар-майла и Х. Ойгстера. М., 1992. C. 110-153. 9. Уир Дж. Там же. C. 154-189. 10. Möller N. The prediction of mineral solubilities in natural waters: A chemical equilibrium model for the Na-Ca-Cl-SO4-H2O system, to high temperature and concetration // Geochim. Cosmochim. Acta. 1988. Vol. 52. № 4. P. 821-837. 11. Silvester L.F., Pitzer K.S. Thermodynamics of electrolytes. X. Enthalpy and the effect of temperature on the activity coefficients // J. Sol. Chem. 1978. Vol. 7. № 5. P. 327-337. 12. Филиппов В.К., Шестаков Н.Е., Чарыкова М.В. Химия и термодинамика растворов. Вып. 6. Л., 1986. C. 167-185. 13. Куриленко В.В. и др. // Докл. АН СССР. 1990. T. 311. № Жидкая фаза Твердая фаза Масс.%, эксп. Масс.%, расч. Na2CO3 Na2MoO4 Na2CO3 Na2MoO4 1 33,09 - 33,08 - Na2CO3H20 2 30,86 3,36 30,69 3,36 То же 3 29,44 5,40 29,24 5,40 - // - 4 28,43 6,86 28,22 6,86 - // - 5 27,49 8,30 27,22 8,30 - // - 6 25,81 10,79 25,51 10,79 - // - 7 24,14 13,32 23,79 13,32 - // - 8 22,95 15,06 22,62 15,06 - // - 9 21,87 16,74 21,51 16,74 - // - 10 21,06 18,09 20,63 18,09 - // - 11 20,05 19,66 19,62 19,66 - // - 12 19,66 20,20 19,27 20,20 Na2CO3H20 + +Na2MoO42H20 13 19,66 20,20 19,66 20,50 То же 14 17,96 21,89 17,96 22,10 Na2MoO42H20 15 13,43 26,45 13,43 26,48 То же 16 8,43 31,51 8,43 31,45 - // - 17 3,96 36,06 3,96 35,99 - // - 18 - 40,07 - 40,06 - // - * - для составления табл. 3 расчетные данные представлены полиномиальными уравнениями. С их помощью вычисляли растворимость карбоната натрия (ветвь растворимости карбоната натрия) при соответствующих значениях растворимости молибдата натрия; для другой ветви - наоборот, растворимость молибдата натрия при соответствующем значении растворимости карбоната натрия. № 1. C. 193-196. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 14. Wu D., Qu S., Xu Z. Isopiestic activity coefficients and osmotic coefficients of sodium molybdate and sodium tungstate in aqueous solution II J. Chem. Thermodynamics. 1990. Vol. 22. № 1. P. 35- 39. 15. Rard J.A. On the osmotic and activity coefficients of Na2WO4(aq) and Na2MoO4(aq) at the temperature 298.15 K, and the relations between mean activity coefficients of solutes under isopiestic conditions II J. Chem. Thermodynamics. 1993. Vol. 25. № 7. P. 887-904. 16. Christov Ch. Thermodynamics of formation of double salts and mixed crystals from aqueous solutions II J. Chem. Thermodynamics. 2005. Vol. 37. № 10. P. 1036-1060. 17. Справочник экспериментальных данных по растворимости многокомпонентных водно-солевых систем. Т. 1. Трехкомпонентные системы. Кн. 1. / Под ред. А.Д. Пельша. Л., 1973. C. 207. Поступила в редакцию 13 марта 2008 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/optimalnoe-proektirovanie-trehsloynyh-obolochek

One of the problems of optimum designing is the maintenance of a minimum structure weight at maintenance of an indispensable carrier level of ability. Often the carrier ability of sandwich cylindrical shells is determined by their stability. The solution of a problem of optimum designing of a sandwich cylindrical shell with mild filler of the loaded axial compressing force and (or) external pressure by a method of Lagrange multiplicities is considered.

А) элемент, например, £ = —, где А0 - амплитуда про- А) стого спектра первой оборотной гармоники; Ац - соответственно амплитуда к - й гармоники с частотой со® исследуемой субдетали. Виброграмма может сниматься не обязательно прямо с ротора или субдетали (что конструктивно невозможно), а с деталей, как можно более тесно связанные с указанными (например, с корпусов опорных узлов). Литература 1. Бидермап B.JI. Прикладная теория механических колебаний. М., 1972. 2. Блехман ИИ. Вибрационная механика. М., 1994. Ъ.Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М., 1980. А.Кунина П.С., Павленко П.П. Диагностика газоперекачивающих агрегатов с центробежными нагнетателями. Ростов н/Д, 2001. 5 .Кунина П. С., Бунякин A.B. Методы анализа спектров вибрации. Ростов н/Д, 2001. ' 6. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М., 1969. Кубанский государственный технологический университет_____________________________________26 ноября 2002 г. УДК 539.3 ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТРЕХСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК © 2003 г. А. А. Татаринов, Г. С. Тимофеев One of the problems of optimum designing is the maintenance of a minimum structure weight at maintenance of an indispensable carrier level of ability. Often the carrier ability of sandwich cylindrical shells is determined by their stability. The solution of a problem of optimum designing of a sandwich cylindrical shell with mild filler of the loaded axial compressing force and (or) external pressure by a method of Lagrange multiplicities is considered. Рассмотрен пример инженерной методики определения параметров трехслойных цилиндрических оболочек (ТЦО) на основе теории устойчивости [1]. Одной из задач оптимального проектирования является обеспечение минимального веса конструкции при необходимом уровне несущей способности, которая часто для ТЦО определяется их устойчивостью. Рассмотрим задачу оптимального проектирования ТЦО с легким заполнителем, нагруженной осевой сжимающей силой. Аналогично решаются задачи при других нагрузках. Как правило, геометрические размеры, материалы несущих слоев и заполнителя выбираются-в зависимости от назначения самой конструкции, выигрыш в весе при этом может быть получен только при рациональном выборе относительных толщин слоев: <5=/2/Я; /=^//2; Л, =й/г2. Здесь Г/, ¡2, Л - толщины внутреннего и внешнего несущих слоев, слоя заполнителя соответственно; 7?-радиус срединной поверхности цилиндрической оболочки. При значительных геометрических размерах можно пренебречь разницей в радиусах слоев и положить = Кср = К. Общий вес оболочки в этом случае можно представить в виде суммы (2 = 2лНг1д{{2+У1Х + 2уъ111'), где у, - удельный вес материала слоев; I - длина оболочки. Физические характеристики каждого из слоев оболочки будем полагать заданными. Остальные проектные параметры входят в решения нелинейных задач устойчивости [1] и могут быть найдены способом множителей Лагранжа. Составим функцию F =0 + Яі^- + Я; ЭЭ . ЭЭ 2 ду+ гдп' - 4Э {l-ßl2ßy2) где Э=• % R 15 Ех2 h безразмерная энергия оболочки; X], Хг, Х3 — неопределенные множители Лагранжа. Приравняем нулю частные производные от этой функции по проектным параметрам / , д, Ь„ безразмерным амплитудам прогибов Сиу/, параметру волнообразования г], а также множителям Лагранжа А,-. Получим систему уравнений задачи оптимального проектирования: |^ = 0; у=1,6; ' (2) 9 Г, У1=Г; у2=5; Уз У4=С; /5=^; Гб dF ЭЯ,- = 0; i=l,2,3. Полная энергия системы Э = £/ - А, где С/иА-потенциальная энергия (ПЭ) и работа внешних сил, и=и1+и2+и1. Здесь 1 и 2 - индексы несущих слоев, внешнего и внутреннего, 3 - заполнителя. и, = ии +ии1, где ис, и„- ПЭ деформации срединной поверхности и изгиба. При определении ПЭ деформации изгиба от действия момента, возникающего за счет разнесения несущих слоев, учтем влияние поперечных сил в заполнителе на изменение кривизны и то, что они удовлетворяют гипотезе прямой линии для заполнителя. А В ПЭ деформации срединной поверхности орто-тропных несущих слоев I 2л IV ■о о хех +ауЕу + *xyYxy 'jdxdy деформации связаны с напряжениями известными зависимостями: Єх=~Ру- У а X Єу =і Мх!Г’ Y L‘x ХУ (3) ‘-X '-‘у ‘-'У X '-’ху Обычным образом введем функцию напряжений ах - Фуу • Оу=Фхх, *х=Фху- (4) Здесь и далее индексы координат у функции напряжений Ф или перемещений и, V, означают частные производные по этим координатам. Учтя (3) и (4), выражение для ПЭ срединной поверхности несущего слоя представим в виде: I 2 кг 'О О JU •+— Er Е ф —Lф F уу Е ™ с.х -\ '\ Ф Ф Л-------------—Ф ^ XX ^ уу т ^ ^ху ^ ху dxdy. (5) Функцию напряжений найдем из уравнения совместности деформаций для ортотропной оболочки [2]: / _1_ Ег Фып,+ — Фгггг+ 2 Gxy Ех Еу Ф = гх\уу 2 1 = ыху +™ххюуу+ — ыхх . Прогиб примем, следуя [1], в виде функции, полученной на основе прямых измерений перемещений в докритическом состоянии и скоростной киносъемкой при потере устойчивости м> = /„ +/^тахьт/Зу +/28т2 ах, ' (6) и подставим в уравнение совместности деформаций (6). Интегрирование последнего даст функцию напряжений ' Ф = е, со&2ах+ г, соэ2Ву + , (7) + £3 зтЗсигвш/З.уч^ sm.ax5m.Py-ру /2, ' где а=тп/1, Р=п/Я - параметры волнообразования; т, п - число полуволн соответственно по образующей и по кольцу; S\ = 32а2 8i = -7л 2д2 azß 2а4 IEV+162ß*/EX+18GI а iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. „ -Е*а fi. 52 ■ /і/г >' gA ,4/r , й4 у ' *““í- • “jr ■ *”“0 2 f /і а ІЕу+Р ІЕХ + 2Є0 О0=а2{32 (іІСху-цхІЕх-цуІЕу). Составляющую прогиба /0 определим из условия замкнутости 2 JtR ¡Vydy = 0, о используя известные уравнения (8) £у-',у + 2™ ^ £ ^Рхх ~ №хФуу)' (9) Из (8), учтя (9), найдем /о=|/2-^2/,2+М^. Подставив значение функций напряжений (7) в (5) и проинтегрировав, получим г / U. =—7i Rit 4 32 04 2 *Tß *, + 32 4 2 ~Га Si + ЕУ 81 1 —а4+—ß*+2G0 8з2 + ПЭ изгиба несущего слоя определим следующим образом: 1 12яй 2 / \ ии =~\ / / Кие» + о>еу« + + 0 0 _1 2 й + ті/ w« + °xxwyy + 20xywxy )dxdy ■ ¿ Jo О 1 Г +—г 2 Здесь первый интеграл - ПЭ изгиба за счет собственной изгибной жесткости слоя, второй - энергия изгиба относительно центральной поверхности. Так как для несущих слоев принята гипотеза прямых нормалей, деформации изгиба определяются соотношениями £ш = ; £уи = -гмуу; ухи = -2г'^ху, вос- пользовавшись которыми с учетом обобщенного закона Гука для плоского напряженного состояния, получим для ПЭ изгиба несущего слоя выражение 1 12пК1 и и =~/ I \рх™хх +ВуМуу + О о + {Dxßx +Dxtxy\vxxwyy +4DkWxy2 + \ {фуу^ + фя W„ + 2ф^ ) dxdy, ґ і 1 4 /ї + — 2 Е Г У ; Dt=G^í3/12. где Ог, Е)у, - собственные изгибные и крутильная жесткости слоя. £ г3 17 *3 Я=-тт-^--------1; £>,=■ ПЭ заполнителя: ^ I 2лЯ й / , ^3=т/ I /(гхгГ^ + (10) /0 О -Л Углы поперечного сдвига и перемещения заполнителя в направлении осей X п у соответственно определяются из [1]: УХ1=иг+ и>Л; ууг=уг+Ку, (11) где перемещения заполнителя [2] «г =\(и2 + И|) + ^(*2 -'.Кг + ^=|^2+^)+^(г2-Г,К + Из (10) - (12) получим +— h + Pi t¡ fa Pi ¡ Ex¡+a2[f\2 + 2/г 2 )/ 2)] + А+^.^за^ОД^Чо.г/.^+ОДРС^/З2/,2) (12) где С0/ = (1 / - Цх1 / Еа - Цу1 / £,,•) а2 02. — Е Е, Введем обозначения: Е = ——, ' К, = —^, Е, 2 ^ Еуг К2 = —— - относительные модули упругости несу-Ех 2 • 1 / 2лЯ 2/t о о т(М2 ~«l)2 +y2w/ + /(M2 -«lK . G + щих слоев; Gj = ——, G2 = G >у2 относительные + G* ((v2 -V,)2 /4 + y2w2 + y(v2 - V, V, ]jdxety, y=A + (f,+f2)/4 . xl ^2 С17 ^уг модули сдвига несущих слоев; их =——, оу =------------- £*2 Ех2 Зададим полуразности смещений в виде функций: относительные модули сдвига слоя заполнителя; — (и2 /3 cos3a.xsin3 ßy + /4 sin3 2a д: ; 1 —(v2-v,)= /5 sin3 axcos3 ß y. В = £ф0, И = ЕТ ц0 - жесткости на растяжение и изгиб несущих слоев, где ¡х0 =---"Цд'^у1— коэффи- ^х7^у2 Амплитуды смещений /з,/4,/5 можно выразить че- циент поперечной деформации; с, ц, Ьк- параметры волнообразования, к = 1, 4; с = т2л2К2Г2; Т] - п28 ; =с2К^1 +г]2 +2Г,; Ь2 = с2 К;1 +Г12 +2Г2- Ь2 = 81с2ЛГ,"1 +Г)2 +9Г,; Ь4 = 81с2^2'!+гу2+9Г2, Выражение для безразмерной энергии можно представить следующим образом: Э=^К1Ё + К2)^2-4Ч^ + э«э рез /у и/2, решив уравнения —— = 0, у =3,4,5. Решение их дает /. =у В_/ = 3,4,5, В,»—«/,; В2=-|а/2; Работа сжимающей осевой силы - iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. о о Если выразить их через прогиб и относительную деформацию срединной поверхности несущего слоя, а последнюю - через функцию напряжений, получим 1 , х 1 -Л — \Фуу - Рх1фхх )--™х <МУ ■ +^2{tE + î)c2S2;4 + Api=Pih) î о о Л"’ t_E_ 1_ h + К 82^2\¡f2r¡2c2 + Долю осевой силы, воспринимаемой каждым слоем, можно считать пропорциональной его модулю Е . ■ упругости Е„: р1 = ——/?;г = 1,2.. f— + — by b2 с282£2(2-гщ/Ь'У + Ех\+Ех1 Полная энергия системы + 2ht2\h,+± rtE_+2¡_ bt b2 c2r¡82[2-/i(7JI^2)h 3=-яй|і 4 .=i 1 32EJ, a+ 4{ß* iEx¡+S]a* i , a4f2(2/R-f2ß2) , «4i84/,2/22 + 32 Ey‘ + +^2С2К + к2)+ іб pjtE + l) + 2&1 + ЯД52&.+ЯЛ) + й,(С2+2^2) ^ J ß* /+CC4/Ey¡ +G0¡ 1 +-^-P,2 + 0ла4(8/22 + /,2)+ Dyß4f2 + xi + + 4Dtt)a2ß2f2 + 2t, +—Кгс282 (d + \fe\¡r2 + с2 )+ + h, Ґ t Л h + ± 2 ht +~]f G,c(o,19C2 +0,2va2)+0,19^-Ç2 1 , 2/тГі ^4/,2||-/2^2 fi*/Exl+a*/Ey¡+Gn¡ +цх2 +K2py2 +4PGlE+4G1)cT]5C2. (13) Подставив (13) в (1), получим систему нелинейных уравнений (2), которые решались численно методом скорейшего спуска с дополнительным уточнением шага. Разрешающие уравнения ввиду их громоздкости здесь не приведены. Решения их получены при раздельном нагружении осевым сжатием и внешним давлением, неравномерно распределенным по кольцу Рис. 1. Зависимость оптимальных параметров от радиуса оболочки При расчете предполагалось, что в докритическом состоянии связь между слоями не разрушалась; это предположение основано на результатах испытаний, проведенных С.И.Тимофеевым и его учениками [2, 3]. Ростовский военный институт ракетных войск q = qa (0,5 + cos2 (р) и постоянным по длине оболочки с ортотропным наружным несущем слоем, внутренним из Д16АТ и сотовым заполнителем из стеклопластика. Оптимальные соотношения толщины слоев для оболочек с различными радиусами и удлинениями показаны на рис. 1,2. Рис. 2. Влияние удлинения на оптимальные параметры Литература 1. Тимофеев С.И. О применении метода Ритца к исследованию устойчивости трехслойных оболочек: Сб. Механика анизотропных конструкций. М., 1979. 2. Тимофеев С.И. Строительная механика баллистических ракет. Ростов н/Д, 1995. 3. Кобелев В.Н., Коварстй Л.М., Тимофеев С.И. Расчет трехслойных конструкций: Справочник. М., 1984. ______________________________________18 января 2002 г. УДК 539.3 К ПОСТАНОВКЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛОИСТЫХ СРЕД С ДЕФЕКТАМИ © 2003 г. О.Д. Пряхина, А.В. Смирнова In the present work the new method is offered for the decision of dynamical tasks for flaky media with defects. В работе [1] получены функционально-матричные соотношения, описывающие зависимость между перемещениями и напряжениями и являющиеся определяющими при математическом моделировании динамических процессов, происходящих в геологических средах, с учетом их неоднородности. В настоящей работе предлагается новая форма представления этих решений, удобная при исследовании динамических смешанных« задач для многослойных сред с дефектами типа трещин у полостей ^ на линиях раздела слоев, позволяющая.легко выписать систему интегральных уравнений (СИУ), связывающую скачки перемещений и напряжений на берегах трещин. На примере задачи о колебаниях'двухслойногб1 основания при наличии системы трещин на стыке' слоев- построёйы СИУ и исследованы асимптотические свойства подынтегральных матриц-функций ядер этих СИУ, необходи- мые при построении решений рассматриваемых систем методом фиктивного поглощения. Пусть среда представляет собой пакет из N плос- N непараллельных слоев толщины Н = 2^Ьк с жестко *=1 защемленной нижней гранью и занимает область -Я<г50, -°о<х,у< +«> (А*- полутолщина к-го слоя). Предположим, что на линиях раздела слоев выполняются условия неидеального контакта: имеет место скачок вектора перемещений Ау/(х,у) е~‘°*. Поверхность среды подвергается некоторому динамическому воздействию (х, у) е~‘ш . Новые функционально-матричные соотношения, полученные из формул (4), (5) работы [1], описывающие напряжения на линиях раздела слоев имеют вид:

https://cyberleninka.ru/article/n/modelirovanie-antifriktsionnyh-svoystv-odnorodnyh-kompozitsionnyh-pokrytiy-na-poverhnosti-stalnyh-detaley-uzlov-treniya-s-uchetom

Проанализировано влияние свойств твердой компоненты контр-тела (КТ) в трибосистеме КП/€/КТ на характеристики композиционного покрытия (КП). Обсуждается аддитивная модель «концентрационной волны» и влияние параметра наноструктурности на значения коэффициента трения и скорости линейного износа КП.

УДК 669.018:548.1 МОДЕЛИРОВАНИЕ АНТИФРИКЦИОННЫХ СВОЙСТВ ОДНОРОДНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ ПОКРЫТИЙ НА ПОВЕРХНОСТИ СТАЛЬНЫХ ДЕТАЛЕЙ УЗЛОВ ТРЕНИЯ С УЧЕТОМ СВОЙСТВ ТВЕРДОЙ КОМПОНЕНТЫ КОНТР-ТЕЛА © 2010 г. В.В. Иванов, И.Н. Щербаков Южно-Российский государственный South-Russian State технический университет Technical University (Новочеркасский политехнический институт) (Novocherkassk Polytechnic Institute) Проанализировано влияние свойств твердой компоненты контр-тела (КТ) в трибосистеме КП/Е/КТ на характеристики композиционного покрытия (КП). Обсуждается аддитивная модель «концентрационной волны» и влияние параметра наноструктурности на значения коэффициента трения и скорости линейного износа КП. Ключевые слова: моделирование; коэффициент трения; скорость линейного износа; композиционные покрытия; однородные покрытия. The influence of solid component properties of the counter-body (CB) to compositional cover (CC) characteristics in the tribosystem CC/D/CB was analyzed. The additive model of «concentration wave» and the influence of nanostructural parameter onto values of the CC friction coefficient and the velocity of linear wear are disscused. Keywords: modeling; friction coefficient; velocity of linear wear; compositional covers; gomogeneous covers. Введение Повышение работоспособности и долговечности деталей машин и особенно деталей узлов трения является одной из актуальных задач современного машиностроения. Для улучшения трибологических характеристик стальных деталей узлов трения используется, в частности, методы нанесения на их поверхность композиционных покрытий, обладающих более высокими антифрикционными свойствами и стойкостью к механическому и коррозионному износу [1]. В связи с этим задача прогноза и целенаправленного выбора состава композиционных покрытий с необходимым для практического использования в определенных узлах трения комплексом свойств является актуальной. Целью настоящей работы является изучение возможного влияния индивидуальных характеристик контр-тела на величины антифрикционных свойств композиционных покрытий на поверхности стальных деталей узлов трения. Моделирование антифрикционных свойств КП В соответствии с моделью «концентрационной волны» [1, 2] скорость линейного износа 1° и коэффициент трения f композиционного покрытия (КП) могут быть представлены следующим образом: 1° = а <1°та> + (1-а) <1°См> + 81(<1°тв > - <1°см>); / = а </та> + (1-а) </См> - 8/</та > - </См>), где 81 = 8/ = 8 = 4(1 - а) а2 [1 - k (1 - &н)] - характеризуют относительные величины эффекта синергизма для соответствующего свойства, символ а означает объемную долю твердой компоненты КП в двухком- понентном (твердая + смазочная) приближении, параметры k и к^ - размерный и наноструктурный факторы, соответственно. Влияние твердой компоненты контр-тела Если величины 1°КТ и /КТ характеризуют триболо-гические свойства контр-тела (КТ) в соответствии с [1] (при условиях 1°КТ > 1° и /КТ > /), тогда имеем I = а' <1°> + (1-а') <1°См> + 8'(<°'тв > - <1°см>); / = а' </> + (1-а') </°См> - 8'(</°тв > - </»>), где а' = а + Да , <1°'та> = <1°та> - А1тв> , </> = </> + А/в . Принимая во внимание наиболее вероятные соотношения кКТ = к = 0,5; кнКТ = кн = 0 [1 - 3] и пренебрегая членами, которые содержат (Да)2 и (Да)3, имеем следующее выражение для величины относительного эффекта синергизма 8' = 2(1 - а) а2 -2а (3 а - 2) Да = = 8 - Д8, где величина Д8 - изменение амплитуды эффекта. Тогда изменения трибологических свойств КП следующие: 1 - 1° = (Да - Д8) (<1°та > - <1°См>) + (а + 8) Д1тв; /-/ = (Да + Д8) (</„ > - </°см>) + (а - 8) / В данных соотношениях не указаны члены, содержащие произведения малых величин Д8Д/Гв, ДаД/в, Д8Д1ГВ и ДаД1тв . Влияние наноструктурного фактора Параметр наноструктурности кн в модели «концентрационной волны» рассматривается как регулировочный параметр, который необходим для согласо- вания расчетных и экспериментальных данных [1]. Учет этого параметра при к^ ф 0 может привести к существенному усилению эффекта синергизма 81 = 8/ = = 8 = 2(1-а)а2 (1+кн) (увеличению в (1+кн) раз) и уточнению трибологических характеристик КП [1]. Экспериментально установлено [2 - 10], что для КП разного фазового состава параметр кн принимает значения в интервале от 0,03 до 0,17 и характеризует объемную долю наночастиц (или микрочастиц) фаз твердых компонент КП и КТ со специфической формой, которые могут находиться в зоне трибоконтакта. Обсуждение результатов Установлено, что с увеличением объемной доли твердой компоненты КТ в зоне трибоконтакта с КП (при условиях 1°КТ > 1° и /°КТ > /°) при фиксированных значениях а значения/и 1 закономерно увеличиваются (рис. 1). Определено, что при фиксированных значениях а разность величин Д8/ = /-/) < 0 и по модулю линейно возрастает при увеличении Да, (</°1в> - - </см>) и Д/та (рис. 2 а). Значения разности Д81 = = (1 - 1°) < 0 и аналогичным образом закономерно изменяется в зависимости от а, Да, (<1°тв>-<1°см>) и Д1тв (рис. 2 б). Зависимости изменений относительных значений эффектов синергизма от а имеют экстремальный характер (рис. 3). Для концентрационных зависимостей (Д8//) и (Д81/1) координаты экстремумов соответственно равны 0,667 (рис. 3 а) и приблизительно 0,90 (рис. 3б). Это означает, что в интервале значений объемных концентраций твердой компоненты а от 0,667 до 0,90 износофрикционность КП (/*1) будет оптимальна. Если принять во внимание влияние вклада твердой компоненты КТ в объемную концентрацию ультрадисперсных частиц (в том числе и наночастиц) со специфической (сферической или цилиндрической) формой на величину синергического эффекта 81 = 8/ = 8, то можно оценить соответствующие изменения значений трибологических свойств (рис. 4). f 0,26 0,22 0.18 0.14 0Л0 0.06 I, мкм/ч 26 П 18 14 10 0.2 0.4 О.б 0.8 1.0 а б Рис. 1. Концентрационные зависимости коэффициента трения (а) и скорости линейного износа (б) при различных объемных долях твердой компоненты КТ (Ст45) в зоне трибоконтакта с КП системы никель - фосфор - фторопласт ASf О -0.01 - 0,02 - 0,03 -0,04 0 11.2 0,4 0.6 0,8 а ASf f AS 0 0 0 -0 -3 0.2 -0,5 - -6 0.4 -1 \ /'"'"'х^ - 0.4 - 9 0,6 -1.5 0.6 - 12 0,8 - Х 0,8 - 15 100 % J_1 а б а ASj ~Г о -100 % а б Рис. 2. Влияние вклада КТ (Ст45) в объемную долю Рис. 3. Влияние вклада КТ (Ст45) в объемную долю фаз твердой компоненты КП системы никель - фосфор - фаз твердой компоненты КП системы никель - фосфор - фторопласт на изменение абсолютной величины эффекта фторопласт на изменение относительных величин эффекта синергизма для коэффициента трения (а) и скорости синергизма для коэффициента трения (а) и скорости линейного износа (б) линейного износа (б) а а а а б Рис. 4. Концентрационные зависимости коэффициента трения (а) и скорости линейного износа (б) при различных объемных долях твердой компоненты КТ (Ст45) в зоне трибоконтакта с КП системы никель - фосфор - фторопласт и двух значениях наноструктурного параметра кн Качественный характер концентрационных зависимостей абсолютных и относительных изменений синергического эффекта (рис. 5) отличается от приведенных ранее (см. рис. 2 и 3) и имеет экстремальный характер. Улучшение величин свойств в (1+кн) раз определяется параметром кн, величина которого (0 - 0,17) зависит от соотношений индивидуальных механических, физико-химических и трибологических характеристик КП и КТ [2]. В определенном смысле (при условиях, описанных выше) данная поправка при расчете свойств КП частично компенсирует поправку, учитывающую вклад КТ в концентрацию твердой компоненты в зоне трибоконтакта. AS f одно 0,005 о ASf н 0,15 о ., ., - ... I ...,.-. Л и н 0,15 100 % н 0.15 о " ■: ".I ......и AS, I 12 б 0 | | | | | | ,, :. : | ... и 100 % н 0.15 , ... J ., | .,,.,. и Рис. 5. Влияние вклада КТ (Ст45) в объемную долю ультрадисперсных фаз твердой компоненты КП системы никель -фосфор - фторопласт на изменение абсолютных (верхний ряд) и относительных величин эффекта синергизма для коэффициента трения (а) и скорости линейного износа (б) при значениях параметра кн = 0 и 0,15 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. зволяет уточнить расчетные значения трибологиче-ских характеристик пары трения КП - КТ в различных трибосистемах. Выводы Проанализирована возможность моделирования вероятного фазового состава, характера распределения фаз и уровня проявления некоторых трибологиче-ских свойств (коэффициента трения, скорости линейного износа) композиционных покрытий. В предлагаемой модели «концентрационной волны» при фиксированных условиях трибологического контакта учитывается влияние фазового состава и характера распределения фаз в объеме и на поверхности покрытия, состава контр-тела (стали), особенностей геометрии межфазных границ и объемной доли в зоне три-босопряжения вероятных наночастиц твердых фаз на свойства композиционного покрытия [1, 2]. Результаты апробации модели на примере никельсодержащих композиционных покрытий систем № - Р - фторопласт и № - В - фторопласт приведены в работах [2 -10]. Там же приведены результаты моделирования фазового состава, трибологических, механических и электрофизических свойств вероятных высокоэффективных композиционных покрытий на стальных изделиях (см., например, [6, 8]). Результаты работы могут быть использованы для прогноза и целенаправленного выбора состава композиционных покрытий с необходимым для практического использования в определенных узлах трения комплексом свойств. Таким образом, учет твердой компоненты КТ и возможного ее вклада в объемную концентрацию ультрадисперсных частиц в зоне трибоконтакта по- Работа выполнялась в рамках гранта Президента РФ № МК-1859.2010.8 для государственной поддержки молодых ученых. Литература 1. Иванов В.В., Щербаков И.Н. Моделирование композиционных никель-фосфорных покрытий с антифрикционными свойствами / Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Ростов н/Д., 2006. 112 с. 2. Синергический эффект в композиционных материалах при трении и износе / В.В. Иванов [и др.]. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2005. № 3. С. 46 - 49. 3. Иванов В.В., Щербаков И.Н. Синергизм компонентов в композиционных никель-фосфорных покрытиях, используемых для повышения эксплуатационных свойств деталей автомобилей // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2008. № 4. С. 116 - 118. 4. Антифрикционность и износостойкость фазово-разупоря-доченных никель-фосфорных покрытий / В.В. Иванов [и др.]. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки, 2005. Спецвыпуск. Композиционные материалы. С. 50 - 52. [Приложение]. 5. Анализ синергетического эффекта в композиционных электролитических покрытиях никель - бор - фторопласт / Поступила в редакцию В.В. Иванов [и др.]. // Журн. прикл. химии, 2006. Т. 79, вып. 4. С. 619 - 621. 6. Анализ синергетического эффекта в композиционных электролитических покрытиях никель - фторопласт / B.В. Иванов [и др.]. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. Спец. выпуск. 2007. С. 94 - 99. 7. Анализ синергетического эффекта в электролитических покрытиях на основе никеля / В.В. Иванов [и др.]. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2007. № 5. C. 56 - 58. 8. Анализ фазовой разупорядоченности в электролитических покрытиях никель-бор / В.В. Иванов [и др.]. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2008. № 4. С. 123 - 128. 9. Анализ синергетического эффекта в композиционных электролитических покрытиях никель - фторопласт / В.И. Балакай [и др.]. // Журн. прикл химии, 2008. Т. 81, вып. 12. С. 2059 - 2061. 10. Анализ фазовой разупорядоченности в электролитических покрытиях никель-бор / В.И. Балакай [и др.]. // Журн. прикл. химии. 2009. Т. 82, вып. 5. С. 797 - 802. 16 сентября 2010 г. Иванов Валерий Владимирович - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Общая и неорганическая химия», ЮжноРоссийский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Щербаков Игорь Николаевич - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Автомобильный транспорт и организация дорожного движения», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Ivanov Valeriy Vladimirovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Common and Inorganic Chemistry», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Sherbakov Igor Nikolaevich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Motor Transport and Road Traffic Organization», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute).

https://cyberleninka.ru/article/n/kolebaniya-diskretno-kontinualnoy-balki-kinematicheski-vozbuzhdaemye-garmonicheskimi-i-sluchaynymi-vektornymi-protsessami

Рассмотрена многопролётная балка, несущая сосредоточенные массы на гибких упругих опорах при наличии демпфирования и учёте инерции вращения масс. Вынужденные колебания описываются системой дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа и двумя системами обыкновенных дифференциальных уравнений. При кинематически возбуждаемых гармонических и случайных колебаниях найдены функции перемещений, формы распределения амплитуд вдоль пространственных координат, спектральная плотность и дисперсия отклонений.

УДК 539.3 КОЛЕБАНИЯ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОЙ БАЛКИ, КИНЕМАТИЧЕСКИ ВОЗБУЖДАЕМЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИМИ И СЛУЧАЙНЫМИ ВЕКТОРНЫМИ ПРОЦЕССАМИ © 2012 г. Х.П. Культербаев Кабардино-Балкарский государственный Kabardino-Balkarian State университет, г. Нальчик University, Nalchik Рассмотрена многопролётная балка, несущая сосредоточенные массы на гибких упругих опорах при наличии демпфирования и учёте инерции вращения масс. Вынужденные колебания описываются системой дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа и двумя системами обыкновенных дифференциальных уравнений. При кинематически возбуждаемых гармонических и случайных колебаниях найдены функции перемещений, формы распределения амплитуд вдоль пространственных координат, спектральная плотность и дисперсия отклонений. Ключевые слова: дискретно-континуальная балка; гармонические колебания; случайные колебания. Multispan beam which carries concentrated masses on the flexible elastic supports in the presence of damping and the inertia of rotation of the masses has been considered. Forced vibrations are described by the partial differential equations of hyperbolic type and the two systems of ordinary differential equations. The displacement functions, amplitude distribution forms along the spatial coordinates, the spectral density and the variance of the deviations for cinematically excited harmonic and random oscillations have been found. Keywords: discrete-continuum beam; harmonic oscillations; random oscillations. Постановка задачи Широкое распространение в технике и строительстве динамически нагруженных многопролётных балок с присоединёнными дискретными массами вызывает повышенный интерес к их колебаниям [1 - 4]. Рассмотрим установившийся режим поперечных колебаний балки (рис. 1), состоящей из пролётов (участков), каждый с размером I, (' = 1, 2,..., и), площадью поперечного сечения Si, осевым моментом инерции поперечного сечения Ji, из материала с модулем упругости Е и плотностью р, при коэффициенте вязкого трения п. V, ^ ^ уд, Т м Т Т т мм \р V1 Т v2 Т Mi ] м2 PI c2 : l2 ci li-1 ln lcN Рис. 1 На балке расположены сосредоточенные массы Mi (' = 1, 2,..., N N = и+1) с осевыми моментами инерции ^ относительно оси, перпендикулярной плоскости чертежа. Балка поддерживается упругими опорами с коэффициентами жёсткости с, и демпферами с соответствующими коэффициентами линейно-вязкого сопротивления V,'. Каждая пара из упругой опоры и демпфера расположена на общем основании (фундаменте), автономном по отношению к другим. В продольном направлении балка растягивается силой Р. Источниками колебаний балки являются кинематические смещения опор гЦ). Механическая модель такого сооружения представляет собой смешанную дискретно-континуальную систему, состоящую из участков балки с распределённой массой и совокупности сосредоточенных масс. Обычная ситуация состоит в том, что горизонтальные перемещения как частиц массы континуальных участков, так и дискретных масс пренебрежимо малы по сравнению с вертикальными перемещениями? и поэтому они в математическую модель колебаний не включаются. Вращательные движения частиц континуальных участков учтём согласно одной из моделей балки Тимошенко, но при этом будем пренебрегать деформациями сдвига, имея в виду, что будут рассматриваться сравнительно длинные балки (и их пролёты). Отклонения континуальных участков в поперечном направлении будем определять с помощью компонентов вектор-функции векторного и скалярного аргументов u(x, (), t - время. При этом используется локальная система пространственных координат х, е [0, I,] с началом на левом конце каждого участка. Движения сосредоточенных масс являются плоскопараллельными с полюсом в центре масс, а сами движения состоят из поступательного движения в вертикальном направлении и из вращательного движения вокруг полюса. Положения сосредоточенных масс определяются линейными координатами у((), отсчитываемыми по вертикали от положения статического равновесия и угловыми координатами ф^). Математическая модель поперечных и вращательных колебаний представляется в виде трёх систем дифференциальных уравнений [1]. Первая из них соответствует множеству континуальных участков. В предположении о малости отклонений в поперечном направлении колебаниям каждого пролёта балки соответствует линейное неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных гиперболического типа. Тогда в векторной форме при учёте инерции вращающейся распределённой массы можно записать Б о u"" — Ри" — Roii" + той + пто й = 0, хе(0,I), t > —х (1) Здесь и далее векторы и матрицы обозначаются полужирными буквами; значок ◦ означает операцию поэлементного перемножения векторов, так что из с = а о Ь следует ск = акЬк ; точки над буквами соответствуют дифференцированию по времени, штрихи в индексах - дифференцированию по соответствующим локальным пространственным координатам; т - вектор погонных масс пролётов балки, mi = pSi; В -вектор жёсткостей балки на изгиб, Bi = ; R - вектор осевых моментов инерции вращающейся массы элемента балки единичной длины, Ri = рJi ; 0 - нуль-вектор. Вторая система представляет собой совокупность обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих вертикальные движения множества дискретных масс Моу+^Моу + Vо(у-¿) + ео(у-г)+Ь(и) = 0, t >-да. (2) Здесь у(t) - вектор-функция скалярного аргумента, соответствующая отклонениям сосредоточенных масс; ^ - удельный коэффициент вязкого трения. Суть каждого из уравнений в том, что по принципу Далам-бера сумма проекций на вертикальную ось всех сил, приложенных к массе М, равна нулю. Первое слагаемое в левой части соответствует инерционной (далам-беровой) силе, второе и третье учитывают диссипа-тивные силы, четвертое - упругие силы в гибких опорах, пятое - поперечные силы в сечениях балки слева и справа от сосредоточенных масс. Все векторы считаются вектор-столбцами (исключения оговариваются), поэтому знаки транспонирования опущены. Введены обозначения: I = {1ь 12,..., 1п}, х = {хЬ x2,...,xn}, 8 = {^Ь S2,..., Sn}, Л = {J\, J2,..., Jn}, е={С1, С2 ,..., Сдт}, и(х, 0={и1(хЬ 0, И2(Х2, t),... t)}, М={М, М2,..., Ыы}, y(t) = {^(0, У2(<),...,Ул(<)}, V = {VI, У2 ,..., VN}, т ={т1, т2,..., тп}, z(t) ={^(г), 22(0,..., ^лКО}, Ь(и) = {Ь1(и), Ь2(и),..., Ьд,(и)}. Ь(и) - вектор внутренних сил упругости, компоненты которого образованы проекциями на вертикальную ось поперечных сил в сечениях балки слева и справа от сосредоточенных масс: Ь1 (и) = А«Г(о,г), Ь (и) = вгМ1'"(о,г)-вгчи"- (/м,г), i = 2,3,..., п, ьы (и ) = -Вп«П (1п, г). Третья система уравнений состоит также из обыкновенных дифференциальных уравнений, но уже составляется относительно угловых координат для дискретных масс. Их появление в математической модели колебаний вызвано необходимостью учёта инерционных сил при вращении сосредоточенных масс. Принцип Даламбера или одно из уравнений плоскопараллельного движения твёрдого тела после несложных выкладок дают 1о ф + о I о ф + d (и) = 0. (3) Здесь о - коэффициент вязкого трения при вращении масс, ф,(г) - компоненты вектора углов поворота сосредоточенных масс. Введены обозначения: Ф = {Ф1, Ф2 — Ф^ Ь 1 = {12 1м}, и (и) = { d1,d2,..., dN }, d1 (и) = -В1 и{'(0,г), d1 (и ) = вг -и"-1 (/г-1, г)- вг<(о, г), i = 2,3,...,n, ^ (и) = впип (1п,г). Изучение случайных вынужденных колебаний, являющееся одной из целей данной статьи, требует предварительного решения задач о свободных и вынужденных гармонических колебаниях, что выполнено в работах [1 - 3]. Кинематически возбуждаемые колебания при гармонических возмущениях По множеству причин (вибрация оборудования, несущего данную конструкцию; колебания механической системы, включающей рассматриваемую балку, сейсмические воздействия и т. д.) опоры балки совершают перемещения в поперечном направлении, что служит источником вынужденных колебаний. Пусть кинематические возмущения /(г), возникающие по этим причинам, будут гармоническими с разными частотами 0.к, амплитудами ак и начальными фазами /к (г) = аке^к) = Аке^, | (4) Ак = аке^к , Хк = к =1, 2, ... , N. \ Здесь Ак - комплекснозначные амплитуды, образующие вектор А. Выходной процесс и(х, г) в общем случае не будет гармоническим и даже периодическим. В то же время он будет суммой N гармоник с разными частотами 0,к. Периодическими такие колебания будут лишь в том случае, если все отношения / 0,к окажутся рациональными числами. Если все частоты возмущений одинаковые, т. е. = = ... = 0,к = то выходной процесс будет гармоническим. Для этой задачи будем определять кроме функции решения и(х, г) и функцию амплитуды колебаний аи(х). Определим функции перемещений и амплитуд для установившихся колебаний. Для них начальные условия к системе уравнений (1) - (3) не требуются. Уравнения (1) - (3) с учётом (4), имеют общее решение и(х, г) = Н(х, 1) /(г), 1 = (Хь Х2, ... х е (0, I), г > - да, (5) где Н(х, 1) - матрица передаточных функций, элементы которой суть реакции пролётов балки на единичные гармонические возмущения опор. Например, Н,к(х,, Хк) является комплексной амплитудой колебаний i-го пролёта балки при автономном гармоническом единичном возмущении к-й опоры ^к(0 = еХк . В развёрнутой форме для /'-го пролёта (5) имеет вид N и (х, г) = £ Нк (X, Хк)АкеХк , i = 1, 2,., п. к=1 Далее проблема состоит в том, чтобы найти матрицу передаточных функций. Перемещения /-го пролёта при возмущении ^(г) обозначим vjk(xi, г) и запишем vlk(x1, г) = Нк(х,, Хк) ш, i = 1, 2,., п, к = 1, 2, N. (6) Рассмотрим подробно реакцию системы на такое Уравнения (9) - (13) являются дополнительными к возмущение. Подстановка vik(xi,t) в (1) вместо и(х, () основному уравнению (7). Подставим (6) в (7) и задаёт уравнение в развёрнутой форме пишем: Вул'(х,0 — Р^к (х,,0 — Я^к (х,, /) + (х,', г) = 0, (7) ' = 1, 2, ..., и; к = 1, 2, ... , N. Hk(xr, Ч) - 2oifcHik (x, Xk) + QlHlk (x, Xk) = 0, (14) i = 1,2,..., n, k = 1,2,..., N; Функции у(/) и ф(t) можно исключить из уравнений (2), (3), пользуясь соотношениями, вытекающими из гипотезы малости как линейных, так и угловых перемещений, т.е. будет p + х 2 Ri fi2 m (X 2 к) о,;, = - y(t) = u,(0,t), yNt) = u„(4,t), 9i(t) = u; (0,0, i =1, 2, ... n; фА«) = < (l„,t), (8) В уравнениях (2) и (3) для концов балки перейдём к vik(xi,t), воспользуемся (8) и получим Ы^к (0, Г) + (цЫ, +у,' ^ (0, Г) + (0, Г) + + Ь,к (%) = [V, X к + с, К к №, (9) , = 1, 2,..., и; к = 1, 2,..., N; ЫNV пк (1п, 0 + (М +V N Кк (1п, 0 + + ^пк (1п , ^ + bNk (vnk ) = [vN X к + % К к (08№ , (10) к = 1, 2,..., N; Ь1к Ы) = А^к (0, /), Ь,к (vгk) = = В^к (0, /) — В,— Х—,к (I, —1, t), bNk (vnk) = — Bnvnk (1п, t), , = 2, 3,..., п, к = 1, 2, ..., N. /^ (0,0 + а/^'к (0,0 + ^к ^) = 0, (11) , = 1, 2,..., п, к = 1, 2,..., N; 1NV пк (1п , t) + а1^^ (1п , t) + ¿Ш (Vnk ) = 0, (12) к = 1, 2,..., N; ¿1к (Vlk) = — (0, t), (vгk) = = В, — 1,к (I, —1, t) — В^'к (0, t), (vnk ) = Bnvnk (1п, t), , = 2, 3, ..., п, к =1, 2, ..., N. В (9), (10) использован символ Кронекера 5гк . Выпишем условия сопряжения пролётов балки V,—1,к (I,—1,0 = v1k (0, о, V—1,к (1—1,о = ^ (0,4 (13) , = 2, 3,... , п, к =1, 2, ..., N. 2Д д Обозначим а,,, = а -и,, 4 - ©2к , ßik Чи Vuik + ^ "2k - ©2k. Тогда общее решение уравнения (14) имеет вид Нщ&и Ч) = Л^т алх^ + BlkCOS а^х + + С^зЬ PlkXl + DkCh р-Л, (15) где Лк, Вк, Ск, Dik - произвольные постоянные интегрирования; , - номер пролёта; к - номер возмущения. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Постоянные интегрирования можно найти из дополнительных условий. Используя с этой целью (9) -(13), т. е., подставляя (6), получим %H1k (0, X k) + B^'k (0, X k) = ^1k 51k, k = 1, 2, ... , N; e\k = MX + (|M + Vj)X k + Cj, = V1X k + c1; T1kHik (0, Xk) - B,H1k (0, Xk) = 0, Y1k = I1X k(X k +CTX Hi-1,k (l-1, Xk) = Hik (0, X k), Hi-1,k (l-1,Xk) = H'k(0,t), i = 2,3,..., n, elkHlk (0,Xk) + BiHk (0,Xk) -- Bi-1Hi-1,k (li-1, Xk) = %ik5ik, eik = MX2 + +Vi)Xk + Ci, U =viXk + ci;'' = 2, 3, n; ^ 1ikH';k (0,Xk) + Bi-fihk (li-1, Xk) - BHk (0,Xk) = 0, Yik = IiXk(Xk +ст), '' = 2,3,..., n; eNkHnk (ln , Xk ) - BnHn!k (ln , Xk ) = %Nk5Nk , (16) (17) (18) у (19) eNk = MNX2 + (^MN + VN )Xk + CN , УNkH'nk (ln, Xk ) + BnH"nk (ln, Xk ) = ^ YNk = INXk (Xk + CT). ■ (20) (21) U,|_ = Введём обозначения p¡ = sin а,4 qi = cos a,4 ri = =sh p¿/„ Si = ch p¿/, подставим (15) в (16) - (22) и после несложных преобразований придём к неоднородной линейной алгебраической системе (матричному уравнению) относительно постоянных интегрирования G D = C. (23) Здесь G - квадратная матрица порядка 4n I = {25, 30, 30, 25} кг м2, S = {17,4; 20,2; 17,4} см2, J = ={572, 873, 572} см4, ^ = 0,02 с-1, P = - 200 кН, о = 0,01 с-2, a = {1, 3, 2, 1} см, Q = 8 с-1, у = {0, 0, 0, 0} - кривая 1; {п/2, 0, п/2, 0} - кривая 2; {п, 0, п, 0} - кривая 3; {0, 0, 0, п} - кривая 4; {0, п, п, 0} - кривая 5. GQ.) - Gi G 2 G n Gn 5 ,4 1 2 G = С D 3 ik eik Yik «ik Biai2k Yik ßik - Bißi2k G = s-i 0 ßi-i,kri-i -aik B-ia3-i,k?¿-i -Bi-ia3-i,kñ-i -Bi-iß3-i,ksi-i -Bi-iß3-i,k^-i -Bi« Pi-i ai-i,k^i-i q-i -ai-i,kPi-i -i 0 ßi i-i,k i-i 0 -ßik eik Bißl -i 1 0 -Bi-i«¿-i,kPi-i -B-iO,--i,k?i-i Bi-ißi-i,kr-i B-ißi-i,kS-i Yikaik Bi«k Yikßik -BAk i = 2, 3 , n. gn = í , D 3 eNkPn + Bn« nk?n eNkqn - Bn°-nkpn eNkrn - Bntóksn eNkSn - Bnßnkrn Л YNkank?n - Bn«2kPn -YNk«nkPn - Bn«Ükín Y Nk ßnksn + Bnß2krn Y Nk ßnkrn + Bnßnks; нулевые элементы не выписаны. угольные матрицы 4n х N: А А AiN D, C - прямо- D = ( A Aii Ai2 Bii Bi2 Cii Ci2 Dii Di2 A2i A22 Di D n2 iN in Di А in D C = nN J (Iii 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 22 0 0 0 1 NN V 0 0 0 J Решение матричной системы (23) имеет вид D = &С. При равенстве частот возмущений О! = О2 = = ... Одт = О можно найти вектор амплитуд колебаний аи(х) = | Н(х, /П)А |. Перейдём к изучению влияния сдвига фаз между возмущениями на колебания балки. С этой целью проведены вычисления и построены графики (рис. 2) для балки с параметрами, амплитудами возмущений и сдвигами фаз в виде векторов 1 = {3,5; 2,5; 3} м, М = ={100, 200, 200, 100} кг, с = {50, 30, 30, 50} кН/м, р = 7820 кг/м3, п = 0,05 с-1, V = {40, 50, 50, 40} Нс/м, 1 2 3 4 5 6 7 8 х, м Рис. 2 Анализ кривых показывает следующее. В первом случае все возмущения синфазные, форма колебаний близка к прямой линии. Во втором случае возмущения с нечётными номерами опережают возмущения с чётными номерами на п/2, уже нет синфазности возмущений. Поэтому амплитуды отклонений уменьшаются. Третья кривая соответствует случаю, когда нечётные и чётные возмущения находятся в идеальной противофазе. Поэтому амплитуды колебаний существенно меньше, чем в предыдущих случаях. Как видно на рисунке, участки балки, соседствующие с возмущениями, также находятся в противофазе. При анализе кривой 3 следует учесть, что она имеет узловую точку, соответствующую неподвижной (почти неподвижной) точке балки. Кроме того, она разделяет участки балки, колеблющиеся в противофазе. На кривых рис. 2 изображены амплитуды, определённые по формуле (4) и потому, надо заметить, могущие иметь лишь положительные значения. Отсюда следует, что излом балки по кривой 3 является кажущимся и не имеет места. В процессе колебаний реальные отклонения слева и справа от этой точки имеют на самом деле разные знаки. Кривая 4 соответствует случаю, когда перемещения крайней правой опоры находятся в противофазе с перемещениями остальных, что наглядно отражено на характере кривой изгиба. В последнем случае (кривая 5) перемещения крайних опор находятся в противофазе с перемещениями средних, что благоприятствует наибольшему изгибанию балки. Поэтому упругая линия имеет существенную кривизну, приводящую к резкому повышению внутренних сил в сечениях. Эти колебания являются наиболее опасными для прочности балки. а... см 3 2 i Кинематически возбуждаемые колебания при случайных возмущениях Зачастую источники вынужденных кинематически возбуждаемых колебаний имеют явно выраженный случайный характер. Как следствие, поперечные колебания балки также будут случайными, и возникает необходимость и целесообразность перехода к стохастическим моделям движений. Рассмотрим вопрос подробнее. Уравнения (1) -(3) сохраняют прежний вид, но теперь в (2) вектор-функция z(t) будет центрированным стационарным случайным процессом со стационарно связанными компонентами и заданной спектральной матрицей, обладающей свойством эрмитовости »11 »19......»1 Sz(ro) = iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 21 22 • 2N V SN1 sN 2......SNN J Sjk (ю) = s",k (ю). (24) >jk Su(x, ю) = H(x, iro)Sz(ra)H (x, iro). (25) При определении центральных моментных функций выходного процесса используем известное соотношение Du(x) = J Su(x,ro) da. (26) Для проведения конкретных вычислений возьмём модель кинематических возмущений в виде векторного N-мерного центрированного стационарного случайного процесса со стационарно связанными компонентами, имеющими скрытые периодичности (характерные частоты). В таком случае элементы спектральной матрицы Sz можно представить в виде: Ski^) = 2 aki ©ki Pki CTk стг Л[(ю2-0kl)2 + 4а2i ю2] ©h =ah +ßh , k, l = 1, 2, , N. Здесь звёздочка означает переход к комплексно-сопряжённым величинам. Тогда и(х, /), у(/), ф(t) будут пространственно-временным случайным векторным полем и случайными векторными процессами с характеристиками, подлежащими определению1. Далее будем изучать установившиеся (в вероятностном смысле) колебания системы, т.е. стационарный случайный процесс. Поэтому начальные условия к уравнениям не потребуются, граничные условия будут аналогичны использованным выше при кинематически возбуждаемых детерминистических колебаниях. Далее задача состоит в том, чтобы по заданной спектральной матрице (24) найти спектральную матрицу Sц(x, ш) случайного поля отклонений балки и дисперсию. Вопрос об определении математического ожидания не ставится ввиду того, что его можно легко привести к известным детерминистическим задачам, в том числе и типов, рассмотренных выше. Для определения спектральной матрицы отклонений Sц(x, ш) воспользуемся ранее найденной матрицей передаточных функций Н(х, 1) и запишем Здесь ак1, рк1 - параметры широкополосности и характерной частоты; рк1 - элементы неотрицательно определённой корреляционной матрицы, |рк1| < 1, ркк=1; ок, о/ - среднеквадратические отклонения. Выполнить интегрирование в правой части (26) аналитическими методами не удаётся. Выход из такого затруднения состоит в применении численных методов. Для балки, рассмотренной выше при кинематических гармонических возмущениях, выполнен тестовый пример по определению дисперсии по формуле (26), а затем и среднеквадратического отклонения аи (рис. 3). Стохастическая аналогия с предыдущей детерминистической задачей обеспечивалась, во-первых, за счет корреляционных матриц, моделирующих коррелированность компонентов векторного случайного процесса в соответствии со сдвигами фаз гармонических возмущений Л= (1 1 1 11 Г1 0 1 01 1 1 1 1 0 1 0 1 , Р2= 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 ь 1 0 1, f Рз= Р 4= Здесь индекс Т означает транспонирование матрицы. Результатом вычислений по (25) является квадратная матрица порядка п. На её главной диагонали располагаются спектральные плотности SUj (х^, ю) отклонений балки в пролётах с соответствующими номерами ], элементы же побочных диагоналей есть взаимные спектральные плотности SUk (х}-, хк, ю) процессов отклонений балки в двух различных пролётах с номерами ] и к. Г1 1 1 -11 Г1 -1 1 1 1 -1 -1 1 , Р 5= 1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 v 1 -1 -1 1 -11 -1 1 1 -1 -1 1 Л 1 В данной статье определяются характеристики только ц(х, (). Здесь единицы соответствуют идеальной положительной коррелированности компонентов векторного процесса возмущений или их синфазности; единицы с минусом - идеальной отрицательной коррелирован-ности компонентов векторного процесса возмущений или их контрафазности; нули - отсутствию коррели-рованности компонентов случайного процесса, в частности, такими случайными процессами являются гармоники со сдвигом фаз п/2. Дополнительным приёмом приближения стохастических возмущений к гармоническим является вы- бор численных значений среднеквадратических отклонений, характерной частоты и параметров широ-кополосности, соответствующих их гармоническим аналогам: = (1; 1; 1; 1) см; рн = 8 с-1, ак1 = 0,005 с-1, к, / = 1, 2, 3, 4. Шаг численного интегрирования в формуле (26) после численных экспериментов принят равным 0,01 с-1. При проведении вычислений учтена чётность подынтегральной функции, т.е. нижний предел интегрирования принят нулевым с последующим удвоением конечного результата. При этом критерий останова вычисления несобственного интеграла устанавливался с использованием /-нормы в линейном векторном пространстве Rm: т (||Д||/ = £ДD1 <5) л (ш> Рк/), к, / = 1, 2, ... N. (27) г=1 Здесь т - количество точек по длине балки при шаге сетки 5 см; I - номера точек; ADi - приращения дисперсии в 1-й точке на текущем шаге интегрирования; 5 = 10-10 - задаваемая точность счёта. Второе условие в (27) введено по следующим соображениям. Обнаруживается, что при больших значениях рк/ норма в первом условии может оказаться малой величиной уже при небольших значениях ш, и это влечёт ложное прерывание вычислений, в то время как область интегрирования со сравнительно большими значениями подынтегральной функции ещё не достигнута. Наличие второго условия исключает такую ситуацию. Результаты вычислений представлены кривыми рис. 3, имеющими номера, совпадающие с номерами корреляционных матриц. Первая кривая соответствует абсолютной коррелированности возмущений, вторая -абсолютной коррелированности между первой и третьей, второй и четвёртой кривыми возмущений, в Поступила в редакцию то время как эти пары абсолютно не коррелированны. Третья матрица описывает случайные возмущения, когда указанные пары, будучи внутри идеально положительно коррелированными, межпарно абсолютно идеально отрицательно коррелированны. Кривая 4 соответствует случаю идеальной коррелированности первых трёх возмущений между собой, в то время как перемещения четвёртой опоры находятся в противо-фазе с ними. В последнем случае (кривая 5) перемещения крайних опор находятся в противофазе с перемещениями средних, что благоприятствует наибольшему изгибанию балки. Поэтому упругая линия имеет кривизну, существенно большую по сравнению с остальными. Данный случайный процесс возмущений весьма близок к процессу, использованному в детерминистической задаче. Как следствие, амплитуды и средне-квадратические отклонения перемещений в детерминистической и стохастической задачах почти совпадают (рис. 2 и 3), что подтверждает достоверность предложенной теории расчёта. Анализ кривых показывает, что амплитуды и среднеквадратические отклонения колебаний существенным образом зависят от сдвига фаз или степени коррелированности компонентов векторного процесса возмущений. Литература 1. Культербаев Х.П., Чеченов Т.Ю. Свободные колебания континуально-дискретной многопролётной балки при учёте инерционных сил вращения // Наука, техника и технология XXI века (НТТ - 2009) : материалы IV меж-дунар. науч.-техн. конф. Нальчик, 2009. С. 313 - 317. 2. Культербаев Х.П. Кинематически возбуждаемые колебания континуально-дискретной многопролётной балки // Вестн. Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. № 4, ч. 2 / Труды Х Всерос. съезда по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Н.Новгорорд, 2011. С. 198 - 200. 3. Культербаев Х.П., Чеченов Т.Ю. Кинематически возбуждаемые колебания континуально-дискретной многопролётной балки при учёте инерционных сил вращения // Изв. Каб.-Балк. гос. ун-та. Т. 1. Вып. 1. 2011. С. 114 - 118. 4. Gutierrez R.H., Laura P.A. A. TranSverSe viBrationS of BeamS traverSed By point maSSeS: A general, approximate Solution // J. Sound and ViBr. 1996. Vol. 195. № 2. С. 353 -358. 12 декабря 2011 г. Культербаев Хусен Пшимурзович - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Теоретическая и прикладная механика», Кабардино-Балкарский государственный университет. Тел. 8(8662) 44-00-09. E-mail: [email protected] Kulterbaev Hussien Pshimurzovich - Doctor of Technical Sciences, professor, department «Theoretical and Applied Mechanics» Kabardino-Balkarian State University. Ph. 8(8662) 44-00-09. E-mail: [email protected]

https://cyberleninka.ru/article/n/ion-vodorodopodobnoy-molekuly-s-dipolem-i-ego-energeticheskie-urovni

Получена энергия водородоподобной молекулы, обладающей электрическим дипольным моментом, исследованы ее состояния и электронные спектры. Библиогр. 8 назв.

УДК 530.145 ИОН ВОДОРОДОПОДОБНОЙ МОЛЕКУЛЫ С ДИПОЛЕМ И ЕГО ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ УРОВНИ © 2007 г. И.К. Карпенко The hydrogen similar molecule's energy was obtained, possessing the electric dipole moment, its condition and electronic specters were explored. Состояния водородоподобного атома, обусловленные одним электроном, изучены и осмыслены, результаты теории преимущественно согласуются с экспериментом. Иначе обстоит дело, когда исследуются электронные состояния молекул, спектры которых богаче атомных. Детальное аналитическое описание молекул [1] является довольно сложной и трудно разрешимой, хотя и не безнадежной проблемой. Мы поставили перед собой относительно простую задачу - попытаться разобраться и понять электронные состояния водородоподобных ионов молекул, обладающих дипольными электрическими моментами. Молекул с отличными от нуля моментами существует немало, в их электронных энергетических спектрах наблюдаются отдельные участки энергетических электронных уровней, которые настолько густо или близко расположены между собой, что дают множество спектральных линий, объединяющихся в электронные спектральные полосы [2 - 4], не связанные с колебательно- вращательными энергиями атомов молекул. Поэтому изучение состояния подобных молекул и на упрощенной модели представляет собой, на наш взгляд, теоретический и практический интерес. Пусть имеется дипольная молекула или молекулярная система с постоянным дипольным электрическим моментом и одним электроном. Электрон находится в электрическом поле ядер с общим зарядом Q и поле диполя d, которые принимаем точечными. Потенциал V поля молекулы как системы зарядов, и энергия U внешнего заряда q в нем равны: V=Q+ 1 (r • d) = Q d — + — cos в. r r U = - q V, z = r cos 0,0 < 0 <п, (1) где опущены боле высокие мультиполи как малые; q - модуль заряда электрона; знак минус соответствует притяжению его молекулой; г - векторное расстояние электрона от центра (масс, например) молекулы; в - угол между г и направлением d. Ось г выбрана направленной по d, заданному в молекуле. Оператор Гамильтона в сферической системе координат г, в, р равен H = _h_ 2 ß 1 д д r д д r Qq r (2) 2ßr2 [- h2 Д0р- 2 ßqd cos в] = ftr J2 2 ¡г 2 Здесь ¡л - масса электрона, Ав р - угловая часть оператора Лапласа, первая скобка, равная 1$г, зависит только от г , вторая J = - h2 Д0 - 2 ßd cos0 . Д 1 sin0 дв д I • 0 д — I sin 0 дв) sin2 0 д (3) является оператором квадрата момента импульса как обобщение обычного 10 = - Н2 Ав р с собственным значением I = Н2 I (I + 1), I = 0,1, 2,... - азимутальное квантовое число. Операторы I и Н взаимно коммутативны, поэтому решается операторное уравнение: I у = ¿2 ¿2 = н 2 I (I +1) > о, (4) в котором Т (в, рр) - собственная функция оператора I ; I2 - его сохраняющееся собственное значение; I > 0 - мера «орбитального» (вместо I) движения электрона в поле дипольной молекулы. Учитываем собственные значения 10г = т Н, где т = 0, ±1, ±2,..., ±I - магнитное квантовое число, собственные функции и коммутативность проекции € д ) Ь02 = - г Н- оператора Ь с (3), что позволяет из- др бавиться от зависимости р в (4), осуществляя замены: Y(0, <р) = WM П* 2 п 1 >ё = cos 0 > - 1,0 <ф< 2п . (5) Они приводят уравнение (4) после подстановки в него (3) к одной независимой переменной (1 -?) d2 w „ „ dw тё -2 ё и + л- 1 -ё ■+в ё 2 ßq d J Л= — > 0, w = 0, (6) Н 2 Н 2 где в - нормированный безразмерный дипольный электрический момент, равный (нулю или) некоторому фиксированному значению (в основном, до десяти, реже - и больше). + + 2 1 д + r r 2 m в = 2 + r 2 r Уточним выражение (1) для потенциальной энергии U . Переменная j = cos в определена на промежутке [-1; +1]: она может быть положительной на одной его части [0; + 1] и отрицательной на другой [-1; 0]. Ди-польный момент в, согласно определению (1) и по существу, положителен - его направление и величина сохраняются. Отрицательному знаку перед q d в (1) соответствует притяжение диполем электрона, находящегося «ближе» к положительному «полюсу» диполя при 0 < j = cos в < 1, где j и координата z электрона положительные. Если же -1 < j = cos в < 0 , где j и координата z отрицательные, то знак перед q d меняется на противоположный - электрон становится «ближе» к отрицательному «полюсу» диполя и отталкивается от него. Первый член в (1) для U отрицателен, следовательно, центральное поле заряда Q удерживает электрон. Но так как знак второго члена в (1) меняется, то электрон может покинуть молекулу, однако нас интересуют лишь связанные его состояния, когда он не уходит в бесконечность, а находится вблизи ядер. Если в (6) принять в = 0, то получается известное уравнение [5, 6] для присоединенных функций Ле-жандра P^ (j) (для L0 параметр I = l). Но в нашем более общем случае (6) мы не знаем I - задача на первых порах как раз и сводится к поиску чисел I . Для этого будем находить решение (6) в виде бесконечного ряда = Е «v Pvm+1 (Г) (7) представляющего собой разложение по присоединенным многочленам Лежандра. Подставим его в (6), выделим уравнение [5,6] для полиномов Р.т+1 , в результате останется: £ + ()( +1 +1)-«фур;+ 1 (#) = о. (8) V = о Пользуясь формулами преобразований [5] для полиномов Лежандра, исключаем сомножитель ^ в (8) и приходим к рекуррентному трехчленному соотношению, связывающему коэффициенты аv ряда (7): v + I + m +1 2 v + 21 + 3 v + (( - m) 2 v + 21 -1 + (Л - (V + () (V +( +1)) = 0, а-1 = 0 . (9) Придавая V = 0, 1, 2,..., один за другим определяются а^,, выражающиеся через а0 - постоянную интегрирования, которую можно взять в качестве нормирующего множителя. Обозначим для удобства: Av = - Bv = -- 2 v + 21 + 3 в (v + m + I +1) 2 v + 21 + 3 (Л - (v + I)(v + I + 1)), ' + (l - m) v + m + I +1 2 v + 21 - 1 чтобы (9) придать вид цепной дроби iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. (10) Bv B v +1 Bv, v-1 Av + Av+1 + Av +2 + (11) Асимптотическое отношение при v ^ < может быть либо конечным, либо бесконечным, от этого зависит сходимость и расходимость самой дроби. Для выяснения [7, 8] находим: v-1 Bv - Av (12) Воспользуемся (10), чтобы уточнить правую часть: Av 2 v Bv ->-1 Bv - Av 2v ->0. Следовательно, дробь (11) является сходящейся. Учтем а-1 = 0 при V = 0 в (9) и тогда для (11), когда V = 1, будем иметь 21 + 3 B1 в (( + m + 1) B2 (л-1 (( + 1)) = B3 - Aj + - A2 + - A3 + (13) Мы получили в форме непрерывной дроби бесконечное транцендентное алгебраическое уравнение относительно Л . Число корней, как видно, бесконечное. После подстановки сюда (10) или просто использования (9) находим развернутое соотношение: т + ( + 1 1 + (( - т) Л - I (( + 1) = 3 + 2 I 1 + 2 I (14) Л-(( +1)(( + 2) - m +1 + 2 2 + (l - m) m +1 + 3 3 + (l -m) 5 + 21 3 + 21 7 + 21 5 + 21 Л-(( + 2)(( + 3) - Л-(( + 3)(( + 4) - "' Оно, как и (15), представляется бесконечной сходящейся цепной дробью. Если в = 0, то берем основное решение Л = ( (( + 1) (другие возможные независимые корни, смещенные по ( , не представляют интереса - теряются необоснованно для электрона низшие его состояния по ( в орбитальном моменте). Оно верно для орбитального движения частицы в поле молекулы, не обладающей дипольным моментом -атомная водородоподобная система - и описываемой состояние многочленом Р{" (^), вытекающим из (8) и (7); видно соблюдение принципа соответствия. Задавая числа (, т в (14), найдется бесконечное множество корней для Л > 0, значит, и для I > 0, меньшие нуля Л, I физическим смыслом не обладают и должны опускаться. Связь (14) в целом громоздкая и трудно обозримая. Чтобы проследить за поведением Л, I, ограничимся первым звеном дроби - находим квадратное алгебраическое уравнение (Л - ( (( + 1)) (Л - ((+ 1)(( + 2)) = ( + т + 1 1 + (( - т) = в 2 I + 3 21 +1 Л = I (I + 1). (14.1) а v а v а v-1 а v v ад в в а а 0 w v = 0 2 2 2 «v+1 + в «v- + в Для «спокойного» l = 0, m = 0 имеем состояния 2 в Л2 - 2 Л--= 0, 3 Л = 1 ± ,1 + 3 электрона (14.2) h2 2 ц dr2 d2 + h2 I (I +1) - q_Q_ 2^r2 Ф= E ф , ф (r ) = rR (r). (16) Воспользуемся безразмерной независимой переменной р и параметрами: р = s r, s = 2 2 Mso k = 2 k2 = Eo Eo = = - E, МЧ 2 Q 2 (17) ей е0 2 Г Согласно (16), связанному состоянию электрона соответствует отрицательная энергия, что учтено в (17). Уравнение (16) переходит в стандартное: d2 ф d р2 1 k I (I + 1) --+---- iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 4 р 2 р ф = 0. Когда в = 0 , следует два корня Л1 = 2, Л 2 = 0. Но в случае в ф 0 остается лишь первый, второй отрицателен - он потерял смысл по «вине» в ф 0. Такая потеря корней происходит и в целом в (14). В возбужденных состояниях, задаваемых набором (, т и небольших в будут только положительные корни, в их бесконечной последовательности формально встречаются и возрастающие, и убывающие при изменении в; наглядной иллюстрацией могут служить (14.1), (14.2). Заметим, что все решения можно разместить -распределить по лесенкам состояний (= 0,1,2,... орбитального момента Л. Выделяются они путем выбора параметров (, т . Действительно, для 5 - состояния нужно в (14) подставить ( = 0, т = 0 - получим бесконечное число корней - ступеней в этой лесенке; для р - состояния ( = 1 и возникает три отдельных лесенки (или столбика в одной лесенке), соответствующие т = 0, ± 1 - найдется по (14) три бесконечных набора корней для каждого конкретного состояния; далее следует d - состояние: ( = 2 ^ т = 0, ±1, ± 2 , что соответствует формально пяти разным столбикам в d - лесенке для значений момента; и так далее. Каждой ступеньке в лесенке - столбике сопоставляется корень, при этом последовательность корней возрастающая - расстояние между ступеньками увеличивается и в пределе становится равным бесконечности. Замечаем, что корни и столбики с т = ± ( совпадают между собой - они неразличимы, что следует из (14). Для нахождения энергии Е электрона решаем уравнение Шредингера с оператором (2): Н¥ (г,в,р) = Е ¥ (г, в, р); ¥ (г, в, р) = К (г) ¥ (в, р), (15) где в представлении ¥ (г, в, р( использованы (5) и коммутативность Н и ё, выделена радиальная волновая функция К(г), и уравнение приводим к форме: Осуществим последнюю замену ф = pS . 2 р. F (р), s = I + 1, сводящую (18) к уравнению (18) (19) d2 F d ¥ р—^ +(2 5 -р)— -( - к)¥ = 0 (20) d р d р для выраженной гипергеометрической функции ¥ (р) = ¥ (5 - к,2 5; р) . (21) Чтобы радиальная функция была конечной на всем промежутке [0; да] задания г или р, обратим (21) в полином, требуя к - 5 = N = 0,1,2,..., (22) где N - радиальное квантовое число. Подставим значения к, 5 и найдем E = -• E0 (23) (( + 1 + I )2 ' Преобразуем знаменатель: N+1 + I = N + 1+ ( + { - ( = п + с , п с п = 1, 2,3,..., да, ( = 0,1,2,..., п-1 , т = 0, ±1, ±2,..., ±(. (24) Использованы обычные обозначения: п - главное квантовое число; ( - азимутальное; т - магнитное. Получаем энергию электрона или электронную энергию дипольной (полярной) водородоподобной молекулы в виде 22 En = _ МЧ2 ö 2 h2 (n + а)2 а = I _ l. (25) В нее входит с - поправка, которая как и для атомов щелочных металлов, является своеобразным квантовым дефектом. Определяется она числами ( и числами I, зависящими тоже от ( и от т. Уровни энергии, следовательно, разбиваются на отдельные колонки - лесенки, подобные, как для орбитального момента и атомов щелочных металлов. В каждую из лесенок входят энергетические ступеньки с одним и тем же ( и различными п , нумерующими ступеньки. Лесенки удобно обозначать 5, р, d,..., как и состояния атомов по квантовому числу ( = 0, 1, 2, ...: в 5-лесенке п = 1, 2,3,..., в р- лесенке п = 2, 3,4,..., в d -лесенке п = 3,4,5,..., и так далее. В 5 -лесенке ( = 0, т = 0 и для каждого п = 1, 2, 3, ... возникает бесконечное число уровней - ступенек энергии, соответствующих бесконечному числу корней для I, связанных с бесконечным числом корней (14) орбитального момента Л. Для р - лесенки п = 2,3,4,... и ( = 1 имеется формально три энергетических колонки (назовем их так) т = 0, ±1, но на самом деле разных две, так как с т = ± 1 совпадают; в каждой из них присутствует бесконечное число энергетических уровней-ступеней. В случае d - лесенки ( = 2, п = 3,4,5,... существует три разных колонки т = 0, ± 1, ± 2. Во всех + 2 в r 2 h лесенках содержится по I + 1 энергетических колонок и бесконечному множеству уровней - ступенек в них, расположенных по возрастающей последовательности (энергия отрицательна), и в пределе энергии обращаются в нули, так как п ^да, I ^<х>, и за пределами нулевых энергий начинается сплошной спектр неквантованной энергии. Начало отсчета для энергии в каждой колонке лесенки - свое. В отличие от атомов щелочных металлов здесь каждая лесенка I = 0, 1, 2,... в зависимости от чисел т делится соответствующим образом на определенное число энергетических колонок, что не может не сказываться на переходах и числе спектральных линий. Очевидно, каждый «бывший» синглетный уровень п с Ь = 0 расщепляется на множество отдельных при в Ф 0. В соответствии с правилами отбора АI = ±1, А т = 0, ± 1, переходы по I электрона возможны с уровня - ступеньки данной лесенки только уровни -ступеньки соседней, как в щелочных атомах. Что касается переходов по числу т , они могут реализоваться не только при переходе электрона на соседнюю лесенку, но и в пределах одной лесенки с I > 0 , переходя между соседними колонками. В целом получается, что обилие уровней и спектральных линий неминуемо, оно куда богаче водородоподобных атомов и атомов щелочных металлов. Это особенно заметно, если все лесенки совместить между собой. Поскольку числа энергетических уровней в каждом состояний бесконечны, то они, накладываясь, могут сближаться на отдельных участках так, что будут возникать энергетические полосы и в целом, и даже в отдельных лесенках. Что это именно так, достаточно провести детальное исследование энергии (28) с учетом (14), задаваясь конкретными в. Отметим, что использования в приближении только трех звеньев в (14) или (совсем грубо) только одного (14.1) позволяют обнаружить проявляющиеся (например при в = 1) полоски вблизи n + 3, n + 4. Естественно, при в ^ 0 ширина полосок уменьшается и в пределе в = 0 они вырождаются в линии - будет энергетический спектр во-дородоподобного атома. Так что энергетические полосы - это тесно расположенные отдельные энергетические уровни, и возникает и существует даже целая система полос, обусловленная наличием отличного от нуля дипольного момента молекулы. Само расположение полос (выше - ниже) зависит от величины в. Таким образом, несмотря на свою упрощенность рассматриваемой модели полярной молекулы, мы аналитически пришли к выводам, перекликающимися с наблюдениями: молекула обладает обильным набором электронных энергетических уровней и спектров, электронными энергетическими полосами и полосатыми спектрами, - полученная структура приближена к молекулярным спектрам реальных молекул. Литература 1. Слэтер Дж. Электронная структура молекул: Пер. с англ. М., 1965. 2. Поль Р.В. Оптика и атомная физика: Пер. с нем. М., 1966. 3. Бабушкин А.А. и др. Методы спектрального анализа. М., 1962. 4. Физический энциклопедический словарь. М., 1983. 5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1963. 6. КузнецовД.С. Специальные функции. М., 1965. 7. Бейкер Л., Грейс - Моррис П. Аппроксимация Паде: Пер. с англ. М., 1986. 8. Wilson A. H.II Proceedings Soc. London. 1928. Vol. 118. P. 617 - 635. Карачаево-Черкесский государственный университет jç июня 2006 a.

https://cyberleninka.ru/article/n/opredelenie-reaktsiy-v-kinematicheskih-parah-pryamolineynoogibayuschego-mehanizma-metodom-prodolnyh-reaktsiy

Изложена методика определения реакций в кинематических парах приближенного прямолинейно-огибающего механизма, возникающих от сил взаимодействия между взаимоогибаемыми дугой окружности и прямой. Представленный силовой анализ механизма нового класса основан на новом методе продольных реакций, который позволяет чисто графически определять уравновешивающую силу, приложенную к ведущему звену, а также все реакции в кинематических парах. Определены реакции для кривошипно-ползунного прямолинейно-огибающего механизма, на основе которого разработан обжимной пресс. Представлены графики зависимости всех реакций от угла поворота входного кривошипа и сделаны выводы о характере изменения величин реакций от угла поворота на интервале приближения, который соответствует рабочему ходу механизма пресса. Ил. 2. Библиогр. 2 назв.

Теперь, интегрируя по частям один раз вторые члены левых частей уравнений (14) - (17) и два раза последние члены уравнений (14) и (15) с учетом введенных обозначений и сделанных замечаний, систему уравнений динамики балочного элемента можно представить в матричном виде (где {д} - вектор узловых перемещений, зависящий от времени): тм+и ]{д }+№ м=[/ (')}. (18) В уравнении динамики балочного конечного элемента (18) приняты следующие обозначения: [т] = }р [Е][Р}} [Р}<1\ + }р[У]{Ф у}} [Ф }I - о о матрица масс [12x12], учитывающая инерцию поступательных (первое слагаемое) и вращательных (второе слагаемое) движений; [Я] = » [Фх}} [Фу }dl-\рJz [Фу }} [ФхК _ о о - гироскопическая матрица [12x12], учитывающая влияние вращения балочного конечного элемента; I } [к] = \[К1 ][РЕ] [РЕ] - матрица жесткости [12x12] о I балочного конечного элемента; /() = |[Р](£)[/- о вектор сил [12x12]. Таким образом, получены интегральные выражения для матриц жесткости, масс и гироскопической матрицы, описывающие динамику изгибных, крутильных и осевых колебаний балочного конечного элемента с учетом влияния инерции вращения, поперечного сдвига и неравножесткости поперечного сечения. Приведенные соотношения могут быть достаточно легко модифицированы для учета осевых сил при изгибе, депланации сечений при кручении, внут- реннего демпфирования и других факторов. Соответствующие матрицы для конечных элементов, учитывающих эти факторы, получаются аналогично приведенным выше при использовании дифференциальных уравнений динамики, учитывающих необходимый фактор. Полученные соотношения могут быть использованы в процедуре расчета динамических характеристик роторных систем на основе метода конечных элементов. В следующей работе авторы приведут конкретные численные выражения для конечно-элементных матриц (масс, жесткости и гироскопической) цилиндрического и конического элементов, жесткого диска и подшипников, позволяющие строить конечно-элементную модель роторной системы. Литература 1. Adams M.L. Rotating machinery vibration: from analysis to troubleshooting. N.Y., 2001. 2. Yamamoto T., Ishida Y. Linear and nonlinear rotordynamics. A modern treatment with applications. N.Y., 2001. 3. KramerE. Dynamics of rotors and foundations. Berlin, 1993. 4. Childs D. Turbomachinery rotordynamics: phenomena, modeling and analysis. N.Y., 1993. 5. Коженков А.А., Дейч Р.С., Якубович В.И. Численное моделирование динамики роторных систем с подшипниками скольжения // Компрессорная техника и пневматика. 1997. № 16 - 17. С. 68 - 72. 6. Nelson H. A finite rotating shaft element using Timoshenko beam theory // Journal of mechanical design. 1980. № 102. P. 793 - 803. 7. Вибрации в технике: Справочник: В 6 т. Т. 1. М., 1978. 8. Khulief Y., Mohiuddin M. On the dynamic analysis of rotors using modal reduction // Finite element in analysis and design. 1997. № 26. P. 41 - 55. 9. Окопный Ю.А., Радин В.П., Чирков В.П. Механика материалов и конструкций. М., 2001. 10. Zienkiewich O., Taylor R. The finite element method. Vol. 1. The basis. Oxford, 2000. Орловский государственный технический университет 10 ноября 2006 г. УДК 621.01 ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ В КИНЕМАТИЧЕСКИХ ПАРАХ ПРЯМОЛИНЕЙНО-ОГИБАЮЩЕГО МЕХАНИЗМА МЕТОДОМ ПРОДОЛЬНЫХ РЕАКЦИЙ © 2007 г. А.В. Владимиров, С.А. Кузнецов Целью силового анализа является определение уравновешивающей силы или момента, приложенного к ведущему звену, а также определение реакций в кинематических парах механизма. Для определения реакций кривошипно-ползунного прямолинейно-огибающего механизма (рис. 1), деформирующего материал заготовки в процессе огибания, воспользуемся методом продольных реакций, изложенным в работе [1]. Рассмотрим общий случай приложения силы Е к шатунной плоскости прямолинейно-огибающего механизма (рис. 1), а именно к точке контакта К, принадлежащей подвижному рабочему органу, образованному дугой окружности. Поскольку рычаг Жуковского (фигура АРК) уравновешен не моментом, а уравновешивающей силой (рис. 1), то условная реакция в точке «подвеса» рычага (в полюсе Р), назовем ее полярной реакцией RP, равна по величине векторной сумме сил, приложенных к звеньям, и уравновешивающей силы: F+F ур + Яр = о. С другой стороны, R р = R1 + R з, где R1 и R 3 - продольные реакции в звеньях 1 и 3 (рис. 1). 71 —-------- I "'X I ч- м) ция R1 звена ОА, тогда в шарнирах формируются реакции: в шарнире А как сумма Fyv и R1, в шарнире В реакция равна продольной R3, а в шарнире О реакция равна реакции в шарнире А. Реакция ползуна равна реакции в шарнире В. Таким образом, можно определить уравновешивающую силу, приведенную силу, реакции в шарнирах и полную приведенную реакцию чисто графически. Чтобы получить аналитические зависимости реакций в шарнирах от силы F, действующей на механизм, достаточно спроецировать на координатные оси векторный многоугольник (рис. 1), замкнутый в полюсе Р. Проекция на ось Y: Fy -Fyp cos|П-Ф1 I-R1 cosф 1 = 0. Проекция на ось X: Fx -Fур sin|П-ф 1 I + R1 sinф 1 -R3 = 0: где ¥т , Fх - проекции силы F на координатные оси, определяемые соответственно: а . . а Fy = FA cos—-f sin— ; а а fx = Fc \ sinT + f cosT • Рис. 1. К определению реакций в шарнирах прямолинейно-огибающего механизма Чтобы привести силу F, приложенную к точке шатунной плоскости К, точку приложения силы К соединяем с точкой приведения А и с мгновенным центром скоростей (рис. 1). Далее проецируем силу F на полученные линии как на оси косоугольной системы координат и приводим косоугольную проекцию Fа на линию АК к точке А, а через ее конец проводим линию, параллельную линии ОР до пересечения с перпендикуляром к ОР, восстановленным из точки А , отсекая на перпендикуляре уравновешивающую силу Fур . Затем от полюса Р откладываем вектор силы F, а от него вектор Fур и замыкаем векторный многоугольник полярной реакцией RP . Через начало вектора RP проводим линию, параллельную линии реакции ОР, отсекая на другой линии реакции - ВР - продольную реакцию R3 шарнира В, а на самой линии отсекается продольная реак- (1) (2) После подстановки выражений (2) и (3) для проекций силы F на координатные оси получим: а a i Fc\ cosy - f sin- I-Fyp sin Ф1 - R1 cos Ф1 = 0; (3) /а а I Fc\ siny + f cosy |-Fyp cosФ1 + ^lSinФ1 -R3 = (4) где f - коэффициент трения скольжения. Величина уравновешивающей силы F определяется через выражение: Fyp = Mур / ri, (5) где Mур - приведенный момент к кривошипу r1. Момент приведенный имеет вид: Mур =(Mсr,)/AP, (6) где М С - момент силы F относительно мгновенного центра вращения, который имеет вид М с = FYX 2 + FXY 2, (7) где X 2 и 72 - расстояние по осям абсцисс и ординат соответственно между точками К и Р. Расстояние между точками К и Р, равное аналогу скорости точки К: r sin Ф Y2 = YK - YP = r2cosarcsin—-- b а , . r,sinф, -R cos— + b cos arcsin—-L, 2b (8) r sin Ф X2 = XP -XK =\ r,cosфj + bcosarcsin—-- Itgф, - (9) r2r,sinФ, . а -r, sin ф, ——-1 + R sin—• таны реакции для обжимного пресса, разработанного на основе огибающего механизма, схема которого представлена на рис. 1. Результаты расчетов представлены на рис. 2 в виде графиков зависимостей изменения реакций от угла поворота кривошипа ф2 [2]. R, Н Решением уравнений (5) - (9) определяется уравновешивающая сила, приложенная к входному кривошипу. Таким образом, в уравнениях (3) и (4) неизвестными остаются продольные реакции R1 и R 3 , а также полные реакции в шарнирах О, А и В. Из уравнения (3) находим продольную реакцию R1 Fc (cos а - f sin ^2 I- Fyp sin Ф1 R1 =—(-2-2J-. (10) cos Ф1 Из уравнения (4) находим продольную реакцию R3 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. fa ai R 3 = Fc I sin y + f cos-j J- Fyp cos ф 1 + R1 sin ф 1. (11) Полные реакции в шарнирах ro = ra ^ , rb = R3.. (12) Таким образом, решением уравнений (10), (11) и (12) определяются аналитически все реакции в кинематических парах прямолинейно-огибающего механизма, рабочий орган которого деформирует материал в процессе огибания неподвижной прямой. На основании изложенной методики определения реакций в кинематических парах прямолинейно-огибающего механизма в математической среде Maple 6 составлена программа для ЭВМ, по которой рассчи- 0 6 ф1, рад Рис. 2. Реакции в шарнирах прямолинейно-огибающего механизма Отрицательный участок кривой, характеризующей реакцию в шарнире В, указывает на смену направления действия реакции R В . Несимметричность смены направления относительно оси ординат обусловлена смещением точки приложения силы и отклонением ее на угол под влиянием величины степени обжатия. К концу интервала приближения (слева) происходит увеличение реакций. Это вызвано тем, что на втором полуинтервале происходит снижение уравновешивающей силы, а тангенциальная составляющая реакции шарнира А переходит в продольную, увеличивая тем самым полную реакцию шарнира А и полную реакцию шарнира О. Литература 1. Кузнецов С.А., Владимиров А.В. Графический и комбинированный методы силового анализа механизмов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2004. № 2. С. 79-81. 2. Владимиров А.В., Кузнецов С.А. Обжимной пресс // Техника, технология и экономика сервиса // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2004. № 6. С. 22-23. Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, г. Шахты 7 ноября 2006 г. УДК 656.072 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТРАНСПОРТНЫМИ СЕТЯМИ © 2007 г. С.В. Белокуров Одной из основных проблем при условии оптимального управления транспортными сетями является выбор метода прогнозирования интенсивности движения. Возникающие в этом случае задачи можно разделить на два класса: на детерминированные и стохастические. В детерминированных задачах все необходимые параметры транспортной сети определены. В основе этих задач используется математиче-

https://cyberleninka.ru/article/n/zavisimost-koeffitsienta-teploprovodnosti-magnitnyh-zhidkostey-ot-parametrov-sostoyaniya

Results of the numerical calculations of the dependence of the coefficient heat conductivity of magnetic liquids from the parameters of state at the effect of the inhomogeneous magnetic field are described.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2007, том 50, №2_________________________________ ФИЗИКА УДК 532.7+537.84 Член-корреспондент АН Республики Таджикистан С.Одинаев, К.Комилов ЗАВИСИМОСТЬ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МАГНИТНЫХ ЖИДКОСТЕЙ ОТ ПАРАМЕТРОВ СОСТОЯНИЯ Исследованию зависимости теплопроводности магнитных жидкостей (МЖ) от параметров состояния посвящено большое количество как экспериментальных, так и теоретических работ [1-5]. В частности, в [5] методом молекулярно-кинетической теории получено молекулярное выражение для динамического коэффициента теплопроводности с учетом вкладов различных релаксационных процессов в присутствии приложенного внешнего неоднородного магнитного поля. Это выражение имеет следующий вид: Л(—) = ~р (к 1 2 Тт Ажп2а2 \ V т 1 + (— )2 3 1 | ф (г)г 2йг| 01 (г, г, —А (г )г2й^ +| Ф2 (г)г 2йг х где х[01(г г^ю) ц0аМ | УИ17 2 7 (дg0(г1) —-------—-------- I ф (г)г йг I ©! (г, г, —) 041 ю 3Р 0 0 дТ т (ют ) 12 0 !(г, г,ю) = —0-—°-[(сов^! - Бт ^)ехр(-^) -(со8^2 - вт <рг)ехр(-^)]; 4лгг (1) =(—т о)1/2 (г+г1); А1 (г1) = ^ (д^г1) ^ 2кТ ~Р ; А2 (г1) = —^ gо(гl)— ^(дДп gо(г1) дг V дТ ф1(г)= 3 л 1 dФ Ф(г) -^ г~Г 3 dг dФ ; ф2(г) = ф(г) - г-,-dг Ф(| г |) - потенциал межчастичного взаимодействия, g0(| г |,п,Т) - радиальная функция распределения, п - числовая плотность, а - диаметр частиц, к - постоянная Больцмана, Т -абсолютная температура, - магнитная проницаемость вакуума, Р - коэффициент трения, М- намагниченность насыщения, р - плотность магнитной жидкости (МЖ), — - частота процесса, т0 = — =Р<Т - феноменологическое время структурной релаксации, —0 2кТ -1 ^ Т = —! =-------время трансляционной релаксации вязкого тензора напряжений. 2р Как видно из (1), выражение для динамического коэффициента теплопроводности Л(—) сложным образом зависит от функции Ф(| г |) и ^^(| г |,п,Т), поскольку их явный вид не 7 7 0 0 0 0 р задан. Для количественного сравнения зависимости динамического коэффициента теплопроводности от параметров состояния МЖ с существующими экспериментальными результатами необходимо проведение численных расчетов, что и является предметом настоящего исследования. Для проведения численных расчетов следует выбирать конкретную модель МЖ, на основе которой можно задать явный вид функции Ф(| г |) и g(| г |,п,Т). Согласно модели МЖ, предложенной в [6], потенциал межчастичного взаимодействия с учетом наличия внешнего неоднородного поля напряженности И выбираем в виде: Щ) = ФИ (и}) + Ф3ф, (2) где фИ (Ц.) = -кЩиИ)/И - потенциальная энергия взаимодействия частицы у с внешним магнитным полем И, направленном параллельно вектору смешения и ; к = (л0тИ /кТ - параметр Ланжевена; т - магнитный момент частицы; г = г - г - вектор относительного смешения частиц 1 и у ; Ф3 (г) = 4е потенциал Леннард - Джонса. Согласно [7], в сферически-симметричном случае, радиальную функцию распределения частиц принимаем в следующем виде: g(г,п,Т) = у(г, р*)exp(— Фг-) , (3) к! где у(г,р*) - бинарная функция распределения двух полостей. В качестве контактного значения у(р*) выбираем выражение, найденное Карнаханом - Старлингом: , *Ч (2 -р*) у(р ) = —------, (4) 2(1 -р)3 * ^ 3 ^ N0а г где р =— па =—р------------ - приведенная плотность МЖ; м0 - число Авогадро, М - мо- 6 6 М лярная масса. Используя (2) - (4), из (1) получим в следующем виде приведенное выражение коэффициента теплопроводности, которое является удобным при проведении численных расчетов: Л(—) = Лк (—) + Лр (—), (5) где к и=-р\ - У X 2 5 (Я Л еТт, (6) 2' ^т) 1 + (а*)2 кинетическая часть коэффициента теплопроводности; Я - универсальная газовая постоянная; с - концентрация; т - масса вещества; Лр (о) = \р (о) + Л р (а) + Л3 р (а), (7) где к,,(0) = , , кТ IФ'"° (г) + ф‘" (г) + г :|©і(г, г„а) ! (г,) Ф (г) Ф (г) ф (г) + ф^п _р у2(р*)а Т Т гА,; 3 ^1(^0/^1)0 |ёгг Ф*ь_° (г) + Ф*н (г) + Б (г )^ х|©1 (г, г ,0) (г,) 1 Т (1 _ Ф*ь-° (г) _ Ф- (г) + р у2 (р * )Та ч*Н * . * . . , Л 4яп2аАм№* I УН | кТ}, (~*ь-о,, „*н,, Б*(г)Л Кр (0) =------ \ „-----!--1 Агг Фь° (г) + Фн (г) + зр 3г у г I ©1 (г, /1,0) ! (г,) х|© 0 Ф'ь~п (г) Ф*н (г) * , *, +------------Р у2(Р )а гхйг\, Т Т iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Б* (г) = 6Ґ (2г 6 - !)г 5; П*(^) = 6Ґ {іг-6 _ ^; Г = 4є/кТ; *Ь_ВҐ^_ ФЬ_° (г) Фь-и (г) = кТ = Г (г_,2 _ г-б) ; *н,. _ФН (г)_ М0 т | УН | /, Ф н (г) = кТ кТ ; Уі(р ) = (5 _ 2р ‘)р ‘ „ и „.; I - характерный размер системы; Р Д2 -р (, _Р*)(2 _Р)' ар - коэффициент теплового расширения, значение которого следует взять из эксперимента [8], со* = сотх - приведенная частота, со - частота внешнего процесса. Используя выражения (5)-(7), для МЖ на основе керосина и магнитных частиц Ре304, проведены численные расчеты зависимости динамического коэффициента теплопроводности от параметров состояния МЖ при фиксированном значении приведенной частоты а0 «10 -7, что соответствует реальной частоте о = 105 Гц. При проведении численных расчетов были х 3 0 х г 0 х 0 использованы данные концентрации с, плотности р , намагниченности насыщения М <, приведенные в [9]. На основе полученных результатов, в таблице приведена зависимость коэффициента теплопроводности Л от концентрации, плотности р и намагниченности насыщения при Т = 298 К, аа = 10-7 и | УИ |= 103А/м2 : р , кг/м3 с, % М,103, А/м Л, Вт/м • К 902 2.44 8.1 0.0306 907 2.87 8.3 0.0372 1130 7.90 10.4 0.1554 1312 11.2 31.2 0.7916 1340 12.8 34.2 0.9662 Как видно из таблицы, при фиксированных значениях приведенной частоты а*, температуры Т и | УИ | с увеличением плотности МЖ, концентрации и намагниченности насыщения значение коэффициента теплопроводности возрастает. Согласно данным, приведенным в [9], коэффициент теплопроводности чистого керосина с возрастанием плотности медленно увеличивается. На рис. 1 приведена плотностная зависимость динамического коэффициента теплопроводности при Т = 298 К ,а> = 10 7, | У И |= 102А/м2 и 103А/м2, которая с увеличением плотности МЖ возрастает нелинейно. На рис. 2 приведена концентрационная зависимость относительного динамического коэффициента теплопроводности Л/ Л0 при Т = 298 К, оа = 10 7, | У И |= 103 А/м2 . Видно, что с увеличением концентрации теплопроводность МЖ растет нелинейно. Данный результат находится в качественном согласии с результатами [2, 9]. Видимо, увеличение значения объемной концентрации существенно влияет на теплопроводность МЖ. Рис. 1. Зависимость коэффициента теплопроводности от плотности: 1- | УИ |= 103 А/м2 ; 2 - | УИ |= 102А/м2. Рис. 2. Зависимость Л/ Л0 от концентрации при | УИ |= 103 А/м2 . На рис. 3 приведена зависимость коэффициента теплопроводности от намагниченности насыщения при Т = 298 К, а* = 10 7 и | УИ |= 102 А/м2 и 103 А/м2, которая с увеличением намагниченности насыщения возрастет нелинейно. На рис. 4 приведена температурная зависимость изочастотного коэффициента теплопроводности при Т = 298 К, р = 1340 кг/м3, аа = 10 7, | УИ |= 102А/м2 и 103А/м2. С ростом температуры коэффициент теплопроводности медленно уменьшается. Этот результат качественно согласуется с экспериментальным результатом [1]. Рис. 3. Зависимость коэффициента теплопроводности от М 5: 1 - I Ун |= Ю3Л/м2 ; 2 - I Ун |= Ю2Л/м2. Рис. 4. Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры: 1 - | 'УН |= !03 Л/м2 ; 2 - | 'УН |= Ю2Л/м2. На рис. 5 приведена зависимость изочастотного коэффициента теплопроводности от величины градиента напряженности магнитного поля, направленного параллельно тепловому потоку при Т = 298 К, со = Ю _7, и разных значениях плотности МЖ: Рис. 5. Зависимость коэффициента теплопроводности от | УН |: 1 - р = !340 кг/м3; 2 - р = , !30 кг/м3. С увеличением величины градиента напряженности магнитного поля, коэффициент теплопроводности очень медленно возрастает, что находится в удовлетворительном согласии с результатами [1]. В сильных магнитных полях в концентрированных МЖ, видимо, не исключено образование цепных структур. Таким образом, проведенные численные исследования по зависимости динамического коэффициента теплопроводности от параметров состояния и напряженности магнитного поля, а также сравнение полученных результатов с имеющимися экспериментальными данными показывают правильность учета вклада различных внутренних релаксационных процессов, протекающих в магнитных жидкостях. Таджикский государственный Поступило 08.04.2007 г. национальный университет ЛИТЕРАТУРА 1. Кронкалс Г. Е., Майоров М. М., Фертман В. Е. - Магнитная гидродинамика, 1984, № 2, с. 38-42. 2. Жук И. П., Ларин А. С., Фертман В. Е. - Материалы VI Всесоюз. конф. по теплофизическим свойствам веществ. - Минск.: ИТМО АН БССР, 1978, с. 111-112. 3. Фертман В. Е. - Инженерно-физический журнал, 1987, т. 53, № 3, с. 502-511. 4. Фертман В. Е. - Теплофизика высоких температур, 1979, т. 17, № 1, с. 196-206. 5. Комилов К. - ДАН РТ, 2006, т. 49, № 9, с. 813-818. 6. Ilg P. Kroger M., Hess S. - Phys. Rev, 2005, E71, p. 051201. 7. Юхновский И. Р., Головко М. Ф. Статистическая теория классических равновесных систем. - Киев.: Наукова думка, 1980, 372 с. 8. Фертман В. Е. Магнитные жидкости. - Минск.: Вышэйшая школа, 1988, 183 с. 9. Берковский Б. М., Медведев В. Ф., Краков М. С. Магнитные жидкости. - М.: Химия, 1980, 240 с. С.Одинаев, К.Комилов ВОБАСТАГИИ КОЭФФИСИЕНТИ ГАРМИГУЗАРОНИИ МОЕЪ^ОИ МАГНИТЙ АЗ ПАРАМЕТР^ОИ ^ОЛАТ Натичах,ои х,исобкуних,ои ададии вобастагии коэффисиенти гаpмигyзаpонии моеъх,ои магнитй аз паpаметpx,ои х,олат, хднгоми ба моеъ таъсиp каpдани майдони маг-нитии Fайpиякчинса оваpда шудаанд. S.Odinaev, K.Komilov THE DEPENDENCE OF THE COEFFICIENT OF HEAT CONDUCTIVITY OF MAGNETIC LIQUIDS FROM THE PARAMETERS OF STATES Results of the numerical calculations of the dependence of the coefficient heat conductivity of magnetic liquids from the parameters of state at the effect of the inhomogeneous magnetic field are described.

https://cyberleninka.ru/article/n/termozvukometriya-monokristalla-pentagidrata-medi-i-tabletirovannogo-poroshka-karbonata-ammoniya-na-dvuhkanalnoy-akustiko

In the given paper, the kinetics of an acoustic emission (AE) was investigated at decomposition of monocrystals of pentahydrate of copper (PHC) and is model tablets from a powder of ammonium carbonate (AK), having utilized instrumentation of the last generation Acoustic emission double-channel system PCI 2 companies РАС (Physical Acoustics Corporation). In both cases the intensity AE is stipulated by velocity of a germing and propagation of micro-cracks in samples PHC and AK, but the process AE in them goes variously, that is stipulated by topochemical character of decomposition of monocrystals PHC as against tablets of powder AK. It is shown, that AE the method has a major perspective at study of a kinetics of decomposition both crystalline, and powdery materials. The major selfdescriptiveness of a method AE was marked at study of topochemical reactions, where the identification of simple acoustic signals, will help with further to locate and stage thermodestruction of a crystal.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН 2006, том 49, №3 ФИЗИКА УДК 620.181+66.047 С.Н.Сакиев, С.Н.Расулов, А.Лакаев, Ф.Чориев ТЕРМОЗВУКОМЕТРИЯ МОНОКРИСТАЛЛА ПЕНТАГИДРАТА МЕДИ И ТАБЛЕТИРОВАННОГО ПОРОШКА КАРБОНАТА АММОНИЯ НА ДВУХКАНАЛЬНОЙ АКУСТИКО-ЭМИССИОННОЙ СИСТЕМЕ PCI-2 КОМПАНИИ PAC (Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан С.О.Одинаевым 11.08.2005 г.) Термозвукометрия (Thermosonimetry) [1] - это изучение акустической эмиссии (АЭ) в твердых телах и жидкостях, вызванной изменением температуры. Ранее методом АЭ были изучены мартенситные превращения в металлах [2] и структурные фазовые превращения в различных кристаллах, а также определены их температуры [1,3-5]. Этим же методом были определены и уточнены температуры разложения монокристаллов пентагидрата меди (111 М) [6,7] и таблетированных порошков гидрокарбоната калия [8], карбоната аммония (КА) и перхлората аммония [9]. В данной работе ставилась задача, используя аппаратуру последнего поколения многоканальных акустико-эмиссионных систем для одновременной обработки параметров АЭ и форм волн, исследовать кинетику разложения монокристаллов ПГМ и образцов таблетированных порошков КА. Выбор в качестве объектов исследования монокристалла ПГМ и таб-летированного порошка КА не случаен, т.к. ранее в них методом АЭ были определены их температуры разложения [6-8], кроме того, их механизмы разложения несколько отличаются, что представляет собой особый интерес для исследования кинетики АЭ. Если в монокристаллах ПГМ разложение - дегидратация представляет собой топохимическую реакцию, начинающуюся с поверхности кристалла в дефектных и слабых по связям местах [10,11], то в таблетках из порошка КА разложение при достижении её температуры разложения начинается практически по всему образцу в целом. Термозвукометрия монокристаллов ПГМ и прессованных из порошка КА таблеток проводилась в ФТИ им.С.У.Умарова АН РТ на двухканальной АЭ системе PCI - 2, компании PAC (Physical Acoustics Corporation). Блок-схема АЭ установки представлена на рис.1. Исследуемые образцы (1) через акустическую смазку крепились на верхнюю поверхность кварцевого цилиндра (2), а на нижнюю его часть также через акустическую смазку крепился АЭ пьезокерамический датчик ЦТС-19 (3). Кварцевый цилиндр (2) использовался как волновод для того, чтобы не нагревался сам датчик АЭ и тем самым избежать возникновения паразитных шумов из-за объемного теплового расширения отдельных его частей и деталей. Сигналы АЭ, принятые с пьезодатчика (3), усиливались предусилителем (4) - модель 2/4/6 компании PAC и затем поступали на вход двухканальной платы PCI-2 (5). Поскольку все современные персональные компьютеры (PC) оснащены шинами PCI, то двухканальная плата PCI-2 (5) (рис.1), созданная на основе программируемых логических интегральных схем, была установлена в PC Pentium-4 (6) (рис.1). Сочетание 18-битного АЦП, способного работать на час- тотах до 40МГц, и высокоскоростной 32-битной шины PCI, позволило организовать архитектуру реального времени, которая не замедляет скорость поступления сигналов АЭ. Исключительно низкий уровень шумов и широкий диапазон частот входных сигналов (3 кГц - 3 МГ ц) предусилителя (4) даёт возможность использовать плату PCI - 2 (5) для лабораторных АЭ исследований, а также для тех промышленных приложений, где требуется высокая чувствительность при низком уровне шума. Данная АЭ установка (рис.1) может работать в режиме с непрерывным потоком АЭ данных (“стриминг”) и записывать форму входных сигналов на жёсткий диск. Нагрев исследуемых образцов производился с помощью термостата (7) со скоростью 0,1 - 0,2 градуса в минуту, а значение температуры регистрировалось ртутным термометром (8) с точностью 0,5 градуса. На рис.2 представлена зависимость интенсивности сигналов АЭ от времени в монокристалле ПМГ массой 0,84 г. Одновременно при проведении эксперимента, с повышением температуры в термостате, через каждые 5 минут с помощью ртутного термометра фиксировалась температура испытуемого образца (1) (рис.1). На графике временной зависимости интенсивности АЭ - N = Г (т) (рис.2) точка А соответствует температуре 47оС и соответствует началу реакции разложения монокристалла ПМГ, далее эта температура стабилизировалась и оставалась постоянной до конца эксперимента. Необходимо отметить, что температура 47оС подтвердила значение температуры первой стадии дегидратации (46-48оС), найденное ранее по температурной зависимости общего счета сигналов АЭ в [6,7]. Поскольку дегидратация монокристалла 111 М является топохимической реакцией, то дальнейшие всплески интенсивности сигналов АЭ (точки В, С и Д) можно объяснить накоплением зародышей разложения в ПГМ, которые представляют собой локальные очаги разрушения. Эти очаги разрушения на первой стадии дегидратации в свою очередь возникают за счет образования и роста микро и макротрещин в результате высвобождения паров воды с поверхностных и приповерхностных слоев кристаллического ПГМ. Именно образование и рост микротрещин, по всей видимости, и являются источниками генерации сигналов АЭ. Наблюдения за поверхностью монокристалла ПГМ подтверждают взаимосвязь между всплесками интенсивности АЭ и накоплением локальных очагов разложения, т.к. лишь после увеличения интенсивности АЭ на синей поверхности монокристалла ПМГ появляются вкрапления светло голубого цвета. В пользу того, что источниками АЭ являются образование и рост микротрещин, говорит также и сама форма единичных акустических сигналов, наблюдаемых в точках А, В, С и Д (рис. 2). Таким образом, АЭ в монокристалле ПГМ на первой стадии дегидратации (Си804 ' 5 Н2О = Си804 ' ЗН2О + 2 Н2О) представляет собой не что иное, как высвобождение упругой энергии в виде акустических волн в результате образования и роста микротрещин. Дальнейшее объединение очагов зародышей разложения приводит к образованию и продвижению реакционной зоны [11], где скорость накопления сигналов АЭ резко возрастает [10]. Термозвукометрия для мелкоизмельченных твердых тел, т.е. порошков, затруднена в связи с большим поглощением акустических волн в них. Между тем использование метода АЭ для изучения процесса термического разложения порошков имеет большое практическое значение, так как большинство новых синтезированных веществ, как правило, получают в порошкообразном виде. Для этой цели из порошка карбоната аммония (КА) средней массой 0,8 г прессованием под давлением 2,5 МПа приготавливались таблетки диаметром 7 мм. Далее таблетка КА (1) (рис.1) через акустическую смазку устанавливалась на кварцевый волновод (2) и также, как в случае для ПМГ, нагревалась со скоростью 0,1-0,2 град./мин с помощью термостата 7. Необходимо отметить, что нижняя часть таблеток, чтобы избежать поглощение акустической смазки, покрывалась тонким слоем лака. Сам ход эксперимента был аналогичен проведению термозвукометрии для монокристалла ПМГ и подробно дан при описании АЭ установки. На рис.3 приведена временная зависимость интенсивности АЭ для таблетки из порошка КА массой 0,82 г. Точка А’ на графике соответствует температуре разложения КА - 58оС, и, как видно из графика, увеличение интенсивности началось несколько, приблизительно на один градус, раньше температуры разложения. В дальнейшем после достижения 58оС температура не изменялась до конца опыта. Более раннее увеличение интенсивности АЭ говорит о том, что при подходе к температуре разложения вещества КА в таблетке возникают механические напряжения, которые приводят к механическим повреждениям, т.е. также, как и в случае ПМГ, к микротрещинам. Но в отличие от ПМГ АЭ в таблетированном КА при достижении температуры разложения происходит гораздо интенсивнее по времени, что объясняется различием в механизмах разложения монокристалла ПМГ и таблетки КА. А именно, если в ПМГ при достижении температуры первой стадии дегидратации происходит накопление и рост локальных очагов разложения, поскольку реакция топохимическая, то в таблетке КА растрескивание, связанное с выделением газообразных продуктов ((N^>2 СОз = 2NHз + Н2 О + СО2|), идет одновременно по всему образцу и с поверхности и изнутри. Точки А’, В’ и Д‘ соответствуют наибольшей скорости разрушения, подтверждением чему являются наибольшие значения интенсивности АЭ на графике (рис.3). В точке С’ спад интенсивности связан, по-видимому, с локальным механическим разрушением на пути к датчику, что привело к увеличению коэффициента поглощения. Необходимо отметить, что хотя АЭ в таблетках КА интенсивнее по времени, но она короче по продолжительности. Более того, в таблетках КА регистрация АЭ не происходит до конца, т.е. до полного разложения. В точке Е’ (рис. 3), хотя образец еще полностью не разрушен и генерация АЭ сигналов продолжается, но она не регистрируется АЭ аппаратурой из-за увеличения акустического поглощения разрыхленной таблетки КА, вследствие её термической деструкции. Термозвукометрия монокристаллов ПМГ и таблеток КА показала, что АЭ метод имеет большую перспективу при изучении кинетики разложения как кристаллических, так и порошкообразных веществ. В обоих случаях интенсивность АЭ обусловлена скоростью зарождения и ростом микротрещин в образцах ПМГ и КА, но процесс АЭ в них идет по-разному, что обусловлено топохимическим характером разложения монокристаллов ПМГ в отличие от таблетированного порошка КА. Необходимо отметить большую информативность метода АЭ при изучении топохимических реакций, где идентификация единичных акустических сигналов, поможет в дальнейшем определять место и стадию термодеструкции кристалла. Физико-технический Поступило 11.08.2005 г. институт им. С.У. Умарова АН Республики Таджикистан ЛИТЕРАТУРА 1. Oliver Lee, Yoshikata Koga and Adrian P. Wade - Talanta, 1990, vol. 37, № 9, pp. 861-873, Printed in Great Britain. 2. Бартенев О.А., Хамитов В.А. - Заводская лаборатория, 1987, №6, с. 37. 3. Sawada T., Gohshi Y., Abe C. and Furuya K. - Anal. Chem., 1985, 57, p.1743. 4. Адхамов А.А., Сакиев С.Н., Каримов Х.С., Ахмедов Х.М., Азимов Ш.Ш. - ДАН ТаджССР, 1988, №9, с. 578. 5. Сакиев С. Н., Рахимов И.К., Азимов Ш.Ш., Азимбоев А. - ДАН ТаджССР, 1989, №7, с.451. 6. Сакиев С.Н., Холлов А., Гуламова Ф. - Журнал физической химии,1989, т. 63, №5, c.1391. 7. Сакиев С.Н. - Журнал физической химии,1993, т. 67, №4, c. 792. 8. Сакиев С. Н., Тилявов А.А., Азимов Ш.Ш., Азимбоев А. - Заводская лаборатория, 1990, т. 56, №12, с. 70. 9. Сакиев С.Н. - Журнал прикладной химии, 1991, №11, с. 2428. 10. Сакиев С.Н. - Журнал физической химии,1990, т. 64, №6, c. 1665. 11. Болдырев В.В. Влияние дефектов в кристаллах на скорость термического разложения твёрдых веществ. Томск: Изд. ТГУ, 1963, с.66-67. С.Н.Сакиев, С.Н.Расулов, А.Лацаев, ф.Чориев ТЕРМОАКУСТОМЕТРИЯИ МОНОКРИСТАЛЛИ ПЕНТАГИДРАТИ МИС ВА ХОКАИ ХДББКАРДАШУДАИ КАРБОНАТИ АММОНИЙ ДАР СИСТЕМАИ ДУКАНАЛАИ АКУСТОЭМИССИОНИИ ИТТИ^ОДИЯИ РАС - PCI-2 Дар макола бо истифода аз намунаи охирини дастгохи хозиразамон -системаи дуканалаи акустоэмиссионии (PCI-2) Иттиходияи РАС (Physical Acoustic Corporation), кинетикаи эмиссияи акустикй (ЭА) хангоми тачзияи монокристаллхои пентагидрати мис (ПГМ) ва хаббхои аз хокаи карбонати аммоний (КА) сохташуда, тахкик шудааст. Нишон дода шудааст, ки дар хар ду холат хам интенсивнокии ЭА ба суръати тавлид ва инкишоф: микротаркишхо дар намунахои ПГМ ва КА вобаста буда, лекин эмиссияи акустикиашон равандхои гуногун сурат мегиранд. Сабаби гуно-гунии равандхои ЭА ба табиати топохимиявй доштани тачзияи ПГМ, ки дар хокаи хаббкардашудаи КА чой надорад, алокаманд карда мешавад. Дурнамои истифодаи васеъи ЭА ва имкониятхои бо воситаи он гирифтани маълумотхои фаровон, хангоми омухтани кинетикаи тачзияи чй чисмхои сахти кристаллй ва чй моддахои хокамонанд HHmoH goga myga, 6apTapuaTH oMyxTaHH peaKCHax,ou TonoxHMHaBH 60 hh ycy^ Ba gap oaHga HMK0Hna3upHH MyaMaH KapgaHH h,om Ba gapan.au BaMpoHmaBHH xapopaTHH co-xTopu KpucTa^xo 6o epuu oh, K,aMg rapgugaacT. S.N.Sakiev, S.N.Rasulov, A.Lakaev, P.H.Choriev THERMOSONIMETRY OF A MONOCRYSTAL OF PENTAHYDRATE OF COPPER AND PELLETED POWDER OF AMMONIUM CARBONATE ON ACOUSTIC EMISSION DOUBLE-CHANNEL SYSTEM PCI-2 OF THE COMPANY PAC In the given paper, the kinetics of an acoustic emission (AE) was investigated at decomposition of monocrystals of pentahydrate of copper (PHC) and is model - tablets from a powder of ammonium carbonate (AK), having utilized instrumentation of the last generation - Acoustic emission double-channel system PCI - 2 companies PAC (Physical Acoustics Corporation). In both cases the intensity AE is stipulated by velocity of a germing and propagation of micro-cracks in samples PHC and AK, but the process AE in them goes variously, that is stipulated by topochemical character of decomposition of monocrystals PHC as against tablets of powder AK . It is shown, that AE the method has a major perspective at study of a kinetics of decomposition both crystalline, and powdery materials. The major selfdescriptiveness of a method AE was marked at study of topochemical reactions, where the identification of simple acoustic signals, will help with further to locate and stage thermodestruction of a crystal.

https://cyberleninka.ru/article/n/eksperimentalnoe-issledovanie-vliyaniya-poperechnogo-magnitnogo-polya-na-elektricheskie-i-opticheskie-harakteristiki-nanosekundnogo

Экспериментально исследовано влияние поперечного магнитного поля на электрические и оптические характеристики, а также на пространственную структуру поперечного наносекундного разряда с полым катодом в гелии при токах разряда 1 300 А и давлениях газа в разрядной камере в диапазоне 102 104 Па. Обнаружено, что в магнитном поле меняется пространственная структура разряда из-за сжатия и локализации плазмы по центру разрядного промежутка, при этом в магнитном поле напряжение горения разряда уменьшается, а величина разрядного тока и полная светимость разряда многократно растет.

УДК 537.521 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПОПЕРЕЧНОГО МАГНИТНОГО ПОЛЯ НА ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И ОПТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НАНОСЕКУНДНОГО РАЗРЯДА С ПОЛЫМ КАТОДОМ © 2011 г. Н.А. Ашурбеков, К.О. Иминов, О.В. Кобзев, Г.Ш. Шахсинов Дагестанский государственный университет, Dagestan State University, ул. Гаджиева, 43а, г. Махачкала, Gadjiev St., 43a, Makhachkala, Республика Дагестан, 367000, Republic Dagestan, 367000, [email protected] [email protected] Экспериментально исследовано влияние поперечного магнитного поля на электрические и оптические характеристики, а также на пространственную структуру поперечного наносекундного разряда с полым катодом в гелии при токах разряда 1 — 300 А и давлениях газа в разрядной камере в диапазоне 102 — 104 Па. Обнаружено, что в магнитном поле меняется пространственная структура разряда из-за сжатия и локализации плазмы по центру разрядного промежутка, при этом в магнитном поле напряжение горения разряда уменьшается, а величина разрядного тока и полная светимость разряда многократно растет. Ключевые слова: наносекундный разряд, полый катод, магнитное поле. The impact of transversal magnetic field on the electrical and magnetic properties as well as the spatial structure of transversal nanosecond discharge with hollow cathode in helium with the discharge current of 1 — 300 A and gas pressure in the discharge chamber within the range of 102 — 104 Pa has been experimentally studied. It has been found that the spatial structure of the discharge in the magnetic field is changing due to the compression and localization ofplasma in the center of the discharge gap, with the voltage of the discharge burning in the magnetic field falling, while the value of discharge current and full irradiation of discharge are growing manifold. Keywords: nanosecond discharge, hollow cathode, magnetic field. В настоящее время исследования магнитоактивной плазмы представляют значительный интерес как с научной, так и с практической точек зрения. Разряды в скрещенных электрических и магнитных полях широко применяются, в частности, в модуляторных устройствах, в установках для получения тонких пленок разного рода, при создании мощных стационарных источников излучения с высоким значением КПД и в других современных технологиях [1, 2]. В научной литературе имеется достаточно большое количество экспериментальных и теоретических работ, посвященных исследованию влияния продольного и поперечного магнитного поля на характеристики стационарного тлеющего разряда [3-5]. Имеются также работы по исследованию функции распределения электронов по энергиям в магнитоактивной плазме тлею- щего разряда [6-8]. В то же время в литературе практически отсутствуют работы по изучению влияния магнитного поля на характеристики импульсного разряда с полым катодом, хотя в последние годы активно ведутся исследования аномально тлеющих разрядов с полым катодом с различной геометрией поверхности катода с целью получения пучков ускоренных электронов при повышенных давлениях газа [9, 10]. В этом отношении несомненный интерес представляют и импульсные поперечные наносекундные разряды с протяженным полым катодом, где при определенных условиях формируются пучки электронов с энергией порядка 1 кэВ [11, 12]. Целью настоящей работы является экспериментальное исследование влияния внешнего магнитного поля на электрические и оптические характеристики поперечного сильноточного наносекундного разряда с полым катодом при средних давлениях рабочего газа. Экспериментальная установка и методика измерений Разрядная камера представляла собой кварцевую трубку с внутренним диаметром 3 см, в которую помещены два алюминиевых электрода длиной 5 см, расположенных на расстоянии 0,6 см друг от друга. Катод был изготовлен из круглого стержня с диаметром 1,2 см, вдоль которого прорезана полукруглая полость с радиусом 0,3 см. Анод был изготовлен из плоской прямоугольной пластины шириной 2 см и толщиной 0,5 см. Поверхности электродов были тщательно отполированы механическим способом. Выбор такой формы поверхности полого катода и расстояния между электродами обусловлены требованиями устойчивого горения объемного разряда при средних давлениях рабочего газа. Для поддержания постоянного давления в разрядной камере и удаления примесей, поступающих в разряд из кварцевой трубки разрядной камеры и электродов, система предварительно откачивалась турбо-молекулярным насосом и обезгаживалась. Рабочий газ подавался из баллона через игольчатый вентиль. Давление в разрядной камере контролировалось с помощью деформационного манометра VD81MC. Внешнее магнитное поле создавалось с помощью выдвижных постоянных магнитов и имело в центре разрядного промежутка напряженность поля Н = = 1,5-105 А/м. Разрядная трубка помещалась между полюсами постоянного магнита с размерами, превышающими размеры разрядного промежутка, что обеспечивало однородность магнитного поля. Генератор высоковольтных импульсов напряжения для формирования поперечного наносекундного разряда был собран по схеме Блюмляйна. В качестве коммутирующего устройства использован керамический тиратрон с водородным наполнением типа ТГИ1-500/16, включенный по схеме с общим катодом. Использование в схеме малоиндуктивных конденсаторов типа КВИ, расположенных непосредственно на электродах с двух сторон разрядной камеры и полос-ковых подводящих линий, позволило получить длительность фронта нарастания импульса напряжения порядка нескольких наносекунд. Для исследования электрических характеристик поперечного наносекундного разряда с полым катодом использовался метод осциллографирования напряжения горения и разрядного тока с наносекунд-ным временным разрешением. Для измерения тока разряда последовательно разрядному промежутку включался распределенный шунт из малоиндуктивных сопротивлений величиной 0,1 Q. Напряжение на разрядном промежутке измерялось омическим делителем, собранным из малоиндуктивных сопротивлений с соответствующей коррекцией в области высоких частот. Для исследования оптических характеристик и картин пространственно-временного распределения оптического излучения разряда использовалась цифровая система регистрации спектра спонтанного излучения на основе ПЗС-линеек и скоростных ФЭУ. В качестве регистрирующих приборов использовались двухканальный аналогово-цифровой преобразователь (ЦЗО ACK-3151), подключенный к персональному компьютеру, или осциллограф типа Tektronix TDS 3032B. Результаты экспериментов Были выполнены систематические экспериментальные исследования электрических, оптических характеристик и пространственного распределения оптического излучения поперечного наносекундного разряда с полым катодом в гелии в зависимости от давления газа в разрядной камере и амплитуды импульсов прикладываемого к электродам напряжения. Исследования проводились в одинаковых разрядных условиях в постоянном магнитном поле и без него. На рис. 1 приведены осциллограммы импульсов напряжения горения (Ubr) и разрядного тока (Ibr) в магнитном поле и без него. Из осциллограмм видно, что в магнитном поле и без него форма импульсов Ubr и Ibr остается примерно одинаковой, но наложение поперечного магнитного поля приводит к существенному изменению длительности и амплитудных значений импульсов Ubr и Ibr, особенно величины разрядного тока. При наложении магнитного поля длительности импульсов Ubr и Ibr на полувысоте уменьшаются примерно в два раза. Так, для условий эксперимента (рис. 1) длительность импульса Ubr уменьшается с 250 до 120 нс, длительность импульса Ibr - с 100 до 50 нс. В этих же условиях при наложении магнитного поля амплитудное значение импульса Ubr уменьшается на 35 % с 3400 до 2200 В, а амплитудное значение импульса Ibr , наоборот, увеличивается более одного порядка с 13 до 150 А. Результаты измерений амплитудных значений импульсов Ubr и Ibr при различных значениях давления газа в магнитном поле и без него представлены на рис. 2. Из этого рисунка видно, что наложение внешнего магнитного поля меняет характер зависимостей напряжения горения и тока разряда от давления газа в разрядной камере. Амплитудные значения импульсов Ubr и Ibr в обоих случаях ведут себя совершенно по-разному. В разряде без магнитного поля при увеличении давления газа в разрядной камере от 6,6-102 до 8-103 Па величина Ubr уменьшается от 3500 до 2700 В, а величина Ibr растет от 10 до 60 А (рис. 2 а, б). Ubr, B 1000 2000 3000 500 1000 t, нс а 1500 0 -10 -20 -30 2000 üi„ B' -1000- 1000 2000- 500 1000 1, нс б Рис. 1. Осциллограммы напряжения горения и разрядного тока при р = 1,3 •Ю3 Па. а - без магнитного поля; б - в магнитном поле В магнитном поле наблюдается обратная картина. При увеличении давления газа в камере от 6,6-102 до 5,3-103 Па величина иЪг остается постоянной и составляет примерно 2200 В. При дальнейшем повышении давления газа величина иЪг линейно растет и при р = 8 -103 Па величина иЪг увеличивается до 2500 В (рис. 2в). При увеличении давления газа в камере от 6,6-102 до 8-103 Па в магнитном поле величина 1Ъг плавно уменьшается от 160 до 70 А (рис. 2г). Интересно отметить, что с ростом давления газа в разрядной камере амплитудные значения импульсов иЪг и 1Ъг в магнитном поле и без него постепенно выравниваются, что указывает на уменьшение влияния магнитного поля на электрические характеристики разряда при повышенных давлениях газа. В аналогичных условиях были выполнены систематические исследования оптических картин интегрального свечения разряда. Эти исследования были выполнены с помощью цифровой ПЗС камеры КСТ-3138, подключенной к компьютеру для каждого значения давления газа в камере от 6,6-102 до 8-103 Па с шагом 6,6-102 Па при различных значениях амплитуд импульсов прикладываемого напряжения. На рис. 3 представлены характерные оптические картины интегрального свечения разряда в магнитном поле и без него при давлении газа в разрядной камере 1,3-103 и 8-103 Па. Из этих рисунков видно, что наложение поперечного магнитного поля существенно меняет структуру оптического излучения разряда, следовательно, и структуру самого разряда. Практически однородный диффузный разряд, который идет со всей обращенной к аноду поверхности катода, при наложении магнитного поля стягивается в полукруглую полость катода. При этом за счет локализации плазмы по центру разрядного промежутка формируется протяженный однородный плотный плазменный столб между полостью катода и анодом, и интенсивность излучения по центру разряда многократно увеличивается (рис. 3а, б), причем в магнитном поле при давлениях газа в разрядной камере до 2,7-103 Па уменьшение значения иЪг приводит к возрастанию степени локализации плазмы. Цъ„ В 3600 3400 3200 3000 2800 R ТоР Ihr, A 60 50 40 30 20 10 0 Р, Тор üh„ B 26002400- 1800 10 20 30 40 50 60 Р, Тор Ihr, A 160 1208040 0 0 10 20 30 40 г 50 Р, ТоР Рис. 2. Зависимости напряжения горения и разрядного тока от давления газа. а, б - без магнитного поля; в, г - в магнитном поле Ihr, A ] 0 0 0 а 0 0 10 20 30 40 50 60 б 2200 2000 0 в нитном поле падает и при р = 8-10 Па практически сравнивается с интенсивностью излучения без магнитного поля (рис. 5). Рис. 3. Картины пространственного распределения оптического излучения без магнитного поля; б, г - разряда. а, б -р = 1,3-103 Па; в, г -р = 8-103 Па; а, в - в магнитном поле Существенное влияние магнитного поля на структуру разряда сохраняется и при давлении газа р = 8-103 Па. В этом случае характер локализации плазмы в магнитном поле меняется, и плазменный столб принимает подковообразную форму с темным пространством по центру разрядного промежутка (рис. 3г). Здесь отметим, что при значениях иЬг < 1 кВ и повышенных давлениях газа (р > 7-103 Па) магнитное поле практически не влияет на структуру разряда. На рис. 4 приведены результаты измерений интенсивности оптического излучения из центра разрядного промежутка в зависимости от величины иЬг при двух значениях давления газа. Видно, что при р = = 1,3-103 Па с ростом величины иЬг влияние магнитного поля на интенсивность оптического излучения разряда уменьшается. При р = 7-103 Па, наоборот, с ростом величины иЬг наблюдается небольшое увеличение степени влияния магнитного поля на интенсивность оптического излучения разряда (рис. 4б). При значениях иЬг < 1 кВ и повышенных давлениях газа (р > 7-103 Па) магнитное поле практически не влияет на интенсивность излучения разряда и структуру разряда, что было отмечено выше. Результаты измерений интенсивности оптического излучения из центра разрядного промежутка в зависимости от давления газа показывают, что с ростом величины р влияние магнитного поля на интенсивность оптического излучения падает. При р = 6,6-102 Па наложение магнитного поля приводит к увеличению интенсивности излучения разряда почти в 4 раза. Но с ростом давления газа интенсивность излучения разряда в маг- 10-, 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 о S 4 _Н=0 _ _"Н=1,5-105, А/м - •- Н=1.5*10~,А/м ■ «. „ iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 0,5 1,0 1,5 а 2,0 U4„ кВ о Я 54 Н=0 _,Н=1,5-105, А/м - •- H=1.5*105,A/» 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 б 3, U4„ кВ Рис. 4. Зависимости интенсивности оптического излучения разряда от величины напряжения горения разряда. а - р = 1,3-103 Па; б - р = 7-103 Па .,Н=0 .,Н=1,5-105 А/м ^ ------J 0 10 20 30 40 50 Рис. 60 р, Тор 5. Зависимости интенсивности оптического излучения разряда от давления газа Приведенные выше экспериментальные результаты показывают, что при средних давлениях газа в разрядной камере поперечное магнитное поле оказывает достаточно сильное влияние на электрические, оптические характеристики и пространственную структуру наносекундного разряда с полым катодом. Обсуждение результатов Для анализа изменения пространственной структуры исследуемого разряда при наложении внешнего магнитного поля можно использовать уравнение движения плазмы в магнитном поле 8 6 2 0 8 6 2 в 1 0 - pm ). (1) где р = пт - массовая плотность плазмы; Р = пкТ - газокинетическое давление плазмы; р = Н2 ¡8л - магнитное давление (Н - напряженность внешнего поля, поскольку величина напряженности внутреннего поля Н = !ьг ¡2лх -4-103 А/м на два порядка меньше). В магнитном поле за счет локализация плазмы по центру разрядного промежутка меняются размеры разрядной области вдоль направления магнитного поля (рис. 3), т.е. вдоль оси г, поэтому уравнение (1) можно написать в скалярной форме Р dv = dt dz dz (2) Учитывая, что концентрация атомов газа вдоль оси г dn dT практически не меняется, т.е. — << —, из (2) получим dz dz — -п dT H dH dt dz 4 j dz (3) dH Н - Н где -= —5-'- , Не ~ Ни Н{ ~ 0 - величины на- dz I иряженности поля на внешней и внутренней границах скин-слоя; / = Л/77^7 - глубина проникновения магнитного поля в течение заданного времени /, где БН = с2/4пст - коэффициент диффузии магнитного поля [13]. Следовательно, -=Н= н/!^, (4) dz I / \4ла ° = А = Ж, (5) Е иЬг где у = 1Ъ/Б (Б - площадь поперечного сечения разряда); Ь - расстояние между электродами. Подставляя (5) в (4), а (4) в (3), получим do 1 dt р , dT 1 - nk---Н i dz 4j IcUJ I 4jL Проинтегрировав полученное выражение и умножив на /, получим формулу для определения размеров плазменного столба вдоль магнитного поля z(t ) =1 р nk — Н >/ dz 4 j / c Ubrt I 4jjL t2 - At + B, (6) где постоянные интегрирования А и В определяются из начальных условий. Сделаем некоторые оценки изменения размеров плазменной области вдоль магнитного поля на основе электрических характеристик разряда. Для случая р =1,33-103 Па, когда иЪг = 1500 В, 1Ъг = 150 А (рис. 1б), г0 = 2 см (рис. 3а) и Н = 1,5-105 А/м, оценим сначала величины р и Рт. Поскольку исследуемый разряд имеет наносекундную длительность, за такое короткое время рабочий газ практически не успевает нагреться, и его температура остается на уровне комнатной. Если допустить даже, что значение температуры плазмы Т ~ 1000 К, то величина газокинетического давления Рш = пкТ ~ 6-103 Па (давления электронной и ионной компонент на порядки меньше и здесь не учитываются). Магнитное давление Рт = Н2/8п = 8-108 Па. Оценки по- казывают, что при р = 1,33•ÍO Па магнитное давление на пять порядков больше газокинетического, что и приводит к сжатию плазменной области к оси разрядного промежутка (рис. 3б). Величину сжатия плазменной области можно определить исходя из значений z0 и z(t). Но для определения значения z(t) по формуле (6) нам не хватает значения постоянной А, которая представляет собой величину скорости сжатия плазменной области, для определения которой необходимо исследовать динамику сжатия плазменной области в магнитном поле. Оценочное значение уменьшения размеров плазменного столба при наложении магнитного поля вдоль оси z (Az) можно получить и без формулы (6). Предположим, что примерно кинетическая энергия движения плазмы равна энергии приложенного магнитного поля, т.е. Я2/8л»ри2/2, отсюда и = (H2/4nnm)1/2 ~ 9-107 см/с, где n -концентрация атомов гелия в разрядной камере; m -масса атома гелия. Далее, зная скорость сжатия плазменного столба, можно определить значение Az = их ~ 0,9 см, где т = z02/DH ~ 10-8 с (приведенная формула для оценки значения т справедлива, поскольку глубина проникновения магнитного поля в плазму за время длительности импульса тока (рис. 1б) l ~ 4,5 см > z0). Аналогичные оценки для случая р = 8-103 Па, когда Ubr = 2600 В и hr = 70 А дают значения Pg ~ 4104 Па и Az ~ 0,16 см. Полученные значения Az хорошо согласуются с экспериментом (рис. 3б и г). В эксперименте имеет место уменьшение значения Az с ростом давления газа в камере и значения прикладываемого к электродам напряжения, что подтверждает известные закономерности уменьшения скорости сжатия плазменного столба в магнитном поле при увеличении значений р и Ubr. Таким образом, наблюдаемые в экспериментах в магнитном поле изменения пространственной структуры разряда, приводящие к локализации плазмы вдоль оси разрядного промежутка, объясняются соотношением газокинетического и магнитного давления. При описании поведения слабоионизованной плазмы в не слишком сильном магнитном поле, пока ионы не замагничены, если при фиксированном давлении газа частота упругих электрон-атомных столкновений не зависит от энергии электронов, частота ионизации в магнитном поле будет зависеть только от эффективного электрического поля [14] Eef= ЕV1 + a2tvj , (7) где а = eH/mc - циклотронная частота вращения электрона в магнитном поле; vea - частота упругих электрон атомных столкновений, т.е. v (E, H) = v (Eef ), (8) где vi0(E) - частота ионизации в отсутствии магнитного поля. При этих предположениях процесс ионизационной релаксации в постоянном магнитном поле и без него может быть описан одними и теми же уравнениями с той лишь разницей, что в магнитном поле электрическое поле Е заменяется на Eef, а подвижность электронов поперек магнитного поля = /и0:/(1+ас2Х) [14]. В исследуемых наносекундных разрядах на стадии ионизационной релаксации средняя энергия электронов s > 4 эВ, поэтому можно считать, что частота упругих соударений в гелии не зависит от энергии электронов и является константой. Если же vea зависит от энергии электронов, то соотношения (7) и (8) сохраняют смысл, если под уеа понимать соответствующим образом усредненную частоту. Определенная таким образом частота vi позволяет найти все характеристики ионизации и для одного и того же катодного падения получить для оценки плотности тока в магнитном поле следующую формулу [3]: Л = Ло(1 + ®2/03/2, (9) где ]е0 - плотность тока без магнитного поля. Для Н = 1,5405 А/м оценки дают а & 3-1010 с-1. Для р = 1,33-103 Па (рис. 1а) ;е0 = ^ = 2,2 А/см2 и уга = 2,4-109р[Тор] с-1 [15] по формуле (9) получаем ¡е = 5 А/см2. Эксперимент при этих же условиях дает ]е ~ 50 А/см2 (рис. 1б). Столь сильное отличие плотности тока в магнитном поле от значения, полученного по формуле (9), может быть связано с несимметричностью ФРЭЭ, обусловленной эффективной генерацией быстрых электронов в исследуемом разряде, существенным увеличением частоты ионизации за счет замедления движения электронов через катодный слой в магнитном поле и уменьшением поперечного сечения разряда. Возможной причиной существенного увеличения интенсивности оптического излучения из разрядного промежутка в магнитном поле (рис. 4, 5), по-видимому, является то, что при сжатии плазменного столба увеличивается число электрон-электронных столкновений и это приводит к увеличению температуры плазменных электронов за счет перераспределения энергии ускоренных электронов. Эти разогретые плазменные электроны в свою очередь приводят к резкому возрастанию ступенчатого возбуждения уже существующих долгожи-вущих метастабильных состояний атомов гелия, что в конечном итоге приводит к увеличению интенсивности излучения разряда в магнитном поле. Выводы Таким образом, при наложении магнитного поля за счет сжатия разрядной области и локализации плазмы по центру разрядного промежутка между полостью катода и анодом формируется протяженный однородный плотный плазменный столб, и при определенных условиях в магнитном поле напряжение горения разряда уменьшается до 50 %, а величина разрядного тока увеличивается более одного порядка. Интенсивность общего излучения разряда увеличивается до 4 раз. Эксперимент показывает, что с ростом давления газа в разрядной камере амплитудные значения импульсов иЬг и 1Ьг и значения интенсивности оптического излучения разряда в магнитном поле и без него постепенно выравниваются, что указывает на уменьшение влияния магнитного поля на электрические характеристики разряда при повышенных давлениях газа. Обнаруженные эффекты сжатия разрядной области и локализации плазмы в магнитном поле качественно объясняются уравнением движения плазмы в магнитном поле. Полученные на основе электри- Поступила в редакцию_ ческих характеристик разряда оценки изменения размеров плазменной области вдоль магнитного поля хорошо согласуются с экспериментом. Многократное увеличение плотности тока и интенсивности оптического излучения разряда в магнитном поле, возможно, связаны с искажением ФРЭЭ и увеличением доли высокоэнергетичных электронов в общем спектре электронов в магнитном поле. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Исследованный в работе разряд в магнитном поле можно использовать для создания источника излучения с большой излучающей поверхностью, высокой яркостью и высоким КПД. Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» и гранта РФФИ 10-02-01022-а. Литература 1. Lieberman M., Lichtenberg A. Principles of Plasma Discharges and Materials Processing. New Jersey, 2005. 800 p. 2. Бедрин А.Г., Дашук С.П., Миронов И.С. Квазинепрерывный источник излучения на основе магнитоприжатого разряда // ТВТ. 2007. Т. 45, № 2. С. 182 - 186. 3. Мойжес Б.Я., Немчинский В.А. Влияние поперечного магнитного поля на катодный слой тлеющего разряда // ЖТФ. 1990. Т. 60, вып. 4. С. 83 - 87. 4. Никулин С.П. Условия существования положительно заряженной структуры в тлеющем разряде с осцилляцией электронов в магнитном поле // ЖТФ. 1998. Т. 68, вып. 7. С. 56 - 63. 5. Уланов И.М., Литвинцев А.Ю. Экспериментальные исследования влияния продольного магнитного поля на катодные части тлеющего разряда в гелии // ЖТФ. 2004. Т. 74, вып. 9. С. 32 - 38. 6. Олендарев В.Д. Особенности функции распределения электронов в плазме при наличии скрещенных электрического и магнитного полей // Изв. вузов. Физика. 1991. № 8. С. 88 - 94. 7. Radial behavior of the electron energy distribution function in the cylindrical magnetron discharge in argon / E. Passot [et al.] // J. Phys. D: Appl. Phys. 1999. Vol. 32. P. 2655 - 2665. 8. Самосогласованная структура разряда постоянного тока с замкнутым холловским дрейфом в скрещенных полях / А.А. Платонов [и др.] // ЖТФ. 2006. Т. 76, вып. 7. С. 22 - 26. 9. Локализация плазмы в протяженном полом катоде плазменного источника ленточного электронного пучка / Ю.А. Бу-рачевский [и др.] // ЖТФ. 2006. Т. 76, вып. 10. С. 62 - 65. 10. Сорокин А.Р. Широкоапертурный сильноточный электронный пучок в разряде с катодной плазмой и повышенным давлением // ЖТФ. 2009. Т. 79, вып. 3. С. 46 -53. 11. О роли высокоэнергетичных электронов в формировании структуры плазменно-пучкового разряда с щелевым катодом / Н.А. Ашурбеков [и др.] // Письма в ЖТФ. 2007. Т. 33, вып. 12. С. 47 - 54. 12. Формирование высокоэнергетичных электронов в поперечном наносекундном разряде с щелевым катодом при средних значениях давления рабочего газа / Н.А. Ашурбеков [и др.] // ЖТФ. 2010. Т. 80, вып. 8. С. 63 - 70. 13. Франк-Каменецкий Д.А. Лекции по физике плазмы. М., 1968. 286 с. 14. Голант В.Е., Жилинский А.П., Сахаров И.Е. Основы физики плазмы. М., 1977. 384 с. 15. РайзерЮ.П. Физика газового разряда. М., 1992. 536 с. 29 июня 2011 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/prostranstvennyy-izgib-nelineyno-uprugogo-pologo-tsilindra-pri-nalichii-vnutrennego-davleniya

В рамках теории больших деформаций разработана постановка задачи о пространственном изгибе полого цилиндра, нагруженного внутренним давлением. Материал цилиндра предполагается несжимаемым. Деформация, описывающая пространственный изгиб цилиндра, задается в виде двухпараметрического семейства, предложенного Л.М. Зубовым. Доказывается, что реализация указанной деформации цилиндра с внутренним давлением требует приложения к торцам цилиндра внешней силы и внешнего момента, векторы которых ортогональны оси цилиндра. Исследуемая пространственная задача нелинейной теории упругости сведена к системе дифференциальных уравнений в частных производных относительно трех неизвестных функций от двух независимых переменных.

УДК 539.3 ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ИЗГИБ НЕЛИНЕЙНО УПРУГОГО ПОЛОГО ЦИЛИНДРА ПРИ НАЛИЧИИ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ © 2008 г. А.В. Соколов Within the framework of the large deformation theory the problem of spatial bending the tube, which is loaded by the inner pressure, is developed. The material is assumed to be incompressible. Spatial bending deformation is specified in the form of the two-parameter class of deformation, proposed by Professor L.M. Zubov. В рамках теории больших деформаций разработана постановка задачи о пространственном изгибе полого цилиндра, нагруженного внутренним давлением. Материал цилиндра предполагается несжимаемым. Деформация, описывающая пространственный изгиб цилиндра, задается в виде двупараметрического семейства, предложенного ранее [1]. Доказывается, что реализация указанной деформации цилиндра с внутренним давлением требует приложения к торцам цилиндра внешней силы и внешнего момента, векторы которых ортогональны оси цилиндра. Исследуемая пространственная задача нелинейной теории упругости сведена к системе дифференциальных уравнений в частных производных относительно трех неизвестных функций от двух независимых переменных. Двупараметрическое семейство деформаций Пусть упругое тело в отсчетной конфигурации имеет форму полого кругового цилиндра (цилиндрической трубы) с внутренним радиусом Го и внешним г\. Введем базис цилиндрических координат 4 <р, z , где ось Oz параллельна образующей цилиндра. Рассмотрим двупараметрическое семейство деформаций, описывающее пространственный изгиб цилиндрического тела [1] : Ху =Ui(r,<p)+lz , Х2 = u2(r,cp)coscoz-u3(r,cp)smcoz, Х3 = u2(r,<p)ñaa)z + u3(r,<p)cosa)z. (1) Здесь uk(r, <р) k = 1, 2, 3 - неизвестные функции; со , l - некоторые заданные параметры. При деформации такого вида каждая материальная прямая, параллельная в отсчетной конфигурации оси цилиндра, после деформации превращается в простую винтовую линию, осью которой является прямая Х2 =Х3 = 0. В данном случае тензор градиента деформации C может быть представлен в виде С(г ,ср,т) = Csk(r, cp)e,s\k, где s ,к = 1, 2, 3; jj = cos^ej -sin<pe2; j2 = (sin^ej + cos^e2)cos® z+ez sin coz-, (2) j3 = -(sin^er +cos^ef/,)sin® z + ez cosoz; _ 1 дщ _ 1 ди2 _ 1 ди3 C21 -—— > с22 ---— > c23 -—:r- -- - -- r dcp C3i=/ = г дер г дер С32=-сои3, С33 =сои2. Здесь е £ - орты базиса цилиндрических координат в отсчетной конфигурации; \к - орты базиса декартовых координат в текущей конфигурации. Очевидно, что мера деформации Коши С(г, <р, г) = 0,к{г, ср)е^к = (3) не зависит от координаты г . Постановка краевой задачи Определяющие соотношения для нелинейно упругого несжимаемого материала имеют вид СШ _1 Р =--рС , где Р - тензор напряжений Кирхгофа; р - функция гидростатического давления в несжимаемом материале. Из (2) и (3) следует, что если упругое тело однородно по координате г , то тензор напряжений Кирхгофа, а следовательно, и тензор напряжений Пиолы О = Р • С будут функциями только координат (г, ер) поперечного сечения цилиндрической трубы. Под однородностью тела по координате г понимается то, что удельная упругая энергия IV может явно зависеть от координат г и ср. но не зависит явно от г: 1У = г, ер). Таким образом, предположения (1) о виде деформации цилиндрического тела приводят исходную пространственную задачу нелинейной эластостатики к двумерной нелинейной краевой задаче для сечения цилиндрического бруса. В этом случае уравнение равновесия можно представить в следующем инвариантном виде [2]: У2 • Б* + со е3 • Б* •е = 0, (4) где Б* =Б-(31 01 = + ^2е2 + ]3е3 - собственно ортогональный тензор; с = -К (со$срсг - 515 - « -эт ср&ф ; У2 = С]--ье2---двумерный набла- дг г дер Q i = 5м i дг С-12 - ÖMo дг Сп = дш дг оператор в плоскости поперечного сечения цилиндра. Из (4) получаем систему трех скалярных уравнений относительно трех функций двух переменных ик(г,ер) £ = 1,2,3: д£и_+1др21 dr r д(р дРп | 1 дР22 dr r d(p здз + 1_ао2 з -coD33ътср = 0. - соD33cos<p = О. (5) - co(D32costp-£>3isinср) = О . дг г дер Рассмотрим случай, когда внешняя поверхность цилиндрической трубы свободна от нагрузок, а внутренняя загружена равномерно распределенным гидростатическим давлением. В этом случае граничные условия записываются в виде: на внешней поверхности пЦ =егЦ = 0 'То '/о или Ail =A2I =Аз1 =°; YO YO Y0 на внутренней = -t = - fe-b[ (6) n1 D ft ft или Ai|n =~ß\\ A2|n =~ßx2 D 13 n ft n n (7) В (6), (7) п1 - вектор нормали к внутреннему граничному контуру у\ , направленный внутрь полости; В - тензор, обратный градиенту деформации; / -величина (интенсивность) внутреннего гидростатического давления; /о, - внешний и внутренний граничные контуры поперечного сечения. Легко проверить, что функции и\=и, + L. и2 =и2 cos(К)-и^ sin(ÄT), и3 = и0 8т(К) + и0 х х соъ(К), где К и /, - произвольные действительные постоянные, также удовлетворяют уравнениям равновесия (5) и граничным условиям (6), (7). Следовательно, положение упругого тела после деформации определяется с точностью до поворота вокруг оси Хц и поступательного смещения вдоль той же оси. Такую неоднозначность решения можно устранить, наложив на неизвестные функции дополнительные условия, исключающие возможность произвольного поворота вокруг оси Х^ и смещения вдоль этой же оси. В качестве таких условий можно использовать следующие интегральные соотношения [1]: 2л П J J(w1 -г coscp)r dr dtp = 0 . 0 r0 2л h J J (cos© -l)r dr dip = 0, 0 r0 (8) (9) cos© = ■ 1 . 1 м21 cos^> - м2 2 ~~sm Ч> + мз 2 SU1V + M3 2 — cos^ Л 1 1 ч2 Л = (и2 j cos(p-u2 2 —sm <p + u3 2 sin <p + u32 —costp) + ' r ' ' r 1 1 ч2 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. + (м3 J COS <p — Uj 2~sm(P~u2\sva(P + u2 2 —COStp) , ' Г ' ' Г диь. du i, uk,l =-T~ > Mi,2 =" ¿ = 1,2,3. dr ' <3^ Соотношения (5)-(9) представляют формулировку двумерной краевой задачи на поперечном сечении полого цилиндра. Решение двумерной краевой задачи на сечении бруса позволяет точно удовлетворить уравнениям равновесия и совместности в объеме цилиндрической трубы и граничным условиям на ее боковых поверхностях. Но граничные условия на торцевых поверхностях цилиндра z = const могут быть выполнены лишь приближенно, за счет подбора постоянных параметров О) и / . Краевые условия на торцах бруса Вычислим главный вектор F и главный момент M сил, действующих в произвольном поперечном сечении цилиндрической трубы, испытывающей деформацию вида (1), в случае, когда внешняя ее поверхность свободна от нагрузок, а внутренняя загружена равномерно распределенным гидростатическим давлением. В отсчетной конфигурации введем декартову систему координат, ось x3 которой параллельна оси цилиндрической трубы. F = j|i3 • т<7 + fп1 • Шу = (Fj + Д)ij + а п 4F2+P2)h+(F3+P3)i3, где п1 - вектор положительной нормали к внутреннему граничному контуру !<)- = \\D3kda, Pk = f \МВШ +n\B2k)_, к = 1,2,3. где гк п Используя необходимое условие равновесия F(fl) - F(/j) части цилиндрической трубы, ограниченной боковыми поверхностями и сечениями х3 = а, х3 - Ъ, где а и Ъ - произвольные действительные числа, получаем следующие соотношения: S2(F2+F2)-S3(F3+F3) = 0, S3(F2+P2)+S2(F3+P3) = 0, (10) где s2=coscob-coscoa, s3=smcob-smcoa. Определитель системы (10) относительно величин F2+ Р2 и F3+ Р3 отличен от нуля, следовательно, р2+Р2=Рз+Рз=о. Таким образом, главный вектор сил в сечении при деформации цилиндрической трубы под внутренним давлением вида (1) одинаков для всех сечений х3 = const и направлен вдоль оси А'| . Вычислим главный момент М сил в сечении х3 — const относительно некоторой точки на оси Х2 = Х3 = 0. Так как главный вектор параллелен такой оси, момент не зависит от выбора точки приведения на оси Xi и может быть вычислен относительно точки JpХ2 = Х3 = 0. Учитывая, что F2+P2 = F3+P3 = О , получаем М(х3) = -jji3 ■ D х Xda - jn1 D x Xdy = a r\ = (Mi + 7i)ii + (M2 + T\2)h + (M3 + T3)j3 , где Mi =-H(D32u3~ D33u2)da, a M2 =-JKD31u3 - D33ui)d°" , a M3 = -\\(D3lu2 -D32U])da, a Tl = \f\3(4F\2+n2F22)-u2(n\Fn+n2F23)\r Л11) Г\ T2 = f / |l (n\F\ 3 + n2F23) - u3 (и}^ j + n2F2 j) , П '/3 = f./'b("l^l1 + n2F2j) -щ(n\Fl2 + n2F22)oj;v . П Согласно (11), величины Mk,Tk ( £ = 1,2,3) постоянны. Из условия баланса моментов всех сил, приложенных к участку цилиндра, заключенному между плоскостями х3 = а и х3 = b, получаем s2(M2+T2)-s3(M3+T3) = 0, s3(M2+T2)+s2(M3+T3) = 0, откуда следует, что М2 + Т2 - М3 +Т3 = 0. Вариационная постановка двумерной задачи Рассмотрим функционал типа Лагранжа следующего вида: I luk\ = №<Mk)-p(J<Mk)-1)>- v Южный федеральный университет_ -/ЯС-Лил^-К-е^г^г, (12) О", где р = р(г, <р) - функция гидростатического давления в несжимаемом материале; <т( - поверхность внутренней полости цилиндра; J = с!е1:С . Функционал I (ик) определен на множестве дважды дифференцируемых в области <у1 функций двух переменных ик(г,<р) (£ = 1,2,3), задающих согласно соотношениям (1) поле перемещений упругого цилиндра. Удельная энергия деформации Ж(О) предполагается выраженной через функции ик(г,ср) при помощи (2). Условие стационарности функционала (12) <У =0 эквивалентно уравнениям равновесия (5) и граничным условиям (6), (7), в которых напряжения В,.к выражены через функции ик Итак, реализация деформации (1) цилиндрической трубы под действием внутреннего давления требует приложения к ее торцам системы сил, статически эквивалентной силе ^ и моменту М^, действующим в точке оси винтовой линии, в которую превращается после деформации образующая цилиндра, и направленным вдоль этой оси. Решение данной задачи представляет интерес в связи с приложениями к проблеме описания механического поведения крупных артериальных сосудов некоторых млекопитающих, в том числе человека, в физиологических условиях, а также при описании травматического разрушения трубчатых костей и анализе картины такого разрушения. Работа выполнена при поддержке РФФИ (05-0100638). Литература 1. Зубов Л.М. // ПММ. 2004. Т. 68. Вып.3. С. 507 - 515. 2. Зубов Л.М., Губа А.В. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. Спецвыпуск. «Нелинейные проблемы механики сплошной среды». 11 апреля 2007 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/raschetnoe-opredelenie-deformirovannogo-sostoyaniya-metalla-chastits-pri-obrabotke-davleniem-poristyh-poroshkovyh-zagotovok

Предложен вариант расчетного определения деформированного состояния металла частиц при обработке давлением пористых заготовок на основе изучения кинетики изменения параметров единичного межчастичного контакта. Разработаны способы определения компонент тензора деформации материальных точек частиц порошка.

МАШИНОСТРОЕНИЕ УДК 621.762+621.73 РАСЧЕТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ МЕТАЛЛА ЧАСТИЦ ПРИ ОБРАБОТКЕ ДАВЛЕНИЕМ ПОРИСТЫХ ПОРОШКОВЫХ ЗАГОТОВОК © 2010 г. Б.Г. Гасанов, Е.Н. Бессарабов, П.В. Сиротин Южно-Российский государственный South-Russian State технический университет Technical University (Новочеркасский политехнический институт) (Novocherkassk Polytechnic Institute) Предложен вариант расчетного определения деформированного состояния металла частиц при обработке давлением пористых заготовок на основе изучения кинетики изменения параметров единичного межчастичного контакта. Разработаны способы определения компонент тензора деформации материальных точек частиц порошка. Ключевые слова: деформированное состояние частиц порошков; деформированное состояние металла частиц; пластическая деформация частиц; макродеформация, пластическая деформация пористой заготовки. Alternative calculation for strain state of metal particles at powder porous billet processing by pressure. on the basis of studying kinetics changes ofparameters of a single interpartial contact has been proposed. Methods of determining the strain tensor components of mass points of powder particles have been developed. Keywords: strain state of powders; strain state of metal particles; plastic deformation of particles; macro deformation; porous billet plastic deformation. Известные способы оценки степени макродеформаций пористой заготовки по изменению геометрических параметров изделий позволяют только качественно оценить деформированное состояние металла, так как не учитывают особенности его течения и характер изменения пористости на разных стадиях процесса ее обработки давлением [1]. Для решения краевых задач при разработке технологии производства высокоплотных порошковых изделий и прогнозирования структурообразования материала необходимо определить деформированное состояние частиц и установить кинетику пластической деформации пористой заготовки. Для этого может быть использовано два подхода: геометрический - для чего следует рассматривать частицу порошка как континуум определенной формы; физический - основанный на анализе механизма пластической деформации частиц с известной суб- и микроструктурой. В данной работе использован первый вариант Индивидуализировать каждую пору и частицу порошка, соответственно, составить математическую модель деформируемого пористого тела с учетом их геометрии крайне сложно. Поэтому деформированное состояние металла частиц и пор в дальнейшем рассмотрено на основе изучения кинетики изменения параметров единичного межчастичного контакта с последующим переходом к среднестатистическим величинам. Деформированное состояние частиц порошков известно, если определены компоненты тензора де- формации каждой ее точки. Наиболее характерной является деформация в контактной зоне частиц. Для оценки основных ее параметров выберем сопутствующую систему координат, координатные линии ^^ которой совпадают с линиями, соединяющими центры трех ближайших контактирующих частиц (рисунок), а начало отсчета которой является геометрическим центром любой из этих частиц. Кроме этого, допускаем, что координатные линии проходят через геометрические центры соответствующих межчастичных контактных поверхностей. Поэтому вмороженная система отсчета в общем случае может быть криволинейная или косоугольная с неортогональными базисами. -.-^ЗГЧм о I р</ Схема деформации металла в зоне контакта частиц в двумерных моделях при уплотнении пористых заготовок В процессе пластической деформации пористой заготовки сопутствующая система координат деформируется вместе с частицами: ее координатные линии либо укорачиваются, либо удлиняются, а углы между ними меняются (рисунок). Поэтому меняются и векторы базиса ё1 сопутствующей системы координат. На двухмерной модели рассмотрим материальное волокно в зоне контакта, представляющее собой отрезок ОЫ, у которого точка N) расположена в геометрическом центре контактной поверхности частиц. Примем за единицу длины среднестатистический радиус частиц порошков Rr. В начальном состоянии вектор базиса сопутствующей системы координат обозначим ?1, ё 2, ё з, а их модуль до деформации примем равным среднестатистическому расстоянию от центра частицы до соответствующих ближайших контактных поверхностей, т.е. м - = R dR0 = d%R ei = ddij ei e j = dd£R gv,(1) аналогично |dR| = d gd $ Rg j °ij' (2) где gij и gij - компоненты метрических векторов. Разделив разность квадратов dR и dR0 с учетом I - |2 выражений (1) и (2) на , получим Ш - dRn 2 |gij - gu |d^£ j (3) dRo\ dRo ni =i \dR0 то в общем виде из выражения (3) имеем |dR|' \dRj\ -1 = I gj - (4) С другой стороны, относительная степень деформации материального волокна dR -\dR, o в = - м \dRn |dR| |dRn Г- 1. (5) Из формул (4) и (5) следует, что (вм + 1) =1 gij - gij I ninj +1 (6) Величина | gi]■ - gij | является компонентами симметричного тензора второго ранга ем и однозначно характеризует деформированное состояние материала частиц [2]: Соответственно, положение точки N1 до деформации пористой заготовки характеризуется радиусом-вектором dRlo = * а в момент t = t - текущим радиусом-вектором dR = d§Rë1. Если принять за меру деформации металла ее относительную величину ем, то необходимо определить модуль векторов dR и dR0. Квадрат длины вектора dR0 равен скалярному произведению [2]: 2 , о в м = 1 g ij=2 gij ö ij i' (7) Подставляя выражение (7) в формулу (6), получа- ем (вм +1)2 = 2 в jmnj +1. Так как для любого материального волокна направляющие косинусы относительно начального базиса определяются по формуле Если d£,г2 и dвыразим через конечную сопутствующую систему координат, то d^%l = п Ж , d2 = п^Щ и (1 -ем )2 = 1 - 2емп1П]. Таким образом, если заданы направляющие косинусы выбранного волокна частицы в начальном или конечном сопутствующих базисах координат, то относительную степень его деформации определяют о через метрические тензоры gi]■ и gij. В частности, для материальных волокон, совпадающих с координатными линиями до деформации или после нее, связь между ем и е^1 в любой системе отсчета имеет, соответственно, следующий вид: (ем +1)2 = 2емм +1, ^п 1°п 1 = 1, п 1°п} = 0^, (1 -ем)2 = 1 -2ем, (щщ = 1, щп} = 0). На основании вышеизложенного компоненты тензора деформаций металла частиц в точке N контактной поверхности определяются через диады, как скалярные произведения векторов базиса: ем = Н е1е1 - ё1ё; | = \ёМёЛ cos Z(e e)- cos ZI ei, e j . (8) 2 2 2 Так как в сопутствующей системе координат в процессе деформации координаты выбранных точек N и О не меняются, то dR и е.\ можно выразить через начальный базис. Для этого найдем вектор перемещения ир точки О в процессе деформации за промежуток 1 - 4 (рис. 1): р_р0 + U р (9) где р и р0 - радиусы-векторы точки О в момент времени 1 и 1а в системе отсчета Лагранжа. Дифференцируя выражение (9) по j-й координате сопутствующей системы, имеем iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. е} _ е, + ■ dU р (10) Подставляя зависимость (10) в выражение (8), находим ковариантные компоненты тензора деформации частицы в точке О: еа 2 3Uр ° dUр ° dUpdUр е , +-ei + - d%i , у (11) где производные вектора перемещения геометрических центров частиц ир по сопутствующим координатам в основном базисе находят по формуле dUр _ d UKP e, - Up d e, (12) /с|Ri | материального волокна длиной dans элемента пористого тела равно сумме проекций вектора dUр частиц каждого слоя на координатные линии в начальном базисе Лагранжа: dUn da" _ Е \dUР . (13) Коэффициент к зависит от угла укладки Рг- частиц порошка или от величины угла фг- нормального контактного взаимодействия i-го контакта частицы. В расчетах можно принять к и cos фг- и cos Рг-. На основе аналитических исследований в работе [3] сделан вывод, что среднестатистическая величина ф сфероидальных частиц практически не зависит от плотности порошкового тела. В зависимости от формы частиц значение ф в основном составляет в пределах 40 - 60°. Поэтому среднее значение к и 2/3 . Так как на длину da^ приходится da^ jк 1 условных слоев порошка, то переходя к среднестатистическим величинам для трехмерного пространства из выражения (13) с учетом (12), находим dU ре, _ кЩе,^ . da" Как это видно из рисунка, R _ \ + UK (14) (15) Здесь ир - компоненты ир в начальном сопутст- - ° ° вующем базисе (ир = ир е,). ° / Контрвариантные компоненты вектора д е ;7д£, обозначаются Г у и называются символами Кристоф-феля. Значения компонент тензора деформации металла в зоне межчастичных контактов могут быть определены по формуле (11), если известны законы движения указанных точек в процессе деформации пористого тела. Практически такая задача трудно решается, так как определить координаты точек Ог в любой момент деформации крайне сложно. Это связано с тем, что деформируемая система содержит большое количество частиц. Кинематика каждой из точек частиц при деформации отличается. Соответственно, проекции вектора ир на начальные и конечные оси координат для каждой частицы также отличаются. Поэтому рассмотрим упрощенные варианты определения ем по формулам (8) и (11). При отсутствии структурной деформации изменение вектора смещения dUns слоев частиц толщиной где вектор смещения ик характеризует деформацию металла в зоне межчастичного контакта. Подставляя формулу (15) в (14) и дифференцируя полученное выражение по г-й координате сопутствующей системы согласно зависимости (12), имеем dUр ° dU" -е , _ к-— х d^i dUK 5,v+- j da" e, + (R + UK ) d ei Ъг Если допускаем, что сопутствующая система координат при деформации преобразуется афинно и геометрический центр контактной поверхности между частицами в процессе уплотнения пористого тела перемещается только вдоль координатных линий, то все символы Кристоффеля равны нулю, сопутствующие оси координат или удлиняются (сжимаются), или поворачиваются на определенный угол. Соответственно, dUр d^i dU' ( -е , _ к- da" + dUK ■ Y (16) к R 1 х Подставляя (16) в формулу (10), получим dU n e, = e, + к J j dan du* 5«+- , SI (17) Чтобы определить компоненты тензора деформации металла по формуле (8), подставляя в нее значения ё]2 согласно выражению (17) или по формуле (11) и используя (16), необходимо выразить проекции вектора dU¡< на координатные линии через экспериментально контролируемые параметры. Однако значения dU¡< каждой точки межчастичной контактной поверхности любой частицы отличаются и зависят от физико-механических свойств материала, кристаллической структуры частиц, гранулометрического состава порошков, пористости заготовок, схем и способов деформации, величин компонентов макродеформации. Поэтому, для того чтобы установить связь d иК с экспериментально контролируемыми параметрами, к которым относятся: исходная длина материального волокна пористой заготовки до деформации ^а) и после нее ^х); вектора перемещения любой материальной точки этого волокна (^и); начальной и конечной пористости заготовки и изделия и других -нужно сделать ряд допущений. Например, порошки имеют определенную форму и они мало отличаются по гранулометрическому составу, в рассматриваемый момент композиции из них представляют собой геометрически устойчивые конфигурации и центры частиц соответствуют узлам трехмерных кристаллических систем и т.д. Вследствие таких допущений для математического описания некоторых закономерностей пластической деформации пористого тела достаточно исследовать деформацию отдельных элементов. Выводы 1. Обосновано, что деформированное состояние металла при обработке давлением пористых тел можно считать известным, если установлена связь между компонентами тензора макродеформации выбранного элемента и компонентами тензора деформации характерных точек частиц порошка. 2. Разработаны способы определения компонент тензора деформации материальных точек частиц порошка, используя сопутствующую систему координат. Выведены формулы, позволяющие определить е^1 через диады, как скалярные произведения векторов базиса сопутствующей системы координат в каждый момент деформации. Литература 1. Охрименко Я.М., Тюрин В.А. Теория процессов ковки. М., 1977. 295 с. 2. Аркулис Г.Э., Дорогобид В.Г. Теория пластичности. М., 1987. 352 с. 3. Жданович Г.М. Теория прессования металлических порошков. М., 1969. 264 с. Поступила в редакцию 22 апреля 2010 г. Гасанов Бадрудин Гасанович - д-р техн. наук, заведующий кафедрой «Автомобильный транспорт и организация дорожного движения», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. 8 (8635) 255-6-54. E-mail: [email protected] Бессарабов Евгений Николаевич - ассистент, кафедра «Автомобильный транспорт и организация дорожного движения», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Сиротин Павел Владимирович - аспирант, кафедра «Автомобильный транспорт и организация дорожного движения», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Gasanov Badrudin Gasanovitch - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Transport and Traffic Management», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. 8 (8635) 255-654. E-mail: [email protected] Bessarabov Evgeniy Nikolayevich - assistant department «Transport and Traffic Management», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Sirotin Pavel Vladimirovitch - post-graduate student, department «Transport and Traffic Management», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute).

https://cyberleninka.ru/article/n/vremennoe-povedenie-optoakusticheskih-signalov-pervogo-i-vtorogo-zvukov-v-he-ii-so-svobodnoy-poverhnostyu

Исследован временной профиль ОА-сигналов первого и второго звуков для случая, когда Не-II контактирует со своим собственным паром. Получены выражения для акустического колебания давления и температуры. Показано, что каждое из этих колебаний состоит из суперпозиции двух импульсов, распространяющихся с разными скоростями. Численным расчетом определен вид этих импульсов при различных значениях длительности лазерного импульса и коэффициента поглощения Не-II.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ______________________________________2010, том 53, №6___________________________________ ФИЗИКА УДК 535.21: 536.48: 538:953 Т.Х.Салихов, О.Ш.Одилов ВРЕМЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ ОПТОАКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ ПЕРВОГО И ВТОРОГО ЗВУКОВ В He-II СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ Таджикский национальный университет (Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминовым 14.04.2010 г.) Исследован временной профиль ОА-сигналов первого и второго звуков для случая, когда Не-II контактирует со своим собственным паром. Получены выражения для акустического колебания давления и температуры. Показано, что каждое из этих колебаний состоит из суперпозиции двух импульсов, распространяющихся с разными скоростями. Численным расчетом определен вид этих импульсов при различных значениях длительности лазерного импульса и коэффициента поглощения Не-II. Ключевые слова: оптоакустика - сверхтекучий гелий - второй звук. В [1] были определены передаточные функции (ПФ) оптоакустических (ОА) сигналов первого и второго звуков в Не-II для случая, когда он контактирует со своим собственным паром, то есть имеет мягкую границу и, в частности, был установлен двухконтурный состав возбуждаемых волн. Ввиду того, что в ОА-экспериментах возможно детектирование и измерение временного профиля генерируемого ОА-импульса [2-4], то целесообразно определить соответствующее выражение для пространственно-временного распределения этих импульсов, что явилось целью настоящей работы. Для рассматриваемого случая акустические колебания давления и температуры определяются выражениями [1] p(ó, z) = p (ó) exp(/g1z) + p2 (ó) exp(iq2z), (1) T(ó, z) = T (ó) exp(iqxz) + T2 (ó) exp(iq2z), (2) где q = (ó / u ) , q = (ó / u2), щ2 - волновые векторы и скорости первого и второго звуков в Не-II, b = Tа^и2 /Ср, ~ = и2 (1 + Ь)1П, pi (ó) = K11( f) (ó)f (ó) , p2 (ó) = K12( f) (ó)f (ó) , (3) T1(ó) = K2i(f) (ó)f (ó) , T2 (ó) = K22(f) (ó)f(ó) , (4) Адрес для корреспонденции: Салихов Тагаймурод Хаитович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр.Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E:mail: [email protected] )(с) являются ПФ, /(а) = 10<р(а) - спектр падающего излучения и /0 его интенсивность, а 2 2 . С тг (р(с) = Ть ехр[---- —] - Фурье-спектр гауссового импульса с шириной Ть . При пренебрежении малыми вкладами, обусловленными взаимодействием мод, выражения для ПФ можно переписать в следующем виде: ^ шт °Р г шатр2°) ^ КП(/)Ш) =- г 02.1, К12(Г)У°) = ^ -2,2 , (5) Ср р + , Ср 1 — ^ IМ ^ , л_ ШЬ ^(а) ^ ,гЛ_1&(/)(о) ¡р ^ кп1) — = — рСр и2{_~2 КДО00 = ^ р2 + ,’ • (6) где р - оптический коэффициент поглощения Не-11, 9 9 1 9 9 1 (1 + *)ае + Рё Ъ(С) = Р(д! +р2)1, ^ (с) = Р(д1 +р2)1 , £(/)( с ) = ^^ ё = /(/)( С ) + /2(/)( С ), Щ 2 ё — (1 + 1)аё /к, — ) = —-^[Ш — ё,(,2 — РхШ)-2] , /2( /)( с ) = —-ёНЛ, ё, + (,2 —Р)^),,21. Ш 0 Лё 2 л ё М 0 2Лё 0) , (й м0 = -— + \-gi42 — (-—У'2Т. & = кIкг.а8 = ^0) ¡2х:, ; 2Хо 2%е к , к , Л = к(рС) 1, л =^ (рСРг) 1 - коэффициенты теплопроводности и температуропроводности жидкого гелия и его паров. Выполнив Фурье преобразования в выражениях (1)-(2), будем иметь - +ад .« +ад Р(Т1Т2. г) = — |КИ(/)( С) 1оФ(С)е—СТ1 ёа +— |Кщ/)( а)С)е—сТтёа. (7) — ад —ад - +ад +ад Т(т1 . Т2 . г) =— |К21(/ ( С)1оФ(С)еСТ1 ёа +— |К22(/)( С) С)еСТ2 ё0 . (8) —ад —ад где Т = 1 — (г / и ) , Т2 = t — (г / ~ ) . Выражения (7) и (8) удобно переписать в виде Р/ (Т1. Т2. г) = Р1 / (Т1. г) + Р2/ (Т2. г). Т/ (Т1. Т2. г) = Т1 / (Т1. г) + Т2/ (Т2. г) . (9) из которых следует, что каждый из генерируемых импульсов первого и второго звуков состоит из суперпозиции импульсов 2 2 С ТЬ ад 2 ■ ■ - . пт ад С ехр[-— — 1 СТ ] 1атр/п тг г 4 , Р'/(Т„г)=—-ж:г1—-----------------ёС ■ (|0) 2 2 а ть 1а Вт г ад-С°(/)(ю)ехР[—л—1СТ2] р 2, (т2, г ) =-Т----— [---------------- - -----------ё а, (11) 2/(2 ) 2*Срб —ад р2 + д 22 Г С2Т— ■ 1 ■ 1П Т ад С ехр|-------------1СТ I Т1, (Т1, г) Г р[ 4 -----1^С, (12) 1 / 1 2хеСрЩб1 р2 + д; ШтТ г ад СG(-)ехр[---------------ШТ 2 ] Т-(тг,,) = /ТкТ I---------------^---------------------------------------------— (13) ри 2 —ад р + Ч2 распространяющихся с разными скоростями. Из четырех выписанных выше выражений наиболее простыми являются (10) и (12), в которых отсутствует функция (с) , и они соответствуют импульсам обычного первого звука и быстрого второго звука. Пользуясь обозначениями р^ = (тьатри\/0 / 2СР ) и ТА = Тр012рСр ) , перепишем их в виде р1 / (т^ г) _ 2 ад ехр(—0.25е12х2)8ш( тр х) ^ Ра 1 +х" , Т1/(Т1,г) = _ 2» |х ехр[—0 25е-х 2] и Т ух. (15) Та п5 Г 1 + х2 1 1 Нетрудно заметить, что с точностью множителя Ь обе эти величины определены одними и теми же интегралами. Выделив реальные части в (11) и (13), получим 2 2 г — Ть а вт Г адсехР[-------Т~] Р2/ (Т2 , г) =--Т-Тг 1-------^----2-----[/1(/) (С) ^ СТ 2 ) — /2(/) (С) С08(СТ 2 )]ёс , (16) яс.рд 0 р + д2 2 2 С Ть- п_ т ад ® ехр[----------— ] Рт іт о Ґ 4 т2/(т2,2) = Т \ |---—2---2---[А(/)(а)ат2) -/ґ(а)2)\у1а. (17) Результаты расчета и оценки показывают, что вклад от вторых членов в квадратных скобках в выражениях (17) и (18) составляет не более 2-3% по сравнению с первыми. Учитывая это обстоятельство и переходя к безразмерным параметрам, выражения (16) и (17) можно переписать в виде Р 2 / (Т2, г) 2 Г х ехр[—0.25^2 х2] /1 о\ -----------=---- I ------ ---2----[/1(/) (ри2 х)Э1п( ри2Т2 х))]ёх , (18) Ра п8% 1 + х 2/ (г2’ ^ } Х еХР[ 0-25 £2Х ] у 3 2 х) §т( ри 2 Т2 х)])^х . (19) Тл л 0 1 + х и' Ввиду того, что 5 ~ 1, тогда выражения (18) и (19) отличаются друг от друга лишь знаком. Выражения (14), (15), (18) и (19) являются искомыми выражениями, описывающими пространственно-временные особенности возбуждаемых ОА - сигналов первого и второго звуков. На рис. 1-3 показан профили этих сигналов, рассчитанные для Т=1.4К, к = 0.066 Вт /(м.К) [5], кг= 0.003Вт /(м.К) [6], СР = 1125 Дж/кгК, р = 145 кг / м3 [7], Ря = 0.15кг / м3, СР = 7.103 Дж/ кгК [8] при различных значениях длительности импульса лазерного луча и коэффициента поглощения. Рис.1. Зависимости Р^ (тх, 2)/РА и Т (^, г)/ТА от временны при Т=1.4К и 7=0.04 м: (а) 3 = 100м 1 и ть= 10 5 с (кривая 1), ть = 2.10 5 с (кривая 2), ть = 6.10 5 с (кривая 3) и ть = 1.2.10 4с (кривая 4); (б) ть = 2.10 5 с и 3 = 100м 1 (кривая 1), 3 = 200м 1 (кривая 2), 3 = 300м 1 (кривая 3) и 3 = 400м 1 (кривая 4). 7Ш,5 0.6 0.4 0.2 Р*Г) Ра /1/\ / 7 \ 6 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 10 20К_/^Г 50 ? х10 -0.2 -0.4 -0.6 Рис. 2. Временной профиль Т2у(тх,г)/ТА и Р2^(тх,г)/РА при Т=1.4К и 7=0.04 м: (а) ть = 3.10 4с и 3 = 50м 1 (кривая 1), 3 = 100м 1 (кривая 2), 3 = 200м 1 (кривая 3), 3 = 400м 1 (кривая 4); (б) при 3 = 100м 1 и 3и 1 Ть = 0.2 (кривая 1), 3й!ть = 0 6 (кривая 2), 3й!ть = 1. (кривая 3), 3иг Ть = 1.4 (кривая 4). тгри2 Рис.3. (а) Зависимость Р^ (гх, z)lРл (а) от т1Ри1 при ТьРих = 0.2 (кривая 1), ТьРих = 0.4 (кривая 2), ТьРщ = 0.6 (кривая 3) и тьРщ = 1.4 (кривая 4) (б) Зависимость Т2у(гх,z)lТл от Т2@и2 при ТьРщ = 0.2 (кривая 1), ТьРщ = 0.4 (кривая 2), Тьри2 = 0.6 (кривая 3) и тьри2 = 1.4 (кривая 4). Т = 1.4К и ъ = 0.04м . Из этих рисунков видно, что: 1) временное распределение Р^ (г1, z)l РА и Т/ (^, z)l Т для коротких импульсов с ть << (Рщ ) 1 состоит из двух экспоненциальных кривых и переходной области шириной ~ ть, а для длинных импульсов с ть >> (Рщ ) 1 форма распределения представляет гладкую кривую с пологими минимумом и максимумом; 2) форма импульсов Т2/ (гх, z)l Т и Р2у (тх, z)l Р , как и выше, для коротких импульсов с ть << (Ри2) 1 содержит две экспоненциальные кривые с переходной областью шириной ~ ть, а для длинных импульсов с ть >> (Ри2) 1 эти распределения являются пологими с небольшими максимумом и минимумом; 3) с ростом Р и значения параметров т1Ри1 и тьРи2 амплитуды ОА- сигналов уменьшают- ся. М)+30х^® Ра Ра -1 Рисунка 4. Зависимости Ть=2.10 с. (б) от времени при 7=4 см, Р=100 см-1 На рис. 4 приведены временные профили ОА-сигналов в реальном масштабе времени, из которых видно наличие двух импульсов как для давления, так и для температуры. Подчеркнем, что на рис.4 (а) с целью выделения слабого импульса давления, распространяющегося со скоростью второго звука, мы увеличили ее значения в 30 раз, а на рис. 4 (б) слабый импульс второго звука, распространяющийся со скоростью первого звука, перенормирован на величину b 1 раз. Таким образом, определены все особенности временного профиля ОА сигналов первого и второго звуков для случая, когда Не-II контактирует со своим собственным паром и экспериментальная реализация которого позволяет бесконтактным способом определить набор теплофизических и акустических параметров сверхтекучего гелия и его паров при заданном термодинамическом условии и оптический коэффициент поглощения Не-II. Поступило 14.04.2010 г. ЛИТЕРАТУРА 1. Одилов О.Ш., Солихов Т.Х. - ДАН РТ, 2005, т.ХЬУШ, № 5-6, с. 24-31. 2. Гусев В.Э., Карабутов А.А. Лазерная оптоакустика. - М.: Наука, 1991, 342 с. 3. Лямшев Л.М. Лазерное термооптическое возбуждение звука. - М.: Наука, 1989, 237 с. 4. Tam A.C. - Rev. Mod. Phys., 1986, v. 58, № 2, рр. 381-431. 5. Зиновьева К.Н., Дубровин А.В. - ФНТ, 1983, т.9, №5, с.461-467. 6. Pobell F. Matter and Methods Low temperatures, Springer, 1996, 250 p. 7. Есельсон Б.Н., Григорьев В.Н. и др. Свойства жидкого и твердого гелия. - М: Изд-во Стандартов, 1978, 128 с. 8. 8. Физические величины. Справочник. Под ред. И.С.Григорьева и Е.З.Мейлихова. - М.: Энерго-атомиздат, 1991, 1232 с. Т.Х.Салихов, О.Ш.Одилов РАФТОРИ ВАЦТИИ СИГНАЛХ,ОИ ОПТОАКУСТИИ САДОХОИ ЯКУМ ВА ДУЮМ ДАР He-II-И БО САРХАДИ ОЗОД Донишго^и миллии Тоцикистон Рафтори вактии ОА-сигналх,ои садох,ои якум ва дуюм барои мавриде, ки Не-II бо буги худ хдмсархдд мебошад омухта шудааст. Барои лаппишх,ои акустикии фишор ва хдрорат ифодах,о ёфта шуданд ва нишон дода шудааст, ки хдр яке аз ин лаппишх,о аз суперпозитсияи ду импулсх,ои суръаташон гуногун иборатанд. Бо х,исобкуних,ои ададй намуди ин импулсх,о барои кимат^ои гуногуни давомнокии импулси лазер ва коэфисиенти фурубарии Не-II дарёфт карда шудааст. Калимахои калиди: оптоакустика - уелии абаршоро - садои дуюм. T.Kh.Salikhov, O.Sh.Odilov THE TIME BEHAVIOR OF THE OPTOACOUSTICS SIGNALS OF THE FIRST AND SECOND SOUNDS IN He-II WITH A FREE SURFACE Tajik National University The time profile of the OA signals of the first and second sounds in the He-II, which contacting with own vapor has been investigated The expressions for acoustic vibrations of the pressure and temperature are obtained. Shown that each of these fluctuations consists of superposition of two pulses, which propagated with different speeds. By numerical calculation a has been determinates the form of these pulses at various values of duration of a laser pulse and absorption coefficient of He-II. Key words: optoacoustics - superfluid helium - second sound.

https://cyberleninka.ru/article/n/silnyy-izgib-krugloy-plastinki-s-nepreryvno-raspredelennymi-disklinatsiyami

Исследовано влияние распределенных дисклинаций на прогибы гибкой круглой пластинки, нагруженной поперечным давлением. Решена задача устойчивости пластинки с дисклинациями и с контурной нагрузкой, действующей в плоскости пластинки. Найдены формы равновесия пластинки после потери устойчивости

УДК 539.3 сильныи изгиб круглой пластинки с непрерывно распределенными дисклинациями © 2010г. Л.М. Зубов, Т.Х. Фам Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090 Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090 Исследовано влияние распределенных дисклинаций на прогибы гибкой круглой пластинки, нагруженной поперечным давлением. Решена задача устойчивости пластинки с дисклинациями и с контурной нагрузкой, действующей в плоскости пластинки. Найдены формы равновесия пластинки после потери устойчивости. Ключевые слова: сильный изгиб, непрерывно распределенные дисклинации, устойчивость пластинки с распределенными дисклинациями, плотность дисклинаций. The influence of distributed disclinations on deflections of flexible circular plate loaded by transverse pressure is investigated. The problem of stability of the plate with disclinations and contour loads acting in the plane of the plate is solved. Forms equilibrium of the plate after loss of stability are found too. Keywords: strong deflection, disclination, plate with disclination, continuously distributed disclinations. Исходные соотношения Уравнения равновесия гибкой упругой пластинки, содержащей в плоском состоянии непрерывно распределенные дислокации и дисклинации, имеют вид [1] AAF +1 Eh[(AW)2 - tr(VVW • VVW)] DAA W + tr(VVF • VV W) - AFAW = p = Eh ц , (1) (2) D = - Eh3 12(l ) m = V• e• a + ß, e = -i3xE. К - коэффициент теплопроводности; I - температурный коэффициент линейного расширения материала пластинки. Причиной появления плотности Q может быть, например, джоулево тепло, возникающее при прохождении электрического тока через проводящую пластинку. Тензор мембранных усилий Т в пластинке выражается через функцию напряжений Эри T = -e • VVF • e, (3) Здесь Ш - нормальный прогиб; ^ - функция напряжений Эри; Е - модуль Юнга; И - постоянная толщина пластинки; V - коэффициент Пуассона; Б -цилиндрическая жесткость; V - двумерный набла-оператор; А - двумерный оператор Лапласа; р - распределенное нормальное давление; / - скалярная мера несовместности; а - плоский вектор плотности краевых дислокаций; р - скалярная плотность клиновых дисклинаций; е - дискриминантный тензор; Е - трехмерный единичный тензор; 13 - единичный вектор нормали к пластинке. Система (1), (2) отличается от известных уравнений Кармана [2 - 4] наличием правой части в (1), обусловленной учетом распределенных дефектов, являющихся источниками собственных (внутренних) напряжений в упругой пластинке. Важно отметить, что мера несовместности / может быть обусловлена не только дислокациями и дис-клинациями, но и тепловыми деформациями, вызванными равномерно распределенным по толщине пластинки температурным полем. В этом случае, как показано ранее [1], справедлива формула / = ф/К, где Q - плотность распределенных источников тепла; тензор изгибающих и крутящих моментов M -функцию прогиба M = -D[(l - i/)VV W + vgA W ], g = E - i 3 ® i 3 . Влияние дисклинаций на прогиб круглой пластинки, нагруженной равномерным давлением Рассмотрим равновесие круглой пластинки, нагруженной равномерным давлением р, защемленной или шарнирно опертой по граничному контуру г = а, где г - радиальная координата. Плотность дисклока-ций а предполагается равной нулю, р считается постоянной. Будем отыскивать осесимметричное решение уравнений (1), (2), Ш = Ш (г), F = F(г). Предполагаем, что на границе г = а отсутствуют внешние нагрузки, действующие в плоскости пластинки. Система уравнений (1), (2) в полярных координатах примет вид ( 1 Л , / 7,,. ~/2т 1 d r dr Dd_ r dr d_ ( 1 d_( dF dr 1 r dr i dr Eh d2W dW ^ „ +--:--— = Ehß d ( 1 d ( dW r — I--1 r- dr I r dr i dr r dr2 1 ( Л dr d2 F dW__ dr2 dr dr2 dr (4) d2W dF = P ■ Граничные условия при г = а для защемленной пластинки: dF F = 0, — = 0 , W = 0. dr шарнирно опертой - dF F = 0, — = 0 , W = 0. dr dW dr = 0. (5) d2W v dW л _ ■ +--- = 0 . (6) ёг2 г ёг Для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4) условий (5), (6) недостаточно. Необходимы еще граничные условия в центре пластинки г = 0. Их можно сформулировать, используя результаты линейной теории упругих пластинок. Отбрасывая в уравнениях (1) и (2) нелинейные члены, видим, что в линейном приближении задача о равновесии пластинки распадается на 2 независимые: о плоском напряженном состоянии и об изгибе пластины. Как показывают известные [2] точные решения линейной теории осесим-метричного изгиба круглой пластинки, при отсутствии сосредоточенной силы в центре функция прогиба Ж в точке г = 0 подчиняется условиям dW =0 d 3W = 0. (7) d dr d dr 1 d r dr 1 d r dr dF dr dW dr + - Eh ( dW 2r 1 dr dF dW Dr dr dr Ehßr 2 pr ~ 2D (9) X, = rF', X2 = 11 rF 1 r 1 X3 = W , X4 = rW Х5 = — ^гЖ ^ , вместо системы (9) получим систему дифференциальных уравнений 1-го порядка X 0 = X! X! = rX 2 Eh X2 =- X4 2 + Ehß X (10) X3 =: X 4 =rX 5 x;= X1X4+_ pr ёг ёг3 В линейной теории упругих пластинок существует [5] аналогия, устанавливающая математическую эквивалентность задач изгиба и плоского напряженного состояния. Функции напряжений Е в этой аналогии соответствует прогиб Ж, а плотности дисклинаций Р - нормальное давление р. Отсюда вытекает, что при отсутствии сосредоточенной дисклинации в центре пластинки функция напряжений Эри в точке г = 0 удовлетворяет условиям ёЕ = о, ^ = 0. (8) аг ёг iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Поскольку при малых р и Р решение нелинейных уравнений (1), (2) не отличается от результатов линейной теории, можно ожидать, что условия (7), (8) в центре круглой пластинки будут корректными и для нелинейной системы уравнений (4). Условия (7) выполняются в найденном ранее [1] точном решении нелинейной задачи об изгибе весьма тонкой пластинки (мембраны), обусловленном равномерным распределением дисклинаций. Интегрируя (4), имеем ,2 Бг3 2Б Здесь штрихом обозначена производная по переменной г . В векторном виде эта система имеет вид X'= ^Х,г), где X = (Х0,Х1,Х2,Х3,Х4,Х5), f = (/0, /1, /2, /з, /4, /з). Краевые условия в новых переменных: Х1 (0) = 0, Х4(0) = 0, Х0(а)= 0, Х5(а)-Ц^Х4(а) = 0. (11) а Наряду с граничными условиями (11) для решения системы (10) необходимо поставить еще одно условие. В силу отсутствия компонентов Х 0 (г) и Х 3 (г) в правой части системы (10) можно принять Х0 (0) и Х3 (0) равными нулю. Для изложения существа численного метода рассмотрим сначала частный вид краевой задачи: X'= f (X, г), Х(0) = (0,0, Х2 (0),0,0, В), (12) где В - заданное значение неизвестной функции Х 5 (0). Решение задачи (12) будет заключаться в отыскании некоторого значения параметра А, для которого решение задачи Коши X'= f (X, г), X(0) = (0,0, А,0,0, В) (13) приводит к удовлетворению условия X*(а,Л)- VX*(а,Л) = 0 . (14) Константы интегрирования в этом случае равны нулю в силу граничных условий (7), (8). Система (4) относительно функций Е и Ж является нелинейной. Для её решения используем численный метод пристрелки. Вводя новые переменные Х0 = Е, Здесь звездочкой обозначено найденное решение задачи Коши (13). Решение алгебраического уравнения (14) можно осуществить методом линейной интерполяции. На каждом из шагов решения уравнения (14) необходимо интегрировать нелинейную задачу Коши (13) конечно-разностным методом. Отрезок [0, а] разбивается на п отрезков, на каждом из которых решение отыскивается методом Рунге-Кутта с контролем погрешности на шаге. В рассмотренном выше примере решается задача, в которой необходимо определить всего один параметр. Далее рассмотрим случай, когда при переходе к задаче Коши неизвестных параметров 2: X'= f (X, г), X(о) = (0,0, Х 2 (0),0,0, Х 5 (0)). Решение такой краевой задачи можно свести к предыдущему случаю, т.е. к отысканию значения параметра В , для которого решение краевой задачи X'= f (X, г), X(0) = (0,0, Х2 (0),0,0, В) (15) приводит к выполнению равенства r 2 r а X5*(a,б)-1-Ух*(a,Б) = 0 . (16) a Уравнение (16) представляет собой нелинейное алгебраическое уравнение, корни которого находятся тем же методом, что и корни уравнения (13). На каждом шаге поиска решения необходимо интегрировать краевую задачу (15). Численная реализация изложенного метода осуществлялась с помощью пакета С++. При выборе параметров расчета использовались следующие данные: E = 1; у = 0,3 ; a = 1 ; n = 100. Функция прогиба пластинки представлена на рис. 1. По оси ординат отложены значения прогиба W при различных плотностях дисклинаций. На рис. 1а, б w p = 10 4 ; на рис. 1в, г - p = 10 3. Рис. 1 а, в соответствуют опертой пластинке, рис. 1 б, г - защемленной. При достаточно большой поперечной нагрузке прогиб пластинки увеличивается с увеличением плотности дисклинаций независимо от знака дисклинаций. При малой нагрузке полученные результаты совпадают с аналитическим решением линейной теории пластинок [2]. На рис. 2 представлен прогиб пластинки при отсутствии дисклинаций ( ß = 0 ) и дано сравнение с результатами линейной теории изгиба пластинок (слева p = 10 5 ; справа p = 10 4 ). Рис. 1. Прогиб пластинки при присутствии нормальных давлений: Рис. 2. Прогиб опертой пластинки при отсутствии дисклинаций: х линейная теория; - нелинейная Устойчивость плоского напряженного состояния пластинки с распределенными дисклинациями Предположим, что поперечная нагрузка p равна нулю, а силы, приложенные к границе пластинки, лежат в ее плоскости. Тогда система уравнений (1), (2) имеет решение W = 0, соответствующее плоскому напряженному состоянию, которое описывается уравнением (1). Уравнение (2) удовлетворяется тождественно. При некоторых значениях меры несовместности ^ и контурных нагрузок плоское напряженное состояние пластинки может стать неустойчивым и сменяется изогнутой формой равновесия. Для исследования устойчивости плоского напряженного состояния применим статический (бифуркационный) метод, состоящий в построении форм равновесия, близких к докритической, и основанный на линеаризации нелинейной краевой задачи в окрестности основного решения. Рассмотрим случай, когда докритическое плоское напряженное состояние круглой пластинки обусловлено равномерным распределением клиновых дис-клинаций (л = р = const) и равномерно распределенной по контуру r = a сжимающей нормальной нагрузкой с интенсивностью t на единицу длины. Данное состояние описывается краевой задачей для функции F (r) ( d2 1 d -+-- vdr2 r dr/v F {a ) = 0, d~F dr Vd 2 F 1 dF -+-- dr 2 r dr = -at,s \ = Ehß, Решение краевой задачи (17) F{r) = Ehß(r2 - a2)2 +1 {a2 - r2) 64 (17) (18) Тензор мембранных усилий в силу (3), (18) в до- критическом состоянии T = {tr - t0 )erer +{tp - '0 tr = Щ 2 - a 2) r 16 v ' ,,= Ehß{3r 2 - a (19) d4W 2D d3W D-- +--— dr4 1 ( D r dr3 , D Лd 2W + 1- 72 - 'r + I + + -I r V r 2 ' 0 dW dr dW dr = 0, d 3W r=0 dr3 = 0, = 0, W = 0 , — lr=a dr r=0 = 0. (20) (21) (22) В случае шарнирно опертой пластинки граничные условия (22) заменяются на W = 0, lr=a ( d 2W dr _ + v dW_ 2 r dr = 0 . Линейная краевая задача (20) - (22) однородна и всегда имеет тривиальное решение Ж = 0. Исследование устойчивости плоского состояния пластинки заключается в отыскании критических значений нагрузки /0, при которых указанная однородная задача имеет нетривиальное решение. Критические значения параметра /0, очевидно, зависят от плотности дисклинаций в. Для численного решения задачи устойчивости применим конечно-разностный метод [6]. Перейдем от дифференциального уравнения 4-го порядка к системе 4 дифференциальных уравнений 1-го порядка, которая записывается в матричной форме iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. X'+ А(г^ = 0, X = (Х1,Х2,Х3,Х4), 0 < г < а, (23) где X - вектор-столбец неизвестных функций; А -матрица неизвестных коэффициентов системы; Xk = dkW ~dTr к = 1,2,3,4. Систему (23) запишем в конечно-разностной форме: Xг+1 = (Е- А^к^,, Аг = А(гг-), г{ = а + ¡И, ИИ = -а (г = 0,1...М), где И - шаг разностной схемы; Е - единичная матрица. Тогда последовательно находим ^ = В0^Ъ X2 = ВА = В1В0X0 N = ВN-1XN-1 = ВN-1В1В0X0, Вг = Е - АгИ. (24) Шаг разностной схемы взят отрицательный, так как матрица коэффициентов А(г) имеет особенность в точке г = 0 . В качестве неизвестных в системе алгебраических уравнений, определяемой последним равенством (24), возьмем ^ (0), ^ (0), Ж(а), ^(а). Ж(0), ^ (0), ёг ёг3 ОГ ёг2 ё2Ж / ч ё3Ж / ч -(а), -(а) выражаются через них с исполь- ёг2 ёг3 зованием краевых условий (21) и (22). Система алгебраических уравнений относительно искомых неизвестных - однородная. Условие обращения в нуль её определителя дает равенство /(0 )= 0, где /(/0) - определитель системы. Решение этого уравнения является критическим значением внешнего давления 10, при котором пластинка потеряет устойчивость. Для расчета использованы следующие данные: а = 1, N = 200 , Е = 1, И = 0,1, v = 0,3. В табл. 1 дается зависимость минимальных критических значений внешнего давления от плотности дисклинаций в случае защемленной и опертой пластинки. Рассмотрим случай кусочного распределения дис- , ч Гр, 0 < г < г1 клинаций Р(г ) = < . При г, = 0,1 получе- 4 ' [0, г1 < г < а ны следующие результаты (табл. 2). d 2W, Здесь е г, е^ - единичные вектора, касательные к координатным линиям полярных координат; 1г и - компоненты усилий, обусловленные распределенными дисклинациями. На основании (1), (2), (18), (19) линеаризованная краевая задача, описывающая осесимметричные из-гибные формы равновесия, мало отличающиеся от плоского состояния, для защемленной пластинки записывается в виде r=a r=a Критическое значение t0* Таблица 1 ß -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,3161 0,1462 < 0 0,0021 0,0008 0,0017 0,0006 0,0013 0,0003 0,00093 0,0001 0,0005 0,0019 0,00017 0,0015 0 - защемленная пластинка - числитель; опертая - знаменатель. Таблица 2 Зависимость критических значений t0 от плотности дисклинаций* ß -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 10 0,00138 0,0004 0,00136 0,00039 0,00134 0,00038 0,00133 0,00037 0,00131 0,00036 * - защемленная пластинка - числитель; опертая - знаменатель. Из полученных результатов вытекает, что критическое значение бокового давления увеличивается при увеличении плотности клиновых дисклинаций. Как видно из табл. 1, потеря устойчивости пластинки возможна при t0 = 0, т.е. при отсутствии внешних нагрузок только за счет внутренних напряжений, обусловленных распределенными дисклинациями. Форма потери устойчивости изложена на рис. 3. 0,12 0,100,080,060,04 0,02 w 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Опертая 0,9 0,140,12 -0,100,080,060,040,020 w О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Г Защемленная Рис. 3. Форма потери устойчивости пластинки при /0 = 0 Закритическое поведение пластинки с внутренними напряжениями Решение линеаризованной однородной задачи позволяет определить критические значения параметров нагружения и форму потери устойчивости, но не амплитуду выпучивания. Для исследования закритиче-ского поведения пластинки необходимо привлечь нелинейные уравнения (1), (2). Рассмотрим случай, когда круглая пластинка содержит равномерно распределенные дисклинации и свободна как от поперечной, так и боковой нагрузок. Если ß превышает критическое значение, то система (1), (2) имеет не только решение W = 0, но и нетривиальное решение. Для исследования закритического поведения пластинки применим численный метод пристрелки, состоящий в отыскании нетривиальных решений системы (1), (2). На рис. 4 изображен прогиб опертой пластинки после потери устойчивости для различных толщин. При малой толщине результаты соответствует точному решению [1] для мембраны. Рис. 4. Прогиб опертой пластинки с различными толщинами при ß0=0,002: --h=0,01;---h=0,005;- h=0,001; о - точное решение При достаточно большой плотности дисклинаций, если изменить начальное приближение в алгоритме пристрелки, можно получить еще другие решения (рис. 5). Защемленная Рис. 5. Прогиб пластинки в закритической стадии при Д,=0,1: - первое решение; - • - второе;--третье; --четвертое;............. пятое * Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 09-01-00459) и в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России». Литература 1. Зубов Л.М. Уравнения Кармана для упругой пластинки с дислокациями и дисклинациями // Докл. РАН. 2007. Т. 412, № 3. С. 343-346. 2. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М., 1963. 636 с. Поступила в редакцию_ 3. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М., 1987. 542 с. 4. Сьярле Ф., Рабье П. Уравнения Кармана. М., 1983. 172 с. 5. Зубов Л.М., Столповский А.В. Теория дислокаций и дисклинаций в упругих пластинках // ПММ. 2008. Т. 72, вып. 6. С. 989-1006. 6. Зубов Л.М., Моисеенко С.И. Выпучивание упругого цилиндра при кручении и сжатии // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 5. С. 78-84. 26 февраля 2010 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/bilineynyy-chetyrehuzlovoy-konechnyy-element-dlya-resheniya-dvumernyh-zadach-teorii-uprugosti

Разработан плоский четырехузловой конечный элемент с полилинейной аппроксимацией геометрии и перемещений, предназначенный для решения плоской задачи теории упругости. С целью улучшения жесткостных свойств элемента ковариантные компоненты тензора деформаций в направлении локальных осей представлены в виде отрезков рядов Маклорена. Сдвиговая деформация полагается постоянной. На тестовых примерах исследована сходимость и точность предлагаемого конечного элемента.

УДК 539.3 БИЛИНЕИНЫИ ЧЕТЫРЕХУЗЛОВОИ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ © 2011 г. П.П. Гайджуров, Э.Р. Исхакова Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт) South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute) Разработан плоский четырехузловой конечный элемент с полилинейной аппроксимацией геометрии и перемещений, предназначенный для решения плоской задачи теории упругости. С целью улучшения жесткостных свойств элемента ковариантные компоненты тензора деформаций в направлении локальных осей представлены в виде отрезков рядов Маклорена. Сдвиговая деформация полагается постоянной. На тестовых примерах исследована сходимость и точность предлагаемого конечного элемента. Ключевые слова: метод конечных элементов; плоская задача теории упругости; компоненты тензора деформаций; матрица жесткости; точность и сходимость. It's developed flat four-nodal finite element with a multilinear approximation of geometry and displacements, which is intended for the decision ofplane problem of the theory of elasticity. Covariant components of a tensor of deformations in a direction of local axes are presented in the form of pieces of numbers of Maklorena for the purpose of improvement stiffness properties of an element. Shift deformation is necessary to a constant. Convergence and accuracy of an offered final element is investigated on test examples. Keywords: the finite element method; flat problem of the theory of elasticity; components of a tensor of deformations; stiffness matrix; accuracy and convergence. Двумерный четырехузловой конечный элемент (КЭ) широко используется при решении плоской задачи теории упругости и включен во многие коммерческие программные комплексы. Вместе с тем хорошо известно, что КЭ такого типа, построенный по классической изопараметрической технологии, отличается медленной сходимостью при моделировании изгибных деформаций балочных конструкций средней толщины. Целью настоящей работы является разработка математического и программного обеспечения, основанного на идее моментной схемы конечных элементов [1], применительно к решению задач о плоской деформации и плоском напряженном состоянии. Рассмотрим плоский четырехузловой конечный элемент (рис. 1), отнесенный к базисной (глобальной) декартовой системе осей Zl, I = 1, 2. Введем также местную X1 систему координат, такую, что значения х1 = + 1 в узлах и на сторонах КЭ. Z. 4 3 2 Х1= 1 Рис. 1 Полагаем, что оси X1 рассматриваемого КЭ совпадают с осями Zl во всех точках. Зададим поле перемещений и1 в глобальных осях в виде полилинейного полинома (1) _ 00 10 01 ,11 иi — ai + ai x 1 + ai x. + a j x 1 x. где а{ - коэффициенты, зависящие от принятого порядка локальной нумерации узлов КЭ. Количество членов полинома (1) соответствует числу узлов КЭ, а его симметричная структура обеспечивает условие совместности (непрерывности) деформаций на гранях смежных КЭ. Элемент, построенный на базе аппроксимаций перемещений в виде (1), будем называть билинейным КЭ. Уравнение для определения компонент тензора деформаций в глобальном базисе имеет вид 1 sö 2 д и, д и. - + - ' д x, V j д x. i, j = 1, 2. (2) Подставив аппроксимирующий полином (1) в уравнение (2), получим: _ (0) , (1) 811 — 811 + 8 11 x 2 — (0) + (1) 8 22 — 8 22 + 8 22 x1 — (0) + (1) + (2) 12 — 12 + 12 x 1 + 12 x (3) где обозначено: е^-1 = aj0 ; е1(11) = a"; е^^1 = a 21 (0) 1 / 01 , 10 \ е12 = 21 a1 + a 2 j; (1) — н 8 22 — a 2 (1) 11 812 — 2 a1 (2) —± 11 8 12 — 2 a 2 2 Z Достроим выражение (1) до полного поликвадратичного полинома, соответствующего девятиузловому КЭ (рис. 2) й I = ^ + Д и1. (4) о л и 20 2 . , 02 2 . , 21 2 , , 12 2 , Здесь Д и1 = Ь1 х1 + Ь1 х 2 + Ь1 х1 х 2 + Ь1 х1 х 2 + +Ь22 х12 х2 , где - дополнительные коэффициенты. Подставив расширенный аппроксимирующий полином (4) в уравнение (2), получим следующие выражения для компонент тензора деформаций: ~ (0) , ~ (1) (2) (3) ~ (4) 2 ~ (5) 2. 611 — 611 + 611 X 2 + 611 Х1 + 611 Х1 X 2 + 611 X 2 + 611 Х1 X 2 ; 6 22 = 6 221 + 6 22 Х1 + 6 22) х2 + 6 221 х1 + 6 22) х1 х2 + 6 У х1 х2; (5) - =-(0) + ~ (1) + ~ (2) + ~ (3) + ~ (4) 2 + ~ (5) 2 + 612 = 612 +612 Х1 +612 Х2 +612 Х1 Х2 +6 22 Х1 +612 Х1 Х2 + +~ (6) 2 +- (7) 2 +6 12 Х 2 + 6 12 Х1 Х 2 , где обозначено: е{1; = аг 21 (0) 10 ~(1) 11 w - " е 11 = a1 : (2) _ л L20 : (3) _ = 2 b: ~ (1) = н . ~ 22 = a2 ' ~ (5) = 2Ь 22 ■ 22 2 :(4) _А12 11 12 = b1 ;(5) = 2ь 22 ~ 22 = 2 b 2 02 : (2) = 22 ~ ^ = 2( a+ a 1 (3) 21 ~ 22 = Ь2 Л L 20 . ~ (0) = 01 . ~ 22 = a 2 ' (4) 12 ~22 = 2b 2 (a101 + a 20 ): ~i°2) = 2a" + b2 .02. '1 (22) = 2 a 21 + b (5) _ и 22. ~ (6) ,12 (3) 12 21 ~ 12 = b1 + b 2 : (4) = I b 21 . '12 = 2b1 ' '12 = b1 = , 12 . ~ (7) = ь 22 12 =b 2 ' ~ 12 =b 2 . ~11( x1,x 2) = ~11(0,0) + 5 ~п(0,0) -x 5 x 2 5~22 (0,0) ~22(x1, x 2) =~ 22(0,0) + - 5 x1 ~ 12 (X1, x 2) = ~12(0,0), (7) где (0,0) - компоненты тензора деформаций в центре КЭ. Для вычисления коэффициентов рядов 6i]■(0,0) и 56и (0,0) производных - воспользуемся аппроксима- 5 х1 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. цией перемещений КЭ в виде произведения одномерных полиномов Лагранжа 1 4 , й1 = тЕ й1 (1 + Р1кх1)(1 + Р 2кХ 2 ) , 1 = 1, 2, (8) 4 к—1 где и^ - узловые перемещения КЭ в глобальном базисе; р1к и р 2к - элементы матрицы локальных координат узлов КЭ в соответствии с принятой на рис. 1 нумерацией [ Р ] : (2x4) -111 -1 -1 -11 1 Введем векторы-столбцы узловых перемещений {И — {{й1(1)}{й1(2)}^{и(4)}}Г , ~(1) = ~(1) = Ii. ~(0) = ~(0) =_. a 22 22 "2 ' 12 12 2 2( a?1 + a20 ). Оставляя в разложении (3) только совпадающие коэффициенты, представим выражения для компонент тензора деформаций в окончательном виде: = (0) + (1) . ~ 11 = ~ 11 +~ 11 Х2 . • =~ (0) +~ (1) Х . ~ = ~(°) (6) 22 22 22 1 12 12 {u(k)}={u 1k) u ¥)}, к = 1, 2, ..., 4 и деформаций {е}={е11622 2е12} . Здесь символ «Т» обозначает операцию транспонирования. На основании уравнения (2) и соотношений (6) и (8) выражения для компонент тензора деформаций представим в матричной форме (9) Рис. 2 В соответствующих выражениях (3) и (5) совпадают только следующие (подчеркнутые) коэффициен- : (0) = ~ (0) = 10. (1) = ~ (1) = 11. (0) = ~ (0) = 01. ты: 611 = 611 = а1 ; 611 = 611 = а1 ; 6 22 = 6 22 = а2 ; {6} = [ D ]{ w}, где [В] = [[ВЫВ] 2 • (3x8) ••[ D ] 4 ] - блочная субматрица - [ В ]к =1 (3x2) 4 d 1к 0 0 d 2 к d 0 d 0 " 2 к 1к ; В дальнейшем выражения (6) будем рассматривать как отрезки рядов Маклорена: d 1к ={ 1 0 }[ J ] d 2 к ={ 0 1}[ J ] -1 | Р1к (1 + Р 2 кХ 2)] { Р 2к (1 + Р1кХ1) J -1 | Р1к (1 + Р 2к Х 2 )| I Р 2 к (1 + Р1кХ1) [ x 6 Z? 5 7 4 1 3 Z \р1к I , [Р 2к ] ' Г0П -1 \ Р 1к | I Р 2 к ] . Здесь матрица Якоби в произвольной точке КЭ д Z1 д Z 2 d 0 ={ 1 о}[ j 0] 1 d 0k ={ 0 1}[ J 0] - [ J ] = д x 1 д x 1 д Z1 д Z 2 д x 2 д x 2 [J ] - матрица Якоби в центре КЭ. Для вычисления элементов матрицы Якоби используем аппроксимацию геометрии КЭ, аналогичную той, которая была принята для аппроксимации перемещений: 1 4 к 21 =~гТ 21 (1 + Р 1кХ 1)(1 + Р 2 кХ 2 ) , 1 = 1 2, 4 k=1 Zi Рис. 3 д x, д м > координат; ии =-. В выражении (10) принято д Xi Производные в центре КЭ, входящие в выражение (7), определяем по формулам: де п(0,0) 14 д x 2 =т Z мк (,12 + zu p2k)Pik; (11) 4 k=1 д8 22 (0, 0) 14 kt ^ \ -Z-= тЕ Ml ( zl,12 + zl,2 P1k ) P д x1 4 k=1 2k д z. где смешанная частная производная - {■ =- д х, д x, д x, 1 J На основании выражений (7) и (11) субматрица [ D ] к получает вид [ D ] k =1 (3x2) d 11 d 12 d 21 d22 d31 d32 к гу где г 1 - координаты узлов в осях А1. Отметим, что полученное соотношение (9), устанавливающее связь между деформациями и перемещениями КЭ в глобальных координатах, является основой для формирования матрицы жесткости КЭ. Рассмотрим случай, когда перемещения и1 и и 2 задаются в глобальных осях Zl (I = 1, 2), а деформации еi]■ (I, ] = 1, 2) определяются в местных в общем случае неортогональных осях Х1 (рис. 3). 3 4 12 d 11 = Р1к [ г 1,1 + ( г 1,12 + г 1,1 Р 2 к ) х 2 ] , d 12 = Р1к [ Г 2,1 + ( Г 2,12 + Г 2,1 Р 2к ) Х 2] , d 21 = Р 2 к [ г 1,2 + ( г 1,12 + г 1,2 Р1к ) х1] , d22 = Р 2к [ Г 2,2 + ( Г 2,12 + Г 2,2 Р1к ) х1] , d 31 = г 1,1 Р 2к + г 1,2 Р 1к , d 32 = г 2,1 Р 2к + г 2,2 Р1к . Зависимость, связывающая ковариантные еi]■ и физические е(^) компоненты тензора деформаций, имеет вид е^) - V g ii g J г. В этом выражении gii и gУ] - элементы метрического тензора, образующего g 11 g 12 g 21 g 22 где Ковариантные компоненты тензора деформаций еi]■ в осях XI в случае малых перемещений определяем по формуле еи = 2 ( , ]иИ + 21,'и1,] ), (10) д где у = —--компоненты тензора преобразования симметричную матрицу [ g ] = iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. (2x2) gij = 2ц21у (суммирование по повторяющемуся индексу). Если оси Х1 ортогональны, то [g ] = [g 11 g 22 ]. В соответствии с вариационным принципом метода возможных перемещений формируем матрицу жесткости КЭ 1 1 [ h ] = t II [ D ]т [ Е ][ D ]| J|dx 1 dx 2, (12) (8x8) -1 -1 где t - толщина пластины; | 31 - определитель матрицы Якоби; [ Е ] - матрица упругости материала (структура зависит от класса задачи). Интегрирование в выражении (12) выполняем численно с использованием квадратурной формулы Гаусса. При решении задач о плоской деформации считаем t = 1. Компоненты тензора напряжений в глобальном базисе определяем по формуле {а} = [ E ][ D ]{ w}, (13) правило суммирования по повторяющемуся индексу I. где {ст} ={стп ст22 ст12 }т - вектор-столбец напряжений. 1 2 Процедура вычисления напряжений в узлах КЭ представляет следующую последовательность: 1. Формируем массив [ г ] - статически эквива- (4x3) лентной нагрузки в узлах КЭ: 1 4 = 7 Е kij (1 + Plnx k)(1 + Р 2nx 4 k=1 n = 1,2,...,4; при m = i = 1, j = 1; при m = 2^ i = 2, j = 2; при m = 3^ i = 1, j = 2, 1 1 [V ] = J J (ф } {Ф } dx1 dx2 =- (4x4) -1 -1 4 2 2 4 1 2 24 1 2 1 2 24 Пример 1. Консольная балка, нагруженная сосредоточенной (рис. 4 а) и равномерно распределенной нагрузкой (рис. 4 б). Упругие константы материала: модуль упругости Е = 2-1011 Н/м2; коэффициент Пуассона V = 0,25. Длина консоли I = 0,1 м. Рассматриваем задачу о плоском напряженном состоянии. Балку моделируем одним слоем КЭ по толщине. Р =10 кН к к где х 1 , х 2 - значения локальных координат в точ- к ках интегрирования; ст ^ - компоненты тензора напряжений в точках интегрирования, вычисленные по формуле (13). 2. Формируем массив узловых напряжений [ О ] =[ у ][ г ] , где фундаментальная матрица (4x3) (4x4) (4x3) плоского четырехузлового КЭ ! q = 50 кн/м2 ант 0,01 м {ф} = {Ф1 ф 2"'ф 4} - вектор-столбец функций формы КЭ. Для сглаживания скачков поля напряжений выполняем осреднение напряжений в смежных узлах конечноэлементной сетки. С целью исследования сходимости и точности разработанного билинейного КЭ решим ряд тестовых примеров. б Рис. 4 Результаты конечноэлементного решения задачи в виде значений прогиба на конце консоли для двух видов нагружения, полученные с использованием разработанного билинейного КЭ, классического изо-параметрического КЭ и КЭ PLANE42 комплекса ANSYS, представлены в табл. 1. Значения прогиба приведены в метрах. В комплексе ANSYS для элемента PLANE42 предусмотрена опция К2 «внешних функций формы для перемещений» (Extra displacement shapes). Поэтому в колонке ANSYS для каждой сетки приведены два результата: первое (верхнее) соответствует значению прогиба при отключенной (exclude) опции К2, второе (нижнее) значение - включенной (include) опции К2. Таблица 1 r l а l Расчетная схема Сетка Тип КЭ Билинейный Изопараметрический ANSYS Аналитическое решение Рис. 4 а 2 КЭ 0,01770 0,001819 0,001824 0,01894 0,02 4 КЭ 0,01858 0,005645 0,005661 0,01987 8 КЭ 0,01880 0,01190 0,01193 0,02010 16 КЭ 0,01886 0,01646 0,01651 0,02016 Рис. 4 б 2 КЭ 0,003547 0,0003701 0,000351 0,00379 0,00375 4 КЭ 0,003547 0,001083 0,00109 0,00379 8 КЭ 0,003547 0,002248 0,00225 0,00379 16 КЭ 0,003547 0,003098 0,00310 0,00379 Анализируя полученные результаты, приходим к выводу: - изопараметрический КЭ и элемент PLANE42 с отключенной опцией К2 дают практически одинаковую точность на всех сетках; - билинейный КЭ превосходит по точности изопараметрический КЭ, но уступает элементу PLANE42 с включенной опцией К2. С целью дальнейшего исследования возможностей разработанного билинейного КЭ рассмотрим так называемый patch test. Суть данного вычислительного эксперимента состоит в анализе точности на «плохой» конечноэлементной сетке. Схема «плохой» однослойной разбивки консоли на КЭ показана на рис. 5. Z2, м 0,01 г- 0,02 0,04 0,06 Рис. 5 0,08 Z1, м fm P п R EJ 2 В данном тестовом примере, так же как и в примере 1, использована однослойная схема разбивки кольца на КЭ по толщине. В процессе численного эксперимента установлено, что на сетках 36 КЭ и 72 КЭ с использованием билинейного и изопараметриче-ского КЭ матрица жесткости ансамбля КЭ как бы «запирается изнутри», т. е. при отсутствии опорных связей не происходит смещения кольца как жесткого целого, а оно деформируется. На более густых сетках 144 КЭ и 288 КЭ этот эффект исчезает. P = 100 Н А-А Для схемы нагружения, приведенной на рис. 4 а, получены следующие значения максимального прогиба: билинейный КЭ - 0,004455 м; PLANE42 с отключенной опцией К2 - 0, 002357 м; PLANE42 с включенной опцией К2 - 0, 01352 м. Таким образом, на «плохой» сетке билинейный КЭ и элемент PLANE42 с отключенной опцией К2 значительно уступают по точности элементу PLANE42 с включенной опцией К2. Пример 2. Разрезное кольцо средним радиусом Я = 0,2 м, жестко закрепленное на одном конце и нагруженное сосредоточенной силой на свободном конце (рис. 6). Упругие постоянные материала кольца: Е = 1-1011 Н/м2, V = 0,3. Рассматриваем задачу о плоском напряженном состоянии. Выражение для точного значения перемещения в вертикальном направлении под силой имеет вид А 0,01 м В табл. 2 представлены результаты расчетов /max в метрах, полученные с помощью билинейного КЭ, изопараметрического КЭ и элемента PLANE42 с отключенной (exclude) и включенной (include) опцией К2. Рис. 6 Из сравнения полученных данных следует, что наиболее эффективным с вычислительной точки зрения является КЭ PLANE42 с включенной опцией К2, который даже на самой грубой сетке обеспечивает высокую точность вычисления исследуемого перемещения. Второе место по точности занимает билинейный КЭ. Пример 3. Растяжение прямоугольной пластины, ослабленной круговым отверстием (задача Кирша). Упругие константы материала пластины: Е = 2-105 МПа; V = 0,3. Учитывая осевую симметрию геометрии и нагрузки, рассмотрим 1/4 часть пластины с соответствующими граничными условиями (рис. 7). Исследование напряженно-деформированного состояния пластины с отверстием выполнено для двух схем дискретизации, показанных на рис. 8. При этом в обоих случаях использованы регулярные конечноэле-ментные сетки с различной величиной шагов вдоль осей X и У. Таблица 2 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 0 Сетка Тип КЭ Билинейный Изопараметрический ANSYS Аналитическое решение 36 КЭ 0,0009924 0,0006112 0,005645 0,03016 0,03265 72 КЭ 0,004086 0,007331 0,01453 0,03296 144 КЭ 0,02866 0,02167 0,02374 0,03302 288 КЭ 0,03243 0,02574 0,02819 0,03304 q = 180 МПа > Z2, м 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Z2, м 0,12 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0 t = 0,01 м Рис. 7 !////// / /////// / У / / У - 0,04 0,08 а 0,04 0,12 0,16 Z1, м 0,08 б Рис. 8 0,12 0,16 Z1, м Экстремальные значения суммарного перемещения и ъ тах, нормальных напряжений а х тах и а у т1п , касательного напряжения т т1п, интенсивности напряжений а ^ тах , полученные с использованием билинейного КЭ и КЭ PLANE42 с включенной опцией К2, представлены в табл. 3. Из данных табл. 1 следует, что билинейный КЭ и КЭ PLANE42 на рассматриваемых сетках дают практически одинаковые значения и Е тах . Однако значения напряжений совпадают только в первой значащей цифре. В данном примере отношение полуширины пластины к радиусу отверстия составляет 3,25. Для классической задачи Кирша указанное отношение обычно принимается больше 10. Поэтому для принятой геометрии полученные значения напряжений а х тах и а у тт значительно превышают аналитическое решение а х тах = 3 q = 540 МПа и а у т1п =-д = -180 МПа. Пример. 4. Растяжение мембраны эллиптической формы, ослабленной эллиптическим отверстием. На рис. 9 показана 1/4 часть мембраны. Упругие константы материала: Е = 2,1105 МПа; V = 0,3. Размеры мембраны: а = 1,75 м; Ь = 1,0 м; с = 2,0 м; < = 1,25 м. Толщина мембраны t = 0,1 м. q=10 МПа х 2 У 2 i^c+d ) + (a+b ) =1 Рис. 9 Таблица 3 a b Расчетная схема u 2 max•103, м а X max , МПа а Y min , МПа Т min , МПа а i max , МПа Билинейный КЭ PLANE42 Билинейный КЭ PLANE42 Билинейный КЭ PLANE42 Билинейный КЭ PLANE42 Билинейный КЭ PLANE42 Рис. 8 а 0,2087 0,209 644,3 636 -262,1 -257 -127,6 -147 622,4 637 Рис. 8 б 0,2090 0,209 642,7 638 -263,7 -260 -150,9 -163 629,8 639 Z2, м 1,5 2,0 2,5 Рис. 10 Z1, м а , МПа -1,339 -8,20 17,74 27,28 36,81 46,36 55,89 165,43 74,97 84,51 194,05 Задачу о плоском напряженном состоянии мембраны решаем с использованием изопараметрическо-го и билинейного КЭ. Точное значение напряжения а в точке D (рис. 9) составляет 92,7 МПа [2]. Численные значения а в указанной точке, полученные на регулярной сетке с помощью изопараметрического и билинейного КЭ, принимают значения соответственно 93,72 МПа и 94,05 МПа. На рис. 10 показана визуализация поля напряжений а для билинейного КЭ. Литература 1. Метод конечных элементов в механике твердых тел / под общ. ред. А.С. Сахарова, И. Альтенбаха. Киев, 1982. 480 с. 2 Barlow. J., Davis G.A.O. Selected FE Benchmarks in Structural and Thermal Analysis // NAFEMS Report FEBSTA, Rev. 1, October 1986, Test No. LE1 (modified). Поступила в редакцию 21 марта 2011 г. Гайджуров Петр Павлович - д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой, Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635)255-4-14. Исхакова Эльвира Рашидовна - студентка, строительный факультет, Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Guyjurov Peter Pavlovich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department, South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635)255-4-14. Iskhakova Elvira Rashidovna - student, South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute)._

https://cyberleninka.ru/article/n/nekotorye-harakteristiki-batarei-svetodiodov-na-osnove-dvoynyh-geterostruktur-nga1-z-alz-pxas1-h-ngapx-as1-x-pga1-yalypxas1-x

Методом жидкофазной эпитаксии были выращены двойные гетероструктуры на основе многокомпонентных твердых растворов AlGaPAs на подложках GaPAs-n типа. На основе этих гетероструктур были созданы батареи светодиодов по 15 диодов в батарее. Площадь диода ~1мм². Длина волны в максимуме спонтанного излучения ~810 нм, квантовая эффективность излучения светодиода η~4%. Батареи светодиодов предназначены для оптической накачки ионных кристаллов легированных неодимом.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ________________________________________2011, том 54, №4______________________________________ ФИЗИКА УДК 621. 315. 592 Член-корреспондент АН Республики Таджикистан И.Исмаилов НЕКОТОРЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БАТАРЕИ СВЕТОДИОДОВ НА ОСНОВЕ ДВОЙНЫХ ГЕТЕРОСТРУКТУР пСа^ А1, РхА81-х/пСаРх А81-е /рСа1-уА1уРхА81-х Физико-технический институт им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан Методом жидкофазной эпитаксии были выращены двойные гетероструктуры на основе многокомпонентных твердых растворов AlGaPAs на подложках GaPAs-n типа. На основе этих гетероструктур были созданы батареи светодиодов по 15 диодов в батарее. Площадь диода ~1мм2. Длина волны в максимуме спонтанного излучения ~810 нм, квантовая эффективность излучения светодиода ц~4%. Батареи светодиодов предназначены для оптической накачки ионных кристаллов легированных неодимом. Ключевые слова: жидкостная эпитаксия - инжекционный лазер - светодиод - гетеропереход. Многокомпонентные твердые растворы на основе полупроводниковых соединений представляют теоретический интерес и имеют большое практическое значение для создания высокоэффективных инжекционных источников спонтанного и когерентного излучения в широком диапазоне длин волн [1]. Использование четырехкомпонентных твердых растворов (ОаЛ1)(РЛ8), в которых возможно получение «идеальных» гетеропереходов в подрешетке, позволяет существенно улучшить характеристики инжекционных лазеров и светодиодов. Параметры решетки Л1Л8 и ОаЛ8 полностью согласуются только при характерных температурах выращивания (~900°С), а при охлаждении до комнатной температуры вследствие большой разности коэффициентов теплового расширения бинарных соединений на гетерогранице появляются упругие напряжения (10-3). В двойных гетероструктурах эти напряжения можно минимизировать путем уменьшения разности параметров состава между активной областью и соседними слоями, ограничивающими носители, в которых концентрация Л1 выше. Кроме того, рассогласование постоянных решетки можно существенно уменьшить (до нуля) путем добавления подходящего количества Р к тройному твердому раствору ОаЛ1Л8. Оказывается, это приводит к дополнительному уменьшению пороговой плотности тока в лазерах - явлению, которое до сих пор полностью не объяснено. Тем не менее то, что рассогласование постоянных решетки, и, следовательно, плотность дефектов на границе можно тщательно контролировать путем изменения концентрации Р в четверных твердых растворах, оказывается важным экспериментальным фактом. Впервые о получении гетеропереходов в системе (ОаЛ1)(РЛ8) и о создании на их основе гетеролазеров, работающих на длине волны 845 нм при 300 К, сообщалось в работах [2, 3]. Использование полупроводниковых источников излучения для оптической накачки диэлектрических лазеров имеет ряд преимуществ. Малые размеры и простота конструкции диодов дают Адрес для корреспонденции: Исмаилов Исроилжан. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 299/1, Физико-технический институт АН РТ. Е-таИ:1^'таИ@(а&'катрш'.еа&'(ега.пе( возможность непосредственно передавать излучение накачки в кристалл лазера без применения оптических систем. При этом будут существенно уменьшены габариты таких комбинированных диэлектрических лазеров. Если учесть высокую эффективность полупроводниковых источников изучения в сравнительно узком интервале длин волн, то следует ожидать существенное повышение коэффициента преобразования входной энергии излучения в выходную и увеличение полной эффективности в несколько раз по сравнению с обычными диэлектрическими лазерами. Для подобных комбинированных лазеров необходимы, с одной стороны, ионы активатора, пригодные для оптической накачки (двухвалентные и трехвалентные ионы редких земель, ионы переходных металлов и актинидов), а с другой стороны, рекомбинационные центры, излучение которых может быть использовано для накачки. Рис. 1. Спектр поглощения в кристалле пентофосфата неодима (NdP5Ol4). Толщина образца - 0.4 мм. На рис.1 приведен спектр поглощения кристаллов пентофосфата неодима (ПФН) при 300 К, в котором имеются три сравнительно широкие полосы поглощения с максимумами на длине волны ~750, ~810 и ~ 870 нм с коэффициентом поглощения, достигающим 56 см-1. В спектрах поглощения толстых образцов ПФН хорошо выявляются структуры поглощения вблизи 1060 нм. В частности, на этой длине волны коэффициент поглощения равен ~10 см-1. Спектры поглощения кристаллов ПФН при 77 и 300 К существенно не отличались. Область сильного поглощения ионов неодима в кристаллах ПФН лежит между 750 и 870 нм, а рекомбинационное излучение происходит на длине волны 1060 нм [1]. Для накачки кристаллов ПФН были созданы батареи светодиодов по 15 диодов на медном кристаллодержателе длиной 40 мм, которые располагаются вдоль стержня твердотельного лазера. Восемь батарей светодиодов, расположенных вокруг стержня, образуют внутреннюю полость, в которую помещается лазерный кристалл для накачки. Однако кристаллов ПФН необходимого размера не было получено. Поэтому твердотельный лазер на ПФН при накачке излучением батареей свето- диодов в разработанной конструкции не был создан. Данная работа посвящена созданию и исследованию светодиодов на основе двусторонней гетероструктуры (ДГС) типа пОа1-ъЛ1ъ Рх Л81-х /пОаРх Л8^ х/рОа1-уЛ1уРхЛ81-х в диапазоне составов х =0.08 - 0.1;0.2 и 0.3. Количество алюминия ъ в четверном твердом растворе обеспечивало наличие потенциального барьера в 0.12 - 0.15эВ. В исследованных ДГС эпитаксиальные слои пОа1-ъЛ1ъРхЛ81-х и рОа1-уЛ1уРхЛ81-х различного состава были выращены на горизонтальной установке жидкостной эпитаксии на подложках пОаРхЛ81-х из раствора-расплава галлия, насыщенного ОаР, ОаЛ8, Л1. Процесс выращивания проводился в атмосфере водорода, очищенного диффузией через палладиевые фильтры. Состав расплава подбирался с учетом согласования постоянных решеток подложки с наращиваемым эпитаксиальным слоем. Толщина активной области пОаРхЛ81-х (с х~ 0.08) равна ~ 0.3 мкм. Согласно данным работы [3], при температуре роста 950°С весовой состав расплава должен подбираться в соотношении Оа:ОаЛ8:ОаР как 1: 0.075: 0.012. Подложки ОаРхЛ81-х, выращенные в Государственном институте редких металлов (ГИРЕДМЕТ) из газовой фазы по плоскости (111), были легированы теллуром и имели концентрацию примесей (2-4) 1018 см-3 . Выращенные эпитаксиальные слои были монокристалличны с зеркально-гладкой поверхностью. Граница подложки и эпитаксиальной пленки, выявленная дополнительным травлением на сколах, представляет собой совершенно ровную линию. Для выявления влияния длительности отжига на характеристики гетеродиодов на основе односторонней гетероструктуры (ОГС) пОаРхЛ81-х/ рОа1-уЛ1уРхЛ81-х с составом х~0.2 подвергались дополнительной температурной обработке при 850 С в запаянной кварцевой ампуле при избыточном давлении паров мышьяка. Методика получения омических контактов к р-п-областям диодов, изготовление и методика измерений подобны описанным в [4]. В процессе роста эпитаксиальной пленки (ОаЛ1) (РЛ8) р-типа возможна диффузия акцепторной примеси цинка в подложку. Для выяснения существования р-слоя, смещенного относительно гетерограницы, в одном случае изготавливался диффузионный р-п переход в материале подложки. Сравнение спектров спонтанного излучения гетеродиодов и диффузионных диодов (рис.2) показало, что спектральная полоса излучения гетеродиода уже и его максимум смещен в сторону больших энергий приблизительно на величину энергии ионизации цинка в ОаРхЛ81-х. Отсюда следует, что в выращенных ОГС излучательная рекомбинация происходит в п-области перехода и гете- 1,отн.ед О 1 1 1.60 1.70 1.80 Е,эВ Рис. 2. Нормированные спектры электролюминесценции диффузионного диода на основе СаР0.2Л80.8 (1) и гетеродиода на основе структуры пваРхЛ81-х / рОа1-уЛ1уРхЛ81- х ( х ~ 0.2) (2). Плотность тока ~50А/см2, Т=77 К. рограница совпадает с p-n переходом. В спектре фотолюминесценции подложек GaPxAs1-x наблюдались интенсивные длинноволновые полосы излуче-W, ния с максимумом 820 и 710 нм, а также слабая ос- новная полоса с максимумом 690 нм для состава х=0.3 (по шихте) при 300 К. Природа рекомбинационных центров, ответственных за длинноволновые полосы, не установлена. В спектрах электролюминесценции гетеродиодов, выращенных на этой эпитаксиальной пластинке, длинноволновые полосы не были обнаружены. В спектре излучения гетеродиодов при 300 К и плотностях тока j>9500 А/см2 , помимо основного максимума с Ьюр=1.82 эВ, наблюдается слабая коротковолновая полоса с Ьюр=1.94 эВ. Наличие этого максимума, по-видимому, связано с рекомбинационным излучением широкозонной p-области. Отсюда высоту барьера на границе nGaP-xAsi-x и pGai-yAlyPxAsi-x можно оценить величиной 0.12 эВ. Вольтамперная характеристика диодов при 77 и 300 К при малых плотностях тока (до 10-20 А/см2) описывается как exp (eUp- n/2kT), а при больших плотностях тока как exp (еир-п/кТ). На первом участке протекающий через диод ток обусловлен рекомбинацией электронно-дырочных пар в области пространственного заряда, а на втором участке преобладает рекомбинация в объеме полупроводника [5]. При 77 К спектр излучения гетеродиодов состоит из одной полосы в широком интервале плотностей тока. Эта полоса сильно сужается при плотностях тока около 2 -3кА/см2 и возникает генерация когерентного излучения. Поступило 13.01.2011 г. ЛИТЕРАТУРА 1. Исмаилов И. - АН РТ, 1989, т.32, №9, с.596-598. 2. Исмаилов И., Шохуджаев Н. и др. - Квантовая электроника, 1977, т. 4, №8, с. 1821. 3. Bumham R. D., Holonyak N. et all. - Appl. Phys. Letts, 1971, №19, p. 25. 4. Исмаилов И., Садиев А., Шохуджаев Н. - Квантовая электроника, 1974, т.1, № 8, c.1875- 1877. 5. Алферов Ж.И., Андреев В.М. и др. - Труды IX межд. конф. по физике полупроводников (М., 1968), т.1, с.534. - Л.: Наука,1969. ла. Квантовая эффективность излучения светодиода п~4%. Площадь диода 1 мм2 . Длина волны в максимуме полосы спонтанного излучения светодиода равна -810 нм при 300 К. И.Исмаилов БАЪЗЕ ТАФСИФХОИ БАТАРЕЯИ ДИОД^ОИ НУРАФШОНИ ДАР АСОСИ ГЕТЕРОСТРУКТУРАИ ДУКАБАТИИ nGai-z Alz P x Asi-x /nGaP x Asi-x /pGai-y Aly P x Asi-x Институти физикаю техникаи ба номи С.У.Умарови Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон Натичах,ои тачрибах,ои сабзоиши гетерострyктyраи дyкабата дар асоси чоркисма чисми махлулх,ои сахт GaAlPAs бо минтакаи фаъол аз GaPAs барои лазерх,ои инжексионй ва диодх,ои нyрафшонии барои нурх,ои инфрасyрх ва нурх,ои биной оварда шyдаст. Батареях,о иборат аз 15 диод, ки лах,им шудаги ба кристалл дорандаи мисин сохта шудааст. Босамарии берунии кван-тии диодх,ои нуравшонй 4% дорад. Дарозии мавчи нурх,ои спонтанй 810 нм. Батареяи диодх,ои нуравшонй барои барангезиши оптики кристалх,ои ионии легиранди шудагии ба неодим мукаррар шудааст. Калима^ои калиди: эпитаксияи моеот - лазери инжексионй - диоди нурафшон - гетерогузориш. I.Ismailov SOME CHARACTERISTICS OF THE BATTERY LIGHT EMITTED DIOD (LED) ON THE BASIS OF DOUBLE HETEROSTRUCTURE nGal-z Alz PxAsl-x/nGaPx Asi-x /pGal-yAlyPxAsl-x S.U. Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan The results of experiments on growth double heterostructure on a basis four component of firm solutions GaAlPAs by active area from GaPAs for injection lasers and LED radiating in infra-red and seen area of a spectrum are given. The batteries LED, consisting from 15 diodes soldered to copper of crystal holder are made. External quantum efficiency LED ~4 of %. Length of a wave in a maximum of spontaneous radiation S10 nm. The batteries of LED are intended for optical exiting, ionized of crystals legand by neodim. Key words: liquid epitaxy - injection laser - light emiting diod - heterosnructure.

https://cyberleninka.ru/article/n/anizotropiya-koeffitsienta-teploprovodnosti-v-kristallah-linbo3-fe-obuslovlennaya-neravnovesnymi-netermalizovannymi-nositelyami

Исследована температурная зависимость коэффициента теплопроводности ж кристаллов LiNbO₃:Fe при grad T ↑↑ Р_s и при grad T↓↑ Р_s . Показано, что уменьшение ж при grad T↓↑ Р_s обусловлено увлечением фононов неравновесными нетермализованными электронами.

УДК 538.953 АНИЗОТРОПИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В КРИСТАЛЛАХ LiNbOsrFe, ОБУСЛОВЛЕННАЯ НЕРАВНОВЕСНЫМИ НЕТЕРМАЛИЗОВАННЫМИ НОСИТЕЛЯМИ ЗАРЯДА © 2007 г Р.М. Магомадов, А.В. Евлоев, Г.Р. Куркиев It is examined the temperature dependence of the heat conduction coefficient œ of crystals LiNbO3: Fe under grad T ÎÎ Ps and under grad nî P . It is shown that decrease of œ under grad T|Î P is conditioned by increase of phononi by nonequilibrium netermalizovanniy electrons. При однородном освещении кристаллов без центра симметрии как в примесной, так и в собственной области поглощения наблюдается фотогальванический эффект [1]. В короткозамкнутых кристаллах это приводит к возникновению стационарного тока, в разомкнутых - к возникновению фотонапряжений, намного превышающих ширину запрещенной зоны кристалла. Фотонапряжения в разомкнутых кристаллах не ограничиваются шириной их запрещенной зоны, а растут с ростом освещаемой области кристалла из-за объемного характера фотогальванического эффекта. Фотогальванический ток отличается от обычных токов тем, что направление тока задается не внешним воздействием, а внутренними свойствами симметрии среды, т. е. фотогальванический эффект представляет генерацию постоянного тока в однородной среде и возможен не только в полярных средах, но и во всех средах без центра симметрии. В пьезо-электриках и гиротропных кристаллах он обладает поляризационными свойствами. В отличие от большинства фотоэлектрических явлений фотогальванический ток создается небольшой концентрацией носителей заряда неравновесными нетермализованными электронами или дырками. Надо отметить, что ток этот может создаваться и одним типом носителей заряда. За дрейф неравновесных не-термализованных носителей заряда ответственны внутрикристаллические поля, и поэтому их энергия должна быть значительно больше энергии равновесных носителей заряда. Оценка энергии этих носителей заряда представляет научный интерес, и поэтому нами была поставлена задача оценить энергию неравновесных нетермализованных носителей заряда, изучая их взаимодействие с фононами. Наиболее удобны для этих исследований полярные диэлектрики: во-первых, концентрация равновесных носителей заряда в них практически равна нулю, а во-вторых, внутри-кристаллические поля, ответственные за дрейф неравновесных нетермализованных носителей заряда, большие, и следовательно, их энергия должна быть достаточно большой. В качестве такого объекта был выбран ниобат лития с примесью железа. В пироэлек-трике Ы№03:Ре наблюдается линейный фотогальванический эффект как в естественном [1], так и в поляризованном свете [2, 3]. При освещении однородным естественным светом в направлении [001] кристалла Ы№03:Ре течет фотогальванический ток, противоположный направлению спонтанной поляризации кристалла р . Вклад неравновесных электронов и дырок в фотогальванический эффект зависит от длины волны света. Максимум плотности фотогальванического тока наблюдается при X = 420 нм [1]. Исследуемый кристалл освещался естественным светом, и мы предполагаем, что основной вклад в ток ФГЭ дают неравновесные нетермализованные электроны. Токами, возникающими из-за наличия градиента температуры кристалла, можно пренебречь, поскольку концентрация равновесных электронов в таком высокоомном кристалле, как Ы№03 (Т = 4 00 К, р=5-10 8 Ом/см) практически равна нулю. Перенос тепловой энергии в твердом теле осуществляется свободными носителями заряда и фонона-ми. Если обозначить теплопроводность, обусловленную движением равновесных электронов или дырок, через кекь - колебанием кристаллической решетки твердого тела, то полный коэффициент теплопроводности к твердого тела получим в виде К= Кь + Ке. (1) Еще одним преимуществом выбора в качестве объекта исследования кристалла Ы№03:Ре является то, что это диэлектрик, а в диэлектриках кь >> ке, поэтому в этих кристаллах преобладает фононный механизм электропроводности. Коэффициент теплопроводности к исследуемых кристаллов измерялся вдоль кристаллографической оси кристалла [001] калориметрическим методом [4] (рис. 1). Температура нагревателя термостатировалась с помощью блока электроники с разрешением 0,1 К и изменялась в пределах (0^493) К. Датчиком температуры служил диод, принцип работы которого основан на пропорциональности напряжения на диоде температуре диода при протекании через него фиксированного тока I. Коэффициент пропорциональности используемых диодов равен в= — = -2 -10-3 В • К"1. (2) ёТ Ошибка при измерении температуры датчиком не более 2 К, при изменении приращении температуры по разности показаний от одного из датчиков - не более 2 % измеряемого приращения. Секундомер, предназначенный для измерения интервалов времени, имеет разрешение 0,01 с. Исследуемый кристалл Ы№03:Ре устанавливался на плите и прижимался к ней калориметром с помощью стержня и двух пружин (рис. 1). Рис. 1. Калориметрический метод измерения коэффициента теплопроводности: 1 - печь; 2 - калориметр; 3 - термодатчики; 4 - теплоизолирующий кожух печи; 5 - ножки, на которых крепится печь к основанию; 7 - вентилятор, охлаждающий печь; 8 - тепловыделяющий элемент; 9 - прижимающий стержень; 10 - прижимающие пружины; 11 - исследуемый образец Расчет коэффициента теплопроводности проводился по формуле [4]: dT|dt к = С- s (t - t2) -h, (3) где С - теплоемкость калориметра (С=125 Дж/К); dT/dt - скорость изменения температуры калориметра; к - толщина кристалла в направлении оси [001]; - площадь соприкосновения кристалла с калориметром; Т1 - температура печи; Т2 - температура калориметра. Если измерить коэффициент теплопроводности к освещаемого кристалла ЫМЪ03:Ре в направлении УТ [001] при градиенте температуры grad Т Ц р, и grad Щ р,, то его величина может оказаться разной, так как импульс неравновесных нетермализованных электронов, ответственных за фотогальванический эффект, всегда направлен вдоль спонтанной поляризации р, (рис. 2), и при grad Т Ц Р, импульс фононов параллелен импульсу электрона (рис. 3а), а при grad Щ р, импульс фонона антипараллелен импульсу электрона (рис. 3б). Нами измерены значения коэффициента теплопроводности ж кристалла Ы№03 чистых и легированных железом (0,03 мас. доли %) в интервале температур от 298 до 373 К при grad Т Ц р, и grad Щ при освещении кристаллов естественным светом с интенсивностью 1=2,3 -10-3 Вт/см2. В нелегированных кристаллах численное значение ж не зависит от взаимной ориентации grad Т и Р,. С ростом концентрации Бе в Ы№0з ж растет за счет примесного вклада в теплопроводность, и его значение при освещении зависит от взаимной ориентации grad Т и р,. Исследуемые образцы имели концентрацию Бе - 0,03 и Бе - 0,06 мас. доли %. Наибольший вклад в теплопроводность дает концентрация Бе - 0,06 мас. доли %. Р. Ev Рис. 2. Схема возбуждения электронов с примесного уровня УТ О mj>v mj>v ■О Р. Р. ©- е- Рис. 3. Схема ориентации импульсов фонона и неравновесных нетермализованных электронов: а - grad Т Ц Р, ; б - grad Щ Р 9 3 m„v 11 E mv mv 11 и б а Графики температурной зависимости коэффициента теплопроводности ж, полученные для Ы№03: Бе (0,03 мас. доли %), для двух рассматриваемых случаев, приведены на рис. 4. X, Дж/м с К 10 0 " 293 303 313 323 333 Т, К Рис. 4. Зависимость коэффициента теплопроводности кот температуры кристалла Ы№>03 : Бе для двух случаев: 1 -импульсы фононов и электронов параллельны, 2 - импульсы фононов и электронов антипаралельны Как видно из графиков, величина коэффициента теплопроводности ж при grad Щ, т.е. когда импульс фоно-на и электрона антипараллельны (рис. 4, график 2), меньше, чем в случае, когда их импульсы параллельны (рис. 4, график 1). Разница величин ж в этих двух случаях растет с ростом температуры кристалла, т.е. с уменьшением потока фононов от горячего конца кристалла к холодному, и начиная с 323 К эта разница не меняется (рис. 3). Наблюдаемое в эксперименте изменение разницы величин ж с ростом температуры кристалла скорее всего связано с тем, что концентрация неравновесных нетермализованных электронов мала, и поэтому их влияние проявляется только при уменьшении потока фононов. Для выяснения природы влияния неравновесных нетермализованных электронов на величину коэффициента теплопроводности кристалла Ы№03: Бе надо оценить их энергию (рис. 5). Рассчитаем число электронов, проходящих через единицу площади S, перпендикулярной спонтанной поляризации кристалла , за единицу времени (рис. 4). Исходя из определения плотности электрического тока, для числа неравновесных нетермализованных электронов N, проходящих через единицу площади S, перпендикулярной спонтанной поляризации кристалла р , за единицу времени t можно записать: N =- J S • t e где ] - плотность фотогальванического тока при данной интенсивности освящения кристалла; е - заряд электрона. В нашем случае интенсивность света освещающего исследуемый кристалл равна /=2,3-10-3 Вт/см2, а для этой интенсивности плотность фотогальванического тока в исследуемых кристаллах равна ]= = 15,5-10-12 А/см2 [5]. Тогда для числа электронов N получаем дг ] 15,5•Ю-12 А/см2 _-01.7 -2 -1 N _ —_—--—-= 9,6840'см 2с 1. е 1,6•Ю-19 К Свет 1 0-1» >ч "Ч. »■ч, "Ч. 1 1 1 1 S 1 1 J >ч >ч "Ч. h Ps ь. Рис. 5. Схема геометрии эксперимента по изучению электрон - фононного взаимодействия в кристаллах Ь}№>:Ее Для оценки энергии электронов необходимо определить энергию, переносимую N неравновесными нетермализованными электронами. Исходя из определения коэффициента теплопроводности к, можно найти количество теплоты, которое переносится за единицу времени через единицу поперечного сечения в направлении [001], и оно равно: 6 кДТ S•t " Ь , где ЛТ- разность температур на гранях кристалла; к -толщина кристалла в направлении, в котором измеряется коэффициент теплопроводности. Суммарный коэффициент теплопроводности кристалла, когда импульсы электрона и фонона параллельны, равен сумме решеточного и электронного вклада в теплопроводность: к1= кь+ кнет. (4) В случае, когда импульсы электрона и фонона ан-типараллельны к 2= кь - кнет. (5) Используя формулы (4) и (5), можно найти вклад неравновесных нетермализованных электронов в теплопроводность: Kl- К2= 2Кнет или К нет = - К1 - К2 2 Разница величин коэффициентов теплопроводности в этих двух случаях, как видно из рис. 4, становится максимальной при 323 К и равна Дк=к1-к2= =1,6-10 -2 Вт/см-К, тогда к=0,8 10 -2 Вт/см-К при Т = 323 К и ЛТ = 57 К. Зная Л к, можно рассчитать количество энергии, переносимое неравновесными не-термализованными электронами за единицу времени через единицу поперечного сечения кристалла: 15 5 n Q _ к ■ AT _ 0,8-10-257 _ 912 1Q_2 Дж -1 2 St h 5 10"* с ■ см' Полученное значение энергии позволяет найти энергию одного неравновесного нетермализованного электрона, и она равна я. _Q _ 91,2-10-2 _ 9,42-10-9 Дж . е NSt 9.68 -107 Если оценить тепловой вклад в энергию неравновесных нетермализованных электронов в интервале температур (273^1273) К (температура плавления кристалла Тпл = 1387 К), он равен ЛТ = 1000 К, кЛТ = 1,38 -10-20 Дж. Расчет теплового вклада в энергию неравновесных нетермализованных электронов в интервале температур (273^1273) К, значительно большем интервала температур, в котором мы провели исследования (273^373) К, показывает, что тепловой вклад в энергию неравновесных нетермализован-ных электронов значительно меньше их энергии кЛТ=1.38 -10-20 Дж << Ее _ 9.42-10-9 Дж . Таким образом, тепловым вкладом в энергию неравновесных нетермализованных электронов в иссле- дуемом интервале температур можно пренебречь, так как их энергия не зависит от температуры кристалла. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Исходя из вышеизложенного, можно сделать следующий вывод: наблюдаемая разница в величине коэффициента теплопроводности к в случаях, когда импульсы фонона и электрона параллельны и когда их импульсы антипараллельны, не связана с тепловым вкладом неравновесных нетермализованных электронов в теплопроводность, а обусловлена эффектом увлечения фононов электронами, когда их импульсы антипараллельны. Литература 1. Фридкин В.М., Попов Б.Н. // УФН. 1978. Т. 126. № 4. С. 657-671. 2. Фридкин В.М., Магомадов Р.М. // Письма в ЖЭТФ. 1979. Т. 30. № 11. С. 723-726. 3. Кузьминов Ю. С. Ниобат и танталат лития. М., 1975. 4. Берман Р. Теплопроводность твердых тел. М., 1979. 5. Стурман Б.И., Фридкин В.М. Фотогальванический эф- фект в средах без центра симметрии. М., 1992. Ингушский государственный университет 17 ноября 2006 г

https://cyberleninka.ru/article/n/raschet-nestatsionarnogo-temperaturnogo-polya-pri-parokontaktnom-nagreve-produktov-v-tsilindricheskoy-tare

Представлено решение задачи расчета нестационарного температурного поля при пароконтактном нагреве продуктов в цилиндрической таре. Получена математическая модель процесса и представлены результаты численного эксперимента с применением компьютерных технологий по расчету температурного поля продукта в зависимости от температуры и расхода теплоносителя.

Элементы 1 и 2 расположены слева от вертикали рассматриваемой точки при порядковом счете снизу вверх. Элементы 3 и 4 расположены справа от указанной вертикали также при порядковом счете снизу вверх. Следует отметить, что ни в одной строке табл. 2 не выполняется равенство а0 = агг + аее+агг, а средние значения левой и правой частей равенства для всех четырех элементов оказались практически одинаковыми: а0р = 633,32; (агг + аее+агг)ср = 633,38. Следует сделать вывод, что представленный конечный элемент вполне приемлем для расчета осе-симметрично загруженных тел вращения из несжимаемых материалов. Литература 1. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред: Пер. с англ. М., 1976. 2. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М., 1970. 3. Постное В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л., 1974. 15 марта 2005 г Волгоградская государственная сельскохозяйственная академия УДК 664.8.036 РАСЧЕТ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ПРИ ПАРОКОНТАКТНОМ НАГРЕВЕ ПРОДУКТОВ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ТАРЕ © 2005 г. М.Э. Ахмедов, Т.А. Исмаилов Создание высокопроизводительного теплообмен-ного оборудования, отвечающего современному уровню развития промышленности и техники, требует существенной интенсификации протекающих в них теплообменных процессов. Одним из эффективных способов, как с точки зрения интенсификации самого процесса теплообмена, так и экономии энергозатрат, является контактный нагрев продукта посредством подачи греющего пара в банку с продуктом [1]. Теплообмен при пароконтактном нагреве продуктов представляет собой сложное явление, связанное с одновременным переносом теплоты и массы вещества. При этом количество перенесенной массы определяется величиной сконденсированного пара, а переданная теплота (при условии насыщенного пара) -теплотой парообразования [2]. Число факторов, влияющих на процесс передачи теплоты при пароконтактном нагреве, значительно больше, в частности при этом наибольшие значения приобретают как теплофизические свойства греющего пара, так и физико-химические свойства продукта. Учет всех факторов, влияющих на процесс теплообмена при пароконтактном нагреве, и их анализ представляется очень трудным не только в теоретическом, но и в экспериментальном плане. Основным параметром, играющим первостепенную роль в процессе тепловой стерилизации пищевых продуктов, в том числе и посредством пароконтактно-го нагрева, является температура продукта, которая является основным фактором для установления режимов стерилизации консервов. Поэтому одной из основных задач в исследовании процесса стерилизации консервов пароконтактным нагревом является опре- деление температурного поля продукта, или выявление динамики изменения температуры в различных точках продукта в зависимости от параметров греющего пара, условий его подвода в продукт, физических свойств нагреваемого продукта и т. д. В данном случае, когда нагрев осуществляется паром, подаваемым барботером, помещенным в банку, задача сводится к расчету нестационарного температурного поля в бесконечной вдоль оси составной трубе, нагреваемой с внутренней поверхности от источника теплоты заданной интенсивности q с учетом конвекции в радиальном направлении (рис. 1). 1 Рис. 1. Схема прогрева неограниченной трубы от внутреннего источника: 1 - труба; 2 - продукт; 3 - барботер для подачи пара Предполагается, что термическое сопротивление наружной стенки пренебрежимо мало по сравнению с термическим сопротивлением внутреннего слоя трубы, что теплофизические свойства материала не зависят от температуры. Отсюда уравнение теплопровод- 2 ности с учетом конвективной составляющей имеет вид [2]: д/ д/ X Э Э/ — + и— =--(г—). Эт дг с ррг дг дг Условия однозначности: - начальное условие при т = 0 / (г ,0) = / (г) = / н ; - краевые условия (д/ / дг) г=я1 = _д / X; (1) (dt / dr) r 2 = -a(t - ts)/X- 42. X G U^X G жt HC р.ж (2) где Ож - количество образующегося конденсата, кг/с; ср.ж - удельная массовая теплоемкость конденсата, Дж/(кг-К). Скорость движения жидкости (м/с) через поверхность цилиндра с радиусом г определяется по формуле u = G ж / 2nr/p ж . Подставляя (2) в (3) и (3) в (1), получим: д. = ()1 д. + • дт срр 2п/р г дг срр дг2 dt \ = G„c ptн ; дг I r =Ri 2nR1Xl а , ( } r =R 2 =-X (t - t в ) + t(r, 0) = t н . Gnc рt X4nR21 (4) (5) (6) (7) где ср - удельная массовая теплоемкость продукта, Дж/(кг-К); р - плотность продукта, кг/м3; X - коэффициент теплопроводности материала, Вт/(м-К); г -текущий радиус (Я1 < г < Я2), м; и - скорость движения жидкости, м/с; 4 - температура окружающей среды, К; а - коэффициент теплоотдачи на наружной поверхности трубы, Вт/(м2-К); т - время, с; Я2, Я1 -соответственно, наружный и внутренний радиусы барботера и трубы, м; д - удельный тепловой поток на внутренней поверхности трубы, Вт/м2; /н - начальная температура обогреваемой среды (продукта), К. Так как нами рассматривается задача расчета температурного поля в зависимости от радиуса бесконечной трубы, то предлагается, что удельный тепловой поток и скорость движения жидкости через поверхность барбатера не зависят от ее длины, т. е. постоянны по оси цилиндра и тем самым не учитывается краевой эффект проявляющийся из-за конечных размеров барбатера. С учетом вышеизложенного, определим связь между скоростью и удельным тепловым потоком. При пароконтактном нагреве пар подается равномерно через поверхность внутренней трубы (барботера) и удельный тепловой поток д = о ¿х /(2пЯ1/), где Оп - расход пара, кг/сек; ¡х - энтальпия пара, Дж/кг; I - длина трубы (барботера). Фиктивное количество жидкости, образующее конвективный поток, можно определить из уравнения теплового баланса: Уравнения (4) - (7) запишем в более удобном параметрическом виде. В качестве параметров введем следующие безразмерные величины: 6 = // /н -искомая безразмерная температура; 6 £ = /в / /н - безразмерная температура окружающей среды, где - температура окружающей среды; п = 1п(г / Я1) -независимый аргумент искомой температуры; ¥а = тХ / ср рЯ12 - число Фурье; В, = аЯ1/ X - число Био; = Ожср /2л/Х; п 2 = 1пЯ2/Я1. С учетом введенных безразмерных величин уравнения (4) - (7) принимают вид: д6 /д^о = ехр(_2п) [(1 _ б1)д6 /дп + д 26 /дп 2 ] ; (8) (д6 / дп) т=„ = бГ; (9) (д6/ дп) п=п 2 = [В, (6 ^ _ 6) _ б1Я16/Я 2 ] ехрп 2 ; (10) t(n i, 0) = 1. (11) Таким образом, математической моделью поставленной краевой задачи является система дифференциальных уравнений (8) - (11), решение которой имеет вид [3] е = 9( f0 , в,, n, öi, Ri/ R 2). (12) где р ж - плотность жидкости. Таким образом, математической моделью определения динамики температурного поля в трубе является отыскание зависимости (12), удовлетворяющей в области В , п); о < ¥а < Ф; О < п < п 2) } уравнению (8), краевым условиям (9), (10) и начальному условию (11). Задачу будем решать численно. Для этого в области построим равномерную пространственно-временную сетку с шагом Дп = п 2 / N, где N - число разбиений области {О, п 2} и шагом ДРо = Ф /М , где М - число разбиений области {О,Ф}, Ф - заранее заданное число Фурье (время). Используя простую неявную разностную схему аппроксимации, уравнения (8) - (10) запишем в виде: 0 j-0 у-1 =AFa exp(-2n г) x x[(1 - 01)(0,+u - 0г_1 j)/2АЛ + (0г+и - 20,j + 0,_u)]ДЛ 2 (13) (i = 1, 2, 3 ,..., N - 1, j = 1, 2, 3, ..., М), К, j =01АП , "1,1 е N, 1 -е N -1,1 = Дп ехр п 2 X х[ вг (ев -е N, 1) -&е N, }яг/ я 2 ]. Перепишем уравнения (13) - (15) в виде -Аге г-1,1 + Сге г,] - Вге i+1,1 = -Л (г = 0, 1, 2, 3, ..., N), (14) (15) (16) j = а i +1,j 0 i+1,j +ß i+1, j ■ (17) где аг+1, рг+1 - прогоночные коэффициенты, определяемые рекуррентными формулами а 0 = B0 / Ca; ß0 = f0 /C0 ; а Bi i+1, j (Ci - Atа i) ß i+1 = f + A,-ß,-(С- - а, а i) iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Заметим, что выражение для сеточной функции е в узле N ]) согласно (16) с учетом (17) принимает вид N, j = ß N . Результаты численного эксперимента для расчета температурного поля по радиусу цилиндрической тары (на примере банки 1-82-1000) в зависимости от параметров греющего пара и продукта представлены на рис. 2 - 6. 100 О щ н 60 40 V' \\ \ N \V 9 г 34 5 \\ Д7 \ V 2 2 \ Ч s 1 T 1 н 10 20 30 Радиус банки, мм 40 50 Рис. 2. Кривые изменения температурного поля в процессе пароконтактного нагрева продукта в цилиндрической таре с внутренним подводом теплоты: 1 - т =0; 2 - т =1 с; 3 - т =20 с; 4 - т =40 с; 5 - т =80 с; 6 - т =120 с; 7 - т =160 с; 8 - т =200 с; где е г 1 - зависимая сеточная функция в узле сетки (г, 1); А, Вг, Сг,Л - коэффициенты уравнения энергии. Согласно (8) - (11) выражения для коэффициентов системы (15) принимают вид: Ао = 0; Са = 1; В = -1; ¡а = -0,Дп ; Аг = ехр(-2п0 [(Дп -2 + 0,50Дп -1 ] ; Вг = ДГа ехр(-2пг)[Ап -2 - 0,501 )Дп -1 ] ; Сг = 1 + 2Д^0Ап -2 ехр(-2пг); /, = ег]ч ; AN = 1; CN = 1 +Дп ехр п 2 (В г + 01Я1 / Я 2; BN = 0; fN = Вг е вДп ехр п 2. Таким образом, с помощью линейной аппроксимации искомой функции краевая задача сведена к системе алгебраических уравнений. Для решения этой системы применим метод прогонки. При этом решение краевой задачи на ]-м временном слое определяется соотношением 100 о о ,а £ 80 S <u Ö 60 Н 40 V' \\ - № 7 3 4 56 2 2 1 T L н 10 20 30 Радиус банки, мм 40 50 Рис. 3. Кривые изменения температурного поля в процессе пароконтактного нагрева продукта в цилиндрической таре с внутренним подводом теплоты: 1 - т =0; 2 - т =1 с; 3 - т =20 с; 4 - т =40 с; 5 - т =80 с; 6 - т =100 с; 7 - т =140 с; 8 - т =160 с; 100 О 60 н 40 10 20 30 Радиус банки, мм Рис. 4. Кривые изменения температурного поля в процессе пароконтактного нагрева продукта в цилиндрической таре с внутренним подводом теплоты: 1 - т =0; 2 - т =1 с; 3 - т =20 с; 4 - т =40 с; 5 - т =120 с; 6 - т =180 с; 7 - т =220 с; 8 - т =260 с; На рис. 2 показаны кривые изменения температурного поля продукта, при пароконтактном нагреве продукта от начальной температуры Тн = 500 °С до 9 - т =260 с; Тн=50 °С; Тк=100 °С; GH=0,001 кг/с 9 - т =200 с; Тн=50 °С; Тк=110 °С 9 - т =300 с; Тн=40 °С; Тк=100 °С конечной температуры Тк = 100 °С, конденсирующимся паром с температурой Т = 100 °С, при расходе пара равном 0,001 кг/с. Температура окружающей среды принята Т8 = 20 °С, а коэффициент теплоотдачи на наружной поверхности цилиндра а = 10 Вт/(м2-К). Как видно из рис. 2, в начальный момент времени (1,5-3,0 с) температура в центральном слое почти мгновенно возрастает до температуры конденсации пара. При этом в периферийных слоях продукта температура практически не изменяется (рис. 2, кривая - 1). При дальнейшем нагреве, преимущественно за счет возникающих радиальных конвективных токов, а также и теплопроводности, тепловой поток постепенно достигает периферийных слоев в течение времени т = 260 с. В результате по всему радиусу устанавливается равномерное температурное поле. Для выяснения влияния параметров греющего пара на распределение температурного поля продукта нами проведены расчеты при различных температурах греющего пара. На рис. 3 представлены кривые изменения температурного поля при температуре греющего пара Тп = 110 °С. Как видно, повышение температуры греющего пара способствует интенсификации процесса теплопередачи. Вместе с тем это приводит к появлению резко выраженного перепада температуры между центральными и периферийными областями. На рис. 4 представлены кривые распределения температурного поля продукта при уменьшении начальной температуры продукта с Тн = 50 °С (см. рис. 2) до Тн = 40 °С. Как видно из рис. 4, в этом случае продолжительность выравнивания фронта температуры по всему объему увеличивается на 40 с. 100 0 о 1 80 ¡3 а 5Т § 60 и н 40 10 20 30 40 50 Радиус банки, мм Рис. 5. Кривые изменения температурного поля в процессе пароконтактного нагрева продукта в цилиндрической таре с внутренним подводом теплоты: 1 - т =0; 2 - т =2 с; 3 - т =20 с; 4 - т =40 с; 5 - т =80 с; 6 - т =100 с; 7 - т =120 с; 8 - т =160 с; 7^=100 °С; вн=0,0015 кг/с Сравнивая графики на рис. 2, 5 и 6, видим, что увеличение расхода греющего пара с Оп = 0,001 кг/с (см. рис. 2) до Оп = 0,0015 кг/с (см. рис. 5) и Оп = = 0,002 кг/с (рис. 6) способствует сокращению продолжительности нагрева продукта до заданной конечной температуры с т = 260 с (см. рис. 2) до т = 160 с (см. рис. 5) и т = 120 с (рис. 6). 100 С ° ¿80 уатр р ер мп60 ме н 40 10 20 30 40 50 Радиус банки, мм Рис. 6. Кривые изменения температурного поля в процессе пароконтактного нагрева продукта в цилиндрической таре с внутренним подводом теплоты: 1 - т =0; 2 - т =1 с; 3 - т =20 с; 4 - т =60 с; 5 - т =80 с; 6 - т =100 с; 7 - т =120 с; Тк=100 °С; 0н=0,002 кг/с Проведенными теоретическими исследованиями выявлено, что существенное влияние на распределение температурного поля оказывает расход греющего пара, так как увеличение расхода пара способствует повышению скорости радиального конвективного потока. Сравнение результатов численного эксперимента с данными лабораторных испытаний позволяет сделать вывод о том, что решение задачи расчета температурного поля продукта с применением компьютерных технологий дает достаточно удовлетворительные результаты. Литература 1. Ахмедов М.Э. Интенсификация тепловой стерилизации консервов в стеклянной таре: Автореф. дис. ... канд. техн. наук. Одесса, 1991. 2. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. М.,1973. 3. Саумов В.К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. М., 1960. Y \\ \ \ ч \ Д 6 2 3 ч 4 5 1 T 1 н Дагестанский государственный технический университет 7 апреля 2005 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/sovmestnaya-zadacha-o-dvizhenii-tverdogo-tsilindra-i-zapolnyayuschey-ego-vyazkoy-neszhimaemoy-zhidkosti

Рассматривается плоская задача о движении цилиндра и заполняющей его вязкой несжимаемой жидкости. Цилиндр закреплен на пружине и под действием ее силы упругости совершает крутильные колебания. Жесткость пружины периодически меняется со временем. Исследуется параметрическое возбуждение неустойчивости состояния покоя. Численно построены нейтральные кривые, разделяющие пространство параметров на области устойчивости и неустойчивости. Найдены два члена асимптотического разложения нейтральной кривой в случае субгармонического резонанса при бесконечно малой вязкости жидкости и амплитуде модуляции.

УДК 517.98:532.501 СОВМЕСТНАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ЦИЛИНДРА И ЗАПОЛНЯЮЩЕЙ ЕГО ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ © 2009 г. Е.Ю. Шкуренко Южный федеральный университет, Southern Federal University, ул. Мильчакова, 8а, Ростов н/Д, 344090, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, dnjme@math. sfedu.ru dnjme@math. sfedu.ru Рассматривается плоская задача о движении цилиндра и заполняющей его вязкой несжимаемой жидкости. Цилиндр закреплен на пружине и под действием ее силы упругости совершает крутильные колебания. Жесткость пружины периодически меняется со временем. Исследуется параметрическое возбуждение неустойчивости состояния покоя. Численно построены нейтральные кривые, разделяющие пространство параметров на области устойчивости и неустойчивости. Найдены два члена асимптотического разложения нейтральной кривой в случае субгармонического резонанса при бесконечно малой вязкости жидкости и амплитуде модуляции. Ключевые слова: устойчивость, крутильные колебания, параметрическое возбуждение. The 2-dimensional problem of the motion of a cylinder, which undergoes the torsional oscillations under the action of elastic force of the spring it is fixed at and an incompressible viscid fluid filling this cylinder is considered. The rigidity of spring depends periodically on time. The parametric excitation of instability is examined and the neutral curves dividing the parameter space into the areas of stability and instability are plotted. Keywords: stability, torsional modes, parametrical excitation. Введение Задача о крутильных колебаниях тела в вязкой жидкости (или тела с жидкостью внутри) возникла в связи с исследованиями поплавковых приборов и стержней [1, 2]. Параметрическому возбуждению неустойчивости в задачах о колебании тел и жидкости посвящены статьи [3 - 5]. В [3, 5] рассматривается параметрический резонанс в задаче о поступательных колебаниях шара в вязкой жидкости. Получены оценки областей устойчивости в пространстве параметров и проведен их численный расчет. В [4, 6] исследована структура спектра и доказана полнота решений Флоке. Основная цель данной работы - построение нейтральных кривых, разделяющих пространство параметров на области устойчивости и неустойчивости. Исследование нейтральных кривых проводится как численно, с помощью решения трансцендентного уравнения, так и аналитически - построением асимптотики при малой вязкости. Постановка задачи Физическую модель задачи можно представить следующим образом. Имеется бесконечно длинный цилиндр, заполненный вязкой несжимаемой жидкостью. Он закреплен на пружине. Под действием силы упругости пружины цилиндр совершает вращательные колебания вокруг своей оси около положения равновесия. И как следствие жидкость, помещенная внутрь цилиндра, также приходит в движение из-за условия прилипания на границе. В предположении, что движение жидкости чисто вращательное, изучение описанной модели сводится к плоскому случаю. Если жесткость пружины постоянна, то амплитуда колебаний цилиндра со временем затухает, жидкость приходит в состояние покоя. В данной работе рассматривается случай, когда жесткость пружины периодически меняется со временем. Это условие влечет параметрическое возбуждение неустойчивости при некоторых значениях параметров. Скорость движения жидкости 1)= (¿г.и0 , и давление р подчиняются уравнениям Навье-Стокса, которые в полярных координатах г и в имеют вид [7]. до,. ■ + и„ 8и,. Un du,. 8t 8r 1 8p r дий du, ■ + и,. —1 r 8в и,. + v\ Au,.--'-- r 2 du „2 г- Г дв ив 8ив U r Uß 8t r pr 86 ' ° 80 Up r 2 du,. 2 r 86 8u„ 1 8 1 82 8г г г дв дг1 г дг г дв Здесь р - плотность жидкости, которая считается постоянной; у - коэффициент кинематической вязкости. Предполагается, что движение жидкости чисто вращательное. Это означает, что радиальная компонента скорости иг равна нулю, а азимутальная компонента \>о и давление р не зависят от угла в (рис. 1). При сделанных предположениях давление р в жидкости -функция лишь переменных г и (, определяемая из уравнения скорости дий 1 др р дг удовлетворяет а азимутальная компонента уравнению dt д ий дг2 1 доп r dr2 K(l - среднее значение жесткости; ^ cos 0 -модуляция жесткости; А", и у - амплитуда и частота модуляции. Предполагается, что величины J и K(t) заданы. Момент силы вязкого трения определяется формулой [7] Ой M hydr дг где // - коэффициент динамическои вязкости. Далее индекс в при переменной и„ опускается, а обозначение и следует понимать как азимутальную компоненту скорости. В результате перехода к безразмерным переменным исходная задача принимает вид ■ = V ( д и dt V , =1 1 du dr2 r dr2 ф = ~K{t)(p - 27TT]V\ dr (1) (2) (3) (4) др и дг г Были введены безразмерные параметры: вязкость , единичная средняя жесткость, амплитуда модуляции А, так функция К(1) принимает вид 1 + А сочу!. частота у и параметр 77, характеризующий отношение плотности жидкости к плотности цилиндра. Неизвестными задачи (1)-(4) являются азимутальная компонента скорости и^,/ , угол отклонения <р угловая скорость вращения цилиндра ф К. и давление жидкости Основной режим и его устойчивость. Дисперсионное уравнение Поставленная задача имеет нулевое решение, со- ответствующее состоянию покоя: р- = 0 ; Рис. 1. Плоская модель цилиндра, заполненного вязкой несжимаемой жидкостью, а - радиус цилиндра; ф - скорость вращения цилиндра Общая краевая задача для этого уравнения включает граничное условие = иф. где ф^- угловая скорость вращения цилиндра; (р( - угол отклонения цилиндра от положения равновесия; a - радиус цилиндра. Уравнение движения стенки цилиндра имеет вид .¡(р = —К(1)ср + Мhvih.. где J — момент инерции стенки цилиндра; К ( - жесткость пружины; Мhydr - момент силы вязкого трения. Пусть Kit) =К0 +Кг cos где <р" = 0. Задача, описывающая эволюцию возмущений состояния покоя, имеет тот же вид (1) - (4). Поэтому далее будем считать переменные и, р, ср возмущениями задачи (1) - (4). Разыскивается решение Флоке, представляющее собой произведение функций еы и 1л - периодической по времени. Показатель Флоке - параметр а -должен быть выбран так, чтобы решения Флоке было ненулевым. Для ег получено дисперсионное уравнение, причем вывод этого уравнения осуществлялся двумя способами. 1-й способ состоит в следующем: разыскивается решение Флоке задачи (1) - (3) в виде <рС ■ Ъ<Рке k——со (jfc+crl) (5) oCtjf к- г Разложения (5) подставляются в уравнения (1)-(3). Получается трехдиагональная система М„<Р„ + 9п-1 + <Рп+\ — н = 0,±1,±2,..., (6) r iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 1-й r r r r=1 2 r 2 r .. 2 (iyn + a)2 2 М„ = —-—+ — + A A 4 m]v(iyn + cj) iyn + a A iyn + <7 nyn + CF -1 ство Mn = -pn 1 Pn+\ w = 0, ± 1, ± 2, кают две рекуррентные формулы рп = -Мп + Рп+1 /Vi = 1 -1 + -1 -M п+2 Рп =■ -1 м„ -1 м. +... м0- мх - 1 м_х - 1 (8) ф =-K(t)q> - AnrjV J f> (9) э n=1 И лишь на 3-м шаге разыскивается решение Флоке и для неизвестных функций фк и выписывается трехдиагональная система вида (6), коэффициенты которой задаются формулой здесь 1Х - модифицированная функция Бесселя [8]. Известно [9, 10], что для трехдиагональных систем оказывается возможным записать дисперсионное уравнение для а в явном виде с использовани- <Рп-\ ем цепных дробей. Для этого, полагая рп = ■ <Рп интересуемся лишь значениями параметров, при которых система (6) имеет ненулевое решение, со 2 такое что < 00 • Тогда из (6) следует равен- к--т м = 2 (iyn + а)2 2 8я"77 i/(iyn + er)2 2 %nt]v(iyn + &) _ -+-А- 1 А А А к=йуП + <7 + \х£ Далее, повторяя рассуждения, приведенные в 1-м способе, выводим дисперсионное соотношение, описываемое выражением (7). Далее показано, что коэффициенты Мп и Мп совпадают, т.е. выполняется равенство 1 2(z>w + cr)X- откуда выте-1 к—liyTl С -П CT + VX к (i yn + er (10) ■-1 . n Доказательство основано на использовании мит-таг-леффлеровского разложения мероморфной функции в ряд по полюсам. Введем новую переменную Мп+Рп Последовательно применяя их для каждого рп, получим два выражения в виде бесконечных цепных дробей рп = -Мп +- q = iyn + а 2 q2T k=iq2 + х2 4 Равенство J'A. (10) примет вид После преобразований получим 4'(q) = 2q£ 1 2 , 2 ыщ + xk Для решения Флоке эти выражения должны совпадать при всех п . На самом деле достаточно потребовать совпадения при одном каком-нибудь значении п . Если его выбрать равным нулю, то дисперсионное уравнение, определяющее показатель Флоке а , примет вид 1 1 (7) Идея 2-го способа заключается в том, что сначала находится явное выражение для скорости движения жидкости о посредством решения задачи (1), (2). .где 440 = (П) (д) Нужно показать, что это есть не что иное, как так называемое миттаг-леффлеровское разложение меро-морфной функции Чг'(^г) . Его можно рассматривать как разложение мероморфной функции на простейшие дроби [11]. Функция имеет полюсы вида у к . у к - кор- ни модифицированной функции Бесселя первого рода первого порядка, т.е. 1х(ук) = 0. ук вьфажаются через хк по формуле ук = ±гхк. Вычеты для функции 1Р(<7) имеют вид ге.\СУ.Ихк) — 1. С учетом этого составляется разложение функции 1 1 1 „ " 1 4(q) = I к=\ iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. = 2qZ- ; < г ^2.71 <х„ ^ Здесь Jl - функция Бесселя 1-го рода; xn - ее корни [8]. Затем производится подстановка (8) в (3). Получаем интегро-дифференциальное уравнение для неизвестной функции <р(1) д-1хк д+1хк ) к=1д~+хк Это разложение совпадает с выражением (11), что и доказывает равенство (10). При выводе дисперсионного уравнения во 2-м способе получено явное выражение для скорости движения жидкости (8). С помощью этого представления и уравнения (4) выписывается выражение для г «2 ? '<=0=1 (— + 2 + давления р \ р\ 1 + — г ¡KCt-r^i^z )dr. 2 1 r Построение амплитудно-частотной характеристики А(у) Пространство параметров задачи (1)-(3) разделяется на области устойчивости и неустойчивости (параметрического резонанса). Переход из устойчивой области в неустойчивую сопровождается переходом показателя Флоке с из левой полуплоскости в правую. При этом выход показателя через точки ¡у\ — + к ] называют основным резонансом, а через V 2 остальные точки мнимой оси - комбинационным. Значения параметров, при которых задача (1)-(3) имеет показатель Флоке на мнимой оси, составляют нейтральные поверхности (или кривые). Чтобы их построить, необходимо решить комплексное диспер- IV сионное уравнение (7). В случае <т = 0, <т = — оно допускает упрощение. При изменении параметров показатель Флоке может пройти через мнимую ось через нуль (монотонная IV неустойчивость), точку — (удвоение периода) либо через точку мнимой оси , % > 0 «одновременно» проходит пара комплексно-сопряженных показателей Флоке (колебательная неустойчивость). Для построения амплитудно-частотной характеристики А(у) были рассмотрены упрощения общего уравнения (7), возникающие при сг = 0 и а = /' . 1. При <т = 0 имеет место соотношение Мп = М_п , где черта сверху означает знак комплексного сопряжения, и уравнение (7) принимает вид Re- 1 Мп М1 - iy во М_„ =М„_1 iy ется в форме М0 - Z = — М0 -Z Z = М1 -- 1 м2-... нимает вид M 0- 1 Мх - = 1. тральные кривые для которого известны [12]. С появлением вязкости чередование кривых остается, но их месторасположение на графике меняется - они смещаются вверх и влево. 2. При а = — для любого и имеет место равенст- . Теперь уравнение (7) записыва-1 „ 1 Рис. 2. График нейтральных кривых А(у) при V = 0,0001, 77 = 1, в случаях а = 0 а = — 2 Построение асимптотики при малых вязкостях В данной части работы сделана попытка проверить полученные численные результаты путем явного нахождения первых членов асимптотического разложения нейтральных кривых при антипериодическом параметрическом резонансе вблизи значений параметра у = 2. Асимптотическое разложение функции А V ^ при у —> 0 вытекает из асимптотических разложений членов интегро-дифференциального уравнения (9). Было выяснено, что требуемую асимптотику следует искать в виде Ау }= А0 (А С + Л2 ( V—>0, т.е. в разложении должны присутствовать члены, степень вязкости которых кратна 1. Была введена расстройка частоты д". а именно: у— 2 + 8. где 5 «1 и получены вьфажения для А0 С , и А, ^ соответственно. Вьфажения для коэффициентов А0 и А1 най- 2 дены с точностью до членов порядка [12] (рис. 3). Таким образом, характеристическое уравнение, отвечающее возникновению нейтрального колебания двойного периода, становится вещественным и при- 2 8 + — + 0$ лО- > 8> 0 _2 ö-8— + o<k 8 ¿<0 242л + 42л8 - > з4в 42 32 Я 8 ^ Решение обоих уравнений приведено на рис. 2. Из их анализа вытекает, что графики кривых, полученных при различных резонансах, чередуются, с приближением к оси ординат становятся все уже. При нулевой вязкости интегро-дифференциальное уравнение (9) переходит в уравнение Матье, ней- А О ■ - 242л - 42л8 — > Гз76 42 ^ , > ¿>0 ¿2 + л--л 32 8 v у 8< 0 1 2 2 2 1 045 < 0.25 0.2 °1 ■Aw + ; т ц 1 8 2 V 2.1 2.2 Рис. 3. Сравнение между численным и асимптотическим решением в малой окрестности у = 2 уравнения (7) - iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. график нейтральной кривой А(у) при v = 0,00001, i] = \ . ++++ - левая ветка асимптотики; ооо - правая ветка асимптотики;----численное решение уравнения (7) Задача, рассмотренная в статье, была поставлена В.И. Юдовичем и решалась под его руководством. Работа выполнена при частичной поддержке Гранта РФФИ 07-0100099-а. Литература 1. Chen S.S., Wambsganss M.W., Jendrzejczyk J.A. Added mass and damping of a vibrating rod in confined viscous fluid // Trans. ASME J. Appl. Mech. 1976. Vol. 43, № 2. P. 325-329. Поступила в редакцию_ 2. Микишев Г.Н., Столбецов В.И. Крутильные колебания эллипсоида вращения, погруженного в вязкую жидкость // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. № 2. С. 34-39. 3. Цывенкова О.А. Колебания шара в вязкой жидкости под действием модулированной упругой силы // Современные проблемы механики сплошной среды : тр. X междунар. конф. Ростов н/Д, 2006. Т. 1. С. 276-279. 4. Гуда С.А. Колебания тела в жидкости под действием упругой силы с периодической по времени жесткостью. Ростов н/Д, 2007. Деп. ВИНИТИ. № 508-В2007 от 08.05.2007. 5. Юдович В.И. Колебания твердого шара в вязкой жидкости под действием модулированной упругой силы и параметрический резонанс. Ростов н/Д, 2006. Деп. ВИНИТИ. № 1482-В2006 от 29.11.2006. 6. Гуда С.А. Полнота решений Флоке задачи о колебаниях тела в жидкости. Ростов н/Д, 2007. Деп. ВИНИТИ. № 738-В2007 от 17.07.2007. 7. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М., 1965. 521 с. 8. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М., 1963. 358 с. 9. Зеньковская С.М., Юдович В.И. Метод интегро-дифференциальных уравнений и цепных дробей в задаче о параметрическом возбуждении волн // ЖВМиМФ. 2004. № 4. С. 731-745. 11. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М., 1967. Т. 2. 624с. 10. Мешалкин Л.Д., Синай А.Г. Исследование устойчивости стационарного решения одной системы уравнений плоского движения несжимаемой жидкости // ПМШ. 1961. Т. 25, вып. 6. С. 1140-1143. 12. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Механика. М., 1988. 215 с. 24 сентября 2008 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/anizotropiya-temperaturnyy-i-baricheskiy-koeffitsienty-poverhnostnoy-energii-polimorfnyh-faz-schelochnyh-metallov

Рассчитаны поверхностная энергия, температурный и барический коэффициенты поверхностной энергии граней кристаллов полиморфных фаз щелочных металлов в рамках электронно-статистической теории Томаса-Ферми-Дирака. Полученные результаты показывают, что поверхностная энергия граней кристаллов при переходе к фазе предплавления существенно увеличивается. Влияние температуры и давления, а также полиморфных превращений на анизотропию поверхностной энергии показаны на σи dσ/dP -диаграммах.

УДК 539.216.2 АНИЗОТРОПИЯ, ТЕМПЕРАТУРНЫЙ И БАРИЧЕСКИЙ КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОВЕРХНОСТНОЙ ЭНЕРГИИ ПОЛИМОРФНЫХ ФАЗ ЩЕЛОЧНЫХ МЕТАЛЛОВ © 2008 г. И.Г. Шебзухова, Л.П. Арефьева, Х.Б. Хоконов The surface energy, temperature and barical coefficients of the surface energy of alkali metals crystals' planes have been calculated in the limits of Thomas-Fermi-Dirac electron statistical theory. The influence of temperature, pressure and polymorphous transformations on anisotropy of the surface energy is shown in a- and ^L _ diagrams. dP При изучении свойств поверхности твердого тела важно знание ориентационной зависимости поверхностной энергии (ПЭ) металлических кристаллов, зависимости ПЭ граней кристаллов от температуры и давления. В литературе теоретически и экспериментально этот вопрос изучен слабо. Наиболее последовательное и достоверное описание ПЭ граней кристаллов возможно в самосогласованных расчетах из первых принципов. Однако число таких расчетов невелико, и они проведены для плотноупакованных граней, что связано с трудностями построения потенциалов межчастичного взаимодействия в поверхностном слое, вида распределения электронной плотности для данной грани и т.д. Наиболее последовательные теории построения многочастичных межатомных взаимодействий развиты в рамках метода функционала плотности [1-6], электронно-статистического метода [7-9], а также из термодинамических соотношений с использованием положений квантовой физики твердого тела [10]. Эти методы позволяют вычислить анизотропию ПЭ в ин- Поверхностная энергия гране тервале температур от 0 К до температуры плавления, ее температурный и барический коэффициенты. Зависимость ПЭ от давления характеризуется барическим коэффициентом ПЭ (БКПЭ). Вопрос о БКПЭ чистых веществ мало изучен [11-13]. Экспериментально величина БКПЭ была определена только для некоторых органических жидкостей и воды [11, 12]. Одним из авторов, используя электронно-статистический метод, рассчитан БКПЭ граней с малыми индексами Миллера щелочных металлов [9], которые составили порядка 10"7 - 10 '' мДж/(м2 Па) [13]. Нами ранее [14, 15] получены значения БКПЭ Зс1- и 5Г-мсталлов (<г:/сг/с1Р ~ 10 10 хмДж/(м2-Па)). Данные других авторов [1-6, 10] по ПЭ граней с малыми индексами полиморфных фаз щелочных металлов, стабильных при нормальных условиях, приведены в табл. 1. Таблица 1 кристаллов металлов, мДж/м2 Металл, модификация ОЦК hkl [1] [2] [3] [4] [5] [6] [10] [11] 100 612 436 415 428 564 Li 110 335 136 462 615 543 889 393 576 111 1198 745 635 345 697 100 463 243 261 392 281 Na 110 228 114 315 267 313 326 203 211 259 111 872 361 373 973 329 100 398 145 164 198 159 K 110 142 71 267 151 183 212 104 113 138 111 738 207 240 529 171 100 366 114 156 247 109 Rb 110 120 65 240 125 206 101 89 111 111 666 132 230 665 118 100 364 87 134 208 80 Cs 110 102 51 227 93 177 80 67 86 111 623 95 195 566 86 Представляет интерес исследование ориентацион-ной зависимости ПЭ лития и натрия с учетом наличия у них полиморфных фаз. У лития наблюдается три полиморфные модификации (ГПУ, ГЦК, ОЦК), у натрия - две (ГПУ, ОЦК). Поверхностные свойства щелочных металлов изучались ранее без учета полиморфных превращений. Теория В настоящей работе проведено теоретическое изучение ориентационной зависимости поверхностной энергии с учетом температурного вклада при нормальном давлении аг(11к1) и при малых давлениях Срт(11к1), ¿аОхкТ) ¿о(ЬкТ) температурного - и барического - ко- ¿Т ¿Р эффициентов ПЭ граней кристаллов полиморфных фаз лития и натрия с ОЦК- ГЦК- и ГПУ-структурами. Вычисление проводились по формулам, полученным на основе электронно-статистической теории Томаса-Ферми-Дирака [7]. Поверхностная энергия грани (hkl) при 0 К: 7=0 8 4}кГ\ . - 1 + — —+1 2 bsÄ (1) da(hkl) dT = -cr(hkiy ,(T) 2ap +- -3 k 2 \W (ro)| j=о bsÄ i |) ■ j =0 (3) где Ф C(tt/)}l + ö(hkl) (2J+1); с (T) - удельная где п() (¡к/^- число частиц на 1 м2 грани (¡к/ в у -плоскости; IV ^( _ - полная энергия металлической решетки в равновесии (в расчете на один атом); 6 = 2 <25/3^; s - линеиныи параметр, приводящии уравнение Томаса-Ферми к безразмерному виду; Л-вариационный параметр, минимизирующий ПЭ металлов на границе с вакуумом при учете обменной поправки; 8(¡М^г межплоскостное расстояние, вычисляемое в зависимости от кристаллической структуры металла. Энергию связи решетки рассчитывали по эмпирическим данным энергии ионизации У е \/1 и теплоты 1 сублимации Ь: г(г0) = -[ь+^вУ^ , (2) где г - число свободных электронов на атом. Простые металлы кристаллизуются в ОЦК-, ГЦК- и ГПУ-решетки, имея один свободныи электрон. Беря производную по температуре от соответствующих величин, входящих в (1), получим выражение для температурного коэффициента ПЭ (ТКПЭ) 2 бзА теплоемкость; аРп - термический коэффициент линейного расширения; к - постоянная Больцмана. Поверхностная энергия грани при температуре существования полиморфной фазы , d<т(hkl) aT(hkl) = a0(hkl)+T- dT (4) Барическии коэффициент ПЭ получаем дифференцированием (1) по давлению: АтСМ/Л ^ 5 I = —( 3 dP ß + P т dß_ dP = -f о-0 4кГХ +1] (5) где (3 - сжимаемость элемента; Р - малое давление (~108 Па). Давление называется малым, если выполняется соотношение (ЗР«1. Поверхностная энергия гранеи кристаллов полиморфных модификаций при малом давлении , d<т(hkl) <7Тр (hkl) = сгт (hkl) + Р- dP (6) Результаты расчетов По формулам (1), (3) и (5) в/-м приближении были рассчитаны ПЭ, ТКПЭ и БКПЭ гранеи с малыми и большими индексами кристаллов полиморфных фаз лития и натрия, т.е. учитывается вклад параллельных тт АР атомных слоев. При этом считалось равным нулю. Суммирование по / в (1), (3) и (5) проводится до тех пор, пока отношение /-го вклада к первому не станет меньше 0,1 %. Результаты вычисления ПЭ, ТКПЭ, БКПЭ, температурного Аат (Ик!) и барического А(тТР (ИкГ) вкладов в ПЭ граней с малыми индексами кристаллов полиморфных фаз лития и натрия приведены в табл. 2 и 3. 6 v Таблица 2 Температурный вклад в ПЭ полиморфных фаз лития и натрия__ Металл, модификация ДТ*, K hkl o~o(hkl), мДж/м2 _ da(hkl) dT мДж/(м2-К) AcrT (hkl), мДж/м2 aT (hkl), мДж/м2 -Дог , % а^, 100 464,0 0,107 14,9-48,4 449,1-415,6 3,2-10,5 ОЦК 140-454 110 365,9 0,091 12,7-41,3 353,1-324,6 3,5-11,3 111 566,8 0,120-0,119 16,8-54,3 550,1-512,5 3,0-9,6 р-и 0001 90,0 0,0265 1,9 88,0 2,2 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. ГПУ <78 1010 11 2 0 11 2 1 191.0 548.1 0,0476 0,1209 3,5 9,0 187,5 539,1 1,8 1,6 279,7 0,0612 4,5 275,2 1,6 Т^, 100 414,0 0,099-0,098 7,7-14,0 406,3-400,0 1,9-3,4 ГЦК 78-140 110 505,4 0,112-0,113 8,7-15,9 496,7-489,5 1,7-3,2 111 369,4 0,091-0,092 7,1-12,9 362,3-356,4 1,9-3,5 а-№, 100 250,7 0,071 0,4-26,2 250,3-224,4 0,1-10,5 ОЦК 5-371 110 193,7 0,059-0,060 0,3-22,0 193,4-171,7 0,2-11,4 111 312,5 0,081-0,080 0,4-29,2 312,1-282,6 0,1-9,6 Р-№, 0001 27,8 0,011 0,06 27,8 0,2 ГПУ <5 101 0 112 0 1121 74,4 235,2 120,6 0,024 0,066 0,036 0,12 0,32 0,17 74,3 234,9 120,4 0,2 0,1 0,1 * - температурный интервал стабильности полиморфной фазы. Влияние полиморфных превращений на ПЭ граней кристаллов лития и натрия показаны на прямоугольной с-диаграмме (рис. 1). Из рис. 1 видно, что картина анизотропии ПЭ граней полиморфных модификаций с одинаковыми структурами совпадает (кривые 1 и 2 - ГПУ, кривые 3 и 4 - ОЦК). При полиморфном переходе (3-Ы —> у-1л (ГПУ—>ГЦК) величина ПЭ граней увеличивается в среднем в 2,5 раза. При переходе у-1л —> а-1л (ГЦК—ЮЦК) ПЭ возрастает всего на несколько десятков мДж/м2. При полиморфном превращении (>-№ —> а-Ыа (ГПУ—ЮЦК) ПЭ граней увеличивается в среднем в 2,5 раза. При повышении температуры анизотропия ПЭ каждой полиморфной фазы снижается незначительно, (3-, у-лития и (3-натрия - на 1,5-3,5 и 0,1-0,2 % соответст венно, а у а-1л и а-Ыа (фаза предплавления) изменение более существенно: А<т7:/(т() >9,6 %. l>| l'u >11 Ли JCi i'lf üii "Vi Mj 'Iii ■■■■ Рис. 1. Прямоугольная с-диаграмма [ 1 10] и [101 0] зон плоскостей: Р-натрия при Т=5 К (1); Р-лития при Т=78 К (2); а-натрия при Т=371 К (3); а-лития при Т=140 К (4); у-лития при Т=140 К (5) Таблица 3 Барический вклад в ПЭ полиморфных фаз лития и натрия Металл, <jt (hkl), dcr(hkl) AaTP (hkl), afp (hkl), - А атр , % модификация AT, K hkl мДж/м2 dP ' мДж/м2 мДж/м2 (7j 10"° мДж/м2-Па а^, 100 449,1-415,6 4,20-3,89 42.0-38.9 407,1-376,7 9,4 ОЦК 140-454 110 353,1-324,6 2,72-2,50 27.2-24.9 326,0-299,6 7,7 111 550,1-512,5 7,85-7,31 78.5-73.1 471,6-439,4 14,3 р-и 0001 88,0 0,43 4.3 83,7 4,9 ГПУ 101 0 187,5 1,16 11.6 175,9 6,2 <78 539,1 4,77 47.7 491,4 8,8 11 2 0 275,2 2,44 24.4 250,7 8,9 11 2 1 У^, 100 406,3-400,0 3,04-2,99 30.4-29.9 375,9-370,1 7,5 ГЦК 78-140 110 496,7-489,5 4,39-4,33 43.9-43.3 452,8-446,2 8,8 111 362,3-356,4 2,25-2,22 22.5-22.2 339,7-334,3 6,2 Металл, hkl <jt (hkl), dcr(hkl) А аТР (hkl), атр (hkl), -Л°tp , % модификация AT, K мДж/м2 dP ' мДж/м2 мДж/м2 от 10"° мДж/м2-Па 100 250,3-224,4 3,82-3,43 38.2-34.3 212,1-190,2 15,3 ОЦК 5-371 110 193,4-171,7 2,43-2,16 24.3-21.6 169,1-150,2 12,6 111 312,1-282,6 7,26-6,58 72.6-65.7 239,5-216,8 23,3 P-Na, 0001 27,8 0,27 2.7 25,0 9,8 ГПУ 101 0 74,3 0,93 9.3 65,0 12,5 <5 234,9 3,59 35.9 199,0 15,3 112 0 120,4 1,84 18.4 102,0 15,3 11 2 1 Влияние давления на анизотропию ПЭ полиморфных фаз щелочных металлов с ОЦК-, ГЦК- и ГПУ-структурами гораздо сильнее, чем влияние температуры. Относительное снижение ПЭ граней с малыми индексами при увеличении давления у всех полиморфных модификаций составляет не менее 5 % (табл. 3, рис. 2). Величины БКПЭ граней кристаллов полиморфных фаз металлов составляют ~10_7-^1(Г6 мДж/(м2-Па) у кубических структур и ~10 8-10 6 мДж/(м2-Па) у ГПУ. Так как БКПЭ пропорционален ПЭ граней (рис. 2, кривые 1, 2, 3; рис. 3, 4), то картина анизотропии ПЭ при давлении ~108 Па сильно отличается от картины при нормальном давлении (рис. 2). Наибольшее снижение ПЭ испытывает грань (887) у-лития с максимальным значением с(887) = = 634 мДж/м2 и при Р = 108Па с(887) = 276 мДж/м2, т.е. Асгур(887) _ ат(887) = 56 % (рис. 5). Рис. 2. Полярные а-диаграммы [111] зоны плоскостей: у-лития при Т=140 К (кривая 1), при Т=140 К и Р=108 Па (кривая 2); dcr/dP — диаграмма при Т=140 К (кривая 3); а-лития при Т=140 К (кривая 4) и Т=140 К и P=108 Па (кривая 5); а-натрия при Т=371 К (кривая 6) и при Т=371 К и P=108 Па (кривая 7) Рис. 3. Полярная daldP - диаграмма а -натрия [001] зоны плоскостей при Т=371 К Анизотропия БКПЭ граней кристаллов полиморфных фаз лития и натрия выражена сильнее, чем анизотропия ПЭ (рис. 2: кривые 1, 3, 4, 6; рис. 3, 4). Барический вклад в ПЭ больше температурного вклада в несколько раз. Он увеличивается при переходе ß—>у—кх (Д1У-^ЩК-ЮЦК) в литии и ß а (ГПУ^ОЦК) натрии, но в пределах каждой полиморфной фазы с ростом температуры снижается. Температурный вклад в ПЭ увеличивается и при полиморфных превращениях, и при повышении температуры. (940) Рис- Полярная da/dP - диаграмма ß-лития [1010] зоны плоскостей при Т=78 К [001] 112 мДж/м I-1 (001) (110) . [ПО] Рис. 5. Полярная а-диаграмма у-лития [ 1 10] зоны плоскостей при Т=140 К (1), при Т=140 К и Р=108 Па (2) Литература 1. Long N.D., Kohn W. // Phys. Rev. B. 1970. Vol. 1. P. 4555 - 4559. 2. Smith J.R. // Phys. Rev. B. 1969. Vol. 181. P. 522-525 3. Vitos L., Ruban A.V., Sriver U.L., Kollar J. // Surf. Sci. 1998. Vol. 411. P. 166. 4. Мамонова М.В., Прудников В.В. // Вестн. Омского ун-та. 1998. Вып. 1. С. 22-25. 5. Дигилов А.М., Созаев В.А., Хоконов Х.Б. // Поверхность. Физика, химия, механика. 1987. № 1. С. 13-19. 6. Кобелева Р.М., Гельчинский Б.Р., Ухов В.Ф. // Физика межфазных явлений. Вып. 2. Нальчик, 1977. С. 8-16. 7. Задумкин С.Н. // ФММ. 19б1. T. 2. С. 331. 8. Задумкин С.Н. // Поверхностные явления в расплавах и возникающих из них твердых фазах. Нальчик, 19б5. С.12-27 9. Задумкин С.Н., Шебзухова И.Г. // ФММ. 1969. Т. 28. № 3. С. 434-439. 10. Магомедов М.Н. // Физика твердого тела. 2004. Т. 46. Вып. 5. С. 924-937. 11. Хабаров В.Н., Русанов А.И., Кочурова Н.Н. // Вестн. Ленинградского ун-та. 1974. № 4. С. 126-132 12. Сергеев И.Н., Шебзухов А.А. // Физика межфазных явле- ний. Нальчик, 1981. С. 65-71 13. Шебзухова И.Г., Задумкин С.Н., Чотчаев Б.У. // Первая конференция молодых ученых Адыгеи (доклады и сообщения). Майкоп, 1971. С. 111-114. 14. Шебзухова И.Г., Арефьева Л.П. // Вестн. КБГУ. Сер. Физ. науки. Вып. 10. Нальчик, 2005. С. 11-13. 15. Арефьева Л.П., Шебзухова И.Г. // Материалы XIII Все- рос. науч. конф. студентов-физиков и молодых ученых. Ростов н/Д; Таганрог, 2007. С. 492-493. 17 августа 2007 г. Кабардино-Балкарский государственный университет, г. Нальчик

https://cyberleninka.ru/article/n/kolebaniya-tonkoy-plastinki-na-sloe-szhimaemoy-zhidkosti

Представлены результаты исследований аэродинамических сил реакции слоя идеальной сжимаемой жидкости на заданные колебания пластинки. Получены приближенные формулы для определения собственных частот колебаний пластины при малых и больших значениях толщины слоя сжимаемой жидкости.I

УДК 533.6 КОЛЕБАНИЯ ТОНКОЙ ПЛАСТИНКИ НА СЛОЕ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ © 2006 г. И.И. Ефремов. Е.П. Лукащик In work the results of researches of aerodynamic forces of reaction of a layer of an ideal compressible fluid on the given oscillations of plate have been submitted. To calculate approached values of proper frequencies of oscillations of a plate, the formulas have been obtained at small and large values of thickness of a layer of a compressible fluid. Введение Рассматривается задача определения аэродинамических сил реакции слоя идеальной сжимаемой жидкости на заданные колебания недеформируемой пластинки. Амплитуды колебаний пластинки предполагаются малыми по сравнению с длиной пластинки 2а и толщиной слоя жидкости h (ширины канала). Полудлина пластины в дальнейшем принята за единицу длины, а=1. Задача о собственных колебаниях пластинки в канале изучалась С.В.Сухининым [1]. В данной работе рассматриваются вынужденные колебания системы «пластинка - слой сжимаемой жидкости». Постановка задачи Безвихревые течения сжимаемой жидкости описываются волновым уравнением д 2р д2р 1 д 2р „ - +--Ь + —--:т = 0, где с - скорость звука. Вво- дг2 дуг дя комплексную амплитуду потенциала скорости р( г, у, /) = р( г, у)е10°, приходим к уравнению Гельм- 2 2 ч д р д р 2 гольца (черточки опущены) —— +--— + v р = 0, где .2 c 2 dt2 дг2 ду V = ~ приведенная частота. Граничные условия: непротекание профиля -др = Уу (г), у = 0, |х| < 1; ду постоянство давления на свободной верхней границе слоя р = 0, у = 0, |г| > 1; непротекание нижней твердой границы ру = 0, у = ^ ; излучение 2 ±lvx р( x, y) = C±e ные константы. при x ^ где C± - ограничен- Основное интегральное уравнение Реакция слоя сжимаемой жидкости проявляется в виде избыточного давления на нижнюю сторону пластинки р( г) = 1ор( г,0_). Предполагая, что условия существования интеграла Фурье выполнены, введем образ Фурье комплексной амплитуды потенциала +Г Ф(а, у) = ^ [р(г, у )](а, у) = р(г, y)e'аdx. Для Фурье-образа Ф(а, у) получим краевую задачу для дифференциального уравнения 2-го порядка d 2Ф dy 2 - (а2_у2)Ф = 0, (1) с краевыми условиями 1®Ф(а,0_ ) = Р(а) = J p(x) e iax _1 +1 Ф y (а,0_ ) = V (а) = Jpy (x,0_ ) e dx, 1а x dx, (2) Фy (а, h+ ) = 0. Общее решение уравнения (1) ищем в виде Ф(а,y) = Ach(Vа2 _v2y) + Bsh(4а2 _v2y). Удовлетворяя краевым условиям (2), приходим к соотношению Р(а)4а2 _v2 -th(h-J) а2 _v2) = V(а). (3) Введем новую неизвестную финитную функцию др +1 Y(x) =—-(x,0_). Ее Фурье-образ Г(а) = \y(x)eiœcdx dx _1 связан с Р(а) соотношением Г(а) = аР(а) +1 Заметим, что Г(0) = г)Дг = 0, что соответству- _1 ет бесциркуляционности течения и отсутствию вихревого следа (/(г) - интенсивность вихревого слоя, которым можно заменить колеблющуюся пластинку). Соотношение (3) преобразуется к виду Г(а) v2th(Wа2 _v2) = V(а). Обратное преобразование Фурье приводит к интегральному уравнению 1 +1,4 л+Гд/а2 _. , -] Y(s)ds ] -т 2П а (Wа2 _v2)e"а(x_s)da = = Vy (x),|x| < 1. (4) Для вычисления ядра интегрального уравнения (4) 1 k ( x) = -1- J 2т 2 v2 I- —th(h\ а2 _ v2 )e~laxda = а 1 = — |К(а)е lаxdа воспользуемся теорией вычетов. Спектральная функция ядра К (а) имеет 2 особенности 1)limK(а) = ^^ ; 2) на действительной оси могут появиться полюсы ат =±" 2m _ 1 2n -л. ат <v. (О i 1 —оо +<Ю Первая особенность означает, что ядро к(х - s) вблизи ведет себя как ядро Коши к0( х - ^ =--—. 2п х - s Второе обстоятельство требует деформирования контура интегрирования в виде обхода действительных полюсов. Для одновременного удовлетворения условиям излучения следует обходить отрицательные полюсы сверху, а положительные - снизу [2]. При этом положительные действительные полюсы соответствуют волнам, уходящим в сторону отрицательной оси Ох, и наоборот. Полюс в точке а = 0 может быть отнесен либо к положительным, либо к отрицательным. Хотя условия леммы Жордана не выполнены, но основную теорему о вычетах все же можно применить, рассматривая соответствующие интегралы Фурье в обобщенном смысле [3]. В итоге получаем формулу для вычисления функции ядра Ьт 2 е к (X) = - Е iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. sgn X м V2 -bm2 IX 2.2 m=1 V - bm -V -bm¿ 22 m=M+1 V - bm где bm = 2m -1 2n m, М - число действительных полю- сов на правой полуоси Rea > 0. Численный метод и результаты решения Для численного решения следует произвести дискретизацию задачи методами решения сингулярных интегральных уравнений: дискретных вихрей [4], А. А. Корнейчука [5], Мультгоппа-Каландия [6] или иными [7]. Например, метод А. А. Корнейчука приводит к системе линейных алгебраических уравнений вида 1 N — Е Y j sin в jk(cos (p¡ - cos в j) = Vy (cos cp¡), j=1 N i = 1, N -1, ЕГ; sin 0 j = 0, j=1 m n 2 j -1 = —, -0/ =—-m . N J 2N После определения можно вычислить коэффициент нормальной силы +1 д +1 х Сп =|р(х)Сх = — | Сх\Y(s)ds = -1 9 -1 -1 д +1 +1 --|sy(s)ds = ¡а |sy(s)ds. 9 -1 -1 Зависимость |Сп| от приведенной частоты (рисунок) носит немонотонный характер, что свидетельствует о наличии у системы пластинка-слой собственных частот колебаний. ICJ h =0.2 - - h =0.5 ----h =1 i ■ í'l т i i \у - s \ V -г -г Зависимость \cn\ от приведенной частоты при разных толщинах слоя n 2 b X m Разумеется, задача о собственных частотах колебаний является предметом особого исследования. Общий и математически строгий подход к решению данной проблемы предложен С.В.Сухининым [1], где реализован также один из возможных алгоритмов, основанный на применении метода Р.Миттра [8]. Асимптотика малых к Приближенные значения собственных частот можно определить с помощью упрощенных математических моделей. Для этого рассмотрим соотношение (3) при малых к. Воспользовавшись приближенным равенством th(h V2): iW а2-v2 + O(h2), 22 запишем кР(а)(а2 _v2) и 1оУ(а), что в пространстве оригиналов приводит к дифференциальному уравнению d 2 p 2 dx + v p = -irnVv(x). (5) Краевыми условиями являются условия ограниченности давления на кромках пластинки р(_1) = р(+1) = 0. (6) Краевой задаче (5), (6) соответствует задача колебаний в вакууме цилиндрической мембраны, закрепленной по кромкам. В случае симметричных колебаний Уу = 1ок0, собственные частоты 2т -1 2 п. (7) Для антисимметричных колебаний Уу = 1оа0 г, vn = пп. Как видно из полученных формул, при малой толщине слоя собственные частоты не зависят от к. В действительности, конечно, собственные частоты хотя и слабо, но зависят от отношения толщины слоя к длине пластинки. Для колебаний пластинки на акустической полуплоскости (к —^ г ) также можно получить упрощенную математическую модель с помощью приближен- ного соотношения Г~2 2 ■ - а ■\1а -v 1 -iv(1--2) + o( ). 2v 2 v Тогда соответствующее дифференциальное уравнение будет иметь вид d 2 р- + 2v2р = _2v2Уy (г). Отсюда собственные частоты для пластинки на полуплоскости можно оценить (для симметричных колебаний) по формуле vгn = 2П п, т.е. в случае 2л/2 полуплоскости vaon в VI раз меньше частот колебаний vn при предельно малых толщинах, что и подтверждается сравнением с графиками, приведенными в [9, 10]. Можно предположить, что смещение резонансных пиков влево по частоте при увеличении толщины слоя связано с ростом демпфирования. Приближенные значения собственных частот для малых толщин слоя (7) соответствует предельному случаю отсутствия демпфирующих сил. Литература 1. Сухинин С.В. // Прикл. мех. и техн. физ. 1998. Т. 39. № 2. С. 78-90. 2. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М., 1979. 3. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М., 1976. 4. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М., 1965. 5. Корнейчук А.А. // Численные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы. Доп. к журн. «Вычислительная математика и математическая физика». 1964. Т. 4. № 4. 6. Каландия А.И. Математические методы двумерной упругости. М., 1973. 7. Габдулхаев Б.Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. Казань, 1994. 8. Митра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М., 1974. 9. Хаскинд М.Д. Колебания крыла в дозвуковом потоке газа // ПММ. 1947. Т. XI. Вып. 1. 10. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. М., 1966. dx 2 Кубанский государственный университет 20 декабря 2005 г. V = 2

https://cyberleninka.ru/article/n/nekotorye-aspekty-fiziki-i-tehniki-gradientnoy-epitaksii-morfologiya-zhidkogo-vklyucheniya

Обсуждаются результаты моделирования динамики формы жидкого включения в матрице кристалла в поле градиента температуры. Показано влияние микропроцессов растворения и кристаллизации на морфологию двухфазной среды, из которой формируется полупроводниковый материал. Подтверждена адекватность полученной модели для всех режимов градиентной жидкофазной эпитаксии путем сравнения с теоретическими и экспериментальными исследованиями других ученых.

ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ЭЛЕМЕНТЫ УДК 539.219.621 НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ФИЗИКИ И ТЕХНИКИ ГРАДИЕНТНОЙ ЭПИТАКСИИ: МОРФОЛОГИЯ ЖИДКОГО ВКЛЮЧЕНИЯ © 2011 г. С.Ю. Князев, И.А. Кобзева, А.В. Малибашев, И.С. Шошиашвили Южно-Российский государственный South-Russian State технический университет Technical University (Новочеркасский политехнический институт) (Novocherkassk Polytechnic Institute) Обсуждаются результаты моделирования динамики формы жидкого включения в матрице кристалла в поле градиента температуры. Показано влияние микропроцессов растворения и кристаллизации на морфологию двухфазной среды, из которой формируется полупроводниковый материал. Подтверждена адекватность полученной модели для всех режимов градиентной жидкофазной эпитаксии путем сравнения с теоретическими и экспериментальными исследованиями других ученых. Ключевые слова: градиентная жидкофазная эпитаксия; анизотропия кристалла; атомно-кинетический коэффициент. The results of modeling dynamics of liquid inclusion form in a crystal matrix in the field of temperature gradient are discussed in this work. Influence of dissolution and crystallization microprocesses on the biphase medium morphology, out of which the semiconductor material is formed, is shown. Adequacy of the received model for all the regimes of gradient liquid-phase epitaxy is confirmed by comparison with theoretical and practical researches of other scientists. Keywords: gradient liquid-phase epitaxy; crystalline anisotropy; atomically-kinetic coefficient. Введение Процессы перекристаллизации являются определяющими в технике градиентной жидкофазной эпитаксии (ГЖЭ) новых материалов электроники, поэтому обсуждаемая модель может рассматриваться как важный метод физического исследования. Анизотропия кристаллов является одним из наиболее значимых факторов, влияющих на изменение формы включения в процессе его движения. Знание установившейся (стационарной формы) зоны необходимо для определения многих параметров полупроводниковой структуры. Это, например, геометрические размеры активных областей и связанные с ними допустимые значения напряжений, токов и т.д. [1, 2]. При известной глубине внедрения легированных или очищенных областей требуется точный прогноз формы и размеров этих областей и задание технологических условий их получения. Плотность упаковки атомов кристаллической решетки зависит от кристаллографического направления и определяет скорость атомно-кинетических процессов в этом направлении. В разработанной физико-математической модели влияние анизотропии на процесс движения жидкой зоны в кристалле учитывается зависимостью атомно-кинетических коэффициентов растворения и кристаллизации ц от полярного угла Ф направления движения точки границы кристалл -включение. Закономерности влияния атомно-кинетических коэффициентов на форму жидкого включения Анализ влияния анизотропии на форму жидкой зоны осуществлялся в два этапа. На первом этапе были установлены основные закономерности влияния атомно-кинетических коэффициентов на форму жидкого включения. Движение дискретного жидкого включения в объеме кристалла подвергнуто влиянию анизотропии кристалла, которая проявляется в зависимости скоростей растворения и кристаллизации от различных кристаллографических направлений в кристалле [3 -6]. В общем случае влияние анизотропии кристалла можно учесть зависимостью атомно-кинетического коэффициента ц от полярного угла ф направления движения точки границы кристалл - включение, отсчитываемого от горизонтали. Эти зависимости могут быть заданы аналитически без привязки к конкретной системе, например: ц(ф) = A; ц(ф) = A (cos2 (2ф) +1); (1) ц(ф) = A (2cos2 (2ф) + i), где А - некоторая константа. При фиксированном значении константы А приведенные зависимости по- зволят не только установить изменение формы зоны за счет анизотропии кристалла, но и изучить эволюцию формы включения с ростом анизотропии кристалла. Применительно к ГЖЭ влияние анизотропии кристалла описывается изменением скорости движения включения в различных кристаллографических направлениях, т.е. в проявлении плоскостей с максимальной плотностью упаковки атомов [7]. (ООП' (ООО) (100) (НО) Рис. 1. Модель кристаллической решетки кремния Чем больше эта плотность, тем больше атомов необходимо подвести из жидкой фазы для формирования очередного кристаллографического слоя, тем меньше скорость кристаллизации и, следовательно, величина атомно-кинетического коэффициента. Результаты моделирования Относительная скорость растворения и кристаллизации в заданном кристаллографическом направлении полагалась пропорциональной межплоскостному расстоянию d и обратно пропорциональной величине ретикулярной плотности кристаллографических плоскостей. Число атомов, приходящихся на единицу площади поверхности кристалла или его сечения, определялось по методике, изложенной в [8]. Для исследований выбраны сечения кристаллической решетки кремния вдоль плоскостей с малыми индексами (100), (110), (111), (112). Атомы, лежащие на этих сечениях определяют соответствующую ретикулярную плотность. Площадь сечения решетки вычислялась в единицах длины ребра куба а. Расположение атомов в выбранных сечениях решетки показано на рис. 2. В табл. 1 приведены значения величин, используемых для вычисления относительных скоростей растворения кристаллографических плоскостей с малыми индексами Миллера. Плоскость (111), имеющая наибольшую ретикулярную плотность, выбрана в качестве базовой в определении относительных скоростей растворения или кристаллизации. Для линейных зон, ориентации которых для различных направлений движения в кристалле кремния схематично показаны на рис. 3, были получены диаграммы Вульфа ц(ф). Рис. 2. Сечения кристаллической решетки кремния Таблица 1 Основные характеристики кристаллографических плоскостей в кремнии Плоскость кристалла (100) (110) (111) (112) Площадь сечения решетки 2 a V2a2 Sa 2/2 Vöa Ретикулярная плотность 2/ a2 л/2/a 2 У [Sa2) 2/ (л/бя2) Межплоскостное расстояние a л/^a/2 Sa/3 Sa/3 Относительная скорость 2,0 2,0 1,0 4,0 Направление оси линейной зоны соответствует правилу стабильности, предложенному Верником, В.Н. Лозовским и В.П. Поповым. На рис. 3 приведены ограненные плотноупакован-ными плоскостями стабильные сечения линейных зон, движущихся в различных кристаллографических направлениях, взятые из литературных источников [8], а также рассчитанные для этих направлений диаграммы Вульфа. Результаты численного эксперимента по влиянию анизотропии кристалла на эволюцию формы жидкого дискретного включения сопоставлены с известными литературными данными. Ориентированные зависимости атомно-кинетических коэффициентов были представлены формулами (1), а также соотношениями: ц (ф) = 2,6 • 10-6 (sin2 (2ф) +i) ц(ф) = 2,6-10 ц(ф) = 2,6-10 Sin21 1,5ф-^-1 +1 61 sin21 1,5ф + ^ +1 (2) (3) (4) что позволило провести анализ изменения формы зоны под влиянием анизотропии кристалла и определить чувствительность ее к величине и относительному изменению атомно-кинетических коэффициентов. На границах кристаллизации и растворения эти коэффициенты полагались одинаковыми. На рис. 4 представлены установившиеся формы жидких зон для ГЖЭ линейными зонами толщиной R = 5 мкм при условиях: Т0* =1250 К; С = 0,35; Х1 = dC -1. = 150 Вт/(м-К); X5 = 30 Вт /(м-К); -=10 ~3 К dT р1 = р5 =2,3 -103 кг/м3; D=10 м 2 /с, R = 50мкм, при различных зависимостях ц(ф), представленных формулами (1), в которых А = 2,5 10 . Рост степени анизотропии атомно-кинетических коэффициентов увеличивает отклонение формы сечения зоны от первоначальной (круглой). Для изучения характера изменения сечения зоны в различных сочетаниях направления миграции зоны и расположения максимумов диаграммы Вульфа ц(ф) (см. формулы (2) - (4)) был проведен численный эксперимент ГЖЭ, результаты которого представлены на рис. 4 - 5. Зоны имели первоначальное сечение в виде круга, перемещались вверх, а их форма сечения стабилизировалась после прохождения пути равного 2 - 3 толщинам расплава. Эксперимент проводился с зонами разной толщины, чтобы одновременно сделать вывод о влиянии на форму их сечения режимов ГЖЭ. Как видно из рис. 4 - 5, зоны малого сечения подвержены большему воздействию анизотропии ц(ф), наоборот, диффузионный режим ГЖЭ уменьшает проявление анизотропии кристалла. Рис. 3. Установившиеся формы сечения линейных зон и рассчитанные диаграммы Вульфа для кристаллографических направлений <100>, <110> и <111>[8] зо ив О 130 330 210 гс ц(ф) о ISO эзо гю ä-ü ц(ф) а б в Рис. 4. Влияние степени анизотропии атомно-кинетических коэффициентов на форму жидкой зоны: а - ц(ф) =A; б - ц(ф) =A (cos2 (2ф) +1); в - ц(ф) =A (2cos2 (2ф) +1). Зона двигалась вверх R = 100 мкм Рис. 5. Установившиеся формы сечения линейных зон для ц(ф) =2,6 -10 6 (cos2 (2ф)+ l) Форма сечения жидкой зоны зависит от ориентации кристалла относительно направления миграции зоны и определяется диаграммой Вульфа. Если вектор скорости фронта растворения имеет максимальное значение при ф = 90°, то зона вытягивается. В случае, если процесс растворения идет более интенсивно в направлениях соответствующих ф = 45° и ф = 135° или ф = 30° и ф = 150°, то фронт растворения плоский, и когда функция ц(ф) имеет максимум при ф = 270°, то фронт растворения тоже плоский, т.е. зона ограняется плоскостями, в направлении которых процессы растворения замедленны, а процессы кристаллизации идут более интенсивно. Из приведенных рисунков видно, что анизотропия кристалла играет важную роль в установлении равновесной формы движущейся зоны, причем границы растворения ограняются плотноупакованными кристаллографическими плоскостями, в направлении которых атомно-кинетические коэффициенты имеют минимальные значения. Границы кристаллизации, напротив, ограняются кристаллографическими плоскостями с меньшей плотностью упаковки атомов, для которых цк максимально. Второй этап исследования заключался в изучении технологически важного изменения формы сечения линейной алюминиевой зоны, мигрирующей в кремнии в условиях ГЖЭ (см. рис. 3). Моделировалось движение зон для всех трех режимов ГЖЭ - кинетического (диаметр 5 мкм), смешанного (диаметр 50 мкм) и диффузионного (диаметр 500 мкм). Первоначальная форма сечений всех моделируемых зон была круглой. Движение зон осуществлялось вверх: верхняя часть контура сечений зон - граница растворения, нижняя - кристаллизации. Пунктирные линии внутри сечений зон соответствуют изоконцентрационным линиям, а за пределами сечений зон (в кристалле) -это линии изотерм. Изотермы расширяются вблизи включений, так как расплав имеет большую теплопроводность, чем кристалл. На границах включения указаны направления нормалей, вдоль которых осуществляется растворение или кристаллизация. Проведенные численные эксперименты подтвердили вышеуказанную закономерность - форма включения устанавливалась после прохождения в кристалле пути порядка двух - трех диаметров включения. Наблюдение за формой сечения линейных зон в условиях действующей модели ГЖЭ позволяет подтвердить уже известные из литературных источников факты, а также отметить новые особенности в эволюции формы жидких включений. Так тонкие зоны (кинетический режим), мигрирующие в направлении <111>, подвергаются сжатию и некоторому повороту около своей оси, что обусловливается несимметричным расположением кристаллографических плоскостей с малыми индексами Миллера относительно направления движения зон (см. рис. 3). Более толстые зоны (смешанный режим) сжимались меньше и не испытывали боковых смещений, но передняя их граница становилась плоской и наклонной к направлению градиента температуры. В толстых зонах (диффузионный режим) действие анизотропии кристалла незначительное, даже когда зона проходит пять и более своих толщин. Выводы Установлено, что зависимость скорости миграции жидкого включения от его толщины в численном эксперименте согласуется с аналогичной аналитической зависимостью, полученной другими исследователями, подтверждая адекватность модели для всех режимов ГЖЭ. Численными экспериментами установлено, что форма линейного включения, движущегося в поле температурного градиента в изотропном кристалле при различных теплопроводностях твердой и жидкой фаз и равенстве скоростей межфазных процессов на границах включения, не изменяется, что согласуется с результатами реального эксперимента. Исследования на основе разработанной модели ГЖЭ влияния скоростей роста и растворения на форму линейной зоны, мигрирующей в поле температурного градиента, подтвердили экспериментально установленные факты, что при лимитирующей роли процессов кристаллизации ц > цк сечение зоны вытягивается в направлении движения, а при лимитирующей роли процессов растворения цр < цк - сжимается. Существенное изменение формы зоны происходит на начальной стадии движения, а после прохождения в кристалле расстояния в две - три ее толщины, форма ее сечения стабилизируется. Литература 1. Барыбин А.А., Сидоров В.Г. Физико-технологические основы электроники. СПб., 2001. 272 с. 2. Нашельский А.Я. Технология спецматериалов электронной техники. М., 1993. 368 с. 3. Медведев С.А. Введение в технологию полупроводниковых материалов. М., 1970. С. 242 - 279. 4. Уиттекер Э. Кристаллография. М., 1983. 268 с. 5. Попов Г.М., Шафроновский И.И. Кристаллография. М., 1972. 352 с. 6. Выращивание кристаллов из растворов / Т.Г. Петров [и др.], Л., 1983. 200 с. 7. Динамика включений жидкой фазы в условиях градиентной эпитаксии твердых растворов / А.В. Благин [и др.] //Тр. X юбилейной междунар. науч. конф. «Химия твердого тела: наноматериалы, нанотехнологии» (с участием ЮНЦ РАН), г. Ставрополь, Россия, 17-22 октября 2010 г. Ставрополь, 2010. С. 157 - 158. 8. Малибашев А.В. Моделирование технологически значимых процессов, определяющих термомиграцию жидких включений в полупроводниковых кристаллах: дис. ... канд. техн. наук. Новочеркасск, 2003. 202 с. Поступила в редакцию 28 февраля 2011 г. Князев Сергей Юрьевич - канд. физ.-мат. наук, доцент, Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. 8-928-757-08-25. E-mail: [email protected] Кобзева Ирина Алексеевна - старший преподаватель, Волгодонский институт (Филиал) Южно-Российского государственного университета (Новочеркасского политехнического института). Тел. 8-918-89-448-32. Малибашев Александр Владимирович - канд. техн. наук, доцент, Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). E-mail: [email protected] Шошиашвили Ирина Сергеевна - канд. пед. наук, доцент, Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. 8-918-551-95-42. E-mail: [email protected] Knyazev Sergey Yurievich - Candidate of Physico-Mathematical Science, assistant professor, South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. 8-928-757-08-25. E-mail: [email protected] Kobzeva Irina Alekseevna - prepodavatel, Volgodonsky Institute South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. 8-918-89-448-32. Malibashev Alexander Vladimirovich - Candidate of Technical Science, assistant professor, South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). E-mail: [email protected] iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Shoshiashvili Irina Sergeevna - Candidate of Pedagogical Science, assistant professor, South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. 8-918-551-95-42. E-mail: [email protected]

https://cyberleninka.ru/article/n/metodika-rascheta-vetroenergeticheskoy-ustanovki-na-osnove-ispolzovaniya-vihrevoy-teorii

На основе методики расчета воздушного винта разработана и на примере опробована методика расчета репеллера ветроэнергетической установки. Проведен анализ и показано различие в этих методиках. Ил. 9. Табл. 2. Библиогр. 2 назв.

УДК 621.438 МЕТОДИКА РАСЧЕТА ВЕТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКОМ УСТАНОВКИ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ВИХРЕВОЙ ТЕОРИИ © 2008 г. Н.Н. Ефимов, Н.Л. Матвеев, Г.К. Епифанов Процессы энергообмена между лопастями ветряного колеса (в дальнейшем репеллер) и воздушного винта весьма близки с тем отличием, что репеллер преобразует энергию набегающего потока в механическую, а в воздушном винте подведенная к валу механическая энергия передается набегающему потоку, увеличивая его кинетическую энергию. Теория рассматривает эти процессы как две разновидности одного явления. Основным допущением теории идеального винта является то, что приращения скорости потока в плоскости винта и за винтом относятся как 1:2, т.е. осевая скорость потока в плоскости винта в два раза меньше добавочной осевой скорости за винтом. Такое же соотношение соответственно принято для угловых скоростей потока. Аэродинамический расчет репеллера по классической теории базируется на таком же допущении. Предполагается, что в работе принимает участие только поток воздуха, проходящий через ометаемую площадь, разрыва струй нет, и существует некоторый обмен энергиями между частями внешнего потока и струями проходящими через репеллер. Расчет по Сабинину [1] основан на теории идеального репеллера, с которого сходит вихревой соленоид. Заштрихованная зона на рис. 1 - это часть потока, принимающая участие в рабочем процессе в виде присоединенной массы, попадающей справа внутрь вихревого соленоида. 1 0 2 V - U2 1 2 Рис. 1. Схема потока вокруг репеллера: - по Сабинину [1];--по классической теории Основные кинематические соотношения в этом процессе следующие. Ометаемая площадь - среднеарифметическое из площадей струй в достаточном удалении в обе стороны от репеллера: F1 = 0,5 (F0 + F2). Торможение потока в плоскости репеллера и1 зависит от режима работы и в частном случае равно половине полного торможения Аи = и2, причем и 2 = Уо - V2 = 2«1/(1 + и 1/Го ) = 2и 1/(1 + е) . Величина е = и 1 /У0 , которая будет использована в предлагаемом расчете, называется относительным торможением. Принятые обозначения: а - угол атаки, град; Ь -ширина лопасти, м; в - угол между плоскостью вращения репеллера и относительной скоростью, град; В - нагрузка на ометаемую площадь, равная т!(%R 2рУ02 /2); Т - осевая нагрузка на репеллер; Г -циркуляция скорости, м2/с; Су - коэффициент подъемной силы, равный у/(£ рУ02/2); У - подъемная сила крыла (лопасти), Н; £ - площадь лопасти, м2; Сх -коэффициент профильного сопротивления крыла, равный Ху/(£ рУ02/2); р - плотность воздуха, кг/м3; М = Сх1Су - коэффициент обратного аэродинамического качества крыла; D - диаметр ветряка, м; R -внешний радиус репеллера, м; £ - нерабочая часть лопасти, равная г^ ; к - число лопастей; Р, Р„ Р, Рт -рабочая мощность, мощности идеального ветродвигателя, потерянная на индуктивное сопротивление и на кручение струи, Вт; и1, и2 - окружная скорость вращения струи в плоскости репеллера и за репеллером, м/с; и1, и2 - приращение скорости потока в плоскости репеллера и далеко за репеллером, м/с; У0 - скорость потока далеко перед репеллером, м/с; w - относительная скорость потока, м/с; г = wR|У0 - число модулей на конце лопасти; г = w>R|У - число модулей на радиусе г; 2и =(w2 + и 1 )/(У0 -и 1) - число относительных модулей; ^ - коэффициент использования энергии ветра идеального ветряка; £ - коэффициент использования энергии ветра; ^ - угловая скорость вращения репеллера, 1/с. Под словом «репеллер» мы подразумеваем какой-то аппарат, конструкция которого не предопределяется, но который обладает свойством пропускать воздух через свой диск, называемый плоскостью репеллера, и воспринимать часть его кинетической энергии. На рис. 2 приведена диаграмма скоростей лопастного репеллера. Идеальным репеллером мы будем называть репеллер, действующий в идеальной жидкости, сквозь диск которого в осевом направлении проходит воздух с одинаковой скоростью по всей площади диска. 0 Vo - U 0 вызванная окружная скорость; вызванная осевая скорость; Рис. 2. Диаграмма скоростей по Сабинину [1] Аэродинамический расчет ветроэнергетической установки (ВЭУ) предлагается на базе вихревой теории воздушного винта, но с внесением принципиального отличия, которое характерно для рабочего процесса ВЭУ. В основу вихревой теории винта Н.Е. Жуковским положено следующее: действие винта в данном пространстве заменяется аналогичным действием на поток вихревой системы, состоящей из системы вихрей. В качестве основного параметра данной теории принята циркуляция скорости (Г). Циркуляцией можно назвать неравномерность скоростей вокруг аэродинамического профиля крыла, лопасти и не только скорости. В соответствии с теоремой Н.Е. Жуковского на профиль действует аэродинамическая сила R = р^Г. Для того чтобы при плавном обтекании крыла на нем возникла результирующая сила воздействия потока, необходима несимметрия в распределении местных скоростей, нормальных давлений. Математическое выражение циркуляции Г = <£0^5. Построение вихревой теории винта Н.Е. Жуковского заключается в том, что находится связь между: 1) циркуляцией и вызванными винтом скоростями; 2) циркуляцией и конструктивными параметрами лопасти (уравнение связи); 3) циркуляцией и мощностью. На основании проведенных исследований первые два пункта полностью используются в У расчете ВЭУ. Третий пункт не является столь однозначным для ВЭУ, поскольку мощность зависит не только от циркуляции, но и от скорости в плоскости репеллера, которая и определяет величину циркуляции. Для упрощения формул вихревой теории В.П. Ветчинкиным были введены отвлеченные обозначения. Эти обозначения значительно упрощают вычислительную работу. Отвлеченные обозначения (относительные величины) следующие: г = г^ - радиус; V = V/ ) = 1/ Z - скорость потока; й = Ог/ (QR ) = г - окружная скорость лопасти; й= и/ (Ж) - I й = о/(П R ) - Ь = кЬ/( 4 nR )= кЬ/ (2 nD ) - ширина лопасти; Г = кГ/(4%ОЯ 2 ) - циркуляция; Т = Ту/(2прП 2R 2 ) - тяга; М = Му/(2лрО 2R 5 ) - крутящий момент; Р = р(2прП3D5 ) - мощность. Поскольку, по вихревой теории, циркуляция является основным параметром в аэродинамическом расчете крыла, то прежде всего необходимо выбрать наивыгоднейшее или близкое к нему распределение циркуляции по радиусу. На практике часто пользуются распределением циркуляции по закону эллипса. Подбор циркуляции упрощается и цель достигается скорее, если будет найдена средняя циркуляция Г ср по лопасти и затем распределена вдоль лопасти по установленному закону. Практика показывает, что мощность репеллера с постоянной вдоль лопасти циркуляцией очень близка к мощности винта с переменной вдоль лопасти циркуляцией (рис. 3). Однако и среднюю циркуляцию приходится находить путем проб. Связь между циркуляцией и скоростью потока V1 в плоскости репеллера определяется с использованием уравнения Бернулли применительно к одной кольцевой струйке при условии установившегося движения: W P - F н— = const. 2 Р 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Рис. 3. Тип распределения циркуляции 71 r Y/YcV 0,2 0,622 0,4 1,155 0,6 1,244 0,75 1,125 0,9 0,77 2 Г К частице жидкости, движущейся по криволинейной траектории с радиусом г, приложена центробежная сила ти2/г = т О2г2/г, а к единице массы О2г -удельная силовая функция F = 0 2г 2/2 . Силой тяжести вследствие ее малости для воздуха можно пренебречь. Уравнение Бернулли для двух сечений до и после репеллера примет вид Po + Y^L + Mo ^2 го2 = + ^ + м 2 м 2 Q2 r2 Р 2 2 2 Р 22 2 (1) где Р0, V0, и0, Р2, V2, и2 - давление, осевая и окружная скорости перед и за репеллером соответственно. Преобразуем уравнение (1), подставив V2 = V0 -и2, и 2 = и0 + ^2г и примем, что в частном случае г = г0 = г2. Получим „2 ^->0} + ,,,2 (О + ^] = ^ (2) Так как струя за репеллером вращается, то на нее действуют центробежные силы и поэтому атмосферное давление Р0 ф Р2. Разность давлений между внешним давлением и давлением в струе уравновешивается центробежной силой со скоростью Po P? Г 2 1 --2 = I w 2 rar Р Р r (3) Уравнение (2) с учетом формулы (3) тогда преобразуется в >2 [-у _ Yo l + w 2Г 2 |П + w22|=| W22rdr . (4) Связь между циркуляцией и скоростью ,2 устанавливается теоремой Стокса, которая гласит: «Циркуляция по некоторому контуру равна удвоенному произведению величины вихря (,) на удвоенную площадь (/), охватываемую контуром». Если циркуляция одной лопасти Г, то циркуляция, охватывающая вихревой столб, равна сумме циркуляций всех лопастей кГ = 2м>/ = 2пиг . С другой стороны, эта же циркуляция равна окружной скорости, помноженной на длину контура, т.е. на длину окружности. Отсюда кГ кГ Мт = wr =- или w 2 = 2яг 2 2яг2 (5) Вызванная окружная скорость далеко за репеллером согласно уравнению в отвлеченных обозначениях будет равна й = кГ = 2Г 2 2n0rR г Окружная скорость в плоскости репеллера, из вихревой теории, вдвое меньше вызванной окружной _ Г скорости далеко за репеллером и 1 = — . г Вставим в уравнение (4) полученное значение угловой скорости ,2 (5) 2 кГ_ 2я кГ о,|^_к | + ^|Q + ^| = J|^| (6) 4яг2 R кГ Л 2 dr и перейдем к отвлеченным обозначениям, для чего разделим уравнение (6) на О2R2 и сделаем соответствующие преобразования: О2 _ Yo| + 2 Г11+£| = 4| Г2 £ • dr приняв Г = const, после соответствующих преобразований получим iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. (7) -2-_Yo | + 2Г(1 + Г) = 0. Поскольку уравнение (7) получено для частного случая г0 = г2, е = 0, то необходимо найти решение в общем случае, когда г0 Ф г2 и е Ф 0. Из уравнения неразрывности выразим площади сечений рабочей струи перед и за репеллером через величину ометаемой площади FoVo = Fl(V0 -„,) = F2(V0 -и2). Откуда, учитывая, что F1 = (F0 + F2)/2, получим F0 = 1-й! = 1-,, ^ = 1 + ^1 = 1 + в , F Уп Fo 1 _ е F 1 + е F r = r Y 1 _ е 1 + е Таким образом, мы определили соотношение площадей сечений потока перед репеллером, в плоскости репеллера и далеко за ним. Установили также, что радиусы г0 Ф г2, и зависят от параметра е. Ранее принято й 2 = 2й11 (1 + е). После преобразований уравнения (7) получим О 2 2 _УоО1 (1 + е) + Г(1 + Г)(1 + е)2 = 0. (8) Заменим и 1 = ^ - V1 и подставим в уравнение (8). В окончательном виде имеем уравнения, связывающие скорость V1 в плоскости репеллера с циркуляцией и параметром относительного торможения е -У<У\ I1 - е) - V^e + (1 + е) 2 Г (1 + Г) = 0 , откуда У1 = yo(1 _ е). Уо (1_е)' + Уо2е_(1 + е)2 Г(1 + Г) при е = o: У, = + . Р 1 2 ]1 - \ 2 ^ I _ Г (1 + Г) 2 2 2 + 2 У винта при этих условиях Коэффициент использования энергии ветра иде- Ъ + |12+Г. (10) Сравнение (9) и (10) показывает, что влияние Г на скорость в плоскости вращения У1 оказывает противоположное влияние у репеллера и винта. Увеличение циркуляции уменьшает скорость У1 у репеллера и увеличивает ее у винта и наоборот. Этот фактор имеет большое значение при определении среднего значения циркуляции вдоль лопасти. Средняя циркуляция по лопасти может быть получена из уравнения мощности в относительных значениях [2] Р Г = V (l2)±23 ц(1 - (1 3)" (11) ального репеллера С г = 4e 1 - e 1 + e Коэффициент нагрузки на ометаемую площадь л = - r 4e где знак «+» - для винта, «-» - для репеллера. Расчет циркуляции для винта находится экспериментально. Задавшись какой-либо величиной циркуляции, распределенной вдоль радиуса по выбранному нами закону, подсчитывают по (11) мощность такого винта и сравнивают с мощностью мотора. Если мощность винта получается больше мощности мотора, то циркуляцию необходимо уменьшить, и наоборот, и снова подсчитать мощность винта при новом измененном значении циркуляции; это приходится проделывать до тех пор, пока не получится совпадение мощности винта и мощности мотора. Практически это делается следующим образом: задаваясь некоторым значением циркуляции, подставляем в формулу (10), а полученное значение скорости У в уравнение (11) для винта, после чего идет сравнение по мощности. Для подсчета циркуляции у репеллера воспользуемся связями, приведенными в работе Сабинина [1] между параметрами е, С г, У1, В, л а . 0,5 рУ02 F1 1 + е Скорость в плоскости репеллера У1 = У0 (1 - е). Осевой КПД репеллера л а = У1/У0 = (1 - е). В основу расчета положены экспериментальные характеристики четырехлопастного репеллера: диаметром D = 0,36 м, при скорости ветра У0 = 14 м/с, £ = = 0,14 и расчетном модуле Z = 3,0; ^ = 0,035 - принято среднее для всей лопасти. Предварительные результаты расчета приведены в табл. 1. Анализ расчета (табл. 1) показывает, что подбором величины циркуляции невозможно обеспечить заданную мощность без нарушения заданных расчетных параметров: относительного торможения е, относительной скорости У1 и осевого КПД репеллера л а . Ни в одном случае не получено равенство заданных параметров и расчетных, т.е. У1зад Ф У1расч, Л а зад ФЛ а расч и соответственно е зад Ф е расч . Та*, например, в первых двух столбцах таблицы расчетные значения скорости У1 имеют под корнем отрицательные значения. В третьем столбце получено положительное значение скорости У1расч = 0,22, вместо заданного У1 = 0,266 при Г ср = 0,0217. Отсюда следует вывод, что подбор циркуляции нужно производить не по заданной мощности, а по заданной скорости У1, при этом равенство заданных и расчетных параметров полностью обеспечивается. Таблица 1 е 0,4 0,3 0,2 Л а = 1 - е 0,6 0,7 0,8 V зад = Ус (1 -е) = 0,333(1 -е) 0,2 0,233 0,266 Энергия ветра 0,5рУ03 F1 = 0,171 кВт - 17,44 - С г = 4е (1 - е )/(1 + е ) 0,685 0,646 0,553 Рг = 0,5С грУ02 F1 , н 11,95 11,26 9,64 Рг = Р^ (2лрО 3R5) = Р/1884,35 0,00634 0,00597 0,00511 гСр = рг/(Угр(1 ч2)-23 ^3)) 0,0373 0,0295 0,0217 У1 расч по формуле (9) ^-0,0214 V-0,0045 0,22 Например, заданы: ¥0 = 14 м/с, У0 = 0,333, е = 0,2, = 0,266, "л зад = 0,8. Тогда циркуляция, обеспечивающая заданные характеристики, является не 0,0217 из расчета по формуле (11), а Гср = 0,0153 : r7 Vо (l" «) V Vо (1 - е ) -V02e-(1 + е)2 Г(1 + Г) = 0,333 • 0,8 2 + V0,13322 + 0,0221-1,44• 0,01534,0153 ; ¡0,266, ц а = 0,8. Теперь проведем детальный расчет, основой которого является найденная средняя циркуляция вдоль лопасти репеллера при е = 0,2, Z = 3,0, Fср = 0,0152, ¥0 = 0,333, цср = 0,035 . При расчете в случае необходимости можно пользоваться характеристиками крыла бесконечного размаха, которые приведены на рис. 4. Результаты расчета приведены в табл. 2. Графики зависимости: Ь = f (г), ф0 = f (г) приведены соответственно на рис. 5. Расчетное распределение циркуляции вдоль радиуса репеллера - на рис. 6. Таблица 2 2 2 2 № N 0,2 0,4 0,6 0,75 0,9 1 y 21 39 42 38 26 2 y y ср 0,622 1,155 1,224 1,125 0,77 3 Г = Г ср У ¡У ср 0,0095 0,0176 0,0187 0,0172 0,11178 4 V по формуле (9) 0,295 0,252 0,245 0,254 0,284 5 u j = r/r 0,0475 0,0440 0,0311 0,023 0,013 6 u j = r + u j 0,2475 0,444 0,631 0,773 0,913 7 tg P = Vj¡ Uj 1,191 0,567 0,388 0,328 0,311 8 P 0 50 29,5 21,2 18,2 17,27 9 sin P 0,766 0,492 0,361 0,312 0,296 10 W = ^/sin P 0,385 0,512 0,687 0,814 0,959 11 ц u j = 0,035UJ 0,00866 0,0155 0,022 0,027 0,032 12 Vj - ц u j 0,286 0,236 0,223 0,227 0,252 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 13 CN = л 4гГ (Vj -ц u ) 0,052 0,161 0,243 0,284 0,26 14 Cyb = 2 Г/Wj 0,0493 0,0687 0,0551 0,0422 0,0245 15 Cyb = Y(knDCyb) 0,0278 0,0388 0,0311 0,0238 0,0138 16 b, м 0,065 0,072 0,068 0,06 0,04 17 Cy по графику рис. 4 0,427 0,538 0,47 0,396 0,345 18 а0 по графику рис. 4, 8, 9 3,5 7,5 4,0 ~2 ~1,2 19 Ф 0 =р0-а0 46,5 22 17,2 16,2 16 Су 0,5 0,4 / 0,3 / V Л 0 ,2 0,1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 -4 12 № х .Уверхний унижний 0 5,7 - 5,7 1 11,5 - 7,0 2 23,0 - 0,2 3 13,8 0,0 4 14,0 - 0,2 5 13,8 - 1,2 6 13,0 - 2,0 7 12,0 - 3,0 8 10,5 - 3,4 9 8,5 - 4,3 10 5,5 - 5,5 % от хорды b, м 0,08 0,06 0,04 0,02 ф,град 40 с b 20 Ч Ф° \ — Рис. 4. Характеристика профиля репеллера Г 0,02 0,01 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0 Рис. 5. График зависимостей Ь = /(г ) и ф0 =/(г ) На рис. 7 из табл. 2 изображена зависимость коэффициента мощности от радиуса Сы = / (г). Спла-ниметрировав площадь кривой Ск по г и умножив ее на произведение масштабов по оси абсцисс и по оси ординат, получим коэффициент мощности репеллера См = 0,18 Р = Сыр(п^)3 D5 = 0,18• 0,125-13,3753 • 0,362 и и 7,0 ккал/с = 0,0686 кВт. Коэффициент использования энергии ветра С = 2PF| рУ3 = 0,4. Для того чтобы запроектированный репеллер имел на каждом радиусе установленную выше циркуляцию и полученную мощность, необходимо при подборе сечения удовлетворять уравнению связи потока с лопастью: 2Г = С уЬШ . Из этого уравнения мы имеем С Уе = 2 Г^ . Таким образом, можно получить значение строки 14 (табл. 2). г 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Рис. 6. Расчетное распределение циркуляции вдоль радиуса репеллера Си 0,3 0,2 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 r 1,0 Рис. 7. Диаграмма коэффициента мощности репеллера по радиусу Пользуясь характеристиками каких-либо винтовых профилей, т.е. кривыми коэффициентов подъемной силы Су по углам атаки а0, в нашем случае рис. 4, 8, 9, можно подобрать профиль, ширину (Ь), толщину и угол атаки (а) сечения на каждом радиусе лопасти репеллера такими, что при этих значениях произведение СуЬ получаются равными вышеуста-новленным (строка 14, табл. 2). X о 4 0 8 а r 0 0 Таким путем можно рассчитать репеллер, удовлетворяющий заданным аэродинамическим условиям, развивающий рассчитанную мощность. С,, 1,0 0,5 -5 15 ао Рис. 8. Коэффициент подъемной силы семейства винтовых дужек бесконечного размаха В дальнейшем подбор сечения репеллера необходимо связывать с расчетом прочности конструкции. В заключение хотелось бы напомнить, что в 30-е гг. прошлого столетия в Новочеркасском политехническом институте был создан 18-лопастной ветродвигатель диаметром 0,3 м и коэффициентом использования энергии равным 0,35. 1/ц 60 40 20 0,102 --„0,21 ""^^0,132 0,132 W ^0,102 0,071 .0,086V 0,076 с = 02$th У 0,086 0,076 0,071 __-— 0,069 0,069 -4 0 4 8 12 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Рис. 9. Качество семейства винтовых дужек для бесконечного размаха Литература 1. Сабинин Г.Х. Теория и аэродинамический расчет ветряных двигателей / ЦАГИ. М., 1931. 2. Александров В.Л. Воздушные винты. М., 1951. Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт) 13 марта 2008 г. о 0 а 0

https://cyberleninka.ru/article/n/nelineynaya-zadacha-ustoychivosti-trehsloynoy-tsilindricheskoy-obolochki-s-legkim-zapolnitelem

Рассматривается нелинейная задача устойчивости трехслойной цилиндрической оболочки, шарнирно опертой по торцам, с разными ортотропными тонкими несущими слоями и легким заполнителем. К тонким внешним несущим слоям применена гипотеза прямых нормалей, а для описания изменения смещений по толщине заполнителя применена кубическая зависимость. Получены уравнения движения данной оболочки. Для решения задачи устойчивости и сохранения нелинейности перемещения задаются в виде двойных тригонометрических рядов, удовлетворяющих граничным условиям. В отличие от других, в данной методике предлагается учитывать несколько членов ряда.

УДК 531, 539.9 нелинейная задача устойчивости трехслоинои ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ЛЕГКИМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ ©2003 г. А. А.Татаринов In the article the nonlinear problem of stability of a sandwich cylindrical shell with miscellaneous orthotropic thin carrying layers and mild filler, simply supported on backs is considered. To thin external carrying layers the hypothesis of normal straight lines is applied, and the cubic relation is applied for the description of change of displacement on width of filler. Начало нелинейной теории трехслойных оболочек положено работой [1], из уравнений которой получено решение задачи устойчивости в [2] введением новых разрешающих функций. Уравнения в [1 - 4] получены на основе гипотезы ломаной линии, обусловившей разрыв для деформаций сдвига на границах заполнителя с несущими слоями. Нелинейные законы изменения деформаций сдвига, введенные в [5], а затем в [6], получены из условия плавного перехода прямой нормали в несущих слоях в изогнутую часть нормали, проведенной к срединной поверхности в естественном (недеформированном) состоянии, проходящей через заполнитель. Нами получена экспериментально при изгибе трехслойной панели более близкая к истинной функция w(r)_ (cl2 + CiC2 + C22)z-z3 *z)~ qc2(c1 + c2) ’ (і) где С/ - расстояние от начальной поверхности заполнителя до границы с соответствующим несущим слоем (рис. 1). Прямым измерением при нагружении оболочек по поверхности до потери устойчивости нами установлено отсутствие сближения несущих слоев, т. е. несжимаемость заполнителя из стеклопластиковых и дюралюминиевых сот, пенопласта ПС-1-70. Рассмотрим трехслойную цилиндрическую оболочку с различными несущими слоями и легким заполнителем. Опирание трехслойных оболочек как элементов реальных конструкций близко к шарнирному, реальные размеры их позволяют считать радиусы всех слоев одинаковыми. За начальную примем поверхность, отстоящую от срединной поверхности заполнителя на расстоянии (4) г0 = ВХх - В 2х 2 К+В2х) (hx +h2), где Ви И В,у - изгибные жесткости несущих слоев в главных направлениях; Л,- - их толщина. Эта поверхность является нейтральной при изгибе и делит толщину заполнителя на части толщиной С; и С2. Из рис. 1 легко установить, что меридиональные перемещения любой точки несущих слоев имеют вид: м/=н(.-(г-сг-/г, / 2)юх, / = 1,2. (2) Здесь и далее индексы координат или времени х(в,с) у перемещений и, V и означают частную производную от перемещения по соответствующим переменным. Аналогично определяются кольцевые перемещения: •(г-С;-h¡ /2)we, í = 1, 2. (3) Для определения перемещений заполнителя введем функцию смещения <р(г) (1), такую что иъ = и + 9>(г)[(и, -и2)/ 2 + (л, + 1^)м>х / 4]; и —> V; х —> в , и удовлетворяющую граничным условиям (рис. 1): <р(о) = 0; <р(с,) = 1; ф(-С2) = -1. Из рассмотрения криволинейных трапеций (рис.1), образованных нормалью п - п до и после деформации, нетрудно установить связь между перемещениями заполнителя и срединных поверхностей несущих слоев м| =(м1 + м2)/2+(/11-/12)н'Л./4 + + <р(гХ(м1 ~и2)12 + (]г1 +/¡2)^/4]; и —> у; х —>в . Пусть иа =(щ +м2)/2; ир = (м] -и2)/2; и —> V. Тогда и1=иа±ир\ v¡=va±vp (£=1,2). (5) Здесь и везде верхний знак относится к наружному несущему слою (/=1), нижний - к внутреннему (/=2). Подставив выражения (5) в (2 - 4), получим перемещения в любой точке и! =иа±ир -(2 + С,- + Л; /2^; «з = иа +(к -¿2^/4 + <К2)(«/з +АгК/4); и —> V; х —> д (6) Вследствие малой жесткости тонких несущих слоев в направлении нормали к срединной поверхности порядок величины IV больше порядков и И V. Кроме того, дифференцирование функций перемещений • оболочек увеличивает их порядок. Таким образом, деформация и перемещения в несущих слоях в нелинейной теории оболочек связаны между собой известными зависимостями: ЄІх=иїх+М2!2’ «.в -УІв +ы/г + )2 /2; и, = (16) ГДгЭ =«,?0+^ + И'лУУ0. (7) 1 ±(С,+Л,) 2* /, х =1 о I I /(?*& + <т*е5 те <1г; ^ ±с, о о ■ - - - - ^ С, 2п I I \ Подставив (6) в (7), для несущих слоев получим £/3 =— | . | / \TixzYLz + гз>г1'з>.г • (17) деформации: 2 -сг о о меридиональные Как правило, на торцах трехслойных оболочек ус- е^=иах±ир -(г + С;+/г,,/2)н'х1+^2/2; (8) тановлены силовые шпангоуты, связывающие несу- х щие слои, через которые и происходит нагружение кольцевые различными силами. При расчете на устойчивость 4 = уае ±уре ~(^ + С,- + К /2)н'еа + к»/г + и>0 /2; (9) внешние силы приводят к контурным, направленным сдвига вдоль образующей, по радиусу, к изгибающим и кру- г _ + + _ тящим моментам. 7ыу иа0 -иРв Уах-УРх (-¡0) Спроецируем внешние силы на оси координат де- - 2(г + С, + 1г- / 2)и>дв + и>х и>в . формируемой оболочки, а изгибающие и крутящие Полагаем, что легкий заполнитель работает только моменты представим в виде пар сил, приложенных к на сдвиг: несущим слоям соответственно по образующей и по г ... . ,.г , ,,, /11Ч кольцу. Вариацию возможной работы нормальной /3*7 ^3 г дт * * 3 3Я О * V / и 2 г у ° силы цг, распределенной по поверхности, сил и мо- Несущие слои будем считать ортотропными. Со- ментов, приложенных к контуру, можно представить гласно обобщенному закону Гука, напряжения во в виде внешних слоях: Е. ОІ =- (иах±иРх-& + С{+К12)кхх + ™х2/2 + *■ + РхЬав +уРо - (г + С; + /г,- / 2>уее + ы/г + ыв 2 / 2), Е I (7? =—■■— +Vдfl-(г+С; +!\ 12)мвв+м>1г+щ112+ + Ну! («а* ± «/), ~ (^ + 1 2К* + ^ / 2)) , Чэ±иРв+Уах±уЭх--2(г + С,+V 2^е + В легком заполнителе нормальными напряжениями пренебрегаем; *!* = с^зУ«з; = С)’гзУ^з. (13) где Слгз, Суг] - соответствующие модули сдвига заполнителя. Или с учетом (6) и (11) +(/¡1 +/12К/4)н I 2л 8АР =|| qz8 \vcix гйв + о о тг = С • "іху хуі + ] ±ир)+^Ри,8^а ±У^) + J \ Е ^ (ув ± у^)+ X ^ ;5 (иа ± к Р) геЮ|' . 2я ч 0 (12) т3к = + (/г1 + й2 К /4) Н-УУд Уравнения движения трехслойной цилиндриче ской оболочки получим, используя метод кинетоста тики. Заменим контурные силы и вариации работы эквивалентными давлениями [4]. Получим Ар =1 ¡А ~(^/ +ри^хх~{ру1 +Ек)л’ое)с1хг(1в. (18) о о С учетом (5) А, =| I £ (рл((иа ±ир) («а» ±и(3И)+ 0 О 1=1 + 11'« ±У/з)^а» ±^«)))+ + Рзк3{иаиап+уауа,')+ + (р1й1 + р2/г 2 + р3/г3 )и>„ ) ¿т/0. Используя (8) - (13), (15), (17) - (19), получим Э= / / Е (о „ >уХ1 :2 (з (1 + и ш ± и р,} 12 -1 / 2 + к,212)+ iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 0 0 1^г=1 + 0>1-»вв2^ + увв ±чрвУ/2-1/2 + н'/г + >у62/2)+ Для системы, находящейся в равновесном состоя- +(рх ц ■ + Э ц ■)/2(уу 2(уд0 ±у^е + нии, . х‘ .у‘ у,хх 5Э = 0. (14) +\уав ±урву/2 + м1г + \уд212)+ Полная энергия + 2и, (1 + „ ± и )(1 + у ±Уро)+ Э = U^+U2+U3~AF-Aj. (15) ГГ ^00 где с// - потенциальная энергия соответствующего * слоя; Ар,А] — работа поверхностных сил и сил инерции. + /12^хв {2 + uax±upx+v0,g ± у^0 ) Потенциальная энергия несущих слоев и слоя за- + ( ± )+ ( ± )\2 + полнителя: ту . + 2^в (и^ + ± ирд ) (1 + На, ± Мд, + ных производных: 2 + (Va, ± Vßx ) (l + Va0 ± Vßg )))+ , + Bxi^{tox±uß*+{uox±lt(kf I2+W2llf +h4wj/320^+ + Ву,[^ав ±vß0 +(vae ±vßeY l2+w!r+we2 nj + + h4wee4 /32o)+ {Bxiixxi + Byißyl) (h4wjweg2 1320 + + («си±мд1+(иа*±“/,х)2 /2 + w2n)x x(va ±v^ +(va iv^)212 + wlr + we2 Г2§+ + G&h,{({uae ±uß9){[ + um±ußx)+ + (v« ± t1 + vaö ± Vß9 )+ Wxwg J + + h4wxg2(wxx + wee)2 !22q}~ — w{cit — (Fxi + Fu ¡jw^ — {fу■ + i )w00)— 1 ( ( \ 2 / „ w w w «x X lß*,- Kee ± v^00 + 2 w0 / r + we w00 j + ~ X \P,hi ±мД“ан ±Ußl,}+ (ya ± Vß j (Vatf ± Vß „ }))- <=1 i=l -PihW uatt vavatt )-(plhl + p2h2 + p2h3)wIt + + 2Gxz{r(uß/2 + (hl+h2)Wx/4f + + wx (2uß + (/г, +h2+h3 )wx ))+ + 2Gyz(r(vß/2 + (hl+h2)We/4f + + wg (2vß +(hl+h2+ h3 )w0))) dx rdd , (20) где Г- 4 н 4/13(^2+бОг02) h 5(h32-4 z02f Полная энергия оболочки есть функционал вида • ^ = i i '^ß ’wyuca'ußx,^ax'vßx'^x’ uad >ußif>vae> vßd . wß. Wxx’W00 > wx0 ) dx rdd (21) Варьируя в уравнении (21) перемещения и выпол- X (Bxi («a« ± up + )+ i=i + )[vaxe ±vßxe +Wx/r + we Wx0 )/ 2 + + G^A (M«00 ±Ußee + V«xS ±V/^0 + W0 WxO + W,Wee j) -- (рх\ + p2h2 + Р3Й3 )«„„ - (p^j + p2fc2 )uß„ = 0 ; X ±.(5ЛІ tea ± И/»„ + )+ /=1 + [BxiPxi + ßyißyi) *0 ± Vß ^ + W, / r + Wfl )/ 2 + + Gxyihi{uaoe ±ußeg + V„x0 ±vßx$ + wewxe + wxw00))- - <?*з [ß*{uß+ (й, + h2)wx /4)+ 2wx)- - (PA - P2h2 )uatt - (p{h 1 + p2h2 )uß„ = 0; X (Bxi (va00 1 Vß00 +2w0 lr + We Wee )+ /=1 ^fixiP’xi ByiPyi ) {UaxO “ Ußx0 WxWx6 )/2 + + GxyA [uaxö ±ußx0 +va.xK±Vßxx + Wxxw0 + wxO wx ))~ - iP\h\ + p2h2 + РъЬ )v„„ - (рЛ + p2h2 )vßtt = 0 ; X ± (Bxi (Va0O ±Vß eo+We lr + W0Weg) + 1=1 + ißxi^xi Byi№уі )(иал9 — u ßri+WxO j/2- + Gxyihl(uaxg ±ußxg+vaxx±vßxx + wxxwg+wxewx))- - Gyz3 (ß * {vß + (hl + h2 К / 4)+ 2w0 )- — (Pl*l -P2h2)vatt -(PA+P2h2)vßtt =0; "tX r ^yi^yyyy ~>r 1 i=l + {Dxißxi + Öyi-Aiy,- + h^Gjyj /12) - нив интегрирование по частям, приведем вариацион- „ ( ( V ( , \, 0 2 ,л\ Hn,vna_eri4WRnnv - ^ К I“-« ± J+ ± «ß J+ ^wxxwx IV- - Byi (w0 (v«09 ± v/J0ö )+ (w00 -1 / 0 (vß0 ±v/j0)+ 2 2 2 » + 3we0w0 /2 + wweg/r + we I(2r)-w/r j- ное уравнение (14) к виду llK(f д dF д dF dFN JJ о 0 /■ + Эх dux гдв dug du 8u + Э ар Э 9F Эх 3vr rdd dvn dv 5v + Э2 9F + Э2 9F Эх2 Эи’^ r2дв2 дwgg дхгдв dwx6 д dF д dF dF dx dwr гдв dwa dw 8 w dxrdd + ln( dF _ dF c -—ou+-—ov + dur dvr d dF d 3F L dF - + -ТГ— --------- loW + T--------owr (22) dx dwr. rdO dw хв dwr rd9= 0. 0 Поскольку вариации диа, ..., 5ш произвольны, множители при каждой из них в первом интеграле должны быть равны нулю. Отсюда следуют, пять дифференциальных уравнений устойчивости в част- ІРхіИхі + В yiß у і) i}vx (var0 — vß хв )"*" + (va0 ± Vße )+ (weg-l/r)(uca±ußx) + We(Ucag ±Ußxg)+WWxx/r + + w2 l(2r) + wxwe wxg + wee wx2/2 + W^Wg2 /2^2- iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. - Gxyihl (2vvx0 (uae ±uße+vm±vßx)+ + Wx (««00 ± “ßeo + Vaxe ± Vßxg )+ + Щ kae ± Ußxe + ± vßxx )+ ' + W„W02 + WxWgWxg + WggW2)- - Gxz3 fa * (ft, + h2) (hß x + (hi + h2 )/4w„ )/ 4 + + 2ußx+(hl+h2+h3)wxx)- - Gyzi(v * (hl +h2){vß9 + (hl +h2)l4weo )/4 + + 2Vßg + (hi +h2+h3 )wgg )- (23) -Я + + Рш ) №хг + + Г*,- )*>„- - (р,й, + р2й2 + р3А3 ) и>„ = 0 . Второй интеграл в выражении (22) соответствует граничным условиям на краях цилиндрической оболочки; они получаются приравниванием нулю множителей при вариациях перемещений, произвольных на контуре. Полученная система дифференциальных уравнений в частных производных (23) не имеет точного решения. Для ее преобразования с сохранением нелинейности зададим перемещения в виде двойных тригонометрических рядов, удовлетворяющих граничным условиям. При шарнирном опирании, к которому обычно приводят реальные условия соединения отсеков ракетных конструкций, примем иа =ЕЕ/1тПС05-7-х&тпв;а->р; 1->2. т п * тп г> =1,^11ътп^т—гхса?-пв^ а->р;3-»4. т п * (24) Подставляя (24) в (22), и учитывая произвольность вариаций амплитуд перемещений /)тп , получаем систему из 5т*п обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений 2-го порядка (ш* и п - число удерживаемых членов ряда): =-язі^(к,й2+<^л(«)2)(/і™ ±/2тл)+ а / і=і + {{ВхіРхі + ВуіНуі )/2 + ) Ш (/Зт„ ± /4тл )- - {Вхі^хі + Ву1Цу;) т/5т„ /(2г)) + + (я, - Я2 )Ся3 (</ * /2тп + ((А, + А2 )/4 + 2)ш/5тп )/2; Лт» =-^з2±^((вя-й2 +сху1Кп1){/,тп ±/2тл)+ 1=1 ([вх і№хі ВуіНуі)/ 2 + б-^А,- ) тп (/-¡тп І /а тп )~ — ІРхі^хі ВуіНуі ) тї5тп Я2г))+ + (АТ, + К2) С«з (у * /2тп + ((А, + А2)/4 + 2) т/5тп 11); =-Из&*Ні((вуіп2 +Схуі\Ш2Угтп ±/4тя)+ а? /=1 + [ВхіНхі + ВуіНуі Ь\тп ± Іітп )/2+ Ву1п/Ътп ІГ + + (я,-Н2)Суі3[у/*/2тп +((*> + Й2 )/ 4 + 2)ії/5тп)/ 2 + + (в*/*** + Хл™. ± /2ш„)/ 2 + Вуія/5тп / г; Л™ =-^зЕ±^((В>',и2 +СлуЛ«2)(/зтл ±/4»т)Н ¡=1 + (ЛГ, + К2 ) Суг3 [у/ * /2тп + ((А, + А2 )/4 + 2)п/5т„ )/2; 12я + ІІ О О ( т' п1( ЕЕ ^¿17' + ЛІ Х/5тп™ ^хуі^і ^ ІРхІ^ХІ Вуі[Іуі) I $Іп[кв)х ТЕ? т* п ^Л+^ІВхіМхі + Ву^У ХЕЕ/5тп4^С ;=и=1 ‘ '&х' 5Іп(^0)х т* я £ хЕЕ/зш«-^11 у=Ц=1 г ]П х сое1 {кв)> Vі Vі г к Іп ХЕЕ/5т»--|-С05| ¡=\к=1 г 1 іґ ґ }П Л -—л: I со&(кв)+ т п + ЕЕ ;=!*=! 2 ^ + — ЛІ ^хуі^і . ІРхіНхі Вуі1іуі) ^П'Х Ьт(^0)х х , ]71 ЕЕ/5т«—СОЇІ у=1Л=1 / хвіп 8Іп(^0) </г ■/5 им -“^0 1 = 1 4 + 4 + + ІРхіУ-хі + Вуі^уі + к^хуі /12) Ш 2п 2 )/. 5 тп -у-л^Бт (пд)с]хг(1в + ^^ 2" -^5 тп Т" (/з тп — ^4 тп )|— -™{вх^п +ву1Цу1){/Хтп ±/2тп)/(2г) + + С«3 И*! + Й2 ) («/атп + « 2 (Й1 + Л2 У5™ /4)/4 + + 2т/1тп + т2 (А, + А2 + Л3 )/5тп )+ + С^з (г(А, + А2) (и/4„и +«2(/г, +А2)/5тп /4)/4 + + 2п/4т„ + п2 (А, + А2 + А3 )/5тп) --Ч-2Мхт2/5тп - 2Муп2¡5тпУ (25) Здесь т=тлЦ-, п-п/г; Я1=(р1А1)'1; Н2 = {ргк2 )ч; Я3 = (2 + р3А3(Я] + Я2)/2)-’; = (р\\ + Р2^2 + Рз^з) ’ ^1 = (^1^1 + Рз^з ^2) ; ^2 = (РЛ + Рз^з / 2)_‘; К3 = (АГ, + К2 У1. Полученные уравнения движения (25) могут быть использованы при исследовании напряженно-деформированного состояния и устойчивости трехслойных ортотропных цилиндрических оболочек при динамическом и статическом нагружениях осевой сжимающей силой, внешним давлением или при комбинированном нагружении. Для решения системы (25) нагрузка представляется в виде функции времени. Например, осевую силу при статическом нагружении можно представить в виде: Р = с0-1, (26) где с0 - скорость нагружения, в статических задачах она должна выбираться так, чтобы не возникал динамический эффект. При нагрузках, изменяющихся во времени, принимается известная функция. В [4] решение представляется в виде одночленной функции с перебором чисел тип. Однако расчеты показывают, что в этом случае имеет место завышение значений амплитуд гармоник перемещений, особенно на начальном этапе выпучивания. Здесь решение (24) представляется в виде ряда с ограниченным числом членов. Сравнение численных результатов, полученных из решения, основанного на одночленной аппроксимации, и решения с удержанием даже небольшого числа членов ряда, показывает лучшую сходимость. Методом подбора установлено, что для расчета реальных конструкций достаточно ограничиться пятью удерживаемыми членами. Критические нагрузки в этом случае оказываются ниже на 2-г7 % (меньшее значение соответствует оболочкам с большим удлинением 1/г), чем при одночленной аппроксимации. Увеличение числа удерживаемых членов ряда сверх пяти приводит к неоправданному возрастанию машинного времени при изменении критических нагрузок не более чем на 1 %. Для определения критической нагрузки используется динамический критерий устойчивости оболочки, вытекающий из критерия устойчивости Ляпунова, для чего уравнения (25) приводятся к нормальному виду задачи Коши путем введения новых переменных Полученные уравнения могут быть решены методом Рунге-Кутта-Фальберга. Отличные от нуля начальные значения амплитуд смещений, необходимые для инициализации движения, принимаются настолько малыми, насколько позволяет ЭВМ и программное обеспечение. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Решение системы (25) даст зависимости £,=//0 (рис. 2), из которых, задавшись мерой опасного состояния оболочки, можно получить критическое время, а затем критическую нагрузку. За критическое принимается время, при котором ускорение опасной гармоники равно нулю, а скорость максимальна (точки перегиба К, на рис. 2). Это время для каждой из гармоник, т. е. для различных сочетаний чисел полуволн вдоль образующей т и чисел воли по кольцу п будет разным. За критическое принимается наименьшее. Критическая нагрузка затем определяется из (26). Литература 1. Григолюк Э.И II Изв. АН СССР. 1958. №1. С. 6. 2. Григолюк Э.И, Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных оболочек. М., 1973. 3. Кобелев В.Н. и др. Расчет трехслойных конструкций. М., 1984. 4. Тимофеев А. С. II Численные и аналитические методы решения задач строительной механики и теории упругости. Ростов н/Д, 1995. С. 74-78. 5.Александров А.Я. и др. Расчет трехслойных панелей. М., 1960. 6. Устарханов О.М. Вопросы прочности трехслойных конструкций с регулярным дискретным заполнителем: Дис... д-ра техн. наук. Ростов н/Д, 2000. Ростовский военный институт ракетных войск 18 января 2002 г. УДК 539.3 АНАЛИЗ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ЖЕСТКИХ ПОРОМАТЕРИАЛОВ ©2003 г. Черноус Д. А., Шилько С. В. Methods for predicting the deformation behaviour of the rigid porous materials based on the analysis of the simplified structural element obtained in the pivoted model of the material structure are suggested. The element that makes it possible to obtain the most precise estimations of the mechanic characteristics is chosen. Пористые материалы, в частности поропласты, получили в последнее время широкое распространение в строительстве, машиностроении, производстве товаров широкого потребления. Они активно используются при протезировании опорно-двигательной и зубочелюстной систем, в частности при создании искусственного периодонта. В связи с этим актуален подробный анализ их механических свойств. Статистический метод моментных функций, метод самосо-гласования и вариационный подход Хашина-Штрик-мана оказываются неприемлемыми для прогнозирования механических характеристик пористых материалов малой плотности[1]. Более адекватны в этом случае методы структурного моделирования [2, 3].

https://cyberleninka.ru/article/n/analiticheskie-vyrazheniya-svyazyvayuschie-razlichnye-teplofizicheskie-parametry-komponentov-hlopka-syrtsa

The method of calculation of unexplored thermophysical parameters of specified components of different (no quality) cotton sorts on know thermophysical parameter of components of this sort has been investigated.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2008, том 51, №1__________________________________ ФИЗИКА УДК.536.22 М.И.Салахутдинов, К.С.Мухиддинов, академик АН Республики Таджикистан Р.Марупов АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ, СВЯЗЫВАЮЩИЕ РАЗЛИЧНЫЕ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ КОМПОНЕНТОВ ХЛОПКА-СЫРЦА Исследование теплофизических свойств компонентов хлопка-сырца сопряжено с рядом трудностей, которые обсуждаются в работе [1]. Измеряемые теплофизические параметры являются эффективными, так как в измерительной ячейке в промежутках между различными частями компонента хлопка содержится воздух. Он находится между нитями волокна, между семенами, между кусочками кожуры семян и между ядрами семян, определяя степень пористости этих объектов исследования. В работе [1] были исследованы экспериментально теплофизические свойства (удельная изобарная теплоемкости ср, коэффициенты теплопроводности X и температуропроводности а) компонентов хлопка-сырца тонковолокнистого хлопчатника селекционного сорта 9326-В в интервале температур 298-423 К. Все измерения были проведены при постоянной для каждого компонента пористости, равной отношению собственного объема компонента хлопка в ячейке к внутреннему объему измерительной ячейки. Был проведен сравнительный анализ результатов для исследованных первых трех сортов (по качеству) хлопка-сырца и его компонентов. В работе [2] проведено обобщение этих экспериментальных результатов на основе теории подобия [3,4]. Теплофизические величины, как было показано, зависят только температуры, то есть А/ = Д?(Т), а' =^(Т), где индексом 1 обозначаются соответственно компоненты хлопка-сырца - волокно, семена, кожура и ядра семян, а индекс ] указывает сорт хлопка-сырца: ]=1 - 1-ый сорт, ]=2 - 11-ой сорт, .¡=3 - Ш-ий сорт. Например С^" означает удельную изобарную теплоемкость семян хлопка- сырца Ш-го сорта. В качестве критерия подобия выбиралось отношение Т 1ТХ, где Т1 - некоторая температура из интервала, в котором проводились измерения. Температура Т1 для всех компонентов хлопка-сырца 1-го сорта была принята равной 323 К, тогда для всех компонентов двух других сортов хлопка температура приведения в общем случае должна быть разной, несколько отличающейся от Т1. Так как структуры и свойства компонентов различных сортов хлопка отличаются сравнительно мало, то было принято, что температуры приведения для всех компонентов всех сортов хлопка одинаковы и равны Т1. На основе экспериментальных данных были построены графики зависимостей с(г) Т *0) _ У _ Лг) рз Л}) т7 ’ 1 1 л(0 т 1 _ г(1) т* ] л(0 т у ’ а{1) Т *г = а, 1 = ло г* ' ^ Тх для всех компонентов хлопка-сырца, которые показали, что экспериментальные точки для любого компонента всех трех сортов хлопка хорошо ложатся на одну общую кривую в приведенных координатах. Иначе говоря, приведенные эффективные теплофизические параметры одного компонента всех сортов хлопка хорошо описываются одной зависимостью. Было найдено, что аналитические выражения, описывающие вышеуказанные зависимости для волокна (в), семян (с), кожуры (к) и ядер (я) семян, имеют вид с* = 2.2190-3.2720Г* +2.0450Г*2, (1) срс = 0.4035-0.9202Г*+0.8489Г*2, (2) срк = 1.9210-1.6820Г*+1.4730Г*2, (3) =9.3790-18.08807*+9.6520Г*2, (4) Л*е = 5.2560 - 10.2680Г* + 6.0050Г*2, (5) Д*с =-2.5970-3.6782Г* + 2.0816Г*2, (6) Г" =4.7570-8.10307* + 4.3300Г*2 5 (7) Гя =1.2200-2.26607* +1.9930Г*2. (8) а*е =0.4313-0.6453Г* -0.0749Г*2, (9) а*с =1.1222-1.6940Г* +1.5880Г*2, (10) а** =1.1434-0.91647* +0.7671Г*2, (11) а*я =0.3540-1.91 ЮГ*-0.5720Г*2, (12) где в - волокно, с - семена, к - кожура семян, я - ядра семян. Эти формулы позволяют рассчитать с погрешностью 4-6% неизвестные значения теплофизического параметра данного компонента любого сорта хлопка-сырца по известному значению этого параметра для данного компонента одного сорта хлопка. Например, зная коэффициент теплопроводности для волокна хлопка-сырца 11-го сорта, по формуле (5) можно определить коэффициент теплопроводности для волокна 1-го и Ш-го сортов. Аппроксимационные выражения для теплофизических параметров хлопка-сырца в целом имеют вид с* = -1.122 + 1.719Г*+0.417Г*2, (13) А* =-0.400-1.300Г* + 2.843Г*2, (14) а =1.516 —1.467Г*—0.957Г*2 (15) и выполняются с погрешностью до 6%. Следующая наша задача заключается в установлении связей между различными эффективными теплофизическими параметрами хлопка-сырца и его компонентов. Это является важной задачей, так как её решение может найти практическое применение в технологическом процессе сушки хлопка-сырца. Для установления вышеуказанных связей необходимо построить, используя формулы (1)-(15), графики зависимости одного из приведенных параметров от двух других так, чтобы каждая точка на графике соответствовала значениям двух приведенных параметров при од- ^ Н4 % Н* 5|{ ной и той же температуре. На рис. 1 и 2 приведены графики зависимостей Ср от X и Ср от а для хлопка-сырца и его компонентов. Рис.1. Зависимость между приведенной удельной теплоемкостью Ср и приведенным коэффициентом теплопроводности Л для хлопка-сырца (1), волокна (2), семян (3), кожуры семян (4) и ядер семян (5). Рис.2. Зависимость между ной удельной теплоемкостью С р и приведенным коэффициентом темпе* ратуропроводности а для хлопка-сырца (1), волокна (2), семян (3), кожуры семян (4) и ядер семян (5). Аналитические зависимости, полученные на основе графиков, представленных на рис. 1 и 2, и учитывающие все возможные попарные комбинации из термодинамических параметров хлопка-сырца и его компонентов, имеют вид: для хлопка-сырца для волокна для семян для кожуры семян для ядер семян с* =0.390 + 0.616А*- 0.028/1 *2 с* = -2.930 + 4.165а -0.269а *2 С' = 0.897-0.005Г+0.124 Г2, с* =12.546-24.400а* + 12.840а *2 с =3.370-0.8561+5.195/1 *2 =2.153-3.128« +1.933« *2 с' =-0.139-+0.932Г+ 0.212А*2, с = 5.882-11.137« +6.253« *2 *2 Ср = 0.360 + 0.336ЯГ + 0.291л с! =18.130-35.840«* +18.665« *2 (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) * * * * С таким же успехом вместо зависимостей Ср (А, ) и Ср (а ) можно было бы использовать зависимости X ^р и X (а ) или а ^р и а (X). Если измерен один из теплофизических параметров хлопка-сырца одного сорта, то по соответствующим формулам (16)-(25) и (1)—(15) можно рассчитать с погрешностью до 6% этот же теплофизический параметр для двух других сортов, а также два других теплофизических параметра хлопка-сырца всех сортов. Например, пусть известна удельная изобарная теплоемкость ср волокна хлопка 1-го сорта. Тогда по формуле (2) можно рассчитать теплоемкость волокна хлопка 11-го и Ш-го сортов. По формуле (16) можно найти приведенный коэффициент теплопроводности, затем по формуле (6) нетрудно рассчитать коэффициент теплопроводности волокна для всех сортов хлопка. Аналогичным образом можно определить коэффициент температуропроводности волокна всех сортов. Предложенный в данной работе метод определения одних теплофизических параметров по другим может быть успешно применен и к другим селекционным сортам хлопчатника. Более того, он может быть применен к совершенно другим системам, обладающим схожими структурами и близкими физико-химическими свойствами, например к простым жидкостям (жидкие аргон, криптон, ксенон, неон, радон) или гомологическим рядам углеводородов, спиртов, альдегидов и т.п. Таджикский технический университет Поступило 25.12.2007 г. им. акад. М.С.Осими, Н« Физико-технический институт им.С.У.Умарова АН Республики Таджикистан ЛИТЕРАТУРА 1. Марупов Р., Мухиддинов К.С., Салахутдинов М.И. - ДАН РТ, 2006, т.49, №7, с.629-633. 2. Салахутдинов М.И., Мухиддинов К.С., Марупов Р. - ДАН РТ, 2006, т.49, №8, с.721-726. 3. Кирпичев М.В. Теория подобия. М.: Изд-во АН СССР, 1953, 96 с. 4. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1981, 448 с. М.И.Салохутдинов, Ц.С.Мухиддинов, Р.Марупов ИФОДАХ,ОИ ТАХ,ЛИЛИЕ, КИ ПАРАМЕТР^ОИ ГУНОГУНИ ЦИСМАТ^ОИ ПАХТАРО ВОБАСТА МЕКУНАНД Усули хдсобкунии параметрх,ои гармофизикии номаълум барои кисмати мукарраршудаи пахтаи навъх,ои гуногун (аз руи сифат) дар асоси параметри маълум барои хдмин кисмати пахтаи як навъ пешних,од карда шудааст. M.I.Salakhutdinov, K.S.Mukhiddinov, R.Marupov ANALITIC EQUATIONS CONCERNING DIFFERENT THERMOPHYSICAL PARAMETERS OF COTTON COMPONENTS The method of calculation of unexplored thermophysical parameters of specified components of different (no quality) cotton sorts on know thermophysical parameter of components of this sort has been investigated. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

https://cyberleninka.ru/article/n/otsenka-vliyaniya-povrezhdennosti-elementa-stroitelnoy-konstruktsii-na-parametry-ego-spektra-sobstvennyh-chastot-metodom-konechnyh

Методом конечных элементов проведен модальный анализ элемента строительной ферменной конструкции с повреждением в виде надреза во внутреннем углу модели элемента. Найдены частоты резонанса и формы колебания модели элемента с надрезом различной глубины и построены их частотные зависимости для 2Dи 3D-моделей. Выявлены и проанализированы особенности спектра собственных частот моделей, связанные с формами колебаний и кинематикой движения в зоне надреза. Намечен подход к использованию найденных особенностей в качестве диагностического признака предразрушения элемента конструкции.

УДК 539.67; 620.178 ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ПОВРЕЖДЕННОСТИ ЭЛЕМЕНТА СТРОИТЕЛЬНОЙ КОНСТРУКЦИИ НА ПАРАМЕТРЫ ЕГО СПЕКТРА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ © 2009 г. В.А. Акопьян*, А.Н. Соловьев*, А.Н. Кабельков**, А.В. Черпаков*** *НИИ механики и прикладной математики им. И.И. Воровича ЮФУ, г. Ростов-на-Дону * *Ю жно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт) ***Ростовский государственный строительный университет *Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics of Southern Federal University **South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute) ***Rostovskiy State Building University Методом конечных элементов проведен модальный анализ элемента строительной ферменной конструкции с повреждением в виде надреза во внутреннем углу модели элемента. Найдены частоты резонанса и формы колебания модели элемента с надрезом различной глубины и построены их частотные зависимости для 2D- и 3D-моделей. Выявлены и проанализированы особенности спектра собственных частот моделей, связанные с формами колебаний и кинематикой движения в зоне надреза. Намечен подход к использованию найденных особенностей в качестве диагностического признака предразруше-ния элемента конструкции. Ключевые слова: метод конечных элементов, модальный анализ, спектр собственных частот. The modal analysis of element of the building farm construction with damage in the form of the incision in internal corner of the model element has been fufiled. The frequencies of the resonance and shares of the model oscillation for element with incision of various depth have been revealed and their frequencies for 2D- and 3D-models found. The features of the eigenfrequency spectrum for models connected with the oscillation shapes and movement kinematics in the incision zone have been obtained and analyzed. The approach to application of peculiariarities defined as a diagnostic criterion for the prefracture of the construction element has been marked. Keywords: finite element method, modal analysis, eigenfreguenscy spectrum. Участившиеся в последние годы случаи внезапного разрушения зданий и сооружений вызвали необходимость их анализа методами неразрушающего контроля и технической диагностики, среди которых достаточно широко используются резонансные методы свободных (МСК) и вынужденных колебаний (МВК) и значительно реже метод акустической эмиссии (АЭ). Актуальность этой проблемы подтверждается, например, разработкой в США крупной программы, которая называется Structure Health Monitoring и посвящена мониторингу ресурса конструкций. Задачи, возникающие при решении этой проблемы, и состояние вопроса подробно изложены в работах [1, 2], в которых, как и в некоторых других, диагностика повреждений базируется на основе поис- ка корреляционных связей параметров частотного спектра колебаний со степенью поврежденности элемента конструкции с использованием МСК и МВК. Другие методы диагностики, а также различные диагностические признаки поврежденности строительных конструкций гражданского назначения проанализированы в одном из последних обзоров [3]. К этому обзору можно добавить цикл работ В.В. Матвеева, А.П. Бовсуновского, В.А. Постнова, посвященных решению задач о колебаниях стержневых моделей с трещинами, в которых были получены приближенные аналитические соотношения, описывающие связь глубины трещины с изменениями частот резонансов собственных колебаний. В этих работах приведены результаты как аналитических, так и конечно- элементных расчетов параметров собственных колебаний стержней с трещиной. Работ, посвященных исследованию колебаний более сложных, чем стержни, элементов конструкций с трещинами, явно недостаточно. Настоящая работа является продолжением исследований, результаты которых частично опубликованы в [4], и посвящена конечно-элементному моделированию элементов строительных конструкций треугольной формы, ослабленных надрезами. Цель исследований заключалась в поиске общих закономерностей частотных зависимостей элемента треугольной конфигурации с надрезом, полученных из конечно-элементного анализа 2D- и 3D- моделей и связи этих особенностей с критической глубиной надреза, характеризующей момент предразрушающего состояния. Конечно-элементные модели. Как и ранее [4], механическая модель представляет собой консольно-закрепленный элемент ферменной конструкции правильной треугольной формы (длина стороны 250 мм, размеры прямоугольного сечения 4x8 мм). Надрезы различной глубины, моделирующие развитие трещины, располагались во внутреннем угле. На первом этапе был проведен расчет собственных частот и форм колебаний 2D-модели, и на втором - 3D-модели. Результаты этих расчетов (для первых 12 мод колебаний) отражены на рис. 1, на котором по оси абсцисс отложены относительные значения глубины надреза у, а по оси ординат - относительное изменение резонансной частоты е, причем У = fr(t) - fr (to) fr (to) ' где t - текущее значение глубины надреза; ^ - исходное значение высоты поперечного сечения в зоне надреза; ^ (!) - резонансная частота. У t t o £ = 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 а У б Рис. 1. Зависимость относительного изменения резонансной частоты колебаний от относительной глубины надреза по результатам модального анализа 2Д-модели (а) и 3Д-модели (б) для первых 12 мод колебаний Анализ зависимостей частот резонанса от глубины надреза, построенных по результатам конечно-элементного расчета обеих исследованных моделей, позволил выявить некоторые общие закономерности. 1. Значения резонансных частот большинства мод колебаний с увеличением глубины надреза уменьшаются, но в различной степени. Характер этих зависимостей вполне объясним с физической точки зрения тем, что частота резонансов падает с уменьшением жесткости элемента конструкции. Вместе с тем, резо-нансы некоторых мод колебаний мало меняются с увеличением глубины надреза, причем это имеет место для обеих 2D- и 3D-моделей 2. Для обеих исследованных моделей можно выделить частоты, которые являются чувствительными к глубине надреза во всем его диапазоне изменения. 3. Графики резонансных кривых е (у) для различных мод колебаний имеют двоякий характер: часть из них монотонно уменьшается с ростом глубины надреза, не меняя кривизны, а другие выполаживаются, т.е. имеют точку перегиба, которая наблюдается при глубине надреза в пределах 0,5 < у < 0,75. 4. Изменение глубины надреза приводит к перестройке форм колебаний как в пределах 2D-модели, так и переходом от плоской формы в пространственную. С целью выяснения причин возникновения отмеченных выше особенностей был проведен анализ форм колебаний, соответствующих разным модам и размеру надреза. Анализ этих форм позволил сделать следующие выводы: - для частот, кривые которых (см. рис. 1), сохраняя выпуклость, значительно убывают, мода колебаний не претерпевает перестройки, причем кинематика движений такова, что надрез претерпевает значительное раскрытие, и интенсивно движется незакрепленный стержень, примыкающий к разрезу (на рис. 2 -левая боковая сторона внизу закреплена, разрез в левом нижнем углу); - медленно убывающие кривые и пологие участки на других кривых соответствуют формам колебаний, в которых указанный выше стержень не имеет интенсивных движений, и надрез не раскрывается значительно (рис. 3); - участки кривых, на которых происходит переход от пологого участка к резкому снижению частоты и наоборот, соответствуют перестройкам форм колебаний, особенно в окрестности разреза и указанного выше стержня (рис. 4). Наличие этих участков, где происходит резкое снижение определенных частот, может быть связано с характерными размерами надреза, расположенного в определенном месте и служить диагностическим признаком идентификации повреждения или предразрушения. Измерение вибросмещений в различных точках элемента треугольной конфигурации и параметров сигналов акустической эмиссии, проведенные нами ранее на измерительно-информационном комплексе ИИК [4], подтвердили наличие выявленных особенностей на резонансных зависимостях, связанных с критической глубиной надреза. Совокупность конечно-элементных и экспериментальных результатов дают основания для использования критического размера повреждения в качестве критерия предразрушающего состояния модели элемента конструкции. Рис. 2. Распределение модуля смещений на 3-й моде на деформированной конструкции при отсутствии дефекта (слева) Рис. 3. Распределение модуля смещений на 4-й моде на деформированной конструкции при относительной глубине надреза у = 0,875 а б Рис. 4. Перестройка формы колебаний на 10-й моде: а - при отсутствии дефекта; б - при относительной глубине надреза у = 0,875 Работа выполнена при частичной поддержке грантов РФФИ № 07-08-12193 и 08-08-90700-моб ст. Литература 1. Lim Tae W, Kashangaki Thomas A.L. Structural damage detection of space truss structures using best achievable eigenvectors // AI FF Journ. 1994. Vol. 32, № 5. P. 10491057. 2. Jenkins L.S. Cracked shaft detection on large vertical nuclear reactor coolant pump // Proc. of the conf. on Instability in Rotating Machinery. 1985. P. 253-266. Поступила в редакцию 3. A. Del Grosso, F. Lanato // A critical review of recent advances in monitoring data analyses and interpretation for civil structures// Proc. Eur. Conf. on Structural Control (4ECSC). S-Peterburg. 2008. Vol. l. P. 320-327. 4. Акопьян В.А., Рожков E.B., Соловьев AM., Черпаков А.В. Теоретико-экспериментальные исследования колебательных процессов в моделях элементов рамных конструкций с надрезом // Тр. XI Междунар. конф. «Современные проблемы механики сплошных сред», г. Ростов-на-Дону, ООО ЦВВР, 2007, т. 1. С. 11-17. 1 июля 2008 г. Акопьян Владимир Акопович - канд. техн. наук, ведущий научный сотрудник НИИ механики и прикладной математики Южного федерального университета. Тел. 863) 2975225. E-mail: [email protected] Соловьев Аркадий Николаевич - докт. физ.- мат. наук, зав. кафедрой Донского государственного технического университета. Тел. (863) 2381509. E-mail: [email protected] Кабельков Александр Николаевич - зав. кафедрой Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института). Тел. (86352) 55444. E-mail: [email protected] Черпаков Александр Владимирович - ассистент Ростовского государственного строительного университета. Тел. (86350) 57059. E-mail: [email protected] Akopyan Vladimir Akopovich - leading earch assistant of research institute of mechanics and applied mathematics of Southern Federal University. Ph. 863) 2975225. E-mail: [email protected] Solovev Arkadiy Nikolaevich - head of department of Donskoy State Technical University. Ph. (863) 2381509. E-mail: [email protected] Kabelkov Aleksandr Nikolaevich - head of department of South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (86352) 55444. E-mail: [email protected] Cherpakov Aleksandr Vladimirovich - assistant of Rostov State Building University. Ph. (86350) 57059. E-mail: [email protected]

https://cyberleninka.ru/article/n/issledovanie-roli-primesnyh-defektov-pri-formirovanii-lyuminestsentnyh-svoystv-srtio3-pr3-al-kristallofosfora

Проведено исследование по влиянию коактиватора (А1) на спектральные характеристики фотолюминесценции SrTiO3:Pr3-, A1. На основе анализа термодинамических расчетов концентрации примесных дефектов и экспериментальных результатов по исследованию влияния коактиватора на люминесцентные свойства, показано наличие двух типов центров свечения (PrSrА1Т/)Х и PrSr-, принимающих участие в фотолюминесценции SrТiO3:Рг3-, А1. Обсуждаются процессы передачи энергии возбуждения центрам свечения SrTiO3:Pr3-, A1.

УДК 621.327.2:54.057 ИССЛЕДОВАНИЕ РОЛИ ПРИМЕСНЫХ ДЕФЕКТОВ ПРИ ФОРМИРОВАНИИ ЛЮМИНЕСЦЕНТНЫХ СВОЙСТВ SrTiÜ3:Pr3+, AI КРИСТАЛЛОФОСФОРА © 2005 г. Л.В. Михнев, Б.М. Синельников, Н.И. Каргин, В.А. Тарала, А.С. Гусев, Е.А. Бондаренко, О.М. Михнева Примесные дефекты в значительной степени определяют оптические, электрофизические и люминесцентные свойства широко известных цинксульфид-ных электролюминофоров [1]. Вероятно, не является исключением и новый кристаллофосфор , А1, обладающий электролюминесцентными свойствами [2]. Однако исследование только электролюминесцентных характеристик, как правило, не позволяет установить природу центров, участвующих в процессах свечения кристаллофосфоров (особенно это касается материалов, обладающих внутрицентро-вой люминесценцией). В этом случае весьма эффективным является исследование свойств кристалло-фосфоров при их фотовозбуждении в сочетании с кристаллохимическими расчетами [3]. На рис. 1 представлены спектры фотовозбуждения образцов 8гТЮ3:Рг3+, А1 с концентрацией алюминия 0, этом же рисунке представлен и спектр диффузного отражения (кривая 5), из которого методом аппроксимации прямолинейных участков оценена ширина запрещенной зоны кристаллофосфора - 3,27 эВ. 5, 15, и 25 моль%, измеренные в полосе люминесценции 617 нм (длина волны соответствует максимуму интенсивности в спектре электролюминесценции). На Из рисунка видно, что внутрицентровая люминесценция 8гТЮ3:Рг3+, А1 имеет место в двух неперекрывающихся областях. В коротковолновой области до 400 нм фотовозбуждение связано с фундаментальным поглощением 8гТЮ3:Рг3+, А1. В области 440-500 нм наблюдаются полосы примесного (активаторного) поглощения с максимумами на длинах волн 450, 475 и 490 нм, которым соответствуют переходы внутренних 41-электронов иона Рг3+ из основного (3Н4) в возбужденные (3Р1+:16, 3Р0 и 3Р2) состояния. При этом форма спектра возбуждения в активаторной полосе не зависит от концентрации вводимого алюминия (показана на вставке к рисунку). Интенсивность люминесценции при возбуждении в область фундаментального поглощения возрастает с увеличением концентрации вводимого А1 до 25 моль % (рис. 2), после чего, как показал эксперимент, наблюдается ее спад, связанный, очевидно, с образованием новых (более широкозонных, чем 8гТЮ3) фаз, 8гА1204 и 8гА112019 и др. оксидов, кото- Длина волны, нм Рис. 1. Спектры фотовозбуждения (в полосе люминесценции 617 нм) кристаллофосфора 8гТЮ3 :Рг3+ , А1, полученного при введении различных количеств А1: 1 - 0 моль %, 2 - 5 моль %, 3 - 15 моль %, 4 - 25 моль %, 5 - спектр отражения рые также могут активироваться ионами празеодима. Известно, например [4], что заметное образование 8гЛ112019 наблюдается при концентрации алюминия 33 моль %. что спектр фотолюминесценции (рис. 4 а) при возбуждении в активаторную область содержит четыре элементарные составляющие с максимумами на длинах волн 606, 622, 650 и 657 нм. Наиболее интенсивную полосу с максимумом 606 нм по своему спектральному положению можно отнести к переходу 3Р0 ^ 3Н6 внутри иона Рг3+. Полоса в области 622 нм по своим энергетическим характеристикам также соответствует переходу 3Р0 ^ 3Н6. Полосы с максимумами 650 и 657 нм являются суперпозицией полос, связанных с переходами 3Р0^ 3Б2 [5]. При возбуждении в область фундаментального поглощения наблюдается совершенно иной по сравнению с примесным фотовозбуждением спектр лю- приходится на длину волны 617 нм. 20 40 60 Концентрация Al, моль % Рис. 2. Зависимость интенсивности люминесценции БгТЮ^Рг34 , Л1 от концентрации вводимого алюминия при возбуждении в полосу фундаментального поглощения Повышение концентрации вводимого в кристал-лофосфор коактиватора приводит к уменьшению интенсивности люминесценции при возбуждении в область примесного поглощения (рис. 3). Более того, спектры фотолюминесценции 8гТЮ3:Рг3+, Л1 при возбуждении в область фундаментального и актива-торного поглощения кристаллофосфора неодинаковы (рис. 4). Разложение на гауссовы составляющие показало, 20 40 60 Концентрация Al, моль % Рис. 3. Зависимость интенсивности люминесценции 8гТЮ3:Рг3+, Л1 от концентрации вводимого алюминия при возбуждении в область примесного поглощения 0 0 Рис. 4. Форма спектров люминесценции образцов БгТЮ3:Рг3+; Л1 при фотовозбуждении в активаторную область (а) и в область фундаментального поглощения (б) минесценции, максимум интенсивности которого Разложение спектра (рис. 4 б), полученного при фотовозбуждении в фундаментальную область, выявило семь элементарных полос с максимальными значениями их интенсивности на длинах волн 606, 617, 622, 697, 702, 712 и 727 нм. Этим полосам можно сопоставить следующие люминесцентные переходы 4!"-электрона в ионе Рг3+ [4]: 3Р1+116 ^ 3Р2 с максимумом 617 нм (не исключено также, что за эту полосу ответствен переход 1Б2 ^ 3Н4); 3Р0 ^ 3Н6 с максимумом 606 и 622 нм; 3Р1+116 ^ 3Б4 с максимумом 712 нм (за эту полосу может отвечать также и переход 1D2 ^ 3Hs); 3Po F3 с максимумом 697 и 702 нм; Р0 ^ Р4 с максимумом 728 нм. Вклад люминесцентных переходов в спектр свечения при возбуждении в область основания и актива-торную область различный. При возбуждении в область до 400 нм в разложении присутствует полоса с максимумом 617 нм (идентифицированная как переход 3Р1+:16 ^ 3Р2), а также наблюдается длинноволновая полоса люминесценции с максимумом 712 нм (переходы 3Р0 ^ 3Б3 и 3Р1+116 ^ 3Б4), эти полосы отсутствуют в спектре люминесценции при активаторном фотовозбуждении. В то же время полосы люминесценции (с максимумами 650 и 657 нм (переходы 3Р0^3Б2) отсутствуют в интегральном спектре излучения при возбуждении фундаментальной области кристаллофосфора. Причиной этому может служить различная вероятность 4:-переходов, зависящая от локальной симметрии и силы кристаллического поля, в котором находится редкоземельный ион в матрице основания. Поэтому за люминесценцию 8гТЮ3:Рг3+, А1 ответственны два центра свечения, ядрами которых являются ионы Рг3+, располагающиеся в решетке кристаллофосфора в двух неэквивалентных позициях. Причем один тип центров свечения работает при возбуждении в область фундаментального поглощения, а другой - при возбуждении в активаторную область. Рассмотрим дефектную ситуацию в 8гТЮ3 при легировании его Рг и А1. Принцип микрокомпенсации объема указывает на то, что замещение примесью атома решетки на стадии твердофазного синтеза будет происходить лишь в том случае, когда их ионные радиусы соизмеримы. В таблице приведены ионные радиусы Рг3+, А13+, Т14+ и 8^+ [4]. Значение радиусов замещающих и замещаемых ионов R 3+ R 3+ -л 4+ RTi R 2+ RSr 1,16 -10-1° , м 0,57 -10-1° , м 0,64 -10-1° , м 1Д7- 10-10 , м Из таблицы видно, что при данных значениях ионных радиусов ион Рг3+ в 8гТЮ3 преимущественно замещает ионы 8г2+, т.е. образуется дефект Рг8Д а ион алюминия А13+ вероятнее всего замещает ионы Т14+, что приводит к образованию дефекта А1Т/. Появление в кристалле примесных дефектов с различными по знаку эффективными зарядами должно приводить к компенсации этих зарядов, по крайней мере, частичной. Между разноименными зарядами возникают силы электростатического взаимодействия, которые на стадии синтеза способствуют их сближению. Иными словами, наличие на рассматриваемых дефектах раз- личных по знаку эффективных зарядов таит в себе тенденцию к их ассоциации. Таким образом, можно предположить, что в SrTiO3 при введении Pr и Al образуется ассоциированный центр свечения (PrS/ AlTi)x, который представляет собой нейтрально заряженный дефект кристаллической решетки. Как и простые дефекты, этот ассоциат может создавать внутри запрещенной зоны занятые или свободные энергетические уровни, т.е. находиться в ионизированном или нейтральном состоянии. По-видимому, другим центром свечения является дефект PrS/. Вопрос о том, какой из указанных центров свечения ответствен за люминесценцию, полученную при фотовозбуждении в область фундаментального поглощения, а какой - при активаторном возбуждении, можно решить, сравнивая результаты термодинамических расчетов с экспериментальными данными. Поскольку интенсивность люминесценции есть функция концентрации центров свечения, то для выяснения роли соответствующих центров достаточно найти зависимость концентрации примесных дефектов PrS/ и (PrS; AlTi )x от концентрации вводимого Al и сравнить ее с результатами исследования по влиянию Al на интенсивность люминесценции. При расчетах необходимо учитывать следующее: 1. Концентрация вводимого коактиватора постоянна и составляет 0,2 моль%: [Рг]о61Ц = const = 0,2 моль%. 2. Введение в SrTiO3:Pr3+ более 25 моль% Al приводит к образованию алюминатов стронция, поэтому расчет необходимо проводить в диапазоне концентраций вводимого Al от 0 до 25 моль%. 3. Концентрация ассоциата не может превышать концентрацию вводимого празеодима: [(Pr^ a1t/)x] < [Pr^.. Дефекты PrS/ и A1T/ могут существовать как отдельные центры и объединяться в ассоциат. Таким образом, при внедрении Pr и Al в SrTiO3 одновременно могут образоваться дефекты PrS/, A1T/ и (PrS/ AlTi)x. Это явление можно записать в виде: = [PrS ]+r(Prs'rAlTi )X [Pr] общ (1) т.е. общая концентрация Рг идет на образование двух центров Р^/ и (Р^А^/Г. Аналогично можно записать уравнение и для алюминия: [Al] общ = [Al'sr ] + ^(PrSrAl'Tl) (2) Кристаллохимическое уравнение образования ас-социата в свою очередь имеет вид Рг&- + а1т1/ ^ (Рг8г^А1Т1/)х. Закон действующих масс для этого уравнения: [(рг• А1'ъ ) k = (3) [Рг I ] ]А1'ъ ] Для того чтобы найти зависимости центров люминесценции [Р^Л от [А1]общ и [(Рг8г^ А1Т1/)Х] от [А1]общ, уравнения (1) - (3) необходимо объединить в систему и решить относительно [А1]общ. Выполнив несложные математические вычисления, получаем для предполагаемых центров свечения: —> [k ([Pr ]общ +[Al U )J [r Sr Aln Y J _ Vi1 + k([Pr]общ +[Al]общY -4k2[Pr] общ [Al ]общ 2k [Pr. J_ k ([pr ]бщ -[Al ]бщ )- 1}| L 2 k [Рг]общ — [Al]общ -l)2 - 4k[Pr] 2k (4) (5) ассоциированным центром, переводя ион празеодима в состояние Рг4+. Электрон из зоны проводимости ре-комбинирует с дыркой, захваченной на центре свечения, в результате чего ион празеодима переходит в возбужденное состояние Рг3+ . Переход ионов празеодима из возбужденного в основное состояние сопровождается излучением квантов света, которые в совокупности дают спектральное распределение, представленное на рис. 4 б. Основываясь на данных по зависимостям интенсивности люминесценции от концентрации А1 при возбуждении в фундамен- ; тальную и активаторную области, константу равновесия к можно определить методом < последовательных приближений. Определив значение к (в нашем случае 0,2), можно оценить и значение энергии образования ассоциата по формуле Е = ЯТ1пк [3]. Рассчитанная таким образом энергия составляет величину 17,38 кДж/моль, или 0,18 эВ. Построив зависимости (4) и (5), можно определить характер изменения концентрации дефектов от концентрации вводимого алюминия. Из рис. 5 видно, что концентрация [(Рг8; А1Т/)Х] должна возрастать при увеличении концентрации алюминия, а концентрация [Рг8/] (рис. 6) при увеличении концентрации алюминия должна падать. Таким образом, сопоставляя расчетные данные (на рис. 5 и 6) с экспериментальными (на рис. 2 и 3), можно сделать вывод, что дефект (Рг8^А1Т/)Х является центром люминесценции при возбуждении в область фундаментального поглощения. Механизм люминесценции в этом случае можно упрощенно представить следующим образом. Квант возбуждающего излучения поглощается решеткой основного вещества 8гТ103, при этом образуются несвязанные электрон и дырка. Дырка, мигрируя по кристаллу, захватывается 20 15 10 5 10 15 20 Концентрация Al, моль % 25 Рис. 6. Зависимость концентрации [Рг£] от [А1]общ За люминесценцию при возбуждении в область ак-тиваторного поглощения ответствен дефект Рг81Л В этом случае происходит непосредственное поглощение энергии возбуждающего излучения ионом Рг3+, т.е. реализуются переходы 41-элекгронов иона Рг3+ из основного 3Н4 в возбужденные состояния 3Р0, 3Р1 и 3Р2. В результате перехода ионов Рг3+ из возбужденного в основное состояние излучаются кванты света, дающие в совокупности спектральное распределение, представленное на рис. 4 а. 18 п 16 14 12 10 и о ¡3 S ® Д О о И о 0 0 20 5 10 15 Концентрация А1,моль % Рис. 5. Зависимость концентрации [(Pr, AlT)x] от [А1]общ 25 Литература 1. Георгобиани А.Н., Шейнкман М.К. Физика соединений А2В6. М., 1986. 2. Синельников Б.М., Каргин Н.И. и др. //Химия твёрдого тела и современные микро- и нано-технологии: Тез.докл. Междунар. науч. конф. 13-18 октября 2002 г. Кисловодск, 2002. С. 183. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 3. Синельников Б.М. Физическая химия кристаллов с дефектами. Ставрополь, 2003. 4. Yamamoto H., Okamoto S., Kobayashi H. // J. Appl. Phys. 1999. Vol. 86. № 10. P. 5594-5597. 5. Синельников Б.М., Каргин Н.И. и др. // Вестник Сев.-Кавк. гос. техн. университета. Серия физико-химическая. 2004. №1(8). С. 6 - 15. Северо-Кавказский государственный технический университет 15 декабря 2004 г. 0 0 5 8 6 4 2

https://cyberleninka.ru/article/n/nekotorye-zadachi-statiki-uprugih-tel-pri-uchete-mezhfaznyh-granits

Разрабатывается математическая модель межфазной границы, в рамках которой фазовая граница представляет собой слой, состоящий из смеси обеих фаз. На основе вариационного метода рассмотрено равновесие тела, состоящего из двух фаз, разделенных переходным слоем, расположение и толщина которого предполагаются заранее неизвестными и подлежащими определению в ходе решения задачи. В качестве примера рассмотрены задачи о радиально симметричной деформации сплошного двухфазного цилиндра и двухфазного цилиндра с абсолютно жестким цилиндрическим включением.

УДК 539.3 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИКИ УПРУГИХ ТЕЛ ПРИ УЧЕТЕ МЕЖФАЗНЫХ ГРАНИЦ © 2007 г В.А. Еремеев, С.М. Кузьменко This work is concerned with the development of a model of the phase interface that was proposed earlier. The phase interface is modeled as a layer consisting of a linear mixture of both phases. As an example, the two tasks about the deformation of two-phase elastic cylinder are investigated. Проблема описания фазовых и структурных превращений в упругих телах представляет значительный интерес для материаловедения, механики и физики твердого тела. В задачах подобного рода необходимо определить заранее неизвестную границу раздела фаз, на которой ставятся дополнительные условия, позволяющие определить ее расположение [1-8]. Учет свойств такой границы может оказывать существенное влияние на решение этих краевых задач. В частности, в некоторых работах (например, [1, 5, 6]) проводился учет поверхностного натяжения. Некоторые экспериментальные наблюдения показывают [9], что граница раздела фаз может иметь более сложную структуру, являясь слоем конечной толщины. 1. Основные соотношения. Рассмотрим деформацию двухфазного упругого тела в приближении малых деформаций. Будем считать, что одна фаза занимает область У+, другая - У_, а разделены они переходным слоем Уп (рис. 1). Внутри области, занимаемой одной из фаз, возможно наличие «вклеенного» абсолютно твердого тела с поверхностью известной конфигурации (Ут). Здесь и далее знаками «+» и «-» обозначены величины, относящиеся к разным фазам. Каждая из них представляет собой линейно упругое изотропное тело с плотностью удельной энергии деформации вида 4 (1) Ф± = 1 (± I ±+ 2М± II ±)+3±. В (1) Л± - постоянные Ламе для каждой из фаз; величина 3± равна энергии фаз при нулевых деформациях. Заметим, что 8± не влияет на напряженно-деформированное состояние однофазного тела и может быть равной нулю. В случае наличия двух фаз эта величина может быть выбрана произвольно только для одной из фаз, например, 3_ = 0. В последнем случае 3+ представляет собой разность энергий фаз при нулевых деформациях. Рис. 1. Двухфазное тело с переходным слоем при наличии включения В качестве уравнения состояния для переходного слоя выбрано определяющее соотношение для упругой гомогенной бинарной изотропной смеси твердых тел в приближении малых деформаций [10]. В рамках этой модели сплошная среда представляет собой два взаимопроникающих континуума, т.е. предполагается, что обе компоненты смеси присутствуют в каждой точке пространства. Вектор перемещений а -компоненты смеси обозначим через иа. Плотность удельной энергии деформации смеси Ф примем в виде Фп = 2 а(а)2 + а(а) + с1(а) I™ +вМ2, (2) где I(а), II(а) (а = ±, у = +) - линейный и квадратичный инварианты тензоров деформации еа: I = гге , II = И(е• ет), 2е = Уи + Уит , Ла, ца,с, в -материальные постоянные, V = и +-и_ . Послед- ние два слагаемых в (2) описывают упругое взаимодействие компонент смеси. Частным случаем (2) является модель линейно упругого изотропного тела. Для описания равновесных фазовых превращений в смеси воспользуемся, как и в случае простых материалов [1], вариационным принципом стационарности свободной энергии. Не ограничивая общности, предположим, что внешние нагрузки отсутствуют (рассматривается задача с главными краевыми условиями). Тогда функционал энергии двухфазного тела можно представить в виде I[u +, u - ] = |Ф+dV + |Ф_ dV + |Ф П dV. (3) будет иметь только радиальную компоненту и (г), а две ненулевые компоненты линейного тензора деформации е в цилиндрических координатах примут вид ег = du(г)/dг, = и(г)/г. У+ У_ Уп Третий интеграл в правой части (3) описывает энергию переходного слоя и в этом смысле соответствует энергии межфазной границы. В отличие от ранее рассмотренных случаев постоянного поверхностного натяжения [1, 5, 6], здесь энергии границы соответствует «поверхностное натяжение», зависящее от деформаций в каждой из фаз. Условие стационарности функционала (3) при учете 5 = 0 (4) независимого варьирования положения границ переходного слоя и векторов перемещений и+, и _ позволяет сформулировать локальные условия равновесия фаз смеси, состоящие из уравнений равновесия и естественных краевых условий на границе раздела слоя и каждой из фаз [1, 5, 6, 8]. Последние состоят из уравнений механического баланса и термодинамического условия, необходимого для определения фазовой границы. Случай равновесия смеси и однокомпонентной среды исследовался ранее [11]. 2. Центрально симметричная деформация двухфазного цилиндра В качестве примера рассмотрим центрально симметричную деформацию сплошного двухфазного цилиндра с переходным слоем и двухфазного цилиндра с переходным слоем, содержащего в центре абсолютно жесткое цилиндрическое включение. Предполагается, что области, занимаемые фазами, являются цилиндрическими, концентрически расположенными слоями (рис. 2). Выделим области У+ , У_ и Уп. Радиусы включения, внутреннего и внешнего цилиндров, ограничивающих переходный слой, обозначим через го , к0) и / соответственно. В предположении об отсутствии объемных и поверхностных сил, будем считать заданным на поверхности тела постоянное поле радиальных перемещений А. Тогда вектор перемещений и V+ Vn V_ Рис. 2. Двухфазный цилиндр с переходным слоем Будем считать, что фазы «+» и «-» представляют собой линейное изотропное тело с разными постоянными Ламе. Обозначим их через Л+ и ,м_ . Промежуточный слой Уп будем считать занятым смесью фаз «+» и «-», согласно модели гомогенной бинарной изотропной смеси твердых тел в приближении малых деформаций [10]. Условие неразрывности поля перемещений на границах переходного слоя примет вид и + (к0) = и}(к0) = и1}(к0); и_(к1) = и}(/) = и-1 (к1) (5) Условие на внешней границе (при г = 1): и_ (1) = А . (6) Для сплошного цилиндра выполняется соотношение и+ (0) = 0. (7) При учете наличия включения (предполагается, что включение зафиксировано) вместо (7) используется соотношение и+ (г0) = 0. Кроме того, необходимо потребовать равенства на границах полей напряжений: о+ (к)) = о-П(к)) + а}к); к) = о-П(/^ + а}(к^ . (8) Запишем полный функционал потенциальной энергии тела: * = 1ЛI + +м+и ++А+^У + + 1- + !и-II- + А- |dV + + \W\-K I + +и+ii+ + - 1 - + м- II - + + cI+1 -+ß\v\2 ||dV. п Вводя обозначения (Л1- + ^) = qi, уравнения равновесия в смеси можно записать в виде qi (d2u+ 1 du. dr 2 - + — +q3 ( d 2u_ dr2 r dr 1 du_ r dr + ß(u+ - u_) = 0, q2 ( d 2u_ dr2 (10) 1 du_ + r dr +q3 ( d 2u+ 1 du+ dr 2 + r dr + ß(u_ - u+) = 0. Заменив тройные интегралы в (9) повторными, получим для сплошного цилиндра (ho 2 T = 2п |Ф+ (r, u+, u+ )r2dr + + |Фп (r, u П, u 'n, u П, u 'n )r 2 dr + + |Ф_ (r,u_,u- )r2dr (11) при T = 2n наличии включения: h0 2 |Ф + (r, u+, u+)r 2 dr + ,r0 + |Фп (r, , u 'n, u П, u 'n )r dr + |Ф_ (r,u_,u- )r2dr Таким образом, задача сводится к нахождению поля перемещений, сообщающих минимум функционалу (11) на множестве решений системы (10) при условиях (5) - (7). Для областей У± радиально симметричное решение дается формулами задачи Ламе [12], для смеси - в [11]. Подставляя эти решения в (11) при учете (5)-(7), а также используя вытекающие из условия стационарности (4) статические условия (8), получим выражение для функционала потенциальной энергии, зависящей от радиусов ^ и Т = Тем самым условия ста- ционарности функционала (11) сводятся к системе нелинейных алгебраических уравнений _дГ „ д¥ д^ ■ = 0, -= 0. ''о Для принятых значений упругих постоянных и внешнего параметра А с достаточной степенью точности можно считать, что величины ^ и /?1 связаны линейно. Характерные результаты 8 расчетов представлены на рис. 3. Кривые а и б описывают изменение положения внутренней границы межфазного слоя ^ от перемещения для случаев наличия и отсутствия включения. Рис. 3. Зависимость положения фазовой границы от перемещения на внешней границе при отсутствии и при наличии включения: а - двухфазный цилиндр с переходным слоем при наличии включения; б - двухфазный цилиндр с переходным слоем при отсутствии включения Полученные результаты качественно совпадают с представленными в [13] для случая статической деформации двухфазного шара. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант 07-01-00525-а) и Фонда содействия отечественной науке. Литература 1. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М., 1990. 2. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязко-упруго-пластических тел. М., 1987. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 3. Баландин Г.Ф. Основы теории формирования отливки. Ч. 1. Тепловые основы теории. Затвердевание и охлаждение отливки. М., 1976. 4. Romano A. Thermodynamics of Phase Transitions in Classical Field Theory. Singapore, 1993. 5. Морозов Н.Ф., Назыров И.Г., Фрейдин А.Б. // Докл. РАН. 1996. T. 346. № 2. С. 188-191. 6. Назыров И.Г., Фрейдин А.Б. // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 5. С. 52-71. 7. Еремеев В.А., Зубов Л.М. // Изв. АН. МТТ. 1991. № 2. С. 56-65. Еремеев В.А., Фрейдин А.Б., Шарипова Л.Л. // Докл. РАН. 2003. Т. 391. № 2. С. 189-193. 9. Бойко В.С., Гарбер Р.И., Косевич А.М. Обратимая пластичность кристаллов. М., 1991. 10. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М., 1999. u + r u 2 r u 2 r п u + + 11. Еремеев В.А., Кузьменко С.М. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. 2004. № 1. С. 17-22. 12. Лурье А.И. Теория упругости. М., 1970. 13. Еремеев В.А., Кузьменко С.М. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. 2006. № 10. С. 7-12. Южный федеральный университет_4 апреля 2007 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/kombinirovannyy-metod-opredeleniya-temperaturnogo-polya-pri-naplavke-na-plastinu-konechnoy-tolschiny

Никифоров А.Н., Слитинская С.К. Комбинированный метод определения температурного поля при наплавке на пластину конечной толщины // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2006. № 3. С. 27-31. Приведена математическая модель для расчета трехмерных полей температуры при челночной наплавке на пластину, которая учитывает сложный характер движения электрода при наплавке и распределенность нагрева по толщине пластины. Предложен комбинированный численно-аналитический метод, использующий разложение в ряд по координате, перпендикулярной плоскости пластины. Такой прием сводит решение трехмерной краевой задачи к ряду двумерных задач, которые имеют однотипную структуру и решаются методом конечных разностей. Доказана эффективность комбинированного метода для решения данной задачи и его целесообразность для проведения многовариантных вычислений, необходимых для оптимизации параметров наплавки. Ил. 6. Библиогр. 4 назв.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УДК 536.2+532.5+621.56:536 комбинированный метод определения температурного поля при наплавке на пластину конечной толщины © 2006 г. А.Н. Никифоров, С.К. Слитинская Наплавка широко используется для восстановления изношенных поверхностей деталей. Поэтому большое значение имеет разработка новых технологий и совершенствование уже имеющихся способов автоматизированной наплавки. В технологии восстановления наибольшее распространение имеет электродуговой способ наплавки, материалом для которой служит металл плавящегося электрода. При наплавке электрод перемещается относительно детали, и на ее поверхности формируется полоса металла. Такая полоса в технологии называется валиком. Обычно приходится делать несколько проходов, с тем чтобы полностью покрыть дополнительным слоем металла нужную поверхность. Для того чтобы сформировать наплавляемый слой, следующий валик наносится с определенным наложением по отношению к предыдущему. При наличии соответствующего станка нанесение параллельных валиков можно осуществлять автоматическим способом. Однако при многопроходной наплавке имеется некоторое неудобство, связанное с необходимостью перенастраивать станок на следующий проход. Это особенно заметно при малой длине валиков из-за относительно большого вспомогательного времени для установки автомата в начало каждого прохода, которое часто приходится производить вручную. Для расширения возможностей автоматизации процесса наплавки разработана принципиально новая технология челночной наплавки под флюсом [1]. Эта технология использует задающий копир и осуществляет наплавку непрерывно так, что электрод перемещается с постоянной скоростью по сложной траектории. На рис. 1 представлена характерная траектория челночной наплавки в плоскости пластины (X, У) с размахом колебаний А и шагом наплавки И. При этом считается, что ось Т направлена по толщине пластины так, что наплавка происходит на поверхности Т = 0, а другой стороне соответствует Т = I. Задача состоит в создании условий, при которых обеспечивается устойчивое непрерывное горение электрической дуги и равномерное растекание металла. Эмпирически най- денным условием качественной наплавки является то, что температура Т вдоль отрезка между некоторыми точками 1 и 2 на поверхности детали (рис. 1) должна быть везде не меньше некоторого критического значения ТК, которое в технологии связывают с температурой плавления применяемого флюса min T\t=t2, Xе[X,(i1),X,(t2)], Y =Y,(t2), Z =00 -1 K ' > T (1) Здесь Х*(0, У»(0 - координаты центра электрода. Оптимальным разумно считать режим наплавки с максимальным размахом колебаний электрода А=Атах, когда еще выполняется условие (1). У, см 8-1 4- 0- -4- .1 .2 Ч I A "1-1 12 X, см Рис. 1. Траектория движения центра электрода при челночной наплавке в неподвижной системе координат (X, У, Т) Технология наплавки требует определения оптимальных параметров копира в каждом конкретном случае, которые желательно получать достаточно быстро. Использование для этой цели аналитической формулы из хорошо известной теории Н.Н. Рыкалина h 8 [2] невозможно в связи со сложной траекторией движения источника. Поэтому была поставлена задача численного моделирования температурных полей, которое в обязательном порядке учитывало бы распределение тепловложения по толщине пластины. При этом, также как при описании тепловых процессов на основе теории Н.Н. Рыкалина, пренебрегается некоторыми физическими эффектами, в первую очередь специальными моделями для флюса и фазового перехода металла. Однако влияние этих эффектов может быть учтено косвенным феноменологическим путем, с помощью настройки ряда свободных параметров модели по эксперименту. В технологии они не измеряются точно и их целесообразно просто варьировать в разумном диапазоне. Движение источника будем рассматривать в подвижной системе координат, перемещающейся относительно пластины со средней скоростью источника Ух , тогда траектория источника становится циклически замкнутой (рис. 2). Подвижные (х, у, 2) и неподвижные координаты (X, У, Т) связаны между собой следующим образом: х = х - гх/ , у = у, 2 = г. y, см 8-| -8И-1-1-1-1-1-1-1-1- _8 -4 0 4 8 х, см Рис. 2. Траектория движения центра электрода при челночной наплавке в подвижной системе координат (х, y, z) В основе математической модели лежит линейное уравнение теплопроводности с нормально-круговым распределением нагрева от источника. В подвижных координатах уравнение имеет вид / J'T' "Л r-p \ ф[— - Vx = + PjP(z)g(r)• (2) Здесь с - теплоемкость единицы объема; р - плотность; T - температура, X - коэффициент теплопроводности; PJ - полная мощность нагрева; r={[x-x»(t)]2+ + [y-y*(0]2}12 - расстояние от центра электрода. Функция g(r)= kexp(-kr2)/n является нормированным на единицу гауссовским распределением в плоскости пластины, которое зависит от параметра сосредоточенности к. Нормированная функция р(2) имеет ступенчатый вид и определяет характер распределения вложения тепла по толщине р(г)=1//ж , 0<2</„; р(2)=0 , и<х<1, где I - толщина пластины, а /» - средняя толщина наплавленного слоя металла. Уравнение дополняют граничные условия теплоотдачи на поверхностях пластины 2 = I и 2 = 0 ±дШ+Р7=0, (3) здесь в - коэффициент, который характеризует теплоотдачу с ее поверхностей, а температура внешней среды (воздуха) принята за условный ноль (обычно это 0 оС). В линейном случае, когда коэффициенты с, р, X и в не зависят от температуры, трехмерная краевая задача может быть заменена счетным множеством двумерных задач. Для этого используется прием, который был применен работе [3]. В соответствии с ним будем искать решение Т(/, х, у, 2) в виде ряда Т(/, х, у, 2) = £ Тп (/, х, у)Т „ (2). (4) п=0 Коэффициенты разложения Тп(/, х, у) являются функциями указанных аргументов, а множество функций Тп(г) должно образовывать полный ортогональный базис на интервале 0 <2 <1. В качестве такого базиса выберем собственные функции следующей краевой задачи: Э2 Т п / Э2 2 = -ю п Т п , (5) (ЭТ п / + вТ п )| г = = 0, (ЭТ п / -вТ п )| г=0 = 0. (6) Решение в виде разложения (4) по указанным базисным функциям Тп(2) автоматически удовлетворяет граничным условиям (3) трехмерной краевой задачи. Собственные функции задачи (5), (7) представляются в виде Т п (г) = С08(ю п2-ф п ); ю п = (пп + 2Ф п )/1 , где каждое значение фп удовлетворяет следующему нелинейному характеристическому уравнению, решение которого легко находится стандартными численными методами (пп + 2ф п Мф п) = в 1, 0 <Фп <п/2. Распределение р(2) тепловложения также представим в виде ряда р(2) = £ РпТ п (2) , Рп = } Р(2)Т п (2)дх/| |Т „I 2. (7) п=0 0 Отметим, что для коэффициентов рп можно получить аналитические выражения без интегралов: Pn = 1 l n| -[sin (Юnl* -фn) + sinФn (8) „ J. = 0T 2 dz = 2 + ^ > 2 (9) Для оценки скорости сходимости ряда (7) полезна следующая оценка квадрата нормы суммы оставшихся членов: е р2| 12 < 81 1 81 П 2l*2 n =N+1 n 2 п 2l*2N Здесь были использованы мажорантные оценки для (9) и квадрата выражения (8), а также учтено неравенство тп1 > пп. Таким образом, среднее квадратичное отклонение между р^) и его приближением уменьшается с ростом числа учтенных членов ряда N _1/2 не медленнее, чем N . Уравнения для коэффициентов разложения решения Тп(/, х, у) получаются в результате подстановки разложений (4) и (7) в (2) с учетом ортогональности базисных функций: у, см 8 4 0 -4 500 800 .. ■ 1100' • ' 1400" г?л •• •• 170') 00 »25 1«1 » —I—1—I—1—I—1—г -6-4-2 0 у, см 8 4 0- -4- Л -Ичл z, см dTn т. dTn . cp—- = cpVx—- + Х dt dx Гд 2Tn dx 2 d2T, ~V2 Л а) iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. б) -Ы 2Jn + PjPng (r). (10) Отметим, что выражение (10) имеет такую же математическую структуру, как и уравнение для средней по толщине температуры <Т> в случае термически тонкой пластины, для которого создана и оптимизирована разностная схема решения двумерной тепловой задачи [4]. Комбинированный метод определения трехмерных полей температуры сводится к последовательному численному решению двумерных задач для коэффициентов разложения Тп решения (4) и последующего суммирования соответствующего ряда. С точки зрения методологии, предложенный способ учета трехмерных эффектов можно рассматривать как внесение поправок к основному приближению (п = 0). Отметим, что при малой теплоотдаче с поверхности пластины (в/— 0) фактически Т0 является средней по толщине температурой <Т>. Действительно в этом предельном случае ю0/ = ф0—0 и 1, что обеспе- чивает Т0—^ <Т>. Разработанная модель была настроена по нескольким экспериментам путем подбора свободных параметров так, чтобы результаты расчетов соответствовали имеющимся опытным данным. Для иллюстрации на рис. 3 приведены линии уровня температуры в трех взаимно перпендикулярных сечениях. z, см 0,0-, 0,51,0- —г^—I—1—Г -6 -4 -2 в) 1 2 x, см Рис. 3. Изотермы (даны точками) в сечениях пластины: а) г=сош1; б) х=сош1; в) у=сош1 Сплошной линией показана траектория последнего цикла наплавки. Сечения рис. 3б и в проходят через конечную точку его прямолинейного участка. Сечение рис. 3 а соответствует верхней поверхности пластины г = 0. Рядом с изотермами в этом сечении приводятся значения температуры в градусах Цельсия. Эти результаты относятся к моменту времени после прохождения 6 циклов наплавки, когда электрод находится в точке 2 (см. рис. 1). Они соответствуют моделированию оптимального режима челночной наплавки на пластину, толщина которой после восстановления равна / = 1 см при следующих параметрах копира: шаг И = 1,2 см и размах колебаний Атах= 11 см. При этом скорость движения электрода диаметром 3 мм была равна V = 20 м/ч, а напряжение и ток источника питания 24 В и 500 А соответственно. При таких параметрах средняя толщина наплавляемого слоя составляет /» = 0,4 см. Наи- 2 x, см 0 лучшее совпадение с экспериментом достигается при КПД 70 % р = 8400 Вт) и эффективной сосредоточенности источника нагрева к = 1,33 см-2. Теперь на примере варианта расчета, указанного выше, продемонстрируем реализацию численно-аналитического метода по последовательным шагам. Первый шаг состоит в приближении конечной суммой ряда (7) функции распределения нагрева по толщине. На рис. 4 эта ступенчатая функция показана жирной линией. Другие линии являются суммой основного приближения и последующих N членов ряда. Число поправок показано цифрами рядом с кривыми. Основное приближение ^ = 0) при изменении 2 меняется мало и фактически соответствует среднему значению. После добавления следующих трех членов ряда ^ = 3) исходная функция на качественном уровне уже воспроизводится. При N=6 мы получаем достаточно хорошее приближение. Учитывать больше, чем N = 12 членов ряда, не имеет смысла с технической точки зрения. p(z) 3—t 2- Рис. 4. Приближение ступенчатой функции (жирная линия) посредством разложения в ряд по переменной 2 с удержанием конечного числа поправок N к основному приближению Следующий шаг непосредственно связан с решением разностных уравнений для каждой моды п. Первое представление о характере распределения температуры в плоскости пластины дает первый член ряда (7) с п = 0, который фактически является приближением термически тонкой пластины. На рис. 5 показаны изотермы (даны точками) температурного поля, соответствующие этому приближению, полученные после прохождения 6 циклов наплавки. Для удобства траектория последнего цикла наплавки показана там же сплошной линией. Вклад остальных членов ряда приведен на рис. 6. На нем показаны профили температуры на верхней плоскости пластины (2 = 0) вдоль прямой, которая указана пунктиром на рис. 5. у, см 8- 4- 2 0- -2- -4- 500 800 1100 • 1400 170( -1-1-1-1-Г -6 -4 -2 0 2 x, см Рис. 5. Изотермы температурного поля (показаны точками). Цифры рядом с ними указывают значения температуры T, °С 2500 2000 1500 - 1000- 500 Рис. 6. Профили температуры вдоль прямой линии, параллельной оси x, которая обозначена пунктиром на рис. 5 Сплошная кривая показывает результирующий профиль температуры (Sum - сумма всех мод) после 6 циклов наплавки. Треугольниками отображен тот же 6 1 0 0 самый профиль, но после 5 циклов. Их сравнение говорит о том, что нет необходимости рассчитывать большее число циклов, поскольку квазипериодическое распределение температуры уже практически установилось. Профили температуры в основном приближении тонкой пластины (п = 0) и мод разложения после 6 циклов наплавки даны сплошными кривыми. Моды с номерами 1 и 2 отмечены цифрами рядом с кривыми. Вклады от 3 и 4 моды в суммарную температуру малы, поэтому они приведены без указания номеров. Таким образом, несмотря на то, что для воспроизведения источника в рассматриваемом случае требуется 6 коэффициентов разложения, реально при моделировании полей температуры их требуется учитывать меньше. Следует отметить, что квазистационарные профили для мод с п > 0 фактически устанавливаются после одного цикла наплавки. Такие профили показаны крестиками, они точно ложатся на соответствующие сплошные кривые. Все это можно использовать для ускорения вычислений, что важно при проведении многовариантных расчетов. Заключение Предложен комплексный численно-аналитический метод, который решает задачу с учетом важных факторов для челночной наплавки, связанных со сложной траекторией движения источника тепла и распреде- ленностью его действия. Показана эффективность этого метода для решения соответствующей тепловой задачи, что обусловлено достаточностью учета небольшого количества первых членов разложения решения. Это позволяет быстро проводить серии многовариантных расчетов с целью оптимизации параметров наплавки. Литература 1. Сагиров Х.Н., Сагиров ДХ., Хачкинаев С.Д., Слитинская С.К., Дюргеров Н.Г., Перфильев Д.П. Эффективный процесс автоматической наплавки под флюсом // Сварочное производство. 2003. № 8. С. 41- 44. 2. Волченко В.Н., Ямпольский В.Н., Винокуров В.А., Фролов B.В., Парахин В.А., Ермолаева В.И., Макаров Э.Л., Гри-горянц А.Г, Гаврилюк В.С., Шин В.В. Теория сварочных процессов. М., 1988. 3. Жоголев В.Е., Романов Ю.Г. Определение прогрева пла- стины движущимся источником с учетом теплоотдачи // Инженерно-физический журн. 1990. Т. 59. № 2. С. 321. 4. Слитинская С.К. Моделирование поля температуры при челночной наплавке на тонкую пластину. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2003. Приложение № 5. C. 59 - 58. Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт); Ростовский институт (филиал) ГОУ ВПО «Российский государственный торгово-экономический университет» 20 марта 2006 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/modelirovanie-nekotoryh-zadach-teploprovodnosti-na-osnove-diskretizatsii-sploshnoy-sredy-s-pomoschyu-metoda-dinamicheskih-chastits

Предлагается метод решения практически важных задач теплопроводности, основанный на разбиении сплошной среды взаимодействующими по заданному закону макрочастицами. Приводится сравнительный анализ расчета напряженно-деформируемого состояния и теплопроводности конструкций методом динамических частиц и классическими методами

УДК 539.31, 51.72 МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НА ОСНОВЕ ДИСКРЕТИЗАЦИИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКИХ ЧАСТИЦ © 2010 г. М.М. Ошхунов1, З.В. Нагоев1, И.А. Мамиева1, Р.Д. Елеева1, Т.М. Боташев2 1Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН, ул И. Арманд, 37а, г. Нальчик, КБР, 360000, [email protected] 2Кабардино-Балкарский государственный университет, ул. Чернышевского, 173, г. Нальчик, КБР, 360004, [email protected] 1Institute of Computer Science and Problems of Regional Government of the Kabardino-Balkar Scientific Centre RAS, I. Armand St., 37a, Nalchik, KBR, 360000, [email protected] 2Kabardino-Balkar State University, Chernishevskiy St., 173, Nalchik, KBR, 360004, [email protected] Предлагается метод решения практически важных задач теплопроводности, основанный на разбиении сплошной среды взаимодействующими по заданному закону макрочастицами. Приводится сравнительный анализ расчета напряженно-деформируемого состояния и теплопроводности конструкций методом динамических частиц и классическими методами. Ключевые слова: моделирование, метод динамических частиц, теплопроводность. In work the method of the decision of almost important problems of heat conductivity based on splitting the continuous media by ma-croparticles co-operating on the set law is offered. The comparative analysis of decisions of some of the heat conductivity problems with the help of the method of dynamic particles and that of classical model is brought about. Keywords: modeling, method of dynamic particles, heat conductivity. Классическая модель При изложении основ механики деформированного твердого тела вспоминают о первоначальной попытке создателей этой науки (Коши и Навье) построить модель упругой сплошной среды как системы взаимодействующих материальных частиц. При этом каждую пару материальных частиц полагали связанной между собой силами взаимодействия, направленными по прямой, соединяющей их и линейно зависящей от расстояния между частицами. При том уровне, на котором находилась физика в начале XIX в., описать таким способом упругие свойства реальных тел не удалось. В настоящее время существуют строгие физические теории, позволяющие определить упругие свойства кристаллов различного строения, отправляясь от рассмотрения сил взаимодействия между атомами в кристаллической решетке. Более простой путь, по которому следует современная наука, состоит в том, чтобы рассматривать распределение вещества тела непрерывно по всему объему, что позволяет перемещения материальных точек принимать за непрерывные функции координат [1 - 4]. Именно по этому, «более простому пути» пошла наука при построении модели упругого деформирования сплошной среды. Главные постулаты основаны на том, что среда изотропная и бесконечно делимая, перемещения и деформации сравнительно невелики, напряжения и деформации связаны линейным законом. В этих условиях из равенства нулю векторной суммы сил и моментов, действующих на гранях бесконечно малого кубика, вырезанного из сплошной среды (рис. 1), получим уравнение dav дх.: -+ Xl = 0, i, j = 1,2,3. (1) Здесь (7ц - напряжения, действующие на гранях, перпендикулярных осям Ох, в направлениях осей Охц; X, - составляющие силы тяжести в направлениях осей координат: по повторяющимся индексам ведется суммирование от 1 до 3. Рис. 1. Равновесие малого куба сплошной среды. Напряжения показаны только на трех гранях Заметим, что тензор напряжений 7ц - симмет- ричный, т.е. aj = aß. (2) Условие (2) обеспечивает равенство нулю моментов сил, действующих на малый куб (рис. 1). Если ввести понятие об относительных изменениях расстояния между точками сплошной среды по формулам 1 ev 2 öu1 dx■ + - du _■ dxi \ i, j = 1,2,3, (3) т.е. деформации е^ и тензорный закон связи между напряжениями и деформациями (закон Гука) вида ^ ij - Kfs = 2GI ej -f sj (4) df GAui +( + G)-+ X = 0, i = 1,2,3, dxi д2 д2 д2 3 Д = —■+ — ■+ —, 2 = K--G. -2 dx3 2 2 2 (5) На рис. 2 даются варианты замены двумерной сплошной среды (плоские задачи) системой материальных частиц. то получим полную систему классических уравнений теории упругости Коши - Навье. Здесь и^ = и± (х1, х2, х3) -перемещения точек сплошной среды после приложения к телу нагрузок; К, О - константы, характеризи-рующие способности упругой среды сопротивляться всестороннему сжатию (растяжению) и сдвигу (изменению формы); в = е11 +е22 +е33 - средняя деформация; - тензор Кронекера. При выводе формул (1), (3), (4) предполагается малость перемещений и деформаций, т.е. не различают изменения системы координат до и после деформации. Если перемещения и деформации большие, то формула (3) не пригодна и следует изучать свойства среды в рамках так называемой геометрически нелинейной упругости [3]. Для многих материалов закон Гука нарушается даже при небольших деформациях (е^ = 5 +10 %). В этих условиях разработаны многочисленные физически нелинейные модели сплошной среды [5-7]. Наконец, если физические свойства среды являются анизотропными (не одинаковыми в различных направлениях), то разработаны соответствующие обобщения закона Гука (4), учитывающие этот фактор [2]. Система уравнений (1), (3), (4) весьма неудобна для исследования и, если оставить в качестве неизвестных только перемещения и1 = и (, х2, х3), можно получить из них систему 3 дифференциальных уравнений в частных производных вида Рис. 2. Варианты замены сплошной среды системой взаимодействующих материальных частиц Заметим, что двумерную сплошную среду можно заполнить также треугольными элементами различного вида, как показано на рис. 3. сХ1 йх2 дх3 Уравнения (5) получены впервые Ляме и являются предметом исследования ученых и инженеров на протяжении двух столетий. Метод динамических частиц Возникает вопрос, нельзя ли попытаться вернуться к идее Коши и Навье и построить модель сплошной среды как системы взаимодействующих между собой материальных частиц. Принимая этот принцип дискретизации упругой сплошной среды, разобьем ее на не имеющие размера материальные частицы, в которых распределяется суммарная масса вещества, взаимодействующие между собой в зависимости от расстояния. Закон взаимодействия, зависящий только от радиуса (расстояния между частицами), может быть произвольным. Рис. 3. Варианты замены сплошной среды взаимодействующими частицами треугольной формы Возможны и другие варианты дискретизации сплошной среды взаимодействующими точками [8, 9]. Для описания динамического состояния ансамбля таких частиц используется второй закон Ньютона с учетом эффекта затухания в виде mui + aui +Y.eAuij = F ((), a > °,в> 0. (6) ] Здесь m - масса частицы; a - коэффициент затухания; в - характеристика жесткости взаимодействия между частицами; Auij = |мг- - и;| - относительное изменение расстояний между соседними частицами; вместо слагаемого уравнение (6) может со- ] держать произвольный закон вида f = f (u) ; F(t) -внешняя сила; U - скорость. Статистические задачи теории упругости для описанного ансамбля частиц получаются как предельные по времени состояния. Постоянные значения силы, действующие на материальную частицу, удобно задавать, например, в виде F (t) = Fo(1 - exp(-r-1)), (7) где у - достаточно большое положительное число. Рассмотрим метод динамических частиц для моделирования прогиба однородной упругой балки прямоугольного сечения под действием силы тяжести с различными условиями защемления ее концов. Из классической теории упругости известно [3], что максимумы прогиба балки с защемленными и свободно опертыми краями достигаются в ее середине и они равны и =р-4_, и = м! I Iтах 24^' итах 24ц соответственно. Здесь 21 = Ь - длина балки; р - вес единицы длины; ц - коэффициент, зависящий от модуля упругости О и момента инерции поперечного сечения балки. Другими словами, прогиб упругой (8) балки под действием силы тяжести в случае свободного опирания превышает в 5 раз аналогичный прогиб в случае жесткого защемления. При рассматриваемом подходе система уравнений (6) с начальными условиями вида и(0 ) = «(Ъ и(0 )= П) (9) решается методом Рунге - Кутта [10] после предварительного сведения ее к системе 6N обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В методе динамических частиц для описания деформации упругой балки использовалось 120 макромолекул. Это ограничение по количеству частиц было вызвано вычислительными возможностями использованной компьютерной техники. Таким образом, для каждого момента времени решалась система 120 • 2 • 3 = 720 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Для уменьшения объема вычислений задавался радиус взаимодействия макромолекул, т.е. не учитывалось взаимодействие частиц вне этого радиуса. Проводилось имитационное моделирование процесса деформирования упругой балки путем пошагового решения системы (6). На рис. 4 показаны стадии деформирования упругой балки в условиях свободного и жесткого опирания. любых физико-механических свойств среды и уровня нагружения, а также при моделировании теплопроводности в деформируемых средах. Рассмотрим процесс теплопередачи в рамках закона Фурье: ' (10) du d (, du \ — = —I k— 1+ f (x, t), dt dx ^ dx) с учетом граничных условий вида u(0, t )= ju1 (t), u((, t ) = Mi(t) или du k- dx , du k — iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. dx = n(t), = Vi(t )■ (11) (12) б Рис. 4. Схема прогиба балки: а - с защемленными; б - свободно опертыми краями в случае метода динамических частиц Визуальный анализ максимального прогиба показал, что в случае жесткого защемления он существенно меньше (приблизительно в 4-5 раз), чем в случае свободного опирания. Указанная разница в прогибе в двух случаях по сравнению с классическим решением теории упругости, на наш взгляд, объясняется недостаточным количеством частиц, неточным моделированием условия защемления и свободного опирания, погрешностью, возникающей при решении больших систем дифференциальных уравнений и т.д. Предлагаемое дискретно-динамическое описание процесса деформирования свойств сплошной среды представляется перспективным ввиду возможности единого подхода к проблемам механики деформируемого твердого тела - определению напряжения и деформации под действием заданных нагрузок с учетом Здесь и = и(х,¿) - температура стержня в точке х в момент времени к = к (и) - коэффициент теплопередачи, который существенно зависит для многих материалов от температуры; /(х, /) - функция интенсивности источников температуры (стоков) в определенной точке стержня; I - длина стержня. В представленном методе в качестве температуры в точке стержня понимается средняя кинетическая энергия ансамбля частиц. Например, такой подход для определения температуры используется в теории идеальных газов [11]. Очевидно, что частицы, имеющие большую кинетическую энергию, будут передавать ее близлежащим частицам, и чем больше эта разность, тем будет интенсивнее поток энергии или теплопередачи. По существу, этот механизм, на наш взгляд, аналогичен классическому экспериментальному закону Фурье о механизме теплопередачи. Другими словами, законы теплопроводности, описываемые уравнением (10) и граничными условиями (11), (12), соответствуют законам взаимодействия ансамбля динамических частиц. Из физических соображений ясно, что чем выше жесткость взаимодействия между соседними частицами, тем будет быстрее идти процесс теплопередачи, т.е. для такого материала коэффициент теплопроводности будет выше, чем в случае, когда такое взаимодействие незначительно. Учет граничных условий вида (11), (12) на краях стержня может быть осуществлен специальным образом. Идея такого подхода проста: крайние частицы стержня будут совершать гармонические колебания определенной амплитуды и максимальной скорости в окрестностях точек х = 0, х = I так, чтобы их средняя энергия (температура) росла со временем по заданному закону. Аналогичным образом могут быть интерпретированы задачи, связанные с фазовыми переходами. Если средняя кинетическая энергия ансамбля частиц превосходит температуру фазовых превращений, то будем считать, что смена фаз имеет место. Легко также найти границу и скорость передвижения фаз в упругой сплошной среде путем статистической обработки должным образом выбранного ансамбля частиц. Кроме того, математическое моделирование методом динамических частиц процесса теплопередачи показывает, что легко могут быть описаны волновые процессы в упругих телах, т.е. могут быть решены x=0 x=l а д2ы 2 д2ы волновые уравнения вида -= а -+ /(хг) при дг2 дх2 соответствующих начальных и граничных условиях. В классическом уравнении (10), как известно, число к -скорость распространения упругой волны сжатия и растяжения в стержне. В качестве аналогичного параметра в методе динамических частиц естественно взять величину ^е/ р , где Е - аналог модуля Юнга; р - линейная плотность для динамических частиц. В заключение подчеркнем еще раз основные результаты работы: предложен метод решения практически важных задач механики деформируемых твердых тел и теплопроводности, основанный на разбиении сплошной среды взаимодействующими по заданному закону макрочастицами; разработан комплекс программ, позволяющий рассчитывать напряженно-деформированное состояние реальных конструкций, с определяющими законами общего вида при произвольных динамических нагрузках; внедрена разработанная компьютерная программа визуализации процесса деформации изделий и процесса теплопроводности. Литература 1. Амензаде Ю.А. Теория упругости. М., 1971. 285 с. 2. Ляв А. Математическая теория упругости. М.; Л., 1935. С. 370. 3. НовожиловВ.В. Теория упругости. М., 1958. 230 с. 4. Роботнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М., 1979. 744 с. 5. Ильюшин А.А. Пластичность. М., 1963. 270 с. 6. Ошхунов М.М. О скорости сходимости итерационных процессов нелинейной упругости // Прикладная механика. 1995. Т. 31 (1). С. 117-121. 7. Ошхунов М.М., Комаров Г.И. О существовании решений физически нелинейных задач термоупругости // Укр. мат. журн. 1996. Т. 48 (7). С. 56-59. 8. Ошхунов М.М., Нагоев З.В. Дискретно-динамическое моделирование задач теории упругости // Проблемы информатизации регионального управления : материалы второй всерос. конф. Нальчик, 2006. С. 50-55. 9. Ошхунов М.М. Механика деформируемого твердого тела: альтернативный подход // Изв. КБНЦ РАН. 2006. № 1 (16). С. 72-75. 10. Самарский А.А. Теория разностных схем. М., 1977. 357 с. 11. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Молекулярная физика. М., 1976. 283 с. Поступила в редакцию 16 ноября 2009 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/chislennoe-modelirovanie-estestvennoy-konvektsii-v-vertikalnom-kanale-s-sistemoy-nagrevateley

Предложен численный метод расчета нестационарной естественной термоконвекции жидкости в вертикальном канале, основанный на решении системы уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока завихренность. Метод использован для исследования развития конвективного течения около системы из трех профилированных нагревателей, размещенных в канале.

УДК 532, 516.5 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ В ВЕРТИКАЛЬНОМ КАНАЛЕ С СИСТЕМОЙ НАГРЕВАТЕЛЕЙ © 2010 г. Е.И. Калинин, А.Б. Мазо Казанский (приволжский) федеральный университет, Kazan (Volga Region) Federal University, ул. Кремлевская, 18, г. Казань, Р. Татарстан, 420008, Kremlyovskaya St., 18, Kazan, Republic ofTatarstan, 420008, public.mail@ksu. ru public. [email protected] Предложен численный метод расчета нестационарной естественной термоконвекции жидкости в вертикальном канале, основанный на решении системы уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока - завихренность. Метод использован для исследования развития конвективного течения около системы из трех профилированных нагревателей, размещенных в канале. Ключевые слова: естественная конвекция, численное моделирование, уравнения Навье-Стокса, переменные функция тока - завихренность, вертикальный канал, система нагревателей. A numerical method for simulating non-stationary natural convection in vertical channel, based on numerical solving of Navier—Stokes equations in stream function — vorticity formulation is developed. The method is used to investigate the evolution of connvective flow around a system of three profiled heaters, located in a channel. Keywords: natural convection, numerical simulation, Navier-Stokes equations, stream function - vorticity variables, vertical channel, system of heaters. Термоконвективные течения жидкости в канале широко распространены в теплотехнике и оказывают значительное влияние на интенсивность теплообмена. В большинстве теоретических и численных работ по естественной конвекции рассматриваются горизонтальные каналы с различными режимами нагрева и охлаждения стенок [1—3]. Немногочисленные работы по течениям в вертикальном канале посвящены исследованию стационарной конвекции около единственного нагревателя в форме круга [4-6], квадрата [7, 8] или пластины [9]. Вместе с тем нестационарные конвективные течения около нескольких нагревателей остаются изученными недостаточно. Отличительной особенностью свободной конвекции в вертикальном канале является то, что расход жидкости заранее не известен и меняется со временем. В ряде случаев это приводит к смене режимов обтекания нагревателей, отрыву потока, образованию вихревых дорожек за телами и формированию сложных нестационарных течений в дальнем следе. Математическое моделирование таких течений предполагает разработку адекватных методов расчета термогидродинамических полей. В настоящей статье предлагается метод численного решения задачи Навье-Стокса в переменных ш (функция тока), с (завихренность), T (температура). Для определения граничных значений функции тока на обтекаемых поверхностях применяются интегральные условия Пирсона [10, 11]. Построенная численная схема используется для моделирования естественной термоконвекции в плоском вертикальном канале около системы 3 нагревателей, имеющих форму крылового профиля NACA 0040. Постановка задачи Рассматривается конвективное течение жидкости в канале D = [0, L] х [0, H] с помещенными в него N нагревателями с границами у, i = 1, N (рис. 1). Во входном сечении yin безразмерная температура жидкости равна нулю, а поверхности нагревателей поддерживаются при постоянной температуре T = 1; верхняя у0 и нижняя yN+l стенки канала теплоизолированы. Термоконвективное течение развивается из состояния покоя, в котором начальная температура жидкости равна нулю. жении Буссинеска в переменных у,ю,Т имеет вид [6] Рис. 1. Схема течения в вертикальном канале с нагревателями В декартовых координатах х, у (ось х направлена против вектора ускорения гравитации g) определяющая система безразмерных уравнений Навье-Стокса и конвективной теплопроводности в прибли- V7 1 Л --ьv V® =—Аю + F, F = 3t Re 3Т 3y 9 -Ау = ю, (1) 3v ю =-- u = v = дТ , Y7T 1 AT — + v -VT = — AT 3t Pe du dx ду J ду dx где t - время; v = (u, v) - вектор скорости жидкости; Re и Pe - числа Рейнольдса и Пекле. Заметим, что в работах по естественной конвекции часто используется альтернативная форма безразмерных уравнений, содержащая числа Грасгофа и Пран-дтля. Соответствие критериев подобия определяется формулами Gr = Re2, Pr = Pe/Re. Граничные условия во входном сечении канала Л,y еуш : T = 0, ш = Pw(y)Q, с = Pa(y)Q. (2) Здесь функции Pw, Pc выражаются через заданный нормированный профиль входной скорости ~(у), Pw (y) = í~(y)dy, Pa=- , Q(t) (расход 0 dy жидкости в канале) подлежит определению. Условия прилипания на твердых стенках имеют вид х,yеу : T = 1, ^f = -V,, ш = C(t), i = 1N (3) дп dT дш х, y еуу+1: — = 0, ^ = 0, ш = C (t), i = 0, N +1, дп дп где п - внешняя нормаль к границе; C - набор неизвестных функций; V - заданная касательная скорость жидкости на контуре у . Отличные от нуля значения V могут использоваться, например, для моделирования вращения цилиндра. На выходной границе канала yout ставятся «мягкие» условия [10], обеспечивающие свободный перенос температуры и завихренности за пределы расчетной области. Для определения функций Ci (t) постановка задачи дополняется нелокальными граничными условиями [11]. При постоянных по времени и пространству скоростях V они будут иметь вид ííf- Re 7, V 3П ds = Re[p], i = 0, N +1 (4) где 5 - касательная к границе; [р] - скачок давления вдоль контура у. На замкнутых контурах [р] = 0, на стенках канала - перепаду давления во входном и выходном сечениях. Не нарушая общности, можно положить значение функции тока на одной стенке равным нулю, Сн+1 = 0 . Тогда величина С0 будет равна расходу 2 жидкости в канале. Требуется найти решение системы уравнений (1) с граничными условиями (2), (3), и дополнительными нелокальными соотношениями (4). Метод численного решения Дискретизация системы (1) по времени с шагом т проводится таким образом, чтобы избавиться от нелинейности уравнения переноса завихренности о ——Ао = оа—т v-V о+rF, Re — Ау = о. T--AT = T — rvV-T . Pe (5) (6) (7) Здесь использовано стандартное обозначение V /(/) = /(/ - г). На каждом временном слое уравнения (5), (6) решаются с граничными условиями (3) на твердых стенках у1, причем условие Дирихле для у используется для уравнения (6), а с помощью условий Неймана формулируются граничные условия 1-го рода для а вида х, у е/: а=~, ' = 0, N +1. Для отыскания функции а решается линейная задача [12] ду а = —Ау, x,y е п: = —V, i = 0,N +1. дп (8) Функция тока у на текущем временном слое определяется набором констант С. Поэтому и завихренность а будет зависеть от этих констант. Задачи (5), (6), (8) линейны, следовательно, можно записать линейное представление искомых функций через С W = W + T,W'Ct, о = о +2оiCi (9) в котором вспомогательные функции у*, у', а , а' подлежат определению, а множители С будут най- дены из системы уравнении ZliCj = I* + Re[p], i = 0N, j=0 (10) Ij =¡0ds, I* = j n дп n ( до дп + Re gs ds, Здесь 8/ - символ Кронекера. Граничные условия для вспомогательных функций в выходном сечении те же, что и для искомой. Вспомогательные задачи (11), (12) не содержат констант С ; кроме того, уравнения для функций у' однородны и могут быть решены один раз на шаге инициализации. Аналогично, подставляя (9) в уравнение переноса вихря (5), сформулируем задачи для вспомогательных * функций * , ' : А а * = Ъ, А а' = 0, г = , (13) А = Е--А, Ъ =1 Е-гуУ| а + гF, Яе I ) где Е - единичный оператор. Граничные условия для уравнений (13) получаются в результате подстановки (9) в исходные граничные условия (2), (3) для и приравнивания коэффициентов при С : x, y е п : о * = ю*, о j = юj, i, j = 0, N, (14) X У е Пп : о * = а о j = &0ра, j = 0, N, ю* ~i где о , о определятся как решения задач iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. ю* * ду ю = —Ау , x,yenj : —— = —Vj дп (15) а' = —Ау', x,y е п : —— = 0 . ду дп полученной с помощью подстановки представления (9) в интегральные условия (4). Функции у*, у' находятся из решений вспомогательных задач, сформулированных в результате подстановки представления функции тока из (9) в линей* N ' V ное уравнение Пуассона (6) - А у - С^ = а . '=0 Поскольку правая часть полученного уравнения не зависит от С , его можно разбить на N + 2 уравнения следующим образом: -Ау* = а, -А у' = 0, ' = . (11) Граничные условия Дирихле для уравнений (11) получаются подстановкой разложения (9) в (2) и (3): » N _ х,у е / : у + £ у= Сг-, ' = 0,N, 1=0 » N х у е7ш : у + £ = Р (у)с0. j=0 Приравняв члены при С , получим х,уе/: у* = 0, у =8, ', j = , (12) х, У е : у = 0, у = 8{Ру, j = 0, N. следующих из (8). Правые части уравнений (13) для а', ' = 0, N равны нулю, а граничные условия (14), (15) зависят только от у', которые, как отмечалось ранее, вычисляются один раз. Следовательно, и функции а' могут быть найдены на шаге инициализации. Непосредственно на каждом временном слое нужно решить зада-^ * * ^ чи лишь для функций у , а , после чего найти константы С из системы (10). Тогда значения искомых функций у, а на временном слое будут получены по формулам (9). Для определения I*, I/ из системы (10) необходимо найти значения нормальных производных да * / дп , 5®/ дп, j = 0, N на твердых стенках. Ниже представлен способ их вычисления в рамках метода конечных элементов (МКЭ). Требуется определить значение производной да */ дп в узле (х1, у), лежащем на границе / . Для этого 1-е из уравнений (13) умножается на пробную функцию ^, равную единице в выделенном узле ' и нулю во всех остальных. После интегрирования по области получим , до , * п дп Re (16) Re rl * Г ^ * __ , | Ф' ^ —^V© -V^i — b<Pi \dD, r d v Re j где pP - след функции p на границе yk. Чтобы раз- V V V V V V V V V i=0 i=0 решить полученное равенство относительно производной до* / дп в /-м узле, интеграл по границе в левой части уравнения (16) вычисляется с помощью квадратурной формулы |/(« XI(^ )Ь/, К - \Mids, у 1 у в которой 5 - узлы интегрирования, совпадающие с узлами сетки; %1 - весовые коэффициенты. В ре- зультате f да до* да* дп дп дп (17) После замены левой части (16) на (17) получим М . (18) дп Ь / Аналогично для определения узловых значений производной до/ / дп, у - 0, N да ФJ дп -, j = 0, N, (20) Ф j = J^ — -Vp^dD . К Яе Ь V т Итак, алгоритм численного решения нестационарной задачи (1) состоит из шага инициализации и цикла по времени. На шаге инициализации сначала решается N +1 задача (11), (12) для вспомогательных функций у1 , которые подставляются в соотношения (15), из которых определяются функции О , дающие значения О на границах у.. Сами функции оО находятся как решения задач Дирихле (13), (14). По формулам (20) подсчиты-ваются производные дО / дп , после чего вычисляются коэффициенты I/ системы уравнений (10). На каждом шаге временного цикла сначала определяется температурное поле Т как решение уравнения (7) с граничными условиями (3). Затем решается одна задача (11), (12) для вспомогательной функции у*. Она подставляется в соотношение (15), из которого находится функция о*, определяющая граничные значения оО на жестких стенках. Сама функция оо находится как решение задачи (13), (14). По формуле (18) подсчитываются производные до / дп , после чего вычисляются коэффициенты I* правой части системы уравнений (10). Решение этой алгебраической системы дает набор констант С, который вместе с найденными вспомогательными функциями у*, * у1, о , О позволяет найти решение у, о задачи на текущем временном слое по формулам (9). Для дискретизации уравнений по пространственным переменным и построения сеточных схем использовались стандартные процедуры МКЭ на неструктурированных четырехугольных сетках билинейных элементов с локальным сгущением около границ нагревателей и стенок канала. При аппроксимации конвективного слагаемого применялся ТУБ-подход [13]. Для проверки разработанного численного алгоритма проведена серия тестовых расчетов репрезентативных течений, таких как вынужденное обтекание системы тел с образованием дорожки Кармана [14], естественная конвекция в вертикальном канале около квадратного нагревателя [8], обтекание вращающихся цилиндров [15]. Во всех случаях получено вполне удовлетворительное согласование результатов расчета по описанному выше алгоритму с альтернативными аналитическими, численными и экспериментальными результатами. Результаты расчетов Нестационарная задача решалась с шагом по времени т — 0,002. МКЭ-сетка содержала около 40 000 элементов со средним размером в зоне сгущения к«0,01. Расчет производился в канале шириной Н — 7 и длиной Ь — 40 при Яе — 100, Ре — 70; 3 нагревателя профилированной формы располагались равномерно по ширине канала на расстоянии х — 5 от входного сечения. Периметр обтекаемых профилей равен п, что соответствует кругу единичного диаметра. Таким образом, принятые в модели числа Рей-нольдса и Пекле для тел сложной формы следует трактовать как вычисленные по диаметру эквивалентного кругового цилиндра. На рис. 2 представлены фазы развития термоконвективного течения в канале. В начальной фазе жидкость медленно поднимается над нагревателями в виде тонких струй, образуя при этом характерные температурные «грибы», которые со временем объединяются в один (рис. 2а). Эпюра скорости в ближнем следе имеет ярко выраженные максимумы продольной скорости над телами. Температурные возмущения и вызванное ими течение на этом этапе локализованы вблизи нагревателей (рис. 3а, б, кривые 1). Рис. 2. Поле температур при естественной конвекции от профилированных нагревателей на моменты времени г — 20 (а), 50 (б), 80 (в), 140 (г) и 360 (д) Со временем жидкость над телами прогревается, что приводит к формированию 3 температурных факелов (рис. 2б) и резкому возрастанию расхода ( (рис. 4). При этом тяга обеспечивается, главным образом, самой нагретой жидкостью, а нагреватели, напротив, препятствуют течению. Это проявляется в виде локальных минимумов продольной скорости над телами в ближнем следе (рис. 3 а, кривая 2). Рис. 2. Эпюры продольной скорости жидкости в сечениях: а - х = 10; б - х = 25 на моменты времени г = 20 (кривые 1), 50 (2) и 80 (3) 3-я фаза развития естественной конвекции характеризуется возрастанием местного числа Рейнольдса до величин порядка 300, потерей устойчивости симметричного течения и формированием дорожек Кармана в следе за телами. Вначале это происходит в следе за центральным профилем, а несколько позже -и за крайними (рис. 2в). Взаимодействие вихревых дорожек приводит к сложному течению в дальнем следе и квазипериодическому колебанию расхода Q (врезка при t«100 , рис. 4). Интенсивное перемешивание вызывает выравнивание температуры поперек канала и как следствие замедление течения. Происходит затухание автоколебаний сначала в следе за крайними профилями (рис. 2в). При этом колебания расхода жидкости в канале приобретают гармонический характер, как показано на врезке г« 200 (рис. 4). Рис. 4. Расход жидкости в канале На заключительном этапе интенсивность вихревых структур постепенно затухает и за центральным нагревателем (врезка при г« 350 , рис. 4). Устанавливается стационарный режим конвекции (рис. 2г) с эффективным числом Рейнольдса порядка 200. Выводы Результаты расчетов показали, что при выбранных параметрах естественная конвекция в вертикальном канале с помещенными в него нагревателями развивается в несколько этапов, принципиально различающихся по характеру течения. В начальной фазе наблюдается медленное безотрывное обтекание, локализованное вблизи нагревателей, затем с ростом скоро- сти жидкости происходит периодический срыв вихрей с обтекаемых профилей и формирование дорожки Кармана. На завершающем этапе течение замедляется и становится стационарным. Очевидно, особенности течения определяются параметрами процесса: формой и расположением нагревателей, размерами канала, числами Re и Pe. Влияние этих параметров на естественную конвекцию в вертикальном канале требует дальнейшего изучения. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты 08-01-00548, 08-01-00163, 07-01-00499. Литература 1. Piva S., Barozzi G.S., Collins M.W. Combined convection and wall conduction effects in laminar pipe flow: numerical predictions and experimental validation under uniform wall heating // Heat and Mass Transfer. 1995. Vol. 30, № 6. P. 401-409. 2. Ермолаев И.А., Жбанов А.И. Смешанная конвекция в горизонтальном канале при локальном нагреве снизу // Изв. РАН. МЖГ. 2004. № 1. С. 33-40. 3. Егоров А.Г., Мазо А.Б. Термоконвективный эффект при медленном течении вязкой жидкости в горизонтальном канале // Докл. РАН. Механика. 2007. Т. 415, № 6. С. 751-754. 4. Farouk B., Guceri S.I. Natural and mixed convection heat transfer around a horizontal cylinder within confining walls // Numer. Heat Transfer. 1982. № 5. P. 329-341. 5. Sadeghipour M.S., Razi Y.P. Natural convection from a confined horizontal cylinder: the optimum distance between the confining walls // Int. J. Heat Mass Transfer. 2001. № 44. P. 367-374. 6. Мазо А.Б. Численное моделирование свободной конвекции вязкой жидкости в канале с нагретым цилиндром // Уч. зап. Казан. ун-та. Серия физ.-мат. науки. 2005. Т. 147, кн. 3. C. 141-147. 7. Saha A.K. Free convection in a vertical channel with a built-in heated square block // Proc. of the 4th ISHMT-ASME Heat Mass Transfer Conf. and 15th National Heat Mass Transfer Conf. Pune, India, 2000. P. 533-538. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 8. Khodary K., Bhattacharyya T.K. Optimum natural convection from square cylinder in vertical channel // Int. J. of Heat and Fluid Flow. 2006. № 27. P. 167-180. 9. Naylor D., Tarasuk J.O. Natural convective heat transfer in a divided vertical channel: Part I - numerical study // ASME J. Heat Transfer. 1993. № 115. P. 377-387. 10. Флетчер К. Вычислительная гидродинамика. Ч. 2. М., 1991. 552 с. 11. Glovinski R. Finite element methods for incompressible viscous flow // Handbook of numerical analysis. Vol. 9. Numerical Methods for Fluids (Part 3). Amsterdam, 2003. 1176 p. 12. Мазо А.Б., Даутов Р.З. О граничных условиях для уравнений Навье-Стокса в переменных функция тока -завихренность при моделировании обтекания системы тел // ИФЖ. 2005. Т. 78, № 2. C. 75-79. 13. Kuzmin D., Turek S. High-resolution FEM-TVD schemes based on a fully multidimensional flux limiter // J. of Comp. Physic. 2004. № 198. P. 131-158. 14. Liu J.-G., Wang C. High order finite difference methods for unsteady incompressible flows in multi-connected domains // Computers & Fluids. 2004. № 33. P. 223-255. 15. Flow characteristics of two rotating side-by-side circular cylinder / H.S. Yoon [et al.] // Computers & Fluids. 2009. № 38. P. 466-474. Поступила в редакцию 24 ноября 2009 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/smeshannye-zadachi-teorii-uprugosti-dlya-sostavnogo-ploskogo-klina

The integral equations are obtained for the contact problems for a two-layered elastic wedge and for the symmetric cut problems for a three-layered elastic wedge. It is supposed that the layers are hinged one to another, the outer faces are stress-free or subject to sliding support. The asymptotic solutions are constructed.

УДК 539.3 СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ СОСТАВНОГО ПЛОСКОГО КЛИНА © 2008 г. Д.А. Пожарский Ростовская-на-Дону государственная академия сельскохозяйственного машиностроения, 344029, г. Ростов-на-Дону, пл. Страны Советов, 2, tmm@rgashm. т Rostov-on-Don State Academy of Agricultural machine building, 344029, Rostov-on-Don, Strani Sovetov Sq., 2, [email protected] Получены интегральные уравнения контактных задач для двухслойного упругого клина и симметричных задач о разрезе в трехслойном упругом клине. Предполагается шарнирное сцепление между слоями, а внешние грани свободны от напряжений либо находятся в условиях скользящей заделки. Построены асимптотические решения. Ключевые слова: контактные задачи, трещины, упругий клин. The integral equations are obtained for the contact problems for a two-layered elastic wedge and for the symmetric cut problems for a three-layered elastic wedge. It is supposed that the layers are hinged one to another, the outer faces are stress-free or subject to sliding support. The asymptotic solutions are constructed. Keywords: contact problems, cracks, elastic wedge. Получены интегральные уравнения контактных задач для двухслойного упругого клина и симметричных задач о разрезе в трехслойном упругом клине. Предполагается шарнирное сцепление между слоями, внешние грани свободны от напряжений либо находятся в условиях скользящей заделки. Построены асимптотические решения. Ранее аналогичные задачи рассматривались для однородного клина [1, 2] и для случая полного сцепления между слоями [3]. Пусть клин состоит из клиньев £21={г£[0,со]; ф£[-а,0]} и £22={ге[0,ао]; ф£[0,Р]}, шарнирно сцепленных по лучу ф=0 (г,ф - полярные координаты). Тело 0.п (п= 1.2) имеет упругие характеристики (1„ (модуль сдвига) и V,, (коэффициент Пуассона). В грань ф=(3 под действием силы Р без трения и перекоса вдавливается плоский штамп. Осадка штампа равна 5. Грань ф=-а свободна от напряжений (задача А) либо находится в условиях скользящей заделки (задача Б). При помощи преобразования Меллина задачи А и Б сводятся к интегральному уравнению относительно контактного давления о, =-(/(г) в области контакта ф=(1 а<г<Ь: J qip) к\ In — \ dp = лв^д (a<r<b), (1) ,/ч °?Z(m) , лЕ k(t) = J-cosutdu н--, о м 2 L(u) = h(u) L2{U) (2) E = lim uL(u). H-s-0 Для задачи A (e=91/92, 9„=G„/(l-v„), п= 1,2) L\ (и) = {sblau + и sin 2a){úü./3u + и sin 2/3) + + 2e(sh 2 сш - и 2 sin 2 cr) (ch2/?w - со s 2/?), 2 2 2 £2 (и) = 2(sh2«M +Msin2a)(sh pu-u sin /3) + 2 2 2 + 2e(sh ccu -u sin a)( sh2/?» + »sin 2fl). ДлязадачиБ ¿j(m) = (ch2aM-cos2oO(sh2/?M+MSÍn2/?) + +e(sh2aM + uún2a){ сЫри - eos 2/?). При e—>0 или e—>co (слой Q| очень мягкий или жесткий) функции L(u) для задач А и Б в пределе совпадают с известными символами для однородного клина с одной свободной гранью или при скользящей заделке одной грани. Рассмотрим клин ¡rC|0./): <у£\-а.а+2\\\\. на биссектрисе которого имеется разрез (трещина), находящийся в раскрытом состоянии под действием заданной нормальной нагрузки оф=-р, a<r<b, ф=р±0. Клин является трехслойным и состоит из шарнирно сцепленных клиновидных слоев -а<ф<0, 0<ф<2(3 и 2(3<ф<а+2(3. Внешние грани свободны от напряжений (задача В) или находятся в условиях скользящей заделки (задача Г). Предполагается симметрия задач В, Г относительно линии трещины, поэтому можно рассматривать только область -а<ф<Р, которая состоит из тел £2„ (//=1.2). таких же, как в задачах А, Б (с теми же упругими характеристиками). Требуется найти форму раскрытия трещины иф^Дг), а<г<Ь, ф=(3-0, затем может быть определен коэффициент интенсивности нормального напряжения на концах трещины. С учетом связи между задачами В и А, Г и Б можно получить интегральное уравнение относительно/(г), а<г<Ь: ь Ы P)dp.^ipr+cx m = l^duX3) г) в2 о ¿С") а Р Функции L(u) в задачах В и Г такие же, как в задачах А и Б; постоянная С должна быть определена из условия j(a)=0 или /(Л)=0. Применяя регулярный асимптотический метод [1] и вводя обозначения )=2(\п(Ыа)) '. х=/.1п(/7д)-1. ф(х)=гд(г)/(а02), Ро=Р1(ад2), найдем решение задач А и Б в виде <р(х) = Ex ~2 b0 (1 — 2x2) b0 Ex 2 кХ 4 Äz b1 (1- 8x 2-8x 4) -3- + 2 b2 Ex- 3b1E( x- 4x3) Ш4 ■я 7 (4) Для задач В и Г аналогичное решение имеет вид f (т)в2 ^1-x 2 Иx)=-т= =-:-V(x), f?(x) = x 1 + — + 2Ä 2 6с0+х х + 2х .3 6 Л 2 48/. з | 120(с1 + с2х2)+х4 | ( 1 120Я4 U5 1 do 1 do Со = — +—, с, =-+ —+ 12 2 320 16 2 do 5dy 1 di (6) +—+ 4 8 '2 240 2 dm = ( inJE" L~1(M)]" XdU • (7) (2m +1)! ° На основании (6) для коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах трещины получим выражения: Ka= lim в2^2к(т-а)f\r) = р ^i/(-1) (8) r->a+0 V л Kb=- lim e242n(b-r)f \r) = pj^/7(1) • г->ъ-о V Л Асимптотики (4), (6) дают приемлемую точность при l>2/ß. В таблице даны значения постоянных (2), (5), (7) для случая пары материалов цинк-железо (первый материал прилегает к области контакта или трещины), когда е=2,156, а=30°. (—1) m 00 bm = ^ L(u)]u2m+1du (m = 0,1). (5) (2m +1)! о 2 Значения постоянных (2), (5), (7) ß 45° 60° 75° 90° 45° 60° 75° 90° Задача А Задача Б E 7,026 3,561 1,860 1,047 0,5047 0,6106 0,6785 0,6808 bo -8,042 -3,718 -1,717 -0,8096 -0,3011 -0,4372 -0,4620 -0,4104 b, 2,156 0,7320 0,2623 0,09613 0,4333 0,1602 0,07877 0,04206 Задача В Задача Г do 1,928 1,133 0,6614 0,3769 0,2004 0,2777 0,2619 0,2152 di -1,471 -0,5247 -0,2031 -0,08007 -0,4277 -0,1553 -0,07327 -0,0378 Для задачи А, как показывают расчеты, возможно нарушение контакта вблизи вершины клина. Это происходит, например, при Р=45°, /.=2. когда на основании формулы (4) и значений, приведенных во втором столбце таблицы, имеем ф(-0,9)<0. Для задачи В значение Ка (8), как правило, больше, чем для задачи Г, что объясняется свободными от напряжений гранями (величина критической нагрузки при этом меньше). Например, при Р=45°, /.=2 на основании формул (6), (8) и значений, приведенных в шестом столбце таблицы, имеем /\"*,= 1.009 для задачи В и К*а=0,8021 для задачи Г, где К*а= Ка(Ьж/1уУ2/р=т](-1). При малых значениях параметра X для решения уравнений (1), (3) можно использовать сингулярный асимптотический метод [1]. Работа поддержана грантами РФФИ 08-01-00003 (задача А), 06-01-00022 (задача Б), грантом «Михаил Ломоносов» Минобрнауки РФ и германской службы DAAD (задачи В и Г). Литература 1. Александров В.М., Ромалис Б.Л. Контактные задачи в машиностроении. М., 1986. 2. Александров В.М., Сметанин Б.И., Соболь Б.В. Тонкие концентраторы напряжений в упругих телах. М., 1993. Александров В.М., Пожарский Д.А. Плоские контактные задачи для составного упругого клина // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. 2006. № 6. С. 27-30. Поступила в редакцию 15 февраля 2008 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/o-raschete-ellipticheskih-obolochek-vrascheniya-nagruzhennyh-vnutrennim-davleniem

The stress state of a shell generated by rotating of semi-ellipse around of a minor axis is analyzed. The shell is esteemed as the bottom of cylindrical capacitance with intrinsic pressure. Moment and non-moment theories are compared and the limitations on applying last one for estimations of hardness are become clear.

УДК 539.3:624.074.4 О РАСЧЕТЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ, НАГРУЖЕННЫХ ВНУТРЕННИМ ДАВЛЕНИЕМ © 2004 г. А. С. Юдин, Д.В. Щитов The stress state of a shell generated by rotating of semi-ellipse around of a minor axis is analyzed. The shell is esteemed as the bottom of cylindrical capacitance with intrinsic pressure. Moment and non-moment theories are compared and the limitations on applying last one for estimations of hardness are become clear. Эллипсоидальные оболочки достаточно широко используются в качестве емкостей или днищ емкостей. Так, для сжиженных углеводородных газов широко применяются баллоны цилиндрической формы с эллиптическими днищами. Требования к конструкции, правилам расчета и технологии их производства определяются техническими условиями и довольно давно разработанными ГОСТами [1]. Гостовские методики расчета основаны на оценках прочности отдельных элементов конструкции и используют простейшие формулы, полученные по упрощенной линейной теории оболочек- безмоментной. Однако известно, что при соединении эллиптической оболочки с цилиндрической условия без-моментности не могут быть удовлетворены в принципе [2]. Поэтому актуальны исследования на основе общей теории и по расчетным схемам, рассматривающим конструкцию поэлементно и как составную оболочку вращения с учетом условий сопряжения обечайки (цилиндрической части) и днищ. Целесообразна также проверка применимости линейной теории на основе геомет-рически-нелинейного расчета. Эго позволяет точнее определить особенности напряженно-деформированного состояния (НДС) баллонов, сделать выводы о степени достоверности гостовских расчетов, выполнять более адекватное проектирование и выбор рациональных вариантов. Повышение точности расчетов важно для обеспечения безопасности конструкций. 1. Уравнения общей теории. Уравнения статики для прямого математического моделирования оболочек вращения даны в [3, 4]. Рассмотрим радиально-симметричное деформирование, так что все функции зависят только от меридиональной координаты щ. В общей теории оболочек в качестве специальной системы отсчета обычно используется триэдр срединной поверхности. Кинематические соотношения для перемещений и компонент деформации в этой системе имеют вид: U(ax,z) = и(аг) + zdl(al), W(auz) = w^y, eu(a1,z) = Eu(a1) + zKu(a1), e22(.al,z) = E22(.al) + zK22(.aly, (1) Еи = и +kxw + 61/2, Е22=щ+к2м>, 0l=-w' + klu, -^11 = > К22 = ц/вj; (2) (...)'= (--.)д/Л =d{...)HAldal), ЧУ=А'2/А2. Здесь положительное направление нормали и координаты z считается внешним к оболочке. Уравнения равновесия, соответствующие кинематике (1), (2), следуют из принципа Лагранжа в виде: Т\ \ +|//(Тц -Т22) + kxQn +qx = О, 611 +|//6и —^i^ii ~к2Т22 +q3 =0, М'и +ЧУ(МП -M22)-Qu -Тиви = 0. (3) Соотношения (2), (3) являются квадратично-нелинейными. В варианте линейной теории нелинейные слагаемые опускаются. Полагаем материал оболочки изотропным линейно-упругим, для которого выполняется закон Гука: ст11 ={El(l-v2)\(en +ve22), сг22 =[E/(1-V2)\(£22 +V£n). С учетом гипотез теории оболочек Кирхгофа интенсивность напряжений определяется по формуле: а = |rrf, +сг22 -сгпсг22]1/2. Значения а не должны превышать допустимых значений пч. Соотношения упругости для изотропных оболочек имеют вид: ^11 = В{Ец +|/-^22Х Т22 = В(Е22 +уЕц), Ми = D{KU +vK22), М22 = D(K2 2 + vKx j), где B = Eh/{ 1 -v2) и D = Eh3/[ 12(1 -v2)] - эффективные жесткости оболочки на растяжение и изгиб; Е - модуль Юнга; v - коэффициент Пуассона. Краевые условия можно записать в виде: и(\-У\) + У\Т\\ =0, w(l-y2) + y2Qu =0, @\(\~Уъ) + УъМ\\ =0 при «1 = а„, и(\-у4) + у4Ти =0, w(l-r5) + y5Qu =0, 6\(\-Уб) + УбМП =0 ИР0 «1 = «12, где Yj принимают значения 0 или 1 для однородных условий. Формулы для коэффициентов Лямэ А\,АЪ главных кривизн kt. к2 и параметра ц/ типовых оболочек вращения можно найти в [3]. Для эллипсоида вращения: ai = <р,А\ = а2 Ь2/с3, А2 = (а2/с) sin (р, кх = 1 /Аъ к2 = sin ср/Аъ у/= cos ср/Аъ с2 = a2 sin2 ср + b2 cos2 ср, где ср - угол наклона нормали к оси симметрии. Относительно ОСНОВНЫХ функций у1 = 7'п- }<2 = <2и, Уз =Мц, 3’4 = II. Уз = м>, Ув = в\ формируется замкнутая система обыкновенных дифференциальных уравнений: у[ = у(т22 - Л) - к\Уг -Ч\, у'г= ~УУт. + к\ Л + кгтгг ~ Чз, Уз = ¥(М22 ~Уз) + У2 +У\Уб, У4 =Еп ~У\ ~к\Уъ ~Уб/2, У5 =к\У4-Уб, Уб =Ч<Уб, где Е22 =УУа +к2У5> К22 = УУб> Кп =Уз/°-уК22^ Ец = У\/В — уЕ22, Т22 = В(Е22 +1/Еп), М22 = В(К22 +1/Кп). Далее выполняется переход к безразмерной форме с помощью нормирующих параметров Е., у., Н,. к, . Они соответствуют модулю Юнга, коэффициенту Пуассона, радиусу кривизны или линейному размеру, толщине. Формулы для безразмерных величин даны в [4]. После перехода к безразмерным величинам система разрешающих уравнений относительно основных функций принимает вид: У и =\№(У-1)У1 +^5(1-^2)х(^4 +к2У5)~к\У2 -<к\ У 2,х = АМк\ +^к2)У1 -УУ2 +к2В(1~у2)(¥У4 +к2 У5)~Яз1 Уз,К =А№(У~\)Уз +^(1-у2)1//2е.у6 +к2у5 +у2/е. +у1у6\, У4,х=А[Еп-У1-к1У5-Уб/21 У5,х=А[к1У4~Уб1 Уб,х=Ач<Уб’ где х = а.\ — независимая координата; £. = к, /Я. - параметр тонкостенности. На эллипсоиде в качестве независимой координаты задается угол наклона нормали меридиана (р. Здесь для упрощения записи в безразмерной форме сохранены обозначения аналогичных размерных величин. В этом случае вид условий сопряжения, компонент тензоров деформаций и напряжений гт,;. интенсивности напряжений и краевых условий сохраняется таким же и в безразмерной форме. 2. Безмоментная теория. Возможности расчета по безмоментной теории весьма ограничены. Для реализации безмоментного напряженного состояния форма оболочки, условия закрепления ее краев и нагрузка должны быть таковы, чтобы возникали преимущественно мембранные напряжения. В безмоментной теории пренебрегают моментами и перерезывающими силами. В этом случае уравнения равновесия (3) переходят в следующие. ^11 + ^(-^11 — ^22)+ #1 = 0 5 к{Гц + к2Т22 ~ Чз = 0 • Система (1,2) замкнута и может быть решена независимо от кинематических соотношений и соотношений упругости. Для цилиндрической оболочки при внутреннем давлении q^, = р. (ср = 0) безмоментное решение имеет вид: Тп = рЯ/2, Т22 = рЛ, (4) где И. = К-Ц радиус срединной поверхности цилиндра. Нормальное перемещение и1 = 0,85 рК/НИ: Е - модуль Юнга материала; И - толщина обечайки; V = 0,3 - коэффициент Пуассона. В безразмерной форме, отличаемой тильдой (~) вверху, У, | = р/2, Тп = р.. й~ = 0,934/3 . Мембранных усилий в данном случае достаточно для определения мембранных напряжений и их интенсивности: — Т\\ / (/? V7* ), ^*22 — ^22'' — (1 ^ — ^"11~^^"22-^"11^"22) Внутренние усилия (4) цилиндрической оболочки являются положительными (растягивающими). Перемещение и- также положительно, т.е. точки срединной поверхности цилиндрической оболочки смещаются радиально в сторону положительного направления нормали. При этом торцы цилиндра также должны перемещаться свободно в том же направлении для исключения появления перерезывающих сил. Рассмотрим оболочку, образованную вращением вокруг малой оси половины эллипса (рис. 1); малая полуось равна высоте днища (а = Н), большая -радиусу цилиндра (Ь = К). Угол наклона нормали ^изменяется от 0 до ж/2. Для эллиптического днища также построено аналитическое решение [2]: Т\\ = рЯ2/2 = РЯ(\ + г)112/[2(1 +Г^п2 <р)1/2], Т22 = /7/г2/(2-/г2//г1) = />Д(1 + /)1/2(1-/8ш2 р)/[2(1 + /8ш2 (5) где 1(\ = \ /к\. К\ = 1 /к2 - главные кривизны, являющиеся функциями угла <р: у= (Я/Н)2 -1. Решение (5) соответствует нестесненному смещению края по нормали (скользящая заделка, рис. 1а). Практически это можно реализовать, если соединить симметрично по контурам оснований два одинаковых днища. В (5) усилие Тп положительно (растягивающее) на всем меридиане. Усилие Т22 32 также положительно при движении точки наблюдения от вершины, однако в окрестности края, сопрягаемого с обечайкой, становится отрицательным (сжимающим). Соответственно и край днища стремится смещаться внутрь в отличие от цилиндра, смещение края которого происходит наружу, т.е. в противоположном направлении. Это имеет место при используемых на практике соотношениях Н = Н/К , назначаемых обычно в окрестности 0,5. Усилия Т22 в (4) и (5) на линии соединения цилиндрической и эллиптической оболочек могут быть равны только при условии у= -1, т.е. при Н стремящемся к бесконечности, что нереально. Поэтому при сопряжении эллиптического днища с цилиндрической обечайкой безмоментное состояние недостижимо в принципе, по крайней мере, в зоне стыка. 3. Расчеты и анализ. Расчеты по общей (моментной) теории выполнялись на основе численных методов комплексами программ, реализованными в интегрированном математическом пакете. В расчетах для днищ использовался метод одно- и двусторонней пристрелки, позволяющий решать линейные и нелинейные задачи. Сравнение линейной и нелинейной теорий показало, что их результаты практически не отличаются, и вполне можно пользоваться линейной моделью. По линейной теории выполнены контрольные расчеты более универсальным комплексом программ, использующим метод суперэлементов и ортогональную дифференциальную прогонку. Результаты тестовых расчетов полностью совпали. Пусть оболочка выполнена из стали с модулем Е= 0,21 • 106МПа, коэффициентом Пуассона V = 0,3, имеет внешний радиус К и постоянную толщину к. Полагаем Е.=Е, у. = у , Л. = Л, к, = к . Уровень рабочего давления зададим равным р = 1,6 МПа, уровень допустимых напряжений — од = 138МПа. Соответствующие безразмерные значения соответствуют ^5 = 0,0169 и стд = 0,0324. Некоторые из рассмотренных вариантов других параметров даны в таблице. Вариант Н е. 1 0,45 0,0203 2 0,45 0,0135 3 0,50 0,0135 4 0,55 0,0135 5 0,60 0,0135 6 0,65 0,0135 Рассмотрим вариант 1 оболочки, используемый в практике, с условиями рис. 1а. Интенсивность напряжений а представлена на рис. 2, где штрих-пунктирная кривая соответствует безмоментному решению. Моментное ре- 33 шение показано кривыми О, 1 и 2, соответственно, на срединной, внутренней и внешней лицевых поверхностях. Направление на графиках слева направо соответствует движению от вершины к краю эллипсоида, верхняя горизонтальная прямая - безразмерному значению допустимых напряжений о д. нижняя - интенсивности на цилиндре гтц. Последняя практически совпадает с тем, что дают и более точные модели на основной части цилиндра при отступлении от линии сопряжения. Для варианта 1 интенсивность на цилиндре ниже максимумов интенсивности на эллипсоиде. При сравнении на срединной поверхности результаты двух моделей близки. Однако от значений интенсивности на лицевых поверхностях имеется заметное различие (-10 %). Более высокая напряженность имеет место на внутренней лицевой поверхности в прикраевой зоне. При этом интенсивность в вершине днища, по которой оценивается напряженность по методике ГОСТа, в данном случае не является максимальной. 0 0,4 0,8 1,2 <Р Рис. 2 Рассмотрим поведение интенсивности напряжений на оболочке со стесненными краевыми условиями типа жесткой заделки (рис. 16). Эта модель ближе к условиям работы днища в составной конструкции баллона. Результаты показаны на рис. 3. Здесь возникает внутренний максимум интенсивности напряжений, который становится определяющим для рассматриваемой геометрии. Можно игнорировать значение интенсивности на краевом контуре днища, поскольку здесь проявляется известный эффект концентрации напряжений в заделке. При учете условий упругого сопряжения с обечайкой этот краевой эффект сглаживается. Рис. 3 При є. = 0,0203 оболочка в варианте 1 вписывается в допустимые ограничения, а на треть более тонкая оболочка с є. =0,0135 (вариант 2- нет, рис. 4). Однако по гостовской методике вариант 2 был бы допустимым, поскольку в вершине эллипсоида результаты моментной и безмоментной моделей совпадают и находятся ниже . Рис.4 На рис. 5 показаны интенсивности вариантов 2-6 на внутренней лицевой поверхности, где номер кривой соответствует номеру варианта. То, что вариант 2 не вписывается в норму, связано с недостаточной выпуклостью днища. Более подъемистые варианты 4-6 вполне удовлетворяют ограничениям. Возрастание стрелы подъема днища увеличивает запас прочности и сглаживает напряженное состояние по меридиану эллипсоида. Внутренний максимум уменьшается и перестает быть определяющим, начиная с Н « 0,6 . Такое поведение напряженного состояния отражает изменение геометрии оболочки днища в сторону полусферы. Как известно, сферическая форма сосуда наи- лучшим образом держит внутреннее давление, поскольку состояние становится полностью безмоментным и однородным с внутренними усилиями Т\\ = Т22 = рЯ/2. Рис. 5 В силу линейности задачи работает принцип суперпозиции. Поэтому оценку напряженного состояния для других уровней давления можно делать пропорциональным пересчетом результатов, полученных для одного уровня. Рассмотренным безразмерным параметрам соответствуют геометрически подобные баллоны разных размеров и емкости, изготовленные из одного и того же материала. При этом требуемая вместимость легко подбирается за счет длины обечайки, которую можно варьировать в силу вида реализуемого в ней напряженного состояния, практически однородного и безмоментного. Напряженное же состояние днища таковым далеко не является. Для возможности оценки интенсивности напряжений по формулам безмоментной теории относительная высота подъема Н сегмента эллиптической оболочки должна быть 0,6 и выше. В этом случае максимум перемещается в вершину эллипсоида. Работа выполнена при содействии гранта Президента РФ по поддержке ведущей научной школы НШ-2113.2003.1 Литература 1. ГОСТ 14249-80 Сосуды и аппараты. Нормы и методы расчета на прочность. 2. Новожилов В.В. и др. Линейная теория тонких оболочек. Л., 1991. 3. Кармиишн А.В. и др. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М., 1975. 4. ЮдпнА.С. //Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 3. С. 184-188. Ростовский государственный университет, НППМ и ПМ 26 марта 2004 г. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

https://cyberleninka.ru/article/n/metod-rascheta-kolebaniy-obolochek-soderzhaschih-zhidkost

Представлен численно-аналитический метод решения задачи о колебаниях напряженных оболочек, содержащих жидкость. В модели используются уравнения колебаний оболочки и жидкости, связанные гранично-контактными условиями. С помощью аппроксимаций по окружной и осевой координатам исходная задача сводится к одномерным краевым задачам для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих от радиальной координаты

УДК 533.6: 624.074.4 МЕТОД РАСЧЕТА КОЛЕБАНИЙ ОБОЛОЧЕК, СОДЕРЖАЩИХ ЖИДКОСТЬ © 2002 г. Д.В. Щитов, А.С. Юдин The numerically-analytical method for solution of a problem about oscillation's of prestressed shells of tanks containing fluid is introduced. With the help of approximations on circumferential and axial coordinates the source problem is resulted in unidimen- sional boundary value problems for systems of ordinary Необходимость анализа колебаний оболочек, содержащих жидкость, возникает в задачах транспортировки емкостей с жидким грузом. В этом случае оболочка нагружена статически (весом груза) и динамически (транспортные вибрации). Представлен численно-аналитический метод решения задачи о колебаниях, наложенных на статическое напряженно-деформированное состояние (НДС). Построена модель, использующая связанную гранично-контактными условиями систему уравнений колебаний напряженной оболочки и жидкости. Используются аппроксимации тригонометрического типа по окружной и осевой координатам. С их помощью исходная задача приводится к одномерным краевым задачам для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с независимой радиальной координатой. Исходные соотношения. Жидкость. Вводится потенциал скорости Ф, связанный с вектором скорости частиц жидкости: v = -УФ = - gradO. Динамическое давление жидкости р = ржФ,( , где рж - плотность жидкости в состоянии покоя; t=d(...)/dt. В линейном приближении для идеальной жидкости потенциал скорости Ф и давление р должны удовлетворять волновому уравнению АФ - Ф,п/сж2 = 0 (или Ар - р,п/сж2 = 0), где сж - скорость распространения звука в жидкости; Д= V2 - оператор Лапласа (лапласиан); внутренние источники звука отсутствуют. Операторы V и А записывается в криволинейной системе координат, наиболее подходящей для области, занимаемой жидкостью. Так, в цилиндрической системе координат г, 9, z они имеют вид: V(..) = (.. .),r-er+[(.. ,),o/r]-e0+(.. ,),2-ez, Д(...) = (...),„+ (...)./r + (...),09+ (•••).гг . где er, е0, ez - орты цилиндрической системы. На границе объема жидкости нормальная скорость выражается через производную от потенциала скорости по нормали граничной поверхности: vn= vn = - Ф,„ = = —п- УФ = w,t, где п — внешняя нормаль; w - нормальная компонента вектора перемещений. В случае гармонических колебаний зависимость от времени всех функций задачи по методу комплексных амплитуд задается в виде exp(-is0cot ), где i - мнимая единица, s0 = ± 1; со - круговая частота; t- время. Тогда {Ф, р, v, w,...} = = {Ф,р, v, w, —}ехр(—is0tot), где чертой сверху обозначены амплитуды; p = -s0iupJICO. Волновое уравнение переходит в уравнение Гельмгольца: equations with independent radial coordinate. АФ+к2Ф=0, Ар + k2p = 0 , где к = а)/сж. На границе объема жидкости Ф,п = soitow, поэтому амплитуды нормального смещения и давления связаны формулой р,„ =-со2ржш. Введем характерные параметры Rx, hx - большой и малый размеры; рх - плотность; Ех — модуль упругости; vx - коэффициент Пуассона, а также величины: Ei= hx/Rx - малый параметр, v0=l-vx2, cx=[Ex/(pxv0)]1/2- характерная скорость звука. Перейдем к безразмерным величинам и операторам по формулам: Ф = Ф/(аЖД А = A-Rx2, V = V Rx, n = n/Rx, w = w/hx, p = pRx2Vo/(Exhx2), рж = рж./рх, сж = сж./сх, Q = coRx./cx, k = Ш сж. Эти соотношения относятся как к исходным величинам, так и их амплитудам при гармонических колебаниях. Ниже будем работать с амплитудами в безразмерной форме, сохраняя за ними обозначения исходных величин (т.е. для упрощения записи убираются тильды и черточки). Для жидкости основные соотношения в безразмерной форме получают вид: ’ АФ + к2Ф = 0, Ар + к2р = 0, р= - 801рж(й/е1)2Ф, Ф,п=501е^,р,п=Е1рж(О/Е1)^. (1) Оболочка. Базовые уравнения малых гармонических колебаний осесимметрично напряженных оболочек вращения включают кинематические, соотношения (2), уравнения движения в усилиях и моментах (3), соотношения упругости (4). Ограничимся вариантом соотношений упругости для ортотропных оболочек. В записи относительно амплитуд уравнения имеют вид: Еп =u'+k1w + di°^1, Е22 = V* +tyU + k2W +$2 #2’ Oj = v', fi2=u*-\|/v, #1 =-w'+kiU, t?2=-w*+k2V, Ej2 = Q| + £^2 +^2^1 * К j i K.22 = г?2 + Ф > Tj =#2, T2 =#* — Ki2 = У(Ь +к2П1) + (1-у)(т1 +t2)/2; (2) T,'i + V(TU -T22) + S* +k,(Qn + yH*) + + р1ш2и+р1 =0, S' + T22* + 2v|/(S + yk.H) + k2 (Q22 + 7H') + - + р1ш2у + р2 = О, Сц+УРп+Фгг — к1Т], -к2Т22 + + р^иг + рз -р = 0, +¥(М! —М22) + Н’ -Т,0^ --Тц^-Б0^ =°- (3) Н'+2\)/\|/ +М22* -<322 -Т221?2 - Б0!?! — Бт?” =0, Тц = ВцЕц + В12Е22, (1^2) Мц =ВцКц + (1<->2) Б =ВззЕ]2, Н = А33Е12. (4) где (...) = Э(...)/(А1Эа1), (...)* =а(...)/(А2Эа2); \|/ = А27 А2; аь а2 = 0 - продольная и окружная криволинейные координаты на основной поверхности оболочки; Аь А2 - коэффициенты Лямэ; у = 0, 1 - переключатель между вариантами уравнений, отличающихся выражением для кручения [1]; р - динамическое давление (реакция) жидкости. Величины с ноликами вверху соответствуют компонентам радиально-симметричного статического НДС. Они определяются решениями в общем случае нелинейных краевых задач [2]. В уравнениях (2) - (4) окружная координата отделяется представлением амплитуд компонент динамического НДС тригонометрическими рядами Фурье: £ [^(1)псО8П0С2 +Ш(_1)п81ППа2] , п=0 Т11 = £ ЕГ11(1)пСОЗпос2 +Тц(_1)п5тпа2] , п=0 и т. д. После перехода к безразмерным величинам формируется каноническая система уравнений относительно основных функций У^ ') = 0,..., 7: Уо =3(_5) +(1 + У)£1к2Н(_8), У! =МП(8), ^2 =Тп(8)> = СЬод +е15пН(-5)> у4 = У(-8), У5 = 1?1(8), У6 = и(1), У7 = W(s), у;= и/аь п, 5, У), У={Уо, У,,..., У7}, ] -0,..., 7, где п = п/А2 , Р„ = -2 у У0 + 5пТ22(8) +(1-у>|/е1(к1- -к2)Н(_8) -к2022 —Р]П2У4 — р2, Р. = У(М22Ы-%)-28пН(.5) + У3/г, + +Т°У5 + У2#°, Р2 = ¥(Т22(5) - У2)-бпУ0 -к[У3 + х х[2укг+ (1 — у) (^ + к2)]-риО!У6 -р„ = — ¥^3 + к] У2 + к2Т22(8) —бп((322 + + 281уН(_5))-р1^2У7 -р3 +р, ^4 =Е12(-Ю +¥^4 +^6-СА°&2Ы)’ ^5 = Кц(5)/е1 • Е6=ЕШ5)-к1У7-81г?1°У5( Р^-У^к^. Входящие в правые части уравнений величины определяются последовательностью формул: $2(-5) = к2У4 +8пУ7, С, =(1-у)¥к1У4 +5п{[(1-у)к1 +к2]У6 -- (2 - у)У5 - 1(/У7 } - !?2(_8) [(1 - у)V+к 2 8,^ ], 1?! = в33 +(1+Зу;е12к2о33, ь2 =(1+У)2 61 к2033, Ь3=ВпОп, = (У1 ~Ь2С1)/Ь1, ^12(-б) ~ ег (к2Е12(-5) +С1)/(2-у), Е2ад = &ТТУ4 +\уУб +к2У7> К 22(8) =е1(^2(-з) +¥у5)-Кц(<,) = (У,-о12к22(5))вп/ьз , Ещя) =(^2 ~®12Е22(5))/Вц , ^22(5) — О.гКщз) + О22К22(5) > т22(в) = в12е11(5) + в 22 е 22(5) . Н(-з) =2Е>ззК12(_5). Q22 = —е 1 [впМ 22(в) + Т22#2(-5) + + ^в(У0-е1к2(1 + 7)НН))]. Система зависит от номеров окружных гармоник (мод). Индекс п для упрощения записи опущен. Общее решение определяется суперпозицией решений для отдельных мод. Каноническая система уравнений нелинейной ’ осесимметричной деформации в квадратичном приближении после перехода к безразмерным величинам И введения ОСНОВНЫХ функций Уо = Тц, У1= <3и, У2= Мц, Уз = и, у4 = \У, у5 = -§1 имеет вид (нолики для упрощения записи опущены;] = 0,..., 5):' У]=^(«1.У)» У = {Уо.-»У5}» (5) *о =У(Т22-Уо)-ЦУ1-Ч1. ^ =-¥У1+к1У0 + к2Т22-Чз> {2 =¥(М22-у2)+у,/е1+у0у5, ^ =Еп-к1у4-е1у^/2, Ь =к1Уз-У5. ^5 = Кп/е1 ; Е22=уу3+ку4, К22=е,\|/у5, Кп = (у2 —В12К22)ВП/Ь3, Ец = (Уо ~®12Е22)/В11, Т22 = В12ЕИ + В22Е22, М22 = 012Кц + В22К22. (6) Решение краевых задач для уравнений (5), (6) и исследование статического НДС выполнялось ранее [3,4]. Объект и модель. Рассмотрим жидкость в цилиндрической емкости, стоящей на горизонтальной плоскости (рис.1). Считаем, что емкость изготовлена из изотропного листового материала толщиной Ь, с модулем Юнга Е, коэффициентом Пуассона V. При транспортировке могут возбуждаться вертикальные, горизонтальные и поворотные колебания. Если известны данные для усредненных вибрационных характеристик разных типов дорог [5], то можно считать заданными амплитуды ускорений (скоростей, смещений) на опорном кольцевом контуре, т.е. кинематические воздействия. Поскольку днище, имея составную конфигурацию, по существу является пологой оболочкой [3], то условия на нижней границе для жидкости можно перенести на плоскость. Таким образом, жидкость можно рассматривать находящейся в цилиндрическом объеме высоты Нж. Обычно заполнение объема всей емкости составляет 95 %, так что Нж близко к высоте бочки. Формирование разрешающей системы. Уравнение Гельмгольца (1), записанное относительно безразмерной амплитуды динамического давления, в цилиндрической системе координат имеет вид: Р.гг + Р.,/г + Р.ее/г2 + Р.гг + к2р = 0 (7) Решение ищется в виде двойного тригонометрического ряда Фурье по координатам 0 и г с коэффициентами, зависящими от г: N М __ р(г,0,г)=^П рпт( 1,1 )(г>С05 т г+ л=0т=0 +Рпт(1,-1)(г)зт (тг)]со5(п0)+ +[Р„.п(-1.1)0')СО8(тг)+ +Рпт(-1.-1)(г)5т(т2)]5т(п0)]}, (8) где ш=тл/НЖ) т - число полуволн по оси ъ\ п -число волн в окружном направлении; Нж - высота столба жидкости. Поскольку в уравнения Гельмгольца входят четные (вторые) производные по г и 0, то после подстановки (8) в (7) получаются однотипные системы для определения рпш(± 1, ± 1)* рпт(± 1, ± 1)>г г "+■ Рпт(± 1, ± + iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. "1"Кшп(г)Рпт(± 1, ± 1) — 0, --(9) где Кпга(г) =Кт- (п/г)2, Кт=к2-т2. Дальнейшие преобразования и выделение соответствующих решений из (8) связаны с использованием гранично-контактных условий и учетом вариантов вызывающих колебания воздействий. Условия, соответствующие свободной верхней границе (г = Нж) и совместным колебаниям жидкости и днища (при г = 0), имеют вид: р(г,Нж) = 0, т.е. 1(-1)тРпт(.,(г) = 0; (10) т-О М Р(Г,0) = р(г) = £ Рпт(1)(г); (И) т=0 4 Р(Г,0), г = - рж(02/£,) \У(Г), ИЛИ м 4 £т Рпт(-1)(Г)= - Рж (£2 /8!МГ), (12) ш=0 где w - нормальные прогибы днища. Соотношение (11) определяет динамическую реакцию жидкости, действующую на оболочку. Рассмотрим вариант вертикальных колебаний, для которых имеются данные по амплитудам вынуждающих ускорений [5]. После перехода к амплитудам смещений усредненные данные для разных типов дорог имеют вид, представленный на рис.2 в логарифмических координатах в диапазоне от 4 до 200 Гц. Поскольку наиболее податливым и нагруженным элементом емкости является днище, то приемлемой может быть модель сосуда с деформируемым дном и жесткими стенками. Этому варианту соответствует нулевая окружная мода п = 0 и К„т(г) = Кт. Тогда на жесткой цилиндрической стенке (г=а) смещения равны нулю, т.е. м _ _ 1 Р(а>2),г = X [Рт(1)д(а)со8т2 + Рт(-1),г(а)51пт2.1=0> т=0 откуда Рт(1) г(а) =0, ргаМ),г(а) = 0, т = 0.......М. Рис. 2 9і Нж 2: 10 ф 5 71 2: :0 Г _ Г Рис.1 Цилиндрическая (полярная) система координат имеет особенность в полюсе. Поэтому в центре ставятся одельные условия на границе малого выреза г = г0. Для варианта жесткой стенки рт(п, г = 0. Рт(-1).г=0 при г = г0. В варианте мягкой стенки Рт<1) = 0, Рт(-1)= 0 при Г = Г0. Обозначим: рт<±1)= Рот(±1,1). (•••)' = (•••),.•• Уравнения (9) получают вид: Рш(I) Рш(1) ^ + К-тРш(1) = Рт(-1) Рт(-1)^Г + +кт рт(-1)= о, ш = 0,..„М. Обозначив р'1|П) = цга([), запишем уравнения гармонических колебаний жидкости в виде системы стандартной формы: Рш(1) — Чт(1) = 0, Ят(1) + Ят(1/Г +КтРт(1)= 0| Рт(-1) — Чш(-1)= 0, Чт(_!)+ Чт(-1/г + + ктрт(.1)=0, ш = 0,М. (13) Используем условия на верхней и нижней границах жидкости. Из (10) следует: SH) mPm(l)(r) + (-1)М рМ(1) (г) = о, ИЛИ ш=0 М‘1 Рм<1)(г)= - S(~l) +mpm(l)(r). (14) На основе(12) 1 Рмс-1) (г) = ~К^(г)/М- — ЕМРт(-1)(г) (15) М т=0 где Кп=Нжрж02/(л(,). С учетом (14), (15) система уравнений (13) преобразуется в следующую: Рт(1) = Чт(1)> Рм(1)“ ЯМ(1). Чт(1) ~ — Чт(1/Г — Ктрт(1), М-1 Чм(1) = ~Чм(1) ^Г + ^мХ(-1) Рт(1)(Г)’ т=0 Рш(-|) = Ят(-1)> Рм(-1) = М(-1>; Ят(-1) “■ ~ Чт(-1)^Г “ КшРт(-1)> — 0,.. .,М—1. Чм(1)= “ Чми/г +(КмКп/М)\у + +(Км/М) £тр■ ш=0 Краевые условия: в центре (г = г0): я, = 0 для жесткой стенки или р, = 0 для мягкой стенки; на краевом контуре (г = а) я, = 0; ]= 0,..., М. При осесимметричных колебаниях оболочки Уо и У4 равны нулю. В системе уравнений связанных колебаний дна емкости и жидкости основные функции в унифицированных обозначениях 2нумеруются от нуля в следующей последовательности: 2о=Уг, Ъ\ = Уз, Ъг=Х\, 24=У7, = ^6+гп Рт(1)> ^7+М+т— Чт(!)» ^8+2М+ш— РтС-1)? ^9+ЗМ+т — =Ят(-о> т = 0,...,М. Общее число неизвестных функций (порядок системы) N = 6 + 4(М + 1). Рассмотрим систему при М=1 (N=14). В этом случае набор основных функций для жидкости будет следующим: 2б = Роа)> = Ркп> — Чо<п> 29 = яко, 2ю=Ро(-1), 2ц=р1(_1), ^!2=Яо(-1)-. 2^1з=Як—и- Соответствующая часть системы для жидкости имеет вид: 7' = 7 7'—7 7'-7' ^6 8’ 7 " 9 ’ 8 10 ’ Гд = -29/г-ВД, 2ю=212, Zl2= 7;з=-21з/г+К1Кш24+К1. (16) Аналогично для варианта М=2 (N=18): Z6= р0(1), Ъ~1- рщ), Z8 = Яго)! 29 = Чо(1), ящ), Zu= ц2(1); 2^= Рои). 213= Рк-п> 2(4= р2(-1); 215= Чо(-1). 2^= Чк-1). 2п — Чг<-1) > 26= 29, 27=, 28 = 2П, 29 = -29/г—K0Z6, Z10 = — 210/г— К,27, 2ц = -2,,/г-к0(г6 -27) г12=г15, 213=216, 7<и=Ъ\т, 215 =-215/г-Ко212, 216 = — Z16/r—К^13 ЪХ1 — Z17/r + +К2К2йг4+к2г11/2. (17) Динамическое давление жидкости действует на оболочку через правую часть уравнения, содержащего нормальную компоненту нагрузки: м м Р4=...-р,£2 \У + £рД1),или Р4=...-р1£22г4 + £г^6. 1=0 j=0 Проанализируем систему (16) первого приближения. Все ее правые части не зависят от 2ц, а два уравнения с правыми частями под номерами 10 и 12 образуют независимую подсистему. Исключая эти уравнения и уравнение Z^, = 2ц, .получим основную систему, определяющую колебания оболочки с учетом динамической реакции жидкости. Аналогичный анализ и формирование основной системы необходимо выполнять и в более высоких приближениях. Так, для системы (17) второго приближения автономную подсистему составляют уравнения 2;2=215, г^б, ^-г.з/г-ВДи, 216= -^б/г-К^з, а Ъ14 отсутствует в правых частях уравнений и может быть определено после решения основной задачи. Отделение этих уравнений от главной системы обеспечивает эффективность и устойчивость счета последней. После перенумерации оставшихся основных функций и подключения уравнений (5), (6) разрешающая система в случае М = 1 имеет вид: у'о= [(V-1 )у0 + В (1 -У2)(у3+Ф0у4)/г]/г- Р1^2у3, у\= (к|+\|к2)уо+к2В(1-\'2)(уз/г+к2у4)— - Р1^2У4+Уб+У7> у,2=0О1Уо+^-1)у2/г+[О(1-у2)е,/г2+Т°11]у5, у'з = уо/В-уу3/г-(к, +ук2)у4-е, 0° 1 у5, У'4=У5. у'5 = У2/(£1В)-Уу3/г, у'б — У8> у'т=у9, у'ъ = КоУб -у8/г, у'д = К,у7-у9/г, у'ю= К^Кд^М—ую/г, (18) где у3=г)^=0...9;уш=213. Краевые задачи решались численными методами двусторонней пристрелки, а также дифференциальной прогонки с ортогонализацией по С.К. Годунову [2]. Оказалось, что в актуальном диапазоне частот (до к=0,12, или f < 200Гц) при возбуждении колебаний вертикальными смещениями опорного контура сходимость обеспечивается уже системой (18). На рис. 3 показана динамическая интенсивность напряжений для частоты Г = 100 Гц на срединной поверхности и лицевых поверхностях днища при единичной безразмерной амплитуде вертикальных Рис. 3 В силу линейности задачи уровни, соответствующие рис. 2, для всех характеристик получаются пропорциональным пересчетом. Аналогично трансформируются амплитудно-частотные характеристики. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 00-15-96087, 01-01-00681. Литература 1 .Юдин А.С., Рукина Т.И., Шевченко В.И. // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1981. № 3. С.32-36. 2. Кармишин А.В. и др. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М., 1975. Ъ.Юдин А.С., Сафроненко В Г., Щитов Д.В. // Современные проблемы механики сплошной среды. Тр. VI Между-нар. конф. Ростов н/Д, 2001. Т.2. С.158-161. 4. Щитов Д В. Н Тр. аспирантов и соискателей РГУ. Т. 7. Ростов н/Д, 2001. С.17-19. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 5. Сафроненко В.Г. и др. И Современные проблемы механики сплошной среды. Тр. V Междунар. конф. Ростов н/Д, 2000. Т.2. С.161-163. НИИ механики и прикладной математики РГУ 20 июня 2002 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/osnovnye-osobennosti-selektivnogo-deystviya-svetovyh-poley-na-rybu

Рассмотрено влияние световых полей естественного и искусственного происхождения на поведение рыбы. Показаны перспективы их избирательного действия на рыбу при различных проявлениях реакции. Рассмотрены возможные способы оценки селективности полей для различных условий лова. Библиогр. 4 назв.

УДК 639.2 ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ СЕЛЕКТИВНОГО ДЕЙСТВИЯ СВЕТОВЫХ ПОЛЕЙ НА РЫБУ © 2007 г. О.В. Григорьев Световые поля являются единственным источником воздействия на объект лова в естественных условиях и в зоне орудий лова [1, 2]. Большая часть световых полей оказывает на рыбу селективное влияние, определяет состав и численность улова [3, 4]. Известны работы, в которых рассмотрены частные селективные свойства световых полей, но они не дают представления об основных закономерностях действия таких полей на объект лова. Цель работы состоит в установлении основных особенностей и закономерностей селективного управления объектом лова. Рассмотрим отдельно селективные свойства световых полей естественного происхождения, световых полей средств интенсификации лова и световых полей контрастов орудий лова. Для оценки селективных свойств световых полей естественного происхождения необходимо знать распределение естественной освещенности с глубиной Н: Ен = Е 010 -а (1) где Ео - подповерхностная освещенность, лк; аВ -показатель вертикального ослабления света в водоеме, 1/м. Если предпочитаемая рыбой освещенность равна Еп, то из выражения (1) можно найти глубину, на которой располагается объект лова. Обычно рыба придерживается некоторого диапазона освещенности Е'п до Еп''. Тогда высота слоя рыбы H' - H ' = ln (E ^ E" а, (2) Различие значений Е'п и Еп'' для рыб разного размера, вида и пола объясняет причину селективного разделения рыб по вертикали, при этом расслоение рыб может быть полным или частичным. Из формул (1) и (2) следует, что на глубину расположения и высоту слоя рыб влияет диапазон значений Е'п и Еп'' и прозрачность воды. Как показали исследования, рыба одного вида и размера придерживается слоя воды, в пределах которого освещенность изменяется не более чем в 5-10 раз. С вероятностью около 80 % освещенность в этом слое изменяется менее чем в 40-50 раз. Диапазон глубин, в котором освещенность изменяется в такое число раз, прямо пропорционален прозрачности воды по диску Секки и, следовательно, в водах с большей прозрачностью высота слоя и расслоение рыбы больше. Прозрачность воды и освещенности Е'п и Еп'' подвержены суточным и сезонным колебаниям, что определяет колебание высоты слоев и степень расслоения рыбы. Расслоение рыбы по вертикали влияет на селективность промысла, которая тесно связана с селективностью орудий лова. Оптимизировать и стабилизировать селективные свойства способа лова в этом случае иногда можно выбором горизонта лова с учетом расположения слоев рыб, а также выбором вертикальных рабочих размеров орудий лова. Световые поля средств интенсификации лова влияют на распределение рыбы в зоне и вне зоны орудия лова. Потому они в некоторой степени определяют и селективность промысла, и селективность способа лова. При оценке селективных свойств световых полей средств интенсификации лова учитывают, что общий характер реакции и ее частные проявления зависят от: - интенсивности и спектрального состава излучения; - степени диффузности света; - расположения источников света (надводные или подводные); - показателей перемещения; - модуляций поля; - продолжительности действия поля. Селективные свойства полей наиболее четко проявляются при различии для рыб разного размера, вида или пола общего характера реакции как положительной, отрицательной или нейтральной. Иногда общий характер реакции рыб разного размера, вида или пола проявляется при любых параметрах источников светового поля и самого поля. Однако чаще общий характер реакции зависит от расположения источников относительно поверхностей раздела, интенсивности поля, спектрального состава света, характера модуляций светового сигнала. Например, рыбы самых поверхностных слоев воды лучше реагируют на свет источников надводного освещения; рыбы толщи воды предпочитают подводное освещение; рыбы, совершающие вертикальные миграции, в том числе в поверхностные слои воды, положительно реагируют и на надводный, и на подводный свет. Селективное действие света на рыб различного размера, возраста и пола может быть основано на неодинаковой для различных рыб критической длительности импульсов света. Следовательно, выбирая длительность импульса света с учетом его амплитуды, можно регулировать селективные свойства световых полей. Перспективно изменение селективных свойств световых полей путем регулирования частоты мельканий света. При частоте мельканий ниже критической рыбы способны раздельно воспринимать мелькания света. Реакция рыб разного размера и пола на непрерывный и мигающий свет, как правило, существенно отличается. Селективность лова, основанную на общем характере реакции на свет, можно регулировать с помощью тех же показателей, которые влияют на сам характер реакции. Разделение рыб по размеру, виду или полу при различии общего характера реакции наиболее перспективно, но не всегда возможно. Значительно чаще рыб разделяют в пространстве и времени в пределах зоны действия светового поля, учитывая частные проявления реакции. Общеизвестно, например, расположение рыб разного размера, возраста и пола на неодинаковом расстоянии от источников света в определенном диапазоне освещенности. Причиной этого служит неодинаковая величина порогов чувствительности и некоторых реакций, различная скорость адаптации к свету, неодинаковая реакция рыбы на свет различного спектрального состава, степень диффузности и поляризации света. Особенно велико влияние на расположение рыбы относительно источников света размещение самих источников света над поверхностью или под поверхностью воды. Влияние продолжительности действия искусственного света на селективные свойства связано в основном с адаптацией рыб к свету и различной скоростью перемещения различных рыб в световом поле. Например, длительность действия светового поля можно подобрать так, чтобы избираемая и не избираемая рыба одновременно или не одновременно подходили к источникам света или уходили от них. Такой вид селективного управления особенно важен при работе световых трасс. Селективные свойства световых полей можно изменять путем регулирования направления, скорости и продолжительности перемещения источников света. Это позволяет отсеивать рыбу, которая не успевает за движением источников света, не способна перейти на другой участок водоема или на другую глубину. Селективные свойства световых полей при разделении рыб в пределах зоны их действия оценивают с учетом вероятности перехода рыб разного размера, пола или возраста с одного участка зоны на другой. Если необходимо, то делят не только пространство, но и время, рассматривая вероятность перехода рыб разного размера, вида или пола с одного участка на другой за определенное время. В самом простом случае все световое поле может быть одним участком, а рассматриваемый диапазон времени равным всему времени лова. Разнообразие факторов, влияющих на селективные свойства световых полей, определяет многочисленные способы оптимизации и стабилизации таких свойств. Однако их значение не следует преувеличивать, так как средства воздействия на характер реак- ции ограничены, а именно они во многом определяют сравнительно узкую область применения световых полей в рыболовстве. Количественная оценка селективных свойств световых полей, определение кривых относительной селективности в основном возможны по результатам экспериментального определения размерного, видового и полового состава на различных участках светового поля или по результатам оценки состава улова. Расчеты селективных свойств световых полей средств интенсификации лова проводят, если известны функции, характеризующие изменение порогов чувствительности и реакций рыб, показатели поведения рыб разного размера, вида или пола и расчетные формулы для определения картины световых полей. По этим данным устанавливают участки светового поля, на которых располагаются рыбы разного размера, вида или пола, оценивают изменение распределения рыб при колебании интенсивности поля. Однако такие расчеты не всегда позволяют строить кривые селективности световых полей. Световые поля контрастов определяют видимость сетных орудий лова и оптических приманок. Предпосылкой селективного действия полей служат неодинаковые световая и контрастная чувствительность, острота зрения, критическая частота мельканий, скорость адаптации к свету, цветовосприятие, особенности пространственного зрения различных рыб, различные сигнальные значения одних и тех же элементов орудий лова, неодинаковая реакция рыб на зрительные ориентиры. Светочувствительность глаза рыб влияет на селективные свойства полей при низкой освещенности в водоеме и на вероятность обнаружения орудия лова. Так как многие орудия лова работают наиболее эффективно при сумеречном световом режиме, то влияние этого показателя на селективные свойства сетных орудий лова достаточно велико. От контрастной чувствительности и остроты зрения рыб зависит дальность и степень видимости элементов орудий лова, и, следовательно, вероятность лова рыб разного размера, вида и пола. Особенно велико отличие контрастной чувствительности и остроты зрения рыб различных экологических групп при сумеречном световом режиме в водоеме, когда контрастная чувствительность и острота зрения являются функцией освещенности и влияют на видимость элементов орудий лова очень сильно. Благодаря неодинаковой критической частоте мельканий сетных нитей для рыб различного размера, вида и пола слияние мельканий сетных нитей наблюдается при неодинаковой скорости перемещения рыбы относительно сетного полотна. Это определяет различную реакцию рыб на сетное полотно, вероятность ее ухода через крупноячейное сетное полотно. Неодинаковая скорость адаптации к свету рыб в основном имеет значение при лове с применением света, когда источники света периодически выключа- ют, и это сказывается на дальности и степени видимости сетных орудий лова. Особенности цветовосприятия рыб влияют на селективные свойства сетных орудий лова, так как для рыб различных видов одно и то же сетное полотно имеет различный видимый цветовой и яркостный контраст с фоном, а следовательно, различную дальность и степень видимости. Разнообразно селективное действие световых полей контрастов, обусловленное особенностями реакции различных рыб на элементы орудий лова. Так, вид орудия лова у одних рыб вызывает ориентировочную реакцию, у других - оборонительную. У ряда рыб вид сетного полотна вызывает пищевую реакцию или способствует началу нереста. Сигналом питания для некоторых рыб служат приманки, размеры и вид которых определяют их селективные свойства. Количественная оценка селективных свойств световых полей контрастов и способы такой оценки не отличаются от аналогичной оценки селективного действия световых полей освещенности. Литература 1. Мельников В.Н. Биофизические основы промышленного рыболовства. М., 1973. 2. Мельников В.Н. Основы управления объектом лова. М., 1975. 3. Григорьев О.В. Экологические проблемы селективного лова каспийской кильки // Сб. науч. тр. ГосНИОРХа. 2004. С. 56-59. 4. Мельников В.Н. Биотехническое обоснование показателей орудий и способов промышленного рыболовства. М., 1979. ООО «Астраханская городская служба недвижимости»; Астраханский государственный технический университет 10 ноября 2006 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/sravnenie-rezultatov-eksperimentov-i-matematicheskogo-modelirovaniya-vibroozhizhennogo-sloya

Полученные в экспериментах средние распределения объемной доли частиц по высоте срав-ниваются с численными расчетами по модели «газа крупных частиц». Для тонких слоев полу-чено хорошее совпадение расчетов и экспериментов.

УДК 519.87:66.096.5 СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТОВ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ВИБРООЖИЖЕННОГО СЛОЯ © 2011 г. Г.И. Свердлик*, A.A. Рево*, Е.С. Каменецкий**, Н.С. Орлова** *Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический универститет) **Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН *North-Caucasian Institute for Mount and Metallurgy (State Technology University) **South Mathematical Institute of VSC RAS and RNO-A Полученные в экспериментах средние распределения объемной доли частиц по высоте сравниваются с численными расчетами по модели «газа крупных частиц». Для тонких слоев получено хорошее совпадение расчетов и экспериментов. Ключевые слова: виброожиженный слой; математическое моделирование; сравнение с экспериментом; распределение объемной доли частиц; порозность; численные расчеты. The experimental average distributions of the packing fraction with height and numerical calculations of the model of «granular gas» are compared. Good agreement between the experimental data and numerical calculations was obtained for thin beds. Keywords: vibrofluidized bed; mathematical simulation; comparison with experiment; packing fraction distribution; porosity; numerical calculations. Виброожижение сыпучих материалов нередко используется в химической технологии и устройствах для очистки газов для увеличения площади контакта между газовой и твёрдой фазами [1—4]. Площадь контакта в основном характеризуется порозностью, т. е. отношением объёма газа между частицами к общему объёму смеси газа с частицами. Существует несколько математических моделей процесса виброожижения, в которых используется различное описание взаимодействия частиц между собой и с газом [5—9]. Например, существуют модели движения связанной и несвязанной частицы в виброожиженном слое, выраженные с помощью уравнений Навье— Стокса [5, 6]; модель Кролла [8]; модель виброожижения, которая учитывает только соударения частиц друг с другом и с полкой [9]. В модели Кролла [8] слой частиц рассматривается как поршень, через который просачивается воздух. Численные результаты, полученные с использованием данной модели, плохо описывают эксперимент, особенно, когда рассматриваются слои с относительно большим значением начальной толщины слоя. В моделях, основанных на уравнениях Навье— Стокса [5, 6], исследуется виброожижение слоя частиц, при котором рассматривается движение отдельно взятой частицы и ее взаимодействие с газом. При этом исследуется ожижение слоя частиц как с помощью потока газа, так и под воздействием колебаний в совокупности с потоком газа. Отдельно могут исследоваться модель движения связанной частицы [6] и модель движения несвязанной частицы [5] в виброожиженном слое. В том случае, когда рассматривается движение связанной частицы в слое, учитывается сила Ван дер Ваальса, действующая между частицами. При рассмотрении модели движения несвязанной частицы [5] результаты расчетов показывают, что между колеблющейся полкой и основанием слоя образуется зазор, который стимулирует образование относительно больших газовых пузырей, что приводит к увеличению значения порознос-ти (объемной доли пустот в слое). В случае движения связанной частицы [6] пузыри не образуются, но при этом в верхней части слоя частицы передвигаются более интенсивно, чем в нижней. Это связано с тем, что частицам в нижней части мешают передвигаться другие окружающие их частицы. В этом случае значение порозности меньше, чем при движении несвязанных частиц. Следует также отметить, что под воздействием колебаний частицы значительно интенсивнее передвигаются в слое, чем при продувании газом. Модели, выраженные с помощью уравнений Навье—Стокса, учитывают взаимодействие частиц друг с другом и с воздухом, но требуют мощных вычислительных ресурсов для выполнения численных расчетов. В данной работе рассматривается модель, которая учитывает только соударения частиц между собой и с полкой, т. е. рассматривается так называемый «газ крупных частиц» [9]. В этой модели кинетическая энергия частиц описывается как «температура». Проводится сравнение результатов экспериментов по виброожижению сыпучего материала из монодисперсных частиц сили-кагеля и расчетов средней доли частиц, занимающих определенный объем в виброожиженном слое (объемной концентрации), т. е. величины x = 1 - е (е = VII/Vc — порозность; F — объем пустот в слое; V — объем слоя материала) на разной высоте над колеблющейся полкой. Экспериментальная установка состоит из корпуса, опирающегося на пружины, с прозрачной торцевой стенкой из оргстекла, обеспечивающей возможность видеосъемки и визуального наблюдения процессов движения материала. Кроме этого, установка включает привод, позволяющий варьировать частоту колебаний корпуса. Схема установки приведена в статье [10]. Данные о распределении частиц по высоте над полкой были получены путем обработки кадров видеосъемки. В кадре выделялся участок слоя, шириной 20 мм, который разбивался на несколько одинаковых зон по высоте. В каждой зоне подсчитывалось число частиц материала у прозрачной стенки. Количество частиц, попавших на границы зон, уменьшалось вдвое. Форма частиц принималась шарообразной, и по определенному среднему диаметру частиц (^ср=4,06 мм) рассчитывались объем материала в зоне слоя, толщиной в одну частицу, порозность слоя е и величина x. По результатам вычислений были построены гистограммы изменения x по высоте слоя. Было исследовано влияние «температуры» на изменение объемной доли частиц в виброожижен-ном слое x, в результате чего получено, что изменение объёмной доли частиц по высоте зависит, в основном, от «температуры» на поверхности полки, и вполне допустимо считать «температуру» в пределах виброожиженного слоя постоянной и равной «температуре» на поверхности полки. Таким образом, задача была сведена к решению дифференциального уравнения для нахождения объемной доли частиц x(z*) [9], в котором T * = T *(0) = const: dx _ x _(l - x )4_ dZ* _ ~T* (l + 4x + 4x2 - 4x3 + x4 ) i+1 1 + x + x2 - x ')dT* (1 - x )3 dz * (1) где z = -7 и T* = kB\ являются безразмерны- * z d mgd ми величинами; й — диаметр частицы; кв — постоянная Больцмана; т — масса частицы; g — ускорение свободного падения; z — высота над полкой; Т — температура. «Температура» на поверхности полки находится по формуле (2): 4П2 А 2 /2 е 2gd е„о T * (0)_- где А — амплитуда колебаний полки; / — частота колебаний полки; е„ — коэффициент восстановления при столкновении частицы со стенкой, а ен, 0 равен 0,91. Дифференциальное уравнение (1) решалось методом Рунге—Кутта. Начальное значение х0 = х (о) подбиралось в соответствии с числом частиц в слое, которое определяется формулой [9] N _ 6 • R *2 ] x (z *)z * . (3) Диаметр частиц й равен 4,06 мм, начальная объемная доля частиц в слое х до виброожижения равна 0,65, коэффициенты восстановления частица — частица и частица — стенка из экспериментальных данных равны е = 0,15 ; е„ = 0,5 соответственно. Для начальной высоты слоя h, равной 6 мм (число частиц равно N=19744), проводились расчеты при разных значениях Т *, соответствующих разным значениям частоты и амплитуды колебаний полки. На рис. 1 представлены численные и экспериментальные графики изменения величины х (г *) соответственно при Т * = 0,38 (частота /=28,3 Гц, амплитуда А=1,5 мм) и при Т * = 0,5 (частота /=28,3 Гц, амплитуда А=1,5 мм). На рис. 2 а показаны численные и экспериментальные результаты для случаев, когда температура полки равна Т * = 1,5 , частота и амплитуда колебаний полки — / = 36 Гц, А =2 мм соответственно, но при разных значениях начальной высоты слоя h =6 мм (N = 19744) и h =15 мм (^ = 49359). х X Рис. 1. Зависимость объемной доли частиц от высоты над полкой: а — при Т * = 0,38; б — при Т * = 0,5 (кривые 1, 2 соответствуют крайним значениям экспериментальных результатов; кривая 3 — их среднему значению; кривая 4 — численному решению) Рис. 2. Зависимость объемной доли частиц от высоты над полкой: а — при Т * = 1,5 (кривые 1, 2 соответствуют экспериментальным и численным результатам задачи при начальной высоте слоя Н =15 мм; кривые 3, 4 — экспериментальным и численным результатам при начальной высоте слоя Н =6 мм); б — при Т * = 0,55 (кривая 1 соответствует экспериментальным результатам; кривая 2 — численному решению) Рис. 2 б отражает ситуацию, когда температура полки равна Т * = 0,55, начальная высота слоя равна Н =20 мм (^ =65813), частота и амплитуда колебаний полки — f =30 Гц, А =1,5 мм соответственно. Результаты расчетов и экспериментов достаточно хорошо совпадают друг с другом на рис. 1 б при Т* = 0,5 . Несколько худшие результаты были получены при Т * = 0,38 и Т * = 1,5 (Н =6 мм), которые соответствуют меньшей и большей частотам колебаний полки f =24,2 Гц и f =36 Гц (рис. 1 а и рис. 2 а, кривые 3, 4). Для более толстых слоев совпадение результатов расчетов и экспериментов менее удовлетворительно. В целом, расчёты показали, что модель, основанная на соударениях частиц друг с другом и с полкой, качественно, а для тонких слоев при определенных значениях частоты и амплитуды колебания полки и количественно, правильно описывает изменение объемной доли частиц с высотой в виброожиженном слое. Литература 1. Гелъперин Н. И., Айнштейн В. Г., Кваша В. Б. Основы техники псевдоожижения. М., 1967. 664 с. 2. Членов В. А. , Михайлов Н. В. Сушка сыпучих материалов в виброкипящем слое. М., 1967. 224 с. 3. Колпаков А. С. Резонансные режимы виброожижения мелкодисперсных порошков и их использование в технологических процессах термической и химико— термической обработки : автореф. дис. ... д-ра техн. наук. Екатеринбург, 2006. 46 с. 4. Тарасевич С. В. Обоснование параметров сепаратора с вибрационно-качающейся решетной поверхностью для зерновых материалов : автореф. дис. ... канд. техн. наук. Барнаул, 2006. 28 с. 5. Yuji, Yoshihide, Tomoya, Katsuji. Numerical simulation of particle motion in vibrated fluidized bed // Chem. Eng. Science. 2004. Vol. 59. P. 437- 447. 6. Yuji, Yoshihide, Katsuji. Numerical simulation of cohesive particle motion in vibrated fluidized bed // Chem. Eng. Science. 2005. Vol. 60. P. 5010- 5021. 7. Behringer R P., E. van Doom, Hartley R. R, Pak H. K Making a rough place «plane»: why heaping of vertically shaken sand must stop at low pressure // Granular Matter. 2002. Vol. 4. P. 9- 15. 8. Исследование феноменологической модели виброожиженного слоя / Г.И. Cвердлик, E.C. Каме-нецкий, A.A. Рево, Д.Г. Каграманян // СТорник научных трудов/ COO AHBШ РФ. Владикавказ, 2008. C. 105-108. 9. Martin T.W., Huntley J.M., Wildman R.D. Hydrodynamic model for a vibrofluidized granular bed // J. Fluid Mech. 2005. Vol. 535. P. 325—345. 10. Свердлик Г. И. , Рево А. А. , Каменецкий E. С. Oсобенности соскальзывания сыпучего материала с наклонной вибрирующей полки // Изв. вузов. Кавк. регион. Техн. науки. 2008. №4. C. 151-152. Поступила в редакцию 28 июня 2010 г. Свердлик Григорий Иосифович — д-р техн. наук, профессор, Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический универститет), г. Владикавказ. Тел. 40-73-58. Рево Алексей Альбертович — ассистент, Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический универститет), г. Владикавказ. Тел. 407358. Каменецкий Евгений Самойлович — д-р ф.-м. наук, доцент, Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН. Тел. 407358. E-mail: [email protected]; [email protected] Орлова Наталья Сергеевна — аспирант, Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова (СОГУ). Тел. (8672) 74-88-89. E-mail: [email protected] Sverdlik Grigory Iosifovich — Doctor of Technical Sciences, professor, North-Caucasian Institute for Mount and Metallurgy (State Technology University), Vladikavkaz. Tel. 40-73-58. Revo Aleksey Albertovich — assistant, North-Caucasian Institute for Mount and Metallurgy (State Technology University), Vladikavkaz. Tel. 40-73-58. Kamenetsky Evgeny Samoilovich — Doctor of Physico-Mathematical Sciences, associate professor, South Mathematical Institute of VSC RAS and RNO-A. Tel. 40-73-58. E-mail: [email protected]; [email protected] Orlova Natalya Sergeevna — post-graduate student, South Mathematical Institute of VSC RAS and RNO-A. Tel. (8672) 74-88-89. E-mail: [email protected]

https://cyberleninka.ru/article/n/kalibrovochnye-upravlyayuschie-polya

В этой статье мы разберем примеры, в которых преобразование величин, входящих в дифференциальное уравнение, нарушает структуру уравнения, то есть не является симметрией его структуры. И зададимся вопросом: что можно сделать, чтобы это же преобразование стало симметрией?

Калибровочные (управляющие) поля Олег ЗОлОтОв, профессор в этой статье мы разберем примеры, в которых преобразование величин, входящих в дифференциальное уравнение, нарушает структуру уравнения, то есть не является симметрией его структуры. И зададимся вопросом: что можно сделать, чтобы это же преобразование стало симметрией? Одновременно мы несколько расширим терминологию. Наряду с уже используемыми терминами будем говорить вообще об «объекте», в котором желательно сохранение избранного «свойства», «качества», «признака». В частности, объектом может быть дифференциальное уравнение, а признаком, который мы желаем сохранить, — структура этого уравнения. Далее, вместе с оборотом «преобразование величин, входящих в объект» будем в аналогичном значении употреблять еще и оборот «поступающее в объект возмущение». Рассмотрим теперь объект (систему) произвольной природы. Пусть в этот объект поступает возмущение, в результате которого объект утрачивает какое-то важное свойство. В этом случае мы можем попытаться указать такой подходящий прием, который скомпенсировал бы утрату, то есть восстановил в рассматриваемом объекте потерянное из-за поступающего возмущения, но ценное для нас свойство (качество, признак). Тем самым поступающее в объект возмущение стало бы симметрией данного свойства. Дадим определение. Калибровочное (компенсирующее) поле — это поле, обеспечивающее сохранение в объекте интересующего нас свойства (признака, качества), несмотря на поступающее в этот объект возмущение (принадлежащее определенному математическому классу). Рассмотрим для примера двумерное уравнение Лапласа: 0. X = Х(х, у), 'п = п(х у). (2) Воспользуемся для преобразования (2) известными формулами: дх2 д\1 \8х; +2 б20 д£рц 'дЪ, йг) удХ дХ ; 'V2 дц ГЄ д'0 юё%дд&ц д% дх2 5г| дх2 ’ ау2 зх Ч*У +2 д20. д% дц ду ду + дц дц ¿У, ч ' J Складывая (3) и (4) и принимая во внимание (1), приходим к уравнению: кдх; 2 /'яс^ д$ ,8У Vу/ д2о + ''дц''2 дх V У ґдц2 д2<2 +2 ґд% д% дх ду V •'у д% дц д% Зг| ^дх дх ду ду дц2 а2е д£,дц дЕ, д ц д г| 3 2 я 2 дх ду (1) Предположим, что поступающее возмущение локально, то есть в каждой точке (х, у) изменяет эти переменные так, что в итоге формируются новые переменные (X, л), связанные со старыми формулами: Что произойдет при этом со структурой самого уравнения (1)? к8х; \2 дА ч5^ ґдц'2 дх дц а|5т] + 5|0гі = о дх дх ду ду ’ сП + 8Ъ = п дх2 ду2 ’ дх ду (6) (7) (8) (9) С другой стороны, и это примечательно, для выполнения сразу всех равенств (6-9) достаточно, чтобы (всего-то!) функция: с=ад=х+і п (10) как функция комплексной переменной г = х+гу была аналитической. Действительно, аналитичность функции (10) эквивалентна, как известно [1], выполнению так называемых условий Коши-Римана: 52, _ Эг| дЪ, _ Зг| дх ду ’ ду дх (11) Мы видим, что вследствие поступающего возмущения или, другими словами, в новых переменных структура уравнения Лапласа (8) претерпела значительное изменение. Какое требование компенсирующего характера нам следует теперь выдвинуть, чтобы, несмотря на поступающее возмущение, структура преобразованного уравнения, то есть уравнения в новых переменных X и л, стала неотличимой от структуры (1) уравнения Лапласа, записанного в старых переменных х и у? Очевидно, что для восстановления или сохранения структуры уравнения Лапласа достаточно, как видно из (5), потребовать одновременного выполнения следующих равенств: Но нетрудно (прямой подстановкой) проверить, что из условий (11), в свою очередь, вытекает справедливость сразу всех равенств (6-9). В этом случае из (5), очевидно, последует: а? дт? ‘ (12) То есть в условиях аналитичности функции (10) структура преобразованного уравнения в переменных X и л становится в точности такой же, что и исходного уравнения (1) в переменных х и у. То есть перед нами вновь уравнение Лапласа. Посмотрим, какими окажутся функции (2) при выполнении условий Коши-Римана (11). Мы видим, что из (11) следуют равенства (8) и (9) или, в другой записи: АХ = 0 и Ап = 0, (13) то есть X и л сами удовлетворяют уравнению Лапласа. КОМПОНЕНТЫ И ТЕХНОЛОГИИ • № 9 '2010 8Q(x,y,t) 8 Q(x,y,t) d Q(x,y,t) 8t 8x 8y2 l li 31. = f(x,y,t), (17) Q(x,y,t)=^jf(^,r\,z)G(x, Ъу,Ч, t-z)dE,dj\dz (21) Известно, что всякая функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической. В [1] показывается, что для того, чтобы функция (10) была аналитической, можно взять, например, X как произвольную гармоническую функцию (то есть соответствующую уравнению = 0), а л затем установить по формуле: (Подынтегральная функция в (14) есть полный дифференциал [1].) Так определенная гармоническая функция л оказывается сопряженной с гармонической функцией X. Таким образом, чтобы структура уравнения Лапласа (1) при поступлении возмущения, приводящего к трансформациям независимых переменных (2), не изменялась, достаточно потребовать, чтобы функции (2) (запишем их еще раз): iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. X = XX у) (15) и л = л(х, у) (16) являлись взаимно сопряженными гармоническими функциями. Будем теперь, для примера, только одну функцию (15) отождествлять с поступающим возмущением и при этом будем считать, что она принадлежит классу гармонических функций. А вторую функцию (16) будем полагать находящейся целиком в нашем распоряжении. Тогда для сохранения вопреки поступающему возмущению (15) структуры уравнения Лапласа нам достаточно, пользуясь свободой назначения функции (16), выбрать в качестве компенсирующего средства функцию (16) в классе гармонических и сопряженных с (15) функций. Такая функция (16) и играет в данном случае роль калибровочного (компенсирующего) поля. При наличии такого компенсирующего поля (16) гармоническое возмущение (15) становится симметрией структуры уравнения Лапласа. Для следующего примера рассмотрим начально-краевую задачу для параболического уравнения (17-20): Q(0, у, г) = 0, (2(я, у, г) = 0, (18) Q(x, 0, г) = 0, Q(x, р, г) = 0, (19) Q(x, у, 0) = 0. (20) Решение (выходной сигнал) такой системы имеет вид [2, 3] (21), где G(x, X, у, л, г) — функция Грина (импульсная переходная функция) системы (17-19). Пусть, например, возмущение поступает по каналу связи от начального состояния к выходу системы, другими словами, возмущению подвергается задание Q(x, у, 0), и вместо условия (20) мы вынуждены принимать во внимание новое условие: Q(x, у, 0) = Qo(x, у). (22) Поступающее возмущение приведет к изменению выхода системы, иначе говоря, решение задачи (17-19), (22) представит собой композицию с функцией Грина не сигнала: f(x, у, t), (23) как это имело место в (21), а сигнала [2, 4]: f(x, у, t) + Qo(x, y)8(t). (24) Пусть наша цель, однако, как раз и состоит в точном сохранении решения или, иначе, выходного сигнала (21) системы (17-19), несмотря на поступившее в эту систему возмущение. Но (24) подсказывает, что парировать результат возмущения, возникшего в правой части (22), можно, воспользовавшись другим каналом связи — каналом от правой части уравнения (17) к выходу системы. Именно в правую часть уравнения (17) следует внести компенсирующее воздействие u (x, у, t) и определить его из условия сохранения такого выходного сигнала Q(x, у, t), каким он являлся до поступления возмущения. При внесении воздействия u(x, у, t) выражение (14) заменится на: f(x, у, t) + u(x, у, t) + Q0(x, t) 8(t). (25) Отсюда ясно, что для того, чтобы выходной сигнал совпал с (23), несмотря на поступившее возмущение, достаточно принять условие компенсации: u(x, у, t) = -Q0(x, у) 8(t). (26) Эта функция u(x, у, t) и выполняет в рассматриваемом примере роль калибровочного (компенсирующего) поля, восстанавливающего свойство системы иметь своим решением выражение (21). При наличии (26) выход системы оказывается инвариантным к поступающему возмущению, или, по-другому, возмущение становится симметрией выходного сигнала (21). Приведенные примеры можно было бы продолжить многими другими, но и этого достаточно, чтобы сформулировать несколько замечаний общего характера. В традиционной науке об управлении, идет ли речь об автоматическом регулировании и управлении или об управлении терминальном (программном), все равно мы управляем состоянием объекта (сосредоточенного или распределенного). Так, например, в системах автоматической стабилизации имеющаяся обратная связь компенсирует влияние нежелательных возмущений, поддерживая тем самым (восстанавливая) необходимое нам постоянство выходного сигнала или, иначе, состояния. В данной же статье мы рассмотрели примеры, в которых поступающее возмущение изменяет уже не состояние объекта, а саму его структуру. Калибровочное (компенсирующее) поле, как мы видели, парирует это возмущение, поддерживая (восстанавливая) постоянство структуры (свойства, признака). Мы вправе, следовательно, воспринимать такое, специально создаваемое нами поле как стабилизирующую (регулирующую) обратную связь, компенсирующую возмущение структуры и сохраняющую (поддерживающую) последнюю неизменной. Тем самым мы фактически совершили переход от управления состоянием к управлению структурой. В развитии такого, качественного расширения общей концепции управления состоит одна из главных задач, выдвинутых А. Г. Бутковским в трудах по реализации предложенной им программы построения и осмысления «Единой геометрической теории управления — теории структур управления (ЕГТУ — ТСУ)» [5]. Вкладывание в понятие «калибровочное (компенсирующее) поле» более широкого смысла [5] и, в числе прочего, смысла регулирующей обратной связи, управляющего поля окупается, так как позволяет прийти, как мы далее увидим, к обобщающему, кибернетическому взгляду на сохранение структур в природе. ■ Литература 1. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1960. 2. Бутковский А. Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1979. 3. Мартыненко Н. А., Пустыльников Л. М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1986. 4. Ибраева Е. Т., Пеньков Ф. М., Пустыльников Л. М. Математика и управление в физике. Т. 2. Лекции для одного студента. Алматы: ИЯФ, 2007. 5. Бабичев А. В., Бутковский А. Г., Похьолайнен С. К единой геометрической теории управления. М.: Наука, 2001. КОМПОНЕНТЫ И ТЕХНОЛОГИИ • № 9 '2010 www.kit-e.ru

https://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-ultrazvuka-dlya-uluchsheniya-svoystv-burovyh-rastvorov

Приведены результаты экспериментов по улучшению свойств бурового раствора под действием ультразвука. Выявлено, что для раствора, состоящего из: глинопорошок (бентонит) 1,5 %, КМЦ-600 0,5 %, полиакриламида 0,5 % оптимальным временем обработки является 20 мин. Дано качественное объяснение наблюдаемого эффекта

НАУЧНЫЕ СООБЩЕНИЯ УДК 621.762:65:669.26 РАСЧЕТ ПОВЕРХНОСТНОЙ ЭНЕРГИИ МЕТАЛЛОВ В ТВЕРДОМ СОСТОЯНИИ © 2003 г. С.Н. Егоров Поверхностная энергия является характеристикой металла, играющей важную роль в процессе сращивания порошкового материала. Устранение свободных поверхностей является основной целью формирования высокоплотного порошкового материала. С термодинамической точки зрения поверхностная энергия является составляющей общей энергии системы, поэтому движущая сила консолидации порошкового тела зависит от величины поверхностной энергии. Методы измерения поверхностной энергии металлов и сплавов разработаны для жидкого состояния. Измерение поверхностной энергии в твердом состоянии представляет значительные трудности из-за отличия реальной поверхности твердого тела от наблюдаемой и невозможности проведения обратимого изотермического процесса образования новой поверхности [1]. Поэтому разрабатываются косвенные методы определения поверхностной энергии, основанные на учете силы взаимодействия атомов в кристаллической решетке, а также их смещений в области дефектов кристаллического строения [2, 3]. В настоящее время особенности характера межатомного потенциала известны для ограниченного круга элементов. Поэтому более широко распространены методы расчета, основанные на использовании упругих и термодинамических констант твердого тела в рамках моделей упругого континуума. В настоящей работе значение поверхностной энергии металлов определяется на основе энергии образования вакансий, рассчитанной при использовании континуальной модели. В [4] показано, что результаты, полученные при правильном применении данной модели, хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными и наиболее надежными квантовомеханическими расчетами. В континуальной модели появление вакансии рассматривается как образование полости атомного размера путем удаления из узла кристаллической решетки иона в виде ячейки Вигнера-Зейтца. Следовательно, энергию, затраченную на образование вакансии, можно рассматривать как энергию, приходящуюся на поверхность вакансионной полости. Энергия, необходимая для удаления атома из решетки, затрачивается на разрыв межатомных связей, число которых равняется координационному числу. Энергию парной связи определяют из условия соответствия потенциальной энергии всех связей теплоте сублимации. Для представления ячейки Вигнера-Зейтца воспользуемся известной конфигурацией границ первой зоны Бриллюэна для кристаллов с решетками ОЦК, ГЦК и ГПУ [5]. Трансформация зон Бриллюэна в ячейки Вигнера-Зейтца заключается в представлении первых в обратных базисах, выраженном соотношением ^ -1=У, где У - ячейка Вигнера-Зейтца; ^ -1 - зона Бриллюэна в векторах обратной решетки [6]. Ячейка Вигнера-Зейтца для плотноупакованных структур с координационным числом К = 12 представляет собой ромбический додекаэдр, для ОЦК-структуры с координационным числом К = 8 - кубо-октаэдр (рис. 1). а) б) Рис. 1. Ячейки Вигнера-Зейтца для ОЦК-металлов (а) и ГЦК и ГПУ-металлов (б) Для ГЦК- и ГПУ-металлов площади всех граней и элементарных многогранников одинаковы. В ОЦК-ме-таллах элементарный многогранник ограничен шестиугольными и квадратными гранями. Шестиугольные грани являются поверхностями соприкосновения с многогранниками первой, а квадратные - второй координационных сфер. Преобладающим механизмом образования вакансий является механизм Шоттки, заключающийся в перемещении вакансии с поверхности кристалла в объем. Поэтому для расчета поверхностной энергии о надо учитывать число граней, ограничивающих вакансионные полости в объеме, а также и на поверхности кристалла. _ в_ = К N , (1) X А -х А 1=1 I=1 где ив - энергия образования вакансий; Ai - площадь грани элементарного многогранника; К - координационное число, равное числу граней, ограничивающих вакансионную полость в объеме кристалла; N - координационное число поверхностного атома, равное числу граней элементарного многогранника на поверхности кристалла. В случае ОЦК-металлов координационные числа должны учитывать наличие двух координационных сфер. Выразим площади граней через параметр кристаллической ячейки (а). В случае плотноупакованных кристаллических структур на одну координационную связь приходится площадь грани элементарного многогранника, равная 0,157а2. Для ОЦК-металлов первой координационной сферы на одну координационную связь приходится площадь грани элементарного многогранника, равная 0,325а2, для второй координационной сферы - 0,125а2. При расчета площади ва-кансионной полости в объеме металла учитываем все возможные координационные связи. Рассмотрим два случая зарождения поверхностной вакансии с учетом топографии поверхности, представляющей собой фрагменты плоскостей решетки с низкими миллеровскими индексами как наиболее плотноупакованные, разделенные ступеньками. Такое положение соответствует усредненному значению ив, Значения поверхнос так как вакансии могут перемещаться одновременно с разных кристаллографических плоскостей. В первом случае вакансия зарождается в углу ступеньки, что соответствует четырем координационным связям для плотноупакованных кристаллических структур и 1,33 и одной - для первой и второй координационных сфер ОЦК-металлов. Во втором случае вакансия зарождается непосредственно на ступеньке, что возможно при высоких температурах вследствие энергетических флуктуаций. При таком механизме число координационных связей удваивается. Такое различие в расчетных формулах даст минимальное и максимальное значения поверхностной энергии металла. Для расчета поверхностной энергии по выражению (1) использованы значения энергии образования вакансий, приведенные в [7-12], и параметров кристаллических ячеек из [13]. Результаты расчета представлены в таблице. Полученные расчетные значения поверхностной энергии металлов согласуются с литературными данными, систематизированными в [2]. Наибольшие расхождения относятся к ГПУ-металлам. Значения поверхностной энергии, приведенные в [2], относятся к жидкой фазе в высокотемпературной области, близкой к температурам кристаллизации рассматриваемых металлов. Полученные значения могут быть использованы в расчетах энергии активации сращивания и влияния сегрегаций примесных и легирующих элементов на поверхностную энергию металлов. Таблица энергии металлов Металл Энергия образования вакансии,эВ Параметры кристаллической ячейки, нм Поверхностная энергия, Дж/м2 Расчетное значение Литературные данные мин. макс. ОЦК-металлы K 0,39 0,521 0,13 0,255 0,101 Cr 1,67 0,2884 1,78 3,57 2,5 Fe 1,3 0,2886 1,4 2,8 1,95 Mo 2,24 0,3147 2,01 4 2,1 W 3,14 0,3165 2,7 5,57 2,85 ГПУ-металлы Mg 0,58 0,321/0,521 0,7 1,4 0,563 Ti 1,62 0,295/0,468 2,5 5 1,725 Co 1,25 0,2506/0,4066 2,6 5,3 1,88 Zn 0,45 0,266/0,4947 0,6 1,3 0,782 ГЦК-металлы Al 0,79 0,4049 0,545 1,09 0,865 Ca 0,48 0,5576 0,17 0,35 0,337 Ni 1,4 0,3524 1,27 2,55 1,77 Cu 1,17 0,3615 1,01 2,02 1,8 Pb 0,58 0,495 0,26 0,53 0,451 Литература 1. Кунин Л.Л. Поверхностные явления в металлах. М., 1955. 2. Миссол В. Поверхностная энергия раздела фаз в метал- лах. М., 1978. 3. Огородников В.В., Роговой Ю.И. Расчет поверхностной энергии, энергии разрушения и теоретической прочности кубических монокарбидов // Порошковая металлургия. 1976. № 1. С.70-74. 4. Огородников В.В., Ракицкий А.Н., Роговой Ю.И. Расчет энергии образования вакансий в металлах // Порошковая металлургия. 1988. № 1. С. 59-64. 5. Уэрт Ч., Томсон Р. Физика твердого тела. М., 1969. 6. Васильев Д.М. Физическая кристаллография. М., 1972. 7. Федеричи Т. Исследование точечных дефектов в закаленном алюминии и в алюминиевых сплавах методом Волгодонский институт Южно-Российского государственного технического университета электросопротивления // Дефекты в закаленных металлах. М., 1969. С. 134-187. 8. Огородников В.В., Роговой Ю.И. Точечные дефекты в кубических монокарбидах // Карбиды и сплавы на их основе. Киев, 1976. С. 129-137. 9. Tiwari G.P., Patil R.Y. A correlation between vacancy formation energy and cohesive energy // Scr. Met. 1975. Vol. 9. № 8. P. 833-836. 10. McLellan R.B. Elastic calculation of entropy and energy of formation of monovacancies in metals // Trans. Met. Soc. AIME. 1969. Vol. 245. № 2. Р. 379-382. 11. Scott M.I. Electronic structure of vacancies ant interstitial in metals // J. Nucl. Mat. 1978. Vol. 69/70. № 1/2. Р. 157-175. 12. Doyama M., Koehler I.S. The relation between the formation energy of a vacancy and the nearst neighbor interactions in pure metals and liquid metals // Acta Met. 1976. Vol. 24. № 9. Р. 871-879. 13. Смитлз К.Дж. Металлы. М., 1980. 6 марта 2003 г. УДК 541.182.6:534.321.9 ПРИМЕНЕНИЕ УЛЬТРАЗВУКА ДЛЯ УЛУЧШЕНИЯ СВОЙСТВ БУРОВЫХ РАСТВОРОВ © 2003 г. А.Я. Третьяк, Ю.М. Рыбальченко, А.С. Коваленко, А.В. Чикин Проблема улучшения качества буровых растворов, используемых при вскрытии водоносных пластов, как правило, решалась введением в растворы химических реагентов целенаправленного действия, таких как карбоксиметилцеллюлоза, гипан, перлит, лигнин, полиакриламид, хлористый калий, декстрин и др. Однако эти реагенты могут вызвать процессы, отрицательно влияющие на геолого-технологические операции. Помимо этого, расход большого количества различных реагентов значительно снижает экономическую эффективность бурения скважин вследствие их высокой стоимости. Также остро стоит проблема соответствия химических реагентов экологической безопасности и требованиям обеспечения безопасно -сти буровых работ. В связи с этим возникает всё больший интерес к способам регулирования свойств буровых растворов воздействием различных физических полей (электрического, магнитного, акустического и др.) Электрическое поле в основном применяется для активации воды при помощи электролиза, в частности в катодной камере проточного электрохимического реактора, с последующим введением химических реагентов [1]. Магнитная обработка сводится к наложению на циркулирующий раствор постоянного достаточно мощного магнитного поля, которое изменяет адсорбционный потенциал на поверхности частиц и ведёт к образованию кластерных структур [2, 3]. Ультразвук нашёл широкое применение в различных отраслях народного хозяйства, а именно, в медицине, локации, машиностроении и т. д. Он служит также для ускорения процессов экстракции, растворения, диспергирования, очистки, эмульгирования и целого ряда других технологий, и, до недавнего времени, ультразвук в бурении использовали в основном только для декольматации засорившихся фильтров. В последнее время ультразвук находит всё большее применение в бурении и сопутствующих ему работах. При этом можно выделить два основных направления: увеличение нефтеотдачи пластов и улучшение технологических параметров качества буровых растворов. Для решения первой задачи уже существуют про-мышленно выпускаемые приборы, в частности комплект «Вулкан», разработанный НКТБ «Пьезоприбор» (РГУ). И тем не менее, остаётся ещё довольно обширное поле для исследований в этой области. Что касается второго направления, то тут возникают определённые трудности, связанные с тем, что затрагивается проблема строения вещества, которая является одной из краеугольных в современной науке. Авторами была проведена серия экспериментов по ультразвуковой обработке бурового раствора, имеющего следующий состав, %: глинопорошок (бентонит) - 1,5, КМЦ-600 - 0,5, полиакриламид - 0,5. Параметры раствора: плотность (у) 1,14 г/см3, вязкость (Т) 20 с, водоотдача (В) 14 см3/за 30 мин. В ходе экспериментов использовалась, созданная в НКТБ «Пьезоприбор» (РГУ), аппаратура «Шмель-2М», состоящая из генератора, автоматически настраиваемого на частоту резонанса, и пьезоизлучате-ля. Частота колебаний составляла 54 кГц, мощность -100 Вт. Результаты исследований представлены в виде графиков на рис. 1. В, см3/30 мин 14,0 > 12,0 - 10,0 8,0 - 6,0 - 4,0 - 2,0 - 0,0 5 10 15 I, мин а) Т, с 15 10 5 0 5 10 15 Г, мин б) Рис. 1. Зависимость водоотдачи (а) вязкости (б) от времени ультразвуковой обработки На графиках отчётливо видно, что с увеличением времени обработки качество бурового раствора улучшается (снижается водоотдача и увеличивается вязкость). При этом зависимости носят асимптотический характер, что говорит о достижении оптимального времени обработки и наступлении своего рода насыщения. Оптимальные водоотдача 8 см3 за 30 мин и вязкость 25 с получаются, если раствор подвергается воздействию ультразвуком в течение 20 мин. Увеличение времени воздействия не приводит к улучшению параметров раствора. Механизм взаимодействия дисперсных систем с ультразвуковыми колебаниями заключается в реализации двух одновременно протекающих процессов. Водоотдача характеризует способность промывочной жидкости отфильтровывать свободную воду в пористые стенки скважины под влиянием перепада давления с образованием малопроницаемой фильтрационной корки. Все горные породы в той или иной степени пористые или трещиноватые. Вскрытие горных пород скважиной сопровождается проникновением в поры и трещины промывочной жидкости. При этом частицы твёрдой фазы не проникают в глубь массива горных пород, отлагаются в устьях пор и трещин, образуют сплошную плёнку, пронизанную тончайшими капиллярами. Таким образом на стенках скважины образуется фильтрационная корка. По мере её утолщения сопротивление прохождению через неё жидкой фазы возрастает и скорость фильтрации снижается. Величина водоотдачи зависит от состава раствора и перепада давления и определяется свойствами формирующейся фильтрационной корки. Толщина корки и скорость её образования зависят от ряда факторов. Грубодисперс-ные нестабильные растворы образуют толстые, рыхлые и неплотные корки с большими зазорами между частицами, через которые свободно проходит вода. Тонкодисперсные растворы с мелкими частицами твёрдой фазы образуют тонкие, но плотные корки, через которые с течением времени отдача воды приближается к нулю [3]. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Снижение же водоотдачи бурового раствора обусловлено образованием более тонкодисперсной суспензии, возрастанием удельной поверхности дисперсной фазы при акустическом воздействии и, как следствие, связыванием свободной воды. Помимо дисперсной фазы, ультразвуковые колебания оказывают также влияние непосредственно на воду, вызывая разрыв водородных связей между её молекулами, так как они значительно слабее связей внутри молекулы и составляют порядка 21,5 кДж/моль. Известно, что взаимодействие воды с активными центрами глинистых минералов может происходить вследствие образования водородных и молекулярных связей. Вода под действием ультразвука получает дополнительные свободные водородные связи, с помощью которых происходит более интенсивное и тесное взаимодействие с глинистыми частицами, вследствие чего снижается водоотдача и увеличивается вязкость бурового раствора. Таким образом, под действием ультразвука происходит взаимодействие воды и твердых частиц на молекулярном уровне. Комплект приборов ультразвукового воздействия предназначен для возбуждения акустического поля ультразвуковой частоты и состоит из: 1) электронного ультразвукового генератора с питающим напряжением 380 В и выходной регулируемой мощностью 3,5 кВт, пьезокерамического излучателя с диапазоном рабочих частот 18-24 кГц. По сравнению с известным аналогичным оборудованием предлагаемый комплект обладает следующими преимуществами: - улучшено сервисное обслуживание генератора, в том числе на встроенных стрелочных приборах можно одновременно наблюдать величины активной и реактивной мощности, а на цифровом табло - амплитуду выходного напряжения или тока, рабочую часто -ту или оставшееся время работы; - генератор снабжён системой, обеспечивающей защиту генератора и геофизического кабеля от перенапряжений и экстратоков, а также защиту самого генератора от превышения температуры силовых элементов; - генератор допускает кратковременное (до 10 мин) повышение питающего напряжения до 500 В; - генератор позволяет производить настройку рабочей частоты и других режимов в зависимости от условий работы излучателя; - принципиально новая конструкция излучателя позволяет в условиях ограниченной электрической мощности существенно повысить излучаемую акустическую мощность за счёт высокого КПД излучателя и увеличения количества и плотности активных зон. В комплект поставки входит один генератор и два излучателя. Выполненные экспериментальные исследования позволили установить, что для физической обработки больших объёмов буровых растворов оптимальной является конструкция ультразвукового преобразователя с цилиндрической формой излучателя, к которому подводится высокочастотная энергия мощностью до 100 Вт и частотой ультразвуковых колебаний 54 кГц. Между излучающей поверхностью и цилиндрическим корпусом генератора создаётся кольцевая щель (20-30 мм), по которой протекает поток бурового раствора. При такой конструкции аппарата в кольцевом пространстве создаётся оптимальное ультразвуковое поле. Проведённые исследования, наряду с уже имеющимися данными [4], показывают, что применение ультразвука для улучшения технологических свойств буровых растворов имеет широкие перспективы для внедрения в процесс сооружения скважин. При этом имеются явные преимущества в плане экологии и экономии химических реагентов. Литература 1. Патент № 2142977. РФ. Способ приготовления бурового раствора. 2. Классен В.И. Омагничивание водных систем. М., 1982. С. 120-144. 3. Дудля Н.А., Третьяк А.Я. Промывочные жидкости в бурении. Ростов-н/Д, 2001. С. 297-300. 4. Шерстнёв Н.М., Шандин С.П., Толоконский С.И., Черская Н.О., Уголева А.В. Применение физических полей для регулирования свойств буровых растворов и тампо-нажных материалов // Российский хим. журн. 1995. Т. 35. № 5. С. 59-63. 5 марта 2003 г. Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)

https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskoe-modelirovanie-rasprostraneniya-aerirovannoy-strui-v-massive-zhidkosti

На основе метода интегральных соотношений исследована задача о распространении аэрированной затопленной струи в неподвижном объеме жидкости. Система уравнений баланса массы и импульса для контрольного объема струи, дополненная уравнениями движения пузырьков воздуха, решается численно методом Рунге-Кутта. В результате вычислений определены траектории распространения струи, максимальная глубина проработки водоема, распределение объемной концентрации воздуха в потоке. Проведено сравнение расчетных зависимостей с экспериментальными данными.

УДК 628.16.069:532.516 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ АЭРИРОВАННОЙ СТРУИ В МАССИВЕ ЖИДКОСТИ © 2008 г. В.К. Ахметов На основе метода интегральных соотношений исследована задача о распространении аэрированной затопленной струи в неподвижном объеме жидкости. Система уравнений баланса массы и импульса для контрольного объема струи, дополненная уравнениями движения пузырьков воздуха, решается численно методом Рунге-Кутта. В результате вычислений определены траектории распространения струи, максимальная глубина проработки водоема, распределение объемной концентрации воздуха в потоке. Проведено сравнение расчетных зависимостей с экспериментальными данными. On the basis of integral relations method the problem of aerated submerged jet spreading is studied. The system of equations for mass and impulse balance for the control jet volume, complemented by air bubble motion equations, is solved numerically by means of Runge-Kutta method. The trajectory of spreading jet, the maximal depth of jet penetration and the distribution of volume air concentration in flow are computed. The comparison of calculated and experimental dates is presented. Ключевые слова: струйные течения, аэрированный поток, метод интегральных соотношений. Проблема обогащения кислородом малопроточных водоемов является в настоящее время чрезвычайно актуальной и важной задачей в связи с ухудшающимся экологическим состоянием рек, водохранилищ, строительством прудов-охладителей ТЭС, прудов-накопителей при химических производствах, прудов рыбоводных хозяйств и в ряде других случаев. Основным средством восполнения необходимого количества кислорода для оздоровления водоемов является искусственная аэрация. Существуют различные способы аэрации: биологическая, основанная на фотосинтезе водных растений; химическая, основанная на внесении в водоем веществ, которые при взаимодействии с водой выделяют кислород; физико-механические способы аэрации, осуществляемые путем перемешивания воды и т. д. Имеется ряд конструкций, позволяющих проводить искусственное аэрирование водоемов: пневматические, струйные, эжекторные, вихревые аэраторы; устройства на базе судовых винтовых движителей и т.д. Пневматические устройства для аэрации основаны на эжекционной подаче воздуха под давлением в водоем. Эффективность насыщения воды кислородом в этом случае зависит от продолжительности соприкосновения пузырьков воздуха с водой. Струйные аэраторы осуществляют разбрызгивание воды в воздухе насосными установками с подачей ее на возможно большую высоту с помощью насадок, форсунок, распылителей. При этом чем меньше частицы прикосновения, тем больше их количество, а значит и площадь соприкосновения с воздухом, и чем дольше они находятся в воздухе, тем интенсивнее происходит процесс аэрации. В научно-исследовательской лаборатории закрученных потоков кафедры использования водной энергии МГСУ была разработана конструкция контрвихревого аэратора [1]. Рабочий процесс в нем организован следующим образом. С помощью улиточных за-вихрителей формируются два коаксиально закрученных потока, вращающихся в противоположных направлениях. На оси течения при этом возникает разрежение, способствующее засасыванию внутрь потока воздуха из атмосферы. При взаимодействии закрученных потоков воздух дробится на мелкие пузырьки, а интенсивность закрутки взаимодействующих потоков быстро уменьшается. Таким образом, на выходе из сопла аэратора имеется осевой поток, содержащий достаточно равномерно распределенные пузырьки воздуха, который подается под некоторым углом 6 0 в массив прорабатываемой жидкости. Задача о распространении аэрированной струи жидкости является важной составной частью исследований по созданию эффективных систем струйной аэрации. Кроме того, двухфазные потоки, содержащие пузырьки воздуха, пузырьковой структуры находят широкое применение не только при создании различных аэрирующих устройств, но и лежат в основе многих явлений природы, используются в аппаратах химических производств, газоводометных движителей, кавитирующих насосах и т.д. Постановка задачи и метод решения Рассмотрим задачу о распространении струи, содержащей равномерно распределенные пузырьки воздуха и вытекающей со скоростью и 0 из круглой трубы D0 в однородную неподвижную среду под углом 60 (0<60 <90°) к поверхности водоема (рис. 1). Рис. 1. Схема распространения аэрированной струи Введем криволинейные координаты 5 , п, ф , где 5 - координата вдоль центральной линии струи, п -нормаль к ней, ф - угол между поверхностью водоема и центральной линией струи. Будем считать, что осевая составляющая скорости в каждом поперечном сечении есть величина постоянная, т.е. и = и(5). Уравнения баланса массы и импульса для контрольного объема аэрированной струи в соответствии с методом интегральных соотношений [2] могут быть записаны следующим образом: d[рLUL(1 -а)A] = E ; ds d [р lUL(1 -а) A]+ d [р ва U2B a] (1) ds L = (Pl -Pв)аAgsin0 ; d [P bUb а A] + P bVb а D = 0; ds (2) (3) A [р l (1 - а)и_2 +р в а U2B ] d0 = а (р l -р в) Ag cos 0 + р ва DVB (4) a = a 2 + (1 - a 2) — s < s. s > s„ где величина 5'е = 6,2 D0 характеризует начальный участок струи, а1 и а 2 - эмпирические константы. Уравнения движения пузырьков могут быть получены из рассмотрения баланса сил межфазного взаимодействия, включающих в себя силу трения (стоксо-ву силу), Архимедову, гравитационную и силу, связанную со взаимодействием присоединенных масс. Записывая эти соотношения в проекциях на осевое и поперечное направления, будем иметь: ч^. dU В dU т (р в + kp т )и в —В - kp тРь ds ds 3 1 = 7 CdsP L (UL-UB ) |UL - Ub\~T + (р L -р B )g Sin 0 , (5) р BUB V ds = - 3 CDUVB\VB\ -1 + +(P L -P в ) g c0s 0 - kP LUi dVB ds (6) Здесь сВ!,, сш - коэффициенты сопротивления движению пузырьков в осевом и поперечном направлениях, которые берутся из экспериментов; dB -диаметр пузырьков; k = 0,5 - коэффициент присоединенной массы. Дополняя эти уравнения соотношениями для определения декартовых координат хс, у с центральной линии струи dxc dy с- = cos 0 , = Sin 0. . . (7) ds ds получим замкнутую систему уравнений (1) - (7) отно- сительно неизвестных UL Ус. Ub , Vb. 0 , а , D , x„ где V - поперечная компонента скорости; D - диаметр струи; А - площадь поперечного сечения струи, р - плотность; а - параметр, характеризующий отношение воздуха к единице объема смеси; g - ускорение свободного падения; индексы Т и В относятся к жидкой и пузырьковой фазам соответственно. Величина Е характеризует эжекционные свойства струи при ее распространении, т.е. количество подсасывающей жидкости через боковую поверхность струи, и пропорциональна периметру локального сечения струи, ее скорости и плотности Е = а пDр т (1 - а) ит , где а - эмпирическая константа. Экспериментально установлено [3], что константа а может быть определена следующим образом: Переходя к безразмерным переменным, определив их через начальные значения D0, а 0, ит0 и КВ0, систему уравнений (1) - (7) можно записать в виде восьми обыкновенных дифференциальных уравнений Y ' = F ), (8) в которой Y - соответствующие безразмерные неизвестные, а штрих обозначает производную по безразмерной координате % = 5 / D 0. Для системы (8) рассматривается задача с начальными данными (задача Коши). Решение исходной задачи будем искать для фиксированных значений чисел Фруда Fr = и^0 / gD0, начальной концентрации а 0 и угла наклона 6 0 , считая постоянными величины рк = рВ /рт = 0,00129 и dR = dB /D0 = 0,01. Значения констант принимались равными а1 = 0,057, а2 = 0,089, %е = 5е /D0 = 6,2. Исходная постановка задачи для неаэрированной струи (а 0 = 0, КВ = 0) имеет точное решение. В этом случае система (1) - (7) преобразуется к виду в в a s e a 1 dA 4 E 1 dUr Ad | л UlA Ul d| dUL d | 4 e л A '' (9) (10) а из уравнения (4) следует 8 = 8 0 = const. Без ограничения общности рассуждений, полагая 8 0 = 0 и решая систему уравнений (9) - (10), получим 1 - а. D = 4Ä = < 4а 1 4а, 2 £ 2 а 2| +-21 2| 4 S | + ^ (а 2-1) Ul = D Л +1, 0 <|<|, I +1, I^I e, H 30 20 10 1/ 2 / /ф. Сравним полученные расчетные зависимости Н = Н(Fr) при 6 0 = 90о с данными экспериментов. Гидравлические исследования распространения аэрированной струи проводились сотрудниками кафедры использования водной энергии МГСУ на лабораторном стенде, в котором для ее создания использовался контрвихревой аэратор [1]. Основные параметры экспериментальной установки имели значения: D0 = 0,126; 0,168; расход воды до 0,1м3 /с . = 0,43 - 0,58. Это решение использовалось в качестве тестового варианта расчета для отладки программы. Результаты расчетов Рассмотрим основные свойства полученных решений. Одной из наиболее важных характеристик является глубина Н проработки водоема, за которую здесь принята максимальная глубина погружения пузырьков воздуха. На рис. 2 изображена зависимость глубины проработки Н , отнесенная к диаметру струи D0, от числа Fr при углах наклона струи к поверхности водоема 6 0 = 90 о и фиксированных значениях а 0 = 0,1 - 0,6 . При малом значении а 0 = 0,1 глубина Н быстро растет с числом Фруда и при больших значениях Fr стремится к предельному значению Н и 60 . Это значение Н соответствует аналитическому расчету [4] для неаэрированной струи и на этой глубине осевая скорость струи составляет около 10 % от начального значения. Однако при таком малом начальном значении а 0 концентрация воздуха при больших значениях Н весьма мала. С увеличением а 0 глубина проработки Н растет заметно медленнее, но характер зависимости качественно сохраняется. Результаты этих исследований, характеризующие максимальную глубину погружения Н пузырьков воздуха при 6 0 = 90 о , нанесены треугольными символами на рис. 2. Экспериментальные данные в этом случае достаточно хорошо согласуются с теоретическими кривыми, а математическая модель отражает существо явления. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. На рис. 3 показано распределение объемной концентрации воздуха в смеси вдоль осевой линии струи. Здесь необходимо отметить следующее. В данной математической модели унос пузырьков из струйного потока осуществляется только через боковую поверхность струи. 1 0.6 0.2 ч4^ 2 0 10 I 20 0 30 60 90 Fr Рис. 2. Зависимости глубины проработки Н от числа Бг при углах наклона струи 60 = 90 ° (1-5 соответствуют значениям а0 = 0,1; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; треугольниками отображены результаты экспериментов) Рис. 3. Распределение относительной объемной концентрации воздуха в смеси вдоль осевой линии струи при 60 = 90 °, Бг = 122,45(1-5 соответствуют значениям а0 = 0,4; 0,5; 0,6) В рассматриваемом случае вертикального распространения струи диффузия пузырьков через боковую поверхность мала и величина а(£) уменьшается только за счет вовлечения дополнительной массы жидкости, характеризующейся эжекционным параметром Е. С уменьшением осевой скорости жидкости при распространении струи на некоторой глубине Н Архимедова сила начинает преобладать над инерционными силами потока. Эта глубина является предельной, на которую можно транспортировать пузырьки воздуха. Поэтому зависимости на рис. 3 приведены только до определенной величины £ , зависящей в каждом конкретном случае от начального значения параметра воздухосодержания а 0. Далее существует небольшой участок, на котором а(£) практи- сх 0 а чески постоянна, а осевая скорость жидкости в струе резко падает. Это видно на рис. 4, где представлено распределение осевой скорости вдоль центральной линии струи при тех же начальных значениях параметров. В основной своей части характер этих кривых хорошо соответствует гиперболической зависимости, отвечающей точному решению для неаэрированной струи. И только на достаточном удалении (в 15-20 диаметров D0) от выходного сопла аэратора резко проявляются эффекты двухфазности потока. 1 U 0,6 0,2 0 10 20 % Рис. 4. Распределение осевой скорости вдоль центральной линии струи (обозначения те же, что на рис. 3) 0 у -5 -10 -15 0 15 30 х 45 Рис. 5. Траектории осевой линии распространения струи с углом наклона 60 = 45 °, а0 = 0,5 (1 - 6 соответствуют значениям Fr = 8,16; 16,33; 32,65; 54,4; 85,03; 122,45) На рис. 5 представлены рассчитанные траектории осевой линии струи при ее распространении с углом наклона 6 0 = 45 ° и различных числах Фруда. Декартовые координаты х, у отсчитываются от точки поверхности водоема, в которую подается аэрированная струя, и отнесены к выходному диаметру сопла аэратора. На этих рисунках хорошо прослеживается максимальная глубина, на которую транспортируются пузырьки воздуха. С другой стороны, с помощью этих зависимостей можно оценить расстояние от места установки аэратора, на котором происходит эффективное перемешивание пузырьков воздуха с аэрированным массивом и насыщением его кислородом. На рис. 6 показано рассчитанное изменение относительного диаметра струи при ее распространении. Видно, что за исключением начального и конечного участков, изменение диаметра является линейной функцией от х, что согласуется с теорией [4]. 10 В 5 0 20 х 40 Рис. 6. Изменение диаметра струи при ее распространении с углом наклона 60 = 45 ° (обозначения те же, что на рис. 5) Проведенные исследования позволяют рассчитывать основные параметры процесса распространения аэрированной струи, а полученные результаты использоваться при проектировании систем струйной аэрации различных типов. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта № 06-01-00778). Литература 1. Мордасов А.П., Волшаник В.В., Зуйков А.Л. Устройство для аэрации воды в рыбоводных водоемах: А.с. 856415 СССР // Открытия. Изобретения. 1981. № 31. 2. Гиневский А.С. Теория турбулентных струй и следов. М., 1969. 3. Stoy R.L., Stenhouse M.H., Hsia A. Vortex containment of submerged jet discharge // Trans. ASCE. J. Hydraulics Div. 1973. Vol. 99. № 9. P. 1585-1597. 4. Абрамович Г.Н. Теория турбулентных струй. М., 1984. 20 апреля 2008 г. \1/ / V 2/ 1 3 / // // 4 / 5у / V 6/ Уб </4 5 2 Ахметов Вадим Каюмович - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры информатики и прикладной математики Московского государственного строительного университета. Тел. (495)183-59-9._

https://cyberleninka.ru/article/n/modelirovanie-protsessa-akkumulirovaniya-teploty-v-massive-grunta

Изложен интегральный метод математического моделирования аккумулирования теплоты в неограниченном грунтовом массиве с использованием вертикально расположенных в грунте одиночных теплообменников и их совокупности. Учитывается влияние регулярных длительных перерывов в работе, что характерно при аккумулировании солнечной энергии. Выявлены необходимость управления процессом и низкая эффективность работы одиночных теплообменных устройств. Существенно улучшаются расчетные показатели при "кустовом" расположении совокупности теплообменников.

УДК 662.995+536.242 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА АККУМУЛИРОВАНИЯ ТЕПЛОТЫ В МАССИВЕ ГРУНТА © 2004 г. Е.А. Ададуров, РА. Амерханов Один из эффективных в техническом и энергетическом отношениях систем аккумулирования теплоты заключается в использовании грунтового массива. Возможны несколько вариантов грунтовых аккумуляторов. Наибольший интерес представляют вертикально размещенные в грунте теплообменные аппараты коаксиального или Ц-образного типов (рис. 1). При малом тепловом сопротивлении стенок труб теплообменников и при контактировании подъемной и опускной ветвей Ц-образного теплообменника существенно выравнивается расчетная температура теплоносителя по высоте I, и фундаментальное уравнение теплопроводности в аккумулирующем грунтовом массиве приобретает вид дТ_ dt ■ = а. (д2Т t-l +------------ дТ dr2 г dt \ / где i = 1 - в плоской, г = 2 - в цилиндрической, / = 3 - в сферической системах координат. z N Т i I t > 0, г е [i?n,oo] (1) h(t) Ь- У777777%? н t •vu - Jr«,*) >v Ro Рис. 1. Схемы коаксиального (а) и U-образяого (б) теплообменников Уравнение (1) не исключает возможности изменения Т по высоте г при соответствующем задании краевых условий. С целью уменьшения тепловых потерь необходимо контролировать величину h(t). область значений которой должна быть ограничена высотой теплоизолированного участка теплообменников Я (рис. 1) [1]. Остановимся на физико-математических особенностях задачи аккумулирования. Во-первых, решение уравнения (1) представляется в форме бесконечных рядов Фурье, функций Бесселя, Ханкеля и т. п., приводящим к громоздким зависимостям. Во-вторых, областью определения функций является неограниченное пространство. В-третьих, скорость распространения температурных возмущений, согласно (1), бесконечно велика, хотя в действительности она конечна. Последняя особенность регулярно проявляется при аккумулировании солнечной энергии в начале и в конце светового дня из-за резких переходов от нагрева массива к прекращению нагрева и наоборот. В математическом плане эти три особенности значительно усложняют прямое решение уравнения (1), которое может быть получено только для нескольких простейших типов задания граничных и начальных условий [2]. Из-за проблем второй и третьей бесконечностей сомнительно достижение приемлемой точности и при интегрировании (1) каким-либо численным методом. Поэтому по сути единственным приемлемым вариантом остается поиск системы уравнений эквивалентной или почти эквивалентной (1), которая позволила бы достаточно корректно учесть все перечисленные выше особенности задачи аккумулирования. Реальная конечная скорость распространения температуры позволяет перенести значения функций при г —> да на конечный радиус И(1): 9Г К дТ д2Т г = Км,Т=Тм— = 0-— = 0. (2) дг дг1 дТ Последнее условие в (2) следует из (1) при —— = 0. На основании (2) 3/ можно получить универсальное (единое для / = 1, 2, 3) одно параметрическое семейство функций: Т Т'‘ ■ = (!-г|)3(1 + Ъч\-Амч\), (3) т0~тл, где 11 = тН^"’ Ам = я°(т т°\ ’?0 = {Те ~ ^ (4) К - К0 У1 0 -1 м ) Из параметра Ам выделяем критерий Био а0(^ -^о) Т0 - Т№ П1М * ’ лм П1М гр гр лм 1 0 -1 м Если учесть непрерывный, гладкий и монотонный по направлению г характер изменения температур в грунтовом массиве, то точность интерполя- ционного полинома (3) должна быть такого же порядка, как и аналогичных зависимостей, полученных в [5]. Естественно рекуррентное предложение (3) на область +4 <АМ < +со т Тм = (\-г\)А™ Тп-Т», (5) О ± м Зависимость (5) удовлетворяет условиям (2). Располагая распределениями температур (3), (5), решение задачи аккумулирования сводится к нахождению следующих шести функций: Те (/, г), Тк (/, г), Т0 (/, г), Я (/, г), Оо (/, г)у4м (/, г). Для их установления имеем: Уравнение сохранения энергии теплоносителя * а„ св Уравнение теплопередачи через стенку теплообменника т _ а\уТВ + Рус'1О 1 ? Рм?С ам> + Рус Л, К1п ( и Л к() у Уравнение изменения температуры массива грунта при г = 11,. вытекающее из фундаментального уравнения (1), формул (3) и (5), Это дґ Т0 ~Тм я- я 6(2- Дм) | 0~1)Л Я-Я, о Яп при Ам є [0; + 4], дт0 (6) - = -а 5/ м Я-Я0 Ам(1-Ам) + (І-\)АК Я-Я, о Яп приАм є [+ 40, + со]; Уравнение сохранения аккумулированной грунтом энергии /•.’,(;) ¡г г к ¡ЛІ2пЯ0д^= \(к ¡2прмсм (Т - Тм)гс1г + о о Д(0) о д + 1 2лрмсм (Т ~Тм)г2ёг + І 2прмсм (Т - Тм)г2ёг, ЯП т0 й0 где (Т - Тм) определяется согласно (3) или (5), плотность теплового потока д0 при г = Я0 - по последней формуле (4). Выражение (4) для. I Коэффициент теплоотдачи Оо при г = Я0 связан с коэффициентом о,, при г = Як, соотношением Г я Vі и находится по известным зависимостям для теплообменного аппарата при совместном решении тепловой и гидродинамической задач. Система уравнений замкнута и постановка краевых условий в форме: начальные условия Т (0, г) = Тм (г), II, (0, г) = II,: граничные условия Т (X /) = Тм (г). позволяет найти решение. Особенность уравнения (6) в том, что оно относится к граничным условиям. Если Т0 (Г, 2) задается, то во избежание переопределения задачи (6) исключается из системы уравнений. Рассмотрим аккумулятор с непрерывным режимом работы. Емкость аккумулятора составляет 0,35 м3/кВт. Изменение во времени параметров работы аккумулятора показано на рис. 2. Конечные показатели за 144 суток оказались следующими: температура при^0 Т0 = 49,99 °С; Я = 1,997 м; плотность теплового потока я,, = 6,32 Вт/м2; значение энергии = = 0,112-Ю11 Дж. ------------------------------------------------- Рис. 2. Изменение параметров управляемого аккумулирования теплоты при непрерывной работе: Еф соответствуют: 1 — Е!, 108Дж; 2 —То, °С; 3 — qo, 10Вт/м2; 4—Ам iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 1 о о 20 40 80 100 120 СУ* Рис. 3. План размещения теплообменников Эти данные указывают на то, что аккумулирование, осуществляемое одиночным теплообменником в неограниченном грунтовом массиве, неэффективно. Существенно улучшить характеристики аккумулированной энергии можно при организации встречно направленных тепловых потоков, разместить в грунтовом массиве группу из к теплообменников (к = = т X п) с шагом L (рис. 3). Литература 1. Накорчевсют А.П., Басок Б.П., Беляева ТТ. //Пром. теплотехника. 2003. Т. 25. № 3. С. 42-50. 2. Лыков A.B. Тепломассообмен: Справочник. М., 1971. 3. Gauthier С., Lacroix М., Bemier H. II Solar Energy. 1997. Vol. 60. № 6. P. 333— 346. 4. Yuehong Bi, Lingen Chen, Chin Wit. II Int. J. Power and Energy Syst. 2000. Vol. 20. №3. P. 119-122. 5. Накорчевсют A.IL Сопряженные задачи нестационарной тепломассопроводно-сти при переменных внешних условиях//ИФЖ. 1999. Т. 72. №2. С. 782-791. Кубанский государственный аграрный университет 7 июля 2004 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/primenenie-diskretnoy-modeli-namotochnyh-izdeliy-k-zadacham-opredeleniya-ostatochnyh-napryazheniy

Предлагаются алгоритмы расчёта остаточных напряжений в намоточных цилиндрических изделиях на основе методов сил, перемещений и начальных параметров. Введение дискретных расчётных схем полуфабриката и готового изделия позволяет устранить вычислительные трудности, связанные с учётом неоднородности и нелинейной деформируемости материала.

УДК 678.5.06:620.171.5 ПРИМЕНЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ НАМОТОЧНЫХ ИЗДЕЛИЙ К ЗАДАЧАМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ © 2010 г. Г.В. Воронцов Южно-Российский государственный South-Russian State технический университет Technical University (Новочеркасский политехнический институт) (Novocherkassk Polytechnic Institute) Предлагаются алгоритмы расчёта остаточных напряжений в намоточных цилиндрических изделиях на основе методов сил, перемещений и начальных параметров. Введение дискретных расчётных схем полуфабриката и готового изделия позволяет устранить вычислительные трудности, связанные с учётом неоднородности и нелинейной деформируемости материала. Ключевые слова: напряжённое состояние; остаточные напряжения; намоточные изделия; матрицы жёсткости. Algorithms of calculation of residual pressure in windings cylindrical products on the basis of methods of forces, movings and initial parametres are offered. Introduction of discrete settlement schemes of a half-finished product and a finished article allows to eliminate the computing difficulties connected with the account of heterogeneity and nonlinear deformability of a material. Keywords: a tension; residual pressure; windings products; rigidity matrixes. Предлагаются алгоритмы расчёта остаточных напряжений в намоточных цилиндрических изделиях на основе методов сил, перемещений и начальных параметров. Введение дискретных расчётных схем полуфабриката и готового изделия позволяет устранить вычислительные трудности, связанные с учётом неоднородности и нелинейной деформируемости материала. В частности, применение метода начальных параметров обеспечивает простое решение задач (в линейной и нелинейной постановке) о синтезе закона силовой намотки, обусловливающего требуемое распределение остаточных напряжений в готовом изделии. С целью уточнения модели процесса изготовления намоточных оболочек использована методика расчётных состояний. Упругие характеристики материала при плоском напряжённом состоянии задаём функциями: Er = Er (r ar, ае), Ee= eq(г, аг, о0), Mre = Mre(r, °r, °е), (1) где Ег и Ед - текущие модули линейной деформации в радиальном и окружном направлениях; дг0 -коэффициент Пуассона, причём ЕгДгд = . При плоской деформации вводим эквивалентные физико-механические характеристики E* = Er 1 -Mrs Ms E* = Ee Ee = 1 -Mes Mse ,,* _ Mre +MrsMse Mre = ~ 1 -Mes Mse (Хг = (Хг + а5 , = ^ М05 а5 , где аг, ад, а5 - коэффициенты температурного расширения материала; индекс 5 соответствует трансверсальному направлению оболочки. Дальнейшее изложение относится к задаче о плоском напряжённом состоянии участка оболочки единичной длины. Матрицы жёсткости, податливости и передаточная матрица элементарного кольца Расчленяем изделие на элементарные предварительно напряжённые кольца, по объёму каждого из которых упругие характеристики и коэффициенты температурного расширения, а также компоненты вектора начальных напряжений можно считать постоянными. Предварительные напряжения соответствуют либо натяжению материала (на стадии намотки), либо обусловлены сменой расчётных состояний изделия. Внешними воздействиями могут являться наружное и внутреннее давления, приращения температур, изменение упругих и теплофизических «констант» материала или условий опирания оболочки (например, снятие с оправки). Считаем, что ленты (жгуты, ткани, нити) в момент укладки мгновенно затвердевают, сохраняя заданное натяжение. Намотка всё время производится как бы на недеформируемые ранее уложенные слои и жёсткую оправку. В результате получаем предварительно напряжённое элементарное кольцо. После окончания намотки кольца происходит «размягчение» материалов полуфабриката и оправки, причём возникают дополнительные перемещения, вызывающие релаксацию напряжений. Затем производится намотка следующего кольца и т.д. Изменение напряжений и перемещений кольца при смене расчётных состояний также считаем обусловленными некоторым предварительным напряжённым состоянием, характеризуемым вектором ®пр = Ei +1 (Ei~lGi - ti +1ai+1 + bai), где Ej+i, Ei - матрицы упругих «констант» материала; ti +i, ti - температуры; векторы о = colon [ar ае ], a = colon [ar ae ]. Индексы i, i +1 обозначают номера расчётных состояний. Для каждого элементарного кольца j составляем матрицы жёсткости H j, податливости Л j и передаточную матрицу П осуществляющие преобразования: Pj+1 Pj u j+1 uj H = A, u j +1 uj Pj+1 Pj u j+1 a r, j +1 П j a„ + + + Pj+1,j * . Pjj . * uj+1, j * . ujj _ ** uj+1 ** ar, j+1 (2) (3) (4) H E„ vA, (ß-Mre) f \ß rj+1 j Л + (ß + Mre) -2ß j+1 r, V _ J -2ß Г • 1 (ß-Mre) — + (ß + Mre) ß rj V _ J ß v r_ +1J ЛJ = -L j EeA_ (ß-Mre) 4V rj V J J ß + (ß + Mre) _2_ß- rj+1 J 2ß f Aß Г- (ß-Mre) — + (ß + Mre) V rJ +1J rj V J J (6) П 2ß r-ß rß+1 (ß-Mre)rj+ß1 + (ß + Mre) J ! E„ vr; j+1 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Ej (rj+ß1 - J) _____J__ i M re j( — j| ( ß 2-M 2e j( ( ß + M r e) r_+ß1 + ( ß -M re) I j+1 2 (7) где обозначено: E ß2 = -=т' v =1 -MreMer> A_ = E r2ß - r2ß rj+1 r_ rß rß • rj+1r_ Здесь р;+1 = ог ;+г+1, р; = -а¿Г; - радиальные усилия на поверхностях кольца; аГ ; +1,___, и; - соответствующие напряжения и перемещения; Г;+1 и Г; - наружный и внутренний радиусы. Звёздочками отмечены давления, перемещения и напряжения, зависящие от предварительного напряжённого состояния. Так, из выражения (2) следует, * * что р; +1 ; и р;; - давления на поверхностях кольца ; , закреплённого от перемещений и ;+1, и; . Из вы** ражения (3) находим, что и;+1 ; , и; есть перемещения на поверхностях свободного кольца при Р; +1 = Р; +1 = 0 и ТА Матрицы (2) - (4) вычисляем по формулам: Все константы относятся к кольцу ; и соответствующему расчётному состоянию. Заметим, что формулы (5) - (7) можно записать иначе, например, H ß _, _+1 +ß _ +1, _ -2 где обозначено: ß _, j+1 =(ß - Mre) -2 ß _+1, _ +ß _, _+1. Г . \ß ß _+1, _ = (ß + Mre) 0-+1J ß f r_+1 V _ J ß ßj+1, _ = (ß-Mre) ßj, _+1 = (ß + Mre) _+1 rj V J J ß rj r j+1 J «Грузовые» члены уравнений (2) - (4) составляют: 3 3 1 r r r r * н н pj+1,j = rj +1°rj - H ■ uj+1 * н j н [ Pjj J - r а ■ [ j rj J [u j J Ke =- E e,i+1 E . ei (e = r, e), vre =1 - Mre,i+1Meri, ver =1 - Mer,i+1Mrei, u j+1,j * ujj uj+1 ** °r, j+1 ,н j+1 .н u j - л, а г r, j +F j+1 -r ан j rj ui1 r (rj+1)" а„ П u11 r (rj ) а, Расчётные начальные напряжения ar и перемен щения ur определяются по следующим выражениям: для стадии намотки uK = va0r (1 -ß2 ) EГ ar = 1 + Mre o. -^ а ; 1 -ß2 при смене расчётных состоянии uf = 0 vi+1а ir (1 -ßL) E r i+1 н 1 + Мг9,г +1 р пр iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 1 - Pi+1 Здесь введены обозначения: )2 ap = — < aei v i+1 ß221 ver -ß2AMre- Vre ß2 A (tar) = t«+1ar,«+1" h^ri, (8) v =1 - MreMe, AMre = Mre,«+1 - Mre,« • Значения v, P , Er , ^re в формулах (9) характеризуют своИства полуфабриката при намотке. Определение остаточных напряжений в намоточных изделиях по методам перемещений и сил При расчёте изделия по методу перемещении (МП) неизвестными считаем перемещения X = colon [ Xn +1,___, Xq ] пограничных слоёв j = 0, _, n +1 элементарных колец, причём j = 0 (9) относится к внутренней поверхности оправки, j = n +1 - к наружной поверхности изделия. Основную систему МП получаем в результате введения концентрических связей, препятствующих перемещениям Xj. Внешними воздействиями являются факторы, получившие приращения при смене расчётных состояний. Систему канонических уравнений МП записываем в виде H n-1 H1 H X, n +1 X,- Xn + pn+u * * Pj + p,\ j-1 * P00 = 0, -ß2+1AMer,i+1ari - raeiß2 AMre f + K E I M ) + Mre,i+1A (toe)- v i+1 ß2+1 [A (t«e) + Mer ,i+1A (ta г )] A (t«r)' + Mre,i+1A (tae)' + +r = — {vreari + ß2AMreaei-vi+11 -Eri [A(tar) + Mre,i+1A(tae)]}, где Нп,... Н и Но - матрицы жёсткости элементарных колец и оправки. Для диагональных ячеек, в которых матрицы Н у накладываются друг на друга, соответствующие компоненты матриц складываем. * Значения «грузовых» членов руе вычисляем по первой формуле (8). При расчёте изделия по методу сил (МС) неизвестными считаем усилия взаимодействия Y = colon Yn-Yj -Y на контактных поверхно- стях ] = п,... ,1 элементарных колец и оправки. Систему канонических уравнений МС представляем в виде лп лп-1 Л п-2 Л1 Л Y„ Y- Yn + * * unn - un,n-1 ujj uj, j-1 U11 - u 10 = 0, где Лп, ..., Л0 - матрицы податливости элементарных колец и оправки. Для диагональных точек, в которых матрицы Л у накладываются друг на друга, соответствующие компоненты матриц вычитаем. Заштрихованные блоки матриц Лп и Ло отбрасываем. * Значения «грузовых» членов и уе вычисляем по второй формуле (8). Нахождение остаточных напряжений и синтез закона силовой намотки по методу начальных параметров С помощью метода начальных параметров (МНП) легко решаются все основные задачи: 1) определение закона изменения натяжения, обеспечивающего заданное распределение остаточных напряжений после намотки; 2) определение остаточных напряжений после намотки при заданном законе изменения натяжения; 3) определение остаточных напряжений при смене расчётных состояний изделия. Рассмотрим алгоритм вычислений при решении первой задачи. Считаем заданным давление Ог1 на оправку, которое будет достигнуто после завершения намотки изделия. На величины остаточных напряжений накладываем ограничения ае ^ [ае]' ar ^К]. (10) Er = Er (r,ar). (11) Из соотношения U1 Pr1. Пг u0 0 Насаживаем на оправку первое предварительно напряжённое кольцо с начальным напряжением о N га =- и упругими характеристиками Ег\,р^.., Ь определяемыми по формуле (11) при Ог = Ог1; N -натяжение лент в слое материала единичной толщины; Ь - ширина ленты. По выражениям (9) и (8) вычисляем ин, аг1 и и2, О*2 . Накладываем условие, что после «отпуска» кольца на его внутренней поверхности возникают заданные напряжения Ог1 и соответствующие им перемещения и1. Зная параметры и^ Ог1 на «входе» кольца, по уравнению (3) находим перемещение и2 и напряжение Ог2 на «выходе». Если полученные значения Ог2 и О02 не удовлетворяют ограничениям (10), корректируем натяжение N1 лент на первом участке. По найденному давлению О г2 определяем упругие характеристики Ег 2, Р2, • • • и переходим к расчёту второго элементарного кольца. Для ]-го кольца имеем а V+1 r,j+1 П, u. а„ а, 1 -ßi v r ■ J J " vJrJ+1 " П J E . Erj - E . Erj > 1 + Мт-еу _ 1 + Mrej (12) iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Предполагаем, что модуль упругости материала в радиальном направлении зависит от межвиткового давления где По - передаточная матрица оправки, определяем перемещения и1 и «о - Непрерывную намотку изделия заменяем дискретным процессом последовательного насаживания предварительно напряжённых колец сначала на оправку, а затем на ранее уложенные слои. где О0 - натяжение лент в кольце у . При синтезе закона силовой намотки, обеспечивающего требуемое остаточное напряжённое состояние, все значения Огу, Ооу считаем заданными и по уравнениям (12) последовательно находим требуемые натяжения N у = Ьо0 поперечных лент. Упругие характеристики материала могут быть заданы функциями типа (1). При заданном изменении натяжения лент N1,..., Nn и определении остаточных напряжений после намотки выполняем серию расчётов изделия при различных давлениях Ог1 на оправку. Из полученных решений выбираем то, которое удовлетворяет условию Ог п +1 = 0 на внешней поверхности. Если из составленных решений ни одно не удовлетворяет требованию Ог п+1 = 0 , составляем модель функции Огп+1 = / (ог1) , причём учитываем результаты всех произведённых расчётов и проверяем адекватность выражения / (ог1). Давление на оправку определяем из уравнения / (ог1) = 0. Решение упрощается, если упругие константы материала не зависят от напряжённого состояния (линейная задача). В этом случае коэффициенты всех передаточных матриц могут быть вычислены сразу, причём Sj+1 =( П j... По) So +(П j... П 2) Sj +...+п 7 Sj _i+Sj , + где S; = colon uj V S* = colon uj Неизвестное давление Ог1 определяем из условия Ог п+1 = 0. После этого по формулам Sj +1 = П j Sj + Sj последовательно находим остаточные напряжения во всех элементарных кольцах. Выводы 1. Применение дискретных моделей для определения остаточных напряжений в намоточных изделиях или для синтеза закона силовой намотки, обеспечивающего заданное напряжённое состояние, особенно целесообразно при расчёте изделий из неоднородных или (и) нелинейно деформируемых материалов. 2. Наиболее универсальные и простые алгоритмы решения различных задач об определении напряжённого состояния намоточных изделий обеспечивает метод начальных параметров. Поступила в редакцию 9 ноября 2009 г. Воронцов Георгий Васильевич - д-р техн. наук, академик МАНВШ, профессор, кафедра «Сопротивление материалов, строительная и прикладная механика», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (8635)25-53-12. Vorontsov George Vasilievich - Doctor of Technical Sciences, member of the Academy, professor, department «Resistance of materials, construction and applied mechanics», South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (8635)25-53-12._

https://cyberleninka.ru/article/n/opredelenie-analiticheskoy-zavisimosti-raspredeleniya-glubin-i-skorostey-vdol-prodolnoy-osi-simmetrii-v-zadache-svobodnogo-rastekaniya

Баленко Е.Г., Ширяев В.В., Коханенко Н.В. Определение аналитической зависимости распределения глубин и скоростей вдоль продольной оси симметрии в задаче свободного растекания бурного потока // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2006. № 2. Получена зависимость распределения глубин и скоростей бурного свободно растекающегося потока вдоль продольной оси симметрии без учета сил трения. Для исследований была использована система двухмерных в плане бурных стационарных открытых водных потоков в плоскости годографа скорости. Ил. 5. Табл. 1. Библиогр. 5 назв.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УДК 532.543 ОПРЕДЕЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГЛУБИН И СКОРОСТЕЙ ВДОЛЬ ПРОДОЛЬНОЙ ОСИ СИММЕТРИИ В ЗАДАЧЕ СВОБОДНОГО РАСТЕКАНИЯ БУРНОГО ПОТОКА © 2006 г. Е.Г. Баленко, В.В. Ширяев, Н.В. Коханенко Свободное растекание бурного двухмерного в плане потока имеет место, к примеру, при его истечении из водопропускной трубы в широкое отводящее русло. Задача расчёта геометрии растекания потока и определения его гидравлических параметров внутри области течения представляет собой сложную комплексную задачу. В настоящей работе остановимся на расчёте глубин и скоростей потока вдоль его продольной оси симметрии. Схема свободного растекания потока приведена на рис. 1. Эф _ h0 1 - 3т Эу ; ЭГ"-~2И~0 т(1 -т)2 Э0 ' Эф_2 ho Э0 2 Эу (1) И 0 1 -т Эт ' где и 0 - скорость потока на выходе из трубы; g -ускорение силы тяжести; т - квадрат скоростного коэффициента; 0 - угол наклона вектора скорости жидкой частицы к оси ОХ. Из спектра индивидуальных решений системы (1), найденного в работах [1, 2], выберем такую конструкцию: У : A „1/2 sin 0; h0 ф_ A- 0 cos 0 (2) И) т 1/2(1 -т) 1 < т < 1 - для бурных потоков, Эквипотенциали Рис. 1. Схема свободного растекания потока В качестве исходной системы уравнений движения потока выберем систему уравнений бурного планового потока, выведенную в работах [1, 2], в плоскости годографа скорости: где А - постоянная, определяемая граничными условиями растекания потока. Эта конструкция выбрана исходя из известных в [3] логических посылок: - бурный поток должен ускоряться при его входе в расширение; - его граничные линии тока могут быть описаны A уравнением у = —— sin 0 , так как sin 0 - функция, т1/2 возрастающая в зависимости от угла 0 и положи-п тельна при 0 <0< —. Воспользуемся формулами связи между планом течения потока и плоскостью годографа скорости: dx + idy _ (dф + i— dу)—ei0 . h и (3) где ф, у - соответственно потенциальная функция и функция тока; ^ - глубина потока на его входе в отводящее русло (на выходе из трубы); Н0 - постоянная в интеграле Бернулли: И0 + h0, 2 g Полагая вдоль линии тока dу = 0, и учитывая, что на оси симметрии потока 0 = 0, получим, с учётом (2) и (3), следующее дифференциальное уравнение, связывающее (к и d т: dx _ Ah0 3т-1 2И0,¡2gH~0 т2(1 -т) -d т. (4) b Интегрируя уравнения (4) с учётом граничного условия: X = 0 ; т = т0 , получим формулу зависимости координаты х от параметра т: Ah0 x — 2H 0V2ÍHO 1+т , 1-т --ln-- т(1 -т) т 1 + т0 т о(1 + т о) , 1 -т0 - + ln-- (5) Из формулы (5) следует, что при увеличении ско- рости потока от и 0 до и г т.е. изменении парамет- ра т от значения т 0 до т = 1, расстояние х от входа потока в расширение (вдоль продольной оси симметрии) увеличивается с ростом параметра т. Из формулы (4) следует, что вдоль оси симметрии dx „ потока производная — > 0, так как dx d т Ah0 3т-1 dT 2H-s¡2gH- т2(1 — т)' > 0 так как ду dy h 0 У гр =и 0b/2, h = Ау _ У гр -У 1 "Un—" Ay b/2 Граничная линия тока отсекает от оси ОХ 50 % всего расхода потока, входящего в расширение. Если известен угол 0 тах растекания потока на бесконечно -сти вдоль крайней линии тока, то определяется посто-яннаяА: и 0b/2 — A sine max; (6) так как при т = 1, 0 = 0 тах . Из (6) определяется постоянная А для всего потока: A— u 0b/2 sin fi Выразив и 0 через параметр т, получим из формулы (5) следующее уравнение: b x— т 1/2h Lfl "П 4 H 0Sin e max 1+т , 1—т -- ln-- 1 + т0 т(1 -т) т 0(1 + т 0) 1 1 -т0 ■ + ln-- (7) Угол 9 max можно определить из следующих соображений. На бесконечности граничная линия тока максимально сближается с характеристикой, или согласно теории в литературе [3], sin а = —^ — 0 при 4F iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. т —^ 1, F — т.е. угол а между граничной линией тока и характеристикой стремится к нулю, а угол 9 max на такой характеристике определяется из усло- — С! + (V3 -1)|; при т> 3 . Определим далее значение постоянной А в уравнении (5). Для линии тока совпадающей с осью ОХ полагаем у 1 = 0 , тогда для граничной линии тока С — arete ¡^0 1 -V3arctg3т°- 1 1 1 -тг 1 -т0 л/3 (8) Пусть известны исходные данные для расчёта: Ь, и 0, h 0, тогда расчёт распределения глубины hi и скоростей и i вдоль оси симметрии потока производим следующим образом. Определяем H 0 —- - + h 0 т 0 —- угол 2g " 2gH 0 0 тах - по формулам (8). Далее задаёмся значениями hi = 0,02...0,18 с шагом 0,02, определяем тi = 1 - hi /H0, а расстояние хi определяем по выражению (7), скорости потока по формуле и г =72^ т г 1/2. Для реализации вычислений использовали программу, составленную на языке Паскаль. В качестве исходных данных взяли параметры, при которых имелись результаты экспериментальных исследований: Ь = 1,0 м , и 0 = 2,0 м/с, h0 = 0,2 м. Результаты вычислений приведены в таблице. Таблица Результаты вычислений 2 U hi, м 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 т 0,9505 0,901 0,8514 0,8019 0,7524 0,7029 0,6534 0,6038 0,5543 x¡, м 6,198 2,824 1,672 1,083 0,724 0,481 0,306 0,176 0,076 Vi, м/с 2,744 2,672 2,597 2,521 2,442 2,360 2,275 2,187 2,096 По данным таблицы для наглядности построим графики полученных зависимостей. На рис. 2 построен график зависимости х = /Н), из которого следует что с удалением потока от трубы глубина потока уменьшается. Зависимость носит нелинейный характер. Рис. 2. График зависимости х = /к) На рис. 3 показано, что с увеличением глубины к скорость потока V падает. Зависимость носит нелинейный параболический характер. Из графика зависимости х = /(т) (рис. 5) следует, что с увеличением х квадрат скоростного коэффициента нелинейно возрастает. Наиболее интенсивный рост скоростного коэффициента наблюдается при удалении потока на расстоянии 2-2,5 м от трубы. л о & 0,6 0,7 0,8 0,9 Квадрат скоростного коэффициента Рис. 5. График зависимости х = /т) Сравнивая выполненные теоретические исследования с экспериментальными данными, приведенными в работах [4, 5], можно сделать вывод, что на этапе свободного растекания бурного потока по гладкому бетону рассогласование в распределении теоретических и экспериментальных глубин и скоростей не превышают 3 %, что позволяет рекомендовать приведенную методику в инженерных расчётах. Рис. 3. График зависимости V=fth) Литература На рис. 4 приведен график зависимости т = /(к),т согласно которому с увеличением глубины к квадрат скоростного коэффициента т линейно уменьшается. о и I g о К о р о к с н ^ 0,2 ро 3 * 1,0 0,8 0,6 0,4 0 0,04 0,08 0,12 Глубина h, м 0,16 Рис. 4. График зависимости т = f(h) 1. Коханенко В.Н. Вывод основной системы движения двухмерного потока в плоскости годографа скорости и пути поиска её частных решений. М., 1996. Деп. в ВИНИТИ 10.12.96, № 3584 - 1396. 2. Коханенко В.Н. Вывод основной системы движения двухмерного потока в плоскости годографа скорости. М., 1996. Деп. в ВИНИТИ от 10.12.96, № 3587 - 1597. 3. ЕмцевБ.Т. Двухмерные бурные потоки. М., 1967. 4. Высоцкий Л.И. Управление бурными потоками на водосбросах. М., 1977. 5. Милитеев А.Н. Тогунова Н.П. Методика расчета сопря- жения бьефов в пространственных условиях // Гидравлика сооружений оросительных систем: Тр. НИМИ; Вып. 5. Новочеркасск, 1976. Т.Х-УШ С. 180 - 194. Донской государственный технический университет 27 октября 2005 г. 6 4 2 0

https://cyberleninka.ru/article/n/osobennosti-rasprostraneniya-voln-v-izotropnom-trehmernom-sloe-s-tonkoy-nakladkoy

Выяснено, что структура волн в рассматриваемой задаче существенно зависит от области, в которой действует осциллирующая нагрузка. Показано, например, что в случае прямоугольной области, в которой действует равномерно распределенная нагрузка, в слое существуют различные зоны. В одних из них волна ведет себя так же, как и в случае действия сосредоточенной силы, т.е. движется от источника колебаний на бесконечность. В других существуют как прямые, так и обратные волны, в последних зонах поток энергии, распространяющийся на бесконечность, отсутствует.The problem of wave propagation in a layer with a thickness H and a thin fixed plate on its surface with thickness h, was considered. It was found out that the structure of the waves under such conditions essentially depends on the region in which the oscillating loading takes place.

УДК 539.3. ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ИЗОТРОПНОМ ТРЕХМЕРНОМ СЛОЕ С ТОНКОЙ НАКЛАДКОЙ © 2005 г. А.В. Белоконь, А.И. Болгова The problem of wave propagation in a layer with a thickness h and a thin fixed plate on its surface with thickness h, was considered. It was found out that the structure of the waves under such conditions essentially depends on the region in which the oscillating loading takes place. Изучению волновых процессов и построению асимптотических решений плоских задач были посвящены работы [1-5], в которых рассматривается упругая среда, занимающая плоскую область |х|<®, 0<у<<», а нагрузка действует в интервале |х| < а при >>=0. На основе построенных асимптотических решений был изучен характер распространения потоков энергии. Причем только в [3-5] установлено, что поток энергии распространяется везде за исключением области, находящейся непосредственно под нагрузкой: |х| < а , 0<у<<». В предлагаемой работе продолжается исследование задачи для трехмерного упругого слоя, подкрепленного тонкой пластиной, начало которого кратко изложено в [6]. В [7] аналогичная задача изучалась в зависимости от различных типов нагрузок для слоя без пластины, при этом асимптотическое решение в слое построено в областях вне зоны действия нагрузки. В [8] на основе численного анализа показано, что более существенное влияние на распространение потока энергии в слое, укрепленном пластиной, оказывает увеличение плотности пластины по сравнению со слоем, чем изменение отношения их жесткостей. В данной работе построено асимптотическое решение в слое, с помощью которого выяснен как характер распространения волн, так и перенос ими потока энергии. Проанализировано с помощью [7] влияние пластины на поток энергии, распространяющийся в слое, в зависимости от отношения толщины пластины к толщине слоя. Важным результатом изучаемой задачи является то обстоятельство, что в ней, как и в плоских задачах [3-5], показано, что и в трехмерном слое существуют области, в которых поток энергии не распространяется. Последнее является новым результатом в теории распространения волн в трехмерных средах типа слоя. Таких явлений не наблюдается в осесимметричной задаче для слоя. Представляет также интерес исследование рассматриваемой задачи для других областей, в которых действует нагрузка, например в многоугольной. Математическая формулировка задачи: требуется найти решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее (¿1 + М1 Х^иДк + /и1 Дик = р1 ик , к = 1,2,3 DA2 ~3 + р2 h д2 C3 "öt2 = p(x, y, t)— q(x, y, t) (1) P(x, y, t) = f f (x, y )iQt, (x, y) S, |0, (x,y) S, ч(х, У,г ) = СТ33 (х, У, Н,г) ; ~3 (х, У, г) = Из (х,у, Н,г) ; стк3 (х, у, Н, г)= 0, к = 1,2; ак3 у,0, г) = 0, к = 1,2,3 ; и3 (х, у,0, г)=0 . Здесь Л1, ръ&2, /л2, Р2,у2 - соответственно упругие константы в слое и пластине; Д - оператор Лапласа в трехмерной области; Д2 - квадрат оператора Лапласа в двумерной области х,у; В = (ы2к3 )/(б(1 - у2 )); - некоторая ограниченная область с кусочно-гладкой границей. Рассматривая установившийся режим колебаний, представим решение системы (1) в виде U (x, y, z, t) = U (x, y, z )e iQ t ~3 (x, y, t ) = V (x, y) e Q t akl = &k!e iQ t kle H x = Введем безразмерные величины x H h yH =y H zH = _£_ jjH = U H H H V VH = — H Q H =QH c c2 = l = H Äi + 2ßi Pi D = M2 h 6H Vi (1 — ^ )' c22 = ü, p = p = pl. Pi Mi Pi Будем искать решение поставленной задачи (1), применяя принцип предельного поглощения [9], который фактически приводит к замене О на 0£=0-¡е, 0 < е << 1. Это даёт основание считать, что на бесконечности выполняется условие: и(х, у, 2, г) 0, Я =у! х 2 + у 2 ^ да . Применяя к системе (1) двойное преобразование Фурье по координатам х и у и решая преобразованную систему уравнений с соответствующими граничными условиями, найдем выражения для перемещений в слое: 1 да да \а¥(а, г) Uie=- U 2s = 4п i I I A Qs, z ) ~iace —irydady, s U 3s = 4n i 4n2 2 J J YM Qs A z)e -iYdady, (2) s J J ßisF(a,YС((Qs,z)e-iace-iYdady, -j —j A s граничным условиям и условиям сопряжения пластины и слоя где A(l, Q, z) = —Ei sh ß2 ch ßxz + 2 ß ß2 sh ßi ch ß C(l, Q, z) = Eishß2 shßiz — 212shßi shß2z; F = F* — ßi shßi shß2 (Dl4 — L2Q2 )q2/с2 ; z; F* = Ei2chßi shß2 — 412ßiß2 shßi chß2 ßi = 12 — Q2, ß22 = 12 — Q2/c2 Ei = 212 — Q 2/ c 2 12 =a2 +y2; L =pd c 2 c 2 c= c J —J —J —J 3i Окончательное решение рассматриваемой краевой задачи получим из (2) с помощью предельного перехода [9]: lim U£ = U . £—- Рассмотрим в качестве примера нагрузку, равномерно распределенную в прямоугольнике \х\<а, \y\<b, преобразование Фурье от которой имеет вид / \ 4 p sinaa sin yb F a,r) =-. ay Имея в виду в дальнейшем исследовать энергетические характеристики в слое, получим вначале асимптотическое представление решения вне области действия нагрузки. Асимптотические решения будем строить последовательно, вычислив вначале внутренние интегралы, а затем внешние в формулах (2). Считая, что х>а, для вычисления внутренних интегралов применим теорию вычетов, поскольку подынтегральные выражения (2) являются аналитическими функциями a и у. Не нарушая общности выводов рассматриваемой задачи, выбираем Q таким, что есть только полюса ±1 о£ подынтегральной функции, лежащие вблизи вещественной оси a и при е^0 принимающие вещественные значения. Остальные полюса, которые всегда остаются мнимыми, дают экспоненциальное затухание перемещений при и в расчет не принимаются. Выполнив описанные выше действия, т.е. применив теорию вычетов к внутренним интегралам, приходим к однократным интегралам, справедливым при x>a. Например, U £ после вычисления интеграла по a принимает вид Ule = 2p 10sA(£pg,Qg, z) Д l = l 0. x J sina0ga sin yb e-ia0sxe- -ijy где l0s dy, x >> a, (3) Легко показать, что Ima0e < 0 Cr Рис. 1 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. На рис. 1 также указаны знаки, которые принимает 1ш.а0е,а0е = 1-( + ¿П) вблизи соответствующих берегов разреза. Чтобы везде внутри контура выполнить условие 1ша0е < 0, на правом берегу разреза выбирается а0е = -д/120е -(<? + ¿п) . Вводим полярную систему координат х1 = х - а = Я 008 в, у1 = у - Ь = Я Бшв . Несложно показать, что асимптотические выражения для перемещений при Я^-да, а е^0 примут вид: U i = _- sin а0 a '-Ail 0, Q, z) l • , J Sin Y e i{doa-Yb )e iR (ao cos в-у sin в) dy _ 0 Y J°sinYb e -ii+Yb )e -iR («0 cos в+Y sin в) y o Y + O R, U 2 =_ ^ A(l 0, Q, z )x a0 l oe = l о - im,т > 0. Применим метод контурного интегрирования к однократным интегралам вида (3). Предполагая, что y>b, контур интегрирования будем замыкать в нижней комплексной полуплоскости у = а + in . Наличие в подынтегральной функции точки ветвления у = 10e при использовании в дальнейшем методов теории функции комплексного переменного приводит к необходимости проводить разрез в нижней комплексной полуплоскости. Контур интегрирования в этом случае принимает вид, изображенный на рис. 1. Сплошной линией выделен разрез, штрихпунктир-ной - петля L, причем как разрез, так и петля L стягиваются при е^0 к осям с и п. J sin Y j(cí0a_}b) iR(cí0 cos в-Y sin в 'dY + (4) Jsin Yb e_(0a+b e-iR(a0 cose+Ysine)Y + O|- R j / ч sin a0 a U 3 = _iC (l 0, Q, z )-f- x a0 l°sinYb e i«-Y )eiR («0 cos в-Y sin в dY_ 0 Y _ lQ°sm yt> e-i(«0a+}b )e-iR («0 cos в+Y sin в )^^ 0 Y . A(l 0, Q, z )= 2 Pl 0A(l 0,Q,z), + j дД п— dl l=l 0 C(l0,Q,z)= 2Pl0ÄC(l0,Q,z) . дД п— dl l=l 0 В (4) не включены интегралы вида П l 0 i 2 а 0 X л 1 СО l х + X 151П/12°+т a shiLA{i 0,0, -Jt 2о +т2 t20 + т2 x■ e~Tydr, возникающие из-за наличия полубесконечных отрезков петли Ь, лежащих вблизи мнимой оси, и не дающие вклада в поток энергии. Переходим к получению асимптотики для интегралов (4) методом стационарной фазы, используя формулу [10]: xb 2п xs e iRg(xs )±in / 4 R13 -it0(acosв+bsine) -iRl0 —Л/4 s1n0 + 0(1 R), и л(е 0 ) I 2n s1n(t0acosö)s1n(t0bsine) U2 = -A(t 0,z' x e Rt 3 „ -it 0 (a cos e+b sin e I -iRt 0 cose 0(1/ R)), (6) тт — т(и 0 ) sin(l 0a cose)sin(l 0b sin$) U о — iC 11Л , 0 2, Z I I X 3 v 0 ^R£0 cos^sin^ X e-i10(acos&+bsine)e-tRi0e ^/4 + O(l/R) Переходим к определению потока энергии в слое. Из [11] известно, что поток энергии через цилиндриче- п скую поверхность 0 < z < 1,0 <в < —, R — cows/ в направлении R при фиксированном в имеет вид: Pr =- О2 Cg ,U), где Cg =- 5Д* /5Д* 51 5® (7) 5(U,U) = Rj((1 U1 + U2U2 + U3U3)dz . Из (7) вытекает, что поток энергии через указанную цилиндрическую поверхность при Я^ж будет равен О 2 п/2 I с8вВ(и ,и )в. Pr = 2 для слоя, укрепленного пластиной, и слоя без пластины. Если выбрать в качестве материала слоя сталь, а материал пластины - вольфрам, тогда д=1,973, р=2,266, с=0,544, а остальным параметрам задачи придать следующие значения: ^=0,5, 4=0,1, то графики потока энергии для различного типа нагрузок будут иметь вид, изображенный на рис. 2-4. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. '(я)=и (х)е:ВД*>А "V як -х )■ я "(х. )* 0, Я^ю, (5) где выбирается знак «+», если я"(х. )> 0 , и знак «-», если я"(х.)< 0; х. - седловая точка, являющаяся решением уравнения я' (х) = 0 . Легко показать, что у. = 10Бшв - седловая точка вторых интегралов формул (4), а седловая точка первых интегралов не принадлежит отрезку интегрирования. Таким образом, асимптотическое представление интегралов (4) будет иметь вид: и = А( о г) i 2п 0аС0Бв)п(0ьБшв) Р11 _4 _4 ~4 2-10 44-10 46-10 4 e 1 Рис. 2 Pl1 Pl11 _4 _4 _4 2-10 44-10 46-10 4 Полученные формулы (6), (7) позволяют провести численное исследование распространения потока энергии в области х>а, у>Ь. В работе было численно исследовано влияние пластины на распространение потока энергии в слое в зависимости от параметров пластины и различных видов нагрузки. Получили, что наличие пластины существенно влияет на поток энергии в слое, если плотность материала пластины больше, чем плотность материала слоя [8]. Приведем несколько графиков потока энергии Рис. 3 Графики потока энергии для сосредоточенной силы изображены на рис. 2, для нагрузки, равномерно распределенной по линии длиной а=5 - рис. 3, равномерно распределенной в прямоугольнике с размерами а=Ь=10 - рис. 4. Более жесткая и с большей плотностью пластина увеличивает поток энергии, распространяющийся в слое. Рассмотрено также, какое влияние оказывает наличие пластины на распространение энергии в слое в зависимости от отношения 4 в случае, когда действует сосредоточенная сила по сравнению с потоком энергии для слоя, не укрепленного пластиной. Для с=0,544, ^=0,5, д=1, р=1 показано, что с увеличением толщины пластины увеличивается величина потока энергии в слое. Относительное изменение потока энергии вычис-~ Р - Р ляется по формуле: Г = —-—100 %, где РЯ - поток энергии в слое, укрепленном пластиной, РЯ. - неукрепленном. Р e e 2 psq j psql i 0,01 0,025 0,05 0,08 0,1 0,15 0,6 38,5 1,5 148,4 3,1 1066,0 56,4 6,3 3,1 9,8 - 65,9 Таким образом, наличие пластины влияет на распространение энергии в слое, причем чем плотнее материал пластины по сравнению со слоем, тем больше это влияние. Выше получены асимптотические формулы для перемещений в области х>а, у>Ь. Аналогичные формулы вне зоны действия нагрузки можно получить для областей х>а, у<-Ь; х<-а, у>Ь; х<-а, у<-Ь. Остаются неизученными области х>а, |у| < Ь ; х<-а, |у| < Ь ; |х| < а , у>Ь; |х| < а , у<-Ь. Не нарушая общности изложения, получим асимптотическое решение только в области х>а, |у| < Ь , 0 < г < 1, поскольку в остальных областях исследование можно провести аналогично. Как и ранее, рассматриваем нагрузку, равномерно распределенную в прямоугольнике. Внутренние интегралы формул (2) вычисляем для х>а, в результате получим однократные интегралы вида (3). При ограниченном y подынтегральная функция такова, что нельзя вычислить однократные интегралы, замыкая контур интегрирования, как в нижней, так и в верхней полуплоскости, так как при этом sin ybeвозрастает, и тем самым нельзя применить лемму Жордана. Чтобы последнее было возможно, необходимо представить выражение sin ybe -ЧУ в виде суммы двух слагаемых и соответст- 61 Рис. 4 Однако если материал пластины гораздо плотнее материала слоя, например, с=0,544, 0=0,5, д=1, р=50, то с увеличением толщины пластины величина потока энергии в слое сначала растет, достигнув некоторого максимума, а затем уменьшается и становится в десятки раз меньше, чем в слое, не укрепленном пластиной. Результаты расчетов представлены в таблице. Относительное изменение потока энергии Г , %, в зависимости от отношения толщин £ ( р = 1 - числитель, р = 50 - знаменатель) венно разбить исследуемые интегралы на два. •2í * ) Ukg = Uk1g - Uk2e> k = 1,2,3 ' где' напРимеР> иШ = 2i J sina0ga e —ia0gxe -ir{y-b)dr • -00 a0gY U 12g = = A(l 0g, Qg, z) 0 sin a J 0g e -ia0gxe-i'r(y+b) dy. 2 -да а0еГ Вычислим интегралы ик£, к = 1,2,3 при у<Ь, замыкая контур интегрирования в верхней комплексной полуплоскости. Контур интегрирования Г, построенный с учетом исследования, проведенного выше, изображен на рис. 5. Г1 rR п -R R а Рис. 5 Подынтегральные функции икт£, к = 1,3, т = 1,2 имеют особенность в точке у=0. Важно отметить, что эта точка не является изолированной особой точкой и ее нельзя окружить малой окрестностью С§ такой, чтобы при достаточно малом е функция была аналитической внутри области, ограниченной полуокружностью С§. Действительно при е^-0 разрез принимает вид, изображенный на рис. 5 штрихпунктирной линией, а точка у=0 не является изолированной особой точкой. При этом в заштрихованной области а0е нужно выбирать в виде a 0g = 41 Vl 20g-(^ + in)2 (8) а в остальной области соответственно со знаком «+», поскольку только в этом случае внутри всей области выполняется условие 1та0е < 0 . При е^-0 заштрихованная область занимает всю левую часть полукруга С§, в которой а0е имеет вид (8). В правой части окрестности С§ а0е имеет знак «+» перед корнем. С учетом этого обстоятельства интеграл по С§ принимает вид: sina0 a a0Y e -iy{y-b ]dy = Tii sin 10 a ,-it 0 2 1 0 -ia x x 0 e При этом очевидно, что точку у=0 необходимо обходить сверху. Если бы обход точки у=0 был снизу, она бы попадала внутрь области, ограниченной контуром, и нужно было бы учесть вычет в этой точке, что невозможно, поскольку она не является изолированной. Вычислив интеграл по С§, а в остальном следуя изложенной выше схеме, легко получить, например, что и принимает вид: U1 = AR 0, Q, z) Ii1 + Ii2 + P sinl 0a 1 0 где iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. л sinVtо + Tа . Г2 2 e , , Ij =-2J--■— sinV1 о +т x--ckzyar; -cosl 0x „-tb (9) 0 Vl 20 +T2 I2 = 21j0 sina0а si sin«0 x • - -cos^ydy. 0 a0 Y Из формулы (9) вытекает, что внеинтегральные члены, полученные в результате вычисления интеграла по Cg, имеют вид волн, не убывающих на бесконечности. Легко показать, что в действительности таких волн нет. Это связано с тем обстоятельством, что интегралы в решении (9) содержат особенности в нуле. Действительно, рассматривая по отдельности каждый из интегралов, входящих в решение, видим, что они расходятся. Однако если их рассмотреть совместно, то особенности в нуле взаимно уничтожаются. При этом подынтегральные выражения видоизменяются таким образом, что получившиеся интегралы дают вклад такой же, как интеграл по Cg, только с противоположным знаком. С учетом этого обстоятельства и формулы (5) можно показать, что главные члены асимптотических разложений для исследуемых интегралов в полярной системе координат x1 = x - а = R cosö, y1 = y = R sinö имеют вид: / N.sina0 а U1 = AR 0, Q, z)-— x 2n e -lYb -n/A i—.—7—rr-e 1/4 sin10(R + аcosö) + О\ — VR^'Ys ) Ys V 7 lR U 2 = 2 А(10, Q, z)x (10) 12* e^ ^t (R + a+ОfI ) «02 ^ ' lR U3 = CR 0, Q, z)x ^ ~e -n4cos 10 (R + a cos.)+of R Rg (Ys) a02 Ys lR Из полученных формул следует, что перемещения в области х>а, |y| < b убывают на бесконечно-1 сти, как —. x Из формул (10) также следует, что поток энергии, проходящий через сечение х>а, |y| < b, 0< z <1 на бесконечность не распространяется. Таким образом, проанализировано влияние пластины на распространение потока энергии в слое в зависимости от параметров пластины и слоя; выяснены те физические и геометрические параметры задачи, при которых влияние пластины существенно. Доказано, что на распространение потока энергии и волн существенное влияние оказывает область, в которой действует нагрузка. Так, например, при действии нагрузки, распределенной по линии или в прямоугольнике, в отличие от осесимметричных задач для слоя существуют области, в которых поток энергии не распространяется. Одновременно с этим существуют области, в которых поток энергии распространяется на бесконечность, а волны также бегут от источника колебаний на бесконечность. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта CRDF REC - 004 и программы «Фундаментальные исследования и высшее образование». Литература 1. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев, 1981. 2. Мелешко В.В. // Прикладная механика. 1981. Т. 17. № 12. С. 76-82. 3. Белоконь А.В., Белоконь О.А. // Проблемы механики деформируемого твердого тела. СПб., 2002. С. 51-57. 4. Белоконь А.В., Белоконь О.А. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1999. № 4. С. 16-18. 5. Белоконь А.В., Белоконь О.А. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 3. С. 24-27. 6. Белоконь А.В., Белоконь О.А., Болгова А.И. // Тр. III Все-рос. конф. по теории упругости с междунар. участием. Ростов н/Д, Новая книга. 2004. С. 78-80. 7. Болгова А.И. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвып.: Математическое моделирование. 2001. С. 36-37. 8. Болгова А.И. // Численно-аналитические методы: Сб. науч. тр. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. 2004. С. 3-9. 9. Свешников А.Г. // Докл. АН СССР. 1951. Т. 80. № 3. С. 1011-1013. 10. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. М., Т. 2. 11. Белоконь А.В., Болгова А.И. О распространении волн в изотропном трехмерном слое // Тр. VIII Междунар. конф. Ростов н/Д, 2003. Т. 2. Современные проблемы МСС. С. 30-35. Ростовский государственный университет 20 января 2005 г. 0 х

https://cyberleninka.ru/article/n/metod-kontrolya-tehnologii-svetodiodnyh-struktur

В статье описан неразрушающий метод контроля стабильности технологии легирования светодиодных структур, основанный на измерении распределения концентрации заряженных центров в слабо легированной области p-n-перехода методом динамической емкости.

236 I www.finestreet.ru технологии I метод контроля Метод контроля технологии светодиодных структур Федор МАНЯХИН, д. ф.-м. н., профессор [email protected] Александр КОДАК В статье описан неразрушающий метод контроля стабильности технологии легирования светодиодных структур, основанный на измерении распределения концентрации заряженных центров в слабо легированной области p-n-перехода методом динамической емкости. Метод измерения концентрации неподвижных заряженных центров в полупроводниковых структурах методом динамической емкости Стабильность распределения концентрации электрически активных центров в относительно слабо легированной области диодной структуры, особенно с наноразмерными слоями, является условием их длительной работоспособности. Как правило, в слабо легированную область инжектируются носители заряда противоположного знака, и в ней происходит их излучательная или безызлучатель-ная рекомбинация, определяющая характеристики диодов. Эта область часто называется активной, особенно в светодиодах. Неразрушающее экспериментальное определение профиля концентрации заряженных центров (КЗЦ) в наноразмерных структурах — весьма сложная задача, требующая как высокого разрешения по глубине исследуемого профиля, так и адекватности математического аппарата. Традиционный вольт-фарад-ный метод в этом отношении обладает рядом недостатков, среди которых наиболее существенный — большая ошибка измерений на краях диапазона напряжений смещения, где преобладает барьерная емкость, особенно при больших обратных напряжениях смещения. Принцип представляемого метода заключается в одновременном измерении величины емкости барьерной структуры и параметров динамической барьерной емкости, возникающей в результате модуляции края области пространственного заряда (ОПЗ) с малым переменным напряжением. В первом случае электрический сигнал на выходе измерительного устройства содержит информацию о ширине ОПЗ (сечении профиля), во втором — информацию о величине концентрации неподвижных заряженных центров (ЗЦ) на краю ОПЗ в этом сечении. Начнем с того, что любую диодную (барьерную) структуру, которая находится под действием постоянного напряжения смещения иС и малого переменного напряжения и(^, можно представить в виде последовательно включенных постоянной барьерной емкости Сс и динамической барьерной емкости С0. Величины Сс и С0 могут быть рассчитаны по формулам: 8Бп5 — • С тг • в 2ггп8 Ж ' и АЖ ' где е, е0 — относительная и абсолютная диэлектрические константы; 5 — площадь барьерной структуры; W — ширина ОПЗ при постоянном напряжении смещения и0; Д W — амплитуда модуляции ширины ОПЗ относительно W при наложении на постоянное напряжение смещения иС малого переменного напряжения смещения с амплитудой и0. Если создать условия, при которых вместо напряжения модуляции и(^) модуляцию ОПЗ создавать малым переменным зарядом Дq(t) с постоянной амплитудой ДС!, аз(0=&в х»[2к^' ] х (2) где Ли Л — частоты составляющих гармонических зарядов; /1 я /2, то переменное напряжение на барьерной структуре рассчитывается по формуле ис( 0 = ( А()х}¥ А() х ЛЖ(0 ЕЕ „51 2ее05' )Х где д = 1,6х10-19 Кл — элементарный заряд; N(W) — усредненная по Д W концентрация заряженных центров на краю ОПЗ (на расстоянии W от границы сильно легированного слоя). Подставляя (4) в (3), получим: ,ч Д£?х^ г2я(/;-/2)^ ис(0 = „ са?[—х ££„5 ХЯ„[М1±«'] + 2?ев0 БЩЩ (3) где Д W(t) — модуляция ширины ОПЗ. Как правило, площадь ОПЗ диодной структуры одинакова по всей области ее изменения при различных напряжениях смещения. Поэтому при постоянстве ДС!, задаваемого экспериментально, амплитуда модуляции ОПЗ может быть представлена выражением А0 А1¥= цЩТУ) ’ (4) (5) При разложении произведений тригонометрических функций на элементарные составляющие, получим выражение, показывающее, что напряжение иС(^ состоит из нескольких гармоник с частотами /1, Л2, 2/1, 2/2, Л1+/2), (Л1-/2). Первые две из указанных гармоник содержат информацию о ширине ОПЗ (сечении профиля КЗЦ), остальные — о величине концентрации ЗЦ в этом сечении. В устройстве, реализующем рассматриваемый метод (рис. 1), барьерную структуру устанавливают в цепь отрицательной обратной связи операционного усилителя (ОУ), а малый переменный заряд Дq(t) задают подачей двух меандров с различными, но близкими частотами от генераторов прямоугольных импульсов на инвертирующий вход ОУ через калиброванный по величине емкости конденсатор С0. В этом случае д,(0 = соС/оС05[М^]х . г2я(/'1+/2)? х ят[--------------——-— ]. (6) На выходе фазовых детекторов выделяют сигналы, идущие с выхода ОУ на частотах Л1 и (Л1-/2). По амплитуде первого сигнала определяют сечение профиля КЗЦ, отсчитываемое от края сильно легированной области диодной структуры (от границы металла барьера Шоттки или от границы диэлектрика МДП-структуры): метод контроля технологии 237 Рис. 1. Блок-схема измерительного устройства: 1, 7 — генераторы прямоугольных импульсов 2 — блок выделения сигнала с разностной частотой 3 — фазовый детектор тракта выделения сигнала с динамической барьерной емкости, содержащий информацию о концентрации ЗЦ на краю ОПЗ 4 — мультиплексор 5 — детектор сигнала по модулю 6 — аналогово-цифровой преобразователь 8 — компьютер 9 — фазовый детектор тракта выделения сигнала, пропорционального глубине профиля 10 — цифро-аналоговый преобразователь 11 — счетчик С0 — конденсатор с калиброванной емкостью, задающий постоянную амплитуду малого заряда ДQ ОУ — операционный усилитель D — исследуемая барьерная структура цг = ^_и№ си (7) где UW — амплитуда выходного сигнала ОУ на частоте /1. По амплитуде выходного сигнала ОУ на частоте (Л/ — UN — определяют величину концентрации на краю ОПЗ — N( Ш): 1 2д£Е 017м (8) Разделение сигналов UW и UN по сильно различающимся частотам /1 и (Л1-/2) облегчает техническую реализацию их выделения из ис(^). Внешний вид установки показан на рис. 2. Блоки измерения и питания скомпонованы в типовом корпусе размером 185х135х40 мм. Вес измерительного устройства — 450 г. Разрешающая способность по глубине профиля — до 1 нм при концентрации заряженных центров до 1020 см-3. Время измерения: одна экспериментальная точка за 0,5 с, максимальное число точек — 1024. Объекты исследования Объектами исследования были эффективные светодиодные наноразмерные гетероструктуры нового поколения с квантовыми ямами на основе АЮаЫЛ^аЫЮаЫ синего и зеленого свечения (условно № 1С, № 2С и № 5Е) и АП^аР красного и желтого свечения (условно № 3Е и № 4Е) двух зарубежных фирм-изготовителей (условно С и Е, проставленные у номера). У этих структур измеряли распределение неподвижных заряженных центров (примеси и дефектов) в области расположения квантовых ям (в активной области), вольт-ампер-ные характеристики (ВАХ) и отношение из-лучательной мощности к потребляемой — П (коэффициент полезного действия, КПД). Все измерения проводили в автоматическом режиме на устройствах, сопряженных с персональным компьютером. Результаты измерений Распределения концентрации заряженных центров для пяти типов светодиодных структур показаны на рис. 3. Отсчет глубины профиля ведется от границы сильно легированного слоя. Светодиодные структуры № 5Е имеют явно выраженный модулированный характер легирования потенциальных барьеров в области расположения квантовых ям. Период максимумов и минимумов концентрации там, где расположены квантовые ямы, составляет в среднем 20 нм. В зависимости от глубины профиля кратность максимумов и минимумов по концентрации составила от 5 до 2. Профили концентрации структур № 1С и № 2С оказались сверхрезкими. Отмечено, что различия по характеру профиля у структур, выполненных по одному технологическому циклу, практически не влияют на вид ВАХ, но в то же время отражаются на зависимости п от прямого тока п (I) (рис. 4) — одном из основных показателей эффективности светодиодов. Зависимости п(1) имеют явно выраженные экстремумы, характерные для светодиодов. Видно, что для АЮаЫЛ^аЫЮаЫ-структур максимум п наблюдается практически при одинаковых токах, тогда как у АП^аР-струк-тур он проявляется при различных токах и сдвинут в сторону их больших величин. Как отмечалось в [1], снижение п при больших плотностях тока связано с наличием и величиной последовательного сопротивления компенсированного слоя, расположенного в активном слое. Чем больше его величина, тем раньше начинается спад п при росте прямого тока. Эта корреляция отражается Рис. 2. Внешний вид установки измерения распределения концентрации заряженных центров в области p-n-перехода диодных структур 238 технологии I метод контроля 1, А 0,1- ЗЕ 0,01- / / // у* 1Е-3- / / 5Е / / • ; / / 1Е-4- ; •* / / 1Е-5- :/ // 1Е-6- /2С/ 1C /. І 2 3 4 5 и, В 6 Рис. 4. Зависимости КПД диодных структур от величины прямого тока. на ВАХ исследованных светодиодных структур (рис. 5) и зависимостях n(I) (рис. 4): более ранний отход ВАХ от экспоненциальной зависимости при росте напряжения смещения соответствует большему последовательному сопротивлению. Величина сопротивления компенсированного слоя для светодиодных структур одного технологического цикла и на основе одного и того же полупроводникового соединения прямо пропорционально зависит от ширины компенсированного слоя Х0, которая в качест- Рис. 5. Вольт-амперные характеристики светодиодных структур ве примера отмечена на рис. 3 для структуры №3Е, и степени его компенсации. Из анализа зависимостей (рис. 3, 5) следует, что, несмотря на относительно большую (по сравнению со структурой № 5С) ширину компенсированного слоя структуры № 3Е, сопротивление ее компенсированного слоя меньше вследствие меньшей степени компенсации. Таким образом, измерение профиля концентрации в активном слое светодиодных структур представленным методом позволяет выявить взаимосвязь их структурно-технологи- ческих особенностей с основными параметрами и характеристиками. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Выводы 1. Представлен неразрушающий метод и устройство для измерения распределения концентрации неподвижных заряженных центров в диодных структурах, обладающий высоким разрешением по глубине профиля (до 1 нм) в широком диапазоне концентраций и градиента концентрации. 2. Показано, что структурно-технологические различия р-п-структур светодиодов отражаются на их основных характеристиках. Представленный метод измерения концентрации заряженных центров в активной области р-п-перехода может быть использован для сертификации (паспортизации) кристаллов светодиодов и контроля стабильности технологии их изготовления. ■ Литература 1. Маняхин Ф. И. Причины спада выходной мощности излучения и внешнего квантового выхода светодиодных структур AlGaN/InGaN/GaN с квантовыми ямами при больших напряжениях прямого смещения // Изв. вузов, Материалы электронной техники. 2004. № 1. С. 57-62. -Q-

https://cyberleninka.ru/article/n/vliyanie-struktury-sil-na-ustoychivost-dvizheniya-mehanicheskoy-sistemy-vzaimodeystvuyuschey-s-treniem

Рассматриваются структура сил, формируемых в механической системе, взаимодействующей с процессом трения. Показывается, что в результате взаимодействия в системе естественным образом кроме потенциальных позиционных и диссипативных сил образуются гироскопические и циркуляционные силы. Рассматривается их влияние на устойчивость стационарных траекторий механической системы с трением. Ил. 5. Библиогр. 11 назв.

УДК 681.51 ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ СИЛ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ С ТРЕНИЕМ Постановка задачи Для обеспечения движения элементов машин и механизмов во многих случаях необходимо решать вопросы устойчивости движения. При этом, как правило, некоторый элемент машины взаимодействует с узлом трения. В свою очередь в зоне, находящейся между контактируемыми поверхностями, формируется диссипативная среда, образующая динамическую связь [1 - 3]. Основные динамические свойства такой системы можно раскрыть на основе использования «базовой» динамической модели трибосистемы [4], рассматривающей смещение индентора, подвешенного с помощью упруго-диссипативных подвесок к абсолютно жёсткому основанию. Индентор в базовой модели представляется в виде сосредоточенной массы. Поэтому изгибные колебания его поверхности не учитываются. В свою очередь, образец также обладает большой массой и считается недеформируемым (рис. 1). Он движется с медленно изменяющейся скоростью V ^), задаваемой управлением от внешнего источника. © 2007 г. В.Л. Заковоротный, В.Е. Ступин области между контактируемыми поверхностями); Основание крепления индентора 1 U = {U 1,U 2>T 1 X! Индентор L X = {X!, X 2}T Трибосреда Контробразец X 2 V Рис. 1. Схема «базовой» динамической модели узла трения dX dX dX т F(X, —,V) = —,V),F2(X,—,V)}т - век- dt dt dt тор-функция, раскрывающая зависимость сил контактного взаимодействия от координат состояния, её свойства определяются формируемой в процессе трения переходной областью между индентором и образцом, названной трибосредой; F * ^) - силы, не объяснимые в координатах состояния системы, которые можно интерпретировать как неуправляемый силовой шум, он возмущает стационарные движения системы; m, h, c - матрицы размерности 2 ® 2 соответственно обобщенных масс, коэффициентов демпфирования и жесткости; U ^) - вектор внешних силовых воздействий, в том числе сил гравитации и сил, определяемых предварительной упругой деформацией при установке индентора относительно образца. Здесь и далее символ {•••}г означает операцию транспонирования. Таким образом, внешние условия функционирования узла трения характеризуются U^) и V^) - медленными функциями времени. Ограничимся наиболее важным для технических приложений случаем, когда стационарная траектории в пространстве состояния есть точка X *, т.е. U (0 = U = сопй и V(0 = V = сошг. Воз- F = {Fi( X), F2 (X )}T Тогда уравнение движения такой системы можно представить в виде т^^- + И — + cX = F (X,—, V) + F * ^) - U ^ ),(1) dt dt dt где X = {XьX2}т - вектор состояния системы, отсчитываемый от точки контакта поверхности интен-тора с образцом в предположении, что переходная зона между интентором и образцом отсутствует. Таким образом, координаты вектора состояния фактически показывают текущие значения положения поверхности индентора в трибосреде (формируемой в процессе относительного скольжения переходной можность такого рассмотрения определяется тем, что и(^, V(Г) есть медленные функции времени, которые фактически перестраивают динамические свойства системы в вариациях относительно стационарной траектории X *, которая при условии её асимптотической устойчивости также является медленной функцией времени. Тогда для вариаций х^), то есть X ^) = X * + х^), имеем систему в вариациях относительно X *: m- d 2 х dt2 + h — + cx = ф(Х*,V, х,—) + F * (t), (2) dt dt где ф(X *, V, х, = {ф *, V, х, ^-Х ф 2(Х * , V, х, -са са са нелинейные функции в вариациях относительно точки равновесия, причем ф(Х *, V,0,0) = 0 . Кроме этого т т справедливо | (Сх1/ Са)Са ^ 0 и | (Сх 2/ Са)Са ^ 0 при 0 0 при:а =Т при:а =Т достаточно большом Т. В противном случае X * ^ го . Случай реверсивного трения не рассматривается, то есть нелинейные функции ф(X *,V, х,СХ) = {ф 1(Х *,V, х,Сх), Ф 2(X *,V, х,Сх)}т ш ш ш являются гладкими в вариациях относительно точки равновесия. Автономные свойства системы определяются при условии Е * = 0 . В частности, устойчивость точки X * определяется свойствами системы d x dx m—— + h y--+ c y x = 0 , dt2 У dt У (3) где h y = c у = hs,k - C с Ъ- Эф s (X *, x) d( ^) dt _ Эф ^ (X *, x) d( xk) s, k = 1,2: k = 1,2. Подчеркнем, что Эф, -T^ и d(dxn) d( xn) dt зависят от тра- екторий X * (а), V(а) и динамической характеристики Ф^ * V, х,—) в вариациях относительно этой траса ектории. Поэтому изменение X *, обусловленное изменениями внешних условий и или V , вызывает вариации к у и с у . Это может привести к принципиальному изменению свойств системы (3), проявляющемуся в смещении корней её характеристического полинома. Таким образом, и , V играют роль управляющих параметров, перестраивающих динамические свойства системы. Наконец, система (3) может потерять устойчивость точки равновесия X *. Исходные динамические подсистемы без трибос-реды, задаваемые матрицами т , к , с (левые части в (2)), имеют постоянные параметры. Эти матрицы являются положительно определенными и симметричными, так как динамическая структура машины, как правило, является неизменной, а силовые и дисси-пативные функции обладают потенциальными свойствами. Кроме этого исходная система без трения имеет асимптотически устойчивую точку равновесия. Поэтому матрицы к , с являются положительно определёнными. Напомним, что диссипативная функция при моделировании динамики машин вводится в форме Релея. Однако при переходе к (3) суммарные матрицы диссипации ку и жёсткости су , как правило, уже не обладают симметричными свойствами, так как в об- Эф1 Эф _ Эф1 Эф5 щем случае Ф- - 1 ^ 5 dxs dx: эГ dxs l dt . На- Э| d — dt пример, смещения координат по направлению скорости относительного скольжения не вызывают изменений сил. Поэтому свойства (3) в результате влияния сил контактного взаимодействия, зависящих от координат состояния системы, принципиально меняются. Одно из важных изменений заключатся в том, что матрицы су и к ^ не являются симметричными, то есть с у = с -Лс) + с (к) . h у= h ус)+hy), (4) где Fx(Xi,V), hУс) = hу + (hу)г; - симметрич- ные части матриц жёсткости и диссипации, отвечающие за потенциальные свойства системы; с £) = |[с у- (С у)т ], к у*) = 2[к у- (к у)т ] - косо- симметричные матрицы, имеющие в нашем случае структуру с (к) = с У = 0: (k) : У,! ,s' -с (k) 0 и h Ук) = 0: h (k) : hУ,!',s ' -h (k ) h У,!', s 0 Характерной особенностью сил, формируемых матрицей к у ), является то, что их работа при движении координат состояния по замкнутому контуру относительно стационарной траектории равна нулю. Силы же, формируемые матрицей Е2(а) = кЕ1(а -т 1), если она является положительно определенной, всегда направлены против движения и совершают работу. Сама же матрица кус) связана с диссипативной функцией Релея, которая, как известно, определяет мощность сил диссипации. Несмотря на то, что силы, зависящие от матрицы кук ), не совершают работу, они могут способствовать стабилизации или раскачиванию точки равновесия. Что касается матриц сус) и 1(а-т2),V], то силы, формируемые их элементами, совершают работу при движении по замкнутому контуру матрицами с ук) и не совершают работу матрицами с ус). Более (с) того, если матрица с у является положительно опре- (*) деленной, то за счет элементов с у система может потерять устойчивость движения. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Известно, что кососимметричные матрицы диссипации к у*) формируют гироскопические силы, а мат- (к) рицы жёсткости с у' - неконсервативные циркуляционные (непотенциальные) силы [5 - 7]. Таким обра- зом, структура формирования сил контактного взаимодействия в динамической системе трения такова, что они, за редким исключением, приводят к образованию гироскопических и циркуляционных сил. Подчеркнём, что все имеющиеся экспериментальные данные по изучению траекторий движения контакти-руемых поверхностей в узлах трения показывают, что при потере устойчивости траектории движения инден-тора всегда остаются круговыми независимо от параметров подвески индентора. В этом подтверждение роли циркуляционных сил, то есть сил, ортогональных направлению упругих деформаций. Проанализируем роль матриц динамической жёсткости и диссипации в стабилизации и потере устойчивости равновесия динамической системы трения. Влияние матриц динамической жёсткости и диссипации процесса трения на устойчивость точки равновесия Вначале отметим главные известные особенности связи, формируемой трибосредой [1 - 3]: 1. При сближении индентора с образцом непропорционально быстро возрастают нормальные составляющие сил, как правило, препятствующие сближению поверхностей F1(X 1, V). Она названа функцией сближения контактируемых поверхностей, и, например, характеризует несущую способность подшипника и другие функциональные характеристики узла трения. Эта характеристика в большинстве случаях является монотонной. Однако в некоторых случаях, проанализированных в [1 - 4], имеют место аномальные свойства функции сближения, характеризуемые многозначностью сил по мере сближения поверхностей. Аномальность сил объясняется молекулярно механической их природой [4]. Она связана также с формированием в ходе функционирования трибосистемы потенциальных барьеров [1 - 3]. Мы ограничимся рассмотрением асимптотической устойчивости системы при малых вариациях относительно точки равно -весия. Проблемы ветвления траекторий и бифуркационных преобразований стационарных траекторий будут рассмотрены в следующих наших публикациях. 2. Имеет место запаздывание вариаций тангенциальных составляющих сил при изменении их нормальных составляющих, то есть F2 ^) = kFl ^ - т 1). Запаздывание обусловлено перестройкой стационарного состояния в трибосреде и установлением нового напряжённого состояния в теле контактируемых элементов, которое требует прохождения некоторого пути при движении индентора относительно образца. Все имеющиеся экспериментальные данные подтверждают наличие этого запаздывания и его увеличение во времени при уменьшении скорости относительного скольжения. Оно увеличивается также при возрастании тангенциальной приведённой жёсткости подвески индентора. 3. В отдельных случаях имеет место запаздывание вариаций нормальной составляющей силы при изменении зазора индентора относительно образца, то есть координаты X1. Следовательно, F1[X -т 2), V]. Это запаздывание связано, например, с динамикой установления нового значения подъёмной гидродинамической силы при увеличении градиентов скоростей относительного скольжения в переходной области при мгновенном уменьшении зазора между индетором и образцом. 4. При увеличении скорости относительного скольжения индентора относительно образца при прочих неизменных условиях в отдельных диапазонах скоростей имеет место уменьшение тангенциальной составляющей силы контактного взаимодействия. Приведённые особенности силовых реакций со стороны процесса трения, зависящие от координат, позволяют уточнить вектор - функцию F | X, ^^, V | ^ dt ) и представить её в следующем виде: Fi(t) = Fi[ X i(t -т 2), V ]; IF2 = kF1(t-т j) - F2(v)(V + dX 2/dt). (5) Упрощённое, даже скорее качественное представление динамической связи, формируемой трибосоп-ряжением, не меняет существа вопроса, если рассматриваются малые колебания в окрестности точки равновесия. Полагая в (1) V = const и U = const получаем точку равновесия системы X * и уравнение в вариациях x(t) = {x1(t),x2(t)}T относительно X* в виде (3). Причём матрицы суммарной жёсткости сs и диссипации h s с учётом (5) в вариациях относительно точки равновесия будут Су = (ci,i-dF\l dx1); с 2,1 (С1,2 -kdFi/dxj); с2,2 при XJ = Xj , Y = const hs = |hn +т2 dF1 / d(dx1/ dt )); h [h1 2 + kT 1dF1 / d(dx1l dt)); [ h 2,2 + dF2(V)/ d(dx 2/dt) при X 1=X^ , Y =const В зависимости от параметров и и V, которым соответствует X *, значения ЭF1 / Эх1 монотонно меняются в диапазоне |с(Т^ (|д^ /Эх^ (с [Т! , причём, ЭF1 /Эх1 (0, если функция сближения однозначна. Что касается ЭF2(V) / д^х 2 / Л), то этот коэффициент может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от V . Таким образом, в зависимости от параметров подвески и внешних условий в динамической системе трения естественным образом формируются диссипативные, ускоряющие, гироскопические, потенциальные и циркуляционные силы. Терминология структуры сил соответствует принятой в работах [8 - 10]. В дальнейшем обозначим (-ЭЕ1 /Эх1) = с^-1 и Э(аХ2/Ж)) = к2Г2 . Тогда система (3) может быть представлена как m- d 2 х dt2 + h w ^ + c w х + h i*) — + с i*) х = 0, dt dt чивости точки равновесия системы и её структурных преобразований. Первый случай. Вначале рассмотрим влияние асимметрии позиционных сил в предположении, что т 1 ^ 0, т 2 ^ 0 и к Т ^ 0. Тогда к£к) ^ 0, (6) к£с) = ку = к и вместо (6) имеем где h 4с) = h -Т с (т hl,l 2 с 1,1 1 (T ). (hi,2 - 2kT1CU)) (hi,2 -2kтic[T)); (h2,2 -h2^) с (с) = с i = (с 1,1 + с (Т); (с1,2 + 2 kc 1,1)); (с 1,2 + 2 kc1,1)) - симмет- h ik) = 0; 1 (T ) —k т i с 1 1 2 1 1,1 — k Т1С1 1 2 1 1,1 (т). m d х + hdx + сic)х + сi*)х = 0. 2 Jj. i i dt dt (7) ричные части матрицы диссипации и жёсткости системы с учётом реакции со стороны трибосопряжения (они определяют потенциальные свойства системы); Видно, что позиционная связь, формируемая процессом трения, вызывает изменение потенциальных свойств динамической системы (они характеризуются матрицей с £с)) и приводит к образованию циркуляционных сил (характеризуются матрицей с£к)), которые могут влиять на устойчивость точки равновесия. Мы также видим, что при малой тангенциальной жёсткости подвески индентора и больших значениях с(^1), с12 исходная положительно определённая матрица жёсткости [с11с22 -(с12)2])0 может стать отрицательно определённой при условии [СцС2,2 - (с 1,2 )2] + с^)[с2,2 - к(0, 25^ + С1,2 )]<0 . ,(k) = 0; -k (T ). , 1,1 ; 11) 2 1,1 0 - кососиммет- ричные составляющие матриц диссипации и жёстко -сти, которые определяют гироскопические и циркуляционные силы. Таким образом, параметр с1(^) определяется градиентом функции сближения в точке равновесия, то есть характеризует нормальную контактную жёсткость трибосопряжения в вариациях относительно точки равновесия. Это некоторое обобщение понятия контактной жёсткости, принятого в известных работах [11]. Коэффициент к можно интерпретировать как динамический коэффициент трения, рассматриваемый в вариациях относительно стационарного состояния. При малых вариациях относительно точки равновесия его можно считать постоянным. В работах [1 - 3] показано, что он может принимать в зависимости от сближения поверхностей существенно различные значения даже близкие к единице. Запаздывающие аргументы с £к), т 2 также зависит от X * и скорости относительного скольжения V. Принципиально, если задана некоторая медленно изменяющаяся траектория X * при неизменной скорости V , то ей соответствует траектория параметров с1(Т1)(Х *), к (X *), т 1(Х *) и т 2(Х *), следовательно, траектория рассмотренных выше матриц. Уже анализ матриц к£с), к(к) с(с) и с(к) i с i и с i позво- ляет определить некоторые механизмы потери устой- Подчеркнём, что изменение матрицы к , являющейся по определению положительно определённой, может лишь преобразовать устойчивую по Ляпунову систему в асимптотически устойчивую, если матрица жёсткости симметрична и положительно определена. Стабилизировать равновесие системы, неустойчивой по позиционным силам, с помощью варьирования матрицы к не представляется возможным. Однако (с) приведённое условие, при котором матрица с £; становится отрицательно определённой, является скорее исключением, чем правилом. Поэтому выясним, при каких условиях исходная (без трения) асимптотически устойчивая система, становится неустойчивой. Для этого (7) получаем характеристический полином системы Ау (р)=А(р)+с^)[шр2+(к2,2-кк2Д)р+(с2,2-кс2д)], (8) где А(р) - характеристический полином исходной системы без трения (левая часть уравнения (2)). Полином А( р) соответствует асимптотически устойчивой системе. Анализ (8) позволяет сформулировать первое свойство влияния асимметрии позиционных сил на устойчивость точки равновесия системы. Если исходная динамическая структура подвески индентора является ортогональной, то циркуляционные силы не могут привести к потере устойчивости равновесия. Здесь и далее под ортогональной динамической структурой будем понимать такую, для которой все i недиагональные элемента матриц с и И равны нулю, то есть в исходном состоянии координаты х являются нормальными. Действительно, при с12 = И12 = 0 полином (8) преобразуется в полином АЕ(Р) = (тр 2 + Иир + с1Д + с^^тр 2 + И2Лр + с2,2), Пример 1. Рассмотрим систему, имеющую следующие матрицы жёсткости, диссипации и инерционных коэффициентов 1000кГ/мм; 1400кГ/мм 1400кГ/мм; 2250кГ/мм корни которого имеют отрицательные вещественные части. Очевидно, что это утверждение можно распространить и на случай, когда механическая часть системы без трения представлена в виде N-мерной динамической структуры, обладающей ортогональными динамическими свойствами. Таким образом, влияние циркуляционных сил на устойчивость точки равновесия возможно лишь в тех случаях, когда связь между координатами формирует замкнутые динамические структуры, условия самовозбуждения в которых меняются при измене- (k) iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. нии параметров матрицы c£ ;. Вначале положим, что k = const. Тогда можно (T ) вычислить предельные значения с1,1 и условия, при которых равновесие системы является асимптотически устойчивым. Для этого удобно воспользоваться частотным критерием устойчивости Михайлова (рис. 2). h= m = 0,1кГс/мм; 0,13кГс/мм; 10-3 кГс2/мм; 0; 0,13кГс/мм 0,2кГс/мм 0 10-3 кГс 2 /мм j Im [с1,1с 2,2 (с1,2) Ю = Ю Динамический коэффициент трения к = 0,2 . Таким образом, без динамической связи, формируемой процессом трения, система имеет симметричные и положительно определённые матрицы жёсткости и диссипации. Следовательно, позиционные и диссипа-тивные связи в ней обладают потенциальными свойствами, и она имеет точку равновесия, являющуюся асимптотически устойчивой. Годографы Михайлова А(ую) и А^ (ую) для этой системы приведены на рис. 3. Из иллюстрации видно, что по мере увеличения нормальной контактной динамической жёсткости трибо- (Т ) [с1,1с 2,2 (с1,2) ] + с11)(с 2,2 kc1,2) Рис. 2. Схема преобразования годографа Михайлова за счёт потенциальных и циркуляционных сил, формируемых в трибосопряжении сопряжения с у годограф Михайлова смещается в правую часть. Начиная со значения с1(^) = 689 кГ/мм , он пересекает начало координат (система находится на границе устойчивости) и при дальнейшем увеличе- (Т) нии су она становится неустойчивой. На рис. 3 годограф А ^ (ую) соответствует с1(Т) = 800 кГ/мм . В зависимости от параметров системы, прежде всего недиагональных элементов матриц жёсткости и диссипации подвески индентора, а также динамиче- ского коэффициента трения при варьировании с (T ) 1,1 возможна потеря устойчивости равновесия системы. Подчеркнём, что при заданных трибологических характеристиках возможность потери устойчивости принципиально зависит от упруго-диссипативных параметров подвески индентора. Также видно, что неконсервативные (циркуляционные) силы, естественным образом формируемые в любой динамической системе трения, могут приводить к потере устойчивости точки равновесия системы. Причём, потеря устойчивости зависит от параметров динамической подсистемы индентора, от характеристики трибосопряжения (в данном случае от функции сближения) и внешних условий (при постоянной скорости относительного скольжения от внешних сил, задающих положение равновесия системы трения X *). Подчеркнём, что положение равновесия определяет точку, в окрестности которой определяется градиент функции сближения и динамический коэффициент трения. Рис. 3. Преобразование годографа Михайлова системы без трения А(jm) в годограф А у (jm) за счёт потенциальных и неконсервативных сил, формируемых трибоконтактом Второй случай. Рассмотрим влияние на устойчивость равновесия запаздывающего аргумента т j, изменяющего симметричную (потенциальную) матрицу диссипации h ус) и формирующего гироскопические силы за счёт кососимметрической части hyk ). Как и в первом случае, если матрица диссипации исходной системы является диагональной (подвеска индентора обладает ортогональными динамическими свойствами), то запаздывающий аргумент никак не влияет на устойчивость точки равновесия системы. В общем же случае структура матриц hyc) и hf) в (6) показывает, что запаздывающий аргумент т j усили- , (с) вает положительную определённость матрицы h у и дополнительно приводит к формированию гироско- пических сил, также увеличивающих запас устойчивости системы. Для доказательства этого утверждения рассмотрим характеристический полином системы (6) в предположении, что к 2Т2) = 0 . Тогда с учётом (8) имеем характеристический полином системы А£ (р): А £ (р) = А у (р) + т ^с^р(к 2,1 р + с 2,1), где Ау (р) - соответствует (8). Пусть полином Ау (р) соответствует системе, устойчивой по Ляпунову. Тогда годограф Ау (ую) проходит через начало координат (рис. 4 а). Рис. 4. Влияние на годограф Михайлова запаздывающего аргумента т Каждая точка годографа А£ (ую) смещается влево на -т1кс1(^)к21ю2 и вверх на величину т 1кс<(г1')с21юу , то есть будет смещаться во внешнюю сторону по от- ношению к годографу Ау (p) соответствующему устойчивой по Ляпунову системе. Следовательно, годограф А у ( jm) будет отвечать асимптотически устойчивой системе. Более того, если годограф А у ( jm) соответствует неустойчивой системе, то по мере увеличения hук) = -2 [hу- (hу )T ] система может приобрести асимптотическую устойчивость (рис. 4 б). Подчеркнём, что механизм влияния с ук) = J-[с у- (с у )T ] на устойчивость равновесия двоякий. Во-первых, по мере увеличения запаздывающего аргумента усиливается положительная определённость потенциальной матрицы диссипации, во-вторых, при этом возрастает стабилизирующее влияние гироскопических сил, формируемых кососиммет-ричными составляющими матрицы V . Пример 2. Рассмотрим систему, имеющую матрицы жёсткости и диссипации подвески индентора, соответствующие примеру 1. Рассмотрим исходное состояние системы при т 1 = 0 для случая с1(^) = 800 кГ/мм. В этом состоянии система является неустойчивой (см. рис. 3). Рассмотрим преобразование годографа Михайлова А У ( jm), следовательно, устойчивости системы, по мере увеличения т 1 (рис. 5). На иллюстрации годографу А у(jm) соответствует т 1 = 0,05 с. Таким образом, даже малые значения запаздывающего аргумента т1 приводят к стабилизации точки равновесия системы. Рис. 5. Годографы Михайлова А у (ую) и А у (ую) для примера № 2 Третий случай. Рассмотрим влияние на устойчивость параметра к 2Т2), который связан с кинетической характеристикой процесса трения [4], и запаздывающего аргумента т 2. Анализ матриц ку и с у в (6) показывает, что параметр к 2Т2) и т 2 влияют на сим- метричную составляющую hус). Более того, при увеличении h 2t2) и т 2 возможно преобразование поло, (с) жительно определённой матрицы h у ' в отрицательно определённую. Очевидно, это следующее условие h 1,1 h 2,2 < (h 1,1 h 2T2) + h 2,2т 2с jlj -т 2 с jjh 2T2)) . В этом случае в системе трения формируются ускоряющие силы, при всех условиях вызывающие потерю устойчивости точки равновесия системы. Подчеркнём, что так называемая кинетическая характеристика процесса трения [4], учитывающая уменьшение силы трения при увеличении скорости относительного скольжения, при рассмотрении малых вариаций координат состояния системы в окрестности точки равновесия, имеет тот же механизм потери устойчивости, что и запаздывающий аргумент в изменениях сил обусловленных смещениями в том же направлении. Выводы 1. При взаимодействии механической системы с трибосредой получаемая динамическая система обладает принципиально иными динамическими свойствами по сравнению с исходной механической системой без трения. При этом в контакте в зоне трения естественным образом формируются диссипативные, ускоряющие, гироскопические, потенциальные и циркуляционные (непотенциальные позиционные) силы. Характерно, что диссипативные и потенциальные силы зависят как от параметров связи, формируемой узлом трения, так и параметров подвески индентора. Что касается гироскопических и циркуляционных сил, то они не зависят от параметров подвески индентора. Механизм изменения потенциальных и формирования циркуляционных сил связан с тем, что позиционные смещения контактируемых поверхностей в направлении скорости относительного скольжения не изменяет силовых реакций со стороны трибосопряже-ния. При определённом соотношении нормальных и тангенциальных составляющих сил контактного взаимодействия, рассматриваемых в вариациях относительно стационарного состояния, динамическая система за счёт формирования циркуляционных сил может потерять устойчивость. При этом в инденторе развиваются эллипсообразные траектории с увеличивающейся амплитудой. Потеря устойчивости зависит также от параметров подвески индентора. В частности, если матрицы жёсткости и диссипации подвески индентора являются диагональными, то циркуляционные силы не влияют на устойчивость равновесия. Механизм изменения потенциальных диссипатив-ных и формирования гироскопических сил обусловлен влиянием запаздывания изменения тангенциальных составляющих сил по отношению к вариациям нормальных составляющих. Это запаздывание всегда направлено на стабилизацию точки равновесия системы. За счёт этого система, устойчивая по Ляпунову, всегда становится асимптотически устойчивой. Более того, при увеличении запаздывания неустойчивую точку равновесия можно стабилизировать за счёт изменения потенциальной матрицы диссипации и формирования гироскопических сил. Влияние этих сил на устойчивость равновесия зависит от параметров подвески индентора. Причём, гироскопические силы не влияют на устойчивость равновесия в том случае, если недиагональные элементы матриц жёсткости и диссипации подвески равны нулю. Механизм формирования ускоряющих сил обусловлен существованием кинетической характеристики процесса трения, то есть уменьшением тангенциальной силы трения по мере увеличения скорости относительного скольжения в определённом скоростном диапазоне. Ускоряющие силы могут формироваться и за счёт запаздывания нормальных к контак-тируемой поверхности сил при вариациях смещения поверхности в этом же направлении. Можно утверждать, что при всех условиях запаздывание вариаций сил по отношению к смещениям, имеющим то же направление, всегда ухудшает устойчивость системы и при определённом их уровне по отношению к дис-сипативным свойствам подвески может привести к потере устойчивости движения. 2. Структура формируемых сил такова, что при движении поверхностей в вариациях относительно точки равновесия по замкнутому циклу совершается работа не только за счёт сил диссипации, но и за счёт сил упругости. Кососимметричные матрицы с^к) формируют силы, которые совершают работу при движении по замкнутому контуру. Симметричные составляющие матриц с£С) - работу не совершают. Кроме этого кососимметричные матрицы И^) формируют силы, которые при движении по замкнутому контуру работу не совершают, в то время как силы формируемые матрицами И^-1 работу совершают. В связи с этим структура работы, совершаемой силами, обусловленными колебаниями в вариациях относительно стационарной траектории достаточно сложная и это обстоятельство необходимо учитывать при изучении эволюционных преобразований в динамической НИИ «Градиент», г. Ростов-на-Дону Донской государственный технический университет системе трения. Заметим, что все эволюционные преобразования зависят от работы и траектории мощности необратимых преобразований в контакте. Подчеркнем, что выполненный анализ относится к малым колебаниям относительно точки равновесия, поэтому при потере устойчивости в системе необходимо анализировать нелинейные связи, формируемые процессом в вариациях относительно точки равновесия, и образующиеся при этом многообразия в пространстве состояния системы, которые являются естественными для рассматриваемой системы. В заключение подчеркнём, что при моделировании динамической системы, взаимодействующей с трибосредой, образование точки равновесия фактически свидетельствует о существовании некоторой координаты в пространстве, разделяющем поверхности контактируемых тел, через которую проходит поверхность скольжения при внешнем трении. Литература 1. Заковоротный В.Л. Нелинейная трибомеханика. -Ростов н/Д: изд-во ДГТУ, 2000. - 293 с. 2. Заковоротный В.Л. Динамика трибосистем. Самоорганизация, эволюция. -Ростов н/Д: изд-во ДГТУ, 2003. -502 с. 3. Заковоротный В.Л. Введение в динамику трибосистем. -Ростов н/Д: ИнфоСервис, 2004. - 680 с. 4. Крагельский И.В., Гитис Н.В. Фрикционные автоколебания. - М., Наука. - 1987. 5. Wehrli C., Ziegler H. Zur Klassifikation von Kräften. Schweiz. Bauzeitung, 84, № 48, 1966. 6. Ziegler H. Linear Elastic Stability. Critical Analysis of Methods, ZAMP, Basel - Zurich, IV, F-2, 1953. 7. Thomson W., Tait P. Treatise on Natural Phylosophy. Part 1. Cambridge University Press, 1879. 8. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1971. 9. Лахаданов В.М. О влиянии структуры сил на устойчивость движения // ПММ. - 1974. Т. 38. С. 246 - 253. 10. Лахаданов В.М. О стабилизации потенциальных систем // ПММ. - 1975. Т. 39. - С. 53 - 58. 11. Демкин Н.Б., Рыжов Э.В. Качество поверхности и контакт деталей машин. -М.: Машиностроение, 1981. -244 с. 5 октября 2006 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/ispolzovanie-spetsialnyh-rezhimov-shemy-sinhronizatsii-i-razvertki-tsifrovyh-zapominayuschih-ostsillografov-dlya-registratsii-1

Неизменным спутником инженера/разработчика или исследователя в последнее время стал цифровой запоминающий осциллограф (ЦЗО). Современные достижения элементной базы, разработки в программном обеспечении позволили создать средства визуального отображения сигналов, о которых инженеры 10 лет назад не могли и мечтать.

Использование специальных режимов схемы синхронизации и развертки цифровых запоминающих осциллографов для регистрации сложных сигналов. Часть 1. Специальные режимы схемы синхронизации Александр ДЕДЮХИН [email protected] Неизменным спутником инженера-разработчика или исследователя в последнее время стал цифровой запоминающий осциллограф (ЦЗО). Современные достижения элементной базы, разработки в программном обеспечении позволили создать средства визуального отображения сигналов, о которых инженеры 10 лет назад не могли и мечтать. В отличие от анализаторов спектра, частотомеров, измерителей КСВ, вольтметров, осциллограф дает возможность рассмотреть сигнал именно на физическом уровне, заглянуть внутрь как быстрых или однократных, так и медленных непериодических процессов. Зафиксировать аномалии сигнала, произвести запись сигнала, создавать и хранить базы данных результатов различных измерений и экспериментов, производить статистическую обработку полученных данных — эти и многие другие возможности присущи многим современным осциллографам. О достоинствах и недостатках цифровых осциллографов написано уже немало. Напомним основные достоинства ЦЗО: • возможность записи однократных быстрых или, наоборот, медленных сигналов; • автоматические измерения параметров исследуемого сигнала; • расширенные возможности синхронизации; • сохранение записанных данных для последующей обработки; • связь с электронно-вычислительными машинами. Однако не секрет, что наряду с перечисленными преимуществами, ЦЗО обладают и существенным недостатком — это достаточно большое время простоя осциллографа в момент обработки полученных данных перед выводом графической информации на экран. В моменты этого простоя информация о сигнале, поступающем на вход ЦЗО, теряется безвозвратно, и восстановить ее не представляется возможным. Поэтому в последнее время достаточно много производителей ЦЗО пы- таются снизить эффект «холостого простоя», используя различные технические решения. Аналоговые осциллографы, в отличие от ЦЗО, данным недостатком практически не обладают, поскольку время простоя для аналогового осциллографа — это время обратного хода луча развертки, и это время пренебрежимо мало. Поэтому в специальной литературе при анализе тех или иных новых ЦЗО все чаще и чаще появляются сравнительные данные о близости новой модели ЦЗО к аналоговому осциллографу по скорости обновления экрана или возможности захвата различных сигналов, включая аномалии. Попробуем проанализировать возможности различных способов захвата и отображения сигнала. Так, например, один из осциллографов, представленных сегодня на рынке и использующих технологию MegaZoom III, действительно обладает самой высокой способностью обновления осциллограмм и по заверению производителя не нуждается в специальных режимах работы для улучшения захвата осциллограмм. Как уже отмечалось, скорость захвата осциллограмм имеет важное значение для ЦЗО именно с точки зрения реализации его преимуществ по сравнению с аналоговым осциллографом. Сама по себе скорость захвата осциллограмм не имеет большой практической ценности, поскольку человеческий глаз не способен различить смену кадров изображения более чем примерно 50 раз в секунду (напомним, что на этом принципе и строится аналоговое телевизионное вещание), тем более что и мозг человека не способен проанализировать более 50 изображений в секунду. Практическая ценность скорости захвата осциллограмм ЦЗО заключается именно в возможности зафиксировать, увидеть и произвести измерения сигнала в реальном для человека масштабе времени. Очевидно, что и в аналоговом осциллографе при минимальном послесвечении электроннолучевой трубки (ЭЛТ) единичные аномалии сигнала частотой более 50 Гц будут потеряны из-за особенностей зрения человека. Поэтому все ЭЛТ, используемые в осциллографах, имеют определенное послесвечение, позволяющее на некоторое время зафиксировать и увидеть аномальное отклонение сигнала от периодического состояния. К слову сказать, первые запоминающие осциллографы как раз и использовали запоминание на ЭЛТ. Итак, нужен некий буферный механизм, позволяющий согласовать возможности быстрого захвата ЦЗО и медленного восприятия органа зрения человека. Необходимость такого буфера становится очевидной при исследовании некоего периодического сигнала, в котором иногда возникают артефакты (рис. 1). На экране осциллографа видно, что сигнал представляет собой пакет, содержащий 10 импульсов, но иногда в структуре сигнала возникает сбой и число импульсов меняется. Использование послесвечения экрана осциллографа четко показывает, что стабильными в пакете являются только 7 импульсов (у них отсутствует постоянная линия «земли») остальные импульсы то присутствуют, то нет. Что это за артефакты, с какой периодичностью они повторяются, каковы их параметры, как создать «библиотеку» артефактов в реальном масштабе времени? Способ 1. Использование послесвечения, Как видно на рис. 1, послесвечение позво- ляет очень четко определить именно наличие отклонения от нормальной формы сигнала, однако не может дать ответы на вопросы, с какой периодичность следует сбой, какую форму он имеет и в какой последовательности следуют отклонения. И, как следствие, становятся невозможными измерения временных, амплитудных и статистических параметров сбоя. Итак, при использовании первого способа цель не достигнута. Способ 2. Длинная память. Попытаться найти ответ можно при использовании длинной памяти осциллографа — записать в память осциллографа 8 млн точек, растянуть сигнал в 40 000 раз и, используя регулятор временной задержки, методом прокрутки найти интересующие артефакты. Пример № 1. Так, на рис. 2 приведена осциллограмма при захвате на времени развертки 2 секунды. Верхняя осциллограмма — это исходный сигнал, нижняя осциллограмма — растяжка верхней осциллограммы до времени развертки 50 мкс, при котором становятся видны импульсы. Теперь обнаруживается, что артефакты повторяются достаточно редко, это может быть и реже, чем 1 раз в 20 секунд (а это время, в течение которого происходит регистрация сигнала), и регистрации артефакта вообще не было. Попытка увеличить время развертки для захвата как можно большей временной области приводит к снижению частоты дискретизации, что ведет за собой значительное искажение формы входного сигнала. Напомним, что исходный сигнал содержит не менее 7 импульсов, как это четко показало послесвечение, а на рис. 2 их всего три. Частота дискретизации связана со временем развертки следующим соотношением: Время развертки х 10 = Длина памяти/ /Частота дискретизации, (1) где 10 — число отображаемых делений экрана (чаще всего 10 делений, но у некоторых моделей ЦЗО это число может быть и больше). И, как следует из этой формулы, при увеличении времени развертки частота дискретизации линейно уменьшается, что и приводит к искажению формы сигнала на рис. 2. Кроме того, следует учитывать, что при растяжке сигнала в 40 000 раз довольно сложно искать артефакты, особенно если осциллограф их не захватил. Итак, при использовании второго способа цель тоже не достигнута, несмотря на то, что длинная память как раз и предназначена для фиксации как можно большей части сигнала, включая редкие артефакты. Как видно из приведенного примера, использование длинной памяти имеет некоторые ограничения. Способ 3. Запись осциллограмм. Использование возможности записи осциллограмм — это одно из основных преимуществ ЦЗО перед аналоговыми осциллографами. Попробуем последовательно записывать в память осциллограммы, считая, что в память ЦЗО будут записаны осциллограммы, содержащие артефакты. После этого мы можем просмотреть осциллограммы, найти содержащие артефакты и произвести измерения всех интересующих параметров (хотя если артефакт повторяется один раз за тысячу сигналов, необходимо просмотреть 1001 осциллограмму, что является весьма трудоемкой задачей). При попытке записи осциллограмм обнаруживается, что скорость записи осциллограмм в миллионы раз меньше скорости их захвата, гигантский объем информации теряется безвозвратно и, опять же, оперативно достичь необходимого результата невозможно. К тому же из всего объема памяти 8 Мбайт на одну осциллограмму сохраняется лишь максимум 1000 точек, а это в 8000 раз меньше самой длины памяти! Итак, при использовании третьего способа цель также не достигнута. Пример № 2. В последовательности импульсов прямоугольной формы периодически (или не периодически) наблюдается сбой. Режим отображения осциллограммы без по- слесвечения не в состоянии зафиксировать артефакты (рис. 3). При включении режима послесвечения видно, что сигнал искажается, и очень сильно (рис. 4). Ответы на вопросы, что это за артефакты, каковы их параметры и с какой периодичностью они повторяются при использовании способов 1, 2 и 3, к сожалению, для данного ЦЗО получить невозможно. Пример № 3. В последовательности импульсов наблюдается сбой. Как видно на рис. 5, артефакт выражается в появлении в структуре сигнала импульса с фронтом нарастания и спада, отличающимся от фронтов регулярного сигнала. Аналогично примерам 1 и 2, осциллограф фиксирует артефакт, но определить, сколько импульсов имеют искаженный фронт и какова периодичность возникновения искажений, невозможно. К сожалению, очевидно, что использование только элементов длинной памяти и высокого быстродействия ЦЗО не дает широких возможностей при исследовании сигнала. Как видно, более действенным оказывается режим послесвечения. Уделяя большое внимание скорости захвата осциллограмм, иногда разработчики ЦЗО игнорируют современные возможности схемы запуска развертки и режима работы развертки. К слову, для анализа скорости захвата осциллограмм можно ввести понятие КПД осциллографа: КПД осциллографа = = (Общее число осциллограмм на входе/ /Число захваченных осциллограмм) х х100%. (2) Из данных, приводимых различными производителями ЦЗО, нетрудно рассчитать, что КПД находится в пределах от 0,1% на быстрых развертках до 50% — на медленных. Что такое КПД 0,1%? Это одна захваченная осциллограмма из 1000, что по сути не очень и мало для любого ЦЗО. 50 % — захвачена каждая вторая осциллограмма, и это действительно прекрасный результат. Примеры, приведенные выше для артефактов, присутствующих в сигнале, конечно, достаточно просты, но они наглядно показывают, что только быстрого сбора и вывода информации на экран ЦЗО в большинстве случает недостаточно. Особенно если речь идет о разработках новых сложных электронных систем, содержащих сложные как аналоговые, так и цифровые сигналы. Или если проводятся научные эксперименты и серьезные исследования. В современных ЦЗО для наблюдения, фиксации, измерения параметров сигналов и статистической обработки широко используются два метода: 1. использование современных расширенных режимов работы схемы синхронизации; 2. использование специальных режимов развертки. Применение этих способов по отдельности или совместно позволяет полностью решить задачи, приведенные в примерах 1, 2 и 3, а также гораздо более широкий круг задач, стоящих перед разработчиком или исследователем. Современные цифровые осциллографы, например LeCroy, помимо традиционного для аналогового осциллографа запуска по положительному или отрицательному фронту, имеют расширенные возможности схемы синхронизации (или другое название — условия запуска развертки). Режимы синхронизации современного цифрового осциллографа можно разделить на следующие типы: 1. по заданным условиям синхронизации осциллографы подразделяются на условные и безусловные; 2. по количеству задействованных входных каналов осциллографа они делятся на связанные и несвязанные. Условные режимы синхронизации — это режимы синхронизации, для запуска развертки которыми требуется анализ параметров входного сигнала, и синхронизация происходит только при выполнении определенных условий (например, синхронизация по длительности или рантовая синхронизация). Если запуск развертки осуществляется только по уровню входного сигнала, то такая синхронизация считается безусловной. К безусловным режимам синхронизации можно отнести и синхронизацию по фронту. Связанные режимы синхронизации — это режимы синхронизации, для запуска развертки которыми требуется выполнение определенных условий по состоянию уровней входных сигналов на нескольких входах осциллографа одновременно. К связанным режимам синхронизации можно отнести синхронизацию по качеству или логический запуск. Очевидно, что все виды синхронизации по условиям являются несвязанными. 1. Запуск по условиям длительности сигнала. Запуск происходит по положительным или отрицательным импульсам (хотя упоминание термина «импульс» здесь и далее носит больше символический характер, поскольку входной сигнал реально может иметь любую форму). В качестве условия запуска задается значение параметра длительности импульса и условия его контроля — больше, меньше, в пределах или за пределами заданных значений. Длительность импульса измеряется на заданном пользователем уровне. Запуск будет происходить в случае выполнения заданных условий запуска. Очевидно, что манипуляции с условиями контроля длительности импульса и уровня дают возможность фиксации очень широкого диапазона сигналов. Так, на рис. 6 приведен пример регистрации сигнала по условиям длительности. 2. Запуск по глитчу. Запуск по ширине глит-ча — частный случай режима запуска по длительности. Запуск происходит по импульсам, имеющим длительность не более заданной или входящую в заданный диапазон длительностей. Напряжения и диапазоны напряжений в расчет не берутся. На рис. 7 приведен пример регистрации глитча. 3. Запуск по интервалу. В отличие от режима синхронизации по глитчу, в режиме синхронизации по интервалу, значение имеет не длительность импульса, а длительность интервала, разделяющего два последовательно идущих фронта одной и той же полярности — положительной или отрицательной. Этот режим синхронизации можно использовать для регистрации интервалов, длящихся меньше или больше заданного времени. Можно также определить диапазон длительностей, в котором или вне которого должен находиться ин- тервал между двумя фронтами, чтобы вызвать запуск развертки. На рис. 8 приведен пример синхронизации периодического импульсного сигнала. В данном случае режим запуска по интервалу позволяет получить устойчивую синхронизацию, несмотря на то, что период повторения данной последовательности составляет 100 мс, а наблюдение сигнала происходит при развертке 20 мкс/дел. 4. Запуск по скорости нарастания (спада) сигнала. Скорость нарастания (спада) сигнала — это время, в течение которого происходит изменение (нарастание или спад) сигнала от заданного нижнего уровня 1 к заданному верхнему уровню 2. Также в качестве условия запуска задается значение параметра скорости нарастания и условия его контроля — больше, меньше, в пределах или за пределами заданных значений. Запуск развертки осуществляют только те сигналы, у которых скорость нарастания попадает в заданные пределы. Скорость нарастания (спада) сигнала не следует трактовать только как время нарастания или спада сигнала, характерного для фронтов импульсного сигнала — это более широкое понятие, включающее в себя общее время изменения сигнала от уровня 1 до уровня 2, в течение которого сигнал может многократно изменять вектор, лишь бы он находился в пределах зоны, образованной уровнями 1 и 2. Так, на рис. 9 приведен пример синхронизации по скорости для трехуровневого сигнала. 5. Рантовая синхронизация (рис. 10). Рант — это импульс положительной или отрицательной полярности, имеющий меньший уровень, чем все остальные импульсы в регулярной последовательности. Запуск развертки осуществляют только те импульсы, амплитуды которых попадают в заданный пользователем диапазон согласно условиям, когда импульс пересечет 1-й заданный порог уровня, но не пересечет 2-й заданный порог уровня и повторно пересечет 1-й порог. Этот вид синхронизации позволяет производить запуск развертки по сигналу, отличающемуся только по уровню в последовательности периодического сигнала, когда частота и длительность для всего сигнала одинакова. В этом режиме мож- ■Н : У- Мыт И * ф "ИЗь-” ■""Л| ■ ЩШ _ т— ^ Мч , Щ Рис. 13 но также задавать диапазон длительностей ранта и напряжений, в этом случае запуск развертки будет происходить в случае нахождения длительности и амплитуды ранта внутри либо за пределами заданного диапазона. Для регистрации ранта в сигнале очевидно, что невозможно воспользоваться стандартной синхронизацией по уровню, поскольку алгоритм синхронизации по уровню предполагает запуск развертки при превышении установленного уровня запуска при нарастающем фронте и при снижении ниже заданного уровня при отрицательном фронте. Регистрация ранта требует как раз обратных условий — запуск развертки при уровне, не превышающем заданного значения. 6. Запуск по параметрам окна. Окно — это зона с верхней и нижней границами, между которыми находится значение уровня запуска. Схема запуска срабатывает, когда уровень сигнала пересекает границу в направлении выхода из зоны. Следующий запуск возможен после возврата сигнала в зону окна. Запуск по параметрам окна — это алгоритм синхронизации, обратный рантовой синхронизации. При этой синхронизации запуск развертки производится не по сигналам, находящимся в пределах диапазона уровня ранта, а за пределами установленного диапазона, который называется окном. То есть в этом режиме синхронизации возможна регистрация артефактов, превышающих по модулю значение «ординарного» сигнала, как вверх, так и вниз. Рис. 11 поясняет действие синхронизации по параметрам окна. На рис. 12 приведена осциллограмма сигнала, на отдельных участках которого четко видны различные артефакты — как положительные, так и отрицательные. Применение синхронизации по параметрам окна позволяет выделить артефакты положительной полярности (пример одного такого артефакта приведен на рис. 13) или артефакты отрицательной полярности (рис. 14). Кроме того, в этом виде синхронизации появляется возможность задержки запуска развертки на время или на событие. Задержка запуска на время — это синхронизация, при ко- торой запуск развертки происходит после наступления условий синхронизации и спустя заданное время. Задержка запуска на событие — это синхронизация, при которой при наступлении условий синхронизации запуск развертки игнорируется, при обнаружении второго условия синхронизации запуск развертки опять игнорируется, и так п раз (где п — заданное число событий); при (п+1)-под-тверждении условий синхронизации происходит запуск развертки, и при следующем цикле синхронизации п условия синхронизации снова игнорируются. ь—i п п: п, гг м ч. U U L л J ! i ! 1 L Ц U L_ U, J ! J, “ —I д ч л ■ >, s ► ь .7^ ' Рис. 16 7. Отложенный запуск (рис. 15). Используется главным образом при регистрации однократных событий и обычно с предпусковой задержкой. С его помощью можно фиксировать моменты пропадания сигнала. Запуск происходит по истечении времени ожидания, исчисляемого от последнего прохождения уровня запуска. 8. Логический запуск. Это связанный вид синхронизации, в котором участвуют несколько входных каналов, позволяющий организовать запуск по логическим условиям. Входами логической схемы являются каналы осциллографа (канал 1, 2, 3 и 4 и вход внешней синхронизации). Для формирования логической функции имеется 4 логических оператора (И, НЕ-И, ИЛИ, НЕ-ИЛИ). По каждому из входов независимо от других каналов можно установить высокий уровень (логической единицы) или низкий уровень (логического нуля). Здесь также не следует трактовать входные сигналы только как имеющие два стабильных состояния, присущих логическим схемам: входной сигнал может иметь различные амплитуды и различную форму сигнала, но при превышении верхнего порогового уровня он фиксируется схемой синхронизации как «единица», а при снижении ниже нижнего порогового уровня — как «ноль». Так, на рис. 16 приведен пример логической синхронизации, при которой три входных сигнала имеют двоичные значения, а четвертый — несколько различных уровней, один из которых как раз и является последним подтверждающим условием запуска. Также отличительной особенностью осциллографов ЬеСгоу является то, что для анализа сигналов на логическое состояние и запуска развертки нет необходимости отображать входные сигналы на экране осциллографа — анализ входных сигналов происходит даже при выключенных каналах. 9. По качеству. При этой синхронизации необходимо задействовать два любых канала осциллографа, включая вход внешней синхронизации. Это режим синхронизации, при котором положительный или отрицательный фронт одного сигнала (канала) служит разрешением на запуск от другого сигнала (канала). В этом режиме также может задаваться задержка на время или количество событий после прихода разрешающего фронта, по истечении которого должен произойти запуск развертки. На рис. 17 приведен пример синхронизации по качеству с задержкой на одно событие. 10. По состоянию (рис. 18). При этой синхронизации необходимо задействовать два любых канала осциллографа. Запуск осуществляется по стабильному уровню одного канала, согласно которому сигнал, определяющий условие запуска на втором канале, должен быть выше или ниже заданного уровня. Отличие от запуска по качеству состоит в том, что сигнал первого канала должен оставаться именно ниже или выше заданного уровня, а не временно переходить в области выше или ниже этого уровня, как при синхронизации по качеству. 11. ТВ-синхронизация. Обеспечивает устойчивый запуск от стандартного (или специального) композитного видеосигнала с возможностью выделения строк. Возможно исследование сигнала в системах PAL, SECAM, NTSC, HDTV. Как видно из описания видов синхронизации, приведенных выше, для поиска артефактов, показанных на рис. 3-5, в сигнале наиболее подходящими являются виды синхронизации по длительности, глитчу, рантовая, по скорости, по интервалу и отложенный запуск. Их условно можно разделить как наиболее подходящие для поиска артефактов по амплитуде — это рантовая синхронизация. Для поиска временных артефактов — это запуск по скорости нарастания (спада) сигнала, запуск по условиям длительности сигнала, по глитчу и по интервалу. Очевидно, что возможно комбинирование условий синхрони- зации, например рантовой и по длительности, в этом случае возможна фиксация ранта заданной длительности. Примеры, приведенные выше, — это лишь небольшая часть возможностей схемы запуска развертки современного ЦЗО для наблюдения и регистрации сигналов различной формы, поиска и фиксации артефактов. Использование в полной мере всех возможностей схемы синхронизации дает мощный инструмент для исследований и различных разработок в самых широких областях науки и техники. Возможности схемы синхронизации, приведенные выше, позволили четко фиксировать аномалии в сигнале, проводить измерения параметров этих аномалий, создавать базу данных по аномалиям. Но задача, с какой периодичностью повторяются аномалии, как создать библиотеку артефактов в реальном масштабе времени для анализа, осталась нерешенной. Осциллографы ЬеСгоу серий МауеИиппег, МауеРго и ^ауеМа81ег, SDA, в отличие от всех других осциллографов, присутствующих на рынке, также позволяют производить измерения времени между запусками развертки. Информация о времени между запусками развертки у осциллографов ЬеСгоу фиксируется, сохраняется и анализируется. Эта функция измерения является стандартной для всех серий осциллографов ЬеСгоу. Для примера можно использовать осциллограф МауеРго-7100А в режиме регистрации артефактов при синхронизации по длительности. На рис. 19 приведена осциллограмма последовательной регистрации артефактов, режима измерения времени между соседними запусками развертки и гистограмма статистики по запускам. Как видно из рис. 19, результаты измерений между запусками (левое окно измерений Р1) показывают, что минимальное время между артефактами равно 685 мкс, максимальное время 1,51 с, а среднее время между артефактами составляет 1,11 с. Статистика об интервалах времени между запусками была собрана при регистрации 649 артефактов. На основании этих статистических данных можно построить гистограмму распределения (на рис. 19 она выделена красным цветом). Как видно из анализа гистограммы, в основном артефакты появляются с 6 различными периодами повторения. Для получения данных о каждом пике гистограммы (или о каждом из 6 временных интервалов появления артефакта) можно также воспользоваться режимом автоматических измерений (на рис. 19 это окна Р2-Р5) или исполь- зовать курсор (результат его измерений приведен в правом нижнем углу). Наибольшая амплитуда пика гистограммы соответствует самому часто повторяющемуся значению запуска развертки. Одновременно на экран осциллографа можно выводить и гистограммы других измеряемых параметров. Например, если запуск развертки осуществлялся по условиям длительности импульса, то, очевидно, небезынтересно будет произвести измерение всего массива длительностей импульсов, соответствующих условиям запуска и также произвести построение гистограммы длительности. Из приведенной информации можно сделать вывод, что только использование расширенных режимов схемы синхронизации совместно с алгоритмами проведения измерений параметров самого сигнала и измерений параметров схемы запуска со статистической обработкой дает наглядные результаты при исследовании сигналов различной, даже самой сложной, формы. Продолжение следует

https://cyberleninka.ru/article/n/modelirovanie-formy-kontura-0-0-polosy-spektra-fosforestsentsii-naftalina-uchityvayuschee-zaselennost-tripletnyh-urovney-v-predelah

Предложена математическая модель формы контура 0-0 полосы спектров фосфоресценции примесных центров в твердых растворах органических соединений, учитывающая зависимость заселенности триплетных уровней от частоты переходов в пределах их неоднородного уширения. Проверка модели на адекватность произведена на основании экспериментального исследования формы контура 0-0 полосы спектра фосфоресценции нафталина в стеклообразном толуоле при 77 К.

УДК 535.37 МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМЫ КОНТУРА 0-0 ПОЛОСЫ СПЕКТРА ФОСФОРЕСЦЕНЦИИ НАФТАЛИНА, УЧИТЫВАЮЩЕЕ ЗАСЕЛЕННОСТЬ ТРИПЛЕТНЫХ УРОВНЕЙ В ПРЕДЕЛАХ НЕОДНОРОДНОГО УШИРЕНИЯ © 2007г. О.И. Куликова, А.С. Блужин, Т.В. Желудкова The naphthalene phosphorescence of the profile 0-0 band form modeling with triplet levels population of inhomogeneous broadening consideration. The mathematical model of the profile 0-0 band form phosphorescence spectrums of impurity centers in solid solutions of organic compounds was proposed. This model takes into consideration the depen ' - i ° population triplet energy levels on frequency transfers within their inhomogeneous broadening. The verification of the model for adequac_ ' _ erformed on the basis of experimental research of the profile 0-0 band form of naphthalene spectrums phosphorescence in glassy systems at 77 K. В твердотельных матрицах неэквивалентность положения примесей приводит к неоднородному разбросу всех параметров спектра примесных центров. Положение 0-0 полосы спектра люминесценции, ее ширина и форма контура существенным образом зависят от внутренних полей, которые определяются ближайшим окружением в неупорядоченных средах [1]. Это в свою очередь позволяет получить информацию о характере взаимодействия примесных центров с основой и между собой по результатам исследования причин изменения параметров их спектров. Для правильной интерпретации результатов таких исследований необходимо знать вклад в изменение указанных выше параметров функции неоднородного распределения молекул по частоте электронного перехода и заселенности соответствующих уровней. На заселенность триплетных уровней в пределах их неоднородного уширения заметное влияние может оказывать миграция энергии [2]. В данной работе предложена математическая модель формы контура 0-0 полосы спектра фосфоресценции примесных центров, позволяющая разделять и определять вклад функции неоднородного распределения по частоте Т^80 перехода и заселенности три-плетных уровней. Теория Для примесных центров в стеклообразных растворах вклад однородного уширения в форму контура 0-0 полосы спектра фосфоресценции намного меньше вклада неоднородного уширения. Поэтому для регистрируемой квантовой интенсивности излучения с частотой в интервале от v-(5v/2) до v+(5v/2) в стационарном режиме можно записать Я (V) = Л(v)qУ) М/ (у^, (1) где А(у) - коэффициент Эйнштейна для спонтанного перехода; N - общее число молекул, участвующих в излучении; q(v) - относительная заселенность три-плетных уровней с частотой перехода от у-(5у/2) до у+(5у/2); Ду) - функция неоднородного распределения молекул по частоте перехода; 5у - спектральная ширина щели прибора, которая намного меньше неоднородного уширения спектра. Спектральная плотность излучения р(у)=51(у)/5у определяется выражением р(у) = Л(у)?У) М/ (V). (2) Из выражений (1) и (2) следует, что при достаточно узких щелях контур 0-0 полосы спектра излучения 1(у) с точностью до постоянного множителя совпадает с распределением спектральной плотности излучения р(у). Очевидно, что при нормировке контуров этих двух функций на максимум полосы их графики совпадают у (3) Ятах (у) Ртах И То есть, в таком представлении график функции 1(У) отражает распределение спектральной плотности излучения в относительных единицах. Учитывая (1)- (3) и то, что в пределах 0-0 полосы величину Л(у) можно считать постоянной [3], можно записать I(V) = ?(у)/(V). (4) С учетом этого выражение (4) позволяет как определить относительный вклад функций q(У) и /у) в значение параметров контура 0-0 полосы, так и смоделировать форму конура 0-0 полосы с использованием конкретного вида функций q(v) и /у). Значение q( V) при заданных V можно определить из кинетики разгорания и затухания фосфоресценции [4] по формуле Ч(у> тз У) -тр У) ТУ) где тзу) и тРу) - время затухания и разгорания фосфоресценции. Как правило, в случае неоднородного уширения функция /(V) является гауссовой [5]. Экспериментально определив вид функции q( V) и подбирая соответствующие параметры гауссовой кривой, можно определить вклад этих двух функций в форму контура 0-0 полосы. Результаты эксперимента и их обсуждение Проверка модели, описываемой уравнением (4), на адекватность производилась на основании исследования формы контура 0-0 полосы спектра фосфоресценции нафталина в стеклообразном толуоле при 77 К. На рис. 1 приведены спектры 0-0 полос для двух концентраций раствора - 0,1 моль/л (кривая 1) и 0,3 (кривая 2). I, о^н. ед. 1,0 0,5 0,3 0,2 0,1 0 21000 V, см -1 21100 21200 21300 был взят тот же (рис. 3, трации 0,1 моль/л. I, отн.ед. кривая 1), что и для концен- 1,0 0,5 0 V. см 2090 2100 2110 2120 2130 Рис. 1. 0-0 полоса спектра фосфоресценции нафталина в толуоле при 77 К: 1 - Сн = 0,1 моль/л; 2 - Сн = 0,3 моль/л Для концентрации нафталина в растворе 0,1 моль/л заселенность триплетных уровней не зависела от частоты и равнялась q = 0,42. При этом форма контура, как и следовало ожидать, хорошо описывалась гауссовой кривой с характерным параметром [5] Ь = 6,5-103 см. При увеличении концентрации до 0,3 моль/л максимум 0-0 полосы смещается в длинноволновую область на 38 см-1. Форма контура становится отличной от гауссовой (рис. 1, кривая 2). Это обусловлено направленной миграцией энергии [6], что подтверждается зависимостью относительной заселенности три-плетных уровней в пределах их неоднородного уши-рения от частоты перехода (рис. 2). q(v), отн. ед. 0,4 - \ ♦ 3 0 20900 21000 21100 21200 Рис. 2. Зависимость относительной заселенности триплетных уровней в пределах их неоднородного уширения Как видно, экспериментальные точки хорошо укладываются на теоретическую прямую (сплошная линия), описываемую следующим уравнением: д(у) = = д0 + a(v-Vo), где д0 - заселенность уровня, соответствующего максимуму функции распределения /(у); a=dq/dv - постоянная величина, характеризующая скорость изменения д(^), которая определялась экспериментально и равнялась а = - 9,5-Ю-4 см. Считая, что концентрация примесных центров не влияет на характер их взаимодействия с матрицей, а следовательно, и на распределение молекул по положению энергетических уровней, параметр гаусса Ь функции /(V) для концентрации раствора 0,3 моль/л 21300 V, см Рис. 3. График функции И(у): 1 - форма контура 0-0 полосы ¡(V), рассчитанная по (5); 2 - экспериментальные значения ¡(у); 3 - (СН=0,3 моль/л) Подставляя эти параметры в следующее выражение: 2 i(v) = [<?0 -a(v-v0)]exp[-b (v-v0)] (5) полученное из (4) с использованием указанного выше явного вида функций д(V) и /(V), была рассчитана форма контура 0-0 полосы спектра фосфоресценции нафталина для концентрации раствора 0,3 моль/л (рис. 3, кривая 2). Как видно, экспериментальные точки хорошо укладываются на теоретическую кривую, описываемую уравнением (5), что подтверждает справедливость предложенной модели. Исследование функции (5) на экстремум позволило получить следующую зависимость смещения максимума 0-0 полосы, обусловленного направленной миграцией возбуждений от величин а и q0, относительно максимума этой полосы в отсутствие миграции: д v=_ +- 1 2 40 4а2 2b ч1/2 (6) Выбор знака перед вторым слагаемым обусловлен длинноволновым характером смещения спектра. В общем случае величина а может зависеть как от температуры, так и от концентрации раствора. Поэтому, на наш взгляд, (6) позволяет определять концентрационное и температурное смещение спектра, если известна соответствующая зависимость а, либо решать обратную задачу - устанавливать зависимость а от температуры или концентрации, зная соответствующую зависимость Лv. Литература 1. Осадько И.С. Селективная спектроскопия одиночных молекул. М., 2000. 2. Багнич С.А. // Физика твердого тела. 2000. Т. 42. № 10. С. 1729-1756. 3. Мак-Глин С., Адзуми Т., Киносита М. Молекулярная спектроскопия триплетного состояния. М., 1972. 4. Алфимов М.В. и др. // Оптика и спектроскопия. 1966. Т. 20. № 3. С. 424 - 426. 2 а 5. Персонов Р.П., Солодунов В.В. // Физика твердого тела. 6. Рыжиков Б.Д., Левшин Л.В., СенаторовН.Р. // Оптика и 1968. Т. 10. № 6. С. 1848-1858. спектроскопия. 1978. Т. 45. № 2. С. 282-287 Ставропольский государственный университет_8 декабря 2006 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/modelirovanie-massoperenosa-primesey-pri-zonnoy-sublimatsionnoy-perekristallizatsii-v-tsilindricheskoy-rostovoy-zone

Лозовский В.Н., Лозовский С.В., Чеботарев С.Н. Моделирование массопереноса примесей при зонной сублимационной перекристаллизации в цилиндрической ростовой зоне // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2006. № 3. С. 60-63. Предложена модель массопереноса примесей при зонной сублимационной перекристаллизации в цилиндрической ростовой зоне. На основе результатов вычислительных экспериментов проанализировано влияние на массоперенос геометрических факторов процесса и коэффициентов конденсации примесей. Ил. 2. Библиогр. 14 назв.

ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ЭЛЕМЕНТЫ УДК 661 МОДЕЛИРОВАНИЕ МАССОПЕРЕНОСА ПРИМЕСЕЙ ПРИ ЗОННОЙ СУБЛИМАЦИОННОЙ ПЕРЕКРИСТАЛЛИЗАЦИИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ РОСТОВОЙ ЗОНЕ © 2006 г. В.Н. Лозовский, С.В. Лозовский, С.Н. Чеботарев Введение Зонная сублимационная перекристаллизация (ЗСП) представляет собой вариант кристаллизации из атомарных (молекулярных) потоков, для которого характерно близкое расположение поверхностей источника сублимирующегося вещества и подложки [1]. Вакуумный промежуток между этими поверхностями представляет собой ростовую зону, перенос вещества в которой обладает существенными особенностями в сравнении с обычным вариантом кристаллизации из атомарных потоков на удаленной подложке. Показано, что эти особенности процесса ЗСП позволяют использовать его как метод получения полупроводниковых и металлических слоев большой толщины и площади в неглубоком вакууме [2, 3], а также проводить их управляемое легирование заданными примесями [4, 5]. В работах [1-9] проведены исследования основных закономерностей массопереноса при ЗСП в плоской ростовой зоне. Однако плоская форма зоны не является единственно возможной с точки зрения практической реализации метода. В работе [10] обращено внимание на перспективы технологического использования ЗСП при цилиндрической симметрии вакуумной зоны и применительно к этому случаю исследован массоперенос основного (ростового) вещества сублимирующегося источника. В настоящей работе для этой же геометрии ростовой зоны с помощью компьютерного моделирования исследован мас-соперенос примесей, растворенных в основном веществе сублимирующегося источника. Моделирование носит имитационный характер; для проведения вычислительных экспериментов использован метод Монте-Карло [11,12]. Оно проведено на основе предложенной в работе математической модели, дающей возможность проследить влияние коэффициентов конденсации атомов примеси и геометрических параметров зоны на массоперенос примеси в ней. Математическая модель Среди наиболее важных аспектов изучения закономерностей массопереноса при ЗСП методом Монте-Карло в общем случае можно выделить следующие: - определение расположения и конфигурации источника примесей, а также закона распределения ско- ростей испаряющихся частиц (плоская, цилиндрическая, соосная, не соосная ростовые зоны; косинусои-дальная, равновероятная, лепестковая индикатрисы распределения скоростей испаряющихся атомов); - описание геометрии поверхности подложки и условий взаимодействия частиц с этой поверхностью (коэффициент конденсации, закон распределения скоростей отраженных от подложки атомов); - установление условий окончания слежения за сублимированным атомом (указание условий вылета за пределы ростовой зоны, учет и накопление данных о координатах конденсации атомов); В работе [10], посвященной исследованию массопереноса основного вещества при ЗСП в цилиндрической ростовой зоне, подробно отражены все эти стороны модели, за исключением учета возможности переотражения атома от поверхностей подложки и источника, что характерно при переносе растворенных в источнике легколетучих примесей. На основе анализа литературных данных [13, 14] в модели принят среднестатистический зеркальный закон переотражения атомов примеси, обладающих малым коэффициентом конденсации, при их взаимодействии с поверхностями ростовой зоны в характерных для ЗСП высокотемпературных условиях. Моделирование массопереноса примесей при ЗСП в цилиндрической зоне проводится на основе допущений, предложенных и обоснованных в работе [10]; используются те же переменные: (х, у, 2) - координаты атома в стационарной системе отсчета, (х', у', 2') - координаты атома в собственной системе отсчета, Я -радиус подложки, г - радиус источника, Ь - длина ростовой зоны. Опишем движение атома примеси в цилиндрической ростовой зоне. Координаты точек испарения 1 (х1,у1,21) и взаимодействия 2 (х2,у2,22) атома примеси находим по методике, изложенной в [10], дополнением к которой является учет возможности переотражения атома. Характер взаимодействия атома с поверхностью подложки определяется коэффициентом конденсации а. Моделирование сценария поведения атома (отражение или конденсация) производится с помощью генератора псевдослучайных чисел с равновероятным распределением случайной величины от нуля до единицы. Если случайное число меньше значения коэффициента конденсации, то считаем, что атом был захвачен растущим слоем. При этом запоминаем координаты места конденсации атома, что в дальнейшем позволит рассчитать профиль осаждаемого слоя. Процесс моделирования осажденного атома на этом завершается. При значении случайного числа больше, чем коэффициент конденсации, атом считается отраженным от подложки. Траектория отраженного атома в плоскости Оху описывается уравнением прямой 2-3 с известным угловым коэффициентом, проходящей через начало второй собственной (ху") системы координат (точка 2 на рис. 1). Методика определения координат точки 3 в стационарной системе координат изложена ниже. Рис. 1. Поперечное сечение цилиндрической ростовой зоны и траектория движения атома примеси Находим угол у между осью Ох стационарной системы координат и осью Оу" второй собственной системы координат: Y = arctg f л У 2 х 1 = х cos 8 + y 1 sin 8; y 1 = -x' sin 8 + y 1 cos 8, где 8 = П + Y - угол поворота второй собственной системы координат относительно первой собственной системы координат. Находим угловой коэффициент ( к i_ 2 ) прямой 1-2 во второй собственной системе координат yff к 1-2 = ~ . x1 Прямая 2-3 в этой же системе координат имеет угловой коэффициент, равный (рис. 1): "2-3 k 1-2 • Решая задачу о пересечении прямой 2-3 и цилиндрического источника в стационарной системе координат, получим два решения: I x 1 = -0,5b + V(0,5b ) У 3 = Ax 3 + B c; = -0,5b + ^(0,5b)2 - c; y 1 — Ax} + B, (sin 8 + k2-3 cos8) 2AB где A — ^--—;-, B — y 2 - Ax 2, - (cos8-k2-3 sin8) 1 + A 2 c= B 2 - r 2 1 + A 2 Для нахождения однозначного решения, соответствующего физическому смыслу решаемой задачи, необходимо воспользоваться тем, что расстояние от точки 2 до реального места взаимодействия атома с источником должно быть минимальным, т. е. ё = шт(ё 1, ё2) , где d 1 = J(x3 - x} ) +(У 3 - У1) где х 2, у 2 - координаты места взаимодействия атома с подложкой. Определяем координаты точки 1 (х[, у1) в первой собственной системе координат: x — xi У = У1 - У 2, где (х1, у 1) и (х2, у 2 ) - координаты мест испускания и взаимодействия атома с подложкой в стационарной системе координат. Для вычисления координат точек 1 и 2 во второй собственной системе отсчета воспользуемся формулами преобразования координат d 2 — :) +(У 3 - У 32 ) • Используя описанную выше методику, определяют координаты (х 3, у 3 ) взаимодействия отраженного атома с поверхностью источника. В соответствии со сделанными допущениями атом примеси обязательно отразится от поверхности источника, поэтому на этом этапе моделирования генератор псевдослучайных не используется. В остальном способ определения следующего места взаимодействия атома с поверхностью подложки (х4, у4 ) остается прежним. При этом угол поворота второй собственной системы координат относительно первой собственной системы координат и находится по формуле 5 = у, а коэффициент с - из соотношения c = - B 2 - R 2 1 + A 2 Количество актов переотражения внутри ростовой зоны зависит от величины коэффициента конденсации примеси а и увеличивается с уменьшением последнего. Кроме коэффициента конденсации на эффективность массопереноса существенно влияют геометрические размеры ростовой ячейки, что определяет вероятность вылета атомов примеси за ее пределы. Так, ч-2 Я - г например, при а ~10 и L 0,1 среднее количе- К = N N00 где N0 - число молекул, испаренных с поверхности источника; N - число молекул, осажденных на цилиндрической подложке. Моделирование массопереноса примесей проводилось при различных значениях коэффициента конденсации а и всевозможных размерах цилиндрической ростовой ячейки, отвечающих условиям широкого ряда натурных экспериментов. Основные расчетные параметры изменялись в пределах: коэффициент конденсации ае (0,0001 -1), радиус цилиндрической подложки Я е(3 -100) Ь е(5 -100) мм, Я - г е (0,01 -1) мм. На рис. 2 а, б обобщены данные о зависимости коэффициента массопереноса К от значений коэффициента конденсации и геометрических параметров ростовой зоны (кривые 3-7 соответствуют требованиям проведения процесса ЗСП [10]). ство взаимодействий с поверхностями вакуумной зоны N ~ 100 . Расчет траектории атома по предложенной методике продолжается либо до его встраивания в растущий на подложке слой, либо до его вылета за пределы вакуумной зоны между источником и подложкой (что обеспечивается определением координаты г по методу [10]). После этого начинается моделирование траектории движения нового атома. В итоге, как показали проведенные вычислительные эксперименты, для получения воспроизводимых результатов необходимо промоделировать движение около 5 -108 атомов при значениях ае (0,0001 -1). В результате формируется массив данных, содержащий информацию о характере массопереноса примесей в ростовой зоне. Обсуждение результатов Процесс массопереноса летучих веществ удобно охарактеризовать величиной отношения всего количества ростового вещества, осажденного на подложке, к полному количеству вещества, испаренного с источника. Это отношение можно назвать интегральным коэффициентом переноса К , который определяет собой степень использования примеси, растворенной в основном веществе источника. Поэтому далее эти величины будут считаться тождественными. Коэффициент массопереноса определяется из соотношения: К(а) 0,4 0,6 (Я-г)/Ь б) Рис. 2. Влияние коэффициента конденсации а и геометриЯ - г ческого параметра L на интегральный коэффициент переноса К : а- зависимость К (а) : 1 - R - r = 0,9; 2 - = 0,3; 3 - ^ = 0,1; 4 -^ = 0,03; L L L R - r R - r R - r 5--= 0,01; 6--= 0,003; 7--= 0,001; L L L 6 - зависимость К ( iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. R - r L : 1 - а = 0,005; мм, длина ростовой зоны толщина вакуумного зазора 2 - а = 0,01; 3 - а = 0,05 ; 4 - а = 0,1; 5 - а = 0,5 ; 6 - а = 1 Кривые 6-7 на рис. 2 а отображают зависимость коэффициента переноса примесей от коэффициента конденсации а в области малых толщин ростовой зоны. Видно, что для примесей с коэффициентами конденсации ае (0,05-1) наблюдается незначительное уменьшение эффективности переноса с увеличением толщины ростовой зоны. Например, при увели- L чении толщины до 100 мкм (которая легко обеспечивается на практике) и коэффициенте конденсации а = 0,05 перенос примеси остается эффективным (~0,95 - кривая 7; ~ 0,8 - кривая 6). Дополнительно укажем, что и для атомов и температурных условий, характеризуемых малым коэффициентом конденсации (а ~10-3), возможно экспериментально обеспечить толщину ростовой ячейки, находящуюся на технологическом пределе (Я - г ~ 30 мкм), причем коэффициент массопереноса в этих условиях составляет не менее 0,9 (кривая 6 на рис. 2 б). Из сказанного следует, что при ЗСП выбором соответствующих толщин ростовой зоны и температурных условий можно обеспечить эффективный массо-перенос легколетучих легирующих примесей, превышающий коэффициент конденсации на несколько порядков. Характер поведения кривых 3, 4, 5 в области значений коэффициентов конденсации ае (0,001 ^0,1) указывает на еще один важный прикладной аспект применения метода ЗСП. Явная зависимость коэффициента переноса от а при толщинах ростовой зоны Я - г е (300 ■ 1000) мкм и длинах Ь ~ 3 см позволяет использовать ЗСП как один из методов очистки основного ростового вещества от нежелательных примесей в указанных условиях. При этом концентрация оставшихся примесей убывает с уменьшением коэффициента конденсации. Так, при значениях а ~ 0.01 Я - г е 1000 мкм и Ь = 5 см концентрация загрязняющих примесей в веществе уменьшается в 7 раз по сравнению с исходной концентрацией в источнике (кривая 3 на рис. 2 а). Полученные данные согласуются с результатами натурных и вычислительных экспериментов, приведенных в работах [2, 4, 6] при значениях радиуса цилиндрической подложки Я > 5 см и толщинах ростовой зоны Я - г ~ 100 мкм. Это объясняется тем, что при большом радиусе кривизны подложки геометрия ростовой зоны приближается к плоскопараллельной, и обе разработанные модели массопереноса, основанные на имитационном подходе, приводят к одинаковым результатам. Таким образом, зная коэффициент конденсации используемой примеси и варьируя геометрические параметры ростовой зоны в соответствии с установленными зависимостями, метод ЗСП можно использовать в двух технологически значимых режимах: 1) проведение регулируемого легирования основного вещества на внутренней поверхности цилиндрической подложки примесями с малым коэффициентом кон- денсации; 2) очистка основного вещества от примесей с уменьшением их концентрации на порядок. Литература 1. Alexandrov L.N., Lozovsky S. V., Knyazev S. Yu. Silicon Zone Sublimation Regrowth//Phys. Stat. Sol. (a), 1988. Vol. 107. P. 213 - 223. 2. Лозовский С.В. Массоперенос кремния при перекристаллизации через тонкий вакуумный промежуток / Ново-черк. политехн. ин-т. Новочеркасск, 1986. 18 с. Деп. в ВИНИТИ 16.10.86, №7313-В. 3. Lunin L.S., Lozovsky V.N., Lozovsky S.V., Yu S.. Knyazev, D.Yu. Pluschev //Microtechnology of Layer-on-Layer Etching and Growing Layers /44th Scientific Colloquium. Ilmenau, 1999. P. 371-375. 4. Александров Л.Н., Лозовский С.В., Князев С.Ю. Управление массопереносом легирующей примеси при зонной сублимационной перекристаллизации // Письма в журн. техн. физики. 1987. Т. 13. Вып. 17. С. 1080 - 1084. 5. Александров Л.Н., Лозовский С.В., Князев С.Ю. Массопе-ренос примесей при зонной сублимационной перекристаллизации кремния // 2-я Всесоюз. конф. по моделированию роста кристаллов: Тез. докл., 2-5 ноября 1987 г. Рига, 1987. Т. 1. С. 193-195. 6. Lozovsky V.N., LozovskyS.V. PluschevD.Y. Zone sublimation recrystallization as a method of depositing the coatings in the open space // Advanced Materials and Processes: Third Russian-Chinese Symposium. Kaluga (Russia), 1995. P. 37. 7. Лозовский В.Н., Лозовский С.В., Плющев Д.Ю. Атомно-кинетическая модель при зонной сублимационной перекристаллизации // Актуальные проблемы твердотельной электроники и микроэлектроники: Тез. докл. 3-й Всерос. науч.-техн. конф. с междунар. уч. Таганрог, 1996. С. 55. 8. Плющев Д.Ю., Лозовский С.В. Осаждение слоев металлов и сплавов методом зонной сублимационной перекристаллизации // Техника, экономика, культура: Сб. науч. тр. Новочеркасск, 1997. С. 9-11. 9. Лозовский С.В., Трушин С.А., Чеботарев С.Н. Исследование кристаллографических свойств эпитаксиальных слоев кремния, легированного эрбием // Материалы 53-й на-уч.-техн. конф. ЮРГТУ (НПИ) / Юж.-Рос. техн. ун-т (НПИ). Новочеркасск, 2004. С. 94-96. 10. Лозовский С.В., Чеботарев С.Н. Моделирование массо-переноса в процессе ЗСП при цилиндрической симметрии ростовой зоны // Изв. вузов Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2006. Приложение к №2. 11. Александров Л.Н., Бочкова Р.В., Коган А.Н., Тихонова Н.П. Моделирование роста и легирования полупроводниковых пленок методом Монте-Карло // Новосибирск, 1991. 12. Иващенко В.М., Митин В.В. Моделирование кинетических явлений в полупроводниках. Метод Монте-Карло. Киев, 1990. 13. Жданов В.П. Элементарные физико-химические процессы на поверхности. Новосибирск, 1988. 14. Нестеров С.Б., Васильев Ю.К., Андросов А.В. Расчет сложных вакуумных систем. М., 2001. Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт) 21 марта 2006 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/poverhnostnaya-i-mezhfaznaya-energii-graney-kristallov-p-metallov-na-granitsah-s-sobstvennymi-parom-i-rasplavom

На основе электронно-статистического метода рассчитана анизотропия поверхностной энергии и барических коэффициентов поверхностной энергии, а также межфазная энергия граней для некоторых p-металлов с ГЦКи ГПУ-структурами. Ориентационная зависимость поверхностной энергии и барического коэффициента поверхностной энергии показана на полярных fω и диаграммах.

УДК 539.216.2 ПОВЕРХНОСТНАЯ И МЕЖФАЗНАЯ ЭНЕРГИИ ГРАНЕЙ КРИСТАЛЛОВ р-МЕТАЛЛОВ НА ГРАНИЦАХ С СОБСТВЕННЫМИ ПАРОМ И РАСПЛАВОМ © 2011 г. И.Г. Шебзухова1, Л.П. Арефьева2, Х.Б. Хоконов1 1Кабардино-Балкарский государственный университет, ул. Чернышевского, 173, г. Нальчик, КБР, 360004, [email protected] 2Пятигорский государственный гуманитарно-технологический университет, ул 40 лет Октября, 56, Пятигорск, 35 7500, [email protected] 1Kabardino-Balkar State University, Chernishevskiy St., 173, Nalchik, KBR, 360004, [email protected] 2Pyatigorsk State Humanitarian and Technological University, 40 let Octobrya St., 56, Pyatigorsk, 35 7500, [email protected] На основе электронно-статистического метода рассчитана анизотропия поверхностной энергии и барических коэффициентов поверхностной энергии, а также межфазная энергия граней для некоторых p-металлов с ГЦК- и ГПУ-структурами. Ориен-тационная зависимость поверхностной энергии и барического коэффициента поверхностной энергии показана на полярных fa - и dfq - диаграммах. dP Ключевые слова: электронно-статистическая теория, поверхностная энергия, анизотропия, барический коэффициент поверхностной энергии, межфазная энергия, полиморфные превращения. The surface energy and the crystal-melt interfacial energy, barical coefficients of the surface energy ofp-metals crystals' planes have been calculated in the limits of Thomas-Fermi electron statistical theory. The influence of pressure and polymorphous transformations on anisotropy of the surface energy is shown in f0, - and dL - diagrams. dP Keywords: electron-statistical method, surface energy, anisotropy, barical coefficients of the surface energy, interface energy, polymorphous transformations. Влияние давления на поверхностную энергию (ПЭ) чистых веществ изучено недостаточно [1 - 4]. Термодинамический анализ, проведенный А.И. Русановым [1], показывает, что барический коэффициент поверхностной энергии (БКПЭ) чистых веществ отрицателен. Литературные данные различных авторов по межфазной энергии (МЭ) отличаются по величине на порядок и более [5 - 7]. Цель данной работы - используя электронно-статистический метод, рассчитать ПЭ, БКПЭ и МЭ на границе с собственным расплавом граней кристаллов с малыми и большими индексами Миллера для всех полиморфных модификаций таллия, алюминия и свинца с ГЦК- и ГПУ-структурами. Барический коэффициент ПЭ граней кристаллов получен в рамках электронно-статистической теории Томаса - Ферми [4]: dfaW ) dP = -5 fT (hkl)z 3 j=o 1 + « (2 j +1) lbs! +1 ß + Pß dP j где Ь = 2(125/3)/4; 5 - линейный параметр, приводящий уравнение Томаса-Ферми к безразмерному виду; X - вариационный параметр, минимизирующий ПЭ металлов на границе с вакуумом при учете обменной поправки; 8(кМ)— межплоскостное расстояние; р -сжимаемость элемента; Р - давление (~108 Па). Здесь /я0 (ИИ) ПЭ грани (ИИ) при 0 К и температурный вклад рассчитывается по формулам [8]: T 6 foM (hkl ) = 1 n{hkl )W (r0 fT '(hkl) = -ff '(hkl ){2« j'=0_ p + ' + Ш (2j +') ' k 38(hkl)ap £ fej + 1)[ф . (S(hkl))]-7} j=0 \W (r bsl ¿[ф j 8(hkl ))]-6 j=o где n(hkl)- число частиц на 1 м2 грани (hkl) в j-плос-кости; W(r0) = — L + ]Г eVt I - полная энергия метал- лической решетки в равновесии в расчете на один атом (eVi - энергии ионизация /'-го порядка; L - теплота сублимации; г - число свободных электронов на атом). На рис. 1 показано влияние полиморфного превращения а^р (ГПУ ^ ГЦК) на анизотропию ПЭ таллия. значениями поверхностного натяжения, полученными компенсационным методом нулевой ползучести [11]. Максимальным значением ПЭ, ТКПЭ и температурного вклада в ПЭ p-металлов обладает грань (887) у ГЦК и (11 2 0) - у ГПУ-структур, минимальным -(111) и (0001) соответственно. Наименьший ТКПЭ и температурный вклад из рассмотренных p-металлов у а-Т1 (ГПУ), наибольший - у Р-Т1 (ГЦК). Межфазная энергия грани (ИМ) /ш12(Ик1) металлического кристалла на границе с собственным расплавом, согласно Юнгу, будет/т12(ИкГ) = /т(Ик1) = /т2со$ в. Считая, что краевой угол смачивания в мал, для МЭ /т12(кк!) будем иметь следующее выражение: f f oA2(hkl) * fa(hM) - fa2 = fa(hkl) 1 -- f т. \ LW) Ограничиваясь нулевым приближением для ПЭ жидкого расплава /ш2 записывается выражение, аналогичное (2), с усредненными значениями числа частиц на 1 м2 поверхности расплава п2 и «межплоскостного расстояния» 8 в жидком расплаве: i л,2 =1 n W + Q 5 1 + ■ - v6 8 Л 2bsÄ где Q - теплота плав- ления; ^ + 0| - энергия связи расплава. Среднее число частиц на 1 м2 в расплаве найдено с учетом скачка плотности при плавлении в виде fv a " fi+2 p где fV - число частиц в элемен- тарной ячейке; Р - скачок плотности при плавлении кристалла; а - параметр кристаллической решетки. П „,,], 2 3 Тогда ^ = г](hkl)| 1 + 2 P I. Здесь фМ) = fv- ß п(Нк1) \ з ; / (Р - коэффициент, выражающий площадь грани в виде 5(Ик/)=ва2). Межфазная энергия на границе кристаллическая грань - собственный расплав рассчитана по формуле [12]: /ш12(Ик)« Рис. 1. Полярные /„-диаграммы. а - а-Т1 для зоны плоскостей [11 2 0] при 293 К (1), 293 К и 108 Па (2); б - 0-Т1 для зоны плоскостей [001] при 293 К (1), 293 К и 108 Па (2) Поверхностная энергия граней с большими и малыми индексами Миллера увеличивается более чем на порядок, ТКПЭ граней - на два порядка. Относительное снижение ПЭ при увеличении температуры граней Р-Т1 составляет 5-20 %, у Р-Т1 - 4-15. При увеличении температуры анизотропия ПЭ граней полиморфных фаз р-металлов сглаживается. Величина ТКПЭ граней отрицательна и невелика, лежит в интервале 0,001-0,2 мДж/(м2- К). Алюминий и свинец не испытывают полиморфных превращений при увеличении температуры. Качественный характер анизотропии ПЭ алюминия и свинца одинаков с другими металлами, имеющими ГЦК-структуру [9, 10]. Температурный вклад в ПЭ граней А1 и РЬ составляет 2,5-20 %. Рассчитанные значения ПЭ граней рассматриваемых металлов хорошо согласуются с экспериментальными ! fm12 (hkl) i -](hkl )i+2 p+Q 1 + - 8 2bsÄ 1 + 8 (hkl) 2bsÄ В литературе разными авторами проведены вычисления МЭ на границе поликристалл - собственный расплав таллия, алюминия и свинца. В этой связи нами проведены вычисления среднестатистических значений МЭ по формуле, полученной согласно каноническому распределению [8]. Барические коэффициенты ПЭ граней вычислены при предельных температурах существования полиморфных фаз. В табл. 1 приведены результаты вычислений БКПЭ граней с малыми индексами Миллера полиморфных фаз Т1, А1, РЬ ()), ПЭ граней при предельных температурах существования полиморфных фаз /I (кк1) и при давлении 108 Па ¡1 (Ш), барический вклад в ПЭ граней (кк1) при тех же температурах. -6 cT - V + + 1=1 n = 2 6 6 Таблица 1 Поверхностная энергия и барический коэффициент поверхностной энергии граней кристаллов полиморфных фаз р-металлов Металл ДТ*, K hkl f! {hkl), мДж/м2 fmT , мДж/м2 [11] f (hkl) , jm\ > Х10б, dP мДж/(м2-Па) f (hkl) , МДж/м2 fTP (hkl), мДж/м2 а - Tl 293-503 0001 60- 57 0,142-0,136 1,42-1,362 58-56 ГПУ 101 0 140 - 135 0,422-0,408 4,22-4,077 136-131 11 2 0 417 - 404 213- 207 1,s798-1,741 0,922-0,893 17,98-17,41 9,22-8,93 399-387 204-198 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 11 2 1 ß - Tl 503-577 100 742 - 766 562± 6 2,736-2,827 27,36-28,27 715-738 ГЦК 110 871- 898 4,32-4,456 43,2-44,56 827-853 111 676 - 699 2,473-2,557 24,73-25,57 651-673 Al <933,5 100 861-757 1020 0,124-0,109 12,41-10,91 849-746 ГЦК 110 1004-889 0,195-0,172 19,46-17,24 948-1014 111 787-689 0,113-0,099 11,26-9,85 776-679 Pb <600,6 100 523-521 563± 4,9 0,125-0,126 12,64-12,59 511-509 ГЦК 110 626-599 0,228-0,218 22,78-21,80 603-577 111 479-463 0,115-0,111 11,49-11,09 468-452 * - температурный интервал стабильности полиморфной фазы. Л/ На рис. 2 приведена диаграмма Р-таллия (ГЦК). Наибольшим БКПЭ у кубических структур обладает грань (887). Рис. 2. Полярные Л^-диаграммы [001] ЛР зоны плоскостей Р-таллия при 293 К Анизотропия БКПЭ граней полиморфных фаз с ГПУ-структурой больше, чем БКПЭ кубических структур (рис. 2). Величина БКПЭ полиморфных фаз с ГПУ-структурами р-металлов лежит в интервале 10-7 - 10-6 мДж/(м2 Па). Максимальное значение БКПЭ полиморфных фаз с ГПУ-структурами простых металлов соответствует грани (112 0), минимальное -базисной грани (0001). Отношение максимального значения БКПЭ к минимальному при предельных температурах существования полиморфных фаз с ГПУ-структурой а-таллия равно 49 - 50. Для более полного представления картины анизотропии БКПЭ р-металлов проведены вычисления и для алюминия и свинца, у которых с повышением температуры полиморфные фазы не обнаружены. Барический коэффициент ПЭ граней таллия с большими и малыми индексами Миллера при полиморфном превращении (ГПУ ^ ГЦК) увеличивается более чем на порядок. При увеличении давления анизотропия ПЭ граней для р-металлов сглаживается. С увеличением температуры величина БКПЭ граней всех полиморфных фаз уменьшается и анизотропия сглаживается. Рассчитана МЭ на границе кристалл - собственный расплав для трех плотноупакованных граней А1, РЬ и Т1 (табл. 2). У всех трех металлов фазы пред-плавления имеют ГЦК-структуру. Для ГЦК-структур считалось, что /у = 2. Следовательно, ^(100) = 1/2, П(110) = 0,7071, п(111) = 0,43301. У р-металлов максимальной МЭ обладает грань (110), а минимальной -(111). То есть соотношение между абсолютной величиной МЭ трех плотноупакованных граней то же, что и для ПЭ: /Ш12(111)</шИ(100)< /^(110). Наименьшее абсолютное и относительное значение МЭ на границе кристалл - собственный расплав принимает грань (100) свинца: 4 мДж/м2 и 1 % от величины/Т(100). Среднестатистические значения МЭ / , вычисленные из данных /ю\2(ккГ) для граней с малыми индексами Миллера, согласуются с термодинамическими расчетами по МЭ /*юП металлов на границе поликристалл-расплав [7] (табл. 2). Литература 1. Русанов А.И. Термодинамика поверхностных явлений. Л., 1960. 370 с. 2. Попель С.И., Павлов В.В., Кожурков В.Н. Зависимость поверхностного натяжения чистых веществ от давления // Поверхностные явления в расплавах и возникающих из них твердых фазах. Киев, 1968. С. 43 - 48. 3. Русанов А.И., Кочурова Н.Н., Хабаров В.Н. Исследование зависимости поверхностного натяжения жидкостей от давления // Докл. АН СССР. Физическая химия. 1972. Т. 202, № 2. С. 380 - 382. 4. Шебзухова И.Г., Задумкин С.Н., Чотчаев Б. У. Влияние давление на поверхностную энергию металлов Ia и IIa // Первая конференция молодых ученых Адыгеи : докл. и сообщения. Майкоп, 1971. С. 111— 114. 5. Холломон Д.Н., Тарнбалл Л. Образование зародышей при фазовых превращениях // Успехи физики металлов. Ч. 1. ГНТИ Черной и цветной металлургии. М., 1956. С. 304 — 367. 6. Механизм конденсации металлов в вакууме и определение межфазной поверхностной энергии на границе раздела твердая фаза — расплав / И.Т. Гладких [и др.] // Кинетика и механизм кристаллизации. Минск, 1973. С. 126 — 130. 7. Таова Т.М., Хоконов М.Х. Расчет межфазной энергии кристалл — собственный расплав металлов и неорганических соединений // Физика межфазных явлений. Нальчик, 1984. С. 88 — 96. 8. Задумкин С.Н., Шебзухова И.Г. Приближенная оценка ориентационной зависимости поверхностной энергии и поверхностного натяжения металлического кристалла // Физика металлов и металловедение. 1969. Т. 28, № 3. С. 434 — 439. 9. Шебзухова И.Г., Арефьева Л.П., Хоконов Х.Б. Анизотропия, температурный и барический коэффициенты поверхностной энергии полиморфных фаз щелочных металлов Таблица 2 Межфазная энергия граней кристаллов полиморфных фаз p-металлов Металл ДТ*, K hkl Глг {hkl ^ мДж/м2 ) % fT (hkl) ' fа 12 , Дж/м2 fm12 , мДж/м2 [5—7] ß — Tl 503—577 100 109 14 124 22,5 [6] ГЦК 110 111 158 84 18 12 41 [4] Al <933,5 100 125 17 134 93 [5] ГЦК 110 111 194 77 22 11 115 [7] Pb <600,6 100 4 1 35 69 [7] ГЦК 110 111 54 31 9 7 46 [5] // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 3. С. 54 - 58. 10. Шебзухова И.Г., Арефьева Л.П., Хоконов Х.Б. Расчет поверхностной энергии граней кристаллов полиморфных фаз щелочноземельных металлов и ее температурного и барического коэффициентов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 2. С. 62 - 66. 11. Шебзухова И.Г., Задумкин С.Н., Хоконов Х.Б. Поверхностное натяжение некоторых легкоплавких металлов в твердом состоянии // Физика металлов и металловедение. 1972. Т. 33, вып. 5. С. 1112 - 1113. 12. Шебзухова И.Г., Арефьева Л.П. Межфазная энергия на границе грань кристалла полиморфной фазы - собственный расплав // Физика низкоразмерных систем и поверхностей : тр. I междунар. междисциплинарного симпозиума. п. Лоо, 5 - 9 сентября 2008 г. Ростов н/Д., 2008. С. 340 - 343. Поступила в редакцию 20 сентября 2011 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/o-strukturirovanii-prostranstva-parametrov-szhato-rastyanutogo-sterzhnya-po-mehanicheskomu-sostoyaniyu

Рассматривается прямолинейный стержень переменного сечения при комбинированном осевом нагружении. В m-мерном евклидовом пространстве параметров проводится структурирование, соответствующее множеству возможных механических состояний. Предложен алгоритм численного метода решения проблемы собственных значений дифференциального уравнения продольного изгиба стержня.

СТРОИТЕЛЬСТВО УДК 539.3 О СТРУКТУРИРОВАНИИ ПРОСТРАНСТВА ПАРАМЕТРОВ СЖАТО-РАСТЯНУТОГО СТЕРЖНЯ ПО МЕХАНИЧЕСКОМУ СОСТОЯНИЮ © 2009 г. Х.П. Культербаев Кабардино-Балкарский государственный Kabardino-Balkarian State университет, г. Нальчик University, Nalchik Рассматривается прямолинейный стержень переменного сечения при комбинированном осевом нагружении. В m-мерном евклидовом пространстве параметров проводится структурирование, соответствующее множеству возможных механических состояний. Предложен алгоритм численного метода решения проблемы собственных значений дифференциального уравнения продольного изгиба стержня. Ключевые слова: механическое состояние; пространство параметров; собственные значения; сжато-растянутый стержень. Rectilinear rod of variable section at joint axial weighting has been considered. In m-dimensional Euclidean space of parameters is realizing structuring which correspond to multitude of possible mechanical conditions. The algorithm numerical method of solution the problem of eigenvalues of differential equation of longitudinal bend of rod proposed. Keywords: mechanical conditions; space of parameters; eigenvalues; press-stretched rod. Задачи по изучению прочности и устойчивости прямолинейных стержней, нагруженных осевыми продольными силами, стали классическими и к настоящему времени имеют обширную библиографию. Напряжённо-деформированное состояние сжато-растянутых стержней в большинстве случаев устанавливается сравнительно легко, что позволяет успешно ответить и на вопросы прочности и жёсткости конструкции. Более сложной является проблема устойчивости, так как определение критических нагрузок для сжатых стержней при этом сопряжено со значительными трудностями, особенно в нетрадиционных случаях: стержни переменного сечения, неравномерно распределённая нагрузка, сочетание различных нагрузок и так далее. Отыскание собственных значений и форм потери устойчивости в таких задачах точными аналитическими методами возможно лишь в простейших частных случаях. Выход из такого затруднения состоит в использовании численных методов [1-4] и современных программных компьютерных средств. Рассмотрим однородный стержень переменного сечения, находящийся под действием переменной распределённой нагрузки q(x) и системы сосредоточенных сил F¡ (рис. 1), действующих вдоль оси. Внешние нагрузки считаются «мёртвыми», т. е. при деформировании стержня они не изменяются ни по величине, ни по направлению. Функции изменения переменной площади поперечного сечения А(х), переменной жёсткости £Дх) и распределённой нагрузки q(х) будем считать заданными. x q(x) A(x), J(x) É . , -, -, -, I s1 - Fi - F 2 Показаны только две силы из возможных n. Рис. 1 В описание такой системы включены разнообразные физико-механические и геометрические константы самой конструкции, материала и внешних воздействий. В совокупности они образуют евклидово арифметическое т-мерное пространство параметров Ет или подпространство такового с точками или векторами р(рь р2, - , рт). Реальные значения параметров в силу естественных причин ограничены сверху и снизу Рн <Р] <Рк,] = 1, 2, ..., т, так что поведение конструкции следует изучать в подпространстве, представляющем параллелепипед (гиперпараллелепипед) Gm С Ет, Gm = {Р] | Р]н <Р] <Р]к,] = 1, 2, ... , т}. Для сравнительно простого двухмерного случая, представимого наглядно, такой параллелепипед показан на рис. 2. В зависимости от положения точки р в пространстве рассматриваемый стержень и его материал могут пребывать в различных механических состояниях: упругом или пластическом (точнее упруго-пластическом), в прямолинейной или искривлённой формах равновесия. Если материал стержня является l 0 X хрупким, вместо пластического состояния будет состояние разрушения. При этом имеют место их разнообразные сочетания, зависящие от совокупности параметров. Для дальнейших обсуждений целесообразно избрать нулевые значения параметров, соответствующие упругому состоянию материала и прямолинейной форме равновесия стержня. Простой параллельный перенос координатных осей вместе с их началом обеспечивает выполнение этого требования, что будет учитываться ниже. Будем полагать, что верхние значения параметров принадлежат уже другому изменившемуся механическому состоянию системы. В таком случае из параллелепипеда Gm выделяется некоторая часть Qm (на рис. 2 представлен Q2), которую будем называть областью допустимых состояний. Определение её границы Г, являющейся некоторой гиперповерхностью в пространстве параметров, представляет важнейшую задачу, так как далее с её помощью можно будет отвечать на вопросы о прочности, устойчивости, коэффициентах запаса, надёжности и т. д. При возрастании параметров точки границы Г соответствуют некоторому их предельному значению, при котором происходит переход от одного механического состояния к другому. Р2 ( © ^ p = Xe D \ \ о Г Р1 Р = X e, (1) 1. Достижение нормальными напряжениями в одном из поперечных сечений предела текучести материала ст и переход последнего из упругого состояния в пластическое. При этом искомый вектор p е Г определяется из уравнения стТ - maxiст(x | p)| = 0, L = {x | x е (0, /)}. (2) xeL Алгоритм вычислений при этом может быть следующим. При движении вдоль луча (1) с малым шагом проверяется знак выражения в левой части (2). Смена знака соответствует пересечению границы области допустимых состояний. В таком случае по линейной интерполяции между двумя соседними значениями X устанавливается положение точки D (см. рис. 2), или иначе, вычисляется XD. 2. Достижение параметрами системы таких критических значений, при которых исходная прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой и появляются смежные устойчивые искривлённые формы равновесия, т.е. происходят потеря устойчивости и ветвление решений описывающих уравнений. Сосредоточимся теперь на отыскании точки D по такому критерию. В задаче о потере устойчивости прямолинейной формы равновесия примем, что продольный изгиб стержня описывается классической теорией с применением гипотезы Бернулли, а критические силы определяются из задачи Эйлера при соответствующих допущениях. Тогда изогнутая ось стержня после бифуркации описывается с помощью линейного обыкновенного дифференциального уравнения и в традиционных обозначениях имеет вид B( x)v"( x) = M (x), x е L, (3) Рис. 2 Алгоритм численного определения границы области допустимых состояний будет следующим. В пространстве параметров Ет вводится декартовая система координат 0р\р2...рт. Начало координат (0, 0,...,0) и его ближайшая окрестность заведомо принадлежат области допустимых состояний Qm, т.е. материал находится в упругом состоянии, а сам стержень занимает прямолинейную форму равновесия. Из начала координат проводим луч, описываемый уравнениями в параметрическом виде где введено обозначение для переменной жёсткости на изгиб В(х) = Ш(х). Изгибающий момент в правой части уравнения (3) определяется из условия равновесия левой части стержня, отсечённой координатой х (рис. 3) М (х) = -% Fj К х) - у( s])] -]qШv( х) - v(%)]d % . (4) 1=\ о где X - изменяемая величина, е(еь е2, ..., ет) - единичный вектор, компонентами которого являются направляющие косинусы прямой, причём, как извест- т но Е е1 = \. к=\ При движении вдоль этого луча, т.е. придании X увеличивающихся значений с малым шагом ДХ , произойдёт смена механического состояния, обусловленная двумя возможными причинами: Рис. 3 При учёте (4) уравнение (3) становится интегро-дифференциальным B(x)v"(x) + Z Fj [v(x) - v(Sj)] + k©[v(x) - v©]d| = 0, j=1 0 x е L. (5) x Для его решения к нему необходимо присоединять граничные условия, которые могут быть самыми разнообразными в зависимости от типа опор. Учёт их работы для обычных случаев влечёт появление четырёх дополнительных условий к уравнению (5) и, следовательно, увеличение порядка производных до четырёх. Тогда целесообразно перейти к дифференциальному уравнению соответствующего порядка. Такой результат достигается после двукратного дифференцирования по переменной x уравнения (5), в результате чего оно примет вид [B(x)v"(x)]" + N(x)v"(x) + q(x)v'(x) = 0, x e L, (6) где введено обозначение для продольной сжимающей силы N(x) = Z Fj +xq©d|. j=1 0 Уравнение (6) имеет очевидное тривиальное решение v(x) = 0 , что соответствует прямолинейному равновесному положению стержня, т.е. обычному простому сжатию. Такой случай не является предметом интереса данного исследования. Поэтому далее задача будет состоять в том, чтобы найти такой вектор p, которому могут соответствовать ненулевые решения, т.е. искривлённые положения равновесия. Определение границы между областями устойчивости и неустойчивости (иначе вычисление собственных значений и функций дифференциального уравнения (6)) аналитическими методами возможно лишь в простейших задачах, где, например, В(х) = const, q(x) = const, отсутствуют сочетания нагрузок, и они хорошо изучены. Решение более сложных задач таким способом сопряжено со значительными математическими трудностями или во многих случаях невозможно. Выход из такого затруднения состоит в использовании численных методов. Поэтому далее воспользуемся методом конечных разностей и разобьём длину стержня на n одинаковых отрезков с шагом h = l/n, c номерами узловых точек i = 1, 2,..., n, n + 1. Вместо непрерывной функции непрерывного аргумента v(x) введём сеточную функцию yi * v(xi), xi = (i - 1)h . Тогда производные в уравнении (6) можно представлять приближённо в виде конечноразностных соотношений v ' (x-) * (y+1 - y -1) / 2h, v " (x-) * (y+1 - 2y + y+1)/ h 2 , в силу чего оно примет вид ci,i-2 У,-2 + ci,i-1 У, -1 + c,,,y, + ci,i+1 y,+1 + ci,i+ 2 У,+2 = 0, i = 3,4,..., n-1. (7) C (X) = При этом к левой части (6) процедура замены второй производной конечноразностным соотношением применена дважды. Коэффициенты уравнения имеют значения: Сц-2 = 4-1, ^- = -2(ВМ + Вг) + Ы^2 - / 2, = Вг-1 + 4В. + Вг+1 - 2, Сг,г+1 =-2(В + В.,1) + N^2 + qlhЪ /2, Сг,г+2 = Вг+1, ' = 3, 4, п - 1 Здесь Иг = Ы(х) qi = q(xi). Система уравнений (7) недоопределённая, её матрица коэффициентов пока является прямоугольной размерности (п - 3)(п +1). Недостающие четыре уравнения могут быть найдены лишь из граничных условий, в силу чего их необходимо конкретизировать. Пусть оба конца стержня будут шарнирно неподвижно опертыми. Тогда на левом конце (х = 0): - прогиб равен нулю, т.е. у = 0; (8) - изгибающий момент равен нулю. Поэтому М(0) = 0 ^ В(0У (0) = 0 ^ V " (0) и 2У1 ~5У2 + 4Уз ~У4 h2 = 0 ^2yi - 5y2 + 4Уз - y4 = 0. (9) На правом конце (х = l) аналогично: v(l) = 0 ^ yn+1 = 0, M(l) = 0 ^ B(l)v" (l) = 0 ^v" (l) -уп-2 + 4уп-1 - 5уп + 2уп+1 = 0 ^ h2 (10) (11) ^ - Уп-2 + 4Уп-1 - 5Уп + 2Уп+1 = Уравнения (7) - (11) образуют алгебраическую систему Су = 0, (12) где у = (уь у2, - , уп+1} - вектор, компонентами которого являются отклонения стержня, С - квадратная матрица размерности (п + 1)(п +1) Г 1 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 2 -5 4 -1 С31 c32 c33 c34 c42 c43 c44 L L "и-1,и-3 ип-1,п-2 -1 "п-1,п-1 4 "п-1,п -5 Нулевые элементы матрицы здесь не выписаны. Критические значения X, а через неё и вектор р, т.е. координаты поверхности Г, определяются из уравнения йе^С(Х)] = 0, (13) которое является условием существования нетривиального решения уравнения (12). Алгоритм определения границы Г по второй вышеупомянутой причине, c с с c п-1,п +1 т. е. по потере устойчивости будет таким же, как и по первой, но вместо уравнения (2) будет применяться (13). Точке D е Г соответствует меньшее из значений = тт(Хь Х2), найденных двумя способами. Такая процедура повторяется многократно по множеству векторов e, имея в виду последующее построение предельной поверхности Г по результатам вычислений. Пример. Рассмотрим стальной стержень (рис. 4), опертый шарнирно неподвижно по концам, имеющий круглое поперечное сечение с переменным диаметром d = 0,015 + 0,01 8ш(ях//), при прочих исходных данных т = 2, / = 1 м, Е = 200 ГПа, q(х) = ^ (х2// - х)//. = 0,4 м, п = 100, от = 370 МПа, р1 = р2 = q1. l 0 я q(x) A(x), J(x) - ™ - —r Fi Si Рис. 4 Hh 600 400 200 q1l, H -200 -400 -600 ® 2 \ \ \ \ Г Vi 1 \ \ 1 : \П\ 3 \ \iv\ \ Ш ^ i 1 4 Fi, H -400 -200 0 Рис. 5 200 400 Пространство параметров представляет плоскость с системой координатных осей 0р1р2. Проведённые вычисления дали результаты, представленные на рис. 5. Анализ рисунка обнаруживает следующее. Область допустимых состояний Q2 представляет собой замкнутую почти выпуклую фигуру, вытянутую в «северо-западном» направлении. Причина последнего факта в том, что точки, принадлежащие второму и четвёртому квадрантам, соответствуют нагрузкам, противоположным по направлению. При таком их сочетании для наступления предельных состояний требуются сравнительно большие значения сил, чем в других квадрантах, где нагрузки сонаправлены. Граница Г области Q2 разбивается на характерные участки, состыкованные в точках 1, 2, 3, 4 и соответствующие двум критериям смены механических состояний. Точки участков 1-2, 3-4 получены из уравнения (2) и соответствуют переходу из упругого состояния в пластическое. Точки участков 4-1, 2-3 получены из уравнения (13) и соответствуют переходу из упругой прямолинейной формы равновесия в упругую, но уже криволинейную форму равновесия. По координатам точек, принадлежащих данным участкам, можно легко определить те значения нагрузок, которые традиционно называются критическими. Поступила в редакцию Область Q2 разбивается лучами 0-1, 0-2, 0-3, 0-4 на характерные секторы I, II, III, IV. В каждом из них возрастанию сферической нормы вектора р отвечает своя характерная смена механических состояний. Рост сферической нормы ||р|| в секторах I и III при пересечении поверхности Г влечёт смену упругого состояния и прямолинейной формы равновесия на пластическое состояние материала с сохранением прямолинейности стержня. То же самое первоначальное состояние в секторах II и IV при возрастании нормы приводит к переходу на криволинейную форму равновесия при упругой работе материала. Литература 1. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчёта строительных конструкций. М., 1977. 154 с. 2. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М., 1967. 984 с. 3. Коллатц Л. Задачи на собственные значения (с техническими приложениями). М., 1968. 504 с. 4. Культербаев Х.П., Чеченов Т.Ю. Об устойчивости многопролётного стержня с переменной жёсткостью // Материалы Междунар. науч.-практ. конф. «Строительство -2006» / Ростовский госуд. строит. ун-т. Ростов н/Д., 2005. С. 126-128. 17 июля 2008 г. Культербаев Хусен Пшимурзович - д-р тех. наук, профессор, заведующий кафедрой «Прикладная механика», Кабардино-Балкарский государственный университет, г. Нальчик. Тел. 8-8662-44-00-09. E-mail: [email protected] Kulterbaev Hussein Pshimurzovich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Holder of chair of applied mechanics», Kabardino-Balkarian State University, Nalchik. Ph. 8-8662-44-00-09. E-mail: [email protected] 0 X

https://cyberleninka.ru/article/n/vraschatelnoe-elektrogidrodinamicheskoe-techenie-v-podveshennoy-zhidkoy-plenke

Построена и исследована математическая модель вращательного электрогидродинамического течения, возникающего в тонкой подвешенной жидкой пленке под действием постоянного электрического поля. Осреднение по толщине пленки позволяет определить вклад напряжения Рейнольдса в величину касательной скорости на границе пленки. Теоретические результаты во многом соответствуют эксперименту, описывающему жидкий пленочный мотор.

МЕХАНИКА УДК 532.5 ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ В ПОДВЕШЕННОЙ ЖИДКОЙ ПЛЕНКЕ © 2009 г. М. Ю. Жуков, Е.В. Ширяева Южный федеральный университет, Southern Federal University, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, [email protected] [email protected] Построена и исследована математическая модель вращательного электрогидродинамического течения, возникающего в тонкой подвешенной жидкой пленке под действием постоянного электрического поля. Осреднение по толщине пленки позволяет определить вклад напряжения Рейнольдса в величину касательной скорости на границе пленки. Теоретические результаты во многом соответствуют эксперименту, описывающему жидкий пленочный мотор. Ключевые слова: ЭГД течение, пространственное осреднение, жидкие тонкие пленки. Mathematical model of onset a rotation EHD flow in suspended a liquid thin film under action an external DC electric field is investigated. The depth average procedure allows to determine the tangent velocity dependence on average Reynolds stress. The theoretical results have a good agreement with the experiment describing a liquid film motor. Keywords: EHD flow, depth average, liquid thin films. В последнее 10-летие возрос интерес к исследованию различных течений в микро- и наномасштабах. Например, значительная часть обзоров [1, 2] посвящена описанию электрогидродинамических (ЭГД) процессов в микроканалах. В первую очередь это связано с развитием новых технологий и созданием микроустройств для эффективного разделения и/или микроперемешивания смесей, электромикронасосов и пр. В работе построена и численно исследована математическая модель, описывающая вращательное течение в тонкой подвешенной жидкой пленке под действием электрического поля, приложенного к ее боковым границам. Подобное течение экспериментально наблюдалось в [3], там же обнаруженный эффект назван жидкостным пленочным двигателем и дается объяснение, основанное на переориентации диполь-ных моментов молекул воды электрическим полем большой напряженности. Представленная в данной работе модель позволяет описать вращательное ЭГД течение в рамках классических представлений, опираясь на результаты из [4, 5], в которых исследовано влияние на ЭГД течения условий на границе раздела двух сред. Удалось показать, что в случае тонкой жидкой пленки скачок напряженности электрического поля на границе сред с различной диэлектрической проницаемостью приводит к возникновению в окрестности границы касательной скорости, индуцирующей стационарное вращательное течение во всей жидкой пленке. Процедура осреднения исходных трехмерных уравнений по толщине пленки позволяет получить двумерную модель и показать, что основной вклад в величину касательной скорости на границе вносят средние напряжения Рейнольдса. Основные уравнения Жидкостный пленочный двигатель, описанный в [3], представляет собой тонкую подвешенную водную пленку, через которую протекает электрический ток ], помещенную в конденсатор с напряженностью поля Еои(, причем ]±Еои( и ЕО1й-к = 0, где к -орт оси г (рис. 1). Рис. 1. Схема течения в пленке Система уравнений в безразмерных переменных для описания ЭГД процессов в многокомпонентной жидкости в случае потенциального электрического поля, постоянной диэлектрической проницаемости, отсутствия поля тяжести и поверхностного натяжения, имеет вид [6, 7] dt dw _ _s2d^p + S4mAqW + MS2dzzw - qdz(p , dt div0u + <37w = 0, -^- = 9,+u-V dt 0 ■ wd, (1) (2) Здесь V0=(dx,dy); A0=dxx-tdyy: 9 9 s{S A0(p + dzz(p) = -S q, q=Tzkck, к 7 dcu 7 82-f- + 82 &vQ\k+dzIk=0, at 4 = ~Dk(^ock +zkjckV0<p), h =~Dk(^zck +zkFkdz<p). -xx-yy, V = (u,w)-скорость; p - давление; q - молярная плотность заряда; cp - электрический потенциал; с - молярные концентрации; i к, Ik - плотность потока концентрации в плоскости пленки и в поперечном направлении; ¡л - кинематическая вязкость жидкости; - коэффициенты диффузии; zk - зарядности компонент (заряд в единицах электрона); е - диэлектрическая проницаемость смеси; у - отношение интенсивности переноса концентрации электрическим полем к переносу за счет диффузии; 8 - относительная полутолщина пленки. На границах пленки z = +1 задаем условия непротекания, отсутствие поперечных потоков концентраций, нормальных компонент электрического поля и касательных напряжений w = 0, 1к= 0, д2(р = 0, z = +l, (3) //(Szu + 0w) = 0, z = +\. (4) Исходная система уравнений (1)-(2) используется для получения осредненной модели, для чего достаточно краевых условий (3), (4). Остальные краевые условия, уже для осредненных уравнений, заданы далее. При переходе к безразмерным переменным использовались размерные масштабы, отмеченные звездочкой [х,г,/,и,IV] = [а*,к*,т*,а*т*1 [<?£, <р, р\ = [С*, Е*а*, Е*С*, Е*С*Е*а*82 ]. Размерные и безразмерные параметры связаны соотношениями М = F* E*a* R*T* jU*T* 2 т2=- P*Q* a* hl F*C*E*ö £*E* 2 S = ■ Dk = (5) а* я*/7* С* Здесь a*, Ы. - характерные размеры в плоскости пленки и ее полутолщина; р*, 7*, //». е* - плотность, абсолютная температура, кинематическая вязкость и диэлектрическая проницаемость жидкости; F* - число Фарадея; R* - универсальная газовая постоянная; г*, С*, 1<*С*, а*Е* , Е* - характерные время, молярная концентрация, плотность заряда, разность потенциалов и напряженность электрического поля. Осреднение по толщине пленки В [8, 9] по исследованию ЭГД течений жидкости с неоднородной проводимостью в микроканалах с твердыми границами для построения модели предложена процедура осреднения в сочетании с разложением в ряды по малому параметру. Следуя [8, 9], введем операцию осреднения (см. также [10]) _ 1 1 ~ _ f (x, t) = -\ f(x, y, z, t)dz , f = f-f. 1 -1 Решение задачи (1)-(4) разыскиваем в виде рядов по степеням S2 {u,w,p,ck,<p}= X {и m=0 m m m m ,w , p , ck. <pm}S 2m Осреднение общих уравнений (1), (2) с учетом краевых условий (3), (4) и сохранением членов поряд- о ка О{5 ) в уравнениях (1) дает двумерные уравнения, описывающие процессы в тонкой пленке 82(5,й + ü ■ V0ü) + ß0S^V0 (U <8> U) = = -S2V0p + 32/Л0й - //U , 2v div0 u =0, //U = ßo =1/45, (6) (7) (8) (9) к 5,с£+й0-У0с£+<йу0и =0, * к=- Ок Фо€0+ гк?с0УоЩО) . Естественно, после осреднения 8 становится обычным независимым параметром задачи, таким же, как и ¡л, б , у. !)[-. и его не следует вновь устремлять к нулю и отбрасывать какие-либо члены уравнений. Приведем также выражение для и0, которое требуется при вычислениях средних напряжений Рей-нольдса й°= g(z)U , g(z) = 1(3z2-1), е2(2) = Ро , (10) 6 u ® u = g2 (z)(U ® U) + 0(82). (11) Обратим внимание, что, определяя и , не следует удовлетворять краевым условиям (4), которые уже использованы при осреднении. Постановка задачи Для уравнений (6)-(9) задаем краевые условия на границах прямоугольной пленки х = +а и у = +Ъ (рис. 1), у = +Ъ считаем границами между двумя средами с диэлектрической проницаемостью е (пленка) и £'(ш1 (внешняя область). Границы у = +Ъ не являются электродами, и на них следует задавать равенство нормальных компонент электрической индукции £-(п-= £-оиг(п-Еоиг) [11], которое в случае, т т т т _—т , W — W +W когда поле E out действует в плоскости z = const перпендикулярно к оси y, имеет вид У = +b, Ео--— I Eout I • (12) <3п е iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. На границах х = +а (электроды) задаем разность потенциалов <ро и условия непротекания ^°1х=-а=0; \х=+а=<Р0, й\х=Та = 0. (13) Считаем, что границы у = +Ь непроницаемы для концентраций и жидкости (п - нормаль к границе) (и -п) \у=+ь=0 , (14) Для боковых границ пленки у = +Ь требуем выполнения условия м |у=+ь = \у=+ь , (15) где Я - коэффициент, определяемый далее. Для границ х = +а условия, аналогичные (15), в силу условий (13) для потенциала, превращаются в обычные условия прилипания V I х=+ а =0 . (16) Соотношение (15) следует рассматривать как некоторое эвристическое краевое условие. Далее показано, что при некоторых предположениях условие (15) справедливо и Я = 0(Е0). При использовании процедуры осреднения и выводе уравнений (6)-(9) существенную роль играют краевые условия (3), (4). Для замыкания осредненных уравнений использовано естественное требование — 0 _ А ^ =0. Уравнения, аналогичные (6)-(9), в случае краевых условий, отличных от (3), (4) были получены в [8, 9], однако член (11), соответствующий рейнольдсовским напряжениям, отброшен ввиду малости. Вывод краевого условия Для вывода соотношения (15) и определения коэффициента Я рассматриваем модельную задачу о течении в бесконечном (в направлении х ) плоском конденсаторе. Ищем стационарное решение задачи (6)-(9), (12)- (16), которое заведомо не удовлетворяет условиям (13), в виде й = (мОО,0), = Ф(у)+Ех, где Е -постоянная напряженность электрического поля в направлении х . Из (9), (14) имеем с£ (у) = свке~2к]Ф{у). Для простоты ограничиваемся случаем смеси, электронейтральной для равновесного больцмановского распределения концентраций свк, считая св1 = сВ2 = св, ^=1, = —1 (ионы Н+, ОН ). Тогда уравнение Пуассона-Больцмана (8) примет вид £фуу = 2св зЬОФ). (17) Потребуем выполнения дополнительных условий симметрии решения относительно у = 0 [6, 12, 13] Ф(0) = 0 , Ф^(0) = 0 . (18) Интегрируя (17) с учетом условий (12), (18), легко получить соотношения )Ф(+Ь) = +е0. (19) Здесь определяется точно формулой 70 = ln I 1 + e2 / 2 + Eef^1 + E2/2 однако достаточ- но ограничиваться приближенным значением \ 1/2 в. '0 Eef ~ _ ys 4 с B E о • (20) В соотношениях (19) потенциал Ф на границах у = +Ь имеет разные знаки, так как эти границы являются обкладками конденсатора. Вычисление члена У0(11 @ II) с учетом (7), (8) -2 .. приводит к соотношению У0(и®и) = // Интегрируя уравнение (6) с дополнительным условием и (у = 0) = 0, имеем ßo Es у \Ф1 Ф dr, = u{y) + еЕФ(у) S2M (21) /Г 0 Для получения краевого условия (15) и определения коэффициента Я достаточно вычислить интеграл (21) при у = +Ь с учетом уравнения (17) ~У=+Ь 7 _ 1 | Ф^]?Ф1]с1}7=+-(5Ъв0сЪв0-в0) . о 2 Принимая во внимание, что Е = —{дх<р®)у=+ъ и сравнивая (21) с (15), получим точную зависимость О 3 К = К3Е0 + К1Е0 от в0, где с учетом (20) (различные знаки соответствуют границам у = +Ь) .2 R 3f?X еЯ S2JU я2=- 2 усв (22) Здесь А - относительная дебаевская длина. Полученные выражения (22) и краевое условие (15) следует рассматривать как полуэвристические соотношения. Корректно их можно получить, строя асимптотику пограничного слоя в окрестностях границ у = +Ъ и устремляя Я к нулю. Несмотря на упрощающие предположения, в частности, E = const, полученные результаты показыва- о ют, что напряжения Рейнольдса Д) S V 0 (U 0 U) при определенных значениях параметров вносят сущест- 3 венный вклад (порядка O(E0)) в касательную скорость на боковой границе тонкой пленки. Течение в тонкой пленке Для описания течения в тонкой жидкой пленке используем упрощенный вариант уравнений (6)-(9), считая смесь электронейтральной (q 0 =0) всюду, за исключением окрестности границ, что позволяет отбросить все члены, пропорциональные U, уже учтенные при выводе краевых условий. Для определения средней скорости и = (и, V) и среднего потенциала <р{) имеем задачу 3,11 + й • У0ТГ = -Уор + /Л0й, сНу0й = 0 (23) (24) А<#°=0. Подчеркнем, что (24) - это уравнение неразрывности электрического тока в случае постоянной проводимости о- и одинаковых коэффициентах диффузии, т.е. уравнение div0 j = 0, j = -oVгде j - плотность электрического тока. Формально, в рассматриваемом случае, (24) совпадает с уравнением Пуассо-на-Больцмана (8) для электронейтральной жидкости. Уравнения (23), (24) решаем в прямоугольной области с краевыми условиями (12)-(16) u |x=0,a =0 , v |у=+b =0 , (25) и Iy=+b~ + Iу=+Ъ ' (26) (28) 4 G(x,a,b) = — X th (2к + \)лЬ 2а -(-1)¿ sin(2À" + 1) — . применяя проекционный алгоритм [14] и метод конечных элементов. Численная реализация осуществлялась при помощи пакета FreeFem++ [15] с использованием адаптивных сеток. Формула (28) для Фх I у=+ь малоэффективна для расчетов, и задача (24), (27) для определения (р{) также решалась численно с учетом наличия особенностей производных в углах прямоугольной области. Величины к" . л!,1. т". е0 определяются по (5), (22), где Е0 = (е^Еди^)/(£*Е*), <р0 = !{а*Е*). При выборе параметров использовались данные из [3], в которой описан жидкий пленочный двигатель: <р0 = 20 А; //* = 10 61 2/п; а* = 10 i ; ^out = 30000 A/i £0 =8,8510 12Ee/(A-i); гг* = 78,3гг0 ; £out 3 3 * —4 3 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. р* = 10 eä/i ; С*=св= 10 пей /i , (концентрация ионов H+, ОН"); F* = 9,65-104Ee/iieü ; R* = 8,3Äas/(iieü • К); T*= 293 К. Выбирался характерный масштаб E*=2000 Ä/i . В этом случае т*=7,8-10~2 с; ег*г*=0,128 м/с; Д°£^(я*/г*) = 3-10"2i /й; R^Е0(а*/т*) = 0,5-10~6i /п; h* = Sa* = 0,29-10~2i . Очевидно, что R®E0 «R®Eq, и при расчетах парата о метр K^ полагался равным нулю. Приведем окончательный набор безразмерных параметров: Eq = 0,19; ср() = -1,0 ; S = 0.9: // = 7,8 10 4 ; =33,42; о = 0,5; Ъ = 0,5 . Величина = 1,ое0 ; <Р ° Iх=-а = 0 - V ° Iх=+а = <Р() - <Ру \у=+Ь=Е0 ■ (27) Напомним, что выражения для Я10, я0 даются соотношениями (22). Задача (24), (27) для определения <р{) имеет аналитическое решение, записываемое в виде рядов. Для наших целей достаточно привести лишь формулы 7Г к=0 (2Â- + 1) а На основе (28) легко проанализировать течение, качественное поведение которого будет сильно зависеть от соотношений между параметрами ç>0, /, 0. а, Ъ . Функция G(x; a, b) = 0 при x = 0 изменяет знак с отрицательного на положительный. Из этого, в частности, следует, что знак 7/)^ и касательной скорости и | , задаваемой (26), при фиксированных a, b зависит от соотношения параметров Eq. Таким образом, на одной части границы скорость положительна, а на другой - отрицательна (рис. 1). Очевидно, что касательная скорость на границе индуцирует вращательное течение в пленке. Возможно также появление дополнительных вихрей (рис. 1) в областях, где касательная скорость имеет противоположный знак. В частности, при а = b = 0,5, щ!а = Е§ на части границы ¡-0.5 < х < -0.4. v = -Ь\ скорость и < 0, а на оставшейся части границы {-0,4 < х < 0,5, v = -Ь} скорость и > 0. ; 0,09, что, скорее всего, достаточно для того. чтобы считать параметр 52 малым и использовать уравнения (6)-(19). На рис. 2 ф°{х,у) показаны изолинии потенциала и функции тока у/(х, к /) в момент времени / =30 (2.34Й). Вычислительный эксперимент Задача (23), (25), (26) - это обычные уравнения гидродинамики несжимаемой вязкой жидкости, для которых на границах у = +Ь задается касательная скорость и условия непротекания, а на остальных границах - условия прилипания. Решение задачи строим, Рис. 2. Изолинии потенциала ¡р°(х,у) (слева) и функции тока \р(х,у,Г) при t = 30 (2.34Й) Начиная с момента ¿«30 течение практически стационарно. Контроль за установлением стационарного течения осуществлялся, в частности, при помо- щи расчета Величина ~ 0,016, начи- ная с 1« 30, изменяется лишь в последнем знаке. Расчеты также проводились для прямоугольных областей. Во всех случаях а > Ъ наблюдалось стационарное вращательное течение, подобное показанному на рис. 2. Учитывая, что в угловых точках области имеются особенности напряженности электрического поля, проводились расчеты в областях со скругленными углами. При радиусе скругления 0,1 результаты практически не отличаются от показанных на рис. 2. Как уже говорилось, знак касательной скорости на границе определяется соотношением между параметрами , /-.'о. а, Ь (28), и в пленке может возникать течение, схематично показанное на рис. 1. Подтверждением этому служат результаты, представленные на рис. 3 при значениях параметров: Ео = 0,19; щ = -ОД; <5 = 0,29; // = 7,8 10 4 R0 =33,42 : а = 0,5 ; Ъ = 0,5. Отметим, что стационарный режим течения достигается при / >160. Рис. 3. Изолинии потенциала <р°(х,у) (слева) и функции тока ¡/7(х,у,1) при 1 = 200 (15.6 п) Для рис. 3 смена знака скорости на границе у = —Ь происходит в точке х = х0 ~ -0,3 . Численный эксперимент показал, что дополнительных вихрей в углах области не возникает, если х0 < -0.4. В частности, при E0 = 0,19 -4. R0 =33,42; ¿ = 0,29; ц = 7,8-10 а = 0,5 ; Ъ = 0,5 возникновение вращательного течения происходит в случаях, когда | |> 0,6 . Обратим также внимание на существенное различие в распределении потенциала (ср. рис. 2 и 3). Выводы Одним из результатов данной работы является полученная связь касательной скорости на границе с осредненными напряжениями Рейнольдса. Обнаруженное численно ЭГД течение ожидаемо -вращательное течение индуцируется касательной скоростью на границе. Как и в [3], подчеркнем, что вращательное течение возникает в результате действия постоянного поля ЕШ1 и постоянной разности потенциалов ср§ . Визуальное сравнение результатов расчета (рис. 2, 3) с картиной течения, представленной в [3], демонстрирует хорошее совпадение. В экспериментах и расчетах наблюдается возникновение вращательного те- чения, которое быстро выходит на стационарный режим за время порядка 2 с. Порядки скорости вращения жидкости в экспериментах и численных расчетах совпадают (около 3 см/с), по крайней мере, в окрестности границ. Заметим, что вращательное течение в экспериментах [3] возникает, начиная лишь с некоторых критических значений напряженности электрического поля Е0 , зависящего от разности потенциалов <р{). Для модели (23)-(27) вращательное течение также возникает лишь при определенных значениях параметров. Грубую оценку возможных параметров дает анализ зависимости (28) (см. также комментарии к рис. 3). Вращательное течение без дополнительных угловых вихрей возникает в случаях, когда смена знака касательной скорости на границе происходит в точке X < 0,1(7 . При сравнении результатов численных расчетов и экспериментов из [3] имеются и некоторые различия, которые, конечно же, объясняются несовершенством математической модели. Прокомментируем некоторые несоответствия расчетов и эксперимента. 1. В экспериментах [3] наблюдается как один, так и два вихря. Численные расчеты показывают, что стационарное течение всегда имеет один вихрь. Несоответствие может объясняться наблюдением в эксперименте нестационарного режима. 2. В экспериментах [3] для водного раствора глицерина практически нет зависимости скорости вращения от вязкости //*, в то время как из формулы (22) для касательной скорости следует 0 3 -3 К3Е0(а*/т*)~(р*) . Однако для жидкостей различных вязкостей толщина создаваемой пленки также может быть различной, а скорость ~ (//*)т.е. существенно зависит от толщины пленки. К сожалению, количественная проверка этого соотношения невозможна, так как в [3] не содержится данных о толщине пленок. 3. Приведенные в [3] результаты показывают, что скорость вращения пленки растет к центру. Используя этот факт, авторы [3] отвергают возможность возникновения вращения в результате электрокинетических эффектов на границе. В представленной модели (23)-(27) и численных расчетах, напротив, скорость убывает к центру. С нашей точки зрения это, в первую очередь, объясняется тем, что в математической модели не учтены поверхностное натяжение и отклонение свободных границ пленки от плоской поверхности. Следует также заметить, что математическая модель описывает распределение среднего поля скоростей, которое отличается от реального 3D распределения поля скорости пленки (10). Несмотря на указанные несоответствия, предложенная модель вращательного течения (23)-(27), на наш взгляд, выглядит более реалистично, чем гипотеза авторов [3] о переориентации дипольных моментов молекул воды под действием внешнего электрического поля. Наконец, отметим, что (23)-(27) - фактически модель сдвигового течения, вызванного касательной скоростью на границе, которая может иметь противоположные направления на различных участках границы. Представляет интерес исследование вторичных течений, возникающих при некоторых критических значениях величины скорости. Работа выполнена при поддержке аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (гранты № 2.1.1/6095 и 2.1.1/554), грантов РФФИ (№ 07-01-00389 и 07-0192213 НЦНИЛ), российско-тайваньского гранта № 95WFE0300007 и гранта CRDF RUM1-284-RO-06. Литература 1. Squires T.M., Quake S.R. Microfluidics: Fluid physics at the nanoliter scale // Rev. Mod. Phys. 2005. Vol. 77, № 3. P. 977-1026. 2. Stone H.A., Stroock A.D., Ajdari A. Engineering flows in small devices: microfluidics toward a lab-on-a-chip // Annu. Rev. Fluid Mech. 2004. Vol. 36. P. 381-411. 3. A Liquid Film Motor / A. Amjad [et al.] 2008. URL: http: / arXiv:cond-mat/0805.0490v2. (дата обращеня: 10.08.2008). 4. Melcher J.R., Taylor G.I. Electrohydrodynamics: A review of the role of interfacial shear stresses // Annu. Rev. Fluid Mech. 1969. Vol. 1. P. 111-146. 5. Ehrlich R.M., Melcher J.R. Bipolar model for travelling- wave induced nonequillibrium double-layer streaming in Поступила в редакцию_ insulating liquids // Phys. Fluids. 1982. Vol. 25, № 10. P. 1785-1793. 6. Болога М.К., Гроссу Ф.П., Кожухарь И.Л. Электрокон- векция и теплообмен. Кишинев, 1977. 328 с. 7. Жуков М.Ю. Массоперенос электрическим полем. Рос- тов н/Д, 2005. 216 с. 8. Oddya M.H., Santiago J.G. Multiple-species model for elec- trokinetic instability // Phys. Fluids. 2005. Vol. 17. P. 17 . 9. Lin H., Storey B.D., Santiago J.G. A depth-averaged elec- trokinetic flow model for shallow microchannels // J. Fluid Mech. 2008. Vol. 608. P. 43-70. 10. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М., 1959. 699 с. 11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М., 2003. 656 с. 12. Zaltzman B., Rubinstein I. Electro-osmotic slip and electro- convective instability // J. Fluid Mech. 2007. Vol. 579. P. 173-226. 13. Dukhin S.S., Zimmermann R., Werner C. A Concept for fhe Generalization of the Standard Electrokinetic Model // Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects. 2001. Vol. 195, № 1-3. P. 103-112. 14. Chorin A. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems // J. Comput. Phys. 1967. Vol. 2. P. 12-26. 15. Жуков М.Ю., Ширяева Е.В. Использование пакета ко- нечных элементов FreeFem++ для задач гидродинамики, электрофореза и биологии. Ростов н/Д, 2008. 256 с. _9 октября 2008 г..

https://cyberleninka.ru/article/n/rasshirenie-tehnicheskih-vozmozhnostey-vhodnogo-kontrolya-materialov

Рассматриваются технические особенности проведения входного контроля металлов и сплавов, используемых в промышленном производстве. Приводятся структурные схемы модернизированных систем спектрального анализа с применением линейных приборов с зарядовой связью (ПЗС). Предложена математическая модель качественного и количественного контроля химсостава материалов и их соответствие нормативным документам.

ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ЭЛЕМЕНТЫ УДК 589.22 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ЭНЕРГИИ АКТИВАЦИИ ДЕСОРБЦИИ КРЕМНИЯ С ТЕКСТУРИРОВАННЫХ ЛЕНТ ТАНТАЛА © 2006 г. В.И. Лебедев, В.В. Мизина, Д.Л. Алфимова, А.А. Баранник Многочисленные экспериментальные исследования доказывают зависимость свойств тонких плёнок от их структуры (размера зерен, степени пористости, состояния границы раздела плёнка-подложка), которая, в свою очередь, определяется условиями получения плёнок. Поэтому всё более актуальной становится использование математического моделирования при описании кинетики образования тонких плёнок, исследовании возможных фаз и структурных фазовых переходов. С помощью предложенного ранее метода в [1] проведено теоретическое моделирование процесса самоорганизации тонких кристаллических плёнок на подложке. Процесс формирования структур описывается системой кинетических уравнений для нормальных и аномальных функций Грина в рамках метода квазисредних Боголюбова. Появление щели в энергетическом спектре системы совпадает с появлением ненулевых аномальных функций Грина, описывающих выпадающий «кристаллический осадок» на подложку. Спектральные представления для функции Грина и построенные кинетические уравнения позволяют получить интегральное уравнение для определения щели в спектре возбуждений монослоя кристаллического конденсата на кристаллической подложке: A = -^V (kk) А -th 2kT (1) Кроме парного взаимодействия частиц конденсата V(кк) в спектре возбуждений е содержится псевдопотенциал взаимодействия частиц конденсата с подложкой, зависящий от температуры подложки Т. Так как отличное от нуля А соответствует началу процесса конденсации на подложке, то с помощью уравнения (1) можно получить спинодали появления тонких плёнок на кристаллической поверхности. Непосредственное экспериментальное подтверждение полученных спинодалей затруднено из-за сложности определения критических параметров в момент появления зародышей новой фазы. Однако если отождествить ширину щели А с величиной акти-вационного барьера адсорбционно-десорбционных процессов, то с помощью уравнения (1) можно проследить зависимость энергии активации от различных факторов; в частности, зависимость энергии активации от силы латерального взаимодействия, взаимодействия частиц плёнки с подложкой, температуры и т.д. Численное решение уравнения (1) было проведено с помощью пакета программ МаЛСай. Энергия одно-частичных возбуждений е определяется кинетической энергией частиц и влиянием поля подложки и. При температуре выше температуры Дебая кинетическая энергия частиц пропорциональна температуре, поэтому можно положить к 2 Е = Iт, I 2т где I - некоторая постоянная, определяемая степенями свободы частиц конденсата. Потенциал поля подложки представим в виде и (Т) = и 0ехр(-е / кТ). В этом случае величина е имеет смысл среднего потенциала поля подложки на межатомном расстоянии, а и0 - некоторый нормировочный множитель. Сравнение с экспериментом Для исследования кинетики элементарных процессов на поверхности широко используется термоде-сорбционный метод. Суть термодесорбционных измерений состоит в том, что при низких температурах на поверхность адсорбируются молекулы одного сорта, затем производится откачивание газа из камеры и нагревание образца. По мере повышения температуры происходит десорбция, и экспериментально измеряется число молекул, выходящих в газовую фазу в единицу времени -йЫ/й/. В рамках модели идеального адсорбционного слоя кинетика мономолекулярной десорбции описывается уравнением [2] -йЫ/Ж = N С ехр(-ЕДг), где N - концентрация адатомов; п - порядок десорб-ционной кинетики; С - предэкспоненциальный множитель; Ей - энергия активации десорбции. Таким образом, по наклону экспериментальных кривых 1п(йЫШ) = I (1/Т) можно определить энергию активации десорбции. В качестве экспериментальных данных были использованы результаты работы [3] по термодесорбции кремния с текстурированных лент тантала. Кремний напыляли при комнатной температуре на танталовые ленты в течение разных интервалов времени, что позволило обеспечить различные начальные степени покрытия. Затем производили «вспышку» и регистрировали поток десорбируемых частиц. На рис. 1 представлены термодесорбционные спектры для различных начальных степеней покрытия 9 Та(100) кремнием при 9 < 1. с]Мс]г 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 600 1800 2000 2200 2400 Г, К а) L -1 -2 -3 -4 -5 -6 5,0 5,5 6,0 6,5 1М; сГ1 б) Рис. 1. Термодесорбционные спектры атомов с Та для различных значений начальной степени покрытия 6 (а) и зависимости 1n(dN/dt)/N) от (КГ)- (б) [3] Для всех 9 наблюдается один термодесорбцион-ный пик. Положение максимума и полуширина пика не меняются с ростом 9, что обычно характерно для одноатомной десорбции без латеральных взаимодействий в адслое и без диффузии адчастиц в объём. Тогда кривые десорбции описываются уравнением Ар-рениуса с первым порядком десорбции. Однако в данном случае зависимость 1n((dN/dt)/N) от 1/Г не аппроксимируется прямой, что свидетельствует о зависимости энергии активации десорбции от температуры. Если при больших температурах логарифмические кривые для разных степеней покрытия практически совпадают, то при температурах, соответствующих начальным стадиям десорбции наблюдается уменьшения наклона по мере роста температуры. Причём эта зависимость тем ярче, чем меньше начальная степень покрытия. Явно нелинейная зависимость 1n((dN/dt)/N) от 1/Г позволяет проследить изме- нение углового коэффициента с изменением температуры, а значит по крайней мере качественно проследить температурную зависимость энергии активации десорбции. На рис. 2 представлены температурные зависимости энергии активации десорбции, полученные при обработке экспериментальных данных [3] при разных начальных степенях покрытия, а также результаты численного расчёта. Следует отметить, что уравнение (1) позволяет моделировать начальные стадии формирования тонкоплёночных структур, поэтому для качественного сопоставления результатов эксперимента с расчётными зависимостями были использованы низкотемпературные участки. Ed, эВ 7 6 5 4 3 2 1 1650 1750 1850 1950 Г, К —■— - эксперимент -к- -/ = 36),7; и0б 2,(5 эВ; е = 400; V = 8,5 эВ -•— -/ = 70; и0 = 3,3 эВ; е = 400; V = 14,7 эВ а) Ей, эВ И - эксперимент -а--/ = 30,7; С0 = 2,6 эВ; е = .400; V = 7,6 эВ б) Рис. 2. Зависимости энергии активации десорбции от температуры, полученные при обработки экспериментальных данных [3], и расчётные кривые (сплошные линии) для различных начальных степеней покрытия 9: а - 9 = 0,2; б - 9 = 0,8 Как следует из представленных графиков, при различных начальных степенях покрытия наблюдается уменьшение энергии активации десорбции с увеличением температуры. При степени покрытия 9 = 0,2 температурная зависимость энергии активации десорбции более резкая. В этом случае в начале нагревания в области температуры 1750 К наблюдается скачкообразное уменьшение энергии активации почти в два раза. Такое поведение энергии активации предположительно можно объяснить разными структурами поверхностного слоя: при температурах, меньших 1750 К, система адсорбат-подложка находилась в некотором метастабильном состоянии; при увеличении температуры происходит скачкообразный переход системы в стабильное состояние с меньшим значением энергии активации. При этом расчётные кривые, полученные для разных участков экспериментальной зависимости, соответствуют разным параметрам латерального взаимодействия: энергия парного взаимодействия отличается в 1,7 раза - на низкотемпературном участке 14,7 и 8,5 эВ при Т > 1750 К. Отметим, что энергия среднего поля подложки на всём температурном участке поддерживалась постоянной е = 400, несколько различались лишь нормировочные множители: и0 = 3,3 эВ при Т < 1750 К и и0 = 2,6 эВ при Т > 1750 К. При степени покрытия 9 = 0,8 зависимость Ей = =1(Т) монотонно убывающая без резких скачков, достаточно хорошо аппроксимируется расчётной кривой (сплошная линия). Некоторый разброс экспериментальных значений можно объяснить погрешностью эксперимента (энергия активации определялась с точностью 0 2-0,3 эВ), а также погрешностью определения усреднённого углового коэффициента. Параметры аппроксимирующей расчётной кривой для данной степени покрытия приведены на рис. 2 б. Значения параметров, характеризующих влияние поля подложки (и0, е ), в данном случае и при 9 = 0,2, определённых при Т > 1750 К, совпадают. А вот значение энергии парного взаимодействия при 9 = 0,8 меньше: 7,6 эВ вместо 8,5 эВ при 9 = 0,2. Такое уменьшение интенсивности парного взаимодействия по мере увеличения степени покрытия наблюдалось и ранее при изучении концентрационной зависимости энергии активации десорбции редкоземельных металлов с поверхности кремния [1]. Таким образом, сравнение температурных зависимостей энергии активации десорбции, полученных при обработке экспериментальных данных, с расчётными зависимостями, с помощью уравнения (1) позволяет предположить о наличии структурных изменений в адсорбированном слое при степени покрытия 9 = 0,2. Скачкообразное изменение энергии активации при увеличении температуры моделируется скачкообразным изменением интенсивности парного взаимодействия. Каких-либо данных, касающихся структуры метастабильного слоя в настоящее время нет. При степени покрытия 9 = 0,8 температурная зависимость аппроксимируется монотонной расчётной кривой с постоянным значением среднего поля подложки и энергии латерального взаимодействия, что свидетельствует о присутствии на поверхности подложки адсорбционного слоя определённой структуры. Более точного заключения сделать не удаётся, так как дополнительных экспериментальных исследований структуры адсорбированного слоя в [3] не проводилось. На основании проведенного сравнения можно предложить следующее объяснение температурной зависимости энергии активации на начальных этапах конденсации. При малых степенях покрытия, соответствующих началу конденсации, латеральные взаимодействия адсорбированных частиц малы по сравнению с величиной активационного барьера для их диффузии вдоль поверхности. В этом случае одиночные атомы 2_0-газа локализуются на центрах, соответствующих минимумам потенциальной энергии поля подложки. При этом энергия активации десорбции складывается из энергий взаимодействия адатома с подложкой и латеральных взаимодействий адатомов между собой. Поэтому уменьшение энергии активации с увеличением температуры можно объяснить несколькими факторами: во-первых, с увеличением температуры может происходить уменьшение «глубины» потенциального барьера подложки; во-вторых, с увеличением температуры изменяется интенсивность латерального взаимодействия. Как правило, изменение латерального взаимодействия является результатом либо изменения расстояния между адатомами, либо изменения количества связей между ними. Таким образом, в работе получены следующие результаты: - обработаны экспериментальные данные по термодесорбции кремния с текстурированных лент тантала, с целью получения температурных зависимостей энергии активации десорбции; - рассчитанные теоретически температурные зависимости ширины щели А = _ДТ) были сопоставлены с температурными зависимостями энергии активации десорбции для термодесорбции кремния с текстури-рованных лент тантала, полученных при обработке экспериментальных данных. Сопоставление зависимостей на начальных этапах десорбции обнаруживает качественное совпадение полученных результатов, а также позволяет оценить интенсивность латеральных взаимодействий при разных покрытиях; - скачкообразное изменение энергии активации с увеличением температуры при степени покрытия 9 = 0,2, а также скачкообразное изменение параметра парного взаимодействия на расчётных кривых, позволяют предположить о наличии структурных изменений в адсорбированном слое при данной степени покрытия. За неимением экспериментальных исследований структуры адсорбированного слоя при этих условиях более точного заключения сделать не удаётся; - проведена попытка объяснения наблюдаемого уменьшения энергии активации с увеличением температуры. Литература 1. Лебедев В.И., Мизина В.В. Квантовая модель образования плёнок на подложках // Химия твёрдого тела и современные микро- и нанотехнологии: сб. научн. тр. V между-нар. научн. конф. - Кисловодск, 2005. - С.201-202. 2. Черепин В.Т., Васильев М.А. Методы и приборы для анализа поверхности материалов: справ. - Киев, 1982. 3. Агеев В.Н., Афанасьева Е.Ю., Потехина Н.Д., Поте-хин А.Ю. Термодесорбция кремния с текстурированных лент тантала // Физика твёрдого тела. - 2000. - Т. 42, вып.2. - С. 347-353. Северо-Кавказский государственный технический университет, г. Ставрополь; Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт); Южный научный центр Российской академии наук, г. Ростов н/Д 18 апреля 2006 г. УДК 543.423:389.6 РАСШИРЕНИЕ ТЕХНИЧЕСКИХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ВХОДНОГО КОНТРОЛЯ МАТЕРИАЛОВ © 2006 г. А.А. Кузнецов, Д.С. Шишкин Разработка новых материалов на основе современных достижений науки и технологии предусматривает совершенствование методов контроля качества, а также создание более прогрессивных средств измерений параметров физико-химических свойств анализируемых материалов. Решение этих проблем неразрывно связано с созданием автоматизированных систем на основе создания высокоэффективных методик, алгоритмов и программного обеспечения. Под входным контролем в рамках данной работы будем понимать соответствие исследуемых материалов нормативным требованиям, в первую очередь, по количественному химическому составу (марка материала), а также его физико-механическим свойствам. В качестве инструмента анализа в работе рассматриваются автоматизированные средства атомно-эмиссионной спектроскопии. Одним из направлений совершенствования таких систем в настоящее время является их модернизация, с целью замены регистрирующих блоков на системы с приборами зарядовой связи (ПЗС). Применительно к системам входного контроля промышленных материалов существенно сократилась доля ручных операций, появилась возможность проведения «интеллектуального контроля» с автоматизацией большого числа операций [1]. Для регистрации спектров в полном диапазоне длин волн используется модернизированный кванто-метр с приемниками излучения в виде линейных приборов с зарядовой связью (ПЗС) [2]. Структурная схема измерительно-вычислительного комплекса, разработанного для модернизации установки фотоэлектрического спектрального анализа, на базе квантометра типа МФС-8М показана на рис. 1. т чн * К источнику спектра БУИС N CAN2.0b Рис. 1. Структурная схема ИВК установки МФС-8М Комплекс содержит унифицированные блоки измерения, к каждому из которых подключается по три платы приемников с диодными линейками, модуль согласования с персональным компьютером на базе локальной сети типа CAN2.0b и блок управления источником спектра (БУИС). Модуль согласования с персональным компьютером типа CAN2.0b предназначен для организации локальной сети, к которой возможно подключение до четырех унифицированных блоков измерения с диодными линейками. Ввод данных, содержащих мгновенные значения, пропорциональные интенсивностям спектральных линий осуществляется через USB порт ПК. Блок управления источником спектра предназначен для управления источником возбуждения спектром типа УГЭ-4 или аналогичным. В программном режиме задается время обжига и накопления сигнала об интенсивностях спектральных линий. Ток генератора, параметры сигнала возбуждения устанавливаются на генераторе вручную и передаются в базу данных для каждого анализируемого материала. Структурная схема унифицированного блока измерения с диодными линейками представлена на рис. 2. RS232 Рис. 2. Структурная схема унифицированного блока измерения с диодными линейками (CCD) Унифицированный блок содержит три платы с диодными линейками (CCD), усилителями сигналов и генераторами тактовых импульсов. Аналого-цифровое преобразование выполняется быстродействующим 14 разрядным АЦП (ADC) с частотой преобразования 6 МГц. Схема содержит микропроцессор (MCU), программируемую логическую матрицу (PLD), микросхемы памяти (RAM, FLASH), счетчик (CNTR) и таймер (TRM). Подключение блоков к компьютеру осуществляется по протоколу локальной сети типа CAN2.0B и через контроллер к порту USB. Мгновенные значения напряжений, пропорциональные интенсивностям спектральных линий, передаются в персональный компьютер. Для распознавания спектральных линий определяемого химического элемента использовано моделирование спектра при помощи вейвлет преобразования. Представление сигналов различной формы предполагает выбора того или иного типа базовой функции вейвлета из большого количества имеющихся в настоящее время [3]. Представление спектра в виде мгновенных значений напряжения, пропорциональных интенсивностям спектральных линий позволяет сохранять в памяти компьютера данные как исследуемых проб, так и стандартных образцов с заданным химсоставом и физико-механическими свойствами. Структурная схема входного экспресс-анализа приведена на рис. 3. На начальных фазах исследований в блоке «Выбор типа основы» по воспроизводимым на мониторе спектрограммам контролируемого материала проводится качественный анализ исследуемого образца (ИО). На этом этапе по сравнительному исследованию положений спектральных линий на спектрограммах ИО и стандартного образца (СО) с различной основой содержания определяется тип основы (алюминий, железо, медь и т.д.). После этого уточняется группа материалов, к которой относится ИО (литейный алюминий, легированные стали и т.д.) [3]. База данных материалов База данных спектров База данных эталонов iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. i к i i < у г у Г у г Контролируемый Выбор типа Определение легирующих элементов Выбор эталона образец основы материала k-й этап расчета концентрации Cxk Уточнение виртуального эталона Создание равновесной системы Cxk 4 Определение погрешности результата Определение достоверности результата Определение марки материала Рис. 3. Структурная схема входного контроля Рис. 4. Сравнение образцов с большим и малым содержанием марганца Mn (293,39; 293,95 нм) В блоке «Определение легирующих элементов» производится выбор перечня контролируемых элементов по спектрограммам соответствующих СО, заложенных в память персонального компьютера, определяется положение реперной линии. Относительно нее и фиксируются координаты выбранных линий. По результатам измерений в программном режиме вычисляется значение энергетического параметра ^'эл в соответствии с алгоритмом [4] и подбирается эталон из соответствующей базы данных. В блоках «Создание равновесной системы», «Уточнение виртуального эталона» и «Расчет концентрации Сх» проводится количественный анализ. Для этого по измеренным входным параметрам Р., по уравнениям физической модели программно вычисляется среднее арифметическое процентного содержания элементов. Затем в режиме «Определение марки материала» на основе использования многопараметрового анализа оценивается качество выполненных отдельных измерений и полученного в целом результата, его достоверность в соответствии с требованиями государственных стандартов на спектральный анализ. На конечных этапах исследований дается заключение на соответствие результатов требованиям этих стандартов. Для определения элементного состава, сравниваются измеренный и эталонные спектры, по каждому из возможных элементов, как показано на рис. 4. Для этого из базы данных спектров элементов извлекаются нужные СО. По каждому из имеющихся элементов определяется энергетический параметр по уравнению, полученному в работе [5]: Гэл = Ж, = Ках).- с,2, (1) которое учитывает влияние совокупности факторов, определяющих энергетические свойства, присущих ОАО АК «Омскагрегат» только данному контролируемому материалу. Поэтому заложенные в базу данных программного обеспечения численные значения Ш,СО по (1) для государственных стандартных образцов могут служить критерием выбора контролируемого материала. Этот основной критерий отбора и лежит в основе алгоритма определения неизвестных марок материалов в системах входного экспресс анализа спектральным методом. В работе предложены алгоритмы автоматизированного входного контроля марок неизвестных материалов. Рассматривается модернизированное оборудование атомно-эмиссионного спектрального анализа для проведения входного контроля. Для повышения достоверности контроля и возможности определения физико-механических свойств предлагается рассчитывать обобщенный энергетический параметр по ин-тенсивностям излучения спектральных линий анализируемых элементов. Литература 1. Васильева И.Е. Дуговой атомно-эмиссионный анализ твердых образцов как задача искусственного интеллекта // Аналитика и контроль. - 2002. - Т. 6. № 5. - С. 512-527. 2. Кондратов С.В., Жадобин А.М., Кондратов С.В., Муси-хин В.Л., Власов В.И. Многоканальные фотоприемные устройства БКССБ для спектральных приборов // Аналитика и контроль. - 2002. - №5, Т. 6. - С. 492. 3. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. - М.; СОЛОН-Р, 2002. - 448 с. 4. Кузнецов А.А. Входной контроль материалов и изделий при производстве и эксплуатации железнодорожной техники: Энергосберегающие технологии и окружающая среда: Сб. тр. междунар. конф. / Иркутский гос. ун-т путей сообщения; Афинский технология. ин-т. - Иркутск, 2004. - С. 45-49. 5. Кузнецов А.А., Шишкин Д.С. Расширение информативности и функционального назначения спектральных методов контроля // Вестник Ростовского государственного университета путей сообщения. - 2005. - № 4. - С. 64-68. 20 апреля 2006 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskaya-model-stratifitsirovannogo-techeniya-vyazko-uprugo-plastichnoy-smazki-v-zazore-upornogo-metallopolimernogo

Ахвердиев К.С., Приходько В.М., Яковлев М.В. Математическая модель стратифицированного течения вязко-упруго-пластичной смазки в зазоре упорного металлополимерного подшипника скольжения // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2006. № 2. Решена задача о раздельном стационарном движении двухслойной смазки между ползуном и направляющей на основе нелинейной модели Максвелла в случае, когда композиция обладает вязко-упруго-пластичными свойствами. Ил. 1. Библиогр. 4 назв.

Проведенные исследования позволяют расширить возможности создания новых смазочных композиций с применением неорганических полимерных соединений и внедрения их в различные отрасли промышленности. Литература 1. Савенкова М.А., Булавина Е.А. Изменение физико-химических параметров смазок ЖРО-М и Буксол в процессе эксплуатации // Тр. Всерос. науч.-практич. конф. «Транспорт-2005». Ч. 2. Ростов н/Д, 2005. 2. СавенковаМ.А., Мардиросова И.В., Очерет Н.П. Электрофизические свойства фосфоромолибдатных комплексов // Совр. проблемы энергетики: Межвуз. сб. науч. тр.Ростов н/Д, 1998. С. 77-81. 3. ГОСТ «Смазки пластичные». Ч. 2. М., 1982. 4. ИщукЮ.Л. Состав, структура и свойства пластичных смазок. Киев, 1996. 5. Жданов И.П., Подольский Ю.А., Цуркан И.Г. Об эффективности действия противозадирных присадок в пластичных смазках для буксовых узлов железнодорожных вагонов // Нефтепереработка и нефтехимия. 1977. № 4. С. 34-39. 6. Комарова Т.Г., Мельникова В.Г., Бельцова Е.А. Процессы в дисперсных средах // Межвуз. сб. науч. тр. Иваново, 1997. С. 179-183. 7. Булавина Е.А., Савенкова М.А., Челохьян А.В. Механизм смазочного действия пластичных смазок с участием ге-терополифосфатов // Тез. докл. III междунар. семинара по контактному взаимодействию и сухому трению. М., 2005. С. 649. 15 декабря 2005 г. Ростовский государственный университет путей сообщения УДК621.89+06 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТРАТИФИЦИРОВАННОГО ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКО-УПРУГО-ПЛАСТИЧНОЙ СМАЗКИ В ЗАЗОРЕ УПОРНОГО МЕТАЛЛОПОЛИМЕРНОГО ПОДШИПНИКА СКОЛЬЖЕНИЯ © 2006 г. К.С. Ахвердиев, В.М. Приходько, М.В. Яковлев Свойства минеральных смазочных масел удается улучшить за счет добавок высокомолекулярных полимеров, благодаря которым вязкость становится сравнительно слабо зависящей от температуры, а также происходит уменьшение вязкости с ростом скорости сдвига. Все это характеризует «неньютоновское» поведение смазки. Кроме того, высокомолекулярные добавки к минеральным маслам делают их более вязко-упруго-пластичными с большим временем релаксации, чем у обычных масел. Исследования [1-3] показали, что свойство релаксации напряжений, оказывает положительное влияние на характеристики гидродинамических подшипников. В классической гидродинамике изотропной жидкости Навье - Стокса не делаются различия между внутренним (адгезионным) трением слоев жидкости между собой и внешним трением жидкости. Мерой трения служит сдвиговая вязкость. Между тем в настоящее время установлено, что взаимодействие жидкости с твердой поверхностью не является универсальным, как в гидродинамике Навье-Стокса, а зависит от ряда факторов. Наиболее общим выступает уровень активности молекулярных сил твердой подложки, которая обнаруживается в известных явлениях смачивания жидкостью поверхности твердого тела. Стало очевидным, что при наличии в смазочной жидкости твердых частиц присадок или продуктов износа или окисления, а также благодаря пристенчатой ориентации ее молекул происходит разделение смазки на слои с разной вязко -стью, с разными модулями упругости и с разными предельными напряжениями сдвига. Представляет значительный интерес разработка математической модели прогнозирования возможной роли вязко-упруго-пластичных свойств двухслойной вязко-упруго-пластичной смазочной композиции в рамках гидродинамической смазки. Задача о раздельном стационарном движении между ползуном и направляющей двухслойной смазки, в качестве уравнения состояния которой используется линейная модель Максвелла, решена в работе [4]. Ниже нами решение этой задачи приводится для двухслойной смазочной композиции с применением нелинейной модели Максвелла с предельным напряжением сдвига т0 (т.е. для смазочной композиции, одновременно обладающей вязко-упруго-пластичными свойствами). ди' т 0: т' и * дт' —= + ——-, (I =1, 2). (1) дУ М - т 0г °г дх Здесь и * - скорость движения направляющей, О . -модуль упругости, м - динамический коэффициент вязкости, т' - начальное напряжение, т ш - предельное напряжение сдвига. Предполагается, что скорость и' в направлении оси оу достаточно мала по сравнению со скоростью и'- вдоль оси ох. Кроме того, изменение скорости и' в направлении х достаточно незначительно по сравнению с изменением в направлении у (рис. 1). Рис. 1. Схематическое изображение стратифицированного движения вязко-упруго-пластичной смазки в упорном подшипнике (Г - граница раздела слоев) Также предполагается, что давление постоянно по толщине пленки, заданной уравнением к' = к0 + х^а . При наличии вышеуказанных допущений рассмотрение равновесия элемента жидкости между поверхностями подшипника приводит к уравнению Этdp' , dp. , ( —7 = —7' ^ т . =—-y + e. (x ). dy dx dx Здесь p' - гидродинамическое давление. (2) Используем разложение в степенной ряд sh ——. fT А3 sh- 1 — + 3! На основании (1) и (2) получим: д2 и V2 д и ФЛ+ ц i I dx I Gj f d^ ' dx 1 6t 0j2 Ц .1 dx ¥7У + 4 (x)| + - условия прилипания смазки к поверхности направляющей и ползуна и = 0, и = 0 при у = к 0 + х и = 0, и = 0 при у = 0; - равенство гидродинамического давления атмосферному в сечениях р = рА при х = 0, х = I, где Р * I - длина ползуна; - равенство скоростей, касательных и нормальных напряжений на границе раздела слоев; - условия ненапряженного состояния вязкоупру-гой смазки при значении х = 0 . Перейдем к безразмерным переменным по формулам: к0 и i = и иi; и i = е и иi; y' = h о y; p'i = p. * Pi; е = —; x = xl; l Pг =■ цiluя (5) Подставляя (5) в (3) и (4), с точностью до членов О (А2) будем иметь: д Ч dp. а d2p_ + ßi ду2 dx д— i du dx2 дУ A f dp . 6 ^ dx Ц ги У+ег (x) + 0(Ai2), + —- = 0, ß i = дx ду G2e A.г . (6) T 2 h 5 Граничные условия в безразмерном виде запишутся следующим образом: и1 = 0, и1 =-1, при у = 0; и 2 = 0 при у = 1 + кх; и 2 = а p А p2 = —А- при x = 0; x = 1; p * i и i Ц 2 Ц 2 ак =—; pi = p2—; — 1 = —2; их = и2; е = ^е2; — 2 Ц1 Ц1 5!ц гT 1 f dp2 '+ ' ( л I + 4Id7y + е (x )| + ... (2 =1, 2). (3) д— 2 ди' —7 + —7 = 0, (2 =1, 2), / 'Ч / ? V ? /? дx ду (4) ц1 G, tga ' = —7-, — = G- = - — i Ц 2 G 2 T 01 02 де^ д— 2 Ц 2 ß де2 ц 2 ß 2 ~ д—1 -ß^ = ду дx ду Ц j дx ц 1 При анализе рассматриваемой системы уравнений (3) необходимо добавить уравнения неразрывности при у = а(1 + kx), 0 < а < 1. dp iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. dx = 0, ei = 0 при x = 0 . (7) а также условия существования стратифицированного (раздельного) течения двухслойной вязко-упруго-пластичной смазочной композиции в зазоре между ползуном и направляющей Осредним нелинейные члены в правой части уравнения (6) по методу Слезкина - Тарга. Введем обозначение = Тк,к+Н2Ьу, <' =12>■ <8> Точное автомодельное решение задачи (6), (7) с учетом (8) будем искать в виде: — i =■ Здесь а' - угол наклона границы раздела к оси Ох. Система уравнений (3), (4) решается при следующих граничных условиях: ду 1 ду + V, (x;у), u2 = - — + U, (x; у), i дx У) Vx (x;у) = — i Ui (x;у) = иi (^)k, £ = у 1 + kx 0 T V- = у- (5) йР' о й2Р' тл ^ С2• йх йх2 (1 + кх) (1 + кх) Подставляя (8) в (6) и (7), получаем: // / у' = С2. и' = ¿1, и' -5 и' = 0; / и - = 0, яЗ1 =-1, у1 = 0 при 5 = 0; / ии 2 = 0, V 2 = 0, при 5 = 1; / / // // V1 (а) = 0, у2 (а) = 0, м 1 V 1 (а) = м2 V2 (а), / М1 и 1 (а) = м2 и2 (а). (9) p Рг = Нт при я = 0, X = 1; Pi = p2 2 . ei = e n dP о dx = 0, ег = 0 при x = 0. 2 (14) Решение задачи (13), (14) будем искать в виде Рг = Р + Р, = Е- + Е, О,- = Ф2- + (' = 1,2). Здесь Р', Ei, Ф 2' - решение задачи для двухслойной смазочной композиции, обладающей вязкоупру-гими свойствами (т.е. когда Ог = 0 ). Рг-, Ег, Ф2 -добавочное решение линеаризованной задачи), обусловленное наличием вязко-пластичных свойств смазки. Для Р1 и Р2 из системы уравнений (13) получаем следующие выражения: Р А рг =—— при x = 0, x = 1; Рг * Р1 = Р 2- Ц 2 Ц 2 ;1 - с2 ■ (10) = e ß М1 М1 а 1 /и1 (5)Л 5 = 0, /и 2 (5)Л 5 = 0. (11) 0 а Граничные условия (11) обусловлены несжимаемостью слоистой смазки. В случае а = 1 мы имеем единую смазку. При значениях х Ф 0, а Ф 1 имеет место слоистое течение смазки при выполнении следующих условий: М1 = _О1 = т 0! М 2 О 2 т 02 Интегрируя систему уравнений (9), получим: P1 = e P2 = e ß 1 ( \ X C „I 2 (x) + C2113(x) + " Р1 e ßdx ++ * Р1 11 Л C 121 2 (x) + C 2213( x) + " Р1 e ßdx ++ 1 Р 2 (15) Постоянные интегрирования, входящие в выражения (12) и (15) определяются из граничных условий (10) и (11). Явный вид выражений этих коэффициентов найден в работе [4]. В результате получены аналитические выражения для несущей способности и силы трения w = 2 * 1( e ц 1u 1 -I '0 0 P1 - Рлк ц 1eu1 2 Л dx. (16) \ 2 \ 2 V 1 (5) = c 21 + c1^ + c 2> U1 (S) = c11 Y + С 3^+ c 4' Ц 1u * e I E1dx, '0 0 5 ' 5 2 и 1 =/5и 1 (5)й5 , у 2 (5) = С 22— + С 55 + С 6, 02 52 5 и2 (5) = Сп — + С75 + С8, и2 = /5и'2 (5)Л5+ и2 (а). (12) 20 Гидродинамическое давление в слоях смазочной композиции определяется из системы уравнений в^ + — + О (х) = % + %, ' йх2 йх Н2 А2 г 2h 01 dx г ( )| dx х 1 — 1 1 E1 = e ß 11 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 1 ß0 C1 + (1 + kx)2 1 + kx e ßdx. (17) Для определения Рг, Ег и Ф 2 мы имеем следующую линеаризованную систему уравнений: ß; d2 P.г dP: г +—г- + D г (x) = ■ dx2 dx Ф 2 (г = 1,2); (18) . dE г - Л/ ^^ ог,2 ' ' Ег ) = 0 ' (' 2 Л ßlk + Eг + 6( + 3EfEг ) = 0 , (г = 1,2), (19) Лг dPг где DD г (x) = -L-JL 2 dx dP, dP, h2 ((dP, | + I dx ) dx dx dei ei 3 Л c1 c ß + eг + dx 6 h2 h h=1 + kx, (г =1, 2). (13) +2 dP(e: + Eг)) + Et 2 +2EtEг + 2 <dPP-E, h 1 \ г г / г. г г г г Система уравнений (13) решается при следующих граничных условиях: dx 2 dx dx dPг Л 2 h2 dx dP, h 2 — + 2—^- E — + Eг 2 2 dx 2 Система уравнений (18) - (20) решается при следующих граничных условиях: Р = 0 при х = 0, х = 1, dd-L = 0, Eг = 0 при х = 0 . dx (21) Задача (18) - (21) допускает точное решение. Для добавочной несущей способности и добавочной силы трения получены аналитические выражения, аналогичные (16) и (17). Результаты численного анализа при значениях параметров в- а -0, 0,1; 0,2; 0,5; ^ - 0,1; 0,2; 0,5; показывают: - 0,1; 0,2; 0,5; G, 0 2 -01 - 0,1; 0,2; 0,5, - с увеличением вязкостного отношения —— не- ц! сущая способность возрастает как для истинно вязкой, так и для вязкоупругой и вязко-упруго-пластичной жидкости; - чем меньше значение структурного параметра а , тем больше несущая способность подшипника; - в случае, когда в качестве уравнения состояния используется линейная модель Максвелла, несущая способность ниже по сравнению с этим показателем для истинно вязкой жидкости. При этом, с увеличением значения параметра в {-1, несущая способность подшипника стремится к значению этого показателя для истинно вязкой жидкости, оставаясь меньше этого значения; - в случае, когда в качестве уравнения состояния используется нелинейная модель Максвелла при малых значениях параметра А -1, несущая способность стремится к значению этого показателя для истинно вязкой жидкости, оставаясь больше этого значения. Литература 1. Харноу. Анализ релаксации напряжений в упруговязкой жидкой смазке радиальных подшипников // Проблемы трения и смазки. 1978. № 2. С. 159-168. 2. Коул Д.А. Экспериментальное исследование влияния температуры на работу опорных подшипников скольжения // Междунар. конф. по смазке и износу машин (Лондон, 1957) М., 1962. С. 108-113. 3. Гурин Д. де, Холл Л.Ф. Экспериментальное исследование трех типов упорных подшипников скольжения, предназначенных для тяжелых условий работы // Междунар. конф. по смазке и износу машин (Лондон, 1957) М., 1962. С. 124-131. 4. Демидова Н.Н., Яковлев М.В. Математическая модель стратифицированного течения вязкоупругой смазки в зазоре упорного металлополимерного подшипника скольжения. // Вестн. Рост. гос. ун-та путей сообщения. Ростов н/Д, 2004. № 4. С. 100-104. Ростовский государственный университет путей сообщения 28 октября 2005 г. и УДК 621.762.002 ОСОБЕННОСТИ ФЛОКУЛЯЦИИ ПОЛИДИСПЕРСНЫХ ПОРОШКОВ МАГНИТОТВЕРДЫХ МАТЕРИАЛОВ © 2006 г. Ю.М. Вернигоров, И.Н. Егоров, С.И. Егорова При работе с порошками магнитотвердых материалов необходимо учитывать на каждом этапе технологического процесса их склонность к флокулиро-ванию. Большие силы магнитостатического взаимодействия приводят к формированию устойчивых агрегатов (флокул) даже в случае, если когезионные силы оказываются малыми. Образующиеся флокулы могут содержать от двух до нескольких сотен частиц, что неизбежно приводит к изменению как физических так и технологических свойств порошков. Например, необходимость разрушения флокул существенно усложняет технологию прессования анизотропных высокоэнергетических порошковых магнитов, тонкодисперсные порошки магнитотвердых материалов имеют практически нулевую текучесть, что исключает возможность автоматического дозирования этих порошков и т.д. Механическое измельчение хрупких магнитных материалов объединяет два одновременно действующих процесса: разрушения частиц внешней силой и флокуляции частиц как самопроизвольной, так и вызванной внешними воздействиями [1]. При измельчении необходимо регулировать технологические режимы для достижения требуемой дисперсности, что напрямую связано с активностью порошка. В шаровых мельницах роль процессов флокуляции не оказывает заметного влияния на процесс измельчения, так как прочность флокул мала по сравнению с прочностью составляющих ее частиц. При измельчении порошков в мельницах с электромагнитным воздействием на дисперсный материал роль флокуляции возрастает. Для повышения управляемости процесса измельчения применяют вращающееся магнитное поле [2],

https://cyberleninka.ru/article/n/strannye-attraktory-v-amplitudnoy-sisteme-sootvetstvuyuschey-peresecheniyu-bifurkatsiy-v-zadache-kuetta-teylora

Рассмотрены хаотические режимы течения жидкости между вращающимися цилиндрами в окрестности точек пересечения нейтральных кривых колебательной потери устойчивости в нерезонансном случае. В окрестности таких точек взаимодействие нейтральных мод описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд. Показано, что при определенных значениях параметров существуют хаотические решения амплитудной системы, которым могут соответствовать хаотические режимы течения жидкости.

МЕХАНИКА УДК 532.516 СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ В АМПЛИТУДНОМ СИСТЕМЕ, СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЮ БИФУРКАЦИЙ В ЗАДАЧЕ КУЭТТА-ТЕЙЛОРА © 2012 г. А.А. Алексеев, И.В. Моршнева Алексеев Александр Александрович - ассистент, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, е-mail: [email protected]. Моршнева Ирина Викторовна - кандидат физико-математических наук, доцент, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, е-mail: [email protected], [email protected]. Alexeev Alexander Alexandrovich - Assistant, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: [email protected]. Morshneva Irina Victorovna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: [email protected], [email protected]. Рассмотрены хаотические режимы течения жидкости между вращающимися цилиндрами в окрестности точек пересечения нейтральных кривых колебательной потери устойчивости в нерезонансном случае. В окрестности таких точек взаимодействие нейтральных мод описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд. Показано, что при определенных значениях параметров существуют хаотические решения амплитудной системы, которым могут соответствовать хаотические режимы течения жидкости. Ключевые слова: задача Куэтта-Тейлора, пересечение бифуркаций, амплитудные уравнения, странный аттрактор. Chaotic regimes of flow between two concentric rotating cylinders near codimension-2 bifurcation points are investigated. The interaction of neutral modes near such points is described by the system of ordinary differential equations for amplitudes. Results of calculation of chaotic solutions of amplitude system are presented. Keywords: Couette-Taylorproblem, intersection of bifurcations, amplitude equations, strange attractor. Постановка задачи Рассматривается задача о течении вязкой несжимаемой жидкости между двумя бесконечными соос-ными цилиндрами радиусов г1, г2, вращающимися с угловыми скоростями соответственно (задача Куэтта-Тейлора). Безразмерные уравнения движения (уравнения Навье-Стокса) записываются в виде ^ + Аг = -Ур - Я1Ку, V) , (1) Vv = 0, где V = (уг,VQ,vz) - скорость течения; р - давление; (г, 9,2) - цилиндрические координаты; ось г направ- „ 2 „ лена вдоль оси цилиндров; ^ = ——- - число Рей- V нольдса; V - кинематический коэффициент вязкости; d = "л -1 - безразмерный зазор между цилиндрами; (Av) z = -Avz д2 1 д 1 д A =—- +--+ — — + - , дг2 r дг r2 д9 dz2 (ДИ, v)) г = Vr ^ + ^ + Vz % - ~ дг г д9 дz г ,Т. ди9 v9 ди9 ди9 vu дг г д9 дz г (L(u, v)) z = V dUz | vq dUz дг г <дд + v, дя v = (i1 д_ r дг r 59 5z На твердых границах задано условие прилипания: vr = vz = 0 > Vq=-^ , r = ■ 1 ^ = vz = 0 > v9 = Qn ■rç-1 rç-1 ■rç-1 rç-1 ц = Г2 - отношение радиусов цилиндров. Линейный где Q = - отношение уга^ьк скоростей враще оператор A и нелинейный оператор L определяются следующими дифференциальными выражениями: Л s л vr 2 dvr ( Av)r = -Avr +-Г- +——-, г г r 2 r2 59 ' vQ 2 5v9 п1 ния цилиндров. Система (1) обладает группой симметрии G=SO(2)xO(2) - она инвариантна относительно вращений ¿9 , трансляций ¿¡2 и инверсии J, действую- (Av)q =-aVq+^q- 2 г2 дд щих Т8 на поле скоростей по правилам: LQv(t, г, 9, z) = v(t, г, 9 + 8, z) ; 2 Lhzv(t, r, е, z) = v(t, r, e, z + h) ; Jv(t, r, e, z) = (vr (t, r, e, - z), ve (t, r, e, - z), - Vz (t, r, e, - z)) для любых вещественных 8 и h . При всех значениях параметров система имеет точное решение v0 (r) = (0, v0e (r), 0) - течение Куэтта. b = R - Rir Ri(n2 - 1)d2 Ь Я2 - К Здесь у09 = аг + — , а = —^—— г -1) П^ё2 2 где = ——-, К2 = ——- - числа Реинольдса, V V связанные с вращением внутреннего и внешнего цилиндра соответственно. Исследовать устойчивость течения Куэтта относительно возмущении с периодическими по 2 полями скорости и давления с заданным периодом — можно а методом линеаризации. Заметим, что требование периодичности играет здесь роль «осевого краевого условия». Рассматривается случаи потери устоичивости течения Куэтта, при котором в спектре устоичивости находятся две пары чисто мнимых собственных значений. Это соответствует пересечению двух нейтральных кривых колебательной потери устойчивости. В указанном случае линеаризованная на течении Куэтта задача устойчивости имеет четыре независимые нейтральные моды: ф00 = е-1(а^+тд+каг)ф0Ю(г) , Ф01 = е-1'(ш»'+,и0-*аг)фм (г) , Фт = е (ш»'+й6+;а2)Ф20 (г), Ф11 = е-'(»,/+"е-1а2)ф11 (Г), взаимодействие которых в малой окрестности точки пересечения может приводить к появлению разнообразных режимов движения. Система амплитудных уравнений Малая окрестность точки пересечения бифуркаций 9 2 задается выражениями: Я1 = Я1* + , К = К2* + , где е - вещественный малый параметр; коэффициенты £1, ¿2 - параметры надкритичности. Асимптотическое решение нелинейной системы в окрестности точки 0^*, Я2*) ищется в виде V = у0 + е(Ф + Ф*) +К , Ф = ^00(Т)Ф00 +^01(Т)Ф01 +^1о(т)Фю +^11(т)Фц , где -неизвестные амплитуды, зависящие от медленного времени т = е2/. При малых е с помощью теоремы о центральном многообразии строится система комплексных дифференциальных уравнений первого порядка для амплитуд [1, 2]. Рассматривается случай, когда ни одно из шести резонансных соотношений (указанных в [3]) между азимутальными и осевыми квантовыми числами и между фазовыми частотами не выполняется. Тогда амплитудная система содержит только члены, отвечающие обязательным резонансам, и имеет вид &) = ^оо(а + A^ос|2 + B^0i|2 + C ^1с|2 + D^1l|2) , Юх =^0i(CT + в ^оо|2 + A|^0i|2 + D^iol2 + C|^ii|2), (2) §о =^ю(Ц + P ^оо|2 + S ^if + U ^ю|2 + V ^iif)' §i = ^„(ц + S^оо|2 + PM2 + V^ю|2 + U^iil2). Комплексные коэффициенты а, ц, A, B, C, D, P, S,U,V системы (2) выражаются явно через решения серии линейных неоднородных краевых задач. При исследовании режимов движения в (2) удобно перейти к системе для инвариантов группы симметрии, которыми в данном случае являются модули комплексных амплитуд: Йоо = P00(ar + ArРоо2 + BrP0i2 + CrPm2 + DrPii2)> P%1 =P01(аr + ВгРоо2 + ArP012 + DrРю2 + CrPii2) > (3) &0 = Pi0»r + PrP002 + SrP012 + UrPi02 + VrPi12) > $1 =PiiOr + SrP002 + PrP012 + VrPi02 + UrPi12) . Здесь и далее нижний индекс r означает действительную часть, а i - мнимую часть комплексного числа. Система (3) носит название моторной подсистемы. После того как найдено решение моторной подсистемы, фазы находятся простым интегрированием уравнений 2 2 2 2 = ai + Ai Р00 + BiP01 + CiPi0 + DiPi1 > 2 2 2 2 0i =ai + BiP00 + AiP0i + DiPi0 + CiPii > 2 2 2 2 10 = Ц + PiP00 + SiP01 + UiPi0 + ^Pii > 2 2 2 2 ¡1 = Mi + SiP00 + PiP0i + ^iPio + ^iPii : iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. нуля, иначе если амплитуды отличны от Уоо, Уоь ^10, VII не определены. Системы (2), (3) выписаны в [4], там же приведены формулы для расчета коэффициентов и рассмотрены равновесия системы (3) на инвариантных подпространствах, на которых обращаются в нуль одна или несколько амплитуд. Этим равновесиям отвечают стационарные, периодические и квазипериодические режимы исходной системы уравнений Навье-Стокса. Также в [4] показано, что у системы (3) имеется одно-параметрическое семейство равновесий общего положения при выполнении условия: (Аг - Вг Хиг - Уг) - (Сг - Бг )(Рг - 8Г) = 0. (4) Хаотические режимы движения амплитудной системы Вопрос о существовании хаотических режимов движения в амплитудных системах, соответствующих пересечению бифуркаций в задаче Куэтта-Тейлора, изучался ранее для случая пересечения нейтральных кривых монотонной и колебательной неустойчивости при равенстве осевых квантовых чисел. В [5, 6] было показано, что странный аттрактор в моторной подсистеме возникает в результате последовательности бифуркаций удвоения периода предельного цикла, ответвляющегося от одного из равновесий системы (смешанных азимутальных волн). Подобное поведение обнаруживалось как в системе с коэффициентами, рассчитанными для классической задачи Куэтта-Тейлора, так и для задач с вторичными эффектами, в частности, неизотермической задачи Куэтта-Тейлора, задачи о течении жидкости между двумя проницаемыми цилиндрами. Заметим, однако, что пока не проведен анализ устойчивости таких режимов относительно возмущений, нарушающих заданную периодичность, вопрос о соответствии им хаотических режимов течения жидкости, наблюдаемых в эксперименте, остается открытым. Система вида (2) также возникает в целом ряде задач с цилиндрической симметрией, в частности, в задаче Куэтта-Тейлора с вторичными эффектами. Эти эффекты (при соблюдении условий симметрии) оказывают влияние на значения коэффициентов амплитудной системы, но не на её вид. Следовательно, системы (2) и (3) заслуживают рассмотрения при произвольных значениях коэффициентов. Для поиска странных аттракторов в системе (3) использовалась процедура, предложенная в [7]. Именно для каждого коэффициента выбирался диапазон и шаг изменения, затем для каждого набора значений коэффициентов проводилось интегрирование системы (3) методом Рунге-Кутты с вычислением показателей Ляпунова для каждой траектории. Критерием хаотичности поведения траектории считалась положительность старшего показателя Ляпунова при отрицательности суммы все четырех показателей (условие диссипативности системы). Следует отметить, что описанная процедура не может гарантировать, что найдены все странные аттракторы в моторной подсистеме, а также что все найденные аттракторы являются различными. Показатели Ляпунова рассчитывались по алгоритму, предложенному в [8]. Вычисления проводились с использованием массивно-параллельной вычислительной системы на основе технологии CUDA, что позволило проверить достаточно широкий диапазон параметров. В результате расчетов был обнаружен ряд примеров хаотического поведения траекторий системы. Все аттракторы найдены в системах, для которых выполняется условие (4). Для таких систем в качестве начальной точки при интегрировании выбиралось одно равновесие из семейства равновесий общего положения, которое при некоторых значениях свободных параметров аг, цг претерпевает колебательную потерю устойчивости. Численные результаты, однако, показывают, что найденные аттракторы устойчивы по отношению к малым изменениям параметров, нарушающим соотношение (4). Рассмотрим два характерных примера. Первый аттрактор найден в системе со следующими значениями коэффициентов: Ar = -0,625; Br = 1,1; Cr = 1,3; Dr = -1,0; Pr = -1,0; Sr = -0,4; Ur = 0,2; Vr = -0,6. например, при аг =-10,0 странный аттрактор существует лишь в диапазоне 22,94 <цг < 23,181. Рис. 1. Проекции странного аттрактора на координатные плоскости Данный хаотический аттрактор возникает в результате последовательности бифуркаций удвоения периода предельного цикла, рождающегося при цг = 22,646 в результате колебательной потери устойчивости равновесия общего положения. Последовательные бифуркации этого цикла удовлетворяют закону универсальности Фейгенбаума. Проекции аттрактора на координатные плоскости при аг =-10,0, цг = 23,176 показаны на рис. 2. Форма хаотической траектории мало отличается от формы породивших её циклов. Соответствующие показатели Ляпунова и координаты точки на аттракторе: Л! = 1,42, Л, = 0, Л, = -0,0008, Л, = -23,1, Ч Р00 = 5,°7, Р01 = 2Д6, Р10 = 5Д6, Р11 = 3,81 Рис. 2. Область существования первого странного аттрактора в плоскости свободных параметров Второй из найденных аттракторов возникает в системе со следующими значениями коэффициентов: Аг = -1,2; Вг = 1,1; Сг = 1,3; Бг = -1,0; Рг = -1,0; 8г = -0,4; иг = 0,4; Уг = -0,2. Область существования аттрактора показана на рис. 3. Область его существования на плоскости параметров аг, цг приведена на рис. 1. Аттрактор существует в узкой области (показанной черным цветом) между областями регулярного движения (белый цвет) и выхода траекторий на бесконечность (серый цвет). Так, Рис. 3. Область существования второго странного аттрактора в плоскости свободных параметров Она имеет фрактальную структуру с множественными областями регулярного движения, чередующимися с регионами хаотичности. Вид траектории, соответствующий некоторым значениям при аг = -10,0, показан на рис. 4. При выходе из областей регулярного движения происходит каскад бифуркаций, вновь приводящий к возникновению странного аттрактора. Рис. 4. Режимы движения в амплитудной системе, соответствующие различным значениям параметра Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 12-0131252 мола). Литература 1. Юдович В.И. Переходы и возникновения хаоса в тече- ниях жидкости // Аннотации докладов 6-го Всесоюз. съезда по теоретической и прикладной механике. Ташкент, 1986. С. 661. 2. Chossat P., Iooss G. The Couette-Taylor problem. N.Y., 1994. 233 p. 3. Yudovich V.I., Ovchinnikova S.N. Resonances in the inter- section of bifurcations in the Couette-Taylor problem // Patterns and Waves / A. Abramian, S. Vakulenko, V. Volpert (Eds.). Saint-Petersburg, 2003. P. 55-77. 4. Юдович В.И., Овчинникова С.Н. Пересечения бифурка- ций в проблеме Куэтта-Тейлора. I. Нерезонансный случай. 2005. 33 с. Деп. в ВИНИТИ 5.04.2005. № 458-В2005. 5. Колесов В.В., Хоперский А.Г. Неизотермическая пробле- ма Куэтта-Тейлора. Ростов н/Д, 2009. 192 с. 6. Романов М.Н. Движение жидкости между вращающи- мися проницаемыми цилиндрами : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д, 2011. 200 с. 7. Sprott J.C. Some simple chaotic flows // Physical Review E. 1994. Vol. 50, № 2. P. R647-R650. 8. Dieci L., Jolly M.S., Van Vleck E.S. Numerical Techniques for Approximating Lyapunov Exponents and Their Implementation // J. Comput. Nonlinear Dynam. 2011. Vol. 6. P. 011003-1-7. Поступила в редакцию 3 апреля 2012 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/dielektricheskaya-pronitsaemost-odnoosnogo-segnetoelektrika-v-morfotropnoy-oblasti

Показано, что промежуточная фаза, существующая благодаря внутренним напряжениям, возникающим в зоне контакта тетрагональных и ромбоэдрических ячеек, может быть ответственной за немонотонную зависимость диэлектрической проницаемости от состава твердых растворов в морфотропной области фазовой T-x диаграммы состояний.

УДК 536.7:548 ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ ОДНООСНОГО СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКА В МОРФОТРОПНОЙ ОБЛАСТИ © 2009 г. А.Ю. Гуфан1, А.В. Павленко1, В.В. Гершенович,1 И.А. Осипенко2, Л.А. Солдатов2, Л.А. Резниченко1 1Научно-исследовательский институт физики Южного федерального университета, пр. Стачки, 194, г. Ростов н/Д, 344090, [email protected] 2Ростовская академия сервиса Южно-Российского государственного университета экономики и сервиса, ул. Варфоломеева, 215, г. Ростов н/Д, 344018, [email protected] 1The Institute of Physics of Southern Federal University, Stachki Ave, 194, Rostov-on-Don, 344090, [email protected] 2Rostov Academy of Service of South Russia State University of Economics and Service, Varfolomeev St., 215, Rostov-on-Don, 344018, [email protected] Показано, что промежуточная фаза, существующая благодаря внутренним напряжениям, возникающим в зоне контакта тетрагональных и ромбоэдрических ячеек, может быть ответственной за немонотонную зависимость диэлектрической проницаемости от состава твердых растворов в морфотропной области фазовой T-x диаграммы состояний. Ключевые слова: сегнетоэлектрики, фазовые Т-х диаграммы, морфотропная область, теория Ландау фазовых переходов, твердые растворы, сложные окислы со структурой перовскита, диэлектрическая проницаемость. It is shown that intermediate phase, existing due to the internal stresses in the zone of two different types of crystal cell ("tetragonal" and "rombohedral") may be responsible for the susceptibility nonmonotonic dielectric dependence on solid solution composition in the morpho-tropic domain of T-x phase diagram. Keywords: ferroelectrics, T-x phase diagrams, morphotropic phase transitions, Landau theory of phase transitions, solid solutions, complex oxides with the perovskites like structure, dielectric permittivity. Твердые растворы (ТР) сегнетоэлектриков получили широкое распространение в связи с возможностью и перспективами их применения в устройствах чувствительных пьезодатчиков, движителей в адаптивной оптике, в устройствах акустико- и оп-тоэлектроники. Обнаружено, что самые высокие значения диэлектрической проницаемости и пьезо-модулей проявляют ТР и/или смеси веществ, состав которых соответствует морфотропной области 1 (МО) на T-x диаграмме состояний. Здесь Т - температура; x - средняя концентрация одной из компонент ТР [1, 2]. Так, наиболее часто используемые материалы для пьезопреобразователей в своей материальной основе содержат составы типа РЬ/г, л.'Пл.Оз(РУ,Т), (Р Ь М ё N Ь23 03), (Р ЬТ Юз),. (Р М N - Р Т) при значениях х, близких к х = 0,5, и значениях у « 0,33. Причина возникновения МО и механизмы, определяющие ее положение и границы на T-x диаграмме состояния конкретного раствора, являются предметом многолетних дискуссий. В литературе обсуждались несколько причин возможного образования МО [2-4]. В большинстве работ [2-3, 5-10] предполагается, что МО - это область сосуществования двух разных по симметрии фаз одного гипотетического вещества -твердого раствора с переменной концентрацией компонент. Изменение симметрии вещества при фазовых переходах наиболее полно описывается теорией фазовых переходов Ландау. Общепринятое рассмотрение 1 Морфотропной областью (МО), или областью морфотроп-ного фазового перехода (МФП), называется такая область T-x диаграммы состояний, вблизи которой, т.е. при больших и меньших средних концентрациях компонент ТР характеризуется разной симметрией. фазовых переходов между двумя упорядоченными состояниями в рамках теории Ландау не приводит к возможности строгого описания свойств и границ сосуществующих фаз [11]. Поэтому при построении теории свойств вещества внутри МО в рамках теории Ландау, оперирующей с одним собственным параметром порядка, возможность сосуществования двух фаз разной симметрии постулируется. Считается, что фазы сосуществуют при концентрациях, принадлежащих интервалу, внутри которого одна из фаз метаста-бильна. В связи с отсутствием строгой теории в рамках такой модели (модель 1) разные авторы принимают разные гипотезы о составе и физических параметрах обеих сосуществующих фаз. Так, рассмотрим гипотезы, принимаемые при описании физических свойств составов, попадающих в МО Т^ диаграммы РЬ2г, .Тк.Оз. В этом примере МО по ряду данных [6, 7] простирается от x2 =0,36 до x1 = 0,51 и разделяет твердые растворы с тетрагональной симметрией Tet, стабильной при x>0,52, и ромбоэдрической симметрией Rh при x<0,35. При изменении значений средней концентрации Тл в веществе внутри интервала 0,36<х<0,51 считается, что обе фазы Тй и Юг сосуществуют. Обсуждаемые в литературе гипотезы предлагают разные варианты ответа на вопрос, что это за фазы, каков их состав. Один из методов определения состава фаз состоит в измерении среднего размера ребер элементарных ячеек. Если присутствуют фазы разного состава, но близкой структуры, то в рентгеноструктурном эксперименте должны выявляться два разных параметра приведенной перовски-товой ячейки. Рентгеноструктурные исследования, проводимые в основном на поликристаллических и керамических образцах, не позволяют ответить на вопрос о сосуществовании фаз. Этому препятствует малое различие объемов элементарных ячеек Rh и Tet фаз и малые размеры областей когерентного рассеяния, наблюдаемые у составов с концентрацией компонент вблизи и внутри МО. Поэтому для получения однозначного ответа на вопрос о химическом составе сосуществующих фаз рентгеноструктурный анализ дополняют физическими исследованиями, интерпретация которых для составов внутри МО тоже встречает определенные трудности и требует исследования выводов, получаемых на основе гипотетических моделей. Рассмотрим наиболее правдоподобные гипотезы о составе и структуре Rh и Tet фаз вблизи МО. Так, согласно [5], при переходе от одного состава вещества (х) к другому внутри МО параметры решетки Tet и Rh фаз изменяются так же, как если бы второй фазы не существовало, т.е. да/дх = const в каждой из сосуществующих фаз. Здесь a - параметр усредненной кубической перовскитной ячейки. Эта гипотеза соответствует утверждению, что химическим и механическим взаимодействием между кристаллитами, принадлежащими Rh и Tet фазам, можно пренебречь. Эта кажущаяся невероятной гипотеза интересным образом подтверждается в [6], где, с одной стороны, утверждается неизменность параметров элементарной ячейки Rh и Tet фаз при средней концентрации компонент, попадающей в интервал значений, соответствующих МО: aTet(x) - const,. aRh(x) - const2. С другой стороны, вычисление диэлектрической проницаемости £ смеси сосуществующих Rh и Tet фаз smjx проводится в [6] в рамках гипотезы [5], предполагающей постоянство производной да/дс = consta О при переходе границ МО. При таком вычислении s в [6] получено качественное совпадение вычисленных и полученных экспериментально зависимостей smix(x) . При этом в [2] при критическом разборе гипотезы aTcl(X) = const,. aRh(x) = const2 в качестве основного критерия выбора между гипотезами [5] и [6, 7] принимается наличие характерного максимума на зависимости !;пих (х) . Рассмотрение этого вопроса в [2] основывается на гипотезе, что, если параметры ячейки Rh и Tet фаз внутри МО неизменны и равны их значениям на границах МО, на которых двухфазное состояние переходит в однофазное, то внутри МО должны оставаться независимыми от средней концентрации компонент диэлектрические проницаемости частиц, принадлежащих Rh и Tet фазам. Если при этом доля элементарных ячеек, принадлежащих Rh(Tet) фазе, монотонно изменяется с концентрацией компонент, то smix(x) также должна монотонно зависеть от х. На основании таких рассуждений должна быть отклонена как не согласующаяся с физическими свойствами вещества в МО гипотеза о постоянстве параметров элементарной ячейки Rh и Tet фаз внутри МО, высказанная в [8 - 10] и согласующаяся с теорией фазовых Т-х диаграмм Гиббса-Розебома [12]. Кроме предположения а(х) = const при х, принадлежащих МО, и да/дх = const при пересечении границы МО, высказывались и другие гипотезы. В [13] предполагалось, что дa/ дx в обеих фазах возрастает при попадании х в интервал концентраций, соответствующих МО при заданной температуре. В [14] предполагалось, на- оборот, что дa/ дx уменьшается в МО по сравнению с ее значением в области близких концентраций, но соответствующих однофазной области Т-х диаграммы. Гипотезы, высказанные в [13] и [14], для нас несущественно отличаются от гипотезы [5]. Принципиальным является вопрос о том, как согласовать термодинамически точный результат Гиббса-Розебома, утверждающий, что при распаде ТР на две фазы свойства частиц, принадлежащих каждой из фаз, сохраняются постоянными внутри всей области сосуществования фаз с немонотонной зависимостью £тк(х). Один из возможных ответов на этот вопрос обсуждается в данной работе. Будем исходить из утверждения, что мелкокристаллический твердый раствор Р2Т не может рассматриваться как квазибинарный, если размеры отдельных доменов вещества, принадлежащих Rh и Tet фазам, достаточно малы, и домены хаотично перемешаны. Действительно, в местах контактов Rh и Tet доменов, состав которых определяется граничными концентрациями зоны распада ТР, должен существовать переходной слой, состав которого определяется растворимостью фазы Rh в Tet и фазы Tet в Rh. В первом приближении, без учета количественных различий в эффективной взаимной диффузии компонент, можно принять, что в областях контакта фазы Rh и Tet смешиваются в соотношении 1:1. Этот переходный слой может содержать значительное количество вещества и в этом случае должен рассматриваться как третья фаза. Вопрос об объеме, занимаемом третьей фазой, а точнее, о доли элементарных ячеек (а), принадлежащих третьей фазе, трудноразрешим. Ясно, что а пропорциональна площади контакта доменов, принадлежащих «чистым» Rh и Тй фазам (.\(а)). Эта площадь равна нулю при а = 0 и а = 1. Кроме этого, ясно, что при определенных значениях аг(х) и а2(х), зависящих от формы и размеров доменов, т.е. от технологии приготовления ТР, л( а) достигает максимума. Существование л'тах(«) обусловлено тем, что при некотором значении а = с1 резко возрастает число контактов между доменами одной и той же фазы. Этот факт очевиден и вполне аналогичен результатам так называемой теории протекания. При случайном заполнении ячеек решетки шарами, при малых концентрациях шаров большинство заполненных ячеек окружены пустыми. При определенном значении доли заполненных ячеек (аналог а в нашей задаче) резко возрастает число пар, троек и т.д. заполненных ячеек, непосредственно контактирующих друг с другом. Начиная с некоторой «пороговой» плотно сти заполнения, среднее число ячеек, заполненных шарами и контактирующих с другими заполненными ячейками, растет экспоненциально быстро. Для трехмерных решеток доля заполненных узлов, при которых появляются их «бесконечные» кластеры, получена численным моделированием на конечных решетках. Результаты для всех трех типов кубических решеток Браве (простой, объемноцентри-рованной и гранецентрированной) получились разными. Более того, результаты численного моделирования сильно зависят от размеров исходной модельной решетки. Однако все известные из литературы значения а' лежат в интервале ОД 19< а' <0,25 [15]. Поэтому разумно принять, что 0 < ах < 0,5 и 0,5 <ап <1. При а= 0,5 зависимость л(а) должна иметь локальный минимум. Для количественных расчетов л'„ш. (х) эта общая форма а) должна быть конкретизирована выбором коэффициентов в феноменологическом уравнении, определяющем а). Реальное значение а) определяется технологией приготовления образцов. В качестве простейшей гипотезы примем полиномиальную зависимость, симметричную относительно значения атт = 0,5: •у(а) = г0 - / 2 (а - 0,5)2 + г3 (а - 0,5)4 . (1) (сс, s, d) = (2) = smixs(x)d + (a-s-d/2)s1 + (1 -а + s-d/l)s2. Здесь E\ и s2 - диэлектрические проницаемости фаз Tet и Rh, а smix вычисляем, согласно [16], с учетом флуктуационной поправки И. Лифшица [17]: £т,х ={£1+£2-(г1-г2)2/[6(г1+£2)]/2. (3) Поскольку до сих пор все рассуждения носили общий характер, то конкретные вычисления, иллюстрирующие анонсированный выше результат, можно провести на примере МО в любом сегнетоэлектрике. Мы ограничимся рассмотрением одноосного сегнето-электрика с поляризацией, лежащей в плоскости, пер- пендикулярной выделенной оси. Как обосновано в [6], если бы путем модифицирующих добавок удалось создать такой сегнетоэлектрик, то он, согласно модели 1, должен оказаться перспективной основой для создания нового поколения пьезо- и сегнето-активных материалов. Неравновесный потенциал, описывающий характеристики дипольной подсистемы тетрагонального сегнетоэлектрика с поляризацией в базисной плоскости, имеет вид [6] Ф = а^ + а211 + а31г + b1I2 + cl2IxI2 В (3) I^l'C + lK h=Pi'Pl (3) где Pi и P2 - де- Рис. 1. Принятая в работе форма зависимости ^(х^ внутри интервала х, принадлежащего МО Даже в таком варианте построения теории для определения трех феноменологических параметров (1) приходится принимать предположение о значении .\(а = 0,5). Необходимо также учитывать еще один феноменологический параметр - «толщину» третьей фазы d. Величину и зависимость d(a,x,T) так же, как и г1(х,Т), г2(х,Т) и г3 (х,Т), нельзя получить на основании общих соображений. Поэтому задача этой статьи ограничена необходимостью показать, что учет третьей фазы при вычислении етЬ.{х) существенно изменяет выводы [2] о несостоятельности предположения о постоянстве диэлектрических характеристик фаз ЯИ и Тй в МО. Примем простейшую зависимость диэлектрической проницаемости £(а. с!) картовы компоненты вектора поляризации, лежащего в базисной плоскости. Существует два нетривиальных решения уравнений состояния, соответствующих (3), которые могут быть стабильными при определенных значениях феноменологических параметров. Первое из них является аналогом фазы Тй в Р2Т Р22 = 0, Р11 = [-а2+ т]а2+ а^-3а1а3]/(3а3) . (4) Второе решение представляет собой аналог фазы Як Р12 = Р22 = [-А2+ ^Л^-12а1Л3]/(6Л3) . (5) В (5) введены обозначения А2=4а2+Ь1, А3 = 4а3 +Ь2 . Решения (4) и (5) и соответствующие им фазы обозначим соответственно (1,0) и (1,1). Условие устойчивости фазы (1,1) по отношению к флуктуациям М(Р1 - Р2) удобно записать в виде а! > [8а2Ь2-\1Ьха3-Ьф2]-Ь1/(4А22). (6) Устойчивость фазы (1,0) по отношению к флуктуациям Р2 имеет вид ах < [1а2Ь2 — 17Ьха3 — ЗЬ^ ]-Ь1/Ь2 . (7) Равновесные свободные энергии фаз (1,1) и (1,0) соответственно равны Ф(1Д) = (4 -И2212«ИЗ]3/2}/[54-42] • (8) Ф(1,00 = {[2^2 ~9аха2а3 -2{а\ - Ъаха3)ъ12}/{21 ■ а1). (9) Области стабильности фаз (1,1) и (1,0) на плоскости (аь Ь1), как видно из (6), (7), перекрываются, а линия равенства свободных энергий фаз (8), (9) проходит между границами устойчивости фаз. Все три линии имеют в точке а1 = Ь1= 0 общую касательную. Будем считать, как это принято в [2, 3, 5-9], что в области, в которой обе фазы соответствуют минимуму неравновесного потенциала, т.е. устойчивы относительно малых флуктуаций, они сосуществуют. Будем также считать, что число элементарных ячеек, принадлежащих каждой из фаз, определяется по Гиб-бсу-Розебому [12] энергетическими причинами. Однако, как уже отмечалось и очевидно из (8), (9), напрямую воспользоваться правилом построения коноды по Гиббсу-Розебому в рамках теории Ландау невозможно (см. рис. 1 [11]). Наличие третьей фазы также приводит к необходимости предполагать феноменологическую зависимость {а{аъЬ1)) и я,, и />, от х и Т. Будем полагать, как это принято в теории фазовых переходов Ландау, что а1 = Д (7 -70 ): Л, = /%(х-х0). Таким образом, задача определения а(х) сводится к задаче определения аф\). На границах стабильности фазы относительное количество элементарных ячеек, принад- Рис. 2. Зависимость эффективной диэлектрической проницаемости от параметра Ь1 в пределах морфотропной области лежащих этой фазе, должно быть равно нулю. Разумно также предположить, что при условиях, соответствующих равенству энергий фаз, фазы Rh и Tet присутствуют в равных количествах. Если предположить, что зависимость аф\) гладкая, то описанные три условия позволяют определить зависимость a(h,) в виде полинома второй степени a = y0+y1b1+y2b?. (10) Используя гипотезу об объеме контактной фазы (1), а также равенства в условиях устойчивости фаз (6), (7), линию равенства энергий, определенную по (8), (9), и рассматривая термодинамический путь а\(Т) —1/3 при а1аъ «1, можно получить аналитическое выражение для зависимостей у(). у, и ;/-, от х и Т. Однако результаты таких вычислений оказываются слишком громоздкими для обсуждения. Так, например, даже пренебрегая объемом, занятым «третьей» фазой, выражение для у() имеет вид дроби, числитель которой седьмой, а знаменатель - шестой степени по ах. Поэтому для иллюстрации того, что зависимость е(х) внутри МО может быть не монотонной, мы приведем графики, полученные вычислением £j по (2) с учетом (1), при условии d = const. В условиях устойчивости фаз и равенства их энергий предположим характерную для PbTiO3 малую анизотропию в тетрагональном состоянии ТР. Например, это может соответствовать ai = -0,01; a2 = 0,1; a3 = 0,2; b2 = 10. «Толщина» третьей фазы d при расчетах полагалась равной 0,4. При расчетах феноменологические параметры обез-размеривались, используя значение Ь2. При этих значениях параметров зависимость аф\) во всей МО с высокой точностью оказывается близкой к линейной. Заметим, что точный результат теории Гиббса-Розебома [11] приводит к линейной зависимости для бинарного твердого раствора. Полученная при этих значениях параметров зависимость эффективной диэлектрической проницаемости ¿íh|) внутри МО приведена на рис. 2. Как видим, несмотря на принятое при расчетах постоянство значений ¿у.., и sRh внутри МО, эффективное значение диэлектрической проницаемости среды изменяется не монотонно, характеризуется максимумом, положение которого на оси b1 (b1max) не совпадает со значением b = b0, соответствующем равенству энергий. Подчеркнем также, что положение b1max можно значительно варьировать и даже добиваться его отсутствия, варьируя такие параметры модели, как s(á) и с/(а). зависящие от технологии приготовления материала. Таким образом, мы показали, что учет диэлектрической проницаемости прослойки между Rh и Tet фазами снимает возражение против представления составов, попадающих в МО, как результата распада ТР на фазы, существующие справа и слева от МО. Литература 1. Яффе Б., Кук Я., Яффе Г. Пьезоэлектрические керамики. М., 1974. 264 с. Поступила в редакцию_ 2. Многокомпонентные системы сегнетоэлектрических сложных сложных оксидов / А.Я. Данцигер [и др.]. Т. I. Ростов н/Д, 2001. 408 с. 3. Турик А.В. О природе области морфотропного перехода в сегнетоэлектриках системы Pb(ZrxTi1.x)O3 // Кристаллография. 1981. Т. 26(1). С. 471-473. 4. Гуфан М.А., Гуфан А.Ю., Гуфан К.Ю. Теория морфотропного фазового перехода в PbZr1-xTixO3 // Изв. РАН. Серия физ. 2008. Т. 72(4). C. 312. 5. Исупов В.А. О диэлектрической поляризации твердых растворов на основе PbTiO3 // ФТТ. 1970. Т. 12(5). С. 1330. 6. Benguigui L. Lattice Energies and Structural Distortions in Pb(ZrxTi1-x)O3 solid solutions // Solid State Communication. 1976. Vol. 19. P. 979. 7. Ari-Gur P., Benguigui L. Giant dielectric permittivity caused by carrier hopping in a layered cuprate // J. Phys. D. 1975. Vol. D8. P. 1856. 8. Ari-Gur P. Colossal Dielectric Constants in Braced Lattices with Defects // Solid State Communication. 1974. Vol. 15(6). P. 1077. 9. Hanh L., Ushino K., Normura S. A Two Order Parameter Thermodynamic Model for Pb(ZrxTi1-x)O3 // Japan J. Appl. Phys. 1978. Vol. 17(4). P. 637. 10. Гуфан Ю.М. Структурные фазовые переходы. М., 1982. 304 с. 11. Модель морфотропной области твердого раствора одноосных сегнетоэлектриков / А.Ю. Гуфан [и др.] // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. 2009. № 5. С. 38-42. 12. Аносов В.Я., Озерова М.И., Фиалков Ю.Я. Основы физико-химического анализа. М., 1976. 503 с. 13. Фрейманис В.А. Физические свойства сегнетоэлектрических материалов. Рига, 1981. С. 64. 14. Wersing W. Analisis of Phase Mixtures in Ferroelectric Ceramics by Dielectric Measurements // Ferroelectrics. 1974. Vol. 7. P. 163. 15. Шкловский Б.И., Эфрос А.П. Электронные свойства легированных полупроводников. М., 1979. С. 127-204. 16. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М., 1957. С. 67-69. 17. Лифшиц И.М. К теории твердых растворов. 1. Корреляции в твердых растворах // ЖЭТФ. 1939. Т. 9(4). С. 481. 27 февраля 2009 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/nekotorye-zadachi-ustoychivosti-obolochek-so-slozhnoy-geometriey-i-fiziko-mehanicheskimi-svoystvami

Представлена методика определения точек бифуркации для различных видов оболочек цилиндрической оболочки с двумя типами винтовой анизотропии при продольном ее сжатии и круглой выпуклой мембраны. На первый взгляд столь различные задачи объединяет два фактора: 1) тип прикладной теории, на основе которой выведены уравнения равновесия (прикладная теория Киргоффа-Лява для непологих оболочек); 2) методы интегрирования нелинейных и линеаризованных задач. При численном анализе второй задачи (задачи устойчивости сферического купола) показано, что экспериментально проявляющаяся чувствительность сферического купола к несовершенствам связана с большим количеством близко расположенных точек бифуркации по неосесимметричным модам. Показано, что целенаправленным внесением небольших технологических изменений в форму купола можно добиться устранения большинства из этих точек бифуркации для обеспечения работы оболочки в осесимметричном режиме.

УДК 539.3 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ ОБОЛОЧЕК СО СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ И ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ © 2011 г. И.П. Гетман1, М.И. Карякин2, Г.О. Мостипан3, И.А. Панфилов2, Ю.А. Устинов 2 1Эндресс+Хаузер ГмбХ, Хауптштрассе, 1, г. Маульбург, Германия, 79689 2Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090 3Научно-исследовательский институт механики и прикладной математики Южного федерального университета, пр. Стачки, 200/1, г. Ростов н/Д, 344090, 1Endress+Hauser GmbH+Co.KG, Hauptstrasse, 1, Maulburg, Germany, 79689 2Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090 3Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics of Southern Federal University, Stachki Ave, 200/1, Rostov-on-Don, 344090, Представлена методика определения точек бифуркации для различных видов оболочек — цилиндрической оболочки с двумя типами винтовой анизотропии при продольном ее сжатии и круглой выпуклой мембраны. На первый взгляд столь различные задачи объединяет два фактора: 1) тип прикладной теории, на основе которой выведены уравнения равновесия (прикладная теория Киргоффа—Лява для непологих оболочек); 2) методы интегрирования нелинейных и линеаризованных задач. При численном анализе второй задачи (задачи устойчивости сферического купола) показано, что экспериментально проявляющаяся чувствительность сферического купола к несовершенствам связана с большим количеством близко расположенных точек бифуркации по неосесимметричным модам. Показано, что целенаправленным внесением небольших технологических изменений в форму купола можно добиться устранения большинства из этих точек бифуркации для обеспечения работы оболочки в осе-симметричном режиме. Ключевые слова: теория оболочек, цилиндрическая оболочка, сферическая оболочка, устойчивость, бифуркация, линеаризация. The paper present a technique of determining bifurcation points for shells of different kinds — cylindrical shell with two types of screw anisotropy at axial loading and circular convex membrane. So different problems are combined due to two factors: firstly the type of applied theory upon which the equations of equilibrium were derived (applied Kirchhoff—Love theory for non-shallow shells) and secondly the methods of integration of nonlinear and linearized boundary value problems. Numerical analysis of the second problem (stability problem for spherical cap) shows that experimentally observed sensibility of the spherical cap to imperfections is related with large number of closely placed bifurcations points for different non-axisymmetric modes. It has been shown that targeted introduction of small technological changes in the shape of the cup can be used for the elimination of most of these bifurcation points to provide the work of the shell in an axisymmetric mode. Keywords: shell theory, cylindrical shell, spherical shell, stability, bifurcation, linearization. Нелинейная теория тонких оболочек на протяжении многих лет являлась одним из основных научных направлений кафедры теории упругости РГУ. К моменту создания кафедры в 1961 г. ее основателем и руководителем (1961-2001 гг.) И.И. Воровичем был решен ряд важнейших теоретических проблем [1, 2]. Для нелинейных уравнений пологих оболочек были доказаны теоремы существования решений, обоснована сходимость прямых методов решения краевых задач (методов Галеркина, Ритца и МКЭ) и установлен фундаментальный факт, состоящий в том, что проблему устойчивости нельзя решить методом линеаризации в окрестности безмоментного напряженно-деформированного состояния (НДС). Для её решения следует рассматривать полную нелинейную постановку задачи. С открытием в 1971 г. НИИ механики и прикладной математики (в настоящее время - НИИМ и ПМ им. академика РАН И.И. Воровича) основной объем исследований в этой области был перенесен в лабораторию тонкостенных конструкций института. Новый интерес к развитию методов расчета устойчивости и закритического поведения тонких упругих оболочек на кафедре теории упругости продиктован двумя факторами. Это, во-первых, хоздоговорная работа по расчету мембран датчиков давления (часть результатов которой в пределах условий контракта опубликована в [3]), а во-вторых, исследования в об- ласти биомеханики кровеносных сосудов. Настоящая работа посвящена описанию методов определения точек ветвления (бифуркации) для различных видов оболочек - цилиндрической оболочки с двумя типами винтовой анизотропии при продольном ее сжатии и круглой выпуклой мембраны. Исследование устойчивости цилиндрической оболочки с винтовой анизотропией Основные соотношения нелинейной теории оболочек с винтовой анизотропией. Поскольку в разных работах [4-6], посвященных исследованию устойчивости цилиндрических оболочек с винтовой анизотропией, основные соотношения различаются и достаточно значительно, кратко опишем метод построения таких соотношений, которые используются в данной работе. Пусть г, Г - внутренний и внешний радиусы цилиндрической оболочки; а - радиус срединной поверхности оболочки; И - толщина; I - длина вдоль образующей. Отнесем цилиндр к декартовой системе координат Оххх, направив Ох3 по оси цилиндра, и свяжем ее начало с торцевым сечением х3 = 0. Введем винтовую систему координат г, ф, 2, связанную с декартовой соотношениями X = r cos(p + E), x2 = r sin(p + E), x = z, (1) где r < r < r2; т = tg(a)/a - геометрический параметр винтовой анизотропии. Соотношения (1) при r = const, p = const являются параметрическими уравнениями винтовой линии, при этом a - угол между касательной к винтовой линии и осью Ox3. С каждой винтовой линией свяжем репер Френе с ортами главной нормали ei, главной бинормали e2, касательной e3. Переход от базиса Френе к базису цилиндрической системы координат e r e ф ez осуществляется с помощью ортогональной матрицы A : -10 0 0 — cos a sin а Обозначим через и= (иг,и9, и2 )т вектор смещений и его компоненты в базисе винтовой системы координат. Следуя геометрической гипотезе, согласно которой прямые углы между нормалью к срединной поверхности оболочки до деформации остаются таковыми и после деформации, имеем и = V (V,2), u< = z)uz = vz<z) + ф2, ev = —a{dvvr — v<), _d_ dp в2 = -Dvr, - h/2 <v< h/2, D = d z — т6р , dp = —, я 5 дг =—, где V, , V - смещения точек срединной д2 9 поверхности; в , в2 - углы поворота нормали. Для компонент тензора деформаций срединной поверхности, отвечающей теории «среднего прогиба», получаем следующие выражения: С = а+ 1в;, 4 = ПУ2 + 1вг2, (2) = ^ + а-1д9у2 + в^в2, 4 = ^ =0 . Для тензора изменения кривизн соответственно имеем Х„ = а - д1 V) , ^ = -О Ч , 2^ = а-1 2а- Од^. Материал цилиндра будем считать локально трансверсально изотропным. Направления главных осей тензора упругих свойств совпадают с направлениями ортов е 1 е 2 е 3, где орт е 3 определяет направление оси упругой симметрии. Трансверсально изотропный материал характеризуется 5 независимыми техническими постоянными: модулями Юнга Е, Е', коэффициентами Пуассона V, V' и модулем сдвига О' [7]. Согласно 2-й гипотезе Кирхгофа, будем считать, что абсолютные значения напряжений о, ^^«о^Офо, в силу чего в соотношениях закона Гука первыми тремя можно пренебречь. Как следствие этого предположения получаем = + ёи822 + ё138щ , О'22 = + ^22^22 + ё24ф , О = ё\4„ + ё23422 + ёъ^ф ■ Здесь = С + , 4 = 4 + щ22, ещ = + , gn = cos4 «E + cos2 a sin2 a (vE - 4G') + sin4«Er, g12 = cos4avE1 + cos2«sin2«(E1 + E1 + 4G') + sin4av Er, ё22 = cos4 «E + cos2« sin2 aE + Ex + 4G ') + sin4«^, g13 = sinacos3«[2G '-E1(1 -v')] + sin3acosa(Er -vE1 -2G '), gB = sinacos3a[Er (1 -v') - 2G'] - siniacosá[El +v'Er + 2G')], ёзз = G'cos22a + cos2«sin2«[(1 -v)Ex + (1 -v')Er -2G'], E1 Л t ' E1 Л I ' 1 - vv 1 - vv В качестве основных характеристик напряженного состояния введем усилия и моменты. Имеем т„ = А(ёпС+ё12422 + ё1з< X = Кё124„+ g22Sl + ё Tf2 = h(.gn4°„+ g 23422 + g3340 ). hlr ^ Mfi<p J2(g11^w + g 12^22 + g13Xq2¡ ), M2Z = YJ(g12^W + g22^22 + g 23^ Mf2 = J^(g13Zpp + g 23X22 + g33%(fe). Используя вариационный принцип Лагранжа, считая независимыми вариациями 5vr ,dv , Sv2, получаем следующие уравнения равновесия: a^dT + DT + a lQ - а1Твт + а = 0, DT + а"хдгТ -а-'Т вт+ а =0, (3) 22 ф ф ф ф Í2 ' V/ a-4a + DQ2 - а-%ф - а-'дф (Т^в^ + Тщв2) --D(Tip^ev+ Т22в2) - qr =0, 01 = ПМфф + а-1дфМщ, 02 = DMф + а-'д^Ы^ , где q, q , q - компоненты вектора внешней нагрузки, снесенной на срединную поверхность. При осесимметричной деформации приведенные выше соотношения существенно упрощаются, поскольку в этом случае все полевые характеристики зависят только от z , и следовательно, все слагаемые, содержащие производные по ф, обращаются в ноль. Однако в отличие от изотропных и ортотропных оболочек (в частности, биспирально армированных), у которых в осесимметричном случае величины V еф, в2, T^, M^, 02 равны нулю, для спирально армированной цилиндрической оболочки эти полевые характеристики отличны от нуля. Для биспирально армированной оболочки в вышеприведенных соотношениях следует оператор D заменить на д2 и элементы матрицы жесткостей g13, g23 приравнять к нулю. Осесимметричная задача. Для интегрирования осесимметричной нелинейной краевой задачи методом пристрелки (граничные условия приведены ниже) система 3 дифференциальных уравнений (3) была сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 1-го порядка. Для этого введен век- о sin a cos a тор y=(y1;y2,. ..У8/ , где yi = h > У 2 = h ' Уз h У4 = , У5 = T _ Щ Уб = Eh' У 7 _Ö2 " 'ТЧ*в<р - e h' E'h У 8 _ Mz '/„2 • Е'к В новых переменных эквивалентная система урав-й у нений принимает вид —— = W( у, ц), где W - век- йг тор, компоненты которого зависят от компонент вектора у и вектора внешней нагрузки q. Будем считать, что оболочка деформируется под действием осевого давления р. Численное интегрирование проводилось для граничных условий шарнирного закрепления одного из торцов и скользящей заделки другого торца оболочки у 1 (0) = 0, уI (I) = 0, (/ = 1,2,3,8), у2(/) = 0, уз(I) = 0, у5(/) = -р, у8(/) = 0. Ввиду громоздкости компоненты вектора W здесь не приводятся. О методе определения критических нагрузок и форм потери устойчивости. Обратимся к системе уравнений (3). После серии очевидных подстановок получим систему 3 нелинейных дифференциальных уравнений относительно компонент вектора у= (уг , V , V )Т. Эту систему символически можно записать в виде Ду) - Ь0 у+ N(у) = 0. (5) Здесь Ь0 - линейный оператор, который получается, если пренебречь квадратичными членами в формулах (2) и нелинейными слагаемыми в уравнениях (3); МУ) - нелинейный оператор, отвечающий этим слагаемым. Общий порядок этой системы равен 8. Обозначим через \о(р) решение нелинейной осе-симметричной задачи. Решение уравнения (5) будем отыскивать в виде у= у 0 +еи. (6) Подставим (6) в (3) и преобразуем с учетом малости параметра е. В первом приближении получаем линеаризованное уравнение вида XV = Ь0 и + N и = 0, (7) где N' - производная Фреше оператора N по вектору у0, которая, как известно [8], является линейным оператором, и его коэффициенты в рассматриваемом случае зависят от у0 и р. Граничные условия шарнирного закрепления одного торца и скользящей заделки другого торца имеют вид - при г = 0: иг = 0, и9 = 0, и2 = 0, Мв =0; (8) - при г = I: иг =0, ^ = 0, Т22 = 0,Мв = 0. Для определения критических значений р=р*, при которых происходит ветвление решения нелинейной задачи, компоненты вектора и будем отыскивать в виде iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. V. = и.с(г)о^(пр) + и»(г)Бш(пр) (] = 1,2,3), (9) здесь в индексах введены эквивалентные обозначения: 1« г, 2 « р, 3 « г, п = 0,1,2,.... После подстановки (9) в (7) получаем систему 6 ОДУ относительно и.с, ир, общий порядок которой равен 16. Для дальнейших исследований построим эквивалентную ей систему ОДУ 1-го порядка. Введем расширенный 16-компонентный вектор У: *1= -© гс , ^2= т«, Гз= Тр, г4= . = -©и, У6 = т22,, г7 = Трр, г8 = о,. (10) 7> = и,с, 7Ю = ирс, Гц = и2С, 712 = М„, 7» = иг!, 714 = ир, 715 = иш, 716 = Мш. На основе соотношений (7) - (10) получаем = А(г, р)У, (11) аг где А(г,р) - матрица 16 х16, элементы которой неявным образом (через компоненты вектора у0) зависят от г и р. Ввиду громоздкости их выражения здесь не приводятся. Граничные условия для системы (11) по аналогии с (8) записываются в виде Г((0) = 0, Г\(I) = 0, (/ =9.. 16). (12) Общее решение системы (11) будем отыскивать в виде 8 У = £Ск х к (г), где хк - линейно-независимые реше- к=1 ния системы (11), удовлетворяющие условиям (12). В качестве таковых возьмем решение 8 задач Коши, удовлетворяющих при г = 0 условиям х (0) = = (8п,812,813,...,818,0,0,...,0Т, где 8. - символ Кронекера. Обозначим через х^ . -ю компоненту решения хк, вычисленного при г = 0. Граничные условия 8 (12) при г = I записываются в виде ^С.х.(г2) = 0, к=1 ] =2, 6, 9, 10,12, 13, 14, 16. Таким образом, задача о существовании нетривиального решения краевой задачи для систем ОДУ сводится к существованию нетривиального решения линейной однородной алгебраической системы, и следовательно, к задаче поиска нулей ее определителя Б(р,п) =| х. |. (13) Некоторые результаты численного анализа. В качестве иллюстрации приведем расчеты для композита из стеклопластика со следующими значениями упругих постоянных, полученных на основе формул, приведенных в [9]: Е' = 3,7 • 1011 Н/м2, Е = 5,6 • 109 Н/м2, О' = 3,4 •Ю9 Н/м2, V ' = 0,31, V = 0,32, и геометрическими характеристиками: а = 0,01 м, Ь = 10 а, И = 0,033 а. Процедура определения наименьшего критического значения нагрузки р* представляет собой задачу определения нулей определителя (13) при различных целочисленных значениях п (параметра волнообразования по направляющей оболочки), т.е. поиска минимума р как функции дискретного целочисленного аргумента. На рис. 1 отражены результаты расчета безразмерной критической нагрузки 2* (2* = р*Е'И) от параметра а. Кривая 1 отвечает спирально армированной обо- лочке, 2 - биспирально армированной. Как следует из графиков, функции Q*(a) имеют глобальные максимумы при а ~ 30° и локальные максимумы при а ~ 76°, при этом n = 4. °'100 Q*, МН/м2 0,095 0,085 0,080 0,075 0,070 Рис. 1. Критическая нагрузка На рис. 2 показана форма потери устойчивости спирально армированной оболочки при а=45°. меридиана. К этому классу относится большое число гофрированных мембран, используемых в качестве упругих элементов в приборах точной механики [10, 11]. Сферический купол с возможными отклонениями от идеальной поверхности может быть рассмотрен как частный случай. В 80-е гг. ХХ в. эксперименты, проведенные С. Ямада [12], включающие высокоточные измерения распределения начальных геометрических несовершенств и вертикальных перемещений как в докритиче-ском, так и в закритическом равновесных состояниях сферического купола, показали определяющее влияние таких несовершенств на критическое давление и форму потери устойчивости. В настоящей работе показано, что путем внесения целенаправленных осесимметрич-ных искажений в форму сферического купола можно существенно уменьшить влияние этих несовершенств. Основные соотношения. В связи с необходимостью учета искажений в форме сферического купола рассмотрим общую задачу для круглой оболочки вращения произвольного профиля. Будем считать, что профиль поверхности такой оболочки, имеющей толщину h и радиус a >> к , в цилиндрической системе координат задан функцией 2 = /(г). Главные кривизны поверхности вдоль меридиана и параллелей выражаются по формулам: К =- f " (1+f'2)3/2' 2 кп = — f' п_ df r(1 + f '2) 2^1/2 , f ' dr • В частности, для сферического купола, задаваемого радиусом окружности опирания а и возвышением центральной точки (стрелой подъема) ё, функция /(г) имеет вид /(г) = л/Я2 - г2 - (Я - , 2 2 где Я = (^ + а )/(2^) - радиус сферы - срединной поверхности купола, а кривизны кх и кг - константы: к1=к2=1/Я. Нелинейное поведение рассматриваемых мембран под действием гидростатического давления р адекватно описывается двумерными нелинейными уравнениями, в основе которых лежат гипотезы Кирхгофа. В цилиндрической системе координат эти уравнения имеют вид [3]: ^-Т, +^ + гк^)-гр^ = 0, (14) дг дф С С Рис. 2. Форма потери устойчивости Заметим, что разработанный алгоритм не привязан к цилиндрической форме оболочки. Он легко переносится на произвольную форму оболочки вращения, даже если ее меридиан не имеет простого аналитического выражения. В таких случаях можно использовать сплайновую аппроксимацию, как это сделано в [3] при исследовании устойчивости круглой мембраны с произвольным профилем меридиана. Устойчивость куполообразной оболочки В данном разделе представлен численно-аналитический алгоритм определения точек ветвления для круговых мембран с произвольным профилем вдоль + Ti2 + 8(rTi2) dr 12 дф d(rCQi - rSi) | дй_ r dr дф C дТ22 , S2 sinA2 22 + rk2(Q2 —£) - rp= 0, 1 dS2 cos A C дф + dQ2 - r (T + k2T22)-1 dS2 - rp ^osn = 0. C Здесь 1 d(rM11 ) M 22 1 дМ 12 Qi =-----1--- r дr r rC дф q2 =-- 1 д(rM12 ) M12 1 дМ. (15) + —— + - r дr r rC дф S = T A + T\2d2, S2 = T12вх + T22в2, Tn = B(su +ve22 ), T22 = B(s22 + vsu), T12 = B(1 -v)sn, Mn = D(Kn +vk22\ M22 = D(k22 + VKu ), M12 = D(1 - V)Ku , 1 2 1 2 1 S11 = e11 ' S22 = e22 , S12 = e12 + ^A1A2> 0,090 0,065 ды1 1 ды2 „щ еп = С—1 + кхы3, e22 =--- + С — + к2ыъ, дг г дщ г 2е = 2e12 1 ды, „ д ( ы9 --- + rC — I — г дщ дг ^ г 1 дв C К11 =C - , К22 = - + в1 дг г дщ г 2к„ = гС дв 1 1 в - ^ы^ 1 дыз 1 л ^ды} 1 ды3 I I +--, в =-С-+ км,, в =---+ кы, ■л л 1 1' 2 л 22' дг ^ г ) г дщ дг г дщ С = С (г) = 1 (1 + f '2)1/2 B = Eh 1 -v2 D = - Eh3 12(1 -v2) где щ, и2, и3 - смещения точки срединной поверхности мембраны вдоль меридиана, параллели и нормали соответственно; в1 ,в2 - углы поворота нормали; О, О - поперечные силы; Е - модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона. В случае сферического iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. С = 41 - (г/R)2 . купола Для мембраны, жестко защемленной по краю, граничные условия при г = я имеют вид щ = и2 = щ = 0, 0Х= 0. (16) Сведение задачи к системе дифференциальных уравнений первого порядка. Следуя схеме, описанной выше, введём в рассмотрение расширенный 8-мерный вектор У = (7, 72, • • •, 7) с безразмерными компонентами 7. = и1 / И (г = 1,2,3), 74 = в1, 75 = гТ11 КЕН) , 7б = гТ12 /(Bh). 7, = гМ11 /(Bh2) ; Гбб = г(С0 - Тпв1- T12e2)/(Bh). (17) пропорциональными смещениям срединной поверхности мембраны вдоль меридиана, параллели и нормали, углу поворота нормали, продольному и сдвиговому усилиям, изгибающему моменту и перерезывающей силе соответственно. В терминах вектора У уравнения (14), (15) могут быть представлены в виде |У = Ь(У, дрУ, р) + ^у, дрУ, р), (18) где х = г / И - безразмерный радиус; Ь - линейный оператор, в том числе и по параметру р ; N - нелинейный оператор. Матричные выражения этих операторов весьма громоздки и здесь не приводятся. В случае осесимметричной деформации (и2 = 0, др 7 = 0) уравнения (18) существенно упрощаются и превращаются в систему ОДУ 1-го порядка ^=-V 7i - (к+К! Тз +1 Ts - dx С Сх 2С' (19) Y - 0, dR = KL. y -1 Y , ^ = -V Y + ü Y , dx С С dx x хС "'-о(1V* Л + +vY - K Y. С x С dx x ^vA1 -V2)K 22 x dY Y - 0, —L = (1 -v2)KzYi +---Y3 dx С Y + K1 + vK 2 v Px v 2 , Px С YY42 + 2С С ' ^ = (1^74 +177 78 +17475. йх 12х С х С Здесь К1 = кИ - безразмерные кривизны. Граничные условия для (19) в точке х1 = а / И следуют из (16). В случае жёсткого защемления края они принимают вид 71 (Х1) = 0, 7,(Х1) = 0, 7ДХ1) = 0 . (20) При численном интегрировании системы (19) общепринят подход, когда условия ограниченности решения при х = 0 заменяются граничными условиями при х = х0 (х0 < 1): 75(х0) = 0, 7Дх0) = 0, 78(х0) = 0 , (21) что вполне естественно, поскольку согласно формулам (17) эти компоненты при х = 0 обращаются в ноль и являются непрерывными функциями в окрестности нуля. При численном решении двухточечной нелинейной краевой задачи (19) - (21) эффективно работает метод пристрелки. Существенная особенность его реализации в данной задаче связана с невозможностью выбора параметра нагружения на весь цикл построения характеристики мембраны, т.е. зависимости между силовой (например, приложенным давлением) и геометрической (например, прогибом в вершине купола) характеристиками. Традиционно в качестве такого параметра выбирается либо давление, либо прогиб в центре мембраны, однако в случае сферического купола возможны ситуации (рис. 3), когда между этими параметрами отсутствует функциональная зависимость. Для решения этой проблемы реализован специальный алгоритм автоматического выбора параметра нагружения и, соответственно, пристреливаемых параметров, идейно близкий к разработанному в [13]. В результате задача построения диаграммы нагружения решается достаточно устойчиво, надежно и в приемлемое время, в том числе для весьма тонких оболочек (И/а < 1/300). 2 4 x Схема исследования устойчивости построенного осесимметричного решения полностью аналогична описанной выше для цилиндрической оболочки. Сферический купол (численные результаты). В качестве примера на рис. 3 приведены диаграммы осесимметричного деформирования сферических куполов различной высоты, полученные на основе численного решения краевой задачи (19) - (21). В качестве геометрической характеристики пологости купола использован безразмерный параметр [14] 4 (12(1 -у2)а I-— ,_ 7 = «48(1 -V2)- л1Як 0,6 0,3 1 л/ 1 + d2/a2 По оси абсцисс отложен прогиб в вершине ку- 0 пола, отнесенный к высоте недеформированного купола \1'=и2(0)/с1. Приложенное давление отнесено к критическому давлению, рассчитанному в рамках о, 11 линейной теории упругости для идеального сфери- ческого купола [15] p* = Р piin piin = 2E у2) На рис. 4 изображены графики зависимости параметра бифуркации (безразмерного перемещения V в центре купола) от параметра пологости X. Линия с индексом 0 соответствует точкам осесимметрич-ной бифуркации. Эти точки совпадают с точками максимума и минимума на диаграмме нагружения -зависимости приложенного давления от прогиба в средней точке купола. Появлению этих точек соответствует значение параметра пологости X = 3,34. Начиная с X = 4,74 появляются две новые точки бифуркации по первой гармонике (кривая 1'). Рисунок 4б демонстрирует резкое возрастание количества точек бифуркации по неосесиммет-ричным модам после достижения геометрическим параметром оболочки X значения 5,5. Расположение точек бифуркации на диаграмме нагружения для купола с Х=5,7 приведено на рис. 5. Это расположение качественно совпадает с результатами, представленными в [16]. Авторы склонны полагать, что столь высокая плотность пересекающихся бифуркационных кривых идеального сферического купола проявляется в эксперименте как высокая степень чувствительности устойчивости купола к несовершенствам геометрии и невозможность предсказать конкретную форму потери устойчивости (например, количество вмятин). Данный факт делает практически бессмысленной работу по разработке усовершенствованных теорий или методов надежного предсказания формы и описания закритиче-ского поведения сферической оболочки на основе модели идеального купола. Артификация. Описанные выше проблемы показывают, что для изготовления высокоточных мембран, работающих в условиях возможной потери устойчивости или близких к ним, сферическая форма большого погиба не является удачной. В [17] для изготовления хлопающих предохранительных мембран использована концепция и технология артификации - 0,09_ 0,07- 0,05 II Л б а' 55 56 57 Рис. 4. Точки бифуркации. Номера кривых соответствуют номерам гармоник потери устойчивости геометрической модуляции поверхности сферического купола. Она подразумевает специальные способы изготовления и доводки мембран путем искусственного внесения «несовершенств» и искажений в сферическую форму. Цель этих искажений - устранение (по крайней мере, из некоторой рабочей области параметров мембраны) точек бифуркации по неосесиммет-ричным модам, вносящих неопределенность в тип и характер потери устойчивости и закритического поведения мембраны. В качестве иллюстрации приведем простую модельную схему такой модуляции, когда верхняя часть купола заменяется прямолинейным участком. Кроме характеристик исходного купола, геометрия мембраны при этом описывается одним дополнительным параметром - высотой t расположения прямолинейного участка. Задача о модуляции решалась для сферической мембраны толщиной И = 0,1 мм, радиусом опирания а = 25 мм и высотой подъема ё = 0,52 мм. Считая коэффициент Пуассона материала купола равным 0,3, для параметра X получаем значение 5,86, что соответствует наличию точек бифуркации с п = 1,2,3,4 на 3 4 5 2 0,60 0,40 0,20 0,00 0,00 1,00 возрастающем участке диа- о,80 граммы нагружения (как на рис. 5). На рис. 6 представлена диаграмма нагружения модулированного купола плоскость которого находится на высоте / = 0,50 мм. Для сравнения пунктирной линией изображены диаграмма исходного (смодулированного) сферического купола. Кроме существенной разницы в профилях графиков, важным отличием является отсутствие у модулированного купола точек бифуркации на возрастающем участке. В отличие от обоих сравниваемых сферических куполов у модулированной мембраны вообще нет точек бифуркации по модам с п > 1, а точки неосе-симметричной бифуркации по п = 1 (отмеченные ромбиками) расположены в области глубокой закритиче-ской деформации. Представленные результаты означают, в частности, что для куполообразных оболочек одинаковой толщины, равным отношением стрелы подъема к радиусу окружности опирания и количественно близкими профилями поведение диаграммы осесим-метричного нагружения, а также характеристики устойчивости и тип закритического поведения могут быть качественно различными. Модулирование формы купола позволяет целенаправленно управлять этими характеристиками. Работа выполнена при финансовой поддержке Южного математического института Владикавказского научного центра РАН, а также в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 20092013 гг. Литература 1. Ворович И.И. Некоторые математические вопросы нелинейной теории оболочек : дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Л., 1958. 368 с. 2. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М., 1989. 376 с. 3. Гетман И.П., Карякин М.И., Устинов Ю.А. Анализ нелинейного поведения мембраны с произвольным профилем по радиусу // ПММ. 2010. Т. 74, вып. 6. С. 19 - 29. о n=0 V n=1 (first pair) n=1 (second pair) Д n=2 x n=3 □ n=4 0,50 1,00 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Рис. 5. Точки бифуркации на диаграмме нагружения 1=5,7 1,50 0,50 p* Г) i \ w 0,00.Г 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 Рис. 6. Диаграмма нагружения модулированного купола: пунктирная линия -диаграмма нагружения сферического купола того же подъема, кружки - точки осесимметричной бифуркации, ромбики - точки бифуркации по первой гармонике 4. Нарусберг В.Л., Тетерс Г.А. Устойчивость и оптимизация оболочек из композитов. Рига, 1988. 299 с. 5. Бабич Д.В., Кошевой И.К. Устойчивость композитных оболочек с малыми искривлениями образующей. Киев, 1986. С. 1-15. 6. Викторов В.И., Товстик П.Е. Некоторые задачи устойчивости цилиндрических оболочек с винтовой анизотропией // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2009. Спецвыпуск. С. 54 - 57. 7. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. М., 1977. 415 с. 8. ТреногинВ.А. Функциональный анализ. М., 1980. 495 с. 9. Гетман И.П., Устинов Ю.А. О методах расчета канатов. Задача растяжения кручения // ПММ. 2008. Т. 72, вып. 1. С. 81 - 90. 10. Андреева Л.Е. Упругие элементы приборов. М., 1981. 391 с. 11. Di Giovanni M. Flat and Corrugated Diaphragm Design Handbook. N.Y., 1982. 404 p. 12. Yamada S., Uchiyama M. Imperfection-sensitive buckling and postbuckling of spherical shell caps // Buckling and Postbuckling Structures: Experimental, Analytical and Numerical Studies / ed. by B.G. Falzon and M.H. Aliabadi. London, 2008. P. 309 - 374. 13. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация (в прикладной математике и механике). М., 1999. 224 с. 14. Singer J., Arbocz J., Weller T. Buckling Experiments: Experimental Methods in Buckling of Thin-Walled Structures. Поступила в редакцию Vol. 2. Shells, Built-Up Structures, Composites and Additional Topics. N.Y., 2002. 1732 p. 15. Zoelly R. Über ein Knickungsproblem an der Kugelschale. Zürich, 1915. 84 p. 16. Григолюк Э.И., Лопаницын Е.А. Осесимметричное закритическое поведение пологих сферических куполов // ПММ. 2002. Т. 66, вып. 4. С. 621 - 634. 17. Пьянков Б.Г., Какурин А.М., Юдин А.С. Экспериментальные и теоретические основы артификации предохранительных мембран // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1999. № 2. С. 22 - 24. _25 марта 2011 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/multifraktalnaya-model-s-masshtabom-neodnorodnosti-effektivnyh-uprugih-svoystv-gazosoderzhaschih-porodnyh-massivov

Разработана мультифрактальная модель, определяющая эффективные упругие свойства газосодержащих породных массивов. Данная модель описывает породный массив в целом как иерархически-стохастическую систему, состоящую из шести уровней: минеральный, газово-минеральный, горно-породный, газовый горно-породный, породно-массивный и газовый породно-массивный. Причем эффективные упругие свойства каждого уровня определяются коллективным свойством взаимодействия структурных составляющих предыдущего.

ГОРНОЕ ДЕЛО И ГЕОЛОГИЯ УДК 004.942;001.57;51-72;552.08;549.08;539.3 МУЛЬТИФРАКТАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ С МАСШТАБОМ НЕОДНОРОДНОСТИ ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГИХ СВОЙСТВ ГАЗОСОДЕРЖАЩИХ ПОРОДНЫХ МАССИВОВ © 2012 г. Р.К. Халкечев Московский государственный горный университет Moscow State Mining University Разработана мультифрактальная модель, определяющая эффективные упругие свойства газосо-держащих породных массивов. Данная модель описывает породный массив в целом как иерархически-стохастическую систему, состоящую из шести уровней: минеральный, газово-минеральный, горнопородный, газовый горно-породный, породно-массивный и газовый породно-массивный. Причем эффективные упругие свойства каждого уровня определяются коллективным свойством взаимодействия структурных составляющих предыдущего. Ключевые слова: газосодержащий породный массив; мультифрактальная модель; эффективные упругие свойства; неоднородность; газовая пора; иерархически-стохастическая система. In the presented work, the multifractal model defining effective elastic properties of gassy rock massifs is developed. The given model describes a rock mass as a whole as the hierarchically-stochastic system consisting of six levels: mineral, gassy mineral, mountain geological material, gassy mountain geological material, massive rock and gassy massive rock. And effective elastic properties of each level, are defined by collective property of interaction of structural components of the previous one. Keywords: gassy rock mass; multifractal model; effective elastic properties; heterogeneity; gas pore; hierarchically-stochastic system. Согласно общей схеме математического моделирования [1], для начала построим содержательную модель газосодержащего породного массива. Породный массив, согласно данной модели, представляет собой макроскопическую систему, обладающую большим количеством степеней свободы. В свою очередь все системы со многими степенями свободы являются, де факто, иерархическими. В том смысле, что допускают дополнительное описание, по крайней мере, на двух различных уровнях. Именно поэтому породный массив будем рассматривать как систему, состоящую из трех уровней: минеральный (совокупность зерен); горно-породный (совокупность минералов); породно-массивный (совокупность горных пород). Причем механические свойства каждого уровня определяются коллективным свойством взаимодействия структурных составляющих предыдущего. А именно, механические свойства минерального уровня образуются вследствие взаимодействия структурных элементов (зерен), свойства которых, в свою очередь, определяются из экспериментальных данных. Для горно-породного уровня такой структурной составляющей выступает минерал, свойства которого определяются на предыдущем уровне. И наконец, для породно-массивного уровня таким элементом является горная порода. При нали- чии газа в породном массиве возникают дополнительные уровни: газово-минеральный (совокупность зерен с включениями в виде газовых пор), газовый горнопородный (совокупность минералов с газовыми включениями) и газовый породно-массивный (совокупность горных пород с газовыми включениями). Исходя из этого построение математической модели газосодержащего породного массива следует производить на основе теории мультифракталов, описывая каждый уровень по отдельности, с учетом нижележащих. Разработаем математическую модель минерального уровня с целью определения управляющих параметров, характеризующих механические свойства минерала. Представим минерал как трехмерную неограниченную анизотропную упругую среду, которую назовем основной, с неоднородностями в эллипсоидальных областях V(х), где x(x1 , X2 , Xз ) - точки среды. Эти эллипсоидальные области плотно прилегают друг к другу и соответствуют зернам минералов. Через C0 обозначим постоянный тензор упругих модулей основной среды, равный осредненным значениям тензора упругих модулей отдельного зерна < C > , через C0 + ^ - тензор упругих модулей для эллипсоидальной неоднородности. Тогда тензор упругих модулей среды с неоднородностями можно представить в виде кусочно-постоянной функции C(x) = О, + С-^(x), где V (х) - характеристическая функция области V, занятой неоднородностями. Но так как в рассматриваемой модели неоднородности плотно прилегают друг к другу, то всегда V(х) = 1. Необходимо иметь в виду, что С1 принимает различные значения в зависимости от ориентации эллипсоидальной неоднородности. В свою очередь, ориентация последних случайна, следовательно, С1 - случайный тензор, постоянный в пределах каждой неоднородности. Обозначим через е0( х) непрерывное внешнее поле деформаций, которое существовало бы при С1 = 0 в основной однородной среде при заданных внешних силах, и через е( х) - кусочно-непрерывное поле деформаций в среде с неоднородностями при тех же внешних условиях. При решении поставленной задачи воспользуемся методом самосогласованного поля [2]. Предположения данного метода применительно к решаемой задаче можно сформулировать следующим образом: 1) поле деформаций е', в котором находится каждая из неоднородностей, складывается из внешнего поля е0 и поля, обусловленного окружающими неоднородностями; 2) это поле одинаково для всех неоднород-ностей и постоянно; 3) каждая из неоднородностей представляется изолированным эллипсоидальным включением в основной среде. Из условия постоянства е' и согласно результатам, полученным в [3], для поля деформаций е внутри любой неоднородности имеем: е = (I + ЛС1)~1е', где I - единичный четырехвалентный тензор; Г (п /2) (1) A = - nn Sn-1 J A0(r()dSл. <ст>=< C (I + AC^e' > , <ст>= < C (I + AC1)-1 > e'. Среднюю деформацию < е > среды с неоднородностями получим, усредняя (1) по ансамблю реализации случайного поля неоднородностей, < е >= < (I + ЛС1)- е' > . При условии постоянства е' получим <е >= < (I + ЛС1)- >е'. (2) Предположив, что деформирование каждой из неоднородностей описывается законом Гука, и умножив левую и правую части выражения (1) на С, получим выражение для напряжений внутри любой неоднородности: Се = СЦ + ЛС1)~1е', или ст= СЦ + ЛС1)~1е'. (3) Среднее напряжение < ст > среды с неоднородно-стями получим, осредняя (3) по ансамблю реализации: Подставим значение < е > из (2) и < ст > из (4) в обобщенный закон Гука для минералов, зерна которых ориентированы в пространстве случайным образом, записываемый в виде: < ст >= Сэ < е > и < е >= 5э < ст > , (5) имеем < (I + ЛС1)-1 >е' = £эфм < С(I + ЛС^-1 >е' и получим выражение для тензора эффективных упругих податливостей ^эфм =< (I + ЛС1)-1 >< С(I + ЛС1)-1 >-1 . (6) Подставим значение < ст > и < е > в выражение (5) < СЦ + ЛС1)-1 > е' = Сэфм < С(I + ЛС1)-1 > е' и получим выражение для тензора эффективных упругих модулей Сэфм =< (I + Л • С1)-1 >< (I + Л • С1)-1 >-1, (7) °ТКуда Сэфм = £;фм • Таким образом, получены в символическом виде общие выражения (6) и (7) для подсчета тензора эффективных упругих модулей и податливостей. С учетом наличия газовых включений в зернах мы получим новый уровень - газово-минеральный. Для того чтобы описать механические свойства данной среды, разработаем следующую математическую модель. Рассмотрим трехмерную анизотропную упругую среду с неоднородностью в эллипсоидальных областях, занимающую область V . Объем среды будем считать достаточно большим, чтобы вкладом от поверхностных эффектов в упругие свойства среды можно было бы пренебречь. Эллипсоидальные области в данном случае не прилегают к друг другу и соответствуют порам с газом в зернах минерала. Поскольку данный уровень включает в себя коллективные свойства предыдущего - минерального уровня, то постоянным тензором упругих модулей однородной среды будет Сэфм. Обозначим через Сэфм + р15 тензор упругих модулей эллипсоидной неоднородности, где р1 - давление, играющее роль в данной задаче модуля упругости, и 5 - символ Кро-некера; (+) в данном соотношении соответствует случаю, когда давление газа выше чем Сэфм , а знак (-) означает, что давление ниже Сэфм . Тогда тензор упругих модулей среды с неоднородностью есть кусочно-постоянная функция Сэфм + р15У(х), где х = (х1, х2, х3) - точка среды; V (х) - характеристическая функция области V, занятой неоднородностями. Необходимо иметь в виду, что р15 принимает различные значения в зависимости от ориентации эллипсоидальной неоднородности. В свою очередь, ориентация последних случайна, следовательно, р15 - случайный тензор, постоянный в пределах каждой неоднородности. Пусть е,(х) - непрерывное внешнее поле деформаций, которое суще- ствовало бы при p15 = 0 в основной однородной среде при заданных внешних силах, и через егм(x) - кусочно-непрерывное поле деформаций в среде с неоднородностями при тех же внешних условиях. Для решения поставленной задачи, как и на предыдущем уровне, воспользуемся методом самосогласованного поля [2]. Тогда поле, наведенное другими неоднородностями, егм будет удовлетворять следующему соотношению: 8ГМ = (I ± АА8)-1е 'г: (8) Среднюю деформацию <егм > среды с неодно-родностями получим, усредняя (8) по ансамблю реализации случайного поля неоднородностей. Это среднее будет складываться из условий, когда два радиуса-вектора попадут в одно и то же включение и когда они попадут в два разных включения. С учетом этого, по предыдущей схеме, получим для тензора эффективных упругих податливостей для газово-минерального уровня: ^фгм = ^фм - ^фм < ТТ(P18)(I ± АР18) 1 > V I + --J K (R)F (R)dV S. зфм ' (9) S = S зфгп зфгм ^эфгм < V С1гп (I ± А^1гп ) > I+ --J K (R)F (R)dV S зфгм5 (10) где С1гп - случайный тензор, определяемый как разница между тензором упругих модулей среды с неод- нородностями (соответствующих минералам) и тензором эффективных упругих модулей Сэфгм. А тензор эффективных упругих модулей горнопородного уровня, с учетом (10), находится из выражения Сэфгп = ^эфгп 1 . При наличии газа на предыдущем уровне образуется новый уровень - газовый горно-породный. Для данного уровня входными данными будет Сэфгп , полученный на газово-породном уровне. Тензор эффективных упругих податливостей для данного уровня будет определяться следующим образом: S зфггп ^эфгп Sзфгп < Т0 С1ггп(I ± А^1ггп) > V + - JK(R)F(R)dV S зфгм, ' I+ (11) где С1ггп - случайный тензор, определяемый как разница между тензором упругих модулей среды с неод-нородностями (соответствующих порам газа в минералах) и тензором Сэфгп . Как и в предыдущих случаях, тензор эффективных упругих модулей газового горно-породного уровня, с учетом (11), находится из следующего соотношения: где V, - объем неоднородности; V - объем среды, приходящийся на каждую неоднородность; п - концентрация неоднородностей; для построения функции F(Я) под интегралом в данном выражении необходимо задаться конкретной моделью случайного поля неоднородностей в среде; £эфм - определяется по формуле (6). Тензор эффективных упругих модулей может быть получен из (9) по следующей формуле: Сэфгм = ^эф™^ . С точки зрения математического моделирования последующие уровни не будут отличаться, за исключением входящих данных. Для горно-породного уровня входными данными будет тензор упругих модулей Сэфгм, полученный на газово-минеральном уровне. Тензор эффективных упругих податливостей для данного уровня будет определяться следующим образом: С = Si, эфггп эфггп Аналогичным образом определяются эффективные константы породно-массивного и газового породно-массивного уровней. Входными данными для первого из них служит Сэфггп, для второго Сэфпм - являющегося тензором эффективных упругих модулей, определенным на нижележащем уровне. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Таким образом, нами получена мультифракталь-ная модель с масштабом неоднородности эффективных упругих свойств газосодержащих породных массивов, которая описывает породный массив в целом как иерархически-стохастическую систему, состоящую из 6 уровней: минерального, газово-минерального, горно-породного, газового горно-породного, породно-массивного и газового породно-массивного. Литература 1. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. М., 1994. 272 с. 2. Слэтер Дж. Методы самосогласованного поля. М., 1978. 670 с. 3. Кунин И.А., Соснина Э.Г. Эллипсоидальная неоднородность в упругой среде // Докл. АН СССР. 1971. Т. 199, № 3. С. 127 - 132. Поступила в редакцию 7 сентября 2011 г. Халкечев Руслан Кемалович - канд. физ.-мат. наук, докторант кафедры «Физика горных пород и процессов», Московский государственный горный университет. Тел. 8-928-925-63-36, (8652)36-27-63. E-mail: [email protected] Khalkechev Ruslan Kemalovna - Candidate of Physico-Mathematical Sciences, doctoral candidate at department «Physics of geological materials and processes», Moscow State Mining University. Ph. 8-928-925-63-36, (8652)36-27-63. E-mail: [email protected] -1 -1 -1

https://cyberleninka.ru/article/n/k-modeli-dinamiki-gazovogo-puzyrka-v-gazozhidkostnoy-srede

В переменных Ланранжа решена задача рас-чета изменения объема газового пузырька в га-зожидкостной среде. Получено дифференциаль-ное уравнение типа уравнения Релея относитель-но радиуса пузырька в виде, удобном для чис-ленного интегрирования на ЭВМ, учитывающее особенности динамики роста пузырька в ограни-ченном объёме газожидкостной среды.

УДК 621.226 К МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ГАЗОВОГО ПУЗЫРЬКА В ГАЗОЖИДКОСТНОЙ СРЕДЕ © 2008 г. Ю.И. Бабенков, А.И. Озерский, В.И. Сапрыкин При расчёте динамических характеристик гидросистем, содержащих газожидкостные среды, изменение объёма газовых пузырьков часто оценивают по модели Релея [1-3], не учитывая, однако, при этом влияние других пузырьков, окружающих данный пузырек газа. В модели Релея рассматриваемый одиночный пузырек газа окружён бесконечным объёмом несжимаемой жидкости, а рост или уменьшение объёма данного одиночного пузырька получается как результат движения границы бесконечно большого объёма несжимаемой жидкости вне пузырька. В газожидкостной среде рассматриваемый пузырёк газа окружен множеством других пузырьков и находится в ограниченном объёме газожидкостной смеси, плотность которой зависит от изменения суммарного объёма других пузырьков, окружающих данный пузырёк газа. Учесть влияние других пузырьков на тепломассообмен данного отдельного пузырька газа с окружающей газожидкостной средой - задача очень сложная. Существенно проще, однако, учесть влияние окружающих пузырьков на динамику изменения объёма данного отдельного пузырька газа без учёта тепломассообмена его с окружающей средой. Чтобы учесть особенности влияния окружающих пузырьков на динамику изменения объёма данного одиночного пузырька, применим в сферической системе координат подход Лагранжа к подвижному сферическому слою чистой идеальной несжимаемой жидкости вне данного одиночного газового пузырька [4]. Будем считать, что этот слой, с одной стороны, ограничен поверхностью данного одиночного сферического газового пузырька, с другой стороны - сферической поверхностью слоя соседних газовых пузырьков (рисунок). Обозначим через г1 (т) (здесь т - время) - радиус рассматриваемого отдельного газового пузырька, а через г2 (т) - расстояние от центра пузырька до ближайшей к нему поверхности слоя соседних пузырьков. Будем пренебрегать изменением объёма пузырька вследствие диффузии, а также относительным перемещением пузырьков при движении газожидкостной среды, т. е. будем считать, что рассматриваемый одиночный пузырек при движении газожидкостной смеси постоянно окружён сферическим слоем, состоящим из одних и тех же пузырьков газа. Здесь предполагается сферическая симметрия движения среды относительно центра 0 пузырька. К модели одиночного газового пузырька в газожидкостной среде Таким образом, рассматриваемый пузырёк газа при движении будет постоянно окружен сферическим слоем чистой (без пузырьков газа) жидкости. Толщина 5(т) этого слоя равна 8(т) = г2 (т)-гх (т). Применим к рассматриваемому подвижному сферическому слою идеальной несжимаемой жидкости теорему живых сил [5], получим d Г U !•----!• — J р—dV = J р f и dV + J p UdS, dT V(т) 2 V(т) S(т) здесь и - вектор абсолютной скорости частиц жидкости в слое, м/с; р - плотность жидкости, кг/м3; / -вектор внешних удельных массовых сил, действующих на жидкость, Н/кг; р - вектор внешних удельных поверхностных сил (сил давления), действующих на поверхность жидкого слоя, Н/м2; V (т), £(т) -объём и площадь поверхности слоя жидкости соответ- 32 ственно, м , м . Если пренебречь действием массовых сил, то d г и2 г 1 Эи2 — I р—dV = I — р-dV + dT V( , 2 V( ) 2 Э/ v(t) v(t) + J -2ри 2и ndS = J p и dS. s (t)' s [t получим, что '2(T)d„ 2 I ^г С* = I Эт U 2 S 2(r) S 2(r) S (r )dr = = I 2(t) dV 2 1 , • dV У 1 , . xdr = 2V- I —-—- dr. dT S (r) dT J S (r) 1(T) W r1(T) V ' а также dT dTL dS d dT dT (4nr2) = 4n2rI = 8nrI 2(T) 1 2(T) 1 1 I _dr = I _dr =_ J S (r) J 4nr2 4n r1(T) W r1(T) 1 1 I r2 С учётом равенств, приведенных выше, равенство (1) после сокращения на V (т) ф 0 примет вид р (2 r1 + 2rr1) 1 1 2p(r22 - r1 ) = P1 (T I )-Р 2 (T r2 ). (2) Здесь и n = и n, n - вектор внешней нормали к элементу dS. Учитывая, что в нашем случае и = и r, и n = и r = dr = — и р = const, получим d 2 р J ^V + 2 ри 22 V - 2 ри 2V = ( - p 2 )V . (1) 2 V (t) 0Т 2 2 Здесь F = Ju rds - объёмный расход жидкости, S м3/с; (точка над параметром здесь и далее означает производную по времени т). Так как в сферической системе координат а 2 r2 (т) а 2 r^v = Г ^S(r)dr. J(t) дт I ) Эт W v (t) r1 (t) то с учётом равенств M = 2ur ^ и иr (r,T)S(r) = V(t) от от Учитывая уравнение неразрывности для центрального (сферического) потока жидкости в виде г2 равенства г2 = -1-г, которое определяет функцио- г22 нальную зависимость г2 от г1 в виде г2 = г (г1), и выполнив элементарные преобразования, можно дифференциальное уравнение (2) получить в виде, удобном для численного интегрирования на ЭВМ Pr1 ( r \ 1 - I + 2р 3 - II +1 4 r2 4 r? = = P1 (T I )-Р 2 (T r2 ). (3) Здесь г2 = г (г1). С помощью этого уравнения можно описывать поведение одиночного газового пузырька в ограниченном объёме жидкости, либо поведение его в жидкости с пузырьками газа при известном законе изменения во времени давлений р1 (т, г1) и р2 (т, г2), т.е. в случае, когда эти давления заданы. Если закон изменения во времени функций г1 (т), г1 (т) и Г1 (т) определён, то давление р (т, г) в любой точке г (т) на сферическом слое жидкости вне пузырька можно определить из равенства: р(т,г) = Р1 (т,г1 )-рг11 1 -"Т" I- -2р 3 _ h+1i I1 4 r 41 r I2. В сферической системе координат справедливы равенства: V (т) = S(r )r (т) = 4nr 2r = 4nrj2rx = 4nr22r2 dV ^[s(i)i(t)] = f-r2 + S(r)r, Следует отметить, что при необходимости учёта особенностей влияния на динамику одиночного газового пузырька явлений испарения или конденсации жидкости, выделения или поглощения газа в результате диффузии, а также особенностей теплопередачи, т.е. явлений тепломассообмена, можно дополнительно использовать известные соотношения [6], полученные из законов сохранения массы, количества движения и энергии на поверхности контактного разрыва [4]. Например, в случае диффузии газа и испарения жидкости с поверхности пузырька на основе подхода Лагранжа из закона сохранения массы можно получить два дополнительных уравнения, справедливых на поверхности контактного разрыва (на поверхности пузырька): т Т = 4га-!2 (( - и г) = 4™^ г ] г ; iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. m " ж = 4nr12 (r1 _ U ж ) = 4пг12р ж j и и здесь ш ж, ш Г - соответственно притоки массы пара жидкости и газа во внутрь пузырька, кг/с; р Г , р ж -плотности газа и жидкости на границе пузырька; у Г, у ж - объёмные потоки газа и пара жидкости в полость пузырька за счёт диффузии газа и испарения жидкости, м/с; и Г, и ж - скорость радиального движения газа и пара жидкости на поверхности пузырька соответственно, м/с. Величины уГ и у ж могут быть определены на основе законов диффузии [7]. При г2 ^го уравнение (3) преобразовывается в известное уравнение Релея [1] для пузырька, окружённого бесконечным сферическим слоем жидкости: .. 3.2 РГ1Г1 + 2 РГ1 = Р1 - Р 2. Если пренебречь 8/г1 по сравнению с единицей, то получим уравнение, с помощью которого можно оценить динамику изменения во времени объёма мыльного или пенного сферического пузыря толщиной 5 [8] с учётом дополнительного действия сил поверхностного натяжения о - 8 . 2 а р8г + 2р г = Р1 - р 2 + 4—, г\ г\ здесь а - коэффициент поверхностного натяжения жидкости, Дж/м2 Выводы В сферических координатах на основе подхода Лагранжа рассмотрена осесимметричная задача динамики одиночного газового пузырька в газожидкостной среде. Получены уравнения, отражающие особенности динамики изменения объёма пузырька в ограниченном пространстве газожидкостной среды. Учитываются условия массообмена на границе пузырька с жидкостью. Полученные уравнения могут быть использованы при построении осесимметричных моделей и для расчёта динамики пузырька в ограниченном объёме газожидкостной среды. Литература 1. Rayleigh, Lord (Strutt J.W.) On the Pressure Developed in a Liqnid During the Collapse of a Spherical Cavity // Phil. Mag., Vol. 34. Р. 94-98. 1917. 2. Перник А.Д. Проблемы кавитации М., 1966. 3. Кнепп Р., Дейли Дж., Хеммит Ф. Кавитация: Пер. с англ. М., 1974. 4. Озерский А.И., Полухин Д.А., Сизонов В.С. Исследование одномерных движений жидких масс с контактными разрывами в магистралях, содержащих насосы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1979. № 2. 5. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М., 1973. 6. Седов Л.И. Механика сплошной среды Т. 2. М., 1973. 7. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика; Механика сплошных сред, ГИТТЛ, 1954. 8. Гегузин Я.Е. Пузыри. М., 1985. Ростовская-на-Дону государственная академия сельскохозяйственного машиностроения; Ростовский-на-Дону государственный университет путей сообщения 21 декабря 2007 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/metody-teorii-determinirovannogo-haosa-primenitelno-k-protsessam-nelineynogo-rasprostraneniya-akusticheskih-voln

Процессы распространения акустических волн в водной нелинейной среде исследованы методами теории детерминированного хаоса. На основе проведенных лабораторных экспериментов по распространению гармонического сигнала в гидроакустическом бассейне получены временные ряды, для которых построены фазовые портреты. Рассчитаны количественные характеристики меры хаотичности сигналов множество показателей Ляпунова (спектр Ляпунова). Вид аттракторов и наличие положительной максимальной экспоненты Ляпунова позволяют сделать вывод о присутствии динамического хаоса в исследуемой системе. Ил. 4. Библиогр. 14 назв.

УДК 53.072.11:534.222 МЕТОДЫ ТЕОРИИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ПРОЦЕССАМ НЕЛИНЕЙНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН © 2007 г. H.E. CmapueHKO The processes of acoustical wave's propagation nonlinear water medium were investigated by the methods of deterministic chaos. On the basis of provided laboratory experiments on propagation of harmonic signal in hydroacoustical tank the time series were obtained for which the phase portraits were reconstructed. The numerical characteristics of chaotic measure of signals - set of Lyapunov indices (Lyapunov spectrum) were calculated. The attractor's view and presence of positive maximal Lyapunov exponent are the evidence of dynamic chaos in the investigated system. Достижением теории динамических систем стало открытие хаотической динамики. Возникновение хаоса кажется на первый взгляд несовместимым с определением динамической системы, подразумевающим возможность однозначного предсказания конечного состояния по исходному. На самом деле в хаотическом режиме сколь угодно малая неточность в задании начального состояния системы быстро нарастает во времени, так что предсказуемость становится недостижимой на достаточно больших интервалах времени. Такого рода режимы характеризуются нерегулярным, хаотическим изменением динамических переменных во времени. В фазовом пространстве дисси-пативных систем им отвечают странные аттракторы -сложно устроенные множества, демонстрирующие все более тонкую структуру на разных уровнях ее разрешения (фракталы). Целый ряд имеющихся экспериментальных фактов могут быть объяснены фрактальными свойствами сред и волновых процессов [1]. Так, фрактальная структура таких сред, как грунты, пористые материалы, аморфные тела и т.п., определяет в них скорость и затухание волн, спектры колебаний, локализацию форм колебаний и другие свойства. Фрактальная размерность взволнованной ветром поверхности моря оказывается ответственной за характер частотно-угловых зависимостей рассеянных полей. Сами звуковые поля также могут обладать фрактальными свойствами, вследствие, например, нелинейного взаимодействия акустических волн [2]. Теоретическая физика хаоса начинается с эволюционных уравнений [3], которые описывают динамическое развитие состояния системы (модели). Это могут быть непрерывные модели X = /м(х\ х е Ят, т > 1 (1) или дискретные х„+1 = Ям(х„), хп е Ят, т > 1, п = 0,1,... (2) Состояние системы задается т-зависимыми переменными х(()=[х1 (),х2(),...,хт(()] или хп = (х{п),х2п),...,) для случаев (1) и (2) соответственно. Индекс / показывает, что система зависит от параметра / (часто бывает от нескольких параметров). Динамические законы (1) и (2) определяют, как развивается заданное состояние х^) или хп. Для визуального анализа динамики системы особенно подходят аттракторы. Для реконструкции фазовых портретов (или аттракторов) многомерной системы в многомерном фазовом пространстве из одномерных временных рядов (теорема Такенса [4]) наиболее известным методом является метод временных задержек. Он позволяет получить матрицу векторов х(п), полученных в дискретные моменты времени x(n )=(xn, xn, xn-p, xn-2p xn-(m-l)p -(m-l)p )' (3) где p= 1,2,3... - целое число, определяющее временную задержку через число отсчетов (соответствующее время задержки может быть вычислено как T=ptd, td -интервал дискретизации); m - внедренная размерность. Выбирая n, получим дискретный набор точек в m-мерном фазовом пространстве. Полагая, что устойчивые осцилляции имеют место в диссипативной системе, получим так называемый псевдо-портрет. Необходимыми параметрами для корректного построения фазового портрета из временных рядов являются внедренная размерность m и время задержки т. Процедура нахождения ближайших «ложных соседей» (англ. false nearest neighbors - fnn) - это метод нахождения оптимальной внедренной размерности для реконструкции фазового пространства, предложенный в [5]. Алгоритм определения «ложных соседей» включает выполнение проверки окрестностей точек, внедренных в проекции множеств с увеличивающимися размерностями. Это означает, что точки, находящиеся рядом на проекции, будут разделены во внедренных пространствах с большими размерностями. Критерием отслеживания ошибок внедрения является то, что расстояние между двумя соседними точками увеличивается при увеличении размерности с m до m+1. По этому критерию ближайший «ложный сосед» - это точка, для которой выполняется следующее условие: R2m+lM-R'm (Т . Rm (Т 12 |x(( + т)- x(tT+T) = Rm (Т > R tol ■ (4) где / и /т- времена, соответствующие соседней точке и точке отсчета; Ят - расстояние в фазовом пространстве с внедренной размерностью т; Я^ - порог точности. Однако критерий сам по себе не является достаточным для определения размерности внедренного пространства. Проблема в том, что точка является ближайшим соседом другой точки, на самом деле располагаясь не обязательно близко от нее. Поэтому число ближайших соседей снова будет увеличиваться для высоких размерностей. Для решения этой проблемы используется так называемый «критерий одиночества», представляющий собой порог точности. Процент ближайших «ложных соседей» в зависимости от внедренной размерности представляет собой монотонно спадающую зависимость. Оптимальная внедренная размерность может быть определена уже на уровне 30 %. Большие размерности m>3 указывают на возможность хаотических процессов в системе. Существует несколько методов оценки времени задержки. Правильный выбор задержки влияет на информативность и внешний вид аттрактора [6]. При относительно малых временах задержки аттракторы имеют неразвитую структуру, слишком большие времена задержки приводят к сложно запутанным фазовым портретам, напоминающим клубок ниток. Золотой серединой является выбор времени задержки, связанный с временным масштабом исследуемого процесса. Это может быть первый ноль автокорреляционной функции или первый минимум функции взаимной информации [6]. Взаимная информация эквивалентна среднему количеству информации, которое состояние x(t) содержит о состоянии x(t+т) и вычисляется как = -Е Px(t)( (())1о§ Px(t) (( ()) + 1 + Е Pxtt),xtt+т)( (() ^ (( + т))х Х Xog[Pxtt),xtt+т) ( (() ^ (( + т//Px{t(())[ (5) где р - плотность вероятности. Оценка спектра Ляпунова (множества экспонент Ляпунова) также является одним из свидетельств присутствия хаотической динамики в системе [7]. Хаос возникает из экспоненциального роста бесконечно малых возмущений, вместе с глобальными механизмами перегибов обеспечивая ограниченность решений. Эта экспоненциальная нестабильность характеризуется спектром экспонент Ляпунова [8]. Если предположить локальную декомпозицию фазового пространства в направлениях с различной скоростью растяжения или сжатия, то спектр экспонент является усреднением этих локальных скоростей по всему инвариантному множеству и поэтому состоит из стольких экспонент, сколько направлений имеется в пространстве. Наиболее острая проблема в анализе временных рядов - это неизвестность размерности физического фазового пространства, и поэтому спектр вычисляется в некотором внедренном пространстве. Таким образом, количество экспонент зависит от типа реконструкции и может быть больше, чем в реальном физическом пространстве. Экспоненты Ляпунова инвариантны к гладким трансформациям и таким образом не зависят от функции измерения или процедуры внедрения. Они имеют размерность обратную времени и должны быть нормированы на интервал дискретизации. Положительная максимальная экспонента Ляпунова является критерием хаоса. Существует много алгоритмов, пригодных для оценки экспоненты Ляпунова из временных рядов. Метод оценки экспоненты Ляпунова из временных рядов, предложенный в [9], прост, быстр и устойчив к изменениям параметров, таких как внедренная размерность, размер выборки данных, время задержки и уровень шума. Максимальная экспонента хаотического аттрактора определяется по алгоритму Розенштейна из выражения d(t) = CeÄ{t, где d(t) - среднее расхождение траекторий с близкими начальными условиями на аттракторе во время t; C - константа, которая нормирует начальное разделение; - максимальная экспонента Ляпунова. Вычисление всего спектра Ляпунова требует значительно больше усилий, чем вычисление максимальной экспоненты. Необходимой составляющей является оценка локальных Якобианов [6], т.е. линеаризованной динамики, которая управляет ростом бесконечно малых возмущений. Для дискретной динамической системы xM = fn x), f e O1 (Rm ^ Rm), где m - внедренная размерность; n - число реализаций; f n - касательное отображение. Экспоненты представляют собой собственные значения матрицы lim [fn (x)]n, (6) где J - матрица Якобиана. Значения экспонент могут рассматриваться как скорости среднего экспоненциального роста изначально близких точек под воздействием потока, генерируемого функцией f. Таким образом, с одной стороны фазовые портреты (аттракторы) являются хорошим наглядным инструментом для анализа динамики системы, с другой стороны - количественной мерой хаотичности системы являются экспоненты Ляпунова, особенно максимальная. Акустическое поле, создаваемое при распространении в нелинейной среде волн конечной амплитуды, можно считать комплексной нелинейной системой с широким частотным спектром и, следовательно, применить для его анализа методы нелинейной динамики. В данной работе методы нелинейной динамики применены для обработки экспериментальных данных, что позволяет проследить эволюцию системы во времени и пространстве. Было исследовано распространение синусоидального сигнала частотой 1300 кГц в водной нелинейной среде [10, 11]. Записи сигналов проводились с использованием цифрового осциллографа DSO-2100 в пределах рабочей области гидроакустического бассейна в диапазоне расстояний 10-100 см с шагом 10 см. Для корректного построения фазового портрета (аттрактора) необходимо определиться с размерностью фазового пространства и временной задержкой. С использованием метода ближайших ложных соседей, проверяя для временных рядов условие (4), были построены графики, показанные на рис. 1. Для близких расстояний, где нелинейные эффекты еще не накопились в достаточной мере, процент ближайших ложных соседей обращается в ноль для значения внедренной размерности m=2 с увеличением расстояния, начиная с 50 см, значение внедренной размерности можно оценить равным 4. 70% 10 cm 40 cm 50 cm 60 cm 70 cm S -»-80 cm ^ 30% 90 cm 100 cm 0% 3 m Рис. 1. Процент ближайших ложных соседей (пп, %) в зависимости от внедренной размерности m Для оценки времени задержки воспользуемся вычислением взаимной информации, как более точным методом определения временных связей в сигнале. С использованием выражения (5) были получены графики, показанные на рис. 2. Расчеты проводились для трех расстояний от излучателя: 10, 50 и 100 см, им соответствуют кривые 1, 2 и 3 на рис. 2. Первый минимум для всех случаев наблюдается при p=5. 3 I Рис. 2. Величина взаимной информации (I, бит) в зависимости от номера отсчета p Далее были построены фазовые портреты системы в соответствии с вычисленными исходными данными: внедренными размерностями и временем задержки для трех расстояний от излучателя 10, 50 и 100 см. Они показаны на рис. 3, а, б и в, соответственно. 200 150 100 50 250Г 200- x.,,150- 100- 50- 200 150 20 100 50 100 Xn 200 mUf 50 100 150 200 250 x» 40 Рис. 3. Фазовые портреты (аттракторы) временных рядов сигнала х1 (задержка р=5) для расстояний от излучателя: а - 10 см, б - 50 см, в - 100 см х 0 б 5 0 0 2 1 x 0 х Анализируя фазовые портреты можно сказать, что вблизи излучателя фазовый портрет имеет вид эллипса (рис. 3, а), что характерно для устойчивых осцилляций. По мере удаления от источника эллипс трансформируется (рис. 3, б), и в аттракторе начинают появляться петли. Количество петель и их развитость свидетельствуют о зарождающихся гармониках сигнала (для расстояния 50 см, рис. 3, б) или о присутствии сформировавшихся гармоник (для расстояния 100 см, рис. 3, в). Следует еще отметить, что аттрактор явно становится трехмерным (рис. 3, в), в отличие от плоского случая (рис. 3, а). На расстоянии 100 см, т.е. в дальней зоне излучателя сигнал значительно искажается, что отражает форма его фазового портрета (рис. 3, в). На нем явно различимы две петли, другие выражены неявно, что объясняется трехмерностью (или точнее да-мерностью) аттрактора и, вероятно, будут хорошо различаться при других углах рассмотрения аттрактора в пространстве. Для количественной оценки динамики системы был вычислен спектр экспонент Ляпунова по методике (6). Исходными параметрами к расчету служили внедренная размерность т и задержка р, значения которых были оценены выше. Число рассчитываемых экспонент г равно значению внедренной размерности. Их значения показаны на рис. 4 для различных расстояний от излучателя. Рис. 4. Спектр Ляпунова (значения экспонент Л) Как известно из теории детерминированного хаоса [12], положительная максимальная экспонента Ляпунова свидетельствует о локальной неустойчивости системы и, следовательно, возможности хаотических колебаний. Исследуемый сигнал проявляет слабую неустойчивость вблизи излучателя, где накопления нелинейных эффектов еще не произошло. По мере удаления от источника значение максимальной экспоненты Ляпунова растет (~0,2 для расстояния 50 см и ~0,5 для 100 см), что говорит, во-первых, о хаотичности исследуемого сигнала, и, во-вторых, что степень расхождения траекторий в фазовом пространстве увеличивается с расстоянием. Таким образом, с помощью качественных визуальных (рис. 3) и количественных оценок (рис. 4) показано, что распространение акустических волн в водной среде является нелинейным хаотическим процессом и может исследоваться в дополнении к традиционным методам методами теории детерминированного хаоса. Для нелинейного анализа временных рядов в статье использовались пакеты TISEAN [6], Dataplore [13], NLyzer [14]. Литература 1. Лямшев Л.М., Зосимов В.В. // Акуст. журн. 1994. Т. 40. № 5. С. 709-737. 2. Зарембо Л.К., Тимошенко В.И. Нелинейная акустика. М., 1984. 3. Lauterborn W., Parlitz U. // J. Acoust. Soc. Am. 1988. Vol. 84. P. 1975-1993. 4. Ruelle D., Takens F. // Commun. Math. Phys. 1971. Vol. 20. P. 167-192. 5. KennelM.B., Brown R., Abarbanel H.D.I. // Phys. Rev. 1992. A45. Р. 3403. 6. Hegger R., Kantz H., Schreiber T. // CHAOS. 1999. Vol. 9. P. 413. 7. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. М., 1988. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 8. Eckmann J.-P., Ruelle D. // Rev. Mod. Phys. 1985. Vol. 57. P. 617. 9. Rosenstein M.T., Collins J.J., Luca C.J.D. // Physica. 1993. D65. P. 117-134. 10. Старченко И.Б. // Техническая акустика. <http://www.ejta.org> 2006. 12. 11. Старченко И.Б. // Тр. XVIII сессии Рос. акуст. общества. М., 2006. 12. Мун Ф. Хаотические колебания. М., 1990. 14. http://www.physik.tu-darmstadt.de/NLyzer 13. Dataplore package. http://www.ixellence.com Таганрогский государственный радиотехнический университет_23 октября 2006 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/zaryadovye-klastery-uderzhivaemye-samosoglasovannym-polem

Исследовались решения полной системы уравнений самосогласованной электрической гидростатики. Установлено, что между одноименными зарядами динамической системы существует класс коллективного взаимодействия, в котором возникает обратное действие макроскопического самосогласованного поля на заряды, порождающие это поле; обратное действие поля на заряды приводит к появлению удерживающей объемной плотности гидроаэростатических сил полевого происхождения, связанной с градиентом давления самосогласованного поля, совпадающей по величине и противоположной ему по направлению; динамическая система зарядов находится в состоянии гидростатического равновесия с самосогласованным полем, когда градиенты давлений поля и зарядов равны друг другу в любом элементарном объеме скопления.Sequential theory of dynamic clusters of similar charges, which/ are short-time confined in the restricted space by selfconsistent field, is proposed.

УДК 621.385.6.029.6 ЗАРЯДОВЫЕ КЛАСТЕРЫ, УДЕРЖИВАЕМЫЕ САМОСОГЛАСОВАННЫМ ПОЛЕМ © 2004 г. В. Г. Сапогин Sequential theory of dynamic clusters of similar charges, which/ are short-time confined in the restricted space by self-consistent field, is proposed. Последние два десятилетия ХХ в. ознаменовались открытием скоплений одноименных зарядов высокой плотности и разработкой технологий их создания. Российскими учеными такие скопления были обнаружены в потоках зарядов, возникающих у катода при взрывной термоэлектронной эмиссии. Быстрая концентрация тепловой энергии в микрообъеме катода приводит к микровзрывам, которые создают отдельно сформированные в виде лавин порции электронов, названные эктонами [1]. В США похожие автономные скопления зарядов были обнаружены на острийном катоде в вакууме, получили название «Electrum Validum» (EV) и были применены в технологии обработки металлических поверхностей и в других технологиях [2]. Скопления зарядов (СЗ) образуются в зазоре между катодом и анодом при создании сильного (от 2 до 10 кВ) электрического поля, имеют малые размеры (от долей до десятков микрометров), большой отрицательный заряд (от 108 до 1011 электронов в скоплении) и время жизни от 30 до 100 пс, превышающее время возможного разлета зарядов. Иногда средняя концентрация электронов в скоплении может превосходить среднюю концентрацию электронов в металле на порядок. При таких концентрациях, не имея кристаллической решетки, скопления зарядов проявляют механические свойства, присущие твердым телам. В некоторых случаях при неупругом столкновении такого скопления с поверхностью металла на ней может возникнуть характерный кольцевой проплавленный кратер с валиком из нерасплавленного вещества в центре. В настоящее время практически отсутствуют научные публикации, в которых предложена последовательная теория зарядовых кластеров, объясняющая физические причины их возможной, даже кратковременной, локализации в ограниченной области пространства и позволяющая рассчитать их важнейшие параметры, такие как геометрический размер, распределения полей, удерживающих сил, давления, плотности и температуры. Под зарядовым кластером нами понимается динамическая система одноименных зарядов, удерживаемая кратковременно в ограниченной области пространства силами полевого происхождения при условии равенства нулю средней плотности тока в произвольном объеме кластера. Кластеры, не удовлетворяющие этому условию, называются токовыми и далее не рассматриваются. Ниже развиваются и обобщаются методы решения задач гравитационного равновесия вещества, предложенные в начале ХХ в. Лэном, Риттером и Эмденом [3, 4]. В работе обобщенные методы применяются для газа одноименных зарядов. Результаты решения задач гравитационного равновесия по своей сути явились первым шагом на пути создания универсального метода расчета статических макроскопических самосогласованных полей, создаваемых динамической системой взаимодействующих гравитирующих частиц. Используемое в этих задачах математическое условие гравитационного равновесия вещества звезды не позволяет выяснить физическую причину его удержания. Как показано в работе, удержание обеспечивается «выталкивающей» гидроаэростатической (далее гидростатической) силой полевого происхождения, которая связана с градиентом давления поля и совпадает с ним по величине и направлению. Такое уточнение физической причины удержания сводит обсуждаемую проблему к классу задач коллективного взаимодействия, который был предугадан задолго до появления термина «коллективное взаимодействие», введенного Власовым в 1945 г. [5]. Уравнение равновесия термоэлектронов, предложенное Ричардсоном, Шоттки и Лауэ примерно в то же время [6-8], можно преобразовать в уравнение для плотности зарядов, которое будет отличаться от уравнения Эмдена только знаком правой части. Различие знаков соответствует замене сил притяжения между гравитирующими частицами силами отталкивания одноименных зарядов. В рассматриваемой системе потенциал, создаваемый зарядами изображения, не входит в уравнение равновесия и не оказывает никакого влияния на его решения. В связи с этим условие равновесия зарядов, а стало быть и природа сил, удерживающих слой термоэлектронов у поверхности электрода, в развиваемом подходе остались невыясненными. Независимо от упомянутых исследований в 1948 г. Френкель вводит для динамических систем гравитирующих частиц, находящихся в изотермическом равновесии, такой же метод расчета полей и обобщает его на динамическую систему взаимодействующих между собой одноименных зарядов, называя искомые макроскопические поля самосогласованными [9]. По поводу полученных уравнений им были сделаны следующие выводы: - уравнение, описывающее равновесие гравитирующих частиц, не приводит к решениям, имеющим трактуемый физический смысл; - уравнение равновесия зарядов описывает статическое распределение объемного заряда «облака» электронов, испущенных нагретой поверхностью. К сожалению, эти выводы оказались преждевременными и не позволили реализовать уникальные возможности предложенного метода, а сама идея не получила достойного развития. Ниже проведено трехмерное обобщение упомянутых исследований с целью нахождения адекватного теоретического описания коллективного взаимодей- ствия, происходящего в скоплениях зарядов различной геометрии и с различными уравнениями состояния, которое позволило бы вскрыть физические причины, условия и механизмы их возможной кратковременной локализации в ограниченной области пространства. Уравнения гидростатики одноименных зарядов в самосогласованном поле На основе трехмерного обобщения работ Лэ-на-Эмдена и Френкеля ниже исследуется полная система уравнений электрической гидростатики, трехмерная форма которой имеет вид (принята абсолютная физическая система единиц CGS): рЕ +f = 0; (1) V • Е = 4пр ; (2) Е = -V?; (3) p = р¥Т/ q или p = Кгрп+1п ; (4) f = ^р . (5) Здесь р - плотность заряда в элементарном объеме, Е - напряженность макроскопического электрического поля, создаваемая коллективом зарядов в месте расположения объема; р - давление зарядов; р- потенциал самосогласованного поля; К1 - постоянная уравнения состояния; п - индекс политропы; q - элементарный заряд системы; k - постоянная Больцмана. Покажем, что система (1)-(5) описывает коллективное взаимодействие между зарядами, при котором возникает обратное действие поля на заряды, порождающие это поле. Для этого выясним физический смысл компенсирующей объемной плотности сил (далее - объемной силы) f . С одной стороны, эта сила гидростатическая (5) и ее введение делает систему уравнений электрической гидростатики замкнутой. С другой стороны, подставляя в (1) плотность заряда из уравнения (2), получим f = -p E = -E(V • E) / 4п = -G . (6) Из (6) видно, что эта же сила создается градиентом давления самосогласованного поля С = Е^ • Е) /4п, противоположна ему по направлению, действует на плотность зарядов, как и обычный градиент давления, и в статических равновесиях компенсирует действие объемной силы р Е , играющей роль объемной электрической силы. Компенсация указывает на неизвестное ранее свойство самосогласованного электрического поля удерживать неоднородную систему одноименных зарядов в ограниченной области пространства силами неэлектромагнитного происхождения. Из (5) и (6) следуют условие и механизм удержания: С ^р. (7) Для любого уравнения состояния (4) система коллективного взаимодействия зарядов находится в состоянии гидростатического равновесия с самосогласованным полем в том случае, когда равенство градиентов давлений поля и зарядов выполняется в любом элементарном объеме системы. Исследование решений системы уравнений (1)-(5) указывает на принципиальную возможность сущест- вования ограниченных в пространстве полых зарядовых кластеров. Самосогласованное поле системы формирует в них два типа атмосфер (рисунок). В атмосфере, помещенной слева на рисунке (ее удобно назвать внешней), плотность зарядов нарастает в направлении оси х, а в атмосфере, помещенной справа на рисунке (ее удобно назвать внутренней), плотность зарядов убывает в направлении оси х. Рассмотрим возможные направления объемных сил, удерживающих внешнюю атмосферу полого кластера, состоящего из положительных зарядов (левая часть рисунка). Предположим, что в произвольном элементе объема сила р Е совпадает по направлению с внешней нормалью (ось х). Из уравнений (1) и (5) следует, что направление градиента давления зарядов совпадает с направлением вектора Е . Поскольку вектор Е совпадает с направлением оси х, то его единственная проекция положительна. Из уравнения (2) следует, что в этом объеме дивергенция ёЕ > 0 и напря- ёх женность поля нарастает в направлении оси х. Это нарастание формирует градиент давления поля, имеющий такое же направление, как и градиент давления зарядов. Кроме того, для любого уравнения состояния они оказываются равными друг другу, в связи с чем выполняется условие удержания (7). Сила f , компенсирующая р Е , противоположна градиенту давления поля и равна ему по модулю. Рассмотрим физику удержания в равновесии элементарного объема зарядов во внутренней атмосфере кластера (правая часть рисунка). Как и ранее, градиент давления зарядов совпадает с направлением объемной силы р Е и равен ей. Но теперь их направления противоположны направлению внешней нормали и единственная проекция вектора Е отрицательна. Тогда из уравнения (2) следует, что в этом объеме Ш 0 б — < 0 и напряженность поля убывает с ростом х. ёх Это убывание формирует градиент давления поля, направленный против оси х и равный градиенту давления зарядов (7). Гидростатическая сила, компенсирующая силу р Е, направлена по оси х и противоположна градиенту давления поля. Если поле исследуемой системы однокомпонентное и плоское, т. е. Е = [Ех (х),0,0], то равенство градиентов (7) имеет вид G dp Ex dEx dp d x dx 4n dx dx dx ^ E2 x 8n =0 и приводит к интегралу полного давления E pP)2 rf~-p = —------------------p(p) = H(p, p) = const, 8n 8n (8) который является гамильтоновой функцией системы (далее - гамильтониан). В ней роль обобщенного времени (циклическая переменная) играет координата х, а канонически сопряженными величинами являются обобщенный импульс р /4п и обобщенная координата (р. Подставляя (12) в (2), свернем систему уравнений электрической гидростатики в одно уравнение (проведем согласование системы): Др = -4про(1 -р/р.)п . (13) Уравнение (13) представляет собой трехмерный полевой аналог уравнения, имеющего вид модифицированного уравнения Лэна-Эмдена. Его решения определяют законы распределения потенциала в динамических системах зарядов, описываемых политро-пическим уравнением состояния, и находящихся в статическом равновесии с самосогласованным полем. Аналогично получается трехмерный полевой аналог уравнения, имеющий модифицированный вид Е-уравнения Эмдена. Скалярный интеграл, возникающий при его получении, приводит к функции распределения Больцмана. Уравнение позволяет найти распределение макроскопического потенциала в динамических системах зарядов с однородной температурой (рассматривается первое уравнение состояния в (4)), которые находятся в гидростатическом равновесии с самосогласованным полем: Др = - 4пр0 ехр(- qр/ №). (14) Заметим, что структура уравнений (13) и (14) такова, что в плоском случае удается получить их первые интегралы и, следовательно, конкретный вид гамильтоновых функций рассматриваемых систем. В [21] исследованы свойства шести бесстолкновитель-ных гамильтоновых систем и шести систем, описываемых уравнениями (13) и (14). Установлены следующие общие свойства бес-столкновительных систем: 1. Длина системы ограничена в пространстве плоскостью возврата при двухпотоковом движении (давление поля больше, либо равно давлению зарядов). При однопотоковом движении система не имеет границ (давление поля меньше давления зарядов). В этих состояниях в газе зарядов всегда существует такая плоскость, в которой давление самосогласованного поля обращается в нуль. 2. Плоскость нулевого давления поля делит все пространство взаимодействия на две области: внутреннюю и внешнюю. Каждая область имеет свое направление вектора напряженности поля по отношению к оси х. Направления указаны на рисунке, в котором квазиплоский слой следует заменить на плоский. 3. Объемные силы р Е, прижимающие слой зарядов к плоскости нуля потенциала, для двухпотоковых состояний направлены против оси х. Силы, отталкивающие этот слой, создаются градиентом давления поля, взятым с противоположным знаком. Это формирует атмосферу зарядов, в которой их основная часть сосредоточена возле плоскости возврата. 4. Для однопотоковых состояний объемные силы р Е , расширяющие слой зарядов, во внутренней атмосфере направлены против оси х, а во внешней - по оси х. Силы, стягивающие слой, создаются градиентом давления поля, взятым с противоположным знаком. Это приводит к тому, что основная часть зарядов сосредоточена вблизи плоскости нулевого давления поля. grad Р \ grad Р f pE рЕ ^ Г , f ll2 8я ш т < 2 * Ь! Ь2 8я 8х ш т > ' * Ы 8я / / - grad (E2/8ir) j / - grad (Е2/8я) Возможные направления объемных сил, удерживающих в равновесии квазиплоский слой положительных зарядов полого кластера Конкретные виды гамильтонианов в плоских системах одноименных зарядов с различными уравнениями состояния получаются из первых интегралов уравнения Пуассона [10-20]. В плоских системах давление поля всегда больше там, где больше давление зарядов. Гамильтониан (8) определяет физические свойства плоских и квазиплоских неоднородных систем зарядов для любого уравнения состояния p = p(p) в (4). Из закона сохранения видно, что в системах одноименных зарядов реализуется спектр возможных распределений. В каждой системе существует три типа равновесий зарядов с полем, соответствующих трем значениям полного давления системы: положительному (давление поля больше давления зарядов), нулевому (давление поля равно давлению зарядов) и отрицательному (давление поля меньше давления зарядов). Полевые уравнения равновесия зарядов скопления Поскольку гамильтонова функция системы выражена через потенциал и его производную, перейдем в системе уравнений электрической гидростатики к потенциалу. Подставляя (5) и (3) в (1), имеем pVp + Vp = 0. (9) Учитывая второе уравнение политропического состояния в (4), приведем (9) к виду v[K1(n + l)pxl n +pj= 0. (10) Из (10) видно, что любое политропическое равновесие зарядов характеризуется скалярным интегралом K1(n + \)pxln +p = const, (11) из которого следует степенная функция распределения _P_ P0 p (12) где р0 - плотность заряда на поверхности с нулевым потенциалом; р. = Kl(n + 1)р0/" - значение потенциала, при котором степенная функция распределения обращается в нуль, а п - индекс политропы. Распределение указывает на то, что концентрация положительных зарядов системы больше там, где меньше скалярный потенциал. n n 0 5. Длина пространства взаимодействия двухпотоковых систем определяется параметром состояния системы в = Wk / W0, изменяющим свои значения от 0 до 1/2. Там же выявлены общие свойства политропиче-ских систем: 1. Политропические системы ограничены в пространстве для положительного или нулевого полного давления и не имеют границ при отрицательном полном давлении. 2. Для ограниченных конфигураций качественный характер распределения физических величин по длине системы не зависит от значения показателя политропы. 3. Длина системы увеличивается с ростом показателя политропы и температуры Эмдена. 4. Абсолютная температура, давление и концентрация любой политропы обращается в нуль на границе системы. 5. Направления объемных сил, удерживающих систему зарядов в равновесии, остаются неизменными для любого индекса политропии: силы рЕ, прижимающие слой зарядов, направлены к плоскости х=0, а силы, отталкивающие слой, - в противоположном направлении. Это формирует атмосферу, в которой основная часть зарядов сосредоточена у плоскости нулевого потенциала. Среди общих свойств изотермических систем перечислим следующие: 1. Длина неизлучающей системы зарядов ограничена для отрицательного полного давления и зависит от ее параметра состояния. 2. В неограниченных системах основная часть зарядов удерживается полем в области, прилегающей к плоскости нуля потенциала, а в ограниченных - в бесконечно глубоких потенциальных ямах, возникающих на границе системы. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 3. При отрицательном полном давлении в системе существует плоскость, в которой давление поля обращается в нуль. Эта плоскость делит пространство взаимодействия на две области: внешнюю и внутреннюю, с разными направлениями вектора напряженности поля по отношению к оси х. Направления указаны на рисунке, в котором квазиплоский слой следует заменить на плоский. Уравнения (13) и (14) позволяют ставить и решать разнообразные задачи равновесия вещества, состоящего из зарядов, для различной геометрии и различных уравнений состояния. Полученные результаты опубликованы в [21] и там же детально исследованы их физические причины равновесия. Выводы Предлагаемая в [21] последовательная теория скоплений одноименных зарядов, кратковременно удерживаемых в ограниченной области пространства, основана на следующих фундаментальных положениях: • существует такой класс коллективного взаимодействия между одноименными зарядами динамической системы, в котором возникает обратное действие макроскопического самосогласованного поля на заряды, порождающие это поле; • обратное действие поля на заряды при таком взаимодействии всегда приводит к появлению удерживающей объемной плотности гидроаэростатических сил полевого происхождения, которая связана с градиентом давления самосогласованного поля, совпадает с ним по величине и противоположна ему по направлению; • в этом классе взаимодействия динамическая система зарядов находится в состоянии гидростатического равновесия с самосогласованным полем в том случае, если градиенты давлений поля и зарядов равны друг другу в любом элементарном объеме скопления; • равенство градиентов давлений поля и зарядов в плоских динамических скоплениях для произвольного уравнения состояния, а также в бесстолкновительных случаях обусловливает закон сохранения скалярной функции системы - интеграл полного давления, который состоит из разности давлений поля и зарядов и играет роль гамильтониана взаимодействия. Литература 1. Месяц Г.А. // УФН. 1995. Т. 165. С. 601-626; Он же // Письма в ЖЭТФ. 1993. Т. 57. С. 88; Он же. Эктоны. Роль эктонов в электрофизических устройствах. Екатеринбург, 1994; Procceedings of the XVII th International Symposium on Discharges and Electrical Insulation in Vacuum. Berkeley. 1996. P. 720-731. 2. Shoulders K. EV: A Tale of Discovery. 1987, Jupiter Technology, Austin TX; Shoulders K., Shoulders S. // J. of New Energy. 1996. Vol. 1. № 3. P. 111-121; Shoulders K., Shoulders S. Charge clusters in action. Bodega, 1999. P. 12. 3. Emden R. Gaskugeln. Leipzig; Berlin. 1907. 4. Чандрасекар С. Введение в учение о строении звезд. М., 1950. 5. Vlasov A.A. // J. Phys.(USSR). 1945. Vol. 9. № 25. 6. Richardson O. W. // Phil. Transactions. A. 1903. Vol. 201. P. 516. 7. Schottky W. // Phis. Zeitsehr. 1914. Vol. 15. P. 526; Jahrb.D. Radioakt. Elektronik. 1915. Vol. 12. P. 147. 8. Laue M. V. Gluhelektronen. Jahrbuch der Radioaktivitat und Elektronik. 1918. B. 15. Heft 3. S. 205. 9. ФренкельЯ.И. Статистическая физика. М.; Л., 1948. 10. Сапогин В.Г. //Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1994. № 3. С. 49-59. 11. Сапогин В.Г. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1995. № 4. С. 34-39. 12. Сапогин В.Г. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1996. № 1. С. 31-32. 13. Сапогин В.Г. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1996. № 2. С. 25-29. 14. Сапогин В.Г. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1996. № 4. С. 63-68. 15. Сапогин В.Г. Интеграл движения и двухпотоковые состояния плоского виртуального катода. / ТГРУ, 1992. 25 с. Деп. в ВИНИТИ № 118-В92. 10.01.92. 16. Сапогин В.Г. Интеграл давления и стационарные состояния плоских самосогласованных полей моноэнергети-ческого катода нерелятивистских зарядов. / ТГРУ, 1993. 19 с. Деп. в ВИНИТИ № 2622-В93. 20.10.93. 17. Сапогин В.Г. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 2. С. 46-51. 18. Сапогин В.Г. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 4. С. 53-56. 19. Сапогин В.Г. // Материалы Третьей междунар. конф. «Фундаментальные и прикладные проблемы физики». Мордовия, Саранск, МГПИ, Россия, 6-8 июня, 2001 г. 20. Сапогин В.Г. II Материалы междунар. конф. «Оптими- 21. Сапогин В.Г. Механизмы удержания вещества самосо- зация конечно-элементных приближений, сплайны и вспле- гласованным полем. Таганрог, 2000. ски» OFEA - 2001, Санкт-Петербург, 25-29 июня, 2001 г. Таганрогский государственный радиотехнический университет_________________________________10 ноября 2003 г.

https://cyberleninka.ru/article/n/eksperimentalnoe-i-chislenno-analiticheskoe-issledovanie-vzaimodeystviya-shtampa-s-neodnorodnym-osnovaniem

Построено приближенное решение задачи о внедрении жесткого кругового в плане штампа с плоской подошвой в функционально-градиентное покрытие. Получены аналитические формулы, позволяющие определить простые выражения для описания распределения контактного давления и зависимости осадки штампа от величины приложенной к нему силы. Решение сравнивается результатами МКЭ расчета аналогичной задачи и результатами натурного эксперимента.

УДК 539.6 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ И ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ШТАМПА С НЕОДНОРОДНЫМ ОСНОВАНИЕМ © 2010 г. С.М. Айзикович, А.В. Калайда, Л.И. Кренее, Б.В. Соболь Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону Donskoy State Technical University, Rostov-on-Don Построено приближенное решение задачи о внедрении жесткого кругового в плане штампа с плоской подошвой в функционально-градиентное покрытие. Получены аналитические формулы, позволяющие определить простые выражения для описания распределения контактного давления и зависимости осадки штампа от величины приложенной к нему силы. Решение сравнивается результатами МКЭ расчета аналогичной задачи и результатами натурного эксперимента. Ключевые слова: штамп; контактное давление; неоднородная среда; парное интегральное уравнение. The approached solution of a problem on introduction rigid circular in respect of a stamp with a flat sole in functional-gradient a covering is constructed. The analytical formulas are received, allowing to define simple expressions for the description of distribution of contact pressure and dependence deposits of a stamp from size of the force enclosed to it. The decision is compared by results FEM of calculation of a similar problem and results of natural experiment. Keywords: a stamp; contact pressure; the non-uniform environment; the pair integrated equation. Постановка задачи о вдавливании штампа с плоской подошвой в функционально-градиентное покрытие Недеформируемый круглый в плане штамп вдавливается в верхнюю грань Г упругого неоднородного полупространства силой Р. С полупространством связана цилиндрическая система координат г, ф, г . Силы трения между штампом и полупространством предполагаются отсутствующими. Вне штампа граница полупространства г = 0 не загружена. Штамп представляет собой осесимметричное тело с поперечным сечением О. (г < а) и поверхностью основания г = у(г). Коэффициенты Ламе Л и М полупространства изменяются с глубиной по закону: 1) Л = Л0(г), М = М0(г), -Н < г < 0; 2) Л = Л! =Л0(-Н), М = М1 =М0(-Н), -»< г <-Н. Под действием центрально приложенной силы Р штамп переместится в направлении оси г на величину 5. Граничные условия при сделанных предположениях имеют вид: г = 0, х =т = 0; ' гг гф ' Предполагаем, что на границе изменения закона неоднородности имеют место условия сопряжения: z = -H, X = X |wC =wS, CTC =CTS, r > a; uC = uS, r < a. При (г; - г напряжения в полупространст- ве исчезают. Требуется определить перемещение штампа и распределение контактных нормальных напряжений под штампом <зСг | г = 0 = -Р(гX г < а . Используя преобразование Ханкеля и метод моделирующих функций, можно свести решение системы дифференциальных уравнений в частных производных в форме Ламе к решению эквивалентного парного интегрального уравнения [1]: j P(y)L(Xy)J0(ry)dу =©оf (r), r < 1; j P(y) J0 (ry)ydу = 0, r > 1; 0 a = 0, r > a; z lw =-5(r) = -(5-y(r)), r < a. ©0 = E(0) 1 - v(0)2 X) Трансформанта ядра парного интегрального уравнения (1) при монотонном изменении модуля Юнга и коэффициента Пуассона может быть аппроксимирована дробно-рациональным квадратичным выражением у 2 + Л2 X"2 у 2 + B 2 k-2 В этом случае уравнение (1) имеет решение: ) = 2ЫСЩ+Со п Ivi - Г2 ch Äk-1 .. -11sh Äk-1tdt - Äk 1J- JTr 2 Постоянная С0 определяется из условия Со Bk-1 ch Äk-1 + Äk-1 sh Äk-1 Bk-1 B2k-2 - Ä2k-2 Ä2 k-2 = 0. Ä : Со = 1 - B2 / Ä2 ch Äk-1 + (Ä / B)sh Äk-1 1 - L(0)-1 ch Äk-1 +VL(Ö)sh Äk-1 (3) p(0) = ■ 20 о(0)8 L1 (0) + 1 - L(0) ch Äk-1 +VL(Ö)sh Äk-1 . (4) ch Äk-1 + ,/L(0)sh Äk- Численный анализ результатов исследования В натурном эксперименте исследовался процесс взаимодействия квадратных штампов с плоской подошвой и размерами сторон 0,6 м, 0,9 м, 1,2 м, 1,5 м с утрамбованным грунтовым основанием. Определенные экспериментально физико-механические характеристики основания [2] приведены в таблице. Модуль Юнга грунтов экспериментальной площадки Связь между приложенной силой и осадкой штампа имеет вид Р = 4па00 {1_1(0) + С0 А~\sh АХ"1} 5 . (2) Коэффициент С0 можно выразить через 1(0) и Глубина, м Модуль Юнга, МПа 0,5 16,4 1,0 9,1 1,5 8,3 2,0 4,6 Рассмотрим влияние параметров неоднородности L(0) и X на величину контактного давления в центре штампа с плоской подошвой: .Г „ _____1 Л Анализируя выражение (4), можно отметить, что значение знаменателя второго слагаемого не меньше единицы, поэтому р(0) < 0 при 0 < X < да и отсутствует отрыв штампа от слоя. Кроме того, мы видим, что при большой толщине слоя величина контактного давления в центре штампа соответствует его величине для однородного полупространства, упругие характеристики которого совпадают с характеристиками слоя, а в случае малой толщины слоя величина контактного давления в центре штампа соответствует его величине для подстилающего полупространства: р(0) = ^, X"1 = 0; р(0) = ^L-1(0), X = 0. п п Подставляя в соотношение (2) значение коэффициента С0 из (3), получим выражение для определения силы, действующей на штамп, р=4-0 и+(1" ; АХ"11* • (5) С целью проведения численного моделирования натурного эксперимента были приняты следующие предположения: - модуль Юнга основания линейно изменяется от значения 18 МПа на поверхности до 4,5 МПа на глубине 2 м и далее остается постоянным. Это обусловлено определенными экспериментально физико-механическими характеристиками основания (таблица); - коэффициент Пуассона основания линейно убывает от значения 0,46 на поверхности до 0,2 на глубине 2 м и далее остается постоянным. Это обусловлено тем, что процесс трамбования нарушает структуру грунта; - квадратные в плане штампы моделируются равновеликими по площади круглыми с радиусами 0,335 м, 0,505 м, 0,675 м, 0,845 м. Естественно, концентрация напряжений в угловых точках штампа не рассматривается и сравнение результатов производится по оси симметрии, на некотором удалении от поверхности. На рис. 1. показано изменение по глубине напряжений а г (0, г) вдоль оси симметрии при г = 0 для всех четырех размеров штампов. -0.09 -0.08 -0.07 -0.06 -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0.00 Рис. 1. Изменение напряжений ог по глубине вдоль оси симметрии по данным аналитического расчета п Для однородного основания величина Е = —— ™ па d5 (6) является постоянной и не зависит от размеров штампа. Здесь а - радиус штампа, Р - величина вдавливающей силы, 5 - перемещение штампа под действием силы Р . Ew связана с модулем упругости Е соот-Е -— , где V - коэффициент Пуас- ношением К., = - 2(1 -v 2) сона. В случае же воздействия штампа на неоднородную среду эта величина является функцией, зависящей от радиуса штампа, толщины неоднородного покрытия, закона изменения упругих свойств по глубине и отношения величины модуля Юнга на поверхности к его значению на глубине. На рис. 2 приведены значения функции жесткости, построенные по формулам (5), (6) и посчитанные по результатам натурного эксперимента. Е 10,09,59,08,58,07,57,06,56,05,55,0- —■— Теория • 0.1 МПа эксперимент А 0.2 МПа эксперимент iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 а/Н Рис. 2. Сравнение функции жесткости Ем,, построенной по аналитическим формулам, с экспериментальными данными Было проведено численное исследование напряженно-деформированного состояния (НДС) неоднородного трёхмерного основания с плоским круглым штампом. Для этой цели использовался программный комплекс ANSYS. Решение вышеизложенной задачи было получено для центрально нагруженных штампов, поэтому, исходя из условий симметрии, рассматривалась У основания штампа. Для реализации алгоритма решения задачи исследуемая область была разбита на конечные элементы. Выбор оптимального варианта пространственной конечно-элементной сетки определялся несколькими требованиями. Размеры области должны быть достаточными, чтобы выполнялись граничные условия. Кроме того, шаг сетки должен быть, по возможности, меньше, чтобы точнее оценить НДС основания. Неоднородность основания штампов обусловлена изменением коэффициента Пуассона и модуля деформации по глубине. При расчётах коэффициент Пуассона изменялся по глубине основания в пределах от 0,46 до 0,02, а модуль деформации от 18 до 4 МПа, начиная от поверхности. В результате численного исследования НДС неоднородного основания плоских круглых штампов различных размеров были получены составляющие напряжений и перемещений. Исследования проводились применительно к штампам, имеющим, соответственно, радиусы: R = 0,34; R = 0,51; R = 0,68; R = = 0,85. Как видно из расчётов, увеличение площади штампов при фиксированной осадке приводит к возрастанию послойных деформаций основания. Причём максимальные значения деформаций распространяются в глубину до 0,9 - 1,2 диаметра штампа. При постоянном удельном давлении послойные перемещения, как и глубина активной зоны, зависят от площади штампа и растут с её увеличением. Например, с увеличением размера штампа в 2,5 раза его осадка возрастает в 1,5 раза. При одинаковой осадке всех штампов, равной 5 см, вертикальные перемещения под центром штампа несколько превышают перемещения под краями до глубины около одного метра, а затем эпюры стремятся к прямой линии. На глубине 2 м перемещения практически равны нулю. На поверхности основания, в силу принятых в задаче граничных условий, перемещения для всех штампов одинаковы и равны 5 см. В исследуемом массиве перемещения под штампами меньшей площади затухают быстрее, чем под большими, не только вдоль оси симметрии, но и по всей области. Распределение вертикальных нормальных напряжений по глубине вдоль оси симметрия штампов представлено на рис. 3. N 0.0-, -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9 -1.0 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 о.оо а, Рис. 3. Изменение напряжений ог по глубине вдоль оси симметрии по данным МКЭ расчета Наибольшие напряжения наблюдаются в области, примыкающей к подошве штампа, с глубиной они монотонно убывают и практически затухают к глубине 2 м. На характер рассматриваемой зависимости существенно влияет площадь штампа. На контакте штампов с основанием вертикальные нормальные напряжения тем больше, чем меньше площадь штампа. Например, напряжение под центром штампа (Я = = 0,85) равно 0,0621 МПа, а под штампом (Я = 0,34) -- 0,0808 МПа. Начиная с глубины 0,1 м, картина меняется. Так, на глубине 0,40 м вертикальное нормальное напряжение на оси симметрии штампа (Я = 0,85) равно 0,0401 МПа, а штампа (Я = 0,34), соответственно, 0,0181 МПа. Выводы 1. Расчет МКЭ подтвердил адекватность принятой модели о замене квадратных в плане штампов равновеликими круглыми при исследовании напряженно-деформированного состояния основания в зоне, прилегающей к центру штампа. 2. Аналитические расчеты показывают, что под центром штампа с плоской подошвой, контактирующего с основанием, модуль Юнга которого быстро убывает по глубине, наблюдается разгрузка. В эксперименте с грунтовым основанием и численными расчетами разгрузка не выявляется, так как грунт - среда линейно-деформируемая, а не упругая, и МКЭ расчет не учитывает полностью наличие краевой корневой особенности в контактных напряжениях. 3. Штамповые испытания являются одним из методов экспериментального определения модуля Юнга основания. В том случае, когда свойства основания Поступила в редакцию изменяются по глубине, измеряемое значение модуля Юнга зависит от размера штампа. Рис. 2 показывает, что теоретически установленная тенденция изменения величины модуля Юнга подтверждается экспериментально. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 10-08-00839-а) Литература 1. Контактные задачи теории упругости для неоднородных сред / С.М. Айзикович [и др.]. М., 2006. 240 с. 2. Ананьев И.В., Калайда А.В., Тищенко С.Г. О поведении грунтового основания при заданной на его поверхности кратковременной нагрузке // Исследования по расчету пластин и оболочек. Ростов н/Д., 1987. С. 35 - 40. 13 июля 2010 г. Айзикович Сергей Михайлович - д-р физ.-мат. наук, заведующий лабораторией, Донской государственный технический университет. Тел. (863)273-85-27. E-mail: [email protected] Калайда Алексей Васильевич - старший преподаватель, Донской государственный технический университет. Тел. (863)273-85-82. E-mail: [email protected] Кренев Леонид Иванович - канд. физ.-мат. наук, доцент, Донской государственный технический университет. Тел. (863)2336146. E-mail: [email protected] Соболь Борис Владимирович - д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой, Донской государственный технический университет. Тел. (863)273-83-41. E-mail: [email protected] Aizikovich Sergey Mikhailovich - Doctor of Phisico-Mathematical Sciences, head of laboratory, Donskoy State Technical University. Ph. (863)273-85-27. E-mail: [email protected] Kalaida Alexey Vasilyevich - senior lector, Donskoy State Technical University. Ph. Тел. (863)273-85-82. E-mail: [email protected] Krenev Leonid Ivanovich - Candidate of Phisico-Mathematical Sciences, assistant professor, Donskoy State Technical University. Ph. (863)233-61-46. E-mail: [email protected] Sobol Boris Vladimirovich - Doctor of Technical Sciences, head of department, Donskoy State Technical University. Ph. (863)273-83-41. E-mail: [email protected]

https://cyberleninka.ru/article/n/matematicheskaya-model-rabochego-protsessa-gidravlicheskogo-pressa-s-gidropulsatorom

Представлена математическая модель процесса динамики гидропривода пресса с пульсирующей нагрузкой для прессования древесины, в результате решения которой установлены динамиче6ские характеристики колебательной системы.

ПРОБЛЕМЫ АГРОПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА УДК 536.24:674.047 ДИФФУЗИОННЫИ ПЕРЕНОС В ПАРОГАЗОВОЙ ФАЗЕ ПРИ СУШКЕ ДРЕВЕСИНЫ. Ч. I. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ © 2006 г. О.Р. Дорняк Введение Прогресс в теории и практике сушки требует дальнейшего изучения фундаментальных закономерностей тепломассообмена, гидродинамики, технологии процесса на базе современных методов анализа, использования методов физического и математического моделирования [1]. При изучении процессов сушки материалов, допускающих усадку, подверженных короблению и растрескиванию, важен расчет локальных значений влагосодержания и температуры, что возможно осуществить лишь путем создания и исследования математических моделей, описывающих внутренний тепло- и массоперенос. В [2-3] разработана математическая модель процессов тепло- и мас-сопереноса в древесине как анизотропной ненасыщенной трехфазной среде с учетом фазовых переходов и поверхностных явлений. Континуальные уравнения получены на основе методологии механики гетерогенных систем [4], позволяющей сформулировать единый подход к теоретическому исследованию и созданию математических моделей процессов гидротермической и механической обработки древесины. В данной работе на основе базовой модели [2] изучаются особенности диффузионного переноса пара в парогазовой смеси, влияние внутренних и внешних условий массообмена на интенсивность процесса сушки. Математическая модель Уравнения сохранения для макроскопических параметров системы получены методом объемного усреднения по отдельным фазам микроуравнений для макроскопических параметров каждой фазы. Обозначим параметры переноса первой (газообразной) фазы нижним индексом 1, второй фазы (воды) - 2, третьей фазы (твердого скелета, древесинного вещества -комплекса природных полимеров) - 3. Знак усреднения по соответствующей фазе будет опущен. Газовая фаза является двухкомпонентной гомогенной системой, содержащей неконденсирующийся газ и водяной пар. Параметры, относящиеся к первой компоненте, отмечены нижним индексом ко второй компоненте - Плотность парогазовой смеси р1 и концентрации составляющих определяются следующим образом: „О п" p l _р lv +p lg . X_ o . 1 X_ o P1 P1 (1) где знак ° означает истинное значение физической величины; х - массовая концентрация пара. Паровая и газовая компоненты рассматриваются как идеальные газы. Давление в смеси p1 определяется законом Дальтона Р! =р М ; Б1 =х£1у + (1 - X)Б^ . (3) Для парциального давления и удельной внутренней энергии и имеем plg = рlgTlБlg ; = су; Р\у =Р°УТ1Б1У ; и IV = су1ут1 , (4) где В - индивидуальная газовая постоянная, Дж/(кгК); cv - теплоемкость при постоянном объеме, Дж/(кгК); Т - температура, К. Значения скорости паровой и газовой компонент могут быть различны. Для их описания введены сред-немассовая скорость смещений элементарных макрообъемов первой фазы v1 и диффузионные скорости пара и газа w1v и w1g: V: = XV¡V +(1 -Х)Vlg ; w1g = v1g - V]; ^ = ^ - v1. (5) Относительное движение компонент определяется законом бинарной диффузии Фика: w3 _flDix . w,3v _-PlDix, (6) 1g P olg dx / 1v p o°v dx 3 W где параметр В - коэффициент бинарной диффузии, зависящий в общем случае от температуры газа. Декартова координата х3 направлена вдоль волокон образца. Уравнения сохранения массы для парогазовой смеси и газовой компоненты при сделанных предпо- ложениях имеют вид д(рОа,) д(рОау3) , -—— + —= s12j ; а 1 + а2 + а3 = 1;(7) dt - + - dx 3 д(р Га 1(1 -X)) + д (Р 1а 1(1 -X)(v1 + )) = 0 (8) dt дх 3 где / -поток массы пара, обусловленный фазовыми переходами, отнесенный к единице времени и единице площади, кг/(м2с); 512 - удельная поверхность раздела 1 и 2 фазы, м-1. Случай/ > 0 соответствует испарению, / < 0 - конденсации. Уравнение движения и теплопроводности парогазовой фазы записаны следующим образом: Р1 а 1 ср1Р 1а 1 ду1 3 ду^ 3 дt - + у дх 3 = -а дР1 1 дх 3 а у f дГ 3 дГ 1 — + у{—1 дt дх = а 1В1Г1 K1333Т 1(91) дрГ |у 3 др О (9) дt -+ у дх1 д f дГ1 ^ д f дГ1 ^ д +- а 1—1 дх1 дх1 дх f +а ВТ др О + у3 др О 1 дt дх1 а 1 дх 2 дх 3 . дГ1 а 1Л1—1 дх 3 + cy1s1^.j'(r1| v12 - Г) + 021 + Ö31; (10) cp1 = Xcp1y +(1 -X) c p1 g = //(Ц^ -Тг); / = 1,2,3. Здесь К13тт - коэффициент проницаемости 1-ой фазы при полном насыщении в направлении т, м2; Т(9) - относительная фазовая проницаемость; 91 -насыщенность объема порового пространства газообразной фазой; ср - теплоемкость при постоянном давлении, Дж/(кгК); X -коэффициент теплопроводности, Вт/(мК); а/ - коэффициент теплоотдачи между фазами г и /, Вт/м2; переменные с индексом Е/ относятся к границам раздела фаз г и/ Для описания поведения жидкой фазы использованы уравнение сохранения массы, уравнение движения жидкости без учета конвективного переноса, массовых сил и динамических эффектов фазовых переходов, а также уравнение теплопроводности. Характеристики переноса воды зависят от типа ее связи с твердой фазой. В рассматриваемых условиях термического воздействия на древесный образец дополнительно применены усредненные уравнения баланса массы и количества движения связанной воды в смачивающих пленках. Для твердой фазы использовано уравнение теплопроводности. Функция распределения давления в жидкой фазе определена, следуя работе [5]. Неравновесный про- цесс сушки рассматривается как квазиравновесный, когда каждый локальный макрообъем пористого тела проходит через непрерывный ряд мгновенных состояний термодинамического равновесия между фазами. Из равенства химических потенциалов жидкости и пара в состоянии равновесия давление жидкости определяется по формуле Кельвина [5]. Используя формулу Кельвина и уравнение изотермы сорбции, можно получить зависимость давления воды от влажности и температуры в рамках равновесной термодинамики двухфазных многокомпонентных систем. Уравнения переноса массы, количества движения и внутренней энергии отдельных фаз дополняют уравнения сохранения на межфазных поверхностях, записанные в виде балансовых соотношений. На границе раздела жидкость - пар (в поверхностной фазе) в общем случае следует учитывать неравновесность фазовых переходов, связанную с тем, что количество пара, испаряющегося с поверхности раздела фаз, зависит от кинетических возможностей паровой фазы. Кинетика неравновесных фазовых переходов описывается уравнением Герца-Кнудсена-Ленгмюра. Неравновесная схема фазовых переходов предполагает наличие скачка температур в граничном кнудсенов-ском слое пара, что может быть учтено в рамках предлагаемой математической модели. Взаимосвязь между давлением и температурой вдоль линии насыщения определяется уравнением Клапейрона-Клаузи-са. В процессе сушки происходит изменение площадей поверхностей контактного взаимодействия трех фаз изучаемой гетерогенной системы Расчетная схема определения удельной площади поверхности раздела фаз жидкость - парогазовая смесь, жидкость -твердая фаза, парогазовая смесь - твердая фаза построена на базе устоявшихся в древесиноведении представлений о капиллярно-пористой структуре древесины и формах связи влаги с древесиной [6], а также опытных данных. Система дифференциальных уравнений в частных производных дополнена начальными и граничными условиями. Объемная концентрация жидкой фазы в поверхностной зоне соответствует равновесной. Краевые условия на внешних границах бруска для температуры отдельных фаз, концентрации и давления пара записаны в форме условий 3 рода. В частности, для переменных, относящихся к первой, фазе граничные условия записаны в виде Эр! дп = ß Г (Р11Г - p c); - D дх дп = Y ir (х| Г -X c): (11) а1| Г =1 -а 2 | Г -а3 |Г; -А ът1 дп = а }(Г1| г - Г с), (12) г г iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. г где а1 — коэффициент теплоотдачи /-ой фазы к окружающей среде, Вт/м2; Р1Г, у1Г — коэффициенты массообмена 1-ой фазы с окружающей средой, м-1; п - внешняя нормаль к поверхности образца. Нижний индекс Г означает принадлежность к внешним границам древесного образца, индекс с - к окружающей среде. Начальные условия для величины х предполагают равновесное распределение пара по объему образца х = Х 0(х 1,х 2,х 3), соответствующее имеющимся полям температуры Т1 = Т0( х1, х 2, х 3) и влажности материала. Паровоздушная смесь неподвижна в начальный момент времени V3 = 0. Ее объемное содержание определяется по известным формулам в зависимости от породы и влажности древесины а 1 = а 10(х1,х2,х3). Задача эволюции концентрации паровой компоненты в процессе термического воздействия на образец, определяемая соотношениями (1)-(12), может быть приведена к безразмерному виду. В качестве единиц величин с независимой размерностью используем характерный размер заготовки /хар, характерную скорость течения vxap, давление рхар, температуру Тхар. Безразмерные переменные определим следующим образом: Э(р O*a i (1 -X)) d(p O*a 2 (1 -X)(v 3* + w g*)) . /=1,2,3; t* =-L . B* = _ Bi xap B хар * pn T '12 _ д 12'xap р m . * ; Cv1 Cv1 р xap B xap j ; t xap l xaр j xap V xap '1 dt * rdv3* 3* dv3* ^ —l— + vf —L dt dx 3 dx * = 0; 3* dp!* -__l__ dxз* Re 1 Da33 ^2(62) P1 a 1 1 +- Pe: 1 +Pe1 ( dT-f 3* dT-f ^ —* + v3 —* dt dx * ** = a! Bj Tj f o* o* Л Эр J + v 3* Эр J + dt * dx * d ( dT*) d ( dT*) d ( dT*^ 1 1 a 1 1 1 ™ 1 dx1 a dx* dx dx dx * a dx * •^Nu?m(T;|^ -T1*) + s^Nuf£13(71*1 ^ -T1*) лЛ * . * x/T-T * I m * ч * * ч * + -üL s 12 j (T1 I 12 - T1 ); с p1 = Xе p1v +(1 -X)c p1 g с p1 Im ' ^ dpL dn * оГ*, H *4 dx = ßi (p1 I -p*); T dn = Nur Лх| г -x с); aJГ=1-a2 Г-a dT1* Г dn * T^ Л А = Nur(T1 |Г -T* ); v13*(x1 *,х2 *,х3* ,0) = 0 ; р1(х1",х2 *,х3* ,0) = р*; ТГ^*, х 2*, х 3*,0) = Т0*. (13) Безразмерные комплексы, характеризующие теп-ломассоперенос в двухкомпонентной газообразной фазе, введены следующим образом: p p V2 р = У xap . j = У хар . в = . хаР М xap 2 ' J xap v ' xap Vx2 xaр T xap Система безразмерных уравнений переноса парогазовой фазы, а также относящихся к ним граничных и начальных условий, имеет вид * * * О* o* , о* К 1v 1 ' 1g * * т> * р 1 =р iv +р ig. x = -0*; 1 -x = 7^; u 1g = *v 1gT1 ; р1 p1g. рО u 1v = cv *vt1*; p*g = POgT** b1*g; p*v = p 1vt* B*v; p* =р OT*B*; B* = xB*v + (1 - X)B*g ; v* = xv*v + (1 - X)v*g ; w*g = vjg - v*; w* = v* - v* ; w3* 1 р0 dX . w3» 1 р0 dX . W л —---Wi —---- 1g Pe1D р О* dx **' 1v Pe1D р О* dx 3' ^O*a 1) + d(pO*a*v3*) = s1*2j*; a 1 + a2 + a3 = 1; dt * dx 3 N г Y^ NuJD =- 1D D V l р xap Pe 1D = l2 xap . ßr* =ßrl d ' M1 _ M1 ' тар ■ t xap D Re1 = Nu xap xa^^ xap ц 1 a h 1 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. i Yij1 xap Pe1 = l 2 xap А1 t xap a 1 Cp*P xap i £ij St a i £ij i £ij Nu i £ij . C iр xap Vxap Pe i arl Nu[ = a 11 xap . - А1 i-1,2; Dai7 = nn m = 1, 2, 3. l2 xaр Сформулированная модель диффузионного переноса пара (13) позволяет выделить ряд предельных режимов возможных в процессах сушки коллоидных капиллярно-пористых тел. Режимы движения бинарной газовой смеси определяются числами Рейнольдса Яе1, Дарси Ба13 и р1Г. Эффективность внутреннего теплообмена зависит от критериев Пекле Ре1 и Нус-сельта Ми1Л, внешнего - от числа Ми1Г. Режимы масо-обмена в парогазовой среде определяются диффузионными критериями Нуссельта Ми1Вг и Пекле Ре1В. г ; v1 = x= г l t xap n xap h h А При значениях №ш<<1 процесс сушки малоэффективен, концентрация пара в образце не может снижаться вследствие диффузионного механизма выравнивания концентраций пара в материале и в окружающей среде. При числах №ш>>1 концентрация пара практически мгновенно подстраивается под изменяющееся условия теплового взаимодействия материала с окружающей средой. Длительность переходного диффузионного процесса в парогазовой фазе капиллярно-пористого материала зависит от диффузионного числа Пекле. При Рещ<<1 эта величина весьма невелика. При Реш>>1, поле концентраций пара в паровоздушной смеси по-рового пространства будет перестраиваться весьма медленно. Учет диффузионного переноса пара в математической модели особенно важен в режиме №ш~1, Реш~1, когда вклад значений концентраций паровой компоненты в развитие полей других теплофизиче-ских переменных наиболее значителен. Заключение Сформулированная модель диффузионного переноса пара в парогазовой смеси, заполняющей поры капиллярно-пористого тела, позволяет с использованием численных методов изучить особенности пове- дения бинарной газовой системы, влияние диффузии паров воды и воздуха на интенсивность процесса сушки материала. Предельные режимы внешнего и внутреннего массообмена могут быть использованы для упрощения математической модели. Литература 1. Рудобашта С.П. Фундаментальные исследования тепломассообмена при сушке // Современные энергосберегающие тепловые технологии (Сушка и тепловые процессы СЭТТ-2005): Тр. 2 Международ. науч. практич. конф. - М., 2005. - Т.1. - С. 7-17. 2. Дорняк О.Р., Шульман З.П. Математическое моделирова- ние процесса сушки натуральной и уплотненной древесины // Изв. вузов, Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2005. Спец. выпуск «Композиционные и порошковые материалы» С. 133-142. 3. Dornyak O.R., Shulman Z.P. Mathematical modeling of two-dimensional field development of temperature and moisture content in wood // Int. J. Applied Mechanics and Engineering. - 2005. - Vol. 10, № 4. - P. 593-604. 4. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. -М., 1978. 5. Гринчик Н.Н. Процессы переноса в пористых средах, электролитах и мембранах. - Минск: АНК «Институт те-пло-и массообмена» АН Беларуси, 1991. 6. Чудинов Б.С. Вода в древесине. - Новосибирск, 1984. 23 мая 2006 г. Воронежская государственная лесотехническая академия УДК 536.24:674.047 ДИФФУЗИОННЫЙ ПЕРЕНОС В ПАРОГАЗОВОЙ ФАЗЕ ПРИ СУШКЕ ДРЕВЕСИНЫ. Ч. II. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ © 2006 г. О.Р. Дорняк Численная реализация Задача диффузионного переноса в двухкомпо-нентной газообразной фазе при тепловых воздействиях на древесину, сформулированная в первой части работы, решается в рамках общей проблемы тепло-массопереноса [1]. Численная реализация задачи проводится на основе нестационарных неявных конечно-разностных схем, построенных методом контрольного объема с использованием процедуры расщепления по физическим процессам. Линеаризация дискретных уравнений проведена методом Ньютона. В задаче движения парогазовой смеси величина давление p1 является искомой. Для расчета изменяющихся полей p1 использован специальный алгоритм SIMPLE [2]. Системы разностных уравнений решаются методом прогонки. Для проверки алгоритма проведена серия тестовых расчетов на основе специально подобранных точных решений исследуемых уравнений с источниковыми членами. Сравнение расчетных значений изменения со временем избыточного давления в парогазовой среде с опытными данными [3] показало их качественное совпадение. Изменение концентрации пара в газообразной фазе описано с помощью нестационарного уравнения параболического типа. Уравнение является одномерным, поскольку перенос этой фазы осуществляется преимущественно вдоль волокон, но концентрация х является функцией трех пространственных переменных, поскольку в соответствие с общей постановкой задачи, развитие поля концентраций связано с распределением температуры в парогазовой среде, а также зависит от интенсивности фазовых переходов / Так как характерное время выравнивания температуры в паре намного порядков меньше времени процесса и много меньше времени развития температурных полей в твердом скелете (древесинном веществе) и в жидкой фазе, то следует ожидать, что поля концентраций пара в паровоздушной среде будут близки к однородным в каждом поперечном сечении образца. Расчетные значения теплофизических параметров пара, воздуха, воды и твердой фазы приведены в [1]. Образец представляет собой брус из древесины сосны с размерами 180x180x6000 мм. Температура окружающей среды Тс = 363 К. Температура мокрого термометра здесь Тм = 323 К. Давление паровоздушной смеси в окружающей среде равно атмосферному рс = 1,013105 Па. Величины характерных параметров приняты следующими: /хар = й = 6 м, ¿хар = 3,6103 с, Рхар = рс, Тхар = 373 К. Начальная влажность образца однородна Ж0 = 25 и 80 %. В первом случае процесс сушки происходит в основном в гигроскопической области, во втором - при значениях влажности вне этого диапазона (расчетное время процесса равно ¿хар). Начальная температура всех фаз одинакова и равна Тс. При / = 0 величина давления паровоздушной смеси в образце и в окружающей среде равны. Значения кон- 0 0,2 0,4 0,6 0,8 t/tx (Л/Рхар^ИО 12 10 8 6 -2 0,4 0,6 в) центрации пара и влагосодержания в окружающей среде и образце в начальный момент различны: Хс = 0,086, хо = 0,589. Эти величины рассчитаны по относительной влажности воздуха в окружающей среде и во влажном материале [4]. В построенной математической модели характер диффузионного переноса пара в бинарной системе определяют два безразмерных комплекса - диффузионное число Пекле Реш = / х^ар / / хар В и диффузионный критерий Нуссельта Ки^ =у^/хар /В (верхний индекс Г относится к внешней границе образца; В - коэффициент взаимной диффузии паровоздушной смеси, м2/с; у1Г - коэффициент массообмена пара, м/с). Интервалы варьирования безразмерных параметров массо-обмена в расчетах составили Ре1В = 3,3-3,3*102, Ки1В = 0,02-2'102. Ж, % 70 60 50 (///хар)" 10 0,6 г) Рис. 1. Изменение со временем объемной концентрации пара в газообразной фазе в центральной точке бруса х (а); средней по сечению бруса влажности Ж (б); давления парогазовой смеси рх (в); интенсивности парообразования / (г) при однородной начальной влажности Ж0 = 80 % для Ре1В = 3,3; = 0,02 - 1; 0,2 - 2; 2 - 3; 20 - 4; 200 - 5 4 2 0 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,2 0,4 0,6 0,! а) (Л^ар-О-Ю- С///хар)' 107 20 15 / / V \ 2 - 10 / / 3 5 ff 1 ^ 5 0 4 3,0 2,5 3 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. 2,0 1,5 / 2 / - 1,0 - 0,5 / / 1 —— 0 5 -0,5 4 0 0,2 0,4 0,6 0J гИха 0 0,2 0,4 0,6 0, гИх; в) г) Рис. 2. Изменение со временем объемной концентрации пара в газообразной фазе в центральной точке бруса х (а); средней по сечению бруса влажности Ж (б); давления парогазовой смеси р1 (в); интенсивности парообразования у (г); при однородной начальной влажности Ж0 = 25 % для Ре1В = 3,3; Ки1В = 0,2 - 1; 2 - 2; 20 - 3; а также Ре1В = 3,3102; Ки1В = 20 - 4 и Ре1В = 33; Ш1В = 20 - 5 Обсуждение результатов Рис. 1-4 иллюстрируют влияние массообменных критериев на интенсивность процесса сушки древесного материала. На рис. 1 и 2 показано изменение основных характеристик парогазовой смеси при сушке древесного бруса при влажности выше предела гигроскопичности Жпг (рис. 1) и в гигроскопической области (рис. 2). Как видно из графиков на рис. 1а и 2а, концентрация пара х снижается более интенсивно при больших значениях диффузионного числа Нуссельта. Большим значениям числа Киш соответствует более высокая скорость обезвоживания материала (рис. 1б, 2 б). Более низкие значения концентрации пара х приводят к увеличению его производства из-за увеличения разности давления насыщения и парциального давления паровой компоненты (рис. 1г, 2г), вследст- вие чего развитие переходного процесса в газообразной фазе происходит существенно быстрее при больших числах Киш (рис. 1в, 2в). В менее влажном материале длительность процесса выравнивания давления еще более сокращается из-за меньшего сопротивления оттоку парогазовой смеси из образца. Из рис. 1а - г видно, что при значении Киш<<1 процесс сушки существенно замедляется после удаления воды с внешних поверхностей образца и установления на внешних границах равновесной влажности при данной температуре окружающей среды (кривые 1). Его ускорение возможно, например, за счет более интенсивных капиллярных перетоков связанной воды. При числах Киш>>1 изменение теплофизических переменных происходит в большем диапазоне. При этом имеет место некоторый предельный режим их изменения (кривые 4, 5). При Киш~1 процессы массо- X обмена на границе образца вносят наиболее существенный вклад в формирование полей основных теп-лофизических характеристик, влияя тем самым на интенсивность процесса его сушки. X 1 0,6 - 0,5 v6 ■ 0,4 ■ 2 0,3 / 3 \ 0,2 ___ \ - 0,1 5 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 х3//хар а) X 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 расчетного периода обуславливает ту же тенденцию и для парциального давления пара, что приводит вновь к росту производства пара. При больших числах Ре1В практически не работает механизм внутреннего диффузионного переноса пара в парогазовой среде (кривая 4 на рис. 2б, в). Даже при достаточно благоприятных условиях внешнего масо-обмена (Ки1В = 20), процесс сушки идет в этом случае значительно медленнее, чем при малых диффузионных числах Пекле. При Ре1В = 333 в центре образца в течение расчетного периода происходят процессы конденсации (/ < 0). Средняя влажность материала снижается, как показывают результаты расчетов, в основном, за счет испарения влаги в областях, близких к торцевым поверхностям. При одинаковых условиях внешнего массообмена (одинаковых значениях Ки1В) характер распределения концентрации пара в газообразной фазе х вдоль волокон образца качественно одинаков для значений Жо>Жпг и Жо<Жпг (см. рис. 3). Кривые 4 и 6 на рис. 3а, а также 3-5 рис. 3б, относящиеся к расчету процесса сушки материала при малых и больших величинах Ре1В, демонстрируют вклад внутреннего диффузионного переноса в формирование профиля концентрации пара вдоль направления его преимущественного движения. При больших значениях Ре1В к завершению расчетного периода концентрация пара вдоль центрального волокна практически равна начальной, а вблизи торцевых поверхностей образца, имеют место достаточно большие градиенты величины %. х 0,6 Рис. 3. Распределение объемной концентрации пара в газообразной фазе вдоль длинной оси симметрии бруса х для момента времени г/гхар = 1 при начальной однородной влажности Ж0 = 80 % (а) 25 % (б). Кривые на рис. 3а получены для Ре1В = 3,3; = 0,02 - 1 ; 0,2 - 2; 2 - 3; 20 - 4; 200 - 5 и Ре1В = 33; = 20 - 6; на рис. 3б для Ре1В = 3,3; = 0,2 - 1; 2 - 2; 20 - 3; а также Ре1В = 3,3'102, = 20 - 4 и Реш = 33; = 20 - 5 Вне гигроскопической области качественная картина изменения со временем давления и интенсивности фазовых переходов в выбранной точке объема совпадают (рис. 1 в, г). Представляет интерес, что в гигроскопической области на фоне роста давления в газовой фазе интенсивность фазовых переходов изменяется со временем немонотонно при больших диффузионных числах Нуссельта (рис. 2в, г). Падение величины / связано с уменьшением давления насыщенного пара вследствие снижения значения активности пара из-за потери влаги пористым материалом. Существенное уменьшение давления р1 в середине 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Рис. 4. Изменение объемной концентрации пара в газообразной фазе вдоль длинной оси симметрии бруса х при начальной однородной влажности Ж0 = 80 % - 2; 2'; 2м; 25 % - 1, 1', 1м для Ре1В = 3,3; Ки1В = 20. Кривые относятся к моменту времени /хар = 0,035 - 1-2; 0,5 - 1'-2'; 1,0 -Г-2" При одинаковых параметрах внутреннего и внешнего массообмена профиль концентрации пара вдоль длинной стороны образца развивается практически одинаково за расчетный период при Ж0> Жпг и Ж0<Жп.г (см. рис. 4). Несколько более значительное выравнивание концентрации пара в образце с влажностью ниже предела гигроскопичности связано с менее интенсивным производством пара в этом случае (кривые 1м, 2м, рис. 4). 0 0 Заключение Диффузионный перенос пара в парогазовой среде -одной из фаз коллоидного капиллярно-пористого тела может оказывать значительное влияние на кинетику и динамику сушки. Численное моделирование процесса сушки в материалах такого типа может быть действенным инструментом в поиске эффективных режимов сушки, в том числе, с помощью регулирования условий внешнего массообмена. Режимы внутреннего диффузионного переноса пара и массообмена у внешних границ образца определяют диффузионные критерии Пекле и Нуссельта. Литература 1. Дорняк О.Р., Шульман З.П. Математическое моделирова- ние процесса сушки натуральной и уплотненной древесины // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2005. Спец. выпуск. Композиционные и порошковые материалы. - С. 133-142. 2. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. - М., 1984. 3. Шубин Г.С. Сушка и тепловая обработка древесины. - М., 1990. 4. Крутов В.Н., Исаев С.И., Кожинов И.А. и др. Техническая термодинамика. - М., 1991. 23 мая 2006 г. Воронежская государственная лесотехническая академия УДК 628.517.2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПОГЛОЩЕНИЯ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ ЗЕЛЕНЫМИ НАСАЖДЕНИЯМИ © 2006 г. Н.Н. Панюшкин, П.И. Попиков, А.Н. Панюшкин, В.П. Попиков При прохождении звуковой волны через листву деревьев часть ее энергии поглощается, т.е. преобразуется в механическую энергию колеблющихся листьев. Каждый лист можно представить себе как пружинный маятник с массой т0 и коэффициентом жесткости к (рис. 1). 1 d 2 х at2 . dx F, + 28 — + ro x = ——cos rot = A0 cos rot, (1) at ro r где 5 - коэффициент затухания, 8 = 2m r Ес = бппЯу = гу ; Г = бппЯ, где п - коэффициент динамической вязкости воздуха: при Т = 293 К п = 1,72-10 -5 Пуаз; при Т = 300 К п = 1,84-10 -5Пуаз ; Я - эффективный радиус листа, определяется по формуле Я = . £ , где £ - площадь листа. Решение дифференциального уравнения (1) для установившихся колебаний будет иметь вид [1] X = aa ■ cos ф , :2 го2 Дсо2-го2) + 482 где го0 - циклическая частота свободных незатухающих колебаний листа: го 0 = ; к, т0 - коэффици- Рис. 1. Расчетная схема колебаний листа: С - центр тяжести листа; О - точка крепления листа; АХ - смещение центра тяжести листа от положения равновесия Под действием звуковых волн лист будет совершать вынужденные колебания, которые можно описать дифференциальным уравнением второго порядка: ент жёсткости и масса одного листа; А0, го - амплитуда и циклическая частота колебаний волны. Интенсивность плоской и сферической волны звука определяется как I = и < Ж >= 2 рдго2А 0 , где < Ж > - среднее значение плотности энергии за период звуковой волны; и - скорость звука в воздухе [2]: ~ЯГ и = < Y где R = 8,31- Дж M - молярная газовая постоянная; ; m0 - масса iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. одного листа, кг; г - коэффициент сопротивления движению листа, теоретически может быть определен по формуле Стокса: мольхК у - постоянная адиабаты, у = 1,4 ; ц - молярная масса, для воздуха ц = 0,029 ^ ; Т - термодинамиче- моль ская температура. r Для падающей волны, возбуждаемой источником звука, т.е. движущимся по улицам автотранспортом 10 = и < Ж0 > , где < Ж0 > - энергия колебаний звука на пороге слышимости, < Ж0 >=< Ж > + < А Ж > , < Ж >=< Ж0 > - < АЖ >, < Ж > - прошедшая энергия; < АЖ > - поглощенная энергия (часть энергии, которая преобразуется в энергию механических колебаний листа): <АЖ >= пЖл, где п - концентрация листьев (число листьев в 1 м3) кроны дерева; Жл -энергия механических колебаний одного листа: Wл = m о ю 2(X о*)2 I и(< w0 > - < Aw > 1 2 л 2 1 2 1 \2 ) ^ рю Ао - 4 р лю (xо) U<W0 > 1 2 .. 2 -рю2 А 2 = 1 -1 £i 2 р ( X * ^2 Ао X о* Ао Ао = А0 ^(ю 2-ю 2)2 + ;8 2ю 2 0 ^(ю 2-ю 2)2 + ;8 2ю 2 Тогда окончательно имеем формулу для определения коэффициента Ь: < aw >= Nmm± ю 2(X *)2 =р л ю 2( X *)2 где р л V плотность листвы; р л = N V'- здесь N - коли- чество листьев в кроне дерева; V - объем кроны дерева. Для характеристики ослабления звуковых волн будем исследовать величину уровня интенсивности звука (коэффициент ослабления) Ь, измеряемый в белах (или единицами в десять раз меньшими - децибелами): L = lg ( 1 Л I о где I о - интенсивность звука на пороге слышимости, равная 1о-12 Вт/м2. ■3 L = lg 1 - 1 Р. 1 2 р (ю 2-ю 2)2 + ф8 2ю 2 Минимальное значение коэффициента Lm 1 Р л 1 L min = lg 1- 2 р ф 2 ю2 Численный эксперимент проверяли на примере насаждений липы, как наиболее распространённой среди зелёных насаждений в городских условиях [3, 4]. Математическая модель решена программой Ыа^Саё при следующих исходных данных включающих параметры и физико-механические свойства листьев и крон деревьев. - 6 L := 9о • 1о C := 17о S := о.оо785 m := бо • 1о fmax:= 4оо N := 5ооооо i := 1.. N nl := 5о95 Vk:= 34.4 pl := 148^ m r := 1.72^ 1Ö 3 fmin:= о.1 5 Sk := 42.5 delf := (fmax- fmin) R := S Ki := log NC юо := — 1- f. := fmin+ i • delf i r:= 6• n-r| • R Pl Sl := Sk nl S:=- 2 • m Sl = 8.342X 1о ю; := 2 • п • f. 1 i Г1 := 1.84^ 1о pv := 1.29 5 - 2 "I 2 • pv • 2 / \2 юо - (ю;) + 4 • S • (ю;) Kmin := log 1- юо = 1.683X Ш Pl 3 2 • pv • [• S2 •(ю1)2 К, "5 -1о "1 -1о "8 167о 168о ю i а) = 2о9.333 169о -о.1 1о ( (Ol б) 2о Рис. 2. Графики зависимостей коэффициентов К и К^ от частоты колебаний автотранспортного шума 2 r о о 9 На рис. 2а показан график зависимости ослабления от частоты звуковой волны. Из графика следует, что максимальное ослабление соответствует частоте собственных колебаний листа и находится в диапазоне (250...300) Гц. На рис. 2б показана зависимость максимального ослабления Ктт от резонансной частоты. Из графика следует, что Ктт нелинейно убывает с ростом частоты. Разработанная математическая модель процесса звукопоглощения листьями деревьев позволяет прогнозировать степень ослабления автотранспортного шума от геометрических и биофизических параметров крон лиственных деревьев, используемых для зеленых насаждений в селитебной зоне городов и поселков. Одним из способов интенсификации технологических процессов прессования древесины является использование пульсирующих нагрузок. Установлено, что применение направленных вибраций специально подобранной частоты и амплитуды улучшает качество вырабатываемой продукции, способствует автоматизации и механизации трудоемких процессов, повышает производительность труда и улучшает технику безопасности [1]. Принципиальная гидравлическая схема пресса для прессования древесины с пульсирующей нагрузкой представлена на рис. 1. В качестве пульсатора можно применять вращающейся золотник, аксиально-поршневой насос с одним или двумя работающими плунжерами и другие устройства [2]. Расход жидкости гидропульсатора должен обеспечивать утечки и упругие деформации элементов гидропривода и прессуемой древесины. Гидропульсотор включается в работу после достижения гидроцилиндром рабочего усилия. После чего золотник распределителя, управляющего работой гидропульсатора, переводится в рабочее положение. Работа гидропульсатора осуществляется от гидростанции пресса. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Литература 1. Попиков В.П. Математическая модель процесса звукопоглощения шума зелеными насаждениями в селитебной зоне городов // Математическое моделирование, компьютерная оптимизация технологий, параметров оборудования и систем управления лесного комплекса: сб. науч. тр. / под ред. проф. В. С. Петровского; ВГЛТА. - Воронеж, 2005. - С. 10-14. 2. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов. -М., 1999. 3. Подольский В.П. Воздействие транспортного шума, вибрации и электромагнитного излучения на окружающую среду в зоне влияния автодорог: учеб. пособие / ВГАСА. -Воронеж, 1996. 4. Репринцев Д.Д., Попиков В.П. Зеленые насаждения, как средство защиты от автомобильного шума / ВГЛТА -Воронеж, 2001. - 8 с. - Деп. В ВНИИТИ 21.05.01, № 1292 - В 2001. 24 мая 2006 г. ПГ Рис. 1. Гидравлическая схема пресса с гидропульсатором: ПГ - пульсатор гидравлический; Р1 и Р2 - гидрораспределители; КП1 и КП2 - гидроклапаны предохраните льные; КР - гидроклапан редукционный; РР - регулятор расхода; КО - клапан обратный; МН1 и МН2 - манометры; Ц - гидроцилиндр Математическая модель прессования древесины на гидравлическом прессе с гидропульсатором может быть представлена системой дифференциальных уравнений [3]: Воронежская государственная лесотехническая академия УДК 674.049.2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАБОЧЕГО ПРОЦЕССА ГИДРАВЛИЧЕСКОГО ПРЕССА С ГИДРОПУЛЬСАТОРОМ © 2006 г. П.И. Попиков, Р.В. Юдин dP 1010 (Р +1) 0,45 dt = (1 - cos rot )sin ф-^F 2,5gP; V Y d 2 x dx P0 nD ц nD ц . m-+ u—+ cx =-—+-— P sin фt, dt dt 4 4 где ё - диаметр цилиндра; Rg - радиус окружности заделки поршневых шатунов в наклонном диске; ф -угол, образованный осями цилиндрового блока; ю -угловая скорость насоса; Р - давление рабочей жидкости, развиваемое пульсатором, Па; ц - коэффициент расхода для конусных клапанов; у - объёмная сила тяжести; g - ускорение силы тяжести; т - масса подвижных элементов пресса; с - жесткость упругой системы; С помощью пакета программ «М&квтайса 4.0» были решены дифференциальные уравнения и получены графики, описывающие динамику работы гидравлического пресса с пульсатором (рис. 2, 3). Р, МПа I Рн 10 8 6 4 2 0 t, с А, мм 1,5 1,0 0,5 -0,5 -1,0 -1,5 5 10 15 20 t, с 2 4 6 8 Рис. 2. График пульсации рабочего давления в зависимости от времени На рис. 2 представлен график пульсации рабочего давления в зависимости от времени, из которого следует, что амплитуда колебаний находится в пределах 8.15 МПа, частота 5.6 колеб/с. Рис. 3. График зависимости амплитуды пульсации от времени прессования Из рис. 3 видно, что амплитуда колебаний возрастает по мере уплотнения древесины за 10.15 с примерно в два раза. Математическая модель динамики гидропривода пресса с пульсирующей нагрузкой позволяет определить параметры гидропульсатора и динамические характеристики колебательной системы, установить оптимальные режимы технологического режима прессования. Литература 1. Амалицкий В.В., Бондарь В.Г. и др. Теория и конструкция деревообрабатывающих машин: учеб. пособие. - М., 1983. 2. Башта Т.М. Объемные насосы и гидравлические двигатели гидросистем. - М., 1974. 3. Попиков П.И., Юдин Р.В. Математическая модель процесса прессования древесины на гидравлическом прессе // Математическое моделирование, компьютерная оптимизация технологий, параметров оборудования и систем управления лесного комплекса: сб. науч. тр. / под ред. проф. В. С. Петровского / ВГЛТА. - Воронеж, 2005. -С. 26-30. Воронежская государственная лесотехническая академия 1 июня 2006 г. УДК 630.617 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЧВООБРАБАТЫВАЮЩЕГО АГРЕГАТА С РЕКУПЕРАТИВНЫМ ГИДРОПРИВОДОМ © 2006 г. В.И. Посметьев, Е.А. Тарасов, Е.В. Снятков При работе на лесных вырубках ходовая часть трактора и почвообрабатывающее орудие постоянно подвергаются знакопеременным нагрузкам вследствие наличия большого числа препятствий в виде пней, корней, камней и неровностей поверхности. Поэтому, для повышения экономической эффективности, целесообразно оснащать их системами рекуперации энергии. Для изучения возможности оснащения рекупера- тивным гидроприводом почвообрабатывающего агрегата в составе серийных трактора ДТ-75М и культиватора КЛБ-1,7 (рис. 1) разработана математическая модель, описывающая динамическое поведение агрегата в процессе работы на вырубке. В [1] предложено использовать рекуперативную систему, встроенную в гидросистему трактора. Элементами, непосредственно воспринимающими внешние усилия, являются гидроцилиндры, устанавливаемые между балансирами кареток трактора, гидроцилиндр навесной системы и гидроцилиндр предохранительного механизма культиватора. Для оптимизации параметров элементов рекуперативной гидросистемы была разработана имитационная компьютерная модель. В рамках модели почвообрабатывающий агрегат рассматривается как плоский механизм, состоящий из семи твердых тел (рис. 2), для каждого из которых известны координаты центра тяжести (х,, у,), масса т, и центральный момент инерции Ji. Исходя из конструкции агрегата, определен набор точек, в которых тела контактируют друг с другом с помощью шарниров (12-22, 24-32, 13-52, 42-54, 63-71), невесомых нерастяжимых тяг (01-11, 14-62, 15-61) и пружин (23-33, 43-53, 64-72). Рис. 1. Общий вид и исследуемые элементы почвообрабатывающего агрегата: 1 - трактор; 2 - лесной дисковый культиватор с гидравлическим предохранителем; 3 - звенья механизма навески трактора; 4 - опорный каток; 5 и 6 - внешний и внутренний балансиры каретки; 7 и 8 - оси качания внутреннего и внешнего балансиров; 9 - пружина; 10 - гидроцилиндр навесного механизма; 11 - автоматическая сцепка; 12 - рама культиватора; 13 - дисковая батарея; 14 - поворотная стойка дисковой батареи; 15 - рамка дисковой батареи; 16 - гидроцилиндр предохранителя культиватора 23 22 ^J ^ Х'2 30 У. 61 62 х6 Х7 40 21 Т2 31 Т3 41 Т4 51 Т5 Рис. 2. Представление почвообрабатывающего агрегата в виде совокупности твердых тел в рамках предлагаемой модели В основе математической модели лежит система дифференциальных уравнений Лагранжа I рода с неопределенными множителями в виде p ЭФ mх ¡о + £X =qx1; Эх, p ЭФ тг У г о + XX = Qyi; .=1 oy 1о p ЭФ JФго + . ^ = Qфг, .=1 Эф 10 где Qxi, Qyi - декартовы составляющие равнодействующих сил, приложенных к ,-му телу; Qфi - соответствующий момент; - неопределенные множители Лагранжа (5 = 1, 2,..., р); Ф5 - функции связей. Для составления системы уравнений используется метод [2], основанный на конечно-элементном подходе, согласно которому общая система уравнений составляется из уравнений-шаблонов для соответствующих связей (шарнир, тяга, пружина). Полученная система имеет, укрупненно, следующий вид: M T" Г X > Г Q-1 T' O_ X V У = 1 и J (1) где М - квадратная матрица масс и моментов инерции размерностью 3п х 3п (п = 7 - число тел); Т - прямоугольная матрица размерности 3п х 3пх (п\ - суммарное число степеней свободы, которые «отнимают» у системы все наложенные связи); Т' - транспонированная матрица Т размерности 3п^х3п; О - нулевая матрица размерности 3п^х3п^; Qx - вектор размерности 3 п, где каждый элемент представляет собой сумму всех соответствующих коэффициентов правой части исходных уравнений-шаблонов, выбранных и вычисленных на основании описания массива связей, а также независимые возмущений; и - вектор размерности п%, образующийся из совокупности коэффициентов и, уравнений-шаблонов. Для вычисления сил, действующих на ходовую часть трактора (в точках 21, 31, 41, 51) и дисковый рабочий орган со стороны почвы и препятствий, используется разработанная ранее модель [3]. В систему (1) добавляются также уравнения, описывающие основные элементы гидропривода. Для численного интегрирования полученной системы дифференциальных уравнений используется модифицированный метод Эйлера. Для проведения компьютерных экспериментов используется специально составленная в среде Borland Delphi 7 программа. В процессе компьютерного эксперимента моделируется движение почвообрабатывающего агрегата по контрольному участку вырубки длиной 1 км. Вероятность встретить препятствие (пень или корень) подчиняется равномерному закону. Для расчета данной вероятности при определенной плотности пней используются результаты работы [4]. В процессе движения модельного агрегата фиксируется зависимость вертикальных перемещений центра тяжести трактора от времени y1(t) и затем строится соответствующая амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) A(rn). Для оптимизации параметров элементов гидропривода компьютерный эксперимент проводится многократно. При этом критерием оптимизации является некоторый функционал АЧХ F [А(ю)]. Литература 1. Посметьев В.И., Тарасов Е.А., Кухарев В.С. Перспективные рекуперативные системы для гидроприводов лесных почвообрабатывающих агрегатов // Наука и образование на службе лесного комплекса: Сб. матер. МНПК Воронеж, 2005. - С. 132-136. 2. Расчет и проектирование строительных и дорожных машин на ЭВМ / под ред. Е.Ю. Малиновского. - М., 1980. 3. Посметьев В.И., Посметьев В.В. Моделирование взаимодействия дискового рабочего органа лесного почвообрабатывающего орудия с почвой и препятствиями // Математическое моделирование, компьютерная оптимизация технологий, параметров оборудования и систем управления лесного комплекса: межвуз. сб. науч. тр. Воронеж, 2000. - С. 39-44. 4. Посметьев В.И., Пухов Е.В., Посметьев В.В. Обоснование на основе результатов компьютерного моделирования выбора трактора по критерию его проходимости // Лес. Наука. Молодежь ВГЛТА 2004: сб. науч. тр. Воронеж, 2004. - С. 160-165. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Воронежская государственная лесотехническая академия 6 июня 2006 г. УДК 621.22 ДИНАМИКА ГИДРОПРИВОДА ТРЕЛЁВОЧНОГО ЗАХВАТА ДЛЯ БЕСЧОКЕРНОЙ ТРЕЛЁВКИ СОРТИМЕНТОВ © 2006 г. П.И. Попиков, С.И. Федяинов В настоящее время основным направлением в техническом прогрессе лесного комплекса является разработка и внедрение прогрессивных технических и технологических решений, обеспечивающих макси- мальное повышение производительности труда и создание условий для рационального использования всей биомассы дерева при минимальном воздействии машин на лесную среду и оператора. Нами была составлена математическая модель [1], описывающая рабочие процессы в гидросистеме сельскохозяйственного трактора МТЗ-82.1, во время трелёвки пачки деревьев клещевым захватом УТБ-0,8 (рис. 1): d! dt: h hA h! hx , nD2 dp = 1 ~dt = Kr - P nD 2 h1 + h 5 h1 h 4 Pобж h 2 +" G б n - Pт тр nD dx q Н n Н----a y P Н л ж y где t - время, с; п - коэффициент длины дерева; Р -давление рабочей жидкости в напорной магистрали, Па; Р2 - давление рабочей жидкости в сливной магистрали, Па; Gб - вес бревна, Н; Ртр - сила трения, Н; Кр - коэффициент податливости упругих элементов гидропривода, м3/Па; дн - рабочий объём насоса, м3/об; пН - частота вращения вала насоса, 1/с; ау -коэффициент утечек рабочей жидкости, м3/с-Па. Р, МПа 6 4 2 Рис. 2. Зависимость давления в гидросистеме горизонтального перемещения захвата от времени: тд = 400 кг, ау = 10-10 м3/(с-Па), Кр = 2 • 10-11 м3/Па На рис. 3 показана зависимость коэффициента пульсации давления от времени. k -пульс Л [ay= 10" м3/сПа 0 2 4 6 8 Kp, 10"11 м3/Па Рис. 3. Зависимость коэффициента пульсаций давления в гидросистеме горизонтального перемещения захвата от коэф- фициента податливости п = 0,66; Б = 0,075 м; Рсл = 2 • 105 Па; qН = 32 • 10-6 м3; пН = 20 1/с; Н1= 0,25 м; Н2 = 0,93 м; Н2 = 1,02 м; Н3 = 0,45 м; Н4 = 0,39 м; Н5 = 0,45 м; Робж = 1000 Н; тд = 400 кг Введение в гидросистему демпфирующих элементов способствует увеличению коэффициента податливости Кр и, следовательно, уменьшению коэффициента пульсации ^пульс.. При Кр > 1012 динамического повышения давления в гидросистеме практически не наблюдается, что обеспечивает повышение надёжно- сти лесных машин. 4 2 Рис. 1. Расчётная схема трелёвочного захвата Решая данную модель, получили графические зависимости основных параметров: давления Р, горизонтальной скорости захвата УХ и горизонтальной координаты Х от времени при следующих значениях: п = 0,66; Б = 0,075 м; Рсл = 2 • 105 Па; qН= 32 • 10-6 м3; пН = 20 1/с; Н1= 0,25 м; Н2 = 0,93 м; Н2 = 1,02 м; Н3 = =0,45 м; Н4 = 0,39 м; Н5 = 0,45 м; Робж = 1000 Н. На рис. 2 представлен график зависимости давления в гидроцилиндре захвата, из которого видно, что максимальное давление в начале движения составляет 4 МПа, а время переходного процесса - 0,6 с. Литература 1. Попиков П.И., Гончаров П.Э., Федяинов С.И. Математическая модель рабочего процесса гидросистемы колёсного тягача с трелёвочным захватом // Математическое моделирование, компьютерная оптимизация технологий, параметров оборудования и систем управления. - Воронеж, 2005. - Вып. - 10. С. 76-82. 1 июня 2006 г. Воронежская государственная лесотехническая академия

https://cyberleninka.ru/article/n/chislennoe-modelirovanie-rezonansnyh-rezhimov-slozhnyh-poluogranichennyh-struktur

Предложен метод расчета частотных характеристик динамического напряженно-деформированного состояния полуограниченных слоистых структур с неоднородностями на основе использования метода конечных элементов и методов гармонического анализа. Тестирование метода при решении задачи для однородного полупространства показало его достоверность. Приведены результаты расчета частотных характеристик для более сложных структур.

УДК 539.3 ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ РЕЖИМОВ СЛОЖНЫХ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ СТРУКТУР © 2009 г. Н.М. Селезнев*, О.В. Шиляева**, Ву Тхи Бик Куен** *ООО «Руда-Экспресс» *LTD «RUDA-Express» **Ростовский государственный **Rostovskiy State строительный университет Building University Предложен метод расчета частотных характеристик динамического напряженно-деформированного состояния полуограниченных слоистых структур с неоднородностями на основе использования метода конечных элементов и методов гармонического анализа. Тестирование метода при решении задачи для однородного полупространства показало его достоверность. Приведены результаты расчета частотных характеристик для более сложных структур. Ключевые слова: амплитудно-частотная характеристика (АЧХ); амплитудно-временная характеристика (АВХ); метод конечных элементов; слоистое полупространство; преобразование Фурье. The method of calculation of frequency characteristics of the dynamic intense-deformed condition of the half-limited layered structures with heterogeneities on the basis of use of a Finite element Method and methods of the harmonious analysis is offered. Method testing at the decision of a problem for homogeneous half-space has shown its reliability. Results of calculation offrequency characteristics for more difficult structures are presented. Keywords: amplitude-frequency characteristic; amplitude-time characteristic; finite element method; layered half-space; Fourier transform. Разработка математических моделей, описывающих процессы динамического нагружения полуограниченных структур (геофизические приложения), деталей и элементов конструкций большой протяженности (дорожные конструкции), позволяет получить информацию о характеристиках напряженно-деформированного состояния системы. Одной из важнейших для всех практических приложений является резонансная характеристика объекта (амплитудно-частотная характеристика колебаний его элемента или заданной точки). При использовании аналитических методов решение нестационарных задач теории упругости, как правило, существенно более трудоемко и сложно, чем решение задач для режима установившихся гармонических колебаний. По этой причине для расчета амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) и выявления резонансных режимов в основном используется решение гармонических задач, в котором изменяемым параметром является частота колебаний. Объем вычислений при использовании подобного подхода достаточно велик и определяется диапазоном частот и шагом дискретизации. При исследовании достаточно сложных систем и структур, для которых использование аналитических методов малоэффективно или невозможно, реализуются численные методы. Наи- большее распространение в настоящее время получили программные комплексы, реализующие метод конечных элементов (МКЭ) и широко используемые в различных технических приложениях. Их применение позволяет эффективно исследовать характеристики НДС ограниченных структур при различных типах воздействия, в том числе нестационарном. В то же время возникают технические и принципиальные сложности при исследовании режима установившихся моногармонических колебаний полуограниченных структур (слоя, полупространства или слоистого полупространства) и возможных конечно-резонансных эффектов. Это связано с необходимостью замены неограниченной структуры (или структуры большой протяженности) по некоторым направлениям на ограниченный представительский объем, что определяет появление «паразитных» резонансных эффектов. Введение по периметру представительского объема демпфирующих поясов позволяет несколько снизить выраженность указанного эффекта, но не исключить его полностью. При исследовании воздействия на систему кратковременных нестационарных усилий в результате конечно-элементного моделирования можно в каждой точке структуры выделить пакет прямых волн, распространяющихся от источника колебаний на перифе- рию, и волны, отраженные от фиктивной границы представительского объема. Для получения по амплитудно-временной характеристике (АВХ) соответствующей АЧХ можно использовать методы гармонического анализа, аналогично тому, как это делается при обработке данных экспериментальных исследований [1, 2]. Для этого необходимо на графике АВХ выделить временной интервал, в котором наблюдаются только волны, распространяющиеся от источника колебаний на периферию, для чего можно использовать, например, фильтр Баттерворда [2]. Известно, что АЧХ собственных колебаний системы можно получить на основе решения нестационарной задачи следующим образом. Строится решение задачи для соответствующей системы при нестационарном воздействии, определяемым во времени функцией 5(/ - В результате применения к решению подобной задачи преобразования Фурье по времени получаем собственную АЧХ колебаний данной точки системы. В связи с этим для определения частотных характеристик слоистых полуограниченных (или большой протяженности) структур, в том числе с неоднородностями различного типа, предлагается использовать следующий подход, включающий два этапа. На первом этапе для ограниченного представительского объема разрабатывается расчетная МКЭ модель при нестационарном воздействии Р((), моделирующем 5-импульс. При численном расчете используем в качестве такой функции, аппроксимирующей Ъ^ - [3], P(t) =S+ (t -10, m ) = 0, t g m 2 to , ,to + m 2 t - to + — m << 1. m m t - to - Ц Следует отметить, что получаемая частотная характеристика соответствует собственной только в диапазоне частот, для которого АЧХ функции P(t) по модулю близка к единице (спектр Ъ^ - постоянен во всем частотном диапазоне и равен единице). Для проверки корректности предлагаемого подхода и оценки диапазона его применимости рассмотрим осесимметричную задачу о воздействии на поверхность полупространства у<0 с параметрами р, Ур, Ув (соответственно плотность и скорости распространения продольных и поперечных волн в среде) импульса давления P(t): t0=0,1 с, т=0,001 с, приложенного в начале координат. В результате расчета амплитуд смещения поверхности однородного полупространства в точке поверхности (х0,0), х0<1, I - расстояние от точки воздействия до фиктивной границы представительского объема, выделенного из полуплоскости МКЭ, получаем, что расчетная зависимость амплитуды вертикального смещения и(()=и() от времени имеет вид, представленный на рис. 1. U(t) х 1 02 1 -2 -4 - -6 - -8 Отраженные волны 0,16 0,32 0,48 0,64 0,80 t, с В результате реализации расчета получаем зависимость амплитуды от времени (АВХ), на которой всегда можно выделить для заданной точки наблюдения интервал времени, в котором отсутствуют волны, отраженные от фиктивной части границы представительского объема. На втором этапе проводится выделение части АВХ с последующим получением соответствующей частотной характеристики путем применения к полученному фрагменту АВХ преобразования Фурье по времени. Подобный подход часто применяется при обработке результатов экспериментальных исследований после выделения ограниченного фрагмента АВХ (фильтрации - умножения АВХ на функцию фильтра, непрерывно обращающуюся в ноль на концах интервала и равную единице на остальной части) по времени (вырезка) или частоте [1, 2]. Рис. 1. Расчетная зависимость амплитуды вертикального смещения П({) = и() от времени На графике выделен пакет волн, приходящих в точку наблюдения от фиктивной границы представительского объема. Применив к полученной АВХ Ц(() преобразование Фурье по времени, получим U(ro)=JU (t)exp(-/'rot)dt, ю = 2л/. Для значений Т = 0,4 с (на графике помечена пунктиром) и Т = 0,95 с, получаем две АЧХ (рис. 2). Первая АЧХ с точностью до погрешности вычислений совпадает с АЧХ, полученной для однородного полупространства на основе расчета по интегральному представлению решения [4, 5]. На второй частотной характеристике наблюдаются «паразитные резонансы» в низкочастотной области, обусловленные наличием отраженной от фиктивной границы волны. м 0 2 0 2 m 2 Проведение расчета по предложенному алгоритму для трехслойного полупространства в осесимметрич-ной постановке дает аналогичные результаты. В качестве примеров на рис. 3 представлена АЧХ трехслойного полупространства нормальной структуры (скорости распространения волн в слоях увеличиваются в два раза от слоя к слою с глубиной ^=300 м/с, V* = 2V¡a = 4^). I х10-9, м 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0 Полученные результаты подтверждают правомерность использования изложенного подхода для определения частотных характеристик колебаний сложных полуограниченных структур на основе расчета АВХ в требуемой точке области по МКЭ с учетом отмеченных ограничений. В качестве примера, иллюстрирующего предложенный подход, рассмотрим задачу расчета АЧХ поверхности слоистой структуры, представляющей собой два полуслоя, жестко сцепленных между собой и с подстилающим полупространством в плоской постановке (рис. 4). Pe" 50 100 250 300 f Гц Рис. 2. Амплитудно-частотные характеристики для Т = 0,4 с (пунктир) и Т = 0,95 с I х10-1 0, м 15 Г 100 200 300 400 f, Гц Рис. 3. Амплитудно-частотная характеристика точки поверхности трехслойного полупространства Здесь следует отметить, что изложенный алгоритм построения АЧХ по АВХ имеет естественные ограничения по частотному диапазону. Эти ограничения определены двумя факторами. Первый связан с ограниченностью интервала времени Т на фрагменте АВХ, по которому строится АЧХ и который определяет ограничение АЧХ в низкочастотном диапазоне: f > 1/Т. Второй фактор определяет ограничение частотного диапазона сверху за счет: 1) ограниченности со стороны высоких частот линейной части частотного спектра функции Р(() (рис. 1) (максимальные частоты, для которых получаем достоверные результаты, тем меньше, чем больше величина параметра т); 2) при конечно-элементном моделировании максимальный линейный поперечный размер конечного элемента А определяет ограниченность корректного учета частот сверху (на длину продольных волн ХР^//<8А). Рис. 4. Сечение структуры склона, усилия, генерирующие колебания. Точка наблюдения расположена в начале координат Геометрические и механические характеристики структуры соответствуют трехслойному полупространству, для которого приведен результат расчета АЧХ на рис. 2. Как показывают расчеты, наличие торцевой поверхности полуслоев в этом случае определяет появление отраженных от него поверхностных волн, которые относительно слабо убывают в ближней зоне и имеют постоянную амплитуду на большом удалении. Наличие отраженных волн определяет возмущения АЧХ - колебаний точек структуры. Пример расчета АЧХ для точки поверхности, расположенной между источником колебаний и торцевой поверхностью верхнего полуслоя, приведен на рис. 5. \Uy I х10-10, м 15 f, Гц Рис. 5. Амплитудно-частотная характеристика точки верхнего полуслоя структуры На графике видно существенное изменение АЧХ за счет взаимодействия прямого поля поверхностных волн источника и волн, отраженных от торцевой по- 0 верхности. Следует отметить, что интенсивность отраженных волн в существенной степени определяется толщинами верхних слоев структуры, контрастностью их жесткостей и средним углом наклона торцов. При повышении контрастности жесткостей наблюдается увеличение амплитуд колебаний в окрестности верхней границы поверхностного слоя. Литература 1. Илиополов С.К., Селезнев М.Г., Углова Е.В. Динамика дорожных конструкций. Ростов н/Д., 2002. 206 с. Поступила в редакцию 2. Рудаков П.И., Сафонов И.В. Обработка сигналов и изо- бражений. МАТЬАВ 5.x. М., 2000. 416 с. 3. Корн Г., Корн Т. Справочник по высшей математике для научных работников и инженеров. М., 1970. 720 с. 4. Методика и результаты расчетов волнового поля вблизи вибрационного источника, распределенного на поверхности однородного полупространства / М.Г. Селезнев, В.В. Калинчук, Н.В. Глушкова [и др.] // Вопросы возбуждения волн вибрационными источниками. Новосибирск, 1976. С. 65-86. 5. СелезневМ.Г., Золотарев А.А. Осесимметричная задача возбуждения волн в двухслойном полупространстве // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки, 1976. № 4. С. 102. 17 марта 2009 г. Селезнев Николай Михайлович - канд. техн. наук, директор ООО «Руда-Экспрес». Тел.: (8-863)266-70-60. Шиляева Ольга Викторовна - ассистент, младший научный сотрудник, кафедра информационных систем в строительстве, Ростовский государственный строительный университет. Тел.: (8-863) 227-75-62. E-mail: [email protected] Ву Тхи Бик Куен - аспирант, Ростовский государственный строительный университет. Seleznev Nickolay Michailovich - Candidate of Technical Sciences, director of LTD «RUDA-Express». Shilyaeva Olga Victorovna - assistant, junior scientist, department of informative systems in building operations, Rostov State Building University. Ph: 8-863-227-75-62. E-mail: [email protected] Vu Tkhi Bik Kuen - post-graduate student, Rostov State Building University.

https://cyberleninka.ru/article/n/trehmernoe-modelirovanie-metodom-sosredotochennyh-deformatsiy

An application of three dimensional models (3D) to the investigation of strain-deformation state of buildings is one of the basic problems and is the most One of the important problem and in one's turn complicated for decision task of earthquake-proof construction is use three-dimensional model for definition mode of deformation. In the article introduce to solve such problem.

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2008, том 51, №5________________________________ СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА УДК 624.042 Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Д.Н.Низомов, И.Каландарбеков, А.А.Ходжибоев, О.А.Ходжибоев ТРЕХМЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДОМ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ Исследование пространственных систем связано с требованием более надежного и экономичного проектирования. Развитие современной техники и проектирование конструкций зданий и сооружений тесно связаны с разработкой и совершенствованием моделей механики деформируемого твердого тела, созданием эффективных численных методов. Построение общих сложных моделей, как правило, сочетается с необходимостью разработки простых, но в то же время эффективных моделей описания процессов с требуемой точностью, выделением главных факторов рассматриваемых процессов деформирования и созданием программ их численной реализации. Трехмерные динамические модели, состоящие из системы твердых тел, в отличие от трехмерной модели, состоящей из материальных точек, позволяют проводить исследования при многокомпонентных сейсмических воздействиях. При решении задач механики сплошных сред и деформирования элементов конструкций достаточно универсальными и широко распространенными являются метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ), вариационно-разностные методы (ВРМ), метод конечных разностей (МКР). В основу этих методов положено дискретное представление функций непрерывного аргумента и областей их определения, ориентированное на использование современной вычислительной технологии. Методы дискретизации охватывают широкий спектр численных методов, в которых системы с бесконечным числом степеней свободы аппроксимируются системой, обладающей конечным числом степеней свободы. Поэтому в таких методах дифференциальные и интегральные уравнения непрерывной задачи сводятся к конечному числу алгебраических уравнений. Во всех этих методах дискретизацию подвергается не сама среда на этапе ее моделирования, а уже созданная континуальная модель среды. Моделирование сооружений упрощенными континуальными моделями дает ориентировочную оценку напряженно-деформированного состояния объекта. Возможности современной вычислительной техники позволяет решать сложные задачи на основе дискретного моделирования. Дискретные расчетные динамические модели, по определению [1], представляют собой систему материальных точек или систему твердых тел и комбинацию материальных точек и тел, соединенных деформируемыми связями. Например, бескаркасное здание можно смоделировать множеством элементов, состоящих из твердых тел, соединенных между собой упругими или упругопластическими свя- зями, что дает возможность исследовать влияние податливости связей, учитывать их упругопластические свойства, а также включить в работу основания. При этом предполагается, что единственными причинами, вызывающими движение, являются внешние динамические нагрузки, внутри системы отсутствуют источники тепла. При быстро меняющихся во времени нагрузках обмен тепла за счет теплопроводности происходит очень медленно и термодинамический процесс близок к адиабатическому процессу, энтропия имеет постоянное значение. Наиболее общей, но и наиболее сложной является расчетная модель, при которой учитывается конечная жесткость пластинок и связей между ними, а характер расположения связей соответствует реальным связям в здании [2]. Компонентами систем несущих конструкций с пластинчатым каркасом являются стены и перекрытия. С помощью плоских элементов создается пространственная система пластинок, соединенных между собой тем или иным способом. Несущие конструктивные элементы объединяются в единую пространственную конструктивную систему с помощью связей. Внешнее воздействие может быть кинематическое или силовое. Моделирование. Моделирование трехмерной системы методом сосредоточенных деформаций (МСД) сводиться к следующему. Несущие конструктивные элементы системы плоскостями сосредоточенных деформаций разбиваются на конечные элементы е;. При этом каждый конечный элемент может иметь шесть степеней свободы. Несущие конструктивные элементы соединяются между собой при помощи шпонок, выпуска арматуры или закладных деталей, создавая, тем самым вертикальные и горизонтальные швы. Плоскостями Г2г отмечаются комплексные швы, состоящие из реальных и собственных (фиктивных) связей. На торцевых гранях элемента е; концентрируются деформации данного элемента. Эти деформации могут быть выражены через податливости упругих связей, распределенные по граням элемента. В результате пересечения плоскостей £2 со срединными плоскостями конечных элементов е;, е^ образуются линии , в которых стекаются деформации смежных элементов. Два смежных элемента, в силу своих физико-механических данных, могут иметь различные характеристики податливости, сконцентрированные на линиях . В пространственной модели на линиях могут быть сосредоточены деформации двух, трех и четырех элементов, а также одного обобщенного реального шва. Предполагается, что реальный шов между элементами является непрерывным и его податливость (жесткость) равномерно распределена по граням элементов. Для определения деформации реальный шов рассматривается как невесомый элемент с заданными размерами поперечного сечения. Стеновые панели могут быть установлены на ленточном фундаменте или на фундаментной плите. Ленточный фундамент, в зависимости от податливости основания, моделируется либо как отдельный элемент с упругоподатливыми опорами, либо заменяется невесомыми опорными стержнями. В случае фундаментной плиты учитывается упругое основание с двумя коэффициентами постели. Применительно к промышленным и гражданским зданиям, также можно рассмотреть каркасные системы, в которых несущими конструкциями являются колонны, ригеля, плиты перекрытия, диафрагмы или ядра жесткости. Тремя взаимно перпендикулярными плоскостями несущие конструкции разбиваются на конечные элементы МСД. Колонны и ригеля аппроксимируются пространственными призматическими стержнями, в которых внутренние усилия являются функциями продольной оси. При этом каждый элемент, как твердое тело, имеет шесть степеней свободы. Элементы плит перекрытия и диафрагм жесткости рассматриваются как пластины, каждая из которых деформируется как в своей плоскости, так и из плоскости. Эти элементы также имеют по шесть степеней свободы. Навесные стеновые панели учитываются как присоединенная масса к несущим конструкциям. В каркасном здании разнообразие элементов и их соединения между собой приводит к более сложной модели, по сравнению с бескаркасным зданием. В рамках трехмерной модели МСД можно также рассматривать массивные системы (толстые пластины, массивные фундаменты, плотины и др.). Поверхностями сосредоточенных деформаций, которые могут иметь любое очертание, массивное тело разбивается на конечные элементы. Каждый элемент МСД, как твердое тело, независимо от его формы, будет иметь по шесть степеней свободы. Если тело разбивается на тетраэдры, то деформации сосредотачивают на четырех гранях, а в случае призматического прямоугольного элемента таких граней будут шесть. Особенности модели. Метод сосредоточенных деформаций допускает переменное поле перемещений, деформаций, напряжений и модулей упругости. Например, для четырехугольного плосконапряженного элемента прямоугольной формы, поле перемещений от действия нормальных сил (рис.1) определяется перемещениями не только центра элемента щ, но и перемещениями его граней . Перемещения на грани элемента связаны с перемещениями его центра простыми соотношениями. В плосконапряженном состоянии поле перемещений в пределах каждого элемента допускает разрывы по линиям локальных координат по смежным граням между соседними элементами. Для сравнения можно отметить, что в МКЭ поле перемещений задается в форме линейных функций локальных координат и имеет непрерывный характер изменения. Вместе с тем поле деформаций, постоянное в пределах каждое конечного элемента, имеет разрывы по линиям контакта между смежными элементами. Следовательно, в МКЭ и поле напряжений имеет разрывный характер изменения. В МСД поле деформаций в пределах каждого элемента предполагается переменным по линейному закону, согласно гипотезе плоских сечений. Это позволяет вести расчет с переменными жесткост-ными характеристиками материалов в пределах каждого элемента. Кроме того, в МСД учитываются взаимные повороты элементов в их плоскости, что повышает точность метода [3]. Г--'Ч- \} ¡к 1 '“1 ^ М у\ 1 9 \Ц т 1 N т Ь Не 1 V | 1 1 е* 1 . J Ь 1т АЬА а# & т V- Рис.1. Поле деформаций элемента МСД. Алгоритм численного решения. Рассмотрим пространственную систему, состоящую из множества элементов, соединенных между собой и работающих в условиях плоского напряженного состояния. Такое напряженное состояние могут испытать, как правило, крупнопанельные здания при сейсмическом воздействии. Моделирование такой задачи на основе МСД сводится к составлению общей матрицы жесткости с учетом податливости реальных связей. Система состоит из типовых элементов, в которых кроме нормальных и сдвигающих усилий учитываются изгибающие моменты, возникающие вследствие неравномерности эпюр нормальных напряжений. Предполагается, что элементы соединяются между собой с помощью комплексного шва, в котором сосредотачиваются деформаций собственных швов, а также реального шва. Матрица внешней жесткости пространственной системы выражается формулой Я (о где I: - общая матрица коэффициентов системы уравнений равновесия, 13=13 для всех О" - транспонированная матрица |4_ размера рхэ ,р - общее число неизвестных внутренних усилий, 5 - степень свободы системы, (¡Г _ - квадратная матрица внутренней жесткости порядка р. Матрица ¡4 _ в случае плосконапряженных элементов формируется из элементарных матриц, соответствующих сечениям 1,2,3 и 4 элемента е; (рис.2): '-1 0 0 ' ап = 0 1 а ; ап = 0 0 1 0 0 1 0 -1 -Ъп -10 0 '0 0 -1 ■ '1 0 0 1 ; агъ = 0 1 -Ъ1к ; = 0 -1 агп 1 0 0 0 0 -1 (2) Элементы матриц (2) являются коэффициентами при неизвестных в уравнениях равновесия сил в направлениях осей х1, у локальной системы координат и моментов сил относительно оси г", проходящей через центр масс элемента. Если в пластинке, наряду с мембранными напряжениями, возникают и изгибные напряжения, в зависимости от характера внешней нагрузки, то матрицы типа (2) записываются в виде "-1 0 0 0 0 0 " ■ 0 0 1 0 0 0 " 0 0 1 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1 0 ; «¿2 = 0 0 0 -1 0 ЬіШ 0 0 0 1 0 а 0 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 -1 -к 0 0 0 "0 0 -1 0 0 0 ■ '1 0 0 0 0 0 " 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ; аі4 = 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 1 0 Ьік * 14 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 аіп 0 1 Ьік 0 0 0 0 -1 аіп 0 0 0 (3) При соответствующем выборе систем локальных координат формирование матрицы [1 в (1) можно осуществить на основе фундаментальных матриц (2) или (3). Матрица внутренней жесткости формируется на основе матриц жесткости элементов. Матрица жесткости элементов ^fi _ вычисляется исходя из зависимостей, выражающих закон Гука для плоского напряженного состояния сгх=Е{єх+/иєу)І{\-/л2), сту=Е{єу+/иєх)/{\-/л2), тху = Еуху/2{\ + /и) , согласно которых вектор внутренних усилий элемента Єі записывается в виде і 1 в Л где и - вектор перемещений граней / -го элемента. (4) (5) ип аі3 Матрицу в (5) можно представить как квазидиагональную матрицу Ь 3= 2 ЬгМ 2 I (6) где §Г;лг _, , ^(Л. _ - матрицы жесткости элемента МСД соответственно от действия нормальной силы, изгибающего момента и сдвигающего усилия. Например, для элемента е; (рис.2), в соответствии с (5) и с учетом (4), главные коэффициенты матрицы §Г;лг записываются в виде кп = Г ел ^ -1 Г е,л-1 -1 £<Л -1 1 1 1 1 д 1 1 1 . *0 . к - 22 Е,Р,т Е F т тг (1-Ит)ашг. + ЕоЕо дп -1 (7) к33 ЕЛ ¡к (1 ~М?)Ь1к ЕкЕк -1 ЕоЕоз з, 03 Г ад, " -1 ЕпЕпг -1 Е0Е04 -Г [а-//г2к_ _(!- /'«К. _ ¿04 _ ^44 где Е ■, - модуль упругости и площадь поперечного сечения грани элемента, Е0, Р0., д0. - модуль упругости, площадь поперечного сечения и ширина моделируемого реального шва между элементами. Кроме главных коэффициентов (7), от действия продольных сил возникают ещё и побочные коэффициенты, учитывающие поперечные расширения элементов. Аналогично (7) записываются коэффициенты других матриц в (6). Полученные таким образом матрицы типа (6) для всех элементов системы позволяют сформировать общую матрицу внутренней жесткости (Г_. Согласно (1) формируется матрица |?_ и из решения системы уравнений где 4 - вектор внешних сил, определяется вектор перемещений, а затем вычисляются векторы деформаций и внутренних усилий ■! ! |Г/{ О 1 -1 iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. -1 -1 1 1 Численные примеры. В качестве первого иллюстративного примера рассмотрим пространственную систему, состоящую из плосконапряженных элементов, соединенных между собой в ребрах с помощью реальных связей. В ребрах сосредотачиваются собственные деформации элементов, а также деформации реального шва. Реальный шов моделируется как невесомый призматический элемент. Если мысленно отделить этот элемент от ребра, то на его взаимно перпендикулярные грани будут действовать внутренние силы от двух элементов Єі, еп (рис. 3,а). Из статического равновесия элемента связи (рис. 3,б) при условии, что на ребро не действует внешняя нагрузка, получим Нгп = Нт = 0, Бія = Яп<, Мт = / 2, Мт = ЗД, / 2, (7) где 8Х, 8 - размеры поперечного сечения шва относительно локальной системы координат. Рис.3. Угловой комплексный шов. Предполагая, что поперечные размеры реального шва значительно меньше, чем размеры элементов, можно считать, что в ребрах изгибающие моменты также равняются нулю. Следовательно, в ребрах пространственной системы из плосконапряженных элементов отличными от нуля будут только сдвигающие усилия - 5'пг. Исходя из этого условия, была разработана программа и получены результаты расчета системы от действия горизонтальной статической нагрузки при следующих данных: пластинки размерами 3х3 м, толщина - 0.2 м, 6 2 модуль упругости £’ = 2-10 т/м , коэффициент Пуассона ¡л — 0.2. В табл. 1 приведены результаты расчета системы, состоящая из пяти элементов с шарнирно неподвижными опорами, установленные в серединах нижней грани вертикальных элементов (рис.4). Внешняя горизонтальная нагрузка Р - 10 т действует в центре пятого элемента. Опорные связи модели- руются упругоподатливыми элементами, установленными в плоскости пластинок и препятствующими двум линейным и одному угловому перемещениям с коэффициентами жесткости \У X Ьі Рис. 4. Пятиэлементная система из плосконапряженных элементов. Таблица 1 Перемещения и усилия в пятиэлементной системе при сх = су = 2 • Ю10т/м и различных зна- х У чениях с. Vх их -104, м г;т • 104, м иъ -104,м , т/м М2 ,тм/м 2-1СГ10 0.3492 -0.1200 0.7775 -1.666 -1.666 0.000 2-Ю10 0.2306 -0.0681 0.5404 -0.946 -1.666 2.161 Как следует из полученных результатов (табл. 1), максимальное горизонтальное перемещение возникает в центре пятого элемента, а максимальное вертикальное перемещение соответствует центру второго элемента. Погонные сдвигающие усилия в вертикальных ребрах, в зависимости от граничных условий, уменьшаются, а в горизонтальных ребрах остаются без изменения. Во втором примере рассматривается шестиэлементная пространственная система, опирающаяся на упругом основании (рис. 5). Здесь, в отличие от первого примера, элементы деформируются как в своей плоскости, так и из плоскости. В этом случае на взаимно перпендикулярных плоскостях элемента реального шва будут действовать по шести неизвестных усилий (рис.3,в). Тогда из условия статического равновесия элемента получим: 0,=ЛГ,г; А^.=а,; 5>=Я/Г; •\/п, -//,: Я^=М°; Л/,-Л/,. где <2ІГ, Міг, Иіг - поперечная сила, изгибающий и крутящий моменты, возникающие в результате изгиба пластинки. Чо 1 о 1 и? ч , р 3 ОІ (Г) 4< 2 6 • ® 7 5 9 * (З) 10 8 12 (4) р 13 8 І11 К 0)2 о @2 вз О4 Рис. 5. Шестиэлементная система с учетом изгибных деформаций. В табл. 2 представлены результаты расчета шестиэлементной системы от действия горизонтальной нагрузкиР = Ют при различных значениях коэффициента постели К=ку = V 1)с1Х2 ~(Р /П + с/Х2 Ър) ^ 2, где = Е№ /12(1-/и2) - цилиндрическая жесткость плиты на упругом основании, <р - параметр упругого основания. Таблица 2 Перемещения и усилия в шестиэлементной системе при ср- я 13 и различных значениях коэффициента постели кг. кг, т/м3 их -104, м V, • Ю4, м и5 -104,м и6 -104,м 53 ,т/м N ,т/м 4-Ю10 0.2428 -0.4176 0.8117 -0.02595 -1.636 1.622 4-Ю3 0.1393 -11.09 11.34 -10.89 -1.294 0.9306 4-Ю2 0.1289 -12.15 12.40 -11.98 -1.260 0.8616 Сравнение результатов (табл. 2) показывает, что с уменьшением жесткости основания значительно увеличиваются вертикальное перемещение второго элемента и горизонтальное перемещение пятого элемента. При этом незначительно уменьшаются сдвигающее усилие в горизонтальном ребре и нормальная сила в вертикальном. В таблицах 3 и 4 приводятся результаты решения первой задачи при разбивке 3х3 каждого элемента (рис.6). V7! Зм / 062 43 9$> 44 9(Р Щ 7&> ~$Ь Й- 064 40 9Р 41 93Р 42 7&> ~$Г 066 37 8(Р 38 8#> 39 74° г & & % ^ $ @ 7# @ 77? @ ТРЙ ^--------------ЗЭ 3/9 5Р----------@> 5?>---@ 55? (7) 22> © 2$> © 28$ л° Ъ ¿ь 810 35 83$ 36 61Ф 64 4Ь 62 $61 @ 63$ 1% $37 @39^ $1 (Т) 4^ @71> © 10$' -Л- 8 66 6# @ 67$ - 41$ @ 430 68 70 @691 29 7Р @45? @47$ -Й--------# © 75? 5 /<Р -У- 72 759 © -4£ ^Г 57= (23) 590 24 37$ £ @34§ Ж- ¿ь 19$ 1 31$ М- Ж- 36 Ж- 1$ Рис. 6. Дискретизация пространственной системы. iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы. Таблица 3 Горизонтальные перемещения в средних элементах первой и пятой грани при различных опорных закреплениях (сх - с =2-Ю10т/м). х У С<г и2 ■104,м и14 ■ 104,м и26 • 104 ,м и38 • 104, м и41 -10 4, м и44 ■ 104 , м 2-1СГ10 0.07095 0.2290 0.4140 0.6614 0.7205 0.6614 2-Ю10 0.06127 0.2071 0.3881 0.6338 0.6928 0.6338 Таблица 4 Сдвигающие усилия в вертикальном и горизонтальном ребрах системы при различных опорных закреплениях (сх =су = 2 • Ю10т/м ). 15 , т/м /м оз ^62 ,т/м ^64 ,т/м ^ 66,т/м 2-Ю“10 -1.174 -1.215 -0.9984 -1.563 -1.864 -1.563 2-Ю10 -0.9365 -1.169 -0.9834 -1.561 -1.865 -1.561 Сравнение результатов по перемещениям (табл. 1 и 3) показывает достаточно их близкое совпадение. Попутно отметим, что решение данной задачи методом конечных элементов с аналогичной разбивкой (рис. 6) дает максимальное перемещение в элементе 41, равное порядка 0.07 мм, что практически совпадает с результатами табл. 3. На основе изложенного можно сделать вывод, что предлагаемая модель и алгоритм решения трехмерной задачи методом сосредоточенных деформаций на основе принятых предположений о взаимодействии элементов в реальных связях позволяют проводить исследования напряженно-деформированного состояния зданий и сооружений с учетом их пространственной работы при различных воздействиях. Институт сейсмостойкого строительства и сейсмологии Поступило 24.04.2008 г. АН Республики Таджикистан ЛИТЕРАТУРА 1. Николаенко Н.А., Назаров Ю.П. Динамика и сейсмостойкость сооружений. - М.: Стройиздат, 1988, 312 с. 2. Лишак В.И. Расчет бескаркасных зданий с применением ЭВМ. - М.: Стройиздат, 1977, 176 с. 3. Додонов М.И. - Строительная механика и расчет сооружений, №6, 1984, с.65-69. Ч,.Н.Низомов, ИДаландарбеков, А.А.Х,очибоев, О.А.Х,очибоев МОДЕЛ^ОИ СЕЧЕНАКАИ МЕТОДИ ЦАМЪКУНИИ ДЕФОРМАТСИЯ^О Яке аз проблемами умумй ва дар навбати худ мушкилтарини халли масъалахои ба заминчунбй тобовар намудани бинохо - ин бо истифода аз модели сеченака (3D) пайдо намудани холати деформатсионии онхо мебошад. Дар мак;ола хдлли чунин масъ-ала пешниход карда шудааст. J.N.Nizomov, I.Kalandarbekov, A.A.Hojiboev. O.A.Hojiboev THREE-DIMENSIONAL MODELING BE MEANS OF LUMPED DEFORMATIONS An application of three dimensional models (3D) to the investigation of strain-deformation state of buildings is one of the basic problems and is the most One of the important problem and in one's turn complicated for decision task of earthquake-proof construction is use three-dimensional model for definition mode of deformation. In the article introduce to solve such problem.